PPS2014C02(PDF)-Razonamiento Inductivo - Deductivo

1.

Si se observa que: 1 = 22 − 3 × 1

 3   4   5  4 = 2        2   3   4 

2 = 32 + 4 × 2



3 = 42 − 5× 3

Halla:

4 = 52 + 6 × 4

Halla: 50 + 60



A) 111 D) 110

15

A) 2 D) 1

B) 3

C) 4 E) 5

O C

1 = 22 − 3 × 1 = 1 P

r o

f :

E H P A C

∴

2.

1 =2

 3  2 = 2    2  3   4  3 = 2       2   3 

→

1 =2

 3  2 = 2    2 

→

2 =3

 3   4  3 = 2      2   3 

→

3 =4 +1

∴ 50 + 60 = 51 + 61 = 112

15 = 1

Si se observa que:

1 =2



5 = 62 − 7 × 5 = 1 

C) 113 E) 114

Simplificando Simplificando se observa

Analizando las las expresiones de lugar lugar impar

3 = 42 − 5× 3 = 1

B) 112

+1

3.

+1

Si : 12 = 1 112 = 121 1112

= 12 321

1111 2 = 12 34321 

- 1

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Halla 1111111 2 , lueg luegoo dar como resp respue uest staa la suma de las cifras del resultado. A) 49 D) 25

B) 36

Analizando •

C) 81 E) 64

los primeros términos de cada fila F1 → 1 F2 → 2 F3 → 4 F4 → 8

Analizando las potencias, tenemos

→

1 = 12

→

4 = 22

→

9 = 32

A = 29 = 512

Luego, para la fila 10

1 cifra

112 = 121

20 21 22 23

−1

Suma de cifras

12 = 1

→ → → →

•

los últimos términos de cada fila

2 cifras

1112

= 12 321

F1 → F2 → F3 → F4 →

3 cifras



Para el problema Suma de cifras = 9 2 = 81

→ 2(1) − 1 → 2(2) − 1 → 2(3) − 1 → 2(4) − 1

1 3 5 7

B = 2(10) − 1 = 19

Luego, para la fila 10

∴ A + B = 531 P

En general, si se tiene (k ≤ 9) 2 (111 111 ....  ) k cifras

  

Suma de cifras = k 2

Completar el siguiente arreglo numérico hasta la la fila 10. Halla: Halla: A+B 4.

Fila 1 Fila 2 Fila 3 Fila 4

E

f : P A C H

r o

O C

¿De cuántas maneras se podrá leer la palabra DIOS? 5.

A) 4 B) 6 C) 8 D) 16 E) 32

D I

O O O S S S S

1 2 3 4 7 5 8 7 7 7

I

D





∴ N° de de maner maneras as de leer leer DIOS DIOS = 2 4 −1 = 8

Analizando por inducción Suma de cifras

9 × 8 = 72

9 = 9(1)

→

18 = 9(2)

→

27 = 9(3)

1 cifra

Para este tipo de distribución triangular N°de maneras de leer " alg o" = 2

→

99 × 88 = 8 712

n −1

2 cifras

999 × 888 = 887 112 3 cifras

Calcula la suma de las cifras del siguiente arreglo. 6.



2 ( 333 334 ....  )

Para el problema

20 cifras

∴ Suma Suma de cifr cifras as = 9(100) 9(100) = 900 A) 212 D) 121

B) 122

C) 200 E) 180 8.

Por inducción

Sabiendo que: F1 = 1 × 100 + 50

Suma de cifras

42

= 16

→

7 = 6(1)+1

→

13 = 6(2)+1

1 cifra

34 2 = 1 156 2 cifras

334 2 = 111 556

→

P

r o

f :

F2 = 2 × 99 + 49 F3 = 3 × 98 + 48

Calcula la suma de cifras de “ F20 ”. O C

E H P A C

19 = 6(3)+1

3 cifras

A) 12 D) 11

B) 13

C) 14 E) 15



Para el problema

Se observa

F1 = 1 × 100 + 50 F2 = 2 × 99 + 49

∴ Suma de de cifras cifras = 6(20)+1 6(20)+1 = 121

Suman 101

F3 = 3 × 98 + 48 7.

Dar como respuesta la suma de las cifras de: 999...999 × 888...888

Suma Sumann 51

Entonces

F

20 81 31 1 651





9.

¿Cuántas esferas habrá habrá en la figura figura 20? Por inducción

Fig. 1

Fig. 2

A) 40 D) 39

Fig. 3

N° de cuadrados

Fig. 1

→

1

=

1(2)(3) 6

Fig. Fig. 2

→

5

=

2(3)(5) 6

Fig. Fig. 3

→

14 =

3(4)(7) 6

8(9)(17) 6

= 204

Fig. 4

B) 41

C) 42 E) 43

Por inducción N° de esferas

Fig. 1

→

Luego, para la

∴ N° de cuadrados =

Fig. Fig. 2

→

5

= 2(2) + 1

Fig. Fig. 3

→

7

= 2(3) + 1

Luego, para la

∴ N° de esferas = 2(20) + 1 = 41

10.

3 = 2(1) + 1

¿Cuántos palitos de fósforos se necesitan para formar la figura 20? 11.

O A) 444 C P EB) 448 r o H C f : P A C) 452 D) 440 440 E) 456

Fig. ig. 1

Fig. 2

Fig. 3

¿Cuántos cuadrados hay en la figura 8? Por inducción

Fig. 1

A) 204

Fig. 2

N° de palitos Fig. 1

→

3

= 22 − 1

Fig. ig. 2

→

8

= 32 − 1

Fig. 3

÷2 ; − 1





Luego, para la Por inducción

N° de triángulos

∴ N° de palitos = 212 − 1 = 440

12.

¿Cuántas esferas hay en la figura 15?

Fig. Fig. 1

A) 133 D) 132

Fig. 2

Fig 1

C) 135 E) 136

N° de esferas

→

3

=

2× 3 2

→

6

=

3× 4 2

Fig 2

→ Fig 3

N° de esferas =

2 por lado

→

6 = 2 × 3

3 por lado

→

12 = 3 × 4

∴ N° de triángulos = 6 × 7 = 42

1 1 ; n= a−b a+b Calcula Calcula el valor valor de “A” si:  m 2 + n 2   ab  A =  2 2   2 2   m − n   a + b     14.

Si: m =

B) 1/3

C) 1/4 E) 1/5

Reemplazando 16 × 17 2

= 136

¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura? 13.

2 =1 × 2

Entonces, Entonces, para para 6 cuadradi cuadraditos tos por por lado lado

O1/2 A) C P E D) 2 4 ×5 H 10 = r o f C 2 : P A

Luego, para la

∴

→

Fig. 3

B) 134

Por inducción

1 por lado

  1  2  1  2   +     a − b   ab    a + b     A =   2 2 2 2   1   1    a + b    −         a − b   a + b    (a + b)2 + (a − b) 2   ab    A =   a 2 + b 2    (a + b)2 − (a − b)2       2(a 2 + b 2 )   ab   

 





A) 2 500 D) 6 600

Calcul Calculaa el tot total al de de inters intersecc eccion iones es entre entre circunferencia y recta que presentará la figura 20.

15.

B) 2 750

C) 6 500 E) 7 500

Se observa por cada triángulo hay 3 sectores s ectores Fig (1)

A) 760 D) 420

Fig (2)

Sector circular

Fig (3)

B) 800

C) 840 E) 400 Por inducción

Por inducción

N° de intersec. Fig. 1

→

4

1

Fig. ig. 2

Fig. ig. 3

→

→

3 = 3 × 12

→

12 = 3 × 2 2

→

27 = 3 × 3 2

2 3

 2 × 3    2 

12 = 4 

 3 × 4    2 

1

24 = 4 

P

2 3 4

−1

O C el problema Para E

f : P A C H

r o

Luego, para la

→ 2

1 × 2  = 4     2  1

N° de sectores

∴ N° de sectores = 3 × 50 2 = 7 500

20 × 21  ∴ N° de intersecciones = 4    = 840 2  

Hall Hallaa el núm númer eroo tot total al de cuad cuadra rado doss sombreados. 17.

Al unir los centros de las circunferencias se forman sectores circulares. ¿Cuántos de éstos se contarán contarán en total? total? 16.







Luego, para Analizando casos casos particulares particulares N° de cuadrados sombreados

→

3

∴ Suma Suma de cifr cifras as = 9(10 9(10)) = 90

= 22 − 1

1 2 3 19.

→

8

= 32 − 1

Simplifica: K =

191919 919191

+

192192 273273

+

9999 9191

1 2 3 4 5 6 7

15 = 4 2 − 1

→ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011

÷2

A) 1 D) 4

18.

N ° de cuadraditos sombreados

C) 3 E) 5

Por principio de numeral por bloques ;

+1

Para el problema

∴

B) 2

2

 79 + 1   =    + 1 − 1 = 440 4    

O Halla la suma de cifras del resultado resultado de A. C P E r o H A =  777 ... 7 999 ... 9 × f : P A C     

K =

19 1919 91 9191

K =

19

K =

19 91

K = =

182 91

91

192 192 273 273

+

+

192

+

64 91

273

+

+ →

+

99 99 91 91

99 91

99 91

= 2 K =

10 cifras 10 cifras

20.

A) 18 D) 90

B) 27

C) 99 E) 60

Halla el valor de “M”

M = (2001 − 1)(2000 − 2)(1999 − 3)....( 2 − 2000)(1 − 2001)





21.

Calcul Calculaa la siguie siguiente nte suma suma

22.

  1   2  2008  2 h  + h  + .....+ h    , 2009 2009 2009         siendo h(t) =

5 t

5 + 25

A) 2001 D) 2102

, t ∈R

B) 2007

C) 2008 E) 22000

Si: 2 2 A = ( 666 666 333 ....   ) ; R = ( 333 ....  ) 30 cifras

20 cifras

Calcula la diferencia entre la suma de cifras del resultado de A y la suma de cifras del resultado de R. A) 90 D) 120

B) 60

C) 100 E) 140

Identificando Identificando cada expresión Por dato h(t) =

5

… (1)

t

5 + 25

 Suma de = 9(30) = 270  cifras  

2 →  A = ( 666 666 ....  )

Se observa que los términos equidistantes son simétricos, es decir son de la forma h(t) y h(1 − t)

30 cifras

2 R = ( 333 333 ....  )

Entonces h(1 − t) = h(1 − t) = h(1 − t) =

20 cifras

5 5 + 251− t

Por lo tanto, la diferencia pedida es 90.

5(25t ) 5(25t ) + 25 25t t

25

… (2)

O C P E En general, si se tiene r o H C f : P A

+5

Sumando (1) y (2) h(t) + h(1 − t) =

5 5 + 25t

h(t) + h(1 − t) = 1

+

t

25

( 333 333 ....  )

5 + 25t

k cifras

2

2 ( 666 666 ....  ) k cifras

Evaluando, se tiene

Suma de  →    = 9(20) = 180 cifras  

2

        

Suma de cifras = 9k





Para el problema Elevando al cuadrado y evaluando, se tiene

29 × 30  ∴ N°de palitos = 3    = 1 305 2  

(m + a + n)2 = a 25

Se deduce que Piden

15 →

225 ()

25 →

625 ()

a=2

∧

Si se cumple que: f(x+1) f(x+1) = f(x) f(x)+2x +2x+1 +1 y f(1) f(1) = 1 Halla: f(50) 25.

m + a + n = 15

man + nam + aaa

A) 525 D) 1 600

1

ma n a a a 15 7

n + m a 5

B) 2 500

Por de definición

C) 1875 E) 1 500

f(x+1) = f(f(x)+2x+1 f (1) = 1 = 12

Además ¿Cuántos palitos se encuentran en total en la siguiente figura? 24.

→

f (2) = f (1) + 2(1) + 1 

→

f (3) = f (2) + 2(2) + 1 

4

∴

1

2

3 P 28r 29

o f :

N° de palitos

f (50) = 50 2

O C

E H P A C

30

→

f (2) = 4 = 22

→

f (3) = 9 = 3 2

1

x = 2

A) 435 B) 1 395 C) 465 D) 1 365 E) 1 305

Por inducción

x = 1

26.

= 2 500

Si se cumple que: M(1) M( 1) = 2 + 1 – 1 M(2) M( 2) = 4 – 4 + 3 M(3) = 6 × 9 – 5







Entonces Entonces para para M(19), M(19), los signos signos serán serán (+) y (–)

Halla el “SABIDURÍA”.

número

28.



debido a que 19 = 3 + 1 , es decir

total

de

palabras

S

M(19) = 2(19) + 19 2

A

− [2(19) − 1] → M(19) = 362

B I D U

I

Efectúa:

27.

A

D

A

D

R I

B I

U

R I

A

I

U

R

A B

D U

R I

A

I D U R

I A

U R

I A

R I

A

I A

A

2048

K = 2×

3×5×17×(28 + 1)(216+1)....( 21024+1)+1

A) 4 D) 2

B) 16

A) 512 D) 64

C) 1024 E) 256

B) 128

C) 256 E) 258

S

A A B B B I I I I D D D D D U U U U U U R R R R R R R I I I I I I I I A A A A A A A A A

En general, si se tiene (2n

− 1)(2n + 1) = 22n − 1

Expresando cada factor, en uno equivalente K = 2 ×

2048

(2

2

2

2048

(24

1024

4

− 1)

O C Como SABIDU SABIDURIA RIA tiene tiene 9 letra letras, s, entonc entonces es EComo

f : P A C H

r o

− 1)(24 + 1)(28 + 1)....(21024 + 1) + 1 (28 − 1)

2048

8

P − 1)(2 + 1)(2 + 1)(2 + 1)....( 2 (2

K = 2 ×

4

+ 1) + 1

∴ N° de maneras = 29 −1 = 256





Para el problema Por inducción

N° ptos de contacto

∴ N°de triángulos pequeños = 35 2 = 1 225

2 filas

→

3

2 × 1  = 3    2  

3 fila filass

→

9

3 × 2  = 3     2 

4 fila filass

→

18 = 3 

Det Determ ermina ina la suma suma de tod todos los valo alores entero enteross n, tales tales que: que: 31.

 4 × 3    2 

25 + 625 − n 2 4

+

25 − 625 − n sea entero entero.. 2 4



A) 144 D) 30

Luego, Luego, para para n filas filas  n(n − 1)  = 570 3   2  n(n − 1) = 380 n(n − 1) = 20(19) → n = 20

B) 1447

C) 1008 E) 1232

Restringiendo valores para n 625 −n ≥0 4

→

n ≤ 156, 25

Luego, efectuando la expresión 30.

 E2 =   

¿Cuántos triángulos pequeños hay en total?

A) 996 B) 840 C) 190 1905 D) 3125 3125 E) 1225 1225

1 2 3

35

P

2

25 + 625 − n 2 4

25 O E2 = + C 2

r o

f :

E H P A C

+

 25 − 625 − n   2 4  

625 − n + 25 − 625 − n + 2 4 2 4

2 25 6252  +n    − 4  2 

Reduciendo términos E = 50 + 2 n 0

∈ Z+

→

n=0

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