ECUACIONES DIFERENCIALES FASE UNO Presentado a: William de Jesús Montoya Henao
Tutor William de Jesús Montoya Henao
Entregado por: Edid Amparo Bustos Código: 52´344.845 Sandra Milena Hernández Código: 51´991.966 Dora Patricia Sánchez Código: 52´127.709 Johana Mireya Beltrán Código: 52´439.865 Luz Mary Ortega Código: 51´933.608
Grupo: 100412_298
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, INGENIERIAS Y TECNOLOGIAS CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES FECHA BOGOTÁ D.C. 2017
INTRODUCCION
Este trabajo se realiza con el aporte de cada uno de los integrantes, y tiene como fin aplicar los conocimientos adquiridos en la unidad uno de Ecuaciones Diferenciales, se espera que la solución de los ejercicios muestren de manera ágil las respuestas correctas, de igual forma logramos ganar grandes conocimientos para poder enfrentar una prueba SABER PRO. Los integrantes hacen su aporte al solucionar, cada un dos ejercicios del presente trabajo, aplicando las técnicas de resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden, de forma analítica para desarrollar competencias en la solución de problemas en la vida profesional y personal.
OBJETIVOS Objetivo general
Resolver cada uno de los ejercicios propuestos en la guía de trabajo, empleando los métodos para la resolución de ecuaciones de diferenciales.
Objetivos específicos
Realizar el trabajo colaborativo con los aportes hechos por cada uno de los integrantes. Dar solución a cada uno de los problemas planteados. Clasificar las ED, en cada ejercicio según: tipo, orden y linealidad. Desarrollar destrezas en la resolución de problemas de ED Intercambiar opiniones sobre las diferentes formas de resolver cada problema planteado.
TABLA 1: PLAN DE TRABAJO – GRUPO: 100412 _298
Datos Estudiante Identificación:52’344.845 Nombre: Sandra Milena Hernández CEAD: JAG Identificación:51’991.966 Nombre: Edid Amparo bustos CEAD: JAG Identificación:52’127.709 Nombre: Dora Patricia Sánchez CEAD: JAG Identificación:52’439.865 Nombre: Johana Mireya Beltrán CEAD: JAG Identificación: 51´933.608 Nombre: Luz Mary Ortega CEAD: JAG
Preguntas Rol dentro del seleccionadas Trabajo desarrollar Colaborativo actividad individual
a
Preguntas seleccionadas para revisar o realimentar
Colaborador
1y2
3y4
Alertas
3y5
1y2
Compilador
4y6
5y7
Investigador
7y8
9 y 10
Evaluador
9 y 10
6y8
DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA Actividad Individual: A continuación, se presentan un contexto generalizando la temática de las ecuaciones diferenciales de primer orden, en el que posterior a él, se presentan diez (10) preguntas tipo SABER PRO, de las cuáles cada integrante debe seleccionar dos y seleccionar la respuesta correcta justificándola con todo el procedimiento empleando el método adecuado para llegar a su solución general y/o particular. El estudiante debe garantizar que los ejercicios seleccionados sean diferentes a los de sus compañeros.
ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA A continuación, usted encontrará preguntas que se desarrollan en torno a un enunciado, problema o contexto, frente al cual, usted debe seleccionar aquella opción que responda correctamente al ítem planteado entre cuatro identificadas con las letras A, B, C, D. Una vez la seleccione, márquela con un óvalo la que corresponda y justifique la respuesta.
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: SANDRA MILENA HERNÁNDEZ 1. Una función y = f(x) es una solución de una ecuación diferencial si al sustituir la función y sus derivadas en la ecuación la reducen a una identidad. 2
De acuerdo a la ecuación diferencial: d y dx
2
dy dx
y
ex
xe x , cuál de las siguientes funciones es una
solución: A.
y
xe
B.
y
x
xe
x
x
C. y xe
D.
y
e
x
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
y′′y′y x A.
y
xe
x
− − 2− − y′′y′y x
RAZÓN O EXPLICACIÓN Es una ED ordinaria, ya que posee derivadas con respecto a una sola variable independiente, siendo entonces una EDO. Esta EDO es de Segundo Orden, ya que la derivada más alta contenida en ella es 2 y tiene la forma ay''+by'+cy=g(x) Analizamos cada una de las funciones, calculando la primera y segunda derivada y sustituimos en la ED para ver si se cumple o no la igualdad. Primera derivada Segunda derivada Sustituimos en la ED
2− −− −x− x 3− 2−x−x x − − B.
y
xe
x
− − 2− − y′′y′y x 2− −− −x− x − − C.
y
y
e
Primera derivada Segunda derivada Sustituimos en la ED
No cumple la igualdad
Primera derivada
x
xe
1 1 1 2 y′′y′y x 21x x 211x x D.
No cumple la igualdad
x
y′′y′y x x
Segunda derivada Sustituimos en la ED
Ordenamos Si cumple con la igualdad, por lo tanto la respuesta es C.
Primera derivada Segunda derivada Sustituimos en la ED
No cumple la igualdad
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: SANDRA MILENA HERNÁNDEZ
CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Las ecuaciones diferenciales se clasifican por tipo, orden y linealidad de la siguiente manera: 1. Clasificación por Ti po: Si una ecuación contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO). Si una ecuación con derivadas de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes se llama ecuación diferencial parcial (EDP). 2. Clasificación según el orden: El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o EDP) es el orden de la derivada mayor en la ecuación.
3. Clasificación según la Linealidad : Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si F es lineal en y, y’,…, y(n). Esto significa que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal cuando F (x, y, y’,…, y(n)) = 0. Por lo tanto, la variable dependiente “y” y todas sus derivadas y’, y’’,…, y(n) son de primer grado. Y los coeficientes a 0 , a1 ,…, an dependen solo de la variable x.
2. De acuerdo al texto, una ecuación diferencial ordinaria de tercer orden y no lineal corresponde a.
A. B.
2 30 7 6 70
D. 1 C.
PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA C.
RAZÓN O EXPLICACIÓN
Es una ED ordinaria, ya que posee derivadas con respecto a una sola variable independiente, siendo entonces una EDO. Es una EDO de Tercer Orden, porque su mayor derivada es 3.
Es una EDO no es lineal, porque el valor igualado contiene la variable dependiente (y):
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: EDID AMPARO BUSTOS
ECUACIONES CON VARIABLES SEPARABLES Las ecuaciones diferenciales de la forma:
ℎ , se pueden resolver a través de la técnica
llamada separación de variables que consiste en separar las variables a ambos lados de la igualdad, de tal manera que aun lado se exprese como una función que dependa solamente de x y al otro lado sólo de y, para luego integrar cada miembro respecto de la variable correspondiente, es decir:
ℎ1
3. De acuerdo a la información, la solución general de la ecuación diferencial puede indicar como a.
y C x2
2
b.
y C x2
2
c.
y ln
d.
y
2x
lnC x 2
2
2 0
se
lnC
2
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
La respuesta correcta es la C y
ln 2x
2 lnC
2 2
2
2
Inicie le procedo de despejar la igualdad Despejo para dejar en una sola ubicación las X y Y Se logra que las variables con y Y con X se encuentren Se procede a integrar las dos ecuaciones.
1 2 1 2 12 1 12 2 U =
2
Y se hace la integración por partes para hallar. la solución de la ecuación X Reemplazo los componentes que me dio la integración por partes en X, con el fin de agilizar el proceso se halla la integral inmediata de Y Evidenciando la respuesta al ejercicio
Integración por partes.
du= 2x dx dx=
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: DORA PATRICIA SÁNCHEZ 4. Cuando en una ecuación diferencial de la forma M ( x, y )dx N ( x, y )dy
0
, sucede que:
M y
N x
, se
dice que la ecuación es exacta, en caso contrario la ecuación diferencial no es exacta y es posible convertirla en una ecuación exacta multiplicándola por un factor apropiado ( x, y ) , llamado factor integrante, el cual se calcula si está en función de y a través de la fórmula: Por lo tanto, el factor integrante de la ecuación diferencial A. ( y ) B. ( y )
( C.
( y ) e
Nx My M
dy
.
(2 x 2 y)dx (4 x 3 1)dy 0 , viene dado por:
2
y 5 1
y3
y ) y 5
5 D. ( y ) y
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
2 ; 4 1 ; 2 ; 12
Se identificar M, N y sus derivadas cruzadas. Se comprueba así que la EDO no es exacta.
− ∫ ∫ − ∫ ∫ ln
Se aplica la fórmula dada en el enunciado del ejercicio para hallar el factor integrante. Como era de esperarse esta ecuación da origen a una integral que sólo depende de “Y” y que es el factor integrante. Se aplican las propiedades del logaritmo natural con el fin de “bajar” la y, primero se aplica la propiedad
ln
Para subir el 5 que acompaña a “Lny” a ser exponente de y.
Se aplica la propiedad
Posteriormente
se
RTA: Opción D.
aplica
Finalmente
la
propiedad
Y queda como respuesta que el factor integrante es:
Responda las preguntas 5 y 6 con base a la siguiente información
Hay ecuaciones diferenciales que no se pueden resolver utilizando directamente la separación de variables, pero pueden ser transformadas en separables por medio de sustituciones adecuadas, como es el caso de las E cuaciones D iferenciales H omogéneas que son de la forma:
, ,,0 . , o
, que por homogeneidad quedan del mismo grado y que
se pueden expresar como una función que sólo depende del cociente , o de la forma donde
,
, por lo tanto
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: EDID AMPARO BUSTOS 5. Según la información, la solución de la ecuación diferencial homogénea: corresponde a:
,
A. B. C. D.
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
, ∗, ∗ ∗ 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0
RAZÓN O EXPLICACIÓN ambas son homogéneas de tercer grado Simplificando tenemos que:
Simplificando tenemos
Se realiza la sustitución Obtenemos
Y reduzco términos semejantes
Luego igualamos a 0
Luego multiplico por dx, quedando expresado de la forma.
Multiplicamos por (-1) y se procede a factorizar el signo que resulta
Luego iniciamos con el integrado
2 2 +
Aplicamos propiedad de logaritmos
Como u= la solución general es
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: DORA PATRICIA SÁNCHEZ 6. Al resolver la ecuación diferencial como:
, la solución general viene dada
|| b. c. d. || a.
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
0 1 0 1 0 1 0 ; ;
RAZÓN O EXPLICACIÓN Se trata de una EDO reducible a homogénea, la “receta” dice que se deben buscar factores iguales para sustituir por una variable “u”, así pues se divide toda la EDO entre x para obtener el factor repetido
Se hace la sustitución
, se despeja y porque
es mucho más sencilla de derivar y se halla el
diferencial “dy”.
10 10 1 0 1 0 10 1 1 1 − − − tan
Se hacen las correspondientes sustituciones, luego se factoriza el diferencial “dx” se operan términos semejantes y se lleva a su mínima expresión.
Se observa que la E.D.O tomó la forma de una que se resuelve por el método de variables separables, se dejan todos los términos de x a un lado y los de u al otro. Se procede a integrar. Finalmente se hace un despeje trigonométrico de “y” y se llega a la respuesta.
Respuesta D
ITEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información:
Seleccione A si 1 y 2 son correctas. Seleccione B si 1 y 3 son correctas. Seleccione C si 2 y 4 son correctas. Seleccione D si 3 y 4 son correctas.
Una vez seleccione su respuesta, describa el procedimiento que la justifique
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: JOHANA MIREYA BELTRAN 7. Es posible encontrar ecuaciones diferenciales de primer orden que se pueden resolver a través de la técnica llamada variables separables y se expresan de la forma M ( x )dx N ( y )dy 0 , en donde todos los términos en x se pueden asociar con dx y todos los términos en y con dy, cuyo despeje se puede expresar como:
Tomando como referencia la información, el problema de valor inicial
0, 0 1, √ + + √ + +
16
tiene como solución general y solución particular, respectivamente a:
1. 2. 3. 4.
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
La Respuesta es: B si 1 y 3 son correctas
RAZÓN O EXPLICACIÓN
Esta es una EDO de primer orden y se aplicará el método de variables separables: N(y) .y´= M(x)
16 0, 0 1,
Debemos escribir la ecuación como una EDO de primer
1 16 1 16 1 ln 2 1 ln 161 16 2 ln 2 12 ln 161 ln 12 ln 161 ln1 12 ln0 161 12 ln0 161ln1 12 ln161ln1 12 ln161 12 ln16 In 1 12 16 12 ln161 12 ln16 C1 In1 12 16 2ln2 C12ln2 In 12 ln 162ln2 16 12 ln 162ln2 − (+)+ln 4 16 16 4 16 4 16
orden. Integramos cada una de los lados de la ecuación. Agregamos la constante a la ecuación. Realizamos la combinación de las constantes
Debemos aplicar las condiciones iniciales de la EDO y sustituimos el valor de X=0 y desarrollamos.
Aplicamos las propiedades para los logaritmos, cuando los logaritmos tienen la misma base.
Y teniendo en cuenta que 4 es la constante la segunda respuesta es
16 ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: JOHANA MIREYA BELTRAN 8. Una ecuación diferencial de la forma M ( x, y )dx N ( x, y )dy 0 , es exacta cuando:
M y
N x
es
decir, sus derivadas parciales son iguales.
De las siguientes ecuaciones diferenciales, cuáles de ellas “No” son exactas: 2
xdx 1) ( 4xy 2 1)dy 0
1.
2y
2.
xy 2 y )dx ( x 2 y x )dy 0
3.
4y 3x
4.
2
2
x
3
2y )dx ( 2x
y 2 y )dx ( 2x 3 y
4
y 2x )dy 0
x )dy 0
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
La Respuesta es: A si 1 y 2 son correctas, es decir No son exactas. M ( x, y )dx N ( x, y )dy 0
Las ecuaciones diferenciales son exactas cuando sus derivadas son iguales así: M
N
y
1.
x
2y
2
xdx 1) ( 4xy 2 1)dy 0
2 1
4 1
Esta Ecuación Diferencial no es exacta
4 4 2.
puesto que sus derivadas no son iguales.
xy 2 y )dx ( x 2 y x )dy 0
21 21 3.
4y
2
Esta Ecuación Diferencial no es exacta puesto que sus derivadas no son iguales.
x 3 2y )dx ( 2x 4 y 2x )dy 0
4 2 22 82 , 82 4.
3x
2
y 2 y )dx ( 2x 3 y
Esta Ecuación Diferencial si es exacta puesto que sus derivadas son iguales.
x )dy 0
3 2 61 , 61
Esta Ecuación Diferencial si es exacta puesto que sus derivadas son iguales
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: LUZ MARY ORTEGA CAÑÓN 9. Una ecuación diferencial de la forma M ( x, y )dx N ( x, y )dy
0
que no es exacta, es decir, M N , se y x
puede convertir en una ecuación exacta multiplicándola por un factor apropiado ( x, y ) , llamado factor
integrante, el cual se calcula si está en función de y a través de la fórmula: ( y ) e 2
Nx My M
dy
.
El factor integrante y la solución general de la ecuación diferencial 3xydx 3x dy 0 , viene dado por: A. ( y )
1
y3
B. ( y ) y C. y
cx
3
D. y
c x
RAZÓN O EXPLICACIÓN
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA Tomando la ecuación general, tenemos que
M x,y 3 x y 3 6
N x,y 3
µy ᶴ µ y ᶴ 63 3 3 ᶴ 3 ᶴ 9 ᶴ3 3
Es decir
≠
luego la diferencial no es exacta.
Para convertirla en exacta, la multiplicamos por el factor integrante , que en función de y se aplica la formula
µ x,y
En dónde Nx =
6; 3
Luego reemplazando tenemos haciendo operaciones y si multiplicando
µy − + µ= y − Luego
Exponentes así (
entonces
y por propiedades de los logaritmos
entonces
3 µy
Es el factor integrante. (Respuesta A N° 1)
µ(y)=
Ahora, multiplicando la ecuación diferencial por el factor integrante tenemos:
3
2 13
) dx – 3
(
dy = 0
3 dx - 32 dy = 0 2 3 3 −3−0
6 3
63
Simplificando tenemos que queda así:
Aplicando propiedades de los exponentes
−
queda
Ahora comprobamos la condición de exactitud
ahora si son iguales luego la nueva ecuación diferencial es exacta → 3 − Hacemos: Luego:
Integrando respecto a X:
− y − − 3− 3 3 22 → 32 2 2 2 Ahora derivamos
respecto a y queda
ᶴ ᶴ 3−
1- Solución general
= C entonces la solución a la ecuación general diferencial es − Luego
Luego la respuesta es C o N°3 La respuesta al ejercicio es entonces N° 1 y N°3 correctas que correspondería a B de la prueba saber .
ÍTEMS DE ANÁLISIS DE RELACIÓN
Este tipo de ítems consta de dos proposiciones así: una Afirmación y una Razón, unidas por la palabra PORQUE. Usted debe examinar la veracidad de cada proposición y la relación teórica que las une. Para responder este tipo de ítems, debe leerla completamente y señalar en la hoja de respuesta, la elegida de acuerdo con las siguientes instrucciones:
Marque A si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque B si la afirmación y la razón son VERDADERAS, pero la razón NO es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque C si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA. Marque D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA.
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: LUZ MARY ORTEGA CAÑÓN
10. Cuando se plantea la ecuación diferencial ( x 3)
dy dx
3 y , es posible asegurar que la solución
particular generada para y(4)
2
3
es y 2( x 3) ,
la ecuación diferencial viene dada por
PORQUE al resolverla la solución general de
y C ( x 3)3
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA La ecuación planteada
3 3
RAZÓN O EXPLICACIÓN
: 3 3 Integrando cada lado de la ecuación se tiene y separando la constando la constant se tiene:
1 ᶴ ᶴ 3 3
Aplicando la definición de integrales y resolviendo
3 3
3 .3 3
despejando “Y” y transponiendo la constante +3C Aplicando propiedad de logaritmo que dice
3Lnx33C ∗3
LnY = Ln
Como los logaritmos tienen la misma base Como
=a
es constante la Podemos llamar C
Luego la razón resulta ser Verdadera Ahora pasa una solución particular y(4) = 2 no es cierto que y=2(x+3 luego la afirmación no es cierto, Entonces tenemos que la afirmación es falsa Para y(4)=2 y verdadera la razón, lo que corresponde a la respuesta D.
Primera actividad Grupal: Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden.
Problema 1: Una de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden es la solución de problemas de mezclas. En ellos, generalmente se presenta la siguiente situación:
La ecuación diferencial asociada es la siguiente ecuación diferencial lineal, que permite encontrar la ley de variación de la cantidad de soluto x(t) en un instante de tiempo t
Un depósito contiene 500 lt de líquido en el que se disuelven 20 gr de sal: Una salmuera que contiene 5 gr/lt se bombea al depósito con una intensidad de 8 lt/min, la solución adecuadamente mezclada se bombea hacia fuera con una intensidad de 10 lt/min. Encuentre el número de gramos de sal y la concentración de sal, que hay en el depósito en un instante cualquiera.
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
= R i - R o
RAZÓN O EXPLICACIÓN Se procede a hallar la rapidez con que entra la sal y la rapidez con que sale la sal. La concentración de la solución entrante era de 8L/min, por consiguiente la entrada se calculará así:
R i = (8L / min) (1g/L) = 8 g/min
Ro 10 L/min / 8 ,0 20 50 [/]4/ 500 / / 500 / / 500 −/ 0 20 > 20 500−/ 20500 480
g / min
La Salida se calcula así: Se procede a hallar a(t) resolviendo el problema de valor inicial, sustituyendo los valores de R i y R o
Se debe inicial
considerar
la
condición
/
Por tanto la cantidad de A(t) de gramos de sal que hay en el tanque en cualquier instante t será:
Segunda actividad Grupal: Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada:
EJERCICIO Y SOLUCIÓN PLANTEADA
OBSERVACIONES, ANEXOS, MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN PLANTEADA
Situación y solución planteada:
En una cafetería se sirve una bebida caliente que se encuentra inicialmente a una temperatura de 90°C, y se enfría hasta 75°C mientras se expone a la temperatura ambiente durante 4 minutos. Si la temperatura ambiente está en 20°C, determinar en qué momento la bebida estará a una temperatura de consumo de 55°C. Según la Ley de enfriamiento de Newton, la ecuación viene dada como:
Separando variables se tiene:
−
Se aplica la integral a ambos lados de la ecuación:
ln − −+ − −
,
según propiedades de los logaritmos:
Entonces,
, por lo tanto:
20° − 70≫ (Forma correcta) 0 90° Como
Para entonces:
la bebida tiene
Procedimiento correcto hasta acá.
,
0 − 2090 907020≫ −∗ ≫ ≫ ≫
Si la temperatura ambiente es
° el
sumando ha de ser 20 y no 70.
,
por
lo
tanto,
Así, la ecuación de la temperatura ambiente en función del tiempo será:
70− 20
La ecuación para plantear la constante “c”
está mal planteada, aunque en un principio iba bien, luego salió un término 70 que es completamente incorrecto.
Para
4
la bebida tiene
75°
, luego:
4 70− 2075 − 7520 70 7055
Aplicando logaritmos:
lnln 5570 ln 4 0,0602 ≫ , Forma correcta. 55° 2055 70−,≫ )
Como en
la bebida está en
Por lo tanto,
−, 5520 70 ≫ , 10,696 ≫
y simplificando encontramos que:
El despeje de la fórmula está mal.
−, −, , , El tiempo aproximado será de:
10,7 El tiempo aproximado será de: ,
Cuando se pasó el 0,0602 a dividir no se puso el signo menos, adicionalmente el resultado de
, no es 10,696 ,
Se aplican propiedades de logaritmos y
Cada estudiante debe hacer mínimo un aporte significativo al análisis del desarrollo presentado. Moderador o líder debe consolidar el trabajo final donde se incluya aportes individuales y grupales.
finalmente se llega a la respuesta.
CONCLUSIONES
Al desarrollar cada ejercicio propuesto, reforzamos nuestros conocimientos en el tema de ED, y podemos adquirir herramientas muy útiles para el desarrollo de situaciones complejas, que a veces no podemos solucionar mediante métodos convencionales. Podemos darnos cuenta de la importancia de las ED, para la solución de problemas que se nos presentan en el desempeño de nuestras carreras. Identificamos métodos más agiles para la solución de ecuaciones diferenciales y afianzamos más los conocimientos sobre el desarrollo de las ecuaciones diferenciales de primer orden.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Matefacil. (2016). Curso completo de ecuaciones diferenciales [video]. Recuperado de https://www.youtube.com/playlist?list=PL9SnRnlzoyX0RE6_wcrTKaWj8cmQb3uO6
