ÁLVARO ANDRINI MARIA JOSÉ VASCONCELLOS
9 MATEMÁTICA
PRATICANDO Coleção PRATICANDO
MATEMÁTICA
Matemática EDIÇÃO RENOV RENOVADA ADA
MANUAL DO PROFESSOR
ÁLVARO ANDRINI MARIA JOSÉ VASCONCELLOS
9 MATEMÁTICA
PRATICANDO Coleção PRATICANDO MATEMÁTICA
Matemática EDIÇÃO RENOV RENOVADA ADA
ÁLVARO ANDRINI Licenciado em Matemática. Pós-graduado Pós-gradu ado em Álgebra Linear e Equações Diferenciais. Foi professor efetivo de Matemática da rede estadual durante trinta anos. Autor de diversos livros didáticos.
MARIA JOSÉ VASCONCELLOS Licenciada em Matemática. Coordenadora e professora de Matemática em escola da rede particular. Coautora de coleção de Matemática para o Ensino Médio.
MANUAL DO PROFESSOR
3a edição, São Paulo, 2012
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP SP,, Brasil) Andrini, Álvaro Praticando matemática, 9 / Álvaro Andrini, Maria José Vasconcellos. – 3. ed. renovada. – São Paulo: Editora do Brasil, 2012. – (Coleção praticando matemática) Suplementado pelo manual do professor. Bibliografia ISBN 978-85-10-05160-6 (aluno) ISBN 978-85-10-05161-3 (professor) 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Vasconcellos, Maria José. II. Título. III. Série. 12-02964
CDD-372.7
Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática: Ensino fundamental 372.7
© Editora do Brasil S.A., 2012 Todos os direitos reservados
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Maria Lúcia Kerr Cavalcante Queiroz Cibele Mendes Curto Santos Felipe Ramos Poletti Adelaide Carolina Cerutti Marilisa Bertolone Mendes Marta Dias Portero Dora Helena Feres Tempo Composto Col. de Dados Ltda. Valéria Elvira Prete e Cibeli Chibante Bueno Andréia Manfrim Alves e Marjorie Mayumi Haneda Hirata Rodrigo Pessota e Thalita Picerni Otacilio Palareti Equipe EBSA Ricardo Liberal e Nelson Camargo Elena Ribeiro de Souza Maria Aparecida Alves Regiane Santana Ricardo Borges Hailton Santos Orla/Shutterstock com pesquisa iconográfica de Léo Burgos Departamento de Arte e Editoração (DAE), Hélio Senatore, José Luis Juhas e Lápis Mágico Sonia Vaz Abdonildo José de Lima Santos Equipe EBSA Renata Garbellini e Jennifer Xavier Leila P. Jungstedt, Carlos Nunes e Flávia Iossi
3a edição / 1a impressão, 2013 Impresso no parque gráfico da Editora FTD
Rua Conselheiro Nébias, 887 – São Paulo/SP – CEP 01203-001 Fone: (11) 3226-0211 – Fax: (11) 3222-5583 www.editoradobrasil.com.br
PREZADO PRE ZADO ALUNO AL UNO PREZADO PREZ ADO AL ALUNO UNO
Você já deve ter perguntado a si mesmo, ou a seu professor: p rofessor:
“Para que eu devo estudar Matemática?” Há três respostas possíveis: 1. A Matemática permite que você conheça conh eça melhor a realidade. 2. A Matemática pode ajudar você a organizar raciocínios. 3. A Matemática pode ajudar você a fazer descobertas.
Este livro e as orientações de seu professor constituem um ponto de partida. O caminho para o conhecimento é você quem faz. Os autores
“Não há ramo da Matemática, por abstrato abst rato que seja, que não possa um dia d ia vir a ser aplicado aplic ado aos fenômenos do mundo real.” Lobachevsky
Agradecemos ao professor Eduardo Wagner pelos comentários e sugestões que contribuíram para a melhoria deste trabalho.
4
PRATICANDO MATEMÁTICA
SUMÁRIO SUMÁRIO
o t t e r o v a F o d n a n r e F
Unidade 1
Potenciação e radiciação Revendo a potenciação potenciação .........................7 2. Propried Propriedades ades das potências .................11 3. Revendo a radiciação ..........................15 4. Expoentes racionais .............................18 5. Proprieda Propriedades des dos radicais .....................19 6. Simplificação de de radicais ......................25 7. Adição e subtração de radicais .............28 8. Cálculos com radicais .........................31 9. Racionalização ....................................33 1.
Unidade 2
Equações do 2 o grau 1. 2. 3.
4.
5.
6. 7.
8.
9. 10.. 10
Equações............................................ Equações ............................................ 41 Resolvendo equações do 2 o grau ........ ........ 43 Forma geral de uma equação do 2 o grau .......................................... 48 Trinômios quadrados perfeitos e equações do 2 o grau ........................ 49 Fórmula geral de resolução da equação do 2 o grau ............................ 54 Resolvendo problema problemass ........................ 58 Soma e produto das raízes de uma equação do 2 o grau..................... 62 Equações fracionári fracionárias as que recaem em o equação do 2 grau ............................ 68 Equações biquadrada biquadradass ........................ 71 Equações irracionais............................ 72
SUMÁRIO SUMÁRIO Unidade 3
Sistema cartesiano 1. 2. 3.
Localização ......................................... ..81 Sistema cartesiano cartesiano .............................. ..84 Coordenadas Coordena das geográficas .................... ..87
Unidade 4 Funções
Conceito de de função função ............................ ..95 2. As funções e suas aplicações aplicações ............... 102 3. Da tabela para a lei de formação da função................................................ 108 4. Interpretando gráficos ........................110 5. Construindo gráficos gráficos de funções ......... .........115 115 1.
Unidade 7 Relações métricas nos triângulos retângulos O teorema teorema de Pitágoras.......................181 2. Teorema de Pitágoras, quadrados e triângulos ........................................188 3. Relações métricas nos triângulos retângulos .........................192 1.
Unidade 8 Trigonometria no triângulo retângulo 1. As 2.
razões trigonométricas ..................203 As razões trigonométricas trigonométricas e os os ângulos de 30º, 45º e 60º ...................212
Unidade 9 Unidade 5
Noções de probabilidade 1. 2. 3.
Qual é a chance? chance? ................................ 133 As probabilidades probabilidades e a estatística .......... 141 População e amostra........................... 144
Círculo e cilindro 1. 2.
Área do círculo círculo ................................... 221 Área da superfíci superfíciee e volume de um cilindro ....................................229
Unidade 10 Porcentagem e juro 1. Revendo
Unidade 6
Teorema de Tales e semelhança de triângulos 1. Razões,
2. 3. 4. 5. 6.
proporções e segmentos proporcionais propor cionais ...................................... 155 Teorema de Tales................................. 157 Teorema de Tales Tales nos triângulos ...... .......... .... 162 Semelhança ........................................ 164 Semelhança de triângulos triângulos ................... 169 Aplicando a semelhança de triângulos . 173
2.
porcentagens, descontos e acréscimos ....................... 241 Juro .................................................... 247
Sugestões de leitura e de sites para o aluno ..............................259 ...... 26 261 1 Referências bibliográficas . .... .... .... 26 262 2 Malhas para as atividades .. ..... ...... ... 264 Respostas dos exercícios ..
UNIDADE UNIDADE
1
Potenciação e radiciação 1. Revendo a potenciação o t t e r o v a F o d n a n r e F
Numa estrada, encontrei sete mulheres. Cada mulher tinha sete sacos, cada saco tinha sete gatos, cada gato tinha sete gatinhos. Quantos gatinhos encontrei na estrada?
Essa brincadeira, adaptada de um verso do folclore inglês, pode ser solucionada calculando-se: 7 7 7 7 2 401 gatinhos; ou, usando a potenciação, O papiro de Rhind 4 7 2 401 gatinhos. Entrelaçando e colando as hastes das folhas de uma planta chamada papiro, os egípcios fabricavam artesanalmente um material para nele escrever: um Nessa potenciação, 7 é a base ancestral do nosso papel. Alguns documentos ese 4 é o expoente. critos nesse material sobreviveram ao tempo e são chamados de papiros . Em 1858, um pesquisador escocês chamado Henri Rhind comprou, no Egito, um papiro que, estima-se, foi escrito por volta de 1650 a.C. Ele contém informações sobre o sistema de numeração egípcio, conhecimentos de geometria e proporcionalidade, problemas e até brincadeiras com números. Uma dessas brincadeiras cita: • 7 casas, 49 gatos, 343 ratos e 2401 espigas de milho. Supõe-se que essa brincadeira tenha inspirado o versinho em inglês de que falamos.
s e r d n o L , o c i n â t i r B u e s u M
Trecho do papiro de Rhind, que mede 30 cm de largura e 5 m de comprimento.
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
7
Definições Você já trabalhou nos anos anteriores com a potenciação e suas propriedades. Vamos recordar? Considerando que a base é um número real a e o expoente é um número natural n, temos: an a a a a … a para n 1 n fatores iguais a a
Os matemáticos tiveram várias razões para introduzir essas definições. Por exemplo, a manutenção de padrões: a1 a; e, para a 0: a0 1 a
n
1 an
33
32
31
30
81
27
9
3
1
3 1 3 2 3 3 3 4 1 1 1 1 3 9 27 81
n
1
34
:3
a
:3
:3
:3
:3
:3
:3
:3
Os expoentes diminuem sempre uma unidade. O quociente entre os valores sucessivos das potências é constante e igual a 3.
Veja exemplos de cálculos de potências: • 1,5 2 1,5 1,5 2,25
• 80 1
• (2)5 (2) (2) (2) (2) (2) 32
• (2,6)0 1
3 • 7
2
7 • 9
–2
•
3 7
9 7
1 5
3 7
2
9 49
• 4
81 49
Veja:
( 5)3 125
1 7 9
–3
2
3
1 49 81
1 43
1
81 49
1 64
81 49
Atenção!
Quando a base é um número negativo, é necessário escrevê-la entre parênteses.
Sem parênteses, o sinal de negativo será aplicado ao resultado da potenciação.
o c i g á M s i p á L : s e õ ç a r t s u l I
8
Exercícios Num depósito há 10 caixas, cada caixa contém 10 pacotes e cada pacote contém 10 000 parafusos. Quantos parafusos há no total? 1parafusos 1
103 1 000
n o o t r a C a r t s u l I
Calcule. a) (7)2 49 5
b) 72 49
Os resultados são iguais ou diferentes? Por quê? Diferentes. No item a, o (–7) está elevado ao expoente 2, enquanto no item b, o 7 está elevado ao expoente 2 e o resultado tem sinal negativo.
6
Calcule.
a) (3)4 81
d) (5)3 125
b)
34 81
e) (1,4)2 1,96
c)
53 125
f)
1,42 1,96
Um gato come 4 ratos por dia. Quantos ratos 4 gatos comem em 4 dias? 64 ratos • 4 64 7
3
2
o c i g á M s i p á L
Qual é o expoente?
a) 2
b) 7
8 3
f) (2)
49 2
g) (2)
h) (3)
i) (3)
j) (10)
64 6 128 7
8
Qual é o valor de a? Responda no caderno.
a)
a
b)
a
27 3
c)
a
100000 5
d)
a
Qual é o número maior: 222 ou 222? 2
e)
a
Complete, no caderno, a tabela que trata da área e do perímetro de 5 quadrados diferentes.
f)
a
c) 10 d) 0
e) (�2) 3
10 000 4
0
Qualquer número natural 0.
32 5
9 2
22
4
49
Lado Área
3
2,25
1 4
7 1,5 12
x 2
9
1 1
5
0 0
Atenção!
8 2
Em alguns itens pode haver duas respostas.
6 3 2
25 5 ou (5)
16 2 ou (2)
4
9 (Cuidado!) Não há.
2
Traduza para a linguagem matemática:
a) o quadrado de 5; 5
2
x
b) o dobro do quadrado de 5; 2
9
52
c) o cubo de 5; 5
3
Perímetro 12
28
6
2
4 x
d) o triplo do cubo de 5. 3 · 5
3
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
9
Seguindo o mesmo padrão de construção do prédio abaixo, foi construído outro com 7 blocos, também numerados de cima para baixo como o da figura. Cada quadradinho tem uma janela. Nesse novo prédio, qual é o número de janelas do 7o bloco (o mais próximo do chão)? 49 janelas • 7 49
Um restaurante oferece três tipos de salada, três tipos de carne e três tipos de sobremesa. Quantas refeições diferentes podem ser oferecidas, se cada uma deve conter uma salada, um tipo de carne e uma sobremesa? 27 refeições • 3 27
10
2
13
3
� o �1 bloco �
n o o t r a C a r t s u l I : s e õ ç a r t s u l I
� � o �2 bloco � �
� � � 3o bloco � � � �
chão
Copie e complete os quadros em seu caderno. 14
Copie e complete, no caderno, cada uma das tabelas utilizando as potências de base 10. 11
kg 1 10 100 1 000
g
m 1 10 100 1 000
103 104 105 106
33 27
(3)3 27
32 9
(3)2 9
31 3
(3)1 3
30 1
(3)0 1
3
1
3
2
1 3
cm 103
4 5
2 b) 4 5
c)
10
104 105
a) As potências 3 1 e (3) 1 são iguais ou diferentes? Diferentes.
e)
5
1 2
f)
1 2
6
d)
16 25
2
9 8
2
9 100
81 64
1 32
1 64
Calcule. 1 49
a) 7
2
b)
5 7
2
c)
2 3
4
3
e)
2 5
3
f)
6 3
1
49 25
81 16
1 125
d) 5
125 8
3 6
1 3 1 9
b) As potências 3 2 e (3) 2 são iguais ou diferentes? Iguais.
16 5
3 10
2
1 9
Responda.
15
a)
(3)
102
Calcule. 2
1
12
(3)
1 2
2. Propriedades das potências Podemos resolver essa expressão usando calculadora para obter as potências. Depois, fazemos as operações indicadas.
o c i g á M s i p á L
É, mas sem a calculadora teríamos muito trabalho! Para evitar tantos cálculos, podemos aplicar as propriedades das potências. Vamos lembrá-las e depois voltaremos a essa expressão. Observe: 24 23 2 2 2 2 2 2 2 27 56 54 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 23 24 24 23 24
�
3
27
56 54 56
Quando multiplicamos potências de mesma base, podemos conservar a base e somar os expoentes.
4
52
52
Quando dividimos potências de mesma base, podemos conservar a base e subtrair os expoentes.
Acompanhe exemplos de aplicação dessas propriedades: • (3)
4
( 3)6 (3)
• x 2 x 3 x 9 x 2
�
4�6
3 � (9)
• 1,79 1,72 1,7 9
2
9 • 6 68
( 3)2
x
4
(com x 0)
69
8
• a 5 a9 a 5
61 6
9
a
4
(com a 0)
1,77
Dessas propriedades decorrem outras: (74)2 74 74 78, ou seja, (74)2 74
2
78
Finalmente, acompanhe os exemplos: • (5 3)2 (5 3) (5 3) 5 5 3 3 52 32
Para elevar uma potência a um expoente, podemos conservar a base e multiplicar os expoentes. Se a base é uma multiplicação, podemos elevar cada fator ao expoente indicado.
• ( x y 2)3 ( x y 2) ( x y 2) ( x y 2) x x x y 2 y 2 y 2 x 3 ( y 2)3 x 3 y 6 De forma semelhante, na divisão podemos elevar dividendo e divisor ao expoente indicado. Veja: (8 5)3 83 53
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
11
Podemos usar letras para generalizar as propriedades que acabamos de rever. As bases são números reais a e b diferentes de zero, e os expoentes, números inteiros m e n.
Usando essa forma de representação, uma pessoa que não fale o nosso idioma, mas que conheça Matemática, saberá que listamos as propriedades das potências!
am an am + n am an am – n
( a m) n a m · n ( a b) m a m bm ( a b ) m am b m
Agora, voltando à nossa expressão...
Ficou mais fácil!
o c i g á M s i p á L : s e õ ç a r t s u l I
Vamos ver mais um exemplo. 8 Tomemos a expressão 243 4 3 . 27 Seria bastante trabalhoso calcular as potências indicadas. No entanto, podemos simplificar a expressão.
Primeiro fatoramos 243 e 27: 243 81 27 9 3 1
3 3 3 3 3
27 3 9 3 3 3 1 27 33
243 35 Voltando à expressão inicial: 243 38 274
35 38 (33)4
8 Então, 243 3 274
12
3.
35 + 8 33 4
Aplicando as propriedades das potências, economizamos cálculos e tempo!
313 13 – 12 1 12 3 3 3 3
Exercícios O desenho abaixo representa o cruzamento de linhas horizontais com linhas verticais. Quantos pontos haveria se tivéssemos 18 linhas horizontais e 18 verticais? 324 pontos 16
20
Calcule mentalmente o valor de: 2
3
8
2 400 : 2397
Relacione, no caderno, as expressões que têm o mesmo valor. 21
17
a) 57 52 5
I 73 7
d) 710 : 74 7
B (7 )
II 5 5 5 5
4
a a
a
e) 32 : 3
C (52)2
III (52)3
D 52 54
IV
5 37
a6
c) 7 73 49
f) 106 : 103 : 10 10
2
76
22
Certo ou errado? Anote a resposta no caderno. 18
a) (83)2 = 85
E
7
–5
23
b) 6 : 6 = 6
E
c) (5 + 3)2 = 52 + 32
C
d)
10 4 = 10–1 5 10
23 b) (3 2 5 )2 (3 5)
1
Calcule mentalmente o problema.
31 54
37 : 35 32
Em uma caixa há 37 lápis. Quantos pacotes, com 3 5 lápis em cada um, vou conseguir embalar?
n o o t r a C a r t s u l I : s e õ ç a r t s u l I
9 pacotes
No chaveiro representado na figura, são guardadas as chaves de um estacionamento. Em cada gancho são colocadas 5 chaves. No total, quantas chaves podem ser guardadas? 19
125 chaves
494
Simplifique.
23 a) (73)2 (7 )
2
E
B – IV C – II D – III
2 4
6
9
b)
A 7 7 7 7A – I
Transforme numa única potência:
(Anote o resultado no caderno.)
• 53 125
24
Quanto é:
a) o dobro de 210?
2 210 211
b) o quádruplo de 210? c) o quadrado de 210? d) o cubo de 210?
4 210 212 (210)2 220
(210)3 230
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
13
Uma aplicação da potenciação – a notação científica Provavelmente você já aprendeu a notação científica no 8 o ano. As potências de base 10 são utilizadas para simplificar e padronizar o registro de números.
A distância entre o planeta Vênus e o Sol é de, aproximadamente, 108 000 000 quilômetros. A notação científica permite registrar esse número numa forma mais simples: 108 000 000 km 1,08 108 km A vírgula foi deslocada 8 casas para a esquerda: o expoente da potência de base 10 é 8. Outro exemplo: Certo vírus tem espessura aproximada de 0,000 5 milímetro. Na notação científica, 0,000 5 mm 5 10 4 mm. A vírgula foi deslocada 4 casas para a direita: o expoente da potência de base 10 é ( 4).
Os registros de números na notação científica apresentam um número entre 1 e 10 multiplicado por uma potência de base 10.
Exercícios Escreva os números utilizando notação científica. 25
a) 4 000
4 10³
b) 8 200 000 8,2
106
c) 0,00 7 56
7,56 10–3
d) 0,000 09
9 10–5
Escreva, em notação científica, cada um dos números que aparecem nas frases. 27
a) O estádio do Maracanã já acomodou um público de 210 000 pessoas. 2,1 · 10 5
b) O rio Nilo é um dos mais compridos do mundo, com 6 695000 metros de extensão.
Escreva, em notação científica, os números que aparecem nas frases. 26
6,695 · 106
a) O coração humano bate cerca de 36 000 000 de vezes em um ano. 3,6 · 10
c) Em média, uma célula do corpo humano tem massa de 0,000 000 008 grama. 8 · 10 –9
7
m o c . e
m i t s m a e r D / i m u g e M
b) Há cerca de 60 milhões de células na retina do olho humano. 6 · 10 7
c) A espessura de uma folha de papel é de 0,005 mm. 5 · 10 –3
d) A distância da Terra à Lua é de, aproximadamente, 384 400 000 metros. 3,844 · 10 8
14
◆
Estádio do Maracanã, Rio de Janeiro.
3. Revendo a radiciação • Conhecendo a medida do lado do quadrado, podemos determinar sua área.
4 cm
A 2 42 16 cm2 4 cm
• Conhecendo a área do quadrado, podemos determinar a medida de seu lado.
E A D : s e õ ç a r t s u l I
A 2 2 25
25 cm2
25 5 cm, pois 52 25
Extrair a raiz quadrada é a operação inversa de elevar ao quadrado.
Já aprendemos que há dois números que, elevados ao quadrado, resultam 25. 52 25 e (5)2 25 Considera-se que 25 é o número positivo que elevado ao quadrado resulta 25: 25 5 Indicaremos por 25 o oposto de 25. Observe:
25 5
O volume de um cubo de aresta 2 cm é: V a3 23 8 cm 3
2 cm
Se um cubo tem volume de 27 cm 3, podemos determinar a medida de sua aresta. Va
3
2 c m
m c 2
27 a3 3
a 27 3, porque 3 3 27
A potenciação e a radiciação são operações inversas.
Extrair a raiz cúbica é a operação inversa de elevar ao cubo.
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
15
Relembre o cálculo de raízes com estes exemplos: • 144
12, porque 12 2 144
4
• 4 é o índice da raiz;
• 0,36 0,6, porque 0,6 2 0,36 4
• 10 000
10 000 (lê-se: raiz quarta de dez mil)
• 10 000 é o radicando;
10, porque 10 4 10 000
•
é o símbolo da raiz.
Lembre-se: Raízes de índice par de números negativos não são números reais. Isso acontece porque todo número real elevado a um expoente par resulta em um número positivo. Por exemplo: •
16 não é um número real. 4 16 (4)2 16
•
6
2
1 não é um número real. 1 1 (1)6 1 6
No entanto... Raízes de índice ímpar de números negativos são números reais. Exemplos: •
3
8 2, porque ( 2)3 8
•
5
32 2, porque (2)5 32
Muitas raízes são números irracionais: têm infinitas casas decimais e não apresentam período. 3
2, 5, 8 e 24 , por exemplo, são números irracionais. Podemos trabalhar com esses números na forma de radical. Se necessário, podemos aproximar essas raízes por um número racional.
Na prática podemos usar, por exemplo, 2 1,41.
Digite 2 e a tecla na calculadora. Aparece, no visor, 1,414 213 562, que é uma aproximação para 2 com 9 casas decimais.
16
o c i g á M s i p á L
Exercícios Expresse cada número como uma raiz quadrada. 28
5
25
=
a) 10
100
b) 0
0
c) 13
169
d) 2,6
Responda.
a) Se 4
a
b) Se 5
a
2, qual é o valor de a? 32
c) Se 7
a
1, qual é o valor de a? 1
3, qual é o valor de a? 81
d) Se 625 5, qual é o valor de n? 4
o c i g á M s i p á L
e) 0,2 f) 37
34
n
e) Se 64
2, qual é o valor de n? 6
n
6,76
35
0,04
Responda: 20 e
9 49
20
400 é quadrado de quais números ?
Calcule mentalmente.
29
a)
Qual é o maior número: 2,81 ou 8?
d) 0,49 0,7
36
b) 121 11
e) 0,09 0,3
c) 1,21 1,1
f)
O senhor José tem um galinheiro quadrado, com uma área de 5 m2, que precisa ser cercado com tela. Que número inteiro de metros de tela ele precisa comprar? 9 metros
1
1
4 25
8
37
2 5
Um terreno quadrado tem 900 m 2 de área.
30
n o o t r a C a r t s u l I
a) Quantos metros mede o seu perímetro?
120 metros
b) Qual será a área, em m2, de um terreno com o triplo da medida do lado desse quadrado? 8 100 m2
Complete, em seu caderno, de modo a obter afirmações verdadeiras. 200 a) 3 1 1 e) 3 8 000 000 31
b)
3
28
f)
3
c)
3
20 8 000
g)
3
d) 3 0,008
0,2
64
4
40 64 000
h) 3 0,001
0,1
Calcule a diferença entre a raiz quadrada de 49 e a raiz cúbica de 125. 49 125 = 2
Calcule, caso exista, no conjunto dos números reais:
O volume de um cubo é 1 000 dm3. Qual é o comprimento da aresta? 10 dm
a) 64
32
33
3
E A D
38
b) c)
d) 4 81
8
64
8
e)
64 Não existe. f)
g) 3 27
3
4
81
4
81Não existe. i)
3
h)
3
3
27
3
3
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
27 3
17
4. Expoentes racionais Até agora trabalhamos com potências cujos expoentes eram números inteiros. E se o expoente for um número racional? 1
3
Por exemplo, qual é o significado de 7 2 ? E de 2,8 4 ? E 160,25? Os expoentes racionais relacionam a potenciação e a radiciação da seguinte maneira: Se a é um número positivo e m e n são números naturais diferentes de zero, então: a
m n
n
a
n
m
a
m
a
m n
Veja num exemplo por que tomamos base positiva: 3
4
(2) 4 (2)3 Como (2)3 é um número negativo, essa raiz não é um número real.
As potências de base positiva e expoente racional podem ser escritas na forma de radical, e os radicais podem ser escritos na forma de potência com expoente racional. Exemplos: •7
1 2
• 2,8 • 16
2
3 4
0,25
7 4
1
7
• 5 5 3
2,83
16
1 4
1 2
• 42 4 4
16
1
4
5
16
• 2
7
o c i g á M s i p á L
2 3
2
7 5
O fato de potências com expoentes racionais poderem ser escritas como raízes também tem suas razões. Dentro da ideia de manter padrões... 4
4
1
4
1 2
x ?
40 1
1 . Do mesmo modo como ocorre para os expoentes 2 naturais, os quocientes entre dois valores sucessivos de potên cias devem ser constantes: 1 1 x 4 2 ⇒ x 4 ⇒ x 4 Como x 4 2 , temos 4 2 4. 1 x Os valores dos expoentes diminuem sempre
As propriedades das potências continuam valendo para os expoentes racionais. 18
5. Propriedades dos radicais 1a propriedade
Sem fazer cálculos, Márcio escreveu em seu caderno: Acompanhe:
Elevo à quinta potência e extraio a raiz quinta: são operações inversas!
o c i g á M s i p á L
• 5
2
2
•
3
73
•
6
3
52
51 5
3
73
71 7
6
6 6
31 3
an
3
Veja como escrevemos a forma geral dessa propriedade: Se a é um número positivo e n é um número natural diferente de zero,
n
a.
Cuidado com a base negativa do radicando! Veja um exemplo do que ocorre se a base for negativa e o índice for par: (3)2
93
Nesse caso, (3)2
3.
Essa propriedade pode ser útil no cálculo de raízes. Veja: 4
Para calcular 625 , Rogério fatorou 625: 625 125 25 5 1
5 5 5 5
Para descobrir a medida do lado do quadrado de área 576 cm2, Patrícia fez: n o o t r a C a r t s u l I
62554
Depois fez: 4
4
625 54 5
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
19
2a propriedade
Vamos usar frações equivalentes! Ana, você saberia escrever a raiz quinta de dois elevado à terceira como um radical de índice dez?
n o o t r a
• Escrevemos a raiz quinta de dois elevado à terceira na forma de potência. • Achamos uma fração equivalente a 3 que tenha de5 nominador dez.
C a r t s u l I
2
3 5
• Escrevemos a potência na forma de radical, outra vez, está resolvida a questão!
6 10 e
2
Na prática, faremos: 5
23
8
36
5 2
23
2
10
26
Aproveitando as ideias da Ana... 6
3
38
4
3 4 33
Usamos frações equivalentes para escrever o radical numa forma mais simples. Podemos registrar o procedimento acima de uma forma mais curta, assim: 8
36
7
8:2
36 : 2
4
33
Veja outro exemplo: 10
7
5
7
5 10
7
1 2
ou
10
75
10 : 5
75 : 5
7
Quando multiplicamos ou dividimos o índice da raiz e o expoente do radicando pelo mesmo número natural diferente de zero, obtemos um radical equivalente ao primeiro. 20
o c i g á M s i p á L
Exercícios A figura representa um escritório com duas salas quadradas de 9 m 2 de área cada uma. O corredor tem 1 m de largura. Qual é a área total m do conjunto? 24 9 + 9 + 6 24 42
3
39
5 3
5
7 = 7
2
Calcule.
a) 64
1 2
b) 400
8 1 2
e) 1000,5 10 20
2
1m
f) 6250,25 5 1
g) 32 5
c) 8 3 4 d) 16 25 40
expoente do radicando índice da raiz
1 2 4 5
2 1 3
h) 8 27
Veja o que o professor escreveu no quadro-negro: 43
2 3
n o o t r a C a r t s u l I : s e õ ç a r t s u l I
Simplifique.
a) 72
7
41
b) 5 25
2
Calcule as raízes por fatoração do radicando.
6 o c i g á M s i p á L
3
5
=
5 3 6
53
5 6
1
5 2
5
Justifique essa afirmação do professor. No caderno, simplifique os radicais e, em cada item, responda: que número você usou para dividir o índice e o expoente? 44
a) 4 76 b) 9 56 a) 49 7
f ) 3 343 7
b) 121 11
g) 4 81 3 h) 729 3
d) 3 125 5
i)
7
e) 4 625 5
j)
10
128 2 1024 2
3
10
215
d) 8 32
52 ; 3
4
23 ; 5 3;2
Certo ou errado?
45
a)
6
72
3
7
b)
5
64
10
68
6
c) 169 13
c)
73 ; 2
C C
c)
6
53
3
5
E
d)
3
2
12
24
C
(Unicamp-SP) Determine o maior dentre os números 3 3 e 4 4. 3 • 3 , 4 ou 81 , 64 46
3
12
4
12
3
12
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
12
21
Descobrindo mais propriedades dos radicais 3a propriedade
Sabemos que
Acabamos de estudar duas propriedades dos radicais. Vamos estudar mais duas.
25 4 100 10
Também sabemos que: 25 5 4 2
25
4
Então, 25 4 25
5 2 10 o c i g á M s i p á L
4.
O que observamos nesse exemplo pode ser generalizado. Acompanhe. Tomemos os números positivos a e b e o número natural n diferente de zero: n
ab
(a b)
1
1
n
n
a
1
bn
n
a
n
b
Ou seja, usando a notação de potência de expoente ra cional para os radicais e as propriedades da potenciação, mostramos que: n
ab
raiz de um produto
n
a
n
b
produto de raízes
A raiz de um produto é igual ao produto das raízes dos fatores desse produto. Aplicando essa propriedade, chegaremos a um resultado importante:
(3 7 )2 3 7 3 7 3 7 7 3 72 , isto é: (3 7 )2 3 72 De modo geral:
( a) n
m
n
am
(Saresp) Por qual dos números abaixo deve ser multiplicada a expressão 5 seja obtido um número inteiro? x a)
22
10
b) 30
c) 45
8 9 para que
d) 50
4a propriedade
Você verá como as propriedades que estamos vendo serão úteis!
Agora observe: 36 : 4
93
36 6 42
36 : 4 6 : 2 3
Então, 36 : 4
o c i g á M s i p á L
36 : 4
Sendo a e b números positivos e n um número natural diferente de zero: n
a : b
1
(a : b) n
1
1
a n : b n
n
n
a : b , ou seja,
a b
n
n
a
n
b
raiz de um quociente
quociente de raízes
A raiz de um quociente é igual ao quociente das raízes do dividendo e do divisor.
Para determinar que tem a tecla
4
6 561 usando uma calculadora , digitamos 6561
s i a r o M o i c i r u a M
e
obtemos 9. Confirme que 9 4 6 561 digitando: 9
×
Agora compreenda por que calcular
6 561 é o
6 561.
mesmo que calcular 6 561 ( 6 561)
4
1 2
1 1 2 2
(6 561 )
6 561
1 4
4
6 561
Usando o procedimento do exemplo, mostre em seu caderno que 5
6
5
6
=
10
1
6
. 1 1
1
( 6 )5 (62) 5 610 10
6
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
23
Exercícios 47
Escreva sob a forma de uma única raiz.
a)
3 4
b) 48
5 3
5
12
5
2
15
2
c)
3 4
2
3
12
5
d)
A figura é constituída por duas partes retangulares (medidas em cm). 51
2
3
8
2
4,5
5
E A D
Leia o exercício que Renato deve responder:
8
A raiz quadrada da raiz quadrada de um número é igual a 3. Qual é esse número?
a) Qual é a área do retângulo azul? 4 cm
2
b) Qual é a área do retângulo verde? 6 cm
2
Responda você também. 81
•
x
3
Calcule, usando as propriedades dos radicais aritméticos. 52
49
Certo ou errado? Responda em seu caderno.
2
a)
21
3
=
( ) b) ( ) a)
7 C
⋅
10
10
( )
b) c)
3
d) 50
3
40
=
3
4
2
⋅
5
=
2
⋅
3
⋅
⋅
10 C
5
=
b)
3
c)
5
3
⋅
2
⋅
8
⋅
8
d)
( )
7
49
4
2
3
81
A figura mostra um retângulo e no seu interior um quadrado.
10 E
53
30 C
Qual é a área da parte hachurada da figura?
Calcule, indicando o resultado sem radical.
a)
45 n o o t r a C a r t s u l I : s e õ ç a r t s u l I
12 6 3
4 2
5
4 2
d)
11
e)
2
⋅
50 10
f)
8
⋅
0, 5
g)
0,1
h)
0, 5
24
3
3
4
2
3
6
c)
11
⋅
⋅
⋅
2
10 5
Faça os cálculos e responda em seu caderno.
11
1 ⋅
10
5
54
É verdade que
64
64 =
16
16
? Sim.
6. Simplificação de radicais Um reservatório em forma de cubo deve comportar 1 728 m3 de água. Qual deve ser a medida de sua aresta? E A D
Vamos descobrir? O volume do cubo é: V a3 . a
Como V 1728 m3, temos a3 1728. Então, a
a
1 728 .
3
a
Podemos determinar essa raiz por tentativas. Também podemos usar as propriedades dos radicais para determiná-la: • Fatoramos 1728 1728 864 432 216 108 54 27 9 3 1
2 2 2 2 2 2 3 3 3
3
1 728
3 =
6
3
3
2 3
=
6
2
3
3
3
3
=
3
2
3
3
2
3
3
3 =
2 2 3
=
12
Logo, a aresta deve medir 12 metros. As propriedades dos radicais permitiram simplificar e calcular a raiz que resolvia o problema. Confira calculando se 12 3 = 1 728.
1728 26 33
a t s o
C e t n e c i V
Para fazer a higiene pessoal, cozinhar, limpar a casa, lavar a roupa etc., cada pessoa consome em média 200 litros de água por dia. Um reservatório como esse seria capaz de abastecer um grupo de 500 pessoas por aproximadamente quantos dias? Lembre-se de que 1 m3 1000 L. Aproximadamente 17 dias.
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
25
Veja mais exemplos de simplificação de radicais: 1. 8 23 22 2 22 2 2 2 n o o t r a C a r t s u l I
2 2 é a forma simplificada de
8
5 2. Usaremos a fatoração para simplificar 224.
224 112 56 28 14 7 1
2 2 2 2 2 7
Para simplificar 700 , Ana lembrou que 700 100 7 e fez: 700 100 7 100 7 10 7 Como a raiz era quadrada, ela decompôs 700 num produto, de forma que um dos fatores fosse um número quadrado perfeito. Você também pode usar essa ideia!
224 25 7 5
224 5 25 7
3. Sabendo que 5
245 49 7 1
5
25 5 7
25 7
2,24, vamos calcular o valor aproximado de 245. Fatorando 245, obtemos 245
5 7 7
245 72 5 245
7 2,24
72 5
72 5 7 5 15,68
1. Utilize a ideia de Ana para simplificar os seguintes radicais: a) 28
2 7
c) 500
10 5
b) 32
4 2
d) 3 16
2 2
2. É verdade que 32 é o dobro de 8 ? Sim.
3
32 4 8
2 8
3. Qual dos números é o maior? a) 100
26
b) 1 000
c)
1 0,1
x d)
1 0, 01
Exercícios 55
a)
Certo ou errado? 5 7
b)
3 4 2 3 C =
c)
2 10
d)
2 5
e)
2 2 =
3
=
20 C
=
3
• 4 374 : 6 729 • 729 9
E A D : s e õ ç a r t s u l I
20 E
=
f) 56
Anote as respostas no caderno!
25 7 C
=
O sólido abaixo tem o volume de 4 374 cm3 e é formado por cubos de mesmo volume. Calcule a medida da aresta de cada cubo. 9 cm 58
3
16 C
o c i g á M s i p á L
9 8 6 2 C =
Simplifique os radicais. 59
a)
98
7 2
f)
b)
27
3 3
g)
c)
72
6 2
d)
3
24
2 3
e)
4
80
2 5
3
4
3
729 9
363
11 3
h)
3
108
i)
5
224
2 7
4
240
2 15
j)
Mostre que as igualdades são verdadeiras:
a)
3
3 4
5
4
12
2 3
b)
=
25 12 12 25 25
5 2 3 5
32
4
2
=
27 3 3 37 32 4 2 27 27 3 3
Rodrigo está escrevendo uma sequência de cinco números. Qual é o número que ele ainda deverá escrever? 60
72 ou 6 2
n o o t r a C a r t s u l I
Considere a sequência abaixo, em que a área de cada quadrado é a quarta parte da área do quadrado anterior: 57
Mostre que os números 4 3 , 7 e estão colocados em ordem crescente. 61
A 256 cm2
48 <
49
<
5 2
50
Use propriedades dos radicais e consulte a tabela para achar um valor aproximado de: 62
Sendo 256 cm2 a área do primeiro quadrado, responda.
a)
12 3,46
b)
18 4,23
a) Qual é a medida do lado do segundo quadrado? 8 cm
c)
63 7,92
5 2, 23
d)
80 8,92
6 2, 44
e)
54 7,32
7 2, 64
b) Qual é a medida do lado do menor quadrado? 1 cm
2 1, 41 3 1, 73
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
27
7. Adição e subtração de radicais Na expressão algébrica 5 x � 9 y � 2 x � 4 y , podemos somar os termos semelhantes: 5 x e 2 x são termos semelhantes 9 y e 4 y são termos semelhantes
5 x � 9 y � 2 x � 4 y 7 x � 13 y
Radicais semelhantes são radicais que têm mesmo índice e mesmo radicando. 3
3
7 2
radicais semelhantes
5 2
Veja a seguir outros exemplos. • São semelhantes: 2 5 5
34
e
3 5
e
10 34
• Não são semelhantes: 6 e
5
5 3
e
3
Os índices são diferentes.
6
Os radicandos são diferentes.
5 8
Veja esta expressão com radicais: •
5 2
7 2
+
+
6 3
−
2 3
Nela encontramos radicais semelhantes. Aproveitando as ideias da expressão algébrica, podemos fazer: 5 2
+
7 2
+
6 3 –2 3
=
12 2
+
Não é difícil somar e subtrair radicais semelhantes!
4 3
Veja outros exemplos de expressões envolvendo adição e subtração de radicais: 4
•
8 5
•
3
•
50
+
32
=
25
50
+
32
=
5 2
3
+
+
3
7 – 10 5
5 7 – 6 7
+
+
4
4
2 7 –9 7
2 7
3
=
⋅
2
+
4 2
+
16 =
=
A expressão não tem radical semelhante a 3 .
7
+
⋅
4
3
–2 5 – 6 7
2
=
25
⋅
2
+
16
⋅
2
=
5 2
+
4 2
9 2
Radicais que inicialmente não eram semelhantes tornaram-se semelhantes depois de simplificados.
28
Vamos resolver um problema de Geometria?
Um quadrado tem área de 32 cm 2.
Se a área do quadrado é de 32 cm2, a medida de seu lado está entre 5 cm e 6 cm, pois 52 = 25 e 62 = 36.
• Qual é a medida de seu perímetro? O perímetro do quadrado é igual à soma das medidas de seus lados. Portanto, precisamos descobrir primeiro a medida do lado do quadrado. A área do quadrado é A 2. Então 2 32, ou seja, 32. Podemos simplificar esse radical, lembrando que
Isso significa que o perímetro estará entre 20 cm e 24 cm.
32 16 2 32 16 · 2
16 · 2
o c i g á M s i p á L : s e õ ç a r t s u l I
4 2 , ou seja, o lado do
quadrado mede 4 2 cm. Agora podemos calcular o perímetro: Perímetro
4 2
�
4 2
�
4 2
�
4 2
16 2 cm
O resultado confere com sua previsão!
Se quisermos um valor aproximado para esta medida, podemos usar 2 1,41 e fazer 16 1,41 22,56.
O perímetro do quadrado é de 22,56 cm, aproximadamente.
Pense e responda. 1. A igualdade é verdadeira ou falsa? a) 2 � 2 4 b) 10 � 10
F
20
F
c) 5 � 5 2 5
V
d) 20 5 5
V
2. (Saresp) No quadrilátero, as medidas dos lados estão dadas em centímetros. Qual é o perímetro desse
quadrilátero? 13 2
+
2 2
+
4 2
+
2
6 2
cm =
32
13 2
E A D
8
2
72
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
29
Exercícios 63
Nas figuras, as medidas indicadas são dadas em cm. Determine o perímetro de cada figura. 67
n o o t r a C a r t s u l I
A igualdade: 16
9
+
=
E A D : s e õ ç a r t s u l I
a)
25
é verdadeira ou falsa?
10 11
44
Por quê? Falsa, porque 7 5. 99
64
Certo ou errado?
a)
9 –
4
=
b)
1C
125
b)
36
c)
21 +
21
d)
10
10
64
+
+
12 5
42 E
=
80
2 10 C
=
68 65
Efetue.
a)
5 7
3 7
8 7
b)
4 5 –2 5
2 5
c)
2 9
+
Qual é o perímetro da figura?
P
=
72 +
P
= 18
72 +
18
+
1 8 2 cm
18
2
18 cm
3
d)
+
5 –
e)
3
3 9
5 9
5 –
5 − 5
5 2 –3 2
f) 8
Efetue.
a)
3
b)
+ 2 2
2
4 2
+
69
3 − 3
É verdade que
+
50
12 2
d)
12
−
75
+
e)
3 20
3
–2 3
32 – 2 45
+
50
45
+
125
+
2 27 –
20
+
3 12
9 2
a)
2
+
3
3,14
b)
9
+
3
4,73
c)
3 –
2
0,32
d)
25 –
? Sim.
2 3,59
Situe 12 + 5 entre dois números inteiros 3 consecutivos. 4 5
3 5 + 12 3
12
+
3
30
80
71
f)
=
Sabendo que os valores aproximados de 2 1, 41 e 3 1, 73, calcule um valor aproximado de:
3 3
2
5
70
4 3
12
+
72 cm
27
+
75 – 7
3
3 – 2 3 –8 3
66
c)
3 5
100 E
=
5
8. Cálculos com radicais • Vamos calcular a área do retângulo ao lado. E A D : s e õ ç a r t s u l I
c : medida de comprimento :
medida da largura
6 cm
Lembrando que a área do retângulo é A c , temos para esse retângulo A 15
6.
15 cm
c
Aplicando a 3 propriedade, podemos escrever: a
A
15
A
⋅6
90
9 10
9
10
3 10 cm2
• Aqui temos outro retângulo.
(
(
)
3–
2⋅
5 cm
(
5 cm
Qual é sua área? A
5
=
⋅
(
3–
5
5
=
⋅
3 –
)
5
A=
(
5
⋅
=
A
=
3 5 –
(
)( ( )–( ) 3+
2
3
2
5
)
)
2 cm
3–
2
A= A
)
2 cm
Para calcular a área desse retângulo, usaremos nossos conhecimentos sobre produtos notáveis:
Aplicamos a propriedade distributiva: A
3+
3–
(
A= 3–2
2
3 5 – 5 cm
2
2
)
2
⋅
2=
⋅2
(
2
3
2
–
2
)
⋅2
)2 ⋅
2
A = 2 cm
Escreveremos É mais usual.
3 5.
Acompanhe outros exemplos de cálculos envolvendo radicais: 3
•
3
90
3
+ 4 6 = �
15
3
90 15
3
+ 4 6 = �
3
3
3
+ 4 6 = 5 6 6�
Aplicamos a 3a propriedade.
•
+ 8� 12
2
=
+ 8� 4⋅ 3
2
=
+ 8�
4⋅ 2
3
=
8� + 2 3 2
=
+ 2( 4 � 3)
2
=
4� 3 +
Colocamos o fator comum 2 do numerador em evidência e simplificamos a expressão.
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
31
9. Racionalização Você já sabe: Os números irracionais têm infinitas casas decimais e não apresentam período.
Veja a divisão que Aninha precisava fazer: 7
7
2
1,414 213 562
Essa divisão é mesmo trabalhosa!
7 : 1,414 213 562
Observe que ela precisou usar uma aproximação para 2, pois 2 é um número irracional.
o c i g á M s i p á L
Podemos evitar essas divisões encontrando uma divisão equivalente à divisão original e que não tenha número irracional como divisor. Acompanhe o raciocínio da Aninha: 7
7 2
2
2
7 2
7 2
2
2
2
Quando multiplicamos o dividendo e o divisor por um mesmo número diferente de zero, o quociente não se altera.
2
Então: 7 2
7 2 2
Essa divisão tem divisor racional e vale o mesmo que a divisão original.
Tornamos o divisor racional. Fizemos sua racionalização.
Agora é com você! 1. É verdade que
Acompanhe mais dois exemplos de racionalização: 3
•
3 6 5 6 6
5 6 •
1 3
7
1 3
3
7
3
3 6 5 6 3
2
7
5 · 62
2
2
7
3
3
2
7
3
7
3 6
49
7
6 10
11 11
11 ? Sim.
2. Racionalize.
a)
8 3
b)
5 2 6
c)
8 3 3
8 5
5 3
5 12
6
3
5
8 3 4
3
3
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
33
Revisando Calcule.
81
72 (7)2
a)
b)
d)
0
Faça os cálculos e responda em seu caderno.
23 30 1
c) 2 3 5
2
3
( 3)
0
f) 5 g)
2
e) 32 3
10
26
2 82
o c i g á M s i p á L
9
(1)
1 2
2
4
1 2
1
37
19 27
1
Sabendo que a é um número inteiro positivo, indique, em seu caderno, as expressões equivalentes. 85
1
7 4
1 2
1
A
a a a a a
A e I
G
B
a a a a a
B e G
H 3a a2
5
a
C (a a) (a a a)
C e K
I 5a
D (a a a) (a a)
D e H
J
E (a a a) (a a)
E e L
K 2a 3a
F (a a) (a a)
F e J
L
2
a
3
a
Escreva os números dos cartões em ordem crescente. C, D, B, E, F, A 82
B
5
2
100
D 4
E
2
2
5
C 1 2
n o o t r a C a r t s u l I
( 2) 3
Deu 4 096. Calcule mentalmente 212. 4 096 • 84 (23)4 4 096
E A D : s e õ ç a t r s Il u
87
F 33
2,9
34
1 1 27 3
c)
2 1 9
841, calcule mental-
0,29
c)
e r o t a n e S o i l é
2902
2
0,084 1 8,41
b)
Uma fábrica produz garrafas de refrigerantes com capacidade de 1 litro, 1 litro e 2 2 litros, cada uma delas disponível nos sabores guaraná, limão e laranja. Quantas possibilidades de escolha existem para o consumidor que levar apenas uma garrafa? 9 possibilidades • 3² = 9
–2
2
2
88
Escreva o número 1 9 na forma de uma potência de base 3. 3 Sabendo que 292 mente. b) a)
Qual dos números é o menor?
1 x a) 9
83
84
2a
86
35 48
Já calculei 84.
A
2a
84 100
o c i g á M s i p á L : s e õ ç a r t s u l I
H : s e õ ç a r t s u l I
Determine os dois termos seguintes de cada uma das sequências indicadas. a) 1, 4, 9, 16, ... 25, 36 89
b) 1, 8, 27, 64, ... 125, 216 c) 1, 1 , 1 , 1 , ...
2 4 8 d) 2 , 4 , 8 , ... 3 9 27
1 , 1 16 32
93
Calcule.
a)
10 −
b)
1,1 − 0 , 29
c)
2 5 32 � + 4
−4 � +
d)
Usando “cubinhos” iguais, Alice fez a construção ao lado:
E A D
4 “cubinhos”
7
0 3
0,9
e)
2 6 10 2 − 8
f)
(5)2 4 1 6 1
g) 2
h)
−
−
3
⋅
−8 � + 12 − 5 − ( −7 ) � +
2⋅ 6
⋅
4
94
81 1
1 2 3
Faça os cálculos e responda em seu caderno.
a) Determine o menor núme-
ro de “cubinhos” que Alice teria de acrescentar à construção para obter um cubo.
100
3
16 , 32 81 243
90
49 � +
n o o t r a C a r t s u l I : s e õ ç a r t s u l I
Observe o quadrado representado na figura:
b) Determine o menor número de “cubinhos”
que Alice teria de retirar da construção para obter um cubo. 33 “cubinhos” 91
Simplifique.
a)
25 29
513 56
2
4
57
7 5)4 b) (2 3) (3 9
3
Área: 150 cm2
27 32 54
Uma feira de livros foi instalada num prédio de 3 andares, cada andar dividido em 3 setores. Compondo cada setor havia 3 estandes, e em cada um deles trabalhavam 3 pessoas, que foram identificadas com um crachá. Quantos crachás, no mínimo, foram confeccionados? 81 crachás 92
• 34 81
Responda. a) Você pode indicar o lado do quadrado
como
150
cm? Sim.
b) Qual é o número natural que elevado ao
quadrado resulta 150? Não existe. • Tente o 11. É muito ou pouco?
É pouco, pois 112 121.
• Tente o 12. É muito ou pouco? É pouco, pois 122 144.
• Tente o 13. É muito ou pouco?
É muito, pois 132 169.
c) O lado desse quadrado é um número natu-
ral? Entre quais dois números naturais consecutivos está 150 ? Não. Entre 12 e 13. d) Com o auxílio da calculadora, calcule apro-
ximadamente a medida do lado desse quadrado. 12,247 cm
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
35
Qual é maior: a) 40 ou 6? 95
c)
40
5 ou 2,2?
b)
50
d)
5
ou 7,1? 7,1 ou 2,3?
5, 29
São iguais.
Calcule a diferença entre a raiz quadrada de 64 e a raiz cúbica de 8. 6 • 96
64
97
3
−
=
6
Simplifique. e)
2
243 3
f)
c)
4
4 096 8
g)
2025 45
h)
121
120
6
99
b)
3
c)
2
d)
20
5
e)
10
15
f)
3 5
98 14 9
3
20
200
50
0, 4
h)
8
2 20
3
g)
12
27
⋅
=
324
=
729 3
10
1
6 30
2
2
2
144
18
E A D : s e õ ç a r t s u l I
12
11 12 27
Simplifique.
a)
2
2
b)
14400
a)
No retângulo a seguir, as medidas estão indicadas em centímetros. Determine a área da figura. 18 cm •
5
d)
Calcule e simplifique.
102
576 24
a)
98
8
101
Em um triângulo equilátero, o perímetro é igual a 24 2 cm. Quanto mede o lado desse triângulo? 103
c)
3 11
800
20 2
8 2 cm
b)
450
d)
15 2
432
12 3
Escreva na forma mais simples possível cada uma das expressões a seguir. 104
(FMRP-SP) Um pai pretendia dividir uma pizza em 4 pedaços iguais, um para cada pessoa da família. Porém, a sua filha pediu-lhe o pedaço correspondente ao quadrado da fração que lhe caberia, e o filho, a raiz quadrada da fração que lhe caberia. A sua esposa ficou com a quarta parte e ele com o restante. Que fração correspondeu ao pedaço do pai? 163 99
1–
1 + 1 + 1 4 2 16
a)
8� +
98
9
2
b)
45 � +
20
c)
13 � +
19
d)
28 − 10 7
−8
e)
3� +
12
f)
11 � +
5 5
Não é possível.
75 −
7
4 3
44 − 2 99 � +
176
11
No quadrilátero da figura, as medidas dos lados estão dadas em centímetros. 105
e r o t a n e S o i l é H
27
75 2 3
100
Situe
5 8 3 2
entre dois números inteiros 48
consecutivos. 36
3
5 8
3 2
4
Determine o perímetro desse quadrilátero.
14 3 cm
106
Veja as medidas da figura: 2
110
Observe a planta abaixo e responda.
7
2
Sala do
Sala do
Dr. Pedro
Dr. João
2
25 m
E A D : s e õ ç a r t s u l I
???
7
Sala do
a) Qual é a área do quadrado verde?
Dr. Paulo
2
36 m2
b) Qual é a área do quadrado azul? 7 c) Qual é o perímetro do quadrado azul?
4 7
d) Qual é o perímetro de um retângulo rosa? 2 2
+
2 7
e) Que expressão representa a área total dessa
figura?
a) Qual é a área da sala do Dr. João, sabendo
9 + 2 14
que as outras duas salas são quadradas? 30 m
2
107 6
3
4
Os números M 3 M 2 e M 5 estão colocados em ordem crescente? Demonstre.
n o o t r a C a r t s u l I
,
b) Qual das salas tem maior perímetro? A sala do Dr. Paulo; 24 m.
(Obmep) Qual dos números a seguir está mais próximo de (0,899² 0,101²) 0,5? 111
(0,9² – 0,12) · 0,5 = 0,4
0,4
x a) Sim.
12
3 ,
12
2 ,
12
12
9
12
16
<
2
<
4
b) 0,5
c) 0,8
d) 0,9
3
5
12
125
Um engenheiro mandou construir um reservatório que tem a forma de um cubo com capacidade de 64 m 3. 108
a) Qual é a medida do lado desse reservatório?
Um terreno com a forma de um quadrado de 40 m de lado foi dividido em três regiões retangulares, destinadas à construção de uma casa (A), uma quadra (B) e uma piscina (C), conforme sugere a figura abaixo: 112
4m
b) Quanto teria de aumentar cada um dos la-
dos do reservatório para a capacidade ser de 125 m3? 1 m 109
Racionalize.
a)
3
b)
c)
2 8 5 8 7 5 2
3 2
40 5
=
4 14 5
2 10 5
A m 0 4
B C
d)
2
n o o t r a C a r t s u l I
e) f)
15 3
7
3
2
x
7
25 m
4
3 21 6
B 40 15 600 C 1 600 600 600 C 400
6 1
4
15 7
2
18 4
3
3
4
8
25 x 400 16
x
Sabendo que as áreas das regiões A e B são iguais, calcule o valor de x na região C. 16 m
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
37
Consideremos a seguinte situação: • Ao lançarmos uma moeda, temos dois resultados possíveis: cara ou coroa. • Se lançarmos duas moedas diferentes, por exemplo, uma de R$ 0,10 e outra de R$ 0,50, teremos quatro possibilidades: 113
Desafios 115
(Fuvest-SP) Qual a metade de 222? 222 : 2 = 221
116
Qual é maior:
5 2 ou
4 3
?
5 2 , porque 4 50 > 4 48
(cara, cara)
(coroa, coroa)
(cara, coroa)
117
(coroa, cara) r a l u c i t r a P o v i u q r A
A relação entre o número de moedas e o número de resultados é dada pela tabela. Copie-a e complete-a.
Observe com atenção o quadro:
1a)
1
2a)
3
5
3a)
7
9
soma 1 soma 8 11
soma 27
4a) 13 15 17 19
soma 64
5a) 21 23 25 27 29
soma 125
a) Quais números formam a 6a linha? 31, 33, 35, 37, 39, 41
No de moedas
No de resultados
b) Qual é a soma dos números da 6a linha?
1 2 3 4 5 6
2 4
c) Qual é a soma dos números da 10a linha?
63 216
103 1 000 8 16 32 64
Se n é o número de moedas, qual é o número de resultados? 2 n
Um torneio de pingue-pongue é disputado por 32 jogadores, que são agrupados em pares. Os jogadores de cada par se enfrentam e os perdedores são eliminados (não há empates). Os vencedores são agrupados em novos pares e assim por diante, até que fique apenas o campeão. Quantas partidas são disputadas? 31 partidas 118
Uma sala quadrada de área 49 m 2 tem um tapete também quadrado de área 6,25 m 2 colocado no centro da sala. Qual é a distância do tapete às paredes? 2,25 m
114
o c i g á M s i p á L
n o o t r a C a r t s u l I
• 16 � 8 � 4 � 2 � 1 31 • 7 2,5 4,5 2 2,25
38
Seção livre A lenda do jogo de xadrez O xadrez é um jogo muito antigo e interessante. Desenvolve o raciocínio e a capacidade de concentração, além de proporcionar momentos agradáveis. Existe uma lenda a respeito desse jogo, bastante conhecida, que envolve o conceito de potência: “Conta-se que um rei, entusiasmado com o jogo de xadrez, ordenou que dessem ao inventor do jogo o que ele pedisse. O inventor pediu: 1 grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro de xadrez; 2 grãos de trigo pela segunda casa; 4 pela terceira casa; 8 pela quarta casa; 16 pela quinta casa; 32 pela sexta casa; e assim sucessivamente, sempre dobrando o número de grãos que foi colocado na casa anterior, até completar as 64 casas.
r e o t a n e S o li é H
A vontade do rei não pôde ser satisfeita. Mesmo juntando-se todos os celeiros do mundo não se conseguiria a quantidade pedida pelo inventor: dezoito quintilhões, quatrocentos e quarenta e seis quatrilhões, setecentos e quarenta e quatro trilhões, setenta e três bilhões, setecentos e nove milhões, quinhentos e cinquenta e um mil e seiscentos e quinze grãos de trigo, ou seja: 2 1 64
18 446 744 073 709 551 615 Agora é a sua vez! Imagine que você queira economizar dinheiro e adote o seguinte esquema: no 1º dia, você guarda 1 centavo; no 2º dia, dois centavos; no 3º dia, quatro centavos, e assim sucessivamente. Ou seja, você guarda, a cada dia, o dobro do que guardou no dia anterior. • Quanto você acha que economizaria, mais ou menos, em um mês? Aproximadamente 10 milhões e 700 mil reais.
Faça os cálculos utilizando uma máquina de calcular.
I CI A I AÇÇÃÃOO PPOOTTEENNCCI IAAÇÇÃÃOO EE RRAADDI C
39
Anote, em seu caderno, o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta.
Autoavaliação 119
Quais destas igualdades são verdadeiras? n o o t r a C a r t s u l I : s e õ ç a r t s u l I
O menor país do mundo em extensão é o Estado do Vaticano, com área de 400 000 m2. Se o território do Vaticano tivesse a forma de um quadrado, então a medida de seus lados estaria entre: • = 400 000 • = 200 122
2
10
c s i d o t o h P
x a)
Apenas a primeira.
b) Apenas a segunda. ◆
c) Apenas a terceira.
Basílica de São Pedro, Vaticano, Itália
a) 200 e 210 m
d) A primeira e a última.
b) 320 e 330 m
(UFRJ) A dose diária recomendada de um remédio líquido é de 40 gotas. Uma gota deste medicamento pesa, em média, 5 · 10–2 gramas. Então, num frasco contendo 80 gramas desse remédio, temos medicamento suficiente para 5 0,01 2 um tratamento de no máximo: •• 40 80 2 40
c) 400 e 410 m x d)
600 e 650 m
120
a) 15 dias. b) 20 dias.
c) 30 dias.
40 dias.
x d)
123
(OBM) O valor de
a) 0,222... b) 0,333...
0 ,444...
é: 4
c) 0,444...
9
2 =
3
=
0,666...
0,666...
x d)
Com azulejos brancos e azuis, todos do mesmo tamanho, Carlinhos está construindo uma sequência de mosaicos. 124
E A D
Um queijo tem forma cúbica, com 5 cm de aresta. Se o queijo for cortado para aperitivo em “cubinhos” de 1 cm de aresta, quantos “cubinhos” serão obtidos? 5 125
12 1
3
5 cm
Azuis: 8, 12, 16, 20, 24 Brancos: 1, 4, 9, 16, 25
Os números de azulejos azuis e de azulejos brancos que serão necessários para construir o 5 o mosaico dessa sequência são, respectivamente:
24 e 25
c) 24 e 16
b) 25 e 24
d) 16 e 24
x a)
(Vunesp) Uma cultura de certa bactéria, mantida sob condições ideais, triplica o seu volume a cada dia. Se o volume no primeiro dia é de 9 cm3, o volume no quinto dia será: 125
• 53 = 125
a) 25 b) 75 40
x c)
125
d) 150
a) 405 cm
3
729 cm3
x b)
• 9, 27, 81, 243, 729 3
c) 939 cm
d) 2 187 cm3
UNIDADE UNIDADE
2
Equações do 2 grau o
1. Equações n o o t r a C a r t s u l I
Você já sabe como as equações são úteis na representação e resolução de problemas. Então, acompanhe a situação a seguir. Na loja ao lado, um kit-presente com duas bermudas e três camisetas custa o mesmo que um kit-presente com uma bermuda e duas camisas. Qual é o preço de uma bermuda? Com um colega, tentem resolver o problema antes de prosseguir com a leitura. A seguir, leia a resolução que apresentamos. Observe que ela utiliza a álgebra. Representaremos o preço da bermuda por x . Duas bermudas e três camisetas custam 2 x 48 . Escrevemos uma equação na Uma bermuda e duas camisas custam x 70. incógnita x para representar Como os preços dos kits são iguais, temos que: a situação. Vamos resolver a
2x 48 x 70 Subtraindo x de ambos os membros da equação: 2 x 48 x x 70 x x 48 70 x 70 48 x 22 A bermuda custa R$ 22,00.
equação para descobrir o valor de , que é o preço da bermuda. x
o c i g á M s i p á L
Para verificar se a solução está correta, substituímos x por 22 na equação 2 x 48 x 70. 2 22 48 22 70 44 48 22 70 92 92 (igualdade verdadeira) Logo, 22 é a solução da equação.
E Q U A Ç Õ E S D O 2 o G R A U
41
Grau de uma equação A equação 2 x 48 x 70, que acabamos de resolver, é uma equação do 1 o grau, pois o maior expoente de x é 1. As equações podem ser classificadas de acordo com o valor do maior expoente da incógnita. Nas equações do 2 o grau, o valor do maior expoente da incógnita é 2. 5 y 2 7 y 0 9 x 2 25 x 2 2 x 4 3 8 10a a2 4a2 3a
São exemplos de equações do 2 o grau.
Há equações do 3 o grau, 4o grau, 5o grau etc. Por exemplo, o valor do maior expoente da incógnita x na equação 8 x x 2 2 x 4 0 é 4. Então, essa equação é do 4 o grau. Até agora resolvemos somente equações do 1 o grau. Nesta unidade, resolveremos equações do 2 o grau.
Exercícios No quadro há oito equações com uma incógnita. 1
3
x ²
n o o t r
1) x 2 – 5x + 6 = 0 2) 2x – 7 = 0 3) x 3 – x 2 = 10 4) 6x 2 – x = 0 5) 3x + 4 = 20 6) 4x 2 – 2 = 34 7) 2x 4 – 8 = 0 8) 9x + 6 = 7 x + 4
a C a r t s u l I
Considere a equação do 2o grau. + 3 x – 10 = 0
a) 3 é solução dessa equação? Não. b) 2 é solução dessa equação? Sim. c) –2 é solução dessa equação? Não. d) –5 é solução dessa equação? Sim.
Para a expressão abaixo, existem dois números reais que podem ser colocados no lugar de . Quais são eles? 2 e – 4 4
Responda no caderno. a) Quais são equações do 1o grau? 2, 5 e 8 b) Quais são equações do 2o grau? 1, 4 e 6
(
+ 1)² = 9 Resolva “de cabeça”!
c) Quais são equações do 3o grau? 3 d) Quais são equações do 4o grau? 7
Será a equação x ² + 3 x = x + 6 + x ² do o 2 grau? Não. A equação é do 1 grau. 2
o
42
e r o t a n e S o i l é H
2. Resolvendo equações do 2 o grau Você já sabe resolver algumas equações do 2 o grau. Acompanhe. 1. Leia a pergunta da professora: Qual é o número que elevado ao quadrado resulta em nove?
o c i g á M s i p á L : s e õ ç a r t s u l I
Para representar essa situação podemos chamar o número desconhecido de x e escrever uma equação: 2 x 9 Há dois números que elevados ao quadrado resultam em nove: 3 e 3. Indicamos assim: x kl 9 x 3 3 e 3 são as soluções da equação do 2 o grau x 2 9.
Essa equação tem duas soluções! Isso não acontecia nas equações do 1o grau! são as raízes dessa equação.
Usando outra nomenclatura bastante comum: 3 e
3
1. Resolver a equação x² = 49 é a mesma coisa
2. Calcule, mentalmente, os valores de x.
que calcular k ll 49?
Não, porque x² = 49
x = 7 ou
x = –7; e kll 49 = 7.
• Primeiro pense: Quanto vale x ²? • Em seguida: Quanto vale x ?
Explique sua resposta.
n o o t r a C a r t s u l I
a) x² + 1 = 10 3; –3 b) x² + 3 = 19 4; –4 c) x² – 1 = 48 7; –7 d) 3x² = 75 5; –5 e)
x2 =
4
9 6; –6
E Q U A Ç Õ E S D O 2 o G R A U
43
E A D
2. Num terreno quadrado foi construída uma casa que ocupa a área de um retângulo de medidas 8 m por 10 m. Na planta, a medida do lado do terreno está ilegível, mas sabe-se que a área livre (Aterreno – Acasa) é de 320 m 2. 1 0 m Quanto mede o lado do terreno? A área da casa é A casa 8 10 80 m 2 8m O terreno é quadrado. Representando por x a medida do seu lado: Aterreno x 2 Como Aterreno Acasa 320 m2, temos: 2 x 80 320 x 2 320 80 x 2 400 x 400 x 20 A solução 20 não serve, pois a medida do lado de um terreno não pode ser negativa. Então, o lado do terreno mede 20 m. Existem leis municipais que regulamentam a ocupação dos terrenos, principalmente os reservados a loteamentos e condomínios. Por exemplo, a área construída deverá ocupar no máximo certa porcentagem da área total do terreno. No problema, a casa construída ocupa que porcentagem da área total do terreno? A área total do terreno é A 202 400 m2 Para responder à pergunta, precisamos descobrir que porcentagem 80 representa em 400. Comparando 80 e 400 por meio de uma razão: 80 20 20% 400 100 A casa ocupa 20% da área total do terreno.
3. Existe um número real que elevado ao quadrado e somado a 16 resulta em zero? Não há número real nessas condições. Veja por que: Número desconhecido: x . Elevamos x ao quadrado, somamos 16 e igualamos a zero, obtendo uma equação: 2
x
16 0
Para que tenhamos x 2 16 0 é preciso ter x 2 16, mas não existe número real que elevado ao quadrado resulte em um número negativo. A equação x 2 16 0 não tem solução, ou não tem raízes, no conjunto dos números reais, 44
®.
4. Veja outra situação:
Obtive o triplo do número inicial. Em que número pensei?
Pensei em um número. Elevei-o ao quadrado e somei ao próprio número.
Opa! Assim não dá para achar x .
A equação correspondente ao problema é x + x = 3x . Vou resolver do modo como fizemos nas equações anteriores... 2
x
2
o c i g á M s i p á L : s e õ ç a r t s u l I
+ x = 3 x
x
2
x
2
= 3 x – x = 2 x
x = ± M 2x ll
Então, vamos usar outro caminho! Na equação x 2 x 3 x , podemos subtrair 3 x de ambos os membros: x 2 x 3 x 0 x 2 2 x 0 Em seguida fatoramos x 2 2 x , colocando x em evidência: x ( x 2) 0
Quando é que um produto é igual a zero?
Quando pelo menos um dos fatores é igual a zero.
É a lei do anulamento do produto: Se a b 0, então a 0 ou b 0.
E Q U A Ç Õ E S D O 2 o G R A U
45
Então, se x ( x 2) 0, devemos ter: x 0 ou x 2 0, isto é, x 2
O número pensado pode ser zero ou dois.
Eu pensei numa solução e não usei uma equação: se um número somado com seu quadrado dá três vezes o número, é porque o quadrado vale o dobro do número.
Daí, pensei em 2, porque o quadrado dele é igual ao seu dobro. Ih!... Esqueci do zero... o c i g á M s i p á L : s e õ ç a r t s u l I
5. Os retângulos ilustrados abaixo têm a mesma área. Com essa informação, podemos escrever e resolver uma equação e determinar as medidas dos lados de cada retângulo. Acompanhe. • Área do retângulo I AI 2 x @ x 2 # 2 x 2 4 x
As medidas estão em centímetros.
• Área do retângulo II AII x @ x 8 # x 2 8 x
2 x x 8
I
II
x 2
Como AI AII, temos 2 x 2 4 x x 2 8 x Subtraímos x 2 de ambos os membros da equação: 2 x 2 4 x x 2 x 2 8 x x2 x 2 4 x 8 x Subtraímos 8 x de ambos os membros da equação: x 2 4 x 8 x 8 x 8 x 2 x 4x 0 Colocamos x em evidência no primeiro membro da equação: x @ x 4 # 0 Para que o produto x ( x 4) seja igual a zero, devemos ter: x 0 ou x 4 0 ⇒ x 4 A solução x 0 não serve, pois os retângulos não existiriam. Então x 4 cm.
x
Agora é com você. Sabendo que x = 4 cm, determine as medidas dos lados de cada retângulo. Retângulo I: 8 cm e 6 cm. Retângulo II: 4 cm e 12 cm.
46
E A D : s e õ ç a r t s u l I
Exercícios Existem dois valores reais que podem ser colocados no lugar de x. Quais são eles?
O dobro do quadrado de um número é 72. 2 x 72 Qual é o número? 6 ou 6
a) x2 9
x
ou x
3; –3
11
b) x2 36
x
ou x
6; –6
c) x2 0,36 25 d) x2 4
x
ou x
x
ou x
5
6
10
2
A área da figura ao lado, formada por 5 quadrados, é 20. Quanto mede o lado de 5 x 20 cada quadrado? 2 x 4 2
2
0,6; 0,6 5 ; 5 2 2
x 2 ou x 2
O que é necessário para que um produto dos fatores de fatores desconhecidos seja nulo? Um tem de ser zero. 12
Qual é o lado do quadrado cuja área é: Resolva estas equações com o auxílio do exercício anterior (lei do anulamento do produto). 13
a) 169 m2? 13 m b) 1,69 m2? 1,3 m
a)
2
c) 100 m ? 10 m 2
d) 1 m ? 1 m 7
a)
Resolva as equações. 2
x 25 0 5; 5
e) 7 x
2
14
2 ; – kl 2 0 kl
b) 2 x2 98 0 7; 7
f)
x2 49 0 7; 7
c) 24 6 x2 2; 2
g)
25 100 x2 0
d) 64 x2 1 0
2
h) x
1;1 8 8
– 81 4
0
9;9 2 2
Indique quais das equações são impossíveis resolver com os números reais.
x
b) x2 9 0 9
x
x2 9 0
d)
x2 9 0
c) ( x 3) ( x 1) 03; 1
Solução: 3 ou –7
d) ( x 6) (4 x 8) 0 6; 2 Resolva estas equações usando o recurso da fatoração e depois copie e complete o pensamento de Robertinho.
1;1 2 2
c)
b) 2 x ( x 5) 0 0; 5
Exemplo: (x – 3) (x + 7) = 0
n o o t r a C a r t s u l I
14
8
a) x2 9 0
x ( x 1) 0 0; –1
0; 5 9
a) x2 8 x 0 0; 8
c) 9 x2 5 x
b) x2 3 x 0 0; –3
d) 5 x2 10 x 0; –2
Estas equações têm sempre duas raízes reais, das quais uma é…
o c i g á M s i p á L
zero
Resolva as equações.
a) x 90 31 b) 5x 4 49 c) 4x 27 x d)2x 11 x 12 e) 5(x 1) 4(x 1) f) x (x 2) 2x 25 2
2
2
2
2
2
2
2
a) b) c) d) e) f)
11; 11 3; 3 3; 3 1; 1 3; 3 5; 5
n o o t r a C a r t s u l I
Em um quadrado de lado x, o número que expressa a área é igual ao número que expressa o dobro de seu perímetro. x 2(4 x ) 15
E A D : s e õ ç a r t s u l I
x
x
2
a) Quanto mede o lado do quadrado?
8
b) Qual é o perímetro do quadrado? 32 c) Qual é a área do quadrado? 64
E Q U A Ç Õ E S D O 2 o G R A U
47
3. Forma geral de uma equação do 2o grau Já resolvemos várias equações do 2 o grau. Antes de prosseguir estudando outros métodos de resolução, vamos caracterizar essas equações. Equações do 2 o grau na incógnita x têm a seguinte forma: ax 2 bx c 0, onde a, b e c são números reais com a 0. • a é
o coeficiente do termo em x 2. • b é o coeficiente do termo em x . • c é chamado de termo independente.
Se a 0, o termo em x 2 se anula e não temos mais uma equação do 2o grau. Por isso colocamos a condição a 0.
Na equação 4 x 2 12 x 9 0, temos: a 4, b 12 e c 9. A incógnita é x . Na equação t 2 3t 6, temos: a 1, b 3 e c 6. A incógnita é t . 2 Responda oralmente: qual é o valor de a, de b e de c na equação: x2 3 2 1
a 1; b
3
e c
x
1 2
0?
2
A equação 5 x 3 x 2 4 2 x não está na forma ax 2 bx c 0. No entanto, é possível reorganizá-la, escrevendo-a na forma geral: 5 x 3 x 2 2 x 4 3 x 2 7 x 4 2 3 x 7 x 4 0 a 3; b 7 e c 4
Por uma questão de organização, daremos preferência ao registro na forma geral.
Vimos que devemos ter a 0. No entanto, podemos ter b 0 ou c 0, ou ainda b 0 e c 0. Nesses casos teremos equações do 2 o grau incompletas. Veja exemplos: 2 x 2 5 x 0 a 2 b 5 c 0
x 2 16 0
6 x 2 0 a 6 b 0 c 0
a 1 b 0 c 16
As equações do 2 grau que resolvemos até agora eram equações incompletas. o
o c i g á M s i p á L
Consequentemente, se b 0 e c 0, a equação do 2 o grau é chamada de completa. 48
Um francês, nascido em 1540, teve grande importância no desenvolvimento da Álgebra. François Viète era advogado, mas dedicava seu tempo livre à Matemática. Em seu livro In Arten Analyticam Isagoge , publicado em 1591, mostrou a vantagem de representar um número desconhecido (que chamamos hoje de incógnita) por uma letra. Viète usou nessa obra uma vogal para representar uma quantidade desconhecida, no entanto, ele ainda utilizava palavras em várias situações. Por exemplo:
e n o t s y e K / y r a r b i L t r A n a m e g d i r B e h T / s i r a P , a v e v o n e G a t n a S a c e t o i l b i B
a2 ele escrevia como a quadratus .
◆
Fontes: Universidade de Lisboa.
; Carl B.Boyer. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1974. p. 223.
Anônimo (escola francesa). Retrato de François Viète, século XVIII. Gravura.
4. Trinômios quadrados perfeitos e equações do 2o grau a
b E A D
A área da figura ao lado pode ser escrita como: A @a b #2, ou: Aa
2
2ab
b
2
Polinômio com três termos: trinômio.
a
a2
b
ab
ab
a2: área do quadrado de lado a.
2ab: 2 vezes a área do retângulo de lados a e b. b2: área do quadrado de lado b.
b2
Ou seja, @a b #2 a2 2ab b2.
Lembrei! Nós já aprendemos isso. Também vimos que (a – b )2 = a2 – 2ab + b 2.
Essas igualdades também podem ser obtidas se lembrarmos que: (a b)2 (a b)(a b) Aplicando a propriedade distributiva, (a
b)(a b) a2 ab ba b2
(a b)2 a2 2ab b2 De forma semelhante, mostre em seu ca o c i g á M s i p á L
derno que (a b)2 a2 2ab b2. (ab) (ab) = a2 ab ba b2 a2 2ab b2
E Q U A Ç Õ E S D O 2 o G R A U
49
• a2 2ab b2 é um trinômio quadrado perfeito cuja forma fatorada é ( a b)2 • a2 2ab b2 é um trinômio quadrado perfeito cuja forma fatorada é ( a b)2 • 4 x 2 12 x 9 é um trinômio quadrado perfeito. Sua forma fatorada é (2 x 3)2 4 x 2 é a área do quadrado de lado 2 x
2x
3
9 é a área do quadrado de lado 3 12 x é igual a 2 vezes a área do retângulo de lados 2 x e 3
2x
4x 2
6x
3
6x
9
E A D : s e õ ç a r t s u l I
12 x 2 6 x
y
y
5
y 2
5 y
• y 2 10 y 20 não é um trinômio quadrado perfeito 5
5 y
área do quadrado de lado y
y 2
20
10 y
2 vezes a área do retângulo de lados y e 5
10 y 2 5 y Até aqui tudo certo.
No entanto, para formar o quadrado perfeito, o terceiro termo deveria ser 25, que é a área do quadrado de lado 5, mas não é. Quer saber por que recordamos a fatoração do trinômio quadrado perfeito? Vamos aplicá-la para resolver equações do 2 o grau. Veja: • x 2 6 x 9 0 é uma equação completa do 2 o grau
O primeiro membro dessa equação é um trinômio quadrado perfeito. Escrevendo o trinômio na forma fatorada: x 2
6 x 9
@x 3 #2
Então a equação pode ser escrita assim: @ x 3 #2 0
O número que elevado ao quadrado resulta em zero é o próprio zero. Devemos ter: x 3 0, ou seja, x 3
A solução da equação é
3.
Verifique a solução substituindo x por –3 na equação e fazendo as operações indicadas. (3)2 6 (3) 9 = 9 18 9 0
50
Quer mais um exemplo? • Tomemos a equação 9 x 2 6 x 1 6 .
Como 9 x 2 6 x 1 é um trinômio quadrado perfeito, podemos fatorá-lo e reescrever a equação: (3 x 1)2 6 Temos que: 3 x 1 6 3 x 1 6 3 x 1 6 6 é uma das soluções. x 1 3 E fazendo,
É comum aparecerem raízes não exatas quando resolvemos equações do 2o grau.
Não estranhe os números que encontramos na resolução desta equação.
3 x 1 6 o c i g á M s i p á L : s e õ ç a r t s u l I
3 x 1 6 obtemos x 1 6 , que é a outra solução.
3
Em geral não encontramos um trinômio quadrado perfeito numa equação completa do 2 o grau. • Veja a equação x 2 8 x 7 0 , por exemplo. Interpretando geometricamente x 2 8 x , temos que: x 2 corresponde à área do quadrado de lado x
x
4 E A D
8 x corresponde a duas vezes a área do retângulo de lados x e 4
x
x
2
4 x
4
4 x
16
8 x 2 4 x
Um quadrado de lado 4 completaria o quadrado perfeito, ou seja, o terceiro termo do trinômio deve ser 16.
Voltemos à equação x 2 8 x 7 0. Como numa equação podemos somar o mesmo número a ambos os membros, basta fazer x 2 8 x 7 9 0 9 para obter a equação x 2 8 x 16 9, que apresenta um trinômio quadrado perfeito no primeiro membro. Fatorando o trinômio chegamos a: ( x 4) 2 9. Os números que elevados ao quadrado resultam em 9 são 3 e x 4
3
x 4
x 3
4
x
3
x
7
x
1
é uma solução da equação.
3.
Daí,
3
4
é a outra solução da equação.
Entendeu o processo? E Q U A Ç Õ E S D O 2 o G R A U
51
Vamos acompanhar mais um exemplo. • Na equação x 2 3 x 2 0 , não temos um trinômio quadrado perfeito. b 3, e 3 é um número ímpar, ou seja, deixando a equação nessa forma, teríamos de trabalhar frações. 3 x 2
3 x 2
Por isso, inicialmente multiplicaremos o primeiro e o segundo membros da equação por 4. 4 @ x 2 3 x 2 # 4 0 4 x 2 12 x 8 0
Por que não multiplicar por 2, que também é par?
Porque 4, além de ser par, é um número quadrado perfeito. Queremos chegar a um trinômio quadrado perfeito, certo? o c i g á M s i p á L
Na interpretação geométrica de 4 x 2 12 x , podemos perceber que, para completar o quadrado de lado @2 x 3 #, falta o quadrado de lado 3. O terceiro termo do trinômio deveria ser 9, mas é 8. Voltando à equação 4 x 2 12 x 8 0, somaremos 1 a ambos os membros. 4 x 2 12 x 8 1 0 1 4 x 2 12 x 9 1 Fatorando o trinômio quadrado perfeito que encontramos no primeiro membro da equação: (2 x 3) 2 1
3
2 x
4 x 2
6 x
3
6 x
9
2 x 3 1
2 x 3 1
2 x 1 3
2 x 1 3
2 x 2
2 x 4
x 1 é uma solução da equação.
x
A equação tem duas raízes: 52
2 x
1
e 2.
2
E A D
é outra solução da equação.
Você achou a técnica de completar quadrados interessante? Muitas civilizações antigas utilizavam essa técnica, entre elas os babilônios. Os árabes e os hindus, no século IX, utilizavam essa técnica para resolver equações do 2 o grau. Esses povos tiveram um papel muito importante no desenvolvimento da Matemática. Sabemos que o sistema de numeração decimal posicional teve origem na Índia e foi difundido no mundo ocidental pelos árabes. Daí os nossos algarismos serem chamados de indo-arábicos. Falamos anteriormente do matemático árabe al-Khowarizmi, lembra? Do nome dele derivam as palavras algarismo e algoritmo, e do título de um de seus livros, Al jabr wa’l muqãbalah, veio o nome Álgebra. Na obra de al-Khowarizmi encontram-se vários exemplos da técnica de completar quadrados.
k c o t S n i t a L / s e g a m I G K A / e g r o e g e D d r a r é G
◆
Bagdá, atual capital do Iraque, é uma cidade de cultura predominantemente árabe. No passado, durante o califado de al-Mamun (809-833), Bagdá se transformou em importante centro cultural. O califa levou a essa cidade sábios de toda parte, que traduziram e escreveram importantes obras. Entre eles estava al-Khowarizmi.
Fonte: Carl B. Boyer. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1974.
Exercícios Que número você deve adicionar a cada uma das expressões para que tenhamos um trinômio quadrado perfeito? 16
a) x2 14 x 49 b) x2 6 x 9
c) x2 12 x 36 25 d) x2 5 x 4
Fatore o primeiro membro e ache as raízes das equações. 19
x2 4 x 4 25 3; 7
(x 2)2 25
b) x2 6 x 9 16 7; 1
(x 3)2 16
a)
Para resolver a primeira equação, acrescente 36 nos seus dois lados. Para resolver as demais, descubra o número que deve ser somado nos dois lados dela, para tornar o primeiro membro um quadrado perfeito. 20
Determine as raízes das equações.
17
x2 81 9; 9
a)
b) x2 100 10; 10
c) ( x 7)2 0 7 d) ( x 5)2 0 5
Empregando a fatoração e a lei do anulamento do produto, resolva as equações. 18
x2 – 6 x 9 0 3
(x 3)2 0
b) x2 8 x 16 0 4
(x 4)2 0
a)
c) 4 x2 12 x 9 0
3 2
(2 x 3)2 0
d) 9 x2 6 x 1 0 –
1 3
(3 x 1)2 0
a) x 2 12 x 36 64
a) x2 12 x 28 b) x 2 8 x 16 25 2
b) x
8 x 9 c) x 2 10 x 25 64 d) x 2 4 x 4 16
x 2 ou x 14
c) x2 10 x 39
x 1 ou x 9 2
d) 2 x
8 x 24
x 3 ou x 13 x 6 ou x 2
n o o t r a C a r t s u l I
E Q U A Ç Õ E S D O 2 o G R A U
53
5. Fórmula geral de resolução da equação do 2o grau Há uma fórmula que permite resolver equações do 2 o grau. Vamos obtê-la a partir do método de completar quadrados. Partiremos da equação genérica ax 2 bx c 0 , com a 0. Nosso objetivo é obter um trinômio quadrado perfeito no primeiro membro da equação. o c i g á M s i p á L
Por isso vamos multiplicar os dois membros da equação por 4a.
O coeficiente a pode não ser um número quadrado perfeito.
ax 2 bx c 0 4a2 x 2 4abx 4ac 0
2ax
b
Observe a figura. O terceiro termo do trinômio deve ser b2. 2ax 4a2 x 2 2abx Vamos somar b2 a ambos os membros da equação: 4a2 x 2 4abx 4ac b2 b2 Para que no primeiro membro da equação fique somente o trinômio quadrado perfeito, vamos subtrair 4 ac de ambos os 2abx b b2 membros: 4a2 x 2 4abx b2 b2 4ac Fatorando o trinômio quadrado perfeito, obtemos: @2ax b #2 b2 4ac A expressão b2 4ac será representada pela letra grega (delta). Fazendo b2 4ac na equação acima, temos: @2ax b #2 Supondo 0 vem: 2ax b Subtraindo b de ambos os membros da equação: 2ax b e, finalmente, dividindo ambos os membros por 2 a para encontrar x : x
b
2a
Nessa fórmula, precisamos extrair a raiz quadrada de . Se o valor de delta for um número negativo, não será um número real, e a equação não terá solução no conjunto ®. Se 0,
e x
b
fica x
b
e a equação terá somente uma solução. 2a 2a Se o valor de delta for um número positivo, aí a equação terá duas soluções reais.
54
0,
E A D
Vamos resolver equações aplicando essa fórmula?
1. x 2 3 x 10 0 a 1 b 3 c 10 b2 4ac 32 4 1 @10 # 9 40 49
Identificamos os coeficientes e o termo independente na equação.
Calculamos o valor de .
Agora aplicamos a fórmula para determinar os valores de x : x x
b
M x 1
2a 3
3
7
2
4 2
Fazendo a verificação: (5)2 3 (5) 10 25 15 10 0 e 22 3 2 10 4 6 10 0
2
7
2
x 2
3
7
2
10
2
5
Logo, – 5 e 2 são as soluções, ou as raízes, da equação x 2 3 x – 10 0.
2. 6 x 2 x 1 0 a 6 b2 4ac 12 4 6 (1) b 1 c 1 1 24 25 x x
b
M
2a 1
5
x 1
12 x 2
Logo,
1
5
12 1
12
5
4 1 12 3
6
12
1 2
1 1 e são as raízes da equação 6 x 2 x 1 0. 3 2
3. 2 x 2 4 x 3 0 a 2 b 4 c 3 b2 4ac (4)2 4 2 3 16 24 8
não é Atenção! Neste caso M um número real.
A equação 2 x 2 4 x 3 0 não tem raízes reais. E Q U A Ç Õ E S D O 2 o G R A U
55
4.
x 2
3
x
2
1 3
Vamos primeiro encontrar frações equivalentes às dadas e que tenham mesmo denominador: 2 x 2 3 x 2 6 6 6 2 x 2 3 x 2 Multiplicando ambos os membros da equação por 6, obtemos: 6 6 2 x 2 3 x 2 ou 2 x 2 3 x 2 0
9 16 = 25
x
3 5 4
Logo,
x 1
35 4
x 2
35 4
1 e 2 são as raízes da equação. 2
Leonhard Euler Falamos sobre a contribuição de François Viète para o desenvolvimento da linguagem algébrica. No entanto, um brilhante matemático suíço foi notável nesse aspecto. Leonhard Euler (1707-1783) é considerado um dos maiores matemáticos da história. Aos 26 anos, tornou-se o matemático mais importante da Academia de São Petersburgo, na Rússia. Publicou mais de 500 livros e artigos durante sua vida. Em suas obras, introduziu terminologia e notações que simplificaram registros na Álgebra, na Geometria e em outros campos da Matemática. Muitas notações são usadas hoje por nós. Vem das obras de Euler, por exemplo, usar letras maiúsculas para nomear os vértices de um triângulo e letras minúsculas para indicar as medidas dos lados opostos a cada vértice. Fonte de pesquisa: Carl B. Boyer. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1974. p. 324-327.
56
2
1 2
k c o t s n i t a L / C D L P S / Y R
A R B I L O T O H P E C N E I C S / Y R R E T A L I E H S
◆
Leonhard Euler (1707-1783).
A c
B
b
a
C
E A D
Exercícios Considere y 2 4y 6 3y . Escreva essa equação na forma geral e responda às seguintes questões: y 7 y 6 0 21
2
a) Qual é a incógnita? y
c) Qual é o termo independente?
6 7
e) O número 6 é uma solução? E o 1? Sim; não.
Resolva as equações do 2 o grau usando a fórmula geral. 22
b)
x2 x 12 0
3;
1 1; 1 5 5 1 x2 x 2 d) 0 3 9 4 3 x 3 3 5 e) x2 3 2; 3 6 2 x 11 x2 5 x f) 1 3 3 x2
4 5
5 13 5 13 ; 2 2
x
–1; 8
(CPII-RJ) O diagrama abaixo tem um formato que lembra um triângulo. Este “triângulo” é formado por seis números que devem ocupar os espaços indicados. Um desses números (o 27) já foi dado. Os outros você terá de descobrir, sabendo que a soma dos números correspondentes a cada “lado do triângulo” deve ser sempre a mesma. 27
4
c) 7 x2 x 1 0 Não tem raízes reais. d) x2 x 1 0 1 2
a) ( x 1)2 7 x 2; 3
c)
d) Qual é o coeficiente do termo de grau 1?
x2 6 x 9 0 3
Resolva as equações.
b) ( x 2)2 x 1
b) Qual é o grau? 2
a)
26
5; 1 5 2
A soma de um número com o seu quadrado é 30. Calcule esse número. 5 ou 6 23
x x 2 30
24
O quadrado de um número diminuído de seu dobro é 15. Qual é esse número?
n o o t r a C a r t s u l I
8x – 9
2x 2 – 10 5 ou 3
25
x 2 2 x 15
Escreva as equações na forma geral e resolva.
a)
x2 3 4 x 1; 3
b)
20 x x2
7x
5;
3x 2 2
27
x 2 +
5
E A D : s e õ ç a r t s u l I
a) Qual é o valor de x? 4
4
c) 13 2 x 15 x2 0 –1;
b) Complete, no caderno, o “triângulo” com os números correspondentes:
13 15
d) 4 x2 7 x 3 2 x2 2 x –1; e)
x ( x 2) 2 ( x 6)
f)
x (2 x 1) 6 4 ( x 1) 2 ; 2
2;
23
3 2
28
22
6
27
24
21
1
g) ( x 1) ( x 2) 6 1; 4 h) (2 x 3) ( x 8) 34
1 ; 10 2
27
E Q U A Ç Õ E S D O 2 o G R A U
57
6. Resolvendo problemas Muitas situações e problemas podem ser resolvidos por meio de equações do 2 o grau. Acompanhe alguns exemplos. margaridas
1. Um jardim, com a forma de um quadrado, foi dividido em três canteiros.
2m
Nesses canteiros serão plantadas margaridas, papoulas e amores-perfeitos, conforme a ilustração ao lado. O canteiro de amores-perfeitos ocupa uma área de 42 m 2. Qual é a medida do lado do jardim?
e r o t a n e S
papoulas
o i l é H : s e õ ç a r t s u l I
1m
amores-perfeitos
Representando a medida do lado do jardim por x , faremos um novo desenho: A área do canteiro de amores-perfeitos é:
�2
�
A @ x 1 #@ x 2 # x 2 2 x x 2 x 2 3 x 2 Igualando a área a 42, obtemos a equação do 2 o grau:
� x x 2 � �
x 2 3 x 2
42
Organizando seus termos:
�
x 2 3 x 2
�
2
x
�
� 1
x �� 1 � x
�
42 0
3 x 40 0
a 1; b 3 e c 40
�
@ 3 #2 4 1 @40 #
x
9 160 169
(3)
13
x 1
3 13 16 2 2
x 2
3 13 2
2
10
2
8
5
Como a medida do lado do jardim não pode ser negativa, consideraremos somente a solução x 8.
Portanto, o lado do jardim mede 8 m. 58
2. Um grupo de amigos organizou uma festa para comemorar o Natal. Como presente, todos escreveram e deram um belo cartão para cada participante da festa. Os cartões foram pendurados na árvore de Natal. Se na árvore havia 156 cartões, quantas pessoas participaram da festa? Se imaginarmos que o grupo tinha 5 pessoas, cada pessoa deu 4 cartões: 1 para cada participante, menos para ele mesmo, é claro! Nesse caso, teríamos 20 cartões pendurados na árvore: 5 4 20
A partir desse raciocínio, copie e complete a tabela abaixo em seu caderno. Número de pessoas que participavam da festa
Número de cartões que cada pessoa deu
Número de cartões na árvore de Natal
5
4
5 4 20
6 7 8
5
6 5 30
• 6; 7 6 42 • 7; 8 7 56 • x 1; x ( x 1) 156
x
O número de cartões na árvore é 156. Representando o número de pessoas por x , podemos
( 1) 156 A solução deste problema é um número natural, pois x representa o número de pessoas. Como x e x 1 são números consecutivos,
escrever uma equação para representar o problema:
podemos resolver o problema por tentativas, procurando dois números consecutivos que multiplicados resultam em 156:
x x
...
10 × 9 90
11 × 10 110
12 × 11 132
n o o t r a C a r t s u l I
13 × 12 156
A partir do quadro, podemos concluir que o número de pessoas é 13. Outro caminho é resolver a equação obtida usando a fórmula geral: x ( x 1)
156
x 2 x 156 x 2 x 156 a 1; b Δ
x x 1
0
1
e c 156
b2 – 4ac 1 – 4 · 1 · (–156) b
2a 26 2
Δ
625
1 625 2
13 e x 2
24
2
Há problemas em que pensar numa solução como a sugerida acima pode ser difícil ou trabalhoso demais. Nesses casos, representar e resolver o problema por meio de uma equação é uma boa opção.
12
Como o número de pessoas não pode ser negativo, desconsideramos a solução x 12 e concluímos que 13 pessoas participaram da festa. E Q U A Ç Õ E S D O 2 o G R A U
e r o t a n e S o i l é H : s e õ ç a r t s u l I
59
3. O retângulo representado abaixo tem 26 cm de perímetro e 40 cm 2 de área. Quais são as medidas de seus lados?
Sem problema! Vamos escrever equações para representar as informações do problema.
Epa! Temos duas incógnitas: x e y . E A D
o c i g á M s i p á L
y
x
Como o perímetro é de 26 cm, temos que: x x y y 26, ou 2 x 2y 26, ou ainda, dividindo ambos os membros da equação por 2: • x y 13 A área é de 40 cm 2, isto é: • x y 40 Temos um sistema de equações nas incógnitas x e y . Vamos resolvê-lo: x y 13 x y 40 Quais são os dois números que somados resultam em 13 e multiplicados resultam em 40? Se você descobriu, confira com a solução do sistema de equações que resolvemos ao lado. Sempre que possível, exercite o raciocínio e utilize o cálculo mental para resolver problemas!
Se x y 13, então y 13 x . Substituiremos y por 13 – x na segunda equação: x y 40 x @13 x # 40 13 x x 2 40 Organizando a equação: x 2 13 x 40 0 a 1; b 13 e c 40 132 4 @1 # @40 # 169 160 9 x
13 2
x 1
13
3
2
10 2
3 x 2
13 2
3
16 2
Falta determinar y . y 13 x y 13 5 8 Para x 5 y 13 8 5 Para x 8 As soluções do sistema são x 5 e y 8, ou x 8 e y 5. Em ambos os casos, os lados do retângulo medem 5 cm e 8 cm. 60
5
8
Exercícios O quadrado da quantia que Carlos possui, aumentado do dobro da mesma quantia, é igual a R$ 35,00. Quanto Carlos possui?
Uma caixa na forma de um bloco retangular tem 1200 cm3 de volume. Quais são as 8 cm, 10 cm e 15 cm dimensões da caixa?
28
34
R$ 5,00
x 2 2 x 35
Perguntada sobre sua idade, Juliana respondeu: 29
O quadrado de minha idade menos o seu quíntuplo é igual a 104.
15 cm
x
x
15 x ( x 2) 1200 o c i g á M s i p á L
2
x 8 x 10 (não convém)
x 2 2 x 80 0
Para que valor de x a área do quadrado é igual à área do retângulo? x 5 35
(2 x )2 5( x 2 x x )
Qual é a idade de Juliana? 13 anos
x 2 5 x 104
2x
(Unicamp-SP) Ache dois números inteiros positivos e consecutivos sabendo que a soma de seus quadrados é 481. 15 e 16 30
x
x
5
x 2 ( x 1)2 481
A área de um retângulo é de 84 m2. A medida do comprimento supera em 5 m a medida da largura. Quais são as dimensões desse retângulo? 31
12 m e 7 m
x (x 5) 84
Se um quadrado de lado 5 cm tiver seu lado aumentado de x, passará a ter uma área de 49 cm2. Quanto vale x? 2 cm 32
(5 x )2 49
Um quadro tem forma retangular de dimensões externas 12 cm 15 cm. A moldura tem largura x uniforme, e a área da região interna à moldura é 88 cm2. Qual é a largura da moldura? 36
2 cm
15 cm
x
e r o t a n e S o i l é H
5 5
x
x
Um estacionamento retangular tem 23 m de comprimento por 12 m de largura. O proprietário deseja aumentar a área para 476 m2, acrescentando duas faixas laterais de mesma largura. Qual deve ser a medida da largura da faixa acrescida? 5 m 33
( x 23)( x 12) 476 x 2 35 x 200 0
x
23 m
1 2 c m
x (15 2 x ) (12 2 x ) 88 2 x 2 27 x 46 0
x 2 x 23
2
(não pode ser)
A soma das idades de dois irmãos é 12 anos, e o produto delas é 35. Calcule essas � idades. 5 anos e 7 anos x y 12 � 37
1 2 m
x y 35
�
Quais são as dimensões de um terreno retangular que tem 70 m de perímetro e 250 m 2 �2 x 2 y 70 de área? 10 m e 25 m � x y 250 38
E A D : s e õ ç a r t s u l I
x
�
E Q U A Ç Õ E S D O 2 o G R A U
61
7. Soma e produto das raízes de uma equação do 2o grau Escrevemos duas equações do 2 o grau e suas raízes: • x 2 5 x 6 0 tem como raízes x 1 2 e x 2 3 a 1; b 5 e c 6 Observe que: x 1 x 2 2 3 5 e x 1 x 2 2 3 6 • x 2 2 x 3 0 tem como raízes x 1 3 e x 2 1 a 1; b 2 e c 3 Observe que: x 1 x 2 3 1 2 e x 1 x 2 3 1 3
Fazendo essa atividade, você perceberá que a soma das raízes e o produto das raízes têm alguma relação com os valores de a , b e c . Vamos descobrir qual é essa relação? Acompanhe!
Copie e complete a tabela, encontrando primeiro as raízes x 1 e x 2 de
5 3 4
cada equação. Equação
x
x
1
2
–2 –5 1
x
1
–10 –15 4
3 –2 5
x
2
x
1
x
2
x 2 3x 10 0 a 1; b 3
e
c 10
x 2 2x 15 0 a 1; b 2
e
c 15
o c i g á M s i p á L
x 2 5x 4 0 a 1; b 5
e
c 4
Pela fórmula geral, as raízes de uma equação do 2 o grau são: x 1
b
2a
M
b
e x 2
M
2a
. Então,
se anulam
• x 1 x 2
• x 1 x 2
b
M
2a
b
2a
M
b
M
2a
b
2a
M
2b
Finalmente: x 1 x 2
2a
(b M ) (b M ) 2 4a
b
(b)2 (M )2 4a2
a
Como b2 4ac , temos: x 1 x 2 62
b2 (b2 4ac ) 4 a2
b2 b2 4ac 4 a2
4ac 4 a2
Finalmente: x 1 x 2
c a
b a
b2 4a2
Chamando de S a soma e de P o produto das raízes de uma equação do 2 o grau que tenha raízes reais, temos: S ba e
Se tivermos a = 1, a equação pode ser escrita como x 2 S x P 0.
c
P a
Na equação x 2 5 x 6 0, temos a 1. Então: S 5 P 6
Quais são os números cuja soma é 5 e o produto é 6?
2 e 3, é claro! As raízes da equação são x 1 = 2 e x 2 = 3.
o c i g á M s i p á L : s e õ ç a r t s u l I
Essas relações podem nos ajudar a resolver algumas equações do 2 o grau mentalmente. Veja mais exemplos a seguir. 1. Quais são as raízes da equação x 2 4 x 3
0 ?
Como a 1, temos que S 4 e P 3. Procuramos dois números que somados resultam em 4 e multiplicados resultam em 3. Os números são 1 e 3, pois 1
3 4
e 1 3 3.
Descobrimos mentalmente que as raízes da equação x 2 4 x 3 0 são 1 e 3. 2. Quais são as raízes da equação a 2; b 10 e c 0
S P
c a
b a
10
2
5
2 x 2 10 x 0 ?
Soma 5 e produto zero... Já sei: as raízes são 0 e 5.
0
Fique atento!
Nem sempre é fácil descobrir as raízes mentalmente. Por exemplo, na equação 2 x 2 5 x 3 0 5 3 teríamos de descobrir números cuja soma é e cujo produto é . Aí fica mais fácil aplicar a 2 2 fórmula geral para resolver a equação. E Q U A Ç Õ E S D O 2 o G R A U
63
Escrevendo uma equação do 2o grau Até o momento, tomávamos uma equação do 2 o grau e encontrávamos suas soluções ou raízes. Faremos o contrário agora. Pensaremos nas soluções, e aí obteremos uma equação que tenha essas soluções. Vamos escrever uma equação que tem raízes iguais a 4 e 7. • A soma das raízes é 4 7 11 S 11 • O produto das raízes é 4 7 28
P 28
• Usando a forma x 2 S x P 0 , obtemos a equação x 2 11 x 28 0. Marina pensou diferente. Leia o que ela disse e acompanhe como chegou a uma equação que tem raízes 4 e 7.
Eu pensei em uma equação em que apareça um produto igual a zero, como fizemos anteriormente...
Se um produto é igual a zero, então pelo menos um dos fatores é zero. As soluções da equação ( x 4) ( x 7) 0 são x 4 ou x 7 Aplicando a propriedade distributiva Marina obteve: x 2 7 x 4 x 28 0 x 2 11 x 28 0
Vamos acompanhar mais um exemplo? Escreveremos a equação com soluções
2
• Soma das raízes: 2 5 3 Produto das raízes:
e 5 utilizando cada uma das ideias que vimos acima:
S3
2 5 10
Equação: x 2 S x P 0
P 10 2
x
3 x 10 0
• Produto igual a zero A equação ( x 2)( x 5)
0
tem soluções
2
ou 5.
Aplicando a propriedade distributiva: x 2 5 x 2 x 10 2
x
3 x 10 0
0
x 2
0 ou x 5 0 x 2 ou x 5
Qual dos dois procedimentos você prefere? e r o t a n e S o i l é H : s e õ ç a r t s u l I
64
Exercícios Calcule a soma e o produto das raízes das equações.
Dois números reais têm soma 7 e produto 6. Quais são eles? Os números são 1 e 6.
39
a) x2 7 x 10 0
Só vale cálculo mental!
S 7 e P 10
b) 2 x2 10 x 12 0 c) 8 x2 7 0
43
S 5 e P 6
S0eP 7 8
d) 1 12 x 9 x2
7 6
Tente resolver mentalmente as equações. Isso se torna mais fácil se a equação tiver coeficientes inteiros e o coeficiente de x2 for 1. 44
1 S 4 e P = 3 9
e r o t a n e S o i l é H
Para começar, encontre dois números que tenham soma 8 e produto 15.
A soma de dois números é 19, e o produto, 88. Esses números são as raízes de qual equação? 40
a) x2 + 88 x – 19 = 0 b) x2 – 88 x + 19 = 0
3; 5
b) x2 3 x 10 0
2; 5
c) x2 4 x 12 0
6; 2
d) x2 x 90 0
10; 9
Mateus queria obter uma equação de 2o grau cujas raízes fossem 2 e 3. Ele pode ter obtido a equação: 45
c) x2 + 19 x + 88 = 0 x d) x2 –
a) x2 8 x 15 0
19 x + 88 = 0 a) x2 x 1 0
As raízes de uma equação de 2 o grau têm por soma 3 e por produto 1 . Essa equa4 8 ção é: 41
x a)
x 2 3 x 1
8 x2 6 x 1 0
4
8
0
b) 8 x2 6 x 1 0 1 x 1 0 x2 c) 3 4 8 d) 3 x2 1 x 1 0 8 4 (Cesep-PE) Qual deve ser o valor de m na equação 2 x2 mx 40 0 para que a soma de suas raízes seja igual a 8?
b) x2 x 6 0 x
c) (x 2) (x 3) 0 d) (x 2) (x 3) 0 Somente uma das equações abaixo tem as raízes 2 e 3. Qual é? 46
a) x2 5 x 6 0
c) 2 x2 5 x 6 0
b) x2 5 x 6 0
x d) x 5 x 6 0
2
42
a) 8 x b) 16
8 m 2 m 16
c) 8 d) 16
Se m e n são as raízes da equação x2 4 x 1 0, então (m 7) (n 7) vale: 47
a) 49 x b) 78
(m 7) (n 7) mn 7 (m n) 49 1 7 4 49 c) 57 78
d) 60
E Q U A Ç Õ E S D O 2 o G R A U
65
Vale a pena ler O furto da fórmula
PMR9090
A partir dos séculos XV e XVI, abre-se entre os matemáticos italianos uma das páginas mais curiosas da história da Matemática. Naquela época, a Itália era um dos maiores centros comerciais do mundo. Florença e Veneza progrediam a passos largos. Nesse ambiente conviviam desde as pessoas que tinham prática em cálculo até os mais famosos algebristas [...].
◆
s i r a P , s o p a L e d a c e t o i l b i B
Detalhe de miniatura francesa do século XV, que retrata o comércio medieval. Anônimo (escola francesa). Uma rua com lojas, século XV.Iluminura.
Os algebristas tinham por costume fazer debates públicos para resolver problemas algébricos, promovendo suas descobertas e proezas na Matemática. Nesse tempo, estourou uma verdadeira guerra, que tinha como objeto a equação do terceiro grau. Tudo começou em 1494, quando Fra Luca Pacioli, na Summa de Arithmetica, afirmou que os matemáticos não sabiam solucionar uma equação do terceiro grau por métodos algébricos. O primeiro a aceitar o desafio foi o professor de Matemática da Universidade de Bolonha, Scipione del Ferro. Scipione conseguiu achar a solução para a equação do tipo x 3 bx c 0, mas por muito tempo manteve segredo sobre isso. Foi aí que entrou em cena o matemático Niccolo Fortana. ◆
Fra Luca Pacioli.
Quem era Tartaglia
Em 1512, os franceses invadiram a cidade italiana de Bréscia. Niccolo Fortana tinha 12 anos e morava lá. Todos os habitantes refugiaram-se na catedral. Isso de nada valeu, pois os invasores fizeram terrível chacina. Niccolo escapou vivo, mas com grandes ferimentos, inclusive na boca, o que produziu uma enorme cicatriz que o tornaria gago para o resto da vida. O defeito valeu-lhe o apelido de Tartaglia. Muito pobre para frequentar uma escola, o pequeno Niccolo arrumou um livro para estudar e usava as pedras sepulcrais do cemitério como lousa. Vencendo todos os obstáculos, Tartaglia torna-se professor de Niccolo Fortana (Tartaglia). Matemática e Mecânica. Pressentindo que ia morrer, Scipione revelou a um de seus alunos, Antonio Fiore, a solução da equação do terceiro grau. Com a fórmula, Fiore desafiou o matemático Niccolo Fortana, de apelido Tartaglia, a resolver 30 problemas do terceiro grau. Em contrapartida, Fiore deveria resolver 40 problemas propostos por Tartaglia. Em 40 dias, Niccolo resolveu os problemas. Mas Fiore não conseguiu resolver nenhum dos apresentados por Tartaglia. ◆
66
e r o t a n e S o i l é H : s e õ ç a r t s u l I
Tartaglia sabia que Fiore conhecia a solução da equação x 3 bx c 0, mas desconhecia a solução da equação x 3 ax 2 c 0, que era uma descoberta sua. Todos os problemas por ele apresentados teriam que ser resolvidos com essa equação. Tanto Tartaglia como Scipione só conseguiram resolver equações “incompletas” do terceiro grau. Nas de Scipione faltava o termo em x 2. Nas de Tartaglia faltava o termo em x . Mas foi na solução da equação completa que surgiu o roubo da fórmula, com a intromissão do inescrupuloso matemático italiano Geronimo Cardano (1501-1576). Com muita astúcia, Cardano conseguiu que Tartaglia lhe revelasse o Geronimo Cardano seu método de resolução da equação do terceiro grau, comprometendo-se a guardar absoluto segredo. Quebrando todos os juramentos feitos, publicou a solução no livro Ars Magna, no qual ainda afirmava que era ele o autor da descoberta. Indignado, Tartaglia desafiou Cardano para um debate público. Este fugiu do confronto direto, mandando no lugar seu melhor aluno, Ludovico Ferrari, que foi totalmente derrotado. Apesar de tudo, Cardano teve seus méritos, pois, na Ars Magna, resolvera a equação completa do terceiro grau, apresentara a solução da equação do quarto grau e, além do mais, ainda considerara os números negativos como números. (...) Os matemáticos italianos da época, embora sem muito rigor, prepararam o campo para o formidável desenvolvimento que a Matemática iria ter nos séculos seguintes.
e r o t a n e S o i l é H
◆
Equações de vários graus
A equação do segundo grau, ou quadrática, é uma expressão da forma ax 2 bx c 0, em que a, b e c são números conhecidos, e x é uma incógnita, que se deseja conhecer.
Para isso, usa-se a seguinte fórmula: b
x
b2 4ac 2a
A equação do terceiro grau expressa na forma: ax 3 bx c 0 pode ser resolvida por meio da seguinte fórmula, já bem mais complicada: x
3
c
2a
2
2 3 c
a
b
a
3
3
c
2a
2
2 3 c
a
b
3
a
A solução de uma equação do quarto grau usando-se fórmulas em que intervêm os coeficientes conhecidos sob os sinais de raiz é tão complicada que, na prática, os matemáticos lançam mão de outros processos de cálculo. As equações de grau maior que quatro não têm uma fórmula de resolução usando-se radicais. Isso, contudo, não significa que não possamos resolver uma equação do quinto grau, do sexto grau etc. A solução de equações de grau maior que quatro, hoje em dia, é encontrada por processos de aproximação ou usando-se computadores eletrônicos, quando elas são muito complicadas. Antônio Marmo Oliveira. A Álgebra e o furto da fórmula. In: Matemática – Por quê e para quê? Rio de Janeiro: SBPC; Editora Global, 1999. v. 8. p. 29-30. (Coleção Ciência Hoje na Escola).
E Q U A Ç Õ E S D O 2 o G R A U
67
8. Equações fracionárias que recaem em equações do 2o grau Equações fracionárias são equações que apresentam pelo menos um termo com incógnita no denominador.
Você já resolveu equações fracionárias; vamos recordar com um exemplo: Determinaremos o valor de x na equação
x x
5 3
2 3
2 .
Primeiro é preciso observar para que valores de x a equação não existe. Sabemos que não existe divisão por zero. Temos x 3 no denominador de um dos termos. É preciso termos x 3 0, ou seja, a condição de existência dessa equação é x 3. Agora escreveremos todos os termos da equação num mesmo denominador. Como nas frações numéricas, esse denominador deve ser um múltiplo dos denominadores originais. 3 ( x 3) é uma boa escolha, já que é o mmc dos denominadores. 3 ( x 5) 3 ( x 3)
2 ( x 3) 3 ( x 3)
Multiplicamos ambos os membros da equação por 3 ( x 3) cancelando os denominadores.
6 ( x 3) 3 ( x 3)
3 ( x 5) 2 ( x 3) 6 ( x 3) x 3 x 3 Como x é diferente de
3,
a equação tem solução 3.
Agora vamos resolver um problema...
Os alunos do 9 o ano contribuíram todos com certa quantia para comprar o presente de uma colega que faria 15 anos. O presente custaria R$ 180,00. No dia da compra, dois alunos desistiram de participar, o que fez com que os alunos restantes precisassem dar mais R$1,00 cada um para comprar o presente. Quantos alunos há no 9 o ano? Quanto coube a cada um pelo presente? Vamos chamar de x o número de alunos do 9 o ano. Como o presente custa R$ 180,00, obtemos o valor que cada um pagaria inicialmente fazendo 180 . x
Como dois alunos desistiram de participar, ficamos com x 2 alunos, e a quantia que coube a cada um é calculada fazendo 180 . x 2 A diferença entre as duas quantias é de 1 real. Matematicamente, escrevemos: 180
x 2 68
180 x
1
Obtivemos uma equação fracionária. Observe que antes de resolvê-la é preciso escrever que devemos ter x 0 e x 2. 180
x 2
180
x
1
O mmc de x e x 2 é x ( x 2) 180 x x (x 2)
180 ( x 2) x (x 2)
x ( x 2) x (x 2)
Multiplicamos ambos os membros da equação por x ( x 2) cancelando os denominadores. 180 x 180 x 360 x 2 2 x 360 x 2 2 x x 2 2 x 360 0 a 1; b 2 e c 360 ∆ 4 4 1 (360) 1 444
x 2
2
38
É uma equação do 2o grau. e r o t a n e S o i l é H
x 1 20 x 2 18
Não serve, pois x é número de pessoas.
o n i u g u S
n o s l i N
Há, portanto, 20 alunos no 9 o ano, mas somente 18 participaram da compra do presente, cabendo a cada um a quantia de R$ 10,00 (180 18 10).
Junte-se a um colega para resolver o problema. Vocês sabem que, se x é um número diferente de zero, então o inverso de x é 1 . x
Existem dois números que quando somados ao triplo do seu inverso resultam em 13 . 2 Descubram quais são esses números. Os números são 6 e 12 .
E Q U A Ç Õ E S D O 2 o G R A U
69
Exercícios Resolva as equações. 4 a) x 5 0 4; 1 48
(Mack-SP) Um grupo de amigos reunidos em um restaurante resolveu “rachar” a conta de R$ 600,00. No entanto, dois deles perceberam que estavam sem dinheiro, o que fez cada um dos outros contribuir com mais R$ 10,00. Sendo x o número total de pessoas, a equação que melhor representa a situação é: 52
x
10 x 3 3
b) c)
x
x
3 ; 3 5 2
7
6 2 x
4 x
x 3
d) e)
3
2 5
1 x
3
1
6 0 x2 x
5
4
2
; 1
5 ; 1 6
2 0 3; 6 x 3 x2 x 8 x 2 1 x 15 ; 1 g) 2 x 3 2 x 4 4 2 49 (PUC-RJ) Se 1 2 0, então vale: f)
x 12
x
x a)
x
e r o t a n e S o i l é H
x
1 x 2
b) 2
x 2
4 x 4 0
x 2
1 2 Então: 2 2 1 2 x 1 d) 4 50 (PUC-SP) Considere o seguinte problema: “Achar um número que, somado com 1, seja igual ao seu inverso”. Qual das equações representa esse problema? a) x² – x 1 = 0 1 ≠ c)
Seja x 0 o número;
x b) x² x –
1=0
x + 1 = 1 x
⇒ x ²
x
o seu inverso.
+ x – 1 = 0
c) x² x – 1 = 0 d) x² x 2 = 0 Resolva as equações. x 5 a) (USU-RJ) x 1 = 0 –3; 2 x – 1 2 1 b) (UFMG) = 2 32 ; 3 x – 1 x – 2 2 2 x 1 c) (UFPA) = 1 –5; –2 x2 – 9 x – 3 2 1 x 2 d) (Fuvest-SP) + = – –2; 1 x – 2 2 2 51
70
600 – x + 2 600 – x b) x – 2 600 c) – a)
600 = 10 x – 2 600 = 10 x
600 = 10 x x – 2 590 600 d) – = 10 x x – 2 53 (FGV-SP) A quantia de R$ 4.000,00 deveria ser repartida para um certo número de crianças. No entanto, quatro crianças deixaram de comparecer, aumentando com isso em R$ 50,00 a quantia para cada uma das crianças restantes. Qual era o número inicial de crianças? a) 10 4 000 + 50 = 4 000 c) 30 x
x b)
20
x – 4
x ² – 4 x – 320 = 0
x = 20
d) 40
x = –16 (não convém)
(PUC-MG) Uma criança gastou R$ 36,00 comprando chocolates. Se cada chocolate custasse R$ 1,00 a menos, ela poderia ter comprado mais 3 chocolates. O número de chocolates comprados por essa criança foi: 36 – 1 = 36 a) 4 x c) 9 54
x
b) 6
x + 3
x ² + 3 x – 108 = 0
x = 9
d) 12
x = –12 (não convém)
9. Equações biquadradas Vamos resolver a equação x 4 7 x ² 12 0 .
Sim, mas podemos resolvê-la por meio de uma substituição conveniente. Vamos ver?
e r o t a n e S o i l é H
Mas essa é uma equação do 4 o grau! 4
x
7 x 2 12 0
Lembrando que x 4 ( x ²)², vamos reescrever a equação assim: ( x ²)² 7 x ² 12 0 Substituiremos x ² por y na equação: y ² 7 y 12
0
(Recaímos numa equação do 2 o grau, que sabemos resolver.)
∆ 49 48 1
y
7 1 2
y 1 4 y 2 3
Agora podemos determinar os valores de x , pois x ² y . Para y 4: x ² 4 4 x x 2
Para y 3: x ² 3 3 x
Então, 2, 2, 3 e 3 são as raízes da equação x 4 7 x ² 12 0. Resolvemos uma equação biquadrada. Toda equação da forma ax 4 bx ² c 0 com a 0 é chamada de equação biquadrada.
E Q U A Ç Õ E S D O 2 o G R A U
71
Veja mais um exemplo de resolução desse tipo de equação. Resolveremos a equação x 4 3 x 2 4 0 substituindo x 2 por y : y 2 3 y 4 0 ∆ 9 16 25
y
y 1 4
3 5 2
y 2
1
Como x2 y, temos: Para y 4: x 2 4 x 2
Para y 1: x 2 1
Então, a equação tem como soluções
Não há número real que elevado ao quadrado resulte em um número negativo.
2
e 2.
10. Equações irracionais Vamos resolver a equação
x 1
2
.
Elevaremos os dois membros da equação ao quadrado:
[
2 ] x 1 22
x 1
4
x 4
1
x 3
Incógnita no radicando... Ainda não tínhamos visto equações desse tipo.
Equações que têm incógnita no radicando são chamadas de equações irracionais.
e r o t a n e S o i l é H
Agora devemos verificar se a solução encontrada satisfaz a equação original, pois nem sempre isso acontece. Substituindo x por 3: x 1 2 3 1 2 4 2 Verificado: 3 é a raiz da equação. 2 2 (igualdade verdadeira)
72
Acompanhe mais exemplos de resolução de equações irracionais. 1.
2 x 5
4 3
.
Somaremos 4 a ambos os membros da equação: 2 x 5 1 No primeiro membro da equação, ficamos somente com o radical. Agora elevamos ambos os membros ao quadrado: 2
[
2 x 5 ] 12 2 x 5 1 2 x 1 5 2 x 6 x 3 É preciso verificar se x 3 satisfaz a equação inicial: 2 x 5 4 3; para x 3 fica: 2 3 5 4 3 6 5 4 3 1 4 3
Concluímos que x 3 é solução da equação.
1 4 3 3 3 (igualdade verdadeira) 2. x 1
x 5 . 2
( x 1)2 [ x 5 ] x 2 2 x 1 x 5 x 2 2 x 1
x 5 0
x 2 3 x 4
0
∆ ( 3) 2 4 1 (4) ∆ 9 16 25
x
3 5 2
x 1
3 5 2
x 2
3 5 2
1
4
Voltamos à equação original para verificar as soluções: x 1
x 5
• Para x 4: 4 1 4 5 3 9 3 3 (Verdadeiro!)
• Para x 1: 1 1
1 5
4 2 2 (Falso!) 2
Consideramos somente a solução x 4. E Q U A Ç Õ E S D O 2 o G R A U
73
Exercícios Considere a equação 4 x4 37 x² 9 0.
55
a) Essa equação é biquadrada?
Sim.
Um número real é tal que sua quarta potência é igual a 4 somado com o triplo de seu ou –2 quadrado. Qual é esse número? x 2 = 4 + 3 x 59
4
o
b) Qual é a equação do 2 grau que se obtém ao substituir x² por y ? 4 y ² – 37 y + 9 = 0 c) Quais são as raízes da equação do item b? d) Quais são as raízes da equação 1 1 4 x4 37 x2 9 0? 3; – 3; 2 ; – 2
Equação biquadrada
9 ou 1 4
60
x 12 b) 2M
a) x4 16 x2 0
4;
5 x 10
3 x 2
d) 3 3 x 1
18
3 x 6
b) 11 x4 7 x2 4 0 c) 4 x4 5 x2 9 0 d) x4 8 x2 15
Não tem raízes reais. 3 ; 3
2;– 2;3 2;–3 2
(Unirio-RJ) O produto das raízes positivas de x4 11 x2 18 = 0 vale: 57
a) 2M 3
y 2 – 11 y + 18 = 0
3M 2
Então: x 2 = 9
c) 4M 2
Então: x 2 = 2
d) 5M 3
P=3
x b)
y = 9 y = 2 x = 3
(UGF-RJ) A diferença entre a maior e a menor raiz da equação x4 – 13 x2 + 36 = 0 é:
b) 4 c) 5 x d)
6
74
• x – x = 20
64 (Fuvest-SP)
Subtraindo-se 3 de um certo número, obtém-se o dobro da sua raiz quadrada. Qual é esse número? 9 x = 9 x – 3 = 2 x
x 4 = y 2
Temos: y 2 – 13 y + 36 = 0
4
x a)
80 m
b) 75 m
y = 9 x = 2
c) 55 m
x = –2 x = 3
D = 3 – (– 3) = 6
x = –3
5 x 5
Se o tempo t da queda é de 4 segundos, a altura x é: 5 x
y = 4
Como x 2 = y , vem: �A x 2 = 4 � 2 �B x = 9
x = 1 (não convém)
(Vunesp) O tempo t , em segundos, que uma pedra leva para cair de uma altura x, em metros, é dado aproximadamente pela fórmula: 65
2
x = –
d) 16
A diferença entre um número e sua raiz quadrada é 20. Calcule esse número. 25
t
2 = 3 2
Fazendo x 2 = y
então ( x 2)2 equivale a: c) 8 x
x = – 3 x = 2
58
a) 3
2,
6
63
1; –1
e) x4 36 20 x2 0
25
– 2; 1
b) 4
5; 5;
1
1
2 x
Se x 2 a) 2
0; 4
5
6 2 Não tem raízes reais.
62
Resolva as equações.
x
d)
36
48
7 47
b) 3 x 1
e) 56
c) x 1 7
16
Resolva as equações.
a) x 2
c) “duas vezes quadrada”
Calcule mentalmente o valor de x .
x 3 7 a) M
61 n o o t r a C a r t s u l I
2
d) 40 m
5 20 = ( 5 x )2 2
x = 80
e r o t a n e S o i l é H
Seção livre Ricardo tem uma pequena fazenda onde cria gado. Como não gosta de desperdício, ele reaproveita muitas coisas. Ele precisou trocar a cerca ao redor da fazenda e, no final do serviço, constatou que sobraram 120 metros de tela de arame. Logo teve uma ideia: usar a sobra para cercar um novo pasto para o gado. m o c . e m i t s
Farei um pasto com 1 000 m2 de área.
m a e r D / m i K r e t e P
Como gosta de Matemática e sabe o quanto esse conhecimento é útil, começou a desenhar retângulos que tivessem 120 m de perímetro, procurando aquele cuja área fosse igual a 1 000 m 2.
Perímetro 120 m Área 35 25 875 m2
25 m
35 m
Perímetro 120 m Área 33 27 891 m2 27 m
Perímetro 120 m Área 34 26 884 m2 26 cm
33 m
34 m
x
Isto está demorando muito! Vou usar um sistema de equações para descobrir as medidas.
y
2x 2 y 120 x y 1 000
x
Mas, ao resolver o sistema, Ricardo teve uma surpresa! Não seria possível construir o pasto com a área que ele imaginou. Resolva você também o sistema e descubra por quê. Depois, observando os desenhos de Ricardo, tente encontrar com seus colegas as medidas que Ricardo deve usar para obter a maior área possível de pasto com os 120 m de cerca.
e r o t a n e S
o i l é H : s e õ ç a r t s u l I
x 2 60 x 1000 0 400. O sistema não
y
R
tem solução em . Maior área possível: 900 m 2 (quadrado de lado 30 m).
E Q U A Ç Õ E S D O 2 O G R A U
75
Revisando Indique no caderno as equações que têm as mesmas raízes. 66
a) x2 6 x 8 0
e x2 6 x 8 0
b) x2 6 x 8 0
e x2 6 x 8 0
x2 6 x 8 0
e
x2 6 x 8 0
d) x2 6 x 8 0
e
x2 6 x 8 0
x c)
67
72
Resolva as equações. 0; 1 0; 7 3
a)
2
x
+ x = 0
b) 3x 2 + 7 x = 0
c) 5x 2 – x = 0
0; 1 5
d) –3x 2 + 15x = 0
0; 5
Escreva as equações na forma geral e resolva-as. 73
Resolva as equações. a) x2 7 x 12 3; 4 c)
a) 2 x2 72 0 6; 6
64 4 x2 0 4; 4
b) x2 99 10 x2 3; 3 d) 0,15 x2 0,6 2; 2 68 Existe algum número real x que, elevado
ao quadrado, dê 9? A equação x2 tem raízes reais? Não. Não, porque x 9 0 2
não existe número real que elevado ao quadrado dê
9
x 2
0
9,
e
9.
Os ângulos nos cantos da figura são todos retos. Qual deve ser o valor de x para que a área seja 200 cm2? 5 cm 8x 200
b) 2 x2 3 x 2 x 1
5 17 ; 5 17 4 4
c) 2 x (4 x 1) 21
3; 7 2 4
d) (x 2)2 3 x 4 0; 7 e) 1 ( x 2)2 0 1; 3 f) (3 x 1)2 ( x 2)( x 1) 1 0;
1 2
69
2
x
O quadrado de um número aumentado de 10 é igual a sete vezes esse número. Qual é o x 10 7 x número? 2 ou 5 74
2
x x
x x
Perguntado sobre a idade de seu filho, um pai respondeu: “O quadrado da idade menos o quádruplo dela é igual a 5 anos”. Qual é a x 4 x 5 idade do filho? 5 anos 75
x
3x
x
2
E A D
70
Qual número real é igual ao seu quadrado? 0e1
x 2 x
Copie e complete o quadro, colocando 25; ; 2 >, < ou na coluna do : 44 ; ; 0 71
Para revestir uma parede de 18 m2 são necessários exatamente 200 azulejos quadrados. Quanto mede o lado de cada azulejo? 30 cm 76
n o o t r a C a r t s u l I : s e õ ç a r t s u l I
0; ; 1
valor de ax bx c 0 b2 4ac 2
Número ? 0 de raízes reais
2 x2 7 x 3 0 3 x2 2 x 4 0 x2 4 x 4 0 200 x 2 180 000
76
� x 30 � x 30 �
(não convém)
77
Exercícios
Quais são as raízes da equação? x
2
+
3 x − 6 = 0
−2 3 , 3
A idade que Sílvia terá daqui a 6 anos será igual ao quadrado da idade que tinha há 6 anos. Qual é a idade atual de Sílvia? 10 anos 78
Um terreno de 7 200 m 2 de área vai ser dividido entre herdeiros. Para isso ele foi dividido em seis faixas retangulares iguais, sendo três verticais e três horizontais. O comprimento de cada faixa é o triplo da largura. Qual é o perímetro desse terreno? 360 m 6 (3 x x ) 7 200 82
x 6 ( x 6)2
A área da parte colorida tem 9 cm2. Quanto mede o lado do quadrado maior? 6 cm
x
79
3x E A D : s e õ ç a r t s u l I
x 2
9 4
x 2 36
x 6 x 6
(não convém)
x 20 x 20
(não convém)
P 2 120 2 60 360
O senhor Alípio dispõe de 100 m de tela para construir uma cerca em um terreno retangular com 600 m2 de área. Quais são as di 2 x 2 y 100 mensões dessa cerca? 20 m por 30 m x y 600 83
80
Resolva as equações.
n o o t r a C a r t s u l I
2
x
3 2 x 0 3 3 b) 2 x2 3 x 1 0 12 ; 14 4 2 2 c) x + 1 x + 1 0 3 17 ; 3 2 3 4 2 d) x 1 3 x – 1 0; 6 5 5 2 5
a)
17
4
A figura abaixo representa uma quadra retangular de futebol de salão. A área da quadra é de 117 m2, sendo: 81
(CPII-RJ) Sabendo que o quadrado abaixo é mágico, pede-se: 84
x
x 4
1
6 x 1
b) 3 17 7
2
x
5
2 x 1
13 9 5 11 1 15
x
4 x2 1 x 1 x 2 5 4 x 2 1 6 x 1 x 2 5 2 x 1 x 2 4 x 2 7 x 2 0 x x
a) Determine o(s) valor(es) de .
1 4
b) A partir do(s) valor(es) encontrado(s), escreva
Determine as dimensões dessa quadra. x ( x 4) 117
x 9 x 13
9 m e 13 m (não convém)
o quadrado mágico do item anterior usando apenas valores inteiros. E Q U A Ç Õ E S D O 2 o G R A U
77
Em um campeonato de futebol, disputado em turno e returno, e com todas as equipes enfrentando as demais, foram realizados 56 jogos. Quantas equipes participaram desse campeonato? 8 equipes 85
(
1) = 56
x x
Dica: Para
resolver este problema, vamos esquematizar esta situação:
Desafios Cortando quadradinhos de 1 dm2 nos cantos de uma placa quadrada de papelão e dobrando as abas para cima, obtivemos uma caixa com um volume de 16 dm3. Qual é a dimensão da placa original de papelão? 6 dm 87
1 ( x 2) ( x 2) 16 6 x 2 (não convém)
1 dm
x
• Se fossem 2 equipes, A e B: A recebe B
1 dm
1 dm
B recebe A x
A
B
B
x (
A (x 2)
E A D
Número de jogos: 2 1 2
x
Uma escola quer organizar um torneio esportivo com 10 equipes, de forma que cada equipe jogue exatamente uma vez com cada uma das outras. Quantos jogos terá o torneio? 45 jogos 102 9 45 88
• Se fossem 3 equipes, A, B e C: B C
A
B
A C
) 2
A B
C
r h a Z b i g a N
Número de jogos: 3 2 6
• Se fossem 4 equipes, A, B, C e D: B C D
A
B
A C D
A B D
C
D
A B C
Número de jogos: 4 3 12 (Vunesp) Numa festa de final de ano, da qual participou um certo número de pessoas, ficou combinado que cada participante daria uma pequena lembrança aos demais. E assim foi feito. Quantas pessoas participaram desta festa, sabendo-se que foram trocadas 132 lembranças? 89
E se fossem n equipes?
(n 1)
n
Numa reunião de 6 crianças, se cada uma trocar um aperto de mão com todas as outras, quantos apertos de mão serão ao todo? 15 apertos 86
12 pessoas n o o t r a C a r t s u l I : s e õ ç a r t s u l I
Mara
Ivan
Rui
Lia
Rita
Cida6 5 15 2
Dica: É
preciso levar em conta que, quando Rui estende a mão a Lia e Lia estende a mão a Rui, esses dois cumprimentos devem ser considerados como um só. 78
(
1) 132
n n
12 = 11 (não convém)
n n
Anote, em seu caderno, o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta.
Autoavaliação (PUC-SP) Quantas raízes reais tem a equação 2 x2 2 x 1 0?
Em um losango, a diagonal menor mede x e a diagonal maior, x + 3, em centímetros. Se a área desse losango é de 40 cm 2, então:
90
x
a) 0
b) 1
c) 2
96
(2)2 4 2 1 4 0
d) 3
x
(Obmep) Mariana entrou na sala e viu no quadro-negro algumas anotações da aula anterior, parcialmente apagadas, conforme a figura. Qual número foi apagado na linha de cima do quadro? 91
a)
2
3 x 80
=0
2
6 x 80
=0
2
3 x 80
=0
x
b)
x
c)
x
x ( x 3) 40
2
d) 2 x2 6 x 40 = 0
a) 11 2 x
b) 12
2
– ... x + 60 = 0
c) 20
raízes: x = 6 e x = ...
As soluções da equação ( x 3) (2 x 4) 0
são: a) 2 e 3
c) 3 e 4
b) 3 e 4
x d) 3
e2
(PUC-SP) Uma das raízes da equação 0,1 x2 0,7 x 1 0 é: 93
2
c) 0,2
b) 7
d) 0,5
x a)
x
O quadrado de um número natural é igual ao seu dobro somado com 24. O dobro desse número menos 8 é igual a:
2
x
3
3 x2 6
1 2
c) 2 e 2 d) 6 e 6
b) 3 e 3
• 2 · 62 – 6b + 60 = 0, ou seja, b = 22
92
são: a) 2 e 2
d) 22
x
As soluções da equação
97
(Vunesp) Um salão retangular tem área de 204 m2 e seu comprimento tem 5 m a mais do que sua largura. As dimensões desse salão são: 98
x ( x 5) 204
x a)
17 m e 12 m
b) 19 m e 24 m
c) 21 m e 16 m d) 24 m e 8,5 m n o o t r a C a r t s u l I : s e õ ç a r t s u l I
94
a) 3 x 2 2 x 24 x
x 6 x –
b) 4 2 x – 8 2 · 6 – 8 4
c) 5
4 (não convém)
d) 6
(ETF-SP) As áreas do quadrado e do retângulo abaixo são iguais. Sabendo-se que a medida dos lados de ambos está em centímetros, o valor da 7 x x 8 área é: 2 99
2
x 2 28 x
95
a) x b)
(Fuvest-SP) Se x (1 x) 1 , então: 4
x
x
0
1 2
x x 2
1 4
c)
x
1
d)
x
4 x 2 4 x 1 0
x 1 x 2
1 2
1 4
x 0 x 28
A 282 784 7
x
2
8
x
E A D
x
a) 592 cm2 b) 850 cm2
c) 224 cm2 x d) 784
cm2
E Q U A Ç Õ E S D O 2 o G R A U
79
100 (UFPA)
As dimensões de um retângulo são indicadas por x 2 e x 2. Se esse retângulo tem 12 m2 de área, seu perímetro é, em metros, igual a: ( x 2) (x 2) 12
a) 10
b) 12
c) 14
x d)
16
Num terreno de 99 m2 de área será construída uma piscina de 7 m de comprimento por 5 m de largura, deixando-se um recuo x ao seu redor para construir um calçadão. 10 1 (Saresp)
Um terreno retangular de área 875 m2 tem o comprimento excedendo em 10 metros a largura. Quais são as dimensões do terreno? Escreva no caderno a equação que representa o problema acima: x (x 10) 875 x 2 10x 875 0
x a)
x2 10 x 875 0
b) x2 10 x 875 0
x
c) x2 10 x 875 0
7m
d) x2 875 x 10 0
5m
x
10 4 (PUC-SP)
10 5 A
idade de Rodrigo daqui a 4 anos multiplicada pela idade que tinha há 7 anos é igual a 5 vezes a sua idade atual aumentada de 5. A idade atual de Rodrigo é: ( x 4)( x 7) 5 x 5
x x
� � � � ��
Daqui a Há 7 anos. 4 anos.
Dessa forma, o recuo x deverá medir: (7 2 x ) (5 2 x ) 99
a) 1 m
x
b) 2 m
c) 5 m
x 2 6 x 16 0
d) 8 m
x 2 x 8 (não convém)
10 2 (Saresp)
O perímetro de um retângulo é 20 m, e sua área é 24 m 2. Dessa forma, podemos afirmar que as dimensões desse retângulo são: a) 2 m e 12 m b) 3 m e 8 m
c) 3 m e 7 m x d)
4me6m
� 2 x 2 y 20 � x � y 24
figura mostra duas salas quadradas e um corredor retangular que têm, juntos, 84 m2 de área. O corredor tem 1 m de largura, e cada sala tem x metros de lado. As raízes da equação que permitem calcular o valor de x são: n o o t r a C a r t s u l I : s e õ ç a r t s u l I
x
x c)
b) 9 anos. x 2
8 x 33 0
11 anos.
d) 12 anos. x 11 x 3 (não convém)
106 (Vestibulinho-SP)
Mário e Paulo são irmãos. Atualmente, a idade de Mário é igual ao quadrado da idade de Paulo. Daqui a 8 anos, a idade de Mário será o dobro da idade de Paulo. Hoje, as idades de Mário e Paulo Paulo são, respectivamente: Mário: x 2 Paulo: x
10 3 A
1
a) 3 anos.
a) 4 e 2
x c)
b) 9 e 3
x 2 8 2( x 8)
16 e 4
Mário
d) 25 e 5 2 x 8 0
x 2
x 4 x 2 (não convém)
107
(Saresp) Um laboratório embalou 156 comprimidos de analgésico em duas caixas, uma com duas cartelas de x comprimidos cada e outra com quatro cartelas de y comprimidos cada. Sabendo-se que y é o quadrado de x, quantos comprimidos havia em cada cartela? � 2 x 4 y 156 � y x 2 �
a) 4 e 16 x a)
6 e –7
b) 7 e –6
80
2 x (x 1) 84 c) 2 x 2 2 x 84 0 x I 6 d) x II 7
12 e –7 7 e –12
Dobro Daqui a 8 anos.
b) 5 e 25 4 x 2 2 x 156 0
x c)
6 e 36
d) 7 e 49 x 6 x 13 (não convém)
2
UNIDADE UNIDADE
3
Sistema cartesiano 1. Localização Abra a porta do meio do armário. O boné está na prateleira de cima. Mãe! Onde você guardou o meu boné?
o c i g á M s i p á L
Com as instruções dadas pela mãe, Lúcio encontrou seu boné. É comum precisarmos localizar um objeto, uma rua, um lugar... No trecho de estrada retilínea ilustrado abaixo, há um posto de gasolina. A figura não traz informações para localizá-lo.
E A D
A
B
ESTRADA
A e B são cidades.
20 km
SISTEMA CARTESIANO
81
E se acrescentarmos uma informação: o posto está a 40 km da cidade B?
Melhorou, mas temos duas localizações possíveis para o posto.
o c i g á M s i p á L
B
?
A
?
•
• ESTRADA
40 km
20 km
40 km
Com uma última informação definimos a localização: seguindo pela estrada da cidade B para a cidade A, o posto está a 40 km da cidade B . n o o t r a C a r t s u l I
B
E A D
A
• ESTRADA
20 km
40 km
Repare que, além da distância, precisamos informar a direção e o sentido. Observe, nesta ilustração, que as pessoas caminham na mesma direção, mas em sentidos opostos.
Nas linhas pretas desta figura, quantas direções e quantos sentidos podemos identificar?
Duas direções e quatro sentidos. E A D
n o o t r a C a r t s u l I
82
e r o t a n e S o i l é H
Jair é um técnico de tráfego e monitora o trânsito de uma cidade por meio de câmeras instaladas em diversos pontos. Uma das câmeras mostrou um acidente sem vítimas, como você vê na ilustração ao lado. Uma viatura policial trafega na Rua Margarida. Que informações Jair deve passar por rádio para que a viatura localize rapidamente o local do acidente?
Virar à esquerda na Rua Semente e à esquerda novamente na Av. do Sol.
A
8 7
Para copiar este logotipo, Lúcio quadriculou o desenho original, marcou alguns pontos e numerou as linhas horizontais e verticais. Numa folha de papel quadriculado ele localizou os pontos e reproduziu o logotipo.
B
J
C
6 5
I
D
H
E
4 3 2 1 0
G
•
F
1
2
3
4
5
6
7
A
B
•
•
8 8
7
J•
•C
6
Ponto A: 2 horizontal e 8 vertical. Ponto B: 6 horizontal e 8 vertical... Assim fica mais fácil!
5
I•
•D
H•
•E
4 3 2 1 0 •
•F
G•
1
2
4
3
5
6
7
8
o c i g á M s i p á L
E A D : s e õ ç a r t s u l I
4 1.
2.
Numa folha de papel quadriculado, reproduza o logotipo
3
localizando os pontos como Lúcio fez.
2 •
Qual dos pontos marcados no quadriculado ao lado corresponde à zero na horizontal e 2 na vertical? C
A
C
•
1 0 •
B
1
• 2
3
4
5
6
7
SISTEMA CARTESIANO
83
2. Sistema cartesiano Em Matemática há um sistema que permite localizar pontos no plano. Traçamos duas retas numéricas perpendiculares que se intersectam no ponto que representa o zero de cada uma delas. Elas serão chamadas de eixos. Repare que as setas indicam o sentido crescente dos números que seus pontos representam.
y P
4 3 2 1 0 1
5 4 3 2 1 1
2
3
4
5
x
2
• Eixo horizontal: é o eixo das abscissas, ou eixo x . • Eixo vertical: é o eixo das ordenadas, ou eixo y .
3 4
Localizamos o ponto P no plano: • 3 no eixo x ; • 4 no eixo y . A localização de P é dada pelo par ordenado (3; 4) onde 3 e 4 são as coordenadas do ponto P: 3 é a abscissa e 4 é a ordenada. Estabeleceu-se que o primeiro elemento do par sempre será a abscissa e o segundo elemento, a ordenada do ponto. (3; 4) é o par ordenado que representa o ponto P no plano. Escrevemos P(3; 4). Fornecemos os pares ordenados que representam os pontos A, B e C. A(1; 2) B(3; 3) C(4; 0)
E A D : s e õ ç a r t s u l I
y 4
B 3
(1; 2) são as coordenadas de A.
2
e r o t a n e S o i l é H
G
1
C
0
4 3 2 1 1 F
Escreva em seu caderno os pares ordenados que representam os pontos D e E, F e G. D(0; 2); E(3;3); F(4; 2); e G(1,75; 1,5)
84
D
2 3 4
1
2
3
A E
4
x
Exercícios (Saresp) Observe a figura abaixo. Em qual posição está a roda da frente do carro? 1
a) C1
4
1
D2
A
B
C
D
E
Observe a planta de uma sala de aula. Nela, há carteiras individuais dispostas em linhas e colunas. 2
1;6 2 e) E (–2; –7) 5 f ) F 0; 2 d) D
D
b) B 5; 7 2 c) C (3; 1)
2
c) C3 x d)
y
a) A (2; 4)
3
b) D3
Use uma folha de papel quadriculado e represente, no plano cartesiano, os pontos: 4
B
A C
x F
E
Indique qual dos pontos A, B, C, D, E, F e G, abaixo, verifica cada uma das seguintes afirmações: 5
E A D : s e õ ç a r t s u l I
y G A B C E 0
x
F n o o t r a C a r t s u l I
D
a) Qual é a posição (coluna; linha) da carteira A? (2; 3)
b) Qual é a posição (coluna; linha) da carteira B? (3; 2)
a) A abscissa é igual à ordenada. b) A ordenada é negativa.
Dê as coordenadas de cada ponto do plano cartesiano. 3
A
D, F
c) A abscissa é metade da ordenada. D d) A abscissa é o dobro da ordenada.
y C
e) A ordenada é nula.
B
E
f) A abscissa é nula. G
A D E
L
F K J
G H
D (–4; 3) E (–7; 2) F (–5; 0)
x
a) AB
I
A (5; 5) B (3; 2) C (0; 7)
Os pontos A(5; 6); B(6; 5); C(5; 6); e D(5; 6) foram marcados num sistema de coordenadas cartesianas. Qual dos seguintes segmentos de reta é paralelo ao eixo x? 6
B
G (–6; –3) H (–3; –4) I (0; –6)
J (2; –3) K (5; –2) L (8; 0)
x b)
CD
c) BC d) AD
SISTEMA CARTESIANO
85
O grande René Descartes e n o t s y e K / y r a r b i L t r A n a m e g d i r B e h T / r a l u c i t r a P o ã ç e l o C
Nesta Unidade trabalhamos com o Sistema Cartesiano, assim denominado em homenagem a René Descartes du Perron, nascido em 31 de março de 1596 na cidade francesa de La Haye (hoje chamada La Haye-Descartes). Descartes, desde cedo na sua vida escolar, impressionou seus professores não só pela inteligência, mas principalmente por ser questionador, querendo saber o porquê de tudo e refletindo sempre a respeito do que aprendia. Além da Matemática, Descartes dedicou-se também à Filosofia e à Física. Estudou, por exemplo, o comportamento da luz. Encha um copo de vidro com água, coloque dentro dele um canudo e observe-o. Você terá a impressão de que o canudo enAnônimo (escola alemã). Retrato de René Descartes, 1644. Gravura. tortou. Esse fenômeno chama-se refração e acontece quando os raios de luz passam de certos meios para outros (ar-água). Uma relação importante para o estudo da refração foi estabelecida por Descartes e pelo astronômo e matemático holandês Willebord Snell. Você provavelmente vai conhecê-la quando estudar Ótica no curso de Física do Ensino Médio. Descartes provocou profundas mudanças na Filosofia. Sua obra mais importante, intitulada Discurso sobre o Método, foi publicada em 1637. De acordo com Descartes, a compreensão de um problema está ligada com a organização e clareza com que pensamos sobre ele. Se dividirmos um problema maior em uma série de pequenos problemas e os analisarmos um a um, chegaremos mais facilmente à solução. Descartes é considerado o “pai da filosofia moderna”. Acreditava que os homens se diferenciavam dos animais porque tinham alma. Essa alma, segundo ele, era a razão – a capacidade de pensar. A razão, tão valorizada por Descartes, está presente em sua mais célebre frase: “Se duvido é porque penso; se penso é porque existo.” Ou, simplesmente: “Penso, logo existo.” Na Matemática, trouxe contribuições importantes e desenvolveu o campo que hoje conhecemos como Geometria Analítica. ◆
e t n e u Q o t s i M
Fonte de pesquisa:
86
ALE A PENA LER V
O que é Geometria Analítica? A Geometria Analítica é uma parte da Matemática que relaciona Álgebra e Geometria. Ela permite, por exemplo, representar retas ou circunferências por meio de equações e calcular a distância entre dois pontos a partir dos pares ordenados que os representam. René Descartes contribuiu muito para o desenvolvimento dessas ideias.
E A D
Em sua homenagem: • O sistema de localização de pontos no plano que aprendemos chama-se sistema cartesiano. • Os eixos x e y, eixos cartesianos e o plano que os contém, plano cartesiano. • Os pares ordenados ( x ; y ) que representam os pontos no plano são as coordenadas cartesianas dos pontos.
2o quadrante
1o quadrante
3o quadrante
4o quadrante
Os eixos cartesianos dividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes.
3. Coordenadas geográficas Para localizar pontos na superfície da Terra, utilizam-se as coordenadas geográficas, que se baseiam em dois tipos de linhas imaginárias: meridianos e paralelos.
Círculo Polar Ártico
z a V a i n o S / E A D ©
z a V a i n o S / E A D ©
T r ó p i c o d e C â n c er
E q u a d o r
h i c w e n r e G e d
o
n
i a d i e r M
T r ó p i
c o d e C
a p r i c ó r n i o
Círculo Polar Antártico
Fonte: Dicionário cartográfico. Rio de Janeiro: IBGE, 1993.
O paralelo de maior circunferência é o Equador. Ele divide o globo em dois hemisférios, o Hemisfério Norte e o Hemisfério Sul. A partir do Equador são traçados 90 paralelos ao norte e 90 paralelos ao sul, numerados de 0° a 90° para cada hemisfério. O Equador é a linha de referência para os paralelos.
Fonte: Dicionário cartográfico. Rio de Janeiro: IBGE, 1993.
Os meridianos passam pelos polos Norte e Sul. O meridiano que serve como referência é o Meridiano de Greenwich, que corta a cidade de Londres. O Meridiano de Greenwich corresponde a 0° e divide o globo em dois hemisférios – Hemisfério Leste e Hemisfério Oeste. São traçados 360 meridianos: 0° a 180° a leste e 0° a 180° a oeste de Greenwich. SISTEMA CARTESIANO
87
Para localizar um ponto na superfície terrestre, indicamos a latitude (paralelo em que se encontra) e a longitude (meridiano em que se encontra). As coordenadas geográficas do ponto referente a uma cidade, por exemplo, são dadas pelo par ordenado (latitude; longitude). Planisfério 160°O
140°O
120°O
100°O
80°O
60°O
40°O
20°O
0°
20°L
40°L
60°L
80°L
100°L
120°L
140°L
160°L
180°
80°N OCEANO GLACIAL ÁRTICO Círculo Polar Ártico
z a V a i n o S / E A D ©
60°N EUROPA
40°N
ÁSIA
Trópico de Câncer 20°N
AMÉRICA
OCEANO PACÍFICO
Á FR I C A Equador
OCEANO PACÍFICO 20°S Trópico de Capricórnio
40°S
60°S Círculo Polar Antártico
BRASIL
OCEANO
OCEANO
ATL ÂNT ICO
ÍNDICO
Brasília h c i w n e e r G e d o n a i d i r e M
O C E A NI A
N
O
OCEANO GLACIAL ANTÁRTICO
L
S 0
A N T Á R T I CA 80°S
2 520
5 040 km
1 cm – 2 520 km
Fonte: Marcello Martinelli. Atlas Geográfico : natureza e espaço da sociedade. São Paulo: Ed. Brasil, 2003.
Esse mapa, chamado Planisfério, é uma representação plana da Terra. Observe que Brasília, capital do país, está aproximadamente a 18° de latitude sul e 50° de longitude oeste. m o c . e m i t s m a e r D / s e d n u g a F e D s e d n u g a F e r d n a x e l A
Você é capaz de escrever de forma aproximada as coordenadas geográficas da sua cidade?
o c i g á M s i p á L
◆
Prédio do Congresso Nacional, onde funcionam o Senado Federal e a Câmara dos Deputados, no centro d a Praça dos Três Poderes, em Brasília. Projeto do arquiteto brasileiro Oscar Niemeyer que contempla duas torres independentes, de 28 andares, ligadas ao meio, formando um H. Na cúpula convexa fica a Câmara dos Deputados, e na cúpula côncava, o Senado Federal.
88
Vale a pena ler O que é e como funciona o CEP Você já reparou que os números naturais são utilizados para compor códigos que nos ajudam no dia a dia? Nos hotéis e hospitais, por exemplo, é comum o número do quarto indicar o andar onde ele se localiza. Veja: •
Quarto 52: corresponde ao quarto de número 2 do 5 o andar.
O quarto 74 deve ficar no 7 o andar.
Indica o andar.
O DDD usado nos números de telefone também é um código: para as cidades da Bahia, por exemplo, o primeiro algarismo é sempre 7. Ilhéus: 73, Salvador: 71. e r o t a n e S o i l é H
Outro exemplo importante de utilização dos números naturais na formação de códigos é o CEP. O código de endereçamento postal (CEP) foi criado pelos Correios para tornar a entrega de correspondências e encomendas em todo o país mais rápida e eficiente, pois permite que a separação por endereços seja feita por equipamentos eletrônicos. O CEP é um código composto de oito algarismos. Cada um deles forn ece uma informação sobre o endereço do destinatário. Região 6 (Sede Fortaleza) CE, PI, MA, PA, AM, AC, AP e RR
Região 5 (Sede Recife) PE, AL, PB, RN
Região 4 (Sede Salvador) e r o t a n e S o i l é H
BA e SE
6 5
Região 3 (Sede Belo Horizonte) MG
4
7
Região 2 (Rio de Janeiro) RJ e ES
Região 7 (Sede Brasília DF) 3 DF, GO, TO, MT, MS e RO
2 Região 1 (Sede Santos) 8
Região 8 (Sede Curitiba)
0 1
Interior de SP Região 0 (Sede São Paulo)
PR e SC
Grande SP 9
Para entender esse código, vamos analisar o CEP 13165-000. No mapa ao lado, vemos como o território brasileiro foi dividido em dez regiões postais numeradas de zero a nove. A numeração foi feita no sentido anti-horário a partir do estado de São Paulo. O primeiro algarismo do CEP indica essa região. No nosso exemplo, o algarismo 1 indica a região 1: interior de São Paulo.
Região 9 (Sede Porto Alegre) RS
SISTEMA CARTESIANO
89
Cada região foi dividida em 10 sub-regiões e cada sub-região em 10 setores, que são indicados respectivamente pelo segundo e o terceiro algarismos do CEP. Observe os mapas. e r o t a n e S o i l é H : s e õ ç a r t s u l I
Engenheiro Coelho 1316 Casa 137 Branca 136 Araras
138 Mogi Mirim 139
135 Rio Claro
Amparo Campinas Piracicaba 131 132 134 130 Jundiaí Itu 133
Artur Nogueira Cosmópolis 1315 Paulínia 1314 Sumaré Campinas Hortolândia 1300 1317 1318 1313 Monte Mor 1319
Estamos perto do endereço. Você percebeu que o código se baseia num sistema decimal? Cada região obtida é dividida em 10 novas regiões menores. Observe abaixo o significado do quarto e do quinto algarismos que permitem chegar ao nome da cidade de Engenheiro Coelho.
13165 Engenheiro Coelho 13160 Artur Nogueira
Engenheiro Coelho 13165-000
Os três algarismos após o hífen são denominados de sufixo e destinam-se à identificação individual do endereço: rua, praça, avenida, caixa postal ou, ainda, podem indicar um CEP promocional como os usados para concursos, por exemplo. O sufixo 000 no endereço que estamos pesquisando corresponde à Rua Pedro Hereman, que fica no Centro da cidade de Engenheiro Coelho – interior de São Paulo. Fonte: . Acesso em: jun. 2011.
90
Revisando 7
Veja o mapa apresentado abaixo: z a V a i n o S / E A D ©
A 1
B
COLÔMBIA
C
D
E
F
G
H
I
J
2 3
São Luís
RIO GRANDE DO NORTE Natal PARAÍBA João Pessoa PERNAMBUCO Recife ALAGOAS Maceió SERGIPE Aracaju
PARÁ
PIAUÍ ACRE Rio Branco
Porto Velho
Palmas
RONDÔNIA
TOCANTINS
PERU
BAHIA
MATO GROSSO
6
Cuiabá GOIÁS Goiânia
BOLÍVIA
DF Brasília
MATO GROSSO DO SUL
OCEANO PACÍFICO
SÃO PAULO São Paulo PARANÁ Curitiba
PARAGUAI
9
B
C
D
E
F
Rio de Janeiro
9
N
L
O
10
S 430
860 km
11
1 cm – 430 km
G
H
5
8
RIO DE JANEIRO
URUGUAI
A
4
7
ESPÍRITO SANTO Vitória
0
11
3
6
OCEANO ATLÂNTICO
SANTA RIO CATARINA Florianópolis GRANDE DO SUL Porto Alegre
ARGENTINA
10
Salvador
MINAS GERAIS
Belo Horizonte
Campo Grande
CHILE
Arq. de Fernando de Noronha
MARANHÃO Teresina CEARÁ
4
8
M
2 Fortaleza
AMAZONAS
7
L
1
Belém
Manaus
5
K
Guiana SURINAME Francesa (FR) GUIANA AMAPÁ RORAIMA Macapá
VENEZUELA Boa Vista
I
J
K
L
M
Fonte: Atlas Nacional do Brasil . Rio de Janeiro: IBGE, 2000.
Utilizando o sistema de coordenadas, localize (letra; número) alguns pontos do Brasil. a) Manaus b) Cuiabá 8
e) Belém
(G; 2)
d) Curitiba (H; 9)
(F; 6)
(H; 2)
f) Salvador
(K; 6)
Complete no caderno os pares ordenados abaixo, segundo a indicação:
a) (7;
)
b) (
; 8)
c) (
;
d) ( x; 9
c) Macapá
(E; 3)
primeiro elemento segundo elemento 3 5 )
)
primeiro elemento segundo elemento 7
primeiro elemento segundo elemento 4 4; 4 segundo elemento dobro do primeiro elemento 2 x
Copie e complete com ou :
a) (2; 3)
(4; 6)
c) (3; 2)
(2; 3)
b) (2; 3)
(2; 3)
d) (3; 2)
( 9 ; 4)
SISTEMA CARTESIANO
91
Exercícios
Observe em que ponto se encontra cada animal e complete a tabela no caderno.
10
a) ( x; 2y ) = (5; 8) x = 5 e y = 4
y
• coelho
4 3 2 • aranha 1
8 7 6 5 4 3 2 1 1
• formiga • rato
b) ( x; y + 1) = (2; 7) x = 2 e y = 6
• borboleta
c) (5 x; 3y ) = (20; 9) x = 4 e y = 3 0 1 2
3 4 5 6 7 8 x
2
• passarinho
3
d) ( x 2; y 3) = (4; 5) x = 2 e y = 2
• abelha
(Obmep) Gabriel testou sua pontaria lançando cinco flechas que atingiram o alvo nos pontos A, B, C, D e E. As coordenadas desses pontos são: 13
4
Coordenadas Quadrante
Borboleta Aranha
Determine mentalmente x e y para que cada uma das igualdades seja verdadeira. 12
(4; 2); 1o
(3; 1)
2o
Coelho
(7; 3); 2o
Formiga
(6; 2); 3o
Rato
3º
A (1; 1)
B (2,5; 1)
E (6; 5)
D (4; 4)
A tabela mostra quantos pontos são obtidos quando a flecha acerta um ponto dentro de cada uma das três regiões, conforme mostra a figura. ordenada
(4; 3)
Abelha
(2; 3); 4o
Passarinho
(5; 2); 4o
C (1; 4)
E A D : s e õ ç a r t s u l I
o
abscissa
Quais são as coordenadas dos vértices do quadrado de lado 4? 11
y
B
2
A
ordenada A (2; 2) B (2; 2) C (2; 2) D (2; 2)
0
2
x
E
C
300 pontos 100 pontos 50 pontos
B 0
A
abscissa
D
a) Marque os pontos A, B, C, D e E. C
D
b) Quantas flechas Gabriel acertou no interior círculo menor temos apenas o ponto do menor círculo? No A (300 pontos), portanto, 1 flecha.
c) Quantos pontos Gabriel fez ao todo?
c) Ponto B: 100 pontos; ponto; C: 50 pontos; ponto D: 50 pontos; ponto E: não ganha pontos. Total: 300 + 100 + 50 + 50 = 500 pontos.
92
Anote, em seu caderno, o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta.
Autoavaliação (Saresp) Num guia de cidade podemos encontrar parte de um mapa de ruas e praças como este:
(Saresp) Imagine um jogo em que um participante deva adivinhar a localização de algumas peças desenhadas num tabuleiro que está nas mãos do outro jogador. Veja um desses tabuleiros com uma peça desenhada.
14
16
e r o t a n e S o i l é H : s e õ ç a r t s u l I
E A D
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A sequência de comandos que acerta as quatro partes da peça desenhada é: Na posição eE desse mapa está a: x
a) Praça do Sol.
c) Praça do Vento.
b) Praça da Paz.
d) Praça da Lua.
a) D4, E3, F4, E4 b) D4, E4, F4, E5
(Obmep) Carlos pode ir de sua casa à escola andando três quilômetros para o norte, dois para o oeste, um para o sul, quatro para o leste e finalmente dois para o sul. Para ir de casa à escola em linha reta, Carlos deve andar:
x
x d)
D4, E3, F4, E5
O ponto E(; ) pertence:
17 15
c) D4, E3, F3, E4
a) ao primeiro quadrante. b) ao segundo quadrante. c) ao terceiro quadrante. d) ao quarto quadrante. 18
Sendo ( x; 2) (5; y ), então o valor de x y é:
a) 3 x
x c)
b) 4
a) 2 km para o leste.
7
d) 10
Sendo ( x; 5) (3; 5) e (6; y ) (6; 4), então pode-se ter: 19
b) 1 km para o sul. c) 3 km para o oeste.
x 3
e y 4
c)
x 3
e y 5
x b) x 5
e y 4
d)
x 5
e y 3
a)
d) 4 km para o norte. casa escola
SISTEMA CARTESIANO
93
(Ceetesps-SP) O par ordenado de números que representa a represa é: 20
y
Escola
3
Igreja
2
Reservatório de água tratada
1
5 4 3 2 1 1 2 Represa
1
2
3 4
3
4
(Saeb-MEC) Num tabuleiro de xadrez, jogamos com várias peças que se movimentam de maneiras diferentes. O cavalo se move para qualquer casa que possa alcançar com movimentos na forma de “L”, de três casas. Na figura abaixo, os pontos marcados representam as casas que o cavalo pode alcançar, estando na casa D4. 23
x
e r o t a n e S o i l é H
Zoológico
a) (5; 3)
c) (5; 3)
b) (3; 4)
x
d) (4; 3)
Dois pontos simétricos em relação ao eixo das abscissas são: 21
c) C e F
a) A e C
x d)
b) A e D
CeD
y
Dentre as casas que o cavalo poderá alcançar, partindo da casa F5 e fazendo uma única jogada, estão:
B
2 C
A
x a) 1
4
3
c) H7 ou D7
G3 ou D6
x
b) H5 ou F3
D
d) D3 ou D7
F
24
(Vunesp) A área da figura é: cm
5
E
7
E A D : s e õ ç a r t s u l I
6 5
A área do triângulo ABC da figura abaixo é:
22 x a)
6
B
b) 8
94
3 2 1 0
cm 1
2
3
4
5
a) 20 cm2
c) 9 d) 12
C
Unidade de medida
4
A
b) 21 cm2
6
7
8
c) 22 cm2 x
d) 23 cm2
UNIDADE UNIDADE
4
Funções 1. Conceito de função A quantidade de combustível consumida por um automóvel é função da distância que ele percorre.
s e r e z n a F a r d n a S
Nessa afirmação e em outras presentes em nosso dia a dia, usamos a expressão “é função de” para mostrar que a quantidade de combustível depende do número de quilômetros rodados pelo automóvel. Mas o que é função? Já percebemos a ligação entre a palavra função e a relação de interdependência entre os valores de grandezas. Vamos descobrir mais? o c i g á M s i p á L : s e õ ç a r t s u l I
Vamos fazer uma brincadeira: eu digo um número, vocês calculam o dobro dele, somam 3 e dizem o resultado!
Eu digo 4.
Vamos lá!
Nós respondemos 11. 2 4 3 11
FUNÇÕES
95
Veja na tabela os números ditos pelo professor e as respostas dos alunos: Número dado pelo professor
Resposta dos alunos
4 6 5 0
Qual deveria ser a resposta dos alunos se o professor dissesse: 1 • 2 ?4 • 1,3? 5,6
11 15 7 3
A resposta dos alunos depende do número escolhido pelo professor. Observe que a cada número x dito pelo professor corresponde um único resultado correto y para a resposta dos alunos. A fórmula que expressa a relação entre x e y é y 2 x 3 . Nesse exemplo, dizemos que y é função de x . A fórmula y 2 x 3 é a lei de formação dessa função. Outro modo de representar essa tabela é por meio de um diagrama: A
B 4•
E A D
• 11
Cada seta associa o número falado pelo professor com a respectiva resposta dos alunos.
• 15
6• 5 •
0•
• 7 •3
Formamos um conjunto A com os números dados pelo professor e um conjunto B com as respostas dos alunos. Como os conjuntos que relacionamos são A e B, dizemos que essa é uma função de A em B. Escreve-se: f : A
B (Lê-se: f é uma função de A em B).
Sempre que atribuímos um valor a x e determinamos seu correspondente y por meio da lei de formação da função, obtemos um par de números. Podemos escrever os pares ordenados ( x ; y ) formados no nosso exemplo. • x 4; y 11 • x 6; y 15 • x 5; y 7 • x 0; y 3 96
par ordenado (4; 11) par ordenado (6; 15) par ordenado (–5; –7) par ordenado (0; 3)
Os pares são ordenados: o primeiro elemento do par é x , e o segundo é y .
o c i g á M s i p á L : s e õ ç a r t s u l I
Agora a brincadeira é outra. Eu digo um número e vocês respondem qual ou quais dos números escritos no quadro são menores do que ele. Eu digo 5.
Nós respondemos 2 e 4.
Observe o diagrama: A
B 5•
E A D
•
2
3•
•
4
•
6
1• •
8
Formamos um conjunto A com os números escolhidos pelo professor e um conjunto B com os números que estavam escritos no quadro. Observe que cada seta faz corresponder o número dado pelo professor com o número (ou os números) registrados no quadro que são menores do que ele. A relação entre o número x escolhido pelo professor e o número y que é a resposta dos alunos pode ser representada por y x .
No entanto, aqui, y não é função de x . Veja por quê: • para um mesmo valor de x do conjunto A, temos mais do que um correspondente y no conjunto B. • há um valor de x em A que não tem correspondente y em B.
Para que tenhamos uma função é preciso: • estabelecer dois conjuntos: um primeiro conjunto, do qual tomaremos os valores de x, e um segundo conjunto, no qual encontraremos os valores correspondentes de y ; • haver uma relação entre x e y de forma que a cada x tomado no primeiro conjunto corresponda um único y no segundo conjunto. No nosso exemplo, para x 1 em A não temos correspondente y em B. Além disso, x 5 tem dois correspondentes em B. Por isso, não temos uma função. FUNÇÕES
97
Exercícios Em cinco madrugadas consecutivas, sempre à mesma hora, foram registradas estas temperaturas em uma cidade brasileira. 1
12 oC 9 oC
Observe o diagrama e responda às questões no caderno. 3
A
e r o t a n e S o i l é H
2 1
6 oC 3 oC 0 oC
c) Em quais dias tivemos a mesma temperatura? d) Copie e complete, no caderno, o diagrama de setas. • 0 ºC • 3 ºC • 6 ºC • 9 ºC • 12 ºC
1o dia • 2o dia • 3o dia • 4o dia • 5o dia •
• A relação que faz a cada dia corresponder uma temperatura é uma função? Sim. Considere o diagrama abaixo: 1 2 3 4
d e
•
E A D : s e õ ç a r t s u l I
2
•
•
3
4
a) A todo número x tomado em A corresponde um único número y em B? Sim. b) Esse diagrama ilustra uma função de A em B? Sim. c) Escreva a expressão algébrica que liga as variáveis x e y . y x d) Escreva os pares ordenados (x ; y ) dessa função. ( 2; 4), ( 1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 4)
4
N
x y z w
5
t
Para que seja uma função de M em N, basta: a) apagar a seta 1 e retirar o elemento t .
Copie e complete a tabela da função. 2
x
0
1
2
3
0
1 2
1
3 2
metade de x 1
5
c
1
2
No 1o e no 5o dia.
b
•
•
No 4o dia.
a
•
2
b) Em que dia a temperatura registrou 12 °C?
M
•
•
9 °C
2
•
1
a) Qual foi a temperatura no segundo dia?
• 0 °C • 3 °C • 6 °C • 9 °C • 12 °C
0
•
0
1o dia 2o dia 3o dia 4o dia 5o dia
1o dia• 2o dia • 3o dia • 4o dia • 5o dia •
B
Observe a tabela.
Número A de calças 140 170 230 180 170 190 vendidas B Tamanho 40 42 44 46 48 50 Responda. a) A correspondência representa uma função A correspondência deve relaciode A em B? Por quê? Não. nar cada elemento de A a um único
número de B, e 170 está relacionado a dois números: 42 e 48.
Vou recorrer a um diagrama de setas.
e r o t a n e S o i l é H
b) apagar as setas 1 e 4 e retirar o elemento e . c) retirar os elementos e e t . x
d) apagar a seta 4 e retirar o elemento e . e) apagar a seta 2 e retirar o elemento e . 98
b) A correspondência B em A seria uma função? A correspondência levaria cada elemento de B a um Por quê? Sim. único número de A.
A ideia da máquina Faça dupla com um colega para conhecer a brincadeira que Carla fez! O professor fez no quadro a atividade em que ele dizia um número, os alunos faziam as operações pedidas e davam o resultado. A partir disso, Carla pensou numa nova brincadeira: Imaginei a função como uma máquina. Para cada número que colocamos na entrada, ela faz as operações indicadas e fornece um número na saída.
Observem o desenho e usem o cálculo mental para responder oralmente qual o valor das bolinhas coloridas que sairão da máquina. 1,5 0
O número que sai é dado em função do número que entra!
7 2
SAIDA
ENTRADA
“TRIPLICA E DEPOIS SOMA 2” e r o t a n e S o i l é H : s e õ ç a r t s u l I
6,5 2 23
8
1. Para
obtermos na saída a bolinha com o número 71, que número deve ser colocado na bolinha de
entrada? 23 2. Há como obter na saída o número 3? É preciso colocar na entrada uma bolinha com o número 1 . 3 3. Cada um de vocês inventa uma máquina como a da Carla com 3 bolinhas prontas para serem colocadas na entrada. Troquem os cadernos para determinar os valores nas bolinhas que sairão. Confiram as respostas.
FUNÇÕES
99
Domínio e imagem Mostraremos, por meio de exemplos, o significado das palavras domínio e imagem no estudo das funções. 1. Marcela foi comprar bombons na confeitaria. Cada bombom custa R$1,80. A quantia que ela pagará ( y ) será função do número de bombons que levar ( x ), pois, para cada quantidade de
bombons, há um único preço a ser cobrado. Número de bombons ( x )
0
Preço a pagar ( y )
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 etc.
1,80 3,60 5,40 7,20 9,00 10,80 12,60 14,40 16,20 18,00
Os valores de x para essa função são números naturais. Não se compra 2,3 bombons ou algo assim. Dizemos que o domínio dessa função é o conjunto dos números naturais. Nessa função, x pode ser qualquer número natural, como x 320 ou x 1 000, mas x não pode ser uma fração ou número negativo, por exemplo. Observando a tabela, vemos que quando x 3, por exemplo, temos y 5,40. Diremos que 5,40 é a imagem de 3 por esta função.
Todo elemento do domínio tem uma única imagem.
Qual seria a imagem de 8 por essa função? 14,40 e r o t a n e S o i l é H : s e õ ç a r t s u l I
2. Ariel pensou em uma função que associa um número x ao seu dobro y ( y 2 x ).
Existe algum número que não possui dobro? Não, então nessa função, x pode ser qualquer número real, pois é sempre possível calcular o dobro de um número. Diremos, então, que o domínio da função pensada pelo Ariel é . No entanto, se a função associasse, por exemplo, cada número 1 x ao seu inverso y y , teríamos de excluir do domínio o nú-
2x
y
®
[
]
x
®
mero zero, pois zero é o único número real que não possui inverso. Em geral, quando não se explicita qual é o domínio de uma função, consideramos o domínio como , tomando o cuidado de excluir, se necessário, números para os quais não exista y correspondente a ele pela função.
®
100
Exercícios Considerando a função dada por y 1 2 x, responda: a) Para x 5, quanto vale y ? 9 6
b) Para x 6, quanto vale y ? 13 1 c) Para x , quanto vale y ? 2 2 d) Para que valor de x se tem y 15? 8
(Fesp-RJ) O custo C, em reais, para se produzir x unidades de determinado produto é dado pela função C x ² 90 x 3 860. O custo para se produzir 29 unidades desse produto corresponde a: a) R$ 2.061,00 c) R$ 2.081,00 9
b) R$ 2.071,00
(Obmep) Antônio tem um papagaio que faz contas fantásticas com números inteiros, mas não sabe nada sobre decimais. Quando Antônio sopra um número em seu ouvido, o papagaio multiplica esse número por 5, depois soma 14, divide o resultado por 6, finalmente subtrai 1 e grita o resultado. 7
x
d) R$ 2.091,00
(CPII-RJ) Na figura, temos uma sequência de operações que devem ser efetuadas com um número real de “entrada”. 10
entrada
multiplique por 2
some 3
eleve ao quadrado
subtraia 7
resultado
a) Se o valor de entrada é 5, qual é o resultado? 162 • (5 2 3)² 7 162
b) Chame de x o valor de entrada e obtenha uma expressão simplificada para o valor do resultado. 4 x ² 12 x 2 • (x 2 3)² 7
e r o t a n e S o i l é H
a) Se Antônio soprar o número 8, qual número o papagaio grita? 8 • [(8 5) 14] : 6 1 8
b) Se o papagaio gritou 3, qual é o número que Antônio soprou em seu ouvido? 2 •
5 x 14 6
1 3
x 2
⇒
c) Por que o papagaio nunca grita o número 7? O papagaio não opera com decimais.
•
5 x 14 6
1 7
Considerando a função dada por y x2 7 x + 6, responda: a) Para x 4, quanto vale y ? 6 8
x 6,8
⇒
b) Para x –1, quanto vale y ? 14
11
Não existe.
y 3x 1 a) Copie e complete a tabela. x
y 3 x 1 1
2
2
7
11
c) Existe x, tal que y 0? 1; 6 e) Para que valor real de x se tem y 8?
Considere a função definida por:
0; 7
c) Utilizando a expressão obtida no item b, determine o(s) valor(es) de entrada quando o resultado é 18. 1 ou 4 • 4 x ² 12 x 2 18
0 1
d) Para que valores de x se tem y 6?
4
b) Qual é a imagem do elemento 0,2? • y 3 ( 0,2) 1 1,6
1,6
c) Qual é o elemento que tem imagem 14? 5 • 14 3 x 1 x 5
FUNÇÕES
101
2. As funções e suas aplicações Por que aprender funções? Na ciência e nas mais variadas atividades humanas, as funções são usadas para descrever e estudar a relação entre grandezas. s n e g a m I r a s l u P / a k a t i k o T e r d n a x e l A
◆
O gasto com combustível é função do número de litros colocados no tanque do automóvel.
m o c . e m i t s m a e r D / s o i d u t S e l p p a h C n o R
m o c . o t o h p k c o t S i / n o t l i W n a D
◆
O preço de uma ligação telefônica interurbana frequentemente é função do tempo de conversação. r j o m l e s n A
◆
A dose de remédio dada a uma criança, muitas vezes, é função da massa da criança.
102
◆
O juro pago por um empréstimo é calculado em função da quantia emprestada.
As funções têm aplicações nas situações do cotidiano e do trabalho. Acompanhe. o t t e r o v a F o d n a n r e F
1. No açougue, o quilograma de determinado tipo de carne custa R$ 6,00. O preço a pagar y é função da quantidade de carne comprada x . Veja a tabela:
Carne (kg)
Preço (R$)
x
y
1 2 3 4
6 1 6 6 2 12 6 3 18 6 4 24
A cada valor de x corresponde um único valor de y . A lei de formação dessa função é y 6 x .
x e y são as variáveis da função.
No açougue… o t t e r o v a F o d n a n r e F : s o t o F
A lei de formação da função estabelece a relação matemática entre x e y . Vamos aplicá-la para responder a algumas questões. • Uma pessoa comprou 1,8 kg de carne. Quanto pagou? Como y 6 x , para x 1,8 temos: y 6 1,8 10,80
◆
O funcionário digita na balança o preço do kg de carne (R$ 6,00).
A pessoa pagou R$ 10,80 por 1,8 kg de carne. • Com R$ 4,80, quanto de carne é possível comprar? Agora temos y 4,80 4,80 6 x 4,80 x 0,8 6
0,8 kg 800 g, pois 1 kg 1 000 g ◆
Coloca a carne sobre o prato da balança que registra a massa (é o valor de x ).
Com R$ 4,80 é possível comprar 0,8 kg de carne. Observe que, nesse exemplo de função, x não pode assumir valores negativos, pois uma medida de massa nunca é negativa.
Responda usando cálculo mental: quanto se paga por 2,5 kg dessa carne? R$ 15,00
◆
A balança calcula automaticamente 6 x e apresenta no visor o valor a pagar. É o valor de y .
FUNÇÕES
103
s e g a m i r e h t O / y m a l A / t n a n n e t n a h t a n o J
2. Em um parque de diversões, os visitantes pa-
gam R$ 15,00 pelo ingresso e R$ 3,00 para brincar em cada uma das 20 atrações disponíveis. A quantia p gasta pelo visitante depende do número de atrações n que ele escolher e pagar. Podemos representar a relação entre n e p pela fórmula p 15 3n . n e p são
as variáveis dessa função ◆
Observe: n é o número de atrações pagas pelo visitante. O parque tem no total 20 atrações. Então n só pode ser um número inteiro de zero a 20. Ou seja, 0 n 20 .
O visitante não pagou por atrações do parque. Seu gasto limitou-se ao ingresso.
O visitante pagou por todas as atrações do parque.
Parque de Diversões na baía de Sydney, na Austrália.
1. Paulo pagou o ingresso e foi a quatro atra-
ções. Ele gastou R$ 27,00. 15 4 3 15 12 27 Calcule mentalmente: • Quanto gasta o visitante que vai a dez atrações do parque? R$ 45,00 2. Pense e responda no caderno: • Nessa função, qual é o menor valor que po• R$ 15,00, que corresponde a 0. demos ter para p?O visitante paga o ingresso, entra, mas não aproveita as atrações do parque. • E o maior? • R$ 75,00, que corresponde a 20. O visitante paga o ingresso e aproveita as 20 atrações do parque. • Explique esses valores. n
n
A cada valor de n nesse intervalo corresponde um único valor a pagar p. Então p é função de n.
E A D
3. Uma fábrica produz placas de aço na forma de retângu-
los. As medidas variam; no entanto, a medida do comprimento tem sempre 5 cm a mais do que a medida da largura. Quantos centímetros quadrados de aço são gastos em cada placa?
Depende! Para cada valor de x teremos um valor para a área do retângulo.
x
x
5
E para a empresa é importante saber qual é a relação entre as medidas dos lados do retângulo e a sua área. Assim, ela pode prever custos e aproveitar melhor o material. o c i g á M s i p á L
104
Se os lados do retângulo medem ( x 5) e x , sua área é y = ( x 5) x . Aplicando a propriedade distributiva obtemos y x 2 5 x . A cada valor de x corresponde um único valor de y . Então y é função de x . Podemos montar uma tabela com alguns valores dessa função. Podemos atribuir infinitos valores a x . No entanto, como x é a medida do lado do retângulo, devemos ter x 0.
o c i g á M s i p á L
x (cm)
y x 2 5x (cm2)
1 2 2,5 4 6 10
Quem vai ao quadro calcular os valores de y que faltam na tabela?
6 14 18,75 36
y = 66 cm2 e y = 150 cm2
• Qual deve ser a medida x para que a área da peça retangular seja de 104 cm 2? Basta fazer y 104 cm2 na lei de formação da função: y x 2 5 x
104 x 2 5 x Obtivemos uma equação do 2 o grau. Vamos resolvê-la para encontrar x . Reescrevendo a equação: x 2 5 x 104
0
a 1; b 5 e c
104
b2 4ac
25 416 441
x x
b
M
2a 5
21
x 1
2
x 2
5 21
2 5 21
2
8
13
Consideramos somente a solução positiva, pois x é a medida do lado do retângulo. Então, para que a área da peça seja de 104 cm 2, devemos ter x 8 cm.
FUNÇÕES
105
Exercícios 12
Observe a tabela e responda: Quantidade de refrigerantes 1 2 3 4 5 6
Observe na tabela a medida do lado de um quadrado e o seu perímetro.
14
Preço a pagar (R$) 2,40 4,80 7,20 9,60 12,00 14,40
a) Qual é o preço a pagar numa compra de 3 refrigerantes? R$ 7,20 b) Quantos refrigerantes podem ser comprados com R$ 9,60? 4 refrigerantes está em função
c) O preço a pagar depende do número de refrigerantes comprados? Sim. d) Qual é o preço y a pagar numa compra de x refrigerantes? y = 2,40 x Numa empresa de transportes, o preço que se paga pelo envio de uma encomenda de até 10 kg depende do seu peso. A tabela de preços é a seguinte: 13
Peso (kg)
Preço (R$)
até 1 de 1 a 5 de 5 a 10
6,00 15,00 20,00
Responda em seu caderno.
Medida do lado (cm) 1 2 2,5 3 ...
Perímetro (cm) 4 8 10 12
P
...
a) Qual é o perímetro de um quadrado cujo lado mede 7 cm? 28 cm b) Qual é a medida do lado de um quadrado cujo perímetro mede 38 cm? 9,5 cm c) É verdade que o perímetro depende da medida do lado? Sim. d) Qual é a lei que associa a medida do lado de um quadrado com o perímetro? P 4
Os três retângulos da figura têm área igual a 18. O comprimento depende da largura, isto é, se a largura é 1, o comprimento é 18; se a largura é 2, o comprimento é 9; se... 15
E A D
1 18 2 9
a) Quanto custará mandar uma encomenda com 750 g? R$ 6,00 b) Quanto custará mandar uma encomenda com 3 kg? E uma com 7 kg? R$ 15,00; R$ 20,00 c) Qual das seguintes afirmações está correta? • O peso é uma função do preço. x • O preço é uma função do peso. 106
3 6
a) … a largura for 4, qual será o comprimento? 4,5
b) … a largura for chamada de x e o comprimento de y , qual é a fórmula que relaciona y 18 y com x ? x
Exercícios
O preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa, denominada bandeirada, e uma parcela que depende da distância percorrida. Se a bandeirada custa R$ 3,50 e cada quilômetro rodado custa R$ 0,60, responda:
16
Ari dizia um número, e Rui respondia outro usando uma regra que só ele conhecia. 18
n o o t r a C a r t s u l I
m e g a m I r a i r C / o t t e r o v a F o d n a n r e F
ARI
12
14
19
25
RUI
25
29
39
51
36
a) Que número deve ser respondido por Rui para ocupar o último quadradinho? 73
a) Qual é o valor V a pagar numa corrida de n quilômetros? V 3,50 0,60 n
E A D
b) Chame de x os números ditos por Ari e de y os números respondidos por Rui. Escreva uma expressão matemática que dê y em função de x. y 2 x 1
b) Quanto vai custar uma corrida de 11 quilômetros? R$ 10,10
c) Quanto vai custar uma corrida de 5 quilômetros e 800 metros? R$ 6,98
Uma parede de tijolos será usada como um dos lados de um canil retangular, com 40 m2 de área. Para cercar os outros três lados, uma tela de arame com 18 m de comprimento que será dividida em três pedaços (veja a figura). 19
d) Qual é a distância percorrida por um passageiro que pagou R$ 13,70 pela corrida? 17 km e) Qual é a distância percorrida por um passageiro que pagou R$ 9,20 pela corrida? 9,5 km
n o o t r a C a r t s u l I : s e õ ç a r t s u l I
t x e N e h T
Numa fábrica de sucos, a cada 12 laranjas, obtém-se 1 litro de suco.
17
a) Qual é a função que traduz a relação entre o número de laranjas x e os litros de suco y ? y
x x
12
b) Que quantidade de suco se obtém com 600 laranjas? 50 litros c) Quantas laranjas são necessárias para fazer 15 litros de suco? 180 laranjas d) Quantas laranjas são necessárias para fazer 3,4 litros de suco? 41 laranjas
a) Chamando de x uma das dimensões do canil, qual será a outra em função de x? 18 2 x
b) Expresse a área A em função de x. A
x
(18 2 x )
c) Quanto deverá medir cada um dos três pe x (18 2 x ) 40 daços da tela? x 5 2 x 18 x 40 0 2
5 m, 5 m e 8 m ou 4 m, 4 m e 10 m
FUNÇÕES
1
x 2 4
107
3. Da tabela para a lei de formação da função Vimos como obter valores da função a partir da sua lei de formação. Agora faremos o contrário: a partir de uma tabela com valores de uma função, escreveremos sua lei de formação. Acompanhe. s e r e z n a F a r d n a S
1. Um trem viaja com velocidade constante. A distância percorrida pelo trem ( d ) é função do tempo de viagem (t ). Veja na tabela valores de t e de d . t (horas)
0
1
2
3
4
d (quilômetros)
0
30
60
90
120
Observe que para cada valor de t obtemos d multiplicando t por 30. Ou seja, d 30t é a lei de formação dessa função.
Calcule mentalmente a distância percorrida pelo trem em 2,5 horas de viagem. 75 km
A velocidade do trem é constante. Se ele percorreu 30 km em 1 hora, sua velocidade é de trinta quilômetros por hora. Escreve-se 30 km/h.
2. Na classe, durante uma aula de Matemática, o professor dizia um número. Os alunos faziam sempre uma mesma sequência de operações e davam o resultado obtido. A cada número n dado pelo
professor, correspondia uma única resposta R. Veja a tabela:
Número dado pelo professor (n)
Resultado calculado pelos alunos (R)
2
5
3
10
4
17
5
26
0,5
1,25
R é função de n. Qual é a lei de formação da função? Observe: 22 1 5 32 1 10 42 1 17 52 1 26 0,52 1 0,25 1 1,25
Os alunos elevavam ao quadrado o número n dado pelo professor, somavam 1 e obtinham o resultado R. Concluímos que R n2 1 é a lei de formação dessa função. 108
Exercícios Um metro de corda custa R$ 1,30. Copie e complete a tabela de preços em função do número de metros.
Entre as expressões seguintes, qual relaciona os valores de x e y ? Responda no caderno.
20
Comprimento (m)
Preço (R$)
1 2 3
1,30
x y
2,60
x
3 2
2 1
a) y x 1
c) y x
b) y x 1
d) y x 1
As figuras seguintes mostram azulejos coloridos x e azulejos brancos y com a relação que segue na tabela ao lado.
9,75
Copie e complete a tabela. y 2 x 3
2 1 0 1 2 3 0,5
1 2
24
5
7,5
x
0 1
1 0
3,90
6,50
21
23
( x , y ) 7
(2; 7)
5
(1; 5)
3
(0; 3)
1
(1; 1)
Qual é a fórmula que relaciona y com x? y x 4
y
1 2 3 4
5 6 7 8
Esta sucessão de p palitos vai formando t triângulos.
e r o t a n e S o i l é H
25
1
(2; 1)
3
(3; 3)
t
p
(0,5; 2)
1 2 3
3 5 7
2
x
(Encceja-MEC) Um vasilhame de água mineral contendo 20 litros foi colocado à disposição dos participantes de um evento. Considerando que os copos, com capacidade para 200 mL, eram servidos totalmente cheios, a expressão que representa a quantidade ( y ) de água, em mL, que restou no vasilhame, em função do número ( x) de copos utilizados, é: 22
m i l o R l e a f a R
Qual é a fórmula que relaciona p com t ? p
2t 1
O número de bolinhas b em cada figura é função da posição n que a figura ocupa na sequência. Escreva a lei de formação dessa função e calcule o número de bolinhas da 3n 1 figura 20. •• Ab figura 20 terá 59 bolinhas. 26
a) y = 20 – 200 x b) y = 200 x – 20
E A D : s e õ ç a r t s u l I
c) y = 200 x – 20000 x
d) y = 20000 – 200 x
fig. 1
fig. 2
fig. 3
fig. 4
FUNÇÕES
109
4. Interpretando gráficos Agora vamos analisar gráficos, retirando deles informações sobre a função. 1. Sérgio saiu de sua casa dirigindo seu automó-
s s e r p a h l o F / i r g e N a n i l o r a C a n A
vel e fez uma viagem de 160 km, por uma estrada praticamente retilínea. Chegando ao seu destino, reclamou de um trecho da estrada em que teve de viajar com velocidade baixa por causa dos buracos. O gráfico a seguir mostra a distância d percorrida pelo automóvel em função do tempo decorrido de viagem t . E A D
O gráfico nos fornece muitas informações: • Para t 1 h, temos d 80 km. Isso significa que em 1 hora de viagem o automóvel percorreu 80 km. Sua velocidade média nesse trecho da viagem foi de 80 km/h. • Repare que entre t 1 h e t 1,5 h, a posição do automóvel permaneceu constante, ou seja, nesse intervalo de tempo de 0,5 hora, ou 30 minutos, o automóvel permaneceu parado (provavelmente uma parada para um lanche!). • No trecho final da viagem, depois da parada, o automóvel percorreu 80 km (160 80 80). Isso num intervalo de tempo de 2 horas (3,5 1,5 2). 80 km em 2 horas 40 km em 1 hora • No trecho final da estrada, a velocidade média do automóvel foi de 40 km/h. Realmente, nesse trecho Sérgio desenvolveu uma velocidade média menor por causa dos buracos na pista. 110
2. Um paciente, num leito de hospital, tem sua temperatura tomada pela enfermeira de hora
em hora. O médico deixou instruções: se a temperatura do paciente atingisse 38 °C, ele deveria ser medicado. Veja o gráfico construído pela enfermeira mostrando a variação da temperatura do doente em função do tempo.
E A D
Temperatura (ºC)
38 37,5 37 36,5 36 35,5 35 34,5 0
1
2
3
4
5
6
7
8
Tempo (h)
1. O gráfico ilustra a variação de quais grandezas? Variação da temperatura do paciente em função do tempo decorrido. 2. Observe que o eixo vertical está seccionado próximo ao zero. Você tem ideia do significado disso? As temperaturas estão graduadas de 0,5ºC em 0,5ºC a partir de 34,5ºC, pois são temperaturas do corpo humano.
3. Observando o gráfico, responda:
a) Qual é a temperatura do paciente anotada pela enfermeira a zero hora? 37 ºC b) E às 2 horas? 37 ºC Observe que nesse intervalo de tempo a temperatura manteve-se constante. 4. O que aconteceu com a temperatura entre 2 e 4 horas? Qual é a temperatura do paciente às intervalo de tempo das 2 às 4 horas, a temperatura do paciente subiu, atingindo os 38 ºC. Seguindo as orientações do médico, 4 horas? No às 4 horas a enfermeira medicou o paciente. 38 °C 5. O que ocorreu com a temperatura entre 4 e 5 horas? Manteve-se constante; provavelmente foi o tempo necessário para a medicação começar a fazer efeito. Você teria uma possível explicação para a temperatura não ter baixado nesse período? Manteve-se constante; provavelmente foi o tempo necessário para a medicação começar a fazer efeito. 6. Observe que entre 5 e 7 horas a temperatura do paciente caiu de 38 ºC para 36,5 ºC, permanecendo constante das 7 às 8 horas.
Analisando gráficos como esse, o médico pode verificar de forma mais rápida e fácil como variou a temperatura do paciente durante a noite.
FUNÇÕES
111
a t s o C e t n e c i V
3. Certa quantidade de água foi aquecida num recipiente e
em seguida colocada para esfriar naturalmente. Um termômetro colocado no interior do recipiente permitiu verificar a variação da temperatura da água com o decorrer do tempo. Com os valores de x para o tempo e de y para a temperatura da água, construiu-se o gráfico abaixo. y (°C)
80 70 60 50 40 30 20 10 0
5
10
15
20
25
30
35 40
45
50
55
60
65
x (min)
E A D
No início da contagem do tempo ( x 0 min), a temperatura da água era de 80 °C. A partir desse instante, a temperatura da água diminui, atingindo 60 °C quando x 10 min, 45 °C quando x 20 min e 25 °C quando x 45 min. A partir desse instante, a temperatura da água permaneceu constante, igual a 25 °C, o que significa que o processo de resfriamento natural terminou. Escalas termométricas
Nos exemplos 2 e 3, trabalhamos com temperaturas em graus Celsius. A escala Celsius é uma escala termométrica ( termo, em grego, significa calor), criada em 1742 por Anders Celsius (1701-1744). Essa escala baseia-se em dois pontos fixos: • ponto de fusão do gelo valor zero; • ponto de ebulição da água sob pressão normal valor 100 (cem). O intervalo entre esses dois pontos foi dividido em 100 partes iguais. Cada parte corresponde a 1 grau Celsius (1 ºC). Podemos citar também a escala Fahrenheit, criada por Daniel E. Fahrenheit (1686-1736) em 1726. É usada, por exemplo, nos EUA. Comparando a escala Celsius com a Fahrenheit, temos: • 0 ºC corresponde a 32 ºF; • 100 ºC correspondem a 212 ºF. Para converter temperaturas da escala Fahrenheit para a escala Celsius, utiliza-se a f órmula: TC
TC = temperatura na escala Celsius 5 (TF 32), em que T = temperatura na escala Fahrenheit 9 F
Uma temperatura de 41 ºF, por exemplo, corresponde a uma temperatura de 5 ºC. Confira substituindo TF por 41 na fórmula e fazendo os cálculos. 112
Exercícios (Col. Isaac Roldan-Unesp) Na Confeitaria do Céu, quanto maior a encomenda, mais barato sai cada doce. Veja no gráfico: 27
Procure em jornais ou revistas e recorte uma função representada por um gráfico e outra por uma tabela. Resposta pessoal. 29
E A D : s e õ ç a r t s u l I
) s i a e r (
a d n e m o c n e a d o ç e r P
50 40 30 20
(Unifor-CE) Suponha que o gráfico abaixo represente quantos milhares de turistas argentinos e uruguaios entraram no Brasil nos anos indicados. 30
10
50
100
150
200
Número de doces encomendados
400
Se encomendarmos: a) 150 doces, qual o preço em reais que va-
mos pagar? R$ 35,00 b) 50 doces, qual o preço em reais de cada
doce? R$ 0,40 c) 200 doces, qual o preço em reais de cada
s a t s i r u t e d s e r a h l i M
argentinos
300
200 uruguaios 100
doce? R$ 0,20
0 02
28
03
04
05
06
Veja os gráficos:
Ano
Nessas condições, é verdade que: y
y
1
2
a) O número de turistas argentinos foi cres-
cente no período de 2002 a 2006. b) Em 2004 não vieram turistas uruguaios ao
Brasil. x
x
c) De 2004 para 2005, o aumento de turistas
argentinos foi menor que o de uruguaios. a) Para cada um dos gráficos, construa uma ta-
bela com os pontos indicados. b) Ambos os gráficos representam uma fun-
ção?
a) Apenas o item 1 é função.
x y
0 1 2 4 4 0 2 2 1
x y
0 2 4 4 2 2 2 1 2
x d) De
2004 a 2006, entraram no Brasil mais turistas argentinos do que uruguaios.
e) Em 2006, o número de turistas argentinos
foi o triplo do de uruguaios.
FUNÇÕES
113
Exercícios (Cefet-RN) O gráfico representa a previsão do lucro mensal de uma empresa que está lançando um novo produto.
a) for nulo, a residência estará isenta de pagamento.
31
b) for igual a 5 m3, o valor pago será menor do que se o consumo for igual a 10 m3.
Lucro (em mil reais)
c) for igual a 20 m3, o valor pago será o dobro do que se o consumo for igual a 10 m3.
300 200
x
100 0 2100
1
2
3
4
5
6
7
Mês
d) for igual a 25 m3, o valor pago será de R$ 16,70. O gráfico abaixo relaciona a distância, em quilômetros, com o tempo, em horas, gasto por Rafael em um passeio. 33
2200 2300
E A D : s e õ ç a r t s u l I
a) Qual o lucro previsto para o final do 1 o mês? –100 mil reais
b) Qual o lucro previsto para o final do 6o mês? 200 mil reais
(UFMG) Para desencorajar o consumo excessivo de água, o Departamento de Água de certo município aumentou o preço deste líquido. O valor mensal pago em reais por uma residência, em função da quantidade de metros cúbicos consumida, é uma função cujo gráfico é a poligonal representada abaixo. 32
R$
a) A que horas ele partiu? 9h
34,70
b) A primeira vez que Rafael parou, foi para almoçar. Quanto tempo demorou? 1 hora c) Quanto tempo caminhou antes do almoço?
16,70
3 horas
d) Rafael voltou a parar? Quanto tempo? Sim, 30 min.
11,70
e) Que distância percorreu entre o almoço e o café (2a parada)? 8 km
4,70 0
10
20
25
30
m3
Escreva a resposta em seu caderno. De acordo com o gráfico, quanto ao pagamento relativo ao consumo mensal de água de uma residência, é correto afirmar que, se o consumo: 114
f) Que distância percorreu após o café? 4 km g) Quanto tempo esteve parado durante todo o passeio? 1 h e 30 m h) De quantos quilômetros foi o passeio de Rafael? 18 km
5. Construindo gráficos de funções Vimos que o gráfico fornece informações sobre a função. Vamos aprender a construir gráficos de algumas funções. Essa função associa cada núComeçaremos construindo o gráfico da função de lei de mero real x ao seu dobro y. formação y 2 x . Inicialmente montamos uma tabela atribuindo valores a x e calculando, por meio da lei de formação, os valores de y correspondentes. Assim obtemos alguns dos pares ordenados ( x ; y ) dessa função. x
y 2 x
( x ; y )
3
6
2
4
1
2
0 1 2 3
0 2 4 6
(3; 6) (2; 4) (1; 2) (0; 0) (1; 2) (2; 4) (3; 6)
Nessa função, x pode ser qualquer número real. Escolhemos valores inteiros para facilitar os cálculos, mas poderíamos tomar x = 8,4 ou 1 , por exemplo. x = 7 o c i g á M s i p á L
E A D : s e õ ç a r t s u l I
Em seguida localizamos no plano cartesiano os pontos que representam cada par ordenado. Observe que os pontos estão alinhados. Quanto mais pares ordenados da função representarmos, mais pontos alinhados obteremos.
Escolha outro valor para x na tabela, calcule y e localize o par (x ; y ) no plano. O ponto obtido está alinhado com os pontos já marcados? Sim.
Todos os pontos que representam os pares ordenados dessa função formam seu gráfico, que é uma reta. Veja ao lado.
Se você tomasse x = 150 000 e o seu y correspondente, esse par estaria na reta? Sim.
FUNÇÕES
115
Como será o gráfico da função dada por y 3 x 1? Montamos uma tabela atribuindo alguns valores para x , calculamos os valores de y por meio da lei de formação da função e representamos no sistema cartesiano os pares ordenados ( x ; y ) obtidos. x 3 2 1
0 1 2 3
y 3 x 1
( x ; y )
10 7 4 1 2 5 8
(3; 10) (2; 7) (1; 4) (0; 1) (1; 2) (2; 5) (3; 8)
y
10 9 8 7 6 5 4 3
Os pontos obtidos estão alinhados. Quanto mais pares ordenados da função representarmos, mais pontos alinhados obteremos. São infinitos pares ordenados, pois x pode ser qualquer número real. O gráfico dessa função é uma reta. Será que toda função tem como gráfico uma reta?
2 1 0
4 3 2 1 1 2
1
2
3
4
x
3 4 5 6 7 8
o c i g á M s i p á L
A resposta é não. Vamos montar uma tabela com alguns valores de x e de y para a função dada por y = x 2 + 2 x 1 e representar os pares ordenados ( x ; y ) no sistema cartesiano. x 4 3 2 1
0 1 2
2
y x
2 x 1
7 2 1 2 1 2 7
( x ; y )
(4; 7) (3; 2) (2; 1) (1; 2) (0; 1) (1; 2) (2; 7)
E A D : s e õ ç a r t s u l I
y 7 6 5 4 3 2 1 0
5 4 3 2 1 1 2
1
2
3
4
5
x
Os pontos não estão alinhados, portanto não determinam uma reta. 3 Nessa função, x pode ser qualquer número real. Podemos fazer x 0,5; x 124; x 3 etc. 5 Vamos atribuir mais valores a x na tabela, obtendo outros pares ordenados ( x ; y ) da função. Representando mais pontos no sistema cartesiano nos aproximaremos mais da forma final do seu gráfico. 116
x
( x ; y )
y x 2 2 x 1
E A D : s e õ ç a r t s u l I
y
3,5
4,25
(3,5; 4,25)
2,5
0,25
(2,5; 0,25)
1,5
1,75
(1,5; 1,75)
0,5
1,75
(0,5; 1,75)
0,5
0,25
(0,5; 0,25)
1,5
4,25
(1,5; 4,25)
Podemos prosseguir atribuindo valores a x e localizando ainda mais pares ordenados. Todos os pontos que representam os pares ordenados dessa função formam seu gráfico. O gráfico dessa função é uma curva chamada parábola, cuja forma você vê abaixo.
7 6 5 4 3 2 1 0
5 4 3 2 1 1
1
2
3
4
5
x
2 3
y
7 6 5 4 3 2 1 0
5 4 3 2 1 1 V 2 vértice da 3 parábola
1
2
3
4
5
x
Observe que a parábola possui um eixo de simetria. O ponto da parábola que pertence ao eixo de simetria recebe o nome de vértice (V) da parábola. No gráfico dessa função o vértice tem coordenadas (1; 2). A parábola que traçamos tem concavidade voltada para cima (ela é “aberta para cima”). No entanto, há funções cujo gráfico é uma parábola com concavidade voltada para baixo.
eixo de simetria da parábola
o c i g á M s i p á L
Observando a lei de formação da função. Leia o quadro a seguir.
E como eu vou saber se o gráfico de uma função será uma reta ou uma parábola?
FUNÇÕES
117
Funções cuja lei de formação pode ser escrita na forma y ax b, sendo a e b números reais e a diferente de zero, têm como gráfico uma reta. É o caso das funções: • y 2 x (a 2 e b 0) • y 3 x 1 (a 3 e b 1) Essas funções são chamadas funções polinomiais do 1o grau, pois encontramos na sua lei de formação um polinômio do 1 o grau. Funções cuja lei de formação pode ser escrita na forma y ax 2 bx c , sendo a, b, e c números reais e a diferente de zero, têm como gráfico uma parábola. É o caso das funções: • y x 2 2 x 1 (a 1, b 2 e c 1) • y 2 x 2 4 (a 2, b 0 e c 4) Essas são funções polinomiais do 2o grau, pois encontramos na sua lei de formação um polinômio do 2 o grau. Há funções cujo gráfico não é uma reta nem uma parábola.
Ainda como exemplo, veja como obtivemos um esboço do gráfico da função dada por y 2 x 2 4. A função é do 2o grau: sabemos que seu gráfico é uma parábola. Montamos a tabela com valores da função. x
y 2 x 2 4
( x ; y )
2
4
1
2 4 2 4
(2; 4) (1; 2) (0; 4) (1; 2) (2; 4)
0 1 2
Abaixo localizamos no sistema cartesiano os pontos correspondentes aos pares ordenados e traçamos um esboço da parábola, que nesse caso tem concavidade voltada para baixo.
E A D
y
k c o t s r e t t u h S / e k s e u r B n h o J
V (0; 4) é o vértice da parábola
4 3 2 1 0
4 3 2 1 1 2 3 4
1
2
3
4
x
eixo de simetria da parábola coincide com o eixo y ◆
118
Repare como a forma de parábola é utilizada na arquitetura.
Luciana quer traçar o esboço do gráfico da função dada por y x 2 4x 4. Sabendo que o gráfico é uma parábola, montou uma tabela de valores da função. Mas, ao localizar os pares ordenados no plano cartesiano, não visualizou a forma da parábola! x
y x
2
4x 4
Não parece uma parábola...
( x; y )
3
25
(3; 25)
2
16
(2; 16)
1
9
(1; 9)
0
4
(0; 4)
1
1
(1; 1)
y 25
Sabe o que houve? Os pares (x ; y ) encontrados por Luciana representam pontos da parábola localizados todos de um mesmo lado em relação ao seu eixo de simetria. No entanto, como nessa função a variável x pode assumir qualquer valor real, basta que ela acrescente à taEixo de simetria bela mais valores. Vamos ajudá-la: observando os pontos já localizados, sugira valores para x e calcule y de modo a obter pontos que permitam visualizar melhor a parábola. Trace o esboço do gráfico da função em seu caderno.
E A D : s e õ ç a r t s u l I
O aluno pode, por exemplo, atribuir para x os valores 2, 3 e 4 e localizar os pontos (2; 0), (3; 1) e (4; 4).
o c i g á M s i p á L
16
9
4
1
3 21
01 2 3 4
x
Vamos estudar mais algumas funções e seus gráficos, em situações práticas? 1. No laboratório do colégio, alguns alunos mediram, usando uma balança, a massa
de blocos retangulares de chumbo cujo volume era conhecido. Com os valores do volume V e da massa m de cada bloco, montaram a tabela abaixo. V (cm3)
m (g)
(V; m)
1 2 3 4 5
11 22 33 44 55
(1; 11) (2; 22) (3; 33) (4; 44) (5; 55)
n o o t r a C a r t s u l I
A massa do bloco é função de seu volume. A tabela permite observar que a lei de formação dessa função é m 11 V .
FUNÇÕES
119
Os alunos localizaram os pares ordenados da tabela no sistema cartesiano e traçaram o gráfico da função, que é um trecho de reta, pois só temos valores de V e de m positivos.
m
(g)
55
44 33 Observe que o volume V e a massa m dos blocos de chum22 bo são grandezas diretamente proporcionais: 11 • Se V dobra, m dobra, se V triplica, m triplica, e assim por diante. 0 1 2 3 4 Funções cuja lei de formação é do tipo y a x relacionam grandezas x e y que são diretamente proporcionais. número diferente de zero Como vimos, essas funções têm como gráfico uma reta.
5
V (cm3)
2. Um caminhão-tanque vai descarregar 20 000 litros
m o c . e m i t s m a e r D / a t u r n E
de gasolina no reservatório de uma empresa de ônibus. Serão descarregados 500 litros de gasolina por minuto. O volume de gasolina V no tanque do caminhão é função do tempo de descarga t decorrido. O volume inicial de gasolina no caminhão é de 20 000 litros. Desse volume subtrairemos 500 litros para cada minuto de descarga. A lei de formação dessa função é V = 20 000 500 t , e seu gráfico é retilíneo. Quando t 0 minuto, ou seja, no momento em que a descarga se inicia, temos: V 20 000 0 500 V 20 000 litros Obtivemos o par ordenado (0; 20 000). Esse ponto está sobre o eixo y . Quando o caminhão terminar o processo de descarga, seu tanque estará vazio. Fazendo V 0 na lei de formação V 20 000 500t , temos: 0 20 000 500t 500t 20 000 O caminhão levará 40 minutos para 20 000 t descarregar todo o combustível. 500 t 40 minutos Obtivemos o par ordenado (40; 0). Esse ponto está sobre o eixo x .
Marcamos os pontos que representam os pares ordenados (0; 20 000) e (40; 0) e traçamos o gráfico da função, que é um trecho de reta, pois a função só se define para valores de t entre 0 e 40 minutos. Quando o gráfico da função é uma reta, ou um trecho de reta, basta determinar dois de seus pontos para traçá-lo. 120
E A D : s e õ ç a r t s u l I
V (L) 20000 (0; 20 000) 10 000 (40; 0) 0
10 20 30 40
t (min)
No exemplo 2, usamos os pontos que interceptam os eixos x e y para traçar o gráfico da função. Lembre-se de que, no sistema cartesiano: • pontos sobre o eixo x têm ordenada y = 0; • pontos sobre o eixo y têm abscissa x = 0.
E A D : s e õ ç a r t s u l I
y
4 3 (0; 3) 2 1
(2; 0)
(4; 0)
4 3 2 1 0 1 1
Veja exemplos ao lado.
2
3
4
x
2 3 (0; 4)
4
3. É comum em problemas práticos que o gráfico de uma função do 2 o grau apresente
somente um trecho da parábola. Acompanhe uma dessas situações. Num teste em pista retilínea, um automóvel partiu do marco zero da pista, e nesse instante um cronômetro foi acionado. A aceleração foi constante durante todo o percurso. A posição s do automóvel na pista em função do tempo t é dada por s 5t t 2, em que o tempo t está em segundos e a posição s está em metros.
t
0 5 10 15 20 25
s
5t t 2
0 50 150 300 500 750
(t ; s)
(0; 0) (5; 50) (10; 150) (15; 300) (20; 500) (25; 750)
As funções são aplicadas nas Ciências! Esse exemplo de função é estudado na Física!
s
800 700 600 500 400 300
A partir da tabela traçamos o gráfico de s em função de t . Observe que se trata de uma função do 2 o grau.
200 100 0 5
10 15 20 25
t
O gráfico é um trecho de parábola, pois nessa situação não podemos atribuir valores negativos para t . m o c . k c o t s r e t t u h S / R l o o C
FUNÇÕES
121
Exercícios Estabeleça a correspondência entre cada gráfico e cada função. I e B; II e D; III e A; IV e C.
Observe o gráfico abaixo. Ele representa o preço de uma corrida de táxi. Lembre-se de que bandeirada é o preço fixo indicado pelo taxímetro ao ser acionado no início da corrida.
34
I
y
0• 1
y
III
•
1
37
1•
•
0 1
x
y (preço
x
r
t
E A D : s e õ ç a r t s u l I
em reais)
6 5 4
II
IV
y
1 •
3
y
•
1
0 1
•
0 1
x
•
x
0
s
p
A y = x + 1
C y = – x + 1
B y = 3 x – 1
D y = –2 x – 2
b)
y x 1
c)
y 3 x
d)
y x 1
b) Num percurso de 8 km, serão pagos R$ 8,00? Não.
c) Qual é o preço do km rodado? R$ 0,50 d) Qual é a lei que define esse gráfico?
Ver respostas na seção: “Respostas dos exercícios”.
y 0,5 x 3
Uma determinada função é representada pelo gráfico ao lado.
Para estes exercícios a malha quadriculada vai bem...
15
10
a) Copie e complete a tabela abaixo com alguns pontos da função:
Em um mesmo sistema de eixos cartesianos, faça o gráfico das funções: 36
5
0
a) y = 2 x b) y = 2 x + 1 c) y = 2x – 1 d) y = 2x + 3
x
Que fato geométrico você observa? Os gráficos das quatro funções são retas paralelas.
1 2 3 4
x
0
1
2
3
4
0
4
8
12
16
y
b) O que acontece a y se x for duplicado? Duplica. c) O que acontece a y se x for dividido por 3?
y
122
y
38
2
n o o t r a C a r t s u l I
6 x (distância em km)
a) Foi cobrada bandeirada? Em caso afirmativo, qual o valor? Sim. R$ 3,00
Atribua valores à variável x, construa no caderno uma tabela com alguns pares ordenados e construa o gráfico das funções: y 2x
4
Com base nessas informações, responda:
35
a)
2
É dividido por 3.
x
d) Represente essa função por uma fórmula matemática. y 4 x
Exercícios
O gráfico representa a quantidade de medicamento que uma pessoa deve tomar em função de seu peso, caso tenha determinada infecção. 39
Seja a função y x2 4 x 5. Copie, complete a tabela no caderno e construa o gráfico. 41
Ver respostas dos exercícios 41, 42 e 43 na seção: “Respostas dos exercícios”.
x
2
1 0
1
2
3
4
5
6
–5
–8
–9
–8
–5
0
7
y
Quantidade de medicamento (mL)
7
50
0
Seja a função y x2 4 x 3. Copie, complete a tabela no caderno e construa o seu gráfico. 42
25 Peso (kg)
10 0
20
50
100
a) Quanto deve tomar de medicamento uma pessoa que pesa 40 kg? 20 mL b) Se uma pessoa tomou 43 mL de medica50 100 mento, qual é o seu peso? 86 kg 43 x c) Sabe-se que a quantidade de medicamento a ser tomada deve ser dividida em 12 doses. Quantos mL de medicamento deve tomar em cada dose uma pessoa que pesa 60 kg? 2,5 mL (Vunesp) Um botânico mede o crescimento de uma planta, em centímetros, todos os dias. Ligando os pontos colocados por ele num gráfico, obtemos a figura abaixo. Se for mantida sempre essa relação entre tempo e altura, qual a altura da planta no 30o dia? 6 cm
x
0
1
2
3
4
5
–3
0
1
0
–3
–8
1
y –8
Seja a função y x2 4 x 4. Copie, complete a tabela no caderno e construa o seu gráfico. 43
x
0
1
2
3
4
5
4
1
0
1
4
9
1
y 9
40
E A D : s e õ ç a r t s u l I
(Unirio-RJ) Em busca de uma simetria, um caricaturista utilizou a parábola para traçar o rosto da figura abaixo: 44
y
Altura (cm)
2 1
x
1
1 0
5
y x
5
10
Tempo (dias)
y 30 6 5
Para os três próximos exercícios, a malha quadriculada vai bem...
3
A equação que define essa parábola é... a) y x2 3 b) y x2 4
x
c) y 3 x2 3 d) y x2 3 x + 2
FUNÇÕES
123
Revisando 45
Seja a função y 3 x 2.
Em um estacionamento para veículos, paga-se por hora ou fração de hora de acordo com a tabela: 49
a) Qual é o valor de y para x 2? 8 b) Qual é o valor de y para x 23 ? 0 c) Qual é o valor de x para y 11? 3
A partir da 4a hora R$ 0,80 por R$ 2,00 R$ 1,50 R$ 1,00 hora ou fração 1a hora
d) Qual é o valor de x para y 0? 46
2 3
Seja a função y x2 7 x 10.
2a hora
3a hora
a) Qual é o valor de y para x 5? 70 b) Qual é o valor de y para x 1 ? 274 2 c) Quais são os valores de x para y 0? 2; 5 d) Quais são os valores de x para y 18? 47
1;
n o o t r a C a r t s u l I
8
Determine os valores das letras a, b, c, d : a 4 b 6 c 8 d 7
1
2
E A D
y x 3
a 3 b 4 c 3 d 17
y 2 x 5
Após p horas, um motorista retira seu veículo e deve pagar R$ 15,70. Qual o valor de p, em horas? 17 horas • 2 1,50 1 0,80 p 15,70
O preço que o senhor Quintino cobra para pintar uma casa varia conforme a área a ser pintada. Veja a tabela de preços que ele apresenta. 48
Área (m2) 0 a 50 51 a 100 101 a 200 201 a 300
s i a r o M o i c i r u a M
Preço (R$) 400 750 1 300 2 400
a) Qual é o preço a ser pago se a área a ser pintada for de 83 m 2? R$ 750,00
p 14 3 17
Roberto arrumou palitos de fósforo como mostra a figura: 50
A
B
C
D
e r o t a n e S o i l é H
b) Com R$ 1.300,00, qual é a maior área que pode ser pintada? 200 m
a) Quantos palitos Roberto usou para formar 4 “casas”? 17 palitos
c) Qual das seguintes afirmações está correta?
b) Quantos palitos Roberto usaria para formar 10 “casas”? 41 palitos
2
• A área a ser pintada é uma função do preço. Errada.
• O preço a ser cobrado é uma função da área a ser pintada. Correta. 124
c) Escreva a equação que expressa o total de palitos ( p) em função do número de “casas”(c). p 4c 1
Exercícios
(Saresp) Em uma promoção, uma editora está vendendo vários livros a R$ 12,00 cada um, e cobrando uma taxa de R$ 5,00 pela entrega. Dessa forma, a expressão P 12 x 5 permite calcular o preço a ser pago P, em reais, pela compra de x unidades desses livros. Se uma pessoa pagou R$ 137,00 pela compra de livros dessa promoção, quantos livros ela comprou? 11 livros 51
137 12 x 5
Veja o gráfico da produção mensal de uma fábrica de agasalhos no primeiro semestre de um ano. 53
Número de agasalhos 1400 1200 1000 k c o t S n i t a L / y r a r b i l o t o h P
800 600 400 200 0 jan.
fev.
mar.
abr.
maio
jun.
Mês
Responda no caderno. a) Quantas unidades foram produzidas em fevereiro? 400 unidades b) Em que mês a produção foi maior? Em quantas unidades? Junho; 1 200 unidades. Num supermercado, os sabonetes Lave-me estão em promoção. 52
c) De abril para maio a produção aumentou ou diminuiu? Em quantas unidades? Diminuiu; 200 unidades.
54
n o o t r a C a r t s u l I
Qual gráfico melhor traduz a situação? Gráfico C.
“... a inflação, que estava aumentando, estacionou para voltar a crescer...”
Copie e complete a tabela que permita saber quanto deve pagar uma pessoa que compra até 10 sabonetes. Quantidade Preço a pagar (R$) 1 0,70 2 1,40 3 1,40 4 2,10 5 2,80 6 2,80 7 3,50 8 4,20 9 4,20 10 4,90
y
y
y
x
A
E A D : s e õ ç a r t s u l I
x
B
x
C
Para produzir um objeto, uma firma gasta R$ 1,20 por unidade. Além disso, há uma despesa fixa de R$ 4.000,00, independente da quantidade produzida. O preço de venda é de R$ 2,00 por unidade. Qual é o número de unidades que o fabricante deve vender para não ter lucro nem prejuízo? 5 000 unidades 55
1,2 x 4 000 2 x
FUNÇÕES
125
56
Exercícios
Construa o gráfico de cada uma das funções:
a) y 1,5x
60
Veja este anúncio de uma loja de consertos. e r o t a n e S o i l é H
c) y x 1 x d) y 1 2
b) y 4 x 1
Respostas na seção “Respostas dos exercícios”.
Uma danceteria cobra R$ 5,00 o ingresso e R$ 2,00 o refrigerante. 57
n o o t r a C a r t s u l I
O preço C do conserto é função do número t de horas de trabalho (mão de obra). a) Escreva a fórmula matemática que expressa a lei da função. C 20 12t
b) Calcule o preço do conserto de uma máquina de lavar roupa que levou 2,5 horas para ser consertada. R$ 50,00.
a) Exprima, matematicamente, o valor da conta y num consumo de x refrigerantes. y 2 x 5
c) Dona Eliana pagou R$ 35,00 a um técnico dessa loja que foi consertar a sua televisão. Quanto tempo levou o técnico para consertar o aparelho? 1 hora e 15 minutos
b) Construa uma tabela e trace o gráfico dessa função. Resposta na seção “Respostas dos exercícios”.
61
c) Quantos refrigerantes tomou uma pessoa que gastou R$ 13,00? 4 refrigerantes
(Encceja-MEC)
E A D
x
Seja a função 6 x. Copie, complete a tabela no caderno e construa o seu gráfico. y x 2
58
Resposta na seção “Respostas dos exercícios”.
0
x
1
2
3
4
5
6
y
y 0
59
5
8
9
8
5
A figura acima representa um campo de futebol, de dimensões x e y , com perímetro de 340 m. A área desse campo pode ser corretamente representada, em função da menor dimensão x, por:
0
Dada a função y x2 6 x 5,
a) indique os pontos em que seu gráfico corta o eixo x; (1; 0) e (5; 0) b) indique os pontos em que seu gráfico corta o eixo y ; (0; 5) c) faça o gráfico da função. Resposta na seção “Respostas dos exercícios”.
126
x
a) A = – x2 + 170 x b) A = –x2 – 170 x
• 2 x + 2 y = 340 y = 170 – x
c) A = – x2 + 340 x
• A = x · y A = x (170 – x ) A = – x 2 + 170 x
d) A = – x2 – 340 x
Exercícios
(CPII-RJ) O retângulo ABCD é formado por três quadrados, conforme mostra a figura abaixo: 62
A
B
O gráfico mostra a distância em quilômetros que percorreram dois ciclistas, Pedro e Guilherme. Quatro horas depois da partida, quantos quilômetros Pedro percorreu a mais que Guilherme? 15 km 64
Distância (km) 75
D
C x
a) Exprima o perímetro do retângulo ABCD em função de x. P 8 x
60
o d r P e
45
e r m e h l i G u
b) Exprima a área do retângulo em função de x. A 3 x 2
c) Observe o trajeto de A a B, marcado na figura. Exprima, em função de x, a distância percorrida nesse trajeto. D 5 x
30
15
d) Se o trajeto marcado corresponde a 60 cm, quanto vale x? 12 cm
0
1
2
3
4
5 Tempo (h)
(UFPE) O gráfico a seguir fornece o perfil do lucro de uma empresa agrícola ao longo do tempo, sendo 1969 o ano zero, ou seja, o ano de sua fundação. 65
Um garoto brinca de arrumar palitos, fazendo uma sequência de quadrados, como na figura: 63
e r o t a n e S o i l é H
Lucro
0
1 quadrado 2 quadrados 3 quadrados 7 palitos 4 palitos 10 palitos Quantos palitos ele usaria para fazer: a) 4 quadrados? 13 palitos b) 5 quadrados? 16 palitos c) 10 quadrados? 31 palitos d) n quadrados? (3n
E A D : s e õ ç a r t s u l I
1)
palitos
5
10
15
20
25
Ano
Analise o gráfico e responda em seu caderno se cada afirmação a seguir está certa ou errada. a) 10 foi o único ano em que ela foi deficitária. E b) 20 foi o ano de maior lucro. C c) 25 foi um ano deficitário. E d) 15 foi um ano de lucro. E e) 5 foi o ano de maior lucro no período que vai da fundação até o ano 15. C
FUNÇÕES
127
(CPII-RJ) Baseado nos dados do IBGE, construiu-se o gráfico referente à variação da população brasileira, em milhões de habitantes, ao longo de 6 décadas. 66
População (milhões de habitantes) 190,5
Desafios Qual gráfico melhor representa a situação? Gráfico A. Leandro deu uma tacada na sua bola de golfe. 68
n o o t r a C a r t s u l I
169,5 151,5 120
a r u t l A
93 70 52
A Tempo
0 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 Ano a r u t l A
De acordo com esse gráfico, responda:
a r u t l A
B
C
a) Qual a população brasileira no ano de 1970? Tempo
93 milhões de habitantes
b) Qual a razão entre o crescimento populacional da década de 90 (1990 a 2000) e da dé2 cada de 70 (1970 a 1980)? 23 • r 18 27 3
(Saresp) Um motoboy, para fazer entregas ou retirar documentos de escritórios espalhados pela cidade de São Paulo, recebe R$ 3,00 por quilômetro rodado. Suponhamos que ele passe a receber, mensalmente, um auxílio fixo de R$ 50,00. Qual o gráfico que representa o seu ganho mensal, em reais, em função dos quilômetros rodados? Gráfico B.
(CAP-Uerj) Considere as três máquinas seguintes: 69
I
II 1
67
A
C 50 0
o
0
N de quilômetros
B
No de quilômetros
Ganho mensal
D
50 0
o
N de quilômetros
São máquinas que efetuam as operações indicadas, trabalhando sempre no conjunto IN, dos naturais. Por exemplo: Se colocarmos 7 na máquina I, ela nos dará 7 1 8.
Se introduzirmos 6 na máquina III, teremos 62 36 na saída. Façamos uma “composição” com as 3 máquinas:
?
50 0
II
o
N de quilômetros
1
2
III
( )
2
1 600
Se 1 600 é o número obtido na saída da máquina III, qual o número que foi colocado na entrada da máquina I? 19 19
128
( )2
2
I Ganho mensal
n o o t r a C a r t s u l I
III
Se colocarmos 9 na máquina II, obteremos 2 × 9 18.
Ganho mensal
Ganho mensal
Tempo
20
J
40
J
1 600
J
E A D : s e õ ç a r t s u l I
Autoavaliação O valor da função y x 1 é: 70
x
2 x
1 para
a) 0
c)
1
b) 2
d)
3
y (1)2 1 y 0
(Encceja-MEC) Analisando os custos e as vendas da produção artesanal de ovos de Páscoa, Cristina fez a seguinte relação: 71
(SEE-RJ) Leia o texto seguinte para responder às questões 73 e 74. Uma agência de aluguel de automóveis colocou um anúncio que dizia: POLUA MENOS E ECONOMIZE MAIS! Para incentivar o uso do carro a gás, que polui menos, essa agência apresentou uma promoção, de acordo com a tabela abaixo.
• Despesas fixas de R$ 2.400,00 e R$ 3,60 por ovo produzido. Se x é o número de unidades então a expressão do custo é 2 400 + 3,60 x. • Cada ovo é vendido por R$ 10,00, assim a expressão da venda é 10 x.
Categoria
Gasolina (R$)
Gás (R$)
popular
diária: 80,00 km: 1,00
diária: 50,00 km: 0,80
semiluxo
diária: 120,00 km: 2,00
diária: 80,00 km: 1,00
A quantidade de ovos a ser produzida e vendida para que Cristina tenha lucro é: a) igual a 275. b) igual a 375.
c) menor que 275. x
d) maior que 375. 10 x 2400 3,60 x s s e r p a h l o F / n a i b i l a S g e r G
Anote, em seu caderno, o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta.
luxo
diária: 150,00 diária: 100,00 km: 3,00 km: 1,80
O aluguel de um carro é composto da diária e da quilometragem rodada em cada categoria. Considerando y como o preço do aluguel e x como o número de quilômetros rodados, a função que representa o preço do aluguel de um carro popular a gás, por um dia, será expresso por: 73
a) y = 50 x (Saresp) Uma população de bactérias cresce, em função do tempo, de acordo com a função: 72
b) y = 80 + x c) y = 0,80 + 50 x x d)
N 400 (1,2)t N: número de bactérias t : tempo em horas
2
b) 480
d) 960
O aluguel por um dia de um carro de luxo, movido a gasolina, para percorrer 30 quilôme y 150 3 x tros, em reais, vale: y 150 3 30 240 74
O número de bactérias, na população, depois de 2 horas é: x c) 576 N = 400 · (1,2) a) 400 N = 576
y = 50 + 0,80 x
a) 150 b) 180
x c)
240
d) 320
FUNÇÕES
129
28 dá o valor aproA fórmula N 5 p 4 ximado do número do calçado (N) em função do comprimento ( p), em centímetros, do pé de qualquer pessoa. De acordo com a fórmula, o comprimento do pé de quem calça 37 é, em centímetros, aproximadamente:
(SEE-SP) Uma empresa fabrica um único produto e toda sua produção é vendida. O gráfico abaixo representa o custo total C e a receita R em função da quantidade vendida.
75
a) 22 x
b) 24
77
E A D
R
e r o t a n e S o i l é H
37 5 p 28 4 p 24
1 000 0 20
d) 26 (Unisinos-RS) Suponha que o número de carteiros necessários para distribuir, em cada dia, as correspondências entre as residências de um bairro seja dado pela função 22 x , em que x é o número de resiy 500 2 x dências e y é o número de carteiros. Se foram necessários 6 carteiros para distribuir, em um dia, essas correspondências, o número de residências desse bairro que as receberam é:
b) 340
22 x • 6 500 2 x • x = 300
40
Quantidade
Dado que o lucro L da empresa é a diferença R – C, podemos garantir que:
76
a) 300
C
2 000
c) 25
x
Custo (R$)
a) a empresa só terá lucro se fabricar mais de 20 peças do produto. x
b) a empresa só terá lucro se fabricar mais de 40 peças do produto. c) fabricando 40 peças, o lucro será de R$ 2.000,00. d) o lucro máximo ocorre fabricando 40 peças.
c) 400 d) 420
(Vunesp) A velocidade (V) de um objeto que se movia no espaço foi observada e medida, durante um certo tempo (t ). Os dados obtidos foram arrumados na tabela seguinte: 78
e p e P o l u a P
t (s)
2 3 4 5
V (m/s) 7 10,5 14 17,5
Sabendo que a variação da velocidade desse objeto com o tempo decorrido foi constante durante todo o período de observação, pode-se concluir que sua velocidade durante 17 segundos era de:
x
130
a) 48 m/s
c) 63 m/s
2 •7
b) 59,5 m/s
d) 65,5 m/s
• x 59,5
17 x
(UFRJ) Observe a tabela abaixo que indica o número de casos (n) registrados de uma doença em função do tempo ( t ), em anos, e responda às questões 79 e 80: t
n
1 2 3
67 117 167
(Unisinos-RS) x, y, z e t são quatro números inteiros. Sobre eles, afirma-se que: 82
• y excede x em uma unidade • z é a soma de x com y • t é a soma de z com y A expressão t , em função de x, é representada por: a) t 2 x 3
e r o t a n e S o i l é H
x
NPM9030 Doutor palhaço e menina
b) t 3 x 2 t
Entre as figuras seguintes, aquela que pode representar o gráfico de uma função é: B 83
A equação que fornece o valor de n, em função de t , é:
b) n 67t
x
A
C
c) n 50t 17
x
a) 10
c) 12
b) 11
d) 13
B
x
• 567 50t 17 t 11
(UFPE) A altura h de um homem varia com o tamanho F do seu fêmur de acordo com a fórmula (medidas em cm): 84
Salário em R$ 580 500
b) y 500 40 x
h 69,089 2,238F
Se a idade ultrapassa 30 anos, subtrai-se 0,06 cm por cada ano após os 30 anos. Qual a altura estimada de um homem de 40 anos cujo fêmur mede 40 cm?
E A D : s e õ ç a r t s u l I
c) y 580 20 x 0
D x
(Ceeteps-SP) O gráfico mostra o salário mensal dos vendedores de aparelhos eletrônicos em função da quantidade vendida. A função que relaciona o salário y e a quantidade vendida x é dada por:
d) y 580 20 x
y
y
81
a) y 500 40 x
x
d) n 17t 50
Supondo que o crescimento do número de casos dessa doença permaneça de acordo com a tabela, quando n = 567, o tempo t , em anos, corresponderá a:
x
y
y
80
x
d) t 3 x 1
z y t ( x y ) y x 2 y t x 2 (x 1) 3 x 2
79
a) n 50t
c) t x 4
2 Quantidade vendida
x
a) 1,50 m
c) 1,61 m
b) 1,58 m
d) 1,65 m
e r o t a n e S o i l é H
h 69,089 2,238 40 h 69,089 89,52 158,609
158,609 10 0,06 158,009 158,009 cm 1,58009 m FUNÇÕES
131
Preço (R$)
(Cesgranrio) O gráfico ao lado apresenta o preço de custo de determinado tipo de biscoito produzido por uma pequena fábrica, em função da quantidade produzida. 85
(Saresp) O gráfico que melhor representa a função definida por y x2 é: Alternativa c. 87
3,60
A
1,80
0
B y
y
kg
1,0 2,0
s n e g a m I r a s l u P / s n i t r a M m i f l e D
0 0
x
x
D
C y
y
0
x
Se o preço final de cada pacote é equivalente a 8 do preço de custo, um pacote de 0,5 kg é 5 • 0,5 kg 0,90 vendido, em reais, por:
0
x
a) 0,90
c) 1,36
b) 1,20
x
• 8 5 0,90 1,44
(Ceeteps-SP) Um projétil é atirado do ponto 0, como mostra a figura, e descreve uma parábola cuja função é y 2 x2 80 x, sendo x e y dados em metros. O alcance desse projétil é: 88
d) 1,44
(Ceeteps-SP) Numa sala retangular de um laboratório, a parte colorida da figura será destinada à pesquisa de clonagem. A área colorida y , em função de x, é dada por: 86
E A D : s e õ ç a r t s u l I
y
12 m x
8m 0
• y (12 8) (12 x ) (8 x )
x
a) y 12 x x2 b) y 8 x x2
132
x
alcance
c) y 96 x x2 x
d) y 20 x x2
x
a) 40 m
c) 80 m • 2 x 2 80 x 0
b) 60 m
d) 100 m
x 1 0 x 2 40
UNIDADE UNIDADE
5
Noções de probabilidade 1. Qual é a chance? Com suas economias, Rogério e César compraram uma bicicleta em sociedade. Combinaram que a bicicleta ficaria uma semana com cada um. Com quem a bicicleta ficará na primeira semana?
o c i g á M s i p á L : s e õ ç a r t s u l I
Vamos jogar um dado. A bicicleta ficará com quem tirar o maior número.
Rogério lançou o dado e obteve 5. César ainda não lançou o dado. Qual deles você acha que tem mais chances de ficar com a bicicleta na primeira semana? Rogério, claro! César só ganha se obtiver 6 no dado. Se der 5, empata; se der 4, 3, 2 ou 1, o Rogério ganha.
Será que há como expressar matematicamente que as chances de Rogério ganhar são maiores nessa situação? NOÇÕES DE PROBABILIDADE
133
Veja: Quando César lançar o dado, pode ocorrer 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 pontos. Temos 6 possibilidades no total. Imaginando que o dado seja honesto e não tenha defeitos, cada possibilidade tem a mesma chance de ocorrer. Dos seis resultados possíveis, somente um é favorável ao César: o 6. Há 1 possibilidade em 6 de César vencer. Apenas 1 6 das possibilidades favorece César. 1 6 Como 1 6 0,1666..., e 0,1666…: 16,7%, a chance (ou probabilidade) de César ficar com a bicicleta na primeira semana, sendo que Rogério obteve 5 ao lançar o dado, é de aproximadamente 16,7%. Se todas as possibilidades têm a mesma chance de ocorrer, a probabilidade de um fato ocorrer é expressa por meio de uma razão: 1 em 6
probabilidade
número de possibilidades favoráveis número total de possibilidades
Qual é a chance de haver um empate? Dos seis resultados possíveis para o lançamento de César, somente um determina um empate: César também conseguir 5 no dado. A chance de ocorrer empate é de 1 em 6, ou seja, 1 6 , ou, aproximadamente, 16,7%.
s o g r u B
o é L
E qual é a chance de Rogério vencer? Dos seis resultados possíveis para o lançamento de César, quatro são favoráveis a Rogério: 1, 2, 3 e 4. A chance, ou a probabilidade, de Rogério vencer é de 4 em 6, ou seja, 4 , ou 2 , que, em por6 3 centagens, corresponde a 2 : 3 0,6666... 66,7%.
No entanto, no final da história, César lançou o dado, obteve 6 e foi o primeiro a usar a bicicleta! O fato de a probabilidade de Rogério vencer ser maior do que a de César vencer não garante que Rogério vencerá. Vamos entender: Quando lançamos um dado honesto, a probabilidade de ocorrer 5 é de 1 em 6, ou 1 6. Isso não significa que, se lançarmos o dado seis vezes, em uma delas obteremos 5. Pode ser que em seis lançamentos não ocorra o 5 ou ocorra 5 em três deles, por exemplo. 134
o c i g á M s i p á L
A probabilidade 1 6 , nesse caso, indica que, se lançarmos um dado um número muito grande de vezes, ocorrerá 5 em aproximadamente 1 dos lançamentos. 6 Por exemplo: Se lançarmos um dado 6 000 vezes, em aproximadamente 1 000 lançamentos 1 6 de 6 000 ocorrerá o 5.
O cálculo de probabilidades não nos dá a certeza de um resultado, mas permite prever as chances de um acontecimento. s o g r u B o é L
Tomemos o lançamento de uma moeda. Temos dois resultados possíveis: cara ou coroa. r a l u c i t r a p o v i u q r A
1 Se a moeda for honesta, a probabilidade de ocorrer cara deve ser 2 , ou 50%. Em 500 lançamentos, por exemplo, devemos obter um número de caras perto de 250.
Forme um grupo com mais quatro colegas. Cada um de vocês deve ter uma moeda de R$ 0,50 e, copiada no caderno, uma tabela como esta:
Contagem do número de caras
Cara
r a l u c i t r a p
o v i u q r A
Total
etc.
Individualmente vocês completarão a tabela colocando o número de caras obtidas em 100 lançamentos da moeda. Feito isso, construam uma nova tabela com o número de caras obtidas nos 500 lançamentos executados pelos elementos do grupo: basta somar o total de caras obtidas individualmente. Resposta De acordo com nossas previsões, o número de caras deve estar próximo de 250. Isso ocorreu? pessoal. Agora juntem os resultados de todos os grupos. O total de caras obtidas se aproximou mais de 1 do 2 total de lançamentos? Resposta pessoal. É possível que em 100 lançamentos ocorram 100 caras? Sim, mas a probabilidade é muito pequena.
NOÇÕES DE PROBABILIDADE
135
Vamos trabalhar mais um pouco com a moeda. • Se lançarmos uma moeda 4 vezes, qual é a probabilidade de obter cara nos quatro lançamentos? Podemos construir um diagrama de árvore para determinar todos os resultados possíveis:
Ca ••••••Ca
Ca Ca Ca
Ca
Co ••••••Ca Ca Ca Co Ca
Ca ••••••Ca Ca Co Ca Co Co ••••••Ca Ca Co Co
Ca
Ca ••••••Ca Co Ca Ca Ca Co ••••••Ca Co Ca Co Co
Ca ••••••Ca Co Co Ca Co Co ••••••Ca Co Co Co Ca ••••••Co Ca Ca Ca Ca Co ••••••Co Ca Ca Co
Ca Ca ••••••Co Ca Co Ca Co Co ••••••Co Ca Co Co Co Ca ••••••Co Co Ca Ca Ca Co ••••••Co Co Ca Co Co Ca ••••••Co Co Co Ca Co Co ••••••Co Co Co Co
São 16 resultados possíveis. Se você lembrar do princípio multiplicativo, economizará tempo: Para cada lançamento há duas possibilidades: 2 2 2 2 16 possibilidades no total.
Então, a probabilidade de obter cara nos 4 lançamentos é 1 , ou 0,0625, ou, ainda, 6,25%. 16
Use o exemplo acima para calcular a probabilidade de obter cinco caras em cinco lançamentos da 1 moeda. 32
136
Na atividade em grupo que fizemos, perguntamos se seria possível ocorrer cara em todos os 1 100 lançamentos. A probabilidade de isso ocorrer é de 2100 . 2100 é um número muito grande, por isso essa probabilidade é muitíssimo pequena. Mas ela existe. Agora vamos falar de um sorteio. Numa urna há bolinhas numeradas de 1 a 50. Uma bolinha será sorteada ao acaso. • Qual é a probabilidade de o número dessa bolinha ser múltiplo de seis? Os múltiplos de 6, de 1 a 50, são: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42 e 48 . Temos 8 resultados favoráveis num total de 50 resultados possíveis. Então, a probabilidade de a bolinha sorteada ter um número múltiplo de 6 é: 8 50 ou 16%
n o o t r a C
a r t s u l I
8 = 16 = 16% 50 100
• A probabilidade de o número da bolinha sorteada ser um número primo é maior ou menor do que a probabilidade de ele ser múltiplo de seis? Há 15 números primos de 1 a 50: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47. A probabilidade de o número da bolinha sorteada ser primo é de 15 , ou seja, 30%. 50 Há maior probabilidade de o número da bolinha sorteada ser primo. Dos dados, moedas e urnas para a maravilhosa poesia... • Você gosta de poesia? Leia a estrofe de um poema de Fernando Pessoa: a i h p a r g o n o c I o ã ç u d o r p e R
Há sem dúvida quem ame o infinito, Há sem dúvida quem deseje o impossível, Há sem dúvida quem não queira nada – Três tipos de idealistas, e eu nenhum deles: Porque eu amo infinitamente o finito, Porque eu desejo impossivelmente o possível, Porque quero tudo, ou um pouco mais, se puder ser, Ou até se não puder ser... Fernando Pessoa. Álvaro de Campos – Poesia. São Paulo: Cia. das Letras, 2002, p. 475.
◆
José de Almada Negreiros. Retrato de Fernando Pessoa, 1935.
NOÇÕES DE PROBABILIDADE
137
Nessa estrofe, a repetição de palavras e as ideias contrárias foram usadas com muita sensibilidade. A professora de Língua Portuguesa recortou em cartol ina cada uma das 57 palavras desse trecho de poema, inclusive as repetidas. Os alunos sortearam as palavras, uma a uma, para montar o texto completo no quadro. 3 , ou 1 . A probabilidade de a primeira palavra sorteada ter sido dúvida é de 57 19
Há outras palavras que têm essa mesma probabilidade de serem sorteadas na primeira vez. Descubra com seus colegas quais são elas. Há – sem – quem – porque – eu
A primeira palavra sorteada foi impossível . A segunda e a terceira foram respectivamente porque e nada. Restaram 54 palavras. Agora a probabilidade de a quarta palavra sorteada ser dúvida passa a ser de 3 , ou 1 . 54 18
impossível p o r q ue
nada
Calcule, com ajuda dos colegas, a probabilidade de a primeira palavra sorteada ser um verbo. 13 57
Vale a pena ler Matemática, poesia e música popular brasileira Trabalhamos com um poema do grande poeta português Fernando Pessoa (1888–1935). Vocês acham que Matemática não combina com poesia? Pois então leiam o poema matemático que apresentamos a seguir. A letra é de uma canção composta em parceria por Antônio Carlos Jobim e Marino Pinto, importantes compositores da música popular brasileira. Aula de Matemática
Pra que dividir sem raciocinar Na vida é sempre bom multiplicar E por A mais B Eu quero demonstrar Que gosto imensamente de você Por uma fração infinitesimal Você criou um caso de cálculo integral E para resolver este problema Eu tenho um teorema banal Quando dois meios se encontram desaparece a fração 138
E se achamos a unidade Está resolvida a questão Para finalizar vamos recordar Que menos por menos dá mais, amor Se vão as paralelas Ao infinito se encontrar-integrar Se desesperadamente, incomensuravelmente Eu estou perdidamente apaixonado por você Antônio Carlos Jobim e Marino Pinto. Aula de Matemática. 1958.
Exercícios Observe o disco de uma roleta que está dividido em 8 partes iguais e responda. 1
Num avião viajam 20 brasileiros, 10 japoneses, 8 italianos e 3 espanhóis. Escolhendo ao acaso um passageiro, determine a probabilidade de ele: 3
E A D : s e õ ç a r t s u l I
n o o t r a C a r t s u l I
a) Qual é a cor que tem mais probabilidade de sair? E a que tem menos probabilidade de sair? Amarelo e vermelho.
b) Quais são as cores que têm a mesma probabilidade de sair?
Verde e azul.
a) ser espanhol; 413
c) Dê um exemplo de um acontecimento
b) não ser espanhol; 38 41
possível e de outro impossível. Por exemplo: possível-vermelho; impossível-roxo.
2
c) ser japonês ou italiano; 18 41
Numa caixa estão os seguintes cartões:
M
d) ser norte-americano. 0
M
No lançamento de um dado, cujas faces são numeradas de 1 a 6, qual é a probabilidade de: 4
A
T
T
a) sair o número 4?
A
A
E
C
I
1 6
b) sair um número ímpar?
1 2
c) sair um número primo?
1 2
d) sair uma letra? 0 e) sair um múltiplo de 3?
f) sair um número menor ou igual a 4?
Retirou-se um cartão da caixa, sem olhar.
a) Qual é a letra com maior probabilidade de 3 sair? Qual é essa probabilidade? A; 10
b) Qual é a probabilidade de sair a letra I? 101 c) Qual é a probabilidade de sair uma vogal?
1 3 2 3
Um presente foi sorteado entre 4 meninas e 3 meninos. Qual é a probabilidade de uma 4 menina ganhar o presente? 7 5
1 2
n o o t r a C a r t s u l I
d) Quais são as letras que têm a mesma probabilidade de sair? M e T ou C, I e E.
e) A probabilidade de sair M é maior ou menor que a de sair E?
É maior.
NOÇÕES DE PROBABILIDADE
139
Dois dados de cores diferentes são lançados, e é observada a soma dos pontos das faces superiores. 6
Um casal planeja ter dois filhos. Qual é a probabilidade de nascerem: 7
k c o t s r e t t u h S / n o s l O r e l y T
s o g r u B o é L
Sugestão: Elabore em seu caderno uma tabela como a seguinte.
+
a) duas meninas?
5
1 4
b) um menino e uma menina?
1 2
Uma moeda é lançada três vezes. Determine a probabilidade de se obter(em): 8
a) pelo menos uma cara; 78 b) duas coroas e uma cara; 38 c) nenhuma cara;
1 8
d) no máximo uma coroa. a) Qual é a soma de pontos que tem mais probabilidade de acontecer?
7 pontos
b) Qual é a soma de pontos que tem menos probabilidade de acontecer? 2 pontos e 12 pontos
c) Determine a probabilidade de obter a soma de pontos igual a 5.
1 9
d) Determine a probabilidade de obter números iguais nas duas faces. 140
1 6
1 2
Numa urna há 9 bolas: três vermelhas, quatro amarelas e duas azuis. Retira-se uma primeira bola, que não é amarela. Ao retirar uma segunda bola ao acaso, qual é a probabi1 lidade de ela ser amarela? 2 9
4 = 1 8 2
10 Numa turma do 9o ano, de 28 alunos, a
probabilidade de, numa escolha ao acaso, se obter uma menina é 4 . Quantos rapazes tem 7 a turma? 12 rapazes
2. As probabilidades e a estatística Os planos de saúde, de maneira geral, costumam cobrar mais caro para oferecer cobertura a pessoas com mais de 60 anos. Por quê? Porque, estatisticamente, a probabilidade de uma pessoa a partir dessa idade precisar de assistência médica é maior do que os mais jovens. De forma semelhante, um seguro contra roubo de motocicleta custa proporcionalmente mais do que um seguro contra roubo de automóvel, porque estatisticamente as motos têm maior probabilidade de serem roubadas. J a m
e s
S
t e
Essas probabilidades, tão importantes para as empresas, são calculadas a partir de dados estatísticos.
i d
l
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D r e
m
a
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t
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m
Veja um exemplo: Em 2008, no Brasil, a probabilidade de morrer num acidente de trânsito era de, aproximadamente, 3%. Isso quer dizer que, a cada 100 mortes, 3 ocorreram nesse tipo de acidente. Como esse número foi obtido? A partir dos dados estatísticos se calculou a razão: número de mortes por acidentes de trânsito número total de mortes
s s e r P a r u t u F / a i l í s a r B e d l a n r o J / s e r a v a T o h n i n o T
De acordo com dados da Associação Brasileira de Medicina de Tráfego, cerca de 37 000 pessoas morrem por ano em acidentes de trânsito no Brasil. Outras 180 000 pessoas são hospitalizadas por ferimentos nestes tipo de acidente. A Organização das Nações Unidas (ONU) definiu o período de 2011 a 2020 como a década de ações para segurança viária no mundo, recomendando que cada país planeje e execute ações para reduzir o número e vítimas do trânsito.
Você sabe que muitas pessoas fazem seguro: de vida, do automóvel, da casa etc. Analise a situação abaixo. Usando o que vimos sobre probabilidade, estime qual dos seguros será mais caro: • Seguro de dois automóveis do mesmo ano e modelo. O motorista de um deles tem 18 anos e o carro não fica em garagem. O motorista do outro tem 35 anos e o carro permanece em garagem. Resposta possível: O seguro do automóvel pertencente ao mais jovem.
NOÇÕES DE PROBABILIDADE
141
Vale a pena ler Os seguros O surgimento dos seguros ocorreu há mais de 5 000 anos entre comerciantes marítimos mesopotâmicos e fenícios, aplicados à perda de carga de navios (naufrágio ou roubo). A prática foi continuada por gregos e romanos e acabou chegando no mundo cristão medieval através de comerciantes marítimos italianos. Muito pouco chegou até nós acerca das técnicas empregadas pelos seguradores daqueles tempos, mas é garantido afirmar que se baseavam em estimativas empíricas das probabilidades de acidentes para estipular as taxas e prêmios correspondentes.
s e n n e c n i V , a h n i r a M a d o c i r ó t s i H o ç i v r e S o d a c e t o i l b i B
O início da matematização dos seguros
Com o término da Idade Média, o crescimento dos centros urbanos levou à popularização de um novo tipo de seguro: o seguro de vida. É em torno destes que surgiriam os primeiros estudos matemáticos sobre seguros, nos 1 500 anos. Não deixa de ser curioso observar que, nessa época, houve um enorme aumento nos negócios de seguros marítimos (associados aos preciosos carregamentos trazi dos das Américas e das Índias), mas os seguradores continuaram a usar as milenares técnicas empíricas. A mais antiga tentativa de um estudo matemático dos seguros de vida é devida a Cardano, em 1570 (em seu De proportionibus Libri V ). Seu trabalho, contudo, quase não teve repercussão, provavelmente por ter pouca praticidade. O amadurecimento da matemática dos seguros
O primeiro trabalho prático na área dos seguros de vida é devido a Halley (o mesmo do cometa) em 1693 ( Degrees of Mortality of Mankind ). Nesse trabalho, Halley mostrou como calcular o valor da anuidade do seguro em termos da expectativa de vida da pessoa e da probabilidade de que ela sobreviva por um ou mais anos. Com Daniel Bernoulli, cerca de 1730, a matemática dos seguros atinge um estado bastante maduro. Ele retoma o clássico problema de, a partir de um dado número de recém-nascidos, calcular o número esperado de sobreviventes após n anos. Ele também dá os primeiros passos em direção a novos tipos de seguros calculando, por exemplo, a mortalidade causada pela varíola em pessoas de determinada faixa de idade. Ao mesmo tempo, começaram a aparecer as primeiras grandes companhias de seguros, as quais tiveram, assim, condições de se estabelecer com um embasamento científico. De lá para cá, os negócios de seguros ampliaram-se e sofistificaram-se cada vez mais, a ponto de, em alguns países europeus, tornarem-se um mercado de trabalho que absorve quase um quarto dos egressos de cursos de Matemática. Disponível em: . Acesso em: jul. 2011.
142
Exercícios Copie e complete no caderno a tabela que mostra alguns dados de uma pesquisa feita entre 100 pessoas que estavam em um supermercado. 11
Homens Solteiros
Mulheres
14
s n e g a m I r a s l u P / s n i t r a M m i f l e D
31 33
69
50
50
100
36
17
Casados Total
Total
Escolhendo uma pessoa dentre essas, calcule a probabilidade de que ela seja:
a) homem; 50% b) mulher solteira; 17% c) pessoa casada; 69%
Responda com uma porcentagem.
d) homem casado. 36% Foi feita uma pesquisa entre os 50 alunos de uma classe para saber quantos gostavam ou não de MPB (Música Popular Brasileira). Parte do resultado da pesquisa encontra-se anotado na tabela abaixo. 12
Rapazes Garotas Total Gostam de MPB Não gostam de MPB Total
(Saresp) A polícia rodoviária fez um levantamento estatístico para medir a velocidade de automóveis, ônibus e caminhões em certo trecho da estrada. 14
17 12 50
28 21 7
a) Copie e complete a tabela.
5 22
38
b) Escolhido um estudante ao acaso, qual é a
Velocidade Automóveis Ônibus Caminhões Abaixo de 100 km⁄h Entre 100 e 120 km⁄h Acima de 120 km⁄h
22
a) 5,5%
51%
22,4%
7,1%
3,7%
5,3%
0,3%
5,5%
b) 50%
x
c) 94,5% d) 99,7%
(Saresp) Todos os dias, um dos inspetores de qualidade de uma empresa retira 10 peças fabricadas por uma máquina e verifica quantas estão defeituosas. Na tabela abaixo, tem-se parte do relatório dessa atividade.
Número acumula- Número total de peças do de dias defeituosas encontradas 1 10 100 200 300
13
21420 = 51 = 0,51 42000 100
90,8%
15
11 25 38 = 19 50 25
Dados estatísticos mostram que em uma cidade houve 42 000 nascimentos nos últimos cinco anos, dos quais 21 420 eram de meninas. Nessa cidade, qual é, porcentualmente, a chance estatística de nascer uma menina?
92,6%
Uma vez que nesse trecho a velocidade limite é de 120 km/h, o próximo caminhão a passar por ali com probabilidade de estar com a velocidade permitida é:
probabilidade de: • ser garota? 50 = • gostar de MPB?
72,3%
3 28 302 599 901
Analisando essa tabela, pode-se avaliar que a probabilidade de encontrar uma peça defeituosa na produção dessa máquina é de:
a) 12
b) 25
c) 15
x
3 d) 10
NOÇÕES DE PROBABILIDADE
143
3. População e amostra Existem empresas especializadas em pesquisas estatísticas. Elas são contratadas para testar a aceitação de um novo produto no mercado, qual a qualidade do serviço prestado por um órgão público, um banco, uma rede de restaurantes, para fazer previsões sobre as chances de cada candidato numa eleição, entre outras coisas.
o t t e r o v a F o d n a n r e F
As pesquisas de intenção de voto aparecem com frequência nos meios de comunicação. Será que a empresa encarregada da pesquisa entrevista todos os eleitores? Não, isso seria muito trabalhoso e levaria muito tempo! Digamos que as eleições sejam para prefeito. Todos os eleitores da cidade formam a população do fenômeno que será observado (tendência de voto). Uma parcela da população responde à pesquisa. Essa parcela é chamada de amostra. Se a amostra for bem escolhida, ela representará o que ocorre com o total da população, e as chances apontadas pela pesquisa podem ser generalizadas para o todo. A escolha da amostra, então, é importantíssima. Por exemplo, se forem entrevistadas somente mulheres acima de 40 anos, teremos uma amostra viciada e, por consequência, a pesquisa ficará comprometida. As pessoas que dirigem essas pesquisas têm métodos para determinar o número de elementos da amostra e que características ela deve ter.
Que atributos você consideraria para escolher uma amostra adequada da população de eleitores da sua cidade? Sexo? Idade? O que mais? Discuta com os colegas! Resposta pessoal.
Mas população e amostra não são exclusivas de pesquisas eleitorais. Veja mais uma situação em que esses conceitos são aplicados. Você já viu, em alimentos como carne, leite, queijo, iogurte e outros, o carimbo do SIF – Sistema de Inspeção Federal? Esse órgão tem a função de verificar se esses produtos estão adequados para o consumo humano. Claro que numa inspeção a um laticínio, por exemplo, não se verifica toda a produção. Os funcionários recolhem determinado número de produtos, e estes são analisados. Pela qualidade dos produtos analisados, estima-se a qualidade do restante da produção. Nesse exemplo, temos: • população: produção total do laticínio. • amostra: produtos recolhidos para análise. 144
o t t e r o v a F o d n a n r e F
Seção livre PNAD – Um retrato do Brasil Reúna-se com um colega para ler o texto a seguir e realizar as atividades propostas. Imagine tirar uma “fotografia” do Brasil que permita analisar as condições de vida do nosso povo: situação de moradia, de saúde, educação e trabalho, por exemplo. A partir desse retrato, os governantes podem planejar investimentos e ações mais eficazes buscando resolver problemas. Pois bem, a PNAD (Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílio) tem esse objetivo. Todo ano pesquisadores visitam cerca de 154 mil domicílios em todo o Brasil, entrevistando aproximadamente 400 000 pessoas e coletando, por meio de um questionário, as informações necessárias para montar o panorama econômico e social brasileiro. A pesquisa é feita e analisada pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística – IBGE.
s s e r P a r u t u F / u e i n r a u
G z i u L
A PNAD é uma pesquisa estatística. Seus resultados são obtidos a partir de uma amostra de domicílios. No entanto, os resultados são absolutamente confiáveis, com margem de erro variando entre 3% e 5%. 1. Respondam no caderno. a) Em número de habitantes, qual é o tamanho da amostra utilizada na PNAD? 400 000 habitantes b) Se a população do Brasil em 2010 era de aproximadamente 190 milhões de habitantes, a
amostra representou que porcentagem dessa população? 2007 2008 2009 Rede de água
84,3 83,9 84,4
Rede de esgoto
51,3 59,3 59,1
Coleta de lixo
88,4 87,9 88,6
Aproximadamente 0,2%.
Os resultados da PNAD são divulgados pela imprensa. As tabelas e os gráficos estatísticos permitem que o leitor visualize e analise mais facilmente os dados.
Fonte: . Dados em porcentagem de domicílio s atendidos.
2. A tabela acima traz dados da PNAD relativos ao saneamento básico. Esse é um aspecto im-
portante para a análise da qualidade de vida de um povo. Que tipo de gráfico entre os sugeridos abaixo vocês consideram mais adequado para representar esses dados, por exemplo, num jornal? Os itens b ou d seriam as respostas mais adequadas. a) Gráfico de setores (circular) c) Pictograma b) Três gráficos de barras d) Gráfico de barras triplas (um para cada ano) (2007/2008/2009) Construam o tipo de gráfico escolhido no caderno e justifiquem a escolha. Escrevam em seguida um parágrafo analisando e comentando os dados sobre saneamento básico, como se vocês fossem os jornalistas responsáveis pela reportagem. Respostas pessoais.
NOÇÕES DE PROBABILIDADE
145
Anote, em seu caderno, o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta.
Autoavaliação Progressos na alfabetização
3. Os dados da PNAD em relação à taxa de analfabetismo apresentam-se animadores. O Brasil
tem investido muito para diminuir o número de analfabetos e aos poucos estamos conseguindo. Veja na tabela a seguir as taxas no período de 2002 a 2009. Taxa de analfabetismo – pessoas de 15 anos ou mais
Ano
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
% de analfabetos
11,8
11,6
11,2
10,9
10,2
10,1
10
9,7
Fonte: .
a) Em 2009 a população brasileira era de cerca de 190 milhões de habitantes. Quantos eram os
analfabetos? 190 · 0,097 18,43; 18,43 milhões b) De 2002 para 2003, a taxa de analfabetismo recuou em 0,2%. Entre quais dois anos houve o maior recuo dessa taxa? 2005 para 2006, recuo de 0,7% c) Um jornalista sugeriu representar os dados dessa tabela num gráfico de setores. Seu colega o corrigiu, dizendo que esse tipo de gráfico não seria adequado, sugerindo que usassem um gráfico de segmentos. Converse com seus colegas: você concorda com qual dos dois jornalistas? Resposta pessoal. �
Resposta esperada: O gráfico de segmentos seria mais adequado, pois permite melhor visualização da variação porcentual. O gráfico de setores é mais adequado quando queremos comparar partes de um todo.
Queda na taxa de desemprego 4. Outro indicador importante pesquisado pela PNAD é a taxa de desemprego. O gráfico abaixo
mostra a variação dessa taxa nos últimos anos.
a) Analisem e comen-
tem os dados do gráfico no caderno, apontando o ano em que o país enfrentou a maior taxa de desemprego no período considerado. 2003 – taxa de 9,7%
b) O gráfico mostra que
houve queda na taxa de desemprego em três anos consecutivos. Quais são eles? 2006, 2007 e 2008
E A D
Taxa de desemprego (em porcentual) 9,8 9,6 9,4
Variação da taxa de desemprego 9,7
9,4 9,3
9,2
9,2
9 8,8
8,9
8,6
8,4
8,4
8,3
8,2
8,2 8 7,8 7,6 7,4 7,2 7 2000
7,1 2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
Fonte: IBGE, Diretoria de Pesquisas, Coordenação de Trabalho e Rendimento. PNAD – 2009.
146
2010 Ano
Anote, em seu caderno, o número do exercício Autoavaliação e a letra correspondente à resposta correta. 5. Apresentamos na tabela ao lado O que o brasileiro tem em casa
mais informações coletadas pela PNAD. Leiam o título da tabela e examinem os dados. Em seguida, usando a criatividade, elaborem no caderno questões interessantes envolvendo os dados e a análise deles. Feitas as questões, proponham que outra dupla as resolva ou discuta. Respostas pessoais.
(% de domicílios) 2008
2009
Fogão
98,2
98,4
Geladeira
92,1
93,4
TV
95,1
95,7
Filtro de água
51,6
51,4
Telefone
82,1
92,8
Computador
31,2
34,7
Fonte: IBGE – PNAD 2009.
Os oito objetivos de desenvolvimento do milênio – você os conhece?
Falamos sobre saneamento, educação, trabalho, aquisição de bens. A humanidade está sempre em busca de melhores condições de vida. Em 2000, a ONU – Organização das Nações Unidas, ao analisar os maiores problemas mundiais, estabeleceu os chamados oito objetivos de desenvolvimento do milênio. São eles: 1. Erradicar a extrema pobreza e a fome. 2. Alcançar a educação básica universal. 3. Promover a igualdade entre os sexos e a autonomia das mulheres. 4. Reduzir a mortalidade infantil. 5. Melhorar a saúde das gestantes. 6. Combater a Aids, a malária e outras doenças. 7. Assegurar a sustentabilidade ambiental. 8. Criar parcerias pelo desenvolvimento mundial. Os países membros da ONU, incluindo o Brasil, comprometeram-se a cumprir metas estabelecidas para cada objetivo. A ideia é alcançar os objetivos até 2015. Avanços significativos para alcançar os objetivos foram registrados nos últimos anos. Por exemplo: • o indicador de pessoas vivendo abaixo da linha da pobreza melhorou em cerca de 80% dos países. • a meta de reduzir em 50% o número de pessoas sem acesso à água potável deve ser cumprida dentro do prazo. • para garantir a sustentabilidade ambiental, em 2006 atingiu-se a marca de 20 milhões de km2 de áreas protegidas na terra e no mar. É importante perceber que todos nós devemos contribuir para atingirmos essas metas. A tarefa não é só dos governantes, é da humanidade como um todo. Cada ação cidadã, por menor que seja, ajuda a melhorar nossa comunidade, a cidade em que vivemos, o país.
NOC ÇÕES DE PROBABILIDADE
r b . g r o . s o m e d o p s o n . w w w
147
Mão na massa! Que tal elaborar e aplicar uma pesquisa estatística? 1. Forme grupo com mais dois ou três colegas. O tema da pesquisa vocês escolhem. Aqui vão algumas sugestões: – Meio de transporte mais usado pelos alunos para ir à escola. – Hábito de leitura, número de livros lidos num ano, gênero preferido. – Alimentação – saudável ou não? – Prática de exercícios físicos.
e r o t a n e S o i l é H
2. Elaborem três ou quatro questões objetivas
m i l o R l e a f a R
sobre o tema. Cada questão deve ter quatro alternativas para resposta. Como exemplo, dentro do tema “Alimentação”, uma das perguntas poderia ser esta: Você consome verduras nas refeições? a) Diariamente, no almoço e no jantar. b) Nunca. c) Raramente, pois não gosto de verduras. d) Duas a três vezes por semana.
3. Escolham uma amostra adequada. Pe-
çam ajuda ao professor para esta tarefa. 4. Façam as entrevistas, anotando as respostas de cada pessoa. 5. Juntos, montem uma tabela para cada pergunta e organizem os dados obtidos. Veja um modelo ao lado:
Pergunta 1 Frequência
Porcentagem
a) b) c)
d) • Representem os dados das tabelas por meio de gráficos de barras ou de setores. Isso permitirá analisar melhor os resultados da pesquisa. • Partam então para a análise da pesquisa. Discutam os resultados, escrevam suas conclusões e, se o tema permitir, sugiram ações, medidas, reflexões. Por exemplo, ainda no tema “Alimentação”, se a pesquisa apontar hábitos pouco saudáveis entre os alunos da escola, o grupo pode coordenar uma campanha de educação alimentar, buscando minimizar o problema.
148
Revisando Classifique os acontecimentos utilizando as palavras: 16
Lançamos um dado que tem uma face branca, duas faces verdes e três faces azuis. 18
a) Que cor é mais provável sair? Azul. b) O que é mais provável: “sair azul” ou “não sair azul”? São igualmente prováveis. c) O que é mais provável: “sair verde” ou “não sair verde”? Não sair verde.
O gráfico de barras representa os números obtidos no lançamento de um dado. 19
e r o t a n e S o i l é H
Números obtidos no lançamento de um dado
a) Lançar uma moeda e sair cara. P b) Sair uma bola azul de um saco de bolas brancas. I c) Lançar um dado e sair um número natural de 1 a 6. C d) Sair 10 vezes coroa em 10 lançamentos de uma moeda. PP
s 20 o t n e m 18 a ç n a l 16 e d 15 o r 14 e m ú N 12
E A D : s e õ ç a r t s u l I
10 8
Um grande prêmio de corrida automobilística vai ser disputado por 24 pilotos, dos quais apenas três são brasileiros. Considerando que todos os pilotos têm igual chance de vencer a prova, qual é a probabilidade de um brasileiro vencer a corrida? 18 17
6 4 2 0
1
2
5 3 4 6 Número de pontos na face do dado
a) Quantas vezes o dado foi lançado? 90 vezes b) Quantos lançamentos originaram: I) o número 5? 7 lançamentos
n o o t r a C a r t s u l I
II) um número menor que 4? 50 lançamentos
III) um número par? 47 lançamentos IV) um número primo? 41 lançamentos
NOÇÕES DE PROBABILIDADE
149
Ao sortear uma destas bolas, qual é a probabilidade de:
Uma empresa realizou uma pesquisa sobre seus produtos com mil pessoas, das quais 60% são homens. Copie a tabela em seu caderno e complete-a: 60% de 1000 600
20
23
E A D : s e õ ç a r t s u l I
�
Não responderam
Produto A Produto B
a) se obter um número ímpar?
7 8
Homens
225
Mulheres
120
135
80
200
Total
b) se obter um número primo? 1 c) se obter um número menor que 10?
345
1 2
d) se obter um número ímpar entre 10 e 20?
440
215
a) Quantos homens não responderam à pesquisa? 135 homens
1 2
e) se obter um número par entre 10 e 20? 0
b) Quantas mulheres preferem o produto B?
Se você girasse o ponteiro, qual seria a probabilidade de ele:
c) Se uma pessoa é escolhida ao acaso, qual é a probabilidade de que essa pessoa prefira 345 34,5% o produto A? 34,5% 1 000
200 mulheres
21
São oito setores circulares
�
de mesma medida.
E A D
240
12
11
7
36 10
d) Qual é a probabilidade de que uma pessoa prefira o produto B? 44% 1440 44% 000
15
�
20
a) parar no ?
Um ciclo completo de um semáforo demora 120 segundos. Em cada ciclo, o semáforo está no verde durante 50 segundos; no amarelo durante 10 segundos; e no vermelho durante 60 segundos. Se o semáforo for visto ao acaso, qual é a probabilidade de que não 7 70 esteja no verde? 7 12 24
o c i g á M s i p á L
1 8
b) parar num número ímpar? c) parar num número par?
3 8
3 8
12
d) parar num número irracional?
120
�
1 4 e p e P o l u a P
Quando se tira ao acaso uma carta de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de sair: 22
50 segundos
a) uma carta vermelha? b) um rei?
1 13
c) um ás preto?
4 1 52 � 13 1 26
d) um valete de copas? 150
26 � 1 2 52
1 2
e r o t a n e S o i l é H : s e õ ç a r t s u l I
10 segundos
2 52
�
1 52
1 26
60 segundos
Leandro tem 8 peixes machos no seu aquário. Quantas fêmeas ele deve colocar nesse aquário para que a probabilidade de se tirar ao acaso um peixe macho seja: 25
Lançando-se simultaneamente dois dados, cujas faces são numeradas de 1 a 6, qual é a probabilidade de: 27
e t n e u Q o t s i M
a) serem obtidos números cujo produto seja ímpar? 14 b) serem obtidos números cujo produto seja par? 34 a) 1? 0
b) 2 ? 4 3
28
(Saresp) Para uma pesquisa com o objetivo de verificar a intenção de voto numa futura eleição municipal com três concorrentes, e depois, com os resultados, prever o provável ganhador, precisamos estabelecer a população e uma amostra significativa. Em qual das alternativas esses elementos estão mais bem definidos? 26
População / Amostra
Observe o cardápio abaixo:
En trada • Sopa • Canja Pra to • Frango • Picanha • Pe ixe
sa So breme • Mamão • Pudim
Todos os moradores da cidade.
n o o t r a C a r t s u l I : s e õ ç a r t s u l I
A Todos os moradores de determinado bairro. Todos os moradores da cidade.
B Vinte eleitores de determinado bairro da cidade.
C
Todos os eleitores da cidade. Todos os eleitores do sexo feminino. Todos os eleitores da cidade.
x
D
Dez eleitores de cada bairro da cidade.
a) Indique todas as refeições que podemos escolher tendo cada uma delas uma entrada, um prato e uma sobremesa. b) Fernanda escolheu uma refeição (entrada, prato e sobremesa). Qual é a probabilidade de ela: • não ter comido peixe?
o c i g á M s i p á L
2 3
• ter comido picanha e pudim?
8 12 1 6
�
2 3
2 12
�
1 6
28. a) (sopa, frango, mamão), (sopa, frango, pudim), ( sopa, picanha, mamão), (sopa, picanha, pudim), (sopa, peixe, mamão), (sopa, peixe, pudim), (canja, frango, mamão), (canja, frango, pudim), (canja, picanha, mamão), (canja, picanha, pudim), (canja, peixe, mamão), (canja, peixe, pudim). N O Ç Õ E S D E P R O B A B I L I D A D E 151
Desafios
As 28 pedras de um dominó estão viradas para baixo, e você tira uma ao acaso. Qual é a probabilidade de: 29
Em uma urna há cinco bolas brancas, três bolas verdes e duas azuis. Quantas bolas precisam ser retiradas para que se possa garantir que duas delas tenham a mesma cor? 31
n o o t r a C a r t s u l I
x
a) 3
c) 5
b) 4
d) 6
Uma pessoa retirou uma dama de um baralho de 52 cartas e a seguir retirou uma segunda carta. Qual é a probabilidade de que essa segunda carta também seja uma dama? 32
a) a pedra ter 3?
7 28
1 4
b) a pedra não ter nenhum 3?
21 28
3 4
c) a pedra não ter nem 4 nem 5?
15 28
d) o total de pintas da pedra ser 7?
3 28
(1, 6) (2, 5) (3, 4)
E A D
3 ou 1 51 17
(UEL-PR) Uma senhora tem quatro filhos: Carlos, que tem 6 filhos; André, que tem 5; Norma, que tem 4; e José, que tem 5. Essa senhora quer dar um determinado objeto a um de seus netos e resolveu fazê-lo por sorteio. Atribuiu um número distinto a cada neto; escreveu cada número em um pedaço de papel; colocou os papéis num saquinho e retirou um deles ao acaso. Qual a probabilidade de que o neto sorteado seja filho de Carlos? 30% 30
6 20
30 100
o c i g á M s i p á L
(Unicamp-SP) Ao se tentar abrir uma porta, com um chaveiro contendo várias chaves parecidas, das quais apenas uma destranca a referida porta, muitas pessoas acreditam que é mínima a chance de se encontrar a chave certa na 1a tentativa, e chegam mesmo a dizer que essa chave só vai aparecer na última tentativa. Para esclarecer essa questão, calcule, no caso de um chaveiro contendo 5 chaves, 33
s o g r u B o é L
30%
a) a probabilidade de se acertar na primeira
tentativa; Responda com uma porcentagem.
1 5
b) a probabilidade de se encontrar a chave
certa depois da primeira tentativa. 1
152
1 5
4 5
4 5
Autoavaliação (Ufscar-SP) Uma urna tem 10 bolas idênticas, numeradas de 1 a 10. Se retirarmos uma bola da urna, a probabilidade de não obtermos a bola número 7 é igual a:
Qual das roletas abaixo oferece a maior chance de acertar a cor laranja?
34
a) 1
x
10
c)
Anote, em seu caderno, o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta.
38
e r o t a n e S o i l é H : s e õ ç a r t s u l I
a)
x c)
b)
d)
9 10
d) 9 11
b) 2
9
(Saresp) João guardou em uma sacola 20 bolas das seguintes cores: 6 vermelhas, 5 azuis, 4 amarelas e 5 verdes. Se ele pegar uma delas ao acaso, qual a probabilidade de ser amarela? 35
4 20
x a) 1 5
c) 3
b) 2 5
d) 4 5
O número da placa de um carro é ímpar. A probabilidade de o último algarismo ser 7 é: 39
1 5
a)
5 x
1 10
c) 1
2 d) 3
b) 1
5
5
Uma urna contém 6 bolas brancas e 24 vermelhas. A probabilidade de sortearmos uma bola 6 1 20% branca é de: 30 5 40
36 Jogando-se
um dado comum, a probabilidade de ocorrer um número menor do que 5 é: a) 1
c) 4
2
x a)
5
b) 3
x
20%
c) 40%
b) 25%
d) 80%
d) 2
3
5
41
(Prominp)
(Saresp) As pessoas presentes à convenção anual de uma editora distribuem-se assim: 37
Homens
Mulheres
Solteiros
31
28
Casados
19
22
s s e r p I / e t a c i d n y S s e r u t a e F g n i K 9 0 0 2
Ao final, será sorteado um prêmio para um dos participantes. A probabilidade de que ganhe uma pessoa solteira é de: a) 31% b) 50%
c) 55% x
d) 59%
Se o menino da historinha lançar os dois dados ao mesmo tempo, a probabilidade de que a soma dos pontos obtidos seja igual a 6 será: x
a)
5 36
b)
1 18
c)
5 12
d) 1
6
(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)
NOÇÕES DE PROBABILIDADE
153
Uma urna contém 100 bolinhas numeradas de 1 a 100. Uma bolinha é sorteada. A probabilidade de que o número sorteado seja múltiplo de 7 é: 7, 14, 21, 28, ..., 91, 98 42
14 100
a) 1 10
�
7 50 x c)
7 50
d) 4 25
b) 6 50
(Vunesp) Um prêmio da Sena saiu para dois cartões, um da cidade A e outro da cidade B. Nesta última, o cartão era de 6 apostadores, tendo cada um contribuído com a mesma importância para a aposta. A fração do prêmio total que cada apostador da cidade B receberá é: 43
a) 1 6
Cada apostador da cidade B receberá a sexta parte da c) metade do prêmio. 1 6
1 2
�
1 12
b) 1 8
(Vunesp) João lança um dado sem que Antonio veja. João diz que o número mostrado pelo dado é par. A probabilidade agora de Antonio acertar é: 45
a) 1 2
1 3 d) 2 3
x c)
b) 1 6
O espaço amostral é: 2, 4 e 6. Assim, a probabilidade de Antonio acertar é 1 . 3 46 A roleta apresentada está dividida
em 6 partes iguais. Gira-se o ponteiro e anota-se o número que ele aponta ao parar; repete-se a operação. Qual é a probabilidade de que a soma dos dois números seja 4? (Veja a figura.)
3 2
1
3
3
1 9
x d) 1 12
1
2
2
2
3
3
e r o t a n e S o i l é H : s e õ ç a r t s u l I
3
1 2 2 3 o t t e r o v a F o d n a n r e F
3 3
(Uerj) Os números de 1 a 10 foram escritos, um a um, sem repetição, em dez bolas de pingue-pongue. Se duas delas forem escolhidas ao acaso, o valor mais provável da soma dos números sorteados é igual a: 44
(1 + 10; 2 + 9; 3 + 8; ... ; 10 + 1)
a) 9 b) 10
154
x c)
Construa uma tabela como essa em seu caderno.
a) 4 36
x
c) 10 36
11
d) 12
b) 9 36
d) 12 36
UNIDADE UNIDADE
6
Teorema de Tales e semelhança de triângulos 1. Razões, proporções e segmentos proporcionais Um dos conceitos mais importantes da Matemática é o de razão. A razão entre uma quantidade e outra é o quociente da divisão da primeira pela segunda. Veja um exemplo: Em certa receita de bolo, para cada 2 xícaras de farinha são utilizados 3 ovos. A razão entre a 2 quantidade de farinha e a de ovos é 2 : 3. Podemos escrever ou 2 : 3 e lemos 2 para 3. 3 Uma igualdade entre duas razões é uma proporção. 2 3
4 é um exemplo de proporção. 6
Para 4 xícaras de farinhas, precisamos colocar 6 ovos para que as quantidades fiquem proporcionais.
As proporções têm uma propriedade: Quando multiplicamos seus termos em cruz, obtemos produtos iguais. e r o t a n e S o i l é H
Veja: 2 3
4 6
2 6 12
e
3 4 12
Isso vale para toda proporção.
Aplicamos essa propriedade para descobrir valores desconhecidos numa proporção: 4 6 30 Pela propriedade, 4x 30 ⇒ x ⇒ x 7,5 5 4 x Descubra o valor de x nas proporções a seguir: 1 3,5 x1 8 a) b) 28 3 5 8 10 x
TEOREMA DE TALES E SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
155
Segmentos proporcionais x x
2 cm
A
Observe as medidas dos segmentos A B e C D .
B
x x
C D 4 cm Qual seria a razão entre a medida de A B e a de C D ? 2 1 Dividindo 2 por 4 obtemos a razão 2 : 4, ou , ou, simplificando, . 4 2 O comprimento de C D é o dobro do comprimento de A B. Os comprimentos estão na razão 1 para 2. x x
x x
x x
x x
Meça com régua o comprimento de E F e de G H . EF 2,5 1 G Calcule a razão . GH 5 2 Observe que AB e EF têm medidas diferentes. CD e GH também. x x
No entanto,
AB CD
EF 1 . GH 2
E
F
x x
H
As razões são iguais.
Diremos que A B e C D são proporcionais a EF e GH. x x
x x
De forma geral, os segmentos AB e CD são proporcionais aos segmentos EF e GH se seus comAB EF primentos determinam, nessa ordem, uma proporção: . CD GH
Meça os segmentos traçados com uma régua e responda no caderno as questões a seguir.
1. Quais segmentos têm medidas na razão: a) 1 para 3? EF e AB 2 b) ? CD e AB 3 2. Os segmentos AB e GH são proporcionais a quais segmentos? Escreva a proporção. A
B
C E G
AB GH
D
Confira suas respostas com seus colegas e o professor.
F H
e r o t a n e S o i l é H : s e õ ç a r t s u l I
156
CD EF
2 1
2. Teorema de Tales Na ilustração ao lado, percebemos que as avenidas das Rosas, das Margaridas e dos Lírios são paralelas. As ruas dos Pinheiros e dos Eucaliptos são transversais a essas avenidas. Será que podemos, com as informações desta ilustração, determinar a distância entre Marcos e Débora? A resposta é sim.
e r o t a n e S o i l é H
Av. das Rosas 200 m s o ir e h in P s o d a u R
Av. das Margaridas
PMA9001
400 m
R u a d o s E u c a l i p t o s
415 m
Vamos descobrir como? Av. dos Lírios
1a propriedade
Chamamos de feixe de paralelas o conjunto de três ou mais retas paralelas em um plano.
Uma reta do mesmo plano que corta essas paralelas é uma transversal ao feixe, e o feixe determina segmentos sobre a transversal. t r Desenhamos ao lado um feixe de paralelas cortado pela transversal t e pela transversal r . Ficaram determinados os segmentos AB e BC sobre t e DE e EF sobre r . Vamos mostrar que se AB BC, então DE EF. Para isso, utilizaremos conhecimentos sobre congruência de triângulos e propriedades dos paralelogramos. Na Matemática é assim: construímos novos conhecimentos a partir de conhecimentos anteriores.
A
B
C
D
a
E
b
F
c
a // b // c
e r o t a n e S o i l é H
TEOREMA DE TALES E SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
157
u // t e t Traçamos os segmentos t D G E u H // t , obtendo os paralelogramos ABGD e BCHE. Os lados opostos de um paralelogramo A são congruentes, então: AB DG e BC EH. Como AB BC, vem que DG EH. B Agora observe os triângulos DGE e EHF. DG EH (mostramos acima) (L) x y (ângulos correspondentes) (A) C z w (ângulos correspondentes) (A) u p (pela soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo) Pelo caso ALA os triângulos são congruentes. Então, DE Podemos enunciar a propriedade:
t
r
D
a
u x z
E
b
G
p y w
F
c
H
a // b // c
EF como queríamos mostrar.
Se um feixe de paralelas determina segmentos congruentes sobre uma transversal, então determina segmentos congruentes sobre qualquer outra transversal. 2a propriedade: teorema de Tales
t
Na figura ao lado, o feixe de paralelas determinou segmentos sobre as transver A sais, mas AB BC. u 2 u Será que há uma relação entre os u segmentos determinados nas duas trans B u versais? Acompanhe: Suponhamos que existe uma unidade 3u u de medida u tal que AB 2u e BC 3u, u como vemos na figura. C
Nesse caso,
AB BC
2u 3u
2 . 3
r
D v
a
v
2v
E
b
v v
3v
v
F c a // b // c
E A D : s e õ ç a r t s u l I
Traçamos retas paralelas à reta a, passando pelos pontos em que os segmentos ficaram divididos . Observe que DE 2v e EF 3v . Na demonstração que fizemos, consideramos que existe uma unidade u DE EF AB BC
2v 3v DE EF
2 3 2 3
que cabe um número inteiro de vezes nos segmentos A B e x B x C. Quando x x isso não acontecer, a demonstração fica muito complicada para você por enquanto, mas fique certo de que o teorema de Tales vale também nesses casos.
Concluímos que A x x B e x B x C são proporcionais a D x xE e xE xF e podemos enunciar o famoso teorema de Tales: Um feixe de paralelas determina, sobre transversais, segmentos que são proporcionais. 158
t
A partir do teorema, podemos escrever outras proporções, como: AC AB AC BC AB DE
A
DF DE DF EF BC EF
r
D
B
a
E
b
C
F
c
a // b // c
E A D : s e õ ç a r t s u l I
e r o t a n e S o i l é H
Av. das Rosas 200 m s o ir e h in P s o d a u R
Av. das Margaridas
R u a d o s E u c a l i p t o s
PMA9001
400 m
Você deve estar pensando: e a distância entre Débora e Marcos? 415 m
Av. dos Lírios
Vamos voltar ao problema. Traçamos um modelo matemático para a situação. Como as avenidas são paralelas, e as ruas, transversais a elas, aplicaremos o teorema de Tales: 200 400
Débora r
200 m
x
x
Marcos s
415
ou, simplificando, 1 2
x
415
400 m
415 m
2 x 415 t
x 207,5 r // s // t
A Marcos dista 207,5 m do Débora se seguirmos pela Rua dos Eucaliptos. TEOREMA DE TALES E SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
159
Acompanhe mais dois exemplos de aplicação do teorema de Tales. 1. Vamos determinar x na figura, sabendo que a // b // c .
As medidas dos segmentos correspondentes determinados nas transversa is são proporcionais. x x 3
4
d
x 8
e a
x
x ( x 8)
4
b
4( x 3) x 3
x 8
c
x 2 8 x 4 x 12
x 2 4 x 12
E A D
0
Recaímos numa equação do 2 o grau. Vamos resolvê-la. 16
x
48 64
x 1
4 8
x 2
2
4 8
2 4 8
2
2
6
Como x é uma medida de comprimento, só consideraremos a solução positiva, ou seja, x 2. 2. Um terreno foi dividido em lotes com frentes para
a Rua 1 e para a Rua 2, como você vê na representação ao lado. As laterais dos terrenos são paralelas. Com as informações do desenho, vamos calcular as medidas das frentes dos lotes que dão para a Rua 2 aplicando o teorema de Tales. 45 10
54
9 ou x 2
54 x
9 4
9 x 108 x 12
45 15
45 20
54 54 z
y
ou
3 1
54
z 24
R ua 2
z
y x
Lote
Lote
Lote
C
B
A
z
9 z 216 54
5 4 m
n o o t r a C a r t s u l I
1 5 m 2 0 m 4 5 m
1 0 m R u a 1
O teorema de Tales nos ajuda a resolver problemas!
y
3 y 54 y 18
Portanto, as medidas das frentes para a Rua 2 são: lote A: 12 m; lote B: 18 m; lote C: 24 m.
160
o c i g á M s i p á L
Exercícios 1
Calcule x, sabendo que a // b // c. 2 x 2 3 x 1
a)
4 ⇒ x 9 7
4 r s
2x 2
4
3x 1
Calcule x, sabendo que a // b // c.
a
a)
b
7
d e
a
b)
b
b 6
c d
6
x
6 x
x
6 x
a
3
c
x
4 ⇒ x 2,7 1,8
c
3 ⇒ x 4 6
b)
d
e a
6 10
8
b
x
6
e
4
1,8
A planta abaixo mostra as medidas de três lotes que têm frente para a Rua A e para a Rua B. As divisas laterais são perpendiculares à Rua A. Quais são as medidas de x e y indicadas na figura?
10 6 6
2
Lote 2: 35 m Lote 3: 56 m
y
c
8 x x
x 4,8
Esta planta mostra dois terrenos. As divisas laterais são perpendiculares à rua. Quais são as medidas das frentes dos terrenos que dão para a avenida, sabendo-se que a frente total para essa avenida é de 90 metros? 5
B a u R
Rua
III
x
30 m
m 8 2
E A D : s e õ ç a r t s u l I
45 m
II
I
20 m
20 25
25 m 40 m Rua A
28 ⇒ x 35 x
25 40
I
35 ⇒ y 56
II
y
Na figura está representada uma mesa de bilhar com cinco bolas: A, B, C, D e E. 3
BC 50 cm CE 60 cm CD 75 cm AB // DE AC 60
A
y
B x
i d a e n v A
C
50 75 AC 40
D
Qual é a distância entre as bolas A e C?
E 40 cm Lote 1: 36 metros Lote 2: 54 metros
x y 90 x 30 y 45
x 36 e y 54
TEOREMA DE TALES E SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
161
3. Teorema de Tales nos triângulos A
Vemos ao lado um triângulo ABC qualquer. Traçamos uma reta r paralela a um dos lados do triângulo, determinando os pontos P e Q sobre os outros dois lados do triângulo.
P
r
Como r // x B C , pelo teorema de Tales, temos que x
AP PB
Q
AQ . QC B
Os segmentos que a paralela determinou sobre os lados do triângulo são proporcionais.
C
Propriedade: uma reta paralela a um dos lados de um triângulo, que corta os outros dois lados em dois pontos distintos, determina sobre estes lados segmentos proporcionais.
Observe que poderíamos montar outras proporções utilizando o teorema de Tales: AP AB
AQ PB e AC AB
QC , por exemplo. AC
No triângulo abaixo, x B C // x P Q . Vamos usar a propriedade vista para determinar o valor de x . x
x
O
Pela propriedade, 4 x
5 3 4
Multiplicando os termos da proporção em cruz: 5 x 12 12 x 5
5
B
C
É fácil! 3
x
x 2,4
e r o t a n e S
P
Q
o i l é H
C Junte-se a um colega para resolver esta atividade.
x
Esta é uma oportunidade para relembrar a resolução
Q
de equações do 2o grau.
6
3 R x 7
No triângulo ao lado, T AB // Q R. T Determinem o valor de x e em seguida determinem AQ e BR.
6 x 7 x 3 x 2 7 x 18 0 x 2 ou x 9 (não convém!)
AQ 4 e BR 6
162
A
B
E A D : s e õ ç a r t s u l I
Seção livre O número de ouro Se tomarmos um segmento x A xB , temos inúmeras formas de dividi-lo em duas partes. No entanto, uma delas é particularmente interessante. O matemático grego Euclides (325 a.C.-265 a.C. aproximadamente) aproximadamen te) propôs uma divisão que tem uma propriedade especial: x
A
C
B
__ AB O ponto C que divide AB é marcado de forma que: AC
AC . CB
A razão entre o todo e a maior parte é igual à razão entre a maior parte e a menor parte. Dizemos em Matemática que o segmento foi dividido na razão áurea. AB AC e O número de ouro é justamente o valor encontrado para as razões . AC CB Seu valor exato é 1 5 . 2 Para representá-lo, escolheu-se a letra grega φ (fi). Como o número de ouro é irracional, temos φ 1,618033989… Geralmente utilizamos uma aproximação para φ: φ 1,618. Podemos encontrar φ usando a álgebra. Acompanhe: Substituindo a, b e a b na proporção A
a
C
b
B
a b
a b a
a b
Chamando a razão
a a de x , temos b b
AB AC
ou x ou
AC , temos: CB
a bx .
Agora, substituiremos a por bx na na proporção, obtendo: a
b
a bx b bx
a b
b (x 1) bx
bx colocando b em evidência: b
x 1 bx ⇒ x b
x
Multiplicando os termos da proporção em cruz, obtemos x 2 x 1 ou x 2 – x – – 1 0. Agora é com vocês! Observe que o x da equação é φ, pois fizemos x
a b
. Junte-se a um colega e resolvam essa equação equaç ão
do 2o grau verificando se a solução confere com o valor exato do número de ouro. Sim, x 1
5
2
TEOREMA DE TALES E SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
163
4. Semelhança Usando papel quadriculado, Luciano ampliou o distintivo do seu time de futebol.
n o o t r a C a r t s u l I
135° 135°
45°
45°
A ampliação ficou perfeita perfei ta porque ele dobrou as medidas dos segmentos e conservou as medidas dos ângulos. Observe! A figura manteve exatamente a mesma forma, só aumentou de tamanho. Ao conservar as medidas dos ângulos conservamos a forma da figura, e a multiplicação de todos os comprimentos por um mesmo número garante a proporcionalidade entre os comprimentos. As figuras desenhadas por Luciano são figuras semelhantes. Duas figuras são semelhantes quando todos os comprimentos de uma delas são iguais aos da outra, multiplicados por um número constante. Se há ângulos, os ângulos correspond correspondentes entes de duas figuras semelhantes devem ser congruentes. Dois círculos, por exemplo, serão sempre semelhantes. Multiplicando o diâmetro por um número qualquer obtemos um círculo semelhante ao dado.
diâmetro 2
diâmetro
diâmetro 0,5
164
E A D
Semelhança de polígonos Dois polígonos são semelhantes se existe uma correspondência entre os vértices de maneira que os ângulos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais. Observe os pentágonos I e II . Podemos estabelecer uma correspondência entre os vértices, pois: • os ângulos correspondentes são congruentes; A
B
C
B
D
B
B
B
B
B
E
B
E A D : s e õ ç a r t s u l I
80o 4,8 cm
4,8 cm
F
B
G B
H
E
I
110o
110o
B
I
J
B
3 cm
3 cm 120
• os lados correspondentes são proporciona proporcionais. is.
AB FG
A
BC GH
CD HI
DE IJ
EA JF
o
120 3,2 cm
D
o
C
F 80o 2,4 cm
2,4 cm
AB FG
4,8 2,4
2
BC GH
3 1,5
2
CD HI
3,2 1,6
2
DE IJ
3 1,5
2
EA JF
4,8 2,4
2
II
J 110o 1,5 cm
120o I
110o
1,5 cm
120o
1,6 cm
G
H
As razões são todas iguais a 2.
Portanto, os pentágonos I e II são semelhantes. A razão constante é a razão de semelhança . Nesse caso a razão de semelhança é 2. O pentágono foi reduzido na razão de 2 para 1. A definição de polígonos semelhantes é compatível com a definição de figuras semelhantes. Observe que os ângulos são mantidos e os comprimentos são todos multiplicados por um mesmo número constante. Nesse exemplo, todos os comprimentos foram divididos por 2, o que equivale a multiplicar por 0,5. TEOREMA DE TALES E SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
165
Símbolo de semelhança Há um símbolo para indicar semelhança: ~ No caso dos pentágonos I e II , escrevemo escrevemoss ABCDE melhante ao pentágono FGHIJ). Veja mais um exemplo:
~ FGHIJ (o pentágono ABCDE é se-
D A 1 ,6 c m
105º
45º C
2,2 cm
45º
30º B
3,0 cm
B
30º
F
B
D
B
B
E
4,5 cm
Os triângulos ABC e DEF são semelhantes, ou seja, dentes são congruentes: A
3 ,3 c m
105º
c m 4 , 2
ABC
~ DEF, pois os ângulos correspon-
E
C
B
B
F
B
e as medidas dos lados correspondentes são proporcionais. AB DE
2,2 2 3,3 3
BC EF
3 2 4,5 3
CA FD
1,6 2 2,4 3
A razão entre as medidas dos lados correspondentes é constante. 2 A razão de semelhança é . 3 Isso significa que o triângulo ABC foi ampliado na razão 2 para 3.
É preciso verificar as duas condições para a semelhança. Veja os retângulos que traçamos: os ângulos correspondentes são congruentes, mas as medidas dos lados não são proporcionais. propor cionais. Logo, os retângulos m c 5 , não são semelhantes. 1
m c 5 , 2
4 cm
70º
110º
3 cm
Olhe os paralelogramos que eu tracei. Dobrei as medidas dos lados, mas mudei os ângulos. Os polígonos não são semelhantes!
m c 5
40º E A D : s e õ ç a r t s u l I
140º
40º
140º
2 cm
166
c m 5 , 2
110º
70º 4 cm
o c i g á M s i p á L
Exercícios Utilize papel quadriculado para ampliar para o dobro a figura dada. 6
Leia o texto da lousa.
E A D : s e õ ç a r t s u l I
n o o t r a C a r t s u l I
Figuras semelhantes Congruentes Ampliação Redução
Qual dos seguintes processos não permite construir uma figura semelhante a outra? 9
7
Qual é a ampliação da figura A? A figura B. a) A fotocópia. b) A fotocópia ampliada. C
c) A fotocópia reduzida.
A
d) Os espelhos planos.
Os espelhos esféricos.
x e)
B D
f ) Ampliação
ou redução de uma figura por contagem de quadradinhos.
E
Sílvia ampliou uma fotografia de seus dois filhos para colocar num porta-retratos. 10
8
Observe os polígonos representados abaixo.
A
C
B
E
F
n o i s i V l a t i g i D
D
G
H
Quais são os pares de figuras com a mesma forma? A e G; B e D; C e H; E e F.
A fotografia original era um retângulo com 14 cm × 8 cm e Sílvia pediu uma ampliação de 50%. Quais são as dimensões da foto ampliada? 21 cm × 12 cm
TEOREMA DE TALES E SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
167
Os polígonos seguintes são semelhantes. Calcule os comprimentos indicados (a unidade usada é o cm).
11
14
35
B
A
x 35 cm; y 25 cm; z 35 cm; w 15 cm
21
Observe as figuras.
C
y
w
49
a) Os
retângulos A e B são semelhantes? Explique. Sim. Os ângulos correspondentes são congruentes e as
z x
25
4 . 6
retângulos A e C são semelhantes? Expois as medidas dos lados não são proporciona proporcionais is plique. Não, 2 4
3
10
14
b) Os
medidas dos lados são proporcio proporcionais nais 2 3
.
5
Vimos que dois retângulos nem sempre são semelhantes. Dois quadrados são sempre semelhantes? Sim.
15
Dois polígonos são semelhantes, sendo que os lados do polígono maior medem o dobro dos lados do polígono menor. Nesse caso, os ângulos do polígono maior: 12
são congruentes aos ângulos do polígono menor. b) medem a metade dos dos ângulos do polígono polígono menor. c) medem o dobro dos ângulos do polígono menor. d) medem o quádruplo quádruplo dos ângulos do polígopolígono menor.
x a)
Quais devem ser as medidas dos lados e dos ângulos do paralelogramo menor para que ele seja semelhante ao maior?
13
• Ângulos: 70°; 110°; 70°; 110°.
Estendendo o conceito de polígonos semelhantes para formas espaciais, troque ideias com os colegas e responda.
16
a) Dois
cubos sempre são semelhantes? Sim.
• Lados: 0,5; 1; 0,5; 1.
110º
70º
2
70º
110º
b) Estes blocos retangulares são
4
semelhantes? Não.
0,5
• Quais devem ser as medidas dos lados e dos ângulos de um paralelogramo semelhante ao maior de modo que a razão de semelhança Ângulos: 70°; 110°; 70º; 110°. seja 3? •• Lados: 6; 12; 6; 12. 168
E A D : s e õ ç a r t s u l I
5. Semelhança de triângulos Triângulos são polígonos; portanto, para que dois triângulos sejam semelhantes é preciso ter os ângulos correspondentes congruentes e os lados correspondentes proporcionais. No entanto, para os triângulos, dois pares de ângulos correspondentes congruentes já garantem as outras condições. Vamos mostrar que isso é verdade. Nos triângulos ABC e DEF abaixo, temos B E e C F. Como a soma s oma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180º, temos que obrigatoriamente A D. B
B
B
B
B
B
D A
B
C E
F
Resta mostrar que os lados são proporcionais. Para isso, marcamos um ponto M em EF de modo que EM BC e traçamos por M uma paralela a D F , determinando determi nando o ponto pon to P. P. x x x
D A P
B
C E
M B
Observe que ABC
PEM
F
M
E A D : s e õ ç a r t s u l I
F (ângulos correspondentes)
B
pelo caso ALA .
Pelo teorema de Tales, no triângulo DEF temos:
ME PE FE DE
Da congruência entre os triângulos temos que AB PE e BC EM. Substituímos na proporção BC AB obtendo: EF DE AB AC De modo análogo pode-se mostrar que e concluir que: DE DF Dois triângulos que apresentam dois pares de ângulos correspondentes congruentes são semelhantes. TEOREMA DE TALES E SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
169
Construa em seu caderno pares de triângulos que tenham lados com medidas respectivamente proporcionais. Por exemplo, um triângulo com lados de medidas 4 cm, 3 cm e 2 cm e outro com lados de medidas 8 cm, 6 cm e 4 cm. Responda:
1. Os ângulos correspondentes são congruentes? Sim. 2. Você construiu pares de triângulos semelhantes? Sim. 3. Dois triângulos que apresentam lados correspondentes proporcionais são semelhantes? Sim.
Observe na figura uma notação bastante comum para indicar a congruência dos ângulos correspondentes. E 3
2
8
B A
C
x
y
4
D
Aˆ Cˆ Bˆ Bˆ Eˆ Dˆ
Lembre-se da importância da ordem dos vértices!
Temos que:
ABE
CBD
Usando a proporcionalidade das medidas dos lados correspondentes, podemos determinar x e y . x
8
e r o t a n e S o i l é H
2 4
3 y
2 4
4 x 16
2 y 12
x 4
y 6
Construí um triângulo ABC, sendo AB 4 cm; Â 50˚ e Bˆ 30˚. Construa em seu caderno um triângulo semelhante a este. A 4 cm
Por exemplo, DEF, sendo DE 8 cm; D 50º e E 30º. B
50º
B
30º B
170
C
E A D : s e õ ç a r t s u l I
Neste exemplo, vamos descobrir a medida de A x. x D
Ih! Complicou!
Não, você vai ver que é fácil! Partiremos da informação de que o segmento DE é paralelo ao segmento BC. A a x d
D
3
e
E
2 o c i g á M s i p á L
B
b
c
5
C
E A D : s e õ ç a r t s u l I
Vamos examinar os ângulos dos triângulos ABC e ADE. x são paralelos, temos que: Como D E e x B C x x • os ângulos de medidas d e b são congruentes, pois são correspondentes. • os ângulos de medidas e e c são congruentes, pois são correspondentes.
Ainda podemos acrescentar que o ângulo de medida a é comum aos dois triângulos. Os triângulos ABC e ADE são semelhantes. Consequentemente, os lados correspondentes têm medidas proporcionais. AB AD
BC DE
Representando AD por x e substituindo as medidas conhecidas na proporção acima, temos: x 2 5 x 3 5 x 3( x 2) 5 x 3 x 6 2 x 6
Quando traçamos um segmento paralelo a um dos lados de um triângulo, obtemos um triângulo semelhante ao primeiro. Essa propriedade vale para qualquer triângulo.
x 3
A
B
Daniel desenhou um hexágono ABCDEF e traçou GH paralelo a ED. Observou que ficou determinado outro hexágono: ABCHGF. Pense e responda justificando: os dois hexágonos são semelhantes? Não. Os lados correspondentes não são proporcionais.
F
C G
H E
D
TEOREMA DE TALES E SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
171
Exercícios Determine x e y , sabendo que os triângu x 6 10 los são semelhantes. x 5 3 y 8
Determine x e y , sabendo que os triângulos são semelhantes.
17
y
4 6 3
19
6 3
y
E A D : s e õ ç a r t s u l I
4 5
30
18
15
30 15
24 y
x
18 x 36 e y 12
x
x
O esquadro que a professora usa no quadro é uma ampliação do esquadro da Vera na razão 3.
y
18
24
Se os ângulos com “marcas iguais” são congruentes, determine x. 20
Hélio Senatore
D
a)
15 A
x
C 10
E
18 15
18
x
10
x 12 B
b)
R
S 21
21
15
x
T 5 U
Observação: as figuras não respeitam as medidas utilizadas.
16 cm 30°
m c 5 , 9 60°
, 6 1 8
15 5
x 7
x
V
Na figura, temos DE // BC.
21
A
Hélio Senatore
A
B
12
x
c m
16
D
E 6
4
C B
a)
Determine a medida dos três ângulos do esquadro da professora. 90 , 60 e 30 o
b)
c)
o
o
Determine a medida dos três lados do esquadro da professora. 28,5 cm, 48 cm e 55,8 cm Determine a medida dos três lados de um esquadro semelhante ao da Vera em que a razão seja 3 . 14,25 cm, 24 cm e 27,9 cm 2
172
C
y
a) Qual
é o valor de x?
b) Qual
é o valor de y ?
c) Qual é o
x 4 x
12 6 12
12 6 ⇒ x 8 12 y
16 ⇒ y 24
perímetro do ABC?
P 12 24 18 54
d) Qual é o perímetro do ADE?
P 8 16 12 36
e) Qual é o
perímetro do trapézio DBCE?
P 4 24 6 16 50
6. Aplicando a semelhança de triângulos 1. O professor Jorge fixou um bastão de madeira com 1 metro de comprimento ao lado do mastro
da Bandeira Nacional que fica no pátio da escola. Veja a ilustração: n o o t r a C a r t s u l I
Vamos usar a semelhança de triângulos para calcular a altura aproximada do mastro da bandeira?
o c i g á M s i p á L
Em seguida, o professor pediu aos alunos que medissem o comprimento da sombra do mastro e da sombra do bastão. Considerando os raios do Sol aproximadamente paralelos, podemos imaginar dois triângulos que representam matematicamente essa situação. n o o t r a C
a r t s u l I
1m
3,2 m sombra do mastro
o c i g á M s i p á L
0,8 m sombra do bastão
A E A D
Esses triângulos são semelhantes, pois: ˆ 90º (o poste e o bastão são perpendiculares ao solo); Bˆ Q Cˆ Rˆ (os raios do Sol são paralelos). Agora é só usar a proporcionalidade entre as medidas dos lados correspondentes dos dois triângulos:
x
P 1m
x
1
3,2 0,8
0,8 x 3,2 x
B
3,2 m
C
Q
0,8 m
R
É isso, pessoal! O poste tem altura aproximada de 4 m.
3,2 0,8
x 4
o c i g á M s i p á L
TEOREMA DE TALES E SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
173
2. Num terreno em declive foi construída uma
n o o t r a C a r t s u l I
18 m
rampa plana, e uma plataforma é sustentada por duas colunas paralelas, como você vê na ilustração ao lado.
12 m
Aplicando a semelhança de triângulos, é possível calcular a medida h da altura da coluna, que ficou faltando no desenho.
3m h
Primeiro, apresentamos o modelo matemático para a situação:
rampa
18 m E A D
B
12 m
D
A
3m h
E C
Quando traçamos uma paralela a um dos lados de um triângulo, obtemos um triân gulo semelhante ao original. É isso o que ocorre nessa situação: as colunas são paralelas, ou seja, B xC é paralelo a D xE . x
x
Temos então ABC ~ ADE. Se os triângulos são semelhantes, as medidas dos lados correspondentes são proporcionais: 18 12
h
3
12h 54 h
54 12
9 2
4,5
A coluna tem 4,5 m de altura. Brincando com sombras Mariana tem 1,40 m de altura. Ela mediu o comprimento da sua sombra como vemos na ilustração. Calcule o comprimento da sombra de alguns dos amigos dela no mesmo dia e à mesma hora.
1,40 m
Nome
Marcos
Adriana
Rafael
Altura
1,60 m
1,48 m
1,56 m
2m e r o t a n e S o i l é H
1,95 m
Junte alguns amigos e brinquem com as sombras, como a Mariana! 1,75 m
174
1,85 m
Exercícios Os comprimentos dos lados de um triângulo são 3 cm, 4 cm e 5 cm. Calcule os comprimentos dos lados de um triângulo semelhante cujo perímetro é 18 cm. 4,5 cm; 6 cm e 7,5 cm 22
x 2 x
4 1,50
Certa noite, uma moça de 1,50 m de altura estava a 2 m de distância de um poste vertical de 4 m de altura com uma luz no topo. Qual é o comprimento da sombra da moça no chão? 1,20 m 25
e r o t a n e S o i l é H
e r o t a n e S o i l é H
4m
1,50 m
Qual é a altura da árvore, de acordo com a figura? 22,5 m 304 x 3 23
2m
x
(Cefet-RS) Dois topógrafos, ao medirem a largura de um rio, obtiveram as medidas mos75 tradas no desenho abaixo. 100 x 300 x 400 26
n o o t r a C a r t s u l I : s e õ ç a r t s u l I
100 m 400 m
3m 4m
75 m
30 m
Um edifício projeta uma sombra de 10 m ao mesmo tempo que um poste de 12 m pro jeta uma sombra de 4 m. Qual é a altura do edifício, sabendo que o edifício e o poste são x 8 perpendiculares ao solo? 24 m 12 4 24
Qual é a medida da largura do rio? 300 metros 27 Qual é a altura de uma estátua que projeta uma sombra de 6 m, sabendo-se que seu pedestal de 1,5 m projeta uma sombra de 2 m? Resolva em seu caderno. 4,5 m
x
x
12 m
4m
1,5 m
8m
6m
2m
x 1,5
6 2
TEOREMA DE TALES E SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
1,5 2
175
Seção livre Tales de Mileto
(Vunesp) Na figura, você vê um triângulo ABC construído com pedaços de canudinho de plástico, todos de mesmo tamanho. 28
C
e t o r e n a i o S l é H
A
B
Usando outros pedaços de canudinho de mesmo tamanho, construiu-se outro triângulo DEF com os lados DE, EF e DF respectivamente paralelos aos lados AB, BC e CA do triângulo ABC, sendo que no lado DE gastaram-se oito pedaços de canudinhos. O perímetro do triângulo DEF contém um total de pedaços de canudinhos igual a: a) 15 c) 17 b) 16
x
d) 18 • 8 6 4 18
(Saeb-MEC) A professora desenhou um triângulo, como no quadro ao lado. Em seguida, fez a seguinte 8 cm pergunta: “Se eu ampliar 8 cm esse triângulo 3 vezes, como ficarão as medidas de seus lados e de seus 5 cm ângulos?”. Alguns alunos responderam: • Fernando: “Os lados terão 3 cm a mais cada um. Já os ângulos serão os mesmos”. • Gisele: “Os lados e ângulos terão suas medidas multiplicadas por 3”. • Marina: “A medida dos lados eu multiplico por 3 e a medida dos ângulos eu mantenho as mesmas”. • Roberto: “A medida da base será a mesma (5 cm), os outros lados eu multiplico por 3 e mantenho a medida dos ângulos”. Qual dos alunos respondeu corretamente a pergunta da professora? Marina. 29
176
E A D
Era grego, nasceu por volta de 624 a.C. na Jônia, em uma localidade que hoje pertence à Turquia. Se Tales escreveu alguma obra, esta não resistiu ao tempo. No entanto, informações sobre sua história passaram de geração em geração e ele é considerado um grande matemático e filósofo. Muitas das realizações atribuídas a ele ficaram conhecidas posteriormente nas obras escritas por historiadores gregos como Heródoto. Consta que foi um bem-sucedido comerciante e que, por conta disso, viajou muito. Aprendeu Geometria com os egípcios e relata-se que calculou a altura da pirâmide de Quéops a partir do comprimento da sombra da pirâmide e da sombra de um bastão fixado verticalmente no solo (num procedimento parecido com o que utilizamos para calcular a altura do mastro da bandeira). Atribui-se a ele uma inteligência rara e a descoberta de fatos importantes da Matemática. Tales, Anaximandro e Anaxímenes são considerados os principais pensadores da cidade de Mileto, cujas ideias foram importantes para a ciência e a filosofia ocidentais.
k c o t S n i t a L / s e g a m I G K A
◆
G. Weng. Thales de Mileto , 1820. Gravura.
Revisando 30
a)
b)
Calcule mentalmente o valor de x. 3 x 8 x 1 c) 1 3 15 5 5 10 8 x
12 3
2
d)
x 2
7
3 7
As duas pipas são semelhantes, sendo 1,5 a razão de semelhança. Qual é o comprimento das diagonais da pipa maior? 36 cm; 57 cm 33
m 2 4 c
5
e r o t a n e S
Na Bandeira Nacional, se dividirmos o comprimento pela altura, o resultado será sempre 10 . Qual deve ser a altura de uma 7 bandeira de 6 m de comprimento? 4,20 m 31
10 7
e r o t a n e S o i l é H
o i l é H
3 8 c m
6 x
Qual das afirmações está incorreta?
34
Dois triângulos são sempre semelhantes.
x a)
b) Todos os quadrados são semelhantes. c) Dois
triângulos equiláteros são sempre semelhantes. Para que dois triângulos sejam semelhantes, basta que tenham dois ângulos correspondentes congruentes.
d)
Este armário de cozinha está desenhado na razão de 1 para 18. 32
O mapa abaixo mostra quatro estradas paralelas que são cortadas por três vias transversais. Calcule as distâncias entre os cruzamentos dessas vias, supondo as medidas em km. 35
r n o o t r a C a r t s u l I
s a d
n o o t r a C a r t s u l I
66
x
2
x x
b
2 8 1 4
y
4 ⇒ y 1 3
z 12 z ⇒
6 ⇒ x 4 3
33 y y
22 z z
c a 50,4 cm; b 30,6 cm; c 126 cm; d 81 cm; r 57,6 cm; s 27 cm
44 8
Meça cada comprimento indicado e calcule o comprimento real correspondente.
TEOREMA DE TALES E SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
177
(Comperj) Na figura abaixo estão representadas cinco ruas do bairro onde moram João, Marcos, Pedro, Vitor e Samuel. A localização da casa de cada menino é identificada pela inicial de seu nome. Na esquina das ruas A e D fica a escola onde todos estudam. Sabe-se que as ruas A, B e C são paralelas e que todos os meninos vão a pé para a escola, sempre pelo caminho mais curto. Se Samuel caminha 100 m até a escola, Vitor caminha 260 m, João caminha 180 m e Marcos, 270 m, qual é a distância, em metros, que Pe160 dro percorre de sua casa até a escola? 180 x 90 36
38
x
b) 300 m
c) 340
m
d) 460
m
2 cm
2 cm
E A D : s e õ ç a r t s u l I
150º
120º
II I
3 cm 3 cm 90º 60º
IV
III
a) 280 m
(Saresp) Observe os losangos abaixo.
Quais desses losangos são semelhantes entre si? I e III
Considere uma praça em que as calçadas que medem 50 m e 60 m são paralelas. A que distância do ponto do ônibus se encontra o passageiro? 30 m 39
Rua D
Rua E
ESCOLA
Rua A
J
ponto de ônibus
50 ⇒ x 25 60 Então: 25 5 30
x x 5
S
V
Rua B M
P
Rua C passageiro 50 m
A altura da Raquel é 1,50 m. Qual é a altura da árvore? 4,95 metros (aproximadamente) 37
n o o t r a C a r t s u l I
e r o t a n e S o i l é H
5m 60 m
(Unisinos-RS) O ponto mais alto de uma rampa, em relação ao solo, fica a 6 m. Ela é sustentada por 6 pilares distantes um do outro 5 m e distribuídos conforme a figura. Desprezando a largura dos pilares, qual é a altura do x 6 3o pilar, em metros? 4 m 30 20 40
1,5 1,85
x
6,1
x 4,95
x 4 e r o t a n e S
6m
o i l é H
1,85 m
4,25 m
1
2
3
4
5
6 5m
178
(Saresp) No desenho abaixo estão repre x sentados os terrenos I , II , III . 24 15 20
Desafios
41
E A D : s e õ ç a r t s u l I
(SEE-RJ) Encontrei um pedaço da planta de um loteamento. 45
x 32
I II III
lote A
lote B
Planta dos lotes triangulares A e B
Medindo os ângulos encontrei: 30 o e 80o em um lote e 80 o e 70o em outro. Pude, então, concluir que:
Quantos metros de comprimento deverá ter o muro que o proprietário do terreno II construirá para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas? 32 metros Qual é a largura desta rodovia?
42
17,3 metros (aprox.) e r o t a n e S o i l é H
a) os dois lotes são iguais. b) os
lotes são diferentes, mas têm o mesmo perímetro.
4,5 3 x 26 x 17,3 (aprox.)
c) os lotes têm a mesma área. d) a área de um lote é o dobro da área do outro. x
e)
os lotes têm os lados com medidas proporcionais.
(Unicamp-SP) Uma rampa de inclinação constante, como a que dá acesso ao Palácio do Planalto, em Brasília, tem 4 metros de altura na sua parte mais alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota que após ter caminhado 12,3 metros sobre a rampa, está a 1,5 metro de altura em relação ao solo. Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa. 20,5 m 46
4 ,5 m
3m
2 6 m
43
Calcule o valor de x. 6 8
6 x 24 ⇒ x x 7
Os triângulos ADB e AEC são semelhantes. AB AC
x
1,5 12,3 BD ⇒ ⇒ x 20,5 4 12,3 x CE
C
6 x
x
B 3 , 1 2
8
Um azulejo quadrado pesa 80 gramas. Quanto pesará outro azulejo, do mesmo material e com a mesma espessura, cujos lados sejam três vezes maiores? 720 g
4
1,5
44
A
E D Observação: as medidas dessa figura não são proporcionais aos valores indicados.
• (3 x )2 9 x 2 9 80 720
TEOREMA DE TALES E SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
179
Exercícios Autoavaliação O valor de x na figura abaixo é:
47
a)
(Fuvest-SP) A sombra de um poste vertical, projetada pelo Sol sobre um chão plano, mede 12 m. Nesse mesmo instante, a sombra de um bastão vertical de 1 m de altura mede 0,6 m. A altura do poste é: 50
28
r
b) 29,5
13 x
33,8
x c)
10
13
10 26
26
Anote, em seu caderno, o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta.
s x
d) 36,5
e r o t a n e S o i l é H
t r // s // t
(ETF-SP) Dois lotes estão representados na figura abaixo. Calcular as medidas de frente para a rua R de cada um dos terrenos, respectivamente. 48
20 30
x 1m E A D : s e õ ç a r t s u l I
x x 11 1 1 x
a R R u x
20 m
a)
12 m
c)
72 m
x b)
20 m
d)
7,2 m
x c)
22 m e 33 m
b)
21 m e 32 m
d)
23 m e 34 m
50
Observação: nas atividades 49 e 50, as medidas não são
a)
proporcionais aos valores indicados.
A sombra de uma árvore mede 4,5 m. À mesma hora, a sombra de um bastão de 0,6 m, mantido na vertical, mede 0,4 m. A altura da árvore é: x 4,5 x 6,75 49
0,6
1
x 20
x
25 m e 75 m
b) 20
150
m e 60 m
c)
25 m e 30 m
d)
5 m e 15 m
5 2 5
20
60 m 0 5
x
y a u R
150 m
(Saresp) Três terrenos têm frentes para a rua A e fundos para a rua B, como na figura. As divisas laterais são perpendiculares à rua A. Sabendo-se que a soma das medidas dos fundos desses terrenos é 180 m, qual a medida do fundo de cada terreno? 52
x
x
B R u a
0,6 m
180 y
180 z
4,5 m
a)
3m
c)
b)
5m
x d)
180
12 0,6
0,4
e r o t a n e S o i l é H
0,4 m
(Saresp) Dois terrenos retangulares são semelhantes, e a razão de semelhança é 2 . Se o 5 terreno maior tem 50 m de frente e 150 m de comprimento, quais são as dimensões do terreno menor? 2
Rua P
15 m e 26 m
x
51
30 m
a)
0,6 m
12 m
4,8 m 6,75 m
40 m
30 m
20 m
180
40 90 30 90 20 90
Rua A
a)
60 m, 90 m, 30 m
b) 65
m, 65 m, 50 m
70 m, 50 m, 60 m
c)
80 m, 60 m, 40 m
x d)
UNIDADE UNIDADE
7
Relações métricas nos triângulos retângulos 1. O teorema de Pitágoras r J o m l e s n A
e r o t a n e S o i l é H
Observe o espaço ao seu redor. Identifique ângulos retos nos objetos e construções. Os ângulos retos têm importância fundamental, não é? Desde muito cedo em sua história, a humanidade utiliza ângulos retos para demarcar terras, construir casas, templos etc. Hoje construímos ângulos retos de várias formas: o t t e r o v a F o d n a n r e F
n o o t r a C a r t s u l I
E A D
RELAÇÕES MÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
181
Os antigos egípcios usavam um triângulo com lados de medidas 3,4 e 5 unidades para determinar um ângulo reto. Veja: Numa corda faziam 13 nós igualmente espaçados. O primeiro nó era fixado no solo com uma estaca. Com estacas no quarto e no oitavo nós, formava-se o triângulo, como você vê ao lado. Os egípcios sabiam que, nessa situação, o ângulo assinalado era reto. Eles sabiam que um triângulo com lados de medidas 3, 4 e 5 Trace em seu caderno um triângulo cujos laera retângulo. dos meçam 3 cm, 4 cm e 5 cm. Meça seus ângulos internos. O triângulo é retângulo? Sim. Os chineses também conheciam e usavam esse triângulo. Os babilônios foram além: descobriram uma relação importante entre as medidas dos lados dos triângulos retângulos. Vamos ver? Vamos examinar o triângulo de lados 3, 4 e 5. Há uma relação entre as medidas dos lados desse triângulo: 5
52 42 32 25 16 9
3
O quadrado da medida do lado maior é igual à soma dos quadrados das medidas dos lados menores.
4
5
Observe os quadrados que construímos sobre cada lado do triângulo de lados 3, 4 e 5. Qual é a área do quadrado de
25
3
maior lado? 25 5
Some as áreas dos quadrados construídos sobre os outros dois lados. Você deve ter observado que:
3
9
16 9 25 A área do quadrado construído sobre o maior lado é igual à soma das áreas dos outros dois quadrados.
16
E A D : s e õ ç a r t s u l I
4
182
4
e r o t a n e S o i l é H
Observamos a relação entre as medidas dos lados de um triângulo retângulo específico, de lados 3, 4 e 5. Há como provarmos que essa relação vale para qualquer triângulo retângulo?
c
Há muitas formas de provar que sim. Você vai acompanhar uma delas!
o c i g á M s i p á L
Num triângulo retângulo, chamamos os lados que formam o ângulo reto de catetos. O lado oposto ao ângulo reto (lado de maior medida) chama-se hipotenusa.
a
a: medida da hipotenusa
b
b: medida de um cateto c: medida de outro cateto
Vamos mostrar que, num triângulo retângulo qualquer, temos que a2 b2 c 2 . Com quatro triângulos retângulos congruentes, construímos um quadrado de lado ( b c ). A área desse quadrado é igual à soma das áreas dos quatro triângulos com a área do quadrado de lado a. Isto é: b c 2 2 (b c ) 4 A a a b2 2bc c 2 4
b c
2
E A D : s e õ ç a r t s u l I
c
a2
c
a a
b
b2 2bc c 2 2bc a2
Subtraindo 2bc de ambos os membros da igualdade: b2 c 2 a2 ou a2 b2 c 2 Em palavras, provamos que:
b
a
b
a
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.
c
c
b
Essa relação é conhecida como teorema de Pitágoras, que foi um filósofo e matemático grego. o c i g á M s i p á L
Grego? Não foram os babilônios que descobriram essa relação?
De fato, os babilônios conheciam e usavam essa relação para resolver problemas muito antes da época de Pitágoras.
No entanto, a prova de que ela vale para todo triângulo retângulo foi apresentada pela primeira vez por Pitágoras e seus seguidores.
RELAÇÕES MÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
183
A recíproca do Teorema de Pitágoras também é verdadeira: • Se em um triângulo, o quadrado da medida do maior lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, então este triângulo é retângulo.
Posso descobrir, sem desenhar, se o triângulo de lados 17 cm, 15 cm e 8 cm é um triângulo retângulo?
Sim, basta averiguar se as medidas verificam o Teorema de Pitágoras: Medida do maior lado: 17 cm É só verificar se 17 2 152 82: 172 289 152 225 e 8 2 64 Como 289 225 64, concluímos que o triângulo é retângulo.
e r o t a n e S o i l é H
Falando de Pitágoras
Assim como acontece com Tales, as informações sobre a vida de Pitágoras misturam lenda e realidade. Estima-se que Pitágoras nasceu na Grécia entre 590 e 570 a.C. Durante sua juventude, viajou e aprendeu muito. Sem dúvida, foi um homem brilhante, pois a escola fundada por ele em Cretona, colônia grega localizada no sul da Itália, teve papel importantíssimo no desenvolvimento da Matemática. Os pitagóricos, como eram chamados, dedicaram-se também à música, à filosofia e à astronomia.
a m o R , o n a c i t a V l e D o z z a l a P
◆
Rafael. A escola de Atenas , 1506-1510. Afresco, 500
700
cm.
Curiosidade!
Como dissemos, há muitas maneiras de demonstrar o teorema de Pitágoras. Você viu uma delas. Um professor de matemática norte-americano, Elisha Scott Loomis, colecionou durante 20 anos diferentes demonstrações do teorema de Pitágoras. Ele organizou e publicou essas demonstrações em 1927, no livro The Pythagorean Proposition (A Proposição de Pitágoras). Na sua primeira edição, o livro continha nada mais nada menos do que 230 demonstrações desse teorema. Em 1940, quando publicado em segunda edição, esse número aumentou para 370. Fonte . Acesso em abr. 2011.
184
O teorema de Pitágoras é importantíssimo, tem muitas aplicações e aparece em diversos tipos de exercícios. Vamos ver alguns exemplos? 1.
o t t e r o v a F o d n a n r e F
A peça que sustenta essa prateleira tem a forma de um triângulo retângulo e é conhecida por “mão francesa”. Fizemos um modelo com as medidas conhecidas da peça. Utilizando o teorema de Pitágoras, podemos determinar a medida que falta no desenho.
c E A D
m c 5 1
m c 2 5
Lembre-se: a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto. É o lado de maior medida.
a 25 cm b 15 cm c ? a2 b2 c 2
625 225 c 2 c 2 625 225 c 2 400 Vamos usar o c 400 teorema de Pitágoras para c 20 cm descobrir as medidas dos lados
e r o t a n e S
o i l é H : s e õ ç a r t s u l I
n o o t r a C a r t s u l I
desse triângulo. As medidas estão em centímetros.
2.
x �
1
x
x �
Hipotenusa: a x 1 Catetos: b x e c x 7 Por Pitágoras: ( x 1)² x ² ( x 7)² x ² 2 x 1 x ² x ² 14 x 49 2 x 1 x ² 14 x 49 x ² – 16 x 48 0 256 192 64 x
16 8 2
7
Vamos desenvolver os produtos notáveis!
x 1 12 x 2 4
x 4 não serve, pois teríamos x 7
–3, e não existe medida de comprimento negativa. Descobrimos que os lados do triângulo medem 12 cm, 13 cm e 5 cm.
RELAÇÕES MÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
185
3. Uma porteira de fazenda terá a forma de retângulo. Para dar rigidez à estrutura, uma barra
de madeira será colocada na diagonal do retângulo, como você vê no projeto do carpinteiro. Com as medidas dadas, podemos calcular o comprimento da barra usando o teorema de Pitágoras: a ? b 2 m c 1,5 m a2 22 1,52 a2 4 2,25 6,25 a 6,25 a 2,5 m
e r o t a n e S o i l é H
2m
m 5 , 1
a ?
A barra deve ter 2,5 m de comprimento. 4. Você sabe que 2 é um número irracional: tem infinitas casas decimais e não apresenta pe-
ríodo. Diante disso, como construir um segmento de reta de medida 2 cm? O teorema de Pitágoras nos ajuda nessa tarefa: Traçamos um triângulo retângulo em que ambos os catetos medem 1 cm. A hipotenusa desse triângulo mede 2 cm. Na reta numérica... a
1 cm
n o o t r a C a r t s u l I
1 cm
12 12 2 a 2 a 2 cm 2
a
2
1
0
1
1
E A D : s e õ ç a r t s u l I
2
2
... aplicando essa ideia, localizamos, com auxílio do compasso, o ponto que representa o número irracional 2.
1 cm
a
Para traçar um segmento de medida 3 cm, transportamos com compasso o segmento de medida 2 cm, construímos o triângulo retângulo cujos catetos medem 2 cm e 1 cm. A hipotenusa desse triângulo mede 3 cm.
2 cm
a2 12 ( 2)2 a2 3 a 3 cm
1 cm
Com base nos exemplos acima, determine em seu caderno um segmento de medida 5 cm.
186
a
2 cm a2 12 22 a2 5 a 5 cm
5. (AB)2 302 402 AB 50 (BC)2 602 802 BC 100 Então: 50 100 150
Exercícios 1
a)
Calcule o valor de x nos triângulos retângulos.
4
c)
a)
x 10
x
3
x
4
x
6
E A D : s e õ ç a r t s u l I
Calcule o valor de x nos triângulos retângulos. 3
x
b)
3 3
5
x
x
x 5
2x
5
6
8
b)
d)
x 15
x 3
4x
4
x
x
9 20
Uma pessoa percorre a trajetória de A até C, passando por B. Qual foi a distância percorrida? 5
3x
150 m
12
e r o t a n e S
o i l é H
40 m
A figura mostra um edifício que tem 15 m de altura. Qual é o comprimento da escada que está encostada na parte superior do prédio? 17 m 2
d 2 82 152 d 17
B 30 m n o o t r a C a r t s u l I
60 m
A
C 80 m
A figura mostra uma antena retransmissora de rádio de 72 m de altura. Ela é sustentada por 3 cabos de aço que ligam o topo da antena ao solo, em pontos que estão a 30 m do pé da antena. Qual é a quantidade aproximada de cabo, em metros, que será gasta para sustentar a 78 a 72 30 a antena? 234 m 3 78 234 6
8m
2
2
2
3
a)
Calcule o valor de x nos triângulos retângulos. b)
x 5
x
3
e r o t a n e S o i l é H
x 3
3 5
x
30 m 30 m
6 2
m 0 3
RELAÇÕES MÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
187
2. Teorema de Pitágoras, quadrados e triângulos B
1. Traçamos uma diagonal d do quadrado ABCD de lado .
A
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ADC: d 2 2 + 2
d
d d d
2
Para obter a medida da diagonal de um quadrado, multiplico a medida do lado do quadrado por 2.
2 22 2 2 2 ou 2
d
2
Se d
2, então d
2
d
C
D
o c i g á M s i p á L
1,414213…, ou seja, a razão entre a medida da diago-
nal de um quadrado e a medida de seu lado é constante e não é um número racional. Os seguidores de Pitágoras não usavam a notação de raiz, nem a notação decimal, mas, por mais que tentassem, não conseguiram expressar essa relação por meio do quociente entre dois números naturais. Isso os intrigou muito! 2. Traçamos um eixo de simetria no triângulo equilátero ABC, cujo lado mede . A altura h ficou
determinada e temos BM
2
2
42 4
2 2
4
4
Usando frações equivalentes, podemos escrever:
4h2 4 Multiplicando ambos os membros da igualdade por 4:
42 2 4h2 Subtraindo 2 de ambos os membros da igualdade: 32 4h2 32 4 h
h
188
h
3 4
⋅
2
Vou ter de saber de cor essas fórmulas?
2
2
3⋅ 4
3
B
h
h2
h2
E A D : s e õ ç a r t s u l I
A
2
2
MC
. 2 O triângulo AMC é retângulo. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:
M
2
2
Não é necessário. Aplicando o teorema de Pitágoras, podemos deduzi-las facilmente.
2
o c i g á M s i p á L
Para obter a medida da altura de um triângulo equilátero, multiplicamos a medida do lado por 3 e dividimos por 2.
C
n o o t r a C a r t s u l I
3. Observe o desenho: nessa praça circular, de raio 20 m,
o quadrado colorido de laranja vai ser gramado. Quantos metros quadrados de grama serão necessários? No modelo matemático para essa situação, temos um quadrado de lado inscrito numa circunferência de raio 20 m. Precisamos determinar a área do quadrado, ou seja, precisamos determinar A 2 . O diâmetro dessa circunferência é de 40 m, certo? E o diâmetro dessa circunferência corresponde à diagonal d do quadrado. Como descobrimos que d 2, temos 40 2 ou, ainda, elevando ambos os membros da igualdade ao quadrado: 1 600 ( 2)2
E A D : s e õ ç a r t s u l I
d
1 600 2 ( 2)2
1 600 2 2 2 800
2 é
a área do quadrado que será gramado. Então, serão necessários 800 m 2 de grama. 4. O tampo de uma mesa tem a forma de um hexágono
regular de lado 60 cm. Vamos ajudar o marceneiro a calcular quantos metros quadrados de fórmica ele precisa comprar para revestir a face superior do tampo. Podemos decompor o hexágono em seis triângulos equiláteros congruentes, de lado 60 cm. 60 cm 60 cm h Descobrimos que a altura do triângulo equilátero pode ser calculada 60 cm
h
fazendo h
3
2
60º
60º
60º
60 cm 60º
60º
60º
60 cm
. Como 60 cm, temos:
60 3 30 3 cm 2
A área de cada triângulo será A
bh
2
60 30 3 2
900 3 cm2.
A área do tampo hexagonal é igual a seis vezes a área do triângulo. Ahexágono 6 900 3 5 400 3 . Fazendo 3 1,7, obtemos A 9 180 cm2. Como 1 m2 10 000 cm2, convertemos a área para metros quadrados: 9 180 cm 2 0,918 m2. Concluímos que, com aproximadamente 0,92 m 2 de fórmica, o marceneiro fará o serviço. RELAÇÕES MÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
189
Exercícios Quais das sequências de valores a seguir são medidas dos lados de um triângulo retângulo? a) 7 cm, 9 cm, 12 cm 7
12 cm, 16 cm, 20 cm
x b)
12 cm, 5 cm, 13 cm
x c)
(Fuvest-SP) Um trapézio retângulo tem bases 5 cm e 2 cm e altura 4 cm. O perímetro desse trapézio é: D 2 A a) 14 cm b) 15 cm 4 4 x c) 16 cm AB 3 4 5 d) 17 cm P 5 5 4 2 16 C 2 B 3 11
2
d) 21
cm, 28 cm, 30 cm
Um quadrado e um triângulo equilátero têm perímetros iguais. Se a diagonal do quadrado mede 9M 2 cm, então a altura do triângulo, em cm, é: x ² x ² (9 2) 2 x ² 2 · 81 3 a) 2M
8
c)
2
12
Determine a medida dos segmentos indicados nas figuras. 8
a)
y
8 6
x 10
x
5
11
y 4
3 b) 4M x
d) y
20 y
y 2 11
5 6
x
12 y 15, x 25
Triângulo equilátero
Triângulo isósceles
20 cm
30 cm
10 M 3
20 cm
A soma dos quadrados dos três lados de um triângulo retângulo é igual a 32. Quanto mede a hipotenusa do triângulo? a) 3 10
4
x b)
c) 5 d) 6
190
a
b
x
c)
21 cm
d)
39 cm
(I) Sabemos que a² b² c ² 32 (II) Temos que: a² b² c ² Substituindo (II) em (I), fica: 2a² 32 a² 16 ⇒ a 4 Então, a medida da hipotenusa é 4.
B
C
O
2
(BC)² 36² 15² BC 39 AO BC 39 2 2
2
(SEE-SP) Para ir do ponto central O até o ponto B, localizados numa praça de formato circular, de diâmetro igual a 40 m, Pedro foi até o ponto A, e dali seguiu em linha reta até o ponto B, conforme indicado na figura. Nesse caso, PeB dro caminhou: a) 15 m 14
b) 25 c)
c
6
x
b) 39 cm
Determine a medida da altura de cada um dos triângulos. 9
25 cm
12
h
2 13 (Saresp) Considere o triângulo retângulo ABC inscrito em uma circunferência de centro O. Sabendo que AB = 36 cm e AC = 15 cm, o valor de AO é: a) 18 cm A
9
3
x
c) 6M 3
3 d) M
b)
M
2 9
x 9 h² 6² 12² h² 108 h 6 3
m
35 m 40 m
x d) (AB)² 15² 20² AB 25 15 25 40
5m A
O
E A D : s e õ ç a r t s u l I
2
Exercícios
Qual é a área do quadrado sombreado? 50 cm (unidade: cm)
(Vunesp) Uma criança resolveu confeccionar um envelope utilizando para isso dois retângulos e um triângulo retângulo. As figuras 1 e 2 mostram, respectivamente, esse envelope fechado e totalmente aberto. Todas as dimensões estão em cm. figura 2
15
figura 1
2
a2 72 12 a2 49 1 a2 50
7
1
1
7
9
x
15
15 x
18
9
14
14
14
7
14
envelope fechado
área do triângulo
1 9 x 2
14
1
14
(Ceeteps-SP) Seis estações espaciais estão localizadas num mesmo plano, uma em cada vértice de um hexágono regular de lado 200 km. Uma das estações informa a existência de um objeto não identificado que se encontra estacionado na posição M entre as estações A e B, conforme mostra a figura. Para destruí-lo, um míssil é lançado, em linha O reta, do centro desse hexágono. Qual a d distância percorrida pelo míssil? 100 3 km
19
envelope totalmente aberto
De acordo com as figuras, pode-se dizer que a quantidade mínima de papel utilizada em um envelope, em cm², será de: a) 416 c) 512 x b) 474 d) 546 Qual é o perímetro do terreno?
16
380 m
120 m
40 m
x
30
90 m
P 40 50 90 80 120 P 380
(Saresp) Tenho um pedaço de papel de seda de forma circular cujo raio mede 20 cm. Quero fazer uma pipa quadrada, do maior tamanho possível, com esse papel de seda. Quanto medirá o lado desse quadrado? (Use M 2 1,4.) 28 cm 17
r
2
Uma parede da cozinha da D. Sílvia foi azulejada conforme mostra a figura ao lado. Veja que foram colocados 13 azulejos inteiros, enfileirados. Qual é a altura aproximada dessa parede, sabendo que cada azulejo é um quadrado de 15 cm de lado? 20
x 2 302 402 x 50
4
A
d 2 1002 2002 d 100 3
80 m 40
7
20 2 28
d 2 152 152 d 15 2
M
B
13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
E A D : s e õ ç a r t s u l I
Altura 13 15 2 275 275 cm ou 2,75 m
RELAÇÕES MÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
191
3. Relações métricas nos triângulos retângulos 4m
Nessa estrutura de telhado feita com barras de ferro, qual deve ser a medida de x ?
4m x
3,2 m
4m x
E A D : s e õ ç a r t s u l I
3,2 m
3,2 m
Podemos descobrir aplicando o teorema de Pitágoras. hipotenusa: 4 catetos: 3,2 e x 22 4 e 3 2 9 2 2 2 4 x 3,2 5,76 está entre 2 e 3. 16 x 2 10,24 Como o último algarismo de 5,76 é 6, experimentamos 2,4. 2 x 5,76 De fato, 2,42 5,76. x 5,76 Você também pode usar calculadora: digite 5,76 x 2,4 A barra mede 2,4 m. Barras de reforço serão colocadas na estrutura. Qual deve ser a medida dessas barras?
4m
4m y
3,2 m
Não dá para calcular pelo teorema de Pitágoras! Há outras relações entre medidas nos triângulos retângulos.
192
y
3,2 m
Vamos descobri-las e depois voltaremos ao problema!
o c i g á M s i p á L
A
Traçamos a altura AH relativa à hipotenusa do triângulo retângulo ABC. Sua medida é h. Repare que AH determina dois segmentos sobre a hipotenusa. Eles recebem nomes especiais:
b
c
h n
m
CH: projeção do cateto AC sobre a hipotenusa. Medida: m BH: projeção do cateto AB sobre a hipotenusa. Medida: n
C
B
H a
A
Visualize os três triângulos que aparecem nesta figura:
c
b E A D : s e õ ç a r t s u l I
A C b
c
h
A A
n
m
C
B
a
c
h
B
H a
h
b
H C
m
B
n
H
Vamos comparar os triângulos ABC e HBA. Para facilitar, colocamos o ângulo reto na mesma posição: A H b
c
a
C
h
B
A
n
c
B
A H (ambos são ângulos retos) B é ângulo comum aos dois triângulos. Os triângulos apresentam dois ângulos correspondentes congruentes. O terceiro, automaticamente, também será. Os triângulos são semelhantes, ou seja, as medidas dos lados correspondentes são proporcionais. Podemos escrever: B
B
B
a c
c n
Multiplicando os termos da proporção em cruz:
c 2 a n
RELAÇÕES MÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
193
Vamos comparar os triângulos ABC e HAC, colocando os ângulos retos na mesma posição: A
E A D : s e õ ç a r t s u l I
c
b
H h
m
C
A H (são retos). B
C
B
a
B
C é ângulo comum aos dois triângulos.
A
b
Dois ângulos correspondentes congruentes.
B
ABC
HAC (As medidas dos lados correspondentes são proporcionais.)
Podemos escrever: a b e também: a c b m b h
Multiplicando os termos das proporções em cruz, obtemos: b2 a m
e
a h
b c
Precisaremos examinar mais uma semelhança para obter a próxima relação. Observe: A y z b
c
h n
x m
C
B
H a
Marcamos as medidas x , y e z de ângulos que aparecem na ilustração. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180º, temos que no triângulo HAC, x y 90º 180º, ou seja, x y 90º. Também temos que, no triângulo ABC, z y 90º. Daí, x z .
Concluímos que os triângulos HBA e HAC têm dois ângulos correspondentes congruentes: x z e 90º 90º (ambos têm um ângulo reto). O terceiro ângulo será congruente, e temos HBA ~ HAC. Traçando esses triângulos com os ângulos correspondentes na mesma posição, fica mais fácil encontrar os lados correspondentes, que apresentam medidas proporcionais, e obter mais uma fórmula: h m
n h
H n
h z
A
B
C H
h2 m n
m
h
x C
194
b
A
As fórmulas que encontramos são chamadas de relações métricas no triângulo retângulo: c 2 a n � �Relacionam cateto, sua projeção sobre a hipotenusa e a hipotenusa. b2 a m � a h b c
Relaciona hipotenusa, altura relativa à hipotenusa e catetos.
h2 m n
Relaciona a altura relativa à hipotenusa com as projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
Lembra-se de que demonstramos o teorema de Pitágoras usando equivalência entre áreas? Pois também podemos chegar a esse teorema a partir das relações que acabamos de descobrir. Vamos somar membro a membro as igualdades: c 2 a n b2 a m c 2 b2 a n a m
Colocando o fator comum a em evidência: c 2 b2 a (m n) No entanto, ( m n) a c 2 b2 a2 A igualdade fica: c 2 b2 a a ou Vamos voltar ao problema da estrutura metálica?
y é a medida da altura relati4 m
m 4
y
C �
E A D : s e õ ç a r t s u l I
, que é o teorema de Pitágoras.
y 3,2 m
3,2 m
va à hipotenusa do triângulo retângulo ABC abaixo. Vimos que a h b c Nesse problema: a y b c
m 4 m � n y �
4 y 2,4 3,2 a 4 � 4 y 7,68 b 2,4 � 7,68 y c 3,2 � 4 A 3,2 m B y 1,92 As barras de reforço devem ter 1,92 m de comprimento. Ainda podemos determinar a que distância do ponto C a barra de reforço deve ser fixada. Essa distância é a projeção m do cateto b sobre a hipotenusa. 2,4 m
b 2,4 e a
4 Usando a relação:
b2 a m
2,42 4 m 5,76 4 m 5,76 m 1,44 m 4 O ponto de fixação da barra de reforço deve estar a 1,44 m do ponto C. RELAÇÕES MÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
195
Exercícios 21
Calcule o valor de x nos triângulos retângulos. x 2 9 25 x 15
a)
(Saresp) Uma praça tem a forma de um triângulo retângulo, com uma via de passagem pelo gramado, que vai de um vértice do ângulo reto até a calçada maior, como ilustrado pela figura • h 18 32 abaixo. h 24 23
2
x
• b2
242
b 40
9
322 ou b2
32
b 40
50
1 600 e r o t a n e S o i l é H
25
x 2 9 5 x 3 5
b)
c
x
b
5 9
c)
18 m
32 m
5 x 3 4 x 2,4
4
3 x
Sabendo que esta via divide o contorno maior do gramado em dois pedaços, um de 32 m e outro de 18 m, quanto mede, em metros, o contorno b? 40 m
5
d)
x 2 4 16 x 8
Na figura abaixo, a distância da casa à estrada é 1,2 km. 24
x
4
16
e r o t a n e S o i l é H
(Saresp) O cartaz retangular da figura foi preso à parede com auxílio de um fio, conforme indicado. Qual é o comprimento do fio? 52 cm 22
E A D : s e õ ç a r t s u l I
1 ,6 k m m k 2 , 1
48 cm
isósceles
m c 0 1
a)
Qual é a menor distância da árvore à caixa 1,6 -d’água? 2,5 km 1,2 x x 0,9 2
Por favor, faça silêncio!
• 0,9 1,6 2,5
b) c 2 102 242 c 2 676 c 26
• 2 26 52
196
c)
Qual é a menor distância da casa à árvore?
d 2 1,22 0,92 d 1,5
1,5 km
Qual é a menor distância da casa à caixa-d’água? 2 km d 1,2 1,6 2
d 2
2
2
Revisando Determine o valor dos elementos desconhecidos: 29
Um fazendeiro quer colocar uma tábua em diagonal na sua porteira. Qual é o comprimento dessa tábua, se a folha da porteira mede 1,2 m por 1,6 m? 2 m d (1,2) (1,6) 25
2
2
d 2
1,6 m
x 4
6
n o o t r a C a r t s u l I
d =
1,2 m
a)
2
x
?
2 13 2
x
b) x 3
x
1
x
Qual é o perímetro da figura? 90 cm
26
h 152 202 h2 225 400 h2 625 h 25 2
P 20 15 15 25 15 P 90
20 cm
15 cm
30
CB 8 10 8 18 369 > 18
Observe a figura abaixo. Azul
(CE)2 152 122 ⇒ CE = 369
A 15 cm
E A D : s e õ ç a r t s u l I
m k 6
Qual é a altura do funil representado pela figura?
1 0 k m
B
27
C
17 cm • x 2
5 cm 9
2
15
x 12 • altura 12
2
D 4 km n o o t r a C a r t s u l I
B 5 17
15 cm
e r o t a n e S o i l é
x
m k 5 1
H
A 9 cm
O
Calcule o comprimento x nesta estrutura de telhado, que tem a forma de triângulo isósceles. 28
e r o t a n e S
x 2 32 (0,4)2 x 3,03 (aprox.)
3,03 m (aprox.)
o i l é H
E n o o t r a C a r t s u l I
x
40 cm
6m
Um carro azul parte da cidade A para a cidade C, passando por B. Um carro vermelho parte da cidade E igualmente para a cidade C, mas com o trajeto direto. Considere que os carros se deslocam à mesma velocidade. Qual dos carros chegará primeiro à cidade C? O carro azul.
Observação: as medidas não são proporcionais aos valores indicados. RELAÇÕES MÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
197
Exercícios
Uma escada tem 3,20 m de altura quando está fechada. Qual é a altura da escada aberta, sabendo-se que a distância máxima entre os seus pés é de 2,40 m? 2,97 m (aprox.) 31
• h 2,97
h2 (1,20)2 (3,20)2
(Saresp) Na figura abaixo têm-se os quadrados Q1 e Q2. 34
x 2 122 152 x 9
T 9 12 2
54
n o o t r a C a r t s u l I
Q1 m 5 1
3,20 m
T
Q2
2,40 m
E A D : s e õ ç a r t s u l I
12 m
Determine a medida do apótema e a medida do lado de um hexágono regular inscrito numa circunferência de raio igual a 4 3 cm. Lado: 4 3 cm e apótema: 6 cm. ( ) ( ) 32
a
2
4 3 2
2
Qual é a área do triângulo T, em metros quadrados? 54 m 2
2
4 3
• a 6
A chácara de Ângela tem a forma de um triângulo retângulo e as dimensões indicadas na figura. Qual é a distância entre o portão e o poço? 480 m 1h 000 h 600 800 35
480
raio
apótema lado
Apótema de um polígono regular é o
segmento cujos extremos são o centro do polígono e o ponto médio de um lado. 33
8 0 0 m
m 0 0 6
e r o t a n e S o i l é H
Observe a tabela de Pitágoras.
3 6 9 12 …
4 8 12 16 …
5 10 15 20 …
n o o t r a C a r t s u l I
Qual é a soma de todos os números da vigésima linha? 240 60 80 100 240
198
Observe o papagaio de papel e calcule x e y . (unidade: cm) 45 cm; 53 cm 36
y x 45 y 53
x
28
75 60
Exercícios
A prateleira da secretária está perpendicular ao móvel? Justifique a resposta. 37
Não, porque 352 222 282.
Considere a figura abaixo, onde ABCD e ECGF são quadrados. 40
A
D
2 cm E
H
e r o t a n e S o i l é
H
22 cm
F
3 5 c m
6 cm
28 cm
B
Dada a tabela, localize no plano cartesiano, em função de x e y , os pontos dados (A, B, C e D). Unindo os pontos encontrados, obtém-se uma figura geométrica. Qual é o perímetro dessa figura? 38
8 2
y
A B C D
x
y
2 0 2 0
0 2 0 2
C
G
a)
Quanto mede o segmento EG?
b)
Qual é a área do triângulo ECG? 18 cm
c)
Qual é a área do quadrilátero HBGE? 66 cm
d)
Como se chama o quadrilátero HBGE?
6 2
cm 2
2
Trapézio retângulo.
(Cefet-SP) Numa embalagem cúbica de 50 cm de aresta, foi encaixada uma placa plana de papelão para separar seu interior em duas partes iguais, como mostra a figura. 41
E A D : s e õ ç a r t s u l I
x
Observe a figura e responda:
39
A
P 6 8 6 8 28 soma das bases de todos os degraus
soma das alturas de todos os degraus
6 cm
Para tanto, gastou-se, em papelão, aproximadamente: d 50 50 2
B
a) b)
8 cm
Qual é o perímetro da figura? 28 cm Qual é a distância em linha reta do ponto A ao ponto B? 10 cm
a) 0,20
m2
b) 0,25
m2
c) 0,30
m2
2
2
d 2 5 000 d 70
A 0,70 0,50 A 0,35
Responda no caderno.
0,35 m2
x d)
RELAÇÕES MÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
199
42
Desafios
Qual é o valor de x? 3
a)
x 2 62 82 x 2 100 → x = 10
3
Os lados do quadrado ABCD medem 3 2 cm. Cada um dos lados foi dividido em quatro partes congruentes, conforme a figura. Qual é a soma das medidas dos segmentos coloridos? 44
x
8
6
x
14 3 3 12
D
A
E A D : s e õ ç a r t s u l I
B
d 2 [3
24 cm
b)
S 16 6 4
x
a) Traçando a diagonal MN e calculando: (MN)2 ( 2 )2 + ( 3) 2 (MN)2 5 b) x 2 12 5 x 2
A
+
[3 2]
C
2
24
Imagine que a figura ao lado seja uma caixa de papelão em forma de bloco retangular. O segmento azul representa a vareta mais longa que pode caber dentro da caixa. Quanto mede a vareta? 26 cm 45
C
43
2
d 6
M
2
]
2
N
A
3
1
m c 4 2
6 cm
600
Observe a figura abaixo.
B
2 000
d 2 62 82 d 10
8 cm
V 2 102 242 V 26
(Fuvest-SP) Uma escada de 25 dm de comprimento se apoia num muro do qual seu pé dista 7 dm. Se o pé da escada se afastar mais 8 dm do muro, qual o deslocamento verificado pela extremidade superior da escada? 4 dm 46
• Altura da montanha A: 2 800 m
• Altura da montanha B: 2 200 m • Distância entre as montanhas: 2 km
Qual é o comprimento do cabo de aço do (AB) 2 000 600 teleférico? 2 088 m AB 2 088 2
2
e r o t a n e S o i l é H
A
A
2
C
No AOB: x 2 252 72 ⇒ x 24 No COD: y 2 252 152 ⇒ y 20 Deslocamento: AC 24 20 4
B y
x
m d 5 2
2 km D
200
8 dm
B
7 dm
O
e r o t a n e S o i l é H
Anote, em seu caderno, o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta.
Autoavaliação Exercícios 47
x
Qual é o valor de h?
a) 1,8
m
b) 2,0
m
c)
50
a) 10 h2 (3,2)2 42 h2 16 10,24 h 2,4
20 cm
4m
h e r o t a n e S o i l é H : s e õ ç a r t s u l I
m
3,2 m
Um bambu partiu-se a uma altura de 4 m do chão, e a parte de cima, ao cair, tocou o chão, a uma distância de 3 m da base do bambu. Qual era a altura do bambu antes de partir-se? a) 7 m 48
b)
5m
c)
8m
x d)
cm
x b)
2,4 m
d) 2,8
Qual é o diâmetro do círculo?
4m
d 2 42 32 d 5
c) 14
cm
d) 28
cm
O
E A D
6 cm 8 cm
(Ceetesp-SP) A medida da diagonal da tela de uma televisão determina as polegadas da TV. Uma televisão cuja tela mede 30 cm por 40 cm possui: 51
d 2 302 402 d 50
50 2,5 20
Lembrete!
1 polegada 2,5 cm a) 16
polegadas
b) 18
polegadas
x c)
20 polegadas
d) 29
polegadas
5 4 9
9m
k c o t s r e t t u h S / l u k n o y r a l e e L
3m
(Furb-SC) Uma pessoa está caminhando em volta de uma praça retangular de medidas 60 m 40 m. Após 20 voltas completadas, ela para no mesmo ponto em que havia iniciado (Banca de Revista). Resolve, então, tomar um sorvete, atravessando a praça em sua diagonal. 49
n o o t r a C a r t s u l I
d2 602 402 d 72
Sorveteria
o c i g á M s i p á L
Banca de Revista
Dessa forma, o número total de metros que ela caminhou foi: 200 20 72 4 072 x c) 4 072 m a) 2 400 m
b)
3 560 m
d)
6 054 m
(Univali-SC) Dois pedreiros, João e Luís, estavam discutindo sobre as medidas dos lados de um triângulo (esquadro) mais adequadas para utilizar em uma obra. João disse que as medidas deveriam ser 4,5 m; 2,7 m e 3,6 m. Luís afirmava que as medidas deveriam ser 9 m, 5,4 m e 7,2 m. Um engenheiro foi chamado para resolver o impasse, concluindo, corretamente, que: 52
a)
só o triângulo do João é retângulo.
b)
só o triângulo do Luís é retângulo.
c)
nenhum dos dois triângulos é retângulo. os dois triângulos são retângulos.
x d) (4,5)2 (2,7)2 (3,6)2 92 (5,4)2 (7,2)2
RELAÇÕES MÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
201
(Ufla-MG) Qual deve ser a altitude do balão para que sua distância do topo do prédio x 8 10 seja de 10 km? x 6
(UFRGS-RS) O lampião representado na figura está suspenso por duas cordas perpendiculares presas ao teto. Sabendo-se que essas cordas medem 1 e 6 , a distância do lampião ao teto é: 2 5
53
2
2
56
2
6 000 200 6 200
n o o t r a C a r t s u l I
b)
1 0 k m
c) 2 0 0 m
x d)
x b)
5 km 11 200 m
c) d)
Na figura abaixo está representada uma parte de um mapa geográfico de uma região plana. A e B são pontos dessa região. Qual das seguintes medidas mais se A aproxima do valor da distância entre os pontos A e B? m
B
500 m
x b)
c) 400
m
d) 600
m
100 m
� � �
� � �
b) 15
km
6 5
2 ⇒
x
13 10
E A D
13 h 1 10 2
6 5
⇒
h
6 13
n o o t r a C a r t s u l I
C
a)
3 2
b)
6
x c) 6
45° 2
B
18 2
3 2 3 2 6 2
100 m
(UC-BA) Na situação do mapa abaixo, deseja-se construir uma estrada que ligue a cidade A à estrada BC, com o menor comprimento possível. Essa estrada medirá, em quilômetros: 58
(Saresp) Um motorista vai da cidade A até a cidade E, passando pela cidade B, conforme mostra a figura. Ele percorreu: km
(Puccamp-SP) Para fazer o encanamento de uma residência, deve-se ligar por um cano os pontos A e B, distantes 6 m entre si. Como há uma construção no meio desse percurso, resolveu-se ligar A a C e C a B, como mostra a figura ao lado. A quantidade A mínima de metros de 45° cano necessária para fazer esse encanamento é:
d)
55
a) 41
2
57
54
a) 300
1 2 6 13 2
Observação: a figura não respeita as medidas indicadas.
6 km 6 200 m
1,3
x 2 1
8 km
a)
e r o t a n e S o i l é H
a) 1,69
h2 16 9 h 12
A
9 km
c)
A
50 d 30 40 d 24
d
(AB)2 162 122 ou (AB)2 25 16 AB 20 P 20 16 36 x d)
36 km
B
(AC) 2 402 502 AC 30
C
40 km
A B B
C
16 km E 25 km
202
e r o t a n e S o i l é H
C
50 km
x a)
24
c)
30
b)
28
d)
32
E A D
UNIDADE UNIDADE
8
Trigonometria no triângulo retângulo 1. As razões trigonométricas Na Unidade 6, determinamos a altura do mastro de uma bandeira sem medi-la diretamente. Lembram-se?
Nesta unidade, vamos também calcular a altura do prédio da escola sem medi-lo diretamente. o c i g á M s i p á L : s e õ ç a r t s u l I
Veja, na ilustração a seguir, o procedimento e as medidas que o professor Jorge anotou. Na sala de aula, ele desenhou esse triângulo: O cateto BC é um dos lados do ângulo de 40 o.
A
E A D
C
40° 15 m
e r o t a n e S o i l é H
x
BC é o cateto adjacente ao ângulo de 40 o.
B
O cateto AB é o cateto oposto ao ângulo de 40 o. 40°
40°
m 0 7 , 1
15 m
Esse triângulo é retângulo, mas só temos a medida de um ângulo e de um cateto. Não dá para aplicar as relações métricas que conhecemos. No entanto, há outras relações para descobrir. Prossiga na leitura do texto. Depois voltaremos à altura do prédio. TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
203
Traçamos dois triângulos retângulos semelhantes: ABC ~ DEF pois têm um ângulo de medida � e um ângulo reto. Identificamos em cada triângulo o cateto oposto e o cateto adjacente ao ângulo marcado. F
C
cateto oposto a �
cateto oposto a � B
� cateto adjacente a �
E
A
� cateto adjacente a �
Os lados correspondentes são proporcionais, certo?
D
Atenção!
AB AC DE DF
escrevemos “�”estaremos nos referindo
Multiplicamos os termos da proporção em cruz:
ao ângulo cuja medida é igual a �.
Para simplificar a escrita, quando
AC DE DF AB E escrevemos outra proporção: AC DF medida do cateto oposto a � medida do cateto adjacente a � AB DE Qualquer triângulo retângulo que tenha um ângulo de medida � será semelhante aos que desenhamos acima. A razão entre a medida do cateto oposto a � e a do cateto adjacente a � será a mesma em todos eles. Essa razão recebe o nome de tangente de �. Abreviadamente escrevemos tg �. Para cada medida de ângulo, de 1º a 89º no triângulo retângulo há um valor constante para a tangente. Veja na página 209 uma tabela com valores aproximados de tangentes. O triângulo ABC abaixo tem um ângulo de 35º. Observe qual é o cateto oposto e qual é o cateto adjacente ao ângulo de 35º. A
m c 5 , 3
35° B
5 cm
Calculamos a tangente de 35º fazendo: 3,5 medida do cateto oposto a 35º 0,7 medida do cateto adjacente a 35º 5 Confira na tabela de tangentes o valor de tg 35º. tg 35º
204
C
E A D : s e õ ç a r t s u l I
Agora podemos resolver o problema da altura do prédio da escola... e r o t a n e S o i l é H
A
x
C
40°
B
15 m
40° 15 m
m 0 7 , 1
40°
O triângulo ABC tem um ângulo de 40°. tg 40º 0,84
medida do cateto oposto a 40º medida do cateto adjacente a 40º
Verificamos na tabela que tg 40º
0,84.
x
15 x 0,84 · 15 x 12,6 m
Somando a essa medida 1,70 m, que é a distância do transferidor ao solo, obtemos a altura aproximada h do prédio: h 12,6 � 1,7 14,3 m
Você percebeu que a tangente nos ajudará a resolver vários problemas, não é? Ainda há mais duas relações para descobrirmos. Veja abaixo os triângulos que nos levaram à tangente do ângulo �. Podemos escrever outras duas proporções a partir dos lados correspondentes: F C s a e n u t o h i p
B
� cateto adjacente a �
s a e n u t o h i p
E A D : s e õ ç a r t s u l I
cateto oposto a �
cateto oposto a � A
E
� cateto adjacente a �
AC BC DF EF
AB BC DE EF
AC EF DF BC
AB EF DE BC
D
Assim, chegamos a uma nova proporção em cada caso: AC DF medida do cateto oposto a � medida da hipotenusa BC EF
AC DE medida do cateto adjacente a � medida da hipotenusa BC EF
Encontrando razões que serão constantes em todo triângulo retângulo que tenha um ângulo com medida �. TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
205
Essas razões também recebem nomes especiais. Chamaremos de seno de e denotaremos por sen a razão: sen � medida do cateto oposto a � medida da hipotenusa
•
Chamaremos de cosseno de e denotaremos por cos a razão: cos � medida do cateto oposto a � medida da hipotenusa
•
Assim como na tangente, para cada ângulo � de 1º a 89º há um valor único de seno e de cosseno. Observe que na tabela que você usou para achar o valor da tangente de 35º também há os valores de seno e de cosseno para os ângulos apresentados. Tabelas como essa foram usadas por muito tempo. Hoje, as calculadoras científicas determinam os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos. Se você tem acesso a uma calculadora científica... • Verifique se no visor aparece DEG: isso indica que os ângulos serão indicados em graus. • Digite, por exemplo, 24 e a tecla do seno, que em geral aparece como sin. • No visor você obterá 0,406736643
0,4067, que é o valor aproximado de sen 24°.
Confira na tabela!
Observe um exemplo no qual seno e cosseno de um ângulo dado nos permitirão encontrar medidas desconhecidas: x : cateto oposto ao ângulo de 32º. y : cateto adjacente ao ângulo de 32º. x y
E A D
sen 32º
32° y
4 cm
e cos 32º 4 4 Na tabela, sen 32º 0,53 e cos 32º
0,53 x
x
4
0,85
4
0,85 4 y
x 2,12 cm
y 3,4 cm
A hipotenusa é sempre o lado de maior medida no triângulo retângulo. Por isso, o quociente entre a medida de um cateto e a medida da hipotenusa é sempre um número menor que 1. Se � é a medida de um ângulo agudo do triângulo retângulo, temos que sen � 1 e cos � 1. 206
y
0,53 4 x
Importante!
0,85.
Estamos arredondando os valores da tabela para 2 casas decimais.
e r o t a n e S o i l é H
As razões tangente, seno e cosseno de um ângulo são chamadas razões trigonométricas . A palavra “trigonometria” vem do grego: trigono: três ângulos metria: medida
Isso não quer dizer que os gregos descobriram essas relações. C omo quase tudo em Matemática, a trigonometria não teve um “inventor”. Além dos gregos, outros povos, como egípcios, babilônios, hindus e árabes, durante séculos investigaram e aplicaram essas razões para resolver problemas. Falando em problemas, aplicaremos a trigonometria para resolver dois deles. n o o t r a C a r t s u l I
1. Uma madeireira doará pranchas para construir uma rampa com plataforma que será usada numa apresentação de manobras com bicicleta no clube do bairro. A partir do esboço ao lado, podemos calcular o comprimento das rampas. No triângulo retângulo destacado abaixo, 1,80 m é a medida do cateto oposto ao ângulo de 37°, e o comprimento x da rampa corresponde à hipotenusa. E A D
medida do cateto oposto ao ângulo de 37° medida da hipotenusa
sen 37°
x
1,80 m
37°
c s i d o t o h P
Consultando a tabela de razões trigonométricas, encontramos: sen 37°
0,6018
0,6
0,6 1,8 x
0,6 x 1,8 x
1,8 3 0,6
Portanto, cada rampa deve ter 3 metros de comprimento. TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
207
n o o t r a C a r t s u l I
2. Marcelo possui um terreno em forma de trapézio, que pretende cercar com tela de arame. A partir das medidas anotadas no desenho, é possível calcular x e y e descobrir o perímetro do terreno. Traçando o segmento AH perpendicular às bases (lados paralelos) do trapézio, obtemos o triângulo retângulo AHB. Veja na representação abaixo.
tg 70o
x medida do cateto oposto a 70º medida do cateto adjacente a 70º 13
Consultando a tabela, temos tg 70° 2,75
2,7475
2,75
D
47 m
A E A D
x
13
x
x
y
x 2,75 13 70°
x 35,75 m
C
47 m
cos 70o medida do cateto adjacente ao ângulo de 70º 13 medida da hipotenusa y Na tabela, cos 70º
0,3420
0,34
0,34
13 y
0,34 y 13 y
13 0,34
y 38,24 m
Agora é só encontrar o perímetro do terreno. Perímetro 60 � 38,24 � 47 � 35,75 180,99 Logo, Marcelo precisará de, aproximadamente, 181 m de tela para cercar o terreno.
208
H 13 m B
Tabela das razões trigonométricas de 1o a 89o (arredondamentos para quatro casas decimais) Ângulo 1o 2o 3o 4o 5o 6o 7o 8o 9o 10o 11o 12o 13o 14o 15o 16o 17o 18o 19o 20o 21o 22o 23o 24o 25o 26o 27o 28o 29o 30o 31o 32o 33o 34o 35o 36o 37o 38o 39o 40o 41o 42o 43o 44o 45o
Seno 0,0175 0,0349 0,0523 0,0698 0,0872 0,1045 0,1219 0,1392 0,1564 0,1736 0,1908 0,2097 0,2250 0,2419 0,2588 0,2756 0,2924 0,3090 0,3256 0,3420 0,3584 0,3746 0,3907 0,4067 0,4226 0,4384 0,4540 0,4695 0,4848 0,5000 0,5150 0,5299 0,5446 0,5592 0,5736 0,5878 0,6018 0,6157 0,6293 0,6428 0,6561 0,6691 0,6820 0,6947 0,7071
Cosseno Tangente 0,9998 0,0175 0,9994 0,0349 0,9986 0,0524 0,9976 0,0699 0,9962 0,0875 0,9945 0,1051 0,9925 0,1228 0,9903 0,1405 0,9877 0,1584 0,9848 0,1763 0,9816 0,1944 0,9781 0,2126 0,9744 0,2309 0,9703 0,2493 0,9659 0,2679 0,9613 0,2867 0,9563 0,3057 0,9511 0,3249 0,9455 0,3443 0,3640 0,9397 0,9336 0,3839 0,9272 0,4040 0,9205 0,4245 0,9135 0,4452 0,9063 0,4663 0,8988 0,4877 0,8910 0,5095 0,8829 0,5317 0,8746 0,5543 0,8660 0,5774 0,8572 0,6009 0,8480 0,6249 0,8387 0,6494 0,8290 0,6745 0,8192 0,7002 0,8090 0,7265 0,7986 0,7536 0,7880 0,7813 0,7771 0,8098 0,7660 0,8391 0,7547 0,8693 0,7431 0,9004 0,7314 0,9325 0,7193 0,9657 0,7071 1,0000
Ângulo 46o 47o 48o 49o 50o 51o 52o 53o 54o 55o 56o 57o 58o 59o 60o 61o 62o 63o 64o 65o 66o 67o 68o 69o 70o 71o 72o 73o 74o 75o 76o 77o 78o 79o 80o 81o 82o 83o 84o 85o 86o 87o 88o 89o
Seno 0,7193 0,7314 0,7431 0,7547 0,7660 0,7771 0,7880 0,7986 0,8090 0,8192 0,8290 0,8387 0,8480 0,8572 0,8660 0,8746 0,8829 0,8910 0,8988 0,9063 0,9135 0,9205 0,9272 0,9336 0,9397 0,9455 0,9511 0,9563 0,9613 0,9659 0,9703 0,9744 0,9781 0,9816 0,9848 0,9877 0,9903 0,9925 0,9945 0,9962 0,9976 0,9986 0,9994 0,9998
Cosseno Tangente 0,6947 1,0355 0,6820 1,0724 0,6691 1,1106 0,6561 1,1504 0,6428 1,1918 0,6293 1,2349 0,6157 1,2799 0,6018 1,3270 0,5878 1,3764 0,5736 1,4281 1,4826 0,5592 0,5446 1,5399 0,5299 1,6003 0,5150 1,6643 0,5000 1,7321 0,4848 1,8040 0,4695 1,8807 0,4540 1,9626 0,4384 2,0503 0,4226 2,1445 0,4067 2,2460 0,3907 2,3559 0,3746 2,4751 0,3584 2,6051 0,3420 2,7475 0,3256 2,9042 0,3090 3,0777 0,2924 3,2709 0,2756 3,4874 0,2588 3,7321 0,2419 4,0108 0,2250 4,3315 0,2079 4,7046 0,1908 5,1446 0,1736 5,6713 0,1564 6,3188 0,1392 7,1154 0,1219 8,1443 0,1045 9,5144 0,0872 11,4301 0,0698 14,3007 0,0523 19,0811 0,0349 28,6363 0,0175 57,2900
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
209
Exercícios 1
Considere o triângulo abaixo.
Calcule x em cada um dos triângulos retângulos. 4
E A D : s e õ ç a r t s u l I
a)
A sen 24°
x a
x
10 x 10 0,4067
10 b
x 4,067
24°
C
B
�
A
b)
c
a) Qual é a hipotenusa? a
x
b) Qual é o cateto oposto a �? b
tg 40°
120
C
d) Qual é o cateto oposto a ? c
x 100,692
B
c)
A
e) Qual é o cateto adjacente a ? b
cos 28° x 17 x 17 0,8829
17
No triângulo retângulo da figura, calcule os valores de: C 2
a) sen A
6 10
0,6
b) cos A
8 10
0,8
Å
Å
c) tg A Å
6 8
0,8
e) cos C
6 10
0,6
f ) tg C Å
8 6
x
9
cos 40°
8 cm
B
B
x
C
Veja a figura abaixo. Pode-se tombar a árvore em direção à casa, sem atingir a construção? 38° 0,7880 0,7813
74° 0,9613 3,4874
Não. A altura da árvore é de 25,6 m.
56° 0,8290 0,5592
25°
tangente
0,6157 0,2756
52°
1,4826
20 m tg 52° x 20 x 1,2799 20
210
9
5
1,333...
Consulte a tabela trigonométrica e complete o quadro no caderno.
cosseno
x
x 6,894
40°
3
seno
x 9 0,7660
A
0,4226 0,9063 0,4663
B
A
0,75
8 10
Å
C
6 cm
d) sen C Å
x 15,009
28°
d)
x
120 x 120 0,8391
40°
c) Qual é o cateto adjacente a �? c
x 25,598 (aprox.)
e r o t a n e S o i l é H
Uma escada medindo 3 m precisa fazer um ângulo de 40° com a parede para que não escorregue. A que distância o pé da escada precisa ficar da parede? 1,93 m (aproximadamente)
Use a calculadora. Sugerimos a você que calcule o valor do seno e do cosseno de alguns ângulos e compare-os com os da tabela apresentada na página 209 do livro.
6
8
Observe a figura e calcule a medida do ângulo que a escada faz com o solo. 76° 9
tg x 4,8 1,2
40o
⇒
tg x 4
e r o t a n e S o i l é H : s e õ ç a r t s u l I
m 3
sen 40o
x 76°
⇒
x
x
3
4,8 m
x 0,6428 3 1,928
A torre Eiffel, a maior antes da era da televisão, foi concluída em 31 de março de 1889. Veja a figura e determine a altura dessa torre. 7
324 m
1,2 m 10 Veja
a figura abaixo. A lâmpada está a 3 m do chão e lança um cone de luz de “abertura” igual a 50°. Qual é a medida do raio do círculo de luz no chão? 3,57 m
50°
tg 50° x 3
x
tg 70º 117,9 x 2,7475 117,9 x 324
x 1,1918 3 3,5754
⇒
Um dos ângulos de um triângulo retângulo é �. Se tg � 2,4, as medidas dos lados desse triângulo são proporcionais a:
11
a) 12, 35, 37 b) 30, 40, 50
70° 117,9 m
x
c) 50, 120, 130 d) 80, 150, 170
Responda no caderno. 2,4 24 10
120 50
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
211
2. As razões trigonométricas e os ângulos de 30o, 45o e 60o A diagonal d é eixo de simetria do quadrado de lado : divide o ângulo reto em dois ângulos de 45 o.
D
A
E A D
Sobre a Trigonometria
d M 2
Como já dissemos, a palavra trigonometria vem do grego e significa “medida de triângulos”. O desenvolvimento deste ramo da Matemática está ligado a Astronomia, navegação, cartografia, entre outros. Você prosseguirá com o estudo da Trigonometria no Ensino Médio e terá a oportunidade de aplicar estes conhecimentos na Física, por exemplo.
45° 45° C
B
Já descobrimos, pelo teorema de Pitágoras, que O triângulo ABC é retângulo. Vamos calcular: sen 45º
sen 45º
d 2 .
medida do cateto oposto ao ângulo de 45º medida da hipotenusa
2
1 1 2 ou 2 2 2
2 2
racionalizando o denominador
Na tabela, sen 45º
0,7071.
Numa calculadora, digitando 2
2 para calcular
0,7071 é uma aproximação racional para sen 45º e
2 , obtemos 0,7071067. 2
2 é o valor exato de sen 45º. 2 Valor exato de cos 45º.
Ainda no triângulo ABC: cos 45º medida do cateto adjacente ao ângulo de 45º medida da hipotenusa tg 45º
medida do cateto oposto a 45º medida do cateto adjacente a 45º
2
1 2
2 2
1
Há situações em que é melhor trabalhar com valores exatos de seno e de cosseno de 45º. 212
Podemos obter também, a partir do triângulo equilátero, os valores exatos das razões trigonométricas para os ângulos de 30 o e de 60o. A
Acompanhe:
60°
Um triângulo equilátero tem três ângulos de 60 o. Traçamos a altura AH que está num dos eixos de simetria do triângulo equilátero de lado , obtendo o triângulo retângulo AHB. Lembrando que a altura de um triângulo equilátero de lado é h
3 , temos: 2
60°
60°
C
o • sen 60o medida do cateto oposto ao ângulo de 60 medida da hipotenusa
2
sen 60o
A
3
3 1 3 2 2
medida do cateto adajacente ao ângulo de 60 o • cos 60 medida da hipotenusa
60° C
2
2
1
H
B
2
1 2
medida do cateto oposto a 60 o medida do cateto adjacente a 60 o
• tg 60 o
tg 60o
60°
2
h
o
cos 60o
E A D : s e õ ç a r t s u l I
30° 30°
B
3 2
3 2 3 2
2 Faça dupla com um colega. Determinem, a partir do triângulo AHB, os valores exatos de sen 30 o, cos 30o e tg 30o. Copiem e completem a tabela abaixo no caderno. Lembrem-se da racionalização!
ângulo
sen
cos
tg
30o
o
45
60o
1 1 2 2
2 2 3 2
3 22
2 2 1 2
3 33
1
3
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
213
Vamos usar o valor exato de sen 60 o para estabelecer uma relação matemática. Com régua, compasso e transferidor, faça junto. A
r
E A D : s e õ ç a r t s u l I
120°
C
120°
120° O r
• Traçamos uma circunferência de centro O e raio r qualquer. • Como 360o 3 120 o, construindo três ângulos de 120 o com vértice em O, dividimos a circunferência em três partes iguais e traçamos o triângulo equilátero ABC.
r
B
Esse triângulo está inscrito na circunferência: seus vértices são pontos da circunferência. Vamos descobrir qual é a relação entre o raio r da circunferência e a medida do lado do triângulo.
OB OC r
O triângulo OBC é isósceles de base BC. Traçamos a altura OH relativa à base. OH está no eixo de simetria do triângulo OBC. Obtivemos o triângulo OHB retângulo.
O 60°
r
r
30° C
30°
H
2
B
2
HÔB mede 60 o (metade de 120 o). sen 60o medida do cateto oposto ao ângulo de 60º medida da hipotenusa
3 2 2 r 2
2
r
r
3
3
Um triângulo equilátero de lado 4 3 cm está inscrito numa circunfe-
Por exemplo, se a circunferência tiver raio de 5 cm, o lado do triângulo equilátero inscrito nessa circunferência medirá 5 3 cm.
214
rência de raio r . Descubra, usando cálculo mental, qual é a medida r . 4 cm
Exercícios Calcule o valor de x em cada um dos triângulos retângulos.
Uma escada de 8 m é encostada em uma parede, formando com ela um ângulo de 60°. A que altura da parede a escada se apoia? 4 m
12
15
A
a)
sen 30
o
8
x
1 2
o
30
C
b)
B
cos 45o
x 45o B
13
C
10
x
8
⇒
1 2
x
8
⇒
x 4 e r o t a n e S o i l é H
8
x
8
x 4
A 2 2
• cos 60o
x
x
10
60°
x
10
8 m
x 5 2
Qual é a altura do prédio? 20
3 m n o o t r a C a r t s u l I
Para permitir o acesso a um monumento que está em um pedestal de 1,5 m de altura, será construída uma rampa com inclinação de 30° com o solo, conforme a ilustração.
16
n o o t r a C a r t s u l I
30° 60 m x
tg 30o 60
⇒
3 3
x
60
x 20 3
⇒
Um avião levanta voo sob um ângulo de 30° em relação à pista. Qual será a altura do avião quando este percorrer 4 000 m em linha x reta? 2 000 m sen 30º 4 000 14
1,5 m 30°
1 x 2 4000 x 2000
n o o t r a C a r t s u l I
m 0 0 0 4
x
Qual será o comprimento da rampa? 3 m Calcule o perímetro da figura, considerando 3 1,7. 58,2 12 17
h6
30°
h
30o
sen 30º h 12 1 h 2 12
15 12
30o
a E A D : s e õ ç a r t s u l I
a
cos 30o 12 3 a 12 2 a6 3 p 12 � 15 � 10,2 � 15 � 6 58,2
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
215
Revisando 18
y
Calcule x e y .
sen 30º 6 sen 30o x 10
a)
(Unama-PA) A figura abaixo representa um barco atravessando um rio, partindo de A em direção ao ponto B. A forte correnteza arrasta o barco em direção ao ponto C, segundo um ângulo de 60°. Sendo a largura do rio de 120 m, qual é a distância percorrida pelo barco até 120 o ponto C? 240 m • cos 60º AC 21
y 3
⇒
x 5
⇒
4 x
6
y
30°
B
Uma escada rolante liga dois andares de um shopping e tem uma inclinação de 30°. Sabendo-se que a escada rolante tem 12 metros de comprimento, calcule a altura de um andar h sen 30º 12 para o outro. 6 m h
C
19
0,5 12 h 6
o i l é H
60° e r o t a n e S o i l é H
2 m 1
h
e r o t a n e S
A
Duas rodovias, A e B, encontram-se em O, formando um ângulo de 30°. Na rodovia A existe um posto de gasolina que dista 5 km de O. A que distância o posto se encontra da outra rodovia? 2,5 km 22
A
30°
5 k m
30°
Calcule a altura do balão de gás, considerando 3 1,7. 85 m
d O
d
sen 30º 5 d 0,5 5 d 2,5
20
B
A pirâmide de Quéops, uma das Sete Maravilhas do Mundo, é uma pirâmide quadrangular regular cuja aresta da base mede 230 m. O ângulo que o apótema de uma face lateral forma com a base é de, Quéops, uma das pirâmides de Gizé, aproximadano Egito. mente, 52°. Calcule a altura da pirâmide. 23
h h
tg 60º 50 3 h 50 h
1,7 50
⇒
h 85
◆
52°
60º
O 50 m
216
c s i d o t o h P
h
tg 52º 115
147,18 m (aproximadamente)
E A D : s e õ ç a r t s u l I
Uma pessoa tem um terreno com o seguinte declive: 24
n o o t r a C a r t s u l I
8m
Um copo tem 12 cm de altura e dentro dele há um canudinho. Qual é o comprimento aproximado desse canudinho sabendo que 6 cm dele estão fora do copo? 21 cm 27
sen 53° = 12
30°
x
e r o t a n e S o i l é H
12 cm 53°
x 15
⇒
15 + 6 = 21
O sinal que se encontra representado na figura significa que em cada 100 m medidos na horizontal a estrada desce 10 m, o que representa um perigo considerável. 28
Ela quer construir um muro para nivelar o terreno. Que altura deverá ter o muro? 4 m • sen 30º m8 n o o t r a C a r t s u l I
e r o t a n e S o i l é H
C 10 m
�
A
B
100 m
Qual é a medida do ângulo �?
• tg � = 10 = 0,1 100 Assim � 6°.
Aproximadamente 6°.
Calcule o perímetro do retângulo, considerando 3 1,7. 21,6 m 25
a
cos 60º 8 a 1 2 8 a 4
E A D
Uma escada apoiada em uma parede de um prédio, num ponto que dista 8 m do solo, forma com essa parede um ângulo de 21°. 29
p 2 4 � 2 6,8 p 8 � 13,6 p 21,6
e r o t a n e S o i l é H
h
sen 60º 8 3 h 8 2 h 4 3 h 6,8
m 8
60°
21°
Determine a que altura se encontra o papagaio do solo, sabendo que a mão do garoto dista do solo 1,2 m. 70,48 m 26
n o o t r a C a r t s u l I
m 0 8
h
60°
a) A que distância do prédio está o pé da escada? x 3 m (aproximadamente)
• tg 21º
8
x 0,3839 8 3,0712
⇒
b) Qual é o comprimento da escada? 0,866 80 � 1,2 70,48
8,54 m (aproximadamente)
• c 2 (3,07)2 � 82 c 8,54
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
217
30
Desafios
Observe a figura: n o o t r a C a r t s u l I
1 , 5 m
x 30°
a) 1 minuto e 40 segundos
y 1,5
sen 30º x
(Vunesp) A figura representa um teleférico que será construído para transportar pessoas do ponto P até uma altura de 100 metros em relação ao solo. Sabendo-se que o cabo ficará perfeitamente reto e esticado e que a velocidade das cadeiras ao longo do cabo será constante e igual a 1 metro por segundo, o tempo de deslocamento do ponto P até o ponto mais alto será, aproximadamente, igual a: 32
• sen 30° = 100 x
b) 2 minutos e 10 segundos x 3
⇒
c) 2 minutos e 50 segundos
a) Qual é o comprimento da rampa? 3 m b) Qual é a distância do início da rampa ao y 3 3 y • cos 30º 2,55 barranco? 2,55 m 3 2 ⇒
x d) 3
x = 200
minutos e 20 segundos
(Saresp) O prisma reto triangular da figura abaixo tem altura de 10 dm. 31
5 dm �
b
a 10 dm 30°
P E A D
Qual era a altura deste pinheiro? (Considere 3 1,7.) 16,99 m 33
Sua base é um triângulo retângulo, conforme o desenho apresentado abaixo. 5 dm
E A D
�
b
e r o t a n e S o i l é H : s e õ ç a r t s u l I
y
a
x
Considerando sen � 0,6 e cos � 0,8, a área lateral do prisma é, aproximadamente: a) 130 dm2
x c) 120
b) 110 dm2 a
sen � 5 b
⇒
d) 80 dm2 a 3
b 4 cos � 5 A (3 � 4 � 5) 10 120
218
⇒
dm2
30° 10 m 10 cos 30º y x
tg 30º 10
⇒
⇒
Então: x � y 16,99
3 2 3 3
10
y
x
10
y
⇒
x
⇒
20 3 3 10 3 3
⇒
⇒
y
34 3
x 5,66
11,33
Autoavaliação (Saresp) Um avião levanta voo sob um ângulo de 30° em relação ao solo. Após percorrer 9 km em linha reta, sua altura h em relação ao solo será de: 34
Anote, em seu caderno, o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta.
(Ceeteps-SP) Numa pousada isolada, instalada na floresta, um lampião está suspenso na parede conforme a figura a seguir: 37
e r o t a n e S o i l é H
n o o t r
a C a r t s u l I
sen 30º = 0,50 cos 30º = 0,87 tg 30º = 0,58 C
m 9 k
h
x 60 cm B
30° 30° A
x
h
a) 1 530 m
sen 30º 9 000
c) 7 200 m
b) 4 500 m
h 4 500
d) 8 700 m
Um prédio projeta uma sombra de 40 m quando os raios solares formam um ângulo de 45° com o solo. A altura desse prédio é: 35
x
a) 40 m tg 45º
h
40
b) 80 m h 40
A hipotenusa do triângulo ABC formado e o 60 ângulo x medem, respectivamente: sen 30º = h
c) 56 m
a) 87 cm e 30°
d) 28 m
b) 87 cm e 60°
h =
120
c) 120 cm e 30° x d) 120
cm e 60°
Observe a figura abaixo e determine a altura h do edifício, sabendo que AB mede 25 m e sen 0,6. 38
e r o t a n e S o i l é H
n o o t r
a C a r t s u l I
45° B 40 m
(FCC-SP) Uma escada apoiada em uma parede, num ponto que dista 4 m do solo, forma, com essa parede, um ângulo de 60°. O comprimento da escada, em metros, é: 36
a) 2 b) 4
cos 60° 1 2
x 8
x c)
8
d) 16
4 x
4 x
60°
n o o t r a C a r t s u l I
h
A
4m
h
x a) h 15
b) h
20
m m
sen 25 0,6 h 15
h
25
c) h
12,5
m
d) h
18,5
m
TRIGONOMETRI A NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
219
(UMC-SP) A medida da frente para a rua A, do lote de terreno sombreado na planta da quadra triangular da figura abaixo, em metros, é igual a: 39
n o o t r a C a r t s u l I
(Cefet-PR) Durante uma tempestade, um poste de 9 m de altura quebra-se e, ao cair, forma com o solo um triângulo retângulo. A parte quebrada forma com o solo um ângulo de 30°. O comprimento da parte que ficou fixa ao solo é, em m: 41
x a)
3
x
b) 4
9 – x
c) 5
30°
d) 6
sen 30°
x
9 x
x 3
a A R u
(Ceeteps-SP) A informação pode evitar doenças: 42
30° 10 m
Rua B
x
a) 5 3 b) 10
c) 10 3
30° 10
3 3
x d)
10 cos 30º x 20 20 3 x 3 3
20 3 3
“Para evitar a contaminação da água pela fossa, deve-se construí-la distante, no mínimo, 20 m do poço de água.”
Observando o esquema abaixo, podemos concluir que a construção da fossa e do poço está:
(ETF-SP) As altitudes (altura em relação ao nível do mar) em que estão dois pontos A e B são, respectivamente, 812 m e 1 020 m. Do ponto A vê-se o ponto B sob um ângulo de 30° com o plano horizontal (conforme figura). 40
Considere: sen 30° 0,5 cos 30° 0,8 tg 30° 0,6 d distância do poço à fossa.
B
30°
� � 15 m � � �
30° d
A FOSSA
A distância entre os pontos A e B é: a) 400 m x
b) 416 m 3 m c) 208M 416M 3 d) m 3 220
e r o t a n e S o i l é H : s e õ ç a r t s u l I
208 sen 30º AB AB 416
POÇO
a) correta, pois a distância do poço à fossa é de 20 m. b) incorreta, pois a distância do poço à fossa é de 15 m. c) correta, pois a distância do poço à fossa é de 22 m. x d)
correta, pois a distância do poço à fossa é de 15 tg 30º d 25 m. d
15 0,6
25
UNIDADE UNIDADE
9
Círculo e cilindro 1. Área do círculo Rodas, bordas de xícaras e copos, engrenagens... As formas circulares aparecem com frequência nas construções e nos objetos presentes em nosso mundo. k c o t s k n i h T / e t y b k c o t S
c s i d o t o h P
s i a r o M o i c i r u a M
A Matemática fornece conhecimentos para que possamos utilizar melhor essas formas em nosso dia a dia. Você já sabe que a circunferência é uma linha formada por todos os pontos do plano que estão a uma mesma distância de um ponto fixo, que é o centro da circunferência.
O r
r
Ponto O: centro da circunferência r : raio da circunferência
Todos os pontos da circunferência distam r de O. Você também sabe que o comprimento C de uma circunferência de raio r pode ser calculado pela relação C 2 r . Juntando à circunferência os pontos do seu interior, obtemos um círculo. O círculo ocupa uma superfície. A medida dessa superfície é a área do círculo.
E A D : s e õ ç a r t s u l I
CÍRCULO E CILINDRO
221
Em muitas situações é preciso calcular a área do círculo. Para calcular a área de um jardim circular de 6 m de diâmetro, Sérgio fez a representação abaixo.
O quadrado tem 36 m2 de área. A área do círculo é menor do que a do quadrado...
o c i g á M s i p á L
Sérgio desenhou um círculo inscrito num quadrado. O lado do quadrado é igual ao diâmetro do círculo.
Ele estimou a área do círculo em
3 4
da área do quadrado.
Em seguida calculou: 3 4
de 36 27 e concluiu que a área aproximada do círculo é de 27 m 2.
Dependendo da situação, uma aproximação como essa pode ser suficiente. No entanto, em algumas situações é necessário obter um valor mais preciso para a área do círculo. O ideal é encontrar uma fórmula que permita calcular a área do círculo. Podemos obter essa fórmula partindo da ideia de Sérgio: aproximação por áreas já conhecidas. A área do retângulo, por exemplo. Acompanhe: ✓ Recorte
em papel sulfite um círculo de 5 cm de raio. ✓ Divida-o em doze partes iguais, como você vê na figura. ✓ Recorte e cole cada uma dessas doze partes sobre uma outra folha de papel, obtendo a forma abaixo. ✓ Uma das partes deve ser cortada ao meio e encaixada nas extremidades.
30º
E A D : s e õ ç ar t s u l I
A superfície do círculo que você traçou foi reorganizada, mas conservada. Repare que a área do círculo se aproxima da área de um retângulo. Se dividíssemos o círculo em 24 partes iguais e fizéssemos a mesma montagem, as áreas fic ariam mais próximas. Com 48 partes iguais, ficariam mais próximas ainda. Continuando esse processo indefinidamente, chegaríamos a áreas praticamente iguais. 222
A área do círculo seria igual à área de um retângulo com comprimento C (metade do comprimento da 2 circunferência do círculo) e largura r (raio do círculo). A área do retângulo é obtida multiplicando a medida do comprimento pela medida da largura.
r
C 2
Nesse retângulo: A C
r
2
Como C 2 r , A 2 r
r
2
A r 2 Obtivemos a fórmula da área do círculo de raio r . A r 2
Voltemos ao Sérgio e seu jardim. O raio do jardim circular é de 3 m. Aplicando a fórmula A r 2, temos A 9 9 m2. Adotando 3,14, A 9 3,14 28,26 m2.
A área do círculo é igual a vezes a medida do quadrado de seu raio.
Usando a criatividade, Sérgio conseguiu uma boa aproximação para a área do jardim! o c i g á M s i p á L
Vamos trabalhar com situações que envolvem a área de círculos?
5 cm
100 cm E A D : s e õ ç a r t s u l I
1. Uma máquina recorta, de placas retangulares de papel de 100 cm por 80 cm, círculos com 5 cm de diâmetro para fazer forminhas de doce. (Veja o esquema ao lado.) Esquema representativo dos cortes circulares.
m c 0 8
Observe que sobra espaço entre os círculos, ou seja, uma parte da placa não é aproveitada para as forminhas. Mas a empresa não perde esse papel; ela o recicla! Podemos calcular quantos centímetros quadrados serão reciclados por placa. CÍRCULO E CILINDRO
223
Os círculos recortados pela máquina têm 5 cm de diâmetro. 100 : 5 20 e 80 : 5 16 20 16 320 A máquina recorta 320 círculos em uma placa. A área de cada círculo é A r 2 3,14 2,5 2 A 19,625 cm2 A área de 320 círculos é A
Confira com uma calculadora!
320 19,625 6 280 cm2.
A área da placa é A p 100 80 8 000 cm2. Subtraindo da área da placa a área dos 320 círculos, obtemos a área de material não utilizado:
É bastante! Em cinco placas, sobram 8 600 cm2 de papel. Isso corresponde a uma área maior do que a de uma placa! Ainda bem que o papel pode ser totalmente reciclado!
8 000 – 6 280 1 720 cm2 Então, os retalhos que sobram em cada placa somam uma área de 1 720 cm2.
2. Marina adora decorar seu caderno com figuras que ela mesma inventa. Observe ao lado uma de suas criações. Com as dicas do desenho você pode reproduzir a figura em seu caderno, usando régua e compasso. Vamos calcular a área dessa figura? Para obter a figura, Marina traçou os semicírculos I e II .
I II
E A D
2 cm
A área de um semicírculo é igual à metade da área do círculo que o originou. O raio do semicírculo I mede 2 cm. Então, AI
22
2
2 cm2
O raio do semicírculo II mede 1 cm. Então: AII
12
2
2
Podemos deixar para substituir por 3,14 no final!
cm2
Subtraindo a área do semicírculo II da área do semicírculo I , obtemos a área da figura: 3 Afigura 2 cm2 2
Fazendo 224
2
3,14 e efetuando os cálculos: A figura 4,71 cm2.
o c i g á M s i p á L : s e õ ç a r t s u l I
3. Quando traçamos duas circunferências de mesmo centro e raios diferentes, determinamos uma região plana, chamada coroa circular (como você vê na área colorida da ilustração).
1. Faça
s e g r o B o d r a c i R
dupla com um co-
lega e descubram como calcular a área da coroa O
3 cm
circular à esquerda. 2. Você
m 2 c
15,7 cm2
é capaz de citar ob-
jetos cuja forma lembre uma coroa circular? Resposta pessoal.
4. Já conhecemos os setores circulares , que são regiões do círculo.
Um setor circular ocupa uma superfície: apresenta área. A cada setor circular corresponde um ângulo central. Saiba o que gasta mais energia elétrica em casa ferro elétrico 7%
chuveiro elétrico 30%
outros 13% r
O
geladeira 30% setor circular
lavadora 5%
lâmpadas 15%
Cada região do gráfico é um setor circular.
• Dobrando a medida do ângulo central, a área do setor circular correspondente a ele também dobra. • Triplicando a medida do ângulo central, a área do setor circular correspondente a ele também triplica, e assim por diante.
E A D : s e õ ç a r t s u l I
Há proporcionalidade direta entre a medida do ângulo central do setor circular e a área desse setor.
CÍRCULO E CILINDRO
225
Aplicaremos a proporcionalidade entre a área do círculo e a área do setor circular para calcular a área do setor circular destacado na figura.
Área do setor circular: x Área do círculo onde está o setor
r 2
16 cm2.
45º
Ângulo central correspondente ao setor circular: 45º.
4 cm
E A D : s e õ ç a r t s u l I
Ângulo central correspondente ao círculo: 360º. x
16
x
16
1
45º 360º8
1 8
1. Desmonte
V a l é r i a V a z
um chapeuzi-
nho de festa como este da
8 x 16 x
fotografia. Tome cuidado para não rasgá-lo. Você
16 8
obterá a planificação da superfície lateral de um
x 2 ou x 6,28
cone, que tem a forma de um setor circular.
Área do setor circular: 6,28 cm
2 2. Meça
a n o l e c r a B / ó r i M o ã ç a d n u F
o raio do círculo a que pertence o setor e o
ângulo central . Usando a proporcionalidade, calcule quantos centímetros quadrados de papel são necessários para confeccionar o chapeuzinho.
r
Veja na fotografia ao lado as formas circulares presentes em uma obra de arte.
◆
226
Joan Miró. A carícia de um pássaro, 1967.
Exercícios Utilizando a unidade destacada no canto superior, indique um valor aproximado para a área de cada figura colorida. 1
AQ 42 16 AC 3,14 22 12,56 Ar 28,56 cm2
Calcule a área do tampo de madeira da mesa representado na figura. 28,56 cm 4
2
E A D : s e õ ç a r t s u l I
4 cm
3
4 cm
28
Os dois azulejos da figura são quadrados com 20 cm de lado. Calcule a área da parte colorida em cada um deles. 5
AQ 202 400
a)
2 AC 3,14 20 314 4 AS 400 – 314 86 86 cm2
250
Um CD tem 12 cm de diâmetro. Calcule sua área. 113,04 cm 2
2
AQ 202 400 AC 3,14 102 314 AF 400 314 86 86 cm2
b) s i a r o M o i c i r u a M
6
Utilizando a figura, faça as medições necessárias das moedas e complete a tabela.
Qual é a área da parte sombreada da figura? 14,13 cm2
3
a)
2 A 3,14 3 2 A 14,13
r a l u c i t r a p
o v i u q r A : s o t o F
Moedas Diâmetro Raio Perímetro Área
R$ 0,25 R$ 0,50
6 cm
h2 62 +
b)
Asc
6 cm
82 2 5 2
⇒
h 10
39,25
39,25 m2 2,5 cm 2,3 cm
1,25 cm 1,15 cm
7,85 cm 7,22 cm
4,91 cm2 4,15 cm2
8m
CÍRCULO E CILINDRO
227
Numa placa de metal retangular vão ser recortados discos de 50 cm de raio. A placa 0,785 tem 2 m por 5 m. AA 2 3,14 5 0,5 10
Calcule a área da parte colorida da figura, sabendo que o raio mede 2 cm.
7
C R
2
10
a) 2
AF 10 10 0,785 2,15
cm2
E A D : s e õ ç a r t s u l I
1
2m
1
1
3 A 4 r 2 3 2 4 2 3 A2 r 2 12 A 3 2
1
5m
a) Qual é o número máximo de discos que pob)
dem ser recortados? 10 discos
cm2
b) Qual é a área da parte da placa de metal
desperdiçada? 2,15 m
1
2
1 8
Calcule a área das figuras.
a) 18,5325 cm
1
r 2
22
2
2 cm
3 cm
11,14 cm2
AR 3 4 12 3 2 AT 2 3 2 ASC 1,5 1,125 2 A 12 + 3 + 1,125 15 + 1,125 18,5325
4 cm
b)
1
A 1 4 A 1 4 A
Uma pizza de formato circular foi dividida em 8 pedaços iguais. Se a pizza tem 30 cm de diâmetro, qual é a área do setor circular correspondente à superfície de cada uma das fatias? 11
88,31 cm2 (aprox.)
2 cm 2 cm 22 3,14 4 AQ 2 2 4 AF 8 + 3,14 11,14 AC
2 cm 2 cm
2 cm
s i a r o M o i c i r u a M
2 cm
(FCMSC-SP) Um lago circular de 20 m de diâmetro é circundado por um passeio, a partir das margens do lago, de 2 m de largura. Qual é a área do passeio? 138,16 m 9
2 A 15 8 12
706,5 8
88,31 (aprox.)
Calcule a área de cada setor, sabendo que o raio do gráfico circular é de 7 cm.
2
passeio 150° 120° lago
90°
90° 38,47 cm2 (aprox.) 120° 51,29 cm2 (aprox.) 150° 64,10 cm2 (aprox.) →
→ →
AL 102 100 AT 122 144 AP 144 100 44 138,16
228
2. Área da superfície e volume de um cilindro s e r e z n a F a r d n a S
c s i d o t o h P
o i d u t S . S . P
s i a r o M o i c i r u a M
Cite, juntamente com seus colegas, exemplos de objetos e construções onde encontramos a forma do cilindro. base
Características do cilindro circular: • É um sólido geométrico. • Suas bases são dois círculos paralelos congruentes. • Apresenta superfície lateral curva. • A altura do cilindro é a distância entre suas bases.
E A D
h (altura)
Podemos seccionar um cilindro. base Seccionar em Matemática significa cortar por um plano. Que figuras planas encontramos quando seccionamos um cilindro?
1. Que
figura plana observamos quando seccionamos um cilindro paralelamente às bases? Círculo.
2. Que
figura plana observamos quando seccionamos um cilindro perpendicularmente às bases?
Retângulo.
o t t e r o v a F o d n a n r e F : s o t o F
CÍRCULO E CILINDRO
229
Área da superfície do cilindro Já sabemos várias coisas sobre os cilindros, porém há mais a descobrir. Esta lata de molho de tomate tem a forma de um cilindro. Quanto material foi gasto para confeccioná-la? Para descobrir, precisamos calcular a área da superfície dessa lata. Você pode conseguir uma lata semelhante a essa e também fazer os cálculos. Observe que as bases são círculos. Com a régua, encontramos a medida do diâmetro das bases: d 7,0 cm. Como d 2r , o raio do círculo é r 3,5 cm.
o t t e r o v a F o d n a n r e F
Acírculo r 2
3,14 3,5 2
38,5 cm2
Como as duas bases são congruentes, Você pode usar uma calculadora! Abases 2 38,5 77 cm2 Arredonde o valor para uma casa decimal. E a superfície lateral? A planificação da superfície lateral do cilindro é um retângulo. o t t e r o v a F o d n a n r e F : s o t o F
E A D
9 cm C 2 r
A largura do retângulo é a altura h do cilindro. Medimos com régua e encontramos h 9 cm. E o comprimento? O comprimento tem a medida do comprimento C da circunferência do círculo que é a base da lata. C
2 3,14 3,5
22 cm
Arredondamos o resultado.
Alateral comprimento largura 22 9 198 cm2 Agora podemos calcular a área total da superfície do cilindro. A Abases Alateral 77 198 275 cm2 São necessários 275 cm 2 de material para confeccionar essa lata de molho de tomate. 230
Volume do cilindro O cilindro é um sólido geométrico, portanto tem volume. Sabemos calcular o volume de blocos retangulares. Vamos recordar: 4,5 cm
• Quantos cubinhos de 1 cm de aresta formam o bloco retangular ilustrado? São 10 8 4,5 = 360 cubinhos, cujo volume é 1 cm 3. Então, Vbloco retangular = c h = 360 cm3
8 cm 10 cm
Vbloco retangular = (comprimento largura altura)
Repare que a base do bloco retangular é um retângulo cuja área é
c .
Podemos escrever:
Vbloco retangular Abase h Partiremos dessa ideia para descobrir de forma intuitiva como calcular o volume de um cilindro. base E A D : s e õ ç a r t s u l I
h (altura)
Usando como unidade de medida de área quadrados de lado 1 unidade (1 u), temos que a base do cilindro tem área igual a ( r 2) unidades quadradas. A base do círculo ocupa uma superfície equivalente a ( r 2) quadradinhos de lado 1 unidade.
base e r o t a n e S o i l é H
Agora imagine que preenchemos a base com cubinhos idênticos cuja aresta mede 1 u. Temos um cilindro de altura h = 1 u formado por ( r 2) cubinhos, ou seja, o volume do cilindro é V = ( r 2) unidades cúbicas.
As partes dos cubinhos que excedem o círculo “compensam” as regiões que ficaram descobertas.
Colocando mais uma camada completa de cubinhos, teremos um cilindro de altura h = 2 u. Seu volume será V = ( r 2) 2 unidades cúbicas.
e r o t a n e S
o i l é H
Se colocarmos 3 camadas de cubinhos de aresta 1 u, teremos um cilindro de altura h 3 u com volume de V ( r ²) 3 unidades cúbicas. A altura do cilindro não precisa ser um número natural. Podemos ter h 4,5 u, por exemplo. Mas para calcular o volume do cilindro continuaremos fazendo V = ( · r ²) 4,5 u. Escrevendo de forma geral, o volume V de um cilindro de altura h é calculado pela fórmula: V r ² h CÍRCULO E CILINDRO
231
Uma situação prática Para construir uma piscina, foi cavado um buraco cilíndrico de 4 m de diâmetro por 2,5 m de profundidade. Vamos calcular o volume de terra retirado do buraco. Como o buraco tem a forma de cilindro, temos que: V r ² h Se o diâmetro (d ) é de 4 m, o raio ( r ) mede 2 m, pois h =
d 2
· r .
2,5 m (profundidade do buraco)
Então, V 22 2,5 V
3,14 4 2,5
31,4 m3
Foram retirados do buraco 31,4 m 3 de terra.
No solo, a terra está compactada. Quando escavada, se solta, passando a ocupar um volume aproximadamente 25% maior do que o ocupado quando compactada. Considerando esse fato, podemos calcular o volume da terra depois de escavada (Ve): 25% de 31,4 = 7,85 Ve = 31,4 + 7,85 = 39,25 m 3
Forme dupla com um colega. Vocês devem criar uma embalagem cilíndrica para um produto. O cliente fez as seguintes exigências: • a embalagem deve consumir de 300 cm2 a 700 cm 2 de material; • sua capacidade deve estar entre 900 mL e 1 200 mL. A embalagem deve ser construída em cartolina, a partir da planificação, e devem ser apresentados os cálculos que mostrem que a embalagem atende às especificações do cliente.
232
s e r e z n a F
a r d n a S
Exercícios V 42 10 502,4 502,4 cm3 0,5024 dm3 0,5024 L
A maioria dos óleos de cozinha tinha embalagens com a forma de um cilindro. Quantos cm 2 de lata tem a embalagem indicada na figura? 13
722,2 cm2
o c i g á M s i p á L
r
5 cm
Paulo poderá guardar meio litro de leite num recipiente cilíndrico com 4 cm de raio e 10 cm de altura? Apresente os cálculos.
4 cm
16
E A D
m c 0 1
Lei t e
Sim, porque V 0,5024 L > 0,5 L
m c 8 1
Um túnel circular vai ser cavado em uma montanha. Ele deve medir 800 metros de comprimento e 3 metros de raio.
17
2r
“Desmontando” a embalagem.
r n o o t r a C a r t s u l I
É feita com dois círculos e um retângulo.
AC 2( 52) 50 CC 2 5 10 AR 18(10) 180 Então: 50 + 180 230 722,2
Calcule a área total de uma lata de suco com 13 cm de altura e 6 cm de diâmetro. 14
301,44 cm2 AC 2( 32) 18 CC 2 3 6 AR 13(6) 78 Então: 18 + 78 96 301,44
n o o t r a C a r t s u l I
Considere o volume da terra compactada e responda: a) Quantos metros cúbicos de terra serão re-
tirados? 22 608 m
13 cm
3
b) Um caminhão leva 6 m3 de terra por via-
gem. Quantas viagens serão necessárias para levar toda a terra? 3 768 viagens V 32 800
⇒
V 22 608
22 608 : 6 3 768 viagens
As seis latas cilíndricas da figura têm, cada uma, 15 cm de altura e 10 cm de diâmetro. Foram embaladas como mostra a figura. 18
6 cm
Qual é a quantidade de água necessária para encher completamente o reservatório cujas medidas interiores estão indicadas na figura?
15
n o o t r a C a r t s u l I
10,99 m3 E A D
3,5 m
a) Qual é o volume das seis latas? 7 065 cm
3
b) Qual é o volume da embalagem de papelão? 9 000 cm3
2m
c) Qual é o volume “perdido”? 1935 cm
3
VL 52 15 1 177,5 VTL 6 1 177,5 7 065 VC 30 20 15 9 000
CÍRCULO E CILINDRO
233
Vale a pena ler Calculando o volume de uma tora de madeira Vamos descrever um processo interessante usado em serrarias para calcular o volume de toras que serão transformadas em vigas de madeira. Corta-se um pedaço de barbante com comprimento igual ao de uma volta completa na tora, como vemos na figura ao lado. Divide-se este pedaço de barbante em 4 partes iguais.
h
barbante
Multiplica-se então o comprimento deste 1 do barbante 4 por ele mesmo. O produto obtido é multiplicado pelo comprimento da tora (veja a figura). O trabalho está feito. O número obtido é considerado como a medida do volume da tora de madeira. Será que o processo dá mesmo certo? Vejamos: Se considerarmos a tora com forma aproximadamente cilíndrica, o volume é dado por V r 2 h, em que r é o raio e h é o comprimento da tora. Ao dar a volta completa no tronco, o pedaço de barbante obtido mede 2 r . 2 r
Dividido em 4 partes iguais, cada uma medirá
4
2
r
.
Multiplicando esse valor por si mesmo e depois por h, obtemos:
r
2
r
2
h
2
r 2
4
h
O que há de diferente entre o volume obtido e o esperado? Podemos escrever 2
4
r 2
Como
h
4
2
4
r 2
da seguinte maneira para enxergar melhor:
r 2 h,
ou seja, o volume obtido é uma fração do esperado. Que fração?
3, podemos considerar
4
O volume obtido na serraria é cerca de As pessoas que usam esse tipo de cálculo nas serrarias sabem disso e não consideram a diferença um problema, pois uma parte do volume de madeira será perdida quando forem aparadas as partes arredondadas e irregulares da tora. O cálculo que fazem fornece, aproximadamente, o volume final. 234
3 4
3. 4
do volume do cilindro de raio r e comprimento h.
r e e n a t o é l io S e s : H õ ç a r I lu s t
Revisando Observe as figuras.
19
A área do círculo da figura seguinte mede 20 cm2. Se AÔB mede 60o e CÔD mede 30o, quanto mede a área da região do círculo que está sombreada? 5 cm A 21
E A D : s e õ ç a r t s u l I
2
B
A
B
C
a) Sabendo que
Só vale cálculo mental.
O
tem 1 cm2 de área, indique a área colorida de cada uma das figuras.
C
A 4 cm2; B 5 cm2; C 5 cm2
D
b) O que você pode afirmar das figuras B e C? São equivalentes.
Calcule a área das partes coloridas, supondo as medidas em cm. 20
102 157 2 2 5 39,25 A2 2 2 9,8125 A3 (2,5) 2 A A1 – A2 – 2A3 A1
98,125 cm2
a)
5
2,5
Veja a cortina confeccionada por Érica. Ela usou pedaços de tecido de duas cores, e alguns deles têm forma circular e correspondem a quartos de círculo de raio 2 m. Quantos m2 de tecido escuro usou, se a cortina tem 4 m de largura? 22
A 157 – 39,25 – 19,625
2,5
A 98,125
Só vale cálculo mental. b)
2m
8 m2
m 2
AR 5 15 75 AC 2,52 6,25 A 75 18,75 A 16,13 16,13 cm2
5 15
m 2
2m
Uma bandeira brasileira foi confeccionada nas dimensões da figura abaixo: 23
c)
1,5 O
3,19 m
4 Ap 8 1,5 12 42 8 2 A 12 8 Resposta: (12 8) cm2 ASC
d)
Ac
O A
m 2 1 , 2
m 8 , 2
0 ,7 0 m
R2 r 2
2 2 2 (0,5) (1,5) Ac 2 AT 2,5 2,5 5
2,5
OA 0,5 OB 1,5
Resposta: (5 ) cm2
4m AL (3,19 2,12) – (0,7)2 3,14 2
a) Qual é a área da região amarela?
1,84
A área da região amarela é 1,84 m 2.
B
b) Qual é a área da região verde? AR (4 2,8) – (3,19 2 2,12) 7,82 A área da região verde é 7,82 m 2.
CÍRCULO E CILINDRO
235
Uma pizza de queijo tem diâmetro igual a 30 cm e está dividida em 6 fatias. Qual é a área de cada fatia? 117,75 cm r 30 : 2 15 24
2
Este vidro de remédio tem a forma de um cilindro cuja base mede 2,5 cm de raio e 8 cm de altura. Sua embalagem tem a forma de um bloco retangular. Qual é a menor medida possível para as arestas desta caixa? 28
A 3,14 152 A 3,14 225 706,50 AF 706,50 : 6 117,75
5 cm, 5 cm e 8 cm
e r o t a n e S o i l é H
o c i g á M s i p á L
25
A A
Calcule a área do setor circular. 8 cm
2 r º 360º 2 8 45º 360°
2
8
Qual é o volume aproximado de uma lata de molho de tomate ou de refrigerante? Meça a altura e o raio da base. Resposta pessoal. 29
45° 8 cm
Bruna decorou um frasco cilíndrico colocando duas fitas iguais em volta dele, como mostra a figura. Qual quantidade de fita ela usou? 26
(Saresp) Cortando-se um cilindro na linha pontilhada da figura, obtém-se sua planificação. Veja: 30
e r o r a t n e S o i l é H
62,8 cm
E A D : s e õ ç a r t s u l I
C 2 3,14 5 31,4 CT 31,4 2 62,8
⇒
10 cm diâmetro
Calcule o volume ocupado pela construção. (Use 3,1.) 2 588,5 cm 27
3
6 cm
V1 32 15 418,5 V2 102 7 2 170 VT 2 170 + 418,5 2 588,5
15 cm
AB 52 3,1 2 AL 2 3,1 5 10
155 310 465
Se o raio de cada base mede 5 cm e o cilindro tem 10 cm de altura, qual é a área total de sua superfície? (Use 3,1) 465 cm
2
(Saresp) Uma caixa, sem tampa, de forma cilíndrica, vai ser revestida com papel de presente (sem sobras). Quantos cm2 serão gastos, se o raio da base é 10 cm e a altura é 5 cm? 628 cm 31
7 cm n o o t r a C a r t s u l I
236
20 cm
2
AB 102 3,14 314 AL 2 3,14 10 5 314 AT 314 + 314 628
Observe na figura a piscina que Leandro ganhou no dia de seu aniversário. V 10 8 2 512 32
2
2 512 dm3 2 512 L
n o o t r a C a r t s u l I : s e õ ç a r t s u l I
Desafios
2m 8 0 c m
(Unicamp-SP) Em um restaurante, uma família pede uma pizza grande, de 43 cm de diâmetro, e outra família pede duas médias, de 30 cm de diâmetro. Qual família come mais A 2( 15 ) 450 pizza? 35
M
2
a) Qual é o volume da piscina, em litros? 2 512 L
e r o t a n e S o i l é H
b) Para não derramar água para fora, a sua
mãe costuma encher a piscina até 3 de 4 sua capacidade. Quantos litros de água são necessários? 1 884 L
(Cesgranrio-RJ) Um salame tem a forma de um cilindro reto com 40 cm de altura e pesa 1 kg. Tentando servir um freguês que queria meio quilo de salame, João cortou um pedaço, obliquamente, de modo que a altura do pedaço variava entre 22 cm e 26 cm. O peso do 40 cm 1 kg pedaço é de: x 24 cm 33
x a)
600 g
c) 630 g
b) 620 g
d) 640 g
Comprei um boxe para colocar no meu 1 A 0,785 4 banheiro. 34
2
V 1 m
Um cão, preso por uma corda de 1,5 m, desloca-se ao longo de um trilho de 5 m de comprimento. Qual é a área protegida pelo 5m cão? 36
AC (1,5)2 7,065 AR 3 5 15 AT 15 + 7,065 22,065 22,065 m2
3m 5m
No jardim da minha casa há duas mangueiras de cor diferente. 37
Mangueira azul
Mangueira vermelha
Tubo de 16 mm de diâmetro
Tubo de 8 mm de diâmetro
15 m de comprimento
50 m de comprimento
12 1,90 4
1,491 5
A base é um quarto de círculo.
1m
A família que pediu a pizza grande.
AG (21,5)2 462,25
Quando estão cheias, qual delas contém mais água? A mangueira azul.
Que volume ocupa o baú onde a dona Joaquina guarda suas bijuterias? V 5 6 10 300 38
m 0 9 , 1
B
441,3 cm3
VSC
32 10 2
141,3
VT 300 + 141,3 441,3
m c 5
a) Qual é a área do chão ocupada pelo boxe? 0,785 m2
b) Qual é o seu volume, em litros? 1,491 5 L
6 c m
c m 1 0
Nota: a tampa tem a forma de um semicilindro.
CÍRCULO E CILINDRO
237
Seção livre (SEE-RJ) Leia o texto para responder às questões 39 e 40.
Dobrando-se o diâmetro de um círculo, sua área fica: 41
Para evitar desperdício, seria muito bom que cada cidade elaborasse estratégias para a coleta seletiva do lixo. Tal fato poderia, inclusive, gerar mais empregos. Um incentivo à coleta seletiva seria, por exemplo, a instalação, em locais públicos, de latões específicos para papel, metal, vidro e plástico. Os latões azuis seriam para papel; os amarelos, para metal; os verdes, para vidro; e os vermelhos, para plástico. A forma de cada latão é a de um cilindro de 12 dm de altura com o raio da base medindo 30 dm. e r o t a n e S
o i l é H : s e õ ç a r t s u l I
a) dobrada. b) inalterada. x c)
(4r)2 (2r)2
4
quadruplicada.
d) multiplicada por 8.
(Enem-MEC) Uma garrafa cilíndrica está fechada, contendo um líquido que ocupa quase completamente seu corpo, conforme mostra a figura. Suponha que, para fazer medições, você disponha apenas de uma régua milimetrada. Para calcular o volume do líquido contido na garrafa, o número mínimo de medições a serem realizadas é: 42
a) 1 x b)
2
O líquido no interior da garrafa ocupa o volume de um cilindro. Então as medições necessárias são: o diâmetro da base e a altura do líquido.
c) 3
Considerando = 3,14, você pode afirmar que a área da base desse cilindro é, em decímetros quadrados, igual a: A = 3,14 · 30² = 2 826 39
a) 942
e) 5
Se no tambor ao lado colocarmos cem litros de óleo, o óleo: 43
b) 1 884 c) 2 512 x
d) 4
m o c . o t o h p k c o t S i / c i t s o K o k t a l Z
a) transborda.
d) 2 826
x b)
O volume desse latão pode ser expresso, em metros cúbicos, por: V = · 30² · 12 = 10 800 40
a) 1 200 b) 3 600 c) 7 200 x
d) 10 800
238
ultrapassa o meio do tambor.
c) não chega ao meio
do tambor. d) atinge exatamente o
meio do tambor. Dado: v = (2,5)² · · 10 = 196, 25 v = 196,25 dm³ = 196,25 L Então, 100 L ultrapassam o meio do tambor.
Diâmetro interno: 50 cm
1 dm³ = 1 litro
m 1
Autoavaliação
Anote, em seu caderno, o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta.
(PUC-RJ) Uma tela de computador de dimensões 25 cm 37 cm pode exibir por inteiro um círculo cuja área tenha no máximo (valor aproximado):
(Saresp) Juliana colocou um copo molhado sobre a mesa, e nela ficou a marca da base circular do copo. A área da marca é de 16 cm2. O diâmetro da base do copo é:
a) 470 cm2
a) 4 cm
44
x c)
490 cm2
b) 480 cm2
d) 500 cm2
x
(Saresp) Observe as figuras abaixo, em que A é um cilindro e B, um prisma de base quadrada. A
a r t s u l I
A (12,5)2 A 490,62
45
n o o t r a C
47
16 r 2 r 4 d 8
b) 8 cm c) 16 cm
d) aproximadamente 5,7 cm
o c i g á M s i p á L
B
(Encceja-MEC) Um jardineiro cultiva suas plantas em um canteiro que tem a forma da figura abaixo, em que uma parte é uma semicircunferência. Para cobrir todo o canteiro, ele calculou que precisaria comprar uma lona de 170 m² de área. 48
5m
A = 10² + (3,14 · 25) : 2 A = 100 + 39,25 A = 139,25
E A D
15 m
Sabendo-se que as duas embalagens têm a mesma altura e que o diâmetro da embalagem A e o lado da embalagem B são congruentes, podemos afirmar que o volume de A é: x a)
menor que o volume de B.
10 m
b) maior que o volume de B.
Quanto ao cálculo do jardineiro, é correto afirmar que a área da lona:
c) igual ao volume de B.
a) é suficiente, pois a área total do canteiro é
igual a 170 m².
d) metade do volume de B.
b) não é suficiente para cobrir o canteiro, pois
Um jardineiro, trabalhando sempre no mesmo ritmo, demora 3 horas para carpir um canteiro circular de 3 m de raio. Se o raio fosse igual a 6 m, quanto tempo ele demoraria?
a área total dele é maior que 170 m².
46
a) 6 horas b) 8 horas
c) 9 horas x d)
Horas 3
Área 2 3 2 x 6 Portanto, x = 12
12 horas
x c)
é suficiente, pois a área total do canteiro é menor que 170 m².
d) não é suficiente para cobrir o canteiro, pois
a forma da lona é diferente da forma do canteiro.
CÍRCULO E CILINDRO
239
(Fuvest-SP) Um comício político lotou uma praça semicircular de 130 m de raio. Admitindo uma ocupação média de 4 pessoas por m 2, qual é a melhor estimativa do número de pessoas 3,14 130 A 26 533 presentes? 2
(Ufal) Na figura abaixo têm-se 4 semicírculos, dois a dois tangentes entre si e inscritos em um retângulo. Se o raio de cada semicírculo é 4 cm, a área da região sombreada, em centímetros quadrados, é: (Use: 3,1.)
49
53
2
Quantidade de pessoas 4 26 533 106 132
x
a) Dez mil.
c) Um milhão.
b) Cem mil.
d) Meio milhão.
x
a) 28,8
AR 8 16 128 A 2 ( 42) 99,2 AF 128 99,2 28,8 E A D : s e õ ç a r t s u l I
b) 24,8 c) 25,4
(Ceeteps-SP) Na figura do compact disc (CD), a área hachurada que se destina à gravação mede: 50
d) 32,4
(UFR-RJ) Um caminhão-pipa carrega 9,42 mil litros de água. Para encher uma cisterna cilíndrica com 2 metros de diâmetro e 3 metros de altura é (são) necessário(s), no mínimo, 54
a) 32,15 cm
2
b) 36,12 cm2
3 cm
12 cm
c) 34,50 cm2 x
x
d) 33,75 cm2
b) 2 caminhões.
A 62 – (1,5)2 A 33,75
c) 4 caminhões.
(Unirio-RJ) No futebol de salão, a área de meta é delimitada por dois segmentos de reta (de comprimentos 11 m e 3 m) e dois quadrantes de círculos (de raio 4 m), conforme a figura. A superfície da área de meta mede, aproximadamente: 51
a) 25 m2
e r o t a n e S o i l é H
a) 1 caminhão.
4 cm
b) 34 m2
3 cm
d) 10 caminhões.
(UFU-MG) Um tanque de gasolina tem forma cilíndrica. O raio da circunferência da base é 3 m e o comprimento do tanque é 6 m. Colocando-se líquido até os 8 de 9 sua capacidade, pode-se afirmar que nesse tanque há: V8 3 6 169,56 55
4 cm
2
4 cm
x c)
37 m2
V 12 3,14 3 V 9,42 9,42 : 9,42 1
4 cm
a) 15 072 L
A 3 4 12 2 R 3,14 42 ASC 25,12 2 A 12 + 25,12 37,12
9
169 560 150 720
c) 50 240 L
d) 41 m
b) 15 024 L
(Uniube-MG) Por uma questão de respeito ao consumidor, um supermercado determina que suas pizzas sejam vendidas a um preço proporcional à quantidade de ingredientes utilizados. Dessa forma, se o preço de uma pizza pequena de 10 cm de diâmetro é R$ 1,10, o preço de uma pizza média com 20 cm de diâA 5 25 metro deve ser: A 10 100
(UF-GO) Um pedaço de cano de 30 cm de comprimento e 10 cm de diâmetro interno encontra-se na posição vertical e possui a parte interior vedada. Colocando-se 2 litros de água em seu interior, a água:
52
1 2
a) R$ 2,20 b) R$ 3,30
240
2
2
Preço 4 1,10 4,40 x
150 720 L
56
a) transborda.
x d)
x
V 52 30 2 355 V 2 355 cm3 2,355 L
b) ultrapassa o meio do cano.
c) R$ 4,40
c) enche o cano até a borda.
d) R$ 5,50
d) não chega ao meio do cano.
UNIDADE UNIDADE
10
Porcentagem e juro 1. Revendo porcentagens, descontos e acréscimos Você sabe: os cálculos com porcentagens estão presentes em inúmeras situações do cotidiano. Vamos trabalhar com algumas delas?
1. Qual das lojas oferece o melhor preço à vista para este produto? e r o t a n e S o i l é H : s e õ ç a r t s u l I
R$ 280,00 EM DUAS VEZES OU À VISTA COM 15% DE DESCONTO. R$ 250,00 EM DUAS VEZES OU À VISTA COM 8% DE DESCONTO.
DE R$ 275,00 POR R$ 242,00
Na loja A, o desconto é de 8%. Isso significa que o comprador pagará 92% de R$ 250,00, pois: 100% 8% 92% 92 0,92 92% 100 92% de 250 0,92 250 230 O preço à vista do produto na loja A é R$ 230,00.
o c i g á M s i p á L
Mais barato do que na loja C.
Calculamos diretamente o preço da mercadoria, já com o desconto. Também poderíamos fazer: 1% de 250 2,5 Para calcular 1% de uma quantia, basta dividi-la por 100. 8% de 250 8 2,5 20 O desconto será de R$ 20,00. Preço à vista 250 20 230. PORCENTAGEM E JURO
241
Na loja B, o desconto é de 15%. O comprador pagará 85% de R$ 280,00, pois: 100% 15% 85% 85% 0,85 85% de 280 0,85 280 238 O preço à vista na loja B é R$ 238,00.
Na calculadora... Para determinar 85% de 280 na calculadora, basta digitar: 280
85 %
Aparece no visor 238. Mesmo oferecendo uma porcentagem maior de desconto, o produto sairá mais caro na loja B.
Concluímos que o melhor preço à vista para esse aparelho de som é o da loja A. A loja C não informou no anúncio qual é a porcentagem de desconto oferecida, mas podemos calculá-la: Como 275 242 33, o desconto é de R$ 33,00. • R$ 33,00 corresponde a que porcentagem do preço original do produto, que é R$ 275,00? Para descobrir, basta comparar esses valores por meio de uma razão: 33 275
0,12
12 100
12%
Confira o valor do quociente com a calculadora!
A loja oferece um desconto de 12% no preço do produto para pagamento à vista.
Eu pensei diferente!
O que você achou da solução proposta pela Ana?
o c i g á M s i p á L : s e õ ç a r t s u l I
242
2. No mercadinho JJ, os preços de três artigos de perfumaria sofrerão um aumento de 12%. Vamos ajudar o Carlos, que é funcionário do mercadinho, a calcular os novos preços? Artigo
Preço antigo (R$)
Sabonete Creme dental Desodorante
0,75 1,50 2,40
Preço com aumento (R$)
Como o aumento será de 12%, devemos somar ao preço antigo 12% do seu valor. Preço antigo 100% Preço com aumento 100% 12% 112% Podemos obter diretamente o preço com aumento calculando 112% do preço antigo: 112% 112 100 Sabonete: Creme dental: Desodorante:
1,12
112% de 0,75 1,12 0,75 0,84 112% de 1,50 1,12 1,5 1,68 112% de 2,40 1,12 2,40 2,688
R$ 0,84 R$ 1,68 R$ 2,69 (Arredondamos para centavos.)
O aluguel da casa do senhor Lima será reajustado este mês. A imobiliária que administra o imóvel informou a ele que, para obter o valor do novo aluguel, deverá multiplicar o valor do aluguel atual por 1,07. Pense, troque informações com os colegas e responda: 1. Multiplicar por 1,07 equivale a calcular o valor do aluguel com um aumento de quantos por cento? 7% 2. O valor do aluguel da casa do senhor Lima é de R$ 800,00. Quanto será com o aumento? R$ 856,00
3. O gerente de uma loja de automóveis reajustou os preços de todos os veículos em 20%. Em seguida, publicou um anúncio oferecendo desconto de 30% em todo o estoque. Como o gerente subiu os preços antes da promoção, o desconto sobre o preço inicial dos automóveis não será de 30%. Vamos calcular o porcentual real de desconto?
Cuidado! Se você acha que é de 10%, se enganou!
m e g a m I a h l o F / e u q r e u q u b l A o i r é g o R
o c i g á M s i p á L
PORCENTAGEM E JURO
243
Vamos representar o preço inicial de um automóvel por x . O preço desse automóvel com aumento de 20% será 1,2 x . Sobre esse valor será dado um desconto de 30%. O cliente pagará 70% de 1,2 x , ou seja: Preço final com desconto 0,7 1,2 x . Fazendo 0,7 1,2 0,84, temos: Preço final com desconto 0,84 x , o que corresponde a 84% do preço inicial x do veículo. Quem paga 84% de um valor, tem um desconto de 16%, pois 100% 16% 84%. Na verdade, o gerente está oferecendo um desconto de 16% sobre o preço original de cada automóvel.
4. Um fabricante de embalagens precisava reajustar os preços de seus produtos em 30%. Fez o seguinte: 20% de aumento em janeiro e 10% de aumento em fevereiro. Ao proceder assim, ele reajustou os preços em 32%. Veja por quê: Preço inicial do produto: x Preço em janeiro com aumento de 20%: 1,2 x Preço em fevereiro com aumento de 10% sobre o preço de janeiro: 1,1 1,2 x 1,32 x O preço inicial x do produto teve um aumento de 32%, e não de 30% como ele pretendia.
s i a r o M o i c i r u a M
Resolva em dupla. Uma loja anuncia um desconto sobre o valor total x das compras de cada cliente, de acordo com a tabela.
O N T O C S D E
10% para compras entre R$ 10,00 e R$ 199,00
E A D
15% para compras de R$ 200,00 ou mais Um cliente compra um ventilador por R$ 180,00 e uma calculadora por R$ 20,00. O vendedor, muito gentilmente, se oferece para reduzir o preço da calculadora para R$ 15,00, e o cliente aceita a oferta. No caixa são aplicadas as regras do desconto promocional. Aplicadas as regras do desconto, o cliente gastaria: Nessas condições, pode-se dizer que o cliente: a) teve um lucro de R$ 5,00. b) teve um prejuízo de R$ 7,00.
244
x
c) teve um prejuízo de R$ 5,50.
200 15% 200 170 Aplicada a oferta do vendedor, o cliente gastou: 195,00 10% 195 175,50 Assim, o cliente teve um prejuízo de R$ 5,50.
d) não teve nem lucro nem prejuízo.
Exercícios 1
Calcule mentalmente.
3
Uma caixa tem 60 bombons.
a) 10% de 259 25,9 e r o t a n e S o i l é H
b) 5% de 7 000 350 c) 50% de 128,6 64,3 d) 25% de 848 212 e) 50% de R$ 6.000,00
R$ 3.000,00
f) 10% de R$ 6.000,00
R$ 600,00
a) Comeram 30% dos bombons. Quantos bombons ainda há na caixa? 42 bombons
g) 5% de R$ 6.000,00 R$ 300,00 h) 0,5% de R$ 6.000,00 R$ 30,00
b) Se comeram 27 bombons, qual foi a porcentagem de bombons consumidos? 45%
Calcule o preço, em liquidação, de cada uma das peças de roupa.
c) Cada caixa de bombons custa R$ 48,00. Vai ser vendida na promoção com desconto de 5%. Quanto vai custar cada um dos 60 bombons da caixa? R$ 0,76
2
a) R$ 45,00 18% DE DESCONTO
4
Qual é maior:
Ambos são iguais a 16.
R$ 36,90
80% de 20 e p e P o l u a P : s o t o F
b)
ou 20% de 80?
R$ 34,00 15% DE DESCONTO R$ 28,90
c)
n o o t r a C a r t s u l I
Uma máquina que fabrica lâmpadas produz 2% de objetos defeituosos. Hoje encontraram 71 lâmpadas com defeito. Quantas lâmpadas produziu a máquina? 3 550 lâmpadas 5
o i d u t S . S . P
R$ 16,00 8% DE DESCONTO R$ 14,72
PORCENTAGEM E JURO
245
Resposta do exercício 10 • Desconto de 15% 100 15 85 • Desconto de 10% sobre 85 8,5
• Preço após o segundo desconto 85 8,5 76,5 • 100 76,5 23,5
Das 240 laranjas de uma caixa, 84 foram vendidas. Qual é a porcentagem das laranjas 84 vendidas? 35% • 240 0,35 6
Numa cidade, o preço da passagem de ônibus subiu de R$ 2,40 para R$ 2,70. Qual foi a 0,125 porcentagem de aumento? 12,5% • 0,30 2,40 7
(CPII-RJ) Abaixo estão dois gráficos relacionados ao consumo de energia elétrica na casa do senhor Alexandre, nos meses de julho a setembro de 2010. A partir dos gráficos, responda às perguntas. 12
Consumo mensal de energia, em kWh (medição feita a cada 30 dias)
Descubra o preço de uma geladeira, sabendo que um aumento de R$ 360,00 representa 360 18% do seu preço. R$ 2.000,00 • 18% 8
• 1% • 100%
540 E A D : s e õ ç a r t s u l I
20 2 000
s o g r u B o é L
450
330
julho
agosto
setembro
Distribuição do consumo de energia por tipo de equipamento outros 7% ferro 8%
Um senhor ganha R$ 840,00 por mês. Ele gasta seu salário do seguinte modo: 37% com alimentação, 21% com aluguel e 39% com outras despesas. Qual é o valor mensal que lhe • 0,03 840 25,20 resta? R$ 25,20 9
Um vendedor disse, inicialmente, que dava 15% de desconto sobre uma mercadoria, mas, no fim, deu mais 10% de desconto sobre o primeiro desconto. Qual foi o desconto único equivalente que ele deu no fim? 23,5% Depois de um aumento de 12 %, um televisor passou a custar R$ 728,00. Qual era o preço do televisor antes do aumento? R$ 650,00 x 0,12 x 728
246
TV 8%
10
11
geladeira 27%
lâmpadas 22%
chuveiro 28%
a) Qual a diferença entre o consumo da TV em setembro e em julho, em kWh? 16,8 kWh b) Qual foi a energia consumida, em média, a cada hora de setembro de 2010? 0,75 kWh a) 540 · 0,08 = 43,2 330 · 0,08 = 26,4 43,2 – 26,4 = 16,8
b) 540 : (24 · 30) = 0,75
2. Juro
c s i d o t o h P
Você sabe o que é juro? Uma pessoa que faz um empréstimo num banco, por exemplo , compromete-se a pagar a quantia emprestada mais um valor correspondente ao juro. O juro é a compensação, o lucro que o banco terá na transação de empréstimo. E A D
S S • Entrada parcelada O O V V O • Juro de 1,2% O N N I I ao mês!!! M EM S S E
Se, ao contrário, a pessoa faz uma aplicação financeira, como a caderneta de poupança, é o banco que lhe paga juro. Ela terá direito aos lucros dessa operação. Quando compromissos como contas, prestações ou impostos não são pagos em dia, em geral cobra-se uma multa mais juro pelo atraso. É uma forma de compensar quem deveria receber e não recebeu. O valor pago pelo juro depende: • da quantia (devida, aplicada etc.), que será chamada de capital (C ). • do tempo de duração da transação (empréstimo, aplicação financeira etc.) ( t ). • da taxa de juro cobrada (i ), que é porcentual.
Há dois tipos de juro: juro simples e juro composto .
Juro simples r a l u c i t r a p o v i u q r A
O juro simples é comumente usado nas cobranças de contas ou prestações em atraso. Veja exemplos: 1. Esta prestação foi paga com 10 dias de atraso. Quanto se pagou de juro? 0,5% de 240 0,005 240 1,2 Paga-se R$ 1,20 por dia de atraso. Como foram 10 dias, temos: 10 1,2 12 O total de juro pago foi de R$ 12,00. Repare que, para obter o valor do juro, fizemos: 240 0,005 10 (capital taxa tempo) Podemos escrever que, no cálculo de juro simples: j C i t
Calcule mentalmente o valor da multa: R$ 4,80 2% de 240
PORCENTAGEM E JURO
247
2. Júlio atrasou em 15 dias o pagamento de uma prestação de R$ 180,00. Não havia multa, mas ele pagou R$ 10,80 de juro. Qual é a taxa de juro cobrada ao dia? j 10,80 C 180 i t 15
Como j C i t , temos:
Eu resolvi o problema de outra forma!
10,80 180 i 15 10,80 2 700 i i
10,80 2 700
i 0,004
4 0,4 , ou seja, 0,4% 1 000 100 A taxa de juro por atraso foi de 0,4% ao dia. 0,004
Calculei quanto por cento R$ 10,80 é de R$ 180,00.
Dividindo 0,06 por 15 obtenho a taxa de juro cobrada ao dia: 0,4%.
3. Sidnei emprestou R$ 1.000,00 ao seu amigo Paulo, no regime de juro simples. Combinaram uma taxa de 3% ao mês. No final do empréstimo, Paulo pagou a Sidnei R$ 1.045,00. Por quantos dias o dinheiro ficou emprestado? 1 045 1 000 45 Paulo pagou a Sidnei R$ 45,00 de juro. 45 1 000 0,03 t 45 30t t
45 30
t 1,5
Como a taxa de juro é mensal, o tempo encontrado está em meses. Então, o dinheiro ficou emprestado por 1,5 mês 1 mês e meio 45 dias. 248
o c i g á M s i p á L : s e õ ç a r t s u l I
Juro composto Na maioria das operações envolvendo juro, é utilizado o juro composto. O cálculo do juro composto é mais complicado do que o do juro simples. Há fórmulas que auxiliam nessas situações, e você vai conhecê-las mais tarde. No entanto, por meio dos exemplos que daremos, você compreenderá as características fundamentais desse tipo de juro. Acompanhe.
1. Uma pessoa fez uma dívida de R$ 500,00, que será paga no regime de juro composto a uma taxa de 12% ao mês. Ao valor da dívida será acrescentado o juro. 112 1,12 100 podemos calcular diretamente o valor da dívida depois de um mês, fazendo: Lembrando que 100%
12% 112% e 112%
1,12 500 560 No final de um mês, a pessoa deverá R$ 560,00. Pagando essa quantia ela quita sua dívida. Mas veja o que ocorre se ela deixar para pagar nos meses seguintes: Para o segundo mês, o cálculo do juro não será feito sobre o capital inicial de R$ 500,00, mas sobre R$ 560,00. O juro é somado ao capital inicial. 1,12 560 627,20
É o que comumente se chama de juro sobre juro. Ao final de cada período, o juro é incorporado ao capital.
No terceiro mês o juro será calculado sobre R$ 627,20: 1,12 627,2 702,46 Ao final do terceiro mês, a dívida inicial de R$ 500,00 estará em R$ 702,46. Calcule quanto pagaria de juro uma pessoa que pegasse emprestados os mesmos R$ 500,00 a 12% ao mês durante três meses, no regime de juro simples. Use calculadora, se preferir. R$ 180,00 Quanto a mais de juro a pessoa paga nesse período no regime de juro composto? R$ 22,46
2. Nos meses de janeiro, fevereiro e março de certo ano, o rendimento médio pago pela caderneta de poupança foi de 0,7% ao mês. Uma pessoa abriu sua caderneta de poupança em 2 de janeiro, com R$ 1.000,00 e não fez depósitos nem retiradas nos três meses citados. Que quantia ela tinha nessa caderneta de poupança em 2 de abril do mesmo ano? z e h c n a S
A caderneta de poupança é um tipo de investimento muito procurado no Brasil. O dinheiro aplicado pelos brasileiros na poupança é investido pelo governo no setor de habitação.
a i t n i C
PORCENTAGEM E JURO
249
Ao capital, serão acrescentados 0,7% de rendimentos. Primeiro lembre-se de que 100%
0,7% 100,7% e
100,7 1,007 100 Em 2 de fevereiro foram creditados os rendimentos de janeiro: 1,007 1 000 1 007 Saldo: R$ 1.007,00 100,7%
Em 2 de março foram creditados os rendimentos de fevereiro: 1,007 1 007 1 014,05 014,05 Saldo: R$ 1.014,05 Em 2 de abril foram creditados os rendimentos de março: 1,007 1 014,05 1 021,15 Saldo: R$ 1.021,15 Em 2 de abril, a pessoa tinha na caderneta de poupança R$ 1.021,15, obtendo, portanto, um total de R$ 21,15 de rendimentos para essa aplicação, nesse período.
Observe que os rendimentos de janeiro foram incorporados ao capital para o cálculo dos rendimentos de fevereiro. o c i g á M s i p á L
Com rendimentos creditados, queremos dizer que o valor dos rendimentos é depositado automaticamente na conta de poupança dessa pessoa.
Compra à vista ou a prazo? Um dos problemas matemáticos mais comuns no dia a dia é a decisão entre comprar uma mercadoria ou um serviço à vista ou a prazo. Acompanhe a resolução deste problema: (UFMG) Um fogão estava anunciado por R$ 500,00 para pagamento à vista ou em três prestações mensais de R$ 185,00 cada, a primeira delas a ser paga um mês após a compra. Paulo, em vez de pagar à vista, resolveu depositar, no dia da compra, os R$ 500,00 numa aplicação que lhe renderia 2% ao mês, a juros compostos, R $ 5 $ 5 0 0 0 0, 0 0 0 nos próximos três meses. Desse modo, ele esperava liquidar a dívià v v i i s st t a o a o u u NPM9069 à da fazendo retiradas de R$ 185,00 daquela aplicação nas datas de e m m 3 x x d e e R $ 1 $ 18 5 5, 0 0 0 vencimento de cada prestação. Vamos mostrar que a opção de Paulo não foi boa. Para isso, calcularemoss quanto a mais ele teve de desembolsar para pagar a calcularemo última prestação. e r o t a n e S o i l é H
o t i d é r c
500,00
1,02% 1o mês após a compra
510,00 – 185,00 325,00
1,02% o
2 mês após a compra
331,50 – 185,00 146,50
1,02% o
3 mês após a compra
149,43 – 185,00 –35,57
Mesmo Paulo tendo aplicado os R$ 500,00 com rendimento de 2% ao mês, ele pagou R$ 35,57 a mais do que pagaria se tivesse ti vesse comprado o fogão à vista. Para escolher a opção mais vantajosa, é necessário conhecer as taxas de juros da compra e da aplicação. 250
Exercícios O juro do cheque especial do Banco MAT está em 12% ao mês. Se Paulo ficar com saldo negativo de R$ 56,00 durante 1 mês, quanto terá de pagar de juro? R$ 6,72 13
Um carro é vendido em 12 prestações de R$ 1.500,00. Se o preço desse carro à vista é de R$ 15.000,00, qual é a taxa de juro simples cobrada? 18
Você vai comprar um eletrodoméstico no valor de R$ 520,00, sendo s endo o valor financiad financiado o em 2 anos. 14
X 2 1
k c o t s r e t t u h S / e m o o T m i s k a M
Tabela de financiamento
No banco: juro simples de 15 % ao mês Na loja: juro simples de 160 % ao ano
1,67% (aprox.) ao mês 3000 15000 i 12
⇒
i 0,016 0,0166... 6...
Uma mercadoria cujo preço à vista é R$ 100,00 foi vendida em duas parcelas: a primeira no ato da compra, no valor de R$ 50,00; a segunda com vencimento em 30 dias, no valor de R$ 69,00. Qual é a taxa real de juro, expressa em porcentagem, cobrada do con38% 19 50 i 1 i 0,38 sumidor? 19
a) Qual é o juro juro do banco, banco, em reais? R$ 1.872,00 b) Qual é o juro da da loja? R$ 1.664,00 c) Qual financiamento financiamento você você escolheria? escolheria? Espera-se que o aluno escolha o de menor valor, ou seja, o financiamento da loja.
15
⇒
Qual é a taxa de juro do anúncio do jornal? jorna l? 2,5% ao mês
Aplique R$ 700,00 e receba R$ 717,50 ao final de um mês
O cálculo do juro da caderneta de poupança não é feito com juro simples. Vamos supor uma aplicação por 3 meses, cada mês com uma taxa diferente. 20
• primeiro mês: 1,6% R$ 10.160,00 • segundo mês: 1% R$ 10.261,60 • terceiro mês: 1,2% R$ 10.384,73 Se há três meses depositei R$ 10.000,00, quan-
Eliana devia, em seu cartão de crédito, R$ 1.000,00. Como não conseguiu pagar, em dois meses essa dívida aumentou para R$ 1.440,00. Nesse caso, qual foi a taxa de juro simples simples cobrada cobrada mensalmente mensalmente pelo cartão cartão de crédito? 22% ao mês 16
440 1.000 i 2
⇒
to tenho agora?
R$ 10.384,73 e r o t a n e S o i l é H
i 0,22
Em quanto tempo um capital de R$ 34.000,00, empregado a uma taxa de 10% ao ano, rendeu R$ 13.600,00 de juro simples? 17
4 anos 13 600 = 34 000 0,1 t
⇒
t = = 4
PORCENTAGEM E JURO
251
Revisando Uma pessoa pesa 95 kg, mas o médico aconselhou-a a emagrecer, diminuindo o seu peso atual em 20%. Qual é o peso recomendado pelo doutor? 76 kg 21
22
Veja a distribuição de uma “caixinha” entre os garçons de um restaurante e complete a tabela no caderno. 24
• 28% • 1% • 35% • 37%
196 196 : 28 = 7 7 · 35 = 245 7 · 37 = 259
Um pacote tem 40 bolachas. n o o t r a C a r t s u l I
Porcentagem Marcos 37% Saulo 35% Frede
Reais 259 245
196
28% m o c . o t o h p k c o t S i / a k t u h C e n e G
a) Carlos comeu 15% das bolachas. Quantas bolachas comeu? 6 bolachas b) Se comeram 22 bolachas, qual é a porcentagem de bolachas consumidas? 55% c) Se um pacote custa R$ 4,00 e é vendido c) com 10% de desconto, quanto custam 8 bolachas? R$ 0,72 Foi feita uma pesquisa, em quatro indústrias, sobre o gosto pelo futebol. Copie e complete a tabela em que estão organizados os resultados da pesquisa. 23
s n e g a m I r a s l u P / a k a t i k o T e r d n a x e l A
Pessoas que gostam Total de pessoas por indústria de futebol A 5 600 metade 50% 2 800 B um quinto 1 250 C 1 200 75% D 1 473 todos 6 250
252
três quartos
20% 100%
900 1 473
A conta de um cliente em um restaurante foi de R$ 52,80, incluindo a taxa de serviço de 10% para o pagamento do garçom. Que valor será destinado ao garçom? R$ 4,80 25
• 1% • 10%
52, 80 : 110 = 0,48 0,48 · 10 = 4,80
Uma bicicleta é oferecida por R$ 600,00. Esse preço sofre um desconto de 8 %, seguido de outro de 2%. Qual é o novo preço de venda? 26
R$ 540,96
92% de 600 552 98% de 552 540,96
O quilo de feijão custava R$ 3,20 e passou a custar R$ 3,36, enquanto o quilo de macarrão custava R$ 4,80 e passou a custar R$ 6,00. 27
s e r e z n a F a r d n a S : s o t o F
a) Quais foram os os aumentos porcentuais porcentuais desses dois produtos? 5% no feijão e 25% no macarrão b) Qual deles aumentou mais? O macarrão.
A quantidade de sangue no corpo de 1 um homem é do peso de seu corpo. 11 Se o sangue contém 80% de água, quantos litros de água existem no sangue de um homem que 1 pesa 55 kg? 4 litros de 55 5 0,8 5 4 28
11
(Fuvest-SP) O salário de Antônio é igual a 90% do de Pedro. A diferença entre os salários é de R$ 50,00. Qual é o salário de Antônio? 29
R$ 450,00
10%
50
Na compra de um computador, cujo valor à vista é R$ 6.000,00, foi dada uma entrada de 20% e os 80% restantes foram financiados em 6 meses. Qual é o valor de cada prestação, sabendo que a taxa de juro simples 4 800 0,18 6 5 184 foi de 18% ao mês? R$ 1.664,00 jTotal: 4 800 5 184 9 984 33
1%
5
90%
9 984 : 6 1 664 k c o t s r e t t u h S / v o k i n l e M y r t i m D
450
Num lote de 1000 1 000 peças, 65% são do tipo A e 35% são do tipo B. Sabendo-se que 8 % do tipo A e 4% do tipo B são defeituosas, quantas peças defeituosas deve haver no lote? 66 peças 30
A 0,08 650 52 B 0,04 350 14
• 52 14 66
Com uma lata de tinta é possível pintar 50 m2 de parede. Para pintar uma parede de 72 m2, gasta-se uma lata e mais uma parte de uma segunda lata. Qual porcentagem de 28 0,56 tinta resta na segunda lata? 56% 50 31
Um comerciante tomou emprestado de um banco R$ 4.000,00. O banco emprestou o dinheiro a uma taxa de juro de 38 % ao ano. O comerciante teve de pagar R$ 3.040,00 de juro simples. Por quantos anos o dinheiro esteve emprestado? 34
2 anos 3 040 4 000 0,38 t
⇒
t 2
Uma pessoa deposita R$ 100.000,00 em caderneta de poupança, que rende 1 % a cada mês. Se não fez nenhuma retirada, que quantia terá após 3 meses? R$ 103.030,10 35
Um sapato custa R$ 25,00 à vista, mas pode também ser pago em duas vezes: R$ 15,00 de entrada e R$ 15,00 ao fim de 30 dias. Qual é o juro mens mensal al que que a loja está cobr cobrando ando do cliente cliente que paga em duas vezes? 50% 36
n o o t r a C a r t s u l I : s e õ ç a r t s u l I
Você fez um empréstimo de R$ 240,00 a juro simples de 6,5% ao mês. Que quantia você devolveu após 5 meses? R$ 318,00 36. Dívida do cliente depois de pagar a entrada: R$ 25,00 32
j 240 0,065 5 78
240 + 78 = 318
R$ 15,00 R$ 10,00 Ao final de 30 dias o cliente paga R$ 15,00, sendo R$ 10,00 da dívida e R$ 5,00 de juro sobre essa dívida. 5 0,5. Logo, o juro é de 50%. 10 P O R C E N T A G E M E J U R O 253
O preço de um artigo triplicou. Portanto ele teve um aumento de : 100% 200% 37
aumento
a) 3%
b) 30%
x c) c) 200%
d) 300% d)
Desafios (Fuvest-SP) (10%)2 é igual a: x a) 1% b) 10% c) 20% 42
(10%) 2
Os preços de um litro dos vinhos A, B e C são, respectivamente, R$ 16,00, R$ 20,00 e R$ 27,00. Faz-se uma mistura com 45% de A, 30% de B e 25% de C. Quanto deverá custar um litro dessa mistura? R$ 19,95 38
s n e g a
10 100
( )
2
d) 100%
100 1 1% 10 000 100
(UGF-RJ) Em uma escola com 7 salas, para a merenda de 246 alunos paga-se diariamente R$ 738,00 ao concessionário do restaurante. No segundo semestre, o concessionário resolveu conceder um desconto de 50 % aos 4 melhores alunos de cada sala. Quanto passou a 738 : 246 3 receber? R$ 696,00 218 3 28 1,50 696 43
m I r a s l u P / s n i t r a
M m i f l e D
(Unirio-RJ) Carlos contraiu uma dívida que foi paga com uma taxa de juro ao mês, constante. Porém, o recibo do mês de fevereiro extraviou-se, e Carlos necessita deste valor para o cálculo do imposto de renda. Os valores conhecidos são: 44
Rafael dispunha de R$ 5.400,00 para uma viagem ao exterior, em julho de 2011. Ele resolveu trocar 40% do que possuía em dólares e o restante em euros. No dia da troca, a cotação dessas moedas estava de acordo com o quadro: 39
Dólar Euro
janeiro março abril
R$ 1,80 R$ 2,50
Depois da troca, Rafael ficou com quantos dólares? E com quantos euros? 1 200 dólares; 1296 1 296 euros
Com base nos dados acima, que quantia Carlos 1 331 1,1 pagou em fevereiro? R$ 1.100,00 1 210
1 000 1,1 1 100
• Dólares = (40% de 5400) 5 400) : 1,80 = 1200 1 200 • Euros= (60% de 5400) 5 400) : 2,50 = 1296 1 296
(UFJF-MG) Uma loja de eletrodomésticos anuncia a seguinte promoção: 40
e r o t a n e S
o i l é H
R$ 1.000,00 1.000,00 R$ 1.210,00 R$ 1.331,00
(UFRGS-RS) Numa competição esportiva, uma delegação de atletas obteve 37 medalhas. Sendo o número de medalhas de prata 20 % superior supe rior ao das de ouro, e o das de bronze 25% superior ao das de prata, qual o número de medalhas de bronze obtido por essa delegação? 45
15 medalhas de bronze m o c . e
m i t s m a e r D / s l u H k r a M
Qual a taxa mensal de juros embutida na ven– 390 312 (valor financiado) da a prazo? 25% •• 702 390 – 312 78
• 78 312 · i · · 1 • i 0,25 25%
O salário de Gustavo passou para R$ 1.600,00, após um reajuste de 25%. Qual era o salário de Gustavo antes do aumento? R$ 1.280,00 41
254
• x + + 25% x 1 600 x + + x 1 600 4 x 1 280
ou
• 125% 1 600 • 1% 1 600 : 125 12,8 ⇒
⇒
• 100%
12,8 · 100 1 280
⇒
Ouro x Prata 1,2 x Bronze 1,2 1,25 x 1,5 x x 1,2 x 1,5 x 37 x 10 Bronze 1,5 10 15
Seção livre
Seção livre
Um pouco sobre a história dos juros s i r a P , e r v u o L o d u e s u M
O juro, entendido como uma compensação para quem empresta dinheiro ou bens, é mais antigo que a moeda, o dinheiro. Há registros de que os sumérios, por volta de 3000 a.C., tinham um sistema de empréstimo envolvendo grãos (cereais) e também prata. Hamurabi, rei da Babilônia de 1792 a. C. a 1750 a.C., escreveu o mais antigo código de leis de que se tem notícia. Artigos desse código tratam de juros. A Lei das XII Tábuas, de 390 a.C., considerada a primeira constituição romana, prevê o empréstimo de dinheiro a juros. O Imperador Justiniano, do Império Romano do Oriente, limitou os juros a 33% ao ano em 531 d.C. Na Inglaterra, em 1546, Henrique VIII proibiu taxa superior a 10% ao ano. Apesar de a cobrança de juros ser tão antiga, ao longo da história foi constante a reprovação da usura. Chama-se usura a cobrança de juros muito altos, abusivos. Essa prática é considerada crime por diversas legislações. Veja no quadro abaixo um dos artigos do Hamurabi, que pune a pessoa que empresta e quer receber como pagamento mais do que o que seria justo. ◆
Busto do rei r ei Hamurabi, séc. XVIII a.C.
Art. P. Se um mercador emprestou a juros grão ou prata e quando emprestou a juros ele deu a prata em peso pequeno ou grão em medida pequena e quando o recebeu ele quis receber a prata em peso grande ou grão em medida grande, esse mercador perderá tudo quanto houver emprestado.
e r o t a n e S o i l é H
Leia o anúncio ao lado e responda às questões. a) A pessoa que comprar o computador a prazo pagará juros? Sim. b) Qual é o valor dos juros? R$ 640,00 c) Que porcentagem do preço à vista os juros representam? 20% Saiba que o Código de Defesa do Consumidor exige que as lojas mostrem, na propaganda, o preço à vista e o preço total a prazo, para que saibamos quanto de juro é cobrado na compra a prazo.
PORCENTAGEM E JURO
255
Auto Au toava avali liaçã ação o Se um acertador da loteria esportiva ficou apenas com 2,5% do prêmio total, podemos afirmar que o número de acertadores foi: a) 20
(SEE-SP) O dono de um carrinho de lanches levou 90 sanduíches naturais para vender na praia. Iniciou o dia vendendo cada um por R$ 6,00 e, como até o final da manhã ele havia vendido apenas 30% do total, reduziu em 25% o preço desses sanduíches e assim vendeu todas as unidades restantes. O total arrecadado com a venda dos sanduíches naturais nesse dia foi:
46
x
50
b) 40 c) 50 d) entre 40 e 50 (UFMG) Um vendedor multiplica o preço à vista de um televisor por 2,24, para informar a um cliente o preço total a ser pago em 24 prestações fixas de mesmo valor. Nessa situação, o acréscimo porcentual em relação ao preço à vista é de: 2,24 1 1,24 124% 47
a) 24% b) 224%
x
Anote, em seu caderno, o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta.
a) R$ a) R$ 283,50
x c) c) R$ R$
b) R$ b) R$ 405,00
445,50
d) R$ 465,00
(UFV-MG) Numa loja, o preço de um par de sapatos era de R$ 140,00. Para iludir os consumidores, o dono aumentou o preço de todos os artigos em 50% e, em seguida, anunciou um desconto de 20 %. Esse par de sapatos ficou aumentado de: 51
c) 124% d) 22,4% d)
Para a venda de um computador, o cartaz anuncia: 48
a) R$ 26,00 a) e r o t a n e S o i l é H
x
c) R$ c) R$ 31,00
150% de 140 210 168 d) R$ d) R$ Aumento: 168 140 28
b) R$ b) R$ 28,00 80% de 210
34,00
(Vunesp-SP) Para um certo concurso, inscreveram-se 27 200 candidatos. No dia da prova faltaram 15% do total de inscritos. Se o número de aprovados foi 1 156, o porcentual de aprovação em relação ao número de comparecimentos foi de: 52
Quem comprar a prazo pagará a mais:
x
a) 27% a) 27%
c) 45% c) 45%
b) 36% b) 36%
d) 54% d) 54%
o c i g á M s i p á L
• 153 · 24 – 2 700 = 972 • 972 = 0,36 = 36% 2700
(Fuvest-SP) Uma certa mercadoria, que custava R$ 12,50, teve um aumento, passando a custar R$ 13,50. A majoração sobre o preço Aumento: 13,50 12,50 1,00 antigo é de: 49
1,00 12,50
x
0,08 8%
a) 1%
c) 10,8% c)
b) 8%
d) 12,5% d)
256
x
a) 5% b) 6%
85% de 27 200 1 156 23 120
23 120
0,05 5%
c) 12% d) 15%
Um pintor pintou 30% de uma parede e outro pintou 60% do que sobrou. A porcentagem do muro que falta pintar é:
(Vunesp) Num balancete de uma empresa consta que um certo capital foi aplicado a uma taxa de 30% ao ano, durante 8 meses, rendendo juro simples no valor de R$ 192,00. c 0,025 8 O capital aplicado foi de: 192 c 960
53
56
e t r a r t s u l I
a) 15%
b) 23% x
x
c) 28%
a) R$ 960,00
c) R$ 880,00
b) R$ 288,00
d) R$ 2.880,00
d) 33% • 100% – 30% = 70% 70 60 = 42 = 42% • 100 · 100 100 • 70% – 42% = 28%
(PUC-MG) Um comprador pagou certo eletrodoméstico em três parcelas: a primeira, no ato da compra; a segunda, trinta dias depois, acrescida de 5% de juros; a terceira, sessenta dias depois, acrescida de 12% de juros. Se o preço à vista era R$ 630,00, pode-se estimar que o valor pago na segunda parcela, em reais, foi: 57
(Vunesp) As promoções do tipo “leve 3 e pague 2”, comuns no comércio, acenam com um desconto, sobre cada unidade vendida, de: 54
a) 20% b) 30% c) x d)
Leve
50 % 3
n o o t r a C a r t s u l I
• 630 : 3 = 210
a) R$ 253,50 b) R$ 210,00
refrigerantes e pague
100 % 3
• 210 · 0,05 = 10,50
• 210 + 10,50 = 220,50
c) R$ 235,20 x
d) R$ 220,50 m o c . o t o h p k c o t S i / k e s m i S
O desconto é de 1 unidade em 3, ou seja: 1 100 0,333... 33,33...% % 3 3
s i r a B
Na tabela abaixo, relativa à variação de preços em um supermercado de julho de 2010 a março de 2011, estão faltando alguns valores: 55
julho/10 março/11 variação (R$) (R$) (%) Massa (500 g)
2,40
1,80
x
Batata (kg)
1,20
y
25
Cebola (kg)
z
1,82
30
(UFRGS–RS) Uma loja instrui seus vendedores para calcular o preço de uma mercadoria nas compras com cartão de crédito dividindo o preço à vista por 0,80. Dessa forma, pode-se concluir que o valor da compra com cartão de crédito em relação ao preço à vista, apresenta: 58
Os valores x, y e z são, respectivamente:
a)
x
a) um desconto de 20%.
75%; R$ 1,50; R$ 1,20
b) 25%; R$ 1,50; R$ 1,40
b) um aumento de 20%.
c) 33%; R$ 1,80; R$ 1,52
c) um desconto de 25%.
d)
25%; R$ 1,50; R$ 1,40
x
PC PV
preço no cartão preço à vista PV 100 PC 0,8 0,8 1,25 125%
d) um aumento de 25%.
PORCENTAGEM E JURO
257
(Unirio-RJ) Para comprar um tênis de R$ 70,00, Renato deu um cheque pré-datado de 30 dias no valor de R$ 74,20. A taxa de juros cobrada foi de: 59
O gráfico abaixo mostra o IPCA, que é um dos índices utilizados para reajustar o preço de vários produtos. 62
IPCA – Índice de Preços ao Consumidor Amplo
a) 4,2% ao mês x
índice (%) 0,91
b) 6% ao mês c) 42% ao mês d) 60% ao mês
0,71
n o o t r a C a r t s u l I
4,20 70 i 1 i 0,06 6%
a) 15 x b) 20
c) 25 d) 30
0,58
0,61
0,33 E A D : s e õ ç a r t s u l I
jun./ jul. ago. set. out. nov. dez. jan./ fev. mar. abr. 2005 2004
Pagamento até o vencimento: x
• 599 · 0,1 = 59,90
0,69
0,44
(Ceeteps-SP) Na cidade de São Paulo as entidades assistenciais de saúde emitem documentos para pagamento bancário com as seguintes condições:
Considere um conveniado idoso que deverá pagar R$ 599,00 até o dia do vencimento. O atraso acarretará uma multa de 10% e juros de R$ 0,40 por dia. Como pagou um acréscimo de R$ 67,90, o número de dias de atraso é:
0,69
0,59
60
Pagamento após a data de vencimento: x + juros + multa
0,87
0,86
Fonte: IBGE e Fundação Getulio Vargas
Nessas condições, o mês de maior aumento percentual do IPCA, em relação ao mês anterior, foi: a) julho/2004.
c) janeiro/2005.
b) novembro/2004.
x
d) abril/2005.
(SEE-SP) O gráfico abaixo foi obtido em uma pesquisa realizada em creche, em relação ao sabor de sorvete preferido pelas crianças. 63
• 67,90 – 59,90 = 8 • 8 : 0,40 = 20
90 80 70
(PUC-MG) Do salário de Paulo são descontados: 61
Convênio médico ......................... 4% INSS.............................................. 8% IR ................................................ 15%
60
a i c n 50 ê u q 40 e r F
30 20 10 0
Após esses descontos, Paulo recebe o salário líquido de R$ 2.190,00. O salário bruto de x 2 190 0,27 x Paulo é: x 3 000
x
chocolate
creme Sabor
flocos
morango
A porcentagem de crianças que preferem os sabores de creme ou flocos é:
a) R$ 2.500,00
c) R$ 3.500,00
x a) 30%
b) R$ 3.000,00
d) R$ 4.000,00
b) 40%
258
coco
c) 45% d) 50%
90 = 30 = 30% 300 100
Sugestões de leitura e de sites para o aluno Para ler... Coleção Investigação Matemática. Marion Smoothey. São Paulo, Scipione. Em livros de leitura fácil e rápida, temas da Matemática são apresentados de forma descontraída. Todos os livros têm atividades como jogos e quebra-cabeças. Para você, aluno do 9 o ano, sugerimos os títulos: • Áreas e Volumes • Gráficos • Escalas
Dando corda na Trigonometria. Oscar Guelli. São Paulo: Ática, 2002. Com texto interessante e bem ilustrado, o livro conta um pouco da história da Trigonometria. Arquimedes, Tales e Pitágoras fazem parte dessa emocionante viagem ao passado. Jogos e problemas desafiam o leitor.
Descobrindo o teorema de Pitágoras. Luiz Márcio Imenes e Marcelo Lellis. São Paulo: Scipione, 2008. Numa interessante viagem ao passado, você conhecerá Pitágoras e será convidado a redescobrir e demonstrar o famoso teorema que leva seu nome. Vale a pena fazer todas as atividades propostas!
Lógica? É lógico. Nilson Machado. São Paulo: Scipione, 2010. Você já ouviu falar de Lógica? Pois saiba que ela está presente no seu dia a dia, nas ciências, nos mecanismos do pensamento humano. Esse livro é uma excelente oportunidade para aprender as ideias e conceitos básicos desse tema. A linguagem é fácil e simples.
O homem que calculava. Malba Tahan. Rio de Janeiro: Record, 2001. Conta as histórias de Beremiz Samir e outros personagens “das arábias”. Beremiz, brilhante nos cálculos e nos raciocínios, resolve problemas envolventes e desafiadores. É um clássico da literatura lúdica da Matemática.
Semelhança. Coleção Pra que serve a Matemática . Imenes, Jakubo e Lellis. São Paulo: Atual, 1992. Em pequenos textos, o livro enriquece os conhecimentos sobre semelhança e suas aplicações. As atividades e curiosidades apresentadas são interessantes.
259
Para navegar... Selecione canais e clique em IBGE teen. • Mão na roda: para encontrar informações gerais sobre o Brasil, em números, gráficos e mapas. • Calendário: relaciona e comenta datas comemorativas do Brasil e do mundo. • Censo 2007 e Censo 2010: como o nome já diz, contém dados dos censos, como população, escolaridade, condições de vida do povo brasileiro, produção agrícola e pecuária. • Mapas: para uso escolar, disponíveis para visualização e download . • Biblioteca: conteúdo para pesquisa, principalmente em História e Geografia. • Notícias: para ler o que há de novo em dados sobre o Brasil e outros temas.
Clicando em “CH das crianças”, você encontra um menu que permite acessar não só as páginas sobre Matemática, mas também sobre outros ramos da Ciência.
Cadastrando-se gratuitamente é possível acessar listas de exercícios, artigos, biografias de grandes matemáticos, jogos e também fóruns de discussão.
Site das Olimpíadas Brasileiras de Matemática, contendo provas e gabaritos, com download disponível. Bom para testar seus conhecimentos. Há links para sites sobre a História da Matemática e sobre constantes famosas como o número
�
(pi).
Site das Olimpíadas Brasileiras de Matemática das Escolas Públicas. Traz provas de anos anteriores e um grande banco de questões.
Site interessante com temas da Matemática e de outras ciências. Além de assuntos ligados à Matemática, o site aborda temas importantes, como a água, de forma leve e atraente.
Site para consulta sobre vários temas. O site permite acesso gratuito a algumas páginas. Clique em “Matemática” no menu “Biblioteca Viva” para pesquisar temas em vários campos da Matemática.
Traz exercícios resolvidos e propostos, além de informações básicas sobre diversos conteúdos. Procurar assuntos destinados a alunos do Ensino Fundamental.
O software Cabri-géomètre é uma ferramenta auxiliar no ensino-aprendizagem da Geometria. Este site é muito interessante para professores e alunos. Há uma variedade enorme de atividades disponíveis: jogos, animações, simuladores, brincadeiras envolvendo números e formas.
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Contém aulas digitais, games, laboratório de matemática, projetos, artigos e variedades. Repositório que reúne mais de 150 recursos educacionais em diversas mídias (áudios, vídeos, softwares, textos e experimentos práticos), voltados para os Ensinos Fundamental e Médio.
Mostra objetos matemáticos expostos anualmente na Matemateca, no Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo (IME – USP). Eles são confeccionados com o intuito de despertar curiosidade, servir de incentivo ao aprendizado e divulgar de maneira interessante e divertida temas da Matemática.
O site reúne as questões de Matemática de grandes vestibulares. Também apresenta um material didático (artigos, vídeos, provas, desafios, curiosidades etc.) sobre a disciplina para os Ensinos Fundamental e Médio, bem como conteúdo sobre a aplicação da Matemática no dia a dia.
Contém objetos de aprendizagem do Laboratório Virtual de Matemática da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul (UNIJUÍ) e da Rede Internacional Virtual de Educação (RIVED).
Em inglês, programa para exploração e construção de poliedros.
Portal educacional que tem como objetivo disseminar as novas tecnologias da informação e da comunicação. Apresenta artigos sobre números inteiros e números decimais para o 6 o ano.
e Ação Local de Estatística Aplicada é um site de Portugal que traz textos com noções de Estatística e Probabilidades, textos históricos, problemas, desafios, jogos, curiosidades etc.
Página do site da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto, Portugal, apresenta animações de poliedros em 3D.
Contém diversos jogos abordando temas da Matemática, dentre eles sobre o teorema de Pitágoras.
Apresenta conteúdos e atividades sobre sistemas de equações.
Apresenta atividades para testar conhecimentos de trigonometria, circunferência e polígonos.
Apresenta curiosidades sobre os números na natureza.
Apresenta texto sobre o surgimento do número. (Estes sites foram indicados com base em conteúdos acessados em março de 2012).
261
Referências bibliográficas BORIN, Júlia. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de Matemática. São Paulo: IME; USP, 1995. BOYER, Carl B. História da Matemática . São Paulo: Edgard Blücher, 1996. BRASIL. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática. Brasília: SEF; MEC, 1998. CARDOSO, Virgínia Cardia. Materiais didáticos para as quatro operações . São Paulo: IME; USP, 1992. CENTURION, Marília. Conteúdo e metodologia da Matemática, números e operações . São Paulo: Scipione, 1994. D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Da realidade à ação – reflexões sobre educação e Matemática. São Paulo: Summus, 1995. _________________. Educação matemática : da teoria à prática. Campinas: Papirus, 1996. DINIZ, Maria Ignez de Souza Vieira; SMOLE, Kátia Cristina Stocco. O conceito de ângulo e o ensino de geometria. São Paulo: IME; USP, 1992. GUELLI, Oscar. A invenção dos números. São Paulo: Ática, 1998. v. 1. (Coleção Contando a História da Matemática). IFRAH, Georges. Números: a história de uma grande invenção. Rio de Janeiro: Globo, 1992. KAMII, Constance. Aritmética: novas perspectivas. Implicações da teoria de Piaget. Campinas: Papirus, 1992. KRULIK, Stephen; REYS, Robert E. (Org.). A resolução de problemas na matemática escolar . São Paulo: Atual, 1997. LIMA, Elon Lages. Áreas e volumes. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico, 1975. (Coleção Fundamentos da Matemática Elementar). MACHADO, Nilson José. Coleção Matemática por Assunto . São Paulo: Scipione, 1988. v. 1. MOISE, E; DOWNS, F. L. Geometria moderna . São Paulo: Edgard Blücher, 1971. NETO, Ernesto Rosa. Didática da Matemática . São Paulo: Ática, 1987. POLYA, George. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1978. RUBINSTEIN, Cléa et al . Matemática para o curso de formação de professores . São Paulo: Moderna, 1977. SANTOS, Vânia Maria Pereira (Coord.). Avaliação de aprendizagem e raciocínio em Matemática : métodos alternativos. Rio de Janeiro: IM-UFRJ; Projeto Fundão; Spec/PADCT/Capes, 1997. STRUIK, Dirk J. História concisa das Matemáticas . Lisboa: Gradiva, 1997. TROTA, Fernando; IMENES, Luiz Márcio; JAKUBOVIC, José. Matemática aplicada. São Paulo: Moderna, 1980. WALLE, John A. van de. Matemática no Ensino Fundamental : formação de professores e aplicação em sala de aula. Porto Alegre: Artmed, 2009. ZABALLA, Antoni (Org.). A prática educativa: como ensinar. Porto Alegre: Artmed, 1998. 262
Malha para as atividades Malha quadriculada
CONSERVE SEU LIVRO. Tire cópias da malha.
E A D
263
Respostas dos exercícios UNIDADE 1
Exercícios
Exercícios
Página 13 16. 324 pontos 17. a) 59 c) 76 e) 37 b) a 6 d) 76 f) 102 18. a) E b) E c) E d) C 19. 125 chaves 20. 8 C – II 21. A – I B – IV D – III 22. a) 1 b) 3–1 54 23. 9 pacotes 24. a) 211 c) 220 12 b) 2 d) 230
Página 9 1. 1000 parafusos 2. a) 3 b) 2 c) 4 d) Qualquer número natural diferente de zero. e) 5 3. 222
f) 6 g) 7 h) 2 i) 3 j) 5
4.
Lado
3
7
1,5
Área
9
49
2,25
Perímetro 12
28
6
1 2 1 4 2
5. a) 49 6. a) 81 b) �81
b) �49 d) �125 e) 1,96
c) –125
f) –1,96
7. 64 ratos 8. a) 1 b) 0
4 x
f) Não há.
9. a) 5 b) 2 52
b)
c) 5 d) 3 · 53
c)
m 1 10 100 1000
16 25
9 100 81 d) 64 c)
16 5 13. 27 refeições b)
e) – f)
1 32
1 64
14.
3–1 �
1 3
(–3)–1 � –
3–2 �
1 9
(–3)–2 �
a) Diferentes.
49 25
264
1 3 1 9
b) Iguais.
c) 81
16 1 d) 125
e) 125
8 1 f) 2
e)
0,04
f)
169
9 49
c) 1,1
e) 0,3
d) 0,7
2 f) 5
c) 1 d) 4
36. 8 37. 9 metros 38. a) 8 b) –8 c) Não existe. d) 3 e) –3
b) 8 100 m2 e) 200 f) 4 g) 64 000 h) 0,1
b) 20 c) 4
44. a)
7 3
1
56 3
b)
=
52
5
=
;2
c)
;3
d)
2
5
45. a) C b) C 46.
3
4 5 e) 10 f) 5
d)
3
2 4
;5
3;
2
c) E d) C
3
Página 24 47. a)
12
5
c)
b)
15
2
d)
12
3
8
5
2
c) E d) C
50. a) 6 b) 2 c) 2 51. a) 4 cm2 52. a) 10 b) 4
d) 11 e) 10 f) 2
b) 6 cm2 c) 49 d) 81
Exercícios Página 27 55. a) C b) C 56. a)
c) E d) C
f) 9
b) 3 3
g)
11 3
c)
6 2
h)
3 4
d)
2 3
3
i)
h)
2 3
j)
57. a) 8 cm 58. 9 cm 59. Demonstração. 60.
72
ou
61. 48 < 62. a) 3,46 b) 4,23 g) 2
e) C f) C
7 2
e) 24 5 f) Não existe. g) 3 h) –3 i) 3
g) 1 h) 5
53. 45 54. Sim.
e) 6
Exercícios 39. a) 8
=
b) C
0
Página 21
3
43. 6 53
48. 81
6,76
32. 2 33. 10 dm 34. a) 81 b) 32 35. 20 e –20
42. 24 m2
49. a) C
30. a) 120 metros 31. a) 1 b) 8 c) 8 000 d) 0,2
cm 102 103 104 105
d) 5
c) 8 10–9
d)
b) 11
g 103 104 105 106
b)
c) 5 10–3 d) 3,844 108
100
29. a) 1
11.
1 49
c) 7,56 10–3 d) 9 10–5
3
Página 10 10. 49 janelas
15. a)
28. a)
b) 2 h) 3 i) 2 j) 2
e) 5 f) 7 g) 3
Exercícios
Exercícios
d) 5 ou (�5) e) 2 ou (–2)
2
12. a)
x 2
Página 14 25. a) 4 103 b) 8,2 106 26. a) 3,6 107 b) 6 107 27. a) 2,1 105 b) 6,695 106 Página 17
c) 2
kg 1 10 100 1000
x
40. a) 7 41. a) 7 b) 11 c) 13
3
5
2 7 4
2 15
b) 1cm
6 2 49 <
50
c) 7,92 d) 8,92
Exercícios Página 30 63. Falsa, porque 7 5.
e) 7,32
08. b; d 09. a) 11; –11 d) 1; –1 b) 3; –3 e) 3; –3 c) 3; –3 f) 5; –5 10. 6 ou –6 11. 2 12. Um dos fatores tem de ser zero. 13. a) 0; –1 c) –3; 1 b) 0; 5 d) 6; 2
5 9 b) 0; –3 d) 0; –2 15. a) 8 b) 32 c) 64 14. a) 0; 8
c) 0;
Exercícios Página 53 16. a) 49
c) 36
25 4 a) 9; –9 c) 7 b) 10; –10 d) –5 3 a) 3 c) 2 1 b) – 4 d) – 3 a) 3; –7 b) 7; –1 a) x � 2 ou x � –14 b) x � 1 ou x � –9 c) x � –3 ou x � 13 d) x � 6 ou x � –2 b) 9
17. 18.
19. 20.
d)
Página 57 21. a) y d) –7 b) 2 e) Sim; não. c) 6 22. a) 3 b) –3; 4 c) Não tem raízes reais.
b) –5; 4
13 c) –1; 15 3 d) –1; – 2 26. a) 2; –3 b)
5 + 13 5 − 13 ; 2 2
c) 1; –
1 5
27. a) 4 b)
Página 70 48. a) – 4; 1 3 3 b) ; 5 2 c) –4
27
e) –2; 6
1 ;2 2 g) –1; 4 1 h) – ; 10 2 2 d) 3 3 5 e) – ; 2 3
5 ;1 6 f) 3; 6 15 g) – ; 1 2 e) –
49. a 50. b 51. a) – 3; 2
Página 61 28. R$ 5,00 29. 13 anos
63. 25 64. 9 65. a
Seção livre Página 75 O sistema não tem solução em IR. Maior área: 900 m2 Revisando Página 76 66. c 67. a) 6; –6 b) 3; –3 68. Não. Não. 69. 5 cm 70. 0 e 1
52. b 53. b 54. c
3 ;3 2
c) –5; –2 d) –2; 1
Exercícios
f) –1; 8
Página 74 55. a) Sim. b) 4 y 2 � 37 y � 9 � 0 1 c) 9 ou 4 1 1 d) 3; –3; ; – 2 2 56. a) – 4; 0; 4 b) 1; –1 d) M 5; –M 5; M 3; –M 3 e) M 2; –M 2; 3M 2; – 3M 2
21
71. ax 2 � bx � c � 0
valor de
b2 � 4ac
2
3 x � 2 x � 4 � 0 2
x � 4 x � 4 � 0
? 0
b)
2
�44
0
0
�
1
c) 0;
7 3
d) 0; 7 e) –1; –3
3 7 ; 2 4 74. 2 ou 5 75. 5 anos 76. 30 cm c) –
f) 0; –
c)
59. 2 ou –2 c) 48 d) 25
1 2
3 + 17 3 − 17 ; 4 4
6 1 1 ; d) 0; 4 5 2 81. 9 m e 13 m 82. 360 m 83. 20 m por 30 m 1 84. a) x � 2 ou x � – 4 b)
13 9 5 11 1 15
58. d
1 5
d) 0; 5
5 + 17 5 − 17 ; 4 4
Página 77 77. –2 3 , 3 78. 10 anos 79. 6 cm 80. a) 3
raízes reais
72. a) 0; –1 b) 0; –
Números de
25
b) 3 17 7
57. b
60. a) 16 b) 36
c) 4; – 4 d) 2; –2
73. a) 3; 4
f)
28 24
62. d
2 x 2 � 7 x � 3 � 0
d) –2; –1
b)
23
Exercícios
266
Página 65 39. a) S � 7 e P � 10 b) S � 5 e P � –6 7 c) S � 0 e P � – 8 4 1 d) S � e P � – 3 9 40. d 41. a 42. b 43. Os números são 1 e 6. 44. a) 3; 5 c) 6; –2 b) 2; –5 d) 10; –9 45. c 46. d 47. b
c) Não tem raízes reais.
22 E A D
Exercícios
61. a) 47 b) Não tem raízes reais. c) 6 d) 1 e) �2; 1
Exercícios
Exercícios
5 ; 1– 5 d) 1 + 2 2 23. 5 ou –6 24. 5 ou –3 25. a)1; 3
30. 15 e 16 31. 12 m e 7 m 32. 2 cm 33. 5 m 34. 8 cm, 10 cm e 15 cm 35. x � 5 36. 2 cm 37. 5 anos e 7 anos 38. 10 m e 25 m
Página 78 85. 8 equipes; n (n � 1) 86. 15 apertos
Desafios 87. 6 dm 88. 45 jogos 89. 12 pessoas
4.
Página 92 10.
Coordenadas Quadrante
Autoavaliação Página 79 90. a 91. d 92. d 93. a 94. b 95. b 96. a 97. c 98. a 99. d
Borboleta
(4; 2)
1o
Aranha
(–3; 1)
2o
Coelho
(–7; 3)
2o
Formiga
(–6; –2)
3o
Rato
(–4; –3)
3o
Abelha
(2; –3)
4o
Passarinho
(5; –2)
4o
11. A (2; 2), B (–2; 2), C (–2; –2), D (2; –2) 12. a) x � 5 e y � –4 c) x � –4 e y � 3 b) x � –2 e y � 6 d) x � –2 e y � –2 13. a) ordenada
Página 80 100. d 101. b 102. d 103. a 104. a 105. c 106. c 107. c
E
C B 0
abscissa
A
D
b) 1 flecha c) 500 pontos
UNIDADE 3 Exercícios
4.
b) (3; 2)
G (–6; –3) H (–3; –4) I (0; –6) J (2; –3) K (5; –2) L (8; 0) y
D
A
B
E A D : s e õ ç a r t s u l I
C x
5. a) A b) D, F 6. b
Revisando Página 91 7. a) (E; 3) b) (F; 6) 8. a) –7 b) –5 9. a) b)
c) D d) B
e) E f) G
e) (H; 2)
d) (H; 9)
f) (K; 6)
d) 2 x
3. a) Sim.
c) d) �
b) Sim.
1 2
1
3 2
5. a) Não. A correspondência deve rela-
cionar cada elemento de A a um único número de B, e 170 está relacionado a dois números: 42 e 48. b) Sim. A correspondência levaria cada elemento de B a um único número de A.
Exercícios Página 101 6. a) –9 c) 2 b) 13 d) 8 7. a) 8 b) 2 c) O papagaio não opera com decimais 8. a) –6 d) 0; 7 b) 14 e) Não existe. c) 1; 6 9. d 10. a) 162 c) 1 ou �4 b) 4 x 2 � 12 x � 2 0 �1
1 2
4 11
2 �7 �
c) Sim.
b) 4 refrigerantes
d) y � 2,40 x
13. a) R$ 6,00 b) R$ 15,00; R$ 20,00 c) O preço é uma função do peso. 14. a) 28 cm
c) Sim.
b) 9,5 cm
d) P � 4
15. a) 4,5
b) y �
Página 107 16. a) V � 3,50 � 0,60 · n b) R$ 10,10 c) R$ 6,98
Página 98 1. a) 9 ºC b) No 4o dia. c) No 1o e no 5o dia.
2. d
0
�
Página 106 12. a) R$ 7,20
Página 94 20. d 21. d 22. a 23. a 24. d
c) –4; –4
1
Metade de x
Exercícios
• 0 °C • 3 °C • 6 °C • 9 °C • 12 °C
18 x
d) 17 km e) 9,5 km
x
c) 180 laranjas 12 b) 50 litros d) 41 laranjas 18. a) 73 b) y � 2 x � 1 19. a) 18 � 2 x b) A � x (18 – 2 x ) c) 5 m, 5 m e 8 m ou 4 m, 4 m e 10 m 17. a) y �
d)
c) (G; 2)
3
b) �1, 6 c) 5
Página 93 14. a 15. a 16. d 17. a 18. c 19. b
1o dia • 2o dia • 3o dia • 4o dia • 5o dia •
2
y � 3 x � 1
Exercícios E
1
x
UNIDADE 4
F
0
�
11. a)
Autoavaliação
Página 85 1. d 2. a) (2; 3) 3. A (5; 5) B (3; 2) C (0; 7) D (–4; 3) E (–7; 2) F (–5; 0)
2
x
Exercícios Página 109 20.
c) y � x 2 d) (–2; 4), (–1; 1),
metros
1
2
3
5
7,5
Preço (R$) 1,30 2,60 3,90 6,50 9,75
(0; 0), (1; 1), (2; 4)
267
21.
37. a) Sim. R$ 3,00 b) Não. 38. a)
b) x
y � 2 x – 3
–2 –1 0 1 2 3 0,5
–7 –5 –3 –1 1 3 –2
( x , y ) (–2; –7) (–1; –5) (0; –3) (1; –1) (2; 1) (3; 3) (0,5; –2)
x
y
2
3
1
2
0
1
1
0
2
1
y
2
0 –3
–2
–1
1
2
3
4
5
x
–1
linhas
3 12
4 16
41.
1
–4
2 8
Página 123 39. a) 20 mL b) 86 kg c) 2,5 mL 40. 6 cm
3
–5
1 4
b) Duplica. c) É dividido por 3. d) y � 4 x
y
22. d 23. b 24. y � x + 4 25. p � 2t + 1 26. b � 3n – 1, e a figura 20 terá 59 bo-
0 0
x
c) R$ 0,50 d) y � 0,5 x + 3
x –2 –1 0
7
y
1
2
3
4
5
6
0 –5 –8 –9 –8 –5 0
7
–2
Exercícios
–3
y 7
–4
Página 113 27. a) R$ 35,00
6 5
b) R$ 0,40
c) R$ 0,20
c)
4
28. a)
1 2
x y
0 4
1 0
2 2
4 2
x y
0 2
2 2
4 2
4 –1
x
y
3
2 1 0 1 2 3
5 4 3 2 1 0
2
b) Apenas o item 1 é função. 29. Resposta pessoal. 30. d
1 0 –6
–5
–4
–3
–2
–1
2
3
4
5
6
7
8
x
–2 –3 –4 –5 –6 –7
y
Página 114 31. a) –100 mil reais 32. d 33. a) 9 horas b) 1 hora c) 3 horas d) Sim, 30 min.
1 –1
–8
5 –9
b) 200 mil reais
4
42.
3
e) 8 km f) 4 km g) 1 h e 30 m h) 18 km
2 1 0 –5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
x
x
–1
0
1
2
3
4
5
y
–8
–3
0
1
0
–3
–8
–1
Exercícios
y
–2 5
Página 122 34. I e B; II e D; III e A; IV e C.
–3
4 3
d)
35.
2 1 0
a)
x x
y
2 1 0 1 2
4 2 0 2 4
E A D : s e õ ç a r t s u l I
y
2
0
1
1 2
0
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
1
3
4
5
6
7
x
8
–2 –3 –4 –5 –6 –7 –8
1 2
43.
–1 9
x y
2
5
0 4
1 1
y
4
2
–1
1
1
y
–8
2 0
3 1
4 4
5 9
y 9
3
8
2
2
1
1
7
1
6
2
5
0
1 –5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
–1
1
–2
2 0
–3
4
x 3 2 1
–2
–1
1
2
x
0 –8
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
1 –1
–4 –5
36. Os gráficos das quatro funções são re-
tas paralelas.
268
44. c
2
3
4
5
6
7
8
x
Revisando Página 124 45. a) 8
y
y
9
9
8
8
c) –3
b) 0
2 3
d)
27
�
�
5 4
5
�
�
6
6
46. a) 70 b) c) 2; 5 4 d) –1; 8 47. 1) a 4, b 6, c 8, d 7 2) a –3, b 4, c –3, d –17 48. a) R$ 750,00 b) 200 m2 c) O preço a ser cobrado é uma função �
7
7
3 2
4
1
3
0 –8
2
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
�
�
1
2
3
4
5
6
7
8
x
–1
1
�
0 –6
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
6
7
x
–1 –2
59. a) (1; 0) e (5; 0) b) (0; 5) c)
–3
da área a ser pintada. 49. 17 horas 50. a) 17 palitos b) 41 palitos c) p 4c + 1
y
–4
5 –5
�
–6 –7
Página 125 51. 11 livros
–8
1
–9
3
0
52.
Quantidade
Preço a pagar (R$)
1
x y
c)
0,70
2 1 0 1 2 3 2 1 0 1
1,40
3
1,40
4
2,10
4
60. a) C 20 + 12 t b) R$ 50,00 c) 1 hora e 15 minutos 61. a �
3 2 1 0 –5
5
–4
–3
–2
–1
2,80
1
2
3
4
5
–1
2,80
7
3,50
8
4,20
9
4,20
–4 –5
10
2 3 y 2
1
x
4,90
0 1 2
1
53. a) 400 unidades
1
0
2 1 2
�
2 3 67. Gráfico B. b)
5
c) Diminuiu; 200 unidades.
Página 127 62. a) P 8 x c) D 5 x 2 b) A 3 x d) 12 cm 63. a) 13 palitos c) 31 palitos b) 16 palitos d) (3n + 1) palitos 64. 15 km 65. a) E; b) C; c) E; d) E; e) C Página 128 66. a) 93 milhões de habitantes
y
b) Junho; 1200 unidades.
�
–3
d)
x
�
–2
6
x
y
2
5
4 3
54. Gráfico C 55. 5 000 unidades
2 1 0
Página 126
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
x
Desafios 68. Gráfico A. 69. 19
–1
56. a)
x y
2
1
0
3 1,5 0
1
1,5
Autoavaliação Página 129 70. a 71. d 72. c 73. d 74. c
2 57. a) y 2 x + 5 b) x 3 2 y 11 9 �
3
1 7
0 5
y
y
11
5
10
4 9
3 E A D : s e õ ç a r t s u l I
7 6
1
5
0 –5
–4
–3
–2
Página 130 75. b 76. a 77. b 78. b
8
2
–1
1
2
3
4
5
4
x
–1
3 2
–2
1
–3
0 1
–4
b)
2
3
4
5
6
7
x
c) 4 refrigerantes x
2
1
y
7
3
0
1
1
5
2
9
58.
x y
0 0
1 5
2 8
3 9
4 8
5 5
6 0
Página 131 79. c 80. b 81. a 82. b 83. b 84. b
269
4. a) 2003 – taxa de 9,7% b) 2006, 2007 e 2008 5. Respostas pessoais.
Página 132 85. d 86. d 87. c 88. a
UNIDADE 5 Exercícios Página 139 1. a) Amarelo e vermelho. b) Verde e azul. 3 2. a) A; d) M e T ou C, I e E. 10 1 b) e) É maior. 10 1 c) 2 3 38 18 3. a) b) c) d) 0 41 41 41 1 1 1 4. a) c) e) 6 2 3 1 2 b) d) 0 f) 2 3 4 5. 7 Página 140 6. a) 7 pontos
1 9 1 d) 6
b) 2 pontos e 12 pontos
1 4 7 3 8. a) b) 8 8 1 9. 2 10. 12 rapazes 7. a)
1 2
b) c)
1 8
d)
1 2
Exercícios Página 143 11. a) 50% b) 17%
Revisando Página 149 16. a) P b) I c) C d) PP 1 17. 8 18. a) Azul. b) São igualmente prováveis. c) Não sair verde. 19. a) 90 vezes b) I) 7 lançamentos II) 50 lançamentos III) 47 lançamentos IV) 41 lançamentos Página 150 7 8 1 21. a) 8 1 22. a) 2 20. a)
c) 69% d) 36%
3 8 1 b) 13 b)
1 2
d)
3 8 1 c) 26 c)
1 2
e) 0
d)
1 4
1 d) 52
Rapazes
Garotas
Total
21
17
38
7
5
12
Página 154 42. c 43. d 44. c 45. c 46. c
UNIDADE 6 Exercícios Página 161 1. a) x � 9 b) x � 2,7 2. Lote 2: 35 m; lote 3: 56 m 3. 40 cm 4. a) x � 4 b) x � 4,8 5. Lote 1: 36 metros; lote 2: 54 metros
Seção livre Página 163 Sim. Página 167 6. E A D
c) 34,5% d) 44%
7 12
Página 151 25. a) 0 b) 4 26. d 1 3 27. a) b) 4 4 (sopa, frango, mamão), (sopa, fran28. a) go, pudim), (sopa, picanha, mamão), (sopa, picanha, pudim), (sopa, peixe, mamão), (sopa, peixe, pudim), (canja, frango, mamão), (canja, frango, pudim), (canja, picanha, mamão), (can ja, picanha, pudim), (canja, peixe, mamão), (canja, peixe, pudim). 2 3 1 ter comido picanha e pudim: 6
b) não ter comido peixe:
28 22 50 11 19 ; gostar de MPB: b) garota: 25 25 13. 51% 14. c 15. d Seção livre Página 145 1. a) 400 000 habitantes b) Aproximadamente 0,2%. 2. b ou d seriam as respostas mais adequadas. 3. a) 18,43 milhões b) 2005 para 2006, recuo de 0,7% c) Resposta pessoal.
270
c)
b) 200 mulheres
12. a)
Gostam de MPB Não gostam de MPB Total
b) 1
23. a) 135 homens
24.
c)
39. b 40. a 41. a
Página 152 1 3 29. a) b) 4 4 30. 30%
c)
15 28
32.
Autoavaliação Página 153 34. c 35. a 36. d 37. d 38. c
Página 168 11. x � 35 cm; y � 25 cm z � 35 cm; w � 15 cm 12. a 13. Ângulos: 70°; 110°; 70°; 110° Lados: 0,5; 1; 0,5; 1 Ângulos: 70°; 110°; 70°; 110° Lados: 6; 12; 6; 12 14. a) Sim. b) Não. 15. Sim. 16. a) Sim. b) Não.
Exercícios
Desafios 31. b 3 1 ou 51 17 1 33. a) 5
7. A figura B. 8. A e G; B e D; C e H; E e F. 9. e 10. 21 cm 12 cm
b)
4 5
d)
3 28
Página 172 17. x � 10 e y � 8 18. a) 90°, 60° e 30° b) 28,5 cm, 48 cm e 55,8 cm c) 14,25 cm, 24 cm e 27,9 cm 19. x � 36 e y � 12 20. a) x � 12 b) x � 7 21. a) x � 8 c) 54 e) 50 b) y � 24 d) 36
Exercícios Página 175 22. 4,5 cm; 6 cm e 7,5 cm 23. 22,5 m 24. 24 m 25. 1,20 m 26. 300 metros 27. 4,5 m
17. 28 cm 18. 50 cm2 19. 100 3 km 20. 275 cm ou 2,75 m
Seção livre Página 176 28. d 29. Marina. Revisando Página 177 30. a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 31. 4,20 m 32. a � 50,4 cm; b � 30,6 cm; c � 126 cm; d � 81 cm; r � 57,6 cm; s � 27 cm 33. 36 cm; 57 cm 34. a 35. y � 1; z � 12; x � 4 Página 178 36. c 37. 4,95 metros (aproximadamente) 38. I e III 39. 30 m 40. 4 m Página 179 41. 32 metros 42. 17,3 metros (aprox.) 24 43. x � 7 44. 720 g Desafios 45. e 46. 20,5 m
Página 191 15. b 16. 380 m
32. Lado: 4 3 cm e apótema: 6 cm. 33. 240 34. 54 m2 35. 480 m 36. x � 45 cm; y � 53 cm
41. d
Página 200 42. a) x � 10 b) x � 2 43. 2 088 m c) x � 3 d) x � 4 b) x � 3 b) x � 5
Exercícios
c c d d
Página 198 31. 2,97 m (aprox.)
40. a) 6 2 cm b) 18 cm2
Exercícios
11. 12. 13. 14.
Revisando Página 197 25. 2 m 26. 90 cm 27. 17 cm 28. 3,03 m (aprox.) 29. a) x � 4 b) x � 3 30. O carro azul.
38. 8 2 39. a) 28 cm b) 10 cm
UNIDADE 7
Página 190 7. b e c 8. a) x � 10 b) y � 2 11 9. 10 3; 20 cm 10. b
Página 196 21. a) x � 15 c) x � 2,4 b) x � 3 5 d) x � 8 22. 52 cm 23. 40 m 24. a) 2,5 km b) 1,5 km c) 2 km
Página 199 37. Não.
Autoavaliação Página 180 47. c 48. c 49. d 50. b 51. b 52. d
Página 187 1. a) x � 10 b) x � 15 2. 17 m 3. a) x � 5 4. a) x � 3 5. 150 m 6. 234 m
Exercícios
c) y � 4 d) y � 15, x � 25
Desafios 44. 24 cm 45. 26 cm 46. 4 dm Autoavaliação Página 201 47. c 48. d 49. c 50. b 51. c 52. d Página 202 53. b 54. b 55. d 56. d 57. c 58. a
c) 66 cm2 d) Trapézio retângulo.
UNIDADE 8 Exercícios Página 210 1. a) a b) b c) c 2. a) 0,6 c) 0,75 b) 0,8 d) 0,8
d) c e) b e) 0,6 f) 1,333...
3.
25° 38° 74° 56° seno 0,4226 0,6157 0,9613 0,8290 cosseno 0,9063 0,7880 0,2756 0,5592 tangente 0,4663 0,7813 3,4874 1,4826 4. a) x � 4,067 b) x � 100,692 5. Não.
c) x � 15,009 d) x � 6,894
Página 211 6. Aproximadamente 1,93 m. 7. 324 m 9. 76° 10. 3,57 m 11. c Página 215 12. a) x � 4 13. 20 3 m 14. 2 000 m 15. 4 m 16. 3 m 17. 58,2
b) x � 5 2
Revisando Página 216 18. y � 3 e x � 5 19. 6 m 20. 85 m 21. 240 m 22. 2,5 km 23. 147,18 m (aprox.) Página 217 24. 4 m 25. 21,6 m 26. 70,48 m 27. 21 cm 28. Aproximadamente 6°. 29. a) 3 m (aprox.) b) 8,54 m (aprox.) Página 218 30. a) 3 m 31. c
b) 2,55 m
Desafios 32. d 33. 16,99 m Autoavaliação Página 219 34. b 35. a 36. c 37. d 38. a Página 220 39. d 40. b 41. a 42. d
271
UNIDADE 9 Exercícios Página 227 1. 3 ; 28 ; 250 2. 113,04 cm2 3.
DiâmeRaio Perímetro Área tro R$ 0,25 2,5 cm 1,25 cm 7,85 cm 4,91 cm2 R$ 0,50 2,3 cm 1,15 cm 7,22 cm 4,15 cm2
Moedas
4. 28,56 cm2 5. a) 86 cm2 6. a) 14,13 cm2
b) 86 cm2 b) 39,25 m2
Página 228 7. a) 10 discos b) 2,15 m2 2 8. a) 18,5325 cm b) 11,14 cm2 9. 138,16 m2 10. a) 2 cm2 b) cm2 2 11. 88,31 cm (aprox.) 12. 90° 38,47 cm2 (aprox.) 120° 51,29 cm2 (aprox.) 150° 64,10 cm2 (aprox.) ⇒
⇒ ⇒
Exercícios Página 233 13. 722,2 cm2 14. 301,44 cm2 15. 10,99 m3 16. Sim. 17. a) 22 608 m3 18. a) 7 065 cm3 b) 9 000 cm3
b) 3 768 viagens c) 1 935 cm3
Página 236 24. 117,75 cm2 25. 8 cm2 26. 62,8 cm 27. 2 588,5 cm3 28. 5 cm, 5 cm e 8 cm 29. Resposta pessoal. 30. 465 cm2 31. 628 cm2 b) 1 884 L b) 1,491 5 L
Desafios Página 237 35. A família que pediu a pizza grande. 36. 22,065 m2 37. A mangueira azul. 38. 441,3 cm3
272
Total de pessoas por indústria A 5 600
Autoavaliação Página 239 44. c 45. a 46. d 47. b 48. c
6 250
um quinto 20% 1 250
C
1 200
três quartos 75% 900
D
1 473
todos
100% 1 473 Reais 259 245 196
25. R$ 4,80 26. R$ 540,96 27. a) 5% no feijão e 25% no macarrão b) O macarrão.
Exercícios Página 245 1. a) 25,9 e) R$ 3.000,00 b) 350 f) R$ 600,00 c) 64,3 g) R$ 300,00 d) 212 h) R$ 30,00 2. a) R$ 36,90 b) R$ 28,90 c) R$ 14,72 3. a) 42 bombons b) 45% c) R$ 0,76 4. Ambos são iguais a 16. 5. 3 550 lâmpadas
b) 0,75 kWh
Exercícios Página 251 13. R$ 6,72 14. a) R$ 1.872,00 c) Resposta pessoal. b) R$ 1.664,00 15. 2,5% ao mês 16. 22% ao mês 17. 4 anos 18. 1,67% (aprox.) ao mês 19. 38% 20. R$ 10.384,73 Revisando Página 252 21. 76 kg 22. a) 6 bolachas
B
Porcentagem Marcos 37% Saulo 35% Frede 28%
Página 240 49. b 50. d 51. c 52. c 53. a 54. a 55. d 56. b
Página 246 6. 35% 7. 12,5% 8. R$ 2.000,00 9. R$ 25,20 10. 23,5% 11. R$ 650,00 12. a) 16,8 kWh
Pessoas que gostam de futebol metade 50% 2 800
24.
UNIDADE 10
Revisando Página 235 19. a) A � 4 cm2 ; B � 5 cm2; C � 5 cm2 b) São equivalentes. 20. a) 98,125 cm2 c) (12 + 8) cm2 b) 16,13 cm2 d) (5 + ) cm2 21. 5 cm2 22. 8 m2 23. a) 1,84 m2 b) 7,82 m2
Página 237 32. a) 2 512 L 33. a 34. a) 0,785 m2
23.
Seção Livre Página 238 39. d 40. d 41. c 42. b 43. b
b) 55%
c) R$ 0,72
Página 253 28. 4 litros 29. R$ 450,00 30. 66 peças 31. 56% 32. R$ 318,00 33. R$ 1.664,00 34. 2 anos 35. R$ 103.030,10 36. 50% Página 254 37. c 38. R$ 19,95 39. 1 200 dólares; 1 296 euros 40. 25% 41. R$ 1.280,00 Desafios 42. a 43. R$ 696,00 44. R$ 1.100,00 45. 15 medalhas de bronze Seção livre Página 255 a) Sim. b) R$ 640,00 Autoavaliação Página 256 46. b 47. c 48. b 49. b 50. c 51. b 52. a Página 257 53. c 54. d 55. d 56. a 57. d 58. d Página 258 59. b 60. b 61. b 62. d 63. a
c) 20%
ÁLVARO ANDRINI MARIA JOSÉ VASCONCELLOS
9 MATEMÁTICA
PRATICANDO Coleção PRATICANDO MATEMÁTICA
Matemática EDIÇÃO RENOVADA
ÁLVARO ANDRINI Licenciado em Matemática. Pós-graduado em Álgebra Linear e Equações Diferenciais. Foi professor efetivo de Matemática da rede estadual durante trinta anos. Autor de diversos livros didáticos.
MARIA JOSÉ VASCONCELLOS Licenciada em Matemática. Coordenadora e professora de Matemática em escola da rede particular. Coautora de coleção de Matemática para o Ensino Médio.
MANUAL DO PROFESSOR 3a edição, São Paulo, 2012
COLEGA COLEGA PROFESSOR PROFESSOR
Este manual tem diversos objetivos: • Revelar ideias presentes na concepção desta coleção de Matemática, esclarecendo sua proposta pedagógica. • Contribuir para o processo de formação contínua do docente, apresentando textos e artigos cuja leitura propicia a reflexão sobre educação e práticas metodológicas. • Fornecer subsídios para enriquecer as aulas oferecendo orientações específicas para o trabalho com o Livro do Aluno, sugestões de textos, atividades propostas para avaliação e integração com outras áreas do conhecimento. • Refletir sobre o processo de avaliação em Matemática propondo ideias e sugerindo instrumentos e estratégias que possam lhe ser úteis.
Esperamos que este manual o auxilie em seu trabalho, contribuindo para o sucesso de seus alunos. Os autores
SUMÁRIO SUMÁRIO 1. Considerações sobre o ensino da Matemática e a concepção da obra .... 05 2. Estrutura da obra ............................... 06 2.1 Principais temas abordados na obra ................................................ 08 2.1.1 Números ...................................... 08 2.1.2 Álgebra ........................................ 10 2.1.3 Geometria.................................... 10 2.1.4 Medidas ....................................... 11 2.1.5 Razões, porcentagens e proporcionalidade ................... 11 2.1.6 Estatística..................................... 12 2.1.7 Funções ........................................ 12 3. Ideias sobre a avaliação em Matemática ......................................... 13 3.1 Sobre o erro .................................. 14 3.2 Sobre a utilização de portfólios ......15 4. Textos de apoio sobre educação e práticas metodológicas ................... 19 4.1 Como ensinar Matemática? ......... 19 4.2 Matemática e resolução de problemas ..................................... 21 4.2.1 Os vários tipos de problema: uma possível classificação ........ 22 4.2.2 Dois tempos e modos de ensinar a Aritmética ............ 25 4.3 Leitura, escrita e oralidade: competência de todas as áreas ......36 4.3.1 Parágrafo extraído da Proposta de Avaliação, presente no Documento Básico do ENEM – Brasília/2002 ...........36 4.3.2 A leitura, a escrita e a oralidade em Matemática ...........................37 4.3.3 Comunicação em Matemática: instrumento de ensino e aprendizagem .............................38 4.3.4 Leitura na escola.........................41 4
MANUAL DO PROFESSOR
4.4 O comprometimento com o próprio aprendizado ................. 44 5. Quadro de conteúdos ........................ 46 6. Sobre o livro do 9o ano ...................... 52 Unidade 1 – Potenciação e radiciação ........................................... 52 Unidade 2 – Equações do 2 o grau ..... 58 Unidade 3 – Sistema cartesiano ........ 64 Unidade 4 – Funções ........................ 65 Unidade 5 – Noções de probabilidade ..................................... 69 Unidade 6 – Teorema de Tales e semelhança de triângulos ................... 82 Unidade 7 – Relações métricas nos triângulos retângulos .......................... 92 Unidade 8 – Trigonometria no triângulo retângulo ............................. 99 Unidade 9 – Círculo e cilindro ......... 102 Unidade 10 – Porcentagem e juro ... 105 7. Avaliação – O que se pede por aí .... 109 8. Sugestões de livros e sites para o professor ............................... 113 8.1 Livros........................................... 113 8.1.1 Matemática por meio de jogos e resolução de problemas .......113 8.1.2 História da Matemática e História da Educação Matemática .......... 113 8.1.3 Paradidáticos ........................... 113 8.1.4 Educação Matemática ............. 114 8.2 Revistas....................................... 115 8.3 Sites ............................................ 116 9. Referências bibliográficas ................ 119
1. Considerações sobre o ensino da Matemática e a concepção da obra A presença cada vez maior da Matemática nas atividades humanas torna seu aprendizado fundamental para a inserção do cidadão no mundo do trabalho e das relações sociais. O caráter instrumental e científico da Matemática permite resolver problemas práticos e fornece ferramentas importantes para a construção do saber científico. Conhecimentos matemáticos, mesmo aqueles que não fazem parte do cotidiano imediato, são necessários para a alfabetização científica e técnica do indivíduo, indispensável nos dias de hoje. Concomitantemente, o desenvolvimento de capacidades intelectuais presentes no pensamento matemático, como deduzir, generalizar, argumentar e conjecturar, propicia formar indivíduos com uma visão mais ampla da realidade, preparados para atuar num mundo em constante mudança. É necessário ressaltar também que o ensino em Matemática deve buscar o desenvolvimento de posturas e atitudes necessárias à formação cidadã: confiança na própria capacidade, perseverança e disciplina na busca de resultados, respeito pelo pensamento do outro e trabalho cooperativo. Conciliar e contemplar satisfatoriamente cada um destes aspectos em sala de aula não é tarefa fácil. O livro didático deve, portanto, ser um parceiro eficiente para o professor e para o estudante. Esta foi a intenção dos autores ao escrever esta obra. Acreditamos que o primeiro passo é criar um ambiente de aprendizado que permita dar significado ao que se aprende, aproximando a Matemática do dia a dia do aluno. Nesse sentido, a contextualização de conteúdos exerce papel de destaque e deve ser explorada. Na obra, a contextualização de conteúdos está presente, mas de forma criteriosa, cuidando para não levar à banalização e à perda de consistência. O aluno deve conhecer e aplicar conhecimentos da Matemática na vida prática, mas há outro objetivo também importante: desenvolver nele o gosto pelo desafio, presente em situações da própria Matemática, de maneira que as abstrações não constituam o início ou o fim do processo, e sim mediações indispensáveis para a construção do conhecimento matemático. Visando ao equilíbrio destes dois aspectos que se complementam, sempre que possível a obra apresenta os temas e sua exercitação por meio de problemas, valorizando estratégias diversificadas de resolução, a compreensão e a aplicação de conceitos, o uso adequado de procedimentos e a análise da solução obtida. Situações que propiciam o desenvolvimento do pensamento abstrato surgem de forma gradual, respeitando o desenvolvimento cognitivo dos alunos, mas dando a sustentação necessária para a construção de conceitos e demonstração de propriedades. Consideramos indispensável o trabalho com leitura, escrita e oralidade em Matemática. Essas habilidades são desenvolvidas em todos os anos, por meio da leitura de textos envolvendo História da Matemática, textos de interesse científico ou social e, sobretudo, pela leitura dos próprios textos didáticos, escritos com foco no aluno e permeados por quadros interativos com propostas de atividades. Em várias oportunidades o aluno será incentivado a elaborar, explicitar e compartilhar diferentes caminhos de resolução de questões. Com isso, pretendemos que ele reflita sobre sua maneira de pensar, propiciando a criação de mecanismos que facilitem cada vez mais seu aprendizado. MANUAL DO PROFESSOR
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A interação entre alunos desempenha papel fundamental no desenvolvimento das capacidades cognitivas, afetivas e de inserção social. Contemplamos, nesta coleção, o trabalho em pequenos grupos. Sugerimos atividades em duplas ou trios, possibilitando o contato com outros pontos de vista para aprimorar a capacidade de comunicação e de cooperação. Contudo, as atividades em grupo não impedem o exercício individual, importante para o desenvolvimento da autodisciplina e da autonomia. As atividades de sistematização estão presentes na coleção e têm como objetivo gerar maior agilidade no uso de técnicas e procedimentos. Ressaltamos ainda o trabalho da obra com cálculo mental, estimativas e o uso da calculadora como forma de prever e verificar resultados. A abordagem da História da Matemática é uma grande aliada para despertar o interesse dos alunos. A obra se vale desse recurso em muitos momentos, apresentando a Matemática como construção humana em constante evolução, cuja história tem se construído de forma não linear, com a contribuição de grandes gênios da ciência e também a partir da prática das pessoas comuns. Disponibilizamos para o docente, neste Manual, alguns artigos envolvendo a História da Educação Matemática, pois consideramos que conhecimentos sobre práticas escolares em Matemática, ao longo do tempo, permitem refletir sobre a sala de aula hoje, enxergando-a num contexto histórico. Propomos alguns jogos matemáticos e atividades com material concreto, cuja realização é possível em sala de aula, buscando contribuir para a construção de um ambiente pedagógico mais descontraído onde aprender rime com prazer. A coleção atende às demandas do mundo atual e valoriza as atuais propostas para o ensino da Matemática. Pautados em nossa prática docente, procuramos fornecer uma base sólida por onde professor e aluno possam transitar com segurança, abrindo espaço para a criatividade, sem perder de vista a realidade de sala de aula em nosso país.
2. Estrutura da obra A obra compõe-se de quatro volumes, cada um com um Manual do Professor específico. Nos volumes, a teoria é distribuída de modo equilibrado em unidades e seções, visando dar o suporte necessário ao professor, sem tirar-lhe a liberdade de criação. Levando em consideração as diferentes formas e ritmos que cada um tem para aprender, os textos estabelecem um diálogo com o aluno para facilitar a compreensão e permitir que ele progrida na leitura com mais facilidade por meio de uma linguagem clara e simples, incluindo fotos, ilustrações, gráficos e esquemas explicativos. Atividades surgem ao longo do texto como forma de levantar conhecimentos prévios e de checar o progresso da leitura. A História da Matemática aparece ao longo dos volumes em diversas oportunidades: textos de caráter histórico, comentários e informações biográficas, ou no enunciado de alguns exercícios. Além das atividades sugeridas paralelamente à apresentação dos temas, cada unidade apresenta seções específicas com atividades, descritas a seguir.
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Exercícios Propostos ao final de cada assunto, fornecem ao aluno uma oportunidade de autocontrole de habilidades e conteúdos procedimentais adquiridos na aprendizagem, utilizando como base a teoria desenvolvida. Os exercícios estão dispostos em grau crescente de dificuldade, são diversificados e muitos deles foram retirados de avaliações de caráter oficial.
Revisando Os exercícios dessa seção constituem mais uma oportunidade de retomar e interligar os diferentes assuntos, dando ao aluno a possibilidade de mobilizar recursos para exercer as competências adquiridas. Poderão ser encaminhados para tarefa de casa ou ainda reservados pelo professor para aplicação na recuperação paralela.
Desafios Agrupamos, nessa seção, questões que exigem soluções mais criativas e elaboradas. Sugerimos que estes exercícios sejam resolvidos em duplas ou trios, permitindo que cada um contribua para a resolução, incentivando o trabalho coletivo.
Autoavaliação São propostas questões do tipo teste, apuradamente selecionadas. Muitas delas vêm de olimpíadas, vestibulares e avaliações da rede oficial, observando sempre a adequação ao nível cognitivo dos alunos a que se destinam. O professor pode utilizar esses exercícios de diversas maneiras. Por exemplo, os alunos podem resolvê-los sem ajuda, conferindo, ao final, as respostas e analisando seu aproveitamento juntamente com você.
Seção livre Apresenta exercícios ou textos envolvendo curiosidades, fatos históricos, arte, ciência e situações do cotidiano, buscando motivar o aprendizado.
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Vale a pena ler São textos variados envolvendo Matemática, História da Matemática e outras áreas do conhecimento. Contribuem para desenvolver a habilidade leitora e de interpretação de textos.
Selo que sinaliza textos e atividades que envolvem Matemática aplicada a outras áreas do conhecimento e/ou à vivência cotidiana.
2.1 Principais temas abordados na obra A coleção distribui seu conteúdo, nos quatro volumes, em temas que poderiam ser destacados como: • Números; • Álgebra; • Geometria; • Medidas; • Razões, porcentagens e proporcionalidade; • Estatística; • Funções. São desenvolvidos procedimentos relativos a cálculo mental, estimativas, argumentação e iniciação à articulação lógica e dedutiva. Os problemas estão presentes nos textos e nas seções de exercícios, explorando e buscando desenvolver habilidades variadas. Lembramos, no entanto, que os alunos devem ter acesso a problemas de outras fontes, principalmente os propostos a partir de situações que surjam do contexto particular a que pertencem. Acreditamos que a competência de ler, compreender, interpretar e produzir textos não se desenvolve unicamente na aprendizagem da Língua Portuguesa, mas em todos os componentes curriculares. Quem deve, preferencialmente, tratar da leitura de textos em Matemática é o professor dessa área, pois a construção das relações entre as duas linguagens diferentes – as palavras e os símbolos matemáticos – será melhor desenvolvida por ele. Lembramos novamente que todos os textos didáticos foram escritos pensando no aluno como leitor. O professor pode utilizá-los no trabalho com leitura em Matemática.
2.1.1 Números Pesquisando a História da Matemática, fizemos um levantamento sobre a história dos números, dos processos de contagem e dos sistemas de numeração criados por antigas civilizações. O volume do 6o ano retoma e aprofunda os conhecimentos sobre o sistema de numeração decimal e seus princípios. A coleção procura sempre que possível articular Números com Medidas e Geometria. 8
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No volume do 6 o ano apresentamos inicialmente os números naturais e suas aplicações. Retomamos as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão nos naturais a partir das ideias ligadas à elas, bem como os algoritmos usuais e as propriedades da adição e da multiplicação. As técnicas de cálculo mental e o uso de arredondamentos para estimar resultados são incentivados. Apresentamos a potenciação, sua notação e cálculo de potência com base e expoente natural. Trabalhamos em seguida com as raízes quadradas de números naturais com foco nas raízes exatas. Precedendo os estudos das frações apresentamos as relações “múltiplo de” e “divisor de”, os critérios de divisibilidade mais importantes, como facilitadores, o conceito de número primo e determinação do mmc e do mdc entre números naturais. Não construímos o conjunto
Q neste
volume, mas o trabalho com frações é retomado e ampliado, tratando as
operações e apresentando problemas envolvendo as frações e suas aplicações. A partir das regras do Sistema de Numeração Decimal, lembramos o registro e a leitura de números decimais, bem como suas aplicações no cotidiano. As operações envolvendo números decimais são cuidadosamente trabalhadas nos textos e pretendem que o aluno entenda os algoritmos usuais, em especial nas multiplicações e divisões. No 7o ano, antes de apresentar os números negativos, relembramos os números naturais, apresentamos o conceito de fração como quociente e retomamos os números decimais, tendo também como novidade a localização de frações e de números decimais na reta numérica. A ideia de fração como quociente parte de situações que envolvem desenhos, para facilitar o entendimento dos alunos. Sugerimos apresentar vários exemplos concretos: 4 chocolates divididos entre 5 crianças, 2 pizzas divididas entre 8 pessoas etc. Optamos por apresentar os números negativos inteiros, fracionários e decimais, sem construir ainda os conjuntos Z e
Q.
A ideia é garantir um aprendizado mais consistente das operações e da
resolução de problemas envolvendo números negativos antes de formalizar os conjuntos numéricos. Entendemos que o aluno do 8 o ano estará mais preparado para esta construção. No 8o ano, com apoio na história dos números e sua ligação com o desenvolvimento da humanidade, apresentamos os números reais a partir da construção dos conjuntos
N , Z e Q,
e dos números
irracionais. A apresentação dos números irracionais é feita de forma cuidadosa, com textos acessíveis e com uma atividade concreta para apresentar o número
(pi).
�
Abordamos a representação na reta numérica estendendo o registro para números reais. Num quadro, no final da Unidade 1 do 8 o ano, apresentamos formalmente as propriedades dos números reais. Nesse volume, a potenciação, suas propriedades e a radiciação têm destaque, incluindo expoentes inteiros negativos, raízes com índice natural maior que 2, números quadrados perfeitos e raízes não exatas. No 9o ano, precedendo o trabalho com radicais, há a retomada da potenciação e suas propriedades, e da radiciação, apresentada agora de maneira mais formal. Dessa forma, pretende-se que, ao final do 9o ano, o aluno tenha formação adequada no campo dos números, para prosseguir seus estudos no Ensino Médio. MANUAL DO PROFESSOR
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2.1.2 Álgebra O livro do 6o ano trabalha com a observação de regularidades e algumas generalizações. No 7o ano, esse trabalho é retomado e se inicia o estudo da Álgebra mais formalmente, introduzindo a linguagem algébrica, as equações e as inequações do 1 o grau. O maior objetivo neste volume, é mostrar as equações como ferramenta útil na representação e resolução de problemas, sem ofuscar as habilidades de cálculo mental, as resoluções por tentativas e por meio da Aritmética. Prosseguindo, no 8 o ano, o aluno trabalha com o cálculo algébrico, manipulando expressões, construindo o conceito de variável, de fórmula, de incógnita, aprendendo a utilizar corretamente conhecimentos importantes da Álgebra, como os produtos notáveis e a fatoração. Antes de apresentarmos os sistemas de equações do 1 o grau, retomamos a resolução de equações, resgatando o que foi visto no 7 o ano. No 9o ano, vêm as equações do 2 o grau, desenvolvidas por meio de textos simples, que facilitam o progresso do aluno. Optamos por apresentar as equações biquadradas, irracionais e fracionárias, uma vez que estes conteúdos serão necessários no Ensino Médio. Sabemos que a Álgebra possibilita aos alunos uma abertura para o estudo de outros ramos da Matemática, mas é preciso cuidado e calma ao introduzir sua linguagem para não causar confusões, insegurança e dificuldades. Propomos a abordagem gradual das diferentes concepções ou finalidades que se tem da Álgebra atualmente: a Álgebra como generalizadora da Aritmética; a Álgebra como estudo de processos para resolver problemas; a Álgebra como estudo da relação entre grandezas; e a Álgebra como estudo de estruturas matemáticas (manipulação de expressões). Os comentários sobre funções estão no item 2.1.7.
2.1.3 Geometria A Geometria é um tema abordado nos quatro volumes da coleção, pois seu estudo permite ao aluno desenvolver habilidades importantes para a compreensão e a representação organizada do mundo físico. Apresentamos a Geometria não apenas como conteúdo isolado, mas também como uma ferramenta que auxilia (e poderíamos até dizer, seguindo os passos da História, que fundamenta e serve como recurso didático) o desenvolvimento de conceitos da Matemática. O trabalho com Geometria está relacionado às atividades de observação e construção, valorizando sempre sua conexão com outros campos do conhecimento e com a vida prática. A importância da Geometria na História da Matemática é ressaltada em textos complementares. A demonstração de propriedades relativas à Geometria aparece inicialmente no volume do 7o ano, ao provarmos a congruência de ângulos opostos pelo vértice. Antes disso, nos valemos da experimentação constatando alguns fatos importantes por meio de atividades. Nos volumes do 8 o e do 9o ano as demonstrações em Geometria são mais frequentes e têm por objetivo desenvolver o raciocínio dedutivo e a argumentação lógica. Procuramos apresentar essas demonstrações sempre respeitando o desenvolvimento cognitivo dos alunos, mas entendemos que sua presença é indispensável em um livro didático. 10
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Definições, conceitos e propriedades geométricas importantes são revisitados antes de apresentarmos novos conteúdos. Entendemos que a construção do conhecimento geométrico é acumulativa e fica facilitada se apoiarmos novos conhecimentos em conhecimentos anteriores e se articularmos, sempre que possível, Geometria com Medidas e com Álgebra. Para isso, procuramos apresentar textos acessíveis e atividades interessantes, diversificadas. Outro aspecto valorizado na obra é o uso do material de desenho. Ensinamos a usar o transferidor na Unidade 9 do 6o ano, e, nos volumes do 7 o e do 8o anos, os alunos são convidados a fazer construções com régua, compasso e transferidor em várias oportunidades. Consideramos a prática com material de desenho desejável em todos os anos.
2.1.4 Medidas As medidas fazem parte de nosso dia a dia e constituem um conhecimento necessário nas mais variadas profissões. Além de ser um tema com importância social, mostra também ao aluno, com clareza, a utilidade do conhecimento matemático em seu cotidiano. Balanças, fitas métricas, relógios e termômetros, por exemplo, envolvem situações com medidas em geral. Tais situações são a base para a criação de diversos problemas interessantes e significativos para os alunos. É importante que todos vivenciem experiências concretas com medidas. Assim como o fizemos com Geometria, o trabalho com Medidas se estende por toda a coleção, permitindo uma melhor compreensão do mundo físico e a integração com outras áreas do conhecimento. As medidas estão presentes em exemplos e atividades nos conteúdos de álgebra, de geometria, de funções, de estatística, na construção de gráficos, sempre que o contexto permite. No volume do 6o ano, trabalhamos com cuidado a construção do conceito de medida, que será revisitado e consolidado nos demais volumes. Muitas das dificuldades dos alunos no trato com medidas e conversões entre unidades vêm de um conceito de medida mal desenvolvido. Abordamos, ao longo da obra, medidas de comprimento, de massa, de tempo, de área, de volume, e, também, medidas de ângulos.
2.1.5 Razões, porcentagens e proporcionalidade As ideias e aplicações de razões, porcentagens e proporcionalidade são abordadas em unidades específicas nos volumes do 6 o, 7o e 9o anos, mas nos demais volumes, estão presentes na abordagem de conteúdos e exercícios ligados à Álgebra e à Geometria. No 9 o ano, retomamos a definição de razão para definir segmentos proporcionais, antes de demonstrar o teorema de Tales. A Unidade 5, no volume do 7 o ano, dedica-se especificamente a razões e porcentagens. Destacamos a preocupação da coleção com o cálculo mental de porcentagens básicas e com o uso da calculadora como facilitadora no cálculo de porcentagens frequentes no dia a dia das pessoas. O desenvolvimento do raciocínio proporcional tem importância significativa no conteúdo de Matemática do Ensino Fundamental, no cotidiano e, futuramente, na vida profissional dos alunos. No volume do 9 o ano, problemas mais complexos envolvendo porcentagens e noções sobre o cálculo de juros são abordados na Unidade 10, proporcionando um primeiro contato com a Matemática Financeira. MANUAL DO PROFESSOR
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2.1.6 Estatística O tema Estatística também é constante em toda a obra, devido à sua importância na sociedade atual. Gráficos, tabelas e dados estatísticos estão presentes em jornais, revistas e meios de comunicação em geral, fazendo parte do cotidiano da população. Aproveitando sempre o conhecimento prévio dos alunos, a coleção retoma e amplia conhecimentos básicos em Estatística. É importante que o aluno seja capaz de ler uma tabela, calcular médias, construir e interpretar gráficos estatísticos para saber analisar situações, fazer previsões e escolher rumos de ação. Por isso, a coleção traz, sempre que possível, atividades envolvendo a leitura de tabelas e gráficos estatísticos em todos os volumes. Dedica unidades e seções específicas para estudar e apresentar como construir os diversos tipos de gráficos: barras ou colunas, setores, gráficos de linhas e pictogramas. Esse trabalho é desenvolvido deixando sempre espaço para que o professor enriqueça suas aulas com atividades que abordem temas atuais, presentes no contexto de seus alunos. No tema Estatística, estão incluídos os problemas de contagem e noções de probabilidade, abordados gradualmente desde o 6 o ano. Por meio de problemas, pretende-se desenvolver o raciocínio combinatório, a compreensão do princípio multiplicativo e ideias básicas sobre o cálculo de probabilidades que serão complementadas no Ensino Médio.
2.1.7 Funções Desde o 7o ano e de forma mais específica a partir do 8 o ano, trabalhamos com a observação e generalização de padrões, a relação de interdependência entre grandezas, o reconhecimento e uso de variáveis, a escrita e a aplicação de fórmulas para representar algebricamente a relação entre variáveis. O conceito de função, preparado desde os anos anteriores, surge com mais facilidade e é desenvolvido com o título “Funções” no volume referente ao 9 o ano. Procuramos torná-lo menos formal, uma vez que o estudo desse conteúdo é retomado e aprofundado no Ensino Médio. Na Unidade 4, definimos função, damos noções sobre domínio e imagem, representamos funções por meio de diagramas de flechas. Em seguida, o aluno trabalhará com gráficos e lei de formação, terá um primeiro contato com as funções do 1 o e do 2o graus e com o tipo de gráfico que as representam. Observará a simetria nas parábolas e o ponto de vértice, sem, contudo, aprofundar o estudo destas funções, pois isso será feito de forma mais completa, provavelmente, no 1 o ano do Ensino Médio. A ênfase está em saber reconhecer uma função, identificar e interpretar suas variáveis e utilizar suas formas de representação – tabela de valores, lei de formação e gráfico –, para obter informações sobre o comportamento das grandezas envolvidas na função. É sempre desejável que o professor busque situações existentes no contexto de seus alunos, mostrando aplicações práticas para o estudo de funções. 12
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3. Ideias sobre a avaliação em Matemática Entendemos a avaliação como parte integrante do processo de ensino-aprendizagem, cujo objetivo não é somente verificar (por meio de uma medição) a quantidade de informações “retidas” pelo aluno ao longo de um determinado período. O conhecimento é construção humana e social, e nosso “saber” não é construído de um dia para o outro, de uma situação para a outra, do “não saber” ao “saber tudo”. Cada indivíduo trabalha e reelabora, de forma particular, as informações recebidas, daí a necessidade de se considerar, na avaliação, não somente o produto, mas principalmente o processo. A avaliação deve servir como um instrumento de acompanhamento e regulação do ensinar-aprender, oferecendo elementos para uma revisão de postura de todos os componentes desse processo (aluno, professor, conteúdo, metodologia e instrumentos de avaliação), ou seja, um diagnóstico que permita tomar as ações necessárias para corrigir rumos, renovando sempre o compromisso com a aprendizagem. Dessa forma, restringir a avaliação a um conceito obtido em uma prova não retrata com fidelidade o aproveitamento obtido. Somente a consideração conjunta do produto final e dos processos que levaram a ele nos permite estabelecer interpretações significativas. A avaliação será, nessa perspectiva, de grande valia para a continuidade e revisão de seu trabalho, indicando os pontos que não estão bem claros para os alunos e que, por isso, deverão ser trabalhados com mais intensidade. Para o aluno, esse será um momento de grande significação, situando-o em relação a seus progressos. Portanto, é necessário considerar a avaliação como um recurso a serviço do desenvolvimento do aluno, que o leve a assumir um compromisso com a própria aprendizagem. Durante o desenvolvimento de um conteúdo, deve-se observar nos alunos aspectos como: desenvolvimento da autonomia intelectual, criatividade na busca de soluções, habilidade de comunicação oral e escrita, posturas de relacionamento e capacidade de interpretação e de argumentação. Na elaboração de instrumentos mais formais, como provas, é importante considerar que a resolução de uma questão não deve ter como objetivo uma pontuação em si. Ela serve para revelar se habilidades e competências envolvidas foram ou não adquiridas. Na totalidade das questões, não se deve considerar uma soma de pontos, e sim um conjunto de habilidades e competências adquiridas, e outras que necessitam ser mais trabalhadas.
m e g a m I r a i r C / o t t e r o v a F o d n a n r e F
Nesta coleção, o Manual do Professor traz sugestões de instrumentos diversificados para a avaliação – incluindo fichas de acompanhamento –, contemplando atividades
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individuais e em pequenos grupos, feitas com ou sem consulta ao material didático, e atividades com participação oral ou escrita, realizadas em classe ou em casa. Esperamos que as sugestões possam ser aproveitadas ou adaptadas para atender às suas necessidades. Como leitura complementar, sugere-se a edição especial do Boletim de Educação Matemática – BOLEMA –, cujo tema é a Avaliação em Educação Matemática. Esta edição especial, a de número 33, volume 22, de agosto de 2009, está integral e gratuitamente disponível em: . Acesso em: mar. 2012.
3.1 Sobre o erro Sempre falamos sobre a importância de considerar os erros que os alunos cometem como uma estratégia de aprendizagem. O excerto abaixo, de autoria de um grupo de professoras da Universidade do Vale do Rio dos Sinos (Unisinos), reitera essa disposição de ver nos erros a possibilidade de perceber como o estudante está procedendo, e, com isso, criar alternativas para orientá-lo.
“[...] A importância que se dá ao erro é uma questão fundamental no processo avaliativo. O erro representa, entre outras manifestações do aluno, indícios do seu processo de construção de conhecimentos. Pode indicar caminhos diferentes daqueles que o professor espera. O professor ou a professora, frente ao erro, pode compreender esse novo trajeto seguido pelo aluno, valorizando a sua produção e buscando converter ‘o não saber , estático, negativo e definitivo, em ainda não saber , provisório, relativo e potencial’ (ESTEBAN, 2001, p. 23). A autora considera excludente a dicotomia entre o acerto e o erro, tornando a avaliação escolar uma prática que desvaloriza os saberes, impede o diálogo, funcionando como instrumento de controle e de limitação das atuações, tanto de alunos como de professores e professoras, no contexto escolar. Ela também destaca que aquilo que dizemos sobre o nosso aluno é apenas uma parte do que pode ser dito, ou seja, é apenas o que nós vimos. Também os PCNs trazem considerações acerca do erro, das quais destacamos: [...] se todos os erros forem tratados da mesma maneira, assinalando-se os erros e explicando-se novamente, poderá ser útil para alguns alunos, se a explicação for suficiente para esclarecer algum tipo particular de dúvida, mas é bem provável que outros continuarão sem compreender e sem condições de reverter a situação (1997, p . 59).
Assim, ao avaliar uma situação, o professor ou a professora não apenas constata e pontua determinada dificuldade do aluno. O professor ou a professora também deci de que tipos de encaminhamentos e intervenções deve inserir em sua prática pedagógica para que o aluno supere a sua dificuldade inicial. Nesse caso, o professor ou a professora considera não apenas o que o aluno foi capaz de fazer, mas também aquilo que ele já sabe fazer, para, a partir disso, planejar as atividades seguintes. 14
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Reportamo-nos agora a algumas questões colocadas no Fascículo I [...] sobre números naturais. Está proposto, ao final dos episódios (trabalho do primeiro encontro), como tarefa, que sejam analisados os trabalhos de Alice, Juliana e Mariana. Quando é perguntado: O que ela acerta? O que ela erra?, tais questões estão sugerindo uma atenção sobre o que o aluno revela saber no processo que ele construiu e que talvez não tenha manifestado para chegar até sua resposta. No caso de Juliana, poderíamos refletir sobre a possibilidade de outra explicação para o registro que ela fez do número 21. A partir da manifestação do aluno, é possível acompanhar seu processo de construção da notação do número e interferir, se for o caso, mas a partir do que ele está compreendendo dessa representação. Em muitas situações-problema em Matemática, não há um padrão de resposta. Pode acontecer que o resultado numérico seja um, mas o processo de resolução até chegar a esse resultado seja construído de diversas maneiras, manifestando a compreensão que o aluno teve da situação-problema. A observação atenta a esses diferentes caminhos traçados pelos alunos compõe, entre outras formas e instrumentos utilizados, o processo de avaliação da aprendizagem. [...]” CHAMORRO, C. C. W.; GUÉRIOS, E.; MÄDCHE, F. C.; SILVA, J. A. da; FISCHER, M. C. B.; ENRICONI, M. H. S.; BALDISSERA, M. J. S.; WOLFF, R. Fascículo 8. Pró-letramento (Matemática). Brasília: MEC, 2008. p. 9-10.
3.2 Sobre a utilização de portfólios A avaliação é um dos componentes do Projeto Pedagógico de uma escola e pode estar dirigida para várias frentes: a avaliação do aluno, a avaliação do professor, a avaliação da instituição etc., além de poder ser efetivada usando, para isso, vários instrumentos. O texto a seguir, que deixamos como sugestão de leitura, reforça essas disposições e apresenta, com maior detalhamento, o portfólio, um desses instrumentos que pode nos auxiliar na complexa atividade da avaliação.
Identidade da escola “Toda escola situa-se em um sistema de ensino e tem sua identidade expressa no Projeto Político-Pedagógico (PPP). O PPP é elaborado pela comunidade escolar a partir da realidade da escola e da legislação e é constituído por marcos de referência, pelos planos de estudo e pelo regimento escolar. No dizer de Veiga (1997, p.16), o Projeto Político-Pedagógico, como organização do trabalho da escola como um todo, está fundado nos princípios que deverão nortear a escola. Os marcos de referência do PPP explicitam, entre outros, as concepções de mundo, de sociedade, de ser humano, de educação, de aprendizagem, de avaliação. Essas concepções precisam ser evidenciadas no cotidiano da escola, nas suas ações e decisões administrativas e pedagógicas. É claro que as evidências não ocorrem de maneira linear, como estamos abordando. A realidade é complexa e as contradições também se fazem presentes no mundo da escola. Mas, na prática, sempre há referências que balizam nossas ações. Precisamos nos perguntar para que e para quem estamos fazendo nossa atividade pedagógica. MANUAL DO PROFESSOR
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O Plano de Estudos, outro integrante do PPP, contém os conteúdos básicos a serem abordados, além de objetivos e metodologia de ensino e de avaliação. Esses Planos de Estudos também devem estar encharcados da realidade dos alunos e dos professores. Fiss e Caldieraro (2000) situam os Planos de Estudos como elemento ordenador, do ponto de vista pedagógico, do currículo escolar como a expressão concreta do PPP. Outro componente do PPP é o Regimento Escolar, que reúne as normas que regem a escola. Dentre as normas do Regimento, podemos destacar as de convivência e as da avaliação da aprendizagem dos alunos. Como se pode constatar, a prática pedagógica do professor ou da professora está em sintonia com os princípios orientadores da escola com o seu Regimento Escolar. Neste contexto pedagógico situa-se a avaliação da aprendizagem do aluno, que oferece dados para o professor ou a professora tomar decisões tanto pedagógicas quanto administrativas. Sim, essas decisões podem ter finalidade pedagógica ou administrativa, dependendo do objetivo dessa avaliação.
A avaliação da aprendizagem Como avaliamos nosso aluno em seu processo de aprendizagem, na escola? Em que momento(s)? Através de uma mera conferência de resultados? Ou, quem sabe, a partir de observações quanto a aspectos atitudinais do aluno? No que estas práticas contribuem para a aprendizagem do aluno e, consequentemente, para o trabalho pedagógico do professor e da professora? Sustentadas nestas angústias e reflexões, percebemos uma necessidade de mudança de olhar em relação à avaliação. Precisamos repensar a avaliação como uma ação compreensiva e mediadora da trajetória do aluno, presente em toda prática pedagógica, e não como uma ação esporádica que seleciona os que sabem. A avaliação deve ter sempre a preocupação com a aprendizagem dos alunos. Uma avaliação com essa finalidade tem sido referida por diversos autores como uma avaliação formativa que, nas palavras de Perrenoud (1999), é uma avaliação ‘que ajuda o aluno a aprender e o professor a ensinar’ (p. 173). Descreve a ideia-base desta avaliação, em que o indivíduo aprenderá melhor ‘se o seu meio envolvente for capaz de lhe dar respostas e regulações sob diversas formas: identificação dos erros, sugestões e contrassugestões, explicações complementares, revisão das noções de base, trabalho sobre o sentido da tarefa ou a autoconfiança’ (PERRENOUD, 1999, p.173). A avaliação só tem sentido se estiver contribuindo para melhorar a aprendizagem em curso, se puder informar o professor ou a professora sobre as condições em que se dá essa aprendizagem e o aluno sobre seu próprio percurso. Essa modalidade de avaliação, identificada por muitos autores como uma avaliação formativa, destaca-se por uma característica essencial, ausente na função somativa, que é a de realizar-se de forma contínua, integrada na ação de formação e incorporada no próprio ato de ensino. [...]
1. Vamos falar de portfólios Se você olhar em um dicionário, vai ler que portfólio vem de porta-fólio, que significa pasta ou álbum para guardar papéis. É fácil, portanto, fazer uma comparação para você entender facilmente o que é um portfólio: pode ser comparado com uma pasta em que você guarda seus documentos de modo organizado. 16
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O portfólio tem sido utilizado em muitos ramos da vida cotidiana como meio de divulgação e de propaganda. Se você entrar num site de busca na internet e solicitar o termo “portfólio”, observará centenas de exemplos de empresas, escolas e tantos outros ramos divulgando seus produtos e serviços por meio de portfólios. Por que utilizam portfólios? Porque permitem às pessoas visualizar de modo integral, ao mesmo tempo em que permitem a observação detalhada de tópicos específicos no conjunto de produtos que estão veiculando. A pergunta que fazemos é: Onde está o valor pedagógico de um portfólio? Um portfólio permite a você organizar as atividades de seus alunos. Qual é a relação disto com o portfólio como instrumento de avaliação? É o que ele permite ao leitor ver. E quem é o professor ou a professora, senão um leitor do desenvolvimento do aluno? Observe que o princípio é o mesmo. Com as atividades de seus alunos organizadas, você pode acompanhar o desenvolvimento de cada um deles de modo sistemático e contínuo.
Portfólios nos anos iniciais A utilização de portfólios não é uma inovação, pois já é um hábito de muitos professores e professoras. A inovação reside no modo de utilização dos mesmos. Um portfólio bem organizado permite ao professor ou à professora acompanhar o aluno em seu processo de aprendizagem. Com ele, você pode acompanhar e identificar os registros e acertos de seus alunos, assim como problemas de aprendizagem durante o seu ensinamento, pois os erros ficam evidenciados, ficam visíveis. Além disso, você pode “estudar” os erros e perceber as dificuldades apresentadas. Perceber erros quando ocorrem – e não depois que são consolidados e observados numa avaliação formal – possibilita que você realimente seus modos de ensinar, readequando seu planejamento e percebendo onde está o problema. Você pode ter o portfólio de cada aluno e pode também ter o seu portfólio. Nos de seus alunos, estarão organizadas as atividades que ELES fazem, as lições DELES, as produções DELES, os registros que ELES fazem etc. No SEU, você pode organizar SEUS registros, SUAS observações, SUAS impressões, SEUS relatos. No SEU, vão constar as observações que VOCÊ faz das atividades DELES. Os alunos gostam de construir seus portfólios e, normalmente, são seus parceiros nisso. Para eles, é como se fosse um de seus álbuns de figurinhas, de papel de carta ou do que quer que seja. Além disso, há uma significativa contribuição que é a de possibilitar que cada criança seja produtora de seu próprio conhecimento. Criança produtora! Nada mais profícuo para você atingir o anseio pedagógico de ter a criança como produtora e não apenas como receptora de conhecimentos que lhe são transmitidos na escola. Temos, então, duas dimensões em sua utilização: portfólio como coletânea e portfólio como produção. Se você escutar que há também processofólio e que este é diferente de portfólio, é porque alguns entendem que no portfólio são armazenadas atividades concluídas dos alunos – uma sucessão de atividades já desenvolvidas, ou a última versão das diferentes atividades propostas – e no processofólio vai-se armazenando todas as etapas que vão sendo desenvolvidas. [...]
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No portfólio estaria armazenado o produto final das atividades. No processofólio estariam sendo armazenadas as tentativas para chegar ao final da atividade. Este exemplo esclarece sobre a diferença entre os dois termos. Nós estaremos utilizando apenas o termo portfólio por entendermos que engloba o outro. Fica a critério do professor ou da professora a construção de portfólios que contemplam atividades processuais ou não. Adiantamos que as atividades processuais se constituem em uma grande fonte de informações que os alunos nos dão sobre o desenvolvimento de seu pensamento, assim como sobre suas estratégias para compreender Matemática. E a avaliação formal que a escola exige que façamos, como se dá, nesse caso? Como o objeto da avaliação em Matemática não é apenas a nota – avaliação final – deve-se avaliar o processo dos alunos no desenvolvimento de suas atividades. É esta avaliação de processo que permite saber se o aluno compreendeu ou, em outras palavras, se construiu ideias matemáticas, se os seus erros refletem dificuldades parciais ou se não passam de distração. Cumpre reforçar que a avaliação está, necessariamente, atrelada aos objetivos que se tem ao ensinar e as atividades propostas vão ao encontro desses objetivos. Portanto, ao avaliarmos o desenvolvimento dos alunos ao realizarem atividades programadas, devemos nos reportar aos objetivos tidos ao iniciá-las e às possíveis mudanças de rumo que tiverem ocorrido. [...]
2. Vamos falar de registros É comum falar-se de registros que professores ou professoras fazem. Aqui, vamos ver possibilidades de avaliar a aprendizagem dos alunos por meio dos registros que OS ALUNOS fazem. O que são registros? São modos como os alunos expressam o movimento da aprendizagem. Os alunos constroem conhecimentos matemáticos ao desenvolverem atividades. Enquanto falam, desenham e escrevem, eles estão expressando ideias, refletindo sobre suas próprias palavras e as dos colegas, estabelecendo relações. Podemos utilizar os registros orais, os pictóricos e os escritos. Para estudar sobre registros no processo de avaliação de aprendizagem, construa um portfólio. [...]
O registro oral possibilita a você compreender como o aluno está desenvolvendo seu pensamento e que estratégias está elaborando na resolução de uma situação matemática. O registro oral como possibilidade avaliativa transcende o diálogo natural de sala de aula. Torna-se possibilidade avaliativa quando você observa intencionalmente esta fala. Em outras palavras, quando você está prestando atenção, analisa a manifestação oral de seu aluno, faz SEUS REGISTROS (para, por exemplo, anexar a seu portfólio), e acompanha a evolução das ideias manifestadas por eles. O registro oral permite que você “entenda” o que seu aluno está pensando. Ao entender, muitas vezes, você observa que o aluno resolveu uma situação matemática de outro modo que o esperado por você, porque ele disse como fez. Permite também observar que errou, mas que este erro não evidencia o desconhecimento do todo em relação ao conteúdo em estudo. [...]
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Por meio da análise do conteúdo dos portfólios de seus alunos e das observações do seu, imagine que você vai escrever uma carta para a professora que vai substituí-lo durante um mês em sua sala de aula. Nesta carta, você precisa elaborar um parecer sobre sua sala de aula, sobre os conteúdos que ministrou e o que ela ministrará. Você exemplificará seus argumentos com os dados e reflexões de cinco alunos. É senso comum que o professor ou professora deve refletir sobre sua prática. Ninguém duvida dessa afirmação. No entanto, a reflexão pela reflexão pode não levar a um resultado profícuo. Freitas (2002, p. 03) relata em suas pesquisas que: em algumas situações essa reflexão é desencadeada a partir de um acontecimento específico ocorrido em determinado momento e que exige do professor reorganizar a sua ação naquele exato momento. [...] De outra forma, que pareceu não ser comum, foi possível perceber que esta ‘reflexão na ação’ enquanto intenção deliberada de uma professora em estar atenta durante todo o tempo do trabalho para elementos que lhes permitam repensá-lo na direção de uma maior aprendizagem dos alunos.
Tal afirmação parece validar a contribuição de portfólios como instrumentos de avaliação. Registros, em suas diferentes naturezas, permitem a observação de etapas de aprendizagem e o desvelamento do pensamento dos alunos.” CHAMORRO, C. C. W; GUÉRIOS, E.; MÄDCHE, F. C.; SILVA, J. A. da; FISCHER, M. C. B.; ENRICONI, M. H. S.; BALDISSERA, M. J. S.; WOLFF, R. Fascículo 8. Pró-letramento (Matemática). Brasília: MEC, 2008. p. 11-12 e 21-22, 24-25, 29-30.
4. Textos de apoio sobre educação e práticas metodológicas 4.1 Como ensinar Matemática? Essa questão preocupa e ocupa a mente dos professores de Matemática. A seguir levantamos alguns pontos e apresentamos sugestões sobre a postura e a prática docente. A inspiração do texto vem de um artigo escrito por George Polya, intitulado “Dez mandamentos para professores”. O artigo é dirigido a professores de Matemática, mas sua essência pode ser aproveitada para professores de todas as disciplinas. • Demonstre interesse e tenha domínio sobre sua aula Sem motivação, ninguém é capaz de motivar os alunos para o aprendizado. Se você mostrar que não gosta de um assunto, dificilmente fará com que seu aluno se interesse por ele. Mostre ao aluno os encantos da Matemática e seu entusiasmo por eles. Junto com a motivação para ensinar, deve vir, é claro, o preparo teórico. Elabore seu plano de aula com cuidado de forma que o aluno perceba consistência em seu trabalho. Você precisa mostrar-se seguro para gerar confiança nos estudantes. MANUAL DO PROFESSOR
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• Estabeleça contato com seus alunos Procure “enxergar” o conteúdo a ser ensinado sob o ponto de vista do aluno, interagindo com ele em sala de aula, atendendo às suas expectativas e sendo sensível às suas dificuldades. • Adquira e use sua experiência A experiência prática – vivência de sala de aula – é condição básica para melhorar a prática docente. Se você é muito jovem, ouça seus colegas de profissão mais experientes. Lembre-se de quando você mesmo era estudante e das qualidades dos mestres que mais influenciaram sua vida escolar. Se já é professor há tempos, passe aos mais jovens suas vivências e aproveite para aprender também com eles. • Corrija os erros por meio da valorização dos acertos O aluno que escuta sem parar “Isto está errado”, provavelmente passará a detestar a Matemática e, consequentemente, o professor da disciplina. É difícil quebrar esse bloqueio e ter sucesso com alunos que passaram por essa experiência. Os estudantes não devem ter medo de experimentar, conjecturar e testar, mesmo que isso leve a um erro inicial. Localizar e compreender o motivo do erro muitas vezes ajuda a compreensão. A sugestão é valorizar o que foi feito corretamente, deixando que o aluno descubra seu próprio erro e aprenda com ele. Algo como: “Você começou bem, esta parte está correta, mas, acompanhe comigo: o que você observa nesta etapa da resolução? Será que juntos podemos chegar à resposta correta?”. • Ajude na medida certa e permita que seus alunos “aprendam a aprender” Ajude seus alunos. Que não seja muito pouco, senão não haverá progresso. Que não seja demais, para que o mérito da resolução seja dele. George Polya diz que o professor deve ser “uma espécie de parteira espiritual”, que dá a oportunidade ao aluno de descobrir coisas, fazer con jecturas e construir seu conhecimento. Você deve dar ao aluno não apenas informações, mas, principalmente, deve desenvolver nele atitudes que permitam a continuidade de seu aprendizado pelo resto da vida, gerando o gosto pela investigação, a criação de hábitos de estudo, a autoconfiança e a disciplina. George Polya acrescenta: “A maneira como você ensina pode ser mais importante nas aulas de Matemática do que aquilo que você ensina”.
George Polya (1887-1985) nasceu em Budapeste, Hungria. Foi professor em Zurique durante 26 anos e depois em Stanford, Estados Unidos, onde se aposentou em 1953. Seu livro A arte de resolver problemas é uma referência para os professores de Matemática de todo o mundo. O artigo de George Polya a que nos referimos pode ser lido na íntegra na Revista do Professor de Matemática, n. 10, 1987.
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4.2 Matemática e resolução de problemas A resolução de problemas não é de domínio exclusivo da Matemática. Lidamos com problemas pessoais, profissionais e sociais todo o tempo: decidir os componentes de um cardápio, optar por um produto no supermercado, financiar um automóvel e escolher um candidato em quem votar são exemplos de situações-problema presentes no cotidiano. Podemos dizer que resolver problemas é inerente ao ser humano e, portanto, desenvolver capacidades nessa área é fundamental para todos. Consideramos que a capacidade de resolver problemas implica ser capaz de mobilizar conhecimentos, organizá-los, planejar estratégias de resolução, executá-las e verificar se a solução é adequada. Dentre as diversas ciências, a Matemática, por sua estrutura e características, é a que mais propicia o desenvolvimento da capacidade de resolver alguns tipos de problemas nos estudantes. Os problemas, tanto práticos como teóricos, permeiam por completo a Matemática, o que permite gerar, desenvolver e exercitar habilidades na resolução de problemas. Muitas pessoas, na vida adulta, podem não lembrar como utilizar uma propriedade específica descoberta em Geometria ou o processo de resolução de uma equação do 2 o grau aprendido em seus tempos de adolescente. No entanto, o aprendizado em Matemática contribui (ou deve contribuir) para que o indivíduo desenvolva estruturas de pensamento que lhe permitam, na vida adulta, resolver situações diversas. Por essa razão, você deve aplicar-se na tarefa de fazer com que seus alunos tornem-se capazes de resolver problemas. O processo é longo, requer paciência e preparo, pois certamente deve estender-se por todos os anos do Ensino Fundamental e Médio. A resolução de problemas envolve operações mentais. Algumas delas são mais frequentes e típicas desse processo. Estudiosos como George Polya e Wayne Wickelgren buscaram entender melhor essas operações e apresentaram sugestões ou estratégias que podem ajudar os estudantes (e nós, professores) a melhorar suas habilidades na resolução de problemas. Veja-as de forma simplificada:
Passo 1: Analisar e entender o problema Estratégias: • Identificar e escrever dados: o que se tem, o que se quer descobrir. Desenhar esquemas, diagramas e tabelas que ajudem a representar a situação. • Examinar casos particulares que exemplifiquem o problema. Passo 2: Imaginar e planejar a resolução Estratégias: • Planejar a resolução passo a passo, hierarquicamente, sendo capaz de explicar, em qualquer momento da resolução, o que está fazendo e por quê. • Mobilizar conhecimentos, conjecturar, avaliar estratégias, estimar a solução. • Tentar encontrar um problema de forma, dados ou conclusões similares com menor complexidade. • Decompor o problema, trabalhando nele parte por parte. • Explorar o papel de uma variável ou condicionante, deixando o resto fixo. MANUAL DO PROFESSOR
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• Procurar reformular o problema: a) mudando a perspectiva de leitura ou a forma de notação; b) usando a argumentação por contradição; c) assumindo uma solução particular e descobrindo que características essa solução possui.
Passo 3: Implementar a estratégia e chegar à solução Passo 4: Fazer um retrospecto da resolução , avaliando o caminho escolhido e a possibilidade de usar outra estratégia. Verificar se a resposta se ajusta ao contexto do problema. Você pode ajudar o aluno em todos os passos, mediando as ações, por meio de perguntas como: “O que queremos descobrir ou mostrar nessa situação?”, “Quais as informações de que dispomos?”, “Quais delas são relevantes?”, “Como você sugere que encaminhemos a solução?”, “Que conhecimentos utilizaremos nessa estratégia?”, “Alguém tem outras propostas?”, “A resposta que encontramos satisfaz o problema?”. Essas orientações podem parecer óbvias, triviais e já devem fazer parte de sua prática em sala de aula. No entanto, a simplicidade não lhes tira a importância. Seu trabalho constante é crucial para que o aluno adquira o hábito do pensamento metódico, que lhe será valioso, seja qual for seu campo de atuação no futuro.
“A Matemática não é um esporte para expectadores... Não existe método de ensino que seja indiscutivelmente o melhor, como não existe a melhor interpretação de uma sonata de Beethoven. E a primeiríssima coisa, quando se trata de ajudar o aluno, é não ajudá-lo demais.” George Polya
4.2.1 Os vários tipos de problema: uma possível classificação No livro A resolução de problemas na Matemática escolar (veja referência no final do texto) há um artigo escrito por Thomas Butts, da Case Western Reserve University, situada em Cleveland, EUA. Embora escrito com foco no sistema escolar norte-americano, o autor traz uma proposta interessante de classificação de problemas que resumiremos aqui. São ideias que podem ajudá-lo a organizar melhor, e a diversificar, as atividades propostas em aula e nas avaliações. Butts separa os problemas matemáticos em cinco tipos: 1. exercícios de reconhecimento; 2. exercícios algorítmicos; 3. problemas de aplicação; 4. problemas de pesquisa aberta; 5. situações-problema. Acompanhe a descrição de cada tipo, com exemplos adequados a nosso sistema educacional. 22
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1. Exercícios de reconhecimento Como o nome já diz, têm por objetivo verificar um conceito, uma propriedade. O autor recomenda que se use nesse tipo de exercício enunciados como “Dê um exemplo”. Questões da forma “Verdadeiro ou Falso” também são eficientes. Exemplos: a) Quais das seguintes equações são do 2o grau? • 2x � 5 � 0 • x2 � x4 � 18 • 3x2 � 5x � 2 Etc. b) Verdadeiro ou falso? • Todo paralelogramo é um retângulo. • O quadrado é um paralelogramo. Etc.
c) Dê exemplo de um número racional compreendido entre 2,13 e 2,14. 2. Exercícios algorítmicos Verificam a habilidade no uso de algoritmos, procedimentos algébricos e técnicas. Exemplos:
a) Calcule 15 � 2(141 : 3 � 7). b) Coloque o fator comum em evidência na expressão 6ay � 2az. Esses exercícios são importantes para que o aluno adquira mais agilidade no uso das ferramentas de cálculo. No entanto, devem ser dosados, de forma a não desmotivar os alunos, e apresentados, sempre que possível, de forma criativa. O autor do texto coloca muito bem esta questão: ”A habilidade para fazer cálculos, em seu sentido mais amplo, requer exercício e prática. O desafio é torná-la interessante”. Os quadrados mágicos seriam um bom exemplo de exercício de cálculo. 3
10
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6
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4
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A inversão de sentido também é uma estratégia: “Desenhe dois retângulos diferentes que tenham área 24 cm 2”, por exemplo.
3. Problemas de aplicação São os que envolvem leitura e interpretação de dados, tradução do problema para a linguagem matemática e aplicação de procedimentos e algoritmos que levem à solução. Os problemas contextualizados são importantes nessa categoria. O autor lembra que a contextualização deve ser feita com cuidado para não criar situações artificiais. A sugestão é criar problemas com base no contexto dos próprios alunos. MANUAL DO PROFESSOR
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Exemplos:
a) (CEETPS-SP) Uma empresa operadora de telefones oferece dois planos, A e B, de acordo com a tabela:
Plano
Assinatura mensal (R$)
Ligações locais (R$/minuto)
A
37,24
0,42
B
pré-pago
1,40
Após quantos minutos de ligação o valor a pagar é o mesmo nos dois planos?
b) (CEETPS-SP) A medida da diagonal da tela de uma televisão determina as polegadas da TV. Uma televisão cuja tela mede 30 cm � 40 cm possui: • 16 polegadas. • 20 polegadas. • 18 polegadas. • 29 polegadas. Lembrete: 1 polegada
2,5 cm
4. Problemas de pesquisa aberta De acordo com o artigo, a função mais importante dos problemas de pesquisa aberta é incentivar a habilidade de conjectura. Em geral, o enunciado desses problemas envolve comandos do tipo: “Descubra quais”, “Mostre que”, “Encontre os valores possíveis”. Exemplos: a) Existe um triângulo que tenha: • dois ângulos retos? • dois ângulos obtusos? • um ângulo reto e um obtuso? Justifique suas respostas.
b) Descubra dois números irracionais tais que seu produto seja um número racional.
5. Situações-problema Não são problemas propriamente ditos, mas situações mais amplas, que devem ser analisadas e enfrentadas, buscando uma solução ou rumos de encaminhamento. Exemplo: Num terreno retangular, de 15 m de frente e 30 m de fundos, pretende-se construir uma casa térrea que será habitada por uma família com 4 pessoas: casal e dois filhos adolescentes. Junte-se a um colega para desenhar uma sugestão de planta baixa para essa construção. Vocês serão os arquitetos. Fiquem atentos às observações a seguir: 24
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• Pesquisem a porcentagem de terreno que pode ser ocupada e os recuos exigidos por lei. • A casa deve ter sala, cozinha, 3 quartos com banheiro, lavabo, escritório, varanda e garagem para dois carros. • A cozinha e os quartos não devem ter porta de comunicação direta com a sala. Repare que a proposta envolve várias questões, imbricadas todas na situação original. Fonte de pesquisa: KRULIK, Stephen; REYS, Robert E. (Orgs.). A resolução de problemas na Matemática escolar . São Paulo: Atual, 1997.
4.2.2 Dois tempos e modos de ensinar a Aritmética O artigo a seguir, publicado na Revista História & Educação Matemática, de autoria da professora Maria Laura Magalhães Gomes, aborda o ensino da operação de adição em períodos e contextos históricos diferentes por dois autores de livros didáticos. Consideramos o texto interessante para mostrar que a forma de ensinar Matemática se modifica ao longo do tempo. Se nossos avós aprenderam muitas das coisas que aprendemos hoje, eles podem ter aprendido essas coisas de modo diferente... “O objetivo deste artigo é analisar dois excertos de obras do passado escritas com o propósito de ensinar aritmética. Fazemos uma primeira leitura comparativa desses textos, do ponto de vista do conteúdo matemático que abordam, sem levar em consideração quem os escreveu, a quem se destinavam, em que lugar e condições históricas foram produzidos. Em seguida, identificando todos esses aspectos, realizamos uma leitura contextualizada dos mesmos escritos para compreender suas características de maneira mais profunda e completa.
Dois modos Os trechos que se vão ler a seguir reproduzem a introdução da operação de adição de números naturais em dois livros-texto de aritmética escritos por autores de períodos históricos diferentes. Primeiro Autor: Para compreender a segunda operação, a adição, é necessário saber que ela é a u nião de vários números, pelo menos de dois, de modo que possamos conhecer a soma resultante desse acréscimo. Deve também ser entendido que na operação de adição, pelo menos dois números são necessários, a saber, o número ao qual adicionamos o outro, que deve ser o maior, e o número a ser adicionado, que deve ser o menor. Assim, sempre adicionamos o menor número ao maior, o que é um plano mais conveniente do que seguir a ordem contrária, embora esta última seja possível, sendo o resultado o mesmo em qualquer caso. Por exemplo, se adicionarmos 2 a 8, a soma é 10, e o mesmo resultado é obtido somando 8 a 2. Portanto, se desejamos somar um número a outro, escrevemos o maior em cima e o menor embaixo, colocando os algarismos na ordem conveniente, isto é, as unidades sob as unidades, dezenas sob dezenas, centenas sob centenas etc. Sempre começamos a somar com a ordem mais baixa, a qual é de menor valor. Assim, se queremos somar 38 a 59, escrevemos os números assim: 5 9 �
Soma
3 8 9 7
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Dizemos então: ‘8 e 9 fazem 17’, escrevendo 7 na colu na que foi somada, e carregando o 1 (pois quando há dois algarismos em um lugar, sempre escrevemos o de ordem mais baixa e carregamos o outro para o lugar seguinte de ordem mais alta). Este 1 nós agora somamos a 3, fazendo 4, e este a 5, fazendo 9, que é escrito na coluna da qual veio. Os dois números juntos fazem 97. Segundo Autor:
...suponha que você conheça dois números, e deseje ou tenha necessidade de ter a sua soma, de conhecer o número que se pode formar juntando um ao outro – o número total de coisas que você sabe existir de uma vez, primeiro em um desses números, em seguida no outro desses números. Suponha, por exemplo, que você tenha 13 coisas em um lugar, e 26 em um outro, e que queira saber quantas tem ao todo, e, para isso, tomar a soma desses dois números, juntar 26 e 13. Você vê, à primeira olhadela, que 13 é 1 dezena e 3 unidades: que 26 é 2 dezenas e 6 unidades; você sabe que 3 unidades e 6 unidades são 9 unidades; que 1 dezena e 2 dezenas são 3 dezenas; os dois números encerram, portanto, 9 unidades e 3 dezenas; sua soma é, pois, 39. Quaisquer que sejam os dois números, você pode usar o mesmo meio, e conhecendo a soma das unidades, das dezenas, das centenas que os dois números contêm, você conhecerá sua soma. Suponha, por exemplo, que você queira juntar 135 a 643, ou 2 345 a 3 621. Você verá que os dois primeiros números reunidos encerram oito unidades, sete dezenas e sete centenas; sua soma será 778. Você verá que os dois segundos números reunidos contêm seis unidades, seis dezenas, nove centenas e cinco milhares; sua soma será, portanto, 5 966. Se juntasse assim, um ao outro, números compostos de um número maior de algarismos, você perceberia logo que a necessidade de conservar na memória a soma das unidades, das dezenas, das centenas quando tiver chegado aos milhares, por exemplo, exige uma atenção fatigante, e que se ela lhe faltar, você será obrigado a recomeçar a operação. Mas para fazê-la mais facilmente, você só tem que escrever um sob o outro os números que quer juntar, colocando as unidades embaixo das unidades, as dezenas embaixo das dezenas, as centenas em baixo das centenas. Você dirá em seguida: 5 e 3 são oito, escrevo 8; 3 e 4 são 7, escrevo 7; 1 e 6 são 7, escrevo 7; a soma é, então, 778. 135 mais 643 igualam 778. Da mesma forma, você dirá: 5 e 1 são 6, escrevo 6; 4 e 2 são 6, escrevo 6; 3 e 6 são 9, escrevo 9; 2 e 3 são 5, escrevo 5. A soma é, portanto, 5 966; 2 345 mais 3 621 igualam 5 966. Fórmula da operação
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�
1 3 5 6 4 3
�
2 3 4 5 3 6 2 1
�
7 7 8
�
5 9 6 6
Uma leitura comparativa Podemos observar que ambos os autores focalizam o mesmo algoritmo da adição de dois números – aquele que é ensinado na escola básica até os dias de hoje. O que podemos notar nos dois textos, além do fato de o segundo ser mais extenso que o primeiro? Certamente percebemos logo que o Primeiro Autor aborda mais diretamente o tema, nomeando imediatamente uma operação a ser ensinada, a adição, sem referir-se a qualquer motivação para efetuar essa operação. O Segundo Autor, por sua vez, não manifesta de início qualquer interesse em dar um nome a uma operação a ser feita, preocupando-se, em contrapartida, em apelar para o desejo ou a necessidade de seu leitor de conhecer o número que se pode formar juntando dois outros. Seguindo os dois excertos, verificamos que o Primeiro Autor (embora não explique a razão disso) procura deixar claro ao leitor que ao adicionar dois números, é mais conveniente somar o menor número ao maior, apesar de o resultado ser o mesmo se for seguida a ordem oposta a essa. Assim, o Primeiro Autor instrui diretamente o aprendiz no sentido de escrever o maior número em cima, e o menor número embaixo dele, colocando os algarismos na ordem conveniente, isto é, as unidades sob as unidades, dezenas sob dezenas, centenas sob centenas etc.
O Segundo Autor não tem qualquer preocupação em fixar uma ordem para a escrita dos números a serem somados, mas faz questão de, em três exemplos, chamar a atenção do leitor para a maneira como são formados os pares de números que se devem somar – tantas unidades, dezenas e centenas, sendo cada ordem da soma o resultado de juntar as ordens que compõem os números. Mais: ele diz explicitamente que esse procedimento é o que servirá para encontrar a soma de dois números quaisquer. É somente depois dessas considerações que o Segundo Autor alerta o leitor para a atenção fatigante que lhe seria exigida caso tivesse de conservar na memória a soma das unidades, das dezenas, das centenas , atenção essa que cresceria com o crescimento dos números a serem juntados. Dessa maneira, o Segundo Autor mostra ao seu leitor que seria interessante buscar um procedimento para aliviar o esforço requerido e então, sim, ele se refere a colocar unidades embaixo de unidades, dezenas embaixo de dezenas, centenas embaixo de centenas. Após a descrição desse procedimento por meio de palavras para dois exemplos, o Segundo Autor apresenta ao leitor o que denomina de Fórmula da operação . Aí é que aparecem armadas e efetuadas as duas adições, nas quais podemos notar a presença dos símbolos '�’ e '�’, bem como a de um traço que separa os números a serem adici onados de sua soma. Por outro lado, voltando ao escrito do Primeiro Autor, percebemos que o seu primeiro exemplo de uso do algoritmo da adição que, como vimos, é introduzido no estilo ‘faça deste modo’ ( se desejamos somar um número a outro, escrevemos o maior em cima e o menor embaixo, colocando os algarismos na ordem conveniente, isto é, as unidades sob as unidades, dezenas sob dezenas, centenas sob centenas etc. Sempre começamos a somar com a ordem mais baixa, a qual é de menor valor), é de uma ‘adição com reserva’ ou ‘com transporte’:
59 � 38. Essa adição aparece armada como foi indicado ao leitor, acompanhada do resulta-
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do, 97, sem os símbolos ' �’ e ‘�’ e sem um traço separando o total (identificado pela pala vra Soma) das parcelas. Só em seguida vem a explicação do que foi feito, com a instrução de “carregar o 1” que veio do 17 (soma de 9 e 8), visto que quando há dois algarismos em um lugar, sempre escrevemos o de ordem mais baixa e carregamos o o utro para o lugar seguinte de ordem mais alta. O Primeiro Autor não esclarece o porquê desse procedimento, e na con-
tinuação do texto aqui reproduzido focaliza a ‘prova dos noves’ para a operação que acabou de ser efetuada. Depois disso, ele prossegue apresentando mais dois exemplos de adições (1 916 � 816 e 45 318 � 2 732) no mesmo estilo do exemplo mostrado no trecho transcrito. O Segundo Autor também aborda a ‘adição com reserva’ no prosseguimento do excerto que apresentamos. Contudo, ele o faz depois dos três exemplos ‘sem reserva’ que mostramos, e de maneira bastante diferente, como vamos descrever a seguir. A adição escolhida para ilustrar a ‘reserva’ é 18 � 25, e é calculada em duas etapas:’’ � � �
1 2 1 3
8 5 3 0
� �
1 3 3 0 4 3
Vem então uma explicação de como reduzir, por comodidade, as duas operações a uma: ... para isso, você notará que depois de ter dito 8 e 5 são 13, não tem mais unidades a considerar: você escreve então 3 unidades; mas você tem ainda dezenas: você não escreverá esta dezena que obteve juntando 8 a 5, porém (você se lembrará dela) a guardará: dirá, então, 8 e 5 são 13, escrevo 3 e guardo 1 dezena; 1dezena que guardei e 1 dezena são 2, e 2 outras são 4, e escreverá 4 dezenas.
E só então aparece � �
1 8 2 5 4 3
O exame dos dois textos mostra, portanto, claramente, dois modos distintos para ensinar o algoritmo da adição de dois números naturais. Comparando esses dois modos, pudemos notar que eles se distinguem essencialmente porque: – o primeiro apresenta ao aprendiz instruções diretas de como proceder para efetuar a operação, sem a preocupação de esclarecer a razão dos procedimentos aí envolvidos; – o segundo se caracteriza por uma tentativa de dialogar com o leitor de maneira a convencê-lo da necessidade dos procedimentos mostrados para facilitar uma tarefa e mais, por buscar explicar os motivos de cada um dos passos executados nas adições. Até aqui fizemos a leitura e a análise dos dois textos de forma isolada do contexto sócio-histórico em que foram produzidos, desconhecendo apenas seus autores e a época em que foram escritos, mas também as finalidades e o público a quem se destinaram. Vamos agora examinar esses aspectos para tentar interpretar à sua luz, as marcas dos novos modos de ensinar a adição.
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Dois tempos Comecemos por identificar os livros dos quais foram extraídos os excertos em foco. O primeiro texto faz parte da Aritmética de Treviso , obra de autor anônimo publicada em 1478 – trata-se não somente de um incunábulo, isto é, de uma publicação do século da invenção da imprensa, mas do primeiro texto impresso de Matemática. O livro, que não tem um título próprio, é uma aritmética comercial, ou seja, um texto que se propõe a recordar os conhecimentos relevantes para o exercício dos negócios, especialmente em Treviso e Veneza. É importante situar Veneza no cenário do mundo do século XV: a cidade tinha, nesse período, se transformado no principal centro comercial da Europa e ao mesmo tempo em uma das cidades mais ricas do planeta então conhecido. Era ainda um centro de ensino e difusão da arte mercantil ao qual acorriam mercadores do norte, particularmente das cidades alemãs, para estudar as práticas de comércio da aritmética comercial e a troca de moedas. Uma habilidade básica que esses visitantes esperavam adquirir era certamente a proficiência em métodos da aritmética comercial italiana, a qual havia se desenvolvido cedo em decorrência do fato de os italianos em geral e os venezianos em particular terem logo compreendido a importância do uso da aritmética em suas transações diárias a partir de seu contato com o sistema indo-arábico de numeração em suas relações comerciais em torno do Mediterrâneo. A Aritmética de Treviso é escrita no dialeto veneziano, o que caracteriza uma intenção de comunicar conhecimentos a um público amplo, evento possibilitado pela invenção da imprensa. É, portanto, um texto importante por integrar o movimento da eliminação do monopólio do conhecimento por parte das classes mais elevadas socialmente (que tinham acesso aos estudos nas universidades, onde a língua usada era o latim) e da consequente ascensão de uma classe média a partir da aceleração das atividades de comércio. Avalia-se terem sido impressas trinta aritméticas práticas entre o início da imprensa na Europa e o final do século XV. Dessas, mais da metade era escrita em latim, sete em italiano, quatro em alemão e uma em francês. A crescente publicação de textos impressos em vernáculo está associada a uma mudança da Matemática, do domínio da especulação escolástica para as aplicações das manufaturas e do mercado. O ambiente histórico ao qual pertence o nosso Primeiro Autor, portanto, é o do início da Idade Moderna, no qual o desenvolvimento do comércio faz nascer o capitalismo mercantil. Culturalmente, estamos em um contexto marcado pelo florescimento das artes e pelas mudanças na orientação das ciências – é a época do Renascimento. Na Europa do século XV, tempo em que escreveu o Primeiro Auto r, uma parte importante da educação matemática consiste no ensino e na aprendizagem da aritmética comercial. A escola em que tem lugar essa parte não é a universi dade, mas a escola mantida pelos mestres de cálculo, a qual é frequentada pelos filhos de funcionários públicos ou de mercadores, com idades entre 12 e 16 anos. Embora a autoria da Aritmética de Treviso não seja conhecida, as palavras iniciais do texto revelam que seu autor é um desses mestres de cálculo, que se dedica, a pedido de estudantes que desejam aprender a aritmética para seguir a carreira comercial, a colocar por
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escrito os princípios fundamentais da aritmética, comumente chamada ábaco (Swetz, 1989,
p. 40). O livro é um algorismo, isto é, um tratado dedicado a explicar o uso dos símbolos indo-arábicos. Porém, trata-se de um tipo especial de algorismo – uma Practica – por apresentar situações-problema ligadas aos negócios e ao comércio. É importante referir-nos aqui ao estado de aceitação do sistema de numeração indo-arábico, à época dessa Practica. Ainda que tal sistema já fosse conhecido na Europa desde aproximadamente o ano 1000, ele ainda não tinha sido adotado universalmente. No início do século XV, a Itália estava à frente do resto do continente europeu no uso dos novos símbolos para registros e cálculos – a forma física dos algarismos no livro de Treviso já é a atual, o que não acontecia nos outros países. Assim, os conhecimentos da obra eram ainda pouco difundidos no tempo de sua publicação. Como observamos anteriormente, o Primeiro Autor não usa os símbolos ' �’ e '�’. Segundo Boyer (1996), o mais antigo aparecimento do sinal ' �’ ocorreu em 1489, na aritmética comercial de Johann Widman, enquanto o sinal ' �’ foi registrado pela primeira vez em 1557, em um livro de Robert Recorde (1510-1558). Portanto esses símbolos, que o Segundo Autor usa com naturalidade, só foram incorporados aos textos matemáticos depois da publicação do primeiro texto que analisamos que, lembremos, data de 1478. Retomemos agora outros comentários tecidos na seção anterior deste texto, levando em conta o que acaba de ser exposto. Pudemos constatar que o Primeiro Autor introduz de forma um tanto rápida a adição, sem uma tabela com os chamados ‘fatos fundamentais’ e usando como primeiro exemplo uma operação ‘com reserva’. Swetz (1989) informa que os primeiros autores de aritmética raramente incluíam essas tabelas em seus livros, mas também atribui essa abordagem ao fato de que os alunos dos mestres de cálculo eram adolescentes que já tinham experimentado alguma educação básica na qual haviam aprendido a ler e estudado os ‘fatos fundamentais’ da adição e da multiplicação. Comentamos também a posição do Primeiro Autor em relação à ordem a ser adotada na escrita das parcelas da adição: o número maior em cima, e o menor embaixo dele. Possivelmente essa recomendação se origina da incorporação de uma prática herdada do uso do ábaco. Quanto à instrução ao estudante no sentido de, quando a soma dos números em uma coluna exceder 10, escrever o algarismo da ordem menor e carregar o algarismo da ordem seguinte para a próxima coluna, Swetz comenta: Claramente, o conceito físico de ‘carregar’ ( portare ) um número para a coluna seguinte deve sua origem ao ábaco, no qual um excesso de fichas em uma coluna ou linha requereria uma transferência física ou carregamento de fichas para uma posição de ordem superior. Nessa aritmética, o número carregado é somado ao algarismo que está na posição mais embaixo na coluna adjacente à esquerda, na qual a adição começa novamente de baixo para cima. Nem todos os autores antigos usam esse formato: alguns efetuam a adição da esquerda para a direita e escrevem a soma em cima ou ao lado da fileira das parcelas. (Swetz,
1989, p. 188-189) 30
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O que podemos notar, então, é que, conquanto o algoritmo seja o mesmo que conhecemos e usamos até hoje, a exposição do Primeiro Autor é portadora de sinais característicos claros das práticas abacistas, ainda muito frequentes no século XV. Para concluir estas considerações contextualizadas em relação ao texto do Primeiro Autor, resta-nos focalizar o seu estilo conciso, marcado pelo ‘Faça desta maneira’, que mostra a concepção metodológica clara do ‘aprender fazendo’, sem a explicitação das razões dos procedimentos. Tal característica não é exclusiva da Aritmética de Treviso , e está presente também em muitos outros autores antigos de aritméticas. Esse enfoque, evidentemente, gasta menos palavras – pudemos notar que o texto do Primeiro Autor é menos extenso do que o do Segundo Autor. Por outro lado, a brevidade do texto está associada ainda ao fator econômico, uma vez que a impressão era dispendiosa e que havia dificuldades específicas na confecção de textos matemáticos. Uma outra explicação para o estilo sucinto estaria no fato de o livro ter sido planejado para ser usado sob a orientação de um mestre de cálculo, ou então em uma autoinstrução aplicada, na qual o leitor teria de se esforçar realizando um trabalho suplementar para chegar a uma compreensão mais completa do material exposto na obra. O autor não teria, pois, a intenção de escrever um texto abrangente, completo: o livro de Treviso não é uma obra teórica sobre aritmética, à maneira dos acadêmicos da época que se expressavam em latim. É, sim, um livro no qual se aprendiam conhecimentos matemáticos – os símbolos e técnicas da aritmética e os métodos do cálculo comercial, e se desenvolvia alguma apreciação sobre as aplicações dessa matemática. Finalmente, o trecho comentado neste artigo integra a discussão realizada pelo Primeiro Autor sobre as cinco operações essenciais para o aprendizado dos métodos aritméticos comerciais – trata-se da parte voltada fundamentalmente para preparar os estudantes para resolver problemas comerciais nas ocupações mercantis – são esses problemas que tomam o maior número de páginas do livro e, portanto, constituem seu objeto principal. O acento da Aritmética de Treviso cai, assim, não no aprendizado fundamentado das técnicas do cálculo aritmético, mas na aquisição de familiaridade com as mesmas como requisito básico para o domínio das aplicações demandadas no quotidiano mercantil. Em outras palavras, e usando uma metáfora muito comum, os algoritmos da adição, da subtração, da multiplicação e da divisão constituem a entrada, não o prato principal do livro renascentista. Passemos a abordar novamente o trabalho do Segundo Autor. Mais de trezentos anos separam os dois textos de aritmética que estamos analisando, pois o nosso Segundo Autor, o marquês de Condorcet, escreveu a sua Aritmética, livro de onde extraímos o trecho inicial da Quarta Lição, em 1794. Esse tratado inacabado devido à morte de seu autor, quando fugia da perseguição do governo do Terror durante a Revolução Francesa, é um manual didático redigido com a intenção de participar de um concurso promovido por esse mesmo governo para selecionar os livros elementares a serem usados na instrução pública. A realização do concurso resultava de um aspecto característico da política educacional da França revolucionária – a composição de livros didáticos destinados a todo o país como praticamente o único meio de efetuar reformas no ensino. (Schubring, 1989).
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Devemos enfatizar que o próprio Condorcet foi o responsável por um importante projeto para o ensino no qual eram propostas a elaboração desses livros elementares e a escolha dos manuais a serem financiados pela república por meio de um concurso público. Na verdade, a situação da França do Antigo Regime era completamente ineficiente em relação à escolarização, num momento em que o país precisava de uma mão de obra mais preparada considerando-se seu contexto socioeconômico. Furet e Ozouf (1977) descrevem o quadro da instrução nesse período dizendo que somente após alguns anos passados na aprendizagem da leitura e da escrita, poucos estudantes – aqueles de melhor condição material – tinham acesso aos rudimentos da aritmética. E essa educação precária ainda se mantinha sob o controle direto e constante da Igreja; na convocação dos Estados Gerais, em 1789, apresentaram-se vigorosas reivindicações quanto à instrução da população. Com a Revolução, tomaram-se medidas contra o clero que levaram ao fechamento de muitas escolas católicas, e transferiu-se para os poderes civis a supervisão da educação pública. Propuseram-se, então, vários planos para essa educação entre os quais o de nosso Segundo Autor. Historicamente, assim, o segundo texto aqui focalizado insere-se no começo da Idade Contemporânea, no momento em que a burguesia, cuja visão de mundo abraçava fundamentalmente o Liberalismo com seus princípios básicos de liberdade, individualismo, igualdade, propriedade, democracia, obtinha seus primeiros triunfos. O interesse dos governos revolucionários franceses pela instrução pública – uma concessão ao povo que apoiava tal burguesia – está fortemente ligado ao programa de hegemonia dessa classe. No entanto, os estudos de Condorcet acerca da educação começaram bem antes dos acontecimentos revolucionários, e ele integra a face mais democrática dentre os autores de planos de educação pública da Revolução (Lopes, 1981). Na Primeira Memória sobre a Instrução Pública, em 1790, escreve: A sociedade deve ao povo uma instrução pública como meio de tornar real a igualdade de direitos. Afirmando a existência de uma desigualdade natural entre os homens, acrescenta que para garantir a igualdade de direitos prevista na lei, é suficiente que cada indivíduo seja instruído de forma a não depender daqueles que possuem conhecimentos que ele não tem. Entre esses conhecimentos comparece a aritmética: ... (aquele) que ignora a aritmética depende realmente do homem mais instruído, ao qual é obrigado a recorrer incessantemente. Ele não é igual àqueles a quem a educação deu esses conhecimentos. Ele não pode exercer os mesmos direitos com a mesma extensão e a mesma independência... Mas o homem que sabe as regras da aritmética, necessárias para os usos da vida, não está na dependência do sábio, que possui no mais alto grau o gênio das ciências matemáticas, e cujo talento lhe será de uma utilidade muito real, sem jamais poder impedi-lo do gozo de seus direitos... (Condorcet, apud Buisson, 1929, p. 56).
A visão de nosso Segundo Autor contempla, pois, a instrução em geral e o ensino da aritmética em particular como uma contribuição indispensável no sentido de tornar real a igualdade de direitos entre os cidadãos proclamada pela lei, devendo o primeiro grau de ensino previsto em seu projeto de instrução pública (Condorcet, 1997) ser acessível a todos 32
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os franceses. Dessa forma, a aritmética de seu livro elementar deveria ser ensinada a todas as crianças na escola primária. Segundo Schubring (1989), todavia, não se tem qualquer informação sobre a utilização efetiva do manual, cujo uso nas escolas primárias foi autorizado pelo Estado cinco anos após a morte de seu autor. Como pudemos notar no trecho referente ao algoritmo da adição reproduzido neste texto, a concepção metodológica de Condorcet envolve necessariamente a compreensão dos procedimentos a partir das propriedades do sistema de numeração decimal e, por isso, ele gasta mais espaço em sua abordagem do que o autor da Aritmética de Treviso para tratar do mesmo assunto. A forma escolhida para a apresentação dos algoritmos das demais operações também compreende muitas palavras, pouca formalização matemática, e nenhuma ilustração, o que reflete a época do manual (Picard, 1989), em que, devemos recordar, a imprensa já avançou muito desde o final de século XV, tempo do Primeiro Autor. A motivação para os algoritmos e a preocupação patente em tornar claras as razões de tudo o que é feito estão presentes não apenas no trecho que analisamos, mas em todo o livro. Condorcet manifesta seu ponto de vista a respeito disso no prefácio: Pareceu-me que em geral nada se deveria ensinar às crianças sem lhes ter explicado e feito sentir os motivos. Esse princípio me parece essencial na instrução, mas eu o creio muito vantajoso sobretudo em aritmética e geometria. Assim, os elementos dessas ciências não devem apenas ter como objetivo preparar as crianças para executar seguramente e facilmente em seguida os cálculos dos quais podem ter necessidade, mas devem ainda lhes mostrar elementos de lógica, e servir para desenvolver nelas a faculdade de analisar suas ideias, de raciocinar com justeza.” (Condorcet, 1989, p. 19)
Assim, nosso Segundo Autor embora tenha, como o Primeiro Autor, o propósito do domínio das técnicas operatórias pelos estudantes, não deseja nem crê que tal domínio ocorra por meio da repetição e da memorização mecânicas: acredita na potencialidade da educação aritmética de desenvolver as faculdades intelectuais dos alunos, desde que seja realizada com ênfase na compreensão. Uma característica do manual que não podemos deixar de mencionar é o fato de conter, após o texto para o estudo dos alunos, orientações aos professores, específicas para cada uma das lições que é apresentada. Especificamente quanto ao algoritmo da adição, focalizado neste artigo, ele recomenda que o mestre trabalhe muitos exemplos com os estudantes, mas que cuide para que eles se tornem autônomos, a fim de que não adquiram o hábito de repetir as palavras ‘escrevo’, ‘guardo’, sem reflexão, e por meio de uma memória por assim dizer automática. (Condorcet, 1989, p. 120)
A leitura comparativa dos dois trechos referentes à adição de números naturais mostrou-nos diferenças claras, as quais tentamos, inicialmente, destacar mediante um enfoque interno ao conteúdo dos textos. Em seguida, no que acabamos de expor, procuramos situar esses textos quanto ao entorno de sua produção a fim de enxergar, sob outro prisma, essas diferenças. Os dois modos de ensinar a aritmética ganham significação em dois tempos: dois contextos históricos distintos de educação matemática.
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Dois modos em dois tempos: comentários finais
Na leitura dos textos didáticos aqui focalizados, colocamos em evidência uma dicotomia entre um modo que poderíamos denominar ‘aprender fazendo’, predominante no trabalho do Primeiro Autor, um mestre de cálculo da república de Veneza no século XV, e um outro modo que batizaríamos como ‘aprender compreendendo’, indispensável no escrito do Segundo Autor, um filósofo francês do Século das Luzes. É claro, como tentamos mostrar, que essas expressões pelas quais estamos chamando em dois estilos, ainda que traduzam a essência de duas concepções metodológicas, são insuficientes para revelar todos os aspectos envolvidos nas duas célebres aritméticas aqui abordadas. Todavia, essa dicotomização nos serve como ponto de partida para considerar a inadequação e as limitações de uma análise de concepções, materiais e práticas na educação matemática dissociada das muitas variáveis sociais e culturais que sempre a compõem. De fato, ao comparar mediante uma leitura descontextualizada o modo de ensinar do Primeiro Autor – que parece não se preocupar com a compreensão do significado dos procedimentos que vai ditando ao leitor – com o do Segundo Autor que, diferentemente, quer evidenciar a quem o lê os motivos de tudo aquilo que é exposto, não alcançamos uma significação completa de ambos os textos. Certamente vamos simpatizar mais com o Segundo Autor, mais próximo do que concebemos como o tratamento adequado da matemática na escola. Também queremos que os nossos alunos dominem as técnicas do cálculo aritmético entendendo-as e não simplesmente memorizando-as mecanicamente; assim, identificamo-nos mais com a atitude do filósofo iluminista. Defendemos, como Condorcet, que ao lado da dimensão instrumental da matemática escolar esteja sempre presente a dimensão formativa – enfatizamos a contribuição da matemática no desenvolvimento das faculdades do intelecto das crianças, dos adolescentes, dos jovens e adultos. E particularmente em relação à aritmética, no contexto atual em que a destreza no uso dos algoritmos usuais é menos posta em relevo, se incentiva a utilização das calculadoras e se valorizam procedimentos pessoais dos alunos bem como as estimativas e o cálculo mental (Brasil, 1997), o enfoque de nosso Segundo Autor é, sem dúvida, muito pertinente. Contudo, a abordagem do mestre de Treviso, como comenta Swetz (1989), não era somente adequada, mas desejável para as necessidades do século XV, em que um jovem frequentador das escolas de cálculo o fazia por pouco tempo – era uma educação dispendiosa. Esse jovem logo entrava como aprendiz na profissão comercial e continuava a aprender a aritmética de que precisava. Swetz especula que talvez após vários anos de trabalho e associação com outros mestres, um calculador poderia de fato começar a pesquisar os ‘porquês’ da aritmética. A atitude do Primeiro Autor decorre ainda da inexistência da intenção de escrever um compêndio enciclopédico de conhecimentos mercantis e técnicas matemáticas; como diz o nome usado na época – Practica – seu livro é claramente orientado para objetivos mais imediatos. Assim, se a leitura e a análise dos textos do passado limitar-se a apresentar descrições das abordagens adotadas para os conteúdos matemáticos, provavelmente encontraremos
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vários aspectos curiosos e interessantes, mas teremos uma visão restrita do significado da matemática, da educação matemática e das relações entre elas e as sociedades em que se desenvolveram.”
Referências bibliográficas: BOYER, Charles. História da Matemática . Revista por Uta C. Merzbach. Tradução de Elza F. Gomide. São Paulo: Editora Edgard Blücher, 1996. BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais : Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1997. BUISSON, Ferdinand. Condorcet . Paris: Librairie Félix Alcan, 1929. CONDORCET, Jean-Antoine-Nicolas Caritat. Réflexions et notes sur l’éducation. A cura di Manuela Albertone. Napoli: Bibliopolis, 1983. . Moyens d’apprendre à compter sûrement et avec facilité, presenté et annoté par Charles Coutel, Nicole Picard et Gert Schubring. Paris: ACL Éditions,1989. . Informe sobre la organización general de la instrucción pública. In: Bosquejo de un cuadro histórico de los progresos del espíritu humano y otros textos. Tradução de Francisco González Aramburo. Cidade do México: Fondo de Cultura econômica, 1997. FURET, François & OZOUF, Joseph. Lire et écrire : l’alphabétisation des français de Calvin à Jules Ferry. Paris: Éditions de Minuit, 1977. LOPES, Eliane Marta T. S. Origens da educação pública: A Instrução na Revolução Burguesa do século XVIII. São Paulo: Loyola, 1981. PICARD, Nicole. Notes et commentaires sur les “Moyens...”. In: CONDORCET, J. A. N. C. Moyens d’apprendre à compter sûrement et avec facilité . Appareil critique – études, notes, commentaires, bibliographie. Paris: ACL Éditions, 1989. SCHUBRING, Gert. Introduction: Um savant des lumières. Un livre élémentaire pour la république. In: CONDORCET, J. A. N. C. Moyens d’apprendre à compter sûrement et avec facilité. Appareil critique – études, notes, commentaires, bibliographie. Paris: ACL Éditions, 1989. . Analysis of Historical Textbooks in Mathematics . Lecture Notes. Rio de Janeiro: Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, 1997. SWETZ, Frank J. Capitalism and Arithmetic (second printing). La Salle: Open Court, 1989. GOMES, Maria Laura Magalhães (Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG). Dois tempos e modos de ensinar a aritmética. Revista História & Educação Matemática. Rio Claro: Sociedade Brasileira de História da Matemática, v. 2, n. 2, 2002. p. 173-186.
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4.3 Leitura, escrita e oralidade: competência de todas as áreas Como trabalhar leitura, escrita e oralidade nas aulas de Matemática? Essa pergunta está presente no cotidiano tanto de professores que ainda não estão seguros de como desenvolverão essas habilidades quanto daqueles que já têm ações nesse sentido e querem melhorar sua prática. Para focar esse tema, compilamos quatro textos para informação e reflexão. As fontes são variadas: documentos oficiais, artigos de revistas especializadas em educação e contribuições de professores presentes em sites de qualidade especializados em educação matemática. A leitura e a escrita na sala de aula de Matemática tem sido um tema cada vez mais presente nas produções brasileiras na área de Educação Matemática. No ano de 2010 a revista Zetetiké , do CEMPEM – Círculo de Memória e Pesquisa em Educação Matemática, da UN ICAMP – dedicou uma edição especial ao tema “Linguagem e Práticas Socioculturais: perspectivas para a Educação Matemática”. Essa edição da revista pode ser acessada integral e gratuitamente no endereço: . Acesso em: mar. de 2012.
Sugestão de atividade contemplando a História da Educação Matemática, leitura, escrita e oralidade Você pode propor que os alunos pesquisem junto aos pais, avós e conhecidos exemplos de experiências escolares antigas relativas à Matemática. Vários conceitos podem ser abordados dessa maneira, dependendo do momento de escolaridade. Por exemplo: “O que é a Prova dos Noves?”, “Como se ensinava a tabuada no seu tempo?”, “O que se aprendia no primário/ secundário em outros tempos?”, “Como se resolviam os problemas na aula de Matemática?”, “Como eram os livros didáticos?”, entre outras questões nessa direção. Essas experiências devem ser registradas e comunicadas aos demais colegas de classe. Uma atividade dessa natureza pode envolver vários componentes, como Língua Portuguesa e História, e é uma estratégia para desenvolver a escrita, a oralidade e a habilidade de síntese, pois a necessidade de comunicação favorece a compreensão. É preciso organizar claramente as ideias para transmiti-las aos outros colegas. Esse esforço de ultrapassar sua própria compreensão (e suas estratégias para compreender algo) leva o aluno a refletir sobre o conceito/conteúdo para torná-lo claro aos demais alunos, o que implica aprendizado significativo.
4.3.1 Parágrafo extraído da Proposta de Avaliação, presente no Documento Básico do ENEM – Brasília/2002 “A Matriz de Competências do ENEM pressupõe que a competência de ler, compreender, interpretar e produzir textos, no sentido amplo do termo, não se desenvolve unicamente na aprendizagem da Língua Portuguesa, mas em todas as áreas e disciplinas que estruturam as ati vidades pedagógicas na escola. O participante deve, portanto, demonstrar, concomitantemente, possuir instrumental de comunicação e expressão adequado, tanto para a compreensão de um problema matemático quanto para a descrição de um processo físico, químico ou biológico 36
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e, mesmo, para a percepção das transformações de espaço/tempo da história, da geografia e da literatura.”
4.3.2 A leitura, a escrita e a oralidade em Matemática Como ficou explicitado acima, formar um aluno competente em leitura, interpretação e escrita não é responsabilidade somente do professor de Língua Portuguesa. Cada tipo de texto, romance, poema, notícia de jornal, texto científico, manual de instruções, relatório, enfim, tem características próprias e requer habilidades leitoras diferenciadas. O aluno precisa construir essas habilidades por meio do trabalho pedagógico de todos os componentes curriculares. Consideramos que o objetivo final é formar indivíduos capazes de: • Ler criticamente textos presentes em diferentes suportes (livros, jornais, revistas, internet, manuais etc.) construindo significados para esta leitura. • Mobilizar conhecimentos prévios utilizando-os para alcançar a compreensão do que lê. • Variar as estratégias de leitura em função dos objetivos desta. • Organizar e expressar o conhecimento obtido por meio da oralidade ou da escrita. • Perceber as diversas funções da lei tura: ler para aprender, para se informar, por necessidade, por prazer. O professor de Língua Portuguesa pode e deve ajudar seus colegas, pois provavelmente terá informações valiosas para melhorar o trabalho dos demais docentes. No entanto, aprender a ler em Matemática envolve a participação efetiva do professor em suas aulas. É importante ressaltar que esse trabalho deve ser constante, desenvolvendo, ao longo da vida escolar, hábitos e procedimentos de leitura que acabem por se incorporar à rotina do estudante. Apresentaremos a seguir algumas sugestões para o trabalho em sala de aula tendo por base o livro didático. • Ler todos os textos do livro, escolhendo quais serão trabalhados em sala de aula para desenvolver as habilidades de leitura, escrita e oralidade. • Ter claro qual o objetivo da leitura de cada texto. O aluno precisa saber por que lerá o texto e para que aspectos deve voltar sua atenção. • Mapear os textos com base nos objetivos de leitura: serão lidos na íntegra ou só em parte? A leitura será feita em classe ou em casa? A resolução de atividades dos boxes permeará a leitura? • Criar estratégias diversificadas de leitura.
Exemplos: • Leitura individual silenciosa identificando no texto palavras-chave previamente indicadas pelo professor. Na seleção das palavras-chave é importante contemplar termos próprios da Matemática: incógnita, radical, expoente etc. Terminada a leitura, o professor pode mediar a discussão dos alunos em torno das palavraschave e seus significados, retomando sempre que necessário a leitura de trechos MANUAL DO PROFESSOR
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mais importantes do texto. O registro das informações, conceitos, conclusões sobre o texto e exemplos pode ser feito no quadro. • Leitura de imagens. Solicita-se que observem somente fotos, gráficos, diagramas etc., presentes no texto, sem lê-lo. Pergunta-se, por exemplo: que i nformações ou conhecimentos você identifica nestas imagens? O que já conhecemos? O que há de novo para você? Observando as imagens temos uma ideia do assunto do texto? Essa estratégia costuma motivar os alunos para a leitura do texto integral, que deve acontecer depois dos questionamentos. É uma forma que pode ser eficiente para resgatar conhecimentos prévios. Uma variação é pedir que leiam previamente os boxes presentes no texto e aí procurem no texto as informações que precisam para responder às questões. • Criar muitas oportunidades para os alunos expressarem oralmente e por escrito suas ideias. O texto 3 deste item discute particularmente esse assunto. Veja exemplos simples de trabalho com a oralidade e a escrita nas aulas de Matemática. Usamos aspas para apresentar as ações do professor: – Durante a correção de exercícios: “Eu resolvi o problema desta forma: Alguém pensou em uma estratégia diferente? Quem quer vir ao quadro mostrar seu raciocínio para os colegas?” – No desenvolvimento do tema polígonos: “Todo quadrilátero é um paralelogramo. Quem acha que essa afirmação é verdadeira? Quem acha que é falsa? Expliquem sua opinião para os colegas.” – Numa tarefa de casa pede-se: “Explique com palavras como você ensinaria uma pessoa que não sabe operar 5 1 3 .” com frações a calcular � 2 6 4 Como dissemos, as sugestões têm foco nos textos do li vro didático, mas é importante propiciar a leitura de textos de todos os tipos. Procure explorar também jornais, internet, textos técnicos etc.
4.3.3 Comunicação em Matemática: instrumento de ensino e aprendizagem “A palavra comunicação esteve presente durante muito tempo ligada a áreas curriculares que não incluíam a Matemática. Pesquisas recentes afirmam que, em todos os níveis os alunos devem aprender a se comunicar matematicamente e que os educadores precisam estimular o espírito de questionamento e levar os seus educandos a pensar e comunicar ideias. A predominância do silêncio, no sentido de ausência de comunicação, é ainda comum em Matemática. O excesso de cálculos mecânicos, a ênfase em procedimentos e a linguagem usada para ensinar Matemática são alguns dos fatores que tornam a comunicação pouco frequente ou quase inexistente. 38
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Se os educandos são encorajados a se comunicar matematicamente com seus colegas, com o educador ou com os pais, eles têm oportunidade para explorar, organizar e conectar seus pensamentos, novos conhecimentos e diferentes pontos de vista sobre um mesmo assunto. Assim, aprender Matemática exige comunicação, no sentido de que é através dos recursos de comunicação que as informações, conceitos e representações são veiculados entre as pessoas. A comunicação do significado é a raiz da aprendizagem. Promover comunicação em Matemática é dar aos alunos a possibilidade de organizar, explorar e esclarecer seus pensamentos. O nível ou grau de compreensão de um conceito ou ideia está intimamente relacionado à comunicação bem-sucedida deste conceito ou ideia. Dessa forma, quanto mais os alunos têm oportunidade de refletir sobre um determinado assunto, falando, escrevendo ou representando, mais eles compreendem o mesmo. Somente trocando experiências em grupo, comunicando suas descobertas e dúvidas e ouvindo, lendo e analisando as ideias do outro é que o aluno interiorizará os conceitos e significados envolvidos nessa linguagem de forma a conectá-los com suas próprias ideias. A capacidade para dizer o que se deseja e entender o que se ouve ou lê deve ser um dos resultados de um bom ensino de Matemática. Essa capacidade desenvolve-se quando há oportunidades para explicar e discutir os resultados obtidos e para testar conjecturas.
A oralidade em Matemática Em toda nossa vida de falantes, a oralidade é o recurso de comunicação mais acessível, que todos podem utilizar, seja em Matemática ou em qualquer outra área do conhecimento, é um recurso simples, ágil e direto de comunicação que permite revisões quase que instantaneamente, que pode ser truncada e reiniciada, assim que se percebe uma falha ou inadequação, independentemente da idade e série escolar. Criar oportunidades para os alunos falarem nas aulas faz com que eles sejam capazes de conectar sua linguagem, seu conhecimento, suas experiências pessoais com a linguagem da classe e da área do conhecimento que se está trabalhando. É preciso promover a comunicação pedindo que esclareçam e justifiquem suas respostas, que reajam frente às ideias dos outros, que considerem pontos de vista alternativos. Na essência, o diálogo capacita os alunos a falar de modo significativo, conhecer outras experiências, testar novas ideias, conhecer o que eles realmente sabem e o que mais precisam aprender. A partir da discussão estabelecida, das diferentes respostas obtidas, o educador será capaz de aprender mais sobre o raciocínio de cada aluno e poderá perceber a natureza das respostas, realizando assim intervenções apropriadas. A comunicação oral favorece também a percepção das diferenças, a convivência dos alunos entre si, o exercício de escutar um ao outro numa aprendizagem coletiva. Possibilitando também aos alunos terem mais confiança em si mesmos, se sentirem mais acolhidos e sem medo de se exporem publicamente.
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A comunicação escrita A escrita é o enquadramento da realidade. Quando escrevemos não podemos ir para tantos lados como no oral, ela prevê um planejar, esse planejar não é necessariamente escrito, mas auxilia na escrita. Portanto, o oral antecede a escrita e nesse sentido a escrita pode ser usada como mais um recurso de representação das ideias dos alunos. Temos observado que escrever es crever sobre Matemática ajuda aj uda a aprendizagem dos alunos al unos de muitas formas, encorajando reflexão, clareando ideias, e agindo como um catalisador para as discussões em grupo. Escrever em matemática ajuda o aluno a aprender o que está sendo estudado. Além disso, a escrita auxilia o resgate da memória e muitas discussões orais poderiam ficar perdidas se não as tivéssemos registrado em forma de texto. A História, como disciplina, originou-se graças a esse recurso – escrita de recuperação da memória. Trabalhar essas diferentes funções da escrita em sala de aula leva o aluno a procurar descobrir a importância da língua escrita e seus múltiplos usos. Os textos servem para informar alguma coisa ou para dar ao outro o prazer de ler. Nesse sentido, os alunos precisam entender que ao produzir um texto é preciso se preocupar com as informações, com as impressões e se necessário com as instruções. A escrita também sofre evolução à medida que o educador tiver o cuidado nos momentos de correção de não usar um modelo único, mas diversificá-lo, tendo a preocupação de escrever o melhor possível para que a sua comunicação seja o mais eficiente possível. Sugestões para auxiliar a melhoria dos processos de comunicação nas aulas de Matemática: • Explorar interações nas quais os alunos explorem e expressem ideias através de discussão oral, da escrita, do desenho de diagramas, da realização de pequenos filmes, do uso de programas de computador, da elaboração e resolução de problemas. • Pedir aos alunos que expliquem seu raciocínio ou suas descobertas por escrito. • Promover discussões em pequenos grupos ou com a classe toda sobre um tema. • Valorizar a leitura em duplas dos textos no livro didático. • Propor situações-problema nas quais os alunos sejam levados a fazer conjecturas a partir de um problema e procurar argumentos para validá-las. Com esse trabalho nossos objetivos são levar os alunos a: • Relacionar materiais, desenhos, diagramas, palavras e expressões matemáticas com ideias matemáticas. • Refletir sobre e explicar o seu pensamento sobre situações e ideias matemáticas. • Relacionar a linguagem de todos os dias com a linguagem e os símbolos matemáticos. • Compreender que representar, discutir, ler, escrever e ouvir Matemática são uma parte vital da aprendizagem e da utilização da Matemática. • Desenvolver compreensões comuns sobre as ideias matemáticas, incluindo o papel das definições. • Desenvolver conjecturas e argumentos convincentes. • Compreender o valor da notação matemática e o seu papel no desenvolvimento das ideias matemáticas. 40
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A avaliação e a comunicação A avaliação tem a função de permitir que educador educad or e educando detectem pontos frágeis, frágeis , certezas e que extraiam as consequências pertinentes sobre para onde direcionar posteriormente a ênfase no ensino e na aprendizagem. Ou seja, a avaliação tem caráter diagnóstico, de acompanhamento em processo e formativo. Nesta proposta a avaliação é concebida como instrumento para ajudar o aluno a aprender. Assim, o educador revê os procedimentos que vem adotando e replaneja sua atuação, enquanto o educando vai continuamente se dando conta de seus avanços e dificuldades. A avaliação só é instrumento de aprendizagem quando o educador util iza as informações conseguidas para planejar suas intervenções, propondo procedimentos que levem o educando a atingir novos patamares de conhecimento. O recurso da comunicação, nesse sentido, é essencial, pois no processo de comunicar o educando nos mostra ou fornece indícios de que habilidades ou atitudes está desenvolvendo e que conceitos ou fatos domina, apresenta dificuldades ou incompreensões. Os recursos da comunicação são novamente valiosos para interferir nas dificuldades encontradas ou para permitir que o educando avance mais, propondo-se outras perguntas, mudando-se a forma de abordagem. Como podemos ver, há muitas vantagens em estimular a comunicação nas aulas de Matemática. Que tal você tentar?” SMOLE, Kátia C. S.; DINIZ, Maria I. Comunicação em Matemática: instrumento de ensino e aprendizagem. Disponível em: municacao_mat.html>.. Acesso em: fev fev.. 2009.
4.3.4 Leitura na escola O texto a seguir é parte do artigo intitulado “Uma reflexão acerca das competências leitoras e das concepções e crenças sobre práticas de leitura nas aulas de Matemática”, assinado por Emilio Celso de Oliveira e Célia Maria Carolino Pires. O artigo está disponível na íntegra no endereço eletrônico: .
Leitura na escola “As considerações acerca dos problemas e dificuldades de apropriação de práticas de leitura no espaço educativo nos levaram ao estudo das pesquisas de Lerner, Foucambert, Soares, Solé, e Koch e Elias. Lerner (2002, p. 76) faz uma instigante análise das mazelas que envolvem o trabalho escolar no que diz respeito à questão da leitura. A autora constata que a leitura aparece desvinculada dos propósitos que lhe dão sentido no uso social, destacando que cada
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situação de leitura precisa apresentar dois propósitos: por um lado, ensinar e aprender algo sobre a prática social da leitura; por outro, cumprir com um objetivo que tenha sentido na perspectiva imediata do aluno. Lerner centra sua crítica ao controle rigoroso do processo de aprendizagem do aluno, levando à produção artificial de textos específicos para o ensino, que pretensamente respeitem a maturidade do leitor, leitor, pela graduação que vai do simples ao complexo. Como resultado, a elaboração teórica de Lerner (2002, p. 80) sinaliza que a ação educativa com a leitura, para ser efetiva, torna-se uma iniciativa que tem como pressuposto a articulação dos objetivos didáticos – referentes ao ensino e à aprendizagem – e os propósitos imediatos da situação social que lhe confere sentido. Foucambert (1997, p. 95-99) apresenta um conjunto de fundamentos ou características comuns, advindos das mais diferentes motivações e modalidades de práticas sociais que definem o ato de ler, ou, em nosso entendimento, as competências leitoras. A primeira dessas características é a percepção da intencionalidade em relação ao texto, que faz o leitor definir um projeto de leitura pelo qual reconhece as modalidades e os objetivos do texto. A segunda característica é que a leitura, como qualquer comunicação, exige que se invista uma quantidade de informações bastante superior àquela que se extrai. Assim, o conhecimento prévio do leitor é posto em ação no trabalho de leitura, sendo que, quanto mais experiência tivermos como leitores em sentido amplo, mais competência ativaremos no momento de atribuir significados aos textos de interesse nas situações sociais. A terceira característica diz respeito à experiência linguística, pois a competência do leitor se manifesta ao organizar as possibilidades semânticas, à medida que o fluxo de leitura pelo material gráfico vai acontecendo, de forma a transformar informação gráfica em significados. A quarta característica está relacionada ao projeto específico que leva o leitor ao texto, no tipo de investigação buscada, podendo ser uma l eitura de correção ortográfica, de triagem de texto, de estilo, de ponto de vista, de funcionamento do discurso. A quinta característica inerente ao ato de ler reside na possibilidade de emancipação do leitor, leitor, na medida em que o contato com os diferentes textos aguça ainda mais a vontade de busca de sentido em outros textos. A sexta e última característica diz respeito à consciência da intertextualidade, e referese à competência leitora relacionada à concepção de que um texto é um nó em uma trama de outros textos, o que permite inferir que toda leitura é uma l eitura em rede. Como resultado, essas características definem, em nosso entendimento, competências leitoras que o aluno precisa desenvolver conjuntamente com o trabalho do professor, professor, não só de língua materna, mas de qualquer área do conhecimento. Soares (2002) preconiza que ao professor de matemática e de outras áreas cabe a responsabilidade de ser um parceiro do professor de l íngua materna em relação ao compromisso de aprendizagem de estratégias de l eitura. Consideramos que o texto matemático, ao apresentar aspectos específicos, necessita de conhecimentos por parte do leitor, sendo
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o professor de matemática o mediador qualificado na interação ativa do aluno durante o processo de compreensão e interpretação. Solé (1998, p. 73-74), ao tratar da leitura na escola, apresenta um conjunto de questões que o professor pode formular ao aluno-leitor para orientá-lo no processo de compreensão do que se lê. A autora verifica que o trabalho do professor em qualquer aula é excessivamente centrado na estratégia de fazer perguntas aos alunos. Para superar esse centralismo, ela propõe que as estratégias de leitura sejam organizadas pelo professor em três momentos: antes, durante e depois da leitura. Nesses momentos, o trabalho com o texto progressivamente passa por três etapas: a etapa do modelo, em que o professor lê em voz alta o texto, tanto para verbalizá-lo como para comentar dúvidas, falhas de compreensão e os mecanismos que utiliza para resolvê-las; a etapa de participação do aluno, em que o professor transfere a este a responsabilidade de interagir e buscar a compreensão do texto, por suas próprias estratégias, afastando-se aos poucos da tutela do professor; e a etapa de leitura silenciosa, que tem como finalidade transferir autonomia ao aluno em refazer o trabalho das etapas anteriores, ou seja, estabelecer os objetivos de leitura, levantar e verificar hipóteses, detectar e resolver falhas de compreensão. Esse resultado é de interesse, porque tais momentos e etapas de compreensão leitora podem ser apropriados pelo professor de matemática nas práticas que fazem uso de textos que tratem do conhecimento matemático. Koch e Elias (2008, p. 31) tomam como pressuposto básico a concepção de que o texto é lugar de interação de sujeitos sociais que, dialogicamente, nele se constituem e são constituídos; e que, por meio de ações linguísticas e sociocognitivas, autor e leitor constroem significados e partilham sentidos, sendo que, em todo e qualquer texto, implícitos dos mais variados tipos emergem na leitura pela mobilização de estratégias de compreensão para reconstituir o contexto sociocognitivo no interior do qual se encontram os atores sociais. Dentre a variedade de textos, são de especial interesse para o professor de matemática os enunciados de problemas, porque envolvem atividade da investigação científica que remete ao fazer do matemático e de pesquisadores de ciências. Polya (1978, p. 1-11) desenvolve uma abordagem na resolução de problemas na qual está presente a preocupação com o desenvolvimento das competências leitoras e escritoras, como investigadas por nós. Além disso, subjaz o interesse pelo processo de aprendizagem da atitude científica, por meio de uma metodologia de resolução de problemas que seja de interesse à matemática, mas que possa ser aplicada a outras áreas das ciências naturais.” OLIVEIRA, Emilio Celso de; PIRES, Célia Maria Carolino. Uma reflexão acerca das competências leitoras e das concepções e crenças sobre práticas de leitura nas aulas de Matemática. Bolema, Rio Claro (SP), v. 23, n. 37, p. 931 a 953, dezembro 2010. Professor,, apresentamos a metodologia proposta por Polya no item 4.2 deste manual. Nota dos autores: Professor
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4.4 O comprometimento com o próprio aprendizado Sabemos que o compromisso do aluno com sua própria aprendizagem é uma das premissas para o sucesso escolar. escolar. No entanto, jovens com idade entre 11 e 17 anos vivem uma fase de descobertas, repleta de novos interesses, todos mais “importantes”, “importantes”, para eles, do que as aulas e o estudo. As constantes “broncas” e “sermões” sobre a necessidade de dedicar-se aos estudos não costumam funcionar. Ao contrário, podem gerar um clima hostil entre professor e aluno: — Os alunos não querem saber de nada! — O professor é muito chato, não me entende! Uma proposta é tentar fazer com que os estudantes tornem-se parceiros do professor no processo de ensinar e de aprender. Para que essa parceria se desenhe, o aluno precisa sentir que seu professor quer que ela aconteça. Isso requer uma postura de acolhimento, de vontade, de entusiasmo por parte do mestre. É importante tornar efetiva a participação do aluno no desenvolvimento do curso. Por exemplo: antes do início de um conteúdo, o professor propõe um cronograma de trabalho, com o número de aulas previsto para cada item, compartilhando com eles os objetivos do assunto e as atividades que farão: trabalhos, provas, leituras etc. Tudo isso, é claro, dentro do nível de compreensão e de atuação dos estudantes. Uma ficha pode ajudar nessa tarefa: Assunto
Objetivos
Número Período de aulas previstas
Compreender os diversos tipos de números como criações humanas, Conjuntos analisando as numéricos necessidades que levaram à criação. Classificar os números em conjuntos.
3/3 a 24/3
15
Palavras-chave
Leituras
Atividades avaliativas
Números naturais, inteiros, racionais, reais, dízimas, �, números irracionais, reta numérica.
p. 7,8,9 p. 11 e 12 p. 14 e 15 p. 17 e 18 p. 20,21,22 p. 25 e 27
Texto de criação coletiva envolvendo a ampliação dos conjuntos numéricos.
A ficha, preenchida em conjunto com o aluno, permitirá que ele acompanhe o desenvolvimento do curso, sabendo com antecedência o que será tratado nas aulas, quais os objetivos do assunto, os textos que deverá ler, e em que atividades será avaliado. No verso da ficha pode ser colocada uma tabela para autoavaliação. Veja o modelo: Ficha de acompanhamento do meu desempenho Conteúdo
Adição e subtração de frações
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Data
Tarefa/ Atividade
5/8
Exercícios da p. 180.
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Fácil
X
Média Difícil
Dúvidas, dificuldades, observações e ideias Às vezes esqueço de simplificar o resultado.
Como estou em relação a este item? Exercícios corrigidos na lousa: só errei o 46, mas agora entendi.
Não seremos ingênuos a ponto de achar que somente o uso da ficha fará com que os alunos se comprometam com os estudos, mas, sem dúvida, pode contribuir nesse processo. O aluno deve incorporá-la aos poucos, percebendo que não é uma folha de papel a mais, mas sim um instrumento útil na gestão de seu aprendizado. aprendizado. Para isso, é preciso criar demandas que sistematizem seu uso, tais como: • Considerá-la como material obrigatório na aula. • Retomá-la constantemente para verificar o caminho já percorrido, ajustar o cronograma e discutir o aproveitamento. • Nesses momentos, manter o aluno ativo no processo, levantando questões como: “O que já aprendemos até aqui? Precisamos retomar alguma coisa? Quais das palavraschave já conhecemos? Estamos dentro do cronograma? Estamos atrasados (ou adiantados)? Por quê? Quais serão nossas próximas ações?” • Valorizar muito o aluno que utiliza a ficha para preparar-se previamente, que lê o texto a ser abordado e que traz questões ou dúvidas. Usar, sempre que possível, as observações ou questões trazidas por ele para encaminhar a aula. • Mostrar que esse aluno aproveita melhor, aprende mais e ajuda a enriquecer a aula, motivando os demais a experimentarem como é bom aprender e ensinar. • Observar e incentivar o uso da ficha de autoavaliação. Se possível, acompanhar ou avaliar os registros periodicamente. Tudo o que foi proposto precisa ser realizado com constância. constân cia. Adquirir Adquiri r uma postura e cultivá-la cultivá-l a leva tempo e exige paciência. No entanto, se pensarmos que em algum momento teremos alunos assumindo seu papel de forma consciente e participativa no processo de ensino-aprendizagem, todo o esforço terá valido a pena. m o c . e m i t s
m a e r D / h c t i w o t o h P
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5. Quadro de conteúdos 6o ano Unidade
Conteúdo • Processos de contagem – história dos números
1 – Sistema de numeração decimal
• Noções sobre os sistemas de numeração egípcio e romano romano • Sistema de numeração decimal – leitura, escrita e história dos numerais indo-arábicos • Sequência dos números naturais naturais
2 – Números naturais
• Sucessor, antecessor, números naturais consecutivos • Aplicações dos números naturais • Reta numérica • Ideias da adição adição e da subtração subtração
3 – Adição e subtração de números naturais
• Cálculo mental mental nas adições e subtrações subtrações • Estimativas por arredondament arredondamento o • Problemas envolvendo adição e subtração de números naturais • As ideias da multiplicação • Divisão – ideias e algoritmos • Multiplic Multiplicação ação e divisão – operações operações inversas inversas
4 – Multiplicação e divisão de números naturais
• Relação fundamental fundamental da divisão divisão • Expressões numéricas envolvendo as quatro operações fundamentais • Propriedade distributiva distributiv a da multiplicação em relação à adição e à subtração • Cálculo mental de produtos produtos • Resolução de problemas envolvendo envolvendo as quatro operações fundamentais fundamentais • Unidades de medida medida de tempo – problemas problemas • Potenciaçã Potenciação o – significado significado,, representação e cálculos
5 – Potenciação e raiz quadrada de números naturais
• Quadrados e cubos • Expoente zero zero e expoente 1 • Raiz quadrada de números números naturais • Expressões numéricas • Sequência dos múltiplos de um número • Fatores ou divisores de um número natural
6 – Múltiplos e divisores
• Critérios de divisibilidade • Números primos e decomposição em fatores primos • Mínimo múltiplo comum • Divisores comuns e máximo divisor comum • Utilidade dos gráficos gráficos
7 – Dados, tabelas e gráficos de barras
• Dados e tabelas tabelas de frequência frequência • Construção e interpretaç interpretação ão de gráficos de barras barras • Elaboração e análise de uma pesquisa pesquisa estatística estatística simples
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8 – Observando formas
• • • • • •
As formas da natureza e as formas criadas pelo ser humano Formas planas e não planas Blocos retangulares – estudo e planificação Ponto, reta, plano e segmento de reta Perspectivas e vistas Construção de poliedros
9 – Ângulos
• • • •
Identificação, elementos e representação Medidas de ângulos e uso do transferidor Retas paralelas e retas perpendiculares Uso dos esquadros
10 – Polígonos e circunferências
• Polígonos – características e nomenclatura • Triângulos – classificação • Quadriláteros – classificação • Polígonos regulares • Perímetro de polígonos • Circunferência – definição e elementos • Uso do compasso • Simetria nos polígonos e no círculo
11 – Frações
• Frações como partes do inteiro • Representação e leitura • Frações de uma quantidade • Números mistos e frações impróprias • Frações equivalentes • Simplificação de frações • Comparação de frações • Operações com frações • Problemas envolvendo frações e suas aplicações
12 – Números decimais
• • • • • • • • • •
13 – Porcentagens
• Significado, representação e cálculos simples envolvendo porcentagens • Representação decimal de porcentagens
14 – Medidas
• • • • • • •
A notação decimal Números decimais e o registro de medidas Números decimais na forma de fração Comparação de números decimais Adição e subtração de números decimais Multiplicação e divisão por 10, 100, 1 000, … Multiplicação de números decimais Divisão de números naturais com quociente decimal Divisão de números decimais Problemas envolvendo números decimais e suas aplicações
Conceito de medida e de unidade de medida Medidas de comprimento no SMD Medidas de superfície e área do retângulo Relações entre km2, m2 e cm2 Conceito de volume e volume de um bloco retangular Equivalência entre litro e decímetro cúbico Medidas de massa
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7o ano Unidade
1 – Números naturais
2 – Frações e números decimais
3 – Números negativos
4 – Proporcionalidade
5 – Razões e porcentagens 6 – Construindo e interpretando gráficos 7 – Sólidos geométricos
8 – Áreas e volumes
9 – Equações
10 – Inequações
11 – Ângulos e triângulos
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Conteúdo Retomada e aprofundamento dos conhecimentos sobre os números naturais, abordando: • sequência dos números naturais, sucessor, antecessor, números consecutivos • representação na reta numérica • múltiplos e divisores - mmc e mdc • números primos • Fração e divisão • Frações equivalentes • Frações e números decimais na reta numérica • Expressões numéricas • Potenciação e raiz quadrada de números decimais • Medidas de tempo • Aplicações dos números negativos • Comparação • Representação na reta numérica • Módulo e simétrico • Operações com números negativos • Expressões numéricas envolvendo operações com números negativos • Grandezas e comparação de grandezas • Razões e proporções • Escalas, plantas e mapas • Grandezas diretamente proporcionais • Grandezas inversamente proporcionais • Representação e cálculo de porcentagens • Descontos e acréscimos • Problemas envolvendo porcentagens • Construção e análise de gráficos de barras e de setores • Pictogramas • Médias • Poliedros • Prismas e pirâmides • Poliedros regulares • Cilindros, cones e esferas • Dimensionalidade • Medidas de superfície – unidades e conversões • Comparação de áreas • Área do retângulo e do quadrado • Cálculo de áreas por composição e decomposição de figuras • Área do paralelogramo, do triângulo, do losango e do trapézio • Problemas envolvendo o cálculo de áreas • Relações entre unidades de medida de volume e de capacidade • Observação de padrões numéricos – generalizações • Uso das letras – linguagem algébrica • Algumas operações com letras • Resolução de equações do 1o grau • Resolução de problemas por meio de equações do 1o grau • Desigualdades – símbolos e propriedades • Resolução de inequações • Inequações e problemas • Retomada sobre ângulos • Ângulos suplementares, complementares, opostos pelo vértice • Grau e subdivisões do grau • Bissetriz de um ângulo • Os ângulos nos triângulos • Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo • Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero
8o ano Unidade
Conteúdo • • • • • • • •
Números naturais Números inteiros Números racionais Representação dos números racionais Números irracionais Pi – um número irracional Números reais Os números reais e as operações
2 – Potenciação e notação científica
• • • • •
Expoentes inteiros Propriedades das potências Potências de base 10 Multiplicação por potências de base 10 Notação científica
3 – Radiciação
• Aprofundamento sobre raízes • Raízes exatas • Raízes não exatas
4 – Cálculo algébrico
• • • • • • •
5 – Produtos notáveis
• Desenvolvimento de produtos notáveis • Aplicações dos produtos notáveis no cálculo algébrico
6 – Fatoração
• Principais casos de fatoração • Aplicações da fatoração
7 – Frações algébricas
• • • • •
1 – Conjuntos numéricos
8 – Sistemas de equações
Retomada de equações Variáveis Expressões algébricas Monômios e polinômios Operações e expressões algébricas Simplificação de expressões com letras Multiplicação de polinômios
Letras no denominador Condição de existência Problemas e equações envolvendo frações algébricas Simplificação de frações algébricas Operações com frações algébricas
• Problemas do 1o grau com duas incógnitas – representação por meio de um sistema de equações • Método da substituição • Método da adição • Dízimas periódicas na forma de fração
9 – Retas e ângulos
• • • • •
Posição relativa entre retas Ponto médio de um segmento Retas perpendiculares e paralelas Distância entre dois pontos Distância de ponto à reta
10 – Triângulos
• Elementos, perímetro e classificação • Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo • Propriedade do ângulo externo
11 – Triângulos: congruência e pontos notáveis
• • • • •
Congruência de figuras planas Casos de congruência de triângulos Mediana, bissetriz e altura em um triângulo Triângulo isósceles e triângulo equilátero Maior lado e maior ângulo de um triângulo MANUAL DO PROFESSOR
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12 – Quadriláteros e outros polígonos
• Elementos e classificação dos quadriláteros • Propriedades dos paralelogramos e dos trapézios isósceles • Ângulos de um polígono
13 – Circunferência e círculo
• • • • • • • • •
14 – Possibilidades e estatística
• Tabela e árvore de possibilidades • Problemas de contagem • Gráficos estatísticos
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Caracterização Construção de triângulos Posições relativas de duas circunferências Posições relativas entre reta e circunferência Cordas Arco e ângulo central Comprimento de um arco Construção de polígonos regulares Ângulo inscrito
9o ano Unidade
1 – Potenciação e radiciação
2 – Equações do 2o grau
3 – Sistema cartesiano
• • • • • • • • • • • • • • • • •
Conteúdo Retomada e aprofundamento da potenciação e suas propriedades Retomada da radiciação Expoentes racionais Propriedades dos radicais Simplificação de radicais Adição e subtração de radicais Cálculos com radicais Racionalização Equações e grau de uma equação Equações incompletas do 2o grau Forma geral de uma equação do 2o grau Resolução de equações do 2o grau pela fatoração do trinômio quadrado perfeito Fórmula geral de resolução de equações do 2o grau Resolução de problemas envolvendo equações do 2o grau Soma e produto das raízes de uma equação do 2o grau Equações fracionárias e biquadradas Equações irracionais
• Localização no plano • Sistema cartesiano • Coordenadas geográficas • • • • • • •
Conceito e aplicações Tabela de valores e lei de formação de uma função Interpretação de gráficos Construção de gráficos das funções do 1o grau e do 2 o grau Probabilidade e estatística Problemas envolvendo o cálculo de probabilidades Conceito de população e amostra numa pesquisa estatística
6 – Teorema de Tales e semelhança de triângulos
• • • • •
Razões, proporções e segmentos proporcionais Teorema de Tales Semelhança Semelhança de triângulos Aplicação da semelhança de triângulos na resolução de problemas
7 – Relações métricas nos triângulos retângulos
• • • •
Teorema de Pitágoras e suas aplicações Diagonal do quadrado e altura do triângulo equilátero Relações métricas nos triângulos retângulos Problemas de aplicação
8 – Trigonometria no triângulo retângulo
• Razões trigonométricas: tangente, seno e cosseno • Aplicações na resolução de problemas • As razões trigonométricas e os ângulos de 30°, 45° e 60°
9 – Círculo e cilindro
• • • •
10 – Porcentagem e juro
• Problemas envolvendo porcentagens, descontos e acréscimos • Juros simples e composto
4 – Funções
5 – Noções de probabilidade
Área do círculo Área de setor circular e de coroa circular Área da superfície e volume de um cilindro Aplicações na resolução de problemas
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6. Sobre o livro do 9o ano Esta seção do manual trata do desenvolvimento dos conteúdos do livro do 9 o ano, trazendo, para cada unidade, objetivos gerais e específicos, sugestões e comentários sobre a utilização do livro do aluno, possibilidades de integração com outras áreas do conhecimento e de atividades para compor o processo de avaliação. No item 7 do manual de cada volume, apresentamos um conjunto de questões, contextualizadas ou não, selecionadas a partir de exames elaborados de forma criativa e pertinente por instituições públicas conceituadas. Essas questões contemplam conteúdos desenvolvidos no livro do aluno. Incluímos também, ao final dos comentários sobre cada unidade, sugestões de sites que disponibilizam objetos educacionais envolvendo os temas trabalhados: arquivos de vídeo e de áudio, jogos, experimentos, simulações, entre outros.
Unidade 1 – Potenciação e radiciação I. Objetivos gerais • Compreender a potenciação e a radiciação como operações inversas, úteis na solução de problemas. • Desenvolver habilidades relativas à representação e ao cálculo envolvendo potências e raízes.
II. Objetivos específicos • • • •
Representar e calcular potências com expoentes inteiros. Calcular raízes, identificando as que não representam números reais. Representar potências de base positiva e expoente racional na forma de radical. Aplicar propriedades para simplificar e efetuar cálculos envolvendo potências e raízes.
III. Comentários Retomando a potenciação e suas propriedades, o aluno pode aprimorar registros e cálculos já aprendidos. No Ensino Médio, as propriedades das potências serão importantes para a Física, a Química e a própria Matemática. Por essa razão, o item que trata da notação científica (pág. 14) e o texto complementar “Ordem de grandeza”, sugerido para o trabalho com os alunos, merecem sua atenção. Apresentamos três textos complementares para leitura no item VI – “ Zero é um número natural?” e “Qual é o valor de 0 0?” – de autoria de Elon Lages Lima publicados pela Revista do Professor de Matemática , e que trazem temas que podem suscitar perguntas por parte dos alunos, daí a importância dessas leituras. O terceiro texto, da mesma revista, aborda expoentes racionais com base em uma questão trazida por um professor. A radiciação é apresentada como operação inversa da potenciação a partir do quadrado e do cubo: cálculo da área, dada a medida do lado, e cálculo do lado, dada a área; cálculo do volume dada a aresta e cálculo da aresta, dado o volume. Outra relação entre potenciação e radiciação se estabelece ao definirmos potências com expoente racional. Mais uma vez, a ideia da manutenção de padrões foi aplicada. É importante ressaltar a conservação das propriedades das potências para expoentes racionais. Sugerimos retomar os números irracionais, mostrando a utilidade do registro na forma de radical e a aplicação da calculadora para determinar aproximações de raízes, caso seja necessário. Trabalhamos com 52
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previsão de resultados, pedindo a estimativa da medida do lado e do perímetro de um quadrado com base em sua área. Julgamos importante explorar essas atividades, mostrando que podemos expressar o resultado na forma de radical ou usando para as raízes uma aproximação que seja adequada ao problema. O texto didático relembra que raízes de índice par de números negativos não representam números reais. É um bom momento para retomar a ampliação dos conjuntos numéricos numa abordagem voltada agora para alunos do 9 o ano, pois as ideias vão ficando cada vez mais claras e consistentes. Na página 15, relembramos que, embora tenhamos 5 2 � 25 e (�5)2 � 25, consideramos sempre que 25 � 5. O símbolo representa a raiz quadrada positiva do número. Essa convenção garante x tem valor único, bem determinado. Escrevemos que, se x é positivo, 25 � 5 e � 25 � �5. A igualdade 25 � �5 é falsa. Um cuidado a ser tomado é mostrar que essa convenção não impede que a equação x 2 � 25 tenha soluções como 5 e �5, uma vez que ( �5)2 � 25. O registro nesse caso fica: x 2 � 25 x � 25 x � 5 A clareza sobre os fatos expostos acima será importante para o aluno, que na Unidade 2 resolverá equações do 2o grau e equações irracionais. Com a apresentação de propriedades e operações fundamentais envolvendo radicais, pretende-se que o aluno adquira habilidades suficientes para trabalhar com radicais no Ensino Médio. No item “Expoentes racionais”, você deve mostrar aos alunos porque a base a deve ser positiva. O texto apresenta um boxe que ilustra essa situação por meio de um exemplo. Neste volume, as propriedades das potências foram generalizadas, usando uma notação mais sistematizada. O mesmo acontece com as propriedades dos radicais. Acreditamos que o aluno do 9o ano deve, aos poucos, familiarizar-se com essas notações.
Sugestão de avaliação É comum vermos os alunos cometerem erros deste tipo: 102 : 5 � 2,4 (em vez de 20,4). É importante trabalharmos com estimativas para resultados, levando-os a perceber que se 100 : 5 � 20, então 102 : 5 deve resultar em pouco mais que 20, ou seja, não pode resultar em 2,4. O texto complementar sobre ordem de grandeza, além de trazer esse conceito presente e importante para o letramento científico, trabalha com estimativas. Sugerimos usar a leitura desse texto e as atividades propostas para avaliar os alunos em habilidades que não são muito cobradas nas avaliações formais.
IV. Integração com outras áreas do conhecimento O texto sobre o Papiro de Rhind possibilita que você relembre a importância da civilização egípcia para a história da humanidade e da Matemática (sistema de numeração egípcio, medidas e esticadores de cordas, método da falsa posição), buscando, se possível, interdisciplinaridade com História.
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O trabalho com o texto complementar “Ordem de grandeza” pode ter a parceria de um professor de Física, por exemplo, mostrando aos alunos como a potenciação e os registros na notação científica serão importantes nesse componente que fará parte do currículo dos alunos no Ensino Médio.
V. Texto complementar para trabalhar com os alunos Ordem de grandeza Nas ciências e nas atividades do dia a dia, nem sempre é preciso saber com exatidão o valor de uma grandeza, bastando determinar o que chamamos de ordem de grandeza do número que expressa sua medida. A ordem de grandeza de um número é a potência de base dez mais próxima dele. Por exemplo: • A ordem de grandeza de 2 890 é 10 3 (ordem de unidade de milhar), pois o valor 2 890 está compreendido entre 10 3 (1 000) e 104 (10 000) e está mais próximo de 10 3. • A ordem de grandeza de 0,03 � 3 · 10 2 é 10 2 (centésimos) porque 0,03 está compreendido entre 10 2 (0,01) e 10 1 (0,1) e está mais próximo de 10 2. • A ordem de grandeza de 85 000 é 10 5 porque 85 000 está entre 10 4 (10 000) e 10 5 (100 000) e está mais próximo de 10 5. Veja exemplos práticos do uso da ordem de grandeza: 1) É comum ouvirmos afirmações do tipo: “A distância da Terra à Lua é da ordem de 10 5 km.” 105 � 100 000 km, ou seja, a distância da Terra à Lua é da ordem de centenas de milhares de quilômetros “O prejuízo foi da ordem de milhões de reais.” A ordem de grandeza nesse caso é 10 6 � 1 000 000. 2) Uma fazenda de forma retangular mede 8 270 m por 3 210 m. Podemos não estar interessados na área exata em metros quadrados (m 2) dessa fazenda, mas sim na ordem de grandeza dessa área: milhares de m 2, milhões de m2, etc. Observe: 8 270 está entre 1 000 e 10 000, mais próximo de 10 000, ordem de grandeza: 10 4 3 210 está entre 1 000 e 10 000, mais próximo de 1 000, ordem de grandeza: 10 3 Como a área de um retângulo é obtida multiplicando comprimento e largura, temos que a ordem de grandeza da área da fazenda é de 10 4 · 103 � 10 7 (ordem de dezenas de milhão). De fato, efetuando 8 270 m � 3 210 m obtemos 25 546 700 m 2. �
�
�
�
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Ordem de grandeza e estimativas
A ideia de ordem de grandeza pode ajudar a fazer previsões e evitar erros nos resultados de operações. Observe os exemplos: • 196,49 : 9,8 � 196,49 tem ordem de grandeza 10 2 9,8 tem ordem de grandeza 10 1 102 : 101 � 101, ou seja, o quociente terá ordem de grandeza de dezenas De fato, 196,49 : 9,8 � 20,05.
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MANUAL DO PROFESSOR
Se o resultado obtido fosse 2,005 ou 2,5 seria fácil perceber que havia erro. • 18,65 � 0,0038 � 18,65 tem ordem de grandeza 10 1 0,0038 tem ordem de grandeza 10 3 101 � 10 3 � 10 2, ou seja, o produto terá ordem de grandeza de centésimos De fato, 18,65 � 0,0038 � 0,07087 � 7,087 � 10 2 Agora junte-se com um colega para fazer as atividades a seguir. 1) Qual a ordem de grandeza? a) do diâmetro da uma molécula de DNA humano: 0,000000002 m. 10 9 m b) da população da China em 2008: 1 300 000 000 de pessoas. 109 pessoas c) da distância entre Porto Alegre e Salvador: 3 071 km. 103 km d) da massa do meteorito de Bendegó (6 000 kg) que caiu na Bahia no século XVIII. 103 kg 2) Em números redondos, o diâmetro do Sol é cem vezes maior do que o da Terra. Qual é a ordem de grandeza do diâmetro do Sol, sabendo que o da Terra é de aproximadamente 13 000 km? 106 km 3) O Brasil tem aproximadamente 190 000 000 de habitantes. A ordem de grandeza da população brasileira é 10 8. Uma pessoa gasta, em média, 200 L de água por dia. Então a ordem de grandeza de consumo de água diário por habitante é de 10 2 L. Estime a ordem de grandeza em litros do consumo diário de água da população brasileira. �
�
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�
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1010 L
VI. Textos complementares para o professor Conceitos e controvérsias Zero é um número natural?
n
“Sim e não. Incluir ou não o número 0 no conjunto dos números naturais é uma questão de preferência pessoal ou, mais objetivamente, de conveniência. O mesmo professor ou autor pode, em diferentes circunstâncias, escrever 0 ou 0 . Como assim? Consultemos um tratado de Álgebra. Praticamente em todos eles encontramos � {0, 1, 2, ...}. Vejamos um livro de Análise. Lá acharemos quase sempre � {1, 2, 3, ...}. Por que essas preferências? É natural que o autor de um livro de Álgebra, cujo principal interesse é o estudo das operações, considere zero como um número natural, pois isso lhe dará um elemento neutro para a adição de números naturais e permitirá que a diferença x � y seja uma operação com valores em não somente quando x � y , mas também se x � y . Assim, quando o algebrista considera zero como número natural, está facilitando a sua vida, eliminando algumas exceções. Por outro lado, em Análise, os números naturais ocorrem muito frequentemente como índices de termos numa sequência. Uma sequência (digamos, de números reais) é uma função x : → , cujo
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n n
n
n
n ®
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n
domínio é o conjunto dos números naturais. O valor que a função x assume no número natural n é indicado como a notação x n (em vez de x (n)) e é chamado o ‘ n-ésimo termo’ da sequência. A notação ( x 1, x 2, ..., x n, ...) é usada para representar a sequência. Aqui, o primeiro termo da sequência é x 1, o segundo é x 2 e assim por diante. Se fôssemos considerar � { 0, 1, 2, ...}, então a sequência seria ( x 0, x 1, x 2, ..., x n, ...), na qual o primeiro termo é x 0, o segundo é x 1 etc. Em geral, x n não seria o n-ésimo termo e sim o (n � 1)-ésimo termo. Para evitar essa discrepância, é mais conveniente tomar o conjunto dos números naturais como � {1, 2, 3,...}. Para encerrar este tópico, uma observação sobre a nomenclatura matemática. Não adianta encaminhar a discussão no sentido de examinar se o número zero é ou não ‘natural’ (em oposição a ‘artificial’). Os nomes das coisas em Matemática não são geralmente escolhidos de modo a transmitirem uma ideia sobre o que devem ser essas coisas. Os exemplos abundam: um número ‘imaginário’ não é mais nem menos existente do que um número ‘real’; ‘grupo’ é uma palavra que não indica nada sobre seu significado matemático e, finalmente, ‘grupo simples’ é um conceito extremamente complicado, a ponto de alguns de seus exemplos mais famosos serem chamados (muito justamente) de ‘monstros’.
n
n
Qual é o valor de 00?
A resposta mais simples é: 0 0 é uma expressão sem significado matemático. Uma resposta mais informativa seria: 00 é uma expressão indeterminada. Para explicar essas respostas, talvez seja melhor examinar dois exemplos mais simples de fórmulas desprovidas de significado matemático, que são 0 e 1 . De acordo com a definição de 0 0 a divisão, � c significa que a � b · c . Portanto, se escrevêssemos 0 � x e 1 � y , essas igualdab 0 0 des significariam que 0 � 0 · x e 1 � 0 · y . “Ora”, TODO número x é tal que 0 · x � 0 e NENHUM número y é tal que 0 · y � 1. Por isso se diz que 0 é uma ‘expressão indeterminada’ e que 1 0 0 a é uma ‘divisão impossível’. (Mais geralmente, toda divisão do tipo , com a 0, é impossível.) 0 Voltando ao símbolo 00, lembramos que as potências de expoente zero foram introduzidas a am fim de que a fórmula n � am n, que é evidente quando m > n, continue ainda válida para m � n. a b b m Pondo a � b, teremos então � b0, logo b0�1 se b 0. No caso b � 0, a igualdade � b0 b b �
tomaria a forma 0 � 00, o que leva a considerar 0 0 como uma expressão indeterminada. Essa 0 conclusão é ainda reforçada pelo seguinte argumento: como 0 y � 0 para todo y 0, seria natural pôr 00 � 0; por outro lado, como x 0 � 1 para todo x 0, seria também natural pôr 0 0 � 1. Logo, o símbolo 00 não possui um valor que se imponha naturalmente, o que nos leva a considerá-lo como uma expressão indeterminada. As explicações acima têm caráter elementar e abordam o problema das expressões indeterminadas a partir da tentativa de estender certas operações aritméticas a casos que não estavam enquadrados nas definições originais dessas operações. Existe, porém, uma razão mais profunda, advinda da teoria dos limites, em virtude da qual 0 e 00 (bem como outras fórmulas análogas) são expressões 0 indeterminadas. f (x ) � A para significar que o número A é o limite para o qual tende o valor Escreve-se lim x →a f (x ) da função f quando x se aproxima de a. Sabe-se que, se lim f (x ) � A e lim g (x ) � B, então x →a x →a f (x ) A f ( x ) � 0 e lim g( x ) � 0, então nada � lim , desde que B 0. Por outro lado, quando lim x →a g (x ) x →a x →a B 56
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f ( x ) quando x se aproxima de a. Dependendo g( x ) f ( x ) das funções f e g que se escolham, pode-se conseguir que o quociente tenha como limite g( x ) qualquer valor c dado de antemão, ou mesmo que não tenda para limite algum. Por exemplo, f ( x ) f ( x ) � c para todo x a, logo lim � c . se tomarmos f ( x ) � c ( x � a) e g( x ) � x � a, então x a → g( x ) g( x )
se pode garantir a respeito do limite do quociente
Por esse motivo se diz que 0 é uma expressão indeterminada. 0 Analogamente, dado a priori qualquer número real c � 0, podemos achar funções f , g tais que lim f (x ) � 0, lim g( x ) � 0, enquanto lim f ( x ) g( x ) � c . Basta, por exemplo, tomar f ( x ) e x →a x →a x →a log c log c ; isso faz com que f ( x ) g( x ) � x log x � c para todo x � 0, logo lim g( x ) � f ( x ) g( x ) � c . (Para x →0 log x log c x convencer-se de que log x � c , tome logaritmos de ambos os membros dessa igualdade.) f (x ) � 0 e lim g( x ) � 0, então lim f (x ) g( x ) pode ter qualquer valor c , Portanto, quando lim x →a x →a x →a dado de antemão, desde que escolhamos convenientemente as funções f e g. Então se diz que 0 0 é uma expressão indeterminada.” LIMA, Elon Lages. Conceitos e Controvérsias. Revista do Professor de Matemática 01. n. 76, p. 8-11. 2011.
Na seção Comentários da Unidade 1, sugerimos que você trabalhe com cuidado o boxe que mostra, por meio de um exemplo, por que tomamos base positiva no trabalho com expoentes racionais. O texto a seguir, retirado da seção ‘O leitor pergunta’ da Revista do Professor de Matemática, traz mais informações sobre este assunto.
Expoente racional e base negativa “O leitor pergunta: • É válido? Um leitor de MS transcreveu o teste abaixo de um exame de vestibular: a Calculando-se � 1 onde a � � 2 , obtém-se: 5 243 a) �81 b) �9 c) 9 d) 81 e) um número não real.
[
]
e escreveu que não encontrou nos livros didáticos o conceito de potência racional de um número p q
negativo (a , a � 0). Pergunta-se se é válido escrever
[
1 � 243
]
�
2 5
�
5
5[ ] 6 1 � 3
�
2 5
[(�3) 5] �
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2 5 � �
( 3)2 � 9
RPM É válido, mas a questão poderia levantar dúvidas. A RPM examinou uns poucos livros didáticos e não encontrou neles as propriedades de potência s quando a base é um número negativo. Além disso, são famosos os aparentes paradoxos como, por exemplo, 2
1
1 � (�1)1 � (�1) 2 [(�1)2] 2
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1
1 2
1.
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No conjunto C dos números complexos fica claro como lidar com expoentes racionais de números negativos. Lá, ‘extrair raízes’ é uma operação que leva a mais de uma resposta e pode-se 1 1 provar que, sendo m e n primos entre si, ( z n)m � ( z m)n, ou seja, as duas potências representam o 1 mesmo conjunto m de valores (o que explica o aparente paradoxo: em C, 1 2 representa o conjunto {�1, 1}, em , 1). Contudo, no caso em que m é ímpar, não há nenhum problema em dividir m a raiz m-ésima de um número real qualquer da maneira usual ( a é o único número real x tal que x m � a), e depois elevar a raiz m-ésima à potência n. Não há nem necessidade de passar por C.”
®
PEREIRA, Antonio Luiz, WATANABE, Renate. Revista do Professor de Matemática, n. 66, p. 56, 2008.
VII. Sobre as atividades propostas Boxe da página 23
A calculadora auxilia a compreender a propriedade apresentada no boxe por meio de exemplos. Aproveite a calculadora para retomar a radiciação como operação inversa da potenciação. Boxe da página 29, atividade 1
No trabalho com radicais, é preciso estar atento a erros do tipo: 5 � 5 � 10, 7 � 3 � 4 � 2 etc. O boxe pretende chamar a atenção do aluno para que ele não cometa esses erros. Sempre que detectados, detenha-se e retome a ideia de radicais semelhantes e a adição e a subtração de radicais.
Unidade 2 – Equações do 2o grau I. Objetivo geral • Ampliar os conhecimentos de Álgebra, em particular os relativos à resolução de equações, utilizando-os para representar e resolver problemas.
II. Objetivos específicos • • • • •
Representar e resolver situações e problemas por meio de equações. Reconhecer uma equação do 2 o grau, identificando seus termos. Resolver equações do 2 o grau, utilizando vários processos. Resolver equações biquadradas e irracionais. Resolver equações fracionárias que recaem em equações do 2 o grau.
III. Comentários Relembramos, por meio de um problema, a resolução de equações do 1 o grau e, em seguida, apresentamos a ideia de grau de uma equação. De acordo com as necessidades dos alunos, você pode abordar mais situações representadas e resolvidas por equações, lembrando o que é incógnita, e o que significa resolver uma equação. Convém sempre pedir ao aluno que faça a verificação da solução encontrada para a equação e que se certifique de que essa solução é adequada ao problema. 58
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Ao desenvolver a resolução de equações do 2 o grau, o aluno deve perceber que pode haver duas, uma, ou nenhuma solução no conjunto dos números reais. Depois da resolução de algumas equações incompletas, apresentamos a forma geral de uma equação do 2o grau, preparando, assim, a resolução das equações completas. Recordamos a representação geométrica de um trinômio quadrado perfeito para propor a resolução de equações do 2 o grau pela fatoração desse trinômio. É importante falar sobre a contribuição dos árabes, em particular a de Al-Khowarizmi e o método de completar quadrados. O trabalho com fatoração do trinômio quadrado perfeito permite que o aluno compreenda mais facilmente como se chega à fórmula geral da resolução das equações do 2 o grau. Sugerimos que a obtenção da fórmula seja feita passo a passo, com a participação dos alunos. Os sistemas de equações não foram tratados em separado. Com os conhecimentos que possui e o exemplo dado, envolvendo Geometria, o aluno será capaz de resolver os problemas propostos. A Seção livre trata de uma questão que envolve um sistema de equações para representar uma situação contextualizada. O sistema recai em uma equação do 2 o grau que não possui solução em , e avança, propondo que o aluno busque a maior área possível para um retângulo de perímetro 120 m, esperando que ele descubra que esta área será a do quadrado de lado 30 m. Consideramos importante valorizar o uso da soma e do produto das raízes de uma equação do o 2 grau como forma, muitas vezes mais rápida, para determinar as soluções da equação. Na página 64, convidamos o aluno a fazer o contrário do que fez até o momento. Em vez de descobrir as raízes para escrever uma equação do 2 o grau, ele partirá das raízes para escrever uma equação do 2o grau. O texto é simples e os alunos têm condições de desenvolvê-lo numa leitura silenciosa. Você pode apresentar um fechamento no quadro, resumindo as informações vistas. Sabemos o quanto estes conhecimentos serão úteis no Ensino Médio, para o estudo das funções do 2 o grau. Ao trabalhar com as equações fracionárias que recaem em equações do 2 o grau (página 68), relembre o que é fração algébrica e enfatize o cuidado para não incluir soluções que possam anular denominadores. A resolução de equações irracionais merece alguns comentários. Quando elevamos ambos os membros de uma equação ao quadrado, por exemplo, a nova equação não é equivalente à original, esta pode ter uma solução especial que não é solução da equação dada. Veja um exemplo simples: → x � 2 x2 � 4
®
↓
↓
Solução: 2
Soluções: 2
Nas equações irracionais, elevamos ambos os membros a um expoente conveniente, com o objetivo de retirar o radical. No entanto, é preciso verificar se todas as soluções obtidas são também soluções da equação original. � 5 � x � 1 x � 5 )2 � (x � 1)2 ( x x � 5 � (x � 1)2 x � 5 � x2 � 2x � 1 x � �1 ou x � 4 � 5 � �1 � 1 é falso. Repare que �1 é solução somente da equação x � 5 � (x � 1)2, pois �1 É importante que o aluno perceba que, conhecendo diversas estratégias e processos de resolução de equações do 2 o grau, ele pode e deve escolher aquele que julgar mais adequado para a equação ou problema que pretende resolver.
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Sugestões de avaliação 1) Os jogos são sempre bem-vindos para diversificar a dinâmica em sala de aula e proporcionar a
você a observação dos alunos em diferentes situações. Eles possibilitam uma interação maior entre pares, desenvolvendo aspectos sociais importantes. Apresentamos a seguir uma sugestão de jogo simples que lhe possibilitará avaliar o aprendizado do conteúdo e as atitudes dos alunos com relação a seu grupo e aos demais. Pescando equações
o t t e r o v a F o d n a n r e F
Improvise varinhas de pescar, com ripas de madeira, linha grossa ou barbante e um gancho de arame em forma de anzol. Tome cuidado para que o gancho não ofereça risco aos alunos e a madeira não tenha farpas. Em um recipiente, que pode ser uma bacia bem grande, contendo areia de construção, enterre cerca de 20 cartões de papelão ou material similar, cada um com uma equação do 2o grau (como você pode ver na fotografia), de modo a esconder cada uma delas. Divida a classe em grupos de quatro alunos e dê uma varinha para cada grupo. Um representante de cada grupo “pesca” e resolve uma equação com a ajuda dos companheiros. O grupo lhe apresenta a solução. Se estiver correta, outro representante pesca um novo cartão, e assim por diante, até terminarem os cartões. Você pode montar uma ficha de observação para anotar o desempenho individual e do grupo. No final, vence o grupo que acertou mais equações. 2) O texto complementar sugerido para o trabalho com os alunos”, “Número de diagonais de um polígono”, prepara-os para o estudo de funções, pois parte da observação da interdependência do número de lados e o número de diagonais do polígono. Nas questões propostas, há itens que requerem a resolução de equações do 2 o grau, contemplando o conteúdo desta unidade. Sugerimos que o trabalho seja feito em duplas, na sala de aula. A observação do trabalho dos alunos e a correção das atividades podem ser utilizadas como instrumento de avaliação. 60
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IV. Integração com outras áreas do conhecimento O assunto equações tem grande envolvimento com a História da Matemática. Os alunos em geral se interessam pela história da Álgebra. O livro explora isso em boxes que falam de Viète, Descartes, Al-Khowarizmi e Euler. Também apresentamos o texto “O furto da fórmula”, que, além de interessante, traz comentários sobre o panorama europeu nos séculos XV e XVI.
V. Texto complementar para trabalhar traba lhar com os alunos Número de diagonais de um polígono Quantas diagonais tem um polígono de 18 lados? Um polígono com 54 diagonais tem quantos lados? Será que podemos responder a estas questões sem precisar desenhar estes polígonos? Para descobrir, vamos utilizar um procedimento muito comum na Matemática: investigar padrões, ou seja, investigar se existe relação entre o número de diagonais e o número de lados do polígono. Acompanhe: Triângulo: 3 lados
O triângulo não possui diagonais.
E A D : s e õ ç a r t s u l I
Quadrilátero: Quadriláter o: 4 lados
De cada vértice sai uma diagonal. Número de diagonais � 4 lados � 1 diagonal � 2 2 Observe que dividimos por 2 para não contar a mesma diagonal duas vezes.
Pentágono: 5 lados
De cada vértice saem duas diagonais. Número de diagonais � 5 lados � 2 diagonais 2
5
�
Hexágono: 6 lados
De cada vértice saem três diagonais. Número de diagonais � 6 lados � 3 diagonais 2
�
9
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1) Desenhe no caderno um heptágono e descubra quantas diagonais ele tem. Compare com
os exemplos anteriores. Lembre-se: queremos encontrar um padrão! O heptágono tem 14 diagonais. 2) Você descobriu a relação entre o número de lados do polígono e o número de diagonais que partem de cada vértice ? Escreva por extenso esta relação. O número de diagonais que partem de cada vértice é igual ao número de lados menos três.
3) O decágono é o polígono de 10 lados. Podemos afirmar quantas diagonais partem de cada
vértice deste polígono e quantas diagonais ele tem sem precisar desenhá-lo? Sim, 102· 7 � 35 diagonais 4) Se um polígono tem n lados, como representamos o número de diagonais que partem de cada vértice? n – 3 5) Escreva a fórmula que permite calcular o número de diagonais D de um polígono de n lados. D � n · (n2 – 3) 6) Responda agora às perguntas do início do texto. a) Quantas Quantas diagonais tem um polígono de 18 lados? 135 D � n · (n – 3) ; 54 � n (n – 3) → 2 2 b) Quantos lados tem o polígono que apresenta 54 diagonais? → n2 – 3n – 108 � 0 n � 12 7) Descubra se existe um polígono com 100 diagonais. Não.
VI. Textos complementares para o professor Sobre Bhaskara Bhaskara Acharya (Bhaskara, o Instruído) viveu, aproximadamente, de 1114 a 1185, na Índia. Em sua família havia vários astrólogos. Ele combinou essa formação com os estudos científicos, mas dedicou-se mais intensamente à Matemática e à Astronomia. Foi diretor do Observatório de Ujjain, conceituado centro centro de pesquisas matemáticas e astronômicas da Índia e é considerado o matemático mais importante da sua época. Seu livro mais famoso, o Lilavati , trata de problemas de Aritmética, Geometria Plana e Análise Combinatória. Lilavati é um nome próprio de mulher. Outro livro importante escrito por ele chama-se Bijaganita (“Outra Matemática”) e trata de Álgebra. Nesta obra, Bhaskara aborda a resolução de equações. O livro não traz grandes contribuições para o estudo das equações determinadas, mas é bem-sucedido na resolução de equações indeterminadas ou diofantinas como: • y � x � 1, que aceita todos os x � a e y � a � 1 como soluções, qualquer que seja se ja o valor de a; • a famosa equação de Pell: x 2 � N y 2 � 1. Seu trabalho com estas equações foi admirado, mas sua história não tem ligação com a fór fór-o mula geral de resolução de equações do 2 grau. Sabe-se que os hindus já usavam regras para resolver equações do 2 o grau muito antes de Bhaskara, como é possível ver na obra de Aryabhata (500 d.C.). Nessa época, no entanto, as equações ainda eram expressas e resolvidas usando-se palavras. Os símbolos, a notação algébrica que hoje usamos, não existiam. As fórmulas matemáticas só surgiram aproximadamente 400 anos depois da morte de Bhaskara, ou seja, ele nem sequer sabia o que era uma fórmula. Portanto, apesar de Bhaskara ser considerado um grande matemático, não se pode atribuir a ele a fórmula de resolução das equações do 2 o grau. Hoje, poucas são as publicações que ainda usam o nome “fórmula de Bhaskara”.
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Aprendendo com os alunos! Apresentamos a seguir o relato de um professor que se surpreendeu com a esperteza de um aluno quando trabalhava em sala com a soma e o produto das raízes de uma equação do 2 o grau. Isso mostra que o professor ensina e também aprende. E muito! De nossos alunos
“Numa aula, eu estava mostrando aos meus alunos que algumas vezes podemos achar mentalmente as raízes de uma equação do 2 o grau. Por exemplo, para calcular as raízes de x ² � 5 x � 6 � 0, basta procurar dois números cuja soma é 5 e o produto é 6. Percebe-se logo que 2 e 3 são os números procurados. Dei vários outros exemplos. Chamei a atenção dos alunos para o fato de que esse cálculo mental fica mais fácil se o coeficiente de x ² for 1. Assim, Ass im, na tentativa de resolver mentalmente a equação 6 x ² � x � 1 � 0, seria melhor dividir a equação toda por 6 (o que não muda as raízes), obtendo-se x ² � 1 x � 1 � 0. 6 6 Mas agora fica difícil fazer o cálculo mental porque apareceram apareceram frações. Para minha felicidade, um aluno falou: ‘Eu fiz de outro jeito. Tirei o 6 da frente do x ² e multipliquei o último –1 por 6. Obtive a equação x ² � x � 6 � 0. Deu para adivinhar as raízes dessa equação: –2 e 3. Daí as raízes da equação inicial são � 2 � � 1 e 3 � 1 .’ 6 3 6 2 A resposta estava certa. Tentamos usar o ‘jeito’ do aluno em outras equações (tente você também com, por exemplo, 2 x ² � 3 x � 2 � 0) e sempre obtivemos as raízes. Procuramos uma explicação. Se a equação inicial é ax ² � bx � c � 0, a 0, o ‘jeito’ do aluno a transforma na equação y ² � by � ac � 0. Ambas as equações têm o mesmo discriminante � b² – 4 ac . As raízes da primeira são x � – b M e as da segunda são y � – b M , daí o resultado obtido pelo aluno, 2a 2 y x � . Legal, não é?”
[ ]
a
MOURA, Edílson de. De nossos alunos. Revista do Professor de Matemática, n. 61, p. 9, 2006.
VII. Sobre as atividades propostas Boxe da página 62 É interessante propor aos alunos que preencham a tabela e conversem entre si, trocando ideias, para que percebam relações entre os coeficientes e as soluções da equação, antes da apresentação formal da resolução de equações do 2 o grau por soma e produto das raízes. O acompanhamento do texto teórico ficará mais fácil se o boxe for trabalhado. Seção livre da página 75 Proponhaa a leitura Proponh l eitura do texto e a resolução da atividade em duplas. O problema recai num sistema impossível. Fale sobre as possibilidades na resolução de um sistema: ele pode ter solução única, pode não ter solução ou ainda ter infinitas soluções. Se possível, mostre um exemplo de cada um. A atividade também possobilita mostrar que o quadrado tem a maior área possível para um perímetro dado. MANUAL DO PROFESSOR
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Unidade 3 – Sistema cartesiano I. Objetivos gerais • • • •
Identificar referenciais de localização utilizados no mundo real. Introduzir um referencial de localização para pontos de um plano. Representar Represent ar um ponto do plano utilizando suas coordenadas cartesianas. Localizar um ponto no plano cartesiano por meio de suas coordena coordenadas. das.
II. Objetivos específicos • • • • • •
Identificar a noção de direção e sentido no espaço de vida cotidiana. Localizar a posição de um objeto no plano, a partir de um referencial. Encontrar determinado local, em um guia, mapa ou planta. Identificar e representar pontos no plano cartesiano. Identificar e nomear os eixos do sistema cartesiano. Identificar abscissa e ordenada de um ponto.
III. Comentários Optamos por abordar a representação de pontos no sistema cartesiano neste momento devido a sua utilização na próxima unidade, que trata de funções. Dessa forma, o aluno aprende e em seguida aplica o que aprendeu. Antes de introduzir o sistema cartesiano, tratamos da localização de forma mais geral e contextualizada, enfatizando, mesmo que informalmente, i nformalmente, referencial, referencial, direção e sentido. Mostramos a aplicação da ideia de coordenadas na localização de um acidente e na reprodução de um desenho no papel quadriculado. Você Você pode, ainda, apresentar exemplos mais comuns como a batalha naval, o jogo de xadrez e a localização de uma rua num guia de cidades. Não há excesso de atividades diretas de localização de pontos, pois os alunos compreendem a forma de utilização do sistema cartesiano rapidamente. A breve biografia de Descartes não pode ser esquecida, pois é imprescindível para que os alunos conheçam a importância desse matemático. Apresentamos também um texto sobre coordenadas geográficas, buscando a integração com a Geografia. Esse tema desperta o interesse dos alunos e pode ser mais bem explorado num trabalho conjunto com o professor de Geografia.
Sugestão de avaliação Como dissemos, um trabalho em parceria com Geografia pode explorar mais o assunto “coordenadas geográficas”. Esse trabalho faria parte da avaliação. O tema pode ter continuidade, ainda de forma conjunta, quando for desenvolvido o conteúdo da Unidade 9 – “Círculo e cilindro”. (Ver comentários nessa unidade). 64
MANUAL DO PROFESSOR
IV. Integração com outras áreas do conhecimento A interdisciplinaridade com Geografia será contemplada no estudo das coordenadas geográficas. No sentido mais amplo de localização, você pode explorar os sistemas de localização presentes em guias de cidades, por exemplo. René Descartes foi filósofo e tem importância significativa para a história do pensamento humano. Aqui sugerimos a integração com História, que pode mostrar o contexto histórico na época de Descartes e comentar, de forma adequada à faixa etária, as principais ideias dele no campo da Filosofia.
V. Sobre as atividades propostas Atividade 7 Você pode solicitar que os alunos localizem e escrevam as coordenadas da capital do estado onde fica a escola, dentro do sistema apresentado. Atividade 14 Seria interessante trazer para a sala de aula um guia da cidade para que os alunos localizem nele o endereço da escola onde estudam e outros lugares importantes como museus, parques etc.
Unidade 4 – Funções I. Objetivo geral • Estudar a relação entre grandezas por meio de expressões algébricas, tabelas e gráficos.
II. Objetivos específicos • • • •
Compreender o que é função, identificando suas variáveis e sua lei de formação. Compreender Determinar e utilizar a lei de formação para construir a tabela de valores da função. Escrever a lei de formação a partir da tabela de uma função. Analisar e interpretar gráficos, obtendo com base neles informações sobre a função que representam. • Construir gráficos de funções do 1 o e 2o graus.
III. Comentários O trabalho com variáveis e fórmulas desenvolvido a partir do 7 o ano prossegue no 9 o ano. As ideias sobre a interdepen interdependência dência entre grandezas foram apresentadas aos poucos, sendo sempre retomadas e ampliadas, para que nesse momento pudesse ser introduzido o conceito de função, mas ainda sem formalismos exagerados. No Ensino Médio, o trabalho com funções deve continuar, continuar, portanto não há por que “atropelar” o conteúdo querendo ensinar tudo agora. Apresentamoss a noção de domínio e de imagem de uma função de uma maneira leve e por meio Apresentamo de exemplos somente. Deixamos a notação para o Ensino Médio, destacando apenas o fato de que quando o domínio de uma função não é explicitado, o domínio adotado é o subconjunto mais amplo possível de que torne tor ne a correspondência possível.
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O texto, os exemplos e as atividades têm por objetivo fazer com que o aluno reconheça uma função e suas variáveis, utilizando as formas de representação das funções para expressar e analisar variações de grandezas presentes em situações do trabalho, do cotidiano e da própria Matemática. Como o assunto apresenta diversidade de aplicações, você pode enriquecer as aulas trazendo exemplos de funções presentes em contextos mais próximos dos alunos. Destacamos o trabalho com a leitura de gráficos anterior à construção de gráficos de funções. Os alunos devem observar as escalas utilizadas em cada eixo, identificar as grandezas envolvidas, atentar para o tipo de traçado do gráfico, além de saber retirar informações dele. Propomos que a leitura desse item e a execução de atividades e exercícios sejam feitas em dupla, para que os alunos possam trocar observações e conclusões. A construção de gráficos de funções do 1 o e 2o graus não se estende muito. Como já dissemos, o estudo mais aprofundado dessas funções acontece no Ensino Médio, daí optarmos por não trabalhar com domínio, imagem, zeros, crescimento e decrescimento etc. Por meio de um exemplo, explicitamos a relação entre grandezas diretamente proporcionais e a função linear. Outros exemplos e atividades que trabalhem proporcionalidade e funções podem ser apresentados por você, caso julgue necessário. Na construção da parábola que representa uma função quadrática, é conveniente chamar a atenção do aluno para o eixo de simetria e o ponto de vértice, tal como se faz no texto.
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Sugestões de avaliação Há duas ideias para esta unidade: 1) O item “Interpretando gráficos” pode ser desenvolvido em duas aulas, em duplas. Os alunos
leem o texto e ao final da leitura respondem às questões do boxe no caderno. Circulando pela classe, você faz anotações pontuais de como as duplas se saíram nessa tarefa. Não é necessário anotar o resultado de todas por enquanto, pois há a segunda etapa, na qual os alunos resolverão os exercícios desta seção. Na aula seguinte, as duplas e que ainda não foram avaliadas conduzem a correção dos exercícios no quadro. Mais uma vez você mediará o trabalho solucionando dúvidas, observando o desempenho das duplas e avaliando mais uma parte da sala. Ao final da atividade, os alunos compartilham oralmente suas impressões sobre a dinâmica de aula e listam os aspectos mais importantes do conteúdo visto. 66
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Apresentamoss a seguir uma sugestão de ficha de observação que facilitará a avaliação. Apresentamo Números dos alunos da dupla 2 21
Leitura e resolução do boxe A A
Resolução dos exercícios
14 18
Correção Participação no dos fechamento da Observações exercícios atividade A A AP AP
AP AP
A: atingiu os objetivos da atividade
Nota ou conceito
N A
AP: aproveitamento parcial
N: não atingiu os objetivos da atividade
O aluno será avaliado em um ou mais momentos durante a atividade. 2) Na Revista do Professor de Matemática , as autoras Kátia Smole, Marília Centurión e Maria Ignez Diniz apresentam atividades interessantes para o trabalho com gráficos de funções. Reproduzimos aqui as atividades 5, 6, 7 e 8, que podem ser utilizadas como avaliação para esta unidade, aproveitando, inclusive, as ideias expostas anteriormente. Na atividade 7 seria interessante apresentar dados atualizados. “ATIVIDADE 5
Determinar os gráficos das leis que a cada número natural n associam mdc (2, n) ou mdc (5, n) explorando o conceito de função periódica. 5 2
4
Saída mdc (5, n) 3
Saída mdc (2, n) 1
2 1
E A D
1
2
3
4
5 6 7 Entrada
8
E A D
9 10 10 11
1
2 3
4 5 6 7 8 Entrada
9 10 11 12 12
ATIVIDADE 6
Feito o estudo de área e perímetro do quadrado, podemos propor que, a partir do quadrado de lado 1 unidade, o aluno construa a seguinte tabela: Medida do lado ( ) Perímetro (P � 4 ) Área (A � ²)
1 4 1
Pronta a tabela, a próxima etapa é representar ambos os valores (da área e do perímetro) para cada valor do lado num mesmo par de eixos. Unindo os pontos obtidos teremos um gráfico comparativo da evolução do perímetro e da área de um quadrado, a partir da medida de seu lado. Podemos colocar as seguintes questões: O que é maior – a área ou o perímetro de um quadrado? Observando o ponto Q, que conclusões podemos tirar?
2 8 4
3
25
E A D
20 16
Q
12 9 8 4 1 1
2 área
3
4
5
perímetro
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ATIVIDADE 7
Observando o gráfico, responda: a) Do que trata o gráfico? b) De 1970 a 1990 o desmatamento em Rondônia aumentou ou diminuiu? c) Qual a porcentagem aproximada da área desmatada entre 1980 e 1985? d) Se tudo continuar assim, em 1990 qual será, aproximadamente, a porcentagem da área desmatada? e) Em que ano a área desmatada atingiu 10%? f) Por que entre 1970 e 1975 o gráfico está tão próximo à linha onde estão marcados os anos? g) Qual o valor máximo que a porcentagem da área desmatada poderá atingir?
Desmatamento em Rondônia
% de área desmatada 20
E A D
15 10 5 0 1970
1975
1980
1985
1990
Folha de S.Paulo, 12.02.89.
ATIVIDADE 8
Observe os gráficos de consumo anual de chicletes das marcas ‘Boa Bola’ e ‘Gruda Bem’: Venda em milhares
E A D
Boa Bola
70
Venda em milhares
E A D
Gruda Bem
70
20 20
1985
1988
Ano
1985
1988
Ano
Qual a marca mais vendida? Por quê? Esses dois gráficos analisam situações semelhantes. No entanto, a mudança de escala em um dos eixos induz à falsa impressão de que o chiclete ‘Boa Bola’ foi mais consumido que o outro.” SMOLE, K. C. S.; CENTURIÓN, M. R.; DINIZ, M. I. de S. V. A interpretação gráfica e o ensino de funções. Revista do Professor de Matemática. São Paulo: SBM, n. 14, p. 5 e 6, 1989.
IV. Integração com outras áreas do conhecimento O estudo das funções pode envolver atividades relacionadas a várias disciplinas. Uma ideia é montar, com o professor de Ciências ou de Física, uma atividade experimental que trabalhe grandezas diretamente proporcionais e função linear. Por exemplo, um estudo de movimento retilíneo uniforme, no qual se observe a variação da posição de um móvel em função do tempo. Sempre é possível improvisar, usando um pedaço de mangueira transparente, graduada em centímetros, um cronômetro ou relógio e um tatuzinho de jardim para percorrer, provavelmente em velocidade constante, a trajetória determinada pela mangueira. Os alunos devem anotar em uma tabela a posição do tatuzinho a cada intervalo de tempo e depois traçar o gráfico da função, verificando se há proporcionalidade direta entre espaço e tempo e tentando determinar a lei de formação da função. 68
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Unidade 5 – Noções de probabilidade I. Objetivos gerais • Ampliar as habilidades de cálculo combinatório. • Levar o aluno a descobrir que é possível associar a cada evento um número que expresse a chance ou probabilidade de sua ocorrência. • Relacionar cálculo de probabilidades com Estatística.
II. Objetivos específicos • Calcular a probabilidade de ocorrência de alguns eventos por meio da razão: número de possibilidades favoráveis número total de possibilidades • Identificar população e amostra. • Elaborar, aplicar e analisar uma pesquisa estatística simples.
III. Comentários Apresentamos o conceito de probabilidade de ocorrência de um evento a partir de uma situação contextualizada. A unidade pode ser iniciada com a leitura dessa situação. Permita que os alunos reflitam e expressem suas ideias sobre a pergunta que encerra a página 133: “Como expressar matematicamente que, nessa situação, as chances de Rogério ganhar são maiores?”. O questionamento pode incluir perguntas do tipo: “Embora Rogério tenha maior chance, podemos afirmar que ele ganhará?”. Em seguida, com base nas reflexões dos alunos, você organiza o que foi discutido, encerrando a leitura e concluindo as ideias. Consideramos importante a atividade do boxe da página 135 para complementar a leitura do texto. A experiência concreta ajuda na compreensão do conceito de probabilidade. Trabalhamos nos volumes anteriores com problemas simples de contagem. Nesta unidade, os alunos perceberão que é preciso saber contar com outros recursos (montar tabelas, diagramas de árvore etc.) para poder calcular a probabilidade de ocorrência de um evento. O texto sobre a história dos seguros pretende ressaltar como as relações entre a estatística e o cálculo de probabilidades se estabeleceram desde tempos muito remotos.
Sugestão de avaliação A atividade descrita a seguir possibilita avaliar conteúdo, expressão oral e escrita, além de aspectos atitudinais. Atividade
Os alunos podem formar grupos de quatro integrantes, que devem estar munidos de dois dados e algumas moedas de R$ 0,50 ou de R$ 1,00. Trabalhar com o material concreto possibilitará que os alunos vivenciem os experimentos, podendo visualizar melhor os resultados possíveis. MANUAL DO PROFESSOR
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Cada item sugerido envolve um experimento com moeda e um com dado. O grupo, antes de realizar o experimento, discute os eventos, analisando qual deve ter maior probabilidade de ocorrer, justificando a resposta. Em seguida, explicitam os resultados possíveis e calculam a probabilidade de ocorrer o evento descrito. Você mediará as atividades, observando, questionando e orientando as discussões e os registros. Além de avaliar os alunos durante as atividades, no final pode-se também recolher os registros dos grupos. • Experimento 1: Moeda: obter cara no lançamento de uma moeda. Dado: obter o número 5 no lançamento de um dado. • Experimento 2: Moeda: obter coroa no lançamento de uma moeda. Dado: obter um número ímpar no lançamento de um dado. • Experimento 3: Moeda: obter duas caras ou duas coroas no lançamento simultâneo de duas moedas. Dado: obter um número menor que 5 no lançamento de um dado. • Experimento 4: Moeda: obter três caras no lançamento simultâneo de três moedas. Dado: obter faces iguais no lançamento simultâneo de dois dados. • Experimento 5: Moeda: obter duas caras e uma coroa no lançamento simultâneo de três moedas. Dado: obter soma de pontos maior que 6 no lançamento simultâneo de dois dados.
IV. Integração com outras áreas do conhecimento As probabilidades estão presentes em vários campos da atividade humana. Você pode mostrar aplicações verificáveis no cotidiano de seus alunos. Um exemplo que costuma interessá-los: a probabilidade de determinado time vencer um campeonato de futebol. No Livro do Aluno, enfocamos as aplicações nos ramos dos seguros e no cálculo da probabilidade de acidentes fatais no trânsito. A Seção Livre das páginas 145 a 148 tem como tema a PNAD (Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílio), apresentando-a como exemplo de pesquisa estatística importante para o país. O texto é permeado por atividades que podem ser realizadas em duplas, para que discutam não só as respostas, mas também os dados brasileiros relativos a saneamento, alfabetização, emprego e posse de bens duráveis. O tema pode ser ampliado para outros aspectos caso seja possível uma parceria com o professor de Geografia, por exemplo. Nesse caso, sugerimos trabalhar com os dados numéricos acerca dos oito objetivos do milênio (há um texto sobre estes objetivos na página 147), ou ainda com os dados do Censo 2010. Um trabalho como este certamente contribui para a formação cidadã. A Seção Livre se encerra convidando os alunos a fazer uma pesquisa estatística sobre um tema de sua escolha, envolvendo escolha da amostra, entrevistas, coleta e organização de dados, análise dos resultados e encaminhamento de possíveis ações. 70
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V. Texto complementar para o professor O texto a seguir, proposto como leitura complementar, apresenta um jogo chamado Mini-Bozó para desenvolver a ideia clássica de probabilidade. Além de propor o jogo e explicar minuciosamente seus passos, o autor explica brevemente o que é a concepção clássica de probabilidade e, ao final, enumera e comenta vários conceitos que podem ser tratados em sala de aula com o auxílio do jogo proposto.
Uma Proposta Didático-Pedagógica para o Estudo da Concepção Clássica de Probabilidade 1 Introdução
“A concepção clássica de probabilidade é atribuída a Laplace (1749-1827). Entretanto, [...] a definição de probabilidade como quociente do número de casos favoráveis sobre o número de casos possíveis foi a primeira definição formal de probabilidade, e apareceu pela primeira vez em forma clara na obra Liber de Ludo Aleae de Jerônimo Cardano (1501-1576)” (MORGADO et al., 2004, p. 119).
A definição de probabilidade de Laplace é válida somente quando o Espaço Amostral possui um número finito de elementos e os Eventos Elementares são equiprováveis, ou seja, possuem a mesma probabilidade de ocorrência. A concepção clássica de probabilidade possui forte conexão com o raciocínio combinatório. Os Standards (NCTM, 1989) recomendam o seguinte procedimento combinatório para que os alunos compreendam matematicamente a origem e aprendam o conceito implícito na definição laplaciana de probabilidade: construir uma tabela ou diagrama de árvore, fazer uma lista e usar um simples procedimento de contagem. A capacidade combinatória é fundamental para o raciocínio hipotético -dedutivo, o qual opera pela combinação e avaliação das possibilidades em cada situação, e emerge simultaneamente após a idade de 12 a 13 anos, no chamado Estado das Operações Formais da teoria Piagetiana (NAVARRO-PELAYO, BATANERO e GODINO, 1996). Para o Ensino Fundamental e Médio, uma outra concepção de probabilidade que pode e deve ser trabalhada é a frequentista, ou seja, a definição de probabilidade obtida por um processo de experimentação e simulação. Coutinho (2001) mostrou a importância de se trabalhar com a dualidade dos enfoques para a noção de probabilidade, combinatório � frequentista, ou seja, oferecer aos alunos situações-didáticas que envolvam problemas, que devem ser resolvidos experimentalmente (simulação), e validados pelo cálculo a priori de uma probabilidade pela definição laplaciana. Assim, os alunos podem construir passo a passo o conceito de probabilidade. De nossa experiência com professores do Ensino Fundamental e Médio em cursos de formação continuada, em cursos de especialização, em minicursos apresentados em congressos científicos e em projetos de pesquisa desenvolvidos diretamente com estes professores, constatamos que a maioria deles considera difíceis os conteúdos de Análise Combinatória e Probabilidade. Isto corrobora o estabelecido no Caderno do Professor, elaborado pela Secretaria de Educação do Estado de São Paulo: ‘os conteúdos pertinentes à Análise Combinatória e ao Cálculo de Probabilidades, [...] costumam trazer desconforto não apenas aos estudantes, mas também aos professores’ (SÃO PAULO, 2008, p. 9). MANUAL DO PROFESSOR
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2 Uma proposta construtivista para o uso de jogos em sala de aula Com base nos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997, 2000); nas etapas da ação construtivista de Macedo, Petty e Passos (2000) para o trabalho com jogos; nos momentos de intervenção pedagógica com jogos, de Grando (2000); no esquema de aula de Onuchic (1999) sobre o uso da resolução de problemas; no relato de experiência de Borin (2004) sobre o uso de jogos através da metodologia de Resolução de Problemas e na asserção de Moura (1992) sobre a possibilidade da união entre o jogo e a resolução de problemas, propomos, a seguir, uma intervenção didático-pedagógica para a utilização de um jogo, associada à metodologia de resolução de problemas, para a construção de um conceito matemático. [...] 2.1 O jogo Mini-Bozó O jogo proposto é original, utiliza dois dados, e pode ser disputado por vários jogadores. É uma simplificação de um jogo bastante popular no estado do Mato Grosso do Sul conhecido como Bozó. A simplificação efetuada foi motivada pelo fato de que nosso objetivo é utilizar o jogo para ensinar conceitos básicos (iniciais) de Probabilidade, o que não seria adequado através do jogo Bozó, tendo em vista que este utiliza cinco dados. O leitor interessado poderá conhecer as regras do jogo Bozó em Brasil (2010). Objetivo: preencher todo o tabuleiro, de modo a obter mais pontos que o(s) adversário(s). Material: dois dados de cores diferentes (vermelho e branco), um copo não transparente, papel e caneta para registro dos pontos e um tabuleiro para cada jogador. Regras: 1. Pode ser disputado por duas pessoas ou mais, não existe limite no número de jogadores, mas um número excessivo de jogadores influencia no tempo do jogo. 2. Em cada jogada, o jogador poderá efetuar até dois lançamentos. O primeiro lançamento é feito sempre com os dois dados. Se o jogador optar pelo segundo lançamento, poderá fazê-lo novamente com os dois dados ou reservar um dos dados, e efetuar o segundo lançamento com apenas um dado. 3. Em toda jogada, o jogador deve, obrigatoriamente, marcar uma casa do seu tabuleiro. Caso não exista possibilidade de marcação ele deve cancelar uma das casas ainda não marcada, fazendo um X sobre a casa que escolheu. Cada casa só pode ser marcada ou cancelada uma única vez. 4. O jogo termina quando todos os jogadores preencherem suas casas em seus respectivos tabuleiros. Cada jogador soma seus pontos, e ganha aquele que obteve a maior pontuação. O tabuleiro: E A D
Fú
Seguida
Quadrada
General Figura 1 — Tabuleiro do Jogo Mini-Bozó
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A pontuação: Fú: duas faces distintas, mas não em sequência, valem a soma das faces. Seguida: duas faces distintas em sequência valem 20 pontos. Quadrada: duas faces iguais, mas diferentes de 6, valem 30 pontos. General: duas faces iguais a 6 valem 50 pontos. Quando se obtém Seguida, Quadrada ou General no primeiro lançamento, é dito – de boca – e adicionam-se 5 pontos ao valor original da casa. Por exemplo, se o jogador conseguir Quadrada no seu primeiro lançamento, chama-se Quadrada de boca e marca-se 35 pontos ao invés de 30. Comentários sobre o jogo: Consideramos o jogo Mini-Bozó como sendo um Jogo de Estratégia, mas não no sentido definido em Borin (2004, p. 15). Como o jogo utiliza dado, então, o fator sorte não pode ser totalmente desprezado. Também, é impossível a determinação de uma estratégia sempre vitoriosa. Assim, o jogo nunca perde o sentido como jogo, e cada partida será, provavelmente, diferente da anterior. Toda jogada é pontuada, entretanto se a casa correspondente àquela pontuação já estiver marcada, a pontuação deve ser desconsiderada e deve-se cancelar uma casa fazendo um X sobre a casa escolhida. Como o tabuleiro é composto de 4 casas, então, cada jogador efetua exatamente 4 jogadas, pois em cada jogada ele marca ou cancela uma das casas do seu tabuleiro. A estratégia pode variar, dependendo da posição de momento do jogo. Por exemplo, na primeira jogada, com todas as casas desmarcadas, se o jogador obteve (2, 6) no seu primeiro lançamento, então, a melhor estratégia será reservar o dado com a face 6 e lançar novamente o outro dado. Agora, nesta mesma situação, se o objetivo do jogador for obter a casa Seguida, a melhor estratégia será reservar o dado com a face 2, pois neste caso terá duas chances em 6 de obter Seguida, ou seja, obter as faces 1 ou 3, enquanto que se reservar o dado com a face 6 terá apenas uma chance em 6 de obter, ou seja, obter a face 5. Quando da necessidade de se cancelar uma casa, a melhor estratégia pode não ser cancelar as casas mais difíceis (com menor probabilidade de ocorrerem), isto depende da pontuação já obtida pelo(s) outro(s) jogador(es). Obviamente, na casa cancelada o jogador marcará zero ponto. No jogo Mini-Bozó, cada jogador, em cada jogada, poderá efetuar até dois lançamentos. Para o primeiro lançamento, o jogador sempre utiliza os dois dados, o que corresponde ao Experimento Aleatório jogar dois dados simultaneamente e observar as faces superiores. Podemos considerar cada resultado possível desse experimento aleatório como sendo um par ordenado de números (a, b) em que a representa o resultado no dado vermelho e b o resultado no dado branco. Assim, teremos o Espaço Amostral, que será denotado por S, constituído dos seguintes 36 elementos: S � {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4), (2; 5), (2; 6), (3; 1), (3; 2), (3; 3), (3; 4), (3; 5), (3; 6), (4; 1), (4; 2), (4; 3), (4; 4), (4; 5), (4; 6), (5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4), (5; 5), (5; 6), (6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5), (6; 6)}. Agora, para o segundo lançamento, o jogador terá a opção de utilizar os dois dados novamente ou reservar um dos dados e fazer o lançamento de apenas um deles. Neste caso, se utilizar os dois dados, teremos para este segundo lançamento o mesmo Espaço Amostral S 1 do primeiro lançamento e, se utilizar apenas um dado, teremos o Espaço Amostral S 1 � {1, 2, 3, 4, 5, 6} que corresponde ao Experimento Aleatório jogar um dado e observar a face superior . Na sequência, e para a resolução dos problemas, quando dizemos que o jogador utilizou apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó estamos considerando o Experimento Aleatório que consiste de um único lançamento dos dois dados, ou seja, estamos considerando o Espaço Amostral S. MANUAL DO PROFESSOR
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Depois de realizado o jogo, o professor pode fazer os questionamentos abaixo. O jogador deverá sempre aproveitar o segundo lançamento? O jogador terá mais chances em marcar a casa Quadrada do que a Seguida? 3 Espaço Amostral, Evento e Definição Clássica de Probabilidade Formulamos, a seguir, algumas situações-problema que poderão ser utilizadas para a sistematização do conceito de probabilidade na concepção de Laplace. Vamos supor na sequência a utilização de dois dados com faces equiprováveis. Para cada um dos problemas, fornecemos uma sugestão de solução que pode ser utilizada pelo professor. Para a solução dos problemas, os alunos deverão utilizar-se de sua própria linguagem. Não devemos exigir neste momento nenhum formalismo ou rigor característico da Matemática. O importante é que os alunos apreendam e reconstruam o conceito matemático. Apenas no final dos trabalhos de cada seção é que o professor deverá sistematizar o novo conceito estudado. É conveniente privilegiar, também, o trabalho e as discussões das soluções apresentadas entre os grupos. Problema 1: Quais são os pontos possíveis para a casa Fú? Solução: Independentemente do fato do jogador ter utilizado um ou dois lançamentos, são válidos para a casa Fú os casos onde as duas faces são distintas, mas não em sequência, ou seja, (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 4), (2; 5), (2; 6), (3; 1), (3; 5), (3; 6), (4; 1), (4; 2), (4; 6), (5; 1), (5; 2), (5; 3), (6; 1), (6; 2), (6; 3) ou (6; 4). Como para a casa Fú vale a soma das faces, podemos obter, neste caso, as seguintes pontuações: 4, 5, 6, 7, 8, 9 ou 10. Portanto, a casa Fú poderá receber uma pontuação mínima de 4 e máxima de 10 pontos. Problema 2: Se o jogador utilizar apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó, quais são suas chances de marcar a casa Fú? Justificar sua resposta. Solução: Temos neste caso os 36 resultados possíveis descritos no Espaço Amostral S. Da solução do problema 1, o jogador marca a casa Fú se ocorrer um dos seguintes 20 casos: (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 4), (2; 5), (2; 6), (3; 1), (3; 5), (3; 6), (4; 1), (4; 2), (4; 6), (5; 1), (5; 2), (5; 3), (6; 1), (6; 2), (6; 3) ou (6; 4). Portanto, o jogador terá 20 chances em 36 de marcar a casa Fú se utilizar apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó. O professor deve explorar o fato de que, quando lançamos dois dados (Experimento Aleatório), não sabemos qual resultado irá ocorrer. Entretanto, sabemos quais serão os resultados possíveis (Espaço Amostral). A representação de todos os resultados possíveis em uma tabela de dupla entrada é bastante conveniente. A utilização da árvore de possibilidades também deve ser incentivada. Problema 3: Se o jogador utilizar apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó, quais são suas chances de marcar 5 pontos na casa Fú? Justificar sua resposta. Solução: De maneira análoga ao problema 2, temos que o jogador marcará 5 pontos nos 2 seguintes casos: (1; 4) ou (4; 1). Portanto, o jogador terá 2 chances em 36 de marcar 5 pontos na casa Fú se utilizar apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó. Problema 4: Se o jogador utilizar apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó, quais são suas chances de marcar 7 pontos na casa Fú? Justificar sua resposta. 74
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Solução: Ainda da solução do problema 2 , temos que o jogador marcará 7 pontos nos seguintes 4 casos: (1; 6), (6; 1), (2; 5) ou (5; 2). Portanto, o jogador terá 4 chances em 36 de marcar 7 pontos na casa Fú se utilizar apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó. Das soluções dos problemas 3 e 4 concluímos que se o jogador utilizar apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó será mais provável marcar 7 do que 5 pontos na casa Fú. Quando da realização do 1 o momento da intervenção pedagógica, ou seja, da Utilização do Jogo , os alunos deverão perceber que algumas pontuações da casa Fú ocorrem com maior frequência do que outras. Isto pode ser explorado pelo professor e significa que, intuitivamente, já estamos trabalhando o conceito de probabilidade. O problema a seguir também tem este mesmo objetivo. Problema 5 : Se o jogador utilizar apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó, ele terá mais chances em marcar a casa Seguida do que a Quadrada? Justificar sua resposta. Solução: (a) Para marcar a casa Seguida o jogador deverá obter um dos seguintes casos: (1; 2), (2; 1), (2; 3), (3; 2), (3; 4), (4; 3), (4; 5), (5; 4), (5; 6) ou (6; 5). Assim, terá 10 chances em 36 para marcar a casa Seguida, considerando-se que utilizou apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó. (b) Para marcar a casa Quadrada o jogador deverá obter um dos seguintes casos: (1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4) ou (5; 5). Assim, terá 5 chances em 36 para marcar a casa Quadrada, considerando-se que utilizou apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó. Portanto, de (a) e (b) concluímos que o jogador terá mais chances de marcar a casa Seguida, considerando-se que utilizou apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó. Para as resoluções dos problemas 2, 3, 4 e 5 podemos observar que, intuitivamente, já estamos calculando a probabilidade (chance) como: probabilidade � número de possibilidades favoráveis , número total de possibilidades ou seja, estamos utilizando a resolução dos problemas para que os alunos possam construir/reconstruir a Concepção Clássica de Probabilidade. Após o trabalho com problemas, como os acima mencionados, o professor poderá iniciar a sistematização dos conceitos de Experimento Aleatório, Evento, Espaço Amostral, Evento Elementar e apresentar a Definição de Probabilidade de Laplace (6 o momento da intervenção pedagógica). Todos estes conceitos já foram trabalhados nas soluções dos problemas, entretanto, em nenhum momento foram mencionados. Para este nível de escolaridade os PCN recomendam que se deve evitar a teorização precoce. A partir da sistematização dos conceitos outros problemas podem ser trabalhados como forma de reter os conceitos matemáticos estudados (7 o momento da intervenção pedagógica). Agora, os nomes dos conceitos, já definidos, devem ser utilizados e reforçados pelo professor. Os alunos devem se acostumar com as novas nomenclaturas: evento, espaço amostral e probabilidade. O termo probabilidade irá aparecer pela primeira vez no problema 6.
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4 Probabilidade da união de dois eventos O objetivo desta seção é calcular a probabilidade da união de dois eventos e mostrar que seu cálculo está relacionado à soma de probabilidades. Inicialmente, consideramos o caso de eventos mutuamente exclusivos e, posteriormente, o caso geral. Problema 6: Se o jogador utilizar apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó, qual a probabilidade de marcar a casa Seguida ou a casa Quadrada? Solução: Vamos considerar os seguintes eventos: A: O jogador marcou a casa Seguida no seu primeiro lançamento; B: O jogador marcou a casa Quadrada no seu primeiro lançamento. Desejamos calcular a probabilidade de ocorrer o evento A ou ocorrer o evento B. Utilizando a notação da Teoria de Conjuntos desejamos calcular P(A B). Agora, A � {(1; 2), (2; 1), (2; 3), (3; 2), (3; 4), (4; 3), (4; 5), (5; 4), (5; 6), (6; 5)} tem 10 elementos e P(A) � 10 ; 36 B � {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5)} tem 5 elementos e P(B) � 5 e 36 A B � {(1; 2), (2; 1), (2; 3), (3; 2), (3; 4), (4; 3), (4; 5), (5; 4), (5; 6), (6; 5), (1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5)} tem 15 elementos e P(A B) � 15 . 36 Assim, P(A B) � 15 � 10 � 5 � P(A) � P(B). 36 36 36 A propriedade P(A B) � P(A) � P(B) não se verifica apenas para o problema 6. Esta relação se verifica sempre que os eventos A e B são mutuamente exclusivos, ou seja, A B � ∅. Na Concepção Axiomática de Probabilidade, o matemático Kolmogorov estabeleceu esta propriedade como sendo um de seus axiomas. Axioma: Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, então P(A B) � P(A) � P(B). Devemos observar que, como os eventos A e B são eventos do mesmo espaço amostral S, então A B também é um evento de S, onde S � {(1; 1), (1; 2), ..., (1; 6), (2; 1), ..., (6; 6)} possui 36 elementos. Em linhas gerais, quando podemos satisfazer uma exigência ou outra, então somamos as probabilidades envolvidas. O professor deve, neste caso, destacar o papel do ou. Problema 7 : Se o jogador utilizar apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó, qual a probabilidade de marcar na casa Fú um número par ou um número menor do que 7? Solução: Vamos considerar os dois seguintes eventos: A: O jogador marcou um número par na casa Fú em seu primeiro lançamento; B: O jogador marcou um número menor do que 7 na casa Fú em seu primeiro lançamento. De modo análogo ao problema 6 desejamos calcular P(A B). Para marcar um número par na casa Fú o jogador deverá obter: 4, 6, 8 ou 10 pontos. Assim, A � {(1; 3), (3; 1), (1; 5), (2; 4), (4; 2), (5; 1), (2; 6), (3; 5), (5; 3), (6; 2), (4; 6), (6; 4)} que tem 12 elementos e P(A) � 12 . 36 76
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Para marcar um número menor do que 7 na casa Fú o jogador deverá obter: 4, 5 ou 6 pontos. Assim, B � {(1; 3), (3; 1), (1; 4), (4; 1), (1; 5), (2; 4), (4; 2), (5; 1)} que tem 8 elementos e P(B) � 8 . 36 Agora, A B � {(1; 3), (3; 1), (1; 5), (2; 4), (4; 2), (5; 1), (2; 6), (3; 5), (5; 3), (6; 2), (4; 6), (6; 4), (1; 4), (4; 1)} que tem 14 elementos e P(A B) � 14 e A B � {(1; 3), (3; 1), (1; 5), (2; 4), 36 6 (4; 2), (5; 1)} que tem 6 elementos e P(A B) � . 36 Assim, P(A B) � 14 � 12 � 8 � 6 � P(A) � P(B) � P (A B) . 36 36 36 36 A propriedade P(A B) � P(A) � P(B) � P (A B) não se verifica apenas para o problema 7. É uma propriedade geral que pode ser demonstrada matematicamente para o cálculo da probabilidade da união de dois eventos quaisquer. Veja, por exemplo, Morgado et al. (2004) para uma prova desta propriedade. Se os eventos são mutuamente exclusivos, então, A B � ∅ e P(A B) � 0, ou seja, recaímos no caso anterior do problema 6. 5 Probabilidade Condicional O cálculo de probabilidades condicionais está relacionado ao cálculo da probabilidade de um evento ocorrer sabendo-se que outro evento já ocorreu a priori . O conceito de Probabilidade Condicional poderá ser sistematizado através do trabalho com situações-problema como as consideradas abaixo. Problema 8: Considerando-se que o jogador utilizou apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó, qual a probabilidade de marcar a casa Quadrada, sabendo-se que ele obteve em pelo menos um dos dois dados uma face 5? Solução: No primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó, o jogador utiliza os dois dados e temos o Espaço Amostral S constituído de 36 resultados possíveis. Agora, como nos foi fornecida a informação de que o jogador obteve em pelo menos um dos dois dados a face 5, então um dos possíveis 11 casos deve ter ocorrido: {(1; 5), (5; 1), (2; 5), (5; 2), (3; 5), (5; 3), (4; 5), (5; 4), (5; 5), (5; 6), (6; 5)}. Assim, como dentre os 11 casos possíveis apenas no caso (5; 5) o jogador marcará a casa Quadrada , então a probabilidade pedida será p � 1 . 11 A representação do Espaço Amostral S, dos 11 casos possíveis: {(1; 5), (5; 1), (2; 5), (5; 2), (3; 5), (5; 3), (4; 5), (5; 4), (5; 5), (5; 6), (6; 5)}, e do caso favorável (5; 5) num eixo cartesiano pode facilitar a compreensão do conceito de Probabilidade Condicional. Problema 9: Considerando-se que o jogador utilizou apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó, qual a probabilidade de marcar a casa Quadrada , sabendo-se que a soma das faces obtidas foi igual a sete? Solução: De maneira análoga ao problema 8, sabendo-se que a soma das faces é 7, então um dos 6 possíveis casos deve ter ocorrido: {(1; 6), (6; 1), (2; 5), (5; 2), (3; 4), (4; 3)}. Assim, não existe neste caso a possibilidade do jogador marcar a casa Quadrada, ou seja, não ocorrem faces iguais quando a soma é sete. Portanto, a probabilidade pedida será dada por p � 0. MANUAL DO PROFESSOR
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Problema 10: Considerando-se que o jogador utilizou apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó, qual a probabilidade de marcar a casa Quadrada , sabendo-se que obteve números ímpares nas faces dos dois dados? Solução: Da mesma forma que no problema 8, temos que um dos 9 possíveis casos ocorreu: {(1; 1), (1; 3), (1; 5), (3; 1), (3; 3), (3; 5), (5; 1), (5; 3), (5; 5)}. Assim, o jogador marcará a casa Quadrada quando obtém um dos três seguintes casos: (1; 1) ou (3; 3) ou (5; 5). Portanto, a probabilidade pedida será dada por p � 3 � 1 . 9 3 Devemos observar que, nos três problemas anteriores, estamos sempre calculando a probabilidade do jogador, em seu primeiro lançamento, marcar a casa Quadrada no jogo Mini-Bozó. Entretanto, a informação fornecida a priori , altera o valor da probabilidade. O cálculo da probabilidade está condicionado à informação disponível a priori . Esta é a essência do conceito de Probabilidade Condicional, ou seja, a probabilidade de um evento é modificada pela informação de que outro evento já tenha ocorrido. Depois do trabalho com situações-problema do tipo dos problemas 8, 9 e 10, o professor, certamente, terá mais facilidade para sistematizar o conceito de Probabilidade Condicional. No problema 10, definimos os eventos: A: O jogador marcou a casa Quadrada; B: O jogador obteve números ímpares nas faces dos dois dados. Desejamos calcular a probabilidade de ocorrer o evento A, sabendo-se que o evento B já ocorreu. O professor deve mencionar a necessidade de outra notação para indicar esta probabilidade; temos, agora, dois eventos envolvidos. A notação comumente utilizada é P(A | B) (leia-se probabilidade de A dado B). Temos que B � {(1; 1), (1; 3), (1; 5), (3; 1), (3; 3), (3; 5), (5; 1), (5; 3), (5; 5)} tem 9 elementos. Assim, P(B) � 9 . 36 Agora, A � {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5)} e A B � {(1; 1), (3; 3), (5; 5)} tem 3 elementos. Assim, P(A B) � 3 . 36 Desses cálculos, e observando o resultado do problema 10, obtemos: 3 P(A | B) � 3 � 36 � P(A B). 9 P(B) 9 36 Assim, obtivemos a relação: P(A | B) � P(A B) , a qual não se verifica apenas para o caso P(B) particular do problema 10. Na verdade, essa relação é a definição de probabilidade condicional (MORGADO et al., 2004). Para obtermos consistência na definição de Probabilidade Condicional exigimos que P(B) > 0. Segundo Meyer (1976, p. 39), ‘sempre que calcularmos P(A | B), estaremos essencialmente calculando P(A) em relação ao espaço amostral reduzido B, em lugar de fazê-lo em relação ao espaço amostral original S’.
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Após a sistematização do conceito, com a apresentação de sua definição e algumas propriedades básicas, pode-se, então, resolver outros problemas com o objetivo de fortalecer o aprendizado de técnicas e fixar o conceito de Probabilidade Condicional. Neste momento, deve-se privilegiar a utilização do conceito estudado através do uso de suas fórmulas e propriedades e do rigor característicos da matemática. 6 Eventos Independentes O problema 11 pode ser utilizado para sistematizar o importante conceito de eventos independentes. Problema 11: Considerando-se que o jogador utilizou apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó, qual a probabilidade de marcar a casa General ? Solução: O jogador marca a casa General no primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó se consegue o resultado (6; 6) em um único e simultâneo lançamento dos dois dados, isto ocorre com probabilidade p � 1 , ou seja, um caso favorável em 36 casos possíveis (S). 36 Outra solução: Consideremos os seguintes eventos: A: O jogador obtém a face 6 no dado vermelho; B: O jogador obtém a face 6 no dado branco. Para o jogador marcar a casa General no primeiro lançamento, deve obter a face 6 no dado vermelho e também obter a face 6 no dado branco. Temos, então, a probabilidade p � 1 � 1 � 1 . 6 6 36 1 Assim P(A B) � . 36 Temos ainda que P(A) � P(B) � 1 . 6 Portanto, P(A B) � 1 � 1 � 1 � P(A) P(B). 36 6 6 Concluímos, então, que neste caso, P(A B) � P(A) P(B). Em termos de probabilidade condicional obtemos que: P(A | B) � P(A B) � P(A) P(B) � P(A) P(B) P(B) ou seja, a probabilidade de ocorrer o evento A dado que ocorreu o evento B é igual à probabilidade de A. Assim, a ocorrência do evento B não interfere sobre a ocorrência ou não do evento A. Se P(A B) � P(A) P(B) os eventos A e B são chamados Eventos Independentes. De maneira análoga, se A e B são eventos independentes, então P(B | A) � P(B). Para marcar a casa General o jogador deverá obter a face 6 no dado vermelho e a face 6 no dado branco; observa-se o destaque dado ao e. Em linhas gerais, quando duas ações sucessivas devem ser satisfeitas, então multiplicamos as probabilidades envolvidas. 7 Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes Os problemas desta seção podem ser utilizados para a sistematização de dois importantes teoremas da teoria de probabilidades, a saber: o Teorema da Probabilidade Total e o Teorema de Bayes. Esses teoremas envolvem os conceitos de soma e produto de probabilidades bem como o conceito de Probabilidade Condicional. MANUAL DO PROFESSOR
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Problema 12: Qual a probabilidade do jogador marcar a casa Quadrada no jogo Mini-Bozó? Solução: Neste caso, o jogador dispõe de até dois lançamentos e utilizará ou não o seu possível segundo lançamento, dependendo dos pontos que obteve no primeiro. Como o objetivo do jogador é marcar a casa Quadrada, dois casos devem ser considerados: (a) obtém (1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4) ou (5; 5) no primeiro lançamento do jogo Mini-Bozó. 5 Temos neste caso a probabilidade p 1 � . 36 (b) obtém faces distintas no primeiro lançamento do jogo. Reserva um dos dados e lança novamente o outro dado, obtendo a mesma face do dado já reservado. Temos, neste caso, a probabilidade p2 � 30 � 1 . 36 6 Portanto, se ocorrer o caso (a) ou (b) o jogador marcará a casa Quadrada. Assim, a probabilidade pedida será: p � p1 � p2� 5 � 30 � 1 � 60 0,27777 ou 27,78%. 36 36 6 216 Observar que no caso (a) do problema 12 não consideramos o caso (6; 6), nesta situação o jogador marcará a casa General e não a Quadrada. Ainda no caso (a) devemos observar que como o jogador já marcou a casa Quadrada em seu primeiro lançamento com os dois dados, então, ele não usará o seu possível segundo lançamento nesta jogada do jogo Mini-Bozó. Problema 13: Qual a probabilidade do jogador marcar a casa General no jogo Mini-Bozó? Solução: Como o objetivo do jogador é marcar a casa General , três casos devem ser considerados: (a) obteve duas faces 6 no seu primeiro lançamento, ou seja, obteve (6; 6). Temos, neste caso, a probabilidade p 1 � 1 . 36 (b) obteve uma face 6 no primeiro lançamento, ou seja, obteve um dos 10 seguintes resultados: (1; 6), (6; 1), (2; 6), (6; 2), (3; 6), (6; 3), (4; 6), (6; 4), (5; 6) ou (6; 5). Reserva o dado com a face 6. Lança o outro dado e obtém a face 6. Temos, neste caso, a probabilidade p 2 � 10 � 1 . 36 6 (c) não obteve a face 6 no primeiro lançamento, ou seja, obteve um dos 25 seguintes resultados: (1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4), (2; 5), (3; 1), (3; 2), (3; 3), (3; 4), (3; 5), (4; 1), (4; 2), (4; 3), (4; 4), (4; 5), (5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4) ou (5; 5). Lança novamente os dois dados e obtém (6; 6). Temos, neste caso, a probabilidade p 3 � 25 � 1 . 36 36 Portanto, se ocorrer o caso (a) ou (b) ou (c) o jogador marcará a casa General . Assim, a probabilidade pedida será: p � p1 � p2 � p3 � 1 � 10 � 1 � 25 � 1 � 121 0,09336 ou 9,34%. 36 36 6 36 36 1 296 Outra solução: Definimos os seguintes eventos: B: O jogador marcou a casa General no jogo Mini-Bozó; A1: O jogador marcou a casa General no seu primeiro lançamento; A2: O jogador obteve uma face 6 no seu primeiro lançamento; A3: O jogador não obteve a face 6 em seu primeiro lançamento.
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Assim, P(B) � P(A1 B) � P(A2 B) � P(A3 B) � P(A1) P(B | A1) � P(A2) P(B | A2) � P(A3) P(B | A3) 1 � 1 � 10 � 1 � 25 � 1 � 121 0,09336 ou 9,34%. � 36 36 6 36 36 1 296 Usamos na segunda igualdade a definição de Probabilidade Condicional, observando que P(B | A1) � 1, pois se o jogador marcou a casa General em seu primeiro lançamento, então não usará o seu possível segundo lançamento. Após o trabalho com situações-problema do tipo dos problemas 12 e 13, o professor poderá ter mais facilidade para sistematizar o seguinte teorema (MORGADO et al., 2004). Teorema 1. (Teorema da Probabilidade Total) Se B é um evento contido numa união de eventos disjuntos A 1, A2, ..., An e P(A1) > 0, P(A2) > 0, ..., P(An) > 0, então
P(B) � P(A1) P(B | A1) � P(A2) P(B | A2) � ... � P(An) P(B | An).
Problema 14: Qual a probabilidade do jogador não ter obtido nenhuma face 6 no seu primeiro lançamento, sabendo-se que ele marcou a casa General ? Solução: Considerando-se os mesmos eventos definidos no problema 13 , desejamos agora calcular P(A3 | B). Assim, 25 � 1 36 36 0,20662 20,66%. 0,09336 As duas primeiras igualdades da relação anterior seguem diretamente da definição de Probabilidade Condicional. Na solução do problema 14, utilizamos o seguinte e importante teorema (MORGADO et. al., 2004). Teorema 2. (Teorema de Bayes) Nas condições do teorema 1, se P(B) > 0, então, para i , i � 1, 2, ..., n, P(A3) P(B | A3) P(B A3) � � P(A3 | B) � P(B) P(B)
P(Ai | B) �
P(Ai ) P(B | Ai ) ” P(A1) P(B | A1) � P(A2) P(B | A2) � ... � P(An) P(B | An) LOPES, J. M. Uma proposta didático-pedagógica para o estudo da concepção clássica de probabilidade . Bolema. Rio Claro (SP), v. 24, n. 39, p. 608-609; 611-625, ago., 2011.
VI. Sobre as atividades propostas Boxe da página 135 Esta atividade experimental ajuda a compreender a ideia de chance. Se não for viável realizá-la em classe, peça para que cada aluno faça os lançamentos em casa e traga a tabela já preenchida. Durante a aula eles podem socializar seus resultados e respostas e então juntar os dados obtidos pela classe como um todo. MANUAL DO PROFESSOR
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Atividade 6 Se possível peça para que vários alunos levem dois dados para esta aula. Monte a tabela no quadro e a preencha com ajuda deles. Em geral, a atividade surpreende os alunos – muitos acham que as probabilidades são as mesmas. Você pode em seguida montar uma tabela que explore o produto dos pontos obtidos: qual a probabilidade de o produto ser par, de o produto ser maior do que 10 etc.
Seção livre da página 147 Uma ideia que pode complementar as atividades sobre o PNAD: pesquisar dados atuais sobre os objetivos do milênio no ano em curso: quais estão próximos de serem alcançados? Quais precisam de maior investimento? Como está o Brasil em cada um deles?
Unidade 6 – Teorema de Tales e semelhança de triângulos I. Objetivo geral • Desenvolver o conceito de semelhança de figuras, em particular semelhança de triângulos, identificando essas propriedades em figuras presentes no espaço de vivência e usando-as na resolução de problemas.
II. Objetivos específicos • • • • • •
Identificar segmentos proporcionais. Aplicar o teorema de Tales na resolução de problemas. Caracterizar e identificar figuras semelhantes. Definir polígonos semelhantes e razão de semelhança. Identificar triângulos semelhantes pelo caso AA. Resolver problemas aplicando a semelhança de triângulos.
III. Comentários A unidade se inicia retomando o conceito de razão e proporção, aplicando-os para definir segmentos proporcionais. A leitura desta parte da teoria e a resolução dos boxes propostos pode ser feita em duplas só com mediação do professor, pois os conceitos iniciais são conhecidos. A Seção livre da página 163 pode ser explorada nesse momento. Propusemos um problema contextualizado para motivar o aprendizado do teorema de Tales. Se a escola dispõe de computador, os softwares Cabri Géomètre ou Geogebra, este gratuito, podem ser grandes aliados para apresentar o teorema, antes de demonstrá-lo formalmente. A demonstração do teorema de Tales não é simples para os alunos. Como já dissemos anteriormente, isso não deve ser motivo para ignorá-lo. Deixe que os alunos leiam o texto várias vezes, passo a passo. Em seguida, no quadro, repita a demonstração, permitindo que o ajudem a desenvolvê-la. Acreditamos que isso facilitará o entendimento. Iniciamos o assunto “semelhança” a partir da ideia de ampliação e redução de figuras. Seria interessante propor atividades com papel quadriculado envolvendo ampliações e reduções. Uma parceria com o professor de Arte pode ser pensada. Antes de iniciar o estudo de polígonos semelhantes, explore a semelhança de círculos, cubos e de outras figuras planas e espaciais. Demonstramos o caso AA de semelhança de triângulos usando o teorema de Tales. É uma demonstração relativamente simples, mas sempre vale verificar se os alunos realmente compreenderam. As aplicações da semelhança em problemas contextualizados devem ser enfatizadas. As atividades propostas são interessantes e variadas. 82
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Sugestão de avaliação Você pode utilizar o trabalho com o texto “O número de ouro” da Seção livre (página 163) como instrumento de avaliação. Também é interessante propor uma pesquisa sobre esse tema. Há inúmeros sites (sugerimos alguns a seguir) com conteúdo de qualidade e apropriados à faixa etária dos alunos. A leitura pode ser feita em classe, individualmente. Você pode verificar a resolução da equação cuja solução é , solicitando a entrega da pesquisa e deste exercício.
Sugestões de sites:
IV. Integração com outras áreas do conhecimento Além do trabalho com o texto “O número de ouro”, que envolve Matemática, Arte e Ciências, os conceitos de congruência e semelhança podem integrar Matemática e Educação Artística. Sugerimos a execução de trabalhos envolvendo ampliação/redução de figuras em papel quadriculado. Os alunos gostam muito desse tipo de atividade e as produções podem ser surpreendentes! Essa parceria permite também explorar a proporcionalidade na arte e na arquitetura, complementando o trabalho com o número de ouro. Uma aplicação interessante para a semelhança e congruência está no setor da moda: confecções e fábricas de calçados utilizam estes conceitos para produzir roupas e sapatos em tamanhos diferentes.
V. Texto complementar para o professor O teorema de Tales: uma ligação entre o geométrico e o numérico “1 Introdução Um dos teoremas centrais no estudo da geometria plana é o chamado teorema de Tales, cujo enunciado clássico é: ‘Se um feixe de retas paralelas é interceptado por duas retas transversais, então os segmentos determinados pelas paralelas sobre as transversais são proporcionais’. Esse teorema que encontra a sua origem na resolução de problemas práticos envolvendo paralelismo e proporcionalidade está no cerne da relação entre o geométrico e o numérico. Ele tem um papel fundamental na teoria da semelhança e consequentemente na trigonometria, onde justifica as definições de seno, cosseno e tangente de um ângulo. Na geometria espacial ele aparece no tratamento das secções de um sólido por um plano paralelo à base. Na perspectiva, ele surge quando se estudam as
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propriedades das figuras geométricas que se conservam quando traçadas em um plano e projetadas em outro plano a partir de uma fonte no infinito; dessas propriedades (conservação do ponto médio, conservação do baricentro, conservação do alinhamento etc.), a fundamental é a conservação das razões das distâncias entre pontos alinhados. Na figura abaixo temos duas representações de um quadrado em dois planos distintos. Os pontos A, B e C alinhados do primeiro quadrado e os pontos correspondentes A´, B´ e C´ no outro plano têm como invariante fundamental a conservação das razões: AC � A’C’ . A B AB A’B’ C A’ B’ C’
b
a
Assim, a configuração abaixo, associada ao Teorema de Tales, pode também ser interpretada como três pontos de uma reta contida num plano e as suas projeções cilíndricas contidas num outro plano. A’
A
B’
B
C’
C
No estudo da geometria vetorial, o t eorema de Tales está ‘es condido’ na propriedade:
�( → u�→ v ) � � → u��→ v com � R. As duas configurações abaixo correspondem aos casos em que � 0 e � 0. O teorema de Tales faz-se necessário para justificar esta propriedade se
não quisermos considerá-la como axioma. �(u � v )
�v
u � v
v
u � v
v
�u u u
�u
�(u � v )
�v
Uma outra ligação importante do Teorema de Tales com outros saberes está relacionada com as representações gráficas das funções lineares e afins. Ele justifica que tais representações são retas. Observamos pelos exemplos dados que o Teorema de Tales corresponde a uma situação didática bastante rica em consequências. 2 Quem foi Tales de Mileto? Tales de Mileto foi um filósofo grego que viveu por volta de 630 a.C. Sabe-se muito pouco a respeito de sua vida e de sua obra. ‘Conjectura-se ter sido ele o criador da geometria demonstrativa. Por isto, ele é saudado como o primeiro matemático a dar uma contribuição à organização da geometria’ (Boyer). A primeira referência que temos de Tales como iniciador do método dedutivo na matemática nos é dada pelo filósofo Proclus (420-485 d.C.) no seu livro Comentário sobre o primeiro livro dos Elementos de Euclides. Proclus nos diz: ‘ Tales primeiro foi ao Egito e de lá introduziu esse estudo na Grécia. Descobriu muitas proposições ele próprio, e instruiu seus sucessores nos princípios que regem muitas outras, seu método de ataque sendo em certos casos mais geral, em 84
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outros mais empíricos.’ Proclus atribui a Tales haver afirmado ou demonstrado pela primeira vez que um ângulo inscrito numa semicircunferência é reto; que os ângulos opostos pelo vértice são iguais; que os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais; que um círculo é dividido igualmente pelo seu diâmetro; que se dois triângulos são tais que dois ângulos e um lado de um são iguais respectivamente a dois ângulos e um lado do outro, então os triângulos são congruentes. Cada um desses resultados certamente deveria ser necessário para justificar ou resolver alguma situação prática. Encontramos em Proclus um provável motivo pelo qual Tales cita a última proposição (conhecido hoje como o caso ALA de congruência de triângulos). Proclus diz que ‘Eudemo (320 a.C.), no seu livro História da Geometria atribui a Tales esse teorema para determinar a distância que um barco se encontra da costa.’ Podemos supor como Tales teria feito para medir a distância terra-barco. A partir de um instrumento (quadrante, duas hastes articuladas, ...) Tales poderia ter medido o ângulo (homem, barco, pé da torre). A seguir, sem mudar o ângulo, poderia ter girado o instrumento de meia-volta, pedindo a alguém que marcasse no chão do outro lado o ponto para o qual o instrumento estaria apontado. A igualdade de visões implicaria na igualdade das distâncias. Michel Serres comenta: ‘ A geometria resulta de um artifício, de um desvio, cujo caminho indireto permite o acesso àquilo que ultrapassa uma prática imediata.’ O artifício, aqui, consiste em produzir um modelo reduzido. Desenham-se os triângulos HTN e Terra Mar HTS para explicar e interpretar a realidade. O teorema ALA é utilizado H para justificar que os triângulos são congruentes, e concluir que a medida TS conhecida é igual à medida TN desconhecida. Diz Serres ‘ medir o distância conhecida distância desconhecida inacessível consiste em reproduzi-lo S T N ou imitá-lo no acessível.’ Auguste Comte por sua vez escreve ‘ [...] devemos considerar como suficientemente verificada a impossibilidade de determinar, pela medição direta, a maioria das grandezas que desejamos conhecer. É este fato de caráter geral que necessita da formação da ciência matemática. Pois ao renunciar, em quase todos os casos, à medição imediata das grandezas, o espírito humano teve de procurar determiná-las indiretamente, e foi assim que foi levado à criação das matemáticas .’ Citamos outras fontes que falam da atividade matemática realizada por Tales. O historiador Diógenes Laércio (século III d.C.) nos informa que: ‘Hierônimos (discípulo de Aristóteles) diz que Tales mediu as pirâmides pela sombra, depois de observar o tempo que a nossa própria sombra demora a ficar igual à nossa altura.’ E Nesse caso, a astúcia a qual se refere Michel Serres estaria em construir uma pirâmide reduB zida em suas dimensões: ‘Para alcançar uma altura inacessível, Tales inventa a escala.’ D A C F O historiador Plutarco (século I d.C.) dá um outro relato a respeito da medição da altura da pirâmide feita por Tales. Ele diz que ‘...limitando-te a colocar o bastão no limite da sombra lançada pela pirâmide, gerando o raio de sol tangente aos dois triângulos, demonstraste que a relação entre a primeira sombra e a segunda era a mesma que entre a pirâmide e o bastão.’ Baseado nesse relato pode-se representar a situação da seguinte maneira: MANUAL DO PROFESSOR
E A D
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Percebe-se que este relato é mais geral que o outro. A pergunta que paira no ar é se esses textos que tratam da sombra da pirâmide descrevem apenas uma aplicação do teorema de Tales ou, pelo contrário, a sua origem? 3 O surgimento do nome teorema de Tales A questão da proporcionalidade era de grande importância para os gregos, principalmente na arquitetura e agrimensura. Por isso, conjectura-se que a primeira sistematização da geometria pode ter sido em torno da questão da proporcionalidade de segmentos determinados por um feixe de retas paralelas e outro de retas transversais. Essa questão durante muitos séculos foi denominada de teorema dos segmentos proporcionais. No final do século XIX, na França, alguns autores denominaram esse resultado de teorema de Tales, denominação que persiste até hoje. A primeira publicação de que se tem notícia e que substitui o nome de ‘teorema dos segmentos proporcionais’ pelo ‘Teorema de Tales’ é o livro francês Éléments de géométrie de Rouche e Comberousse (reedição de 1883). Em alguns países, como por exemplo a Alemanha, o nome teorema de Tales é dado a um outro enunciado: ‘todo triângulo inscrito numa semicircunferência é retângulo’. 4 Outros enunciados do teorema de Tales Na Itália ele é chamado de teorema de Talete e é apresentado da seguinte maneira : I segmenti staccati da un fascio di rette parallele su due trasver sali sono direttamente proporzionali. (Os segmentos determinados a c por um feixe de retas paralelas sobre duas transversais são diretamente proporcionais.) Obs.: o enunciado destaca que a razão é entre dois segmentos b d de uma mesma transversal. a c � b d Na Espanha temos um outro enunciado para o teorema de Tales : Si cortamos dos rectas cualesquiera por varias retas paralelas, los segmentos correspondientes determinados en ambias son a c proporcionales. (Se cortamos duas retas quaisquer por várias retas paralelas, os segmentos correspondentes determinados em ambas são proporcionais.) b Obs.: o enunciado destaca que a razão é entre dois segmentos d a b correspondentes de duas retas transversais. � c d Na Alemanha o teorema de Tales é chamado teorema dos feixes de retas concorrentes: ‘se um feixe de retas concorrentes é cortado por duas retas paralelas, então a razão entre as medidas dos segmentos determinados por uma reta do feixe é igual à razão entre as medidas dos segmentos c orrespondentes determinados sobre qualquer outra reta do feixe.’ Obs.: o enunciado destaca, como na Itália, que a razão é entre dois segmentos de uma mesma transversal. Contudo, enquanto na Itália são duas retas transversais e um feixe de retas paralelas, na Alemanha são duas retas paralelas e um feixe de retas concorrentes. 86
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A
Na França, é comum a apresentação do teorema de Tales a partir de um triângulo e três pontos de vista são considerados. No primeiro ponto de vista, a razão é considerada apenas entre segmentos da mesma transversal.
D
E
B AD
C �
AB
AE
ou
AC
AD
�
DB
AE EC
A
D
No segundo ponto de vista (razão entre as projeções), a razão é considerada entre um segmento e a sua projeção na outra transversal.
E
B AD
C �
AE
AB
ou
AC
AD
�
AE
DB EC
A
No terceiro ponto de vista, a razão é considerada como a razão de homotetia entre os dois triângulos.
D
E
B
C AD AB
�
AE
�
AC
DE BC
Obs.: Chama-se homotetia de centro O e razão k ( k real diferente de zero) a uma transformação do plano em si mesmo que associa a cada ponto P do plano um ponto P’ do plano tal que OP´� k OP. →
→
→
→
(Dizer que OP´� k OP implica dizer que O, P e P’ são alinhados.) 5 A demonstração do teorema de Tales
Em nível do Ensino Fundamental ou Médio, uma opção para demonstrar o teorema de Tales seria a prova incompleta dos pitagóricos que supõe todos os segmentos comensuráveis. (Dois segmentos AB e CD são comensuráveis se existem um segmento u e dois inteiros m e n tais que AB � m u e CD � n u). Em geral, os textos didáticos apresentam essa demonstração ‘escondendo’ o caso dos segmentos serem incomensuráveis visto que nesse caso haveria necessidade da construção da reta real e dos números reais. O Exame Nacional de Cursos realizado em 1999 apresentou uma questão específica, relacionada com o teorema de Tales, para os formandos de licenciatura em matemática. Segue a questão: Questão do Exame Nacional de cursos de 1999
Teorema de Tales ‘Se três retas paralelas r , s e t cortam duas transversais m e n nos pontos A, B, C, D, E, F, AB DE respectivamente, então as razões e são BC EF iguais.’ (ver figura) A demonstração do Teorema de Tales usualmente encontrada nos textos para o ensino fundamental segue duas etapas:
m
A
B
C
n
D
r
E
s
F
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t
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I - Prova-se que, se AB
�
BC, então DE � EF.
II - Supondo que AB BC, considera-se um segmento de comprimento u tal que: AB � p u e BC � q u, sendo p, q N , p q. Utiliza-se, então, o resultado da etapa I para concluir que as paralelas pelos pontos de subdivisão de AB e BC dividirão também DE e EF em partes iguais (de comprimento u’). Daí, conclui-se AB p DE que: � � . q BC EF AB a) Este tipo de demonstração abrange os casos nos quais é natural? racional? real qualBC quer? Justifique. b) Cite dois exemplos de conteúdos da geometria elementar cujo ensino utilize o Teorema de Tales. O padrão de resposta esperado pela banca examinadora era: AB a) Abrange o caso em que a razão é racional que é, exatamente, o caso tratado na seBC AB gunda parte da demonstração apresentada. Os casos em que é natural são casos particulares BC AB dos racionais, quando p é múltiplo de q. No entanto, se não é racional, não existirá nenhum BC segmento que esteja contido um número inteiro p de vezes em AB e um número inteiro q de vezes em BC (AB e BC são incomensuráveis). Assim, a demonstração dada não se aplica. b) Exemplos: – Estudo de semelhança de figuras: demonstração dos casos de semelhança de triângulos, teorema da base média do triângulo etc. – Construções com régua e compasso: divisão de segmentos em partes iguais ou numa razão dada, obtenção da quarta proporcional etc. – Demonstrações dos teoremas das bissetrizes interna e externa de um triângulo etc. A primeira demonstração conhecida do Teorema de Tales, aparece três séculos após Tales, na proposição 2 do livro VI de Os Elementos de Euclides (300 a.C.) e se apoia na teoria das proporções de Eudoxo apresentada no livro V de Euclides. O livro Geometria Moderna de Moise Downs (volume 1, capítulo 12, página 307) apresenta uma demonstração do teorema de Tales, a nível elementar, pelo método das áreas. A passagem por ‘objetos de dimensão 2’ (áreas) para estabelecer uma propriedade relacionada com ‘objetos de dimensão 1’ (segmentos) evita o problema da natureza dos números. A demonstração pelo método das áreas não segue um caminho natural mas é uma prova completa e convincente. Vale lembrar que essa demonstração necessita apenas do conhecimento que a área de um retângulo é igual ao produto das medidas dos dois lados tomados na mesma unidade. No entanto, deve-se ressaltar que esse resultado costuma ser postulado pois que a sua demonstração é tão difícil quanto a análise do caso dos segmentos incomensuráveis. Segue a prova do teorema de Tales pelo método das áreas. Sejam ABC um triângulo e D um ponto entre A e B. Tracemos pelo ponto D uma reta r paralela ao AD AE lado BC com r AC� {E}. Provemos que � . DB EC A área do triângulo ADE pode ser calculada de AD EF AE DG duas maneiras ou . 2 2 88
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A
F
D
B
G
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C
Da igualdade das duas expressões conclui-se que AD EF � AE DG. (1) Os triângulos BDE e CED têm áreas iguais (mesma base DE e mesma altura). Logo DB EF � EC DG (2) 2 2 De (1) e (2) vem: AD � DB ou AD � AE AE EC DB EC O caso em que os segmentos AC e DF (vide figura abaixo) formam um trapézio, recai-se no caso anterior mediante a construção de uma reta paralela a AC pelo ponto D. A
D
B C
B’ C’
E F
Nesse caso teremos DB’ � DE e como AB � DB’ e BC � B’C’ tem-se AB � DE . [...]” B’C’ EF BC EF BONGIOVANNI, V. O Teorema de Tales: uma ligação entre o geométrico e o numérico.
Revemat , v. 2.5, p. 94-104, UFSC, 2007.
VI. Sugestão de leitura para os alunos Julgamos importante mostrar ao aluno como se constrói o conhecimento em Matemática. No livro do 8o ano apresentamos a eles textos acessíveis que introduzem as ideias do método axiomático. O texto que apresentamos a seguir abre o livro Geometria I , de Augusto Cesar Morgado, Eduardo Wagner e Miguel Jorge, de maneira leve e interessante, abordando o que é definição, conceito primitivo e axioma. Acreditamos que esta leitura pode ser feita com os alunos do 9 o ano e mais: será útil quando você apresentar as diversas demonstrações presentes neste 4 o volume.
INTRODUÇÃO “0.1 – UM POUCO DE HISTÓRIA Possivelmente o primeiro documento importante da história da Geometria foi um papiro que datava do séc. XIX a.C. e que esteve em posse do escriba Ahmes, que o recopiou dois séculos mais tarde. Até o quarto século antes de Cristo, a Geometria não passava de receitas descobertas experimentalmente, sem fundamento científico. Por exemplo, era de conhecimento dos egípcios que o triângulo cujos lados medem 3, 4 e 5 é retângulo, e era do conhecimento dos gregos que o comprimento de um círculo era aproximadamente 3 vezes o comprimento de seu próprio diâmetro. Com o desenvolvimento da Lógica e com a contribuição de grandes sábios como Tales, Pitágoras, Platão e outros, a Geometria toma dimensão nova com o aparecimento de uma grande obra em 13 volumes chamada Os Elementos de Euclides, com mais de mil edições até os dias de hoje. MANUAL DO PROFESSOR
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Nele a Geometria é apresentada de forma lógica e organizada, partindo de algumas suposições simples e desenvolvendo-se por raciocínio lógico.
0.2 – PRINCÍPIOS LÓGICOS FUNDAMENTAIS 0.2.1. – Princípio da Identidade: ‘Todo conceito é igual a si mesmo.’ 0.2.2. – Princípio da Contradição: ‘É impossível que algo seja e não seja verdadeiro ao mesmo tempo e sob uma mesma condição.’ 0.2.3. – Princípio do Meio Excluído: ‘Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa.’ 0.2.4. – Princípio da Razão Suficiente: ‘Todo juízo deve ter uma razão suficiente.’ Para esclarecer este último princípio, considere a afirmação: ‘Se C é um círculo, ENTÃO C tem centro.’ C é um círculo
é a causa ou razão suficiente.
C tem centro
é o efeito (conclusão).
Devemos notar que, se o efeito é dado, não podemos concluir a causa. Por exemplo, se dissermos que C tem centro, não podemos concluir que C seja um círculo. Pode ser uma elipse ou uma infinidade de outras curvas.
0.3. – AS DEFINIÇÕES – OS CONCEITOS PRIMITIVOS ‘Definir um conceito, representado por uma palavra ou símbolo, é expressar seu significado por meio de outras palavras ou símbolos já conhecidos.’ É claro que toda definição deve ser suficientemente precisa para que, definido um conceito, possamos afirmar com segurança se um elemento está ou não contido na definição. Sabendo que se deve definir um conceito por meio de outros já anteriormente definidos, sendo estes também definidos por meio de outros anteriores, e assim sucessivamente, chegaremos a um conceito primeiro cuja impossibilidade de defini-lo é evidente posto que não existe nenhum outro anterior. Chegamos, portanto, a um conceito primitivo. Aluno: O
que é um losango?
Professor: Losango
é uma figura formada por quatro segmentos de reta de mesmo compri-
mento, blá blá... Aluno: O
que é um segmento de reta?
Professor: Segmento Aluno: O
que é uma reta?
Professor: Bem...
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de reta é toda porção limitada de uma reta! Hum!
He, he... Sabe, é aquilo que, olha, sabe como é né...
MANUAL DO PROFESSOR
0.4. – OS AXIOMAS O grande passo dado por Euclides consistiu na introdução do método axiomático que consiste em estabelecer um conjunto de proposições que admitimos serem verdadeiras. Os axiomas são, pois, relações entre os conceitos primitivos admitidas como verdadeiras e não concluídas, mediante encadeamento lógico de conceitos anteriores. 0.5. – OS TEOREMAS É sempre possível traçar uma reta que passe por dois pontos distintos.
Professor: Aluno: É...
é claro.
Professor: Em um triângulo, o Aluno: Mas
quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos.
qual é? Tá pensando o quê? Demonstra aí!
É fácil notar que algumas afirmações em Geometria nos parecem tão óbvias que nunca nos lembraríamos de descobrir por que elas são verdadeiras e outras não são absolutamente óbvias, a ponto de despertar nossa curiosidade para a verificação de sua veracidade. Estamos, então, em frente a um teorema. Um teorema é, pois, qualquer proposição que seja consequência de proposições anteriores. Os teoremas constam de duas partes essenciais: a HIPÓTESE, que é o conjunto de proposições dadas, e a TESE, que é a proposição deduzida da hipótese mediante encadeamento lógico das proposições dadas; é, pois, a conclusão. Se tomarmos a experiência e intuição como únicas bases das investigações matemáticas, fatalmente erraremos em algum ponto, pois, sendo imperfeitos nossos sentidos, deveremos concluir que não necessariamente nossa intuição sempre nos levará a um resultado correto. Realmente, deveremos apoiar nossas primeiras deduções em conceitos não definidos e proposições indemonstráveis, que admitiremos verdadeiras, mas, a partir daí, a lógica deve ser a responsável pela elaboração de outras proposições e propriedades decorrentes. O conjunto de proposições que servem de fundamento a uma ciência é seu SISTEMA DE AXIOMAS. Como ele é arbitrário, respeitando certas normas, poderemos inventar Geometrias tão esquisitas, mas tão lógicas, quanto quisermos.” MORGADO, A. C.; WAGNER, E.; JORGE, M. Geometria I . Rio de Janeiro: Livraria Francisco Alves Editora, 1974. p. 1-5.
VII. Sobre as atividades propostas Seção livre da página 163 Seria interessante propor uma parceria com os professores de Arte para mostrar retângulos áureos na arquitetura, na pintura, escultura etc.
Atividade 16 Sugerimos ampliar as questões perguntando se são sempre semelhantes outras figuras espaciais como pirâmides, esferas, cilindros etc. O uso de objetos comuns no dia a dia também contribui para a construção do conceito de semelhança: duas garrafas PET de refrigerante com tamanhos diferentes, por exemplo, não são semelhantes, pois a boca (gargalo) delas têm o mesmo diâmetro. MANUAL DO PROFESSOR
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Boxe da página 171 Como GH é paralelo a ED, relembre com os alunos a congruência de ângulos correspondentes. Verifique se percebem que somente os lados FE e DC foram reduzidos, o que inviabiliza a semelhança entre os dois hexágonos.
Unidade 7 – Relações métricas nos triângulos retângulos I. Objetivos gerais • Perceber a presença e a importância dos ângulos retos e das formas triangulares, em especial as que envolvem triângulos retângulos no mundo real. • Estabelecer relações entre medidas de elementos dos triângulos retângulos que possibilitam resolver situações do cotidiano, do trabalho e das ciências.
II. Objetivos específicos • Verificar e demonstrar a relação de Pitágoras. • Aplicar o teorema de Pitágoras na resolução de problemas. • Usar o teorema de Pitágoras para representar números irracionais na reta real. • Aplicar o teorema de Pitágoras para chegar às relações entre: – lado e diagonal de um quadrado; – lado e altura de um triângulo equilátero. • Estabelecer, por meio da semelhança de triângulos, relações entre as medidas dos catetos, da hipotenusa, altura relativa à hipotenusa e projeções dos catetos. • Utilizar as relações métricas obtidas para descobrir medidas desconhecidas em triângulos retângulos e para resolver problemas.
III. Comentários O destaque para os ângulos retos e sua importância no mundo real, e o fato de que as antigas civilizações sabiam que o triângulo de lados 3, 4 e 5 era retângulo pretendem motivar para o estudo do teorema de Pitágoras. O texto inicial desta unidade traz fotografias mostrando a abundância dos ângulos retos no mundo que nos cerca, mas seria interessante pedir aos alunos que eles também procurassem exemplos. Recorrer à História da Matemática é valioso neste conteúdo. Os alunos devem perceber que a relação entre os lados de um triângulo retângulo era conhecida e aplicada centenas de anos antes de Pitágoras, pelos egípcios e babilônios, por exemplo.
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MANUAL DO PROFESSOR
No texto, inicialmente, os alunos constatarão geometricamente que nos triângulos retângulos temos a2 � b2 � c 2. a
E A D
b
c
Lembre sempre a eles que essa relação só vale para triângulos retângulos. Do questionamento sobre a validade da relação de Pitágoras para todos os triângulos retângulos (página 183), surge a demonstração do teorema de Pitágoras por um processo acessível aos alunos. Em seguida, apresentamos aplicações desse teorema em problemas contextualizados. É interessante pedir que criem problemas cuja solução envolva Pitágoras observando o espaço a seu redor. Destacamos a representação de números irracionais na reta utilizando o teorema de Pitágoras e o compasso. Os alunos devem realmente fazer as construções usando o material de desenho. Isso complementa o trabalho feito no 8 o ano, pois cada novo passo resgata e ajuda a solidificar os conhecimentos sobre os campos numéricos. 3 para a Ao deduzir as relações: d � 2 para a diagonal d do quadrado de lado e h � 2 altura do triangulo equilátero, voltamos a falar dos números irracionais e sua relação com a escola pitagórica. Não há por que incentivar os alunos a decorar essas fórmulas. É preferível mostrar que é fácil deduzi-las a partir do teorema de Pitágoras. Um problema envolvendo a estrutura de um telhado motiva-os para a obtenção das demais relações métricas no triângulo retângulo. Os alunos devem descobrir as relações acompanhando o texto, que utiliza a semelhança de triângulos. Nesse item, apresentamos outra demonstração para o teorema de Pitágoras. Na página 184, um boxe comenta a existência de muitas demonstrações do teorema de Pitágoras. No item V, apresentamos o texto complementar “Mania de Pitágoras”, que traz algumas dessas demonstrações para sua consulta. Ainda nesse item, sugerimos em texto uma possível opção para demonstrar as demais relações métricas a partir do teorema de Pitágoras, sem recorrer à semelhança de triângulos, como optamos por fazer no Livro do Aluno.
Sugestão de avaliação O teorema de Pitágoras aparece em muitas obras matemáticas ao longo da história. Uma ideia seria selecionar alguns desses problemas explicitando a fonte histórica e propor aos alunos que os resolvam em duplas, durante a aula. Essa é uma maneira de verificar o aprendizado usando problemas com uma linguagem diferente da atual, com termos e unidades de medida usados na época em MANUAL DO PROFESSOR
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que foram criados. Esse recurso ajuda a despertar o interesse dos alunos. O professor pode recolher os trabalhos ou propor que as duplas mostrem suas resoluções no quadro. Apresentamos a seguir sugestões de problemas para esta lista. • Tábua em argila – Babilônia (entre 1650 e 1200 a.C.):
1) Uma trave de comprimento 0,5 GAR está encostada a uma parede. O seu topo está 0,1 GAR abaixo do que deveria estar se estivesse perfeitamente colocada. A que distância da parede está a sua parte de baixo? • Tábua em argila – Babilônia (aproximadamente 300 a.C.): 2) Uma cana está encostada a uma parede. Se desce [na parte de cima] 3 GAR a [parte de baixo] desliza 9 GAR. Qual é o comprimento da cana? Qual é a altura da parede? • Papiro do Cairo (aproximadamente 300 a.C.): 3) Uma vara de 10 cúbitos tem a sua base afastada 6 cúbitos. Determine a sua nova altura e a distância que o cimo da vara baixou. (A vara e a parede a que está encostada têm exatamente o mesmo comprimento.) 4) Um retângulo de área 60 cúbitos quadrados tem diagonal de 13 cúbitos. Qual a medida dos lados do retângulo? • China (aproximadamente 200 a.C.): 5) No alto de um bambu vertical, está presa uma corda. A parte da corda em contato com o solo mede 3 chih. Quando a corda é esticada, sua extremidade toca no solo a uma distância de 8 chih do pé do bambu. Que comprimento tem o bambu? • Obra escrita por Bhaskara – Índia (aproximadamente em 1150):
e r o t a n e S o i l é H
6) Se um bambu medindo 32 cúbitos e estando em pé, se partisse, num local, por ação do vento, e a sua extremidade encontrasse o chão a 16 cúbitos da base do bambu. Diz, matemático, a quantos cúbitos da raiz é que ele se partiu? 7) Havia uma palmeira de 100 cúbitos de altura e havia um poço a uma distância de 200 cúbitos da árvore. Estavam dois macacos no cimo da árvore. Um deles desceu da árvore e foi até o poço. O outro pulou para cima e saltou para o poço seguindo a hipotenusa. Se os dois percorreram a mesma distância, descobre o comprimento do pulo do macaco. • Tratado da Prática D’aritmética – Portugal (1519): 8) É uma torre de 20 braças de comprimento, a saber, a altura dela é 20 braças. E está uma escada encostada a ela, de tamanho igual à dita torre e a escada afastou-se embaixo 12 braças. Pergunto: quanto abaixou de cima? 94
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e r o t a n e S o i l é H
• Manuscrito alemão – 1568: e r o t a n e S o i l é H
9) Há uma torre com 200 pés de altura, e à volta da torre há um canal com 60 pés de largura. Alguém precisa fazer uma escada que passe por cima da água até ao topo da torre. A pergunta é: que comprimento deve ter a escada?
IV. Integração com outras áreas do conhecimento O conteúdo desta unidade possibilita a exploração da História da Matemática, em especial a contribuição dos gregos e da escola pitagórica. Uma parceria com o professor de História pode enriquecer as aulas com textos sobre as ideias de Pitágoras e seus seguidores. A atividade sugerida acima para a avaliação também pode promover a integração com História, pois os problemas virão de diferentes épocas. Outra sugestão: elaborar, com auxilio dos alunos, entrevista com profissionais como arquitetos, engenheiros, físicos, projetistas, para verificar como os conhecimentos adquiridos nesta unidade são aplicados nessas profissões. A presença de alguns desses profissionais para uma conversa com os alunos seria muito proveitosa, principalmente se puderem apresentar exemplos reais de aplicação do teorema de Pitágoras.
V. Textos complementares para o professor Usando o teorema de Pitágoras para obter as relações métricas nos triângulos retângulos No Livro do Aluno, utilizamos a semelhança de triângulos para obter as relações b2 � a � n; c 2 � a � m; h2 � m � n; a � h � b � c válidas num triângulo retângulo de catetos b e c , hipotenusa a e altura relativa à hipotenusa, h. Apresentamos a seguir outro caminho para chegar a essas relações aplicando o teorema de Pitágoras. Os triângulos AHC e AHB são retângulos. Aplicando Pitágoras, temos: b2 � h2 � n2 A c 2 � h2 � m2 c b Somando as igualdades membro a membro: h b2 � c 2 � 2h2 � n2 � m2 m n H B ��� ������� ��� C 2 2 2 como b � c � a , vem que: a a2 � 2h2 � n2 � m2 Acontece que a � m � n e, portanto, a2 � (m � n)2 � m2 � 2mn � n2 (produto notável). Substituindo a2 na igualdade acima destacada, temos: m2 � 2mn � n2 � 2h2 � n2 � m2 2mn� 2h2, ou seja, h 2� mn. Voltando ao triângulo retângulo AHB, por Pitágoras, temos: c 2 � h2 � m2. Substituindo h2 por mn: c 2 � mn � m2 E A D
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Colocando m em evidência: c 2 � m(n � m) Como n � m � a, vem que c 2 � am. Usando o mesmo raciocínio para o triângulo AHC, mostra-se que b2 � an. Finalmente, partiremos das relações c 2 � am e b2 � an para mostrar que ah � bc . O produto c 2b2 escreve-se como: c 2 � b2 � a � m � a � n � a2 � m � n c 2 � b2 � a2 � h2, ou seja, ah � bc .
Mania de Pitágoras Elisha Scott Loomis, professor de Matemática em Cleveland, Ohio (Estados Unidos), era realmente um apaixonado pelo Teorema de Pitágoras. Durante 20 anos, de 1907 a 1927, colecionou demonstrações desse teorema, agrupou-as e as organizou num livro, ao qual chamou The Pythagorean Proposition (A Proposição de Pitágoras). A primeira edição, em 1927, continha 230 demonstrações. Na segunda edição, publicada em 1940, esse número foi aumentado para 370 demonstrações. Depois do falecimento do autor, o livro foi reimpresso, em 1968 e 1972, pelo National Council of Teachers of Mathematics daquele país. O Professor Loomis classifica as demonstrações do teorema de Pitágoras em basicamente dois tipos: provas ‘algébricas’ (baseadas nas relações métricas nos triângulos retângulos) e provas ‘geométricas’ (baseadas em comparações de áreas). Ele se dá ao trabalho de observar que não é possível provar o teorema de Pitágoras com argumentos trigonométricos porque a igualdade fundamental da Trigonometria, cos 2 x � sen2 x � 1, já é um caso particular daquele teorema. Como sabemos, o enunciado do teorema de Pitágoras é o seguinte: ‘A área do quadrado cujo lado é a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma das áreas dos quadrados que têm como lados cada um dos catetos’. Se a, b são as medidas dos catetos e c é a medida da hipotenusa, o enunciado equivale a afirmar que a2 � b2 � c 2. Documentos históricos mostram que os egípcios e os babilônios, muito antes dos gregos, conhe2 2 3 1 2 2 2 2 ciam casos particulares desse teorema, expressos em relações como 3 � 4 � 5 e 1 � � 1 . 4 4 O fato de que o triângulo de lados 3, 4 e 5 é retângulo era (e ainda é) útil aos agrimensores. Há também um manuscrito chinês, datado de mais de mil anos antes de Cristo, onde se encontra a seguinte afirmação: ‘Tome o quadrado do primeiro lado e o quadrado do segundo e os some; a raiz quadrada dessa soma é a hipotenusa’. Outros documentos antigos mostram que na Índia, bem antes da era Cristã, sabia-se que os triângulos de lados 3, 4, 5 ou 5, 12, 13 ou 12, 35, 37 são retângulos. O que parece certo, todavia, é que nenhum desses povos sabia demonstrar o teorema. Tudo indica que Pitágoras foi o primeiro a prová-lo. (Ou alguém da sua Escola o fez, o que dá no mesmo, pois o conhecimento científico naquele grupo era propriedade comum.)
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A mais bela prova Qual foi a demonstração dada por Pitágoras? Não se sabe ao certo, pois ele não deixou trabalhos escritos. A maioria dos historiadores acredita que foi uma demonstração do tipo ‘geométrico’, isto é, baseada na comparação de áreas. Não foi a que se encontra em ‘Os Elementos’ de Euclides, e que é ainda hoje muito encontrada nos livros de Geometria, pois tal demonstração parece ter sido concebida pelo próprio Euclides. A demonstração de Pitágoras pode muito bem ter sido a que decorre das figuras a seguir. 96
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Do quadrado que tem a � b como lado, retiremos 4 triângulos iguais ao dado. Se fizermos isso como na figura à esquerda, obteremos um quadrado de lado c . Mas, se a mesma operação for feita como na figura à direita, restarão dois quadrados, de lados a e b respectivamente. Logo, a área do quadrado de lado c é a soma das áreas dos quadrados cujos lados medem a e b. E A D : s e õ ç a r t s u l I
a
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b a
c
b c
a b
a
b
Essa é, provavelmente, a mais bela demonstração do teorema de Pitágoras. No livro de Loomis, entretanto, ela aparece sem destaque, como variante de uma das provas dadas, não sendo contada entre as 370 numeradas. Apresentamos a seguir algumas demonstrações do teorema de Pitágoras que têm algum interesse especial, por um motivo ou por outro. As quatro primeiras constam da lista do Professor Loomis.
A prova mais curta É também a mais conhecida. Baseia-se na consequência da semelhança de triângulos retângulos: ‘Num triângulo retângulo, cada cateto é a média geométrica entre a hipotenusa e sua projeção sobre ela’. Assim, se m e n são respectivamente as projeções dos catetos a e b sobre a hipotenusa c , temos a2 � mc , b2 � nc , enquanto m � n � c . Somando, vem a2 � b2 � c 2. A demonstração do presidente James Abram Garfield, presidente dos Estados Unidos durante apenas 4 meses (pois foi assassinado em 1881), era também general e gostava de Matemática. Ele deu a seguinte prova do teorema de Pitágoras baseada na figura ao lado: A área do trapézio com bases a, b e altura a � b é igual à semissoma das bases vezes a altura. Por outro lado, a mesma área é também igual à soma das áreas de 3 triângulos retângulos. Portanto, a � b (a � b) � ab � ab � c 2 , e, simplificando, a2 � b2 � c 2. 2 2 2 2 A demonstração de Leonardo da Vinci O grande gênio criador da Mona Lisa também concebeu uma demonstração do teorema de Pitágoras, que se baseia na figura ao lado. Os quadriláteros ABCD, DEFA, GFHI e GEJI são congruentes. Logo os hexágonos ABCDEF e GEJIHF têm a mesma área. Daí resulta que a área do quadrado FEJH é a soma das áreas dos quadrados ABGF e CDEG.
a
b
m
n c
c
b
c
a
a b
C B D G A F
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A demonstração de Papus H G Na realidade, não se trata apenas de uma nova demonsI tração, mas de uma generalização bastante interessante do K L teorema de Pitágoras. Em vez de um triângulo retângulo, F A J toma-se um triângulo arbitrário ABC; em vez de quadrados B M C sobre os lados, tomam-se paralelogramos, sendo dois deles quaisquer, exigindo-se que o terceiro cumpra a condição de E N D CD ser paralelo a HA, e com o mesmo comprimento. O teorema de Papus afirma que a área do paralelogramo BCDE é a soma das áreas de ABFG e AIJC. A demonstração se baseia na simples observação de que dois paralelogramos com bases e alturas de mesmo comprimento têm a mesma área. Assim, por um lado, AHKB tem a mesma área que ABFG e, por outro lado, a mesma área que BMNE. Segue-se que as áreas de BMNE e ABFG são iguais. Analogamente, são iguais as áreas de CDNM e CAIJ. Portanto, a área de BCDE é a soma das áreas de ABFG e CAIJ. O teorema de Pitágoras é caso particular do de Papus. Basta tomar o triângulo ABC retângulo e três quadrados em lugar dos três paralelogramos. O argumento de Polya No meu entender, entretanto, a demonstração mais inteligente do teorema de Pitágoras não está incluída entre as 370 colecionadas pelo Professor Loomis. Ela se acha no livro Induction and Analogy in Mathematics, de autoria do matemático húngaro George Polya. O raciocínio de Polya se baseia na conhecida proposição, segundo a qual ‘as áreas de duas figuras semelhantes estão entre si como o quadrado da razão de semelhança’. Lembremos que duas figuras F e F’ dizem-se semelhantes quando a cada ponto A da figura F corresponde um ponto A’ em F’, chamado o seu homólogo, de tal maneira que, se A, B são pontos quaisquer de F e A’, B’ são seus homólogos em F’, então a razão A’B’ é uma constante k , AB chamada a razão de semelhança de F para F’. Por exemplo, dois triângulos são semelhantes se, e somente se, os ângulos de um deles são congruentes aos ângulos do outro. Por outro lado, dois quadrados quaisquer, um de lado e outro de lado ’, são semelhantes e a razão de semelhança do primeiro para o segundo é k � ’ .
Em vez do teorema de Pitágoras, Polya prova a seguinte proposição mais geral (que, diga-se de passagem, já se acha ‘Elementos’ de Euclides): Se F, F’ e F’’ são figuras semelhantes, construídas respectivamente sobre a hipotenusa c e sobre os catetos a , b de um triângulo retângulo, F’ então a área de F é igual à soma das áreas de F’ F’’ e F”. O enunciado acima implica que a razão de semelhança de F’ para F” é b , de F’ para F é c e a a c F de F” para F é . b Por simplicidade, escrevamos F em vez de área de F, G em vez de área de G etc. E A D : s e õ ç a r t s u l I
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Se G, G’, G” são outras figuras semelhantes construídas sobre a hipotenusa e os catetos, respectivamente, em virtude da proposição acima enunciada, teremos: G’ � b2 � F’ , logo G’ � G’’ . G’’ a2 F’’ F’ F’’ De modo análogo teremos: G’ � G . F’ F G G’ G’’ Portanto, � � � �, digamos. Escrevendo de outro modo: F F’ F’’ G � �F, G’ � �F’ e G” � �F”. Que significam essas três últimas igualdades? Elas querem dizer que, se conseguirmos achar três figuras semelhantes especiais F, F’ e F”, construídas sobre a hipotenusa e os catetos do nosso triângulo, de tal maneira que se tenha F � F’ � F” então teremos também G � G’ � G” sejam quais forem as figuras semelhantes G, G’ e G” construídas do mesmo modo. Com efeito, teremos: G � �F, G’ � �F’ e G” � �F”, logo G’ � G” � �F’ � �F” � �(F’ � F”) � �F � G. Agora é só procurar as figuras especiais. Mas elas estão facilmenC te ao nosso alcance. Dado o triângulo retângulo ABC, tracemos a altura CD, baixada do vértice do ângulo reto C sobre a hipotenusa AB. A figura F será o próprio triângulo ABC. Para F’ escolheremos ADC e para F” o triângulo BCD. Evidentemente, F, F’ e F” são figuras A D B semelhantes. Mais evidentemente ainda, temos F � F’ � F”.” ROSA, Euclides. Mania de Pitágoras. Revista do Professor de Matemática. n. 74, p. 21-26. 2011.
VI. Sobre as atividades propostas Página 182 Aproveite a oportunidade para retomar o uso do transferidor.
Boxe da página 186 Depois da leitura do texto do exemplo 4, peça que façam a construção proposta no boxe. Terminada a atividade, seria interessante você traçar a reta real no quadro e localizar com a participação dos alunos as raízes quadradas de 2, de 5, de 7 etc. usando régua e compasso.
Unidade 8 – Trigonometria no triângulo retângulo I. Objetivo geral • Por meio da aplicação do conceito de razão e de semelhança de triângulos, obter relações entre ângulos e medidas dos lados de um triângulo retângulo que possibilitem resolver problemas.
II. Objetivos específicos • • • •
Determinar a tangente, o seno e o cosseno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo. Obter valores de tangente, seno e cosseno de um ângulo agudo na tabela de razões trigonométricas. Determinar os valores exatos de seno, cosseno e tangente dos ângulos de 30°, 45° e 60°. Utilizar as razões trigonométricas para resolver problemas. MANUAL DO PROFESSOR
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III. Comentários Sugerimos que você realize com seus alunos a atividade inicial do cálculo aproximado da altura do prédio da escola (outra opção seria o cálculo da altura de um poste ou muro alto) seguindo as orientações do texto. Os alunos anotam o ângulo de visão e medem a distância correspondente ao cateto adjacente. Guardam os dados para depois descobrir a altura do prédio da escola. Caso opte por trabalhar o texto complementar “Usando os ângulos para navegar”, eles podem construir o quadrante e usá-lo para medir o ângulo. Iniciamos a apresentação da tangente utilizando a semelhança de triângulos e a propriedade fundamental das proporções. A tangente é imediatamente aplicada para resolver o problema da altura do prédio da escola. Mostre a tabela de ângulos e ensine como utilizá-la já na resolução do boxe da página 204. Apresentamos a seguir seno e cosseno aplicando-os em exemplos. Se tiver acesso a uma calculadora científica, mostre aos alunos como utilizá-la para obter tangentes, senos e cossenos. Há um boxe sobre o assunto na página 206. As atividades são diversificadas e pretendem mostrar a aplicação das razões trigonométricas a situações contextualizadas. A unidade se encerra mostrando os valores dessas razões para os ângulos de medida 30°, 45° e 60° e suas aplicações, em particular na relação entre o lado do triângulo inscrito na circunferência e seu raio.
Sugestão de avaliação A atividade que propõe o cálculo da altura do prédio usando a tangente do ângulo pode ser avaliada em conjunto com a leitura do texto e a descoberta das razões trigonométricas. Os alunos podem realizar as medições em duplas. Na sala de aula, iniciam a leitura do texto, constroem mais um triângulo retângulo com ângulo de 40° para verificar a manutenção do valor da tangente e, por fim, determinam a altura do prédio usando a tangente do ângulo medido, e entregam um relatório para avaliação contendo: • os procedimentos e o material usado nas medições; • as medidas obtidas e um esboço do modelo matemático para a situação; E A D
prédio
ângulo medido
distância medida
• o triângulo retângulo traçado e o cálculo da tangente usando as medidas desse triângulo; • o cálculo da altura do prédio da escola. 100
MANUAL DO PROFESSOR
IV. Integração com outras áreas do conhecimento As razões trigonométricas são muito utilizadas na Física. Seria interessante, uma vez que o aluno de 9o ano está próximo do Ensino Médio, que um professor de Física participasse de uma aula de Matemática na qual as relações trigonométricas fossem o assunto, para mostrar aos alunos, por meio de exemplos bem simples, que estejam ao alcance deles, a importância dessas razões no estudo da Física. O texto complementar “Usando os ângulos para navegar” oferece oportunidade de aplicar a trigonometria no triângulo retângulo à navegação. A Geografia pode fornecer mais informações a respeito das formas de localização usadas pelos antigos navegadores.
V. Texto complementar para trabalhar com os alunos Usando os ângulos para navegar O quadrante é um instrumento de medida usado na navegação desde o século XV. Nessa época, era feito geralmente de latão ou madeira. Ele serve para medir ângulos e, com base nas relações trigonométricas, calcular distâncias e alturas. Os cálculos envolvem a posição de astros no céu, como a Estrela Polar ou, durante o dia, o Sol. Lembre-se de que os antigos navegadores só usavam os astros para se orientarem nas viagens. O quadrante é um instrumento muito simples. Como vemos na imagem, ele é formado por um quarto de círculo (por isso o nome quadrante) graduado de 0° a 90°, com duas peças perfuradas alinhadas que funcionam como uma espécie de mira. Um fio com um pequeno peso na ponta é preso no vértice do ângulo reto, como num fio de prumo. Para medir o ângulo, basta apontar a mira do quadrante, como vemos na figura, até ver o ponto desejado simultaneamente pelos dois orifícios. O fio pendurado indica na escala de 0° a 90° a medida desejada. Você mesmo pode construir um quadrante como este! Corte um quarto de círculo em papelão, cole papel sulfite sobre ele e, usando o transferidor, gradue o quadrante com caneta hidrocor. Prenda um fio de náilon no vértice do ângulo reto e amarre na ponta uma pedrinha. Para fazer a mira, use, por exemplo, um canudinho. Depois, é só testar!
e r o t a n e S o i l é H
S c o t t M a x w e l / l D r e a m s t im e . c o m
e r o t a n e S o i l é H
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VI. Sobre as atividades propostas Boxe da página 213 Peça aos alunos que façam a leitura do texto das páginas 212 e 213 individualmente. Depois desenvolva o texto no quadro, com a participação deles, propiciando a compreensão dos cálculos para os ângulos de 60° e de 45°. Em seguida, deixe que façam o boxe em duplas, que descubram sozinhos os valores de seno, cosseno, tangente de 30°.
Unidade 9 – Círculo e cilindro I. Objetivo geral • Levar o aluno a construir conhecimentos sobre círculo e cilindro, formas frequentes no mundo material.
II. Objetivos específicos • • • • • •
Diferenciar circunferência e círculo. Obter a relação matemática para a área do círculo. Usar a proporcionalidade para calcular a área de setores circulares. Reconhecer a planificação de um cilindro. Calcular a área da superfície de um cilindro. Calcular o volume de um cilindro.
III. Comentários Julgamos importante relembrar as características e elementos de uma circunferência para melhor diferenciar circunferência e círculo. Optamos por obter fórmula da área do círculo por meio da ideia de aproximação: primeiro, com um problema contextualizado, aproximando a área do círculo a partir da área do quadrado circunscrito a ele; depois, pela decomposição do círculo em setores circulares, aproximando a área do círculo da área de um retângulo. Acreditamos ser esse o caminho para facilitar o entendimento dos alunos. Visando também facilitar a compreensão dos alunos, valorizamos a aplicação da proporcionalidade para calcular a área de setores circulares. A noção de proporcionalidade deve ser revisitada sempre que possível. Sugerimos que você aproveite a abundância das formas cilíndricas no cotidiano e faça com que o aluno observe e manuseie essas formas (latas, por exemplo), caracterizando os cilindros e seus elementos. Por meio da proposta de um problema contextualizado e da observação da planificação, o aluno descobrirá como calcular a área da superfície do cilindro. A atividade da pagina 229, que investiga algumas secções do cilindro, introduz as ideias necessárias para apresentarmos de maneira intuitiva a fórmula do volume de um cilindro. Veja a seguir mais uma sugestão de atividade que contempla esse mesmo objetivo. Para realizar a atividade seguinte, você vai precisar construir o kit no 3, apresentado no final deste texto. 102
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Atividade no 22 Faça uma pilha de discos azuis e uma de discos vermelhos. Os discos azuis têm a mesma espessura dos discos vermelhos. 1. Que sólidos estas duas pilhas representam? 2. Faça uma pilha com 10 discos vermelhos e outra com 15 discos, também vermelhos. Qual delas tem maior volume? Por quê? 3. Se você fizer uma pilha com 10 discos vermelhos e uma pilha com 10 discos azuis, qual destas duas pilhas tem maior volume? Por quê? Teste no 7 Assinale a(s) alternativa(s) verdadeira(s): a) O raio do disco azul é menor que o raio do disco vermelho. b) A altura de uma pilha de 10 discos azuis é maior que a altura de uma pilha de 10 discos vermelhos. c) O volume de uma pilha de discos depende da altura da pilha e do raio do disco. d) O volume de uma pilha de discos é independente da altura da pilha. e) O volume de uma pilha de discos é independente do raio do disco. f) Duas pilhas de discos vermelhos, com a mesma altura, têm volumes iguais. Kit no 3 Material necessário: • papelão grosso de embalagens; • tinta azul e vermelha; • tesoura. Instruções para a construção (discos): 1. Faça 2 moldes de disco, sendo um com 4 cm de diâmetro e outro com 5 cm de diâmetro. 2. A partir dos moldes, construa no papelão 25 discos de 4 cm de diâmetro e 10 discos de 5 cm de diâmetro. 3. Pinte de vermelho os discos de 4 cm e de azul os de 5 cm.
E A D
Atividade extraída da ficha número 7 da publicação: Geometria experimental , v. 3. Unicamp. Rio de Janeiro: FAE, 1984.
http://faraday.physics.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/Flash/AreaOfCircle/AreaOfCircle.html
Sugestões de avaliação 1) Um trabalho individual envolvendo a planificação da superfície lateral do cone e do cilindro como sugerido nas paginas 226 e 230 e interessante e motivador. Seguindo a mesma linha, pode-se incluir nesse trabalho a investigação das secções destas figuras usando massa de modelar, como sugerido na pagina 229.
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2) Construções com os instrumentos de desenho são sempre desejáveis. No exemplo 2 da pagina 224, sugerimos que o aluno reproduza o desenho envolvendo partes do círculo para calcular a área da figura colorida. Pode-se propor a construção de mais figuras criadas e desenhadas por eles envolvendo círculos, semicírculos, coroas, setores, etc., e o cálculo das respectivas áreas pintadas. A elaboração dos desenhos, o trabalho em classe e o cálculo das áreas poderiam fazer parte de alguma avaliação, compondo uma nota.
IV. Integração com outras áreas do conhecimento Circunferências e arcos são usados em Geografia, como paralelos e meridianos, por exemplo. O professor de Geografia pode enriquecer o conteúdo explicando estes conceitos, ou dando continuidade ao trabalho sugerido na Unidade 3. Outro caminho é explorar circunferências, círculos e suas partes na arte, arquitetura, decoração, de sign, propondo a montagem de painéis fotográficos com obras arquitetônicas, móveis, objetos que apresentem formas circulares, bem como pesquisar os artistas que utilizaram essas formas em suas obras.
V. Texto complementar para o professor “O número � é realmente instigante”. Apresentamos a seguir um texto publicado na Revista do Professor de Matemática que descreve dois procedimentos experimentais que permitem obter este número. Vale a pena ler.
Experiências curiosas que nos levam ao número � “Georges Louis Leclerc, conde de Buffon (1707-1788), e Pierre Simon Laplace (1749-1827) propuseram uma maneira curiosa para se obter praticamente o valor de �: Lança-se, ao acaso, de baixo para cima, uma agulha, que deverá cair livremente sobre uma superfície com linhas paralelas, igualmente espaçadas. A distância entre as linhas deverá ser maior do que o comprimento da agulha. (Um assoalho com tábuas paralelas poderá ser usado para a experiência). Efetuando um grande número de lançamentos, conta-se quantas vezes a agulha intercepta as linhas paralelas. A seguinte fórmula dará um valor aproximado de �. 2a � N � b�n onde N é o número de lançamentos; n, o número de interseções; a, o comprimento da agulha e b, a distância entre as linhas. Ambrose Smith, em 1855, com 3 204 lançamentos e com uma agulha de comprimento igual a 3 da distância que separa as linhas, encontrou 5 6 � 3 204 � 3,141 � 5 1 224 Uma outra experiência para obter um valor aproximado de � consiste em traçar um quadrado de lado 2 r (r bem grande em relação ao tamanho de uma moeda) e inscrever neste quadrado um círculo. Lançando-se, ao acaso, a moedinha sobre a figura, anota-se o número m de vezes que ela cairá dentro do círculo e o número n de vezes que ela cairá dentro do quadrado mas fora do círculo. 104
MANUAL DO PROFESSOR
A razão
m m�n
é, aproximadamente, igual à razão das áreas do círculo e do quadrado
m �r 2 ou seja, � 4m m � n 4r 2 m�n
.
AZEVEDO NETO, José M. de. Experiências curiosas que nos levam ao número �. Revista do Professor de
Matemática, n. 9, p. 10, 1986.
VI. Sobre as atividades propostas Boxe da página 225 Não julgamos necessário apresentar uma fórmula específica para o cálculo da área da coroa circular. Os alunos provavelmente calcularão a área do circulo maior e, dela, subtrairão a área do círculo menor, o que é correto e suficiente.
Boxe da página 226 Não apresentamos fórmula para o cálculo da área de setores circulares. Julgamos suficiente mostrar como obtê-la por proporcionalidade.
Boxe da página 232 Essa atividade pode envolver Arte. A embalagem deverá ser eficiente, mas também bonita.
Unidade 10 – Porcentagem e juro I. Objetivo geral • Desenvolver conhecimentos básicos de Matemática Financeira, necessários para avaliar e resolver problemas da vida prática.
II. Objetivos específicos • Resolver problemas envolvendo porcentagens. • Compreender o que é juro. • Resolver problemas relacionados com juro.
III. Comentários Por meio de situações comuns do cotidiano, relembramos o registro e o cálculo de porcentagens, com destaque para descontos e acréscimos. Você pode enriquecer as aulas trazendo mais situações ligadas ao contexto de seus alunos e aos assuntos atuais – pode ser feito um trabalho com jornais, por exemplo. Conceituamos juro como compensação financeira, o que se ajusta as situações de empréstimo, aplicações financeiras, prestações e impostos em atraso. Um problema introduz a fórmula j � C � i � t . É importante enfatizar as variáveis presentes no cálculo de juro. Por exemplo: • fixados o capital e a taxa, o juro é função do tempo; MANUAL DO PROFESSOR
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• fixados o capital e o tempo, o juro é função da taxa; • fixados a taxa e o tempo, o juro é função do capital. Por meio de exemplos, apresentamos a ideia de juro composto. Tomando períodos curtos de tempo, você pode trabalhar o cálculo de juro sobre juro com dados do momento. O cálculo da inflação acumulada (no trimestre, no semestre etc.) pode ser uma boa opção de atividade. Esta unidade pode contribuir para a educação dos alunos como consumidores. Você deve aproveitar problemas e situações que envolvem, por exemplo, diferença entre preço a vista e a prazo, juros do cheque especial, saldo devedor em cartão de crédito, entre outros, sempre respeitando, é claro, o nível de compreensão e maturidade dos alunos.
Sugestões de avaliação O aluno do 9o ano tem condições de utilizar o conhecimento sobre porcentagens na análise de dados relativos à situação econômica e social do país. Um trabalho interdisciplinar com Geografia para estudar indicadores como o PIB, renda per capita e IDH é interessante. A seguir, há uma sugestão de roteiro para esse trabalho. Dividir a turma em grupos de, no máximo, quatro alunos. Cada grupo desenvolverá um dos quatro temas propostos a seguir pesquisando na internet, jornais, revistas, mídia em geral, coletando e selecionando dados, tabelas, gráficos e textos pertinentes. Em aulas marcadas pelos professores de Matemática e de Geografia, os componentes do grupo se reunirão para organizar as pesquisas e elaborar o trabalho. Todos os itens apresentados na descrição dos temas precisam ser abordados, e o grupo pode incluir novos itens, desde que sejam aprovados pelos professores. Cada aluno deve ter uma pasta com todo o material de pesquisa e levá-la às aulas destinadas ao projeto. Em data marcada pelos professores, os alunos devem entregar a primeira versão do trabalho, que será avaliada e devolvida com observações, correções e sugestões. Essa versão preliminar deve conter no momento do recolhimento para avaliação: folha de rosto com o título do trabalho, nome, número e ano dos componentes do grupo. Utilizar uma folha para cada item do tema, e uma folha com as referências bibliográficas e a fonte dos dados pesquisados. Capricho, clareza e organização também serão avaliados. Os grupos terão um prazo para reformular a primeira versão do trabalho de acordo com as observações feitas pelos professores e entregar então a versão final para nova avaliação. TEMAS / CONTEÚDO 1. PIB (Produto Interno Bruto) – Brasil 1 • O que é PIB? Como é calculado? • Gráfico de barras: evolução do PIB brasileiro nos últimos anos. • Comparar (utilizar gráficos de barras) o PIB do Brasil com o de outros países (2007 ou mais recente). Sugestão: EUA, Alemanha, Japão, China, Austrália, Angola, Etiópia, Argentina, Chile. 106
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• Análise dos dados. • Conclusões. 2. PIB (Produto Interno Bruto) – Brasil 2 • Tabela e gráfico de setores com a participação porcentual das regiões brasileiras na composição do PIB (2007 ou mais recente). • Gráfico de barras ilustrando a participação porcentual dos estados brasileiros na composição do PIB. • Análise dos dados. • Conclusões. 3. Renda per capita • O que é renda per capita? • Evolução da renda per capita no Brasil nos últimos anos. • Gráfico de barras: renda per capita dos estados brasileiros. • Comparar (utilizar gráficos de barras) a renda per capita do Brasil com a de outros países (2007 ou mais recente). Sugestão: EUA, Alemanha, Japão, China, Austrália, Angola, Etiópia, Argentina, Chile. • Análise dos dados. • Conclusões. 4. IDH (Índice de Desenvolvimento Humano) • O que é IDH? Quais os valores considerados satisfatórios? • IDH do Brasil. • Gráfico de barras – IDH dos estados brasileiros (2007 ou mais recente). • Comparar (com gráficos de barras) o IDH do Brasil com o de outros países (2007 ou mais recente). Sugestão: EUA, Alemanha, Japão, China, Austrália, Angola, Etiópia, Argentina, Chil e. • Analise dos dados. • Conclusões. Combine com o professor de Geografia um cronograma de acompanhamento dos trabalhos e a forma de avaliação de cada componente. Sugestão para a distribuição da nota (0 a 10) • 3 pontos para o envolvimento, pesquisa e postura nas aulas destinadas ao trabalho (nota individual) • 3 pontos pela avaliação da versão preliminar (nota do grupo) • 4 pontos pela avaliação da versão final (nota do grupo) Sugestões de sites para pesquisa Acessos em: jun. 2011. MANUAL DO PROFESSOR
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IV. Integração com outras áreas do conhecimento A interpretação e cálculo com porcentagens e os conhecimentos sobre Matemática Financeira são indispensáveis para o cidadão. É natural a integração com outras disciplinas nesse tema. Uma sugestão é o trabalho com Geografia sugerido no item anterior. Apontamos a seguir outras possibilidades. 1) Apresentamos na Seção livre um texto interessante sobre a história dos juros, que pode ser usado para desenvolver habilidades de leitura e para integrar Matemática e História. O professor de História pode enriquecer as informações do texto, relatando o empréstimo de grãos e de prata na Babilônia, Código Hamurabi e a Lei das XII Tabuas, por exemplo. 2) O Código Hamurabi é importante no campo do Direito. Seria ótimo levar um advogado para conversar com os alunos sobre a influência desse código milenar nos códigos e leis atuais. 3) Um advogado também pode contribuir conversando com os alunos sobre o Código dos Direitos do Consumidor.
V. Sobre as atividades propostas Boxe da página 249 É um bom momento para conversar sobre a importância da educação financeira e como os conhecimentos em Matemática são importantes para o cidadão. Fale sobre cobrança de juros compostos em situações reais, como cheque especial, cartão de crédito etc.
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7. Avaliação – O que se pede por aí O objetivo deste item é oferecer a você, professor, exemplos de questões sintonizadas com as atuais tendências para a avaliação em Matemática, que têm, como pontos básicos, a aproximação com o cotidiano, a articulação entre conteúdos e a mobilização de habilidades diversificadas para a resolução de problemas. Neste volume, as questões foram selecionadas a partir de avaliações aplicadas pelo Colégio Pedro II (autarquia federal – Rio de Janeiro). Questão 1 Paulo e Henrique fizeram uma viagem estrada 1 da cidade A até a cidade B. Existem duas A B estradas que ligam as cidades. A estrada 1 tem 120 km de extensão e um pedágio estrada 2 de R$ 10,00. Já a estrada 2 tem 160 km de extensão, mas não possui pedágios. Ele abasteceu seu carro com combustível a R$ 2,00 o litro. a) Paulo escolheu a estrada 1 e percorreu 80 km a cada hora. Quanto tempo Paulo gastou para ir da cidade A até a cidade B, em horas e minutos? b) O carro de Paulo tem um consumo de 1,2 litros a cada 10 km percorridos em estradas. Já o carro de Henrique tem um consumo 25% menor que o de Paulo. Qual das estradas Henrique deve escolher para que sua viagem fique mais econômica? Justifique sua resposta. Questão 2 Uma banda de rock vai se apresentar em um clube. A pista de dança está em um salão retangular, onde há um palco em forma de trapézio retângulo, com 15 m² de área, no qual ficarão os integrantes da banda e seus equipamentos. A figura 16 m abaixo é uma representação do salão com suas medidas, todas expressas em metros. a) O salão é considerado lotado quando há 3 pessoas por metro quadrado, 8m � 4 palco em média, excluindo-se a área do � 3 palco. Determine a lotação máxima desse salão com o palco montado. b) Determine o valor de x . Questão 3 José e Luisa foram a um bar e gastaram um total de R$ 56,00. No dia seguinte, Luisa pegou a nota na qual estava a conta para verificar o gasto. Porém, havia alguns numerais borrados, conforme a tabela abaixo. E A D
E A D
x
x
x
Produto
Quantidade
Valor Unitário (R$)
refrigerante lata bolinho de bacalhau
4,00
pizza calabreza média
1,00
20,00
água sem gás
2,00
2,00
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Luisa lembrava-se apenas que os numerais borrados eram todos iguais, o que foi suficiente para que ela os calculasse. a) Represente por x cada numeral borrado na nota. Descreva a situação acima por meio de uma equação do 2o grau. b) Resolva a equação obtida no item anterior e determine o valor borrado na nota. Questão 4 É possível representar expressões polinomiais do segundo grau através da expressão da área de figuras geométricas planas. Para isso, consideram-se quadrados e retângulos que possuam lados medindo apenas 1 ou x unidades de comprimento, sendo x um número maior que 1. Um exemplo pode ser visto a seguir: 1
x
1
1
E A D
x
x
x
x
1 1
O esquema geométrico acima representa a expressão polinomial: x 2 � 3 x � 1. Pedro resolveu fazer uma estampa em uma de suas camisas usando essas figuras. A estampa que usou tinha o desenho abaixo: a) Escreva a expressão polinomial simplificada que representa a área do desenho utilizado por Pedro para fazer a estampa. b) A área do desenho feito por Pedro media 98 unidades de área. Qual era a medida x do lado do quadrado sombreado? Questão 5 Na cidade de Cusco, no Peru, um fabricante de camisas usa um dodecágono para representar a conhecida PEDRA DOS DOZE ÂNGULOS, um de seus pontos turísticos. A figura ao lado mostra esta representação e suas respectivas medidas. Observe que dois lados consecutivos são sempre perpendiculares. Medidas Usando como base a representa- AB � 22 cm GH � 7 cm ção ao lado, o fabricante monta dois CD � KL � 2 cm IJ � 4 cm modelos de cami- EF � 7 cm AL � BC � 15 cm sas X e Y. HI � FG � 1 cm
E A D
J
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G E
H F L
K
D
C
JK � 5 cm
A
110
I
B
a) O modelo X, mais barato, tem uma linha reta vermelha bordada entre os pontos B e K, conforme a figura a seguir. Determine o comprimento da linha bordada BK. I
J
G E
H F L
D
K
C E A D : s e õ ç a r t s u l I
Cusco
Peru
B
A
b) O modelo Y, mais caro, apresenta um triângulo que será bordado em vermelho, conforme mostra a figura abaixo. Determine a área, em cm², que será bordada de vermelho no modelo Y. J
I G E
H F L
D
K
C
Cusco
Peru
A
B
Questão 6 Uma formiga saiu de sua toca, localizada no ponto T, em busca de alimento. Ela andou 16 m até o ponto A, girou 90° para a esquerda e andou metade do percurso anterior até o ponto B. Ela repete o mesmo padrão: virar 90° para a esquerda e andar metade do percurso imediatamente anterior, até chegar ao ponto D, onde está localizado um alimento. Do ponto D, a formiga caminha em linha reta de volta à sua toca, localizada em T. O percurso descrito acima foi todo feito no plano e está representado na figura acima: a) Determine a distância entre os pontos D e T.(Considere 5 2,2.) b) Determine a área do polígono TABCD. MANUAL DO PROFESSOR
111
Questão 7
Gustavo escorrega na rampa de um tobogã com inclinação de 40º com o plano horizontal e mergulha em uma piscina com borda retangular. Depois, nada do ponto P, onde mergulhou, até o ponto Q, na borda da piscina. Observe a situação descrita na figura abaixo: Considere: sen 40° 0,64; cos 40° 0,77; tg 40° 0,84 e 1 3 3,61) a) Qual é o comprimento, em metros, da rampa inclinada do tobogã? b) Quantos metros Gustavo nadou?
E R O T A N E S
40º
O I L É H
P
15,4 m
12 m
Q 18 m
Questão 8 Os ingressos seriam mais baratos se não houvesse meia entrada?
Sim. O preço é maior porque 80% pagam meia. [... ] A conta é simples: o produtor sabe quanto quer ganhar e estima que 80% vão entrar pagando meia; cabe aos outros 20% cobrir o prejuízo. “Como a maioria paga metade, o ingresso tem que subir para a conta fechar”, diz um produtor de eventos. Fonte: Revista Superinteressante, jul. 2011.
Considere as informações contidas no texto acima, em uma sala de cinema lotada, com 180 lugares, cujo ingresso custa R$ 15,00. a) Qual terá sido a arrecadação total desta sessão? b) Qual o preço médio dos ingressos nesta sessão?
Respostas: 1. a) 1 h 30 min b) Estrada 2 2. a) 339 pessoas b) 2,5 m 3. a) x2 4x 32 0 b) 4 112
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4. a) 2x2 4x 2 b) x 6 5. a) 25 cm b) 30 cm2 6. a) 13,2 m b) 68 cm2
7. a) 20 m b) 21,66 m 8. a) R$ 1.620,00 b) R$ 9,00
8. Sugestões de livros e sites para o professor No magistério, como em várias outras profissões, estudar continuamente e atualizar-se é indispensável. Fornecemos algumas sugestões de livros e sites que podem auxiliá-lo nessa nobre tarefa – a de ensinar.
8.1 Livros 8.1.1 Matemática por meio de jogos e resolução de problemas • BORIN, Júlia. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de Matemática. São Paulo: IME–USP, 1995. • ENZENSBERGER, Hans. O diabo dos números. São Paulo: Cia. das Letras, 1997. • KALEFF, Ana Maria. Quebra-cabeças geométricos e formas planas. Rio de Janeiro: Eduff, 2003. (Coleção O Prazer da Matemática.) • KRULIK, Stephen; REYS, Robert E. (Orgs.). A resolução de problemas na Matemática escolar . São Paulo: Atual, 1996. • LOBATO, Monteiro. Aritmética da Emília. São Paulo: Brasiliense, 1997. • OBERMAIR, G. Quebra-cabeças: truques e jogos com palitos de fósforos. Rio de Janeiro: Ediouro, 1981. • SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez; MILANI, Estela. Cadernos do Mathema: Jogos de Matemática de 6 o a 9o ano. São Paulo: Artmed, 2007. • TAHAN, Malba. As maravilhas da Matemática. Rio de Janeiro: Bloch, 1987. • ______. O homem que calculava . Rio de Janeiro: Record, 2001.
8.1.2 História da Matemática e História da Educação Matemática • BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo: Edgar Blücher, 1996. • CARAÇA, Bento Jesus. Conceitos fundamentais de Matemática. Lisboa: Sá da Costa, 1998. • IFRAH, Georges. Os números: a história de uma grande invenção. Rio de Janeiro: Globo, 1992. • MIGUEL, A.; MIORIM, M.A. História na educação matemática: propostas e desafios . Belo Horizonte: Autêntica, 2004. • MIORIM, M.A. Introdução à história da educação matemática. São Paulo: Atual, 1998. • STRUICK, Dirk J. História concisa das matemáticas. Lisboa: Gradiva, 1997.
8.1.3 Paradidáticos • Coleção Contando a História da Matemática. Diversos autores. São Paulo: Ática, 1996. Flashes da História da Matemática e situações-problema para o aluno resolver. • Coleção Pra que serve Matemática? Diversos autores. São Paulo: Atual, 1990. Temas variados como: Números negativos, Ângulos e Álgebra, entre outros. MANUAL DO PROFESSOR
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• Coleção Vivendo a Matemática. Diversos autores. São Paulo: Scipione, 1990. Temas variados como: problemas curiosos, os números na história das civilizações, teorema de Pitágoras, Lógica, Poliedros etc. • Série A descoberta da Matemática. Diversos autores. São Paulo: Ática, 1991. Temas variados como: Números negativos, Frações e Ângulos, entre outros. • BELLOS, Alex. Alex no país dos números. São Paulo: Companhia das Letras, 2011.
8.1.4 Educação Matemática • CARRAHER, Terezinha; CARRAHER, David; SCHLIEMANN, Analúcia. Na vida dez, na escola zero. São Paulo: Cortez, 1995. • Coleção Matemática: aprendendo e ensinando. Diversos autores. São Paulo: Atual. • Coleção Tendências em Educação Matemática. Diversos autores. Belo Horizonte: Autêntica, 2001. • COXFORD, Arthur F.; SHULTE, Albert P. (Org.). As ideias da Álgebra. São Paulo: Atual, 1994. • D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Etnomatemática. São Paulo: Ática, 2001. • KRULIK, Stephen; REYS, Robert E. (Org.). A resolução de problemas na Matemática escolar . São Paulo: Atual, 1980. • LINDQUIST, M. M.; SCHULTE, Albert P. (Org.). Aprendendo e ensinando Geometria. São Paulo: Atual, 1994. • MACHADO, Nilson José. Matemática e língua materna. São Paulo: Cortez, 1990. • MIGUEL, Antonio; MIORIM, Maria Ângela. O ensino da Matemática no primeiro grau. São Paulo: Atual, 1986. • POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1995.
Coleção de publicações do CAEM–IME/USP: 1. O uso de malhas no ensino de Geometria. 2. Materiais didáticos para as quatro operações. 3. O conceito de ângulo e o ensino de Geometria. 4. Era uma vez na Matemática: uma conexão com a literatura infantil. 5. Álgebra: das variáveis às equações e funções. 6. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de Matemática. 7. A Matemática das sete peças do Tangram. O Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática (Caem) é um órgão de extensão vinculado ao Instituto de Matemática e Estatística (IME) da Universidade de São Paulo (USP). O Caem assessora professores, promovendo cursos e produzindo materiais de apoio para as aulas de Matemática. O site do Caem e o e-mail para contato são, respectivamente, e [email protected].
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8.2 Revistas • Revista do Professor de Matemática (RPM) Conhecida como RPM , a revista é distribuída ininterruptamente desde o ano de 1982, e é uma publicação da Sociedade Brasileira de Matemática que, dentre outras atividades, promove também as Olimpíadas de Matemática. O endereço para contato com a RPM é Caixa Postal 66.281 – São Paulo (SP), CEP 05311-970, fone: (11) 3091-6124, e o endereço eletrônico é [email protected]. O site da revista é www.rpm.org.br, e nela o professor encontrará artigos sobre ensino de Matemática e discussões gerais que podem auxiliá-lo em suas dúvidas. • Boletim de Educação Matemática (Bolema) O Bolema foi criado no ano de 1985, no Programa de Pós-graduação em Educação Matemática da Unesp de Rio Claro, que é o mais antigo Programa de Pós-graduação, nessa área, na América Latina. Voltado à divulgação de artigos de pesquisa, todo o conteúdo da revista está disponível gratuitamente no site . Atualmente o BOLEMA tem três edições anuais e alguns números especiais, voltados à discussão de temas específicos (Ensino de números racionais (de 2008), Avaliação em Matemática (de 2009), História da Educação Matemática (de 2010), Educação Estatística (de 2011) e Modelagem Matemática (de 2012). • Revista Zetetiké O nome Zetetiké está relacionado ao termo “pesquisa”. A revista Zetetiké é uma publicação do Círculo de Memória e Pesquisa em Educação Matemática (Cempem) da Faculdade de Educação da Unicamp. A Zetetiké circula bimestralmente desde o ano de 1993 e todas as suas edições podem ser acessadas gratuitamente em: . • Boletim Gepem O Grupo de Estudos e Pesquisa em Educação Matemática (Gepem) é um grupo carioca que começou a funcionar no ano de 1976 e é o mais antigo ainda em f uncionamento no Brasil. Voltado a publicar artigos de pesquisa e experiências em sala de aula, o Boletim Gepem, de periodicidade bimestral, pode ser acessado gratuitamente no site: . • Revista Nova Escola Publicada pela Editora Abril, a revista Nova Escola é uma revista especifica de Educação Matemática, seu conteúdo é sobre Educação. Frequentemente, porém, podemos encontrar em suas páginas artigos que tratam do ensino e aprendizagem de Matemática, além de textos relativos a outras disciplinas e de discussões gerais acerca das práticas escolares. Ao contrário das demais publicações aqui referenciadas, a revista Nova Escola é uma edição comercial, que pode ser comprada em bancas e cujas edições são mensais. O site da revista é: .
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• Revista Educação e Matemática A Educação e Matemática é um periódico da Associação de Professores de Matemática de Portugal, publicada desde 1987 e com periodicidade atual de cinco edições anuais. A revista publica artigos sobre o ensino e aprendizagem de Matemática, relatos de experiências e propostas de atividades para a sala de aula. Há alguns artigos e materiais disponíveis on-line (o acesso integral a todos os artigos só é possível a associados) pelo site: .
8.3 Sites Vivemos num mundo de comunicação e informação, o que implica serem infinitas as possibilidades de encontrarmos, à nossa disposição, motivações e propostas para implementarmos em sala de aula ou usarmos para nossa formação complementar continuada, para atualizarmos nossos conhecimentos. A internet é um dos melhores exemplos dessas infinitas possibilidades. Mas exatamente por serem tantas as informações disponíveis, os professores devem ser cautelosos quando “passeando” pelo mundo virtual. Embora sugestões criativas para nosso trabalho possam vir de onde menos se espera – o mundo está cheio de situações que podem ser usadas criativa e criteriosamente em nossas salas de aula – nossas visitas a sites na internet não podem prescindir de uma boa dose de cuidado. Para auxiliar os professores em suas buscas, oferecemos alguns sites. Páginas virtuais de grupos de pesquisa, universidades, centros de formação conhecidos, profissionais experientes, instituições oficiais e não governamentais reconhecidas por sua atuação e programas de pós-graduação são endereços mais seguros – embora não sejam os únicos – que podem, ao serem acessados, informar o professor e motivá-lo a criar atividades e abordagens para seu cotidiano escolar. Alguns sites já foram disponibilizados nos tópicos anteriores, outros seguem abaixo: • www.mathema.com.br O Mathema é um grupo que investiga novos métodos e materiais para o ensino de Matemática. Seu site contém textos e materiais para vários níveis de escolaridade. • www.sbm.org.br • www.sbem.com.br • www.apm.pt A Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) –, a Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM) e a Associação de Professores de Matemática de Portugal (APM) são sociedades voltadas à pesquisa e ao ensino, e em seus sites os professores podem encontrar informações sobre eventos e publicações. Essas sociedades mantêm revistas especializadas em ensino de Matemática – a SBM publica a Revista do Professor de Matemática; a APM publica as revistas Quadrante (revista teórica e de investigação) e Educação e Matemática; a SBEM publica, além de boletins eletrônicos frequentes, a Educação Matemática em Revista e a Revista Internacional de Pesquisa em Educação Matemática (Ripem). Cada estado da Federação tem uma SBEM regional, e muitas delas também mantêm boletins e revistas com informações e atividades para professores de Matemática. 116
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• www.ibge.gov.br • www.ibge.gov.br/paisesat/main.php Site do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística e do link em que recentemente foi disponibilizado um mapa-múndi digital. Esse mapa-múndi traz síntese, histórico, indicadores sociais, economia, redes, meio ambiente, entre outras curiosidades, relativos a todos os países do mundo. Veja, a seguir, exemplos – dentre os muitos existentes – de sites de Programas de Pós-graduação em Educação Matemática ou de Ensino de Ciências e Matemática em funcionamento no Brasil. Nesses sites o professor pode encontrar informações sobre cursos, disciplinas, eventos e outras atividades relativas à pesquisa sobre o ensino de Matemática e a práticas de ensino de Matemática. • www.rc.unesp.br/igce/pgem/ • www.pucsp.br/pos/edmat/ • www.propesq.ufpe.br/index.php?option=com_content&view=article&id=70&Itemid=138 • www.pg.im.ufrj.br/pemat/mestrado.htm • www.edumat.ufms.br/ • www.mat.ufrgs.br/~ppgem/ • www.ufjf.br/mestradoedumat/ • www.ppgecnm.ccet.ufrn.br/
Outros sites de interesse para os professores de Matemática • • • • • • • • • •
www.cabri.com.br/index.php www.matinterativa.com.br/layout.swf www.ime.usp.br/~matemateca www.somatematica.com.br educar.sc.usp.br/matematica matematica.com.sapo.pt nautilus.fis.uc.pt www.programaescoladigital.org.br www.obm.org.br www.obmep.org.br
Portais educacionais e objetos de aprendizagem Objetos de aprendizagem (OA) são jogos, animações, experimentos, vídeos, textos etc., disponibilizados na internet para uso de professores e alunos. Há vários portais e repositórios que podem ser consultados. Seguem sugestões: • mdmat.mat.ufrgs.br • www.wisc-online.com/ListObjects.aspx • www.apm.pt/portal/index.php?id=26373 • www.mais.mat.br/wiki/Pagina_principal MANUAL DO PROFESSOR
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www.portaldoprofessor.mec.gov.br/índex.html objetoseducacionais2.mec.gov.br escolovar.org/mat.htm www.diaadia.pr.gov.br
• Repositórios de Objetos de Aprendizagem: Rived – rived.mec.gov.br Bioe – objetoseducacionais2.mec.gov.br/ LabVirt – www.labvirt.fe.usp.br Cesta – www.cinted.ufrgs.br/CESTA • Repositórios Internacionais: Merlot – www.merlot.org Ariadne – www.ariadne-eu.org
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9. Referências bibliográficas BORIN, Júlia. Jogos e resolução de problemas : uma estratégia para as aulas de Matemática. São Paulo: IME–USP, 1995. BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1996. BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. PCN de Matemática. Brasília: SEF/MEC, 1998. CARDOSO, Virgínia Cardia. Materiais didáticos para as quatro operações . São Paulo: IME–USP, 1992. CENTURION, Marília. Conteúdo e metodologia da Matemática, números e operações . São Paulo: Scipione, 1994. D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Da realidade à ação: reflexões sobre educação e Matemática. São Paulo: Summus, 1995. DINIZ, Maria Ignez de Souza Vieira; SMOLE, Kátia Cristina Stocco. O conceito de ângulo e o ensino de Geometria. São Paulo: IME–USP, 1992. DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Geometria plana. São Paulo: Atual, v. 9. 1993. (Coleção Fundamentos da Matemática Elementar.) GUELLI, Oscar. A invenção dos números . São Paulo: Ática,v. 1. 1998. (Coleção Contando a História da Matemática.) GUNDLACH, Bernard H. Números e numerais. 1. ed. São Paulo: Atual, 1992. (Coleção Tópicos de História da Matemática.) IEZZI, Gelson et al. Conjuntos, funções. São Paulo: Atual, v. 1. 1985. (Coleção Fundamentos da Matemática Elementar) IFRAH, Georges. Números: a história de uma grande invenção. Rio de Janeiro: Globo, 1992. KAMII, Constance. Aritmética: novas perspectivas. Implicações da teoria de Piaget. Campinas: Papirus, 1992. KRULIK, Stephen; REYS, Robert (Orgs.). A resolução de problemas na matemática escolar . São Paulo: Atual, 1980. LIMA, Elon Lages. Áreas e volumes . Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico, 1975. (Coleção Fundamentos da Matemática Elementar.) LINS, R. C.; GIMENEZ, J. Perspectiva em Aritmética e Álgebra para o século XXI . Campinas: Papirus, 1997. MACHADO, Nilson José. Coleção Matemática por Assunto. São Paulo: Scipione, v. 1. 1988. MOISE, E; DOWNS, F. L. Geometria moderna. São Paulo: Edgard Blücher, 1971. MONTEIRO, Jacy. Elementos de álgebra. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico, 1978. NETO, Ernesto Rosa. Didática da Matemática. São Paulo: Ática, 1987. NIVEN, Ivan. Números: racionais e irracionais. Rio de Janeiro: SBM, 1984. POLYA, George. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1978. MANUAL DO PROFESSOR
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RUBINSTEIN, Cléa et al. Matemática para o curso de formação de professores. São Paulo: Moderna, 1977. SANTOS, Vânia Maria Pereira (Coord.). Avaliação de aprendizagem e raciocínio em Matemática : métodos alternativos. Rio de Janeiro: IM-UFRJ; Projeto Fundão; Spec/PADCT/Capes, 1997. SOLOMON, Charles. Matemática. Série Prisma. São Paulo: Melhoramentos, 1978. SOUZA, Eliane Reame; DINIZ, Maria Ignez de Souza Vieira. Álgebra: das variáveis às equações e funções. São Paulo: IME–USP, 1994. STRUIK, Dirk J. História concisa das Matemáticas. Lisboa: Gradiva, 1997. TROTA, Fernando; IMENES, Luiz Márcio; JAKUBOVIC, José. Matemática aplicada. São Paulo: Moderna, 1980. WALLE, John A. van de. Matemática no Ensino Fundamental : formação de professores e aplicação em sala de aula. Porto Alegre: Artmed, 2009. ZABALLA, Antoni (Org.). A prática educativa: como ensinar. São Paulo: Artmed, 1998.
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