Pc4 2014 1.Solucionario

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 ´ ´ PONTIFICIA UNIVERSIDAD CAT CATOLICA DEL PERU ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS Calculo a´ lculo 1 Cuarta Pr´actica actica Calificada (2014-1) Indicaciones generales:

Duraci´on: on: 1 h 50 min. No se permite el uso de apuntes de clase, libros ni calculadoras. Explique detalladamente las soluciones.

1. Halle los valore valoress m´aximo aximo y m´ınimo ınimo absolutos de la funci´ funcion ´  f  (  ( x)  =

− 4 2/3 −x2 + 8x  8 x − 8

�(

3 x2

�

si x si  x

≤2

si x si  x

>

2

en el intervalo cerrado  [ 1, 6].

(4 pts)

−

 B

˜ 2. Se dese deseaa cons constr trui uirr una una tien tienda da de campa campana con con form formaa de pir´ iramide a´ mide cuadra cuadrangu ngular lar,, que tendr´a como soporte un poste de metal colocado en el centro. Si se dispone de 16 m 2 de lona para los cuatro lados de la tienda y x es la longitud de cada lado de la base, determine el valor que deber a´ tomar x tomar x,, para que la tienda alcance su m´ maximo a´ ximo volumen.

 A

 x

3.

a)  Demuestre que para todo x todo  x

>

√ 

1 se cumple la desigualdad 2 x

>

(4 pts) 3

− 1x .

b) Sea f  : R+ R  una funci funcion ´ derivable tal que f ′ ( x) =  0 para todo x todo  x  f (1) =  0. Demuestre que si  a > 0, entonces

→

∀x 4.

a)   l´ l´ım

2tan

 x 2

 − sen x

→0 x − sen x b)   l´ l´ım x cot x. x →0 x

>

>

(3 pts)  0 y suponga que

0 : f  (  ( ax )  = f  (  ( a) + f  (  ( x) .

(2 pts)

.

(2 pts)

π 

c)   l´ım x

→

∞

�

3 x2 2x + 1

−

(2 x

(3 pts)

− 1)

3 x2 + x + 2 4 x2

(

��

(2 pts)

.

Iris Flores Quesqu´en en  Juan Montealegre Scott San Miguel, Miguel, 12 de junio de 2014