INTRODUCCIÓN. Los líquidos son deformables a un fragmento ilimitado, y a la producción en tiempo a las fuerzas muy pequeñas del disturbio. Por lo tanto, sus movimientos son con frecuencia muy complejos, y las configuraciones de fluidos algo directamente uniformes del flujo pueden producir campos del flujo con las soluciones no triviales que visualizan dinámicas muy complicadas. A pesar de el hecho de que las ecuaciones que gobiernan son generalmente bien conocidas, la mayoría extensa de los flujos fluidos no puede ser solucionados directamente por el cálculo de la fuerza bruta, y el tema requiere una colaboración cercana entre la teoría y el experimento. Este esfuerzo, junto con el uso cada vez más eficaz de simulaciones numéricas cuidadoso−seleccionadas, la gran mayoría, directamente en el ordenador, da lugar a un campo que ha seguido habiendo vigoroso, desafiador y que excitaba por concluido un siglo. El progreso en entender y predecir la aerodinámica del flujo aplicado las alas y los cuerpos durante este período ha sido espectacular, siguiendo exactamente esta mezcla del experimento y del descubrimiento empírico, junto con modelos simples y no−simples del flujo. Mientras que la aerodinámica está en la base de todos los programas aeroespaciales de la ingeniería, de la disciplina más amplia de los mecánicos fluidos, abarcar aerodinámica y la hidrodinámica, y cubre un arsenal extenso de asuntos. La mecánica de fluidos puede subdividirse en dos campos principales: la estática de fluidos, o hidrostática, que se ocupa de fluidos en reposo, y la dinámica de fluidos, que trata de fluidos en movimiento. El término de hidrodinámica se aplica al flujo de líquidos o al flujo de los gases a baja velocidad, en el que puede considerarse que el gas es esencialmente incompresible. La aerodinámica, o dinámica de gases, se ocupa del comportamiento de los gases cuando los cambios de velocidad y presión son suficientemente grandes para que sea necesario incluir los efectos de compresibilidad. En este trabajo de investigación se explicara el análisis dimensional y su similitud dinámica tema que abarca entre otros tópicos la homogeneidad dimensional y relaciones adimensionales, dimensiones y unidades entre estas por ejemplo la masa cuyo símbolo es m y dimensiones M.
MARCO TEÒRICO •
Análisis Dimensional y Semejanza Dinámica:
Los parámetros adimensionales profundizan en forma significativa nuestro entendimiento sobre los fenómenos del flujo de fluidos en forma análoga al caso del gato hidráulico. Donde la relación entre los diámetros del pistón. Un número adimensional que es independiente del tamaño real del gato, determina la ventaja mecánica. Estos parámetros permiten que resultados experimentales limitados sean aplicados a situaciones que involucran dimensiones físicas diferentes y a menudo propiedades fluidas diferentes. Es posible llevar a cabo menos, aunque altamente selectivos, experimentos con el fin de descubrir las facetas escondidas del problema y por lo tanto lograr importantes ahorros en tiempo y dinero. Los resultados de una investigación pueden presentarse también a otros ingenieros y científicos en forma más compacta y significativa con el fin de facilitar su uso. Es igualmente importante el hecho de que, a través de esta presentación incisiva y ordenada de información, los l os investigadores puedan descubrir nuevos aspectos y áreas sobre el conocimiento del problema estudiado. Este avance directo de nuestro entendimiento de un fenómeno se debilitaría si las herramientas del análisis dimensional no estuvieran disponibles. Muchos de los parámetros adimensionales pueden ser vistos como la relación de un par de fuerzas fluidas, cuya magnitud relativa indica la importancia relativa de una de las fuerzas con respecto a la otra. Si algunas 1
fuerzas en una situación de flujo particular son mucho más grandes que las otras, a menudo es posible despreciar el efecto de las fuerzas menores y tratar el fenómeno como si estuviera completamente determinado por las fuerzas mayores. Esto significa que se pueden utilizar procedimientos matemáticos y experimentales más simples, aunque no necesariamente fáciles, para resolver el problemas. En aquellas situaciones con varias fuerzas con la misma magnitud, tales como las fuerzas inerciales, viscosas y gravitacionales, requieren técnicas especiales. Después de una discusión de dimensiones, se presentan el análisis dimensional y los parámetros adimensionales, la similitud dinámica y los estudios en modelos. •
Homogeneidad Dimensional y Relaciones Adimensionales:
Para resolver problemas prácticos de diseño en mecánica de fluidos, usualmente se requiere tanto de desarrollos teóricos como de resultados experimentales. Al agrupar las cantidades importantes en parámetros adimensionales, es posible reducir el número de variables y hacer que este resultado compacto (ecuaciones o gráficas de datos) sea aplicable a otras situaciones similares. Si uno fuera a escribir la ecuación de movimiento F= m.a para un paquete de fluido, incluyendo todos los tipos de fuerzas que pueden actuar sobre el paquete, tales como las fuerzas de gravedad, de presión, viscosas, elásticas y de tensión superficial, resultaría una ecuación donde la suma de estas fuerzas es igual a m.a, la fuerza inercial. Al igual que con todas las ecuaciones físicas, cada termino debe tener las mismas dimensiones, en este caso de fuerza. La división de cada término de la ecuación por uno cualquiera de los otros haría que la ecuación fuera adimensional. Por ejemplo, dividiendo por el término de fuerza inercial, resultaría en la suma de parámetros adimensionales igual a la unidad. El tamaño relativo de cada parámetro, respecto a la unidad, indicaría su importancia. Si se fuera a dividir la ecuación de fuerza por un termino diferente, por ejemplo el término de fuerzas viscosas, se obtendría otro conjunto de parámetros adimensionales. Sin experiencia en el tipo de flujo es difícil determinar qué parámetros serían los más útiles.
3. Dimensiones Y Unidades: Las dimensiones de la mecánica son : Fuerza, Masa, longitud y tiempo; este se relacionan mediante la segunda ley de movimiento de Newton,
F = m.a Para todos los sistemas físicos, probablemente sería necesario introducir otras dos dimensiones, una relacionada con el electromagnetismo y la otra con los efectos térmicos. En la mayoría de los casos no es necesario incluir una unidad térmica, debido a que las ecuaciones de estado relacionan presión, densidad y temperatura. En forma dimensional, la segunda ley de movimiento de Newton es:
F = MLT−2 La cual demuestra que únicamente tres dimensiones son independiente. F es la dimensión de fuerza, M la dimensión de masa L la dimensión de longitud y T la dimensión de tiempo. un sistema común utilizado en el análisis dimensional es el sistema MLT, donde es la dimensión de temperatura. En la siguiente tabla se indican algunas de las cantidades utilizadas en el flujo de fluidos, junto con sus símbolos y dimensiones.
CANTIDAD Longitud Tiempo
SÍMBOLO
DIMENSIONES
l
L
t
T 2
Masa Fuerza Velocidad Aceleración Área Caudal Presión Gravedad Densidad Peso Específico Viscosidad Dinámica Viscosidad Cinemática Tensión Superficial Módulo De Elasticidad Volumétrico Temperatura Concentración De Masa Conductividad térmica Difusividad térmica Difusividad De Masa Capacidad De calor Tasa De Reacción •
m
M
F
MLT−2
V
LT−1
a
LT−2
A
L2
Q
L3T−1
p
ML−1T−2
G
LT−2 ML−3 ML−2T−2 ML−1T−1
v
L2T−1 MT−2
K
ML−1T−2
T` C
ML−3
k
MLT−3−1 L2T−1
D
L2T−1
Cp
L2T−2−1
K1
T−1
El Teorema : Momentum y Energía.
El teorema de Buckingham prueba que en un problema físico que incluye n cantidades en las cuales hay m dimensiones, las cantidades pueden reordenarse en n−m parámetros adimensionales independientes. Sean A1,A2,A3, ..., An las cantidades involucradas, tales como presión, viscosidad, velocidad, etc. Se sabe que todas las cantidades son esencialmente para la solución y por consiguiente debe existir alguna relación funcional.
F(A1,A2,A3, ..., An) = 0 Si !, ", ..., representan agrupaciones adimensionales de las cantidades A1,A2,A3, ..., entonces con las m dimensiones involucradas, existe una ecuación de la forma f(!, ", #..., n−m) = 0 El método para determinar los parámetros consiste en seleccionar m de las A cantidades, con diferentes dimensiones, que contengan entre ellas las m dimensiones, y utilizarlas como variables repetitivas junto con una de las otras cantidades A para cada . En muchos casos la agrupación de los términos A es tal que el número adimensional es evidente mediante inspección. El caso más simple es cuando dos de las cantidades tienen las mismas dimensiones. •
Pasos a seguir en análisis dimensional:
a). Seleccionar las variables pertinentes. b). Escribir la ecuaciones funcionales, por ejemplo: 3
F(V, D, , , c, H) = 0 c). Seleccionar las variables repetitivas. (No incluir la cantidad independiente como una variable repetitiva). Estas variables deben contener todas las m dimensiones del problema. Usualmente se escoge una variable porque especifica la escala y otra porque especifica las condiciones cinemáticas. d). Escribir los parámetros en función de exponentes desconocidos. e). Para cada una de las expresiones , escribir las ecuaciones de los exponentes, de tal manera que la suma de los exponentes de cada dimensión sea cero. f). Resolver simultáneamente las ecuaciones. g). Sustituir nuevamente en las expresiones del paso e, los exponentes para obtener los parámetros adimensionales . h). Establecer la relación funcional f(!, ", #..., n−m) = 0 i). Recombinar, si se desea, para alterar las formas de los parámetros , manteniendo el mismo número de parámetros independientes.
3.2 El Número de Reynolds. El número de Reynolds VD /es la relación entre las fuerzas inerciales y las fuerzas viscosas. Un número de Reynolds críticos distingue entre los diferentes número de flujo, tales como laminar o turbulento en tuberías, en la capa límite, o alrededor de objetos sumergidos. El valor particular depende de la situación. En flujo compresible, el número de Mach generalmente es más importante que el número de Reynolds.
3.3 El Número de Froude. El número de froude V/ "gl, cuando se eleva al cuadrado y se multiplica y se divide por A, es una relación de las fuerzas dinámicas (o inerciales) con respecto a las fuerzas gravitacionales, con un flujo a superficie líquida libre. La naturaleza del flujo depende de si el número de froude es mayor o menor que la unidad. Este número es útil en cálculos de resalto hidráulico, en el diseño de estructuras hidráulicas y de barcos.
3.4 El Número de Weber. Es la relación de las fuerzas inerciales con respecto a las fuerzas de tensión superficial. Éste es importante en interfases gas−líquido o líquido−líquido y también donde estas interfases se encuentran en contacto con una frontera. La tensión superficial causa pequeñas ondas (capilaridad) y la formación de gotas, y tiene un efecto sobre la descarga de orificios y vertederos con pequeñas cabezas.
3.5 El Número de Mach. La velocidad del sonido en un líquido se escribe como "K/si K es el módulo de elasticidad volumétrica (sección 1.8) o c = "kRP donde k es la relación de calor específico y T la temperatura absoluta para un gas perfecto. V/c o V/"K/es el número de Mach. Es una medida de la relación entre las fuerzas inerciales y las fuerzas elásticas. Cuando V/c se eleva al cuadrado y se multiplica por A/2 en el numerador y el denominador, el numerador es la fuerza dinámica y el denominador la fuerza dinámica a la velocidad del sonido. También se puede demostrar que es una medida de la relación de la energía cinética del flujo con 4
respecto a la energía interna del fluido. Es el parámetro correlacionante más importante cuando las velocidades están cerca o por encima de las velocidades locales de sonido.
4. EL TEOREMA : TRANSPORTE DE CALOR Y DE MASA El procedimiento de Buckingham puede extenderse al caso de transporte de calor y de masa similarmente; a continuación se muestran algunos ejemplos ilustrativos. El siguiente ejemplo considera el aparato intercambiador de calor.
Ejemplo: Es deseable encontrar una serie de grupos adimensionales que permitirían relacionar el calor llevado hacia fuera por la velocidad promedio, en una tubería intercambiadora con otras variables relevantes. Solución: Se supone que las variables relevantes son el diámetro de la tubería D, la densidad del fluido , la viscosidad , la capacidad de calor Cp, la velocidad V , el coeficiente de transferencia de calor h y la conductividad de calor k. Esencialmente el coeficiente de transferencia de calor es la variable desconocida y tiene dimensiones de [ MT−3]. Debido a que existen siete variables y cuatro dimensiones independientes, M, L, T y , es necesario encontrar tres grupos adimensionales. Si D, k , y V se escogen como las variables repetitivas, se forma el siguiente sistema de ecuaciones ! = DX1 y1 VZ1 kW1 Cp " = DX2 y2 VZ2 kW2 # = DX3 y3 VZ3 kW3 h Mirando a # en detalle expandiendo las potencias de las dimensiones se encuentra que: L : x3 − y3 + z3 + w3 = 0 M : − y3 + z3 + w3 + 1 = 0 T : − y3 − z3 − 3w3 − 3 = 0
: − w3 − 1 = 0 La cual se resuelve fácilmente para llegar a X3 = 1, y3 = z3 = 0, w3 = −1 O # = hD / k Similarmente se pueden encontrar los otros dos números ! = (Cp) / k " = ( DV ) / = DV / v Mientras que " se reconoce como un numero de Reynolds, el nuevo grupo # se denomina como el número de Nusselt, Nu, y es una medida de la intensidad de la convección respecto a la conducción en los mecanismos de transporte de calor. El grupo ! se denomina como el número de Prandtl, Pr, el cual 5
representa la relación de la difusión de calor con la difusión de momentum. Si tanto el numerador como el denominador de ! se multiplican por , entonces ! se convierte en v/k, el número de Prandtl formado por la relación de las difusividades de momentum y calor. Para el problema ejemplo se requieren experimentos de laboratorio para correlacionar Nu = f (R, P)
4.1 NUMERO DE PRANDTL Y NÚMERO DE SCHMIDT. Pr y Sh comparan propiedades del fluido. Pr compara la Difusividad de momentum con respecto a la difusividad de calor, y Sh compra la difusividad de momentum con respecto a la difusividad de masa. Mientras que son números importantes para el diseño de procesos de flujo y transporte, su importancia en corrientes naturales es pequeña en comparación con otros agentes de transporte. Todos los números anteriores son fundamentales para cualquier problema de transporte de calor o de masa. Los dos números siguientes describen procesos que no son necesariamente universales.
4.2 Número de Grashof. Gr compara las intensidades relativas de convección en campos de transporte. Originalmente aplicado a la convección natural debida a campos de temperatura o densidad inestable, su uso se ha vuelto más amplio en el análisis de todos aquellos flujos con grandes gradientes espaciales de densidad. 4.3 Número de Damkohler. DN simplemente contrasta la intensidad de la transformación química o biológica con respecto a un cambio en la concentración de masa ocasionado por advección. Su uso se ha extendido al diseño de procesos industriales pero ha tenido poco reconocimiento en análisis de transporte ambiental. 5. Análisis Adimensional de Ecuaciones Rectoras. 5.1 Normalización con una sola escala: El análisis dimensional se puede utilizar con dos objetivos: descubrir la forma inicial de correlaciones previamente desconocidas entre variables, y comparar el tamaño o importancia relativa de la mecánica del fluido o de un proceso de transporte con respecto a otro. En esta sección se aborda la segunda meta y se presume un conocimiento total de la física del problema expresado a través de la ecuación diferencial rectora, deducida en el capítulo anterior. El proceso se basa en la normalización de todas las variables dependientes e independientes. La normalización en este contexto significa relacionar todas las cantidades en la ecuación con respecto a valores constantes que se presuponen como los máximos valores encontrados en el problema. En este sentido se crean nuevas variables dependientes e independientes que varían en un rango que va de ± 1 a 0. Al insertar estas nuevas definiciones de variables en las ecuaciones rectoras, y esforzándose para encontrar una consistencia o similitud total entre las nuevas ecuaciones transformadas y las ecuaciones originales, resultan medidas cuantitativas en forma de parámetros adimensionales. Estos grupos o números adimensionales permiten una evaluación directa de la importancia de los diferentes procesos en el problema.
6. Estudios en Modelos y Similitud. Frecuentemente se emprenden estudios sobre modelos de estructuras y máquinas hidráulicas propuestas como una ayuda en el diseño. Éstos permiten una observación visual del flujo y hacen posible obtener cierta 6
información numérica, por ejemplo, calibraciones de vertederos y compuertas, profundidades de flujo, distribuciones de velocidad, fuerzas sobre compuertas, eficiencias y capacidades de bombas y turbinas, distribuciones de presión y pérdidas. Si se desea obtener información cuantitativa acertada de un estudio con un modelo, debe existir similitud dinámica entre el modelo y el prototipo. Esta similitud requiere (1) que exista similitud geométrica exacta y (2) que la relación de presiones dinámicas en puntos correspondientes sea una constante. Este segundo requerimiento también puede expresarse como una similitud cinemática, es decir, que las líneas de corriente deben ser geométricamente similares. La similitud geométrica se extiende a la rugosidad superficial real del modelo y el prototipo. Si el modelo tiene un décimo del tamaño del prototipo en cualquier dimensión lineal, la altura de las proyecciones de la rugosidad debe tener la misma relación. Para que las presiones dinámicas tengan la misma relación en puntos correspondientes del modelo y el prototipo, las relaciones de los diferentes tipos de fuerzas deben ser las mismas en puntos correspondientes. Por consiguiente, para una similitud dinámica estricta, los números de Mach, Reynolds, Froude y Weber deben ser los mismos tanto en el modelo como en el prototipo. Cumplir estrictamente con estos requerimientos, generalmente, es algo imposible de alcanzar, excepto para el caso de una relación de escala 1:1. Afortunadamente, en muchas situaciones solamente dos de las fuerzas tienen la misma magnitud. Como ayuda para entender los requerimientos de la similitud se puede considerar el análisis del flujo alrededor de una esfera en un laboratorio; las esferas prototipo (mundo real) y modelo se muestran en la figura. Por supuesto, la similitud geométrica se asegura si el modelo también es una esfera. Adicionalmente cada dimensión lineal debe cumplir con la relación de Dm/Dp. Esto incluye también las proyecciones de la rugosidad de pequeña escala. Figura: Similitud Geométrica y Dinámica para el Flujo sobre una Esfera
Similitud geométrica Similitud cinemática = Similitud dinámica La similitud dinámica se asegura haciendo que los polígonos de fuerza en el modelo y en el prototipo sean similares. Sobre cada esfera están actuando tres fuerzas netas, la fuerza de presión, fp; la fuerza viscosa o de corte, ft y la fuerza inercial debida a la aceleración. Fi. Estas fuerzas deben formar un polígono cerrado tal como se muestra para el prototipo de la figura. El polígono de fuerzas para el modelo debe ser similar al del prototipo en el sentido de que debe ser cerrado y escalado linealmente. Para asegurar tal similitud, la relación de cada lado debe mantenerse. El asegurar la igualdad entre los polígonos de fuerzas de modelo y prototipo, se consigue igualar los números adimensionales entre modelo y prototipo. Cumplir estrictamente con estos requerimientos generalmente es algo imposible de alcanzar, a menos que la relación de escala sea 1:1.
CONCLUSIÓN Entre las aplicaciones de la mecánica de fluidos están la propulsión a chorro, las turbinas, los compresores y las bombas. La hidráulica estudia la utilización en ingeniería de la presión del agua o del aceite. Frecuentemente se identifican los flujos supersónicos por su número de Mach, que es el cociente entre la 7
velocidad de flujo y la velocidad del sonido. Por tanto, los flujos supersónicos tienen un número de Mach superior a 1. Cabe destacar que este tema es bastante teórico y que básicamente el objetivo de este es el de proporcionar las dimensiones y cantidades físicas utilizadas en mecánica de fluidos, por lo tanto fue muy conveniente la realización de este trabajo de investigación e invertir el tiempo de las horas de clase en los demás temas que son de mucha más importancia para nuestra carrera. Entre las aplicaciones de la mecánica de fluidos están la propulsión a chorro, las turbinas, los compresores y las bombas (véase Aire comprimido). La hidráulica estudia la utilización en ingeniería de la presión del agua o del aceite. Frecuentemente se identifican los flujos supersónicos por su número de Mach, que es el cociente entre la velocidad de flujo y la velocidad del sonido. Por tanto, los flujos supersónicos tienen un número de Mach superior a 1.
BIBLIOGRAFÍA •
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Gerhart, P.M., Gross, R.J., Hochstein, J. Fundamentos de Mecánica de Fluidos, Editorial Addison−Wesley Iberoamericana 2ª edición, año1995. Victor, L. Streeter, Navarro, A., Codina, E., Bergada, J.M., Pascual, A. Mecánica de fluidos. Practicas de laboratorio , Editorial Autores , año 1992. White, F.M. Mecánica de fluidos , Editorial Mc Graw−Hill , año 1985. Mecánica de los Fluidos (8ª Edición). Victor L. Streeter y E. Benjamin Wylie. Editorial Mc−Graw Hill, año 1986.
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