1.1 PERFORMANŢELE POMPELOR CENTRIFUGE Pompele centrifuge se construiesc pentru debite medii (până la 0.5 – 1 m3/s) şi presiuni mici şi medii (până la 9 bar), realizează pe aspiraţie sarcini de până la 7 mH2O şi sunt folosite frecvent pentru transferul lichidelor puţin vâscoase. 1.2 DOMENII DE UTILIZARE
Fig. 1.1 Pompă centrifugă verticală autoamorsabilă
În instalaţiile navale cu tubulaturi, pompele centrifuge sunt utilizate la vehicularea apei în instalaţiile de balast, santină, de stins incendiu, alimentare cu apă, instalaţii de transfer marfă ale petrolierelor, în instalaţiile cu tubulaturi ale motoarelor (fie principale, fie auxiliare ) etc. Maşinile centrifugale pot lucra şi în conversiei hidromecanice, caz în care numesc turbine (Francis). La turbine, fluidul intră în rotor pe radială şi iese în sens axial. Intrarea în se face direct ca la pompă, ci prin intermediul unui aparat director.
sensul se direcţie rotor nu
Paleţii aparatului director se pot roti, rotirea lor producând schimbarea turaţiei (fig.1.2).
Fig. 1.2 Structura aparatului director la turbina Francis
1.3 CALCULUL POMPELOR CENTRIFUGE Aşa cum s-a mai arătat, conversia mecano-hidraulică într-o pompă centrifugă se face prin acumularea energiei în rotorul maşinii prin deplasarea fluidului în direcţie radială de la aspiraţie către refulare. S-a definit 1
sarcina pompei ca fiind diferenţa dintre energia specifică totală a fluidului de la ieşirea şi cea de la intrarea în pompă. Pentru deducerea expresiei sarcinii la acest tip de maşini, se introduce noţiunea de pompă ideală. Aceasta este o maşină în al cărei rotor nu au loc pierderi şi pentru care se pot formula ecuaţii simplificate care să descrie mişcarea. Rotorul este prevăzut cu un număr infinit de paleţi (z = ∞), de grosime nulă (δ = 0). Fluidul de lucru se presupune a fi unul ideal. 1.3.1 CINEMATICA PARTICULEI DE FLUID ÎN ROTORUL POMPEI STABILIREA TRIUNGHIURILOR DE VITEZE LA INTRAREA ŞI LA IEŞIREA DIN ROTOR
Fig. 1.3 Configuraţia vitezelor la intrarea în rotorul pompei centrifuge
Pentru a defini sarcina teoretică a unei pompe cu un număr infinit de paleţi, se vor considera mai întâi triunghiurile de viteze de la intrarea şi ieşirea din rotor. Pentru început se vor face referiri la triunghiul de viteze de la intrare prezentat în fig.1.3. Se consideră că rotorul este parcurs de debitul Q şi în acest context se definesc vitezele:
→
C1 – viteza absolută la intrarea în rotor; →
W1 – viteza relativă la intrarea în rotor; →
u1 – viteza de transport la intrarea în rotor. →
→
→
În mod similar se definesc vitezele C2 , W2 , u2 pentru zona de la ieşirea din rotor. Se consideră turaţia rotorului ca fiind n. În acest caz, modulele vitezelor de transport la intrare şi ieşire sunt calculabile cu relaţia (1), iar direcţiile lor sunt chiar tangentele la rotor în punctele de intersecţie cu paletul: π D1 n u1 = —––– 60
(1)
2
π D2 n u2 = —––– 60 Aşa cum rezultă şi din fig.1.3, secţiunea de intrare în rotor este una inelară având diametrul D1 şi lăţimea b1. În acest caz se poate defini modulul vitezei absolute exprimat ca raport dintre debit şi secţiunea de intrare: Q C1 = —––– π D1 b1
(2)
Dacă pompa nu are aparat director la intrare care să dirijeze →
curentul pe o direcţie impusă, atunci vectorul viteză C1 se dispune pe o direcţie →
radială. Dacă există aparat director, direcţia vectorului C1 este precizată de direcţia aparatului director prin unghiul α1. La pompa fără aparat director, triunghiul vitezelor se construieşte ştiind direcţia şi mărimea vectorului vitezei abso→
lute C1, aşa cum se arată în fig.1.4. Matematic, cele afirmate mai sus se traduc prin ecuaţia Coriolis: →
→
→
C1 = W1 + u1
(3)
în care: →
→
C1 = Cr1
(4)
→
Fig. 1.4 Triungiul de viteze la intrarea în rotor
Fig. 1.5 Triunghiul de viteze la ieşirea din rotor
Direcţia vitezei relative W1 este tangentă la palet. Convenţio→
→
nal, unghiul dintre direcţiile vitezelor relativă W şi de transport u se notează cu →
3
→
β. Unghiul dintre direcţiile vitezelor, absolută C şi u, se notează cu α. Când la intrare nu există aparat director şi este satisfăcută egalitatea (4) , ungiul α1 are valoarea α1 = 90°. Dacă α1 ≠ 90° (corespunde cazului când pompa are aparat director), atunci se poate scrie relaţia: Q Cr1 = —––– π D1 b1
(5)
Pentru evitarea şocurilor la intrare, unghiul β1 de înclinare a paletului se adoptă la valori cuprinse între 14° şi 20°, iar triunghiul de viteze se construieşte în aceeaşi manieră. Pentru trasarea triunghiului de viteze la ieşire, din ecuaţia de definire a debitului se scoate modulul vitezei radiale: Q Cr2 = —––– π D2 b2
(6)
În mod uzual, componenta radială a vitezei abdolute Cr2 se precizează la valoarea de intrare Cr2 = Cr1. Această condiţie se impune pentru a se evita salturile de viteză radială, care dacă ar apare, ar genera forţe de inerţie care pot conduce la cavitaţie. Se impune apoi valoare unghiului β2 (de aşezare a paleţilor la ieşirea din rotor). Pe baza turaţiei maşinii, se calculează modulul vitezei de transport u2 cu ecuaţia (1) şi apoi pe baza relaţiei Coriolis se poate construi triunghiul de viteze după modelul celui din fig.1.5. →
→
→
C2 = W2 + u2
(7)
1.3.2 GRADUL DE REACŢIUNE A ROTORULUI POMPEI CENTRIFUGE Gradul de reacţiune dă raportul dintre sarcina (energia specifică) statică realizată de rotor şi sarcina (energia specifică) totală. Se consideră o pompă centrifugă ideală cu rotorul cu număr infinit de paleţi de grosime teoretică nulă, care antrenează un fluid ideal. Ne propunem să stabilim expresia gradului de reacţiune a rotorului funcţionând în condiţiile descrise anterior. Pentru aceasta se consideră expresia sarcinii teoretice realizate de rotorul cu un număr infinit de paleţi: Ht ∞ = ρ(u2 Cu2 – u1 Cu1) .
4
În cazul pompelor fără dispozitiv de dirijare, la care viteza la intrare este dispusă radial, Cu1 = 0 pentru că α1 = 90° şi în acest caz, asupra sarcinii va avea influenţă numai configuraţia triunghiului vitezelor de la ieşire: Ht ∞ = ρ u2 Cu2 (8) Din relaţia (8) se poate observa că sarcina este cu atât mai mare, cu cât componenta tangenţială a vitezei la ieşirea din rotor este mai mare. Pentru a evidenţia din punct de vedere energetic modul în care se distribuie energia în rotor, se vor scrie expresiile vitezelor relative. Pentru aceasta se vor considera triunghiurile de viteze de la intrarea şi ieşirea din rotor. Aplicând teorema lui Pitagora generalizată vom avea: W12 = C12 + u12 –2u1C1 cos α1 respectiv W22 = C22 + u22 –2u2C2 cos α2
(9)
Din relaţiile (9) se scot produsele u1C1 cos α1 şi respectiv u2C2 cos α2 : C12 + u12 – W12 C22 + u22 – W22 u1C1 cos α1 = —–––—––– şi u2C2 cos α2 = —–––—––– (10) 2
2
Cum însă: C1 cos α1 = Cu1 ecuaţia lui Euler devine:
şi
C2 cos α2 = Cu2 ,
Ht ∞ = ρ(u2 Cu2 cos α2 – u1 Cu1 cos α1)
(11) (12)
Introducând relaţiile (10) în (12) şi grupând corespunzător termenii, va rezulta: C22 – C12 u22 – u12 W22 – W12 Ht ∞ = ρ —–––— + ρ —–––— + ρ —–––—– (13) 2
2
2
Din ecuaţia (13) se observă că de la intrare către ieşirea din rotor are loc un transfer continuu de energie, care se face atât prin creşterea energiei cinetice, cât şi prin creşterea energiei potenţiale (a presiunii). În continuare se urmăreşte determinarea componentelor dinamice şi statice ale energiei specifice: C22 – C12 Ht ∞ d = ρ ———— (14) 2
Avându-se în vedere relaţiile (13) şi (14), rezultă că energia are componenta statică dată de relaţia: u22 – u12 W22 – W12 Ht ∞ st = ρ ——— + ρ ———— (15) 2
2
Mărimea care defineşte raportul dintre energia specifică statică şi energia specifică totală este notată uzual cu ρr şi poartă denumirea de grad de reacţiune a rotorului: 5
Ht ∞ st ρr = —— (16) Ht ∞ Gradul de reacţiune arată modul în care se repartizează la ieşire energia totală primită de fluid. Teoria maşinilor hidraulice postulează că sarcina teoretică a pompei este influenţată de forma paleţilor. Pentru a determina modul în care se manifestă această influenţă, se vor considera trei forme de paleţi: întorşi în spate (β2<90°), radiali (β2=90°) şi întorşi în faţă (β2>90°), pentru care se vor construi triunghiurile de viteze. Pentru cele trei cazuri considerate se pune problema determinării valorii până la care se poate ajunge cu creşterea vitezei Cu2 astfel încât pompa să nu caviteze. S-a văzut că în cazul în care α1 = 0 şi Cu1 = 0 sarcina rotorului cu o infinitate de paleţi se scrie sub forma: Ht ∞ = ρ u2 Cu2 (17)
Fig.1.6 Rotor cu paleţii întorşi în spate
Fig.1.7 Rotor cu paleţi care ies radial
Fig.1.8 Rotor cu paleţi întorşi în faţă
Din triunghiul de viteze al rotorului cu paleţi întorşi în spate (fig.1.6), se observă că: u2 – Cu2 cot β2 = ———— (18) Cr2 Din ecuaţia (18) se obţine Cu2 : Cu2 = u2 – Cr2 cot β2 (19) care se introduce mai departe în relaţia (17): Ht ∞ = ρu2 (u2 – Cr2 cot β2) (20) Introducând în relaţia (20) valoarea lui Cr2 dată de (6), se obţine: u2 Q ρ cot β2 2 Ht ∞ = ρu2 – ————— (21) πD2b2 În cazul paleţilor întorşi în spate, β2 <90° şi deci cot β2 >0. Aceasta înseamnă că fracţia din membrul drept al ecuaţiei (21) este pozitivă şi se scade din ρu22 . Prin urmare, rezultă o sarcină Ht ∞ mai mică decât ρu22 . Atunci când paleţii ies radial (fig.1.7), β2 =90°, deci cot β2 =0, iar Ht ∞ = ρu22 . Aşa cum s-a arătat mai sus, componenta dinamică a sarcinii C22 – C12 6
pompei este Ht ∞ d = ρ ———— . 2
Dacă se presupune mai departe că α=90°, atunci rexultă că: Q C1 = Cr1 = ——— (22) πD1b1 S-a precizat mai sus că proiectarea pompei centrifuge se face astfel încât vitezele radiale la intrarea şi la ieşirea din rotor să fie egale: Cr1 = Cr2 (23) În aceste condiţii se va putea scrie că: C22 – C12 Cu22 Ht ∞ d = ρ ———— = ρ —— , (24) 2
2
situaţie în care, sarcina dinamică se împarte în două părţi: o parte care se transformă în energie cinetică, iar cealaltă parte în energie potenţială. În cazul paleţilor întorşi în faţă (fig.1.8), când β2>90° este de aşteptat ca presiunea în rotor să scadă. În acest caz, presupunând din nou α1=90° şi ţinând cont de (22), relaţia (14) de definire a sarcinii dinamice va deveni: C22 – C12 Ht ∞ d = ———— ρ (25) 2
Din triunghiul de viteze se poate observa că: C22 – Cr22 = Cu22 Din relaţiile (25) şi (26) rezultă: Cu22 Ht ∞ d = —— ρ
(26) (27)
2
Presupunem că Cu2 = 2 u2 şi atunci: Ht ∞ d = 2 u22 ρ Sarcina totală va avea expresia: Ht ∞ = ρ (u2Cu2) = 2 ρu22 (28) Din relaţiile (27) şi (28) se vede că sarcina totală este egală cu sarcina dinamică. Deci, când proiecţia la ieşire pe viteza periferică este de două ori mai mare decât viteza periferică însăşi, rotorul nu mai creează sarcini statice. Dacă Cu2 > 2 u2 , atunci presiunile vor scade către ieşire, lucru care conduce la apariţia cavitaţiei şi deci, la funcţionarea rotorului cu desprinderi.
7
1.3.3 INFLUENŢA NUMĂRULUI FINIT DE PALEŢI DE GROSIME FINITĂ În cazul pompelor reale apar diferenţe faţă de pompa teoretică idealizată considerată până acum. Aceste diferenţe fac ca relaţiile de calcul stabilite anterior să contribuie la descrierea fenomenologică a ceea ce se întâmplă în maşină numai într-o măsură oarecare. Pentru ca modelul matematic de calcul să poată reflecta corect şi în întregime fizica fenomenelor din pompă, va trebui ca el să fie în continuare corectat. Prin urmare, în cele ce vor urma se va stabili influenţa formei reale a rotorului iniţial presupus a avea un număr z = ∞ de paleţi de grosime δ = 0. Prezenţa paleţilor cu grosime finită modifică triunghiurile vitezelor întrucât componentele radiale ale vitezelor sunt afectate de ecranarea introdusă de Fig.1.9 Structura paletului de grosimea nenulă a paleţilor (fig.1.9). grosime finită În aceste condiţii vom avea la intrare: Q Cr1 = —————— πD1b1 – zδ1b1 iar la ieşire: Q Cr2 = —————— πD2b2 – zδ2b2
(29)
(30)
Datorită grosimii finite a paleţilor, secţiunile de trecere se micşorează (numitorii ecuaţiilor anterioare scad) şi deci vitezele radiale cresc. Un al doilea efect semnificativ apare datorită mişcării cu circulaţie a apei între paleţi (fig.1.10). Când s-a considerat z = ∞, s-a făcut această ipoteză pentru a forţa particula de lichid să urmărească forma paletului. Practic, paleţii sunt distanţaţi şi deci z ≠ ∞. Din aceste considerente, lichidul dintre paleţi va căpăta o mişcare rotaţională.
Fig.1.10 Circulaţia fluidului dintre paleţi
8
Pentru a ilustra acest fapt, se consideră un corp C care pluteşte într-o masă infinit mică de apă reprezentată în fig.1.11 printr-un cerc. Curgerea se presupune a fi fără vârtejuri. Prin antrenarea ansamblului în mişcare de rotaţie cu viteza unghiulară ω, corpul îşi va păstra poziţia absolută însă va executa o mişcare relativă opusă sensului de rotaţie a ansamblului. În poziţia I corpul C este plasat radial corespunzător Fig.1.11 punctului 1, în poziţia II tangenţial rotit cu 90° în punctul 2, apoi în poziţia III din nou radial dar rotit la 180° faţă de poziţia iniţială şi în final, în poziţia IV din nou tangenţial rotit la 180° faţă de poziţia II. Dacă s-ar presupune că spaţiul dintre doi paleţi ar fi închis, atunci apa, în absenţa frecărilor, ar executa faţă de rotorul pompei o mişcare relativă de rotaţie în jurul unui punct interior aflat, la rândul lui, în mişcare de rotaţie. În realitate, canalul este deschis la capete şi vârtejul relativ se suprapune curgerii de trecere. Această curgere nu va fi caracterizată de viteze egale de-a lungul unui cerc paralel, deşi toate vitezele sunt îndreptate către exterior. Pe faţa paletului viteza este mică, în timp ce pe spatele acestuia este mai mare. Acest fapt determină o modificare a triunghiurilor de viteze de la intrare şi ieşire în sensul sugerat de fig.1.12. Aşa cum se poate remarca din reprezentarea grafică, cinematica particulei de fluid din spaţiul rotor suferă o contaminare determinată de apariţia componentelor relative notate cu asterisc. Aceste componente parazi→
→
te modifică vitezele relative de la valorile teoretice W1 respectiv W2 , corespun→
→
zătoare rotorului ideal, la valorile W1r respectiv W2r , corespunzătoare rotorului ideal.
Fig.1.12 Modificarea vitezelor în condiţii reale de funcţionare
Modificarea triunghiurilor de viteze conduce la modificarea unghiului de intrare şi deci la apariţia şocurilor. Acestea introduc pierderi suplimentare, greu de apreciat analitic. Efectul lor este introdus prin intermediul unui coeficient subunitar ε: Ht = Ht ∞ ε 9
unde:
1
ε = —— 1+p în care p este coeficientul lui Pfleiderer definit ca: r22 p = Ψ —— z So unde: Ψ = (0,55…0,68) + 0,6 sin β2 iar So reprezintă momentul static al paletului în raport cu centrul de rotire al liniei de curent dintre intrare şi ieşire. 1.3.4 DEFINIREA CARACTERISTICII FUNCŢIONALE A UNEI POMPE CENTRIFUGE Pompele se proiectează în general la o pereche de valori H şi Q care reprezintă parametrii nominali de funcţionare. Caracteristica funcţională dă legătura dintre sarcina H şi debitul Q pe tot domeniul de lucru al maşinii centrifuge, în timp ce punctul nominal de funcţionare este doar cuprins în această caracteristică. Se cosideră o pompă teoretică având rotorul cu o infinitate de paleţi de grosime nulă care lucrează cu un fluid ideal. Se face presupunerea că pompa nu dispune de aparat de dirijare la intrare. S-a demonstrat anterior că sarcina totală a maşinii ideale are expresia: u2 Q ρ cot β2 2 Ht ∞ = ρ u2 – ————— π D2 b2 Reprezentând grafic în coordonate H, Q această funcţie, se obţine o dreaptă a cărei pantă depinde de valoarea unghiului β2 după cum urmează: - Dacă β2 = 90° => cot β2 = 0 şi Ht ∞ = 2 ρu2 . În acest caz graficul este o dreaptă paralelă cu axa debitului; - Dacă β2 > 90° => cot β2 < 0 iar dreapta evoluează crescător; Fig.1.13 Caracteristica reală a pompei - Dacă β2 < 90° => cot β2 > 0 iar centrifuge dreapta este căzătoare. Dreptele s-au trasat în condiţiile ipotezelor: - mişcarea fluidului în rotorul pompei are loc fără frecări; - intrarea în rotorul pompei se face fără o deviaţie bruscă a vânei de fluid. 10
În condiţiile funcţionării reale, la pompele cu număr finit de paleţi, sarcina Ht se obţine din Ht ∞ prin scăderea valorii date de z finit (vezi fig.1.13). Dacă în continuare se scade valoarea pierderilor din rotorul pompei datorate frecărilor hidrodinamice descrise de parabola h=sQ2 , se obţine caracteristica H. Considerând şi pierderile prin şoc (ΔH)s generate de deviaţia bruscă a vânei de fluid se obţine caracteristica reală a pompei pentru care parametrii nominali de lucru se dispun în zona de debite 0 – Qn . În final, pentru obţinerea caracteristicii reale, vor trebui considerate şi pierderile prin şoc generate de deviaţia bruscă a vânei de fluid. Dimensiunea acestora se defineşte pe baza considerentelor de mai jos. Când debitul pompei la intrare este inferior valorii nominale (Q
→
→
u10 , C10 , W10 . Unghiul de aşezare a paleţilor la intrare este notat cu β10 . Pentru a se obţine o intrare fără şoc ar trebui ca unghiul de aşezare a paletului să fie β1 , ceea ce înseamnă că viteza reală ar trebui modificată cu componenta ΔW * pentru a fi adusă pe direcţia paleţilor. Aplicând proprietăţile asemănării în triunghiurile dreptunghice de viteze se poate scrie că: ΔW * C10 – C1 C1 —— = ———— = 1 – —— u10 C10 C10 C1 Q Pe de altă parte —— = —— , ceea ce conduce imediat la: C10 Qn Q * ΔW = u10 1 – —— . Qn Punând pierderile prin şoc sub forma: ρ H s = ζ — (ΔW * )2 , 2 şi ţinând cont de faptul că u10 = u1 , se găseşte în final că: ρ Q 2 2 H s = ζ — u1 1 – —— 2 Qn 11
Expresia găsită mai sus reprezintă ecuaţia unei hiperbole. Dacă din caracteristica H se vor scade pierderile datorate şocului de la intrare, se obţine caracteristica reală a pompei centrifuge prezentată în fig.1.13. Aceasta este trasată pentru o turaţie constantă a rotorului şi după cum se vede din figură, este bidimensională. DEDUCEREA ANALITICĂ A EXPRESIEI SARCINII Una din modalităţile de deducere a dependenţei H = ƒ(Q) este cea analitică. S-a arătat mai sus că: H =H t – H ƒ – H s şi că: Ht = Ht∞ ε ρ Q 2 H s = ζ — u1 1 – —— 2 Qn
2
H ƒ = s Q2 Dacă se fac înlocuirile, se obţine: ρ Q 2 H = H t ∞ ε – s Q – ζ — u1 1 – —— 2 Qn 2
= ρ u2
2
= 2
Q ρ Q 2 u2 – ——————— ε – s Q2 – ζ — u1 1 – —— π D2 b2 – z δ2 b2 2 Qn
Făcând notaţiile: π D1 n π D2 n u1 = ——— = a1n , u1 = ——— = a1n şi A2 = π D2 b2 – z δ2 b2 , 60 60 se obţine expresia analitică a sarcinii: Q ρ Q 2 2 2 H = ρ a2 n a2 – — ε – s Q – ζ — a1 n 1 – — A2 Qn
2
.
Determinarea lui s şi ζ pe cale teoretică este foarte dificilă şi din această cauză, caracteristicile maşinilor cu principiu dinamic de funcţionare se ridică la standul de probe. În urma încercărilor s-a găsit că 12
funcţia ƒ(Q,H,n) = 0 care aproximează cel mai bine caracteristica reală este un paraboloid hiperbolic de ecuaţie: H = k1 n2 + k2 n Q + k3Q2 (31) unde coeficienţii k1 , k2 , k3 reprezintă valori constante pentru pompa dată. Ecuaţia (31) defineşte paraboloidul hiperbolic având drept axă principală sarcina H şi vârful în origine (fig.1.15). Coordonatele punctelor situate pe suprafaţa acestui corp reprezintă valorile caracteristice ale funcţionării pompei. Curbele I, II, III sunt linii de turaţie constantă rezultate din intersecţia pânzei cu plane paralele cu planul Q-H (plane de n=const.). Curbele a-a, b-b, orizontale, paralele cu planul Q-n sunt linii de înălţime de refulare constantă. Aceste curbe sunt hiperbole ale căror asimptote se intersectează pe axa H. Ele descriu comportarea pompei la o anumită înălţime de pompare. În acest caz, modificarea debitului pompei se obţine prin reglarea turaţiei. Parabola H este rezultată din intersecţia paraboloidului cu un plan paralel cu planul Hn. Toate parabolele astfel obţinute furnizează indicaţii privind modul cum trebuie variată viteza pentru a menţine debitul constant la Fig.1.15 Caracteristica generalizată diferite înălţimi de pompare. Pentru scopuri practice, caracteristica generalizată se transpune în caracteristici parţiale definite la turaţie constantă (fig.1.16). Aceeaşi caracteristică poate fi trasată pentru o gamă de turaţii, reprezentarea grafică apărând sub forma unei familii de curbe de n=const. aşa cum se arată în figura 1.17. Fig.1.16 Caracteristică parţială
13
Uneori caracteristica pompei poate fi descrisă printr-un domeniu de funcţionare mărginit de două curbe ce corespund turaţiilor de antrenare, minimă şi maximă. Pentru definirea caracteristicii se admite o valoare ηmin a randamentului sub care exploatarea maşinii este neeconomică. Se proiectează intersecţiile dreptei η=ηmin cu curbele randamentelor Fig.1.17 Caracteristică trasată pentru mai multe turaţii corespunzătoare turaţiilor extreme pe cele două caracteristici (fig.1.18), obţinându-se prin unirea punctelor rezultate, segmentele care închid domeniul mărginit de cele două curbe. Caracteristicile universale sunt prescrise sub această formă atunci când turaţia pompei poate fi reglată. Dacă motorul de antrenare nu are turaţia reglabilă, atunci caracteristica devine una parţială. Pentru a putea acoperi un domeniu mai larg al parametrilor constructivo-funcţionali ai pompelor, unii fabricanţi introduc ca variabilă de definire a caracteristicii şi diametrul D al rotorului. Caracteristicile de acest tip se pot reprezenta ca şi în Fig.1.18 Caracteristică dată printr-un domeniu cazul celor universale. Aşa cum s-a arătat, definirea pe cale teoretică a caracteristicilor plane sau a caracteristicii generalizate este greu de realizat, deoarece calculul pierderilor hidraulice prin frecare şi prin şoc se face destul de laborios şi cu aproximaţii mari. Din acest motiv, caracteristicile funcţionale ale pompei se determină pe baza încercărilor experimentale la standul de probe. În acest sens se utilizează standuri de tipul celui prezentat în fig.1.19, în care s-au făcut notaţiile: 1 – rezervor de apă; 2 – valvulă; 3 – vacuummetru montat pe aspiraţia pompei; 4 – manometru montat pe refulare; 5 – pompă centrifugă; Fig.1.19 Stand de probe 6 – diafragmă pentru măsurarea debitului; 7 – manometru diferenţial cu tub “U”. Prin modificarea poziţiei valvulei de pe refulare se stabilesc perechi de valori Q, H pentru care rezultă caracteristica reală a pompei. Măsurând momentul M la fiecare punct funcţional, se calculează randamentul: QH η = —— Mω Cunoscând momentul M şi ştiind ω se poate calcula puterea consumată în fiecare punct: P = Mω . Analizând alura curbelor ridicate la standul de probe şi reprezentate în fig.1.20 se observă că 14
Fig.1.20 Caracteristică funcţională obţinută la standul de probe
graficul curbei randamentului trece prin origine, atinge un maxim, apoi la H=0 devine din nou nul. La pompele centrifuge, curba randamentului are un maxim suficient de aplatizat, aceasta făcând ca domeniul de utilizare să fie mai lat decât la pompele axiale, aşa cum se va arăta ulterior. Caracteristica de sarcină a unei pompe centrifuge are o porţiune ascendentă până într-un punct maxim, zonă pe care regimurile de funcţionare sunt instabile, urmată apoi de o zonă descendentă pe care regimurile de funcţionare devin stabile. Regimul nominal al maşinii trebuie să fie dispus în zona în care randamentul este maxim. Alura caracteristicii este funcţie de forma şi numărul paleţilor rotorului. Printre altele, ea este definită de dimensiunea pierderilor hidraulice care apar în rotor în timpul funcţionării pompei. Modificarea frecărilor interioare poate determina caracteristici mai plane sau mai abrupte. Pentru asigurarea unei funcţionări stabile, se recomandă ca respectiva caracteristică de sarcină să fie puternic descendentă, adică să aibă o pantă mare de coborâre. Impunând acest lucru, la variaţii mari ale sarcinii debitul va prezenta variaţii nesemnificative chiar în condiţiile în care sarcina a fost apreciată cu erori mari. O asemenea alură asigură şi plasarea punctului de funcţionare pe ramura descendentă, deci un regim de funcţionare stabil. Curbele prezentate în fig.1.20 poartă numele de caracteristici plane (de sarcină, de putere, de randament) şi sunt trasate pentru o anumită turaţie. De obicei, fiecare pompă are date în catalog caracteristicile la turaţia nominală. Din acest motiv, pentru a o putea folosi la alţi parametri decât cei corespunzători turaţiei nominale, trebuie modificată turaţia pe baza relaţiilor de similitudine. 1.3.5 ELEMENTE DE PROIECTARE A MAŞINILOR CENTRIFUGE CU ROTOARE LENTE Metodologia de calcul pentru rotor pleacă de la o predimensionare făcută pe baza datelor experimentale, după cum se procedează la profilarea paleţilor în funcţie de parametrii hidraulici şi geometrici ai pompei. Se consideră rotorul din fig.1.21 pentru care intrarea este caracterizată de diametrul Do. La intrare, paleţii pot avea simplă curbură, fiind extinşi în faţă
Fig.1.21 Schema de calcul a rotorului de pompă centrifugă 15
sau se pot termina pe o suprafaţă cilindrică, reprezentată în figură cu linie punctată. În general se utilizează prima soluţie mai ales atunci când rotorul trebuie să satisfacă condiţii mai severe la cavitaţie. În acest caz, paleţii se curbează puţin în zona de intrare. Razele de curbură R1 şi R2 ale celor două discuri (anterior şi posterior) se adoptă din condiţia de evitare a strangulării curentului (R2
16
6)
Se calculează diametrul convenţional la intrare:
Qr D1i = Kint —— n 3 unde: Q r [m /s]; n [rot/min] iar coeficientul Kint este cuprins între 4 şi 4,5 pentru rotarele pompelor monoetajate şi între 3,4 şi 4 pentru rotoarele pompelor multietajate. 7) Se calculează Do din condiţia ca: 2 πD1i πDo2 π db2 —— = —— = —— 4 4 4 de unde rezultă: Do = √ D1i2 + db2 πDo2 π db2 7.1) Do se mai poate calcula din ecuaţia debitului Q = Co —— - —— : 4 4 3
4Q Do = —— + db2 πCo 3 unde Co – viteza de intrare în rotor. Uzual, Co = (0,06…0,08) √ Q r n3 8) Se calculează diametrul de intrare în rotor D1: 8.1) La pompele cu paleţi cilindrici: D1 ≈ 1,1Do 8.2) La pompele cu dublă curbură: D1 ≈ (0,8…1,0)Do 9) Se calculează diametrul de ieşire D2 Diametrul D2 se determină pe baza coeficientului de sarcină Ku2 recomandat de literatură: D2/D1 K u2
3,0 0,93…0,97
2,5 0,97…1,02
2,0 1,0…1,25
1,7 1,1…1,15
Cu K u2 se calculează viteza periferică la ieşirea din rotor: 2H u2 = K u2 —— ρ cu care apoi se determină D2 pe baza relaţiilor: 9.1) La pompele cu n s ≤ 100: 60u2 D2 = —— πn 9.2) La pompele cu >100:
17
60u2 ns D2 = —— —— πn 100 10) Se calculează lăţimea paleţilor la intrare: Do db2 b1 = (1,0…2,5) —— 1 - —— 4 Do2 11) Se calculează lăţimea paleţilor la ieşire: 11.1) La pompele cu ns ≤ 100 lăţimea rezultată din condiţia ca debitul prin secţiunea de intrare să fie egal cu debitul prin secţiunea de ieşire (ecuaţia de continuitate): Do2 – db2 π ———— Co = π D2 b2 Cm2 4D2 impunând condiţia ca vitezele absolute în plan meridian să fie egale, adică Co = Cm2 , rezultă: Do2 – db2 b2 = ———— 4D2 11.2) La pompele cu ns >100: ns b2 = 0,6 —— 100
Q —— n
La pompele radiale pure, discul anterior de adoptă puţin înclinat faţă de planul perpendicular pe axa de rotaţie. În mod uzual, γ = 3…5°. CINEMATICA CURENTULUI 12) Se calculează componenta în plan meridian a vitezei absolute Cm1. La intrarea în rotor se recomandă Cmo ≈ Co (unde Co a fost deja adoptat). Viteza absolută în plan meridian în paletatură (Cm1) este influenţată de grosimea paleţilor. Scriind ecuaţia de continuitate: Qm1 = Qmo rezultă că: Cm1 ( π D1 b1 – z b1 δ1 ) = Cmo π D1 b1 de unde, prin împărţire la z va rezulta mai departe: Cm1
π D1 π D1 —— - δ1 = Cmo —— z z
18
π D1 sau, ţinând cont că —— = t1 (pasul paleţilor rotorului), z Cm1 (t1 – δ1) = Cmo t1 t1 Făcând notaţia K1 = ——— (K t – coeficient de ecranare), rezultă că: t 1 – δ1 Cm1 = K1 Cmo În mod uzual, K1 = 1,15…1,20. 13) Se calculează unghiul β1. Se presupune că pompa nu dispune de aparat de dirijare, deci triunghiul de viteze de la intrare are forma din fig. 1.22. În această situaţie se poate scrie că: Cm1 tan β1C = —— u1 unde β1C = β1 – φ . Uzual, φ = (5…6)° ales din considerente de îmbunătăţire a curgerii în rotor. În cazul general când există aparat director la intrare, Cm1 tan β1C = —————— u1 – C1 cos α Uzual, β1 rezultă cuprins între 15° şi 30°.
Fig.1.22 Triunghi de viteze la intrare
Fig.1.23 Variaţia raportului W1/W2 cu ns
14) Se calculează unghiul de aşezare a paletului la ieşire. Considerând triunghiurile de viteze de la intrare, respectiv de la ieşire, se poate scrie că: Cm1 Cmo W1 = —— = K1 —— sin β1 sin β1
Cmo sin β1 = K1 —— W1 sau
Cm2 Cm2∞ W2 = —— = K2 —— sin β2 sin β2
Cm2∞ sin β2 = K2 —— W2
de unde rezultă simplu: 19
K2 Cm2∞ W1 sin β2 = —— —— —— sin β1 K1 Cmo W2 În ecuaţia de mai sus: Cm2∞ W2 t2 —— = 0,8…1,1 ; —— = 0,6…0,8 ; K2 = ——— = 1,05…1,10 . Cmo W1 t 2 – δ2 W2 Uneori, pentru determinarea valorii raportului —— se utilizează grafice de tipul W2 celui prezentat în fig.1.23, care sunt trasate în funcţie de turaţia specifică ns. 15) Se calculează numărul de paleţi ai rotorului: D2 + D1 β2 + β1 z = K ———— sin ———— D2 – D1 2 unde K este un coeficient care la pompele obişnuite are valorile: K = 6,5 pentru rotoare cu paleţi turnaţi; K = 7,8 pentru rotoare cu paleţi sudaţi. 16) Se recalculează diametrul la ieşirea din rotor Se pleacă de la expresia sarcinii teoretice a rotorului cu o infinitate de paleţi: Ht∞ = ρ ( u2Cu2 – u1Cu1 ) = ρ ( u2 – Cm2 cot β2 ) – ρ . u1Cm1 cos α1 Dar, H = Ht∞ ε ηh , prin urmare: H —— = u22 – (Cm2 cot β2) u2 – u1Cm1 cos α1 ε η ρh de unde, H 2 u2 = Cm2 cot β2 + (Cm2 cot β2 ) + 4 u1Cm1 cos α1 + ——— ε ηh ρ Cu u2 astfel determinat, se recalculează D2 : 60u2 D2 = —— πn 17) Se recalculează b2 Qr b2 = ——— πD2Cm2 18) Se recalculează coeficienţii K1 şi K2 : πD1 πD2 —— —— z z K1 = —————— ; K2 = —————— 20
πD1 s1 πD2 s2 —— - —— —— - —— z sin β1 z sin β2 20) Cu K1 şi K2 astfel determinaţi, se recalculează ceilalţi parametri geometrici şi cinematici ai rotorului. Dacă din calcule rezultă un raport D2/D1 mai mare sau egal cu 2,5 se adoptă varianta constructivă de pompă cu mai multe trepte (de exemplu, în cazul în care se adoptă două trepte, în calcule sarcina H trebuie împărţită la 2). Pe de altă parte, dacă pentru raportul D2/D1 rezultă o valoare sensibil mai mică decât 2,5 atunci se adoptă varianta cu mai multe intrări (de exemplu, la două intrări, debitul de calcul Q se împarte la 2). PROFILAREA ROTORULUI Se face astfel încât curgerea în jurul paleţilor să se realizeze fără pierderi. Trasarea profilului se face prin puncte. Procedura presupune împărţirea discului rotorului într-un număr de părţi egale, adoptând paşii de creştere a razei r la valoarea Δr, aşa cum se arată în fig.1.24.
Fig.1.24 Profilarea paleţilor rotorului
Geometria paletului este descrisă de funcţia θ = θ( r ) , a cărei expresie ne propunem să o determinăm în continuare. Din figură se vede că: dr tan β = —— rdθ de unde rezultă imediat că: dr dθ = ——— r tan β Integrând, se găseşte: R2
R2
dr
180 21
dr
θp =
——— [rad] = —— r tan β π
——— [grd] r tan β
R1 R1
Integrala obţinută se poate rezolva în situaţia în care se cunoaşte dependenţa unghiului β de rază curentă r. În acest sens se pot prescrie diverse legi de variaţie, cele mai des întâlnite fiind cele liniară sau parabolică, aşa cum se arată în fig.1.25.
Fig.1.25 Variaţia unghiului β cu raza r
Considerând incrementul radial R2 – R1 Δr = ———— n unde n reprezintă numărul de intervale egale, se aplică proprietăţile asemănării triunghiurilor dreptunghice din fig.1.25, în baza cărora se obţine: R1 – r x = (β2 – β1) ——— R1 – R2 sau ţinând cont de faptul că: x = β – β1 se găseşte relaţia de dependenţă dintre unghiul β şi raza curentă r : (β – β1) β = β1 + ——— ( r – R1) R2 – R1 Pe de altă parte, profilarea paleţilor rotorului se mai poate face şi prin impunerea legii de variaţie a vitezelor relative W. Se pot prescrie, din nou, legi de variaţie liniară sau parabolică, aşa cum se arată în fig.1.26. În acest caz: Cm s Fig.1.26 Variaţia vitezei relative W cu raza r sin β = —— + — W t şi ţinând cont de identitatea trigonometrică sin β tan β = ————— 1 – sin2 β se poate găsi dependenţa lui W de raza curentă r. PROFILAREA STATORULUI 22
Statorul are rolul de a colecta debitul la ieşirea din rotor şi de a-l conduce către refulare. El transformă energia cinetică dată de viteza absolută la ieşire în energie potenţială cu pierderi minime. Statorul pompelor centrifuge are formă spiralată, aşa cum se arată în fig.1.27(a), în secţiune putând fi trapezoidal (b) sau toroidal (c). Conturul periferic spiralat este descris de
unghiul φAB. La profilare se urmăreşte stabilirea dependenţei dintre unghiul φ şi raza corespunzătoare r. Se consideră două secţiuni radiale prin carcasa spirală Fig.1.27 Carcasă spirală
de secţiune trapezoidală, respectiv toroidală. La raza r se consideră un element de arie infinit mică dA a cărei valoare trebuie calculată. Din figură se observă că: b(r) – b3 1 tan γ = ———— ——— 2 r – R3 sau b(r) = 2 tan γ (r – R3) + b3, cu care se poate determina aria elementară: dA = [ b3 + 2 tan γ (r – R3)]dr . Precizarea dimensiunilor carcasei se face pe baza datelor statistice. În acest sens, se fac următoarele recomandări: D3 = (1,1…1,15)D2 la pompele cu n≤100 şi ns≤1000 şi D3 = (1,15…1,2)D2 la pompele cu ns>100; b3 = b2 + (0,02…0,05)D2, iar 2γ = (20…26)°. Geometria carcasei se stabileşte plecându-se de la expresia sarcinii teoretice a pompei cu un număr infinit de paleţi, scrisă pentru cazul în care nu există aparat director la intrare (α1 = 90°): Ht ∞ = ρ u2Cu2 Se scrie ecuaţia cuplului pentru punctele 2, situat în imediata vecinătate a rotorului şi în exteriorul acestuia şi 3, situat în carcasa spirală, vezi fig.1.27(a): M = ρQ (R3Cu3 – R2Cu2) În afara rotorului M=0, deci R3Cu3 = R2Cu2 = rCu. Cum însă,
23
Ht ∞ Cu2 = —— ρu2
şi
rCu Cu2 = —— R2
se găseşte că: rCu Ht ∞ Ht ∞ —— = —— sau Cu = —— R2 ρu2 ρrω Debitul de fluid ce curge prin secţiunea MN a statorului poate fi scris ca fiind: Q(φ) = ∫ CudA Se defineşte debitul specific ce corespunde unei unităţi unghiulare a rotorului: Q(φ) q = —— 2π cu ajutorul căreia se rescrie expresia debitului sub forma : ∫ CudA = qφ Utilizând relaţiile anterior stabilite, se obţine următoarea relaţie pe baza căreia se proiectează carcasa spirală: R
Ht ∞ —— [b3 + 2 tan γ (r –R3)]dr ρrω
qφ = R1
sau, după unele prelucrări matematice simple: 2π Ht ∞ R φ = —— —— 1n — (b3 – 2R3 tan γ) + 2(R – R3) tan γ Q r ρω R3
1.3.6 ELEMENTE DE PROIECTARE A MAŞINILOR CENTRIFUGE CU ROTOARE RAPIDE Algoritmul de proiectare prezentat anterior nu mai rămâne valabil în cazul pompelor cu turaţie specifică mare. La aceste maşini va trebui să se ţină cont de faptul că lăţimea paletului la intrare este foarte mare, deci unghiul lui de aşezare β1 este diferit pe lăţime şi, în plus, diferă şi de la o rază la alta. Acest lucru determină o curbură spaţială a paletului, făcând proiectarea sa mai complicată decât la maşinile cu rotoare lente. Considerând triunghiul vitezelor de la intrare, presupunând inexistenţa aparatului de dirijare, se poate scrie că tan β1 = Cm1 / u1. La lăţimi mari ale paleţilor, u1(r), şi deci şi tan β1, variază cu raza. În acest caz, la valori ale raportului diametrelor D2/D1 mai mici
24
de 1,6 se impune utilizarea algoritmului de proiectare descris în cele ce urmează.
Fig.1.28 Schema de calcul a rotorului pompei centrifuge rapide
Predimensionarea rotorului pompelor de debit mare se face într-un mod asemănător celui de la rotoarele lente întrucât singura mărime care intervine în calcule este turaţia. Profilarea paleţilor se realizează printr-o metodă care asimilează rotorul cu paleţi laţi cu dublă curbură, rotorului pompei radiale lente. Se consideră că vitezele sunt constante de-a lungul liniilor echipotenţiale. Se presupune rotorul predimensionat şi se reprezintă grafic spaţiul cuprins între faţa frontală (discul anterior) şi rădăcina paletului (discul posterior) ca în fig.1.28, în care cu b1 s-a notat lăţimea paletului la intrare, cu b2 lăţimea paletului la ieşire, iar cu Co viteza constantă pe rază. Se consideră că mişcarea fluidului între cei doi paleţi este una potenţială. Se vor trasa într-o primă aproximaţie liniile de curent la care sunt tangente vitezele. Trasarea se face în următoarea succesiune de etape: a) Se aleg punctele a,b,…,g în secţiunea de intrare. Poziţiile lor sunt determinate prin impunerea condiţiei ca debitele ce trec prin secţiunile inelare determinate de punctele considerate să fie identice: π(Da2 – Db2) π(Db2 – Dc2) π(Df 2 – Dg2) ————— Co = ————— Co = … = ————— Co 4 4 4 sau: (1) 2 2 2 2 2 2 Da – Db = Db – Dc = … = Df – Dg Rezolvând sistemul (1) se găsesc diametrele corespunzătoare punctelor căutate. b)Se împarte lăţimea de ieşire într-un număr de părţi egal cu cel de la intrare: __ __ __ __ b2 25
ab = bc = cd = … = fg = — 6 c) Se trasează cu aproximaţie liniile de curent. La intersecţia rotorului cu planul meridian se vor considera punctele 1, 2, 3, 4. Se notează cu n1 numărul punctelor din secţiunea de intrare şi cu n2 numărul punctelor de pe curba 2. Se notează cu indicele “i” un segment delimitat de două linii de curent şi cu “j” un segment cuprins între două puncte amplasate pe linia meridiană 1. Din punctele “j” se trasează liniile echipotenţiale, perpendiculare pe liniile de curent. Se consideră linia echipotenţială “j” pe care se ia un element de arie dσji . Se presupune că de-a lungul liniilor echipotenţiale, vitezele meridiane sunt constante. În felul acesta, se poate calcula debitul prin rotor pe linia echipotenţială “j” . Acest debit se poate scrie sub forma: n1
n1
Q r, j = 2π ∫ vm ji r ji d σ ji = 2 π vm ji ∫ rji d σ ji 0
0
Cum însă viteza vm ji este constantă pe “i”, rezultă egalităţile: vm j1 = vm j 2 = … = vm ji = vm jn1 În această etapă, datorită faptului că debitul prin fiecare secţiune dσ ji trebuie să fie acelaşi, produsele r ji d σ ji vor trebui să fie egale pe toate suprafeţele σ ji, adică: r j1 d σ j1 = r j2 d σ j2 = … = r ji d σ ji = … = r jn1 d σ jn1 Setul de ecuaţii stabilit anterior permite efectuarea unei corecţii a formei liniilor de curent, arbitrar alese iniţial. Se face notaţia: n
I = ∫ r ji d σ ji 0
Se prezintă grafic integrala I, care trebuie să aibă valori egale pe intervalele dσ adoptate, aşa cum se arată în fig.1.29. Pentru aceasta, se corectează poziţiile liniilor de curent astfel: - se consideră valoarea lui I care corespunde poziţiei * şi se împarte în acelaşi număr de părţi egale în care a fost împărţit paletul; - utilizând graficul din fig.1.29 se determină valorile dσ*1 … dσ*6 ; Fig.1.29 Corectarea liniilor de curent în prima - cu valorile dσ*i determinate iteraţie pentru fiecare linie echipotenţială “j” se trasează configuraţia corectată a liniilor de curent. După această operaţiune, se trece la pasul următor, care are drept scop apropierea liniilor de curent corectate, de cele reale. Se pleacă de la expresia debitului dQ ji care parcurge elementul de suprafaţă dσ ji : 26
dQ ji = 2 π vm ji r ji d σ ji
(2)
Viteza medie pe suprafaţa echipotenţială vm ji este aceeaşi pentru toate suprafeţele dσi de pe linia echipotenţială “j”. Viteza meridiană se poate scrie ca fiind: dφ vm = —— ds unde d φ reprezintă variaţia funcţiei echipotenţiale. d φ se presupune constantă pe o linie echipotenţială ( d φ ≈ K ), iar d s este arcul de curbă cuprins între două linii echipotenţiale. În aceste condiţii, ecuaţia (2) devine: Kj dQ ji = 2π —— r ji d σ ji Δs ji iar debitul Q j : r jidσ ji n n Q j = ∑ dQ ji = 2πK j ∑ ——— = Q r (3) i=1 i=1 ds ji În relaţia (3) se cunosc valorile debitului Q r şi ale mărimilor r ji şi dσ ji deci se pot calcula suma şi implicit, coeficienţii K j . Qr K j = ——————— r ji dσ ji n 2π∑ ——— i=1 Δs ji În orice secţiune prin spaţiile rămase între liniile de curent, debitele trebuie să fie egale, adică: dQ j1 = dQ j2 = dQ j3 = … = dQ j6 r ji dσ ji Pentru fiecare “i” la un “j” dat, rapotul ——— este constant. Δs ji Se defineşte variabila I2 ca fiind: n
∑ r ji dσ ji 1
I2 = ———— ds ji Se reprezintă grafic I2 (fig.1.30) printr-o procedură asemănătoare celei utilizate la reprezentarea lui I1. Iteraţia întâia se încheie atunci când este satisfăcută condiţia: δ(dσ ji) ——— ≤ 0,03 dσ ji
27
Dacă este îndeplinită inegalitatea de mai sus, calculul se încheie; dacă nu se trece la iteraţia următoare. Pentru aceasta se definesc noile debite n1
n1
** j i
Q r , j = 2π∫ vm ji r ji dσ
= 2π vm ji ∫ r ji dσ*j*i
0
0
şi se repetă calculele după modelul descris anterior. Odată finalizată procedura de iterare, se poate considera că rotorul are geometria stabilită. Mai departe, proiectarea se poate face pe baza unui algoritm asemănător celui descris în cap.1.3.5, presupunând rotorul rapid ca fiind format din n1 rotoare lente având elementele cinematice de la intrare şi ieşire cunoscute. Diametrele de calcul se stabilesc la mijlocul diametrului fiecărui rotor, profilarea paletului făcându-se pe linia medie a fiecărui rotor. În calculul de profilare vitezele meridiane se calculează cu relaţia: Kj vm j = —— = constant pe linia “j” ds ji 1.3.7 PRINCIPII DE CALCUL AL FORŢELOR AXIALE La pompele monoetajate apar forţe axiale datorate diferenţei de presiune de pe faţa şi spatele rotorului. Pentru anihilarea lor, deci pentru descărcarea rotorului şi a axului pompei, se procedează la o echilibrare hidrodinamică. Această echilibrare nu este necesară la pompele multietajate sau la cele cu rotoare mari, deoarece Fig.1.31 Distribuţia presiunilor pe feţele rotorului forţele axiale au valori nesemnificative. Se consideră o secţiune axială printr-o pompă monoetajată pentru care se trasează graficul de variaţie a presiunii de pe cele două feţe ale rotorului (fig.1.31). Presiunea p1 de la intrare este egală cu presiunea de aspiraţie, iar la ieşire presiunea p2 are valoarea presiunii de refulare. La ieşire, fluidul pătrunde în spaţiul dintre discul rotorului şi carcasă (atât pe faţa anteri→
oară, cât şi pe cea posterioară), determinând apariţia unei forţe axiale Fa. În →
afara forţei Fa date de diferenţa de presiune dintre razele r a corespunzătoare →
28
intrării în rotor şi r ax , apare şi o forţă axială de reacţie F r dată de întoarcerea lichidului. Deoarece aceasta este mult mai mică decât cea provenită din dezechilibrarea hidrostatică (cca.2…3%), se va neglija în calculele ulterioare. Evaluarea forţei axiale Fa are la bază stabilirea legii de variaţie a Fig.1.32 Forţele care acţionează particula de fluid presiunii cu raza rotorului. Pentru calcul, se presupune că un volum infinit mic de fluid de formă paralelipipedică de grosime dr situată în spaţiul dintre carcasă şi rotor se va deplasa cu o viteză unghiulară ω1 = ω/2, unde ω reprezintă viteza unghiulară a rotorului. Aflat fiind în mişcare de rotaţie, datorită forţelor centrifuge, volumul considerat va fi supus acţiunii sistemului de forţe din fig.1.32. Scriind echilibrul forţelor care acţionează volumul, se ajunge la: ( p + dp )dA = pdA + dFc dFc = ω12 rdm dm = ρdV = ρdAdr Înlocuind în relaţia de mai sus, se obţine: dp = ρω12rdr Integrând, unde:
p2
R2
∫ dp = ∫ρω12rdr p
r
se obţine: ρ . ω1 2 p2 – p = ——— (R22 – r2) 2 relaţie pe baza căreia se poate exprima variaţia presiunii cu raza: ρω12R22 p(r) = ——— 2
r 1– — R2
2
În final, forţa axială rezultă simplu, prin integrarea presiunii între r ax şi r a. ra
Fa = ∫ [ p(r) – pa ] 2 π r dr rax
1.3.8 DETERMINAREA PARAMETRILOR FUNCŢIONALI 29
AI POMPEI CENTRIFUGE CUPLATE ÎNTR-O INSTALAŢIE DE TUBULATURĂ Regimul de funcţionare stabilă a unei maşini hidraulice pe o instalaţie se obţine atunci când se realizează egalitatea debitelor şi a energiilor cedate de maşina hidraulică şi respectiv primite de instalaţie. Problema determinării parametrilor funcţionali ai pompei centrifuge într-o reţea se poate rezolva fie pe cale grafică, fie pe cale analitică. METODA GRAFICĂ Se consideră o instalaţie care are precizată configuraţia geometrică, deci pentru care se poate determina prin calcul expresia sarcinii: Hi = p2 – p1 + ρg (z2 – z1) + sQ2 (1) Dar aşa cum s-a arătat: p2 – p1 + ρg (z2 – z1) = Hc (2) 2 unde Hc defineşte condiţiile de cuplare (fig.1.33). Termenul sQ din ecuaţia (1) include componenta dinamică a sarcinii. În condiţiile notaţiei (2), ecuaţia (1) se poate scrie sub forma: Hi = HC + sQ2 (3) Expresia grafică a ecuaţiei (3) reprezintă caracteristica instalaţiei trasată în figura 1.33.
Fig.1.33 Caracteristica instalaţiei
Fig.1.34 Caracteristica pompei
În continuare, se pune problema determinării parametrilor funcţionali ai pompei pentru instalaţia dată. În acest scop se pleacă de la observaţia că în condiţiile unui regim staţionar de funcţionare, puterea cedată fluidului de pompă trebuie să fie egală cu puterea primită de instalaţie, şi că, în condiţiile în care Qp = Qi , va rezulta Hp = Hi . S-a arătat mai înainte că alura caracteristicii unei pompe centrifuge este de tipul celei prezentate în fig.1.34. Rezolvarea
30
Fig.1.35 Verificarea funcţionării pompei în instalaţie
Fig.1.36 Pompă centrifugă cuplată într-o instalaţie
problemei pe cale grafică se face suprapunând caracteristicile din fig.1.33 şi 1.34, punctul de intersecţie al curbelor fiind acela în care Qp = Qi (în care este îndeplinită condiţia funcţionării stabile). Poziţia punctului N (fig.1.35) defineşte punctul funcţional din punct de vedere energetic, nefiind însă suficient pentru a caracteriza complet funcţionarea ansamblului. Pentru definirea parametrilor pompei cuplate într-o instalaţie de tipul celei prezentate în fig.1.36, trebuie făcute aprecieri şi asupra condiţiilor în care pompa aspiră. În acest sens se mai reprezintă grafic şi curbele HV = ƒ(Q) pentru pompă şi Ha = ƒ(Q) pentru instalaţie (fig.1.35). Descrierea comportării pe aspiraţie se face considerându-se mersul de calcul pentru întreaga instalaţie. Concret, se defineşte sarcina pe aspiraţie prin rescrierea ecuaţiei (3) stabilite mai sus, sub forma: Ha = HC 1 – P + s1 – P Q2 (4) unde HC 1 – P reprezintă caracteristica de cuplare pentru aspiraţia pompei şi care are expresia: HC 1 – P = p2 – p1 + ρg (z2 – z1) (5) adm Intersecţia curbelor HV (Q) cu Ha (Q) defineşte punctul M (fig.1.35). Dacă poziţia punctului M este la dreapta punctului N înseamnă că: (HV adm)N > (Ha)N (6) Inegalitatea (6) semnifică faptul că sarcina vacuumetrică creată de pompă la aspiraţie este mai mare decât sarcina cerută de instalaţie şi deci se poate realiza umplerea pompei cu fluid. Invers, dacă M punctul de intersecţie dintre Hvadm şi Ha este situat la stânga punctului N, atunci: (Ha)N > (HV adm)N (7) deci pe aspiraţie se cere o sarcină mai mare decât cea pe care o poate realiza pompa. În acest caz, apa nu va mai ajunge în pompă, deci maşina nu poate aspira, bilanţul energetic nefiind satisfăcut. METODA ANALITICĂ Pentru a rezolva problema pe cale analitică trebuie să se cunoască caracteristicile analitice ale pompei şi instalaţiei. Cunoscând configuraţia instalaţiei, determinarea lui Hi se face folosind relaţia cunoscută deja: Hi = HC + sQ2 (8) Prin urmare, se pune problema găsirii unei expresii mate-matice pentru curba Hp=Hp(Q). În acest sens se pot utiliza mai multe metode: a) Se defineşte o funcţie polinominală de un grad oarecare care poate aproxima caracteristica reală. Aplicând apoi metoda regresiilor liniare multiple, se determină coeficienţii funcţiei de aproximare H = ƒ(Q). b) Se defineşte analitic caracteristica pompei considerând forma rezultată prin intersectarea caracteristicii generale cu plane n=const. HP = C1 + C2Q + C3Q2 (9) 31
Coeficienţii C1, C2, C3 din ecuaţia (9) se determină prin impunerea condiţiei ca graficul HP = H(Q) să treacă prin punctele A, B şi C (fig.1.37). HA = C1 + C2QA + C3QA 2 HB = C1 + C2QB + C3QB 2 HC = C1 + C2QC + C3QC 2
şi
(10)
Din grupul de relaţii (10) se scot coeficienţii C1, C2, C3 care introduşi în relaţia (9) vor defini analitic expresia sarcinii pompei HP. Procedând asemănător pentru caracteristica vacuumetrică, se obţine următoarea expresie analitică:
Fig.1.37 Caracteristicile pompei
HV adm = C1V + C2VQ + C3VQ2 (11) unde coeficienţii C1, C2, C3 se determină prin rezolvarea unui sistem simplu de ecuaţii algebrice asemănător celui din grupul de relaţii (10). În urma rezolvării, expresiile sarcinii instalaţiei Hi şi a sarcinii pompei HP vor fi deci cunoscute. Aşa cum s-a arătat la prezentarea metodei grafice, intersecţia caracteristicilor determină valorile parametrilor fizici ai punctului funcţional. Analitic, procedura este aceeaşi şi constă în egalarea expresiei sarcinii instalaţiei Hi , dată de relaţia (3), cu expresia sarcinii vacuumetrice HP, dată de ecuaţia (9): HC + sQ2 = C1 + C2Q + C3Q2 (12) sau altfel: Q2 (C3 – s) + C2Q + (C1 – HC) = 0 (13) Se rezolvă ecuaţia (13) de gradul al doilea în Q. Soluţia sa reprezintă debitul corespunzător punctului funcţional. Verificarea, tot analitică, a funcţionării maşinii pe aspiraţie se face în următoarea succesiune de paşi: - se introduce Q în expresia lui HV adm: (HV adm)N = C1V + C2VQN + C3VQN 2 - se introduce Q în expresia lui Ha: (Ha )N = HC 1 – P + s 1 – P QN 2 - se compară valoarea lui (HV adm) cu (Ha ). Dacă (HV adm) > (Ha ) pompa poate funcţiona pe aspiraţie în condiţii corespunzătoare.
32
1.3.9 STABILITATEA FUNCŢIONĂRII POMPELOR ÎN INSTALAŢII Echilibrul energetic la funcţionarea unei pompe centrifuge într-o instalaţie poate fi stabil sau instabil. Un punct de funcţionare este stabil, dacă la apariţia unor perturbaţii oricât de mici în sistemul pompă-instalaţie, punctul oscilează în jurul poziţiei iniţiale din care a fost scos de perturbaţie şi revine la aceasta după încetarea perturbaţiei. Punctul de funcţionare se numeşte instabil dacă la acţiunea unei perturbaţii în sistem nu se mai revine la poziţia iniţială dinaintea acţiunii perturbaţiei. La încetarea perturbaţiei, punctul se depărtează de această poziţie. Se presupune o pompă care refulează într-un tanc în care suprafaţa liberă a apei se găseşte la un nivel notat cu 1 în fig.1.38 care determină sarcina de poziţie HC1. Parametrii funcţionării în instalaţie vor fi în acest caz QN şi HN. Punctul N de pe caracteristica pompei care defineşte regimul de lucru este un punct de funcţionare stabilă. Presupunem că, dintr-o Fig.1.38 Analiza stabilităţii funcţionării în instalaţie cauză oarecare, debitul Qi creşte. În acest caz nivelul apei din rezervor scade, curba Hi (caracteristica instalaţiei) se va deplasa în jos, punctul de intersecţie cu caracteristica de sarcină a pompei va fi acum N’. Funcţionarea în punctul N’ are loc la o sarcină inferioară sarcinii punctului N, punctul de funcţionare N’ fiind caracterizat de un debit Q’ > Q 1. Acest fapt determină reumplerea treptată a rezervorului, deci creşterea nivelului apei. Se poate trage concluzia că punctele de pe ramura descendentă a curbei HP(Q) sunt puncte de funcţionare stabilă. În continuare se va considera, de exemplu, punctul de funcţionare A rezultat al funcţionării instalaţiei la debitul QA şi la sarcina HA , punct corespunzător nivelului 2 din rezervor. Dacă se modifică echilibrul dintre debitul pompei şi debitul cerut de instalaţie, presupunând că debitul pompat creşte până la valoarea QA’ corespunzătoare punctului A’ , diferenţa QA’ – QA trebuie acumulată în rezervor. În acest caz înălţimea de pompare creşte, producând deci o nouă creştere a debitului. Punctul de funcţionare se deplasează către dreapta spre punctul C. Invers, dacă debitul pompat scade, rezervorul compensează diferenţa de debit, sarcina scade, ducând la o nouă scădere a debitului. În acest fel punctul de funcţionare se depărtează de poziţia 33
de echilibru. Punctele de pe ramura ascendentă a curbei HP(Q) (dacă există o asemenea ramură) sunt puncte de funcţionare instabilă. Funcţionarea instabilă pe ramura BC este însoţită de zgomote puternice. Acest regim de funcţionare se numeşte regim de pompaj. Regimul de pompaj este caracteristic tuturor maşinilor cu principiu dinamic de funcţionare.
34
