Rumus dari Pre-Kalkulus
Volume Cakram
= 2
Rumus dari Pre-Kalkulus
Volume Cakram
= ^2
Volume Satu Bagian
= [ ( )]2
Volume Satu Bagian
= [〖 ( _ )]〗^2
Volume Benda Putar
= [ ]2
Volume Benda Putar
= 24_ ^ 〖〖[ ( _ )]〗^2 〗
0
Penerapan Ilmu Kalkulus dalam Penentuan Dosis Sinar X untuk Pengobatan Kanker
Makalah
untuk memenuhi tugas matakuliah
Bahasa Indonesia Keilmuan
yang dibina oleh Ibu Titik Harsiati
oleh
Ardini Yuniarta Rizki
140311601209
Off A
UNIVERSITAS NEGERI MALANG
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
JURUSAN MATEMATIKA
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
Desember 2014
Pendahuluan
Latar Belakang Masalah
Menu makanan dengan cara langsung dibakar memang sangat lezat, seperti ayam bakar, ikan bakar, bahkan nasi bakar. Namun dibalik kelezatan makanan makanan tersebut ada sebuah zat yang disebut dengan zat karsinogenik yang bisa menyebabkan penyakit kanker. Hal ini menjadi penyebab meningkatnya pengidap penyakit kanker. Namun dengan perkembangan teknologi kedokteran membuat peralihan pengobatan yang mulanya menggunakan kemoterapi yang sangat sakit menjadi menggunakan high energy ionizing radiation yang relatif lebih cepat, efektif, dan nyaman meskipun lebih mahal. Salah satunya adalah menggunakan sinar-X, karena tidak memungkinkan untuk membongkar pasang tubuh manusia.
Sebelum melakukan pengobatan menggunakan sinar-X, para ahli dosimetri berdiskusi dengan ahli ongkologi. Tugas seorang ahli dosimetri adalah menentukan dosis radiasi dari sinar-X, ini adalah bagian terpenting dalam pengobatan karena jika salah bisa berakibat fatal. Untuk menentukan dosis radiasinya, mereka harus mengetahui volume sel kanker tersebut serta letaknya. Dalam penentuan letak dan volume inilah ilmu kalkulus digunakan.
Dalam kalkulus dibahas tentang berbagai perhitungan integral, seperti integral cakram, integral cincin, integral lipat 2, ataupun integral lipat 3. Integral integral tersebut dalam dosimetri digunakan untuk menentukan volume dari sel kanker karena bentuk sel kanker pada umumnya tidak mungkin berbentuk simetris. Setelah itu, penerapan kalkulus masih tetap dibutuhkan dalam proses pengobatan selanjutnya. Penerapan kalkulus selanjutnya adalah untuk menentukan fungsi dari pergerakan sel kanker setiap waktu, sehingga dapat diketahui kapan sel kanker tersebut mengecil dan habis sehingga terapi tersebut dapat dihentikan, karena jika dilakukan terus menerus dapat merusak organ-organ sel yang lain.
Sebenarnya telah banyak makalah yang membahas penerapan ilmu kalkulus dalam bidang kedokteran. Salah satunya adalah makalah yang ditulis oleh Muh Sugiarto yang berjudul Penerapan Ilmu Matematika di dalam Kehidupan. Dalam makalahnya, beliau membahas tentang berbagai penerapan ilmu matematika dalam kehidupan sehari-hari. Salah satu penerapan yang beliau bahas adalah penerapan ilmu kalkulus dalam bidang kedokteran. Beliau membahas secara garis besar bagaimana penerapan matematika dalam bidang kedokteran.
Setelah membaca makalah tersebut penulis terinspirasi untuk membuat makalah yang serupa karena topik yang dibahas menarik sehingga dalam makalah ini penulis juga membahas tentang penerapan matematika dalam bidang kedokteran. Namun, dalam karya ilmiah ini pembahasan lebih difokuskan dalam penerapan matematika dalam bidang kedokteran. Jika pada makalah sebelumnya dibahas gambaran umum tentang penerapan matematika dalam ilmu kedokteran, maka dalam karya ilmiah ini akan membahas salah satu bidang matematika yaitu kalkulus yang digunakan untuk menentukan dosis radiasi sinar-X yang digunakan untuk pengobatan kanker sehingga dalam karya ilmiah ini, akan dibahas dengan lebih rinci lagi bagaimana penerapan kalkulus tersebut dalam penentuan dosis radiasi sinar-X dalam pengobatan kanker bukan hanya gambaran umumnya saja.
Dengan pembahasan tersebut, penulis merasa bahwa judul ini perlu dikembangkan karena masih banyak orang yang tidak paham pentingnya matematika dalam bidang kedokteran sehingga dengan membaca karya tulis ini, mereka lebih paham dan tahu bagaimana peranan matematika dalam kedokteran. Oleh karena itu, ketika mereka mempelajari matematika mereka mengetahui manfaat matematika itu sendiri untuk kedepannya.
Rumusan Masalah
Rumusan masalah dalam makalah ini dijabarman sebagai berikut:
Bagaimana konsep kalkulus dalam matematika?
Apa saja konsep kalkulus yang digunakan untuk menentukan volume kanker dosis radiasi sinar-X dalam pengobatan kanker?
Bagaimana menerapkan konsep kalkulus dalam penentuan Dosis Sinar-X?
Tujuan
Adapun tujuan penulisan makalah ini dijabarkam sebagai berikut.
Untuk mengetahui konsep kalkulus dalam matematika
Untuk mengetahui konsep dalam kalkulus yang digunakan untuk menentukan dosis sinar-X dalam pengobatan kanker.
Untuk menjelaskan konsep kalkulus dalam penentuan dosis sinar-X
Pembahasan
Konsep Kalkulus dalam Matematika
Kalkulus adalah cabang ilmu matematika yang mempelajari perubahan. Dalam kalkulus mencakup limit, turunan, integral, dan deret tak hingga. Kalkulus dapat diaplikasikan dalam berbagai bidang sains, ekonomi, dan teknik. Beberapa masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer juga dapat dipecahkan menggunakan kalkulus.
Kalkulus dibagi menjadi dua, yaitu kalkulus deferensial dan kalkulus integral. Kalkulus deferensial dan kalkulus integral saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Kalkulus deferensial merupakan cabang kalkulus yang mempelajari perubahan nilai suatu fungsi yang dipengaruhi oleh perubahan input nilainya. Dalam kalkulus deferensial topik utamanya adalah turunan dari suatu fungsi. Proses untuk mencari turunan disebut dengan pendiferensialan. Turunan banyak digunakan dalam bidang kimia untuk menentukan laju reaksi. Turunan juga dapat digunakan untuk menbuat strategi dalam persaingan perusahaan. Kalkulus integral adalah cabang kalkulus yang digunakan untuk menghitung luas suatu daerah atau volume suatu benda.
Prinsip-prinsip dasar kalkulus
Limit dan Kecil Tak Terhingga
Kalkulus pada umumnya dikembangkan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang sangat kecil. Objek dalam bahasan ini merupakan angka yang sangat kecil yang disebut bilangan kecil tak hingga, bilangan yang lebih besar dari nol tetapi lebih kecil dari bilangan apapun dalam deret 1, ½, , .... Bilangan ini jika dikalikan dengan bilangan yang lain tetap akan menghasilkan bilangan yang kecil tak hingga (infinitesimal). Kalkulus di sini berperan untuk memanipulasi angka tersebut.
Pada abad ke-19, konsep kecil tak terhingga ini ditinggalkan karena tidak cukup cermat, dan digantikan dengan konsep limit. Limit menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai input tertentu dengan hasil dari nilai input terdekat. Kalkulus di sini merupakan sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit tertentu.
Limit dari suatu fungsi dedifinisikan sebagai berikut:
Diberikan fungsi f(x) yang terdefinisikan pada interval di sekitar p, terkecuali mungkin pada p itu sendiri. Kita mengatakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati p adalah L, dan menuliskan:
limx pfx=L
jika, untuk setiap bilangan a>0, terdapat bilangan b>0 yang berkoresponden dengannya sedemikian rupanya untuk setiap x:
0
Turunan
Turunan dari suatu fungsi mewakili perubahan yang sangat kecil dari fungsi tersebut terhadap variabelnya. Proses menemukan turunan dari suatu fungsi disebut sebagai pendiferensialan ataupun diferensiasi. Secara matematis, turunan fungsi ƒ(x) terhadap variabel x adalah ƒ yang nilainya pada titik x adalah:
f'x=limh 0fx+h-f(x)h
dengan syarat limit tersebut eksis. Jika ƒ eksis pada titik x tertentu, kita katakan bahwa ƒ terdiferensialkan (memiliki turunan) pada x, dan jika ƒ eksis di setiap titik pada domain ƒ, kita sebut ƒ terdiferensialkan.
Apabila z = x + h, h = z - x, dan h mendekati 0 jika dan hanya jika z mendekati x, maka definisi turunan di atas dapat pula kita tulis sebagai:
f'x=limh 0fz-f(x)z-x
Perhatikan bahwa ekspresi fx+h-f(x)h pada definisi turunan di atas merupakan gradien dari garis sekan yang melewati titik (x,ƒ(x)) dan (x+h,ƒ(x)) pada kurva ƒ(x). Apabila kita mengambil limit h mendekati 0, maka kita akan mendapatkan kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva ƒ(x) pada titik x. Hal ini berarti pula garis singgung suatu kurva merupakan limit dari garis sekan, demikian pulanya turunan dari suatu fungsi ƒ(x) merupakan gradien dari fungsi tersebut.
Sebagai contoh, untuk menemukan gradien dari fungsifx=x2 pada titik (3,9):
f'3=limh 03+h2-9h
f'3=limh 03+h2-9h
f'3 =limh 09+6h+h2-9h
f'3=limh 06h+h2h
f'3=limh 0(6+h)
f'3=6
Turunan dapat dinotasikan sebagai berikut:
Notasi Leibniz
Notasi Lagrange
Notasi Newton
Notasi Euler
Turunan f(x) terhadap x
ddxf(x)
f'(x)
ẏ
dengan y=f(x)
Dx f(x)
Tabel 2.1
Integral
Integral merupakan ilmu matematika yang digunakan untuk menafsirkan luas suatu. Proses menemukan integral suatu fungsi disebut sebagai pengintegralan ataupun integrasi. Integral dibagi menjadi dua, yaitu: integral tertentu dan integral tak tentu. Notasi matematika yang digunakan untuk menyatakan integral adalah , seperti huruf S yang memanjang (S singkatan dari "Sum" yang berarti penjumlahan).
Integral Tertentu
Integral tertentu adalah integral yang domain intervalnya dibatasi yang dapat dituliskan dengan bentuk abfxdx, dengan [a,b] merupakan domain dari f(x). Bentuk tersebut dapat didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi oleh kurva grafik ƒ, sumbu X, dan garis vertikal x = a dan x = b.
Pada notasi integral di atas: a adalah batas bawah dan b adalah batas atas yang menentukan domain pengintegralan, ƒ adalah integran yang akan dievaluasi terhadap x pada interval [a,b], dan dx adalah variabel pengintegralan.
Terdapat berbagai jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang paling umumnya digunakan adalah definisi integral Riemann. Integral Rieman didefinisikan sebagai limit dari "penjumlahan Riemann". Misalkanlah kita hendak mencari luas daerah yang dibatasi oleh fungsi ƒ pada interval tertutup [a,b]. Dalam mencari luas daerah tersebut, interval [a,b] dapat kita bagi menjadi banyak subinterval yang lebarnya tidak perlu sama, dan kita memilih sejumlah n-1 titik {x1, x2, x3,..., xn - 1} antara a dengan b sehingga memenuhi hubungan:
a=x0 x1 … xn-1 xn=b
Himpunan P={x0,x1,…,xn-1,xn} tersebut kita sebut sebagai partisi [a,b], yang membagi [a,b] menjadi sejumlah n subinterval x0,x1, x1,x2, …, [xn-1,xn]. Lebar subinterval pertama x0,x1 kita nyatakan sebagai Δx1, demikian pula lebar subinterval ke-i kita nyatakan sebagai Δxi = xi - xi - 1. Pada tiap-tiap subinterval inilah kita pilih suatu titik sembarang dan pada subinterval ke-i tersebut kita memilih titik sembarang ti. Maka pada tiap-tiap subinterval akan terdapat batangan persegi panjang yang lebarnya sebesar Δx dan tingginya berawal dari sumbu x sampai menyentuh titik (ti, ƒ(ti)) pada kurva. Apabila kita menghitung luas tiap-tiap batangan tersebut dengan mengalikan ƒ(ti)· Δxi dan menjumlahkan keseluruhan luas daerah batangan tersebut, kita akan dapatkan:
Sp= i=1nf(ti) xi
Penjumlahan Sp disebut sebagai penjumlahan Riemann untuk ƒ pada interval [a,b]. Perhatikan bahwa semakin kecil subinterval partisi yang kita ambil, hasil penjumlahan Riemann ini akan semakin mendekati nilai luas daerah yang kita inginkan. Apabila kita mengambil limit dari norma partisi P mendekati nol, maka kita akan mendapatkan luas daerah tersebut.
Secara cermat, definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann adalah sebagai berikut.
Jika diberikan ƒ(x) sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [a,b]. Kita katakan bahwa bilangan I adalah integral tertentu ƒ di sepanjang [a,b] dan bahwa I adalah limit dari penjumlahan Rieman n i=1nf(ti) xi apabila kondisi berikut terpenuhi, yaitu: Untuk setiap bilangan ε > 0 apapun terdapat sebuah bilangan δ > 0 yang berkorespondensi dengannya sedemikian rupanya untuk setiap partisiP={x0,x1,…,xn} di sepanjang [a,b] denganP<δ dan pilihan ti apapun pada [xk - 1, ti], kita dapatkan
i=1nfti xi-I<
Secara matematis dapat ditulis:
limP 0i=1nfti xi=I=abfxdx
Apabila tiap-tiap partisi mempunyai sejumlah n subinterval yang sama, maka lebar Δx = (b-a)/n, sehingga persamaan di atas dapat pula ditulis sebagai:
limn i=1nfti xi=I=abfxdx
Limit ini selalu diambil ketika norma partisi mendekati nol dan jumlah subinterval yang ada mendekati tak terhingga banyaknya. Dalam prakteknya, penerapan definisi integral tertentu dalam mencari nilai integral tertentu tersebut jarang sekali digunakan karena tidak praktis. Teorema dasar kalkulus memberikan cara yang lebih praktis dalam mencari nilai integral tertentu.
Integral Tak Tentu
Manakala integral tertentu adalah sebuah bilangan yang besarnya ditentukan dengan mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan partisi interval tertutup yang norma partisinya mendekati nol, teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa integral tertentu sebuah fungsi kontinu dapat dihitung dengan mudah apabila kita dapat mencari antiturunan/antiderivatif fungsi tersebut.
Apabila F'x=ddxFx=f(x). Maka keseluruhan himpunan antiturunan/antiderivatif sebuah fungsi ƒ adalah integral tak tentu ataupun primitif dari ƒ terhadap x dan dituliskan secara matematis sebagai:
fxdx=Fx+C
Ekspresi F(x) + C adalah antiderivatif umum ƒ dan C adalah konstanta sembarang.
Perhatikan bahwa integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral tertentu dalam bentuk abfxdx adalah sebuah bilangan, manakala integral tak tentu fxdx adalah sebuah fungsi yang memiliki tambahan konstanta sembarang C.
Teorema Dasar
Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa turunan dan integral adalah dua operasi yang saling berlawanan. Lebih tepatnya, teorema ini menghubungkan nilai dari anti derivatif dengan integral tertentu. Karena lebih mudah menghitung sebuah anti derivatif daripada menerapkan definisi integral tertentu, teorema dasar kalkulus memberikan cara yang praktis dalam menghitung integral tertentu.
Teorema dasar kalkulus menyatakan:
"Jika sebuah fungsi f adalah fungsi kontinu pada interval [a,b] dan jika F adalah fungsi yang mana turunannya adalah f pada interval (a,b), maka abfxdx=Fb-F(a)"
Lebih lanjut, untuk setiap x di interval (a,b), berlaku
F'x=ddxaxftdt=f(x)
Sebagai contohnya apabila kita hendak menghitung nilai integral abx dx, daripada menggunakan definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann, kita dapat menggunakan teorema dasar kalkulus dalam menghitung nilai integral tersebut.
Anti derivatif dari fungsifx=x adalah Fx=12x2+C. Oleh sebab itu, sesuai dengan teorema dasar kalkulus, nilai dari integral tertentu abx dx adalah:
abx dx=Fb-Fa
=12b2-12a2
Apabila kita hendak mencari luas daerah A dibawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka kita akan dapatkan:
0bx dx= b22
Perhatikan bahwa hasil yang kita dapatkan dengan menggunakan teorema dasar kalkulus ini adalah sama dengan hasil yang kita dapatkan dengan menerapkan definisi integral tertentu. Oleh karena lebih praktis, teorema dasar kalkulus sering digunakan untuk mencari nilai integral tertentu.
Konsep Kalkulus yang Digunakan untuk Menentukan Dosis Radiasi Sinar X dalam Pengobatan Kanker
Penyakit kanker merupakan suatu penyakit yang menyerang sel tubuh manusia, yang penyebabnya adalah karsinogen yang bisa berupa virus, bahan kimia, radiasi, atau sinar matahari. Karsinogen ini menyebabkan perubahan dalam bahan genetik sel sehingga sel menjadi kehilangan pengendalian dan mekanisme normalnya. Sel yang telah terkena karsinogen ini akan tumbuh dengan cepat dan tidak terkendali serta menjadi ganas.
Sel yang telah terkena karsinogen akan membentuk suatu benjolan yang akan terus berkembang pesat dan jika dibiarkan bisa menyebabkan kematian. Untuk menghilangkan sel kanker tersebut bisa dilakukan dengan cara pembedahan atau kemoterapi. Setelah dilakukan pembedahan biasanya akan dilanjutkan dengan penyinaran agar sel yang tersisa mengecil dan hilang.
Sebelum dilakukannya penyinaran, dokter harus mengetahui besar sel kanker tersebut serta letaknya. Untuk mengetahui besarnya ukuran sel tersebut para ahli dosimetri menggunakan cabang dari ilmu kalkulus yaitu integral. Integral adalah cabang dari kalkulus yang dapat digunakan untuk mengitung luas ataupun volume.
Integral yang digunakan untuk menghitung volume adalah integral lipat 3, yaitu integral tunggal yang diintegralkan kembali. Bentuk sederhananya adalah fx,y,zdx dy dz atauy1y2x1x2z1z2x,y,zdx dy dz. Untuk menentukan volume benda, yang digunakan adalah bentuk y1y2x1x2z1z2x,y,zdx dy dz. Ada dua metode dalam integral yang bisa digunakan untuk menghitung volume benda, yaitu metode cakram dan metode cincin.
Metode cakram dapat digunakan untuk benda yang dihasilkan dari satu bidang datang yang diputar 360° di salah satu porosnya sehingga menghasilkan suatu benda tiga dimensi. Untuk melihat bagaimana penggunaan volume cakram dalam menentukan volume benda putar yang lebih umum, perhatikan gambar berikut.
Gambar 2.2.1
Untuk menentukan volume benda putar, perhatikan persegi panjang yang terletak pada bidang datar. Apabila persegi panjang tersebut diputar dengan pusat pada suatu garis, akan terbentuk salah satu cakram dalam benda putar yang volumenya,
V=πR2Δx
Sehingga volume benda putar tersebut dapat didekati dengan menggunakan n buah cakram yang memiliki tinggi Δx dan jari-jari R(xi) yang menghasilkan,
Volume benda putar i=1nπRxi2Δx
=πi=1n[Rxi]2Δx
Pendekatan volume benda putar tersebut akan semakin baik apabila banyak cakramnya mendekati tak hingga, n atau ""Δ"" 0. Sehingga, kita dapat mendefinisikan volume benda putar sebagai berikut.
Volume benda putar= limΔ 0πi=1n[Rxi]2 x= πab[Rxi]2dx
Secara sistematis, menentukan volume benda putar dengan metode cakram dapat dilihat seperti berikut.
Gambar 2.2.2
Rumus yang serupa juga dapat diturunkan apabila sumbu putarannya vertikal. Apabila sumbu putarannya adalah vertikal (sumbu-y), maka rumus volume benda putarnya adalah sebagai berikut.
Volume=πcd[Ry]2dy
Untuk membedakan antara volume benda putar dengan pusat di garis horizontal ataupun vertikal, perhatikan gambar berikut.
Gambar 2.2.3
Aplikasi paling sederhana dari metode cakram adalah menentukan volume benda putar hasil putaran daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi f dan sumbu-x. Jika sumbu putarannya adalah sumbu-x, maka dengan mudah dapat ditentukan bahwa R(x) sama dengan f(x).
Sedangkan metode cincin pada umumnya digunakan untuk benda yang memiliki lubang ditengahnya. Cincin dalam metode ini dibentuk oleh hasil putaran persegi panjang terhadap sumbu putaran tertentu (sumbu putaran tidak berimpit dengan sisi persegi panjang), seperti terlihat pada gambar berikut.
Gambar 2.2.4
Jika r dan R secara berturut-turut merupakan jari-jari dalam dan luar dari cincin dan t merupakan ketebalan cincin, maka volumenya dapat ditentukan sebagai berikut.
Volume cincin= πR2- r2t
Untuk mengetahui bagaimana konsep ini dapat digunakan untuk menentukan volume benda putar, perhatikan daerah yang dibatasi oleh jari-jari luar R(x) dan jari-jari dalam r(x), seperti yang ditunjukkan gambar di bawah ini.
Gambar 2.2.5
Jika daerah tersebut diputar menurut sumbu putar yang diberikan, volume benda putar yang dihasilkan adalah
V= πab[Rx]2-[rx]2dx
Perhatikan bahwa integral yang melibatkan jari-jari dalam merepresentasikan volume lubang yang dikurangkan dari integral yang melibatkan jari-jari luar.
Penerapan Kalkulus dalam Menentukan Dosis Radiasi Sinar X dalam Pengobatan Kanker
Untuk menentukan dosis radiasi sinar X dalam pengobatan kanker, pertama tama petugas dosimeter harus menghitung volume dari kanker tersebut. Untuk menghitung volume kanker digunakan integral karena bentuk sel kanker yang tidak beraturan. Salah satu bentuk dari sel kanker adalah sebagai berikut.
Gambar 2.3.1
Untuk menentukan volume dari sel tersebut maka sel tersebut harus di bagi menjadi beberapa bagian agar dapat dihitung volumenya menggunakan integral. Gambaran sederhananya adalah sebagai berikut:
Gambar 2.3.2
Maka untuk menentukan volumenya dapat dihitung dengan cara sebagai berikut:
Volume= w fx, y,zdx dy dz
=abϕ1(x)ϕ2(x)γ1(x,y)γ2(x,y)fx,y,zdz dy dx
=-rr-r2-x2r2-x2-r2-x2-y2r2-x2-y2dz dy dx
=-rr-r2-x2r2-x2[z"-r2-x2-y2r2-x2-y2] dy dx
=2 -rr-r2-x2r2-x2r2-x2-y2 dydx
Penutup
Simpulan
Dari paparan atau penjelasan di atas, maka dapat disimpulkan bahwa sesuai dengan makalah "Penerapan Ilmu Kalkulus dalam Penentuan Dosis Sinar X untuk Pengobatan Kanker" ilmu kalkulus dapat digunakan dalam penentuan dosis sinar X untuk pengobatan kanker. Ilmu kalkulus dalam penentuan dosis sinar X digunakan untuk menentukan volume sel kanker itu sendiri. Ketika volume telah diketahui maka penentuan dosis sinar X dapat ditentukan dengan tepat.
Saran
Menyadari bahwa penulis masih jauh dari kata sempurna, kedepannya penulis akan lebih fokus dan detail dalam menjelaskan tentang makalah di atas dengan sumber-sumber yang lebih banyak yang tentunya dapat dipertanggung jawabkan.
DAFTAR RUJUKAN
Kase, Kenneth R. 1972. Consep Of Radiation Dosimetry. California: Stanford Linear Acceleration Center Stanfors Univercity.
(Online), (http://wikipedia.org/wiki/kalkulus, diakses tanggal 10 November 2014).
Rumus dari Pre-Kalkulus
Volume Cakram
= 2
Volume Satu Bagian
= [ ( )]2
Volume Benda Putar
= [ ]2
