FISICA II Ondas Problemas resueltos 01 Cual habrá de ser la fatiga de un hilo estirado, de determinado material, cuyo módulo de Young es “Y”, con objeto de que la velocidad de las ondas longitudinales sea igual a 10 veces la velocidad de las ondas transversales. Vl = 10 Vt ( Y / ρ )1/2 = 10 ( T / µ )1/2 Y µ = 100 T ρ Y M / L = 100 T M / V = 100 T M / ( L A ) Y = 100 T / A = σ σ = Y / 100 02 La ecuación y = 2 cos ( π ( 0,5 x – 200 t )) es la ecuación se una onda transversal que se propaga en una cuerda, en la que “x” e “y” se miden en centímetros y “t” en segundos. a) Calcular la amplitud, la longitud de onda, la frecuencia, el período, y la velocidad de propagación. b) Si la masa de la cuerda por unidad de longitud es 5 g/cm, hallar la tensión. A = 2 cm λ = 2 π / k = 2 π / ( 0,5 π ) λ = 4 cm
V = ω / k = 200 π / ( 0,5 π) V = 400 cm/s
f = V / λ = 400 / 4 f = 100 Hz
T = 1 / f = 1 / 100 T = 0,01 s
V = ( T / µ )1/2 T = µ V2 = 5 x 4002 T = 8 105 dinas 03 Dada la ecuación de una onda en una cuerda y = 0,03 sen ( 3 x – 2 t ) donde “y” y “x” están en metros y “t” en segundos, contestar lo siguiente: a) para t = 0 ¿ Cuál es el desplazamiento cuando x = 0,1 m, 0,2 m y 0,3 m.? b) para x = 0,1 m. ¿Cuál es el desplazamiento cuando t = 0, 0,1 s y 0,2 s.? c) ¿Cuál es la ecuación de la velocidad de oscilación de las partículas en la cuerda? d) ¿Cuál es la velocidad de propagación de la onda? p/t=0 ;
x = 0,1 x = 0,2 x = 0,3
p/x=0,1 ; t = 0 t = 0,1 t = 0,2
y = 0,03 sen ( 3 x 0,1 ) y = 0,03 sen ( 3 x 0,2 ) y = 0,03 sen ( 3 x 0,3 )
y = 0,0089 m y = 0,0169 m y = 0,0235 m
y = 0,03 sen ( 3 x 0,1 – 2 x 0 ) y = 0,03 sen ( 3 x 0,1 – 2 x 0,1) y = 0,03 sen ( 3 x 0,1 – 2 x 0,2)
y=0 y = 0,006 m y = - 0,012 m
Para x = cte ; 3 x = ϕ = cte y = 0,03 sen ( ϕ - 2 t ) = 0,03 cos ( 2 t + π/2 - ϕ ) v = dy/dt v = 0,06 sen ( 2 t + π/2 - ϕ) V=ω/k=2/3 V = 2/3 m/s 04 Una onda sonora armónica plana, en el aire a 20 ºC y presión normal, tiene una frecuencia de 500 Hz y una amplitud de 10-3 m. a) Escribir la expresión que describe la onda de desplazamiento. b) Escribir la expresión que describe la onda de presión. Considerar la velocidad del sonido de 330 m/s a 0 ºC. V / Vo = ( T / To )1/2 V = Vo ( T / To )1/2 = 330 x ( 293 / 273 )1/2 V = 341,87 m/s λ = V / f = 341,87 / 500 λ = 0,68 m k = 2 π / λ = 2 π / 0,68 k = 2,94 π ω = 2 π f = 2 x π x 500 ω = 1.000 π a) y = 10-3 sen ( 2,94 π x – 1.000 π t ) b) y = 10-3 sen ( 2,94 π x – 1.000 π t + π/2 ) 05 Una onda de frecuencia 500 Hz tiene una velocidad de 350 m/s. a) Que distancia hay entre dos puntos que tienen una diferencia de fase de 60º b) Cual es la diferencia de fase entre dos desplazamientos que ocurren en un cierto punto con un intervalo de 10-3 seg. λ -------- 2 π ∆x ------- ∆ϕ ∆x = ∆ϕ λ / 2π = ∆ϕ V / ( 2 π f ) ∆x = ( π/3 ) x 350 / ( 2 x π x 500) ∆x = 0,12 m T -------- 2 π t --------- ∆ϕ ∆ϕ = t 2π / T = 2 π f t ∆ϕ = 2 x π x 500 x 10-3 ∆ϕ = π rad
06 Un haz sonoro de 20 cm de longitud de onda se envía dentro del tubo que se muestra en la figura. Cual será el radio del círculo, de manera que los dos haces componentes se cancelen cuando alcancen al detector.
Fuente
Detector
∆x = ( 2 n + 1 ) λ / 2 ......... Interferencia Destructiva πR–2R=(2n+1)λ/2 R = ( 2 n + 1 ) ( λ / 2 ) ( 1 / π-2 ) R = ( 2 n + 1 ) ( 20 / 2 ) ( 1 / π-2 ) R = 17,52 n + 8,76 07 En un lago hay tres fuentes vibrantes: A, B y C, alineados de tal manera que AB = 9 m y BC = 16 m. Todas vibran con una frecuencia de 0,5 Hz. Si las amplitudes son de 2, 3 y 4 m respectivamente, y no tienen fase inicial, cual es el movimiento resultante en un punto distanciado 15 m de A y 12 m de B. Dato: la velocidad de la onda en el agua es de 50 cm/s A
9
B
16
C PC2 = 122 + 162 PC = 20 m
12 15 P λ = V / f = 0,5 / 0,5 k=2π/λ=2π/1 ω = 2 π f = 2 x π x 0,5
λ=1m k = π rad/m ω = π rad/s
y1 = 2 sen ( 2 π x - π t ) y2 = 3 sen ( 2 π x - π t ) y3 = 4 sen ( 2 π x - π t )
i
x p / x = 15 p / x = 12 p / x = 20
y1 = 2 sen ( 30 π - π t ) y2 = 3 sen ( 24 π - π t ) y3 = 4 sen ( 40 π - π t )
∑x=0 ∑ i = -2 –3 –4 = -9 y = 9 sen ( -π t ) = 9 cos ( π/2 – (-π t) ) y = 9 cos ( π t + π/2 )
y1 y2 y3
08 Dos bocinas de un sistema estéreo están distanciadas 2,12 m. Suponga que la amplitud del sonido que parte de cada bocina es la misma en la posición de un oyente que está a 3,75 m directamente enfrente de una de las bocinas. a) Para que frecuencias de la gama audible existirá una señal mínima y para que frecuencias es máximo el sonido. b) Si el oyente se mueve sobre una recta paralela a la línea que une las bocinas, al pasar por el punto central es máximo o mínimo el sonido?. Cual es el desfasaje de las ondas en ese punto? Dato: Vs = 343 m/s PA2 = AB2 + PB2 PA2 = 2,122 + 3,752 PA = 4,31 m
A 2,12 B
P 3,75
a) ∆x = PA – PB = 4,31 – 3,75 Interferencia Constructiva:
p/f = 20.000 m = 32 Interferencia Destructiva:
p/f = 20.000 m = 65
∆x = 0,56 m ∆x = m λ ....... (p/m = 1, 2, 3, ....) λ = 0,56 / m f = V / λ = 343 m / 0,56 f = 612,5 m f = 612,5 m ....... (p/m = 1, 2, 3, ..., 32) ∆x = m λ / 2 ....... (p/m = 1, 3, 5, ....) λ = 1,12 / m f = V / λ = 343 m / 1,12 f = 306,25 m f = 306,25 m ....... (p/m = 1, 3, 5, ..., 65)
b) En el punto central: ∆x = 0 Las fuentes están en fase, por lo tanto las ondas llegan en fase al punto central, se refuerzan, y en ese punto el sonido es máximo. ∆ϕ = k ∆x = ∆x 2π/λ p/∆x = 0 ....... ∆ϕ = 0 09 Un hilo de acero de 100 cm de longitud y densidad ρ = 8 g/cm3 se halla tesado entre dis soportes rígidos vibrando en su forma fundamental a la frecuencia de 100 Hz. a) Cual es la velocidad de las ondas transversales en el hilo. b) Cual es la fatiga longitudinal en el mismo (en dinas/cm2). c) Si la aceleración máxima en el centro del hilo es 80.000 cm/s2, cual es la amplitud de vibración en el centro. fm = ( m / 2 l ) V f1 = ( 1 / 2 l ) V V = 2 l f1 = 2 x 100 x 200 V= 4 104 cm/s
V = ( T / µ )1/2 = ( σ A / µ )1/2 = ( σ / ρ )1/2 σ = ρ V2 = 8 x ( 4 104 )2 σ = 128 1010 dinas/cm2 ω = 2 π f = 2 x π x 200 ω = 400 π rad/s amax = A ω2 A = amax / ω2 = 80.000 / ( 400 π )2 A = 20,26 cm 10 Calcular la frecuencia fundamental y los primeros tres armónicos de un tubo de 15 cm a) si el tubo está abierto por ambos extremos. b) si el tubo está cerrado por un extremo. c) cuantos armónicos pueden ser percibidos por una persona que tiene una audición normal, en cada uno de los casos anteriores. Considerar la velocidad del sonido de 330 m/s a) fm = ( m / 2 l ) C ..... (p/m = 1, 2, 3, ......) f1 = ( 1 / 2 l ) C = ( 1 / 2 x 0,15 ) x 330 f2 = ( 2 / 2 l ) C = ( 2 / 2 x 0,15 ) x 330 f2 = ( 3 / 2 l ) C = ( 3 / 2 x 0,15 ) x 330 f4 = ( 4 / 2 l ) C = ( 4 / 2 x 0,15 ) x 330
f1 = 1.100 Hz f2 = 2.200 Hz f3 = 3.300 Hz f4 = 4.400 Hz
b) fm = ( m / 4 l ) C ..... (p/m = 1, 3, 5, ......) f1 = ( 1 / 4 l ) C = ( 1 / 4 x 0,15 ) x 330 f1 = ( 3 / 4 l ) C = ( 3 / 4 x 0,15 ) x 330 f1 = ( 5 / 4 l ) C = ( 5 / 4 x 0,15 ) x 330 f1 = ( 7 / 4 l ) C = ( 7 / 4 x 0,15 ) x 330
f1 = 550 Hz f3 = 1.650 Hz f5 = 2.750 Hz f7 = 3.850 Hz
c) p/a) fm = ( m / 2 l ) C m = 2 l fm / C = 2 x 0,15 x 20.000 / 330 = 18,18 último m = 18 18 armónicos p/b) fm = ( m / 4 l ) C m = 4 l fm / C = 4 x 0,15 x 20.000 / 300 = 36,36 último m = 35 18 armónicos 11 Dos parlantes altamente direccionales están uno frente al otro a una distancia de 4 m. Ambos parlantes son excitados con un mismo tono de guitarra de 1.000 Hz. Calcular la cantidad de puntos de interferencia constructiva y destructiva entre los parlantes. La velocidad del sonido es de 330 m/s. d/2 λ = V / f = 330 / 1000 P1 P2 λ = 0,33 m N V ( d / 2 ) / (λ / 4 ) = ( 4 / 2 ) / ( 0,33 / 4 ) = 24,24 Vientres = 25 ; Nodos = 24
λ/4
12 Una cuerda de 10 g de masa y sometida a una tensión de 30 kgr, se hace sonar junto con un tubo de órgano cerrado de 40 cm de longitud, en el cual el aire se encuentra a 30 ºC. Se constata que se produce 8 pulsaciones por segundo entre sus frecuencias fundamentales y que este número disminuiría si se aumenta la tensión en la cuerda. Hallar la longitud de la cuerda. (Vs = 341 m/s a 15 ºC) f1cuerda = ( 1 / 2 lcuerda ) ( T / µ )1/2 f1tubo = ( 1 / 4 ltubo ) V Si aumenta “T”, aumenta “f1cuerda”, por tanto fpulsación = f1tubo - f1cuerda , pues al aumentar “f1cuerda”, disminuye esta diferencia. V = Vo ( T / To )1/2 = 341 x ( 303 / 288 )1/2 V = 349,77 m/s f1tubo = ( 1 / 4 x 0,40) x 349,77 f1tubo = 218,61 Hz f1cuerda = f1tubo – fpulsación = 218,61 -8 f1cuerda = 210,61 f1cuerda = ( 1 / 2 lcuerda ) ( T / µ )1/2 = ( 1 / 2 lcuerda ) ( T / ( m / lcuerda) )1/2 f1cuerda = ( 1 / 2 )( T / m lcuerda )1/2 lcuerda = T / (4 m f21cuerda ) = (30 x 9,8 ) / ( 4 x 0,01 x 210,612 ) lcuerda = 0,17 m 13 Un tubo de 1,0 m de largo está cerrado en uno de sus extremos. Un alambre estirado de 30 cm de largo y una masa de 10 g, se coloca cerca del extremo abierto y vibra en su modo fundamental, poniendo a vibrar la columna de aire en el tubo también en su frecuencia fundamental, por resonancia. Encontrar: a) la frecuencia de oscilación de la columna de aire. b) la tensión del alambre. Considerar la velocidad del sonido de 330 m/s Tubo:
f1 = ( 1 / 4 l ) V = ( 1 / 4 x 1 ) x 330 f1 = 82,5 Hz
Cuerda: fcuerda = ftubo fcuerda = 82,5 Hz fcuerda = ( 1 / 2 l ) ( T / µ )1/2 T = 4 l2 f2cuerda µ = 4 x 0,302 x 82,52 x ( 0,010 / 0,30 ) T = 81,68 N
14 Una cuerda de violín de 30 cm de largo y con una densidad de masa lineal de 0,652 g/m está situada cerca de una bocina alimentada por un oscilador de audio de frecuencia variable. Se halla que la cuerda se pone en oscilación únicamente a las frecuencias de 880 Hz y 1.320 Hz., cuando la frecuencia del oscilador se varía dentro de la gama de 500 a 1.500 Hz. Cual es la tensión en la cuerda y la longitud de onda para estas frecuencias. fn = ( n / 2 l ) ( T / µ)1/2 fm = ( m / 2 l ) ( T / µ)1/2 = ( (n+1) / 2 l ) ( T / µ)1/2 fn / fm = n / ( n + 1 ) n fn + fn = n fm n = fn / ( fm - fn ) = 880 ( 1.320 – 880 ) n=2 T = 4 l2 f2n µ / n2 = 4 x 0,32 x 8802 x 0,652 10-3 / 22 T = 45,4 N V = ( T / µ )1/2 = ( 45,4 / 0,652 10-3 )1/2 V = 264 m/s λn = V / fn = 264 / 880 = 0,30 λn = 30 cm λm = V / fm = 264 / 1.320 = 0,20 λn = 20 cm 15 Una fuente puntiforme de potencia constante, emite ondas esféricas. Sean dos puntos “P1” y “P2” distanciados d1 y d2 de la fuente, tal que d2 = 2 d1, hallar: a) la relación entre las intensidades 2n “P1” y “P2”. b) la relación entre las amplitudes. c) la deferencia de nivel de intensidad. I1 / I2 = d22 / d12 = ( 2 d1 )2 / d12 I1 / I2 = 4 I1 = 2 ρ π2 A12 f2 V I2 = 2 ρ π2 A22 f2 V I1 / I2 = A12 / A22 = 4 A1 / A2 = 2 N1 = 10 log ( I1 / I0) N2 = 10 log ( I2 / I0) N1 – N2 = 10 log ( I1 / I0) - 10 log ( I2 / I0) = 10 ( log ( I1 / I0) - log ( I2 / I0) ) N1 – N2 = 10 log ( ( I1 / I0) / ( I2 / I0) ) = 10 log ( I1 / I2) = 10 log ( 4 ) N1 – N2 = 6 dB 16En cierto estadio deportivo se emplea un solo altavoz para hacer llagar todos los anuncios. Si el espectador más alejado está a 170 m de distancia del altavoz y se desea que escuche un nivel de intensidad de por lo menos 65 dB, calcular la potencia acústica mínima que se necesita.
N = 10 log ( I / I0 ) I = I0 10(N/10) =1 10-12 x 10(65/10) I = 3,16 10-6 W/m2 P = I A = I 4 π d2 = 3,6 10-6 x 4 x π x 1702 P = 1,15 W 17 Dos altavoces “A” y “B” radian sonido uniformemente en todas direcciones. La potencia acústica emitida por “A” es 8 10-4 W y la de “B” vale 13,5 10-4 W. Ambos altavoces están vibrando en fase a una frecuencia de 173 Hz. a) Determinar la diferencia de fase de ambas señales en el punto “C” situado a 3 m de “B” y 4 m de “A”. b) Hallar la intensidad en el punto “C” procedente del altavoz “A” si deja de funcionar el “B”, y la intensidad en “C” del altavoz “B” se deja de funcionar el “A”. c) Cual es la intensidad y el nivel de intensidad en “C” cuando funcionan ambos altavoces. Considerar la velocidad de sonido de 346 m/s. ∆ϕ = k ( dA – dB ) = ( 2 π / λ ) ( dA – dB ) = ( 2 π / (V/f) ) ( dA – dB ) ∆ϕ = ( 2 π f / V ) ( dA – dB ) = ( 2 x π x 173 / 346 ) x ( 4 – 3 ) ∆ϕ = π rad I = P / S = P / (4 π d2 ) IA = PA / (4 π dA2 ) = 8 10-4 / ( 4 x π x 42 ) IA = 3,98 10-6 W/m2 IB = PB / (4 π dB2 ) = 13,5 10-4 / ( 4 x π x 32 ) IB = 1,19 10-5 W/m2 A2 = AA2 + AB2 + 2 AA AB cos ∆ϕ ............todo por ( 2 ρ π2 f2 V ) 2 ρ π2 A2 f2 V = 2 ρ π2 AA2 f2 V + 2 ρ π2 AB2 f2 V + 2 (2 ρ π2 AA2 f2 V )1/2 (2 ρ π2 AB2 f2 V )1/2 cos ∆ϕ I = IA + IB + 2 IA1/2 IB1/2 cos ∆ϕ I = 3,96 10-6 + 1,19 10-5 + 2 x ( 3,96 10-6 )1/2 x ( 1,19 10-5 )1/2 cos π I = 2,12 10-6 W/m2 N = 10 log ( I / I0 ) = 10 log ( 2,12 10-6 / 1 10-12 ) N = 63,26 dB 18 Dos autos se encuentran en una esquina de manera que cuando uno de ellos, cuya velocidad es de 70 km/h, ha sobrepasado 2 m el centro mismo de la esquina, al otro de 60 km/h de velocidad, le faltan 4 m para llegar. Si este último toca su bocina de 500 Hz en dicho instante, que frecuencia percibirá el primero. Considerar Vs = 330 m/s 2m O V1 4m
V2
2 4
F
α
tg α = 2 / 4 α = 26,57º Vf = V2 cos α = ( 60 / 3,6 ) x cos 26,57º Vf = 14,91 m/s Vo = V1 sen α = ( 70 / 3,6 ) x sen 26,57º Vo = 8,70 m/s f’ = f ( V – Vo ) / ( V – Vf ) f’ = 500 x ( 330 – 8,70 ) / ( 330 – 14,91 ) f’ = 509,85 Hz 19 Dos barcos avanzan uno detrás de otro, el primero a 2 km/h y el segundo a 3 km/h. En el momento de que ambos hacen sonar sus silbatos, un pescador quieto, situado entre ambos, percibe 4 pulsaciones por segundo. Hallar la frecuencia de los silbatos sabiendo que son idénticos, y además, que la velocidad del sonido para la temperatura ambiente es de 340 m/s. 3 km/h
F
2 km/h
O
O
F
Vf = 3 / 3,6 = 0,83 m/s Vo = 0
Vf = 2 / 3,6 = 0,56 m/s (-) Vo = 0
f’1 = f ( V – Vo ) / ( V – Vf ) f’1 = f x 340 / ( 340- 0,83 ) f’1 = 1,0024 f
f’2 = f ( V – Vo ) / ( V – Vf ) f’2 = f x 340 / ( 340 + 0,56 ) f’2 = 0,9984 f
fp = f’1 - f’2 4 = 1,0024 f – 0,9984 f f = 1.000 Hz 20 Un camión con una gran pantalla reflectora de ondas sonoras viaja de sur a norte a 7,2 km/h y refleja el sonido de frecuencia igual a 400 Hz proveniente de un campanario. Un observador que está quieto escucha ambos sonidos como una pulsación cuyo período se pide calcular. Condiciones atmosféricas: velocidad del sonido de 330 m/s a 0 ºC; temperatura ambiente 37 ºC; velocidad del viento de 10 m/s de sur a norte. Campanario
Sur
Norte
Vs = Vo ( T / To ) = 330 x ( 310 / 273 ) Vs = 351,65 m/s Onda directa: del campanario al observador Vf = 0 Vo = 0 fd = f = 440 Hz Onda reflejada: a) del campanario al camión: Vf = 0 Vo = 2 m/s V = Vs + Vviento = 351,65 + 10 = 361,65 m/s f’ = f ( V – Vo ) / ( V – Vf ) f’ = 440 x ( 361,65 – 2 ) / 361,65 f’ = 397,79 Hz b) del camión al observador Vf = 2 m/s (-) Vo = 0 V = Vs - Vviento = 351,65 - 10 = 341,65 m/s f’r = f’ ( V – Vo ) / ( V – Vf ) f’r = 397,79 x 341,65 / ( 341,65 + 2 ) f’r = 395,47 Hz
F
O
O
F
fp = f’d – f’r fp = 400 – 395,47 fp = 4,53 Hz Tp = 1 / fp = 1 / 4,53 Tp = 0,22 seg 21 Un silbato cuya frecuencia es de 540 vibraciones por segundo gira en un círculo de radio 50 cm, con una velocidad angular de 15 rad/seg. En que punto debe encontrarse el silbato para que una persona que se encuentra en el plano del círculo y a 5 m de su centro, perciba una frecuencia máxima y una mínima. Cuanto valen dichas frecuencias. A d
O
B Frecuencia mínima: en el punto de tangencia “A”, de la recta tangente al círculo desde el punto “O” (observador). Frecuencia máxima: en el punto de tangencia “B”, de la recta tangente al círculo desde el punto “O” (observador).
V = ω R = 15 x 0,5 V = 7,5 m/s Cálculo de frecuencia mínima: Vf = 7,5 m/s (-) Vo = 0 V = 330 m/s fmin = f ( V – Vo ) / ( V – Vf ) fmin = 540 x 330 / ( 330 + 7,5 ) fmin = 528 Hz
A
Cálculo de frecuencia máxima: Vf = 7,5 m/s Vo = 0 V = 330 m/s fmax = f ( V – Vo ) / ( V – Vf ) fmax = 540 x 330 / ( 330 – 7,5 ) fmax = 552,26 Hz
O
B
O
22 Una alarma acústica contra ladrones consta de una fuente que emite ondas de 28,3 KHz de frecuencia. Con qué velocidad debe caminar un intruso que se aleja de la alarma para que la frecuencia de pulsación de la onda reflejada sea de 156,3 Hz. La velocidad del sonido a la temperatura ambiente es de 343 m/s. Onda de la fuente al intruso: Vf = 0 Vo = Vo f’ = f ( V – Vo ) / ( V – Vf ) f’ = f ( V - Vo ) / V
F
Onda reflejada del intruso a la fuente: Vf = Vo (-) Vo = 0 fref = f’ ( V – Vo ) / ( V – Vf ) fref = ( f ( V - Vo ) / V ) x ( V / ( V + Vo ) ) fref = f ( V - Vo ) / ( V + Vo ) f / fref = ( V + Vo ) / ( V - Vo ) ( f - fref ) / f = ( ( V + Vo ) - ( V - Vo ) ) / ( V + Vo ) fpuls / f = 2 Vo / ( V + Vo ) fpuls ( V + Vo ) = 2 Vo f fpuls V + fpuls Vo = 2 Vo f fpuls V = 2 Vo f - fpuls Vo Vo = fpuls V / ( 2 f - fpuls ) Vo = 156,3 x 343 / ( 2 x 28.300 – 156,3 ) Vo = 0,95 m/s
O
F
O (fuente)
23 Un foco sonoro “S” emite ondas a 1.000 ciclos/seg y se mueve de oeste hacia el este a 30 m/s. Una superficie reflectante lisa avanza en sentido contrario al foco a 120 m/s. a) Cuánto avanza la onda emitida en 0,01 seg.? b) Cuál es la longitud de onda de las emitidas en frente del foco? c) Cuántas ondas encuentra la superficie refectante en 0,01 seg.? d) Cuál es la longitud de onda de las ondas reflejadas? Viento de oeste a este a 10 m/s. Temperatura ambiente 35 ºC. Velocidad del sonido de 340 m/s a 0 ºC. Vs = Vo ( T / To )1/2 = 340 x ( 308 / 273 )1/2 Vs = 361,14 m/s a) d = V t = ( Vs + Vv ) t = ( 361,14 + 10 ) x 0,01 d = 3,71 m b) λ = ( ( Vs + Vv ) - Vfuente ) / f = ( 361,14 + 10 – 30 ) / 1.000 λ = 0,34 m c) Vf = 30 m/s Vo = 120 m/s (-) F V = Vs + Vv = 361,14 + 10 = 371,14 m/s f’ = f ( V – Vo ) / ( V – Vf ) f’ = 1.000 x ( 371,14 + 120 ) / ( 371,14 – 30 ) f’ = 1439,7 Hz
O
n = f’ t = 1439,7 x 0,01 n = 140 ondas d) λ = ( ( Vs - Vv ) – Vsuperficie ) / f’ = ( 361,14 - 10 – 120 ) / 1.439,7 λ = 0,16 m 24 Una cuerda de 80 cm de longitud y 1 mm de diámetro, sometida a 16 kgr de tensión, emite un sonido de 200 Hz. Otra cuerda de la misma sustancia de 120 cm de longitud y 2 mm de diámetro, traccionada a 9 kgr, emite un sonido escuchado por un individuo que se acerca a la cuerda a 34 m/s. Determinar la frecuencia percibida por el individuo. La velocidad del sonido a la temperatura ambiente es de 340 m/s. ρ = m / V = m / ( L A ) = m / ( L π φ2 /4 ) = 4 m / ( L π φ2 ) m / L = µ = ρ π φ2 / 4 f = ( n / 2 L ) ( T / µ )1/2 = ( n / 2 L ) ( 4 T / ( σ π φ2 ) )1/2 = ( n / L φ ) ( T / σπ )1/2 Cuerda 1: ρ = n2 T / ( L2 φ2 f2 π ) = 12 x 16 x 9,8 / ( 0,82 x 0,0012 x 2002 x π ) ρ = 1.949,65 kg/m3 (igual a la densidad de la segunda cuerda) Cuerda 2: f = ( n / Lφ ) ( T / σπ )1/2 = ( 1 / (1,2 x 0,002) ) x ( 9 x 9,8 / (1949,65 x π) )1/2 f = 50 Hz
Vf = 0 Vo = 34 m/s (-) V = 340 m/s f’ = f ( V – Vo ) / ( V – Vf ) f’ = 50 x ( 340 + 34 ) / 340 f’ = 55 Hz
F
O
Problemas propuestos 01 La ecuación de una cierta onda es y = 10 sen ( 2 π ( 2 x – 100 t ) ), donde “x” se mide en metros y “t” en segundos. a) Hallar: la amplitud, la longitud de onda, la frecuencia, y la velocidad de propagación de la onda. b) Dibujar la onda mostrando la amplitud y la longitud de onda. Resp: 10 m ; 0,5 m ; 100 Hz ; 50 m/s 02 Una fuente vibrante al extremo de una cuerda tensa tiene una desplazamiento dado por la ecuación y = 0,1 sen ( 6 t ) donde “y” está en metros y “t” en segundos. La tensión en la cuerda es de 4 N y la masa por unidad de longitud es de 0,01 kg/m. a) Cual es la velocidad de la onda en la cuerda. b) Cual es la frecuencia de la onda. c) Cual es la longitud de onda. d) Cual es la longitud de desplazamiento de un punto a 1 m de la fuente y a 3m. e) Hacer un gráfico de “y” en función de “t” para x = 3 m. f) Hacer una gráfico de “y” en función de “x” para t = π/12 s. Resp: 20 m/s ; 3/π Hz ; 20π/3 m ; y = 0,1 sen ( 0,3 – 6 t ) ; y = 0,1 sen ( 0,9 – 6 t ) 03 En un tubo de Quinke se desarrolla un experimento con un diapazón de 2.000 Hz. Se encuentra que moviendo el trombón una diferencia de marcha tal que existe interferencia destructiva. A partir de ese momento se sigue aumentando la diferencia de marcha hasta que ocurre interferencia constructiva total. Si la diferencia de marcha se ha incrementado en 8 cm, calcular la temperatura ambiente. La velocidad del sonido es de 341 m/s a 15 ºC. Resp: -19,4 ºC 04 Una fuente “S” y un detector “D” de ondas están separadas una distancia “d”. La onda directa que sale de “S” está en fase en el punto “D” con respecto a la onda que sale de “S” y se refleja en una capa horizontal situada a una altura “H”. Cuando esta capa se eleva una distancia “h” no se percibe ninguna señal en “D”. Encontrar la relación entre “d”, “h”, “H” y “λ”. Resp: λ = 2 ( ( d2 + 4 (H+h)2 )1/2 – ( d2 + 4 H2 )1/2 ) h H S
D d
05 Cuatro fuentes emisoras de ondas planas, de 2 m de amplitud, 100 Hz de frecuencia y 20 m/s de velocidad de onda, se encuentran ubicadas en los vértices de un cuadrado de 50 m de lado, que está en el plano de las ondas, tal como se muestra en la figura. Las fuentes “A” y “B” tienen igual constante de fase inicial, y difieren de las fuentes “C” y “D” en 180º. Cual es el movimiento resultante en los puntos medios de los lados, y en el punto de intersección de las diagonales del cuadrado. Graficar el movimiento resultante. C
D
A
B
06 Un fuente que emite ondas de 2 m de longitud de onda, está a 10,50 m de un punto “P”. Si otra fuente idéntica se coloca a una distancia de 10,75 m del punto, comparar, semejanzas y diferencias, entre el movimiento resultante en el punto “P” con respecto al caso inicial con una sola fuente. Resp: ambos son MAS ; ambos vibran con la misma frecuencia ; el segundo tiene mayor amplitud en factor de 1,85 ; el desfasaje entre ambos movimientos es de 0,125 π 07 Dos ondas transversales cosenoidales, cada una de las cuales tiene una amplitud de 2,5cm y una longitud de onda de 5 cm, se propagan en una cuerda en sentidos opuestos con la velocidad de 6,25 mm/s. Dibujar la gráfica de la forma de la cuerda en los instantes t = 0, t = 2 , t = 4 seg. 08 Un diapasón se hace sonar y se forman ondas estacionarias en una probeta de vidrio en la cual el aire se encuentra a 30 ºC. Se va vertiendo agua en la probeta constatándose que recién cuando la altura del agua se ha elevado 30 cm se vuelven a formar ondas estacionarias. Calcular la frecuencia del diapasón si la velocidad del sonido a 0 ºC es igual a 330 m/s. Resp: 579,5 Hz 09 Un diapasón se hace vibrar al mismo instante que un tubo sonoro de 20 cm de altura que resuena según su frecuencia fundamental produciendo una pulsación de 3 Hz. Si el experimento se repite cuando la temperatura del aire es algo mayor, el número de pulsaciones se reduce. Si inicialmente la velocidad del aire en el tubo era de 330 m/s, hallar la frecuencia con que vibra el diapasón, a) si el tubo está cerrado por uno se sus extremos b) si el tubo está abierto en ambos extremos. Resp: 415,5 Hz ; 828 Hz 10 Un tubo sonoro abierto de 20 cm de longitud suena con su tercer armónico al mismo instante que una cuerda de 36 cm de largo y 16 g de masa, que suena con su segundo armónico. Calcular la tensión en la cuerda sabiendo que se producen 4 pulsaciones por segundo, y que este número disminuye con el aumento de la temperatura. La temperatura ambiente es de 23 ºC. Considerar Vs = 330 m/s a 0 ºC. Resp: 38.375 N
12 Dos tubos sonoros, uno abierto por ambos extremos, y otro cerrado en uno de ellos, vibran con armónicos diferentes de forma tal que tienen la misma cantidad de nodos, siendo la diferencia entre sus frecuencias de 250 Hz. Hallar la longitud de los tubos, sabiendo que son idénticos, y que el aire en su interior se encuentra a 30,5 ºC. Considerar la velocidad del sonido de 341 m/s a 15 ºC. Resp: 35 cm 13 Como cambia la frecuencia fundamental de una cuerda cuando se duplica: a) su tensión, b) su masa por unidad de longitud, c) su diámetro, d) su longitud. Repetir el problema para el caso en que las cantidades expresadas se reducen a la mitad. Resp: 21/2 ; 21/2 / 2 ; 1/2 ; 21/2 / 2 21/2 / 2 ; 21/2 ; 2 ; 21/2 14 Una varilla de cobre de 1,0 m de longitud está sujeta por un punto situado a una distancia de uno de los extremos igual a la cuarta parte de su longitud. Cuando la varilla vibra longitudinalmente, produce ondas estacionarias en un tubo de Kunt que tiene aire a 300 ºK, observándose que los montones de serrín de corcho formados dentro del tubo distan 4,95 cm. Cual es la velocidad de las ondas en el cobre. Datos:R = 8,31 107 ergios/mol ºK ; γ = 1,4 ; M = 28,8 g/mol Resp: 3516,36 m/s
0,25
0,75
4,95
15 En el sistema mostrado en la figura, se agrega una masa “M” y se obtiene el tercer armónico. En cuanto se debe variar esta masa para obtener el segundo armónico. Datos: msop = 5 g Resp: ( 0,25 + 5 M ) / 4
msop 16 En el extremo de una cuerda larga de 1 cm2 de sección y densidad 2,7 g/cm3, se produce una vibración que genera una onda viajera de ecuación y = 0,1 cos ( π/2 t - π/3 x ) (M.K.S.) Calcular: a) la tensión en la cuerda. b) la potencia de la onda c) la velocidad máxima de una partícula de la onda. d) la distancia hasta la cual llega la perturbación al cabo de 5 seg. Resp: 0,61 N ; 5 10-7 KW ; 0,16 m/s ; 7,5 m
17 Dos fuentes “A” y “B” suenan al unísono (en fase) con una frecuencia de 680 Hz. En un punto “C” se escucha un nivel de intensidad de 75 dB cuando suena solo la fuente “A” y 73 dB cuando suenan ambos a la vez. Cual es la potencia acústica de la fuente “B”? Se sabe además que aumentando la potencia de la fuente “A” se puede crear silencio en “C”. Hallar dicha potencia. Resp: 0,05 W ; 0,046 W 18 En un estadio deportivo de forma cuadrada, de 100 m de lado, se colocan dos altavoces de igual potencia y frecuencia 100 Hz, en dos vértices adyacentes del mismo. Se quiere que los espectadores ubicados en los otros dos vértices escuchen un nivel de intensidad de 70 dB cuando funcionan ambos altavoces. Que potencia deben tener?. La temperatura ambiente es de 20,2 ºC y la velocidad del sonido es de 330 m/s a 0 ºC. Resp: 0,43 W 19 Dos automóviles “A” y “B” llegan a un cruce de caminos con velocidades de 72 km/h y 54 km/h respectivamente. En el instante que se muestra en la figura el automóvil “A” emite un bocinazo con frecuencia de 1.000 Hz. Calcular el período de pulsación que percibe el chofer de “B” al confundirse los sonidos de la onda directa y la onda reflejada en la superficie reflectora que se indica en la figura, sabiendo que la temperatura ambiente es de 20 ºC y no hay viento. La velocidad del sonido a 0 ºC es de 330 m/s. A 3m 2m 7m Pantalla
7m
B 1m
20 Dos trenes “A” y “B” avanzan por vías paralelas a 57,6 km/h haciendo sonar sus sirenas idénticas. El tren “A” se mantiene a velocidad constante, el tren “B” viaja inicialmente adelante y va frenando hasta quedarse quieto. Sabiendo que en el momento en que el tren “A” sobrepasa al “B”, este aún se mueve a 54 km/h, y que el maquinista del tren “A” escucha una frecuencia de 1.000 Hz inmediatamente después (proveniente del tren “B”, calcular la pulsación que escucha en dicho momento un observador quieto situado por delante de ambos trenes. Calcular la frecuencia mínima y máxima que escucha el maquinista del tren “B” proveniente del tren “A”. Resp: 3,35 Hz ; 956,79 Hz ; 1.006,37 Hz 21 Detrás de un camión, de gran superficie reflectora en su parte posterior, marchan dos autos, el primero a 20 m/s y tocando su bocina de 900 Hz de frecuencia, y el segundo a 21 m/s. Si el camión se desplaza a 19,5 m/s, determinar el número de pulsaciones por segundo que escuchará el chofer del segundo auto al confundirse los sonidos de la onda directa y la onda reflejada en el camión. La temperatura ambiente es de 16,8 ºC. Considerar la velocidad del sonido de 330 m/s a 0 ºC. Resp: 2,67 Hz
22 En un auto “A” que viaja hacia el oeste a 50 km/h, viaja un observador que escucha un sonido de 1.820 Hz proveniente de un auto “B” que viaja hacia el este a 60 km/h, con una bocina de 2.000 Hz de frecuencia. Calcular la velocidad del viento si sopla en la dirección norte-este, formando un ángulo de 30º con el norte. Resp: 51,22 km/h 23 Un observador que se encuentra al pie de un muelle, a lo largo de un puerto, ve acercarse en dirección a él a un barco que avanza a 18 km/h y hace sonar su sirena de 1.000 Hz. Al mismo tiempo, a 72 km/h viaja un auto por una calle paralela al muelle y distante 20 m entre sí. Si la bocina del auto tiene una frecuencia de 1.044 Hz, en que posición se encuentra el automóvil con respecto al observador para que este escuche la misma frecuencia de ambos sonidos. La temperatura ambiente es de 25 ºC. Considerar la velocidad del sonido de 341 m/s a 15 ºC. Resp: 60º entre el muelle y la línea auto-observador 24 Un silbato, cuya frecuencia es de 100 Hz, vibra con un MAS de 80 cm de amplitud. Un observador quieto, situado en la línea del movimiento, escucha una frecuencia máxima y una mínima a intervalos de 0,2 seg. Si la velocidad del sonido para la temperatura ambiente es de 340 m/s, hallar dichas frecuencias y la posición del silbato en esos casos. Resp: 103,8 Hz y el silbato en el punto de equilibrio dirigiéndose hacia el observador 96,44 Hz y el silbato en el punto de equilibrio dirigiéndose en sentido contrario al observador
