Portofoliu din 3 titluri PVMa 3 titluri 1

Probleme rentabilitatea și riscul unui portofoliu format din trei active. Portofoliu de varianță minimă în cazul portofoliului format din trei active.


În cazul portofoliului format din trei active, rentabilitatea și riscul se definesc:




Riscul se poate scrie astfel:



Pentru determinarea portofoliului de varianță minimă (în cazul în care avem 3 titluri) se realizează: optimizarea funcției obiectiv, în care se ține cont de unele restricții bugetare (caz pe frontiera Markowitz:

Optimizarea (minimizarea riscului) presupune, optimizarea funcției combinate Lagrange:



Pentru minimizare, derivateke parțiale ale funcției Lagrange (în raport cu ) trebuie să fie egale cu zero
Pentru portofoliu de trei titluri cunoaștem:

(relația *)

Varianța portofoliului este:
(relația **)

Înlocuim relația (*) în relația (**)





Prin construirea Lagrangeanului și prin derivare în raport cu , respectiv cu se vor obține următoarele două ecuații:

și



Se rezolvă sistemul cu două necunoscute și cu două ecuații. Se determină , respectiv . Ulterior prin diferență se determină și

Aplicații

a) Să se calculeze rentabilitatea şi riscul unui portofoliu format din trei titluri dacă se cunosc următoarele:

Titlul
Rentabilitatea așteptată
Riscul
Componența
A
10%
4%
25%
B
14%
8%
50%
C
18%
16%
25%

Coeficienții de corelație sunt = 0.3 = 0.5 =-0.2
b) Rentabilitatea așteptată și riscul portofoliului de varianță minimă

Un investitor alcătuiește un portofoliu format din trei titluri. Se cunosc următoarele informații:

Titlul
Rentabilitatea așteptată
Riscul
Nr acțiuni
Curs bursier
A
10%
4%
1000
30
B
14%
8%
2000
34
C
18%
16%
1000
22

Coeficienții de corelație sunt = 0.34 = 0,78 =0.26

Determinați structura, rentabilitatea medie anticipată și riscul portofoliului de varianță minimă absolută și riscul de piață.

Un portofoliu este format din trei titluri. Se cunosc următoarele informații:

Titlul
Rentabilitatea așteptată
Riscul
Beta
Pondere
A
2,4%
1,3%
0,4
30%
B
3,2%
2,1%
-0,1
40%
C
2%
1,5%
0,3
30%

Coeficienții de corelație sunt = 0.23 = 0,12 =0.25
Determinați rentabilitatea medie anticipată și riscul (măsurat ca abatere medie pătratică și ca volatilitate în raport cu piața) și oferiți o interpretare
Determinați structura, rentabilitatea medie anticipată și riscul portofoliului de varianță minimă absolută și riscul de piață.

Un investitor alcătuiește un portofoliu format din trei titluri. Se cunosc următoarele informații:

Titlul
Rentabilitatea așteptată
Riscul
A
4%
10%
B
8%
20%
C
10%
22%

Coeficienții de corelație sunt = 0.3 = 0,5 =-0,2

Determinați:
Matricea de varianță covarianță
Componenența portofoliului format din cele trei titluri de varianță minimă
Riscul și rentabilitea PVMA
Componența și riscul portofoliului de rentabilitate 12% situat pe frontiera Markowitz și Format din cele trei acțiuni.