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Ángulos del triángulo: razonamiento inductivo Multiplicación (4) Tablas de multiplicar En las páginas 99 a 101 del Tomo V, Vol. 1, se aborda el razonamiento inductivo de los ángulos del triángulo.
Refexiones adicionales Los resultados geométricos de estas páginas son dos, aunque en realidad uno se obtiene del otro: 1. En todo triángulo, la suma de las medidas de sus ángulos internos es 180° 2. La medida de todo ánguángu lo externo de un triángulo es igual a la suma de las medi das de los ángulos internos no adyacentes. La primera se obtuvo como una conjetura. Esta clase de juicios no son son verdades verdades mate mate-máticas plenamente establecidas, solamente son válidas para algunos casos, aunque éstos parezcan ser muchos. En matemáticas, cuando una conjetura se demuestra con rigor adquiere la categoría de teorema . Un teorema se establece mediante el procedimiento de demostración en el marco de una construcción axiomáticodeductiva. En México no se plantea tal nivel de estudio de las matemáticas en la primaria ni en la secundaria, muchos de los resultados matemáticos que se enseñan en estos nive les simplemente se declaran o se establecen por inducción. En un texto de geometría de bachillerato bachillerat o la primera conjeconje tura se establece así: cual ABC es un triángulo cualquiera. A
D
a
En la actividad de la página 99 ( Fig. 1) 1) y el problema 4 pueden conducir a una tabla como la ubicada bajo la ilustración (Fig.2 ( Fig.2 ): ):
Suponiendo que ∠C mide 50°, al desarrollar la actividad se puede generar la tabla que se muestra (Fig. (Fig. 3). 3). La exactitud de las medidas depende de la precisión que se haya logrado. El análisis de los datos de la tabla conduce a la siguiente conjetura (Fig. ( Fig. 4): 4):
Fig.4 Obtenida la conjetura, las siguientes tres imágenes de la página 100 tienen la función de apoyar visualmente su veracidad.
Fig.1 ∠ A
60° 50°
40°
30°
20°
10°
∠B
30°
40°
50°
60°
70°
80°
Suma
90°
90°
90°
90°
90°
90°
Fig.2 De los datos se observa: • Cuando la medida del ángulo A aumenta la de B disminuye. • ∠ A + ∠B = 90° Los datos de la tabla corresponden a los triángulos que se forman cuando el vértice B toma diferentes posiciones en la recta BC según la dirección de la echa. Tales Tales concluconclu siones se llaman conjeturas, es decir: juicios que se forman a partir de indicios u observaciones en casos específcos. Al procedimiento que hace posible plantear conjeturas se le ha llamado método llamado método inductivo. inductivo.
Fig.5 Nótese que la conjetura se escribió en general: “La suma de los tres ángulos de cualquier triángulo es triángulo es 180°, siendo que en realidad sólo se observó en nueve caca sos. A esta forma de expresar la conjetura se le llama generalización y constituye una etapa del método inductivo. Es evidente que estas precisiones no proceden con los alumnos, éstas serán objeto de interés en niveles superiores de su formación.
d b
B
c
e
C
E
1. Se traza la recta CD paralela al lado BA, se simboliza así: CD//BA 2. CD//BA, entonces: ∠e =∠b, (son ángulos adyacentes). 3. CD//BA, entonces: s er ángulos alter alter-∠d =∠a, al ser nos internos. 4. CE es prolongación del lado BC, entonces el ángulo BCE mide 180°. 5.De la gura: ∠d+∠e+∠c=180° 6.Por los pasos 2 y 3 se tiene: ∠a+∠b+∠c=180°
En la página 100 (Fig. (Fig. 5 ) se presenta al alumno otro ejercicio de inducción. Se le pide observar el comportamiento de varios triángulos que se obtienen de forma similar al punto 3 de la página 99 para completar la armación: La suma de los tres ángulos de un triángulo es_____ grados. grados .
Fig.6 ∠ A
80°
70°
60°
50°
40°
30°
∠B
50°
60°
70°
80°
90°
100°
∠CA
50°
50°
50°
50°
50°
50°
Suma
180°
180°
180°
180°
180°
180°
Fig.3
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Geometría 71
Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1. La actividad 3 de la página 101 se relaciona con esta gura. Obsérvala y responde las siguientes preguntas: • 55° + a + b = 180° ¿Por qué razón? • 55° + c = 180°¿Por qué razón? • 55° + a + b = 55° + c Porque dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí. • Simplica la expresión anterior. Al ángulo c se le llama ángulo externo, a los ángulos internos a y b se les llama ángulos no adyacentes al ángulo c. A partir de lo anterior escribe una conjetura que in volucre a los ángulos a, b y c. Verica la validez de tu conjetura en algunos triángulos. 2. Sabemos que la suma de los tres ángulos de cualquier triángulo es 180°. Aplica este conocimiento a la gura para mostrar que la suma de los ángulos del cuadrilátero es 360°
3. Sabemos que la suma de los tres ángulos de cualquier triángulo es 180°. Aplica este conocimiento para contestar la pregunta que se hace en la imagen, utiliza en cada caso las ideas que tienen el niño y la niña y verica que la suma de los ángulos es de 540°.
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Polígonos: razonamiento inductivo Multiplicación (4) Tablas de multiplicar Refexiones adicionales El método inductivo trata de descubrir regularidades mediante la observación. En los casos que abordamos, la observación y el estudio de las tablas conduce al establecimiento de conjeturas. Los elementos más visibles de esta forma de razonar, según George Polya (1887-1985), son la analogía , la generalización y la especialización. Analogía : Al analizar la tabla se observó que en cada caso (triángulo,paralelogramo, pentágono y hexágono): la suma de las medidas de los ángulos es 180° por el número de triángulos formados. En este sentido los casos son análogos y la expresión de esta analogía es la conjetura que se anota en letras negritas . Generalización: es un aspecto formal, por ejemplo: “en todo polígono la suma de las medi das de los ángulos es 180 o por el número de triángulos que se forman”. Este aspecto no se hizo explícito en los cinco procedimientos inductivos que se presentan en esta lección. Pero en los hechos se dio al asumir que las conje turas encontradas son válidas siempre y así se aplican al resolver ejercicios y problemas que el texto propone al alumno. Sin embargo, para aceptar un resultado en matemáticas se requiere algo más. No se puede establecer una generalización de esa manera. Con el método inductivo se avanza, pero no se resuelve el problema matemático de la generalización.
Especialización : consiste en probar la validez de la conjetura en nuevos casos y si se conrma, lo único que ocurre es que aumenta nuestra conanza en ella, y sólo eso. Desde el punto de vista del establecimiento del conocimiento matemático, el método inductivo es limitado, sin embargo, es fundamental para el descubrimiento de los hechos matemáticos.
En las páginas 102,104, 105 y 107 del Tomo V, Vol. 1, se aborda el estudio de los polígonos como razonamiento inductivo. En la página 105 (Fig. 1) se propone una actividad que es la conclusión de un proceso inductivo que se inicia con el tema “Figuras y sus ángulos” visto en la página 99. Como en el caso de los ángulos del triángulo, para el caso de otros polígonos, la formulación de conjeturas se aborda también mediante procedimientos inductivos. Veamos el caso del cuadrilátero: en la página 102 ( Fig.2 ) se pide calcular la suma de los cuatro ángulos. De la primera parte de esta página se obtiene la conjetura. Las restantes imágenes de esa página sirven para vericar su veracidad. Veamos el caso del pentágono, en la página 104 (Fig. 3) se pide al alumno que dibuje un pentágono y se le pregunta sobre la suma de sus cinco ángulos. Al nal se le pide que com plete la expresión “La suma de los 5 ángulos de cualquier pentágono es __ grados”. El siguiente caso se encuentra en la página 105 (Fig. 1) que corresponde al hexágono. Al llegar a este punto se denen los conceptos de polígono y diagonal de un polígono. Estas diagonales han estado siempre presentes, como lo conrman las imágenes donde se triangulan los polígonos, pero no han sido utilizadas. Ahora, la situación cambia y se propone llenar una tabla que las incorpora (Fig. 5 ). La tabla da lugar a pensar en una conjetura no circunscrita a un polígono en particular sino a los polígonos en general, además, obliga a buscar una relación entre las variables: número de triángulos que se forman y suma de ángulos, incorporando en el razonamiento un tipo de triangulación de los polígonos. El resultado de completar la tabla es la siguiente conjetura: La suma de los ángulos de cualquier polígono se obtiene multiplicando 180° por el número de triángulos que se pueden construir al trazar las diagonales desde un vértice. Esta conjetura se ha obtenido a partir de la consideración de cuatro casos particulares, es una armación válida para esos casos. La imagen de la página 107 (Fig. 6 ) plantea un nuevo caso, pero tiene un signicado diferente: en él se aplicará la conjetura para dar respuesta a las preguntas. Se verica su cumplimento midiendo los ángulos.
Fig.1
Fig.2
Fig.3
Fig.4
1
2
3
4
180
360
540
720
Fig.5
Se propone un reto: “encontrar la suma de los ángulos de un octágono”. Ahora ya se puede resolver este problema. Fig.6
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Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1. Llena los espacios vacíos y expresa una conjetura que considere la cantidad de lados del polígono y la suma de sus ángulos, verica la veracidad de la conjetura para otros polígonos. Finalmente, calcula la suma de los ángulos de un polígono de 53 lados. Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
1
2
3
4
180°
360°
540°
720°
Número de lados Número de triángulos que se forman al dividir el polígono con diagonales desde un vértice. Suma de ángulos
2. Traza un círculo y tantos diámetros en él como se indica en cada caso. Las partes en que queda dividido el círculo por el trazo de los diámetros se llaman sectores. Completa la tabla y formula una conjetura generalizada. Calcula cuántos sectores se forman al trazar 137 diámetros.
Número de diámetros
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 4
Caso 5
Caso 6
1
2
3
4
5
6
Número de sectores que se forman
3. A partir de la siguiente tabla calcula los datos de las dos últimas las para los casos 5, 7 y 20. Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 4
Número de triángulos
1
4
9
16
Perímetro del triángulo mayor
3
6
9
12
Figura
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