oscilacion armonica

Oscilador armónico Física 2º Bachillerato

Tema 6. Movimiento oscilatorio. El oscilador armónico 1. Movimiento Movimiento oscilatorio oscilatorio armónico armónico simple. simple.

Un cuerpo describe un movimiento periódico cuando las variables de posición, x, velocidad v y aceleración a de su movimiento toman los mismos valores después de un intervalo de tiempo cte denominado periodo. Ej: Movimiento circular uniforme, el péndulo o un cuerpo unido a un muelle. En los dos últimos casos el movimiento de vaivén se produce sobre la misma trayectoria ( arco o recta). Decimos que es un movimiento oscilatorio o vibratorio. Movimiento Movimiento oscilatorio oscilatorio o vibratorio vibratorio es aquel en el que el cuerpo cuerpo se desplaza desplaza sucesivame sucesivamente nte a uno y otro lado de su posición de equilibrio repitiendo para cada intervalo de tiempo sus variables cinemáticas. Oscilación es lo mismo que vibración. Sin embargo se suele hablar de vibración para designar oscilaciones rápidas o de alta frecuencia. Cualquier cuerpo que sea apartado de su posición de equilibrio estable tenderá a recuperar el equilibrio efectuando movimientos oscilatorios alrededor de esa posición. Ej: Un cuerpo suspendido de un hilo permanecerá en equilibrio estable en la vertical. Si es apartado de la posición de equilibrio y se suelta oscilará alrededor de su posición de equilibrio. Se detendrá por la fricción del aire. Supongamos un muelle que se aparta de su posición de equilibrio estable. Sobre él aparecen fuerzas restauradoras que tienden a devolverlo a su posición de equilibrio. En este caso la F rest es la ley de Hooke. F rest =-k

k es una cte característica de cada muelle (N/m)

Una partícula tiene un movimiento movimiento oscilatorio armónico simple (MAS) cuando oscila bajo la acción de fuerzas restauradoras que son proporcionales a la distancia respecto de la posición de equilibrio y cuyo sentido es hacia la posición de equilibrio. Cualquier cuerpo con MAS se le llama oscilador armónico. 2. Ecuaciones Ecuaciones del movimiento movimiento armónico armónico simple. simple. 2.1 Características Características de un movimiento movimiento armónico armónico simple.   



Vibración u oscilación oscilaci ón: Distancia recorrida por la partícula part ícula en un movimiento completo de vaivén. Centro Centro de oscilac oscilación ión, O: Pto medio medio de la distanc distancia ia que separa separa las dos dos posicio posiciones nes extrem extremas as alcanzadas por la partícula móvil Elongación, y. Distancia que en cada instante separa la partícula móvil del centro de oscilación O, tomado como origen de las elongaciones. Coordenada de la posición de la partícula en un momento dado . Consideramos positivos las valores de esta coordenada a la derecha del pto O y negativos a la izquierda. Amplitud Ampli tud A, valor máximo de la elongación. elongaci ón. 1


  

Periodo T, tiempo empleado por la partícula en efectuar una oscilación completa. Frecuencia , f o ν, número de oscilaciones efectuadas en la unidad de tiempo. Inversa del periodo f = 1/T ( Hz) Pulsación o frecuencia angular o velocidad angular, w, Nº de periodos comprendidos entre 2π 2π = 2π frad / seg unidades de tiempo. ω = T

2.2 Ecuación fundamental del movimiento armónico simple.

En la figura se ha representado la posición x de un péndulo que oscila después de haber sido desplazado un pequeño ángulo en función del tiempo. Se han representado dos oscilaciones completas.

Si lo hacemos oscilar desde su posición vertical con un pequeño impulso obtendremos una gráfica similar solo que para t = 0, x = 0. La primera gráfica corresponde a un coseno y la segunda a un seno. Ambas gráficas representan el mismo movimiento con la única diferencia de la posición inicial de oscilación. Si comparamos el movimiento del péndulo con el de una partícula que describe un movimiento circular, con radio igual a la de la amplitud de la oscilación y el mismo periodo ( es decir, ajustamos la w de la partícula para que coincida el T). Para un punto cualquiera de la trayectoria tenemos que su posición es x = A cos (wt). Puesto que A y w son iguales para los dos movimientos y las posiciones respecto del origen van coincidiendo. La ecuación describe los dos movimientos.

Ap

En general, si la elongación no es A, basta con introducir una fase que ajuste la posición inicial x = A cos ( wt + δ ). Para t = 0 x = A cos δ

Si hablamos de un muelle ocurre exactamente lo mismo.

En general, la ecuación del movimiento armónico simple la escribiremos 2


x =A cos(wt + δ )

wt + δ→ fase del movimiento. Al cabo de una oscilación completa la fase aumenta en 2π rad y vuelve a la misma posición cos (wy + δ ) = cos (wt + δ + 2π ) δ → cte de fase o fase inicial. Si t = 0 se obtiene la posición inicial xo= A cos δ

La ecuación puede escribirse indistintamente en función del seno o del coseno x = A sen (wt+δ ) A veces conviene usar una u otra:

1. Si hacemos oscilar un muelle o péndulo desde su máxima elongación, debe cumplirse que xo = A en t=0 → Ecuación más sencilla es x = A cos wt ya que cos 0 = 1 También se podría escribir x = A sen (wt +

π/2) ya que en t = 0 x = Asen π/2 = A. 2. Si la oscilación comienza en la posición de equilibrio se debe cumplir que x0= 0 en t= 0. Lo más sencillo es x = A sen wt pero también x = A cos ( wt ± π/2 ) 3. Si el movimiento se inicia en una posición intermedia, se puede elegir seno o coseno y calcular δ a partir de xo, A y w.

2.3 Ecuación de la velocidad en el Movimiento armónico simple.

x = A cos (wt + δ ) v

dx =

dt

= −wasen

( wt

+ δ

)

La velocidad en un movimiento armónico simple varía de forma

armónica ( sinusoidal). Sabemos que sen 2 ( wt + δ ) + cos 2 ( wt + δ ) = 1 sen(wt +δ )= 1 − cos 2 ( wt + δ ) v = -wA sen (wt + δ ) = -wA 1 − cos 2 ( wt + δ ) = − w A2 − A2 cos 2 ( wt + δ ) = − w A2 − x 2 . Como la raíz lleva doble signo para cada valor de x hay dos de v ( ida y vuelta) v= • La velocidad es cero cuando x = ± A ( extremos)

3

2

± w A − x

2


• La velocidad es máxima cuando x = 0 ( centro) v = ± wA • Las gráficas de x y v están desfasadas π/2 → cos ( wt + π/2)=- senwt

Si representamos la posición y la velocidad frente al tiempo x = A cos wt = A cos(

2π T

t )

v = − Awsenwt = − wAsen(

2π T

t )

2.4 Ecuación de la aceleración en el Movimiento armónico simple.

v= -wA sen (wt +δ ) a

dv =

dt

= −w

2

A cos( wt

+ δ

).

Sabemos que

v = a cos( wt + δ )

a = -w2x La aceleración en un MAS es una función armónica que depende sinusoidalmente de tiempo. • La aceleración es nula en la posición de equilibrio ( x= 0) • Es máxima en los extremos en cuyo caso vale –w 2A • Sentido opuesto a x

La gráfica está desfasada π respecto de la posición x → cos ( wt +δ ) = - cos (wt) x = a cos

2π T

v = − wAsen

v

t

2π T

a = − w 2 A cos

x=-A v=0 a=w2A

t

2π T

a

t

x=0 a x=A v=-wA v=0 a=0 a= -w2A v

v x=-A v=0 a=w2A

4

v

a

x=0 v=wA a=0

a

x=A v=0 a=-w2A


3. El oscilador armónico simple 3.1 Dinámica del oscilador armónico simple

Supongamos un oscilador que consiste en un cuerpo unido a un muelle horizontal. Cuando el cuerpo es apartado de la posición de equilibrio, la F rest = − Kx tiende a devolverlo en dicha posición Esta fuerza producirá una aceleración ma ma= -Kx a = −

K x m

K

Como a = − w 2 x ; − w 2 x = − x ; m

w=

K m

La fuerza que produce un MAS es una fuerza central, dirigida hacia el punto de equilibrio y proporcional a la distancia a este. Como w =

La f sería

2π T

;

f =

T =

2π W

= 2π ·

m K

El periodo de un oscilador armónico depende de la masa del oscilador y de la cte restauradora del sistema, pero es independiente de la amplitud.

1 K 2π m

3.2 Energía del oscilador armónico simple.

5


1 Energía cinética; la energía cinética de una masa m con un MAS es E c = mv 2 . Como 2 1 K v = − wAsen( wt + δ ) ; E c = mw 2 A2 sen 2 ( wt + δ ) . Como w 2 = 2 m E c =

1 2

2

KA sen

2

( wt + δ )

La energía cinética de un oscilador armónico varía periódicamente entre un valor mínimo en los extremos ( E c = 0) y máximo en la 1 posición de equilibrio E c = KA2 2

Energía potencial; Sabemos que W = -Aep. Si tenemos un cuerpo unido a un resorte que oscila horizontalmente sin fricción. El W al desplazar el cuerpo desde x hasta una posición de equilibrio es 0 0 x 2 1 w = ∫ − Kxdx = − K ∫ = Kx 2 2 x 2 x w = − AEp = −( EpCo) − Ep ( x ) = Ep ( x ) Como x = Acos(wt+ δ ) 1 Ep( x ) = Kx 2 2 1 Ep = KA2 cos 2 ( wt + δ ) 2

La energía potencial de un oscilador armónico varia desde un valor mínimo en la posición de equilibrio (Ep = 0) a un valor máximo en 1 los extremos Ep = KA2 2

1 1 Energía mecánica total; E = Ep + Ec = KA2 cos 2 ( wt + δ ) + KA2 sen 2 ( wt + δ ) 2 2 La energía mecánica de un oscilador armónico 1 2 1 2 2 2 E = KA (cos ( wt + δ ) + sen ( wt + δ ) = KA permanece constante si no actúan fuerzas 2 2 disipativas y su valor es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud 1 2 E = KA 2

4. El péndulo simple

6


Péndulo simple es una masa puntual que pende de un hilo inextensible de masa despreciable. Si el péndulo se suelta despues de haberlo separado de la posición de equilibrio comienza a oscilar alrededor de dicha posición. Sobre el péndulo actúan el P y la tensión. Podemos decir que el peso se descompone en una componenete normal mg cos ϑ , y una componente tangencial de valor mg sen ϑ . Este es positivo si estamos desplazado el cuerpo hacia posiciones negativas y negativo cuando el pendulo se desplaza hacia posiciones positivas.

Esta componente tangencial es la que actúa como fuerza restauradora. F = −mgsenϑ Si no es demasiado grande (15º- 20º) sen ϑ es aproximadamente ϑ si lo expresamos en radianes. Por tanto F = −mgsen ϑ ≅ −mg ϑ El arco de circunferencia es como una recta y por tanto

senϑ ≅ ϑ =

x l

x

⇒ F = −mg

l x

x

l

l

Como F = ma ⇒ ma = −mg ⇒ a = − g

Como

x a = − w x ⇒ − w x = − g ⇒ l 2

2

2

w =

y como w =

g l

2π T

⇒

4π 2 T 2

=

g l

; T = 2π l g

El periodo de un péndulo simple que oscila bajo pequeños ángulos de separación depende de la longitud del péndulo, pero es independiente de la masa. Un péndulo simple es un oscilador armónico solo si el ángulo es pequeño. Sabiendo que el periodo de oscilación de un péndulo en la Tierra es de 1,5 s determina: a) El periodo de oscilación de dicho péndulo en la luna, donde g L=g/6 b) Longitud del péndulo. T T = 2π T L = 2π

l g T l g L

= 2π

l 6l = 2π = g T g T

6 2π

l g T

= 6T T = 6 ·1,5 = 3,67 s

6Si tomamos como origen de Ep el punto de equilibrio, en el punto más alto es 2 de desviación máxima donde v = 0 Ep = mgh. l gT el T = 2π 0,558m ⇒ l = = 2 péndulo. 1 4.1 Estudio energético del g 4π En el punto bajo solo hay Ec = mv 2 . En cualquier otro punto será la suma de 2 Ep + Ec. Si igualamos por principio de conservación de la energía 1 7 mgh = mv 2 y . Es la misma expresión que la de caída libre 2 de un cuerpo desde una altura h.


h

V =

2 gh

Si la amplitud es menor, el péndulo alcanza menos altura y también será menos su v máxima. Aunque haya menor distancia recorrida el tiempo empleado es el mismo. El periodo del péndulo no depende de la amplitud.

5. Oscilaciones forzadas y fenómenos de resonancia.

En los sistemas reales, la amplitud de los oscilaciones decrece, no dura indefinidamente. Llamamos a estas oscilaciones amortiguadas. si la energía mecánica de su movimiento disminuye gradualmente. Las oscilaciones disminuyen su amplitud en el tiempo. Un movimiento oscilatorio es amortiguado

Esto es lo que le ocurre a un niño que no ha aprendido a columpiarse. Si dejamos de empujarle acaba su juego, debido a la fricción con el aire. Nota: Las fuerzas de amortiguamiento son proporcionales a la velocidad del cuerpo y de sentido contrario. F = - bv b : cte de amortiguamiento. Si b es cero no hay amortiguamiento. A medida que b aumenta disminuye la amplitud. Si b es muy grande ya que el cuerpo vuelve a su posición de equilibrio y no oscila. La fuerza recuperadora se iguala con la restauradora y el sistema se amortigua. Podemos mantener la amplitud de las oscilaciones si un agente externo

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Edebe 110


proporciona la energía que se pierde por rozamiento. Por ejemplo en el niño en el columpio , para conseguir que siga columpiándose y elevándose cada vez a mayor altura hay que empujarle acompañando nuestro impulso a su movimiento. Decimos que las oscilaciones son forzadas. Llamamos oscilaciones forzadas a las producidas en un sistema oscilante debido a la energía suministrada desde el exterior. Esta fuerzas pueden ser de la forma F ext = Fmax cosw’t. El papel de esta fuerza es aportar mediante su trabajo la energía que disipa el sistema. En general la frecuencia angular w’ de esta fuerza es distinta de la frecuencia del sistema w = √ k/m Cuando estas frecuencias coinciden el sistema comienza a oscilar y la amplitud aumenta drásticamente. Esto se conoce como resonancia. El fenómeno de resonancia se produce cuando la frecuencia angular de la fuerza externa coincide con la frecuencia natural de oscilación del sistema , con un aumento de la amplitud. Ejemplos de esto son un muelle que haces oscilar moviendo la mano de arriba hacia abajo y consigues que oscile con gran amplitud, o el hecho de empujar el columpio que consigues que se mueva con gran amplitud Ojo: La resonancia no se produce porque la fuerza externa sea muy grande sino porque coinciden las frecuencias. Ejemplos: En 1850 un batallón de soldados franceses atravesaba un puente en formación y marcando el paso y el puente se hundió. Esto fue debido a que el paso rítmico de la marcha militar coincidió con la frecuencia de oscilación del puente de modo que el aumento de la amplitud provocó que se rompiera. Desde entonces los soldados rompen la formación al cruzar un puente. En 1940 se inauguró en Tacoma, estado de Washington, en el Pacífico un puente de nuevo diseño. En un día de viento suave sufrió una serie de oscilaciones y torsiones y se cayó. Eso fue debido a que la frecuencia del viento coincidió con la de oscilación del puente, aumentó la amplitud y se cayó. También son fenómenos resonantes los sonidos de la guitarra o la sintonización de emisoras de radio o TV.

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