PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA MENGGUNAKAN METODE DERET TAYLOR
Makalah Fisika Komputasi
LOFRINA NATHANIA (32151157--)
NURFITRIANA H.A. (3215116239)
Dosen Pembimbing : Handjoko Permana , S.pd, M.Si
Pendidikan Fisika Non Regular 2011
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
UNIVERSITAS NEGERI JAKARTA
2013
Kata Pengantar
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan YME yang telah memberikan rahmat serta
karunia-Nya kepada kami sehingga kami berhasil menyelesaikan makalah ini yang berjudul
"Solusi Persamaan Deret Taylor". Makalah ini berisikan tentang informasi seputar Persamaan
Deferensial Biasa (PDB) dan lebih dikhususkan lagi makalah ini membahas solusi Persamaan
Deret Taylor. Diharapkan makalah ini dapat memberikan informasi kepada kita semua tentang
Solusi Persamaan Deret Taylor. Kami menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna, Oleh karena itu kritik dan saran dari semua pihak yang bersifat membangun selalu kami harapkan demi kesempurnaan makalah ini. Akhir kata, kami sampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah berperan serta dalam penyusunan makalah ini dari awal sampai akhir. Semoga bermanfaat bagi pembaca.
Jakarta, 27 Mei 2013
Penyusun
BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG
Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui (variabel terikat) adalah fungsi dari variabel bebas tunggal. Dalam bentuk paling sederhana fungsi yang tidak diketahui ini adalah fungsi riil atau fungsi kompleks, namun secara umum bisa juga berupa fungsi vektor maupun matriks. Lebih jauh lagi, persamaan diferensial biasa digolongkan berdasarkan orde tertinggi dari turunan terhadap variabel terikat yang muncul dalam persamaan tersebut.
Contoh sederhana adalah hukum gerak kedua Newton, yang menghasilkan persamaan diferensial
a. dy/dx = x +5
b. d2y/dx2 + 3 dy/dx + 2 y = 0
c. x dy/dx + y = 3
d. d3y/dx3 + 2 (d2y/dx2)2 + dy/dx = cos x
e. (d2y/dx2)2 + (dy/dx)3+ 3 y = x2
Persamaan differensial linier umumnya dapat diselesaikan dengan menggunakan cara analitik, tetapi pada bentuk yang kompleks persamaan differensial biasa ini menjadi sulit diselesaikan. Metode numerik dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial dengan menggunakan bantuan komputer sebagai alat hitung, ketika metode analitik sulit digunakan. Pada beberapa bentuk persamaan differensial, khususnya pada differensial non-linier, penyelesaian analitik sulit sekali dilakukan sehingga metode numerik dapat menjadi metode penyelesaian yang disarankan. Sebagai contoh perhatikan bentuk persamaan differensial yang sederhana berikut ini:
x(dy/dx)^2+dy/dx- y=1
Persamaan diffrensial di atas tampaknya sederhana, tetapi untuk menyelesaikan persamaan diffrensial di atas bukanlah sesuatu yang mudah, bahkan dapat dikatakan dengan menggunakan cara analitik, tidak dapat ditemukan penyelesaian. Sehingga pemakaian metode-metode pendekatan dengan metode numerik menjadi suatu alternative yang dapat digunakan.
Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial, antara lain: metode Euler, metode pendekatan dengan deret Taylor, metode runge-kutta dan metode-metode prediktor-korektor seperti metode Adam Moulton. Dan pada kelompok kami, kami akan membahas dengan metode pendekatan dengan deret Taylor atau kami menyebutnya dengan Solusi Persamaan Deret Taylor.
B. RUMUSAN MASALAH
Cara Menghitung Persamaan Diferensial Biasa dengan metode Deret Taylor
Mengubah Persamaan Deret Taylor dari perhitungan secara analitik ke perhitungan dengan menggunakan bantuan komputer sebagai alat hitung.
C. TUJUAN
Mengetahui Sistem Persamaan Diferensial Biasa dengan menggunakan metode Solusi Persamaan Deret Taylor
Mengetahui cara pengubahan perhitungan Solusi Persamaan Deret Taylor dari menggunakan proses analitik ke perhitungan dengan menggunakan bantuan komputer sebagai alat hitung
BAB II
PEMBAHASAN
Deret Taylor, Fungsi Analitik
Misalkan f sebuah fungsi C dari suatu variabel xpadainterval bukaI R1 dan misalkan x0 sembarangtitik di I. Deret
1.1n=0 fnx0n!(x-x0)n
Disebut deret Taylor dari fungsi fdi sekitar titik x0.
fn menyatakan turunan ke-ndari f. Untuk sembarang fungsi f C , Deret Taylor (1.1) mungkin tidak konvergen atau jika ia konvergen, belum tentu konvergen terhadap f(x). Fungsi C khusus yang memiliki deret Taylor yang konvergen terhadap f(x) untuk semua x di sekitar x0, disebut analitik pada x0.
Definisi 1.1
Misalkanf C I, dimana I adalah interval terbuka dari R1, dan misalkan x0 sembarang titik pada I. Jika deret Taylor (1.1) dari fdi sekitarx0 konvergen terhadap f(x) untuk setiap x pada persekitaran x0, maka f disebut analitik pada x0. Jika f analitik di setiap titik pada I maka f disebut fungsi analitik pada interval I.
Contoh
Deret Taylor darifungsifx=exdi sekitar titik asal adalah
n=0 fnx0n!x-x0n=n=0 1n!xn
Deret di atas konvergen terhadap ex untuk setiap x R1. Maka, fungsi ex analitik pada titik asal. Selanjutnya, fungsi tersebut analitik di seluruh garis bilangan real R1sehingga
ex=n=0 1n!xn , x R1
Contoh lain
Fungsisinxdan cosx analitik pada R1 dan
sinx=x-x33!+x55!-…, x R1
cosx=1-x22!+x44!-…, x R1
Misalkanf sebuah fungsi C yang terdefinisi pada beberapa domain Ω Rn dan misalkan x0 sembarang titik pada Ω. Deret
1.2(α1, … , αn)D1α1D2α2… Dnαnf(x0)α1!α2!… αn!(x1-x10)α1(x2-x20)α2… (xn-xn0)αn
Disebut deret Taylor dari f disekitar x0.
Dj= / xj, dan αj bilangan bulat non-negatif, j=1, …, n.
D1α1D2α2… Dnαnf= α1+α2+…+αnf x1α1 x2α2… xnαn
Deret (1.2) dapat dituliskan dalam bentuk yang lebih singkat dengan notasi
α=(α1, α2,… , αn)
xα=x1α1 x2α2… xnαn
Dα=D1α1D2α2… Dnαn
α!=α1!α2!… αn!
α=α1+α2+… +αn
maka deret Taylor (1.2) darif disekitarx0 dapat dituliskan dalam bentuk
1.3α 0Dαfx0α!(x-x0)α
Definisi 1.2
Misalkan f C Ω dimana Ω adalah sebuah domain padaRn dan misalkan x0 sembarang titik pada Ω. Jika deret Taylor (1.3) darif di sekitarx0 konvergen terhadap f(x) untuk semua x dipersekitaran x0, maka f disebut analitik pada x0. Jika f analitik pada setiap titik di Ω maka f suatu fungsi analitik di Ω.
Teorema Cauchy Kovalensky
Misalkan fungsi ϕ analitik pada persekitaran titik asal dari Rn dan misalkan fungsi F analitik pada persekitaran titik 0,0, …, 0,ϕ0,, …, 0,ϕx10,, …, 0, …, ϕxn0,, …, 0 dari R2n+2 Maka masalah Cauchy (2.7)-(2.8) memiliki solusi ut,x1, …,xn yang terdefinisi dan analitik pada persekitaran di titik asal diRn+1 dan solusinya unik dalam kelas fungsi analitik.
Misalkan diketahui
2.1dudt=F(t,u)
2.2 u0=u0
adalah masalahnilaiawaluntukpersamaan diferensial biasa berordesatudenganvariabel yang tidakdiketahuiu dan variabel bebas t.
Akan dicari solusi utdarimasalah (2.1)-(2.2) yang terdefinisi di beberapa interval padasumbu-t yang memuattitik t=0.
Asumsikan bahwa fungsi F analitik pada persekitaran titik t,u=0,u R2, sehingga F memiliki deret Taylor yang konvergen terhadap F(t,u) untuk setiap titik (t,u) pada persekitaran titik 0,u0. Maka teorema Cauchy-Kovalevsky menunjukkan masalah nilai awal (2.1)-(2.2) memiliki solusi u(t) yang terdefinisi dan analitik pada interval yang memuat titik t=0.
Bagaimana mencari deret Taylor u(t) di sekitar titik t=0?
Selanjutnya, misalkan diketahui
2.4 u t=Ft,x,u, u x
2.5 u0,x=ϕx.
Adalah masalah nilai awal atau masalah Cauchy untuk persamaan diferensial parsial berorde satu dengan variabel tidak diketahui u dan dua variabel bebas t dan x. Diberikan fungsi ϕ yang terdefinisi pada beberapa interval C dari sumbu-x yang memuat titik asal. Akan dicari suatu solusi u(t,x) dari masalah Cauchy (2.4)-(2.5) yang terdefinisi untuk t,x di beberapa domain Ω pada bidang-(t,x) yang memuat kurva awal C.
Asumsikan bahwa fungsi ϕ(x) yang diberikan, analitik pada persekitaran titik asal di sumbu-x. Maka,dari kondisi awal (2.5) dapat dihitung seluruh turunan parsial dar iu terhadap x pada titik asal,
nu xn0,0=ϕn0, n=0,1,2, …
Asumsikan juga bahwa fungsi F analitik di persekitarantitik(0,0,ϕ0,ϕ10) di R4. Maka teorema Cauchy-Kovalevsky menyatakan bahwa masalah (2.4)-(2.5) memiliki solusiut,x yang terdefinisi dan analitik pada persekitaran titik asal dari bidang –t,x.
Untuk mencari deret Taylor dari ut,x di sekitar titik asal, harus dihitung nilai dari semua turunan parsial u pada titik asal.
Turunan dari nu/ xn dapat dihitung dari kondisi awal (2.5). Dengan mensubstitusikan pada (2.4) nilai t=0, x=0 dan nilai u yang telah diperoleh sebelumnya. dan u x pada (0,0), diperoleh nilai turunan u t pada titik asal.
u t0,0=F0,0,ϕ0,ϕ10
untuk memperoleh nilai 2u/ x t, turunkan (2.4) terhadap x sehingga diperoleh
2u x t=F2t,x,u,ux+F3t,x,u,uxux+F4t,x,u,uxuxx
kemudian substitusikan t=0, x=0 dan nilai u,ux.uxx pada (0,0) yang telah diperoleh sebelumnya.
Selanjutnya, untuk mencari 2u/ t2, turunkan (2.4) terhadap t,
2u t2=F1t,x,u,ux+F3t,x,u,uxut+F4t,x,u,uxuxt
dan substitusikan t = x = 0 dan nilai u,ux,ut dan uxt pada titik asal yang telah diperoleh sebelumnya.
Dengan menurunkan (2.4) terhadap t dan x dan mensubstitusikan nilai u dan turunannya, diperoleh semua nilai turunan parsial dari u pada titik asal.
Deret Taylor untuk u(t,x) di sekitar titik asal adalah
αt,αxDtαtDxαxu0,0αt!αx!tαtxαx
Teorema Cauchy-Kovalevsky menunjukkan bahwa deret ini konvergen untuk semua (t,x) di beberapa persekitaran U dari domain asli dan mendefinisikan solusi
2.6ut,x=(αt,αx)DtαtDxαxu(0,0)αt!αx!tαtxαx
fungsi yang didefinisikan oleh (2.6) memenuhi p.d.p. (2.4) untuk setiap (t,x) U dan kondisi awal (2.5) untuk setiap titik (0,x) dari C yang termuat di U.
Misalkan diketahui
2.7 u t=F(t,x1, …,xn,u,ux1, …,uxn)
2.8 u0,x1, …,xn=ϕ(x1, …,xn)
adalah masalah nilai awal (masalah Cauchy) yang melibatkan sebuah persamaan diferensial parsial orde satu dalam satu variabel yang tidak diketahui u dan n+1 variabel bebas t,x1, …, xn. Fungsi Ft,x1, …,xn,u,x1, …,xn adalah sebuah fungsi dari 2n+2 variabel.
Teorema (Cauchy-Kovalevsky)
Misalkan fungsi ϕ analitik pada persekitaran titik asal dari Rn dan misalkan fungsi F analitik pada persekitaran titik 0,0, …, 0,ϕ0,, …, 0,ϕx10,, …, 0, …, ϕxn0,, …, 0 dari R2n+2.
Maka masalah Cauchy (2.7)-(2.8) memiliki solusi ut,x1, …,xn yang terdefinisi dan analitik pada persekitaran di titik asal di Rn+1dan solusinya unik dalam kelas fungsi analitik.
Teorema ini menyatakan 2 hal yaitu :
1. Terdapat solusi analitik di beberapa persekitaran titik asal
2. Solusi unik pada kelas fungsi analitik
Maksud dari keberadaan adalah terdapat sebuah fungsi ut,x1, … , xn yang terdefinisi dan analitik di persekitaran U dari titik asal di Rn+1 sehingga pada setiap titik t,x1, … , xn dari U, memenuhi ut,x1, … , xn memenuhi (2.7) dan pada setiap titik 0,x1, … , xn pada bagian S yang termuat di U memenuhi (2.8) kondisi awal.
bukti keberadaan menunjukan bahwa koefisien deret taylor adalah
2.9 (αt,α1, …,αn)DtαtD1α1… Dnαn u(0,…,0)αt!α1!… αn!
Contoh 2.1
Temukan semua suku yang berorde 3 dalam deret Taylor di sekitar titik asal dari solusi masalah nilai awal
(2.10) ut=uux
(2.11) u0,x=1+x2
Pada masalah iniϕx=1+x2dan fungsi adalah fungsiϕ analitik pada persekitaran titik asal dari sumbu-x (pada kenyataannya analitik di seluruh sumbu-x). ux0,0= ϕ'x=0.
Selain itu,Ft,x,u,p=updan fungsi ini analitik di persekitaran dari (0,0,1,0) diR4(pada kenyataannya fungsi tersebut analitik di seluruh R4 ). Oleh karena itu, dengan menggunakan teorema Cauchy-Kovalevsky, masalah Cauchy (2.10)-(2.11) memiliki solusi analitik di persekitaran titik asal pada bidang(t,x). Kita harus menghitung semua turunan dariuberorde 3 di titik asal.
Dari (2.11) kita memiliki
u0,x=1+x2, ux0,x=2x, uxx0,x=2, uxxx0,x=0
Oleh karena itu,
u0,0=1, ux0,0=0, uxx0,0=2, uxxx0,0=0
dari (2.10) kita mempunyai
ut=uux, utx=uuxx+u2x, utxx=3uxuxx+uuxxx
dan dengan menggunakan nilai yang telah diperoleh sebelumnya kita diperoleh
ut0,0=0, utx0,0=2, utxx0,0=0
dari (2.10) didapat
utt=utux+uutx, uttx=utuxx+2uxutx+uutxx
dan dengan menggunakan nilai yang telah dperoleh sebelumnya diperoleh
utt0,0=2, uttx0,0=0.
akhirnya dari (2.10) didapat
uttt=uttux+2ututx+uuttx
oleh karena itu
uttt0,0=0.
Deret Taylor untuk u(t,x) di sekitar titik asal adalah
ut,x=(αt,αx)DtαtDxαxu(0,0)αt!αx!tαtxαx
=1+t2+2tx+x2+…
Contoh Soal:
Diketahui PDB
dydx= 12x- 12y
dengan y0=1. Tentukan y(0.50) dengan metode deret Taylor (h=0.25)
Penyelesaian:
x0=0 y0=1
x1=0.25 y1=?
y(x1)=y(x0)+y'(x0)h+y"(x0)2!h2+y3(x0)3!h3+...+yn(x0)n!hn
Misal kita hanya menghitung y(x1) sampai orde ke-4 saja.
y'x=12x- 12y
y"x=dydx( 12x- 12y)
=12+f. -12
=12-12x- 12y. 12
=12-14x- 14y
y"'x=dydx12-14x- 14y
=-14+f. 14
=-14+12x- 12y. 14
=-14+18x- 18y
y(4)x=dydx-14+18x- 18y
=18+f. -18
=18+12x- 12y. -18
=18-116x- 116y
Diperoleh:
yx0=y0=1
y'(x0)=y'0=12 ×0-12 ×1=-12
y"x0=34
y(3)x0=-38
y(4)x0=316
Sehingga
yx1=0.8974915
yx2=0.8364037
Jadi,
y0.50=0.8364037
BAB III
ALGORITMA dan FLOW CHART
Algoritma:
Cetak Judul
Definisikan f(x,y) = ½ x – ½ y
def f(x,y):
o=0.5*x-0.5*y
return o
Definisikan turunan f(x,y)
def deriv(x,y):
h=0.000001
z=round(((f(x+h,y)-f(x,y))/h)+(f(x,y)*(((f(x,y+h)-f(x,y))/h))),4)
return z
Definisikan faktorial
def fakt(p):
faktor=1
for i in range (p):
i=i+1
faktor=faktor*i
return faktor
Inisiasi y=1
Inisiasi x=0
Input x yang ingin dicari
Input nilai h
while h<=x1:
a=f(x,y)
aa=f(h,y)
c=deriv(x,y)
cc=deriv(h,y)
d=(c*a)
dd=(cc*aa)
ee=(dd*aa)
e=(d*a)
kk=[]
kk.append(a)
kk.append(c)
kk.append(d)
kk.append(e)
jumlah=0
galat=((h)**(len(kk))*(ee-kk[3]))/fakt(len(kk)+1)
g=h
for i in range (len(kk)):
dd=float(kk[i]*g/fakt(i+1))
jumlah+=dd
g=g*h
hasil=jumlah+y+galat
h+=h
Cetak nilai galat
Cetak Hasil
Def faktorial (p):faktor=1Return faktorfor i in range (p): i=i+1faktor=faktor*iFlow Chart:
Def faktorial (p):
faktor=1
Return faktor
for i in range (p):
i=i+1
faktor=faktor*i
Def f(x,y):o=0.5*x-0.5*yReturn o Def deriv(x,y):h=0.000001z=round(((f(x+h,y)-f(x,y))/h)+ (f(x,y)*(((f(x,y+h)-f(x,y))/h))),4)Return z Start Cetak JudulDef f(x,y):Input x1 yang ingin dicari dan hDef deriv(x,y):Def faktorial(p):Inisiasi y=1x=0While h<=x1: a=f(x,y)aa=f(h,y)c=deriv(x,y)cc=deriv(h,y)d=(c*a)dd=(cc*aa)ee=(dd*aa)e=(d*a)kk=[]kk.append(a)kk.append(c)kk.append(d)kk.append(e)jumlah=0galat=((h)**(len(kk))*(ee-kk[3]))/fakt(len(kk)+1)g=hfor i in range (len(kk)):dd=float(kk[i]*g/fakt(i+1)) jumlah+=ddg=g*hhasil=jumlah+y+galath+=hCetak galat dan hasilnyaEnd
Def f(x,y):
o=0.5*x-0.5*y
Return o
Def deriv(x,y):
h=0.000001
z=round(((f(x+h,y)-f(x,y))/h)+
(f(x,y)*(((f(x,y+h)-f(x,y))/h))),4)
Return z
Start
Cetak Judul
Def f(x,y):
Input x1 yang ingin dicari dan h
Def deriv(x,y):
Def faktorial(p):
Inisiasi
y=1
x=0
While h<=x1:
a=f(x,y)
aa=f(h,y)
c=deriv(x,y)
cc=deriv(h,y)
d=(c*a)
dd=(cc*aa)
ee=(dd*aa)
e=(d*a)
kk=[]
kk.append(a)
kk.append(c)
kk.append(d)
kk.append(e)
jumlah=0
galat=((h)**(len(kk))*(ee-kk[3]))/fakt(len(kk)+1)
g=h
for i in range (len(kk)):
dd=float(kk[i]*g/fakt(i+1))
jumlah+=dd
g=g*h
hasil=jumlah+y+galat
h+=h
Cetak galat dan hasilnya
End
BAB V
CODING
