Penyelesaian Soal Matematika dengan Pembuktian Tulisan berikut membahas beberapa cara pembuktian soal-soal matematika. A. Bukti langsung Contoh 1. Buktikan bahwa Jika n adalah bilangan bulat genap, maka
juga bilangan bulat genap
Selesaian. Karena n adalah bilangan bulat genap, maka dapat dituliskan sebagai n = 2k untuk suatu
∈ ℤ.
Dengan demikian, yang berarti
= (2 ) = 4
= 2(2
),
juga merupakan bilangan genap.
Contoh 2. Tunjukkan bahwa Jika a dan b dua bilangan bulat berurutan, maka
+
Selesaian.
− 1 habis dibagi oleh 4.
Misalkan a < b. Maka b = a + 1 ( mengapa ? ) Dengan demikian, +
−1= =
= 2
+ ( + 1) − 1
+(
+2
+ 2 + 1) − 1
= 2 ( + 1).
Jika a genap, maka dapat ditulis a = 2k untuk suatu +
− 1 = 2 ( + 1)
∈ ℤ. Diperoleh
= 2(2 )(2 + 1) = 4 (2 + 1),
yang berarti bahwa jika a genap, maka
+
1
− 1 habis dibagi oleh 4.
Selanjutnya, jika a ganjil, maka dapat ditulis a = 2k + 1, untuk suatu Diperoleh +
∈ ℤ.
− 1 = 2 ( + 1)
= 2(2 + 1)((2 + 1) + 1) = 2(2 + 1) ∙ 2( + 1) = 4(2 + 1)( + 1),
yang berarti bahwa jika a ganjil, maka
+
− 1 habis dibagi oleh 4.
Dengan demikian, jika a dan b dua bilangan bulat berurutan, maka habis dibagi oleh 4.
+
−1
Contoh 3. Pada gambar di samping, titik O adalah pusat lingkaran yang berjari-jari r. Jika ED = r , buktikan bahwa
∠ DEC : ∠ AOB = 1 : 3. Selesaian. Hubungkan OD sehingga diperoleh ∆EDO dan ∆BOD sama kaki. Misalkan ∠ DEC = x.
Karena ∆EDO sama kaki, maka ∠ EOD = x. Sehingga ∠ EDO = 180 – 2x. Akibatnya
∠ OBE = ∠ ODB = 180 – ∠ EDO = 180 – (180 – 2x) = 2x. Oleh karena itu
∠ DOB = 180 – ∠ OBE – ∠ ODB = 180 – 2x – 2x = 180 – 4x. Akibatnya ∠ AOB = 180 – ∠ EOD –∠ DOB = 180 – x – (180 – 4x) = 3x = 3∠ DEC. Dengan demikian, ∠ DEC = ∠ AOB = 1 : 3.
2
LATIHAN SOAL 1.
Jika n adalah bilangan bulat ganjil, maka
2.
Buktikan bahwa jumlah dan hasil kali dua bilangan rasional adalah rasional juga.
juga bilangan bulat ganjil.
Apakah jumlah dan hasil kali dua bilangan irasional adalah irasional juga ? 3. 4. 5.
Buktikan bahwa + 1 > 0 untuk sebarang bilangan real x. Jika O adalah sebarang titik di dalam ∆ABC, buktikan bahwa AB + AC > OB + OC Buktikan bahwa √
√
+
√
√
+ ⋯+
Modifikasi soal (bukan soal pembuktian) :
√
> 24 .
√
Tentukan bilangan asli terbesar n yang memenuhi
a. b. 6.
√ √
√ √
+ +
√ √
√ √
+ ⋯+ + ⋯+
√ √
>
√
Buktikan bahwa
< ∙ 7.
>
√
∙
∙
∙∙∙
Diketahui persegi panjang ABCD, P adalah titik tengah AB dan Q adalah titik pada PD sehingga CQ ⊥ PD (lihat gambar di samping). Buktikan bahwa ∆
8.
adalah segitiga sama kaki.
Diketahui ∆ABC siku-siku di A, titik D pada AC dan titik F pada BC (lihat gambar di
samping). Jika AF ⊥ BC dan BD = DC = FC = 1, buktikan bahwa AC = √2.
3
<
.
B. Bukti tidak langsung Contoh 1. Buktikan bahwa jika
habis dibagi 3, maka n juga habis dibagi 3.
Selesaian. Andaikan n tidak habis dibagi 3. Maka kemungkinannya adalah n = 3k + 1
atau
n = 3k + 2, untuk suatu
Untuk n = 3k + 1, diperoleh = (3 + 1) = 9
yang berarti bahwa
+ 6 + 1 = 3(3
∈ ℤ.
+ 2 ) + 1,
tidak habis dibagi 3 (kontradiksi dengan yang diketahui).
Sedangkan untuk n = 3k + 2, diperoleh = (3 + 2) = 9
yang berarti bahwa
+ 12 + 4 = 3(3
+ 4 + 1) + 1,
tidak habis dibagi 3 (kontradiksi dengan yang diketahui).
Ini berarti pengandaian bahwa n tidak habis dibagi 3 adalah salah. Jadi haruslah n habis dibagi 3.
Contoh 2. Buktikan bahwa √2 adalah bilangan irasional. Selesaian.
Ilustrasi. Bilangan pecahan (rasional) dapat dituliskan dalam beberapa bentuk yang senilai misalnya 2 4 −10 = = =⋯ 3 6 −15
Dari beberapa bentuk tersebut, kita dapat memilih bentuk pecahan paling sederhana di mana faktor persekutuan terbesar (FPB) dari pembilang dan penyebutnya adalah 1 (Misalnya, FPB pembilang dan penyebut dari pecahan adalah 1, namun FPB pembilang dan penyebut dari pecahan dan
keduanya
bukan 1). Pemilihan bentuk paling sederhana dari bilangan pecahan (rasional) akan digunakan dalam proses pembuktian berikut. 4
Andaikan √2 adalah bilangan rasional (pecahan). Maka ada bilangan-bilangan
bulat positif a dan b dengan
Selanjutnya,
yang berarti
≠ 0 sehingga
, dengan FPB dari a dan b adalah 1.
√2 =
= √2 ⟺
Misalkan
,
adalah genap dan karenanya a juga bilangan genap.
Misalkan a = 2 m , untuk suatu
yang berarti
=2
2
=
∈ ℤ . Diperoleh
= (2 ) = 4
⇒ b 2 = 2m 2 ,
adalah genap dan karenanya b juga bilangan genap.
= 2 , untuk suatu
∈ℤ .
Karena a dan b keduanya bilangan genap, maka FPB dari a dan b bukan 1 (kontradiksi). Jadi pengandaian salah, yang berarti √2 adalah bilangan irasional. LATIHAN SOAL. 1.
Jika
adalah bilangan bulat genap, maka x juga bilangan bulat genap
2.
Jika
adalah bilangan bulat ganjil, maka y juga bilangan bulat ganjil
3.
√3, √2 + √3 dan √2 adalah bilangan-bilangan irasional.
C. Bukti dengan Contoh Penyangkal Contoh 1. Benarkah pernyataan “Untuk sebarang bilangan asli n, bilangan merupakan bilangan prima” ?
+4
Selesaian. Pilih n = 2, maka
+ 4 = 2 + 4 = 8 bukan prima.
Modifikasi soal (bukan pembuktian dgn contoh penyangkal): 1. Cari bilangan asli terkecil n sehingga 5
+ 4 merupakan bilangan prima
2. Cari bilangan asli terkecil n sehingga
+ 4 merupakan bilangan komposit.
Soal. Selidiki kebenaran pernyataan- pernyataan berikut ( Jika menjawab BENAR, maka harus membuktikan secara umum, Jika menjawab SALAH, maka harus memberikan 1 contoh penyangkal ) 1.
Untuk sebarang bilangan asli n, Modifikasi soal: a. Untuk sebarang bilangan asli n, b. Untuk sebarang bilangan asli n, c. Untuk sebarang bilangan asli n,
2.
− + 1 merupakan bilangan prima. + − 1 merupakan bilangan prima. − − 1 merupakan bilangan prima.
Fungsi g : ℝ → ℝ dengan g(a) = a2 adalah fungsi 1-1 (injektif). Fungsi : → disebut fungsi injektif (satu-satu) jika ∀ , ≠
dengan
3.
+ 1 merupakan bilangan prima.
+
dengan
berlaku ( ) ≠ ( ). Atau dengan bentuk kontrapositif, ∀ , ( ) = ( ) berlaku
=
.
Fungsi g : ℝ → ℝ dengan g(a) = a2 adalah fungsi onto (surjektif). Fungsi : ∈
∈
→
disebut fungsi surjektif (onto atau kepada) jika ∀
sehingga ( ) =
.
6
∈
∈
terdapat
4.
Tentukan kebenaran pernyataan-pernyataan berikut. Berikan penjelasannya. a. Jumlah suatu bilangan rasional dengan bilangan irasional adalah irasional. b. Jumlah dua bilangan irasional adalah irasional. c. Hasil kali suatu bilangan rasional dengan bilangan irasional adalah irasional. d. Hasil kali dua bilangan irasional adalah irasional.
D. Bukti dengan Induksi Matematika Prinsip induksi matematika merupakan suatu alat penting untuk pembuktian hasil-hasil tentang bilangan-bilangan bulat. Teorema 1.2 (Prinsip Pertama Induksi Matematika). Jika suatu himpunan bilangan bulat positif S memuat 1, dan untuk setiap bilangan bulat positif n, S memuat n + 1 jika S memuat n maka S adalah himpunan semua bilangan asli positif.
Teorema itu bermakna, Step 1 (Basis step). Harus ditunjukkan bahwa hasilnya benar untuk n = 1. Step 2 (Induction hypotheses). Diasumsikan bahwa hasilnya benar untuk n = k. Step 3 (Inductive step). Harus ditunjukkan bahwa hasilnya benar untuk n = k + 1. 7
Contoh 1. Dengan induksi matematika, tunjukkan bahwa n ! ≤ n n , ∀ n∈ N . Penyelesaian. (i). Untuk n = 1: n ! = 1! = 1 dan n n = 11 = 1 . Sehingga berlaku 1! ≤ 11 . (ii). Anggap benar untuk n = k yaitu berlaku bahwa k ! ≤ k k (iii). Akan ditunjukkan benar untuk n = k + 1 yaitu berlaku ( k + 1)! ≤ ( k + 1) k +1 . ( k + 1)! = ( k + 1) ⋅ k ! ≤ ( k + 1) ⋅ k k ≤ ( k + 1)( k + 1) k = ( k + 1) k +1 .
(Lemma: tunjukkan n n ≤ (n + 1) n , ∀n ∈ N ) Teorema 2 (Prinsip Kedua Induksi Matematika/ Induksi Matematika Kuat). Jika suatu himpunan bilangan bulat positif S memuat 1, dan mempunyai sifat bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n, jika S memuat semua bilangan bulat positif 1, 2, 3, …, n, maka S juga memuat n + 1, adalah himpunan semua bilangan asli positif.
Teorema itu bermakna, Step 1 (Basis step). Harus ditunjukkan bahwa hasilnya benar untuk n = 1. Step 2 (Induction hypotheses). Diasumsikan hasilnya benar untuk n = 2, 3, …,(k-1), k. Step 3 (Inductive step). Harus ditunjukkan bahwa hasilnya benar untuk n = k + 1. Definisi Rekursif. Suatu fungsi f dikatakan terdefinisi secara rekursif jika nilai f di 1 adalah khusus dan jika untuk setiap bilangan bulat positif n suatu aturan diberikan untuk menentukan f ( n + 1) dari f ( n) .
Contoh 2. (Rosen, Hal 25 no. 33). Didefinisikan suatu fungsi f secara rekursif dengan 8
f(1) = 1, f(2) = 5 dan f ( n + 1) = f ( n ) + 2 ⋅ f ( n − 1), untuk n > 2 . Tunjukkan bahwa f (n) = 2 n + (−1) n , untuk semua n ∈ N SELESAIAN. (i). Untuk n = 1. f(1) = 1 dan 2 + (−1) = 2 + (−1) = 1. Jadi f(1) = 2 + (−1) . Dgn dmk benar untuk n = 1.
(ii). Anggap benar untuk n = 2, 3, …, (k – 1), k yaitu berlaku f(n) = 2 + (−1) , untuk n = 2, 3, … , (k – 1), k.
(iii). Akan dibuktikan benar untuk n = k + 1 , yaitu berlaku f(k+1) = 2 Bukti: f(k+1) = ( )
+2∙ ( − )
= [ 2 + (−1) ] + 2∙ [ 2
+ (−1)
= 2 + 2 + (−1) + 2 ∙ (−1) = 2 ∙ 2 + (−1)
= 2
+ (−1)
.
[ (−1)
+ (−1)
]
+ 2 ∙ (−1)
]
Teorema 3 (Prinsip Ketiga Induksi Matematika). Jika suatu himpunan bilangan bulat positif S memuat m, dan untuk setiap bilangan bulat positif n > m, S memuat n + 1 jika S memuat n maka S adalah himpunan semua bilangan asli positif lebih besar atau sama dengan m.
Teorema itu bermakna, Step 1 (Basis step). Harus ditunjukkan bahwa hasilnya benar untuk n = m. Step 2 (Induction hypotheses). Diasumsikan bahwa hasilnya benar untuk n = k > m. 9
.
Step 3 (Inductive step). Harus ditunjukkan bahwa hasilnya benar untuk n = k + 1.
Contoh 3. Gunakan induksi matematika untuk membuktikan 2n < n !, untuk n ≥ 4 . Penyelesaian. (i). Untuk n = 4: 2n = 24 = 16 dan n ! = 4! = 24 . Jadi berlaku 2 4 < 4! . (ii). Anggap benar untuk n = k > 4 yaitu berlaku bahwa 2 k < k ! (iii). Akan ditunjukkan benar untuk n = k + 1 yaitu berlaku 2 k +1 < ( k + 1)! . 2 k +1 = 2 k ⋅ 2 < k !⋅ 2 < k !⋅ ( k + 1) = ( k + 1)! Karena 2 < 4 < k < k + 1
10
Soal-soal Induksi Matematika 1. Buktikan bahwa
∙
+
∙
+ …+
2. Buktikan bahwa 1 + 2 + ⋯ +
(
=
)
=
,∀ ∈ ℕ ( + 1)
,∀ ∈ ℕ
3. Buktikan bahwa 3 + 11 + ⋯ + (8 − 5) = 4
− ,∀ ∈ ℕ
5. Buktikan bahwa 1 − 2 + 3 − ⋯ + (−1)
=
4. Buktikan bahwa 1 + 3 + ⋯ + (2 − 1) =
(
)
(
,∀ ∈ ℕ )
(
6. Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa n
∑
j ( j + 1) = 1⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + ... + n ⋅ (n + 1) =
j =1
7. Buktikan bahwa 8. Buktikan bahwa 5
)
,∀ ∈ ℕ
n(n + 1)(n + 2) , ∀ n∈N 3
+ 5 dapat dibagi oleh 6 untuk semua − 1 dapat dibagi oleh 8 untuk semua
∈ ℕ.
∈ ℕ.
9. Buktikan bahwa 5 − 4 − 1 dapat dibagi oleh 16 untuk semua
10. Buktikan bahwa
∈ ℕ.
+ ( + 1) + ( + 2) dapat dibagi oleh 9 untuk semua
11. Let D be a function that is defined by
D(0) = 2, D(1) = 7 and D(n) = D(n – 1) + 2 ⋅ D(n – 2) for n ≥ 2. a. Determine the value of D(n) for n = 2, 3 and 4. b. Given that F(n) = 3 ⋅ 2n − ( −1) n for n ∈ ℤ with n ≥ 0.
Prove by strong induction that D(n) = F(n), ∀ n ∈ ℤ with n ≥ 0
12. Didefinisikan
A(1) = 1 dan A(n) = 4 + A(n – 1), untuk n ≥ 2 . Tunjukkan bahwa A( n) = 4n − 3, untuk n ∈ N dan n ≥ 2 .
11
∈ ℕ.
13.Tunjukkan bahwa (2 + √3) + (2 − √3) merupakan bilangan bulat untuk 14. Buktikan bahwa (3 + √5) + (3 − √5) habis dibagi oleh 2 untuk setiap
1 1 15. Dugalah suatu rumus untuk A n di mana A = . 0 1 Buktikan dugaan anda dengan menggunakan induksi matematika. 16. Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa n
1
∑k
k =1
2
≤ 2−
1 , ∀ n∈N n
17. Carilah rumus jumlah dari 1 1 1 1 . + + + ... + 1 ⋅ 4 4 ⋅ 7 7 ⋅10 (3n − 2)(3n + 1)
Kemudian buktikan rumus tersebut dengan induksi matematika. 18. For what integers n is 19. Tunjukkan bahwa 20. Gunakan identitas
(
+
>
!
)
(
)!
? Prove your answer by induction.
+⋯+
= −
< 2 , untuk setiap
untuk menentukan ∑
∈ ℕ. (
)
dan
buktikan hasil penjumlahan deret itu dengan induksi matematika. 21. Gunakan identitas
=
untuk menentukan ∑
−
buktikan hasil penjumlahan deret itu dengan induksi matematika.
Rujukan Rosen, K.H. 2005. “Elementary Number Theory and Its Application 5 ed ”. Massachussets: Addison Wesley.
12
dan
∈ℕ.
∈ℕ.
