A. Pengertian dan Rumus Rentang antar Kuartil Data Tunggal dan Data Kelompok Rentang antar kuartil adalah selisih antara kuartil atas dan kuartil bawah. Rumus: RAK = K 3 – K K 1 Dimana: RAK = Rentang antar kuartil K 3 = Kuartil atas K 1 = Kuartil bawah 1.
Rentang antar Kuartil Data Tunggal Langkah-langkah menghitung nilai kuartil dari serangkaian data tunggal: tunggal: a.
Susunlah data mulai dari yang kecil sampai yang terbesar
b.
Tentukanlah letak kuartil
c.
Tentukanlah nilai kuartil Letak kuartil ke-i, diberi simbol LK i dan nilai kuartil ditentukan dengan rumus: K i =
(+)
Dimana:
d.
K i
= Nilai kuartil
LK i
= Letak kuartil
n
= Data
Tentukanlah nilai rentang antar kuartil
Contoh soal: Data nilai statistik 10 orang mahasiswa sebagai berikut: 50, 40, 70, 75, 75, 80, 65, 30, 75, 80 Carilah nilai rentang antar kuartil? Langkah-langkah menjawab: a.
Susunlah data mulai dari yang kecil sampai yang terbesar 30, 40, 50, 65, 70, 75, 75, 75, 80, 80
b.
Menentukan letak kuartil ke ...i Letak kuartil (LK i) = 1, 3
c.
Menghitung kuartil bawah (K 1) K i =
(+)
(+) = 2,75
=
Letak K 1 terletak antara data ketiga perempat dari data ke-2 dan data ke-3, sehingga nilai K 1, sebagai berikut: K 1 = data ke-2 + 0,75 (data ke-3 – data ke-2) K 1 = 40 + 0,75 (50-40) = 47,5 d.
Menghitung kuartil atas (K 3) K 3 =
(+) (+)
= 8,25
=
Letak K 3 terletak antara data seperempat jauh dari data ke-8 dan data ke-9, sehingga nilai K 1, sebagai berikut: K 3 = data ke-8 + 0,25 (data ke-9 – data ke-8) K 3 = 75 + 0,25 (80-75) = 76,25 e.
Menghitung rentang antar kuartil RAK = K 3 – K 1 RAK = 76,25 – 47,5 = 28,75
2.
Rentang antar Kuartil Data Kelompok Letak kuartil ke-i untuk data kelompok, diberi simbol LK i dan nilai kuartil ditentukan dengan rumus:
.[ ⁄ −]
K i = B b + P
Dimana: K i = Nilai kuartil ke ....i B b = Batas bawah kelas yang mengandung nilai kuartil P = Panjang kelas i = Letak kuartil ke ...i Jf = Jumlah dari semua frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil f = Frekuensi kelas Langkah-langkah menghitung nilai kuartil dari serangkaian data berkelompok sebagai berikut: a. Cari nilai interval kelas yang mengandung unsur kuartil dengan rumus:
b. c.
4 ()
Menentukan batas bawah kelas kuartil 1 (B b) Menentukan panjang kelas kuartil (P)
d. Menentukan frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil (Jf) e. Menentukan banyak frekuensi kelas kuartil (f) f. Menghitung nilai kuartil g. Menghitung nilai rentang antar kuartil Contoh soal: Diketahui nilai ujian Penyehatan Udara kelas Senin pagi ruang C.2.3 di Jurusan Kesehatan Lingkungan tahun 2017 yang diikuti oleh 65 orang Mahasiswa. Berapa nilai rentang antar kuartil? Tabel 1.1 Distribusi Frekuensi Nilai Penyehatan Udara No. Kelas
Interval Kelas
Frekuensi
1
25-34
6
2
35-44
8
3
45-54
11
4
55-64
14
5
65-74
12
6
75-84
8
7
85-94
6
65 1) Nilai kuartil bawah (K 1) Langkah-langkah menjawab, sebagai berikut: a) Cari nilai interval kelas yang mengandung unsur kuartil bawah dengan rumus:
4 () = 14 (65) = 16,25
b) c) d)
Langkah selanjutnya yaitu menentukan kelas kuartil dengan cara menjumlahkan nilai frekuensi dari awal kelas sampai dengan kelas yang menunjukkan hasil penjumlahan mencapai atau melewati nilai 16,25. Penjumlahannya: 6 + 8 + 11 = 25. Jadi, kelas kuartil bawah (LK 1) terletak di kelas ke-3. Menentukan nilai batas bawah di kelas kuartil bawah (B b): B b = 45 – 0,5 = 44,5 Menentukan panjang kelas kuartil bawah (P): P = 45 sampai 54 = 9 Menghitung jumlah frekuensi di kelas kuartil bawah (f) f = 11
e) f)
Menghitung semua jumlah nilai frekuensi sebelum kelas kuartil bawah (Jf): Jf = (6+8) = 14 Menghitung nilai kuartil bawah (K 1) dengan rumus:
.[ ⁄ −] × [ −]
K i = B b + P
= 44,5 + 9 2)
= 44,5 + 9 (0,2045) = 46,3
Letak kuartil atas (K 3) a) Cari nilai interval kelas yang mengandung unsur kuartil bawah dengan rumus:
4 () = 34 (65) = 47,8
b) c) d) e) f)
Langkah selanjutnya yaitu menentukan kelas kuartil dengan cara menjumlahkan nilai frekuensi dari awal kelas sampai dengan kelas yang menunjukkan hasil penjumlahan mencapai atau melewati nilai 47,8. Penjumlahannya: 6 + 8 + 11 + 14 + 12 = 51. Jadi, kelas kuartil bawah (LK 3) terletak di kelas ke-5. Menentukan nilai batas bawah di kelas kuartil bawah (B b): B b = 65 – 0,5 = 64,5 Menentukan panjang kelas kuartil bawah (P): P = 65 sampai 74 = 9 Menghitung jumlah frekuensi di kelas kuartil bawah (f) f = 12 Menghitung semua jumlah nilai frekuensi sebelum kelas kuartil bawah (Jf): Jf = (6+8+11+14) = 39 Menghitung nilai kuartil bawah (K 3) dengan rumus:
.[ ⁄ −] ×− [ ]
K i = B b + P
= 64,5 + 9
= 64,5 + 9 (0,813) = 71,8
3) Nilai rentang antar kuartil RAK = K 3 – K 1 RAK = 71,8 – 46,3 = 25,5 B. Pengertian dan Rumus Simpangan Kuartil Data Tunggal dan Data Kelompok Simpangan kuartil atau deviasi kuartil atau disebut pula rentang semi antar kuartil, harganya setengah dari rentang antar kuartil. Jadi, simpangan kuartil disingkat dengan SK, maka: SK = 1.
1⁄2
(K 3 – K 1)
Simpangan kuartil data tunggal Contoh soal:
Data nilai statistik 10 orang mahasiswa sebagai berikut: 50, 40, 70, 75, 75, 80, 65, 30, 75, 80 Carilah nilai simpangan kuartil? Jawaban: K 1 = 47,5 K 3 = 76,25 Menghitung simpangan kuartil SK = SK = 2.
1⁄2 1⁄2
(K 3 – K 1) (76,25 – 47,5)
= 14,375 Simpangan kuartil data kelompok Contoh soal: Diketahui nilai ujian Statistika kelas Kamis pagi ruang C.2.3 di Jurusan Kesehatan Lingkungan tahun 2017 yang diikuti oleh 65 orang Mahasiswa. Berapa nilai rentang antar kuartil? Tabel 1.2 Distribusi Frekuensi Nilai Statistik No. Kelas
Interval Kelas
Frekuensi
1
25-34
6
2
35-44
8
3
45-54
11
4
55-64
14
5
65-74
12
6
75-84
8
7
85-94
6
65 Jawaban: K 1 = 46,3 K 3 = 71,8 Menghitung simpangan kuartil SK =
1⁄2
(K 3 – K 1)
SK =
1⁄2
(71,8 – 46,3)
= 12,75
C. Pengertian dan Rumus Simpangan rata-rata data tunggal dan data kelompok Simpangan rata-rata adalah nilai rata-rata dari harga mutlak semua simpangan terhadap rata-rata (mean) kelompoknya. Maksud harga mutlak (absolut) setiap nilai negatif dianggap positif. 1.
Simpangan Rata-rata Data Tunggal Rumus:
= |Xin− | X
Dimana
SR : Simpangan rata-rata Xi : Data pengamatan X
: Rata-rata data
n : Banyaknya data Contoh: Data nilai statistik 10 orang mahasiswa sebagai berikut: 50, 40, 70, 75, 75, 80, 65, 30, 75, 80 Carilah nilai simpangan rata-rata? Langkah-langkah menjawab: a.
Mencari nilai rata-rata
Xi +++++++++ = = 64
Rumus: X =
= b.
Mencari selisih antara nilai Xi dan nilai rata-rata ( X ) Tabel 1.3 Nilai Rata-rata Statistik
No. 1
Nilai
Rata-rata
(Xi)
X
∣ ∣
50
64
14
xi - X
2
40
64
24
3
70
64
6
4
75
64
11
5
75
64
11
6
80
64
16
7
65
64
1
8
75
64
11
9
30
64
34
10
80
64
16
144 c.
Menghitung nilai simpangan rata-rata
= |Xin− | = = 14,4 X
Nilai simpangan rata-rata sebesar 14,4 dapat diartikan bahwa terjadi penyimpangan sebesar 14,4 terhadap nilai rata-rata. 2.
Simpangan Rata-rata Data Kelompok Rumus:
| t i -
X |
= |X|
Dimana: t i = Titik tengah Contoh: Diketahui nilai ujian ADKL kelas Rabu pagi ruang C.2.3 di Jurusan Kesehatan Lingkungan tahun 2017 yang diikuti oleh 65 orang Mahasiswa. Berapa simpangan rata-rata? Tabel 1.4 Distribusi Frekuensi Nilai Ujian ADKL No. Kelas
Interval Kelas
Frekuensi
1
25-34
6
2
35-44
8
3
45-54
11
4
55-64
14
5
65-74
12
6
75-84
8
7
85-94
6
65 Langkah-langkah menjawab: a.
Menentukan nilai titik tengah
+ = 29,5
Kelas ke-1, ti = b.
Mengalihkan frekuensi dengan titik tengah Kelas ke-1 f.ti = 6 x 29,5 = 177
c.
Menghitung nilai rata-rata X
d.
=
f .ti f
= ., = 59,65
Menentukan nilai |X| = |ti -
X
|
Kelas ke-1 |X| = 29,5 – 59,7 = 30,2 e.
Mengalihkan frekuensi dengan |X| Kelas ke-1 |X| = 6 x 30,2 = 181,2 Tabel 1.5 Menghitung Simpangan Rata-rata Data Kelompok Nilai Interval
Frekuensi
25-34
6
35-44
8
(f i)
Titik Tengah
f. ti
X
|X|
f.|X|
29,5
177
59,65
30,2
181,2
39,5
316
59,65
20,2
161,6
(ti)
45-54
11
49,5
544,5
59,65
10,2
112,2
55-64
14
59,5
833
59,65
0,2
2,8
65-74
12
69,5
834
59,65
9,8
117,6
75-84
8
79,5
636
59,65
19,8
158,4
85-94
6
89,5
537
59,65
29,8
178,8
65 f.
3.877,5
912,6
Menentukan simpangan rata-rata
SR =
f | X |
= , = 14,04
D. Pengertian dan Rumus Simpangan Baku Data Tunggal dan Data Kelompok Simpangan baku (standar deviasi) adalah nilai yang menunjukkan tingkat variasi kelompok data atau ukuran standar penyimpangan dari nilai rata-rata. Lambang standar deviasi untuk populasi = dan untuk sampel = s. 1.
(ℎ)
Simpangan baku data tunggal a.
Standar deviasi untuk data berkategori sampel Rumus:
s= b.
∑−− ² X
Standar deviasi untuk data berkategori populasi
∑ − =
X
²
Dimana: s = Standar deviasi sampel
= Standar deviasi populasi
Xi = Data pengukuran n = Jumlah data Contoh soal: Data nilai statistik 10 orang mahasiswa sebagai berikut:
50, 40, 70, 75, 75, 80, 65, 30, 75, 80 Carilah nilai simpangan baku (standar deviasi)? Langkah-langkah menjawab: 1)
Mencari nilai rata-rata
Xi +++++++++ = = 64
Rumus: X = X
2)
=
Mencari selisih antara nilai Xi dan nilai rata-rata ( X ) Data ke-1. (Xi -
X
)2 = (50-64)2 = 196 Tabel 1.6
Perhitungan Standar Deviasi Data Tunggal Nilai
Rata-rata
(Xi)
X
1
50
64
196
2
40
64
576
3
70
64
66
4
75
64
121
5
75
64
121
6
80
64
256
7
65
64
1
8
30
64
1.156
9
75
64
121
10
80
64
256
No.
(Xi - X )2
2.870 3)
Menghitung nilai standar deviasi a)
Sampel
s=
∑−− ² = −. X
= 17,85
b)
Populasi
∑ − ² = = X
2.
= 16,9
Simpangan baku data kelompok a. Standar deviasi untuk sampel Rumus:
∑∑ ( . ) ∑ . − ∑− ∑ ∑.) ( ∑ . − = ∑ s=
b.
Standar deviasi untuk populasi
Dimana: ti = Titik tengah f = Frekuensi Contoh soal: Hasil nilai ujian PLC kelas Jumat pagi ruang C.2.3 di Jurusan Kesehatan Lingkungan tahun 2017 yang diikuti oleh 65 orang Mahasiswa. Tentukanlah nilai simpangan bakunya? Tabel 1.7 Distribusi Frekuensi Nilai Ujian PLC No. Kelas
Interval Kelas
Frekuensi
1
25-34
6
2
35-44
8
3
45-54
11
4
55-64
14
5
65-74
12
6
75-84
8
7
85-94
6
65
Langkah-langkah menjawab: 1)
Menentukan nilai titik tengah Kelas ke-1, ti =
2)
+ = 29,5
Mengalihkan frekuensi dengan titik tengah Kelas ke-1 f.ti = 6 x 29,5 = 177
3)
Mengkuadratkan (ti)2 Kelas ke-1 (ti)2 = (29,5)2 = 870,25
4)
Mengalikan f dan (ti)2 Kelas ke-1 f.(ti)2 = 6 x 870,25 = 5.221,8 Tabel 1.8 Menghitung Simpangan Baku dan Varians Data Kelompok Nilai Interval
Frekuensi
25-34
6
35-44
Titik Tengah
(ti)2
f. (ti)2
29,5
870,25
5.221,5
8
39,5
1.560,25
12.482
45-54
11
49,5
2.450,25
26.952,75
55-64
14
59,5
3.540,25
49.563,5
65-74
12
69,5
4.830,25
57.963
75-84
8
79,5
6.320,25
50.562
85-94
6
89,5
8.010,25
48.061,5
(f i)
(ti)
65 5)
Menghitung nilai standar deviasi a)
Sampel
250.806,25
s=
∑∑ ( . ) ∑ . − ∑− ,) .,−(. − .,−.., .,−. , .,
=
=
=
=
√ 248,19 ∑ ∑.) ( ∑ . − = ∑ (. , ) . , − = =
b)
= 15,75
Populasi
= 250.806,256515.035.65006,25 3 07, 8 = 250.806,25231. 65 = 19.46598,5 =
E.
√ 299,97
= 17,3
Pengertian dan Rumus Varians Data Tunggal dan Data Kelompok Ragam atau variasi adlah nilai yang menunjukkan besarnya penyebaran data pada kelompok data. Ragam atau varians dilambangkan dengan s 2. 1.
Varians data tunggal a. Varians untuk data berkategori sampel
Rumus:
2
s =
∑−− ² X
b. Varians untuk data berkategori populasi
= ∑− ² X
Dimana: s = Standar deviasi sampel
= Standar deviasi populasi
Xi = Data pengukuran n = Jumlah data Contoh soal: Data nilai statistik 10 orang mahasiswa sebagai berikut: 50, 40, 70, 75, 75, 80, 65, 30, 75, 80 Carilah nilai varians? Langkah-langkah menjawab: 1)
Mencari nilai rata-rata
Xi +++++++++ = = 64
Rumus: X = X
2)
=
Mencari selisih antara nilai Xi dan nilai rata-rata ( X ) Data ke-1. (Xi -
X
)2 = (50-64)2 = 196 Tabel 1.9
Perhitungan Standar Deviasi Data Tunggal Nilai
Rata-rata
(Xi)
X
1
50
64
196
2
40
64
576
No.
(Xi - X )2
3
70
64
66
4
75
64
121
5
75
64
121
6
80
64
256
7
65
64
1
8
30
64
1.156
9
75
64
121
10
80
64
256
2.870 3)
Menghitung nilai varians a)
Sampel
∑−− = −. 17,85 ∑ − = = √ 16,9 s
2
X
=
=
b)
= 4,22
Populasi
X
=
2.
= 4,11
Varians data kelompok a. Varians untuk sampel Rumus:
∑∑ ( . ) ∑ . − ∑− ∑ ( . ) ∑ . − = ∑ ∑ s2 =
b.
Varians untuk populasi
Dimana: ti = Titik tengah f = Frekuensi Contoh soal: Hasil nilai ujian PLC kelas Jumat pagi ruang C.2.3 di Jurusan Kesehatan Lingkungan tahun 2017 yang diikuti oleh 65 orang Mahasiswa. Tentukanlah nilai varians? Tabel 1.10 Distribusi Frekuensi Nilai Ujian PLC No. Kelas
Interval Kelas
Frekuensi
1
25-34
6
2
35-44
8
3
45-54
11
4
55-64
14
5
65-74
12
6
75-84
8
7
85-94
6
65 Langkah-langkah menjawab: 1)
Menentukan nilai titik tengah Kelas ke-1, ti =
2)
+ = 29,5
Mengalihkan frekuensi dengan titik tengah Kelas ke-1
f.ti = 6 x 29,5 = 177 3)
Mengkuadratkan (ti)2 Kelas ke-1 (ti)2 = (29,5)2 = 870,25
4)
Mengalikan f dan (ti)2 Kelas ke-1 f.(ti)2 = 6 x 870,25 = 5.221,8 Tabel 1.11 Menghitung Simpangan Rata-rata Data Kelompok Nilai Interval
Frekuensi
25-34
6
35-44
Titik Tengah
(ti)2
f. (ti)2
29,5
870,25
5.221,5
8
39,5
1.560,25
12.482
45-54
11
49,5
2.450,25
26.952,75
55-64
14
59,5
3.540,25
49.563,5
65-74
12
69,5
4.830,25
57.963
75-84
8
79,5
6.320,25
50.562
85-94
6
89,5
8.010,25
48.061,5
(f i)
(ti)
65 5)
Menghitung nilai varians a)
Sampel
(∑. ) ∑ . − ∑−∑ ,) .,−(. − .,−..,
s2 =
=
=
250.806,25
.,−. , ., √ 248,19 15,75 ∑ ( . ) ∑ . − = ∑ ∑ (. , ) . , − = =
= =
s b)
=
= 3,96
Populasi
15. 0 35. 0 06, 2 5 2 50. 8 06, 2 5 65 = 65 3 07, 8 = 250.806,25231. 65 = 19.46598,5
√ 299,97 = √ 17,3 =
= 4,15
