DERET TAYLOR Makalah Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah : Komputer Dan Komputasi Numerik Dosen : Dian Rosdiana, SST
Disusun Oleh : Nama
: Muhammad Afief
NIM
: MK127020
Prog. Studi
: MEKATRONIK
Semester
: III (TIGA)
POLYTECHNIC OF TEDC BANDUNG Jln. Pesantren Km. 2, Cibabat, Cimahi Indonesia 40513
KATA PENGANTAR
Dengan memanjatkan puji dan syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa, atas rahmat dan karunia-Nya, Alhamdulillah penyusun dapat menyelesaikan makalah ini. Dengan selesainya makalah ini, penyusun mengucapkan terima kasih kepada yang terhormat dosen Metode Numerik, Bapak Saluky, M.Kom yang telah memberikan arahan dan bimbingan sehingga penyusun dapat menyelesaikan makalah ini. Disadari bahwa untuk membuat makalah yang berbobot dan memuaskan semua pihak, bagi penyusun bukanlah merupakan pekerjaan ringan. Untuk itu, diharapkan kritik dan saran demi perbaikan di masa datang. Demikian harapan penyusun, semoga makalah ini dapat memberikan manfaat dan kebaikan bagi pembaca.
BAB I PEMBAHASAN A. Latar Belakang Tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan dapat diselesaikan dengan mudah. Dibutuhkan metode yang menggunakan analisis-analisis pendekatan persoalan-persoalan non linier untuk menghasilkan nilai yang diharapkan. Kesulitan menggunakan metode analitik untuk mencari solusi exact dengan jumlah data yang besar, diperlukan perhitungan komputer, metode numerik menjadi penting untuk menyelesaikan permasalahan ini. Pemakaian
metode analitik terkadang sulit diterjemahkan kedalam algoritma yang dapat
dimengerti oleh komputer. Metode numerik yang memang berangkat dari pemakaian alat bantu hitung merupakan alternatif yang baik dalam menyelesaian persoalan-persoalan perhittungan yang rumit. Salah satunya dengan Deret Taylor dan Analisis Galat. B.
Rumusan Masalah Berdasarkan Latar Belakang masalah yang telah dikemukakan diatas maka dapat di rumuskan permasalahan makalah ini yaitu agar kita bisa memahami Metode Numerik dengan Deret Taylor.
C.
Tujuan
1)
Untuk memahami metode numerik
2)
Untuk memahami Deret Taylor
BAB II PEMBAHASAN A.
Metode Numerik Secara Umum Metode numerik merupakan suatu metode untuk menyelesaikan masalah-masalah matematika dengan menggunakan sekumpulan aritmatik sederhana dan operasi logika pada sekumpulan bilangan atau data numerik yang diberikan. Metode komputasi yang digunakan disebut algoritma. Proses penyelesaiannya mungkin memerlukan puluhan bahkan sampai jutaan operasi, tergantung pada kompleksitas masalah yang harus diselesaikan, tingkat keakuratan yang diinginkan dan seterusnya. Pendekatan yang digunakan dalam metode numerik merupakan pendekatan analitis matematis. Sehingga dasar pemikirannya tidak keluar dari dasar pemikiran analitis, hanya saja teknik perhitungan yang mudah merupakan pertimbangan dalam pemakaian metode numerik. Mengingat bahwa algoritma yang dikembangkan dalam metode numerik adalah algoritma pendekatan maka dalam algoritma tersebut akan muncul istilah iterasi yaitu pengulangan proses perhitungan. Dengan kata lain perhitungan dengan metode numerik adalah perhitungan yang dilakukan secara berulang-ulang untuk terus-menerus memperoleh hasil yang semakin mendekati nilai penyelesaian yang sebenarnya. Dengan menggunakan metode pendekatan semacam ini, tentunya setiap nilai hasil perhitungan akan mempunyai galat (error ) atau nilai kesalahan. Kesalahan ini penting artinya, karena kesalahan dalam pemakaian algoritma pendekatan akan menyebabkan nilai kesalahan yang besar, tentunya ini tidak diharapkan. Sehingga pendekatan metode numerik selalu membahas tingkat kesalahan dan tingkat kecepatan proses yang akan terjadi. Masalah-masalah matematika yang sering kita hadapi merupakan masalah matematika yang diselesaikan dengan metode analitik atau metode sejati, yaitu suatu metode yang memberikan solusi sejati atau solusi yang sesungguhnya, karena memiliki galat ( error ) yang bernilai nol. Tetapi penyelesaian dengan menggunakan metode analitik hanya terbatas pada masalah tertentu saja. Bila metode analitik tidak dapat lagi diterapkan, maka solusinya masih dapat dicari yaitu dengan menggunakan metode numerik. Pada metode numerik solusinya merupakan hampiran (pendekatan) terhadap solusi sejati.
B. Deret Taylor Definisi Deret Taylor Deret Taylor dari sebuah fungsi riil atau fungsi kompleks f ( x ) yang terdiferensialkan takhingga dalam sebuah persekitaran sebuah bilangan riil atau kompleks a adalah deret pangkat
yang dalam bentuk lebih ringkas dapat dituliskan sebagai
( )
dengan n! melambangkan faktorial n dan f n (a) melambangkan nilai dari turunan ke-n dari f pada titik a. 0
Turunan kenol dari f didefinisikan sebagai f itu sendiri, dan ( x − a) dan 0! didefinisikan sebagai 1. Dalam kasus khusus di mana a = 0, deret ini disebut juga sebagai Deret Maclaurin.
Teorema Taylor dalam satu variabel Dalam kalkulus, teorema Taylor memberikan barisan pendekatan sebuah fungsi yang diferensiabel pada sebuah titik menggunakan suku banyak (polinomial). Koefisien polinomial tersebut hanya tergantung pada turunan fungsi pada titik yang bersangkutan. Teorema ini juga memberikan estimasi besarnya galat dari pendekatan itu. Teorema ini mendapat nama dari matematikawan Brook Taylor, yang menyatakannya pada tahun 1712, meskipun hasilnya sudah ditemukan pertama kali tahun 1671 oleh James Gregory. Teorema Taylor dalam satu variabel Teorema Taylor menyatakan sembarang fungsi mulus dapat dihampiri dengan polinomial. Contoh sederhana penerapan teorema Taylor adalah hampiran fungsi eksponensial ex di dekat x = 0:
Hampiran ini dinamakan hampiran Taylor orde ke-n’ terhadap ex karena menghampiri nilai fungsi eksponensial menggunakan polinomial derajat n. Hampiran ini hanya berlaku untuk x mendekati nol, dan bila x bergerak menjauhi nol, hampiran ini menjadi semakin buruk. Kualitas hampiran dinyatakan oleh suku sisa:
Lebih umum lagi, teorema Taylor berlaku untuk setiap fungsi yang dapat diturunkan ƒ, dengan hampiran untuk x di dekat titik a, dalam bentuk:
Suku sisa adalah perbedaan antara fungsi dan polinomial hampirannya:
Meskipun rumus eksplisit untuk suku sisa ini jarang digunakan, teorema Taylor juga memberikan estimasi nilai sisanya. Dengan kata lain, untuk x cukup dekat terhadapa, suku sisa haruslah cukup kecil . Teorema Taylor memberikan informasi persis seberapa kecil suku sisa tersebut. Pernyataan
Pernyataan cermat teorema ini adalah sebagai berikut: bila n ≥ 0 adalah bilangan bulat dan f adalah fungsi yang terturunkan kontinu pada selang tertutup [a, x ] dan terturunkan n + 1 kali pada selang terbuka (a, x ), maka
Di sini n! melambangkan n faktorial dan R n( x ) adalah suku sisa, melambangkan beda antara polinomial Taylor derajat-n terhadap fungsi asli. Suku sisa R n( x ) tergantung pada x , dan kecil bila x cukup dekat terhadap a. Ada beberapa pernyataan untuk suku sisa ini. Bentuk Lagrange
[1]
dari suku sisa menyatakan bahwa terdapat bilangan ξ antara adan x sedemikian
sehingga
Ini mengungkapkan teorema Taylor sebagai perampatan teorema nilai rata-rata. Sebenarnya, teorema nilai rata-rata digunakan untuk membuktikan teorema Taylor dengan suku sisa bentuk Lagrange.
Bentuk Cauchy
[2]
suku sisa menyatakan bahwa terdapat bilangan ξ antara a dan x sehingga
Secara umum, bila G(t ) adalah fungsi kontinu pada selang tertutup [a, x ], yang terturunkan dengan turunan tidak nol pada (a, x ), maka ada suatu bilangan ξ antara adan x sehingga
Ini mengungkapkan teorema Taylor sebagai generalisasi teorema nilai rata-rata Cauchy. [3]
Bentuk di atas terbatas pada fungsi riil. Namun bentuk integral dari suku sisa juga berlaku untuk fungsi kompleks, yaitu:
dengan syarat, seperti yang biasa ditemui, f n kontinu mutlak dalam [a, x ]. Ini menunjukkan teorema ini sebagai perampatan teorema dasar kalkulus. Secara umum, suatu fungsi tidak perlu sama dengan deret Taylor-nya, karena mungkin saja deret Taylor tersebut tidak konvergen, atau konvergen menuju fungsi yang berbeda. Namun, untuk banyak fungsi f ( x ), kita dapat menunjukkan bahwa suku sisa R n mendekati nol saat n mendekati ∞. Fungsi-fungsi tersebut dapat dinyatakan sebagai deret Taylor pada persekitaran titik a, dan disebut sebagai fungsi analitik.
Estimasi Suku Sisa Versi umum teorema Taylor lainnya berlaku pada selang ( a − r , a + r ) tempat variabel x mengambil nilainya. Perumusan teorema ini memiliki keuntungan bahwa mungkin mengendalikan ukuran suku-suku sisa, dan dengan demikian kita dapat menghitung hampiran fungsi yang sahih pada seluruh selang, dengan batas yang cermat untuk mutu hampirannya. Versi yang cermat untuk teorema Taylor dalam bentuk ini adalah sebagai berikut. Misalkan ƒ adalah fungsi yang terturunkan kontinu n kali pada selang tertutup [a - r , a+ r ] dan terturunkan n + 1 kali pada ( +1)
selang terbuka (a − r , a + r ). Bila ada konstanta positif riil M n sedemikian sehingga |ƒ n
( x )| ≤ M n untuk
semua x ∈ (a − r , a + r ), maka
di mana fungsi sisa R n memenuhi ketidaksamaan (dikenal sebagai estimasi Cauchy)
untuk semua x ∈ (a − r , a + r ). Ini disebut sebagai estimasi seragam galat pada polinomial Taylor yang terpusat pada a, karena ini berlaku seragam untuk setiap x dalam selang. Bila ƒ adalah fungsi mulus pada [a − r , a + r ], maka konstanta positif M n ada untuk tiapn = 1, 2, 3, … ( +1)
sedemikian sehingga | ƒ n
( x )| ≤ M n untuk semua x ∈ (a − r , a + r ). Tambahan lagi, jika mungkin memilih
konstanta ini, sehingga
as
maka ƒ adalah fungsi analitik pada (a − r , a + r ). Secara khusus, suku sisa pada hampiran Taylor, R n( x ) cenderung menuju nol secara seragam saat n→∞. Dengan kata lain, fungsi analitik adalah limit seragam dari polinomial Taylornya pada sebuah selang.
Pembuktian : satu variabel Berikut adalah bukti teorema Taylor dengan suku sisa integral Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa
yang dapat disusun ulang menjadi:
[4]
Sekarang kita dapat melihat bahwa penerapan integrasi parsial menghasilkan
dandv = dt ; persamaan kedua didapatkan dengan mencatat bahwa
; yang ketiga didapatkan dengan
mengeluarkan faktor yang sama. Bila integrasi parsial ini diteruskan didapatkan:
Dengan mengulangi proses ini, kita dapat menurunkan teorema Taylor untuk nilai n yang lebih tinggi. Proses ini dapat diformalkan dengan menerapkan teknik induksi matematika. Jadi misalkan teorema Taylor berlaku unutk n tertentu, yaitu, misalkan
Mensubstitusikan ini dalam (*) membuktikan teorema Taylor untuk n + 1, dan karenanya untuk semua n bilangan bulat non-negatif. Suku sisa dalam bentuk Lagrange dapat diturunkan dengan teorema nilai rata-rata untuk integral dengan cara berikut:
di mana ξ adalah suatu bilangan dari selang [a, x ]. Integral terakhir dapat dievaluasi langsung, yang menghasilkan
Secara lebih umum, untuk tiap fungsi G(t ), teorema nilai rata-rata menjamin eksistensi ξ dalam selang [a, x ] yang memenuhi
Deret Pangkat Dalam matematika, deret pangkat (satu variabel) adalah deret takhingga dalam bentuk
dengan an melambangkan koefisien suku ke-n, c adalah konstanta dan x berubah-ubah di sekitar c (karena alasan ini kadang-kadang deret seperti ini dikatakan berpusat di c ). Deret ini biasanya berupa deret Taylor dari suatu fungsi. Pada banyak keadaan c sama dengan nol, contohnya pada deret Maclaurin. Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana:
Deret pangkat biasanya ditemukan dalam analisis matematika, tapi juga dapat ditemukan pada kombinatorika (dengan nama fungsi pembangkit), dan pada teknik elektro (dengan nama transformasi Z).
BAB III KESIMPULAN
Kebanyakan dari metode-metode numerik yang diturunkan didasarkan pada penghampiran fungsi kedalam bentuk polinom. Fungsi yang bentuknya kompleks menjadi lebih sederhana bila dihampiri dengan polinom. Galat pada solusi numerik harus di hubungkan dengan seberapa teliti polinom menghampiri fungsi sebenarnya. Dan kakas yang digunakan untuk membuat polinom hampiran adalah deret taylor.
