Parcial i to 2 Viernes

1) Una barra de longitud L posee una carga uniformemente distribuida a lo largo de su longitud. La barra se encuentra alineada sobre el eje y con su centro en el origen. a) Determinar el potencial en función de la posición a lo largo del eje x. b) Demostrar que el resultado obtenido en a) se aproxima al potencial debido a una carga puntual para x >> L. Solución . Diagrama con datos

Y

dy

dq

L/2

R

y

P

0 x

X

L/2

a) Se comienza considerando un diferencial de longitud dy ubicado a una distancia y del centro de la barra el cual tiene una carga dq. El potencial sobre el sobre un punto P genérico sobre el eje x esta dado por:

Si

 =  

 e integrando

 =   = ∫  

Luego, la distancia del diferencial al punto P puede expresarse como

 = ∫ √     =∫ √  

 = √   

. Así,

Los extremos de integración corresponden con el largo total de la barra que, en el sistema de referencia planteado en el problema, va desde  –L/2 a L/2. Por lo tanto,

/  =∫−/ √   La resolución de esta integral no es sencilla a simple vista, por lo que se recurre a tablas de integrales. Finalmente

 = ln √  /−/      = ln + + [ ] b) Si x >> L/2 entonces el resultado obtenido en a) puede reescribirse como:

   = ln +  ⁄ 1   = ln  ⁄  ⁄ 1   = ln  ⁄   = ln⁄ 1ln1 ⁄ Aquí puede aproximarse la función potencial considerando que el logaritmo natural de ⁄ tiene a 0 al igual que ⁄ si x >> L/2. Entonces

(± 1)

≈/2  /2  ≈  ≈ 

Este último resultado es precisamente la forma de calcular el potencial para una partícula cargada.

2) Un condensador de placas plano-paralelas y cuadradas de lado 14 cm y separadas 2 mm se conecta a una batería y se carga a 12 V. a) ¿Cuál es la carga del condensador? b) ¿Cuánta energía se almacena originalmente en el condensador? c) Se desconecta entonces la batería del condensador y la separación de las placas se incrementa a 3.5 mm. ¿En cuánto se incrementa la energía almacenada en el dispositivo al modificar la separación entre las dos placas? Solución Datos: -

Condensador de placas paralelas cuadradas (Área = L.L) L = 14 cm = 0.14 [m] Separación d= 2 mm = 0.002 [m] Diferencia del voltaje entre las placas, V = 12[V] C

12 V

a) En primer lugar calculamos la capacitancia utilizando los parámetros constructivos del capacitor.

 =    −  .4 8. 8 510  = 0.002   =0.86 

La diferencia de voltaje aplicada entre las placas en la misma que la de los bornes de la batería por lo tanto la carga puede calcularse haciendo

= 12 =87 =110−9  = 12  

b) La energía almacenada en un capacitor se calcula como

= 12 8712 =6.310−9   c) Si se desconecta la batería, la carga en el sistema se mantiene constante ya que no hay fuente que aporte energía al circuito. Se calcula el valor de capacitancia para la distancia de 3.5 mm.

   =   − .4 8. 8 510  = 0.0035   =50  Luego se calcula la energía teniendo en cuenta que la carga es la misma que el caso anterior, no así el voltaje entre las placas. Por esta razón se utiliza una expresión de energía almacenada en función de la carga y la capacitancia. Entonces.

  = 2 −9 110  = 250  =110−   La diferencia de energía entre ambos casos:

∆=3.710 −9   El análisis de los datos obtenidos arroja que la energía aumenta aproximadamente un 59%.