Bab 7 – Penerapan Diferensial BAB VII PENERAPAN DIFERENSIAL
7.1. Optimisasi Konsep derivatif dapat digunakan utk menentukan titik-titik kritis (stationary ) suatu fungsi berupa : •
Titik maksimum relatif, yaitu suatu titik dimana nilai dari f(x) adalah lebih besar daripada nilai-nilai untuk semua titik-titik yang berada di sekitarnya.
•
Titik minimum relatif, yaitu suatu titik dimana nilai dari f(x) adalah lebih kecil daripada nilai-nilai untuk semua titik-titik yang berada di sekitarnya (lihat gambar .! dan .").
•
Titik belok (inflection (inflection point )
Titik Maksimum dan Minimum Suatu Fungsi
#ambar .! $enent $enentuka ukan n titik titik-ti -titik tik kritis kritis dapat dapat menggu menggunak nakan an dua metode metode,, yaitu: •
%&i derivatif pertama
•
%&i derivatif kedua '
Bab 7 – Penerapan Diferensial
#ambar ."
Uji Derivatif Pertama
ari nilai kritis x * x+ pada saat f(x) * +
elidiki perubahan tanda : •
ika f(x) berubah tandanya dari positif ke negatif utk sebelah kiri x * x+ ke sebelah kanannya
•
relatif pada x * x+.
ika f(x) berubah tandanya dari negatif ke positif utk sebelah kiri x * x+ ke sebelah kanannya
•
à maksimum
à minimum
relatif pada x * x +.
ika f(x) mempunyai tanda yg sama utk sebelah kiri x * x + ke sebelah sebelah kanannya kanannya
à maka
bukan titik maksimum atau minimum
relatif pada x * x+.
'/
Bab 7 – Penerapan Diferensial
Uji Derivatif Kedua
ari nilai kritis x * x+ pada saat f(x) * +
ubstitusikan nilai kritis x+ ke dalam derivatif kedua f(x) : •
ika f(x) 0 +
à maksimum
relatif pada x * x+.
•
ika f(x) 1 +
à minimum
•
ika f f(x) * +à u&i u&i deri deriva vati tiff kedu kedua a gaga gagall dan dan tida tidak k dapa dapatt
relatif pada x * x +.
disimpulkan secara pasti, kita kembali ke u&i derivatif pertama atau derivatif tingkat tinggi.
ontoh : Tentukan Tentukan titik kritis y * f(x) * x " 2 !+x 3 "' •
f(x) * "x - !+ * + "x
* !+
x
*4
•
f(4) * 4" 3 !+(4) 2 "' * "4 2 4+ 3 "' * !
•
%tk x 0 4, mis 6
à f(6)
* "(6) 2 !+ * -" (negatif)
•
%tk x 1 4, mis '
à f(')
* "(') 2 !+ * " (positif)
•
adi karena perubahan f(x) dari negatif ke positif maka berarti titik
à &d
titik (45!)
(45!) merupakan titik minimum relatif.
Kalkulus
diferensial
fungsi gsi
dengan gan
satu
variabel
bebas
pener penerapa apanny nnya a diguna digunakan kan untuk untuk menent menentukan ukan nilainilai-nil nilai ai margin marginal al dari dari suat suatu u
fung fungsi si,,
yait yaitu u
ting tingka katt
peru peruba baha han n
dari dari suat suatu u
vari variab abel el teri terika katt
(dependent ) sebagai akibat adanya perubahan satu unit variabel bebas (independent )
à elastisitas.
elain elain itu pener penerapa apan n difere diferensi nsial al adalah adalah utk mencar mencarii nilainilai-nil nilai ai maks maksim imum um atau atau mini minimu mum m dari dari suat suatu u fung fungsi si,, teru teruta tama ma meny menyan angku gkutt penentuan laba maksimum atau biaya minimum dari suatu perusahaan
à
optimisasi.
7.2. Elastisitas Harga +
Bab 7 – Penerapan Diferensial 7lastisitas harga adalah perubahan persentase ¨ah barang yang diminta oleh konsumen atau dita8arkan oleh produsen yang diakibatkan oleh perubahan persentase harga barang itu sendiri. %ntuk menghitung besarnya elastisitas ada " cara : a. 7lastisitas 9usur ( Arc Elasticity ) b. 7lastisitas Titik (Point (Point Elasticity
d. a. 7lastisitas 9usur ( Arc Elasticity ) ;aitu ;aitu elasti elastisit sitas as yang yang dihitu dihitung ng di antara antara dua titik titik ( range) range) pada kurva permintaan. e=
%∆Q %∆ P
e=
atau
∆Q / Q ∆ P / P
atau
e=
∆Q P ⋅ ∆ P
ika perubahan perubahan harga sangat kecil atau <=à+, maka <>?<= <>?<= akan akan men&adi, lim
∆Q
∆ P → 0 ∆ P
=
∂ P ∂Q
d. b. 7lastisitas Titik (Point (Point Elasticity ) ;aitu elastisitas harga di satu titik pada kurva permintaan, dan dirumuskan : e=
∂Q / Q ∂ P / P
atau
e=
∂Q ∂ P
.
P
@umus di atas hanya berlaku &ika fungsi permintaan atau fungsi pena8ara pena8aran n yang berbentuk berbentuk > * f(=). ika fungsi permintaan permintaan atau fungsi fungsi pena8aran berbentuk = * f(>) maka rumusnya : e=
1 ∂ P / ∂
.
P
Karakteristik dan Kategori Elastisitas arga
!
Bab 7 – Penerapan Diferensial !. =a =ada da umumny umumnya a elasti elastisit sitas as harga harga dari dari permin permintaa taan n berbed berbeda-b a-beda eda dan bernilai negatif, sedangkan pena8aran bernilai positif. ". Tetapi tapi dalam dalam menguk mengukur ur ko koefi efisie sien n elasti elastisit sitas as harga harga biasan biasanya ya diambi diambill nilai mutlaknya (absolut), sehingga nilainya berada di antara nol dan tidak terhingga ( + A e B C) D. da lima lima kate kategor gorii elasti elastisit sitas as : a. lel 1 !, permint permintaan aan elastis elastis terhadap terhadap harga harga b. lel * !, permint permintaan aan uniter uniter terhadap terhadap harga c. lel 0 !, permi perminta ntaan an inela inelasti stis s terhada terhadap p harga harga d. lel * C, perminta permintaan an elastis elastis sempurn sempurna a terhadap terhadap harga harga e. lel * +, permintaan permintaan inelas inelastis tis sempurna sempurna terhad terhadap ap harga harga
#ambar .D ontoh : Eiketahui fungsi permintaan suatu barang F * 6 2 Dp " pada harga p * D dan F * "!. ika ika harga harga turun turun 6G tentu tentukan kan kenaikan kenaikan relati relatiff daripa daripada da ¨ah barang yg diminta dan tentukan elastisitas busurnya. Tentukan Tentukan pula elastisitas titik dari fungsi permintaan pada titik tersebut. =enyelesaian :
"
Bab 7 – Penerapan Diferensial = turun 6G F yg baru
à p!*
à F!
D 2 D(+,+6) * ",
* 6 2 D(",)" * "D,!D
7lastisitas busur : e=
∆Q / Q 10,1% = = −2,52 ∆ P / P − 4%
7lastisitas Titik : e=
P 3 ∂Q / Q ∂Q P . = = −6 P . = −6(3). = −2,57 Q 21 ∂ P / P ∂ P Q
7.3. Biaya Ttal! Rata"rata #a$ %argi$al ika ika biaya biaya total total untuk untuk mempro memproduk duksi si dan memasa memasarka rkan n se¨ se¨ah ah produk produk > diasum diasumsik sikan an sebaga sebagaii fungsi fungsi dari dari > itu sendir sendiri, i, maka maka fungsi fungsi biaya total dapat dinyatakan dengan,
T * f(>) Eimana T * 9iaya total (total (total cost ) > * umlah produk yang dihasilkan (!uantity )
9iaya rata-rata (average ( average cost * ) atau biaya per unit produk yang dihasilkan, dan rumusnya dapat ditulis men&adi : AC =
TC Q
=
f (Q ) Q
9iaya 9ia ya margin marginal al (marginal marginal cost * $) adal adalah ah peru peruba baha han n dala dalam m biaya total (T) sebagai akibat adanya perubahan satu unit produk (>) yang dihasilkan, dirumuskan dengan : MC =
∂TC = f ' (Q ) ∂Q
D
Bab 7 – Penerapan Diferensial
adi biaya marginal adalah derivatif pertama dari biaya total. Hal serupa dengan itu, biaya rata-rata marginal merupakan derivatif pertama dari biaya rata-rata.
u"ungan antara #iaya $ata%rata dg #iaya Marginal
Kemiringan
kurva
0
+
(negat (negatif), if), &ika &ika dan hanya hanya &ika &ika kurv kurva a $ terl terlet etak ak di ba8 ba8ah kurva
Kemiringan kurva * +, &ika dan
hanya
&ika
kurva
$
memotong kurva
Kemiringan
kurva
1
+
(pos (posit itif), if), &ika &ika dan dan hany hanya a &ika &ika kurva $ terletak di atas kurva #ambar .6
ontoh : ika ika
dike diketa tahu huii
fung fungsi si
bia biaya
total otal
dari dari
suat suatu u
peru perusa saha haa an
adala dalah h
T * +,">"34++>3+++. arilah : a. Iungsi biaya rata-rata b. 9erapa ¨ah produk yg dihasilkan agar 9iaya rata-rata minimum c. 9erapa nilai biaya rata-rata minimum tsb.
=enyelesaian : a. *T?> * +,"> 3 4++ 3 +++?> b.
min
à J?J>
*+
+," 2 +++>-" * + +," * +++?>" >" * +++?+," 6
Bab 7 – Penerapan Diferensial > c.
*
40000
* "++
*+,"("++) 3 4++ 3 +++?"++ * 6+ 3 4++ 3 6+ * 4+
min
7.&. P'$'rimaa$ Ttal! Rata"rata! #a$ %argi$al ika fungsi permintaan = * f(>), di mana = adalah harga produk per unit dan > adalah ¨ah produk yang diminta, maka p'$'rimaa$ ttal (total (total revenue ) revenue ) TR* adalah TR* adalah hasil kali antara ¨ah produk yang dimint diminta a atau atau yang yang ter&ua ter&uall dengan dengan harga harga produk produk per unit, atau atau dapat dapat dirumuskan men&adi : TR = P .Q = f (Q ).Q
P'$'ri P'$'rima maa$ a$ rata"r rata"rata ata ( averag average e
reven revenue ue
) A R* R*,
adal adalah ah
penerimaan total (T@) dibagi dengan ¨ah produk yang ter&ual (>) dan rumusnya adalah : AR =
TR Q
=
P .Q Q
= P
adi, penerimaan rata-rata (@), sama dengan harga produk per unit unit (=) &uga &uga sama sama dengan dengan fungsi fungsi permin permintaa taan, n, sehing sehingga ga dapat dapat dituli ditulis s kembali rumusnya men&adi : AR = P = f (Q)
elan&utnya, p'$'rimaa$ margi$al (Marginal ( Marginal Revenue = MR* MR * adal adalah ah tamb tambah ahan an pene peneri rima maan an tota totall
yang yang diak diakib ibat atka kan n
oleh oleh adan adanya ya
tambahan satu unit produk yang ter&ual atau secara matematis adalah deri deriva vati tiff
pert pertam ama a
dari dari fung fungsi si pene peneri rima maan an tota totall
terha erhada dap p
>, atau atau
dirumuskan sebagai berikut : MR =
∂TR = f ' (Q ) ∂Q
4
Bab 7 – Penerapan Diferensial
ontoh : ika diketahui fungsi permintaan seorang monopolis adalah = * ! 2 D>, buatlah fungsi T@, $@ dan hitung T@ maksimum. a8ab : T@
* =.> =.> * (! 2 D>)> * !> 2 D>"
$@
∂TR
*
∂Q
* ! 2 ' >
T@ maks
à $@
*+
! 2 '> * + '> * ! >*D ubstitusikan nilai > * D ke dalam d alam persamaan T@ , sehingga diperoleh : T@ maks
* !(D) 2 D(D)" * 46 2 " * "
7.+. H,-,$ga$ a$tara P'$'rimaa$ %argi$al #a$ Elastisitas Harga P'rmi$taa$ =enerimaan $arginal : MR =
∂TR ∂ ( P .Q ) ∂ P = = P + (Q ) ∂Q ∂Q ∂Q
7lastisitas Harga =ermintaan: e=
e=
∂Q P .
∂ P Q
1 P . ∂ P / ∂Q Q
'
Bab 7 – Penerapan Diferensial ∂ P ∂Q
=
P e.Q
$asukkan J=?J> ke dalam rumus =enerimaan $arginal ehingga $@ men&adi :
P Q e.Q
MR = P +
P MR = P + e
1 MR = P 1 + e
Karena e bernilai negatif, maka:
1 MR = P 1 − e
Hubungan
antara
permintaan
dan
elastisitas =enerimaan
$arginal : a.
ika e * ! dan = 1 +
à
$@ * + b.
ika e 1 ! dan = 1 +
à
$@ 1 + c.
ika e 0 ! dan = 1 +
à
$@ 0 +
#ambar .4
Hubu Hubung nga an
anta antarra
=eneri nerima maan an
$arrgina $a ginall
dan dan
7las 7lasti tisi sita tas s
den dengan gan
=enerimaan Total : a. ika ika e * !, $@ * +
à T@
maksimum
b. ika ika e 1 !, $@ 1 +
à T@
menaik
Bab 7 – Penerapan Diferensial c. ika ika e 0 !, $@ 0 + à T@ menurun
7.+. La-a %asim,m etelah pada bagian yang lalu kita mempela&ari fungsi biaya dan fung fungsi si pene peneri rima maan an,,
maka maka kita kita seka sekara rang ng bisa bisa
mene menent ntuk ukan an ¨ ¨ah ah
keuntungan atau laba ( profit ). ). Tentunya Tentunya laba yang diinginkan perusahaan p erusahaan adalah laba maksimum. aba aba merupak merupakan an selisi selisih h antara antara peneri penerimaan maan total total dengan dengan biaya biaya total, atau secara matematiss dapat dinyatakan dengan rumus : π
atau
= TR − TC
π
= P .Q − AC .Q
Eimana :
π
* aba
T@
* =enerimaan total
T
* 9iaya total
%ntuk memperoleh tingkat output yg memaksimumkan laba, harus memenuhi kedua syarat di ba8ah ini : !. yar yarat at pert pertam ama a (necessary (necessary condition) condition ) ;aitu ;aitu derivatif pertama fungsi laba terhadap > sama dengan nol. ∂π ∂Q
=0
∂ (TR − TC )
=0
∂Q ∂TR ∂TC − =0 ∂Q ∂Q
∂TR ∂TC = ∂Q ∂Q
Kare Karena na
∂TR ∂TC = MR da = MC , maka persamaan di atas dapat dan ∂Q ∂Q
ditulis men&adi MR = MC .
Bab 7 – Penerapan Diferensial adi adi syara syaratt pertam pertama a untuk untuk suatu suatu output output (>) yang yang optimu optimum m secara secara ekonomi adalah penerimaan marginal sama dengan biaya marginal. kan tetapi, syarat yang pertama ini belum men&amin adanya suatu maksimum. Lleh karena itu harus diperiksa lebih lan&ut syarat kedua yang mencukupkan.
!. yar yarat at kedu kedua a (sufficent (sufficent condition) condition ) ;aitu derivatif kedua dari fungsi laba terhadap > harus lebih kecil dari nol.
∂ 2π <0 ∂Q 2 ∂ 2TR ∂ 2TC − <0 ∂Q 2 ∂Q 2
∂ 2TR ∂ 2TC < ∂Q 2 ∂Q 2 Karena ena
∂ 2TC ∂ 2TR = ∂ MC , maka = ∂ MR da dan maka pers persam amaa aan n di atas atas ∂Q 2 ∂ 2Q
dapat ditulis men&adi ∂ MR < ∂ MC . adi adi syara syaratt kedua, kedua, ∂ MR < ∂ MC adalah cukup untuk membuat suatu output output > yang yang memaks memaksimu imumkan mkan laba. laba. ecara ecara ekonom ekonomii ini berart berartii bah8 bah8a a bila bila ting tingka katt
peru peruba baha han n
$@ lebi lebih h keci kecill dari daripa pada da ting tingka katt
perubahan $ pada output > dimana $@ * $, maka tingkat output > tersebut akan memaksimumkan laba.
ontoh : ika diketahui fungsi permintaan suatu perusahaan = * 44 2 +,"> dan fungsi biaya total adalah T * +,+4> D 2 +,">" 3 !> 3 +++, maka : a. 9e 9errapa apa
¨ umlah
outp ou tput ut
yang yang
har harus
di&ua i&uall
supa supay ya
prod produs usen en
memperoleh laba yang maksimum. b. 9erapa 9erapa laba laba maksi maksimum mum ters tersebu ebutt c. 9erapa 9erapa harg harga a &ual &ual per per unit unit produk produkM M d. 9erapa 9erapa biaya biaya total yang yang harus harus dikeluarkan dikeluarkan perusa perusahaanM haanM /
Bab 7 – Penerapan Diferensial e. 9erapa 9erapa perminta permintaan an total total yang yang diperoleh diperoleh perusa perusahaanM haanM
a8ab : a. Lutput Lutput agar agar laba laba maksim maksimum um T@ * =.> * (44 2 +,">) > * 44> 2 +,"> "
Π
* T@ 2 T = (44> 2 +,"> ") 2 (+,+4>D 2 +,">" 3 !> 3 +++)
* - +,+4>D 3 46+> 2 +++ Π maks à
∂π =0 ∂Q
-+,!4>" 3 46+ * + +,!4>"
* 46+
>"
* D'++
>
* '+
ika > * '+, maka
∂
2
π
∂Q
2
* -+,D> * -+,D('+) * -! 0 +.
adi output yang memaksimumkan laba adalah > * '+
b. a aba ba maks maksim imum um ubstitusikan > * '+ ke fungsi laba Π
* -+,+4>D 3 46+> 2 +++ * -+,+4('+)D 3 46+('+) 2 +++ * -!+. -!+.+ ++ + 3 D!.6 D!.6++ ++ 2 .++ .+++ + * !6.'++
c. Har Harga per per uni unitt =
* 44 2 +,"> * 44 2 +," (' ('+) * 464
d. 9iay 9iaya a To Total tal
+
Bab 7 – Penerapan Diferensial * +,+4>D 2 +,">" 3 !> 3 +++
T
* +,+4('+)D 2 +,"('+)" 3 !('+) 3 +++ * !+. !+.++ ++ 2 "+ "+ 3 !.+ !.+"+ "+ 3 .+ .+++ ++ * !.!++
e. =e =ene neri rima maan an To Total tal * 44> 2 +,">"
T@
* 44( 44('+ '+)) 2 +,"( +,"('+ '+))" * DD.6"+ 2 "+ * D".++
oal atihan : !. Tentukan kan
elastisit sitas
permintaan
dan
pena8aran
pada
titik
kese keseim imba bang ngan an pasa pasarr dari dari fung fungsi si perm permin inta taan an "F 3Dp 3Dp 2 ' * + dan dan fung fungsi si pena pena8a 8ara ran n "p * F 2 6. 9u 9uat atla lah h graf grafik ik dari dari fung fungsi si-fu -fung ngsi si tersebut diatas.
". Iungsi biaya biaya total total suatu suatu baran barang g adalah adalah : T * 64++ 3 !4+ F 2 !,4F" 3 +,+"FD a. Tentukan Tentukan biaya biaya marginal, marginal, biaya variabel variabel rata-r rata-rata ata dan biaya biaya tetap rata-rata. b. Tentukan Tentukan nilai nilai dari dari F dimana biaya biaya marginal marginal minimu minimum. m. c. Tentuk ntukan an pula ula nila nilaii F dima dimana na bia biaya vari variab abel el rata-r ta-ra ata minimum.
D. ika ika fun fungsi gsi permi ermint ntaa aan n p * / 2 "?D "?D F, ca cari rila lah h hasi hasill pen& en&uala ualan n maksimum dan gambarkan kurvanya.
6. Iungsi biaya biaya total total (T) (T) * D"4+ D"4+ 3 !++> !++> 2 6,4>" 3 +,+!>D. a. Tentukan ntukan biay biaya a margina marginall ($) b. Tentukan Tentukan nilai nilai > pada pada saat biaya biaya marginal marginal minimum. minimum. !
Bab 7 – Penerapan Diferensial
4. Iung Iungsi si hasil hasil pen& pen&ua uala lan n suatu suatu produ produk k T@ * F (6D' (6D' 2 F) dan fungs fungsii biaya total T * !+++ 3 !++F 2 4F " 3 FD. Tentukan besarnya hasil pen&ua pen&ualan lan (T@), (T@), biaya biaya mar&in mar&inal al ($), ($), ¨a ¨ah h barang barang yang yang ter&ua ter&uall ketika laba maksimum. 9erapa besarnya laba maksimum tersebut.
"
