Tugas 4 Algoritma dan Struktur Data
METODE GREEDY DAN DYNAMIC DYNAMIC PROGRAMM PROGRAMMING ING
NAMA
:
NURUL MUTHIAH
NIM
:
H 121 11 252
KELAS
:
STATISTIKA B
PRODI STATISTIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HASANUDDIN MAKASSAR 2012
Strategi Algoritma Strategi adalah rencana yang cermat mengenai kegiatan untuk mencapai sasaran khusus. Sedangkan algoritma adalah urutan langkah-langkah untuk memecahkan masalah. Jadi, strategi algoritma adalah kumpulan metode atau teknik untuk memecahkan masalah guna mencapai tujuan yang ditentukan, yang dalam hal ini deskripsi metode atau teknik tersebut dinyatakan dalam suatu urutan langkah-langkah penyelesaian. Secara umum, strategi pemecahan masalah dapat dikelompokan sebagai berikut. 1. Strategi solusi langsung (direct (direct solution strategies) strategies)
Algoritma Bruto Force
Algoritma Greedy
2. Strategi berbasis pencarian pada ruang status ( state-spacebase strategies) strategies)
Algoritma Backtracking
Algoritma Branch and Bound
3. Strategi solusi atas bawah (up-down (up-down solution strategies) strategies)
Algoritma Divide an Conquer
4. Strategi solusi bawah atas (buttom-up (buttom-up solution strategies) strategies)
Dynamic Programming
Pada pembahasan kali ini, akan dijelaskan mengenai algoritma greedy dan dynamic programming. programming.
Metode Greedy Metode greedy atau algoritma greedy merupakan algoritma yang membentuk solusi langkah per langkah, dimana metode greedy ini menjadi metode yang paling populer untuk memecahkan persoalan optimasi. Persoalan optimasi atau optimization problems merupakan persoalan mencari solusi optimum, persoalan optimasi ini terbagi menjadi dua macam, yaitu maksimasi dan minimasi. Prinsip metode greedy metode greedy adalah adalah take what you can get now . Maksud dari prinsip tersebut bahwa metode greedy metode greedy membentuk membentuk solusi langkah per langkah (step ( step by step), step), dimana pada setiap langkah itu terdapat banyak pilhan yang perlu dieksplorasi. Oleh karena itu, pada setiap langkah harus dibuat keputusan yang terbaik dalam menentukan pilihan dan setiap langkah tersebut kita membuat pilihan optimum lokal (local ( local optimum) optimum) dengan harapan bahwa langkah sisanya mengarah ke solusi optimum global ( global optimum). optimum).
Adapun elemen-elemen yang digunakan dalam penerapan metode greedy , yaitu sebagai berikut. 1.
Himpunan Kandidat (C (C ) Himpunan kandidat merupakan himpunan elemen pembentuk solusi.
2.
Himpunan Solusi (S (S ) Himpunan solusi merupakan himpunan yang terpilih sebagai solusi permasalahan.
3.
Fungsi Seleksi (Selection (Selection)) Fungsi seleksi merupakan fungsi yang memilih kandidat yang paling mungkin untuk mencapai solusi optimal.
4.
Fungsi Kelayakan (Feasible (Feasible)) Fungsi kelayakan merupakan fungsi yang memeriksa apakah suatu kandidat yang dipilih dapat memberikan solusi yang layak. Maksudnya bahwa kandidat tersebut bersama dengan himpunan solusi yang sudah terbukti tidak melanggar kendala yang ada.
5.
Fungsi Objektif Fungsi objektif merupakan fungsi yang mengoptimalkan solusi. Metode greedy Metode greedy melibatkan melibatkan pencarian sebuah himpunan solusi dari himpunan kandidat,
yang dalam hal ini himpunan solusi harus memenuhi beberapa kriteria yang ditentukan, yaitu menyatakan suatu solusi dan himpunan solusi akan dioptimisasi oleh fungsi obyektif.
Contoh 1. Tersedia banyak koin, yaitu 1, 5, 10, 25. Berapa banyak cara untuk menukarkan uang senilai A=32? Jawab: Tinjau masalah penukaran uang dengan metode greedy . Pada setiap langkah, pilihlah koin dengan nilai terbesar dari himpunan koin yang tersisa. Himpunan solusi feasible untuk 32 adalah {1, 5, 10, 25}
[ ] buah koin ; sisa 7 Himpunan solusi feasible untuk 7 adalah {1, 5}
[] buah koin ; sisa 2 Himpunan solusi feasible untuk 2 adalah {1}
[] buah koin ; sisa -0 Total koin minumum dari penukaran uang tersebut adalah 4 koin, dengan rincian satu buah koin 25, satu buah koin 5, dan dua buah koin 1. Dari contoh di atas, kita dapat mengelompokkan elemen-elemen greedy -nya, -nya, yaitu sebagai berikut.
1.
Himpunan Kandidat : himpunan koin yang merepresentasikan nilai 1, 5, 10, 25, paling sedikit mengandung satu koin untuk setiap nilai.
2.
Himpunan Solusi
: total nilai koin yang dipilih tepat sama jumlahnya dengan nilai uang yang ditukarkan.
3.
Fungsi Seleksi
: pilihlah koin yang bernilai tertinggi dari himpunan kandidat yang tersisa.
4.
Fungsi Kelayakan
: memeriksa apakah nilai total dari himpunan koin yang dipilih tidak melebihi jumlah uang yang harus dibayar.
5.
Fungsi Objektif
: jumlah minimum koin yang digunakan.
Contoh 2. Sebuah server (dapat berupa processor, pompa, kasir di bank, dll) mempunyai npelanggan (customer, client) yang harus dilayani. Waktu pelayanan untuk setiap pelanggan sudah ditetapkan sebelumnya, yaitu pelanggan
membutuhkan waktu . Kita ingin meminimumkan
total waktu di dalam sistem,
∑
(waktu di dalam sistem untuk pelanggan )
Misalkan terdapat tiga pelanggan dengan waktu pelayanan yang dibutuhkan sebagai berikut.
Maka urutan pelanggan yang mungkin adalah: No.
Urutan
Total Waktu
1.
1, 2, 3
5 + (5 + 10) + (5 + 10 + 3 ) = 38
2.
1, 3, 2
5 + (5 + 3) + (5 + 3 + 10) = 31
3.
2, 1, 3
10 + (10 + 5) + (10 + 5 + 3) = 43
4.
2, 3, 1
10 + (10 + 3) + (10 + 3 + 5) = 41
5.
3, 1, 2
6.
3, 2, 1
3 + (3 + 5) + (3 + 5 + 10) = 29
solusi optimal
3 + (3 + 10) + (3 + 10 + 5) = 34
Metode greedy Metode greedy untuk untuk memilih pelanggan adalah sebagai berikut. 1.
Pada setiap langkah, masukkan pelanggan yang membutuhkan waktu pelayanan terkecil diantara pelanggan lain yang belum dilayani.
2.
Agar proses pemilihan pelanggan berikutnya optimal, maka sebaiknya waktu pelayanan seluruh pelanggan diurutkan secara ascending. ascending.
Dynamic Programming Dynamic programming atau program dinamis merupakan metode pemecahan masalah dengan cara menguraikan solusi menjadi sekumpulan langkah ( step step)) atau tahapan (stage (stage)) sedemikian sehingga solusi dari persoalan dapat dipandang dari serangkaian keputusan yang saling berkaitan. Dynamic Programming adalah teknik manajemen sain yang diaplikasikan kepada persoalan dengan melibatkan keputusan berurutan yang saling berkaitan. Program ini dikembangkan oleh Richard Bellman dan G. B Dantzig pada tahun 1940 – 1950. Sebagai sebuah konsep, DP lebih luwes dibanding programprogram optimasi lainnya. Aplikasi DP telah terbukti baik pada pengelolaan persediaan, jaringan, penjadwalan kerja untuk karyawan, pengendalian produksi, perencanaan penjualan dan bidang lain-lain. Berbeda dengan linear programming linear programming,, metode Simplex tidak dapat diterapkan di sini. Formulasi model dilakukan dengan unik sesuai dengan persoalannya. Pada dynamic programming, programming, masalah optimasi dipecahkan secara berurut atau satu tahapan setiap waktu, karenanya diperlukan pencatatan semua hasil yang diperoleh dari proses keputusan ketika maju dari satu tahapan ke tahapan lainnya. Konsep dasar dari pemrograman dinamis adalah prinsip optimasi. Set optimal dari keputusan suatu proses bertingkat, mempunyai sifat yaitu apapun inputan awal atau apapun tahapan awal serta keputusan apapun yang ada pada tahapan awal tersebut, keputusan pada tahap berikutnya harus merupakan kebijakan optimal bagi masalah tersebut Adapun hal-hal yang harus diperhatikan dalam penggunaan metode dynamic programing adalah sebagai berikut. 1.
Metode dynamic programming digunakan ketika masalah dapat dipecah menjadi sub masalah berulang yang lebih kecil.
2.
Metode dynamic programming digunakan ketika solusi dapat diselesaikan secara rekursif, dalam hal ini solusi untuk sub masalah.
3.
Metode dynamic programming memerlukan sebuah tabel pengingat untuk menyimpan hasil perhitungan dari sub masalah yang akan digunakan untuk perhitungan solusi optimal secara keseluruhan.
4.
Dengan adanya tabel pengingat, kita dapat mengimplementasikan algoritma secara rekursif. Jika kita menghitung sebuah sub masalah yang sudah dipecahkan terlebih dahulu, maka kita tidak perlu menghitungnya lagi, tinggal melihat jawaban pada tabel pengingat. Jika belum ada, maka hitung sub masalah tersebut dan simpan pada tabel pengingat. Tabel pengingat sifatnya sementara, hanya ada jika sedang melakukan perhitungan. Pada program dinamis, rangkaian keputusan yang optimal dibuat dengan menggunakan
prinsip optimalitas. Prinsip optimalitas yaitu, jika ada solusi total optimal, maka bagian solusi
sampai tahap ke-k ke-k juga juga optimal. Prinsip optimalitas berarti bahwa jika kita bekerja dari tahap k ke tahap k + k + 1, kita dapat menggunakan hasil optimal dari tahap k tanpa k tanpa harus kembali ke tahap awal. ongkos pada tahap k +1 k +1 = (ongkos yang dihasilkan pada tahap k ) k ) + (ongkos dari tahap k ke tahap k +1). +1). Dengan prinsip optimalitas ini dijamin bahwa pengambilan keputusan pada suatu tahap adalah keputusan yang benar untuk tahap-tahap selanjutnya. Pada metode greedy hanya satu rangkaian keputusan yang pernah dihasilkan, sedangkan pada metode program dinamis lebih dari satu rangkaian keputusan. Hanya rangkaian keputusan yang memenuhi prinsip optimalitas yang akan dihasilkan. Adapun karakteristik persoalan dynamic programming, programming , yaitu sebagai berikut. 1.
Persoalan dapat dibagi menjadi beberapa tahap (stage ( stage)) yang pada setiap tahap hanya diambil satu keputusan.
2.
Masing-masing tahap terdiri dari sejumlah status (state ( state)) yang berhubungan dengan tahap tersebut. Secara umum, status merupakan bermacam kemungkinan masukan yang ada pada tahap tersebut.
3.
Hasil dari keputusan yang diambil pada setiap tahap ditransformasikan dari status yang bersangkutan ke status berikutnya pada tahap berikutnya.
4.
Ongkos (cost (cost ) pada suatu tahap meningkat secara teratur (steadily ( steadily ) dengan bertambahnya jumlah tahapan.
5.
Ongkos pada suatu tahap bergantung pada ongkos tahap-tahap yang sudah berjalan dan ongkos pada tahap tersebut.
6.
Keputusan terbaik pada suatu tahap bersifat independen terhadap keputusan yang dilakukan pada tahap sebelumnya.
7.
Adanya hubungan rekursif yang mengidentifikasikan keputusan terbaik untuk setiap status pada tahap k memberikan k memberikan keputusan terbaik untuk setiap status pada tahap t ahap k + k + 1.
8.
Prinsip optimalitas berlaku pada persoalan tersebut. Ada dua pendekatan yang digunakan dalam dynamic programming, yaitu pendekatan
maju ( forward atau up-down) up-down) dan pendekatan mundur (backward ( backward atau buttom-up). buttom-up). Misalkan
menyatakan peubah atau variabel keputusan yang harus dibuat masing-masing untuk tahap . Maka, 1.
Program dinamis maju. Program dinamis bergerak mulai dari tahap 1, terus maju ke tahap 2, 3, dan seterusnya sampai tahap n. Runtunan peubah keputusan adalah
2.
.
Program dinamis mundur. Program dinamis bergerak mulai dari tahap n, terus mundur ke tahap n – 1, n – 2, dan seterusnya sampai tahap 1. Runtunan peubah keputusan adalah
. Langkah-langkah pengembangan algoritma dynamic programming adalah sebagai berikut.
1.
Karakteristikkan struktur solusi optimal.
2.
Definisikan secara rekursif nilai solusi optimal.
3.
Hitung nilai solusi optimal secara maju atau mundur.
4.
Konstruksi solusi optimal.
Contoh 3. Tentukan lintasan terpendek dari simpul 1 ke simpul 10! 7 2
5 4
2
3
1 4 8
6 6
4 1
3
2
3
4
3
6
10
3
9
3 1
4
4
4
7
3
5
Jawab: Misalkan
adalah simpul-simpul yang dikunjungi pada tahap k .
. Maka rute yang dilalui adalah .
yang dalam hal ini
Pada persoalan ini, Tahap (k ) adalah proses memilih simpul tujuan berikutnya (ada 4 tahap). Dan Status (s) yang berhubungan dengan masing-masing tahap adalah simpulsimpul di dalam graf. Relasi rekurensi berikut menyatakan lintasan terpendek dari status s ke
min
pada tahap k
baris
rekurens
Keterangan.
: peubah keputusan pada tahap
: total bobot lintasan dari ke : nilai minimum dari
: bobot cost sisi dari ke
Tujuan program dinamis mundur adalah untuk mendapatkan
terlebih dahulu.
dengan cara mencari
Tahap 4.
Solusi Optimum
s
8
3
10
9
4
10
adalah nilai yang meminimumkan .
Catatan: Tahap 3.
{ } Solusi Optimum 8 9
s 5
4
8
4
8
6
9
7
7
9
7
6
7
6
8
Tahap 2.
s
{ } Solusi Optimum 5 6 7
3
11
11
12
11
5 atau 6
2
7
9
10
7
5
4
8
8
11
8
5 atau 6
Tahap 1.
s 1
{ } Solusi Optimum 2 3 4 13
11
11
11
3 atau 4
Solusi optimum dapat dibaca pada tabel di bawah ini.
1
3 4
Panjang Lintasan Terpendek
5
8
10
11
5
8
10
11
6
9
10
11
Jadi, ada tiga lintasan terpendek dari 1 ke 10, yaitu sebagai berikut.
Panjang ketiga lintasan tersebut sama, yaitu 11.
