INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME ZACATENCO INGENIERÍA EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA Laboratorio:
FÍSICA CLÁSICA
Práctica No. ANALISIS GRAFICO 1 Gr!"o: E#!i"o:
No.$
Pro%&'or: F&c(a )& r&a*i+aci,-: F&c(a )& &-tr&6a:
/ 0 S&"ti&1br& 2 345 4 0 S&"ti&1br& 2 345 ANALISIS GRAFICO I
OBJETIVOS: El alumno deducirá la importancia que tiene el empleo de las gráficas en el campo de la experimentación, encontrando la relación matemática que muestre la interdependencia entre dos variables y estableciendo los límites de validez entre un modelo teórico y los resultados experimentales
INTRODCCIÓN TEORICA: En el campo de la ingeniería, una forma adecuada de presentar resultados es con la ayuda de las gráficas, las cuales no solo auxilian a este campo, sino también a otros como son el de la ciencia y el de la tecnología.
Una gráfica nos puede servir tanto para representar los fenómenos que suceden en física, química, comportamiento de circuitos eléctricos y electrónicos, ciclos termodinámicos, como para representar problemas matemáticos, trazos de líneas de comunicación, organizaciones, zonas territoriales, etc. or lo tanto, todo ingeniero, científico o experimentador debe tener un amplio conocimiento del mane!o adecuado de gráficas. En la física experimental se "a encontrado que por medio de las gráficas se puede#
Describir una ley Apreciar la ariaci!n "e un #en!$en% p%r $e"i% "e una %bseraci!n r&pi"a Res%ler pr%ble$as sin la necesi"a" "e 'acer "e$asia"%s c&lcul%s or lo que la utilidad que prestan las gráficas en esta área, se puede sintetizar lo siguiente#
Siren c%$% 'erra$ien(a para anali)ar y isuali)ar $e*%r la relaci!n en(re las ariables +ue carac(eri)an un e,peri$en(% -er$i(en enc%n(rar el $%"el% $a(e$&(ic% +ue represen(a el e,peri$en(% y el cual n%s serir& para 'acer pre"icci%nes ."en(r% "el ran/% "el e,peri$en(%0 rocedimiento para la elaboración de graficas# $a elaboración de graficas es de lo más sencillo, sin embargo, ocurre frecuentemente que por el desconocimiento de un proceso lógico, el estudiante se encuentra con ciertas dificultades al realizarse, por lo que al interpretarlas obtiene una serie de conclusiones erróneas o no satisfactorias. % continuación presentamos algunas indicaciones para la elaboración de una gráfica aceptable#
12 32 42 52 62 72
-resen(aci!n (ab ula"a Selecci!n "e l pape l a"ec ua"% al pr% ble$a Selecci!n "e las es calas "e c% %r"ena"as Tra)% "e l%s pu(%s e,peri$en(ales %b(eni"%s A*us(e "e un a cura p%r l%s p un(%s (ra)a"%s Elab%raci!n "el ( 8(ul% "e l a /ra#ica
ara ilustrar me!or con los puntos anteriores, supongamos que al realizar un experimento con un condensador que se descarga a través de una resistencia, se midieron los tiempos correspondientes a ciertos valores de la corriente.
12 Tabulaci!n "e l%s "a( %s %b( eni"%s: &e acuerdo con el primer punto, los resultados deben tabularse como se muestra en la tabla %' donde ( es la corriente eléctrica medida en )% y t es el tiempo, en segundos. $as incertidumbres *+ se encuentran incluidas en la tabla $ectura +
()%-/0.1 30
3 7 4 1
+5 +3 8 4
2s-/0.01 0.4 0.6 +.3 +.9 7.3
32 Selecci!n "el papel: &ependiendo del tipo de problema la gráfica se puede construir sobre# a- apel milimétrico. $a descripción de este papel es la más sencilla, ya que consta de dos escalas lineales y se emplea generalmente cuando tenemos datos cuya variación es lineal constante-
b- apel semilogaritimico. Este es más comple!o que el anterior, puesto que consta de una escala logarítmica y una lineal, se emplea para graficar funciones exponenciales o funciones que tienen un rango muy amplio. c- apel logarítmico log/log-. Este es a:n más comple!o y está constituido por dos escalas, ambas logarítmicas, y lo empleamos cuando nuestros datos tienen rangos amplios de variación.
42 Selecci!n "e las es calas c%% r"ena"as2 Una mala selección de las escalas de coordenadas, ocasiona que una gráfica resulte distorsionada, lo que a su vez nos lleva a una interpretación errónea de los datos experimentales ver figura +-, por lo anterior, se proporcionan la siguientes sugerencias
Deben esc%/erse "e (al $anera +ue (%"%s l%s pun(%s9 sin e,cepci!n9 +ue"en "en(r% "e l%s l8$i(es "el papel u(ili)a"%9 ./eneral$en(e (a$a% car(a0 Deben (ener una cier(a pr%p%rci%nali"a" "e espaci%9 (al c%$% se $ues(ra en la #i/ura 1;9 "e $%"% +ue la /r&#ica n% sea c%n#ina"a en una pe+uea &rea "el papel % +ue"e $uy alar/a"a en un sen(i"% .#i/uras 1b y 1c0 -%r l% /eneral n% "eben "ibu*arse a l% lar/%"e4 l%s li$i(es9 % $ar/en9 "el papel u(ili)a"%9 p%r 'ac l% +ue un cier(% espaci% "e 3<4 ren/l%nes ia el"ebere$%s in(eri%r "e "e*ar nues(r% papel0
a0 Gra#ica c%rrec(a b0 Gra#ica es(rec'a .c%n la escala .,0 $uy pe+uea0 c0 Gra#ica alar/a"a .c%n la escala .y0 $uy pe+uea0 or otra parte
En al/un%s cas%s "ebe$%s esc%/er el %ri/en "e cer% .ya sea en una % en a$bas escalas0 N% +ue %li"ar$a/ni(u" el r%(ulary"ic'as escalas a l% lar/% "e ca"a e*e 'ay especi#ican"% uni"a"es General$en(e la ariables in"epen"ien(es "eben ser c%l%ca"as en el e*e , y las ariables "epen"ien(es s%bre el e*e y 52 Tra)% "e l% s pun( %s e,p eri$en(ales2 Una vez elegidas las escalas y el papel en este caso milimétrico-, se procede a localizar los puntos experimentales' esto se realiza "aciendo coincidir las líneas "orizontales y verticales, que pasen por nuestras coordenadas datos experimentales-.
62 A*us(e "e un a cura p%r l%s p un(%s (ra)a"%s2 El siguiente paso consiste en trazar una curva continua a través de los puntos obtenidos. ;i "ubiera una cantidad mayor de puntos y si, además no tuvieran incertidumbre, el trazado seria inmediato.
o =más probable>, pero se puede afirmar, con razonable seguridad que está contenido en el rectángulo y por lo tanto, la curva que me!or se a!uste deberá pasar por los rectángulos, aunque no necesariamente por sus centros. Es necesario destacar que adaptar una curva a través de los puntos obtenidos, significa "acer predicciones sobre puntos que no "an sido determinados experimentalmente' en otras palabras# la curva representa el comportamiento del fenómeno. artiendo de este "ec"o y, si no existe ninguna consideración en contra, de las posibles curvas se elige la más sencilla. En la figura 5, la curva % es la más complicada# sugiere la existencia de máximos y mínimos que no se pueden ser verificados experimentalmente, la curva ? se construyó uniendo los puntos por medio de rectas. ;e observa claramente que lasupresión o adición de alg:n punto, cambiaría la forma de la gráfica' la < es la más simple, predice un comportamiento =regular> y en este caso sería la escogida, a reserva de posteriores verificaciones.
ara resumir la curva que me!or se adapta a través de una serie de puntos con incertidumbre, debe cubrir los siguientes requisitos#
a0 Ser una cura suae +ue pase p%r l%s rec(&n/ul%s "e incer(i"u$bre9 y b0 L%s cen(r%s "e l%s rec(&n/ul%s "eben es(ar i/ual$en(e "is(ribui"%s a a$b%s la"%s "e la cura2 72 Elab%raci!n "el (8(ul%2 Este debe ser colocado dentro del margen del
papel y en una posición tal que no interfiera con la curva. %demás debe contener una cuidadosa descripción que depende de las necesidades exigidas por el departamento encargado de ello-. ara el laboratorio de física sugerimos que la descripción incluya los siguiente @ombre de la practica @ombre y n:mero del experimento Aariable dependiente vs variable independiente @umero de equipo Bec"a • • • • •
=ATERIAL RE>?ERIDO: E,peri$en(% 1 CANTIDA D
Desarr%ll"%e •
+ + + +
INSTR?=ENTO Cuego de 8 cilindros
ac(ii"a"es:
Cilind ro 1 2
Volum en 3 cm 4 3 cm 6
Longit ud
Incertidumbre experimental volumen 3.5 cm3 a 4.5 cm3 5.5 cm3 a 6.5 cm3
Incertidumbre experimental longitud
3 cm 8 1 cm 3 12 cm 3 14 cm 3 16 cm 3 1! cm 3
3 4 5 6 7 8 •
• • •
•
•
7.5 cm3 a 8.5 cm3 !.5 cm3 a 1.5 cm3 11.5 cm3 a 12.5 cm3 13.5 cm3 a 14.5 cm3 15.5 cm3 a 16.5 cm3 18.5 cm3 a 1!.5 cm3
&e acuerdo a lo expuesto en la introducción, en papel milimétrico dibu!e sus e!es coordenadas y eli!a las escalas apropiadas. 2race los puntos experimentales con sus incertidumbres %!uste una recta a los puntos experimentales con sus incertidumbres.
Es una medida de la inclinación de una recta cuando la ubicamos en un par de e!es coordenados x I y-. epresentada por la letra m en la ecuación yJmxb, indica la cantidad en que se incrementa o disminuye el valor de la variable y, cuando la x aumenta una unidad. El incremento se presenta cuando el valor de m es positivo y la disminución en el caso contrario. ;i la pendiente tiene valor cero, la recta es "orizontal, es decir, ni se incrementa ni disminuye •
&etermine la ecuación de la recta.
"#mx$b •
Knterpole usando la gráfica y(o ecuación para un cilindro de 5.1 cm de longitud
+./ $ocalizar dos valores más cercanos a 5.1 cm Aalor +# 5.491 cm Aalor 3# 5.101 cm •
•
Extrapole usando la gráfica y(o ecuación para un cilindro de +0 cm de longitud Escriba sus conclusiones.
E,peri$en(% 3 CANTIDA D + + + +
INSTR?=ENTO Cuego de 9 discos Blexómetro 2ramo de "ilo cáLamo Do!a de papel milimétrico
Mida el diámetro de cada disco y calcule el perímetro de los mismos mediante la ecuación t Jn&, modelo teorico2abule adecuadamente los datos obtenidos y grafíquelos en un sistema de e!es coordenados, trace la curva correspondiente. %i&co 1 2 3 4 5 6 7 8 !
%i'metro (er)metro calculado 3cm !.42cm 4cm 12.57cm 5cm 15.7cm 6cm 18.85cm 7cm 22.27cm 8cm 25.13cm !cm 28.27cm 1cm 31.42cm 11cm 34.56cm Mida el perímetro de cada uno de los
Incertidumbre experimental 8.!2cma!.!2cm 12.7cma13.7cm 15.2cma16.2cm 18.35cma1!.35cm 21.77cma22.77cm 24.63cma25.63cm 27.77cma28.77cm 3.!2cma31.!2cm 34.6cma35.6cm datos colocando el "ilo cáLamo
alrededor de los mismos y mida la longitud obtenida por medio del flexómetro 2abule los datos experimentales del diámetro y del perímetro con sus respectivas incertidumbres
%i&co 1 2 3 4 5 6 7 8 !
%i'metro 3 cm 4cm 5cm 6cm 7cm 8cm !cm
(er)metro !.5 cm 13.2cm 16.4cm 1!.7cm 23cm 25.6cm 28.4cm
Incertidumbre experimental ! cm a 1 cm 12.7cma13.7cm 15.!cma16.!cm 1!.2cma2.2cm 22.5cma23.5cm 25.1cma26.1cm 27.!cma28.!cm
1 cm 31.4 3.!cm cm a31.! cm 11cm 34 cmcm 33.5 a34.5 cm 2race los datos experimentales en la misma grafica donde está
•
•
representando el modelo teórico, trace la me!or curva que a!uste. Establezca los límites de validez entre el modelo teórico y los resultados experimentales, es decir, compare la ecuación del modelo experimental e interprete el significado de la pendiente. Knterprete las discrepancias entre las perdiciones del modelo teórico y los resultados experimentales. Escriba sus conclusiones
ANALISIS GRAFICO II El alumno determinara la relación que existe entre dos variables mediante el uso del papel milimétrico y "aciendo uso del papel logarítmico.
INTOD?CCION TEORICA $a mayoría de las ecuaciones empíricas con las cuales traba!a un ingeniero o un científico, se encuentra a partir de un con!unto de datos obtenidos experimentalmente. $as técnicas usadas para encontrar la ecuación empírica si existe- llega a ser bastantes comple!as. Una de las técnicas más simples que se emplea consiste en graficar los datos experimentales y, por inspección de la gráfica, se determina la función o ecuación empírica. El proceso de encontrar una ecuación a partir de una gráfica es llamado a!uste de curva.
Uno de los propósitos de los experimentos consiste en "acer mediciones que permitan establecer la relación matemática que satisfaga las variables propias del fenómeno en investigación. En este caso, por simple inspección de la gráfica puede concluirse si es de algunos de los tipos mostrados en la figura 9, y de ser así, la función no estará bien determinada mientras no se conozca el valor de % y el de m. ;e observa que si la gráfica de una recta, m será igual a + uno- y % será
su pendiente, pero G<ómo encontrar dic"os valores en los demás casosH ara lograrlo se emplea la técnica del cambio de variable o, en problemas más complicados, la de graficar en papel logarítmico.
Tabla B @.$0 23 25 27 2
T.s0 23 23 246 25
$a grafica de valores se muestra en la figura +0, que el compararla con la figura 9, parece una curva con m>1.
El problema es encontrar la relación entre " y t. or inspección de una curva se deduce que h es proporcional a t elevada a alguna potencia mayor que +, posiblemente la potencia 3. ;i esto :ltimo fuera cierto la gráfica deh en función de t daría una recta pasando por el srcen pues seria del tipo#
( )
h = AƟ … … 1 donde Ɵ =t
2
% la situación de t3 por *, se le llama cambio de variable, al efectuar este cambio se obtiene la tabla <.
Tabla C @.$0 23 25 27 2
Ɵ.s30
25 25 2133 217
$a grafica de esta tabulación se muestra en la figura +.+ la cual es una recta y, por lo tanto, calcule su pendiente, resulta % J 1 y la relación buscada es# h =5 Ɵ
ero como *Jt3, se obtiene h =5t
2
$a ecuación 3- se representa en la gráfica de la figura +0 y es satisfec"a por todos los pares de valores de la tabla ?, y por esto se le llama ecuación de interdependencia entre las variables graficadas " y f. Esta ecuación es importante ya que, con su ayuda, podemos determinare valores de " para valores conocidos de t. solo sustituyendo en la ecuación, sin tener que "acer4 mas experimentos, es decir, podemos "acer predicciones.
Bigura ++. Fráfica que representa la función que relaciona a las variables mostradas en la tabla <.
Fráficas en papel logarítmico. El método del cambio de variables es :til en el establecimiento de relaciones entre cantidades medidas en un experimento, sin embargo, en otras ocasiones, es preferible graficar en papel logarítmico ver apéndice E-. En este caso se obtienen directamente los valores de m y de % sin necesidad de "acer m:ltiples ensayos. ;upóngase que en un experimento se obtuvo la tabulación que se muestra en la tabla &. 2abla & s- 2 0.54 y+0.90 +.+0 +.36 +.43 3.00 y3-
m- l x 0.+ +0.3 0.7 0.4 0.1 x +.0 3-
$a gráfica de estos valores se muestra en la figura +3.
Bigura +3. Fráfica de los datos de la tabla &. En este caso la gráfica, en papel logaritmico, resultó ser una recta' lo que indica que 2 y l tienen una relación no lineal, cuya expresión general es de la forma yJ% xm. En el papel milimétrico la pendiente es %. %"ora el exponente m es la pendiente de la recta, la cual se puede determinar por cualquiera de los siguientes métodos# •
&ibu!ar un triángulo cualquiera, quedando la recta como "ipotenusa como se muestra en la figura +3-.
•
•
Medir con una escuadra o una regla la altura " y la base b del triángulo dibu!ado.
h b
%plicando lo anterior a nuestro, tendremos# m=
4.8 cm 1 =0.5 ∴ m = 9.6 cm 2
;egundo método# •
Elegir 3 puntos, contenidos estrictamente dentro de la recta experimental, y obtener sus coordenadas. + N+, O+-' 3 N3, O3-
•
m=
Pbtener el logaritmo, de cualquier base, de las coordenadas y sustituir en la ecuación de la pendiente en coordenadas logarítmicas. apéndice E-# log Y 2 −log Y 1 log X 2 −logX 1
En este caso m=
log2 − log0.64 1 =0.4968 ≅0.5 m = log1 − log0.1 2
De(er$inaci!n "e A en el papel l%/ar8($ic% ara obtener completamente la ecuación de interdependencia entre nuestras variables falta determinar la constante % y esto lo lograremos despe!ándola de la ecuación general. y = Ax
m
•
ara el punto + 0.+, 0.54-
•
ara el punto + 0.+, 0.54-
m=
or lo tanto, si
→ A=
→ A=
0.64
√ 0.1 2
√1
= 2.02≅ 2
=
2
1 m
2
y % J 3, sustituyendo en OJ%x , se tienen#
T =2 √ 1
Que es la expresión que representa a la ecuación de interde7pendencia de los datos de la tabla &.
Desarr%ll% e,peri$en(al Experimento + %plicación de la técnica de cambio de variable para la determinación del modelo matemático entre el volumen y el diámetro de un cilindro. + !uego de cilindros + calibrador vernier + probeta
Ac(ii"a"es +.
6. &e acurdo a la conclusión anterior, eleve los valores de & al exponente que crea conveniente eli!a entre los valores más frecuentes de m, que son# +, /+, 3, /3, etc.- y tabule nuevamente a A y a &. ;i no resulta una recta "a elegido mal el exponente y deberá elegir otro. 8. ;i resulta una recta, vea si pasa por el srcen' si es así, calcule la pendiente Discusi!n% y obtenga la ecuación de independencia. ;i el modelo teórico para determinar el volumen de un ciclo es# πh 2 V= D 4
12 G;e cumple experimentalmente en este casoH ExpliqueR Si se cu$ple ya +ue c%n esa #!r$ula se %b(u% el %lu$en #inal "e la pr%be(a 3. ;i A y & son variables, el termino
πh 4
debe ser constante para todos los
cilindros Gesulto ser cierto en este experimentoHR si ya +ue es
c%ns(an(e si se re$pla)a en la #%r$ula ser& i/ual $en(e c%ns(an(e 7. ;i aplicamos la expresión y J % N m , al modelo teórico del volumen, entonces GQué significado tiene %H J % viene siendo la altura
C%nclusi%nes %note las conclusiones generales a las que "a llegado
E,peri$en(% 3 %plicación del papel logarítmico para la determinación del modelo matemático entre dos variables
=a(erial re+ueri"% + !uego de láminas cuadradas + dinamómetro + Blexómetro
Ac(ii"a"es
+.
1
diámetro-, + $ J
2
rango mínimo del flexómetro-
4. Daga la gráfica log vs $ directamente el papel logarítmica log/log- ver apéndice E- Gesulto ser el mismo tipo de grafica que el inciso anteriorH 1.
Gor quéH G
la recta experimentalH Explique 5.
-r%ble$a
BIBLIOGRAFIA: • •
•
•
M%@U%$ &E %<2K<%;, BK;K<% <$%;K<%, %<%&EMK% &E BK;K<% &ata reduction and error analisys for t"e p"ysical sciences, 3nd ed., . ?evington and &. R. obinson, McFraS Dill, @eS OorT +997-.
Perimetro calculado (cm)
,odelo -eorico
15
%ato& xperimentale&
1 5 Diametro (cm)
❑ ❑
/Con el criterio dado en el ap0ndice % calcula la pendiente de la recta "
la incertidumbre de la pendiente. /ealice un au&te con el m0todo de m)nimo& cuadrado& emplee el ap0ndice .
%I,- 3 .5 4 .5 6 .5 7 .5 8 .5 ! .5 1 .5 11 .5 35. 5
(I,-
11
3
!.42 12.57 15.7 18.85 22
.5
.5
1
25.13 28.27 31.42 34.56
.5 .5
31
#
4
#2.81
.5 .5
2
.5
.5 .5
5
1 15 2 25 3 35 4
