MATEMATIKA DASAR
2
2
=1+ab log ab
1. Jika x1 dan x2 adalah penyelesaian 4 9
persamaan
x2 −3
1− x
8 27
=
3 2
maka (x1 – x2)2 = … .
9 4 25 4 41 4 25 2 25
A. B. C. D. E.
2 3
x2 −3
1− x
8 27
2x2 −6
2 3
3−3x
=
5 1 1 6 + =5⇒ =5 x1 x2 2m − 56
3 2
2 = 3
2m – 5 = 1 m=3
−1
2
2x – 6 + 3 – 3x = -1 2x2 – 3x – 2 = 0 (2x + 1) (x – 2) = 0 x1 = − 1 x =2 2 . 2
( x1 − x2 ) 2 = (− 12 − 2)2 =
3. Diketahui x1 dan x2 akar-akar persamaan 6x2 – 5x + 2m – 5 = 0. 1 1 + = 5 maka nilai m adalah Jika x1 x2 …. A. –1 B. 0 C. 1 D. 2 E. 3 Jawaban: E Bahasan : 6x2 – 5x + 2m – 5 = 0.
Jawaban : B Bahasan : 4 9
2
=ab log ab2 +ab log ab
25 4
4. Jika persamaan x2 – 2ax – 3a2 – 4a – 1 = 0 mempunyai akar kembar, maka akar tersebut adalah … . A. –1 B.
−
1 2
1 2 D. 1 E. 2 C.
2. Jika 2x = a dan 2y = b dengan x, y > 2x + 3y = …. 0, maka x + 2y
3 5 5 B. 3 C. 1 + ablog ab2 D. 1 + ablog a2b E. 1+ ab2log ab Jawaban : E Bahasan : x=2 log a dan y=2 log b A.
2 2x + 3y log a2 +2 log b3 = 2 x + 2y log a+2 log b2
=
2
log a2b3
2
log ab2
2
=ab log a2b3
By : Catatan Abimanyu
Page 1
Jawaban: B Bahasan : x2 – 2ax – 3a2 – 4a – 1 = 0 D = 0 ⇒ 4a2 – 4 (-3a2 – 40 – 1) = 0 a2 + 3a2 + 4a + 1 = 0 4a2 + 4a + 1 = 0 (2a + 1)2 = 0 2a + 1 = 0 a= −1 2 5. Dua kg jeruk dan tiga kg apel harganya Rp 45.000,-. Lima kg jeruk dan dua kg apel harganya Rp 52.000,-. Harga satu kg jeruk dan satu kg apel sama dengan … . A. Rp 6.000,B. Rp 9.000,C. Rp 11.000,D. Rp 17.000,E. Rp 20.000,Jawaban: D Bahasan : 2x + 3y = 45000 .2 5x + 2y = 52000 .3
4x + 6y = 90000 15x + 6y = 156000 11x = 66000 x = 6000 y = 11000 x + y = 17000
a+b=2 7. Pertaksamaan
⇒ a–b= ⇒ 2a – b = a = 2. b = 0 4 x 2
x +3 mempunyai penyelesaian … .
By : Catatan Abimanyu
x2 − 4 + 3 ≥ 0
( x − 1)( x − 3) ≥ 0 -
+
+
0 1 3 0 < x < 1 atau x > 3
8. Nilai maksimum untuk z = 6x + 3y – 2 yang memenuhi sistem pertaksamaan … . x + 2y ≤ 4 x–y ≤2 x+y ≥1 x ≥ 0, y ≥ 0 adalah … . A. 4 B. 10 C. 13 D. 16 E. 19 Jawaban : D Bahasan :
6. Jika garis (a + b)x + 2by = 2 dan garis ax – (b – 3a)y = –4 berpotongan di (1, –1), maka a + b = …. A. –2 B. –1 C. 0 D. 1 E. 2 Jawaban : E Bahasan : (1) a + b – 2b = 2 2 (2) a + b – 3a = –4 4
A. 1 ≤ x ≤ 3 B. 1 ≤ x ≤ 3 atau x ≥ 3 C. x ≤ 1 atau x ≥ 3 D. 0 ≤ x ≤ 1 atau x ≥ 3 E. 0 ≤ x ≤ 1 atau x ≥ 3 Jawaban : D Bahasan : 4 x 1 ≤ ⇒ x2 + 3 ≥ 4x, x > 0 2 x +3 x
≤
1 x
x + 2y = 4 x− y = 2 3y = 2 ⇒ y = 23 x = 22 3 z
= 6x + 3y – 2
( )
()
−2 =6. 22 +3 . 2 3 3 = 16 9. Dalam suatu deret aritmetika, jika U3 + U7 = 56 dan U6 + U10 = 86, maka suku ke-2 deret tersebut adalah … . A. 8 B. 10 C. 12 D. 13 E. 15 Jawaban : D Bahasan : Page 2
U3 + U7 = 56 U6 + U10 = 86
a.b=2.
1 2
.
1 2
=
2a + 8b = 56 2a + 14b = 86 6b = 30 b=5 a=8 U2 = a + b = 13
1
10. Jika barisan geometri y + 1, 2y – 2, 7y – 1, … mempunyai rasio positif, maka suku ke-4 barisan tersebut adalah … . A. 108 B.
4 3
4 3 D. –108 E. –324 C.
−
Jawaban : D Bahasan : (2y – 2)2 = (y + 1) (7y – 1) 4y2 – 8y + 4 = 7y2 + 6y – 1 3y2 + 14y – 5 = 0 (3y – 1) (y + 5) = 0 y = -5 Barisan itu adalah : -4, -12, -36, … . a = -4, r = 3 U4 = ar3 ⇒ U4 = -4(3)3 = -108 a − b 0
11. Jika
− b 1
maka ab = … . A. 2 B. 1 C.
−
D. –1 E. –2
−1
a 1 = − a + 2b 1 ,
1 2
Jawaban : B Bahasan :
b a( a − b) a − b 1 = 0 a − b ( − a + 2b)( a − b) a − b
a – b = b ⇒ a = 2b ⇒ 1 = a(a – b)
b2 =
1 = 2b . b 1 2
b= a= 2 By : Catatan Abimanyu
1 2 1 2
Page 3
12. Jika
A
matriks berordo 1 − 1 = sehingga A − 1 5 2 4 = , maka A2 = … . 1 7 1 2 A. 4 −1 9 0 B. 0 9 9 0 C. 0 7 7 0 D. 0 9 7 0 E. 0 7
2
x
dan
2 A
14. Nilai x yang memenuhi sin x – cos x > 0, 0 ≤ x ≤ 2π adalah … . A. 0
13. Jika sin A =
π ≤x 2 π C. ≤x 4 D. π ≤ x 3π E. ≤x 4
Jawaban : C Bahasan : y
dan tan A =
2pq , maka p2 + q2 = … . p −q
A. –1 B. 0
1 4 1 D. 2 E. 1 C.
y = cos x
1
0
π
π 4
5π 4
y = sin x x
2π
-1 sin x – cos x > 0 sin x > cos x bila : 4π < x < 54π 15. Jika sebuah dadu dilempar dua kali, maka peluang untuk mendapatkan jumlah angka kurang dari lima adalah … .
2 3 4 B. 9 5 C. 18 A.
1 6 1 12
D. E.
Jawaban : D Bahasan :
Jawaban : E Bahasan : sin A =
π 2 3π ≤ 2 5π ≤ 4 ≤ 2π 3π ≤ 2
≤x ≤
B.
Jawaban : B Bahasan : 1 2 − 1 4 A − 1 1 = 5 7 − 1 4 1 1 − 2 A= 5 7 . 3 1 1 2 1 A= 4 −1 1 2 1 2 A2 = 4 −1 4 −1 9 0 = 0 9 2pq
p2 + q2 = 1
2pq ;
tan A =
2pq p −q
cos A = p – q cos2 A + sin2 A = 1 p2 – 2pq + q2 + 2pq = 1 By : Catatan Abimanyu
1
2
3
1
X
X
X
2
X
X
3
X
4
5
6
4 5 6 Page 4
Jumlah angka kurang dari 5 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 1)} P (jumlah angka kurang dari 5) =
6 1 = . 36 6 16. Nilai rata-rata tes matematika suatu kelas yang terdiri dari 42 siswa adalah 6,3 dengan jangkauan 4. Jika satu nilai terendah dan satu nilai tertinggi tidak diikutsertakan, maka rata-ratanya menjadi 6,25. Nilai terendah untuk tes tersebut adalah …. A. 5 B. 5,03 C. 5,3 D. 5,05 E. 5,5
)
(
h( x) = g−1o(goh) ( x)
− ( x − 2) −x+2 = ( x − 2) − 5 x−7 (hof) ( x) = − (2x − 1) + 2 (2x − 1) − 7 −2x + 3 = 2x − 8 2x − 3 = − 2x + 8
=
18. Jika f(x) = x 1 − x maka nilai a yang memenuhi f ’(a) = 1 adalah …. A. 0 B.
8 9
Jawaban : C Bahasan : n = 42 x = 6,3 xmax = xmin + 4
8 9 8 D. 0 dan – 9 8 8 E. – dan 9 9
x2 + x3... + x41 = 6,25 40
Jawaban : C Bahasan :
x2 + x3 + … + x41 = 250
xmin + 250+ (xmin + 4) = 6,3 42 xmin = 264,6 – 254 xmin =
10,6 2
= 5,3
17. Diketahui f(x) = 2x – 1 dan g(x) =
5x . Jika h adalah fungsi sehingga x +1 (g h)(x) = x – 2, maka (h f)(x) = …. 2x − 3 A. 2x + 8 2x − 3 B. − 2x + 6 2x − 3 C. 2x − 8 2x − 3 D. − 2x + 8 2x − 3 E. − 2x − 8 Jawaban : D Bahasan : By : Catatan Abimanyu
C. 0 dan
1 1−x
f ’(x) = x 1 − x + x. 2
. −1
f ’(a) = 1 1−a −
(
2 1 −a
a 2 1−a
=1
)2 − a = 2
1 −a
2
(2 – 3a) = 4(1 – a) 9a2 – 8a = 0 a(9a – 8) = 0 a= 8 a=0 atau 9 19. Jika grafik di bawah merupakan grafik fungsi y = f ‘(x), maka … . Y
y = f’(x) -3 -1
1
2
X
A. f mencapai maksimum relatif di x = –1 B. f mencapai minimum relatif di x =1 C. f mencapai maksimum relatif di x = –3 dan x = 1 Page 5
D. f mencapai maksimum relatif di x = –3 dan x = 2 E. f mencapai minimum relatif di x = –3 dan x = 2 Jawaban : E Bahasan : f '(x) -3
1
2
f(x) mencapai minimum relative di x = –3 dan x = 2. 20. Jika x1 dan x2 memenuhi persamaan 2x − 3
3
x
x −2
=
1
3
4
6
, maka x1 x2
=…. A. –12 B. –6 C. 0 D. 6 E. 12 Jawaban : D Bahasan : 2x − 3
3
x
x −2
=
1
3
4
6
(2x – 3) (x – 2) – (x) (3) = (6) – (12) 2x2 – 7x + 6 – 3x = –6 2x2 – 10x + 12 = 0 x2 – 5x + 6 = 0 x1 . x2 = 6
By : Catatan Abimanyu
Page 6
MATEMATIKA IPA 1. Lingkaran dengan titik pusat (a, b) menyinggung sumbu x dan garis y = x, jika jari-jari |b| dan … . A. a − 2 +1 b = 0
D.
( a −( a−( a −(
E.
a − 2 b =0
B. C.
) 2 −1) b = 0 2 +1) a − b = 0 2 −1) a − b = 0
Jawaban: A Bahasan : y
Jawaban: C Bahasan : (a, 1 - a, a) (-1, -1, 1)
W
W=
( −1)(a) +( −1)(1−a) +(1)(a)
W=
( −1)2 +( −1)2 +(1)2
( −1, −1, 1)
( a3−1 ) (−1, −1, 1)
( ( a3−1), −( a3−1), a3−1)
W= − W =
y=x
a−1 3
2 3
3⇔
( a−1)2 . 3 = 9
2 3
3
=2 ⇔ a −1 = 2 3
a=3 (a, b)
a
x
Jarak titik pusat lingkaran (a, b) ke y = x sama dengan jari-jari lingkaran = |b|. a−b 2
3. Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk AB adalah a. Jika α adalah sudut antara bidang TAB dan ABCD dengan sin α = 3 5
, maka panjang rusuk TA adalah … .
=b
A.
a 8
44
a −b = b 2
B.
a 8
42
C.
a 10
D.
a 9
41
E.
a 8
41
a−
(
)
2 +1 b = 0
2. Vektor W merupakan vektor proyeksi tegak lurus vektor (a, 1-a, a) pada vektor (-1, -1, 1). Jika panjang W adalah
2 3
3 , maka di antara nilai a
berikut ini yang memenuhi adalah … . A. -3 B. -2 C. 3 D. 2 E. 1
41
Jawaban: E Bahasan :
T
D α
A M
B
By : Catatan Abimanyu
T
1
a
C
Page 7
3 sin α = 5
C.
4 cos α = 5
D.
1a 2
TM
E.
=4 5
Jawaban: D Bahasan : 2x2 – 6y2 + 3x + y – 1 = 0 x – 2y – 1 = 0 ⇔ x = 2y + 1 2(2y+1)2 – 6y2 + 3(2y+1) + y – 1 = 0 2y2 + 15y + 4 = 0 y12 + y22 = (y1 + y2)2 – 2y1y2
TM = 5 a 8 TA =
( 48 a)2 + ( 58 a)2
16a2 + 25a2 8
=
a =8
41
4. Pertaksamaan
x −2 2x + 3
< 1 dapat ditulis
sebagai |4x + a| > b, dengan nilai a dan b berturut turut adalah … . A. 7 dan 13 B. 13 dan 7 C. 6 dan 13 D. 13 dan -6 E. -13 dan 7 Jawaban: E Bahasan : x −2 2x + 3
<1
x −2− 2x −3 2x + 3
<0
x +5 2x + 3
>0
x < -5
atau
4x + a > b
4x < -b-a atau 4x > b-a ………….. (2) x > −2 3 …………....
(1) Dari (1) dan (2) : 4x < -20 atau 4x > -6 4x < -b-a atau 4x > b-a -b-a = -20 b-a = -6
b + a = 20 b − a = −6 + 2b = 14 ⇒ b = 7
b – a = -6 7 – a = -6 a = 13
5. Jumlah kuadrat semua nilai y yang memenuhi system persamaan : 2x2 – 6y2 + 3x + y – 1 = 0 x – 2y – 1 = 0 adalah … . A. B.
211 4 209 4 207 4
215 4 213 4
By : Catatan Abimanyu
=
( −215)2 − 2( 42 )
=
225 − 16 4 4
= 209 4
6. Grafik fungsi f(x) = (3–m) x2 + (1–m) x – 2m memotong sumbu y di titik A dan memunyai sumbu simetri garis x = –1. Gradien garis melalui titik puncak kurva dan titik A adalah … A. -3 B. -2 C. 0 D. 1 E. 2 Jawaban: B Bahasan : f(x) = (3-m)x2 + (1-m) x – 2m x=
−b 2a
= −1
⇒
m−1 6 −2m
= −1
1 – m = 6 – 2m m=5 f(x) = -2x2 – 4x – 10 ⇒ A (0, -10) Puncak P (-1, -8) Gradien =
−8−( −10) −1−0
= -2
b = p dan a logbc2 = q c , maka alog b = … . q −p A. 3 q − 2p B. 3 q+p C. 3 q + 2p D. 3
7. Diketahui
a
log
Page 8
E.
p − 2q 3
7 2
= 756
Jawaban: D Bahasan : a logb−a logc = p ⇒2a logb −2a logc = 2p a logb +2a logc = q⇒a logb +2a logc = q 3a logb = 2p + q a
logb =
2p +q 3
10. Fungsi f(x) = x3 + 3kx2 – 9k2x – 4 turun dalam selang –2 < x < 6 jika k = … . A. –1 B. –2 C. 1 D. 2 E. 3 Jawaban: B Bahasan : f(x) = x3 + 3kx2 – 9k2 x – 4 f’(x) = 3x2 + 6kx – 9k2 …………. (1)
8. Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan 1 2x + 1 + x − 3 = 17 , maka x12 + x22 = … . 2 A. 2 B. 5 C. 8 D. 10 E. 13
y = f(x) turun pada interval -2 < x < 6 f’(x) = 3(x + 2) (x – 6) = 3x2 – 12x – 36 ………………….. (2) Dari (1) dan (2) : 6k = -12 k = -2
Jawaban: D Bahasan :
2x +1 + 23− x = 17 2 . 2x +
8 2x
[18+ 198] = 7 . 108
= 17
1 x
_________________ x 2 = a 2a2 – 17a + 8 = 0 (2a – 1) (a – 8) = 0 a1 = 2x = 2-1 x1 = –1 x12
+ x21 2
a2 = 2x = 8 = 23 x2 = 3 =1+ 9
= 10 9. Sebuah deret dengan suku ke-n adalah an mempunyai jumlah n suku pertama 5n2 + 3n. Nilai a2 + a5 + a8 + … + a20 =…. A. 726 B. 736 C. 746 D. 756 E. 766 Jawaban: D Bahasan : Sn = 5 n2 + 3n ⇒ an = 10n – 2 a2 + a5 + a8 + … a20 = 18 + 48 + 78 + … 198 = 198 = 18 + (n – 1) . 30 ⇒ n = 7 jadi 18 + 48 + … + 198 = By : Catatan Abimanyu
11.
2
lim
(
)
1
sin 4π − 2x +
2 4x − π
x→ π 4
(
)
cos 4π − 2x
=…. A.
1 4
B.
1 2
C. 0 D. − E.
1 4 1 2
−
Jawaban: C Bahasan :
(
)
(
1 sin π −2x + 1 cos π −2x 4 4 2 2
lim
)
4x −π
x →π 4
=
(
4
=
(
)
4
x →π
=
)
1 cos π −2x . −2+ 1 −sin π −2x 4 4 2 2
lim
( )
1 cos − 5 . − 2+ 1 − sin π . − 2 4 2 2 2
(
)
4
(
)
1 1 2 ( − 2) + 1 − 1 2 ( − 2) 2 2 2 2 4
Page 9
. −2
0 4
=
2
12. Jika ∫
1
2
∫
1
dx = a , maka x +1
4 x +k x +1
1
A. B. C. D. E.
x1 + k + x2 = x1 + x2 + k = 14 + 3 = 17
=0
dx = 4 − 3a untuk k = … .
–3 –2 –1 1 2
Jawaban: D Bahasan : 2
2
∫
4 x +k x +1
∫
4 x +k + 3 x +1
∫
4
1 2 1 2 1 2
(
dx = 4 – 3
∫
1
1 x +1
dx
dx = 4
)
x +1 + k −1 x +1
dx = 4
2
∫ 4 dx + ∫ k −1 dx = 4
1 2
∫
1
1
k −1 x +1
x +1
dx = 0
k=1 13. Jika x1, x2 akar-akar persamaan kuadrat x2 – (3k + 5)x + 2k + 3 = 0 dan x1, k, x2 merupakan suku pertama, kedua dan ketiga suatu barisan geometri dengan rasio r ≠ 1, dan r ≠ – 1, maka x1 + k + x2 = …. A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 E. 20 Jawaban: B Bahasan : x2 – (3k + 5) + 2k + 3 = 0 x1, k, x2 → DG ⇒ k2 = x 1 . x2 2 k = 2x + 3 k2 – 2x – 3 = 0 ⇒ (k – 3) (k + 1) =0 k = 3, k = -1 ∴ x2 – 14x + 9 = 0 By : Catatan Abimanyu
Page 10
14. Dari angka-angka 2, 3, 5, 7 dan 9 akan disusun bilangan yang terdiri dari 4 angka tanpa pengulangan. Banyak bilangan yang dapat terbentuk dengan nilai kurang dari 4000 adalah … . A. 30 B. 48 C. 112 D. 120 E. 132 Jawaban: B Bahasan : 2
4
3
2
Banyaknya bilangan dengan nilai kurang dari 4000 adalah 2 x 4 x 3 x 2 = 48
(2x − 4y) ( − x + 7y)
−1 = –2 2 merupakan persamaan garis singgung kurva y = f(x) = x2 + x + k, maka nilai k=…. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5
15. Jika determinan,
Jawaban: C Bahasan : (2x − 4y) −1
= –2 2 4x – 8y – x + 7y = -2 3x – y + 2 = 0 ⇒ m = 3 f(x) = x2 + x + k ⇒ f’(x) = 2x + 1 = 3 x=1 3x – y + 2 = 0 3–y+2=0 y=5 Jadi : 5 = (1)2 + (1) + k k=3
( − x + 7y)
By : Catatan Abimanyu
Page 11
