pilares

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL ESCOLA DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

PROJETO DE PILARES DE CONCRETO ARMADO

AMÉRICO CAMPOS FILHO

2011

SUMÁRIO 1 – Dimensões Dimensões ............................................ ................................................................... .............................................. .............................................. .................................. ........... 1.1 – Dimensões mínimas das seções seções transversais transversais dos pilares pilares ............................... .................................................. ................... 1.2 – Cobrimento da armadura armadura dos pilares pilares ................................................ ......................................................................... ................................ ....... 2 – Cálculo Cálculo das solicitações solicitações nos pilares pilares ................................. ......................................................... ................................................ ............................ .... 2.1 - Estruturas Estruturas de de nós fixos e estruturas de nós moveis ............................................ ........................................................... ............... 2.2 – Contraventamento Contraventamento ............................................... ....................................................................... ............................................... ...................................... ............... 2.3 – Imperfeições geométricas ............................................... ....................................................................... ................................................ ............................ 2.4 - Elementos isolados .............................................. ...................................................................... ............................................... ...................................... ............... 2.5 - Dispensa Dispensa da consideração consideração dos esforços esforços globais globais de 2ª ordem ............................................ ............................................ 2.5.1 - Parâmetro Parâmetro de instabilid instabilidade ade .................................... ............................................................ ................................................ ................................. ......... 2.5.2 - Coeficiente Coeficiente γz .............................................. ..................................................................... .............................................. ............................................. ...................... 2.6 - Análise de estruturas estruturas de nós fixos ........................................... .................................................................. .......................................... ................... 2.7 – Processo simplificado para o cálculo das solicitações nas estruturas usuais de edifícios 3 - Análise Análise de elementos isolados .............................................. ....................................................................... ............................................... ........................ 3.1 – Generalidades .................................................. ............................................................................ ................................................. ....................... 3.2 - Dispensa Dispensa da análise análise dos dos efeitos efeitos locais de 2ª ordem ................................................. ........................................................... .......... 3.3 - Determinação Determinação dos efeitos efeitos locais locais de 2ª ordem ............................................... .................................................................... ..................... 3.3.1 - Barras submetidas a flexo-compressão flexo-compressão ........................... ................................................... ............................................... ....................... 3.3.2 - Método exato .............................................. ..................................................................... .............................................. ............................................. ...................... 3.3.3 - Métodos aproximados ............................................... ....................................................................... ................................................ ............................. ..... 3.3.3.1 - Método Método do pilar pilar padrão com curvatura curvatura aproximada aproximada ................................... .................................................... ................. 3.3.3.2 - Método do pilar padrão com rigidez κ aproximada ............................................. .................................................... ....... 3.3.3.3 - Método do pilar padrão padrão acoplado acoplado a diagramas M, N, 1/r 1/r ..................................... ............................................ ....... 3.3.3.4 - Método do pilar padrão para pilares da seção retangular, submetidos à flexão composta oblíqua ........................................... .................................................................. .............................................. ................................................ .............................. ..... 3.3.3.5 – Resumo das exigências exigências da NBR6118:2007 NBR6118:2007 para para verificação verificação de pilares pilares esbeltos esbeltos ....... 4 – Dimensioname Dimensionamento nto das seções à flexão composta oblíqua ............................................... ................................................... .... 5 – Recomendações Recomendações relativas relativas ao detalhamento detalhamento dos pilares pilares ......................... ................................................. .............................. ...... 5.1 - Proteção contra flambagem das barras barras .............................. ...................................................... ............................................... ......................... 5.2 – Disposições Disposições gerais relativas relativas às armaduras dos dos pilares ............................................. ...................................................... ......... 5.2.1 – Introdução ............................................ ................................................................... .............................................. ............................................... ............................ .... 5.2.2 - Armaduras longitudina longitudinais is ............................... ...................................................... .............................................. .......................................... ................... 5.2.2.1 - Diâmetro Diâmetro mínimo mínimo e taxa de armadura armadura ............................ .................................................... ............................................. ..................... 5.2.2.2 - Distribuição Distribuição transversal ............................................ ................................................................... ............................................... ............................ .... 5.2.2.3 – Comprimento de espera ............................................. .................................................................... .............................................. .......................... ... 5.2.3 - Armaduras transversais transversais ............................................ ................................................................... .............................................. ............................... ........ 5.2.4 – Detalhamento Detalhamento de um pilar pilar ................................ ......................................................... .................................................. ..................................... ............ 6 – Exemplos Exemplos ............................................. ..................................................................... ................................................ .............................................. ................................ .......... Anexo – Aço destinado a armaduras para estruturas de concreto armado (NBR7480:2007) ...

1 1 1 4 4 5 5 7 7 7 7 8 9 11 11 11 12 12 12 12 12 13 13 13 14 14 15 15 15 15 16 16 17 17 18 18 20 32

1 – Dimensões Os pilares dos edifícios correntes, com estrutura em concreto armado, têm, em geral, seções transversais constantes de piso a piso (concreto e aço). As seções transversais podem apresentar a forma quadrada, retangular, circular ou de uma figura composta por retângulos (seções L, T, U). 1.1 – Dimensões mínimas das seções transversais dos pilares As dimensões mínimas da seção transversal de pilares são fixadas no item 13.2.3 da NBR6118:2007. Conforme este item, a seção transversal de pilares não deve apresentar dimensão menor que 19 cm. Em casos especiais, permite-se a consideração de dimensões entre 19 cm e 12 cm, desde que se multipliquem as ações a serem consideradas no dimensionamento por um coeficiente adicional γn, de acordo com o indicado na tabela abaixo. Em qualquer caso, a norma não permite pilar com seção transversal de área inferior a 360 cm 2. Tabela – Valores do coeficiente adicional b γn

≥ 19 1,00

18 1,05

17 1,10

16 1,15

15 1,20

n

14 1,25

13 1,30

12 1,35

Nesta tabela, b é a menor dimensão da seção transversal do pilar e γn é um coeficiente que deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo nos pilares, quando do dimensionamento. 1.2 – Cobrimento da armadura dos pilares Segundo o item 6 da NBR6118:2007 (diretrizes para durabilidade das estruturas de concreto), as estruturas de concreto devem ser projetadas e construídas de modo que, sob as condições ambientais previstas na época do projeto e quando utilizadas conforme preconizado em projeto, conservem suas segurança, estabilidade e aptidão em serviço durante o período correspondente à sua vida útil. A agressividade do meio ambiente está relacionada às ações físicas e químicas que atuam sobre as estruturas de concreto, independentemente das ações mecânicas, das variações volumétricas de origem térmica, da retração hidráulica e outras previstas no dimensionamento das estruturas de concreto.

Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul

1

Nos projetos das estruturas correntes, a agressividade ambiental pode ser classificada de acordo com o apresentado na seguinte tabela e pode ser avaliada, simplificadamente, segundo as condições de exposição da estrutura ou de suas partes.

Tabela - Classes de agressividade ambiental Classe de agressividade ambiental (CAA) I

Agressividade

Classificação geral do tipo de ambiente para efeito de projeto

Risco de deterioração da estrutura

Fraca

Rural Submersa

Insignificante

II

Moderada

Urbana 1), 2)

Pequeno

III

Forte

IV

Muito forte

Marinha 1) Industrial 1), 2) Industrial 1), 3) Respingos de maré

Grande Elevado

1)

Pode-se admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) para ambientes internos secos (salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço de apartamentos residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura). 2)

Pode-se admitir uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) em: obras em regiões de clima seco, com umidade relativa do ar menor ou igual a 65%, partes da estrutura protegidas de chuva em ambientes predominantemente secos, ou regiões onde chove raramente. 3)

Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, branqueamento em indústrias de celulose e papel, armazéns de fertilizantes, indústrias químicas.

No item 7 da NBR6118:2007, são apresentados os critérios de projeto visando a durabilidade das estruturas de concreto. No item 7.4, são referenciados os critérios relativos à qualidade do concreto e cobrimento da armadura. A durabilidade das estruturas é altamente dependente das características do concreto e da espessura e qualidade do concreto do cobrimento da armadura. Ensaios comprobatórios de desempenho da durabilidade da estrutura frente ao tipo e nível de agressividade previsto em projeto devem estabelecer os parâmetros mínimos a serem atendidos. Na falta destes e devido à existência de uma forte correspondência entre a relação água/cimento ou água/aglomerante, a resistência à compressão do concreto e sua durabilidade, permite-se adotar os requisitos mínimos expressos na tabela seguinte.


2

Tabela - Correspondência entre classe de agressividade e qualidade do concreto Concreto

Tipo

Classe de agressividade (tabela 1) II III

I

IV

Relação água/aglomerante em massa

CA

≤ 0,65

≤ 0,60

≤ 0,55

≤ 0,45

CP

≤ 0,60

≤ 0,55

≤ 0,50

≤ 0,45

Classe de concreto (NBR 8953)

CA

≥ C20

≥ C25

≥ C30

≥ C40

CP

≥ C25

≥ C30

≥ C35

≥ C40

NOTAS: CA - Componentes e elementos estruturais de concreto armado CP - Componentes e elementos estruturais de concreto protendido

O cobrimento mínimo da armadura é o menor valor que deve ser respeitado ao longo de todo o elemento considerado e que se constitui num critério de aceitação. Para garantir o cobrimento mínimo (c min) o projeto e a execução devem considerar o cobrimento nominal (cnom), que é o cobrimento mínimo acrescido da tolerância de execução ( ∆c). Assim as dimensões das armaduras e os espaçadores devem respeitar os cobrimentos nominais, estabelecidos na tabela abaixo para ∆c=10 mm. Nas obras correntes o valor de ∆c deve ser maior ou igual a 10 mm. Quando houver um adequado controle de qualidade e rígidos limites de tolerância da variabilidade das medidas durante a execução pode ser adotado o valor ∆c = 5 mm, mas a exigência de controle rigoroso deve ser explicitada nos desenhos de projeto. Os cobrimentos nominais e mínimos estão sempre referidos à superfície da armadura externa, em geral à face externa do estribo. O cobrimento nominal de uma determinada barra deve sempre ser maior ou igual ao seu próprio diâmetro. cnom ≥ φ barra A dimensão máxima característica do agregado graúdo, utilizado no concreto não pode superar em 20% a espessura nominal do cobrimento, ou seja: dmax 1,2 cnom


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Tabela- Correspondência entre classe de agressividade ambiental e cobrimento nominal para c=10mm Classe de agressividade ambiental Tipo de estrutura Componente ou IV3) I II III elemento Cobrimento nominal mm 2) Concreto armado Laje 20 25 35 45 Viga/Pilar 25 30 40 50 1) Concreto protendido Todos 30 35 45 55 1) Cobrimento nominal da armadura passiva que envolve a bainha ou os fios, cabos e cordoalhas, sempre superior ao especificado para o elemento de concreto armado, devido aos riscos de corrosão fragilizante sob tensão. 2)

Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com revestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento tais como pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos, e outros tantos, as exigências desta tabela podem ser substituídas pelo item 7.4.7.5 respeitado um cobrimento nominal ≥15 mm. 3)

Nas faces inferiores de lajes e vigas de reservatórios, estações de tratamento de água e esgoto, condutos de esgoto, canaletas de efluentes e outras obras em ambientes química e intensamente agressivos a armadura deve ter cobrimento nominal ≥45mm.

2 – Cálculo das solicitações nos pilares Conforme o item 15.4 da NBR6118:2007, sob a ação das cargas verticais e horizontais, os nós da estrutura de um edifício deslocam-se horizontalmente. Os esforços de segunda ordem decorrentes desses deslocamentos são chamados efeitos globais de 2 ª ordem. Nas barras da estrutura, como um lance de pilar, os respectivos eixos não se mantêm retilíneos, surgindo aí efeitos locais de 2 ª ordem que, em princípio, afetam principalmente os esforços solicitantes ao longo delas. 2.1 - Estruturas de nós fixos e estruturas de nós moveis As estruturas são consideradas, para efeito de cálculo, como de nós fixos, quando os deslocamentos horizontais dos nós são pequenos, e, por decorrência, os efeitos globais de 2 ª ordem são desprezáveis (inferiores a 10% dos respectivos esforços de 1 ª ordem). Nessas estruturas, basta considerar os efeitos locais de 2 ª ordem. As estruturas de nós móveis são aquelas onde os deslocamentos horizontais não são pequenos e, em decorrência, os efeitos globais de 2 ª ordem são importantes (superiores a 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem). Nessas estruturas devem ser considerados tanto os esforços de 2ª ordem globais como os locais.


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2.2 - Contraventamento Por conveniência de análise, é possível identificar, dentro da estrutura, subestruturas que, devido à sua grande rigidez a ações horizontais, resistem à maior parte dos esforços decorrentes dessas ações. Essas subestruturas são chamadas subestruturas de contraventamento. Os elementos que não participam da subestrutura de contraventamento são chamados elementos contraventados. As subestruturas de contraventamento podem ser de nós fixos ou de nós moveis. 2.3 – Imperfeições geométricas Segundo o item 11.3.3.4 da NBR6118:2007, na verificação do estado limite último das estruturas reticuladas, devem ser consideradas as imperfeições geométricas do eixo dos elementos estruturais da estrutura descarregada. Essas imperfeições podem ser divididas em dois grupos: imperfeições globais e imperfeições locais. a) Imperfeições globais Na análise global dessas estruturas, sejam elas contraventadas ou não, deve ser considerado um desaprumo dos elementos verticais conforme mostra a figura abaixo.

Figura - Imperfeições geométricas globais sendo:

θ1min = 1/400 para estruturas de nós fixos; θ1min = 1/300 para estruturas de nós móveis e imperfeições locais; θ1min ≤ 1/200. O desaprumo mínimo ( θ1min) não deve necessariamente ser superposto ao carregamento de vento. Entre os dois, vento e desaprumo, pode ser considerado apenas o mais desfavorável, que pode ser definido através do que provoca o maior momento total na base de construção.


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b) Imperfeições locais No caso de elementos que ligam pilares contraventados a pilares de contraventamento, usualmente vigas e lajes, deve ser considerada a tração decorrente do desaprumo do pilar contraventado (figura a). No caso da verificação de um lance de pilar, deve ser considerado o efeito do desaprumo ou da falta de retilinidade do eixo do pilar (figuras b e c, respectivamente).

a) Elementos de travamento (tracionado ou comprimido)

b) Falta de retilinidade no pilar

c) Desaprumo do pilar

Figura - Imperfeições geométricas locais Admite-se que, nos casos usuais, a consideração apenas da falta de retilinidade ao longo do lance de pilar seja suficiente. c) Momento mínimo O momento total M 1d,mín de primeira ordem, isto é, o momento de primeira ordem acrescido dos efeitos das imperfeições locais, deve respeitar o valor mínimo dado por: M1d,mín = Nd (0,015 + 0,03h) onde: h é a altura total da seção transversal na direção considerada, em metros. Nas estruturas reticuladas usuais admite-se que o efeito das imperfeições locais esteja atendido se for respeitado esse valor de momento total mínimo. No caso de pilares submetidos à flexão oblíqua composta, esse mínimo deve ser respeitado em cada uma das direções principais, separadamente.


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2.4 - Elementos isolados São considerados elementos isolados, os seguintes: a) os elementos estruturais isostáticos; b) os elementos contraventados; c) os elementos das estruturas de contraventamento de nós fixos; d) os elementos das subestruturas de contraventamento de nós moveis desde que, aos esforços nas extremidades, obtidos numa análise de 1 ª ordem, sejam acrescentados os determinados por análise global de 2 ª ordem. 2.5 - Dispensa da consideração dos esforços globais de 2ª ordem Os processos aproximados, apresentados a seguir, podem ser utilizados para verificar a possibilidade de dispensa da consideração dos esforços globais de 2 ª ordem, ou seja, para indicar se a estrutura pode ser classificada como de nós fixos, sem necessidade de cálculo rigoroso. 2.5.1 - Parâmetro de instabilidade Uma estrutura reticulada simétrica pode ser considerada como sendo de nós fixos se seu parâmetro de instabilidade α for menor que o valor α1 conforme a expressão:

α = Htot Nk /(EcsIc ) sendo:

onde:

α1=0,2+ 0,1n

se: n ≤ 3

α1=0,6

se: n ≥ 4

n é o número de andares acima da fundação ou de um nível pouco deslocável do subsolo; Htot é a altura total da estrutura, medida a partir do topo da fundação ou de um nível pouco deslocável do subsolo; Nk é a somatória de todas as cargas verticais atuantes na estrutura (a partir do nível considerado para o cálculo de H tot), com seu valor característico; EcsIc representa a somatória dos valores de rigidez de todos os pilares na direção considerada; o valor do módulo de elasticidade pode ser calculado por E c = 5600 f ck ½, com Ec e f ck dados em MPa; o valor de I c deve ser calculado considerando as seções brutas dos pilares. 2.5.2 - Coeficiente

z

O coeficiente γz de avaliação da importância dos esforços de segunda ordem global é válido para estruturas reticuladas de no mínimo quatro andares. Ele pode ser determinado a partir dos resultados de uma análise linear de primeira ordem. Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul

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O valor de γz para cada combinação de carregamento é dado pela expressão:

1

γ z =

1−

∆M tot ,d M 1,tot ,d

onde: M1,tot,d é o momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas as forças horizontais da combinação considerada, com seus valores de cálculo, em relação à base da estrutura; ∆Mtot,d é a soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura, na combinação considerada, com seus valores de cálculo, pelos deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de aplicação, obtidos da análise de 1 ª ordem; Considera-se que a estrutura é de nós fixos se for obedecida a condição: γz ≤1,1. 2.6 - Análise de estruturas de nós fixos Nas estruturas de nós fixos, o cálculo pode ser realizado considerando cada elemento comprimido isoladamente, como barra vinculada nas extremidades aos demais elementos estruturais que ali concorrem, onde se aplicam os esforços obtidos pela análise da estrutura efetuada segundo a teoria de 1 ª ordem. A análise dos efeitos locais de 2 ª ordem deve ser realizada de acordo com o estabelecido no item 15.8 da NBR6118:2007. O comprimento equivalente le do elemento comprimido (pilar), suposto vinculado em ambas as extremidades, deve ser o menor dos seguintes valores: le

onde:

= l0 + h le

=l

é a distância entre as faces internas dos elementos estruturais, supostos horizontais, que vinculam o pilar; h é a altura da seção transversal do pilar, medida no plano da estrutura em estudo; l é a distância entre os eixos dos elementos estruturais aos quais o pilar está vinculado. l0


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2.7 – Processo simplificado para o cálculo das solicitações nas estruturas usuais de edifícios Para efeitos de projeto, os pilares dos edifícios podem ser classificados em três categorias: pilares intermediários, pilares de extremidade e pilares de canto. Os pilares intermediários estão basicamente submetidos a cargas axiais de compressão. Como as vigas e lajes, que se apoiam nestes pilares, não sofrem interrupção total sobre os mesmos, admitem-se como desprezíveis os momentos fletores transmitidos para os pilares. A situação básica de projeto para os pilares intermediários é, portanto, a de compressão centrada. Os pilares de extremidade, em princípio, estão submetidos a flexão normal composta. A flexão decorre da interrupção sobre o pilar, da viga perpendicular à borda considerada. No caso dos pilares de canto, em virtude da interrupção das vigas situadas nas duas bordas, existe uma situação de projeto de flexão oblíqua composta. Em todos os casos considerados, é importante observar que as situações de projeto levam em conta somente os esforços solicitantes iniciais, que são os esforços de 1 ª ordem decorrentes apenas das cargas atuantes sobre a estrutura. Para o dimensionamento dos pilares, devem ser consideradas as excentricidades mínimas, que são também excentricidades de 1 ª ordem, bem como, no caso de pilares esbeltos, as excentricidades de 2 ª ordem.

Figura – Arranjos estruturais dos pilares de edifícios (P.B.Fusco, Estruturas de Concreto – Solicitações Normais)


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Segundo o item 14.6.7.1 da NBR6118:2007, pode ser utilizado o modelo clássico de viga contínua, simplesmente apoiada nos pilares, para o estudo das cargas verticais. Quando não for realizado o cálculo exato da influência da solidariedade dos pilares com a viga, deve ser considerado, nos apoios extremos, momento fletor igual ao momento de engastamento perfeito multiplicado pelos coeficientes estabelecidos nas seguintes equações: - no tramo superior do pilar: r

sup + r + rsup r vig inf

- no tramo inferior do pilar: r inf + r + rsup r vig inf

onde: r i é o coeficiente de rigidez do elemento i no nó considerado, avaliada conforme indicado na figura abaixo.

Figura - Aproximação em apoios extremos Os coeficientes de rigidez são calculados através das expressões r inf =

2 I inf linf

; r sup =

2 I sup lsup

; r vig = I vig lvig

onde Iinf e I sup são os momentos principais centrais de inércia das seções transversais dos trechos inferior e superior do pilar e I vig é o momento principal central de inércia da seção transversal da viga, considerando a contribuição das lajes.


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3 - Análise de elementos isolados 3.1 - Generalidades As recomendações do item 15.8 da NBR6118:2007, que serão apresentadas a seguir são aplicáveis apenas a elementos isolados de seção constante e armadura constante ao longo de seu eixo, submetidos a flexo-compressão. Os pilares devem ter índice de esbeltez menor ou igual a 200 ( λ ≤ 200). Apenas no caso de postes com força normal menor que 0,10f cdAc, o índice de esbeltez pode ser maior que 200. 3.2 - Dispensa da análise dos efeitos locais de 2ª ordem Os esforços locais de 2ª ordem em elementos isolados podem ser desprezados quando o índice de esbeltez for menor que o valor limite λ1 estabelecido neste item. O índice de esbeltez deve ser calculado pela expressão:

λ = le/i sendo le o comprimento equivalente do pilar e i o raio de giração mínimo da seção transversal. O valor de λ1 depende de diversos fatores, mas os preponderantes são: - a excentricidade relativa de 1ª ordem e1/h; - a vinculação dos extremos da coluna isolada; - a forma do diagrama de momentos de 1ª ordem. O valor de λ1 pode ser calculado pela expressão:

λ 1

=

25 + 12,5e1 / h α b

sendo: 35 ≤ λ 1 ≤ 90 onde o valor de α b para pilares biapoiados, sem cargas transversais, deve ser calculado por: α b = 0,60+ 0,40

M B M A

≥ 0,40

Os momentos MA e MB são os momentos de 1ª ordem nos extremos do pilar. Deve ser adotado para M A o maior valor absoluto ao longo do pilar biapoiado e para M B o sinal positivo, se tracionar a mesma face que MA, e negativo em caso contrário. Se o pilar apresentar momentos menores do que o momento mínimo, estabelecido no item 11.3.3.4.3 da NBR6118:2007, α b deve ser tomado igual a 1.


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3.3 - Determinação dos efeitos locais de 2ª ordem 3.3.1 - Barras submetidas a flexo-compressão O cálculo pode ser feito pelo método exato ou por métodos aproximados. A consideração da fluência deve obrigatoriamente ser realizada em pilares com índice de esbeltez λ > 90 e pode ser efetuada de maneira aproximada acrescentando à excentricidade de 1ª ordem, a excentricidade adicional e cc, calculada conforme o item 15.8.4 da NBR6118:2007. 3.3.2 - Método exato Consiste na análise não-linear de 2 ª ordem efetuada com discretização adequada da barra, consideração da relação momento-curvatura real em cada seção, e consideração da nãolinearidade geométrica de maneira não aproximada. O método exato é obrigatório para λ>140. 

3.3.3 - Métodos aproximados A determinação dos esforços locais de 2 ª ordem pode ser feita por métodos aproximados como o do pilar padrão e o do pilar padrão melhorado. 3.3.3.1 - Método do pilar padrão com curvatura aproximada Pode ser empregado apenas no cálculo de pilares com λ≤90, seção constante e armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo. A não-linearidade geométrica é considerada de forma aproximada, supondo-se que a deformação da barra seja senoidal. A não-linearidade física é considerada através de uma expressão aproximada da curvatura na seção crítica. O momento total máximo no pilar deve ser calculado pela expressão: M d , tot

= α b M1d,A + N d

2

1 ≥ M1d,A 10 r le

onde, 1/r a curvatura na seção crítica, que pode ser avaliada pela expressão aproximada:

1

0,005 0,005 ≤ r h(ν + 0,5) h

=

sendo: e

ν = NSd / (Acf cd) M1d,A ≥ M1d,min

onde, h é a altura da seção na direção considerada. O momento M1d,A e o coeficiente α b têm as mesmas definições do item 3.2, sendo M1d,A o valor de cálculo de 1ª ordem do momento M A.


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3.3.3.2 - Método do pilar padrão com rigidez

aproximada

Pode ser empregado apenas no cálculo de pilares com λ≤90, seção retangular constante, armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo. O momento total máximo no pilar deve ser calculado pela expressão: α b

M d ,tot =

1−

M1d,A λ 2

120 κ /ν

⎧M1d,A ⎫ ≥⎨ ⎬ M ⎩ 1d,min ⎭

sendo o valor da rigidez adimensional κdado, aproximadamente, pela expressão: 

κ = 32

M ⎛ ⎞ ⎜⎜1 + 5 d, tot ⎟⎟ ν h.N d ⎠ ⎝

As variáveis h, ν, M1d,A e α b são as mesmas definidas no item anterior. Usualmente duas ou três iterações são suficientes quando se optar por um cálculo iterativo.

3.3.3.3 - Método do pilar padrão acoplado a diagramas M, N, 1/r A determinação dos esforços locais de 2 ª ordem em pilares com λ≤140 pode ser feita pelo método do pilar padrão ou pilar padrão melhorado, utilizando-se para a curvatura da seção crítica valores obtidos de diagramas M, N, 1/r específicos para o caso.

3.3.3.4 - Método do pilar padrão para pilares da seção retangular, submetidos à flexão composta oblíqua Quando a esbeltez de um pilar de seção retangular submetido à flexão composta oblíqua for menor que 90 ( λ<90) nas duas direções principais, pode ser aplicado o processo aproximado descrito no item 3.3.3.2 simultaneamente em cada uma das duas direções. A amplificação dos momentos de 1ª ordem em cada direção é diferente, pois depende de valores distintos de rigidez e esbeltez. Uma vez obtida a distribuição de momentos totais, de primeira e segunda ordem, em cada direção, deve ser verificada, para cada seção ao longo do eixo, se a composição desses momentos solicitantes fica dentro da envoltória de momentos resistentes para a armadura escolhida. Essa verificação pode ser realizada em apenas três seções: nas extremidades A e B e num ponto intermediário onde se admite atuar concomitantemente os momentos M d,tot nas duas direções (x e y).


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3.3.3.5 – Resumo das exigências da NBR6118:2007 para verificação de pilares esbeltos As exigências feitas pela NBR6118:2007, para a verificação da segurança de pilares esbeltos, estão resumidas no quadro abaixo. PROCESSO DE CÁLCULO

1

Consideração das deformações

Exato

Aproximado (diagramas M, N, 1/r)

Simplificado

dispensável

-

-

permitido

90 dispensável 140 200

Consideração da fluência

dispensável

permitido

obrigatória

obrigatório

não permitido

não permitido

obrigatória

NÃO É PERMITIDO EMPREGAR λ > 200

4 – Dimensionamento das seções à flexão composta oblíqua Conforme o item 17.2.5.2 da NBR6118:2007, nas situações de flexão simples ou composta oblíqua pode ser adotada a aproximação dada pela expressão de interação: α

α

⎡ MRd,x ⎤ ⎡ MRd,y ⎤ ⎥ =1 ⎢ ⎥ +⎢ ⎢⎣ MRd,xx ⎥⎦ ⎢⎣ MRd,yy ⎥⎦

onde: MRd,x; MRd,y são as componentes do momento resistente de cálculo em flexão oblíqua composta, segundo os dois eixos principais de inércia x e y, da seção bruta, com um esforço normal resistente de cálculo N Rd igual à normal solicitante N Sd. Estes são os valores que se deseja obter; MRd,xx; MRd,yy são os momentos resistentes de cálculo segundo cada um dos referidos eixos em flexão composta normal, com o mesmo valor de N Rd. Estes valores são calculados a partir do arranjo e da quantidade de armadura em estudo;

αé um expoente cujo valor depende de vários fatores, entre eles o valor da força normal, a forma da seção, o arranjo da armadura e de suas porcentagens. Em geral pode ser adotado α=1, a favor da segurança. No caso de seções retangulares pode se adotar α=1,2. 


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5 – Recomendações relativas ao detalhamento dos pilares 5.1 - Proteção contra flambagem das barras De acordo com o item 18.2.4 da NBR6118:2007, sempre que houver possibilidade de flambagem das barras da armadura, situadas junto à superfície do elemento estrutural, devem ser tomadas precauções para evitá-la. Os estribos poligonais garantem contra a flambagem as barras longitudinais situadas em seus cantos e as por eles abrangidas, situadas no máximo à distância de 20 φt do canto, se nesse trecho de comprimento 20 φt não houver mais de duas barras, não contando a de canto. Quando houver mais de duas barras nesse trecho ou barra fora dele, deve haver estribos suplementares. Se o estribo suplementar for constituído por uma barra reta, terminada em ganchos, ele deve atravessar a seção do elemento estrutural e os seus ganchos devem envolver a barra longitudinal. Se houver mais de uma barra longitudinal a ser protegida junto à mesma extremidade do estribo suplementar, seu gancho deve envolver um estribo principal em ponto junto a uma das barras, o que deve ser indicado no projeto de modo bem destacado (ver figura abaixo).

Figura - Proteção contra flambagem das barras No caso de estribos curvilíneos cuja concavidade esteja voltada para o interior do concreto, não há necessidade de estribos suplementares. Se as seções das barras longitudinais se situarem em uma curva de concavidade voltada para fora do concreto, cada barra longitudinal deve ser ancorada pelo gancho de um estribo reto ou pelo canto de um estribo poligonal. 5.2 – Disposições gerais relativas às armaduras dos pilares 5.2.1 - Introdução As exigências, que seguem (item 18.4 da NBR6118:2007), referem-se a pilares cuja maior dimensão da seção transversal não exceda cinco vezes a menor dimensão, e não são válidas para as regiões especiais. Quando a primeira condição não for satisfeita, o pilar deve ser tratado como pilar parede, aplicando-se o disposto no item 18.5 da NBR6118:2007.


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5.2.2 - Armaduras longitudinais 5.2.2.1 - Diâmetro mínimo e taxa de armadura O diâmetro das barras longitudinais não deve ser inferior a 10 mm e nem superior 1/8 da menor dimensão transversal. A taxa geométrica de armadura deve respeitar os valores máximos e mínimos especificados no item 17.3.5.3 da NBR6118:2007. Conforme este item, a taxa de armadura deve ter o valor mínimo, expresso a seguir:

ρ min =

A s ,mín f = 0 ,15 cd ν ≥ 0 ,40 % Ac f yd

sendo:

ν = Nd/(Acf cd) onde ν é o valor da força normal em termos adimensionais. A tabela abaixo fornece valores para ρmin, com o uso de aço CA-50 e considerando γc = 1,4 e γs = 1,15. Tabela - Taxas mínimas de armadura de pilares Valores de % 25 30

Valores de f ck 20 Valores de 0,1 0,400 0,400 0,2 0,400 0,400 0,3 0,400 0,400 0,4 0,400 0,400 0,5 0,400 0,400 0,6 0,400 0,400 0,7 0,400 0,431 0,8 0,400 0,493 *Para aço CA-50, γc = 1,4 e γs = 1,15.

min*

0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,444 0,518 0,591

35

40

45

50

0,400 0,400 0,400 0,400 0,431 0,518 0,604 0,690

0,400 0,400 0,400 0,400 0,493 0,591 0,690 0,789

0,400 0,400 0,400 0,444 0,554 0,665 0,776 0,887

0,400 0,400 0,400 0,493 0,616 0,739 0,863 0,986

A maior armadura possível em pilares deve ser 8% da seção real, considerando-se inclusive a sobreposição de armadura existente em regiões de emenda. As, máx = 8,0% Ac


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5.2.2.2 - Distribuição transversal As armaduras longitudinais devem ser dispostas na seção transversal de forma a garantir a adequada resistência do elemento estrutural. Em seções poligonais, deve existir pelo menos uma barra em cada vértice; em seções circulares, no mínimo seis barras distribuídas ao longo do perímetro. O espaçamento livre entre as armaduras, medido no plano da seção transversal, fora da região de emendas, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores:   

20 mm; o diâmetro da barra ou o diâmetro do feixe ou da luva; 1,2 vezes a dimensão máxima do agregado graúdo.

Quando estiver previsto no plano de concretagem o adensamento através de abertura lateral na face da forma, o espaçamento das armaduras deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador. O espaçamento máximo entre eixos das barras, ou de centros de feixes de barras, deve ser menor ou igual a duas vezes a menor dimensão no trecho considerado, sem exceder 400 mm. 5.2.2.3 – Comprimento de espera Conforme o item 9.5.2.3 da NBR6118:2007, o comprimento de espera das barras da armadura longitudinal dos pilares deve ser calculado por l 0c

= lb

A s,calc A s,ef

≥ l0c,min

sendo l0c, min o maior valor entre 0,6 l b , 15 φ e 200mm. O valor l b é o comprimento de ancoragem básico. Este comprimento é definido como o comprimento reto de uma barra de armadura necessário para ancorar a força limite A sf yd nessa barra, admitindo, ao longo desse comprimento, resistência de aderência uniforme e igual a f bd. O comprimento de ancoragem básico é dado por: lb

=

φ f yd

4 f bd

A resistência de aderência deve ser calculada pela expressão 2/3

f bd = 0,3375 f ck

[MPa]

Para o aço CA-50, o comprimento de ancoragem básico pode ser obtido, em função do valor característico da resistência à compressão do concreto, da tabela abaixo. f ck [MPa] l b

15 53φ

20 44φ

25 38φ

30 34φ

35 30φ


40 28φ

45 26φ

50 24φ

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5.2.3 - Armaduras transversais A armadura transversal de pilares, constituída por estribos e, quando for o caso, por grampos suplementares, deve ser colocada em toda a altura do pilar, sendo obrigatória sua colocação na região de cruzamento com vigas e lajes. O diâmetro dos estribos em pilares não deve ser inferior a 5 mm nem a 1/4 do diâmetro da barra isolada ou do diâmetro equivalente do feixe que constitui a armadura longitudinal. O espaçamento longitudinal entre estribos, medido na direção do eixo do pilar, para garantir o posicionamento, impedir a flambagem das barras longitudinais e garantir a costura das emendas de barras longitudinais nos pilares usuais, deve ser igual ou inferior ao menor dos seguintes valores:   

200 mm; menor dimensão da seção; 24φ para CA-25, 12φ para CA-50.

Pode ser adotado o valor φt<φ/4 desde que as armaduras sejam constituídas do mesmo tipo de aço e o espaçamento respeite também a limitação:

90GPa ⎛ φ t 2 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ smáx = f yk ⎝ φ ⎠ 5.2.4 – Detalhamento dos pilares A figura abaixo ilustra a forma que deve ser apresentado o detalhamento de um trecho de pilar, compreendido entre dois pavimentos consecutivos. 0 8

3o. ANDAR

75

25

20 38 estr. φ 6,3 s=20

70

l=39

6 1

0 5 4 = l

φ

8 1

20 19 estr. φ 6,3 s=20 l=199 2o. ANDAR

Figura – Detalhamento de um pilar Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul

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l0c

l0c

> h/2

h

l0c

h

l0c + h/2

Figura – Continuidade das armaduras junto a lajes de piso Para realizar as emendas por traspasse junto a lajes de piso, basta, em geral, dobrar ligeiramente a parte superior das barras de canto inferiores, a fim de absorver os momentos. Nos locais de dobra, o esforço devido à mudança de direção das barras, agindo de dentro para fora, deve ser absorvido por estribos. Quando os pilares diminuírem de seção, recomendam-se os detalhes das figuras acima. É prática de projeto, nos pilares contraventados dos edifícios, interromper junto à face superior da laje as barras da armadura longitudinal que não terão prolongamento no tramo superior do pilar. Entretanto, no caso de pilares de contraventamento e de pilares pertencentes a estruturas de contraventamento, a ancoragem adequada destas barras de armadura é obrigatória. Conforme o item 9.4.2.5 da NBR6118:2007, o comprimento de ancoragem necessário pode ser calculado por: l b ,nec

= lb

A s ,calc A s ,ef

≥ lb ,min

sendo l b, min o maior valor entre 0,3 l b , 10 φ e 100 mm.


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6 - Exemplos seção retangular: h x = 30 cm; h y = 40 cm C25  f ck = 2,5 kN/cm2  f cd = 1,786 kN/cm 2 CA50  f yk = 50 kN/cm2  f yd = 43,48 kN/cm2 d' = c + φt + φ/2 = 2,5 cm + 0,5 cm + 1,25 cm = 4,25 cm ≈ 5 cm φ ≥ 10 mm φ ≤ 1/8 hx = 30/8 = 3,75 cm (h x é a menor dimensão da seção) Exemplo 1: N = 1500 kN Mx = 0  e1x = Mx/N = 0 My = 0  e1y = My/N = 0 ℓ e = 2,6 m

λ = le i

b h3 I h h i= = 12 = = A b h 12 3,46

260 ⎧ le = = = 30,0 3 , 46 3 , 46 λ ⎪ x 30 h le ⎪ x λ = 3,46 ⎨ h ⎪λ = 3,46 l e = 3,46 260 = 22,5 y 40 hy ⎪⎩ e1,mín = 1,5 cm + 0,03 h e1x, mín = 1,5 cm + 0,03 h x = 1,5 + 0,03 × 30 = 2,4 cm > e1x ⎫ ⎬ α b =1 e1y,mín = 1,5 cm + 0,03 h y = 1,5 + 0,03 × 40 = 2,7 cm > e1y ⎭ 25 + 12,5e1 / h ⎫ = 25⎪ α b ⎬ λ1 = 35 ⎪ 35 ≤ λ1 ≤ 90 ⎭

λ1 =

λ x < λ1 → e 2 x = 0⎫ ⎬ pilar curto λ y < λ1 → e 2 y = 0⎭ - primeira situação de cálculo: ⎧ N =1500 kN ⎨ = N e1x ,mín = 1500 × 2,4 = 36 kN.m ⎩M x b = 40 cm; h = 30 cm; d = 25 cm; d ' = 5 cm As1 = As 2 = 8,21cm2 - segunda situação de cálculo: ⎧ N = 1500 kN ⎨ = N e1y,mín =1500 × 2,7 = 40,5 kN.m ⎩M x b = 30 cm; h = 40 cm; d = 35 cm; d' = 5 cm As1 = As 2 = 7,18 cm2 Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul

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- detalhamento (primeira alternativa): adotando-se para a armadura longitudinal 4φ25 (19,64 cm2) e estribos de 5 mm, têm-se ⎧20 cm ⎪ = 30 cm ⎪h x ⎪ st ≤ ⎨12 φl = 12 × 2,5 = 30 cm ⎪ 2 2 ⎪como φt = 5 mm < φl / 4 = 6,25 mm → 90GPa φt = 90 0,5 = 18 cm ⎪⎩ f yk φl 0,5 2,5 resultando estribos φ5 c / 18 cm. * espaçamento das barras: ⎧2 cm ⎪ e ≥ ⎨1 φl = 2,5 cm ⎪1,2 ⎩ d máx = 1,2 ×1,9 = 2,3 cm e = 30 − 2 × 2,5 − 2 × 0,5 − 2 × 2,5 = 19 cm > 2,5 cm OK . ⎧40 cm s≤⎨ ⎩2 h x = 60 cm s = 40 − 2 × 2,5 − 2 × 0,5 − 2,5 = 31,5 cm < 40 cm OK . * taxa de armadura longitudinal: 19,64 ρ = As = = 1,64 % Ac 30 × 40 ρmín = 0,15 f cd ν ≥ 0,40 % f yd 1,4 ×1500 ν = Nd = = 0,980 Ac f cd 30 × 40 ×1,786 1,786 0,980 = 0,604% OK . ρmín = 0,15 43,48 ρmáx = 8% (÷2) OK . * comprimento de espera: ⎧0,6 l b ⎪ A s ,cal ≥ ⎨15 φl l0 c = l b As,ef ⎪ ⎩20 cm ⎛ 8,21 7,18 ⎞ , ⎟ = 38 × 2,5 × 0,836 = 80 cm l0 c = 38 φ x máx⎜ ⎝ 9,82 9,82 ⎠


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- detalhamento (segunda alternativa): adotando-se para a armadura longitudinal 4φ20 + 4φ16 (20,61cm2) e estribos de 5 mm, têm-se

⎧20 cm ⎪ = 30 cm ⎪h x st ≤ ⎨12 φ ⎪ l,mín = 12 ×1,6 = 19 cm ⎪como φt = 5 mm = φl,máx / 4 = 5 mm OK . ⎩ resultando estribos φ5 c / 19 cm. * espaçamento das barras: ⎧2 cm ⎪ e ≥ ⎨1 φl,máx = 2 cm ⎪1,2 ⎩ dmáx = 1,2 ×1,9 = 2,3 cm 30 − 2 × 2,5 − 2 × 0,5 − 2 × 2 − 1,6 = 9,2 cm > 2,3 cm OK . e= 2 ⎧40 cm s≤⎨ ⎩2 h x = 60 cm 40 − 2 × 2,5 − 2 × 0,5 − 2 s= = 16 cm < 40 cm OK . 2 * taxa de armadura longitudinal: 20,61 ρ = As = = 1,72 % Ac 30 × 40 ρmín = 0,15 f cd ν ≥ 0,40 % f yd 1,4 ×1500 ν = Nd = = 0,980 Ac f cd 30 × 40 ×1,786 1,786 0,980 = 0,604% OK . ρmín = 0,15 43,48 ρmáx = 8% (÷2) OK . * comprimento de espera: ⎧0,6 l b A s, cal ≥ ⎪15 l 0c = l b ⎨ φl, máx As,ef ⎪ ⎩20 cm ⎛ 8,21 7,18 ⎞ , ⎟ = 38 × 2 × 0,989 = 75 cm l 0c = 38 φ × máx⎜ 8 , 3 8 , 3 ⎝ ⎠ * proteção contra flambagem: 30 − 2 × 2,5 − 2 × 0,5 − 2 =11cm > 20 φ t = 20 × 0,5 =10 cm ⎫⎪ sx = ⎪ 2 ⎬ estribos sup lementares nas duas direções 40 − 2 × 2,5 − 2 × 0,5 − 2 =16 cm > 20 φ t = 20 × 0,5 =10 cm⎪⎪ sy = 2 ⎭


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Exemplo 2: N = 1200 kN Mx = ± 56 kN.m → e1Ax = − e1Bx =

5600 = 4,67 cm 1200

My = 0  e1y = My/N = 0 ℓ e

= 2,6 m

260 ⎧ le = = = 30,0 3 , 46 3 , 46 λ x ⎪ 30 ⎪ hx λ = 3,46 l e ⎨ h ⎪λ = 3,46 l e = 3,46 260 = 22,5 y 40 hy ⎪⎩ - direção x: e1x,mín = 1,5 cm + 0,03 h x = 1,5 + 0,03 × 30 = 2,4 cm < e1x = 4,67 cm B (−4,67) e 1x → α bx = 0,60 + 0,40 A ≥ 0,40 → α bx = 0,60 + 0,40 = 0,20 < 0,40 → α bx = 0,40 4,67 e1x 25 + 12,5 e1x 25 + 12,5 4,67 hx = 30 = 67,4 (35 ≤ λ ≤ 90) λ1x = 1x 0,40 α bx λ x = 30 < λ1x = 67,4 → e2 x = 0 - direção y: e1y,mín = 1,5 cm + 0,03 h y = 1,5 + 0,03 × 40 = 2,7 cm > e1y = 0 → α by = 1 e 25 + 12,5 1y 25 + 12,5 0 hy 40 = 25 → como 35 ≤ λ ≤ 90 → λ = 35 = λ1y = 1y 1y 1 α by λ y = 22,5 < λ1y = 35 → e2 y = 0 - primeira situação de cálculo: ⎧ N =1200 kN ⎪ ⎨e x = e1x = 4,67 cm > e1x , mín = 2,4 cm ⎪ =0 ⎩e y - segunda situação de cálculo: ⎧ N =1200 kN ⎪ ⎨e x = e1x = 4,67 cm ⎪e = e ⎩ y 1y, mín = 2,7 cm A primeira situação de cálculo é mais favorável do que a segunda e não precisa ser verificada.


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- situação de dimensionamento de flexo-compressão oblíqua: ⎧ N =1200 kN ⎪ = 1200 × 4,67 = 56,04 kN.m ⎨Mx ⎪M y = 1200 × 2,7 = 32,40 kN.m ⎩ h x = 30 cm; h y = 40 cm; d' = 5 cm - dimensionamento indireto, através do processo simplificado do item 17.2.5.2 da NBR-6118 (2007): 1, 2 1, 2 ⎞ M ⎛ M x ⎞ ⎛ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜ y ⎟ ≤ 1 ⎝ M xx ⎠ ⎜⎝ M yy ⎠⎟ 1, 2 1, 2 ⎛ 56,04 ⎞ ⎛ 32,40 ⎞ 4φ22 → ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ = 1,23 × ⎝ 60,18 ⎠ ⎝ 84,48 ⎠ 1, 2

1, 2

⎛ 56,04 ⎞ ⎛ 32,40 ⎞ 4φ25 → ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ = 0,99 OK . 71 , 92 102 , 01 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ solução adotada: 4 φ25 - dimensionamento direto à flexo-compressão oblíqua: * armadura igual nos quatro cantos: A s,total = 17,92 cm2 (solução adotada: 4 φ25) * armadura igual nas quatro faces: A s,total = 20,62 cm2 Exemplo 3: N = 1000 kN 4000 = 4 cm 1000 6000 = 6 cm My = ± 60 kN.m → e1Ay = − e1By = 1000 Mx = ± 40 kN.m → e1Ax = − e1Bx =

ℓ e

= 2,6 m

260 ⎧ le = = = 30,0 3 , 46 3 , 46 λ ⎪ x 30 h le ⎪ x λ = 3,46 ⎨ h ⎪λ = 3,46 l e = 3,46 260 = 22,5 y 40 ⎪⎩ hy - direção x: e1x, mín = 1,5 cm + 0,03 h x = 1,5 + 0,03 × 30 = 2,4 cm < e1x = 4 cm B (−4) e 1x → α bx = 0,60 + 0,40 A ≥ 0,40 → α bx = 0,60 + 0,40 = 0,20 < 0,40 → α bx = 0,40 4 e1x 25 + 12,5 e1x 25 + 12,5 4 hx = 30 = 66,7 (35 ≤ λ ≤ 90) λ1x = 1x 0,40 α bx λ x = 30 < λ1x = 66,7 → e 2 x = 0 Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul

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- direção y: e1y,mín = 1,5 cm + 0,03 h y = 1,5 + 0,03 × 40 = 2,7 cm < e1y = 6 cm (−6) e1By → α by = 0,60 + 0,40 A ≥ 0,40 → α by = 0,60 + 0,40 = 0,20 < 0,40 → α by = 0,40 6 e1y e 25 + 12,5 1y 25 + 12,5 6 hy 40 = 67,2 (35 ≤ λ ≤ 90) = λ1y = 1y 0,40 α by λ y = 22,5 < λ1y = 67,2 → e 2 y = 0 - como e1x > e1x,mín e e1y > e1y,mín, a situação de projeto é a única situação de cálculo. ⎧ N = 1000 kN ⎪ = ⎨Mx 1000 × 4 = 40 kN.m ⎪My = 1000 × 6 = 60 kN.m ⎩ h x = 30 cm; h y = 40 cm; d' = 5 cm - dimensionamento indireto, através do processo simplificado do item 17.2.5.2 da NBR-6118 (2007): 1, 2 1, 2 ⎛ ⎞ ⎛ M x ⎞ ⎜ M y ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ + ≤1 ⎜ ⎟ ⎝ M xx ⎠ ⎝ M yy ⎠ 1, 2 1, 2 ⎛ 40 ⎞ ⎛ 60 ⎞ 4φ22 → ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ = 1,00 OK . ⎝ 73,32 ⎠ ⎝ 103,70 ⎠ solução adotada: 4 φ22 (4 x 3,801 = 15,20 cm 2) - dimensionamento direto à flexo-compressão oblíqua: * armadura igual nos quatro cantos: A s,total = 13,40 cm2 (solução adotada: 4 φ22) * armadura igual nas quatro faces: A s,total = 15,97 cm2 - armadura transversal: adotando-se para a armadura longitudinal 4φ22 (15,20 cm2) e estribos de 5 mm, têm-se ⎧20 cm ⎪ = 30 cm ⎪h x ⎪ s t ≤ ⎨12 φl =12 x 2,2 = 26,4 cm ⎪ 2 2 ⎪como φt = 5 mm < φl / 4 = 5,5 mm → 90GPa φt = 90 0,5 = 20,5 cm ⎪⎩ f yk φl 0,5 2,2 resultando estribos φ5 c / 20 cm.


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Exemplo 4: N = 1400 kN Mx = 0  e1x = Mx/N = 0 My = 0  e1y = My/N = 0 ℓ e = 4 m

⎧ = 3,46 le = 3,46 400 = 46,1 ⎪λx 30 le ⎪ hx λ = 3,46 ⎨ h ⎪λ = 3,46 le = 3,46 400 = 34,6 y 40 ⎪⎩ hy e1,mín = 1,5 cm + 0,03 h e1x, mín = 1,5 cm + 0,03 h x = 1,5 + 0,03 × 30 = 2,4 cm > e1x ⎫ ⎬ α b =1 e1y,mín = 1,5 cm + 0,03 h y = 1,5 + 0,03 × 40 = 2,7 cm > e1y ⎭ 25 + 12,5e1 / h ⎫ = 25⎪ α b ⎬ λ1 = 35 ⎪ 35 ≤ λ1 ≤ 90 ⎭

λ1 =

λ x > λ1 → e2 x ≠ 0⎫ ⎬ pilar esbelto < λ → = 0 λ y 1 e2 y ⎭ - determinação dos efeitos locais de segunda ordem para λ ≤ 90: ⎧com curvatura aproximada método do pilar padrão ⎨ ⎩com rigidez aproximada (a) curvatura aproximada: ⎧e x = α bx e1x + e 2 x ≥ e1x ⎪ ≥ ⎪e1x e1x , mín 2 ⎪ 0,005 le , com (ν + 0,5)≥1 ⎨e 2 x = ( ) 10 0 , 5 ν + h x ⎪ ⎪ ⎪ν = N d ⎩ A c f cd e1x = e1x , mín = 2,4 cm 1,4 ×1400 ν= = 0,91 30 × 40 × 2,5 / 1,4 2 0,005 400 =1,89 cm e2 x = 10 (0,91 + 0,5) 30 ⎧{α bx e1x + e 2 x = 2,4 + 1,89 = 4,29 cm ex ≥ ⎨ ⎩ e1x = 2,4 cm ×


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(b) rigidez aproximada:

⎧ = α bx e1x ≥ e 1x 2 ⎪e x λ x ⎪⎪ 1 − 120 κ / ν ⎨ ⎪κ ⎛ ⎞ ⎪ = 32 ⎜⎜1 + 5 e x ⎟⎟ ⎪⎩ ν ⎝ h x ⎠ - procedimento iterativo: arbitra-se, inicialmente, que e x = e1x = 2,4 cm - primeira iteração: κ 2,4 ⎞ 2,4 = 32 ⎛ = 3,97 cm ⎜1+ 5 ⎟ = 44,80 ; e x = 2 ν 30 46,1 ⎝ ⎠ 1− 120 × 44,80 - segunda iteração: κ 3,97 ⎞ 2,4 = 32 ⎛ = 3,60 cm ⎜1 + 5 ⎟ = 53,17 ; e x = 2 ν 30 46,1 ⎝ ⎠ 1− 120 × 53,17 - terceira iteração: κ 3,60 ⎞ 2,4 = 32 ⎛ = 3,67 cm ⎜1 + 5 ⎟ = 51,20 ; e x = ν 30 ⎠ 46,12 ⎝ 1− 120 × 51,20 - quarta iteração: 3,67 ⎞ 2,4 κ = 32 ⎛ = 3,66 cm ⎜1 + 5 ⎟ = 51,57 ; e x = ν 30 ⎠ 46,12 ⎝ 1− 120 × 51,57 - solução direta: 2 ⎧ λ α bx e1x − 0,1 x ⎪Φ = 38400 + 2 hx ⎪ ⎨ ⎪ e x = Φ + Φ 2 + 0,2 α e1x bx ⎪⎩ h x hx 46,12 1 2,4 Φ= + − 0,1= − 0,0046560 38400 2 30 e x = (− 0,0046560 ) + (− 0,0046560)2 + 0,2 ×1× 2,4 / 30 = 0,12192 hx e x = 0,12192 × 30 = 3,66 cm - situação de cálculo: ⎧e x = e1x + e 2 x = 3,66 cm ⎨ = ⎩e y e1y, mín = 2,7 cm


27

⎧ N =1400 kN ⎪ ⎨Mx = 1400 × 3,66 = 51,24 kN.m ⎪M y = 1400 × 2,7 = 37,80 kN.m ⎩ h x = 30 cm; h y = 40 cm; d' = 5 cm - dimensionamento direto à flexo-compressão oblíqua: * armadura igual nos quatro cantos: A s,total = 22,67 cm2 * armadura igual nas quatro faces: A s,total = 25,22 cm2 (adotado: 8 φ20  8x3,142=25,14 cm2) - detalhamento: adotando-se para a armadura transversal estribos de 5 mm, têm-se ⎧20 cm ⎪ = 30 cm ⎪h x s t ≤ ⎨12 =12 x 2 = 24 cm ⎪ φl ⎪⎩como φt = 5 mm = φl / 4 = 5 mm OK . resultando estribos φ5 c / 20 cm. * espaçamento das barras: ⎧2 cm ⎪ e ≥ ⎨1φl, máx = 2 cm ⎪1,2 ⎩ d máx =1,2 ×1,9 = 2,3 cm 30 − 2 × 2,5 − 2 × 0,5 − 3× 2 = 9 cm > 2,3 cm OK . e= 2 * proteção contra flambagem: 30 − 2 × 2,5 − 2 × 0,5 − 2 =11cm > 20 φt = 20 × 0,5 =10 cm ⎫⎪ sx = ⎪ 2 ⎬ estribos sup lementares nas duas direções 40 − 2 × 2,5 − 2 × 0,5 − 2 =16 cm > 20 φt = 20 × 0,5 =10 cm⎪⎪ sy = 2 ⎭


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Exemplo 5: N = 366,9 kN 3669 A M Ax = 36,69 kN.m → e1x = 366,9 =10 cm 917 B M Bx = −9,17 kN.m → e1x = − 366,9 = − 2,5 cm 9173 A = 25 cm M Ay = 91,73 kN.m → e1y = 366,9 1101 B = − 3 cm M By = −11,01kN.m → e1x = − 366,9 ℓ e

= 7,5 m

⎧ = 3,46 le = 3,46 750 = 86,5 λx ⎪ 30 ⎪ hx λ = 3,46 le ⎨ h ⎪λ = 3,46 le = 3,46 750 = 64,9 y 40 ⎪⎩ hy - direção x: A = 10 cm e1x, mín = 1,5 cm + 0,03 h x = 1,5 + 0,03 × 30 = 2,4 cm < e1x B (−2,5) e 1x → α bx = 0,60 + 0,40 A ≥ 0,40 → α bx = 0,60 + 0,40 = 0,50 > 0,40 → α bx = 0,50 10 e1x A e 10 1x 25 +12,5 25 +12,5 hx = 30 = 58,3 (35 ≤ λ ≤ 90) λ1x = 1x 0,50 α bx λ x = 86,5 > λ1x = 58,3 → e 2 x ≠ 0 ( pilar esbelto)

- rigidez aproximada:

⎧ = α bx e1x ≥ e 1x 2 ⎪e x λ x ⎪⎪ 1 − 120 κ / ν ⎨ ⎪κ ⎛ ⎞ ⎪ = 32 ⎜⎜1 + 5 e x ⎟⎟ ⎪⎩ ν ⎝ h x ⎠ - solução direta: 2 ⎧ λ α bx e1x − 0,1 x ⎪Φ = 38400 + 2 hx ⎪ ⎨ ⎪ e x = Φ + Φ 2 + 0,2 α e1x bx ⎪⎩ h x hx


29

86,52 0,5 10 Φ= + − 0,1 = 0,17818 38400 2 30 e x = (0,17818) + (0,17818)2 + 0,2 × 0,5 ×10 / 30 = 0,43329 hx ⎧e x = 0,43329 × 30 =13 cm (seção int ermediária) ⎨ ⎩e1x =10 cm (seção de extremidad e) - direção y: A = 25 cm e1y,mín = 1,5 cm + 0,03 h y = 1,5 + 0,03 × 40 = 2,7 cm < e1y (−3) e1By → α by = 0,60 + 0,40 A ≥ 0,40 → α by = 0,60 + 0,40 = 0,55 > 0,40 → α by = 0,55 25 e1y e1Ay 25 25 + 12,5 25 + 12,5 hy 40 = 59,7 (35 ≤ λ ≤ 90) = λ1y = 1y 0,55 α by λ y = 64,9 > λ1y = 59,7 → e 2 y ≠ 0 ( pilar esbelto ) - rigidez aproximada:

⎧ α by e1y = ≥ e1y e y ⎪ 2 λ y ⎪ 1− ⎪ 120 κ / ν ⎨ ⎪κ ⎛ ⎞ ⎪ = 32 ⎜1 + 5 e y ⎟ ⎜ ⎟ ⎪⎩ ν ⎝ h y ⎠ - solução direta: 2 ⎧ λ y α by e1 y − 0 ,1 ⎪Φ = 38400 + 2 h y ⎪ ⎨ ⎪ e y =Φ + Φ 2 + 0 ,2 α e1 y by ⎪ h y h y ⎩ 64,92 0,55 25 Φ= + − 0,1 = 0,18156 38400 2 40 ey = (0,18156) + (0,18156)2 + 0,2 × 0,55 × 25 / 40 = 0,50049 hy ⎧ey = 0,50049 × 40 = 20,02 cm (seção int ermediária) ⎨ ⎩e1y = 25 cm (seção de extremidad e)


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

duas situações de projeto:

- seção intermediária: ⎧ N = 366,9 kN ⎪ ⎨Mx = 366,9 ×13 = 47,70 kN.m ⎪My = 366,9 × 20,02 = 73,45 kN.m ⎩ 2 As,total =14,61cm (armadura igual nos quatro cantos )

-seção de extremidade: ⎧ N = 366,9 kN ⎪ ⎨Mx = 366,9 ×10 = 36,69 kN.m ⎪My = 366,9 × 25 = 91,73 kN.m ⎩ 2 As,total =15,44 cm (armadura igual nos quatro cantos )

solução: 4 φ25 (19,64 cm2)


31

pilares

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