HZ31, deel H107 en H939
Ontwerp van constructiecomponenten Achtergrond en oefeningen bij het ontwerp van constructiecomponenten: staal, hout en metselwerk
dr. ir. L. Schueremans prof. dr. ir. D. Van Gemert Departement Burgerlijke Bouwkunde Kasteelpark Arenberg 40 B-3001 Heverlee
[email protected]
Academiejaar 2003/2004
Woord vooraf Het ontwerpen van constructiecomponenten is gesteund op de principes en methodes die in de elasticiteitsleer op een universele manier werden aangebracht. Het toespitsen van de ontwerpberekening op een welbepaald materiaal, noodzaakt het in rekening brengen van de bijzondere ervaringen en procedures die in die tak van de bouwbedrijvigheid opgebouwd werden. Deze zijn verschillend voor de verschillende materiaalfamilies: staal, aluminium, hout, composieten. Zij worden vertaald in een groot aantal normvoorschriften, zowel nationale (NBN: Norme Belge/Belgische Norm), Internationale (ISO: International Standards Organisation) als Europese (Eurocodes en Europese normen). Ontwerpberekeningen moeten in overeenstemming zijn met deze normvoorschriften. Deze normvoorschriften zijn voortdurend in evolutie. Een tiental jaren geleden werd het ontwerp voornamelijk gesteund op Belgische normen. Het Europa van vandaag heeft ook voor de bouwnijverheid geleid tot een reeks van uniforme regels: de Eurocodes. Deze vervangen reeds grotendeels de Belgische normen. De set van Eurocodes omvat volgende ontwerpnormen: § EN 1990 Eurocode : Grondslag voor het ontwerp; § EN 1991 Eurocode 1: Belastingen op constructies; § EN 1992 Eurocode 2: Berekening van betonconstructies; § EN 1993 Eurocode 3: Berekening van stalen draagsystemen; § EN 1994 Eurocode 4: Berekening van staalbeton draagsystemen; § EN 1995 Eurocode 5: Berekening van houten draagsystemen; § EN 1996 Eurocode 6: Berekening van draagsystemen van metselwerk; § EN 1997 Eurocode 7: Geotechnische ontwerpen § EN 1998 Eurocode 8: Berekening van draagsystemen tegen aardbevingen § EN 1999 Eurocode 9: Berekening van aluminium draagsystemen In de hoorcolleges worden de Eurocodes behandeld zoals ze op dit moment van toepassing zijn. De eerste twee Eurocodes zijn algemeen van aard en onafhankelijk van het gebruikte materiaaltype. Ze vormen de basis voor het ontwerp van een constructiecomponent. Het ontwerp van constructiecomponenten (staal, hout, aluminium, beton) verloopt volgens de methode der grenstoestanden. Deze methode wordt toegelicht in EN 1990 Grondslag voor het ontwerp. Begrippen zoals veiligheid, belastingen, belastingeffecten, materiaaleigenschappen en weerstand worden er behandeld. Ze vormen de basis voor het ontwerp dat verder wordt vastgelegd in de volgende normen. Het eerste hoofdstuk van deze curs us gaat dieper in op het begrip veiligheid en plaatst de methode der grenstoestanden in een ruimer kader. Deze norm vervangt de Belgische norm NBN B03-001 (1988): grondslagen voor de beoordeling van de veiligheid en de bruikbaarheid van draagsystemen. De belastingen die aangrijpen op constructies worden behandeld in Eurocode 1. Deze vervangt de Belgische normen NBN B03-101 (1976): Belastingen op constructies – Rechtstreekse belasting – Blijvende belasting te wijten aan het eigen
gewicht, en NBN B03-103 (1976): Belastingen op constructies – Rechtstreekse belastingen – Gebruiksbelasting van gebouwen. Volgende delen komen aan bod en maken intrinsiek deel uit van de cursus: § ENV 1991-1: Basis of design (1994). Is vervangen door EN 1990 (2002); § ENV 1991-2-1: Actions on Structures – Densities, self-weight and imposed loads (1995); § ENV 1991-2-2: Actions on Structures – Actions on structures exposed to fire (1995); § ENV 1991-2-3: Actions on structures – snow loads De Eurocode 3 omvat de berekening van stalen draagsystemen. De cursus beperkt zich tot ENV 1993, deel 1-1: Algemene regels en regels voor gebouwen. Dit deel maakt intrinsiek deel uit van de cursus. Deze Europese norm vervangt de Belgische norm NBN B51-002 (1988): Stalen bouwconstructies - Berekening volgens de methode der grenstoestanden. Na een korte overgangsperiode waarin beide methodes parallel mochten gebruikt worden, kwam een einde aan de methode der toelaatbare spanningen, dewelke was opgenomen in de Belgische norm NBN B51001 (1977). Een aantal onderwerpen uit Eurocode 3 vallen buiten het bestek van deze cursus: § Brandweerstand (deel 1-2); § Koud gevormde dunwandige elementen en platen (deel 1-3); § Bruggen en plaatconstructies (deel 2) – vervangt NBN B52-001 (1995): Stalen bruggen; § torens, masten en schoorstenen (deel 3); § tanks, silo’s pijpleidingen (deel 4); § palen (deel 5); § kranen en hefwerktuigen (deel 6) – vervangt NBN E52-002 (1980) en -003 (1981): hijswerktuigen; § marine en maritieme constructies (deel 7); § landbouwconstructies (deel 8). In de nabije toekomst (2003-2005) is een globale herschikking te verwachten van de indeling van de Eurocode 3. Voor een aantal delen zal dit leiden tot een grondige wijziging. Hierna wordt een lijst gegeven van deze onderdelen, de onderwerpen die erin behandeld worden alsook de vermoedelijke datum (jaar/maand) waarop deze van toepassing zullen zijn (zoals opgemaakt in 2002): § EN 1993-1-1: General rules (2003/02) § EN 1993-1-2: Structural fire design (2003/02) § EN 1993-1-3: Cold Formed an Thin Gauge Members and Sheeting (2003/02) § EN 1993-1-4: Structures in Stainless Steel (2003/02) § EN 1993-1-5: Strength and Stability of Planar Plated Structures without Transverse Loading (2004/06) § EN 1993-1-6: Strength and Stability of Shell Structures (2004/08) § EN 1993-1-7: Strength of Planar Plated Structures Loaded Transversally (2004/08) § EN 1993-1-8: Design of Joints (2003/02) § EN 1993-1-9: Fatigue Design (2003/02) § EN 1993-1-10: Fracture Toughness Assessment (2003/02) § EN 1993-1-11: Use of High Strength Cables (2004/06)
§ § § § § § § § §
EN 1993-2: Bridges (2004/06) EN 1993-3: Buildings (2003/02) EN 1993-4.1: Silo’s, Tanks and Pipelines – Silo’s (2005/01) EN 1993-4.2: Silo’s, Tanks and Pipelines – Tanks (2005/01) EN 1993-4.3: Silo’s, Tanks and Pipelines – Pipelines (2005/01) EN 1993-5: Piling (2004/04) EN 1993-6: Crane Supporting Structures (2004/04) EN 1993-7.1: Towers, Masts and Chimneys – Towers and Masts (2003/11) EN 1993-7.1: Towers, Masts and Chimneys – Chimneys (2003/11)
De hoofdstukken 2 tot en met 4 van deze cursus, geven achtergrondinformatie bij deel 1 -1 van de Eurocode 3. Ze vormen daarmee een brug tussen de cursus Kansrekenen en Statistiek, (aanvullingen) Sterkteleer, Elasticiteitsleer en de Eurocode 3. Deze hoofdstukken geven enkel aanvullende informatie. De berekening van de doorsneden van elementen en van elementen van stalen bouwconstructies volgens de methode der grenstoestanden komt uitgebreid aan bod in de Eurocodes. Er wordt dan ook naar deze normen verwezen. Er wordt dieper ingegaan op de achtergrond bij een aantal belangrijke onderwerpen die voorkomen in de EC3 en de basis vormen bij het ontwerp van staalconstructies: • Knik van op druk belaste staven, Hoofdstuk 2; • Kip van op buiging belaste liggers, Hoofdstuk 3 • Verbindingen belast op statische belastingen (boutverbindingen, lasnaden en kolomvoeten), Hoofdstuk 4. Dit hoofdstuk omvat tevens de methodes voor het berekenen van de spanningen in lasnaden, zoals deze opgenomen waren in de Belgische norm NBN 212 (1970) Naast staal komen ook twee andere vaak voorkomende bouwmaterialen aan bod. Hoofdstuk 5 geeft een inleiding tot het berekenen van houten structuren, overeenkomstig de Eurocode 5. Hoofdstuk 6 geeft een inleiding tot de specifieke krachtswerking voor metselwerkstructuren en vormt daarmee een inleiding tot Eurocode 6. Hoofdstuk 7 bevat een reeks voorbeeldoefeningen die de toepassing van de Eurocode 3 toelichten. De cursustekst kan in pdf-formaat worden gedownload van de bouwkunde website, op volgend adres: http://www.kuleuven.ac.be/bwk/materials/Teaching/index.htm De slides van de powerpoint presentaties die doorheen de hoorcolleges gebruikt worden, kunnen via Toledo worden geraadpleegd.
oktober 2003
Inhoudstafel Woord vooraf 1
Veiligheid van constructies 1.1 Inleiding 1.2 Overzicht van de betrouwbaarheidsmethodes 1.3 Berekenen van de faalkans volgens een niveau II procedure 1.3.1 Het basis R -E probleem 1.3.2 Voorbeeld – betrouwbaarheid van een trekstaaf 1.4 Doelwaarden voor de betrouwbaarheid 1.5 Het Faalpunt – ontwerppunt (E:design point) 1.6 Aanpak voor de calibratie van rekenwaarden 1.7 Het bepalen van de partiële veiligheidsfactoren
1-1 1-1 1-1 1-2 1-2 1-3 1-5 1-7 1-9 1-10
2
Instabiliteit van staven – Knik 2.1 Inleiding 2.2 Knik – elastische instabilieit 2.2.1 De Euler kniklast - differentiaalvergelijking 2.2.2 Euler kniklast – kolom belast op druk 2.2.3 Knikkrommen in EC3 2.2.4 Voorbeeld 1: cirkelvormige holle sectie als kolom
2-1 2-1 2-1 2-1 2-2 2-4 2-10
3
Instabiliteit van staven – Kip van op buiging belaste liggers 3.1 Inleiding 3.2 Het theoretisch elastisch kipmoment 3.2.1 Keuze van het assenstelsel 3.2.2 Verplaatsingen 3.2.3 Krommingen 3.2.4 Differentiaal vergelijkingen 3.2.5 Randvoorwaarden 3.2.6 Oplossing differentiaal vergelijking 3.2.7 Voorbeeld 1: I-profiel – vorkoplegging aan beide uiteinden 3.3 Smalle rechthoekige sectie 3.3.1 Evenwichtsvergelijkingen – het elastisch kipmoment 3.3.2 Voorbeeld 2: een smalle rechthoekig houten sectie 3.4 Effect van slankheid 3.5 Ontwerp kipweerstand overeenkomstig EC3 3.6 Bepalen van 3.6.1 Algemene werkwijze 3.6.2 Voorbeeld 1: I-profiel - hernomen 3.7 Effect van het belastingspatroon – C1 3.8 Effect van de randvoorwaarden van de oplegpunten 3.9 Hoogte van het aangrijpingspunt van de belasting – zgC2 3.10 Balken met tussenliggende zijdelingse steunpunten 3.11 Continue balken op meerdere steunpunten
3-1 3-1 3-1 3-2 3-2 3-2 3-3 3-3 3-4 3-5 3-6 3-6 3-6 3-7 3-8 3-8 3-8 3-8 3-9 3-9 3-10 3-11 3-11
4
Verbindingen onderworpen aan statische belastingen 4.1 Inleiding 4.2 Classificatie van verbindingen 4.2.1 Classificatie naar stijfheid 4.2.2 Classificatie naar sterkte 4.2.3 Classificicatie naar ductiliteit 4.2.4 Ontwerpmogelijkheden – modellen voor verbindingen 4.3 Bout-, klink- en penverbindingen 4.3.1 Classificatie van bouten 4.3.2 Boutgeometrie 4.3.3 Bouttoleranties
4-1 4-1 4-3 4-3 4-3 4-3 4-3 4-4 4-4 4-5 4-5
1
4.4
4.5
4.6 4.7
4.8
4.9
4.3.4 Klinknagels 4-6 4.3.5 Positionering van de gaten voor bouten en klinknagels 4-7 Sterkte van verbindingen op afschuiving belast 4-7 4.4.1 Boutbreuk 4-8 4.4.2 Gatbreuk – stuikdruk 4-9 4.4.3 Plaatbreuk 4-10 Sterkte van een verbinding belast op trek 4-11 4.5.1 Grenstrekkracht van een bout 4-11 4.5.2 Grensponskracht van een boutkop 4-11 Combinatie van trek en afschuiving 4-12 Voorspannen van bouten 4-12 4.7.1 Verbindingen belast op trek 4-12 4.7.2 Verbindingen belast op afschuiving 4-14 4.7.3 Voorspanning 4-14 4.7.4 Aanbrengen van voorspanning 4-14 4.7.5 Glijweerstand 4-15 Effecten van externe krachten en verificatie van sterkte 4-16 4.8.1 Afschuiving en torsie 4-16 4.8.1.1 Verdeling van de dwarskracht 4-17 4.8.1.2 Dwarskrachtverdeling in lange verbindingen 4-17 4.8.1.3 Verdeling van het wringmoment 4-18 4.8.1.4 Het gecombineerd effect 4-19 4.8.2 Trekkracht en buigmoment 4-19 4.8.2.1 Krachten binnen middenkern 4-20 4.8.2.2 Krachten buiten de middenkern 4-20 4.8.2.3 Zuivere buiging (N=0) 4-22 4.8.2.4 Buiging en axiale kracht – stijve flenzen 4-23 4.8.2.5 Buiging en axiale kracht – maximaal draagvermogen 4-24 Lassen 4-25 4.9.1 Druklassen 4-26 4.9.2 Smeltlassen 4-26 4.9.2.1 Booglassen met gas- en slakbescherming 4-27 4.9.2.2 Booglassen met gasbescherming 4-28 4.9.2.3 Booglassen met poederbescherming 4-29 4.9.3 Lasverbindingen 4-29 4.9.4 Lasprocedures 4-30 4.9.4.1 Materiaalkeuze 4-30 4.9.4.2 Gevolgen van de metallurgische fenomenen 4-31 4.9.4.3 Kwaliteit van de lasprocedure – defecten en controle 4-33 4.9.5 Sterkte van een lasnaad 4-34 4.9.5.1 De berekeningsdikte van de lasnaad – keeldikte a 4-34 4.9.5.2 De nuttige lengte van de lasnaad – l 4-34 4.9.5.3 Definitie van het kritieke vlak en erop aangrijpende spanningscomponenten 4-34 4.9.6 Stukken belast op trek of druk 4-35 4.9.6.1 Koplassen 4-35 4.9.6.2 Zijlassen 4-36 4.9.6.3 Schuine lasnaden 4-36 4.9.6.4 Samengestelde lasnaden, kop- en zijlassen of schuine lassen 4-36 4.9.7 Stukken belast op buiging 4-37 4.9.7.1 Verbindingslas – continue lasnaden die de lijfplaat met de flenzen verbinden van een ligger belast op buiging 4-37 4.9.7.2 Lasnaden die de verbinding verwezenlijken van twee loodrechte elementen in een raamwerk 4-38 4.9.7.3 Geval van buiging en afschuiving – ligger verbonden door lasnaden op een vlakke plaat, evenwijdig met de lijfplaat 4-39 4.9.8 Stukken belast op wringing 4-41 4.9.8.1 Dunwandige buisvormige ligger 4-41 4.9.8.2 Balken met dunne en vlakke samenlopende wanden 4-42
2
4.10
4.9.8.3 Liggers met vlakke dunne wanden onderworpen aan niet-gelijkmatige wringing 4-42 Kolomvoeten 4-43 4.10.1 Normaalkracht en buigmoment - geometrie van de voetplaat 4-44 4.10.1.1 Centrisch belaste voetplaten 4-45 4.10.1.2 Excentrisch belaste voetplaten 4-47 4.10.1.3 Excentrisch belaste voetplaten – lineaire drukspanningsverdeling 4-48 4.10.1.4 Excentrische belaste voetplaten – niet-lineaire drukspanningsverdeling 4-50 4.10.1.5 Excentrisch belaste voetplaten – uniforme drukspanningsverdeling 4-52 4.10.1.6 Aanbrengen van verstijvingsribben 4-53 4.10.2 Dwarskracht 4-55 4.10.2.1 Dwarskracht opname door ankerbouten 4-55 4.10.2.2 Dwarskracht opname door wrijving tussen staal en beton 4-55 4.10.2.3 Dwarskracht opname door speciale voorzieningen 4-56 4.10.3 Ankerbouten 4-56 4.10.3.1 Ingestorte ankerbouten 4-57 4.10.3.2 Ankerbouten met een haak 4-57 4.10.3.3 Ankerbouten met een hamerkop 4-57
5
Hout. Structureel gedrag 5.1 Inleiding 5.2 Sterkteklassen 5.3 Van karakteristieke waarde naar ontwerpwaarde 5.4 De partiële veiligheidsfactor voor het materiaal hout - gm 5.5 De modificatiefactor - kmod 5.6 De volumefactor of hoogtefactor – kh 5.7 Hout in druk/trek 5.8 Hout in Buiging 5.8.1 Kip - kinst 5.8.2 Load Sharing - kls 5.8.3 Doorbuiging 5.8.4 Trillingen 5.9 Afschuiving 5.10 Lokale effecten 5.11 Brandweerstand 5.12 Verbindingen 5.12.1 Mechanische verbindingen 5.12.2 Bezwijken van het hout in trek loodrecht op de vezelrichting 5.12.3 Stiftachtige verbindingen in afschuiving 5.12.4 Nagel- en schroefverbindingen op trek 5.12.5 Schrijnwerkverbindingen 5.12.6 Ingelijmde ankers 5.13 Voorbeeld - Controle van een houten moerbalk 5.13.1 Controle van de uiterste grenstoestanden 5.13.2 Controle van de gebruiksgrenstoestand 5.13.3 Brandweerstand
5-1 5-1 5-2 5-4 5-5 5-5 5-7 5-9 5-9 5-10 5-11 5-12 5-13 5-14 5-14 5-14 5-16 5-16 5-17 5-18 5-19 5-20 5-20 5-21 5-23 5-24 5-25
6
Metselwerk als stapelstructuur 6.1 Inleiding - Metselwerk als stapelstructuur 6.1.1 Baksteen -Natuursteen 6.1.2 Metselmortel 6.1.3 Mortel/steen combinatie - metselwerk 6.2 Sterkte van metselwerk 6.2.1 Bepalen van de druksterkte van metselwerk 6.2.2 Metselwerk belast met een excentrische drukkracht 6.3 Bogen, koepels en gewelven
6-1 6-1 6-2 6-3 6-7 6-8 6-9 6-10 6-12
3
6.4
6.5
7 7.1 7.2 7.3
7.4 7.5
7.6
6.3.1 Krachtswerking in een boog 6.3.2 Zelfregulerend effect van een boog 6.3.3 Luchtbogen 6.3.4 Veiligheid van bogen 6.3.5 Koepels 6.3.6 Gewelven Andere structurele elementen 6.4.1 De afschuifsterkte van metselwerk 6.4.2 De buigtreksterkte van metselwerk 6.4.3 Buiging loodrecht op het vlak - gewapend metselwerk Meettechnieken 6.5.1 Druksterkte van metselwerk 6.5.2 Afschuif- en buigtreksterkte van metselwerk 6.5.3 De kwaliteit van metselwerk
6-12 6-15 6-16 6-17 6-18 6-20 6-21 6-22 6-23 6-24 6-24 6-26 6-27 6-27
Voorbeeldoefeningen Inleiding Belastingcombinaties en Raamwerkimperfecties Controle van Staven – knik en kip 7.3.1 Knikcontrole van een cirkelvormige holle sectie als kolom 7.3.2 HEB-profiel als kolom 7.3.3 HEA profiel belast in buiging en normaaldrukkracht 7.3.4 Rechthoekig kokerprofiel belast op druk en buiging 7.3.5 Kolom in een raamwerk Controle van doorsneden en staven 7.4.1 Ontwerp van een dakligger Verbindingen 7.5.1 Boutverbinding op afschuiving 7.5.2 Hoekstaal verbonden met een koppelplaat 7.5.3 Boutverbinding belast op Moment en Trekkracht 7.5.4 Boutverbinding belast op Torsie en Dwarskracht 7.5.5 Koplassen en zijlassen in een op Trek belast verbinding 7.5.6 Lasnaad – ligger-kolomverbinding Controle van een portiek 7.6.1 Gegevens 7.6.2 Gevraagd 7.6.3 Controle van een portiek
7-1 7-1 7-2 7-5 7-5 7-6 7-8 7-11 7-13 7-18 7-18 7-23 7-23 7-25 7-27 7-29 7-31 7-33 7-35 7-35 7-39 7-40
4
1 Veiligheid van constructies 1.1 Inleiding De veiligheid van constructies wordt behandeld in EN 1990 (2002), Bijlage B en C. Referenties: • H. Galvanesssian, J-A Calgaro and M. Holicky, “Designers’ guide to EN 1990 Eurocode: Basis of Structural Design”, Designers’ guides to the Eurocodes, 2002. • L. Schueremans, “Probabilistic evaluation of structural unreinforced masonry”, Ph.D. Thesis, KULeuven, 2001. • P. Bourrier en J. Brozetti, Construction métallique en mixte acier-béton, “Calcul et dimensionnement selon les Eurocodes 3 et 4”, Chapitre 2, La sécurité des constructions en acier, 1996. • R.E.Melchers, “Structural Reliability: Analysis and Prediction”, John Wiley, 1999. • J. Van Dyck, “Probabilistisch ontwerp”, cursustekst, KULeuven, 2001. • D. Diamantidis, “Probabilistic Assessment of Existing Structures”, A publication of the Joint Committee on Structural Safety (JCSS), Rilem Publications S.A.R.L., januari 2001. • T2881, “Koordination und Entwicklung eines probabilistisches Sicherheitskonzepts für neue und bestehende Tragwerke”, Fraunhofer IRB Verlag, 1999, ISBN 3-8167-5451-1. Het ontwerp van een stalen structuur aangegeven in Eurocode 3 verloopt volgens de methode der grenstoestanden gebruik makend van partiële veiligheidsfactoren. Dit hoofdstuk geeft achtergrondinformatie met betrekking tot: • De methodes voor het berekenen van structurele betrouwbaarheid; • De methodes die gehanteerd worden om via calibratie de rekenwaarden en partiële veiligheidsfactoren te bepalen.
1.2 Overzicht van de betrouwbaarheidsmethodes Vandaag de dag bestaan er krachtige rekentechnieken om de structurele betrouwbaarheid van een constructie te beoordelen. Deze technieken laten toe om de globale faalkans te berekenen van een complexe structuur. De geschiedenis kent een permanente evolutie in de ontwerpmethodes. Steeds worden meer verfijnde en meer nauwkeurige technieken gehanteerd voor het ontwerp van nieuwe structuren alsook voor de evaluatie van de veiligheid van bestaande structuren. De verschillende methodes op een rijtje: • Niveau 0: Initieel werden de zogeheten niveau 0 methodes gebruikt. Dit niveau bevat historische methodes, empirische methodes, vuistregels alsook de elastische methode. Het is een deterministische methode; ste • Niveau I: gedurende de laatste decennia van de 20 eeuw is de niveau I methode geïntroduceerd voor de toepassing van verschillende bouwmaterialen. Deze methodes steunen op het principe van de partiële veiligheidsfactoren. Het levert een eerste objectieve methode om principes van structurele veiligheid te incorporeren in de methode. De ontwerpwaarden, of rekenwaarden (E: Design values), zijn afgeleid uit karakteristieke waarden. Deze karakteristieke waarden zijn gebaseerd op de waarschijnlijkheidsverdeling van de desbetreffende parameters, dewelke verkregen is op experimentele basis. • Niveau II: Om een objectieve waarde te kennen van de faalkans van een structureel systeem, worden in EN1990 de niveau II en III methodes vooropgesteld. Beide zijn het probabilistische procedures. De niveau II methode maakt gebruik van vereenvoudigde procedures voor het berekenen van de faalkans, de zogenaamde Eerste Orde en Tweede Orde Betrouwbaarheidsmethodes (E: FORM/SORM: First Order and Second Order Reliability Method). Deze methodes berekenen de faalkans van de structuur waarbij de waarschijnlijkheidsverdeling wordt benaderd door een equivalente normaalverdeling. Daardoor is de verkregen faalkans een benadering van de reële faalkans; • Niveau III: de niveau III procedures zijn de meest nauwkeurige. Ze berekenen de exacte faalkans van een geheel structureel systeem, op basis van de exacte
1-1
waarschijnlijkheidsverdeling van alle toevalsvariabelen. verdelingen voorlopig meestal niet gekend zijn.
De moeilijkheid hierbij is dat deze
De methode der partiële veiligheidsfactoren – niveau I procedure - zoals beschreven in de Eurocode 3, kan gecalibreerd worden op basis van zowel niveau 0, II en III procedures. Dit is weergegeven in Figuur 1.1. In praktijk is de huidige Eurocode voornamelijk gecalibreerd op basis van voorgaande normen, zodat een gelijkwaardig veiligheidsniveau ontstaat. De nieuwe edities van de Eurocode zullen steeds meer gecalibreerd zijn op basis van niveau II en III berekeningen. Deterministische methodes Historische methodes Empirische methodes
Calibratie
Probabilistische methodes FORM/SORM (Niveau II)
Calibratie
Volledig probabilistis ch (Niveau III)
Calibratie
Semiprobabilistische methode (Niveau I)
Ontwerp op basis van partiële factoren Figuur 1.1: Overzicht van de betrouwbaarheidsmethodes – en calibratie van de methode der partiële veiligheidsfactoren [EN 1990, Figuur C.1, blz. 68]
1.3 Berekenen van de faalkans volgens een niveau II procedure 1.3.1 Het basis R-E probleem De niveau II methodes kunnen best uitgelegd worden aan de hand van het basis R-E probleem: • R: de weerstand (E: “R” resistance) • E: het effect van de aangrijpende belastingen. Beschouw slechts één enkel belastingseffect E en één enkele weerstand R. Het uitgangspunt is dat zowel het belastingsfeffect E alsook de weerstand R toevalsvariabelen zijn. Elkeen wordt beschreven door zijn kansdichtheid: fE(e) en fR(r). Over het algemeen zijn zowel het belastingeffect E alsook de weerstand R een functie van de tijd t. De belastingen variëren willekeurig in functie van de tijd. Mogelijks hebben ze de neiging om toe te nemen (geleidelijke verhoging van de dienstlast). De weerstand (R) neigt af te nemen als functie van de tijd t ten gevolge van degradatie processen (denk bijvoorbeeld aan roestvorming). De veiligheid zal niet langer gegarandeerd zijn, wanneer, op een zeker ogenblik in de tijd geld dat R(t) – E(t) <0, Figuur 1.2. De kans op deze gebeurtenis is de faalkans Pf. Aangezien zowel R als E een functie van de tijd zijn, is ook de faalkans een functie van de tijd.
1-2
f R(r|t=t 1) R(t)
f E(e|t=t 1) E(t)
Figuur 1.2: Het basis R -E probleem Omwille van de wiskundige complexiteit, worden de waarschijnlijkheidsverdelingen omgevormd tot tijdsonafhankelijke waarschijnlijkheidsverdelingen. Dit heeft tot gevolg dat de betrouwbaarheidsanalyse wordt uitgevoerd voor een welbepaalde referentieperiode of ontwerplevensduur tL. Deze ontwerplevensduur dient dus vooraf bepaald te worden.
Pf = P [R − E < 0 ], voor een referentieperiode t L
(1.1)
Deze vergelijking, vgl. (1.1), kan veralgemeend worden tot [EN1990, vgl.C.2a]:
pf = P [g (R, E ) < 0] =
∫ ∫f
R, E
g (R ,E ) < 0
(r , e)drde, voor
tL
(1.2)
waarin g(R,E) de grenstoestandsfunctie wordt genoemd. De faalkans is dan gelijk aan de kans dat de grenstoestandsfunctie wordt overschreden. Deze kan berekend worden als het volume onder de gezamenlijke waarschijnlijkheidsverdeling fR,E (r,e) voor het gebied waarin de grenstoestand wordt overschreden: g(R,E) <0. De grenstoestandsfunctie definieert zo 3 gebieden:
g (R, E ) > 0, het veilige gebied,
g (R, E ) = 0, de kritieke situatie en g (R, E ) < 0, het onveilige gebied.
(1.3)
1.3.2 Voorbeeld – betrouwbaarheid van een trekstaaf Om de methode verder toe te lichten worden de betrouwbaarheid en faalkans berekend van een staaf belast met een trekkracht. De kracht en de sterkte zijn zodanig dat ze eveneens beantwoorden aan de eisen gesteld in de Eurocode 3.
1-3
R
E Figuur 1.3: Trekstaaf belast door een permanente last Beschouw een trekstaaf uit staal S235 (fyk = 235 N/mm²). Deze trekstaaf wordt enkel belast met een permanente last Gk = 1 MN, Figuur 1.3. De minimale vereiste doorsnede A volgt uit het ontwerpcriterium:
A=
γ GGk 1. 35 × 1.0 10 6 N = = 6319mm² fyk 235N / mm² 1.10 γM
De ontwerpwaarden zijn: • Voor het belastingeffect: E d = Gd = γG x Gk = 1.35 x 1 MN = 1.35 MN; • Voor de weerstand: R d=A x fyk/γM = 6319 mm² x 235 N/mm² / 1.10 = 1.35 MN • Hierin zijn γG en γM de partiële veiligheidsfactoren op de materiaalparameters respectievelijk.
(1.4)
permanente
last
en
In de betrouwbaarheidsanalyse worden de beide variabelen (R=A.fy en E=G) voorgesteld door toevalsvariabelen. De grenstoestandsfunctie kan geschreven worden als:
g = R − E = Af y − G
(1.5)
Om een vereenvoudigde schatting te maken van de faalkans, wordt aangenomen dat de twee toevalsvariabelen normaal verdeeld zijn. Voor het belastingeffect (E) wordt aangenomen dat de gemiddelde waarde (µE) overeenstemt met de karakteristieke waarde van de aangrijpende belasting: Gk = 1 MN en dat de variatiecoëfficiënt gelijk is aan 10%, dus σE =0.10µE=0.10 MN. Samenvattend geldt dus:
(
) (
E ≈ N µ E ,σ E2 = N 1MN ,(0.1MN )
2
)
(1.6)
Voor de weerstand R wordt aangenomen dat de gemiddelde waarde (µR) uitgaat van de gevonden benodigde dwarsdoorsnede (A = 6319 mm²) en de gemiddelde vloeigrens yf. Op basis van lange termijn ervaring voor deze staalsoort weet men dat de gemiddelde waarde overeenstemt met yf = 280 N/mm². Dus geldt voor µR:
µR = 6319 mm² × 280N / mm² = 1. 769MN
(1.7)
De variatiecoëfficiënt wordt gelijk genomen aan 8%. Dit houdt zowel de variatie in op de staalkwaliteit, als op de geometrie van de dwarsdoorsnede. σ R = 0.08 µR = 0. 1416MN
(1.8)
1-4
Samenvattend geldt voor de weerstand R:
(
) (
R ≈ N µ R ,σ R2 = N 1. 769MN , (0.1416MN )2
)
(1.9)
Omdat beide toevalsvariabelen normaal verdeeld zijn, kan de faalkans eenvoudig berekend worden. De som van normaal verdeelde toevalsvariabelen is immers opnieuw normaal verdeeld. Stel:
Z = R −E
(1.10)
Voor de nieuwe toevalsvariabele Z (ook wel eens “safety margin” of veiligheidsmarge genoemd), kan de gemiddelde waarde, alsook de spreiding berekend worden uit:
µ =µ − µ = 1.769 − 1. 0 = 0. 769MN Z : z2 R 2 E 2 2 2 2 σ Z = σ R + σ E = (0.1416 ) + (0.1) = (0.173MN )
(1.11)
De faalkans kan vervolgens geschreven worden als: Pf = P [(R − E ) < 0] = P [(Z ) < 0 ]
(1.12)
Om deze kans te berekenen wordt overgegaan op de standaard normaal verdeling (Φ ) via de transformatie:
u=
z − µz σz
(1.13)
Door deze transformatie gaat de toevalsvariabele Z over in de toevalsvariabele U, die standaard normaal verdeeld is:
U ≈ N (0,1)
(1.14)
Dit levert:
Z − µz 0 − µz µ Pf = P [Z < 0] = P < = P U < − z σz σz σz
(1.15)
Omdat door de transformatie van Z naar U, U standaard normaal verdeeld is, kan deze faalkans berekend worden uit de standaard normaalverdeling (ook beschikbaar in tabelvorm):
µ µ Pf = P U < − z = Φ − z σ z σz
(1.16)
De betrouwbaarheidsindex (β) wordt gedefinieerd als [EN1990, vgl. C.2c, Blz. 69]:
β =
µ z 0. 769 = = 4.445 σ z 0. 173
(1.17)
Aldus geldt [EN1990, vgl. C.1, Blz. 68]:
Pf = Φ(− β ) = Φ(− 4. 44) = 4. 5 10 −6
(1.18)
1.4 Doelwaarden voor de betrouwbaarheid Tabel 1.1 geeft de relatie weer tussen de faalkans (Pf) en de betrouwbaarheidsindex (β).
1-5
-1
-2
-3
pf
10
10
10
β
1.3
2.3
3.1
10
-4
3.7
-5
-6
10
10
4.2
4.7
10
-7
5.2
Tabel 1.1: Verband tussen de faalkans (P f) en de betrouwbaarheidsindex (β) [EN1990, Tabel C1, Blz. 69] De vraag stelt zich naar de veiligheid die moet vooropgesteld worden bij het ontwerp van een constructie. Tabel 1.2 geeft een overzicht van het risico, uitgedrukt als de kans op overlijden voor een doorsnee persoon blootgesteld aan de aangegeven gevaren. Hazard
Risk (x10-6 p.a.)
Building hazards: Structural failure (UK) Building fires (Australia)
Hazard
Risk (x10-6 p.a.)
Occupations (UK) Chemical and allied industries 85 Ship building - marine engineering 105 Agriculture 110 Construction industries 150 Railways 180 Coal mining 210 Quarrying 295 Mining (non-coal) 750 Offshore oil and gas (1967-76) 1650 Deep sea fishing (1959-78) 2800 Natural hazards (USA): Sports (USA) Hurricanes (1901-72) 0.4 Cave exploration (1970-78) 45 Tornadoes (1953-71) 0.4 Glider flying (1970-78) 400 Lightning (1969) 0.5 Scuba diving (1970-78) 420 Earthquakes (California) 2 Hang gliding (1977-1979) 1500 Parachuting (1978) 1900 General accidents (USA 1969) All causes (UK, 1977) Poisoning 20 Whole population 12000 Drowning 30 Woman aged 30 years 600 Fires and burns 40 Man aged 30 years 1000 Falls 90 Woman aged 60 years 10000 Road accidents 300 Man aged 60 years 12000 Tabel 1.2 Risico uitgedrukt als de kans op overlijden per jaar voor een gemiddeld blootgesteld individu [overgenomen uit: H. Galvanesssian et al., Table 8.2, 2002] 0.14 4
Algemeen wordt bij het ontwerp van een doorsnee constructie een jaarlijks risico op ongevallen gelijk -6 aan P f=10 aanvaard. Met deze faalkans komt een betrouwbaarheidsindex overeen, gelijk aan: β=4.7. Deze waarden zijn van toepassing voor een referentieperiode van 1 jaar. Om de betrouwbaarheidsindex voor een referentieperiode van n jaar te begroten, wordt gebruik gemaakt van [EN1990, vgl. C.3, Blz. 70]:
Φ(β n ) = [Φ(β 1 )]
n
(1.19)
Zo wordt benaderend voor β50 = 3.8 verkregen. Merk op dat β1 = 4.7 en β50 = 3.8 verwijzen naar eenzelfde betrouwbaarheidsniveau, maar voor een verschillende referentieperiode. De doelwaarden voor de betrouwbaarheid mogen verder gediversifieerd worden als een fu nctie van de gevolgen die verbonden worden aan het falen: • Het verlies aan mensenlevens; • Gevolgen voor het milieu en sociale gevolgen; • Economische gevolgen Het is bijvoorbeeld zo dat het mogelijk verlies van mensenlevens, economische, sociale gevolgen voor het milieu klein of verwaarloosbaar zijn voor een tuinhuis of een serre.
1-6
Daar kan een verlaagde betrouwbaarheid aangenomen worden. voor een referentieperiode van 1 jaar verlaagd worden tot:
Bijvoorbeeld kan de doelwaarde -5
-6
β1 = 4.2 ipv: β1 = 4.7 (wat overeenkomt met een orde-grootte verschil in faalkans: Pf,1=10 ipv 10 ). Er tevens van uitgaande dat de ontwerplevensduur van een landbouwgebouw beperkter is, bijvoorbeeld 30 jaar, volgt hieruit dat:
Φ (3 .4) = [Φ (4.2 )]30
(1.20)
Waaruit volgt dat β30 = 3.4 Deze differentiatie is opgenomen in de ENV 1990. Om ze mogelijk te maken zijn er verschillende betrouwbaarheidsklasses (E: RC: Reliability Class) gedefinieerd, waarin de gevolgen van het falen worden gespecifieerd [EN1990, Tabel B2, Blz. 63]: • • •
RC3: hoog verlies aan mensenlevens, economische, sociale gevolgen voor het milieu zeer groot (bijvoorbeeld: stadium, concertzaal, wolkenkrabbers, bruggen); RC2: middelmatig verlies aan mensenlevens, economische, sociale gevolgen voor het milieu aanzienlijk (bijvoorbeeld: residentiële-kantoorgebouwen, hotel, school); RC1: laag verlies van mensenlevens, economische, sociale gevolgen voor het milieu klein of verwaarloosbaar (landbouwgebouwen waar mensen normaal niet binnenkomen, afdak, tuinhuis).
Dit leidt tot volgend overzicht in doelwaarden voor de betrouwbaarheid, Tabel 1.3. Ze worden weergegeven, niet enkel voor het structureel bezwijken (UGT), maar eveneens voor vermoeiing en gebruiksgrenstoestanden (GGT: trillingen, doorbuigingen, comfort en uitzicht). Aanbevolen doelwaarden voor de betrouwbaarheidsindex β Uiterste grenstoestand vermoeiing Gebruiksgrenstoestand (UGT) (GGT) tL =1 jaar tL=50 jaar tL =1 jaar tL=50 jaar tL =1 jaar tL=50 jaar RC3 5.2 4.3 RC2 4.7 3.8 1.5-3.8 2.9 1.5 RC1 4.2 3.3 Tabel 1.3: doelwaarden voor de betrouwbaarheid – referentieperiode 1 jaar en 50 jaar [EN1990, Tabel C2, Blz. 70] Betrouwbaarheids Klasse
1.5 Het Faalpunt – ontwerppunt (E:design point) De rekenwaarden of ontwerpwaarden kunnen rechtstreeks afgeleid worden uit de niveau II procedure. Dit wordt toegelicht aan de hand van het voorbeeld van de trekstaaf. Algemeen geldt dat de betrouwbaarheidsindex kan worden berekend in de standaard normaal ruimte (u-ruimte), volgens, Figuur 1.4:
(∑ u )
β = min
2 i
1
2
met : g (u ) = 0
(1.21)
De betrouwbaarheidsindex β is de minimale afstand tussen het punt gelegen op de grenstoestandsfunctie (g(u*)=0) en de oorsprong in de standaard normaal ruimte, Figuur 1.4. Dit punt is het faalpunt, of ontwerppunt (E: design point): u*.
1-7
10
g(u)<0 onveilig domein
uE
g(u)=0 g(u)>0 veilig domein
9 8 7 6
αE u* αR
g(u)=g(uR,u E)
5 4 3
uE*
u*=[-3.632;2.565]
2 1
0 -1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1 0 uR* 0 -2
uR*= -3.632 uE*= 2.565 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
uR
-3
αR=-0.871 αE=0.577
-4
β=4.445
-5 -6 -7 -8 -9
Contourlijnen van de Gezamenlijke kansmassafunctie: fUrUe(uR,u E)
-10
Figuur 1.4: Voorstelling van de betrouwbaarheidsindex en sensitiviteitscoëfficiënten in de standaard normaal ruimte (u-ruimte) [zie ook EN1990, Figuur C2, Blz. 71] De sensitiviteitscoëfficiënten (αi) zijn de richtingscoëfficiënten van de naar buiten gerichte normaal op het faaloppervlak in het faalpunt (u*):
αi =
∂g ∂ui ∂g ∂ ui i =1 n
∑
(1.22)
2
u =u *
Aldus kan het faalpunt eveneens geschreven worden als:
ui * = −α i β
(1.23)
Voor het voorbeeld van de trekstaaf kan de grenstoestandfunctie herschreven worden in de standaard normaal ruimte:
g (R, E ) = R − E = 0 ⇒
g (u ) = g (u R , uE ) = σ R uR + µ R − (σ E uE + µ E ) = 0
(1.24)
want:
R − µR uR = σ R = σ R u R + µ R R ⇔ E − µE E = σ E uE + µ E uE = σE
(1.25)
Ingevuld met de parameterwaarden resulteert dit in:
1-8
g (u R , uE ) = 0. 1416uR − 0. 1u E + 0.769 = 0
(1.26)
De afgeleiden van de grenstoestandsfunctie naar u R en u E zijn gelijk aan:
∂g = σ R = 0. 1416 ∂u R
(1.27)
∂g = −σ E = −0. 1 ∂u E Gezien het lineaire verloop van g(u)=0 zijn deze constant. bepaald worden overeenkomstig vgl.(1.22):
∂g ∂uR
αR =
∑ αE =
∑
∂g ∂u R, E ∂g ∂uE
∂g ∂u R,E
2
=
σR σ R2
+ σ S2
=
0. 1416 0. 1416 2 + 0.12
De richtingscoëfficiënten α R en αE kunnen
= 0 .817
(1.28)
2
=
− σE σ R2 + σ S2
=
− 0. 1 0. 14162 + 0. 12
= −0. 577
Met deze informatie kan het faalpunt of ontwerppunt berekend worden, overeenkomstig vgl. (1.21):
uR* = −α R β = −0.817 × 4. 445 = −3. 632 2 2 2 2 ⇒ β = u * = uR + u E = α R + α E β = 4.445 uE* = −α E β = 0.577 × 4. 445 = 2.565
(1.29)
Met behulp van de inverse transformatie kunnen hieruit opnieuw de ontwerpwaarden berekend worden, vgl.(1.25):
Rd = σ R uR* + µ R = 0. 1416 × −3.632 + 1. 769 = 1. 256MN E d = σ E uE* + µ E = 0. 1× 2.565 + 1. 0 = 1. 256MN
(1.30)
1.6 Aanpak voor de calibratie van rekenwaarden Wanneer de rekenwaarden gedefinieerd zijn voor alle basisvariabelen die betrekking hebben op het structureel probleem, dan wordt de structuur als voldoende veilig beschouwd wanneer ze voldoet aan de volgende voorwaarde [EN1990, vgl. C4, Blz. 70]:
Ed ≤ R d
(1.31)
Dit is de praktische manier die wordt gehanteerd bij het ontwerp volgens de partiële veiligheidsfactoren om te verzekeren dat de betrouwbaarheidsindex van een welbepaald structureel element groter dan of gelijk is aan de doelwaarde. De rekenwaarden E d en R d zijn functie van [EN1990, vgl. C5, Blz. 70]:
E d = E{Fd 1, Fd 2 ,..., ad1, ad 2,..., θ d1,θ d 2 ,... }
Rd = R{X d1, X d 2,..., ad 1, ad 2 ,..., θ d 1,θ d 2,... }
(1.32)
waarin: • E: het belastingseffect; • R: de weerstand;
1-9
• • • •
F: een aangrijpende belasting X: een materiaaleigenschap a: een geometrische eigenschap θ: een modelonzekerheid.
In EN1990 wordt de methode beschreven die gevolgd wordt bij het bepalen van de rekenwaarden. De rekenwaarden van de belastingeffecten Ed en de weerstanden Rd behoren zo bepaald te worden dat de kans om een meer ongunstige waarde te bekomen gelijk is aan [EN 1990, vgl. C6, Blz. 71]:
( ) β ) = Φ (− u ) ⇔ u
P [R < Rd ] = Φ (− α R β ) = Φ u *R ⇔ uR* = −α R β P [E > E d ] = Φ(+ α E
* E
* E
(1.33)
= − αE β
met hierin β de streefwaarde van de betrouwbaarheidsindex. Stel bijvoorbeeld dat β=3.8, dan worden de ontwerpwaarden:
( ) (− α β ) + µ
Rd = σ R − α R β + µ R = 0. 1416 × −0. 871× 3.8 + 1. 769 = 1. 30MN Ed = σ E
E
E
(1.34)
= 0.1× 0. 577 × 3. 8 + 1.0 = 1.22MN
En geldt inderdaad dat Ed
α R = − 0. 8
(1.35)
α E = 0.7
Merk op dat de kwadratische som van deze richtingscoëfficiënten groter is dan 1. Het is een conservatieve aanname. Deze waarden zijn bruikbaar tussen volgend geldigheidsdomein [E N 1990, vgl. C7, Blz. 72]:
0.16 <
σE 0.10 = = 0. 706 < 0.76 σ R 0.1416
(1.36)
De getalwaarden van de trekstaaf vallen binnen dit geldigheidsdomein. Gebruik maken rekenwaarden op:
( ) (− α β )+ µ
van
de
standaardwaarden
voor
de
richtingscoëfficiënten
Rd = σ R − α R β + µ R = 0. 1416 × −0. 8 × 3. 8 + 1. 769 = 1. 34MN Ed = σ E
E
E
= 0.1× 0. 7 × 3. 8 + 1.0 = 1. 27MN
levert
volgende
(1.37)
Ook hier is voldaan aan de ontwerpeis: Ed
1.7 Het bepalen van de partiële veiligheidsfactoren De rekenwaarde Fd van een belasting F kan worden uitgedrukt als:
Fd = γ f Frep
(1.38)
Waarin: • Frep=ψFk: de relevante representatieve waarde is van de belasting. Deze is functie van de karakteristieke waarde Fk van de belasting vermenigvuldigd met een combinatiefactor ψ; • γf: de partiële veiligheidsfactor die rekening houdt met de mogelijkheid van ongunstige afwijkingen van de waarde van de balastingen ten opzichte van de representatieve waarden;
1-10
•
ψ: of 1.00 of ψ 0, ψ 1, ψ 2 is.
De rekenwaarde van het belastingeffect wordt algemeen uitgedrukt als [EN1990, vgl. C13, Blz. 74]:
{
E d = γ Sd E γ f , i F rep ,i ; a d
}
(1.39)
Waarin: • γSd: een partiële factor die onze kerheden in rekening brengt in het model van de belastingeffecten of het belastingmodel; • ad: de rekenwaarde van de geometrische gegevens. In de meeste gevallen wordt dit vereenvoudigd tot:
{
}
E d = E γ F ,i Frep , i ; a d , met aldus: γ F ,i = γ Sd γ f ,i
(1.40)
Het is deze partiële veiligheidsfactor die waarden krijgt toebedeeld in de EN1990 – “Grondslag voor het ontwerp”. Voor de karakteristieke waarde van de belasting Fk wordt de 95% quantiel gehanteerd. overeen met de waarde die slechts met een kans van 5% wordt overschreden, Figuur 1.5. 4
Deze stemt
fE(e)
3.5
E k Ed Rd
3
Rk fR(r)
2.5
2
1.5
1
Pf=P[R
0.5
R,S [MN] 0 0
0.5
1
1.5
2
2.5
Figuur 1.5: Karakteristieke waarde, ontwerpwaarde en het begrip veiligheid De rekenwaarde Xd van een materiaal of producteigenschap kan uitgedrukt worden als volgt [EN1990, vgl. C10, Blz. 73]:
Xd =η
Xk γm
(1.41)
Waarin: • Xk: de karakteristieke waarde van een materiaal- of producteigenschap; • η: de gemiddelde waarde van de omrekeningsfactor die rekening houdt met bijvoorbeeld volume- en schaalfeffecten, temperatuur- en vochtigheidsinvloeden. Vo or staal is deze gelijk aan 1;
1-11
•
γm: de partiële factor van de materiaal- of producteigenschap die rekening houdt met de mogelijkheid van een ongunstige afwijking van een materiaal- of producteigenschap ten opzichte van zijn karakteristieke waarde alsook de onzekerheid op de omrekeningsfactor η.
De rekenwaarde van de weerstand R d kan bepaald worden uit [EN1990, vgl. C11, Blz. 73]:
Rd =
1 γ Rd
X R η i k ,i ; ad γ m, i
(1.42)
Waarin: • γRd: een partiële factor die onzekerheden in rekening brengt in het weerstandsmodel; • ad: de rekenwaarde van de geometrische gegevens. In de meeste gevallen wordt dit vereenvoudigd tot:
X Rd = R ηi k ,i ; ad met aldus: γ M ,i = γ Rd γ m ,i γ M, i
(1.43)
Voor de karakteristieke waarde van de materiaal- of producteigenschap wordt het 5% quantiel gebruikt. Deze stemt overeen met de waarde die slechts met 5% kans onderschreden wordt, Figuur 1.5. Figuur 1.5 geeft de rekenwaarden voor de weerstand Rd en het belastingeffect Ed weer op basis van het getalvoorbeeld van de trekstaaf. Voor dit eenvoudige voorbeeld wordt abstractie gemaakt van belasting (F) en belastingeffect (E), van materiaaleigenschap (X) en weerstand (R). De karakteristieke waarden voor het belastingeffect en de weerstand stemmen overeen met:
Rk = µ R − 1. 645 × σ R = 1. 769 − 1.645 × 0.1416 = 1. 536MN E k = µ E + 1.645 × σ E = 1 + 1.645 × 0.1 = 1. 165MN
(1.44)
Gebruik makend van de vereenvoudigde uitdrukkingen tussen rekenwaarde en karakteristieke waarde, kan hieruit de partiële veiligheidsfactor berekend worden voor zowel het belastingeffect alsook de weerstand:
Rd =
Rk R 1. 536MN ⇒ γM = k = = 1.22 γM R d 1. 256MN
Ed = γ F Ek ⇒ γ F
E 1.256MN = d = = 1. 08 E k 1.165MN
(1.45)
Deze waarden wijken sterk af van de waarden die in de norm aangegeven zijn voor staal als product (γM0=1.10) alsook voor het eigengewicht als belasting (γg=1.35). Dit is enerzijds te wijten aan de vereenvoudigde voorstelling door een normaal verdeling van de toevalsvariabelen en anderzijds door het feit dat de partiële veiligheidsfactoren die in de EC1 en EC3 gehanteerd worden, gemiddelde waarden zijn, die voor een brede waaier van ontwerpen moeten leiden tot een voldoende veilig ontwerp. De hierboven aangegeven theoretische berekening van de partiële veiligheidsfactoren geeft basis- en referentiewaarden voor een “politiek-economische” beslissing omtrent de waarden die in de normen worden opgenomen. Daarbij speelt eveneens de concurrentie tussen de verschillende materialen: staal, beton, hout en andere.
1-12
2 Instabiliteit van staven – Knik 2.1 Inleiding De toetsing van de stabiliteit van staven, knik [E: buckling] wordt behandeld in EC3: • EC3, §5.5 “Toetsing van de stabiliteit van staven” Referenties: • Timoshenko and Gere “Theory of Elastic Stability”, 1961, pp. 132-142, John Publications; • Dionys Van Gemert, “Aanvullingen Sterkteleer”, 1993, Wouters Boekhandel, Leuven • Dionys Van Gemert, Guido De Roeck, “Sterkteleer”, 1993, wouters Boekhandel, Leuven.
Wiley
Knik werd reeds behandeld in de cursus „Aanvullingen Sterkteleer“. In dit hoofdstuk wordt de basistheorie kort herhaald. De oplossing van de differentiaalvergelijking leidt tot de Euler kniklast. Deze theoretische waarde wordt verder aangepast om rekening te houden met de praktijk. Deze wijzigingen ten opzichte van de basisformule geven rechtstreeks aanleiding tot de formulering in de EC3.
2.2 Knik – elastische instabiliteit Wanneer een verticale last (P) op een kolom perfect centraal aangrijpt, veroorzaakt deze geen moment, Figuur 2.1. In de praktijk zal dit echter nooit het geval zijn. Door een bijkomende horizontale belasting (Q) zal er een zekere doorbuiging optreden (v(x)). Daardoor zal de verticale kracht (P) aanleiding geven tot een bijkomend moment: P
P
L
L
Q
x
v Figuur 2.1: Verticale last (P) op een kolom – aanleiding tot moment op de staaf
M (x ) = −P [v (L) − v (x )]
(2.1)
Algemeen zal een balk belast op een drukkracht volgens zijn langsas met een initiële vervorming een bijkomend moment ondervinden. Door het uitschrijven van de evenwichtsvergelijkingen en oplossen van de differentiaalvergelijking voor buiging, rekening houdend met dit bijkomend moment, wordt de kritieke belasting gevonden waarbij dit uitknikken een mogelijke uitwijkingsvorm wordt: de Euler kniklast.
2.2.1 De Euler kniklast - differentiaalvergelijking Beschouw een horizontale balk, belast op twee gelijke maar tegengestelde drukkrachten (P), die aangrijpen ter hoogte van de neutrale lijn. De iso-statische balk heeft een kleine initiële doorbuiging,
2-1
of een doorbuiging, veroorzaakt door een uitwendige belasting (p(x)). Het evenwicht in de vervormde positie wordt uitgeschreven, Figuur 2.2. p(x) p(x) P
T P
x
dx
dv dx dx
P M
v(x)
dv (x ) dx Figuur 2.2: isostatische balk – evenwicht in vervormde toestand
P M+dM Td+T
Het verticaal evenwicht geeft aanleiding tot:
p(x )dx + dT = 0 ⇒ p( x ) = −
dT dx
(2.2)
Het momentenevenwicht leidt tot, mits verwaarlozing van de tweede orde termen (dxdx en dTdx):
M − (M + dM ) + p(x )dx
dx dv dM dv + (T + dT )dx + P dx = 0 ⇒ T = −P 2 dx dx dx
(2.3)
De eerste term van de dwarskracht stemt overeen met de formule uit de sterkteleer. De tweede term is de bijkomende term ten gevolge van de vervormde toestand. De klassieke buigingsvergelijking (cfr. Sterkteleer) luidt:
EI
d 2v = −M ( x ) dx 2
(2.4)
Wanneer we vgl.(2.3) éénmaal en vgl.(2.4) tweemaal afleiden naar x, en we vervangen vervolgens de tweede afgeleide van het moment uit vgl(2.4) met het resultaat uit vgl.(2.3), resulteert dit in:
EI
d 4v dT d 2v = − − P dx dx 4 dx 2
(2.5)
Invullen van vgl.(2.2) in vgl.(2.5) levert:
EI
d 4v d 2v = p ( x ) − P dx 4 dx 2
(2.6)
Stel in het meest eenvoudige geval dat p(x)≡0, dan verkrijgen we de differentiaalvergelijking waaruit de Euler kniklast kan worden bepaald:
EI
d 4v d 2v + P =0 dx 4 dx 2
(2.7)
2.2.2 Euler kniklast – kolom belast op druk De differentiaalvergelijking kan nu opgelost worden, rekening houdend met verschillende randvoorwaarden. Starten we met het eenvoudige geval van een kolom belast op druk, die aan beide uiteinden scharnierend is verbonden met de omgeving, Figuur 2.3.
2-2
P n=2
n=3
L
n=1
x
v
π 2EI π 2EI π 2EI 4 2 9 2 P=Pcr= 1 2 L L L Figuur 2.3: Kolom belast op druk, bijhorende knikkrommen en Euler kniklast Vooreerst herschrijven we vgl.(2.7), tot: 2 d 4v P 2d v + k = 0 , met: k = 4 2 EI dx dx
(2.8)
De algemene oplossing van deze differentiaalvergelijking, luidt:
v = A1 cos(k x) + A2 sin(k x) + A3 x + A4
(2.9)
De 4 onbekenden A1,..,A 4 kunnen opgelost worden door de randvoorwaarden opgelegd aan een kolom met twee scharnierende uiteinden. Voor x=0 geldt:
v (0 ) = 0 ⇒ A1 + A4 = 0 d 2v (0) ⇒ A1 = A4 = 0 M (0) = 0 ⇒ = 0 ⇒ A = 0 1 2 dx
(2.10)
Voor x=L geldt:
v (L ) = 0 ⇒ A2 sin(kL) + A3L = 0 d 2v (L) M (L) = 0 ⇒ = 0 ⇒ A2k 2 sin(kl ) = 0 dx 2
(2.11)
Er zijn twee mogelijkheden voor A2 en A3 om hieraan te voldoen. De eerste mogelijkheid:
A2 = 0 ⇒ A3 = 0 ⇒ v ≡ 0
(2.12)
Dit is een mogelijke oplossing. De andere oplos sing luidt:
A3 = 0 en sin(k L) = 0 ⇒ v ( L) = A2 sin(k L) = 0
(2.13)
Hieraan is voldaan, wanneer geldt:
sin(k L) = 0 ⇔ k L = nπ
(2.14)
2-3
Invullen van k uit vgl.(2.8) levert de Euler kniklast. Voor n=1 wordt de eerste knikvorm gevonden, die optreedt bij de laagste kniklast. Deze zal dus eerst optreden:
P = Pc r = n2
π 2EI L2
(2.15)
De Euler kniklast is functie van het traagheidsmoment (I) en is zeer gevoelig voor de lengte (L). Slanke kolommen zullen een lage kniklast kennen. De kritieke knikspanning wordt verkregen door de kniklast te delen door het staaloppervlak van de doorsnede (A):
σ cr =
π 2EI AL2
(2.16)
Gebruik makend van de slankheid (λ=L/i) en de traagheidsstraal (i²=I/A), geeft dit:
σ cr =
π 2E λ2
(2.17)
Knik zal optreden in concurrentie met het vloeien van het staal (fy) door de optredende drukkracht. Zolang de kritieke kniklast boven de vloeigrens gelegen is, zal de kolom bezwijken door vloeien. Ligt de kritieke kniklast beneden de vloeigrens, dan zal de kolom eerder uitknikken, Figuur 2.4. σ
Falen door vloeien fy Falen door uitknikken
Euler knik-kurve λ λ1 Figuur 2.4: Euler knikspanning in concurrentie met vloeien van staal λ1 wordt gedefinieerd als de slankheid waarbij de kritieke Eulerspanning overeenstemt met de vloeispanning van het staal (σcr=fy)[5.5.1.2.(1) vgl.(5.46)]:
λ1 = π
E fy
(2.18)
Dit betekent het kantelpunt tussen uitknikken en vloeien, Figuur 2.4.
2.2.3 Knikkrommen in EC3 Om te komen tot de knikkrommen uit de EC3, wordt de verkregen knikkromme, Figuur 2.4 omgezet in een dimensieloze grafiek, Figuur 2.5. Dit maakt de curve bruikbaar voor de verschillende staalkwaliteiten (met verschillende vloeigrens fy) en verschillende slankheden (λ). De relatieve slankheid ( λ ) wordt gedefinieerd als [5.5.1.2.(1), vgl.(5.46)]:
2-4
λ =
λ λ1
(2.19)
De theoretische reductiefactor (χ) is de verhouding van de bezwijkspanning (Eulerspanning en vloeien) tot de vloeigrens:
χ=
σ fy χ=
(2.20)
σ fy
Falen door vloeien
1 Falen door uitknikken
Euler knik-kurve
λ= 1
λ λ1
Figuur 2.5: Dimensieloze knikkromme Deze grafiek is niet bruikbaar in de praktijk voor het ontwerp van stalen kolommen belast op druk. In de praktijk ligt de kniklast lager dat de theoretische waarde zoals hierboven afgeleid. Dit komt voornamelijk door: • initiële kromming van de staven; • residuele spanningen (σR) in de staven, Figuur 2.6; • excentriciteit van de aangrijpende lasten; • strain-hardening. σR ~0.3 fy druk +
σR ~0.2 fy trek σR ~0.2 fy druk
N/A
Of =
=
σR
σn
σn bereikt fy fy
Figuur 2.6: Residuele spanningen in warmgewalste staven Een typisch residueel spanningsverloop voor warmgewalste profielen is afgebeeld in Figuur 2.6. Door de residuele spanningen zal, in aanwezigheid van een externe drukkracht (N) het profiel niet langer optimaal benut kunnen worden. Ook het initieel uit het vlak gelegen zijn van de aslijn, de initiële kromming van het profiel, induceert een bijkomend buigmoment en overeenstemmende buigspanningen (σB), Figuur 2.7. Deze reduceren verder het optimaal benutten van de profieldoorsnede.
2-5
N
σB
σR
N/A
σB
σmax
e0
+ e
+
=
σB N
Figuur 2.7: Initiële kromming – bijkomende buigspanningen Kolommen met grote slankheid zijn relatief onafhankelijk van imperfecties. De ultieme drukkracht is nagenoeg gelijk aan theoretische Euler kniklast, onafhankelijk van de vloeispanning fy. Bij kolommen met een gemiddelde slankheid daarentegen, zijn imperfecties wel degelijk van belang bij de knikinitiatie. De voornaamste zijn het initieel uit het vlak liggen en residuële spanningen. De faallast ligt gevoelig lager dan de Euler kritische kniklast (Pcr). Dit omvat een groot deel van de kolommen in de dagdagelijkse toepassingen. De knikkrommen worden gecorrigeerd voor deze imperfecties. Een statistische ondergrens wordt aangegeven op basis van een groot aantal experimenten uitgevoerd op verschillende types kolommen van variërende slankheid, Figuur 2.8. σ Medium slankheid
Grote slankheid
fy
λ1
λ
Figuur 2.8: Invloed van imperfecties op knikkromme – proefresultaten De knikkrommen [Tabel 5.5.2] zijn gebaseerd op meer dan 1000 exp erimenten. Verschillende doorsnede types werden in het onderzoek betrokken (I H T [ ⊥ O). De slankheid van de staven varieerde tussen: 55 < λ < 160. Om dit naar praktisch hanteerbare krommen te vertalen, wordt een schare van 4 knikkrommen gedefinieerd (χ ifv. λ ). Dit laat toe de verschillen (in residuele spanningen en imperfecties) in functie van de betreffende doorsnede makkelijk in rekening te brengen. De reductiefactor (χ) toe te passen op de vloeigrens (fy) bij de berekening van de ontwerp kniklast (N b.Rd), zal dus verschillen van het theoretisch verloop. Het praktisch verloop van de knikkromme (χ ifv. λ ) vertrekt vanuit een initiële kromming gelijk aan:
e0 =
L 1000
(2.21)
Er wordt aangenomen dat deze beginimperfectie een sinusoïdaal verloop kent, Figuur 2.9:
2-6
πx v 0 (x ) = e0 sin L
(2.22)
P
L
πx v 0 = e0 sin L v
x
v
Figuur 2.9: Initiële kromming – bijkomende vervorming die destabiliserend werkt Deze initiële kromming zal, bij aanwezigheid van een drukkracht P, destabiliserend werken. Ze geeft aanleiding tot een bijkomend moment in de buigingsvergelijking, vgl.(2.4):
EI
d 2v = −M (x ) = −P (v + v 0 ) dx 2
(2.23)
Invullen van vgl.(2.22) in (2.23) geeft:
πx P + k 2v = −Pe0 sin , met: k = EI dx L d 2v 2
(2.24)
De oplossing van deze differentiaalvergelijking is van de vorm:
πx k 2 e0 sin L v = v h + v p = A1 cosh(x ) + A2 sinh(x ) + π2 −k2 L2
(2.25)
De constanten A 1 en A 2 kunnen bepaald worden uit de randvoorwaarden aan de oplegpunten:
x = 0 ⇒ v (0 ) = 0 ⇒ A1 = 0 x = L ⇒ v (L ) = 0 ⇒ A2 = 0
(2.26)
Daaruit volgt:
πx k 2e0 sin L v= π2 − k2 L2
(2.27)
2-7
Invullen van k uit vgl.(2.24) en de Euler kniklast (P cr) overeenkomstig vgl.(2.15), leidt tot:
v=
P πx 1 e0 sin = v0 P P − Pc r L cr −1 P
(2.28)
De maximale doorbuiging wordt verkregen in het midden van de kolom (x=L/2). totale uitwijking (e) is gelijk aan:
e = v 0 + v = e0 +
1 1 e0 = e Pcr P 0 −1 1− P Pcr
Deze factor wordt geïnterpreteerd als een vergrotingsfactor. aldus:
M max = Pe0
De waarde van de
(2.29)
Voor het maximaal buigmoment geldt
1 P 1− Pc r
(2.30)
De maximale spanning, die beperkt moet blijven tot de vloeigrens wordt daarmee:
σ max = f y =
P 1 + Pe0 P A 1− Pc r
1 I v
(2.31)
Deze vergelijking kan worden omgevormd tot een kwadratische vergelijking in P. In een eerste stap worden beide leden vermenigvuldigd met de doorsnede A:
(fy A − P )(Pc r − P ) = Pc r P e0Iv A ,
(2.32)
Met:
η=
e0v A I
(2.33)
en met:
Py = f y A
(2.34)
wordt dit:
(Py − P )(Pcr
− P ) = Pcr P η
(2.35)
In een tweede stap wordt gedeeld door Py²:
1 − P Py
Pcr P Pcr P = − η Py Py Py Py
(2.36)
Er geldt:
2-8
E π 2EI π2 2 fy Pc r λ12 1 = L = = = Py Af y L2 λ2 λ 2 i2 Met: P =
P Py
(2.37)
(2.38)
wordt vgl.(2.37) omgevormd tot:
(1 − P ) λ1
2
1 − P = 2 Pη λ
(2.39)
De kwadratische vergelijking in functie van P wordt hiermee:
( (
)
λ 2 P 2 − 2P 0.5 1 + η + λ 2 + 1 = 0
(2.40)
Met [5.5.1.2.(1)]:
(
φ = 0.5 1 + η + λ 2
)
(2.41)
kan deze herschreven worden tot:
λ 2P 2 − 2P φ + 1 = 0
(2.42)
Deze kwadratische vergelijking heeft twee wortels. De kleinste is gelijk aan:
P =
φ − φ 2 − λ2 P σ 1 = =χ = = Py f y λ2 φ + φ 2 − λ2
(2.43)
Deze reductie op de vloeigrens stemt overeen met de formule aangegeven in EC3 [vgl.(5.46)]. De term η is functie van de beginkromming, vgl.(2.33): η=
e0v v Lv A = e0 2 = α 2 I i i
(2.44)
In de praktijk is er niet enkel de invloed van de beginkromming. Om ook de restspanningen, beginimperfecties, toevallige lastexcentriciteiten, niet constante fy in rekening te brengen, wordt in de EC3 volgende formulering gebruikt:
L fy η = α λ − 0. 2 = α − 0.2 i π E
(
)
(2.45)
Deze experimentele formule volgt uit 1500 proeven op commerciële kolommen. Bij gebruik van deze formule voldoet 98% van de proefstukken. De waarde voor α is functie van het typ e profiel: I, L, H,...5 waarden worden gedefinieerd, wat leidt tot een schare van 5 knikkrommen [Tabel 5.5.2], Figuur 2.10: • Knikkrome a0: α=0.125; • Knikkrome a: α=0.21; • Knikkrome b: α=0.34;
2-9
• •
Knikkrome c: α=0.49; Knikkrome d: α=0.76.
1,20 1,00 Theoretisch verloop a0: α =0.125 a: α=0.21 1 χ = b: α=0.34 φ + φ2 − λ2 c: α=0.49 d: α=0.76 φ = 0. 5 1+ α λ − 0.2 + λ 2
0,80 chi
χ
( (
0,60
)
)
0,40 0,20 0,00 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8
lambda
λ
Figuur 2.10: De reductiefactor χ in functie van de relatieve slankheid ( λ ) – theorie en praktijk Daar χ een reductie is op de vloeigrens, kan de rekenwaarde voor de knikcapaciteit [5.5.1.1, vgl.(5.45)] best als volgt gelezen worden:
Nb.Rd =
(χfy )(β A A ) γ M1
(2.46)
Voor relatieve slankheden beneden λ <0.2 is knikcontrole niet nodig. De reductiefactor is gelijk aan 1. Het profiel zal dus bezwijken door vloeien onder de normaalkracht en niet uitknikken.
2.2.4 Voorbeeld 1: cirkelvormige holle sectie als kolom Gegeven: • Cirkelvormige holle sectie (CHS 219.1x4.5) warmgewalst • Staalkwaliteit: Fe360b • Systeemlengte: l=3.50 m • Aan beide uiteinden scharnierend verbonden met de omgeving • Ontwerp drukkracht: N Sd = 600 kN Classificatie van de doorsnede: (ronde buizen)[Tabel 5.3.1., Blz. 77] • Klasse 1: d t = 219. 1 4. 5 = 48. 7 < 50ε 2 = 50 : voldaan, besluit: Klasse 1: βA=1 Bereken de kniklengte voor de twee hoofdtraagheidsassen • De kniklengte is gelijk aan de systeemlengte: L=l= 3.50 m Bereken de relatieve slankheid
2-10
L 3500 = = 46. 11 i 75.9 λ 46. 11 • De relatieve slankheid: λ = = = 0. 491 (>0.2 knikcontrole vereist) λ1 93.9 Selectie van de knikkromme [Tabel 5.5.3, Blz. 101]: • Warmgewalst profiel: knikkromme a •
De slankheid: λ =
Bereken de reductiefactor • χ=0.927 Bereken de rekenwaarde van de knikcapaciteit: χf y (β A A ) (0 .927 × 235 N mm ² )(1× 3030mm² ) • Nb. Rd = = = 600. 1kN γ M1 1. 1
( )
2-11
3 Instabiliteit van staven – Kip van op buiging belaste liggers 3.1 Inleiding Kip (E: Lateral Torsional Buckling of Beams) wordt behandeld in EC3: • EC3, 5.5.2 • EC3, Bijlage E, F Referenties: • Timoshenko and Gere “Theory of Elastic Stability”, 1961, John Wiley Publications, pp. 251268. • Dionys Van Gemert, “Aanvullingen Sterkteleer”, Wouters Boekhandel, Leuven, 1993. • Dionys Van Gemert, Guido De Roeck, “Sterkteleer”, Wouters Boekhandel, Leuven, 1993. Naast het knikgevaar bestaat de mogelijkheid dat een balk die belast wordt op buiging volgens zijn buigstijve as, zijdelings uitbuilt voor een zekere kritieke waarde van de belasting: kip. De controle van het kippen is voornamelijk belangrijk bij balken zonder zijdelingse steun waarbij de buigstijfheid van de balk in het vlak van de buiging groot is in vergelijking tot de zijdelingse buigstijfheid, Figuur 3.1. Zolang de optredende belasting beneden de kritieke waarde blijft, is de balk stabiel. Wanneer de belasting toeneemt, worden de voorwaarden bereikt die een licht vervormde en getordeerde evenwichtsvorm van de ligger mogelijk maakt. De balk is niet langer stabiel. De kleinste belasting die overeenstemt met deze kritieke toestand, wordt de kritieke belasting van de balk genoemd. Inklemming aan balkuiteinde z x u
y
Niet-belaste vorm gekipte vorm
φ
Eigengewicht grijpt verticaal aan
Figuur 3.1. Zijdelings uitwijken van een uitkragende balk onder verticale belasting De evenwichtsvergelijkingen moeten opgesteld worden voor de vervormde toestand. kritieke waarde voor de belasting worden afgeleid: het theoretisch elastisch kipmoment.
Daaruit kan de
3.2 Het theoretisch elastisch kipmoment Voor de afleiding van de evenwichtsvergelijkingen wordt gebruik gemaakt van een dubbelsymmetrische doorsnede. Er wordt uitgegaan van een perfect elastische, initieel rechte balk,
3-1
belast met eindmomenten (M0: gelijk maar tegengesteld van teken). waarvoor een vorkoplegging wordt genomen, is de balk niet zijdelings gesteund.
Tussen de oplegpunten,
3.2.1 Keuze van het assenstelsel Voor de afleiding wordt gebruik gemaakt van twee assenstelsels, Figuur 3.2: • Het vaste assenstelsel x, y, z: o x-as: lengte-as van de balk; o y-as: buigingsas overeenkomstig het grootste traagheidsmoment; o z-as: buiginsas overeenkomstig het kleinste traagheidsmoment; • Het lokaal assenstelsel ter hoogte van een willekeurige snede m-n: ξ, η, ζ o ξ: raaklijn aan de lengte-as van de uitgebogen vorm van de balk ter hoogte van de snede m-n; o η: buigingsas overeenkomstig het grootste traagheidsmoment; o ζ: buigingsas overeenkomstig het kleinste traagheidsmoment.
3.2.2 Verplaatsingen • •
u en v zijn de verplaatsingen van het zwaartepunt van de doorsnede i n de y en z richting; ψ is de rotatie-hoek van de doorsnede. De rotatie wordt positief genomen rond de x-as overeenkomstig de tekenconventie van de rechterhandregel.
z
m
ζ
Vooraanzicht M0
M0
x M Mζ 0
ζ
-u
z
η
y -v
n
Mη
ξ
L
ψ
2
d v
Kromming: y
dx 2
m
η
Doorsnede m -n
Planzicht x
Mξ ξ
n M0
Kromming: M0
d 2u dx
M0
2
Figuur 3.2. Definitie en symbolen dubbelsymmetrische balk opgelegd op een vorkoplegging en belast met eindmomenten M0
3.2.3 Krommingen Aangenomen dat het om beperkte doorbuigingen gaat, kunnen de krommingen van de as van de balk gelijk genomen worden aan:
d 2u dx 2 d 2v dx 2
voor het xy - vlak (3.1 )
voor het xz - vlak
3-2
In de afleiding zullen tevens de hoeken tussen de beide as senstelsels nodig zijn. verplaatsingen u, v en ψ klein zijn, dan gelden de benaderingen aangegeven in Tabel 3.1: x 1
ξ η
-
ζ
du dx
y du dx 1
Wanneer de
z dv dx ψ
1 -ψ dv dx Tabel 3.1: cosinussen van de hoeken tussen de assen -
3.2.4 Differentiaal vergelijkingen De buigingsvergelijkingen (cfr.: sterkteleer), worden:
EIη
EI ζ
d 2v dx 2
= Mη = M 0
(3.2 )
d 2u = M ζ = ψM 0 dx 2
(3.3 )
De torsievergelijking (St. Vénant wringing - GIt - en welfwringing - EIω) van de uitgekipte vorm is gelijk aan (Aanvullingen Sterkteleer, V.19-23):
GIt
dψ d 3ψ du − EIω = Mξ = − M0 dx dx dx 3
(3.4 )
Vgl.(3.2 ) beschrijft de buiging om de as met grootste buigstijfheid. Dit is de klassieke buigingsvergelijking uit de sterkteleer. Deze evenwichtsvergelijking blijft uiteraard geldig. Vgl.(3.3 en 2.4) beschrijven het kippen van de balk door het optredend buigmoment. Dit zijn twee gekoppelde differentiaalvergelijkingen. Door de aanwezige belasting zullen twee bijkomende verplaatsingen optreden, zie ook Figuur 3.1: • zijdelingse uitwijking u ,vgl.(3.3 ) (E: lateral buckling), gekoppeld aan • torsie ψ ,vgl.(3.4 ) (E: torsion). De gekoppelde differentiaalvergelijking kan als volgt opgelost worden. vgl.(3.4) naar x:
GIt
d 2ψ dx 2
− EIω
d 4ψ dx 4
+
d 2u dx 2
Vooreerst afleiden van
M0 = 0
(3.5 )
Vervolgens elimineren van de tweede afgeleide van u naar x uit vgl.(3.5), via vgl.(3.3):
EI ω
d 4ψ dx 4
− GI t
d 2ψ dx 2
−
M 02 ψ =0 EIζ
(3.6 ) de
Met de 4 vereiste randvoorwaarden, kan deze 4 graads differentiaalvergelijking opgelost worden.
3.2.5 Randvoorwaarden De balk is aan beide uiteinden opgelegd in een vorkoplegging. belemmerd: • verplaatsingen volgens de x- , y- en z-as; • rotatie volgens de x-as.
Volgende vrijheidsgraden zijn
3-3
Daardoor geldt:
ψ = 0 voor x = 0 en x = l d 2ψ = 0 voor x = 0 en x = l dx 2
(3.7 )
3.2.6 Oplossing differentiaal vergelijking De differentiaal vergelijking heeft volgende vorm:
GI t M 02 d 4ψ d 2ψ − 2 α − βψ = 0 , waarin: α = en β = 2EI ω dx 4 dx 2 E 2Iζ Iω
(3.8 )
Deze differentiaalvergelijking is van het type:
(D
4
)
− 2αD 2 − β ψ = 0
(3.9 )
De algemene oplossing luidt:
ψ = A1 sin(mx ) + A2 cos(mx ) + A3 exp(mx) + A4 exp(nx )
(3.10)
met daarin:
m = − α + α 2 + β en: n = α + α 2 + β
(3.11)
Vanuit de randvoorwaarden voor x=0, vgl.(3.7), geldt: A2 = 0 (3.12) A3 = -A4 De rotatiehoek kan hierdoor reeds herschreven worden als:
ψ = A1 sin(mx ) − 2 A4 sinh(nx )
(3.13)
Vanuit de randvoorwaarden voor x = L, vgl.(3.7 ), geldt:
ψ = A1 sin(mL) − 2A4 sinh(nL ) = 0 ψ = A1m2 sin(mL) − 2 A4n 2 sinh(nL ) = 0
(3.14)
Gelijkstellen aan nul van de determinant, leidt tot:
(sin(mL))(n 2 sinh(nL ) + m 2 sinh(nL )) = 0
(3.15)
Omdat m en n positieve getallen zijn, kan hieraan enkel voldaan zijn, indien: sin(mL) = 0 en A 4 = 0
(3.16)
De torsiehoek kan herschreven worden als:
ψ = A1 sin(mx)
(3.17)
De kleinste waarde waarvoor de sinus gelijk is aan nul, levert:
3-4
m=
π L
(3.18)
Of, gebruik makend va n vgl.(3.11):
m = −α + α 2 + β =
π L
(3.19)
Met de waarden van α en β uit vgl.(3.8) leidt dit finaal tot:
M cr =
π 2 EIζ
Iω
L2
Iz
+
L2GIt
(3.20)
π 2 EIζ
Deze laatste vergelijking (3.20) stemt overeen met het elastisch kipmoment [F.1.1.(1), vgl. (F.1), EC3] Belangrijk hierin is op te merken dat: • het theoretisch elastisch kipmoment Mcr is functie van: o de geometrie (L), o de randvoorwaarden (vorkoplegging); o de buigstijfheid (EIz), welfstijfheid (GIω) en torsiestijfheid (GIt). • het theoretisch elastisch kipmoment Mcr is geen functie van: o de vloeigrens fy van het staal; o de buigstijfheid (EIy) volgens de buigingsas Kip zal dus in concurrentie met vloeien van het staal optreden ten gevolge van buiging rond de buigstijve as, vgl.(3.2).
3.2.7 Voorbeeld 1: I-profiel – vorkoplegging aan beide uiteinden Gegevens: • L=5.00 m • E=210.000 N/mm² • G=E/2(1+ν)=80.770 N/mm² • Fe360b, fy = 235 N/mm² 3 o Wel,y = 557 10 mm³ • IPE300 (Staalcatalogus) 3 6 o Iω = 125.9 10 mm 4 4 o It = 15.7 10 m m 4 4 o Iζ = Iz = 604 10 m m Het kritieke kipmoment overeenkomstig vgl.(3.20) bedraagt:
M cr =
π 2EIζ
Iω
L2
Iz
+
L2GIt π 2EIζ
= 79.7kNm
(3.21)
De vloeigrens wordt bereikt bij het elastisch buigmoment, gelijk aan:
M el = fy Wel = 130kNm
(3.22)
Deze balk zal dus eerder uitkippen dan vloeien.
3-5
3.3 Smalle rechthoekige sectie 3.3.1 Evenwichtsvergelijkingen – het elastisch kipmoment In het geval van een smalle rechthoekige sectie, vereenvoudigen de evenwichtsvergelijkingen. Wanneer b<
dψ du + M =0 dx dx 0
(3.23)
De gekoppelde differentiaalvergelijking wordt op dezelfde wijze opgelost als het algemene geval, vgl.(3.5 en 2.6). Vooreerst afleiden van vgl.(3.23) naar x:
GI t
d 2ψ d 2u + M0 = 0 dx 2 dx 2
(3.24)
Vervolgens elimineren van de tweede afgeleide van u naar x uit vgl.(3.23), via vgl.(3.3):
GI t
d 2ψ dx 2
+
M 02 ψ =0 EI ζ
(3.25)
De differentiaal vergelijking heeft volgende vorm:
d 2ψ M 02 2 2 + k ψ = 0 , waarin: k = GI t EIζ dx 2
(3.26)
Deze differentiaalvergelijking is van het type:
(D
2
)
− k2ψ = 0
(3.27)
De algemene oplossing luidt: ψ = A1 sin(kx) + A2 cos(kx)
(3.28)
Vanuit de randvoorwaarden voor x=0, vgl.(3.7), geldt: A2=0
(3.29)
De rotatiehoek kan hierdoor reeds herschreven worden als: ψ = A1 sin(kx )
(3.30)
Vanuit de randvoorwaarden voor x=L, vgl.(3.7), wordt de oplossing gegeven door de kleinste waarde waarvoor de sinus gelijk is aan nul:
k=
π L
(3.31)
Of, gebruik makend van vgl.(3.26):
M cr =
π GIt EIζ L
(3.32)
3.3.2 Voorbeeld 2: een smalle rechthoekig houten sectie Gegevens: smalle houten rechthoekige sectie
3-6
• • • • •
L=10.00 m E=10.000 N/mm² ν=0.1; G=E/2(1+ν)=4.545 N/mm² bxh = 100 x 1000 mm fm,k = 30 N/mm² (klasse C30) 6 o Wel,y = bh²/6 = 16.7 10 mm³ 8 4 o It = bh³/3 = 3.333 10 m m 6 4 o Iζ = Iz = hb³/12 = 83.33 10 mm
Het kritieke kipmoment overeenkomstig vgl.(3.32) bedraagt:
Mcr =
π GI t EIζ = 353kNm L
(3.33)
De vloeigrens wordt bereikt bij het elastisch buigmoment, gelijk aan: M el = fm ,k W el , y = 500 kNm
(3.34)
Deze houten balk zal dus eerder uitkippen dan gaan vloeien.
3.4 Effect van slankheid Vorige afleiding laat toe om in ideale omstandigheden het kritieke kipmoment te begroten. Deze theoretische waarde wijkt af van wat in de praktijk wordt teruggevonden. Figuur 3.3 geeft een vergelijking van het theoretisch verloop en proefresultaten. De resultaten worden op een dimensieloze grafiek geplaatst om de resultaten van uitgebreide proefcampagnes met mekaar te kunnen vergelijking.
M M pl 1,0
M cr M pl
gedrongen
tussenliggend
slank
0 0
0.4
1,0
1.2
λ LT =
M pl M cr
Figuur 3.3. Elastische kipmoment – vergelijking tussen theoretisch verloop en proefresultaten (schematisch) Drie gebieden kunnen onderscheiden worden als een functie van de relatieve slankheid ( λ LT ): •
λLT <0.4: de gedrongen liggers zijn niet onderhevig aan kip [5.5.2.(7)];
•
0.4 < λLT < 1.2: voor tussenliggende slankheden wordt de waarde van het kritieke kipmoment (Mcr) beinvloed door: o geometrische imperfecties; o niet-elastisch gedrag; λ LT > 1.2: voor slanke liggers ligt de waarde van het kritieke kipmoment M ( cr) dicht in de buurt van de theoretische waarde.
•
3-7
3.5 Ontw erp kipweerstand overeenkomstig EC3 Om de ganse waaier van relatieve slankheden in rekening te kunnen brengen, wordt in EC3 een reductiefactor (χLT) op de rekenwaarde van de momentcapaciteit van de doorsnede (Mpl.Rd) in rekening gebracht. De rekenwaarde van de kipcapaciteit van een zijdelings ongesteunde ligger wordt als volgt bepaald [5.5.2 (1), vgl.: (5.48)]:
M b.Rd =
(χ LT fy )(βW W pl,y )
(3.35)
γ M1
De reductiefactor χLT voor het bepalen van de rekenwaarde van de kipcapaciteit, vgl.(3.35), wordt berekend volgens dezelfde procedure als bij knik [5.5.2 (2), vgl.(5.49)]:
χLT =
1 2 2 φ LT + φ LT − λLT
(
(
)
2 ≤ 1 , waarin: φLT = 0. 5 1 + α LT λLT − 0 .2 + λLT
)
(3.36)
Om rekening te houden met de imperfecties van de profielen, wordt onderscheid gemaakt tussen gewalste en gelaste profielen. Dit door middel van de imperfectiefactor αLT [5.5.2 (3)]: • αLT= 0.21 voor gewalste profielen: • αLT= 0.49 voor gelaste profielen. In de praktijk kan dus gebruik gemaakt worden van de knik-curven a en c [Tabel 5.5.2], voor het bepalen van de reductiefactor (χLT) als functie van de relatieve slankheid ( λLT ).
3.6 Bepalen van λLT 3.6.1 Algemene werkwijze De relatieve slankheid ( λLT ) kan berekend worden op twee manieren. De eerste methode gaat via het theoretisch elasti sch kipmoment (Mcr). gedefinieerd via [5.5.2.(5)]:
λLT =
De relatieve slankheid is
M pl
(3.37)
Mcr
Voor het bepalen van het kritieke kipmoment (Mcr), wordt verwezen naar [F.2.1]. De tweede methode werkt via de slankheid (λLT) [5.5.2(5)]:
λ λLT = LT λ1
E βW , met: λ1 = π = 93. 9ε fy
(3.38)
3.6.2 Voorbeeld 1: I-profiel - hernomen Hernemen we het voorbeeld uit §2.2.7. Gegevens: • Wpl,y = 628.4 10³ mm³ • Gewalst profiel: αLT=0.21 Het plastisch vloeimoment (Mpl) is gelijk aan:
M pl = W pl, y fy = 628. 410 3 × 235N / mm ² = 147. 7kNm
(3.39)
De relatieve slankheid ( λ LT ) bedraagt daarmee:
3-8
λLT =
M pl
=
M cr
147 .7kNm = 1. 36 79. 7
(3.40)
De reductiefactor χLT overeenkomstig [Tabel 5.5.2] is: χLT =f( λ LT ,αLT)=0.4380
(3.41)
De rekenwaarde voor de kipcapaciteit (Mb.Rd) wordt:
M b.Rd =
(χ LT fy )(βW Wpl ,y ) = (0.4380 × 235 N γ M1
mm² )(1× 628.4 10³ ) = 58. 8kNm 1.1
(3.42)
3.7 Effect van het belastingspatroon – C1 Tot hiertoe werd bij de berekening enkel rekening gehouden met imperfecties van de doorsnede. Voor de aangrijpende belasting werd uitgegaan van twee gelijke maar tegengestelde eindmomenten (M0), zie Figuur 3.2. In de praktijk zullen vele andere belastinggevallen voorkomen. Het theoretisch elastisch kipmoment voor verschillende frequent voorkomende belastinggevallen wordt gerelateerd aan het basisgeval (= theoretisch elastische kipmoment voor twee gelijke maar tegengestelde eindmomenten) via een correctiefactor C1. M
M
P
M Figuur 3.4: Verschillend belastingspatroon Voor een centraal aangrijpende puntlast (P), Figuur 3.4 onderaan, wordt het theoretisch elastisch kipmoment, vergelijk met vgl.(3.20):
M cr = C1
π 2EIζ 2
L
Iω Iz
+
L2GIt π EIζ 2
= 1. 365
π 2EIζ 2
L
Iω Iz
+
L2GIt π 2EIζ
(3.43)
De waarden voor C 1, als functie van de aangrijpende belasting, kunnen worden teruggevonden in [Tabel F.1.1 en F.1.2]. De waarde van C 1 kan ook berekend worden door in de evenwichtsvergelijkingen het eindmoment M0 te vervangen door het werkelijk optredend moment, dat nu eveneens functie is van x, Figuur 3.4. Door deze bijkomende term in x, zal de oplossing van de differentiaalvergelijking kunnen gevonden worden uit een reeksontwikkeling.
3-9
3.8 Effect van de randvoorwaarden van de oplegpunten In realiteit zal de oplegging haast nooit de theoretische aangehouden vorkoplegging zijn. Eindvoorwaarden die de zijdelingse verplaatsing verhinderen (verplaatsing in planzicht, Figuur 3.2), zullen de kipcapaciteit verhogen. Het effect van verschillende types randvoorwaarden voor de steunpunten wordt in rekening gebracht door het herdefiniëren van de zijdelings niet-gesteunde lengte naar een effectieve lengte. Twee factoren k en k w bepalen de effectieve lengte in functie van de niet-gesteunde lengte: • k: verhinderen van zijdelingse buiging (k = 0.5 – 0.7 – 1.0), Figuur 3.5 [F.1.2.(2) en (3)]; • kw: verhinderen van welving (kw = 1 wordt aanbevolen, tenzij speciale voorzieningen worden getroffen) [F.1.2 (4)]. Planzicht Vorkoplegging – zijdelingse uitbuiging niet belemmerd aan de oplegpunten: k=1
Leff = L
Zijdelingse uitbuiging belemmerd aan één van beide oplegpunten: k=0.7
Leff = 0.7L
Zijdelingse uitbuiging belemmerd aan beide oplegpunten: k=0.5 Leff = 0.5L Figuur 3.5: k – effect van randvoorwaarden aan de oplegpunten
3.9 Hoogte van het aangrijpingspunt van de belasting – zgC2 Wanneer de belasting niet bestaat uit eindmomenten, maar uit een verticaal aangrijpende belasting, wordt het aangrijpingspunt van deze belasting van belang. De referentie voor het aangrijpingspunt is het dwarskrachtenmiddelpunt van het dubbel symmetrisch profiel (wat hier samenvalt met de buigingsas). Belastingen die hoger aangrijpen (bv. op de bovenflens) zullen destabiliserend werken, ten gevolge van het bijkomend torsiemoment in de vervormde toestand. Belastingen die lager aangrijpen (bv. op de onderflens) daarentegen, hebben een stabiliserende effect en verhogen de kipcapaciteit, Figuur 3.6 [F.1.2., vgl. (F.2-F.6)].
Equivalent uniform moment
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
L2GIt EIω
0.4 1m
10 m
100 m
1000 m
Figuur 3.6: (de)stabiliserende werking van de hoogte van het aangrijpingspunt van de belasting
3-10
Dit wordt in rekening gebracht door een bijkomende correctie op het basisgeval (zgC 2): • z g = za-zs: de afstand tussen belastingspunt en dwarskrachtenmiddelpunt [F.1.2.(1)]; • C2: correctiefactor die functie is van het belastingstype en de randvoorwaarden aan de oplegpunten [Tabel F.1.1 en F.1.2].
3.10 Balken met tussenliggende zijdelingse steunpunten Voor balken met tussenliggende zijdelingse steunpunten in de overspanning, mogen de verschillende segmenten tussen de steunpunten afzonderlijk doorgerekend worden. Het ontwerp is gebaseerd op het meest kritieke segment. Voor de lengte van het segment tussen 2 zijdelingse steunen moet een effectieve lengte in rekening gebracht worden waarin k = 1.0 en NIET 0.7. In de vorm van de uitgekipte balk, zal het naburige niet-zijdelings gesteunde segment mee uitkippen, Figuur 3.7. Zijdelingse steun ê
ê Zijdelingse ....steun
Zijdelingse steun ê k = 1,0 Balk in planzicht
Figuur 3.7: uitgekipte vorm van balken met tussenliggende zijdelingse steunpunten
3.11 Continue balken op meerdere steunpunten Voor continue balken op meerdere steunpunten, wordt elke overspanning tussen 2 steunpunten afzonderlijk behandeld, rekening houdend met het buigmomenten verloop. Hierbij wordt uitgegaan van de continuïteit van het verloop van de buigmomenten over de balk en van de correctiefactor op de belasting C 1, [Tabel F.1.1] op basis van de eindmomenten voor elke overspanning, Figuur 3.8. Voor de eenvoud mag de benaderende formule gehanteerd worden die een waarde geeft voor C1 in functie van de verhouding (ψ ) tussen de eindmomenten M1 en M2(=ψM1) [F.1.2 vgl.: (F.3)]:
C1 = 1. 88 − 1. 40ψ + 0. 52ψ 2 , doch : C1 ≤ 2.70
(3.44)
Deze formule is een kwadratische benadering doorheen de waardes van C 1 teruggevonden voor verschillende verhoudingen van de eindmomenten. Steunpunt ê
Steunpunt ê
Ψ=0, C1=1,88
Steunpunt ê
Ψ=−1, C 1=2,752
Steunpunt ê
Ψ=0, C 1=1,88
Figuur 3.8: Correctiefactor C1 voor eindmomenten bij balken op meerdere steunpunten
3-11
4 Verbindingen onderworpen aan statische belastingen 4.1 Inleiding De berekening van verbindingen, onderworpen aan statische belastingen, wordt behandeld in EC3: • §6 “Verbindingen onderworpen aan statische belastingen” • §7 “Fabricage en Montage”; • Bijlage B.2.1, “Lasbare constructiestaalsoorten”; • bijlage J, “Ligger-kolomverbinding” Referenties: • OverSpannend Staal, “deel 2 – Construeren A”, Uitgave van Bouwen met staal, Hoofdstuk 1 Inleiding, pp. 11-32 en Hoofdstuk 3 “Verbindingen”, pp. 127-252, 2001. • Chapter six, “Technology of bolts”, pp. 181-212. • Construction métallique et mixte acier-béton, Calcul et dimensionnement selon les Eurocodes 3 et 4, Chapitre 6 “Les assemblages” 267-355, 1996. • Structural Steelwork Eurocodes Development of a Trans -National Approach, module 5, “joints”, lectures, 15-18,2001. • NBN B212, “Staalconstructies: Berekening van spanningen in gelaste constructies onderworpen aan statische belasting”, 1970. In een klassieke staalstructuur komen verscheidene types verbindingen aan bod, Figuur 4.1: • A: ligger-kolom verbinding • B: ligger-ligger verbinding • C: kolom -kolom verbinding • D: kolomvoeten
A
C
A
A
B
A
A
A
A
D
D
C
A
D
Figuur 4.1: verschillende types van verbindingen Alvorens dieper in te gaan op de rekenmethodes, wordt de vervormbaarheid van een knoop en het belang daarvan voor de constructie, aangegeven. Voor een enkelvoudige knoop tussen ligger en kolom (ligger-kolomverbinding), zijn er verschillende spanningszones die aanleiding geven tot vervormingen. Het uitwendig aangrijpend moment (Mb)
4-1
[b:“beam”] kan worden omgezet in een equivalent koppel (trek/druk) op de flenzen van de ligger. Deze krachten geven aanleiding tot, Figuur 4.2 [6.9.7.1 (2), Figuur 6.9.10]: • Een drukzone: o In de onderflens van de ligger en in het verlengde daarvan in het lijf van de kolom o Gedeelte van het lijf van de ligger • Een trekzone: o In de bovenflens van de ligger en in het verlengde daarvan in het lijf van de kolom o Gedeelte van het lijf van de ligger o Eindplaat in buiging o Bouten in trek o Kolom flenzen in buiging • Een zone in afschuiving o Middenzone van het lijf van de kolom Vwp
Vwp φ
φ Vb Nb
Mb
Mb1
Mb2
Mb
Figuur 4.2: ligger-kolom verbinding – bronnen van vervorming In elk van deze zones zullen de optredende spanningen vervormingen opwekken. Finaal resulteert dit in een rotatiehoek (φ) tussen de aslijnen van de verbonden elementen. Het gedrag van een verbinding wordt weergegeven in een zogenaamd M-φ diagramma. De belangrijkste bijdragen tot vervorming zijn afkomstig van de afschuiving in het lijf van de kolom en de vervorming van de verbinding door het aangrijpend buigmoment, Figuur 4.2. Voor een dubbelzijdige ligger-kolomverbinding gelden dezelfde bedenkingen. De afschuifvervorming in het lijf van de kolom is functie van de waarden Mb1 en Mb2. Zijn deze twee gelijk aan mekaar, dan verdwijnt de afschuifvervorming. De totale vervorming kan worden neergeschreven als de som van twee componenten, Figuur 4.3: • Afschuiving van het lijf van de kolom; • Vervorming van de verbinding door het aangrijpend moment. Mb
Mb
Mb, Mj Moment capaciteit
ϑc,i
γi
Mb,i
ϑc,i+γi
Mb,i
Mb,i =
+ Verbinding in buiging
Afschuiving lijf ϑc
Rotatie capaciteit Knoop
γ
Stijfheid
φ
Figuur 4.3: knoopvervorming = afschuiving lijf kolom en vervorming van de verbinding door buigmoment
4-2
Dit moment-rotatie diagramma wordt gekarakteriseerd door 3 parameters, Figuur 4.3 (rechts): • De rotatie-stijfheid (stijfheid); • De moment-capaciteit (sterkte); • De rotatie-capaciteit (ductiliteit).
4.2 Classificatie van verbindingen De verbindingen kunnen op verschillende manieren doorgerekend worden, in functie van de vervormbaarheid.
4.2.1 Classificatie naar stijfheid Een eerste methode bestaat erin de verbindingen onder te verdelen als functie van hun rotatiestijfheid, Figuur 4.4 (a): • Scharnierende verbindingen (E: pinned joint, Fr:articulé) • Stijve verbindingen (E: rigid joint; Fr: rigide) • Flexibele verbindingen (E:semi-rigid joint; Fr: semi-rigide) Mj
(a) Stijfheid
(b) Sterkte Mj volledig sterk
stijf flexibel
Mj
(c) Ductiliteit
S j,ini niet-volledig sterk
ductiel Semi-ductiel bros
scharnier
φ
scharnier
φ
φ
Figuur 4.4: classificatie van verbindingen naar stijfheid
4.2.2 Classificatie naar sterkte Een tweede methode bestaat erin de verbinding onder te verdelen naar sterkte, Figuur 4.4(b): • Scharnierende verbinding (E: pinned joint; Fr: articulé) • Volledig sterke verbinding (E: full-strength; Fr: totalement résistant) • Niet-volledig sterke verbinding (E: partial-strength; Fr: partiellement résistant)
4.2.3 Classificicatie naar ductiliteit Een laatste methode, die niet in de EC is opgenomen, bestaat erin de verbindingen onder te verdelen als functie van de ductiliteit, Figuur 4.4(c): • Bros (E:brittle; Fr: friable); • Ductiel (E:ductile; Fr : ductilité) ; • Semi-ductiel (E:semi-ductile ; Fr : semi-ductilité).
4.2.4 Ontwerpmogelijkheden – modellen voor verbindingen Vaak worden slechts een beperkt aantal van deze mogelijkheden gehanteerd in het ontwerp van verbindingen. Naar rotatiestijfheid toe zijn scharnierende en stijve verbindingen de traditionele verbindingen. Naar sterkte toe komen alle klasses voor in een traditioneel ontwerp. Volgende modellen wordt traditioneel het meest gebruikt: • Stijve/volledig sterke verbinding; • Stijve/niet-volledig sterke verbinding; • Scharnierende verbinding. Echter, door het in rekening brengen van de stijfheid van de verbinding, zijn ook andere modellen mogelijk: • Flexibele/volledig sterke verbinding; • Flexibele/niet-volledig sterke verbinding. De verschillende mogelijkheden worden overlopen in Tabel 4.1.
4-3
Sterkte Stijfheid Volledige sterkte Niet-volledige sterkte Stijf continu Semi-continu Flexibel Semi-continu Semi-continu scharnier / / Tabel 4.1: modellen voor het doorrekenen van verbindingen
scharnierend / / eenvoudig
Het type raamwerkanalyse hangt samen met het model van de verbinding dat beoogd wordt. Tabel 4.2 geeft een overzicht van het raamwerkmodel in functie van model voor de verbinding en verbindingstype. Model van de verbinding Continu Semi-continu
Type raamwerkanalyse Elastisch Plastisch Stijf Volledige sterkte Flexibel Niet-volledige sterkte
Elastisch-plastisch Stijf/volledige sterkte; Stijf/niet-volledige sterkte; Flexibel/volledige sterkte; Flexibel/niet-volledige sterkte eenvoudig scharnier scharnier scharnier Tabel 4.2: raamwerkmodellering versus modellen voor verbindingen Bij een elastische raamwerkanalyse is enkel de stijfheid een parameter, vandaar dat enkel een classificatie naar stijfheid kan worden gemaakt. Bij een plastische (eerste orde) raamwerkanalyse is enkel de sterkte een parameter. Daarom dat enkel een classificatie naar sterkte kan worden gemaakt. Een elastisch-plastische analyse is functie van beide parameters, zodat meerdere types van verbindingen mogelijk worden. Het reële gedrag van de verbinding (M-φ-diagramma) bepaalt in grote mate de respons van een ganse structuur, Figuur 4.5. De invloed is niet enkel beperkt tot het momentenverloop zoals getoond in de figuur. Ook de doorbuiging, de andere snedekrachten en de faalmodes worden erdoor beïnvloed. Het is daarom van groot belang een correct ontwerp te maken van de verbinding en hun globaal effect op het structureel gedrag correct te modelleren.
Mj
Mj φ
Mj φ
φ
Figuur 4.5: Structurele respons van een portaal – scharnierende, flexibele en stijve ligger-kolom verbinding
4.3 Bout-, klink- en penverbindingen Bout: E:bolt F:boulon Klinknagel: E,F:rivet Pen: E:pin; F:goujon
4.3.1 Classificatie van bouten Tabel 4.3 geeft een overzicht van de materiaalkarakteristieken die overeenstemmen met de sterkteklassen gelegen tussen boutklasse 4.6 en 10.9. De nominale waarden vermeld in de tabel dienen gehanteerd te worden als karakteristieke waarden in de berekeningen. De vloeigrens fyb kan berekend worden uit de sterkteklasse, als het product van de twee cijfers (x10 [N/mm²]). De
4-4
treksterkte fub stemt overeen met het eerste getal uit de sterkteklasse (x100 [N/mm²]). In de laatste rij wordt de breukrek (εt) vermeld. Experimenteel worden deze waarden bepaald op haltervormige proefstukken die uit de bouten gedraaid worden. Sterkteklasse 4.6 4.8 5.6 5.8 6.8 8.8 fyb [N/mm²] 240 320 300 400 480 640 fub [N/mm²] 400 400 500 500 600 800 25 20 12 εt [%] Tabel 4.3: nominale waarden van de vloeigrens fyb en treksterkte fub voor bouten [3.3.2.1, Tabel 3.3]
10.9 900 1000 8
4.3.2 Boutgeometrie
dc df d
Om de sterkte van een bout of een boutverbinding te begroten, is het nodig om de weerstandbiedende oppervlakte van de bouten te kennen. Deze is functie van de boutdiameter, Figuur 4.6. Voor metrische bouten wordt de bout gekenmerkt door zijn diameter in mm, bv.: M12.
Figuur 4.6: boutgeometrie Tabel 4. 2 geeft volgende oppervlaktes:
πd 2 : de bruto oppervlakte van de doorsnede van de schacht van een bout 4 πd 2S AS = : de spanningsdoorsnede van een boutdoorsnede ter hoogte van de schroefdraad 4 A=
(4.1) (4.2)
met d f de gemiddelde boutdiameter en d s de weerstandsdiameter:
df =
dc + d d + dc ; en: d s = f 2 2
(4.3)
De tweede kolom geeft de spoed (p) aan. d P AS A AS/A d [mm] p AS [mm] [mm] [mm²] [mm²] [mm] [mm²] 8 1.25 36.6 50.3 0.77 33 3.50 694 10 1.50 58.0 78.5 0.74 36 4.00 817 12 1.75 84.3 113 0.75 39 4.00 976 14 2.00 115 154 0.75 42 4.50 1120 16 2.00 157 201 0.78 45 4.50 1310 18 2.50 192 254 0.75 48 5.00 1470 20 2.50 245 314 0.78 52 5.00 1760 22 2.50 303 380 0.80 56 5.50 2030 24 3.00 353 452 0.78 60 5.50 2360 27 3.00 459 573 0.80 64 6.00 2680 30 3.50 561 707 0.82 68 6.00 3060 Tabel 4.2: Boutdoorsnedes A en AS als functie van de boutdiameter d – Metrische bouten
A [mm²] 855 1018 1195 1385 1590 1810 2124 2463 2827 3217 3632
AS/A 0.81 0.80 0.82 0.81 0.82 0.81 0.83 0.82 0.83 0.83 0.84
4.3.3 Bouttoleranties Bouttoleranties zijn noodzakelijk om de verbindingen bout/gat te kunnen realiseren, alsook om de lengte van de schacht zonder schroefdraad te kunnen bepalen [7.5].
4-5
Boutdiamter
Gatspeling [mm] Nominale afmetingen [mm] Standaardgat Ruime gaten Korte sleufgaten Lange sleufgaten M12 1 3 (d+1) bij (d+4) (d+1) bij 2.5d M14 1 4 (d+1) bij (d+4) (d+1) bij 2.5d M16-M22 2 4 (d+2) bij (d+6) (d+2) bij 2.5d M24 2 6 (d+2) bij (d+8) (d+2) bij 2.5d M27 en groter 3 8 (d+3) bij (d+10) (d+3) bij 2.5d Tabel 4.3: Gatspeling – nominale afmetingen gat als functie van de boutdiameter Voor wat de lengte van de schacht zonder schroefdraad betreft, is het van belang de krachtswerking in het oog te houden. De optimale lengte van het gedeelte zonder schroefdraad is gelijk aan de dikte van de te verbinden platen, zodat alle contact tussen de te verbinden platen plaatsvindt in het gedeelte zonder schroefdraad. De schroefdraad begint in de onderlegring. De afschuifsterkte kan daardoor berekend worden op de volledige doorsnede A, terwijl de treksterkte dient berekend te worden op de spanningsdoorsnede AS, Figuur 4.7. Boutkop Schacht
Draad Onderlegring O-ring Moer Figuur 4.7: bouten in trek en afschuiving – belang van gepaste schachtlengte
4.3.4 Klinknagels Gebruik van klinknagels (E: goujon, rivet; F:rivet) vindt men nog vaak terug in bruggen. Voor de berekening van klinknagels worden dezelfde formules gebruikt als voor bouten. Een verbinding met klinknagels zorgt steeds voor een grote voorspanning in de klinknagel. Daardoor ontstaat eveneens een grote weerstand tegen afschuiving in de aanwezige afschuifvlakken. Klinknagels worden roodgloeiend (T=500 à 600°C) aangebracht en vervolgens wordt het hoofd aan het uiteinde eveneens plat geslagen met een hamer. Door het afkoelen van de klinknagel gaat deze krimpen. Deze krimp wordt verhinderd door de platen die ingeklemd worden. Daardoor ontstaat een aanzienlijke voorspanning in de klinknagel, Figuur 4.8.
opgewarmde klinknagel
Figuur 4.8: aanbrengen van een klinknagel Neem aan dat de temperatuur bij het aanbrengen 520°C bedraagt. De omgevingstemperatuur bedraagt ongeveer 20°C, zodat het temperatuurverschil ∆T=500°C is. De lineaire
4-6
-6
uitzettingscoëfficiënt α =12 10 en wordt verondersteld constant te zijn voor de eenvoud. temperatuurvariatie treedt een rek op gelijk aan:
ε=
∆l = α∆ T = 12. 0 10 −6 × 500 = 6 10 −3 l0
Door deze
(4.4)
Daar deze rek verhinderd wordt (ga uit van een volledige verhindering), leidt dit tot spanningen ni de klinknagel, gelijk aan:
σ r = εEr = 5. 5 10 −3 × 210.000 N mm² = 1260 N mm²
(4.5)
Voor normaal staal (Fe360b) is de vloeigrens beperkt tot fy=235 N/mm². Dit wil zeggen dat het plaatmateriaal lokaal gaat vloeien onder invloed van de krachten opgewekt door de klinknagel. Voor een klinknagel met diameter d=20 mm, leidt dit tot een verticale kracht op de platen, gelijk aan:
πd 2 = 235 N mm² π 20² = 74k N F = f y 4 4
(4.6)
Rekening houdend met één enkel wrijvingsvlak en een wrijvingscoëfficiënt µ=0.50, levert de wrijving in het contactvlak een weerstand tegen afschuiving, gelijk aan:
V = µF = 0. 50 × 75k N = 37.5k N
(4.7)
Door de grote krachten die op de platen ontstaan, kunnen de platen kromtrekken.
4.3.5 Positionering van de gaten voor bouten en klinknagels Voor de positionering van de gaten voor bouten en klinknagels worden een aantal grenzen opgelegd. Door deze grenzen beantwoorden de boutverbindingen aan [6.5]: • roestvorming en lokaal plooien worden voorkomen; • de plaatsing van de bouten is realiseerbaar; • de herverdeling van de krachten over de verschillende bouten is zodanig dat ze beantwoordt aan de aannames om de sterkteberekening uit te voeren alsook de experimentele vaststellingen hieromtrent.
4.4 Sterkte van verbindingen op afschuiving belast Een typisch voorbeeld van een verbinding belast op zuivere afschuiving is een rechte liplas, Figuur 4.9. In dit eenvoudig voorbeeld wordt de uitwendig aangrijpende belasting FV die aangrijpt op één plaat, overgedragen op twee platen en dit via één bout die de verbinding vormt tussen de 3 platen. Fv Fv/2
Fv,u IV Fv A
Fv/2
III 3
B Fv,f
2
II
1 I ∆L Figuur 4.9: Rechte liplas – verbinding belast op afschuiving
4-7
Figuur 4.9 toont het typisch verloop van de afschuifkracht (FV) op de verbinding in functie van ∆L, de relatieve verplaatsing tussen de punten A en B. 4 Verschillende fases kunnen onderscheiden worden (volle lijn): 1. De kracht neemt toe, zonder toename van relatieve verplaatsing ∆L. De kracht wordt overgedragen door wrijving tussen de platen. Deze fase eindigt wanneer de wrijvingsweerstand van de verbinding wordt overschreden (Fv,f); 2. Het glijden van de verbinding begint plots omwille van de initiële ruimte tussen de bouten en de platen. Gedurende deze fase is de aangrijpende kracht nagenoeg constant; 3. De elastische fase. De toename in relatieve verplaatsing is nagenoeg proportioneel met de aangrijpende belasting. Deze fase eindigt wanneer de vloeigrens wordt bereikt, hetzij in de bout, hetzij in één van de platen; 4. Het plastisch gebied wordt bereikt. Relatief grote verplaatsingen worden genoteerd voor een beperkte toename van de uitwendige belasting. De verbinding faalt bij ultieme belasting (FV,u). Hierbij kunnen volgende faalmechanismen optreden, Figuur 4.10: • Bezwijken door boutbreuk (a); • Bezwijken door gatbreuk (b, c); • Bezwijken door het overschrijden van de treksterkte van de plaat (d). a boutbreuk
b gatbreuk
Fv/2 c
Fv Fv/2
d plaatbreuk
Figuur 4.10: faalmechanismen van een verbinding, belast op afschuiving Wanneer ofwel de voorspanning dan wel de oppervlakte-behandeling van de platen wordt verhoogd, blijft het kwalitatief verloop gelijkaardig. Enkel de kracht waarop het glijden aanvangt zal variëren, Figuur 4.10, onderbroken lijn).
4.4.1 Boutbreuk De hoofdbelasting op de bout is een afschuifkracht op zijn dwarsdoorsnede door de tegengestelde contactdrukken van de platen in de verbinding. De elastische verdelingen van deze contactspanningen en spanningen in de bout zijn eerder complex. Echter, voor volledig plastische voorwaarden, zal de verdeling van de schuifspanningen min of meer uniform zijn zodat de afschuifweerstand van de bout overeenstemt met het product van de afschuifsterkte en de oppervlakte van de dwarsdoorsnede. Afschuifproeven op bouten hebben aangetoond dat de afschuifweerstand ongeveer overeenstemt met 60% van de treksterkte. Dit komt omdat de effectieve afschuifsterkte gereduceerd wordt door secundaire buigmomenten, veroorzaakt door, Figuur 4.11: • Onevenwicht in contactdrukken; • Buiging op de bouten door grote gatspeling.
4-8
spanningsconcentraties Fv
Fv
Figuur 4.11: spanningsconcentraties door onevenwicht in de contactdrukken Dit verschil is het meest significant bij een lipverbinding met één enkele bout. Door de aangrijpende belasting neigt de verbinding uit de vlakken, waardoor de bout roteert en zowel afschuiving en buiging aanwezig zijn in de bout. De afschuifsterkte van de verbinding wordt als volgt berekend:
Fv . Rd =
0.6fub AS , voor boutklasse 4.6, 5.6 en 8.8; γM b
(4.8)
Fv . Rd =
0.5fub AS , voor boutklasse 4.8, 5.8, 6.8 en 10.9. γ Mb
(4.9)
De coëfficiënt 0.5 is het resultaat van een statistische evaluatie gebaseerd op een groot aantal proefresultaten. Bouten van dit type zijn minder ductiel waardoor breuk plots optreedt. In het geval dat het afschuifvlak door het gedeelte van de schacht zonder schroefdraad gaat, geldt:
Fv . Rd =
0.6fub A γMb
(4.10)
4.4.2 Gatbreuk – stuikdruk Het vloeien door de contactdruk tussen de boutschacht en het plaatmateriaal kan leiden tot niettoelaatbare vervorming van de plaat rond de bout en mogelijk ook van de bout zelf. Het oppervlak dat weerstand bied aan de stuikdruk (oplegdruk) (E: bearing pressure) wordt verondersteld gelijk te zijn aan het product van de kleinste plaatdikte en de nominale boutdiameter (txd). De afstand (e1) van de bout tot het einde van de plaat moet voldoende zijn om de nodige weerstand te bieden tegen het uitscheuren van het boutgat, dat gedomineerd wordt door het oppervlak van het afschuifvlak. De optredende stuikspanningen zijn weergegeven in Figuur 4.12. De aanwezige spanningen verlopen zoals aangegeven in Figuur 4.8(a). Ze zijn gelijk aan nul op de rand van het boutgat, en maximaal in het midden. De berekening zal rekenen met een gemiddelde stuikspanning (fb,m). Dit is immers de waarde die experimenteel kan worden vastgesteld.
4-9
a
Fv/2
b Fv A
Fv/2
c
a
b
c
e1 Figuur 4.12: Grensstuikkracht – stuikspanningen en faalmechanismen De aanwezigheid van de schroefdraad in het contactvlak blijkt geen significante invloed te hebben op de stuikdruk, maar zal wel leiden tot een toename van de vervorming. Als de afschuifweerstand groter is dan de stuikdruk van de platen, zal één van de faalmodes (b,c, Figuur 4.10) optreden. In dat geval zal de vervormingscapaciteit van de verbinding zeer groot zijn. De verbinding heeft een ductiel karakter. Opmerking: in het andere geval, wanneer falen optreedt door het bereiken van de afschuifweerstand van de bout, zal de vervormingscapaciteit van de verbinding zeer klein zijn. De verbinding heeft een bros gedrag. De ontwerp stuikdruk wordt gegeven door:
Fb.Rd = f b, m dt = 2.5αfu dt
(4.11)
De gemiddelde stuikdruk wordt gerelateerd aan de ultieme sterkte van het plaatmateriaal, via een coëfficiënt 2.5 α. Deze coëfficiënt (>1) is functie van: • De randafstand (e1); • De tussenafstand tussen de bouten (p1); • De verhouding van de boutsterkte en plaatsterkte (fub/fu). Vgl.(4.11) is enkel toepasbaar wanneer voldaan is aan e2>1.5d 0 en p2>3.0d0. Worden gereduceerde eind- en tussenafstanden gehanteerd, dan moet ook de stuikdruk gereduceerd worden.
4.4.3 Plaatbreuk Wanneer de netto sectie van de plaat klein is, kan plaatbreuk de maatgevende faalmode zijn van de verbinding, Figuur 4.10d. Wanneer naar het spanningsverloop in de plaat wordt gekeken, dan zullen ter hoogte van het boutgat spanningspieken aanwezig zijn, Figuur 4.13.
4-10
σm
σm
φ
σmax
φ
σmin Figuur 4.13: spanningsverdeling in plaat rond boutgat Omwille van de plastische herverdeling van de spanningen bij breuk, kan opnieuw gebruik gemaakt worden van een gemiddelde waarde voor het berekenen van de plaatweerstand. De plastische rekensterkte van de netto -doorsnede (Anet) (boutgaten in mindering brengen):
Nnet.Rd =
Anet fy
(4.12)
γ M0
4.5 Sterkte van een verbinding belast op trek 4.5.1 Grenstrekkracht van een bout In het algemeen wordt de trekweerstand van een bout gebaseerd op de spanningsdoorsnede:
Ft = f ub AS
(4.13)
Het resultaat van een statistische evaluatie van een zeer groot aantal trekproeven heeft geleid tot een aanpassing van dit theoretisch verband:
Ft = 0. 9f ub AS
(4.14)
De ontwerptreksterkte van een bout wordt daarmee gegeven door [Tabel 6.5.4]:
Ft .Rd =
0. 9f ub AS γ Mb
(4.15)
Omwille van verplaatsingen tussen bout en plaat, en boutkop en moer, zal een bijkomend buigmoment de ultieme trekweerstand van de verbinding verkleinen [Figuur 6.5.8]. De boutverbinding moet berekend worden op het geheel van de aangrijpende normaalkracht (FN) en wrikkracht (Q) [J.3.3, Figuur J.3.2 -J.3.3, zie ook Figuur 4.19]. Deze wrikkracht zal functie zijn van de stijfheid van de verbindingselementen (hier flenzen). Deze wrikkrachten kunnen vermeden worden door het aanbrengen van verstijvingsribben [Figuur 6.5.9].
4.5.2 Grensponskracht van een boutkop De grensponskracht (B p.Rd) van een boutkop wordt bepaald door de dikte van de plaat onder de boutkop of de moer (tp) en het minimum van de gemiddelde diameter van de ingeschreven en de omschreven cirkel van de boutkop of van de moer (dm), Tabel 4.4:
Bp.Rd =
0.6πd m t pfu
(4.16)
γMb
bout M8 M10 M12 M14 M16 M18 M20 M22 d 8 10 12 14 16 18 20 22 dm 14 18.3 20.5 23.7 24.58 29.1 32.4 34.5 Tabel 4.4: dm– gemiddelde van ingeschreven en omschreven cirkel van boutkop
M24 24 38.8
M27 27 44.2
M30 30 49.6
4-11
4.6 Combinatie van trek en afschuiving In vele verbindingen zal een combinatie van trek en afschuiving op bouten aanwezig zijn. Verschillende interactie-criteria werden voorgesteld. De Eurocode hanteert een bi-lineair interactie verloop, Figuur 4.14:
Fv .Sd Ft .Sd + <1 Fv .Rd 1.4Ft .Rd
(4.17)
Dit verloop is het resultaat van experimenteel onderzoek. De volle trekweerstand is aldus aanwezig voor waarden van afschuiving tot ongeveer 30% van de afschuifsterkte. Ft 1.4Ft.Rd Ft.Rd
Fv 0.286Fv.Rd
Fv.Rd
Figuur 4.14: Interactieformule voor grensafschuif- en grenstrekkracht van bouten
4.7 Voorspannen van bouten Het voorspannen van bouten (voorspankracht:Fp.Cd) gebeurt door het aanbrengen van een wringmoment op de bouten alvorens de uitwendige belastingen aangrijpen. Door deze voorspanning zal de schacht van de bout verlengen (trekkracht) en zullen de moer en bouthoofd verkorten (drukkracht). Een gedeelte van de voorspanning gaat verloren in wrijving tussen plaat en bouthoofd enerzijds en plaat en moer anderzijds. De rest van de voorspanning zit in de schacht van de bout. Volgende krachtswerking treedt op: • trekkracht in de bout, in evenwicht met de drukkrachten in bouthoofd en moer en dus platen; • torsie in de bout, in evenwicht met plaat/bout wrijving. Het voorspannen verhoogt de performantie: • in een verbinding belast op afschuiving zorgt de voorspanning ervoor dat de platen niet onderling gaan glijden. Daardoor worden niet-elastische zettingen in de verbinding voorkomen; • in een verbinding belast op trek vermijdt de voorspanning het loskomen van de twee platen. Dit reduceert het gevaar op corrosie en verhoogt daarenboven de weerstand tegen vermoeiing.
4.7.1 Verbindingen belast op trek Figuur 4.15 geeft het verband tussen de verlenging van de bout en het verkorten van de plaatverbinding door de voorspanning. Wanneer een externe kracht (Fe) op de verbinding wordt aangebracht, zal de kracht op de bout (Fp.Cd+X) toenemen. Op hetzelfde moment zal de verlenging van de bout toenemen en zal de samendrukking van de platen in de verbinding evenveel afnemen (∆L). De krachten zullen toenemen in verhouding tot hun stijfheid. In praktijk is de stijfheid van de platen in de verbinding ongeveer 4 tot 10 maal deze van de boutstijfheid. De externe trekkracht zal dus voor 75-90% opgenomen worden door een afname in drukkracht, en voor 10-25% door een toename in trekkracht in de bout. De uitwendige belasting (Fe) zorgt voor een verlenging van de bout (∆Lb) en een decompressie van de platen (∆Lp). Deze verlenging is evenredig met de aangrijpende kracht, via de stijfheid van de elementen (k b voor de bout, k p voor de plaat):
4-12
∆ Lb =
X kb
∆ Lp =
Y kp
(4.18)
Zone in voorspanning
druk
Fe
door Fe/2
Fe/2
Fp.Cd-Y Fp.Cd+X Fp.Cd
Fp.Cd+X Fe/2
Fp.Cd-Y
Fe/2
F
Fp.Cd
Fe
X Y Ft
Fc
∆L
Figuur 4.15: verlengen van bout en samendrukken van platen in voorgespannen verbinding op trek De boutstijfheid (k b) wordt gegeven door de stijfheid van de schacht zonder draad (A ) en met draad (A S):
kb =
LA LA S + EA EAS
(4.19)
De stijfheid van de plaat wordt aangenomen 10 keer groter te zijn dan deze van de bout (de kracht verdeelt zich over een oppervlak ongeveer 10 maal groter dan de boutsectie):
k p ≥ 10k b
(4.20)
Verticaal evenwicht leert dat:
Fe = X + Y
(4.21)
Compatibiliteit van de verplaatsingen leidt tot:
∆ Lp = ∆Lb =
X Y = kb k p
(4.22)
Uit beide vergelijkingen kunnen X en Y opgelost worden als een functie van de uitwendige belasting (Fe) en de verhouding van de stijfheden (kp en kb):
4-13
X =
Fe F ≤ e k p 11 1 + k b
1 Y = 1 − k 1 + p kb
(4.23)
10 Fe ≥ 11 Fe
(4.24)
Deze formules zijn enkel geldig wanneer plaatcontact behouden blijft, dus: Y≤Fe. neemt de bout de volledige uitwendige belasting op: X=F e, en geldt: Fe≥1.1Fp.
Op dat moment
Met deze toename in trekkracht dient rekening gehouden te worden bij het ontwerp van de boutverbinding, zodat de ultieme treksterkte van de bout niet overschreden wordt bij het aangrijpen van de externe belasting [6.5.8.4 Trek en afschuiving gecombineerd].
4.7.2 Verbindingen belast op afschuiving Daarnaast zijn voorgespannen bouten verplicht in verbindingen belast op krachten met wisselend teken of dynamische belastingen (UGT). Door de voorspankracht ontstaat er een klemspanning in de platen die de verbinding uitmaken. De afschuifkracht wordt niet langer overgedragen door direct contact tussen boutgat en bout, maar door wrijving, Figuur 4.16. Bouten die krachten overdragen door wrijving, zijn gekend als HSFG-bouten (E: High Strength Friction Grip). Dit type van verbinding heeft een hoge stijfheid, weerstaat aan krachten met wisselend teken en kent een verhoogde weerstand tegen vermoeiing. Daartegenover staat hun hogere kostprijs, omwille van de voorbehandeling van het oppervlak om de verbeterde grip te realiseren. Daarom worden ze voornamelijk gebruikt in die toepassingen waar hun sterke punten vereist zijn, bv.: bruggen, kranen en kraanliggers.
Fv/2
Krachtsoverdracht via wrijving Fv A
Fv/2 Onderlegring uit gehard staal Vrije ruimte tussen bout en boutgat
Figuur 4.16: voorgespannen bouten - krachtsoverdracht door wrijving bij op afschuiving belaste verbinding
4.7.3 Voorspanning Om voldoende wrijving te kunnen realiseren voor verbindingen belast op afschuiving, alsook het overschrijden van de treksterkte van de bouten te vermijden, wordt volgende ontwerpvoorspanning (Fp.Cd) voorgeschreven:
Fp.Cd = 0.7fub AS
(4.25)
4.7.4 Aanbrengen van voorspanning Door de voorspanning mag echter de boutcapaciteit niet overschreden worden. Experimenteel onderzoek (zie ook §4.7.1) toont aan dat de ultieme boutcapaciteit voor een statische belasting niet wordt beïnvloed door de voorspanning, op voorwaarde dat zij wordt beperkt en aldus gecontroleerd wordt aangebracht.
4-14
Het aanbrengen van de voorspanning kan op 3 manieren worden uitgevoerd. De eerste methode bestaat erin de gewenste voorspanning te realiseren door het aanbrengen van het overeenstemmend wringmoment (Ma) met behulp van een dynamometrische sleutel (of: momentsleutel):
M a = k × d × Fp
(4.26)
Met: • • •
Fp: de gewenste voorspanning [N]; d: de boutdiameter [mm]; k: wrijvingscoefficient tussen de staalvlakken. Praktijkwaarden voor k: o Tussen 0.12-0.20; o k=0.18 kan als richtwaarde gebruikt worden voor licht geoliede bouten; o k=0.14 kan als richtwaarde gebruikt worden voor bouten behandeld met het glijmiddel (molubdeen sulfide).
Deze methode wordt frequent gebruikt, maar de spreiding op de resulterende voorspanning is redelijk groot, afhankelijk van de factor k in de prakti jk. Wanneer k zeer laag blijkt te zijn, is er het gevaar dat de bout het begeeft bij het voorspannen reeds, wanneer k zeer hoog blijkt te zijn, kan het zijn dat de gewenste voorspanning niet wordt bereikt. Een tweede methode bestaat erin om de voorspanning te realiseren door het vooropstellen van een hoekverdraaiing van de moer, die via de spoed van de schroefdraad p ( , Tabel 4.2 ) leidt tot verlenging van de schacht en dus voorspanning. De bout wordt eerst met de hand of moersleutel aangeschroefd tot de platen contact maken. Vervolgens wordt de gewenste voorspanning geleverd door een vooropgesteld aantal omwentelingen van de moer. Door de voorspanning bevindt de bout zich in het plastisch gebied. Door de grote ductiliteit van de bout (die voornamelijk functie is van het gedeelte met schroefdraad, opgepast voor bouten met korte stukken draad) zal een variatie in hoek slechts een beperkt effect hebben op de voorspanning. Het gevaar voor het overbelasten van de bout is kleiner dan bij het gebruik van een momentsleutel. In het geval dat de platen niet vlak zijn, en geen goed contact wordt bereikt bij het handmatig aandraaien van de moer, zal het vooropgestelde aantal omwentelingen niet leiden tot de gewenste voorspanning. Het is dan ook een basisvereiste dat de platen vlak zijn en een goed contact gerealiseerd is alvorens de omwentelingen worden aangebracht. De gecombineerde methode komt tegemoet aan de nadelen van beide voorgaande. In een eerste fase wordt met behulp van een momentsleutel 75% van de voorspanning gerealiseerd. Daardoor is het gevaar op overbelasting beperkt. De kracht is voldoende groot om elke opening tussen de platen dicht te drukken, waardoor de platen volledig contact maken. In een tweede fase wordt de voorspanning op 100% gebracht door het verder aandraaien van de moer volgens een vooraf bepaalde rotatiehoek. Deze bedraagt meestal 90° of 120°, in functie van de lengte van de bout. Als in de eerste fase reeds een grote voorspanning is gerealiseerd, dan zal de bijkomende rotatiehoek geen grote toename van de voorspanning teweeg brengen. Als daarentegen in de eerste fase de voorspanning redelijk laag ligt, dan zal de bijkomende rotatie leiden tot een behoorlijke voorspanning.
4.7.5 Glijweerstand HSFG (High Strength Friction Grip) bouten in afschuiving brengen deze krachten over door wrijving tussen de contactvlakken. De weerstand van dit type verbinding is functie van de aangelegde voorspanning (Fp.Cd), de wrijvingscoëfficiënt (µ) en het aantal afschuifvlakken (n):
FS.Rd =
nµF p.Cd γ Ms
(4.27)
4-15
De wrijvingscoëfficiënt is functie van de voorbereiding van het oppervlak, Tabel 4. 5. Klasse A
µ 0.50
Oppervlakte-behandeling Oppervlakken gestraald met zand of grit en met: - verwijderen van alle loszittende roest, geen put-corrosie aanwezig - met aluminium gemetalliseerd; - met een bekleding op basis van zink, die een µ van 0.50 waarborgt B 0.40 Oppervlakken gestraald met zand of grit, en geschilderd met een alkali-zink silicaatverf met een dikte van 50-80µm. C 0.30 Oppervlakken met een staalborstel of met de vlam gereinigd, met verwijdering van alle losse roestvorming D 0.20 Niet-behandeld oppervlak 0.10 Zandstralen van het oppervlak en warm gegalvaniseerd door onderdompeling Tabel 4.5: wrijvingscoëfficiënt als functie van de voorbereiding van het oppervlak
4.8 Effecten van externe krachten en verificatie van sterkte Voor de verdeling van de interne krachten tussen bouten of klinknagels kan elke rationele en redelijke verdeling aangenomen worden, die beantwoordt aan een aantal vereisten: • de interne krachtsverdeling is in evenwicht met de aangrijpende spanningsresultante; • elk onderdeel van de verbinding is geschikt om te weerstaan aan de krachten en spanningen waarvan de berekening uitgaat; • de vervormingscapaciteit van de verbindingsmiddelen of lassen enerzijds en van de aangesloten onderdelen anderzijds laten de vervormingen toe, die uit de aangenomen verdeling resulteren; • de interne krachtverdeling moet realistisch zijn ten aanzien van de relatieve stijfheden in de verbinding. De interne krachtverdeling zal de weg van de grootste stijfheid willen volgen. Deze weg dient duidelijk bepaald te worden en doorheen het volledige ontwerp en de berekening van de verbinding te worden gerespecteerd. Hierna zullen een aantal frequent voorkomende combinaties van externe belastingen behandeld worden in combinatie met een rationele aanname voor de verdeling van de interne krachten in de bouten [6.5.4]: • afschuiving en torsie; • lange verbindingen op afschuiving; • trek en buiging; • normaalkracht, dwarskracht en buigmoment; • afschuiving en buigmoment [Figuur 6.5.7].
4.8.1 Afschuiving en torsie Een wringmoment moet gerelateerd worden aan een rotatiepunt dat gekoppeld wordt aan de geometrie van de boutverbinding, Figuur 4.17. Dit punt stemt overeen met het rotatiecentrum van de verbinding. In realiteit zal dit punt niet vast liggen wanneer de uitwendige belasting in grootte toeneemt, omwille van: • de onregelmatige spreiding van wrijvingskrachten; • het elastisch materiaalgedrag; • de wijziging van de vrije ruimte tussen boutgat en bout.
Daarom worden enkele vereenvoudigingen aangenomen die aan de veilige kant liggen: • de verbindingsplaten worden verondersteld oneindig stijf te zijn; • de bouten zijn perfect elastisch. Door deze aannames zijn de relatieve verplaatsingen van elke bout constant voor wat betreft de dwarskracht en proportioneel tot de afstand met het zwaartepunt van de boutgroep voor wat betreft het wringmoment. Voor de berekening van de interne krachtsverdeling leidt dit tot volgende werkwijze, Figuur 4.17:
4-16
• • •
de externe kracht wordt gerelateerd aan het zwaartepunt van de boutgroep, c. De externe kracht wordt ontkoppeld in een dwarskracht en wringmoment; de dwarskracht wordt gelijk verdeeld over alle bouten in de werkingsrichting van de dwarskracht; het wringmoment wordt verdeeld in krachten op de bouten die loodrecht staan op de verbindingslijn van de bouten met het zwaartepunt van de boutgroep en de grootte van de kracht is proportioneel met de afstand tussen de twee.
Bijdrage dwarskracht
Gecombineerd effect
Bijdrage wringmoment FT.Sd,6
FT.Sd,1
c
160mm
e=300mm c
FV.Sd =24 kN
160mm
Fv.Sd,i
FT.Sd,5
c
c
FT.Sd,4
FT.Sd,2
FT.Sd,3
y x
Figuur 4.17: interne krachtsverdeling Deze aannames houden geen rekening met de mogelijke kracht herverdeling tussen de meest belaste en minst belaste bouten, maar houdt wel rekening met het ontwikkelen van een plastische zone rond de boutgaten om de schuifspanning over de bouten te verdelen. Er wordt van uitgegaan dat alle bouten in contact staan met de platen. Dit betekent niet dat alle bouten gelijktijdig gaan glijden over een hoeveelheid gelijk met de afstand tussen bout en boutgat, maar wel dat een locale plastische vervorming van het boutgat optreedt daar waar het eerste contact plaatsvindt. 4.8.1.1 Verdeling van de dwarskracht Voor de optredende afschuifkracht geldt aldus, FV.sd=24 kN bijvoorbeeld:
Fv .Sd 24k N = = 4k N , n × nb 1× 6
Fv .Sd,i = met: • •
(4.28)
n: het aantal vlakken waartussen contactwrijving optreedt; nb: het aantal bouten
4.8.1.2 Dwarskrachtverdeling in lange verbindingen De aangenomen interne krachtsverdeling is aanvaardbaar, zolang de afstand (Lj) tussen de eerste en de laatste bout, gemeten in de richting van de afschuiving, beperkt blijft: L j ≤ 15 d
(4.29)
Wordt de tussenafstand groter, dan is de aanname dat elke bout een gelijk deel van de dwarskracht opneemt niet langer aanvaardbaar, Figuur 4.18.
4-17
FV.Sd/2 FV.Sd FV.Sd/2 1
2
3
4
5
6
7
8
9
FV.Sd,5
FV.Sd,m=Fv.Sd/9 FV.Sd,1
FV.Sd,9
Figuur 4.18: Lange verbinding belast op afschuiving Als resultaat van een groot aantal experimenten (vergelijk met de berekening van gelijmde verbindingen in “Technologie der Bouwmaterialen”), blijkt de kracht op de meest belaste bout gelijk te zijn aan:
Fv .Sd,max = βFv .Sd ,i
(4.30)
met β gelijk aan:
1 voor : L j ≤ 15d L j − 15d β = 1 + 0. 33 voor : 15d ≤ L j ≤ 65d 50d voor : L j > 65d 1. 33 Deze toename in afschuifkracht wordt niet doorgerekend in de EC. afschuifsterkte van de meest belaste bout gereduceerd met een factor βLf: Fv . Rd, Lf = β Lf Fv .Rd
(4.31)
In de plaats daarvan wordt de
(4.32)
met:
βLf
≥ 0. 75 L j − 15d = 1− 200d ≤ 1. 00
(4.33)
4.8.1.3 Verde ling van het wringmoment Het wringmoment wordt verdeeld tussen de bouten als functie van de afstand tot het zwaartepunt van de boutgroep (ai). Voor een bout i, Figuur 4.17, wordt de aangrijpende belasting daarmee gelijk aan [T: “Torsion”]:
FT .Sd ,i = kai
(4.34)
Uit het globale rotatie-evenwicht volgt: nb
TSd = Fv .Sd × e = n
∑F
T .Sd ,i ai
= 24kN × 300mm = 7200kNmm
(4.35)
i =1
Hieruit kan de kracht op een individuele bout berekend worden:
4-18
TSd
FT .Sd,i =
ai ⇒ FT . Sd,1 =
nb
n
∑
ai2
7200kNmm 802 + 1602 = 9.15kN; FT .Sd ,2 = 4. 09kN 1× (2 x80² + 4 × 160² )
(4.36)
i =1
4.8.1.4 Het gecombineerd effect De vectoriële som, Figuur 4.17, van de krachten Fv.Sd,i en FT.Sd,i, levert de kracht dit werkt op een doorsnede van bout i. Om deze vectoriële som te berekenen wordt een x-y-assenstelsel aangenomen, Figuur 4.17. Dit leidt tot volgende krachtscomponenten:
Fv .Sd,i , x =
Fv .Sd ,x n × nb
=
Fv .Sd, y 0 24kN = 0 , en: Fv .Sd,i , y = = = 4kN 1× 6 n × nb 1× 6
TSd
FT .Sd,i , x =
∑( nb
n
x i2
+
y i2
i =1
)
TSd
FT .Sd,i ,y =
∑( nb
n
x i2
+
y i2
i =1
)
⇒ FT .Sd ,1, x = y i =
x i ⇒ FT .Sd,1, y ==
(4.37)
7200kNmm 160mm = 8. 18kN , en : 1× 140. 800
7200kNmm 80 = 4.09kN 1× 140.800
(4.38)
(4.39)
De kracht op een individuele bout wordt daarmee gelijk aan:
FSd,i =
(Fv.Sd,i ,x + FT .sd,i ,x )2 + (Fv .Sd,i ,y + FT .sd,i ,y )2 ⇒ FSd,1 = (0 + 8.18)2 + (4 + 4.09)2 = 11.50k N (4.40)
4.8.2 Trekkracht en buigmoment De interne verdeling van de krachten in de boutgroep is voor dit geval een stuk complexer. De verdeling hangt in grote mate af van de stijfheid van de flens waarop de externe kracht wordt overgedragen. Om vooreerst de aannames kwalitatief te analyseren, wordt de eenvoudige verbinding bekeken, Figuur 4.19. Als de flens voldoende stijf is, dan kan de vervorming worden verwaarloosd en kan men aannemen dat de bouten belast worden op een zuivere trekkracht. Het falen van de verbinding is dan het gevolg van het falen van de bouten. FN=F
FN=F
FN=F+Q
FN=F+Q
Q
Q
Qe
Momentenverloop in flens Figuur 4.19: Trekkracht en buigmoment – stijfheid der flenzen 2F
2F
In het andere geval, als de flens niet voldoende stijf is, ontstaan er extra contactkrachten Q en zullen de bouten de opgetreden vervorming volgen. Ze zijn daardoor eveneens onderhevig aan een buigmoment. De krachten Q zijn functie van de stijfheid van de flens, van de bouten alsook van de aangrijpende belasting. Het falen van de verbinding kan het gevolg zijn van de kracht die aangrijpt op de bout: FN = F+Q, of het plastisch vloeien van de flens.
4-19
Dit eenvoudige voorbeeld geeft aanleiding tot twee verschillende methodes om de verdeling van trek en buiging door te rekenen: • De flens is vervormbaar en de contactkrachten Q reduceren het buigmoment in de flenzen. In dit geval zal de krachtverdeling in de bouten afhankelijk zijn van de boutgeometrie en de stijfheid van de flenzen. De ontwerpsterkte van de bouten moet dan eveneens de secundaire momenten op de boutschacht in rekening brengen. Experimenteel onderzoek laat niet toe een algemene methodiek te formuleren zodat de interactie tussen flensstijfheid en het gedrag van de bouten correct wordt begroot; • De vervormbaarheid van de flens wordt verwaarloosd. Het gedrag van de doorsnede kan beschouwd worden als een gewapend betonnen doorsnede. Trek wordt opgenomen door de bouten en druk door contact tussen de flenzen. De krachtverdeling in de boutgroep is dus enkel functie van de boutgeometrie. De ontwerpsterkte van de bouten kan dan berekend worden zonder het in rekening brengen van secundaire momenten op de boutschacht. De tweede methode wordt algemeen aanvaard als ontwerpmethode voor verbindingen belast op trek en enkelvoudige buiging. Belangrijk hierbij is ervoor te zorgen dat aan de voorwaarde van een voldoende stijve flens wordt voldaan. In de praktijk wordt de spanning best beperkt tot de vloeigrens. Spanningsherverdelingen door plastisch gedrag brengen grote vervormingen met zich mee en zijn daardoor niet in overeenstemming met de aanname. 4.8.2.1 Krachten binnen middenkern Wanneer de kracht aangrijpt binnen de middenkern gevormd door de boutgroep enkel, Figuur 4.20, dan worden alle bouten belast op trek. De kracht op een individuele bout kan berekend worden uitgaande van het behoud van platte vlakken gevormd door de weerstand biedende sectie van de bouten. Dan geldt:
Nb, i =
FN.Sd FN.Sd e + n yi n 2 yi
(4.41)
∑ i =1
Hierin is: • e: de excentriciteit waarmee de trekkracht aangrijpt ten opzicht van het zwaartepunt van de boutgroep; • yi: de afstand van de neutrale lijn tot de bout i. y
2N b,1 b1
x
G FN.Sd
y1
b2
2Nb,2
b3
2Nb,3
Figuur 4.20: Excentrisch aangrijpende normaalkracht 4.8.2.2 Krachten buiten de middenkern Wanneer de trekkracht aangrijpt buiten de middenkern van de boutgroep, Figuur 4.21, of de drukkracht aangrijpt buiten de middenkern van de eindplaat, staat de eindplaat gedeeltelijk onder druk en gedeeltelijk in trek.
4-20
De boutgaten worden over het algemeen verwaarloosd, zodat het gedeelte in druk kan beschouwd worden als rechthoekig. Een lineaire verdeling van de rekken (ε) en spanningen (σ) wordt algemeen aangenomen voor het gedeelte van de eindplaat in druk. In dat geval roteert de doorsnede rond een rotatie-as door het punt C. FN
Spanningen σc
Rekken ε x yc
a/2
b1
e1
C
y b2
y3 2Nb,2/A2
b3
2N b,3/A3
b4
2Nb,4/A4
b Figuur 4.21: krachten buiten de middenkern – trekkracht en buigmoment De kracht op een individuele bout (Nb,i) is evenredig met de afstand tot de neutrale lijn door C (yi-yc) en kan berekend worden uit: N b, i = k (y i − y c )Ai
(4.42)
De drukspanningen in de eindplaat zijn evenredig met de afstand tot de neutrale lijn door C. De maximale spanning op het uiteinde (yc) is daarmee gelijk aan:
σ c = k yc
(4.43)
waarin: • k: een evenredigheidsconstante • Ai: het oppervlak van een boutdoorsnede Door het uitschrijven van het translatie-evenwicht en rotatie-evenwicht, wordt een stelsel van vergelijkingen gevonden waaruit de positie van de neutrale lijn (C), de waarde van de maximale spanning in de einplaat (σc) en de axiale krachten in de bouten (Nb,i) kunnen berekend worden. Het horizontaal evenwicht leidt tot:
∑N
= NSd : σ c y c
i
b − 2
n
∑N
b,i
= NSd (opmerking: N Sd>0 in geval van druk)
(4.44)
i =1
Het momentenevenwicht resulteert in:
∑M
n
i
= M Sd :
∑N i =1
b, i
(y i − y c ) + σ c y c b 2y c 2 3
a = M Sd − NSd − y c 2
(4.45)
4-21
Invullen van vgl.(4.42) en vgl.(4.43) in vgl.(4.44) geeft de positie van de neutrale lijn:
y c2b − 2
k
n
∑ kA (y i
i
− y c ) = N Sd
(4.46)
i =1
of:
k =
−N Sd
(4.47)
n
by 2 Ai (y i − y c ) − c 2 i =1
∑
Invullen van vgl.(4.42) en vgl.(4.43) in vgl.(4.45) geeft de volgende uitdrukking voor de konstante k:
k
by 3c + 3
n
∑ kA (y i
i
i =1
a 2 − y c ) = M Sd − N Sd − y c 2
(4.48)
Definieer:
e=
M Sd − NSd
(4.49)
Dan wordt vgl.(4.48) herschreven tot:
k
by 3c + 3
n
∑ kA (y i
i
i =1
a 2 − y c ) = −NSd e + − y c 2
(4.50)
De uitdrukking voor k, vgl.(4.47) in vgl.(4.50) levert een derde graadsvergelijking waaruit de positie van de neutrale lijn (yc) kan berekend worden:
y c3
b b a − y c2 e + − y c 6 2 2
n
a Ai e + − y i + 2 i =1
∑
n
∑ y A e + 2 − y i
i =1
i
a
i
=0
(4.51)
Met de ligging van de neutrale lijn kan vervolgens de evenredigheidsconstante k bepaald worden uit vgl.(4.47). Deze parameters laten toe de normaalkracht (Nb,i) in elk van de bouten te begroten overeenkomstig vgl.(4.42). De bovenstaande vergelijkingen zijn van toepassing voor bouten op trek. Als de neutrale lijn (yc) een waarde heeft groter dan de ordinaat van de eerste boutrij (y1), dan wordt de eerste boutrij niet op trek belast. De berekening moet dan herhaald worden zonder deze boutrij. 4.8.2.3 Zuivere buiging (N=0) In het eenvoudige geval van zuivere buiging (NSd=0), vereenvoudigen de formules. evenwicht leidt tot:
∑N
i
= 0 : σcyc
b − 2
Het horizontaal
n
∑N
b, i
=0
(4.52)
i =1
Het momentenevenwicht resulteert in:
∑M
i
= M Sd : σ c y c
b 2 yc + 2 3
n
∑N
b,i
(y i − y c ) = M Sd
(4.53)
i =1
Invullen van vgl.(4.42) en vgl.(4.43) in vgl.(4.52) geeft de positie van de neutrale lijn:
4-22
ky c y c
b − 2
n
∑ k (y
i
− y c )Ai = 0
(4.54)
i =1
of:
y c2
b + yc 2
n
∑
n
Ai −
i =1
∑y A i
i
=0
(4.55)
i =1
Invullen van vgl.(4.42) en vgl.(4.43) in vgl.(4.52) geeft de volgende uitdrukking voor de konstante k:
ky c y c
b 2y c + 2 3
n
∑ k (y
− y c ) Ai = M Sd 2
i
(4.56)
i =1
of:
k =
MSd by c3 3
n
+
∑ (y
(4.57)
− y c ) Ai 2
i
i =1
De neutrale lijn kan berekend worden uit de kwadratische vergelijking vgl.(4.55). Eens de evenredigheidsconstante bepaald is uit vgl.(4.57), kan opnieuw de normaalkracht in elk van de bouten (N b,i) berekend worden uit vgl.(4.42). 4.8.2.4 Buiging en axiale kracht – stijve flenzen Wanneer het contactoppervlak in druk beperkt is, of wanneer de flens verstijfd is, dan is het meer realistisch om de resultante van de contactdruk op een aanvaardbaar punt C te plaatsen en het momentenevenwicht rond dit rotatiepunt te dwingen, Figuur 4.22. Hierbij opnieuw uitgaande van een lineaire verdeling van de krachten in de bouten. FN.Sd
Spanningen
Rekken ε
σc
x
yc
C a/2
b1
e1
yc yc
ε1
2Nb,1/A1
y
y3 b2
ε2 2Nb,2/A2
ε3 y4
b3
b4
ε4
2Nb,3/A3
2Nb,4/A4
b Figuur 4.22: buiging en axiale kracht – C a priori bepaald Door het vastleggen van (yc) a priori en de uitwendige belasting (FN.Sd) positief in druk, geldt: N b , i = kAi (y i − y c )
(4.58)
4-23
n
∑AN i
b,i
(y i − y c ) = M Sd
i =1
a − FN .Sd − y c 2
(4.59)
Daaruit kan (N b,i) bepaald worden:
Nb, i
a M Sd − FN .Sd − y c 2 A (y − y ) = i i c n
∑ A (y i
(4.60)
− yc )
2
i
i =1
Uit het horizontaal evenwicht in de richting van de aangrijpende kracht, kan de resultante (Rd) van de contactdruk worden bepaald. Deze is gelijk aan: n
Rd =
∑N
b, i
+ FN .Sd
(4.61)
i =1
Omwille van de stijfheid van de flens, kan een uniforme verdeling over een rechthoekige doorsnede worden aangenomen. De grootte van het drukvlak is gelijk aan bx2y c, met het zwaartepunt in C: n
∑N
b, i
σc =
+ FN.Sd
i =1
(4.62)
2y c b
4.8.2.5 Buiging en axiale kracht – maximaal draagvermogen Een laatste alternatief bestaat erin het maximaal draagvermogen te begroten. verdeling aangehouden worden, zoals aangegeven in Figuur 4.23. FN.Sd
Rekken ε x O
a/2
b1
e1
In dit geval kan een Spanningen
= =
fu.Rd yc
C
y
y2 b2
ε2 2Ft.Rd/A2
b3
b4
y4=ymax ε4=εmax
2Ft.Rd /A3
2Ft.Rd /A4
b Figuur 4.23: buiging en axiale kracht – maximaal draagvermogen Alle bouten zijn belast op de ontwerp normaalkracht (Ft.Rd) en de contactdruk bereikt de ontwerpsterkte van het flensmateriaal (fu.Rd=fy/γM0). De enige onbekende grootheid is de positie van de neutrale lijn. Deze wordt bepaald uit het horizontaal evenwicht: − n bFt .Rd + f u.Rd y c b = FN.Sd
(4.63)
met nb het aantal bouten in trek.
4-24
Daaruit volgt de ligging van de neutrale lijn (yc):
yc =
FN .Sd + nbF t .Rd fu.Rd b
(4.64)
Eens yc gekend is, kan het maximaal moment (MSd) bepaald worden, dat samen met de normaalkracht (Ft.Sd) kan optreden:
M Sd = FN .Sd e = Ft .Rd
nb
∑ y i =1
i
−
yc 2
a y + FN .Sd − c 2 2
(4.65)
Opgelet. Dit moment kan niet altijd beschouwd worden als het maximaal toelaatbaar moment. Opdat dit wel zo zou zijn, moet de bout het dichtst bij de neutrale lijn de maximale trekkracht (F t.Rd) kunnen opnemen, zonder dat de verst gelegen bout een verlenging ondergaat die groter is dan de breukrek (εt), Tabel 4.3. Dus moet gelden, Figuur 4.23: ε max < ε t
(4.66)
De waarde voor de maximale rek kan gevonden worden uitgaande van de rek ε2 voor de eerste bout in trek, zodat deze de maximale sterkte bereikt:
ε2 =
f u.Rd Eb
(4.67)
Daardoor geldt:
ε max = ε 2
y max − y 2 fu.Rd y max − y 2 = < εt y2 − yc Eb y 2 − y c
(4.68)
4.9 Lassen Naast bouten, klink- en penverbindingen, vormen lasnaden een alternatieve verbindingstechniek voor staalstructuren. De verbinding van het staal vindt plaats door het aan mekaar smelten van de te verbinden onderdelen. Dit kan plaatsvinden in het atelier voor kleinere onderdelen, maar tevens op de werf, waar grotere onderdelen in situ worden verbonden. Omdat de krachtswerking van de structuur volledig door de lasnaad wordt overgedragen tussen de onderdelen, is het duidelijk dat de kwaliteit van de lasnaad van groot belang is. Niet enkel het materiaal en materieel dat gehanteerd wordt, maar eveneens de kwalificatie van het personeel alsook de werkomstandigheden zullen deze kwaliteit bepalen. Daarbij komt nog dat defecten in lasnaden een stuk moeilijker zijn vast te stellen, dan bijvoorbeeld bij boutverbindingen. Daartegenover staat dat met lasnaden een kwalitatieve en vaak meer esthetische verbinding kan gerealiseerd worden. ste
Het aan mekaar lassen van onderdelen startte aan het begin van de 20 eeuw. De nadelen die men ondervond bij het aan mekaar klinken van stukken dacht men te kunnen oplossen door ze monoliet met mekaar te verbinden door het staal lokaal te smelten. De grootste moeilijkheid hierbij lag duidelijk bij de invloed van het smelten van het staal en de invloed ervan op de micro-structuur van het staal. Het opwarmen moest tot een minimum beperkt worden. Om hieraan tegemoet te komen werd eerst gebruik gemaakt van een elektrische boog, waardoor een zeer locale bron van warmte kon worden gerealiseerd. Eerst werden twee koolstof electrodes gebruikt die in de onmiddellijke omgeving van het stuk geplaatst werden (Zrener). Later wordt de boog gevormd door één elektrode en het stuk zelf (Bernados). Tenslotte wordt de elektrode vervangen door een geïsoleerde metalen draad (Kielberg, 1908). Deze laatste techniek heeft zich
4-25
snel verspreid doorheen de USA en daarna ook over Europa. betrouwbaarheid van deze techniek steeds bevestigd.
Laboratorium proeven hebben de
De basis van deze techniek heeft geleid tot de ontwikkeling van vele andere lasprocedures. Momenteel bestaan er wel een 40-tal verschillende lasprocedures, afhankelijk van het te verbinden materiaal, de omgevingsomstandigheden, de te realiseren verbinding,... De vele bestaande lasprocessen onderscheiden zich voornamelijk door de wijze waarop de benodigde warmte wordt toegevoerd en waarop de metalen delen zonodig tegen of op elkaar worden gedrukt. Lasprocessen kunnen zo in twee grote groepen worden onderverdeeld: • Druklassen; • Smeltlassen.
4.9.1 Druklassen Bij het druklassen (ook: weerstandslassen) worden de te verbinden delen ter plaatse van de las in een deegachtige toestand gebracht en tegelijkertijd op of tegen elkaar gedrukt. Daardoor ontstaat een verbinding zonder toevoeging van extra materiaal. Het druklassen komt bij de fabricage van staalconstructies weinig voor. Een vorm van druklassen is bijvoorbeeld het rollassen. Deze techniek wordt toegepast bij het op elkaar bevestigen van dunne platen voor bijvoorbeeld radiatoren. Een andere vorm is het stiftlassen voor het bevestigen van pennen, draadeinden en deuvels op een staalconstructie, Figuur 4.24.
Figuur 4.24: aanbrengen van deuvels door middel van stiftlassen – vorm van druklassen [overgenomen uit: ESDEP, Figure 01A_021.gif]
4.9.2 Smeltlassen Bij dit lasproces worden de te verbinden delen, het moedermateriaal, plaatselijk verhit tot een vloeibare toestand. Meestal voegt men tegelijkertijd (las)materiaal in vloeibare toestand toe, waarvan de samenstelling zoveel mogelijk gelijk is aan dat van het moedermateriaal. Na het stollen ontstaat een hechte verbinding waarvan de sterkte minimaal overeenkomt met deze van het moedermateriaal. Figuur 4.25 geeft een overzicht van de verschillende smeltlasprocédés.
4-26
Figuur 4.25: Smeltlassen – een overzicht [overgenomen uit Construeren A, 2001, pp.162, Figuur 3.50] Tot de smeltlasprocédés behoren ondermeer: • het autogeenlassen (warmtebron: O2 en acetyleengas: C2H2 of HC=CH). De temperatuur in het heetste punt loopt op tot 3100°C. Staal smelt bij 1500°C. Van deze lasprocédés komt het autogeenlassen nog maar zelden voor. In het huidige staalbouw is het nagenoeg volledig verdrongen door het elektrisch lassen. • het elektrisch lassen (warmtebron: elektrisch opgewekte vlamboog): Gezien de elektrische geleidbaarheid van staal kan een elektrische stroom doorheen het staal geleid worden. Eerst wordt de kring gesloten, en wordt het geheel capacitief opgeladen, vervolgens is er overslag van een vonk ; • thermietlassen (warmtebron: chemische reactie tussen ijzeroxide en aluminium). Het thermietlassen – ook wel bekistlassen genoemd – is bijzonder geschikt voor werkstukken met grote doorsneden, zoals kraanrails. In de volgende paragrafen wordt een beknopte beschrijving van verschillende procédés van elektrisch lassen of booglassen gegeven. Tijdens het lassen is het noodzakelijk om zowel het vloeibare lasmateriaal alsook het moedermateriaal te beschermen tegen atmosferische invloeden, met name de inwerking van zuurstof (O2) en stikstof (N). Afhankelijk van de wijze waarop dit gebeurt, onderscheidt men drie soorten elektrische lasprocédés. 4.9.2.1 Booglassen met gas- en slakbescherming Dit lasproces (E: SMAW: Shielded Metal Arc Welding) wordt voornamelijk gebruikt bij het handlassen, waarbij de lasser alle noodzakelijke handelingen handmatig uitvoert. Met een lastang trekt de lasser een lasboog tussen de elektrode (ook wel lasdraad genoemd) en het werkstuk. Hierdoor worden zowel het moedermateriaal als de elektrode verhit tot een vloeibare toestand, Figuur 4.26. Gelijktijdig met de elektrode smelt ook de bekleding van de elektrode en ontstaan er gassen en een slak, die beide het lasproces beschermen tegen inwerking van de buitenlucht. Daarnaast komen toeslagstoffen vrij die volgende functies vervullen: • Kalmeren van het vloeibare metaal; • Verwijderen van verontreiniging uit het bad; • Stabiliseren van de vlamboog; • Verhogen van het rendement en de kwaliteit van het neergesmolten materiaal door het toevoegen van legeringselementen.
4-27
1 Kerndraad 2 bekleding 3 uiteinde kerndraad in vloeibare toestand 4 bescherming door (vloeibare) slak 5 elektrische boog 6 werkstuk (moedermateriaal) 7 smeltbad 8 gestolde slak 9 vloeibare slak 10 kelk, geeft richting aan gastroom en metaaldruppels 11 gasstroom, veroorzaakt door verbranding van bestanddelen uit de bekleding 12 overgaande druppel lasmateriaal (omgeven door slak) 13 stollend lasmateriaal Figuur 4.26: Principe van het booglassen met gas- en slakbescherming [overgenomen uit Constueren A, Figuur 3.51 pp.163]
De slak, die uit de bekleding ontstaat, moet in het smeltbad goed boven komen drijven en vormt dan een warmte -isolerende laag. Dit bovendrijven wordt verzekerd door het verschil in dichtheid (2.6 kg/m³ tegen 7.85 kg/m³ voor staal). Daarnaast heeft ook een lagere smelttemperatuur, zodat het eerder smelt. Daardoor koelt de las minder snel af en verbetert de structuur van het staal. De slak beschermt ook de oxidatie van het warme FeO aan de zuurstof O2 van de omgeving. De slak moet echter gemakkelijk kunnen worden verwijderd met bijvoorbeeld een staalborstel of een bikhamer. De elektroden zijn in vele typen en soorten te koop. Het belangrijkste onderscheid is echter de samenstelling van de bekleding, die bepalend is voor het toepassingsgebied. Bij de keuze van de elektroden moet onder meer worden gelet op de mechanische eigenschappen van het moedermateriaal, het gewenste uiterlijk van de las en de positie waarin moet worden gelast (verticaal lassen, plafond lassen, “in het gootje” lassen). Het handlassen met elektroden is te mechaniseren via het zwaartekrachtlassen, Figuur 4.27. Deze techniek maakt gebruik van sleepelektroden en een eenvoudig statief. De sleepelektrode, met een lengte van 600 tot 800 mm, rust in de lasnaad en is ongeveer 300 mm langer dan de gebruikelijke handelselektroden. Het blanke eind is aan een lastang geklemd, die langs een stang op het statief glijdt. Aan de bekleding van sleepelektroden is meestal een metaalpoeder toegevoegd. Hierdoor is het redement, de hoeveelheid neergesmolten materiaal, hoog.
Figuur 4.27: Zwaartekrachtlassen met slakbescherming [overgenomen uit Constueren A, Figuur 3.52 pp.164]
4.9.2.2 Booglassen met gasbescherming Bij deze vol- of halfautomatische lasprocessen (E: GAW: Gas Arc Welding) – beschermt een gas het vloeibare las - en moedermatieriaal tegen atmosferische invloeden. Er ontstaat daarbij dus geen slak, tenzij gebruik wordt gemaakt van een gevulde draad. De meest bekende lasprocédés van dit type zijn: • MIG-lassen (E:Metal Inert Gas): Het MIG-lassen maakt gebruik van een inert edelgas en een afsmeltende elektrode. Het inerte gas zal zich dus niet binden met het lasmetaal. De elektrode is bij dit lasproces een continu toegevoerde lasdraad omgeven door een mondstuk, waar het beschermgas doorheen wordt geleid. Het MIG-lassen is in principe gebaseerd op het gebruik van zuiver argon (Ar). Dit edelgas is echter minder geschikt voor het lassen van
4-28
•
• •
staal. Beter, en tevens goedkoper, is een menggas van bijvoorbeeld 80-85% Ar met een toevoeging van koolzuurgas (CO2) en/of zuurstof (O2). CO2-lassen. Dit lasproces vertoont overeenkomst met het MIG-lassen, alleen gebruikt het geen edelgas maar koolzuurgas (CO2). Over het algemeen wordt een gevulde lasdraad gebruikt, bestaande uit een zachtstalen mantel met daarin een slakvormend poeder. Het voordeel van een gevulde draad is onder meer een hoog rendement, dus meer neergesmolten materiaal en een verbetering van het uiterlijk van de las. Ten opzichte van het MIG-lassen is bij het CO2-lassen de kans op lasfouten – zoals binding- en plakfouten, Figuur 4.25, en een onvoldoende doorlassing, significant groter. MAG-lassen (Metal Active Gas): Bij dit lasproces wordt gebruik gemaakt van een beschermgas, dat bestaat een uit edelgas met enkele procenten CO2 en O2. In dit geval is het beschermgas dus niet inert. TIG-lassen (Tungsten Inert Gas). Het TIG-lassen gebruikt een edelgas als bescherming en een niet-afsmeltende elektrode van wolfraam (tungsten) samen met een toevoegmateriaal. Dit lasprocédé komt in de staalbouw weinig voor en is vooral geschikt voor moeilijk lasbare metalen en voor roestvast staal.
4.9.2.3 Booglassen met poederbescherming Bij dit lasproces (E: SAW: Submerged Arc Welding) wordt een vlamboog getrokken tussen een onbeklede lasdraad en het werkstuk, waarbij een laspoeder de vlamboog geheel afdekt. Het booglas sen onder poederdek is een automatisch lasproces: de lasautomaat staat op een wagentje dat met een instelbare snelheid langs de te leggen lasnaad loopt. Het laspoeder komt via een trechter op de naad. De blanke elektrode wordt vervolgens, via een stroomgeleider, vanaf een grote haspel in het laspoeder gebracht, Figuur 4.28. Het gehele lasproces speelt zich daarna nagenoeg onzichtbaar af. Een deel van het laspoeder vormt een slak, het overblijvende poeder wordt afgezogen en opnieuw gebruikt. Ten opzicht van het handlassen wordt bij het lassen onder poederdek met een veel grotere stroomsterkte gelast, zodat een veel diepere inbranding ontstaat. Hierdoor kan de voorbewerking van stompe lassen vaak geheel of gedeeltelijk vervallen. Omdat in een korte tijd zeer veel lasmateriaal kan worden neergesmolten, is het booglassen onder poederdek zeer geschikt voor het leggen van lange, horizontale lasnaden in bijvoorbeeld brugdekken, plaatliggers en scheepsbouwsecties.
Figuur 4.28:
Booglassen onder poederdek slakbescherming [overgenomen uit Constueren A, Figuur 3.53
pp.165]
4.9.3 Lasverbindingen Een lasverbinding komt tot stand door in een lasnaad van een bepaalde vorm vloeibaar materiaal te brengen. De lasnaad is de ingesloten ruimte tussen de al of niet bewerkte plaatranden voor aanvang van het lassen. De dwarsdoorsnede van de lasnaad bepaalt de lasnaadvorm, bijvoorbeeld een X-, een K- of een V-las. De belangrijkste lasnaadvormen zijn, Figuur 4.29: • Hoeklassen. De hoeklas is de meest voorkomende lasvorm voor het verbinden van constructiedelen die loodrecht op elkaar staan. De minimale dikte voor een hoeklas bedraagt 3 mm. Men onderscheidt een enkelzijdige, een dubbelzijdige alsook een hoeklas met schuin aansluitende plaatdelen (60°<α<120°). Lasnaden tot 6 mm dikte kunnen in één laag gelegd worden. Voor dikkere hoeklassen zijn meerdere lagen nodig, waarbij steeds de slak van de onderste laag moet worden verwijderd.
4-29
•
Stompe lassen. Stompe lassen gebruikt men zowel voor het verbinden van plaatdelen die een hoek met elkaar maken als voor plaatdelen die in elkaars verlengde liggen. Stompe lassen zijn in principe bedoeld voor een volledige doorlassing van het moedermateriaal.
Enkelzijdige hoeklas
Dubbelzijdige hoeklas
Hoeklas met schuin aansluitende plaatdelen Figuur 4.29: Lasverbindingen – hoeklas en stompe las
Stompe las
4.9.4 Lasprocedures Met de moderne lasprocedures zijn lasverbindingen te maken die voldoen aan hoge kwaliteitseisen met betrekking tot vorm en de homogeniteit van de las. De kwaliteit van de lasverbinding wordt echter niet alleen bepaald door het lasprocédé. Even belangrijk is een juiste materiaalkeuze, een juiste lasnaadvorm en de maatvoering voor het lassen. 4.9.4.1 Materiaalkeuze Zuiver ijzer is een materiaal met een zeer lage vloeigrens en treksterkte. Om de sterkte te verbeteren voegt men daarom bij de staalbereiding bepaalde chemische elementen toe zoals silicium (Si), koper (Cu), chroom (Cr), nikkel (Ni) en/of aluminium (Al). Elementen die van nature in ijzererts aanwezig zijn, vooral koolstof (C), fosfor (P) en zwavel (S) reduceert men zover totdat de samenstelling aan de gestelde eisen voldoet: • Zwavel (S) en fosfor (P) noemt men verontreinigingen, omdat deze elmenten de eigenschappen van het staal negatief beïnvloeden, met name de taaiheid, de gevoeligheid voor bros breken en lamellair scheuren; • Koolstof (C) geeft een grotere sterkte maar verlaagd de taaiheid en de weerstand tegen bros breken; • Mangaan (Mn) geeft niet alleen een grotere sterkte, maar verbetert ook de taaiheidseigenschappen en vermindert de gevoeligheid voor bros breken. • Silicium (Si) verhoogt eveneens de sterkte, hoewel de belangrijkste functie is om het staal te kalmeren. Daartoe kan ook aluminium worden gebruikt. • Koper (Cu), chroom (Cr), nikkel (Ni) en vanadium (V) worden vooral toegevoegd met het oog op de weerstand tegen corrosie. Nikkel geeft tevens gunstige kerftaaiheidseigenschappen bij zeer lage temperatuur. De lasbaarheid van het materiaal karakteriseert de mogelijkheid om in een staalsoort een geschikte lasverbinding te maken. De mate van lasbaarheid hangt samen met de mate waarin bepaalde voorzorgsmaatregelen moeten worden genomen. Een voorbeeld daarvan is het “voorverwarmen” of het nauwkeurig specifiëren van het lasproces en te gebruiken lastoevoegmateriaal. Bij lassen vindt een snelle afkoeling plaats van het gestolde lastoevoegmateriaal. Deze snelle afkoeling treedt ook op in het moedermateriaal direct naast de las (HAZ: Heat Affected Zone). Hierdoor kunnen harde en brosse kristalstructuren ontstaan. De mate waarin dat gebeurt, hangt af van de chemische samenstelling en van de afkoelsnelheid van het austeniet naar ferriet. Dit vindt plaats tussen 800°C en 500°C. Met name het gehalte aan koolstof speelt hierbij een belangrijke rol. Is er bovendien ook waterstof aanwezig, dan diffundeert deze waterstof binnen het kristalrooster naar plekken met hoge spanning en bouwt er ter plaatse een hoge druk op. Er ontstaat dan gevaar voor koudscheuren, Figuur 4.30. Waterstof is bijvoorbeeld aanwezig in de vorm van water in de atmosfeer, in vet, in verf en in de bekleding van de laselektroden. Dit laatste is vaak de oorzaak van een hoog waterstofgehalte in de las. Drie elementen bepalen de lasbaarheid van het moedermateriaal:
4-30
•
Het koolstofequivalent. De hoeveelheid koolstof en andere legeringselementen dient beperkt te blijven. Een maat hiervoor is het koolstofequivalent (CEV) dat globaal genomen beneden 0.40-0.45 moet gelegen zijn. Door verschuivingen in de chemische samenstelling kan de lasbaarheid worden verbeterd, zonder de sterkte te kort te doen, bijvoorbeeld door koolstof te vervangen door mangaan. Uite raard maakt dit het staal duurder: koolstof is van nature aanwezig, terwijl mangaan moet worden toegevoegd. Een andere zeer effectieve methode is het toepassen van een korrelverfijning. Er zijn dan minder legeringselementen nodig om een bepaalde sterkte te bereiken. Dit leidt uiteraard tot een lager koolstofequivalent.
CEV = C + •
•
Mn Cr + Mo + V Ni + Cu + + 6 5 15
(4.69)
Lagere afkoelsnelheid. De lasbaarheid kan verhoogd worden door het voorverwarmen van het werkstuk tot 100°C of maximaal 200°C. De afkoelsnelheid is een functie van de dikte van de te verbinden delen, de voorverwarmingstemperatuur en de hoeveelheid ingebrachte warmte tijdens het lassen. Voorverwarmen kan worden vermeden, ook bij zeer dik materiaal in Fe510, door een juiste keuze van zowel een goed lasbaar materiaal met een laag koolstofequivalent als van een gunstig lastoevoegmateriaal met een laag waterstofgehalte en van de lasparameters. Waterstofgehalte. Het waterstofgehalte kan beperkt worden door zorg te dragen voor goed gedroogde (gebakken) elektroden om te voorkomen dat zich in de hygroscopische bekleding te veel vocht ophoopt. Tegenwoordig zijn ook speciale laagwaterstofelektroden leverbaar. Deze zijn luchtdicht verpakt in aluminiumfolie of in blikken om toetreden van waterdamp te voorkomen.
Slecht lasbaar zijn bijvoorbeeld bouten en moeren in de hoge sterkteklasse (hoge treksterkte en dus hoog koolstofgehalte of CEV), zoals kwaliteit 8.8. De kwaliteit 4.6 heeft een veel lager CEV en is dus veel beter lasbaar. Ook betonstaal, voorspanstaal en normaalgegloeid Fe510 met een hoog koolstofequivalent zijn slecht lasbaar. 4.9.4.2 Gevolgen van de metallurgische fenomenen In essentie treden er 2 metallurgische fenomenen op: • Stollen van het materiaal dat gesmolten is gedurende de verschillende lasgangen; • de warmtebehandeling van het moedermateriaal rond de las. Deze kunnen leiden tot voornamelijk twee gevaarlijke vormen van scheurvorming, Figuur 4.30: • koudscheuren. Lassen wordt gekarakteriseerd door kleine hoeveelheden metaal, snel gesmolten en snel afgekoeld door de warmte -absorptie van het naburige materiaal. Deze thermische cycli van snelle afkoeling leiden tot zones met een hoge hardheid, voornamelijk voor het materiaal in de onmiddellijke omgeving van de las. Deze harde zones in het moedermateriaal naast de las kunnen onderhevig zijn aan zogenaamde koudscheuren. De oorzaak van deze scheuren wordt toegeschreven aan de zuurstof die wordt geabsorbeerd door het lasmateriaal in de gesmolten toestand en door het naburige moedermateriaal dat op hoge temperatuur is gebracht. Deze zuurstof komt over het algemeen van de boogomgeving. Dit kan vermeden worden door een voorverwarmen van het moedermateriaal, Figuur 4.30. Deze scheuren ontstaan lange tijd (uren, dagen) nadat het laswerk is voltooid; • Warmscheuren. Warmscheuren kan voorkomen in de gesmolten zone van zodra de hoeveelheid moedermateriaal groot is. Deze scheuren vormen zich gedurende het stollen omwille van de segregatie van onzuiverheden in preferentiële zones van het gesmolten oppervlak die stollen op een lagere temperatuur dan staal. Deze materiaalverschillen leiden tot krimpspanningen in het materiaal.
4-31
koudscheur Figuur 4.30: Heat affected zone (HAZ) en koudscheuren [overgenomen uit Construeren A, Figuur 1.7 en 1.8, pp. 18]
De lasnaadvorm en de lasvolgorde bepalen in belangrijke mate de grootte van de laskrimp. Wanneer de vervorming als gevolg van laskrimp wordt verhinderd, kunnen aanzienlijke spanningen in de constructie en in de las optreden. Scheurvorming is hierbij niet uitgesloten. Lassen gaat steeds gepaard met de ontwikkeling van een grote hoeveelheid warmte. Dit veroorzaakt belangrijke thermo-plastische vervormingen in de te verbinden elementen. Door de hoge temperatuur verlaagt de vloeigrens en de elasticiteitsmodulus van het staal drastisch. Het fysisch gedrag kan eenvoudig geïllustreerd worden aan de hand van een voorbeeld. Veronderstel een staaf met een initiële lengte L, met in het midden een gelaste zone met lengte L0. Veronderstel dat de longitudinale vervorming van de staaf aan beide uiteinden volledig verhinderd wordt, Figuur 4.31. 650°C
L0 20°C
∆L L Figuur 4.31: Krimpvervorming bij het lassen
∆L
Door het afkoelen van het staal na het lassen (650°C) naar omgevingstemperatuur (20°C), zal de las een verkorting ∆L ondergaan. Overeenkomstig experimenteel onderzoek op staalplaten met een dikte van 14 mm is deze krimp van de orde van grootte van 18% van de initiële lengte (L0). Daardoor ontstaat een rek gelijk aan:
ε=
0. 18L0 L
(4.70)
Rekening houdend met een gemiddelde elasticiteitsmodulus Em gelijk aan Em=0.75E=0.75x210.000N/mm² over het temperatuurgebied (650°C –20°C), leidt dit bij volledige verhindering van de verkorting tot een spanning in het staal gelijk aan:
σ = εE m = 0.18
L0 L 0. 75 × 210000 N mm ² = 280 10² 0 [N mm² ] L L
(4.71)
Deze spanning bereikt de vloeigrens (235 N/mm²) bij een verhouding L0/L van de grootte orde 1/100. Tot besluit wil dit zeggen dat, Figuur 4.32: • Ofwel relatief grote vervormingen optreden als de vervormingen vrij kunnen optreden • Ofwel relatief grote interne (residuele) spanningen in de doorsnede aanwezig zijn.
4-32
Lasnaad
Figuur 4.32: Mogelijke vervormingen bij lassen Om deze te voorkomen, zijn volgende technieken mogelijk: • Initieel voorbuigen van de elementen • Inklemmen van de onderdelen in de beginfase • Voorverwarmen • Rationele studie van de gevolgen. Eens de lasnaad is gerealiseerd kan een geconcentreerde warmtetoevoer de vervormde onderdelen rechttrekken, of kunnen de residuele spanningen opgeheven worden door het ganse werkstuk traag op te warmen tot een uniforme temperatuur en vervolgens opnieuw traag af te koelen. 4.9.4.3 Kwaliteit van de lasprocedure – defecten en controle Voor belangrijke lasverbindingen is daarom een goede samenwerking tussen constructeur en lasspecialist noodzakelijk. Beiden zijn verantwoordelijk voor de kwaliteit en de sterkte van de gelaste verbinding. Zij bepalen de keuze van de beïnvloedende parameters: lasvorm, de te treffen voorzieningen tijdens het lassen, het aantal lagen, het lastoevoegmateriaal, de gewenste kwalificatie en het vereiste onderzoek. Volkomen foutloze lasnaden zijn economisch nauwelijks haalbaar. Het normale kwaliteitsniveau is zodanig gekozen dat een enigszins bekwame lasser ruimschoots aan de gestelde eisen kan voldoen, Figuur 4.33. De mogelijke defecten op een rijtje, Figuur 4.33: • Scheurvorming; • Koudscheur; • Bindingsfout of plakfout; • Gasholtes (poreusheid); • Slakinsluitsels (slakbanen); • Onvoldoende doorlassing: gebrek aan penetratie van de las doordat het lasmateriaal niet voldoende diep doordringt in de te vullen opening; • Krimpholte; • Randinkarteling of scherpe fout. Scheuren, bindings- of plakfouten zijn nooit toegelaten. Van belang is te weten welke soort lasfouten gevaarlijk zijn en wanneer deze defecten moeten worden gerepareerd. Lasfouten zijn op te sporen met destructief en niet-destructief onderzoek. Destructief onderzoek is voor een staalconstructie niet echt praktisch. Tot het niet-destructief onderzoek behoren visueel, manetisch, penetrant, ultrasoon en radiografisch onderzoek. De meest gebruikte niet-destructieve test is X-stralen.
Figuur 4.33: mogelijke fouten in een lasnaad [overgenomen uit Construeren A, Figuur 3.58, pp.170]
4-33
4.9.5 Sterkte van een lasnaad De sterkteberekening van een lasnaad is volledig gebaseerd op experimenteel onderzoek. berekening behelst de bepaling van de grenssterkte van een hoeklas en een stompe las.
De
De grenssterkte van een stompe las zonder spleet benodigd geen verdere berekening indien aan een aantal basisvoorwaarden voldaan is [6.6.6.1]. De sterkte van een stompe las is immers de sterkte van de zwakste schakel in een ketting. Er wordt van uit gegaan dat de lasnaad minstens even sterk is als het moedermateriaal. Voor de sterkte van een stompe las met spleet wordt verwezen naar een hoeklas met diepe inbranding. De formules kunnen dus beperkt worden tot het geval van een hoeklas. 4.9.5.1 De berekeningsdikte van de lasnaad – keeldikte a De keeldikte van een hoeklas of de lasdikte in de keeldoorsnede, is de hoogte van de grootste ingeschreven driehoek tussen de hechtingsvlakken en het oppervlak van de las, gemeten loodrecht op de zijde van de driehoek die correspondeert met de buitenkant van de las, Figuur 4.34 [Figuur 6.6.6 en 6.6.7].
a
a
Figuur 4.34: keeldikte a 4.9.5.2 De nuttige lengte van de lasnaad – l De nuttige lengte van de lasnaad stemt overeen met de werkelijke lengte, verminderd met de som van de lengte aan kraters aan lasrupsuiteinden. Een lasrupsuiteinde wordt gelijk genomen aan de keeldikte a. 4.9.5.3 Definitie van het kritieke vlak en erop aangrijpende spanningscomponenten Figuur 4.35 vat de inwendige spanningen die aangrijpen op het kritieke vlak van de lasnaad alsook de belangrijkste geometrische grootheden samen. De maximale spanningen zullen teruggevonden worden op de kleinste doorsnede van de lasnaad. Wanneer we een driehoekige vorm aannemen voor deze doorsnede, stemt dit kleinste oppervlak overeen met het vlak gevormd door de hoogtelijn van de driehoek en de lengte van de lasnaad.
τ//
σ⊥
τ⊥
l σ//
a Figuur 4.35: kritieke vlak en definitie spanningscomponenten
4-34
In het algemene geval geeft een uitwendige belasting aanleiding tot 4 spanningscomponenten: • σ//: gemiddelde normaalspanning (+:trek) volgens de richting van de lengteas, aangrijpend loodrecht op het eindvlak van de lasnaad; • σ⊥: gemiddelde normaalspanning (+:trek) loodrecht op de lengteas, aangrijpend loodrecht op het kritieke vlak van de lasnaad; • τ//: gemiddelde schuifspanning evenwijdig aan de lengteas aangrijpend evenwijdig aan het kritieke vlak van de lasnaad; • τ⊥: gemiddelde schuifspanning loodrecht aan de lengteas aangrijpend evenwijdig aan het kritieke vlak van de lasnaad. De normaalspanning σ// wordt buiten beschouwing gelaten bij de toetsing van de lassterkte. De sterkte van een hoeklas is voldoende indien aan beide volgende voorwaarden voldaan is:
(
)
σ ⊥2 + 3 τ 2⊥ + τ 2// ≤
σ⊥ ≤
fu β w γ Mw
(4.72)
fu
(4.73)
γ Mw
met: • •
fu: de n ominale treksterkte van het zwakste verbonden onderdeel; βw: de gepaste correlatiefactor
De correlatiefactor βw is ingevoerd om ervoor te zorgen dat de berekende sterktewaarden overeenstemmen met wat experimenteel wordt vastgesteld, Tabel 4.6. Staalsoort Treksterkte EN 10025 fu Fe360 360 Fe430 430 Fe510 510 Tabel 4.6: Correlatiefactor βw
Correlatiefactor βw 0.80 0.85 0.90
Staalsoort EN 10025 Fe E275 Fe E355
Treksterkte fu 390 490
Correlatiefactor βw 0.80 0.90
4.9.6 Stukken belast op trek of druk 4.9.6.1 Koplassen De breuk doet zich voor in de langse doorsnede, Figuur 4.36a. Indien het buigmoment voortvloeiend uit de kleine excentriciteit in de krachtswerking te verwaarlozen is, dan geldt:
σ // = 0 F σ ⊥ = t .Sd al 2 τ // = 0 − Ft .Sd τ⊥ = al 2
(4.74)
4-35
(b)
(a)
a l
Ft.Sd
Ft.Sd
l
x’
Ft.Sd
Ft.Sd
σ⊥
Ft.Sd
x l’
τ⊥
a’
(c) Ft.Sd
a Ft.Sd
ϕ
Ft.Sd
a
Figuur 4.33: Stukken belast op trek of druk – (a) koplas, (b) zijlas en (c) schuine las 4.9.6.2 Zijlassen De breuk doet zich voor in de langse doorsnede, Figuur 4.36b. Indien het buigmoment voortvloeiend uit de kleine excentriciteit in de krachtswerking te verwaarlozen is, dan geldt:
σ // = 0 σ⊥ =0 F τ // = t .Sd ai l i
∑
τ⊥ = 0
(4.75)
i
op voorwaarde dat:
x1 a2 l2 = x2 a1l1
(4.76)
4.9.6.3 Schuine lasnaden De breuk doet zich voor in de langse doorsnede, Figuur 4.36c. Indien het buigmoment voortvloeiend uit de kleine excentriciteit in de krachtswerking te verwaarlozen is, dan geldt:
σ // = 0 F sin(ϕ ) σ ⊥ = t .Sd al 2 Ft .Sd cos(ϕ ) τ // = al − Ft .Sd sin(ϕ ) τ⊥ = al 2
(4.77)
4.9.6.4 Samengestelde lasnaden, kop- en zijlassen of schuine lassen Aangezien de lasnaden van éénzelfde verbinding elkaar beïnvloeden, is de totale weerstand van de verbindingen over het algemeen niet gelijk aan de som der weerstanden van elke las afzonderlijk. Verschillende gevallen zijn dan ook te onderscheiden: • de verbinding bevat zijlassen en een kop- of schuine las; er is geen kop- of schuine las op de vrije boord van het grootste te verbinden stuk. o Wanneer de lengte van de zijlassen veel groter is dan deze van de kop- en schuine lassen (l2>1.5l1) wordt er aangenomen dat de volledige kracht wordt opgenomen door de zijlassen, Figuur 4.37(a);
4-36
o
Ft .Sd = F2.Rd + •
Wanneer de lengte van de lasnaden ongeveer gelijk is (0.5l1
1 F1.Rd 1+ 2 sin(ϕ )
(4.78)
Wanneer er eveneens een kop- en schuine las voorkomt op de vrije boord van het breedste te verbinden stuk, wordt de totale weerstand van de verbinding de som van de weerstand van de kop- of schuine las op de vrije boord en slechts één derde van die der zijlassen, Figuur 4.37(d). (b)
Ft.Sd
a2
a1
a2
Ft.Sd
Ft.Sd
(c)
l1
ϕ
a1
(d)
a2
Ft.Sd
Ft.Sd
l1
l2
Ft.Sd
l1
l2
a1
l1
l2
(a)
a1
a2
Ft.Sd
Ft.Sd
Figuur 4.37: Samengestelde lasnaden
4.9.7 Stukken belast op buiging 4.9.7.1
Verbindingslas – continue lasnaden die de lijfplaat met de flenzen verbinden van een ligger belast op buiging Uit de grootheden MSd en TSd die de uitwendige belasting opnemen, kunnen onmiddellijk de benodigde spanningscomponenten berekend worden, Figuur 4.38:
MSd h − e Iy 2 σ⊥ =0 T S τ // = Sd 2I y a τ⊥ = 0 σ // =
met: • •
(4.79)
Iy: traagheidsmoment van de ganse doorsnede tov de buigingsas y; S: statisch moment van de flens tov de as AA die door het zwaartepunt van de ganse doorsnede gaat.
4-37
b e
τ// a
h/2-e
σ// G h
Figuur 4.38: Verbindingslas lijfplaat met de flenzen 4.9.7.2
Lasnaden die de verbinding verwezenlijken van twee loodrechte elementen in een raamwerk In het hieronder behandelde voorbeeld gaat het om de verbinding van twee dubbele T-liggers, waarvan één doorlopend is en de andere, dwarsligger genaamd, aanleunt tegen de eerste, Figuur 4.39. Dit kan gezien worden als een klassieke ligger-kolom verbinding. Voor de opname van de uitwendige aangrijpende belasting (N Sd, TSd, MSd) worden volgende aannames gemaakt: • De dwarskracht TSd wordt enkel door de lijfplaatlassen opgenomen en de eruit voortvloeiende schuifspanningen worden verondersteld gelijkmatig verdeeld te zijn over de lengte van de lassen; • Het buigmoment MSd wordt opgenomen door het geheel der lasnaden. Het traagheidsmoment is de som van de langse doorsneden van de lasnaden, neergeslagen in het contactvlak. Om de berekening eenvoudig te houden, wordt geen rekening gehouden met de hoogten a1 en a3 van de lasnaden van de flens.
l1
a1
a2
l3
h1
h3
l2
a3
Figuur 39: verbinding van twee loodrechte elementen in een raamwerk Voor de lasnaden die de flenzen van de dwarsligger verbinden, geldt:
4-38
nSd =
NSd
∑ (ai l i )
+
M Sd h 2I y
(4.80)
i
met: Iy: het traagheidsmoment: I y =
∑ (a l ) = 2a l i i
11
a1l1h12 a2l 32 + + a3 l3h32 ; 2 6
+ 2a2l 2 + 4a3 l3
(4.81) (4.82)
i
Dit leidt tot volgende spanningen in de te toetsen doorsnede:
σ // = 0 n σ ⊥ = Sd 2 T Sd τ // = 2a2 l2 − nSd τ⊥ = 2
(4.83)
4.9.7.3
Geval van buiging en afschuiving – ligger verbonden door lasnaden op een vlakke plaat, evenwijdig met de lijfplaat De aangrijpende belasting bestaat uit een verticale kracht P Sd, die kan worden omgezet in een equivalente dwarskracht TSd en buigmoment MSd, Figuur 4.40a. Het uitwendige moment MSd=P SdxL veroorzaakt een dwarskracht in de lasnaden, gelijk aan:
TSd =
PSd L P L ≈ Sd h + a2 h
(4.84)
σ // = 0 σ⊥ =
PSd
2 2a2 l 2 PSd L τ // = a2 l 2 h PSd τ⊥ = 2 2a2 l 2
(4.85)
4-39
l2
(a)
a2
PSd
l1
h
l
(b)
P Sd
a1 L
h
a1
l2
(d)
P Sd
l1
h
a2
a2 PSd
l1
l2
(c)
L
a1 l
l L
L
Figuur 40: Buiging en afschuiving Voor het geval zoals geschetst in Figuur 4.40b, kan men eveneens aannemen dat de lassen belast worden door schuifspanningen in de langsrichting te wijten aan equivalente dwarskracht TSd en buigmoment MSd:
σ // = 0 σ⊥ =0 P P L τ // = Sd + Sd 2a1l1 a1l1l τ⊥ = 0
(4.86)
Voor het geval zoals geschetst in Figuur 4.40c, wordt de opname van de snedekrachten per lasnaad bekeken. Voor het moment (P SdL): • De lasnaden met lasdikte a2 kunnen een maximaal moment opnemen gelijk aan: M2 = a2l 2hτ //,2 ; •
De lasnaden met dikte a1 kunnen een maximal toelaatbaar moment opnemen gelijk aan:
M1 = a1l 1l τ//,1 ; •
τ //,1 =
(4.87)
(4.88)
Men neemt aan dat het moment P SdL kan ontbonden worden in twee delen evenredig met M1 en M2, waaruit de waarden τ// kunnen afgeleid worden die optreden i n elke las:
P L h PSd L l en: τ //,2 = Sd 2 a1l1 l 2 + h 2 a2l 2 l + h 2
(4.89)
Voor de dwarskracht (P Sd): • Men neemt aan dat de dwarskracht P Sd aangrijpt in het zwaartepunt van de vier lassen en dat zij evenredig kan verdeeld worden volgens hun respectievelijke weerstand:
a1l1 a2 l 2 voor a1; voor a2. a1l1 + a2l 2 a1l1 + a2l 2
(4.90)
4-40
Dit leidt tot:
σ //,1 = 0 PSd a2 l 2 σ //,1 = 0 σ ⊥,1 = × a l σ = 0 2 2 a l 1 1 + a2 l 2 2 2 ⊥,1 P L en: h P a l P L l τ = Sd × Sd 11 Sd τ //,1 = 2a l a l + a l + a l l 2 + h2 //,1 a l l2 + h2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 P a2 l 2 τ = 0 Sd ⊥,1 τ ⊥,1 = × 2 2a2 l2 a1l1 + a2l 2
(4.91)
Voor het geval zoals geschetst in Figuur 4.40d, wordt de opname van de snedekrachten per lasnaad bekeken. Voor het moment (P SdL): • De lasnaden met lasdikte a2 kunnen een maximaal moment opnemen gelijk aan M2 = a2l 2hτ //,2 ; •
De lasnaden met dikte a1 kunnen een maximal toelaatbaar moment opnemen gelijk aan:
M1 = a1l 1l τ//,1 ; •
τ //,1 =
(4.92)
(4.93)
Men neemt aan dat het moment P SdL kan ontbonden worden in twee delen evenredig met M1 en M2, waaruit de waarden τ// kunnen afgeleid worden die optreden in elke las:
PSd L l P L h en: τ //,2 = Sd 2 2 2 a1l1 l + h a2 l 2 l + h 2
(4.94)
Voor de dwarskracht (P Sd): • Men neemt aan dat de dwarskracht P Sd volledig opgenomen wordt door lasnaad 2. Dit leidt tot:
σ //,1 = 0 PSd σ //,1 = 0 σ ⊥,1 = σ = 0 2 2a2 l 2 ⊥,1 PSd L h l en: τ = 0 + PSd L τ = × //,1 //,1 a2l 2 l 2 + h 2 a1l1 l 2 + h 2 τ ⊥,1 = 0 τ ⊥,1 = PSd 2 2a2 l 2
(4.95)
4.9.8 Stukken belast op wringing De spanningen voortvloeiend uit een uitwendig wringmoment moeten gesuperponeerd worden op deze van de eventuele normaalkracht, dwarskracht en buigmoment. 4.9.8.1 Dunwandige buisvormige ligger Het uitwendig wringmoment (Mt.Sd) leidt toe spanningen, Figuur 4.41:
σ // = 0 σ = 0 ⊥ M t .Sd τ // = 2Aa τ = 0 ⊥
(4.96)
4-41
Met daarin: • A: inwendige oppervlakte van het deel begrensd door de middellijn van de neergeslagen lasnaad; • a: de dikte van de lasnaad. Voor een buisvormige doorsnede, met diameter dbuis, geldt:
π (dbuis + a ) 4
2
A=
(4.97)
Voor een rechthoekige koker met buitenmaten bxc, met lasnaaddiktes a1 en a2 respectievelijk, geldt:
A = (b + a1 )(c + a2 )
(4.98)
dbuis + a
Mt.Sd
a
b
a2
a a1 c Figuur 4.41: wringing van dunwandige buisvormige liggers 4.9.8.2 Balken met dunne en vlakke samenlopende wanden Bij balken van dit type valt de snijlijn van de wanden samen met de wringingsas, Figuur 4.42. Het wringcentrum ligt in de doorsnede. Er treedt geen welving op. Het wringmoment levert ook hier enkel schuifspanningen τ// op. De maximale schuifspanningen treden op in het midden van de lasnaad van elke wand en worden berekend door:
σ // = 0 σ ⊥ = 0 Mt . Sdai τ // = 1 k lai3 3 i τ = 0 ⊥
∑
met: • •
(4.99)
k=1 voor doorsneden L en +; k=1.25 voor doorsneden ⊥.
Figuur 42: Balken met dunne en vlakke samenlopende wanden 4.9.8.3 Liggers met vlakke dunne wanden onderworpen aan niet-gelijkmatige wringing De beoogde profielen zijn weergegeven in Figuur 4.43. De lasnaden zijn tegelijkertijd onderworpen aan schuifspanningen (τ) en normaalspanningen (σ), veroorzaakt door de verhinderde welving die bij
4-42
de wringing optreedt (zie ook cursus Aanvullingen Sterkteleer, Hoofdstuk V). b
b1 y
b y A σa +
B
-
x
x
e
b2 y A σa +
e1
b
B
x e
e1
e e2
e1
e
x
h
x d1
x
h
x
h
x
h
d2
e1
e1
y
A - σa
σb B ++
-
b σb
A + σa
B -
Mt.Sd
Mt.Sd B’
+ A’
Mt.Sd -
B’
+
A’
B’
Mt.Sd
+ A’
A’
+
-
B’
Figuur 4.43: liggers met vlakke dunne wanden onderworpen aan niet-gelijkmatige wringing De spanningen (σ en τ) worden gecontroleerd in de kritieke punten: punt A en B: • Indien de flens verbonden wordt door twee lasnaden met dikte a, geldt: σ // = 0 σ // = 0 σ e σ ⊥ = B 1 σ A e1 σ ⊥ = 2 2a 2 2a voor A; en: τ e τ = 0 τ = B 1 voor B. // 2 2a // τ = − σ Ae1 σ e ⊥ τ ⊥ = − B 1 2 2a 2 2a
(4.100)
•
Indien de flens verbonden wordt door één lasnaad met dikte a, geldt: σ // = 0 σ // = 0 σ e σ ⊥ = B 1 σ A e1 σ ⊥ = 2a 2a voor A; en: τ = τ B e1 τ = 0 // // 2a τ = − σ Ae1 σ ⊥ τ ⊥ = − Be1 2a 2a
(4.101)
Voor de berekening van het schuifspannings- en normaalspanningsverloop wordt naar de cursus Aanvullingen Sterkteleer verwezen (Aanvullingen Sterkteleer, Hoofdstuk VI: Wringing).
4.10 Kolomvoeten Kolomvoeten vormen de basis in krachtoverdracht tussen de bovenstructuur en fundering. In de praktijk kunnen ze onderhevig zijn aan een eenvoudige drukkracht, Figuur 4.44a, of bijkomend aan een buigmoment en dwarskracht, Figuur 4.44b. Met bijkomende windverbanden kan een combinatie trek/druk en afschuiving voorkomen, Figuur 4.44c. Over het algemeen kunnen kolomvoeten als scharnierend over flexibel tot volledig stijve knopen beschouwd worden, afhankelijk van de ontwerpaannames en de praktische uitvoering.
4-43
a)
b)
c)
d)
Figuur 4.44: kolomvoeten – verschillende types Het ontwerp van een kolomvoet biedt antwoord op volgende vragen: • De dimensies van de voetplaat (axb); • De overdracht van dwarskracht naar het beton; • De dikte van de voetplaat (t), die eveneens afhankelijk is van de positie van verstijvingsribben; • Het ontwerp van de ankerbouten.
4.10.1 Normaalkracht en buigmoment - geometrie van de voetplaat De geometrie van de voetplaat volgt uit de ontwerpwaarden van het aangrijpende moment (MSd) en normaalkracht (NSd). De doorsnede wordt verondersteld enkel op druk te werken. Een lineaire verdeling van de spanningen kan worden aangenomen. In functie van de excentriciteit (e=MSd/N Sd) waarmee de normaalkracht aangrijpt, kan onderstaande krachtsverdeling worden aangehouden, Figuur 4.45, a en b. De maximale spanningen in de opvulmortel kunnen bepaald worden uit:
σ =
NSd , voor e=0 ba
σ =
NSd ba
6e a 1+ , voor 0 ≤ e ≤ a 6
(4.102)
(4.103)
Als e>a/6, wordt de doorsnede ontworpen zoals een klassieke betondoorsnede. Dit wil zeggen dat het gedeelte in trek niet in rekening wordt gebracht. De boutgaten voor het gedeelte in druk wordt verwaarloosd. Dit stemt overeen met de methode zoals uiteengezet in 4.8.2., Figuur 4.45 c.
4-44
N Sd
e
NSd
e
NSd
b
a
G
G
G
Figuur 4.45: Mogelijke krachtsverdelingen in de voetplaat als functie van de excentriciteit e De afmetingen van de voetplaat moeten zodanig zijn, dat de drukkracht in de stalen kolom voldoende wordt verdeeld over het minder sterke beton van de fundering of onderbouw. Bij sterk excentrisch of op trek belaste kolommen moet de voetplaat in staat zijn de trekkrachten naar de ankers over te brengen, Figuur 4.45c. De ruimte tussen de onderkant van de voetplaat en de bovenkant van de fundering is de stelruimte. Deze ruimte is noodzakelijk voor het opvangen van maatafwijkingen in zowel de staalconstructie als de betonnen onderbouw. Na het stellen van de staalconstructie vult men de stelruimte met een krimparme voegmortel. De vullen wordt ook “ondersabelen” genoemd. 4.10.1.1 Centrisch belaste voetplaten Bij een centrisch, op druk belaste voetplaat gaat men uit van een gelijkmatige drukverdeling op de voegmortel. In werkelijkheid wordt de belasting meer geconcentreerd onder de flenzen en het lijf overgedragen, Figuur 4.46. Veronderstel volgende gegevens: • Kolom: HEA300, Fe360b (S235), dus: fy=235 N/mm²; • Funderingsbeton: C25/35, dus: f’ck = 25 N/mm²; • FSd = 2100 kN (centraal aangrijpende drukkracht); • kj=1.2. Neem aan dat de concentratiecoëfficiënt gelijk is aan 1.2.
4-45
FSd Rekenmodel voor strook met 1mm breedte
tf
MSd FSd;flens
FSd;lijf
FSd;flens FSd;flens
FSd;flens
t
t qSd
fj,d c
≤c
Strook 1 mm b=400
tw
tf
h a Figuur 4.46: Dragend oppervlak onder de voetplaat [zie ook, Figuur 4.45] Naarmate de stijfheid van de voetplaat toeneemt, zal de oplegdruk zich meer gelijkmatig verdelen over de gehele voetplaat. De stijfheid van de voetplaat kan worden verhoogd door het aanbrengen van verstijvingsribben of door de keuze van een grotere dikte (t). Voor een eenvoudig ontwerp is dit te verkiezen boven de relatief dure oplossing van het oplassen van verstijvingsribben. De vereiste oppervlakte van de voetplaat hangt af van de rekenwaarde van het onderliggende voegmateriaal. De rekensterkte van de voeg bedraagt [vgl. 4.104] (fj,d):
f j ,d = β j k j fcd =
2 N × 1.2 × 16.7 = 13.3 3 mm²
(4.104)
[subscipt: j: joint; c: concrete], met: • βj=2/3. De voegcoëfficiënt mag gelijk gesteld worden aan 2/3 op voorwaarde dat de karakteristieke sterkte van de opgietmortel (fck,m) niet kleiner is dan 0.2 maal de karakteristieke sterkte van de betonfundering f(ck,f) en de dikte van de opgietmortel niet groter is dan 0.2 maal de kleinste breedte van de stalen voetplaat. Aan de eerste voorwaarde is reeds voldaan daar fj,d=13.3N/mm²>0.2fcd=3.34N/mm²; • kj: de concentratiefactor. Dit wordt bepaald door de verhouding van de afmetingen van het effectieve funderingsoppervlak (a1xb 1) en het op druk belaste gedeelte (axb) van de voetplaat [vgl., Figuur 4.45]:
kj = •
a1b1 =1.2 (aanname) ab
(4.105)
fcd: de ontwerpdruksterkte van beton. Deze wordt berekend overeenkomstig betonkwaliteit, bijvoorbeeld voor C25/35 [EC2, Tabel 3.1; Blz. 68; EC2, Blz. 34-40]:
de
4-46
fcd =
fck 25 N = = 16.7 γc 1.5 mm²
Voor de bepaling van de dikte van de voetplaat kan een strookje met een breedte van 1mm worden beschouwd. Dit strookje is een ligger op twee steunpunten (de steunpunten zijn de kolomflenzen) en een overstek. De ligger wordt belast op een gelijkmatig verdeelde belasting qSd=fj,d. De voetplaatdikte t per eenheid van de breedte volgt uit het moment MSd, Figuur 4.46 (rechtsboven):
f y ,d
M = Sd = Wel ,y
qSd 1l s2 3qSd 2 ⇒t = l 2 fy ,d 1t 6
(4.106)
Het rekenen met een gelijkmatig verdeelde belasting wijkt af van het werkelijk gedrag, maar is een veilige benadering. Een meer realistische benadering, die leidt tot een gunstiger materiaalverbruik gaat uit van de directe belastingoverdracht via de flenzen en het lijf van de kolom, Figuur 4.46 (linksboven). De meewerkende breedte c aan de weerszijden van de flens volgt uit het verticale krachtenevenwicht:
FSd;flens = Aflensσ y ,d = ⇒ FSd; flens =
σ Sd =
met: • •
)
1 (11250mm² − 208mm × 8.5mm)187 N 2 mm²
FSd 2100kN N ⇒ σ Sd = = 187 Aprofiel 11250mm ² mm²
FSd;flens bf j,d
(
1 A − hl t w σ y ,d 2 profiel
(4.107)
(4.108)
1 FSd;flens 1 886 . 6 k N = 2c + t f ⇒ c = − tf ⇒ c = − 14 = 76mm 2 bf j,d 2 400mm × 13. 3 N mm ²
(4.109)
FSd;flens: de drukkracht in de flens van de kolom; hl: de afstand tussen de afrondingsstralen van de beide flenzen.
De dikte van de voetplaat kan dan opnieuw berekend worden, gelijkaardig aan de bovenvermelde methode, vgl.(4.106):
f j,d 1c 2 f y ,d
M = Sd = Wel ,y
2 1t 2 6
⇒t =c
3f j ,d f y ,d
⇒ t = 76mm
N mm² = 32.9 mm = 33mm 235 N 1.1 mm²
3 × 13.33
(4.110)
4.10.1.2 Excentrisch belaste voetplaten Voor het bepalen van de afmetingen van excentrisch op druk belaste voetplaten bestaan verschillende rekenmethodes. Van belang daarbij is de spanningsverdeling onder de voetplaat, die afhangt van de grootte en van de excenttriciteit van de drukkracht, Figuur 4.46 en Figuur 4.47. De meest gebruikelijke drukspanningsverdelingen voor het beton zijn: • lineaire, Figuur 4.47 a; • niet-lineaire, Figuur 4.47 b; • uniforme, Figuur 4.47 c.
4-47
l2
l2
h
h
tf
tf MSd
FSd
FSd
t c
t
c
c
c
e
e
a
a
εa
εa
a) εy=1.75°/oo
2x/3
b)
εu=3.5°/oo
7x/18
x/3 fj,d
N T,Sd
fj,d
x
x/2
N T,Sd
x/2 x
σb a
εb 1.75 σa
3.75
c)
εa
e N T,Sd
εu=3.5°/oo
fy fj,d εa εy
N T,Sd
x/2
x/2 x
Figuur 4.47: Mogelijke spanningsverdelingen onder de voetplaat van de kolom De berekening verloopt als volgt: • Schat de afmetingen b en a van de voetplaat en de hart op hart afstand van de ankers l1; • Bepaal de betondruksterkte fj,d en de vervormingslijn; • Bepaal de lengte x van de betondrukzone en de resulterende betondrukkracht N b;Sd uit het momentenevenwicht om de ankers; • Bepaal de trekkracht op de ankers uit het verticale evenwicht. 4.10.1.3 Excentrisch belaste voetplaten – lineaire drukspanningsverdeling De methode wordt toegelicht en geïllustreerd aan de hand van een concreet getalvoorbeeld. Veronderstel volgende gegevens, Figuur 4.47, a: • kolom HEA320, Fe360b, dus fy=235 N/mm²; • Drukkracht: F Sd=250kN; • Moment: M Sd=280kNm; • Funderingsbeton: C25/35, dus: f’ck = 25 N/mm²; • kj=1.2. Neem aan dat de concentratiecoëfficiënt gelijk is aan 1.2.
4-48
De afmetingen a en b worden geschat: • b=450 mm; • a=510mm; • l1=410 mm, • zodat e=50mm en l2=100mm. De betondruksterkte bedraagt: fj,d=13.3 N/mm². De lengte x van de betondrukzone en de resulterende betondrukkracht (Nb,Sd) volgen uit het momentenevenwicht om de ankers:
∑M
i
= 0 ⇒ FSd
i
l1 x 1 + M Sd − Nb,Sd a − e − = 0 , met: N b,Sd = xbf j ,d 2 3 2
(4.111)
Dit geeft:
N x × 450 mm × 13. 3 410mm mm² 510 − 50 − x = 0 ⇒x=309 mm 250k N + 280kNm − 2 2 3 Nb,Sd =
1 N 309mm × 450mm × 13.3 = 928k N 2 mm²
De trekkracht op de ankers volgt uit het verticaal evenwicht:
∑N
i
= 0 ⇒ N t .Sd + FSd − N b.Sd = 0 ⇒ Nt . Sd = N b. Sd − FSd = 928k N − 250k N = 678k N
(4.112)
i
De dikte van de voetplaat hangt af van het overstek van de voetplaat aan de druk- of aan de trekzijde. Eén van beide zal leiden tot een maximale spanning in de voetplaat en is dus maatgevend. Beide zijn te controleren, Figuur 4.48: • Drukzijde. Het drukspanningsdiagram onder het overstek is niet rechthoekig. Gezien de kleine afwijking, wordt het benaderend rechthoekig beschouwd. Het moment in de voetplaat ter plaatse van de kolomflens (snede 1-1) is:
M1−1, d •
l2 100 1− + 1 1 − +1 1 x 1 309 N 2 = bl22 f j,d ⇒ M 1−1,d = 450mm × (100mm ) × 13. 3 = 25kNm (4.113) 2 2 2 2 mm² Trekzijde. Het moment in de voetplaat ter plaatse van de kolomflens (snede 2-2) wordt bepaald door de trekkracht in de ankers:
M 2 − 2 ,d = N t .Sd (l 2 − e ) ⇒ M 2 − 2 ,d = 678 k N(100 mm − 50 mm) = 33 .9 kNm
(4.114)
4-49
l2
h tf
M1-1,Sd
MSd
a) FSd M2-2,Sd 2x/3 t c
x/3 fj,d
c N T,Sd
e
x
Figuur 4.48: Momentenverdeling in voetplaat Snede 2-2 is maatgevend. De dikte van de voetplaat volgt uit vgl. (4.106):
M M Sd = 2 −22,d ⇒ t = Wel ,y bt 6
f y ,d =
6M 2 −2, d b fy ,d
⇒t=
6 × 33.9kNm = 48mm 215 N 450 × 1. 1 mm²
(4.115)
Opgelet. Daar de dikte van de voetplaat t>40 mm, wordt de vloeigrens (fy) beperkt tot 215 N/mm² [Tabel 3.1]. Opmerking. Bij de rek- en spanningsverdeling is aangenomen dat de ankers vloeien. Deze aanname kan eenvoudig gecontroleerd worden:
x1 = a − e − x ⇒ x1 = 510mm − 50mm − 309mm = 151mm εa =
x1 151 1.75 ° o o ⇒ ε a = 1.75 ° o o = 0.49 ° o o x 309
(4.116)
(4.117)
0
De rek in de ankers (εa) is kleiner dan 1.12 /00, zodat de ankers in praktijk niet vloeien in uiterste grenstoestand. Bij het ontwerp zal moeten uitgegaan worden van de reële rek om de werkspanning te begroten. De bouten worden daarop gedimensionneerd. In het andere geval zal de rek van de ankers in praktijk toenemen tot ze gaan vloeien en de vereiste kracht leveren. Daardoor zal ook de rek in het beton het elastische gebied overschrijden. Daarmee belanden we automatisch in de hiernavolgende aangepaste rekenmethode.
4.10.1.4 Excentrische belaste voetplaten – niet-lineaire drukspanningsverdeling De methode wordt toegelicht en geïllustreerd aan de hand van hetzelfde getalvoorbeeld, Figuur 4.47,b. De betondruksterkte bedraagt: fj,d=13.3 N/mm². De lengte x van de betondrukzone en de resulterende betondrukkracht (Nb,Sd) volgen uit het momentenevenwicht om de ankers:
∑M
i
= 0 ⇒ FSd
i
l1 7x 3 + MSd − Nb,Sd a − e − = 0 , met: Nb, Sd = xbf j, d 2 18 4
(4.118)
Dit geeft:
4-50
N 3 × x × 450mm × 13. 3 410mm mm ² 510 − 50 − 7x = 0 ⇒x=191 mm 250kN + 280 kNm − 2 4 18
Nb,Sd =
3 N 191mm × 450 mm × 13. 3 = 858k N 4 mm²
(4.119)
De trekkracht op de ankers volgt uit het verticaal evenwicht:
∑N
i
= 0 ⇒ Nt .Sd + FSd − Nb.Sd = 0 ⇒ Nt .Sd = Nb.Sd − FSd = 858k N − 250k N = 608k N
(4.120)
i
De dikte van de voetplaat hangt af van het overstek van de voetplaat aan de druk of aan de trekzijde. Eén van beide zal leiden tot een maximale spanning in de voetplaat en is dus maatgevend. Beide zijn te controleren, Figuur 4.49: • Drukzijde. Het drukspanningsdiagram onder het verstek is niet geheel rechthoekig, immers: 0.5x=191/2=95.5mm
M1−1,d = •
1 2 1 N bl f ⇒ M1−1,d = 450 mm × (100 mm)2 × 13. 3 = 30kNm 2 2 j, d 2 mm ²
(4.121)
Trekzijde. Het moment in de voetplaat ter plaatse van de kolomflens (snede 2-2) wordt bepaald door de trekkracht in de ankers:
M 2−2,d = Nt .Sd (l 2 − e) ⇒ M 2−2,d = 608kN(100mm − 50mm ) = 30, 4kNm l2
(4.122)
h tf
M1-1,Sd
MSd
a) FSd M2-2,Sd 7x/18 t c
c
fj,d e NT,Sd
x/2
x/2 x
Figuur 4.49: Momentenverdeling in voetplaat Snede 2-2 is maatgevend. De dikte van de voetplaat volgt uit vgl. (4.106):
f y ,d =
M M Sd = 2 −22,d ⇒ t = Wel ,y bt 6
6M 2 −2, d b fy ,d
⇒t=
6 × 30.4kNm = 46mm 215 N 450 × 1. 1 mm²
(4.123)
Opgelet. Daar de dikte van de voetplaat t>40 mm, wordt de vloeigrens (fy) gereduceerd tot 215 N/mm² [Tabel 3.1]. Opmerking. Bij de rek- en spanningsverdeling is aangenomen dat de ankers vloeien. Deze aanname kan eenvoudig gecontroleerd worden:
x1 = a − e − x ⇒ x1 = 510mm − 50mm − 191mm = 269mm
4-51
εa =
x1 269 3. 5 ° o o ⇒ ε a = 3.5 ° o o = 4. 9 ° o o x 181
(4.124)
De rek in de ankers (εa) is groter dan 1.120/00, zodat de ankers inderdaad vloeien in uiterste grenstoestand. 4.10.1.5 Excentrisch belaste voetplaten – uniforme drukspanningsverdeling De uniforme drukspanningsverdeling is eigenlijk bedoeld voor centrisch belaste kolommen, maar kan eveneens toegepast worden voor een excentrisch belaste kolom. De rekenmethode gaat uit van een tegendrukpunt ter plaatse van de gedrukte kolomflens en van een gelijkmatig verdeelde drukspanningsverdeling in het beton. De methode wordt geïllustreerd aan de hand van hetzelfde getalvoorbeeld als voor de niet-lineaire drukspanningsverdeling, zodat de onderlinge verschillen duidelijk naar voor komen, Figuur 4.47,c. De volgorde in de werkwijze is gelijkaardig aan de voorgaande methode. De afmeting b (niet a) wordt geschat: • b=450 mm; • l1=410 mm. De betondruksterkte bedraagt: fj,d=13.3 N/mm². De drukkracht FSd,flens volgt uit de gemiddelde spanning in de flens als gevolg van druk en buiging:
σ Sd ,flens
F = Sd + A
⇒ σ Sd,flens =
M Sd
1 (h − tf ) 2 Iy
250k N + 12440mm²
FSd ,flens = Aflensσ Sd ,flens = ⇒ FSd, flens =
280kNm
1 (310mm − 15.5mm ) N 2 = 200 4 mm ² 22930cm
1 (A − hl t w )σ Sd ,flens 2
1 (12440mm² − 225mm × 9mm )200 N = 1041.5kN 2 mm²
(4.125)
(4.126)
De lengte van de uniforme betondrukzone (c) volgt uit het verticaal evenwicht:
FSd;flens b fj,d
1 FSd;flens 1 1041 . 5 kN = 2c + t f ⇒ c = − tf ⇒ c = − 15. 5 = 79mm 2 b fj ,d 2 450mm × 13. 3 N mm ²
(4.127)
De dikte van de voetplaat hangt af van het overstek van de voetplaat aan de druk of aan de trekzijde. Eén van beide zal leiden tot een maximale spanning in de voetplaat en is dus maatgevend. Beide zijn te controleren, Figuur 4.50: • Drukzijde. De dikte van de voetplaat volgt uit:
f j,d 1c 2 f y ,d
M = Sd = Wel ,y •
2 1t 2 6
⇒t =c
3f j ,d f y ,d
⇒ t = 79mm
N mm² = 34.2mm = 35mm 235 N 1.1 mm²
3 × 13.33
(4.128)
Trekzijde. Het moment in de voetplaat ter plaatse van de kolomflens, snede 2-2, volgt opnieuw uit de trekkracht in de ankers. De trekkracht in de ankers is daarvoor
4-52
benodigd. De trekkracht in de ankers volgt uit het momentenevenwicht om het centrum. De lengte van de voetplaat a=470 mm (≈h+2c=310+2x79). Met l1=410mm, volgt hieruit dat: l2=80mm en e=30 mm. De trekkracht in de ankers (momentenevenwicht om het drukcentrum): l2
h
c) tf
M1-1,Sd
MSd FSd M2-2,Sd t c
c
fj,d x/2
e
x/2
NT,Sd x
Figuur 4.50: Momentenverdeling in de voetplaat
∑M
i
i
Nt .Sd
1 1 1 = 0 ⇒Nt .Sd h − t f + (l 2 − e) − MSd + FSd h − t f = 0 2 2 2 1 1 1 1 M Sd − FSd h − t f 280kNm − 250kN 310mm − 15. 5mm 2 2 2 2 = 690. 4kN = ⇒ N t .Sd = 1 1 h − t f + (l 2 − e) 310 mm − 15. 5mm + (80mm − 30mm ) 2 2 •
Het moment in de voetplaat van de kolomflens (snede 2-2) volgt uit de trekkracht van de ankers:
M 2−2,d = Nt .Sd (l 2 − e) ⇒ M 2− 2,d = 690. 4kN(80mm − 30mm ) = 34. 5kNm f y ,d =
(4.129)
M M Sd = 2 −22,d ⇒ t = Wel ,y bt 6
6M 2−2, d b fy ,d
⇒t =
6 × 34. 5kNm = 48.5mm = 50mm 215 N 450 × 1. 1 mm²
(4.130)
(4.131)
Vergelijken we beide methodes, dan zijn de verschillen in geometrie voor de voetplaat (axbxt) klein te noemen. De verschillen in de trekkracht in de ankers is groter: 608 tegen 690.4 kN. 4.10.1.6 Aanbrengen van verstijvingsribben Door het aanbrengen van verstijvingsribben kan de dikte van de voetplaat gevoelig gereduceerd worden. Dit wordt vooreerst geïllustreerd aan de hand van een getalvoorbeeld. De algemene werkwijze wordt daarna kort aangegeven. Veronderstel volgende gegevens, Figuur 4.51: • kolom HEA300, Fe360b, dus fy=235 N/mm²; • Drukkracht: F Sd=2100kN; • Funderingsbeton: C25/35, dus: f’ck = 25 N/mm²; • kj=1.2. Neem aan dat de concentratiecoëfficiënt gelijk is aan 1.2; • a=315mm. De lengte van de voetplaat wordt beperkt tot 315 mm.
4-53
Rekenmodel voor strook b
qSd=fj,d
Strook a
tw
Rekenmodel voor strook a qSd=fj,d
Strook b
h a Figuur 4.51: Aanbrengen van verstijvingsribben De benodigde breedte van de voetplaat volgt uit de maximaal toegelaten spanning in de mortelvoeg:
Avoetplaat =
Avoetplaat 1750000mm² FSd 2100k N = = 175000mm² ⇒ b = = = 555mm N f j ,d a 315mm 13. 3 mm²
(4.132)
Beschouw voor de bepaling van de plaatdikte een strookje a met een breedte van 1 mm. Dit strookje kan beschouwd worden als een uitkragende ligger, ingeklemd ter plaatse van het lijf van de kolom. Uit dit maximale inklemmingsmoment volgt de dikte van de plaat:
M a−a,d =
t=
1 1 N f b 2 ⇒ M a−a,d = 13. 3 (274mm)2 = 0.5kNm 2 j ,d 1 2 mm²
6M a−a,d f y ,d
⇒t=
6 × 0. 5kNm = 150mm 175 N 1. 1 mm²
(4.133)
(4.134)
De aangehouden vloeigrens bedraag fy=175N/mm², omdat de dikte groter is dan 100mm. De dikte van de voetplaat kan gereduceerd worden door aan de kolomflenzen verstijvingsribben te lassen. Beschouw voor deze situatie strookje b. Deze strook kan beschouwd worden als een ligger op twee steunpunten. Uit het maximale (veld)moment volgt:
M b− b, d = t=
1 1 N f j ,d l 22 ⇒ M b−b,d = 13. 3 (276mm )2 = 0. 127kNm 8 8 mm ²
6M b− b, d f y ,d
⇒t=
6 × 0.127kNm = 62mm 215 N 1. 1 mm²
(4.135) (4.136)
4-54
Krachtswerking op ribbe A-A
A
B
Strook a
Strook a
A
Krachtswerking op ribbe B-B
B
qSd=fj,d
Figuur 4.52: aanbrengen van verstijvingsribben Figuur 4.52 somt enkele andere mogelijkheden op om de voetplaatdikte te reduceren, dan wel om de verticale krachten over te dragen op een groter oppervlak onder de kolom: • verstijvingsribben in het verlengde van de kolomflenzen (a); • verstijvingsribben in het verlengde en dwars op de kolomflenzen (b). De contactdruk die werkt op de voetplaat wordt verkregen door het inrekenen van een invloedszone rond de verstijvingsribbe, uitgaande van een gelijkmatig verdeelde contactdruk onder de voetplaat. Dit is aanvaardbaar voor hoge stijfheden van de voetplaat, wat beoogd wordt door het aanbrengen van de verstijvingsribben. Na de berekening van de voetplaatdikte, is eveneens een controle van de verstijvingribben noodzakelijk. Daar het gaat om korte balken, zal buiging slechts een verwaarloosbare rol spelen. De lasnaden zullen voornamelijk dwarskrachten overbrengen tussen voetplaat en kolom.
4.10.2 Dwarskracht Er zijn 3 mogelijkheden voor de opname van dwarskracht: • Opname door de ankerbouten zelf; • Opname door wrijving tussen staal en beton; • Opname door speciale voorzieningen (bv.: aangelaste blokken of staven). 4.10.2.1 Dwarskracht opname door ankerbouten Wanneer de dwarskracht rechtstreeks wordt opgenomen door de ankerbouten, dan moeten de bouten ontworpen worden zoals gezien in 4.6. Combinaite van Trek en Afschuiving. De dwarskracht wordt gelijk verdeeld over de verschillende bouten, en voor de meest belaste bout moet gelden (vgl.4.17):
Fv .Sd Ft .Sd + <1 Fv .Rd 1.4Ft .Rd
(4.17)
4.10.2.2 Dwarskracht opname door wrijving tussen staal en beton Een tweede mogelijkheid bestaat erin beroep te doen op de wrijving tussen staal en mortelvoeg om de aangrijpende dwarskracht over te dragen naar de onderbouw. De aangenomen wrijvingscoëfficiënt bedraagt: µ=0.2-0.30. De controle luidt aldan:
4-55
Fv .Sd < 0.3 Ft .Sd
(4.137)
4.10.2.3 Dwarskracht opname door speciale voorzieningen Wanneer de dwarskracht op normaalkracht verhouding te groot wordt, dient de dwarskracht rechtstreeks te worden ingeleid in het beton. Er bestaan vele varianten om dit te realiseren, Figuur 4.53: • een ribbe onder de kolom gelast, die mee wordt ingebetonneerd, Figuur 4.53 b,c; • een extra stuk kolom, met zelfde afmetingen, gelast onder de voetplaat, Figuur 4.57 a,d.
b) a) Figuur 4.53: Opname dwarskracht door speciale voorzieningen
c)
De controle bestaat erin om na te gaan dat de contactdruk die ontstaat, de betondruksterkte niet overschrijdt.
4.10.3 Ankerbouten Bij kolommen die uitsluitend op druk worden belast, zijn theoretisch geen ankers nodig. In de praktijk past men toch ankers toe voor het monteren en stellen van de bovenstructuur. Wanneer het afstellen van de staalconstructie geschiedt via extra stelmoeren op de ankers, fungeren de ankers tijdens de montage als drukstaven. De ankers moeten dan op dit belastinggeval zijn berekend. Ankerbouten kunnen in drie klasses onderverdeeld worden, Figuur 4.54: • ankerbouten die geplaatst worden vooraleer het beton gestort wordt, Figuur 4.54 a, c; • ankerbouten met haken, Figuur 4.54 b; • ankerbouten met een hamerkop, Figuur 4.54 d. a)
b)
c)
d)
Figuur 4.54: verschillende types ankerbouten Ankers kunnen vooraf in het beton worden ingestort (‘vast’) of worden aangebracht in geboorde of uitgespaarde gaten (‘met ruimte’). In het algemeen verdient het aanbeveling de gaten voor de ankers in de voetplaten wat groter te boren en ringen onder de moeren aan te brengen. Geringe plaatsafwijkingen kunnen dan gemakkelijk worden opgevangen. Indien het ‘vast’ of ‘met ruimte’
4-56
instorten van ankers niet of moeilijk uitvoerbaar is, worden de ankergaten ook wel geboord na het monteren van de staalconstructie. De ankers worden dan ‘ingelijmd’. 4.10.3.1 Ingestorte ankerbouten Het eerste type wordt geplaatst alvorens het beton te storten. De krachtsoverdracht vindt plaats door de hechting tussen staal en beton. Dit type van ankers laat geen speling toe achteraf en moet aldus zeer nauwkeurig geplaatst worden. Daarnaast zal de bevestiging moeten voldoen aan de nodige voorwaarden, voldoende getest zijn, en aanvaard worden door zowel ontwerper, bouwheer en bevoegde instantie. De ankerlengte wordt berekend overeenkomstig ENV1992 (Eurocode 2, “Beton”). Uiteraard zal een extra haak onderaan de weerstand verhogen, daar niet enkel beroep wordt gedaan op de hechting of kleefsterkte tussen staal en beton. De basisankerlengte (lb) voor een recht anker wordt berekend als de trekkracht die vereist is om het anker uit het beton te trekken, waarbij de doorsnede vloeit. Daardoor wordt een veilige verankering verkregen. Deze is gelijk aan [EC2, 5.2.2.3, vfl.5.3]:
Ft .Rd = l bφfb, d = met: • • • •
πφ 2 f y ,d 4
(4.138)
lb: de basisankerlengte; φ: de diameter van het anker; fb,d: de ontwerphechtsterkte (kleefspanning) van het beton (functie van de betonkwaliteit, Tabel 4.7 [EC2, Tabel 5.3]); fy,d: de ontwerp vloeispanning van het ankerstaal.
fc,k [N/mm²] 12 16 20 25 30 35 40 fb,d [N/mm²] 1.6 2.0 2.3 2.7 3.0 3.4 3.7 Tabel 4.7: ontwerphechtsterkte van beton (voor staven met verbeterde hechting)
45 4.0
50 4.3
De netto-ankerlengte (lb,net) volgt dan uit:
l b,net = α a lb met: •
• • •
AS,req AS, prov
≥ l b,min
(4.139)
αa: reductiecoëfficiënt voor het in rekening brengen van verankering anders dan hechting (haakweerstand); o αa=0.7: anker met een haak; o αa=1: recht anker; AS,req: de vereiste staalsectie om de aangrijpende kracht op te nemen; AS,prov: de voorziene staalsectie om de aangrijpende kracht op te nemen; lb,min: minimale verankeringslengte: o lb,min >0.3lb en >10φ.
4.10.3.2 Ankerbouten met een haak Ankerbouten met een haak laten enige speling toe bij montage. De dwarse pin onderaan, die in het beton wordt gestort, is nuttig om de ankerbout reeds te bevestigen tijdens de constructie, alvorens de ankerholte wordt gevuld. Ook in dit geval is de krachtoverdracht gebaseerd op de hechting tussen staal en beton. 4.10.3.3 Ankerbouten met een hamerkop Dit type van ankerbouten laat de nodige fijnregeling toe van de ankerbouten bij plaatsing van de bovenstructuur. De krachten worden niet langer overgedragen door de hechting staal/beton. De hamerkop wordt vooraf aan de betonwapening vastgelast. De nodige uitsparingen voor het plaatsen van de ankerbouten wordt gevrijwaard door een stalen bekisting of polystyreen vulling. Na het storten
4-57
van het funderingsbeton kunnen de ankerbouten worden aangebracht. De trekkrachten worden rechtstreeks op de onderliggende fundering overgedragen door de hamerkop. Er wordt geen rekening gehouden met de bijkomende hechting tussen staal en beton. De sterkte van de verankering kan begroot worden uit de toelaatbare stuikdruk op het beton.
4-58
5 Hout. Structureel gedrag 5.1 Inleiding Dit deel behandelt het structureel gedrag van hout. Voornamelijk deze punten zullen belicht worden waar het gedrag afwijkt van dat van een klassiek materiaal zoals staal of beton. Daarmee wordt in dit hoofdstuk de specificiteit van hout als constructiemateriaal benadrukt. Voor het berekenen van houten structuren wordt beroep gedaan op de geldende Europese norm EC5 “Design of Timber Structures” (EC5, 1993). Deze norm steunt op de algemene principes van het ontwerp volgens de methode der grenstoestanden, gebruik makend van partiële veiligheidsfactoren, zoals dat ook het geval is voor bijvoorbeeld beton (EC2), staal (EC3) of metselwerk (EC6). Het rekenen volgens de grenstoestanden komt uitgebreid aan bod in het deel II.2 Beton. Structureel gedrag. Deze algemene ontwerpprincipes alsook informatie over het ontwerp van belastingen en het samenstellen van belastingscombinaties kan teruggevonden worden in EC1. Ook dit onderwerp wordt behandeld in het deel II.2 Beton. Structureel gedrag. Doorheen de hoofdstukken zal worden aangegeven hoe de microscopische opbouw van hout en zijn anatomische structuur het structureel gedrag beïnvloeden. Immers, omwille van de anisotropie is de richting van de krachtswerking een bijkomende parameter. Ook de invloed van vocht laat zich gevoelen in het structureel gedrag. Daarnaast zijn de vervormingen functie van de tijd. Hout vertoont een specifiek kruipgedrag. Aangezien de berekening van hout volgens de methode der grenstoestanden verloopt, behelst dit de verificatie van zowel de uiterste grenstoestanden als van de gebruiksgrenstoestanden. Speciale aandacht gaat naar deze grenstoestanden waar het specifieke structureel gedrag van hout een belangrijke impact heeft: de vervormingen, trillingen, alsook de brandweerstand. Een rekenvoorbeeld is toegevoegd aan het einde van dit hoofdstuk waarin de verschillende elementen gebundeld worden. Als structureel element zijn de toepassingen van hout sterk vergelijkbaar met deze van staal of beton. Houten elementen zullen dus belast worden in druk, buiging en afschuiving. Naast een hoge druksterkte heeft hout in tegenstelling tot beton een aanzienlijke treksterkte. Het ontwerp van houten elementen zal (in onbeschadigde toestand) dan ook sterk aanleunen bij dat van staal. In beschadigde toestand, wanneer scheuren of barsten de spanningsoverdracht verhinderen, kan het wapenen van hout soelaas bieden, cfr. II. 3. Hout. Herstelling. Aldan sluit het ontwerp nauwer aan bij gewapend beton. Referenties: § Eurocode 5, "Design of Timber Structures", EN 1995, 1993. § Timber Engineering, STEP 1, Edt. Salland De Lange, Deventer, 1995. § Timber Engineering, STEP 2, Edt. Salland De Lange, Deventer, 1995. § Brandveiligheid, Cursustekst, VTK, 1995. § EN 338, "Structureel houtw erk - sterkte klasses", 1995. § prEN 1194, "Timmerwerk – gelijmd gelamelleerd hout – Sterkteklassen § bepalingen van de kenmerkende waarden", 1999. § Van Gemert, D., "Elasticiteitsleer", Cursustekst, VTK, KULeuven, 1995. § Timoshenko S. en Gere J.M., "Theory of Elastic Stability", McGraw-Hill Book Co. Inc. New York, NY, 2nd edition, 1961. § Robson, P., “Structural Repair of Traditional Buildings”, edt. Donhead Publishing Ltd., 1999. § EN 518, “Hout voor dragende toepassingen – classificatie – Eisen voor sterkteindeling naar uitzicht”, 1995. § EN 518, “Hout voor dragende toepassingen – classificatie – Eisen voor machinale sterkte-indeling en voor sterkte-indelende machines”, 1995. § Van Gemert, D., De Roeck, G., “Beginselen van Sterkteleer”, cursustekst, KULeuven, Wouters, 1996. § STS 31, “Timmerwerk, Deel 3: Uitvoering”, 1990.
5-1
5.2 Sterkteklassen Omwille van de anisotropie van het materiaal hout, zijn de sterkte- en stijfheidsparameters sterk verschillend naargelang de oriëntatie ten opzichte van de vezelrichting. Figuur 5.1 geeft het spanning-rek diagramma voor hout belast volgens en loodrecht op de vezelrichting. Omwille van de vezelstructuur is de sterkte volgens de vezelrichting vele malen groter.
σ [N/mm 2] Trek volgens de vezelrichting van het hout
ft,0
E90 Druk loodrecht op de vezelrichting van het hout
Druk volgens de vezelrichting van het hout
Trek loodrecht op de vezelrichting van het hout
ft,90
ε [mm/mm]
fc,90 E0 fc,0
Figuur 5.1: Spanning-rek (σ-ε)-diagram voor hout in druk- en trekzone De sterk verschillende microstructuur tussen loofhout (D) en naaldhout (C) enerzijds en gelijmd gelamelleerd hout (GL) anderzijds, heeft tot 3 verschillende sterkteklasseringen geleid. De sterkte varieert van het dennenhout C14 tot hardhout D70, Tabellen 5.1 -5.3. C14 C16 C18 C22 C24 C27 C30 C35 C40 2
fm,k ft,0,k ft,90,k fc,0,k fc,90,k fv,k
14 8 0.3 16 4.3 1.7
16 10 0.3 17 4.6 1.8
in [N/mm ] 18 22 24 11 13 14 0.3 0.3 0.4 18 20 21 4.8 5.1 5.3 2.0 2.4 2.5
27 16 0.4 22 5.6 2.8
30 18 0.4 23 5.7 3.0
35 21 0.4 25 6.0 3.4
40 24 0.4 26 6.3 3.8
12 8.0 0.40 0.75
12 8.0 0.40 0.75
13 8.7 0.43 0.81
14 9.4 0.47 0.88
2
in [kN/mm ] 8 9 10 11 E0,mean 7 4.7 5.4 6.0 6.7 7.4 E0,05 E90,mean 0.23 0.27 0.30 0.33 0.37 Gmean 0.44 0.50 0.56 0.63 0.69 3
in [kg/m ] 290 310 320 340 350 370 380 400 420 ρk Tabel 5.1: Sterkteklassen en karakteristieke waarden overeenkomstig EN 338 – naaldhout en populier Volgende notaties worden aangehouden: 2 • f staat voor een sterktewaarde in [N/mm ], 2 • E voor de elasticiteits- of Youngs modulus [kN/m m ], 2 • G voor de glijdingsmodulus [kN/mm ] en 3 • ρ voor de dichtheid [kg/m ].
5-2
Bij de sterktewaarden specifiëren de suffixen om welke sterkte het gaat: m voor buiging, t voor trek, c voor druk, v voor afschuiving. Verder wordt de oriëntatie ten opzichte van de vezelrichting van het hout aangegeven: 0 volgens de vezelrichting, 90 loodrecht op de vezelrichting van het hout. Dit geldt ook voor de Tabel 5.2 en Tabel 5.3. D30
fm,k ft,0,k ft,90,k fc,0,k fc,90,k fv,k
30 18 0.6 23 8.0 3.0
E0,mean 10 E0,05 8.0 E90,mea 0.64
D35 35 21 0.6 25 8.4 3.4 10 8.7 0.69
D60
D70
in [N/mm2] 40 50 24 30 0.6 0.6 26 29 8.8 9.7 3.8 4.6
D40
D50
60 36 0.7 32 10.5 5.3
70 42 0.9 34 13.5 6.0
in [ kN/mm 2] 11 14 9.4 11.8 0.75 0.93
17 14.3 1.13
20 16.8 1.33
11.06
1.25
700
900
n
Gmean
0.60
0.65
0.70
0.88 3
ρk
530
560
in [kg/m ] 590 650
Tabel 5.2: Sterkteklassen en karakteristieke waarden overeenkomstig EN 338 – loofhout GL20
fm,g,k ft,0,g,k ft,90,g,k fc,0,g,k fc,90,g,k fv,g,k
20 15 0.35 21 5.0 2.8
GL24 24 18 0.35 24 5.5 2.8
GL28
GL32
in [N/mm 28 21 0.45 27 6.0 3.0
GL36
LVL
36 27 0.45 31 6.3 3.5
48-51 42 0.6 42 6-9 3.0
14.5 11.6
14 12.4
480
500
2
] 32 24 0.45 29 6.0 3.5 2
E0,mean,g 10 8.0 E0,05,g
11 8.8
in [ kN/mm ] 12 13.5 9.6 10.8
380
in [kg/m ] 410 440
3
ρ g,k
360
Tabel 5.3: Sterkteklassen en karakteristieke waarden overeenkomstig prEN 1194 (1993) voor GL (gelijmd gelamelleerd) hout en LVL (Laminated Veneer Lumber) (KERTO) (Step 1, 1995) De laatste kolom geeft de karakteristieke waarden weer voor LVL. Dit type werd ontwikkeld in de jaren 1960 en verder gecommercialiseerd sinds 1980. De idee bestaat erin om het hout te snijden in dunne vellen en deze opnieuw aan mekaar te lijmen. Bedoeling is om de defecten zoals kwasten, die een grote invloed hebben op de uiteindelijke sterkte, te elimineren. Immers, de intrinsieke sterkte van hout ligt een stuk hoger dan deze van een balk of plank gezaagd uit hout, juist omwille van al die mogelijke onregelmatigheden. Door de combinatie van alleen vellen van goede kwaliteit verkrijgt men een gelijmd composiet met hoge weerstand. Het indelen van zaaghout in sterkteklassen gebeurt visueel of machinematig. Bij het visueel indelen in sterkteklassen, overeenkomstig EN 518, worden de gebreken van het hout over een referentiestuk visueel bestudeerd. Daarbij wordt gekeken naar:
5-3
§ § §
elementen die de karakteristieke sterkte van het hout beperken zoals: kwasten, de helling van de vezelrichting ten opzichte van de lengterichting van het gezaagde hout, de groeiringbreedte en scheuren, elementen die de geometrie aantasten: wankanten, vervormingen zoals kromming op het vlak in de lengte, kromming op het zijvlak in de lengte, kromming op het vlak in de breedte, scheluwte, andere beïnvloedende elementen zoals groeifouten of mechanische schade.
Deze methode heeft voor- en nadelen. Ze is eenvoudig, vereist weinig technische of dure uitrusting, maar is tevens arbeidsintensief en onefficiënt in die zin dat de houtstructuur en de dichtheid die de sterkte in een grote mate beïnvloeden, onvoldoende in rekening worden gebracht. De bovenstaande nadelen kunnen worden opgevangen door een machinale indeling volgens sterkteklassen, overeenkomstig EN 519. De meeste toestellen die momenteel op de markt zijn, zijn zogenaamde “buigtoestellen” die de gemiddelde buigmodulus bepalen over een korte referentielengte (0.5 tot 1.2m). Meer geavanceerde toestellen zijn tevens uitgerust met optische instrumenten die automatisch kwasten in het hout detecteren (absorptie van straling), de dichtheid en het vochtgehalte bepalen en de groeiringbreedte opmeten. Daarnaast wordt ook de geometrie van het hout opgemeten, Figuur 5.2.
Figuur 5.2: Schematische voorstelling van een machinale sterkteklassering zoals toegepast in Europa: (a) opmeten van vervormingen, (b) buigmodulus, (c) absorptie van straling, (d) kromming, (e) dikte en (f) vochtgehalte [Overgenomen uit STEP 1, 1995, Figuur 5. 4, pp.A6/6].
5.3 Van karakteristieke waarde naar ontwerpwaarde De ontwerpsterkte van hout wordt net zoals bij andere materialen (staal, beton, metselwerk) bepaald door de karakteristieke waarde te delen door een veiligheidscoëfficiënt, die de onzekerheid op de materiaaleigenschap weergeeft. Om het specifieke materiaalgedrag in rekening te brengen, worden correctiefactoren toegevoegd. Voor hout wordt de ontwerpsterkte:
f d = k mod k h
fk γm
waarin: fd: de ontwerpsterkte, fk: de karakteristieke sterkte, k mod: een modificatiefactor die de belastingsduur, de dienstklasse alsook materiaaltype in rekening brengt, k h: een schaalfactor die het volume- en spanningverdelingseffect in rekening brengt, γm: de materiaal veiligheidscoëfficiënt.
(5.1)
het
5-4
5.4 De partiële veiligheidsfactor voor het materiaal hout - γ m De partiële veiligheidsfactor voor het materiaal hout is weergegeven in Tabel 5.4. Ter illustratie zijn ook de partiële veiligheidsfactoren voor enkele andere vaak voorkomende constructiematerialen in de tabel opgenomen. hout en afgeleide Staal houtmaterialen
γm
Beton
metselwerk
Uiterste grenstoestand 1.3 1.15 1.5 1.5-3.0 Gebruiksgrenstoestand 1.0 1.0 1.0 1.0 Tabel 5.4: Partiële veiligheidsfactor voor hout overeenkomstig EC5 en enkele andere constructiematerialen
5.5 De modificatiefactor - kmod De modificatiefactor van vocht en tijd.
k mod wordt toegevoegd omdat het materiaalgedrag van hout functie is
Om rekening te houden met het vochtgehalte, worden de ontwerptoepassingen ingedeeld in 3 dienstklassen. Deze dienstklassen beantwoorden aan een zone in het evenwichtsvochtgehalte (ω) in het hout.
ω
30 Dienstklasse 3
20 Dienstklasse 2
Desorptiecurve 10 Dienstklasse 1
Adsorptiecurve
Oscillerend
0 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Relatieve Vochtigheid ψ [%] Figuur 5.3: Evenwichtsvochtgehalte in hout ω [%] in functie van de relatieve vochtigheid RV [%] – Afbakening van de 3 dienstklassen: dienstklasse 1: ω<12%, dienstklasse 2: 12% < ω < 20%, diensklasse 3: geen grenzen opgelegd aan ω Figuur 5.3 geeft een typisch verloop van het evenwichtsvochtgehalte in hout (ω [%]) in functie van de relatieve vochtigheid (RV [%]). De overeenstemmende dienstklassen zijn aangegeven op de y-as. Volgende toepassingen stemmen overeen met deze indeling (EC5, 1993): § Dienstklasse 1: klimaatomstandigheden met een omgevingstemperatuur van 20°C en een relatieve vochtigheid die slechts enkele malen per jaar 65% overschrijdt.
5-5
§ §
Dienstklasse 2:klimaatomstandigheden met een omgevingstemperatuur van 20°C en een relatieve vochtigheid die slechts enkele malen per jaar 85% overschrijdt. Het gaat hier om buitentoepassingen, Diensklasse 3: klimaatomstandigheden die tot hogere vochtgehaltes leiden.
Buiten het krimpen en zwellen van het hout en het anisotroop karakter hiervan ten gevolge van de opbouw van het hout heeft het evenwichtsvochtgehalte een grote invloed op de materiaaleigenschappen. Het effect van een wijziging van het evenwichtsvochtgehalte op de mechanische eigenschappen van hout is samengevat in Tabel 5.5. De basis voor vergelijking is een evenwichtsvochtgehalte gelijk aan 12%. Materiaaleigenschap
Verandering tgv 1% daling in ω Druksterkte evenwijdig met de vezelrichting fc,0 5 (↓) Druksterkte loodrecht op de vezelrichting fc,90 5 (↓) Buigsterkte evenwijdig met de vezelrichting 4 (↓) Treksterkte evenwijdig met de vezelrichting treksterkte fm,0 2.5 (↓) ft,0 loodrecht op de vezelrichting 2 (↓) Afschuifsterkte evenwijdig met de vezelrichting ft,90 3 (↓) Impact buigsterkte evenwijdig met de vezelrichting fv,0 0.5 (↓) Elasticiteitsmodulus evenwijdig met de vezelrichting E0 1.5 (↓) Tabel 5.5: Benaderend effect in [%] van een wijziging in het evenwichtsvochtgehalte van 1% ten opzichte van de basiswaarde ω= 12% Deze veranderingen in negatieve zin zijn gedeeltelijk het gevolg van het zwellen van de cellen, waardoor er minder celwand aanwezig is per eenheid oppervlak. Belangrijker echter is het effect van verweken van de celwand wanneer het water de celwand penetreert. Daardoor verkleint de bindingssterkte tussen de celwanden.
1 Dienstklasse 1 [EC5] 0,9 Madison-curve 0,8 0,7 Dienstklasse 2-3 [EC5] 0,6 1 week
6 maanden 10 jaar
0,5 0,01
1
100
10000
1000000
log10(t) [h] Figuur 5.4: Madison-curve, gebaseerd op experimenteel onderzoek (Wood 1951) en afgeleide ontwerpcurven voor het bepalen van k mod in functie van de dienstklasse en de belastingsduur De sterkte van hout is functie van de tijdsduur van de aangrijpende belasting. Daarom zijn de sterktewaarden voor belastingen van lange duur slechts 60% van de waarden die gevonden worden bij korte duur experimenten (Wood 1947, 1951). De sterktereductie als functie van de
5-6
tijdsduur werd experimenteel bepaald en weergegeven op een logaritmische schaal. verband staat bekend als de "Madison"-curve, Figuur 5.4.
Dit
Om rekening te houden met de belastingsduur worden 5 belastingsduurklassen voorgesteld. Tabel 5.6 geeft een overzicht van k mod in functie van belastingsduur en dienstklasse. Enkele typische belastingen zijn toegevoegd om de belastingsduur te illustreren. Belastingsduur
duur
type voorbeeld
k mod voor betreffende dienstklasse Dienstklasse 1, 2
dienstklasse 3
Permanent > 10 j eigen gewicht 0.6 0.50 Lange Duur 6 m - 10 j opslag goederen 0.7 0.55 Middellange Duur 1 w-6m nuttige vloerlast 0.8 0.65 Korte Duur <1w sneeuw en wind 0.9 0.70 Ogenblikkelijk accidentele last 1.1 0.90 Tabel 5.6: Waarden voor k mod overeenkomstig EC5 in functie van belastingsduur en dienstklasse, geldig voor gezaagd hout en gelijmd hout Belangrijk hierbij is op te merken dat in belastingscombinaties, waarbij de belastingen behoren tot verschillende klassen van belastingsduur, de waarde voor kmod moet genomen worden voor de belasting met de kortste duur uit de combinatie. Evenwel moet steeds de meest nadelige belastingscombinatie opgezocht worden, inbegrepen de waarde van kmod.
5.6 De volumefactor of hoogtefactor – k h De eerste toepassingen van schaaleffecten behelzen de modificatie van de karakteristieke sterkte zoals ze worden weergegeven in prENV 338 "Structureel houtwerk - sterkte klassen". Voor zaaghout en gelijmd hout worden een volume- en spanningsverdelingsfactor k h ingevoerd. Deze is gebaseerd op de theorie van de zwakste schakel bij brosse materialen in trek (Weibull, 1939). Een ketting in trek is immers maar zo sterk als haar zwakste schakel. Veronderstel een referentie volume (V), dat belast is in trek. De kans dat dit volume faalt (Pi), wordt gedefinieerd als de kans (P) dat de treksterkte (ft) kleiner is dan de optredende trekspanning (σt):
Pi = P( f t < σ t )
(5.2)
Wanneer de faalkans van een serieel systeem wordt berekend dat bestaat uit N identieke schakels, zal de faalkans van dit systeem gelijk zijn aan:
P = 1 − [1 − Pi ] = 1 − e N
− N log (1− Pi )
≈ 1 − e− NPi
(5.3)
De staart van de cumulatieve verdeling F die de faalkans van een schakel weergeeft, kan worden beschreven door volgend model:
Pi = P( ft < σt ) = F (σ t ) = a σ k
(5.4)
Hiermee kan de faalkans van het serieel systeem worden herschreven tot:
P = 1 − [1 − Pi ] = 1 − e N
− Naσ k
= 1− e
σ −V m
k
(5.5)
De parameters m en k kunnen worden bepaald uit de verwachte waarde en variantie van de verdeling. Voor hout geldt: 1/k ≅ 0.2, Figuur 5.5.
5-7
Naar de sterkte van hout toe is voornamelijk deze laatste vergelijking van belang. Bij het bepalen van de karakteristieke sterkte van hout, gezaagd of gelijmd, op basis van proeven, wordt vooraf een bepaalde proefstukgrootte aangehouden. Veronderstel immers twee volumes V 1 en V2, met respectieve experimenteel bepaalde karakteristieke sterktewaarden σ1k en σ2k. De faalkans voor deze karakteristieke waarde moet dezelfde zijn en bedraagt 5%:
P( f t < σ1 k ) = P( f t < σ 2 k ) ≡ 0.05
(5.6)
Gebruikmakend van vergelijking (5.5) leidt dit tot: 1
V k σ kh = 2 k = 1 σ1 k V2
( ≈ 0 .2 )
(5.7)
Voor gelijmd hout in trek loodrecht op de vezelrichting wordt gebruik gemaakt van 3 proefstukken met een referentievolume (V0) gelijk aan V0= 0.01 m . Voor hout met een volume V groter dan deze referentie, geldt aldus:
kh =
σV ,g ,k σV0 ,g ,k
V = 0 V
0 .2
<1
(5.8)
Met deze lagere karakteristieke sterkte (σV,g,k< σV0,g,k) wordt rekening gehouden in de volumefactor k h. Dezelfde volumefactor wordt aangehouden voor afschuiving.
2,5
Gezaagd hout:
Gelijmd hout:
600 0.2 kh = min h 115 .
150 0.2 kh = min h 1.3
2 1,5 1,3 1,15 1 0,5 0 0
100
200
300
400
500
600
700
800
hoogte h [mm] Figuur 5.5: Schaaleffect kh, als functie van de hoogte voor gezaagd en gelijmd hout – theoretisch verloop en afbakening onder- en bovengrens voor ontwerpdoeleinden overeenkomstig EC5 Voor hout in buiging wordt een zelfde redenering toegepast. De karakteristieke waarde wordt experimenteel bepaald via een 3-puntsbuigproef op proefstukken met een referentie
5-8
balkhoogte gelijk aan 150 mm voor gezaagd hout en 600 mm voor gelijmd hout. Voor hoogtes, kleiner dan deze waarde, wordt de sterkte vermenigvuldigd met een schaalfactor, k h, die een bovengrens heeft. Het schaaleffect is hier vertaald naar een hoogte-effect. Dit is grafisch weergegeven voor gezaagd hout en voor gelijmd hout in buiging, Figuur 5.5.
5.7 Hout in druk/trek De controle bij hout in trek beperkt zich tot het controleren of de sterkte van de weerstandbiedende sectie (Rd) de aangrijpende belasting in trek (Sd) kan opnemen. Dus moet gelden:
σ t ,α ,d < f t ,α ,d
(5.9)
Voor hout in druk moet gelden:
σ c ,α ,d < f c,α ,d
(5.10)
Naast een weerstandscontrole is tevens een instabiliteitscontrole (knik) vereist.
5.8 Hout in Buiging Buiging is een van de meest voorkomende belastingsvormen bij structurele elementen in hout. Denk daarbij aan de vele houten vloeren in historische gebouwen, opgebouwd uit moerbalken en kinderbalken. Wanneer de randvoorwaarden zodanig zijn dat buiging alleen kan optreden in het vlak van de belastingen, dan volgt uit de sterkteleer (Van Gemert en De Roeck, 1996) dat de buigspanningen gelijk zijn aan:
σm =
Mv I
(5.11)
waarin: M: optredend buigmoment [Nmm], I: traagheidsmoment volgens de optredende buigingsas [mm4], v: de afstand tot de neutrale as [mm], σm: de buigspanning op een afstand v van de neutrale as [N/mm2]. Omdat EC5 toelaat om structurele elementen in hout te ontwerpen uitgaande van elastisch materiaalgedrag, kan bovenstaande vergelijking gebruikt worden voor het ontwerp volgens de uiterste grenstoestand. Aldus moet gelden:
σ m, d ≤ f m, d
(5.12)
In beginsel is de ontwerpbuigsterkte van hout te bepalen overeenkomstig vgl. 5 ( .1). Om het specifieke materiaalgedrag in buiging in rekening te brengen, worden twee extra correctiefactoren toegevoegd. Voor hout wordt de ontwerpbuigsterkte:
f m ,d = kmod kinst k ls k h
f m ,k γm
(5.13)
waarin: kinst: een instabiliteitsfactor die het kipgevaar in functie van de slankheid van het balkelement in rekening brengt, kls: een factor die "load sharing" in rekening brengt.
5-9
5.8.1 Kip - kinst Wanneer een buigmoment wordt aangelegd op een balk, is het meestal zo dat de stijfheid van de balk volgens de as van het buigmoment vele malen groter is dan volgens de andere, zwakkere as. Net zoals bij een kolom onder druk bestaat dan het gevaar dat de balk toch uitbuilt in het meer flexibele vlak, Figuur 5.6.
v
u φ A-A Figuur 5.6: Kip [overgenomen uit STEP 1, Figuur 5. 1, pg. B3/4 ] Het buigmoment waarvoor instabiliteit optreedt wordt het kritieke buigmoment genoemd. De formule voor kritieke buigmomenten voor balken is terug te vinden in standaardwerken zoals het werk van Timoshenko en Gere (Timoshenko en Gere, 1961). Daarbij wordt aangenomen dat het materiaal isotroop is (zoals het geval voor staal, EC3). Hooley en Madsen hebben aangetoond dat deze theorie ook toepasbaar is voor houten balken waar het materiaal niet isotroop is (Hooley en Madsen, 1964):
Mcrit =
π lef
EI z I tor G I 1− z Iy
(5.14)
waarin: Iy en I z: de traagheidsmomenten volgens de buigingsas en loodrecht op de buigingsas respectievelijk, E: de elasticiteitsmodulus, G: de glijdingsmodulus, Itor : het rotatietraagheidsmoment, lef: de niet belemmerde lengte waarover uitbuiling mogelijk is. Voor een balk met rechthoekige sectie (bxh), kan volgende kritieke buigspanning worden berekend uit bovenstaande vergelijking:
σ m ,crit
π b2 =E lef h
b G 1 − 0.63 h 2 b E 1− 2 h
(5.15)
EC 5 legt op dat een controle wordt uitgevoerd voor de instabiliteitsvoorwaarden, waarbij de ontwerpbuigsterkte wordt gereduceerd met een factor k inst. De waarden die deze factor k inst aanneemt in functie van de slankheid, zijn weergegeven in Figuur 5.7.
5-10
1,2
( 1 ) kinst = 1 λ ref ,m ≤ 0 .75 ( 2 ) kinst = 1.56 − 0 .75λ ref ,m 0 .75 ≤ λ ref ,m ≤ 1.4 1 ( 3 ) kinst = 1.4 ≤ λ ref ,m λ ref ,m
1
k inst
0,8 0,6 (1)
0,4
(2)
(3)
0,2 0 0
1
2
λref
3
4
5
Figuur 5.7: k inst in functie van de slankheid λ rel,m Hierin wordt de relatieve slankheid λrel,m wordt bepaald via:
λ rel ,m =
f m,k σ m,crit
(5.16)
5.8.2 Load Sharing - kls Het verdelen van lasten voor assemblages die zijn opgebouwd uit een aantal parallelle elementen die verbonden zijn met een lastenverdelend systeem, kan worden toegepast op een eenvoudige vloerstructuur. Dit effect verhoogt het draagvermogen van het geheel. Immers, een stijvere balk zal een hoger deel van de last opnemen. Gezien de positieve correlatie tussen sterkte en stijfheid is dit een gunstig effect. Omgekeerd zal een zwakker element, dat minder stijf is, een kleiner deel van de last opnemen. Dit wordt grafisch weergegeven in Figuur 5. 8.
F F
L
F
F
H
G
F
G
(a) (b) Figuur 5.8: Het verdelen van de lasten in functie van de stijfheid van parallelle elementen voor een eenvoudige vloeropbouw – links: spreiding van een geconcentreerde puntlast over naburige balken – rechts: effect van lastenverdeling op de draagbalken, (a) zonder lastenherverdeling, (b) met lastenherverdeling, waarbij (L) een lagere stijfheid, (H) een hogere stijfheid hebben dan de gemiddelde stijfheid (G)
5-11
In gevallen waar lastenherverdeling van toepassing is, stelt EC 5 voor volgende waarde te hanteren:
k ls = 11 .
(5.17)
5.8.3 Doorbuiging Voor de doorbuiging van hout is het belangrijk het gedrag op lange termijn van nabij te bekijken. Hout is onderhevig aan kruip: de vervorming neemt toe onder een constante belasting, Figuur 5.9.
F
t u u fin kdef× uinst u inst t t 0 tinst
t fin
Figuur 5.9: Een schematische weergave van het gedrag van hout als visco-elastisch materiaal. u is de vervorming, F de belasting. De onmiddellijke vervorming bedraagt uinst, de finale vervorming neemt toe tot ufin onder invloed van kruip. De hoeveelheid kruipvervorming wordt begroot als kdef × uinst Zoals aangegeven in Figuur 5.9 begint het kruipen van het hout na de initiële vervorming uinst. In het kruipgedrag kunnen volgende fenomenen onderscheiden worden: initieel is er een relatief snelle toename van de vervorming. Dit wordt aangegeven door de helling van de curve, die de kruipsnelheid definieert, na voldoende lange tijd stabiliseert het kruipen naar een constante kruipsnelheid. De belangrijkste parameters die het kruipgedrag beïnvloeden zijn: het vochtgehalte. Daarom wordt in de ontwerpregels onderscheid gemaakt tussen de 3 dienstklassen, Tabel 5.5; de temperatuur. Zolang de temperatuur beneden 50°C ligt, is het effect op het kruipgedrag verwaarloosbaar; het spanningsniveau. Voor een hoger spanningsniveau zal de kruipsnelheid ook hoger liggen en aldus de tijd tot breuk korter zijn. In de ontwerpmethodes worden de spanningsniveaus beperkt tot dat gebied waarin de kruipsnelheid stabiel is en de vervormingsgraad beperkt blijft gedurende de volledige levensduur van de structuur. Dit wil zeggen dat in de ontwerppraktijk de spanningsniveaus beperkt blijven tot ongeveer 35% van de onmiddellijke sterkte van het materiaal; de belastingsduur. Dit is uiteraard de belangrijkste parameter omdat deze onmiddellijk de grootte van de bijkomende kruipvervorming uitmaakt. In het ontwerp wordt het gecombineerd effect van belastingsduur en vochtgehalte weergegeven door de factor kdef. De finale vervo rming wordt daarmee berekend als:
(
)
u fin = uinst 1 + kdef = uinst + kdef uinst
(5.18)
5-12
De tweede vorm van de vergelijking geeft duidelijk het effect weer zoals het ook uit Figuur 5.8 kan worden afgeleid. De finale vervorming is een som van de onmiddellijke vervorming uinst plus een bijkomende kruipvervorming. Deze laatste wordt begroot als het product van de onmiddellijke vervorming en een factor k def. Deze is functie van de belastingsduur alsook van het vochtgehalte, Tabel 5.7 . kdef voor gezaagd hout en gelijmd gelamelleerd hout Dienstklasse Belastingsduur 1 2 3 Permanent 0.60 0.80 2.00 Lange duur 0.50 0.50 1.50 Middellange duur 0.25 0.25 0.75 Korte duur 0.00 0.00 0.30 Tabel 5.7: k def - functie van belastingsduur en vochtgehalte, weergegeven voor de verschillende dienstklassen De doorbuiging van een balk kan onderverdeeld worden in verschillende fracties, Figuur 5.10: δ0: het tegenpijl in onbelaste toestand ten opzichte van de koorde tussen de twee steunpunten (toestand 0), δ1: de doorbuiging ten gevolge van permanente lasten, onmiddellijk na het aanbrengen van deze last (toestand 1), δ2: de doorbuiging van de balk ten gevolge van variabele plus tijdsafhankelijke doorbuiging bij permanente lasten (toestand 2), δnet: de doorbuiging van de balk relatief ten opzichte van de koorde tussen de twee steunpunten.
(0)
δ1
δ0
(1)
δ2
δnet
(2)
Figuur 5.10: Doorbuigingscomponenten voor een balk op twee steunpunten (EC1) EC 5 legt beperkingen op aan de onmiddellijke doorbuiging ten gevolge van de nuttige overlast u 2,inst en de netto finale doorbuiging u net,fin :
u2 ,inst ≤ l
300 unet, fin ≤ l 200
(5.19)
Deze vereisten aan de doorbuiging zijn veelal maatgevend voor de dimensies van een balk.
5.8.4 Trillingen Een tweede belangrijke gebruiksgrenstoestand, die voornamelijk van toepassing is voor houten vloeren, is het storende effect van trillingen onder dienstlast. Hierbij moet voornamelijk gedacht worden aan het discomfort ten gevolge van trillingen geïnduceerd door voetimpact of (roterende) toestellen. De menselijke gevoeligheid voor trillingen is: gerelateerd aan de versnelling voor frequenties f > 8 Hz, groter naarmate de duur van de trillingen toeneemt, kleiner naarmate de nabijheid en de kennis van de bron van de trillingen toeneemt, kleiner naarmate de fysieke activiteit toeneemt. Houten vloeren zijn trillingsgevoelig net omwille van hun lage buigstijfheid (EI) en lage demping ζ (≈ 0.01). Bij het ontwerp worden volgende regels in acht genomen: de eerste eigenfrequentie van de vloer ligt hoger dan 8 Hz: f1 > 8 Hz,
5-13
-
de maximale snelheid (vmax) van de belangrijkste eigenmodes tussen 8 en 40 Hz blijft beperkt tot een bovengrens.
Voor een rechthoekige vloer die aan de 4 randen is opgelegd, kunnen volgende benaderende formules gebruikt worden: 4 π l ( EI ) b fn = f 0 1 + n 4 > 8 Hz , met: f 0 = 2 b ( EI ) l 2l
( EI ) l
(5.20)
m
Waarin: n: het mode nummer is, n=1 voor de frequentie van de eerste eigenmode, m: de massa per oppervlakte-eenheid [kg/m2], l: de overspanning van de vloer [m], b : de breedte van de vloer [m], EI: de equivalente plaat buigstijfheid per eenheidsbreedte [Nm2/m]. Index l verwijst naar de lengterichting (grootste buigstijfheid) en b de breedterichting (laagste buigstijfheid). De maximale snelheid dient beperkt te worden overeenkomstig:
vmax =
4(0.4 + 0.6n40 ) mbl + 200
< vvel ,max = 100
f1 ζ − 1 1 Hz
40 2 b 4 ( EI ) l , met: n40 = − 1 f1 l ( EI ) b
0.25
(5.21)
5.9 Afschuiving Net als bij druk/trek, bestaat de controle van de uiterste grenstoestand erin om na te gaan of de optredende afschuifspanning (τd) kleiner blijft dan de ontwerpschuifspanning (fv,d) van het hout:
τ d < fv ,d
(5.22 )
Deze controle wordt uitgevoerd bijvoorbeeld aan de oplegpunten van moerbalken en kinderbalken, waar de dwarskracht (Vd) en dus ook de afschuifspanningen (σd) maximaal zijn. In het geval van een rechthoekige sectie, doet de maximale schuifspanning zich voor ter hoogte van de neutrale lijn en bedraagt deze:
τd =
3Vd 2bh
(5.23)
5.10 Lokale effecten In voorgaande paragrafen werden enkel de basisprincipes besproken. Door geometrische afwijkingen of bijzondere samenstellen, kunnen lokale effecten aanleiding geven tot spanningsconcentraties. Deze moeten op een gepaste wijze worden in rekening gebracht, overeenkomstig EC5. Hierbij moet gedacht worden aan: Voor balken met een gereduceerde hoogte aan het balkuiteinde moet met deze effectieve (gereduceerde) hoogte (he) gerekend worden. Voor balken met geleidelijk reducerende sectie, dient met dit eenzijdig of tweezijdig taps verloop rekening gehouden te worden bij het berekenen van de buigmomenten. Ook de apex zone verdient dan speciale aandacht.
5.11 Brandweerstand Brandweerstand is een belangrijk aspect bij het structureel gedrag van hout. Het is algemeen bekend dat hout zonder extra maatregelen ontvlambaar is. Echter, onderscheid moet
5-14
gemaakt worden tussen deze twee belangrijke, maar fundamenteel verschillende begrippen. Enerzijds is er de ontvlambaarheid, het gemak waarmee het materiaal vuur vat, het vuur zich over het oppervlak verspreidt en de snelheid waarmee de warmte wordt vrijgegeven. Hout wordt ingedeeld in de categorie "ontvlambaar". Voor vol hout is een temperatuur van 300400°C vereist om het hout te doen ontvlammen. Anderzijds is er de brandweerstand. Dit is de mate waarin het materiaal in staat is zijn dragende functie te blijven uitvoeren (Gheysel, 1995). Het gedrag van hout in een standaard brand is redelijk goed voorspelbaar omdat een brand voornamelijk leidt tot een lineaire reductie van de dikte van het structureel element (balk of kolom) in functie van de tijd. De snelheid waarmee het hout verkoolt β0 of β [mm/min] is experimenteel bepaald en varieert van 0.5 tot 1.0 mm/min voor uiteenlopende houtsoorten, Tabel 5.8. In het geval wordt gerekend met β, wordt naast de lineaire afname van breedte en dikte (β0), ook rekening gehouden met de afrondingen aan de hoeken van de dwarsdoorsnede (r), Figuur 5.11. Materiaal Gezaagd zachthout Gelijmd zachthout Houten panelen Gezaagd hardhout Gelijmd hardhout Eik Gezaagd hardhout Gelijmd hardhout
β0 [mm/min] 0.8 0.7 0.9 0.5 0.5 0.5 0.7 0.7
Karakteristieken met ρ k > 290 kg/m 3 en a>35 mm met ρ k > 290 kg/m 3 met ρ k = 450 kg/m 3 en tp = 20 mm met ρ k > 450 kg/m 3 met ρ k > 450 kg/m 3 met ρ k > 290 kg/m 3 met ρ k > 290 kg/m 3
β [mm/min] 0.67 0.64
0.54 0.54
Legende: a : breedte/dikte verhouding van doorsnede en tp: dikte van de panelen Tabel 5.8: Verkolingssnelheid β0 of β [mm/min ] voor verschillende houttypes
β0
60 50 40 30 20 10 0
β
0
(1)
r(t)
(2)
30
60 t [min]
90
120
Figuur 5.11: Reductie van de dwarsdoorsnede bij brand Tabel 5.8 laat toe om voldoende houtsectie te voorzien zodat een brandweerstand van bijvoorbeeld 60 minuten kan worden gerealiseerd: R f = 60 min. In dat geval wordt de controle van de grenstoestanden uitgevoerd voor de gereduceerde sectie, met resulterende afmetingen na 60 minuten brand. In EC5 worden 3 methodes aangereikt om de brandweerstand te bepalen. samengevat in Tabel 5.9.
Deze zijn
5-15
Rekenmethode Methode van effectieve dwarsdoorsnede
Verschillende stappen de Voor standaard brandblootstelling: Belastingen en structureel gedrag overeenkomstig EC5:deel 1-2:2.5.33 verkoolde diepte d kool=β0.t draagvermogen van elementen overeenkomstig effectieve dwarsdoorsnede: Aef = (h-2def)(b-2def) voor 4-zijdige blootstelling aan brand Aef = (h-2def)(b-def) voor 3-zijdige blootstelling aan brand Met def = dkool+k0d0 overeenkomstig EC5: deel 1-2:4.1 Methode van de belastingen en structureel gedrag overeenkomstig EC5:deel gereduceerde sterkte 1-2:2.5.33 en stijfheid Voor standaard brandblootstelling: verkoolde diepte d kool=β0.t of dkool=β.t Voor een parametrische brandblootstelling: verkoolde diepte overeenkomstig EC5, deel 1-2: Annex D draagvermogen van elementen overeenkomstig residuele dwarsdoorsnede: Ar = (h-2dkool)(b-2dkool) voor 4-zijdige blootstelling aan brand Ar = (h-2dkool)(b-dkool) voor 3 -zijdige blootstelling aan brand Algemene belastingen overeenkomstig EC5:deel 2.2 rekenmethode globale structurele analyse volgens EC5: deel 1-2:2.5.1 verkoolde diepte overeenkomstig EC5:deel 1-2 Annex A of veralgemeende modellen voor verkoling temperatuurprofielen in de residuele dwarsdoors nede sterkte en stijfheid functie van temperatuur en vochtgehalte Tabel 5.9: Structureel ontwerp brandweerstand overeenkomstig EC5 Deze methodes laten ook toe om na een brand de schade op te meten en uitgaande van de residuele doorsnede de resterende weerstand van een dwarsdoorsnede te bepalen. Aldus kan gecontroleerd worden of bij restauratie/renovatie een structurele versteviging vereist is.
5.12 Verbindingen Voor het verbinden van hout zijn de mogelijkheden minstens zo uitgebreid als bij stalen verbindingen. Voor de vaak gebruikte verbindingen wordt onderscheid gemaakt tussen mechanische verbindingen waarbij verschillende types bevestigingsmiddelen gebruikt worden en de klassieke ambachtelijke verbindingen. In het verleden werden vaak conische houten pinnen of toognagels gebruikt om schrijnwerkverbindingen te consolideren. Heden ten dage wordt meestal gebruik gemaakt van metalen bevestigingsmiddelen om twee of meer houten elementen met mekaar te verbinden en de krachtsoverdracht te garanderen. Steeds meer speciale verbindingsstukken verschijnen op de markt. Deze worden gebruikt om een speciaal type verbinding te realiseren of maken de verbinding minder arbeidsintensief of efficiënter. Elk van deze verbindingen moet op een gepaste wijze berekend worden, daarbij steeds het achterliggend structureel gedrag van het hout en bevestigingsmiddel in het oog houdend. Een vrij recent type bevestigingsmiddelen zijn de ingelijmde verbindingen. Deze worden afzonderlijk behandeld omdat ze regelmatig voorkomen bij de herstellings- en versterkingswerkzaamheden.
5.12.1 Mechanische verbindingen De mechanische verbindingen kunnen in twee grote groepen verdeeld worden, Figuur 5.12. Enerzijds zijn er de stiftachtige verbindingen, met daaronder: nagels (a), schroeven (b), bouten en deuvels. Anderzijds zijn er de speciale verbindingsstukken zoals geponste metalen platen (c), kramplaten (d) of ringverbindingen (e), Figuur 5.12. Deze laatste zijn veelal bedoeld om grote krachten over te brengen. De krachtsoverdracht wordt dan gerealiseerd door een toename van het verbindingsoppervlak.
5-16
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Figuur 5.12: Verschillende types verbindingen
5.12.2 Bezwijken van het hout in trek loodrecht op de vezelrichting Bij het realiseren van een verbinding, waarbij trek optreedt loodrecht op de vezelrichting van het hout, moet voldoende zorg besteed worden aan de verbinding zodat de treksterkte van het hout niet overschreden wordt, Figuur 5.13. Om dit risico te vermijden, worden de verbindingen best zo dicht mogelijk bij het niet-belaste uiteinde gerealiseerd. Een tweede techniek bestaat erin om de verbinding over een voldoende groot oppervlak te spreiden zodat het spanningsniveau beperkt blijft.
Figuur 5.13: Voorbeelden van verbindingen waarbij trek optreedt loodrecht op de vezelrichting van het hout, met het mogelijke scheurpatroon: (a) ophang van een kinderbalk, (b) kramplaten in een dakspant, (c) boutverbinding met een opgehangen verticale last, (d) ingelijmde bouten op trek belast [overgenomen uit STEP 1, 1995, pp.C2/1, Figuur 1]
5-17
5.12.3 Stiftachtige verbindingen in afschuiving Voor stiftachtige verbindingen (nagels, schroeven, bouten, stiften) in afschuiving, Figuur 5.14, zijn er een reeks mogelijke faalmodes, Figuur 5.16 (Johansen, 1949).
(a)
(b)
(c)
Figure 5.14: boutverbinding met een enkel afschuifvlak (a), een dubbel afschuifvlak (b), met een (dunne of dikke) metalen plaat (c) De ontwerpweerstand (R d) van de verbinding kan bepaald worden, rekening houdend met de verschillende faalmodes die kunnen optreden, Figuur 5.16. Deze zijn functie van: de dikte van de te verbinden houten elementen t1 en t2 en de overeenstemmende ontwerpstuikdruk: fh,1,d en fh,2,d[N/mm2], β=fh,2,d/fh,1,d, de diameter van de stiftachtige verbinding: d [mm], het plastisch moment van de stiftachtige verbinding: My,d [Nmm], de kwaliteit van het hout, de belastingsduur en dienstklasse: k mod. Figuur 5.15 geeft weer hoe de (ontwerp)stuikdruk fh wordt gedefinieerd. De stuikdruk is functie van de houtkwaliteit, de diameter van de stift alsook van de dichtheid van het hout. Voor frequent voorkomende gevallen werden experimentele verbanden opgesteld.
F
fh =
k f Fmax en: f h ,d = mod h ,k d×t γm
Gezaagd hout (d<8 mm)
d
Vezelplaat
t Hardboard
0.082ρ k d − 0.3 (niet voorgeboord gat) f h ,k = 0.082(1 − 0.01d )ρ k (voorgeboord gat) 011 . ρk d − 0.3 (niet voorgeboord gat) f h ,k = . (1 − 0.01d )ρ k (voorgeboord gat) 011 f h ,k = 30 d − 0 .3t 0 .6
F Figuur 5.15: Stuikdruk fh voor een stiftachtige verbinding Het plastisch moment (My,k) van een stiftachtige verbinding hangt af van de materiaalkwaliteit en de diameter van de stift. Voor vaak voorkomende stiften zijn relaties voorhanden:
M y ,k
2 .6 180d voor ronde nagels = 270d 2 .6 voor vierkante nagels d3 voor bouten 0.8f uk 6
(5.24)
met fuk de karakteristieke treksterkte van de bout (EC3). De verschillende mogelijke faalmodes die kunnen optreden in een stiftachtige verbinding op afschuiving, met een enkel
5-18
afschuifvlak, bij een hout-hout verbinding, zijn afgebeeld in Figuur 5. 16. Voor het geval van twee afschuifvlakken alsook voor de verbinding met een dunne of dikke stalen plaat, Figuur 5.14 (b) en (c), wordt verwezen naar EC5.
Rd
t1
Rd
Rd
t2
t1
t2
f h,1,d
t1
Rd
t1
t2
f h,1,d
t2
fh,2,d f h,1,d
fh,1,d f h,2,d
My,d My,d
Rd
Rd My,d My,d
t1
t2
fh,1,d
f h,2,d
f h,2,d
f h,2,d
t1
t2
f h,1,d fh,2,d
fh ,2,d
f h,1,d
Rd
Rd
Rd
Rd
Faalmode 1a
Faalmode 1b
Faalmode 2
Faalmode 3a
Rd Faalmode 3b
Rd Faalmode 4
Figuur 5.16: Verschillende faalmodes bij hout-hout verbindingen en een enkel afschuifvlak De ontwerpsterkte stemt overeen met de minimumwaarde die voor deze faalmodes wordt teruggevonden:
( 1a ) fh ,1,d t1d ( 1b ) f t d h ,2 ,d 2 2 2 ( 2 ) f h ,1 ,d t1 d β + 2β 2 1 + t2 + t2 + β 3 t2 − β 1 + t2 1+ β t1 t1 t1 t1 4β( 2 + β) M y ,d f td Rd = min( 3a ) 11 . h ,1,d 1 2β (1 + β ) + − β 2+β f h ,1,d t12 d f h ,1,d t2 d 4β (1 + 2β ) M y ,d 2 ( 3 b ) 11 . 2 β 1 + β + − β ( ) 1 + 2β f h ,1 ,d t 22 d 2 . 2 M y ,d f h ,1,d d ( 4 ) 11 1 +β
(5.25)
5.12.4 Nagel- en schroefverbindingen op trek Het gebruik van gladde nagels voor de opname van axiale treklasten wordt afgeraden omdat ze maar een beperkte weerstand bieden tegen deze belasting. Beter is het om geribde, getordeerde nagels of schroeven te gebruiken, Figuur 5. 12 (a). Voor nagels wordt de ontwerptreksterkte (R d) een minimum van twee faalmodes, Figuur 5.17:
Rd
f1,d dl voor alle nagels hechting: 2 Rd = min f 2,d d voor geribde of getordeerde nagels doorponsen van nagelkop: f dh + f d 2 1,d 2 ,d
l
f1,k = 18 × 10− 6 ρ k2 [N / mm2 ]
h
f2 ,k = 300 × 10 −6 ρ k2 [N / mm2 ]
Rd Figuur 5.17: Nagelverbinding op trek
5-19
De axiale weerstand voor een schroefverbinding (Rd) bedraagt:
(
)
Rd = f3,d lef − d , met: f3,k = (15 . + 0.6d ) ρ k
(5.26)
waarbij lef, de effectieve lengte is in het verbindend element waarover schroefdraad aanwezig is, Figuur 5.12 (b).
5.12.5 Schrijnwerkverbindingen Bij oude gebouwen wordt het timmerwerk samengehouden met klassieke hout op hout verbindingen. De krachtsoverdracht tussen de verschillende elementen gebeurt dan meestal door contactdruk of wrijving. Sommige van deze schrijnwerkverbindingen worden aangevuld door stalen beugels of houten pinnen om een correcte verbinding te garanderen of om extra krachten over te dragen. Hoewel vele varianten bestaan, zijn deze verbindingen terug te brengen tot 4 basistypes, Figuur 5.18.
(a)
(c)
F
(b) afschuifvlak
α
(d)
β
Drukspanningen onder hoek α
Figuur 5.18: Basistypes bij hout op hout schrijnwerkverbindingen: verbinding, (c) tand en gat verbinding, (d) tapverbinding.
(a) liplas, (b) tand en hiel
Bij deze verbindingen worden drukkrachten van het ene element overgedragen op het andere element onder een zekere hoek. Dit induceert zowel afschuifkrachten als normaalkrachten in het andere element. Deze normaalkrachten zijn daarom niet langer volgens de vezelrichting. Bij de controle moet nagegaan worden of de druksterkte- en afschuifsterkte van het hout niet overschreden wordt. Daarbij wordt de toelaatbare druksterkte van hout onder een willekeurige hoek (α ) gelijk genomen aan: 2
σ c ,α ,d =
fc ,0 ,d 2 f c ,0 ,d sin α + fc ,90 ,d cos2 α
(5.27)
5.12.6 Ingelijmde ankers Ingelijmde ankers worden in de Scandinavische landen reeds 25 jaar toegepast. Het grootste toepassingsdomein is gelijmde liggers. De ankers worden preventief gebruikt om in zones van spanningsconcentraties het afpellen tussen de laminaten te voorkomen. Bij herstellings en verstevigingswerken worden ze momenteel in België steeds meer toegepast. Daarbij wordt niet alleen beroep gedaan op wapeningsstaal of RVS draadstangen, maar ook (G)FRP ((glas)vezelversterkte) staven worden ingelijmd. Het inlijmen van staven wordt daarbij vaak gebruikt bij de aansluiting tussen verschillende elementen (a), bij balkkoppen (b) of om een scheur of barst in het hout te overbruggen (c). Zowel afschuiving als trek in de staven kunnen dus verwacht worden, Figuur 5.19.
5-20
F d F
(a)
lg F
(c)
d
(b)
lg Figuur 5.19: Ingelijmde staaf belast op trek en afschuiving De ontwerptreksterkte (Rd) is voornamelijk functie van, Figuur 5.19: de treksterkte van de staven (staal, FRP of andere), de ankerlengte lg, de schuifspanningen die worden opgewekt aan de omtrek van de staven. de houtkwaliteit, weergegeven door de dichtheid ρk, de vezelrichting. Formules voor de axiale sterkte (Rax,k) van ingelijmde staven zijn steeds het resultaat van een statistische regressie van proefresultaten. De volgende ontwerpformule voor stalen ankers wordt voorgesteld door Riberholt (Riberholt, 1988):
Rax ,k = f ws ρ k d lg , voor lg ≥ 200mm Rax ,k = f wl ρ k dlg ,
(5.28)
voor l g < 200mm
Hierin is: fws: een sterkteparameter [Nmm1.5] die de kwaliteit van de lijm weergeeft: - fws= 0.520 voor brosse lijmen zoals epoxy en phenol-resorcinol, - fws= 0.650 voor niet-brosse lijmen zoals twee-component polyurethaan. fwl: een sterkteparameter [Nmm] die de kwaliteit van de lijm weergeeft: - fwl= 0.037 voor brosse lijmen zoals epoxy en phenol-resorcinol, - fwl= 0.046 voor niet-brosse lijmen zoals twee-component polyurethaan. d: het maximum van de staafdiameter en boorgatdiameter. Voor de afschuifsterkte (Rk) van ingelijmde ankers kan gerekend worden met:
(
)
Rk = 2 M y ,k df h ,k , met: f h,k = 0.0023 + 0.75d − 15. ρ k
(5.29)
waarin d opnieuw het maximum is van boutdiameter en boorgatdiameter en My,k het plastisch moment van het anker. Bovenstaande formules zijn bruikbaar voor het voorontwerp. Voor het definitieve structureel ontwerp wordt gerekend met experimenteel bepaalde verankeringssterkten, opgemeten voor elk specifiek ankertype met zijn specifieke verlijmingstype.
5.13 Voorbeeld - Controle van een houten moerbalk In dit voorbeeld wordt een houten moerbalk gecontroleerd volgens de methode der uiterste grenstoestanden. Het betreft een uitgevoerd restauratieproject waarbij een 17de eeuws klooster te Namen werd omgevormd tot gebouw met bureelfunctie. Wegens de verhoogde dienstlast werd niet voldaan aan alle grenstoestanden. In het volgende deel. II.3. Hout.
5-21
Herstelling en Versterking. zal dit voorbeeld versterkingstechnieken van naderbij te bestuderen.
verder
gebruikt
worden
om
enkele
De originele geometrie van de vloeropbouw is samengevat in Figuur 5. 20. Het gaat om een typische opbouw met moerbalken en kinderbalken, waarop de houten plankenvloer is bevestigd. De vrije overspanning (L) bedraagt 7.70 m, de afdragende lengte (LA) ongeveer 3.00 m. De moerbalken hebben een nominale breedte en hoogte gelijk aan: bxh = 320 x 400 mm. In de moerbalken zijn om de 300 mm hart op hart uitsparingen voorzien om de kinderbalken (130 x 130 mm) in op te leggen. Aangezien deze uitsparingen de sectie verzwakken, wordt de sectie ter hoogte van een uitsparing als maatgevend aangehouden voor de berekeningen. De geometrische gegevens zijn toegevoegd in Figuur 5.20.
130 mm
130 mm
h=400 mm
v 300 mm
b=320 mm
L=7.7 m
A= 0.1098 m2 v = 0.222 m S= 0.00505 m3 I = 0.00129 m4
LA=3.00 m
Schaal : 1/10
kinderbalk moerbalk Schaal : 1/100
Figuur 5.20: Overzicht vloeropbouw Gezien de hoge graad van defecten, barsten en krimpscheuren in het hout, wordt voor de berekening van eikenhout gerekend met sterkteklasse D30, Tabel 5.2. Daar het om een zuivere binnentoepassing gaat, wordt dienstklasse 1 gehanteerd. De lasten op de vloer kunnen in twee klassen worden ingedeeld: § Permanente lasten afkomstig van het eigengewicht, aangevuld met de permanente lasten afkomstig van kinderbalken en vloerplanken, § Mobiele lasten afkomstig van de nuttige dienstlast. Voor de nuttige vloerlast wordt 2 geopteerd voor een gelijkmatig verdeelde last q=3 kN/m , voor kantoorfunctie (EC1, Categorie B, kantoorfunctie). De verdeelde last op de moerbalk is samengevat in Tabel 5.10. Het maximale buigmoment, de maximale dwarskracht en doorbuiging zijn tevens aangegeven.
5-22
Eigen gewicht permanente last p = 4 kN/m Maximaal (σm):
M=
buigmoment
(M) en buigspanning
2
pL M en σ m = 8 ( I v)
Maximale dwarskracht (V) en schuifspanning (τ):
pL VS V= en τ = 2 bI
5 p( L ) 384EI
4
Middendoorbuiging (u):
u=
+
Nuttige vloerlast (kantoorfunctie) q = 9 kN/m
Mp=29.7 kNm 2 σm,p=5.10 N/mm
Mq = 66.7 kNm 2 σm,q = 11.48 N/mm
Vp=15.4 kN 2 τp=0.19 N/mm
Vq = 34.65 kN τq = 0.43 N/m m2
up = 14.19 mm
uq = 31.93 mm
Tabel 5.10: Lasten, reactiekrachten en optredende spanningen in de moerbalk De belastingscombinaties die gecontroleerd worden in de uiterste grenstoestand en in de gebruiksgrenstoestand zijn weergegeven in Tabel 5.11. Omwille van het verschil in duurtijd hebben deze hun effect op de factoren kmod en kdef. Deze zijn in de laatste kolom aangegeven. Volgende grenstoestanden worden gecontroleerd: buigspanningen ten gevolge van het optredend buigmoment, afschuifspanningen ter hoogte van de balkoplegpunten, middendoorbuiging, trillingen ten gevolge van voetimpact, brandweerstand. Uiterste grenstoestand Belastingscombinatie Bc.UGT.1 γg.S(P) Bc.UGT.2 γg.S(P)+ γq.S(Q) Bc.UGT.3 γg,A.S(P)+ ψ1,1.γq,A.S(Q) Gebruiksgrenstoestand Belastingscombinatie Bc.GGT.1 S(P) Bc.GGT.2 S(P)+S(Q) γg=1.35, γq=1.5, γg,A=1.0, γq,A= 1.0, ψ 1,1=0.2 Tabel 5.11: Belastingscombinaties en factoren k mod en k def
kmod 0.6 lange duur belasting 0.8 middellange duur 1.0 accidenteel kdef 0.6 0.6(P),0.25(Q)
5.13.1 Controle van de uiterste grenstoestanden De toelaatbare ontwerpbuigspanning kan bepaald worden volgens:
f m ,d = k mod kinst kls kh
f m, k γm
De factor k mod is functie van de belastingsduur, Tabel 5.11; k inst kan gelijk gesteld worden aan 1, omdat de balk over de ganse lengte zijdelings gesteund is. Zowel de kinderbalken als de vloerplanken zorgen voor deze horizontale verstijving. De moerbalk maakt geen deel uit van een parallel systeem waarbij een lastenherverdeling optreedt. De tussenafstand tussen twee moerbalken bedraagt 3.0 m: k ls = 1.0. Voor de berekening van de kinderbalken kan men wel rekenen op dit lastenherverdelingsprincipe. Omwille van de hoogte van de moerbalken (h=400 mm>150 mm), geldt dat kh = 1.0. Tabel 5.12 vat de resultaten voor de uiterste grenstoestanden samen. belastingscombinaties waarin de toelaatbare waarde overschreden wordt, zijn vet aangeduid.
De
5-23
Grenstoestand
Optredende ontwerp spanningen
Toelaatbare ontwerpspanning
Buigmoment: Bc.UGT.1 σm,d,1=1.35(5.10) = 6.89 N/mm2 Bc.UGT.2 σm,d,2=1.35(5.10)+1.5(11.48) = 24.11 N/mm2 Dwarskracht: Bc.UGT.1 τd,1=1.35(0.19) = 0.26 N/mm2 Bc.UGT.2 τd,2=1.35(0.19)+1.5(0.42) = 0.89 N/mm2 Tabel 5.12: Samenvattende tabel – uiterste grenstoestanden
2
fm,d = 13.85 N/mm 2 fm,d = 18.46 N/mm 2
fv,d = 1.38 N/mm 2 fv,d = 1.85 N/mm
Hier is reeds duidelijk dat een uiterste grenstoestand wordt overschreden en dat versterking van de moerbalk vereist zal zijn, wil deze voldoen aan die nieuwe, opgelegde dienstlast.
5.13.2 Controle van de gebruiksgrenstoestand De controle van de gebruiksgrenstoestand houdt vooreerst een controle van de middendoorbuiging in. De controle moet worden uitgevoerd, zowel voor de onmiddellijke doorbuiging, ten gevolge van de mobiele last, als voor het lange duur effect waarbij rekening wordt gehouden met het kruipen van het hout. De resulterende doorbuiging alsook de toelaatbare doorbuigingen zijn aangegeven in Tabel 5.13. In beide gebruiksgrenstoestanden beantwoordt de huidige situatie niet aan de normvereisten. Een ingreep dringt zich op. Grenstoestand
Toelaatbare waarde
Doorbuiging: Bc.GGT.1 Bc.GGT.2 Trilling:
uinst,1= 31.93 mm unet,fin,2=14.2(1+0.6)+31.9(1+0.25)=62.61mm f0=8.25 Hz, f 1 = 37.8 Hz vmax = 6.9 10-4 m/s Tabel 5.13: Samenvattende tabel – gebruiksgrenstoestand
(L/300) = 25.7mm (L/200) = 38.5mm > 8Hz vvel,max= 5.510-2 m/s
Voor de controle van de optredende trillingen wordt eerst de basisfrequentie f0 berekend alsook de eerste frequentie f1 horende bij de eerste eigenmode:
f0 =
π 2l 2
( EI )l m
=
l f1 = f 0 1 + 1 b 4
4
(10.000 10
π
2 (7.7 )
( EI )b ( EI )l
2
6
)
× 0.00129
133.3
l
= 8 .25 Hz
( (
) )
6 4 . 10− 4 7 .7 10 .000 10 × 595 = 8 .25 1 + 1 3 10 .000 10 6 × 0 .00129 4
De frequentie f1 ligt boven de grenswaarde van 8 Hz. berekend worden uit:
b
= 37 .8 Hz > 8 Hz
l
De snelheid (vmax) kan vervolgens
5-24
vmax
f1 40 2 b 4 ( EI ) ζ − 1 4(0 .4 + 0 .6 n40 ) 1 Hz l = < vvel ,max = 100 , met: n40 = − 1 mbl + 200 f l EI ( ) 1 b
40 2 b 4 ( EI ) l n40 = − 1 l ( EI ) f1 b vmax =
0 .25
( (
) )
40 2 3 4 10 109 × 0.00129 l = − 1 9 −4 37 .8 7 . 7 10 10 × 5.95 10 b
0 .25
0 .25
= 0.278
4(0.4 + 0.6n40 ) 4(0.4 + 0.6 × 0.278) = = 6.9 10 − 4 m s mbl + 200 133.3 × 3 × 7.7 + 200 f 1 ζ − 1
vvel ,max = 100 1 Hz
37 .8 0 .01− 1 1
= 100
= 5.45 m s
Waaruit kan worden afgeleid dat de snelheid voldoende klein blijft.
5.13.3 Brandweerstand Voor de moerbalk wordt gecontroleerd of een brandweerstand van 1 uur wordt gehaald: Rf = 60 min. De eerste methode uit tabel 9 wordt toegepast om de werkwijze te illustreren. De verkolingssnelheid β0=0.5 mm/min. Dit resulteert in een verkoolde diepte dkool = 30 mm . Deze wordt driezijdig toegepast, Figuur 5.21. De resulterende sectie en stijfheidseigenschappen zijn tevens aangegeven. Vervolgens kan nagegaan worden of het maximaal optredend buigmoment en dwarskracht nog kunnen opgenomen worden, Tabel 5.14. 2
A= 0.0962 m v = 0.20 m 3 S= 0.00378 m 4 I = 0.00091 m
h=370 mm
v
b=260 mm
dkool = 30 mm
Figuur 5.21: Verkoolde diepte voor R f = 60 min Voor de ontwerpwaarden worden volgende formules gebruikt:
f m ,d = kmod k f
f m ,k 30 = 10 . × 125 . = 37 .5 N mm2 γ m ,A 10 .
f v ,d = kmod k f
f v ,k 3.0 = 10 . × 125 . = 375 . N mm2 γ m,A 10 .
De materiaalveiligheidscoëfficiënt wordt gereduceerd tot γm,A = 1.0. De factor kf wordt ingevoerd om opnieuw over te gaan van karakteristieke waarde naar gemiddelde waarde: kf = 1.25. Omwille van de gereduceerde dwarssectie, zullen de buigspanningen en de schuifspanningen gevoelig hoger liggen. Volgende waarden worden bereikt:
5-25
σ m, p , A = 6.5 N mm2
σ m ,q ,A = 14.63N mm2
τ m , p , A = 0.20N mm2
τ m , p , A = 0.45N mm2
Grenstoestand
Optredende ontwerp spanningen
Buigmoment: Bc.UGT.3 σm,d,3=1.0(6.5)+0.2×1.0(14.63) = 9.43 N/mm2 Dwarskracht: 2 Bc.UGT.3 τd,3=1.00(0.20)+ 0.2 ×1.0(0.45) = 0.29 N/mm Tabel 5.14: Samenvattende tabel – uiterste grenstoestand
Toelaatbare ontwerpspanning fm,d = 37.5 N/mm2 fv,d = 3.75 N/mm2
Gezien de resulterende spanningen ver beneden de toelaatbare waarden blijven, kan gesteld worden dat er ruimschoots voldaan is aan een Rf = 60 min.
5-26
6 Metselwerk als stapelstructuur 6.1 Inleiding - Metselwerk als stapelstructuur Dit hoofdstuk behandelt het structureel gedrag van metselwerk. Het vormt daarmee een inleiding tot de Eurocode 6: Berekening van draagsystemen van metselwerk. Onder metselwerk wordt verstaan het op elkaar stapelen van bouwstenen met gebruikmaking van een vulmiddel - mortel - om de openingen in de stapeling te vullen. Die bouwstenen kunnen van verschillend materiaal zijn. Het kan zowel om baksteen als natuursteen gaan. Daarenboven kunnen beide afzonderlijk van elkaar, maar ook gelijktijdig en soms ook door elkaar zijn toegepast. De gebruikte formaten vertonen doorheen de geschiedenis grote verschillen. De wijze van stapelen - het steenverband - is mee met de formaten geëvolueerd. Voor de onderlinge samenhang van de stapeling zijn mortels met kalk en toeslagstoffen gebruikt. De voegen werden eerst met metselspecie afgewerkt. Sedert de 18de eeuw wordt er meer aandacht besteed aan het vizuele aspect van metselwerk en worden de voegen afgewerkt met een apart aangemaakte voegmortel. Omwille van zijn specifieke opbouw zal het structureel gedrag sterk verschillen van lineair-elastische materialen zoals bijvoorbeeld staal of homogene materialen zoals beton. De klassieke berekeningsmethodes uit de sterkteleer en de bouwmechanica, die gebaseerd zijn op een lineairelastisch materiaalgedrag, zijn dan ook ontoereikend voor het berekenen van structuren opgetrokken uit metselwerk. Vooreerst zou het nodig zijn het juiste spannings-vervormingsgedrag van het materiaal metselwerk voorbij het elastisch domein in te rekenen. Verder is de lineair-elastische theorie niet in staat rekening te houden met het aanpassingsvermogen en van het metselwerk en van de structuur in haar geheel. Volgens de lineair-elastische theorie zijn bijvoorbeeld bogen uiterst gevoelig aan steunpuntsverplaatsingen en aan temperatuursinvloeden. Nochtans ziet men dat boogstructuren in metselwerk weinig of niet gevoelig zijn aan steunpuntsverplaatsingen en temperatuurseffecten. Zij ontlenen hun ductiliteit aan de weerstandseigenschappen van het metselwerk bestaande uit stenen en voegen, namelijk hoge druksterkte en lage treksterkte, waardoor de steenblokken de ene ten opzichte van de andere kunnen draaien. De studie van de standzekerheid van deze metselstructuren moet dan ook gebaseerd worden op de grenstoestanden van het evenwicht: het is een breukmethode. Omwille van het specifieke materiaalgedrag van metselwerk wordt vooreerst ingegaan op de componenten baksteen en mortel. Vervolgens komen de verschillende configuraties aan bod die leiden tot het composiet metselwerk: de metselverbanden. Alvorens in te gaan op het structureel gedrag van metselwerk onder een excentrisch aangrijpende druklast, wordt de druksterkte van het metselwerk als composiet beoordeeld. Dit levert mede de basis voor het begrijpen van het structureel gedrag van bogen, koepels en gewelven. Modern metselwerk wordt ook belast op buiging en afschuiving. Deze structurele elementen worden in een afzonderlijke paragraaf behandeld. Tot slot wordt ingegaan op de verschillende proeftechnieken die beschikbaar zijn om dit structureel gedrag - zowel kwantitatief als kwalitatief - experimenteel te bepalen. Referenties: § Eurocode 6, “Design of masonry structures - Part 1-1: General rules for buildings - Rules for reinforced and unreinforced masonry”, 1995. § J. Heyman, “The Stone skeleton”, International Journal of Solid Structures, 1966, vol. 2, pp. 249279, Pergamon Press Ltd. § J. Heyman, “The masonry arch”, Ellis Horwood Series in Civil Engineering, 1985, 117 bladzijden. § P. Smars, “Etudes sur la stabilité des arcs et voûtes”, Doctoraatsthesis, KULeuven, Faculteit Toegepaste Wetenschappen, Centre Raymond Lemaire pour la Conservation”, 2000, 229 bladzijden. § D. Van Gemert, “Technologie der bouwmaterialen, deel II”, KULeuven, VTK, cursustekst, 1995. § D. van Gemert, “Vernieuwbouw van structuren”, KULeuven, VTK, cursustekst, 1995.
6-1
6.1.1 Baksteen -Natuursteen Metselwerk kan opgetrokken worden uit een combinatie van baksteen en/of natuursteen met mortel. Meestal is metselwerk opgetrokken uit metselstenen: stenen van gebakken klei, leem of leisteen, van beton, van kalkzand of een ander gelijkaardig materiaal. Historisch werd enkel gebruik gemaakt van volle metselstenen of metselstenen die van een al dan niet doorlopende uitsparing waren voorzien, zoals een trog of gleuf. Deze laatste worden samengevat onder de noemer holle metselstenen. Momenteel wordt de markt beheerst door geperforeerde metselstenen, snelbouwsteen in de volksmond. Het marktaandeel bedraagt momenteel 95%, ten opzichte van 5% voor de volle metselsteen. Deze evolutie kan verklaard worden door toenemende inzichten in het structureel en bouwfysisch gedrag van metselwerk. Metselwerk werkt voor een doorsnee woning aan lage spanningen, veel lager dan de druksterkte van een volle metselsteen. Om de thermische kwaliteit van de gemetselde muur te verhogen, worden perforaties aangebracht. Door de beschikbare marge aan druksterkte stelt de beperktere effectieve doorsnede structureel geen probleem. De norm NBN B24-001 (1980) heeft voornamelijk betrekking op moderne baksteenformaten. Wanneer bij een renovatie- of restauratieproject bakstenen moeten worden vervangen, dringt een identificatie zich op om een zo groot mogelijke overeenstemming met de originele metselstenen te bereiken. Deze identificatie gebeurt op basis van een aantal uitwendige kenmerken, zoals: maatvoering, plaats van het bouwwerk, kleur of bakgraad van de steen, eventuele merktekens, de onregelmatige vorm (gevolg van het gebruik van houten mallen) en de gelaagde structuur die wijst op een handgevormde steen. Veelal zijn daarbij nog regionale verschillen merkbaar. Elke baksteenfabrikant had zijn eigen houten mallen met specifieke afmetingen als een soort huiskenmerk. Aanvankelijk werd de steen in de naaste omgeving van het bouwwerk gebakken (12de eeuw). Wanneer op de bouwplaats geen geschikte klei voorhanden was, kon deze van elders worden aangevoerd. Naamgeving
Formaat [mm]
Boer(ke), (Gentse vorm), superboerke
180 x 85 x 65
Booms formaat
175 x 82 x 50
Brussels formaat
200 x 95 x 65
Kloostermop
270 x 130 x 90
Moduul 40, standaard 40
190 x 90 x 40
Moduul 50, standaard 50
190 x 90 x 50
Moduul 57, standaard 57
190 x 90 x 57
Moduul 65, standaar 65
190 x 90 x 65
Moduul 90, standaard 90
190 x 90 x 90
Normaal formaat = traditioneel Duits formaat
240 x 115 x 71
Rijnvorm
180 x 85 x50
Romeins formaat
220 x 105 x 40 of 210 x 100 x 40
Spaanse steen
290 x 140 x 90
Vechtformaat
210 x 100 x 40
Waalvorm: in Nederland/
in België
Ijsselformaat = oude Nederlands formaat
210 x 100 x 50/220 x 105 x 55 160 x 80 x 40
Tabel 6.1: Traditionele baksteenformaten
6-2
Later (14de-15de eeuw) is men overgegaan om bij de Meestal werden bij de bouw stenen uit de nabijheid beperken. Dit is echter geen algemene waarheid. Het werd gebruikelijk bij grotere werken. Hoewel in het gemaakt van zeeklei is de latere baksteenindustrie geconcentreerd.
vindplaats van de klei ook de steen te bakken. gebruikt om het transport tot een minimum te aanvoeren van stenen uit verschillende plaatsen begin (begin 14de eeuw) veelvuldig gebruik is (vanaf eind 14de eeuw) langs onze rivieren
Deze ontwikkeling heeft duidelijk invloed op de afmetingen, kleur en verwerkingswijze van de steen. Bij de eerste eerste gebouwen is een fors baksteenformaat gebruikt. Vanwege zijn omvang en toepassing werd het ‘kloostermop’ genoemd. Het had een strekmaat van ongeveer 30 cm. De oudste bakstenen houden hiermee vast aan de voetmaat, zo ook de Spaanse steen. Na 1325 begint een verkleining van het formaat op te treden. Eén van de bekendste is het Ijsselformaat met een strek van ongeveer 16 cm. Tabel 6.1 geeft een overzicht van meer traditionele maatvoeringen. Met deze informatie is het mogelijk na te gaan waar de steen gebakken werd, uit welk materiaal en ongeveer bij welke temperatuur. Dat maakt het mogelijk om nieuwe stenen aan te maken op de oude methode in een klampoven, veldoven, paepoven of ringoven.
6.1.2 Metselmortel Metselmortels worden omschreven in NBN B14-001 (1985) als een homogeen mengsel van bindmiddel(en), zand, water en mogelijks hulpmiddel(en). Deze definitie dekt ook de lading van wat nu historische mortels worden genoemd. De eerste sporen van het gebruik van een bindmiddel dateren van 6000 voor Christus waar gebruik wordt gemaakt van een bindmiddel uit gebakken rots (Çatal Höyük, Turkije). De evolutie in het gebruik van de verschillende bindmiddelen is samengevat in Figuur 6.1, [Van Gemert, 1995a]. De evolutie van de bindmiddelen hangt sterk samen met de technologische ontwikkeling, waarbij het ontdekken van hydraulische eigenschappen en het calcinatieproces een grote stap voorwaarts betekenden.
Prehistorie
Oudheid
Middeleeuwen
Moderne Tijd 1850
Natuurlijke bindmiddelen
Klei
190 0
1950
2000
Bitumen Babyloniërs en assyriërs
Luchthardende bindmiddelen
Plaaster
Kalkpuzzolanen
Hydraulische bindmiddelen
Egyptenare
Kalk
Romeinen
Cement, “romeins cement”, natuurlijke cement Hydraulische kalk Portland Cement Andere cementen op basis van klinker Aluminium cementen Synthetische harsen
Organische bindmiddelen
Bitumineuze produkten
Figuur 6.1: Gebruik van bindmiddelen vanaf de prehistorie tot onze dagen
6-3
De bindmiddelen worden klassiek ingedeeld in 3 groepen: - hydraulische bindmiddelen (cement (C), hydraulische kalk (HL)), - luchthardende bindmiddelen (luchthardende kalk (CL), - latent hydraulische bindmiddelen (puzzolaanaarde, Trass). Naargelang enkel cement aanwezig is, kalk wordt toegevoegd, of de mortel zuiver op basis van kalk is, spreekt men van cementmortel, bastaardmortel of kalkmortel. Nieuw metselwerk wordt vrijwel altijd opgetrokken met een zuivere cementmortel. Historische mortels zijn daarentegen in de meeste gevallen zuivere kalkmortels. In sommige gevallen wordt er een bindmiddel aan toegevoegd met latent hydraulische eigenschappen, zoals Trass (uit het Duitse Eifel afkomstig). De hydraulische eigenschappen activeren pas wanneer een katalysator aanwezig is, zoals cement of hydraulische kalk. Het kan beschouwd worden als een natuurlijk hulpmiddel. De luchthardende kalk heeft CO2 uit de lucht nodig om uit te harden. Dat kon bij dikke muren nogal eens problemen opleveren waar mede omwille van de beperkte porositeit, het diffusieproces van CO2 doorheen de mortel sterk vertraagd wordt. Er zijn gevallen bekend waarin de stootvoegen systematisch niet opgevuld zijn, een manier om lucht tot het binnenste van de muur toe te laten. Het kan jaren duren alvorens deze mortels volledig zijn uitgehard. Naargelang de samenstelling van het cement is recent (1994) een nieuwe indeling gemaakt. geeft een overzicht van de genormaliseerde cementsoorten met hun samenstelling.
Tabel 6.2
Aanduiding
Benaming
Samenstelling
Oude benaming
CEM I
Portlandcement
Klinker: 95-100%
P: Portlandcement
CEM II
Portlandcomposiet
Klinker (K), vliegas (V), PPZ: Puzzolaanslakken (S) en kalk (L) in portlandcement verschillende verhoudingen Klinker: 80-95 % Klinker: 65-79 %
hoogovencement
36/65
Klinker: 35-64 % hoogovenslakken: 36-65 %
HK: Hoogovencement
66/80
Klinker: 20-34 % hoogovenslakken: 66-80 %
HL:Hoogovencement
81/95
Klinker: 5-19 % hoogovenslakken: 81-95 %
LK: Permetaalcement
Klinker: 40-64 % hoogovenslakken: 18-30 % vliegas: 18-30%
/
CEM II/A-M CEM II/B-M CEM III/A CEM III/B CEM III/C CEM V/A
Samengesteld cement
Tabel 6.2: Overzicht van de genormaliseerde cementsoorten De norm NBN B14-001 (1985) definieert mortelsamenstellingen volgens sterkteklassen en bepaalt hun kenmerken voor metselwerk, Tabel 6.3. Er wordt gevraagd dat de mortel aangepast zou worden aan de mechanische karakteristieken van de verwerkte metselstenen. De traditionele samenstellingen van weleer worden als voorbeeld mortelsamenstellingen opgenomen, ter herinnering en om de overeenstemming met de prestatiemortel M1 tot M5 aan te duiden. Deze zijn enkel richtinggevend en waarborgen geenszins dat de vereiste prestaties gehaald worden, vermits aanmaak, verwerking en uithardingsomstandigheden sterk bepalend zijn voor het eindresultaat.
6-4
In de Europese norm EC6 wordt op een gelijkaardige wijze de mortel volgens zijn prestatie beoordeeld. De mortelcategorie wordt aangegeven door de letter M, gevolgd door zijn karakteristieke drukstertke. 2 Mortel M10 bijvoorbeeld heeft een karakteristieke druksterkte gelijk aan 10 N/mm . Naast het bindingsmateriaal, speelt het zand een grote rol. De matrix van de mortel bestaat voornamelijk uit zand. Het bepaalt mee de structuur en het uiterlijk van de mortel. Voor de kwaliteit van de mortel naar sterkte en vorstgevoeligheid toe, is de korrelverdeling of granulometrie van het zand essentieel. De korrelverdeling wordt bepaald overeenkomstig NBN B11-011 (1981), Tabel 6.4. Een aantal vuistregels geven de invloed van het zand op de mortel weer. Hoe grover het gebruikte zand voor het aanmaken van de mortel, hoe minder aanmaakwater nodig is en hoe moeilijker verwerkbaar (stroever) de mortel wordt, maar het leidt tot een grotere sterkte en een beperktere krimp. Voor metselmortel wordt een middelgrof tot grof zand gebruikt, terwijl fijn zand niet toegelaten is. Verbeterde karakteristieke sterkte van metseldelen volgens NBN B24301 [(f bk)corr in N/mm2]
Genormaliseerde mortelaanduiding
Gemiddelde druksterkte van de mortel op 28 dagen [f M in N/mm2]
Voorbeelden van mortelsamenstelling In massa (kg) bindmiddel 3 per m droog zand
In volumedelen Cement (C)
Kalkhydraat (CL)
Hydraulische kalk (HL)
zand
> 20
M1
20
C400
1
-
-
3
12 #(f bk)corr#48
M2
12
C300
1
-
-
4
8 #(f bk)corr#32
M3
C250 CL50
2
1
_
9
C200 HL100
2
-
1
10
C200 CL100
1
1
_
6
C150 HL150
1
-
1
7
C150 CL150
1
2.5
_
7
C100 HL200
1
-
2.5
11
HL400
-
-
2
5
8 5 #(f bk)corr#20
M4 5
2.5 #(f bk)corr#10
M5
2.5
Tabel 6.3: Normsamenstelling voor mortel [NBN B14-001, 1985] De kleur van het gebruikte zand is mede bepalend voor de kleur van de verharde mortel. Door menging van uiteenlopende verhoudingen van wit zand (vb. duinzand), geel zand (vb. groevezand) en grijs zand (vb. rivierzand) kunnen zandmengsels volgens een uitgebreid kleurenpalet samengesteld worden. Daarmee kan bij restauratiewerken de originele textuur en kleur zo goed mogelijk benaderd worden. Dikwijls zijn in oude mortels kalkinsluitsels zichtbaar. Deze wijzen op het gebruik van schelpkalk. Gemalen schelpen kunnen dit effect opnieuw weergeven. Het aanmaakwater laat toe dat de hydraulische bindmiddelen chemisch reageren en leiden tot chemische verbindingen. De mortel bindt en hardt uit. Het water moet zuiver zijn, waardoor een voorkeur wordt gegeven aan leidingwater of drinkbaar putwater. De hoeveelheid water die wordt toegevoegd is van cruciaal belang voor de sterkte-eigenschappen. Een minimum aan water is vereist om de chemische
6-5
binding te realiseren. Toevoegen van extra water bovenop wat minimaal vereist is, verhoogt de verwerkbaarheid. Dit leidt tot een hogere porositeit van de mortel en een daling in de sterkte. Het is dus een compromis tussen prestatie-eisen en handelbare uitvoering. ISO-zeef maaswijdte [mm]
2 1.0 0.50 0.25 0.125 0.080
Type zand - opgehoopte zeefrest [%] Middelgrof zand
Grof zand
Type A
Type B
Type C
0 0 0 - 15 30 - 50 80 - 90 100
0 0 15 - 30 50 - 95 90 - 100 100
0 5 - 25 20 - 50 50 - 80 85 - 100 100
Tabel 6.4: Indeling van zand volgens de korrelverdeling [NBN B11-011, 1981] Bovenop deze basisingrediënten worden vaak hulpstoffen toegevoegd aan de mortel. Dit is van alle dagen. Reeds in de oudheid bestond er een lijst van hulpstoffen die bepaalde eigenschappen van de mortel beïnvloedden: glaspoeder, stro, steenkool, paardenhaar, dierlijke uitwerpselen,... . Tot in de 19de eeuw is gebruik gemaakt van gemalen baksteen, tegels en dakpannen als hulpstof. Als kleurstof en inherente vulstof kan dit, mits voldoende fijn gemalen, goede diensten hebben bewezen. Op de verharding zal dit slechts een marginaal effect kennen. Meer recent worden de hulpstoffen beschreven in NBN T61. Een hulpstof wordt omschreven als een product dat aan de mortel wordt toegevoegd met de bedoeling bepaalde morteleigeschappen te verbeteren, ofwel in verse toestand, ofwel gedurende zijn binding of verharding, ofwel in verharde toestand. Er wordt onderscheid gemaakt tussen: § plastificeerders: maken de mortel beter verwerkbaar, minder stroef voor eenzelfde hoeveelheid aanmaakwater, § luchtbelvormers: zorgen voor een net van gesloten luchtbellen in de mortel. Dit verbetert de thermische eigenschappen en maakt de mortel lichter, § waterweerhoudende producten (=hydrophoberende producten), § bindingvertragers en bindingversnellers: beïnvloeden de reactietijd waarbinnen de mortel kan en mag verwerkt worden. Ze dienen allen met de nodige omzichtigheid gebruikt te worden en de richlijnen van de fabrikant moeten strikt opgevolgd worden om neveneffecten tot een minimum te beperken.
6-6
6.1.3 Mortel/steen combinatie - metselwerk Metselwerk is in de zuivere zin van het woord een composiet materiaal. Het is opgebouwd uit twee samenstellende componenten: baksteen en mortel. Deze opbouw kan zeer uiteenlopende vormen aannemen. Naargelang het aantal metselwerkschalen spreekt men van éénschalig of vol metselwerk (a), tweeschalig metselwerk of de klassieke spouwmuur (b) en meerschalig metselwerk (E: three leaf masonry) waarbij de ruimte tussen de schalen is opgevuld met een opvulmetselwerk, Figuur 6.2. (a)
(b)
(c)
Figuur 6.2: Eén- twee en meerschalig metselwerk. Een parement kan daarenboven nog op verscheidene manieren worden opgebouwd, afhankelijk van het gebruikte metselverband. NBN B24-002 (1986) geeft een overzicht van de verschillende metselverbanden die in België frequent voorkomen, Figuur 6.3 en Figuur 6.4. De maatvoering van de baksteen is veelal zodanig dat ze meest geschikt zijn voor een welbepaald metselverband. Wanneer de metselstenen dezelfde breedte hebben als de gewenste dikte van het parement, dan worden de stenen alle in dezelfde richting in het verband geplaatst. Naargelang de afstand tussen de verticale voegen maakt men onderscheid tussen, Figuur 6.3: halfsteensverband (a), 1/3 verband (b) en 1/4 verband of klezorenverband (c).
(a)
(b)
(c)
Figuur 6.3: Verschillende verbanden met enkel strekken Wanneer bij de metselstenen de breedte gelijk is aan de helft van de lengte min de voegdikte, kunnen verbanden gerealiseerd worden waarbij afwisseld koppen en strekken in het dagvlak van de muur verschijnen. Deze verbanden laten toe muren te metselen waarvan de dikte gelijk is aan de volledige steenlengte. De meest courante verbanden zijn, Figuur 6.4: kruisverband -type “openbare werken” (a) en type “privé-bouwwerken” (b), kettingverband (c), Vlaams verband (d) en staand verband (e).
6-7
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Figuur 6.4: Steenverbanden met koppen en strekken
6.2 Sterkte van metselwerk De sterkte van metselwerk bepaalt de wijze waarop metselwerkontwerpen tot stand kwamen en komen. Vanuit historisch perspectief is metselwerk een losse stapelstructuur. Het metselwerk wordt enkel op druk belast. Metselwerk is immers redelijk sterk in druk. Recenter wordt het gebruik van metselwerk uitgebreid naar andere structurele elementen, waarbij het niet enkel meer op druk wordt belast, maar ook op afschuiving en zelfs op trek. Metselwerk heeft een redelijke weerstand tegen afschuiving volgens de horizontale voegen. Daarentegen is het zwak in trek. Wanneer metselwerk wordt ontworpen in trek, neemt men zijn toevlucht tot gewapend metselwerk. Specifiek aan metselwerk is dat het een redelijk bros materiaal is, zeker in trek. In druk blijft het lineair-elastisch tot ongeveer 2/3 van de breukspanning, Figuur 6.5. Daarna ontstaat een plastische zone waarbij de eerste microscheuren optreden en er een progressie is van het scheurpatroon. Na de breuklast wordt het metselwerk verder verbrijzeld. De mate waarin het metselwerk, belast op druk, bros is, hangt voornamelijk af van de gebruikte mortel. Een kalkmortel heeft een meer uitgesproken plastisch gedrag en is meer vervormbaar, wat het minder brosse karakter van historisch metselwerk verklaart, Figuur 6.5. In praktijk werkt het metselwerk aan lage drukspanningen. 2 In historische gebouwen loopt de drukspanning zelden op tot boven 1 N/mm . Ook in de traditionele 2 woningbouw is de drukspanning in het metselwerk laag, zelden hoger dan 0.5 N/mm .
6-8
8
elastisch plastisch fc
6
580 mm
post-breuk 572 mm
Spanning σ [MPa]
7
5 2/3 fc
4 3 2
E
1 0 -0.005
-1
0 ft
0.005
0.01
0.015
0.02
Rek ε [mm/mm]
Figuur 6.5: Spanning-rek verloop voor metselwerk - vergelijking met experimentele resultaten op metselwerk met handgevormde steen moduul 50 en bastaardmortel met hydraulische kalk In trek is het materiaal nagenoeg lineair-elastisch tot aan de breuk en valt de sterkte na breuk plots volledig weg: een brosse breuk dus. De treksterkte van metselwerk is bij benadering maar 1/10 van de druksterkte. Dit verklaart waarom de originele ontwerpen voornamelijk op de druksterkte van het materiaal zijn gebaseerd. Omwille van de lage treksterkte en het brosse gedrag in trek is een frequent voorkomend schadepatroon voor metselwerk scheurvorming. Vaak gaat het dan om trek- en/of afschuifscheuren. Deze kunnen verscheidene oorzaken hebben: opgelegde verplaatsingen, differentiële zettingen, te hoge horizontale of laterale lasten, uitknikken van de structuur ten gevolge van zijn slankheid, of uitknikken van de metselwerkschalen opgevuld met vulmateriaal of opvulmetselwerk (E: rubble stone masonry).
6.2.1 Bepalen van de druksterkte van metselwerk De druksterkte van metselwerk kan experimenteel worden bepaald, zowel in situ op het bestaande gebouw als in laboratorium. De Belgische norm schrijft een aantal standaardproeven voor waaruit de druksterkte van metselwerk kan worden afgeleid: drukproeven op muurtjes (NBN B24-211) en drukproeven op muren (NBN B24-212). De verschillende proeftechnieken worden afzonderlijk besproken in paragraaf 6.5. “Meettechnieken”. Omdat het bepalen van de druksterkte op werkelijke schaal hoge kosten met zich meebrengt en praktisch niet steeds kan worden uitgevoerd op bestaand metselwerk, bestaat de mogelijkheid de druksterkte van het metselwerk af te leiden uit de sterkte van de materialen. De Belgische norm NBN B24-301 en de Europese norm EC6, reiken beide een methode aan om de sterkte van het metselwerk te berekenen aan de hand van de materiaalsterktes. De karakteristieke druksterkte van het metselwerk overeenkomstig EC6 wordt berekend aan de hand van de gemiddelde druksterktes van de materialen:
f k = K (δ fb ) 0. 65 (fm )0. 25
(6.1)
6-9
Hierin zijn: 2 § fk: de karakteristieke druksterkte van het metselwerk [N/mm ], § K: een constante die functie is van het type metselsteen en de aard van het metselwerk 0.1 [N/mm ]. De waarde van K varieert tussen 0.40 en 0.60 [EC 6, pg. 51-52.], § *: de vormfactor om over te gaan naar de genormaliseerde druksterkte voor de metselsteen. De vormfactor * houdt rekening met de invloed van het formaat van de metselsteen op de gemeten druksterkte. De rekenformule werd opgesteld op basis van een kubus van 100 x 100 mm. In functie van het formaat van het proefstuk varieert de vormfactor tussen 0.70 en 1.15 [EC 6, table 3.2, pg. 44; ENV 772], 2 § fb: de gemiddelde druksterkte voor de metselsteen [N/mm ], 2 § fm: de gemiddelde druksterkte voor de mortel [N/mm ]. De karakteristieke druksterkte van het metselwerk overeenkomstig NBN B24-301 wordt bepaald aan de hand van een tabel, waarbinnen interpolatie toegestaan is, Tabel 6.5. Net zoals bij EC6 wordt in de Belgische Norm NBN B24-301 de sterkte van de baksteen gecorrigeerd voor het formaat:
(fbk )corr
= c × fbk
(6.2)
Hierin is: • c: een vormfactor. De waarden voor c varieren tussen 0.86 en 1.73, overeenkomstig Tabel 3, pg 9, NBN B24-301 (1980), • fbk: de karakteristieke druksterkte van de baksteen. De verschillende mortelcategoriën stemmen overeen met een verschillende sterkte. weergegeven in paragraaf 6.1.2. “Metselmortel”. 2
(fbk)corr voor baksteen [N/mm ]
Deze zijn
Mortelcategorie M1
M2
M3
M4
M5 2
karakteristieke druksterkte voor de mortel fk [ N/mm ] $60 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 2.5
17.7 15.5 13.2 16.5 13.8 11.5 15.3 12.8 10.5 14.3 12.0 10.0 13.3 11.0 9.0 12.2 10.0 8.0 10.9 9.2 7.3 9.6 8.0 6.3 8.2 6.8 5.3 5.9 5.3 4.2 3.3 3.1 2.7 1.6 1.6 1.6 Tabel 6.5: Karakteristieke druksterke voor metselwerk [NBN B24-301, 1980]
12.0 10.2 9.5 8.5 7.7 7.0 6.2 5.3 4.5 3.6 2.5 1.6
10.0 8.5 8.0 7.0 6.5 6.0 5.3 4.5 3.8 3.0 2.2 1.6
6.2.2 Metselwerk belast met een excentrische drukkracht Zelden grijpt een verticale last centrisch aan. Dit heeft gevolgen op de spanningsverdeling in het metselwerk. Wanneer de excentriciteit groot wordt, kan dit aanleiding geven tot trekscheuren in het metselwerk. Zelfs dan is er nog geen onmiddellijk structureel gevaar, Figuur 6.2. Wanneer de verticale last (P) centraal aangrijpt, zal de spanning uniform verdeeld zijn over de doorsnede, Figuur 6.6.a. Treedt een beperkte excentriciteit op, dan zal dit leiden tot een lineair spanningsverloop over de dwarsdoorsnede, Figuur 6.6.b.
6-10
Figuur 6.6: Spanningsverdeling onder excentrisch aangrijpende belasting
6-11
Zolang de verticale belasting aangrijpt binnen de middenkern, zal ieder punt in de dwarsdoorsnede onder druk staan. Voor een vierkante sectie komt deze middenkern overeen met een vierkant waarvan de zijde t/3 meet. Op de grens waar de excentriciteit juist overeenstemt met t/6, zal de drukspanning aan één zijde terugvallen tot nul, Figuur 6.6.c. Verdere toename van de excentriciteit heeft trekspanningen tot gevolg, Figuur 6.6.d. Omdat de treksterkte van het metselwerk beperkt is, kunnen deze trekspanningen niet opgenomen worden en zal het metselwerk scheuren. Er zal een spanningsherverdeling optreden totdat de inwendige spanningen opnieuw in evenwicht zijn met de uitwendige belasting, Figuur 6.6.e. Verdere toename van de excentriciteit leidt tot een meer dan evenredige toename van de drukspanningen die steeds verder geconcentreerd worden op een kleinere niet-gescheurde dwarssectie, dit tot de druksterkte van het metselwerk bereikt wordt en de tip wordt verbrijzeld onder de excentrische drukkracht: het metselwerk begeeft, Figuur 6.6.f. In de praktijk zal bij historisch metselwerk de zwakke (kalkmortel) voeg plastisch vervormen en/of verbrijzelen totdat de ganse sectie die op druk belast wordt de maximale spanning bereikt, Figuur 6.6.g. Op deze laatste plastische fase wordt zelden gerekend. Bij sterk vervormde metselwerkbogen doet ze zich wel eens voor. Ingeval de stenen koud op mekaar worden geplaatst, is enkel de sterkte van de metselsteen maatgevend. Aangezien de druksterkte van metselstenen en natuursteen een stuk hoger ligt dan die van kalkmortel, leidt dit tot een grotere toelaatbare excentriciteit. Het spanningsverloop in functie van de excentriciteit is grafisch samengevat in Figuur 6.7 voor het voorbeeld van een kolom met afmetingen 600x600 mm, excentrisch belast. Dit voorbeeld wordt hierna verder uitgewerkt.
5
t = 600 mm, P = 72 kN 2 2 fm = 1N/mm ; fc = 4 N/mm
4
σ=oo σ=fc
e=t/6
2
Spanning σ [N/mm ]
4.5
3.5
ongescheurd
3 2.5
600
1.5
falen
verbrijzelen metselstenen
600
2
gescheurd
e=t/2
metselstenen-koud contact bezwijken voegmortel
1
emax,el emax,pl
0.5 0 0
20
40
60
80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300
Excentriciteit e [mm] Figuur 6.7: Drukspanning en scheurvorming als functie van de optredende excentriciteit voor de drukkracht op een kolom 600 mm x 600 mm
6.3 Bogen, koepels en gewelven 6.3.1 Krachtswerking in een boog Kolommen, pijlers en wanden dragen verticale lasten door het ontwikkelen van verticale drukspanningen, zoals beschreven in vorige paragraaf. Bogen, gewelven en koepels dragen verticale lasten door het ontwikkelen van spanningen die de vorm van de structuur volgen. Om het gedrag van deze structuren visueel voor te stellen, is het spiegelbeeld van een eenvoudige boog een goed hulpmiddel. Dit is het beeld van een slappe koord, opgehangen aan twee steunpunten A en B,
6-12
figuur 8. De slappe koord kan enkel zuivere trekkrachten opnemen. Het eigengewicht van de slappe koord wordt verwaarloosd. Figuur 6.8.a toont aan de linkerzijde een slappe koord, die op twee punten A en B wordt vastgehouden en die onderworpen wordt aan 4 puntlasten P1, P2, P3 en P4. De 4 puntlasten zijn verticaal en hebben voor de eenvoud dezelfde grootte. Aan de rechterzijde van figuur 8.a wordt de krachtenveelhoek weergegeven waaruit de trekkrachten in de verschillende delen van de koord worden bepaald, uitgaande van de verticale krachten Pi. R p is de resultante van de verticale krachten, R a en R b zijn de reactiekrachten in respectievelijk de ophangpunten A en B. Het diagramma wordt geconstrueerd door de convergerende lijnen R A, 1-2, 2-3, 3-4 en R B evenwijdig aan de respectievelijke stukken koorde te tekenen op de figuur aan de linkerzijde. Merk op dat, hoewel de lasten Pi verticaal aangrijpen, de reacties in de koord geheld zijn en daardoor ook een horizontale component ontwikkelen. De koord tracht de eindpunten A en B naar mekaar toe te trekken, wat wordt verhinderd door het opnemen van de reactiekrachten in de steunpunten A en B: R A en R B. Wanneer nu opnieuw naar het originele beeld van de boog wordt gekeken, waarbij de lasten Pi verticaal naar beneden blijven werken, verkrijgt men de typische boogwerking. De koord is nu een reeks van drukschoren geworden, die samen een druklijn uitmaken. Metselwerk beantwoordt typisch aan het inverse materiaalgedrag van een koord. Het materiaal kan goed drukkrachten opnemen, maar (zo goed als) geen trekkrachten. Hoewel de aangrijpende krachten enkel verticaal zijn georiënteerd, zijn de reacties in het metselwerk geheld en hebben ze een horizontale component. De boog heeft de neiging de steunpunten A en B naar buiten te drukken, wat wordt verhinderd door de steunpunten, die de reactiekrachten R A’ en R B’ opnemen. Een ander belangrijk element dat uit de koord-analogie kan worden afgeleid, is dat de vorm van de koord bepaald wordt door de positie en de grootte van de verticale lasten Pi en dus niet door de vorm van de boog zelf (wanneer het eigengewicht van de boog verwaarloosd wordt). Bij het ontwerpen van een boog kunnen dus volgende fazen worden onderscheiden: - bereken de lasten die inwerken op de boog, - bepaal de druklijn die deze lasten verbindt met de steunpunten, - construeer daaromheen een boog, zodat de druklijn binnen het metselwerk gelegen is zodat de toelaatbare materiaalgrenzen niet overschreden worden. Dit laatste werd reeds in de vorige paragraaf toegelicht. Zolang de druklijn binnen de middenkern van de dwarsdoorsnede van de boog gelegen is, zal de volledige sectie onder druk staan. Gaat de druklijn buiten deze middenkern, dan zullen trekscheuren ontstaan en zullen de drukspanningen verder geconcentreerd worden. In functie van de druksterkte van het metselwerk is een maximale drukspanning toelaatbaar, die de maximaal toelaatbare excentriciteit definieert. In praktijk zijn vele bogen opgetrokken uit natuursteen of baksteen. Bij de oudste bogen werden de stenen koud op mekaar gestapeld. Bij recentere bogen is een bindmiddel of voegmateriaal aanwezig De stenen hebben daarbij een sterkte die veel hoger ligt dan die van tussenliggend het voegmateriaal. 2 De sterkte van natuursteen kan ruwweg op 40 N/mm begroot worden, die van baksteen is meestal lager 2 2 dan 10 N/mm . Kalkmortel heeft daarentegen vaak een beperktere druksterkte tot 1 à 2 N/mm . Daardoor wordt bij grote excentriciteiten de mortelvoeg verbrijzeld tot de stenen opnieuw koud contact 2 maken. Voor het voorbeeld uit Figuur 6.7 is de sterkte van het steenmateriaal 4 N/mm . De maximaal toelaatbare excentricteit is dan e = 0.467t, zoals kan worden afgeleid uit figuur 7. In de praktijk wordt er meestal van uitgegaan dat de druklijn tot 5% (e = 0.450t) van de rand van de boog mag lopen om een voldoende veiligheid te garanderen. Er wordt op een nuttige sectie van 90% van de totale sectie gerekend. Deze maximale excentriciteit werd initieel opgesteld voor gotische bogen, waar de sterkte van de steen haast nergens critisch is. Voor zwaar belaste bogen, of bogen die opgetrokken zijn uit zachte steen of baksteen, moet de maximale excentriciteit mogelijks verlaagd worden naar 15 % (e=0.425t) om het verbrijzelen van de stenen te vermijden. Algemeen kan de maximaal toelaatbare excentriciteit in functie van de druksterkte van het metselwerk worden afgeleid, analoog aan Figuur 6.7.
6-13
P2
P3
P1
P4
RA P4
RA
RB
P3
1-2 2-3
P2
3-4
RP P1
P1
RB
P4 P2
RA’
P3 R B’
P2
P3 P4
P1 F f1
F
RB
P4
RB
P3
f2
P2
H
fmin
P1
RA
l RA’
R B’ H B,1 H B,2 P2
H B,max
P3
P4
P1
P4
F
RB P3 H’
P2 P1
l’ RA
RB
Figuur 6.8: Boogwerking 6-14
Hieruit volgt dat scheuren in een boog niet onmiddellijk tot een gevaarlijke situaties leiden. Zolang een druklijn kan gevormd worden die de steunpunten verbindt en binnen de gestelde marges in de boog gelegen is, is de boog stabiel. Wanneer deze druklijn buiten de middenkern valt, dan moet de boog scheuren. De boog moet dus scheuren om een stabiele spanningsherverdeling te realiseren zodat het de uitwendige lasten kan overdragen op de steunpunten. De gescheurde toestand kan aldus als de normale toestand worden aanzien. Dit wordt vertaald in het veiligheidstheorema: “Als een druklijn kan gevonden worden welke in evenwicht is met de uitwendige belasting en geheel binnen het metselwerk ligt, dan is de structuur veilig.” Zoals het veiligheidstheorema doet vermoeden is de druklijn niet enig, Figuur 6.8.b. Uit de krachtenveelhoek van Figuur 6.8.b volgt dat er nog andere mogelijkheden tot een evenwicht leiden tussen de inwendige en uitwendige krachten die gelegen zijn binnen de boog. Dit zijn valabele oplossingen. Daarbij is in de steunpunten de grootte van de horizontale component van de reactiekracht niet gelijk. Ze hangt af van de hoogte van de druklijn (f). Wanneer de hoogte f toeneemt, daalt de horizontale component. Wanneer de hoogte van de druklijn afneemt - in uiterste tot fmin - dan stijgt de horizontale component - maximaal tot H max. Er zal dus een minimale en een maximale horizontale reactiecomponent als twee uitersten kunnen berekend worden, uitgaande van de mogelijke uiterste druklijnen. Dit verband kan rekenkundig worden afgeleid, Figuur 6.8.b, uitgaande van de halve symmetrische constructie. In de sleuteldoorsnede is de de verticale krachtscomponent gelijk aan nul. De resultante in de sleuteldoorsnede is de sleuteldruk H. Weze F = P3+P4 de resultante van de aangrijpende vertikale belastingen voor een halve boog, dan volgt uit het evenwicht:
H =
F (l − x ) f
(6.3)
De horizontale component is evenredig met de totale last (F) en met de afstand tussen de steunpunten (lx), Figuur 6.8.c en is omgekeerd evenredig met de hoogte van de boog (f). Wanneer de afstand tussen de steunpunten toeneemt van l naar l’, zal de horizontale component H evenredig toenemen naar H’, Figuur 6.8.c.
6.3.2 Zelfregulerend effect van een boog Wanneer een boog afdraagt op twee muren en deze onvoldoende zijdelings gesteund zijn, kan het voorkomen dat de twee ‘steunpunten’ zijdelings naar buiten verplaatsen, Figuur 6.9. De boog zal trachten om dit te compenseren door te scheuren. Scheuren ontstaan aan de ‘intrados’ ter hoogte van de sleutel en aan de ‘extrados’ ergens boven de aanzet of geboorte. Als gevolg daarvan ontstaat er eigenlijk een nieuwe boog met overspanning l’ en hoogte f’, die afdraagt op twee consoles. Er ontstaat in extremis een enige druklijn die bovenaan ter hoogte van de sleutel de bovenrand van de boog raakt en boven de geboorte de binnenrand van de boog raakt. Daardoor wordt de overspanning kleiner terwijl de hoogte van de boog slechts een weinig verandert. Dit heeft tot gevolg dat de horizontale resultante afneemt tot een waarde die opnieuw door de ondersteunende wanden kan worden opgenomen.
6-15
P2
P3 P4
P1
f’
f
l’ Steunpuntsverplaatsing
l H H’
Figuur 6.9: Steunpuntszetting en zelfregulerend effect van een boog
6.3.3 Luchtbogen Om de horizontaal naar buiten toe werkende krachten van de gewelfbogen op te nemen worden luchtbogen toegevoegd. Daarmee wordt de horizontale component verder afgeleid naar extra steunberen buiten de kerk. Voordeel daarbij is dat de steunberen onder de gewelven slanker kunnen worden uitgevoerd. Ze moeten immers enkel de verticale component van de drukkrachten opnemen. De afstand tussen de slanke steunberen kan dan worden ingevuld door hoge glasramen, een schoolvoorbeeld van gotiek. Stel dat de luchtboog met zeer rudimentaire vorm als voorgesteld in Figuur 6.10, doorzakt als na het bouwen de stellingen worden weggenomen. Dan worden 3 scharnieren gevormd: I0, IL en EX. De stippellijn geeft deze ‘passieve’ druklijn weer. Passief omdat de druklijn in dat geval geen actieve rol speelt bij het ondersteunen van de gewelven. Veronderstel dat w het gewicht per strekkende meter is van de luchtboog, horizontaal geprojecteerd. Coulomb (1773) stelt dat de waarde van H een maximum moet zijn, of met andere woorden dat de luchtboog een maximale steundruk opzoekt. Hieraan is voldaan wanneer de druklijn raakt aan de ‘extrados’ (EX) voor x = L/2. Dan geldt:
H =
wL 2 8b
(6.4)
Merk op dat de waarde van de passieve steundruk H steeds kleiner moet zijn dan de druk afkomstig van de gewelven opdat het gewelf niet binnenwaarts zou gedrukt worden door de boog. *
Beschouwen we nu dezelfde luchtboog, waarop nu een toenemende horizontale kracht H wordt op uitgeoefend, afkomstig van de gewelfboog. De luchtboog speelt nu een actieve rol in de ondersteuning van het gewelf. Deze ‘actieve’ druklijnen zijn met volle lijn aangeduid in figuur 10. De locatie waar de * druklijn de ‘extrados’ raakt, is functie van H :
6-16
x =
2 bH * w
(6.5) *
2
*
Deze betrekking is geldig voor x < L of H < wL /2b . Voor nog grotere waarden van H loopt de druklijn * rechtstreeks van I0 naar EL. De theoretische H kan aldus verhoogd worden tot verbrijzeling van de steen.
w
H of H*
Ex
I0 V
EL
b L/2 IL
x L Figuur 6.10: Werking van een luchtboog
6.3.4 Veiligheid van bogen De mate waarin een metselwerk boog in staat is zich aan te passen aan zijn omgeving, kan worden weergegeven in 3 veiligheidsfactoren. De eerste veiligheidsfactor - " g of geometrische veiligheidsfactor - geeft aan in hoevere de geometrie geschikt is, Figuur 6.11.a, om de lasten over te dragen naar de steunpunten. De dikte van de boog wordt geleidelijk aan verminderd, tot de druklijn uniek is en aldus de kritieke situatie wordt bereikt, Figuur 6.11.b, waarbij de druklijn op 4 plaatsen net op de rand de boog raakt en aldus een mechanisme ontstaat. De originele dikte gedeeld door de kritieke dikte geeft de geometrische veiligheidsfactor. De tweede veiligheidsfactor - " S of statische veiligheidsfactor - weerspiegelt de capaciteit van de boog om een niet-compatibele last op te nemen, Figuur 6.11.c. De uitwendige belasting F wordt geleidelijk verhoogd tot opnieuw de druklijn enig is en raakt aan de boog: een kritieke toestand, Figuur 6.11.d. Deze ultieme last of breuklast, gedeeld door de reële belasting is een maat voor de veiligheid van de boog onder de externe belasting. Tot slot is er nog de capaciteit tot aanpassen van de boog aan mogelijke steunpuntszettingen - " k of de kinematische veiligheidsfactor - Figuur 6.11.f. De kinematische veiligheidsfactor geeft het vermogen weer van de boog om steunpuntszettingen te ondergaan, Figuur 6.11.g. Zolang de veiligheidsfactoren groter zijn dan 1, is de structuur veilig. De mate waarin ze groter zijn dan 1, is een maat voor de resterende veiligheidsmarge.
6-17
Figuur 6.11: Veiligheid van bogen [Smars, 2000]
6.3.5 Koepels Het structureel gedrag van koepels is complex daar er krachten in betrokken zijn in de drie dimensies waarbij zowel buigspanningen, trek- alsook drukspanningen voorkomen. Nochtans is het mogelijk twee aannames te maken die het geheel van berekeningen sterk vereenvoudigen. Elk van die twee uitgangspunten verklaart daarenboven gedeeltelijk het werkelijke structureel gedrag van een koepel. In eerste benadering wordt een koepel gelijkgesteld met een schaalstructuur. De dikte van de koepel is klein ten opzichte van de andere dimensies, zoals de overspanning, Tabel 6.6. Omwille van die kleine dikte kan de schaal geen buigmoment opnemen. Locatie
Overspanning L [m]
Schaaldikte d [mm]
L/d-verhouding
St. Pieter, Rome Frauenkirche, Dresden Kippe-ei Zeis Planetarium, Jena Grote Markt, Bazel Salle d’Expositions, Paris
40 24 0.04 40 60 205
3000 1250 0.4 60 85 130
13 19 100 667 700 1570
Tabel 6.6: Verhouding tussen schaaldikte en overspanning van enkele bestaande koepels
6-18
Wanneer de basisprincipes van evenwicht worden toegepast op zulk een schaal, wordt een set van differentiaalvergelijkingen verkregen. Met een gekende geometrie kunnen deze opgelost worden en geven ze aan hoe de inwendige spanningen in evenwicht zijn met de uitwendige belasting. In het eenvoudigste geval van een halve bol met straal (a) enkel belast op zijn eigen gewicht (w), kunnen volgende spanningsverlopen berekend worden, Figuur 6.12:
nφ =
w ×a 1 + cos φ
(6.6)
Figuur 6.12: Membraanspanningen in een half bolvormige koepel Volgens de meridianen (de krommen die een doorsnede tussen de het koepeloppervlak en verticale vlakken door de apex volgen) zijn er steeds drukspanningen (nN).
n θ + n φ = −w × a × cosφ
(6.7)
De spanningen volgens de parallelcirkels, of omtrekspanningen (n2)(E: hoop stresses), wijzigen van druk naar trek over de hoogte van de koepel. De nuldoorgang gebeurt bij ongeveer 52E. Wanneer een koepel aldus als een membraanschaal werkt, moet het die omtrekspanningen in trek onderaan kunnen opnemen. Een halfbolvormige koepel in metselwerk zal een neiging tot barsten vertonen aan de basis, omdat het metselwerk zwak is in trek. De tweede benadering komt tegemoet aan dit euvel en gaat uit van een koepel als een serie van boogsegmenten. Elke boog bestaat uit twee ‘appelsienschil’-vormige segmenten die uit de koepel gesneden worden door verticale vlakken door de apex, Figuur 6.13. Voor deze bogen kan opnieuw de druklijn berekend worden. Wanneer deze niet buiten de ‘intrados’ of ‘extrados’ gelegen zijn, dan is de boog stabiel. Wanneer de boog stabiel is, zal ook de volledige koepel die een aanneenschakeling is van deze boogsegmenten, stabiel zijn. Daarbij is het mogelijk dat de boog scheuren vertoont volgens de meridianen, aangezien dit het verloop van de druklijnen in de boogsegmenten niet beïnvloedt. Nadeel van dit model is dat daardoor bovenaan, waar de boogsegmenten oneindig dun worden, een oneindig grote drukspanning ontstaat.
6-19
Figuur 6.13: Boogwerking in een koepel In praktijk zal een mengeling van bovenbeschreven modellen het reële structurele gedrag benaderen. Wanneer de helling kleiner is dan deze waarop de omtrekspanningen van teken wisselen, zal waarschijnlijk het ‘membraan’-gedrag domineren. Daar beneden zal het ‘appelsienschil’-model beter aansluiten bij de realiteit. Daarmee worden de beperkingen van de beide m echanismen gecompenseerd. Radiale scheurvorming in het benedengedeelte van de koepel zijn daarom niet noodzakelijk alarmerend. Wanneer ze echter continu toenemen, geven zij aan dat onderaan de koepel de horizontale krachtcomponent onvoldoende kan worden opgenomen. Dit is omdat koepels, net zoals bogen, spatkrachten ontwikkelen aan de basis, die door de steunpunten moeten worden opgenomen. Dit ongeacht of het gedrag van de koepel als ‘membraan’ dan wel als ‘appelsienschil’ wordt bestudeerd. Om deze redenen werden onderaan ijzeren ringen ingemetseld bij het bouwen van onder andere de koepel van de St. Pietersbasiliek te Rome.
6.3.6 Gewelven Een gewelf is een combinatie van ribben en gewelfschalen. De gewelfschalen dragen de belasting over naar de ribben, die ze op hun beurt verder afdragen naar de pijlers. De ribben werken daarbij als bogen, de gewelfschalen als stukken van een koepel. Bij de berekening kan opnieuw gebruik worden gemaakt van de membraantheorie. Voor geometrisch geïdealiseerde vormen (cirkelvormig en constante dikte) kan alzo een analytische oplossing gevonden worden die inzicht verschaft in het structureel gedrag. In de praktijk is de vorm van de gewelfschalen meestal niet cirkelvormig. In vele gevallen is ook de (eigen-)belasting niet constant per oppervlakteeenheid van de gewelfschalen. Daarom wordt het evenwicht van het gewelf gecontroleerd met een benaderende techniek. De gewelfschalen worden opgedeeld in verticaal staande bogen, Figuur 6.14. Voor elk van deze bogen worden de horizontele en verticale steunpuntskrachten )V en )H berekend. Deze steunpuntskrachten worden vervolgens als belasting op de ribben overgebracht. Met de gekende geometrie van deze kruisribben kan vervolgens de druklijn in de kruisribben berekend worden en de lastenafdracht naar de pijlers toe. Merk op dat voor deze methode de geometrie van het gewelf nauwkeurig moet worden opgemeten.
6-20
Figuur 6.14: Opdeling van de gewelfschaal in verticale bogen
6.4 Andere structurele elementen Naast de druksterkte die de voornaamste parameter is bij het ontwerp van historisch metselwerk, wordt voor recenter metselwerk ook beroep gedaan op zijn weerstand tegen afschuiving en zijn buig(trek)sterkte. Figuur 6.15 geeft een geïdealiseerd beeld van het structureel gedrag van een bouwwerk in de opname van de horizontale windbelasting.
Figuur 6.15: Horizontale lastenverdeling De voorgevel neemt deze belasting op en wordt daardoor belast op buiging in het vlak. De reactiekrachten aan de uiteinden van de voorgevel e l iden tot dwarskrachten in de zijgevel. Deze werken als stijve schijven (E: shear wall) in de opname van de dwarskracht. Aan dit structureel gedrag wordt
6-21
zowel aandacht besteed in de Belgische norm NBN B14-301 als in de Europese norm EC6. recenter onderzoek op metselwerk richt zich op dit terrein.
Ook
Voor de weerstand tegen aardbevingen is de afschuifsterkte eveneens van groot belang. De voornamelijk horizontale verplaatsingen, snelheden en versnellingen van de grondbewegingen ten gevolge van de seismische actie, leiden tot een horizontale krachtswerking op het gebouw, die schuifspanningen introduceert. De mate waarin deze kunnen worden opgenomen door het bouwwerk hangt voornamelijk af van de afschuifsterkte van het metselwerk waaruit het is opgetrokken.
6.4.1 De afschuifsterkte van metselwerk Overeenkomstig de Belgische Norm NBN B24-301 (1980) wordt de afschuifsterkte experimenteel bepaald, of overgenomen uit een proefondervindelijk opgestelde relatie, die beantwoordt aan de wrijvingswet van Coulomb (J=c+F.tan(N)):
fvk fvk ,0 + 0 .4σ g ≤ fvk ,lim
(6.8)
Karakteristieke afschuifsterkte volgens de Belgische Norm NBN B24-301 (1980) Druksterkte van de 2 baksteen fbk,corr [N/mm ] #15
> 15
2
Mortelcategorie
fvk0 [N/mm ]
M1 - M2 - M3
0.3
M4 - M5
0.2
M1 - M2 - M3
0.3
M4 - M5
0.2
2
fvklim [N/mm ]
1.0
1.2
Karakteristieke afschuifsterkte voor metselwerk volgens de Europese Norm EC6 (1995) 2
2
Baksteen kwaliteit
Mortelcategorie
fvk0 [N/mm ]
fvklim [N/mm ]
Groep 1, Klei
M10-M20 M2.5-M9 M1 - M2
0.3 0.2 0.1
1.7 0.5 0.2
Groep 1, natuursteen
M10-M20 M2.5-M9 M1 - M2
0.2 0.15 0.1
1.7 1.5 1.2
Groep 1, andere
M2.5-M9 M1 - M2
0.15 0.1
1.0 1.0
Groep 2a, klei
M10-M20 M2.5-M9 M1 - M2
0.3 0.2 0.1
0.15 fb
Groep 2a andere en 2b
M10-M20 M2.5-M9 M1 - M2
0.2 0.15 0.1
Groep 3, klei
M10-M20 M2.5-M9 M1 - M2
0.3 0.2 0.1
1.4 1.2 1.0 1.4 1.2 1.0
0.065 fb
Tabel 6.7: Afschuifsterkte van metselwerk [NBN B24-301, 1980 en EC6, 1995] Hierin is:
6-22
§ § §
fvk de karakteristieke afschuifsterkte van het metselwerk, fvk0 de karakteristieke afschuifsterkte van het metselwerk, zonder verticale samendrukking, Fg: de drukspanning van het metselwerk onder karakteristieke blijvende belastingen op het beschouwde peil.
De waarden van fvko en van fvk,lim zijn in Tabel 6.7 opgenomen. Daaruit blijkt dat fvk0 en fvk,lim functie zijn van de kwaliteit van zowel de baksteen alsook van de mortel. De Europese Norm EC6 geeft een volledig gelijkaardige methode voor het bepalen van de afschuifsterkte van metselwerk. Ook hier wordt er de nadruk op gelegd dat de afschuifsterkte bij voorkeur experimenteel wordt bepaald. Zijn geen proefresultaten voorhanden, dan kan een analoge formule gehanteerd worden:
fvk = fvk , 0 + 0 .4σ d ≤ fvk ,lim
(6.9)
Hierin hebben de symbolen dezelfde betekenis, op Fd na. Fd is de ontwerpdrukspanning loodrecht op het afschuifvlak. De waarden voor fvk0 en fvk,lim zijn mee opgenomen in Tabel 6.7. Opnieuw zijn ze functie van de kwaliteit van baksteen en mortel.
6.4.2 De buigtreksterkte van metselwerk De treksterkte van metselwerk is beperkt. Daarom wordt ze bij de berekening van bogen en gewelven verwaarloosd. Dit is een veilige benadering. Voor de karakteristieke buigtreksterkte van metselwerk verwijst zowel de Belgische Norm NBN B24-301 alsook de Europsese Norm EC6 naar proefresultaten. In afwezigheid van resultaten mag hierop niet gerekend worden overeenkomstig de EC6. De Belgische norm daarentegen geeft twee richtwaarden naargelang de buigingsas evenwijdig dan wel loodrecht met de horizontale voegen loopt, Figuur 6.16.a en Figuur 6.16.b. De karakteristieke buigsterkte mag in het 2 2 eerste geval gelijk genomen worden aan 0.25 N/mm en in het tweede geval 0.5 N/mm . Voorwaarde is 2 wel dat de karakteristieke druksterkte van de baksteen groter dan 10 N/mm bedraagt en de mortel kwaliteit minstens M4 bedraagt. Bij historisch metselwerk zal dit laatste zelden het geval zijn. Proefresultaten op proefstukken van enige omvang wijzen ondertussen uit dat deze buigtreksterkte niet zo klein is als algemeen wordt aangenomen, Tabel 6.8.
Figuur 6.16: Buigproeven op metselwerkproefstukken [NBN B24-301, 1980]
6-23
Oriëntatie
mortelsamenstelling [c:k:z]
0 (verticaal: ffl,xx) 1:½ :4 ½ 30 1:½ :4 ½ 70 1:2:9 70 1:½ :4 ½ 70 1:½ :4 ½ 90 1:½ :4 ½ 90 1:2:9 90 1:2:9 90 (horizontaal : ffl,yy) 1:2:12 Tabel 6.8: Buigtreksterkte van metselwerk
2
Buigtreksterkte [N/mm ] 0.45 0.73 0.71 2.45 1.54 1.96 1.68 1.46 1.37
Voor dragend metselwerk dat belast wordt op buiging in het vlak door een externe windlast is de buigtreksterkte over het algemeen geen probleem. Ten gevolge van de verticale drukspanningen door hoger gelegen delen zoals het dak, wordt het een geval van samengestelde buiging en zal de windlast zelden tot nooit trekspanningen veroorzaken:
σc =
Fv M + ≥0 A Iv
(6.10)
Eenzelfde gedachtengang geldt voor kelderwanden onder inwerking van horizontale grondspanningen. Door de bovenstructuur is de verticale druklast groter dan de buigtrekspanningen ten gevolge van de grondlast, waardoor resulterende trekspanningen uitzonderlijk zijn.
6.4.3 Buiging loodrecht op het vlak - gewapend metselwerk Bij buiging loodrecht op het vlak - typevoorbeeld: een latei - kan gebruik worden gemaakt van gewapend metselwerk. De berekening van gewapend metselwerk is niet opgenomen in de Belgische Norm NBN B24-301. In de Europese Norm EC6 is de berekeningsmethode daarentegen wel expliciet aanwezig. De berekening van gewapend metselwerk verloopt volledig volgens de rekenmethodes die gelden voor gewapend beton, waarbij wordt uitgegaan van gescheurd metselwerk in de trekzone. Daarmee wordt het mogelijk een gewapend metselwerk balk (latei) te ontwerpen. Gewapend metselwerk wint aan belang bij nieuwbouw- en restauratieprojecten. Aanwezige scheurvorming getuigt van het gebrek van het materiaal om de aanwezige trek- en/of afschuifspanningen op te nemen. In dat geval kan het nuttig zijn gebruik te maken van gewapend metselwerk. Metselwerk heeft het voordeel dat de wapeningsstaven ter hoogte van de oorspronkelijke voegen kunnen worden gelokaliseerd, zodat het uitzicht onaangetast blijft.
6.5 Meettechnieken De metingen en proeven die op metselwerk worden uitgevoerd, zijn in bepaalde gevallen gebaseerd op hetzelfde principe als bij betononderzoek. Er zijn echter ook een groot aantal proeven specifiek ontwikkeld voor metselwerk. Metselwerk is immers een zeer heterogeen materiaal in vergelijking tot bijvoorbeeld beton. Daardoor is de spreiding van de materiaalkarakteristiek typisch ook groter dan bij beton. Het zal dan ook nodig zijn een voldoende groot aantal proeven uit te voeren om een representatief beeld te verkrijgen van de verdeling van een bepaalde metselwerkeigenschap, Figuur 6.17.
6-24
200 mm
S
h = 360 mm
LVDT
σ
d = 188 mm w = 188 mm n = 19 µ = 4.26 N/mm2 σ = 0.81 N/mm2 cov = 17 % fk = 2.93 N/mm2
95% fk µ
fd 5% 600mmx600mm
Figuur 6.17: Druksterkte van metselwerk bepaald op pijlertjes (180x180x360 mm) - experimenteel bepalen van een materiaakarakteristiek van een heterogeen materiaal De proefresultaten kunnen worden weergegeven onder de vorm van een histogram. Op basis van dit resulterend histogram, worden de gemiddelde waarde (:), spreiding (F) en variatiecoëfficiënt (cov) berekend overeenkomstig:
X=
1 n
n
∑x
(6.11)
i
i =1
∑ (X − x )
2
i
σ =
n −1
cov [%] =
σ X
100 %
(6.12)
(6.13)
Uitgaande van deze parameters, worden een aantal afgeleide grootheden als de karakteristieke waarde en ontwerpwaarde berekend:
fk = X − 1 .645σ fd =
fk γM
(6.14)
(6.15)
De karakteristieke waarde (fk) wordt zodanig bepaald dat 95% van de waarden een getal oplevert dat groter is. Het is dus een veilige ondergrens met maar 5% onderschrijdingen. Bij een ontwerp volgens de methode der grenstoestanden wordt op deze karakteristieke waarde een extra veiligheid genomen. Om tot de ontwerpwaarde (fd) te komen, wordt de karakteristieke waarde
6-25
gedeeld door de materiaalveiligheidsfactor ((M). Deze veiligheidsfactor ((M) op het materiaal is functie van de metselstenen en de uitvoeringskwaliteit en varieert tussen 1.7 en 3.0. (EC 6, pg 39, tabel 2.3) Klassiek wordt onderscheid gemaakt tussen niet-, semi- en volledig destructieve proeftechnieken. Omdat in historische gebouwen het aantal destructieve proeven tot een minimum dient beperkt te worden, wordt bij voorkeur gebruik gemaakt van de weinig-(semi-) of niet-destructieve onderzoekstechnieken. Bij het overlopen van de verschillende proeftechnieken en hun destructief karakter is het vaak zo dat nietdestructieve proeftechnieken enkel kwalitatieve informatie opleveren of hoogstens kwantitatieve waarden zonder absoluut karakter. Daartegenover staan de semi- of destructieve proeftechnieken die kwantitatief absolute cijfers opleveren. Voor de beoordeling van een structuur zal het dan ook noodzakelijk zijn om na te gaan in hoeverre dat absoluut cijfermateriaal nodig is en hoe dit kan verkregen worden met een minimum aan schade aan het bouwwerk.
6.5.1 Druksterkte van metselwerk Daar de druksterkte van metselwerk vanuit historisch oogpunt nog steeds de belangrijkste materiaalkarakteristiek is voor metselwerk, hoeft het niet te verwonderen dat het gamma aan proeftechnieken zeer uitgebreid is. Naast het rechtstreeks bepalen van de sterkte op metselwerk, kan ze ook woren afgeleid uit de sterkte van de componenten. Tabel 6.9 geeft een overzicht van beschikbare proeftechnieken, hun al dan niet destructief karakter (D/SD/ND), de materiaalkarakteristiek waarop ze betrekking hebben en de toepassingsmogelijkheden in situ of in labo (IS/IL). Proeftechniek
D/SD/ND IS/IL
Werkingsprincipe /toepassing
Drukproef op mortel
D IL
druksterkte mortel
Chemische analyse mortel
SD IS+IL
nagaan samenstelling originele mortel voor NBN B15-250 het namaken van mortelstalen voor drukproeven, chemische samenstelling en mengverhoudingen
Drukproef kernen
mortel,
Referentie
elasticiteitsmodulus NBN B14-209 EN 1015-11
op
baksteen D IL
druksterkte baksteen materiaal
EN 772-1
Drukproef op (doubletten)
baksteen D IL
druksterkte baksteen materiaal elasticiteitsmodulus baksteen
EN 772-1 NBN B24-001
Drukproef op pijlertjes
D IL
druksterkte metselwerk elasticiteitsmodulus metselwerk
NBN B24-301
Drukproef op muurtjes
D IL
druksterkte metselwerk elasticiteitsmodulus metselwerk
NBN B24-211
Drukproef op muren
D IL
druksterkte metselwerk elasticiteitsmodulus metselwerk
NBN B24-212
In-situ drukproef met platte D vijzel IS
druksterkte metselwerk elasticiteitsmodulus metselwerk
Drukproef op uit metselwerk
druksterkte metselwerk elasticiteitsmodulus metselwerk
boorkernen D IS+IL
Legende: D: destructief, SD: semi-destructief, ND: niet-destructief IS: in situ, IL: in labo Tabel 6.9: Proeftechnieken ter bepaling van de druksterkte van metselwerk
6-26
De meest representatieve resultaten worden verkregen door het in situ beproeven van metselwerk van voldoende grote omvang. Dat resulteert in de druksterkte van het originele metselwerk in de omstandigheden en randvoorwaarden waarin het zich bevindt. Drukproeven op boorkernen zijn een valabel alternatief in zoverre de monstername mogelijk is. Dikwijls is dit niet uitvoerbaar omwille van de afwezigheid van een minimum aan hechtsterkte van het materiaal nodig om boorkernen te ontnemen. Drukproeven op muurtjes en muren of pijlertjes opgetrokken uit originele bakstenen en een zo getrouw mogelijke copie van de mortel bieden een alternatief dat met enige omzichtigheid moet bekeken worden. Het gaat om nieuw metselwerk zodat de geschiedenis (vb. brandschade), omstandigheden en randvoorwaarden waarin het gebouw zich bevindt, verloren gaan. Daarbij is het niet altijd even eenvoudig om bakstenen of natuurstenen uit het gebouw te nemen zonder beschadiging en dus ook zonder de sterkte te beïnvloeden. Oude mortels (met luchthardende kalk bijvoorbeeld) hebben hun sterkte zeer traag opgebouwd over een lange periode. Ze zijn dikwijls veel sterker dan de nieuwe mortels met identieke samenstelling die beproefd worden na 28 dagen. Drukproeven op baksteen en mortel afzonderlijk zijn uiteraard het eenvoudigst en betekenen economisch ook de laagste kost. Het reële metselwerkgedrag wordt geschat op basis van experimenteel bepaalde formules.
6.5.2 Afschuif- en buigtreksterkte van metselwerk Voor materiaalkarakteristieken ter bepaling van afschuifsterkte en buigtreksterkte zijn de proeftechnieken minder ontwikkeld en genormeerd, wat ongetwijfeld samenhangt met de hogere complexiteit van de proeven, Tabel 6.10. Voor wat betreft buigtreksterkte en afschuifsterkte van metselwerk, is er geen specifieke Belgische Norm die de proeftechniek beschrijft. Een beknopte proefopstelling kan worden teruggevonden in NBN B24-301. De Europese Norm EC6 verwijst naar de norm EN 1052-2. Recent onderzoek heeft geleid tot de ontwikkeling van proefopstellingen die het mogelijk maken deze materiaalkarakteristieken nauwkeurig op te meten. Proeftechniek
D/SD/ND IS/IL
Werkingsprincipe /toepassing
Buigtreksterkte
D IL
Bepalen van metselwerk op omvang
afschuifproeven
D IL of IS
afschuifsterkte van het metselwerk
EN 1052-2 NBN B24-301 [van der Pluijm]
directe trekproef
D IL
Bepalen van de hechtsterkte van metselwerk
[Min 576/B5]
Bond test
D IL
Bepalen van de hechtsterkte van metselwerk
[van der Pluijm]
de buigtreksterkte proefstukken van
Legende: D: destructief, SD: semi-destructief, ND: niet-destructief
Referentie. van EN 1052-2 grote NBN B24-301 [van der Pluijm]
IS: in situ, IL: in labo
Tabel 6.10: Proeftechnieken ter bepaling van de trek- afschuif en buigtreksterkte van metselwerk
6.5.3 De kwaliteit van metselwerk Naast het rechtstreeks bepalen van een of andere materiaalkarakteristiek zijn er nog tal van technieken die meer informatie opleveren omtrent de kwaliteit van het metselwerk. Gezien het niet- of beperkt destructieve karakter van deze metingen, verdienen zij dikwijls de voorkeur boven destructieve metingen. Daar metselwerk meestal aan lage spanningen werkt, is de druksterkte meestal niet steeds een probleem. Het heeft in die gevallen dan ook weinig zin om via destructieve weg deze te willen bepalen. Tabel 6.11 geeft een overzicht van deze veralgemeende proeftechnieken die bijkomende informatie opleveren omtrent metselwerk en het structureel gedrag.
6-27
Proef-techniek
D/SD/ND IS/IL
Werkingsprincipe /toepassing
Historisch onderzoek
ND IS+IL
Informatie over de geometrie van de materialen, de belasting, eventuele gebeurtenissen, ...
Visuele inspectie
ND IS
Wordt in alle gevallen toegepast. Dit is nog steeds de goedkoopste en vaak ook de meest efficiënte, niet-destructieve methode.
Fotogrammetrie
ND IS
Evolutie van grote scheuren en relatieve verplaatsingen. Vooral gebruikt voor het opmeten en documenteren van schade aan structurele elementen en materialen
Electrische resistiviteit
ND IS
Kwalitatieve benadering van de globale toestand van metselwerk (holle ruimten, gelaagde structuur, ...). Zeer waardevol om de effectiviteit van consolidatie-injecties te controleren.
Radiografie
ND IS
De doorlichting van elementen met gammastraling brengt diep verborgen discontinuïteiten zoals wapening, holten, trekkers, ... aan het licht. Toegang aan weerszijden is vereist. Enkel de krachtigste apparatuur is bruikbaar voor metselwerk. Zeer strenge veiligheidsvoorzieningen moeten in acht genomen worden.
Infra-rood thermografie
ND IS
Indentificatie van de opbouw van de structuur (bv. verborgen achter pleisterlagen), opsporen van verborgen holten en discontinuïteiten
Magnetische methoden
ND IS
Lokaliseren van metalen elementen in dikke metselwerkwanden (vb. wapeningsstaven, verbindingskrammen,...)
Radar
ND IS
Het ontvangen van doorgaande of gereflecteerde electrische energie maakt het mogelijk verschillende lagen te detecteren alsook verborgen holten, oude funderingen,...
Mechanical pulse velocity
ND IS
Door een impact worden golven van 0.3 tot 5kHz in het materiaal gestuurd. De voortplantingssnelheid is een maat voor de densiteit en de integriteit van het materiaal.
Ultrasoon onderzoek
ND IS
Enkel geschikt voor homogene materialen zoals bv. sommige natuursteensoorten. Bij heterogeen metselwerk is de indringdiepte te gering
Trillingsproeven
ND IS
Relatieve stijfheid, controle van eventuele progressieve beschadiging van de structuur in de tijd
Endoscopie
ND IS
Controle van de inwendige structuur van het metselwerk. Bruikbaar in boorgaten. Kan gecombineerd worden met foto- of video-opnamen.
Platte vijzel
(S)D IS
Kwantitatieve bepaling van het spanning-rek verloop van metselwerk (SD) en eventueel ook druksterkte (D).
Belastingsproef
ND IS
Controle van de weerstand van een structuur tegen de verwachte belasting. ND wanneer enkel in het elastisch gebied belast wordt.
Monitoring
IS
constructie, de verstevigingen,
gebruikte nadelige
Permanente bewaking van de structuur waarbij voor het structureel gedrag belangrijke parameters worden opgevolgd. Tabel 6.11: Beoordeling van de kwaliteit van metselwerk
6-28
7 Voorbeeldoefeningen 7.1 Inleiding Dit hoofdstuk bevat een aantal voorbeeldoefeningen. Deze oefeningen hebben betrekking op de verschillende onderdelen die aan bod komen bij de behandeling van de Eurocodes 0, 1 en 3.
7-1
7.2 Belastingcombinaties en Raamwerkimperfe cties
Referenties:
Gegevens: Onderstaand raamwerk draagt de belastingen van de bovenstructuur af naar het onderliggend dragend vakwerk. De aangrijpende bovenbelasting stemt overeen met: • Gk=480 kN: eigengewicht van de bovenstructuur; • Qk=360 kN: nuttige vloerlast; • Wk=60 kN: windlast. Staalkwaliteit: Fe360b Staven: [1,2]: IP (gelast): A = 104 10² mm²; [3]: IPE 400: A= 84,5 10² mm²; [4,5]: IPE 200: A=28,5 10² mm². Qk Wk
Gk
Qk Gk
[3]
[2] 6m
[1]
[4]
[5]
A
B 3m
Figuur 7.xx: Opbouw vakwerk – geometrie, randvoorwaarden en aangrijpende lasten Gevraagd: Bereken voor dit vakwerk de maatgevende belastingcombinaties. Houd hierbij rekening met de raamwerkimperfecties die kunnen optreden. Oplossing: Voor het in rekening brengen van de raamwerkimperfecties is het nodig de initiële scheefstand te kennen. Deze is gelijk aan:
φ0 =
1 200
§5.2.4.3. blz. 62
De in rekening te brengen scheefstand is functie van het aantal kolommen en verdiepingen: nc = 2 (number of columns) ⇒ k c = 0.5 + ns = 1 (number of storeys) ⇒ k s = 0. 2 +
1 ≤ 1 ⇒kc = 1 nc
1 ≤ 1 ⇒ ks = 1 nS
7-2
Dit resulteert in :
φ = k sk cφ0 =
Referenties:
1 200
Om rekening te houden met deze raamwerkimperfecties worden voor de aangrijpende verticale lasten (N) equivalente horizontale belasting (φN) Bepalen van de snedekrachten voor de individuele lasten: G k, Qk, Wk en de horizontale last ten gevolge van de optredende raamwerkimperfecties (I k). Uit de knoopevenwichten kunnen de snedekrachten (druk (-)/trek (+)) bepaald worden, Figuur 7.xx. Gk 480
[1] -480
[3]
Qk 480
360
[2] -480
[1] -360
[4]
[5]
A 480
B 480
[4]
A 360
[3]
Wk 360
60
[2] -360
1
[3] -30
[1] +60
[3] -0.5
[2] -60
[1] +1
-67.082 [4] [5] +67.082
[5]
B 360
Ik
A
30 120
B 120
-1
[4] +1.118 30
-1.118 [5]
0.5
0.5
A 2
[2]
B 2
Figuur 7.xx: snedekrachten in vakwerkstructuur voor de verschillende belastinggevallen Bepalen van de maatgevende belastingcombinaties Voor het bepalen van de nevencombinaties zijn de combinatiefactoren horende bij de mobiele belasting vereist: Qk: ψ 0 = 0.7; ψ 1 = 0.5; ψ 2=0.3; Wk: ψ 0 = 0.6; ψ 1 = 0.5; ψ 2=0.0. 1. Maatgevende belastingcombinatie die leidt tot maximale druk in staaf [2] (type: STR): NSd=1.35G k+1.50Qk+1.50ψ 0Wk+NSd(FI,d,1) NSd=1.35x480+1.50x360+1.50x0.6x60+11.88 = 1199 kN Met: FI,d,1 = φx2x(1.35Gk+1.50Qk)=11.88kN En N Sd(FI,d,1) = 11.88 KN is de snedekracht in staaf [2] tgv de horizontaal aangrijpende belasting F I,d,1. 2. Maatgevende belastingcombinatie die leidt tot maximale Reactiekracht in knoop B (type: STR) (Dit is dezelfde belastingcombinatie als voor staaf [3]: NSd=1.35G k+1.50Qk+1.50ψ 0Wk+NSd(FI,d,3) NSd=1.35x480+1.50x360+1.50x0.6x60+2x11.88 = 1320 kN Met: FI,d,3 = φx2x(1.35Gk+1.50Qk)=11.88kN
7-3
3. Maatgevende belastingcombinatie voor maximale TREK/DRUK in de diagonalen, staven [4,5] (type: STR). Opmerking: de windlast zorgt voor het solliciteren van de diagonale staven. NSd=1.35G k+1.50Wk+1.50ψ 0Qk+NSd(FI,d,2) NSd=1.35x0+1.50x67.082+1.50x0.7x0+10.26x1.118 = 112 kN
Referenties:
Met: FI,d,2 = φx2x(1.35Gk+1.50ψ 0Qk)=10.26kN En N Sd(FI,d,2) = 10.25 KN is de snedekracht in staaf [4,5] tgv de horizontaal aangrijpende belasting F I,d,2. 4. Maatgevende belastingcombinatie voor maximale DRUK in de horizontale staaf [3] (type: STR). Opmerking: de windlast zorgt voor het solliciteren van staaf [3]. Dit is dezelfde belastingcombinatie als voor d e maximale TREK/DRUK in de diagonalen. NSd=1.35G k+1.50Wk+1.50ψ 0Qk+NSd(FI,d,4) NSd=1.35x0+1.50x30+1.50x0.7x0+10.26x0.5 = 50.13 kN Met: FI,d,4 = φx2x(1.35Gk+1.50ψ 0Qk)=10.26kN En N Sd(FI,d,4) = 10.26 KN is de snedekracht in staaf [3] tgv de horizontaal aangrijpende belasting F I,d,4. 5. Maatgevende belastingcombinatie voor de controle van het optillen van de structuur in knoop A. (type: EQU). Opmerking: de windlast zorgt voor het optillen. NSd=0.9Gk+1.50Wk+0xψ 0Q k+NSd(FI,d,5) NSd=0.9x480+1.50x-120+0x0.7x360+-8.64 = 243.36 kN Met: FI,d,5 = φx2x(0.9Gk+0xψ 0Q k)=4.32kN En N Sd(FI,d,5) = -8.64 KN is de reactiekracht in knoop A tgv de horizontaal aangrijpende belasting F I,d,5. De resulterende reactiekracht in knoop A blijft een drukkracht. De kolom zal niet opgetild worden.
7-4
7.3 Controle van Staven – knik en kip
Referenties:
7.3.1 Knikcontrole van een cirkelvormige holle sectie als kolom Gegevens:
CHS 219.1 x 4.5 warmgewalst Staalkwaliteit: Fe360b Systeemlengte: l=3.50m NSd = 600 kN
Gevraagd: knikcontrole Oplossing: Stap 1: Classificatie van de doorsnede (ronde buizen) Klasse 1: d/t=219.1/4.5=48.7 <50ε² = 50x1 → Klasse 1 (βA=1) Met: ε=(235/fy)^0.5 = 1 Want: f y=235N/mm² (Fe360b)
Tabel 5.3.1 Blz. 77
Stap 2: Bepalen van de kniklengte en (relatieve)slankheid De kniklengte l = de systeemlengte L = 3.50 m De slankheid: λ=l/i = 3500mm/75.9 mm = 46.11 De relatieve slankheid: λ =λ/λ1=46.11/93.9 = 0.491 λ1 = 93.9ε=93.9
λ =λ/λ1>0.2→ knikcontrole vereist Stap 3: Selectie van de gepaste knikkurve: warmgewalst profiel → knikkurve a Stap 4: Reductie-factor χ=0.9273 (op basis van uitgebreide tabellen) Stap 5: Rekenwaarde van de knikstabiliteit
Nb. Rd =
(χfy )(β A A ) = (0.927 × 235N / mm² )(1× 30.3 10 ²mm² ) = 600.1kN γ M1
1.1
Tabel 5.5.3 Blz. 101 Tabel 5.5.2 Blz. 98 Vgl. 5.45 Blz. 97
NSd
3500
4.5
219.1
N Sd Controle: N Sd = 600 kN < N b.Rd= 600.1 kN Figuur 7.xx: Circular Hollow Section (CHS) als kolom, belast op druk
7-5
Referenties:
7.3.2 HEB-profiel als kolom Gegevens:
Kolom: HEB 300 Staalkwaliteit: Fe 360 Systeem lengte: L=6.00 m Belasting: N Sd = 2900 kN
Stap 1: Classificatie van de doorsnede Fe360b → ε=(235/f y)^0.5 = 1, want: fy=235N/mm² tf=19 c=150
d=208
Flens: Lijf: tw=11
c/tf = 150/19 = 7.9 < 15ε = 15 d/tw=208/11 = 18.9 < 42ε = 42
Besluit: Klasse 1:
→ Klasse 1 → Klasse 1
Aeff = A, βA=1
L=6000
Knik rond de STERKE as (yy-as): Stap 2: Bepalen van de kniklengte en (relatieve)slankheid De systeemlengte L = 6000 mm Bepalen van de verdelingsfactoren η1 en η2 voor gesteund raamwerk
η1 = η2 =
kc k c + K 11 + K 12 kc k c + K 21 + K 22
Tabel 5.3.1 Blz. 77 Tabel 5.9
=
I L =1 I L+0
=
I L =0 I L+∞
Dit levert: l/L=0.7 De kniklengte: l y= 0.7L = 0.7x6000 = 4200 mm De slankheid: λy=ly/i y = 4200mm/130 mm = 32.30
Bijlage E
Vgl. E.1
Vgl. E.2, Blz.: 261 Figuur E.2.1 Blz. 262
De relatieve slankheid: λy =λy/λ1=32.30/93.9 = 0.34 λ1 = 93.9ε=93.9 λy =λy/λ1>0.2→ knikcontrole vereist Stap 3: Selectie van de gepaste knikkurve: warmgewalst profiel h=290 mm, b=300 mm: h/b = 290/300 = 0.97 < 1.2 → knikkurve b (yy)
Tabel 5.5.3 Blz. 101
Stap 4: Reductie-factor χ=0.949 (op basis van uitgebreide tabellen)
Tabel 5.5.2 Blz. 98
Stap 5: Rekenwaarde van de knikstabiliteit χf y (β A A ) (0. 949 × 235N / mm² )(1×149 .0 10² mm² ) Nb.Rd = = = 3021k N γ M1 1.1
( )
Vgl. 5.45 Blz. 97
Controle: N Sd = 2900 kN < N b.Rd = 3021 kN → ok: voldoet
7-6
L=3000
L=3000
Knik rond de ZWAKKE as (zz-as): Stap 2: Bepalen van de kniklengte en (relatieve)slankheid De systeemlengte L = 3000 mm Bepalen van de verdelingsfactoren η1 en η2 voor gesteund Raamwerk (kniklengte van het bovenste gedeelte meest negatief):
η1 = η2 =
kc kc + K 11 + K12 kc k c + K 21 + K 22
I L =1 I L +0
Vgl. E.1
=
IL = 0.667 I L + 0. 5 I L
Vgl. E.2, Blz.: 261
Stap 3: Selectie van de gepaste knikkurve: warmgewalst profiel h=290 mm, b=300 mm: h/b = 290/300 = 0.97 < 1.2 → knikkurve c (zz) Stap 4: Reductie-factor χ=0.9131 (op basis van uitgebreide tabellen) Stap 5: Rekenwaarde van de knikstabiliteit
(χfy )( β A A) = (0.9131× 235N / mm² )(1× 149.0 10² mm² ) = 2907k N γ M1
Bijlage E
=
Dit levert: l/L=0.88 De kniklengte: l z= 0.88L = 0.88x3000 = 2640 mm De slankheid: λz=lz/i z = 2640mm/75.8 mm = 34.8 De relatieve slankheid: λz =λz/λ1=34.8/93.9 = 0.371 λ1 = 93.9ε=93.9 λz =λz/λ1>0.2→ knikcontrole vereist
Nb.Rd =
Referenties:
1. 1
Figuur E.2.1 Blz. 262
Tabel 5.5.3 Blz. 101
Tabel 5.5.2 Blz. 98
Vgl. 5.45 Blz. 97
Controle: N Sd = 2900 kN < N b.Rd = 2907 kN → ok: voldoet
7-7
Referenties:
7.3.3 HEA profiel belast in buiging en normaaldrukkracht Gegevens: kolom HEA140 Staalkwaliteit Fe360b Systeemlengte: L = 5.0 m Belastingen: NSd = 120 kN wk = 2.67 kN/m. 5.0 m
Gevraagd: controle van de stabiliteit van staven
N
d=92
W Oplossing: Belastingcombinatie (UGT): w Sd=1.5wk=4 kN/m. Dit leidt tot volgend buigmoment in de middendoorsnede: w L2 M Sd = Sd = 12.5kNm 8 Knikcontrole van een op DRUK belaste staaf: N Sd = 120 kN Stap 1: Classificatie van de doorsnede Fe360b → ε=(235/f y)^0.5 = 1, want: fy=235N/mm² tf=8.5 c=70 Druk Flens: c/tf = 70/8.5 = 8.2 < 10ε = 10 → Klasse 1 Lijf: d/tw=92/5.5 = 16.7< 33ε = 33 → Klasse 1 tw=5.5
Besluit: Klasse 1: Aeff = A, βA=1 Lokaal plooien van het lijf: d/tw=92/5.5=16.7<69ε =69 → geen gevaar op lokaal plooien
Knik rond de STERKE as (yy-as) Stap 2: Bepalen van de kniklengte en (relatieve)slankheid De systeemlengte L = 5000 mm = kniklenkte: l ly=5000 mm De slankheid: λy=ly/i y = 5000mm/57.3 mm = 87.26 De relatieve slankheid: λy =λy/λ1=87.26/93.9 = 0.93 λ1 = 93.9ε=93.9 =λy/λ1>0.2 → knikcontrole vereist
§5.5.1 Tabel 5.3.1 Blz.74-77
§5.4.6 Blz. 90
ZWAKKE as (zz-as)
lz=5000mm λz=lz/i z = 5000mm/35.2 mm = 142
λz =λz/λ1=142/93.9 =1.51
λz =λz/λ1>0.2 → knikcontrole vereist
Stap 3: Selectie van de gepaste knikkurve: warmgewalst profiel h=133 mm, b=140 mm: h/b = 133/140 = 0.95 < 1.2 → knikkurve b (yy) → knikkurve c (zz)
Tabel 5.5.3 Blz. 101
Stap 4: Reductie-factor χy=0.6419 χz=0.3113 (op basis van uitgebreide tabellen) Stap 5: Rekenwaarde van de knikstabiliteit: N b.Rd > N Sd = 120 kN ? χ y f y (β A A ) χ z f y (β A A ) Nb.Rd = Nb.Rd = γ M1 γ M1 ( 0. 6419 × 235 )(1× 31. 4 10² ) ( 0. 3113 × 235 )(1× 31. 4 10² ) = = 1. 1 1. 1 = 430.6k N = 208.8k N
(
)
(
)
Vgl.(5.45) §5.5.1.1 Blz. 97
Controle: N Sd = 120 kN < N b.Rd = 208.8 kN → ok: voldoet
7-8
Referenties: §5.5.2 Blz. 103
Kip van een op buiging belaste ligger: M Sd = 12.5 kNm De ongesteunde lengte (of kiplengte) bedraagt: l LT = L = 5000mm . Het theoretisch elastisch kipmoment wordt berekend uit:
Mc r
π 2 EI z k = C1 (klLT )2 kw
met: •
Bijlage F Vgl. (F.4) Blz. 269
2 I ω (klLT )2 GI t + − C2 zg 2 π EI z Iz
k = 1: geen belemmering van de eindverdraaiing uit het vlak van het raamwerk (lLT/L=1); kw=1: geen speciale voorziening tegen het verhinderen van welving op het einde van de staven. lLt = 5000 mm: kiplengte 9 6 Iω= 15.06 10 mm : sectorieel traagheidsmoment 4 4 It = 8.16 10 m m : torsietraagheidsmoment 4 4 Iz= 389.3 10 mm : traagheidsmoment om de zwakke buigingsas G=80000 N/mm² E=210000 N/mm² C1 = 1.132 (Tabel F.1.1, ψ =0), op basis van de momentenverdeling C2=0.459 (Tabel F.1.2) belasting grijpt aan op bovenrand
• • • • • • • • •
Mcr = 1.132
(2) blz. 269 (4) blz. 269
Staalcatalogus
Vgl. (F.3) Of Tabel F.1.2, Blz. 271
2 2 π 2 210000 × 389.3 × 104 1 15.06 × 109 (1× 5000 ) 80000 × 8.16 × 10 4 + − 0.459 × 66.5mm 4 π 2 210000 × 389.3 ×10 4 (1× 5000)2 1 389.3 ×10
Mcr = 45.6 kNm Stap 2: De kiplengte en relatieve slankheid: De kniklengte: l LT= L = 5000 = 5000 mm De relatieve slankheid:
β ωWpl , y f y
λLT =
=
(5) blz. 103
1× 173 × 10³mm ³ × 235 N mm²
= 0. 94 >0.4 → kipcontrole vereist. 45.7 × 10 6 Nmm Stap 3: Selectie van de gepaste knikkurve: warmgewalst profiel: α LT=0.21→ kurve a M cr
Stap 4: Reductie-factor χLT=0.7071 (op basis van uitgebreide tabellen) Stap 5: Rekenwaarde van de kipstabiliteit: χ f β W (0.7071× 235 N mm² ) 1× 173 × 103 mm³ = 26 .1kNm M b.Rd = LT y w pl. y = γ M1 1. 1 Mb.Rd = 26.1 kNm > MSd = 12.5 kNm (voldoet)
(
)(
(
)
)
Op BUIGING en DRUK belaste staven: MSd = 12.5 kNM en N Sd = 120 kN Knikcontrole : Kipcontrole:
NSd χminA
fy γ M1
+
k y M y .Sd ≤1 f Wpl ,y y γ M1
Er geldt: βM.y=1.3
(
)
µy = λy 2 βM . y − 4 +
Wpl , y − Wel, y
µ y = 0. 93(2 × 1.3 − 4 ) + µ y = −1. 186 ≤ 0. 9
k LT M y .Sd NSd + ≤1 fy fy χz A χLT Wpl, y γ M1 γ M1
Wpl, y
βM.LT =1.3 (buiging om yy-as)
≤ 0.9
(173 − 155 ) 10³ 173
10³
(3) Blz. 103 (4) blz. 103 Tabel 5.5.2, blz. 98 Vgl. (5.48) blz. 103
§5.5.4 (1) en (2)
(7) blz. 105 Figuur 5.5.3 Blz. 106
µLT = 0. 15λz βM . LT − 0. 15 ≤ 0. 9 µLT = 0. 15 × 1. 51× 1. 3 − 0. 15 µLT = 0. 144 ≤ 0. 9
7-9
ky = 1 −
µ y N Sd χ y Af y
Referenties:
≤ 1. 50
k LT
−1.186 × 120 × 10³ 0.6419 × 31.4 × 10² × 235 k y = 1.30 ≤ 1.50 Invullen in de controle: ky = 1 −
120 × 10³
µ N = 1 − LT Sd ≤ 1. 00 χ z Af y
0.144 × 120 × 10³ 0. 3113 × 31. 4 × 10² × 235 = 0.925 ≤ 1.00
k LT = 1 − k LT
1.30 × 12.5 × 10 6 0.925 × 12.5 × 10 6 ≤ 1 0.575 + ≤1 235 235 235 0. 3113 × 31. 4 × 10² × 173 × 10³ 0.7659 × 173 × 10³ 1.1 1. 1 1.1 0.575 + 0. 44 = 1.01 > 1 0.575 + 0. 408 = 0. 98 < 1 voldoet theoretisch gesproken niet. Gezien de zeer beperkte overschrijding (en alle ingerekende veiligheden) is dit een aanvaardbaar ontwerp. +
7-10
Referenties:
7.3.4 Rechthoekig kokerprofiel belast op druk en buiging P 1,d
P2,d
NSd
MSd 400kN
18kNm
L2=3500
Gegevens: Profiel: RHS 250x10.0, warm gewalsd; Staalkwaliteit: FE430b, f y = 275 N/mm²; Systeemlengtes: L1=L2=3500 mm Kniklengte: l1 = 10.85 m l2 = 15.34 m Belastingen: P1,d = 300 kN P2,d = 100 kN
P2,d
800kN
36kN m
L1=3500
P 1,d
180 Gevraagd: stabiliteit van de staven
tf=10
Knikcontrole van een op DRUK belaste staaf Stap 1: Classificatie van de doorsnede Fe430b → ε=(235/f y)^0.5 = 092, want: fy=275N/mm² Druk Flens: d/tf = 220/10=22<33ε = 30 → Klasse 1 Buiging tw=10 Lijf: d/tw=220/10=22<72ε = 67 → Klasse 1 d=220 250
Besluit: Klasse 1: Aeff = A, βA=1, βω=1 Lokaal plooien van het lijf: d/tw=220/10=22<69ε =63 → geen gevaar op lokaal plooien
Knik Deel 1 (yy-as) Stap 2: Bepalen van de kniklengte en (relatieve)slankheid ly=10850 mm De slankheid: λy=ly/i y = 10850mm/96.7 mm = 112.2 De relatieve slankheid: λy =λy/λ1=112.2/86.4 = 1.29 λ1 = 93.9ε=86.4 =λy/λ1>0.2 → knikcontrole vereist
§5.5.1 Tabel 5.3.1 Blz.74-77
§5.4.6 Blz. 90
Deel 2 (yy-as) ly=15340mm λy=ly/i y = 15340mm/96.7 mm = 158.32
λy =λy/λ1=158.32/86.4 =1.83
λy =λy/λ1>0.2 → knikcontrole vereist
Stap 3: Selectie van de gepaste knikkurve: warmgewalst profiel, om elke as: → knikkurve a (yy) → knikkurve a (yy) Stap 4: Reductie-factor χy=0.4760 χy=0.2623 (op basis van uitgebreide tabellen)
Tabel 5.5.3 Blz. 101
7-11
Stap 5: Rekenwaarde van de knikstabiliteit: Nb.Rd > N Sd = 800 kN ? χ y f y (β A A ) Nb.Rd = γ M1 (0. 4760 × 275 )(1× 91. 7 10² ) = 1. 1 = 1091.2kN
(
Controle:
)
NSd = 800 kN < Nb.Rd = 1091.2 kN → ok: voldoet
Op BUIGING en DRUK belaste staven: Knikcontrole deel 1: MSd = 36 kNm en N Sd = 800 kN k M NSd + y y .Sd ≤ 1 fy f χminA Wpl ,y y γ M1 γ M1
Nb.Rd > N Sd = 400 kN ? χ y f y (β A A ) Nb.Rd = γ M1 (0. 2623 × 275 )(1× 91. 7 10² ) = 1. 1 = 601.3kN
(
)
NSd = 400 kN < Nb.Rd = 601.3 kN → ok: voldoet §5.5.4 Knikcontrole deel 2: MSd = 18 kNm en N Sd = 400 kN k M NSd + y y .Sd ≤ 1 fy f χminA Wpl ,y y γ M1 γ M1
Er geldt: βM.y=1.8-0.7ψ=1.1 want: ψ=1 Wpl , y − Wel, y µy = λy 2 βM . y − 4 + ≤ 0.9 Wpl, y
βM.y=1.8 -0.7ψ=1.1 want: ψ=1
µ y = 1. 29(2 × 1.1 − 4) +
µ y = 1. 83(2 × 1.1 − 4) +
(
(1)
(7) blz. 105 Figuur 5.5.3 Blz. 106
)
(832.8 − 707) 10³ 832. 8
µ y = −2. 1441 ≤ 0.9
ky = 1 −
Referenties: Vgl.(5.45) §5.5.1.1 Blz. 97
µ y N Sd χ y Af y
10³
µ y = −3. 116 ≤ 0. 9
(832.8 − 707) 10³ 832. 8
10³
≤ 1. 50
−2. 1441× 800 × 10³ 0.4760 × 91. 7 × 10² × 275 k y = 3. 81 ≤ 1.50 Dus: ky = 1.50 Invullen in de controle: ky = 1 −
−3. 116 × 400 × 10³ 0.2623 × 91.7 × 10² × 275 k y = 2.9 ≤ 1.50 Dus: ky = 1.50 ky = 1 −
400 × 10³ 1.50 × 18 × 106 1.50 × 36 × 106 + ≤1 ≤1 275 275 275 275 0.476 × 91. 7 × 10² × 832. 8 × 10³ 0.2623 × 91.7 × 10² × 832.8 ×10³ 1. 1 1. 1 1.1 1.1 0.733 + 0.260 = 0.99 < 1 0.665 + 0.130 = 0. 795 < 1 800 × 10³
+
7-12
7.3.5 Kolom in een raamwerk Gegeven: NSd=100 kN MSd
1.50 m
200 kNm
3.00 m
133 kNm
Gegevens: • kolom: IPE 360 A • Staalkwaliteit: Fe510b • Systeemlengte: L=4.50 m • Kniklengte: o ly = 18.00 m o lz,1=3.00 m o lz,2=1.50 m • Belasting: o Axiale druk: N Sd = 100 kN o Momentenverdeling, zie figuur DRUK: Knikcontrole Stap 1: Classificatie van de doorsnede Fe510b → ε=(235/f y)^0.5 = 0.81, want: fy=355N/mm² tf=11.5 c=85
Tabel 5.3.1 Blz.74-77
c/tf = 85/11.5 = 7.4 < 10ε = 8.9 → Klasse 1 d/tw=299/6.6 = 45.3 <72ε=58.32 → Klasse 1 d/tw=299/6.6 < 69ε=58.32; geen lokaal plooien §5.4.6 van het lijf te controleren. Blz. 90 Besluit: Klasse 1: Aeff = A, βA=1, βW=1
d=299
Flens: Lijf: tw=6.6
Knik rond de STERKE as (yy-as): Stap 2: Bepalen van de kniklengte en (relatieve)slankheid De systeemlengte L = 4500 mm De kniklengte: l y = 18000 mm De slankheid: λy=ly/i y = 18000mm/151 mm = 119.2 De relatieve slankheid: λy =λy/λ1=119.2/76 = 1.567 λ1 = 93.9ε=76 λy =λy/λ1>0.2→ knikcontrole vereist Stap 3: Selectie van de gepaste knikkurve: warmgewalst profiel
7-13
h=360 mm, b=170 mm: h/b = 360/170 = 2.11 > 1.2 → knikkurve a (yy); b (zz) Stap 4: Reductie-factor χ=0.3482 (op basis van uitgebreide tabellen) Stap 5: Rekenwaarde van de knikstabiliteit χf y (β A A ) (0. 3482 × 355N / mm ² )(1× 64. 0 10²mm ² ) Nb.Rd = = = 719 .2kN γ M1 1. 1
( )
Tabel 5.5.3 Blz. 101
Vgl.(5.45) §5.5.1.1 Blz. 97
Controle: N Sd = 100kN < N b.Rd = 719.2kN → ok: voldoet Knik rond de ZWAKKE as (zz-as): Stap 2: Bepalen van de kniklengte en (relatieve)slankheid De kniklengte: l z= 3000 mm De slankheid: λz=lz/i z = 3000mm/38.4 mm = 78 De relatieve slankheid: λz =λz/λ1=78/76 = 1.02 λ1 = 93.9ε=76
λz =λz/λ1>0.2→ knikcontrole vereist Stap 3: Selectie van de gepaste knikkurve: warmgewalst profiel h=360 mm, b=170 mm: h/b = 360/170 = 2.11 > 1.2 → knikkurve b (zz)
Tabel 5.5.3 Blz. 101
Stap 4: Reductie-factor χ=0.0.5844 (op basis van uitgebreide tabellen) Stap 5: Rekenwaarde van de knikstabiliteit
Nb.Rd =
(χfy )(β A A ) = (0.5844 × 355N / mm² )(1× 64.0 10² mm² ) = 1207.1kN γ M1
1. 1
Controle: N Sd = 100 kN < N b.Rd = 1207.1 kN → ok: voldoet BUIGING Alle delen tussen de zijdelingse steunen zijn afzonderlijk te bekijken, met k=1 en niet 0.7. Deel 1: met lengte L = 3000 mm De ongesteunde lengte (of kiplengte) bedraagt: l LT = L = 3000mm . Het theoretisch elastisch kipmoment wordt berekend uit:
M cr = C1 met: • • • • • • • • •
π 2 EIz
(k lLT )2
Vgl.(5.45) §5.5.1.1 Blz. 97
k kw
§5.5.2 Blz. 103
I ω (k lLT )2 GIt + π 2 EIz Iz 2
k = 1: kw=1: geen speciale voorziening tegen het verhinderen van welving op het einde van de staven. StaallLt = 3000 mm: kiplengte 9 6 catalogus Iω= 282 10 mm : sectorieel traagheidsmoment 4 4 It = 26.5 10 m m : torsietraagheidsmoment 4 4 Iz= 944 10 mm : traagheidsmoment om de zwakke buigingsas G=80000 N/mm² E=210000 N/mm² C1 = 1.879 (Tabel F.1.1, ψ =0), op basis van de momentenverdeling
π 2 210000 × 944 × 10 4 1 282 × 10 9 (1× 3000) 80000 × 26. 5 × 10 4 + (1× 3000)2 1 944 × 10 4 π 2 210000 × 944 × 10 4 Mcr = 814.2 kNm 2
M c r = 1.879
2
Vgl. (F.3) Of Tabel F.1.2, Blz. 271
Stap 2: De kiplengte en relatieve slankheid: De kniklengte: l LT= L = 3000 mm De relatieve slankheid:
7-14
λLT =
β ωWpl , y f y
=
1× 907 × 10³mm³ × 355 N mm²
= 0.63 >0.4 → kipcontrole vereist.
814. 2 × 10 6 Nmm Stap 3: Selectie van de gepaste knikkurve: warmgewalst profiel: α LT=0.21→ kurve a M cr
(4) blz. 103 Tabel 5.5.2, blz. 98
Stap 4: Reductie-factor χLT=0.8783 (op basis van uitgebreide tabellen) Stap 5: Rekenwaarde van de kipstabiliteit: χ f β W (0. 8783 × 355 N mm² ) 1× 907 × 103 mm³ = 257. 1kNm M b.Rd = LT y w pl. y = γ M1 1.1 Mb.Rd = 257.1 kNm > M Sd = 133.3 kNm (voldoet)
(
)(
(
)
)
M cr = C1 met: • • • • • • • • •
(k lLT )2
k kw
Vgl. (5.48) blz. 103
§5.5.2 Blz. 103
Deel 2: met lengte L = 1500 mm De ongesteunde lengte (of kiplengte) bedraagt: l LT = L = 1500mm . Het theoretisch elastisch kipmoment wordt berekend uit:
π 2 EIz
Referenties: (5) blz. 103 (3) Blz. 103
I ω (k lLT )2 GIt + π 2 EIz Iz 2
k = 1: kw=1: geen speciale voorziening tegen het verhinderen van welving op het einde van de staven. lLt = 3000 mm: kiplengte 9 6 Iω= 282 10 mm : sectorieel traagheidsmoment Staal4 4 It = 26.5 10 m m : torsietraagheidsmoment catalogus 4 4 Iz= 944 10 mm : traagheidsmoment om de zwakke buigingsas G=80000 N/mm² E=210000 N/mm² C1 = 1.88-1.40ψ +0.52ψ²=1.175, met (vgl. F.3), ψ=0.667, op basis van de momentenverdeling
M c r = 1.175
π 2 210000 × 944 ×10 4
(1× 1500 )2
1 282 × 10 9 (1× 1500 ) 80000 × 26. 5 × 104 + 1 944 × 10 4 π 2 210000 × 944 × 10 4 2
2
Mcr = 1837.4 kNm
Vgl. (F.3) Of Tabel F.1.2, Blz. 271
Stap 2: De kiplengte en relatieve slankheid: De kniklengte: l LT= L = 1500 mm De relatieve slankheid:
λLT =
β ωWpl , y f y
1× 907 × 10³mm³ × 355 N mm²
= 0.42 >0.4 → kipcontrole vereist. 1837. 4 × 106 Nmm Stap 3: Selectie van de gepaste knikkurve: warmgewalst profiel: α LT=0.21→ kurve a
(5) blz. 103
Stap 4: Reductie-factor χLT=0.9474 (op basis van uitgebreide tabellen)
(4) blz. 103 Tabel 5.5.2, blz. 98
M cr
=
Stap 5: Rekenwaarde van de kipstabiliteit: χ f β W (0.9474 × 355 N mm ² ) 1× 907 × 10 3 mm³ = 277.3kNm M b.Rd = LT y w pl. y = γ M1 1. 1 Mb.Rd = 277.3 kNm > M Sd = 200 kNm (voldoet)
(
)(
)
(
)
Op BUIGING en DRUK belaste staven – zonder KIP: Moment:yy-as en uitwijking:yy-as Knikcontrole deel 1: MSd = 133 kNm en N Sd = 100 kN
(3) Blz. 103
Vgl. (5.48) blz. 103
§5.5.4 (1)
7-15
NSd χminA
fy γ M1
+
k y M y .Sd ≤1 f Wpl ,y y γ M1
Referenties (7) blz. 105 Figuur 5.5.3 Blz. 106
Er geldt: βM.y=1.8-0.7ψ=1.8 want: ψ=0 Wpl , y − Wel, y µy = λy 2 βM . y − 4 + ≤ 0.9 Wpl, y
(
)
µ y = 1. 567(2 × 1. 8 − 4) + µ y = −0. 5 ≤ 0. 9
ky = 1 −
µ y N Sd χ y Af y
(907 − 812 ) 10³ 907
10³
≤ 1. 50
−0.8 × 100 × 10³ 0. 3482 × 64.2 × 10² × 355 k y = 1.06 ≤ 1.50 Dus: ky = 1.06 Invullen in de controle: 100 × 10³ 1. 06 × 200 × 106 + ≤1 355 355 0.3482× 64. 2 × 10² × 907 × 10³ 1.1 1. 1 0.14 + 0. 72 = 0. 86 < 1 ky = 1 −
Op BUIGING en DRUK belaste staven – met KIP: moment yy-as en uitwijking zz-as Kipcontrole deel 1: Kipcontrole deel 2: MSd = 133 kNm en N Sd = 100 kN MSd = 200 kNm en N Sd = 100 kN k LT M y .Sd k LtM y . Sd NSd NSd + ≤1 + ≤1 fy fy fy f χz A χLT Wpl, y χz A χ LtWpl ,y y γ M1 γ M1 γ M1 γ M1
§5.5.4
Er geldt: βM.y=1.8-0.7ψ=1.8 want: ψ=0 µLT = 0. 15λLT β M .LT − 0.15 ≤ 0.9
βM.y=1.8 -0.7ψ=1.333 want: ψ=0.667
§5.52
µLT = 0. 15 × 1. 02 × 1. 8 − 0.15 µLT = 0. 125 ≤ 0. 9
µLT = 0. 15 × 0. 51×1. 33 − 0.15 µLT = −0. 05 ≤ 0. 9
ky = 1 −
Vgl. 5.53
µ LT NSd ≤ 1.50 χ z Af y
0. 125 × 100 × 10³ 0.5844 × 64. 2 × 10² × 355 k y = 0.991 ≤ 1.00 ky = 1 −
vgl 5.54
−0. 05 ×100 × 10³ 0.8798 × 64. 2 × 10² × 355 k y = 1.003 ≤ 1.00 ky = 1 −
Dus: ky = 0.991 ky = 1.00 Invullen in de controle: 100 × 10³ 0. 991× 133 × 106 + ≤1 355 355 0.5844 × 64.2 × 10² × 0. 8783× 907 × 10³ 1. 1 1.1 0.083 + 0.513 = 0.596 < 1
7-16
100 × 10³ 355 1.1 0.055 + 0.723 = 0. 78 < 1 0.8798 × 64.2 × 10² ×
+
1. 00 × 200 × 106 0. 0.9474× 907 × 10³
355 1.1
≤1
7-17
Referenties:
7.4 Controle van doorsneden en staven 7.4.1 Ontwerp van een dakligger Gegevens: De hoofdligger maakt deel uit van een dakstructuur (enkel toegankelijk voor onderhoud). In het midden van de hoofdligger grijpt een secundaire ligger aan die zijn krachten op de te dimensioneren hoofdligger afdraagt, Figuur 7.xx. Q k=27.2 kN P k=24.0 kN qk=3.4 kN/m pk=3.0 kN/m a=4.0m
b=4.0m L=8.0m
Figuur 7.xx: Hoofdligger op twee steunpunten – geometrie en randvoorwaarden De secundaire ligger grijpt scharnierend aan op de hoofdbalk, ter hoogte van de langsas van de hoofdligger Staalkwaliteit: Fe360b Om een glijvaste verbinding te realiseren in de uiterste grenstoestand (UGT), worden twee voorgespannen bouten gebruikt. De bouten hebben volgende specificaties: • Boutklasse: 8.8; • Boutdiameter: te bepalen; • De ruwheid van het contactoppervlak beantwoordt aan klasse A. Gevraagd: 1. Berekenen de relevante belastingcombinaties voor de controle van de uiterste grenstoestand (UGT) alsook voor de controle van de gebruiksgrenstoestand (GGT) voor de hoofdligger. 2. Voer volgende controles uit in de UGT: a. Weerstand van de ligger in de maatgevende doorsneden; b. kipcontrole van de maatgevende ligger; 3. Voer volgende controles uit in de GGT: a. Controle van de middendoorbuiging van de ligger 4. In het midden van de overspanning wordt de secundaire ligger verbonden met de hoofdligger door middel van een scharnierende verbinding die tevens geen slip toelaat in de UGT. Ontwerp deze ligger-ligger verbinding. Oplossing: 1. Belastingcombinaties: (de puntlast en lijnlast zijn afkomstig van dezelfde belasting. Dit zijn geen onafhankelijke belastingen) UGT: 1.35(Gk+gk)+1.50(Q k+qk) GGT: 1.00(Gk+gk)+1.00(Q k+qk) 2. Controle van de middendoorbuiging (GGT): De middendoorbuiging (GGT) wordt eerst getoetst. Vaak is deze grenstoestand maatgevend voor het ontwerp van de doorsnede. Het dak is enkel toegankelijk voor onderhoud. Dit bepaalt de toelaatbare waarden voor de middendoorbuiging.
7-18
Referenties: Tabel 4.1, blz. 51
L δmax = 200 L δ2 = 250 De voorwaarde op de mobiele last zal niet maatgevend zijn, omdat:
q 3. 4 200 = = 0. 53 ≤ = 0.8 g + q 3.4 + 3 250 De totale doorbuiging (δmax) is maatgevend voor het ontwerp van de doorsnede. middendoorbuiging is gelijk aan:
vy =
De
5 pSd L4 PSd L3 L + ≤ 384EI 48EI 200
5 pSd L4 PSd L3 200 + ≤ Iy 384 LE 48 5(6.4 N mm)(8000mm)4 51.2 × 103 N (8000 mm)3 200 + ≤ Iy 384 48 8000mm × 210000 N mm² Waaruit volgt:
(
Iy >10.565 cm
)
4
Uit de staalcatalogus kan op basis van het traagheidsmoment een gepaste profielkeuze gemaakt worden: Staalcatalogus
HEA 280: 4 Iy = 13.673 cm Wel,y = 1013 cm³ Wpl,y= 1112 cm³ 3. Snedekrachten (UGT): De snedkrachten zijn samengevat in Tabel 7.xx. Omdat bij de weerstandscontrole de meest negatieve doorsnede moet gecontroleerd worden, worden de snedekrachten bepaald, zowel in de middendoorsnede als de oplegpunten. UGT MSd [kNm]
VSd [kN]
pSd =9.15 kN/m
M Sd =
VSd =
P Sd =73.2 kN
PSd L pSd L2 = 73 .2 M Sd = 4 = 146 .4 8
pSd L = 36.6 2
VSd =
PSd = 36.6 2
Totaal Midden 219.6 kNm
Totaal oplegpunt 0 kNm
36.6 kN
73.2 kN
Tabel 7.xx: Snedekrachten
7-19
4. Controle van de doorsnede (UGT): Classificatie van de doorsnede: Fe360b → ε=(235/f y)^0.5 = 1, want: fy=235N/mm² tf=13 c=140 Flens: d=196
Lijf:
c/tf = 140/13 = 10.7 < 10ε= 10 < 11ε = 11 d/tw=196/8 = 24.5 < 72ε = 72
→ neen →Klasse 2 → Klasse 1
Referenties: Tabel 5.3.1 Blz. 77 Tabel 5.9
Besluit: Klasse 2: Aeff = A, βA=1 Plastische scharnier kan zich ontwikkelen, maar de rotatiecapaciteit is beperkt. Lokaal plooien van het lijf: d/tw=196/8 = 24.5 < 69ε = 69 §5.4.6, blz. 90 → geen gevaar op lokaal plooien Controle op M Sd enkel (middendoorsnede): §5.4.5, blz. 87 W pl, y f y 1113 ×10³ mm³ × 235 N mm² MSd ≤ Mc .Rd = = = 237.6 >MSd = 219.6 kNm γ M0 1. 1 tw=8
Controle op M Sd en VSd – interactie – vereist voor de middendoorsnede ?
VSd ≤ 0.5Vpl. Rd = 0.5
Av f y
= 0. 5
§5.4.7, blz. 90
31. 74mm² × 235 N mm²
= 0.5 × 391.5k N γ M0 3 1. 1 3 VSd = 36.6 kN < 0.5Vpl,Rd=195.8 kN (interactie tussen buigmoment en dwarskracht moet niet in rekening gebracht worden.) Controle op VSd enkel (ter hoogte van het steunpunt is MSd = 0): Av f y 31.74mm ² × 235 N mm² VSd = 73. 2kN ≤ V pl.Rd = = = 391. 5kN Hieraan is voldaan. γ M0 3 1 .1 3 Stabiliteit van staven: kip van een op buiging belaste ligger De o ngesteunde lengte (of kiplengte) bedraagt:
§5.4.6, blz. 89
§5.5.2, blz. 103
L = 4000mm . Omwille van de gording die op de halve overspanning aangrijpt, is de Bijlage F 2 Blz. 269 primaire ligger zijdelingsgesteund ter hoogte van het midden van de overspanning. Omdat de verticale belasting aangrijpt in het dwarsdrachtenmiddelpunt Het theoretisch elastisch kipmoment wordt berekend uit: l LT =
M cr = C1 met: • • • • • • • • •
π 2 EIz
(k lLT )2
k kw
Vgl. (F.1) Blz. 268
I ω (k lLT )2 GIt + π 2 EIz Iz 2
k = 1: geen belemmering van de eindverdraaiing uit het vlak van het raamwerk (2) blz. 269 (lLT/L=1); de uitgekipte vorm is anti-symmetrisch. Het andere deel zal gelijktijdig mee uitkippen, vandaar k=1; (4) blz. 269 kw=1: geen speciale voorziening tegen het verhinderen van welving op het einde van de staven. lLt = 4000 mm: kiplengte Staal9 6 Iω= 770.1 10 mm : sectorieel traagheidsmoment catalogus 4 4 It = 61.42 10 mm : torsietraagheidsmoment 4 4 Iz=4763 10 m m : traagheidsmoment om de zwakke buigingsas G=80000 N/mm² Tabel F.1.1, E=210000 N/mm² Blz. 270 C1 = 1.879 (Tabel F.1.1, ψ =0), op basis van de eindmomenten
π 2 210000 × 4763 × 10 4 1 770. 1× 109 (1× 4000) 80000 × 61.42 × 10 4 + (1× 4000)2 1 4763 × 104 π 2 210000 × 4763 × 10 4 Mcr = 1800 kNm 2
2
M c r = 1.879
7-20
Referenties:
Stap 2: De kiplengte en relatieve slankheid: De kniklengte: l LT= 0.5L = 0.5x8000 = 4000 mm De relatieve slankheid:
β ωWpl ,y f y
1× 1112 ×10 ³mm³ × 235 N mm² = = 0.38 <0.4 M cr 1800 × 10 6 Nmm vereist. Bij wijze van illustratie wordt de werkwijze verdergezet. kan hier worden beëindigd.) λLT =
(geen
kipcontrole
De eigenlijke controle
Stap 3: Selectie van de gepaste knikkurve: warmgewalst profiel: α LT=0.21→ kurve a Stap 4: Reductie-factor χLT=0.9580 (op basis van uitgebreide tabellen) Stap 5: Rekenwaarde van de kipstabiliteit: χ f β W (0. 9580 × 235 N mm ² ) 1× 1112 × 10 3 mm³ = 227.6kNm M b.Rd = LT y w pl. y = γ M1 1. 1 Mb.Rd = 227.6 kNm > M Sd = 219.6 kNm (voldoet)
(
)(
)
(
)
7-21
Referenties:
270
100
Ontwerp van de verbinding Gegevens: 280
8
100
8
100 Keuze bouttype: 8.8 fy,b = 640 N/mm²; fu,b=800N/mm² γMb=1.25. Verbinding in afschuiving: FV.Sd,UGT = 73.2 kN; FV.Sd,GGT = 51.2 kN Ontwerp glijvast in UGT: Categorie C Controle van de boutverbinding §6.5: Verbinding: Categorie C: FV.Sd < FS.Rd FV.Sd < Fb.Rd
Tabel 6.5.2, Blz. 150
Met:FV.Sd = FV.Sd,UGT/2 = 73.2/2=36.6 kN. Bij de verbinding met de kinderbalk zijn er twee afschuifvlakken. Bij de verbinding met de hoofdligger is er één afschuifvlak, maar zijn er twee bouten. De dwarskracht per bout en per afschuifvlak is dus gelijk. Glijvast in UGT – voorgespannen bouten van hoge treksterkte: d = 18 mm, d 0 = 20 mm Fp.Cd = 0. 7f ub AS = 0. 7 × 800 N mm² × 192mm² = 107. 5kN
kS nµ 1× 1× 0.5 FS.Rd = 107. 5kN = 43 >FV.Sd = 36.6 kN (OK) γ M S.ult 1. 25 Stuikdruk: 2. 5αfu dt 2.5 × 0.83 × 360 N mm ² × 18mm × 8 mm Fb.Rd = = = 86. 4k N > FV.Sd = 36.6 kN γ Mb 1. 25 FS .Rd =
e1 60 3d = 3 × 20 = 0. 833 0 p1 − 1 = / waarin: α = min 3d 0 4 = 0. 833 fub 800 = >1 360 fu 1 Controle van de positionering van de boutgaten: e1=50 mm: 1.2d0=1.2x20=324mm ≤e1=50mm≤ buiten:40+4t=40+4x8=72mm e2=50 mm: 1.5d 0=1.5x20=30mm ≤ e2= 50mm≤ buiten:40+4t=40+4x8=72mm Controle van de plaat: NSd < N t.Rd= min(Npl.Rd,Nu.Rd) Af y 100mm × 8mm × 235 N mm² N pl. Rd = = = 188kN >RV.Sd = 73.2 kN (OK) γ M0 1. 1
Nu.Rd =
§6.5.8, Blz. 158-159
Tabel 6.5.3, Blz. 154
§6.5.1, 141
Blz.
§6.5.2.3, Blz. 147
2. 0(e2 − 0.5d 0 )tfu 2.0(50 − 0. 5 × 20) × 8mm × 360 N mm² = = 184 .3k N >FV.Sd (OK) γM2 1.25
7-22
Referenties:
7.5 Verbindingen 7.5.1 Boutverbinding op afschuiving
12
Gegevens:
a=5mm
NSd
12
NSd
80
60
120
120
60
Buisprofiel: CHS 101.6x5.0, Fe360b (Circular Hollow Section): A=15.17 10² mm² Plaat: 120x12 mm, Fe360b Koppelplaat: 120x12, Fe360b Bouten: M24, Type 8.8 Lasnaad: a=5 mm Belasting: N Sd = 260 kN Controle van de weerstand van de elementen §5.4 Buisprofiel:N Sd < N t.Rd= min(Npl.Rd,N u.Rd) Af y 15. 17 ×10² mm² × 235 N mm² N pl.Rd = = = 324. 1kN >NSd = 260 kN (OK) γM0 1 .1 Plaat: Bruto doorsnede A = bxt=120x12 mm²=14 10² mm² Netto doorsnede Anet= (b-d0)xt=(120-26)x12 mm² = 11.3 10² mm² De gatdiameter bedraagt, voor standaardgaten: d 0 = d+2 mm (M24) = 26 mm.
N pl. Rd =
Nu.Rd =
Af y γ M0
=
§5.4.3, Blz. 86
14. 0 × 10²mm² × 235 N mm² = 307.6kN >NSd = 260 kN (OK) 1. 1
0.9 Anetf u 0.9 × 11.3 × 10² mm² × 360 N mm ² = = 292. 9kN NSd (OK) γ M2 1. 25
Controle van de boutverbinding §6.5: Verbinding: Categorie A: FV.Sd < FV.Rd FV.Sd < Fb.Rd
Tabel 6.5.2, Blz.150; Tabel 6.5.3, Blz. 154.
Met:FV.Sd = NSd/2 = 130 kN
FV .Rd =
0. 6fub AS 0.6 × 800 N mm² 353mm² = = 135. 6kN >FV.Sd = 130 kN γ Mb 1. 25
Fb.Rd =
2.5αfu dt 2. 5 × 0.77 × 360 N mm ² × 24mm × 12mm = = 159. 7k N > FV.Sd = 130 kN γ Mb 1.25
7-23
e1 60 3d = 3 × 26 = 0. 77 0 p1 − 1 = 0.77 waarin: α = min 3d 0 4 = 0. 77 f ub 800 = >1 360 fu 1
Referenties: §6.5.1, Blz. 141
Controle van de positionering van de boutgaten e1=60 mm: 1.2d0=1.2x26=31.2mm ≤e1=60mm≤ buiten:40+4t=40+4x12=88mm e2=60 mm: 1.5d 0=1.5x26=39mm ≤ e2= 60mm≤ buiten:40+4t=40+4x12=88mm p1 = 80 mm: 2.2d 0=2.2x26=57.5mm≤p1=80mm≤ max(14t=168mm, 200mm)=168mm
7-24
Referenties:
7.5.2 Hoekstaal verbonden met een koppelplaat Gegevens:
L70x7 NSd 30
100
NSd
50
80
50
L-profiel: 2 L70x7, Fe410b A=9.40 10² mm² Plaat: 120x15 mm, Fe430b Bouten: M20, Type 8.8 Belasting: N Sd = 285 kN §5.4.3
Controle van de weerstand van de elementen §5.4 Plaat:N Sd < N t.Rd= min(Npl.Rd,N u.Rd) Af y 100mm × 15mm × 275 N mm² N pl. Rd = = = 375k N >NSd = 285 kN (OK) γ M0 1.1 Plaat: Bruto doorsnede A = 9.4 10² mm² Netto doorsnede Anet= A-d0xt=(9.4 10² - 22x7) mm² = 7.86 10² mm² De gatdiameter bedraagt, voor standaardgaten: d 0 = d+2 mm (M20) = 22 mm.
N pl. Rd =
Af y
=
2x 9.4 × 10²mm ² × 275 N mm ² = 470. 0kN >N Sd = 285 kN (OK) 1 .1
γ M0 β 2 Anet fu 0. 536 × 2 × 7.86 × 10² mm² × 430 N mm² Nu.Rd = = = 292.9k N >N Sd (OK) γ M2 1. 25 waarin: β2: reductie op de sterkte omwille van niet-symmetrische staaf (met 2 §6.5.2.3, Blz. 147 bouten). Te bepalen via lineaire interpolatie uit waarden tabel 6.5.1 Tabel 6.5.1, Blz. 147 0.7 − 0.4 β 2 = 0. 4 + (p1 − 2.5d 0 ) = 0. 536 (5 − 2.5)d 0 Controle van de boutverbinding §6.5: Tabel 6.5.2, Verbinding: Categorie A: FV.Sd < FV.Rd FV.Sd < Fb.Rd Blz.150; Tabel 6.5.3, Met:FV.Sd = NSd/2 = 142.5 kN. De afschuifkracht per bout. Blz. 154.
0. 6fub AS 0.6 × 800 N mm ²145 mm² = = 94. 1k N De afschuifweerstand γ Mb 1.25 afschuifvlak (2 afschuifvlakken) x 2 = 188.2 kN >F V.Sd = 142.5 kN De stuikdrukkracht van de plaat: 2.5αfu dt 2. 5 × 0. 76 × 430 N mm² × 20mm × 15 mm Fb.Rd = = = 196.1k N > FV.Sd = 130 kN γ Mb 1.25 FV .Rd =
per
7-25
e1 50 3d = 3 × 22 = 0.76 0 p1 − 1 = 0.96 waarin: α = min 3d 0 4 = 076 f ub 800 = >1 430 fu 1 De stuikdrukkracht van een hoekprofiel (2 afschuifvlakken per bout): 2.5αfu dt 2. 5 × 0. 76 × 430 N mm² × 20mm × 7mm Fb.Rd = = = 91. 5kN . γ Mb 1. 25 hoekprofiel. 2 Hoekprofielen: x 2 = 183 kN > F V.Sd = 130 kN e1 50 3d = 3 × 22 = 0.76 0 p1 − 1 = 0.96 waarin: α = min 3d 0 4 = 076 f ub 800 = >1 430 fu 1
Referenties: §6.5.1, Blz. 141
De stuikdruk per
Controle van de positionering van de boutgaten: §6.5.1, Blz. e1=50 mm: 1.2d0=1.2x22=26.4mm ≤e1=50mm≤ buiten:40+4t=40x4x15=100mm 141 e2=30 mm: 1.5d0=1.5x22=33mm?≤?e2= 30mm≤ buiten:40+4t=40x4x15=100mm. Hieraan is niet voldaan. De ondergrens beantwoordt wel aan: 1.5d0=1.2x22=26.4mm ≤ e2= 30mm Door deze verlaagde afstand dient de opneembare stuikkracht gereduceerd te worden: §6.5.5 Voor e2 = 1.2 d 0: reductie tot 2/3 Voor e2 = 1.5d 0: 1 Tabel 6.5.4 2 (1. 36 − 1. 20) 1 = 0. 844 Ertussen: lineaire interpolatie: + 3 1.50 − 1. 20 3 Daarmee geldt: 2. 5αfu dt 2. 5 × 0. 76 × 430 N mm² × 20mm × 7mm Fb.Rd = 0. 844 = 0. 844 = 77.3kN . De γ Mb 1. 25 stuikdruk per hoekprofiel. 2 Hoekprofielen: x 2 = 154.6 kN > FV.Sd = 130 kN p1 = 80 mm: 2.2d 0=2.2x22=58.4mm≤p1=80mm≤ max(14t=210mm, 200mm)=200mm
7-26
Referenties:
7.5.3 Boutverbinding belast op Moment en Trekkracht Gegevens:
280
yc
120
140
400
N Sd 360
MSd
Bouten: Type 8.8: f y,b=640 N/mm²; fub= 800 N/mm² Lasten: N Sd = 80 kN (Druk); MSd = 70 kNm Kopplaat: Fe510b: fy = 355 N/mm²; f u = 510 N/mm² Ontwerp van de boutverbinding Ontwerpkeuzes: • 3 boutrijen (y1= 120 mm; y2 = 280 mm; y3 = 360 mm; 2 bouten per rij, d=20 mm, dus: d0 = 22 mm; AS = 245 mm². • Kopplaat: bxh=140x400mm; (dus a/2=200mm) Berekening van de krachtsverdeling in de bouten, op basis van de uitwendige belasting e = MSd/N Sd = 70 kNm/-80kN= -875 mm Ligging van de neutrale lijn (yc)
y c3
y 3c
b b a − y c2 e + − y c 6 2 2
n
n
∑ e + 2 − y + ∑ y A e + 2 − y a
i
a
i
i =1
i
i =1
140 140 400 − y c2 − 875 + − y c × 2 × 245 6 2 2
n
∑ (− 875 + 200 − y i =1
i
=0 n
i
) + 2 × 245 ∑ y i (− 875 + 200 − y i ) = 0 i =1
140 3 y c + 47250 y c2 + 1364650 y c − 360346000 = 0 6 yc = 55 mm Aangezien dat y1=120 mm>yc=55 mm, bevinden alle bouten zich in de trekzone. Bepalen van de constante k:
k =
−N Sd n
∑ A (y i
i
− yc )−
i =1
by c2 2
80 × 10 ³
k = 2 × 245
3
∑ (y i − 55) − i =1
140 × 55 2
= 1 .0025 N
mm ³
2
Maximale contactspanning in de kopplaat:
σ c = k yc = 1. 0025 × 55 = 55N / mm²
7-27
Referenties :
Normaaltrekkracht in de bouten: N b, i = k (y i − y c )Ai
Nb,1 = 1. 0025(120 − 55)245 = 16. 0kN
Nb, 2 = 1.0025(280 − 55 )245 = 55. 3kN N b ,3 = 1 .0025 (360 − 55 )245 = 74 . 9 k N
Controle van de bouten Categorie E: Ft.Sd = 74.9kN < Ft.Rd f A 0.9 × 800 N mm² 245mm ² FT . Rd = 0.9 ub S = = 141. 2kN >Ft.Sd = 74.9 kN (OK) γ Mb 1. 25 Bijkomende opgave Stel: Glijvast in UGT – Categorie C. Wat is dan de maximaal opneembare dwarskracht ? Categorie C: FV.Sd < FS.Rd Voor voorgespannen bouten van hoge sterkte die op trek worden belast, geldt:
Fp.Cd = 0. 7f ub AS = 0. 7 × 800 N mm² × 245mm² = 137. 2kN FS.Rd =
(
k S nµ F p.Cd − 0.8Ft .Sd γ M S.ult
) = 1× 1× 0.5(137.2 − 0.8 × 74.9) = 30.91kN voor bout op y3.
Tabel 6.5.2, Blz. 150 Tabel 6.5.3 Blz. 154
Tabel 6.5.2 Blz. 140 §6.5.8, 158
Blz.
§6.5.1, 141
Blz.
1. 25
Dit levert volgende waarden: FS.Rd,3 = 2x30.91 kN = 61.82 kN (2 bouten per boutrij) FS.Rd,2 = 2x37.18 kN = 74.37 kN FS.Rd,1 = 2x49.73 kN = 99.52 kN FS.Rd,tot = 235.7 kN Ontwerp van de kopplaat Uitgaande van de maximale contactspanning en de breedte van de plaat, kan de gewenste dikte worden bepaald. Immers, het aangrijpend moment is (uit de contactspanning) gelijk aan:
σ c y c b 2y c 55 N mm ² × 55mm × 140mm 2 × 55mm = = 7.76 kNm 2 3 2 3 Dit leidt tot volgende spanningen: M Sd =
f MSd M 355 N mm ² = Sd2 ≤ y = = 323N / mm ² I γ M0 1.1 bht v 6 Hieruit kan de nuttige hoogte of plaatdikte (ht) berekend worden: σd =
ht =
M Sd = fy b γ M0 6
7. 76 × 10 6 Nmm = 32. 1mm . De vereiste dikte t = 33 mm 355 N mm² 140 1. 1 6
7-28
7.5.4 Boutverbinding belast op Torsie en Dwarskracht Gegevens: Bijdrage dwarskracht
Gecombineerd effect
Bijdrage wringmoment FT.Sd,6
FT.Sd,1 a1
e=300mm
160
c
160mm
c
a2
FV.Sd =24 kN
Fv.Sd,i
FT.Sd,5
c
c FT.Sd,2
FT.Sd,4
FT.Sd,3
y
80
x
Verbinding: glijvast in UGT Bouten: Type 8.8 Plaat: dikte = 10 mm Berekening van de krachtsverdeling in de bouten, op basis van de uitwendige belasting Voor de optredende afschuifkracht geldt, FV.sd=24 kN: F 24k N Fv .Sd,i = v .Sd = = 4k N , n × nb 1× 6 met: • n:=1 het aantal vlakken waartussen contactwrijving optreedt; • nb:6 het aantal bouten Het wringmoment wordt verdeeld tussen de bouten als functie van de afstand tot het zwaartepunt van de boutgroep (ai). Voor een bout i, wordt de aangrijpende belasting daarmee gelijk aan [T: “Torsion”]: FT .Sd ,i = k ai Uit het globale rotatie-evenwicht volgt: nb
TSd = Fv .Sd × e = n
∑ i =1
nb
FT .Sd ,i ai = 24kN × 300mm = 7200kNmm = n
∑ ka
2 i
i =1
TSd
→k =
nb
n
∑a
2 i
i =1
Hieruit kan de kracht op een individuele bout berekend worden: T 7200kNmm FT .Sd,i = n Sd ai ⇒ FT . Sd,1 = 802 + 1602 = 9.15kN; FT .Sd ,2 = 4. 09kN b 1 × ( 2 x 80 ² + 4 × 160 ² ) n ai2
∑ i =1
De vectoriële som van de krachten Fv.Sd,i en FT.Sd,i, levert de kracht die werkt op een doorsnede van bout i. Om deze vectoriële som te berekenen wordt een x-y-assenstelsel aangenomen. Dit leidt tot volgende krachtscomponenten: Fv .Sd, y F 0 24kN Fv .Sd,i , x = v .Sd ,x = = 0 , en: Fv .Sd,i , y = = = 4kN n × nb 1× 6 n × nb 1× 6
7-29
TSd
FT .Sd,i , x =
∑ (x nb
n
2 i
+ y i2
i =1
)
TSd
FT .Sd,i ,y =
∑ (x nb
n
i =1
2 i
+ y i2
)
y i ⇒ FT .Sd ,1,x =
7200kNmm 160mm = 8. 18kN , en : 1× 140. 800
x i ⇒ FT .Sd,1, y ==
7200kNmm 80 = 4.09kN 1× 140.800
De kracht op de zwaarst belaste bout (boutnr. 1) wordt daarmee gelijk aan:
FSd,i =
(Fv .Sd,i ,x + FT .sd,i ,x )2 + (Fv .Sd,i ,y + FT .sd,i ,y )2
⇒ FSd,1 =
(0 + 8.18)2 + (4 + 4.09)2
= 11. 50k N
Controle van de boutverbinding §6.5: Verbinding: Categorie C: FV.Sd < FS.Rd FV.Sd < Fb.Rd Met:FV.Sd,1 = 11.50 kN. In ontwerptermen geschreven: 11. 5k N × γ MS.ult 11. 5k N × 1.25 FS.Rd > FV .Sd ⇒ Fp.Cd > = = 28. 75k N kS nµ 1× 1× 0. 5 en: F p.Cd 28.75kN Fp.Cd = 0.7f ub AS ⇒ AS > = = 51. 33mm² 0.7f ub 0. 7 × 800 N mm² Keuze: voorgespannen bouten van hoge treksterkte: d = 10 mm, d 0 = 11 mm Fp.Cd = 0.7f ub AS = 0.7 × 800 N mm² × 58mm² = 32. 5kN
kS nµ 1× 1× 0.5 F p.Cd = 32.5kN = 13. 0kN >FV.Sd,1 = 11.5 kN (OK) γ M S.ult 1.25 Stuikdruk: 2.5αfu dt 2. 5 × 1× 360 N mm² × 10mm × 10mm Fb.Rd = = = 72. 0k N > FV.Sd = 36.6 kN γ Mb 1.25 FS.Rd =
e1 80 3d = 3 × 11 = 2.42 0 p1 − 1 = 160 − 1 = 4. 6 waarin: α = min 3d 0 4 3 × 11 4 =1 fub 800 = >1 360 fu 1 Plaatcontrole (afbreken van een hoek, waar de afschuifkracht het grootst is) Bruto doorsnede A = (e1+e2)xt=(80+80)x10 mm²=16 10² mm² Netto doorsnede Anet= (e1+e2-d0)xt=(160-11)x10 mm² = 14.9 10² mm² De gatdiameter bedraagt, voor standaardgaten: d 0 = d+1 mm (M10) = 11 mm. Af y 16. 0 × 10²mm² × 235 N mm² N pl. Rd = = = 341.0kN >NSd = 11.5 kN (OK) γ M0 1. 1
Nu.Rd =
0.9 Anetf u 0.9 × 14. 9 × 10² mm² × 360 N mm² = = 386. 2k N NSd (OK) γ M2 1. 25
Controle van de positionering van de boutgaten e1=80 mm: 1.2d0=1.2x11=13.2mm ≤e1=80mm≤ buiten:40+4t=40+4x10=80mm e2=80 mm: 1.5d 0=1.5x11=16.5mm ≤ e2= 80mm≤ buiten:40+4t=40+4x10=80mm p1 = 160 mm: 2.2d0=2.2x11=24.2mm≤p1=160mm≤ max(14t=140mm, 200mm)=200mm p2 = 160 mm: 3d 0=3x11=33mm≤p2=160mm≤ max(14t=140mm, 200mm)=200mm
7-30
7.5.5 Koplassen en zijlassen in een op Trek belast verbinding Gegevens:
a=3mm, l=55mm
N Sd
NSd
a=3mm, l=50mm
Koppelplaten: 2 x 50mmx5mm, Fe360b Trekstaaf: 150 x 5 mm, Fe360b Lasnaden hebben minimale keeldikte: a=3 mm Zijlassen: l z = 55 mm Koplassen: l k = 50 mm Aangrijpende belasting: N Sd = 150 kN Controle van de lasnaad Voor staalkwaliteit Fe360b geldt: βw=0.80 en: γMw=1.25. Voor de koplassen geldt: σ // = 0 F σ ⊥ = t .Sd al 2 τ // = 0 − Ft .Sd τ⊥ = al 2 Gebruik makend van het algemeen vloeicriterium wordt het draagvermogen:
σ ⊥2
(
+ 3 τ 2⊥
+ τ 2//
of:
Ft .Rd ,k =
fu
)
fu ≤ → β w γ Mw
∑ al
β w γ Mw 2 Voor de zijlassen geldt: σ // = 0 σ⊥ =0 F τ // = t .Sd ai l i
2
=
2
∑
2
fu + 3 Ft .Sd = β w γ Mw al 2 al 2
Ft . Sd
∑
360 N mm² 2 × 3mm × 50mm 2 = 76. 4k N 0. 8 × 1.25 2
∑ i
τ⊥ = 0 Gebruik makend van het algemeen vloeicriterium wordt het draagvermogen:
7-31
(
)
σ ⊥2 + 3 τ 2⊥ + τ 2// ≤
2 of: Ft .Rd ,z = ai li i =1
∑
fu β w γ Mw
F → 3 2 t . Rd ai l i i =1
∑
2
fu = β w γ Mw
fu 360 N mm ² = 4 × 3mm × 55 mm = 137. 2kN 3β γ 3 × 0. 80 × 1.25 w Mw
Wanneer zowel zij- als koplassen voorkomen, dan is het totaal niet gelijk aan de som van beide. Wanneer de lengte van beide ongeveer gelijk is (0.5lz
7-32
7.5.6 Lasnaad – ligger-kolomverbinding Gegeven: l1
a1
a2
l3
h1
h3
l2
a3
Ligger: IPE360, Fe360b Dikte van de kopplaat = dikte flens IPE360 Aangrijpende belasting: N Sd = 300 kN; T Sd = 100 kN; MSd = 150 kNm Voor de opname van de lasten wordt ervan uitgegaan dat TSd wordt opgenomen door de lasnaden ter hoogte van het lijf; NSd+MSd worden opgenomen door het geheel van de lasnaden. Aanname: alle lasnaden hebben een zelfde dikte: a = a 1 =a2=a3 = 4 mm. Horizontale lasnaden ter hoogte van de flenzen (a1 en a 3) De spanningen in de doorsnede: σ // = 0 n 232. 4 σ ⊥ = Sd = = 163.6 N mm² 2 2 T τ // = Sd = 0 2a2 l 2 − nSd − 232.4 τ⊥ = = = −163.6 N mm² 2 2 Met:
nSd =
N Sd
∑ (a l )
+
i i
M Sd h 300 × 10³ N 150 × 106 Nmm347 .3mm = + = 39.7 + 191.7 = 232.4 N mm² 2I y 7546mm² 2 × 135. 89 × 10 6 mm 4
i
waarin: h= gemiddelde hoogte waarop de spanningen aangrijpen in de lasnaden 1 en 3: h=(h1+h3)/2=334.6+360)/2=347.3mm 2
2
2 2 h h 2843 a l3 360 334. 6 I y = 2a1l1 1 + 2 2 2 + 4a3 l3 3 = 7 × 2 × 156 + 2× + 4 × 49 2 2 12 12 2 2 6 4 Iy = 135.89 10 mm .
en
7-33
∑ (a l ) = 2a l i i
11
+ 2a2l 2 + 4a3 l3 = 7 × (2 × 156 + 2 × 284 + 4 × 49) = 7 × 1124 = 7546mm ²
i
De lengtes van de lasnaden rekening houdend met het lasrupseinde met lengte gelijk aan de keeldikte zijn gelijk aan: l1= b-2a = 156 mm l2=h-2tf-2r-2a=360-2x12.7 -2x18-2a=284 mm l3=b/2–tw-r-2a =170/2 – 8 – 18 – 2a = 49 mm De hoogte s: h1 = 334.6 mm h3 = 360 mm De spanningscontrole: Voor staalkwaliteit Fe360b geldt: βw=0.80 en: γMw=1.25. Het algemeen criterium luidt:
(
)
(
)
σ ⊥2 + 3 τ 2⊥ + τ //2 = 163.6 2 + 3 163. 62 + 0 2 = 327. 2 N mm ² ≤
fu 360 N mm² = = 360 N mm² β w γ Mw 0.8 × 1. 25
Hieraan is voldaan. Controle van de normaalspanningen enkel: f 360 N mm ² σ ⊥ = 163. 6 N mm² ≤ u = = 288 N mm² (OK) γ Mw 1. 25 Verticale lasnaden ter hoogte van de flenzen (a2) De spanningen in de doorsnede: σ // = 0 n 200 σ ⊥ = Sd = = 141. 2 N mm ² 2 2 T 100 × 10³ τ // = Sd = = 25.2 N mm² 2a2l 2 2 × 7 × 284 − nSd − 200 τ⊥ = = = −141. 2 N mm² 2 2 Met:
nSd =
N Sd
∑ (a l )
+
i i
M Sd h 300 × 10³ N 150 × 106 Nmm × 290 mm = + = 39. 7 + 6. 06 = 200 N mm² 2I y 7546mm² 2 × 135. 89 × 106 mm4
i
waarin: h/2=l 2/2=290mm/2: De maximale hoogte van de verticale lasnaad a2. spanning het grootst zijn. De spanningscontrole: Het algemeen criterium luidt:
(
)
(
)
σ ⊥2 + 3 τ 2⊥ + τ //2 = 1412 + 3 1412 + 252 = 285 N mm ² ≤
Daar zal de
fu 360 N mm² = = 360 N mm² βw γ Mw 0.8 × 1. 25
Hieraan is voldaan. Controle van de normaalspanningen enkel: f 360 N mm² σ ⊥ = 141. 2 N mm ² ≤ u = = 288 N mm² (OK) γ Mw 1. 25 Besluit: zowel de verticale als horizontale lasnaden, met keeldikte gelijk aan a=4 mm volstaan om de aangrijpende belasting op te nemen.
7-34
7.6 Controle van een portiek Controleer de stabiliteit van onderstaande portaal, Figuur 1, overeenkomstig de Eurocodes 1990, 1991 en 1993. Dit portaal maakt deel uit van een stalen loods. De tussenafstand tussen de portalen bedraagt 5 m. De loods bevat geen kraanbaan. De controle wordt beperkt tot een 2D model. krachtswerking uit het vlak.
Er dient geen rekening gehouden te worden met
4 3 - IPE-500 - staal - Fe 360 600 3 2 - IPE-500 - staal - Fe 360 600 2 4 - HEA-500 - staal - Fe 360 800
1 - HEA-500 - staal - Fe 360 800 5
y x
1
z
y x
z
Figuur 1: portaal – geometrie en randvoorwaarden
7.6.1 Gegevens Afmetingen aslijnen: • Breedte = 12 m • Hoogte = 8 m Randvoorwaarden: • De kolommen zijn scharnierend verbonden met de fundering • De kolom-ligger verbinding is een momentstijve verbinding. Volgende gewalste staalprofielen worden gehanteerd: • Kolommen: HEA 500 • Ligger: IPE 500 Staalkwaliteit: Fe360 De ligger bestaat uit 2 gelijke delen en is in het midden verbonden met een momentstijve boutverbinding, Figuur 2. Om een glijvaste verbinding te realiseren in de uiterste grenstoestand (UGT), worden voorgespannen bouten gebruikt. De bouten hebben volgende specificaties: • Boutklasse: 8.8 • Boutdiameter: 20 mm • De ruwheid van het contactoppervlak beantwoordt aan klasse A
7-35
Figuur 2: boutverbinding midden ligger Wanneer de verbinding belast wordt op een combinatie van krachten N, M en N ≈ 0, dan vereenvoudigen de in de cursus afgeleide formules zich sterk. Hierna worden de vereenvoudigde formules (omkaderd) aangegeven. Voor de volledigheid is de afleiding eveneens weergegeven. De aannames, notaties en tekenconventies zijn identiek aan deze gehanteerd bij het algemene geval M≠0, N≠0, zie cursus. De drukspanningen zijn evenredig met de afstand tot de neutrale lijn, evenredigheidsconstante k: σ c = kyc (1) De trekkrachten in de bouten (N i) zijn evenredig met de afstand tot de neutrale lijn: Ni = k (y i − y c )Ai
(2)
Horizontaal evenwicht:
∑
N = 0 : σ cy c
b − 2
n
∑N
i
=0
(3)
i =1
Momentenevenwicht:
∑
M = 0 : σ cy c
b 2y c + 2 3
n
∑ N (y i
i
− yc ) − M = 0
(4)
i =1
Invullen van (1) en (2) in (3) geeft de ligging van de neutrale lijn yc:
7-36
ky c y c
b − 2
n
∑ k (y
− y c )Ai = 0
i
i =1
of:
y c2
b + yc 2
n
∑
n
∑y A
Ai −
i
i =1
i
=0
(5)
i =1
Invullen van (1) en (2) in (4) geeft volgende uitdrukking voor de constante k:
ky c y c
b 2y c + 2 3
n
∑ k (y
− y c ) Ai = M 2
i
i =1
of:
k=
M byc3 3
+
n
∑ (y
− y c ) Ai
(6)
2
i
i =1
De in rekening te brengen aangrijpende belastingen: • Eigengewicht van ligger en kolommen • Permanente belasting (dakbedekking enkel): p = 1.5 kN /m • Onderhoud op het dak (enkel rekening te houden met de gelijkmatig verdeelde belasting). Het dak is enkel toegankelijk voor onderhoud. • Windlast Hanteer de aanbevolen combinatiefactoren voor de belastingen aangegeven in EN 1990. De karakteristieke waarden voor de windlast zijn aangegeven op Figuur 3. Voor de berekening van de snedekrachten (M,N,T) alsook voor de verplaatsingen en doorbuiging, kan superpositie gebruikt worden, op basis van onderstaande diagramma’s. De uitgevoerde berekeningen maken gebruik van een lineair-elastisch model van het portaal, Figuur 3.
7-37
Figuur 3: Benodigde verplaatsingen
belastinggevallen,
overeenstemmende
N,M,V-diagramma’s en optredende
7-38
Op de ligger worden op regelmatige tussenafstanden gordingen aangebracht, waarop de dakplaten worden bevestigd. Deze zijdelingse steunen zorgen ervoor dat de kniklengte van de ligger volgens de zwakke as zodanig gereduceerd wordt, dat controle niet langer benodigd is.
7.6.2 Gevraagd 5. 6.
7.
8.
Berekenen de relevante belastingcombinaties voor de controle van de uiterste grenstoestand (UGT) alsook voor de controle van de gebruiksgrenstoestand (GGT). Voer volgende controles uit in de UGT: a. Weerstand van de kolom in de maatgevende doorsnede b. Knik- en kipcontrole van de maatgevende kolom c. Weerstandscontrole van de ligger in de maatgevende doorsnede d. Knikcontrole van de ligger. Door de zijdelingse steunen – gordingen - is kipcontrole niet benodigd. Voer volgende controles uit in de GGT: a. Controle van de middendoorbuiging van de ligger b. Controle van de zijdelingse verplaatsing van de kolom In het midden van de overspanning worden de twee liggerhelften aan mekaar verbonden met een momentstijve verbinding die tevens geen slip toelaat in de UGT. Controleer deze liggerligger verbinding.
7-39
Referenties
7.6.3 Controle van een portiek 1. Aangrijpende belastingen Eigen gewicht (IPE 500): p = 90.7 kg/m → pL = 0.9 kN/m; • Eigen gewicht (HEA 500): p = 155 kg/m → pK = 1.55; • Permanente lasten p = 1.5 kN/m • Onderhoud o Qk = 1.5 kN → puntlast wordt niet verder in rekening gebracht o qk = 0.75 kN/m² x ss (=5 m) = 3.75 kN/m; • Windlast: uit figuur 3, opgave.
Staalcatalogus ENV19912-1 (1995) Tabel 6.6 Roof Categorie H
2. Raamwerkimperfecties De raamwerkimperfectie wordt in rekening gebracht door een equivalente horizontaleEC3 §5.2.4.3 belasting (H=φN) aan te brengen op de structuur: Blz. 62 φ = k s k cφ 0 = 1x1x1 / 200 = 1/ 200 met: kc = 1, daar het aantal kolommen, nc = 2; ks = 1, daar het aantal verdiepingen n s = 1. 3. Belastingcombinaties De in rekening te brengen combinatiefactoren zijn aangegeven in Tabel 1. Belasting ψ0 ψ1 e.g. 1 1 permanente last 1 1 onderhoud 0 0 wind 0.6 0.2 Imperfecties Tabel 1: In rekening te brengen combinatiefactoren
ψ2 1 1 0 0
ENV1990 Appendix A1 Tabel A.1.1 Blz. 53
UGT: UGT-BC1: Maximaal moment midden ligger – ontwerp boutverbinding [STR] BC1: 1.35(eg+p)+1.5q+0w+Id,1 Met voor de imperfectie: FId,1 = [1.35(pLxLL+pkxLK+pxLL)+1.5qL]φ=(14.58+16.76+24.3+67.5)1/200=0.616 Dit resulteert in de snedekrachten: MSd=(1.35(0.9+1.50)+1.5x3.75)x8.377+0.616x0 VSd= (1.35(0.9+1.50)+1.5x3.75)x0.000+0.616x0.67 NSd=(1.35(0.9+1.50)+1.5x3.75)x0.000+0.616x( -0.5)
= 74.33 kNm = 0.41 kN = -0.31 kN
UGT: UGT-BC2: Maximale dwarskracht midden ligger – ontwerp boutverbinding [STR] BC2: 1.35(eg+p)+1.5w+0q+Id,2 Met voor de imperfectie: FId,2 = [1.35(pLxLL+pkxLK+pxLL)+1.5wLL]φ=-0.082 Dit resulteert in de snedekrachten: MSd=(1.35(0.9+1.50)x8.377+1.5x-33.506+-0.082x0 VSd= (1.35(0.9+1.50)x0.000+1.5x27.75+-0.082x0.67 NSd=(1.35(0.9+1.50) x0.000+1.5x0.000+-0.082x(0.5)
= -23.81 kNm = 41.57 kN = -0.041 kN
UGT: UGT-BC3: Maximale moment in de ligger – doorsnede thv knoop ligger-kolom [STR] Tabel A.1.2 BC3: 1.00(eg+p)+1.5w+0q+Id,3 (opgepast: moment eg en permanente last werkt gunstig) EN1990 Met voor de imperfectie: FId,3 = [1.00(pLxLL+pkxLK+pxLL)+1.5wxL L]φ=-0.154
Blz. 57
7-40
Dit resulteert in de snedekrachten: MSd=(1.00(0.9+1.50)x9.623+1.5x-198.5+(-0.154)x-4 VSd= (1.00(0.9+1.50)x6.000+1.5x-50.7+(-0.154)x-0.67 NSd=(1.00(0.9+1.50) x0.000+1.5x0.000+(-0.154)x(-0.5)
= 274 kNm = 61.5 kN = 0.08 kN
Referenties
UGT: UGT-BC4: Maximale moment in de kolom – doorsnede thv knoop ligger-kolom [STR] BC4: 1.00(eg+p)+1.5w+0q+Id,4 (opgepast: moment eg en permanente last werkt gunstig) Met voor de imperfectie: FId,4 = [1.00(pLxLL+pkxLK+pxLL)+1.5wL]φ=-0.154 Dit resulteert in de snedekrachten: MSd=(1.00(0.9+1.50)x9.623+1.5x-198.5+(-0.154)x-4 VSd= (1.00(0.9+1.50)x1.200+1.5x-4.800+(-0.154)x-0.5 NSd=(1.00(0.9+1.50) x-6.00+1.5x50.770+(-0.154)x(0.67)
= 274 kNm = -4.2 = 61.65 kN (TREK)
kN
GGT: GGT-BC5: Maximale middendoorbuiging ligger BC5: 1.00(eg+p)+1.00q+Id,5 Met voor de imperfectie: FId,5 = [1.00(pLxLL+pkxLK+pxLL)+1.0qxL L]φ=0.43 Dit resulteert in de middendoorbuiging: δmax=(1.00(0.9+1.50)+1.00x3.75)x0.968+0.43x0= 5.95 mm. δ2 =
(1.00x3.75)x0.968+0.43x0= 3.63 mm.
GGT: GGT-BC6: Maximale horizontale uitwijking thv knoop ligger-kolom BC6: 1.00(eg+p)+1.00w+Id,6 Met voor de imperfectie: FId,6 = [1.00(pLxLL+pkxLK+pxLL)+1.0wxL L]φ=0.15 Dit resulteert in de horizontale uitwijking: ux=(.00(0.9+1.50)x0+1.00x48.71+0.15x1.1= 48.875 mm. 4. Controle in de GGT Middendoorbuiging (daken algemeen): L δ max = 5. 95mm < = 60 mm 200 L δ 2 = 3. 63mm < = 48mm 250 Horizontale uitwijking (raamwerk zonder kraanbaan): h ux = 48.875mm < = 53mm 150
EC3 Blz. 51 §4.2.2 §4.2.3
7-41
5. Classificatie van de doorsnede
Referenties:
Classificatie van de doorsnede: Fe360b → ε=(235/f y)^0.5 = 1, want: fy=235N/mm² Ligger IPE500 Kolom HEA 500
EC3 Blz. 74-76
c=100
tw=10.2
tf=23
d=390
d=426
tf=15
c=150
tw=12
Flens: c/tf = 100/16 = 6.25 < 10ε= 10 → ja: Klasse 1
c/tf = 150/23 = 6.52 < 10ε= 10 → ja: Klasse 1
d/tw=426/10.2 = 41.7 < 72ε = 72 → ja: Klasse 1
d/tw=390/12 = 32.5 < 72ε = 72 → ja: Klasse 1
Lijf:
Besluit: Klasse 1:Aeff = A, βA=1, βW=1 Lokaal plooien van het lijf: d/tw=426/10.2 = 41.7 < 69ε = 69 → geen gevaar op lokaal plooien Te hanteren knik en kipcurve : Knik: h/b = 500/200 = 2.5 >1.2 → yy-as: knikkurve a → zz-as: knikkurve b Kip: gewalst profile → knikkurve a
Besluit: Klasse 1:Aeff = A, βA=1, βW=1 d/tw=390/12 = 32.5 < 69ε = 69 → geen gevaar op lokaal plooien
Knik: h/b = 500/300 = 1.67 >1.2 → yy-as: knikkurve a → zz-as: knikkurve b Kip: gewalst profiel → knikkurve a
EC3 Blz. 101 Tabel 5.5.3
6. Controle UGT – KOLOM Maatgevende doorsnede UGT-BC4 – ligger-kolom verbinding Snedekrachten: MSd = 274 kNm VSd = -4.2 kN NSd = 61.65 kN Controle op VSd dwarskracht Av f y 6240mm² × 235 N mm² VSd = 4.2kN ≤ V pl. Rd = = = 770 kN . Hieraan is voldaan. γ M0 3 1.1 3
EC3, Blz. 89 §5.4.6
VSd = 4.2 kN < 0.5Vpl,Rd=385 kN (interactie tussen buigm oment en dwarskracht moet niet in rekening gebracht worden.) Buigmoment MSd en Normaalkracht N Sd:
Afy 197. 5x10 x 235 NSd M Sd + < 1 N pl. Rd = = = 4641k N γ M0 1. 1 NRd M Rd met: Wpl ,y f y 394 x103 x 235 61. 65k N 274kNm M pl .Rd = = = 843kNm + <1 γ M0 1.1 4641k N 843kNm 0.325 + 0.013 = 0.34 < 1 (OK) 2
EC3, Blz.90 §5.4.7
Controle van de stabiliteit van de staven – Knik en Kip Op buiging en Trek belast – enkel Kip te toetsen
7-42
De ongesteunde lengte (of kiplengte) bedraagt:
Referenties:
l LT = L = 8000mm . Het theoretisch elastisch kipmoment wordt berekend uit:
EC,blz.104 §5.5.3
M cr = C1 met: • • • • • • • • •
π 2 EIz
(k lLT )2
k kw
I ω (k lLT )2 GIt + π 2 EIz Iz 2
k = 1: geen belemmering van de eindverdraaiing uit het vlak van het raamwerk (lLT/L=1); kw=1: geen speciale voorziening tegen het verhinderen van welving op het einde van de staven. lLt = 8000 mm: kiplengte Iω= 5643 109 mm 6: sectorieel traagheidsmoment 4 4 It = 309.3 10 mm : torsietraagheidsmoment 4 4 Iz=10370 10 mm : traagheidsmoment om de zwakke buigingsas G=80000 N/mm² E=210000 N/mm² C1 = 1.879 (Tabel F.1.1, ψ =0), op basis van de eindmomenten
Bijlage F Blz. 270 Tabel F.1.1
π 2 210000 × 10370 × 10 4 1 5643 × 109 (1× 8000) 80000 × 309.3 × 10 4 + 2 4 (1× 8000 ) 1 10370 × 10 π 2 210000 × 10370 × 10 4 Mcr = 2264 kNm 2
2
M c r = 1.879
Stap 2: De kiplengte en relatieve slankheid: De kiplengte: l LT= L = 8000 mm De relatieve slankheid:
λLT =
β ωWpl , y f y M cr
=
1× 927.3 × 10³ mm³ × 235 N mm² 2264 × 10 6 Nmm
= 0. 64 >0.4 Kipcontrole vereist.
Stap 3: Selectie van de gepaste knikkurve: warmgewalst profiel: α LT=0.21→ kurve a Stap 4: Reductie-factor χLT=0.8742 (op basis van uitgebreide tabellen) Stap 5: Rekenwaarde van de kipstabiliteit: χ f β W (0. 8742 × 235 N mm² ) 1× 3949 × 103 mm³ = 737. 5kNm M b.Rd = LT y w pl. y = γ M1 1. 1 Mb.Rd = 737.5 kNm > M Sd = 274 kNm (voldoet)
(
)(
)
(
)
Combinatie van Buiging MSd en Trek (NSd)
EC3 §5.5.3
Meff.com = Wcomσ com.eff = Wpl , y σ com.eff = 3949 × 103 × 66.26 N mm² = 261. 7kNm want:
σ com, eff =
M Sd N 274 61.65 × 10³ − 1× t .Sd = − 1× = 69 .38 − 3. 12 = 66.26N / mm² W pl, y A 3949 × 10³ 197. 5 × 10²
En dus geldt:
M eff .Sd 261.7 = = 0. 355 < 1 (OK) M b.Rd 737.5
7-43
7. Controle UGT – LIGGER Maatgevende doorsnede UGT-BC3 – ligger-kolom Referenties: verbinding Snedekrachten: MSd = 274 kNm VSd = 61.5 kN NSd = 0.08 ≈ 0 kN Controle op VSd dwarskracht: Av f y 6115. 2mm² × 235 N mm² VSd = 61.5kN ≤ V pl .Rd = = = 754kN . Hieraan is voldaan. γ M0 3 1. 1 3 Voor het afschuifoppervlak kan benaderend Av = 1.04h tw = 1.04x490x12 x 6115.2 mm² genomen worden. VSd = 61.5 kN < 0.5Vpl,Rd=377 kN (interactie tussen buigmoment en dwarskracht moet niet in rekening gebracht worden.) Buigmoment MSd: met: M Sd = 274kNm < M c. Rd = M pl .Rd =
W pl, y f y γM0
=
2194x10 3 x 235 = 469kNm (OK) 1.1
Controle van de stabiliteit van de staven – Knik e n Kip Geen kipcontrole vereist want ligger is op meerdere plaatsen zijdelings gesteund Geen knikcontrole volgens de zwakke as, want ligger op meerdere plaatsen zijdelings gesteund. Knikcontrole volgens de buigstijve as: yy-as Stap 1: De kniklengte van de ligger:
η1 = η1 =
kc k c + K 12
=
IL L L 48200 12 = = 0 .33 I L LL + 0. 75 I K L K 48200 12 + 0. 75 × 86970 8
EC3, Bijlage E
Dat geeft: l/L = 0.61 of: l = 0.61L=7.32 m Stap 2: De slankheid: λy=ly/i y = 7320mm/204.3 mm = 35.8 De relatieve slankheid: λy =λy/λ1=35.8/93.9 = 0.38 λ1 = 93.9ε=93.9
λy =λy/λ1>0.2→ knikcontrole vereist Stap 3: Selectie van de gepaste knikkurve: → kurve a Stap 4: Reductie-factor χy=0.9580 (op basis van uitgebreide tabellen) Stap 5: Rekenwaarde van de kipstabiliteit: χ f β W (0.9580 × 235 N mm ² ) 1× 2194 × 10 3 mm ³ = 449kNm M b.Rd = y y w pl. y = γ M1 1.1 Mb.Rd = 449 kNm > MSd = 274 kNm (voldoet)
(
)(
)
(
)
7-44
8. Ligger-ligger verbinding UGT – BC 1 en UGT – BC 2 Snedekrachten:UGT – BC1 MSd = 274 kNm VSd = 0.41 kN NSd = -0.31 ≈ 0 kN
Referenties
UGT- BC2 MSd = -23.81 kNm VSd = 41.57 kN NSd = -0.041 ≈ 0 kN
Ontwerp van de bouten op trek op basis van UGT-BC1 Ligging van de neutrale lijn yc:
y c2
y c2
b + yc 2
n
n
∑ A − ∑y A i
i
i =1
i
=0
i =1
200 + y c 2 × 245 × 2 − 2 × 245 × (540 + 444 ) = 0 2
y c2100 + y c 4 × 245 − 482160 = 0 yc = 64.71 mm Bepalen van de evenredigheidsconstante k:
k=
k=
M byc3 + 3
n
∑ (y
− y c )2 Ai
i =1
200(64. 71)
3
3
i
74. 33 × 106 Nmm
(
+ 2 × 245 (540 − 64. 71) + (444 − 64.71) 2
2
)
= 0. 3731N / mm³
Dit laat toe de krachten in de bouten te bepalen:
Ni = k (y i − y c )Ai N1.Sd = 0. 3731(540 − 64. 71)245 = 43.44kN N2.Sd = 0. 3731(444 − 64. 71)245 = 34. 67kN De contactdrukspanning op de verbindingsplaat σc: σ c = kyc = 0. 3731x 64. 71 = 24.14N / mm²
Daaruit kan een waarde voor de plaatdikte worden afgeleid: Het aangrijpend moment uit de contactdrukken is gelijk a an:
MSd =
2σ c byc2 = 6.63kNm 2× 3
Het elastisch weerstandsmoment van de plaat is gelijk aan:
Wel, y =
bt² 6
Beperken van de optredende spanningen tot de ontwerpgrens leidt tot:
7-45
6 M t > Sd = 30. 51mm . Neem t = 33 mm bijvoorbeeld. b fy γ M0
Referenties
Controle van de bouten op trek: Nt.Sd = 43.44 kN, Categorie E: voorgespannen bouten belast op Trek
FT .Rd = 0.9
fub AS 0.9 × 800 N mm ² 245mm² = = 141. 2k N > Nt.Sd = 43.44 kN (OK) γ Mb 1. 25
Controle van de bouten op afschuiving, op basis van UGT-BC2 : VSd = 41.57 kN, Aanname: wordt opgenomen door 4 bouten, De andere twee bouten staan in voor de opname van het moment (M Sd = -23.81 kNm<<274 kNm) Categorie C: glijvast in uiterste grenstoestand Te controleren: FV.Sd < FS.Rd FV.Sd < Fb.Rd (stuikdrukkracht)
Fp.Cd = 0. 7f ub AS = 0. 7 × 800 N mm² × 245mm² = 137. 2kN
(
)
1× 1× 0. 5(137. 2 − 0. 8 × 0 ) = = 54.88kN γ M S.ult 1. 25 Oppervlak klasse A: µ=0.5 ks = 1.0 (standaardgaten) γMS.ult = 1.25 n=1 (aantal afschuifvlakken in de verbinding)
FS.Rd =
k S nµ F p.Cd − 0.8Ft .Sd
De totale afschuifweerstand van de 4 bouten: FS.Rd = 4x54.88kN = 219.5kN > 41.57kN Stuikdrukkracht: 2 .5αfu dt 2.5 × 0. 61× 360 N mm² × 20mm × 33mm Fb.Rd = = = 290k N >FV.Sd = 41.57 kN γ Mb 1.25
e1 40 3d = 3 × 22 = 0.61 0 p1 − 1 = 96 − 0 .25 = 1.20 waarin: α = min 3d 0 4 3 × 22 = 0. 61 f ub 800 = >1 360 fu 1
7-46
