´ nonc´e E
` Probleme eme
Parties infinies de N On dit que deux ensembles A et B sont en bijection s’il existe une bijection de A dans B (ou de B dans A ce qui est ´evidem evi demment ment ´equivalent equ ivalent). ).
Partie I Soit A une partie infinie de N. On va montrer que A est en bijection avec N. 1. Montrer que l’on d´efinit efinit bien une suite (an )n∈N d’´ d ’´el´ements nt s de A de la mani`ere ere suivante : — a0 est e st le plus petit pet it ´el´ el´ement ement de l’ensemble l’ense mble A. — Pour tout n de N∗ , a n est e st le plus plu s petit pe tit ´el´ el´ement eme nt de A \ {a0 , a1 , . . . , an−1 }. (par exemple a1 est es t le plus petit pet it ´el´ el´ement ement de l’ensemble l’ense mble X p X prriv´ iv´e de a0 ; ensuite a2 est le plus plu s petit pe tit ´el´ el´ement eme nt de l’ense l’e nsemble mble X pri p riv´ v´e de a0 et a1 , etc.) 2. Pour tout n de N, on pose An = A \ {a0 , a1 , . . . , an−1 } (et par convention A0 = A = A). ). Avec cette notation, on a donc an = min An pour tout n de N. Pour tout n de N, v´erifi er ifier er que qu e An+1 ⊂ A n et en d´edui ed uire re an+1 > an . Conclure alors a` l’injectivit´ l’inje ctivit´e de l’applicati l’app lication on n → a n de N dans A. 3. Pour tout n de N, montrer que an est es t sup´ su p´erie er ieur ur ou ´egal eg al a` n. n . En d´eduire eduir e que, pou pourr tout m de A, il existe k existe k dans N∗ tel que ak > m. 4. Pour tout m de A de A,, d´eduire eduire de la question (3) qu’il existe n dans N tel que an = m = m.. En d´eduire edu ire que A et N sont en bijection.
Partie II 1. Soit X un un ensemble infini. (a) On suppose qu’il existe une application injective de X dans N. En utilisant le r´esultat esultat de la partie I, montrer que X et N sont en bijection. (b) Soit Y un Y un ensemble en bijection avec N. On suppose qu’il existe f : X → Y injective. Y injective. Montrer que X et N sont en bijection. 2. En cons c onsid´ id´erant era nt f d´ f d´efini efi niee sur su r Z par f ( f (n) = (3n (3n + 1) 2 , montrer que Z et N sont en bijection. 3. Soit f f l’application de N2 dans N d´efini efi niee par pa r f ( f (m, n) = (m + n + n))2 + n. n. (a) On se donne (m, (m, n) et (m (m , n ) dans N2 . Montrer que si m + n > m + n, n, alors f ( f (m , n ) > f (m, n). (b) En d´eduire eduir e que q ue f est f est injective, puis que N2 et N sont en bijection. 4. (a) (a) Soie Soien nt A et B deux ensembles en bijection avec N. En utilisant utilisa nt ce qui pr´ec` ec`ede, ede, montrer montre r que A × B est B est en bijection avec N. (b) Plus g´en´ en´eralement, erale ment, on suppose supp ose que A1 , . . . , An sont en bijection avec N, avec n avec n Montrer alors que A1 × A2 × · · · × An est en bijection avec N.
2.
5. On sait que tout nombre rationnel x peut pe ut s’´ecrire ecrire de mani`ere ere unique sous la forme x = p/q ∗ avec p dans Z et e t q dans dans N , la fraction ´etant etant “non simplifiable’). Utiliser Utilise r cette propri´ propr i´et´ et´e pou pourr montrer montre r que Q et N sont en bijection. 6. Montrer Montrer que que P (N) et N ne sont sont pas en bijecti bijection on (se rappeler rappeler un exercic exercicee fait fait en classe !) Math´ ematiques emati ques en MPSI © Jean-Michel Ferrard
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Probl` eme
Corrig´e
Corrig´ e du probl` eme Partie I 1. On sait que toute partie non vide de N poss`ede un plus petit ´el´ement. C’est le cas notamment de A, ce qui justifie l’existence de a0 . On se donne maintenant n dans N∗ , et on suppose que a0 , . . . , an−1 existent dans A. On peut alors d´efinir l’ensemble A n = A \ {a0 , . . . , an−1 }, partie infinie (donc non vide !) de N. On peut alors nommer an le plus petit ´el´ement de An . Cela prouve, par r´ecurrence, qu’on a bien d´efini une suite (an )n0 de A. 2. Pour tout n de N, on note donc An = A \ {a0 , a1 , . . . , an−1 } (et en particulier A0 = A). Ainsi A0 = A, puis A1 = A \ {a0 }, puis A2 = A \ {a0 , a1 }, etc. Avec cette notation, on a donc an = min An pour tout n de N. Pour tout n de N, on a {a0 , a1 , . . . , an−1 } ⊂ { a0 , a1 , . . . , an−1 , an } (si n = 0, c’est ∅ ⊂ {a0 }). Il en r´esulte An+1 ⊂ A n par passage au compl´ementaire dans A. Mais an minore les ´el´ements de An et en particulier an+1 (qui est dans An+1 donc dans An ) Ainsi an
an+1 et l’in´egalit´e est stricte car an+1 est dans An+1 = A n − { an }.
Ainsi l’application n → a n est strictement croissante de N dans A. Elle est donc injective. 3. On montre l’in´egalit´e an
n par r´ecurrence sur n.
La propri´et´e est ´evidente si n = 0 car a 0 est un entier naturel. Supposons a n
n pour un certain entier n de N.
Alors an+1 > an (question pr´ec´edente) donc an+1 > n (hyp. de r´ecurrence) donc an+1 n + 1 (car an+1 est un entier), ce qui prouve la propi´et´e au rang n + 1 et ach`eve la r´ecurrence. Donnons-nous maintenant m dans A. En appliquant ce qui pr´ec`ede a` l’entier k = m + 1, on peut ´ecrire : ak
m + 1 donc ak > m.
4. On se donne m dans A. D’apr`es ce qui pr´ec`ede, il existe k dans N∗ tel que ak > m. Or a k est le minimum de Ak = A \ {a0 , a1 , . . . , ak−1 }. L’in´egalit´e m < ak implique que m n’est pas dans Ak (alors qu’´evidemment m est dans A). Il en r´esulte que m est dans le compl´ementaire de Ak dans A, c’est-`a-dire dans {a0 , a1 , . . . , ak−1 }. Autrement dit, il existe un entier n (ici dans { 0, . . . , k − 1}) tel que an = m. Ce r´esultat signifie que l’application n → a m est surjective de N dans A. Or on sait depuis la question (2) qu’elle est injective : elle est donc bijective.
Partie II 1. (a) On dispose donc d’une application injective f de X dans N. En particulier, f r´ealise une bijection de X sur son ensemble image A = f (X ). Bien sˆ ur A est infini (sinon X serait fini !). D’apr`es I, il existe donc une bijection g de A sur N. Finalement, l’application g ◦ f est bijective de X sur N. Math´ ematiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard
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Probl` eme
Corrig´e
(b) On dispose donc d’une application injective f de X dans Y . Par hypoth`ese, il existe une bijection ϕ de Y sur N. Donc ϕ ◦ f est injective de X dans N . On sait que cela implique que X et N sont en bijection. 2. Bien sˆur l’application f d´efinie sur Z par f (n) = (3n + 1) 2 est a` valeurs dans N. Pour tout m, n de Z, on a f (n) − f (m) = (3n + 1) 2 − (3m + 1) 2 = 3(3(n + m) + 2)(n − m). Il est clair que le facteur 3(n + m) + 2 n’est jamais nul. Ainsi f (n) = f (m) ⇒ n = m, donc f est injective de Z2 (qui est infini !) dans N. D’apr`es II.1, l’existence de cette injection montre que Z est en bijection avec N. 3. (a) Supposons m + n = k avec k dans N. Alors f (m, n) = k 2 + n. Mais n est dans { 0, . . . , k }, donc k 2 f (m, n) k2 + k. Supposons maintenant m + n = k > k (donc k Il en r´esulte f (m , n ) k 2
(k + 1) 2 > k2 + k
k + 1).
f (m, n) donc f (m , n ) > f (m, n).
(b) On se donne deux couples (m, n) et (m , n ) de N2 tels que f (m, n) = f (m , n ). D’apr`es la question pr´ec´edente, on a n´ecessairement m + n = m + n . L’´egalit´e f (m, n) = f (m , n ) donne alors n = n , et il en r´esulte bien sˆ ur m = m . On dispose donc d’une application injective f de N2 (qui est infini !) dans N. D’apr`es II.1, les ensembles N2 et N sont en bijection. Finalement, l’application g ◦ f est bijective de N2 sur N. 4. (a) Par hypoth`ese, il existe une bijection f de A sur N et une bijection g de B sur N. L’application ϕ : (a, b) → (f (a), f (b)) est alors une bijection de A × B sur N2 . Puisque N2 est en bijection avec N, il en r´esulte que A × B est en bijection avec N. (b) On d´emontre la propri´et´e par r´ecurrence sur n. On sait que c’est vrai si n = 2. On suppose que c’est vrai pour un certain entier n 2. On se donne A 1 , . . . , An , An+1 en bijection avec N. Il existe une bijection f de A1 sur N. Par hypoth`ese de r´ecurrence, il existe une bijection g de A 2 × ·· · × An sur N.. On d´efinit alors l’application h de B = A 1 × A2 × · · · × An × An+1 vers N × N par : ∀ (a1 , a2 , . . . , an ) ∈ B, ϕ(a1 , a2 , . . . , an , , an+1 ) = (f (a1 ), g(a2 , . . . , an , an+1 )). Il est alors clair (ouaip) que ϕ est une bijection de B sur N2 . Ainsi B est en bijection avec N2 donc avec N. 5. L’application x → ( p, q ) (notations de l’´enonc´e) est une injection de Q dans Z × N∗. Mais Z et N∗ sont en bijection avec N (cf I pour N∗, et II.2 pour Z). Il en r´esulte que Z × N∗ est en bijection avec N (cf II.4). On en d´eduit (cf II.1.b) que Q est en bijection avec N.
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