Instituto Tecnológico Superior de Irapuato
Nombre:
Fernández Martínez Christian Daniel
Reporte de Servicio Social:
Ecuaciones con números complejos
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Tabla de Contenido I. Introducción II. Objetivo 1. Definición de un número complejo 2. Tipos de Números Complejos y su Representación Matemática y Grafica 2.1 Numero complejo en forma rectangular 2.2 Representación grafica de un numero complejo en forma rectangular 2.3 Numero complejo en forma polar 2.4 Representación grafica de un numero complejo en forma polar
3 3 4 4 4 4 4 5
2.5 Ejemplos 3. Conversión de Números Complejos 3.1 Conversión de Números Rectangulares a Polares 3.2 Conversión de Números Polares a Rectangulares 3.3 Ejemplos 4. Operaciones con Números Complejos en forma rectangular 4.1 Suma y Resta 4.2 Multiplicación 4.3 División 4.4 Ejemplos 5. Operaciones con Números Complejos en forma polar 5.1 Multiplicación 5.2 División 5.3 Ejemplos
5 6 6 6 7 7 7 8 8 9 10 10 10 10
6. Operaciones de Números Complejos Con Calculadora fx-991ES 6.1 Introducción 6.2 Creación 6.2.1 Poner números complejos en forma rectangular 6.2.2 Poner números complejos en forma polar 6.3 Conversión 6.4 Operaciones (suma, resta, multiplicación y división) 7. Operaciones de Números Complejos Con Matlab 7.1 Conversión 7.2 Operaciones (Suma, resta, multiplicación, y división) 8. Solución de sistemas lineales con números Complejos 9. Solución de un sistema lineal con números complejo en Matlab 10. Aplicaciones de análisis con números complejos
12 12 12 12 12 12 12 13 13 13 13 15 18
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I. Introducción Las operaciones con números complejos son utilizadas en Matemáticas y en ciencias afines, por lo que el presente trabajo está dedicado a explicar las operaciones con números complejos, así como su representación gráfica y matemática, también algunas de las aplicaciones con dichas operaciones y un pequeño manual para solucionar dichas ecuaciones en calculadora y en software (Matlab). El fin importante de este trabajo se basa en la aplicación las operaciones con números complejos en la materia de análisis de circuitos II.
II. Objetivo Que el usuario aprenda las técnicas para resolver operaciones con números complejos.
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Definición de un número complejo Un número complejo, es una entidad matemática que viene dada por un par de números reales o por una magnitud y un ángulo de desplazamiento según el caso, el primero ( x) se denomina como la parte real y al segundo ( y) como la parte imaginaria. Los números complejos se pueden representar por un par de números entre paréntesis indicando un punto en el plano complejo, o bien, en la forma usual de , donde se denomina la unidad imaginaria que está dada por,
,
√
Tipos de Números Complejos y su Representación Matemática y Grafica 2.1 Numero complejo en forma rectangular. Los números complejos en la forma rectangular, son números que tienen parte real (x) y parte imaginaria (y).
2.2 Representación grafica de un numero complejo en forma rectangular La representación grafica de los números complejos en forma rectangular se hace graficando el par ordenado (x, y) sobre el plano complejo, que es lo mismo que (x+ yi), donde x es la parte real y se representa en el eje real X, mientras que y es la parte imaginaria que se representa en el eje imaginario Y.
2.3 Numero complejo en forma polar. En número complejo Z se puede expresarse también en forma polar. Los números complejos expresados en la forma polar están compuestos por una magnitud ( r) y un ángulo de desplazamiento .
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2.4 Representación grafica de un numero complejo en forma polar. La representación grafica del número complejo Z en forma rectangular se representa graficando sobre el plano complejo la magnitud del número con el ángulo de desplazamiento dado.
2.5 Ejemplos. Graficar los siguientes números complejos. a)
b)
c)
d)
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Conversión de Números Complejos La conversión de números complejos en cualquiera de sus formas es una herramienta útil, ya que en una operación con números complejos al realizar una conversión se puede simplificar o hacer más fácil dicha operación. 3.1 Conversión de Números Rectangulares a Polares. Para convertir un número complejo expresado en forma rectangular (Z= x + yi) a la forma polar se utilizan las siguientes identidades. Para calcular la magnitud del se elevan al cuadrado el número real y el imaginario y se saca la raíz.
−
Para calcular el ángulo desplazamiento se saca la tangente inversa del numero imaginario entre el número real.
Entonces Z es expresado como sigue,
Representado en el plano complejo como,
3.2 Conversión de Números Polares a Rectangulares.
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Identidad de Euler. La identidad de Euler se utiliza para convertir un número complejo de la forma polar a la forma rectangular como sigue, Donde,
⌊ ⌋ . ⌋ ⌊ ⌊. ⌋ ⌊.⌋ ⌊ . −⌋ . .
3.3 Ejemplos Convertir los siguientes números complejos según sea el caso. a) Convertir el siguiente número Z de polar a rectangular.
b) Convertir el siguiente número complejo Z de rectangular a polar.
Operaciones con Números Complejos en forma rectangular. En esta sección se presentan las principales operaciones (suma, resta, multiplicación y división) con números complejos en la forma rectangular.
4.1 Suma y Resta. La suma y resta de números complejos en la forma rectangular se realizan sumando o restando las partes reales entre si y sumando o restando las partes imaginarias entre sí. 7
⌊ ⌋ ⌊ ⌋
Para ejemplificar la suma y resta de números complejos en forma rectangular considere dos números complejos y ,
La operación de suma se realiza como sigue,
La operación de resta se realiza como sigue,
4.2 Multiplicación La multiplicación de números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto a la suma, esto es, que se multiplica todos los términos entre si y luego se suma la parte real entre si y la parte imaginaria entre sí. Para la multiplicación de números complejos se debe tomar en cuenta la potencia de la parte imaginaria, como se describe a continuación,
∗ ⌊∗ ⌋
Sean
y
dos números complejos.
La multiplicación de los números complejos Z1 y Z2 debe realizarse como sigue,
4.3 División. La división con números complejos se realiza multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado de el denominador, después se aplican las propiedades de la suma, resta y de la multiplicación. Sean F y G dos números complejos.
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∗ ⌊ ⌋ ⌊ ⌋ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗
La división de dos números complejos
y
debe realizarse como sigue,
4.4 Ejemplos. Realizar las siguientes operaciones con números complejos según sea el caso. a)
b)
c)
−+− −−− ∗−−∗ ∗⌊⌋ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ⌊∗ ⌋ ∗ d)
e)
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Operaciones con Números Complejos en forma polar. En la sección anterior se presentaron las soluciones de las operaciones fundamentales con números complejos en la forma rectangular, por lo que en esta sección se presentara solo la multiplicación y división con numero complejos en forma polar, ya que, para realizar sumas o restas en forma polar, es conveniente convertir el número polar a la forma rectangular utilizando la identidad de Euler. 5.1 Multiplicación Para realizar la multiplicación de números complejos en forma polar se realiza multiplicando las magnitudes de los números polares y sumando los ángulos de desplazamiento de los números polares.
Sea
y
∗ ∗ ∗
números polares.
5.2 División Para realizar la división de números complejos en forma polar se realiza dividiendo las magnitudes de los números polares y restando los ángulos de los números. Sea
y
números polares.
5.3 Ejemplos. Realizar las siguientes operaciones.
a)
∗ ∗ ∗ ⌊ ⌋
b)
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c)
.. .⌊. ......⌋ ∗ ∗ − . √ − (√ . ) ⌊∗.√ √..∗ ⌋. − . √ √ .
Para realizar este tipo de ecuaciones es conveniente convertir el número en la forma polar a la forma rectangular usando la identidad de Euler.
d)
Para realizar esta operación es conveniente convertir el número en la forma rectangular a la forma polar.
e)
Al igual que en la multiplicación es conveniente convertir el numero rectangular a la forma polar
√ . √ √..
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Operaciones de Números Complejos Con Calculadorafx-991ES 6.1 Introducción. Para convertir y resolver números complejos en la calculadora, debemos poner la calculadora en forma compleja, poniéndole esta función MODE + 2 6.2 Introducción de numero complejos en la calculadora 6.2.1 Para poner números complejos en forma rectangular. 1. Teclear el número normal (parte real) ejemplo (23). 2. Teclear la parte real del numero complejo y para escribir la parte imaginaria ( i) presionar la función ENG , por ejemplo 10i. Ejemplo
6.2.2 Para poner números complejos en forma polar. 1. Teclear el numero normal (magnitud) ejemplo (15). 2. Para poner el ángulo de desplazamiento presionar la función ejemplo ( ) Ejemplo.
SHIFT
+
(-)
15 60
6.3 Conversión de números complejos en la calculadora Para convertir numeros complejos de forma polar a la forma rectangular o viceversa, ya cuando esta creado el numero y lo que remos convertir solo vasta con presionar estas funciones, SHIFT + 2 + 3 para convertirlos de la forma rectangular a la forma polar SHIFT + 2 + 4 para convertirlos de la forma polar a la forma rectangular.
6.4 Operaciones con números complejos en la calculadora. Para realizar una operación en la calculadora solo basta con introducir el numero complejo y ponerle el operador según sea el caso (+, -, * o /). Pero se debe recordar que en las operaciones no se puede combinar dos tipos de números complejos, por lo que se deberá convertir el número en forma polar a la forma rectangular o viceversa.
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Operaciones de Números Complejos Con Matlab. Matlab es una herramienta de fácil uso que ayuda de manera eficiente en la solución de operaciones con números complejos, así como otras aplicaciones, pero en esta ocasión solo se enfocara en la solución de operaciones con números complejos. 7.1 Conversión de números complejos con Matlab. Para convertir números complejos de polar a rectangular o viceversa primero se deben declarar las variables. 7.1.1 Conversión de polar a rectangular. Si se quiere convertir de la forma polar a la forma rectangular, poner la función [X, Y]= pol2cart (TH, R), donde TH es el ángulo de desplazamiento y R la magnitud y (X) es la parte real y (Y) la parte imaginaria del numero complejo en polar convertido rectangular. 7.1.2 Conversión de rectangular a polar. Si se quiere convertir de la forma rectangular a la forma polar, poner la función [TH, R]= cart2pol (X, Y) donde TH es el ángulo de desplazamiento y R es la magnitud del numero complejo en forma rectangular convertido a polar. El ángulo calculado está dado en radianes, por lo que si se requiere en grados solo basta multiplicarlo por (180/pi). 7.2 Operaciones (suma, Resta, Multiplicación y División). Para realizar operaciones con números complejos en Matlab solo basta con poner los números complejos ya sea en forma polar o en forma rectangular y ponerle el operador según sea la operación que se desea realizar (+, -, *, /). Pero se debe tener en cuenta que no se pueden hacer operaciones combinando dos tipos de números complejos, si es necesario realizar una operación de este tipo se deberá convertir ya sea el numero complejo en forma polar a la forma rectangular o viceversa.
Solución de sistemas lineales con números Complejos En ocasiones es necesario resolver sistemas algebraicos lineales que implican números complejos. La solución de estos sistemas por medio de eliminación Gaussiana se complica, ya que requiere una gran cantidad de operaciones de suma, resta, multiplicación y división de números complejos. Para evitar esta laboriosa tarea, es preferible resolver el sistema algebraico expresándolo en términos de números reales. La representación de un sistema algebraico con números complejos por medio de un sistema de números reales se realiza como sigue. Suponga que se tienen un sistema lineal de números complejos Z, I y E expresado en forma rectangular,
∗
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Donde Z representa la matriz de coeficientes del sistema lineal, I representa el vector de incógnitas a determinar y E es el vector independiente. Multiplicando la parte real e imaginaria de la impedancia por la parte real e imaginaria de las corrientes, teniendo en cuenta , tenemos,
2 1
Separando parte real e imaginaria se tiene,
[ ][ ] [ ]
Reacomodándola en forma de matricial se obtiene,
Note que este último sistema está compuesto únicamente por números reales, ya que no existe el operador imaginario i. La solución de este sistema puede ser fácilmente resuelto por medio de eliminación Gaussiana, sin la necesidad de realizar operaciones con números complejos.
Ejemplo Obtener el sistema lineal expresado en términos de números reales del siguiente circuito.
Al analizar el circuito por mallas quedan las siguientes ecuaciones, Analizando la malla 1
Analizando la malla 2
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;;; ;
Separando la parte real y la parte imaginaria de cada ecuación tenemos
Acomodando la parte real y la parte imaginaria en forma de matriz.
Nota importante
Solución de un sistema lineal con números complejo en Matlab. La solución de un sistema lineal con números complejos en forma manual es muy complicada ya que se requiere realizas muchas operaciones, pero con la ayuda de Matlab la solución de este sistema lineal se facilita y se realiza de forma mas rápida.
Ejemplo Solución de un sistema lineal con números complejo utilizando Matlab.
, , , , , 15
La
Z y Z2 60
se obtiene de sumar las impedancias
Z2
en serie.
Resolviéndolo el circuito por mallas en Matlab Analizando la malla 1
Analizando la malla 2
Analizando la malla 3
. . .
Acomodando el sistema de ecuaciones en forma de matriz.
Los pasos para resolver el sistema de ecuaciones lineales con números complejos en Matlab se muestran a continuación.
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1. Introducir la matriz y el vector independiente en Matlab. Primero definir la matriz y el vector resultado. Para introducir el sistema de ecuaciones en forma de matriz, se hace, escribiendo el valor y dando espacio entre cada valor y separando cada ecuación con (;)como se muestra. mat=[4+2i i 0;i 3i 2i;0 2i 8-2i] mat = 4.0000 + 2.0000i 0 + 1.0000i 0 0 + 1.0000i 0 + 3.0000i 0 + 2.0000i 0 0 + 2.0000i 8.0000 - 2.0000i Definir el vector resultado. De igual manera que en la matriz escribir el valor y dar el espacio entre cada valor separando con (;), como se muestra. vec=[60;0;-60+103.92i] vec = 1.0e+002 * 0.6000 0 -0.6000 + 1.0392i
2. Resolver la matriz. Tomar en cuenta, para realizar el inverso de la matriz se hace con la función (inv(mat)). Entonces la solución de este sistema de ecuaciones en Matlab seria despejamos el vector de las incógnitas y el resultado sería la multiplicación del inverso de la matriz por el vector resultado, como se muestra. I=inv(mat)*vec I= I1=10.8084 - 6.3158i A I2=3.6463 - 4.1347i A I3=-10.8737 + 9.3600i A
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Aplicaciones de análisis con números complejos
. . . . − . . . . . . ...... . . . .. .. . −.−.=+ . = .... . . . . −.
Multiplicando ecu.
por
y sumarla con la ecu.
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Conclusiones Con este ejercicio se concluyó que los números complejos son de gran importancia y utilidad para el estudio de ingeniería eléctrica, ya que debido a su gran aplicación en las materias de circuitos eléctricos, maquinas eléctricas y todos los sistemas eléctricos de potencia, los números complejos son una herramienta de gran utilidad que nos ayuda a entender de mejor manera los circuitos eléctricos por medio de fasores.
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