Penerapan Ilmu Kalkulus dalam Penentuan Dosis Sinar X untuk Pengobatan Kanker
Makalah
untuk memenuhi tugas matakuliah Bahasa Indonesia Keilmuan yang dibina oleh Ibu Titik Harsiati
oleh Ardini Yuniarta Rizki 140311601209 Off A
UNIVERSITAS NEGERI MALANG FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA Desember 2014 0
1. Pendahuluan 1.1 Latar Belakang Masalah
Menu makanan dengan cara langsung dibakar memang sangat lezat, seperti ayam bakar, ikan bakar, bahkan nasi bakar. Namun dibalik kelezatan makanan makanan tersebut ada sebuah zat yang disebut dengan zat karsinogenik yang bisa menyebabkan penyakit kanker. Hal ini menjadi penyebab m eningkatnya pengidap penyakit kanker. Namun dengan perkembangan teknologi kedokteran membuat peralihan pengobatan yang mulanya menggunakan kemoterapi yang sangat sakit menjadi menggunakan high energy ionizing radiation yang relatif lebih cepat, efektif, dan nyaman meskipun lebih mahal. Salah satunya adalah menggunakan sinar-X, karena tidak memungkinkan untuk membongkar pasang tubuh manusia. Sebelum melakukan pengobatan menggunakan sinar-X, para ahli dosimetri berdiskusi dengan ahli ongkologi. Tugas seorang ahli dosimetri adalah menentukan dosis radiasi dari sinar-X, ini adalah bagian terpenting dalam pengobatan karena jika salah bisa berakibat fatal. Untuk menentukan dosis radiasinya, mereka harus mengetahui volume sel kanker tersebut serta letaknya. Dalam penentuan letak dan volume inilah ilmu kalkulus digunakan. Dalam kalkulus dibahas tentang berbagai perhitungan integral, seperti integral cakram, integral cincin, integral lipat 2, ataupun integral lipat 3. Integral integral tersebut dalam dosimetri digunakan untuk menentukan volume dari sel kanker karena bentuk sel kanker pada umumnya tidak mungkin berbentuk simetris. Setelah itu, penerapan kalkulus masih tetap dibutuhkan dalam proses pengobatan selanjutnya. Penerapan kalkulus selanjutnya adalah untuk menentukan fungsi dari pergerakan sel kanker setiap waktu, sehingga dapat diketahui kapan sel kanker tersebut mengecil dan habis sehingga terapi tersebut dapat dihentikan, karena jika dilakukan terus menerus dapat merusak organ-organ sel yang lain. Sebenarnya telah banyak makalah yang membahas penerapan ilmu kalkulus dalam bidang kedokteran. Salah satunya adala h makalah yang ditulis oleh Muh Sugiarto yang berjudul Penerapan Ilmu Matematika di dalam Kehidupan. Dalam makalahnya, beliau membahas tentang berbagai penerapan ilmu matematika dalam kehidupan sehari-hari. Salah satu penerapan yang beliau bahas adalah penerapan ilmu kalkulus dalam bidang kedokteran. Beliau 1
membahas secara garis besar bagaimana penerapan matematika dalam bidang kedokteran. Setelah membaca makalah tersebut penulis terinspirasi untuk membuat makalah yang serupa karena topik yang dibahas menarik sehingga dalam makalah ini penulis juga membahas tentang penerapan matematika dalam bidang kedokteran. Namun, dalam karya ilmiah ini pembahasan lebih difokuskan dalam penerapan matematika dalam bidang kedokteran. Jika pada makalah sebelumnya dibahas gambaran umum tentang penerapan matematika dalam ilmu kedokteran, maka dalam karya ilmiah ini akan membahas salah satu bidang matematika yaitu kalkulus yang digunakan untuk menentukan dosis radiasi sinar -X yang digunakan untuk pengobatan kanker sehingga dalam karya ilmiah ini, akan dibahas dengan lebih rinci lagi bagaimana penerapan kalkulus tersebut dalam penentuan dosis radiasi sinar-X dalam pengobatan kanker bukan hanya gambaran umumnya saja. Dengan pembahasan tersebut, penulis merasa bahwa judul ini perlu dikembangkan karena masih banyak orang yang tidak paham pentingnya matematika dalam bidang kedokteran sehingga dengan membaca karya tulis ini, mereka lebih paham dan tahu bagaimana peranan matematika dalam kedokteran. Oleh karena itu, ketika mereka mempelajari matematika mereka mengetahui manfaat matematika itu sendiri untuk kedepannya.
1.1. Rumusan Masalah
Rumusan masalah dalam makalah ini dijabarman sebagai berikut: a. Bagaimana konsep kalkulus dalam matematika? b. Apa saja konsep kalkulus yang digunakan untuk menentukan volume kanker dosis radiasi sinar-X dalam pengobatan kanker? c. Bagaimana menerapkan konsep kalkulus dalam penentuan Dosis SinarX?
1.2. Tujuan
Adapun tujuan penulisan makalah ini dijabarkam sebagai berikut. a. Untuk mengetahui konsep kalkulus dalam matematika
2
b. Untuk mengetahui konsep dalam kalkulus yang digunakan untuk menentukan dosis sinar-X dalam pengobatan kanker. c. Untuk menjelaskan konsep kalkulus dalam penentuan dosis sinar-X
3
2. Pembahasan 2.1
Konsep Kalkulus dalam Matematika
Kalkulus adalah cabang ilmu matematika yang mempelajari perubahan. Dalam kalkulus mencakup limit, turunan, integral, dan deret tak hingga. Kalkulus dapat diaplikasikan dalam berbagai bidang sains, ekonomi, dan teknik. Beberapa masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer juga dapat dipecahkan menggunakan kalkulus. Kalkulus dibagi menjadi dua, yaitu kalkulus deferensial dan kalkulus integral. Kalkulus deferensial dan kalkulus integral saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Kalkulus deferensial merupakan cabang kalkulus yang mempelajari perubahan nilai suatu fungsi yang dipengaruhi oleh perubahan input nilainya. Dalam kalkulus deferensial topik utamanya adalah turunan dari suat u fungsi. Proses untuk mencari turunan disebut dengan pendiferensialan. Turunan banyak digunakan dalam bidang kimia untuk menentukan laju reaksi. Turunan juga dapat digunakan untuk menbuat strategi dalam persaingan perusahaan. Kalkulus integral adalah cabang kalkulus yang digunakan untuk menghitung luas suatu daerah atau volume suatu benda. 2.1.1
Prinsip-prinsip dasar kalkulus
2.1.1.1 Limit dan Kecil Tak Terhingga Kalkulus pada umumnya dikembangkan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang sangat kecil. Objek dalam bahasan ini merupakan angka yang sangat kecil yang disebut bilangan kecil tak hingga, bilangan yang lebih besar dari nol tetapi lebih kecil dari bilangan apapun dalam deret
1, ½, ⅓, .... Bilangan ini
jika dikalikan dengan bilangan yang lain tetap akan menghasilkan bilangan yang kecil tak hingga (infinitesimal). Kalkulus di sini berperan untuk memanipulasi angka tersebut. Pada abad ke-19, konsep kecil tak terhingga ini ditinggalkan karena tidak cukup cermat, dan digantikan dengan konsep limit. Limit menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai input tertentu dengan hasil dari nilai input terdekat. Kalkulus di sini merupakan sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit tertentu. Limit dari suatu fungsi dedifinisikan sebagai berikut:
4
Diberikan fungsi f(x) yang terdefinisikan pada interval di sekitar p, terkecuali mungkin pada p itu sendiri. Kita mengatakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati p adalah L, dan menuliskan:
lim () →
>0 > 0 0 < | | < ⇒ | () | <
jika, untuk setiap bilangan
, terdapat bilangan
yang
berkoresponden dengannya sedemikian rupanya untuk setiap x:
2.1.1.2
Turunan
Turunan dari suatu fungsi mewakili perubahan yang sangat kecil dari fungsi tersebut terhadap variabelnya. Proses menemukan turunan dari suatu fungsi disebut sebagai pendiferensialan ataupun diferensiasi. Secara matematis, turunan
fungsi ƒ(x) terhadap variabel x adalah ƒ′ yang nilainya pada titik x adalah:
() l→im ( ℎℎ) ()
dengan syarat limit tersebut eksis. Jika ƒ′ eksis pada titik x tertentu, kita katakan bahwa ƒ terdiferensialkan (memiliki turunan) pada x, dan jika ƒ′ eksis di setiap titik pada domain ƒ, kita sebut ƒ terdiferensialkan. Apabila z = x + h, h = z - x, dan h mendekati 0 jika dan hanya jika z mendekati x, maka definisi turunan di atas dapat pula kita tulis sebagai:
() l→im () ()
Perhatikan bahwa ekspresi
(+)−() pada definisi turunan di atas
merupakan gradien dari garis sekan yang melewati titik ( x,ƒ( x)) dan ( x+h,ƒ(x)) pada kurva ƒ(x). Apabila kita mengambil limit h mendekati 0, maka kita akan
mendapatkan kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva ƒ( x) pada titik x. Hal ini berarti pula garis singgung suatu kurva merupakan limit dari garis
sekan, demikian pulanya turunan dari suatu fungsi ƒ( x) merupakan gradien dari fungsi tersebut.
()
Sebagai contoh, untuk menemukan gradien dari fungsi titik (3,9):
9 ( ) 3ℎ (3) l→im ℎ 5
pada
9 ( ) 3ℎ (3) l→im ℎ 96ℎ ℎ (3) l→im ℎ 9 6ℎ ℎ (3) →lim ℎ (3) l→im(6ℎ) (3) 6
Turunan dapat dinotasikan sebagai berikut: Notas
()
Turunan terhadap x
Notas
i Leibniz
i Lagrange
()
′() Tabel 2.1
Notas i Newton
Nota si Euler
ẏ () () denga
n
2.1.1.3 Integral Integral merupakan ilmu matematika yang digunakan untuk menafsirkan luas suatu. Proses menemukan integral suatu fungsi disebut sebagai pengintegralan ataupun integrasi. Integral dibagi menjadi dua, yaitu: integral tertentu dan integral tak tentu. Notasi matematika yang digunakan untuk menyatakan integral adala h ∫, seperti huruf S yang memanjang (S singkatan dari "Sum" yang berarti penjumlahan). a.
Integral Tertentu Integral tertentu adalah integral yang domain intervalnya dibatasi yang
dapat dituliskan dengan bentuk
()
∫ ()
, dengan
[,]
merupakan domain dari
. Bentuk tersebut dapat didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy
yang dibatasi oleh kurva grafik ƒ, sumbu X, dan garis vertikal x = a dan x = b. Pada notasi integral di atas: a adalah batas bawah dan b adalah batas atas yang menentukan domain pengintegralan, ƒ adalah integran yang akan dievaluasi terhadap x pada interval [a,b], dan dx adalah variabel pengintegralan. Terdapat berbagai jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang
paling umumnya digunakan adalah definisi integral Riemann. Integral Rieman 6
didefinisikan sebagai limit dari "penjumlahan Riemann". Misalkanlah kita hendak mencari luas daerah yang dibatasi oleh fungsi ƒ pada interval tertutup [a,b]. Dalam mencari luas daerah tersebut, interval [a,b] dapat kita bagi menjadi banyak subinterval yang lebarnya tidak perlu sama, dan kita memilih sejumlah n-1 titik { x1, x2, x3,..., xn - 1} antara a dengan b sehingga memenuhi hubungan:
≤ ≤ ⋯ ≤ − ≤ {,,…,−,} [,], [,],…,[−,] [,] Himpunan
tersebut kita sebut sebagai partisi
[a,b], yang membagi [a,b] menjadi sejumlah n subinterval . Lebar subinterval pertama
kita nyatakan
sebagai Δ x1, demikian pula lebar subinterval ke-i kita nyatakan sebagai Δ xi = xi xi - 1. Pada tiap-tiap subinterval inilah kita pilih suatu titik sembarang dan pada subinterval ke-i tersebut kita memilih titik sembarang t i. Maka pada tiap-tiap subinterval akan terdapat batangan persegi panjang yang leb arnya sebesar Δ x dan tingginya berawal dari sumbu x sampai menyentuh titik (t i, ƒ(t i)) pada kurva. Apabila kita menghitung luas tiap-tiap batangan tersebut dengan mengalikan
ƒ()·
dan menjumlahkan keseluruhan luas daerah batangan tersebut, kita
akan dapatkan:
= ()∆
Penjumlahan S p disebut sebagai penjumlahan Riemann untuk ƒ pada interval [a ,b ]. Perhatikan bahwa semakin kecil subinterval partisi yang kita ambil,
hasil penjumlahan Riemann ini akan semakin mendekati nilai luas daerah yang kita inginkan. Apabila kita mengambil limit dari norma partisi maka kita akan mendapatkan luas daerah tersebut.
‖‖
mendekati nol,
Secara cermat, definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann adalah sebagai berikut. Jika diberikan ƒ( x) sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [a,b]. Kita katakan bahwa bilangan I adalah integral tertentu ƒ di sepanjang [a,b] dan bahwa I adalah limit dari penjumlahan Rieman n
∑= ()∆
apabila kondisi berikut terpenuhi, yaitu: Untuk setiap bilangan ε >
0 apapun terdapat sebuah bilangan δ > 0 yang berkorespondensi dengannya
7
sedemikian rupanya untuk setiap partisi
‖‖ < δ
dengan
{,,…,}
di sepanjang [a,b]
dan pilihan t i apapun pada [ xk - 1, t i], kita dapatkan
= ()∆ < ∈ Secara matematis dapat ditulis: ( ) ( ) ∆ ‖li‖m→ =
Apabila tiap-tiap partisi mempunyai sejumlah n subinterval yang sama,
maka lebar Δ x = (b-a)/n, sehingga persamaan di atas dapat pula ditulis sebagai:
lim = ()∆ () →∞
Limit ini selalu diambil ketika norma partisi mendekati nol dan jumlah subinterval yang ada mendekati tak terhingga banyaknya. Dalam prakteknya, penerapan definisi integral tertentu dalam mencari nilai integral tertentu tersebut jarang sekali digunakan karena tidak praktis. Teorema dasar kalkulus memberikan cara yang lebih praktis dalam mencari nilai integral tertentu. b.
Integral Tak Tentu Manakala integral tertentu adalah sebuah bilangan yang besarnya
ditentukan dengan mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan partisi interval tertutup yang norma partisinya mendekati nol, teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa integral tertentu sebuah fungsi kontinu dapat dihitung dengan mudah apabila kita dapat mencari antiturunan/antiderivatif fungsi tersebut. Apabila
() () ()
. Maka keseluruhan himpunan
antiturunan /antiderivatif sebuah fungsi ƒ adalah integral tak tentu ataupun primitif dari ƒ terhadap x dan dituliskan secara matematis sebagai:
() () Ekspresi F(x) + C adalah antiderivatif umum ƒ dan C adalah konstanta sembarang.
8
Perhatikan bahwa integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral tertentu dalam bentuk integral tak tentu
∫ ()
∫ ()
adalah sebuah bilangan, manakala
adalah sebuah fungsi yang memiliki tambahan
konstanta sembarang C . 2.1.2 Teorema Dasar
Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa turunan dan integral adalah dua operasi yang saling berlawanan. Lebih tepatnya, teorema ini menghubungkan nilai dari anti derivatif dengan integral tertentu. Karena lebih mudah menghitung sebuah anti derivatif daripada menerapkan definisi integral tertentu, teorema dasar kalkulus memberikan cara yang praktis dalam menghitung integral tertentu. Teorema dasar kalkulus menyatakan:
“Jika sebuah fungsi f adalah fungsi kontinu pada interval [a,b] dan jika F adalah fungsi yang mana turunannya adalah f pada interval (a,b), maka
∫ () () () () () () ”
Lebih lanjut, untuk setiap x di interval (a,b), berlaku
Sebagai contohnya apabila kita hendak menghitung nilai inte gral
∫
daripada menggunakan definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann, kita dapat menggunakan teorema dasar kalkulus dalam menghitung nilai integral tersebut.
()
Anti derivatif dari fungsi
adalah
()
. Oleh sebab
itu, sesuai dengan teorema dasar kalkulus, nilai dari integral tertentu adalah:
() () 12 12
∫
Apabila kita hendak mencari luas daerah A dibawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka kita akan dapatkan:
9
,
2
Perhatikan bahwa hasil yang kita dapatkan dengan menggunakan teorema dasar kalkulus ini adalah sama dengan hasil yang kita dapatkan dengan menerapkan definisi integral tertentu. Oleh karena lebih praktis, teorema dasar kalkulus sering digunakan untuk mencari nilai integral tertentu. 2.2
Konsep Kalkulus yang Digunakan untuk Menentukan Dosis Radiasi Sinar X dalam Pengobatan Kanker
Penyakit kanker merupakan suatu penyakit yang menyerang sel t ubuh manusia, yang penyebabnya adalah karsinogen yang bisa berupa virus, bahan kimia, radiasi, atau sinar matahari. Karsinogen ini menyebabkan perubahan dalam bahan genetik sel sehingga sel menjadi kehilangan pengendalian dan mekanisme normalnya. Sel yang telah terkena karsinogen ini akan tumbuh dengan cepat dan tidak terkendali serta menjadi ganas. Sel yang telah terkena karsinogen akan membentuk suatu benjolan yang akan terus berkembang pesat dan jika dibiarkan bisa menyebabkan kematian. Untuk menghilangkan sel kanker tersebut bisa dilakukan dengan cara pembedahan atau kemoterapi. Setelah dilakukan pembedahan biasanya akan dilanjutkan dengan penyinaran agar sel yang tersisa mengecil dan hilang. Sebelum dilakukannya penyinaran, dokter harus mengetahui besar se l kanker tersebut serta letaknya. Untuk mengetahui besarnya ukuran sel tersebut para ahli dosimetri menggunakan cabang dari ilmu kalkulus yaitu integral. Integral adalah cabang dari kalkulus yang dapat digunakan untuk mengitung luas ataupun volume. Integral yang digunakan untuk menghitung volume adalah integral lipat 3, yaitu integral tunggal yang diintegralkan kembali. Bentuk sederhananya adalah
∭ (,,) ∫ ∫ ∫(,,) ∫ ∫ ∫(,,) atau
. Untuk menentukan
volume benda, yang digunakan adalah bentuk
. Ada
dua metode dalam integral yang bisa digunakan untuk menghitung volume benda, yaitu metode cakram dan metode cincin. Metode cakram dapat digunakan untuk benda yang dihasilkan dari satu bidang datang yang diputar 360° di salah satu porosnya sehingga menghasilkan 10
suatu benda tiga dimensi. Untuk melihat bagaimana penggunaan volume cakram dalam menentukan volume benda putar yang lebih umum, perhatikan gambar berikut.
Gambar 2.2.1
Untuk menentukan volume benda putar, perhatikan persegi panjang yang terletak pada bidang datar. Apabila persegi panjang tersebut diputar dengan pusat pada suatu garis, akan terbentuk salah satu cakram dalam benda putar yang volumenya,
∆ Δ
Sehingga volume benda putar tersebut dapat didekati dengan menggunakan n buah cakram yang memiliki tinggi Δ x dan jari-jari R( xi) yang menghasilkan,
Δ )] ≈ [( = Δ ( ) [ ] =
Pendekatan volume benda putar tersebut akan semakin baik apabila banyak cakramnya mendekati tak hingga, n → ∞ atau ||Δ|| → mendefinisikan volume benda putar sebagai berikut.
0. Sehingga, kita dapat
∆ [( )] ( ) ‖‖→ lim [ ] =
11
Secara sistematis, menentukan volume benda putar dengan metode cakram dapat dilihat seperti berikut. Rumus dari PreKalkulus
Volume Satu Bagian
∆ [()]∆
Volume Cakram
Volume Benda Putar
[ ]
Gambar 2.2.2
Rumus yang serupa juga dapat diturunkan apabila sumbu putarannya vertikal. Apabila sumbu putarannya adalah vertikal (sumbu- y), maka rumus volume benda putarnya adalah sebagai berikut.
( ) [ ]
Untuk membedakan antara volume benda putar dengan pusat di garis horizontal ataupun vertikal, perhatikan gambar berikut.
Gambar 2.2.3
Aplikasi paling sederhana dari metode cakram adalah menentukan volume benda putar hasil putaran daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi f dan sumbu- x. Jika sumbu putarannya adalah sumbu- x, maka dengan mudah dapat ditentukan bahwa R( x) sama dengan f ( x). Sedangkan metode cincin pada umumnya digunakan untuk benda yang memiliki lubang ditengahnya. Cincin dalam metode ini dibentuk oleh hasil putaran persegi panjang terhadap sumbu putaran tertentu (sumbu putaran tidak berimpit dengan sisi persegi panjang), seperti terlihat pada gambar berikut.
12
Gambar 2.2.4
Jika r dan R secara berturut-turut merupakan jari-jari dalam dan luar dari cincin dan t merupakan ketebalan cincin, maka volumenya dapat ditentukan sebagai berikut.
( )
Untuk mengetahui bagaimana konsep ini dapat digunakan untuk menentukan volume benda putar, perhatikan daerah yang dibatasi oleh jari-jari luar R( x) dan jari-jari dalam r ( x), seperti yang ditunjukkan gambar di bawah ini.
Gambar 2.2.5
Jika daerah tersebut diputar menurut sumbu putar yang diberikan, volume benda putar yang dihasilkan adalah
([()] [()]) 13
Perhatikan bahwa integral yang melibatkan jari-jari dalam merepresentasikan volume lubang yang dikurangkan dari integral yang melibatkan jari-jari luar. 2.3 Penerapan Kalkulus dalam Menentukan Dosis Radiasi Sinar X dalam Pengobatan Kanker
Untuk menentukan dosis radiasi sinar X dalam pengobatan kanker, pertama tama petugas dosimeter harus menghitung volume dari kanker tersebut. Untuk menghitung volume kanker digunakan integral karena bentuk sel kanker yang tidak beraturan. Salah satu bentuk dari sel kanker adalah sebagai berikut.
Gambar 2.3.1
Untuk menentukan volume dari sel tersebut maka sel tersebut harus di bagi menjadi beberapa bagian agar dapat dihitung volumenya menggunakan integral. Gambaran sederhananya adalah sebagai berikut:
Gambar 2.3.2
Maka untuk menentukan volumenya dapat dihitung dengan cara seba gai berikut:
14
(,,) () (,) () (,) (,,) √ − −− − −√ − − −− √ − −− − −√ −[|− −−] − 2 − −√ −
15
3. Penutup 3.1 Simpulan
Dari paparan atau penjelasan di atas, maka dapat disimpulkan bahwa
sesuai dengan makalah “Penerapan Ilmu Kalkulus dalam Penentuan Dosis Sinar X untuk Pengobatan Kanker” ilmu kalkulus dapat digunakan dalam penentuan dosis sinar X untuk pengobatan kanker. Ilmu kalkulus dalam penentuan dosis sinar X digunakan untuk menentukan volume sel kanker itu sendiri. Ketika volume telah diketahui maka penentuan dosis sinar X dapat ditentukan dengan tepat.
3.2 Saran
Menyadari bahwa penulis masih jauh dari kata sempurna, kedepannya penulis akan lebih fokus dan detail dalam menjelaskan tentang makalah di atas dengan sumber-sumber yang lebih banyak yang tentunya dapat dipertanggung jawabkan.
16
DAFTAR RUJUKAN
Kase, Kenneth R. 1972. Consep Of Radiation Dosimetry. California: Stanford Linear Acceleration Center Stanfors Univercity. (Online), (http://wikipedia.org/wiki/kalkulus, diakses tanggal 10 November 2014).
17
