Drs. Fatkhulloh, M.Si
Pendidikan Fisika FPMIPA UAD Yogyakarta
OSILASI HARMONIK SEDERHANA
Getaran (oscillation) atau osilasi merupakan salah satu bentuk gerak benda yang cukup banyak dijumpai gejalanya. Contohnya, bandul jam yang berayun, piringan dalam jam beker yang memuntir, botol yang timbul tenggelam dalam air, balok yang digantungkan pada sebuah sebuah pegas, dan senar gitar yang dipetik. Osilasi juga dijumpai dijumpai secara analogis pada rangkaian listrik yang melibatkan induktor dan kapasitor. Dalam osilasi, sebuah benda melakukan gerak bolak-balik menurut lintasan tertentu melalui titik setimbangnya. Waktu yang diperlukan untuk melakukan satu gerakan bolak - balik dinamakan periode (dilambangkan dengan T, satuannya sekon [s]). Simpangan maksimum osilasi dinamakan amplitudo amplitudo 1. Osilasi Harmonis Sederhana Kita akan mengkaji lebih jauh dengan meninjau sebuah benda bermassa M (kg) yang terletak di atas bidang tanpa gesekan dan dikaitkan kepada salah satu ujung pegas berkonstanta k (N/m) sebagaimana yang disajikan dalam Gambar (1). Gambar 1. Osilasi pegas. Ketika Ketika pegas disimpangkan sejauh x dari kedudukan setimbangnya lalu kemudian dilepas, maka massa M akan bergerak sedemikian rupa sehingga selalu menuju ke kedudukan semula. Hal ini terjadi karena adanya gaya pemulih sehingga timbul gejala yang kita kenal dengan osilasi .
Dalam keadaan tidak terdapat gaya yang bekerja pada massa M tersebut, maka ia akan tetap dalam keadaan diam di posisi setimbang, x=0. Namun seandainya diberikan gaya kepada massa tersebut dengan cara menekan dan melepaskannya, maka massa tersebut akan bergerak periodik menurut frekuensi tertentu. Gejala serupa terulang bahkan jika M ditarik, dipukul, atau diberi perlakuan berbeda, massa tersebut selalu bergerak dalam pola yang sama menuju posisi semula pada keadaan setimbang. Gerakan periodik disekitar titik setimbang inilah yang disebut dengan osilasi. Adapun gaya yang menyebabkan massa selalu bergerak ke kedudukan semula disebut dengan gaya pemulih atau restoring force. Persamaan gerak osilasi dapat diturunkan diturunkan dari dua buah hukum gerak, yaitu Hukum II Newton dan Hukum Hooke. Coba pandang sebuah benda yang dikaitkan dengan sebuah pegas Gambar 1. Jika pegas tidak tertarik atau tertekan maka simpangan benda adalah nol (benda dalam titik keseimbangan). Jika pegas tertarik maka terdapat simpangan benda (misal bernilai positif). Pada saat itu pegas memberikan gaya kepada benda yang besarnya sebanding dengan simpangannya namun berlawanan arah dengan pergeseran benda. Kenyataan ini diungkapkan oleh Hooke dalam hukumnya yang berformulasi berformulasi
HANDOUT “GELOMBANG”
1
Drs. Fatkhulloh, M.Si
Pendidikan Fisika FPMIPA UAD Yogyakarta
F kx
(1)
dengan F adalah gaya pegas (gaya pemulih atau restoring force) dan k adalah tetapan pegas. Rumus ini menyatakan bahwa gaya yang dikerjakan oleh sebuah pegas pada sebuah benda berbanding lurus dengan pergeseran benda namun berlawanan arah dengannya. Tanda negatif dalam persamaan (1) mengandung pengertian bahwa gaya pemulih selalu bekerja untuk mengembalikan massa M ke kedudukan setimbangnya. Jika gaya pegas adalah satu-satunya gaya luar yang bekerja pada benda, maka pada benda berlaku Hukum II Newton
F ma
(2)
kx ma
(3)
atau
Percepatan bergerak lurus (misal ke arah x) dapat dituliskan menjadi
d 2 x 2
dt
k m
(4)
x0
Persamaan (3) merupakan persamaan osilasi harmonik sederhana (simple harmonic motion). Dalam osilasi sederhana, benda berosilasi di antara dua posisi dalam waktu (periode) tertentu, dengan asumsi tanpa kehilangan tenaga mekaniknya. Dengan kata lain, simpangan maksimum (amplitudo) osilasi tetap. Persamaan (4) disebut persamaan diferensial, karena mengandung suku yang berupa diferensial. Persamaan (4) merupakan bentuk hubungan fungsi x(t)dengan derifatif keduanya d2x/dt2. Agar dapat memahami gejala osilasi ini lebih mendalam, maka kita harus menemukan bentuk suatu fungsi yang memenuhi persamaan (4) tersebut. Langkah yang kita lakukan adalah dengan menulis ulang persamaan tersebut ke dalam bentuk :
d 2 xt 2
dt
k xt m
(5)
Persamaan (5) menunjukkan kepada kita bahwa haruslah sebuah fungsi yang derivatif keduanya merupakan negatif dari dirinya sendiri. Keadaan tersebut hanya dipenuhi oleh bentuk sinusuida
xt A sin t
atau
x t B cos t
(6)
serta jumlahan dari keduanya
xt A sin t B cos t
(7)
Pada kesempatan ini kita akan mencoba suatu solusi dengan bentuk
xt B cos t
HANDOUT “GELOMBANG”
(8)
2
Drs. Fatkhulloh, M.Si
Pendidikan Fisika FPMIPA UAD Yogyakarta
dengan B, dan adalah tetapan. Konstanta B disebut amplitudo, adalah frekuensi sudut. adalah sudut fase awal. Besaran t+ disebut fase osilasi . Sudut fase awal adalah faktor dalam persamaan yang dilibatkan untuk menggambarkan posisi awal benda yang berosilasi. Persamaan (8) sering dinamakan persamaan simpangan. Jika kita lakukan substitusi persamaan (8) ke dalam persamaan (5), maka akan diperoleh hasil bahwa 2 = k/M (coba anda buktikan). Dapatkah Anda menjelaskan apa yang terjadi jika kita memperbesar nilai t dalam persamaan (8) dengan faktor 2/ ? Untuk mengetahuinya, cobalah masukkan bentuk untuk mengganti t pada persamaan tersebut, maka kita akan kembali medapatkan bentuk persamaan (5). Ini berarti bahwa fungsi dalam persamaan (5) berulang setelah waktu 2/.
Gambar 2 Simpangan versus waktu sebuah partikel yang berisolasi.
Perhatikan bahwa fungsi x periodik dan berulang pada simpangan yang sama dengan kenaikkan t sebesar 2. Periode osilasi T adalah waktu yang diperlukan benda untuk menjalani gerakan satu putaran (cycle). Ini berarti nilai x pada saat t sama dengan nilai x pada saat t + T. Berdasarkan kenyataan ini bahwa: T
2
2
k M
M
(9)
k
2 f
2 T
(rad/sekon)
(10)
yang merupakan frekuensi angular atau lebih sering disebut sebagai kecepatan sudut ayunan tersebut. Gerak ayunan yang telah kita bahas ini disebut dengan gerak harmonis atau juga disebut dengan getaran harmonis. Hal penting yang harus kita pahami dari gejala yang kita gambarkan dengan persamaan (8) adalah bahwa karena fungsi cos memiliki nilai dalam rentang antara -1 dan +1. Ini berarti bahwa massa M berayun di sekitar titik setimbang dengan simpangan terbesar adalah nilai maksimum . Nilai maksimum ini disebut dengan amplitudo. Kuantitas disebut fase, dan disebut konstanta atau tetapan fase. Kuantitas k/ M memiliki dimensi 2 k N / m kg .m / sekon
M kg
kg
1 sekon2
(11)
sehingga bentuk k / M berdimensi frekuensi, radian/sekon (karena radian tidak berdimensi), dan nilainya tidak bergantung kepada amplitudo.
HANDOUT “GELOMBANG”
3
Drs. Fatkhulloh, M.Si
Pendidikan Fisika FPMIPA UAD Yogyakarta
Kita akan buktikan, bahwa persamaan (8) merupakan solusi dari persamaan (4). Dalam persoalan osilasi di atas, penyelesaian harus dinyatakan dalam x sebagai fungsi t, dan harus memenuhi suku kiri sama dengan suku kanan. Dengan kata lain, penyelesaian harus menyebabkan suku kiri Persamaan (4) sama dengan nol. Kita ambil turunan pertama dan kedua Persamaan (84) dan kemudian mensubstitusikannya ke Persamaan (5)
xt B cos t dxt dt
B sin t
d 2 xt dt 2
2 B cos t
Subsitusi ke persamaan (5)
2 B cos t
k M
B cos t
Karena 2 = k/M
2 B cos t 2 B cos t Terbukti bahwa suku kiri sama dengan suku kanan. Dengan kata lain , Persamaan (8), merupakan peyelesaian Persamaan (5). Coba anda buktikan bahwa pesamaan (12) juga merupakan solusi dari persamaan (5). xt A sin t
(12)
Dengan persamaan (12) kita akan menentukan kecepatan (v) dan percepatan (a) osilasi v
dxt dt
A cos t
d xt
(14)
2
a
2
dt
(13)
2 A sin t Gambar 3 Skema grafik persamaan simpangan x(t), kecepatan V(t), dan percepatan a(t) osilasi sederhana sederhana. Amplitudo disesuaikan dengan asumsi bahwa > 1.
HANDOUT “GELOMBANG”
4
Drs. Fatkhulloh, M.Si
Pendidikan Fisika FPMIPA UAD Yogyakarta
Tabel 1 Rangkuman keadaan khusus simpangan, kecepatan, dan percepatan osilasi sederhana sederhana.
Skema grafik persamaan simpangan, kecepatan, dan percepatan osilasi sederhana sederhana ditunjukkan Gambar 3. Rangkuman keadaan khusus simpangan, kecepatan, dan percepatan osilasi sederhana sederhana dalam Tabel 1 dengan asumsi + menyatakan vektor posisi dengan arah x+. Pada waktu simpangan osilasi positif, percepatan benda negatif. Sebaliknya ketika simpangan negatif, percepatan positif. Keduanya menyiratkan keberlakuan Hukum Hooke. Nilai kecepatan benda minimum (nol) ketika simpangannya maksimum (senilai amplitudo). Sebaliknya, nilai kecepatan maksimum ketika simpangannya minimum (nol). Dari Persamaan (12) dan Persamaan (13) dapat ditunjukkan hubungan antara simpangan, kecepatan, percepatan dan amplitudo: v
dxt dt
A cos t
v A 1 sin 2 t
v A2 A2 sin 2 t
v A2 x2
(15)
a 2 x
(16)
Dari persamaan (15) dan (16) dapat diketahui : vmaks A amaks A 2
2
v 2 A x
(17)
Jadi, nilai dan A dapat ditentukan jika x0, dan v0 diketahui. Dari uraian di atas dapat diambil kesimpulan tentang sifat - sifat penting benda bergetar sederhana sederhana sebagai berikut: a. Simpangan, kecepatan, dan percepatannya bervariasi secara sinusoidal terhadap waktu tetapi tidak dengan fase yang sama. b. Percepatan benda berosilasi berbanding lurus dengan simpangannya namun dengan arah berlawanan. c. Frekuensi dan periode osilasi tidak bergantung pada amplitudo.
HANDOUT “GELOMBANG”
5
Drs. Fatkhulloh, M.Si
Pendidikan Fisika FPMIPA UAD Yogyakarta
2. Tenaga Osilasi Sederhana Dalam osilasi sederhana, tenaga mekanik sistem tidak berubah karena tidak terdapat gaya luar tak konservatif. Ada dua macam tenaga mekanik dalam osilasi ini, yaitu:
(a) tenaga kinetik, berbanding lurus dengan massa dan kuadrat kecepatan E k
1 2
mv2
1 2
m 2 A2 cos t
(18)
(b) tenaga potensial (pegas), berbanding lurus dengan tetapan pegas dari kuadrat simpangan E p
1 2
kx2
1 2
kA2 sin t
(19)
Karena k=m2 E p
1 2
m 2 A2 sin t
Tenaga kinetik maupun potensial senantiasa bernilai positif. Nilai maksimum kedua tenaga itu sama, yaitu 1/2 mv2 atau 1/2kA2, dan ini merupakan tenaga total sistem, karena tenaga total E adalah penjumlahan Ek + Ep maka E t E k E p E t
1 2
1 2
m 2 A2
m 2 A2 sin 2 t 1 2
1 2
m 2 A2 cos2 t
kA2
Jadi, tenaga total sistem osilasi sederhana bernilai konstan sepanjang waktu dan berbanding lurus dengan kuadrat amplitudo. Tenaga mekanik sistem osilasi secara kontinu bertransformasi antara tenaga potensial yang disimpan di dalam pegas dan tenaga kinetik benda seperti yang ditunjukkan Gambar 4.
HANDOUT “GELOMBANG”
6
Drs. Fatkhulloh, M.Si
Pendidikan Fisika FPMIPA UAD Yogyakarta
Gambar 4. (a) Jumlah tenaga kinetik (warna biru) dan potensial (warna merah) osilasi sederhana senantiasa ½ k A 2 . (b) Tenaga kinetik dan tenaga potensial sistem osilasi sederhana yang saling bertransformasi.
Contoh soal : 1. Sebuah mobil bermassa 1300 kg memiliki empat buah pegas penyangga. Tiap-tiap pegas mempunyai nilai tetapan pegas 20.000 N/m. Berat diasumsikan tersebar secara merata. Jika dua orang menaiki mobil tersebut, dengan masing-masing bermassa 80 kg, tentukan frekuensi getaran mobil ketika dikendarai melalui jalan yang berlubang Solusi : Masing-masing pegas menanggung seperempat berat total, yang besarnya w = (1460 kg) g. Dengan demikian, tiap-tiap pegas menanggung w = (365 kg) g. maka frekeuensi osilasinya adalah f
1
k
2 M
1
20 .000
2
365
1,18 Hz
2. (a) Tentukanlah nilai massa M yang harus dipasang pada pegas dengan konstanta k = 10 N/m agar osilasi memiliki frekuensi 5 Hz. (b) Jika pegas diberi simpangan awal sebesar 3 cm, maka berapakah kecepatan maksimum massa M ? Solusi: (a). Frekuensi sudut osilasi adalah =2 X 5 rad/sekon. Selanjutnya dengan meng gunakan M=k/2 = 10/(10)2= 0,01 kg (b). Kecepatan massa diberikan oleh hubungan v(t)= - x0 sint, sehingga ampli tudo kecepatan ayunan adalah : A = - x0 = 10.0,03 = 0,943 m/sekon.
3. Sebuah benda yang diikatkan pada sebuah pegas melakukan OHS. Jika frekuensi getar benda tersebut 8 Hz dan massa benda 3 kg. Hitung : a. Konstanta Pegas b. Percepatan benda ketika simpangan 4 cm 4. Hitung energi potensial, energi kinetik dan energi total dari suatu benda yang massanya 1 kg dan yang sedang melakukan OHS dengan amplitudo osilasi 3 cm dan perioda 2 detik, jika simpangannya : a. 0 (titik seimbang) b. +3/2 cm c. + 3 cm (di titik tertinggi atau titik balik Amplitudo getaran 3 cm) 5. Suatu benda 25 gr bergerak harmonik sederhana. Amplitudo getaran ini 10 cm dan periodanya 2 detik. Hitung : a. Frekuensi b. Konstanta pegas
HANDOUT “GELOMBANG”
7
Drs. Fatkhulloh, M.Si
c. d. e. f.
Pendidikan Fisika FPMIPA UAD Yogyakarta
Kecepatan maksimum benda Percepatan maksimum benda Kecepatan pada saat simpangannya 3 cm Percepatan pada saat y = 4 cm
6. Sebuah piston mesin uap ber-OHS dengan frekuensi 120 rpm. Piston tersebut berosilasi dengan amplitudo 1 m. Hitug kecepatan dan percepatan piston berada pada jarak 75 cm di atas titik setimbang ! 7. Perhatikan gambar pendulum di bawah, dengan cukup kecil. Tentukan : a. Persamaan oslasi harmoni sederhana b. Persamaan simpangan c. Frekuensi
HANDOUT “GELOMBANG”
8
