Instituto Tecnológic o y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Estado de México
Simulación de sistemas mecánicos
1. Objetivos Diseñar circuitos eléctricos empleando amplificadores operacionales (Op. Amp.) para simular el comportamiento dinámico de sistemas mecánicos de primer y segundo se gundo orden. Obtener la respuesta en el tiempo de un sistema mecánico de traslación resorte amortiguador y de masa – resorte – amortiguador, sobre la base de simulaciones analógicas y digitales. Evaluar la variación de la respuesta de sistema de primero y segundo orden con relación a variaciones en sus parámetros. 2.- Marco teórico La repuesta de un sistema dinámico queda descrita por su función de transferencia, en particular, por la ubicación de sus polos en plano complejo s. Si los polos se encuentran localizados en el semiplano izquierdo, se dice que el sistema es estable, mientras que si están en el semiplano derecho entonces es inestable. Por otro lado, dentro de los sistemas dinámicos hay dos clases que tienen especial importancia: 1. Sistemas de primer orden. Son aquellos sistemas que son descritos por ecuaciones diferenciales de primer orden, lo que da lugar a funciones de transferencia con un solo polo. 2. Sistemas de segundo orden. Son aquellos sistemas que son descritos por ecuaciones diferenciales de segundo orden, lo que da lugar a funciones de transferencia con dos polos. La importancia de estos sistemas radica en su facilidad de estudio, de aquí que sistemas de mayor orden sean, en la medida de lo posible, reducidos a estos dos tipos de sistemas. Por eso el objetivo de esta práctica es revisar los aspectos fundamentales de los sistemas de primer y segundo orden.
2.1.- Actividades previas. a) Investigue la forma general de un sistema de primer orden tanto en el tiempo como en el dominio de Laplace. b) Investigue la forma general de un sistema de segundo orden tanto en el tiempo como en el dominio de Laplace.
ITESM CEM
Departamento de Mecatrónica y Automatización
1
c) En un sistema de primer orden ¿Qué representa la constante de tiempo? d) Para la siguiente función de transferencia, obtenga la constante de tiempo 10 G ( s) s2 e) Para las siguientes funciones de transferencia, obtenga el tiempo de establecimiento, el máximo sobre impulso, el factor de amortiguamiento y la frecuencia natural 10 amortiguada G ( s ) 2 . s s 1
2.2.- Preguntas de reflexión a) ¿Qué relación existe entre el sobre-impulso en la respuesta al escalón de un sistema de segundo orden y el factor de amortiguamiento? b) En un sistema de segundo orden ¿Qué diferencia existe entre la frecuencia natural amortiguada y la no amortiguada? c) ¿Qué relación existe entre el factor de amortiguamiento, la frecuencia natural no amortiguada y el tiempo de establecimiento de la respuesta al escalón unitario en un sistema de segundo orden? 3. Desarrollo experimental 3.1.- Material 5 10 2 1 1 1 1 1
Amplificadores operacionales LM 741. Resistencias de 10 K . Capacitores de 100F. Resistencia de 22 K . Resistencia de 47 K . Fuente de voltaje bipolar 15V. Osciloscopio. Tarjeta de alambrado rápido (protoboard).
3.2.- Actividades 1 Alambre el circuito de la figura 1 polarizando los amplificadores operacionales con + 15V. Este circuito es la simulación de un sistema mecánico masa – resorte – amortiguador de la forma mostrada en la figura 2, donde x1(t) es la entrada del sistema x2 (t) es la salida. Observe que tanto K como M se consideran unitarias y que la relación de resistencias R2/R1 define la constante de amortiguamiento. Considere R = 10K y C=100F.
ITESM CEM
Departamento de Mecatrónica y Automatización
2
R
R
C
R
R
R
x1(t)
C
R
x2(t)
R2
R1
R
A
R
Figura 1. Circuito Simulador.
Pregunta ¿De qué orden es el sistema de la figura 1? Pregunta ¿Cuál es el parámetro que define el factor de amortiguamiento?
Figura 2 Sistema Resorte – Masa - Amortiguador.
1)
Con los siguientes valores de resistencias obtenga en el osciloscopio la respuesta del sistema utilizando como entrada una señal constante de 5V.
i) R2=10 K , R1=10 K . ii) R2=22 K , R1=10 K . iii) R2=47 K , R1=10 K .
ITESM CEM
Departamento de Mecatrónica y Automatización
3
Pregunta. De acuerdo a los valores de resistencias propuestos, clasifique las respuestas de
los sistemas de segundo orden. 2) 3)
En el mismo circuito desconecte el punto A y obtenga la respuesta del sistema en el osciloscopio analógico. Anote sus c omentarios. Utilizando el programa MATLAB corrobore sus resultados realizando la simulación digital
Pregunta. Compare las respuestas obtenidas experimentalmente con las correspondientes al
análisis matemático. ¿Coinciden con una precisión razonable? Si no es así, justifique las diferencias.
3.3. Actividades complementarias a) Obtenga la función de transferencia del sistema mecánico que se muestra en la figura 2.1. Considere que x(s) es la salida del sistema y F(s) es la entrada. La constante de rigidez del resorte viene expresada por K, B es el coeficiente de fricción del amortiguador y F(t) es una fuerza aplicada directamente en el punto p. b) Realizar la simulación digital del sistema del punto anterior considerando que F(t) es una señal escalón unitario. Considere K = 1 y B = 1, 3 y 6.
c) Arme el circuito con amplificadores operacionales que simula el mismo sistema mecánico de primer orden.
Figura 2.1 Sistema resorte – amortiguador
d) En el circuito armado considere una señal de entrada de tipo escalón unitario, obtenga la respuesta y compárela con la obtenida en la simulación digital.
e) Modifique su circuito de tal forma que el parámetro B adopte los valores de 1, 3 y 6. Compare las respuestas con las obtenidas en las simulaciones digitales.
f) A partir de las comparaciones realizadas sobre las respuestas digital y analógica de la actividad previa ¿cómo son las respuestas? Si no son iguales, ha cometido un error. Verifique sus análisis.
ITESM CEM
Departamento de Mecatrónica y Automatización
4
g)
¿Cuál es la constante de tiempo de cada uno de los sistemas? ¿Dónde están ubicados los polos correspondientes a cada simulación? ¿Cómo son las velocidades de respuesta? ¿Existirá alguna relación entre ellos?
h)
¿Qué relación existe entre la constante de tiempo de un sistema de primer orden y la ubicación del polo en el plano complejo “s”?
4.- Conclusiones Utilizando los conceptos teóricos de sistemas de primer y segundo orden, modelado matemático, constante de tiempo y transformada de Laplace, concluya sobre: -
El significado físico de la constante de tiempo en un sistema de primer orden. La importancia que tiene la constante de tiempo de un sistema de primer orden. Las diferencias observadas al desconectar el punto A en la simulación analógica como en la simulación digital. Justifica el porqué de estas diferencias. La importancia del factor de amortiguamiento en los sistemas de segundo orden.
5.- Bibliografía -
Kuo C. Benjamín. Automatic Control Systems, 7th ed,. Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1995. Ogata, K Modern Control Engineering, 3th ed,. Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1998. Dorf, R. C. Modern Control Systems, 7th ed,. Addison-Wesley, Reading Mass., 1995.
ITESM CEM
Departamento de Mecatrónica y Automatización
5
