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Polinomios.
Polinomios. 1. Hallar Hallar la relación relación entre a y b para que p (x) = 2x4 7x3 + ax + b sea divisible por (x 3) Sol. Utilice p (3) = 0
2. Demostra Demostrarr que p (x) = 32x10
5
33x
+ 1 es 1 es divisible por ( por ( x
1)
Sol. Utilice p (1) = 0
3. Qué número número debe agregarse agregarse a x3 + 2x2 para que sea divisible por ( por ( x + 4) Sol. debe agregarse el número 32 número 32
4. Efectuar Efectuar la división división de 4 de 4 x5
4
3
2 por or ( ( x + 1) 3x 5x + 2 p Sol. 4x 7x + 2x 2x + 2 y 2 y resto 0 resto 0 : 4
3
2
5. Utilice Utilice la división división sintética sintética para dividir p (x) por g (x). Identi…q Identi…que ue el cociente q ( (x) y 5 2 el residuo r (x).si p (x) = x + 56x 4; g (x) = x + 4 Sol. : q ( (x) = x 4
4x
3
+ 16x2
8x + 32; 32; r = 132
6. Utili Utilice ce la divisi división ón larga larga para para hallar hallar un valo alorr de k tal que sea divisible por q ( (x) si 4 3 2 2 p (x) = x + x + 3x + kx 4 y q ( (x) = x 1
Sol. k =
1
7. Hallar k de modo que el polinomio p (x) = 2 x3
2
3x 1 Sol. k = 4
+ 4kx
2 tenga una raíz x = 2
8. En los siguientes problemas, utilice el algoritmode la división para dividir p (x) entre q (x) : Escriba las respuestas en la forma p (x) = q (x) s (x) + r (x) (a) p (x) = x 2 + 4x (b) p (x) = 5x3
9. Resolver la ecuación sabiendo que 5 es una raíz de la ecuación: x3 + 2x2
23x 60 = 0 Sol. x = 5; x = 3; x = 4 1
2
3
10. Para que valores de k es x2 + 3x + k divisible por x Sol. k1 = 0; k2 =
k
4
11. Halle las cotas superior e inferior para las raíces reales del polinomio dado (a) p (x) = 7x3 (b) p (x) = x 3
2
4x 2x + 1 x + 3x 7 2
Sol: (a) : [ 1; 1]
(b) : [1; 2]
12. Utilice división sintética para hallar un valor de k tal que p (x) sea divisible por q (x) con: p (x) = kx4 + 2x2 + 9k ; q (x) = x 1 1 Sol . k = 5
13. En los siguientes problemas, utilice la regla de los signos de Descartes para determinar los posibles números de las raíces positivas y negativas del polinomio dado (a) p (x) = 8x2 + 2x (b) p (x) = 7x3
3
2
6x
+ x
5
(c) p (x) = x 3 + 4x2 + 6x + 1 Sol. (a) (b) (c)
: : Una positiva, una negativa : 3 raíces positivas o una positiva; ninguna negativa : Ninguna positiva, Tres o una negativa
14. Resuelva la ecuación x4
3
16x
+ 86x2
176x + 105 = 0 si dos de sus raíces son 1 y 7
Sol. Las raíces son 1, 3, 5 y 7
15. En los siguientes problemas, halle todas las raíces reales del polinomio dado (a) p (x) = x 3
2
3x
+4
(b) p (x) = 4x3 + 5x2 (c) p (x) = 16x4
8x 10
2
8x
+1
Sol. (a) : (b) : (c) :
1; 2 (multiplicidad 2) 5 ; p 2;p 2
4 1 1 ; (cada una multiplicidad 2) 2 2
16. Halle todas las soluciones racionales de la ecuación dada (a) 2x3 + 3x2 + 5x + 2 = 0 (b) 2x4 + 7x3
2
8x 25x 6 = 0
(c) x4 + 2x3 + 3x2 + 3x + 1 = 0
Sol: (a) :
(b) : (c) :
12 32 ; 2 1
17. Dado p (x) = 3x5 ax3 + 2bx2 x + c: Hallar a;b;c R de modo que al dividir p (x) entre ( x 1) tenga resto 4 y ( 1) sea raíz de multiplicidad dos.
2
Sol: : a = 0; b =
18. Dado p (x) = x 4
3
7 ; c = 2
5
2
x 2x 4x 24: Determine:
(a) Número de posibles raíces reales positivas, negativas. (b) Posibles raíces racionales. (c) La menor cota superior entera y la mayor cota inferior entera. (d) Factorice completamente p (x) sobre
19. Al dividir un polinomio p (x) entre (x 2) el resto es tres y al dividirlo entre ( x 3) el resto es dos. Determine el resto al dividir el polinomio p (x) entre ( x2 5x + 6) :
Sol: :
x + 5
20. Determine el polinomio de menor grado que al dividirlo por x dividirlo por x + 2 da resto 3. Sol. : 2x + 1
2 da resto 5 y al
21. Encuentre el polinomio de menor grado que pasa por cada uno de los siguientes puntos x p (x) 2:3 2:1 0:5 1:3 3:1 4:2
22. Dados los cuatro puntos (1; 2), (3 ; 4), (5; 3), (9; 8), escriba el polinomio de menor grado que pasa por cada uno de los siguientes puntos
23. Dado que ln(2) = 0:69315, ln(3) = 1:0986 y ln(6) = 1:7918, encuentre un polinomio del menor grado posible para aproximar el logaritmo natural en ese intervalo.
24. Encuentre el polinomio de menor grado que pasa por cada uno de los siguientes puntos x 0:5 0:2 0:7 0:1 0:0
p (x) 1:1518 0:7028 1:4845 0:14943 0:13534
25. En tiempo de lluvias en una presa se toman 6 medidad del nivel del agua durante un mes, obteniéndose los siguientes datos: t 0 5 13 16 y 8:20 11:4 19:9 22:4
El tiempo se mide en días y el nivel del agua en metros. Por medio de una polinomio del menor grado posible aproxime el valor del nivel del agua al décimo día del mes.
26. El nivel de agua en el Mar del Norte está determinado principalmente por la marea llamada M 2, cuyo período es de aproximadamente 12 horas. Se han realizado las siguientes mediciones: t(horas) 0 2 4 6 H (t)(m) 1:0 1:6 1:4 0:6 Usando el polinomio de menor grado posible que respete las mediciones anteriores, encuentre el nivel del agua a las 3 horas de comenzar la medición.
