Trigonometría
1 Ángulo trigonométrico DEFINICIÓN Es aquella figura que se genera por la rotación de un rayo alrededor de uno de sus extremos, que es un punto fijo llamado vértice, desde una posición inicial (lado inicial) hasta una posición p osición final (lado final)
DEFINICIONES COMPLEMENTARI COMPLEMENTARIAS AS 1. Ángulo positivo Es aquel que se obtiene cuando el rayo pasa de su posición inicial a su posición final en sentido antihorario. antihorario. De esta manera la medida del ángulo trigonométrico será de valor positivo. p ositivo.
2. Ángulo negativo Es aquel que se obtiene cuando el rayo pasa de su posición inicial inic ial a su posición final f inal en sentido horario. De esta manera la medida del ángulo trigonométrico será de valor negativo. O
α
3. Ángulo nulo: Es aquel que se obtiene cuando no hay rotación, rotación, de modo que sus lados inicial y final coincidan. La medida del ángulo nulo tiene un valor igual a 0°. 0°
101
TRIGONOMETRÍA
1
1 Ángulo trigonométrico DEFINICIÓN Es aquella figura que se genera por la rotación de un rayo alrededor de uno de sus extremos, que es un punto fijo llamado vértice, desde una posición inicial (lado inicial) hasta una posición p osición final (lado final)
DEFINICIONES COMPLEMENTARI COMPLEMENTARIAS AS 1. Ángulo positivo Es aquel que se obtiene cuando el rayo pasa de su posición inicial a su posición final en sentido antihorario. antihorario. De esta manera la medida del ángulo trigonométrico será de valor positivo. p ositivo.
2. Ángulo negativo Es aquel que se obtiene cuando el rayo pasa de su posición inicial inic ial a su posición final f inal en sentido horario. De esta manera la medida del ángulo trigonométrico será de valor negativo. O
α
3. Ángulo nulo: Es aquel que se obtiene cuando no hay rotación, rotación, de modo que sus lados inicial y final coincidan. La medida del ángulo nulo tiene un valor igual a 0°. 0°
101
TRIGONOMETRÍA
1
4.o a añño
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
4. Angulo de una vuelta: Es aquel que se obtiene cuando la posición inicial, luego de una rotación del rayo, coincide por primera vez con la posición final. O
Por definición el valor del ángulo trigonométrico es ilimitado, pues este depende de la magnitud de la rotación y a su vez estas pueden hacerse indefinidamente en cualquiera de los dos sentidos conocidos. “Para sumar sumar o restar ángulos trigonométricos, se recomienda colocar todos los ángulos en sentido antihorario, cambiando la rotación para que todos estén orientados en el mismo sentido”
T��������� �� ����� Integral 1. Completa en cada recuadro el sentido de rotación en que fue generado cada ángulo trigonométrico.
3. Calcula “x” en función de los otros ángulos trigonométricos.
PUCP
2. Asocia usando flechas: Ángulo positivo
4. Calcula “x”.
Ángulo negativo Resolución: Del gráfico:
2x–20°
1
TRIGONOMETRÍA
102
( 3x + 20° ) + ( 2x - 20° ) = 90° 5x = 90° x = 18°
4.o año
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
5. Calcula “x”.
3x+40° = 5x – 30° 70° = 2x x = 35°
5°–x
9. Calcula “x” si
Resolución:
OC es bisectriz
6. Calcula “q”.
Del gráfico:
( -α ) + ( β - x ) = 90° O
-α + β - 90° = x
10. Calcula “y”
∴ x = β - α - 90° 7. Calcula “x” en función de q, a y b.
13. Calcula “x” en función de los otros ángulos trigonométricos mostrados. ˆ 11. Señala el valor de “q” si AOB es agudo y “x” adopta su máximo valor entero posible.
UNMSM 8. Calcula “x” si
OC es bisectriz
14. Si la medida de “ q” es máxima, calcula el complemento de:
UNI
Resolución:
α = ( x x + x2x + x3x ) °
12. Calcula “x” en función de los otros ángulos trigonométricos mostrados.
103
TRIGONOMETRÍA
1
2 Sistemas de medición angular
, se cumple
se cumple
se cumple
Tener en cuenta: a°b 'c '' = a ° + b '+ c'' x g y mz s = x g + y m + z s
CONVERSIÓN ENTRE SISTEMAS Si queremos convertir medidas angulares de un sistema a otro, se multiplica dicha medida por un factor de conversión, resultando la medida en el sistema deseado. Estos factores de conversión equivalen a 1 y resultan de las siguientes igualdades: 9° = 10
g
180
° = prad
200g
= prad
T��������� �� ����� Integral
2. Simplifica la siguiente expresión:
1. Indica la cantidad de segundos centesimales que tiene “α”
L
α = 2g3m 4s
= 3° 2 ' 2'
3. Efectúa: 10°51’48’’ + 22°31’42’’
2
TRIGONOMETRÍA
104
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR
4.o año
9. Calcula el valor de:
PUCP
p rad + 32°
4. Calcula el valor de “x”
N = 45
40g
10. Si un ángulo mide (8x – 2)° y su suplemento mide
9
20xg, ¿cuál es el valor de “x”?
11. Calcula “x” en la igualdad: Resolución:
x° ( 5x ) ' ° p 2x + 1 ' = 6 rad ) (
p rad. 180° = 20° prad 9 → ( 7x + 6 ) ° = 20° 7x = 14 x=2
UNI 12. Calcula: 3y - 2x 12
M=
5. Calcula el valor de “x”
5y g (8x + 16)°
Resolución: g
5y .
10
6. Si un alumno al copiar 30° escribió 30 g, ¿qué error cometió en radianes?
9° g
Luego:
9y ° 2
=
9
° - 3x° = 180°
2
7. Calcula M en el sistema centesimal.
9y - 6x = 360
p M = rad + 63°
3y - 2x = 120
5
UNMSM
Piden: M =
8. Calcula:
3y - 2x 12
= 120 = 10 12
13. Calcula:
g
30 + 24° D= p rad
E=
60
3y - 2x 10
Resolución: Convirtiendo los ángulos al sistema sexagesimal. 30g.
9° 10
p
g
rad.
°
= 27°
180
g
° = 3°
14. Calcula:
prad 27° + 24° = 51° = 17 D= 3° 3° 60
p 37
105
rad
a
+ c si se sabe que: b
= a°5b'5c''
TRIGONOMETRÍA
2
3 Fórmula general de conversión DEFINICIÓN Es la relación existente entre los números que representan la medida de un ángulo en los tres sistemas conocidos. Si en el gráfico adjunto tenemos el ángulo “ θ ”.
Sus medidas son: S° (en el sistema sexagesimal) Cg (en el sistema centesimal) Rrad (en el sistema radial)
La fórmula de conversión es: S 180
=
C
= R p 200
En problemas de simplificación usar las siguientes fórmulas:
= 9k C = 10k pk R = S
20
Además, se cumple: • Número de minutos sexagesimales = 60 S • Número de segundos sexagesimales = 3600 S • Número de minutos centesimales = 100 C • Número de segundos centesimales = 10 000 C Tener en cuenta:
Para ángulos trigonométricos: C > S > R (para ángulos positivos) R > S > C (para ángulos negativos)
3
TRIGONOMETRÍA
106
FÓRMULA GENERAL DE CONVERSIÓN
4.o año
T��������� �� ����� Integral
UNMSM
1. Siendo S y C lo convencional para un ángulo no
8. Calcula el ángulo en el sistema centesimal que
nulos, simplifica: N
= 3S - 2C C-S
2. Siendo S, C y R lo convencional para un ángulo no nulo, simplifica: L
= 2pS - pC + 40R (C - S) p
3. Señala la medida radial de un ángulo que verifica:
- S = 4R 2C - S 11p C
cumple con S + C = 57 Resolución: S + C = 57 9k + 10k = 57 19k = 57 k=3 C = 10k = 10(3) = 30 g ∴ el ángulo es 30
9. Determine el ángulo en el sistema centesimal, que cumpla con: 3C – 2S = 48
10. Señala la medida radial de un ángulo: S.C.R =
Siendo S, C y R lo convencional.
p 6
11. Reduce:
PUCP
p2 ( C - S )( C + S )
4. Si:
2
380R
S=m+3 C=m+5 Calcula el valor de “m”
UNI 2001 – I 12. Si S, C y R es lo convencional para un mismo ángulo, calcula R. S + C + R = 383,1416 Resolución: S + C + R = 383,1416 9k + 10k + pk = 383,1416
Resolución: 9k = m + 3 10k = m + 5 Dividiendo las ecuaciones: 9 k 10 k
= m+3 m+5
20
Multiplicamos todo x 20 180 + 200k + pk =20 (383.1416) Reemplazamos: π =3,1416
9m + 45 = 10m + 30 15 = m
+ 200k + 3,1416k 180k
5. Calcula el valor de “M”, si se cumple:
383,1416 k = 20 ( 383,1416 )
S = 2M C = 2M + 2
6. Siendo S y C lo convencional, calcula la medida de un ángulo en radianes, si se cumple: S = x5 + x + 3 C = x5 + x + 5
simal se cumple que:
pk = 20p = p 20
20
que cumple: 2S – C + 20R = 11.1416
14. Si la suma de los números de minutos s exagesimales y centesimales, que contiene un ángulo, es igual a 1540, ¿cuál es la medida circular del ángulo?
- S + C - S = 40 C-S C+S
C
2
k = 20 Piden: R =
13. Señala aquel ángulo (expresado en el sistema radial)
7. Determina para qué ángulo en el sistema sexage2
= 20 ( 383,1416 )
2
2
107
TRIGONOMETRÍA
3
4 Longitud de arco DEFINICIÓN Es una porción de circunferencia, limitado por dos radios o dos puntos de la misma.
Siendo: R: radio de la circunferencia θ : ángulo central en radianes L: longitud de arco De donde: L
= θ. R
θ= L
R
R
Tener en cuenta:
=L θ
Advertencia Pre:
c
L1.L 4
4
TRIGONOMETRÍA
θ= a-b c
= L2.L3 108
o
LONGITUD DE ARCO
4. año
T��������� �� ����� Integral
5. Calcula
L
6. Calcula
L1 / L2
7. Calcula
L1
MN
1. En el siguiente sector circular, calcula la longitud del arco
B .
2. Calcula la longitud el arco AB
50g
3. Calcula el valor de “x”.
+ L2 .
L3
L
3
PUCP 4. Calcula
L
UNMSM
AB
8. Se tiene un sector circular de 8cm de radio y 8cm de longitud de arco. Si el ángulo central se duplica y el radio aumenta en 3cm, ¿cuál será la nueva longitud de arco? Resolución:
40g
Resolución:
L = θR L = θ.8 θ = 1 40g.
prad = p rad
200g
5
= θ.R 2p L= .30m L
L = θR L = 2.11cm θ = 22cm
5
L
= 12pm
109
TRIGONOMETRÍA
4
o
4. año
LONGITUD DE ARCO
9. Se tiene un sector circular de 6 cm de radio y 12 cm de
Dato: L1 + L2 = 12 p
longitud de arco. Si el radio aumenta en 2 cm sin que el ángulo central cambie, ¿cuál será la nueva longitud de arco?
p x + p ( x - 8 ) = 12p 3
10. Calcula el valor de “L” si
x
AB = 18cm
3
4
+ x - 8 = 12
4x
4
+ 3x - 24 = 12 12
7x – 24 = 144 7x = 168 x = 24
11. Calcula el valor de “x”.
13. La esfera “N” recorre los arcos L 1 y L2. Calcula “x” si: L1 + L2 = 5p
12. La esfera “A” recorre los arcos L 1 y L2. Calcula “x” si L 1 + L2 = 12p
14. Calcula: M =
TRIGONOMETRÍA
OB
L
BC
Resolución:
4
L
110
si O y O 1 son centros.
5 Área del sector circular DEFINICIÓN
S
L: longitud de arco q: número de radianes del ángulo central R: radio de la circunferencia S: superficie o área del sector circular S
S
= 1 θR 2 2
= 1 L.R 2
2
S
= 1.L 2 θ
Nota: El uso de una fórmula u otra dependerá de los datos que presentan los ejercicios, además para que el sector circular este definido se debe cumplir: 0 < q < 2p.
Tener en cuenta:
Advertencia pre:
S
111
=
( a + b) c 2
TRIGONOMETRÍA
5
4.o año
ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR
T��������� �� ����� Integral D
1. Si en un sector circular el ángulo central mide 18° y su radio mide 20 cm, ¿cuál es su área?
2. Si en un sector circular el arco mide 3 y el radio mide 10 cm, ¿cuál es su área?
7. Calcula el área de la figura sombreada.
3. Calcula el área del sector circular mostrado.
UNMSM
PUCP 4. Calcula el área de la región sombreada.
8. Se tiene un sector circular de área “S”. Si el ángulo central se triplica y el radio se duplica, ¿cuál es el área del sector circular que se genera? Resolución:
O α
Resolución:
° prad = p rad 180° 12
15 .
S
= 1 p ( 6 )2 - 1 p ( 2 2 12 2 12
S
= 36p - 12p
S
24
S
3
)
= 1 αm2 2
2
24
= 24p = pcm2
A
= 1 ( 3α ) ( 2m )2
A
= 12 1 αm2 2
24
5. Calcula el área de la región sombreada.
2
A = 12S
9. Se tiene un sector circular de área “S”. Si el ángulo central se duplica y el radio se triplica, ¿cuál es el área del nuevo sector circular que se genera?
O
10. Calcula: 6. Si AOD y COB son sectores circulares, calcula: k
5
=
S1 S2
TRIGONOMETRÍA
112
4.o año
ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR
11. Calcula el área sombreada.
1 6 . 2
S
=
S
= 18 θ
2
θ
En el sector circular AOB 4S
UNI
=
4 .18
12. Calcula “x” si AOB y COD son sectores circulares.
θ
1 x . 2
2
θ
=
x 2
2
θ
144 =x2 x=12
13. Si AOB y COD son sectores circulares, calcula “L”
Resolución:
14. Calcula el área de la región sombreada.
En el sector circular COD 2
S
= 1.L 2 θ
113
TRIGONOMETRÍA
5
6
Razones trigonométricas de ángulos agudos I
OPERADORES TRIGONOMÉTRICOS Son aquellos símbolos matemáticos que se aplican a los ángulos. En este capítulo estudiaremos a seis de ellos. Operador Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante
Abreviatura Sen Cos Tan Cot Sec Csc
RAZÓN TRIGONOMÉTRICA La razón trigonométrica en un triángulo rectángulo, es el valor que se obtiene al comparar dos lados de dicho triángulo con respecto a uno de sus ángulos agudos.
Calculamos las seis razones trigonométricas respecto a “a”. Catetoopuesto a Senα = = Hipotenusa b Catetoadyacente c = Cosα = Hipotenusa b
Sea un triángulo ABC A
Tanα =
Catetoopuesto a = Catetoadyacente c
Cotα =
Catetoadyacente Catetoopuesto
Secα =
Hipotenusa =b Catetoadyacente c
Cscα =
Hipotenusa Catetoopuesto
B
Donde: a y c son catetos b es hipotenusa a y b son los ángulos agudos 2
b
6
2
=a +c
2
(Teorema de Pitágoras)
TRIGONOMETRÍA
114
=c a
=b a
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS I
4.o año
T��������� �� ����� Integral
7. Si se tiene un triángulo ABC, recto en A, reduce:
1. Si en triángulo rectángulo se sabe que la hipote-
N
nusa es el triple de uno de los catetos, calcula la tangente del mayor ángulo agudo.
2. Si en un triángulo rectángulo los lados mayores miden 13 cm y 12 cm, calcula el coseno del mayor ángulo agudo.
= a.SenB + c.CotC UNMSM
8. Si se tiene un triángulo ABC, recto en A, reduce: Q = a.CscB – c.TanC Resolución:
3. Si los catetos de un triángulo rectángulo son x – 1 y x + 1 y su hipotenusa es x + 3, calcula la tangente del menor ángulo agudo.
PUCP 4. Calcula E = Cot a – Tanq Pitágoras: a2 = b2 + c2 Resolución:
Piden:
Q = a.CscB - c.TanC
Q = a.
a - c. c b b
Q=
a2 b
Q=
a 2 - c2 b
-c
2
b 2
= b =b b
9. Si se tiene un triángulo ABC, recto en A, reduce: Piden: Cota – Tanq 4
+m - m 3
4
M
3
10. Calcula “Cotq”.
+m-m =4 3
= Sen2B + Sen2C + 1
3
5. Calcula: Cota – Cotq 11. Calcula “Tana” si ABCD es un cuadrado.
6. Si se tiene un triángulo rectángulo ABC
∧ = ° B 90 , reduce
Q = a.TanC - b.CosA
115
TRIGONOMETRÍA
6
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS I
4.o año
UNI
Resolviendo ambas ecuaciones: m = 2 y a = 29
12. Calcula el valor de Cot q.
Piden:
θ=
Cot
5 m
=5 2
13. Calcula “Tana”
Resolución: x
14. Calcula: Cota + 2Cosa (O: centro) Pitágoras en ambos triángulos rectángulos: 2
= m2 + a 2 2 2 2 a =m +5 33
6
TRIGONOMETRÍA
116
7
Razones trigonométricas de ángulos agudos II
DEFINICIÓN Recuerda:
α = CO
Cot
α = CA
Sec
Sen
H
Cos
CO
α=
H
α = CO
Tan
α = CA
Csc
CA
α=
H CA H
H: Hipotensusa CO: Cateto opuesto CA: Cateto adyacente
CO
“Como las razones trigonométricas solo dependen de la medida del ángulo, si conocemos el valor de una de ellas, las restantes pueden calcularse construyendo un triángulo rectángulo.
T��������� �� ����� Integral 1. Calcula “Tan a ”, si
α=
Sen
Por Pitágoras: 5 13
(a es agudo).
m
3. Calcula:
M
=
=
(
10 Sen
+ 212 = 292 m =20
2. Si Cotq = 0,3333…. y q es agudo, calcula: M
2
θ + Cosθ )
Piden: E = Secx + Tanx
( θ + α) Cot ( β + θ )
Tan
E
= 29 + 21
E
= 50
20
20
20
∴E = 5 2
5. Si Cscθ = 17 y q es agudo, calcula: 15
PUCP 4. Si “x” es un ángulo agudo, para el cual se cumple Cscx =
29
21
N
= 15Cotθ + 17Cosθ
, calcula el valor de: E = Secx + Tanx
6. Si en un triángulo rectángulo el seno de uno
Resolución:
de sus ángulos agudos es 0,28 y el perímetro del triángulo es 168 m. Calcula la longitud del cateto mayor. Cscx
= 29 ← H 21 ← CO
7. Si el perímetro de un triángulo rectángulo es 210m y la tangente de uno de sus ángulos agudos es 2,4, calcula el cateto menor.
117
TRIGONOMETRÍA
7
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS II
4.o año
UNMSM
UNI
8. Calcula “SenA” si en un triángulo rectángulo
12. Si ABCD es un cuadrado, calcula Cot q si se
ABC, recto en C, se cumple: 2SenA = 3SenB Resolución:
sabe que Cot a =2,4
Dato: 2SenA = 3SenB 2.
a c
= 3.
Resolución:
b c
Cot
= 3 ⇒ a = 3k b 2 b = 2k a
α = 2.4 = 24 = 12 ← CA 10 5 ← CO
Por Pitágoras:
Pide :
θ= 8 1 ∴ Cotθ = 8 Cot
Piden:
SenA
9. Calcula: E =
=
3 k 13 k
13CosA
=
3 13
13. Si ABCD es un cuadrado, calcula Cot a si se sabe que Tanb =
+ 3CotB, si en un triángulo
ABC, recto en C, se cumple: SecA SecB
8 15
=2
3
10. Calcula: Tanq.
14. Calcula “Seca”, siendo “ a” el mayor de los ángu11. Calcula el perímetro de un triángulo ABC, recto
los agudos de un triángulo rectángulo cuyos la-
en A, si se cumple que TanB = 0,75, además: a–b=6m
7
TRIGONOMETRÍA
dos son a – b, a + b y
118
a
2
+ b2
8 Repaso T��������� �� ����� 1. Calcula el valor de “x”
a) 3 d) 10
b) 8 e) 12
c) 9
7. Calcula el área de la región sombreada. 6 cm
a) a + q d) –a – q
b) a – q e) 2a – q
c) q – a
2. Reduce:
L=
3g3m
a) p cm2 d) 4p
m
3
a) 61 d) 91
b) 71 e) 101
3. Efectúa:
°
c) 81
b) 2p e) 5p
c) 3p
8. Calcula: P = Cotα - Tanθ
+ °
10 5 5 ' 40 ' ' 8 3 5 ' 30 ' '
a) 19°31’10’’ d) 19°21’20’’
b) 18°25’10’’ e) 18°31’10’’
4. Simplifica:
c) 18°21’20’’ a) 1 d) 4
p rad + 36°
Q= 2 a) 5 d) 8
20
c) 3
9. Calcula: P = Tanθ + Cotθ
g
b) 6 e) 9
b) 2 e) 5
c) 7 2
b a
5. Siendo S y C lo convencional, reduce: R
=
a) 3 d) 4
+S + C-S
C
b) 5 e) 6
6. Calcula: L
+ S + 17 C -S
C
a) 5 d) 2
b) 4 e) 1
c) 3
b) 6 e) 9
c) 7
c) 7 10. Calcula “Cotq”
AB
O
a) 5 d) 8 119
TRIGONOMETRÍA
8
o
4. año
REPASO
11. En un triángulo rectángulo, el área y el perímetro
son iguales numéricamente. Si el coseno de uno de los ángulos agudos es 0,8, calcula la longitud del lado mayor. a) 5 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10
12. Calcula: Tanf si Tanα =
5 12
(AOC es un sector circular)
A
φ
C
O
a) 0,5 d) 2
B
b) 1 e) 2,5
C����� 1.
b
7.
b
2.
e
8.
c
3.
a
9.
b
4.
c
10.
d
5.
b
11.
e
6.
e
12.
c
B����������� 1. 2. 3. 4. 5. 6.
8
Alva Cabrera, Ruben: Trigonometría teoría y práctica. Editorial: San Marcos Ayres, Frank: Trigonometría plana y esférica. Editorial: McGraw.Hill Hall, H.S.;Knight, S.R.:Trigonometría elemental. Editorial: Uteha Hobson, E.W.: Plane and advanced trigonometry. Cambridge University Press. Ribnikov, K.: Historia de las matemáticas. Editorial: Mir. Moscú Trigonometría 5.°Pre. Racso Editores.
TRIGONOMETRÍA
120
c) 1,5
Trigonometría
1
Razones trigonométricas de ángulos notables
Los triángulos rectángulos de ángulos notables o simplemente triángulos rectángulos notables, son aquellos en los cuales conociendo las medidas de sus ángulos agudos se puede saber en qué proporción se encuentran sus lados. Destacan:
k
45º
60º
k 2
2a
a
45º
3n
53º
5n
30º
k
37º 4n
a 3
A partir de estos triángulos, se calculan las razones trigonométricas de sus correspondientes ángulos:
4.°
AÑO
45º < > p 4
30º < > p 6
60º < > p 3
Sen
1 2
1 2
Cos
1 2
3 2 1 2
37º
53º
3 5
4 5
4 5
3 5
3
3 4
4 3
Tan
1
3 2 1 3
Cot
1
3
1 3
4 3
3 4
Sec
2
2 3
2
5 4
5 3
Csc
2
2
2 3
5 3
5 4
101
TRIGONOMETRÍA
1
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES
Trabajando en clase 7. Si Tanα = Sen30º + Cot45º Calcula: E = 13 Sen α - Tan(90º - α)
Integral 1. Calcula: M = Tan45º + 2Cos60º - 8Csc53º
UNMSM 8. Calcula Cotα
2. Calcula: E=
(Sec45º)
+ (Cot30º) 4Tan37º
Sec60º
Sec60º
A
3. Halla el valor de «α» sabiendo que es un ángulo agudo. Tan(α + 5º) = 2Sen30º+Sec245º
60º
B
PUCP 4. Calcula Tanα
5 2
135º
α 10
B
2
Resolución:
C 2
135º
α
A
10 Del triángulo ACE C
15
r=2m
3 m
5
r O
30º 30º M α
60º
5
A
m 3
45º B 5 E
r=2m B
3 m
Sea r = 2m Del triángulo MBO.
5
α A
Resolución:
C
A
O
M α
Tanα =
5
=
15
1
O
3
E
5. Obtén el valor de Tanx.
Q
M
3 m
10 6
6. Calcula 8Tanθ
Cotα = 3m = 3 2m 2 B
9. Calcula TanΨ (BC = 2PC)
120º P
2m
α
R B A
10 A
1
TRIGONOMETRÍA
120º
θ
53º 14
O
P CΨB
C
102
4.°
AÑO
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES
10. Calcula Cot θ
A
Y Y
8
Y
10
D
2 60º
θ
B
Y
C
Piden: Senx . Cscy
11. Calcula: E = Cot θ - Cot α
3 2k n ⋅ 5k n
B
D
θ
3 2 5
3 7 º
α
Trazamos MH Trazamos ME Sea: AM = 5 2 k Sea: BM = n
O
C
13. Halla el valor de: Csc α ⋅ Senθ.
UNI
αθ
12. Halla Senx Cscy x y
60º
53º 45º
37º Resolución:
B x y n
E 4
A
4.°
AÑO
2 k
37º 5 2 k
14. Calcula Tanα
3
2 k
M
A
5k
H
127º O
5k 45º C 5 2 k
α D
103
C
B
TRIGONOMETRÍA
1
2
Propiedades de las razones trigonométricas
Tomando un triángulo ABC recto en C como referencia:
c
II. Razones complementarias (co – razones) Se caracterizan por tener igual valor numérico
B
solo si sus ángulos suman 90º, por ejemplo:
a
SenA = a ∧ Cos B = a c c
x A
b
⇒ SenA = Cos B
C
I. Razones recíprocas (inversas)
En conclusión: SenA = CosB TanA = CotB SecA = CscB
Son aquellas parejas de razones trigonométricas cuyos valores son inversos, por ejemplo: Senα = a ∧ Cscα = c c a ⇒ Senα . Cscα = a ⋅ c = 1 c a En conclusión: Senα . Cscα = 1 Ángulos iguales Cosα . Secα = 1 Tanα . Cotα = 1
A + B = 90º
También se puede afirmar: R.T. (θ) = Co – R.T. (90º - θ)
Trabajando en clase Integral
Resolución: Tanx . Tan72º = 1 Tanx . Cot18º = 1 ⇒ x = 18º Piden: Sen(x + 12º) = Sen30º =
1. Calcula «x» si: Cos(3x – 12º) . Sec(x + 36º) = 1
2. Calcula «y» si: Sen(y + 10º) = Cos(y + 20º) 3. Calcula Cos3x, si: Tan(5x) . Cot(x + 40º) = 1
1 2
5. Halla Cos(x + 35º), si: Tan2x . Tan40º = 1 6. Halla Tan3x, si: Sen(2x + 30º) = Cos(80º - 3x)
PUCP 4. Halla Sen(x + 12º), si: Tanx . Tan72º = 1
2
TRIGONOMETRÍA
7. Calcula: Sen10 2Tan 20º 3Sec40º E = Cos80 + Cot70º - Csc50º
104
4.°
AÑO
PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
UNMSM
Resolución: α + β = 90º (dato) 16Senα = Secβ 16Senα = Cscα … multiplicando x Sen α 16Sen2α = Cscα ⋅ Senα 16Sen2α = 1 Sen2α = 1 4 16 1 Senα = 1 α 4 15 Piden E = Cscα - 15 Cotβ E = Cscα - 15 Tanα E = 4 - 15 ⋅ 1 1 15
8. Calcula: E = (2Sen70º + Cos20º)(Sec20º + Csc70º) Resolución: E = (2Sen70º + Cos20º)(Sec20º + Csc70º) E = (2Sen70º + Sen70º)(Csc70º + Csc70º) E = (3Sen70º)(2Csc70º) E = 6Sen70ºCsc70º E=6 (1) E=6
9. Calcula: (4Sen26º + 3Cos64º)(Csc26º + 2Sec64º)
10. Si se cumple: Tan Cot θ
⋅ Cot [Tan(2θ)] = 1
E=3
2 Tan( θ + 1º) - Tan(θ + 9º) Calcula: K = 2
13. Si α y θ son complementarios y además 9Cos α = Cscθ, calcula el valor de: Q = Secα + Cot2θ
11. Si: Sen2x . Cos(37º + x) = Sen(53º - x) . Cos3x Calcula: N = Tan2(3x + 6º) + Cot2(2x + 9º)
14. Si α y β son complementarios y se verifica: Sen(α + p ⋅ Sen(α ⋅ β)) = Cos(β – pCos(α ⋅ β))
UNI 12. Si α y β son complementarios y además 16Sen α = Secβ, calcula el valor de E = Cscα - 15 Cotβ
4.°
AÑO
105
Calcula: E = 1 + 1
α
β
TRIGONOMETRÍA
2
3
Resolución de triángulos rectángulos I
Es el procedimiento mediante el cual se determinan los lados desconocidos de un tri ángulo rectángulo, en función de un lado conocido y de un ángulo agudo de dicho triángulo.
Caso 1
Caso 2
m
Caso 3
mSecα
mSenα
α
mCscα
mTanα
α
α
m
mCosα
m
mCotα
Regla general: Lado incógnita = R.T. (θ) Lado dato Lado incógnita = (Lado dato) × RT (θ)
Trabajando en clase Integral 1. Halla «x» en función de los datos dados.
3. Halla el área del triángulo mostrado en función de los datos mostrados. m
θ
m
α
x
2. Halla «x» en función de los datos dados.
PUCP 4. Obtén el perímetro del triángulo mostrado. C
ψ x
a
α a
3
TRIGONOMETRÍA
A
106
B 4.°
AÑO
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS I
Resolución: AB a = Tanψ → AB = a ⋅Tanψ
Resolución: B
AC a = Secψ → AC = a ⋅Secψ
BC = Senα m BC = m⋅Senα
α
Piden: BC + AB + AC = a + a Tanψ + aSecψ = a(1 + Tanψ + Secψ)
A
m
C D
B
5. Obtén el perímetro del triángulo mostrado.
m S e n α
θ
b
x mSenα = Cosθ x = mSenα⋅Cosθ
x
C
θ 9. Halla «x». 6. Halla «x» en función de los datos dados.
B
x
x
α
β
Ψ A
m
D
n
C
10. Halla «x». 7. Determina «x».
x x
α
β a
θ m
11. En el rombo mostrado, calcula «x» en función de los datos dados (ABCD: rombo)
UNMSM
B
L
8. Halla «x». B
D
θ
α A
4.°
AÑO
m
θ
C
x
x
C
A
107
D
TRIGONOMETRÍA
3
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULO I
UNI
13. Calcula «x».
12. En la figura, calcula «x» si D es punto medio de AC.
B P
b B x A Resolución:
P a D
α
D B
TRIGONOMETRÍA
Cotα + Cotθ 1 + Cscα
(0 y O1 son centros) θ
β 2aCotα
C
14. Calcula:
AD = Cotα a AD = aCotα
x
3
C
D
E=
α
A
β
θ
α
P a
A
A
x
C
x 2aCotα = Senβ x = 2aCotα ⋅ Senβ
O
108
2α
O1
4.°
AÑO
4
Resolución de triángulos rectángulos II
Fórmula: Lado incógnita = R.T. (θ) Lado dato
θ
a
S = ab Senθ S : área 2
b
S
Área de una región triangular Si en un triángulo se conoce la longitud de dos lados y la medida del ángulo que forman dichos lados, se puede calcular el área de la región triangular.
Trabajando en clase Integral
PUCP
1. Halla el área sombreada.
4
4. Calcula «x» en función de los datos dados.
30º
B
5
C
E
S L
θ
2. Calcula el área de la región triangular mostrada. A
x
D
5
Resolución:
37º 6
E
B
θ
3. Calcula el área de la figura sombreada. L
2
L
θ
3
α
A 2
4.°
AÑO
C
x
D
5
109
TRIGONOMETRÍA
4
RESOLUCIÓNDE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS II
B L
UNMSM
E
8. Halla «x» en función de los datos dados. B
BE = Tanθ L BE = L⋅Tanθ
θ
x
A
β
α E
C
θ
A EC = Cotθ L EC = L⋅Cotθ
L
C
a
Resolución: B
D x
x = BE + EC
β
α
x = LTanθ + LCotθ x = L(Tanθ + Cotθ)
A
D a
5. Halla «x»
C
B
B
C
E
x
α
AD = x ⋅ Cotα
α
m
D
A
A
x
AD = Cotα x
B
D
DC = Cotβ x
x
6. Halla «x» en función de los datos dados. D b
a
ψ
α
DC = x ⋅ Cotβ
β
x
AD + DC = a x ⋅ Cotα + x ⋅ Cotβ = a x(Cotα + Cotβ) = a x=
7. Calcula «x» en función de α y L.
C
a Cotα+ Cotβ
9. Halla «x» en función de los datos dados.
θ
x
x
f α
m L
4
TRIGONOMETRÍA
110
4.°
AÑO
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS II
10. Calcula «x» en términos de r y θ.
E
x
A
r
θ
θ
D
a C
O
11. Calcula «x».
FD = Cosθ b FD = b ⋅ Cosθ
b º3 0 0 3 º
1
F
2
x
ED = Senθ a ED = a ⋅ Senθ
θ D
EF + FD = ED x + bCosθ = aSenθ x = aSenθ - bCosθ
UNI 12. De la figura, determina «x» en términos de a, b y θ.
13. Calcula «x». n
x m
θ
b
θ
x
a
14. Calcula: Sen3α Senα
Resolución: B x
ααα C
E
θ A
4.°
AÑO
x a
F θ
b
D
111
TRIGONOMETRÍA
4
5 Ángulos verticales Definición Son aquellos ángulos formados en el plano vertical con dos líneas imaginarias llamadas visual (línea de mira) y horizontal, si la visual se encuentra sobre la horizontal el ángulo recibe el nombre de elevación, de lo contrario recibe el nombre de depresión. Elevación
Depresión Horizontal
Visual
θ
α Horizontal
Visual
Nota: Se conoce como ángulo de observación al ángulo formado por dos visuales.
β β → ángulo de observación
5
TRIGONOMETRÍA
112
4.°
AÑO
ÁNGULOS VERTICALES
Trabajando en clase Integral
UNMSM
1. Desde la parte superior de un acantilado de 80 m de altura se observa una lancha con un ángulo de depresión de 30º. ¿A qué distancia del pie del acantilado se encuentra la lancha?
8. Un nadador se dirige hacia un faro y la observa con un ángulo de elevación de 30º, al avanzar 110 m el ángulo de elevación se duplica. Halla la longitud del faro. Resolución:
2. Desde un punto del suelo se observa la parte superior de un poste con un ángulo de elevación de 37º. Si la altura del poste es 12m, calcula a qué distancia de la base del poste se ubica el punto.
º º 3 0 0 3
3. Una persona de 2 m de altura observa la parte superior de un poste con un ángulo de elevación de 45º. Si la longitud del poste es de 20 m, calcula a que distancia de la base del poste se ubica. PCUP 4. Desde un punto en el suelo se observa la parte más alta de un árbol con un ángulo de elevación de 30º. Calcula la longitud de la línea visual, si se sabe que la longitud del árbol es de 4 m. Resolución:
x
4m
30º //=//=//=//=//=//=//=//=//=//=
Por triángulo notable: x = 8 m
5. Desde un punto en el suelo se observa la parte más alta de un poste con un ángulo de elevación de 53º. Calcula la longitud de la línea visual, si se sabe que la longitud del poste es de 12 m. 6. Desde la parte superior de un muro de 2 m se observa la base de un árbol con un ángulo de depresión de 30º y la parte más alta de dicho árbol con un ángulo de elevación de 60º. Hallar la longitud del árbol. 7. Carlitos observa una torre con un ángulo de ele vación de 45º, camina 8 m hacia la torre; ahora la observa con un ángulo de elevación a, si la longitud de la torre es 32 m, halla la medida de α. 4.°
AÑO
x
m 0 1 1
60º 30º ///////////////////////////////////////////////////// 110 m Por triángulo notable: x = 55 3
9. El ángulo de elevación de la parte superior de una torre es de 30º, si nos acercamos 400 m, se tiene que el ángulo de elevación se ha duplicado. Halla la longitud de la torre. 10. Desde un punto en tierra se observa lo alto del tercer piso de un edificio con un ángulo de ele vación α y la parte baja del quinto piso con un ángulo de elevación β. Halla: Q = Tanβ Tanα 11. Desde lo alto de un fato ubicado en la playa, se observan 2 botes anclados en el mar y alineados con el faro, con ángulos de depresión de 37º y 53º respecti vamente. Halla la distancia que separa dichos botes, sabiendo que la longitud del faro es de 36 m. UNI 12. Desde lo alto de un dificio se ve un punto en tierra con un ángulo de depresión α y a otro punto ubicado a la mitad entre el primer punto y el edificio con un ángulo de depresión 90º - α. Calcula el valor de Tanα. Resolución: horizontal ___ ___ α ___ ___ ___ ___ α 90º-α ___ ___ ___ ___ v i ___ s u ___ a ___ ___ a l v ___ i ___ s u ___ ___ ___ a l ___ ___ ___ ___
α
//=//=//=//=//=//=//=//=//=//=//=//=//=//
m
113
m
TRIGONOMETRÍA
5
ÁNGULOS VERTICALES
m ... (I) a Tanα = a ... (II) 2m Multiplicando las ecuaciones: m a Tanα ⋅ Tanα = a ⋅ 2m Tanα =
Tan α = 1 2 Tanα = 1 2 2
5
TRIGONOMETRÍA
13. Un observador se encuentra a 20 m de un edificio y observa su parte superior con un ángulo de ele vación α y si se aleja 10 m el ángulo de elevación es el complemento de α. Calcula el valor de Tan α. 14. Desde un punto en el suelo se divisa lo alto de un poste con un ángulo de elevación α, se acerca una distancia igual al triple de la longitud del poste y el ángulo de elevación es 90º - α. Calcula: E = Tan2α + Cot2α.
114
4.°
AÑO
6 Ángulo en posición normal Llamado también canónico o estándar, es aquel ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen del sistema de coordenadas rectangulares y su lado inicial coincide con el semieje positivo de abscisas (Eje X). y
Definimos Senα =
Ordenada = Radio vector
y 0 r
Cosα =
Abscisa = Radio vector
x0 r
Tanα =
Ordenada = Abscisa
y 0 x0
α O
x
Cscα = Radio vector = Ordenada
r y 0
Secα = Radio vector = Abscisa
r x0
Abscisa = Ordenada
Cotα =
x0 y 0
α: Ángulo en posición normal positivo del IIC y
Nota: Llamamos ángulos coterminales a aquellos ángulos en posición normal que tienen el mismo lado final.
O x
θ
Propiedades: i) α - θ = 360ºk; k ∈ Ζ ii) RT(α) = RT(θ)
θ: Ángulo en posición normal negativo del IIIC
y
Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal y Xo : Abscisa del punto Yo : Ordenada del punto r: Radio vector Por Pitágoras:
α x
Y0
P(Xo;Yo) r
r2 = Xo2 + Yo2 r>0
4.°
AÑO
θ
α O
x0
X
115
TRIGONOMETRÍA
6
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
Trabajando en clase 5. Calcula: N = 29 Senf + 2Tanf
Integral 1. Se tiene un ángulo en posición normal θ cuyo lado final pasa por el punto P(–1; 5). Calcula el valor de Tanθ. 2. Halla el valor de Senβ.
β
y (-2; 5)
f
y
x x
(-2;-1)
6. Si Tanα = 3. Calcula el valor de «a». y
3. El punto P(–1; 3) pertenece al lado final de un ángulo canónico α. Calcular: R = 10 Secα - Tanα
α
PUCP
x
(a-1;4a-1)
4. Calcular: Q = 13 Cosθ + 2 ⋅ Tanθ y
7. Calcula L = Csc53º – Cotα
(-2; 3)
y
θ
3 7 º
x
α x
Resolución: x0 = -2 y 0 = 3 r2 = (-2)2 + (3)2 r2 = 13 r = 13
UNMSM 8. Calcula M = Cscα + Cosβ (-12; 5)
Piden: Q = 13 Cosθ + 2Tanθ -2 Q = 13 +2 3 -2 13
α β
Q = -2 + -3 Q = -5
6
TRIGONOMETRÍA
y
x
(-3; -4)
116
4.°
AÑO
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
Resolución:
UNI
x0 = -12 Para α y = 5 r 0= 13
x0 = -3 Para β y = -4 r 0= 5
12. Calcula Tanθ. y
Piden: M = Cscα + Cosβ
θ
M = 13 + –3 5 5 M = 10 5
(-3; a)
(a;-12)
M=2
9. Calcula M = 5Cosθ – Cosβ
Resolución: a -12 Tanθ = Tanθ = ∧ -3 a ⇒ a = -12 -3 a
y (-24; 7)
θ
a2 = 36 a = -6 (Por la ubicación de los puntos en el plano cartesiano)
x
β (-4; -3)
Reemplazando: Tanθ =
13. Calcula Tanθ.
10. Calcula: 3Cosα 2Tanα P = 4Senα + Cosθ Tanα Senθ y
x
θ
(4; m) (-m; -9)
x
θ
11. Calcula N = (2Senβ + Senα) Cscβ y
14. Siendo «G» baricentro del triángulo ABC. Calcula R = Tanα + Cotα Secα + Cscα y B(-6; 9) G
β
C(0; 5)
A(-9; 1) α
AÑO
-6 = 2 a = -3 -3
y
α
4.°
x
x
α
117
x
TRIGONOMETRÍA
6
7
Ángulos cuadrantales y tabla de signos de las razones trigonométricas
Ángulo cuadrantal
Signos de las RT en cada cuadrante
Es aquel ángulo canónico cuyo lado final coincide con algunos de los semiejes cartesianos. Su medida es múltiplo de 90º y no pertenece a cuadrante alguno. Ejemplo:
Regla práctica: Son positivas y
y IIC 180º 270º
-90º
x
IIIC Tan ∧ Cot
x IVC Cos ∧ Sec
IVC
En el siguiente cuadro sintetizamos los valores de las R.T. de los ángulos cuadrantales.
0º 0 1 0 N.D. 1 N.D.
IC Todas
IC 90º
IIIC
R.T. Sen Cos Tan Cot Sec Csc
IIC Sen ∧ Csc
p/2
p
90º 1 0 N.D. 0 N.D. 1
180º 0 -1 0 N.D. -1 N.D.
3p/2 270º -1 0 N.D. 0 N.D. -1
Para recordar
2p 360º 0 1 0 N.D. 1 N.D.
R.T. Sen Cos Tan Cot Sec Csc
IC + + + + + +
IIC +
+
IIIC
IV
-
+
+ +
-
-
+
-
Trabajando en clase Integral 1. Calcula:
3. Indica el signo de:
2Sen p - Cosp 2 E= Cot 3p + Sec2p 2
E=
PUCP
2. Indica en qué cuadrante se ubica «α» si Cosα > 0 y Tanα < 0.
7
TRIGONOMETRÍA
Cos110º + Tan322º Csc125º
4. Halla el valor de: G = (3Sen90º - Cos180º)2 + (Sen270º + Cos360º)2
118
4.°
AÑO
ÁNGULOS CUADRANTALES Y TABLA DE SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÁTRICAS
Resolución: G = (3Sen90º - Cos180º)2 + (Sen270º + Cos360º)2 G = (3(1) - (-1))2 + ((-1) + (1))2 G = (4)2 + (0)2 G = 16 5. Calcula: H = (2Sen180º - Sen90º)2 + (3Cos180º - Cos90º)2
9. Si Senθ = –3 ; θ ∈ IVC 5 Calcula: E = Sec θ – Tanθ
10. Si Senβ = –2 ; β ∈ IIIC 3 Calcula: D = 5 Cotβ - Cscβ
6. Calcula el valor de: 2Cos2p - Csc 3p + Tanp 2 F= Cot p + Secp + Sen 3p 2 2
7. Determina el signo de A, B y C. Si: α ∈ IIC , β ∈ IIIC y θ ∈ IVC Además: A = Cscα ⋅ Tanθ ⋅ Cosβ B = Cotα ⋅ Cscβ ⋅ Secθ C = Cosθ ⋅ Cotβ ⋅ Senα
11. Indica en qué cuadrante se ubica «α», si Senα > 0 y Secα < 0. UNI 2 3 2 5 12. Reduce: L = m Sen 90º - n Cos 360º mSen90º + nCos0º Resolución: L= L=
UNMSM 8. Si Secα = -6 ∧ ∈ IIC Calcula: E = 35 Cotα + Cosα Resolución: Seca = + 6 ← r - 1 → x0 r2 = x02 + y 02 62 = (-1)2 + y 02 y 0 = 35 (positivo porque el ángulo se ubica en el IIC) Piden: E = 35 Cotα + Cosα x E = 35 x0 + 0 r y 0 E = 35 -1 + –1 = –7 6 6 35
4.°
AÑO
m2Sen390º - n2Cos5360º mSen90º + nCos0º m2(1)3 - n2(1)5 m(1) + n(1)
2 2 L = m - n m+n
L=
(m + n)(m -n) = m - n (m + n)
13. Reduce: m3 Sen90º - n3Cos360º m2Cos0º - mnSen270º + n2 Cos4 180º
14. Si 8Tanθ = (Sec45º)2Tanθ – 3 y θ ∈ IVC. Calcula el valor de: Q = Secθ – Tanθ
119
TRIGONOMETRÍA
7
8 Repaso 6. Obtén «x» en función de m y θ.
1. Calcula el valor de: L = 2Tan260º - 3Sec245º + 25Sen253º a) 1
c) 4
b) 2
d) 9
a) m(Senθ + Cosθ) b) mTanθ c) mSecθ ⋅ Cscθ d) m(Cosθ – Senθ) e) mSenθ ⋅ Cosθ
e) 16
2. Si Senθ = Tan37º (θ: agudo)
x m
θ
Calcula: 7 (Secθ + Tanθ) a) 7 b) 6
c) 5 d) 4
e) 3
3. Halla el valor de α + θ, si: Senα ⋅ Csc(2α – 15º) = 1 ∧ Tanθ = Cot(2θ – 30º) a) 15º b) 25º
c) 35º d) 45º
7. Desde un punto en el suelo se observa la parte más alta de un árbol con un ángulo de elevación de 37º, si avanzamos 3 m el nuevo ángulo de ele vación es 45º. Halla la longitud de dicho árbol. a) 9 m b) 7 m
e) 55º
c) 5 m d) 3 m
e) 1 m
8. Calcula: E = 5Sen θ + 13Cosα
4. Halla «x» en función de los datos mostrados. y
θ
α x
x
α
θ
m a) mSenα ⋅ Tanθ b) mSenα ⋅ Cotθ c) mCosα ⋅ Tanθ
d) mCosα ⋅ Cotθ e) mSecα ⋅ Cscθ a) -4 b) -6
5. Halla el área sombreada. 3
a) 5 u2 c) 9 u2
4
d) 11 u2
30º 3
8
REPASO
c) -8 d) -10
e) -12
9. Indica el valor de:
b) 7 u2
e) 13 u2
(4; -3)
(-5;-12)
N = 3Tan0º - 2Csc90º + 4Cos180º a) -1 b) -3
5
120
c) -5 d) -6
e) 2
4.°
AÑO
REPASO
10. Indica el signo de A, B y C. A = Sen110º ⋅ Tan222º B = Cos221º ⋅ Cot318º C = Sec229º ⋅ Csc315º a) (+)(+)(+) c) (+)(+)(-) b) (-)(-)(-) d) (-)(-)(+) 11. Si Cosx = –3 ∧ x ∈ IIC 5 Calcula: Q = Cscx + Cotx a) 2 c) 1 2 b) –2 d) – 1 2
12. Calcula Cotα. 120º
4
e) (+)(-)(-)
3
α
a) 5 3 6
e) 1
b)
3 6
c)
4 3 5
e)
3 3
d) 3
Bibliografía 1. 2. 3. 4.
4.°
ALVA CABRERA, Rubén. Trigonometría teoría y práctica. Lima: San Marcos, 2008. AYRES, Frank. Trigonometría plana y esférica. México D. F.: McGraw-Hill, 2003. HALL, H. S. y KNIGHT, S. R. Trigonometría elemental: Buenos Aires: Uteha, 1998. RIBNIKOV, K. Historia de las matemáticas. Moscú Mir, 1978.
AÑO
121
REPASO
8
Trigonometría
1 Reducción al primer cuadrante I Definición
Para ángulos negativos
Las razones trigonométricas (R.T.) de un ángulo de cualquier magnitud, positiva o negativa, pueden expresarse en términos de las R.T. de un ángulo positivo menor que 90°.
En este caso usaremos las siguientes relaciones: Sen(–x) = –Senx Tan(–x) = –Tanx Cot(–x) = –Cotx Csc(–x) = – Cscx
Si el ángulo es mayor que una vuelta Se establece la misma razón trigonométrica del ángulo que resulta ser el residuo al dividir la medida del ángulo entre 360° (una vuelta). Ejemplo: Reducir al primer cuadrante: Z Sen3285° 3285° 360° ⇒ Sen3285°= Sen45° 3240° 9 2 Sen3285° = 45° 2
Cos(–x) = Cosx Sec(–x) = Secx
Ejemplos: Z Sen(–28°) = –Sen28° Z Cos(–10°) = Cos10°
Trabajando en clase Integral
3620° 360° 3600° 10 20°
1. Calcula: L=
Sen(–α) + Sec(–60°) Senα
2. Obtén el valor de: N = 2Sen1110° + Tan765° 3. Calcula:
⇒ Sen3620°= Sen20°
Reemplazando: K = Sen20° + Sen20° –2Sen20° K=0
5. Reduce la siguiente expresión: L = 3Cos760° – Cos40° –2Cos2920°
P = 8Tan(–37°) – Csc1830°
PUCP 6. Si:
4. Reduce la siguiente expresión: K = Sen20° + Sen1460° – 2Sen3620° Resolución: 1460° 360° 1440° 4 20°
4.°
AÑO
2Csc(–x) + 5Cscx = 4,333....
Calcula: Sen(–x)
⇒ Sen1460°= Sen20° 7. Calcula: N = 4Sen450° – 3Tan2520°
97
TRIGONOMETRÍA
1
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE I
I. 6p + x 2p 6p 3 x
⇒ Sen(6p+x) = Senx
II. 14p –x 2p 14p 7 –x
⇒ Sen(14p–x) = Sen(–x) = –Senx
III. 12p –x 2p 12p 6 –x
⇒ Sen(12p–x) = Sen(–x)=–Senx
Reemplazando: Senx + –Senx + –Senx E= 3(–Senx)
UNMSM 8. Calcula el valor de: R = 4Tan(–3285°) Resolución: R = 4Tan(–3285°) 3285° 360° 3240° 9 R = 4(–Tan3285°) 40° R = 4(–Tan45°) R = 4(–1) R = –4 9. Obtén el valor de: P = 7Sec(–1860°) 10. Reduce: (m+n)2Cos1440° + (m–n)2Sen990° Q= mnCos540°
–Senx E = –3Senx 1 E= 3
11. Simplifica: Sen(–x)Cscx + Cos(–x)Secx+Tan(–x)Cotx Q= 4Tan(–37°) + Csc(–30°)
13. Simplifica: Tan(10p–x) +Tan(6p+x) + Tan(8p–x) E= 2Tan(–x)
UNI 12. Simplifica: Sen(6p+x) + Sen(14p–x) + Sen(12p–x) Q= 3Sen(–x) Resolución: 360° = 2p
1
TRIGONOMETRÍA
14. Calcula el valor de: N=(Cos810°+Cot405°)Sen450°+Tan21140°+ Cot765°
98
4.°
AÑO
2 Reducción al primer cuadrante II Para ángulos del segundo cuadrante Si x∈IIC, se cumple: F.T.(x) = (±) F.T. (180° – x)
Para ángulos del cuarto cuadrante Si ∈ x IVC, se cumple: F.T.(x) = (±) F.T. (360° – x)
(+): para seno y cosecante (–): para las demás funciones
(+): para coseno y secante (–): para las demás funciones Ejemplos: Cos280° = + Cos(360°–280°) = Cos80° Z Z Tan290° = –Tan(360° –290°) = –Tan70° Z Cot344° = –Cot(360° –344°) = –Cot16° Z Sec 13p = +Sec(2p 13p ) = Sec p 7 9 7
Ejemplos: Z Sen100° = + Sen(180° –100°) = Sen80° = Cos10° Cos130° = –Cos(180°–130°) = –Cos50° = –Sen40° Z Z Tan142° = –Tan(180°–142°)=–Tan38° = –Cot52° Cot168°=–Cot(180°–168°) = –Cot12° = –Tan78° Z Z Sec 6p = –Sec(p – 6p ) = –Sec p 7 7 7 Csc 8p = +Csc(p – 8p ) = Csc p Z 9 9 9
Para ángulos de la forma: 180° o ± x 360°
Para ángulos del tercer cuadrante Si x∈IIIC, se cumple: F.T.(x) = (±) F.T. (x –180°)
Se cumple:
90° o ± x 270°
180° F.T. o ± x = ± F.T.(x) 360°
(+): para tangente y cotangente (–): para las demás funciones
90° F.T. o ± x = ±CO–F.T(x) 270°
Ejemplos: Z Sen190°=–Sen(190°–180°)=–Sen10°=–Cos80° Cos220°=–Cos(220°–180°) = –Cos40° = –Sen50° Z Z Tan236° = +Tan(236°–180°)=Tan56° = Cot34° Cot 13p = Cot( 13p – p) = Cot 4p Z 9 9 9
Trabajando en clase Integral
3. Calcula: N = Sen150° + Sen30°
1. Simplifica: E=
Sen(90° + x) Cosx
PUCP 4. Simplifica:
2. Reduce: P = Cot(180° + x) + Tan(270° + x)
4.°
AÑO
E=
99
Sen(180° + x) Sec(90° – x) + Sen(360°–x) Csc(180° + x)
TRIGONOMETRÍA
2
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE II
UNI
Resolución: IC IIIC
12. Determina:
–Senx +Cscx E= + –Senx –Cscx IVC E=1–1 E=0
IIIC
Tanα + Cotβ
17
α 1
5. Simplifica: Tan(180°–x) Sen(270°+x) E= + Tan(360°+x) Sen(90°+x)
Resolución:
β
6. Calcula:
y
17
P = Tan135° + Cos300°
α
4
x 1
7. Calcula: E=
Sec(270°+x) Cos120° + Csc(180°–x) Cot315°
Del gráfico: x + α = 360° ⇒ α = 360° – x Tanα = Tan(360 – x) Tanα = –Tanx Tanα = – 4 y – β = 360° ⇒ y = 360° + β Coty = Cot(360° + β) Coty = Cotβ ⇒ Cotβ = 4 Nos piden: E = Tanα + Cotβ E = –4 + 4 = 0
UNMSM 8. Calcula: E = Sen(–3645°) Resolución: i) Sen(–θ) = –Senθ ii) 3645° 360° 3600° 10° 45°
β
iii) Sen(–3645°)= –Sen3645° Sen(–3645°)= –Sen45° Sen(–3645°)= – 2 2 9. Calcula: E = Tan(–2580°)
13. Calcula: Cotθ + Cotα 1
α θ
10. Simplifica: Tan(270°–x) Sen(–120°) + Cos(–330°) – Cot(360°–x)
2 4
14. Si: Tan(360° –α) + Csc(270° + α) = 4 Calcula: Cot(270°+α)+Sen(180°+α) M= Cos(270°–α)
11. Calcula Cotθ y
θ x (–2;–3)
2
TRIGONOMETRÍA
100
4.°
AÑO
3 Circunferencia trigonométrica I Es aquella circunferencia cuyo centro coincide con el origen del sistema de coordenadas rectangulares y cuyo radio es unitario y adimensional. y B Elementos de la C.T. P C.T. Z O(0;0): origen (x;y) r=1 Z A(1;0): origen de arcos B(0;1): origen de complementos Z Z A’(–1;0): origen de suplementos αrad B’(0;–1): sin nombre específico Z O (0;0) A’ A x P(x;y): extremo del arco Z x2 + y 2 = 1
B’
Representación de seno y coseno en la circunferencia trigonométrica. En la C.T. graficaremos las representaciones siguientes utilizando segmentos dirigidos.
1. Seno:
2. Coseno:
El seno de un arco en la C.T. es la ordenada de su extremo
α
θ Senθ Senf
f
El coseno de un arco en la C.T. es la abscisa de su extremo y
θ
Senα
Cosα
Cosθ
α
x
Senβ Cosf Cosβ
β f
C.T.
β
C.T. Observación: y
C.T. Cosθ 1
θ
Senθ
(Cosθ; Senθ)
0 x
4.°
AÑO
101
TRIGONOMETRÍA
3
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA I
Trabajando en clase Integral
Z
1. Si β ∈ IIIC Grafica la línea Senβ y Cosβ 2. Si: α ∈ IIC Grafica la línea Senα y Cosα e indica quién es mayor.
Z
3. Calcula el área de la región sombreada.
5. Indica V o F según corresponda: I. Cos100° > Cos50° II. Cos200° < Cos200° III. Sen300° > Sen150°
C.T.
θ
Cos100°< Cos200° (F) Ambas líneas son negativas porque el coseno es negativo, negativo, en el II y III cuadrante. c uadrante. ∴Cos200° < Cos100° Cos300° < Sen300° (f) La línea Cos300° es positiva por que el Coseno es positivo en el IVC. La línea Sen300° es negativa porque el seno es negativo en el IVC. ∴Sen300°< Cos300° ( ( (
) ) )
6. Si: p < α < β < p, indica V o F según corresponda. 2 I. Senα > Senβ II. Cosα > Cosβ III. Senβ < Cosβ IV. IV. Sen Se nα < Cosα
PUCP 4. Indica V o F según corresponda. I. Sen100° < Sen30° ( II. Cos100° < Cos200° ( III. Cos300°< Sen300° (
) ) )
( ( ( (
7. Calcula el área de la región sombreada: C.T.
Resolución: Ubicamos en la C.T. C.T. cada uno de los ángulos con criterio y analizamos las líneas trigonométricas.
C.T.
β
90°
100°
Cos100° Sen100°
30° Sen30° 0° 360°
180° 200° Cos200°
UNMSM 8. Calcula «x».
Sen300°
θ
3
TRIGONOMETRÍA
C.T. x
Cos300° 300° 270° Sen 100° < Sen30° Ambas líneas son positivas. ∴Sen100° > Sen30°
) ) ) )
(F) Resolución:
102
4.°
AÑO
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA I
UNI
θ –Cosθ Senθ
12. Calcula el área de la región sombreada. x
–Cosθ
C.T.
1 1–Cosθ C.T.
β
Se traza las lineas seno y coseno del arco θ. Por el Teorema de Pitágoras: Sen2θ + (1– Cosθ)2 = x2 Sen2θ + 1 – 2Cosθ + Cos2θ = x2 2 – 2Cosθ = x2 x = 2(1–Cosθ)
Resolución: C.T.
|Senβ|
9. Calcula «x».
β |Cosβ| |Cosβ|
C.T.
S = –2Cosβ(1–Senβ) 2 S = –Cosβ(1–Senβ) S = Cosβ(Senβ –1)
x
β
13. Calcula el área de la región sombreada
θ
10. Calcula BC
C.T.
B
β C
C.T. A
14. Calcula BQ. B Q
11. Calcula el área de la región sombreada.
α C.T.
C.T.
β
4.°
AÑO
103
TRIGONOMETRÍA
3
4 Circunferencia trigonométrica II Variación de senos y cosenos: En forma general:
Senx
–1 ≤ Senx ≤ 1 ∀x ∈ R –1 ≤ Cosx ≤ 1
máximo = 1 mínimo = – 1
Cosx máximo = 1 mínimo = – 1
Con respecto a los cuadrantes IC 0 < Senx < 1 ↑ (creciente) 0 < Cosx < 1
IIC IIIC 0 < Senx < 1 –1 < Senx < 0 ↓ (decreciente) ↓ –1 < Cosx < 0 –1 < Cosx <0
↓
↓
↑
IVC –1 < Senx < 0 ↑
0 < Cosx < 1 ↑
Trabajando en clase Integral 1. Indica en qué cuadrante el seno es positivo y decreciente. 2. Señala la variación de L = 2Senx + 3 3. Suma los valores enteros de N, si se cumple: N = 5Cosx – 1 PUCP 4. Determina la variación de «x» si θ ∈ IIIC, además: 2Cosθ – 3 = 5x Resolución: –1 < Cosθ < 0 –2 < 2Cosθ < 0 –5 < 2Cosθ – 3 < –3 –5 < 5x < – 3 –1 < x < –3/5 ⇒ x ∈ 〈 –1; –3/5 〉
4
TRIGONOMETRÍA
5. Determina la variación de «x», si θ ∈ IIC, además: x = 8Senθ – 5 6. Calcula el valor de: (K + 1)(K – 2) Si se cumple: Senx = K + 3, además el Senx adopta su máximo valor. valor. 7. Indica la variación de: N = 4Cosx – 3, si x ∈ IVC UNMSM 8. Indica la suma del máximo y mínimo valor de: Q = 2 – 3Sen2x + Cosy – 2Senz Donde: x ≠ y ≠ z Resolución: Q = 2 – 3 Sen2x + Cosy – 2Senz
104
4.°
AÑO
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA II
Qmax = 2 – 3(0)2 + (1) – 2(–1) = 5 Qmin = 2 – 3(1)2 + (–1) – 2(1) = – 4 Piden: 5 + – 4 = 1
Del gráfico: 1/2 < Cosθ ≤ 1 2 < 4Cosθ ≤ 4 3 < 4Cosθ + 1 ≤ 5 3
9. Suma el máximo y mínimo valor de: E = 3 Cosx – Sen2y – Cos3z + 1 10. Indica la variación de: E = Cos2α + Cosα
13. Indica la variación de K, si: 4Senθ + 1 = K, 2 30° < θ < 150°.
11. Determina la extensión de: Senθ + 3 Q = Senθ + 2
14. Determina el intervalo de m para que se cumplan simultáneamente: 2Cos2α + 1 = m – 1 3
UNI
|2Senθ + 1| = m + 1 2
12. Determina la extensión de: E = 4Cosθ + 1 Si: – p < θ < p 3 3 Resolución:
1/2 p 3 1
C.T.
4.°
AÑO
θ
1/2 p 3
105
TRIGONOMETRÍA
4
5
Identidades trigonométricas fundamentales I
Definición Son aquellas igualdades entre las razones trigonométricas de una variable, las cuales se verifican para todo valor de la variable en que la razón trigonométrica que interviene se encuentra definida. Clasificación
I. I.T. recíprocas Y
Y
Y
1 ; ∀x∈R – {np; n∈Z} Senx p 1 CosxSecx = 1 ⇒ Secx = ; ∀x∈R – {(2n + 1) ; n∈Z} Cosx 2 1 np TanxCotx = 1 ⇒ Cotx = ; ∀x∈R – { ; n∈Z} Tanx 2 SenxCscx = 1 ⇒ Cscx =
II. I.T. por división Y
Y
Senx p ; ∀x∈R – {(2n + 1) ; n∈Z} Cosx 2 Cosx Cotx = ; ∀x∈R – {np; n∈Z} Senx Tanx =
III. I.T. Pitágoras Y
Sen2x = 1 – Cos2x Sen2x + Cos2x = 1; ∀x∈ R Cos2x = 1 – Sen2x
Y
Sec2x = Tan2x + 1 p Sec x – Tan x = 1; ∀x∈ R –{(2n + 1) ;n∈Z} Tan2x = Sec2x – 1 2
Y
Csc2x = Cot2x + 1 Csc2x – Cot2x = 1; ∀x∈ R –{np; n∈Z} Cot2x = Csc2x – 1
2
2
Trabajando en clase Integral 1. Reduce:
3. Reduce: M = (Tanx.Cosx + Senx)Cscx
E = Tanx.Cosx.Cscx
PUCP 2. Simplifica: K = Cotx.Senx – Cos2x.Secx
4. Simplifica: E=
5
TRIGONOMETRÍA
106
Senx Cosx Cotx + + Cscx Secx Tanx
4.°
AÑO
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES I
9. Simplifica:
Resolución: 1 1 1 E = Senx. + Cosx. +Cosx. Cscx Secx Tanx E = Senx . Senx + Cosx . Cosx + Cotx . Cotx E = Sen2x + Cos2x + Cot2x E = 1 + Cot2x ∴E = Csc2x
10. Simplifica: 1 + Sen2x 1 + Cos2x E= + 1+Csc2x 1+ Sec2x
11. Reduce: A = (Senx + Cscx)2 + (Cosx + Secx) 2 – (Tanx + Cotx) 2
5. Simplifica: M=
Secx Tanx Senx – – Cosx Cotx Cscx
UNI 12. Reduce: C = Senx(1+ Senx – Cosx) + Cosx(1 + Cosx + Senx) – 1
6. Reduce: A = Sen2x . Cot2x + Cos2x . Tan2x 7. Reduce: B = (2Senx + Cosx)2 + (Senx – 2Cosx)2
Resolución: C = Senx + Sen2x – SenxCosx + Cosx + Cos 2x + Cosx Senx – 1 C = Senx + Cosx + Sen2x + Cos2x – 1 C = Senx + Cosx + 1 – 1 ∴C = Senx + Cosx
UNMSM 8. Reduce: C=
Sen2x –Sen4x Cos2x – Cos4x
Resolución: Factorizando: Sen2x en el númerador y Cos2x en el denominador. Se tiene: C=
Sen4x – Sen6x M= Cos4x – Cos6x
13. Reduce: M = Senx(Cscx + Senx) + Cosx(Secx + Cosx) + 1 14. Simplifica:
Sen2x(1–Sen2x) Sen2x Cos2x ⇒ C = Cos2(1–Cos2x) Cos2x. Sen2x
Sen4x – Cos4x + 2Cos2x E= Cos4x – Sen4x + 2Sen2x
⇒C=1
4.°
AÑO
107
TRIGONOMETRÍA
5
6
Identidades trigonométricas fundamentales II
Recordando Identidades trigonométricas recíprocas Z Z Z
SenxCscx = 1; x∈R – {k p} k p TanxCotx = 1; x∈R – { } 2
p – {2k + 11 }
CosxSecx = 1; x∈R
Identidades trigonométricas pitagóricas Z
Sen2x + Cos2x = 1; x∈ R
Z
1 + Tan2x = Sec2x; x∈ R –{(2k + 1)
Z
1 + Cot2x = Csc2x = 1; x∈ R –{k p}
Z
2
}
2
Identidades trigonométricas por división Z
p
Tema en cuenta: Senx 1–Cosx = 1 + Cosx Senx Cosx 1 + Senx = 1–Senx Cosx 1 Secx + Tanx = Secx –Tanx 1 Cscx + Cotx= Cscx – Cotx
p Senx Tanx = ; x∈R – {(2k + 1) } Cosx 2 Cosx Cotx = ; x∈R – {k p} Senx Importante: Z De: Sen2x + Cos2x = 1 Y Sen2x = 1 – Cos2x Y Cos2x = 1 – Sen2x De: 1 + Tan2x = Sec2x Z Y 1 = Sec2x – Tan2x Y 1 = (Secx + Tanx) (Secx – Tanx)
Trabajando en clase Integral
Resolución:
1. Simplifica: M = (Secx – Tanx)–1 + (Secx + Tanx)–1
De la condición:
2. Reduce:
Tanx + 2 Tanx Cotx + Cotx = 5
( Tanx + Tanx )2 = ( 5 )2
F = (Secx – Cosx)(Cscx – Senx)
3. Simplifica: L = Senx . Tanx + Cosx
Tanx + Cotx = 5 –2 = 3
(Tanx + Cotx)2 = (3)2 Tan2x + 2Tanx . Cotx + Cot2x = 9
PUCP 4. Si: Tanx + Tanx = 5
Finalmente: Tan2x + Cot2x = 9 – 2
Determina: L = Tan2x + Cot2x
6
TRIGONOMETRÍA
Luego:
∴ L = 7
108
4.°
AÑO
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES II
10. Determina «n» de la igualdad: Secx – Cosx = nTan2x
4
4
5. Si: Tanx + Cotx = 7 Halla: M = Tanx + Cotx
11. Reduce: H = 1 + Secx 2 – 1+Tanx 1 + Cosx 1 + Cotx
6. Reduce: F = 3 Secx–Cosx Cscx–Senx
UNI 12. Elimina «x». Senx = a
3 3 7. Si: Sen x – Cos x = 8 Senx – Cosx 7 Calcula: S = Senx Cosx
UNMSM 8. Si se cumple que: Secx + Tanx = 5; calcula el valor de Senx. Resolución: De la condición: Secx + Tanx = 5 Luego: Secx – Tanx = 1/5 2Secx = 5 + 1/5 2Secx = 26/5 ⇒ Secx = 13/5 12
13 x 5
2
⇒ Senx = 12/13
(1)
Cosx = b (2) Resolución: De (1): Sen2x= ( a )2
Sen2x = a
De (2): Cos2x = ( b )2
Cos2x = b Sen2x + Cos2x = a+ b
∴ a + b = 1 13. Elimina «x», si: Tanx = 2n Secx = 3m
(1) (2)
14. Elimina «x», si: Tanx + Cotx = a Tan2x + Cot2x = b
(1) (2)
9. Si se cumple que: Cscx – Cotx = 1/4, calcula el valor de: R = Senx – Cosx
4.°
AÑO
109
TRIGONOMETRÍA
6
7 Identidades trigonométricas auxiliares Del tema anterior sabemos que: Z Tanx = Senx Cosx Z Cotx = Cosx Senx Z
Sen2x + Cos2x = 1
Tanx + Cotx = Senx + Cosx Cosx Senx 2 2 Tanx + Cotx = Sen x + Cos x Cosx Senx 1 Tanx + Cotx = CosxSenx Tanx + Cotx = 1 . 1 Cosx Senx
Tenemos las siguientes identidades trigonométricas auxiliares. 1. Tanx + Cotx = Secx Cscx
Z
2. Sec2x + Csc2x = Sec2x Csc2x 3. Sen4x + Cos4x = 1– 2Sen2x Cos2x 4. Sen6x + Cos6x = 1 – 3Sen2x Cos2x 5. (1 ± Senx ± Cosx)2 = 2(1 ± Senx)(1 ± Cosx)
Tanx + Cotx = Secx Cscx
Trabajando en clase Integral
Piden: E = Sec2x + Csc2x E = Sec2x . Csc2x E = (Secx. Cscx)2
1. Reduce: Q = Tanx – Secx Cscx
2. Si: Senx Cosx = 1/3 Calcula: E = Sen6x + Cos6x 3. Simplifica: 2 L = (1+Senx– Cosx) – 2Senx 1 – Cosx
PUCP 4. Si: Tanx + Cotx = 4 Calcula: E = Sec2x + Csc2x Resolución: Dato: Tanx + Cotx = 4 Secx . Cscx = 4
7
TRIGONOMETRÍA
E = (4)2 E = 16
5. Si: Sec2x + Csc2x = 25 Determina el valor de: Tanx + Cotx 6. Calcula: E = 3(Sen4x + Cos4x) –2(Sen6x + Cos6x) 7. Simplifica:
(Tanx + Cotx)2 Sec2x + Csc2x
UNMSM 8. Si: Tanx + Cotx = 3 Calcula: E = Secx + Cscx
110
4.°
AÑO
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS AUXILIARES
Resolución: Dato: Tanx + Cotx = 3 Secx . Cscx = 3 Piden: E = Secx + Cscx E2 = (Secx + Cscx)2 E2 = Sec2x + Csc2x + 2Secx Cscx E2 = (3)2 + 2(3) E2 = 15 E = 15
9. Si: Tanx + Cotx = 4 Calcula: Q = Secx – Cscx 10. Si: Sen4x – Cos6x = m y Cos4x – Sen6x = n Calcula: E = Sec2x + Csc2x 11. Si: Senx – Cosx = 2/3 Calcula el valor de: P =(1 + Senx)(1 – Cosx) UNI
Resolución: Sen4x + Cos4x = 2/3 1 – 2Sen2x Cos2x = 2/3 –2Sen2xCos2x = – 1/3 Sen2xCos2x = 1/6 Piden: Sen6x + Cos6x = 1 –3Sen2x Cos2x = 1 – 3(1/6) = 1 – 1/2 = 1/2
13. Si: Tanx + Cotx = 5 Calcula el valor de: P = Tanx.Sen 2x + Cotx.Cos2x 14. Si: 1 + Senx = 2m2 1 – Cosx Calcula: E = Cscx – Cotx
12. Si: Sen4x + Cos4x = 2/3 Determina: Sen6x + Cos6x
4.°
AÑO
111
TRIGONOMETRÍA
7
8 Repaso 1. Calcula el valor de: Q = Tan(–1125°) a) –2 c) 0 b) –1 d) 1
7. Simplifica: P = Secx–Cosx Tanx a) 1 c) Cosx e) Secx b) Senx d) Tanx 2 2 8. Simplifica: E = (Sec x + Csc x)Cosx Tanx+Cotx a) Senx c) Secx e) Tanx b) Cosx d) Cscx
e) 2
2. Calcula: Q = 2Sen150°+Tan315° a) –1/2 c) 0 e) 1/2 b) –1 d) 1
9. Indica la variación de «x» si: 2Cosθ = x – 5 a) 〈1; 3〉 c) 〈0; 7] e) [3; 7] b) 〈3; 5〉 d) [0; 5] Senx + Cotx 10. Simplifica: E = 1 + Cosx a) Senx c) Tanx e) Cscx b) Cosx d) Secx
3. Reduce: L = Sen(180° – x) + Cos(270° – x) a) 1 c) 2Senx e) 0 b) –1 d) 2Cosx 4. Indica V o F según corresponda. I. Sen130° > Sen160° II. Cos218°
11. Simplifica: E = a) Cotx b) Tanx
C.T.
Cot4x–1 + 1 Csc2x c) Cot2x d) Tan2x
e) 1
12. Determina el área de la región sombreada. a) 0,5(1 + Senθ) α C.T. b) 0,5(1 – Senθ) c) 0,25(1 – Senθ) d) 0,25(1 + Senθ) e) 0,5Sen2θ
Claves 1. 2. 3. 4.
e) Secx
b c e a
5. 6. 7. 8.
d e b d
9. 10. 11. 12.
e e c d
Bibliografía 1. ALVA CABRERA, Rubén. Trigonometría: teoría y práctica. Lima, México: San Marcos, 2004. 2. AYRES, Frank. Trigonometría plana y esférica. McGraw–Hill, 2000. 3. RIBNIKOW, K. Historia de las matemáticas.Moscú: Mir, 1990.
8
TRIGONOMETRÍA
112
4.°
AÑO
Trigonometría
1 Ángulos compuestos Para el Seno: Z Sen(α + β) = SenαCosβ + CosαSenβ Sen(α – β) = SenαCosβ – CosαSenβ Z Para el Coseno: Cos(α + β) = CosαCosβ – SenαSenβ Z Z Cos(α – β) = CosαCosβ + SenαSenβ
Para la tangente: Z
Tan(α + β) = Tanα + Tanβ 1 – TanαTanβ
Z
Tan(α – β) = Tanα – Tanβ 1 + TanαTanβ
Trabajando en clase Integral
UNMSM 8. Si «α» y «β» ∈ IC; además: Senα = 3 y Cosβ = 12 . 5 13 Halla: Sen(α + β).
1. Calcula Sen15º. 2. Calcula: Tan8º. 3. Simplifica la expresión: A = 5Sen(x + 37)º – 4Senx
Resolución: Sen(a + b) = SenαCosβ + CosαSenβ Donde:
Católica 5
4. Reduce la expresión: M = Cos(α – 10)º + Cos(α + 10)º
α
Cosα
Resolución: M = CosαCos10º+SenαSen10º + CosαCos10º – SenαSen10º Cosα
M = 2CosαCos10º
Cosα
∴ M = 2Cos10º
5. Reduce la expresión: E = CosxSen20º + Sen(x – 20)º
CosxCos20
6. Si Sen(45º – x) = 5 2 . Halla Cosx – Senx 8 7. Reduce: E=
4.°
AÑO
2Sen(α + β) Cos(α + β) + Cos(α – β)
13
3
5
β
4 12 Reemplazando: Sen(α + β) = 3 • 12 + 4 • 5 5 13 5 13 ∴Sen(α + β) = 56 Sen(α + β) = 36 + 20 65 65 65
9. Si «α» y «β» ∈ IC; además: Tanα = 5 y Tanβ = 1 . 7 Halla Tan(α + β). 10. Calcula: M = (Sen20° + Cos10°)2 + (Cos20° + Sen10°)2 11. Calcula: w=
107
Tan88° Tan1° – Tan89° TRIGONOMETRÍA
1
ÁNGULOS COMPUESTOS
UNI
Y
12. En la figura; calcula «Tanθ». B
Y
C 5 3
θ A
N
M
D
Resolución: B
β
4
α
5 3
3 A
θ α
Del gráfico:
M
Tomamos tangente: Tanθ = Tan(α + β)
Y
Desarrollando: Tanθ = Tanα + Tanθ 1 – Tanα.Tanθ
TRIGONOMETRÍA
2
θ
H
D
D
E
C
14. Del gráfico, calcula «Tanθ». C
θ = α + β
Y
1
13. En el gráfico se tiene que AD = 1; DE = 2 y EC = 3. Calcula «Cotθ». A B
3
N
2
C
Luego, del gráfico se tiene que: Tanθ = 3 ∧ Tanβ = 3 2 4 3 + 3 Reemplanzando: Tanθ = 2 4 1 – 3 • 3 9 2 4 Tanθ = 4 –1 8 2 ∴ Tanθ = –18
45° E
θ A
108
D B
4.°
AÑO
2 Ángulo doble Para el Seno:
Tambien, para degradación:
Sen2x = 2SenxCosx Demostración: Sen(α + β) = SenαCosβ + CosαSenβ Hacemos: α = β = x Luego: Sen(x + x) = SenxCosx + CosxSenx
Coseno: Cos2x = 2Cos2x – Sen2x Demostración: Cos(α + β) = CosαCosβ – SenαSenβ Hacemos α = β = x Cos(x + x) = CosxCosx – SenxSenx
Cos2x = 2Cos2x – 1 → 2Cos2x = 1 + Cos2x
Z
Cos2x = 1 – 2Sen2x → 2Sen2x = 1 – Cos2x
Tangente:
Sen2x = 2SenxCosx
Luego:
Z
Tan2x = 2Tanx 1 – Tan2x Demostración: Tan(α + β) = Tanα + Tanβ 1 – Tanα.Tanβ Hacemos: α = β = x Luego: Tan(x + x) = Tanx + Tanx 1 – TanxTanx Tan2x =
Cos2x = Cos2x – Sen2x
2Tanx 1 – Tanx2x
Trabajando en clase Integral
E = 2(2Sen14°.Cos14°).Cos28°
1. Si Senx = 1 ; Calcula: P = Sen2x.
Sen28°
3
E = 2Sen28°.Cos28°
2. Si Tanx = 2 , calcula M = Tan2x.
3
∴ E = Sen56°
3. Simplifica: E = Sen4° + Cos2°
2Sen2° + 1°
5. Simplifica: A = 16SenxCosxCos2xCos4xCos8x
Católica 4. Simplifica: M = 8Sen7°.Cos7°.Cos14°.Cos28° Resolución: E = 8Sen7°Cos7°Cos14°Cos28° E = 4(2Sen7°.Cos7°).Cos14°.Cos28°
6. Simplifica: M=
7. Reduce la expresión: P=
Sen14° 4.°
AÑO
Cos2x + Senx Cosx + Senx
109
Cos2x 2 Sen(x + 45°)
+ Senx
TRIGONOMETRÍA
2
ÁNGULO DOBLE
UNMSM 8. Si «θ» es agudo y Cos2θ = 2 ; Calcula Senθ.
UNI 12. Reduce:
3
Resolución: Sabemos: Cos 2θ = 1 – 2Sen2θ. Reemplazando: 2 = 1 – 2Sen2θ
3
2 A = Cos2x + Sen x
Sen2x
2Sen2θ = 1 – 2
Resolución: Sabemos: Cosx = 1 – 2Sen2x Reemplazando: 2 2 A = 1 – 2Sen x + Sen x
Sen2x 2 2 A = 1 – Sen x = Cos x = Cosx Sen2x Sen2x Senx
3
2Sen2θ = 1
3 Senθ = ± 1
∴ A = Cot2x 13. Reduce:
6
Como «θ» es agudo: Sen θ = 1 6
9. Si «θ» es agudo y Cos2θ = 1 . Calcula Cosθ.
2 2 P = Cos α + Sen α
Cos2α – Cos2α
14. En la figura calcula «Cotα» B
7
α
10. Calcula el valor de: E = Cos422°30’ – Sen422°30’
D
11. Reduce: M = 1 – 8Sen2xCos2x
2
2
TRIGONOMETRÍA
A
110
45
2
H
3
θ θ
C
4.°
AÑO
3 Dominio de funciones trigonométricas Definición de función
Y
Coseno y
Se dice que «y» es una función de «x»; si a cada valor de «x» le corresponde un único valor de «y». La correspondencia entre estas dos variables se expresa matemáticamente por medio de una ecuación denominada regla de correspondencia la cual se denota de la siguiente forma y = f(x); esto es:
β
C.T.
Cosβ
Cosα Cosθ
θ
FT = {(x; y) / y = R.T.(x); x ∈ D(F.T.)
x
O Cosf
Por ejemplo: FT(Seno) = {(x;y)/y = Sen(x); x ∈ D(Sen)} Si queremos algunos pares ordenados: FT(seno) = (0;0) /
α
f
2. Tener en cuenta las formas generales de arcos referentes: y B CT {np}; n ∈
p ; 2 / p ; 1 / ...... 4 2 2
Dominio de una función Son aquellos valores que admite la variables independiente, la cual se denota por Domf o Df.
A’
A x
Calculo del dominio de una función Para calcular el dominio de una función tenemos que tener en cuenta las siguientes consideraciones.
{2np}
{(2n+1)p}
B’ 1. Recordar las líneas trigonométricas de las razones trigonométricas (seno y coseno); esto es: Y Seno y C.T.
B
y
α
β Senβ
A’
AÑO
2
A x
x
Senθ Senf
θ
p
CT
Senα O
4.°
(4n + 1)
(2n + 1)
p (4n + 3)
f
p
2 ;n∈
B’
2
111
TRIGONOMETRÍA
3
DOMINIO DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
B
y
A x
A’
np 2 ;n∈
CT B’ Ejemplo: Si nos pidiesen hallar «β» que cumpla: Senβ = 0 ⇒ «β» tiene su extremo en A o A’ ∴ β = np ; n ∈
p
Senβ = –1 ⇒ «β» tiene su extremo en B’ ∴ β = (4n + 3) ; n ∈ 2
p
Cosβ = 0 ⇒ «β» tiene su extremo en B o B’ ∴ β = (2n + 1) ; n ∈ 2 Sen2β = 0 ⇒ «β» tiene su extremo en A o A’ ∴ 2β = np; β = np ; n ∈ 2
Trabajando en clase p
Integral 1. Halla los valores de «x» para que se cumpla: Senx = 0. 2. Calcula los valores de «x» para la cual se cumple que: Cosx = –1. 3. Para que valores de «x» se cumple que: Senx = 1. Católica 4. Halla los valores de «x» para lo cual se cumpla que: p Sen 2x + = –1 3 Resolución: En la CT:
p
2x + = (4n + 3) 2 3 p p 2x = (4n + 3) – 2 3
p p ∴ x = (4n + 3) 4 – 6 ; n ∈ 5. Halla los valores de «x» en los cuales se cumpla que: Cos x – p = 1 3 4 6. Señala verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
p ; n ∈ 2 p II. Si Cos2x = 0 → x = (n + 1) ; n ∈ 4 p 1 III. Si SenxCosx = – → x = (4n + 3) ; n ∈ I. Si Senx = 1 → x = (4n + 1)
2
(4n + 3) Sen 2x +
p 3
= –1
Luego:
3
TRIGONOMETRÍA
p 2
( ) ( ) ( )
2
7. Halla los valores de «x» para los cuales se cumple que: 1 Senx Cosx Cos2x Cos4x = – 8 UNMSM 8. Determina el dominio de la función: y = F(x) = Senx + 2
112
4.°
AÑO
DOMINIO DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Resolución Por la regla de correspondencia de la función, se observa que no hay que restringir en la función F(x) luego; y = F(x) = senx + 2.
3Sen 2x + y = F(x) = Cos 2x +
↑ ∴ x ∈
9. Determina el dominio de la función: 3
2
x ≠ (6n + 1) Luego: )
12. Dada la función __________ F(x) = 3Tan 2x + Resolución
3
;n∈
x∈
p
3 . Determina su dominio.
De la función y = F(x) = 3Tan 2x +
p
– 4Sec 2x +
p
3 3 Convirtiendo todo a senos A cosenos, se tiene:
4.°
AÑO
p
p
4 6
UNI – 4Sec
Cos 2x + p 3
p p p p 0→ 2x+ ≠ (2n+1) →2x≠ (2n+1) – ≠ 3 3 2 2 3 p p np p p np p x ≠ (2n + 1) – → x ≠ + – → x ≠ + Cos 2x +
10. Determinar el dominio de la función: 2Sen2x + 4 y = F(x) = Senx + 1
p 2x +
p –4 3
1
3 Ahora restringimos el denominador:
– 4
11. Determina el dominio de la función: y = G(x) = Senx + 1 ; (n ∈ Cos3x – 1
– 4 .
3
Cos 2x +
Cos x + p
y = F(x) =
3
p
3Sen 2x + y = F(x) =
p
2
p
4 6
2
12
12
– (6n + 1)
p 12
;n∈
13. Dada la función F, definida por: 2p 2 y = F(x) = 4Cot 3x – + Csc 3x – p 3 3 14. Determina el dominio de la función: y = F(x) = Cosx + 2
Sen x + p – 1 3
113
TRIGONOMETRÍA
3
4 Rango de funciones trigonométricas Sean
Ran(f) = {f(x) ∈ B/ x ∈ A ∧ (x; f(x) ∈ f}
A = {1; 2; 3} B = {p, q, r, s, t} A
f
1 2 3
Notación: Rang(f); Rangf; Rf B p q r s t
En el gráfico mostrado, el rango será: Rang(f) = {p; q; r; s; t}
Recuerda: –1 ≤ Senx ≤ 1 –1 ≤ Cosx ≤ 1
Rango: Sea f: A → B una función, el rango de f es un conjunto que definimos por:
Recuerda: 0 ≤ Sen2x ≤ 1 0 ≤ Cos2x ≤ 1
Recuerda: – a2 + b2 ≤ a.Senx ± b.Cosx ≤ a2 + b2
Trabajando en clase 3 ≤ 2Cos2x + 3 ≤ 5 3 ≤ y ≤ 5 Rango: [3; 5]
Integral 1. Halle el rango de: f(x) = 2Senx + 1 2. Halle el rango de: f(x) = 3 + 4Cosx 3. Si x ∈ IIIC, halla el rango de: f(x) = 5Senx – 2 Católica 4. Si x ∈ IVC, obtén el rango de: y = 4Cosx – 1 Resolución: 0 < Cosx < 1 0 < 4 Cosx < 4 –1 < 4Cosx – 1 < 3 –1 < y < 3 Rango: 〈–1; 3〉 5. Si x ∈ II, obtén el rango de: y = 3Cosx – 2
9. Halla el rango de: y = 3Sen2x – 5 10. Halla el rango de: f(x) = 3Sen2x + 4Cos2x + 2 11. Señala el rango de: f(x) = 5Sen 2x + 7Cos2x – 3 UNI 12. Obtén el rango de: y = Sen2x + Senx Resolución: y = Sen2x + Senx y = (Sen2x + Senx + 1/4) – 1/4 y = (Senx + 1/2)2 – 1/4
6. Halla el rango de: f(x) = 5Senx – 12Cosx + 3
7. Calcula el rango de: f(x) = 3Senx + 4 Cox – 6
UNMSM 8. Obtén el rango de: y = 2Cos2x + 3 Resolución: –1 ≤ Cosx ≤ 1 0 ≤ Cos2x ≤ 1 0 ≤ 2Cos2x ≤ 2
4
TRIGONOMETRÍA
Sabemos: –1 ≤ Senx ≤ 1 –1/2 ≤ Senx + 1/2 ≤ 3/2 0 ≤ (Senx + 1/2)2 ≤ 9/4 –1/4 ≤ (Senx + 1/2)2 –1/4 ≤ 2 –1/4 ≤ y ≤ 2 Rango: [–1/4; 2]
13. Señala el rango de: f(x) = Cos 2x – Cosx + 1/2 14. Halla el rango de: y = Senx + 3 + 1 Senx + 2
114
4.°
AÑO
5 Función trigonométrica Seno Función Seno El dominio de la función y = Senx son todos los números reales. En la siguiente tabla listamos algunos pares ordenados de dicha función, nótese que los valores del dominio (x) están expresados en radianes y son ángulos especiales del primer y segundo cuadrante, de tal forma que los valores correspondientes (y) son fáciles de calcular:
x
0
p/6
p/4
p/3
p/2
2p/3
3p/4
5p/6
p
y = Senx
0
1/2
2 /2
3 /2
1
3 /2
2 /2
1/2
0
Luego marcamos en el plano cartesiano las parejas ordenadas obtenidas en la tabla anterior, tal como se muestra en la figura adjunta. y 1 3 /2 2 /2 1/2
0
p
p 1p
p
6
4
3
2
2 2p 3p 5p 3 4 6
3 p
x
Al marcar otras parejas (utilizando una calculadora científica) ordenadas y unirlas mediante una curva suave o lisa, se obtendrá la gráfica de la función y = Senx, llamada senoide. y Senoide y = Senx 1 –p/2 7p/2 3p/2 –2p 4p 2p 5p/2 3p 0 p/2 p –3p/2 p x –1 De la gráfica de la función y = Senx, tenemos: Donf ∈ , es decir x ∈ Z Z Ranf ∈ [–1,1], es decir –1 ≤ Senx ≤ 1 Z Es una función impar, ya que sen(–x) = –Senx (la gráfica presenta simetría con respecto al origen de coordenadas). 3p p Z Es creciente ∀ x ∈ – p + 2k p; p + 2k p y decreciente ∀ x ∈ + 2k p; + 2k p ; donde k ∈ . 2 2 2 2 Z Es de período 2p. Z Es continua ∀ x ∈ , o sea es contínua en su dominio. 4.°
AÑO
115
TRIGONOMETRÍA
5
FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA SENO
Trabajando en clase Integral
Resolución y
1. Determine el rango de la siguiente función: y = 4Senx + 1 3
1
2. Determine los valores enteros de «n» que cumplen con la siguiente expresión: 3Senx = 4n + 2 3
0 –1
Católica
2
3p 2
p
2p x
Y
Dado que la gráfica representa a la función seno, entonces, se conoce su amplitud y periodo.
Y
Para calcular el área usamos: p . 1 ∴ S = p u2 b.h S = → S= 2 2 2
9. Determine el área de la región sombreada en el siguiente gráfico. y
Q(x)
0
máx
mín Piden: Q(x)min = 1
p
p
3. Halle el dominio de la siguiente función 3 f(x) = + 5 Senx
4. Calcule el mínimo valor que asume la función Q(x) = 2Cos2x + 1. Resolución: Si x ∈ ⇒ –1 ≤ Cosx ≤ 1 ... ( )2 0 ≤ Cos2x ≤ 1 ... ×(2) 0 ≤ 2Cos2x ≤ 2 ... (+1) 1 ≤ 2Cos2x + 1 ≤ 3
1
x f(x) = Senx
5. Calcula el máximo valor que asume la función H(x) = 4Cos2x – 3 6. Grafique la función seno y diga en que cuadran-
10. Halle el área de la región sombreada en: y
p
te(s) es creciente, en el intervalo de 0; 3 . 2
0
7. La función f(x) = Senx es inyectiva en el intervalo 〈0; p〉. Grafique y explique.
x y = Senx
UNMSM 8. Según el gráfico, determine el área de la región sombreada. y
11. Si el área de la región sombreada esta representa2 2 do por ap + b. Caclule a + b . a y
2p x
0
x y = Senx
5
TRIGONOMETRÍA
116
4.°
AÑO
FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA SENO
UNI
3.
12. Grafique la siguiente función: f(x) = –2Senx Resolución i) Si la función se define como y = ASenx, entonces |A| es el máximo valor de la función y; –|A| el mínimo valor de la función. ii) La gráfica de la función y = –f(x) se obtiene a partir de la gráfica de la función y = f(x) mediante la reflexión directa respecto al eje x. iii) Graficamos aplicando las observaciones. 1. y y = Senx 1 0 –1 2.
y 2 1 0 –1 –2
4.°
AÑO
2p x y = 2Senx
y 2 0
2p x
–2 y = –2Senx
13. Bosqueje el gráfico de la siguiente función: y = – 1 Senx. 2
14. Si x ∈ 0; p y P(x; 0,6) pertenece a la función 2 f definida por f(x) = Senx, entonces, al calcular E = Secx + Tanx se obtiene.
2p x
15. Si x ∈ 〈0; 2p〉, determine el intervalo donde la función f(x) = Senx + Cosx es creciente.
117
TRIGONOMETRÍA
5
6 Función trigonométrica Coseno Función coseno De manera similar a la función seno, se obtiene la gráfica de la función y = c osx, llamada cosenoide. y cosenoide y = Cosx 1 –2p
–p
p
0
3p
2p
x
1 De la gráfica de la función y = Cosx, tenemos: Z Domf ∈ , es decir x ∈ . Z Ranf ∈ [–1; 1], es decir –1 ≤ Cosx ≤ 1. Es una función par, ya que Cos(–x) = Cosx, (la gráfica presenta simetría con respecto al eje Y). Z Z Es decreciente ∀ x ∈ 〈2k p; 2k p + p〉 y creciente ∀ x ∈ 〈p + 2k p; 2p + 2k p〉, donde k ∈ . Es de periodo 2p. Z Z Es continua ∀ x ∈ , o sea, es continua en su dominio.
Trabajando en clase Integral
1 2Cos2x + 1 ≤ ≤1 3 3 f(x)
1. Determine el dominio de la siguiente función: 3 y= + 2 Cosx – 1
∴ f(x) 1 ; 1 3
2. Determine el dominio de la siguiente función: y = 2 – 4 Cosx
max min Piden f(x) = 1 max
3. Calcule el rango de la siguiente función y = 4Cosx – 2. Católica 4. Indique el máximo valor de la siguiente expresión 2 f(x) = 2Cos x + 1 3 Resolución: Sabemos: 0 ≤ Cos2x ≤ 1 ........ (×2) 0 ≤ 2Cos2x ≤ 2 ........ (+1) 1 ≤ 2Cos2x + 1 ≤ 3 ........ × 1 3
6
TRIGONOMETRÍA
5. Indique el mínimo valor de la siguiente función 2 f(x) = 5 + 4Cos x 9 6. Grafique la siguiente función y = 3Cosx. 7. Grafique la siguiente función y = 1 Cosx. 2 UNMSM 8. Grafique la siguiente función y = –3Cosx.
118
4.°
AÑO
FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA COSENO
Resolución i) Sabemos que el coeficiente 3 representa la amplitud del coseno. Mientras que el signo negati vo será la reflexión de la gráfica a través del eje x. ii) a) y y = Cosx 1
Resolución i) Del gráfico tenemos que y 3 h=b
p p 3p
0
2
–3 x
0 –1 b) y
b=
2 3p 2
ii) Calculando el área. b.h A= 2
y = 3Cosx
3
3p .b 2 A= 2
x
0 –3
2p x
∴ A = 92p u2
c) y 3
13. Determine el área de la región sombreada en el siguiente gráfico. y
x
0 –3
y = –3Cosx
9. Grafique la siguiente función y = – 3 Cosx. 4 10. Grafique la siguiente función y = 2|Cosx|.
x
0
y = |4Cosx|
11. Grafique la siguiente función y = |4Cosx|. UNI 12. Calcula el área de la región sombreada en el gráfico mostrado. y
0
14. Determine el área de la región sombreada en el siguiente gráfico. y (x1; 0,5) (x2; 0,5) x
2p x y = Cosx
y = –3Cosx
4.°
AÑO
119
TRIGONOMETRÍA
6
7 Periodo y amplitud de las F.T. De la función que tiene como regla de correspondencia y = ASennBx, y = ACosnBx, y = ASen n(Bx + C) + D; considerando A y b ≠s de cero, se tiene lo siguiente:
T=
p , si «n» es par. B
2. Amplitus de Onda (A)
1. Para calcular el periodo (T) Y
Y
2p T= , si «n» es impar. B
Y Y
A es el máximo valor de la función –A es el mínimo valor de la función
Trabajando en clase Integral Del problema 1 al 5, bosqueje las siguientes funciones:
7. y = Sen x 3 UNMSM
1. y =Senx
8. y = –2Sen x 5
2. y =Cosx
Resolución:
3. y = –3Senx
i) Hallando «A» (amplitud)
Católica
A =A
4. y = 5Cosx
A =–2
Resolución: Observamos que la amplitud es 5, entonces y = 5Cosx y 5 x
ii) Hallando «T» (periodo) 2p T = 2p → T = 1/5 B
10. y = – 1 Cos(–2x) 2
5. y = –Senx Del problema 6 al 10 determine la amplitud y periodo de las siguientes funciones:
11. Determine el periodo de la siguiente función: y = Sen(x/2) + Sen(x/3)
6. y = 2Sen3x
TRIGONOMETRÍA
∴ T = 10p
9. y = –3Cos x 2
–5
7
∴A=2
120
4.°
AÑO
PERIODO Y AMPLITUD DE LAS F.T.
UNI
y 1/4
12. Grafique y determine la amplitud, periodo de la siguiente función: y = – 1 Sen4x 4
–1/4
Resolución: i) Hallando «A» (amplitud) ∴ A = 1/4 A =A→ A =–1/4 ii) Hallando el periodo (T) ∴ T = p T = 2p → T = 2p B 4 2 iii) Graficando
4.°
AÑO
p
p 3p p
8
4
x
8 2
y = – 1 Sen4x 4 En el problema 13 y 14, grafique e indique su periodo y amplitud.
13. y = 2Sen2x – 1 14. y = 3Senx – 4Cosx
121
TRIGONOMETRÍA
7
