ALJABAR LINIER KELAS B KELOMPOK 7
PERKALIAN VEKTOR DENGAN VEKTOR DOT PRODUCT DAN CROSS PRODUCT
Oleh:
1. 2. 3. 4.
Aji Ary Irawan Sofhia Ma’rifatuz Zahro Khusnul Khotimah Firdaus Kuswinarko
(170210101057) (170210101061) (170210101074) (170210101116)
Dosen Pembina Mata Kuliah:
Drs. Didik Sugeng Pambudi, M.S. Ervin Oktavianingtyas, S.Pd., M.Pd.
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MIPA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS JEMBER
2018 DAFTAR ISI
Contens
Daftar Isi………………………………………………………………………………………… ..2 Materi…………………………………………………………………………………………… ...3 Perkalian Vektor ………………………………………………………………………… ..3 A. Perkalian Vektor dengan Skalar …………………………………………………… ....3 B. Perkalian Vektor dengan Vektor …………………………………………………… ...3 -
Dot Product……………………………………………………………………… .4
-
Cross Product…………………………………………………………………… ..5
C. Soal-soal Latihan…………………………………………………………………… ... Daftar Rujukan
Materi Perkalian Vektor 1. Perkalian Vektor dengan Skalar
Perkalian vektor dengan skalar adalah perubahan vektor awal dengan panjang yang sama atau bisa lebih panjang atau bisa lebih pende k dan sejajar dengan vektor awal dengan arah bisa berlawanan atau bisa juga searah dengan vektor awal yang juga bias kita sebut sebagai kelipatan vektor. a. Perkalian Vektor dengan Skalar secara Aljabar Secara aljabar, perkalian vektor dengan skalar hasilnya adalah semua unsur pada
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
vektor dikalikan dengan skalarnya. Misalkan vektor serta terdapat skalar k, maka
⃗
= (ka1, ka2) dan
= (a 1 , a2) dan = (b1, b 2, b 3)
= (kb1, kb2, kb3)
b. Perkalian Vektor dengan Skalar secara Geometri
Misalkan terdapat skalar k yang merupakan anggota bilangan real dan terdapat vektor
⃗
. Hasil perkalian skalar k dengan vektor
kita tulis
yang artinya suatu
vektor yang panjangnya k kali panjang vektor dengan beberapa kemungkinan yaitu: 1) Jika k > 1, maka 2) Jika k = 1, maka
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
searah dengan dan diperpanjang. sama dengan .
3) Jika 0 < k < 1, maka
searah dengan dan diperpendek.
4) Jika -1 < k < 0, maka
berlawanan arah dengan dan diperpendek.
5) Jika k = -1, maka
berlawanan arah dengan dan panjangnya sama.
6) Jika k < -1, maka
berlawanan arah dengan dan diperpanjang.
2. Perkalian Vektor dengan Vektor
-
Hasil Kali Titik Dua Vektor ( Dot Pr oduct )
a. Hasil Kali Skalar Dua Vektor di R 2 Perkalian di antara dua vektor tidak seperti perkalian di antara dua bilangan real. Perkalian di antara dua bilangan real hasil kalinya adalah sebuah bilangan real lagi. Namun, hasil kali dua vektor belum tentu demikian. Ada beberapa jenis perkalian vektor dengan notasi dan hasil yang berbeda. Ada perkalian titik (dot product), perkalian silang (cross product), dan perkalian bar
(bar product). Pada subbab kali ini kita fokus membahas tentang perkalian titik atau hasil kali skalar dari dua vektor. (Karso) Kita Perhatikan dua buah vektor yang bukan merupakan
vektor nol, misalnya =
⃗
=
⃗
dan
yang dimaksud hasil kali
skalar dari dua vektor, yaitu
vektor dan vektor adalah bentuk :
Dengan
||. ||.
adalah sudut yang dibentuk di antara
(definisi)
⃗ dan
, 0°
≤
≤
180°
b. Hasil Kali Skalar Dua Vektor di R 3
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ={ |0|. ||. ≠0=0 ⃗⃗=0≠0 Sama seperti halnya vektor-vektor di R 2, bahwa jika dan
vektor di ruang 3(R 3) dan sudut di antara
dan , maka hasil skalar atau
perkalian titik (dot product) dan didefinisikan oleh: .
c. Perkalian Titik Pada Vektor Satuan
adalah vektor-
Vektor satuan
, ,
merupakan vektor yang saling tegak lurus satu
sama lain dengan kata lain besar α = 90° dan nilai ketiga vektor tersebut adalah 1. Maka, hasil perkalian titik pada vektor satuan tersebut adalah:
. =. =. =1. 1 cos0 =1 . =. =. =1. 1 cos90 =0 °
(berhimpit)
°
(tegak lurus)
Dengan menggunakan hasil perkalian titik pada vektor satuan di atas, kita dapat mencari hasil perkalian titik suatu vektor yang dinyatakan dalam vektor satuan. Misalkan, terdapat dua vektor berikut:
⃗ ⃗ .
) → . =. =. =1. 1 cos90 =0 → . =. =. =1. 1 cos0 =1 ⃗. ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ( ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ |⃗| ⃗ ⃗ ⃗ ≠ ≠ ⃗ ⃗ = Ax + Ay + Az = Bx + By + Bz
=( Ax + Ay + Az
( Bx + By + Bz )
= A x . B x + A x . B y + A x . B z + A y . B x + A y . B y + Ay . Bz + Az .Bx + Az . By + Az . Bz
°
karena
, maka
= Ax . Bx + 0 + 0 + 0 + Ay . By + 0 + 0 + 0 + Az . Bz = Ax . Bx + Ay . By + Az . Bz
°
karena
, maka
= Ax. Bx+ Ay. By+ Az. Bz
d. Sifat-sifat Operasi Perkalian Dot
Misalkan vektor-vektor , , dan di R 2 atau di R 3 serta k skalar tak nol.
Sifat-sifat Operasi Perkalian Dot yaitu: a.
. = . (Sifat Komutatif)
b.
.
c.
( . )=(
d.
. =
e. Jika
-
+ ) = . + . (Sifat Distributif) ). = .(k )
2
0,
0, dan . = 0, maka
Cross Product
1. Pengertian Cross Pr oduct
tegak lurus
Perkalian dua vektor menghasilkan vektor lain yang tegak lurus dengan kedua vektor yang dikalikan. Berbeda dengan perkalian dot yang menghasilkan skalar. Perkalian silang dua vektor memiliki aplikasi yang cukup luas di antaranya menentukan jarak titik ke garis, menentukan luas bangun datar, volume bangun ruang, dan jarak dua garis bersilangan. Hal-hal yang harus kita kuasai untuk memudahkan mempelajari materi perkalian silang dua vektor ini yaitu pengertian vektor dan penulisannya, p enjang vektor, dan satuan vektor, determinan matriks 3 x 3 cara sarrus, dan penerapan trigonometri pada segitiga (luasnya). Perkalian silang dua vektor hanya b erlaku di R 3 saja. (Gambar cross product di browser)
⃗ ≠ ≠
Perhatikan ilustrasi gambar di atas. Jika
0 dan
0 dalam ruang
dapat diputar tanpa mengubah besar atau arah masing-masing sehingga titik pangkalnya berhimpit, dengan kaidah tangan kanan, didefinisikan bahwa:
⃗ ⃗|⃗| x =
Dengan :
⃗ ⃗
sin , 0 ≤
≤π
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
= vektor satuan yang tegak lurus dan = sudut antara vektor dan vektor
x dibaca “vektor kros vektor
” atau
cukup “ kros
”
(Thomas, 1986 : 727 – 730) 2. Menentukan Hasil Perkalian Silang Dua Vektor
⃗
Misalkan terdapat vektor = (a 1,a2,a3,) dan = (b1, b2, b3) , hasil perkalian silang kedua vektor dapat kita tentukan dengan cara:
⃗ ⃗
x = (a2 b3 – a3 b2, a3 b1 – a1 b3, a1 b2 – a2 b1) atau
⃗
⃗
x = (a2 b3 – a3 b2) + (a3 b1 – a1 b3) + (a1 b2 – a2 b1)
Bentuk perhitungan di atas dapat kita tuliskan dengan b entuk lainnya yang
biasa disebut “rumus determinan cross vektor ”:
⃗ ⃗ ⃗ 22 33 ⃗ x =
⃗
= (a2 b3 – a3 b2) + (a3 b1 – a1 b3) + (a1 b2 – a2 b1)
3. Soal-soal Latihan Daftar Rujukan https://www.konsep-matematika.com/2017/11/perkalian-silang-dua-vektor.html?m=1 https://www.konsep-matematika.com/2017/11/sifat-operasi-perkalian-dot-dan-perkaliansilang.html?m=1 https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._P END._MATEMATIKA/195509091980021KARSO/ALJABAR_LINEAR_2.pdf&ved=2ahUKEwi04OSxiN_aAhVJuo8KHYxlB6kQFjAJegQIABAB&usg=AOvV aw31-puUCXTndzhL4YArXlEa https://adityapradananta.wordpress.com/2013/06/01/hasil-kali-vektor-dari-dua-vektor/
