Operador Normal

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA Materia: ÁLGEBRA LINEAL Trabajo: OPERADOR NORMAL Integrantes del equipo: ACEVEDO BERRUECOS ERIKA Castillo Méndez Elizabeth Flores Sandoval Oscar Fecha de entrega: e ntrega: 23/Mayo/2011

OPERADOR NORMAL

1. DEFINICIÓN Sea V un espacio con producto interno y sea T: V → V un operador lineal. Se dice que T es normal si T ○ T* = T*○ T. De esta definición decimos que si T es normal T* también es normal y viceversa. 

PROPIEDADES DE LOS OPERADORES NORMALES

2. TEOREMA Sea un espacio con producto interno y sea T: V → V un operador normal: i. ii. iii.

∈ V ║ T( )║ = ║ T*( )║, λ  Si T( ) = λ entonces T*( ) = Si 1, 2 son vectores característicos de T correspondientes a los valores λ1, λ2 y λ1 ≠ λ2, entonces ( 1│ 2) = 0 v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

DEMOSTRACIÓN i.

║T(

v

) ║2 = (T (

v

)│T(

v

))

por 3.

v

)])

por 4.

║T(

v

) ║2 = (

v

│ T* [T (

║T(

v

) ║2 = (

v

│ T* ○ T) (

v

))

por 5.

║T(

v

) ║2 = (

v

│ T ○ T*) (

v

))

por 6.

║T(

v

) ║2 = (

v

│ T [T*(

v

)])

║T(

v

) ║2 = (

v

│ (T*)*[T*(

v

║T(

v

) ║2 = (T*( ) │T*( ))

║T(

v

) ║2 = ║ T (

v

De donde ║ T ( ) ║ = ║ T*( v

v

)║

v

v

) ║2

por 1. )])

por 7. por 4. por 3.

Es decir, las imágenes asignadas a un vector  cualquiera por un operador  normal y su adjunto “tienen el mismo tamaño”. v

ii.

Primero demostraremos que T – α  I es un operador normal para cualquier escalar  α  .

Por teorema 7 y tomando en cuenta que I* = I se tiene (T – α  I)* = T* -

I

Entonces, por las propiedades del álgebra de transformaciones se tiene que. (T – α  I) ○ (T – α  I)* = (T – α  I) ○ (T* – I) (T – α  I) ○ (T – α  I)* = (T ○ T* - α  T* - T + α 

I)

Y también que: (T – α  I)* ○ (T – α  I) = (T* (T – α  I)* ○ (T – α  I) = T* ○ T -

I) ○ (T – α  I) T - α  T* + α 

Como T es normal T ○ T* = T* ○ T, por lo que: (T – α  I) ○ (T – α  I)* = (TY T – α  I es normal.

I)* ○ (T – α  I)

I)

TEOREMAS Y DEFINICIONES 3. Definición Sea un espacio vectorial sobre C y sea (• │ •) un producto interno en V. Se llama norma de ∈ V, y se representa con ║ ║, al número real no negativo definido por: v

║

v

║=(

v

v

│ )½ v

4. Sea V un espacio con producto interno y sea