Potensial Tangga dan Perintang
Tinjau suatu partikel yang bergerak dalam dalam daerah potensial tangga seperti yang dilukiskandalam gambar 3.11, yaitu V = 0 untuk daerah x < 0 dan V = Vo yang ≥ 0.
konstan untuk daerah x Gambar potensial tangga.
da dua kasus yang perlu ditinjau se!ara terpisah, yaitu untuk energi partikel " < Vo dan " # Vo a$ " < Vo %alam hal ini, mekanika klasik menyatakan bah&a tidak mungkin partikel berada di sebelah kanan ' karena energi kinetiknya kinetiknya ( = " ) Vo Vo akan negati*. rtinya, elektron+elektron bebas dalam metal logam yang energinya " < Vo tidak dapat lepas le pas dari logam. ntuk men!ari *ungsi gelombang u-r$, kita tuls persamaan s!hrodinger untuk daerah terpisah dengan untuk daerah . %i daerah , dengan V-x$ = 0 persamaan s!hrodinger nya adalah 2 2 mE d ul ul 2 2 / = 0 ............................................................. ............................................................. -3.$ ℏ dx %engan penyelesaian2 i K x ul -x$ = e /
−i K l x
e
l
Dengan
K l
.............................................. ................................................ -3.4$
2 mE
2
=
2
ℏ
%i daerah "
2 − K 2 2 = 0 ............................................. .................................................................... ........................-3.0$ .-3.0$ dx
dengan
K 2
2 mE
2
=
2
ℏ
-Vo ) "$ # 0
penyelesaian dari persamaan di*erensial -3.0$ adalah − K x + K x u¿ e e -x$ = 6 / % ............................................. ..................................................-3.1$ .....-3.1$ 2
2
untuk x
→
, maka
∞
u¿ →
. 7al ini tidak memenuhi syarat *isis
∞
karena *ungsi gelombang u berhubungan dengan kemungkinan menemukan partikel maka besarnya harus berhingga. 'leh karena itu, agar u¿ berhingga di setiap posisi x , maka
nilai % harus sama dengan nol
u¿ menjadi
sehingga
− K 2 x
u¿ ( x ) = 6
e
.............................................................. -3.8$
Teta pan , , dan 6 di!ari dengan syarat kontinuitas di bidang batas x =0 9aitu2 ul =
d ul
d u¿ ∣ x = 0 dx
=
dx
∣ x =0
u¿
kedua syarat diatas menghasilkan persamaan+persamaan2 /=6 %an K 2 C K l ( A − B ) i = + dengan menyelesaikan kedua persamaan, nilai dan 6 adalah K l−i K 2 = K + i K 2
6=
[ [
l
2 K l
K l + i K 2
] ]
u¿ ( x ) adalah *ungsi gelombang di daerah tanggul yang ternyata tidak nol. rtinya, ada partikel yang berhasil menerobos tanggul potensial. (ita tidak mungkin meninjaunya se!ara klasik. (oe*isien transmisinya dihitung dari hubungan2 fluks partik el yangmenerebostanggul T = fluks partikel yang datang ketanggul 2
|C e− K x| x= | A ei K x| x= 2
0
=
l
0
¿
C C ¿ A A
=
T=
|
|
2
2 K l
K l + i K 2
2
4 K l
= K 2+ K 2 2 l
b$ " # Vo %engan tinjauan yang sama, di daerah dengan x < 0 kita peroleh *ungsi gelombang partikel2 −i K x i K x ul -x$ = e / e l
2
dengan K l =
l
2 mE 2
ℏ
sementara *ungsi gelombangdi daerah dengan x # 0 adalah u¿ ( x ) = 6 e i K x 2
2m
2
%engan K 2 =
2
ℏ
( E−Vo )
. %i daerah hanya ada partikel ke kanan
karena tidak ada dinding potensial yang memantulkannya. 7ubungan koe*isien , , dan 6 adalah K l− K 2 = K l + K 2 ........................................................ -3.4$
6=
[ [
2 K l
K l + K 2
] ]
:ehingga koe*isien transmisinya menjadi2 2 2 K l T = K + K ......................................................... -3.40$
[
l
2
]
;artikel dalam (otak ;otensial :alah satu !ontoh sederhana untuk kasus partikel dengan energi ters!atu -diskret$ adalah partikel dalam kotak potensial. ntuk memudahkan pemahaman, kita tinjau potensial kotak satu dimensi atau disebut pula potensial sumur - Gambar 3.18$ %i luar sumur tidak terdapat partikel, maka u-x$ = 0 untuk x 0 dan x :ementara di dalam sumur berlaku persamaan s!hrodinger.
≥l .
2
d u ( x ) dx
2 mE
/
2
2
ℏ
u ( x )
= 0 untuk +0
x
l
;enyelesain persamaaan -3.41$ dapat ditulis dalam bentuk2 u ( x ) =¿
A sin Kx + B cos Kx
2
%engan K =
................................................-3.48$
2 mE 2
ℏ
:yarat batas mengharuskan bah&a di x = 0 dan l = nilai u-x$ = 0 -tidak ada partikel$. ika syarat demikian kita kenakan pada persamaaan -3.48$ maka diperoleh bah&a = 0 dan ( = n >,
n = 1, 8, 3............... ........................-3.43$
%engan mengganti nilai (, kita peroleh energi partikel2 2
2
! ℏ 2 n n =1,2,3 # # # 2 2m"
"n =
.......................................-3.4?$
"nergi demikian bersi*at diskret dan merupakan nilai eigen dari *ungsi gelombang partikel u-x$2
un
-x$ = sin
√
2 m En ℏ
x = sin
n ! " x .............................. -3.4@$
Ailai dapat dihitung dari syarat normalisasi, yaitu kemungkinan menemukan partikel di seluruh ruang adalah sama dengan satu. $
∫ |u ( x )|
2
n
−$
dx = 1
"
A
∫ sin n! " 2
2
0
A
2
" 2
=1
dx = 1
Baka *ungsi gelombang ternormalisasi adalah
un
√
-x$ =
n! " x ..........................................................................
2
" sin
-3.4$ ntuk potensial kotak tiga dimensi, tinjauan masing+masing komponen 9 dan C tidak berbeda dengan komponen D yang telah dibahas sebelumnya. Eungsi gelombang untuk komponen 9 dan C adalah
uny
√
-y$ =
n y !
2
" y sin
" y
y .............................................................................. -3.4$
un%
√
-F$ =
n % !
2
" % sin
" %
F ..............................................................................-3.44$ %engan demikian, *ungsi gelombang totalnya adalah unxnyn%
-x, y, F$ =
unx
-x, y, F$ =
√
-x$.
uny
-y$.
un%
-F$ ..........................................
-3.45$ unxnyn%
n x !
8
" x " y " % sin
" x
n y ! x sin
" y
n % ! y sin
" %
F ...............................-3.50$ %engan
n x
= 1,8,3,,,,,,
n y = 1,2,3 , , , , , , , ,
n %
= 1,8,3 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
:ementara tingkat+tingkat energi untuk komponen 9 dan C adalah 2
Eny
=
2
n y 2
2 m" y
2
En%
2
! ℏ
2
! ℏ =
..................................................... -3.51$
2
2
2 m" %
n %
.................................................. -3.58$
"nergi total partikel dalam kotak potensial menjadi2
"=
Enx
=
! ℏ 2m
2
Eny
/ 2
(
/
2
2
n x n y 2
E n%
+
2
2
+
n % 2
" x " y " %
)
......................................-3.53$
" x ¿ " y ¿ " %
ntuk keadaan khusus dengan 2
E nxnyn%
=
:ekali lagi
2
! ℏ 2 2m" n x
,
n y
(n +n ,
2
2
x
y
n %
maka2
+ n % ) ............................... -3.5?$ 2
disebut bilangan kuantum. (ombinasi ketiga nilai
bilangan kuantum menentukan keadaan -state$ sistem partikel yang bersangkutan. ;ersamaan energi -3.5?$ memperlihatkan bah&a dengan suatu kombinasi n y
,
n %
n x
yang berbeda dapat memberikan nilai energi yang sama, misalnya
keadaan 811, 181, dan 118. (eadaan demikian disebut keadaan terdegenerasi, yaitu suatu keadaan yang berbeda tetapi mempunyai energi sama. (emudian, !a!ah keadaan melukiskan derajat degenerasi yang terjadi. Gaambar 3.13
( ) 2
menggambarkan tingkat energi dalam satuan kuantum serta derajat terdegenerasinya p.
2
! ℏ 2 2m "
dengan sel bilangan
,
