Pamer Geometría 4to Año

2

Triángulos: líneas notables asociadas a los triángulos

TRIÁNGULO RECTILÍNEO Es aquel que se forma al unir tres puntos no colineales mediante segmentos de recta.

a)

a + b + q = 180°

b)

x + y + z = 360 °

c)

a+b=z b + q = x  a + q = y 

Elementos

d) Relación de correspondencia correspondenci a

Vértices: A, B y C Lados: AB, BC, CA

b≥a≥q

Notación

 

Si: b ≥ a ≥ c

∆ABC: Se lee, triángulo ABC o de vértices A, B y C.

Cálculo del perímetro p erímetro 2p∆ABC = a + b + c

Si se sabe: AB = c, BC = a y CA = b

Propiedades fundamentales

e) Relación de existencia: b- c


b- a

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS A. Según las medidas de sus lados 1. ∆ Escaleno a

57

≠ b → a≠ b

b≠c

→ b≠ q

c≠a

→ q≠ a

 

GEOMETRÍA

2

TRIÁNGULOS: LÍNEAS NOTABLES ASOCIADAS A LOS TRIÁNGULOS

4.o año

2. ∆ Isósceles

a < 90° b < 90° q < 90°

2. ∆ Rectángulo a

≠b

a≠b AC : base

3. ∆ Equilátero

a + b = 90°

a2 + b2 = c2 (T. (T. Pitágoras)

3. ∆ Obtusángulo

B. Según las medidas de sus ángulos 1. ∆ Acutángulo

b > 90° a < 90° q < 90°

LÍNEAS NOTABLES NOTABLES ASOCIAD ASO CIADAS AS A LOS LO S TRIÁNGULOS Ceviana

b) Bisectriz

BP : Ceviana Cevi ana interior. BQ : Ceviana Cevian a exterior.

BL: bisectriz interior

a) Mediana Si: M es punto medio de BC. AM: es mediana.

BT: bisectriz exterior

2

GEOMETRÍA

58

TRIÁNGULOS: LÍNEAS NOTABLES ASOCIADAS A LOS TRIÁNGULOS

4.o año

2. ∆ Isósceles

a < 90° b < 90° q < 90°

2. ∆ Rectángulo a

≠b

a≠b AC : base

3. ∆ Equilátero

a + b = 90°

a2 + b2 = c2 (T. (T. Pitágoras)

3. ∆ Obtusángulo

B. Según las medidas de sus ángulos 1. ∆ Acutángulo

b > 90° a < 90° q < 90°

LÍNEAS NOTABLES NOTABLES ASOCIAD ASO CIADAS AS A LOS LO S TRIÁNGULOS Ceviana

b) Bisectriz

BP : Ceviana Cevi ana interior. BQ : Ceviana Cevian a exterior.

BL: bisectriz interior

a) Mediana Si: M es punto medio de BC. AM: es mediana.

BT: bisectriz exterior

2

GEOMETRÍA

58

TRIÁNGULOS: LÍNEAS NOTABLES ASOCIADAS A LOS TRIÁNGULOS

4.o año

c) Mediatriz

BL: altura M: es punto medio.

M

  mediatriz de AC L  :

d) Altura

BH: altura

T��������� �� ����� Integral

PUCP 4. Calcula “x”, si AB = BC y TC = TD

1. Calcula “x”.

2. Calcula “a”. Solución: Como se forman isósceles, completamos de forma ordena. ⇒ mA = mC = 60° + x mC

= mD = 60 6 0° + x

⇒ x + 60° + x + 60° + x = 180…. ∆TDC

¿cuántos triángu3. Si el triángulo ABC es escaleno, ¿cuántos los se podrán p odrán formar con los valores enteros para las medidas del AC?

u

x = 20°

u

59

 

GEOMETRÍA

2

TRIÁNGULOS: LÍNEAS NOTABLES ASOCIADAS A LOS TRIÁNGULOS

4.o año

5. Calcula “x”, si AB = BC y TC = TD.

9. Calcula “x”

10. Si AB = AR y PQ = PC, calcula 6. Calcula FC si BC = 9m y BE = 4m.

7. Calcula “a”, si b + q = 200°.

k  =

2a + 3b 3a - 3b

11. Si a + b + g = 400°, calcula “x”.

UNMSM

UNI

8. Calcular “x”

12. En un triángulo ABC; AB = 9m – x; BC = 2x – 12 m, además, m A > mC, calcula “x” si se sabe que es un número entero. Solución: El dibujo sería Solución: Por ángulo exterior 2 q = x + 2a ⇒ x = 2(q – a)

9m - x

Acomodamos el gráfico: Sabemos que a mayor ángulo se le opone mayor lado y viceversa. ⇒ 2x - 12 > 9 - x → x > 7 ∴ x = 8m

13. En un triángulo ABC, AB = 8m –x, BC = 3x-8 m; Por propiedad: x + 70° + a = 90° + q x + 70° = 90° + ( q – a) (×2) 2x + 140° = 180 ° + 2 ( q - a )

además mA > m C, calcula la suma de valores de “x” si es un número entero.

14. En un triángulo ABC, se cumple: AB = 2 m y AC = 32 m, calcula el perímetro del triángulo (en metros), sabiendo que es un número entero y que el ángulo “A” es obtuso.

  

x = 40°

2

GEOMETRÍA

x

60

4

Congruencia De Triángulos – Criterios De Congruencia

CONGRUENCIA DE SEGMENTOS La idea intuitiva de congruencia para un par de figuras cualesquiera es siempre la misma; dos figuras F y G son congruentes si una puede moverse de modo que coincida con la otra. Por lo tanto, dos círculos de igual radio son congruentes, así como también lo son un par de cuadrados de igual tamaño.

Del mismo modo, dos segmentos de la misma longitud siempre son congruentes.

Si AB = PQ → AB ≅ PQ

CONGRUENCIA DE ÁNGULOS Así como se define la congruencia de los segmentos en función de su medida, para los ángulos también se define en términos de medidas. Entonces:

De acuerdo con la figura, si m∠AOB = m∠PQR   Luego: ∠AOB ≅ ∠PQR  

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Dos triángulos son congruentes si los seis elementos del primero tienen una relación de congruencia con los seis elementos del segundo entre lados y ángulos.

4

GEOMETRÍA

64

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS – CRITERIOS DE CONGRUENCIA

4.o año

De acuerdo con la figura, si AB ≅ PQ; BC ≅ QR; CA ≅ PR  , además: ∠BAC ≅ ∠QPR, ∠ ABC ≅ ∠PQR y ∠BCA ≅ ∠QRP Entonces: Para los problemas, usaremos los criterios de congruencia para poder determina la relación de igualdad de las medidas de sus elementos, y estos son:

• Angulo-lado-ángulo (ALA)

• Lado-ángulo - lado (LAL)

• Lado –lado – lado (LLL)

l

l 

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Para que dos triángulos rectángulos sean congruentes, es suficiente que dos elementos del primero sean congruentes con dos elementos del segundo a partir de los ángulos rectos. Si:

Entonces:

∆ABC ≅ ∆PQR  

Si:

Entonces: ∆ABC ≅ ∆PQR. 

65

 

GEOMETRÍA

4

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS – CRITERIOS DE CONGRUENCIA

o

4.  año

T��������� �� ����� 5. Calcula “x”

Integral 1. Calcula el valor de “x + y”

2y + 10 m

6. Calcula “x” 2. Calcula el valor de “x + y”

7. Calcula “x”

3. Calcula “a + b”

2α

22°

UNMSM 8. Calcula “x” PUCP 4. Calcula “x” A

Solución: Construimos tomando en cuenta que un ángulo es el doble del otro. ⇒ x  = a

Solución: Completamos los ángulos de forma adecuada.

∴ x + a = 40° → 2x = 40 ° → x = 20 °

Caso ALA

9. Calcula “x”

A

x = 2m + 7m = 9m

4

GEOMETRÍA

66

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS – CRITERIOS DE CONGRUENCIA

4.o año

10. Calcula “x”, si AB = BE, BD = BC y AD = EC.

Solución: Graficamos su forma adecuada. β θ

60°

60°

α x

θ

β

Observamos que ∆ ABF ≅ ∆ EBC(LAL) ⇒ q + a + 60 + b = 180°

11. Calcula “x”, si ABCD es un cuadrado.

q + a + b = 120°    x

13. Calcula “x”, si ABC y CDE son triángulos equiláteros.

6

UNI

P

12. Se construyen exteriormente los triángulos equiláteros AEB y BFC sobre los lados AB y BC de un triángulo escaleno, tal que AF ∩ CE = {P}. Calcula la APC

67

14. En un triángulo ABC se traza la mediana BR tal que AB = AR, m RBC = 14°. Calcula m ABR.

 

GEOMETRÍA

4

5

Aplicaciones de la congruencia de triángulos y triángulos rectángulos notables

TEOREMAS 1. Teorema de bisectriz

Si AB=BC Entonces:

3. Teorema de los puntos medios y el de la base media

Si ; bisectriz del ∠AOB y R ∈ Entonces: RP = RQ y OP = OQ

2. Teorema de la mediatriz

Si M es punto medio de AB y N lo es de BC, en//AC. Luego a MN se le denomina base tonces: media del triángulo ABC y se cumple lo siguiente: Si : Mediatriz de AB y P ∈ Entonces: PA = PB o n = m Propiedad En todo triángulo isósceles, la altura relativa a la base es también mediana, bisectriz y forma parte de la mediatriz.

4. Teorema de la menor mediana en el triángulo rectángulo

Si “M” es punto medio de AC, se cumple: AM=MC=BM

5

GEOMETRÍA

68

APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Y TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

4.o año

Triángulo rectángulo

El triángulo ABC es recto en B. Se cumple: a + b = 90° También: a2 + c2 = b2 (Teorema de Pitágoras)

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES Exactos:

Aproximados

69

 

GEOMETRÍA

5

APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Y TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

4.o año

T��������� �� ����� Integral

5. Calcula AB.

1. Calcula “x”.

10. Si: AB + AM = 12 cm y EM = 9 cm, calcula MB.

2. Calcula “x”.

6. Calcula AC si BD = 10 m

 11. SiAB=12myAH=7m.CalculaPQ. 7. Calcula AB si PQ = 4 m 3. Calcula “x” UNI

12. EnuntriánguloABCsetrazanlas altuUNMSM PUCP

8. Si el triángulo ABC es equilá-

4. Calcula “PQ”

tero, calcula RS si AP = PC = 8 3

Solución:

Solución: Analizando los datos

ras AD y CE (E ∈ AB yD∈BC).SiM espuntomediodeACymEMD=72°, calcula: mMEC + mADM. Solución: Graficamos:

2a + 102° + 2b = 180 a + b = 54° Piden: mMEC + mADM ⇒ a + b = 54°

13. En un triángulo ABC se trazan

Trazamos QN//AC Observamos que por base media QN = 5 m m∠BNQ = a ∆PQN es isósceles PQ = 5 m

5

GEOMETRÍA

las alturas AD y CE (E ∈ AB y D ∈ BC). Si M es punto medio de AC y mEMD = 82°, calcula mMEC + mADM.

14. En un triángulo ABC, la mediatriz x = 15 m

9. Si el triángulo ABC es equilátero, calcula RS si: AP = PC = 4 3 m

70

relativa al lado AC corta en el punto P al lado BC y en M al lado AC. Si AP y MB se intersecan en Q. Calcula AQ si MQ = QB y BP = 4 cm.

6 Polígonos y perímetros POLÍGONO Es aquella figura que se forma al unir tres o más puntos no colineales de un mismo plano, mediante segmentos de recta, limitando una única región del plano. A dichos puntos se le denomina vértices, y a los segmentos, lados del polígono.

Elementos: Vértices: A, B, C, D, E, F, y G Lados:

Elementos asociados: Diagonal: …. Diagonales medias: PQ….

Notación: Polígono ABCD…G.

Medidas de los ángulos asociados: Interiores: Exteriores:

Perímetro (2p)

CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS A. Según su región interior

B. Según las medidas de sus elementos

a) P. convexo

a) P. equilátero

ABCD… H es un polígono convexo

b) P. cóncavo

b) P. equiángulo

ABC… I es un polígono cóncavo o no convexo.

71

 

GEOMETRÍA

6

4.o año

POLÍGONOS Y PERÍMETROS

c) P. regular

ABCDEF es un hexágono regular de centro O y ángulo central cuya medida es q.

C. Según el número de lados

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES • Suma de las medidas de los ángulos • Suma de las medidas de los ángulos exteriores interiores

• Suma de las medidas de los ángulos centrales En todo polígono regular, la suma de las medidas de sus ángulos centrales es igual a 360°.

PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS EQUIÁNGULOS • Número total de diagonales

• Medida de un ángulo interior

• Número total de diagonales medias

• Medida de un ángulo exterior

• Medida de un ángulo central

6

GEOMETRÍA

72

4.o año

POLÍGONOS Y PERÍMETROS

T��������� �� ����� Integral

6. Si la suma de los ángulos internos, externos y cen-

1. ¿Cuál es el polígono que al aumentar en 2 su nú-

trales es 1980°, calcula el número de vértices de dicho polígono.

mero de lados, su número de diagonales aumenta en 17?

7. Si la medida de un ángulo interior es igual a la

2. ¿Cuál es el polígono que tiene el mismo número

medida del ángulo exterior aumentado en 100°, calcula el número de lados del polígono.

de lados y de diagonales.

UNMSM

3. ¿Cuál es el polígono que al disminuir en 3 su número de lados, su número de diagonales disminuye en 18?

PUCP

8. Si en un polígono regular ABCDE... la m ACE = 140°, ¿cuántas diagonales medias tiene? Solución: Graficamos adecuadamente:

4. Si ABCD y CDEFG son polígonos regulares, calcula “x”. Hallamos n →  exterior =

Piden

⇒ n = 18 lados

= 153 diagonales medias.

Solución Sabemos que al ser polígonos regulares se cumple que ángulos y lados son iguales. b = 90° q = 108°

9. En un polígono regular ABCDE.. la ¿cuántas diagonales medias tiene?

10. Los puntos A, B y C son tres vértices consecutivos de un polígono regular de 15 lados. Calcula los 3/2 de la medida del ángulo ABC.

5. Si ABCDE y FGHIDE son polígonos regulares, calcula “x”.

11. Si ABCDE es un polígono regular y EF es paralelo a AB, ¿cuál es la medida del ángulo “ a”

73

 

GEOMETRÍA

6

4.o año

POLÍGONOS Y PERÍMETROS

UNI

QW = WS ⇒ AQ = 7m = AF

12. Si un polígono convexo equiángulo. ABCDEF, AB = 7 m, CD = 6 m y DE = 8 m, calcula BF. Solución: Observamos que al graficar adecuadamente y prolongar se forma un triángulo equilátero

Formamos el triángulo BHF

UNI 13. En un polígono convexo equiángulo ABCDEF, AB = 3 m, CD = 10 m y DE = 4 m, calcula BF.

14. Si la suma de las medidas de cinco ángulos internos de un polígono convexo es 760°, calcula la suma de las medidas de los ángulos externos correspondientes a los vértices restantes.

6

GEOMETRÍA

74

7 Cuadriláteros CUADRILÁTEROS Es una figura cerrada formada por cuatro segmentos, donde la suma de las medidas de los ángulos internos es 360°.

CLASES I. Paralelogramos

En la figura se cumple: 1. AB = BC = CD = AD 2.

1. Romboide

3. Rectángulo

En la figura se cumple: 1. AB//CD y AD//BC 2. O es punto medio de BD y AC 3. AB = CD =l , BC = AD = a 4. 5.

En la figura se cumple: 1. 2. AB = CD y BC = AD

2. Rombo

4. Cuadrado

75

 

GEOMETRÍA

7

4.o año

CUADRILÁTEROS

2. Trapecio isósceles

En la figura se cumple: 1. 2. AB = BC = CD = AD 3.

Sus lados oblícuos miden igual.

II. Trapecio Es un cuadrilátero que tiene dos de sus lados paralelos y son llamados “bases”.

∴m

BAD=m

CDA∧m ABC=m

BCD

Teorema 1 En todo trapecio, la base media es paralela a las bases y su longitud es igual a la semisuma de ellas.

Si BC//AD entonces ABCD es un trapecio. BC y AD → Bases BH → Altura AB y CD → Lados oblícuos o no paralelos

Clasificación de los trapecios

MN//BC//AD

Se clasifican según la longitud de sus lados laterales.

1. Trapecio escaleno Es aquel trapecio cuyos lados tienen diferente longitud.

Teorema 2 En todo trapecio, el segmento que une los puntos medios de las diagonales es paralelo a las bases y su longitud es igual a la semidiferencia de las medidas de sus bases.

2. Trapecio rectágulo Si m ABC = m BAD = 90°, entonces ABCD es un trapecio rectángulo.

Advertencia Pre El trazo clásico en un trapecio se hace paralelo a uno de los lados oblicuos, generando así un paralelogramo.

7

GEOMETRÍA

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