1. OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN CARTESIANA DE UNA CURVA A PARTIR DE SU REPRESENTACION PARAMÉTRICA
1.1 CONOCIMIENTOS PREVIOS: 1.1.2 Curva paramétrica: papel, tal Con frecuencia consideramos una curva en el plano como una linea trazada sobre un papel, como puede ser una l´ınea recta, una curva p preguntamos mos ahora, curva pa arab rab´oli ´olica ca o una circunferencia. Nos pregunta ¿c´omo pode ¿c´omo podemos mos describir (anal´ıticamente) una curva en el plano? Es evidente que debemos indicar de alguna manera los puntos por donde pasa, los puntos que forman la curva. En algunos casos, podemo podemos s usar usar para para ello las coorde coordenad nadas as
esando c artesianas ( x, y ) de la curva, expr esando artesianas de los puntos P x, (x ), por = F x
y c omo i ´ ´ n de x o omo una func i
.
y
. . . o x c omo emplo x = cos2 y , o ejemplo y = 1 + x 2 , ´ omo una funci funci on ´ ´ de y x = tt (y ), por ej emplo dar una r elaci elaci on ´ ´ entr e x e y que defina impl ´ ´ ´ erminos ıcitamente a una variable en t de la . . esentan m´ a otr a H ( x, x, y ) = 0, por ejemplo ´ cilmente cilmente or ejemplo x 2 + y 2 − 16 = 0 . Hay curvas que se r epr epr esentan as f ´ denadas p mediante otr o sistema de coor denadas [por ejemplo, r = 2 cos θ usando usan do coordenadas polares ]. Algunas curvas se describen mejor cuando las par´am amet etrro x coordenadas x e y est´an dadas en t´erminos de una tercera variable t llamada par´ [x = f ecuaciones par (t ) e y = g (t ), recordar las ecuaciones param am´e ´etr tric icas as de una recta en el plano vistas en la Secci´on 5.1 de la Gu´ıa 1]. Podemos, tambi´en, indicar cada punto de una curva haciendo uso de la asociaci´on de P con el punto final del vector −− →
i´ n ´ c an ´ a. En a. En esta g u´ emos la form la forma par am r = OP ubic ado ˙r ado en p en posic i o anonic ıa discutir emos am´ etric a de describir
curvas, mediante una r epresentaci o epresentaci ´ vectorial . ´ n vectorial
1.1.
Curvas
parametricas ´etricas
Imaginemos un objeto que se s e mueve en un plano y, y, a medida que transcurre el tiempo, tie mpo, describe un camino como el representado por la curva de la Figura 1. Si bien notamos que esta curva no puede ser descripta
2-1
Figura 1: Curva en el plano ´n de la forma y = F ( x ) (¿p or qu´e?), sab emos que las coordenadas x e y p or una ecuacio ´n de la posici´on de la par t´ıcula dependen del instante de tiempo t . Por lo tanto existir a ´ o ) t , tales que x = f (t ) e y = g (t ). Este par funciones f y g de la variable (o par ametr de ecuaciones, que muchas veces es una forma conveniente para describir una curva, se llama etric as de la curva en el plano: ecuaciones par am´
. x = f
( t y = g ( t )
2-2
Cada valor de t determina un punto ( x, y ) en el plano. Cuando t var´ıa (en un intervalo de nu´meros reales), el punto ( x, y ) = (f (t ), g (t )) se mueve generando una curva en el plano. EJEMPLO 1:
Las ecuaciones param´etricas t 2 − 2t y = t +1
. x =
con t real, definen una curva plana. Describir y graficar la curva para los siguientes casos: si t ∈ (−∞, +∞); b) si t ∈ [0, 4].
a)
En este ejemplo tenemos f (t ) = t 2 − 2t, g (t ) = t + 1. o t ∈ R, le c orr esponde un punto sobr e la curva. Por ejemplo, par a t = 0 a) A cada valor del par ametr ´ se tiene x = f (0) = 0 e y = g (0) = 1, o sea que el punto de la curva correspondiente a t = 0 es ´ o, por ejemplo asignar a t los valor es (0 , 1). Podemos as´ ı evaluar x e y par a varios valor es del par ametr
−2, −1,
1, 2, 3, 4, y luego situar los puntos ( x, y ) = (f (t ), g (t )) en el plano. Si unimos estos puntos
para producir una curva continua obtenemos la Figura 2(a), en la que las flechas indican el sentido en el que se van generando los puntos de la curva a medid a que t aumenta su valor (indique el valor de t que corresponde a cada punto marcado en la curva).
Figura 2: E jemplo 1. (a) El par a ´metro t adopta cualquier valor real. (b) El par a ´metro t var ´ıa en [0 , 4]. Observando la figur a, par ec e que la curva tr azada fuer a una par ab ´ ola. ¿C omo ´ podemos c ompr obarlo? Una forma es r eescribir l as ecuaciones par am´ etric as de la curva usando ( so lo) coor denadas c artesianas, ´ o t . Par a el l o debemos eliminar t en las on ametr esto es, busc ar una r el aci ´ entr e x e y, sin el par ´
ecuaciones dadas. En este ejemplo es posible hacerlo, por ejemplo despejando t = y − 1 de la segunda ecuaci on ´ y luego sustituyendo en la primer a ecuaci on. ´ Esto da:
x = t 2 − 2t = (y − 1)2 − 2(y − 1) = y 2 − 4y + 3
x + 1 = ( y − 2)2 , y as´ ´ ı vemos que la curva descripta por las ecuaciones par am´ etric as dadas es la par abola amas que abr en hacia la der echa. de eje hori zont al y v ´ ertic e en (−1, 2), c on las r 2-3
x = y 2 − 4y + 3 que empieza en b) Si t ∈ [0 , 4], la c orr espondiente curva es la parte de la par abola ´ el punto que c orr esponde al valor t = 0 del par ametr ´ o, o sea A(0 , 1), y termina en el punto que c orr esponde a t = 4, esto es en B (8 , 5), c omo se muestr a en la Figur a 2(b). La flecha sen ˜ ala el sentido ametr o aumenta su valor desde t = 0 hasta t = 4. de r ec orrido de la curva cuando el par ´
Consideremos ahora un objeto que se mueve en el espacio, describiendo un camino imaginar io representado por una curva en el espacio. Habr´a entonces tres funciones del tiempo, f , g y h, que nos permitira´n escribir las
2-4
coordenadas de la p osici´on de la par tı´cula en cada instante t mediante las siguientes ecuaciones par am´ etric as :
x =
y
=
z =
f (t )
g (t ) t ∈ R h(t )
Observemos que para cada t , el punto P f (t ), g (t ), h (t ) es el punto-posici ´ de la par t´ıcula en el tiempo t . on
.
.
Luego podemos definir el vector que va de O a P , para cada t (ver Figura 3). Esto sugiere que una curva param´etrica podr´ıa ser descripta mediante una funcio´n que a cada valor del par´ametro t le asigne el vector → −−
˘, esto es, mediante una func io ´ n c on valor es vectoriales. En el caso de una curva OP = f (t ) ˘ı + g (t ) ˘+ h(t ) k → −− en el plano, se tiene OP = f (t ) ˘ı + g (t ) ˘.
Figura 3: Cuando el par a ´metro t var ´ıa en [a, b], el punto fi nal del vector ˙r (t ) genera una curva en el espacio. ´ n c on valor es vectoriales? Sab emos que una funcio Ahora bien, ¿qu´e es una func io ´n en general, es una regla que asigna a cada elemento del dominio un ´unico elemento de su rango o imagen. El caso de una o n vectorial es uno de los temas de estudio en An ´alisis II. Veremos m´as adelante que la representacio ´n func i ´ vectorial permite estudiar con facilidad el movimiento de un ob jeto en funcio ´n del tiemp o, caracterizando la variaci´on temp oral del desplazamiento, la velocidad y aceleraci´on.
1.2.
Funciones vectoriales
de un par ´ametr o
´ N: DEFINICIO
´ on con valor es vectoriales , o simplemente func i on Una funci ´ cuyo r ango o imagen es un c onjunt o d e vector es. 2-5
ctorial, es una fun- ci on ´
ve
En esta gu´ıa trabajaremos con funciones vectoriales, que denotaremos ˙r (t ), cuyo dominio est´a en la recta real (intervalo I cerrado o semicerrado, o toda la recta) y cuyo rango o imagen esta´ formado por vectores del
espacio o del plano. Se tiene
˙r : I ⊂ R → V n donde n = 3 ´o 2.
2-6
´ mero real t ( par ametr ´n vectorial ˙r le asigna un vector Podemos decir que a cada nu ´ o ) del dominio, la funcio ˘ ˙r (t ) = f (t ) ˘ı + g (t ) ˘ + h(t ) k
en el espacio [´o r˙ (t ) = ´n la notacio
f (t )
˘ı + g (t ) ˘ en el plano]. Para expr esar una funcio ´n vectorial usaremos tambi´en
˙r (t ) =
.
x (t ), y (t ), z (t )
.
.
.
r (t ) = x (t ), y (t ) en el plano]. Notar que, estrictamente, la funcio en el espacio [´o ˙ ´n vectorial asigna a cada valor t el vector ˙r (t ) en posici´on cano´nica, esto es, el vector con su punto inicial en el origen de coordenadas. Algunas caracter´ısticas:
• Las componentes
f (t ), g (t ), h (t )
.
´o x (t ), y (t ), z (t )
.
del vector ˙r (t ), son funciones escalares de
una r . variable real, y las llamaremos funciones c omponentes de ˙
• Cuando el par a´metro t var ´ıa en su dominio, el punto extremo o final del vector ˙r (t ) (ubicado en ´ n cano ´nica) genera una curva C llamada curva par am´ p osicio etric a. • El sentido de la curva param´etrica C es ta´ dado p or el sentido en el que se van generando los puntos de la curva a medida que el par a ´metro t aumenta s u valor en su dominio I ⊂ R. • El dominio de variaci´on del para´metro muchas veces esta´ restringido a un intervalo finito I = [a, b] ⊂ R. En este caso, la curva C tiene un punto inicial o de partida A(f (a), g (a), h(a)) (que es el punto extremo del vector ˙r (t = a) en posici´on cano´nica) y un punto final o de llegada B(f (b), g (b), h(b)) (que es el punto extremo del vector ˙r (t = b) en posici´on cano´nica). Ver Figura 3. • El par a´metro no siempre representa el tiempo y podr ´ıamos usar otra letra en lugar de t para indicarlo. ´metro especialmente “interesante” es el que representa, no ya Veremos m´as adelante que un par a el tiemp o transcurrido, sino la longitud de la p or ci´on de curva recorrida desde su inicio; se s uele denotar a este par a ´metro con la letra s, y se lo llama longitud de ar co.
´ n vimos, una funcio ´n vectorial de un par a ´metro representa una regio ´n del plano o COMENT ARIO: Segu del espacio que no es una regio ´n s´olida ni una superficie, s ino que podr ´ıamos decir que es un “ob jeto unidimensional”: ˙r (t ) representa una curva param´etrica en el espacio o en el plano coordenado. De manera ´n vectorial que depende de similar veremos m´as adelante que resulta que es posible definir una funcio dos ´metros y que (p odemos aventurar) representar a ´ un “ob jeto bidimensional”, esto es, una superficie par a param´etrica en el espacio; su estudio queda p ostergado hasta la Gu´ıa 5, cuando necesitemos parametrizar superficies en el espacio. Por ahora dediqu´emonos a las curvas param´etricas. EJEMPLO 2:
a)
El movimiento de una par t´ıcula en el plano es ta´ definido por la siguiente funci´on vectorial: 0 ≤ t ≤ 2 π ˙r 1 (t ) = (4 cos t, 4 sen t ),
Graficar la curva imaginaria que describe la part´ıcula al moverse, indicando los puntos inicial y final as´ı como el sentido del recorrido. 2-7
b) Si el movimiento es ta ´ representado p or ˙r 2 (t ) = ( −4 sen(2t ), 4 cos(2t )), con 0 curva determinada? Compare con el caso a).
2-
≤
t ≤ 2π , ¿cu´al es la
a) Las funciones componentes son x 1(t ) = 4 cos t e y 1(t ) = 4 sen t. Si para algunos valores de t situamos en el plano los puntos P ( x 1(t ), y 1(t )), o sea P (4 cos t, 4 sen t ), su ubicaci´on parece indicarnos que la curva es una circunferencia (evalu´e ˙r 1(t ) en t = π , π , π, 3π ). Si eliminamos el par´ametro
t
4 2
2
entr e las ecuaciones x = x 1 (t ), y = y 1 (t ), obtenemos la ecuaci on ´ c artesiana de la curva. Par a el lo, ´ o, entonc es queda: en este c aso c onviene sumar las c omponentes al cuad ra do par a eliminar el par ametr
x 2 + y 2 = [ x 1(t )]2 + [y 1(t )]2 = (4 cos t )2 + (4 sen t )2 = 16 cos2 t + 16 sen 2 t = 16(cos2 t + sen2 t ) = 16
luego
x 2 + y 2 = 42. V emos as´ ´ en la cir cunfer encia de r adio 4 c entr ada ı que el punto P ( x 1 (t ), y 1 (t )), c on t ∈ [0 , 2 π ], est a ´ en el origen. Notar que en este ejempl o el par ametr o t c orr esponde al ´ angulo entr e el semieje + x y → −−
el vector OP , c omo se ve en la Figur a 4(a).
El punto inicial de la curva es A1(4, 0); a medida que el par´ametro aumenta desde 0 hasta 2π , el punto P (4 cos t, 4 sen t ) da una vuelta a la circunferencia en sentido “antihorario”, esto es contrario al movimiento de las agujas de un reloj.
Figura 4: Ejemplo 2. Curvas definidas por: (a) ˙r 1 (t ), (b) ˙r 2 (t ), para t de 0 a 2 π . b) Si eliminamos el par ametr ´ o c omo hicimos en el inciso anterior, tenemos:
x 2 + y 2 = [x 2(t )]2 + [y 2(t )]2 = [−4 sen(2t )]2 + [4 cos(2t )]2 = 16 sen2(2t ) + 16 cos2(2t ) = 16
luego 2-9
x 2 + y 2 = 42. O sea que la gr afic ´ a de la curva nuevamente es la cir cunfer encia de r adio 4 c entr ada en el origen. Notar que ahor a el par a ´m etr o t c orr esponde a la mitad del ´ angulo entr e el semieje +y y el vector −− →
OP , c omo se ve en la Figur a 4(b).
La curva parametrizada por ˙r 2(t ) comienza en A2(0, 4) y termina en ese mismo punto despu´es de haber girado dos veces sobre la circunferencia en sentido antihorario .
A partir de este ejemplo, vamos a derivar resultados similares. Supongamos que se desea estudiar la curva de la Figura 4(a) pero desde una perspectiva espacial (con el eje z saliendo hacia arriba de la hoja). Es f´acil
2-
ver que una parametrizacio´n de la circunferencia de radio 4 centrada en el origen, horizontal y apoyada en el plano xy , y recorrida una vez en sentido antihorario visto desde + z , es
˙r (t ) = (4 cos t, 4 sen t, 0) ,
0
≤ t ≤ 2 π
Imagine que la circunferencia esta´ en ubicacio´n vertical, apoyada en el plano yz ; proponga una funcio´n
vectorial que la describa. Ahora imagine que se traslada la circunferencia original, manteni´endola siempre horizontal, hasta que su centro es ta ´ en (0 , 0, 3), ¿qu´e funcio ´n vectorial dar ´ıa? ¿Y si el centro se traslada al (1, 2 , 3)? Por otro lado, notamos que las funciones comp onentes de ˙r 1 (t ) son tales que la suma de los cuadrados de x 1(t ) e 4 resulta ser igual a cos 2 t + sen2 t que tiene el valor constante 1 para cualquier t , luego aquella 4 1
(t )
combinacio ´n p ermite deshacerse del par ´ametr o. Esto sugiere que para parametrizar una elipse de semiejes,
por ejemplo, 3 y 5 basta tomar
˙r (t ) = (3 cos t, 5 sen t ), ya que
. x (t ) .2 . y (t ) .2 +
3
0
≤ t ≤ 2 π
= 1 para cualquier t .
5
Los Ejemplos 2.a) y 2.b) presentan funciones vectoriales distintas, que tienen la misma gr ´afica. Es necesario distinguir entre una curva, que es un conjunto de puntos, y una curva param´etrica en la cual los puntos son obtenidos mediante una funcio ´n vectorial, o sea siguiendo un camino, una direccio ´n y un sentido determinados. En ese ejemplo, aunque las gr ´aficas coinciden, las curvas param´etr icas son diferentes. Si p ensamos en la curva trazada por el movimiento de un ob jeto, su representaci´on param´etrica nos dice en qu´e punto es ta ´ el m´ovil en cada instante de tiemp o, hacia d´onde va, y con qu´e velocidad y aceleracio ´n se mueve; mientras que la gr ´afica de la curva s´olo da informacio´n de los puntos por los que pasa el m´ovil. NOTA:
EJEMPLO
3: Parametrizaci´on de una recta.
´n Sea L la recta en el espacio que pasa por los puntos P (2, 4, −3) y Q(3, −1, 1). Dar una funcio vectorial
que la parametrice. → −−
Observamos que el vector P Q = 3 − 2, −1 − 4, 1 − (−3) = (1, −5, 4) es par alelo a la r ecta L. Si → −− tomamos a P (2, 4, −3) c omo un punto de la r ecta y ˙v = P Q c omo un vector dir ector, entonc es:
.
.
x = 2 + t y = 4 − 5t
z = −3 + 4t son ecuaciones par am´ ´ n apr endimos en la Gu´ etric as de la r ecta, seg u ıa 1. Luego
˙r (t ) = (2 + t, 4 − 5t, −3 + 4t ), 2-
t ∈ R
´ de L mediante una func i o ´n vectorial. es una r epresentaci on
etric a. Elija 5 valor es de t e indique en el gr afic e puntos sobr e l a r ecta Gr afique la curva par am´ ´ o a qu´ c orr esponden, seg u ´ n la par ametrizaci on ´ dada. o es r e sent id ec orrida la r ecta, de acuer do a esta par ametrizaci on? ´ ¿En qu´
e curva r epr esenta en este c aso ˙ Si se r estringe el dominio de ˙ r (t ) al intervalo finito [0 , 1], ¿qu´ r (t )?
¿Y para t ∈ [−1, 2]?
2-
Figura 5: Ejemplo 4. Segmento rectil´ıneo orientado que va desde P 0 hasta P 1. EJEMPLO 4:
Parametrizaci´on de un segmento.
´n vectorial para el segmento rectil´ıneo orientado que va desde el punto P 0 (1, 3 , −2) Determinar una funcio hasta el punto P 1(4, 0, 3). Ver Figura 5. ecta que pasa por dos puntos dados, vista en la R ec or dando la deduc ci on ´ de l as ecuaciones par a una r Sec ci ´ 5.2 de la Gu´ ´ vectorial par a el segmento que une el punto fi nal on ıa 1, sabemos que una ecuaci on −−→
−−→
´ dada por: r 0 = OP 0 c on el punto final del vector ˙r 1 = OP 1, est a del vector ˙
˙r (t ) = (1 − t ) ˙r 0 + t ˙r 1 ,
0
≤ t ≤ 1
´ se satisfac e que Efectivamente c on esta par ametrizaci on
˙r (t = 0) = ˙r 0
y
˙r (t = 1) = ˙r 1 ,
y que para valores de t intermedios (entre 0 y 1 ), se obtienen los puntos del segmento entre P 0 y P 1. La parametrizaci´on dada tambi´en se puede escribir de la siguiente forma:
˙r (t ) = ˙r 0 + t (˙r 1 − ˙r 0 )
0
≤ t ≤ 1 −−− →
donde r ec onoc emos el punto de r eferencia P 0 por donde pasa la r ecta y el vector di re ctor P P .
0 1 Par a este ejemplo, tomamos ˙ ´ n vectorial par a el r 0 = (1, 3 , −2) y ˙r 1 = (4, 0, 3). Luego una func io
segmento orientado que va desde P 0 hasta P 1 es
˙r (t ) = (1−t )(1, 3, −2)+t (4, 0, 3) = (1, 3, −2)+t [(4 , 0, 3)−(1, 3, −2)]
EJEMPLO
= (1+3t, 3 −3 t, −2+5t ),
5: H´elice circular.
´n vectorial Trazar la curva param´etrica determinada p or la funcio ˘, ˙r (t ) = cos t ˘ı + sen t ˘ + 3t k 2-
t ∈ R
0
≤ t ≤ 1
Las funciones c omponentes de ˙r (t ) son f (t ) = cos t , g (t ) = sen t , h(t ) = 3t , y est an ´ definidas par a todos los valor es r eales de t . La curva descripta por ˙r (t ) es una h´ elic e que se desarr olla en la superficie del cilindr o cir cular r ecto de eje z y r adio 1: x 2 + y 2 = 1. En efecto, la curva est a ´ sobr e dicho cilindr o ya que las c omponentes
f (t )
ındri ca : y g (t ) satisfac en la ecuaci on ´ de la superficie ci l´
S : x 2 + y 2 = [f (t )] 2 + [g (t )] 2 = cos2 t + sen2 t = 1 Adem´as, la curva “sube” sobre el cilindro cuando la componente h(t ) = 3t aumenta (ver Figura 6). En este ejemplo, la periodicidad de las funciones componentes en x e y es de 2π ; entonces, cada vez
2-
Figura 6: Ejemplo 5. H´elice cir cular de eje z , radio 1 y paso 6π . que t aumenta su valor en 2π , la curva completa una vuelta alrededor del cilindro. Pero no vuelve al mismo punto: la distancia (en este caso vertical) entre dos puntos de una h´elice que corresponden a una vuelta (en este c aso por un c ambio de 2 π en el par ametr o), se l lama paso de la h´ ´ elic e cir cul ar . Aqu´ ı el paso es 3 2 π = 6π c 18, 85 .
¿C´omo se podr´ıa parametrizar una h´elice que se desarrolla en la superficie de un cilindro recto de eje z, cuya secci´on transversal es una elipse (digamos, de semiejes 3 y 5)? Suponga que el paso es el mismo que en el ejemplo resuelto.
Recordemos de la Gu´ıa 1 que dos superficies S 1 = { ( x, y, z ) : F ( x, y, z ) = 0 } y S 2 = { ( x, y, z ) : tt ( x, y, z ) = 0 }
que se cortan entre s´ı, determinan una curva en el espacio que es el conjunto de puntos q ue satisface ambos v´ınculos simulta´neamente: C = { ( x, y, z ) : F ( x, y, z ) = 0, tt ( x ; y ; z ) = 0 }. Veamos una forma alternativa de describir tal curva, mediante una funcio ´n vector ial.
EJEMPLO 6:
´n entre dos superficies. Parametrizaci´on de la curva determinada p or la interseccio
´n entre la superficie cil´ındrica dada p or la ecuacio ´n Considerar la curva determinada p or la interseccio 2 2 F ( x, y, z ) = x + y − 1 = 0 (cilindro circular de eje z y radio 1) y la superficie plana dada por tt ( x, y,
z ) = y + z − 2 = 0. Ver Figura 7. Encontrar una funci´on vectorial que describa la curva interseccio ´n, e indicar el sentido asignado p or la parametrizacio ´n propuesta.
A partir de la figur a, notamos que la curva intersec ci on ´ C es una curva c err ada y tiene la forma ´ en la curva debe verific ar de una elipse sobr e el plano dado. Un punto cual quier a P (x, y, z ) que est a simul t a ´n eamente ambas ecuaciones, dado que pertenec e a ambas superficies a la vez: 2-8
. x 2
+ y 2
=
1
y + z = 2 ametr erminos o t de forma de verific ar ambas ecuaciones. Busc amos expr esar x, y, z en t ´ de un par ´ V emos que si tomamos x (t ) = cos t , y (t ) = s en t se satisfac e la ecuaci on ´ del cilindr o x 2 + y 2 = 1. Usando
2-9
Figura 7: Ejemplo 6. Elipse como interseccio ´n entre un cilindro circular y un plano oblicuo. ahor a la ecuaci on ´ del plano tenemos que z = 2 − y, luego z (t ) = 2 ´ n de la cur va intersec ci on ´ es: una par ametri zac io C :
˘, ˙r (t ) = cos t ˘ı + sen t ˘ + (2 − sen t ) k
0
− sen t . As´ ı,
≤ t ≤ 2 π
etric o al [0 , 2 π ]? ¿Por qu´ estringi do el intervalo par am´ ´ hemos r e r az on
Finalmente, el sentido en el cual se r ec orr e la cur va par am´ etric a C a medi da que tr o t , de acuer do a la par ametrizaci on ´ dada, es senti do aumenta el par ´ ameantihor ario visto desde el semieje z positivo.
2-10
