PERKALIAN SKALAR (DOT PRODUCT) DUA VEKTOR Perkalian dua vektor dapat diedakan !en"adi perkalian titik (dot produ#t) $an% ia&a di&eut perkalian &kalar' dan perkalian &ilan% (#ro&& produ#t) $an% ia&a di&eut perkalian vektor Perkalian &kalar atau perkalian titik antara dua vektor !en%a&ilkan nilai &kalar &edan%kan perkalian &ilan% antara dua vektor !en%a&ilkan vektor pula Perkalian titik dua vektor dide*eni&ikan &ea%ai &uatu &akalar $an% nilain$a &a!a den%an a&il kali antara e&ar kedua vektor den%an #o&inu& &udut apitn$a Perkalian &kalar dua vektor dapat dika"i &e#ara %eo!etri& ataupun &e#ara al"aar +a&il $an% diperole erda&arkan dua !etode ter&eut adala &a!a e&ar ,erikut ru!u& perkalian &kalar Perkalian Skalar Se#ara .eo!etri& Se#ara %eo!etri&' perkalian &kalar antara dua vektor adala a&il kali antara e&ar vektor perta!a den%an pro$ek&i vektor kedua Untuk lei "ela&n$a peratikan %a!ar di a/a ini Se#ara !ate!ati& perkalian &kalar dua vektor dapat ditentukan den%an ru!u& a 0 1a111 #o& 2 Den%an 1a1 0 e&ar vektor a 1 1 0 e&ar vektor 2 0 &udut antara vektor a dan 3i&al dua vekto vektorr A dan , din$ataka din$atakan n den%an den%an - A 0 a4 5 6 5 # k , 0 k4 5 !6 5 n k 3aka perkalian &kalar antara A dan , adala ⇒ A.B = |A|.|B| cos θ ⇒ A.B = √a2 + b2 + c2.√k2 + m2 + n2 cos θ
Rumus perkalian skalar di atas biasanya digunakan untuk menentukan besar sudut antara dua vektor dengan menggunakan hasil kali erda&arkan peritun%an al"aar Selain itu' ru!u& ini "u%a di%unakan untuk !enentukan nilai variael dala! vektor "ika &udut apitn$a diketaui Conto Diketaui Diketaui vektor vektor A 0 74 5 86 5 9 k dan , 0 4 5 76 : ; k Sudut Sudut antara antara A dan , adala adala A <=o D 98o , >=o E ;=o C 8;o Pe!aa&an - ,erda&arkan ru!u& perkalian &kalar ⇒ A.B = |A|.|B| cos θ ⇒ 2! 2! + "# + $ k%! %! + 2# & ' k% = |A|. |A|.|B |B|| cos cos θ
⇒ 2(% + "2% + $%)'% = |A|.|B| cos θ ⇒ 2 + (* & (2 = |A|.|B| cos θ ⇒ * = |A|.|B| cos θ ⇒ cos θ = * ⇒ θ = *o
,a-aban A /iketahui vektor a = 2! + $# & n k dan B = ! + 2# + 2 k. ,ika kedua vektor tersebut saling tegak lurus0 maka nilai n adalah ..... A. (** m D ??8 ! , ?=8 ! E ?78 ! C ??= ! Pe!aa&an ,erda&arkan kon&ep perkalian &kalar &e#ara %eo!etri& ⇒ a.b = |a|.|b| cos θ ⇒ a.b = |a|.|b| cos *o ⇒ 2! + $# & n k%.! + 2# + 2 k% = |a|.|b| *% ⇒ 2(% + $2% + )n%2% = * ⇒ 2 + 1 & 2n = * ⇒ (* & 2n = * ⇒ )2n = )(* ⇒ n = " erkalian 3kalar
3ecara Al4abar 5isal dua vektor A dan , din$atakan den%an A 0 a4 5 6 5 # k , 0 k4 5 !6 5 n k 3aka perkalian &kalar antara A dan , adala ⇒ A.B = ak% + bm% + cn%
6ontoh 7ektor a dan b diberikan sebagai berikut a = 7 dan 0 9 @? 7 @; @? Tentukan a&il perkalian &kalar antara a dan Pe!aa&an ⇒ a.b = ak% + bm% + cn% ⇒ a.b = 2! & # & ' k%$! + 2# & k% ⇒ a.b = 2$% + )(%2% + )'%)(%
⇒ a.b = 1 & 2 + ' ⇒ a.b = <
Su!er- ttp-aanela"ar&ekolalo%&pot#oid7=?8=8perkalian@&kalar@dot@ produ#t@dua@vektort!lBen Content i& Courte&$ o* aanela"ar&ekolalo%&pot#o!
Perkalian Vektor Dan Contoh Soal Saturday, November 8th 2014. | rumu !iika
Perkalian Vektor " #emarin kita telah bela$ar tentan% &en$umlahan dan &en%uran%an vektor . 'uk kita beran$ak ke &erkalian vektor. (earan vektor bia dikalikan den%an bearan vektor mau&un bearan kalar. )da * ma+am &erkalian vektor. (erikut ulaan len%ka&nya.
1. Perkalian Skalar dengan Vektor Skalar bia dikalikan den%an ebuah vektor. ial obat &unya nih vektor ( yan% meru&akan hail &erkalian dari kalar k den%an vektor ) maka
B = kA k adalah bilan%an -kalar. /adi vektor ( adalah vektor yan% bearnya 4 kali vektor ) dan arahnya earah den%an vektor ). Perkalian kalar den%an vektor &unya i!at ditributi!
k (A+B) = k A + kB ni $u%a berlaku untuk untuk bentuk vektor kom&onen 2 dimeni atau ti%a dimeni.
r
=
xi
+
yj
kr = kx i + ky j 2. Perkalian Titik (Dot Product) Perkalian titik antara dua vektor ).( dide!iniikan eba%ai uatu kalar yan% ama den%an hail kali dari bear kedua vektor den%an +oinu udut a&itnya. /ika obat maih bin%un% ederhananya e+ara %eometri &erkalian titik dari 2 buah vektor adalah hail kali vektor 1 den%an &royeki vektor 2 den%an den%an vektor 1. Contoh
Perhatikan %ambar vektor ) dan ( di ata. Pan%kal keduanya membentuk udut ebear maka
Simbol dari &erkalian titik adalah -. yan% erin% diebut &erkalian titik - dot product . #arenan &erkalian titik ini men%hailkan kalar maka erin% diebut $u%a den%an scalar product.
Perkalian itik mem&unyai i!at ditributi! ehin%%a
A.(B+C) = A.B + A.C Pada &erkalian titik $u%a berlaku i!at komutati!
A.B = B.A (erikut bebera&a hal yan% &entin% dalam &erkalian titik a.
Pada &erkalian titik dua vektor berlaku i!at ditributi! eba%aimana di$elakan di ata.
b.
/ika
kedua
vektor
)
dan
( saling
tegak
lurus -udut
a&it
teta
3
05
maka
).( 3 0 +.
/ika
kedua
vektor searah )
dan
(
-udut
a&it
teta
3 05
maka
).( 3 )( d.
/ika
kedua
vektor
)
dan
( berlawan
arah -udut
a&it
teta
3
1805
maka
).( 3 6)( Perkalian Titik Menggunakan Vektor Satuan 7ntuk melakukan &erkalian titik dari vektor atuan terlebih dahulu kita nyatakan vektor ) dan ( dalam kom&onen6kom&onennya. vektor ) dan ( kita uraikan dulu A –> A x Ay j Az k� ( "9 B x By j Bz k� Sekaran% kita +ari tahu hail &erkalian vektor kom&onen dari ) dot ( kemudian kita uraikan &erkaliannya. karena vektor kom&onen i, , dan adalah vektor kom&onen yan% alin% te%ak luru den%an � � k� membentuk udut 05 maka &erkalian titiknya i x i = j x j = k x k = (1) . (1) cos ! = 1 ("er#i$%it) i x j = i x k = j x k = (1).(1) cos &! = (tegak lurus)
).(
3
(A x , Ay j , Az k� -B x By j Bz k� )
).(
3
): ; < (: ; ): ; < (y = ): ; < (> k )y = < (: ; )y = < (y = )y = <(> k )> k < (: ; )> k < (y = � � � �
).(
3
): ; < (: ; 0 0 0 )y = < (y = 0 0� 0 )>
).(
3
� � ): ; < (: ; )y = < (y = )> k < (> k
< (> k k � �
3
): ; < (: ; )y = < (y = )> k < (> k � � "9 karena i : i 3 $ : $ 3 k : k 3 -1 . -1 +o 05 3 1 maka
A.B
= ABx� ! A"B# ! A$B$
%. Perkalian Silang (&ro'' Product) Perkalian ilan%a ) : ( &ada vektor dide!iniikan eba%ai uatu vektor yan% arahnya te%ak luru &ada bidan% dimana vektor ) dan ( berada dan men%ikuti aturan tan%an kanan, ementara bearnya vketor terebut ama den%an hail kali dari bear kedua vektor den%an inu udut a&it antara kedua vektor terebut. Se+ara matemati dirumukan
A x B = A sin ' (erikut adalah hal6hal &entin% dalam &erkalian ilan% dua buah vektor a.
Nilia 05 Pada &erkalian titik dua vektor berlaku 'iat di'triuti eba%aimana di$elakan di ata.
b.
Perkalian
ilan%
beri!at anti
ko*utati
A B = +B A +.
/ika kedua vektor ) dan ( alin% tegak lurus yaitu udut a&it teta 3 05 maka A B = AB
d.
/ika kedua vektoe ) dan ( e%ari -teta 3 05 da&at earah atau verla?anan maka AB=-
7ntuk lebih memahami &erkalian vektor dan $u%a &enentuan arah men%%unakan kaidah tan%an kanan ilahkan &erhatikan ilutrai berikut ialnya &erkalian ilan% dua vektor ) dan vektor ( kita tulikan eba%ai ) : ( -) ilan% (. Perkalian ilan% ini hailnya adalah beru&a vektor C. #arena beru&a vektor maka ia &unya bear dan $u%a arah. Be'ar Vektor a'il Perkalian Silang
Seuai rumu di ata, kita da&at menyim&ulkan bearnya hail &erkalian ilan% vektor ) dan ( -) : ( adalah hail kali vektor ) den%an kom&onen vektor ( yan% te%ak luru dan ebidan% den%an vektor ).
A x B = A (B sin ') = AB sin ' (a%iaman
kalau
kita
balik
men$adi
&erkalian
ilan%
vektor
(
den%an
vektor
)@
#ita buat ilutrainya terlebih dahulu e&erti %ambar di ba?ah ini
Dari %ambar di ata &erkalian ilan% antara vektor ( dan vektor ) adalah hail kali bear vektor ( den%an kom&onen vektor ) yan% te%ak luru dan ebidan% den%an vektor (.
B x A = B (A sin ') = BA sin ' Ara# Vektor asil Perkalian Silang Sekaran% ba%aimana menetukan arah dari hail &erkalian ilan% vektor ) : ( dan ( : )@ Ara/
a'il
Perkalian
Silang
A
B
Se&erti diebutkan ebelumnya &erkalian ilan% hailnya adalah vektor bukan kalar. /adi ia $u%a &unya arah. (earnya hail &erkalian udah kita temukan rumunya di ata, ekaran% kita akan bela$ar ba%aimana menentukan arahnya. #ita %ambar dulu kedua vektor ) dan ( -vektor ) dan ( ada bidan% datar yan% ama
#ita mialkan hail &erkalian ilan% ) : ( adalah vektor C. )rah vektor C nih te%ak luru den%an bidan% vektor ) dan (. 7ntuk menentukan arahnya kita bia men%%unakan kaida tan%an kanan. #ita men%%unakan tan%an den%an em&at $ari di%en%%amkan dan ibu $ari yan% dia+un%kan. #ita %en%%amkan $ari earah den%an arah dari ) ke ( -karena &erkalian ilan% ) : ( ehin%%a arahnya akan berla?anan den%an arah $arum $am. #ita te%akkan ibu $ari dan arah yan% ditun$ukkan oleh ibu $ari terebut adalah arah vektor C. bu $ari menun$uk ke ata.
Ara/ a'il Perkalian Silang B A Caranya e&erti ebelumnya karena ( : ) maka arah %en%%aman $ari -elain ibu $ari euai arah ( ke ). )rahnya adalah earah den%an arah $arum $am. aka ibu $ari menun$uk keba?ah. Simak ilutrai berikut.
Perkalian Silang dengan Vektor Satuan #ita da&at men%hitun% &erkalian ilan% $ika kita men%etahui kom&onen vektor yan% diketahui. Cara dan urutannya miri& &ada &erkalian titik. Perta*a #ita lakukan &erkalian ilan% vektor atuan i, $, dan k. -in%ar &erkalian ilan% ) : ( 3 )( in . #arena keti%a vektor atuan alin% te%ak luru maka i : i 3 ii in 05 3 0 $ : $ 3 $$ in 05 3 0 k : k 3 kk in 05 3 0
maka i : i 3 $ : $ 3 k : k 3 0 untuk &erkalian ilan% vektor atuan yan% berbeda men%%unakan atura iklu erikut
Aturann"a $ika
&erkalian
menurut
urutan
i
69
$
69
k
maka
hailnya
&oiti!
-euai
iklu
$ika &erkalian berkebalikan k69 $ 69 i maka hailnya adalah ne%ati! -berla?anan iklu 0edua #ita nyatakan vektor ) dan ( dalam kom&onen6kom&onennya, men%uraikan &erkaliannya dan men%%unakan &erkalian dari vektor6vektor atuannya. A < B 3 - A x Ay j Az k� < -B x By j Bz k� A < B
3
A x
<
B x
A x
<
By j
A x
<
Bz k�
+Ay j
<
B x
Ay j
<
By j
Ay j
<
Bz k�
+Az k�
<
B x
Az k�
<
By j
Az k�
<
Bz k�
nah etelah ini obat bia &akai aturan iklu &ada %ambar ebelumnya. A < B
3
A x By k�
A
A x Bz j
A
Ay B x k�
Ay Bz
Az B x j
A
Az By
dan taraaaa ketemu deh rumu &erkalian ilan% untuk vektor atuan A < B 3 - Ay Bz A Az By - Az B x A A x Bz j - A x By A Ay B x k�
Sekian dulu materi ba%aimana ih &erkalian vektor. /ika ada yan% belum $ela $an%an ra%u6ra%u untuk menanyakannya le?at kolom komentar di ba?ah ya.
Contoh Soal Vetor dan Pembahasannya Soal No. 10 Diberikan dua buah vektor masing-masing vektor dan besarnya adalah A = 8 satuan, B = 10 satuan. Kedua vektor ini membentuk sudut 37°. entukan hasil dari! a" A B b" A # B ⋅
Pembahasan a" A B adalah $erkalian titik %dot" antara vektor & dan vektor ' (ntuk $erkalian titik berlaku A B = A B )os * +ehingga A B = A B )os 37° = %8"%10"%0,8" = satuan ⋅
⋅
⋅
b" A # B adalah $erkalian silang %)ross" vektor & dan vektor ' (ntuk $erkalian silang berlaku A # B = A B sin * +ehingga A # B = A B sin 37° = %8"%10"%0," = 8 satuan
Soal No. 11 +ebuah gaya F = %i / 3 j" melakukan usaha dengan titik tangka$nya ber$indah menurut r = % i / a j" m dan vektor i dan j berturut-turut adalah vektor satuan yang searah dengan sumbu dan sumbu y $ada koordinat kartesian. 'ila u saha itu bernilai 2, maka nilai a sama den gan... &. '. 4. 7 D. 8 5. 1 +umber! +oal (6 ahun 11 Pembahasan +oal ini adalah soal $enera$an $erkalian titik %dot product " antara vektor gaya F dan vektor $er$indahan r dengan kedua vektor dalam bentuk i dan 9 atau vektor satuan. 'esaran yang dihasilkan nantinya adalah skalar %usaha termasuk besaran skalar, hanya memiliki besar, tan$a arah". (saha dilambangkan dengan : dari kata work. : = F r = %i / 39" ⋅ %i / a9" ⋅
4ara $erkalian titik dua vektor dalam bentuk i,9 adalah yang i kalikan i, yang 9 kalikan 9, hingga se$erti berikut = 8 / 3a 3a = ; 8 a = 18<3 = i dan 9 nya 9adi hilang karena i kali i atau 9 kali 9 hasilnya adalah satu. 'agaimana )ara $erkalian silang dua vektor dalam bentuk i dan 9 ntar kita tambahkan,...>&
Soal No. 12 Diberikan dua buah vektor masing-masing! & = i / 3 j ; k ' = 7i / j / k entukan hasil dari & # '
Pembahasan erkalian silang, A × B Cara pertama: 6isal ! A = %& i / &y j / &? k" dan B = %' i / 'y j / '? k" maka !
A × B = (A y Bz − Az By) i + (Az Bx − Ax Bz) j + (Ax By − Ay Bx) k @umus erkalian +ilang Dua Aektor %cross product " dalam i, 9, k Data ! A = i / 3 j ; k B = 7i / j / k
Ax = 4 Ay = 3 Az = − 2
Bx = 7 By = 2 Bz = 5
maka
A A A A
× B = %&y '? ; &? 'y" i / %&? ' ; & '?" j / %& 'y ; &y '" k × B = B%3"%" ; %;"%"C i / B%;"%7" ; %"%"C j / B%"%" ; %3"%7"C k × B = %1 / " i / %;1 ; 0" j / %8 ; 1" k × B = 1 i ;3 j ; 13k
umayan re$ot kalau mau dihaEal rumus $erkalian di atas, alternatiEnya dengan )ara yang kedua, Cara Kedua: A = i / 3 j ; k B = 7i / j / k +usun dua vektor di atas hingga se$erti bentuk berikut!
7ntuk mem&ermudah &erkalian, tambahkan dua kolom di ebelah kanan uunan yan% telah dibuat tadi hin%%a e&erti berikutB
(eri tanda &lu dan minu, ikuti +ontoh berikutB
Kalikan menyilang ke baFah terlebih dahulu dengan mem$erhatikan tanda $lus minus yang telah dibuat, lan9utkan dengan menyilang ke atas,
A A A A
× B = %3"%" i / %;"%7" j / %"%" k ; %7"%3"k ; %"%;" i ; %"%" j × B = 1 i ;1 j / 8 k ; 1k / i ; 0 j × B = %1 / " i / %; 1 ; 0" j / %8 ; 1" k × B = 1 i ; 3 j ; 13 k
