pamer Geometría 4to año.pdf

2

Triángulos: líneas notables asociadas a los triángulos

TRIÁNGULO RECTILÍNEO Es aquel que se forma al unir tres puntos no colineales mediante segmentos de recta.

a)

a + b + q = 180°

b)

x + y + z = 360 °

c)

a+b=z b + q = x  a + q = y 

Elementos

d) Relación de correspondencia correspondenci a

Vértices: A, B y C Lados: AB, BC, CA

b≥a≥q

Notación

 

Si: b ≥ a ≥ c

∆ABC: Se lee, triángulo ABC o de vértices A, B y C.

Cálculo del perímetro p erímetro 2p∆ABC = a + b + c

Si se sabe: AB = c, BC = a y CA = b

Propiedades fundamentales

e) Relación de existencia: b- c


b- a

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS A. Según las medidas de sus lados 1. ∆ Escaleno a

57

≠ b → a≠ b

b≠c

→ b≠ q

c≠a

→ q≠ a

 

GEOMETRÍA

2

TRIÁNGULOS: LÍNEAS NOTABLES ASOCIADAS A LOS TRIÁNGULOS

4.o año

2. ∆ Isósceles

a < 90° b < 90° q < 90°

2. ∆ Rectángulo a

≠b

a≠b AC : base

3. ∆ Equilátero

a + b = 90°

a2 + b2 = c2 (T. (T. Pitágoras)

3. ∆ Obtusángulo

B. Según las medidas de sus ángulos 1. ∆ Acutángulo

b > 90° a < 90° q < 90°

LÍNEAS NOTABLES NOTABLES ASOCIAD ASO CIADAS AS A LOS LO S TRIÁNGULOS Ceviana

b) Bisectriz

BP : Ceviana Cevi ana interior. BQ : Ceviana Cevian a exterior.

BL: bisectriz interior

a) Mediana Si: M es punto medio de BC. AM: es mediana.

BT: bisectriz exterior

2

GEOMETRÍA

58

TRIÁNGULOS: LÍNEAS NOTABLES ASOCIADAS A LOS TRIÁNGULOS

4.o año

c) Mediatriz

BL: altura M: es punto medio.

M

  mediatriz de AC L  :

d) Altura

BH: altura

T��������� �� ����� Integral

PUCP 4. Calcula “x”, si AB = BC y TC = TD

1. Calcula “x”.

2. Calcula “a”. Solución: Como se forman isósceles, completamos de forma ordena. ⇒ mA = mC = 60° + x mC

= mD = 60 6 0° + x

⇒ x + 60° + x + 60° + x = 180…. ∆TDC

¿cuántos triángu3. Si el triángulo ABC es escaleno, ¿cuántos los se podrán p odrán formar con los valores enteros para las medidas del AC?

u

x = 20°

u

59

 

GEOMETRÍA

2

TRIÁNGULOS: LÍNEAS NOTABLES ASOCIADAS A LOS TRIÁNGULOS

4.o año

5. Calcula “x”, si AB = BC y TC = TD.

9. Calcula “x”

10. Si AB = AR y PQ = PC, calcula 6. Calcula FC si BC = 9m y BE = 4m.

7. Calcula “a”, si b + q = 200°.

k  =

2a + 3b 3a - 3b

11. Si a + b + g = 400°, calcula “x”.

UNMSM

UNI

8. Calcular “x”

12. En un triángulo ABC; AB = 9m – x; BC = 2x – 12 m, además, m A > mC, calcula “x” si se sabe que es un número entero. Solución: El dibujo sería Solución: Por ángulo exterior 2 q = x + 2a ⇒ x = 2(q – a)

9m - x

Acomodamos el gráfico: Sabemos que a mayor ángulo se le opone mayor lado y viceversa. ⇒ 2x - 12 > 9 - x → x > 7 ∴ x = 8m

13. En un triángulo ABC, AB = 8m –x, BC = 3x-8 m; Por propiedad: x + 70° + a = 90° + q x + 70° = 90° + ( q – a) (×2) 2x + 14 140° = 180 ° + 2 ( q - a )

además mA > m C, calcula la suma de valores de “x” si es un número entero.

14. En un triángulo ABC, se cumple: AB = 2 m y AC = 32 m, calcula el perímetro del triángulo (en metros), sabiendo que es un número entero y que el ángulo “A” es obtuso.

  

x = 40°

2

GEOMETRÍA

x

60

4

Congruencia De Triángulos – Criterios De Congruencia

CONGRUENCIA DE SEGMENTOS La idea intuitiva de congruencia para un par de figuras cualesquiera es siempre la misma; dos figuras F y G son congruentes si una puede moverse de modo que coincida con la otra. Por lo tanto, dos círculos de igual radio son congruentes, así como también también lo son un par de cuadrados de igual tamaño.

Del mismo modo, dos segmentos de la misma longitud siempre son congruentes.

Si AB = PQ → AB ≅ PQ

CONGRUENCIA DE ÁNGULOS Así como se define la congruencia de los segmentos en función de su medida, para los ángulos también se define en términos de medidas. Entonces: Entonces:

De acuerdo con la figura, si m∠AOB = m∠PQR   Luego: ∠AOB ≅ ∠PQR  

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Dos triángulos son congruentes si los seis elementos del primero tienen una relación de congruencia con los seis elementos del segundo entre lados y ángulos.

4

GEOMETRÍA

64

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS – CRITERIOS DE CONGRUENCIA

4.o año

BC ≅ QR; CA CA ≅ PR  , De acuerdo con la figura, si AB ≅ PQ; BC

ABC ≅ ∠PQR y ∠BCA ≅ ∠QRP además: ∠BAC ≅ ∠QPR, ∠ AB

Entonces: Para los problemas, problemas, usaremos los criterios de congruencia para poder determina la relación de igualdad de las medidas de sus elementos, elementos, y estos son:

• Angulo-lado-ángulo (ALA)

• Lado-ángul Lado-ánguloo - lado (LAL)

• Lado –lado – lado (LLL)

l

l 

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Para que dos triángulos rectángulos sean congruentes, es suficiente que dos elementos del primero sean congruentes con dos elementos del segundo a partir de los ángulos rectos. Si:

Entonces:

∆ABC ≅ ∆PQR  

Si:

Entonces: ∆ABC ≅ ∆PQR. 

65

 

GEOMETRÍA

4

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS – CRITERIOS DE CONGRUENCIA

o

4.  año

T��������� �� ����� 5. Calcula “x”

Integral 1. Calcula el valor de “x + y”

2y + 10 m

6. Calcula “x” 2. Calcula el valor de “x + y”

7. Calcula “x”

3. Calcula “a + b”

2α

22°

UNMSM 8. Calcula “x” PUCP 4. Calcula “x” A

Solución: Construimos tomando en cuenta que un ángulo es el doble del otro. ⇒ x  = a

Solución: Completamos Completamos los ángulos de forma adecuada.

∴ x + a = 40° → 2x = 40 ° → x = 20 °

Caso ALA

9. Calcula “x”

A

x = 2m + 7m = 9m

4

GEOMETRÍA

66

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS – CRITERIOS DE CONGRUENCIA

4.o año

10. Calcula “x”, si AB = BE, BD = BC y AD = EC.

Solución: Graficamos su forma adecuada. β θ

60°

60°

α x

θ

β

Observamos que ∆ ABF ≅ ∆ EBC(LAL) ⇒ q + a + 60 + b = 180°

11. Calcula “x”, si ABCD es un cuadrado.

q + a + b = 120°    x

13. Calcula “x”, si ABC y CDE son triángulos equiláteros.

6

UNI

P

12. Se construyen exteriormente los triángulos equiláteros AEB y BFC sobre los lados AB y BC de un triángulo escaleno, tal que AF ∩ CE = {P}. Calcula la APC

67

14. En un triángulo ABC se traza la mediana BR tal que AB = AR, m RBC = 14°. Calcula m ABR.

 

GEOMETRÍA

4

5

Aplicaciones de la congruencia de triángulos y triángulos rectángulos notables

TEOREMAS 1. Teorema de bisectriz

Si AB=BC Entonces:

3. Teorema de los puntos puntos medios y el de la base media

Si ; bisectriz del ∠AOB y R ∈ Entonces: RP = RQ y OP = OQ

2. Teorema de la mediatriz

Si M es punto medio de AB y N lo es de BC, enen//AC. Luego a MN se le denomina base tonces: media del triángulo ABC y se cumple lo siguiente: Si : Mediatriz de AB y P ∈ Entonces: PA = PB o n = m Propiedad En todo triángulo isósceles, la altura relativa a la base es también mediana, bisectriz y forma parte de la mediatriz.

4. Teorema de la menor mediana en el triángulo rectángulo

Si “M” es punto medio de AC, se cumple: AM=MC=BM

5

GEOMETRÍA

68

APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Y TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

4.o año

Triángulo rectángulo

El triángulo ABC es recto en B. Se cumple: a + b = 90° También: ambién : a2 + c2 = b2 (Teorema (Teorema de Pitágoras)

TRIÁNGULOS RECT RECTÁNGULOS ÁNGULOS NOT NOTABLES ABLES Exactos:

Aproximados

69

 

GEOMETRÍA

5

APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Y TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

4.o año

T��������� �� ����� Integral

5. Calcula AB.

1. Calcula “x”.

10. Si: AB + AM = 12 cm y EM = 9 cm, calcula MB.

2. Calcula “x”.

6. Calcula AC si BD = 10 m

 11. SiAB=12myAH=7m.CalculaPQ. 7. Calcula AB si PQ = 4 m 3. Calcula “x” UNI

12. Enuntriángulo triánguloABCse setrazanlas altualtuUNMSM PUCP

8. Si el triángulo ABC es equilá-

4. Calcula “PQ”

tero, calcula RS si AP = PC = 8 3

Solución:

Solución: Analizando los datos

ras AD y CE (E ∈ AB yD∈BC).Si SiM espuntomediodeACymEMD=72°, 72°, calcula: mMEC + mADM. Solución: Graficamos:

2a + 102° + 2b = 180 a + b = 54° Piden: mMEC + mADM ⇒ a + b = 54°

13. En un triángulo ABC se trazan

Trazamos QN//AC Observamos que por base media QN = 5 m m∠BNQ = a ∆PQN es isósceles PQ = 5 m

5

GEOMETRÍA

las alturas AD y CE (E ∈ AB y D ∈ BC). Si M es punto medio de AC y m EMD = 82°, calcula mMEC + m ADM.

14. En un triángulo ABC, la mediatriz x = 15 m

9. Si el triángulo ABC es equilátero, calcula RS si: AP = PC = 4 3 m

70

relativa al lado AC corta en el punto P al lado BC y en M al lado AC. Si AP y MB se intersecan en Q. Calcula AQ si MQ = QB y BP = 4 cm.

6 Polígonos y perímetros POLÍGONO Es aquella figura que se forma al unir tres o más puntos no colineales de un mismo plano, mediante segmentos de recta, limitando una única región del plano. A dichos puntos se le denomina vértices, y a los segmentos, lados del polígono.

Elementos: Vértices: A, B, C, D, E, F, y G Lados:

Elementos asociados: Diagonal: …. Diagonales medias: medias: PQ…. PQ….

Notación: Polígono ABCD…G.

Medidas de los ángulos asociados: Interiores: Exteriores:

Perímetro (2p)

CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS A. Según su región interior

B. Según las medidas de sus elementos

a) P. convexo

a) P. equi equilátero látero

ABCD… H es un polígono convexo

b) P. cóncavo

b) P. equiángulo

ABC… I es un polígono cóncavo o no convexo.

71

 

GEOMETRÍA

6

4.o a  añño

POLÍGONOS Y PERÍMETROS

c) P. regu regular lar

ABCDEF es un hexágono regular de centro O y ángulo central cuya medida es q.

C. Según el número de lados

TRIÁNGULOS RECTÁN RECTÁNGULOS GULOS NOT NOTABLES ABLES • Suma de las medidas de los ángulos ángulos • Suma de las medidas de los ángulos exteriores interiores

• Suma de las medidas de los ángulos centrale centraless En todo polígono regular, la suma de las medidas de sus ángulos centrales es igual a 360°.

PROPIEDADES PROPIEDAD ES DE LOS L OS POLÍGONOS EQUIÁNGULOS E QUIÁNGULOS • Número total de diagonales

• Medida de un ángulo interior

• Número total de diagonales medias

• Medida de un ángulo exterior

• Medida de un ángulo central

6

GEOMETRÍA

72

4.o año

POLÍGONOS Y PERÍMETROS

T��������� �� ����� Integral

6. Si la suma de los ángulos internos, externos y cen-

1. ¿Cuál es el polígono que al aumentar en 2 su nú-

trales es 1980°, calcula el número de vértices de dicho polígono.

mero de lados, su número de diagonales aumenta en 17?

7. Si la medida de un ángulo interior es igual a la

2. ¿Cuál es el polígono que tiene el mismo número

medida del ángulo exterior aumentado en 100°, calcula el número de lados del polígono.

de lados y de diagonales.

UNMSM

3. ¿Cuál es el polígono que al disminuir en 3 su número de lados, su número de diagonales disminuye en 18?

PUCP

8. Si en un polígono regular ABCDE... la m ACE = 140°, ¿cuántas diagonales medias tiene? Solución: Graficamos adecuadamente:

4. Si ABCD y CDEFG son polígonos regulares, calcula “x”. Hallamos n →  exterior =

Piden

⇒ n = 18 lados

= 153 diagonales medias.

Solución Sabemos que al ser polígonos regulares se cumple que ángulos y lados son iguales. b = 90° q = 108°

9. En un polígono regular ABCDE.. la ¿cuántas diagonales medias tiene?

10. Los puntos A, B y C son tres vértices consecutivos de un polígono regular de 15 lados. Calcula los 3/2 de la medida del ángulo ABC.

5. Si ABCDE y FGHIDE son polígonos regulares, calcula “x”.

11. Si ABCDE es un polígono regular y EF es paralelo a AB, ¿cuál es la medida del ángulo “ a”

73

 

GEOMETRÍA

6

4.o a  añño

POLÍGONOS Y PERÍMETROS

UNI

QW = WS ⇒ AQ = 7m = AF

12. Si un polígono convexo equiángulo. ABCDEF, AB = 7 m, CD = 6 m y DE = 8 m, calcula BF. Solución: Observamos que al graficar adecuadamente adecuadamente y prolongar se forma un triángulo equilátero

Formamos Formamos el triángulo BHF

UNI 13. En un polígono convexo equiángulo ABCDEF, AB = 3 m, CD = 10 m y DE = 4 m, calcula BF.

14. Si la suma de las medidas de cinco ángulos internos de un polígono convexo convexo es 760°, calcula calcula la suma de las medidas de los ángulos externos correspondientes a los vértices restantes.

6

GEOMETRÍA

74

7 Cuadriláteros CUADRILÁTEROS Es una figura cerrada formada por cuatro segmentos, donde donde la suma de las medidas de los ángulos internos es 360°.

CLASES I. Paralelogramos

En la figura se cumple: 1. AB = BC = CD = AD 2.

1. Romboide

3. Rectángulo

En la figura se cumple: 1. AB//CD y AD//BC 2. O es punto medio de BD y AC 3. AB = CD =l , BC = AD = a 4. 5.

En la figura se cumple: 1. 2. AB = CD y BC = AD

2. Rombo

4. Cuadrado

75

 

GEOMETRÍA

7

4.o año

CUADRILÁTEROS

2. Trapecio isósceles

En la figura se cumple: 1. 2. AB = BC = CD = AD 3.

Sus lados oblícuos miden igual.

II. Trapecio Es un cuadrilátero que tiene dos de sus lados paralelos y son llamados “bases”.

∴m

BAD=m

CDA∧m ABC=m

BCD

Teorema 1 En todo trapecio, la base media es paralela a las bases y su longitud es igual a la semisuma de ellas.

Si BC//AD entonces entonces ABCD es un trapecio. BC y AD → Bases BH → Altura AB y CD → Lados oblícuos o no paralelos

Clasificación Clasificació n de los trapecios

MN//BC//AD

Se clasifican según la longitud de sus lados laterales.

1. Trapecio Trapecio escaleno Es aquel trapecio cuyos lados tienen diferente diferente longitud.

Teorema 2 En todo trapecio, el segmento que une los puntos medios de las diagonales es paralelo a las bases y su longitud es igual a la semidiferencia de las medidas de sus bases.

2. Trapecio rectágulo Si m ABC = m BAD = 90°, entonces ABCD es un trapecio rectángulo.

Advertencia Pre El trazo clásico en un trapecio se hace paralelo a uno de los lados oblicuos, generando así un paralelogramo.

7

GEOMETRÍA

76

4.o año

CUADRILÁTEROS

T��������� �� ����� Integral

7. ABCD es un rectángulo y BM y CN son bisec-

1. En un cuadrado ABCD, se construye interiormente un triángulo equilátero AED. Calcula: m CED.

trices, ¿cuánto mide la base media del trapecio BMNC?

2. Si en un rombo ABCD, AB = 5u y ¿cuánto mide la altura BH relativa a CD?

3. Calcula “x”. UNMSM 8. Calcula “x”, si ABCD y DEFG son cuadrados. B

C G

PUCP

x H F

4. Si ABCD es un romboide y AB=18m. Calcula “x”. B

E

C

A

D

E

Solución: M

N

x

a

a

A D Solución: Completamos el gráfico con los datos y aplicamos las propiedades de ángulos entre rectas paralelas. B a E 18n C a

18m M

a

A

a

q

a

b

a

D

a+b

q

F

⇒

E

18m

D

a + 18m

9. Calcula “x”, si ABCD y DEFG son cuadrados.

Calculamos “x”:

C

5. Si ABCD es un romboide y AB = 28, calcula “x”. B M

E x

C

F

H

B

E 2x

N a

A

C b b x H G

A

N

x

AB = CD GD = DE B

a

G

D

D

A

10. Si QP//RS QP//RS y QR=9cm; RS = 8cm, calcula QP. 6. Calcula “x”.

77

 

GEOMETRÍA

7

4.o año

CUADRILÁTEROS

11. Si ABCD es un trapecio, CB = CD = 1m; BD = 3 m y la medida del ángulo BAD es 45°, calcula la medida del ángulo ADB.

UNI

13. En un romboide (AB
12. En un romboide ABCD (AB
7

GEOMETRÍA

14. Determina el mayor valor entero que puede tomar la suma de las bases de un trapecio, si se sabe que la suma de sus diagonales es 18 cm.

78

8 Repaso T��������� �� ����� 1. Si

5. Calcula “x”

, calcula .

B C D

a) 1/2 d) 2

b) 1 e) 5/2

2. Si

c) 3/2

A

E b) 120° e) 145°

a) 115° d) 135°

c) 130°

, calcula “x” 6. Calcula “x”.

a) 9° d) 18°

b) 10° e) 20°

a) 65° d) 80°

c) 15°

b) 70° e) 85°

c) 75°

7. Si AE = 4m y DC=10m, calcula DE. 3. Si BC = EC, calcula “x”

a) 80° d) 85°

b) 70° e) 90°

a) 3 m d) 13 m

c) 75°

b) 6 m e) 15 m

c) 10 m

8. Calcula a + b.

4. Calcula “x” si AB=BC y PB = BQ BQ

P B Q A a) 90° c) 135° e) 115°

x R

C b) 105° d) 120°

a) 15 m c) 38 m e) 50 m 79

b) 34 m d) 47 m

 

GEOMETRÍA

8

o

4.  a  añ ño

REPASO

9. Si AB = 7m, AC =15m y M es punto medio de BC,

11. Si ABCDEFGH y GMNF son polígonos regula-

calcula PM.

res, calcula ca lcula “x”. “x”.

a) 3 m d) 4,5 m

b) 3,5 m e) 5 m

c) 4 m a) 45° c) 60° e) 37°

10. Si BN =NM, AM=MC, AN//MP AN //MP y AN=18m, cal-

cula MP.

b) 30° d) 53°

12. ¿Cuál es el polígono que al aumentar en 2 el nú-

b) 9 2 m e) 15m

a) 18m d) 12m

mero de lados, su número de diagonales aumenta en 11? a) Pentágono b) Triángul Triángulo o c) Cuadrilátero d) Hexágono e) Heptágono

c) 9m

C����� 1.

d

7.

b

2.

e

8.

b

3.

e

9.

c

4.

a

10 .

d

5.

a

11 .

a

6.

d

12 .

d

B����������� 1. Geometría 1: Introducción a la planimetría → Editorial Lumbreras

8

GEOMETRÍA

80

Geometría

1

Propiedades fundamentales, teoremas de radios; Poncelet y posiciones relativas en la la circunferencia

Definición

Radio

Es un conjunto infinito de puntos de un plano, que equidistan de otro punto fijo del mismo plano llamado centro.

Segmento que une el centro de la circunferencia con cualquiera de sus puntos.

Cuerda Círculo

Segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.

Es la reunión de una circunferencia y su región inferior.

Diámetro o cuerda máxima Es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

Del gráfico observamos

Propiedades L1

1. Si «» es punto de tangencia, entonces: O ⊥ L1 .

M

 N O L2

O

A P



B

L1

E

2. Si A y B son puntos puntos de tangencia, tangencia, entonces.

C

F

A

Q

PA=PB P

1. Centro

: «O»

2. Radio

: OA

3. Diámetro

: AB

4. Cuerda

: PQ

5. Arco

: BC

6. Flecha o sagita

: EF

7. Recta tangente

: L1

8. Recta secante

: L2

O B ambién: si «O» es centro. PO  es bisectriz de ∠APB

3. Si OM ⊥ AB  entonces:

9. Punto de tangencia : «» 10. Sector circular

:

BOC

11. Segmento circular :

MN

4.°

AÑO

AM = MB

O A

47

M

B

GEOMETRÍA

1

PROPIEDADES FUNDAMENTALES, TEOREMAS DE RADIOS; PONCELET Y POSICIONES RELATIVAS EN LA CIRCUNFERENCIA

4. Si AB = CD entonces.

9. Si «M» es punto medio de AB. AB.

C

A

B

A

a=b

a Ob

10. En circunferencias concéntricas.

5. angentes comunes interiores.

AB = CD

D

B

C

 O

A

D

x = 90º

O1

O

D

A

B

M xº

E

B F

C 11. En circunferencias concéntricas.

6. angentes comunes exteriores.

B A

B A

AB = CD O

C

AB = CD

D

C D

12. eorema de Poncelet. B

7. Si A y B son son puntos puntos de tangencia. tangencia.

b

a

O

C A

xº

r

A

x = 90

B

a + b = c + 2r

 C

13. eorema de Pithot. B

8.

C

x

b

a

a+b=x+y=p

a b

1

GEOMETRÍA

A

a = b

 

48

y 

D

Donde: P: semiperímetro del cuadrilátero

4.°

AÑO

PROPIEDADES FUNDAMENTALES, TEOREMAS DE RADIOS; PONCELET Y POSICIONES RELATIVAS EN LA CIRCUNFERENCIA

Trabajando en clase Integral

a) razamos el radio a la tangente → O ⊥ BC → AO = O = «R» → AB  // O

1. Del gráfico, calcula «x» si «» es punto de tangencia. («O» es centro) 

A

x

B

O

10º

b) Aplicando la propiedad propiedad de paralelas paralelas m∠AO = m∠BA = 32º c) Por ángulo exterior: m∠OC = 64º ∴  64 + a = 90º → a = 26º

C

2. Del gráfico, calcula la longitud de la flecha, si AB = 48 m. («O» es centro).

5. Del gráfico, calcula « b» si «» es punto de tangencia y «O» es centro. B 

A O 2    5   

m   

B A

3. Del gráfico, calcula «PA», si «O» es centro y, A y B son puntos de tangencia.

b

D

O

C

6. Uno de los ángulos de un triángulo rectángulo mide 30º y el lado mayor mide 4 m. Calcula la media del radio de la circunferencia inscrita en este triángulo.

A   6  m

40º

O

7. Si la mediana de un trapecio circunscrito a una circunferencia mide 6 m, calcula el perímetro del trapecio.

74º

B

P

PUCP

UNMSM

4. Calcula «a» si «» es punto de tangencia y «O» es centro. B 

8. La circunferencia C1 y C2  de centro O y O’ respectivamente son tangentes exteriores y los segmentos de recta AM y AM  y LA  son tangentes a estas. Si OA = 18 cm y el radio C1 mide 9 cm, ¿cuánto mide el radio de C 2? Resolución: Y Dibujamos correctamente Y razamos el radio de la tangente

  º   3  2

A

a

D

O

C

Resolución:

L

B    º   3  2

O

  º   3  2 R 

32º 64º A R  O

9m

a

D

                             

AÑO

49

R  O’

                                                                                                                                               

R 

C M

4.°

9

2R 

30º

A GEOMETRÍA

1

PROPIEDADES FUNDAMENTALES, TEOREMAS DE RADIOS; PONCELET Y POSICIONES RELATIVAS EN LA CIRCUNFERENCIA

11. Por un punto «P» que dista 100 m del centro de una circunferencia de radio 60 cm, se trazan tangentes a la circunferencia denotados por «Q» y «R» a los puntos de tangencia. Determine la longitud del segmento QR .

Si OA = 18 cm se forma

Y

O

18

9

30º A M 9 3 ∴O’A = 2R y OO’ = 9 + R  ⇒ 9 +R + 2R = 18 → R = 3cm

UNI 12. Las longitudes de dos circunferencias coplanares están en relación de 5 a 2 y su suma es 14 pm; si la distancia entre sus centros es dos veces la diferencia de sus radios, podemos afirmar que las circunferencias son: Resolución: Sabemos que: 2p R = 5 2p r 2 R = 5k y r = 2k  Además 2pR + 2pr = 14p R+r=7 ⇒R=5myr=2m Dicen que su distancia es 2 veces la diferencia de sus radios: R–r=3 ⇒ Distancia = 6 m < R + r ∴ son secantes

9. Del gráfico, calcula «R» si 12 cm y L, Q, M y P son puntos de tangencia. L 6     c    m   

Q

O

O’

M

P

A

10. En la figura AB = 9 m y AC = 41 m, calcula la medida del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo ABC. («O» es centro)

coplanares es13. Las longitudes de 2 circunferencias coplanares tán en relación de 7 a 3 y su suma es 20 pm; si la distancia entre sus centros es 2 veces la diferencia de sus radios, podemos afirmar que las circunferencias son:

A

O

B

1

GEOMETRÍA

14. En un triángulo ABC se cumple que AB = BC = 5 cm y AC = 6 cm. Encuentre la longitud de la circunferencia que pasa por los puntos A y C sabiendo que los lados AB y BC son tangentes a dicha circunferencia.

R  C

50

4.°

AÑO

2 Ángulos asociados a la circunferencia 1. Ángulo central

5. Ángulo interior

A

C B

O xº

xº

x = mAB

m

x=

nº

xº

m+n 2

A

B

D

2. Ángulo inscrito

6. Ángulo exterior

A

a) C

2xº

xº

x = mAB 2

A P

xº

nº

mº

A b) P

A

A

xº

nº

xº

mº

C

x = mAB 2

x=

m - n 2

A P

4. Ángulo ex – inscrito

xº

nº

mº

D

C

Propiedades

A

AÑO

m - n 2

B

B

4.°

x=

B c)

C

m - n 2

B

3. Ángulo semi-inscrito

2xº

x=

1. De un ángulo exterior. exterior.

xº B 2xº

x + y = 180º

x = mABC 2

xº

51

yº

GEOMETRÍA

2

ÁNGULOS ASOCIADOS A LA CIRCUNFERENCIA

7. En toda semicircunferencia.

2. Si AB = CD; entonces: AB ≅ CD B

C

x = 90º

B xº

C

O

A

D

A

En todo cuadrilátero inscrito a) Los ángulos opuestos son suplementarios. suplementarios.

3. Si AB // CD , entonces AB ≅ CD o PQ // AB , entonces A ≅ B P



B

Q

A

A

x + y = 180º

B

yº

xº D

C

b) Un ángulo interior es congruente al opuesto exterior

4. En toda circunferencia C

C

x = y 

y  x

C

D

x = y 

yº

B

B

xº

D

A

A

c) Las diagonales diagonales son los lados opuestos opuestos forman ángulos congruentes.

5. Si «» es punto de tangencia

C

 yº x = y 

x = y 

B

A

B

xº yº A

D

6. En las circunferencias secantes congruentes. A

Recuerda

N

M

Existe el cuadrilátero inscriptible y es todo cuadrilátero que cumple las propiedades propiedades del cuadrilátero inscrito.

B mAMB  =nANB  =nANB

2

GEOMETRÍA

52

4.°

AÑO

ÁNGULOS ASOCIADOS A LA CIRCUNFERENCIA

Trabajando en clase Integral

i) Por ángulo central mAB = mAB = 90º ii) Por ángulo inscrito m∠ADB = 45º iii) Por propiedad: . 45º + x = 30º + 90º x = 75º

1. Del gráfico, calcula «x» si «O» es centro. B

20º

A O x C

2. Del gráfico, calcula «x» si «O» es centro y «» es punto de tangencia.

5. En la figura, calcula «x» si «O» es centro.



O

A

70º

20º

D

40º

4.°

AÑO

a

2a 

C

D

7. Calcula la mAB si a + q = 100º; A y C son puntos de tangencia. D q

A

Como CD = AD ⇒ mCM  mCM =  = m M = M = 2a Por ángulo exterior: 90 - a = x + 2a - 4a 2 ∴ x = 180º

9. En la figura MN  // A  y CP = PA. Calcula mDN 2 A P C

B M

D

a



C 90º

UNMSM

30º D

40º

N

a

Como MN // A ⇒ mMB = m N  = 2a N =

N

4. En la figura, calcula «x» si «O» es centro. A x D C 30º E O B

E

x E

C PUCP

Resolución: A x D 45º C

P

90-a 2a A B

B

B

B

x

Resolución:

C D M

A

P



B

2a

D

O

3. Del gráfico, calcula «x» si A, B, C y D son puntos de tangencia.

80º

N

x

6. En la figura, calcula «x».

B

M

A

E

x

A

C D M

C x

A

P

B

N

8. En la figura MN  // A  y CD = DA. Calcula mNP m NP..

53

GEOMETRÍA

2

ÁNGULOS ASOCIADOS A LA CIRCUNFERENCIA

10. En la figura, BD = BC y la medida del arco AD es igual a 5x. Calcula el valor de «x». D

20º

A

B

C

UNI 12. De la figura, calcula «x» si «O» es centro. C E x F D A O Resolución: E x

11. De la figura, calcula «x» si m – n = 60º 60 º (P y Q son s on puntos de tangencia) N

P

m O x Y

Q

A n 

A

GEOMETRÍA

y por ángulo inscrito a = 90º ∴ x = 90º

13. De la figura, calcula «x» si «O» es centro y mDE m DE =  = mEB

C

B

F

3x

D

C

E

F

D

A

a

O

B

O

Y Y

Si trazamos AF ⇒ AF  // DE Con ello observamos que: ⇒ x = a Como AB es AB  es diámetro

54

B

14. De la figura, calcula «x». C

Y

2

⇒ mAB = 180º

M

x

D

E

B

F A

H

G

4.°

AÑO

3 Líneas proporcionales Razón de segmentos

Propiedades

Es el cociente de las longitudes de dos segmentos expresados en las mismas unidades de longitud. Así, la razón de AB y CD , es el número Ab / CD.

1.

B L 

M

∆ABC, si L   // AC

N

BN Entonces: BM = MA NC

 

Nota: Sea a y b dos números. Luego: a – b = r a/b = K

Razón aritmética Razón geométrica

C

A Forma práctica: Si: MN  // AC

 

B

Segmentos proporcionales Se denomina así a dos pares de segmentos que tienen razones geométricas de igual valor numérico. Sean los segmentos: AB , CD , MN y PQ 2.

N

L 

r1 = r2 ⇒ AB/CD = MN/PQ

 

L 1

 

L 2 L 3

B C

 

Entonces: BM = BN MA NC

C

N ak 

Forma práctica Si: MN  // AC

M B

a

D E

L 4// L 5 : transversal

A

Entonces: AB = DE BC EF ambién: AC = DF AB DE

F

L 1 L 2 L 3

a b

bk 

b

C

eorema de la bisectriz En todo triángulo, los lados adyacentes a una bisectriz son proporcionales a los segmentos determinados por dicha bisectriz en el lado al cual es relativo. 1. CM bisectriz interior ∆ABC: CM bisectriz C

Forma práctica: Si: L 1//L 2 //L 3

AÑO

∆ABC, si L   // AC

5

 

4.°

M

A

res o más rectas paralelas determinan en dos rectas secantes o transversales a ellas segmentos proporcionales.   Si: L 1//L 2 //L 3 L  L  A

C

B

eorema de Tales

4

bk 

A

Luego: AB / CD = r1 MN/PQ = r2 Si:

ak  N

a M b

ak 

  a

q q

b

Entonces: a = m b n

n

A

bk  B

55

m

M

GEOMETRÍA

3

LÍNEAS PROPORCIONALES

eorema de incentro

Forma práctica: C q q

a A

2.

ak 

b

M bk 

A

B

A

A

C

CM bisectriz exterior

b

eorema de Menelao

Entonces a = m M b n

n

M

Forma práctica

B

b

c

a C q

ak 

N C e

D

f 

b

A

d

A

q

a B

c

I

∆ABCD: (BC > AC):

q

m

b

BI b+c = IM a

C q a

 

B

bk 

a ⋅ c ⋅ e = b ⋅ d ⋅ (f) (f )

M

Trabajando en clase Integral 1. Del gráfico, calcula «x» si L 1//L 2 //L 3.

3. Si 2AB = 5AD, calcula «x». B

Resolución: Del corolario de Tales

aa

A

M 2k  x N 3k  10-x

x+1 x+2m x+6m

x

L 1 L 2

x+3m

L 3

A

D

x

C

D

B

C

PUCP 2. Del gráfico PQ // AC , 5BP = 3AP y BQ = 12 m. Calcula QC. B P

4. De la figura 3MN = 2NC y DB = 10 m. Calcula «NB» si ABCD es un romboide. romboide. A M B N

Q

2k  x = 3k  10-x 20 – 2x = 3x 20 = 5x

A

3

GEOMETRÍA

C

D

C

56

x = 4m 4.°

AÑO

LÍNEAS PROPORCIONALES

5. De la figura, calcula EF si AF = 14 m y 11ED = 3BE. B C

A M 2k  x O3k  15m N B 4k  P C

F

E

D

A

6. Del gráfico, calcula «CD». B a 8m A 10m C

D

7. Del gráfico, calcula «CD». B

12. ABC es un triángulo isósceles (AC = BC). «I» es el incentro del triángulo si AB = 8 cm; AC = 10 cm, la distancia de «I» al lado BC  es 3 cm y la prolongación de BI corta AC . En «M», calcule la longitud de BM . Resolución: C

L 1 L 2 L 3

Por el corolario de Tales: x 2k  = 15 9k  x=

a

12m

UNI

10 m 3

   m    0  c    1 M

9. En la figura, las rectas L 1, L 2 y L 3   son paralelas; además, GE = 30 m y AB BC CD , calcula «CD». = = 12 10 8 A E L  F L  B C G D L  1

2

E

F

4m

3

1m A

B

C

3m

C

UNMSM 8. En

la

L 1, L 2

figura,

las

rectas

y L 3 son paralelas; ade-

más AO = AB = BC   y MP = 2 3 4 15m. Calcula «MO». A M

L 1

O NB P

10. De la figura mostrada, calcula «x + y», si y – x = 6 m.

10m

y 

B 8m A

x

D

11. En la figura, calcula «DC» y ED = 8 m; 4AB = 3AD.

L 2

C

q q

B

L 3

q

E

Resolución: Colocamos los datos en el problema:

4.°

AÑO

A

a a

q

D

57

C

10cm 3    c  m  

I 3cm

A

4cm N 4cm B 8cm Y Como «I» es incentro, eso quiere decir que es el centro de la circunferencia inscrita. Y razando el radio y apro vechando que es un triántri ángulo isósceles se forma: I 5 3 N 4 B Y Aprovecharemos para hallar «MI» con el teorema del incentro: 5 10+8 25 = →MI = MI 10 9 ⇒ BM = 25  + 5 = 70  m 9 9 13. ABC es un triángulo isósceles (AC = BC) «I» es el incentro del triángulo. Si AB = 16 cm y AC = 20 cm, la distancia de «I» al lado BC  es 6 cm y la prolongación de BI corta AC en «M». Calcula la longitud de BM .

14. En un triángulo ABC recto en «B» se traza la bisectriz BD . Por «D» se traza una perpendicular al segmento AC   que intercepta a BC  en «M». Si AD = 3 m y DC = 4 m, entonces la medida del perímetro del triángulo BMD será. GEOMETRÍA

3

4 Semejanza de triángulos Dos triángulos son semejantes si tiene sus tres ángulos interiores congruentes (ángulos respectivamente de igual medida) y las longitudes de sus lados homólogos son directamente proporcionales. Los lados homólogos son aquellos que se oponen a los ángulos congruentes.

Y

Situaciones frecuentes donde se presentan triángulos semejantes. semejantes. 1. Si MN  // MN ⇒ ∆ABC - ∆MBN. B f

Q B c f

a

a

A

ck  b

b

M

f

A

b

P

bk 

C

R  2. Si MN  // MN ⇒ ∆ABC - ∆MBN.

∆ABC - ∆PQR 

M

Notación: Z Nota 1

C

AB BC CA = k  = = PQ QR  RP

B N a

I. Razón de semejanza (r)

b

h2 a

8u

3u

b

h1

GEOMETRÍA

C

II. Propiedades Y

En la figura mostrada: B

6u

x

q

x2 = n⋅b q

10u

A

Razón: 6 = 8 = 10 = ... = h1 = 2 3 4 5 h2

4

q

A

a

5u

q M

a

Es aquel número real y positivo que se obtiene al dividir dos longitudes homólogas de dos triángutri ángulos semejantes. Ejemplo:

 

B

3. ∆MBN - ABC

Nota 2

4u

N

b

f

A

k = Consta nte de proporcionalidad proporcionalidad

 

a

a

m∠ABC = m∠PQR  m∠BCA = m∠QRP m∠CAB = m∠RPQ Z

N

ak 

a

C

b

a

58

n

C

D b

4.°

AÑO

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS T RIÁNGULOS Y

En la figura:

b

a

Cuadrado inscrito en un triángulo: A

Y

x

x

ab a+b

x=

x A

h

x=

x

x b

b⋅h h+b

C

Trabajando en clase Integral

Q

1. Del gráfico, calcula «x» si AC = 10 m. B

b

P

N A

M

x

5m

q

B

a

2a

P

8m

Q

6. Del gráfico PQ // AC, calcula PQ.

x R  Resolución: Aplicando propiedad de seme janza.

C

P 3a

B

2. Del gráfico, calcula «x». B

A

3m a 1

2m

b

13m

x

N

P

x A

M

Q 12m

3. Del gráfico, calcula «x». B

8m

x

R 

Q 2m

4. Del gráfico, calcula «x». B

B 3m b

A

a

2m q

a

x b

C

C

q

C

59

1m P

8m

A

a

b

q

q

3m

D 1m C

UNMSM

5. Del gráfico, calcula «x».

PUCP

AÑO

A

a

C

A

4.°

x

1 : 2 =3 10 → x = m 2 x 5 3

D

P x

2m

5m

q

P

B

C

2

x Q

C

q

b

x

12m

7. Calcula «x».

q

A

Q

8. Dos postes verticales de a y b metros de largo, situados sobre una superficie horizontal, están separados por una distancia de «k» metros. Las líneas que unen la cima de uno con la base del otro se cortan en el punto «P». ¿A qué altura respecto a dicha superficie esta «P»? Resolución: Dibujamos Dibujamos correctamente: GEOMETRÍA

4

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

P

a

b

11. En la figura, ABCD es un cuadrado, AM = 4ME y BE = 10 cm. Calcula «EC».

x

B

E

///////////////////////////// k 

Por la propiedad: 2

10  = 20 - 10 . 3 3

C

x + 20 - 10 3

M

⇒ x = a×b m

x = 20 cm

a+b

9. Dos postes verticales de 3 m y 2 m de largo, situados sobre una superficie horizontal, están separados 10 m, las líneas que une la cima de uno con la base del otro se cortan en el punto «P». ¿A qué altura respecto a dicha superficie está «P»? 10. En la figura, AB = 10 cm, BC = 12 m y AC = 14 m. Si DE // AC y BM = NC, calcula «MN».

D

A

UNI 12. En un triángulo ABC, sobre la prolongación de AC se toma el punto «D» de tal forma que 4 m∠  BAC = m∠CDB. Si 5m∠BAC = m∠ACB, BD = 10 m y CD = 20 - 10 m. 3 3 Calcula «AC». Resolución: Graficamos correctamen c orrectamente: te: A

B M

a

4

GEOMETRÍA

14. En la figura se tiene una semicircunferencia con diámetro BF , donde «D» es un punto de tangencia. Si AD = 6m, EC = 4m, calcula «AC». B

10 3

O

N

F 5a

a

A

13. En un triángulo ABC, sobre la prolongación de AC   se toma el punto «D» de tal forma que 4m∠BAC = m∠CDB. Si 5m∠BAC = m∠ACB; BD = 6m y CD = 4 m; calcula «AC».

C

A

x

4a C

60

20 - 10 D 3

A

D

E

C

4.°

AÑO

5

Relaciones métricas en el triángulo rectángulo

Proyección ortogonal sobre una recta

BH : altura (menor) AH: proyección ortogonal de AH sobre AC CH: CH : proyección ortogonal de BC  sobre AC Se cumple: ∆ABC ∼ ∆AHB ∼ ∆BHC

Se denomina proyección ortogonal de un punto sobre una recta al pie de la perpendicular trazada del punto a la recta, los puntos que pertenecen a la recta son proyecciones de sí mismo. Se denomina proyección de un segmento sobre una recta a la porción de recta comprendida entre las proyecciones de los extremos del segmento, esta proyección proyección es también un segmento excepto cuando c uando el segmento que se proyecta es perpendicular a la recta, en tal caso, la proyección es un punto. C D

A B

Propiedades c A

G

b

h m

n

H

C

a

Propiedades adicionales

H

E

1. a2 = b2 + c2 2. h2 = m ⋅ n 3. h = bc a 4. c2 = ma; b2 = na

B

1. En el gráfico: AB: AB: diámetro Se cumple: h2 = mn

I’

A’ B’ C’ D’ F G’ H’

A A’: Proyección de A sobre L  B’C’: B’C’: Proyección de BC sobre BC  sobre L  D’ : Proyección de DE Sobre L  FG  Sobre L  FG’: Proyección de FG Sobre H’I’ : Proyección de HI  sobre L 

h A

n

m

B

2. En el gráfico: AB : AB : diámetro Se cumple: b2 = cn

Relaciones métricas en el triángulo rectángulo En todo triángulo rectángulo; al trazar la menor altura se forman dos triángulos los cuales son semejantes semejantes al triángulo rectángulo dado.

b

B A b

n

c

a

B

3. En el gráfico: A, B y C son puntos de tangencia tangencia b

a

A

Se cumple: x = 2 Rx

H

C R 

En el triángulo rectángulo ABC AB y AB y BC: BC : catetos AC  : hipotenusa 4.°

AÑO

B A

61

r

C x

GEOMETRÍA

5

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Trabajando en clase Integral

Usamos la propiedad 52 = a1 → a = 25 m ⇒ 2R = a + 1 2R = 26 R = 13 m

1. Del gráfico, calcula «x». B

9m

Acomodamos el dato:

5. Del gráfico, calcula «R» si «O» es centro.

x A

Resolución:

H 3m C

M 8m

2. Del gráfico, calcula «x».

A H 1  m

B

Colocamos en el triángulo

R 

B

B

O

2 3a 6

x A 2m H

C

8m

A

6. Del gráfico, calcula «x». B 2x+3m

3. Del gráfico, calcula «x».

AC ⇒ AC ⋅ 2 3 +3 3 (2 - 3 ) 2 3 -3 2 3 +3 ⇒ 2 3 AC + 3AC  + 2 3 AC 3 3 + AC

3x-3m

a 2

2 3a 6 a 2

H a

C

razamos la altura del triángulo.

B 40m

9m

x

x

A

C

7. Del gráfico, calcula «x». B

A

H

C

4. Del gráfico, calcula «R» si «O» es centro. M 5m A R 

 1  B O H m

Resolución:

A

x+10m

A

5

a

GEOMETRÍA

C

UNMSM 8. En el triángulo ABC de la figura tiene perímetro igual a AC  , si AB = BC, cal3 (2 - 3 ) cula a + q.

M O

a 2

x+5m

x

PUCP

⇒ a = 30º y q  = 60º

2 → a + q = 150º

9. En el triángulo ABC de la figura tiene perímetro igual a AC 1 + 5 cm. cm . Si AB = BC, 3 calcula a + b.

B

B

q

5m

b

B

  m    1

A

2 3a 6

a 3 6

a

C

62

A

a

C 4.°

AÑO

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

10. Calcula el valor del ángulo de la figura adjunta. B x

5 3m

R  m I

c 5m

H

A

2a

a

B

Resolución:

A

E

C

D

UNI 12. La figura muestra una circunferencia de radio «R» inscrita en el triángulo rectángulo ABC. Calcula «R» en función de «m», b y c. «I» es incentro del triángulo ABC.

4.°

AÑO

a

B       R 

c       R     c   -

a a

C

b

A

C 11. En la figura, calcula AB, dado que: (AE) (AC) = 128 m2. B

13. La figura muestra una circunferencia de radio «R» inscrita en el triángulo rectángulo ABC. Calcula el valor de la hipotenusa en función de «R», «a» y «b». «I» es incentro del triángulo ABC.

B

R  m I

A(c-R-m) H c

A C b

Aplicamos la propiedad: C2 = (C – R – m) b C2 = bc – bR – bm bR = b(c – m) – c2 2 R = bc – m – c b R = C(b - c) - m b

63

bI

R 

H

C

14. En la figura mostrada M, N y P son puntos de tangencia, «O» y «O’» centro de circunferencia. Si PM = 3 PN, calcula r’ . r M r’ O’ P

N r M

GEOMETRÍA

5

6

Relaciones métricas en los triángulos oblicuángulos

Naturaleza de un triángulo

2. Segundo teorema de Euclides C

Aprenderemos a reconocer si un triángulo es acutángulo, obtusángulo o rectángulo, conociendo las medidas de sus lados. B Si: a2 < b2 + c2 1. c a ⇒ El ∆ es acutángulo A

aº

H

C

b

En un

c

B

obtusángulo obtusángulo

3. eorema de Herón

⇒ El ∆ es obtusángulo

B

C

b

b

B A

⇒ El ∆ es rectángulo

A

C

b

h=

eoremas en los triángulos oblicuángulos

 

1. Primer teorema de Euclides

A

a+b+c Donde: p = 2

B b

c

C A

En un ∆Acutángulo 2

GEOMETRÍA

a x M c

C

2 a2 + b2 = 2x2 + c 2

a  = b  + c  – 2cm 2

C

p(p-a)(p-b)(p-c)

a

b aº m H

2 c

H c

4. eorema de la median medianaa

B

2

a

h

Si: a = b2 + c2

a

c

6

c

Si: a2 > b2 + c2

a A

3.

A

m

a2 = b2 + c2 + 2cm

B 2.

a

b

64

4.°

AÑO

RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

5. eorema de Stewart

3.

B

B mc

M a

b

ma

x A

A

m

c

N mb

P

C

M n C ma2 + mb2 = 5mc2

x2c = a2m + b2n - cmn 4. eorema de Booht

6. eorema de Euler

B

b

a

mc

M ma

a

A

c

m

c

N b mb

P

C

n x ma2 + mb2 + mc2 = 3  (a2 + b25 + c2) 4 d

5.

a  + b  + c  + d  = m  + n  + 4x 2

2

2

2

2

2

B

2

b

Propiedades generales H

1.

B R  A M m

2.

A

AÑO

n

C

Recuerda

b

Hx N c

x

x2 = R 2 – m.n

B a

4.°

C

n

A

b2 = a2 + c2 – 2cx

R 

x

a

A

Existen también relaciones métricas en cuadriláteros y es recomendable recomendable que investigues.

2 2 x = b - a 2c

65

GEOMETRÍA

6

RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULO OBLICUÁNGULOSS

Trabajando en clase Integral

B

1. Si los lados de un triángulo miden 4 u, 5 u y 6 u. ¿Qué clase de triángulo es? A

2. Si los lados de un triángulo miden 2 u, 3u y 4u. ¿Qué clase de triángulo es?

UNMSM 8. En la figura, AB = 4 m, BC = 5m y AC = 6 m. Calcula «BM». B

PUCP 4. Se tiene un triángulo ABC. AB = 2 m, BC = 3 m y AC = 6 m. Calcula la longitud de la altura relati va a AC . Resolución: Graficamos adecuadamente y aplicamos el teorema de Euclides tomando de referencia al ángulo «A». B

A a M Resolución: Del teorema de Ceva:

4m

3m

Y

Y

a

H 6m

C

( 3 )2 = ( 2 )2 + ( 6 )2 = 2a 6 a= 5 m 2 6 Aplicamos Pitágoras: ( 2 )2 = a2 + h2 Reemplazando «a» → h = 23m 24

x C

9. En la figura, AB = 10 m, BC = 8 m y AC = 12 m. Si DC = AC , calcula «BD». 4 B

A

D

C

10. Del gráfico, calcula «x». B

6. En un paralelogramo ABCD AB = 9m, BC = 4 m y AC = 133m. Calcula la medida del ángulo «BAD».

6m

7. De la figura, calcula la medida del ángulo BAC, si se cumple: a 2 = b2 + c2 – bc

GEOMETRÍA

C

5m

A a M 3a 4a = 6 → a = 3 2 42 ⋅ 3a + 52a = x2 6 + x ⋅ a ⋅ 3a 23 x= 2m

5. Se tiene un triángulo ABC. AB = 5 m, BC = 7 m y AC = 13m. Calcula la longitud de la altura relativa a AC .

6

3a

B

aº

A

C

H b

3. En un triángulo ABC se cumple: a2 = b2 + c2 + bc 2 Calcula uno de sus ángulos interiores. interiores.

2m

a

c

A

66

x 3m

D

7m

C

4.°

AÑO

RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

11. En un triángulo «ABC»; AB = 16 m, BC = 20 m y AC = 24 m. m. Se t raza la cevi ana ana BR   tal que RC = 6 m. Calcula la longitud BR  . UNI 12. Las medianas de un triángulo miden 9m, 12m y 15m. calcula la longitud del lado menor. menor. Resolución: Graficamos correctamente: correctamente:

A

4.°

AÑO

5 8

6

4

13. Las medidas de un triángulo miden 27m, 36m y 45m. Calcula la longitud del lado mayor. mayor.

N

5 10 P

Aplicamos el teorema de la media: 2 62 + 82 = 2 ⋅ 52 + x 2 ⇒ x = 10 m

B x M

Sabemos que a mediana mayor, se le pone el lado menor.

14. En un rombo ABCD se toma el punto «M» tal que AM = 8 m y MD = 12m. Calcula el lado del rombo. («M» es punto medio de BC )

C

67

GEOMETRÍA

6

7

Relaciones métricas en la circunferencia

1. eorema de las cuerdas

3. eorema de la tangente tangente y la secante

Si AB y CD se CD  se cortan en P determinan los segmentos: En AB : AB  : AP = a; PB = b En CD: CD : CP = c; PD = d

En la figura PA  Es tangente y PC  la secante. Si: PA = , PC = a, PB = b. A



D

A

P

d

a

C c

P

b

B

a

  Luego: a ⋅ b = c ⋅ d

b

C

 

B

Luego: 2 = a ⋅ b

2. eorema de los secantes Se han trazado trazad o desde P, las secantes PA  y PC PA = a, PB = b, PC = d, PD = c A

Recuerda

a B

b

Que para relacionar las líneas secantes s ecantes en la circunferencia debemos considerar la medida m×a del segmento m externo por la a medida total.

P C  

c

D

d

Luego: a ⋅ b = c ⋅ d

Trabajando en clase Integral 1. Del gráfico, calcula «x» si AP = 7 m, PB = 2 m y CP = 1 m. C A P x

2. Del gráfico, calcula «x» si «» es punto de tangencia AB = 5 m y CB = 7 m.  x

B C

B

A

D

7

GEOMETRÍA

68

4.°

AÑO

RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA

3. Del gráfico, calcula «x».

7. Según el gráfico MB = DN, AB = 2(CD) = 12 m y BC = 4 m. Calcula «DE». C

x

A

x

B

M

B D

C 3m

D

E

E

A

3m

N

UNMSM

PUCP

8. Calcula «LI» si N = 12 m y AL = 4 m. «N» y «» son puntos de tangencia.

4. En una circunferencia de centro «O» y radio 15 m, se ubica una cuerda AB y en ella se toma el punto «P» tal que (AP) × (PB) = 200 m2. Calcula OP. Resolución: Graficamos correctamen c orrectamente te

N

A L



M P

A x

   5  m   1

O 1   

D

I

Resolución: Colocamos variables correspondientemente correspondientemente c Na A b  L

5    m  

N Y Y

Si OP = x ⇒ MP = 15 – x Aplicando el teorema de cuerdas: (15 - x)(15 + x) = 200 → x = 5 m

d I

5. Del gráfico, calcula “x” si “O” es centro y (AP) ×(PB) = 300 m2. P

A x

Y Y

D

a2 = c (c + d) b2 = c(c + d)

→ a = 2 (4+d) 4+d)

O

→ b = 2 (4+d)

20m

12 = 2( (4+d (4+d)) + (4+d (4+d)) )) 3 = 4 +d 9 = 4 + d ⇒ d = LI = 5 m

6. Según el gráfico 2(QD) = 3(QB) = 6(AQ) y CQ = 4 m. Calcula «QD».

9. Calcula DE si AC = 36 m y BD = 12 m; además «A» y «C» son puntos de tangencia.

B C A

E

Q

D

D

4.°

AÑO

A

69

B C GEOMETRÍA

7

RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA

Resolución: Colocamos los datos en el dato correspondiente. 10m a C M B 3a 6m  m  6  N  3 a A

10. Según el gráfico «» es punto de tangencia, m C = m EM , AB = 8 m y B = 10 m. Calcula CE. M

E

C A

B



a(a + 10) = 6 . 3a a + 10 = 18 a=8m ∴ AN = 3a - 6 = 18 m

11. Según el gráfico, el triángulo ABC es equilátero y QC = 2(BQ) = 8 m. Calcula MC («A» es punto de tangencia).

13. Según el gráfico, AB = 3(MB), CM = 30 m y NB = 18 m. Calcula «AN».

B

A Q

M

B

C

N

M

A

14. Según el gráfico, «» es punto de tangencia AM = 8 m y MN = 10 m, CD = 2(AB) = 2(BC). Calcula «D». N  M

UNI 12. Según el gráfico, AB = 3(MB) CM = 10 m y NB = 6 m. Calcula «AN». C

M

C

B

N A

A

7

GEOMETRÍA

70

B

C

D

4.°

AÑO

8 Repaso 1. En el gráfico, calcula «a» («O» es centro y M, N y P son puntos de tangencia). a) 108º B a b) 120º c) 135º N O M d) 145º e) 176º A C P

5. Del gráfico, calcula «x» si «M» y «N» son puntos de tangencia. M a) 16 m x N b) 36 m O c) 48 m O’ 36m 49m d) 84 m e) 96 m

2. En la figura, calcula «x» en la AE = 100º. a) 46º C b) 48º c) 60º B 2a 3a D d) 63º e) 74º A E 3. Del gráfico, calcula «x» si AE = 14 m, BE = 6 m, CD = 4x + 24m y FD = 42 m. C a) 9 m B b) 18 m F E c) 27 m d) 36 m e) 45 m

6. Del gráfico, calcula la proyección de BC sobre BC  sobre AC. a) 9  m 8 b) 18  m 5 c) 27  m 6 d) 34  m 8 e) 74  m 11

B 14m 5m

b

A

a

18m 3a

E

8m

A

b

x D

4.°

AÑO

  m

4a P

a   2 N

a) 2 6 m

C a

a) 9 m b) 21 m

C

Ba

q

9m

x

M

B 7m

C

7. Del gráfico, calcula «x» si «M» es punto de tangencia.

D

A 4. Del gráfico, calcula «x».

12m

A

c) 24 m d) 27 m

27m

b) 4 6 m

F

c) 6 6 m d) 8 6 m

e) 42 m

e) 24 6 m

71

GEOMETRÍA

8

REPASO

11. Calcula PQ si AB = 21 m, R = 17 m y r = 10 m. («A» y «B» son centros)

8. Del gráfico, OA = 2 m, BE = 12 m, AC // BD y BC  // ED . Calcula AB. a) 2 m

P

E

b) 4 m

A

B

c) 6 m

R 

A

d) 8 m

B

r

Q

e) 10 m O

C

a) 6 m b) 8 m

D

9. Las bases de un trapecio miden 16 cm y 32 cm. Si su altura mide 18 cm, calcula la distancia del punto de intersección de las diagonales a la base mayor. a) 3 m c) 12 m e) 48 m b) 4 m d) 24 m

c) 10 m d) 12 m

e) 16 m

12. De la figura, calcula «x». 70º C B

10. Calcula «R» si AD = 18 m y FG = 24 , («O» es

A

centro y P, Q y M son puntos de tangencia). a) 5 m b) 7 m c) 8 m

P

D

GB

AF R 

O

E

Q

x a) 60º b) 70º

d) 12 m e) 13 m

D

M

C

c) 80º d) 110º

e) 140º

Bibliografía 1. Introducción a la Geometría Moderna, VELASCO SOOMAYOR, México DF, Editorial Continental, 1972. 2. Exámenes de admisión de los últimos 10 años de las universidades PUCP, PUCP, UNMSM y UNI.

8

GEOMETRÍA

72

4.°

AÑO

Geometría

1

Polígonos regulares y longitud de la circunferencia

Polígonos regulares Son aquellos polígonos convexos que tienen sus lados y ángulos congruentes. odo polígono regular puede ser inscrito y circunscrito a dos circunferencias concéntricas. Ln

O: centro de la circunferencia R: circunradio Ln: longitud del lado, para el polígono regular de «n» lados. an: Longitud de la Apotema (o apn) ∆ COB: Elemento fundamental del polígono an: Medida del ángulo central o del arco que subtiende cada lado del polígono. an=

an

A

B an

C R 

Ln H 2 Z

R  O

360°

n

Cálculo de la longitud del lado En el ∆COB en la ley de cosenos:

Ln = R  2(1–Cosan)

Cálculo de la Apotema 1 4R 2 –L 2 En el ∆OHZ: an = n 2

Trabajando en clase Integral

Católica

1. Calcula el lado del cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 10 m.

4. Calcula el valor de «x». A

2. Calcula el lado del triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 20 m.

l 

AÑO

x

4

3. Calcula el lado de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio 12 m.

4.°

C E

l 

18

D B

49

GEOMETRÍA

1

POLÍGONOS REGULARES Y LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA

Resolución: Sabemos que l 4 nos da un arco de 90°. Sabemos que de l 18 podemos calcular el arco que determina: DE = 360°  = 20°

R  3 = 3 2 R=2 3

9. Calcula el radio de la circunferencia circunscrita a un hexágono regular si el radio de la circunferencia inscrita a dicho hexágono regular es 6 m.

18

Por ángulo interior: x = 90+20  = 55°

2

5. Calcula el valor de «x». A

10. Calcula el perímetro del triángulo t riángulo que se forma al unir los puntos medios de 3 lados no consecuti vos de un hexágono hexágono regular de circunradio R.

C

R  3

x

E

R 

11. Sobre el arco AB de la circunferencia circunscrita a un hexágono regular ABCDEF de lado «a» se toma el punto «P». Calcula: M = PA2 + PB2 + PC2 + PD2 + PE2 + PF2

D B

6. Calcula «x».

UNI

B

12. En un octógono regular ABCDEFGH de circunradio R, calcula la distancia del vértice A al punto medio del lado DE. Resolución: C D L8 B 2 M A L8 R  2 – E 2 ; O  = 2 2

x

   2    R 

R     3    

A C

7. Calcula «x». A l  3

E

B x

l  5

H

C

G OM = L8 = R  2 + 2  en el triángulo ADE; por 2 base media AD = (OH)

D

UNMSM 8. Un hexágono hexágono tiene una circunferencia inscrita de radio 3m. Calcula la longitud de radio de la circunferencia circunscrita al mismo polígono. Resolución: Según el gráfico dado por p or el enunciado:

AD = R  2 +  

(AM)2 = (AD)2 + (DH)2 2

13. En un octógono regular ABCDEFGH de circunradio 10 m, calcula la distancia del vértice A al punto medio del lado DE.

R  3 60° H A

14. En una circunferencia de centro Q y radio 4 2  m, se trazan los diámetros AB y DE perpendiculares entre sí. La recta que une el punto A con el punto medio O de BC, B C, lado del hexágono regular inscrito, corta a DE en N. Indica cuánto mide QN.

OH = 3 m En el ∆AOH 30° y 60° OA 3  = OH 2

GEOMETRÍA

2 ;

AM = R  10 +3 2

O

1

F

50

4.°

AÑO

2 Área de regiones triangulares A. Fórmula básica

D. Fórmula trigonométrica

B

B c

h q

A A

C

C

H

b A∆ABC = b×c  Sen q 2

A∆ABC = b×h 2 BH: altura relativa AC.

E. Fórmula de Herón B

B. En un triángulo obtusángulo obtusángulo

a

c

B

C

A

h

b H

A

En el ∆ABC:

C

b

p: semiperímetro de la región triangular ABC.

A∆ABC = b×h 2

A∆ABC= p(p–a)(p–b)(p–c)

BH: altura relativa AC.

 

Observación: En un triángulo equilátero:

C. En un triángulo rectángulo B

A A

b

C

A∆ABC =

A∆ABC = b×c 2

l

AB y AC: catetos

AÑO

30° l 

l 

c

4.°

B

B

h C

l  l 2

30°

3 4

= AB = BC = AC = lado

A

60°

60° C H

h2 3 A∆ABC = 3 BH: altura

del triángulo

51

GEOMETRÍA

2

ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES

F. En función del inradio

S∆ABC = S∆BOC + S∆AOC + S∆AOB S∆ABC = a.r  + b.r + c.r 2 2 2 S∆ABC = r a+b+c 2

B

A∆ = p×r r

O

p: semiperímetro

A  

G. En función del circunradio B

C

Demostración B

c

R  a O

c

A

a

r O r

A∆ABC = abc 4R 

r

A

C

b

C

b

Trabajando en clase Integral

Resolución: Graficamos:

1. Calcula el área de la región triangular mostrada. B

B 60°

8m 60°

A

C

10 m

A

2. Calcula el área de la región sombreada. B

37°

D

E

C

9m

14 m

C

4m

C

R  =  8  m 

4. Calcula el área de la región triangular equilátera si su perímetro es 12 m.

GEOMETRÍA

60°

6. Calcula el área de la región triangular, si el perímetro del triangulo ABC es 36 m. (O es centro y P, Q y M son puntos de tangencia) B Q P

Católica

2

60°

5. Calcula el área de la región triangular equilátera si su perímetro es 27 m.

3. Calcula el área de la región sombreada. B 15 m 7m A

4m

a2 3 Aplicamos la fórmula: As = 4 2 As = 4 3  = 4 3 m2 4

10 m A

4m

A

52

M

C

4.°

AÑO

ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES

7. Calcula el área de la región sombreada si: a×b×c = 48 m. B

equilátero. Calcula el área de 11. ABC es un triángulo equilátero. la región sombreada. B P

b

a  m  1 5   R  =

A

Q

9m A C

c

9m C

15 m

UNMSM UNI

8. Se tiene un triángulo isósceles cuyos lados congruentes miden 4 m. Si el área de la región triangular es 6 m2, ¿cuál es la longitud de su altura relativa al tercer lado? Resolución: Graficamos correctamente: correctamente: B 4m A

4m

h a

12. El área de un triángulo rectángulo ABC recto en B es 64 m2, exteriormente se dibujan los triángulos equiláteros AEB y BFC. Si el área de la región triangular EBF es K veces el área de la región triangular ABC. Calcula el valor de K. Resolución: Graficamos adecuadamente: 64K m2 E F a B 60° 60° b a b b a 64 m2 C A Sabemos que: a.b  = 64 m → ab = 128 2 Asom = abSen(150°)  = 64K 2 1 K=2

H

C

a

Sabemos que: 2a.h  = 6 2

→ a.h = 6 → a = 6

h

Por teorema de Pitágoras: →42 = h2 + a2 →16 = h2 +

 

6 h

2

→16h2 = h4 + 62

omamos: h2 = x → x2 – 16x + 36 = 0 → a = 1; b = –16; c = 36 Por fórmula general: –(–16) ± (–16)2–4(2)(36)  = 8 – 2 7 2(6) Como h2 = x h=

13. El área de un triángulo rectángulo es 16 m2. Exteriormente a los catetos se dibujan los triángulos equiláteros. Si el área de la región triangular que se forma al unir los vértices sobrantes de los triángulos equiláteros con el vértice en el que se ubica el ángulo recto es N veces el área de la región que encierra el triángulo rectángulo. Calcula el valor de N.

8–2 7  m

9. Un triángulo tiene 2 lados de longitud 8 m. Si el área de su región es 12 m 2, ¿cuál es la longitud de su altura respecto al tercer lado?

14. En la figura PQRS es un cuadrado y Q = 12 cm. Calcula el área de la región NQA. Q P  N A

10. Los lados de un triángulo miden N, (N+2), (N+4) y >0. Calcula la razón entre su área y la altura respecto a la hipotenusa.

S

4.°

AÑO

53

R 

GEOMETRÍA

2

3 Área de regiones cuadrangulares Postulado eorema El área de una región cuadrada es igual a la longitud El área de una región rectangular es igual al producto de de su lado elevado al cuadrado. dos de sus lados no congruentes. L C B b C B L L S a a S D A L A D b eorema

eorema El área de una región limitada por un trapecio es igual El área de una región paralelográmica es igual al a la semisuma de las bases, multiplicada por la altura. producto de uno de sus lados por la altura relativa a a ella. B C B C S A

A

D

b

S

h

h

D

b

Para un rombo

Para un cuadrado

B

C

A

B

C

a

D

A

D

Observación B D A

3

GEOMETRÍA

a

C

54

4.°

AÑO

ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES

Trabajando en clase Integral

Sabemos que: A: = a+2b+a h = (a + b).h 2 = 10 m. 8 m

1. Calcula el área de la región sombreada. C B 8m

A: = 80 m2

45°

A

D

5. Calcula el área de la región sombreada (BC//AD). Si ABCD es un trapecio isósceles. C B

2. Calcula el área de la región sombreada. B C F G 8m 3m E

H

7m

A

9m A

D

16 m

10 m

3. Calcula el área de la región sombreada.(ABCD es un romboide). a+20 m B C a

b

127° D

 m  = 2   R 

O

A

Católica 4. Calcula el área de la región sombreada, (BC//AD). Si ABCD es un trapecio t rapecio isósceles. B C

H

A

D

10 m

Resolución: Completamos con variables: a B C h A

H b

4.°

AÑO

D

30°

C

D

UNMSM 8. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B se inscribe un cuadrado PQRS, con P y S sobre la hipotenusa AC. Si AP = m y SC = n, calcula el área de la región que encierra el cuadrado.

h D

I a

45°

Q

7. Calcula el área de la región rombal. B 8m

8m A

D

6. Calcula el área de la región sombreada si ABCD es un trapecio (BC//AD); Py Q son puntos de tangencia y O es centro) c entro) 10 m P B C

40 m

A

H

b

55

GEOMETRÍA

3

ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES

UNI

Resolución: Graficamos adecuadamente: B Q

x

12. Se tiene un trapecio ABCD (AD//BC). Si la medida del ángulo BAD = 75° y m∠CDA = 30°; calcula el área de la región trapecial si su base mayor mide 30 m y la base menor 12 m. Resolución: Graficamos adecuadamente y prolongamos.

R 

b

a

x

x b

a

A m P Por semejanza: semejanza : x  = n

m

S

x

M

C

n

x

x = m.n 2 ∴A> = ( m.n ) = mn u2

A

Q

S

12 m

C

GEOMETRÍA

D

53° 1 0 0 m  P

11. Calcula el área de la región trapecial ABCD, si AB = 13 m, CD = 4 m y AC AC = EC. E

A

30°

A

D

D

75°

14. En el cuadrante AOB, calcula el área de la región sombreada. (O es centro).

F

A

30 m

13. Se tiene un trapecio ABCD (AD//BC); si m∠BAD = 75° y m∠CDA = 30°, calcula el área de la región trapecial si su base mayor mide 15 m y su base menor 6 m.

10. El trapecio ABCD tiene área 256 m2, su altura mide 16 m y AD = 20 m. Calcula el área de la región trapecial AEFD si su altura mide 4 m. (BC//AD//EF). B C E

C

Por semejanza: 15 n  = → n = 6 m 30n 12 → h + 6 m = 15 m → h = 9 m A: = 30+12 h = 189 m2 2

R 

A 3m P

12 m

30 m

9. Calcula el área de la región sombreada. B

3

B

15 m

75° n

O

C

Q

R 

B

B

56

4.°

AÑO

4 Área de regiones circulares Círculo Sector circular Se denomina círculo a la región interior del plano Es la parte del círculo comprendida entre dos radios y limitada por una circunferencia. el arco interceptado. R  R  a

Segmento circular Corona circular Es la porción del círculo Es la porción del plano limitada por p or comprendido entre la cuerda y el dos circunferencias concéntricas. arco que subtiende. B A r R 

rapecio circular Es la porción del plano limitada por dos circunferencias concéntricas y dos radios. R  r a

R 

O

Trabajando en clase Integral

Católica

1. Calcula el área de la región sombreada, si O es centro. O

4. Calcula el área de la región sombreada, si O es centro y  es punto de tangencia.

  7  m   =   R 

6 m 

A

2. Calcula el área del círculo, si la longitud de la circunferencia es 16p m.

 O R 

3. Calcula la longitud de la circunferencia, si el área del círculo es 81p m.

4.°

AÑO

B

57

GEOMETRÍA

4

ÁREA DE REGIONES CIRCULARES

Resolución: Graficamos correctament c orrectamente: e: A 3  m   3  m  r B

C B

O

A

R 

O

D Resolución:

Sabemos que: A  = p(R 2 – r2) Aplicamos Pitágoras: R 2 = r2 + 32 R 2 – r2 = 9 Reemplazamos A  = p(R 2 – r2) = 9p m2.

enemos el triángulo

C

5

30-r 15

5

A

15 B

15 30–r

   r   +    5    1

9

5. Calcula el área de la región sombreada, si O es centro y  es punto de tangencia. B 4m  O A

r

15

15

D

Aplicamos Pitágoras: r = 10 cm Asom = p302 – 2p.152 – 2p(10)2 = 250p cm2

6. Calcula el área de la corona circular, si O es centro.

9. Determina el área de la región sombreada donde A, B, C y D son centros de círculos tangentes entre sí, y a su vez tangentes al círculo mayor de centro O y radio 40 cm.

  2 m  r =    m     8    =     R 

15+r

O

B A

7. Calcula el área de la región sombreada, si O es centro. A

O

C

D

  m   5

10. Si el radio OA de la circunferencia que aparece en el dibujo mide P unidades, el área de la región sombreada es:

O 72° B

D

A

UNMSM 8. Calcula el área de la región sombreada donde A, B, C y D son centros de círculos que son tangentes entre sí, y a su vez tangentes al círculo mayor del centro O y radio 30 cm.

4

GEOMETRÍA

58

O C

B

4.°

AÑO

ÁREA DE REGIONES CIRCULARES

11. En la figura, P y Q son centros de los círculos congruentes. Si AP = PB = 8 m y P es punto de tangencia. Calcula el área de la región sombreada.

Hay 12 cuadrados = 12R 2 Hay 8 ⇒ 2 circunferencias pR 2

Asom = 12R 2 + 2pR 2 = 2R 2(6 + p)2

Q C

M

A

P

13. Calcula el área de la región sombreada si todas son semicircunferencias. semicircunferencias.

B

UNI 12. Calcula el área de la región sombreada. R=2 m   m    2

14. ABCD es un cuadrado de lado K y BAD es un sector circular con centro en A. Calcula Calc ula el área de la región sombreada.

R  R  Resolución: Al ver que se forman cuadrado entre las semicircunferencias, completamos: completamos:

B

C

O R  2 R  R  1 A R  3 R  4

D

R  5 R  6 R 

R  12 R  11 R  10 R  9 R  8 R  7 R 

4.°

AÑO

59

GEOMETRÍA

4

5

Área de polígonos inscritos y circunscritos en una circunferencia

Área de un triángulo en función del inradio

Área de un triángulo en función del circunradio.

El área de un triángulo es igual al semiperímetro por el inradio. A∆ = p.r Se cumple:

B

c

a O R  C

C b

a

cc

A

b

O

B A

B

c A

n

m

C

Trabajando en clase Integral

2. Calcula el área de la región sombreada. O es centro y P, Q y M son puntos de tangencia. B

1. Calcula el área de la región sombreada. (O es centro). B

Q

P O  4

C

5

GEOMETRÍA

 3 m

O A A

60

M  8 3 m

C

4.°

AÑO

ÁREA DE POLÍGONOS INSCRITOS Y CIRCUNSCRITOS EN UNA CIRCUNFERENCIA

3. Calcula el área de la región sombreada. (O es centro)

A

6. Calcula el área de la región sombreada (O es centro).

B

C

B

O

O 4m

5 m  m 

C

A

D Católica

D

7. Calcula el área de la región sombreada. (O es centro) B

4. Calcula el área de la región sombreada (O es centro y P, Q y M son puntos de tangencia). B Q P O R  A 53° C M 10 m

O 8 3 

m 

C

A

UNMSM

Resolución: B 6m A 53°

O

8. Calcula el área de la región sombreada, donde el cuadrado está inscrito en la circunferencia de radio igual a 2 m. B

8m R 

10 m

C

Por Poncelet hallamos R:

A

6 + 8 = 10 + 2R 

C

4 = 2R  2 m = R 

D

Luego: Asomb = A – A

Resolución: B

= 6.8  – p(2)2 2 Por tanto: Asomb = 4(6 – p)m2

A

5. Calcula el área de la región sombreada. sombreada. (O es centro y P, M y Q son puntos de tangencia) B Q P O R  37° A C M 15m

4.°

AÑO

4m

C

D rasladando las áreas correspondientes, obtenemos la figura. Luego: Asomb = A  – A 5

4

2 = p.22 – 4 2 Asomb = 4(p – 2)m2

61

GEOMETRÍA

5

ÁREA DE POLÍGONOS INSCRITOS Y CIRCUNSCRITOS EN UNA CIRCUNFERENCIA

9. Calcula el área de la región sombreada, donde el cuadrado está inscrito en la circunferencia de radio 6 m. B

A

B

A

C

R  30° R 3 2

O r C

R  2 a = R  3 a = 12 = R  3 r = 4 3  cm y r = 4 3  = 2 3  cm 2 Asomb = pR 2–pr2 = p(4 3 )2 – p(2 3 )2 Asom = 36p cm2 r=

D

10. Se tiene un cuadrado inscrito en una semicircunferencia de diámetro 2R. Determina el área del círculo inscrito en dicho cuadrado. 11. Calcula el área de la región sombreada, donde AB = 8 m. B O 30°

A

13. ABC es un triángulo equilátero cuyo lado mide 3 cm y O es centro de la circunferencia inscrita y circunscrita al triángulo ABC, calcula el área de la región sombreada. B

C

R 

O

UNI 12. ABC es un triángulo equilátero cuyo lado mide 12 cm y O es centro de la circunferencia inscrita y circunscrita al triángulo ABC, calcula el área de la región sombreada. B

R  A

14. El perímetro del triángulo ABC, circunscrito a la circunferencia de centro O es 18 cm. Calcular el área de la región sombreada.

O r

B C O

Resolución: Como: AB = BC = AB = a

5

GEOMETRÍA

C

A

A

62

C

4.°

AÑO

6 Relación de áreas 1. Regiones triangulares

B

B A

A

2A

A

A

A

C

n

A C

2n

B

A A

A A n 2n G: baricentro

A C

B A

AG A A

C

A

A

B

A A A

B

A C

A

A

A

A C

G: baricentro

∆ABC ∼ ∆PQR

B

Q

a

b

a

n

A1

A

b

a

C

A2 b

P

m

R 

2. Regiones cuadrangulares A. rapecios A

B

B

A

A

C

C

B. Romboides A

A A

A

B

A C

P

P: punto arbitrario

4.°

AÑO

63

GEOMETRÍA

6

RELACIÓN DE ÁREAS

Trabajando en clase Integral

B

E

1. Calcula el área de la región sombreada, si el área de la región triangular ABC es igual a 225 m2.

A A

B

D

A= A 2k

M 6k I 7k

AABCD  = 32  = 16 m2 2 2

 C iii) Aplicamos Aplicamos la propiedad:

2. Calcula el área de la región sombreada, si el área de la región triangular ABC es igual a 240 m2.

A

B

3A F

D

Entonces, 4A = 16 A = 4 m2

E A

C En consecuencia; ASomb = 3A = 3(4) ASomb = 12 m2

3. Calcula el área de la región sombreada. Si el área de la región triangular ABC es igual a 600 m2.

5. Calcula el área de la región sombreada. B C

B M

N G

A

C

P

A

4. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD es un romboide. B E C M

A

N

8m

9m

4m

D

6. Calcula el área de la región sombreada. C Q 4 m2 B 3 m2 M N

4m D

Resolución: i) Determinamos el área de la región romboidal: A = 8×4 = 32 m2

10 m2

4 m2 A

6

ii) Aplicamos Aplicamos la propiedad propiedad que se cumple cumple para todo paralelogramo. paralelogramo.

GEOMETRÍA

N

M

Católica

6

C

64

P

D

4.°

AÑO

RELACIÓN DE ÁREAS

7. Calcula el área de la región sombreada si ABCD es un trapecio. B

10. Calcula el área de la región sombreada. B

C

4 m2

C

8m O

5m H

D

A 9 m2

11. Si ABCD es un romboide calcula el área de la región sombr s ombreada. eada.

D

A

UNMSM

A

Resolución:

a

C

B

M 2A

4A A

D

a

E A

C

C

A = 15 m2 2

B

9. Los segmentos internos del triángulos ABC son medianas. Si el área de la región triangular ABC es igual a 140 m2. Calcula el área de la región sombreada. B

M A

AÑO

F

N C

En consecuencia: A∆ABC = 9a + 3a A∆ABC = 12a cm2

E D

a a G a

Dato

9a

G

4.°

N

Resolución: Aplicamos la propiedad del baricentro (G) y la propiedad de la base media.

8A = 60 m2 (Dato)

A

G

A A F a

H

D

UNI 12. Si el área de la región sombreda es a cm 2 calcula el área de la región triangular ABC, si G es baricentro del triángulo MBN. B

E

F

8m

3a

B

D

C

O

8. Los segmentos internos del triángulo ABC son medianas. Si el área de la región triangular ABC es igual a 60 m2. Calcula el área de la región sombreada.

A

10 m

B

H

C

65

GEOMETRÍA

6

RELACIÓN DE ÁREAS

13. Calcula el área de la región triangular tri angular ABC si G es baricentro del triángulo MBN B 2m

14. Determina el área de la región sombreada en el cuadrado ABCD donde M y N son puntos medios de los lados y MN = 4 m. C B

8m M

G

N

N 8m

A

6

GEOMETRÍA

A

C

66

M

D

4.°

AÑO

7 Geometría del espacio 1. Postulado fundamental

B. Posiciones relativas entre dos planos

res puntos no colineales colinea les determinan determin an un plano al cual pertenecen.

A. Planos paralelos

B C

A H

P

Si A, B y C son puntos no colineales entonces, A,B y C determinan el plano H. Q

A. eoremas importantes 1. Una recta y un punto punto que no pertecen a ella determinan un plano

 

Si: 6P//6Q ⇒6P∩6Q = ∅

A

B. Planos secantes P

L 

L 

arista

Si: A∈L  A y L   determinan el plano P. 2. Dos rectas secantes determinan un plano.

P

P Q L 1 ∩ L 2   = L 1  y L 2

L 2

L 1

Q  

{P}

determinan el el plano Q.

Si: 6P∩6Q = {L  }

C. Posiciones relativas entre dos rectas A. Rectas paralelas Dos rectas paralelas siempre son coplanares.

3. Dos rectas paralelas determinan un plano. L 1

L 1

R 

L 2

Si L 1  // L 2 L 1  y L 2 determinan el plano plano R. 4.°

AÑO

R 

67

L 2

GEOMETRÍA

7

GEOMETRÍA DEL ESPACIO

B. Rectas secantes Dos rectas secantes siempre son coplanares porque determinan un plano.

F. Ángulo entre una recta y un plano El ángulo entre una recta y un plano se mide con el ángulo que determina la recta con su proyección en dicho plano. L 

L 2

L 1

P

a

C. Rectas alabeadas

H

L 1

L 

d el ángulo entre L  y el plano q es la medida del

L 2

H.

G. Distancia entre dos rectas alabeadas

P

Es la longitud del segmento perpendicular a las dos rectas alabeadas, cuyos extremos pertenecen uno a cada recta.

Dos rectas que no son paralelas ni secantes

L 1

D. Proyección ortogonal de un punto y una recta sobre un plano. B

P

L 2 L 2

A

2. Ángulo diedro y ángulo poliedro A. Ángulo diedro Es la figura geométrica formada por dos semiplanos que tienen en común su recta de origen, denominada arista.

P’ L 1

P ●

●

P' es proyección ortogonal de P sobre el plano H. L 1  es la proyección ortogonal de L 2 sobre el plano H.

P

H x

L 1

a

L 2

A

L 

Ángulo diedro AB y (H – AB– P) q: medida del ángulo diedro Planos perpendiculares Dos planos son perpendiculares cuando determinan un diedro que mide 90°. ●

H

Si:L 1 ⊥6H L 2 ⊥ L  ( L 2 ⇒ L 3

B. Ángulo poliedro Es la figura que se genera cuando un rayo es desplazado por los lados de un polígono, manteniendo manteniendo fijo su origen y exterior al plano que contiene al polígono.

H)

6⊂

⊥ L 

∴a = 90°

7

q

y 

E. eorema de las tres rectas perpendiculares L 3

arista

B

GEOMETRÍA

68

4.°

AÑO

GEOMETRÍA DEL ESPACIO

O

B O

A B

●

C

q

a

A Ángulo triedro: O–ABC riedro: O–ABC Medidas de las caras: a, b, c Medidas de los diedros a, q, b Propiedades:

D

E

b

a cb

C

Ángulo poliedro O – ABCDE Propiedad En todo ángulo poliedro la suma de las medida de las caras es:

C. Ángulo triedro Es aquel ángulo poliedro de tres caras.

Trabajando en clase Integral

3. ¿Cuántos planos como máximo se pueden formar con 12 puntos no colineales?

1. Calcula «x» si AB = 34 y su proyección sobre el plano Q mide 30 m.

Católica 4. Calcula la proyección de MN sobre el plano P si AN = 3 m y MY = 4 m. (MN = 25 m). M

B x



A P

A

Y

P N Resolución: Si nos olvidamos del plano y los tomamos como geometría plana tendremos: M

2. Del gráfico, calcula la proyección de NA sobre el plano P. (NA = 30 m) N

4m 

A

30° A

3m

P

4.°

AÑO

 Y

3m

N

69

GEOMETRÍA

7

GEOMETRÍA DEL ESPACIO

rasladamos la figura para formar un triángulo rectángulo. M 25 m 7m

P

A 5m

Y

A

x ∴ x = 24 m



37°

 6 O

P=20 m A∆ = 10.5  = 25 m2

5. Calcula la proyección de MN sobre el plano Q si MY = 3 m, AN = 2 m y MN = 13 m. M 

Y

2

9. Calcula el área de la región sombreada si OP es perpendicular al plano, O es centro de la circunferencia y  es punto de tangencia. P 30°

A

P N

6. Del gráfico ABCD es un cuadrado y OP es perpendicular al plano. Calcula «x». P x 2m B C

D

4m



8m

10. ¿Cuántos planos se pueden formar, como máximo con 12 rectas paralelas? P

O A

M

R=7 cm O

2m A 4m

7. En una circunferencia de diámetro AB, desde B se traza una perpendicular al plano, PB. Si se toma un punto F de la circunferencia, se forma m∠FPA FPA = 57°, 57 °, calcula m ∠PAF.

N



UNI 12. Las proyecciones de un segmento de recta AB sobre un plano y sobre una recta perpendicular al plano son 3 m y 4 m respectivamente. Determina el área de la región encerrada por las rectas perpendiculares al plano trazadas desde A y B; el segmento AB y AB y la proyección de AB sobre el plano, si la menor distancia que hay del segmento al plano es 7 m.

R=6 cm Q

Resolución: razamos el radio a la tangente y aplicamos el teorema de las 3 perpendiculares del notable 37°

7

GEOMETRÍA

Y

11. Si NAY es un cuadrado, O es el centro y Q punto medio de Y, calcula el área de la región sombreada.

8. Calcula el área de la región sombreada si OP es perpendicular al plano Q, O es centro de la circunferencia y  es punto de tangencia. P 37°

O

Q

O

UNMSM

A 5m



70

4.°

AÑO

GEOMETRÍA DEL ESPACIO

Resolución: Graficamos adecuadamente adec uadamente:: B A

13. Las proyecciones de un segmento de recta AB sobre un plano y sobre una recta perpendicular al plano son 8 m y 15 m respectivamente. Determina el área de la región encerrada por las rectas perpendiculares al plano trazadas desde A y B, el segmento AB y la proyección de AB sobre el plano si la menor distancia que hay del segmento al plano es 10 m.

3m

6m A’ 4 m B’

P’

14. Se tiene un vértice D que está fuera de un plano cuya forma es un triángulo rectángulo ABC (Recto en B). Si BD es perpendicular al plano, AD = 5 60  m, calcula la medida m, BC = 12 m y BD = 13 del diedro AC.

Observamos que tenemos un trapecio rectángulo: Asom =

4.°

AÑO

10+7 2 2  –4= 34 m

71

GEOMETRÍA

7

8 Repaso 1. Calcula «x».

a) 91p m2 b) 94p m2

B R   3  

  2   R 

A

8

D

x c) 150° d) 170°

e) 190° O R  =  

2  m  

2. Calcula el área de la región sombreada. B 6m 15 m D A

A a) (3 3  – p) m2 b) (6 3  – p) m2 c) 3(3 3  – p) m2

C e) 19 m2

17 m c) 13 m2 d) 15 m2

a) 2 m2 b) 4 m2

10 m A a) 14 m b) 28 m2

c) 30 m d) 86 m2

14 m

2

e) 94 m2

e) 20 m2

7. Si: O es perpendicular al plano, OP = 15 m y M = 17 m, calcula «x». P x

O1 3m

M

O 10m

GEOMETRÍA

10m c) 10 m2 d) 15 m2

a) 3 m b) 9 m2

D

C

H

2

4. Calcula el área de la región sombreada. (O y O 1 son centros)

8

3m

A

37° N 6m

P

d) 4(3 3  – p) m2 e) 4(6 3  – p) m2

G

M

Q

C

6. Calcula el área de la región sombreada, si G es baricentro. B

3. Calcula el área de la región sombreada sombreada si BCDA y PQMN son romboides. C B

2

e) 107 p m2

5. Del gráfico, calcula el ára de la región sombreada, si la circunferencia mostrada está inscrita en el triángulo equilátero. B

C l 

a) 100° b) 130°

c) 97 p m2 d) 101 p m2

a) 8 m b) 15 m

72



O c) 17 m d) 17 2  m

8m e) 19 2  m

4.°

AÑO

REPASO

11. Calcula el área de la región sombreada si G es baricentro del triángulo MBN y MN es base media del triángulo ABC. B

8. Calcula el área de la región sombreada. (ED//FC). B F H

E

4m

A a) 8 m2 b) 12 m2

4m

D c) 14 m2 d) 19 m2

M

C e) 24 m2

72m2 A a) 1 m b) 2 m2 2

9. Si ABCD es rombo, calcula el área de la región rombal. B C

60°

a) 10 m2 b) 20 m2

D H c) 35 m2 d) 50 3  m2

c) 3 m d) 4 m2

12m

e) 75 m2      P

10. Calcula el área de la región sombreada, si la circunferencia de centro O es la inscrita en el triángulo ABC. B 7m

Q

P

C e) 8 m2

2

12. Si AB = 16 m, P es perpendicular al plano, A=B=17 m, calcula la medida del ángulo diedro que forma el triángulo AB con el plano Q. 

10m A

N

P B

A a) 30° b) 60°

c) 45° d) 37°

e) 53°

24m

Claves

O 72° R  A

C

M

a)

3p 2  m 5

c)

9p 2  m 5

b)

7p 2  m 6

d)

9p 2  m 13

e)

1. 2. 3. 4.

14p 2  m 5

b d e a

5. 6. 7. 8.

d d d b

9. 10. 11. 12.

d c e e

Bibliografía  Matemática y Geometría. Lima: Norma, 2008. 1. ALVA, Luis. Matemática 2. GEOMERÍA. Lima: Lumbreras, 2009.

4.°

AÑO

73

GEOMETRÍA

8

Geometría

1 Poliedro regular Definición:

Hexaedro regular o cubo

Es aquel poliedro cuyas caras son regiones poligonales regulares congruentes entre sí y en cada vértice concurren el mismo número de aristas. Sólo existen cinco poliedros regulares; los cuales son:

Es aquel poliedro regular limitado por seis regiones cuadradas. iene 4 diagonales, las cuales son de igual longitud y concurren en sus puntos medios el cual es el centro del cubo. B C

etraedro regular Es aquel poliedro regular limitado por cuatro c uatro regiones triangulares equiláteras. L

A O F

a

G

a E A

B

G

H

Notación: Hexaedro regular ABCD–EFGH

C

Diagonal

Notación: tetraedro regular L–ABC Del gráfico: Altura LG ⊥ cara ACB: LG = a 6 3

: AG = a 3

Área de superficie (A) : A = 6a2 Volumen (V)

: V = a3

Nota: Si: AO = OG O: centro del hexaedro regular

G: baricentro de la región triangular ABC Área de la superficie (A): A = a2 3

Desarrollo de la Superficie del Hexaedro regular. regular.

3

Volumen (V)

: V = a 2 12

a a

a

Desarrollo de la superficie del tetaedro regular

a a

a

a

a

AÑO

Octaedro regular

a a

4.°

a Es aquel poliedro regular limitado por ocho regiones triangulares equiláteras. equiláteras. iene 3 diagonales, las cuales son de igual longitud y son perpendiculares en sus puntos medios.

a

53

GEOMETRÍA

1

POLIEDRO REGULAR

M a B

a O

D

A

a

C

a N

Dodecaedro regular Es aquel poliedro regular limitado por doce regiones penragonales regulares. iene cien diagonales.

Notación: Octaedro regular M–ABCD–N Diagonal

: MN = a 2

Área de la superficie

: A = 2a2 3

Volumen (V)

: V = a3 2 3 Desarrollo de la Superficie del Dodecaedro regular. regular.

Nota: O: centro del octaedro regular ABCD; AMCN; BMDN: son cuadrados Desarrollo de la superficie del Octaedro O ctaedro regular. regular.

Trabajando en clase Integral 1. Calcula el área de la superficie total del tetraedro regular mostrado. V

3. Calcula la longitud de la diagonal del octaedro oct aedro regular mostrado. V 17m

7m

A

D

C

Católica 4. Se tiene tiene un tetraedro tetraedro regular regular cuya altura altura es 2 6 m. Calcular el volumen del tetraedro mencionado.

2. Calcula el volumen del cubo mostrado. F G E

H 4 2m

1

GEOMETRÍA

Resolución: Sabemos que: h = a 6  = 2 6 3 3 a 2  = 6.6.6 2  = 18 2 m3 ∴ Vol = 12 12

C

B A

C P

B

A

D

D

54

4.°

AÑO

POLIEDRO REGULAR

5. Se tiene un tetraedro regular cuya área de la superfic perficie ie tota totall es es 49 49 3 m 2. Calcula el volumen del tetraedro.

9. En la figura se tiene un cubo cuya arista mide 6 cm, donde FD es la diagonal de la cara. Calcula el perímetro del triángulo AFD. F

6. Calcula el área de la superficie total del hexaedro regular mostrado. F G E 20 3m H

G

E

H C

B A

C

B A

10. En un cubo de 4 cm de arista se unen 3 vértices de modo que se forma un triángulo equilátero. Determine el área de la región limitada por el triángulo equilátero.

D

7. Calcula el volumen del octaedro regular mostrado si su área de la superficie total es 8 3 m2. V B

11. En la figura se muestra un cubo donde AN es su diagonal. Si EF = 1/2(AE + FN) y el área de la región gión trian triangu gula larr AED AED es 4 2 m2. Calcula AB. A D B C E

C

A D E

UNMSM

Q M

8. En la figura se tiene un cubo cuya arista mide «a» cm. AC es AC es diagonal de una cara. Calcula el perímetro del triángulo ABC. C D F E

A

Resolución: Sabemos que: Piden el perímetro: 2P∆ABC = a 3 + a 2 + a = a( 3 + 2 + 1) cm a C D

A

4.°

AÑO

V = 25

13. Un poliedro convexo tiene como caras a 7 hexágonos, 5 cuadriláteros y 10 heptágonos. Halla su número de vértices.

a3

a

N

⇒ V + 17 = 40 + 2

E

14. La arista de un octaedro regular mide 16 m. Calcula la distancia del centro del octaedro a una cara.

H

G

F

12. Un poliedro convexo tiene como caras a 5 cuadriláteros, 4 triángulos y 8 pentágonos. Halla su número de vértices. Resolución Recordemos V + C = A + 2 enemos C = 5 + 4 + 8 = 17 A = 5(4) + 4(3) + 8(5)  = 40 2

B

F

P

UNI

H

G

a2

D

B

55

GEOMETRÍA

1

2 Prisma y cilindro Superficie Prismática cerrada

Base Sección recta(SR) A Arista lateral

B

Arista básica

C

D F

E

Generatriz

altura h

Directriz

Cara lateral

aL B'

C' D'

A' F'

E'

Notación: Prisma hexagonal ABCDEF – A'B'C'D'E'F'

Definición Es aquel poliedro determinado por una superficie prismática cerrada y dos planos paralelos entre sí y secantes a todas las generatrices.

Z

Área de la superficie lateral (ASL) ASL = suma de áreas de las caras laterales

Características El prisma tiene dos caras paralelas y congruentes a las cuales se les denomina bases y las otras caras son regiones paralelográmicas y estas son denominadas caras laterales. oda arista contenida en alguna base del prisma es denominada arista básica y el lado común a dos caras laterales se denomina arista lateral, todas las aristas laterales son paralelas y de igual longitud. Los prismas se nombran nombran según el número de lados que tiene la base, por ejemplo: si tiene siete lados, se le denomina prisma heptagonal.

ASL = (2PSR ) aL 2PSR : Perímetro de la sección recta Z

Área de la superficie total (A S) AS = ASL + 2(Abase) Abase: área de la base

Z

Volumen (V) V = (Abase) h

Sección ransversal Es la sección plana determinada en el prisma por un plano paralelo a su base.

h: longitud de la altura V = (ASR ) aL

Sección Recta Es la sección determinada en el prisma por un plano perpendicular y secante sec ante a todas sus aristas laterales.

2

GEOMETRÍA

ASR : área de la sección recta aL: longitud de la arista lateral

56

4.°

AÑO

PRISMA Y CILINDRO

Clasificación

Z

Prisma Recto Es aquel prisma cuyas aristas laterales son perpendiculares a las bases.

AS = 2(ab + bc + ac) Z

Volumen (V)

C

B A

V = abc D

E

Cilindro

SR 

AL

Área de la superficie total (AS)

h

B'

¿Cuál es el método para generar una superficie cilíndrica? Es el mismo método con el que se genera la superficie prismática, sólo que la directriz es ahora una línea curva plana no secante así misma.

C' D'

A' E'

Superficie Cilíndrica Abierta

En el gráfico, se tiene el prisma pentagonal recto ABCD – A'B'C'D'E'. Se cumple: ∴

aL = h

ASR  = Abase

Generatriz Directriz

Prisma Regular Es aquel prisma recto cuyas bases son regiones poligonales regulares.

Paralelepípedo Es aquel prisma cuyas bases son regiones paralelográmicas.

Definición Es el sólido limitado por una superficie cilíndrica cerrada y por dos planos paralelos entre si y secantes a todas las generaciones.

Características

a

Las secciones determinadas en los planos paralelos se denominan bases, y son congruentes. La porción de superficie cilíndrica comprenda entre dichos planos es la supericie lateral del cilindro; en la cual se ubican segmentos paralelos deigual longitud cuyos extremos están ubicados en el contorno, de sus bases denominados generatrices.

a, b y c: c : Dimensiones del paralelepípedo

¿Qué es la sección transversal de un cilindro? Es la sección plana determinada en el cilindro por p or un plano paralelo a sus bases.

Paralelepípedo Paralelep ípedo rectangular rectangular,, rectoedro u ortoedro Es aquel paralelepípedo cuyas caras son regiones rectangulares. d c

Z

b

iene cuatro diagonales, las cuales son concurrentes y de igual longitud.

¿Qué es la sección recta de un cilindro? Es la sección plana determinada en el cilindro por p or un plano perpendicular y secante s ecante a todas sus generatrices.

d2 = a2 + b2 + c2 4.°

AÑO

57

GEOMETRÍA

2

PRISMA Y CILINDRO

eje de giro

Base Sección recta(SR)

altura

g

O1O2: EJE

r

r O1

h

Generatriz

h

h

g

Base O2

360º

Z

¿Qué es la sección secci ón axial de un cilindro de revolución? Es una sección plana determinada en el cilindro por un plano que contiene a su eje.

Área de la supericie lateral (A SL) ASL = (2pSR )g

Z

¿Qué resulta de desarrollar la superficie lateral de un cilindro de revolución? Resulta una región rectangular en el cual uno de sus lados tiene igual longitud que la circunferencia de una base y el otro lado es de igual longitus que la generatriz del cilindro.

Área de la superficie total (AS) AS = ASL + 2(Abase)

Z

Volumen (V)

r

V = (Abase) h V = (ASR ) g

g

g

2pRS: perímetro de la sección recta ASR : área de la sección recta

r

Clasificación

Z

2pr

Área de la supericie lateral (ASL) ASL = 2prg

Cilindrico Recto Es aquel cilindro cuyas perpendiculares a sus bases.

generatrices

son Z

Área de la superficie total (A S) AS = 2pr (g + r)

g

h

Z

Volumen (V) V = pr 2g

Cilindro oblícuo de sección recta circular Es aquel cilindro oblicuo cuya sección recta es un círculo.

En el gráfico se muestra un cilindro recto; se cumple: c umple: h=g

ASR  = Abase

Sección recta (S.R.)

Cilindro circular recto Es aquel cilindro recto cuyas bases son círculos. ambiín es denominado cilindro de revolución porque es generado por una región rectangular al girar una vuelta en torno a uno de sus lados.

2

GEOMETRÍA

g

R 

h

Base

58

4.°

AÑO

PRISMA Y CILINDRO

Área de la superficie lateral (A SL)

Z

AS = ASL + 2(Abase)

ASL = 2pR g Z

R: Radio de la sección recta

Volumen (V) V = (Abase)h

Área de la superficie total (AS)

Z

V = pR 2 g

Trabajando en clase Integral G

1. Calcula el área del prisma recto mostrado. 8m

D

I

H

J L

K

E B

6m

A

A

B 4m

7m

C

E  3 m

F

Resolución: Sabemos que Vol = A(base) × h

C

2 ⇒ A = 6. 3 3  = 27 3 m2

2. Calcula el área total del cilindro circular regular recto mostrado.

2

4

⇒ h=3m

O2

⇒ Vol = 27 3 m2.3m = 81 3 m3

2

8m O

D

2

volumen del prisma recto. 5. Calcula el volumen I H G J K L

2m

3. Calcula la diagonal d iagonal del rectoedro mostrado. F

G

B

A E

H

A

2m

10m

D

  4  m

E

A

4. Calcula el volumen del prisma recto mostrado. AÑO

E  6 m

H

59

4m C

B

Católica

4.°

D

6. Calcula el área total del paralelepípedo mostrado. F G

C

B

F

C

8m

D

  4  m

GEOMETRÍA

2

PRISMA Y CILINDRO

7. Calcula el volumen del cilindro circular recto si lo que se observa es su desarrollo lateral. B

UNI 12. El volumen y el área lateral de un prisma recto de base triangular son 100 m3  y 400 m2 respectivamente. Calcula el radio de la circunferencia inscrita en la base del prisma.

C

4m A

D

8pm

Resolución: E

UNMSM

c

8. Calcula el volumen de un cubo de arista «a» cuando gira 360º alrededor de una de sus aristas. Resolución: 360º a

⇒ Vol = p(a 2 )2. a

a 2

= 2a p V 3

B

3

Vol = a + b + c .R.h = 100 2 AL = (a + b + c)h = 400

10. Calcula el área sombreada en el ortoedro mostrado. F G E

⇒ (a + b + c).h. R  = 100 m

400

H 4m

D

10m

13. El volumen y el área lateral de un prisma recto de base triangular son 40 m 3 y 300 m2 respectivamente. Calcula el radio de la circunferencia inscrita en la base del prisma.

  3  m

11. Calcula el área lateral del prisma regular recto mostrado. B

4 m 

14. La altura de un prisma recto mide 3 m, su base es una región limitada por un rombo de lado 6 m y su ángulo agudo mide 30º. Por un lado de la base se traza un plano inclinado que intersecta al prisma y está inclinado con un ángulo de 60º con respecto a la base. Calcula el área de la sección que resulta en el prisma.

C

A E

D 7m

2

GEOMETRÍA

2

r = 1/2 m

C

B

C

A

9. Calcula el volumen que genera un cubo cuya arista mide 7 m cuando gira 360º alrededor de una de sus aristas.

G H J

F

a

h

a

F

b

D

a

A

R 

I

60

4.°

AÑO

3 Cono, pirámide y esfera Cono

Vértice o cúspide Altura

¿Qué es una superficie cónica? Es una superficie generada por una recta denominada generatriz que pasando por un punto fijo denominado  vértice se desplaza por todos los puntos de una línea curva plana no secante a sí misma denominada directriz; de tal modo que el vértice no pertenece al plano de la directriz.

Vértice Generatriz

h

Volumen (V) Superficie conica

V=

Directriz (Linea curva plana)

Nota Las secciones planas determinadas en una superrficie cónica por dos planos paralelos, secantes a todas las generatrices de una misma hoja; son líneas curvas semejantes.

(Abase)h 3

Abase: Área de la base.

Nota Si el pie de la altura es el centro de la base, entonces el cono se denomina cono recto, en caso contrario se denomina cono oblicuo.

Cono circular recto o de revolució revolución n Es aquel cono recto cuya base es un círculo, también se denomina cono de revolución porque se genera con una región triangular rectangular al girar una  vuelta en torno a un cateto. cateto. 360º V

Definición

g

Es el sólido limitado por una superficie cónica cerrada por un plano secante a ella que interseca a todas las generatrices de una misma hoja.

r

La región correspondiente al polígono de la sección se denomina base del cono, el vértice de la superficie cónica se denomina vértice o cúspide del cono, la porción de superficie cónica correspondiente correspondiente al cono se denomina superficie lateral y la perpendicular trazada del vértice al plano de la base es la altura del cono.

AÑO

h

En el gráfico, se muestran dos conos.

En el gráfico, se muestra una superficie cónica con sus hojas.

4.°

Superficie lateral Generatriz Base

g A rr O

h B

En el gráfico, se muestra un cono de d e revolución. VO VO

: Altura del cono (VO = h) : Eje del cono 2 V = pr h 3

61

GEOMETRÍA

3

CONO, PIRÁMIDE Y ESFERA

¿Qué es la sección axial de un cono de revolución? Es la sección plana determinada por p or un plano secante al cono que contiene a su eje. En el gráfico, la sección plana VAB es una sección axial del cono de revolución.

Vértice Generatriz

g

O B

Desarrollo de la superficie lateral de un cono de revolución El desarrollo de la superficie lateral de un cono de revolución es un sector circular cuyo radio es igual a la longitus de la generatriz de dicho cono y cuyo arco tiene igual longitud que la circunferencia que limita la base. r g

Superficie Piramidal Directriz (Línea Poligonal plana)

C

A

D

E

Definición Es el sólido limitado por una superficie piramidañ y un plano que interseca a todas las aristas de una hoja. La región correspondiente al polígono de la sección se denomina base de la pirámide, el vértice de la superficie se denomina vértice o cúspide de la pirámide y la parte de superficie piramidal correspondiente correspondiente a la pirámide se denomina superficie lateral de la pirámide.

q

2p r

Vérice o cúspide

En el gráfico, se muestra un cono de revolución y el desarrollo de su superficie lateral.

V

Arista lateral Cara lateral Arista básica

Altura

q: Medida del ángulo de desarrollo.

Base

q = r (360º) g

B h

C D

A E

Área de la superficie lateral (A SL) En el gráfico se muestra una pirámide pentagonal convexa.

ASL = prg

Notación: Pirámide V–ABCDE.

Área de la superficie total (AS)

V

AS = pr(g + r)

Nota Un cono de revolución se denomina cono equilátero, si su sección axial es regular. Además el desarrollo de sus superficie lateral es un semicírculo.

Base

B A

Pirámide

GEOMETRÍA

C D E

En el gráfico, se muestra una pirámide exagonal no convexa. Notación: Pirámide V–ABCDEF

En el gráfico se muestra una superficie piramidal con sus dos hojas o mantos.

3

F

h

62

4.°

AÑO

CONO, PIRÁMIDE Y ESFERA

Volumen (V)

poligonalessemejantes poligonalessemejantes y su altura es la distancia entre sus bases.

(A )h V = Base 3

Volumen (V)

¿Qué es una piámide regular? Es una pirámide que tiene por base a una región poligonal regular y el pie de su altura es el centro de la base.

V = h (B + B' + BB') 3 B y B' : Área de las bases.

Apotema B A

h

Superficie esférica

ap

C

b

Es aquella superficie generada por una semicircunferencia al girar 360º en torno a su diámetro.

D

O

E

F

M

Circunferencia menor Plano secante

En el gráfico, se muestra una pirámide exagonal regular V–ABCDEF. V–ABCDEF. O VM

360º

: Centro de la base ABCDEF : Apotema de la pirámide regular.

O R  R 

R  O 2R 

VM = ap

H



Área de la superficie lateral (A SL)

Eje de giro

ASL = PBase × ap Área de la superficie lateral (A SL)

Plano Circunferencia tangente máxima

V = 4 pR 3 3

ronco de pirámide Es la porción de pirámide comprendida entre la base y la sección plana determinada por un plano secante a la pirámide y paralelo a su base. A la base y a dicho sección se les denomina bases del tronco de pirámide; sus caras laterales son regiones trapeciales, sus bases son regiones

ASE = 4pR 2 ASE : Área de la superficie esférica. V : Volumen olume n

Trabajando en clase Integral 1. Del gráfico calcula el área lateral, área total y volumen. V

2. Del gráfico, calcula el área total, área lateral y volumen. V 12m 12m

12m 12m B A

4.°

AÑO

12m 12m

C

A

O D

63

O 5m

B

GEOMETRÍA

3

CONO, PIRÁMIDE Y ESFERA

3. Del gráfico calcula el área de la superficie esférica y volumen.

7. Si el área del círculo máximo es 81 8 1p m2; calcula el  volumen de la esfera esfera mostrada. R 

2m

O

O

Católica UNMSM

4. Calcula el volumen del cono si su desarrollo de la superficie lateral tiene las dimensiones mostradas. A

8. Calcula el volumen del tronco de pirámide mostrado. F G 2 4m E H

O 14pm 2  5  m 

12m B

B 16m2 C

Resolución: Sabemos que:

A

O

g = 25 m ∴ g  = R  + h 2

Resolución:

A

⇒ R=7m

2

2

AB ) Vol = h (A + B + AB) 3 = 12 (4 + 16 + 4.16) 3 = 112 m3

2pR  14p

 g  =  ⇒ h = 24 m 2  5  m 

B

2 ⇒ Vol = p.7 .24  = 392p m3

D

3

5. Del gráfico, calcula el área de la superficie total si se muestra el desarrollo de la superficie lateral del cono. V

9. Calcula el volumen del tronco de pirámide mostrado. G F H 49m2 6m J I B C A

15m A

81m2

C

B O 8m E

E

D   m   1  0

10. Si se triplica simultáneamente simultáneamente la medida del radio de la base y la altura del cono de revolución de volumen V; entonces el nuevo volumen es:

6. Del gráfico, calcula el área de la superficie lateral.  1 7 m

A

11. Dos conos circulares rectos son generados por la rotación de 2 triángulos rectángulos semejantes. La razón de las alturas es de 4 a 5. Si el área total del cono de un radio es «M» cm2. Calcula la suma de las áreas totales de estos conos.

O 16pm B

3

GEOMETRÍA

D

64

4.°

AÑO

CONO, PIRÁMIDE Y ESFERA

UNI

⇒  2((2R)2 + 2.2R.R) = 84

4R 2 + 4R 2 = 42 21 R 2 = 21 R = 2 4 ∴ Vol = 4/3p.R 3 = 7 21 u3 2

12. Una semiesfera está inscrita en un paralelepípedo con base cuadrada. Si el paralelepípedo tiene una superficie de área total de 4 u2 y entonces el volumen de la semiesfera. s emiesfera. Resolución: G

F E

A

4.°

AÑO

R  H B R  O R  2R 

13. Una semiesfera está inscrita en un paralelepípedo de base cuadrado. Si el paralelepípedo tiene una superficie de área total de 96 m 2. Calcula el volumen de la semiesfera.

R  C

14. En un cubo ABCD–PQRS cuya arista mide «l» , Calcula el volumen de la pirámide determinada por los puntos medios de PS; AC; AB y por el vértice «D».

D

65

GEOMETRÍA

3

4 Teorema de Pappus – Guldin Superficie de Revolución

Sólido de Revolución

El área de la superficie generada por p or una línea plana al girar 360º en torno a una recta coplanar y no secante a dicha línea es igual a producto de las longitudes de la línea y de la circunferencia que describe su centroide.

El volumen del sólido generado por una región plana al girar 360º en torno a una recta coplanar y no secante a dicha región es igual al área de la región multiplicada por la longitud de la circunferencia que describe su centroide. Corte del sólido generado

Corte de la superficie generada A

360º

360º

C x

x

C

x

X A

B Eje de giro Eje de giro

ASG = L2p X

VSG = A2pX

ASG = L2p X

VSG = A2p X

ASG : Área de la superficie generada. L : Longitud de la ínea AB. C : Centroide de la línea AB. X : Radio de la circunferencia descrita por el centroide.

4

GEOMETRÍA

VSG : Volumen del sólido generado. A : Área de la región generadora. C : Centroide de la región generadora X : Radio de la circunferencia circunferenci a descrita por el centroide.

66

4.°

AÑO

TEOREMA DE PAPPUS – GULDIN

Trabajando en clase Integral 1. Calcula el volumen generado al rotar 360º alrededor de la recta recta L .

Resolución: Observamos que se forma: semiesfera

360º C

B

cilindro

7m 4

5

4

10m

cono

3 V = p.4 .3 3 2

A L

Va = 4 . p.4 3 2

D

V = p.42.7

Votal = 416p m3 3

2. Calcula el volumen generado al rotar la figura 360º alrededor alrededor de la recta L . B

2

5. Calcula el volumen generado al rotar 360º alrededor de la recta «L».

360º

8m

8m 37

A

4m

L

C L

6m

3. Calcula el volumen generado al rotar la figura 360º alrededor alrededor de la recta L . A

6. Calcula el área generado al rotar 360º alrededor de la recta L («G» es es el centr centroo de grave gravedad dad de AB). A

360º

O R = 2m

7m 6 3m

B L

B

Católica 4. Calcula el volumen generado al rotar 360º alrededor de la recta recta L . 7m

7. Calcula la distancia del centro de gravedad al eje si el área generada es 200 p m2. 10m

5m L 360º 4.°

AÑO

A

53º 3m

L

67

B 360º

GEOMETRÍA

4

TEOREMA DE PAPPUS – GULDIN

UNMSM

11. Calcula el volumen que se genera al rotar 360º con respecto respecto a la recta L .

8. Calcula el volumen generado si gira 360º con respecto pecto al eje eje L . L1 360º

360º C

O R = 3m

B

D

A

E

5m

F

L

L

UNI

Resolución: Observamos que al rotar cae:

12. L es una recta recta que contiene contiene un punto punto «C», ABC es un triángulo rectángulo (recto en «B») cuyo c uyo tateto AB AB es paralel paraleloo a la recta recta L . Si BC = 24 m y AB = 7 m, entonces calcula el volumen del sólido de revolución que se obtiene al girar el triángulo alrededor de «L».

⇒ Vol = 2p X A

Vol = 2p.8.p32 Vol = 144p2 m3

Resolución: Graficamos correctamente:

9. Calcula el volumen que genera la figura al rotar 360º con respecto respecto a la recta L .

A

7m

B 24m

R=4m

C

O A = 7.24 = 84 m2 2

5m

X = 24 + 24 + 0 = 16 m ⇒ Vd = 2p X.A = 2688p m3 3

10. Calcula el volumen que se genera al rotar 360º con respe respecto cto a la la recta recta L .

13. L es una recta recta que contiene contiene un punto punto «C». ABC es un triángulo rectángulo (recto en «B») cuyo c uyo catecateto AB es parale paralelo lo a la la recta recta L . Si BC = 15 m y AB = 8 m, entonces el volumen del sólido de revolución que se obtiene obtiene al girar el triángulo alrededor alrededor de L es:

L 10m2

360º

C 4m

B 12m A

4

GEOMETRÍA

14. Un triángulo isósceles cuya base es 2 a u y altura 3 a u gira alrededor de uno de sus lados. Calcula el mayor  volu  volume men n del del sóli sólido do que que se gene genera ra..

17m

68

4.°

AÑO

5 Plano cartesiano El sistema de los números reales, es el conjunto R, el cual, está asociado a la recta numérica real o eje x. Entonces, el producto R × R = R 2  es el conjunto de todos los pares ordenados del plano que está determinado por dos rectas númericas reales perpendiculares, siendo estos, horizontal o plano cartesiano y a la intersección de los ejes se denomina origen de coordenadas. En el gráfico, muestra el plano cartesiano, entonces, del origen de coordenadas hacia la derecha, se ubican los puntos cuyos números asociados son positivos y a la izquierda los puntos puntos cuyos números asociados son negativos, en el eje vertical, del origen hacia arriba se ubican los puntos cuyos números son positivos y hacia abajo los puntos cuyos números asociados son negativos.

Eje de Ordenadas

Punto P de abscisa x0; ordenada y 0

y 

P(x0; y 0) y 0 Eje de x Abscisas

x0

O(0;0) Origen de coordenadas

Notación de Par Ordenado

(x0; y 0) donde: x0: es la abscisa y 0: es la ordenada

Eje y  +∞

Nota:

2 Origen de Coordenadas 1 Eje x +∞ –∞ –4 –3 –2 –1 (0;0)1 2 3 4 –1 –2 –3

Los ejes coordenadas determinan en el plano cartesiano cuatro regiones los cuales se denominan cuadrantes, tomado en sentido antihorario primer cuadrante (IC), segundo cuadrante (IIC), tercer cuadrante (IIC) y cuarto cuadrante c uadrante (IVC). (IVC). y 

–∞ IIC

IC

Ubicación de un punto en el plano cartesiano car tesiano

x IIIC

Postulado En todo plano existen infinitos puntos. Entonces, en el plano cartesiano, existen infinitos puntos y a cada punto se le asocia un único par o pareja de números, el cual se denomina d enomina Par Ordenado (x0; y 0) Estas son distancias a los ejes o pertenecen a dichos, el cual, está fijado por una recta horizontal denominada, eje de abscisas o eje x  y  y otra recta vertical denominado eje de ordenadas o eje y .

4.°

AÑO

Z

Z

IVC

Al plano cartesiano se denomina también sistema sistema de coordenadas rectangulares o sistema x – y. El conjunto de todo los pares ordenados (x,y) se denomina plano numérico y se denota po R 2, así: R 2 = {(x; y)} / x ∈ R, y ∈ R}

69

GEOMETRÍA

5

PLANO CARTESIANO

En el plano cartesiano se realizan las siguientes aplicaciones:

y  n

Distancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos cualesquiera P(x0; y 0) y Q(x1; y 1) en el plano cartesiano, esta dado por:

y 2

y  Q(x1; y 2) d

(x1 – x0)

y 0 x0

y 0 y 1

P(x; y) m A(x1; y 1)

(x2 – x0) M

F

(x0 – x1) x1

(y 1 – y 0)

P(x0; y 0)

y 1

B(x2; y 2)

x0

x x2

En la figura: AMP ∼ PFB

M

x – x1 m xn  + mx2  = ⇒ x= 1 x2 – x n m+n

x

x1

En forma análoga, se obtiene y 0: En la figura:

y = y =

PMQ: aplicando el teorema de Pitágoras. d2(P,Q) = (x1– x0)2 + (y 1 – y 0)2

Punto medio de un segmento Dado el segmento de extremos A y B, cuyas coordenadas son A = (x1; y 1), B = (x2; y 2) y M es el punto medio de AB, tal que: M = (x; y), luego las coordenadas del punto M se respectivas coordenadas coordenadas de A y B.

d(P,Q) = (x1 – x0)2 + (y 1 – y 0)2

División de un segmento en un razón dada

y 

Sean los puntos P(x1; y 1) y Q(x1; y 1) y M(x; y) un punto del PQ, tal que: PM  = r, entonces las coordenadas de MQ M esta dado por:

x M(x; y) l  A(x ; y  ) 1 1 A'' x1 y  y 1

b

P(x1; y 1)

a

x0

(x2 – y 0)

b

(x0 – y 1) x1

a

GEOMETRÍA

B(x2; y 2)

l 

y 2

A'

B'

N En la figura, por base media en los trapecios rectángulos AA'B'B y AA''B''B. AA ''B''B.

H

x=

x

x1 + x2 2

x=

y 1 + y 2 2

x2

Cálculo de las coordenadas del baricentro de una región triangular

Dadas las coordenadas (x 1; y 1) y (x2; x2) de los puntos A y B, luego, las coordenadas de un punto P que pertenece a AB tal que AP = m y PB = n se expresa en función de dichas coordenadas y de m, n.

5

x2

B''

Q(x2; y 2)

y  M(x; y)

ny 1 + my 2 m+n

Las coordenadas del baricentro de una región triangular, triangular, siempre está, en función de las coordenadas de sus vértices.

70

4.°

AÑO

PLANO CARTESIANO

Si a < 90º; entonces m es positiva.

y  B(x2; y 2) G  (  x   ;  y    ) 

A(x1; y 1)

Sea: m1 la pendiente de la recta L 1.

 

Luego: m1 = tanb Si b > 90º; entonces m1 es negativa.

C(x3; y 3) x

Cálculo de la pendiente La pendiente de una recta puede ser calculada conociendo las coordenadas de dos puntos de dicha recta. L y  B(x2; y 2)

En la figura, G es baricentro de la región triangular ABC. Luego: y   + y  + y  x  + x + x x= 1 2 3 y= 1 2 3 3 3

A(x1; y 1)

En la figura: Sea la recta L cuya pendiente es m. Luego: m = tana y   – y  En el AMB: tana = 2 1 x2 – x1

L

b

M x

Es el ángulo que forma la recta con el eje de abscisas. Se mide a partir del eje x hasta la ubicación de la recta, tomado en sentido antihorario. antihorario. y 

(y 2 – y 1)

a

(x2– x1)

a

Inclinación de una recta

L1

Z

a

Entonces: m =

x

y 2 – y 1 x2 – x1

Forma de la ecuación general de la recta

Medida del ángulo entre la recta L y el eje x. a : Medida b : Medida del ángulo entre la recta L1 y el eje x.

oda ecuación lineal de la forma Ax + By + C = 0, se denomina ecuación lineal en variables x e y o de primer grado donde (x; y) pertenece a dicha recta. Esto es la ecuación general de una recta, se cumple pata todo valor de x e y que satisface dicha ecuación. ec uación. y 

Pendientee de una recta Pendient Se denomina pendiente de una recta a la tangente trigonométrica de la medida del ángulo formado por la recta y el eje x. y  L1

L b

 + C = 0 A x + B y

a

x

x

Convencionalmente la pendiente de una recta se denota con la letra «m» minúscula. En la figura: Sea m la pendiente de la recta L. Z   Luego: m = tana

4.°

AÑO

L

(x;y)

Del gráfico: L : Ax + By + C = 0  Ecuación general donde: A, B y C son constantes, siendo m su pendiente. p endiente. ⇒ m = –A B

71

GEOMETRÍA

5

PLANO CARTESIANO

Forma de la ecuación de una recta dado un punto y su pendiente

Por la ecuación ec uación punto-pendiente L : y – b = m(x m(x – 0)

La ecuación de una recta que pasa por un punto P(x1; y 1) y tiene una pendiente m es: y – y 1 = m(x – x1). y 

L : y = mx + b  ecuación y –intercepto –intercepto o ecuación ec uación de pendiente y ordenada al origen.

L

m : pendiente pendiente de la recta L

P(x1; y 1) A(x; y)

Forma de la ecuación de una recta de coordenada al origen x

La ecuación de la recta que pasa por (0; b) y (a; 0) es: x  + y  = 1. a b

Sea A(x; y) ∈ L , luego por cálculo de la pendiente y   – y  y – y 1 L : m = 1  = x1 – x x – x1

L

y  (0; b)

Luego:

(x; y)

L : y – y 1 = m(x – x 1) Ecuación punto pendiente Donde: P(x1; y 1) A(x; y) m

(a;0) : punto de paso : punto genérico : pendiente

En la figura: L : m = 0 – b ⇒ m = – b a a–0

Forma de la ecuación de una recta dado su pendiente y su ordenada al origen La ecuaciónde la recta que pasa por (0;b) y tiene una pendiente m es: y = mx + b. y 

x

Aplicando la ecuación de pendiente y ordenada al origen. L : y = mx + b ... ... (1) (1)

L A(x; y)

Reemplazando m en (1) L : y = – b x + b. a

(0; b)

Luego: x y  L : a + b = 1  ecuación de coordenadas al origen

b x

Trabajando en clase Integral

(–1, 4) y  B

1. Dado los puntos A(4, –3) y B(–6; –2), calcula la distancia entre los puntos.

(4, 1) A

2. Dado los puntos A(4, –6) y B(3, –3), calcula la suma de las coordenadas del punto medio de AB.

C (–4, –4)

3. Calcula el área de la región triangular mostrada.

5

GEOMETRÍA

x

72

4.°

AÑO

PLANO CARTESIANO

Católica 4. Del gráfico, calcula «MN». M

a

Multiplicamos Multiplicamos en aspa: 11x – 77 = 3y – 9 y acomodamos 11x –3y –68 = 0 Q(7,7)

9. Si se tienen los puntos A(3, 4) y B(–3, 8); determina la ecuación de la recta que pasa por A y B.

3a

10. Se tiene tiene la recta recta L cuyo ángul ánguloo de inclinaci inclinación ón es 53º 53º y pasa por el punto (3, –2); determina la ecuación de la rect rectaa L .

P N (–1,1) (4,–2) Resolución: Calculamos el punto «M»: xM = 7 × 3 + (–1)(1) = 5 4 ⇒ M(5, 11/2) 11 7 × 3 + (1)(1) y M = = 2 4 Calculamos la distancia entre 2 puntos MN = (5 – 4)2 + (11/2 – (–2)2 = 229 2

11. Grafica la recta 7x + 8y – 13 = 0. UNI 12. En un triángulo ABC, donde A(10, 20) y B(30, 40), se ubican los puntos «P» y «Q» en BC y AB respectivamente, tal que 2(CP) = 3(PB) y m BCA = m BPQ. Calcula las coordenadas de «Q». Resolución: Graficamos adecuadamente: Por división de un segmento tenemos: y  C 3k P 2k  B a a (30,40) 2m Q(x,y) 3m (10,20) x

5. Del gráfico, calcula «PQ». A m  P 4 m  (–2,4) m  B (7,–2) Q(2,–6)

6. Calcula la suma de las pendientes de L 1  y L2 . y  L 2

53º

120º

x = 2(10) + 3(30)  = 22 3+2 y = 2(20) + 3(40)  = 32 3+2

x

∴ Q(22, 32)

L1

13. En un triángulo ABC, donde A(5, 8)y B(16, 18), se ubican los puntos «P» y «Q» en BC y AB respecti vamen  vamente, te, tal que CP = 4(PB) 4(PB) y m BCA = m BPQ. Calcula las coordenadas de «Q».

7. Si los puntos A(4, 2) y B(–7, 3) pertenecen a la recta L1  y los puntos P(7, –4) y Q(1, –7) pertenecen a la recta L 2 , calcula la suma de las pendientes de L1  y L2 .

14. En la figura, si OH  = k y AO = n; calcula la coordenaHC da en el punto «D». y  A D B

UNMSM 8. Si se tienen los puntos A(4, –8) y B(7, 3); determina la ecuación de la recta que pasa por A y B. Resolución: Calculamos la pendiente: m = –8 –3  = 11 4 –7 3 Igualamos con los generales: 11 = y –3 3 x–7 (escogemos cualquiera de los 2 puntos de dato)

4.°

AÑO

H O

73

C

x

GEOMETRÍA

5

6 Posiciones relativas entre 2 rectas Rectas paralelas

Rectas perpendiculares

y 

y  L1

a

L1

L2

a

L2

x

x

En la figura: En la figura: Si: L1  // L2 ⇒ m1 = m2 m1 y m2 son las pendientes de las rectas L 1 y L2 respectivamente.

Si: L1 ⊥ L2 ⇒ m1.m2 = –1 m1 y m2 son las pendientes de las rectas L 1  y L2 respectivamente.

Trabajando en clase Integral 1. Se muestran las ecuaciones de la recta L 1 y L2 ; calcula la suma de sus pendientes. L1: 4x –3y + 7 = 0 L2: 8x + 4y + 100 = 0

(y) 3

2. Si L1  y L2  son rectas paralelas, calcula el valor de a. L1: (a + 4)x + 7y + 70 = 0 L2: 3x – 8y + 100 = 0

8

Católica 4. Determina la ecuación de L1 , si L1  y L2  son perpendiculares. GEOMETRÍA

(x) L2

Resolución: hallamos la pendiente de L1 : mL2: 3 –0  = –3 0–8 8 Hallamos la pendiente de L2 : mL1.mL2 = – 1 mL1. –3  = – 1 8 mL1: = 8 3

3. Si L1 y L2  son rectas perpendiculares, calcula el  valor de «k». L1 : (k + 3)y + (k + 7)y + 3 = 0 L2 : 3x – 4y + 70 = 0

6

L1

74

4.°

AÑO

POSICIONES RELATIVAS ENTRE 2 RECTAS

Calculamos la ecuación: 8  = y – 0 ⇒ 8x – 64 = 3y → 8x – 3y – 64 = 0 3 x–8

∴ Determinamos la ecuación a la mediatriz ⇒ –2 = x – 3

x+6 ⇒ –2x – 12 = y – 3 → 2x + y + 9 = 0

5. Determina la ecuación deL1 , si L1  y L 2  son parelelas. –3

9. Determina la ecuación de la recta mediatriz del segmento AB mostrado.

8

L1 –7

A

24

L2 B 14

6. Determina la ecuación de la recta que es paralela a la recta 4x –7y + 10 = 0 y pasa por el punto Q(–2, 3).

10. Se tiene un triángulo cuyos vértices son A(1, –1); B(3, 7) y C(–3, 1); determina la ecuación de la recta que pasa por el vértice «C» y es paralela al segmento «AB».

7. Determina la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta 7x – 4y + 1 = 0 y pasa por el punto A(3; –2). UNMSM

11. Calcula la ecuación de la recta L. L

8. Determina la ecuación de la recta mediatriz del segmento AB mostrado. AB mostrado.

A(–4,8) B

L

6

B(6,–4)

A –12

UNI

Resolución: Hallamos el punto medio de «AB».

12. Siendo A(5, 8) y B(–3, –7), la mediatriz de AB interseca al eje «y» en «M» . Calcula la ecuación de la recta que contiene a «N» y es paralela a AB. Resolución: Graficamos adecuadamente:

Pmedio –12 + 0 ; 0 + 6 ⇒ (–6, 3) 2 2 Calculamos la pendiente de la mediatriz: 0 – 6 .m  = –1 y mmediatriz = –2 mediatriz –12 –0 Graficando ocurre

M L (0,a)

B6

mediatriz

P

M A (–6,3) (–3,–7)

–12

4.°

AÑO

A(5,8)

75

GEOMETRÍA

6

POSICIONES RELATIVAS ENTRE 2 RECTAS

Primeros hallamos la ecuación de la mediatriz m = –8 ∧ P(1, 1/2) 15 ⇒ –8  = y – 1/2 15 x–1

⇒ 225x – 120y + 79 = 0

13. Siendo A(4, 5) y B(–1, –3), la mediatriz de AB interseca al eje «Y» en »N». Calcula la ecuación de la recta que contiene a «N» y es paralela a AB.

–8x + 8 = 15y – 15/2 8x + 15y – 79/8 = 0 → 64x + 120y – 79 = 0 Como «M» pertenece a esta ecuación ⇒ 64(0)  + 120(a) – 79 = 0 → a = 79 120

14. Determina la ecuación de la recta L. ( y Q: Puntos de tangencia). y 

mL = –7 – 8 → mL = 15 8 –3 –5 ⇒ 15  = y – 79/120 → 15x = 8y – 79 8 x–0 15

6

GEOMETRÍA

L

Q

⇒ Hallamos la ecuación ecuación de L.

O

2u

(4,0)

76

x

4.°

AÑO

7 Circunferencia y parábola CIRCUNFERENCIA

PARÁBOLA

Es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a una misma distancia de otro punto fijo del mismo plano denominado centro.

Dada recta fija L , denominada directriz y un punto fijo F, denominado foco que no pertenece a dicha recta. Se define la parábola, como el lugar geométrico del conjunto de puntos P(x;y), que equidistan del foo F y la recta L .

Ecuación ordinaria de la circunferencia Sea (P(x; y)) un punto plano x – y cuya distancia constante a otro punto fijo C(h;k) es R, luego, la ecuación de la circunferencia es: C  : (x – h)2 + (y – k)2 = R 2

Y Parábola

C  : Circunferencia

y 

c(h;k)

R 

       l    c    a     o       f    e       j         E

 P(x;y)

P(x;y)

M 2  p  A

R 

F |p|

|p|

x

Q

En la figura: Centro: C(h; k) Radio: R  Punto genérico: P(x;y)

L 1

2  p 

V(h;k)

M’

D i  r  e  e c t  r  ri   i    z 

B

S

L 

X Según la definición: F es Punto Fijo (Foco), L  es  es la recta directriz y P(x; y) es un punto cualquiera de coordenadas genéricas x e y de la parábola, luego:

Entonces por distancia entre dos puntos: C  : (x – h)2 + (y – k)2 = R 2

Ecuación ordinaria de la circunferencia,

d(P,F) = d(P, L 1)

Ecuación general de la circunferencia

Por definición:

La ecuación general de la circunferencia de los puntos P(x; y) de centro centro C(h;k) y cuyo cuyo radio R, está dado; 2 2 2 C  :(x – h)  + (y – k)  = R  .

d(P, F)  = e

d(P, L )

Desarrollando y ordenando: C  : x2 + y 2 – 2hx – 2ky + h2 + k 2 – R 2 = 0 haciendo: –2h = A, –2k = B y h2 + k 2 – R 2 = C

Luego: e = 1 , donde e es la excentricidad de la parábola.

Luego:

Elementos asociados a la parábola Foco : Directriz : Eje Focal :

C  : x2 + y 2 + Ax + By + C = 0

Ecuación general de la circunferencia. 4.°

AÑO

77

F L  L 1

GEOMETRÍA

7

CIRCUNFERENCIA Y PARÁBOLA

Vértice : Lado recto : Parámetro : Cuerda Cuerda Focal: Cuerda :

V(h;k) MN’(MM = 4p) p(VF = VQ = p) AB S

Y Directriz L  p V p F

P(x;y) Foco

Formas de la ecuación de la parábola Eje focal

Las diversas formas de la ecuación cartesiana de una parábola, depende de la ubicación del eje focal, con respecto a los ejes coordenados.

X

Ecuación de la parábola con el eje focal en el eje Y

Ecuación de la parábola con eje eje focal paral paralelo elo al eje y 

La ecuación cartesiana de la parábola cuyo vértice es V(0; 0) y su eje focal en el eje y, está está dado por:

La ecuación cartesiana de la parábola cuyo vértice es V(h; k) y su eje focal es paralelo al eje Y está dado por: por :

P   :

P = (x – h)2 = 4p(y – k)

Eje focal

F(0;p)

P(x;y)

|y –|p p

V(0;0) p 2P

|y–(k–|p)|

p

F(h;k+p) 2p

Parábola

L 

Si p > 0, la parábola se abre hacia arriba. Y Eje focal

L 

Directriz

(k–p)

Parábola

Foco F

X

h

V(0;0)

p p

X Directriz

Y Parábola

Foco F p p

L 

Si p < 0, la parábola se abre hacia abajo. Y

P(x;y) F(h;k)

X

p

Directriz

p V(h;k)

y  k 

x2 = 4py 

(x, y): coordenadas co ordenadas del punto genérico. Y Eje focal Parábola P(x,y)

Siendo (x, y) coordenadas genéricas de un punto de la parábola, p es su parámetro. Y

Parábola

P(x,y)

L 

Foco

Directriz

p p

Directriz V(0;0) F

X Parábola

Eje focal

X Si p < 0, la parábola se abre hacia abajo.

7

GEOMETRÍA

78

4.°

AÑO

CIRCUNFERENCIA Y PARÁBOLA

Ecuación de la parábola con eje focal paralelo Ecuación para lelo al eje X 

Si p > 0, la parábola p arábola se abre a la derecha: Y

La ecuación cartesiana de la parábola cuyo vértice es V(h; k) y su eje focal es paralelo al eje X, está dado por: P   =

Y

L 

p p

(y – k)2 = 4p(x – h)

x |x–(h–p)|

(h–p)

k 

p

Si p < 0; la parábola p arábola se abre a la izquierda. Y L  P

p F(h + p)

Parábola X

P(x,y)

   z    i   rV(h;k)    t   c   e   r    i    D

Parábola

Eje focal

Parábola

F Eje focal

h

Eje focal

V F

   z    i   r    t   c   e   r    i    D

L 

(h–p)

P

p

Foco

X

p: parámetro

p

   z    i   r    t   c   e   r    i    D

X

Trabajando en clase Integral

Resolución: Graficamos de forma adecuada. directriz

1. Si C  (–4, 8) son las coordenadas del centro de una circunferencia de radio 20 u, determina la ecuación ordinaria de la circunferencia.

(4,2)

2. Si C  (–3, 2) son las coordenadas del centro de una circunferencia de radio 5 u, determina la ecuación general de la circunferencia.

(x) –4

3. Si:

4

5. Si la directriz de una parábola de vértice V(8, –2) es y = –2. Determina la ecuación de la parábola.

Católica

6. Si V(3, –8) y F(3, –7) son vértice y foco respecti vamente,  vamente, determina su ecuación de una parábola. parábola.

4. Si la directriz de una parábola de vértice V(4, 2) es x = – 4, determina la ecuación de la parábola.

AÑO

(y)

⇒ (y – 2)2 = 32(x – 4)

x2 + y 2 + 6x – 8y + 9 = 0 es la ecuación general de una circunferencia, calcula las coordenadas del centro y la longitud del radio.

4.°

p=8

7. Calcula el área de la región sombreada, sombreada, si la ecuación de la parábola es: P: (x – 5) 2 = 8(y – 5).

79

GEOMETRÍA

7

CIRCUNFERENCIA Y PARÁBOLA

UNI

Foco

y 

F

12. Según la figura; si OP = PQ y «O» es centro del rectángulo ABCD, calcula la ecuación de la semicircunferencia.

V

 1 8  )  a, 1  (   Q 

x

UNMSM

B

8. Determina la ecuación de la parábola si «AB» «AB » es el lado recto de longitud 32 u.

B

Resolución: Sabemos que AB = 4p ⇒ 4p = 32 → p = 8 y V(0, 0) ⇒ Determinamos la ecuación (y – 0)2 = –4(8)(x – 0) y 2 = –32x

H 2l 

l 

53°/2 2l 

⇒ Se observa que: 3l  =  = 18 → l = 6  = 12 ⇒ R = 2l  = ⇒ C   = (2l , 2l ) → C   = (12, 12) ∴ (x – 12)2 + (y – 12)2 = 144

(x) B

13. Según la figura, si OP = PQ y «O» es el centro del rectángulo ABCD, calcula la ecuación de la semicircunferencia.

(y)

 8  )  1   1 ,  a  Q  ( 

10. Determina la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo ABC. B (0,8)A A (15,0) C

P R 

C

O 53°/2

D

14. En una parábola de foco F, se traza la cuerda focal BC y se ubica el punto «A» en la región interior, tal que ABC es un triángulo equilátero. Si AB es paralelo al eje focal y BF = 9; calcula «AC».

11. Si la directriz de una parábola de foco F(5,2) es y = 5; determina la ecuación de la parábola.

GEOMETRÍA

R 

P B m (2l , 2l ) l  O l

9. Determina la ecuación de la parábola si AB es el lado recto cuya longitud es 8 u.

7

m

l 

B

B

D

  )  1  1 8  (  a , Q

(x)

A

C

Resolución:

V

V

R 

O 53°/2

A

(y)

A

P

80

4.°

AÑO

8 Repaso 1. Calcula el área área de la superficie total de tetraedro regular. V

a) 65p u2 b) 78p u2

O

B

A C c) 4 3  u2 d) 4 3  u2

e) 8 3  u2

2. Calcula el volumen del cilindro. 37°

a) 65p u b) 70p u3 3

e) 80p u2

5. ¿Cuál es la relación entre los volúmenes del cono y cilindro circular recto?

2u

a) 3  u2 b) 2 3  u2

c) 70p u2 d) 75p u2

a) 1/3 b) 2/3

c) 72p u d) 78p u3

e) 7/6

6. Si la distancia desde el centro de O’ a O es 3 u. Calcula el valor de «r».

8u

o

e) 80p u

3

c) 3/4 d) 4/5

3

r

5u O’

3. Calcula el volumen del prisma cuadrangular regular. a) 1 u b) 2 u

4u

c) 28 u3 d) 30 u3

e) 32 u3

L 

A 3u

4. Calcula el área de la superficie lateral del cono circular recto.

C

3u

12u a) 6p u3 b) 7p u3

AÑO

B

O

13 u

4.°

e) 5 u

7. Calcular el volumen generado al girar 360° alrededor de L .

4u a) 24 u3 b) 25 u3

c) 3 u d) 4 u

81

c) 8p u3 d) 9p u3

e) 10p u3

GEOMETRÍA

8

REPASO

8. Calcula el volumen del sólido generado al girar 360° alrededor de L .

13. Determina la ecuación de la parábola. (O: vértice)

L 

y  4u 4 u .G 4u 6u c) 24 3 p u3 d) 48 3 p u3

a) 20p u3 b) 20 3 p u3

9. Calcular «x».

(4,2) O

e) 50p u3 a) x2 = 4y b) y 2 = 8x c) y 2 = 4x

B(5; 3) M x

A

c) 3 2 u d) 4 u

e) 5 13 u

10. Calcula la pendiente de la siguiente recta de ecuaec uación: 3x + 4y – 2 = 0. a) 4 c) –1 e) 3

3

b) –3 4

d) 1 2

d) x2 = 8y e) x2 = 7y 

14. Determina la ecuación de la circunferencia cuyo centro es (1; 5) y radio 2 u. a) (x – 1)2 + (y – 5)2 = 4 b) (x + 1)2 + (y – 5)2 = 5 c) (x + 1)2 + (y – 3)2 = 8 d) (x – 3)2 + (y – 1)2 = 4 e) (x – 5)2 + (y – 1)2 = 4

C (6; 4)

(1; 1)

a) 2 u b) 2 2 u

x

4

15. Si la arista de un octaedro regular mide 2 u, calcula la medida de su diagonal.

11. Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos. A(3; 5) y B(5; 7) a) x + y – 2 = 0 d) x – y – 2 = 0 b) x – y + 2 = 0 e) x = y  c) x + y + 2 = 0

a) 2 u

d) 4 2  u

b) 2 2 u

e) 5 2  u

c) 3 2  u

Claves 1. 2. 3. 4. 5.

12. Calcula la pendiente de una recta perpendicular a la recta de ecuación, 7x – 2y = 0 a) 2/7 c) 1/7 e) 7 b) –2/7 d) –1/7

c c e a a

6. 7. 8. 9. 10.

d d d e b

11. 12. 13. 14. 15.

b b d a b

Bibliografía 1. CARDOZO, DANIEL, Geometría. Lima, Perú. Editorial Máximo, Máximo, 2013. 2. PINO ESPINOZA, RICHARD, RICHARD, Geomentos. Lima, Perú. Editorial SiPerú, 2011. 3. ROBLES MARCO, LUCIO, Geometría I . México D.F., México. Editorial Rumbo, 2012.

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GEOMETRÍA

82

4.°

AÑO