Pewarnaan Peta Kota Seoul dengan Menggunakan Algoritma Greedy dan Algoritma Welch-Powell UNTUK MEMENUHI TUGAS MATAKULIAH Teori Graph Yang dibina oleh Ibu Sapti Wahyuningsih
oleh : Inti Rakhmawati NIM 150312602231 150312602231
UNIVERSITAS NEGERI MALANG FAKULTAS MATEATIKA DAN IMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA APRIL 2017
PETA KOTA SEOUL
Permasalahan :
Dalam kartografi, suatu peta dianggap baik dan benar jika mudah dimengerti oleh pembacanya yaitu jika dilengkapi dengan legenda, skala peta, judul peta, tata warna, simbol, dan proyeksi peta (Sandy, 1986). Salah satu manfaat tata warna peta yaitu memudahkan seseorang dalam mengenali beberapa negara yang berbatasan langsung. Dalam peta Kota Seoul tergambar wilayah-wilayah yang dimiliki antar distrik dan untuk membedakan wilayah antar distrik tersebut, digunakan beberapa warna yang berbeda-beda. Jumlah warna yang berlebihan menyebabkan peta menjadi tidak efisien. Untuk itu diperlukan sebuah metode untuk melakukan pewarnaan peta menggunakan jumlah warna minimal. Dalam hal ini permasalahan yang muncul adalah Bagaimana mewarnai 25 distrik di Seoul, Korea Selatan dengan banyak warna minimum sedemikian hingga distrik-distrik yang berbatasan langsung memiliki warna berbeda? “
”
Penyelesaian Permasalahan:
Untuk menyelesaikan masalah tersebut kita dapat menggunakan Teori Pewarnaan Suatu Graph. Pewarnaan graph adalah suatu proses pemberian label atau warna pada sisi atau titik dari sebuah graph. Ada tiga macam pewarnaan graph, yaitu pewarnaan titik, pewarnaan sisi, dan pewarnaan wilayah(region). Dalam kasus ini, kita dapat menggunakan teori pewarnaan titik. Untuk menyelesaikan masalah ini, kita dapat menggunakan Algoritma Greedy dan Algoritma Welch-Powell. Pemodelan Graph dari peta Kota Seoul
Kota Seoul memiliki 25 distrik. Untuk membuat model graph dari peta Kota Seoul, tiap distrik yang ada kita jadikan sebagai titik graph dengan kita misalkan sebagai berikut: 1. Tiap distrik yang ada kita jadikan sebagai titik graph.
2. Distrik yang berbatasan langsung, dihubungkan dengan sisi.
3. Labeli graph tersebut. Sehingga terbentuklah graph sebagai berikut :
KETERANGAN:
Titik Keterangan
Titik Keterangan
A
Distrik Eunpyeong
M
Distrik Seocho
B
Distrik Jongno
N
Distrik Seongdong
C
Distrik Seongbuk
O
Distrik Mapo
D
Distrik Gangbuk
P
Distrik Seodaemun
E
Distrik Dobong
Q
Distrik Dongjak
F
Distrik Nowon
R
Distrik Gangseo
G
Distrik Jungnang
S
Distrik Yangcheong
H
Distrik Dongdaemun
T
Distrik Guro
I
Distrik Gwangjin
U
Distrik Geumcheon
J
Distrik Gangdong
V
Distrik Yeongdeungpo
K
Distrik Songpa
W
Distrik Gwanak
L
Distrik Gangnam
X
Distrik Yongsan
Y
Distrik Jung
Pewarnaan Titik
ALGORITMA GREEDY Algoritma greedy merupakan metode yang paling populer untuk memecahkan persoalan optimasi. Dalam pewarnaan peta algoritma greedy digunakan untuk meminimalisasi penggunaan warna, agar daerah dalam hal ini distrik-distrik yang bersebelahan di Kota Seoul memiliki warna berbeda. Berikut ini langkah-langkah pewarnaan titik menggunakan algortima greedy. Langkah 1
: daftar semua warna yang diperlukan
Langkah 2
: labeli titik
Langkah 3
: warnailah titik-titik tersebut dengan dimulai dari sebarang titik.
Lanjutkan mewarnai titik yang belum diwarna dengan ketetntuan sebagai berikut:
Jika titik yang akan kita warna terhubung dengan titik yang telah kita warna sebelumnya maka gunakan warna lain
Jika titik yang akan kita warnai tidak terhubung dengan titik yang telah kita warnai sebelumnya maka boleh menggunakan titik dengan warna yang sama (titik yang adjacent mempunyai warna yang berbeda).
Langkah-langkah pewarnaan peta Kota Seoul dengan menggunakan Algoritma Greedy -
Langkah 1 Daftar semua warna yang diperlukan, dalam hal ini menggunakan warna merah, hijau, kuning, dan biru.
-
Langkah 2 Melabeli graph interpretasi peta Kota Seoul sebagai berikut.
-
Langkah 3 Pilih sebarang titik untuk diwarnai. Misal mewarnai titik A dengan warna merah, selanjutnya pilih titik B. Karena titik B adjacent dengan titik A maka titik B tidak boleh diwarnai dengan warna merah, gunakan warna hijau. Selanjutnya pilih sebarang titik lagi missal titik C. karena titik C adjacent dengan titik B tetapi tidak beradjacent dengan titik A, maka titik C tidak boleh diwarnai dengan warna hijau tetapi boleh mewarnai titik C dengan warna merah. Dan seterusnya dengan langkah yang sama sampai semua titi k
terwarnai sedemikian hingga titik beradjacent tidak ada yang memiliki warna sama. Sehingga kita dapatkan pewarnaan titik sebagai berikut:
Selanjutnya pewarnaan titik diinterpretasikan kembali pada peta Kota Seoul.
ALGORITMA WELCH POWELL Algoritma Welch-Powell merupakan salah satu algoritma pewarnaan graf yang melakukan pewarnaan berdasarkan derajat tertinggi dari titik-titiknya atau disebut Largest Degree Ordering (LDO). Algoritma Welch-Powell ditemukan oleh Welsh dan Powell yang kemudian disebut dengan Algoritma Welsh dan Powell. Langkah-langkah: 1. Urutkan titik-titik dari graph interpretasi peta Kota Seoul dalam derajat yang menurun. Urutan yang didapatkan mungkin saja tidak bersifat unik karena adanya beberapa titik yang memiliki derajat yang sama 2. Gunakan sebuah warna untuk mewarnai titik pertama yang memiliki derajat paling tinggi, dan titik-titik lain (dalam urutan yang terurut) yang tidak beradjacent dengan titik pertama tersebut. 3. Mulai lagi dengan memberikan warna kedua pada titik dengan derajat tertinggi berikutnya di dalam daftar terurut dan belum diwarnai. 4.
Ulangi pemberian warna berbeda pada titik-titik berikutnya hingga semua titik telah diwarnai.
Langkah-langkah pewarnaan peta menggunakan algoritma welch-powell pada Kota Seoul
Langkah 1: mengurutkan titik berdasarkan derajatnya Derajat
Titik
7
X
6
I, O, V
5
B, C, H, L, N, Y
4
F, G, M, P, Q
3
A, D, K, S, T, U, W
2
E, J, R
Langkah 2 : a) Warna pertama:
Titik yang bererajat paling besar adalah X. Pilih warna merah untuk mewarnai titik X dan pilih titik lain yang tidak adjacent dengan titik X yang berderajat paling tinggi, pilih titik I.
Selanjutnya pilih titik yang belum terwarnai serta tidak adjacent dengan titik X dan I dan derajatnya paling tinggi, maka pilih titik C.
Selanjutnya pilih titik yang belum terwarnai serta tidak adjacent dengan titik X, I, dan C serta yang mempunyai derajat tertinggi, maka pilih titik P.
Selanjutnya cari titik yang belum terwarnai serta tidak adjacent dengan titik X, I, C, dan P serta mempunyai derajat tertinggi, maka pilih titik S.
Selanjutnya pilih titik yang belum terwarnai serta tidak adjacent dengan titik X, I, C, P dan titik S serta mempunyai derajat tertinggi maka pilih titik U.
Selanjutnya pilih titik yang belum terwarnai serta ti dak adjacent dengan titik X, I, C, P, S, dan U serta mempunyai derajat tertinggi, maka pilih titik E.
Tidak ada titik lagi yang tidak adjacent dengan titik X, I, C, P, S, U dan titik E, sehingga warnai titik X, I, C, P, S, U, dan titi k E dengan warna merah.
Langkah 3: Warna kedua:
Pilih warna biru untuk mewarnai titik dengan derajat tertinggi selanjutnya yaitu titik O. Dan pilih titik lain yang tidak adjacent dengan titik O yang berderajat paling tinggi, pilih titik B.
Selanjutnya pilih titik yang belum terwarnai serta tidak adjacent dengan titik O dan titik B serta mempunyai derajat tertinggi, maka pilih titik L.
Selanjutnya pilih titik yang belum terwarnai serta tidak adjacent dengan titik O, B, dan L serta mempunyai derajat tertinggi, maka pilih titik W.
Selanjutnya pilih titik yang belum terwarnai serta ti dak adjacent dengan titik O, B, L, dan W serta mempunyai derajat tertinggi, maka pilih titik J .
Tidak ada titik lagi yang tidak adjacent dengan titik O, B, L, W, dan titik J, sehingga warnai titik O, B, L, W, dan titik J dengan warna hijau.
Warna ketiga:
Pilih warna kuning untuk mewarnai titik dengan derajat tertinggi selanjutnya yaitu titik V. Dan pilih titik lain yang tidak adjacent dengan titik J yang berderajat paling tinggi, pilih titik H.
Selanjutnya pilih titik yang belum terwarnai serta tidak adjacent dengan titik V dan titik J serta mempunyai derajat tertinggi, maka pilih titik Y.
Selanjutnya pilih titik yang belum terwarnai serta ti dak adjacent dengan titik V, J, dan titik Y serta mempunyai derajat tertinggi, maka pilih titik M.
Selanjutnya pilih titik yang belum terwarnai serta ti dak adjacent dengan titik V, J, Y, dan titik M serta mempunyai derajat tertinggi, maka pilih titik A.
Selanjutnya pilih titik yang belum terwarnai serta ti dak adjacent dengan titik V, J, Y, M, dan titik A serta mempunyai derajat tertinggi, maka pilih titik D.
Selanjutnya pilih titik yang belum terwarnai serta tidak adjacent dengan titik V, J, Y, M, A dan titik D serta mempunyai derajat tertinggi, maka pilih titik K.
Selanjutnya pilih titik yang belum terwarnai serta ti dak adjacent dengan titik V, J, Y, M, A, D dan titik K serta mempunyai derajat tertinggi, maka pilih titik R.
Tidak ada titik lagi yang tidak adjacent dengan titik V, J, Y, M, A, D dan titik K, sehingga warnai titik titik V, J, Y, M, A, D dan titik K dengan warna kuning.
Warna ke-empat:
Pilih warna biru untuk mewarnai titik dengan derajat tertinggi selanjutnya yaitu titik N. Dan pilih titik lain yang tidak adjacent dengan titik J yang berderajat paling tinggi, pilih titik G.
Selanjutnya pilih titik yang belum terwarnai serta ti dak adjacent dengan titik N dan titik G serta mempunyai derajat tertinggi, maka pilih titik Q.
Selanjutnya pilih titik yang belum terwarnai serta ti dak adjacent dengan titik N, G, dan titik Q serta mempunyai derajat tertinggi, maka pilih titik T.
Tidak ada titik lagi yang tidak adjacent dengan titik N, G, Q dan titik T, sehingga warnai titik titik N, G, Q, dan titik T dengan warna biru.
Semua titik sudah terwarnai. Kemudian STOP. Didapat graph pewarnaan titik sebagai berikut:
Menginterpretasikan graph pewarnaan titik pada peta Kota Seoul
