´ nonc´e E
` Probleme eme
Partitions d’un ensemble fini, surjections, involutions Soit E un ensemble fini non vide. Pour tout entier k , on dit que { A1 , . . . , Ak } est une partition de E en k classes si : k
= ∅; ∀i, Ai
Ai = E ;
= j ), Ai ∩ A j = ∅ ∀i, j (avec i
i=1
Partie I Dans cette partie, on suppose que Card(E ) = n . On note r(n) le nombre de partitions de E . On note r(0) = 1. Pour tout k ≥ 1, on note r (n, k ) le nombre de partitions de E en k classes. 1. Montrer que : ∀ k, k , n ∈
N∗ ,
k > n ⇒ r (n, k ) = 0. n
2. Montrer que : ∀ n ∈
, ( )= ( ). , ( + 1) = ( ). r n
N
∗
r n, k
k=1
n
3. Montrer que : ∀ n ∈
r n
N
k=0
n r k k
4. Calcule Calculerr r (n) pour n ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 5. Montrer que : ∀ n ≥ 5, r (n) ≥ 2 n et ∀ n ∈ N , r(n) ≤ n n . 6. On note S nk le nombre de surjections d’un ensemble a` n ´el´ el´ement em entss sur su r un ense en sembl mblee a` k ´el´ements. ∗
Montrer que : ∀ k, k , n ∈
N∗ ,
S nk = k !r(n, k ).
Partie II On suppose que Card(E ) = 2m, avec m ≥ 1. On note am le nombre de partitions de E en m classes qui sont des paires. 1. D´etermi ete rminer ner a1 , a2 , a3 . Par convention, on pose a0 = 1. 2. Montrer que : ∀ m ∈ N , am = (2m − 1)am 1 . (2m)! 3. En d´eduire edu ire am = m . 2 m! ∗
−
Partie III On suppose que Card(E ) = n , avec n ≥ 1. On note bn le nombre de partitions de E en classes qui sont des paires ou des singletons. 1. D´etermi ete rminer ner b1 , b2 , b3 , b4 . m
2. On suppose que n = 2m (m ≥ 1). Montrer que : b2m
2m 2k
= k=0
am
k
−
.
Indication : classer les partitions suivant le nombre de singletons qu’elles contiennent. 3. Montrer que : ∀ n ≥ 3, bn = b n 1 + (n − 1)bn 2 . 4. Calcule Calculerr bn , pour 1 ≤ n ≤ 10. 5. Calculer Calculer le nombre nombre d’applications d’applications involutiv involutives es dans un ensemble a` 10 ´el´ements nt s. −
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−
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Probl` eme
Corrig´e
Corrig´ e du probl` eme PARTIE I 1. Supposons qu’il existe une partition en k classes { A1 , . . . , Ak }, donc r(n, k ) > 0. k
Alors n = CardE
= Card
A j k (car pour tout k , CardAk 1).
j=1
Par cons´equent, si n < k , on a n´ecessairement r (n, k ) = 0. 2. Les diff´erentes partitions de E peuvent ˆetre regroup´ees en : – Celles qui ne comportent qu’une classe : il y en a r (n, 1) = 1. – ··· – Celles qui en comportent k : il y en a r(n, k ). – ··· – Celles qui en comportent n : il y en a r (n, n) = 1. n
( ( )=
On en d´eduit l’´egalit´e : r n
r n, k ).
k=1
3. Soit E un ensemble de cardinal n + 1. Soit P l’une de ses r(n + 1) partitions. Fixons un ´el´ement a de E . Celui-ci appartient a` une seule des parties de E qui composent la partition P . Supposons que cette partie, not´ee A, soit de cardinal n + 1 − k . – Il y a n n k mani`eres de construire A (on doit en effet choisir les n − k ´el´ements restants de A, parmi les n ´el´ements de E qui sont diff´erents de a).
−
– Une fois A construite, il reste a` partitionner les n + 1 − (n + 1 − k ) = k ´el´ements restants dans E , ce qui peut se faire de r(k ) mani`eres diff´erentes. On a donc nn k r (k ) = nk r(k ) mani`eres de construire une partition de E en supposant que l’´el´ement a est dans une partie `a n + 1 − k e´l´ements.
−
Or cet indice k peut varier de de 0 a` n. n
( + 1) = ( ). n r k k
On en d´eduit l’´egalit´e : r n
k=0
4. On trouve successivement – r(1) =
0 0
r
– r
1 0
r
1 1
r
2 0
r
2 1
r
– r
(0) = (0) = 1. (0) + (1) = (0) + (1) = 2. (2) = (3) = (0) + (1) + (2) = (0) + 2 (1) + (2) = 5. r
r
2 2
r
r
r
r
r
– r(4) = r (0) + 3r (1) + 3r(2) + r (3) = 15.
– r(5) = r (0) + 4r (1) + 6r(2) + 4r (3) + r (4) = 52. – r(6) = r (0) + 5r (1) + 10r (2) + 10r(3) + 5r (4) + r (5) = 203.
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Corrig´e
5. – In´egalit´e r(n) 2n (par une r´ecurrence double). Puisque 25 = 32 et 26 = 64, on a bien r (5) 25 et r(6) 26 . Soit n un entier donn´e, sup´erieur ou ´egal a` 6. On suppose que les in´egalit´es r(n) 2n et r(n − 1) 2n
1
−
n
( + 1) = ( ) implique
La formule r n
k=0
Ainsi r(n + 1)
n r k k
nr (n − 1) + r (n) n2n
1
−
r (n + 1)
+ 2n
sont vraies. n
( n−1
r n − 1) +
n n
( ). r n
2n+1 (car n 6 2).
On a donc montr´e (par une r´ecurrence de pas deux) que ∀ n 5, r (n) 2n . – In´egalit´e r(n) nn (par r´ecurrence forte). Cette in´egalit´e est v´erifi´ee si n = 1 (c’est mˆeme une ´egalit´e). Soit n un entier strictement positif fix´e, et supposons r (k ) k k pour tout k de { 1, · · · , n}. n
( + 1) = 1 + ( )
Alors r n
k=1
n r k 1+ k
n
k=1
n k k 1+ k
n
k=1
n k n . k
Mais cette derni`ere expression n’est autre que le d´eveloppement de (n + 1) n . Ainsi, r (n + 1)
(n + 1) n (n + 1) n+1 .
La propri´et´e est d´emontr´ee au rang n. On a donc prouv´e, par r´ecurrence, l’in´egalit´e r (n) nn , pour tout n de
N∗ .
6. Soit E un ensemble de cardinal n et F = {y1 , y2 , . . . , yk } de cardinal k . Il y a S nk surjections de E sur F . Pour d´efinir l’une d’elles, il faut : – Regrouper les ´el´ements de E qui vont avoir la mˆeme image. Cel`a revient a` partitionner E en k classes. On sait qu’il y a r(n, k ) mani`eres d’effectuer une telle partition. – Supposons qu’une telle partition soit choisie. Il faut encore associer bijectivement les k classes aux k ´el´ements de F . Cela peut se faire de k ! mani`eres diff´erentes. Ce d´enombrement prouve que S nk = k !r(n, k ).
PARTIE II 1. – Si E = {a, b}, il n’y a qu’une partition qui convienne. – Si E = {a,b,c,d }, il y a trois partitions possibles, qui sont : {{a, b}, {c, d}}, {{a, c}, {b, d}}, et {{ a, d}, {b, c}}. Donc a2 = 3. – Si E = {a,b,c,d,e,f }, il y a 5 mani`eres d’apparier f . On doit ensuite partitionner les quatre ´el´ements restants (a2 = 3 possibilit´es). Donc a3 = 5a2 = 15. Math´ ematiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard
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2. Soit E = {x1 , x2 , . . . , x2m 1 , x2m }, avec m 1. −
Pour cr´eer une partition de E en paires, il faut : – Apparier x1 avec l’un quelconque des 2m − 1 autres ´el´ements. – Partitionner en paires l’ensemble des 2(m − 1) ´el´ements restants. Pour cel` a , il y a am 1 possibilit´es. −
Ce d´enombrement prouve que am = (2m − 1)am 1 (vrai si m = 1 car a0 = 1.) −
3. On en d´eduit, pour tout m de
N
:
am = (2m − 1)(2m − 3) · · · 3 · 1 =
(2m)! (2m)! = m (2m)(2m − 2) · · · 4 · 2 2 m!
PARTIE III 1. – Si E = {a}, il n’y a qu’une solution possible. Donc b1 = 1. – Si E = {a, b}, on partionne en les deux singletons, ou en l’unique paire. Donc b2 = 2. – Si E = { a,b,c}, la partition contient trois singletons (1 possibilit´e), ou bien un singleton et la paire restante (3 possibilit´es). Donc b3 = 4. – Si E = {a,b,c}, on classe suivant le nombre de singletons qui apparaissent : – Quatre singletons : 1 possibilit´e. – Deux singletons et la paire restante :
4 2
= 6 possibilit´es.
– Aucun singleton (donc deux paires) : a2 = 3 possibilit´es. On en d´eduit b4 = 10. 2. On pose E = {x1 , x2 , · · · , x2m 1 , x2m }. −
On consid`ere une partition de E form´ee de paires ou de singletons. Il y en a b2m. Le nombre de singletons qui figurent dans cette partition est ´evidemment pair. Soit 2k ce nombre : k est compris entre 0 et m. Il y a
2m 2k
mani`eres de choisir ces 2 singletons parmi les 2 k
m ´el´ements de E .
Puis il y a am k mani`eres de partitionner en paires les 2(m − k ) ´el´ements restants. −
m
Dans ce calcul, on fait varier k de 0 `a m : on obtient b2m
2 = k=0
m am 2k
k
−
.
3. On pose E = {x1 , x2 , · · · , xn}. Consid´erons l’une des bn partitions de E en paires ou singletons. De deux choses l’une : – Ou bien { x1 } est l’un des singletons de la partition. Il faut alors partitionner les n − 1 ´el´ements restants, en paires ou singletons. Cela peut se faire de bn 1 mani`eres. −
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Corrig´e
– Ou bien x1 est un des deux ´el´ements d’une paire de la partition. Il y a n − 1 mani`eres de choisir le deuxi`eme ´el´ement de cette paire. Il reste a` partitionner les n − 2 ´el´ements restants, en paires ou singletons. Cela peut se faire de bn 2 mani`eres. −
Ce d´enombrement prouve que, pour tout n 3, bn = b n 1 + ( n − 1)bn 2 . −
4. On trouve successivement : b1 = 1, b2 = 2 b3 = b 2 + 2 b1 = 4 b5 = b 4 + 4 b3 = 26 b6 = b 5 + 5 b4 = 76 b8 = b 7 + 7 b6 = 764 b9 = b 8 + 8 b7 = 2620 5. Soit E un ensemble ayant 10 ´el´ements.
−
b4 = b 3 + 3 b2 = 10 b7 = b 6 + 6 b5 = 232 b10 = b 9 + 9 b8 = 9496
Soit f une application involutive de E . Soit a un ´el´ement de E . De deux choses l’une : – Ou bien f (a) = a (autrement dit a est invariant par f .) – Ou bien f (a) = b = a , mais dans ce cas f (b) = a car f est involutive. On voit qu’on peut partionner E en paires ou singletons : – Les singletons sont les ensembles {x} pour tous les ´el´ements invariants par f . – Les paires { x, y } groupent les ´el´ements distincts avec f (x) = y et f (y ) = x . R´eciproquement donnons-nous une partition de E en paires et singletons. Elle d´efinit de mani`ere unique une application injective f de E dans E : – Pour chaque singleton { x}, on pose f (x) = x . – Pour chaque paire { x, y }, on pose f (x) = y et f (y ) = x . Le nombre d’applications involutives de E est donc ´egal au nombre de partitions de E en paires et singletons, c’est-`a-dire b10 = 9496.
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