Notas de Mecˆ anica Quˆ antica
Carlos A. R. Herdeiro
Departamento de F´ısica Faculdade de Ciˆencias da Universidade do Porto 2007-08 v4.0
Agradecimentos ´ um prazer agradecer `a Professora Renata Arala Chaves, ao Professor Eduardo Lage e E ao Professor Jo˜ao Lopes dos Santos a oportunidade de leccionar as cadeiras de Mecˆanica Quˆantica I e Mecˆanica Quˆantica II como Professor Auxiliar Convidado, durante os anos lectivos 2003/2004 a 2006/2007, no Departamento de F´ısica da Faculdade de Ciˆencias da Universidade do Porto. Uma palavra muito especial `a Professora F´atima Mota pelo apoio sempre presente.
Junho de 2007 Carlos Herdeiro
(Alguma) Cronologia relacionada com o Nascimento da Mecˆ anica Quˆ antica 1678 - Christian Huygens publica o seu livro Trait´e de la lumiere onde defendia a natureza ondulat´oria da luz; 1687 - Isaac Newton publica o seu tratado Philosophiae Naturalis Principia Mathematica onde exp˜oe as suas leis da mecˆanica (hoje dita mecˆanica cl´assica); 1703 - Newton publica o seu livro sobre a luz Opticks, onde defende que a luz ´e um fluxo de pequenos corp´ usculos; 1803 - Thomas Young anuncia numa ‘Bakerian Lecture’ intitulada Experiments and Calculations Relative to Physical Optics a observa¸c˜ao da difrac¸c˜ao da luz, provando assim que a luz tem propriedades ondulat´orias e portanto validando a tese de Huygens e invalidando a de Newton; 1873 - James Maxwell publica a sua obra A Treatise on Electricity and Magnetism onde apresenta as suas equa¸c˜oes do campo electromagn´etico e mostra que a sua teoria prevˆe a existˆencia de ondas electromagn´eticas viajando ‘`a velocidade da luz’; 1887 - Heinrich Hertz produz e detecta ondas electromagn´eticas, validando a teoria de Maxwell; descobre tamb´em, acidentalmente, o efeito fotoel´ectrico; 1900 - Max Planck explica a radia¸c˜ao de corpo negro usando a quantifica¸c˜ao de energia e introduzindo uma nova constante h (hoje dita constante de Planck ). A sua descoberta foi apresentada num encontro da Sociedade Alem˜a de F´ısica, em 14 de Dezembro de 1900, a data de nascimento da Mecˆanica Quˆantica; 1905 - Albert Einstein sugera a quantifica¸c˜ao da radia¸c˜ao para explicar algumas caracter´ısticas do efeito fotoel´ectrico descobertas em 1900 por Philip Lenard; 1911 - Ernest Rutherford prop˜oe o modelo nuclear do ´atomo baseado nas experiˆencias de scattering de part´ıculas α de Hans Geiger e Ernest Marsden;
1913 - Niels Bohr prop˜oe o seu modelo do ´atomo de hidrog´enio num artigo intitulado Sobre a constitui¸c˜ao de ´atomos e mol´eculas; 1916 - Robert Milikan verifica a equa¸c˜ao de Einstein relativa ao efeito fotoel´ectrico; 1923 - Arthur Compton explica o scattering de raios x por electr˜oes como uma colis˜ao entre electr˜oes e fot˜oes verificando experimentalmente as suas conclus˜oes; 1924 - Louis De Broglie prop˜oe que o electr˜ao tenha ondas electr´onicas associadas com comprimento de onda h/p; 1925 - Erwin Schr¨odinger prop˜oe a sua equa¸c˜ao de onda para descrever as ondas associadas `a mat´eria; 1925 - Werner Heisenberg inventa a mecˆanica de matrizes para descrever fen´omenos quˆanticos; 1925 - Wolfgang Pauli apresenta o seu princ´ıpio de exclus˜ao; 1927 - Heisenberg formula o princ´ıpio da incerteza; 1927 - Clinton Davisson e Lester Germer e independentemente, George Thomson, observam difrac¸c˜ao devido a ondas electr´onicas; 1928 - Paul Dirac desenvolve a mecˆanica quˆantica relativista e prevˆe a existˆencia de positr˜oes, descobertos em 1932 por Carl Anderson;
“Quem n˜ao se sentiu chocado com a teoria quˆantica n˜ao pode tˆe-la compreendido.”
Niels Bohr (1885-1962),
Conte´ udo
I
Problemas exactamente sol´ uveis e quantifica¸c˜ ao can´ onica de
sistemas cl´ assicos
1
1 T´ opicos de Mecˆ anica Cl´ assica
2
1.1 Mecˆanica Newtoniana
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2 Mecˆanica Lagrangeana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2.1
Equa¸c˜oes de Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2.2
Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.3 Mecˆanica Hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.3.1
O Espa¸co de Fase e os Parˆentesis de Poisson . . . . . . . . . . . . .
16
1.3.2
A Equa¸c˜ao de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.4 Sum´ario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2 O per´ıodo de Transi¸c˜ ao 2.1 A luz: ondas versus corp´ usculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25 26
2.1.1
Experiˆencias de Young (1801): ondas triunfam . . . . . . . . . . . .
28
2.1.2
A radia¸c˜ao do corpo negro, Planck e o quantum (1900) . . . . . . .
33
2.1.3
O efeito fotoel´ectrico (Einstein 1905) . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.2 Mat´eria: corp´ usculos versus ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.2.1
O Espectro do ´atomo de Hidrog´enio . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
2.2.2
O modelo at´omico de Bohr (1913) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
2.2.3
As ondas electr´onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
2.3 A dualidade onda/corp´ usculo e a interpreta¸c˜ao probabil´ıstica da Mecˆanica Quˆantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
2.3.1
Experiˆencia de Young com luz de baixa intensidade . . . . . . . . .
51
2.3.2
O princ´ıpio da incerteza de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . .
55
2.3.3
Experiˆencia com a polariza¸c˜ao da luz . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
2.4 A aplicabilidade da Mecˆanica Quˆantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
2.5 Sum´ario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
3 A equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger
63
3.1 Descri¸c˜ao Quˆantica de uma part´ıcula livre - Trem de Ondas . . . . . . . .
64
3.1.1
Sobreposi¸c˜ao discreta de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
3.1.2
Sobreposi¸c˜ao cont´ınua de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
3.2 Part´ıcula em potenciais independentes do tempo . . . . . . . . . . . . . . .
71
3.2.1
Caracter´ısticas gerais num potencial em escada . . . . . . . . . . .
73
3.2.2
Salto de potencial (E > V0 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
3.2.3
Salto de potencial (E < V0 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
3.2.4
Barreira de potencial (E > V0 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
3.2.5
Barreira de potencial (E < V0 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
3.2.6
Po¸co de potencial de profundidade finita (E < 0) . . . . . . . . . .
88
3.2.7
Po¸co de potencial de profundidade infinita . . . . . . . . . . . . . .
90
3.3 Evolu¸c˜ao de um trem de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
3.3.1
Trem de ondas Gaussiano livre
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
3.3.2
Trem de ondas incidente num salto de potencial (E < V0 ) . . . . . .
93
3.4 Sum´ario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
4 Formalismo Matem´ atico e Postulados da Mecˆ anica Quˆ antica 4.1 Fun¸c˜oes de onda e operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1
Estrutura de F e produto escalar em F . . . . . . . . . . . . . . . .
97 97 98
4.1.2
Bases de F
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
4.1.3
Operadores Lineares a actuar em F . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.2 A nota¸c˜ao de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.2.1
Produto escalar e espa¸co dual a E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.2.2
Ac¸c˜ao de operadores lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.2.3
O operador adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.2.4
A opera¸c˜ao adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2.5
Nota¸c˜ao de Dirac numa dada base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2.6
Valores pr´oprios e vectores pr´oprios de um operador . . . . . . . . . 113
4.2.7
Observ´aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.3 Os postulados da Mecˆanica Quˆantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.4 Quantifica¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.4.1
Vari´aveis compat´ıveis, incompat´ıveis e C.C.O.C. . . . . . . . . . . . 119
4.4.2
ˆ e Pˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Os operadores X
4.4.3
Regras de Quantifica¸c˜ao can´onica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.4.4
Coment´arios sobre a evolu¸c˜ao de um sistema quˆantico . . . . . . . . 128
4.4.5
Evolu¸c˜ao do valor m´edio de uma vari´avel . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.5 Mecˆanica Quˆantica Estat´ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.5.1
O operador de densidade para um estado puro . . . . . . . . . . . . 133
4.5.2
O operador de densidade para uma mistura estat´ıstica de estados . 134
4.5.3
O operador de evolu¸c˜ao e a evolu¸c˜ao de um estado puro . . . . . . . 137
4.6 Sum´ario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 5 Exemplos de Quantifica¸c˜ ao Can´ onica
141
5.1 Oscilador Harm´onico Quˆantico em Uma Dimens˜ao . . . . . . . . . . . . . . 141 5.1.1
O espectro de energia do Oscilador Harm´onico Quˆantico . . . . . . 142
5.1.2
As fun¸c˜oes de onda para o oscilador harm´onico . . . . . . . . . . . 146
5.1.3
Resolu¸c˜ao directa da equa¸c˜ao de Schr¨odinger . . . . . . . . . . . . . 149
5.1.4
Valor m´edio e desvio padr˜ao de x e p . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.2 O Oscilador Harm´onico Quˆantico em Duas Dimens˜oes . . . . . . . . . . . . 155 5.2.1
Quant˜oes lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.2.2
Quant˜oes circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.2.3
Fun¸c˜oes de Onda para quant˜oes circulares . . . . . . . . . . . . . . 158
5.3 O problema de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 5.4 Sum´ario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 ´ 6 Momento Angular Orbital e o Atomo de Hidrog´ enio 6.1 Operadores de momento angular orbital
167
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.2 Os Harm´onicos Esf´ericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 6.3 Part´ıcula numa for¸ca central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 6.4 O ´atomo de hidrog´enio (sem spin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 6.5 O ´atomo de hidrog´enio (sem spin) num campo magn´etico . . . . . . . . . . 189 6.5.1
Dedu¸c˜ao dos v´arios termos do Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . 189
6.5.2
Interpreta¸c˜ao dos v´arios termos do Hamiltoniano . . . . . . . . . . 191
6.5.3
Compara¸c˜ao dos v´arios termos no Hamiltoniano . . . . . . . . . . . 195
6.5.4
Espectro de Energias aproximado: efeito Zeeman . . . . . . . . . . 196
6.6 Sum´ario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 7 Outras solu¸c˜ oes exactas da equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger
205
7.1 Alguns po¸cos de potencial exactamente sol´ uveis . . . . . . . . . . . . . . . 206 7.1.1
Estados Ligados em Po¸cos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
7.1.2
Densidade de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
7.1.3
Estados Ligados em Po¸cos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
7.2 M´etodo alg´ebrico para potenciais com forma invariante . . . . . . . . . . . 220 7.2.1
O superpotencial e potenciais parceiros . . . . . . . . . . . . . . . . 220
7.2.2
Hierarquia de Hamiltonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
7.2.3
Potenciais de forma invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
7.2.4
Potenciais de forma invariante relacionados por transla¸c˜ao . . . . . 229
7.3 Sum´ario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
II
M´ etodos de aproxima¸c˜ ao e Spin
237
8 A aproxima¸ c˜ ao WKB
238
8.1 O m´etodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 8.2 Interpreta¸c˜ao da validade da aproxima¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 8.3 F´ormulas de liga¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 8.4 Aplica¸c˜ao ao c´alculo de estados ligados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 8.5 Aplica¸c˜ao ao c´alculo do factor de transmiss˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . 250 8.6 Sum´ario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 9 Teoria Geral do Momento Angular e Spin
253
9.1 Representa¸c˜oes da ´algebra do momento angular . . . . . . . . . . . . . . . 254 9.2 Emergˆencia F´ısica do Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 9.3 Postulados da teoria de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 9.4 Descri¸c˜ao n˜ao relativista de part´ıculas de spin 9.4.1
1 2
. . . . . . . . . . . . . . . 274
Juntando os graus de liberdade de spin aos orbitais . . . . . . . . . 276
9.5 Adi¸c˜ao de momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 9.5.1
C´alculo dos vectores pr´oprios comuns a Jˆ2 e a Jˆz . . . . . . . . . . 287
9.6 Sum´ario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 10 Teoria da Difus˜ ao
293
10.1 Formalismo para descrever processos de difus˜ao . . . . . . . . . . . . . . . 296 10.1.1 Defini¸c˜ao da sec¸c˜ao eficaz de difus˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 10.1.2 Estados estacion´arios de difus˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 10.1.3 Rela¸c˜ao entre amplitude e sec¸c˜ao eficaz de difus˜ao . . . . . . . . . . 300 10.2 Equa¸c˜ao integral de difus˜ao e o m´etodo de Born . . . . . . . . . . . . . . . 302 10.2.1 Escolha da fun¸c˜ao de Green e de Φ0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 10.2.2 A aproxima¸c˜ao de Born . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 10.2.3 Interpreta¸c˜ao da aproxima¸c˜ao de Born . . . . . . . . . . . . . . . . 308 10.2.4 A aproxima¸c˜ao de Born para potenciais centrais . . . . . . . . . . . 309 10.3 M´etodo das ondas parciais para a difus˜ao por um potencial central . . . . . 316
10.3.1 Ondas esf´ericas versus ondas planas para uma part´ıcula livre . . . . 317 10.3.2 Dedu¸c˜ao da forma expl´ıcita das ondas esf´ericas livres . . . . . . . . 319 10.3.3 Propriedades das ondas esf´ericas livres . . . . . . . . . . . . . . . . 323 10.3.4 Ondas parciais num potencial V (r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 10.4 Difus˜ao Inel´astica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 10.4.1 Sec¸c˜oes eficazes de difus˜ao el´astica e de absor¸c˜ao . . . . . . . . . . . 337 10.4.2 Sec¸c˜ao eficaz total e o teorema ´optico . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 10.5 Sum´ario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 11 M´ etodos perturbativos independentes e dependentes do tempo
343
11.1 Teoria das perturba¸c˜oes estacion´arias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 11.1.1 Perturba¸c˜ao de um n´ıvel n˜ao degenerado . . . . . . . . . . . . . . . 347 11.1.2 Perturba¸c˜ao a um n´ıvel degenerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 ˆ X ˆ2 e X ˆ 3 a um potencial harm´onico . . . . . . . . 352 11.1.3 Perturba¸c˜oes X, 11.1.4 Estrutura fina do ´atomo de Hidrog´enio . . . . . . . . . . . . . . . . 357 11.2 Teoria das Perturba¸c˜oes dependentes do tempo . . . . . . . . . . . . . . . 368 11.2.1 Formula¸c˜ao do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 11.2.2 Solu¸c˜ao aproximada da equa¸c˜ao de Schr¨odinger . . . . . . . . . . . 369 11.2.3 Aplica¸c˜ao a uma perturba¸c˜ao sinusoidal ou constante . . . . . . . . 373 11.2.4 Probabilidade de transi¸c˜ao via operador de evolu¸c˜ao . . . . . . . . . 385 11.3 Sum´ario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 12 Sistemas de part´ıculas idˆ enticas
397
12.1 Origem do Problema: a degenerescˆencia de troca
. . . . . . . . . . . . . . 397
12.2 Operadores de permuta¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 12.2.1 Sistema de duas part´ıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 12.2.2 Sistema de trˆes part´ıculas e generaliza¸c˜ao para N part´ıculas . . . . 405 12.3 O postulado de simetriza¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 12.3.1 Levantamento da degenerescˆencia de troca . . . . . . . . . . . . . . 411 12.3.2 Observ´aveis e evolu¸c˜ao temporal
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
12.4 Consequˆencias do postulado de simetriza¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 12.4.1 Diferen¸cas entre bos˜oes e fermi˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 12.4.2 Efeitos de interferˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420 12.4.3 Difus˜ao de duas part´ıculas idˆenticas com spin . . . . . . . . . . . . 424 ´ 12.5 Atomos com v´arios electr˜oes - A tabela peri´odica . . . . . . . . . . . . . . 428 12.5.1 N´ıveis de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 12.5.2 Configura¸c˜oes electr´onicas e princ´ıpio da exclus˜ao de Pauli . . . . . 432 12.6 Sum´ario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 13 Introdu¸c˜ ao ` a Mecˆ anica Quˆ antica Relativista 13.1 A teoria de Klein-Gordon
437
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
13.2 Os problemas com a teoria de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . 439 13.2.1 Energias negativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440 13.2.2 Probabilidades negativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 13.2.3 Inexistˆencia de spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 13.3 A teoria de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448 13.3.1 Os sucessos da equa¸c˜ao de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450 13.4 Sum´ario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
III
T´ opicos Avan¸ cados e Modernos
453
14 Formula¸c˜ ao de integrais de caminho da Mecˆ anica Quˆ antica
454
15 Mecˆ anica Quˆ antica Super-sim´ etrica
455
16 Introdu¸c˜ ao ` a teoria da Informa¸c˜ ao Quˆ antica
457
IV
Apˆ endices
458
A Geometria da Transformada de Legendre
459
B Princ´ıpio do tempo m´ınimo de Fermat
463
B.1 Reflex˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
B.2 Refrac¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465 C An´ alise de Fourier
467
C.1 S´eries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467 C.1.1 Representa¸c˜ao em termos de ondas planas . . . . . . . . . . . . . . 469 C.1.2 O Espa¸co de Hilbert e a Igualdade de Bessel-Parseval . . . . . . . . 470 C.2 Integrais de Fourier e Transformadas de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 471 C.2.1 A f´ormula de Parseval-Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472 C.2.2 Quantidades estat´ısticas e a rela¸c˜ao de incerteza . . . . . . . . . . . 474
Parte I Problemas exactamente sol´ uveis e quantifica¸c˜ ao can´ onica de sistemas cl´ assicos
CAP´ITULO
1
T´ opicos de Mecˆ anica Cl´ assica
1.1
Mecˆ anica Newtoniana
O principal objectivo da mecˆanica cl´assica ´e descrever e explicar o movimento de objectos macrosc´opicos. Tal descri¸c˜ao ´e feita atrav´es do conceito de traject´oria, que em mecˆanica n˜ao relativista ´e um mapa Tp (t) : R −→ R3
,
(1.1.1)
t −→ ~x(t) para cada ponto p do objecto em quest˜ao - figura 1.1. Em muitos problemas, a dinˆamica de corpos r´ıgidos ´e reduzida, em primeira an´alise, `a dinˆamica do centro de massa e portanto `a de uma part´ıcula pontual. Assim sendo, a descri¸c˜ao e explica¸c˜ao do movimento de uma part´ıcula pontual ´e o problema base da mecˆanica cl´assica. Em 1686-87, Isaac Newton (1642-1727) apresentou na sua principal obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica as leis da Mecˆanica Newtoniana e em particular a sua equa¸c˜ao do movimento (2a lei de Newton) que relaciona a for¸ca com a varia¸c˜ao da quantidade de movimento d~p F~ = , dt
p~ ≡ m~v ≡ m
d~x . dt
(1.1.2)
1.1 Mecˆ anica Newtoniana
3 z
Tp (t2 )
y
x
Tp (t1 )
Figura 1.1: A traject´oria ´e um mapa da linha real para R3 . Se a massa m ´e fixa, 2
d ~x ¨. F~ = m 2 ≡ m~x dt
(1.1.3)
Exemplo 1 : Oscilador Harm´onico (ex: pequenas oscila¸c˜oes de um pˆendulo, mola,...) Um oscilador harm´onico ´e um sistema em que a for¸ca ´e proporcional ao deslocamento a partir de um ponto de equil´ıbrio e dirigida para o ponto de equil´ıbrio (Lei de Hooke). Rotulando o ponto de equil´ıbrio como ~x = 0, temos F~ = −k~x .
(1.1.4)
Consideremos o oscilador harm´onico em uma dimens˜ao, com uma massa m e uma constante de oscilador k. Pela segunda lei x¨ +
k x=0, m
(1.1.5)
que ´e uma equa¸c˜ao diferencial ordin´aria de segunda ordem com solu¸c˜ao ! r k t + φ0 , (1.1.6) x(t) = A cos m p de onde se lˆe a frequˆencia de oscila¸c˜ao: ω = k/m. A e φ0 s˜ao constantes de integra¸c˜ao
interpretadas como amplitude e fase inicial do movimento que fisicamente s˜ao determinadas pelas condi¸c˜oes iniciais.
Exemplo 2 : Problema de Larmor O problema de Larmor ´e o problema de uma part´ıcula de massa m e carga el´ectrica q num campo magn´etico constante que tomamos ~ = Bez . como sendo B
4
T´ opicos de Mecˆ anica Cl´ assica A for¸ca que uma part´ıcula sente devido `a interac¸c˜ao com o campo electromagn´etico ´e
dada pela for¸ca de Lorentz ~ + ~v × B) ~ . F~ = q(E
(1.1.7)
Aplicando ao nosso caso e usando a segunda lei de Newton obtemos a equa¸c˜ao do movimento (~x = (x, y, z)) x¨ = ωc y˙
¨ = ωc~x˙ × ez ⇔ ~x
y¨ = −ωc x˙ z¨ = 0
⇒
onde definimos a frequˆencia ciclotr´onica ´e ωc =
3 dx + ωc2 x˙ = 0 3 dt d3 y + ωc2y˙ = 0 3 dt z¨ = 0
qB . m
,
(1.1.8)
(1.1.9)
As equa¸c˜oes de terceira ordem s˜ao de segunda ordem nas velocidades e equivalentes a osciladores harm´onicos. Logo a solu¸c˜ao ´e x˙ = A cos (ωc t + φ0 ) y˙ = A˜ cos ωc t + φ˜0 z =z +v t 0 z
,
(1.1.10)
˜ z0 , vz s˜ao constantes de integra¸c˜ao. As equa¸c˜oes de segunda ordem em ˜ φ, φ, onde A, A, (1.1.8) relacionam as constantes de integra¸c˜ao A = A˜ ,
π φ˜0 = φ0 + . 2
(1.1.11)
Como tal a solu¸c˜ao final ´e A sin (ωc t + φ0 ) x(t) = x0 + ωc A y(t) = y + cos (ωc t + φ0 ) 0 ω c z =z +v t 0 z
.
(1.1.12)
Assim, x(t) e y(t) obedecem a
2
2
(x(t) − x0 ) + (y(t) − y0 ) =
A ωc
2
,
(1.1.13)
1.2 Mecˆ anica Lagrangeana
5 ~ B
z
y
x
Figura 1.2: Traject´orias no problema de Larmor. Apenas a traject´oria mais `a direita tem vz 6= 0. e interpretamos as traject´orias projectadas no plano x-y como sendo circunferˆencias com centro em (x0 , y0 ) e raio Am/qB - figura 1.2. Lˆemos tamb´em que a frequˆencia das ´orbitas ´e a frequˆencia ciclotr´onica. Nota: Este movimento corresponde a dois osciladores harm´onicos nas direc¸c˜oes x e y em oposi¸c˜ao de fase.
1.2
Mecˆ anica Lagrangeana
Existem algumas for¸cas, ditas conservativas, que podem ser derivadas de um potencial, atrav´es de:1 F~ = −∇V
∇ × F~ = 0 .
⇔
(1.2.1)
Dada uma for¸ca, a u ´ ltima equa¸c˜ao pode ser utilizada como teste para ver se a for¸ca ´e conservativa. Por exemplo, para a for¸ca do exemplo 1, F~ = −kx
⇔
V (x) =
kx2 . 2
(1.2.2)
Ao desenharmos o potencial - figura 1.3 - ficamos com uma ideia da dinˆamica usando a nossa intui¸c˜ao gravitacional: a part´ıcula quer descer o potencial e ‘custa-lhe’ a subi-lo. Como a energia total da part´ıcula ´e conservada 1 1 Etotal = Ecin´etica + Epotencial = mv 2 + kx2 , 2 2 1
(1.2.3)
A implica¸ca˜o da direita para a esquerda n˜ ao ´e sempre v´alida e depende de considera¸co˜es topol´ogicas, nomeadamente a co-homologia de de Rham da variedade. Para a generalidade das aplica¸co˜es em F´ısica elementar, onde a topologia do espa¸co-tempo ´e trivial, pode-se considerar a equivˆalencia v´alida em geral.
6
T´ opicos de Mecˆ anica Cl´ assica V(x)
E
−a
a
x
Figura 1.3: Potencial do oscilador harm´onico; uma part´ıcula com energia E oscila entre pontos −a e a tais que V (−a) = V (a) = E. q1 (t)
qreal (t) (qi , ti )
(qf , tf )
q2 (t)
Figura 1.4: Trˆes percursos alternativos entre o ponto qi no instante ti e qf no instante tf . A t traject´oria real, qreal (t) ´e um extremo da ac¸c˜ao S[q(t)]tfi . Se, por exemplo, for um m´ınimo, t t t S[qreal (t)]tfi < S[q1 (t)]tfi , S[q2 (t)]tfi . uma part´ıcula com energia total E sobe at´e uma altura do potencial dada por V = E, onde a velocidade se anula; a velocidade ´e m´axima em x = 0, onde toda a energia ´e cin´etica. Dado um qualquer potencial, correspondendo a uma for¸ca, podemos de imediato deduzir um conjunto particular de traject´orias f´ısicas, i.e. solu¸c˜oes das equa¸c˜oes do movimento: s˜ao as traject´orias constantes, correspondentes aos extremos do potencial. Os extremos s˜ao definidos por ∇V (x0 ) = 0
⇔
F~ = 0 em x0 ,
(1.2.4)
o que significa que se a part´ıcula estiver inicialmente em repouso em x0 a´ı ficar´a. No caso do oscilador harm´onico a u ´ nica solu¸c˜ao deste tipo ´e quando a part´ıcula est´a em repouso na posi¸c˜ao de equil´ıbrio, que ´e trivial. Mas origina a seguinte pergunta: ‘Dado que estas traject´orias extremizam uma quantidade escalar (o potencial), haver´ a uma quantidade escalar mais geral extremizada por todas as traject´orias?’
1.2 Mecˆ anica Lagrangeana
7
Isto ´e consideremos um movimento com in´ıcio em ti na posi¸c˜ao qi e com fim em tf na posi¸c˜ao qf , como na figura 1.4.2 Existe uma quantidade que a traject´oria verdadeira, qreal (t), extremize comparativamente a todas as outras traject´orias, como q1 (t) ou q2 (t)? Se tal quantidade existir n˜ao ´e uma fun¸c˜ao, mas sim uma ‘m´aquina’ que transforma fun¸c˜oes como a traject´oria - em n´ umeros (note que uma fun¸c˜ao transforma n´ umeros em n´ umeros), denominada funcional : t
S[. . .]tfi : F −→ R
t
q(t) −→ S[q(t)]tfi
.
(1.2.5)
F ´e o espa¸co de todas as fun¸c˜oes de vari´avel real. Um dos princ´ıpios mais importantes em toda a f´ısica ´e o princ´ıpio da ac¸c˜ao m´ınima 3 ou princ´ıpio de Hamilton:
Num sistema f´ısico com Lagrangeano L(q, q, ˙ t), as traject´orias reais, qreal (t), s˜ao as que extremizam o funcional ac¸c˜ao, definido como Z tf tf dtL(q, q, ˙ t) , S[q(t)]ti =
(1.2.6)
ti
˙ e a energia onde o Lagrangeano se define como a diferen¸ca entre a energia cin´etica, T (q) potencial, V (q, t)4 L(q, q, ˙ t) ≡ T (q) ˙ − V (q, t) .
(1.2.7)
Para o princ´ıpio de Hamilton fazer sentido tem que dar origem a um conjunto de equa¸c˜oes do movimento equivalentes `as da mecˆanica Newtoniana. Essas equa¸c˜oes chamamse Equa¸c˜oes de Euler-Lagrange, que agora deduzimos.
1.2.1
Equa¸c˜ oes de Euler-Lagrange
Os extremos de uma fun¸c˜ao s˜ao encontrados requerendo que a derivada da fun¸c˜ao seja zero. Analogamente, os extremos de um funcional encontram-se requerendo que a varia¸c˜ao do funcional se anule. Variar um funcional consiste em comparar o valor do funcional para 2´
E convencional utilizar a vari´avel ‘q’ para designar um sistema arbitr´ario de coordenadas, por isso denominadas coordenadas generalizadas. 3 Embora esta designa¸ca˜o seja comum, as traject´ orias reais n˜ ao s˜ao sempre um m´ınimo da ac¸ca˜o, mas sim um extremo. 4 Curiosidade: A designa¸ca˜o de energia cin´etica por T e da energia potencial por V tem origem nas palavras alem˜ as tatkraft e verk, que significam, respectivamente ‘energia’ e ‘potencial’.
8
T´ opicos de Mecˆ anica Cl´ assica
fun¸c˜oes ligeiramente distintas, mas mantendo fixos os pontos inicial e final da fun¸c˜ao, que no nosso caso ´e a traject´oria. Denotando esta opera¸c˜ao de varia¸c˜ao por ‘δ’ obtemos Z tf ∂L ∂L tf tf δq + δ q˙ , (1.2.8) δS = S[q(t) + δq(t)]ti − S[q(t)]ti = dt ∂q ∂ q˙ ti e assumindo que a opera¸c˜ao de varia¸c˜ao comuta com diferencia¸c˜ao, δ q˙ = δ
dq d = δq , dt dt
de onde, integrando por partes Z tf ∂L tf d ∂L ∂L δq + − δq . dt δS = ∂q dt ∂ q˙ ∂ q˙ ti ti
(1.2.9)
(1.2.10)
Ou ´ ltimo termo ´e zero, pois corresponde `a varia¸c˜ao da traject´oria nos pontos inicial e final, que assumimos ser zero. Como queremos garantir que δS = 0 para uma varia¸c˜ao arbitr´aria, o integrando do termo restante tem de ser zero, isto ´e, d ∂L ∂L − =0, dt ∂ q˙ ∂q
(1.2.11)
para cada coordenada q. Estas s˜ao as equa¸c˜oes de Euler-Lagrange (Joseph Lagrange 17361813, Leonhard Euler 1707-1783). Usando (1.2.7) estas equa¸c˜oes escrevem-se d ∂L ∂V =− dt ∂ q˙ ∂q
⇔
d ∂L = F~ . dt ∂ ~q˙
(1.2.12)
Usamos ~q para denotar a possibilidade de haver v´arios graus de liberdade e correspondentes coordenadas. Para uma part´ıcula pontual num potencial V (~q), 1 2 L = m~q˙ − V (~q) , 2
(1.2.13)
e (1.2.12) reduz-se a F~ = m¨~q, i.e. `a segunda lei de Newton. Em geral define-se o momento can´onico conjugado `a vari´avel ‘q’ como ‘p’ p~ ≡
∂L . ∂ ~q˙
(1.2.14)
Deste modo, com toda a generalidade, (1.2.12) implica d F~ = p~ , dt
(1.2.15)
1.2 Mecˆ anica Lagrangeana
9
mostrando que o formalismo Lagraneano reproduz o Newtoniano. Exemplo 1, Vers˜ ao b) : Tratamos agora o oscilador harm´onico no formalismo Lagrangiano. De (1.2.2) vemos facilmente que o Lagrangeano ´e 1 1 L = mx˙ 2 − kx2 , 2 2
(1.2.16)
e as equa¸c˜oes de Euler-Lagrange d˜ao x¨ +
k x=0, m
(1.2.17)
em concordˆancia com (1.1.5). Exemplo 2, Vers˜ ao b) : Para tratarmos a vers˜ao Lagrangeana do problema de Larmor, comecemos por discutir se existe um potencial para a for¸ca de Lorentz. Recordemos as equa¸c˜oes de Maxwell (no sistema internacional de unidades) ~ =0 (i) ∇ · B
~ ~ = − ∂B (iii) ∇ × E ∂t
~ = ρ (ii) ∇ · E ǫ0
~ . ~i ∂E ~ (iv) c ∇ × B = + ǫ0 ∂t
(1.2.18)
2
Uma condi¸c˜ao necess´aria para existir o potencial de uma for¸ca ´e (1.2.1). Calculemos pois o rotacional de F~Lorentz ~ + ∇ × (~v × B)) ~ , ∇ × F~Lorentz = q(∇ × E
(1.2.19)
ou, usando as equa¸c˜oes de Maxwell e o facto que ~ = (β~ · ∇)~ ~ ·α ~ , ∇ × (~ α × β) α − β(∇ ~ ) − (~ α · ∇)β~ + α ~ (∇ · β)
(1.2.20)
obtemos (~v n˜ao ´e um campo de velocidades; logo as suas derivadas desaparecem) ! ~ ~ ∂ B ~ = −q dB . − (~v · ∇)B (1.2.21) ∇ × F~Lorentz = q − ∂t dt Assim, em geral, a for¸ca de Lorentz n˜ao ´e deriv´avel de um potencial. S´o o ´e se o campo magn´etico sentido pela part´ıcula for constante.
10
T´ opicos de Mecˆ anica Cl´ assica Ainda assim, ´e poss´ıvel definir um Lagrangeano cujas equa¸c˜oes do movimento s˜ao as
de uma part´ıcula actuada pela for¸ca de Lorentz, mas que n˜ao tem a forma (1.2.7). Para vermos esse Lagrangeano recordemos os potenciais electromagn´eticos. ~ A equa¸c˜ao (i) permite-nos definir o potencial magn´etico, A, ~ =0 ∇·B
⇒
~ =∇×A ~, B
(1.2.22)
que usando na equa¸c˜ao de Maxwell-Faraday (iii) nos permite escrever esta como ~ ~ + ∂A ) = 0 ∇ × (E ∂t
⇒
~ ~ = −∇φ − ∂ A , E ∂t
(1.2.23)
onde φ ´e o potencial electrost´atico. As duas equa¸c˜oes (1.2.22) e (1.2.23) definem os poten~ Note-se que estes n˜ao s˜ao u ciais electromagn´eticos (φ, A). ´ nicos. Isto ´e, para os mesmos ~ B ~ existe uma classe de equivalˆencia de diferentes escolhas para φ e A ~ a que se chama E, “equivalˆencia de gauge”. Lema: O Lagrangeano 1 2 ~ ~x) − qφ(t, ~x) , L = m~x˙ + q~x˙ · A(t, 2
(1.2.24)
reproduz as equa¸c˜oes do movimento de uma part´ıcula actuada pela for¸ca de Lorentz. Demonstra¸c˜ ao: As equa¸c˜oes de Euler-Lagrange para este Lagrangeano d ∂L ∂L − =0 i ∂x dt ∂ x˙ i
q~x˙ ·
⇒
~ ∂A ∂φ d − q i − (mx˙ i + qAi ) = 0 . i ∂x ∂x dt
(1.2.25)
~ depende do tempo tanto Note-se que a derivada em ordem ao tempo ´e total e que A explicitamente como atrav´es da dependˆencia em ~x. Assim a equa¸c˜ao fica ∂φ ∂Ai ∂Ai ∂xj 1 ∂A1 2 ∂A2 3 ∂A3 q x˙ = m¨ xi . + x˙ + x˙ − i− − j ∂xi ∂xi ∂xi ∂x ∂t ∂x ∂t Usando (1.2.23) reescrevemos a equa¸c˜ao ∂A2 ∂Ai ∂A3 ∂Ai ∂A1 ∂Ai 2 3 1 ~ i = m¨ xi . − 1 +v − 2 +v − 3 + (E) q v ∂xi ∂x ∂xi ∂x ∂xi ∂x
(1.2.26)
(1.2.27)
Tomando como exemplo a componente i = 1 desta equa¸c˜ao, reescrevemo-la como h i h i 2 3 ~ ~ ~ ~ ~ q v ∇ × A − v ∇ × A + (E)1 = m¨ x1 ⇔ q E + ~v × B = m¨ x1 , (1.2.28) 3
2
1
1.2 Mecˆ anica Lagrangeana
11
e analogamente para as outras componentes, o que demonstra o Lema. (q.e.d.) Voltemos ent˜ao ao problema de Larmor. Podemos escolher os seguintes potenciais electromagn´eticos para o problema E ~ =0 B ~ = Be
φ=0 A ~ = B (−y, x, 0) 2
,
(1.2.29)
1 Bq L(~x, ~x˙ , t) = m(x˙ 2 + y˙ 2 + z˙ 2 ) + (xy˙ − y x) ˙ , 2 2
(1.2.30)
⇐
z
originando o Lagrangeano
e as equa¸c˜oes de Euler-Lagrange Bq Bq d − y + mx˙ = 0 y˙ − dt 2 2 d Bq Bq x + my˙ = 0 − x˙ − 2 dt 2 d − (mz) ˙ =0 dt
qB y˙ x¨ = m qB y¨ = − x˙ m z¨ = 0
,
(1.2.31)
que s˜ao as mesmas equa¸c˜oes obtidas no formalismo Newtoniano (1.1.8).
1.2.2
Teorema de Noether
Neste u ´ ltimo exemplo obtivemos uma equa¸c˜ao do movimento da forma d (mz) ˙ =0 dt
⇒
pz ≡ mz˙ = constante ,
(1.2.32)
o que significa existir uma quantidade conservada no movimento, pz . A existˆencia desta quantidade conservada ´e consequˆencia directa de neste problema haver uma simetria na direc¸c˜ao z e, como tal, de o Lagrangeano n˜ao depender de z. A generaliza¸c˜ao deste resultado ´e conhecida como Teorema de Noether, (Emmy Noether 1882-1935) um dos mais importantes em mecˆanica Lagrangeana: Teorema (Noether): Se o Lagrangeano de um sistema f´ısico L(~q, ~q˙ , t) ´e invariante pela ac¸c˜ao de transforma¸c˜oes do tipo ~q −→ ~q + δ~q ,
(1.2.33)
12
T´ opicos de Mecˆ anica Cl´ assica
para algum δ~q, isto ´e, possui uma simetria na direc¸c˜ao definida por δ~q, ent˜ao existe uma quantidade conservada no movimento desse sistema f´ısico associada com essa simetria. Demonstra¸c˜ ao: Escolher uma coordenada y tal que as suas linhas integrais sejam tangentes a δ~q; a invariˆancia de L significa que L n˜ao depende da coordenada y, ∂L/∂y = 0; logo, a equa¸c˜ao do movimento de y ´e d ∂L =0 ⇒ dt ∂ y˙
∂L ≡ py = constante , ∂ y˙
(1.2.34)
o que significa que py ´e uma constante do movimento.
1.3
Mecˆ anica Hamiltoniana
Tanto no formalismo Newtoniano como Lagrangeano, as equa¸c˜oes do movimento s˜ao equa¸c˜oes diferenciais de segunda ordem. Quer para implementa¸c˜ao num´erica, quer para uso de m´etodos anal´ıticos ´e, em muitas circunstˆancias, mais conveniente resolver um conjunto de 2n equa¸c˜oes diferenciais de primeira ordem do que um conjunto de n equa¸c˜oes diferenciais equivalentes de segunda ordem. Isto sugere a introdu¸c˜ao de um formalismo em que as equa¸c˜oes do movimento s˜ao de primeira ordem, que ´e o caso do formalismo Hamiltoniano (William Hamilton 1805-1865). Este formalismo ´e tamb´em o caminho can´onico para a quantifica¸c˜ao de um sistema f´ısico. No formalismo Lagrangeano, as vari´aveis independentes s˜ao (q, q, ˙ t),
(1.3.1)
e o Lagrangeano ´e visto como uma fun¸c˜ao destas vari´aveis L = L(q, q, ˙ t) .
(1.3.2)
Anteriormente j´a introduzimos uma nova vari´avel que em geral depende de q, ˙ que ´e o momento can´onico conjugado a q, p≡
∂L . ∂ q˙
(1.3.3)
1.3 Mecˆ anica Hamiltoniana
13
´ pois natural, para obter equa¸c˜oes de primeira ordem, tomar como vari´aveis independentes E (q, p, t),
(1.3.4)
e pensar no Lagrangeano como uma nova fun¸c˜ao em que as vari´aveis independentes s˜ao estas ˆ q(q, Lˆ = L(q, ˙ p, t), t) .
(1.3.5)
As equa¸c˜oes de Euler-Lagrange d ∂L ∂L − =0 ∂q dt ∂ q˙
⇔
p˙ =
∂L , ∂q
(1.3.6)
ˆ Note-se que em geral tem de ser expressas em termos da fun¸c˜ao L. ∂L ∂ Lˆ 6= , ∂q ∂q
(1.3.7)
pois estas s˜ao derivadas parciais. De facto ∂L ∂L ∂ ∂ ˆ L(q, q(q, ˙ p, t), t) = + q(q, ˙ p, t) ⇔ ∂q ∂q ∂ q˙ ∂q
∂ ∂L ∂ ˆ L(q, p, t)−p q(q, = ˙ p, t) . (1.3.8) ∂q ∂q ∂q
Usando (1.3.6) e notando que o lado direito da u ´ ltima equa¸c˜ao j´a est´a totalmente expresso em termos de fun¸c˜oes das novas vari´aveis (q, p, t), obtemos ∂ ˆ p˙ = − pq(q, ˙ p, t) − L(q, p, t) . ∂q
(1.3.9)
Por outro lado calculemos tamb´em ∂ ˆ ∂ ∂ q˙ ∂ ∂ L(q, p, t) = L(q, q, ˙ t) = p q(q, ˙ p, t) = (pq(q, ˙ p, t)) − q(q, ˙ p, t) , ∂p ∂ q˙ ∂p ∂p ∂p
(1.3.10)
ou q˙ =
∂ ˆ p, t)) . (pq(q, ˙ p, t) − L(q, ∂p
(1.3.11)
Para simplificar a forma das equa¸c˜oes (1.3.9) e (1.3.11), introduzimos o Hamiltoniano definido como H(q, p, t) ≡ pq(q, ˙ p, t) − L(q, q(q, ˙ p, t), t) ,
(1.3.12)
14
T´ opicos de Mecˆ anica Cl´ assica
em termos do qual, as equa¸c˜oes (1.3.9) e (1.3.11) reescrevem-se como q˙ =
∂H , ∂p
p˙ = −
∂H , ∂q
(1.3.13)
denominadas equa¸c˜oes de Hamilton ou equa¸c˜oes can´onicas. Estas equa¸c˜oes contˆem a mesma informa¸c˜ao que as equa¸c˜oes de Euler-Lagrange, mas em vez de uma (ou n para n coordenadas) equa¸c˜ao de segunda ordem temos agora duas (2n) equa¸c˜oes de primeira ordem. Note-se que tudo o que fizemos para ir do formalismo Lagrangeano para o Hamiltoniano foi uma mudan¸ca de vari´aveis independentes (q, q, ˙ t) −→ (q, p, t) ,
(1.3.14)
o que motivou a substitui¸c˜ao do Lagrangeano por uma outra fun¸c˜ao, o Hamiltoniano L(q, q, ˙ t) −→ H(q, p, t) .
(1.3.15)
Esta u ´ ltima transforma¸c˜ao, que aparece associada a uma mudan¸ca de vari´aveis toma o nome de transformada de Legendre, cuja interpreta¸c˜ao geom´etrica ´e dada no apˆendice A. Calculemos agora o Hamiltoniano para cada um dos nossos dois exemplos. Exemplo 1, Vers˜ ao c): Dado que o Lagrangeano para o oscilador harm´onico ´e (1.2.16) temos 1 1 L = mx˙ 2 − kx2 2 2
⇒
p≡
∂L = mx˙ , ∂ x˙
(1.3.16)
o que significa que o momento can´onico conjugado a x ´e o momento dinˆamico usual, isto ´e, a quantidade de movimento. Logo H = px˙ − L =
1 p2 + kx2 = T + V , 2m 2
(1.3.17)
isto ´e, o Hamiltoniano ´e a energia cin´etica mais a energia potencial, ou seja, a energia total do sistema. Como exerc´ıcio pode verificar que as equa¸c˜oes de Hamilton deste Hamiltoniano s˜ao equivalentes a (1.1.5). Em geral, um Lagrangeano do tipo 1 L = mx˙ 2 − V (x) 2
⇒
H=
p2 + V (x) , 2m
(1.3.18)
1.3 Mecˆ anica Hamiltoniana
15
o que ´e ainda a energia total. Exemplo 2, Vers˜ ao c): Comecemos por deduzir o Hamiltoniano para uma part´ıcula a interagir com um campo electromagn´etico arbitr´ario, cujo Lagrangeano vimos ser (1.2.24) 2 1 ~ ~x) − qφ(t, ~x) L = m~x˙ + q~x˙ · A(t, 2
⇒
~. ~p = m~x˙ + q A
(1.3.19)
Neste caso o momento can´onico conjugado a ~x n˜ao ´e o momento dinˆamico usual o que mostra que estas duas quantidades n˜ao tˆem de coincidir. O Hamiltoniano resultante ´e ~ 2 (~p − q A) + qφ . H = ~p · ~x˙ − L = 2m
(1.3.20)
~ = m~x˙ concluimos que o Hamiltoniano ´e ainda a energia cin´etica mais Notando que p~ − q A a energia potencial devido ao potencial φ. Esta ´e a energia total em jogo. O efeito do potencial magn´etico ´e levado em conta usando a regra de substituir no Hamiltoniano ~, ~p −→ p~ − q A
(1.3.21)
a que se chama acoplamento minimal. Mas note-se que esta regra, corresponde a manter o 2
termo cin´etico como sendo m~x˙ /2. Assim, numa situa¸c˜ao em que o potencial φ seja nulo (ou constante) concluimos que a energia cin´etica da part´ıcula tem de ser constante e como tal tamb´em a norma da sua velocidade.5 Isso ´e exactamente o que acontece no problema de Larmor para as traject´orias da figura 1.2. Especializando (1.3.20) para os potenciais (1.2.29) obtemos o Hamiltoniano 1 H= 2m
qBy px + 2
2
1 + 2m
2 qBx p2 py − + z . 2 2m
(1.3.22)
Como exerc´ıcio pode verificar que as equa¸c˜oes de Hamilton deste Hamiltoniano s˜ao equivalentes a (1.1.8) - Folha de Problemas 8, exerc´ıcio 1d). 5
A menos de efeitos de irradia¸ca˜o de ondas electromagn´eticas e correspondente perda de energia, conforme o problema 2 da Folha de Problemas 1.
16
T´ opicos de Mecˆ anica Cl´ assica
1.3.1
O Espa¸ co de Fase e os Parˆ entesis de Poisson
O formalismo Hamiltoniano desenrola-se no espa¸co de fase, que ´e o espa¸co parameterizado por (q, p), que s˜ao as vari´aveis independentes neste formalismo. A simetria das equa¸c˜oes can´onicas (1.3.13) sugere a introdu¸c˜ao de coordenadas unificadas ξ i = (q, p)
ξ1 = q , ξ2 = p ,
⇔
(1.3.23)
de modo que as equa¸c˜oes can´onicas s˜ao reescritas ∂H ξ˙i = ω ij j , ∂ξ
(1.3.24)
onde ω ij s˜ao as componentes de uma matriz anti-sim´etrica (dita simpl´etica) 0 1 . ω ij = −1 0
(1.3.25)
Na equa¸c˜ao (1.3.24) usamos a chamada conven¸c˜ao de Einstein, que significa que quando um ´ındice aparece repetido num produto, denota uma soma de termos correspondendo a todos os valores poss´ıveis desse ´ındice.6 Em (1.3.24) o ´ındice j aparece repetido no produto
do lado direito. Logo temos de somar sobre todos os valores poss´ıveis de j, ou seja 1, 2. Por exemplo, a componente i = 1 de (1.3.24) fica ∂H ∂H ξ˙1 = ω 11 1 + ω 12 2 ∂ξ ∂ξ
⇔
q˙ =
∂H , ∂p
(1.3.26)
que ´e uma das equa¸c˜oes can´onicas. Consideremos a evolu¸c˜ao de uma determinada vari´avel dinˆamica f = f (q, p, t). A sua evolu¸c˜ao temporal ´e dada por df ∂f ∂f ∂f ∂f ∂f ∂H ∂f ∂H = + q˙ + p˙ = + − , dt ∂t ∂q ∂p ∂t ∂q ∂p ∂p ∂q
(1.3.27)
ou em termos das coordenadas unificadas df ∂f ∂f ∂H = + ω ij i j dt ∂t ∂ξ ∂ξ 6
⇔
df ∂f = + {f, H} , dt ∂t
(1.3.28)
Rigorosamente, o ´ındice repetido tem que aparecer uma vez como covariante que corresponde a estar em baixo na vari´avel (ou em cima quando a vari´avel est´ a no denominador) e uma vez como contravariante que corresponde a estar em cima na vari´avel (ou em baixo quando no denominador).
1.3 Mecˆ anica Hamiltoniana
17
onde introduzimos os Parˆentesis de Poisson, definidos como {A, B} ≡ ω ij
∂A ∂B ∂A ∂B ∂B ∂A = − . i j ∂ξ ∂ξ ∂q ∂p ∂q ∂p
(1.3.29)
Os parˆentesis de Poisson tˆem 3 importantes propriedades i) Bi-linearidade {α1 A1 + α2 A2 , B} = α1 {A1 , B} + α2 {A2 , B} ,
(1.3.30)
onde α1,2 s˜ao constantes e uma express˜ao an´aloga pode ser escrita para o segundo argumento nos parˆentesis. ii) Anti-simetria {A, B} = −{B, A} .
(1.3.31)
{A, {B, C}} + {B, {C, A}} + {C, {A, B}} = 0 .
(1.3.32)
iii) Identidade de Jacobi
Devido a estas propriedades, os parˆentesis de Poisson s˜ao um exemplo de parˆentesis de Lie e a ´algebra de fun¸c˜oes no espa¸co de fase por eles originada ´e uma ´algebra de Lie, que ser´a definida na sec¸c˜ao 9.1. Os parˆentesis de Poisson s˜ao um objecto fundamental na quantifica¸c˜ao can´onica de um sistema f´ısico. Apliquemos a equa¸c˜ao de evolu¸c˜ao (1.3.28): ` coordenadas unificadas ξ i • As
ξ˙i = {ξ i, H} .
(1.3.33)
Estas s˜ao exactamente as equa¸c˜oes can´onicas. • Ao Hamiltoniano
∂H H˙ = . (1.3.34) ∂t O Hamiltoniano ´e uma quantidade conservada no movimento a menos que dependa explicitamente do tempo. Como se pode mostrar directamente da defini¸c˜ao de Hamiltoniano que ∂H ∂L =− , ∂t ∂t
(1.3.35)
18
T´ opicos de Mecˆ anica Cl´ assica isto reflecte a conserva¸c˜ao de energia para Lagrangianos independentes do tempo.
• A uma vari´avel dinˆamica g que n˜ao tenha dependˆencia expl´ıcita no tempo g˙ = {g, H} .
(1.3.36)
Ou seja, g ´e uma constante do movimento se e s´o se comutar com o Hamiltoniano em termos dos parˆentesis de Poisson.
1.3.2
A Equa¸c˜ ao de Hamilton-Jacobi
Como vimos, a mudan¸ca do formalismo Lagrangeano para o formalismo Hamiltoniano corresponde a uma mudan¸ca de vari´aveis independentes descrita por (1.3.14), tornando-se depois natural mudar a fun¸c˜ao dinˆamica de Lagrangeano para Hamiltoniano. Dentro do formalismo Hamiltoniano, podem-se fazer mudan¸cas de vari´aveis independentes do tipo (q, p, t) −→ (Q(q, p, t), P (q, p, t), t) ,
(1.3.37)
ou seja mudar de coordenadas no espa¸co de fase, requerendo que as equa¸c˜oes can´onicas mantenham a sua forma. Isto ´e, que haja uma fun¸c˜ao K = K(Q, P, t) que desempenha o papel de novo Hamiltoniano7 e que nas novas coordenadas se possam escrever equa¸c˜oes do movimento do tipo can´onico ∂K , P˙ = − ∂Q
∂K Q˙ = . ∂P
(1.3.38)
Nem todas as transforma¸c˜oes do tipo (1.3.37) permitem escrever equa¸c˜oes do movimento do tipo (1.3.38). Transforma¸c˜oes que o permitem designam-se can´onicas. Depois de uma transforma¸c˜ao can´onica ainda temos um Hamiltoniano, K = K(Q, P, t), ao qual podemos associar um Lagrangiano, P Q˙ − K e como tal deduzir as traject´orias f´ısicas entre t1 e t2 pelo princ´ıpio variacional δ
Z
t2
t1
7
h i ˙ P Q − K(Q, P, t) dt = 0 .
(1.3.39)
Para distinguir do Hamiltoniano original, e porque ´e convencional usar a letra K, designa-se por vezes esta fun¸ca˜o de ‘Kamiltoniano’.
1.3 Mecˆ anica Hamiltoniana
19
Mas nas coordenadas originais existe, obviamente, um princ´ıpio semelhante δ
Z
t2 t1
[pq˙ − H(q, p, t)] dt = 0 .
(1.3.40)
Uma condi¸c˜ao suficiente8 para a mudan¸ca de coordenadas (1.3.37) de modo a que (1.3.39) seja consistente com (1.3.40), ´e dF , pq˙ − H = P Q˙ − K + dt
(1.3.41)
onde F ´e uma fun¸c˜ao no espa¸co de fase, denominada fun¸c˜ao geradora, que pode ser expressa nas coordenadas velhas, novas ou numa combina¸c˜ao de novas e velhas. Este u ´ ltimo caso, quando poss´ıvel, ´e particularmente u ´ til, pois F funciona como uma ponte de liga¸c˜ao na mudan¸ca de coordenadas. Temos ent˜ao quatro hip´oteses a) F = F1 (q, Q, t)
b) F = F2 (q, P, t)
c) F = F3 (p, Q, t)
d) F = F4 (p, P, t) . (1.3.42)
Tomando a hip´otese a), (1.3.41) fica ∂F1 ∂F1 ∂F1 ˙ pq˙ − H = P Q˙ − K + Q, + q˙ + ∂t ∂q ∂Q
(1.3.43)
e como estamos a tomar q e Q como vari´aveis independentes obtemos que para esta equa¸c˜ao ser obedecida (i)
∂F1 =p, ∂q
(ii)
∂F1 = −P , ∂Q
(iii) K = H +
∂F1 . ∂t
(1.3.44)
Dada uma fun¸c˜ao geradora, (i) d´a-nos p = p(q, Q, t), que se for poss´ıvel inverter d´a Q = Q(q, p, t). Ent˜ao, (ii) d´a P = P (q, Q(q, p, t), t) e (iii) d´a-nos o novo Hamiltoniano. Note-se que os dois Hamiltonianos s´o diferem se F1 depender explicitamente do tempo. Para fazer um racioc´ınio semelhante com a hip´otese b) em (1.3.42), temos de tomar F = F2 (q, P, t) − QP . 8
(1.3.45)
Esta condi¸ca˜o n˜ ao ´e necess´aria para que a transforma¸ca˜o seja can´onica; existem transforma¸co˜es can´onicas mais gerais.
20
T´ opicos de Mecˆ anica Cl´ assica p
P
(q, p, t) −→ (Q, P, t) (q(t),p(t)) (Q(t),P(t))=(const.,const.) Q
q
Figura 1.5: O formalismo de Hamilton-Jacobi ´e definido por uma fun¸c˜ao geradora associada a uma mudan¸ca para coordenadas ‘co-m´oveis’ com a part´ıcula no espa¸co de fase. Neste caso (1.3.43) e (1.3.44) s˜ao substituidas por ∂F2 ∂F2 ∂F2 ˙ pq˙ − H = −QP˙ − K + P , + q˙ + ∂t ∂q ∂P (i)
∂F2 =p, ∂q
(ii)
∂F2 =Q, ∂P
(iii) K = H +
∂F2 . ∂t
(1.3.46) (1.3.47)
respectivamente. Mais uma vez, (i) d´a-nos p = p(q, P, t), que se for poss´ıvel inverter d´a P = P (q, p, t). Ent˜ao, (ii) d´a Q = Q(q, P (q, p, t), t) e (iii) d´a-nos o novo Hamiltoniano. Racioc´ınios semelhantes existem para c) e d) em (1.3.42), mas o caso b) ´e o mais u ´ til para o formalismo de Hamilton-Jacobi que vamos agora deduzir. Uma escolha muito particular de novas coordenadas no espa¸co de fase, Q e P , ´e um sistema de coordenadas onde a part´ıcula est´a parada - figura 1.5 Q = constante
P = constante ,
(1.3.48)
e o novo Hamiltoniano ´e tamb´em uma constante, que podemos tomar como sendo zero. As novas equa¸c˜oes can´onicas (1.3.38) s˜ao trivialmente obedecidas e toda a dinˆamica fica contida na transforma¸c˜ao de coordenadas, em particular na fun¸c˜ao geradora. Se escolhermos uma fun¸c˜ao geradora do tipo 2, toda a informa¸c˜ao sobre a dinˆamica fica contida nas equa¸c˜oes (1.3.47). Neste caso, constuma-se representar F2 pela letra S = S(q, P, t) que se designa fun¸c˜ao principal de Hamilton ou fun¸c˜ao ac¸c˜ao e que obedece a ∂S =p, ∂q
(1.3.49)
1.3 Mecˆ anica Hamiltoniana
21
o que significa que o momento ´e o gradiente da fun¸c˜ao ac¸c˜ao, ∂S =Q, ∂P
(1.3.50)
cujo significado veremos em baixo e ainda ∂S ∂S ,t = − , H q, p = ∂q ∂t
(1.3.51)
que ´e a equa¸c˜ao de Hamilton-Jacobi (H-J). Esta equa¸c˜ao foi primeiramente estudada por Hamilton em ´optica e s´o depois usada por Karl Jacobi (1804-1851) em mecˆanica. O formalismo de Hamilton-Jacobi pode ser interpretado da seguinte forma. Fisicamente, mudamos para coordenadas ‘co-m´oveis’ com a part´ıcula e portanto, ao descobrir essa mudan¸ca de coordenadas resolvemos, simultaneamente, o movimento da part´ıcula. Em termos matem´aticos, estabelecemos a equivalˆencia entre resolver um sistema de 2n equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias de primeira ordem (para o caso de n graus de liberdade qi , i = 1...n) e resolver uma equa¸c˜ao diferencial com n + 1 (correspondendo a qi , t) derivadas parciais. Uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de H-J com n + 1 vari´aveis, ter´a n + 1 constantes de integra¸c˜ao. Mas uma dessas constantes ser´a irrelevante, pois na equa¸c˜ao de H-J s´o entram as derivadas de S e como tal se S ´e solu¸c˜ao, S ′ = S + constante, tamb´em ´e solu¸c˜ao. Assim, haver´a n constantes relevantes de integra¸c˜ao, que podemos identificar com as constantes Pi . Da´ı concluimos que o significado de (1.3.50) ´e que a derivada da fun¸c˜ao ac¸c˜ao em ordem `as constantes de integra¸c˜ao pode ser considerada constante, uma ferramenta muito u ´ til quando usamos o m´etodo de Hamilton-Jacobi na pr´atica. A raz˜ao pela qual se chama fun¸c˜ao ac¸c˜ao a S(q, P, t) ´e a seguinte. Da ac¸c˜ao definida em (1.2.6), que ´e um funcional, constr´oi-se uma fun¸c˜ao que obedece `a equa¸c˜ao de HamitonJacobi. De facto, a fun¸c˜ao ac¸c˜ao S = S(q, P, t)
⇒
dS ∂S ∂S = q˙ + , dt ∂q ∂t
(1.3.52)
pois P ´e constante, ou usando (1.3.49) e (1.3.51), dS = pq˙ − H = L , dt
⇒
S(t) =
Z
t
t0
Ldt′ + constante ,
(1.3.53)
22
T´ opicos de Mecˆ anica Cl´ assica
que ´e uma fun¸c˜ao - dado que o limite superior do integral n˜ao est´a fixo - construida da ac¸c˜ao. Hamiltonianos independentes do tempo Se o Hamiltoniano n˜ao depende explicitamente do tempo, o lado direito da equa¸c˜ao de Hamilton-Jacobi tamb´em n˜ao dever´a depender do tempo pelo que podemos tomar a fun¸c˜ao ac¸c˜ao como sendo S = −Et + h(q) ,
(1.3.54)
onde E tem a interpreta¸c˜ao de energia, pois ´e igual ao Hamiltoniano. Para um Hamiltoniano do tipo H=
p2 + V (q) , 2m
(1.3.55)
a equa¸c˜ao de Hamilton-Jacobi reduz-se a
∂h ∂q
2
= 2m(E − V (q)) ,
(1.3.56)
de onde se extrai imediatamente uma assinatura caracter´ıstica da mecˆanica cl´assica: esta equa¸c˜ao s´o tem solu¸c˜ao real se E > V (q); logo o movimento ´e proibido onde a energia da part´ıcula ´e menor que o potencial. Integrando e substituindo em (1.3.54) obtemos Z p S = −Et ± 2m(E − V (q))dq .
(1.3.57)
Para resolver o problema dinˆamico usamos o facto, anteriormente mencionado, que as derivadas da fun¸c˜ao ac¸c˜ao relativamente `as constantes de integra¸c˜ao s˜ao tamb´em constantes. Assim, ∂S = const. ∂E
(1.3.57)
⇒
r Z dq m p t=± + constante . 2 E − V (q)
(1.3.58)
Substituindo pelo potencial do problema em quest˜ao obt´em-se t = t(q), que invertendo nos d´a q = q(t), e portanto a solu¸c˜ao do problema dinˆamico. Voltaremos a encontrar a equa¸c˜ao de Hamilton-Jacobi, no limite cl´assico da equa¸c˜ao de Schr¨odinger (sec¸c˜ao 8.4).
1.4 Sum´ ario
1.4
23
Sum´ ario
Vimos os v´arios tipos de equa¸c˜oes da mecˆanica cl´assica: • Newtonianas,
d~p ; F~ = dt
(1.4.1)
• Euler-Lagrange, para o Lagrangeano L = L(q, q, ˙ t), d ∂L ∂L − =0; dt ∂ q˙ ∂q
(1.4.2)
• Hamiltonianas, para o Hamiltoniano H = H(q, p, t), q˙ =
∂H , ∂p
p˙ = −
∂H , ∂q
(1.4.3)
ou, de um modo mais geral, a evolu¸c˜ao de uma vari´avel dinˆamica f = f (q, p, t) ´e dada por ∂f df = + {f, H} ; dt ∂t • Hamilton-Jacobi, para uma fun¸c˜ao ac¸c˜ao S = S(q, P, t), ∂S ∂S ∂S =Q, H q, p = ,t = − . ∂P ∂q ∂t
(1.4.4)
(1.4.5)
Dadas condi¸c˜oes iniciais, qualquer um destes conjuntos de equa¸c˜oes determina exactamente a traject´oria da part´ıcula tal e qual a podemos medir num instante posterior. Este determinismo ´e o paradigma da mecˆanica cl´assica.
CAP´ITULO
2
O per´ıodo de Transi¸c˜ ao
Historicamente podemos atribuir uma data de nascimento `a Mecˆanica Quˆantica. No dia 14 de Dezembro de 1900, Max Planck (1858-1947), apresentou uma solu¸c˜ao inovadora para explicar as caracter´ısticas observadas da radia¸c˜ao do corpo negro. O modelo de Planck continha a g´enese das ideias quˆanticas bem como introduzia aquela que viria a ser chamada constante de Planck, a constante fundamental da Mecˆanica Quˆantica. No entanto, somente 26 anos depois a Mecˆanica Quˆantica emergiria na sua forma final. No per´ıodo interm´edio, entre 1900 e 1926 viveu-se um per´ıodo de transi¸c˜ao em que, para explicar certos resultados experimentais, se introduziu na f´ısica os conceitos de i) Quantifica¸c˜ao de grandezas f´ısicas; ii) Dualidade onda-part´ıcula; iii) Interpreta¸c˜ao probabil´ıstica de fen´omenos. Para muitos dos f´ısicos envolvidos neste processo, estas ideias n˜ao seriam mais do que conceitos tempor´arios, que a devida altura deveriam ser substituidos por ideias mais convencionais. Em particular, o ponto iii) aparecia como altamente indesej´avel para a maioria da comunidade cient´ıfica, sendo a reluctˆancia desta espelhada na famosa frase de Einstein
26
O per´ıodo de Transi¸c˜ ao y
θi
θ1
MEIO 1 x
MEIO 2
θ2 Figura 2.1: Um raio de luz proveniente do meio 1, incidente na superf´ıcie y = 0 com ˆangulo de incidˆencia θi tem uma componente reflectida, ˆangulo de reflex˜ao θ1 e uma componente refractada, emergente no meio 2 na direc¸c˜ao definida por θ2 . ‘Deus n˜ao joga aos dados...’ . No entanto ´e no ponto ii) que se encontra quer a origem do ponto i) e do ponto iii) quer a essˆencia da mecˆanica quˆantica. Vamos discutir algumas das experiˆencias que motivaram a introdu¸c˜ao destas ideias e terminamos este cap´ıtulo com o quadro conceptual que delas emergiu.
2.1
A luz: ondas versus corp´ usculos
Para al´em do conceito de part´ıcula discutido anteriormente (i.e. pequenas “bolas de bilhar”), tamb´em o conceito de onda nos ´e familiar. As ondas circulares que se propagam num lago calmo onde cai uma pedra ou as ondas numa corda de guitarra a vibrar s˜ao dois exemplos familiares. Entre o s´eculo XVII e o s´eculo XIX, duas correntes antag´onicas disputavam qual a natureza da luz. Newton (e os seus seguidores), naturalmente inspirado pelo sucesso da sua mecˆanica de part´ıculas, defendia que a luz ´e um fluxo de pequenos corp´ usculos. Christian Huyghens (1629-1695) concebeu a ideia de a luz ser uma onda, a propagar-se atrav´es de um suporte invis´ıvel baptizado de ´eter. A discuss˜ao centrava-se nos seguintes fen´omenos f´ısicos: • Reflex˜ ao; como a verificada num espelho ou numa superf´ıcie de ´agua. Obviamente
2.1 A luz: ondas versus corp´ usculos
27
este fen´omeno era observado para a luz. Era explicado pela teoria corpuscular por conserva¸c˜ao da quantidade de movimento que previa (ver figura 2.1) θi = θ1 (lei da reflex˜ao) ,
(2.1.1)
mas podia tamb´em ser quantitativamente explicado pela teoria ondulat´oria pelo princ´ıpio de Huygens, ou, em ´optica geom´etrica pelo princ´ıpio do tempo m´ınimo de Fermat - apˆendice B; • Refrac¸c˜ao; ou seja, uma mudan¸ca (normalmente) brusca na direc¸c˜ao de propaga¸c˜ao da luz, em geral devido `a mudan¸ca de meio, um fen´omeno tamb´em observado para a luz. Se a luz fosse feita de pequenos corp´ usculos poder-se-ia invocar conserva¸c˜ao de momento para explicar a refrac¸c˜ao do seguinte modo: consideremos que o meio 1 est´a a um potencial V1 e o meio 2 a um potencial V2 , no ‘setup’ da figura 2.1. Na transi¸c˜ao de meio por uma part´ıcula existe uma for¸ca que nela actua que tem apenas componente Fy . Logo px ´e conservada ou seja v2 sin θi = sin θ2 v1
(‘Lei da refracc˜ao corpuscular′ ) .
(2.1.2)
Por outro lado, se a luz fosse uma onda, o princ´ıpio de Huygens (ou o princ´ıpio do tempo m´ınimo de Fermat - apˆendice B) implica sin θi v1 = sin θ2 v2
(lei de Snell) .
(2.1.3)
Mas devido `a dificuldade em medir a velocidade de luz num meio, esta diferen¸ca n˜ao foi suficiente para decidir qual a verdadeira natureza da luz at´e ao s´eculo XIX. (Note que Jean Bernard L´eon Foucault (1819-1868) fez as primeiras medi¸c˜oes da velocidade da luz em meados do s´ec. XIX.) • Difrac¸c˜ao; Fen´omeno ondulat´orio; capacidade de ondas rodearem obst´aculos - como a ´agua do mar rodeia uma rocha - e por isso n˜ao produzirem ‘sombras’ bem definidas figura 2.2. Pelo contr´ario, corp´ usculos n˜ao s˜ao difractados - figura 2.3; se a luz fosse corpuscular deixaria uma sombra bem definida. Mas todos sabemos que a luz de
28
O per´ıodo de Transi¸c˜ ao
ECRA
sombra mal definida
obstaculo
Frentes de onda em t=0
Frentes de onda em t>0
Figura 2.2: Ondas sofrem difrac¸c˜ao, isto ´e, rodeiam o obst´aculo. As duas frentes de onda - uma proveniente de cada um dos lados do obst´aculo - interferem. A sua fase num determinado ponto depende da distˆancia que cada uma teve de viajar para chegar a esse ponto; por exemplo, no meio a interferˆencia ´e construtiva. Este ´e o padr˜ao de difrac¸c˜ao do obst´aculo, que estraga a sombra. Na figura n˜ao est´a representada a onda reflectida. uma lanterna ou do sol deixa sombras bem definidas; este argumento levou a que a teoria corpuscular fosse dominante durante todo o s´eculo XVIII. Embora com diferen¸cas quantitativas, tanto a perspectiva ondulat´oria como corpuscular da luz explicam os fen´omenos de reflex˜ao e refrac¸c˜ao, enquanto que apenas a teoria ondulat´oria explica o fen´omeno de difrac¸c˜ao (ou de interferˆencia em geral). Em ´optica, os primeiros dois costumam ser tratados por ´optica geom´etrica,1 onde se lida com raios de luz e n˜ao frentes de onda, que por sua vez s˜ao essenciais para a ´optica f´ısica que lida com os fen´omenos puramente ondulat´orios.
2.1.1
Experiˆ encias de Young (1801): ondas triunfam
Quando temos uma situa¸c˜ao em que ondas encontram um obst´aculo existem duas escalas relevantes: λ=comprimento de onda, e l=largura do obst´aculo. Thomas Young (1773-1829) observou que as ondas na ´agua s´o tinham uma difrac¸c˜ao apreci´avel e como tal “sombras” mal definidas imediatamente atr´as do obst´aculo se l.λ. 1
(2.1.4)
A ´optica geom´etrica ´e uma aproxima¸ca˜o quase corpuscular da ´optica que ´e v´alida quando l ≫ λ, na nota¸ca˜o da pr´oxima sec¸ca˜o.
2.1 A luz: ondas versus corp´ usculos
ECRA
29
sombra bem definida
obstaculo
corpusculos em t=0
t>0
Figura 2.3: Corp´ usculos n˜ao sofrem difrac¸c˜ao; assim, foi argumentado que se a luz fosse corpuscular as sombras deveriam ser bem definidas.
ECRA
sombra bem definida
obstaculo
Frentes de onda em t=0
Frentes de onda em t>0
Figura 2.4: Ondas sofrem uma difrac¸c˜ao negligenci´avel se o obst´aculo ´e grande relativamente ao comprimento de onda. Note-se que mais uma vez n˜ao representamos a onda reflectida. Se l ≫ λ h´a uma zona atr´as do obst´aculo onde a sombra est´a bem definida, tal como na teoria corpuscular, isto ´e, a difrac¸c˜ao ´e negligenci´avel - figura 2.4. Assim, a nossa experiˆencia di´aria de sombras bem definidas seria consistente com uma teoria ondulat´oria da luz se os objectos cujas sombras vemos tivessem largura muito maior do que o comprimento de onda da luz. Podemos tamb´em considerar a experiˆencia contr´aria, isto ´e, consideremos uma onda plana com comprimento de onda λ que em vez de encontrar um obst´aculo passa por uma fenda de tamanho l. Se l ≃ λ a difrac¸c˜ao da onda ´e grande, pelo que a fenda se comporta como uma fonte de ondas circulares. Para testar a verdadeira natureza da luz contraste-se a experiˆencia na figura 2.5 com a
30
O per´ıodo de Transi¸c˜ ao
Figura 2.5: Experiˆencia de Young com ondas (extra´ıdo das Feynman lectures on Physics Vol 3 ). experiˆencia na figura 2.6.
Experiˆ encia de Young com ondas Como explicado anteriormente, as duas fendas na parede (a) da figura 2.5, funcionam (quase) como fontes de ondas circulares, ou mais rigorosamente, semi-circulares. Existe um detector que mede a altura instantˆanea da ´agua num ponto x - coordenada paralela ao detector - medindo A1 (x)ei(ωt+φ1 (x)) ≡ h1 (x)eiωt , se apenas a fenda 1 estiver aberta i(ωt+φ2 (x))
A2 (x)e
iωt
≡ h2 (x)e
,
(2.1.5)
, se apenas a fenda 2 estiver aberta
onde Ai s˜ao as amplitudes e φi s˜ao fases, cuja informa¸c˜ao se condensa nas amplitudes complexas hi (x). O detector pode ainda calcular a intensidade das ondas, que por analogia com as ondas electromagn´eticas (para as quais corresponde `a energia que passa pelo detector por unidade de tempo e de ´area perpendicular `a direc¸c˜ao de propaga¸c˜ao), ´e o quadrado do
2.1 A luz: ondas versus corp´ usculos
31
m´odulo da amplitude, obtendo I1 = |h1 (x)|2 , se apenas a fenda 1 estiver aberta
I2 = |h2 (x)|2 , se apenas a fenda 2 estiver aberta
,
(2.1.6)
que s˜ao dados pelos padr˜oes em (c) na figura. Consideremos agora que as duas fendas est˜ao abertas. As ondas ‘emitidas’ a partir das duas fendas tˆem a mesma fase no mesmo instante de tempo, pois provˆem de uma mesma onda antes da parede. Neste caso, a altura da ´agua no detector e a intensidade das ondas s˜ao dados respectivamente por (h1 (x) + h2 (x))eiωt ,
I1+2 = |h1 (x) + h2 (x)|2 .
(2.1.7)
Dependendo da coordenada x, as ondas poder˜ao estar em fase ou n˜ao. Por exemplo, exactamente no meio do detector (correspondente a igual distˆancia das duas fendas), as ondas v˜ao estar em fase pois demoram o mesmo tempo a chegar l´a. Em geral I1+2 = |h1 (x) + h2 (x)|2 = |h1 (x)|2 + |h2 (x)|2 + 2|h1 (x)||h2 (x)| cos δ(x) ,
(2.1.8)
onde δ ´e o angulo entre eiφ1 (x) e eiφ2 (x) . Este fen´omeno de interferˆencia explica o padr˜ao (c) na figura 2.5. Uma ‘experiˆ encia de Young’ com corp´ usculos Imaginemos uma pistola que atira balas aleatoriamente como na figura 2.6. A vari´avel x pode ser vista como uma vari´avel aleat´oria, correspondendo `a posi¸c˜ao de chegada das balas. O detector obt´em as seguintes fun¸c˜oes de distribui¸c˜ao de probabilidades: P1 (x) , se apenas a fenda 1 estiver aberta P2 (x) , se apenas a fenda 2 estiver aberta
.
(2.1.9)
P1+2 (x) = P1 (x) + P2 (x) , se as duas fendas estiverem abertas Em particular, n˜ao h´a interferˆencia entre corp´ usculos. Note-se a diferen¸ca fundamental entre corp´ usculos e ondas, expressa em (2.1.9) versus (2.1.6) e (2.1.8). A probabilidade para corp´ usculos ´e a soma das probabilidades individuais. A intensidade das ondas - que no
32
O per´ıodo de Transi¸c˜ ao
Figura 2.6: Experiˆencia de Young com ‘balas’ (extra´ıdo das Feynman lectures on Physics - Vol 3 ).
final do cap´ıtulo faremos corresponder a uma probabilidade - n˜ao ´e a soma das intensidades individuais; de facto resulta da soma das amplitudes individuais.
Fazendo este tipo de experiˆencia com luz, com duas fendas muito finas (e pequena distˆancia entre elas), Young observou um padr˜ao de interferˆencia semelhante ao da figura 2.5 (c), e concluiu que a luz era uma onda. Esta perspectiva foi refor¸cada pela teoria de Maxwell que tem solu¸c˜oes ondulat´orias para o campo electromagn´etico - ondas electromagn´eticas, descobertas posteriormente - em 1887 - por Hertz, das quais a luz vis´ıvel ´e um exemplo. Mais ainda, (2.1.3) foi derivado da teoria de Maxwell e medida em experiˆencias com radia¸c˜ao electromagn´etica (e n˜ao (2.1.2)). Assim, no final do s´eculo XIX a comunidade cient´ıfica concordava que a luz (e toda a radia¸c˜ao electromagn´etica) seria um fen´omeno ondulat´orio.
2.1 A luz: ondas versus corp´ usculos
33
Figura 2.7: Distribui¸c˜ao espectral da radia¸c˜ao de um corpo negro; f´ormula cl´assica de Rayleigh-Jeans versus resultados experimentais (extra´ıdo de Eisberg & Resnick, ‘Quantum Physics’ ).
2.1.2
A radia¸ c˜ ao do corpo negro, Planck e o quantum (1900)
Consideremos um corpo que absorve toda a radia¸c˜ao electromagn´etica nele incidente, isto ´e, um absorsor perfeito. Como, em particular, ele absorve o espectro vis´ıvel, este ´e um corpo negro. Se um corpo negro est´a em equil´ıbrio t´ermico `a temperatura T , ele ter´a de emitir tanta energia por unidade de tempo quanto aquela que recebe - o corpo negro ´e tamb´em um emissor perfeito. Mas ao contr´ario da energia recebida, que pode ser arbitrariamente distribuida pelas diversas frequˆencias no espectro electromagn´etico, verifica-se experimentalmente que a energia emitida tem um distribui¸c˜ao espectral ρT (ν)dν, muito bem definida, que s´o depende da temperatura do corpo negro. A curva experimental ρT (ν)dν tem a forma de uma ‘montanha assim´etrica’ - figura 2.7. A descri¸c˜ao te´orica deste fen´omeno em f´ısica cl´assica, envolvia calcular o n´ umero de ondas estacion´arias numa cavidade (3-dimensional) com frequˆencia no intervalo dν, multiplicando o resultado pela energia m´edia de uma onda, dada pelo teorema da equiparti¸c˜ao
34
O per´ıodo de Transi¸c˜ ao
de energia como sendo KB T , onde KB ´e a constante de Boltzmann, cujo valor num´erico ´e KB = 1.38 × 10−23 Joule/K .
(2.1.10)
Deste modo, obt´em-se a f´ormula de Rayleigh-Jeans ρT (ν)dν =
8πν 2 KB T dν . c3
(2.1.11)
Comparando esta lei com a curva experimental - figura 2.7 - verifica-se um desacordo absoluto para frequˆencias elevadas, dado que a previs˜ao te´orica diverge, que foi baptizado como cat´astrofe do ultra-violeta. Em 1900, Planck mostrou os seguintes dois factos: • 1) A curva experimental era bem reproduzida pela f´ormula emp´ırica ρT (ν) =
8πν 2 hν , 3 hν/K BT − 1 c e
(2.1.12)
hoje chamada Lei de Planck. Nesta f´ormula foi introduzida a constante h, chamada constante de Planck com dimens˜oes de Energia×T empo (as mesmas da Ac¸c˜ao introduzida em (1.2.6)) e com o valor num´erico (actual) h = 6.626 × 10−34 Joule × Segundo ,
(2.1.13)
que foi inicialmente determinada ajustando a lei de Planck a` curva experimental da radia¸c˜ao do corpo negro. A constante de Planck tornar-se-´a a constante fundamental da mecˆanica quˆantica. Para frequˆencias pequenas, a exponencial na Lei de Planck pode ser aproximada pelos dois primeiros termos da sua s´erie de Taylor KB T ν≪ h
8πν 2 8πν 2 hν ⇒ ρT (ν) ≃ 3 = 3 KB T , c 1 + hν/KB T − 1 c
(2.1.14)
e portanto recuperamos a f´ormula de Rayleigh-Jeans, que de facto dava bons resultados para frequˆencias pequenas. Mas para frequˆencias elevadas, a f´ormula de Planck ν≫
KB T h
⇒ ρT (ν) ≃
evitando a cat´astrofe do ultra-violeta.
8πν 2 hν ν→∞ −→ 0 , c3 ehν/KB T
(2.1.15)
2.1 A luz: ondas versus corp´ usculos
35
a)
b)
c)
d)
e) Figura 2.8: a) Distribui¸c˜ao de Boltzmann; b) Energia m´edia na teoria cl´assica - independente da frequˆencia da radia¸c˜ao - corresponde `a area debaixo da curva; c),d),e) Energia m´edia na teoria de Planck. Em cada caso, o integral ´e substitu´ıdo por uma soma de Riemann, sendo a frequˆencia da radia¸c˜ao o tamanho da base dos rectˆangulos. Para frequˆencias ` medida que aumenpequenas, a soma de Riemann ´e praticamente igual ao integral - c). A tamos a frequˆencia, a soma de Riemann diminui tendendo asimptoticamente para zero. Na nota¸c˜ao da figura k = KB e E¯ = hEi (extra´ıdo de Eisberg & Resnick, ‘Quantum Physics’ ).
36
O per´ıodo de Transi¸c˜ ao • 2) Comparando (2.1.11) com (2.1.12), a diferen¸ca est´a no valor da energia m´edia de
uma onda, que classicamente era calculada pela ‘lei de equiparti¸c˜ao da energia’. Esta lei ´e deduzida da distribui¸c˜ao de Boltzmann, que ´e uma fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de probabilidade (portanto j´a normalizada) para encontrar um oscilador harm´onico com energia E a uma temperatura T P(E) =
e−E/KB T . KB T
(2.1.16)
Uma onda estacion´aria n˜ao ´e mais do que um oscilador harm´onico. A energia m´edia destas ondas ´e (conforme (C.40)) Z ∞ Z −E/KB T ∞ hEi = EP(E)dE = −Ee |0 + 0
∞
e−E/KB T dE = KB T .
(2.1.17)
0
Planck observou que para reproduzir o comportamento experimental a energia m´edia teria de ter os seguintes comportamentos assimpt´oticos ν→0
hEi −→ KB T ,
ν→∞
hEi −→ 0 .
(2.1.18)
Isto ´e, tem de haver um ‘cut-off’ na energia m´edia para frequˆencias elevadas, de modo a impedir a cat´astrofe do ultra-violeta. A grande contribui¸c˜ao de Planck foi perceber que isto se podia conseguir discretizando a energia que o corpo negro emite E = nhν .
(2.1.19)
A energia ´e quantificada, sendo o quant˜ao de energia - a quantidade m´ınima emitida de cada vez - hν. Em vez de (2.1.16) temos agora uma distribui¸c˜ao discreta para a probabilidade de encontrar uma onda com frequˆencia ν no n-´esimo estado de energia, En , e−nhν/KB T , Pn = P(En = nhν) = KB T
n = 0, 1, 2, 3, ...
(2.1.20)
Esta distribui¸c˜ao de probabilidade n˜ao est´a normalizada. Assim sendo, a energia m´edia ´e ! P∞ P∞ ∞ −nhν/KB T X nhνe E P d n=0 n=0 n n = P = −KB T ν ln hEi = P e−nhν/KB T , (2.1.21) ∞ ∞ −nhν/KB T P e dν n=0 n n=0 n=0 mas o u ´ ltimo somat´orio ´e apenas uma soma geom´etrica; logo hν d 1 hEi = −KB T ν ln = hν/K T , −hν/K T B B dν 1−e e −1
(2.1.22)
2.1 A luz: ondas versus corp´ usculos
37
Figura 2.9: Esquerda: Aparato experimental do efeito fotoel´ectrico; Direita: Varia¸c˜ao da intensidade de corrente com o potencial entre c´atodo e ˆanodo para duas intensidades de luz diferentes (Extra´ıdo de Tipler, ‘Physics’ ). que ´e exactamente o necess´ario para obter a lei de Planck. Assim, a radia¸c˜ao do corpo negro ´e explicada se a energia de um oscilador harm´onico, e como tal a energia da radia¸c˜ao emitida pelo corpo negro, estiver quantificada. Mas estar quantificada ´e dizer que vem em peda¸cos, o que se assemelha mais a uma descri¸c˜ao corpuscular do que ondulat´oria da radia¸c˜ao.
2.1.3
O efeito fotoel´ ectrico (Einstein 1905)
O efeito fotoel´ectrico foi descoberto por Hertz em 1887 e estudado por Lenard em 1900. Consiste na ejec¸c˜ao de electr˜oes de um material onde incide luz (ou, mais geralmente, radia¸c˜ao electromagn´etica). Um aparato experimental poss´ıvel est´a representado na figura 2.9, que pode ser descrito do seguinte modo: • Luz incide no c´atodo C, ejectando electr˜oes; • Se algum electr˜ao atinge o ˆanodo A, gera-se uma corrente el´ectrica no circuito externo;
38
O per´ıodo de Transi¸c˜ ao
• O n´ umero de electr˜oes que atinge o ˆanodo pode ser aumentado ou diminuido introduzindo uma diferen¸ca de potencial entre A e C, V = VA − VC ,
(2.1.23)
• Se V > 0, significa que o potencial aumenta (para uma carga positiva; para uma carga negativa efectivamente diminui) e mais electr˜oes chegam ao ˆanodo; • Quando V ´e suficientemente grande, isto ´e V > V1 ,
(2.1.24)
para um certo V1 , todos os electr˜oes ejectados atingem o ˆanodo e aumentando ainda mais V a corrente n˜ao se altera - figura 2.9. Esta corrente limite ´e designada corrente de satura¸c˜ao; • Lenard observou que a corrente m´axima ´e proporcional `a intensidade da luz. Tal facto era esperado com base na teoria cl´assica: duplicando a intensidade da luz, duplicamos a energia incidente por unidade de tempo e de ´area e como tal duplicamos o n´ umero de electr˜oes ejectados e como tal a corrente; • Se pelo contr´ario V ´e negativo, menos electr˜oes chegam ao ˆanodo (do que se n˜ao houvesse potencial), pois s˜ao repelidos; • Se V ´e suficientemente negativo, V < V0 ,
(2.1.25)
para um dado V0 , nenhum electr˜ao chega ao ˆanodo. Chama-se a V0 o potencial de paragem, que est´a relacionado com a energia cin´etica m´axima dos electr˜oes emitidos por |eV0 | =
1 2 mv 2
onde e, m s˜ao a carga e massa do electr˜ao;
max
,
(2.1.26)
2.1 A luz: ondas versus corp´ usculos
39
Figura 2.10: Experiˆencia de Millikan (1916), obtendo a recta prevista por Einstein para a varia¸c˜ao do potencial de paragem entre c´atodo e ˆanodo com a frequˆencia da luz (Extra´ıdo de Tipler, ‘Physics). • V0 n˜ao depende da intensidade luminosa para luz da mesma frequˆencia, o que n˜ao est´a de acordo com a teoria cl´assica. Pela teoria cl´assica, aumentando a intensidade luminosa, deveria aumentar a energia cin´etica m´axima dos electr˜oes e como tal variar V0 . Esta contradi¸c˜ao entre teoria cl´assica e experiˆencia levou Einstein, em 1905, a propˆor que a energia na luz est´a distribu´ıda em pequenos pacotes, posteriormente baptizados de fot˜oes, com energia dada pela f´ormula de Planck, E = hν .
(2.1.27)
Variando a intensidade da luz mas n˜ao a sua frequˆencia, varia o n´ umero de fot˜oes, mas n˜ao a energia de cada um deles. Como cada electr˜ao ejectado sˆe-lo-ia por choque com um fot˜ao, isto explicava porque V0 n˜ao dependia da intensidade luminosa. Se assim fosse,
1 2 mv 2
max
= |eV0 | = hν − φ ,
(2.1.28)
40
O per´ıodo de Transi¸c˜ ao
em que φ ´e a chamada fun¸c˜ao de trabalho, que ´e a energia necess´aria para extrair um electr˜ao do metal. Daqui se deduz que |V0 | =
φ h ν− . |e| |e|
(2.1.29)
As experiˆencias de Robert Millikan (1868-1952) em 1914, 1916 mostraram esta rela¸c˜ao linear - figura 2.10 - sendo o declive consistente com os valores para a constante de Planck medidos atrav´es da radia¸c˜ao do corpo negro. Uma outra caracter´ıstica do efeito fotoel´ectrico que n˜ao pode ser explicada pela teoria cl´assica ´e a ausˆencia de intervalo de tempo entre a incidˆencia de radia¸c˜ao e a ejec¸c˜ao de electr˜oes. A intensidade da radia¸c˜ao ´e a potˆencia por unidade de ´area que chega ao c´atodo. Podemos diminuir a intensidade de modo a que fossem preciso horas para obter energia suficiente para superar a fun¸c˜ao de trabalho e ejectar um electr˜ao. Mas experimentalmente n˜ao se detecta, essencialmente, nenhum intervalo de tempo. Nem este depende da inten` luz da teoria fot´onica isto ´e facilmente explic´avel. Diminuindo a intensidade sidade. A diminuem os fot˜oes que chegam por unidade de tempo, mas cada fot˜ao ´e suficiente para ejectar um electr˜ao. A teoria corpuscular da radia¸c˜ao teve ainda outras vit´orias, da qual destacamos o efeito Compton (demonstrado em 1923), que lida com a difus˜ao de radia¸c˜ao por electr˜oes. Assim, mais de um s´eculo depois das experiˆencias de Young, era novamente necess´ario invocar a teoria corpuscular para descrever o comportamento da luz, sendo que o comportamento ondulat´orio continuava a ser fundamental para explicar os fen´omenos de difrac¸c˜ao e interferˆencia que vimos anteriormente. Este estado de coisas levou Einstein a escrever, em 1924 “Existem hoje duas teorias sobre a luz, as duas indispens´aveis... e sem qualquer liga¸c˜ao l´ogica entre si.”. Antes de vermos como lida a mecˆanica quˆantica com este aparente paradoxo, mudemos a discuss˜ao da radia¸c˜ao para a mat´eria.
2.2
Mat´ eria: corp´ usculos versus ondas
Por volta de 1910 sabia-se que o ´atomo, embora neutro, continha electr˜oes. O efeito fotoel´ectrico, por exemplo, demonstrava-o. Mas devido `a sua neutralidade, tinha tamb´em
2.2 Mat´ eria: corp´ usculos versus ondas
41
de conter cargas positivas, pelo que se questionava qual a distribui¸c˜ao no ´atomo de cargas negativas e positivas. J. J. Thomson (1856-1940) propusera o seu modelo do ‘pudim de passas’, em que os electr˜oes se apresentavam como as passas num pudim que, por sua vez, representava a distribui¸c˜ao de carga positiva. O conjunto teria um raio da ordem de 10−10 m,2 isto ´e, 1 Angstr¨om. Se o ´atomo estivesse no m´ınimo da sua energia, os electr˜oes estariam parados em posi¸c˜oes de equil´ıbrio; se o ´atomo estivesse excitado - por exemplo aquecido -, os electr˜oes oscilariam em torno dessas posi¸c˜oes de equil´ıbrio, emitindo no processo radia¸c˜ao electromagn´etica. Explicava-se assim qualitativamente - mas n˜ao quantitativamente - os espectros at´omicos. As experiˆencias de Ernest Rutherford (1871-1937) em 1911 mostraram que o modelo de Thompson era inadequado. Rutherford fez incidir numa fina folha met´alica um feixe colimado de part´ıculas α, isto ´e, ´atomos de h´elio duplamente ionizados. O objectivo era medir o ˆangulo de desvio dessas part´ıculas α (dito o ˆangulo de difus˜ao) relativamente `a direc¸c˜ao inicial, devido `a interac¸c˜ao com os ´atomos na folha met´alica. Como este desvio resulta de uma interac¸c˜ao electromagn´etica poder-se-ia estimar a partir da sua medi¸c˜ao o potencial a que as part´ıculas α estavam sujeitas. A surpresa foi encontrar eventos em que as part´ıculas α eram desviadas de ˆangulos muito elevados, at´e perto de 180o, isto ´e, algumas part´ıculas α voltavam para tr´as! Nas palavras de Rutherford: ”Era como se disparassemos uma bala de canh˜ao contra um len¸co de papel e a bala voltasse para tr´as.”. A conclus˜ao ´e que essas (poucas) part´ıculas α que eram muito deflectidas encontravam um forte potencial repulsivo, o que implica uma forte concentra¸c˜ao de carga positiva num pequeno espa¸co. Esta era a contradi¸c˜ao com o modelo de Thomson, em que a carga positiva se encontrava dispersa em todo o raio at´omico - cerca de 10−10 m -, enquanto que pelas estimativas de Rutherford o potencial repulsivo observado necessitaria que essa carga estivesse concentrada num raio de 10−14 m.3 2
Este n´ umero pode ser estimado considerando a densidade de uma substˆancia pura, o seu peso at´omico e o n´ umero de Avogadro. 3 Mais rigorosamente, era poss´ıvel num modelo como o de Thomson explicar a existˆencia de deflex˜oes perto dos 180o atrav´es de uma soma de pequenas deflex˜oes. Contudo, a probabilidade de isso acontecer
42
O per´ıodo de Transi¸c˜ ao Assim Rutherford sugeriu que a carga positiva de um ´atomo e como tal a grande maioria
da massa, dado que se sabia que a raz˜ao da massa do electr˜ao para a massa do ´atomo era muito pequena, estavam concentradas numa pequena zona central chamada n´ ucleo. Deste modelo, Rutherford deduziu uma express˜ao para a sec¸c˜ao eficaz diferencial de difus˜ao que de facto explicava quantitativamente os seus resultados experimentais, validando o modelo (ver cap´ıtulo 10). Mas deixava em aberto a quest˜ao do que fariam os electr˜oes neste modelo at´omico. Se os electr˜oes estivessem inicialmente parados, cairiam rapidamente para o n´ ucleo, neutralizando-o e eliminando o forte potencial repulsivo necess´ario para explicar as experiˆencias de Rutherford. Era pois necess´ario estabilizar os electr˜oes longe do n´ ucleo. Um modelo simples era o an´alogo do sistema solar. Os electr˜oes encontrarse-iam em ´orbitas circulares ou el´ıpticas em volta do n´ ucleo (ver Folhas de Problemas). S´o que isto implicaria que os electr˜oes tivessem movimentos acelerados. De acordo com o electromagnetismo cl´assico uma carga acelerada emite radia¸c˜ao, perdendo gradualmente energia, o que implicaria que os electr˜oes tivessem ´orbitas em espiral caindo rapidamente no n´ ucleo. O tempo que demoraria esse processo pode ser estimado do seguinte modo. Veremos na pr´oxima sec¸c˜ao que a energia total de uma ´orbita cl´assica circular de raio r ´e dada por (2.2.10). Assumindo que o raio da ´orbita pode variar com o tempo num processo ‘quase-est´atico’4 obtemos dE 1 Ze2 = r˙ . dt 8πǫ0 r 2
(2.2.1)
Por outro lado, pela f´ormula de Larmor dada no problema 2c) da folha de Problemas 1, usando para a acelera¸c˜ao a f´ormula da acelera¸c˜ao centr´ıpeta 2 dE e2 e2 v 4 Ze2 (2.2.9) = − =− . dt 6πǫ0 c3 r 2 6πǫ0 c3 4πǫ0 mr 2
(2.2.2)
Igualando estas duas express˜oes para a derivada temporal da energia obtemos (para Z = 1) 2 4α2 ~2 4 α~ 2 3 (t − t0 ) . (2.2.3) 3r r˙ = − ⇒ r =− cm2 c m neste modelo implicava uma varia¸ca˜o do n´ umero de acontecimentos com a espessura da folha met´alica que n˜ ao era verificada experimentalmente. 4 Esta hip´otese poder´ a n˜ ao ser muito boa, mas a estimativa do tempo de queda ´e representativa da f´ısica do processo.
2.2 Mat´ eria: corp´ usculos versus ondas
43
Figura 2.11: Experiˆencia para medir um espectro at´omico (extra´ıdo de Eisberg & Resnick, ‘Quantum Physics’ ). Introduzimos a constante de estrutura fina α≡
e2 . 4πǫ0 ~c
(2.2.4)
Como esperado, o raio diminui com o tempo. Para uma ´orbita de 10−10 m, pode-se estimar o tempo de queda em cerca de 10−10 segundos! O ´atomo n˜ao seria est´avel e para al´em disso esta radia¸c˜ao - que teria um espectro cont´ınuo - emitida na queda era diferente da radia¸c˜ao at´omica observada que tem um espectro discreto que agora discutimos.
2.2.1
O Espectro do ´ atomo de Hidrog´ enio
Um espectro at´omico pode ser medido com um ‘setup’ experimental do tipo da figura 2.11. H´a essencialmente dois tipos de espectros: • No espectro de emiss˜ao, a fonte de luz na esquerda da figura 2.11, corresponde ao g´as (monoat´omico) cujo espectro se quer medir, no qual se faz descargas el´ectricas. As descargas el´ectricas excitam os ´atomos que, ao voltarem para o seu estado de energia m´ınima, emitem radia¸c˜ao. Esta ´e encaminhada atrav´es de uma fenda para um prisma, que dispersa a radia¸c˜ao nos diversos comprimentos de onda, que s˜ao impressos numa chapa
44
O per´ıodo de Transi¸c˜ ao
Figura 2.12: Fotografia do espectro de emiss˜ao do hidrog´enio (cima) - s´erie de Balmer; comprimentos de onda correspondentes (baixo) (extra´ıdo de Eisberg & Resnick, ‘Quantum Physics’ ). fotogr´afica. Para o hidrog´enio obt´em-se, na regi˜ao do vis´ıvel, uma fotografia do tipo da imagem de cima na figura 2.12. Estas linhas s˜ao (parte do) espectro de emiss˜ao do ´atomo de Hidrog´enio. • No espectro de absor¸c˜ao, a fonte de luz emite um espectro cont´ınuo que incide num contentor de vidro onde se encontra o g´as a estudar. Este ir´a absorver alguns comprimentos de onda particulares. Os restantes seguem para a fenda e da´ı para o prisma e chapa fotogr´afica. Assim, na fotografia de um espectro de absor¸ca˜o teremos algumas riscas onde falta radia¸c˜ao, ao contr´ario do espectro de emiss˜ao que corresponde a algumas riscas onde radia¸c˜ao foi emitida. Olhando para a figura 2.12 h´a uma regularidade ´obvia nas riscas do espectro de emiss˜ao do hidrog´enio. Em 1885, Johann Balmer (1825-1898) mostrou que a seguinte f´ormula reproduzia correctamente os comprimentos de onda, λ, das riscas observadas: 1 1 1 , n = 3, 4, 5, ... = RH − λ 22 n2
(2.2.5)
onde RH ´e a chamada constante de Rydberg, cujo valor num´erico (actual) ´e RH = 10967757.6 ± 1.2 m−1 .
(2.2.6)
2.2 Mat´ eria: corp´ usculos versus ondas
45
` s´erie de comprimentos de onda descritos pela f´ormula de Balmer chama-se s´erie de A Balmer. Para o hidrog´enio existe uma infinidade de s´eries de comprimentos de onda, cada um descrito por uma f´ormula semelhante a (2.2.5) - as primeiras cinco encontram-se escritas na tabela seguinte. Nome da s´erie
Zona de Comprimentos de onda
Lyman
Ultravioleta
Balmer
Ultravioleta pr´oximo e vis´ıvel
Paschen
Infravermelho
Brackett
Infravermelho
Pfund
Infravermelho
1 λ 1 λ 1 λ 1 λ 1 λ
1/λ 1 = RH 2 1 1 = RH 2 2 1 = RH 2 3 1 = RH 2 4 1 = RH 52
Valores de n − − − − −
1 n2 1 n2 1 n2 1 n2 1 n2
n = 2, 3, 4, . . . n = 3, 4, 5, . . . n = 4, 5, 6 . . . n = 5, 6, 7 . . . n = 6, 7, 8, . . .
Era pois necess´ario um modelo at´omico capaz de explicar estas riscas que fosse ao mesmo tempo consistente com as observa¸c˜oes de Rutherford.
2.2.2
O modelo at´ omico de Bohr (1913)
Um tal modelo foi proposto por Niels Bohr (1885-1962), baseado na observa¸c˜ao que, em mecˆanica cl´assica, o movimento de uma carga num campo de Coulomb tinha como poss´ıveis solu¸c˜oes para ´orbitas fechadas, elipses e circunferˆencias. Por simplicidade Bohr escolheu as u ´ ltimas e postulou que: i) Um electr˜ao num ´atomo move-se em ´orbitas circulares em torno do n´ ucleo, sob a influˆencia do campo de Coulomb do n´ ucleo, de acordo com as leis da mecˆanica cl´assica; ii) Ao contr´ario das leis da mecˆanica cl´assica, apesar de acelerado, o electr˜ao n˜ao irradia energia, mantendo a sua energia E constante; iii) Ao contr´ario das leis da mecˆanica cl´assica, as u ´nicas ´orbitas poss´ıveis para o movimento do electr˜ao s˜ao aquelas cujo momento angular orbital, L, ´e um m´ ultiplo inteiro
46
O per´ıodo de Transi¸c˜ ao de h/2π L = n~ ⇔ mvr = n~ ,
~ ≡ h/2π ;
(2.2.7)
iv) Radia¸c˜ao electromagn´etica ´e emitida sempre que um electr˜ ao, inicialmente em movimento numa ´orbita de energia total Ei muda descontinuamente - imposs´ıvel em mecˆanica cl´assica - o seu movimento para uma ´orbita de energia total Ef . A radia¸c˜ao emitida tem frequˆencia ν=
Ei − Ef . h
(2.2.8)
Bohr notou que estes postulados conduziam a uma explica¸c˜ao quantitativa do ´atomo de hidrog´enio. Mas generalizemos o argumento para um ´atomo com n´ umero at´omico Z. O raio de uma ´orbita circular em mecˆanica cl´assica ´e determinado pela igualdade da for¸ca centr´ıpeta (Coulomb neste caso) com a for¸ca centr´ıfuga v2 1 Ze2 = m , 4πǫ0 r 2 r
(2.2.9)
onde ‘e’ ´e a carga do electr˜ao (em m´odulo). A energia total de uma o´rbita circular no problema de Coulomb ´e dada por 1 1 Ze2 E = mv 2 − 2 4πǫ0 r
(2.2.9)
=
−
1 Ze2 . 8πǫ0 r
(2.2.10)
Estes s˜ao os ingredientes necess´arios. Usando o terceiro postulado de Bohr em (2.2.9) obtemos r=
4πǫ0 2 2 n~ , mZe2
(2.2.11)
2
(2.2.12)
o que introduzido em (2.2.10) d´a E=−
Ze2 4πǫ0
m . 2n2 ~2
A quantifica¸c˜ao do momento angular das ´orbitas permitidas implica a quantifica¸c˜ao da energia dessas ´orbitas. Assim, o quarto postulado de Bohr diz-nos que a radia¸c˜ao emitida quando o electr˜ao salta de uma ´orbita com momento angular ni ~ para uma ´orbita com momento angular nf ~ ! 2 2 Ze m 1 1 ν= − 2 , 4πǫ0 4π~3 n2f ni
c=νλ
⇒
1 = λ
Ze2 4πǫ0
2
m 4π~3 c
1 1 − 2 2 nf ni
!
. (2.2.13)
2.2 Mat´ eria: corp´ usculos versus ondas
47
Figura 2.13: ‘Saltos’ correspondendo `as v´arias s´eries do ´atomo de hidrog´enio (extra´ıdo de Eisberg & Resnick, ‘Quantum Physics’ ).
Esta f´ormula reproduz a f´ormula para as v´arias s´eries do ´atomo de hidrog´enio, se identificarmos5 R∞ = RH ,
onde R∞ ≡
Ze2 4πǫ0
2
m . 4π~3 c
(2.2.14)
O modelo de Bohr d´a a seguinte interpreta¸c˜ao ao ´atomo de hidrog´enio. Chamemos a cada valor poss´ıvel de n um estado do electr˜ao. Existe um n´ıvel de energia m´ınimo, chamado estado fundamental, correspondente a n = 1. Todos os outros estados em que o electr˜ao se pode encontrar s˜ao excitados. Cada s´erie do ´atomo de hidrog´enio corresponde a todos os saltos poss´ıveis do electr˜ao para um dado estado. Quando o estado final ´e o fundamental (n = 1)/primeiro excitado (n = 2)/segundo excitado (n = 3) essa ´e a s´erie de Lyman/Balmer/Paschen - figura 2.13. M R∞ , pois o centro de massa do movimento n˜ ao ´e exactamente no n´ ucleo Rigorosamente, RH = m+M que tem massa M . Mas mesmo para o hidrog´enio, M/m ≃ 1836, o que torna a aproxima¸ca˜o de considerar o n´ ucleo como o centro de massa boa. Contudo, como a espectroscopia ´e uma ciˆencia muito exacta podemM se medir os desvios desta aproxima¸ca˜o. Mas considerando RH = m+M R∞ verifica-se concordˆancia com os dados experimentais at´e 3 partes em 100.000, que resulta da estrutura fina. 5
48
O per´ıodo de Transi¸c˜ ao
2.2.3
As ondas electr´ onicas
Qual o significado e porque funciona a quantifica¸c˜ao do momento angular proposta por Bohr? Em 1924, Louis de Broglie (1892-1987) propˆos na sua tese de doutoramento que tal como a luz tinha comportamentos corpusculares e ondulat´orias, talvez tamb´em a mat´eria tivesse ambos os comportamentos. Em particular isto deveria ser verdade para os electr˜oes. Se assim fosse, poderiamos associar tanto `a radia¸c˜ao como `a mat´eria quantidades ondulat´orias - como frequˆencia (ν) e comprimento de onda (λ) - e quantidades algo mais ‘corpusculares’ - como energia (E) e quantidade de movimento (~p). De Broglie propˆos que estas quantidades estariam relacionadas pelas equa¸c˜oes E = hν ,
|~p| =
h . λ
(2.2.15)
A primeira ´e a rela¸c˜ao de Planck usada tamb´em por Einstein para explicar o efeito fotoel´ectrico. A segunda ´e consequˆencia da primeira para a radia¸c˜ao, dado que para o campo electromagn´etico, E = c|~p|, e, c = νλ; de Broglie propˆos uma tal rela¸c˜ao para atribuir um comprimento de onda a uma part´ıcula de mat´eria. Se assim fosse, o terceiro postulado de Bohr (2.2.7) ficaria mvr = n
h 2π
⇔
2πr = n
h |~p|
⇔
2πr =λ. n
(2.2.16)
Recordemos que o objectivo de Bohr era explicar a estabilidade e os n´ıveis de energia do hidrog´enio. A u ´ ltima rela¸c˜ao diz-nos que a quantifica¸c˜ao do momento angular requerida por Bohr ´e equivalente, se aceitarmos a proposta de de Broglie, `a condi¸c˜ao de existˆencia de ondas estacion´arias! Quando uma onda est´a encerrada num intervalo fechado de dimens˜ao L, os estados estacion´arios s´o existem para comprimentos de onda que sejam um divisor de L. Outros comprimentos de onda n˜ao tˆem a periodicidade correcta. Esta observa¸c˜ao dava um significado f´ısico claro ao postulado de Bohr, se aceitassemos a hip´otese de de Broglie. Em 1926-27 a ideia de de Broglie foi confirmada pela experiˆencia, atrav´es da detec¸c˜ao de padr˜oes de difrac¸c˜ao de feixes de electr˜oes em experiˆencias feitas por Clinton Davisson (1881-1958) e Lester Germer (1896-1971) nos EUA e G.P. Thomson (1892-1975)
2.3 A dualidade onda/corp´ usculo e a interpreta¸c˜ ao probabil´ıstica da Mecˆ anica Quˆ antica 49 na Esc´ocia.6
Desde essas experiˆencias j´a se mostrou que objectos t˜ao variados como
feixes moleculares de hidrog´enio, feixes at´omicos de h´elio ou neutr˜oes tamb´em apresentam padr˜oes de difrac¸c˜ao. Assim verifica-se a hip´otese de de Broglie: Todos os objectos materiais, que normalmente consideramos part´ıculas ou aglomerados de part´ıculas tˆem tamb´em comportamento ondulat´orio. A raz˜ao porque, por exemplo, uma bola de futebol com a massa de 1 Kg e deslocando-se `a velocidade de 10 m/s n˜ao aparenta qualquer caracter´ıstica ondulat´oria ´e porque o seu comprimento de onda de de Broglie ´e 6.6 × 10−34 h = = 6.6 × 10−35 m , (2.2.17) mv 1 × 10 que ´e extremamente pequeno; a bola ter´a uma difrac¸c˜ao completamente irrelevante em λ=
qualquer fen´omeno do nosso quotidiano. Pelo contr´ario, um electr˜ao com energia cin´etica de 100 eV, ou seja, 1.6 × 10−17 J (que pode ainda ser considerado n˜ao relativista) tem comprimento de onda de de Broglie ´e λ= √
h 6.6 × 10−34 =√ = 1.2 × 10−10 m , 2mEc 2 × 9.1 × 10−31 × 100 × 1.6 × 10−19
(2.2.18)
que ´e da ordem do diˆametro at´omico, sendo por isso o electr˜ao difractado por uma rede de ´atomos - figura 2.14. Notemos que introduzindo a frequˆencia angular ω = 2πν e o vector de onda ~k cujo m´odulo ´e 2π/λ, escrevemos as rela¸c˜oes de Einstein-de Broglie (2.2.15) E = ~ω ,
2.3
p~ = ~~k .
(2.2.19)
A dualidade onda/corp´ usculo e a interpreta¸c˜ ao probabil´ıstica da Mecˆ anica Quˆ antica
Se tanto a mat´eria como a radia¸c˜ao tˆem tanto propriedades corpusculares como ondulat´orias h´a duas quest˜oes imediatas 6
Existe alguma ironia no facto de J.J. Thomson ter ganho o pr´emio Nobel em 1906 pela sua descoberta do electr˜ao em 1897, que caracterizou como uma part´ıcula, e o seu filho G.P.Thomson ter ganho o pr´emio Nobel em 1937 pela descoberta da difrac¸ca˜o do electr˜ao em 1927. Assim, Thomson, o pai, ganhou o Nobel por ter mostrado que o electr˜ao ´e uma part´ıcula e Thomson, o filho, ganhou o Nobel por ter mostrado que o electr˜ao ´e uma onda...’
50
O per´ıodo de Transi¸c˜ ao
Figura 2.14: Cima: Aparato experimental para a experiˆencia de Debye-Scherrer para observar a difra¸c˜ao de raios X (baixo esquerda - usa cristais de ´oxido de zirc´onio) ou elecr˜oes (baixo direita - usa cristais de ouro). (extra´ıdo de Eisberg & Resnick, ‘Quantum Physics’ ).
2.3 A dualidade onda/corp´ usculo e a interpreta¸c˜ ao probabil´ıstica da Mecˆ anica Quˆ antica 51 • As propriedades ondulat´orias do fot˜ao s˜ao descritas pelas equa¸c˜oes de Maxwell. Que equa¸c˜ao descreve as propriedades ondulat´orias do electr˜ao? • Que rela¸c˜ao existe entre estes dois tipos de propriedades? Historicamente estas perguntas s´o foram clarificadas com i) O trabalho de Erwin Schr¨odinger (1887-1961) que em 1925 postulou uma equa¸c˜ao de onda para descrever as ondas associadas a uma part´ıcula de mat´eria, como por exemplo um electr˜ao. As solu¸c˜oes da sua equa¸c˜ao denominam-se fun¸c˜oes de onda, Ψ(x); ii) O trabalho de Max Born (1882-1970) que, em 1926, sugeriu que a interpreta¸c˜ao a dar `as fun¸c˜oes de onda de Schr¨odinger seria de amplitude de probabilidade para encontrar a part´ıcula num determinado ponto x e cujo m´odulo ao quadrado Ψ(x)Ψ(x)∗ seria uma densidade de probabilidade;7 Estudemos duas experiˆencias que ilustram esta interpreta¸c˜ao probabil´ıstica. A primeira lida com a fun¸c˜ao de onda no espa¸co de posi¸c˜oes. Mas a maioria das part´ıculas tem outros graus de liberdade que n˜ao apenas a sua posi¸c˜ao ou momento. O spin dos electr˜oes (ver cap´ıtulo 9) e a polariza¸c˜ao dos fot˜oes s˜ao dois exemplos. Assim, a fun¸c˜ao de onda completa de uma part´ıcula dever´a conter informa¸c˜ao acerca desses outros graus de liberdade. No segundo exemplo ilustramos a parte da ‘fun¸c˜ao de onda’ respeitante `a polariza¸c˜ao de fot˜oes.
2.3.1
Experiˆ encia de Young com luz de baixa intensidade
Consideremos de novo a experiˆencia de Young com um setup experimental semelhante ao da figura 2.5 e com luz monocrom´atica, frequˆencia ν. A experiˆencia original de Young mostrou que a luz8 apresenta um padr˜ao de interferˆencia e portanto conclui-se que ela tem propriedades ondulat´orias. Por outro lado, do efeito fotoel´ectrico sabemos que a Ψ(x) ser´a em geral complexo e ‘∗′ designa o complexo conjugado. Assim a densidade de probabilidade ´e garantidamente positiva e normalizando esta fun¸ca˜o termos uma fun¸ca˜o de distribui¸ca˜o de probabilidade no sentido de (C.39) 8 Por luz pode-se entender a partir de agora radia¸ca˜o electromagn´etica. 7
52
O per´ıodo de Transi¸c˜ ao
intensidade da fonte ´e um indicador do n´ umero de fot˜oes emitidos por unidade de tempo, todos eles tendo a mesma energia hν. Imaginemos que diminuimos a intensidade ao ponto de ser emitido apenas um fot˜ao de cada vez. No alvo colocamos ao longo da direc¸c˜ao x um grande n´ umero de pequenos fotomultiplicadores, de modo a identificar com grande precis˜ao a coordenada x em que o fot˜ao incide no alvo. Observamos o seguinte i) Os fotodetectores detectam impactos localizados do fot˜ao, isto ´e, um fotodetector d´a sinal de cada vez, de acordo com a descri¸c˜ao corpuscular; ii) Para pequenos n´ umeros de fot˜oes, os impactos dos fot˜oes parecem ter uma distribui¸c˜ao aleat´oria - figura 2.15 - esquerda; iii) Para grandes n´ umeros de fot˜oes, come¸camos a recuperar o perfil de interferˆencia que vemos na experiˆencia original de Young - figura 2.15 - direita. Assim, as propriedades corpusculares s˜ao confirmadas no que toca `a detec¸c˜ao individual de fot˜oes - a luz vem em pacotes. E as propriedades ondulat´orias s˜ao verificadas no que toca `a detec¸c˜ao de um padr˜ao de interferˆencia quando muitos fot˜oes j´a incidiram no alvo. A localiza¸c˜ao do impacto de cada fot˜ao parece ser aleat´oria. Mas reconhecemos que estatisticamente os fot˜oes distribuem-se de acordo com o padr˜ao de interferˆencia. Ou seja • A intensidade da onda descreve a densidade de probabilidades para a localiza¸c˜ao do impacto. Mas se o fot˜ao tem um comportamento corpuscular, ent˜ao cada fot˜ao passa ou pela fenda 1 ou ou pela fenda 2 da figura 2.5, correcto? Mas se assim for, bloquearmos uma das fendas deveria apenas parar cerca de metade dos fot˜oes continuando os outros a exibir o padr˜ao de interferˆencia. Mas n´os sabemos da experiˆencia de Young original que n˜ao ´e assim; bloqueando uma das fendas n˜ao h´a padr˜ao de interferˆencia! Mas ent˜ao, do ponto de vista de um fot˜ao individual, ele intefere com quˆe? N˜ao pode ser com os outros, na medida em que n´os fizemos a experiˆencia de modo que um fot˜ao passasse de cada vez. Logo
2.3 A dualidade onda/corp´ usculo e a interpreta¸c˜ ao probabil´ıstica da Mecˆ anica Quˆ antica 53
Figura 2.15: Experiˆencia de Young com fot˜oes. Esquerda: alguns impactos individuais parecem aleatoriamente distribuidos; Direita: Estatisticamente come¸camos a ver o padr˜ao de interferˆencia a formar-se. • Cada fot˜ao individual tem de inteferir consigo mesmo e s´o interfere se as duas fendas estiverem abertas! Notemos que se fiz´essemos uma experiˆencia de Young com electr˜oes com um setup tal que o tamanho das fendas seja da ordem do comprimento de onda de de Broglie dos electr˜oes de modo a que estes sejam apreciavelmente difractados, observar´ıamos: - Os electr˜oes apresentam um padr˜ao de difra¸c˜ao semelhante ao da figura 2.5; - Se enviassemos electr˜oes individualmente, o fen´omeno da figura 2.15 repetir-se-ia; Isto ´e, tudo o que descrevemos para fot˜oes podia ser repetido ‘ipsis verbis’ para os electr˜oes. Tentemos, com a experiˆencia de electr˜oes responder `a seguinte quest˜ao: ‘Ser´a que conseguimos ver porque fenda passa o electr˜ao, sem alterar o padr˜ao de difrac¸c˜ao observado?’ O setup experimental e o seu resultado est˜ao representados na figura 2.16. Existe uma fonte luminosa imediatamente a seguir `as fendas de modo a que se note uma varia¸c˜ao da intensidade recebida por essa fonte devido `a passagem do electr˜ao. Se por exemplo o electr˜ao passar pela fenda 2, observamos uma varia¸c˜ao na luminosidade no ponto A. Assim
54
O per´ıodo de Transi¸c˜ ao
Figura 2.16: Experiˆencia de Young com electr˜oes onde tentamos ver a fenda pelo qual o electr˜ao passa. Se o fizermos, necessariamente perdemos o perfil de interferˆencia (extra´ıdo das Feynman lectures in Physics - Vol 3 ). podemos determinar porque lado passou o electr˜ao. Se o fizermos, o padr˜ao de difrac¸c˜ao desaparece! Temos de concluir que • Vermos o sistema quˆantico, implica interagir com ele de um modo que o altera. • N˜ao conseguimos ver o comportamento ondulat´orio e corpuscular de um sistema simultaneamente. A interpreta¸c˜ao can´onica em Mecˆanica Quˆantica (dita interpreta¸c˜ao de Copenhaga) destas estranhas conclus˜oes ´e a seguinte: i) Enquanto n˜ao ´e medido, o fot˜ao/electr˜ao n˜ao existe como entidade localizada, como corp´ usculo, mas encontra-se antes dilu´ıdo por todo o espa¸co com uma amplitude de probabilidade que ´e dada pela fun¸c˜ao de onda; ii) Apenas quando se efectua uma medi¸c˜ao se d´a o colapso da fun¸c˜ao de onda, ap´os o qual detectamos o fot˜ao/electr˜ao como corp´ usculo localizado e cuja localiza¸c˜ao apenas pode ser prevista probabilisticamente com a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de probabilidade sendo o quadrado do m´odulo da fun¸c˜ao de onda (normalizada).
2.3 A dualidade onda/corp´ usculo e a interpreta¸c˜ ao probabil´ıstica da Mecˆ anica Quˆ antica 55 De acordo com esta interpreta¸c˜ao, as caracter´ısticas ondulat´orias do fot˜ao/electr˜ao resultam da sua amplitude de probabilidade se comportar como uma onda. Quando interferimos de algum modo com esta onda, de modo a poder detectar onde se encontra a part´ıcula a ela associada, mudamo-la, de modo a n˜ao podermos mais ver os aspectos ondulat´orios. Assim aspectos ondulat´orios e corpusculares s˜ao complementares princ´ıpio da complementaridade. Note-se que classicamente estes aspectos eram vistos como incompat´ıveis.
2.3.2
O princ´ıpio da incerteza de Heisenberg
Existe uma express˜ao matem´atica para a incapacidade de, num sistema f´ısico, vermos simultaneamente as propriedades ondulat´orias e corpusculares de um electr˜ao ou de um fot˜ao ou de qualquer outro objecto. • Por part´ıcula (pontual) entendemos algo que tem uma posi¸c˜ao bem definida x; • Por onda, entendemos um objecto que tem um comprimento de onda, λ, bem definido. Note-se que quando sobrepomos ondas com diferentes comprimentos de onda (pr´oximos) e amplitudes semelhantes os padr˜oes de interferˆencia come¸cam a ficar mal definidos. Assim, deve haver uma express˜ao matem´atica que nos diga que a precis˜ao com que conhecemos x e λ n˜ao pode ser, simultaneamente, arbitrariamente pequena. Uma express˜ao quantitativa pode ser deduzida da seguinte maneira. Consideremos uma part´ıcula descrita, num determinado instante, por uma fun¸c˜ao de onda Ψ(x). A fun¸c˜ao de onda determina uma fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de probabilidade P(x), dada por Z Ψ(x)Ψ(x)∗ 2 P(x) = , onde kΨk = dxΨ(x)Ψ(x)∗ . 2 kΨk
(2.3.1)
Quanto menor for o desvio padr˜ao de x, ∆x, sendo x tratado como uma vari´avel aleat´oria relativamente `a densidade de probabilidade P(x), mais parecida fica a part´ıcula com uma part´ıcula cl´assica. Por outro lado, podemos exprimir a fun¸c˜ao de onda como uma combina¸c˜ao linear de ondas planas monocrom´aticas, usando um integral de Fourier Z +∞ 1 ikx ˜ Ψ(x) = √ Ψ(k)e dk , 2π −∞
(2.3.2)
56
O per´ıodo de Transi¸c˜ ao
onde a transformada de Fourier ´e 1 ˜ Ψ(k) ≡√ 2π
Z
+∞
Ψ(x)e−ikx dx .
(2.3.3)
−∞
˜ como sendo a fun¸c˜ao de onda no espa¸co de Fourier, cujo quadrado Podemos encarar Ψ do m´odulo nos d´a uma densidade de probabilidade para a distribui¸c˜ao do vector de onda k = 2π/λ. A nossa part´ıcula ser´a tanto mais parecida com uma onda quanto menor for o desvio padr˜ao da vari´avel aleat´oria k, ∆k, calculada relativamente `a densidade de probabilidade ˜ Ψ(k) ˜ ∗ Ψ(k) , P˜ (k) = ˜ 2 kΨk
˜ 2= onde kΨk
Z
˜ Ψ(k) ˜ ∗. dk Ψ(k)
(2.3.4)
Mas ´e uma propriedade das transformadas de Fourier que (em uma dimens˜ao) ∆x∆k ≥
1 , 2
(2.3.5)
ou, usando a rela¸c˜ao de de Broglie p = h/λ = ~k, ∆x∆p ≥
~ . 2
(2.3.6)
Esta ´e a rela¸c˜ao de incerteza de Heisenberg. O coeficiente do ~ nesta equa¸c˜ao ´e n/2 quando usamos transformadas de Fourier para func˜oes em n dimens˜oes. Por isso exprime-se em geral o princ´ıpio da incerteza como ∆x∆p & ~ .
(2.3.7)
Note-se que as grandes implica¸c˜oes f´ısicas est˜ao contidas na passagem de (2.3.5) para (2.3.6). A primeira destas express˜oes refere-se apenas a uma rela¸c˜ao entre a dispers˜ao de uma fun¸c˜ao espacial e a dispers˜ao dos comprimentos de onda das fun¸c˜oes sinusoidais ´ quando usamos a rela¸c˜ao de de Broglie, que que a descrevem no espa¸co de Fourier. E transformamos esta express˜ao em termos de quantidades puramente corpusculares, x e p. Obtemos ent˜ao uma limita¸c˜ao ao conhecimento de duas vari´aveis que associamos a uma part´ıcula pontual e que em termos cl´assicos podem ser conhecidas simultaneamente com precis˜ao arbitr´aria.
2.3 A dualidade onda/corp´ usculo e a interpreta¸c˜ ao probabil´ıstica da Mecˆ anica Quˆ antica 57 Esta incerteza est´a intrinsecamente relacionada com o facto de que, no mundo microsc´opico, quando tentarmos ver o sistema, isto ´e, medir qualquer coisa, necessariamente alteramos o sistema em quest˜ao. Essa altera¸c˜ao tem um resultado imprevis´ıvel, numa perspectiva determinista, como se vˆe pelos impactos localizados dos fot˜oes na figura 2.15. O princ´ıpio da incerteza de Heisenberg inspirou, desde que foi apresentado, algumas das mais interessantes discuss˜oes sobre o conhecimento humano, quer numa perspectiva filos´ofica quer numa perspectiva cient´ıfica. O ponto de vista aqui apresentado ´e que se trata de uma express˜ao matem´atica do princ´ıpio da complementaridade.
2.3.3
Experiˆ encia com a polariza¸ c˜ ao da luz
Consideramos uma experiˆencia com uma onda electromagn´etica plana e monocrom´atica frequˆencia ω - a propagar-se na direc¸c˜ao Oz da figura 2.17. Supomos que o campo el´ectrico est´a polarizado linearmente na direc¸c˜ao definida por ep e como tal pode ser representado por ~ r , t) = E0 ep ei(kz−ωt) , E(~
(2.3.8)
onde E0 ´e uma constante e como tal a intensidade da luz (energia que passa por z = constante por unidade de ´area e tempo) ´e I=
ǫ0 c |E0 |2 . 2
(2.3.9)
Coloquemos um polarizador A que transmite a luz polarizada paralelamente a Ox e absorve a luz polarizada paralelamente a Oy. Depois de passar pelo polarizador, a onda encontra-se polarizada linearmente na direc¸c˜ao Ox e como tal o campo el´ectrico ´e descrito por ~ ′ (~r, t) = E ′ ex ei(kz−ωt) , E 0
(2.3.10)
e a intensidade da luz ´e dada pela lei de Malus I ′ = I cos2 θ .
(2.3.11)
Esta lei descreve o comportamento cl´assico da radia¸c˜ao ao passar por um polarizador. Mas o que acontece se diminuirmos a intensidade suficientemente de modo a enviar um fot˜ao de cada vez?
58
O per´ıodo de Transi¸c˜ ao
Figura 2.17: Setup experimental para experiˆencia com a polariza¸c˜ao de fot˜oes (extra´ıdo de Cohen et al., ‘Quantum Mechanics’ ). i) N˜ao ´e poss´ıvel haver ‘meio’ fot˜ao. Logo o fot˜ao passa ou n˜ao passa pelo polarizador; ii) Se colocarmos um fotodetector atr´as do polarizador veremos que o fot˜ao passa ou ´e absorvido aleatoriamente; para grandes n´ umeros de fot˜oes enviados, N, detectaremos atr´as do polarizador N cos2 θ fot˜oes, que seria o que esperar´ıamos pela f´ormula cl´assica (2.3.11); Fixemos as seguintes ideias deste exemplo • Numa medi¸c˜ao de um sistema quˆantico h´a determinados resultados priveligiados, denominados resultados ou valores pr´oprios. Neste caso os resultados proprios s˜ao: a) o fot˜ao passa; b) o fot˜ao n˜ao passa; o espectro de resultados poss´ıveis ´e, portanto, discreto; isto contrasta com a situa¸c˜ao cl´assica, onde o valor da intensidade depois do polarizador varia continuamente entre I e 0, dependendo de θ; • Descrevemos a polariza¸c˜ao do fot˜ao por um vector de polariza¸c˜ao ep . A cada valor pr´oprio corresponde um estado pr´oprio para o fot˜ao e =e ‘passa′ p x est´a associado o estado pr´oprio Para o valor pr´oprio e =e ‘n˜ ao passa′ p y
.
2.4 A aplicabilidade da Mecˆ anica Quˆ antica
59
Se o fot˜ao se encontra num dado estado pr´oprio, ent˜ao o resultado de uma medi¸c˜ao da sua polariza¸c˜ao ´e, com probabilidade igual a um, o valor pr´oprio associado a esse estado pr´oprio. • Para descrevermos o facto de o fot˜ao passar, ou n˜ao, aleatoriamente, dizemos que antes da medi¸c˜ao, o fot˜ao encontra-se numa sobreposi¸c˜ao de estados de polariza¸c˜ao; isto ´e a ‘fun¸c˜ao de onda’ de polariza¸c˜ao ep = cos θex + sin θey .
(2.3.12)
O quadrado do m´odulo do coeficiente de um dado estado pr´oprio descreve a probabilidade de obter numa medi¸c˜ao o valor pr´oprio associado a esse estado pr´oprio. Aplicando esta regra temos uma probabilidade de cos2 θ (sin2 θ) para o fot˜ao passar (n˜ao passar). Note-se que a soma da probabilidade de todos os estados tem de ser igual a um, caso contr´ario ´e necess´ario normalizar a fun¸c˜ao de onda de polariza¸c˜ao. A esta regra de decomposi¸c˜ao em estados pr´oprios chama-se princ´ıpio de decomposi¸c˜ ao espectral. Note-se que esta decomposi¸c˜ao depende do ‘setup’ experimental. Neste caso, o ˆangulo θ ´e o ˆangulo com a direc¸c˜ao do polarizador. • Quando ‘vemos’ se o fot˜ao passa ou n˜ao, interagimos com ele de modo que a sua fun¸c˜ao de onda colapsa para um estado pr´oprio. A partir desse momento o fot˜ao encontra-se nesse estado pr´oprio. Por exemplo, se sabemos que ele passou pelo primeiro polarizador - porque interagimos com ele - ent˜ao passar´a por outros polarizadores iguais ao primeiro que ponhamos no seu caminho. Mais uma vez vemos que interagir com um sistema quˆantico, mesmo que com o objectivo ‘inocente’ de o ver, implica alter´a-lo de uma maneira fundamental.
2.4
A aplicabilidade da Mecˆ anica Quˆ antica
Na teoria da relatividade existe uma constante fundamental que ´e a velocidade da luz, c. A existˆencia desta constante d´a-nos um crit´erio simples para saber se temos de tratar o sistema usando o formalismo relativista - matematicamente mais pesado - ou se podemos
60
O per´ıodo de Transi¸c˜ ao
usar a aproxima¸c˜ao n˜ao relativista - matematicamente mais simples. Esse crit´erio ´e que as velocidades t´ıpicas do sistema em quest˜ao, vt , sejam muito menores que a velocidade da luz vt ≪ c .
(2.4.1)
Neste cap´ıtulo vimos que quer na radia¸c˜ao do corpo negro, quer no efeito fotoel´ectrico, quer no ´atomo de Bohr, quer nas rela¸c˜oes de de Broglie, quer no princ´ıpio da incerteza, h´a um factor comum: a constante de Planck. Tal como a velocidade da luz no caso da relatividade, a constante de Planck fornece um crit´erio simples para a necessidade de aplicar ou n˜ao o formalismo da mecˆanica quˆantica em detrimento do cl´assico. O crit´erio ´e o seguinte: Se as ac¸c˜oes t´ıpicas do sistema, St , forem muito maiores que h, St ≫ h ,
(2.4.2)
podemos tratar o sistema na aproxima¸c˜ao cl´assica; caso haja ac¸c˜oes da ordem da constante de Planck temos de usar o formalismo da mecˆanica quˆantica. Isto n˜ao significa que temos de calcular a ac¸c˜ao do sistema como definido no cap´ıtulo 1. Basta-nos calcular vari´aveis dinˆamicas t´ıpicas do sistema com as dimens˜oes de uma ac¸c˜ao. Exemplos: • Oscilador harm´onico: uma ac¸c˜ao t´ıpica ´e a energia total, dada pelo Hamiltoniano, a dividir pela frequˆencia, ω. Para um oscilador com amplitude A e massa m obtemos 1 St = ωmA2 . 2
(2.4.3)
Para uma mola com ω = 10s−1 , m = 1g, A = 0.1m, St = 5 × 10−5J · s ≫ h, logo podemos esquecer efeitos quˆanticos e tratar o sistema classicamente. Mas se pensarmos nas oscila¸c˜oes de um electr˜ao, m ≃ 10−31 kg numa escala at´omica A ≃
10−10 m que emite no ultravioleta ω ≃ 1017 s−1 , obtemos St ≃ 10−34 J · s ≃ h. Logo o problema tem de ser tratado quanticamente, que ´e basicamente o caso da radia¸c˜ao do corpo negro. Veremos no cap´ıtulo 5 o tratamento quˆantico do oscilador harm´onico.
• Problema de Larmor: uma ac¸c˜ao t´ıpica ser´a mais uma vez a energia total dada pelo Hamiltoniano a dividir pela frequˆencia ciclotr´onica ωc . Obtemos 1 St = ωc mr 2 , 2
(2.4.4)
2.5 Sum´ ario
61
para uma ´orbita de raio r. Portanto considera¸c˜oes semelhantes ao caso anterior podem ser feitas. Em particular, um electr˜ao no regime at´omico tem de ser tratado quanticamente, dando origem `a vers˜ao quˆantica do problema de Larmor, chamado problema de Landau, que veremos no cap´ıtulo 5. • Problema de Kepler/Coulomb: consideremos as ´orbitas circulares; mais uma vez, uma ac¸c˜ao t´ıpica ´e a energia da ´orbita sobre a frequˆencia, que na nota¸c˜ao do problema 1 da folha de problemas 1 ´e St =
1√ αmr . 2
(2.4.5)
Para o problema de Kepler, α = GmM e considerando o sistema Terra-Sol temos α ≃ 1043 N · m2 , m ≃ 1024 kg, r ≃ 1011 m. Claramente St ≫ h e n˜ao necessitamos de
mecˆanica quˆantica. Para o problema at´omico de Coulomb temos α = e2 /(4πǫ0 ) ≃
10−28 N · m2 , pelo que, usando os valores anteriores para massa do electr˜ao e raio
at´omico temos St ≃ 10−34 e portanto concluimos que o problema at´omico cai no f´orum da mecˆanica quˆantica; ser´a tratado no cap´ıtulo 6. • Um fot˜ao: a ac¸c˜ao t´ıpica de um fot˜ao pode ser estimada como a energia a dividir pela frequˆencia, que, pela f´ormula de Planck ´e h. Logo um fot˜ao ´e, por defini¸c˜ao, uma entidade quˆantica. Posto de outra maneira, o campo electromagn´etico para intensidades suficientemente baixas tem de ser tratado quanticamente.
2.5
Sum´ ario
Vimos que a luz (e a radia¸c˜ao electromagn´etica em geral) encarada por Newton como um fluxo de corp´ usculos e por Huygens como uma onda, passou a ser vista como uma onda depois das experiˆencias de Young e como uma part´ıcula depois das explica¸c˜oes da radia¸c˜ao do corpo negro por Planck, e principalmente, do efeito fotoel´ectrico por Einstein. Vimos que a quantifica¸c˜ao do ´atomo feita por Bohr era naturalmente interpretada em termos de estados estacion´arios do electr˜ao se associ´assemos ao electr˜ao propriedades ondulat´oridas, mais tarde descobertas experimentalmente nas experiˆencias de Davisson e Germer e ainda
62
O per´ıodo de Transi¸c˜ ao
Thomson. Assim, tanto a mat´eria como a radia¸c˜ao tˆem propriedades ondulat´orias e corpusculares. As propriedades ondulat´orias est˜ao associadas `as fun¸c˜oes de onda que descrevem a amplitude de probabilidade para encontrar a part´ıcula no espa¸co. Tentando ‘ver’ a traject´oria da part´ıcula causamos o colapso da fun¸c˜ao de onda e o desaparecimento posterior de propriedades ondulat´orias. Esta complementaridade mutuamente exclusiva entre propriedades corpusculares e ondulat´orias est´a expressa no princ´ıpio da incerteza de Heisenberg. A descri¸c˜ao probabil´ıstica est´a no ˆamago da mecˆanica quˆantica. Assim, embora estejamos a descrever part´ıculas devemos abdicar do conceito de traject´oria em prol de algo mais lato: o estado em que a part´ıcula se encontra. Esta situa¸c˜ao representa um contraste marcado em rela¸c˜ao ao paradigma cl´assico da f´ısica. Portanto, em mecˆanica quˆantica
TRAJECTORIA
ESTADO
CAP´ITULO
3
A equa¸ c˜ ao de Schr¨ odinger
Se as part´ıculas como o electr˜ao tˆem uma fun¸c˜ao de onda associada, Ψ(x), temos que escrever uma equa¸c˜ao que descreve o comportamento e evolu¸c˜ao de tal fun¸c˜ao de onda. Obviamente, uma tal equa¸c˜ao n˜ao pode ser deduzida com base nas equa¸c˜oes da mecˆanica cl´assica discutidas no cap´ıtulo 1. Mas do cap´ıtulo 2 sabemos algumas propriedades que esta equa¸c˜ao deve ter: • Deve ser consistente com as rela¸c˜oes de Einstein e de Broglie (2.2.19) E = ~ω ,
p~ = ~~k ;
(3.0.1)
• Deve ser consistente com a express˜ao (n˜ao relativista) para a energia total, E, de uma part´ıcula de massa m, momento p~, num potencial V (~x, t), E=
p~2 + V (~x, t) ; 2m
(3.0.2)
• Para admitir fen´omenos de interferˆencia deve ser linear, isto ´e admitir que a sobreposi¸c˜ao de duas solu¸c˜oes seja ainda uma solu¸c˜ao, pois ´e essa sobreposi¸c˜ao que d´a origem a fen´omenos de interferˆencia, como na sec¸c˜ao 2.1.1 para ondas na ´agua; • Quando o potencial for zero, tanto a energia como o momento da part´ıcula devem ser constantes - a part´ıcula ´e livre. Traduzindo nas quantidades ondulat´orias tanto
64
A equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger a frequˆencia como o vector de onda devem ser constantes. Mas isto ´e o que se passa para uma onda plana monocrom´atica. Assim, assumimos que uma onda plana monocrom´atica, que ´e representada por ~
Ψ(~x, t) = ei(k·~x−ωt) ,
(3.0.3)
´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de onda procurada. Usando (3.0.1) em (3.0.2) obtemos, na ausˆencia de potencial, ~ω =
~2 ~ 2 k . 2m
(3.0.4)
Esta rela¸c˜ao de dispers˜ao ´e a obtida se actuarmos em (3.0.3) com uma derivada temporal e duas espaciais, isto ´e i~
~2 ∂Ψ(~x, t) =− ∆Ψ(~x, t) , ∂t 2m
(3.0.5)
onde ∆ representa o Laplaciano. Esta ´e chamada a equa¸c˜ao de Schr¨odinger para uma part´ıcula livre. Adicionando o termo do potencial, que tem de ser multiplicado pela fun¸c˜ao de onda devido `a linearidade da equa¸c˜ao ∂Ψ(~x, t) ~2 i~ = − ∆ + V (~x, t) Ψ(~x, t) , ∂t 2m
(3.0.6)
obtemos a equa¸c˜ao de Schr¨odinger, sugerida em 1925 pelo f´ısico austr´ıaco Erwin Schr¨odinger. Esta discuss˜ao n˜ao pretende ser uma deriva¸c˜ao da equa¸c˜ao de Schr¨odinger. Apenas uma motiva¸c˜ao. A equa¸c˜ao de Schr¨odinger n˜ao ´e derivada, mas sim postulada. A sua valida¸c˜ao prov´em da concordˆancia com os resultados experimentais.
3.1
Descri¸c˜ ao Quˆ antica de uma part´ıcula livre - Trem de Ondas
Qual a fun¸c˜ao de onda adequada para descrever uma part´ıcula que n˜ao esteja actuada por nenhum potencial, i.e. uma part´ıcula livre? A solu¸c˜ao mais simples da equa¸c˜ao de Schr¨odinger ´e a onda plana monocrom´atica (3.0.3), por constru¸c˜ao. Contudo, segundo o
3.1 Descri¸c˜ ao Quˆ antica de uma part´ıcula livre - Trem de Ondas
65
postulado de Born para a interpreta¸c˜ao da fun¸c˜ao de onda, a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de probabilidade associada a Ψ(~x, t) ´e P(~x, t) =
Ψ(~x, t)Ψ(~x, t)∗ , kΨ(t)k2
onde a norma kΨ(t)k, que ´e - `a priori - fun¸c˜ao do tempo1 , ´e calculada como Z 2 kΨ(t)k = d3~xΨ(~x, t)Ψ(~x, t)∗ . Ent˜ao se tomarmos para a fun¸c˜ao de onda (3.0.3) Z ~ ~ 2 kΨ(t)k = d3~xei(k·~x−ωt) e−i(k·~x−ωt) = ∞ ,
(3.1.1)
(3.1.2)
(3.1.3)
ou seja, a norma diverge. Diz-se que a fun¸c˜ao de onda n˜ao ´e normaliz´ avel. Este resultado n˜ao ´e inesperado. Uma onda plana monocrom´atica tem um vector de onda bem definido e como tal um comprimento de onda bem definido. Logo, o desvio padr˜ao para a distribui¸c˜ao de vectores de onda ´e zero e pela rela¸c˜ao de de Broglie ∆pi = 0, para todos os i. Pelo princ´ıpio da incerteza, ∆xi = ∞. Isto significa que a part´ıcula tem igual probabilidade de estar em todos os pontos. Mas uma tal distribui¸c˜ao de probabilidade constante sobre toda a recta real ´e necessariamente n˜ao normaliz´avel. Assim, esperamos que uma fun¸c˜ao de onda fisicamente razo´avel dˆe origem a uma densidade de probabilidade que n˜ao seja totalmente delocalizada. Existe uma segunda raz˜ao pela qual uma onda plana monocrom´atica n˜ao ´e uma ‘boa’ fun¸c˜ao de onda para uma part´ıcula. Consideremos as express˜oes relativistas de energia e momento de uma part´ıcula E=p
mc2 , 1 − v 2 /c2
p~ = p
m~v , 1 − v 2 /c2
(3.1.4)
onde m ´e a massa em repouso da part´ıcula e v a sua velocidade relativamente a um dado referencial inercial. Deduzimos que p~ = 1
E ~v . c2
(3.1.5)
Veremos que na evolu¸ca˜o de um sistema f´ısico a norma ´e conserada, pelo que se a fun¸ca˜o de onda estiver normalizada assim permanecer´ a. Esta propriedade decorre da unitariedade do operador de evolu¸ca˜o.
66
A equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger
Uma onda monocrom´atica ´e definida pela frequˆencia angular ω e pelo vector de onda, com norma |~k|. A velocidade a que se propaga uma dada fase, isto ´e um m´aximo ou um m´ınimo
da onda - dita velocidade de fase - ´e dada por ~k · ~x − ωt = constante; portanto a velocidade de fase tem norma
E (3.1.5) c2 , (3.1.6) = |~p| |~v | que n˜ao s´o ´e diferente da velocidade da part´ıcula como ´e maior - para uma part´ıcula com vf ase =
ω |~k|
(3.0.1)
=
massa, para a qual |~v| < c - do que a velocidade da luz no vazio! Como tal concluimos que uma onda monocrom´atica n˜ao ´e uma descri¸c˜ao aceit´avel da fun¸c˜ao de onda de uma part´ıcula. Ambas as dificuldades anteriores s˜ao ultrapassadas se usarmos uma sobreposi¸c˜ao de ondas monocrom´aticas de v´arias frequˆencias para descrever a nossa part´ıcula, isto ´e, um pacote ou trem de ondas. As raz˜oes s˜ao as seguintes: 1) Ao adicionarmos ondas de v´arias frequˆencias, estas interferem destrutivamente e construtivamente de um modo que pode localizar mais a fun¸c˜ao de onda, tornando-a normaliz´avel; 2) A velocidade do pacote de ondas n˜ao ´e a m´edia das velocidades de fase de cada uma das ondas que formam o pacote; ´e antes a velocidade de propaga¸c˜ao do m´aximo da amplitude, dita velocidade de grupo. A propaga¸c˜ao deste m´aximo resulta de fen´omenos de interferˆencia, podendo a sua velocidade ser identificada com a da part´ıcula cl´assica associada `a onda. Devido `a linearidade da equa¸c˜ao de Schr¨odinger uma tal sobreposi¸c˜ao ´e necessariamente ainda uma solu¸c˜ao desta equa¸c˜ao. Come¸camos com o caso simples de uma sobreposi¸c˜ao discreta, para depois irmos para o caso de uma sobreposi¸c˜ao cont´ınua, que ´e o caso de interesse f´ısico.
3.1.1
Sobreposi¸ c˜ ao discreta de ondas
Consideramos, no instante t = 0, uma sobreposi¸c˜ao discreta de ondas, isto ´e, algo do tipo Ψ(~x, 0) =
n X
~
Aj ei(kj ·~x) ,
(3.1.7)
j=1
correspondendo a uma sobreposi¸c˜ao de n ondas planas, com amplitudes Aj e vectores de onda ~kj . Por simplicidade vamos trabalhar em uma dimens˜ao e especializemos a nossa
3.1 Descri¸c˜ ao Quˆ antica de uma part´ıcula livre - Trem de Ondas
67
Figura 3.1: Trˆes ondas monocrom´aticas e a sua sobreposi¸c˜ao. Na figura de baixo, a linha a tracejado corresponde ao m´odulo da fun¸c˜ao de onda (Extra´ıdo de Cohen et al, ‘Quantum Mechanics’). an´alise para o seguinte caso: ∆k ∆k n = 3 , kj = k0 − , , k0 , k0 + 2 2
g(k0 ) Aj = √ 2π
1 1 , 1, 2 2
.
(3.1.8)
Com esta escolha (3.1.7) fica x∆k g(k0) ik0 x . 1 + cos Ψ(x, 0) = √ e 2 2π
(3.1.9)
Na figura 3.1 representamos as v´arias ondas monocrom´aticas e a sua sobreposi¸c˜ao. Este exemplo mostra o efeito, ora destrutivo ora construtivo, da interferˆencia das v´arias ondas. Notando que p g(k0 ) |Ψ(x, 0)| = Ψ(x, 0)Ψ(x, 0)∗ = √ 2π
x∆k 1 + cos 2
,
(3.1.10)
este exemplo mostra tamb´em como o m´odulo da fun¸c˜ao de onda (e como tal a densidade de probabilidade) que ´e representado pela linha tracejada na figura 3.1 - que corresponde `a fun¸c˜ao (1 + cos(x∆k/2) - ficou mais localizada do que no caso de uma s´o onda. Esta ´e que ´e a imagem a reter do pacote de ondas.
68
A equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger Note-se que neste caso ainda n˜ao resolvemos o problema da n˜ao normaliza¸c˜ao da fun¸c˜ao
de onda. De facto, qualquer sobreposi¸c˜ao discreta de ondas monocrom´aticas d´a origem a uma fun¸c˜ao peri´odica. No caso que temos em m˜ao, isso significa que na figura 3.1 h´a infinitas repeti¸c˜oes quer para a esquerda quer para a direita da figura de baixo. Para termos uma fun¸c˜ao de onda normaliz´avel temos necessariamente de ter uma sobreposi¸c˜ao cont´ınua de ondas monocrom´aticas (se as ondas estiverem definidas sobre todo o R). Com este exemplo podemos ilustrar o princ´ıpio de incerteza. Suponhamos que 2 x∆k , P(x) ∝ 1 + cos 2
para
x∈
2 [−π, π] , ∆k
(3.1.11)
e P(x) = 0 fora deste intervalo. Consideramos apenas uma dimens˜ao. Uma medida para o ‘espalhamento’ dos valores de x, ∆x, ´e o tamanho do intervalo onde se distribui a densidade de probabilidade; logo ∆x∆k ≃ 4π ,
(3.1.12)
de onde conluimos que aumentando ∆k se diminui ∆x, conforme esperado pelo princ´ıpio da incerteza. Com este exemplo podemos ver como a sobreposi¸c˜ao modifica a velocidade de propaga¸c˜ao. Tomamos agora para t > 0 Ψ(~x, t) =
n X
~
Aj ei(kj ·~x−tωj ) ,
(3.1.13)
j=1
e especializamos para (3.1.8) juntamente com ∆ω ∆ω ωj = ω0 − . , ω0 , ω0 + 2 2
(3.1.14)
g(k0 ) i(k0 x−tω0 ) x∆k ∆w Ψ(x, t) = √ e − t , 1 + cos 2 2 2π
(3.1.15)
x∆k ∆w g(k0 ) − t . 1 + cos |Ψ(x, t)| = √ 2 2 2π
(3.1.16)
Neste caso obtemos,
e
3.1 Descri¸c˜ ao Quˆ antica de uma part´ıcula livre - Trem de Ondas
69
A velocidade de grupo ´e por defini¸c˜ao a velocidade com que o m´aximo do m´odulo da fun¸c˜ao de onda est´a a avan¸car, que ´e vgrupo =
∆ω , ∆k
(3.1.17)
que n˜ao coincide com nenhuma das velocidades de fase vf ase =
2ω0 − ∆ω ω0 2ω0 + ∆ω , , 2k0 − ∆k k0 2k0 + ∆k
,
(3.1.18)
nem com a sua m´edia. Veremos a seguir que esta velocidade de grupo coincide com a velocidade ‘cl´assica’ da part´ıcula.
3.1.2
Sobreposi¸ c˜ ao cont´ınua de ondas
Consideramos agora uma fun¸c˜ao de onda dada pela sobreposi¸c˜ao cont´ınua de ondas na forma 1 Ψ(x, 0) = √ 2π
Z
+∞
g(k)ei(kx+φ(k)) dk ,
(3.1.19)
0
onde g(k) ´e a amplitude (real) do modo de Fourier com comprimento de onda λ = 2π/k e φ(k) ´e uma fase que depende do modo de Fourier. Tomamos a amplitude como sendo n˜ao nula apenas em
∆k ∆k , k0 + k0 − 2 2
,
(3.1.20)
intervalo no qual a fase φ(k) varia suavemente. Sendo o intervalo suficientemente pequeno, aproximamos φ(k) = φ(k0 ) +
dφ dk
k0
(k − k0 ) ≡ φ0 − φ′0 (k − k0 ) .
(3.1.21)
Deste modo, para este caso particular, expressamos (3.1.19) como 1 Ψ(x, 0) = √ ei(φ0 +k0 x) 2π
Z
k0 +∆k/2
k0 −∆k/2
′
g(k)ei(k−k0 )(x−φ0 ) dk ≡ A(x, 0)ei(φ0 +k0 x) .
(3.1.22)
Assim, expressamos a nossa sobreposi¸c˜ao cont´ınua de ondas como uma onda plana com amplitude vari´avel. Esta forma da fun¸c˜ao ´e u ´ til para estudar a varia¸c˜ao de |Ψ(x, 0)| com x:
70
A equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger
• Para (x − φ′0 ) >> 1/(k − k0 ), a fun¸c˜ao ′
ei(k−k0 )(x−φ0 ) ,
(3.1.23)
oscila muito rapidamente quando variamos k no intervalo permitido. Assim, o integral em (3.1.22) ´e aproximadamente a m´edia da fun¸c˜ao (3.1.23), que ´e zero; • Para x ≃ φ′0 , a fun¸c˜ao (3.1.23) praticamente n˜ao oscila, dando o integral uma forte contribui¸c˜ao e sendo a amplitude A(x, 0) dominante neste ponto. Concluimos assim duas coisas: i) O centro do pacote de ondas, isto ´e, o m´aximo da amplitude ´e em dφ ′ ; xcentro = φ0 ≡ − dk k0 ii) A norma da fun¸c˜ao de onda Z +∞ Z 2 ∗ kΨ(0)k = Ψ(x, 0)Ψ(x, 0) dx = −∞
(3.1.24)
+∞
A(x, 0)A(x, 0)∗ dx ,
(3.1.25)
−∞
´e agora finita, pois a amplitude ´e nula para (x−φ′0 ) >> 1/(k −k0 ) e nunca ´e infinita.2 Agora mostramos que a velocidade de grupo deste pacote de ondas coincide com a velocidade cl´assica da part´ıcula que lhe podemos associar. Para isso consideramos a nossa fun¸c˜ao de onda (3.1.19) para t > 0 1 Ψ(x, t) = √ 2π
Z
+∞
g(k)ei(kx+φ(k)−w(k)t) dk ,
(3.1.26)
0
onde a frequˆencia ω(k) ´e uma fun¸c˜ao suave do modo de Fourier, para a qual utilizamos uma aproxima¸c˜ao semelhante `aquela usada para a fase dω (k − k0 ) ≡ ω0 + ω0′ (k − k0 ) . ω(k) = ω(k0 ) + dk k0
(3.1.27)
Nota t´ecnica: para o integral (3.1.25) convergir ´e necess´ario que A(x, 0)A(x, 0)∗ decaia mais rapidamente que 1/x. Analisando (3.1.22), podemos concluir que A(x, 0) decai como 1/x, pelo que A(x, 0)A(x, 0)∗ decai de facto mais rapidamente do que 1/x. 2
3.2 Part´ıcula em potenciais independentes do tempo
71
Usando esta express˜ao e (3.1.21), escrevemos (3.1.26) como 1 Ψ(x, t) = √ ei(φ0 +k0 x−ω0 t) 2π
Z
k0 +∆k/2
k0 −∆k/2
′
′
g(k)ei(k−k0 )(x−φ0 −ω0 t) dk ≡ A(x, t)ei(φ0 +k0 x−ω0 t) . (3.1.28)
Pela mesma argumenta¸c˜ao usada anteriormente concluimos que o centro do pacote de ondas se encontra agora em xcentro = φ′0 + ω0′ t ,
(3.1.29)
pelo que se desloca com velocidade vgrupo =
ω0′
≡
dω dk
.
(3.1.30)
k0
Pelas rela¸c˜oes de Einstein-de Broglie, (3.0.1), isto implica que3 vgrupo =
dE dp
= p0
p0 = v0 . m
(3.1.31)
A filosofia ´e agora a seguinte. Ao expressarmos a sobreposi¸c˜ao cont´ınua de ondas na forma (3.1.28) pensamos nela como uma onda plana monocrom´atica com amplitude vari´avel, `a qual podemos associar uma velocidade de duas maneiras distintas: i) A sua frequˆencia, ω0 , e vector de onda, k0 , definem pelas rela¸c˜oes de de Broglie uma energia e um momento, que por sua vez definem a velocidade da part´ıcula: v0 = dE/dp, para p = p0 = ~k0 ; ii) A velocidade de propaga¸c˜ao do m´aximo da amplitude, que ´e dado pela velocidade de grupo (3.1.31), que coincide com a anterior.
3.2
Part´ıcula em potenciais independentes do tempo
Se o potencial onde a part´ıcula se encontra ´e independente do tempo, a equa¸c˜ao de Schr¨odinger (3.0.6) escreve-se ∂Ψ(~x, t) ~2 i~ = − ∆ + V (~x) Ψ(~x, t) . ∂t 2m 3
(3.2.1)
Na pen´ ultima e u ´ ltima igualdades da equa¸ca˜o (3.1.31) usamos a express˜ao n˜ ao relativista da energia; se usassemos as express˜oes relativistas (3.1.4) o resultado final seria o mesmo.
72
A equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger
Podemos tentar encontrar solu¸c˜oes desta equa¸c˜ao separando vari´aveis, isto ´e tomando como ans¨atz Ψ(~x, t) = Φ(~x)χ(t) .
(3.2.2)
Colocando no lado esquerdo a dependˆencia temporal e do lado direito a dependˆencia espacial, a equa¸c˜ao de Schr¨odinger reescreve-se ~2 1 i~ ∂χ(t) − = ∆ + V (~x) Φ(~x) . χ(t) ∂t Φ(~x) 2m
(3.2.3)
O lado direito s´o depende de ~x e o esquerdo s´o depende de t. Logo, para ter solu¸c˜oes desta equa¸c˜ao cada lado tem de ser igual a uma constante. Dado que os v´arios termos tˆem dimens˜ao de ‘energia’, interpretamos a constante, denotada E, como energia e obtemos: 1) Do lado esquerdo i~
dχ(t) = Eχ(t) dt
⇒
χ(t) = e−iEt/~ = e−iωt ,
(3.2.4)
onde usamos (3.0.1). Assim a dependˆencia temporal est´a bem definida; 2) Do lado direito,
~2 ∆ + V (~x) Φ(~x) = EΦ(~x) . − 2m
(3.2.5)
A esta equa¸c˜ao chamamos equa¸c˜ao de Schr¨odinger independente do tempo. Entende-se que as suas solu¸c˜oes representam a parte espacial da fun¸c˜ao de onda; a fun¸c˜ao de onda total ´e Ψ(~x, t) = Φ(~x)e−iωt .
(3.2.6)
Solu¸c˜oes deste tipo da equa¸c˜ao de Schr¨odinger, s˜ao baptizadas de estados estacion´arios. Representam estados com energia bem definida, E = ~ω. Podemos reescrever a equa¸c˜ao de Schr¨odinger independente do tempo como ˆ x) = EΦ(~x) , HΦ(~
(3.2.7)
ˆ chamado operador Hamiltoniano, onde definimos o operador diferencial linear H, 2 ˆ ≡ − ~ ∆ + V (~x) . H 2m
(3.2.8)
3.2 Part´ıcula em potenciais independentes do tempo
73
Deste ponto de vista, resolver a equa¸c˜ao de Schr¨odinger independente do tempo ´e resolver um problema de valores pr´oprios e fun¸c˜oes pr´oprias, isto ´e, as energias s˜ao valores pr´oprios e as fun¸c˜oes Φ(~x) s˜ao fun¸c˜oes pr´oprias do operador Hamiltoniano. Podemos descrever tamb´em a equa¸c˜ao (3.2.4) nesta linguagem: a dependˆencia temporal da fun¸c˜ao de onda para estados estacion´arios, e−iEt/~, ´e uma fun¸c˜ao pr´opria do operador diferencial linear Tˆ , denominado operador de transla¸c˜oes temporais ∂ Tˆ ≡ i~ , ∂t
(3.2.9)
com valor pr´oprio E. Assim, a fun¸c˜ao de onda (3.2.6) ´e um produto de fun¸c˜oes pr´oprias ˆ e Tˆ .4 Note-se que devido `a linearidade da equa¸c˜ao de Schr¨odinger, dos operadores H ˆ e Tˆ serem lineares, qualquer combina¸c˜ao linear de manifesta no facto dos operadores H estados pr´oprios ´e ainda uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Schr¨odinger. No cap´ıtulo 4 iremos sistematizar o formalismo de operadores, fun¸c˜oes pr´oprias e vectores pr´oprios em mecˆanica quˆantica. Vamos agora estudar os estados estacion´arios para alguns potenciais concretos, em uma dimens˜ao. O nosso objectivo ´e contrastar o comportamento de uma part´ıcula quˆantica, descrita pela equa¸c˜ao de Schr¨odinger, com o de uma part´ıcula cl´assica, sendo a diferen¸ca fundamental a seguinte: a part´ıcula quˆantica propaga-se como uma onda. Os potenciais escolhidos s˜ao matematicamente simples de tratar pois s˜ao constantes por peda¸cos: potenciais em escada. Isto implica certas descontinuidades. Mas note-se que estas descontinuidades n˜ao s˜ao f´ısicas; devemos pensar nos exemplos a seguir como aproxima¸c˜oes de potenciais cont´ınuos que variam rapidamente.
3.2.1
Caracter´ısticas gerais num potencial em escada
Por potencial em escada entende-se um potencial que ´e constante por peda¸cos. As figuras 3.3, 3.7 e 3.11 s˜ao exemplos de potenciais em escada. Em cada uma das regi˜oes, a equa¸c˜ao ˆ Note que, em geral, a equa¸ca˜o de Schr¨odinger se pode escrever TˆΨ(t, ~x) = H(t)Ψ(t, ~x). Para os estados estacion´ arios os valores pr´oprios destes dois operadores coincidem. 4
74
A equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger
de Schr¨odinger independente do tempo (3.2.5) fica uma equa¸c˜ao do tipo d2 Φ(x) 2m + 2 (E − V )Φ(x) = 0 , dx2 ~
(3.2.10)
para um V constante. Analisemos os v´arios tipos de solu¸c˜oes: i) Se E > V esta ´e uma equa¸c˜ao do tipo da do oscilador harm´onico (1.1.5), cuja solu¸c˜ao escrevemos agora como Φ(x) = Aeikx + A′ e−ikx , (que ´e equivalente a escrever Φ(x) = A˜ cos(kx + φ0 )) onde definimos p 2m(E − V ) , k= ~
(3.2.11)
(3.2.12)
e as constantes A, A′ s˜ao n´ umeros complexos, pois a fun¸c˜ao de onda ´e complexa. Estas solu¸c˜oes correspondem a uma fun¸c˜ao de onda ‘ondulat´oria’. ii) Se E < V esta ´e uma equa¸c˜ao do tipo da do oscilador harm´onico mas com ‘frequˆencias imagin´arias’. Isto significa que em vez de exponenciais imagin´arias temos como solu¸c˜oes exponenciais reais ˜
˜
Φ(x) = Bekx + B ′ e−kx , onde B, B ′ s˜ao constantes complexas e p 2m(V − E) k˜ = . ~
(3.2.13)
(3.2.14)
Estas solu¸c˜oes correspondem a fun¸c˜oes de onda que crescem ou decrescem exponencialmente. iii) Se E = V a solu¸c˜ao ´e Φ(x) = C + C ′ x ,
(3.2.15)
que ´e uma fun¸c˜ao de onda linear, onde C, C ′ s˜ao constantes complexas. Este caso ´e muito particular e n˜ao ser´a usado na nossa an´alise.
3.2 Part´ıcula em potenciais independentes do tempo
75
V(x)
V0
0
x
Figura 3.2: Potencial real aproximado por um potencial em escada. O que ir´a acontecer `a fun¸c˜ao de onda nos pontos de descontinuidade do potencial? Para esclarecer este ponto recordamos que os verdadeiros potenciais f´ısicos n˜ao ser˜ao descont´ınuos; variar˜ao rapidamente mas ser˜ao cont´ınuos. Assim, por exemplo, o potencial da figura 3.3 ´e uma aproxima¸c˜ao ao potencial da figura 3.2. O primeiro ´e mais f´acil de tratar matematicamente, mas o segundo ser´a o potencial realista. Deste modo podemos pensar num potencial em escada, V (x), que ´e descont´ınuo no ponto x0 , como limite de potenciais cont´ınuos no intervalo [x0 − ǫ, x0 + ǫ], Vǫ (x), que coincidem com V (x) fora deste intervalo. Para cada Vǫ (x), existe uma fun¸c˜ao de onda Φǫ (x), que obedece a
d2 Φǫ (x) 2m + 2 (E − Vǫ )Φǫ (x) = 0 . dx2 ~
Integrando esta equa¸c˜ao diferencial entre x0 − η e x0 + η, obtemos Z dΦǫ dΦǫ 2m x0 +η (x0 + η) − (x0 − η) = 2 [Vǫ (x) − E]Φǫ (x)dx . dx dx ~ x0 −η
(3.2.16)
(3.2.17)
Para as fun¸c˜oes Φǫ (x) e o seu limite quando ǫ → 0 serem boas fun¸c˜oes de onda, n˜ao podem divergir em nenhum ponto; caso contr´ario, a densidade de probabilidade associada a esse ponto seria infinita. Ent˜ao tomamos estas fun¸c˜oes de onda como finitas. Logo o integrando em (3.2.17) ´e finito, inclusive no limite ǫ → 0. Tirando seguidamente o limite η → 0, concluimos que dΦ(x)/dx ´e cont´ınua em x0 . Isto implica que Φ(x) tamb´em ´e cont´ınua em x0 de facto, deriv´avel. Assim, iremos impˆor que a fun¸c˜ao de onda e a sua derivada s˜ao cont´ınuas nas descontinuidades do potencial.
76
A equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger Note-se que a an´alise do u ´ ltimo par´agrafo assumiu implicitamente que o potencial ´e
finito, caso contr´ario o integrando em (3.2.17) seria infinito. No caso de o potencial ser infinito, a derivada da fun¸c˜ao de onda n˜ao ser´a cont´ınua, mas podemos ainda requerer continuidade da fun¸c˜ao de onda. O potencial ser infinito numa dada regi˜ao (finita) significa que a fun¸c˜ao de onda ser´a zero nessa regi˜ao. Como veremos, uma part´ıcula quˆantica pode penetrar numa regi˜ao com um potencial, V , maior do que a sua energia, E - regi˜ao classicamente proibida pois, como E = Ecin´etica + V , significaria que Ecin´etica < 0. Contudo, o seu poder de penetra¸c˜ao, que ´e dado por uma onda evanescente, diminui quando V − E aumenta. Quando V → ∞, essa possibilidade de penetra¸c˜ao desaparece. Assim, para uma descontinuidade infinita do potencial imporemos apenas a continuidade da fun¸c˜ao de onda, o que ser´a suficiente para resolver o problema, dado que o valor da fun¸c˜ao de onda na regi˜ao onde o potencial ´e infinito ´e conhecido: ´e zero. Vamos desde j´a definir a intensidade de uma fun¸c˜ao de onda, I, como a densidade de probabilidade de posi¸c˜ao da part´ıcula vezes a velocidade de propaga¸c˜ao da mesma. Para uma onda plana ~k . (3.2.18) m Note-se que a defini¸c˜ao ´e an´aloga `a da intensidade de uma onda plana, que ´e a quantidade ¯
Ψ(x, t) = Aei(Et/−kx)
⇒
I = |A|2
de energia que atravessa uma superf´ıcie disposta normalmente `a direc¸c˜ao de propaga¸c˜ao da onda por unidade de tempo e de ´area. Equivalentemente, ´e a densidade de energia vezes a velocidade de propaga¸c˜ao.
3.2.2
Salto de potencial (E > V0 )
Consideramos o potencial na figura 3.3. As solu¸c˜oes da equa¸c˜ao de Schr¨odinger independente do tempo para uma part´ıcula com energia E, tal que E > V0 s˜ao √ 2mE ik1 x ′ −ik1 x Regi˜ ao I Φ(x) = A1 e + A1 e com k1 = p~ . (3.2.19) 2m(E − V ) 0 Regi˜ ao II Φ(x) = A2 eik2 x + A′2 e−ik2 x com k2 = ~ Requerendo continuidade da fun¸c˜ao de onda e da sua derivada em x = 0 obtemos, respectivamente
3.2 Part´ıcula em potenciais independentes do tempo
77
V(x) A’1
A1
E
A2
A’2
V
0
I
II
x
0
Figura 3.3: Salto de potencial. Distinguimos duas regi˜oes: x < 0 ´e a Regi˜ao I, onde V = 0; x > 0 ´e a Regi˜ao II, onde V = V0 ; aqui consideramos as v´arias ondas associadas a uma part´ıcula com E > V0 .
A1 + A′1 = A2 + A′2
.
(3.2.20)
k1 (A1 − A′ ) = k2 (A2 − A′ ) 1 2
Temos quatro constantes de integra¸c˜ao e duas condi¸c˜oes entre elas, o que, portanto, n˜ao especifica suficientemente a solu¸c˜ao. Podemos pois por uma constante igual a zero: A′2 = 0. Fisicamente esta escolha tem o seguinte significado. Recordando que a fun¸c˜ao de onda total ´e dada por Ψ(x, t) = Φ(x)e−iEt/~ ,
(3.2.21)
podemos ver qual a direc¸c˜ao em que viajam as v´arias ondas da solu¸c˜ao, o que se encontra representado na figura 3.3. Se pensarmos fisicamente no nosso problema como descrevendo uma part´ıcula que vem de x = −∞ (associada `a onda A1 ), que tem uma probabilidade de ser transmitida para a regi˜ao II em x = 0 (associada `a onda A2 ) e uma probabilidade de ser reflectida de volta para a regi˜ao I (associada `a onda A′1 ), concluimos que n˜ao devemos ter a onda A′2 . Assim, escrevemos a solu¸c˜ao das equa¸c˜oes (3.2.20) como A′1 k1 − k2 = , A1 k1 + k2
A2 2k1 = . A1 k1 + k2
(3.2.22)
78
A equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger
Estas s˜ao designadas, respectivamente, amplitudes de reflex˜ao e transmiss˜ao. As intensidades das ondas incidentes, reflectida e transmitida s˜ao, respectivamente Ii =
|A1 |2 ~k1 , m
Ir =
|A′1 |2 ~k1 , m
It =
|A2 |2 ~k2 . m
(3.2.23)
Definimos o factor de transmiss˜ao T , e o factor de reflex˜ao R, respectivamente como 2 2 2 4k1 k2 k1 − k2 k2 A2 It Ir A′1 = = = T ≡ = , R≡ . (3.2.24) Ii k1 A1 (k1 + k2 )2 Ii A1 k1 + k2
Note-se que
T +R =1 .
(3.2.25)
Assim, as quantidades T e R s˜ao apropriadas para ser interpretadas como a probabilidade de transmiss˜ao e reflex˜ ao da part´ıcula. Vemos desde j´a uma diferen¸ca fundamental entre a descri¸c˜ao quˆantica e cl´assica desta part´ıcula: Classicamente a part´ıcula seria sempre transmitida para a regi˜ao II; quanticamente existe uma probabilidade de a part´ıcula ser reflectida de volta para a regi˜ao I. Este facto ´e facilmente entendido se pensarmos numa analogia com ´optica. Uma onda que chega `a fronteira entre dois meios com ´ındices de refrac¸c˜ao diferentes, proporcionais a k1 e k2 , tem uma componente transmitida e reflectida. Para incidˆencia normal, as f´ormulas de Fresnel que descrevem a raz˜ao entre os v´arios campos el´ectricos envolvidos coincidem com (3.2.22). Assim, em ´optica este resultado ´e claro. A mecˆanica quˆantica entra quando pensamos na onda como a fun¸c˜ao de onda que descreve uma part´ıcula.
3.2.3
Salto de potencial (E < V0 )
Consideramos o mesmo potencial que no caso anterior, mas tomamos agora uma part´ıcula com E < V0 , como representado na figura 3.4. As solu¸c˜oes da equa¸c˜ao de Schr¨odinger independente do tempo s˜ao: Regi˜ ao I Φ(x) = Aeik1 x + A′ e−ik1 x Regi˜ ao II
Φ(x) = Bek2 x + B ′ e−k2 x
√
2mE p~ . 2m(V0 − E) com k2 = ~
com k1 =
(3.2.26)
3.2 Part´ıcula em potenciais independentes do tempo
79
V(x) I
II V
0
A’
A
E
B
B’ x
0
Figura 3.4: Salto de potencial. Aqui consideramos as v´arias ondas associadas a uma part´ıcula com E < V0 . Na regi˜ao II essas ondas s˜ao exponenciais; na figura damos a ideia de qual a crescente e qual a decrescente. Requerendo continuidade da fun¸c˜ao de onda e da sua derivada em x = 0 obtemos, respectivamente A + A′ = B + B ′
.
(3.2.27)
ik1 (A − A′ ) = k2 (B − B ′ )
Neste caso, para que a fun¸c˜ao de onda seja limitada quando x → +∞ tomamos B = 0. Logo A′ k1 − ik2 = , A k1 + ik2
B′ 2k1 = . A k1 + ik2
(3.2.28)
A fun¸c˜ao de onda na regi˜ao II j´a n˜ao ´e uma onda plana, e n˜ao lhe podemos associar uma velocidade e como tal uma intensidade de probabilidade. Por isso n˜ao podemos calcular um coeficiente de transmiss˜ao. Isto ´e consistente com o facto de o coeficiente de reflex˜ao ser k1 − ik2 2 =1. R = k1 + ik2
(3.2.29)
Concluimos que 1) tal como em mecˆanica cl´assica, a part´ıcula quˆantica ´e sempre reflectida; 2) mas a fun¸c˜ao de onda n˜ao ´e zero na regi˜ao II, decaindo exponencialmente - diz-se que existe uma onda evanescente na regi˜ao II (figura 3.5), havendo portanto uma probabilidade n˜ao nula de encontrar a part´ıcula nessa regi˜ao. A raz˜ao da consistˆencia entre estes dois
80
A equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger Ψ(x,t )Ψ(x,t )*
II
I V
0
x
0
Figura 3.5: Salto de potencial. Representa¸c˜ao do m´odulo da fun¸c˜ao de onda ao quadrado para um t fixo, para uma part´ıcula com E < V0 . Note-se a onda evanescente na regi˜ao II. factos ´e a seguinte. Note-se que A′ /A tem uma parte imagin´aria
Im
A′ A
=−
2k1 k2 . k12 + k22
(3.2.30)
Logo, h´a um diferen¸ca de fase entre a onda incidente e a reflectida, que pode ser vista como um atraso na reflex˜ao. Podemos pensar que, embora a part´ıcula quˆantica - tal como a cl´assica - seja sempre reflectida, a part´ıcula quˆantica - ao contr´ario da cl´assica pode penetrar na regi˜ao II antes de ser reflectida, causando o atraso referido. Note-se que no limite V0 → ∞ temos k2 → ∞; logo a parte imagin´aria (3.2.30) vai para zero. Neste limite perdemos a onda evanescente e consequentemente o ‘atraso’ na onda reflectida. Note-se ainda que ao analizar este limite confirmamos que a fun¸c˜ao de onda ´e zero quando o potencial ´e infinitamente maior do que a energia da part´ıcula, o que prova a afirma¸c˜ao feita no final da sec¸c˜ao 3.2.1. Usando A′ ≡ eϕi A, podemos escrever a parte espacial da fun¸c˜ao de onda neste problema como Φ(x) = A(eik1 x + e−ik1 x+iϕ ) ,
(3.2.31)
de onde concluimos que ΨΨ∗ = 2A2 (1 + cos(2k1 x − ϕ)); este m´odulo est´a representado na figura (3.5).
3.2 Part´ıcula em potenciais independentes do tempo
81
V(x) A1
A’1
A2 A’2
E
A3
A’3
V
0
II
I
III
0
x
L
Figura 3.6: Barreira de potencial. Distinguimos trˆes regi˜oes: x < 0 ´e a Regi˜ao I, onde V = 0; 0 < x < L ´e a Regi˜ao II, onde V = V0 ; x > L ´e a regi˜ao III, onde V = 0. Aqui representamos as v´arias ondas associadas com uma part´ıcula com E > V0 .
3.2.4
Barreira de potencial (E > V0)
Consideramos agora uma barreira de potencial, como a representada na figura 3.6 e uma part´ıcula com E > V0 . As solu¸c˜oes da equa¸c˜ao de Schr¨odinger independente do tempo s˜ao agora Regi˜ ao I
ik1 x
Φ(x) = A1 e
Regi˜ ao II Regi˜ ao III
+
A′1 e−ik1 x
Φ(x) = A2 eik2 x + A′2 e−ik2 x Φ(x) = A3 eik1 x + A′3 e−ik1 x
√
2mE p~ 2m(E − V0 ) com k2 = ~
com k1 =
.
(3.2.32)
Requerendo continuidade da fun¸c˜ao de onda e da sua derivada em x = 0 e x = L, obtemos, respectivamente A1 + A′1 = A2 + A′2
k1 (A1 − A′ ) = k2 (A2 − A′ ) 1 2
,
A2 eik2 L + A′2 e−ik2 L = A3 eik1 L + A′3 e−ik1 L
.
k2 (A2 eik2 L − A′ e−ik2 L ) = k1 (A3 eik1 L − A′ e−ik1 L ) 2 3 (3.2.33)
Considerando uma part´ıcula que vem de x = −∞, tomamos A′3 = 0. Come¸cando pelo segundo sistema de equa¸c˜oes obtemos A′2 =
k2 − k1 i(k1 +k2 )L e A3 , 2k2
A2 =
k2 + k1 i(k1 −k2 )L e A3 . 2k2
(3.2.34)
82
A equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger
Usando estes resultados no primeiro sistema de equa¸c˜oes obtemos k12 + k22 sin(k2 L) eik1 L A3 , A1 = cos(k2 L) − i 2k1 k2
A′1 = i
k22 − k12 sin(k2 L)A3 . 2k1k2
(3.2.35)
Os factores de reflex˜ao em x = 0 e de transmiss˜ao para a regi˜ao 3 s˜ao, respectivamente 2 (k 2 − k 2 )2 sin2 (k2 L) Ir A′1 = = 2 2 1 22 2 2 2 R= , Ii A1 4k1 k2 + (k1 − k2 ) sin (k2 L) 2 It A3 4k12 k22 . T = = = 2 2 Ii A1 4k1 k2 + (k12 − k22 )2 sin2 (k2 L)
(3.2.36)
(3.2.37)
Verifica-se facilmente que T +R = 1, como seria de esperar. Concluimos que em geral existe uma probabilidade de a part´ıcula ser reflectida, tal como no caso do salto de potencial. Isto contrasta com a situa¸c˜ao em mecˆanica cl´assica em que a part´ıcula ´e sempre transmitida. Contudo, para k2 L = nπ
⇔
L λ = , n 2
n∈N,
(3.2.38)
a probabilidade de transmiss˜ao ´e um. Isto acontece quando um m´ ultiplo inteiro de metade do comprimento de onda ´e igual ao comprimento da barreira, L. Podemos dar a este comportamento a seguinte interpreta¸c˜ao f´ısica. Consideremos as ondas que se propagam na direc¸c˜ao positiva do eixo dos x, isto ´e A1 , A2 , A3 . Para A3 ter o mesmo m´odulo do que A1 , ou seja, para o coeficiente de transmiss˜ao ser um, as ondas n˜ao podem sofrer perdas na regi˜ao II. Ou seja A2 tem de ter ainda o mesmo m´odulo. Mas A2 pode ser reflectida em x = L e a onda resultante novamente em x = 0. Para que esta dupla reflex˜ao de A2 esteja em fase consigo mesma necessitamos da rela¸c˜ao (3.2.38). Note-se que neste caso tanto A′2 /A2 como A′1 /A1 n˜ao tˆem parte imagin´aria e n˜ao h´a atrasos na reflex˜ao. Deste modo n˜ao h´a perdas na regi˜ao II e o coeficiente de transmiss˜ao ´e um. Este fen´omeno ´e designado por ressonˆancia, pois resulta de uma ressonˆancia das ondas na regi˜ao II. Este fen´omeno ´e usado para explicar o efeito Ramsauer que consiste na capacidade de certos gases nobres serem transparentes a electr˜oes com certas energias bem definidas (da ordem do eV ).
3.2 Part´ıcula em potenciais independentes do tempo
83
V(x)
V
0
I A1
II A’1
B
E
III A3
B’
0
A’3 x
L
Figura 3.7: Barreira de potencial. Aqui representamos as v´arias ondas associadas com uma part´ıcula com E < V0 .
3.2.5
Barreira de potencial (E < V0)
Consideremos novamente uma barreira de potencial, mas agora uma part´ıcula com E < V0 , como representada na figura 3.7. O c´alculo da sec¸c˜ao anterior aplica-se com a modifica¸c˜ao p 2m(V0 − E) . (3.2.39) k2 → −ik , com k = ~ Concluimos pois que R=
(k12 + k 2 )2 sinh2 (kL) , 4k12 k 2 + (k12 + k 2 )2 sinh2 (kL)
(3.2.40)
T =
4k12 k 2 . 4k12 k 2 + (k12 + k 2 )2 sinh2 (kL)
(3.2.41)
Obviamente T + R = 1. A propriedade importante ´e que o coeficiente de transmiss˜ao n˜ao ´e nulo. Existe uma probabilidade de a part´ıcula quˆantica ‘furar’ a barreira de potencial, enquanto que uma part´ıcula cl´assica voltaria necessariamente para tr´as. Este fen´omeno designa-se por efeito t´ unel. Note-se que podemos reexprimir o coeficiente de transmiss˜ao como T = 1+
V02 sinh2 (kL) 4E(V0 − E)
−1
.
(3.2.42)
Note-se ainda que no caso frequente de a barreira ser muito maior do que o comprimento de onda de de Broglie da part´ıcula, kL >> 1, a u ´ ltima express˜ao ´e aproximada como T ≃
16E(V0 − E) −2kL e . V02
(3.2.43)
84
A equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger
Ψ(x,t)Ψ(x,t)*
II
I
III
V0
0
L
x
Figura 3.8: Barreira de potencial. Representa¸c˜ao do quadrado do m´odulo da fun¸c˜ao de onda, para uma part´ıcula com E < V0 . A existˆencia da onda evanescente na zona classicamente proibida resulta na probabilidade de encontrar a part´ıcula na regi˜ao III. O efeito t´ unel ´e observado numa variedade de fen´omenos quˆanticos. Historicamente a sua primeira aplica¸c˜ao foi ao decaimento radioactivo por emiss˜ao de part´ıculas α, que agora descrevemos. Radioactividade alfa Como mencionado na sec¸c˜ao 2.2, Rutherford estudou o potencial V (r) que uma part´ıcula α sente a uma distˆancia r do n´ ucleo at´omico. Os seus estudos e estudos posteriores com n´ ucleos mais leves concluiram que o potencial referido tem a forma exibida na figura 3.9. Isto ´e para distˆancias maiores que r ′′ ≡ 3 × 10−14 m, as part´ıculas α sentem um potencial do tipo de Coulomb entre uma part´ıcula com carga +2e e um n´ ucleo com carga +Ze V (r) =
1 2e2 Z . 4πǫ0 r
(3.2.44)
Para distˆancias menores que r ′ , onde r ′ < r ′′ sabia-se que havia um desvio do potencial de Coulomb, devido a experiˆencias de difus˜ao com n´ ucleos leves, mas n˜ao se sabia o valor exacto de r ′ para n´ ucleos pesados. Por outro lado sabia-se que v´arios n´ ucleos pesados, como o U 234 (urˆanio) e o Ra226 (r´adio) emitiam espontaneamente part´ıculas α. Isto sugere que pensemos no potencial para r < r ′ como um po¸co de potencial onde existe uma for¸ca (de facto a for¸ca nu-
3.2 Part´ıcula em potenciais independentes do tempo
85
Figura 3.9: Potencial sentido por uma part´ıcula α `a distˆancia r de um n´ ucleo de U 238 (Extra´ıdo de Eisberg & Resnick, ‘Quantum Physics’). clear forte) que vence a repuls˜ao de Coulomb e ‘cola’ uma part´ıcula α a um determinado n´ ucleo, correspondendo o conjunto, por exemplo, ao n´ ucleo de Urˆanio 234. Mas existe uma probabilidade de a part´ıcula α sair por efeito t´ unel: radiactividade α. Estimemos essa probabilidade usando o resultado para a barreira quadrada (3.2.43) que reescrevemos como
√ T ∼ e−2L 2m(V0 −E)/~ .
(3.2.45)
A barreira de potencial na figura 3.9 n˜ao ´e quadrada; mas podemos pensar na curva como uma soma de barreiras quadradas no limite em que a base destas barreiras quadradas vai para zero. Nesse limite obtemos5 √ Z ′′′ Z ′′′ s 8m r 1 2e2 Z 2 r p −E , dr ln T ∼ − 2m[V (r) − E]dr = − ~ r′ ~ 4πǫ0 r r′
para uma part´ıcula com energia dada por E = V (r ′′′ ). Usando o facto que s r r ! Z br a a br br dr 1− , − b = √ arcsin + r a a a b
(3.2.46)
(3.2.47)
juntamente com E = V (r ′′′ ) , 5
E << V (r ′ ) ,
A rela¸ca˜o usada ´e de facto a aproxima¸ca˜o WKB; ver rela¸ca˜o (8.5.10).
(3.2.48)
86
A equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger
obtemos 2
ln T ∼ −
eZ ǫ0 ~
r
m +4 2E
s
e2 Zmr ′ . πǫ0 ~2
(3.2.49)
Vamos estimar uma rela¸c˜ao entre T e E usando esta f´ormula. Para isso tomamos um valor t´ıpico para Z e r ′ . Tomamos o decaimento do is´otopo 226 do R´adio (n´ umero at´omico 88). Assim r ′ = 7.3 F ermi = 7.3 × 10−15 m .
(3.2.50)
mα ≃ 6.645 × 10−27 Kg ≃ 3.737 × 103 (MeV ) .
(3.2.51)
Z = 86 , Usando tamb´em que
Obtemos assim, a aproxima¸c˜ao log T = log e ln T ∼ − p
148 + 32.5 . E (MeV )
(3.2.52)
Queremos agora relacionar o coeficiente de transmiss˜ao com o tempo m´edio de vida τ do is´otopo radioactivo, que ´e a quantidade medida experimentalmente. Para isso imaginamos o seguinte cen´ario simplista. A part´ıcula α encontra-se no po¸co de potencial correspondente `a regi˜ao da for¸ca forte, r < r ′ oscilando ao longo de um diˆametro, com velocidade v = p 2E/m. De cada vez que ela chega a r = r ′ tem uma probabilidade T de ser transmitida
por efeito t´ unel. Logo a probabilidade por unidade de tempo de ser transmitida ´e T v/2r ′. Assumimos que a vida m´edia, τ , ´e o inverso da probabilidade de decaimento por unidade de tempo 2r ′ τ= T
r
τ0 m ≡ , 2E T
⇒
r 148 m . log τ ∼ p − 32.5 + log 2r ′ 2E E (MeV )
(3.2.53)
O segundo termo varia com a energia muito mais lentamente do que o primeiro, devido ao logaritmo. Assim, dentro do nosso cen´ario aproximado usamos para o segundo termo uma constante, estimada com base no decaimento t´ıpico do R´adio, acima referido, para o qual a energia da part´ıcula α ´e cerca de 5MeV . O significado desta aproxima¸c˜ao ´e que o processo de decaimento alfa ´e essencialmente determinado pelo efeito t´ unel, sendo o que acontece dentro do n´ ucleo de importˆancia secund´aria. Concluimos que τ0 ≃ 10−21 s. E como tal
3.2 Part´ıcula em potenciais independentes do tempo
87
Figura 3.10: Decaimento alfa: compara¸c˜ao da curva te´orica (3.2.54) com os dados p experimentais. Note-se que a ordenada ´e o logaritmo comum de τ e a abcissa ´e −1/ E(MeV ) (Extra´ıdo de ‘Quantum Physics’, Berkeley Physics Course - Volume 4).
88
A equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger
148 log τ ∼ p − 53.5 . E (MeV )
(3.2.54)
´ de salientar a boa deOs resultados desta curva te´orica encontram-se na figura 3.10. E scri¸c˜ao global dada pelo nosso cen´ario simplista, apesar da enorm´ıssima variedade de tempos m´edios de vida considerados. Como exemplos, o U 238 tem uma vida m´edia de 1017 s enquanto que o P o212 tem uma vida m´edia de 10−7s. Este tipo de c´alculo, originalmente feito por Gamow, Condon e Gurney em 1928, foi um dos primeiros e mais convincentes sucessos da mecˆanica ondulat´oria de Schr¨odinger.
3.2.6
Po¸ co de potencial de profundidade finita (E < 0)
Consideramos agora um po¸co de potencial, como o representado na figura 3.11 e uma part´ıcula com energia −V0 < E < 0. As solu¸c˜oes da equa¸c˜ao de Schr¨odinger independente do tempo s˜ao agora
Regi˜ ao I
Regi˜ ao II Regi˜ ao III
k1 x
Φ(x) = B1 e
+
√
B1′ e−k1 x
Φ(x) = Aeikx + A′ e−ikx Φ(x) = B2 ek1 x + B2′ e−k1 x
−2mE com k1 = p ~ 2m(E + V0 ) com k = ~
.
(3.2.55)
Requeremos continuidade da fun¸c˜ao de onda e da sua derivada em x = −L/2 e x = L/2; requeremos tamb´em que a fun¸c˜ao de onda seja finita em x = ±∞, o que significa que B1′ = B2 = 0. Assim obtemos B1 e−k1 L/2 = Ae−ikL/2 + A′ eikL/2
,
AeikL/2 + A′ e−ikL/2 = B2′ e−k1 L/2
.
ik(AeikL/2 − A′ e−ikL/2 ) = −k1 B ′ e−k1 L/2 2 (3.2.56)
k1 B1 e−k1 L/2 = ik(Ae−ikL/2 − A′ eikL/2 )
Resolvendo cada um dos sistemas para a raz˜ao A/A′ obtemos, respectivamente, A = −eikL A′
k1 + ik k1 − ik
,
A ik − k1 = e−ikL , ′ A ik + k1
(3.2.57)
3.2 Part´ıcula em potenciais independentes do tempo
89
V(x)
L/2
−L/2 0
x
B’1
I B1
II A E A’
III B’2
B2
−V
0
Figura 3.11: Po¸co de potencial. Distinguimos trˆes regi˜oes: x < −L/2 ´e a Regi˜ao I, onde V = 0; −L/2 < x < L/2 ´e a Regi˜ao II, onde V = −V0 ; x > L/2 ´e a regi˜ao III, onde V = 0. o que implica que
k1 − ik = ±eikL k1 + ik
onde definimos
⇔
| sin(kL/2)| = k/k 0 cot(kL/2) = −k /k ⇔ 1 tan (kL/2) < 0 | cos(kL/2)| = k/k 0 tan (kL/2) = k /k ⇔ 1 tan (kL/2) > 0 k0 ≡
√
2mV0 . ~
, (3.2.58)
(3.2.59)
Existem portanto duas fam´ılias de solu¸c˜oes. Em cada um dos casos, os valores permitidos para k e portanto para a energia E s˜ao discretos. Graficamente podem ser imaginados como a intersec¸c˜ao da fun¸c˜ao | sin(x)| ou | cos(x)| com uma recta que passa pela origem (problema 3, folha 4). Esta discretiza¸c˜ao dos n´ıveis de energia dos estados ligados ´e uma caracter´ıstica da mecˆanica quˆantica que n˜ao se encontra na mecˆanica cl´assica onde a part´ıcula pode ter qualquer energia entre 0 > E > V0 . Pode ser interpretada do seguinte modo: as ondas associadas `a part´ıcula v˜ao sofrer reflex˜oes sucessivas em x = ±L/2. Em geral, as v´arias ondas interferem destrutivamente, e s´o para certos comprimentos de onda - e como tal certas energias - esta interferˆencia permite a existˆencia de estados estacion´arios. O caso de E > 0 num po¸co finito de potencial ´e tratado tamb´em no problema 3 da folha 4.
90
A equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger
3.2.7
Po¸ co de potencial de profundidade infinita
Tomamos agora um po¸co de potencial de profunidade infinita, que ´e mais convenientemente tratado tomando V (x) da forma V (x) = 0 para x ∈ [0, L] ,
V (x) = +∞ para x > L e x < 0 .
(3.2.60)
Consideramos um estado com energia E positiva. Vimos, para a barreira de potencial, que no caso em que V0 → ∞ perdemos a onda evanescente. De um modo semelhante, esperamos que neste caso a fun¸c˜ao de onda se anule fora do intervalo [0, L]. De facto, a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Schr¨odinger independente do tempo d´a-nos ao I e III Regi˜ Regi˜ ao II
Φ(x) = 0 ikx
Φ(x) = Ae
′ −ikx
+Ae
com k =
√
2mE ~
.
(3.2.61)
Para saltos infinitos de potencial o nosso argumento acerca da continuidade da fun¸c˜ao de onda e da sua derivada n˜ao ´e aplic´avel. Mas podemos ainda requerer pelo menos continuidade da fun¸c˜ao de onda em x = 0, L: A + A′ = 0 AeikL + A′ e−ikL = 0
⇒
sin(kL) = 0 ,
(3.2.62)
ou seja
kL = nπ
⇔
E=
n2 π 2 ~2 ≡ En . 2mL2
(3.2.63)
Tal como no caso anterior os estados quˆanticos tˆem as suas energias poss´ıveis quantificadas. Notemos que neste caso, a quantifica¸c˜ao dos comprimentos de onda (e das energias) ´e obtida pela rela¸c˜ao L = nλ/2, que exprime a condi¸c˜ao para a existˆencia de estados estacion´arios num sistema peri´odico. A mesma situa¸c˜ao n˜ao se verificava no caso do po¸co finito, essencialmente devido `a existˆencia de uma onda evanescente. A fun¸c˜ao de onda normalizada correspondente ao estado de energia n ´e r nπx 2 e−iEn t/~ para x ∈ [0, L] , sin Ψn (x, t) = L L
(3.2.64)
3.3 Evolu¸c˜ ao de um trem de ondas
91
e zero fora deste intervalo e como tal, a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de probabilidade associada `a part´ıcula ´e P(x) =
nπx 2 para x ∈ [0, L] , sin2 L L
(3.2.65)
e zero fora do intervalo. Se calcularmos, por exemplo, o valor esperado de x e de x2 , obtemos hxi =
Z
0
L
L xP(x)dx = , 2
2
hx i =
Z
0
L
x2 P(x)dx =
L2 L2 − 2 2 . 3 2π n
(3.2.66)
Podemos comparar este resultado com o da mecˆanica cl´assica, pensando na part´ıcula cl´assica como tendo uma fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de probabilidade uniforme no intervalo [0, L], Pc (x) =
1 para x ∈ [0, L] , L
e zero fora do intervalo. Assim Z L L hxi = xPc (x)dx = , 2 0
2
hx i =
Z
0
L
x2 Pc (x)dx =
(3.2.67)
L2 . 3
(3.2.68)
Concluimos que o resultado cl´assico ´e aproximado para n´ umeros quˆanticos elevados correspondendo a energias elevadas. Este ´e um padr˜ao que se repete em muitos casos.
3.3
Evolu¸ c˜ ao de um trem de ondas
Como referimos na sec¸c˜ao 3.1, a descri¸c˜ao de uma part´ıcula livre deve ser feita por um trem de ondas. Mas mesmo para uma part´ıcula sob a influˆencia de potenciais como aqueles que vimos na sec¸c˜ao 3.2 o trem de ondas ´e a descri¸c˜ao apropriada, pois ´e a maneira natural de obter uma fun¸c˜ao de onda normaliz´avel. Note-se no entanto que sendo o trem de ondas apenas uma sobreposi¸c˜ao de ondas planas com diferentes energias, concluimos que toda a f´ısica da intera¸c˜ao do trem de ondas com os v´arios potenciais da sec¸c˜ao 3.2 foi j´a vista. Usar o trem de ondas em vez das ondas individuais aumenta a complexidade t´ecnica da an´alise sem introduzir grandes novidades. Assim nesta sec¸c˜ao discutiremos brevemente a evolu¸c˜ao de um trem de ondas gaussiano livre e a interac¸ca˜o de um trem de ondas com um salto de potencial.
92
3.3.1
A equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger
Trem de ondas Gaussiano livre
Um exemplo trat´avel analiticamente de um trem de ondas ´e considerar em (3.1.26) 2 1/4 ~ 2 a 2 2 e−a (k−k0 ) /4 , φ(k) = 0 , ω(k) = k , (3.3.1) g(k) = 2π 2m correspondendo a uma fun¸c˜ao gaussiana para o perfil de Fourier de amplitudes, com todas as ondas em fase e com a rela¸c˜ao de dispers˜ao de uma part´ıcula livre (3.0.4). Assim sendo, (3.1.26) pode-se escrever na forma 2 !2 a2 k0 2 √ Z +∞ ix + 2 2 2 2 a a k0 a 2ix + a k0 i~t Ψ(x, t) = exp − − k − 2 2i~t exp + dk , 2i~t 3/4 2 (2π) 4 4 2m a + m a + m −∞ (3.3.2)
ou, fazendo o integral Gaussiano, Ψ(x, t) =
2 a2 k0 1/4 −1/2 a2 k02 2i~t 2a2 ix + 2 − a2 + exp . π m 4 a2 + 2i~t m
(3.3.3)
Trabalhando os termos na exponencial, reescrevemos a fun¸c˜ao de onda como ! 2 1/4 −1/2 ~k0 t 2 2 x − 2a 2i~t ~k t Ψ(x, t) = a2 + , (3.3.4) exp i − 0 + k0 x exp − 2 m π m 2m a + 2i~t m ou, definindo θ como 2~t tan 2θ = ma2
⇔
e−iθ =
a2 − a2 +
2i~t m 2i~t m
!1/4
,
(3.3.5)
temos Ψ(x, t) =
2a2 π
1/4
4~2 t2 a4 + m2
−1/4
2 ! x − ~km0 t ~k02 t . exp i −θ − + k0 x exp − 2 2i~t 2m a + m (3.3.6)
Nesta forma ´e simples verificar que o m´odulo da fun¸c˜ao de onda ao quadrado ´e ! −1/2 2 1/2 ~k0 t 2 4~2 t2 2a 4 2 x− m 2 a + exp −2a . |Ψ(x, t)| = 2 2 π m2 a4 + 4~m2t Extra´ımos as seguintes conclus˜oes:
(3.3.7)
3.3 Evolu¸c˜ ao de um trem de ondas
93
• A fun¸c˜ao de onda est´a normalizada e a sua norma ´e conservada na evolu¸c˜ao temporal Z +∞ 2 kΨ(t)k ≡ |Ψ(x, t)|2 = 1 . (3.3.8) −∞
Veremos mais tarde que este facto resulta de o Hamiltoniano ser Herm´ıtico e como tal a evolu¸c˜ao unit´aria.
• A variˆancia, σx , associado com a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de probabilidade P(x) = |Ψ(x, t)|2 ´e ~2 t2 a2 + 2 2 , (3.3.9) 4 am o que significa que a fun¸c˜ao de onda se est´a a espalhar para t > 0. Isto ´e, definimos σx =
a nossa part´ıcula livre como uma gaussiana para t = 0 posteriormente ela espalha-se delocalizando cada vez mais a part´ıcula. Este fen´omeno de espalhamento ´e geral para trens de onda livres.
3.3.2
Trem de ondas incidente num salto de potencial (E < V0 )
Vamos considerar um trem de ondas incidente no salto de potencial da figura (3.3). Vamos considerar o caso em que todas as ondas no nosso trem tˆem uma energia E < V0 . Este caso para uma onda foi tratado na sec¸c˜ao 3.2.3. Concluimos que para cada onda plana monocrom´atica - vector de onda k - as amplitudes A e A′ estavam relacionadas por (3.2.28). Portanto, para um trem de ondas vamos ter as rela¸c˜oes A′ (k1 ) k1 − ik2 = ≡ e−2iθ(k1 ) , A(k1 ) k1 + ik2
onde
tan θ ≡
k2 , k1
(3.3.10)
para cada onda no trem. Isto ´e, dada uma onda com energia E, que define k1 e k2 , temos que as amplitudes incidente e reflectida diferem apenas de uma fase. Como vimos na sec¸c˜ao 3.2.3 isto significa que a reflex˜ao ´e total mas h´a um atraso correspondente `a diferen¸ca de fase. Definimos
√
2mV0 , (3.3.11) ~ e consideramos que todas as ondas no trem obedecem a k1 < K0 ; todas as ondas s˜ao K0 =
reflectidas. Consideremos a solu¸c˜ao na Regi˜ao I para t = 0 sendo Z K0 1 dk1 g(k1) eik1 x + e−2iθ(k1 ) e−ik1 x . Ψ(x, 0) = √ 2π 0
(3.3.12)
94
A equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger
Vamos assumir que |g(k1)| tem um pico pronunciado em k1 = k˜ < K0 de modo a que a velocidade de grupo vai ser definida pela propaga¸c˜ao deste pico. A evolu¸c˜ao do trem de ondas ´e descrita pela fun¸c˜ao de onda Z K0 Z K0 1 1 i(k1 x−ω(k1 )t) Ψ(x, t) = √ dk1 g(k1)e +√ dk1 g(k1 )e−i(k1 x+˜ω(k1 )t) , 2π 0 2π 0
(3.3.13)
onde ω ˜ (k1 ) = ω(k1 ) + 2
θ(k1 ) . t
(3.3.14)
O primeiro termo representa o trem de ondas incidente. O segundo representa o trem de ondas reflectido. A rela¸c˜ao de dispers˜ao que usamos ´e mais uma vez a rela¸c˜ao de dispers˜ao para uma part´ıcula livre ω(k1) =
~k12 . 2m
(3.3.15)
A posi¸c˜ao do centro do trem de ondas incidente ´e dado por dω ~k˜ xi (t) = t = t, dk1 k1 =k˜ m enquanto que a posi¸c˜ao do centro do trem de ondas reflectidas ´e dado por d˜ ω ~k˜ 2 xr (t) = −t . =− t+ q dk1 k1 =k˜ m K02 − k˜ 2
(3.3.16)
(3.3.17)
Se pensarmos no centro do trem de ondas como descrevendo a ‘posi¸c˜ao’ da part´ıcula quˆantica associada ao trem de ondas xi (t) e xr (t) podemos fazer a seguinte an´alise do movimento: • Esta solu¸c˜ao descreve o movimento na regi˜ao I, isto ´e para x < 0. Para t < 0, xr > 0, logo para t negativo n˜ao h´a onda reflectia. Do mesmo modo, para t > 0, xi > 0. Logo, para t positivo n˜ao h´a onda incidente. • Assim descrevemos o movimento como: i) para t < 0 a ‘part´ıcula’ desloca-se com veloci˜ dade ~k/m no sentido positivo do eixo dos x; ii) entre 0
2m ~k˜
q
K02 − k˜2
≡ ∆τ ,
(3.3.18)
3.4 Sum´ ario
95
a ‘part´ıcula’ n˜ao est´a na regi˜ao I; ao contr´ario de uma part´ıcula cl´assica que seria reflectida instantaneamente, a part´ıcula quˆantica pode ‘penetrar’ na regi˜ao II, devido `a onda evanescente originando um atraso na reflex˜ao dado por ∆τ ; iii) para t > ∆τ ˜ a ‘part´ıcula’ desloca-se com velocidade ~k/m no sentido negativo do eixo dos x. Assim, usando um trem de ondas conseguimos obter uma solu¸ca˜o ‘localizada’ cujo centro podemos encarar como a ‘localiza¸c˜ao’ da part´ıcula quˆantica. Mas ao mesmo tempo vemos os efeitos quˆanticos que decorrem da propaga¸c˜ao desta part´ıcula ser feita de um modo ondulat´orio, que neste caso corresponde ao atraso na reflex˜ao. An´alises semelhantes poderiam ser feitas para todos os outros casos da sec¸c˜ao 3.2.
3.4
Sum´ ario
Neste cap´ıtulo introduzimos a equa¸c˜ao de Schr¨odinger. Discutimos as raz˜oes porque uma onda plana monocrom´atica n˜ao ´e uma boa descri¸c˜ao da fun¸c˜ao de onda para uma part´ıcula livre o que nos levou a introduzir o conceito de trem de ondas. Investigamos as consequˆencias da equa¸c˜ao de Schr¨odinger em alguns potenciais independentes do tempo, estudando os estados estacion´arios do sistema, para ondas monocrom´aticas. A figura 3.12 faz um sum´ario dos potenciais estudados. Finalmente, estudamos a evolu¸c˜ao de um trem de ondas Gaussiano e de um trem de ondas a interagir com um salto de potencial. A importante li¸c˜ao a tirar desta an´alise ´e que as propriedes inesperadas da part´ıcula quˆantica s˜ao facilmente percebidas se nos lembrarmos que uma part´ıcula quˆantica se propaga como uma onda, que ´e interpretada como uma onde de probabilidade.
96
A equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger
~ SECÇAO
3.2.3
3.2.2
3.2.5
3.2.4
3.2.6
3.2.7
Figura 3.12: Os potenciais em escada estudados na sec¸c˜ao 3.2 (extra´ıdo de Eisberg & Resnick, ‘Quantum Physics’ ).
CAP´ITULO
4
Formalismo Matem´ atico e Postulados da Mecˆ anica Quˆ antica
Neste cap´ıtulo vamos introduzir de um modo sistem´atico a matem´atica usada na mecˆanica quˆantica e os postulados que a definem como teoria f´ısica.
4.1
Fun¸c˜ oes de onda e operadores
O objecto matem´atico fundamental em mecˆanica quˆantica ´e a fun¸c˜ao de onda Ψ(~x, t). Devido ao postulado de Born para a interpreta¸c˜ao da fun¸ca˜o de onda vamos estar particularmente interessados em fun¸c˜oes de onda normaliz´aveis, ditas fun¸c˜oes de quadrado som´avel, que obedecem a 2
kΨ(t)k ≡
Z
3
∗
d ~xΨ(~x, t)Ψ(~x, t) ≡
Z
d3~x|Ψ(~x, t)|2 < ∞ .
(4.1.1)
O espa¸co das fun¸c˜oes de quadrado som´avel sobre o corpo dos complexos, C, forma um espa¸co vectorial designado por ‘L2 ’ e tem a estrutura de um espa¸co de Hilbert. Mas o nosso interesse incidir´a apenas sobre um subconjunto de ‘L2 ’, denotado por F que compreende fun¸c˜oes de onda de quadrado som´avel infinitamente deriv´aveis e limitadas.
98
Formalismo Matem´ atico e Postulados da Mecˆ anica Quˆ antica
4.1.1
Estrutura de F e produto escalar em F
F ´e um espa¸co vectorial, isto ´e, se (a partir de agora deixamos de escrever, para simplicidade de nota¸c˜ao, o argumento (~x, t) das fun¸c˜oes de onda) Ψ1 , Ψ2 ∈ F
⇒
Ψ ≡ λ 1 Ψ1 + λ 2 Ψ2 ∈ F ,
(4.1.2)
onde λ1 , λ2 ∈ C. De facto, |Ψ|2 = |λ1 |2 |Ψ1 |2 + |λ2 |2 |Ψ1 |2 + λ∗1 λ2 Ψ∗1 Ψ2 + λ1 λ∗2 Ψ1 Ψ∗2 ,
(4.1.3)
onde os dois u ´ ltimos termos tˆem o mesmo m´odulo (pois s˜ao complexos conjugados) e s˜ao limitados superiormente por 2|λ1 ||λ2||Ψ1 ||Ψ2 | ≤ |λ1 ||λ2 | |Ψ1 |2 + |Ψ2 |2 .
Logo, 2
kΨk ≤
Z
d3~x |λ1 |2 |Ψ1 |2 + |λ2 |2 |Ψ1 |2 + |λ1 ||λ2 | |Ψ1 |2 + |Ψ2 |2 ,
(4.1.4)
(4.1.5)
que ´e um n´ umero finito pois, por hip´otese, Ψ1 , Ψ2 s˜ao fun¸c˜oes de quadrado som´avel. A defini¸c˜ao de norma que temos usado, (4.1.1), sugere a defini¸c˜ao de um produto escalar entre duas fun¸c˜oes de onda Ψ e Φ: (Ψ, Φ) ≡
Z
d3~xΨ∗ Φ ,
(4.1.6)
que associa a um par de fun¸c˜oes de onda Ψ, Φ ∈ F um n´ umero complexo. Note-se que porque as fun¸c˜oes pertencem ao espa¸co de Hilbert este integral ´e necessariamente convergente. Esta propriedade ´e uma consequˆencia da desigualdade de Schwarz que veremos em baixo. Propriedades do produto escalar: i) N˜ao ´e sim´etrico (Φ, Ψ) = (Ψ, Φ)∗ ;
(4.1.7)
4.1 Fun¸c˜ oes de onda e operadores
99
ii) Linear no segundo argumento (Φ, λ1 Ψ1 + λ2 Ψ2 ) = λ1 (Φ, Ψ1 ) + λ2 (Φ, Ψ2 ) ;
(4.1.8)
iii) Anti-linear no primeiro argumento (λ1 Φ1 + λ2 Φ2 , Ψ) = λ∗1 (Φ1 , Ψ) + λ∗2 (Φ2 , Ψ) ;
(4.1.9)
iv) Defini¸c˜ao de fun¸c˜oes ortogonais: se (Φ, Ψ) = 0 ,
(4.1.10)
(Ψ, Ψ) = kΨk2 ,
(4.1.11)
as fun¸c˜oes s˜ao ditas ortogonais; v) Defini¸c˜ao da norma:
que ´e real, positiva e s´o ´e zero se Ψ = 0. vi) Finito |(Ψ1 , Ψ2 )| ≤
p
(Ψ1 , Ψ1 )
p
(Ψ2 , Ψ2 ) = kΨ1 kkΨ2 k < ∞ ,
que decorre da desigualdade de Schwarz habitual Z b 2 Z b Z b ∗ ∗ f gdx ≤ f f dx g ∗gdx . a
4.1.2
a
(4.1.12)
(4.1.13)
a
Bases de F
Dado que as fun¸c˜oes de onda vivem num espa¸co vectorial ´e natural definir uma base. Isto ´e, um conjunto completo de fun¸c˜oes em que possamos expandir, de um modo u ´ nico, a fun¸c˜ao de onda em cada instante t. Dependendo da estrutura de F , esta base pode ser discreta ou cont´ınua: Base discreta {un (~x)} , n ∈ N
Base cont´ınua {uα (~x)} , α ∈ R .
(4.1.14)
/ F , pelo que o Nos casos em que analisaremos, un (~x) ∈ F para todo o n, mas uα (~x) ∈ uso do termo base ´e abusivo no caso cont´ınuo, mas ainda assim ser´a usado com o sentido
100
Formalismo Matem´ atico e Postulados da Mecˆ anica Quˆ antica
de que expandiremos fun¸c˜oes de F usando o conjunto {uα (~x)}. Analisemos primeiro uma base discreta: • Expans˜ao da fun¸c˜ao de onda para um dado t: Ψ(~x) =
X
cn un (~x) ,
(4.1.15)
n
o que define de um modo u ´ nico as componentes {cn }; • Rela¸c˜ao de ortonormaliza¸c˜ao da base: (un , um ) = δnm ;
(4.1.16)
• Produto escalar de uma fun¸c˜ao de onda com uma fun¸c˜ao da base (i.e. projec¸c˜ao na base) Z X X XZ 3 ∗ cm (un , um ) = cm δnm = cn ; d3~xu∗n cm um = (un , Ψ) = d ~xun Ψ = m
m
m
(4.1.17)
• Produto escalar de duas fun¸c˜oes de onda em termos das suas componentes: Tomamos Ψ=
X
cn u n ,
Φ=
n
X
bm um ,
(4.1.18)
m
logo (Φ, Ψ) =
X
b∗m cn
n,m
Z
d3~xu∗m un
(4.1.16)
X
=
b∗m cn δnm =
n,m
X
b∗n cn ,
(4.1.19)
n
e em particular (Ψ, Ψ) =
X n
|cn |2 ,
(4.1.20)
que ´e uma generaliza¸c˜ao da igualdade de Bessel-Parseval (C.21). • Rela¸c˜ao de fecho (isto ´e, {un } formam uma base) Ψ(~x) =
X n
cn un (~x)
(4.1.17)
=
X n
(un , Ψ)un (~x) =
Z
d3~x ′ Ψ(~x ′ )
" X n
u∗n (~x ′ )un (~x)
#
.
(4.1.21)
4.1 Fun¸c˜ oes de onda e operadores
101
Introduzimos aqui a Fun¸c˜ao delta de Dirac, δ(~x − ~x ′ ), definida pela propriedade1 Z f (~x)δ(~x − ~x ′ )d3~x = f (~x ′ ) ; (4.1.22) (assumiu-se que ~x′ pertence ao dom´ınio de integra¸c˜ao). Logo, se Ψ pode ser expandida em termos da base concluimos que X n
u∗n (~x ′ )un (~x) = δ(~x − ~x ′ ) .
(4.1.23)
Reciprocamente, se (4.1.23) ´e verdadeira, Ψ pode ser expressa em termos da base; de facto Ψ(~x) =
Z
d3~x ′ δ(~x−~x ′ )Ψ(~x ′ )
hip´ otese
=
Z
d3~x ′ Ψ(~x ′ )
" X
#
u∗n (~x ′ )un (~x) =
n
X
cn un (~x) .
n
(4.1.24)
Assim, a rela¸c˜ao de fecho (4.1.23) ´e a express˜ao matem´atica de que {un } formam uma base. Fa¸camos agora uma an´alise semelhante para uma ‘base’ cont´ınua: • Expans˜ao da fun¸c˜ao de onda para um dado t: Z Ψ(~x) = dαc(α)uα(~x) ,
(4.1.25)
o que define de um modo u ´ nico as componentes {c(α)}; • Rela¸c˜ao de ortonormaliza¸c˜ao da base: (uα , uα′ ) =
Z
• Projec¸c˜ao na base Z Z 3 ∗ (uα , Ψ) = d ~xuα dα′c(α′ )uα′
d3~xu∗α uα′ = δ(α − α′ ) ;
(4.1.26)
=
Z
dα′ c(α′ )δ(α − α′ ) = c(α);
(4.1.26)
(4.1.27)
Portanto, definindo a rela¸c˜ao de ortonormaliza¸c˜ao anterior permite-nos obter esta rela¸c˜ao de projec¸c˜ao, an´aloga ao caso discreto. 1
Notemos que a ordem dos argumentos na fun¸ca˜o delta de Dirac n˜ ao interessa, i.e. δ(~x −~x ′ ) = δ(~x ′ −~x).
102
Formalismo Matem´ atico e Postulados da Mecˆ anica Quˆ antica
• Produto escalar de duas fun¸c˜oes de onda em componentes: Tomamos Z Z Ψ = dαc(α)uα , Φ = dα′b(α′ )uα′ ,
(4.1.28)
logo (Φ, Ψ) =
Z
′
′ ∗
dαdα b(α ) c(α)
Z
d
3
~xu∗α′ uα
(4.1.26)
=
Z
dαb(α)∗ c(α) ,
(4.1.29)
e em particular (Ψ, Ψ) =
Z
dα|c(α)|2 .
(4.1.30)
• Rela¸c˜ao de fecho (isto ´e, {uα } formam uma base) Z Z Z (4.1.27) 3 ′ ′ Ψ(~x) = dαc(α)uα(~x) = d ~x Ψ(~x ) dαu∗α(~x ′ )uα (~x) . Logo, se Ψ pode ser expandida em termos da base concluimos que Z dαu∗α(~x ′ )uα (~x) = δ(~x − ~x ′ ) .
(4.1.31)
(4.1.32)
Reciprocamente, ´e simples demonstrar que se (4.1.32) ´e verdadeira, Ψ pode ser expressa em termos da base. Resumimos as propriedades das bases cont´ınuas e discretas nas seguinte tabela:
Expans˜ao da Fun¸c˜ao de Onda
Base discreta {un } X Ψ(~x) = cn un (~x)
Base cont´ınua {uα } R Ψ(~x) = dαc(α)uα(~x)
(un , Ψ) = cn X (Φ, Ψ) = b∗n cn
(uα , Ψ) = c(α) R (Φ, Ψ) = dαb∗ (α)c(α)
n
Rela¸c˜ao de Ortonormaliza¸c˜ao
(uα , uα′ ) = δ(α − α′ )
(un , um ) = δnm
Projec¸c˜ao da Fun¸c˜ao de Onda Produto escalar em componentes
n
Rela¸c˜ao de Fecho
X n
u∗n (~x ′ )un (~x)
= δ(~x − ~x ′ )
R
dαu∗α(~x ′ )uα (~x) = δ(~x − ~x ′ )
Note-se portanto que a passagem da base discreta para cont´ınua pode ser sistematizada como uma mudan¸ca do ´ındice discreto da base para cont´ınuo (n → α), somat´orios R P para integrais ( → ) e deltas de Kronecker para deltas de Dirac (δmn → δ(α − α′ )). Especializamos agora o caso cont´ınuo para dois importantes conjuntos de fun¸c˜oes:
4.1 Fun¸c˜ oes de onda e operadores
103
˜ p) e os vectores i) Tomamos o parˆametro cont´ınuo α = p~, as componentes c(α) = c(~p) ≡ Ψ(~ da base (em n dimens˜oes) uα (~x) = up~(~x) =
1 ei~x·~p/~ , (2π~)n/2
(4.1.33)
ou seja ondas planas, que s˜ao fun¸c˜oes com momento bem definido; ii) Tomamos o parˆametro cont´ınuo α = ~x0 , as componentes c(α) = c(~x0 ) ≡ Ψ(~x0 ) e os vectores da base uα (~x) = u~x0 (~x) = δ(~x − ~x0 ) ,
(4.1.34)
ou seja deltas de Dirac, que s˜ao fun¸c˜oes cujo suporte est´a bem definido no espa¸co de posi¸c˜oes. Para estes dois exemplos de ‘bases’2 a tabela anterior toma a forma
Expans˜ao Orto Projec¸c˜ao P.E. Fecho
Ondas Planas Z −n/2 ˜ p)ei~x·~p/~ d~p Ψ(~ Ψ(~x) = (2π~) Z ′ −n d~x ei~x·(~p −~p)/~ = δ(~p ′ − p~) (2π~) Z −n/2 ˜ d~x Ψ(~x)e−i~x·~p/~ Ψ(~p) = (2π~) Z Z ∗ d~xΦ(~x) Ψ(~x) = d~pΦ(~p)∗ Ψ(~p) Z ′ −n d~p ei~p·(~x −~x)/~ = δ(~x ′ − ~x) (2π~)
Z
Deltas de Dirac Z Ψ(~x) = d~x0 Ψ(~x0 )δ(~x − ~x0 )
d~xδ(~x − ~x0 )δ(~x − ~x0 ′ ) = δ(~x0 − ~x0 ′ ) Z Ψ(~x0 ) = d~xΨ(~x)δ(~x − ~x0 ) Z Z ∗ d~xΦ(~x) Ψ(~x) = d~x0 Φ(~x0 )∗ Ψ(~x0 ) Z d~x0 δ(~x − ~x0 )δ(~x ′ − ~x0 ) = δ(~x − ~x ′ )
Note-se que a pen´ ultima linha expressa rela¸c˜oes do tipo da igualdade de ParsevalPlancharel (C.29).
4.1.3
Operadores Lineares a actuar em F
ˆ ´e uma aplica¸c˜ao (endomorfismo) em F Um operador linear A, Aˆ : F
−→
F
ˆ x) Ψ(~x) −→ Ψ′ (~x) = AΨ(~
2
,
Relembramos que o termo base ´e abusivo pois os vectores da ‘base’ n˜ ao pertencem a F .
(4.1.35)
104
Formalismo Matem´ atico e Postulados da Mecˆ anica Quˆ antica
que ´e linear ˆ 1 Ψ1 + λ2 Ψ2 ] = λ1 AΨ ˆ 1 + λ2 AΨ ˆ 2. A[λ
(4.1.36)
Alguns exemplos de operadores: • Operador Paridade
ˆ ΠΨ(x, y, z) = Ψ(−x, −y, −z) ;
(4.1.37)
ˆ XΨ(x, y, z) = xΨ(x, y, z) ;
(4.1.38)
• Operador multiplica¸c˜ao por x
• Operador derivada em ordem a x ˆ x Ψ(x, y, z) = ∂ Ψ(x, y, z) ; D ∂x
(4.1.39)
• Operadores Hamiltoniano e Transla¸c˜oes temporais (ver cap´ıtulo 3) a actuar numa fun¸c˜ao de onda do tipo Ψ(~x, t) = Φ(~x)e−iEt/~
ˆ x, t) = EΨ(~x, t) , HΨ(~
Tˆ Ψ(~x, t) = EΨ(~x, t) .
(4.1.40)
ˆ B ˆ dois operadores. Definimos o produto de operadores AˆB ˆ como Sejam A, h i ˆ ˆ x) . (AˆB)Ψ(~ x) = Aˆ BΨ(~
(4.1.41)
Em geral o produto de operadores n˜ao ´e comutativo, isto ´e o comutador h i ˆ B ˆ ≡ AˆB ˆ −B ˆ Aˆ , A,
(4.1.42)
h i ˆ D ˆ x = −1 ˆ. X,
(4.1.44)
ˆ eD ˆ x n˜ao ´e zero ´e diferente de zero. Por exemplo, o comutador dos operadores X h i ∂ ∂ ˆ ˆ − x Ψ(~x) = −Ψ(~x) , (4.1.43) X, Dx Ψ(~x) = x ∂x ∂x ou seja
4.1 Fun¸c˜ oes de onda e operadores
105
Como veremos adiante o facto de dois operadores comutarem ou n˜ao est´a intrinsecamente associado ao princ´ıpio da incerteza e ao facto de duas grandezas f´ısicas serem compat´ıveis ou incompat´ıveis. Um tipo particularmente importante de operadores em Mecˆanica Quˆantica s˜ao os operadores herm´ıticos, que por defini¸c˜ao obedecem a ˆ = (AΨ, ˆ Ψ) , (Ψ, AΨ)
∀Ψ ∈ F .
(4.1.45)
Estudemos a hermiticidade dos operadores anteriores: • Operador Paridade Z +∞ ˆ (Ψ, ΠΨ) = d3~xΨ∗ (~x)Ψ(−~x)
~ x→−~ x
=
−∞
−
Z
−∞
ˆ Ψ) , d3~xΨ∗ (−~x)Ψ(~x) = (ΠΨ,
+∞
(4.1.46)
logo o operador Paridade ´e herm´ıtico. • Operador multiplica¸c˜ao por x Z Z 3 ∗ ˆ ˆ Ψ) , (Ψ, XΨ) = d ~xΨ (~x)xΨ(~x) = d3~x(xΨ(~x))∗ Ψ(~x) = (XΨ,
(4.1.47)
logo o operador multiplica¸c˜ao por x ´e herm´ıtico. Deste exemplo conclui-se que se os valores pr´oprios do operador s˜ao reais ele ´e herm´ıtico. O resultado rec´ıproco ´e tamb´em verdade, como veremos na sec¸c˜ao 4.2.6. • Operador derivada em ordem a x Z ˆ x Ψ) = d3~xΨ∗ (~x) ∂ Ψ(~x) (Ψ, D ∂x
por partes
=
−
Z
d3~x
∂ ∗ ˆ x Ψ, Ψ) , Ψ (~x)Ψ(~x) = −(D ∂x (4.1.48)
logo o operador derivada n˜ao ´e herm´ıtico (de facto ´e anti-herm´ıtico). Note-se que na integra¸c˜ao por partes usamos que o m´odulo da fun¸c˜ao de onda desaparece no infinito, devido `a fun¸c˜ao de onda ser de quadrado som´avel. Um exerc´ıcio an´alogo mostra que ˆ x ´e herm´ıtico. Logo, o operador o operador iD ∂ , Pˆ = −i~ ∂x que interpretaremos como operador momento, ´e um operador herm´ıtico.
(4.1.49)
106
Formalismo Matem´ atico e Postulados da Mecˆ anica Quˆ antica
• Operadores Hamiltoniano e Transla¸c˜oes temporais (ver cap´ıtulo 3) a actuar numa fun¸c˜ao
de onda do tipo Ψ(~x, t) = Φ(~x)e−iEt/~: pelo que vimos anterioremente este operadores ser˜ao herm´ıticos se E for real.
Concluimos com a defini¸c˜ao que aos valores pr´oprios de um operador se chama espectro do operador.
4.2
A nota¸ c˜ ao de Dirac
Como vimos no fim do cap´ıtulo 2, um sistema quˆantico caracteriza-se pelo estado em que se encontra. Este estado ´e definido pela sua fun¸c˜ao de onda, que por sua vez, ´e um vector ´ desej´avel ter uma designa¸c˜ao gen´erica e caracter´ıstica para os vectores associados em F . E a estados quˆanticos, independentemente de F ter dimens˜ao finita ou infinita, de a base ser cont´ınua ou discreta e de o estado viver no espa¸co de configura¸c˜oes, polariza¸c˜oes, spin, etc (todos os graus de liberdade poss´ıveis). Dirac sugeriu a designa¸c˜ao de ket e a representa¸c˜ao |αi i ,
(4.2.1)
onde os αi s˜ao um conjunto apropriado de r´otulos para o estado em considera¸c˜ao.3 Por exemplo, as fun¸c˜oes de onda que tratamos no cap´ıtulo 3, para uma part´ıcula sem spin, Ψ(x) s˜ao agora representadas pelo ket Ψ(x) ∈ F
−→ |Ψi ∈ E .
(4.2.2)
A ausˆencia do argumento espacial no r´otulo do ket significa que o ket representa o estado, independentemente das coordenadas usadas, enquanto que Ψ(~x) s˜ao as componentes de |Ψi num dado sistema coordenado. Esta situa¸c˜ao ´e an´aloga a considerarmos um vector ~v , que ´e uma entidade geom´etrica aut´onoma, independentemente da base escolhida para o representar numa situa¸c˜ao concreta, em que tem componentes {vi }. Definimos tamb´em um espa¸co de estados E, onde vivem os kets, que ´e isom´orfico ao espa¸co das fun¸c˜oes de onda F . Vejamos pois como se reexpressam em E os conceitos de produto escalar e de ac¸c˜ao de operadores lineares. 3
Como veremos na sec¸ca˜o 4.4.1, estes r´otulos s˜ao os valores pr´oprios dos operadores de um Conjunto Completo de Observ´aveis que Comutam (C.C.O.C.).
4.2 A nota¸c˜ ao de Dirac
4.2.1
107
Produto escalar e espa¸co dual a E
Definimos o produto escalar de kets como a associa¸c˜ao a cada par de kets de um n´ umero complexo ( , ):E ×E
−→
C ,
(4.2.3)
|Ψi, |Φi −→ (|Ψi, |Φi) que obedece `as propriedades (4.1.7)-(4.1.12). Por outro lado podemos definir um espa¸co dual a E, isto ´e um espa¸co cujos membros s˜ao aplica¸c˜oes lineares de E para C hαi | ∈ E ∗ : E −→ C .
(4.2.4)
Os vectores deste espa¸co s˜ao designados por bra e representados por hαi | ,
(4.2.5)
onde αi s˜ao mais uma vez r´otulos. A existˆencia do produto escalar determina uma correspondˆencia entre E e E ∗ :4 E
−→
E∗
,
(4.2.6)
|Φi −→ (|Φi, . . .) ≡ hΦ| onde os . . . representam a entrada livre. Esta correspondˆencia ´e antilinear. De facto λ1 |Φ1 i + λ2 |Φ2 i
corresponde ao bra
−→
(λ1 |Φ1 i + λ2 |Φ2 i, . . .) = λ∗1 (|Φ1 i, . . .) + λ∗2 (|Φ2 i, . . .) = λ∗1 hΦ1 | + λ∗2 hΦ2 |
.
(4.2.7)
Nesta nota¸c˜ao, o produto escalar ´e representado da seguinte forma (|Φi, |Ψi) = hΦ|Ψi . As propriedades (4.1.7)-(4.1.12) aplicam-se tamb´em nesta nota¸c˜ao.
(4.2.8) O uso de bras e
kets denomina-se nota¸c˜ao de Dirac. Nesta nota¸c˜ao o produto escalar aparece como um parˆentesis da forma h. . . | . . .i, ou seja a justaposi¸c˜ao de um bra a um ket; a origem destes est´a no inglˆes em que parˆentesis se diz bracket=bra+ket. 4
Se E for finito, E e E ∗ s˜ao isom´ orficos, mas em geral n˜ ao s˜ao.
108
4.2.2
Formalismo Matem´ atico e Postulados da Mecˆ anica Quˆ antica
Ac¸ c˜ ao de operadores lineares
Podemos reescrever a sec¸c˜ao 4.1.3 na nota¸c˜ao de Dirac. Assim, um operador linear Aˆ ´e um endomorfismo em E Aˆ : E
−→
E
ˆ |Φi −→ |Φ′ i ≡ A|Φi
,
(4.2.9)
que ´e linear ˆ 1 i + λ2 A|Ψ ˆ 2i . Aˆ [λ1 |Ψ1 i + λ2 |Ψ2 i] = λ1 A|Ψ
(4.2.10)
ˆ O produto escalar do ket |Φi com A|Ψi, ˆ hΦ|A|Ψi ,
(4.2.11)
´e designado elemento de matriz do operador Aˆ entre |Φi e |Ψi, que ´e um n´ umero complexo que depende linearmente em |Ψi e antilinearmente em |Φi. Um exemplo particular de operador ´e constru´ıido com um bra e um ket com a ordem ‘trocada’: |ΦihΨ| : E
−→
E
,
(4.2.12)
|χi −→ |ΦihΨ|χi = z|Φi onde z ≡ hΨ|χi ´e um n´ umero complexo. Em particular, o operador |ΨihΨ| ´e um operador de projec¸c˜ao de um ket arbitr´ario em |Ψi |ΨihΨ| : E
−→
E
,
(4.2.13)
|χi −→ |ΨihΨ|χi projec¸c˜ao que ´e nula se |Ψi e |χi forem ortogonais, isto ´e hΨ|χi = 0. Deste exemplo conclu´ımos que a ordem com que colocamos kets e bras ´e fundamental: hΨ|Φi = n´ umero ,
|ΦihΨ| = operador .
(4.2.14)
Podemos usar a ac¸c˜ao de um operador num ket para definir a ac¸c˜ao de um operador num bra do seguinte modo:
ˆ hΦ|Aˆ |Ψi ≡ hΦ| A|Ψi .
(4.2.15)
4.2 A nota¸c˜ ao de Dirac
109
Isto ´e, um elemento de matriz ´e independente de o operador actuar primeiramente no bra ou no ket. Como exerc´ıcio pode tentar demonstrar que a ac¸ca˜o no bra assim definida ´e linear. Podemos pois escrever o elemento de matriz como (4.2.11) pois n˜ao h´a ambiguidades de ordem de actua¸c˜ao.
4.2.3
O operador adjunto
ˆ representado Aˆ† (lˆe-se “A dagger” ou “A adjunto”), do Definimos o operador adjunto a A, seguinte modo: a cada ket associamos um bra5 |Ψi −→ hΨ| ;
(4.2.16)
definimos o operador adjunto como o operador que actuando no bra hΨ| d´a origem ao bra
ˆ associado ao ket A|Ψi
ˆ |Ψ′ i ≡ A|Ψi −→ hΨ′ | ≡ hΨ|Aˆ† .
(4.2.17)
Mostremos que, por esta defini¸c˜ao, a ac¸c˜ao de Aˆ† nos bras ´e linear. Seja λ∗1 |Ψ1 i + λ∗2 |Ψ2 i −→ λ1 hΨ1 | + λ2 hΨ2 | ;
(4.2.18)
∗ ∗ ∗ ∗ ˆ ˆ ˆ A (λ1 |Ψ1 i + λ2 |Ψ2 i) = λ1 A|Ψ1 i + λ2 A|Ψ2 i ,
(4.2.19)
pela linearidade de Aˆ
e igualando os bras associados a cada um destes kets obtemos imediatamente (λ1 hΨ1 | + λ2 hΨ2 |) Aˆ† = λ1 hΨ1 |Aˆ† + λ2 hΨ2 |Aˆ† ,
(4.2.20)
o que demonstra que a ac¸c˜ao de Aˆ† ´e linear.
ˆ Uma importante equa¸c˜ao ´e a que relaciona os elementos de matriz de Aˆ† com os de A. Por (4.1.7), hΨ′ |Φi = hΦ|Ψ′ i∗ ,
(4.2.21)
para |Φi e |Ψ′ i arbitr´arios. Se tomarmos |Ψ′ i como em (4.2.17) obtemos ˆ ∗. hΨ|Aˆ† |Φi = hΦ|A|Ψi 5
Nesta sec¸ca˜o a seta denota a correspondˆencia (4.2.6).
(4.2.22)
110
Formalismo Matem´ atico e Postulados da Mecˆ anica Quˆ antica
As seguintes propriedades s˜ao consequˆencia de (4.2.17) e (4.2.22): i)
Aˆ†
†
= Aˆ ;
(4.2.23)
ii) † λAˆ = λ∗ Aˆ† ;
(4.2.24)
iii)
ˆ Aˆ + B
†
= A† + B † ;
(4.2.25)
iv) † ˆ ˆ AˆB|ψi −→ hΨ| AˆB . † † ˆ ˆ ˆ ˆ A B|Ψi −→ hΨ|B A
Logo
ˆ AˆB
†
ˆ † Aˆ† . =B
(4.2.26)
(4.2.27)
Reexpressemos a defini¸c˜ao de operador herm´ıtico (4.1.45), na nota¸c˜ao de Dirac. Conˆ sideramos os kets |Ψi e A|Ψi. Os seus bras associados s˜ao |Ψi −→ (|Ψi, . . .) ≡ hΨ| . ˆ ˆ A|Ψi −→ A|Ψi, . . . ≡ hΨ|Aˆ†
(4.2.28)
Logo, a condi¸c˜ao (4.1.45) ´e expressa
ˆ hΨ|A|Ψi = hΨ|Aˆ† |Ψi ,
(4.2.29)
que, sendo |Ψi arbitr´ario, ´e equivalente a Aˆ† = Aˆ .
(4.2.30)
Notemos que o produto de 2 operadores herm´ıticos s´o ´e um operador herm´ıtico se o seu comutador for zero † ˆ = AˆB ˆ AˆB
(4.2.27)
⇔
ˆ † Aˆ† = AˆB ˆ B
hermiticidade
⇔
h i ˆ Aˆ = AˆB ˆ ⇔ A, ˆ B ˆ =0. B
(4.2.31)
4.2 A nota¸c˜ ao de Dirac
4.2.4
111
A opera¸ c˜ ao adjunta
A defini¸c˜ao de operador adjunto resulta da correspondˆencia entre E e E ∗ . Chamamos por isso a um ket e ao seu bra associado adjuntos e denotamos hΨ|† = |Ψi ,
|Ψi† = hΨ| .
(4.2.32)
O que acontece quando temos um produto de kets e bras como por exemplo (|aihb|)† ?
(4.2.33)
O elemento de matriz deste operador entre 2 estados arbitr´arios ´e hΨ| (|aihb|)† |Φi
(4.2.22)
=
(hΦ|aihb|Ψi)∗ = hΦ|ai∗ hb|Ψi∗ = hΨ|biha|Φi = hΨ| (|biha|) |Φi , (4.2.34)
ou seja (|aihb|)† = |biha| .
(4.2.35)
Assim, a ac¸c˜ao da opera¸c˜ao adjunta transforma ket ↔ bra e, tal como para operadores, inverte a ordem. Notando que a opera¸c˜ao adjunta transforma um escalar no seu complexo conjugado (por (4.2.24)), resumimos a ac¸c˜ao da opera¸c˜ao adjunta numa express˜ao composta por kets, bras, constantes e operadores do seguinte modo: i) Substituimos • constantes pelos complexos conjugados; • kets pelos bras associados e vice-versa; • operadores pelos adjuntos; ii) Invertemos a ordem dos factores.
4.2.5
Nota¸c˜ ao de Dirac numa dada base
Reproduzimos a tabela da sec¸c˜ao 4.1.2 na nota¸c˜ao de Dirac:6 6
Os kets |uα i s˜ao designados por kets generalizados, pois n˜ ao pertencem a E, i.e. n˜ ao s˜ao normaliz´aveis, tal como os vectores uα (~x) na sec¸ca˜o 4.1.2.
112
Formalismo Matem´ atico e Postulados da Mecˆ anica Quˆ antica
Expans˜ao da Fun¸c˜ao de Onda
Base discreta {|un i} X |Ψi = cn |un i
Base cont´ınua {|uαi} R |Ψi = dαc(α)|uαi
hun |Ψi = cn X hΦ|Ψi = b∗n cn
huα |Ψi = c(α) R hΦ|Ψi = dαb∗ (α)c(α)
n
Rela¸c˜ao de Ortonormaliza¸c˜ao
huα |uα′ i = δ(α − α′ )
hun |umi = δnm
Projec¸c˜ao da Fun¸c˜ao de Onda Produto escalar em componentes
n
Pˆ (n) ≡
Rela¸c˜ao de Fecho
X n
ˆ Pˆ (α) ≡ |un ihun | = 1
R
ˆ dα|uαihuα| = 1
onde usamos o ket |Φi =
X n
bn |un i ,
(4.2.36)
ˆ Demonstremos a rela¸c˜ao de fecho no caso e denotamos o operador identidade como 1. discreto. Considerando o ket |Ψi nesta base temos |Ψi =
X n
cn |un i =
X n
hun |Ψi|un i =
X n
|un ihun |Ψi ,
(4.2.37)
o que implica a equivalˆencia X n
ˆ. |un ihun | = 1
(4.2.38)
´ simples expressar um bra nesta base usando este operador. No caso discreto E hΨ| =
X n
hΨ|unihun | =
X n
c∗n hun | .
(4.2.39)
Por outro lado, os elementos de matriz de um operador Aˆ s˜ao ˆ mi Anm = hun |A|u
ˆ α′ i , A(α, α′ ) = huα |A|u
(4.2.40)
para uma base discreta e cont´ınua respectivamente. Assim, no caso de uma base discreta podemos resumir a situa¸c˜ao do seguinte modo: • O ket |Ψi = • O bra hΦ| =
P
n cn |un i
´e representado como um vector coluna com componentes {cn };
∗ n bn hun |
´e representado como um vector linha com componentes {b∗n };
P
4.2 A nota¸c˜ ao de Dirac
113
ˆ m i; • O operador Aˆ ´e representado como uma matriz com componentes Anm = hun |A|u ˆ • O ket A|Ψi ´e representado como um vector coluna com componentes {dn =
P
m
Anm cm },
ˆ por um vector coluna que resulta da multiplica¸c˜ao de uma matriz (que representa A)
(que representa |Ψi); de facto projectando este ket nos vectores da base obtemos X X ˆ ˆ m ihum |Ψi = ˆ dn = hun |A|Ψi = hun |Aˆ1|Ψi = hun |A|u Anm cm ; (4.2.41) m
m
• O bra hΨ|Aˆ ´e representado como um vector linha com componentes {
∗ n cn Anm },
P
que
resulta da multiplica¸c˜ao de um vector linha (que representa hΨ|) por uma matriz
ˆ de facto projectando este bra nos vectores da base obtemos (que representa A); X X ˆ m i = hΨ|1 ˆ mi = ˆ mi = ˆA|u c∗n Anm ; (4.2.42) hΨ|A|u hΨ|un ihun |A|u n
ˆ • O n´ umero hΦ|A|Ψi ´e representado como
n
∗ n,m bn Anm cm ,
P
que resulta da multiplica¸c˜ao
ˆ por um vector linha `a esquerda (que representa o de uma matriz (que representa A)
bra) e um vector coluna `a direita (que representa o ket); de facto X X ˆ ˆ m ihum|Ψi = ˆ Aˆ1|Ψi ˆ hΦ|A|Ψi = hΦ|1 = hΦ|un ihun |A|u b∗n Anm cm ; n,m
(4.2.43)
n,m
• O operador adjunto Aˆ† de um operador Aˆ ´e representado pela matriz complexa conjugada ˆ de facto e transposta da matriz que representa A; A†
nm
= hun |Aˆ† |um i
(4.2.22)
=
ˆ n i∗ = A∗mn ; hum |A|u
(4.2.44)
• Um operador herm´ıtico ´e representado por uma matriz herm´ıtica, pois Aˆ† = Aˆ implica que Anm = A∗mn .
4.2.6
(4.2.45)
Valores pr´ oprios e vectores pr´ oprios de um operador
Um problema fundamental em mecˆanica quˆantica ´e encontrar os valores pr´oprios, λ, e os ˆ isto ´e, resolver a equa¸c˜ao vectores pr´oprios, |Ψi, de um operador A; ˆ A|Ψi = λ|Ψi .
(4.2.46)
114
Formalismo Matem´ atico e Postulados da Mecˆ anica Quˆ antica
Chama-se espectro do operador Aˆ ao seu conjunto de valores pr´oprios. Notemos que para qualquer operador linear i) Se |Ψi ´e vector pr´oprio, α|Ψi tamb´em o ´e, correspondendo ao mesmo valor pr´oprio. Podemos por isso escolher sempre os vectores pr´oprios normalizados, isto ´e hΨ|Ψi = 1 .
(4.2.47)
ii) Se {|Ψi i}, i=1,...,n, s˜ao linearmente independentes e correspondem ao mesmo valor pr´oprio, o valor pr´oprio diz-se degenerado com grau de degenerescˆencia n. No caso de o operador em considera¸c˜ao ser herm´ıtico podemos ainda enunciar as seguintes propriedades: i) Os valores pr´oprios de um operador herm´ıtico Aˆ s˜ao reais: ˆ λhΨ|Ψi = hΨ|A|Ψi
(4.2.22)
=
ˆ ∗ = λ∗ hΨ|Ψi , hΨ|A|Ψi
(4.2.48)
logo λ = λ∗ ;
(4.2.49)
ii) Dois vectores pr´oprios |Ψi, |Φi associados a valores pr´oprios distintos λ, µ s˜ao ortogonais. De facto, A|Ψi ˆ = λ|Ψi A|Φi ˆ = µ|Φi
adjunto
←→
hΨ|Aˆ = λhΨ| hΦ|Aˆ = µhΦ|
ˆ logo se considerarmos hΦ|A|Ψi podemos pensar de duas maneiras ˆ ˆ ˆ λhΦ|Ψi = hΦ| A|Ψi = hΦ|A|Ψi = hΦ|A |Ψi = µhΦ|Ψi ,
,
(4.2.50)
(4.2.51)
e como λ 6= µ conclu´ımos que hΦ|Ψi = 0.
Na pr´atica, dada uma base em que expressamos um operador Aˆ como uma matriz, encontrar os valores pr´oprios do operador resume-se a encontrar os valores pr´oprios da matriz e portanto resolver a equa¸c˜ao det (Amn − λδmn ) = 0 .
(4.2.52)
4.3 Os postulados da Mecˆ anica Quˆ antica
4.2.7
115
Observ´ aveis
ˆ e por simplicidade assumimos que os seus valores Consideremos um operador herm´ıtico A, pr´oprios formam um espectro discreto {λn }, n=1,...,N, com ˆ in i = λn |Ψin i , A|Ψ
(4.2.53)
onde i representa a degenerescˆencia de cada valor pr´oprio, i = 1, ..., gn , onde gn ´e um n´ umero inteiro que depende de n. Para cada n podemos escolher uma base ortonormada do subespa¸co vectorial associado ao valor pr´oprio λn , hΨin |Ψjn i = δ ij .
(4.2.54)
Como vimos anteriormente os vectores pr´oprios associados a valores pr´oprios distintos s˜ao necessariamente ortogonais e podemos escolhˆe-los normalizados. Assim o conjunto |Ψin i,
ˆ Se n = 1...N, i = 1...gn forma uma base ortonormada do espa¸co de fun¸c˜oes pr´oprias de A. este conjunto ´e tamb´em uma base do espa¸co de estados E, o operador herm´ıtico ´e designado uma observ´avel. Portanto, o requerimento para ser observ´avel ´e que qualquer estado de E possa ser expresso como uma combina¸c˜ao linear de fun¸c˜oes pr´oprias da observ´avel, condi¸c˜ao que ´e expressa matematicamente pela rela¸c˜ao de fecho gn N X X n=1 i=1
ˆ. |Ψin ihΨin | = 1
(4.2.55)
Veremos na pr´oxima sec¸c˜ao que as grandezas f´ısicas mensur´aveis est˜ao associadas a observ´aveis.
4.3
Os postulados da Mecˆ anica Quˆ antica
Pensemos na descri¸c˜ao da mecˆanica cl´assica dada pelo formalismo Hamiltoniano descrito na sec¸c˜ao 1.3. Podemos escrever “postulados” para a mecˆanica cl´assica de N part´ıculas pontuais usando a linguagem de estado do sistema que temos usado na descri¸c˜ao quˆantica. Os postulados cl´assicos seriam os seguintes: i) O estado de um sistema no instante t0 ´e definido especificando {q i (t0 ), pi(t0 )}, i = 1...N;
116
Formalismo Matem´ atico e Postulados da Mecˆ anica Quˆ antica
ii) Num dado instante o valor de todas as quantidades f´ısicas ´e completamente determinado se o estado do sistema ´e conhecido. Sabendo o estado do sistema em t0 podemos prever com toda a certeza o resultado de qualquer medida efectuada no sistema em t0 ; iii) A evolu¸c˜ao do estado do sistema ´e dada pelas equa¸c˜oes can´onicas (1.3.13) p˙i = −
∂H , ∂q i
q˙i =
∂H , ∂pi
(4.3.1)
onde H ´e o Hamiltoniano. Dado estas serem equa¸c˜oes diferenciais de primeira ordem, a sua solu¸c˜ao {q i (t), pi (t)} ´e completamente determinada pelas condi¸c˜oes iniciais {q i (t0 ), pi(t0 )}. Assim, o estado do sistema ´e conhecido para todo o t se for conhecido para t0 . Qual o sistema de postulados que substituem os anteriores em mecˆanica quˆantica? Ou seja: i) Como se descreve matematicamente num dado instante t0 o estado de um sistema quˆ antico? Primeiro Postulado Num dado instante t0 , o estado de um sistema ´e descrito por um ket |Ψ(to )i pertencente ao espa¸co de estados E. Note-se que neste postulado est´a impl´ıcito: a) o princ´ıpio de sobreposi¸c˜ao, pois E ´e um espa¸co vectorial; b) normalizabilidade da fun¸c˜ao de onda pois E ´e um subespa¸co de um espa¸co de Hilbert. ii) Dado este estado, como podemos prever o resultado da medida de quantidades f´ısicas? Segundo Postulado ˆ que actua Qualquer quantidade f´ısica mensur´avel, A, ´e descrita por um operador, A, em E; este operador ´e uma observ´avel.
4.3 Os postulados da Mecˆ anica Quˆ antica
117
Note-se desde j´a que em mecˆanica quˆantica o estado do sistema - representado por um vector - e uma quantidade f´ısica mensur´avel - representada por um operador - tˆem naturezas diferentes. Em mecˆanica cl´assica este contraste n˜ao existe. Terceiro Postulado ˆ Os u ´nicos resultados poss´ıveis numa medi¸c˜ao de A s˜ao os valores pr´oprios de A. Note-se que a) o resultado de uma medi¸c˜ao ´e um n´ umero real, como consequˆencia de Aˆ ser herm´ıtico; b) se o espectro de Aˆ for discreto os resultados poss´ıveis da medi¸c˜ao de A est˜ao quantificados. Quarto Postulado A previs˜ao do resultado da medi¸c˜ao de A ´e de natureza probabil´ıstica. Se A for medida num sistema descrito por um estado normalizado |Ψi, temos as seguintes possibilidades para a probabilidade de obter um dado valor: • Se Aˆ tem um espectro discreto {an }, a probabilidade de obter um dado valor pr´oprio an ´e P(an ) =
gn X i=1
|huin |Ψi|2 ,
(4.3.2)
onde gn ´e o grau de degenerescˆencia do valor pr´oprio an e {|uin i}, i = 1...gn ´e uma base ortonormada do subespa¸co de vectores pr´oprios associados a an ; • Se Aˆ tem um espectro cont´ınuo {a(α)}, a probabilidade dP(α) de obter um resultado entre α e α + dα ´e dP(α) = |huα |Ψi|2dα ,
(4.3.3)
onde |uαi ´e o vector pr´oprio de Aˆ associado ao valor pr´oprio a(α). Note-se que para este postulado ser coerente, a soma da probabilidade de todos os resultados poss´ıveis tem de ser 1. Este ´e o caso se Aˆ for uma observ´avel. De facto, tomando como exemplo simples o caso de um espectro discreto n˜ao degenerado, X n
P(an ) =
X n
|hun |Ψi|2
ˆ e´ observ´ A avel
=
XX m
n
|hun |umicm |2 =
X m
|cm |2 = 1 , (4.3.4)
118
Formalismo Matem´ atico e Postulados da Mecˆ anica Quˆ antica
pois hΨ|Ψi = 1 por hip´otese. Logo, a condi¸c˜ao de Aˆ ser observ´avel garante que hΨ|Ψi = 1
ˆ e´ Observ´ A avel
X
⇒
todos os valores pr´ oprios
P(valor pr´ oprio) = 1 .
(4.3.5)
Note-se tamb´em que poder´ıamos considerar casos mais complicados, como espectros cont´ınuos degenerados ou espectros parcialmente cont´ınuos e parcialmente discretos. Quinto Postulado - Colapso da fun¸c˜ao de onda Se a medi¸c˜ao de uma grandeza f´ısica A no sistema no estado |Ψi d´a resultado: • (caso discreto) an , o sistema imediatamente depois da medida encontra-se no estado descrito pela projec¸c˜ao normalizada de |Ψi para o subespa¸co associado a an |Ψi
medida d´ a an
−→
onde
gn X
Pˆn =
i=1
Pˆn |Ψi q , hΨ|Pˆn |Ψi
(4.3.6)
|uin ihuin | ;
(4.3.7)
• (caso cont´ınuo) α0 com incerteza ∆α, o sistema imediatamente depois da medida encontrase no estado descrito pela projec¸c˜ao Pˆ∆α (α0 )|Ψi
medida d´ a α0
|Ψi
incerteza ∆α
−→
q
onde Pˆ∆α (α0 ) =
Z
hΨ|Pˆ∆α(α0 )|Ψi
,
(4.3.8)
α0 +∆α/2
α0 −∆α/2
dα|uαihuα| .
(4.3.9)
ˆ Note-se que a evolu¸c˜ao normal do sistema poder´a retira-lo deste estado pr´oprio de A, caso este operador n˜ao comute com o operador Hamiltoniano. iii) Sabendo o estado inicial em t0 , como calcular o estado num instante posterior t? Sexto Postulado A evolu¸c˜ao temporal do estado do sistema |Ψ(t)i ´e descrita pela equa¸c˜ao de Schr¨odinger i~
d ˆ |Ψ(t)i = H(t)|Ψ(t)i , dt
(4.3.10)
4.4 Quantifica¸c˜ ao
119
ˆ onde H(t) ´e o operador Hamiltoniano que ´e a observ´avel associada com a energia total do sistema.
4.4
Quantifica¸c˜ ao
O princ´ıpio da incerteza de Heisenberg ficou, aparentemente, de fora nos postulados da sec¸c˜ao anterior. Por outro lado, o segundo postulado associa a uma grandeza mensur´avel ˆ que n˜ao especificamos como construir. Vamos agora estabelecer como A um operador A, ´e que associamos `as vari´aveis f´ısicas mensur´aveis operadores e como ´e que incorporamos nesses operadores o princ´ıpio da incerteza.
4.4.1
Vari´ aveis compat´ıveis, incompat´ıveis e C.C.O.C.
Duas grandezas mensur´aveis A e B dizem-se compat´ıveis se os operadores que lhes est˜ao
ˆ comutam. Tamb´em se usa o termo compat´ıveis para as pr´oprias obassociados Aˆ e B serv´aveis. Significado matem´atico de compatibilidade: Teorema: A compatibilidade de duas observ´aveis ´e equivalente a possuirem um sistema
ortonormado completo e comum de fun¸c˜oes pr´oprias, isto ´e, uma base pr´opria comum. Estas observ´aveis s˜ao ditas simultaneamente diagonaliz´aveis. ˆ tˆem espectro Demonstra¸c˜ao: Aqui tomamos somente o caso mais simples em que Aˆ e B discreto n˜ao degenerado com valores pr´oprios, respectivamente, {an } e {bn }. i) (⇐) Utilizemos estes valores pr´oprios como r´otulos do conjunto ortonormado e comˆ denotado {|an , bm i}: pleto de vectores pr´oprios comum a Aˆ e B ˆ n , bm i = an |an , bm i , A|a
ˆ n , bm i = bm |an , bm i . B|a
(4.4.1)
Logo
ˆ Aˆ − AˆB ˆ |an , bm i = 0 , B
(4.4.2)
de onde concluimos, devido aos |an , bm i formarem uma base do espa¸co de estados, que h i ˆ B ˆ = 0. A,
120
Formalismo Matem´ atico e Postulados da Mecˆ anica Quˆ antica
ii) (⇒) Consideramos duas vari´aveis compat´ıveis, que portanto tˆem operadores associˆ que comutam. Consideremos um conjunto completo de vectores pr´oprios de ados Aˆ e B ˆ {|an i}, A,
ˆ n i = an |an i . A|a
ˆ n i ´e tamb´em vector pr´oprio de Aˆ com valor pr´oprio an ; de facto O vector B|a [A, ˆ B]=0 ˆ ˆ ni ˆ A|a ˆ n i = an B|a ˆ ni . Aˆ B|a = B
(4.4.3)
(4.4.4)
Mas como assumimos que o espectro ´e n˜ao degenerado, todos os vectores pr´oprios associados a um valor pr´oprio s˜ao colineares. Logo ˆ n i = b|an i , B|a
(4.4.5)
ˆ e como tal o que mostra que os vectores pr´oprios de Aˆ s˜ao tamb´em vectores pr´oprios de B ˆ (q.e.d.) que existe um conjunto completo de vectores pr´oprios comum a Aˆ e B. ˆ comuta com um operador O ˆ ent˜ao existe uma base de Corol´ario: Se o Hamiltoniano H
ˆ Note, no entanto, estados estacion´arios cujos elementos s˜ao tamb´em estados pr´oprios de O.
ˆ for degenerado poder´a ser poss´ıvel construir estados estacion´arios que se o espectro de H ˆ que n˜ao s˜ao estados pr´oprios de O. Nota: o facto de n˜ao existir uma base pr´opria comum a duas observ´aveis n˜ao significa que n˜ao exista nenhum vector pr´oprio comum. Obviamente, duas grandezas mensur´aveis A e B dizem-se incompat´ıveis se os oper-
ˆ n˜ao comutam (os operadores tamb´em s˜ao ditos adores que lhes est˜ao associados Aˆ e B incompat´ıveis). Significado f´ısico da incompatibilidade: Teorema: A incompatibilidade de duas grandezas f´ısicas implica a impossibilidade de determinar ambas as grandezas com precis˜ao arbitr´aria. ˆ associados `as nossas grandezas Demonstra¸c˜ao: Assumimos que os operadores Aˆ e B f´ısicas A e B n˜ao comutam: h i ˆ B ˆ = ia1 ˆ, A,
a ∈ R+ .
(4.4.6)
4.4 Quantifica¸c˜ ao
121
Estas grandezas tˆem associadas fun¸c˜oes de distribui¸ca˜o de probabilidade. Podemos por isso associar-lhes um valor esperado, uma variˆancia e um desvio padr˜ao. Pretendemos ˆ for demonstrar que o produto dos desvios padr˜ao tem um ´ınfimo. Se o espectro de Aˆ e B dado por {an } e {bn }, os valores esperados das grandezas A e B ser˜ao dados por hAi =
X n
P(an )an ,
hBi =
X
∆B =
p
P(bn )bn ,
(4.4.7)
h(B − hBi)2 i .
(4.4.8)
n
onde P(an ) = |han |Ψi|2 e os desvios padr˜ao ∆A =
p
h(A − hAi)2i ,
Primeiro, notamos como expressar hAi na nota¸c˜ao de Dirac: hAi =
X n
han |Ψi∗han |Ψian =
X n
hΨ|an ihan |Ψian =
X n
ˆ n ihan |Ψi = hΨ|A|Ψi ˆ ˆ . hΨ|A|a ≡ hAi (4.4.9)
Observe a nota¸c˜ao. No fim da linha denotamos o valor esperado de um operador num determinado estado de uma maneira an´aloga ao valor esperado (ou m´edio) estat´ıstico que aparece no in´ıcio da linha. Segundo, definimos as observ´aveis α, ˆ βˆ do seguinte modo ˆ − hBi ˆ 1 ˆ, βˆ = B
ˆ1 ˆ, α ˆ = Aˆ − hAi
(4.4.10)
ˆ = ia1, ˆ [ˆ ˆ corresponque s˜ao observ´aveis com a mesma rela¸c˜ao de comuta¸c˜ao que Aˆ e B, α, β] dentes a grandezas f´ısicas, α, β, com o mesmo desvio padr˜ao de A, B mas valor esperado zero. Logo (4.4.8) fica neste caso (∆α)2 = hα2 i,
(∆β)2 = hβ 2 i ,
(4.4.11)
(∆β)2 = hΨ|βˆ2|Ψi ,
(4.4.12)
ou, na nota¸c˜ao de Dirac (∆α)2 = hΨ|α ˆ 2|Ψi,
ˆ ou ainda, definindo |Ψ1 i = α|Ψi ˆ e |Ψ2 i = β|Ψi (∆α)2 = hΨ1 |Ψ1 i,
(∆β)2 = hΨ2 |Ψ2 i .
(4.4.13)
122
Formalismo Matem´ atico e Postulados da Mecˆ anica Quˆ antica
Terceiro usamos a desigualdade de Schwarz (4.1.12) (∆α∆β)2 = hΨ1 |Ψ1 ihΨ2 |Ψ2 i
(4.1.12)
≥
ˆ hΨ1 |Ψ2 ihΨ2|Ψ1 i = hΨ|α ˆ β|ΨihΨ| βˆα|Ψi ˆ . (4.4.14)
Notemos que embora α ˆ e βˆ sejam herm´ıticos, o seu produto α ˆ βˆ n˜ao ´e herm´ıtico, pois eles n˜ao comutam. Assim † ˆ x + iy ≡ hΨ|α ˆ β|Ψi = hΨ| α ˆ βˆ |Ψi∗ = hΨ|βˆα|Ψi ˆ ∗
⇒
hΨ|βˆα|Ψi ˆ ≡ x − iy . (4.4.15)
Logo reescrevemos (4.4.14) como (∆α∆β)2 ≥ x2 + y 2 ≥ y 2 = −
2 h i 2 a2 1 1 ˆ hΨ|α ˆβ|Ψi − hΨ|βˆα|Ψi ˆ ˆ βˆ |Ψi = . = − hΨ| α, 4 4 4 (4.4.16)
Finalmente concluimos ent˜ao que ∆α∆β ≥
a 2
⇔
∆A∆B ≥
a , 2
(4.4.17)
o que mostra que n˜ao podemos determinar as duas grandezas simultaneamente com precis˜ao arbitr´aria. (q.e.d.) Tendo compreendido que um conjunto de vari´aveis compat´ıveis corresponde a um conjunto de observ´aveis que comutam e portanto tˆem uma base pr´opria comum, introduzimos a seguinte defini¸c˜ao ˆ B, ˆ Cˆ . . ., diz-se um Conjunto Completo de Defini¸c˜ao: Um conjunto de observ´aveis, A, Observ´aveis que Comutam (C.C.O.C) se: i) Todos os pares de observ´aveis comutarem; ii) Especificando o valor pr´oprio de todas as observ´aveis determina um u ´ nico vector pr´oprio (normalizado); iii) Ao retirarmos uma qualquer observ´avel, ii) deixa de ser obedecido, ou seja, o conjunto ´e minimal.
4.4 Quantifica¸c˜ ao
123
A base para o espa¸co de estados de um sistema f´ısico ´e escolhida como o conjunto de vectores pr´oprios de um C.C.O.C, sendo estes vectores rotulados pelos valores pr´oprios do C.C.O.C. |an , bn , cn , . . .i ,
(4.4.18)
ˆ B, ˆ Cˆ . . .. Note-se que para um dado onde {an }, {bn }, {cn }, . . ., s˜ao os espectros de A, sistema f´ısico existem, em geral, v´arios C.C.O.C.
4.4.2
ˆ e Pˆ Os operadores X
O exemplo can´onico de vari´aveis incompat´ıveis s˜ao as grandezas f´ısicas momento e posi¸c˜ao. ˆ e Pˆ e comparando (4.4.17) com (2.3.6) Associando a estas grandezas f´ısicas as observ´aveis X identificamos a = ~ e usando em (4.4.6) temos que a rela¸c˜ao de comuta¸c˜ao h i ˆ Pˆ = i~1 ˆ, X,
(4.4.19)
reproduz a rela¸c˜ao de incerteza de Heisenberg. Ou seja (4.4.19) ´e a express˜ao do princ´ıpio ˆ e Pˆ . Se tiv´essemos v´arias comda incerteza de Heisenberg em termos das observ´aveis X ˆ k e Pˆj ter´ıamos ponentes de posi¸c˜ao e momento, X h i ˆ k , Pˆj = i~δ k 1 , X j
h i h i ˆ k, X ˆ j = 0 = Pˆk , Pˆj , X
(4.4.20)
que s˜ao denominadas rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao can´onicas. Deste modo, n˜ao podemos escolher ˆ e Pˆ , pelo que temos duas importantes alternativas uma base de fun¸c˜oes pr´oprias comum a X para a escolha de base de um sistema f´ısico:7 • Representa¸c˜ao |~xi: Expandimos o estado do sistema f´ısico na base de fun¸c˜oes pr´oprias
ˆ Esta base foi estudada no final da sec¸c˜ao 4.1.2 e corresponde a tomar do operador X. os vectores da base como deltas de Dirac, ou, na nota¸c˜ao de Dirac δ(~x − ~x0 ) → |~x0 i ;
7
Note-se que os kets que vamos usar |~x0 i e |~ pi s˜ao kets generalizados.
(4.4.21)
124
Formalismo Matem´ atico e Postulados da Mecˆ anica Quˆ antica
• Representa¸c˜ao |~pi: Expandimos o estado do sistema f´ısico na base de fun¸c˜oes pr´oprias do operador Pˆ . Tomamos os vectores da base como ondas planas, ou, na nota¸c˜ao de
Dirac 1 ei~p·~x/~ → |~pi . (2π~)n/2
(4.4.22)
Para estas ‘bases’ a tabela da sec¸c˜ao 4.2.5 fica Representa¸c˜ao |~pi Z ˜ p)|~pi |Ψi = d~p Ψ(~
Expans˜ao da Fun¸c˜ao de Onda
h~p|~p ′ i = δ(~p − ~p ′ )
Rela¸c˜ao de Ortonormaliza¸c˜ao Projec¸c˜ao da Fun¸c˜ao de Onda Produto escalar em componentes Rela¸c˜ao de Fecho
Representa¸c˜ao |~xi Z |Ψi = d~x0 Ψ(~x0 )|~x0 i
h~x0 |~x0 ′ i = δ(~x0 − ~x0 ′ )
˜ p) h~p|Ψi = Ψ(~ h~x0 |Ψi = Ψ(~x0 ) R R ˜ ∗ (~p)Ψ(~ ˜ p) hΦ|Ψi = d~x0 Φ∗ (~x0 )Ψ(x~0 ) hΦ|Ψi = d~pΦ R R ˆ ˆ d~p|~pih~p| = 1 d~x0 |~x0 ih~x0 | = 1
Assim, podemos reinterpretar a fun¸c˜ao de onda no espa¸co de configura¸c˜oes Ψ(~x) e a ˜ p) como os coeficientes da expans˜ao do estado do sistema sua transformada de Fourier Ψ(~ na representa¸c˜ao |~xi e |~pi respectivamente. Notemos que h~x0 |~p0 i =
Z
d~xδ(~x − ~x0 )
1 1 i~ p0 ·~ x/~ e = ei~p0 ·~x0 /~ . (2π~)n/2 (2π~)n/2
(4.4.23)
Para simplificar a nota¸c˜ao trabalharemos a partir de agora em uma s´o dimens˜ao. A ˆ na representa¸c˜ao |xi e do operador Pˆ na representa¸c˜ao |pi ´e ac¸c˜ao do operador X ˆ X|xi = x|xi ,
Pˆ |pi = p|pi .
(4.4.24)
Uma quest˜ao natural ´e a seguinte: Qual a ac¸c˜ao do operador Pˆ na representa¸c˜ao |xi e
ˆ na representa¸c˜ao |pi? Para obter a resposta consideramos o ket Pˆ |Ψi do operador X projectado na representa¸c˜ao |xi: Z Z 1 ˜ dpeipx/~pΨ(p) hx|Pˆ |Ψi = dphx|pihp|Pˆ |Ψi = √ 2π~ Z . 1 d d d ipx/~ ˜ =√ dpe Ψ(p) = −i~ Ψ(x) = −i~ hx|Ψi −i~ dx dx dx 2π~
(4.4.25)
4.4 Quantifica¸c˜ ao
125
Portanto, na representa¸c˜ao |xi o operador Pˆ coincide com o operador diferencial −i~d/dx, que ´e herm´ıtico, como vimos na sec¸c˜ao 4.1.3. Um elemento de matriz fica Z Z d ′ ′ ′ ′ ∗ hx|x′ ihx′ |Ψi hΦ|Pˆ |Ψi = dxdx hΦ|xihx|Pˆ |x ihx |Ψi = dxdx Φ(x) −i~ dx . Z Z Z d d ∗ ′ ′ ′ ∗ = dxΦ(x) −i~ hx| dx |x ihx | |Ψi = dxΦ(x) −i~ Ψ(x) dx dx (4.4.26) Podemos ainda verificar a consistˆencia desta representa¸c˜ao do operador Pˆ com (4.4.19); consideremos h i ˆ ˆ ˆ Pˆ − Pˆ X|Ψi ˆ hx| X, P |Ψi = hx|X ,
(4.4.27)
e se nos situarmos na representa¸c˜ao |xi temos
d ˆ Pˆ |Ψi − hx|Pˆ X|Ψi ˆ ˆ = hx|X = xhx|Pˆ |Ψi + i~ hx|X|Ψi dx d d = x −i~ hx|Ψi + i~ (xhx|Ψi) = i~hx|Ψi dx dx ou, como |Ψi ´e arbitr´ario,
em concordˆancia com (4.4.19).
h i ˆ ˆ X, P = i~1 ,
,
(4.4.28)
(4.4.29)
ˆ na representa¸c˜ao |pi toma a De um modo an´alogo podemos concluir que o operador X forma do operador diferencial i~d/dp. Notemos que qualquer vari´avel ou equa¸c˜ao dinˆamica pode ser expressa tanto na representa¸c˜ao |xi como |pi. Assim, a equa¸c˜ao de Schr¨odinger, que ´e usualmente escrita na representa¸c˜ao |xi,
~2 ∂Ψ(x, t) = − ∆ + V (x, t) Ψ(x, t) , i~ ∂t 2m
(4.4.30)
pode ser vista como resultando da rela¸c˜ao de energia E=
p2 + V (x, t) , 2m
(4.4.31)
por substitui¸c˜ao de E → i~
∂ , ∂t
p~ → −i~∇ ,
(4.4.32)
126
Formalismo Matem´ atico e Postulados da Mecˆ anica Quˆ antica
o que significa o uso da representa¸c˜ao |xi. Por contraste, na representa¸c˜ao |pi far´ıamos a substitui¸c˜ao E → i~
∂ , ∂t
~x → i~∇p ,
(4.4.33)
o que nos leva `a equa¸c˜ao de Schr¨odinger na representa¸c˜ao |pi ˜ t) p2 ∂ Ψ(p, ˜ t) . i~ = + V (i~∇p , t) Ψ(p, ∂t 2m
(4.4.34)
Claro que esta equa¸c˜ao n˜ao ´e mais do que a representa¸c˜ao de (4.4.30) no espa¸co de Fourier. ˆ como Pˆ s˜ao observ´aveis (a hermiticidade Concluimos com a observa¸c˜ao de que tanto X foi demonstrada na sec¸c˜ao 4.1.3) e que para o problema de uma part´ıcula sem spin a mover-se livremente no espa¸co de posi¸c˜oes v´arios C.C.O.C. s˜ao ˆ Yˆ , Z} ˆ , {X,
4.4.3
{Pˆx , Pˆy , Pˆz } ,
ˆ Pˆy , Pˆz } , . . . {X,
(4.4.35)
Regras de Quantifica¸c˜ ao can´ onica
Consideremos um sistema cl´assico de uma part´ıcula, descrito pelo ‘estado cl´assico’ {q(t), p(t)}. A quantifica¸c˜ao deste sistema ´e feita do seguinte modo: i) O estado do sistema passa a ser interpretado como um vector |Ψi em E; ii) Uma grandeza f´ısica mensur´avel, A(q, p, t) passa a ser um operador ˆ X, ˆ Pˆ , t) , A(q, p, t) → A(
(4.4.36)
ˆ e Pˆ a express˜ao deve ser onde, quando houver ambiguidade de ordem entre X simetrizada, o que garante a hermiticiadade do operador; iii) Imp˜oem-se rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao can´onicas (em coordenadas cartesianas) entre a ˆ e a observ´avel associada ao seu momento can´onico observ´avel associada `a posi¸c˜ao, X, conjugado, Pˆ . Exemplos:
4.4 Quantifica¸c˜ ao
127
• A quantidade f´ısica qp tem associado o operador 1 ˆˆ ˆˆ (X P + P X) , 2
(4.4.37)
que contem a simetriza¸c˜ao necess´aria para evitar ambiguidades de ordem e garante a hermiticidade necess´aria para ser observ´avel; • O momento angular ~ = ~x × p~ = (ypz − zpy , zpx − xpz , xpy − ypx ) , L
(4.4.38)
tem operador associado ~ˆ ˆx, L ˆy , L ˆ z ) = (Yˆ Pˆz − Zˆ Pˆy , Zˆ Pˆx − X ˆ Pˆz , X ˆ Pˆy − Yˆ Pˆx ) . L = (L
(4.4.39)
Usando as rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao can´onicas obtemos ˆx, L ˆ y ] = i~L ˆz , [L
ˆy , L ˆ z ] = i~L ˆx , [L
ˆz , L ˆ x ] = i~L ˆy , [L
(4.4.40)
que s˜ao as rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao para o momento angular. • Consideremos um sistema descrito pelo Lagrangiano 1 L = mq˙2 − V (q) 2
p=mq˙
⇒
H=
p2 + V (q) . 2m
(4.4.41)
Quantificando, temos o operador Hamiltoniano ˆ2 ˆ , ˆ = P + V (X) H 2m
(4.4.42)
e as rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao can´onicas s˜ao h i ˆ Pˆ = i~1 ; X,
(4.4.43)
• Consideremos uma part´ıcula sob a influˆencia de um campo electromagn´etico 2 1 ~ ~x)−qφ(t, ~x) L = m~x˙ +q~x˙ ·A(t, 2
~ p ~=m~ x˙ +q A
⇒
H=
~ ~x))2 (~p − q A(t, +qφ(t, ~x) . (4.4.44) 2m
128
Formalismo Matem´ atico e Postulados da Mecˆ anica Quˆ antica Quantificando, temos o operador Hamiltoniano ~ˆ ~ˆ ~ˆ 2 ~ˆ ˆ X) ˆ = (P − q A(t, X)) + q φ(t, , H 2m
(4.4.45)
e as rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao can´onicas ˆ j , Pˆk ] = i~δ j 1 . [X k
(4.4.46)
No cap´ıtulo 5 estudaremos detalhadamente a quantifica¸c˜ao can´onica do oscilador harm´onico e do problema de Larmor. Em conclus˜ao notamos que este m´etodo de quantifica¸c˜ao n˜ao pode ser aplicado a vari´aveis que n˜ao tenham an´alogo cl´assico. O exemplo ´obvio ´e o spin, que tem de ser definido directamente pelo operador associado.
4.4.4
Coment´ arios sobre a evolu¸c˜ ao de um sistema quˆ antico
A evolu¸c˜ao de um sistema quˆantico ´e dada pela equa¸c˜ao de Schr¨odinger i~
d|Ψ(t)i ˆ = H|Ψ(t)i . dt
(4.4.47)
Vamos discutir algumas propriedades desta equa¸c˜ao: i) Determinista: dado o estado inicial |Ψ(t0 )i, o estado final |Ψ(t)i est´a totalmente determinado; o indeterminismo na mecˆanica quˆantica surge na altura da medi¸c˜ao devido ao colapso da fun¸c˜ao de onda; ii) Linearidade, que ´e equivalente ao princ´ıpio de sobreposi¸c˜ao; iii) Conserva¸c˜ao da probabilidade, isto ´e hΨ(t)|Ψ(t)i ´e constante na evolu¸c˜ao devido `a hermiticidade do operador Hamiltoniano: d d d hΨ(t)|Ψ(t)i = hΨ(t)| |Ψ(t)i + hΨ(t)| |Ψ(t)i , dt dt dt
(4.4.48)
mas, pela equa¸c˜ao de Schr¨odinger d|Ψ(t)i 1 ˆ = H|Ψ(t)i dt i~
⇔
dhΨ(t)| 1 ˆ . = − hΨ(t)|H dt i~
(4.4.49)
Logo, (4.4.48) fica igual a zero, o que mostra que a norma da fun¸c˜ao de onda ´e conservada.
4.4 Quantifica¸c˜ ao
129
Claro que na evolu¸c˜ao do sistema poder´a haver varia¸c˜oes locais da densidade de probabilidade. Assumindo que a fun¸c˜ao de onda est´a normalizada, Z Z P(~x, t)d~x = Ψ(~x, t)∗ Ψ(~x, t)d~x , V
(4.4.50)
V
representa a probabilidade de a part´ıcula estar num determinado volume V . Assim Z Z ∂ ∂ d ∗ ∗ P(~x, t)d~x = Ψ(~x, t) Ψ(~x, t) + Ψ(~x, t) Ψ(~x, t) d~x , (4.4.51) dt V ∂t ∂t V ou, usando a equa¸c˜ao de Schr¨odinger Z Z i~ ∗ ∗ = [−Ψ(~x, t)∆Ψ(~x, t) + Ψ(~x, t) ∆Ψ(~x, t)] d~x = − ∇ · J~(~x, t)d~x , 2m V V
(4.4.52)
onde definimos o vector densidade de corrente de probabilidade ~ x, t) = i~ [Ψ(~x, t)∇Ψ(~x, t)∗ − Ψ(~x, t)∗ ∇Ψ(~x, t)] . J(~ 2m
(4.4.53)
Assim temos Z
V
∂ P(~x, t)d~x + ∂t
ou, como o volume ´e arbitr´ario
Z
V
~ x, t)d~x = 0 , ∇ · J(~
∂ ~ x, t) = 0 , P(~x, t) + ∇ · J(~ ∂t
(4.4.54)
(4.4.55)
que ´e uma equa¸c˜ao de continuidade para a probabilidade.
4.4.5
Evolu¸c˜ ao do valor m´ edio de uma vari´ avel
Para um dado instante t, o valor m´edio de uma grandeza f´ısica A ´e dado por (4.4.9) ˆ ˆ hAi(t) = hΨ(t)|A|Ψ(t)i .
(4.4.56)
Diferenciando d ˆ hAi(t) = dt
∂ Aˆ ∂ ∂ ˆ ˆ hΨ(t)| A|Ψ(t)i + hΨ(t)| |Ψ(t)i + hΨ(t)|A |Ψ(t)i , ∂t ∂t ∂t
(4.4.57)
ou, usando a equa¸c˜ao de Schr¨odinger =
∂ Aˆ 1 ˆ −H ˆ A|Ψ(t)i ˆ hΨ(t)|AˆH +h i(t) , i~ ∂t
(4.4.58)
130
Formalismo Matem´ atico e Postulados da Mecˆ anica Quˆ antica
de onde concluimos que ∂ Aˆ 1 h ˆ ˆi d ˆ hAi(t) = h i(t) + h A, H i(t) . dt ∂t i~
(4.4.59)
Logo, a dinˆamica do valor m´edio ´e a mesma da mecˆanica cl´assica (1.3.28). Tal como em mecˆanica cl´assica, se a observ´avel Aˆ n˜ao depender explicitamente do tempo e comutar com o Hamiltoniano, o seu valor m´edio ´e uma constante do movimento. Note-se que os parˆentesis de Poisson desempenham o papel de comutador cl´assico. ˆ e Pˆ para um sistema com Uma aplica¸c˜ao particular de (4.4.59) ´e aos operadores X ˆ obtemos Hamiltoniano (4.4.42); aplicando a X # " ˆ2 d ˆ 1 h ˆ ˆ i Pˆ hPˆ i 1 P Pˆ h ˆ ˆ i ˆ i = h X, X, P i = hXi = h X, P + , dt i~ 2m i~ 2m 2m m enquanto que notando que h i s´ erie T aylor ˆ Pˆ , Vˆ (X) =
ˆ + V2 X ˆ 2 + V3 X ˆ 3 + . . .] ˆ + V1 X [Pˆ , V0 1 ˆ dVˆ (X) 2 ˆ ˆ = −i~ V1 − 2V2 X − 3V3 X − . . . = −i~ ˆ dX
(4.4.60)
,
(4.4.61)
e aplicando a Pˆ obtemos ˆ ˆ d ˆ 1 hˆ ˆ ˆ i 1 dVˆ (X) dVˆ (X) hP i = h P , V (X) i = h−i~ i = −h i, ˆ ˆ dt i~ i~ dX dX
(4.4.62)
que reproduzem as f´ormulas cl´assicas p dx = , dt m
dp dV (x) =− . dt dx
(4.4.63)
Estes resultados demonstram o teorema de Ehrenfest: “As equa¸c˜oes de evolu¸c˜ao dos valores m´edios de um sistema quˆantico s˜ao formalmente idˆenticas `as da mecˆanica cl´assica.” Como tal, se os valores m´edios de observ´aveis derem uma boa descri¸c˜ao da f´ısica de um sistema, a mecˆanica cl´assica fornece uma descri¸c˜ao satisfat´oria, que ´e o conte´ udo do princ´ıpio da correspondˆencia. Por exemplo, a mecˆanica cl´assica s´o ‘vˆe’ a posi¸c˜ao do centro do trem de ondas; se a dispers˜ao do mesmo for irreconhec´ıvel nas experiˆencias levadas a cabo, a descri¸c˜ao da mecˆanica cl´assica ser´a satisfat´oria.
4.5 Mecˆ anica Quˆ antica Estat´ıstica
4.5
131
Mecˆ anica Quˆ antica Estat´ıstica
O formalismo que desenvolvemos at´e ao momento consegue apenas fazer previs˜oes probabil´ısticas relativamente aos resultados poss´ıveis em medi¸c˜oes de um sistema quˆantico. Contudo, este formalismo baseia-se em saber exactamente o estado quˆantico do sistema, |Ψi, o que temos sempre assumido. Podemos, no entanto, imaginar situa¸c˜oes em que temos uma informa¸c˜ao incompleta acerca do estado do sistema. Por exemplo, a energia cin´etica de ´atomos emitidos por uma fornalha `a temperatura T ´e conhecida apenas probabilisticamente, mesmo em mecˆanica cl´assica. De facto, tal como em Mecˆanica Cl´assica Estat´ıstica sabemos, por exemplo, a energia de uma part´ıcula num sistema em equil´ıbrio t´ermico apenas probabilisticamente atrav´es da distribui¸c˜ao de Boltzmann P(E) ∼ e−E/KB T ,
(4.5.1)
em Mecˆanica Quˆantica Estat´ıstica saberemos o estado em que uma part´ıcula se encontra apenas probabilisticamente. Existe uma mistura estat´ıstica de estados, ou estado mistura. Por oposi¸c˜ao, um estado quˆantico perfeitamente conhecido ´e designado por estado puro. Para compreender as altera¸c˜oes introduzidas se considerarmos uma mistura estat´ıstica de estados consideremos o seguinte exemplo. O nosso sistema quˆantico encontra-se no estado mistura descrito por |Ψi = a1 |αi + a2 |βi com probabilidade p1
,
(4.5.2)
′
|Ψ i = a3 |αi + a4 |βi com probabilidade p2 onde cada estado est´a normalizado |a1 |2 + |a2 |2 = 1 ,
|a3 |2 + |a4 |2 = 1 ,
(4.5.3)
e p1 + p2 = 1. Uma pergunta natural ´e: “Qual a probabilidade de obter o valor pr´oprio associado a |αi ou |βi numa medi¸c˜ao?” A resposta natural ´e P(α) = p1 |a1 |2 + p2 |a3 |2 ,
P(β) = p1 |a2 |2 + p2 |a4 |2 ,
(4.5.4)
o que implica que P(α) + P(β) = 1 .
(4.5.5)
132
Formalismo Matem´ atico e Postulados da Mecˆ anica Quˆ antica
Note-se que esta resposta n˜ao ´e equivalente a considerar o novo estado ˜ = |Ψi
√
p1 |Ψi +
√
√ √ √ √ p2 |Ψ′ i = ( p1 a1 + p2 a3 ) |αi + ( p1 a2 + p2 a4 ) |βi ,
(4.5.6)
que, pelos postulados usuais implicaria que √ p1 |a1 |2 + p2 |a3 |2 + p1 p2 (a1 a∗3 + a∗1 a3 ) . P(α) = √ p1 p2 (a1 a∗3 + a∗1 a3 + a2 a∗4 + a4 a∗2 ) + 1
(4.5.7)
Neste caso existem termos de interferˆencia, que n˜ao est˜ao presentes na mistura estat´ıstica de estados. Com este exemplo concluimos os seguintes dois factos: • Uma mistura estat´ıstica de estados quˆanticos |Ψ1 i . . . |Ψn i n˜ao pode ser expressa como uma combina¸c˜ao linear destes estados quˆanticos |Ψi = 6
n X i=1
χi |Ψi i ,
(4.5.8)
pois nesta combina¸c˜ao linear existiriam sempre termos de interferˆencia entre os v´arios estados |Ψi i no c´alculo de probabilidades, termos que n˜ao est˜ao presentes nas probabilidades da mistura estat´ıstica. Mais concretamente, uma sobreposi¸c˜ao linear de estados puros |Ψi = λ1 |Ψ1 i + λ2 |Ψ2 i ,
(4.5.9)
que ´e ainda um estado puro, tem um significado f´ısico diferente de uma mistura estat´ıstica de |λ1 |2 sistemas no estado |Ψ1 i com |λ2 |2 sistemas no estado |Ψ2 i, que ´e um estado mistura. • Na mecˆanica quˆantica estat´ıstica existem dois n´ıveis diferentes onde entra a probabilidade: i) no facto de a informa¸c˜ao sobre o estado inicial ser probabil´ıstica - semelhante `a mecˆanica cl´assica estat´ıstica; ii) no facto da previs˜ao de resultados de medi¸c˜oes ser probabil´ıstica - puramente quˆantico. Vamos agora introduzir um operador, denominado operador de densidade que unifica a descri¸c˜ao de estados puros e estados mistura.
4.5 Mecˆ anica Quˆ antica Estat´ıstica
4.5.1
133
O operador de densidade para um estado puro
Assumimos que temos um espa¸co de estados com uma base discreta, {|un i}, de modo que um estado puro normalizado se escreve X |Ψ(t)i = cn (t)|un i , n
X n
|cn (t)|2 = 1 .
(4.5.10)
Introduzimos agora um operador constru´ıdo com base no estado do sistema e que contem a mesma informa¸c˜ao que este: o operador densidade definido por ρˆ(t) ≡ |Ψ(t)ihΨ(t)| .
(4.5.11)
Note-se que este operador depende do tempo. Consideremos algumas propriedades de ρˆ(t): • Na base {|un i}, o operador de densidade ´e representado pela matriz de densidade: ρmn (t) = hum |ˆ ρ(t)|un i = hum |Ψ(t)ihΨ(t)|uni = cm (t)c∗n (t) .
(4.5.12)
• A condi¸c˜ao de normaliza¸c˜ao do estado quˆantico em termos do operador de densidade fica 1 = hΨ(t)|Ψ(t)i = ou seja
X n
|cn |2 =
X
ρnn (t) = Tr(ˆ ρ(t)) ,
(4.5.13)
n
Tr(ˆ ρ(t)) = 1 . • O valor m´edio de uma observ´avel ´e
ˆ ˆ hAi(t) = hΨ(t)|A|Ψ(t)i = =
X n,p
ou seja
cp (t)c∗n (t)Anp
X n,p
=
ˆ p ihup |Ψ(t)i hΨ(t)|un ihun |A|u
X
ˆρ(t)) Anp ρpn (t) = Tr(Aˆ
(4.5.14)
,
(4.5.15)
n,p
ˆ ˆρ(t)) = Tr(ˆ ˆ . hAi(t) = Tr(Aˆ ρ(t)A) • A evolu¸c˜ao do operador de densidade ´e deduzida da equa¸ca˜o de Schr¨odinger
(4.5.16)
1 d d 1 ˆ d ˆ − |Ψ(t)ihΨ(t)|H ρˆ(t) = (|Ψ(t)i) hΨ(t)| + |Ψ(t)i (hΨ(t)|) = H|Ψ(t)ihΨ(t)| dt dt dt i~ i~ i 1 hˆ H, ρ(t) . = i~ (4.5.17)
134
Formalismo Matem´ atico e Postulados da Mecˆ anica Quˆ antica
• A probabilidade de obter o valor pr´oprio associado ao estado |un i, an , numa medi¸c˜ao ´e: P(an ) = hΨ(t)|un ihun |Ψ(t)i = hΨ(t)|Pˆn |Ψ(t)i = Tr(ˆ ρ(t)Pˆn ) ,
(4.5.18)
onde Pˆn = |un ihun | ´e o operador de projec¸c˜ao (4.3.7). • Pela defini¸c˜ao ρˆ(t) ´e herm´ıtico
ρˆ(t) = ρˆ(t)† .
(4.5.19)
• ρˆ(t) ´e um operador de projec¸c˜ao ρˆ(t)2 = |Ψ(t)ihΨ(t)|Ψ(t)ihΨ(t)| = |Ψ(t)ihΨ(t)| = ρˆ(t) . • Logo
Tr(ˆ ρ(t)2 ) = Tr(ˆ ρ(t)) = 1 .
(4.5.20)
(4.5.21)
Esta propriedade e a anterior s´o s˜ao v´alidas para um estado puro. Veremos que n˜ao se verificam para uma mistura estat´ıstica de estados e por isso podem funcionar para testar se uma determinada matriz de densidade descreve um estado puro ou um estado mistura. Assim, para um estado puro, especificar o operador de densidade ou o pr´oprio estado ´e equivalente.
4.5.2
O operador de densidade para uma mistura estat´ıstica de estados
Consideremos agora uma mistura estat´ıstica de estados ( ) X i i |Ψ i = cn (t)|un i com probabilidades n
Definimos o operador de densidade como X X ρˆ(t) ≡ pi |Ψi (t)ihΨi (t)| ≡ pi ρˆi (t) . i
i p .
(4.5.22)
(4.5.23)
i
Claramente (4.5.11) ´e o caso particular correspondente a p1 = 1 e pi = 0 quando i 6= 1, ou seja um estado puro. Reconsideremos agora as propriedades do operador de densidade vistas anteriormente:
4.5 Mecˆ anica Quˆ antica Estat´ıstica
135
• Na base {|un i}, o operador de densidade ´e representado pela matriz de densidade, que agora toma a forma: ρmn (t) = hum|ˆ ρ(t)|un i = hum|
X i
pi |Ψi (t)ihΨi (t)|un i =
X
pi ρimn (t) =
i
X
pi cim (t)cin (t)∗ .
i
(4.5.24)
Note-se que para n = m ρnn (t) =
X i
pi |cin (t)|2 ,
(4.5.25)
que ´e um n´ umero real positivo que nos d´a a probabilidade de encontrarmos numa medi¸c˜ao o sistema no estado |un i, como demonstrar´a a rela¸c˜ao (4.5.30). Assim, os termos da diagonal da matriz de densidade designam-se por popula¸c˜oes. Para n 6= m,
ρnm ´e um n´ umero complexo. Representa uma m´edia (para todos os estados |Ψi i) de
termos de interferˆencia entre |uin i e |uim i. Estes termos s˜ao designados por coerˆencias.
• A condi¸c˜ao de normaliza¸c˜ao dos v´arios estados quˆanticos na mistura fica, em termos do operador de densidade 1 = hΨi (t)|Ψi (t)i =
X n
|cin |2 =
X
ρi (t)) ; ρinn (t) = Tr(ˆ
(4.5.26)
n
logo 1=
X
pi =
i
X
pi Tr(ˆ ρi (t)) = Tr(ˆ ρ(t)) .
(4.5.27)
i
Ou seja temos ainda a condi¸c˜ao (4.5.14). • O valor m´edio de uma observ´avel ´e ˆ hAi(t) =
X n
an
X i
i
i
p P (an )
!
=
X i
pi
X n
an P i (an ) =
ˆ , = Tr(ˆ ρ(t)A)
X
ˆ pi Tr(ˆ ρi (t)A)
i
(4.5.28) que ´e ainda o mesmo resultado do caso puro (4.5.16). • A evolu¸c˜ao do operador de densidade ´e ainda dada pela equa¸c˜ao do caso puro i d 1 hˆ H, ρ(t) . (4.5.29) ρˆ(t) = dt i~
136
Formalismo Matem´ atico e Postulados da Mecˆ anica Quˆ antica
• A probabilidade de obter o valor pr´oprio associado ao estado |un i, an , numa medi¸c˜ao ´e: P(an ) =
X i
pi P i (an ) =
X
pi Tr(ˆ ρi (t)Pˆn ) = Tr(ˆ ρ(t)Pˆn ) ,
(4.5.30)
i
recuperando o resultado do estado puro. • Obviamente ρˆ(t) ´e ainda herm´ıtico • Em geral ρˆ(t) n˜ao ´e um operador de projec¸c˜ao: ρˆ(t)2 =
X i,j
pi pj |Ψi(t)ihΨi (t)|Ψj (t)ihΨj (t)| = 6 ρˆ(t) .
(4.5.31)
• Assim sendo calculemos o tra¸co do quadrado de ρˆ(t): Tr(ˆ ρ(t)2 ) =
X n,m
=
X
pi pj
i,j
X
hun |ˆ ρ(t)|um ihum|ˆ ρ(t)|un i =
cjn (t)∗ cin (t)
X
cim (t)∗ cjm (t) =
X
m
n
≤
X
pp =
i,j
X i
p
i
X
cin (t)cim (t)∗ cjm (t)cjn (t)∗
n,m
i,j
X i,j
i j
pi pj
pi pj hΨj (t)|Ψi (t)ihΨi (t)|Ψj (t)i
X
pj = 1 ,
j
(4.5.32)
onde usamos a desigualdade de Schwarz |hΨi (t)|Ψj (t)i| ≤
p
hΨi (t)|Ψi (t)ihΨj (t)|Ψj (t)i = 1 .
(4.5.33)
Deste modo Tr(ˆ ρ(t)2 ) ≤ 1 ,
(4.5.34)
sendo a desigualdade saturada apenas para um estado puro. Vemos, tal como anunciado, que esta propriedade e a anterior distinguem a matriz de densidade de um estado puro e de um estado mistura. • Notemos ainda que o operador densidade ´e definido positivo; para um ket arbitr´ario |Φi hΦ|ˆ ρ(t)|Φi =
X i
pi hΦ|Ψi (t)ihΨi(t)|Φi =
X i
pi |hΦ|Ψi (t)i|2 ≥ 0 .
(4.5.35)
4.5 Mecˆ anica Quˆ antica Estat´ıstica
4.5.3
137
O operador de evolu¸c˜ ao e a evolu¸c˜ ao de um estado puro
Devido `a linearidade e homogeneidade da equa¸c˜ao de Schr¨odinger, existe um operador linear, denominado operador de evolu¸c˜ao que relaciona o estado inicial de um sistema |Ψ(t0 )i com o estado do sistema num instante posterior |Ψ(t)i, atrav´es de |Ψ(t)i = Uˆ (t, t0 )|Ψ(t0 )i .
(4.5.36)
ˆ. Uˆ (t0 , t0 ) = 1
(4.5.37)
Obviamente
Substituindo na equa¸c˜ao de Schr¨odinger i~
d|Ψ(t)i ˆ = H(t)|Ψ(t)i ⇔ dt
ˆ 0 , t) dU(t i ˆ ˆ U (t0 , t)|Ψ(t0 )i . |Ψ(t0 )i = − H(t) dt ~
(4.5.38)
Em geral, usando a condi¸c˜ao inicial (4.5.37), podemos escrever formalmente a solu¸c˜ao desta equa¸c˜ao como ˆ− i Uˆ (t, t0 ) = 1 ~
Z
t
ˆ ′ )Uˆ (t′ , t0 )dt′ . H(t
(4.5.39)
t0
No caso particular de um Hamiltoniano n˜ao depender do tempo (sistemas conservativos) a solu¸c˜ao expl´ıcita fica ˆ ˆ t0 ) = e−i(t−t0 )H/~ U(t, .
(4.5.40)
Uma importante propriedade da evolu¸c˜ao de um sistema quˆantico ´e a conserva¸c˜ao da norma ou equivalentemente, a conserva¸c˜ao da probabilidade. Logo requeremos que hΨ(t0 )|Ψ(t0 )i = hΨ(t)|Ψ(t)i
⇔
ˆ 0 , t)† Uˆ (t0 , t)|Ψ(t0 )i , hΨ(t0 )|Ψ(t0 )i = hΨ(t0 )|U(t (4.5.41)
ou seja ˆ, Uˆ (t0 , t)† Uˆ (t0 , t) = 1
(4.5.42)
o operador de evolu¸c˜ao deve ser unit´ario. Note-se que no caso de sistemas conservativos, onde Uˆ tem a forma (4.5.40) isso ´e garantido se o Hamiltoniano for Herm´ıtico. Unitariedade ´e uma importante propriedade em teorias quˆanticas. De um modo mais geral significa que as probabilidades est˜ao bem definidas e s˜ao conservadas. Tecnicamente, significa que o
138
Formalismo Matem´ atico e Postulados da Mecˆ anica Quˆ antica
espa¸co de Hilbert ´e positivo definido (n˜ao h´a normas negativas) e o operador de evolu¸c˜ao ´e unit´ario. Consideremos agora a evolu¸c˜ao de um estado puro. A matriz de densidade pode-se escrever ˆ 0 , t)ˆ ˆ 0 , t)† . ρˆ(t) = |Ψ(t)ihΨ(t)| = Uˆ (t0 , t)|Ψ(t0 )ihΨ(t0 )|Uˆ (t0 , t)† = U(t ρ(t0 )U(t
(4.5.43)
Logo, ˆ 0 , t)ˆ ˆ 0 , t)† Uˆ (t0 , t)ˆ Tr(ˆ ρ(t)2 ) = Tr(U(t ρ(t0 )U(t ρ(t0 )Uˆ (t0 , t)† ) ,
(4.5.44)
ou, usando a unitariedade do operador de evolu¸c˜ao e a propriedade c´ıclica do tra¸co, Tr(ˆ ρ(t)2 ) = Tr(ˆ ρ(t0 )2 ) = 1 ,
(4.5.45)
pela rela¸c˜ao (4.5.21). Assim, num sistema quˆantico unit´ario um estado puro evolui sempre para um estado puro. Na d´ecada de 1970, Stephen Hawking mostrou que existe um processo quˆantico pelo qual os buracos negros, que classicamente s´o absorvem, emitem radia¸c˜ao, denominada radia¸c˜ao de Hawking. Esta radia¸c˜ao parecia ser, na aproxima¸c˜ao usada por Hawking, t´ermica, e como tal um estado mistura. Extrapolando o processo de Hawking at´e o buraco negro desaparecer completamente devido `a emiss˜ao de radia¸c˜ao, parece que o resultado final seria a existˆencia de apenas radia¸c˜ao t´ermica e como tal um estado mistura. Por outro lado, o buraco negro poderia ter sido formado pelo colapso gravitacional de estados puros. Hawking concluiu que, em gravita¸c˜ao quˆantica, a evolu¸c˜ao n˜ao poderia ser unit´aria, pois estados puros poderiam evoluir para estados mistura. Esta aparente contradi¸c˜ao entre gravita¸c˜ao quˆantica e um princ´ıpio fundamental da teoria quˆantica foi baptizado de ‘paradoxo da informa¸c˜ao’. Embora o problema n˜ao esteja completamente resolvido, acredita-se hoje, que a unitariedade ´e tamb´em v´alida em gravita¸c˜ao quˆantica e a aproxima¸c˜ao usada por Hawking n˜ao estava correcta.
4.6 Sum´ ario
4.6
139
Sum´ ario
Estabelecemos a linguagem da mecˆanica quˆantica que ´e uma linguagem de estados e operadores cuja representa¸c˜ao abstracta se faz na nota¸c˜ao de Dirac. Em muitos problemas concretos escolhem-se bases discretas para os representar como vectores e matrizes respectivamente. Da´ı a designa¸c˜ao deste formalismo por mecˆanica matricial de Heisenberg. Este formalismo ´e muito apropriado para lidar com graus de liberdade abstractos que vivem em espa¸cos vectoriais internos, como o spin ou a polariza¸c˜ao de fot˜oes como ser´a visto em Mecˆanica Quˆantica II. Numa ‘base’ cont´ınua como a representa¸c˜ao |xi o estado do sistema |Ψ(t)i tem como componentes a fun¸c˜ao de onda do cap´ıtulo 3, Ψ(~x, t). Assim o formalismo geral faz o contacto com a mecˆanica ondulat´oria de Schr¨odinger do cap´ıtulo 3, que como vimos ´e intuitiva dado usar a bem conhecida f´ısica das ondas. Estabelecemos um conjunto de postulados que podem ser vistos como as regras b´asicas do formalismo quˆantico e aprendemos a usar essas regras num sistema cl´assico atrav´es da quantifica¸c˜ao deste. Em particular discutimos que a representa¸c˜ao matem´atica do princ´ıpio da incerteza de Heisenberg no formalismo de operadores aparece na forma de operadores que n˜ao comutam. Notamos tamb´em que os valores m´edios das grandezas f´ısicas num sistema quˆantico se comportam como as grandezas cl´assicas do cap´ıtulo 1 estabelecendo um princ´ıpio de correspondˆencia entre a mecˆanica quˆantica e a sua aproxima¸c˜ao cl´assica. Discutimos mecˆanica quˆantica estat´ıstica em que o estado do sistema s´o ´e conhecido probabilisticamente. Isto levou-nos a distinguir estados puros e estados mistura, mas pela introdu¸c˜ao da matriz de densidade podem ambos os tipos ser tratados de um modo unificado. Finalmente vimos que uma evolu¸c˜ao unit´aria n˜ao pode transformar um estado puro num estado mistura.
CAP´ITULO
5
Exemplos de Quantifica¸c˜ ao Can´ onica
Neste cap´ıtulo vamos voltar ao problema do oscilador harm´onico e ao problema de Larmor tratados no cap´ıtulo 1, usando as regras do cap´ıtulo 4 para os tratar como problemas quˆanticos.
5.1
Oscilador Harm´ onico Quˆ antico em Uma Dimens˜ ao
Na sec¸c˜ao 4.4.3 vimos a forma do operador Hamiltoniano para um sistema com Hamiltoniano cl´assico dado por H = Ecin + Epot . Especializando para o potencial do oscilador harm´onico, obtemos o operador Hamiltoniano 2 ˆ2 ˆ = P + mω X ˆ2 , H 2m 2
(5.1.1)
e, usando as regras de quantifica¸c˜ao can´onica impomos as rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao h i ˆ ˆ ˆ. X, P = i~1
(5.1.2)
Dada a forma do potencial (figura 1.3) naturalmente teremos estados ligados, pelo que esperamos que o conjunto de estados seja discreto, correspondendo ao facto de as energias poss´ıveis estarem quantificadas. O nosso objectivo ´e encontrar os valores pr´oprios En e
142
Exemplos de Quantifica¸c˜ ao Can´ onica
fun¸c˜oes pr´oprias |ni da equa¸c˜ao de Schr¨odinger independente do tempo ˆ H|ni = En |ni .
(5.1.3)
Introduzimos os operadores aˆ e o seu adjunto aˆ† (note-se que n˜ao s˜ao operadores herm´ıticos) r r i 1 i mω ˆ mω ˆ 1 † ˆ ˆ X+√ X−√ P , a ˆ =√ P , (5.1.4) a ˆ=√ ~ ~ 2 2 mω~ mω~ que s˜ao designados, respectivamente, por operador de destrui¸c˜ao e operador de cria¸c˜ao. Calculando o seu produto obtemos 1 mω ˆ 2 1 ˆ2 i h ˆ ˆi † a ˆa ˆ= X + P + X, P 2 ~ mω~ ~
⇔
a ˆ† a ˆ=
ˆ 1 ˆ 1 H− , ~ω 2
(5.1.5)
ou, equivalentemente ˆ ˆ = ~ω N ˆ+1 H 2
!
.
(5.1.6)
ˆ ≡a onde definimos o operador de n´ umero N ˆ† aˆ, que ´e herm´ıtico, o que ´e consistente com o
facto de o Hamiltoniano tamb´em o ser. Note-se que a tradu¸ca˜o para os operadores a ˆea ˆ† da rela¸c˜ao de comuta¸c˜ao ´e 1 ˆ ˆ ˆ ˆ [ˆ a, a ˆ ]= −i[X, P ] + i[P , X] , 2~
(5.1.7)
ˆ. [ˆ a, a ˆ† ] = 1
(5.1.8)
†
ou seja
ˆ e os operadores de Calculemos tamb´em os comutadores entre o operador de n´ umero N cria¸c˜ao e destrui¸c˜ao:
5.1.1
ˆ, a [N ˆ] = [ˆ a† a ˆ, a ˆ] = [ˆ a† , a ˆ]ˆ a+a ˆ† [ˆ a, a ˆ] = −ˆ a,
(5.1.9)
ˆ, a [N ˆ† ] = [ˆ a† a ˆ, a ˆ† ] = [ˆ a† , a ˆ† ]ˆ a+a ˆ† [ˆ a, a ˆ† ] = a ˆ† .
(5.1.10)
O espectro de energia do Oscilador Harm´ onico Quˆ antico
As grandezas f´ısicas que associamos ao oscilador harm´onico s˜ao a posi¸c˜ao, momento e ˆ Pˆ , H ˆ n˜ao comutam, o C.C.O.C. contem energia. Como os seus operadores associados X,
5.1 Oscilador Harm´ onico Quˆ antico em Uma Dimens˜ ao
143
apenas uma destas quantidades, que escolhemos ser a energia, ou, equivalentemente, o ˆ operador de n´ umero N ˆ . C.C.O.C. = {N}
(5.1.11)
Assim, vamos escrever o estado do sistema usando como base os vectores pr´oprios do operador de n´ umero, denotados por |ni, cujos valores pr´oprios ir˜ao ser n´ umeros inteiros que servem de r´otulo para os vectores pr´oprios. Os vectores do conjunto {|ni} s˜ao necessariamente ortogonais, mas para j´a nada assumiremos acerca da sua normaliza¸c˜ao. A energia do estado pr´oprio |ni ´e dada por (5.1.3), o que implica que ˆ hn|H|ni = ~ω En = hn|ni
hn|ˆ a† a ˆ|ni 1 + hn|ni 2
= ~ω
||ˆ a|ni||2 1 + hn|ni 2
≥
~ω . 2
(5.1.12)
Assim, existe um estado de energia m´ınima para o oscilador harm´onico, dito o estado fundamental ou “v´acuo”, que vamos rotular com n = 0 e definido por a ˆ|0i = 0
⇒
E0 =
~ω . 2
(5.1.13)
Desde j´a notamos uma diferen¸ca fundamental com a mecˆanica cl´assica: o estado fundamental n˜ao tem energia zero - como em mecˆanica cl´assica - mas antes E0 = ~ω/2, designada energia do ponto zero. Este facto est´a intrinsecamente ligado ao princ´ıpio da incerteza; uma energia nula do estado fundamental implicaria uma part´ıcula congelada em x = 0 = p; mas pelo princ´ıpio da incerteza isso n˜ao pode acontecer. De facto, podemos encontrar o valor (5.1.13) minimizando a express˜ao cl´assica da energia com a condi¸c˜ao de que xp = ~/2: E(x, p) =
p2 mω 2 2 + x 2m 2
xp=~/2
⇔
E(x) =
~2 mω 2 2 + x , 8mx2 2
(5.1.14)
que extremizando 0=
dE ~2 =− + mω 2 x dx 4mx3
⇔
x2 =
~ , 2mω
(5.1.15)
valor para o qual a energia do oscilador harm´onico ´e E = ~ω/2. Existe evidˆencia experimental para a existˆencia da energia do ponto zero e at´e mesmo uma manifesta¸c˜ao macrosc´opica:o efeito Casimir em teoria quˆantica de campo.
144
Exemplos de Quantifica¸c˜ ao Can´ onica
A ac¸c˜ao do operador de destrui¸c˜ao no estado fundamental aniquila-o. Logo, o estado ˆ com valor pr´oprio zero. Consideremos agora o fundamental ´e um vector pr´oprio de N estado obtido pela ac¸c˜ao no estado fundamental do operador de cria¸c˜ao, a ˆ† |0i. Actuando
ˆ com N
ˆ aˆ† |0i = [N ˆ, a ˆ |0i = a ˆ |0i = a ˆ† |0i , N ˆ† ] + aˆ† N ˆ† + aˆ† N
(5.1.16)
|1i ≡ a ˆ† |0i .
(5.1.17)
ˆ aˆ† |1i = a ˆ |1i = 2ˆ N ˆ† + a ˆ† N a† |1i ,
(5.1.18)
ˆ com valor pr´oprio 1; assim, denotamos ou seja, a ˆ† |0i ´e um estado pr´oprio de N
Analogamente
ˆ com valor pr´oprio 2. O padr˜ao que descobrimos ou seja, a ˆ† |1i ≡ |2i ´e vector pr´oprio de N pode ser agora sistematizado: ˆ com valor pr´oprio n ∈ N0 . Logo Teorema: Seja |ni um vector pr´oprio de N i) |ni tem energia
1 En = ~ω n + 2
;
(5.1.19)
ˆ com valor pr´oprio n + 1; ii) a ˆ† |ni ≡ |n + 1i ´e um vector pr´oprio de N ˆ com valor pr´oprio n − 1 (note-se a consistˆencia iii) a ˆ|ni = n|n − 1i ´e vector pr´oprio de N com a ˆ|0i = 0). Demonstra¸c˜ao: ˆ Logo i) A energia ´e o valor pr´oprio de H. ˆ ˆ ˆ+1 H|ni = ~ω N 2
!
1 |ni = ~ω n + |ni , 2
(5.1.20)
de onde concluimos que a energia do estado |ni ´e dada por (5.1.19). Este ´e o espectro de energia do oscilador harm´onico, que como esperado exibe quantifica¸c˜ao de energia - figura 5.1;
5.1 Oscilador Harm´ onico Quˆ antico em Uma Dimens˜ ao
145
E V(x)
5~ω/2 3~ω/2 ~ω/2
x
Figura 5.1: N´ıveis de energia permitidos para o oscilador harm´onico quˆantico, marcados pelas linhas horizontais, correspondentes `a rela¸c˜ao (5.1.19). ii) ˆ |n+1i = N ˆa N ˆ† |ni
(5.1.10)
=
†
a ˆ
ˆ ˆ 1 + N |ni = (n+1)ˆ a† |ni = (n+1)|n+1i , (5.1.21)
ˆ com valor pr´oprio n + 1; o que mostra que |n + 1i ´e um vector pr´oprio de N iii) ˆa nNˆ |n−1i = N ˆ|ni
(5.1.9)
=
ˆ −1 ˆ |ni = (n−1)ˆ a ˆ N a|ni = n(n−1)|n−1i , (5.1.22)
ˆ com valor pr´oprio n − 1. (q.e.d.) o que mostra que |n − 1i ´e um vector pr´oprio de N Note-se que no ponto iii), o factor de n tem que aparecer por consistˆencia; de facto ˆ + 1)|n ˆ − 1i = n|n − 1i . |ni = aˆ† |n − 1i ⇒ aˆ|ni = aˆa ˆ† |n − 1i = (N
(5.1.23)
Deste modo compreendemos a terminologia que introduzimos: o operador de N´ umero d´a-nos o n´ umero de quant˜oes de energia no estado que estamos a considerar; o operador de cria¸c˜ao/destrui¸c˜ao transformam um dado estado num outro com mais/menos um quant˜ao de energia. Finalmente discutamos a normaliza¸c˜ao dos estados {|ni}. Vamos assumir que |0i est´a normalizado, h0|0i = 1. Logo ˆ ˆ + N|0i h1|1i = h0|ˆ aaˆ† |0i = h0|1 =1,
(5.1.24)
o que mostra que |1i tamb´em est´a normalizado, mas ˆ ˆ + N|1i h2|2i = h1|ˆ aaˆ† |1i = h1|1 =2,
(5.1.25)
146
Exemplos de Quantifica¸c˜ ao Can´ onica
que j´a n˜ao est´a normalizado. Mostremos por indu¸c˜ao matem´atica que hn|ni = n! :
(5.1.26)
Acabamos de mostrar que este resultado ´e verdade para n = 1. Assumindo (5.1.26) consideramos ˆ |ni = (n + 1)hn|ni = (n + 1)! , ˆ+N hn + 1|n + 1i = hn|ˆ aa ˆ† |ni = hn|1
(5.1.27)
o que prova a tese. Assim introduzimos a base ortonormalizada no espa¸co de estados {|Φn i} definidos como
|ni |Φn i ≡ √ , n!
(5.1.28)
hΦn |Φm i = δnm .
(5.1.29)
e obedecendo a
Notemos que, em termos destes estados normalizados, a ˆ† |ni = |n + 1i
a ˆ† |Φn i =
⇔
√
n + 1|Φn+1 i ,
(5.1.30)
√
(5.1.31)
e de um modo semelhante a ˆ|ni = n|n − 1i
5.1.2
⇔
a ˆ|Φn i =
n|Φn−1 i .
As fun¸ c˜ oes de onda para o oscilador harm´ onico
O grau de liberdade primordial do oscilador harm´onico ´e a sua posi¸c˜ao espacial. Logo, estamos interessados em conhecer as fun¸c˜oes de onda no espa¸co de configura¸c˜oes, Φn (x), que est˜ao associadas aos estados normalizados |Φn i. Estas fun¸c˜oes de onda dizem-nos, como habitualmente, a amplitude de probabilidade espacial para encontrar a part´ıcula quˆantica que se encontra nesse estado |Φn i. A convers˜ao de |Φn i para Φn (x) faz-se usando a representa¸c˜ao |xi da sec¸c˜ao 4.4.2; Φn (x) s˜ao vistos como as componentes da expans˜ao da fun¸c˜ao de onda nesta base: |Φn i =
Z
dxΦn (x)|xi .
(5.1.32)
5.1 Oscilador Harm´ onico Quˆ antico em Uma Dimens˜ ao
147
Vamos agora construir explicitamente essas fun¸c˜oes de onda. Come¸camos pelo v´acuo, que ´e definido por a ˆ|0i = 0
⇔
a ˆ|Φ0 i = 0
⇔
1 √ 2
r
mω ˆ i Pˆ |Φ0 i = 0 . X+√ ~ mω~
(5.1.33)
Usando a representa¸c˜ao |xi, isto ´e projectando esta equa¸c˜ao num bra hx|: r r d mω i mω ~ (4.4.24),(4.4.25) ˆ 0 i+ √ hx|Pˆ |Φ0 i = 0 ⇔ hx|X|Φ xhx|Φ0 i+ √ hx|Φ0 i = 0 , ~ ~ mω~ mω~ dx (5.1.34) ou, finalmente, usando a tabela da sec¸c˜ao 4.4.2 e a expans˜ao (5.1.32) temos hx|Φ0 i = Φ0 (x) e como tal
d mω + x Φ0 (x) = 0 . dx ~
(5.1.35)
A solu¸c˜ao desta equa¸c˜ao diferencial de primeira ordem ´e mω
2
Φ0 (x) = C0 e− 2~ x ,
(5.1.36)
onde tomamos a constante de integra¸c˜ao como mω 1/4 C0 = , π~
(5.1.37)
de modo que a fun¸c˜ao de onda Φ0 (x) esteja normalizada, pois o estado |Φ0 i est´a normalizado. Note-se que a solu¸c˜ao normalizada ´e u ´ nica e por isso o estado fundamental ´e n˜ ao degenerado. Na pr´atica, (5.1.35) resultou de (5.1.33) pelas substitui¸c˜oes d ˆ Pˆ , |Φn i) −→ (X, x, −i~ , Φn (x) , dx
(5.1.38)
com n = 0. Com isto em mente construimos as fun¸c˜oes de onda para os pr´oximos estados do seguinte modo: √
†
ˆ |Φn i n + 1|Φn+1 i = a
⇔
√
1 n + 1|Φn+1 i = √ 2
r
ou, usando a nossa substitui¸c˜ao (5.1.38) s mω d ~ Φn+1 (x) = Φn (x) , x− 2mω(n + 1) ~ dx
mω ˆ i ˆ P |Φn i , X−√ ~ mω~ (5.1.39)
n ∈ N0 .
(5.1.40)
148
Exemplos de Quantifica¸c˜ ao Can´ onica
Deste modo, obtemos para Φ1 (x) r
2mω − mω x2 xe 2~ , ~
(5.1.41)
mω 2 2mω 2 x − 1 e− 2~ x . ~
(5.1.42)
Φ1 (x) = C0 e para Φ2 (x) C0 Φ2 (x) = √ 2
´ agora f´acil de concluir que todas as fun¸c˜oes de onda s˜ao do tipo E r mω −χ2 /2 x, Φn (χ) = Cn Hn (χ)e , χ≡ ~
(5.1.43)
onde Cn ´e uma constante e Hn ´e um polin´omio de grau n e com paridade bem definida
(−1)n (1=par, −1=´ımpar). Usando esta forma para a fun¸c˜ao de onda em (5.1.40) obtemos d 1 2 −χ2 /2 χ− (5.1.44) Cn Hn (χ)e−χ /2 , Cn+1 Hn+1 (χ)e =p dχ 2(n + 1)
que ´e obedecido escolhendo
Cn Cn+1 = p , 2(n + 1)
Hn+1 (χ) = 2χHn (χ) −
d Hn (χ) . dχ
(5.1.45)
A f´ormula de recorrˆencia para os polin´omios define os polin´omios de Hermite. Os quatro primeiros s˜ao H0 = 1 ,
H1 = 2χ ,
H2 = 4χ2 − 2 ,
H3 = 8χ3 − 12χ .
(5.1.46)
Resumimos a situa¸c˜ao respeitante aos primeiros estados estacion´arios (dado que o estado Φn tem energia constante) do oscilador harm´onico na seguinte tabela: Estado Normalizado Componentes na representa¸c˜ao |xi Paridade 2 /2
|Φ0 i = |0i
Φ0 (χ) = C0 e−χ
|Φ1 i = |1i √ |Φ2 i = |2i/ 2 √ |Φ3 i = |3i/ 3!
Φ1 (χ) = C1 (2χ)e−χ
...
2 /2
Φ2 (χ) = C2 (4χ2 − 2)e−χ
2 /2
Φ3 (χ) = C3 (8χ3 − 12χ)e−χ ...
2 /2
Energia
Par
~ω/2
´Impar
3~ω/2
Par
5~ω/2
´Impar
7~ω/2
...
...
5.1 Oscilador Harm´ onico Quˆ antico em Uma Dimens˜ ao
149
Figura 5.2: Fun¸c˜oes de onda para n = 0, 1, 2 e n = 10 do oscilador Harm´onico e as respectivas densidades de probabilidade. Na nota¸c˜ao da figura Φn = ϕn . (Extra´ıdo de Cohen et al, ‘Quantum Mechanics’). Note-se que para cada n´ıvel de energia a fun¸c˜ao de onda (normalizada) ´e u ´ nica, pelo que o espectro ´e n˜ao degenerado. Na figura 5.2 representamos as fun¸c˜oes de onda para os n´ıveis n = 0, 1, 2 e n = 10. Concluimos com o coment´ario de que se pode mostrar matematicamente que as fun¸c˜oes ˆ e {Φn (x)} formam uma base do espa¸co de fun¸c˜oes sobre R, que ´e necess´ario para que N
ˆ seja observ´aveis. H
5.1.3
Resolu¸c˜ ao directa da equa¸ c˜ ao de Schr¨ odinger
` semelhan¸ca do que fizemos no cap´ıtulo 3, pod´ıamos ter procurado os estados estacion´arios A resolvendo directamente a equa¸c˜ao de Schr¨odinger. Tomando a fun¸c˜ao de onda Ψ(x, t) = Φ(x)e−iEt/~ ,
(5.1.47)
150
Exemplos de Quantifica¸c˜ ao Can´ onica
obtinhamos a equa¸c˜ao para a fun¸c˜ao de onda espacial (3.2.5) especializada para o potencial do oscilador harm´onico
mω 2 2 ~2 d 2 + x Φ(x) = EΦ(x) . − 2m dx2 2
(5.1.48)
Como da nossa an´alise da sec¸c˜ao anterior j´a sabemos a resposta, usamos como ansatz a forma mω
2
Φ(x) = f (x)e− 2~ x ,
(5.1.49)
de modo a que (5.1.48) toma a forma 2mω ′ 2m f (x) − xf (x) + 2 ~ ~ ′′
~ω E− 2
f (x) = 0 .
(5.1.50)
Procuremos uma solu¸c˜ao como uma s´erie de potˆencias: f (x) =
∞ X
n
an x
n=0
⇒
′
f (x) =
∞ X
n−1
nan x
⇒
n=0
′′
f (x) =
∞ X n=0
n(n − 1)an xn−2 , (5.1.51)
de modo que a equa¸c˜ao diferencial para f (x) fica ∞ X 1 2m an xn = 0 . (n + 2)(n + 1)an+2 + 2 E − ~ω n + ~ 2 n=0
(5.1.52)
Para a equa¸c˜ao ser obedecida para todo o x todos os termos na s´erie tˆem de ser zero; obtemos portanto a rela¸c˜ao de recorrˆencia (n + 2)(n + 1)an+2
2m = 2 ~
1 − E an . ~ω n + 2
(5.1.53)
Para compararmos com a an´alise da sec¸c˜ao anterior ´e conveniente usar a vari´avel χ introduzida em (5.1.43). Em termos desta vari´avel f (x) =
∞ X n=0
n
an x
→ f (χ) =
∞ X
n
bn χ ,
n=0
com bn =
~ mω
n/2
an .
(5.1.54)
A rela¸c˜ao de recorrˆencia fica (n + 2)(n + 1)bn+2
2E bn . = 2n + 1 − ~ω
(5.1.55)
5.1 Oscilador Harm´ onico Quˆ antico em Uma Dimens˜ ao
151
Vamos assumir que a s´erie ´e finita; voltaremos a este ponto mais em baixo. Para a s´erie ser finita ´e necess´ario que o coeficiente do bn se torne zero para algum n; isto restringe os valores poss´ıveis para a energia; existe um n0 ∈ N0 para o qual 2E = 2n0 + 1 , ~ω
(5.1.56)
o que n˜ao ´e mais do que o nosso espectro de energias. Obtemos assim a quantifica¸c˜ao da energia, usando directamente a equa¸c˜ao de Schr¨odinger ~ω 3~ω 5~ω 7~ω , , , , . . . , para n0 = (0, 1, 2, . . .) . En0 = 2 2 2 2
(5.1.57)
Deste modo a rela¸c˜ao de recorrˆencia para o polin´omio fn0 (χ) fica (n + 2)(n + 1)bn+2 = 2(n − n0 )bn .
(5.1.58)
Como a rela¸c˜ao de recorrˆencia relaciona termos de ordem par ou termos de ordem ´ımpar, para a s´erie ser finita, temos de tomar unicamente os termos com a paridade de n0 . Assim temos • Para n0 = 0 a s´erie s´o tem o termo b0 cujo valor ´e arbitr´ario; tomamos b0 = 1; o polin´omio correspondente ´e f0 (χ) = 1 ;
(5.1.59)
• Para n0 = 1 a s´erie s´o tem o termo b1 cujo valor ´e arbitr´ario; tomamos b1 = 2; o polin´omio correspondente ´e f1 (χ) = 2χ ;
(5.1.60)
• Para n0 = 2 a s´erie tem o termo b0 = 1 e b2 = −2; o polin´omio correspondente ´e f2 (χ) = 1 − 2χ2 ;
(5.1.61)
• Para n0 = 3 a s´erie tem o termo b1 = 2 e b3 = −4/3; o polin´omio correspondente ´e 4 f3 (χ) = 2χ − χ3 ; 3
(5.1.62)
152
Exemplos de Quantifica¸c˜ ao Can´ onica
etc.
Claro que estes polin´omios s˜ao todos proporcionais aos polin´omios de Hermite,
fn0 (χ) ∝ Hn0 (χ). De facto, a s´erie (5.1.58) define o polin´omio de Hermite Hn0 . Obtemos deste modo tanto o espectro de energias como as fun¸c˜oes de onda da sec¸c˜ao anterior. Falta-nos justificar a hip´otese fundamental de que a s´erie (5.1.53) tem de ser finita. Esta condi¸c˜ao surge de requerer que a fun¸c˜ao de onda seja normaliz´avel. De facto, as fun¸c˜oes de onda tomam a forma
∞ X
n
an x n=0 Ψ(x, t) = e−iEt/~ mω x2 e 2~
Podemos escrever
mωx2 /(2~)
e
=
∞ X
cn xn ,
com c2n =
n=0
. mω n 1 , 2~ n!
(5.1.63)
(5.1.64)
e como tal c2n+2 mω 1 = c2n 2~ n + 1
n→∞
≃
mω , 2~n
(5.1.65)
enquanto que por (5.1.53)
an+2 an
n→∞
≃
2mω . ~n
(5.1.66)
mω . ~n
(5.1.67)
Assim, se tomarmos a parte par da s´erie dos an , a2n+2 a2n
n→∞
≃
Concluimos que para n suficientemente grande a2n+2 c2n+2 > , a2n c2n
(5.1.68)
pelo que a divis˜ao das duas s´eries n˜ao poder´a tender para zero quando |x| → ∞ e como tal o m´odulo da fun¸c˜ao de onda (5.1.63) n˜ao ir´a tender para zero o que implica que a fun¸c˜ao de onda n˜ao ser´a normaliz´avel. Se a s´erie dos an tiver apenas parte ´ımpar podemos ainda majorar a s´erie dos cn extraindo portanto a mesma conclus˜ao relativa `a normaliza¸c˜ao da fun¸c˜ao de onda.
5.1 Oscilador Harm´ onico Quˆ antico em Uma Dimens˜ ao
5.1.4
153
Valor m´ edio e desvio padr˜ ao de x e p
ˆ e Pˆ em termos dos operUsando (5.1.4) expressamos os operadores posi¸c˜ao e momento X adores de cria¸c˜ao e destrui¸c˜ao: r ~ ˆ= X a ˆ† + a ˆ , 2mω
r
Pˆ = i
mω~ † a ˆ − aˆ . 2
(5.1.69)
ˆ Logo, a ac¸c˜ao destes operadores num estado estacion´ario Note-se a hermiticidade de Pˆ e X.
´e
r
√ ~ √ n + 1|Φn+1 i + n|Φn−1 i , 2mω r √ mω~ √ n + 1|Φn+1 i − n|Φn−1 i , Pˆ |Φn i = i 2 ˆ ni = X|Φ
(5.1.70) (5.1.71)
e como tal obtemos os elementos de matriz
ˆ = hΦn |X|Φ ˆ n i = 0 = hΦn |Pˆ |Φn i = hPˆ i . hXi
(5.1.72)
Assim concluimos que o valor m´edio da posi¸c˜ao e do momento s˜ao zero em qualquer estado estacion´ario. O desvio padr˜ao ´e calculado pela express˜ao (4.4.8): 1 n+ , 2 (5.1.73) mω~ 1 2 2 2 2 † 2 † † ˆ ˆ (∆p) = hP i = hΦn |P |Φn i = − , hΦn |ˆ a + (ˆ a ) −a ˆa ˆ −a ˆa ˆ|Φn i = mω~ n + 2 2 (5.1.74) ˆ 2 i = hΦn |X ˆ 2 |Φn i = (∆x) = hX 2
~ ~ hΦn |ˆ a2 + (ˆ a† )2 + a ˆa ˆ† + a ˆ† a ˆ|Φn i = 2mω mω
onde a contribui¸c˜ao n˜ao trivial vem dos termos aˆa ˆ† e a ˆ† aˆ usando (5.1.30) e (5.1.31). Logo ~ 1 ∆x∆p = ~ n + ≥ , (5.1.75) 2 2 em concordˆancia com o princ´ıpio de incerteza. Os estados estacion´arios |Ψn i n˜ao tˆem equivalente cl´assico, dado que tˆem valores m´edios zero para momento e posi¸c˜ao e ao mesmo ˆ e hPˆ i cortempo energia diferente de zero. Pelo teorema de Ehrenfest os valores m´edios hXi respondem `as vari´aveis cl´assicas e a u ´ nica situ¸c˜ao em que um oscilador harm´onico cl´assico tem x(t) = 0 = p(t) ´e quando tem energia nula. Contudo, sobrepondo estados estacion´arios podemos construir estados cuja m´edia se comporta como um oscilador cl´assico.
154
Exemplos de Quantifica¸c˜ ao Can´ onica
Seja o estado inicial dado pela sobreposi¸c˜ao |Ψ(0)i = No instante t, |Ψ(t)i =
∞ X n=0
∞ X n=0
cn (0)|Φn i .
cn (0)e−iEn t/~|Φn i =
∞ X n=0
(5.1.76)
cn (0)e−iω(n+1/2)t |Φn i .
(5.1.77)
ˆ hXi(t) ˆ ˆ Logo obtemos para o valor m´edio de X, = hΨ(t)|X|Ψ(t)i, r ∞ ∞ √ √ ~ XX ∗ iω(m−n)t ˆ hΦm |cm (0)cn (0)e n + 1|Φn+1 i + n|Φn−1 i , hXi(t) = 2mω n=0 m=0 r ∞ ∞ √ √ ~ XX ∗ n + 1δm,n+1 + nδm,n−1 , = cm (0)cn (0)eiω(m−n)t 2mω n=0 m=0 ! " ∞ # ! r ∞ X X √ √ ~ n + 1cn (0)c∗n+1 (0) eiωt + ncn (0)c∗n−1 (0) e−iωt . = 2mω n=0 n=0 (5.1.78) ˆ Note-se que se apenas um dos cn (0) for n˜ao nulo ent˜ao obtemos imediatamente hXi(t) = 0, tal como discutido anteriormente. Se definirmos ∞ X √ n + 1cn (0)c∗n+1 (0) , z≡
(5.1.79)
n=0
ent˜ao ∗
z =
∞ X √
n+
1c∗n (0)cn+1 (0)
m≡n+1
=
∞ X √
m=1
n=0
mc∗m−1 (0)cm (0)
=
∞ X √
mcm (0)c∗m−1 (0) ,
m=0
(5.1.80)
reescrevemos (5.1.78) como r
~ zeiωt + z ∗ e−iωt , (5.1.81) 2mω p ou, expressando o n´ umero complexo z = mω/(2~)Aeiφ0 , onde A e φ0 s˜ao n´ umeros reais, ˆ hXi(t) =
temos
ei(ωt+φ0 ) + e−i(ωt+φ0 ) = A cos(ωt + φ0 ) . (5.1.82) 2 Assim, o valor m´edio de uma sobreposi¸c˜ao de estados estacion´arios do oscilador harm´onico ˆ hXi(t) =A
quˆantico evolui de acordo com a teoria do oscilador cl´assico (1.1.6), em concordˆancia com o teorema da correspondˆencia de Ehrenfest.
5.2 O Oscilador Harm´ onico Quˆ antico em Duas Dimens˜ oes
5.2
155
O Oscilador Harm´ onico Quˆ antico em Duas Dimens˜ oes
O Hamiltoniano cl´assico para um oscilador harm´onico isotr´opico em duas dimens˜oes ´e Hxy =
p2x + p2y µω 2 2 + (x + y 2 ) . 2µ 2
(5.2.1)
A partir de agora designamos por ‘µ’ a massa da part´ıcula. As traject´orias que resolvem o problema cl´assico s˜ao x(t) = xM cos(ωt − φx )
,
(5.2.2)
y(t) = y cos(ωt − φ ) M y
onde xM , yM , φx , φy s˜ao constantes de integra¸c˜ao. O movimento geral ´e el´ıptico, dependendo dos detalhes da diferen¸ca de fase φy − φx : φy − φx = −π
movimento linear na direc¸c˜ao x = −y
0 > φy − φx > −π
movimento retr´ogrado na elipse
φy − φx = 0
movimento linear na direc¸c˜ao x = y
π > φy − φx > 0
movimento directo na elipse
φy − φx = +π
movimento linear na direc¸c˜ao x = −y
Por quantifica¸c˜ao can´onica introduzimos o operador Hamiltoniano i 2 h ˆ2 ˆ2 ˆ xy = P1 + P2 + µω (X ˆ 1 )2 + (X ˆ 2 )2 , (5.2.3) H 2µ 2 ˆ1 e X ˆ 2 s˜ao as observ´aveis associadas `as grandezas f´ısicas x e y sendo Pˆ1 e Pˆ2 os onde X seus momentos can´onicos conjugados. As rela¸c˜oes can´onicas de comuta¸c˜ao s˜ao ˆ k , Pˆj ] = i~δ k . [X j
5.2.1
(5.2.4)
Quant˜ oes lineares
Claramente, temos duas c´opias de tudo o que fizemos na sec¸ca˜o 5.1. Definindo os operadores de cria¸c˜ao aˆ†1 , a ˆ†2 e destrui¸c˜ao como a ˆ1 , a ˆ2 r r µω ˆ j µω ˆ j 1 i ˆ 1 i ˆ † a ˆj = √ X +√ Pj , a ˆj = √ X −√ Pj , ~ ~ µω~ µω~ 2 2
j = 1, 2 (5.2.5)
156
Exemplos de Quantifica¸c˜ ao Can´ onica
obtemos ˆ xy = ~ω N ˆ1 + N ˆ2 + 1 , H
(5.2.6)
ˆj = a com os operadores de n´ umero sendo N ˆ†j a ˆj . As u ´ nicas rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao n˜ao triviais entre estes operadores de cria¸c˜ao e destrui¸c˜ao s˜ao h i ˆ. a ˆi , a ˆ†j = δij 1
(5.2.7)
Claramente podemos tomar como C.C.O.C. n o ˆ1 , N ˆ2 , C.C.O.C = N
(5.2.8)
pelo que a base para o nosso espa¸co de estados ser´a o conjunto de kets {|n1 , n2 i}, com {n1 } ˆ1 e N ˆ2 respectivamente. O espectro de energias ser´a e {n2 } sendo o espectro de N E(n1 ,n2 ) = ~ω(n1 + n2 + 1) ,
(5.2.9)
e as fun¸c˜oes de onda para os estados estacion´arios ser˜ao simplesmente Ψ(n1 ,n2 ) (t, x, y) = Φn1 (x)Φn2 (y)e−iE(n1 ,n2 ) t/~ ,
(5.2.10)
onde Φn ´e dado por (5.1.43). Note que o espectro ´e degenerado.
5.2.2
Quant˜ oes circulares
O potencial do oscilador harm´onico isotr´opico em duas dimens˜oes ´e invariante por rota¸c˜oes ´ por isso natural considerarmos o operador momento angular em torno do eixo Oz. E segundo z; por (4.4.39) ˆ 2 Pˆ1 ˆz = X ˆ 1 Pˆ2 −X L
(5.1.69)
=
i i h i~ h † ˆ2 . ˆ†1 a ˆ1 ) = i~ a ˆ1 aˆ†2 − a a†1 − a ˆ2 ) − (ˆ a†2 + aˆ2 )(ˆ a†2 − a (ˆ a1 + aˆ1 )(ˆ 2 (5.2.11)
ˆ z comuta com H ˆ xy : Vemos facilmente que L h i h i h i ˆ1 + N ˆ2 , L ˆ z = i~ N ˆ1 , a ˆ2 , a N ˆ1 a ˆ†2 − a ˆ†1 a ˆ2 + i~ N ˆ1 a ˆ†2 − a ˆ†1 a ˆ2 = i~(−ˆ a1 a ˆ†2 − a ˆ†1 a ˆ2 + aˆ1 a ˆ†2 + a ˆ†1 aˆ2 ) = 0
.
(5.2.12)
5.2 O Oscilador Harm´ onico Quˆ antico em Duas Dimens˜ oes
157
n o ˆ1 , N ˆ2 poderiamos escolher como C.C.O.C. Assim, em vez de usarmos N n o ˆz, H ˆ xy . C.C.O.C. = L
(5.2.13)
Para o fazermos ´e u ´ til introduzirmos os operadores de cria¸c˜ao e destrui¸c˜ao circulares:1 1 a ˆd = √ (ˆ a1 − iˆ a2 ) , 2
1 a ˆe = √ (ˆ a1 + iˆ a2 ) , 2
(5.2.14)
e os seus adjuntos a ˆ†d , a ˆ†e ; os u ´ nicos comutadores n˜ao triviais s˜ao: [ˆ ad , a ˆ†d ] = 1 = [ˆ ae , a ˆ†e ] .
(5.2.15)
Facilmente vemos que a ˆ†d aˆd
1 † † † † = ˆ2 + iˆ a2 aˆ1 , ˆ2 − iˆ a1 a ˆ1 + a ˆ2 a a ˆ a 2 1
a ˆ†e a ˆe
1 † † † † = ˆ1 . ˆ2 − iˆ a2 a ˆ2 + iˆ a1 a ˆ1 + aˆ2 a a ˆ a 2 1 (5.2.16)
Definindo os operadores de n´ umero circulares ˆd = aˆ† a N d ˆd , temos
ˆe = a N ˆ†e a ˆe ,
H ˆ xy = ~ω N ˆd + N ˆe + 1
ˆ z = ~(N ˆd − N ˆe ) L
(5.2.17)
.
(5.2.18)
Podemos pois como uma outra hip´otese tomar como C.C.O.C. n o ˆe , N ˆd , C.C.O.C. = N
(5.2.19)
e rotular a base no nosso espa¸co de estados como {|ne , nd i}. Os espectros da energia e (da componente z) do momento angular s˜ao E(ne ,nd ) = ~ω(nd + ne + 1) ≡ ~ω(n + 1) ,
lz = ~(nd − ne ) ≡ ~m .
(5.2.20)
Nestas rela¸c˜oes definimos n ≡ nd + ne e m ≡ nd − ne . Podemos agora compreender a
terminologia de quant˜oes circulares. O operador aˆ†d (ˆ a†e ) adiciona ao estado um quant˜ao de 1
Os sub-´ındices d e e significam ‘direita’ e ‘esquerda’.
158
Exemplos de Quantifica¸c˜ ao Can´ onica
momento angular -~- no sentido directo (inverso), para al´em de adicionarem um quant˜ao de energia. Para cada valor da energia, existe uma degenerescˆencia de grau n + 1, correspondendo aos pares (ne , nd ) = [(0, n); (1, n − 1); (2, n − 2); . . . ; (n − 1, 1); (n, 0)] ,
(5.2.21)
que correspondendem aos valores de lz = m~ com m = [n; n − 2; n − 4; . . . ; 2 − n; −n] .
(5.2.22)
Note-se que a ac¸c˜ao dos operadores circulares nos estados {|ne , nd i} ´e dada por a ˆ†d |ne , nd i = |ne , nd + 1i ,
a ˆ†e |ne , nd i = |ne + 1, nd i ,
a ˆd |ne , nd i = nd |ne , nd − 1i ,
5.2.3
(5.2.23)
a ˆe |ne , nd i = ne |ne − 1, nd i .
Fun¸ c˜ oes de Onda para quant˜ oes circulares
Vimos na sec¸c˜ao 5.1.2 que a ac¸c˜ao de operadores de destrui¸c˜ao e cria¸c˜ao lineares ´e dada por, na representa¸c˜ao |xi, 1 aˆi → √ 2
r
µω i x + ~
s
~ ∂ µω ∂xi
!
,
(5.2.24)
1 a ˆ†i → √ 2
r
µω i x − ~
s
~ ∂ µω ∂xi
!
.
(5.2.25)
Logo, usando (5.2.14), a ac¸c˜ao dos operadores de destrui¸c˜ao e cria¸c˜ao circulares ´e dada por2
2
a ˆd
1 → 2
r
aˆ†d
1 → 2
r
Usamos x1 = x e x2 = y.
µω (x − iy) + ~
s
~ µω
∂ ∂ −i ∂x ∂y
!
,
(5.2.26)
µω (x + iy) − ~
s
~ µω
∂ ∂ +i ∂x ∂y
!
.
(5.2.27)
5.2 O Oscilador Harm´ onico Quˆ antico em Duas Dimens˜ oes
159
Os operadores circulares ‘retr´ogrados’ aˆe , a ˆ†e s˜ao obtidos pela transforma¸c˜ao i → −i nas
duas u ´ ltimas express˜oes respectivamente.3 A mudan¸ca para quant˜oes circulares pretendeu usar a simetria de rota¸c˜ao em torno do eixo Oz do problema; ´e pois natural reexpressar
estas quantidades em coordenadas polares: x + iy = ρeiφ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂ ∂ ∂ = + = −y +x ∂φ x = ρ cos φ ∂φ ∂x ∂φ ∂y ∂x ∂y . ⇒ ∂x ∂ ∂y ∂ x ∂ y ∂ ∂ y = ρ sin φ = + = + ∂ρ ∂ρ ∂x ∂ρ ∂y ρ ∂x ρ ∂y ∂ i ∂ x − iy ∂ i(x − iy) ∂ ∂ ∂ −iφ + = + =e +i ∂ρ ρ ∂φ ρ ∂x ρ ∂y ∂x ∂y (5.2.28) Logo, reexpressamos a ac¸c˜ao dos operadores de cria¸c˜ao e destrui¸c˜ao directos s r ! µω ~ 1 ∂ i ∂ aˆd → e−iφ , ρ+ − 2 ~ µω ∂ρ ρ ∂φ s r ! µω ~ ∂ i ∂ 1 , ρ− + a ˆ†d → eiφ 2 ~ µω ∂ρ ρ ∂φ
(5.2.29)
(5.2.30)
e os operadores circulares ‘retr´ogrados’ aˆe , a ˆ†e s˜ao obtidos pela transforma¸c˜ao i → −i nas duas u ´ ltimas express˜oes respectivamente. As fun¸c˜oes pr´oprias do oscilador harm´onico 2dimensional em termos destes quant˜oes circulares (que s˜ao portanto estados pr´oprios da energia e momento angular) Ψ(ne ,nd ) (ρ, φ) = Φ(ne ,nd ) (t, ρ, φ)e−iE(ne ,nd ) t/~ ,
(5.2.31)
s˜ao obtidas actuando no v´acuo com aˆ†d e aˆ†e . A fun¸c˜ao de onda do v´acuo para os quant˜oes lineares ´e (5.2.10) com n1 = n2 = 0 Ψ(n1 =0,n2 =0) (t, x, y) =
r
ωµ − µω (x2 +y2 ) −iωt e 2~ e , π~
(5.2.32)
ou, em termos dos quant˜oes circulares n = 0, m = 0 ,
Φ(ne =0,nd =0) (ρ, φ) =
r
ωµ − µω ρ2 e 2~ . π~
(5.2.33)
Note que isto n˜ ao corresponde a tirar o complexo conjugado, dado que os operadores a ˆi e a ˆ†i n˜ ao mudam. 3
160
Exemplos de Quantifica¸c˜ ao Can´ onica
Note-se que por (5.2.29), a ˆd Φ(0,0) = 0 como requerido (e tamb´em a ˆe Φ(0,0) = 0). Actuando agora com a ˆ†d ou aˆ†e respectivamente obtemos µω 2 ωµ Φ(ne =0,nd =1) (ρ, φ) = √ eiφ ρe− 2~ ρ , π~ n=1, µω 2 ωµ m = −1 , Φ(ne =1,nd =0) (ρ, φ) = √ e−iφ ρe− 2~ ρ , π~
m=1,
(5.2.34)
e assim por diante. Repare-se que para este n´ıvel de energia (n = 1) os diferentes estados de momento angular diferem de uma fase. Em geral o mesmo n˜ao se verifica; de facto isso pode ser verificado para n = 2; tendo em aten¸c˜ao o factor de normaliza¸c˜ao obtemos ωµ 3/2 2 µω 2 2iφ ρ √ m = 2 , Φ (ρ, φ) = e e− 2~ ρ , (ne =0,nd =2) 2π r~ h i µω 2 ωµ ωµ 2 n=2, (5.2.35) m = 0 , Φ(ne =1,nd =1) (ρ, φ) = ρ − 1 e− 2~ ρ , π~ ~ ωµ 3/2 µω 2 ρ2 e−2iφ √ e− 2~ ρ . m = −2 , Φ(ne =2,nd =0) (ρ, φ) = ~ 2π As densidades de probabilidade respeitantes a estas fun¸co˜es de onda est˜ao representadas
na figura 5.3.
5.3
O problema de Landau
O problema de Landau para uma part´ıcula sem spin ´e a vers˜ao quˆantica do problema de Larmor do cap´ıtulo 1. Consideramos o hamiltoniano (1.3.22) 1 HL = 2µ
qBy px + 2
2
2 qBx 1 p2 py − + + z . 2µ 2 2µ
(5.3.1)
Tal como discutido na sec¸c˜ao 4.4.3, a quantifica¸c˜ao deste sistema ´e feita usando o operador Hamiltoniano ˆL = µ H 2
Pˆx ωc Yˆ + µ 2
!2
µ + 2
ˆ Pˆy ωc X − µ 2
!2
+
Pˆz2 , 2µ
(5.3.2)
onde usamos a frequˆencia ciclotr´onica ωc = qB/µ e onde impomos as rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao can´onicas ˆ Pˆx ] = i~ , [X,
[Yˆ , Pˆy ] = i~ ,
ˆ Pˆz ] = i~ , [Z,
(5.3.3)
5.3 O problema de Landau
161
0.3 0.1 0.25 0.08 0.2
0.06 0.15
0.04 0.1
0.02
0.05
0
0 0
0.5
1
1.5
2
0
0.5
1
1.5
rho
2
2.5
3
3
3.5
rho
0.3
0.08
0.25 0.06 0.2
0.15
0.04
0.1 0.02 0.05
0
0 0
0.5
1
1.5
2 rho
2.5
3
3.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
rho
Figura 5.3: Densidades de probabilidade para os n´ıveis (n, m) = (0, 0) (cima esquerda), (n, m) = (1, ±1) (cima direita) , (n, m) = (2, ±2) (baixo esquerda), (n, m) = (2, 0) (baixo direita). Nos gr´aficos tomamos µω/~ = 1.
162
Exemplos de Quantifica¸c˜ ao Can´ onica
sendo todos os outros comutadores envolvendo momento e posi¸c˜ao zero. Reescrevemos (5.3.2) como ˆL = H
ˆ2 ˆ2 Pˆx2 + Pˆy2 µωc2 2 ˆ z + Pz , (5.3.4) ˆ + Yˆ 2 ) − ωc (X ˆ Pˆy − Yˆ Pˆx ) + Pz = H ˆ xy − ωc L + (X 2µ 8 2 2µ 2 2µ
ˆ xy ´e o Hamiltoniano do oscilador harm´onico dois dimensional (5.2.3) com ω = ωc /2 onde H ˆ z ´e a componente z do operador momento angular. Usando (5.2.18), reescrevemos o eL hamiltoniano como
1 Pˆ 2 ˆ ˆ HL = ~ωc Ne + + z . 2 2µ
(5.3.5)
Note-se que podiamos ter definido directamente de (5.3.2) os operadores de destrui¸c˜ao e cria¸c˜ao
" µ −iˆ ae = 2~ωc " r µ iˆ a†e = 2~ωc r
! !# ˆ Pˆx ωc Yˆ Pˆy ωc X +i , + − µ 2 µ 2 ! !# ˆ Pˆx ωc Yˆ Pˆy ωc X −i , + − µ 2 µ 2
(5.3.6)
(5.3.7)
de modo que " µ 2 a ˆ†e a ˆe = 2~ωc µ
ˆ2 ˆ L − Pz H 2µ
!
# iωc ˆ ˆ iωc ˆ ˆ 1 − [Px , X] + [Y , Py ] = 2µ 2µ ~ωc
ˆ2 ˆ L − Pz H 2µ
!
−
1 , 2 (5.3.8)
recuperando (5.3.5). S´o que ao usarmos a compara¸c˜ao com o oscilador harm´onico em duas dimens˜oes temos imediatamente a interpreta¸c˜ao de a ˆe e a ˆ†e como destruindo e criando quant˜oes circulares (retr´ogrados). Assim, o Hamiltoniano ´e igual ao do oscilador harm´onico um dimensional, mas com quant˜oes circulares, mais uma parte que descreve o movimento (livre) segundo o eixo do z. Consideremos a decomposi¸c˜ao ˆL = H ˆ⊥ + H ˆk , H
com
1 ˆ ˆ e H⊥ = ~ωc Ne + 2
ˆ2 ˆ k = Pz . H 2µ
(5.3.9)
ˆ ⊥ . O espectro de Analisamos primeiro o movimento no plano xy que ´e descrito por H ˆ z com energias no plano xy ´e infinitamente degenerado. De facto, estados pr´oprios de L diferentes valores de nd tˆem o mesmo valor pr´oprio da energia, que s´o depende de ne ;
5.3 O problema de Landau
163
adicionando ou subtraindo quant˜oes circulares directos n˜ao altera a energia do estado. Para compreender fisicamente este resultado vamos definir v´arios operadores: • Operadores Velocidade: Pela rela¸c˜ao cl´assica (1.3.19) ~, p~ = µ~x˙ + q A
(5.3.10)
definimos os operadores associados `a velocidade q Pˆi − Aˆi , Vˆ i = µ µ
(5.3.11)
que no nosso caso s˜ao Pˆx ωc ˆ Vˆ x = + Y , µ 2
Pˆy ωc ˆ Vˆ y = − X , µ 2
Pˆz Vˆ z = . µ
(5.3.12)
Logo i~ωc [Vˆ x , Vˆ y ] = , µ
(5.3.13)
e portanto existe uma incerteza m´ınima associada `a determina¸c˜ao das componentes x e y da velocidade, quando B 6= 0 ∆v x ∆v y ≥
ωc ~ . 2µ
(5.3.14)
• Operadores Centro da Traject´oria Cl´assica: Pelas rela¸c˜oes cl´assicas (1.1.10)-(1.1.12) temos x = x0 −
vy , ωc
y = y0 +
vx , ωc
(B 6= 0)
(5.3.15)
definimos as observ´aveis associadas ao centro da traject´oria cl´assica ˆ ˆ ˆy ˆ0 = X ˆ + V = X + Py , X ωc 2 µωc
Vˆ x Yˆ Pˆx Yˆ0 = Yˆ − = − . ωc 2 µωc
(5.3.16)
Primeiro notamos que ˆ 0 , Yˆ0 ] = − [X
i~ . µωc
(5.3.17)
ˆ 0 e Yˆ0 s˜ao incompat´ıveis e existe uma incerteza m´ınima associada `as suas Logo, X grandezas f´ısicas associadas ∆x0 ∆y0 ≥
~ . 2µωc
(5.3.18)
164
Exemplos de Quantifica¸c˜ ao Can´ onica Segundo notamos que ˆ L, X ˆ 0 ] = 0 = [H ˆ L , Yˆ0 ] , [H
(5.3.19)
ˆ 0 como Yˆ0 s˜ao constantes do movimento no sentido da sec¸c˜ao 4.4.5. pelo que tanto X Terceiro notamos que ˆ0, L ˆ z ] = −i~Yˆ0 , [X
ˆ z ] = i~X ˆ0 , [Yˆ0 , L
(5.3.20)
ˆ 0 , Yˆ0 , L ˆ z no nosso pelo que n˜ao podemos incluir mais do que uma das trˆes grandezas X C.C.O.C.. Quarto notamos que o operador Pˆx2 + Pˆy2 µωc2 2 ˆ + Yˆ 2 ) + ωc (X ˆ Pˆy − Yˆ Pˆx ) + (X 2µ 8 2 ! ˆ 1 ωc ˆ 2~ 2 ˆ ˆd + Hxy + Lz = N = µωc2 2 µωc 2
ˆ2 ≡ X ˆ 2 + Yˆ 2 = 2 R 0 0 0 µωc2
!
.
(5.3.21)
ˆ 2 depende somente do n´ Deste modo vemos que o valor pr´oprio do operador R umero 0 de quant˜oes circulares directos. • Operador Raio da traject´oria cl´assica: Pela express˜ao cl´assica (1.1.13) r 2 = (x(t) − x0 )2 + (y(t) − y0 )2 ,
(5.3.22)
definimos o operador raio da traject´oria cl´assica ˆ 2 = (X ˆ −X ˆ 0 )2 + (Yˆ − Yˆ0 )2 = 1 ((Vˆ x )2 + (Vˆ y )2 ) = 2~ R ωc2 µωc
ˆ ˆe + 1 N 2
!
.
(5.3.23)
ˆ 2 ´e determinado pelo n´ Assim, R umero de quant˜oes circulares retr´ogrados. Assim, o C.C.O.C. para o problema de Landau ´e n o ˆe , N ˆd , Pˆz , C.C.O.C = N
(5.3.24)
e a base para o espa¸co de estados pode ser tomada como rotulada pelos seus valores pr´oprios {|ne , nd , pz i}. Podemos pensar em ne como determinando a energia do sistema ou tamb´em
5.4 Sum´ ario
165
o valor pr´oprio do operador raio da traject´oria cl´assica. Por outro lado nd determina o ˆ 2 . O espectro total de energias ´e valor pr´oprio do operador R 0 E(ne ,pz )
1 p2 = ~ωc ne + + z , 2 2µ
(5.3.25)
que tem uma parte discreta relativa ao movimento no plano xy que ´e designada por n´ıveis de Landau e uma parte cont´ınua relativa ao movimento segundo z. Este espectro ´e degenerado em dois sentidos diferentes. Primeiro, como discutido atr´as, fun¸c˜oes de onda que s´o diferem de nd tˆem a mesma energia - degenerescˆencia infinita. Segundo, mesmo tomando o mesmo valor de nd , duas fun¸c˜oes de onda com diferentes valores de pz e ne podem ainda ter a mesma energia, desde que a soma das duas parcelas ainda se mantenha igual. Esta ´e uma degenerescˆencia finita com grau n ˜ + 1 onde n ˜ ´e o maior inteiro menor que E/(~ωc ) − 1/2. As fun¸c˜oes de onda totais para o problema de Landau que s˜ao estados pr´oprios ˆ L, L ˆ z e Pˆz s˜ao dadas pelo produto das fun¸c˜oes de onda da sec¸c˜ao simultaneamente de H 5.2.3 por uma onda plana que descreve o movimento livre segundo z: Ψ(ρ, φ, z, t) = Φ(ne ,nd ) (ρ, φ)eipz z/~eiE(ne ,pz ) t/~ .
(5.3.26)
Claro est´a, que tal como discutido no cap´ıtulo 3, esta fun¸c˜ao de onda n˜ao vai ser normaliz´avel, devido `a componente segundo z ser livre. Para normalizar a fun¸c˜ao de onda ter´ıamos de considerar um pacote de ondas na direc¸c˜ao z.
5.4
Sum´ ario
Consider´amos trˆes exemplos de quantifica¸c˜ao can´onica. O primeiro, o oscilador harm´onico quˆantico em uma dimens˜ao ´e o paradigma de problema que ´e resolvido pela introdu¸c˜ao de operadores de cria¸c˜ao e destrui¸c˜ao. O espectro de energias mostra que a diferen¸ca de energia entre dois n´ıveis diferentes ´e um m´ ultiplo de ~ω. Esta foi exactamente a observa¸c˜ao de Planck discutida na sec¸c˜ao 2.1.2 que ´e obtida naturalmente no formalismo quˆantico. Ao considerarmos o oscilador harm´onico isotr´opico em duas dimens˜oes pudemos introduzir tamb´em os operadores de cria¸c˜ao e destrui¸c˜ao circulares, que s˜ao u ´ teis para tratar estados
166
Exemplos de Quantifica¸c˜ ao Can´ onica
com momento angular bem definido. Vimos tamb´em aqui um exemplo de espectro de energias (finitamente) degenerado em cada n´ıvel. O problema de Landau permitiu-nos ver um exemplo de um espectro de energias infinitamente degenerado; esta degenerescˆencia pode ser associada `a redundˆancia de traject´orias cl´assicas no problema cl´assico de Larmor, que resulta da uniformidade do campo magn´etico. O problema de Landau d´a-nos tamb´em um exemplo de uma situa¸c˜ao em que os operadores associados a velocidades (ou a posi¸c˜oes) n˜ao comutam entre si.
CAP´ITULO
6
´ Momento Angular Orbital e o Atomo de Hidrog´ enio
No cap´ıtulo anterior estudamos sistemas com componente Lz do momento angular bem definida. Isso levou-nos a estudar as fun¸c˜oes de onda da sec¸c˜ao 5.2.3 que s˜ao estados ˆ e L ˆ z - estes operadores comutam e podem, como tal, ser dipr´oprios dos operadores H agonalizados simultaneamente. Neste cap´ıtulo vamos come¸car por estudar um conjunto ˆz e L ˆ 2 que aplicaremos depois ao estudo do ´atomo de de fun¸c˜oes pr´oprias comuns a L Hidrog´enio.
6.1
Operadores de momento angular orbital
As componentes do momento angular orbital s˜ao dadas por (4.4.39) ~ˆ ˆx, L ˆy, L ˆ z ) = (Yˆ Pˆz − Zˆ Pˆy , Zˆ Pˆx − X ˆ Pˆz , X ˆ Pˆy − Yˆ Pˆx ) . L = (L Na representa¸c˜ao |~xi, estes operadores s˜ao escritos associando ∂ ∂ ∂ ˆ ˆ ˆ Px , Py , Pz → −i~ , −i~ , −i~ , ∂x ∂y ∂z
(6.1.1)
(6.1.2)
de modo que representamos ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ˆ ˆ ˆ . − z ,z −x ,x −y (Lx , Ly , Lz ) = −i~ y ∂z ∂y ∂x ∂z ∂y ∂x
(6.1.3)
´ Momento Angular Orbital e o Atomo de Hidrog´ enio
168
Podemos facilmente verificar que esta representa¸c˜ao obedece `as rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao para o momento angular ˆx, L ˆ y ] = i~L ˆz , [L
ˆy , L ˆ z ] = i~L ˆx , [L
ˆz , L ˆ x ] = i~L ˆy ; [L
(6.1.4)
por exemplo, sendo φ(x, y, z) uma fun¸c˜ao de onda arbitr´aria ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ˆx, L ˆ y ]φ(x, y, z) = ~ − y z + z y φ(x, y, z) −z −x −x −z [L ∂z ∂y ∂x ∂z ∂x ∂z ∂z ∂y ∂ ∂ 2 ˆ z φ(x, y, z) , φ(x, y, z) = i~L −y =~ x ∂y ∂x (6.1.5) 2
em acordo com (6.1.4). Definimos o operador momento angular total ~ˆ ~ˆ ˆ 2 ˆ 2 ˆ 2 ˆ2 = L L · L = Lx + Ly + Lz .
(6.1.6)
ˆ 2 comuta com qualquer das componentes do momento angular Note-se que L h i ˆ2, L ˆx = 0 , L
h i ˆ 2, L ˆy = 0 , L
h i ˆ2, L ˆz = 0 . L
(6.1.7)
Por exemplo h i h i h i h i h i h i ˆ2, L ˆx = L ˆ 2y + L ˆ 2z , L ˆx = L ˆy L ˆy , L ˆx + L ˆy , L ˆx L ˆy + L ˆz L ˆz , L ˆx + L ˆz , L ˆx L ˆz L ˆy L ˆ z − i~L ˆz L ˆ y + i~L ˆz L ˆ y + i~L ˆy L ˆz = 0 = −i~L
.
(6.1.8)
Assim, em mecˆanica quˆantica, classificamos os estados com momento angular bem definido usando o momento angular total e apenas uma das suas componentes, normalmente z; ou seja, consideramos o n o ˆ2, L ˆz , C.C.O.C. = L
(6.1.9)
para descrever os estados pr´oprios do momento angular.
Tal como na sec¸c˜ao 5.2.3. us´amos coordenadas polares para descrever as fun¸c˜oes de onda ˆ z , ´e conveniente usar coordenadas esf´ericas para descrever que s˜ao estados pr´oprios de L
6.2 Os Harm´ onicos Esf´ ericos
169
ˆ2 e L ˆ z . A rela¸c˜ao entre as fun¸c˜oes de onda que s˜ao estados pr´oprios simultaneamente de L coordenadas esf´ericas e cartesianas ´e dada por x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ
.
(6.1.10)
Os versores em coordenadas esf´ericas e cartesianas relacionam-se como e = cos θ cos φex + cos θ sin φey − sin θez θ . (6.1.11) eφ = cos φey − sin φex er = x ex + y ey + z ez r r r ~ˆ = ~ˆr × ˆ~p, na representa¸c˜ao |xi e usando coordenadas O operador momento angular, L esf´ericas toma a forma ∂ 1 ∂ 1 ∂ ˆ ~ L = rer × (−i~∇) = −i~rer × er , + eθ + eφ ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ
(6.1.12)
ou seja 1 ∂ ∂ ˆ ~ = −i~ eφ . − eθ L ∂θ sin θ ∂φ
(6.1.13)
Usando (6.1.11) para projectar esta equa¸c˜ao em ex , ey e ez obtemos respectivamente ∂ ∂ ˆ Lx = i~ sin φ + cot θ cos φ ∂θ ∂φ ∂ ˆ y = i~ − cos φ + cot θ sin φ ∂ . (6.1.14) L ∂θ ∂φ ˆ z = −i~ ∂ L ∂φ ˆ2 = L ˆ2 + L ˆ2 + L ˆ 2 nesta representa¸c˜ao Calculando o operador momento angular total L x y z obtemos ˆ 2 = −~2 L
6.2
1 ∂ sin θ ∂θ
∂ 1 ∂2 sin θ + . ∂θ sin2 θ ∂φ2
(6.1.15)
Os Harm´ onicos Esf´ ericos
ˆ2 e L ˆ z . Comecemos por calcular as Vamos agora construir as fun¸c˜oes pr´oprias comuns a L ˆ 2 com valor pr´oprio α~2 que denotamos por Yα (θ, φ) e obedecem `a fun¸c˜oes pr´oprias de L
´ Momento Angular Orbital e o Atomo de Hidrog´ enio
170 equa¸c˜ao diferencial
ˆ 2 Yα (θ, φ) = α~2 Yα (θ, φ) , L
(6.2.1)
ou seja −~
2
1 ∂ sin θ ∂θ
∂ 1 ∂2 sin θ + Yα (θ, φ) = α~2 Yα (θ, φ) . ∂θ sin2 θ ∂φ2
(6.2.2)
Separamos vari´aveis Yα (θ, φ) = Θ(θ)Φ(φ) , de modo a obtermos a equa¸c˜ao d 1 d2 sin θ d 2 sin θ Θ(θ) + α sin θ = − Φ(φ) . Θ(θ) dθ dθ Φ(φ) dφ2
(6.2.3)
(6.2.4)
Como o lado esquerdo s´o depende de θ e o direito de φ, para obedecer `a igualdade cada lado tem de ser uma constante a que chamamos m2 . Do lado direito obtemos ent˜ao d2 Φ(φ) + m2 Φ(φ) = 0 dφ2
⇒
Φ(φ) = C1 eimφ + C2 e−imφ .
(6.2.5)
ˆ z , com valores pr´oprios Note-se que as fun¸c˜oes e±imφ s˜ao tamb´em fun¸c˜oes pr´oprias de L −i~(±im) = ±m~ ,
(6.2.6)
ˆ z . Deste enquanto que a combina¸c˜ao linear C1 eimφ + C2 e−imφ n˜ao ´e fun¸c˜ao pr´opria de L modo tomamos Φ(φ) = Ce±imφ ,
(6.2.7)
onde C ´e uma constante de normaliza¸c˜ao. Al´em disso, para a fun¸c˜ao e±imφ ter valor u ´ nico, precisamos e±imφ = e±im(φ+2π)
⇒
m∈Z,
(6.2.8)
ˆ z s˜ao ou seja, m ´e inteiro e como tal os valores pr´oprios de L 0, ±~, ±2~, ±3~ , . . . Do lado esquerdo de (6.2.4) obtemos d d sin θ Θ(θ) + α sin2 θ − m2 Θ(θ) = 0 . sin θ dθ dθ
(6.2.9)
(6.2.10)
6.2 Os Harm´ onicos Esf´ ericos
171
Para resolvermos esta equa¸c˜ao fazemos uma mudan¸ca de vari´avel: χ ≡ cos θ
dχ d d d = = − sin θ , dθ dθ dχ dχ
⇒
f (χ) ≡ Θ(θ) ,
(6.2.11)
de modo que a equa¸c˜ao em θ fica d m2 2 d (1 − χ ) f (χ) + α − f (χ) = 0 . dχ dχ 1 − χ2
(6.2.12)
Come¸camos por considerar o caso com m = 0, ficando a equa¸c˜ao d2 f (χ) df (χ) (1 − χ ) − 2χ + αf (χ) = 0 . dχ2 dχ 2
(6.2.13)
Esta ´e uma equa¸c˜ao diferencial ordin´aria de segunda ordem, denominada equa¸c˜ao de Legendre. Tentemos encontrar uma solu¸c˜ao como uma s´erie de potˆencias f (χ) =
∞ X
an χn ,
(6.2.14)
n=0
de modo que a equa¸c˜ao fica 2
(1 − χ ) ⇔ ⇔
∞ X n=0
∞ X
n=0 ∞ X n=0
n−2
n(n − 1)an χ
− 2χ
∞ X
nan χ
n=0
[−n(n − 1) − 2n + α] an χn + n
[α − n(n + 1)] an χ +
∞ X
n−1
∞ X n=0
+α
∞ X
an χn = 0
n=0
n(n − 1)an χn−2 = 0
,
(6.2.15)
(m + 2)(m + 1)am+2 χm = 0
m=−2
notando que os termos com m = −2 e m = −1 no u ´ ltimo somat´orio d˜ao contribui¸c˜ao zero e chamando n a m obtemos ⇔
∞ X n=0
[(α − n(n + 1))an + (n + 2)(n + 1)an+2 ] χn = 0 ,
(6.2.16)
que para ser obedecido implica a rela¸c˜ao de recorrˆencia para a s´erie an+2 =
(n + 1)n − α an . (n + 2)(n + 1)
(6.2.17)
Notamos de imediato que an+2 an
n→∞
−→ 1 ,
(6.2.18)
´ Momento Angular Orbital e o Atomo de Hidrog´ enio
172
de modo que para a s´erie n˜ao divergir quando χ = ±1 (que ´e o valor m´aximo para χ dado que χ ≡ cos θ) temos de requerer que ela seja finita, isto ´e que o valor pr´oprio α obede¸ca a α = ℓ(ℓ + 1) ,
(6.2.19)
para um dado ℓ ∈ N0 . As solu¸c˜oes da equa¸c˜ao de Legendre s˜ao ent˜ao polin´omios de grau ℓ. Note-se ainda que como a rela¸c˜ao de recorrˆencia relaciona apenas an+2 com an , temos que a s´erie de termos pares ´e independentente da s´erie de termos ´ımpares; a escolha de α = ℓ(ℓ + 1) para um dado ℓ garante que a s´erie com a paridade de ℓ p´are; assim para termos uma s´erie finita temos de escolher somente termos pares ou termos ´ımpares: s´ erie par (ℓ par)
a0 6= 0 , a1 = 0 ,
s´ erie ´ımpar (ℓ ´ımpar)
(6.2.20)
a0 = 0 , a1 6= 0 .
Estes polin´omios s˜ao designados por polin´omios de Legendre e denotados por Pℓ (χ) (grau ℓ) quando obedecem `a condi¸c˜ao de normaliza¸c˜ao Z 1 Pℓ (χ)Pℓ′ (χ)dχ = −1
2 δℓℓ′ . 2ℓ + 1
(6.2.21)
Os quatro primeiros s˜ao • Tomamos ℓ = 0, a0 = 1, a1 = 0 e obtemos P0 (χ) = 1;
(6.2.22)
• Tomamos ℓ = 1, a0 = 0, a1 = 1 e obtemos P1 (χ) = χ ;
(6.2.23)
• Tomamos ℓ = 2, a0 = −1/2, a1 = 0 e obtemos P2 (χ) = −
1 1 − 3χ2 ; 2
(6.2.24)
• Tomamos ℓ = 3, a0 = 0, a1 = −3/2 e obtemos 5 3 P3 (χ) = − χ + χ3 . 2 2
(6.2.25)
6.2 Os Harm´ onicos Esf´ ericos
173
Pode-se verificar que com estas normaliza¸c˜oes os polin´omios obedecem a (6.2.21). ˆ2 e L ˆ z , da forma Descobrimos pois um conjunto de fun¸c˜oes pr´oprias comuns a L Yℓm (θ, φ) = F (θ)eimφ ,
(6.2.26)
ˆ z ´e m~, com m ∈ Z, e, para m = 0 estas fun¸c˜oes tomam a forma cujo valor pr´oprio de L Yℓ0 (θ, φ) = CPℓ (cos θ) ,
(6.2.27)
ˆ 2 , ℓ(ℓ + 1)~2 com onde C ´e uma constante de normaliza¸c˜ao, sendo o valor pr´oprio de L ℓ ∈ N0 . Vamos agora usar (6.2.27) para construir Yℓm (θ, φ) com m 6= 0. Primeiro notamos que os valores de m e ℓ n˜ao s˜ao completamente independentes. Por defini¸c˜ao ˆ2 = L ˆ2 + L ˆ2 + L ˆ2 ; L x y z
(6.2.28)
o valor esperado desta equa¸c˜ao num determinado estado com momento angular bem definido, |Ψi = | . . . , ℓ, mi (normalizado) ´e ˆ 2 |Ψi = hΨ|L ˆ2 + L ˆ2 + L ˆ 2 |Ψi , hΨ|L x y z
(6.2.29)
ˆx e L ˆ y s˜ao herm´ıticos e dado que L ˆ x |Ψik2 + kL ˆ y |Ψik2 + m2 ~2 ≥ m2 ~2 , ℓ(ℓ + 1)~2 = kL o que equivale a que |m| ≤
(6.2.30)
p ℓ(ℓ + 1), ou, como |m|, ℓ ∈ N0 , |m| ≤ ℓ .
(6.2.31)
Note-se que assumimos que mesmo para m 6= 0 os estados pr´oprios do momento angular ˆ 2 igual a ℓ(ℓ + 1)~2 ; iremos confirmar isto em baixo. tˆem valor pr´oprio de L Segundo definimos os operadores de escada ˆ+ = L ˆ x + iL ˆy , L
ˆ− = L ˆ x − iL ˆy . L
(6.2.32)
´ Momento Angular Orbital e o Atomo de Hidrog´ enio
174
Estes operadores obedecem `as rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao h i ˆ2, L ˆ± = 0 , L
h i ˆ −, L ˆ + = −2~L ˆz , L
h i ˆz, L ˆ ± = ±~L ˆ± . L
(6.2.33)
Por exemplo, h i h i ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆz . L− , L+ = Lx − iLy , Lx + iLy = −2~L (6.2.34) h i ˆz, L ˆ ± = ±~L ˆ ± com as rela¸c˜oes (5.1.9) e (5.1.10); Compare-se as rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao L
ˆ + /L ˆ − como operadores de s˜ao idˆenticas, pelo que podemos fazer uma analogia para L ˆ z como operador de n´ ˆ + /L ˆ − v˜ao cria¸c˜ao/destrui¸c˜ao e para L umero. Mais concretamente, L transformar um estado com momento angular segundo z, m~, num estado com mais/menos um quant˜ao de momento angular segundo z, (m+1)~/(m−1)~. Isto, sem alterar o momento h i 2 2 ˆ ˆ angular total ~ ℓ(ℓ + 1), pois L , L± = 0, o que justifica a hip´otese tomada acima de que ˆ 2 mantinham a sua forma para m 6= 0. os valores pr´oprios de L
Deste modo tomamos para estados pr´oprios do momento angular o conjunto {|ℓ, mi}, com |m| ≤ ℓ e ˆ 2 |ℓ, mi = ℓ(ℓ + 1)~2 |ℓ, mi , L ˆ + |ℓ, mi = C m |ℓ, m + 1i , L ℓ
ˆ z |ℓ, mi = m~|ℓ, mi L ˆ − |ℓ, mi = C˜ m |ℓ, m − 1i L ℓ
,
(6.2.35)
onde Cℓℓ = 0, C˜ℓ−ℓ = 0, para garantir que |m| ≤ ℓ. Tal como para o oscilador harm´onico
(f´ormulas (5.1.30) e (5.1.31)), as constantes Cℓm , C˜ℓm s˜ao necess´arias para garantir a normaliza¸c˜ao dos estados. Para vermos a forma destas constantes notamos que h i 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 − L ˆ 2 ∓ ~L ˆz . L∓ L± = Lx + Ly ∓ iLy Lx ± iLx Ly = Lx + Ly ± i Lx , Ly = L z
(6.2.36)
Logo, ˆ∓L ˆ ± |ℓ, mi = hℓ, m|L ˆ2 − L ˆ 2 ∓ ~L ˆ z |ℓ, mi = ~2 ℓ(ℓ + 1) − m2 ∓ m hℓ, m|ℓ, mi . hℓ, m|L z
(6.2.37)
Mas, por outro lado, ˆ−L ˆ + |ℓ, mi = C m (C m )∗ hℓ, m + 1|ℓ, m + 1i hℓ, m|L ℓ ℓ , ∗ m m ˆ ˆ ˜ ˜ hℓ, m|L+ L− |ℓ, mi = Cℓ Cℓ hℓ, m − 1|ℓ, m − 1i
(6.2.38)
6.2 Os Harm´ onicos Esf´ ericos
175
e como tal ~2 (ℓ(ℓ + 1) − m(m + 1)) hℓ, m|ℓ, mi = Cℓm (Cℓm )∗ hℓ, m + 1|ℓ, m + 1i . ∗ ~2 (ℓ(ℓ + 1) − m(m − 1)) hℓ, m|ℓ, mi = C˜ℓm C˜ℓm hℓ, m − 1|ℓ, m − 1i
(6.2.39)
Concluimos que para garantir que a ac¸c˜ao dos operadores em escada preserva a normaliza¸c˜ao dos estados tomamos p Cℓm = ~ ℓ(ℓ + 1) − m(m + 1) ,
C˜ℓm = ~
que naturalmente obedecem a Cℓℓ = 0, C˜ℓ−ℓ = 0.
p
ℓ(ℓ + 1) − m(m − 1) ,
(6.2.40)
Terceiro, os operadores em escada na representa¸c˜ao |~xi e em coordenadas esf´ericas tomam a forma (usando (6.2.32) e (6.1.14)) ∂ ∂ iφ ˆ , + i cot θ L+ = ~e ∂θ ∂φ ∂ ∂ −iφ ˆ − = −~e L , − i cot θ ∂θ ∂φ
(6.2.41) (6.2.42)
e os estados |ℓ, mi tomam a forma Yℓm (θ, φ), sendo a condi¸c˜ao de normaliza¸c˜ao Z π Z 2π dθ dφ sin θYℓm (Yℓm )∗ = 1 , θ=0
(6.2.43)
φ=0
e designam-se por harm´onicos esf´ericos. Consideremos os primeiros √ • Para ℓ = 0, m = 0 temos Y00 = C; normalizando obtemos C = 1/ 4π, logo 1 Y00 = √ ; 4π
(6.2.44)
• Para ℓ = 1, m = 0 temos Y10 = C cos θ; normalizando obtemos C = r 3 0 Y1 = cos θ , 4π
p 3/(4π), logo (6.2.45)
e usando √
ˆ + |1, 0i = ~ 2|1, 1i L
⇔
1 Y11 = √ ~eiφ 2~
∂ ∂ + i cot θ ∂θ ∂φ
r
Y10 = −
3 iφ e sin θ , 8π (6.2.46)
´ Momento Angular Orbital e o Atomo de Hidrog´ enio
176
e de um modo semelhante √
ˆ − |1, 0i = ~ 2|1, −1i L
⇔
Y1−1
1 = − √ ~e−iφ 2~
∂ ∂ − i cot θ ∂θ ∂φ
Y10
=
• Para ℓ = 2, m = 0 temos Y20 = C(3 cos2 θ − 1); normalizando obtemos C = logo Y20
=
r
5 (3 cos2 θ − 1) , 16π
r
3 −iφ e sin θ ; 8π (6.2.47)
p 5/(16π), (6.2.48)
e pela ac¸c˜ao dos operadores em escada obtemos √
r
15 iφ e cos θ sin θ , 8π (6.2.49) r √ ˆ − |2, 0i = ~ 6|2, −1i ⇔ Y −1 = − √1 ~e−iφ ∂ − i cot θ ∂ Y 0 = 15 e−iφ cos θ sin θ , L 2 2 ∂θ ∂φ 8π 6~ (6.2.50) r ∂ 1 iφ ∂ 15 2iφ 2 ˆ + |2, 1i = ~2|2, 2i Y21 = ~e + i cot θ e sin θ , L ⇔ Y22 = 2~ ∂θ ∂φ 32π (6.2.51) r 15 −2iφ 2 ˆ − |2, −1i = ~2|2, −2i ⇔ Y −2 = − 1 ~e−iφ ∂ − i cot θ ∂ Y −1 = L e sin θ . 2 2 2~ ∂θ ∂φ 32π (6.2.52) ˆ + |2, 0i = ~ 6|2, 1i L
⇔
Y21
1 = √ ~eiφ 6~
∂ ∂ + i cot θ ∂θ ∂φ
Y20
=−
Nas figuras 6.1, 6.2, 6.3 ´e representada a dependˆencia angular da fun¸c˜ao Yℓm (Yℓm )∗ . Como toda a dependˆencia em φ desaparece, a figura obtida ´e dada pela revolu¸c˜ao em torno do eixo dos z das figuras planares exibidas.
6.3
Part´ıcula numa for¸ ca central
Consideremos o operador Hamiltoniano para uma part´ıcula sem spin num campo de for¸cas central1 ˆ2 ˆ . ˆ = P + Vˆ (R) H 2µ 1
(6.3.1)
Denotaremos de futuro a massa por ‘µ’ para evitar confus˜ao com o n´ umero quˆantico azimutal ‘m’.
6.3 Part´ıcula numa for¸ca central
177
Figura 6.1: Dependˆencia angular dos harm´onicos esf´ericos com n´ umero quˆantico azimutal m´ınimo, Y00 , Y10 , Y20 , respectivamente. Note-se que as zonas de maior probabilidade se encontram ao longo do eixo polar (extra´ıdo de Cohen et al., ‘Quantum Mechanics’).
Figura 6.2: Dependˆencia angular dos harm´onicos esf´ericos com n´ umero quˆantico azimutal m´aximo, Y00 , Y1±1 , Y1±2 , Y3±3 , Y4±4 respectivamente. Note-se que as zonas de maior probabilidade se encontram ao longo do plano equatorial (extra´ıdo de Eisberg & Resnick, ‘Quantum Physics’).
178
´ Momento Angular Orbital e o Atomo de Hidrog´ enio
Figura 6.3: Dependˆencia angular dos harm´onicos esf´ericos Y30 , Y3±1 , Y2±2 , Y3±3 , respectivamente. Note-se que as zonas de maior probabilidade se deslocam do eixo polar para o plano equatorial `a medida que o n´ umero quˆantico azimutal cresce (extra´ıdo de Eisberg & Resnick, ‘Quantum Physics’). Vamos reescrever este Hamiltoniano em termos do operador momento angular. Para isso notamos que na representa¸c˜ao |~xi Pˆ 2 = (−i~∇) · (−i~∇) = −~2 ∆ , onde ∆ ´e o Laplaciano. Em coordenadas esf´ericas temos ent˜ao 1 ∂ ∂2 1 ∂ 1 ∂ 2 2 2 ∂ ˆ P = −~ r + 2 sin θ + 2 2 , r 2 ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂φ2 ˆ e definindo o operador radial ou ainda, usando o operador distˆancia radial R 2 ~ ∂ ∂ 2 ˆ ≡− Ξ r , r 2 ∂r ∂r
(6.3.2)
(6.3.3)
(6.3.4)
temos em forma de operadores ˆ2 ˆ+L Pˆ 2 = Ξ ˆ2 R
⇒
ˆ ˆ2 ˆ = Ξ + L + Vˆ (R) ˆ . H ˆ2 2µ 2µR
Desta forma do Hamiltoniano podemos extrair as seguintes conclus˜oes:
(6.3.5)
6.3 Part´ıcula numa for¸ca central
179
ˆ 2 quer L ˆ z quando representados no espa¸co de configura¸c˜oes em coordenadas i) Quer L esf´ericas actuam apenas nas coordenadas angulares, conforme (6.1.14), (6.1.15), logo h i h i h i 2 ˆ 2 ˆ ˆ 2 1 ˆ2, H ˆ = 0 , (6.3.6) ˆ ˆ ˆ =0 ⇒ L L ,Ξ = 0 , L , V (R) = 0 , L, ˆ2 R e de um modo semelhante h i ˆz , Ξ ˆ =0, L
h
i ˆ z , Vˆ (R) ˆ =0, L
1 ˆ Lz , =0 ˆ2 R
ˆ z ,L ˆ 2 ]=0 [L
⇒
h i ˆz, H ˆ = 0 . (6.3.7) L
Assim, no problema quˆantico de uma part´ıcula num campo de for¸cas central podemos incluir no C.C.O.C. n o ˆ L ˆ 2, L ˆz , C.C.O.C. = H,
(6.3.8)
isto ´e, os estados com energia bem definida (estados estacion´arios) tˆem tamb´em momento angular bem definido. ii) Para encontrarmos os estados estacion´arios e o espectro de energias temos de resolver a equa¸c˜ao de Schr¨odinger independente do tempo ˆ H|Φi = E|Φi ,
(6.3.9)
que no espa¸co de configura¸c˜oes toma a forma 2 ~ ∂2 1 ∂ 1 1 ∂ ∂ 2 ∂ − r + 2 sin θ + 2 2 + V (r) Φ(r, θ, φ) 2µ r 2 ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂φ2
= EΦ(r, θ, φ) . (6.3.10)
´ natural tomarmos como ansatz para as fun¸c˜oes de onda espaciais E Φ(r, θ, φ) = f (r)Yℓm (θ, φ) ,
(6.3.11)
de modo aproveitar o conhecimento que adquirimos sobre as fun¸c˜oes pr´oprias do momento angular. A equa¸c˜ao de onda fica reduzida a uma equa¸ca˜o diferencial ordin´aria de segunda ordem na coordenada radial ℓ(ℓ + 1)~2 ~2 d 2 d r + − + V (r) f (r) = Ef (r) . 2µr 2 dr dr 2µr 2
(6.3.12)
´ Momento Angular Orbital e o Atomo de Hidrog´ enio
180
6.4
O´ atomo de hidrog´ enio (sem spin)
Especializamos agora a equa¸c˜ao (6.3.12) para o problema de Coulomb, para o qual V (r) = −
1 e2 , 4πǫ0 r
(6.4.1)
R(r) , r
(6.4.2)
e introduzindo a fun¸c˜ao R(r) por f (r) =
o que transforma a equa¸c˜ao radial em (usamos µ = me massa do electr˜ao) 2 me e2 2me E 2 2 d −r R(r) = r + r − ℓ(ℓ + 1) R(r) . dr 2 ~2 2πǫ0 ~2 Esta equa¸c˜ao tem a forma da chamada equa¸c˜ao de Whittaker 2 2 1 z 2 d 2 W (z) , z W (z) = − kz + m − dz 2 4 4
(6.4.3)
(6.4.4)
cuja solu¸c˜ao se toma como sendo da forma W (z) = z m+1/2 e−z/2 g(z) ,
(6.4.5)
o que implica que (denotando dg/dz = g ′ ) g′ d2 W (z) 1 1 1 1 1 ′′ 2 m+1/2 −z/2 g + (2m + 1 − z) + − m+ g , m − =z e + dz 2 z 4 z2 4 z 2 (6.4.6) transformando a equa¸c˜ao de Whittaker na equa¸c˜ao 1 ′′ ′ g=0. zg + (2m + 1 − z)g + k − m − 2
(6.4.7)
Esta equa¸c˜ao ´e agora resolvida por uma s´erie de potˆencias g(z) =
∞ X
bn z n ,
(6.4.8)
n=0
que substituindo em (6.4.7) fica ∞ X
∞ X
∞ 1 X z n(n − 1)bn z + (2m + 1 − z) nbn z + k−m− bn z n = 0 2 n=0 n=0 n=0 ∞ X 1 ⇔ (n + 1)(2m + 1 + n)bn+1 − n + m + − k bn z n = 0 2 n=0 n−2
n−1
, (6.4.9)
6.4 O ´ atomo de hidrog´ enio (sem spin)
181
e obtemos a rela¸c˜ao de recorrˆencia bn+1 =
n + m − k + 1/2 bn . (n + 1)(n + 2m + 1)
(6.4.10)
Notemos que esta rela¸c˜ao de recorrˆencia implica que bn+1 bn
1 . n
n→∞
−→
(6.4.11)
Concluimos que a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Whittaker tem a forma P∞ bn z n+m+1/2 W (z) = n=0 z/2 . e
(6.4.12)
Expressando a exponencial no denominador como uma s´erie de potˆencias ez/2 =
∞ X n=0
cn z n ,
cn =
cn+1 2n n! 1 ⇒ = 2n n! cn 2n+1 (n + 1)!
n→∞
−→
1 . 2n
(6.4.13)
Comparando (6.4.11) com (6.4.13) vemos que os coeficientes decrescem mais rapidamente para a s´erie no denominador. Assim, o comportamento da fun¸c˜ao quando z → ∞ ´e dominado pelo numerador e portanto n˜ao converge para zero. Para a fun¸c˜ao de Whittaker convergir para zero quando z → ∞2 requeremos que exista um inteiro, n0 tal que n0 + m − k + 1/2 = 0 ,
n0 ∈ N0 .
(6.4.14)
Voltemos agora `a equa¸c˜ao radial (6.4.3). Para a transformar na forma da equa¸c˜ao de Whittaker, (6.4.4) introduzimos a vari´avel z tal que z2 2me E ≡ − 2 r2 4 ~
⇒
z=
√
−8me E r. ~
(6.4.15)
Note-se que esta transforma¸c˜ao s´o ´e poss´ıvel para E < 0, isto ´e para os estados ligados, que s˜ao exactamente aqueles para os quais esperamos encontrar quantifica¸c˜ao da energia. Fazendo esta transforma¸c˜ao, (6.4.3) fica da forma de (6.4.4), com r 1 me e2 , m=ℓ+ . − k= 4πǫ0 ~ 2E 2 2
Esta condi¸ca˜o ´e necess´aria para a fun¸ca˜o de onda ser normaliz´avel.
(6.4.16)
182
´ Momento Angular Orbital e o Atomo de Hidrog´ enio
Figura 6.4: Espectro de energias do Hidrog´enio; na figura o n´ umero quˆantico principal ´e denotado por n (extra´ıdo de Cohen et al., ‘Quantum Mechanics’). A condi¸c˜ao de que a s´erie p´ara (6.4.14) fica r 1 e2 me 1 n0 + ℓ + − − + =0 ⇔ 2 4πǫ0 ~ 2E 2
E=−
e2 4πǫ0 ~
2
me , (6.4.17) 2(n0 + ℓ + 1)2
ou definindo o n´ umero quˆantico principal N ≡ n0 + ℓ + 1 obtemos 2 2 me e , EN = − 4πǫ0 ~ 2N 2
(6.4.18)
que ´e o espectro de energias do ´atomo de hidrog´enio visto no cap´ıtulo 2 (rela¸c˜ao (2.2.12) com Z = 1). Este espectro de energias s´o depende do n´ umero quˆantico principal, mas n˜ao do momento angular total definido por ℓ ou do momento angular azimutal definido por m. Assim o espectro ´e degenerado de duas maneiras • Um determinado n´ umero quˆantico principal N pode ser obtido tomando ℓ = 0, 1, . . . , N − 1 ,
(6.4.19)
6.4 O ´ atomo de hidrog´ enio (sem spin)
183
E r V(r)
Figura 6.5: Espectro de energias do Hidrog´enio versus o potencial; compare-se com o caso do oscilador harm´onico exibido na figura 5.1. e o correspondente n0 para complementar. Assim temos uma degenerescˆencia de grau N. Na nota¸c˜ao dos espectroscopistas a cada valor de ℓ = 0, 1, 2 . . . ´e atribu´ıdo ´ por uma letra, respectivamente ℓ = s, p, d, f, g, . . . seguindo-se a ordem alfab´etica. E isso usual encontrar uma referˆencia, por exemplo, `a orbital 2p, o que significa N = 2, ℓ = 1. Esta degenerescˆencia ´e exibida na figura 6.4; • Para cada ℓ temos 2ℓ + 1 valores poss´ıveis de m m = −ℓ, −ℓ + 1, . . . , ℓ − 1, ℓ ;
(6.4.20)
Assim o grau total de degenerescˆencia ´e, para o n´ıvel N 1 + 3 + 5 + . . . + 2N − 1 = N 2 .
(6.4.21)
Orbitais Para exibirmos a forma expl´ıcita das fun¸c˜oes de onda, tamb´em designadas neste contexto por orbitais, notamos que se introduzirmos o raio de Bohr a0 ≡
4πǫ0 ~2 , me e2
(6.4.22)
~2 1 , 2me a20 N 2
(6.4.23)
o espectro de energias (6.4.18) escreve-se EN = −
´ Momento Angular Orbital e o Atomo de Hidrog´ enio
184
Figura 6.6: Fun¸c˜oes de onda radiais f(1,0) , f(2,0) e f(2,1) ; na nota¸c˜ao da figura R(n,ℓ) = f(N,ℓ) (extra´ıdo de Cohen et al., ‘Quantum Mechanics’). e como tal a transforma¸c˜ao (6.4.15) fica z=
2 r. a0 N
(6.4.24)
Deste modo, a fun¸c˜ao de onda radial (6.4.2) fica n+ℓ+1 2r W (z = 2r/Na0 ) e−r/a0 N X R(r) bn = = f(N,ℓ) (r) = . r r r Na 0 n
(6.4.25)
Notando que usando (6.4.23) em (6.4.16) obtemos k = N, a rela¸c˜ao de recorrˆencia ´e bn+1 =
n+ℓ+1−N bn . (n + 1)(n + 2ℓ + 2)
A rela¸c˜ao de normaliza¸c˜ao ser´a em geral Z ∞ ∗ f(N,ℓ) f(N,ℓ) r 2 dr = 1 .
(6.4.26)
(6.4.27)
0
Exemplos: • Estado fundamental: N = 1 ⇒ ℓ = 0; a rela¸c˜ao de recorrˆencia reduz-se a bn+1 =
n bn , (n + 1)(n + 2)
⇒
b0 ≡ C , bn = 0, n ≥ 1 .
(6.4.28)
6.4 O ´ atomo de hidrog´ enio (sem spin)
185
Logo f(1,0) =
2C −r/a0 e . a0
(6.4.29)
Normalizando, Z
+∞
r 2 e−2r/a0 dr = 0
a30 4
√ C = 1/ a0 ,
normalizar
⇒
(6.4.30)
onde integramos por partes. Deste modo a fun¸c˜ao de onda total para o primeiro n´ıvel do ´atomo de hidrog´enio, Ψ(N,ℓ,m) (t, r, θ, φ), ´e 1 e−r/a0 −iE1 t/~ Ψ(1,0,0) (t, r, θ, φ) = f(1,0) (r)Y00 (θ, φ)e−iE1 t/~ = √ e . π (a0 )3/2
(6.4.31)
• Orbital 2s: N = 2, ℓ = 0; a rela¸c˜ao de recorrˆencia reduz-se a bn+1 =
n−1 bn , (n + 1)(n + 2)
⇒
b0 ≡ C , b1 = −
C , bn = 0, n ≥ 2 . 2
(6.4.32)
Logo f(2,0)
C = 2a0
r 2− e−r/2a0 . a0
(6.4.33)
Normalizando, Z
+∞ 0
r n e−r/a0 dr = (n − 1)!an+1 0
normalizar
⇒
√ C = 1/ 2a0 ,
(6.4.34)
onde integramos por partes. Logo a fun¸c˜ao de onda total para a orbital 2s do ´atomo de hidrog´enio, ´e Ψ(2,0,0) (t, r, θ, φ) =
f(2,0) (r)Y00 (θ, φ)e−iE2 t/~
1 = √ 4 2π
r 2− a0
e−r/2a0 −iE2 t/~ e . (a0 )3/2 (6.4.35)
• As fun¸c˜oes de onda radiais para os n´ıveis seguintes ser˜ao exponenciais multiplicadas por um polin´omio de r; na figura 6.6 est˜ao representadas f(1,0) , f(2,0) e f(2,1) . Repetindo este racioc´ınio para todas as orbitais dos trˆes primeiros n´ıveis de energia do ´atomo de Hidrog´enio obtemos a seguinte tabela:
´ Momento Angular Orbital e o Atomo de Hidrog´ enio
186
N
ℓ
m
1
0
0
2
0
0
2
1
0
2
1 ±1
3
0
0
3
1
0
3
1 ±1
3
2
3
2 ±1
3
2 ±2
0
Fun¸c˜ao de onda 1 e−r/a0 −iE1 t/~ e Ψ(1,0,0) (t, r, θ, φ) = √ π (a0)3/2 1 r e−r/2a0 −iE2 t/~ e Ψ(2,0,0) (t, r, θ, φ) = √ 2− a0 (a0 )3/2 4 2π 1 r e−r/2a0 cos θe−iE2 t/~ Ψ(2,1,0) (t, r, θ, φ) = √ 3/2 a (a ) 4 2π 0 0 1 r e−r/2a0 sin θe±iφ e−iE2 t/~ Ψ(2,1,±1) (t, r, θ, φ) = √ 3/2 8 π a 0 (a0 ) r 2 e−r/3a0 −iE3 t/~ r 1 e 27 − 18 + 2 2 Ψ(3,0,0) (t, r, θ, φ) = √ 3/2 a a (a ) 81√ 3π 0 0 0 2 r e−r/3a0 r cos θe−iE3 t/~ 6− Ψ(3,1,0) (t, r, θ, φ) = √ 81 π a0 a0 (a0 )3/2 1 r e−r/3a0 r Ψ(3,1,±1) (t, r, θ, φ) = √ sin θe±iφ e−iE3 t/~ 6− 3/2 a0 a0 (a0 ) 81 π 1 r 2 e−r/3a0 (3 cos2 θ − 1)e−iE3 t/~ Ψ(3,2,0) (t, r, θ, φ) = √ 2 3/2 a (a ) 81 6π 0 0 1 r 2 e−r/3a0 sin θ cos θe±iφ e−iE3 t/~ Ψ(3,2,±1) (t, r, θ, φ) = √ 2 3/2 81 π a0 (a0 ) 1 r 2 e−r/3a0 √ sin2 θe±2iφ e−iE3 t/~ Ψ(3,2,±2) (t, r, θ, φ) = 162 π a20 (a0 )3/2
Note-se que a densidade de probabilidade na direc¸c˜ao radial tem a forma ∗ P(N,ℓ) (r)dr = r 2 f(N,ℓ) f(N,ℓ) dr ,
(6.4.36)
que pode ser representada como na figura 6.7. Juntando esta informa¸c˜ao com a dos harm´onicos esf´ericos obtemos uma representa¸c˜ao da densidade de probabilidade electr´onica das orbitais do ´atomo de hidrog´enio dada na figura 6.8. Novas orbitais, ditas h´ıbridas, podem ser constru´ıdas sobrepondo diferentes orbitais com o mesmo N. Terminamos esta sec¸c˜ao com a observa¸c˜ao que na nota¸c˜ao de Dirac, as orbitais do ´atomo de hidrog´enio podem ser escritas como os estados {|N, ℓ, mi}, que diagonalizam o
ˆ L ˆ 2, L ˆ z e que obedecem a C.C.O.C. composto por H, ˆ H|N, ℓ, mi = EN |N, ℓ, mi = − ˆ 2 |N, ℓ, mi = ~2 ℓ(ℓ + 1)|N, ℓ, mi , L
~2 |N, ℓ, mi , 2me a20 N 2 ˆ z |N, ℓ, mi = m~|N, ℓ, mi , L
onde N ∈ N e ℓ, m ∈ N0 com as restri¸c˜oes 0 ≤ ℓ ≤ N − 1 e |m| ≤ ℓ.
(6.4.37)
6.4 O ´ atomo de hidrog´ enio (sem spin)
187
Figura 6.7: Densidade de probabilidade na direc¸c˜ao radial para as fun¸c˜oes de onda do ´atomo de hidrog´enio (extra´ıdo de Eisberg & Resnick, ‘Quantum Physics’).
188
´ Momento Angular Orbital e o Atomo de Hidrog´ enio
Figura 6.8: Representa¸c˜ao art´ıstica das primeiras orbitais do ´atomo de hidrog´enio (extra´ıdo de Eisberg & Resnick, ‘Quantum Physics’).
6.5 O ´ atomo de hidrog´ enio (sem spin) num campo magn´ etico
6.5
189
O ´ atomo de hidrog´ enio (sem spin) num campo magn´ etico
Vimos na sec¸c˜ao anterior a resolu¸c˜ao exacta do problema do ´atomo de hidrog´enio (sem spin) em Mecˆanica Quˆantica. Na sec¸c˜ao 5.3 tinhamos visto a resolu¸c˜ao exacta do problema de uma carga num campo magn´etico uniforme. Vamos agora combinar estes dois problemas e considerar que o ´atomo de hidrog´enio est´a imerso num campo magn´etico, que tomamos como sendo uniforme. Note-se que esta u ´ ltima hip´otese ´e perfeitamente adequada `a experimenta¸c˜ao, uma vez que os campos magn´eticos produzidos no laborat´orio variam muito pouco em escalas da ordem do tamanho at´omico. N˜ao nos ir´a ser poss´ıvel, neste caso, a resolu¸c˜ao exacta do problema. Mas com algumas aproxima¸c˜oes conseguiremos determinar a altera¸c˜ao do espectro do ´atomo de hidrog´enio devida ao campo magn´etico, denominada Efeito Zeeman.
6.5.1
Dedu¸c˜ ao dos v´ arios termos do Hamiltoniano
O Hamiltoniano cl´assico para um electr˜ao (carga q massa me ), num campo electromagn´etico ´e dado por (1.3.20) H=
~ 2 (~p − q A) + qφ . 2me
(6.5.1)
~ uniforme, podemos escrever o potencial magn´etico na forma Sendo o campo B ~ = − 1 ~r × B ~ A 2
⇔
~ = − 1 (yBz − zBy , zBx − xBz , xBy − yBx ) ; A 2
(6.5.2)
~ ´e constante, segue-se que de facto, como B ~ = (Bx , By , Bz ) = B ~ , ∇×A
(6.5.3)
como ´e necess´ario pela defini¸c˜ao de potencial magn´etico. Logo, para o problema quˆantico, expressamos o operador Hamiltoniano, obtido por quantifica¸c˜ao can´onica, na forma:
ˆ = H
h i ~ ~ˆ ~ 2 Pˆ + 2q R ×B 2me
~ˆ + qφ(R) .
(6.5.4)
´ Momento Angular Orbital e o Atomo de Hidrog´ enio
190
~ sendo constante n˜ao ´e operador. Tratemos do quadrado perfeito Note-se que B h q ~ˆ ~ i2 h ~ˆ q ~ˆ ~ i h ~ˆ q ~ˆ ~ i ~ ×B = P + R×B · P + R×B Pˆ + R 2 2 2 q2 ~ˆ 2 q ~ˆ ~ˆ ~ ~ˆ ~ ~ˆ ~ˆ ~ 2 =P + P · (R × B) + (R × B) · P + R ×B . 2 4
(6.5.5)
Consideremos as seguintes identidades do c´alculo vectorial
~ × B) ~ · (C ~ × D) ~ = (A ~ · C)( ~ B ~ · D) ~ − (A ~ · D)( ~ B ~ · C) ~ , (A ~ · (B ~ × C) ~ =C ~ · (A ~ × B) ~ , A
(6.5.6)
sendo que a segunda pode ser reescrita como ~ × B) ~ ·C ~ = −(A ~ × C) ~ ·B ~ . (A
(6.5.7)
Aplicando estas identidades a (6.5.5) obtemos h q2 2 i ~ˆ q ~ˆ ~ 2 ~ˆ 2 q ~ ~ˆ ~ˆ ~ˆ ~ˆ ~ ~ˆ ~ 2 ~ˆ ~ 2 P + R×B =P + B · (P × R) − (R × P ) · B + R B − (R · B) . 2 2 4 (6.5.8) Verificamos que surge o operador momento angular ~ˆ ~ˆ ~ˆ ~ ~ˆ L = R × P = −Pˆ × R ,
(6.5.9)
~ˆ ~ˆ onde a segunda igualdade ´e verdadeira apesar de R e P n˜ao comutarem; de facto cada ˆ i Pˆj − X ˆ j Pˆi com i 6= j, pelo que a ordem componente do momento angular ´e da forma X com que aparecem as posi¸c˜oes e os momentos ´e irrelevante. Logo o Hamiltoniano do problema ´e ~ˆ 2 P q ~ˆ ~ q2 ˆ 2 ~ 2 ~ˆ , ~ˆ ~ 2 ˆ = H R B − (R · B) + qφ(R) − L·B + 2me 2me 8me
(6.5.10)
que reescrevemos como
ˆ ≡H ˆ0 + H ˆ1 + H ˆ2 , H
(6.5.11)
onde definimos ~ˆ 2 P ~ˆ ˆ0 ≡ + qφ(R) , H 2me
~ˆ ~ ˆ 1 ≡ − µB L H ·B , ~
2~2 ˆ2 , ˆ2 ≡ q B R H 8me ⊥
(6.5.12)
6.5 O ´ atomo de hidrog´ enio (sem spin) num campo magn´ etico
191
e ainda, o magnet˜ao de Bohr µB ≡
q~ , 2me
(6.5.13)
que tem as dimens˜oes de um momento magn´etico (carga vezes momento angular a dividir por massa), e o operador ~ˆ ~ 2 · B) ~ˆ 2 (R ˆ2 = R R − , ⊥ ~2 B
(6.5.14)
~ˆ ~ Se escolhermos um sistema cartesiano que ´e a projec¸c˜ao de R num plano perpendicular a B. ~ = Bez , fica eB ˆ2 = X ˆ 2 + Yˆ 2 . R ⊥
(6.5.15)
Notemos os casos limites deste Hamiltoniano: ~ = 0, H ˆ fica reduzido a H ˆ 0 , que, com o potencial de Coulomb ´e o problema • Tomando B da sec¸c˜ao 6.4; ~ = Bez , H ˆ fica • Tomando φ = 0 e escolhendo B ˆ = H
Pˆx2 + Pˆy2 + Pˆz2 qB ˆ q2B 2 ˆ 2 ˆ 2 − Lz + X +Y , 2me 2me 8me
(6.5.16)
que coincide com o Hamiltoniano (5.3.4) do problema de Landau.
6.5.2
Interpreta¸ c˜ ao dos v´ arios termos do Hamiltoniano
~ = 0 o Hamiltoniano reduz-se a H ˆ 0 , isto ´e a soma da energia cin´etica com a Quando B ~ = ˆ 0 j´a n˜ao pode ser interpretado como a energia energia potencial. Mas quando B 6 0, H cin´etica mais a energia potencial. Para verificarmos este ponto consideremos a seguinte an´alise cl´assica. O Hamiltoniano de uma carga sob a ac¸c˜ao de um campo electromagn´etico ´e dado por (1.3.20) que podemos reescrever em termos da velocidade H=
~ 2 (~p − q A) 1 2 + qφ = me~x˙ + qφ , 2me 2
(6.5.17)
logo a energia cin´etica na presen¸ca de um campo magn´etico ´e Ec =
~ 2 (~p − q A) , 2me
(6.5.18)
´ Momento Angular Orbital e o Atomo de Hidrog´ enio
192
~ Para um e n˜ao p~2 /2me . O significado f´ısico de p~2 /2me depende da gauge escolhida para A. ~ uniforme, com a escolha de gauge (6.5.2) e tomando B ~ = Bez temos (usando a campo B frequˆencia ciclotr´onica ωc = qB/me ) ~p q ~ = p~ − ωc r (cos φey −sin φex ) ~x˙ = + ~r × B me 2me me 2
⇔
~p ωc r = ~x˙ − (sin φex −cos φey ) , me 2 (6.5.19)
ou seja a ‘velocidade’ p~/me ´e a velocidade da part´ıcula relativamente a um referencial em rota¸c˜ao em torno da direc¸c˜ao do campo uniforme, com velocidade angular ωc /2, no sentido directo, denominado referencial de Larmor. Assim, • H0 ´e a energia cin´etica da part´ıcula relativamente ao referencial de Larmor mais a energia potencial; • H2 , que coincide com
i2 me h ωc r (sin φex − cos φey ) , 2 2
(6.5.20)
´e a energia cin´etica do referencial de Larmor;
• H1 ´e um termo cruzado que surge sempre que a velocidade da part´ıcula relativamente ao referencial de Larmor n˜ao seja ortogonal `a velocidade do referencial de Larmor. A interpreta¸c˜ao que acabamos de dar dos v´arios termos ´e puramente mecˆanica. Mas ˆ1 e H ˆ 2 tˆem tamb´em uma interpreta¸c˜ao electromagn´etica de interesse. Para os termos H a compreendermos consideramos novamente uma an´alise cl´assica. Define-se geralmente a densidade de momento magn´etico (ou magnetiza¸c˜ao) como sendo i 1h ~ ~ M(~x) = ~x × i(~x) , 2
(6.5.21)
onde ~i ´e o vector densidade de corrente; o integral da densidade de magnetiza¸c˜ao ´e a magnetiza¸c˜ao total ou momento magn´etico total ou ainda o dipolo magn´etico 1 ~µ = 2
Z
V
~x × ~i(~x)d3~x .
(6.5.22)
6.5 O ´ atomo de hidrog´ enio (sem spin) num campo magn´ etico
193
No caso em que uma corrente com intensidade I s´o existe ao longo de um circuito fechado e planar, com elemento de linha d~l, o integral de volume reduz-se a um integral de linha fechado I ~µ = 2
I
~x × d~l = AIn ,
(6.5.23)
onde n ´e a ortogonal ao plano com orienta¸c˜ao dada pelo sentido da corrente e A ´e a ´area planar delimitada pelo circuito. Se considerarmos uma carga com movimento circular e uniforme com velocidade angular v/r = ω, associamos-lhe uma intensidade de corrente I = densidade de carga × velocidade =
qv ; 2πr
(6.5.24)
como a superf´ıcie delimitada pelo circuito tem ´area A = πr 2 , o momento magn´etico ´e ~µ = IAn =
qvr n. 2
(6.5.25)
~ de uma tal carga com um movimento circular Consideremos agora o momento angular L e uniforme anterior que se move num campo magn´etico constante que representamos na gauge (6.5.2); por defini¸c˜ao ~ , ~ = ~r × ~p = ~r × (me~v + q A) ~ = me rvn − q ~r × (~r × B) L 2
(6.5.26)
que usando a identidade ~a × (~b × ~c) = ~b(~a · ~c) − ~c(~a · ~b) , e (6.5.25) reescrevemos como i qh 2me 2~ ~ ~ (~r · B)~r − r B ~µ − L= q 2
⇔
(6.5.27)
i q ~ q2 h 2~ ~ ~µ = L+ (~r · B)~r − r B . (6.5.28) 2me 4me
Assim, a nossa carga tem duas contribui¸c˜oes para o seu momento magn´etico. Uma devido a estar numa ´orbita circular e consequentemente ter momento angular; uma segunda devido a estar imersa num campo magn´etico. A densidade de energia3 devida `a interac¸c˜ao entre o momento magn´etico e um campo magn´etico externo ´e i q ~ ~ q2 h 2 2 ~ ~ 2 , dH = −~µ · dB ⇒ H=− L·B+ r B − (~r · B) 2me 8me
(6.5.29)
~ onde Em sistemas magn´eticos a segunda lei da termodinˆamica pode ser escrita dF = −SdT − µ ~ · dB, F ´e a energia livre de Helmholtz. 3
194
´ Momento Angular Orbital e o Atomo de Hidrog´ enio
ˆ1 e H ˆ 2 em (6.5.10). Assim o termo que s˜ao exactamente os an´alogos cl´assicos dos termos H H1 pode ser escrito como ~ , H1 = −~µL · B
(6.5.30)
onde ~µL =
q ~ L. 2me
(6.5.31)
Este termo ´e, portanto, a energia de acoplamento entre o campo magn´etico externo e o ´ denominado momento magn´etico do electr˜ao que resulta do seu momento angular, ~µL . E acoplamento paramagn´etico, pois ´e energeticamente vantajoso o momento magn´etico do electr˜ao encontrar-se paralelo ao campo externo. Por outro lado, o termo H2 , ´e a energia de acoplamento entre o campo magn´etico externo e o momento magn´etico do electr˜ao que ´e induzido pelo pr´oprio campo externo. A sua contribui¸ca˜o para a energia ´e positiva pelo ´ denominado que este momento magn´etico induzido ´e anti-paralelo ao campo indutor. E acoplamento diamagn´etico. Como veremos na pr´oxima sec¸c˜ao, o acoplamento diamagn´etico ´e bem menos importante que o paramagn´etico e s´o tem de ser considerado em estados com momento angular zero. Na natureza, substˆancias diamagn´eticas consistem de ´atomos ou mol´eculas com momento angular total zero. A aplica¸c˜ao de um campo magn´etico externo leva `a cria¸c˜ao de correntes at´omicas em circula¸c˜ao que produzem um momento magn´etico antiparalelo ao campo externo; de facto, o termo diamagn´etico ´e o associado ao referencial de Larmor, como vimos em cima. O Bismuto ´e a substˆancia mais diamagn´etica conhecida. Se os ´atomos ou mol´eculas constituintes da substˆancia tiverem um momento angular total n˜ao nulo, oriundo de electr˜oes desemparelhados, a substˆancia ´e paramagn´etica. Imerso num campo magn´etico, o momento magn´etico do electr˜ao desemparelhado alinhar-se-´a paralelamente ao campo. Nota: Em geral, uma carga q (massa m) com momento angular J~, seja ele de origem orbital ou intr´ınseco (spin), tem um momento magn´etico dado por ~µ = g
q ~ J , 2m
(6.5.32)
6.5 O ´ atomo de hidrog´ enio (sem spin) num campo magn´ etico
195
onde g se denomina a raz˜ao giromagn´etica. Para uma carga cl´assica com o J~ de origem orbital, g = 1 - como exemplificado em cima - mas para o electr˜ao com o seu J~ intr´ınseco, verifica-se que g ≃ 2. De facto g = 2 ´e a previs˜ao da equa¸c˜ao de onda relativista (eq. de Dirac), mas efeitos associados `as flutua¸c˜oes quˆanticas do v´acuo alteram ligeiramente este valor, denominado por raz˜ao giromagn´etica an´omala. Este valor pode ser calculado em electrodinˆamica quˆantica (QED) com grande precis˜ao e o acordo com a experiˆencia verifica-se com 10 algarismos significativos!
6.5.3
Compara¸ c˜ ao dos v´ arios termos no Hamiltoniano
~ =0 Vamos agora comparar as ordens de magnitude dos trˆes termos em (6.5.10). Quando B ˆ 0 , cujo espectro de energias ´e (6.4.23). Como tal associamos com ficamos apenas com H este termo energias da ordem de E0 ∼
~2 . me a20
(6.5.33)
ˆ 1 (6.5.12), tomando um campo magn´etico na direc¸c˜ao z e recorPela forma do operador H ˆ z s˜ao inteiros vezes ~ concluimos que dar´a origem a dando que os valores pr´oprios de L energias da ordem de E1 ∼
qB~ . me
(6.5.34)
ˆ 2 s˜ao da ordem de Por outro lado, assumindo que os elementos de matriz do operador R ⊥ grandeza de a20 , dado que o raio de Bohr caracteriza as distˆancias at´omicas, temos que q 2 B 2 a20 . E2 ∼ me
(6.5.35)
Concluimos imediatamente as seguintes ordens de grandeza relativas: E2 E1 Bqa20 ∼ ∼ ∼ B(Tesla) × 10−5 . E1 E0 ~
(6.5.36)
Sendo os maiores campos magn´eticos produzidos em laborat´orio da ordem dos 100 Tesla, concluimos que nessas experiˆencias E2 ≪ E1 ≪ E0 .
´ Momento Angular Orbital e o Atomo de Hidrog´ enio
196
6.5.4
Espectro de Energias aproximado: efeito Zeeman
Vamos agora ent˜ao levar a cabo a tarefa a que nos propusemos: ver como o espectro de um ´atomo de hidrog´enio se altera quando imerso num campo magn´etico. A aproxima¸c˜ao que ˆ 2 , que, como vimos na sec¸c˜ao anterior, tem uma vamos usar ´e a de negligenciar o termo H grandeza inferior aos outros dois. Assim, consideramos como Hamiltoniano aproximado ~ˆ 2 q ~ˆ ~ P ~ˆ ˆ ≃H ˆ0 + H ˆ1 = + qφ(R) − L·B . H 2me 2me
(6.5.37)
Ao fazermos esta aproxima¸c˜ao, o u ´ nico operador novo relativamente ao problema do ´atomo ~ˆ ~ ˆ 0 ) ´e L de hidrog´enio sem campo magn´etico (descrito por H · B; no problema sem campo ˆ 0, L ˆ2, L ˆ z }. Tomando B ~ = Bez , verificamos que o magn´etico tomamos o C.C.O.C.= {H
ˆ z , que ´e diagonalizado pelos mesmos estados que diagou ´ nico operador no termo novo ´e L
ˆ 0 , que tˆem a forma (6.4.37). A ac¸c˜ao do operador Hamiltoniano nestes estados nalizam H ´e dada por ˆ H|N, ℓ, mi =
−
qB ~2 − m~ |N, ℓ, mi , 2me a20 N 2 2me
(6.5.38)
pelo que o espectro de energias ´e agora E(N,m) = EN − µB Bm ,
(6.5.39)
onde EN ´e espectro do ´atomo de hidrog´enio livre, dado por (6.4.23). H´a, portanto um levantamento da degenerescˆencia do espectro de energias; estados com o mesmo n´ umero quˆantico principal, N, mas diferente n´ umero quˆantico azimutal, m, ir˜ao em geral ter diferentes energias: efeito Zeeman. Mas note-se que a degenerescˆencia do espectro de energias n˜ao ´e totalmente eliminada; resiste ainda a degenerescˆencia que origina de estados com diferente ℓ mas com o mesmo N e m. Deste modo a degenerescˆencia decresce de N 2 para N − |m| (para valores gen´ericos de B). Duas notas: • A aproxima¸c˜ao falha para estados com m = 0; para esses, a primeira correc¸c˜ao ao espectro do ´atomo de hidrog´enio origina no termo negligenciado (termo diamagn´etico);
6.5 O ´ atomo de hidrog´ enio (sem spin) num campo magn´ etico Sem Campo Magnetico
Espectro sem Campo
197
Com Campo Magnetico
Espectro com Campo
Figura 6.9: Efeito Zeeman: Desdobramento das linhas espectrais devido `a presen¸ca de um campo magn´etico. Note-se que nem todas as transi¸c˜oes s˜ao poss´ıveis; de facto h´a regras de selec¸c˜ao. • Na realidade, tanto o electr˜ao como o prot˜ao tˆem spin, que estamos aqui a negligenciar. Por essa raz˜ao, o espectro anterior n˜ao ´e o observado numa experiˆencia f´ısica real. Mas a inclus˜ao de spin ´e uma generaliza¸c˜ao simples do c´alculo aqui exemplificado e o efeito f´ısico da altera¸c˜ao das energias (e tamb´em das polariza¸c˜oes que veremos a seguir) permanece v´alido qualitativamente. A presen¸ca do campo magn´etico altera genericamente, como vimos, a energia dos estados estacion´arios do ´atomo de hidrog´enio. Como tal, a frequˆencia da radia¸c˜ao emitida em transi¸c˜oes at´omicas ´e tamb´em alterada. Em geral existe um desdobramento das riscas espectrais, como exemplificado na figura 6.9. Mas para al´em desta altera¸c˜ao das frequˆencias poss´ıveis, o efeito Zeeman consiste tamb´em na altera¸c˜ao da polariza¸c˜ao dos fot˜oes emitidos numa transi¸c˜ao at´omica. Para estudarmos este ponto, consideramos o operador dipolo el´ectrico, definido por ~ˆ ~ˆ D ≡ qR .
(6.5.40)
Consideremos os elementos de matriz deste operador num estado estacion´ario do ´atomo de hidrog´enio imerso no campo magn´etico. Continuamos a considerar a aproxima¸c˜ao em
´ Momento Angular Orbital e o Atomo de Hidrog´ enio
198
que negligenciamos o termo diamagn´etico. Estes estados s˜ao os mesmos dos ´atomo de hidrog´enio livre {|N, ℓ, mi}, apenas possuindo energias diferentes. Estes estados tˆem uma
paridade bem definida. Pode-se verificar que Yℓm tem paridade (−1)ℓ . Logo, os estados ~ˆ {|N, ℓ, mi} tˆem paridade (−1)ℓ . Por outro lado, o operador D ´e ´ımpar. Logo ~ˆ hN, ℓ, m|D|N, ℓ, mi = 0 ,
(6.5.41)
em qualquer estado estacion´ario. Para termos um dipolo diferente de zero temos de considerar uma sobreposi¸c˜ao de estados estacion´arios. Tomemos uma sobreposi¸c˜ao dos estados 1s e 2p, isto ´e |Ψ(0)i = cos α|1, 0, 0i + sin α|2, 1, mi ,
(6.5.42)
onde m = 0, ±1 e α ∈ R. A energia destes dois estados ´e E1s = E1 ,
E2p = E2 − µB Bm = E1 + ~(Ω + mωL ) ,
(6.5.43)
onde EN ´e dado por (6.4.23), e introduzimos Ω≡
E2 − E1 , ~
ωL ≡ −
ωc , 2
(6.5.44)
respectivamente a frequˆencia angular associada a um fot˜ao emitido na transi¸c˜ao de N = 2 para N = 1 do ´atomo de hidrog´enio livre e a frequˆencia angular do referencial de Larmor. Logo |Ψ(t)i = cos α|1, 0, 0i + sin αe−i(Ω+mωL )t |2, 1, mi e−iE1 t/~ .
(6.5.45)
Vamos agora calcular o valor esperado do operador dipolo neste estado
~ˆ ~ˆ hDi(t) = hΨ(t)|D|Ψ(t)i . ~ˆ ~ˆ i(Ω+mωL )t −i(Ω+mωL )t = sin α cos α e h2, 1, m|D|1, 0, 0i + e h1, 0, 0|D|2, 1, mi (6.5.46) Para calcularmos estes elementos de matriz notamos que ~ˆ ˆ x, D ˆy, D ˆ z ) = q(X, ˆ Yˆ , Z) ˆ . D = (D
(6.5.47)
6.5 O ´ atomo de hidrog´ enio (sem spin) num campo magn´ etico
199
Por outro lado, recordando a forma dos harm´onicos esf´ericos com ℓ = 1, dada por (6.2.45), (6.2.46) e (6.2.47), podemos escrever estes harm´onicos em coordenadas cartesianas como r r 3 z 3 x y ±1 0 ; (6.5.48) , Y1 = ∓ ±i Y1 = 4π r 8π r r invertendo estas rela¸c˜oes obtemos r r 2π 2π −1 1 x= r Y1 − Y1 , y = i r Y1−1 + Y11 , 3 3
z=
r
4π 0 rY . 3 1
(6.5.49)
Deste modo, usando a representa¸c˜ao do produto escalar no espa¸co de configura¸c˜oes temos ˆ x|2, 1, mi = h1, 0, 0|D r Z 2π Z π Z +∞ 2π 2 0 ∗ = r Y1−1 − Y11 f(2,1) (r)Y1m dφ dθ drr sin θ f(1,0) (r)Y0 q 3 0 Z 2π 0 Z π 0 qχ =√ dφ dθ sin θ Y1−1 − Y11 Y1m , 6 0 0 (6.5.50) onde definimos χ≡
Z
+∞
r 3 f(1,0) (r)f(2,1) (r)dr ,
(6.5.51)
0
e usamos o facto que as fun¸c˜oes de onda radiais s˜ao reais. Usamos tamb´em o valor de Y00 = √ 1/ 4π. Usamos agora o facto de que os harm´onicos esf´ericos s˜ao uma base ortonormal do espa¸co de fun¸c˜oes de quadrado som´avel na esfera. A rela¸c˜ao de ortonormaliza¸c˜ao ´e Z 2π Z π ′ mm′ dφ dθ sin θ(Yℓm (θ, φ))∗ Yℓm . (6.5.52) ′ (θ, φ) = δℓℓ′ δ 0
0
Logo, dado que (Y1±1 )∗ = −Y1∓1 Z Z π ∗ qχ 2π qχ ˆ dφ h1, 0, 0|Dx|2, 1, mi = √ dθ sin θ −Y11 + Y1−1 Y1m = √ (−δ 1m + δ −1m ) . 6 0 6 0 (6.5.53) C´alculos an´alogos revelam que Z Z π qχ qχ 2π ˆ dφ dθ sin θi Y11 + Y1−1 Y1m = −i √ (δ 1m + δ −1m ) , h1, 0, 0|Dy |2, 1, mi = √ 6 0 6 0 (6.5.54) Z 2π Z π qχ qχ ˆ z |2, 1, mi = √ h1, 0, 0|D (6.5.55) dφ dθ sin θY10 Y1m = √ δ 0m . 3 0 3 0
´ Momento Angular Orbital e o Atomo de Hidrog´ enio
200
Podemos agora concluir que o valor esperado das v´arias componentes do operador dipolo el´ectrico ´e o seguinte: qχ ˆ x i(t) = √ hD sin(2α) cos[(Ω − ωL )t]δ −1m − cos[(Ω + ωL )t]δ 1m , 6 qχ ˆ y i(t) = − √ sin(2α) sin[(Ω − ωL )t]δ −1m + sin[(Ω + ωL )t]δ 1m , hD 6 qχ ˆ z i(t) = √ hD sin(2α) cos(Ωt)δ m0 . 3
(6.5.56) (6.5.57) (6.5.58)
Para qualquer um dos trˆes valores poss´ıveis de m, o valor esperado do dipolo el´ectrico ´e uma fun¸c˜ao oscilat´oria do tempo. Logo haver´a emiss˜ao de radia¸c˜ao electromagn´etica. Podemos pensar nessa radia¸c˜ao como sendo emitida devido a` transi¸c˜ao |2, 1, mi → |1, 0, 0i. Para estudarmos as caracter´ısticas dessa radi¸c˜ao tomemos os trˆes valores poss´ıveis de m separadamente: • m = +1, temos qχ qχ ˆ y i(t) = − √ ˆ x i(t) = − √ sin(2α) cos[(Ω + ωL )t] , hD sin(2α) sin[(Ω + ωL )t] , hD 6 6 ˆ z i(t) = 0 . hD
(6.5.59)
A frequˆencia angular da radia¸c˜ao emitida, ωrad , ´e igual `a frequˆencia angular de oscila¸c˜ao do dipolo: ωrad = Ω + ωL
⇒
νrad =
E(2,1) − E(1,0) ωrad (E2 − µB B) − E1 = = , (6.5.60) 2π h h
que ´e exactamente a frequˆencia esperada na transi¸c˜ao |2, 1, 1i → |1, 0, 0i. A polariza¸c˜ao da radia¸c˜ao emitida vai depender da direc¸c˜ao. Consideremos a direc¸c˜ao com versor ~n. De acordo com o electromagnetismo cl´assico, o estado de polariza¸c˜ao da radia¸c˜ao ser´a dado pelo vector ~k p = (~n × D) ~ × ~n = D ~ − ~n(~n · D) ~ ⇔ (kxp , kyp , kzp ) = ((1 − n2x )Dx − nx ny Dy , (1 − n2y )Dy − nx ny Dx , −nz (nx Dx + ny Dy )) , (6.5.61) ~ num plano ortogonal a ~n. que corresponde a projec¸c˜ao de D
6.5 O ´ atomo de hidrog´ enio (sem spin) num campo magn´ etico
201
- Radia¸c˜ao emitida na direc¸c˜ao Oz: nx = ny = 0, logo ~k p = D ~ ⇒ (k p )2 + (k p )2 = constante ; x y
(6.5.62)
A polariza¸c˜ao ´e circular no sentido directo que ´e o movimento efectuado pelo vector dipolo el´ectrico; - Radia¸c˜ao emitida na direc¸c˜ao xOy: nz = 0, logo n2x + n2y = 1, pelo que ~k p = (ny (ny Dx − nx Dy ), nx (nx Dy − ny Dx ), 0) ⇒ nx k p = −ny k p ; (6.5.63) x y A polariza¸c˜ao ´e linear; - Numa direc¸c˜ao arbitr´aria a polariza¸c˜ao ´e el´ıptica. • m = 0, temos ˆ x i(t) = 0 , hD
ˆ y i(t) = 0 , hD
qχ ˆ z i(t) = √ sin(2α) cos(Ωt) . hD 3
(6.5.64)
A frequˆencia angular ´e ωrad = Ω
⇒
νrad =
E(2,0) − E(1,0) ωrad E2 − E1 = = , 2π h h
(6.5.65)
que ´e exactamente a frequˆencia esperada na transi¸c˜ao |2, 1, 0i → |1, 0, 0i. A polariza¸c˜ao neste caso ´e linear em todas as direc¸c˜oes excepto na direc¸c˜ao Oz, em que n˜ao ´e emitida radia¸c˜ao. • m = −1, temos qχ qχ ˆ y i(t) = − √ ˆ x i(t) = √ sin(2α) cos[(Ω − ωL )t] , hD sin(2α) sin[(Ω − ωL )t] , hD 6 6 ˆ z i(t) = 0 . hD (6.5.66) A frequˆencia angular da radia¸c˜ao emitida ´e igual `a frequˆencia angular de oscila¸c˜ao do dipolo: ωrad = Ω − ωL
⇒
νrad =
E(2,−1) − E(1,0) ωrad (E2 + µB B) − E1 = = , (6.5.67) 2π h h
´ Momento Angular Orbital e o Atomo de Hidrog´ enio
202
(E 2 − E1 )/h
ν
(E 2 − E1 )/h
ν
Figura 6.10: Efeito Zeeman - esquerda: riscas observadas na direc¸c˜ao perpendicular ao ~ campo; a polariza¸c˜ao da radia¸c˜ao ´e linear em todas elas, mas ´e paralela ao campo B na risca central e perpendicular nas riscas laterais; direita: riscas observadas na direc¸c˜ao do campo; tˆem polariza¸c˜ao circular. O espa¸camento entre a risca central e as laterais ´e ∆ν = µB B/h (adaptado de Cohen et al., ‘Quantum Mechanics’). que ´e exactamente a frequˆencia esperada na transi¸c˜ao |2, 1, −1i → |1, 0, 0i. A an´alise da polariza¸c˜ao ´e semelhante `a do caso m = +1, com a diferen¸ca de ser circular inversa para a emiss˜ao na direc¸c˜ao Oz. As riscas espectrais que acabamos de discutir est˜ao representadas na figura 6.10. Note-se que o resultado da introdu¸c˜ao do campo magn´etico, efeito Zeeman, ´e n˜ao s´o o aparecimento de novas riscas, mas tamb´em de diferentes polariza¸c˜oes. Como nota final mencionamos que o tratamento da radia¸c˜ao dado nesta sec¸c˜ao foi cl´assico, ao contr´ario do dado ao ´atomo que foi quˆantico. Note-se que usamos o teorema ~ˆ ~ com quantidade cl´assica D(t) e assim deduzirmos de Ehrenfest para associarmos hD(t)i a polariza¸c˜ao da radia¸c˜ao. Neste sentido, usamos uma aproxima¸c˜ao semi-cl´assica para o problema ‘´atomo+radia¸c˜ao’.
6.6
Sum´ ario
Estudamos os operadores que descrevem as v´arias componentes do momento angular e tamb´em o momento angular total. Em mecˆanica cl´assica, para descrever o momento angular de um sistema f´ısico necessitamos de trˆes n´ umeros, correspondendo `as trˆes componentes do momento angular. Em mecˆanica quˆantica os estados pr´oprios do momento angular tˆem apenas dois n´ umeros quˆanticos, correspondendo ao n´ umero m´aximo de operadores que
6.6 Sum´ ario
203
ˆ 2 e, por escolha, L ˆ z . Construimos explicitaconseguimos diagonalizar simulaneamente: L mente a representa¸c˜ao no espa¸co de configura¸c˜oes das fun¸c˜oes pr´oprias comuns a estes dois operadores denominadas harm´onicos esf´ericos. Consideramos uma part´ıcula num potencial central e mostramos que os estados estacion´arios v˜ao ter tamb´em momento angular bem definido. Especializando para o potencial de Coulomb, deduzimos as fun¸c˜oes de onda que diagonalizam simultaneamente a energia, o momento angular total e o momento angular azimutal. Obtemos como resultado (e de primeiros princ´ıpios) a quantifica¸c˜ao da energia que hav´ıamos estudado no cap´ıtulo 2 para o ´atomo de hidrog´enio no modelo de Bohr, que reproduzia a f´ormula de Balmer para o espectro do hidrog´enio. Note-se no entanto que o nosso estudo do ´atomo de hidrog´enio foi incompleto devido `a n˜ao inclus˜ao do spin. Esta quantidade leva `a existˆencia no espectro do hidrog´enio duma sub estrutura do espectro que n´os deduzimos, denominada estrutura fina. Mergulhamos o ´atomo de hidrog´enio num campo magn´etico uniforme. Usando uma aproxima¸c˜ao em que negligenciamos o termo diamagn´etico, verificamos o levantamento de parte da degenerescˆencia do espectro de energias correspondendo a inequivalˆencia energ´etica de estados com diferente n´ umero quˆantico azimutal e mesmo n´ umero quˆantico principal. Este facto leva ao aparecimento de novas riscas no espectro do hidrog´enio. Estudando o operador dipolo el´ectrico vimos tamb´em o tipo de polariza¸c˜ao correspondente a essas riscas.
CAP´ITULO
7
Outras solu¸c˜ oes exactas da equa¸ c˜ ao de Schr¨ odinger
Solu¸c˜oes anal´ıticas exactas da equa¸c˜ao de Schr¨odinger existem apenas para alguns casos especiais; potencias constantes por peda¸cos (cap´ıtulo 3), osciladores harm´onicos, campos magn´eticos constantes (cap´ıtulo 5) e o potencial de Coulomb (cap´ıtulo 6) s˜ao alguns destes casos que foram estudados aqui. Dada esta limita¸c˜ao, foram construidos v´arios m´etodos de aproxima¸c˜ao que ser˜ao estudados nos pr´oximos cap´ıtulos. Neste cap´ıtulo iremos rematar o nosso estudo de modelos exactamente sol´ uveis, procurando esclarecer duas quest˜oes: i) Existe alguma estrutura subjacente aos modelos exactamente sol´ uveis? ii) Existe algo an´alogo aos operadores de cria¸c˜ao e destrui¸c˜ao do oscilador harm´onico para outros modelos exactamente sol´ uveis? Vamos come¸car por mencionar alguns modelos sol´ uveis, que ilustrar˜ao a dificuldade que, genericamente, existe em os resolver atrav´es de um ‘ataque’ directo `a equa¸c˜ao de Schr¨odinger, isto ´e, pelo m´etodo diferencial. Seguidamente introduziremos um m´etodo alg´ebrico, baseado em operadores an´alogos aos operadores de cria¸c˜ao e destrui¸c˜ao do oscilador harm´onico. Estes operadores resultam do conceito de superpotencial e potenciais parceiros. Finalmente discutiremos como os potenciais exactamente sol´ uveis tˆem, genericamente, a propriedade
206
Outras solu¸c˜ oes exactas da equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger
de invariˆancia de forma, e como esta propriedade pode ser usada para determinar o espectro de energias e as fun¸c˜oes pr´oprias de um modelo exactamente sol´ uvel, o que nos permitir´a construir, resolver e compreender modelos exactamente sol´ uveis.
7.1
Alguns po¸ cos de potencial exactamente sol´ uveis
No cap´ıtulo 3 estudamos potenciais constantes por peda¸cos. Estes s˜ao, obviamente, casos em que existe uma solu¸c˜ao exacta da equa¸c˜ao de Schr¨odinger. N˜ao sendo potenciais realistas s˜ao casos paradigm´aticos que nos ensinam muita da f´ısica desta equa¸c˜ao. Dois problemas fundamentais em Mecˆanica Quˆantica, que s˜ao ilustrados pelos exemplos do cap´ıtulo 3, s˜ao: • C´alculo do espectro de estados ligados: Sempre que temos um estado com energia E num potencial cujo valor assimpt´otico, para ambos os lados, ´e maior do que E, este estado ´e denominado estado ligado. Significa que est´a “preso” num tipo de po¸co de potencial. Sempre que existem estados ligados existe discretiza¸c˜ao de energias. A interpreta¸c˜ao f´ısica ´e que nem todos os comprimentos de onda podem existir no po¸co de potencial como estados estacion´arios, devido `a interferˆencia com as ondas reflectidas nas paredes do potencial. O c´alculo do espectro de energias de estados ligados ´e um importante problema em Mecˆanica Quˆantica. • C´alculo da difus˜ao de uma part´ıcula num potencial : A fun¸c˜ao de onda que descreve a part´ıcula quˆantica sofre difus˜ao, ou espalhamento, que depende das varia¸c˜oes no espa¸co e no tempo do potencial onde se propaga. Em problemas a uma dimens˜ao, esta difus˜ao ´e quantificada pelos factores de reflex˜ao e transmiss˜ao. Em mais do que uma dimens˜ao iremos definir (cap´ıtulo 9) uma sec¸c˜ao eficaz diferencial de difus˜ao. Em qualquer dos casos a difus˜ao da fun¸c˜ao de onda permite calcular a distribui¸c˜ao de probabilidade espacial de encontar a part´ıcula. Esta difus˜ao permite ainda efeitos f´ısicos inexistentes em Mecˆanica cl´assica, como o efeito t´ unel. Um estado com energia E tem uma fun¸c˜ao de onda n˜ao nula mesmo em zonas onde o potencial ´e maior que a energia (s´o ser´a zero se o potencial for infinitamente maior do que a energia). Isso
7.1 Alguns po¸cos de potencial exactamente sol´ uveis
207
permite que a fun¸c˜ao de onda de um estado com energia E seja diferente de zero em ambos os lados de uma barreira de potencial mais elevado do que o valor de E. Esta ´e a origem do efeito t´ unel. O c´alculo do factor de transmiss˜ao atrav´es de uma barreira de potencial ´e tamb´em um importante problema em Mecˆanica Quˆantica. Neste cap´ıtulo debru¸car-nos-emos exclusivamente sobre o c´alculo dos estados ligados. Notese que a difus˜ao, e em particular o factor de transmiss˜ao por efeito t´ unel, ser´a tamb´em exactamente calcul´avel num modelo sol´ uvel em que o efeito exista (como no potencial de P¨oschl-Teller invertido).
7.1.1
Estados Ligados em Po¸ cos infinitos
Comecemos por estudar o espectro de estados ligados em alguns potenciais com profundidade infinita. Po¸co de potencial rectangular de profundidade infinita Como visto na sec¸c˜ao 3.2.7, para um po¸co de profundidade infinita V (x) = 0 para x ∈ [0, L] ,
V (x) = +∞ para x > L e x < 0 ,
(7.1.1)
o espectro de energias ´e En =
n2 π 2 ~2 , 2mL2
n = 1, 2, 3, . . .
e a parte espacial da fun¸c˜ao de onda normalizada ´e r nπx 2 Φn (x) = para x ∈ [0, L] , sin L L
(7.1.2)
(7.1.3)
e zero fora deste intervalo. O espectro de energias e as fun¸c˜oes de onda dos trˆes estados estacion´arios de energia mais baixa est˜ao representados nas figuras 7.1 e 7.2. Oscilador Harm´ onico Como visto no cap´ıtulo 5, para o potencial harm´onico V (x) =
mω 2 2 x , 2
(7.1.4)
208
Outras solu¸c˜ oes exactas da equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger
E
E
V(x)
V(x)
x
x
Figura 7.1: N´ıveis de energia no oscilador harm´onico e no po¸co de potencial rectangular de profundidade infinita.
1
0.6
0.5
0.4
0.2 0 0 -4
-2
0 0
2
0.5
4
1
1.5
2
x
x -0.2 -0.5 -0.4
-0.6 -1
Figura 7.2: Fun¸c˜oes de onda dos trˆes estados estacion´arios de energia mais baixa do oscilador harm´onico e do po¸co de potencial rectangular de profundidade infinita. Note-se que o n´ umero de nodos aumenta com a energia. o espectro de energias ´e 1 En = ~ω n + , 2
n = 0, 1, 2, . . .
(7.1.5)
e a parte espacial da fun¸c˜ao de onda normalizada ´e Φn (x) =
mω 1/4 π~
√
1 2n · n!
Hn
r
mω 2 x e−mωx /2~ , ~
(7.1.6)
onde Hn s˜ao polin´omios de Hermite. O espectro de energias e as fun¸c˜oes de onda dos trˆes estados estacion´arios de energia mais baixa est˜ao representados nas figuras 7.1 e 7.2.
7.1 Alguns po¸cos de potencial exactamente sol´ uveis
209
5
4
3
2
1
0 0
1
2
3
4
5
x
Figura 7.3: O potencial V (x) = (1/x − x)2 . O espa¸camento entre os n´ıveis de energia ´e constante. Po¸co da forma V0 (a/x − x/a)2 O potencial V (x) = V0
a
x
−
x 2 , a
x>0,
V0 > 0 ,
(7.1.7)
admite solu¸c˜ao anal´ıtica exacta (ver Folha 1, Problema 1). Este potencial ´e representado na figura 7.3. O espectro de energias tem a forma ( !) r r r 1 1 8V0 8mV0 a2 8mV0 a2 n+ + +1− , En = ~ ma2 2 4 ~2 ~2
n = 0, 1, 2, . . .
e a parte espacial das fun¸c˜oes de onda tem a forma ! ! r r 1 mV0 2 2mV0 2 Φn (x) = cn xν exp − , x F −n, ν + , x 2 2 2~ a 2 ~2 a2 onde F (a, b, z) s˜ao fun¸c˜oes confluentes hipergeom´etricas, ! r 1 8mV0 a2 ν≡ +1+1 , 2 ~2
(7.1.8)
(7.1.9)
(7.1.10)
e cn s˜ao constantes de normaliza¸c˜ao. Notamos que a fun¸c˜ao confluente hipergeom´etrica tem expans˜ao F (a, b; χ) =
+∞ X (a)p χp p=0
(b)p p!
,
(7.1.11)
210
Outras solu¸c˜ oes exactas da equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger
onde os s´ımbolos de Pochhammer s˜ao definidos da seguinte forma: (a)p = a(a + 1)(a + 2) . . . (a + p − 1) ,
(a)0 = 1 .
(7.1.12)
Devido ao primeiro argumento da fun¸c˜ao confluente hipergeom´etrica ser um inteiro negativo, a fun¸c˜ao reduz-se a um polin´omio finito, de grau n. Explicitamente, nas trˆes primeiras fun¸c˜oes de onda usamos F (0, b; χ) = 1 ,
F (−1, b; χ) = 1 −
χ , b
F (−2, b; χ) = 1 −
2χ χ2 + . b b(b + 1)
(7.1.13)
As trˆes primeiras fun¸c˜oes de onda dos estados estacion´arios est˜ao representadas na figura 7.4. Note-se que, devido ao comportamento para x grande ser o mesmo do oscilador harm´onico, o espectro ´e o de um oscilador harm´onico. Neste limite o potencial fica aproximadamente V (x) ≃
V0 2 x ,x > 0 a2
V (x) ≃ 0 , x < 0 ,
ou seja metade de um potencial harm´onico com frequˆencia ω =
(7.1.14) p
2V0 /ma2 . Para um
potencial harm´onico truncado desta maneira, s´o subsistem metade dos n´ıveis de energia (fun¸c˜oes de onda ´ımpares), pelo que a frequˆencia ´e efectivamente o dobro da frequˆencia do potencial harm´onico completo. Logo, para o potencial (7.1.14) esperamos uma frequˆencia r 2V0 ω=2 , (7.1.15) ma2 que ´e de facto a que observamos em (7.1.8). Esta ´e tamb´em a frequˆencia para pequenas oscila¸c˜oes `a volta do m´ınimo. Note-se que a energia de ponto zero ´e sempre maior do que a do oscilador harm´onico com essa frequˆencia. Este potencial ´e, de facto, um caso particular do potencial harm´onico efectivo trˆes dimensional (Ver problema 4, Folha de problemas 1). Po¸co da forma V0 cot2 (πx/L) V (x) = V0 cot2
π x , L
0
V0 > 0 ,
(7.1.16)
tamb´em admite solu¸c˜ao anal´ıtica exacta (ver Folha 1, Problema 2). O espectro de energias tem a forma En = n2 + 4nλ − 2λ
π 2 ~2 , 2mL2
n = 1, 2, 3, . . . ,
(7.1.17)
7.1 Alguns po¸cos de potencial exactamente sol´ uveis
211
0.4
0.2
0 0
1
2
3
4
x
-0.2
Figura 7.4: Fun¸c˜oes de onda dos trˆes estados estacion´arios de energia mais baixa do potencial V (x) = (1/x − x)2 . O n´ umero de nodos aumenta com a energia. onde 1 λ= 4
r
8mV0 L2 +1−1 π 2 ~2
!
.
(7.1.18)
As fun¸c˜oes de onda tˆem a forma diferente dependendo da paridade de n. Para valores ´ımpares de n, obtemos a fun¸c˜ao de onda πx −2λ n n 1 2 πx Φn (x) = cn sin , F − − 2λ, , ; cos L 2 2 2 L
(7.1.19)
enquanto que para valores pares de n obtemos a fun¸c˜ao de onda πx −2λ n 1 n 1 3 πx 2 πx , F − − 2λ + , + , ; cos cos Φn (x) = cn sin L L 2 2 2 2 2 L
(7.1.20)
onde F (a, b, c; z) s˜ao fun¸c˜oes hipergeom´etricas. Na sec¸c˜ao 7.2.1 analisaremos algumas destas fun¸c˜oes de onda, que est˜ao representadas na figura 7.15. ´ interessante analisar dois casos limites deste potencial. O primeiro ´e o limite em que E V0 → 0. Como se pode ver na figura 7.5, nesse limite o potencial aproxima-se do po¸co de potencial infinito rectangular. Nesse limite, λ → 0 e o espectro (7.1.17) reduz-se a En ≃
n2 π 2 ~2 , 2mL2
(7.1.21)
212
Outras solu¸c˜ oes exactas da equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0 0
0.5
1
1.5
2
2.5
0
3
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
x
Figura 7.5: Os potenciais V (x) = cot2 x e V (x) = cot2 x/100. exactamente o espectro do po¸co rectangular infinito (7.1.2). Um outro limite interessante e oposto ´e tomar λ ≫ 1; nesse caso λ≃
r
mV0 L2 , 2π 2 ~2
e, para os primeiros n´ıveis de energia podemos escrever o espectro como r 2V0 π 2 1 , n = 0, 1, 2, . . . , ω≡ . En ≃ ~ω n + 2 mL2
(7.1.22)
(7.1.23)
Obtemos portanto um espectro de oscilador harm´onico, o que se pode entender facilmente, se expandirmos o potencial `a volta de x = L/2: " 2 3 # 2 π L 2 sin x − πx L L V π 0 2 ; = V0 2 Lπ +O x− V (x) = V0 cot2 = 2 x− L L 2 2 cos L x − L2
o primeiro termo tem a forma V (x) = mω 2 (x − L/2)2 /2, com ω dado pela express˜ao anterior. Po¸co Triangular Consideremos um potencial linear V (x) = V0 x ,
V0 > 0 .
(7.1.24)
7.1 Alguns po¸cos de potencial exactamente sol´ uveis
213
0.8
0.4
0 -10
-5
0
5
10
x
-0.4
-0.8
Figura 7.6: A fun¸c˜ao de Airy convergente. A equa¸c˜ao de Schr¨odinger independente do tempo para um estado com energia E fica ~2 d 2 − + V0 x Φ(x) = EΦ(x) , (7.1.25) 2m dx2 ou ainda
2mV0 d2 − dx2 ~2
E x− V0
Φ(x) = 0 .
(7.1.26)
As solu¸c˜oes da equa¸c˜ao
d2 − z f (z) = 0 , dz 2
(7.1.27)
chamam-se fun¸c˜oes de Airy, e as duas solu¸c˜oes linearmente independentes s˜ao denotadas por Ai(z) e Bi(z), sendo que a segunda ´e divergente. Assim, a solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao de Airy (7.1.27) ´e dada por f (z) = αAi(z) + βBi(z) .
(7.1.28)
A fun¸c˜ao de Airy convergente juntamente com um potencial linear de declive 1 est˜ao representadas na figura 7.6. Note-se que a forma ´e exactamente a esperada. A fun¸c˜ao de onda oscila quando a energia ´e maior do que o potencial e torna-se uma onda evanescente
214
Outras solu¸c˜ oes exactas da equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger
quando a energia ´e menor do que o potencial. Assim, tomamos a solu¸c˜ao de (7.1.26) como sendo
r 3
Φ(x) = cAi
2mV0 ~2
E x− V0
!
,
(7.1.29)
onde c ´e uma constante de normaliza¸c˜ao. Um potencial linear origina uma for¸ca constante, como por exemplo a de uma part´ıcula carregada num campo el´ectrico constante. Mas um potencial linear em todo o espa¸co n˜ao faz sentido fisicamente, pois a energia n˜ao est´a limitada inferiormente. Podemos, no entanto, considerar um po¸co de potencial triangular da seguinte forma Vx x>0 0 V (x) = +∞ x<0.
(7.1.30)
Se o fizermos, esperamos quantifica¸c˜ao de energia. Matematicamente, esta quantifica¸c˜ao aparece como consequˆencia da condi¸c˜ao Φ(0) = 0 .
(7.1.31)
Logo, em x = 0, o argumento da fun¸c˜ao de Airy tem de ser um dos seus zeros, xn , isto ´e 2 2 1/3 V0 ~ En = − xn . (7.1.32) 2m Estes zeros n˜ao tˆem uma express˜ao matem´atica simples, mas ´e muito simples compreender a forma da fun¸c˜ao de onda para os v´arios estados estacion´arios; representamos os primeiros na figura 7.7. Numericamente, x1 ≃ −2.34 ,
x2 ≃ −4.09 ,
x3 ≃ −5.52 ,
(7.1.33)
o que revela que |E3 −E2 | < |E2 −E1 |. Este ´e um padr˜ao que se repete: os n´ıveis de energia est˜ao cada vez mais pr´oximos `a medida que a energia aumenta, ou, posto na linguagem da pr´oxima sec¸c˜ao, a densidade de estados aumenta com a energia. Nesta altura vale a pena observar que em todos os exemplos de po¸cos de potencial estudados at´e agora, o n´ umero de nodos aumente sempre de uma unidade com o n´ıvel de energia. Esta ´e uma caracter´ıstica gen´erica de problemas em uma dimens˜ao. Note-se tamb´em que o estado fundamental nunca tem qualquer nodo.
7.1 Alguns po¸cos de potencial exactamente sol´ uveis
215
0.8
0.8
0.8
0.4
0.4
0.4
0
0 0
2
4
6
8
0 0
10
2
4
6
8
10
0
2
4
x
x
6
8
10
x
-0.4
-0.4
-0.4
-0.8
-0.8
-0.8
Figura 7.7: As fun¸c˜ao de onda dos trˆes primeiros estados estacion´arios no po¸co triˆangular.
7.1.2
Densidade de estados
Comparemos agora a densidade de estados, ρ(E), definida por dN(E) , dE
ρ(E) =
(7.1.34)
para alguns destes po¸cos infinitos. No caso do oscilador harm´onico, temos N(E) =
E 1 − ~ω 2
⇒
ρ(E) =
1 . ~ω
(7.1.35)
Obviamente para o caso do oscilador harm´onico, a densidade de estados ´e constante, dado o espa¸camento energ´etico entre os n´ıveis ser sempre igual. No caso do po¸co rectangular infinito, L√ N(E) = 2mE π~
⇒
L ρ(E) = π~
r
m . 2E
(7.1.36)
A densidade de estados tende para zero `a medida que a energia aumenta, devido ao espa¸camento energ´etico aumentar com o n´ıvel. No caso do po¸co de potencial do tipo cot2 x, escolhemos a raiz positiva da equa¸c˜ao quadr´atica 2mEa2 N(E)2 +4N(E)λ−2λ− 2 2 = 0 π ~
⇒
N(E) =
r
4λ2 + 2λ +
2mEa2 −2λ , (7.1.37) π 2 ~2
pelo que obtemos uma densidade de estados ρ(E) =
ma2 1 q 2 2 π ~ 4λ2 + 2λ +
2mEa2 π 2 ~2
.
(7.1.38)
216
Outras solu¸c˜ oes exactas da equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 0
2
4
6
8
10
E
Figura 7.8: Densidade de estados para o oscilador harm´onico (constante), po¸co rectangular infinito (curva divergente em zero) e po¸co do tipo cot2 x. Estas v´arias densidades de estados est˜ao representadas na figura 7.8. Note-se, que de acordo com a an´alise efectuada anteriormente, o potencial cot2 x tem uma densidade aproximadamente constante para energias baixas e converge para a densidade do po¸co rectangular infinito para energias elevadas. Estas curvas da densidade de estados ajudam-nos a ter uma intui¸c˜ao sobre outros casos onde n˜ao possamos resolver analiticamente o problema. Por exemplo, no potencial x4 , deveremos ter uma densidade de estados cujo declive estar´a algures entre entre o do po¸co rectangular infinito e o do potencial harm´onico. Notemos ainda que o potencial triangular da sec¸c˜ao anterior tem uma densidade de estados que aumenta com a energia.
7.1.3
Estados Ligados em Po¸ cos finitos
Vamos agora estudar o espectro de estados ligados de dois potenciais com profundidade finita, um dos quais j´a nosso conhecido. Recordemos ainda que na sec¸c˜ao 3.2.6 estudamos um outro caso de um potencial rectangular finito, cujos n´ıveis de energia se determinaram por um m´etodo geom´etrico.
7.1 Alguns po¸cos de potencial exactamente sol´ uveis
217
x
0.3 0
5
10
15
20
0 0.2
-0.2 0.1
-0.4 0 0
5
10
15
20
x -0.6 -0.1
-0.8
-0.2
-1
-0.3
Figura 7.9: Potencial de Coulomb efectivo para b 6= 0 and b = 0 respectivamente. Po¸co de potencial efectivo de Coulomb No cap´ıtulo 6 resolvemos a equa¸c˜ao de Schr¨odinger trˆes dimensional no potencial de Coulomb. Devido `a simetria esf´erica, reduzimos o problema a uma dimens˜ao, com um potencial efectivo do tipo V (x) =
a b + 2 , se x > 0 ; x x
V (x) = +∞ , se x < 0 .
(7.1.39)
As constantes a e b tˆem valores negativo e positivo (ou zero) respectivamente. O potencial est´a representado na figura 7.9. No caso do problema de Coulomb, estas constantes tˆem o valor e2 ~2 a=− , b = ℓ(ℓ + 1) . (7.1.40) 4πǫ0 2µ Usando um m´etodo an´alogo ao do cap´ıtulo 6, mostra-se que os n´ıveis de energia s˜ao dados por En = −
µa2 2~2
1 n+
q
1 4
+
2µb ~2
+
1 2
2 ,
n = 0, 1, 2, 3, . . . .
(7.1.41)
Tomando os valores (7.1.40) obtemos o espectro de energias do ´atomo de Hidrog´enio, que est´a representado na figura 6.5. As fun¸c˜oes de onda ser˜ao dadas pela parte radial das fun¸c˜oes de onda estudadas no cap´ıtulo 6 para o ´atomo de Hidrog´enio. Note-se que para ℓ = 0 (b = 0) este ´e um po¸co infinito. Na sec¸c˜ao 7.2.4 voltaremos a analisar este problema usando o m´etodo alg´ebrico.
218
Outras solu¸c˜ oes exactas da equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger
x -4
-2
0
2
4
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
Figura 7.10: O potencial de P¨ochl-Teller para V0 = 1 = a. Po¸co de potencial de P¨ oschl-Teller O po¸co de potencial V (x) = −
V0 cosh2
x a
,
V0 , a > 0 ,
(7.1.42)
denominado potencial de P¨oschl-Teller, admite solu¸c˜ao anal´ıtica exacta (ver Folha 1, Problema 3). Este potencial ´e representado na figura 7.10. O espectro de energias tem a forma " r #2 ~2 1 1 8mV0 a2 En = − +1− n+ , n = 0, 1, 2, . . . , N , (7.1.43) 2ma2 2 ~2 2 onde N ´e o maior inteiro que satisfaz a desigualdade r 1 8mV0 a2 1 +1 . N+ < 2 2 ~2
(7.1.44)
As fun¸c˜oes de onda tˆem a forma diferente dependendo da paridade de n. Para valores ´ımpares de n, obtemos a fun¸c˜ao de onda x x −2λ n 1 3 n 1 2 x Φn = cn sinh cosh , F − + , −2λ + + , ; − sinh a a 2 2 2 2 2 a enquanto que para valores pares de n obtemos a fun¸c˜ao de onda n n 1 x −2λ 2 x , F − , −2λ + , ; − sinh Φn = cn cosh a 2 2 2 a
(7.1.45)
(7.1.46)
7.1 Alguns po¸cos de potencial exactamente sol´ uveis
219
1
0.5
x -3
-2
-1
0
1
2
3
0
-0.5
-1
Figura 7.11: Fun¸c˜oes de onda dos trˆes estados estacion´arios de energia mais baixa do potencial de P¨oschl-Teller (n˜ao normalisadas). Usamos λ = 2, a = 1. O n´ umero de nodos aumenta com a energia. onde F (a, b, c; z) s˜ao fun¸c˜oes hipergeom´etricas e λ ´e dado pela express˜ao ! r 8mV0 a2 1 1+ λ≡ −1 . 4 ~2
(7.1.47)
Notamos que a fun¸c˜ao hipergeom´etrica tem expans˜ao F (a, b, c; χ) =
+∞ X (a)p (b)p χp p=0
(c)p
p!
.
(7.1.48)
Devido ao primeiro argumento da fun¸c˜ao hipergeom´etrica ser um inteiro negativo (quer no caso par, quer ´ımpar), a fun¸c˜ao reduz-se a um polin´omio finito, de grau n. Explicitamente, para as trˆes primeiras fun¸c˜oes de onda usamos F (0, b, c; χ) = 1 ,
b F (−1, b, c; χ) = 1 − χ . c
(7.1.49)
As fun¸c˜oes de onda dos trˆes primeiros estados estacion´arios encontram-se representadas na figura 7.11. Notemos que este po¸co de profundidade finita admite um n´ umero finito de estados ligados, enquanto que o po¸co de potencial efectivo de Coulomb, sendo ainda de profundidade finita, admite um n´ umero infinito de estados ligados.
220
7.2
Outras solu¸c˜ oes exactas da equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger
M´ etodo alg´ ebrico para potenciais com forma invariante
Quando, no cap´ıtulo 5, estudamos o oscilador harm´onico, deduzimos o seu espectro e fun¸c˜oes pr´oprias usando dois m´etodos diferentes: um m´etodo alg´ebrico baseado na introdu¸c˜ao de operadores de cria¸c˜ao e destrui¸c˜ao (sec¸c˜oes 5.1.1 e 5.1.2); um m´etodo diferencial de resolu¸c˜ao directa da equa¸c˜ao de Schr¨odinger, com um “ansatz” apropriado que introduz uma s´erie de potˆencias que dever´a ser finita por normalizabilidade da fun¸c˜ao de onda. O primeiro m´etodo ´e, sem d´ uvida, bem mais elegante e pr´atico. Os potenciais estudados na sec¸c˜ao 7.1 s˜ao, tradicionalmente, resolvidos usando o segundo m´etodo. Existe, no entanto, um m´etodo alg´ebrico aplic´avel a estes e outros potenciais, que nos permitir´a, de um modo mais pr´atico, extrair o espectro e as fun¸c˜oes pr´oprias do problema (e tamb´em os factores de transmiss˜ao e reflex˜ao, quando aplic´avel, mas que n˜ao ser´a aqui tratado). O m´etodo que vamos descrever tem a sua origem em t´ecnicas de “supersimetria” - uma simetria (ainda n˜ao observada) que relaciona bos˜oes com fermi˜oes - mas que ´e essencialmente equivalente a um m´etodo de factoriza¸c˜ao introduzido por Schr¨odinger em 1940 (Proc. Roy. Irish Acad. A46 (1940) 9).
7.2.1
O superpotencial e potenciais parceiros
Consideramos o operador Hamiltoniano na representa¸c˜ao |xi: 2 2 ˆ˜ = − ~ d + V˜ (x) . H 1 1 2m dx2
(7.2.1)
Assumimos que o potencial ´e limitado inferiormente e tem um espectro de estados ligados, ´ uma propriedade universal acima do qual poder´a, ou n˜ao, existir um cont´ınuo de estados. E que o estado fundamental Φ0 n˜ao tem nodos. Este estado tem energia E˜0 e obedece a −
~2 d2 Φ0 + V˜1 (x)Φ0 = E˜0 Φ0 , 2m dx2
que, invertendo, resulta em ~2 1 d2 Φ0 ˜0 . +E V˜1 (x) = 2m Φ0 dx2
(7.2.2)
7.2 M´ etodo alg´ ebrico para potenciais com forma invariante
221
Conhecendo, pois, o estado fundamental de um problema, podemos facilmente reconstruir o potencial, a menos de uma constante (a energia de ponto zero). No que se segue iremos considerar o potencial que ´e obtido do original atrav´es da subtrac¸c˜ao da energia de ponto zero, o que garante que o estado fundamental do novo potencial tem energia zero: V˜1 − E˜0 = V1 ,
ˆ˜ − E˜ ˆ ˆ H 1 0 1 = H1 .
(7.2.3)
Podemos agora factorizar o operador Hamiltoniano da seguinte maneira ˆ 1 = Aˆ† Aˆ , H
(7.2.4)
onde os operadores Aˆ e Aˆ† s˜ao adjuntos e tomam a forma, na representa¸c˜ao |xi: ~ d + W (x) , Aˆ = √ 2m dx
~ d Aˆ† = − √ + W (x) . 2m dx
(7.2.5)
A fun¸c˜ao W (x) ´e denominada superpotencial. Da equivalˆencia entre (7.2.1) e (7.2.4), ~ d ~ d ~2 d 2 √ −√ + W (x) + W (x) = − + V1 (x) , 2m dx2 2m dx 2m dx resulta que ~ dW V1 (x) = W (x)2 − √ . 2m dx
(7.2.6)
Esta equa¸c˜ao ´e denominada equa¸c˜ao de Riccati. Dado um potencial V˜1 (x) = V1 (x) + E˜0 , usamo-la para determinar o superpotencial, descobrindo simultaneamente a energia de ponto zero do potencial V˜1 (x). ˆ = 0, obedece a H ˆ 1 Φ = Aˆ† AΦ ˆ = 0; isto ´e tem a energia O estado definido por AΦ do estado fundamental. Como o espectro ´e n˜ao degenerado (caracter´ıstica gen´erica de problemas um dimensionais), este deve ser o estado fundamental: ˆ 0=0 AΦ
⇔
~ 1 dΦ0 W (x) = − √ . 2m Φ0 dx
(7.2.7)
Substituindo em (7.2.6) obtemos V1 (x) =
~2 1 d2 Φ0 , 2m Φ0 dx2
(7.2.8)
222
Outras solu¸c˜ oes exactas da equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger
em concordˆancia com (7.2.2) ap´os a transforma¸c˜ao (7.2.3). Por outro lado, de (7.2.7), temos que dado o superpotencial podemos determinar Φ0 (x) por ! √ Z 2m W (x)dx . Φ0 (x) = exp − ~
(7.2.9)
Exemplo: Consideremos o oscilador harm´onico tratado no cap´ıtulo 5. Usando a representa¸c˜ao |xi, escrevemos os operadores de cria¸c˜ao e destrui¸c˜ao (5.1.4) da seguinte maneira ! ! r r 2 2 1 ~ mω mω ~ 1 d d √ a ˆ† = √ −√ + x , a ˆ= √ + x . (7.2.10) 2 2 2m dx 2m dx ω~ ω~ O Hamiltoniano escreve-se, em termos destes operadores ! √ √ ˆ 1 ˆ˜ − ~ω 1 ˆ˜ = ~ω a ˆ = ( ~ωˆ ⇔ H a† )( ~ωˆ a) , H ˆ† a ˆ+ 1 1 2 2 de onde concluimos que os operadores Aˆ e Aˆ† s˜ao dados por Aˆ† =
√
Aˆ =
~ωˆ a† ,
√
~ωˆ a,
(7.2.11)
e o superpotencial ´e linear W (x) =
r
mω 2 x. 2
(7.2.12)
Usando (7.2.9), obtemos ainda que a fun¸c˜ao de onda do estado fundamental ´e uma Gaussiana do tipo Φ0 = Ce−mωx
2 /(2~)
, em concordˆancia com (5.1.36), e obtemos de (7.2.8) V1 (x) =
mω 2 2 ~ω x − , 2 2
(7.2.13)
que ´e, de facto, o potencial harm´onico com a energia de ponto zero removida. ˆ 2, Para introduzir a no¸c˜ao de potencial parceiro, definimos um novo Hamiltoniano, H ˆ 2 = AˆAˆ† , H
(7.2.14)
obtido invertendo a ordem de Aˆ e Aˆ† . Usando (7.2.5) ~ d ~2 d 2 ~ dW (x) ~ d ˆ + W (x) −√ + W (x) = − + W (x)2 + √ , H2 = √ 2 2m dx 2m dx 2m dx 2m dx
7.2 M´ etodo alg´ ebrico para potenciais com forma invariante
223
de onde definimos o potencial parceiro, V2 (x) por ~ dW (x) . V2 (x) = W (x)2 + √ 2m dx
(7.2.15)
A designa¸c˜ao de potenciais parceiros para V1 (x) e V2 (x) surge porque os seus espectros e fun¸c˜oes pr´oprias (e matrizes de difus˜ao quando aplic´avel) est˜ao relacionados. De facto, (1) ˆ 1 , com correspondente espectro se {Φn }, n ≥ 0, for o conjunto de fun¸c˜oes pr´oprias de H (1)
En ≥ 0, ∀n,
ˆ 1 Φ(1) = E (1) Φ(1) , H n n n
ˆ (1) ˆ 2 com valor pr´oprio En(1) : ent˜ao, as fun¸c˜oes AΦ ao fun¸c˜oes pr´oprias de H n , com n > 0, s˜ ˆ 2 AΦ ˆ (1) = AˆAˆ† AΦ ˆ (1) = AˆH ˆ 1 Φ(1) = AE ˆ (1) Φ(1) = E (1) AΦ ˆ (1) . H n n n n n n n
ˆ 1 n˜ao origina, por este procedimento, nenhuma Note-se que o estado fundamental de H ˆ 2. fun¸c˜ao pr´opria n˜ao trivial de H (2) ˆ 2, De um modo semelhante, se {Φn }, n ≥ 0, for o conjunto de fun¸c˜oes pr´oprias de H (2)
com correspondente espectro En > 0, ∀n, ˆ 2 Φ(2) = E (2) Φ(2) , H n n n (2) ˆ 1 com valor pr´oprio En(2) : ent˜ao, as fun¸c˜oes Aˆ† Φn , com n ≥ 0, s˜ao fun¸c˜oes pr´oprias de H
ˆ 1 Aˆ† Φ(2) = Aˆ† AˆAˆ† Φ(2) = Aˆ† H ˆ 2 Φ(2) = Aˆ† E (2) Φ(2) = E (2) Aˆ† Φ(2) . H n n n n n n n
ˆ 2 Φ(2) 6= 0, pelo que o estado fundamental de H ˆ 2 origina, por este procediNote-se que H 0 ˆ 1. mento, uma fun¸c˜ao pr´opria n˜ao trivial de H
Concluimos pois que os espectros dos potenciais parceiros est˜ao relacionados por (1)
En(2) = En+1 , n ≥ 0,
(1)
E0 = 0 ;
(7.2.16)
as fun¸c˜oes pr´oprias est˜ao relacionadas por Φ(2) n = q
1 (1)
En+1
ˆ (1) AΦ n+1 ,
(1) ou Φn+1 = q
1 (2) En
Aˆ† Φ(2) n ,
(7.2.17)
224
Outras solu¸c˜ oes exactas da equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger
(1)
(2)
E3
(1)
E2
E2 Aˆ†
(1)
(2)
E1
(1)
0 = E0
(2)
E1 E0
Aˆ
Figura 7.12: Espectros de potenciais parceiros e ac¸c˜ao dos operadores Aˆ e Aˆ† . Note-se que ˆ Aˆ† destroi/cria um nodo na fun¸c˜ao de onda. Nesse sentido os operadores o operador A/ s˜ao ainda operadores de destrui¸c˜ao/cria¸c˜ao. (1)
(2)
que est˜ao normalizadas, assumindo normaliza¸c˜ao de Φn ou Φn respectivamente. Na figura 7.12 ilustramos a rela¸c˜ao entre os espectros de potenciais parceiros. Exemplo 1: No caso do oscilador harm´onico, os operadores Aˆ e Aˆ† s˜ao proporcionais aos operadores de cria¸c˜ao e destrui¸c˜ao. Logo, ´e de prever que o potencial parceiro do oscilador harm´onico seja ainda um potencial harm´onico. Facilmente se verifica que, tomando o superpotencial (7.2.12) se obt´em, de (7.2.15) V2 (x) =
mω 2 2 ~ω x + , 2 2 (2)
que ´e de facto um potencial harm´onico com energia de ponto zero E0 = ~ω - figura 7.13. Esta energia de ponto zero corresponde, de facto, `a energia do primeiro estado excitado do potencial parceiro (7.2.13). Vemos pois que o potencial harm´onico tem forma invariante; isto ´e n˜ao modifica a sua forma relativamente ao potencial parceiro. Potenciais de forma invariante ir˜ao desempenhar um importante papel no que se segue. Exemplo 2: Consideramos o po¸co de potencial rectangular de profundidade infinita (revisto em 7.1.1), que subtraido da sua energia de ponto zero, tomamos como o potencial V1 (x). O espectro de energias fica ent˜ao: En(1) =
π 2 ~2 n(n + 2)π 2 ~2 (n + 1)2 π 2 ~2 − = ,n ≥ 0 ; 2mL2 2mL2 2mL2
(7.2.18)
7.2 M´ etodo alg´ ebrico para potenciais com forma invariante
225
E
E V(x) 1
V(x) 2
x
x
Figura 7.13: Potencial harm´onico com energia de ponto zero nula (esquerda) e o seu potencial parceiro (direita), que ´e um potencial harm´onico igual mas subido de ~ω. as fun¸c˜oes pr´oprias s˜ao Φ(1) n
=
r
2 sin L
(n + 1)πx L
,
x ∈ [0, L] ,
(7.2.19)
e zero no complementar. Usando (7.2.7) obtemos o superpotencial W (x) = − √
~π πx , cot L 2mL
(7.2.20)
e como tal, o potencial parceiro, usando (7.2.15), ~2 π 2 2 πx V2 (x) = 2 cot +1 . 2mL2 L
(7.2.21)
Concluimos pois, de (7.2.16), que o espectro deste potencial ´e En(2) =
(n + 1)(n + 3)π 2 ~2 ,n ≥ 0 . 2mL2
(7.2.22)
ˆ 1 pela a¸cc˜ao As fun¸c˜oes pr´oprias do potencial parceiro, por sua vez, s˜ao obtidas das de H do operador ~ Aˆ = √ 2m
π πx d − cot dx L L
.
Usando (7.2.17) obtemos as fun¸c˜oes de onda do potencial parceiro: s (n + 2)πx πx (n + 2)πx 2 (2) Φn = (n + 2) cos . − cot sin (n + 1)(n + 3)L L L L As trˆes primeiras fun¸c˜oes de onda encontram-se representadas na figura 7.15.
(7.2.23)
226
Outras solu¸c˜ oes exactas da equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger
E
V(x) 2
V(x) 1
x
Figura 7.14: Po¸co de potencial rectangular com energia de ponto zero nula (esquerda) e o seu potencial parceiro (direita), que ´e um potencial do tipo π 2 ~2 /mL2 (2 cot2 (πx/L) + 1). Vale a pena notar, neste segundo exemplo, que o potencial parceiro do po¸co de potencial rectangular de profundidade infinita, que ´e bastante trivial de resolver, ´e um potencial altamente n˜ao trivial de resolver - figura 7.14. Notemos ainda que V2 (x) −
~2 π 2 π 2 ~2 πx = cot2 , 2 2 2mL mL L
(7.2.24)
que ´e o potencial (7.1.16), com V0 = π 2 ~2 /mL2 . Para este valor especial de V0 , a vari´avel λ (7.1.18) toma o valor de 1/2 e o espectro de energias (7.1.17) En = (n(n + 2) − 1)
π 2 ~2 , 2mL2
n = 1, 2, 3, . . . ,
(7.2.25)
(2)
o que coincide exactamente com En − π 2 ~2 /2mL2 , em acordo com o c´alculo anterior.
7.2.2
Hierarquia de Hamiltonianos
Vamos assumir que conhecemos um potencial que ´e exactamente sol´ uvel, V˜1 (x) e conhecemos o seu espectro e fun¸c˜oes de onda. Se assim ´e, podemos, aparentemente, construir um n´ umero infinito de potenciais exactamente sol´ uveis. O m´etodo ´e o seguinte. ˆ 1 , Φ(1) , que tem energia E (1) Conhecendo o estado fundamental de um Hamiltoniano H 0 0 igual a zero, podemos encontrar o superpotencial W1 (x), usando (7.2.7). Os operadores Aˆ1 e Aˆ†1 , podem ent˜ao ser construidos usando (7.2.5), e podem ser usados para factorizar o ˆ 1 = Aˆ†1 Aˆ1 . O estado fundamental do Hamiltoniano Hamiltoniano, escrevendo-o na forma H ˆ 2 = Aˆ1 Aˆ† , Φ(2) , que tem energia E (2) maior do que zero, ´e obtido a partir do parceiro H 1 0 0
7.2 M´ etodo alg´ ebrico para potenciais com forma invariante
227
1.5
1
0.5 x 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
-0.5
-1
-1.5
Figura 7.15: Fun¸c˜oes de onda dos trˆes estados estacion´arios de energia mais baixa do potencial do tipo cot2 (πx/L). O n´ umero de nodos aumenta com a energia.
ˆ 1 , pela aplica¸c˜ao do operador Aˆ1 . O Hamiltoniano H ˆ 2 −E0(2) 1 ˆ primeiro estado excitado de H (2)
tem estado fundamental Φ0
com energia igual a zero. Podemos por isso recome¸car o
processo e calcular um novo superpotencial W2 (x), novos operadores Aˆ2 e Aˆ†2 que factorizam ˆ 3 = Aˆ2 Aˆ† , com um novo ˆ 2 = Aˆ† Aˆ2 e um novo Hamiltoniano parceiro H o Hamiltoniano H 2 2 (3) ˆ3 − estado fundamental, Φ0 , que tem energia maior do que zero. O Hamiltoniano H
(3) ˆ (3) E0 1 tem estado fundamental Φ0 com energia igual a zero. Podemos recome¸car agora
novamente o processo. Construimos assim toda uma hierarquia de Hamiltonianos, criados por refactoriza¸c˜oes repetidas. A raz˜ao pela qual, genericamente, n˜ao construimos por este m´etodo um conjunto infinito de potenciais exactamente sol´ uveis ´e que, genericamente, os potenciais parceiros v˜ao ter a mesma forma do potencial original, apenas com parˆametros diferentes. Isto ´e, potenciais exactamente sol´ uveis s˜ao, genericamente, potenciais de forma invariante que tratamos de seguida. Usando a condi¸c˜ao de invariˆancia de forma apropriada podemos resolver um potencial de primeiros princ´ıpios, e n˜ao apenas resolver um potencial dado o conhecimento do seu potencial parceiro.
228
7.2.3
Outras solu¸c˜ oes exactas da equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger
Potenciais de forma invariante
Se um potencial tem a mesma forma do seu potencial parceiro, isto ´e, se o potencial V1 (x; ai ) e o seu parceiro V2 (x; aj ), onde ai,j s˜ao os parˆametros que definem o potencial, obedecerem a V2 (x; ai ) = V1 (x; f (ai )) + R(ai ) ,
(7.2.26)
ent˜ao dizemos que o potencial tem forma invariante. f (ai ) e R(ai ) s˜ao duas fun¸c˜oes dos parˆametros ai . Esta condi¸c˜ao ´e uma condi¸c˜ao de integrabilidade. Usando-a podemos, de um modo sistem´atico, obter as fun¸c˜oes pr´oprias e os valores pr´oprios de qualquer potencial de forma invariante. Vejamos como. ˆ 1 construido com um potencial, V1 (x; a), que obedece Consideramos um Hamiltoniano, H `a condi¸c˜ao de invariˆancia de forma. Se 2 2 ˆ 1 = − ~ d + V1 (x, a) , H 2m dx2
pela condi¸c˜ao de invariˆancia de forma, o Hamiltoniano parceiro ser´a 2 2 ˆ 2 = − ~ d + V1 (x, f (a)) + R(a) . H 2m dx2
ˆ 1 tem energia de ponto zero igual a zero, por constru¸c˜ao, para qualquer O Hamiltoniano H ˆ 2 ´e igual ao Hamiltoniano H ˆ 1 , com um conjunto de parˆametros a. O Hamiltoniano H conjunto de parˆametros f (a) - que ainda ter´a energia do estado fundamental igual a zero ˆ 2 , que ´e igual `a energia do - somado de R(a). Logo a energia do estado fundamental de H ˆ 1 ´e primeiro estado excitado de H (1)
(2)
E1 = E0 = R(a) .
(7.2.27)
ˆ 2, H ˆ′ = H ˆ 2 − R(a)1, ˆ ter´a como Subtraindo a energia de ponto zero ao Hamiltoniano H 2 Hamiltoniano parceiro 2 2 ˆ 3 = − ~ d + V1 (x, f 2 (a)) + R(f (a)) , H 2m dx2
ˆ 1 ser´a de onde concluimos que a energia do segundo estado excitado de H (1)
E2 = R(a) + R(f (a)) .
7.2 M´ etodo alg´ ebrico para potenciais com forma invariante
229
Logo, para potenciais de forma invariante, podemos construir uma hierarquia de Hamiltoˆ s , s = 1, 2, 3, . . ., em que H ˆ n tem o mesmo espectro que H ˆ 1 , a menos dos primeiros nianos, H ˆ 1 , que est˜ao ausentes em H ˆ n , sendo as suas energias subtra´ıdas no espectro n−1 n´ıveis de H ˆ n . Usando repetidamente a condi¸c˜ao de invariˆancia de forma, temos que de H 2 2 ˆ s = − ~ d + V1 (x, f s−1(a)) + R(f s−2(a)) . H 2m dx2
ˆ 1 ´e Logo, a energia do n´ıvel n do Hamiltoniano H En(1) =
n−1 X k=0
R(f k (a)) , n ≥ 1 ,
(1)
, E0 = 0 .
Consideremos agora o c´alculo das fun¸c˜oes de onda dos estados estacion´arios. Dado o potencial original V1 (x; a), podemos encontrar o superpotencial W (x; a), via (7.2.6), ˆ a) e a fun¸c˜ao de onda do estado fundamental Φ0 (x; a), via (7.2.7) e os operadores A(x; Aˆ† (x; a) usando (7.2.5). Como o potencial ´e de forma invariante, o potencial parceiro ´e, a (1)
menos de uma constante (E1 ), V1 (x; f (a)). A fun¸c˜ao de onda do estado fundamental do potencial parceiro ser´a, por isso, Φ0 (x; f (a)). Logo, a fun¸c˜ao de onda do primeiro estado excitado de V1 (x; a) ser´a, usando (7.2.17),
Analogamente,
Φ1 (x; a) = q Φn (x; a) = q
1 (1)
Aˆ† (x; a)Φ0 (x; f (a)) .
E1
1 (1) En
Aˆ† (x; a)Φn−1 (x; f (a)) .
(7.2.28)
Deste modo construimos, com um m´etodo alg´ebrico em tudo an´alogo ao usado no oscilador harm´onico, todas as fun¸c˜oes de onda do problema original.
7.2.4
Potenciais de forma invariante relacionados por transla¸ c˜ ao
H´a, essencialmente, duas classes de potenciais de forma invariante que tˆem sido estudados: i) Potenciais que est˜ao relacionados com o parceiro por uma transla¸c˜ao f (a) = a + α ;
(7.2.29)
230
Outras solu¸c˜ oes exactas da equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger
ii) Potenciais que est˜ao relacionados com o parceiro por uma transforma¸c˜ao de escala f (a) = qa .
(7.2.30)
Existem ainda outras classes discutidas na literatura. Contudo ´e um facto not´avel que todos os modelos exactamente sol´ uveis que se encontram genericamente nos livros de Mecˆanica Quˆantica n˜ao relativista pertencem `a primeira classe descrita em cima. Consideremos dois exemplos. Oscilador Harm´ onico generalizado Consideramos um potencial harm´onico centrado no ponto x = a. Vamos assumir que nada sabemos da teoria quˆantica deste potencial; em particular desconhecemos a energia de ponto zero, E˜0 . O potencial harm´onico com energia de ponto zero nula ser´a 1 V1 (x) = mω 2 (x − a)2 − E˜0 . 2
(7.2.31)
O superpotencial est´a relacionado com V1 (x) por ~ dW V1 (x) = W (x)2 − √ ; 2m dx
(7.2.32)
Tomamos como ansatz para o superpotencial W (x) = α(x + β) ;
(7.2.33)
inserindo este ansatz juntamente com a forma de V1 (x) na equa¸c˜ao anterior obtemos r m ~ω α=± ω , β = −a ⇒ E˜0 = ± . (7.2.34) 2 2 Isto ´e encontrando o superpotencial que origina a parte n˜ao constante do potencial, encontramos tamb´em a energia de ponto zero! De facto temos duas hip´oteses para a energia de ponto zero; mas uma delas, associada ao sinal inferior, n˜ao ´e f´ısica pois diminui a energia dos estados excitados em vez de a aumentar. Assim tomamos o sinal superior e r m ω(x − a) . W (x) = 2
(7.2.35)
7.2 M´ etodo alg´ ebrico para potenciais com forma invariante
231
O potencial parceiro ´e 1 ~ω ~ dW = mω 2 (x − a)2 + . V2 (x) = W (x)2 + √ 2 2 2m dx
(7.2.36)
V2 (x) = V1 (x) + ~ω,
(7.2.37)
Logo
que demonstra que o potencial ´e de forma invariante. Daqui deduzimos, por (7.2.27) que (1)
E1
(2)
= E0
= ~ω. Subtraindo a energia de ponto zero do potencial V2 (x) recuperamos
exactamente o potencial original V1 (x) e podemos recome¸car o processo. No c´alculo do novo potencial parceiro iremos ganhar novamente uma energia de ~ω, pelo que (1)
E2 = ~ω + ~ω = 2~ω .
(7.2.38)
Repetindo o procedimento verificamos facilmente que En(1)
= n~ω
⇒
1 ˜ , En = ~ω n + 2
(7.2.39)
onde repusemos a energia de ponto zero, de acordo com (7.2.3). Consideramos agora o c´alculo das fun¸c˜oes pr´oprias. O operador Aˆ† ´e, r √ ~ m d † Aˆ = − √ + ω(x − a) = ω~ˆ a† , 2 2m dx
(7.2.40)
onde a ˆ† ´e o operador de cria¸c˜ao habitual (em termos da vari´avel x − a). Logo, por (7.2.28) temos, para as fun¸c˜oes de onda normalizadas, 1 √ Φn (x) = √ ~ωˆ a† Φn−1 (x) , n~ω
(7.2.41)
exactamente de acordo com (5.1.30). Esta ´e uma rela¸c˜ao iterativa; o conhecimento de todas as fun¸c˜oes de onda decorre do conhecimento da fun¸c˜ao de onda do estado fundamental. Este pode ser determinado usando (7.2.7), que, dado o superpotencial, determina a fun¸c˜ao de onda atrav´es de:
√
Z 2m ln Φ0 = − W (x)dx + constante , ~ que neste caso ´e facilmente integr´avel para dar mω
2
Φ0 (x) = C0 e− 2~ (x−a) , como esperado.
(7.2.42)
(7.2.43)
232
Outras solu¸c˜ oes exactas da equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger
Potencial efectivo de Coulomb Num campo de for¸cas central, escolhendo o ansatz, Φ(r, θ, φ) =
R(r) m Y (θ, φ) , r ℓ
(7.2.44)
a equa¸c˜ao de Schr¨odinger independente do tempo fica reduzida a uma equa¸c˜ao de Schr¨odinger um dimensional 2 2 ~ d + Vef e (r) R(r) = ER(r) , − 2µ dr 2
(7.2.45)
com potencial efectivo Vef e =
ℓ(ℓ + 1)~2 + V (r) , 2µr 2
(7.2.46)
onde µ ´e a massa da part´ıcula e V (r) o potencial central a que a part´ıcula est´a sujeita. Tomando para V (r) o potencial de Coulomb e2 ~2 V (r) = − =− , 4πǫ0 r µa0 r
(7.2.47)
temos V1 (r; ℓ) =
~2 ℓ(ℓ + 1)~2 − − E˜0 (ℓ) , 2µr 2 µa0 r
(7.2.48)
onde o u ´ ltimo termo corresponde a subtrair a menor energia poss´ıvel para uma orbital com n´ umero quˆantico angular ℓ e usamos o raio de Bohr a0 , dado por (6.4.22). Para encontrar o superpotencial, i.e. resolver ~ dW , V1 (r, ℓ) = W (r, ℓ)2 − √ 2µ dr
(7.2.49)
parece natural tomar o ansatz W (r; ℓ) =
α(ℓ) + β(ℓ) . r
(7.2.50)
Inserindo esta forma na equa¸c˜ao anterior, juntamente com V1 (r; ℓ) obtemos ~ ~ ~2 √ √ , − − (ℓ + 1) , , 2µa20 (ℓ + 1)2 2µ 2µa0 (ℓ + 1) ˜ β(ℓ) = α(ℓ) = E0 = ~ ~ ~2 −√ √ ℓ, − , . 2µ 2µa0 ℓ 2µa20 ℓ2 (7.2.51)
7.2 M´ etodo alg´ ebrico para potenciais com forma invariante
233
A solu¸c˜ao inferior diminui a energia dos estados excitados (para al´em de divergir para ℓ = 0) e por isso tomamos a solu¸c˜ao superior. Nesse caso, a energia de ponto zero coincide, de facto com a menor energia poss´ıvel para uma orbital com n´ umero quˆantico angular ℓ do ´atomo de hidrog´enio (6.4.23). Assim, de um modo extremamente simples derivamos a energia de um n´ umero infinito de orbitais do ´atomo de hidrog´enio! Tomamos, por isso V1 (r; ℓ) =
~2 ~2 ℓ(ℓ + 1)~2 − + ; 2µr 2 µa0 r 2µa20 (ℓ + 1)2
(7.2.52)
o superpotencial ´e ~ W (r; ℓ) = √ 2µ e o potencial parceiro V2 (r; ℓ) =
ℓ+1 1 − a0 (ℓ + 1) r
,
(7.2.53)
(ℓ + 2)(ℓ + 1)~2 ~2 ~2 − + . 2µr 2 µa0 r 2µa20 (ℓ + 1)2
(7.2.54)
Logo ~2 V2 (r; ℓ) = V1 (r; ℓ + 1) + 2µa20
1 1 − 2 (ℓ + 1) (ℓ + 2)2
,
(7.2.55)
o que confirma que o potencial em quest˜ao ´e de forma invariante. Como tal ~2 1 1 (1) (2) E1 = E0 = − . 2µa20 (ℓ + 1)2 (ℓ + 2)2
(7.2.56)
Tomando o potencial V2 (r; ℓ) com energia de ponto zero nula recuperamos o potencial ˜ com parˆametro ℓ˜ = ℓ + 1 e podemos recome¸car o processo. No c´alculo do original V1 (r; ℓ), novo potencial parceiro iremos ganhar novamente uma energia de 1 ~2 1 , − 2µa20 (ℓ˜ + 1)2 (ℓ˜ + 2)2
(7.2.57)
pelo que (1) E2
~2 = 2µa20
1 1 1 1 − − + 2 2 2 ˜ ˜ (ℓ + 1) (ℓ + 2) (ℓ + 1) (ℓ + 2)2 ~2 1 1 = − 2 2 2µa0 (ℓ + 1) (ℓ + 3)2
,
Repetindo o procedimento verificamos facilmente que 1 ~2 1 ~2 (1) ˜n = − ⇒ E − , En = 2µa20 (ℓ + 1)2 (ℓ + 1 + n)2 2µa20 (ℓ + 1 + n)2
(7.2.58)
(7.2.59)
234
Outras solu¸c˜ oes exactas da equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger
onde repusemos a energia de ponto zero, de acordo com (7.2.3). Consideremos agora o c´alculo das fun¸c˜oes pr´oprias. O operador de cria¸c˜ao ´e d ~ 1 ℓ+1 † ˆ − + . A (ℓ) = √ − dr a0 (ℓ + 1) r 2µ
(7.2.60)
Usando (7.2.28), temos neste caso Rn (r; ℓ) = q
a0 1 (ℓ+1)2
−
1 (n+ℓ+1)2
d 1 ℓ+1 − + Rn−1 (r; ℓ + 1) . − dr a0 (ℓ + 1) r
(7.2.61)
Para usarmos esta rela¸c˜ao de recorrˆencia, comecemos por determinar a fun¸c˜ao de onda do estado fundamental. Usando (7.2.42) temos neste caso √ Z 2µ W (r; ℓ)dr + constante , ln R0 (r; ℓ) = − ~
(7.2.62)
de onde resulta r − (ℓ+1)a
R0 (r; ℓ) = C(ℓ)r ℓ+1e
0
.
(7.2.63)
Comparando com as fun¸c˜oes de onda dadas na sec¸c˜ao 6.4 verificamos que a dependˆencia radial ´e de facto a correcta para os n´ıveis com N = ℓ + 1, que, para cada ℓ, correspondem ao ‘estado fundamental’. Tomando os casos espec´ıficos com ℓ = 0, 1, temos − ar
R0 (r; 0) = C(0)re
0
;
− 2ar
R0 (r; 1) = C(1)r 2 e
0
.
(7.2.64)
O primeiro estado excitado com ℓ = 0 ´e obtido por ac¸c˜ao do operador de cria¸c˜ao no estado fundamental com ℓ = 1: √ r 2a0 1 1 d − r R1 (r; 0) = √ R0 (r; 1) = − 3a0 rC(1) 2 − e 2a0 . − − + dr a0 r a0 3
(7.2.65)
Notando que a parte espacial da fun¸c˜ao de onda com n´ umeros quˆanticos (N, ℓ, m) (na nota¸c˜ao do cap´ıtulo 6) ´e Φ(N,ℓ,m) =
RN −ℓ−1 (r; ℓ) m Yℓ (θ, φ) , r
obtemos Φ(1,0,0)
C(0) = √ e−r/a0 , 4π
r
Φ(2,0,0) = −
r 3 e−r/2a0 , a0 C(1) 2 − 4π a0
(7.2.66)
7.3 Sum´ ario
235 r
3 rC(1) cos θe−r/2a0 , 4π que com as normaliza¸c˜oes adequadas concordam (a menos de uma fase que ´e irrelevante) Φ(2,1,0) =
com as fun¸c˜oes de onda calculadas no cap´ıtulo 6.
7.3
Sum´ ario
Neste cap´ıtulo discutimos alguns potenciais nos quais a equa¸c˜ao de Schr¨odinger tem solu¸c˜ao exacta. Come¸camos por exemplificar alguns casos de po¸cos de potencial de profundidade finita e infinita, que s˜ao normalmente resolvidos por um m´etodo diferencial (ver folha de exerc´ıcios 1). Seguidamente introduzimos um m´etodo alg´ebrico baseado no conceito de superpotencial, que permite factorizar o Hamiltoniano e introduzir operadores de cria¸c˜ao e destrui¸c˜ao. Este m´etodo permite calcular o espectro de energias e as fun¸c˜oes pr´oprias de potenciais de forma invariante, sendo muito an´alogo ao dos operadores de cria¸c˜ao e destrui¸c˜ao usados no oscilador harm´onico. O m´etodo foi exemplificado construindo o espectro de energias e fun¸c˜oes de onda do problema de Coulomb. Genericamente o m´etodo pode ser sumarizado na seguinte receita: i) Dado um potencial, que denominamos V˜1 (x; ai ), escrevemos o potencial ˜0 , V1 (x; ai ) = V˜1 (x; ai ) − E que ´e igual ao anterior, mas com energia de ponto zero nula. Note-se que E˜0 ´e desconhecida neste momento. ii) Usando a equa¸c˜ao de Riccati ~ dW (x; ai ) V1 (x; ai ) = W (x; ai )2 − √ , dx 2m determinamos o superpotencial W (x; ai ) e a energia de ponto zero. Este ´e o ponto onde alguma intui¸c˜ao ´e necess´aria para escolher um bom ansatz para o superpotencial. iii) Determinamos o potencial parceiro ~ dW (x; ai ) V2 (x; ai ) = W (x; ai )2 + √ . dx 2m
236
Outras solu¸c˜ oes exactas da equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger
iv) Se o potencial for de forma invariante, isto ´e, se existirem fun¸c˜oes f (ai ) e R(ai ) tal que V2 (x; ai ) = V1 (x; f (ai )) + R(ai ) , ent˜ao podemos determinar o espectro e fun¸c˜oes de onda de V1 (x; ai ) (e logo de V˜1 (x; ai )) analiticamente. v) O espectro de V˜1 (x; ai ) ´e dado por E˜n = E˜0 +
n−1 X
R(f s (ai )) ,
s=0
n≥0
onde f 0 (ai ) = ai , f 1 (ai ) = f (ai ), etc. vi) As fun¸c˜oes de onda de V˜1 (x; ai ) (que s˜ao as mesmas das fun¸c˜oes de onda de V1 (x; ai )) s˜ao dadas por: • Estado fundamental
√
2m Φ0 (x; ai ) = exp − ~
Z
!
W (x; ai )dx
,
onde tem que se escolher a constante de integra¸c˜ao de modo a normalizar a fun¸c˜ao de onda; • nesimo estado excitado (n ≥ 1) Φn (x; ai ) = qP n−1 s=0
onde
1
Aˆ† (x; ai )Φn−1 (x; f (ai )) ,
R(f s (ai ))
~ d + W (x; ai ) . Aˆ† (x; ai ) = − √ 2m dx
Parte II M´ etodos de aproxima¸c˜ ao e Spin
CAP´ITULO
8
A aproxima¸ c˜ ao WKB
A introdu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Schr¨odinger completa a nova mecˆanica ondulat´oria e torna alguns dos postulados introduzidos arbitrariamente na “velha teoria quˆantica” naturais. Por exemplo, a quantifica¸c˜ao introduzida por Planck (cap´ıtulo 2) torna-se um problema de modos normais e frequˆencias pr´oprias num potencial de oscilador harm´onico (cap´ıtulo 5). Contudo n˜ao nos devemos esquecer que as ondas descritas pela equa¸c˜ao de Schr¨odinger diferem de ondas cl´assicas, como as electromagn´eticas, de duas maneiras: s˜ao ondas de probabilidade (interpreta¸c˜ao de Born); s˜ao ondas complexas. Como vimos no cap´ıtulo anterior, existem casos em que se pode resolver exactamente a equa¸c˜ao de Schr¨odinger correspondentes a potenciais de forma invariante. Mas, em geral, tal n˜ao ´e poss´ıvel e como tal necessitamos de m´etodos aproximados. Alguns destes, como m´etodos perturbativos ou variacionais, s˜ao muito gerais e ganham for¸ca quando discutidos num contexto mais abrangente do que apenas problemas em uma dimens˜ao. Mas existe um m´etodo de grande interesse para problemas em uma dimens˜ao: a aproxima¸c˜ao WKB cujo m´etodo ´e moralmente an´alogo ao usado no cap´ıtulo 3 para potenciais constantes por peda¸cos e origina um resultado para a fun¸c˜ao de onda formalmente semelhante `as ondas ´ este m´etodo que agora consideramos. planas vistas nesse caso. E Esta aproxima¸c˜ao foi aplicada `a equa¸c˜ao de Schr¨odinger quase simultaneamente por
8.1 O m´ etodo
239
G.Wentzel [Zeits.f.Phys. 38 (1926) 518], H.A.Kramers [Zeits.f.Phys. 39 (1926) 828] e L.Brillouin [Comptes Rendus 183 (1926) 24], sendo por isso conhecida como aproxima¸c˜ao ou m´etodo WKB. Alternativamente, a aproxima¸c˜ao ´e por vezes denominada BWK, WBK ou por raz˜oes que se discutir˜ao em baixo, aproxima¸c˜ao semi-cl´assica ou aproxima¸c˜ao da fase integral.
8.1
O m´ etodo
Consideremos o c´alculo de estados estacion´arios da equa¸c˜ao de Schr¨odinger atrav´es da resolu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Schr¨odinger independente do tempo em uma dimens˜ao ~2 d 2 − + V (x) Φ(x) = EΦ(x) , 2m dx2
(8.1.1)
ou equivalentemente d2 Φ(x) 2m + 2 (E − V (x))Φ(x) = 0 dx2 ~
⇔
Φ(x)′′ + [k(x)]2 Φ(x) = 0 ,
onde as ‘linhas’ denotam derivadas em ordem a x e definimos p 2m(E − V (x)) k(x) ≡ . ~
(8.1.2)
(8.1.3)
A equa¸c˜ao (8.1.2) tem a forma da equa¸c˜ao de Helmholtz, muito familiar na teoria ondulat´oria. Sabemos que quando k ´e constante a solu¸c˜ao ´e da forma e±ikx (cap´ıtulo 3); isto sugere que se V n˜ao for constante mas variar lentamente com x, possamos tomar o ansatz Φ(x) = eiu(x) ,
(8.1.4)
onde a fun¸c˜ao u(x) n˜ao dever´a ser simplesmente proporcional a x. Introduzindo este ansatz em (8.1.2) obtemos a equa¸c˜ao d2 u i 2− dx
du dx
2
+ [k(x)]2 = 0 .
(8.1.5)
Esta equa¸c˜ao ´e totalmente equivalente a (8.1.1). S´o que ´e n˜ao linear em u(x), pelo que poderemos pensar que estamos pior do que come¸camos! A aproxima¸c˜ao WKB toma partido
240
A aproxima¸c˜ ao WKB
desta n˜ao linearidade para construir uma aproxima¸c˜ao a (8.1.5), atrav´es de um m´etodo iterativo; este m´etodo ´e sugerido pelo facto de que a segunda derivada ´e zero para uma part´ıcula livre (i.e potencial constante): • Primeira aproxima¸ c˜ ao (aproxima¸c˜ao cl´assica - ver sec¸c˜ao 8.4): Se o potencial variar suficientemente lentamente, negligenciamos o termo da segunda derivada. Designando esta aproxima¸c˜ao a u(x) por u0 (x) (8.1.5) fica
du0 dx
2
2
= [k(x)]
⇔
u0 (x) = ±
Z
k(x)dx + C0 .
(8.1.6)
Esta quantidade, designada por fase integral, ´e a quantidade fundamental na aproxima¸c˜ao. • Aproxima¸ c˜ oes seguintes: Escrevemos a equa¸c˜ao de Schr¨odinger na forma (8.1.5) mas reflectindo j´a o m´etodo iterativo 2 d2 u n dun+1 = [k(x)]2 + i 2 ; dx dx
(8.1.7)
isto ´e, tomamos do lado direito a aproxima¸c˜ao de ordem n, un , e obtemos do lado esquerdo a aproxima¸c˜ao de ordem n + 1, un+1 , que portanto se pode escrever na forma
Z r d2 u n un+1 (x) = ± [k(x)]2 + i 2 dx + Cn+1 . dx
• Segunda aproxima¸ c˜ ao (aproxima¸c˜ao WKB): Em particular Z r Z r 2u d dk 0 u1 (x) = ± [k(x)]2 + i 2 dx + C1 = ± [k(x)]2 ± i dx + C1 . dx dx
(8.1.8)
(8.1.9)
Esta segunda aproxima¸c˜ao ´e designada por aproxima¸c˜ao semi-cl´assica ou WKB. Para fazer sentido que este procedimento iterativo seja truncado aqui, ´e necess´ario que u1 (x) esteja pr´oximo de u0 (x), isto ´e, que u1 (x) seja uma pequena correc¸c˜ao a u0 (x) na aproxima¸c˜ao `a verdadeira fun¸c˜ao u(x). Em particular isto significa que |dk/dx| ≪ |k 2 (x)| .
(8.1.10)
8.2 Interpreta¸c˜ ao da validade da aproxima¸c˜ ao
241
Se assim for, u1 (x) ≃ ±
Z
Z i i dk dx + C1 = ± k(x)dx + log k(x) + C1 , k(x) ± 2k dx 2
(8.1.11)
e como tal, na aproxima¸c˜ao WKB a fun¸c˜ao de onda toma a forma
Φ(x) =
Aei
Φ(x) =
R
k(x)dx
R
Be
+ A′ e−i p k(x)
˜ k(x)dx
R
k(x)dx
+ B ′ e− q ˜ k(x)
, R
2m(E − V (x)) , se E > V (x) , ~ p 2m(V (x) − E) ˜ , se E < V (x) . k(x) ≡ ~
k(x) ≡
˜ k(x)dx
,
p
(8.1.12)
A constante C1 pˆode ser negligenciada pois a fun¸c˜ao de onda ter´a de ser, de qualquer modo, normalizada. Comparando com a sec¸c˜ao 3.2.1 concluimos a semelhan¸ca formal anteriormente anunciada com a fun¸c˜ao de onda em potenciais constantes por peda¸cos.
8.2
Interpreta¸c˜ ao da validade da aproxima¸ c˜ ao
Da an´alise anterior resulta que a condi¸c˜ao de validade da aproxima¸c˜ao WKB significa que a fase varia muito mais rapidamente do que a amplitude da fun¸c˜ao de onda. Mas para interpretar de um modo mais f´ısico a condi¸c˜ao (8.1.10) de validade da aproxima¸c˜ao definimos, para E > V (x), um comprimento de onda efectivo λ(x) =
2π . k(x)
(8.2.1)
Notando ainda que podemos atribuir um momento `a part´ıcula pela rela¸c˜ao p(x) = ~k(x), a condi¸c˜ao (8.1.10) pode ser escrita |dp/dx| |p| 2π ≪ ~ ~ λ
⇒
λ(x)|dp(x)/dx| ≪ |p(x)| .
(8.2.2)
Ou seja, a condi¸c˜ao da validade da aproxima¸c˜ao WKB ´e que a altera¸c˜ao do momento da part´ıcula ao longo de um comprimento de onda deve ser muito menor que o pr´oprio momento. Esta condi¸c˜ao ´e violada:
242
A aproxima¸c˜ ao WKB
V(x)
E
x=a Figura 8.1: Um potencial V (x) perto de um ponto de viragem cl´assico x = a. • Se o potencial variar muito rapidamente, ou equivalentemente, se k(x) variar muito rapidamente. Se este for o caso a aproxima¸c˜ao WKB n˜ao ser´a aplic´avel; • Nos pontos de viragem cl´assicos onde E = V (x) ou equivalentemente k(x) = 0. Logo, para podermos usar o m´etodo WKB temos de compreender como extender as solu¸c˜oes (8.1.12) atrav´es dos pontos de viragem cl´assicos. Estes pontos existem tanto no estudo de estados ligados como no c´alculo do factor de transmiss˜ao por efeito t´ unel. Precisamos pois de estabelecer f´ormulas de liga¸c˜ao que permitir˜ao relacionar os coeficientes Ai e Bi nas fun¸c˜oes de onda (8.1.12). Essas f´ormulas de liga¸c˜ao desempenhar˜ao o mesmo papel que as condi¸c˜oes de continuidade da fun¸c˜ao de onda e da sua derivada desempenharam nos potenciais cont´ınuos por peda¸cos do cap´ıtulo 3.
8.3
F´ ormulas de liga¸c˜ ao
Suponhamos que x = a ´e um ponto de viragem cl´assico - figura 8.1. Assumimos que a aproxima¸c˜ao WKB ´e aplic´avel, excepto na vizinhan¸ca imediata dos pontos de viragem cl´assicos; por outras palavras o potencial n˜ao varia demasiado rapidamente. Fazemos a seguinte mudan¸ca de vari´aveis v(x) =
p
k(x)Φ(x) ,
y=
Z
x
k(x′ )dx′ .
(8.3.1)
8.3 F´ ormulas de liga¸c˜ ao
243
Logo
1 d2 Φ(x) =p 2 dx k(x)
1 dΦ(x) =p dx k(x)
dv(x) v(x) dk(x) − dx 2k(x) dx
,
(8.3.2)
d2 v(x) 1 dk(x) dv(x) v(x) d2 k(x) 3 v(x) − − + dx2 k(x) dx dx 2k(x) dx2 4 [k(x)]2
dk(x) dx
2 !
;
(8.3.3)
notamos ainda que d2 v =k dx2
d2 v dk dv +k 2 dy dy dy
,
d2 k =k dx2
dk dy
2
d2 k +k 2 dy
de modo que a equa¸c˜ao de Schr¨odinger (8.1.2) fica " # 2 d2 v dk 1 d2 k 1 + +1 v =0 . − dy 2 4k 2 dy 2k dy 2
!
,
(8.3.4)
(8.3.5)
Tamb´em esta equa¸c˜ao ´e completamente equivalente `a equa¸c˜ao de Schr¨odinger (8.1.1). Da discuss˜ao da sec¸c˜ao anterior resulta que a aproxima¸c˜ao WKB ´e tomar o termo dentro do parˆentises [. . .] igual `a unidade. Nesse caso v(y) = e±iy ,
(8.3.6)
o que, com as defini¸c˜oes (8.3.1) se reduz `a fun¸c˜ao de onda anteriormente calculada com a aproxima¸c˜ao WKB (8.1.12). Em geral y = y(x) ´e uma vari´avel real se E > V (x) e imagin´aria se E < V (x). Considerando um potencial como o da figura 8.1 temos que: • y ´e real `a esquerda do ponto de viragem cl´assico; logo na aproxima¸c˜ao WKB, a equa¸c˜ao (8.3.5) tem solu¸c˜ao v(y) = Aeiy + A′ e−iy ;
(8.3.7)
• y ´e imagin´ario `a direito do ponto de viragem cl´assico; logo na aproxima¸c˜ao WKB, a equa¸c˜ao (8.3.5) tem solu¸c˜ao v(y) = Be|y| + B ′ e−|y| .
(8.3.8)
244
A aproxima¸c˜ ao WKB
O nosso objectivo ´e relacionar as constantes A, A′ com B, B ′ de modo a v(y) ser a fun¸c˜ao de onda de um mesmo estado em regi˜oes distintas. Note-se que nestas vari´aveis, as solu¸c˜oes s˜ao exactamente `as mesmas que em potenciais constantes. Dado que a aproxima¸c˜ao WKB falha perto do ponto de viragem cl´assico, para construirmos esta rela¸c˜ao temos de considerar a equa¸c˜ao de Schr¨odinger completa (8.3.5) perto deste ponto. Fazemo-lo aproximando o potencial perto de x = a por uma fun¸c˜ao linear V (x) − E ≃ α(x − a) ,
α>0.
(8.3.9)
Com esta aproxima¸c˜ao p 2m(E − V (x)) k(x) = ~
p 2mα(a − x) k(x) = x
a ~
A vari´avel y por seu lado fica √ Z xp 2mα(a − x′ ) ′ 2 2mα y(x) = dx = − (a − x)3/2 xa. ±i ~ 3 ~ a
.
(8.3.10)
(8.3.11)
Escolhemos a solu¸c˜ao negativa, de modo a que e+iy = e+|y| . A vari´avel y = y(x) tornou-se uma medida da distˆancia entre x e o ponto de viragem cl´assico. Reexpressemos k(x) como k(y) usando a express˜ao para x < a: √ 1/3 2mα √ 3mα k= . a−x= − 2 y ~ ~ Logo 1 4k 2
dk dy
2
1 d2 k 5 − = . 2 2k dy 36y 2
(8.3.12)
(8.3.13)
O mesmo resultado ´e obtido considerando a express˜ao para x > a. Logo, a equa¸c˜ao de Schr¨odinger (8.3.5) fica d2 v 5 v=0. + 1+ dy 2 36y 2
(8.3.14)
Para |y| elevado, o termo 5/36y 2 pode ser negligenciado e obtemos a aproxima¸c˜ao WKB. Para |y| pequeno - perto do ponto de viragem cl´assico - a equa¸c˜ao torna-se exacta. O que
8.3 F´ ormulas de liga¸c˜ ao
245
V(x)
E
x=b Figura 8.2: Um potencial V (x) perto de um ponto de viragem cl´assico x = b. estamos a assumir ´e que para valores intermedios esta equa¸c˜ao ´e uma boa aproxima¸c˜ao de modo a conseguirmos ligar a aproxima¸c˜ao WKB de ambos os lados.1 Um estudo detalhado da equa¸c˜ao (8.3.14) permite-nos ent˜ao relacionar a solu¸c˜ao WKB `a esquerda com a solu¸c˜ao WKB `a direita do ponto de viragem cl´assico da figura 8.1 da seguinte forma cos −y − π4 1 e−|y| √ , ←→ 2 k˜ k sin −y − π4 e|y| √ . ←→ − k˜ k
(8.3.15)
Estas s˜ao as chamadas f´ormulas de liga¸c˜ao. Em termos da coordenada original x e especificando os dois casos poss´ıveis para pontos de viragem temos as seguintes f´ormulas de liga¸c˜ao:
• Caso da figura 8.1 Z a Rx 2 π 1 ′ ˜ ′ ′ ′ √ cos k(x )dx − ←→ p e− a k(x )dx 4 k x k˜ Z a 1 π 1 Rx˜ ′ ′ √ sin k(x′ )dx′ − ←→ − p e a k(x )dx 4 k x k˜ 1
F o´rmula i (8.3.16) F o´rmula ii
Este procedimento ´e problematico se o valor de E estiver pr´oximo de um extremo do potencial; aqui iremos negligenciar essa subtileza.
246
A aproxima¸c˜ ao WKB
I B’1
II
x=b
x
E
B1
A
III
x=a A’
B’2
B2
V(x) −V 0 Figura 8.3: Um estado com energia E num po¸co de potencial V (x); x = b e x = a s˜ao os pontos de viragem cl´assicos.A regi˜ao I ´e desde x = −∞ at´e ligeiramente antes de x = b; a regi˜ao II ´e desde ligeiramente depois de x = b at´e ligeiramente antes de x = a; a regi˜ao III ´e desde ligeiramente depois de x = a at´e x = +∞.
• Caso da figura 8.2 Z x 1 − R b k(x 2 π ˜ ′ )dx′ ′ ′ p e x ←→ √ cos k(x )dx − 4 ˜ k b k Z x R b˜ ′ 1 1 π ′ k(x )dx ′ ′ −p e x ←→ √ sin k(x )dx − 4 k b k˜
F o´rmula iii F o´rmula iv (8.3.17)
Estas f´ormulas de liga¸c˜ao desempenham, na aproxima¸c˜ao WKB, o mesmo papel das consid¸c˜oes de continuidade desempenharam no nosso estudo de potenciais constantes por peda¸cos no cap´ıtulo 3.
8.4
Aplica¸ c˜ ao ao c´ alculo de estados ligados
Vamos agora usar a aproxima¸c˜ao WKB para calcular o espectro de estados ligados num po¸co de potencial do tipo da figura 8.3. Consideramos um estado com energia E, com −V0 < E < 0. Na aproxima¸c˜ao WKB, as solu¸c˜oes da equa¸c˜ao de Schr¨odinger independente
8.4 Aplica¸c˜ ao ao c´ alculo de estados ligados
247
do tempo nas v´arias regi˜oes esquematizadas na figura 8.3 s˜ao: R R p ˜ ′ )dx′ ˜ ′ )dx′ − xb k(x ′ xb k(x 2m(V (x) − E) B e + B e 1 1 ˜ q com k(x) ≡ Regi˜ ao I Φ(x) = ~ ˜ k(x) R R p x x ′ ′ ′ ′ 2m(E − V (x)) Aei b k(x )dx + A′ e−i b k(x )dx p Regi˜ ao II Φ(x) = com k(x) ≡ . ~ k(x) Rx Rx ′ ′ ˜ ′ ˜ ′ a k(x )dx + B ′ e− a k(x )dx B e 2 2 q Regi˜ a o III Φ(x) = ˜ k(x) (8.4.1)
Para a fun¸c˜ao de onda ser normalizavel, as fun¸c˜oes que crescem exponencialmente quando x → ±∞ tˆem que ser rigorosamente zero, isto ´e B1′ = 0 = B2 . Logo, na regi˜ao I a fun¸c˜ao de onda n˜ao normalizada ser´a B1 − R b k(x ˜ ′ )dx′ , x
(8.4.2)
Pela f´ormula de liga¸c˜ao iii, esta fun¸c˜ao de onda tem a forma, na regi˜ao II 2B1 Φ(x) ≃ p cos k(x)
Z
x
π k(x )dx − 4 ′
b
′
,
b
Reescrevemos esta fun¸c˜ao de onda como Z a Z a π 2B1 ′ ′ k(x)dx − k(x )dx − Φ(x) ≃ √ cos 4 k b x Z a Z a 2B1 π ′ ′ k(x)dx − = √ sin k(x )dx + 4 k b x Z a Z a π 2B1 ′ ′ k(x)dx sin k(x )dx − = − √ cos 4 k b x Z a Z a π 2B1 k(x)dx cos k(x′ )dx′ − + √ sin 4 k b x
(8.4.3)
.
(8.4.4)
Pelas f´ormulas de liga¸c˜ao i e ii, obtemos finalmente que a fun¸c˜ao de onda na regi˜ao III tem a forma Φ(x) = 2B1 cos
Z
b
a
Z a − R x k(x R x k(x ˜ ′ )dx′ ˜ ′ )dx′ e a ea q q + B1 sin . k(x)dx k(x)dx b ˜ ˜ k(x) k(x)
(8.4.5)
248
A aproxima¸c˜ ao WKB
Comparando com (8.4.1), verificamos que B2 = 2B1 cos
Z
a b
k(x)dx ,
(8.4.6)
pelo que a condi¸c˜ao de normalizabilidade B2 = 0 requer que Z
a
b
1 π, k(x)dx = n + 2
n ∈ N0 .
(8.4.7)
Note-se que n ∈ N0 e n˜ao Z, pois o lado esquerdo desta equa¸c˜ao ´e positivo. Esta equa¸c˜ao determina o espectro de energias dos estados ligados. Exemplo: Consideramos o potencial do oscilador harm´onico V (x) = mω 2 x2 /2 e um estado com energia E. Os pontos de viragem cl´assicos, a e b, obedecem a V (a) = E = V (b), p e tomam neste caso a forma ± 2E/mω 2 . Logo, a condi¸c˜ao (8.4.7) fica Z
q
−
2E mω 2
q
2E mω 2
p m(2E − mω 2 x2 ) 1 π, dx = n + ~ 2
(8.4.8)
de onde se conclui que 1 E = ~ω n + , 2
(8.4.9)
que ´e o valor exacto incluindo a energia de ponto zero! Exerc´ıcio: Calcule a fun¸c˜ao de onda do oscilador harm´onico para os n´ıveis n = 0 e n = 1 na aproxima¸c˜ao WKB. Se introduzissemos o momento cl´assico pela rela¸c˜ao p(x) = ±~k(x), o movimento limitado no po¸co de potencial corresponde a uma traject´oria fechada no espa¸co de fase - figura 8.4. A condi¸c˜ao (8.4.7) pode ser reescrita como I
1 p(x)dx = n + h. 2
(8.4.10)
Esta condi¸c˜ao ´e muito semelhante a uma outras impostas na velha teoria quˆantica, que corespondiam a um passo interm´edio entre a teoria cl´assica e a teoria quˆantica completa.
8.4 Aplica¸c˜ ao ao c´ alculo de estados ligados
249
p
b
a x
Figura 8.4: Movimento no espa¸co de fase de uma part´ıcula cl´assica confinada entre x = b e x = a no potencial da figura 8.3. Por exemplo a quantifica¸c˜ao sugerida por Bohr, discutida no cap´ıtulo 2 podia ser escrita como I
p(x)dx = nh .
(8.4.11)
Por esta raz˜ao a aproxima¸c˜ao WKB ´e frequentemente designada por aproxima¸c˜ao semicl´assica. Isso ´e tamb´em confirmado notando que o ansatz Φ(x) = exp (iS(x))/~ transforma, se negligenciarmos as segundas derivadas, a equa¸c˜ao de Schr¨odinger completa ∂Ψ ~2 d 2 i~ = − + V (x, t) Ψ , ∂t 2m dx2
(8.4.12)
na equa¸c˜ao de Hamilton-Jacobi da mecˆanica cl´assica (1.3.51) 1 ∂S = − ∂t 2m
∂S ∂x
2
+ V (x, t) .
(8.4.13)
Portanto, a fase S(x, t) comporta-se como a ac¸c˜ao fun¸c˜ao da mecˆanica cl´assica. Isto justifica a classifica¸c˜ao da primeira aproxima¸c˜ao na sec¸c˜ao 8.1 como ‘aproxima¸c˜ao cl´assica’. A segunda aproxima¸c˜ao (primeira ordem em ~) ´e a aproxima¸c˜ao WKB. A f´ormula (8.4.7) ajuda-nos tamb´em a pensar na fun¸c˜ao de onda da seguinte maneira. Podemos entender esta rela¸c˜ao como expressando que a mudan¸ca de fase ao longo do po¸co, de a para b, ´e igual a (n + 1/2)π. Dividindo por 2π, concluimos que a fun¸c˜ao de onda na aproxima¸c˜ao WKB tem n/2 + 1/4 (quase) comprimentos de onda no po¸co. Assim n representa o n´ umero de nodos da fun¸c˜ao de onda, facto que ajuda a visualizar Ψ.
250
A aproxima¸c˜ ao WKB
V(x) A1
A’1
B
A2
B’
A’2
E I
x=a
II
x=b
III
x
Figura 8.5: Um estado com energia E numa barreira de potencial V (x); x = a e x = b s˜ao os pontos de viragem cl´assicos. A regi˜ao I ´e desde x = −∞ at´e ligeiramente antes de x = a; a regi˜ao II ´e desde ligeiramente depois de x = a at´e ligeiramente antes de x = b; a regi˜ao III ´e desde ligeiramente depois de x = b at´e x = +∞.
8.5
Aplica¸ c˜ ao ao c´ alculo do factor de transmiss˜ ao
Aplicamos agora o m´etodo WKB ao c´alculo do factor de transmiss˜ao atrav´es de uma barreira com altura maior do que a energia da part´ıcula - figura 8.5. Este problema ´e semelhante ao da barreira rectˆangular estudado no cap´ıtulo 3, mas nenhuma hip´otese especifica ´e feita relativamente `a forma concreta da barreira. Assumimos que a aproxima¸c˜ao WKB ´e v´alida nas trˆes regi˜oes. Isto ´e, o potencial n˜ao varia demasiado rapidamente. Nesta aproxima¸c˜ao obtemos as seguintes trˆes solu¸c˜oes da equa¸c˜ao de Schr¨odinger independente do tempo: Rx Rx p ′ ′ ′ ′ 2m(E − V (x)) A1 ei a k(x )dx + A′1 e−i a k(x )dx p Regi˜ ao I : Φ(x) = com k(x) ≡ ~ k(x) R R p x˜ ′ x˜ ′ ′ ′ 2m(V (x) − E) Be a k(x )dx + B ′ e− a k(x )dx ˜ q com k(x) ≡ Regi˜ ao II : Φ(x) = ~ ˜ k(x) R R x x ′ ′ ′ ′ A2 ei b k(x )dx + A′2 e−i b k(x )dx p . ao III : Φ(x) = Regi˜ k(x) (8.5.1)
O nosso objectivo ´e usar as f´ormulas de liga¸c˜ao para relacionar os coeficientes A1 , A′1 com A2 , A′2 , de modo a poder comparar a onda incidente com a transmitida. Com esse objectivo notamos que:
8.5 Aplica¸c˜ ao ao c´ alculo do factor de transmiss˜ ao
251
• Usando as f´ormulas de liga¸c˜ao i e ii, ligamos a solu¸c˜ao na regi˜ao II `a regi˜ao I: Rx
Be
Φ(x) =
a
em I
−→
=
Rx
˜ ′ )dx′ k(x
˜
′
′
+ B ′ e− a k(x )dx q ˜ k(x) Z a Z a π π B 2B ′ ′ ′ ′ ′ p cos sin k(x )dx − k(x )dx − −p 4 4 k(x) k(x) x x
2B ′ + iB −iπ/4 i R a k(x′ )dx′ 2B ′ − iB iπ/4 −i R a k(x′ )dx′ p e e x + p e e x . 2 k(x) 2 k(x)
Logo 2B ′ − iB iπ/4 e A1 = 2 ′ A′1 = 2B + iB e−iπ/4 2
⇔
• Denotamos
(8.5.2)
A′ eiπ/4 + A1 e−iπ/4 B′ = 1 2 ′ iπ/4 − A1 e−iπ/4 B = A1 e i Rb
θ≡e
a
˜ k(x)dx
.
.
(8.5.3)
(8.5.4)
Usando as f´ormulas de liga¸c˜ao iii e iv, ligamos a solu¸c˜ao na regi˜ao II `a regi˜ao III Φ(x) =
Rx
Be
em III
−→
=
a
˜ ′ )dx′ k(x
Rx
˜
′
Rb
′
˜
′
′
Rb
˜
′
′
B ′ e x k(x )dx + Bθ2 e− x k(x )dx + B ′ e− a k(x )dx q q = ˜ ˜ k(x) θ k(x) Z x Z x B′ π π 2Bθ ′ ′ ′ ′ − p sin cos k(x )dx − k(x )dx − +p 4 4 θ k(x) k(x) b b
2θB + iB ′ /θ −iπ/4 i R x k(x′ )dx′ 2θB − iB ′ /θ iπ/4 −i R x k(x′ )dx′ p p + . e e b e e b 2 k(x) 2 k(x)
Logo 2θB + iB ′ /θ −iπ/4 e A2 = 2 ′ A′2 = 2θB − iB /θ eiπ/4 2
⇔
A2 eiπ/4 − A′2 e−iπ/4 θ B′ = i iπ/4 + A′2 e−iπ/4 B = A2 e 2θ
Igualando as duas solu¸c˜oes (8.5.3) a (8.5.6) obtemos 1 1 A2 + i 2θ − A′2 2A1 = 2θ + 2θ 2θ 1 1 ′ 2A1 = i −2θ + A2 + 2θ + A′2 2θ 2θ
.
(8.5.5)
. (8.5.6)
(8.5.7)
252
A aproxima¸c˜ ao WKB
O factor de transmiss˜ao, T , foi definido por (3.2.24) como sendo a intensidade da onda transmitida sobre a intensidade da onda reflectida. A intensidade de um onda foi, por sua vez, definida na sec¸c˜ao 3.2.1 como a densidade de probabilidade vezes a velocidade; assim sendo temos, para o nosso caso √ |Φt kt |2 |A2 |2 |Φt |2 vt √ = . = T = |Φi |2 vi |A1 |2 |Φi ki |2
(8.5.8)
Assumindo que temos uma onda incidente de x = −∞, n˜ao dever´a existir onda incidente
da direita; logo A′2 = 0. Assim sendo
|A2 |2 = |A1 |2
4θ 2 4θ + 1
2
.
(8.5.9)
Para uma barreira larga e alta, θ ≫ 1; este factor ´e uma medida da opacidade da barreira. Neste caso T ≃
R √ 1 −2 ab 2m(V (x)−E)/~ = e . θ2
(8.5.10)
Esta ´e f´ormula (3.2.46) usada no cap´ıtulo 3 para estudar a radioactividade α, com uma justifica¸c˜ao vaga. A sua verdadeira justifica¸c˜ao ´e a aproxima¸c˜ao WKB como acabamos de deduzir. Nesse caso T ´e chamado o factor de Gamow.
8.6
Sum´ ario
Neste cap´ıtulo estabelecemos um m´etodo, denominado aproxima¸c˜ao WKB, que permite, para uma vasta classe de potenciais e em analogia pr´oxima com o tratamento de potenciais constantes por peda¸cos do cap´ıtulo 3, calcular o espectro de estados ligados e o factor de transmiss˜ao atrav´es de barreiras de potencial.
CAP´ITULO
9
Teoria Geral do Momento Angular e Spin
No cap´ıtulo 6 estudamos o momento angular orbital em Mecˆanica Quˆantica. Em particular ˆ i , i = 1, 2, 3, obedecem vimos que as componentes do operador momento angular orbital, L `as rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao (6.1.4), ˆj , L ˆ k ] = i~ǫjkl L ˆl , [L onde ǫjkl ´e o s´ımbolo de Levi-Civita, que tem valor1 +1 se (jkl) = Π (123) par ǫjkl = −1 se (jkl) = Π´ (123)
(9.0.1)
,
(9.0.2)
impar
onde Π... (123) significa “permuta¸c˜ao par” ou “permuta¸c˜ao ´ımpar” da sequˆencia (123). Estas rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao resultam da quantifica¸c˜ao can´onica do momento angular ~ ≡ ~r × p~, e das rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao can´onicas. No entanto vamos agora orbital, L tomar uma perspectiva mais abrangente. Vamos tomar estas rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao como definindo os operadores de momento angular. Para manifestar que estes poder˜ao ter outra origem que n˜ao a orbital, denotamos os operadores mais gerais de momento angular por J~i ; as rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao s˜ao assim [Jˆj , Jˆk ] = i~ǫjkl Jˆl . 1
(9.0.3)
Em linguagem de geometria diferencial o s´ımbolo de Levi-Civita que estamos a definir ´e uma densidade tensorial e n˜ ao um tensor, pois mant´em a forma (9.0.2) em todos os sistemas coordenados.
254
Teoria Geral do Momento Angular e Spin
Vamos come¸car por demonstrar que esta ´algebra admite mais representa¸c˜oes do que as que correspondem `a ac¸c˜ao do momento angular orbital. Estas u ´ltimas descrevem part´ıculas com spin inteiro; as novas representa¸c˜oes descrevem part´ıculas com spin semi-inteiro. Um spin semi-inteiro ´e uma quantidade que n˜ao tem equivalente em mecˆanica cl´assica, mas cuja existˆencia f´ısica estabeleceremos seguidamente, como consequˆencia de resultados experimentais.
9.1
Representa¸ c˜ oes da ´ algebra do momento angular
A ´algebra (9.0.3) ´e um caso particular de uma ´algebra de Lie. Como estas ´algebras s˜ao centrais no estudo de grupos de simetria cont´ınuos (grupos de Lie), e estes descrevem muitas simetrias que aparecem em sistemas f´ısicos, vamos enquadrar a nossa discuss˜ao desta sec¸c˜ao no contexto mais geral de ´algebras e grupos de Lie. Come¸camos por definir ´algebra de Lie: Defini¸c˜ ao: Seja L um espa¸co vectorial de dimens˜ao finita sobre um corpo K (K = R ou K = C). L ´e uma ´algebra de Lie sobre K se existir, em L, uma regra de composi¸c˜ao X, Y −→ [X, Y ] ,
(9.1.1)
que satisfa¸ca os seguintes axiomas para ∀X, Y, Z ∈ L: i) linearidade; ∀α, β ∈ K, [αX + βY, Z] = α[X, Z] + β[Y, Z] ;
(9.1.2)
[X, Y ] = −[Y, X] ;
(9.1.3)
ii) anti-simetria,
iii) identidade (ou associatividade) de Jacobi, [X, [Y, Z]] + [Z, [X, Y ]] + [Y, [Z, X]] = 0 .
(9.1.4)
9.1 Representa¸c˜ oes da ´ algebra do momento angular
255
A opera¸c˜ao [. . . , . . .] ´e denominada multiplica¸c˜ao de Lie. Esta multiplica¸c˜ao ´e genericamente anti-comutativa e n˜ao associativa. Notemos que um exemplo de produto de Lie, que encontramos na sec¸c˜ao 1.3.1, ´e dado pelos parˆentesis de Poisson; um outro, que ´e a raz˜ao pela qual introduzimos aqui a teoria de Lie, ´e o comutador quˆantico. Consideremos algumas defini¸c˜oes importantes relativas a uma ´algebra de Lie: • Uma ´algebra de Lie ´e dita abeliana ou comutativa se, ∀X, Y ∈ L, [X, Y ] = 0. • Um sub-espa¸co vectorial de L, L1 ⊂ L, ´e uma sub-´algebra de Lie se [X, Y ] ∈ L1 ,
∀X, Y ∈ L1 .
(9.1.5)
• Um sub-espa¸co vectorial de L, L1 ⊂ L, ´e um ideal se [X, Y ] ∈ L1 ,
∀X ∈ L1 , ∀Y ∈ L ;
(9.1.6)
um ideal ´e, portanto, um sub-conjunto “absorvente” da ´algebra e qualquer ideal ´e uma sub-´algebra. • Um sub-espa¸co vectorial de L, L1 ⊂ L, ´e um ideal m´aximo ou centro se [X, Y ] = 0 ,
∀X ∈ L1 , ∀Y ∈ L ;
(9.1.7)
o centro comuta, portanto, com toda a ´algebra e constitui uma sub-´algebra abeliana. • Seja {ei } uma base de L. A multiplica¸c˜ao de Lie para esta base define as constantes de estrutura da ´algebra de Lie, cij k ,
[ei , ej ] = cij k ek .
(9.1.8)
Note-se que como consequˆencia dos axiomas, as constantes de estrutura obedecem a cjki = −ckji ,
cis p cjks + cjsp ckis + cksp cij s = 0 .
(9.1.9)
Note-se ainda que estas “constantes” dependem da base; de facto transformamse como um tensor com dois ´ındices covariantes e um contravariante numa transforma¸c˜ao de base.
256
Teoria Geral do Momento Angular e Spin
• Uma representa¸c˜ao da ´algebra de Lie, denotada por D, ´e uma aplica¸c˜ao linear de L para um espa¸co vectorial V, que preserva o produto de Lie; isto ´e D : L −→ V ,
(9.1.10)
D([X, Y ]) = [D(X), D(Y )] .
(9.1.11)
tal que
Para definir a representa¸c˜ao necessitamos pois de definir o produto de Lie em V. Geralmente as representa¸c˜oes s˜ao classificadas pelos valores pr´oprios dos chamados invariantes de Casimir, que s˜ao operadores que comutam com os geradores da ´algebra; encontram-se por isso no centro da mesma.2 No caso da ˆalgebra do momento ˆangular o invariante de Casimir ser´a Jˆ2 . • Uma representa¸c˜ao matricial de dimens˜ao n da ´algebra da Lie ´e uma aplica¸c˜ao da ´algebra ´ f´acil de Lie para o espa¸co de matrizes, em geral de entradas complexas, de n × n. E
de verificar que este ´e um espa¸co vectorial sobre o corpo C. O produto de Lie no espa¸co vectorial das matrizes ´e definido como o comutador [X, Y ] = X · Y − Y · X ,
(9.1.12)
e onde “·” ´e o produto usual de matrizes. Com esta forma de multiplica¸c˜ao de Lie, ´e simples verificar a identidade de Jacobi, que surge como consequˆencia da associatividade do produto de matrizes. O espa¸co vectorial onde a representa¸c˜ao matricial actua tem como base os estados f´ısicos do sistema. Dizemos que os estados se transformam pela ac¸c˜ao da representa¸c˜ao n dimensional da ´algebra de Lie. Por exemplo, para a ´algebra do momento angular, estados escalares transformam-se pela ac¸c˜ao da representa¸c˜ao um dimensional; estados spinoriais pela ac¸c˜ao da representa¸c˜ao dois dimensional; estados vectoriais pela ac¸c˜ao da representa¸c˜ao trˆes dimensional, etc. Vamos agora estudar representa¸c˜oes matriciais da ´algebra do momento angular, isto ´e um conjunto de matrizes Ji que obedecem a (9.0.3). Come¸camos por definir os operadores 2
Como os invariantes de Casimir s˜ao geralmente quadr´ aticos ou at´e de ordem mais elevada nos geradores, poder˜ ao n˜ ao ser vectores de L; ainda assim dizemos que se encontram no centro da ´algebra.
9.1 Representa¸c˜ oes da ´ algebra do momento angular
257
n˜ao herm´ıticos em escada an´alogos a (6.2.32): Jˆ+ = Jˆx + iJˆy ,
Jˆ− = Jˆx − iJˆy ,
(9.1.13)
que obedecem `as rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao h i Jˆ2 , Jˆ± = 0 ,
h i Jˆ− , Jˆ+ = −2~Jˆz ,
h i Jˆz , Jˆ± = ±~Jˆ± ,
(9.1.14)
exactamente an´alogas a (6.2.33), onde definimos o momento angular total Jˆ2 como Jˆ2 ≡ Jˆx2 + Jˆy2 + Jˆz2 .
(9.1.15)
Queremos considerar os estados com momento angular bem definido. No caso do moˆ 2 e, por escolha, L ˆz ; mento angular orbital estes estados diagonalizavam simultaneamente L ˆ2 e L ˆ z formam um C.C.O.C. na nota¸c˜ao de Dirac tais estados foram denotados |ℓ, mi. L para o problema dos estados com momento angular orbital bem definido; isto ´e, especifiˆ2 e L ˆ z , especifica um cando ℓ e m, que determinam univocamente os valores pr´oprios de L u ´ nico estado de momento angular orbital bem definido. Por analogia vamos assumir que: • Os estados com momento angular bem definido diagonalizam simultaneamente Jˆ2 e Jˆz ; • Estes estados, denotados |j, mi, s˜ao rotulados pelos n´ umeros quˆanticos j e m, que determinam univocamente os valores pr´oprios de Jˆ2 e Jˆz ;
• A correspondˆencia entre o r´otulo m e o valor pr´oprio de Jˆz ´e Jˆz |j, mi = m~|j, mi .
(9.1.16)
Note-se que, como Jˆ2 e Jˆz s˜ao observ´aveis, estados pr´oprios com valores pr´oprios distintos s˜ao ortogonais; assumindo normaliza¸c˜ao temos hj ′ , m′ |j, mi = δj ′ j δm′ m .
(9.1.17)
Para construir as representa¸c˜oes pretendidas, consideramos a ´algebra h i Jˆz , Jˆ± = ±~Jˆ± ,
(9.1.18)
258
Teoria Geral do Momento Angular e Spin
que implica que Jˆ± |j, mi ´e estado pr´oprio de Jˆz com valor pr´oprio (m ± 1)~; logo Jˆ+ |j, mi = Cjm |j, m + 1i ,
Jˆ− |j, mi = C˜jm |j, m − 1i .
(9.1.19)
As constantes introduzidas Cjm e C˜jm n˜ao s˜ao todas independentes; de facto (Cjm )∗ = (hj, m + 1|Jˆ+ |j, mi)∗ = hj, m|Jˆ− |j, m + 1i = C˜jm+1 .
(9.1.20)
Por outro lado, a rela¸c˜ao de comuta¸c˜ao h i ˆ ˆ J− , J+ = −2~Jˆz ,
(9.1.21)
origina hj, m|Jˆ− Jˆ+ − Jˆ+ Jˆ− |j, mi = −2~hj, m|Jˆz |j, mi
⇔
C˜jm Cjm−1 − Cjm C˜jm+1 = 2~2 m . (9.1.22)
Juntamente com (9.1.20) esta rela¸c˜ao implica |Cjm−1 |2 − |Cjm |2 = 2~2 m ,
(9.1.23)
que tem como solu¸c˜ao geral3 |Cjm |2 = (C − m(m + 1))~2
|C˜jm |2 = (C − m(m − 1))~2 ,
⇒
(9.1.24)
onde C ´e uma constante real, dado que |Cjm |2 ´e real. Como os lados esquerdos de (9.1.24) s˜ao positivos e os lados direitos se tornam negativos para m suficientemente grande em 3
Para ver isto escreva |Cjm |2 ≡ f (m) como uma s´erie de potˆencias f (m) =
+∞ X
an mn .
n=0
A equa¸ca˜o (9.1.23) ´e reescrita f (m − 1) − f (m) = 2~2 m ⇔
+∞ X
n=0
an ((m − 1)n − mn ) = 2~2 m .
Logo an = 0 para n > 2, e a equa¸ca˜o anterior fica (1 − 2m)a2 − a1 = 2~2 m ou ainda a2 = −~2 , a1 = a2 . Logo f (m) = −~2 (m + m2 ) + a0 , que ´e equivalente `a primeira express˜ao em (9.1.24).
9.1 Representa¸c˜ oes da ´ algebra do momento angular
259
m´odulo, temos de concluir que os valores poss´ıveis para m tˆem um m´aximo e um m´ınimo, denotados por m ¯ e m, respectivamente: m = m, m + 1, . . . , m ¯ − 1, m ¯ .
(9.1.25)
Em termos destes valores, (9.1.24) deve ser escrito como |C˜jm |2 = (m(m − 1) − m(m − 1))~2 ,
|Cjm |2 = (m( ¯ m ¯ + 1) − m(m + 1))~2
(9.1.26)
e como |Cjm |2 = |C˜jm+1 |2 , concluimos que m( ¯ m ¯ + 1) = m(m − 1), o que pode ser reescrito ¯ − m + 1) = 0 (m ¯ + m)(m
⇒
m = −m ¯
∨
m=m ¯ +1 .
(9.1.27)
A segunda possibilidade ´e exclu´ıda pois m ¯ > m, por hip´otese. Como m ¯ − m ∈ Z+ 0 (dado que diferem de um m´ ultiplo da unidade e o primeiro ´e maior do que o segundo), obtemos que 2m ¯ ∈ Z+ 0 , pelo que concluimos que 3 5 1 m ¯ = 0, , 1, , 2, , . . . 2 2 2
(9.1.28)
Para vermos os valores pr´oprios de Jˆ2 notamos que 1ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ J+ J− + J− J+ + Jˆz2 . J = 2
(9.1.29)
O valor esperado deste operador num estado |j, mi ´e 1 9.1.26 hj, m|Jˆ2 |j, mi = |Cjm−1 |2 + |Cjm |2 + m2 ~2 = ~2 m( ¯ m ¯ + 1) . 2
(9.1.30)
Mas |j, mi ´e fun¸c˜ao pr´opria de Jˆ2 pelo que concluimos que o valor pr´oprio ´e m( ¯ m ¯ + 1)~2 . Denotando m ¯ ≡ j temos ent˜ao Jˆ2 |j, mi = j(j + 1)~2 |j, mi , Jˆz |j, mi = m~|j, mi p Jˆ± |j, mi = ~ j(j + 1) − m(m ± 1)|j, m ± 1i ,
(9.1.31)
onde 2j ∈ N0 , m = −j, −j + 1, . . . , j − 1, j.
Descobrimos, pois um conjunto infinito de representa¸c˜oes da ´algebra (9.0.3), rotuladas por j e que denotamos Dj , com dimens˜ao 2j+1. Estas representa¸c˜oes s˜ao todas irredut´ıveis,
260
Teoria Geral do Momento Angular e Spin
pois em cada uma delas podemos transformar |j, mi em |j, m′ i, ∀m, m′ , pela ac¸c˜ao de
Jˆ+ e Jˆ− . A base do espa¸co vectorial onde a representa¸c˜ao Dj actua ´e {|j, mi}, com m = −j, −j + 1, . . . , j − 1, j. Os geradores da ´algebra ter˜ao, em cada representa¸c˜ao Dj ,
uma representa¸c˜ao matricial em termos de matrizes quadradas de dimens˜ao 2j + 1, com componentes (Ji )m′ m = hj, m′ |Jˆi |j, mi .
(9.1.32)
Consideremos as primeiras representa¸c˜oes, para o que ir´a ser u ´ til notar que Jˆ+ + Jˆ− , Jˆx = 2
Jˆ+ − Jˆ− Jˆy = , 2i
(9.1.33)
logo p ~ p j(j + 1) − m(m + 1)δm′ ,m+1 + j(j + 1) − m(m − 1)δm′ ,m−1 , 2 p ~ p hj, m′ |Jˆy |j, mi = j(j + 1) − m(m + 1)δm′ ,m+1 − j(j + 1) − m(m − 1)δm′ ,m−1 , 2i hj, m′ |Jˆx |j, mi =
hj, m′ |Jˆz |j, mi = ~mδm′ ,m .
(9.1.34)
• j = 0, representa¸c˜ao 1-dimensional; base do espa¸co onde a representa¸c˜ao actua ´e {|0, 0i}; elementos de matriz: h0, 0|Jˆx |0, 0i = 0 ; h0, 0|Jˆy |0, 0i = 0 ; h0, 0|Jˆx |0, 0i = 0 .
(9.1.35)
Logo todos os geradores da ´algebra s˜ao representados por ‘zero’. Esta representa¸c˜ao ´e trivial e n˜ao ´e fiel (i.e n˜ao ´e injectiva). O u ´ nico vector da base corresponde ao harm´onico esf´erico Y00 , que ´e constante e n˜ao ´e alterado pelo grupo de transforma¸c˜oes (rota¸c˜oes) geradas pela ´algebra do momento angular.
• j = 1/2, representa¸c˜ao 2-dimensional; a base do espa¸co vectorial onde a representa¸c˜ao
9.1 Representa¸c˜ oes da ´ algebra do momento angular
261
actua ´e {|1/2, 1/2i, |1/2, −1/2i}; elementos de matriz:
0 1
~ ≡ ~ σx h1/2, m′ |Jˆx |1/2, mi = 2 2 1 0 0 −i ~ ≡ ~ σy h1/2, m′ |Jˆy |1/2, mi = 2 2 i 0 1 0 ~ ≡ ~ σz h1/2, m′|Jˆz |1/2, mi = 2 2 0 −1
.
(9.1.36)
As matrizes σx , σy e σz s˜ao denominadas matrizes de Pauli. O espa¸co onde esta representa¸c˜ao actua, tal como os de outras representa¸co˜es com j semi-inteiro, deve ser visto como um espa¸co vectorial interno; neste caso esse espa¸co ´e denominado espa¸co de spin 1/2 ou simplesmente espa¸co de spin e os Jˆi s˜ao usualmente representados como Sˆi . Esta representa¸c˜ao ´e fiel. • j = 1, representa¸c˜ao 3-dimensional; a base do espa¸co vectorial onde a representa¸c˜ao actua ´e {|1, 1i, |1, 0i, |1, −1i}; elementos de matriz:
0 1 0 ~ h1, m′ |Jˆx |1, mi = √ 1 0 1 , 2 0 1 0
0 1 0 ~ h1, m′ |Jˆy |1, mi = √ −1 0 1 , 2i 0 −1 0 1 0 0 h1, m′ |Jˆz |1, mi = ~ 0 0 0 . 0 0 −1 (9.1.37)
A base do espa¸co vectorial onde esta representa¸c˜ao actua corresponde aos harm´onicos esf´ericos Y1±1 e Y10 . De acordo com as rela¸c˜oes (6.5.49) podemos fazer a mudan¸ca de base
|xi
−1
r 2π r i |yi = 3 |zi 0
0
1
|1, 1i
0 i |1, 0i √ 2 0 |1, −1i
.
(9.1.38)
262
Teoria Geral do Momento Angular e Spin Tomando agora a base {|xi, |yi, |zi} para a representa¸c˜ao j = 1, temos os elementos de matriz: hx |Jˆk |xj i = i
1 X
hxi |1, m′ ih1, m′ |Jˆk |1, mih1, m|xj i ;
(9.1.39)
m,m′ =−1
obtemos assim as matrizes que representam os geradores da ´algebra do momento angular na base {|xi, |yi, |zi}: 0 0 0 i ˆ j hx |Jx |x i = i~ 0 0 1 0 −1 0
0
0 1
j ˆ hx |Jy |x i = i~ 0 0 0 −1 0 0 0 1 0 i ˆ j hx |Jz |x i = i~ −1 0 0 0 0 0 i
. (9.1.40)
Reconhecemos os geradores das rota¸c˜oes em R3 . Por exemplo, uma rota¸c˜ao finita por um ˆangulo θ em torno do eixo Oz ´e obtida exponenciando o respectivo gerador: cos θ sin θ 0 ˆ Rz (θ) = e−iθJz /~ = − sin θ cos θ 0 . 0 0 1
(9.1.41)
As representa¸c˜oes matriciais de dimens˜ao mais elevada podem ser construidas de um modo an´alogo. Exerc´ıcio: Construa a representa¸c˜ao com j = 3/2. Rela¸c˜ ao com o grupo de Lie O mapa exponencial exemplificado em (9.1.41) ´e a rela¸c˜ao gen´erica entre uma ´algebra de Lie e o grupo de Lie respectivo. Comecemos por relembrar a estrutura de grupo: Defini¸c˜ ao: Um grupo G ´e um conjunto de elementos {g} com uma lei de composi¸c˜ao ‘◦’ que obedece `as seguintes condi¸c˜oes: i) O grupo ´e uma estrutura fechada: g1 ◦ g2 ∈ G , ∀g1 , g2 ∈ G;
9.1 Representa¸c˜ oes da ´ algebra do momento angular
263
ii) A lei de composi¸c˜ao do grupo ´e associativa: (g1 ◦ g2 ) ◦ g3 = g1 ◦ (g2 ◦ g3 ) , ∀g1 , g2 , g3 ∈ G; iii) Existe um elemento neutro (identidade) denotado por 1: 1 ◦ g = g ◦ 1 , ∀g ∈ G; iv) Existe um inverso para qualquer elemento do grupo g, que ´e denotado por g −1 : ∀g , ∃g −1: g ◦ g −1 = g −1 ◦ g = 1. Um grupo de Lie ´e um grupo cont´ınuo, isto ´e um grupo cujos elementos s˜ao rotulados por parˆametros que variam continuamente. Essa continuidade d´a uma estrutura de variedade diferenci´avel aos grupos de Lie, com uma determinada geometria local e uma determinada topologia. Dada uma ´algebra de Lie, L podemos obter um grupo de Lie GL exponenciando os geradores da ´algebra, tal como em (9.1.41): X∈L
⇒
e−iαX ∈ GL ;
(9.1.42)
o ponto fundamental (que n˜ao vamos demonstrar) ´e que a identidade de Jacobi da ´algebra garante a associatividade da lei de composi¸c˜ao do grupo. Podemos agora ver duas propriedades gen´ericas das matrizes do grupo associado `a ´algebra do momento angular: • Para qualquer representa¸c˜ao o tra¸co das matrizes que representam a ´algebra do momento angular ´e zero para qualquer dos geradores. Usamos ent˜ao o seguinte facto: se duas matrizes A e B obedecem a A = eB ent˜ao det A = eTrB . Logo se o tra¸co das matrizes que representam os geradores de uma ´algebra de Lie ´e zero o determinante das matrizes que representam o grupo ´e igual a um. Tais matrizes denominam-se especiais; • Como os geradores da ´algebra do momento angular s˜ao herm´ıticos, os elementos do grupo de Lie associado obedecem a g † = (e−iθJ )† = eiθJ = g −1 . Os elementos do
grupo s˜ao portanto operadores unit´arios: gg † = g † g = 1. No caso da representa¸c˜ao trˆes dimensional pudemos escolher uma base em que os geradores s˜ao matrizes puramente imagin´arias e anti-sim´etricas (9.1.40). Nesse caso,
264
Teoria Geral do Momento Angular e Spin as matrizes da representa¸c˜ao do grupo de Lie s˜ao ortogonais; de facto, nesse caso o expoente torna-se real e uma matriz anti-sim´etrica A, pelo que g T = (eθA )T = e−θA = g −1 , o que implica que gg T = g T g = 1, o que ´e a defin¸c˜ao de operadores ortogonais.
Considermos pois as v´arias representa¸c˜oes do grupo de Lie associado ao momento angular: • j = 0: dado que os geradores da ´algebra s˜ao representados por zero, os elementos do grupo reduzem-se todos ao operador identidade Rk (θ) = e−iθJk /~ = 1 ;
(9.1.43)
os estados que formam a base do espa¸co vectorial onde o grupo actua s˜ao pois invariantes pela ac¸c˜ao do grupo e denominam-se estados escalares. • j = 1/2: Os elementos do grupo tˆem a forma Rk (θ) = e−iθJk /~ = e−iθσk /2 .
(9.1.44)
Para escrevermos os elementos do grupo mais explicitamente notamos a identidade ~ σ · B) ~ =A ~ ·B ~1 ~ × B) ~ , ˆ + i~σ · (A (~σ · A)(~
(9.1.45)
~ e B ~ s˜ao dois vectores arbitr´arios e ~σ = (σx , σy , σz ) as matrizes de Pauli onde A (9.1.36). Seja ~u um vector unit´ario. Pela f´ormula anterior concluimos que ˆ se n par 1 2 n (~σ · ~u) = 1 ; logo (~σ · ~u) = . ~σ · ~u se n ´impar
(9.1.46)
torno do eixo definido por ~u ´e dada por θ θ θ − iu sin (−iu − u ) sin cos z x y 2 2 2 . Ru~ (θ) = e−iθ~σ·~u/2 = (−iux + uy ) sin θ2 cos θ2 + iuz sin 2θ
(9.1.47)
Logo, a representa¸c˜ao dos elementos do grupo correspondentes a uma rota¸c˜ao em
Note-se que Ru~ (2π) = −1 e Ru~ (4π) = 1. Ou seja para voltar ao mesmo estado no espa¸co de spin 1/2 necessitamos de fazer uma rota¸c˜ao por um ˆangulo 4π.
9.2 Emergˆ encia F´ısica do Spin
265
• j = 1: Os elementos do grupo tˆem a forma
1 0 0 Rx (θ) = e−iθJx /~ = 0 cos θ sin θ 0 − sin θ cos θ
Ry (θ) = e−iθJy /~ =
cos θ sin θ 0 Rz (θ) = e−iθJz /~ = − sin θ cos θ 0 0 0 1
.
cos θ 0
0 sin θ 1
0
− sin θ 0 cos θ
(9.1.48)
Estas s˜ao as bem conhecidas matrizes de rota¸c˜ao a actuar em R3 . Acabamos de construir v´arias representa¸c˜oes dos operadores de rota¸c˜ao. Estes operadores s˜ao os elementos do grupo de Lie que descreve as rota¸c˜oes. Este grupo ´e designado por SU(2), pois ´e constituido por Special Unitary matrices sendo a sua representa¸c˜ao fundamental de dimens˜ao 2 - as matrizes de Pauli. Este ´e o grupo de Lie associado `a ´algebra do momento angular. Um seu sub-grupo ´e SO(3) o grupo de Special Orthogonal matrices que est´a associado apenas `as representa¸c˜oes do momento angular orbital e cuja representa¸c˜ao fundamental ´e trˆes dimensional. A ´algebra de Lie associada a SU(2) ´e denotada su(2), enquanto que a ´algebra de Lie associada a SO(3) ´e denotada so(3). Como vimos estas ´algebras s˜ao isom´orficas. su(2) ∼ = so(3) .
(9.1.49)
Mas os grupos distinguem-se pelo facto de SU(2) ter mais representa¸c˜oes que SO(3), sendo SO(3) um grupo mais reduzido do que SU(2).4
9.2
Emergˆ encia F´ısica do Spin
No tratamento do ´atomo de hidrog´enio que efectuamos no cap´ıtulo 6 descrevemos os estados estacion´arios do electr˜ao atrav´es de uma fun¸c˜ao de onda Φ(~r) que depende somente das 4
Geometricamente o grupo SU (2) ´e uma 3-esfera, S 3 , enquanto que SO(3) ´e uma 3-esfera com pontos identificados S 3 /Z2 .
266
Teoria Geral do Momento Angular e Spin
vari´aveis espaciais ~r. Este tratamento permitiu-nos deduzir o espectro de energias para o ´atomo de hidrog´enio que havia sido introduzido fenomenologicamente por Bohr. Claro que um tratamento baseado na equa¸c˜ao de Schr¨odinger n˜ao ´e relativista. Para justificarmos que a aproxima¸c˜ao n˜ao relativista ´e aceit´avel estimemos classicamente a velocidade de um electr˜ao numa ´orbita circular, que obedece a me
e2 v2 = ; r 4πǫ0 r 2
(9.2.1)
estimando o raio da ´orbita r pelo raio de Bohr (6.4.22) e introduzindo a constante de estrutura fina (2.2.4) concluimos que e2 = me v ∼ 4πǫ0 a0 2
e2 4πǫ0 ~c
2
me c2
⇔
v ∼ αc .
(9.2.2)
Como a constante de estrutura fina ´e da ordem de α ∼ 1/137, a aproxima¸c˜ao n˜ao relativista ´e justificada. Contudo, ´e de esperar que surjam correc¸c˜oes relativistas no problema do ´atomo de hidrog´enio. A equa¸c˜ao relativista da mecˆanica quˆantica, designada por equa¸c˜ao de Dirac introduz, de facto, n˜ao s´o correc¸c˜oes cinem´aticas para as vari´aveis de posi¸c˜ao que descrevem o electr˜ao - como a varia¸c˜ao da massa com a velocidade -, mas ainda uma caracter´ıstica totalmente nova para o electr˜ao: o spin. Historicamente, contudo, o spin do electr˜ao foi descoberto experimentalmente antes da introdu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Dirac, proposta em 1928. Tais resultados experimentais, que ser˜ao discutidos seguidamente, levaram George Uhlenbeck e Samuel Goudsmit a propˆor, em 1925, a ideia de um momento angular intr´ınseco para o electr˜ao; Pauli, em 1927, formalizaria esta ideia propondo uma teoria - fenomenol´ogica - que permitia incorporar o spin na mecˆanica quˆantica n˜ao relativista, usando alguns postulados suplementares. Esta teoria foi motivada por v´arios resultados experimentais, dos quais discutiremos agora trˆes: A estrutura fina Um estudo preciso das linhas espectrais do ´atomo de hidrog´enio (por exemplo), revela uma sub-estrutura denominada estrutura fina.5 Cada linha na figura 2.12 ´e na verdade composta 5
A estrutura fina de linhas espectrais foi descoberta usando interferometria por A.A.Michelson em 1891-92: Phil. Mag. 31 (1891) 338; ibid. 34 (1892) 280.
9.2 Emergˆ encia F´ısica do Spin
267
por v´arias linhas, com frequˆencias muito idˆenticas mas que podem ser distinguidas por um espectr´ometro com boa resolu¸c˜ao. Por exemplo, a transi¸c˜ao 2p → 1s ´e na verdade um
dupleto de linhas espectrais, com as duas linhas separadas por cerca de 10−4 eV . Esta
separa¸c˜ao ´e cerca de 105 vezes menor que a diferen¸ca de energia entre o n´ıvel n = 2 e n = 1, que ´e de cerca de 10.2 eV . Este dupleto ser´a estudado em detalhe na sec¸c˜ao 11.1.4. Isto significa que existem grupos de n´ıveis at´omicos energeticamente muito pr´oximos mas distintos, o que n˜ao ´e previsto pela descri¸c˜ao quˆantica do ´atomo de hidrog´enio feita no cap´ıtulo 6, i.e sem spin, que se baseava apenas no Hamiltoniano H=
p2 e2 − . 2µ 4πǫ0 r
(9.2.3)
A teoria completa do ´atomo de hidrog´enio tem de levar em conta v´arios outros termos no Hamiltoniano, todos eles aparecendo de um modo natural da equa¸c˜ao de Dirac. As primeiras correc¸c˜oes a (9.2.3), respons´aveis pela estrutura fina, s˜ao as seguintes:6 i) Correc¸c˜oes relativistas `a energia cin´etica. A velocidade do electr˜ao ´e da ordem de αc e como tal n˜ao ´e “muito relativista”, pelo que podemos considerar apenas a primeira correc¸c˜ao relativista `a energia cin´etica, que tem a forma Wmv = −
p4 . 8µ3 c2
(9.2.4)
Os estados estacion´arios do ´atomo de hidrog´enio sem spin n˜ao s˜ao estados pr´oprios deste operador (depois de quantifica¸c˜ao can´onica deste termo), pelo que ele dever´a ser tratado como uma perturba¸c˜ao (cf. cap´ıtulo 11). Pode-se estimar que as correc¸c˜oes ao espectro de energias do ´atomo de hidrog´enio provenientes desta perturba¸c˜ao s˜ao supressas por um factor de α2 relativamente ao espectro n˜ao perturbado - ou seja as correc¸c˜oes s˜ao cerca de 104 − 105 vezes menores que o espectro n˜ao perturbado. ii) Acoplamento spin-´orbita. O electr˜ao do ´atomo de hidrog´enio vˆe uma corrente, devido ao facto de no seu referencial o n´ ucleo estar em movimento. Assim o electr˜ao vˆe um 6
Todos estes termos ser˜ao discutidos em maior detalhe na sec¸ca˜o 11.1.4.
268
Teoria Geral do Momento Angular e Spin campo magn´etico, pelo que, se ele tem um momento magn´etico intr´ınseco ~µS , existe um acoplamento do tipo ~ , WSO = −~µS · B
~µS = g
µB ~ S, ~
(9.2.5)
no Hamiltoniano, onde g ´e a raz˜ao giromagn´etica do electr˜ao e µB o magnet˜ao de ~ o que pode ser Bohr. A forma expl´ıcita desta perturba¸c˜ao requer ent˜ao calcular B, ~ do n´ feito atrav´es de uma transforma¸c˜ao de Lorentz do campo E ucleo visto num referencial onde este est´a parado. Para esse c´alculo tem de ser tamb´em levada em conta a chamada precess˜ao de Thomas. Chega-se assim ao resultado: WSO =
1 e2 g ~ ~ L·S . 3 2 4πǫ0 r 2m2 c2
(9.2.6)
Esta correc¸c˜ao ir´a ser da mesma ordem que a correc¸c˜ao relativista. iii) Existe ainda uma outra correc¸c˜ao da mesma ordem de grandeza das duas anteriores, denominada termo de Darwin. Este termo surge pelo facto de, na expans˜ao em v/c da equa¸c˜ao de Dirac, o electr˜ao ser afectado numa vizinhan¸ca da ordem do comprimento de onda de Compton pelo potencial do prot˜ao, e n˜ao apenas num ponto. O termo tem a forma WD =
~2 ∆V , 8m2 c2
(9.2.7)
onde ∆V ´e o laplaciano da energia potencial de Coulomb. A teoria de Pauli ir´a introduzir a correc¸c˜ao ii), o que ir´a explicar, qualitativamente, algumas caracter´ısticas da estrutura fina. O efeito Zeeman An´ omalo Como vimos na sec¸c˜ao 6.5.4, quando um ´atomo ´e imerso num campo magn´etico uniforme, cada uma das suas linhas espectrais separa-se num certo n´ umero de linhas equidistantes, cuja distˆancia ´e proporcional ao campo magn´etico - efeito Zeeman. A explica¸c˜ao deste efeito baseia-se no Hamiltoniano (6.5.10) que inclui o acoplamento paramagn´etico ~ , H1 = −~µL · B
~µL =
µB ~ L. ~
(9.2.8)
9.2 Emergˆ encia F´ısica do Spin
269
Negligenciando o acoplamento diamagn´etico obtemos o espectro (6.5.39) E(N,m) = EN − µB Bm .
(9.2.9)
Esta descri¸c˜ao te´orica ´e verificada experimentalmente em certos casos - efeito Zeeman normal - mas n˜ao noutros - efeito Zeeman an´omalo. A anomalia mais importante aparece para ´atomos com Z ´ımpar, que inclui o hidrog´enio: os seus n´ıveis de energia dividem-se umero ´ımpar igual a 2ℓ+1 num n´ umero par de sub-n´ıveis, enquanto que a teoria prevˆe um n´ para o n´ıvel com n´ umero quˆantico ℓ, que ´e inteiro. A teoria de Pauli ir´a substituir ℓ por j que pode tomar valores semi-inteiros, resolvendo este problema. A experiˆ encia de Stern Gerlach (1922) A experiˆencia consiste em estudar a deflex˜ao de um feixe de a´tomos de prata
47
Ag (que
s˜ao paramagn´eticos e neutros) num campo magn´etico fortemente n˜ao uniforme. O aparato ~ tem as seguintes experimental est´a representado na figura 9.1. O campo magn´etico B caracter´ısticas: • Tem um plano de simetria yOz; • N˜ao depende de y (negligenciamos efeitos de bordo); • N˜ao tem componente segundo y; • A sua maior componente ´e segundo z. Examinemos o c´alculo cl´assico da deflex˜ao. Sendo neutros, os ´atomos de prata n˜ao est˜ao sujeitos `a for¸ca de Lorentz; a interac¸c˜ao entre os ´atomos e o campo resulta apenas do acoplamento dipolar ~ ; H = −~µ · B
~ , logo F~ = ∇(~µ · B)
(9.2.10)
~ fosse constante. Concluimos que ´e a for¸ca sentida pelos ´atomos, que seria zero caso B a for¸ca depende do momento magn´etico; mas o momento magn´etico tem uma dinˆamica pr´opria devido a um torque exercido pelo campo magn´etico externo da forma ~ ; ~τ = ~µ × B
(9.2.11)
270
Teoria Geral do Momento Angular e Spin
´ Figura 9.1: a) Atomos de prata est˜ao contidos na fornalha E, que ´e aquecida a altas temperaturas. Os ´atomos podem ser emitidos da fornalha atrav´es de uma pequena abertura. Uma outra pequena abertura F colima o feixe de ´atomos, escolhendo aqueles cuja velocidade ´e paralela `a direc¸c˜ao Oy. Os ´atomos s˜ao ent˜ao deflectidos pelo gradiente do campo magn´etico criado por A e condensam no ponto N do alvo P ; b) Perfil das linhas de for¸ca do campo magn´etico (extra´ıdo de Cohen et al,‘Quantum Mechanics’ ). assumindo que este momento magn´etico resulta de um momento angular, ~µ =
gµB ~ S, ~
(9.2.12)
ent˜ao a lei fundamental da mecˆanica de rota¸c˜ao diz-nos que ~ dS ~ = ~µ × B dt
⇔
~ dS gµB ~ ~ S ×B . = dt ~
(9.2.13)
Esta equa¸c˜ao diz-nos que o dip´olo precessa em torno do campo magn´etico. Como o campo magn´etico ´e essencialmente segundo a direc¸c˜ao Oz, o dipolo precessa essencialmente em torno do eixo Oz. Logo a m´edia temporal das componentes µx e µy ser´a aproximadamente zero, pelo que n˜ao dever˜ao influir na for¸ca que os ´atomos de prata sentem. Com esta aproxima¸c˜ao F~ ≃ µz ∇Bz ;
(9.2.14)
por hip´otese ∂Bz /∂y = 0 e no plano de simetria ∂Bz /∂x = 0. Logo a for¸ca ´e essencialmente paralela a Oz e proporcional a µz , F~ ≃ µz ∂z Bz ez . Como tal, deflex˜ao HN ´e uma medida
9.2 Emergˆ encia F´ısica do Spin
271
Figura 9.2: Resultado cl´assico esperado (linha tracejada) e observado (linha s´olida) na experiˆencia de Stern-Gerlach (extra´ıdo de Cohen et al,‘Quantum Physics’ ).
de µz . O resultado esperado classicamente para a experiˆencia anterior baseia-se na seguinte observa¸c˜ao. Os ´atomos de prata deveriam ter uma distribui¸c˜ao de momento magn´etico isotr´opica quando saem da fornalha. Logo todos os valores de µz entre −|~µ| e +|~µ| deveriam ser encontrados, pelo que se esperaria um padr˜ao do tipo da linha tracejada na figura 9.2, i.e. deflex˜oes entre N1 e N2 . Note-se que a dispers˜ao das velocidades e a largura finita da fenda explicam a curva extender-se um pouco al´em de Ni . O resultado observado ´e, contudo, muito diferente. Observam-se 2 pontos de impacto priveligiados - linhas s´olidas na figura 9.2; ou seja a medi¸c˜ao de µz s´o pode originar dois resultados poss´ıveis. Descrevemos agora a interpreta¸c˜ao quˆantica da experiˆencia anterior. Os ´atomos de prata tˆem um electr˜ao desemparelhado e o seu momento magn´etico resulta do spin desse electr˜ao por (9.2.12). Assim, uma medi¸c˜ao de µz ´e uma medi¸c˜ao de Sz , que, de acordo com a experiˆencia de Stern-Gerlach, s´o pode tomar dois valores poss´ıveis. Pelo estudo das representa¸c˜oes do momento angular da sec¸c˜ao 9.1, na representa¸c˜ao Dj , Sz tem 2j + 1 valores poss´ıveis, pelo que j = 1/2. Esta ser´a a representa¸c˜ao escolhida para descrever o electr˜ao na teoria de Pauli. Notas:
272
Teoria Geral do Momento Angular e Spin
• Se fiz´essemos a experiˆencia com electr˜oes, como a carga n˜ao seria zero, a for¸ca de Lorentz iria disfar¸car o efeito do spin. O objectivo de usar ´atomos de prata ´e ter uma part´ıcula de spin 1/2 sem carga. • As condi¸c˜oes experimentais podem ser escolhidas de modo a que a dispers˜ao espacial da fun¸c˜ao de onda seja suficientemente pequena para poder tratar as vari´aveis posi¸c˜ao e momento classicamente. A experiˆencia anterior pode ser teorizada com o seguinte formalismo: i) O electr˜ao tem graus de liberdade externos ou orbitais (~r e ~p) e um grau de liberdade ~ interno (o spin S); ii) O espa¸co vectorial interno tem dimens˜ao 2 e base |+i = |1/2, 1/2i ,
|−i = |1/2, −1/2i ,
(9.2.15)
tal que ~ Sˆz |±i = ± |±i , 2
(9.2.16)
o que equivale a dizer que, nesta base, a componente z do operador de momento angular intr´ınseco tem representa¸c˜ao 1 0 ~ ≡ ~ σz ; Sˆz = 2 2 0 −1
a ´algebra do momento angular ´e obedecida se escolhermos 0 1 0 −i ~ ~ ≡ ~ σx , ≡ ~ σy . Sˆx = Sˆy = 2 2 2 2 1 0 i 0
(9.2.17)
(9.2.18)
Esta ´e a representa¸c˜ao dois dimensional de su(2), (9.1.36).
• Note que o ponto fundamental da experiˆencia de Stern-Gerlach ´e n˜ao s´o a confirma¸c˜ao da quantifica¸c˜ao do momento magn´etico do electr˜ao (e como tal do seu spin) mas tamb´em, e sobretudo, mostrar que j = 1/2.
9.3 Postulados da teoria de Pauli
9.3
273
Postulados da teoria de Pauli
Para explicar os resultados experimentais anteriores, Uhlenbeck e Goudsmit propuseram, em 1925, que o electr˜ao tem um momento angular intr´ınseco - spin. Este spin confere-lhe um momento magn´etico ~µS =
2µB ~ S. ~
(9.3.1)
Ou seja, a raz˜ao giromagn´etica do electr˜ao ´e g = 2 (chamado valor quˆantico), que era necess´aria para explicar quantitativamente as deflex˜oes observadas na experiˆencia de SternGerlach e as separa¸c˜oes espectrais no efeito Zeeman an´omalo. Note-se que a raz˜ao giromagn´etica orbital ´e g = 1 (chamado valor cl´assico), metade da de spin. O valor g = 2 que aqui ´e imposto fenomenologicamente ´e extra´ıdo naturalmente da equa¸c˜ao de Dirac. Pauli elaborou a proposta de Uhlenbeck e Goudsmit tornando-a um pouco mais precisa e conferindo-lhe o car´acter de postulados adicionais da mecˆanica quˆantica que agora descrevemos. Em primeiro lugar notamos que o nosso estudo at´e ao momento incidiu sobre a quantifica¸c˜ao de vari´aveis orbitais, como a posi¸c˜ao ~r e o momento p~, `as quais associamos op~ˆ ~ˆ eradores R e P que actuam num espa¸co de estados E~r , que ´e isom´orfico ao espa¸co das fun¸c˜oes de onda. Denominamos E~r como espa¸co de estados orbitais. A estas vari´aveis orbitais temos de adicionar as vari´aveis de spin que satisfazem os seguintes postulados: ~ i) O operador de spin, Sˆ ´e um momento angular, o que significa que [Sˆj , Sˆk ] = i~ǫjkl Sˆl ;
(9.3.2)
ii) Os operadores de spin actuam num novo espa¸co vectorial, denominado espa¸co de estados de spin, ES , onde Sˆ2 e Sˆz s˜ao um C.C.O.C.; o espa¸co ES tem como base os estados
pr´oprios comuns a Sˆ2 e Sˆz , {|s, mi}:
Sˆ2 |s, mi = s(s + 1)~2 |s, mi ,
Sˆz |s, mi = m~|s, mi ,
(9.3.3)
onde 2s ∈ N0 e m = −s, −s + 1, . . . , s − 1, s. Uma dada part´ıcula ´e caracterizada por um u ´ nico valor de s; dizemos que a part´ıcula tem spin s. Logo, ES tem sempre
274
Teoria Geral do Momento Angular e Spin dimens˜ao finita e igual a 2s + 1; todos os estados de spin de uma dada part´ıcula s˜ao vectores pr´oprios de Sˆ2 com o mesmo valor pr´oprio s(s + 1)~2 ;
iii) O espa¸co de estados completo, E, ´e o produto tensorial de E~r com ES : E = E~r ⊗ ES . Isto significa que todas as observ´aveis de spin comutam com todas as observ´aveis orbitais. Daqui resulta que, excepto para o caso com s = 0, ´e insuficiente especificar ´ necess´ario tamb´em especificar o ket de E~r para caracterizar o estado da part´ıcula. E o estado de spin; isto ´e C.C.O.C. = {observ´aveis orbitais, observ´aveis de spin} . Qualquer estado da part´ıcula ´e uma combina¸c˜ao linear de vectores que s˜ao o produto tensorial de um ket de E~r com outro de ES ; iv) O electr˜ao ´e uma part´ıcula de spin 1/2 (s = 1/2). Logo, para o electr˜ao ES ´e 2dimensional. O momento magn´etico intr´ınseco do electr˜ao ´e dado por (9.3.1). O operador Hamiltoniano que descreve o comportamento de um electr˜ao na presen¸ca ~ e φ ´e dado por de um campo electromagn´etico descrito pelos potenciais A ~ˆ ~ˆ 2 ~ˆ ˆ = (P − q A) + q φˆ − q~ ~σ · B H , 2me 2me
(9.3.4)
que, usando as propriedades das matrizes de Pauli, pode ser reescrito na forma ~ˆ ~ˆ 2 ˆ = [~σ · (P − q A)] + q φˆ . H 2me
(9.3.5)
Este ´e o Hamiltoniano de Pauli.
9.4
Descri¸c˜ ao n˜ ao relativista de part´ıculas de spin
1 2
Vamos agora considerar em detalhe os graus de liberdade de spin para o caso s = 1/2. ES tem dimens˜ao 2 e tomamos como base {|+i, |−i}, que obedece a 3 Sˆ2 |±i = ~2 |±i , 4
~ Sˆz |±i = ± |±i . 2
(9.4.1)
9.4 Descri¸c˜ ao n˜ ao relativista de part´ıculas de spin
1 2
275
As rela¸c˜oes de ortonormaliza¸c˜ao podem ent˜ao ser escritas: h+|−i = 0 ,
h−|−i = 1 ,
h+|+i = 1 ,
(9.4.2)
e a rela¸c˜ao de fecho ˆ. |+ih+| + |−ih−| = 1
(9.4.3)
O estado de spin mais geral tem a forma |χi = c+ |+i + c− |−i ,
c± ∈ C .
(9.4.4)
Todos os kets de ES s˜ao vectores pr´oprios de Sˆ2 com valor pr´oprio 3~2 /4. Logo 3~2 ˆ 1. Sˆ2 = 4
(9.4.5)
Podemos definir os operadores em escada Sˆ± = Sˆx ± iSˆy ,
(9.4.6)
que tˆem ac¸c˜ao Sˆ+ |+i = 0 ,
Sˆ+ |−i = ~|+i ,
Sˆ− |+i = ~|−i ,
Sˆ− |−i = 0 .
(9.4.7)
Todos os operadores que actuam em ES s˜ao representados na base {|+i, |−i} por matrizes de 2 × 2; os operadores de momento angular tˆem a representa¸c˜ao ~ ~ Sˆ = ~σ , 2
(9.4.8)
onde ~σ s˜ao as matrizes de Pauli (9.1.36). Estas matrizes tˆem as seguintes propriedades Trσi = 0 ,
det σi = −1 .
(9.4.9)
Juntamente com a identidade, as matrizes de Pauli formam uma base do conjunto de matrizes de 2 × 2 com entradas complexas GL(2, C).
276
9.4.1
Teoria Geral do Momento Angular e Spin
Juntando os graus de liberdade de spin aos orbitais
Podemos agora juntar num u ´ nico formalismo os graus de liberdade de spin e orbitais. O espa¸co de estados tem como base os estados pr´oprios de um C.C.O.C. de E, que ´e obtido pela justaposi¸c˜ao de um C.C.O.C. de E~r com um de ES . Assim, v´arios C.C.O.C. poss´ıveis para um electr˜ao livre s˜ao: ˆ Yˆ , Z, ˆ Sˆ2 , Sˆz } , {X,
{Pˆx , Pˆy , Pˆz , Sˆ2 , Sˆz } ,
ˆ L ˆ 2, L ˆ z , Sˆ2 , Sˆz } . {H,
Note-se que como todos os kets em E tˆem o mesmo valor pr´oprio de Sˆ2 , este pode ser omitido do C.C.O.C.; de facto este valor caracteriza a part´ıcula, independentemente do estado em que se encontra (tal como a massa em repouso ou a carga el´ectrica). Consideremos o primeiro destes C.C.O.C.. A base de E ´e |~r, ǫi = |x, y, z, ǫi = |~ri ⊗ |ǫi ,
(9.4.10)
onde |~ri = |x, y, zi ∈ E~r e |ǫi ∈ ES . Os r´otulos tomam os valores x, y, z ∈ R e ǫ = ±1. A ac¸c˜ao dos operadores que constituem o C.C.O.C. nestes estados ´e ˆ r, ǫi = x|~r, ǫi , X|~
Yˆ |~r, ǫi = y|~r, ǫi ,
ˆ r , ǫi = z|~r, ǫi , Z|~
3~2 ~ Sˆ2 |~r, ǫi = |~r, ǫi , Sˆz |~r, ǫi = ǫ |~r, ǫi . 4 2
(9.4.11)
A base {|~r, ǫi} ´e ortonormal, no sentido extenso da ortogonalidade por deltas de Dirac, h~r′, ǫ′ |~r, ǫi = δǫ′ ǫ δ(~r′ − ~r) . A rela¸c˜ao de fecho ´e Z Z XZ 3 3 ˆ= 1 d ~r|~r, ǫih~r, ǫ| = d ~r|~r, +ih~r, +| + d3~r|~r, −ih~r, −| .
(9.4.12)
(9.4.13)
ǫ
Estados na representa¸c˜ ao {|~r, ǫi} Qualquer estado |Ψi em E pode ser expandido na base {|~r, ǫi}, usando a rela¸c˜ao de fecho XZ XZ 3 |Ψi = d ~r|~r, ǫih~r, ǫ|Ψi ≡ d3~r|~r, ǫiΨǫ (~r) . (9.4.14) ǫ
ǫ
9.4 Descri¸c˜ ao n˜ ao relativista de part´ıculas de spin
1 2
277
Vemos assim que para caracterizar completamente o estado de um electr˜ao ´e necess´ario especificar duas fun¸c˜oes espaciais: Ψ+ (~r) = h~r, +|Ψi ,
Ψ− (~r) = h~r, −|Ψi ,
(9.4.15)
que podem ser escritas na forma de um spinor de dois componentes ou 2-spinor : Ψ+ (~r) . [Ψ](~r) = (9.4.16) Ψ− (~r)
O bra hΨ| associado ao ket |Ψi ´e o adjunto de (9.4.14) XZ XZ 3 hΨ| = d ~rhΨ|~r, ǫih~r, ǫ| ≡ d3~r Ψ∗ǫ h~r, ǫ| , ǫ
(9.4.17)
ǫ
que pode ser representado na forma de um spinor que ´e adjunto de (9.4.16) [Ψ]† (~r) = Ψ∗+ (~r), Ψ∗− (~r) .
O produto escalar hΨ|Φi ´e representado por Z XZ 3 hΨ|Φi = d ~rhΨ|~r, ǫih~r, ǫ|Φi = d3~r Ψ∗+ (~r)Φ+ (~r) + Ψ∗− (~r)Φ− (~r) Zǫ = d3~r[Ψ]† (~r)[Φ](~r) . Logo a condi¸c˜ao de normaliza¸c˜ao ´e Z Z 3 † hΨ|Ψi = d ~r[Ψ] (~r)[Ψ](~r) = d3~r |Ψ+ (~r)|2 + |Ψ− (~r)|2 = 1 .
(9.4.18)
(9.4.19)
(9.4.20)
Um caso particular de estados de E s˜ao estados obtidos pelo produto tensorial de um estado
de E~r com outro de ES , isto ´e |Ψi = |Φi ⊗ |χi ,
(9.4.21)
com |Φi =
Z
d3~rΦ(~r)|~ri ∈ E~r ,
|χi = c+ |+i + c− |−i ∈ ES .
Nesse caso as fun¸c˜oes de onda orbitais e de spin separam c+ , [Ψ](~r) = Φ(~r) c−
(9.4.22)
(9.4.23)
tal como as rela¸c˜oes de normaliza¸c˜ao
ˆ = hΨ|Ψi = hΦ|Φihχ|χi = (|c+ |2 + |c− |2 ) 1
Z
d3~r|Φ(~r)|2 .
(9.4.24)
278
Teoria Geral do Momento Angular e Spin
Operadores na representa¸c˜ ao {|~r, ǫi} Consideremos a ac¸c˜ao de um operador linear Aˆ num ket |Ψi ∈ E ˆ A|Ψi = |Ψ′i .
(9.4.25)
Este operador tem uma representa¸c˜ao matricial que actua em 2-spinors ˆ A[Ψ](~ r) = [Ψ′ ](~r) ,
(9.4.26)
onde os elementos de matriz que representam Aˆ ser˜ao, em geral, operadores diferenciais que actuam na vari´avel ~r. Consideremos os v´arios casos poss´ıveis: • Operadores de spin: estes actuam apenas no ´ındice ǫ da base {|~r, ǫi}. Um exemplo ´e um dos operadores em escada (9.4.6):
0 1 ~ . Sˆ+ = (σx + iσy ) = ~ 2 0 0
(9.4.27)
• Operadores orbitais: estes deixam invariante o ´ındice ǫ pelo que as suas matrizes associadas s˜ao proporcionais `a matriz identidade. Dois exemplos s˜ao os operadores: x 0 ∂/∂x 0 ˆ = , Pˆx = −i~ . X (9.4.28) 0 x 0 ∂/∂x
• Operadores mistos: os operadores mais gerais a actuar em E ser˜ao representados por matrizes de 2 × 2 cujos elementos s˜ao operadores diferencias relativamente `a vari´avel ~r. Um exemplo ´e um produto de um operador orbital com um operador de spin −i~∂/∂ϕ 0 ˆ z Sˆz = ~ ; L (9.4.29) 2 0 i~∂/∂ϕ mas mais geralmente teremos combina¸c˜oes lineares de produtos de operadores orbitais com operadores de spin; por exemplo ~ ~ Sˆ · Pˆ =
~ 2
σx Pˆx + σy Pˆy + σz Pˆz = −
2
∂/∂z ∂/∂x − i∂/∂y i~ . 2 ∂/∂x + i∂/∂y −∂/∂z (9.4.30)
9.4 Descri¸c˜ ao n˜ ao relativista de part´ıculas de spin
1 2
Notamos ainda que o elemento de matriz de um operador ´e dado por Z ˆ ˆ hΨ|A|Φi = d3~r[Ψ]† (~r)A[Φ](~ r) .
279
(9.4.31)
Se, alternativamente, tiv´essemos considerado o C.C.O.C.={Pˆx , Pˆy , Pˆz , Sˆ2 , Sˆz }, ter´ıamos
a representa¸c˜ao {|~p, ǫi}, em que cada vector |Ψi ∈ E ´e o 2-spinor ¯ Ψ (~p) ¯ p) = + , [Ψ](~ ¯ Ψ− (~p)
(9.4.32)
com
¯ + (~p) = h~p, +|Ψi , Ψ
Ψ− (~p) = h~p, −|Ψi .
(9.4.33)
Notando que h~r, ǫ|~p, ǫ′ i = h~r|~pihǫ|ǫ′ i =
1 ei~p·~r/~δǫǫ′ , 3/2 (2π~)
(9.4.34)
¯ + (~p) e Ψ ¯ − (~p) s˜ao transformadas de Fourier de Ψ+ (~r) e Ψ− (~r), respecticonclu´ımos que Ψ vamente:
XZ ¯ Ψǫ (~p) = h~p, ǫ|Ψi = d3~rh~p, ǫ|~r, ǫ′ ih~r, ǫ′ |Ψi Z ǫ′ (9.4.35) 1 3 −i~ p·~ r/~ d ~re Ψǫ (~r) . = (2π~)3/2 Finalmente, notamos que os postulados do cap´ıtulo 4 se aplicam naturalmente neste formalismo. Por exemplo, a probabilidade d3 P(~r, +) de encontrar um electr˜ao num volume
infinitesimal d3~r em torno do ponto ~r com o spin para cima, Sz = +~/2, ´e d3 P(~r, +) = |h~r, +|Ψi|2d3~r = |Ψ+ (~r)|2 d3~r ,
(9.4.36)
enquanto que a probabilidade d3 P(~r) de encontrar um electr˜ao num volume infinitesimal
d3~r em torno de ~r, qualquer que seja o spin, ´e
d3 P(~r) = (|Ψ+ (~r)|2 + |Ψ− (~r)|2 )d3~r .
(9.4.37)
Operador de rota¸c˜ ao para uma part´ıcula de spin 1/2 ~ Uma part´ıcula de spin 1/2 pode possuir, para al´em do seu momento angular intr´ınseco S, ~ O seu momento angular total ser´a um momento angular orbital L. ~ +S ~ . J~ = L
(9.4.38)
280
Teoria Geral do Momento Angular e Spin
Como se comporta a fun¸c˜ao de onda de uma part´ıcula de spin 1/2 sob a ac¸c˜ao de uma rota¸c˜ao? O operador de rota¸c˜ao a actuar no espa¸co de estados orbitais E~r toma a forma, ~
Ru~ (α) = e−iαL·~u/~ ,
(9.4.39)
em que a rota¸c˜ao ´e em torno de um eixo definido pelo versor ~u e de um ˆangulo α. Naturalmente, o operador de rota¸c˜ao que actua no espa¸co de estados E ter´a a forma ~
Ru~ (α) = e−iαJ ·~u/~ .
(9.4.40)
~ˆ ~ Como L s´o actua em E~r e Sˆ s´o actua em ES , podemos escrever Ru~ (α) na forma de um produto tensorial (~ r)
(S)
Ru~ (α) = Ru~ (α) ⊗ Ru~ (α) ,
(9.4.41)
onde ~
(~ r)
~
(S)
Ru~ (α) = e−iαL·~u/~ ,
Ru~ (α) = e−iαS·~u/~ ,
(9.4.42)
s˜ao os operadores de rota¸c˜ao que actuam em E~r e ES respectivamente. Deste modo, se a part´ıcula de spin 1/2 estiver num estado que seja um produto tensorial, do tipo (9.4.21), o seu estado ap´os a rota¸c˜ao ser´a (~ r)
(S)
|Ψ′ i = Ru~ (α)|Ψi = [Ru~ (α)|Φi] ⊗ [Ru~ (α)|χi] .
(9.4.43)
(~ r) ˆ pois esta ´e uma rota¸c˜ao orbital; mas por (9.1.47), R(S) (2π) = −1; ˆ Claro que Ru~ (2π) = 1 u ~
logo (~ r) (S) ˆ. Ru~ (2π) = Ru~ (2π) ⊗ Ru~ (2π) = −1
(9.4.44)
Esta ´e uma famosa propriedade de uma part´ıcula de spin 1/2: uma tal part´ıcula necessita de dar duas voltas para voltar ao mesmo estado, i.e ser descrita pelo mesmo spinor; de facto (~ r) (S) ˆ. Ru~ (4π) = Ru~ (4π) ⊗ Ru~ (4π) = 1
(9.4.45)
A periodicidade de 4π dos fermi˜oes de spin 1/2 foi observada directamente em experiˆencias de interferˆencia com neutr˜oes lentos (S.A.Warner et al, Phys. Rev. Lett. 35 (1975) 1053.)
9.4 Descri¸c˜ ao n˜ ao relativista de part´ıculas de spin
1 2
281
Note-se, no entanto, que uma observ´avel n˜ao muda de sinal pela ac¸c˜ao de uma rota¸c˜ao de 2π: ˆ u~ (2π)† = Aˆ . Aˆ′ = Ru~ (2π)AR
(9.4.46)
O comportamento global de uma part´ıcula de spin 1/2 sob a ac¸c˜ao de uma rota¸c˜ao pode ser visto do seguinte modo: o estado |Ψi ´e representado pelo 2-spinor [Ψ](~r) com componentes Ψǫ (~r) = h~r, ǫ|Ψi ,
(9.4.47)
ˆ ˆ=R ˆ (~r) ⊗ R ˆ (S) , obtemos um novo 2-spinor, sob a ac¸c˜ao de uma rota¸c˜ao |Ψ′i = R|Ψi, onde R cujas componentes s˜ao Ψ′ǫ (~r)
ˆ = h~r, ǫ|Ψ i = h~r, ǫ|R|Ψi = ′
mas
XZ ǫ′
ˆ r~′ , ǫ′ ihr~′, ǫ′ |Ψi ; d3 r~′ h~r, ǫ|R|
ˆ r~′ , ǫ′ i = h~r|R ˆ (~r) |r~′ihǫ|R ˆ (S) |ǫ′ i ≡ hR−1~r|r~′ iR(S)′ = δ(R−1~r − r~′ )R(S)′ . h~r, ǫ|R| ǫǫ ǫǫ
(9.4.48)
(9.4.49)
Logo Ψ′ǫ (~r) =
X
(S)
Rǫǫ′ Ψǫ′ (R−1~r) .
(9.4.50)
ǫ′
Explicitamente, em nota¸c˜ao tensorial temos (S) (S) ′ −1 Ψ (~r) R R+− Ψ (R ~r) + = ++ + . (S) (S) Ψ′− (~r) Ψ− (R−1~r) R−+ R−−
(9.4.51)
Note-se a analogia com o caso de spin 1.
Exemplo: Para ilustrar a f´ısica das part´ıculas com spin 1/2 vamos considerar um problema de difus˜ao um dimensional do tipo do cap´ıtulo 3, mas adicionando um campo magn´etico, tal como representado na figura 9.3. Uma part´ıcula de spin 1/2, massa m, sem carga e com raz˜ao giromagn´etica g incide no potencial, proveniente de x = −∞. Para al´em
~ = B0 ez . Logo, o operador do salto de potencial existe na regi˜ao II um campo magn´etico B Hamiltoniano para o sistema, escrito na forma (9.3.4) ´e Pˆ 2 Pˆ 2 ~ ˆ ~ ˆ ˆ + V (X) − µ ˆ·B = + θ(x) V0 + ω Sz , H= 2m 2m
(9.4.52)
282
Teoria Geral do Momento Angular e Spin V(x)
~ =0 B I
~ = B0 ez B II V
0
~µ =
~ gµB S~
E
0
x
Figura 9.3: Um salto de potencial com campo magn´etico na regi˜ao II. onde ω = −gµB B0 /~ e θ(x) ´e a fun¸c˜ao de Heaviside, que toma valores 0, x<0 θ(x) ≡ . 1, x>0
ˆ Pˆy , Pˆz , Sˆz } e a base de estados para o sistema, Podemos tomar como C.C.O.C.={H,
que s˜ao estados estacion´arios, sendo ± |Φ± E,py ,pz i = |ΦE i ⊗ |py i ⊗ |pz i ⊗ |±i .
(9.4.53)
A equa¸c˜ao de Schr¨odinger ± ˆ ± H|Φ E,py ,pz i = E|ΦE,py ,pz i ,
reduz-se a
! p2y + p2z Pˆx2 ω~ ± |Φ± + + θ(x) V0 ± E i = E|ΦE i . 2m 2m 2
± Projectando na representa¸c˜ao |xi, hx|Φ± E i = ΦE (x) e assumindo py = pz = 0 obtemos ~2 d 2 ~ω ± − Φ± (9.4.54) + θ(x) V0 ± E (x) = EΦE (x) . 2m dx2 2
A inclus˜ao do spin, tornada vis´ıvel pela presen¸ca do campo magn´etico, d´a origem a um potencial efectivo diferente para cada um dos dois modos da part´ıcula, isto ´e Vef e = V0 ± ~ω/2, para os modos |+i e |−i, respectivamente. Esta ´e a li¸c˜ao gen´erica a reter: o potencial efectivo pode ser diferente para feixes com polariza¸c˜oes diferentes. A partir daqui podemos calcular o factor de transmiss˜ao e reflex˜ao, para cada um dos dois modos, usando os m´etodos do cap´ıtulo 3.
9.5 Adi¸c˜ ao de momento angular
9.5
283
Adi¸ c˜ ao de momento angular
Tendo estabelecido que uma part´ıcula quˆantica pode ter um momento angular intr´ınseco, para al´em do momento angular orbital, ambos quantificados, coloca-se a quest˜ao de saber quais s˜ao os valores poss´ıveis para o seu momento angular total. O mesmo se pode perguntar relativamente a um sistema f´ısico constitu´ıdo por dois sub-sistemas (por exemplo, ´ esta a quest˜ao um sistema de duas part´ıculas), cada um possuindo momento angular. E que vamos agora considerar.
7
Analisemos, por exemplo, um sistema de duas part´ıculas, que se identificar˜ao por ´ındices 1 e 2. Designamos por J~1 e J~2 os respectivos momentos angulares e seja J~ = J~1 + J~2 , o momento angular total do sistema, com componentes (Jx , Jy , Jz ). Admitimos que se conhece, no espa¸co de estados do sistema i, Ei, i = 1, 2, a base padr˜ao {|ki, Ji , Mi i} constitu´ıda por vectores pr´oprios comuns a Jˆi2 e a Jˆiz : Jˆi2 |ki, Ji , Mi i
=
Ji (Ji + 1)~2 |ki , Ji , Mi i ,
(9.5.1)
Jˆiz |ki, Ji , Mi i
=
Mi ~ |ki, Ji , Mi i ,
(9.5.2)
Jˆi± |ki, Ji , Mi i
=
~
p
Ji (Ji + 1) − Mi (Mi ± 1) |ki, Ji , Mi ± 1i ,
(9.5.3)
onde ki representa o conjunto de n´ umeros quˆanticos adicionais necess´arios `a especifica¸c˜ao completa do estado do sistema. O espa¸co de estados do sistema total, E, ´e o produto tensorial de E1 e E2 : E = E1 ⊗ E2 .
(9.5.4)
Uma base neste espa¸co ´e obtida fazendo o produto tensorial das bases de E1 e de E2 : {| k1 , k2 ; J1 , J2 ; M1 , M2 i} = {| k1 , J1 , M1 i ⊗ | k2 , J2 , M2 i} , 7
Esta sec¸ca˜o foi escrita com a colabora¸ca˜o da Prof. F´atima Mota.
(9.5.5)
284
Teoria Geral do Momento Angular e Spin
que ´e uma base pr´opria comum aos operadores Jˆ12 , Jˆ22 , Jˆ1z , Jˆ2z . Um outro C.C.O.C. em E ´e
Jˆ12 , Jˆ22 , Jˆ2 , Jˆz ,
(9.5.6)
e podemos escolher uma base pr´opria comum a estas observ´aveis: {|k, J1, J2 ; J, Mi} .
(9.5.7)
A quest˜ao que se p˜oe ´e a de determinar esta base em termos da base conhecida (9.5.5). O problema ´e tanto mais relevante quando se sabe que, genericamente, num sistema de part´ıculas com interac¸c˜ao apenas o momento angular total ´e uma constante de movimento, isto ´e, apenas o momento angular total comutar´a com o Hamiltoniano. Consequentemente, os estados estacion´arios (e a evolu¸c˜ao do sistema) podem ser determinados se se conhecer a base (9.5.7). Mesmo num sistema de uma s´o part´ıcula, surge genericamente um acoplamento entre o momento angular intr´ınseco e o orbital, o acoplamento spin-´orbita, ˆ~ ˆ ~ˆ · S. 9.2, proporcional a L Na presen¸ca deste termo apenas J~ ≡
j´a discutido na sec¸c˜ao ˆ~ ~ˆ + S L comuta com o
Hamiltoniano do sistema, pelo que os estados estacion´arios dever˜ao ser rotulados pelo valor pr´oprio de Jˆ e n˜ao dos momentos angulares individuais, como ser´a visto, para o ´atomo de Hidrog´enio, na sec¸c˜ao 11.1.4. Enunciamos e provamos agora o teorema de adi¸c˜ao de dois momentos angulares. Teorema de adi¸c˜ ao de dois momentos angulares: No espa¸co E gerado pelos vectores |k; J1 , J2 ; M1 , M2 i (k, J1 , J2 , fixos; M1 , M2 vari´aveis), que tem dimens˜ao (2J1 + 1)(2J2 + 1): • Os valores poss´ıveis de J s˜ao: J1 + J2 , J1 + J2 − 1, J1 + J2 − 2, . . . |J1 − J2 | .
(9.5.8)
• A cada valor de J correspondem 2J + 1 vectores pr´oprios |J, Mi do momento angular total. Demonstra¸c˜ ao:
9.5 Adi¸c˜ ao de momento angular
285
A demonstra¸c˜ao do teorema tem por base trˆes observa¸c˜oes: (1) O n´ umero quˆantico M toma valores J1 +J2 , J1 +J2 −1, J1 +J2 −2, . . . , −J1 −J2 . De
facto o ket | k1 ; J1 , J2 ; M1 , M2 i ´e ket pr´oprio das observ´aveis Jˆ1z , Jˆ2z e de Jˆz . Em particular: ˆ ˆ ˆ Jz |k; J1 , J2 ; M1 , M2 i = J1z + J2z |k; J1, J2 ; M1 , M2 i = ~ (M1 + M2 ) |k; J1, J2 ; M1 , M2 i .
Logo M = M1 + M2 . Como Mi toma todos os valores entre −Ji e Ji , M toma todos os valores entre −(J1 +J2 ) e J1 +J2 , o que demonstra a afirma¸c˜ao. Sem perda de generalidade, no desenvolvimento que se segue, considerar-se-´a J1 ≥ J2 . (2) A degenerescˆencia dos valores de M, g(M), ´e: 0, |M| > J1 + J2 , g(M) = g(−M) J1 + J2 + 1 − |M| , J1 + J2 ≥ |M| ≥ |J1 − J2 | , 2J2 + 1 , |J1 − J2 | ≥ |M| ≥ 0 .
Para deteminar g(M) pode proceder-se como se segue. Num diagrama bidimensional, associa-se a cada ket |k; J1 , J2 ; M1 , M2 i um ponto cuja abcissa ´e M1 e cuja ordenada ´e M2 . Na figura 9.4 mostra-se o caso espec´ıfico de J1 = 2 e J2 = 1. Sendo M = M1 + M2 todos os pontos do diagrama que est˜ao sobre rectas de declive -1 tˆem o mesmo M. O n´ umero desses pontos ´e g(M). Analisem-se os diferentes valores de M: • M = J1 + J2 = 3 ´e n˜ao degenerado. Portanto g(J1 + J2 ) = 1 .
(9.5.9)
• M = J1 + J2 − 1 = 2 ´e duplamente degenerado. Portanto: g(J1 + J2 − 1) = 2 .
(9.5.10)
• O grau de degenerescˆencia cresce ent˜ao de 1 cada vez que M decresce de 1, at´e se atingir o v´ertice inferior direito do diagrama (M1 = J1 , M2 = −J2 ), isto ´e M = J1 −J2 . A degenerescˆencia de M ´e m´axima para este ponto e vale: g(J1 − J2 ) = 2J2 + 1 .
(9.5.11)
286
Teoria Geral do Momento Angular e Spin m2
(-2,1)
(-1,1)
(-2,0)
(-1,0)
(0,1)
(0,0)
(1,1)
(2,1)
(1,0)
(2,0) m1
(-2,-1)
(-1,-1)
(0,-1)
(1,-1)
(2,-1)
Figura 9.4: An´alise da degenerescˆencia da componente azimutal do momento angular total. • Para valores de M < J1 − J2 a degenerescˆencia de M mant´em-se constante e igual ao seu valor m´aximo at´e que a linha atravessa o v´ertice superior esquerdo do diagrama (M1 = −J1 , M2 = J2 ), isto ´e M = −J1 + J2 : g(M) = 2J2 + 1 , para
− (J1 − J2 ) ≤ M ≤ J1 − J2 .
(9.5.12)
• Finalmente para valores de M inferiores a −(J1 − J2 ), g(M) decresce de 1 cada vez que M diminui de 1, at´e atingir novamente o valor 1 quando M = −(J1 + J2 ) (v´ertice inferior esquerdo do diagrama). Ou seja: g(−M) = g(M) .
(9.5.13)
(3) Para J1 e J2 fixos, os valores pr´oprios de J 2 correspondem a J = J1 + J2 , J1 + J2 − 1, J1 + J2 − 2, . . . , |J1 − J2 |,
(9.5.14)
e a cada um destes valores corresponde um u ´nico subespa¸co invariante E(J), isto ´e, um
multipleto de valores de M.8 Designe-se por p(J) o n´ umero de multipletos associados a um dado valor J. Os valores de p(J) e de g(M) est˜ao relacionados de uma forma simples: g(M) = p(J = |M|) + p(J = |M| + 1) + p(J = |M| + 2) + . . . . 8
(9.5.15)
No presente contexto, um multipleto corresponde a um conjunto de estados que se transformam entre si numa rota¸ca˜o. Mais geralmente, o multipleto de estados numa determinada representa¸ca˜o de um grupo de Lie s˜ao estados que se transformam entre si pela ac¸ca˜o desse grupo.
9.5 Adi¸c˜ ao de momento angular
287
Invertendo (9.5.15) obt´em-se: p(M)
=
g(M = J) − g(M = J + 1)
(9.5.16)
=
g(M = −J) − g(M = −J − 1)
(9.5.17)
Usando os resultados da observa¸c˜ao (2) obt´em-se sucessivamente: • p(J) = 0 para J > J1 + J2 , pois g(M) = 0 se |M| > J1 + J2 . • Usando (9.5.9) e (9.5.10) obt´em-se: p(J = J1 + J2 ) = g(M = J1 + J2 ) = 1 , p(J = J1 + J2 − 1) = g(M = J1 + J2 − 1) − g(M = J1 + J2 ) = 1 . Por iterac¸c˜ao obtˆem-se todos os valores de p(J): p(J = J1 + J2 − 2) = 1 , . . . , p(J = J1 − J2 ) = 1 . • Finalmente: p(J) = 0 para J < J1 − J2 . Concluimos que a cada valor poss´ıvel de J est´a associado apenas um multipleto e como tal 2J + 1 vectores pr´oprios do momento angular total. (q.e.d.) Matematicamente podemos escrever que o espa¸co vectorial obtido como produto tensorial (9.5.4) se decomp˜oe na soma directa de espa¸cos vectoriais que tˆem como base os v´arios multipletos, ou seja, na soma directa de v´arias representa¸c˜oes irredut´ıveis do momento angular: E(J1 ) ⊗ E(J2 ) = E(J1 + J2 ) ⊕ E(J1 + J2 − 1) ⊕ . . . ⊕ E(|J1 − J2 | + 1) ⊕ E(|J1 − J2 |) .
9.5.1
C´ alculo dos vectores pr´ oprios comuns a Jˆ2 e a Jˆz
Os vectores |J, Mi (rigorosamente dever-se-ia escrever |J1 , J2 , J, Mi, mas na pr´atica usamos a primeira nota¸c˜ao) podem-se escrever como combina¸c˜oes lineares dos vectores da base inicial {|J1 , J2 ; M1 , M2 i}: |J, Mi =
J1 X
J2 X
M1 =−J1 M2 =−J2
|J1 , J2 ; M1 , M2 i hJ1 , J2 ; M1 , M2 |J, Mi .
(9.5.18)
288
Teoria Geral do Momento Angular e Spin
Os coeficientes hJ1 , J2 ; M1 , M2 |J, Mi desta expans˜ao s˜ao os coeficientes de Clebsch-Gordan. N˜ao ´e poss´ıvel dar uma express˜ao geral destes coeficientes, mas eles podem ser determinados seguindo o m´etodo que a seguir se desenvolve para o caso particular de momentos angulares 1/2 e atendendo a uma s´erie de conven¸c˜oes de fase (por exemplo, os coeficientes de ClebschGordan s˜ao reais). O caso particular de dois spins 1/2 Como exemplo consideremos um sistema de duas part´ıculas de spin 1/2. De acordo com os resultados anteriores, o momento angular total do sistema ser´a S = 1 ou S = 0. E(S1 = 1/2) ⊗ E(S2 = 1/2) = E(S = 1) ⊕ E(S = 0)
(9.5.19)
Teremos portanto dois multipletos: um estado tripleto (dado existirem trˆes valores de M para S = 1) e um estado singleto (um u ´ nico M para S = 0). ⋆ O estado tripleto (subespa¸co E(S = 1)): Este subespa¸co, tridimensional, ´e gerado pela
´ imediato escrever-se, ap´os uma escolha de fase: base pr´opria {|1, 1i, |1, 0i, |1, −1i}. E |1, 1i = |+, +i .
(9.5.20)
Os outros estados do tripleto s˜ao obtidos por aplica¸c˜ao do operador de escada Sˆ− : |1, 0i
=
1 √ Sˆ− |1, 1i ~ 2
(9.5.21)
=
1 √ (Sˆ1− + Sˆ2− ) |1, 1i ~ 2
(9.5.22)
=
1 √ [|+, −i + | −, +i] , 2
(9.5.23)
e ainda, |1, −1i
= =
1 √ Sˆ− |1, 0i ~ 2 |−, −i .
(9.5.24) (9.5.25)
9.5 Adi¸c˜ ao de momento angular
289
⋆ O estado singleto (subespa¸co E(S = 0)): O u ´ nico vector |0, 0i deste subespa¸co ´e determinado, a menos de um factor constante de fase, usando-se a condi¸c˜ao de ortogonalidade relativamente aos outros vectores |1, Mi, j´a determinados. |0, 0i ´e necessariamente uma combina¸c˜ao linear dos vectores |+, −i e |−, +i: |0, 0i = α|+, −i + β|−, +i .
(9.5.26)
A condi¸c˜ao de normaliza¸c˜ao implica que: h0, 0|0, 0i = |α|2 + |β|2 = 1 .
(9.5.27)
A condi¸c˜ao de ortogonalidade a |1, 0i (|0, 0i ´e obviamente ortogonal a |1, 1i e a |1, −1i) implica que: 1 h0, 0|1, 0i = √ (α + β) = 0 . 2 De (9.5.26) e de (9.5.27) conclui-se que: 1 α = −β = √ eiχ , 2
(9.5.28)
(9.5.29)
onde χ ´e um n´ umero real. Escolhendo χ = 09 donde: 1 |0, 0i = √ [|+, −i − |−, +i] . 2
(9.5.30)
Caso geral de dois momentos angulares De acordo com o teorema de adi¸c˜ao do dois momentos angulares: E(J1 )⊗E(J2 ) = E(J = J1 +J2 ) ⊕ E(J = J1 +J2 −1) ⊕ . . . ⊕ E(J = |J1 −J2 |) . (9.5.31) Para determinar os vectores |J, Mi que geram os diferentes subespa¸cos segue-se o m´etodo exposto no par´agrafo anterior. Em espec´ıfico: i) Considera-se o subespa¸co de maior multiplicidade, isto ´e, o maior multipleto, que corresponde a J = J1 + J2 . Aqui o vector |J, Ji ´e facilmente reconhecido: |J = J1 + J2 , M = J1 + J2 i = |J1 , J2 ; M1 = J1 , M2 = J2 i 9
(9.5.32)
Por conven¸ca˜o hJ1 , J2 ; J1 , J − J1 |J, Ji s˜ao reais e positivos, hJ1 , J2 ; M1 , J − M1 |J, Ji s˜ao reais e o seu sinal ´e (−1)J1 −M1 .
290
Teoria Geral do Momento Angular e Spin Os outros vectores deste subespa¸co s˜ao determinados por aplica¸c˜ao dos operadores de escada.
ii) Os vectores de base dos outros subespa¸cos s˜ao determinados escrevendo as combina¸c˜oes lineares de vectores |J1 , J2 ; M1 , M2 i adequadas e usando as condi¸c˜oes de ortogonalidade, as condi¸c˜oes de normaliza¸c˜ao e as conven¸c˜oes de fase. Propriedades dos coeficientes de Clebsch-Gordan Como se referiu, a determina¸c˜ao dos coeficientes de Clebsch-Gordan obedece a determinadas conven¸c˜oes. Existem tabelas destes coeficientes. Importa no entanto referir algumas propriedades interessantes destes coeficientes. Em particular: (i) Regras de selec¸c˜ao: De acordo com o que se referiu no ponto (2) da demonstra¸c˜ao do teorema de adi¸c˜ao de momento angular, os coeficientes de Clebsch-Gordon s˜ao nulos se n˜ao se verificarem simultaneamente as duas condi¸c˜oes: |J1 − J2 | ≤ J ≤ J1 + J2 ,
M = M1 + M2 .
A desigualdade ´e conhecida como a desigualdade triangular j´a que tem impl´ıcito que um triˆangulo pode ser constru´ıdo com lados de comprimentos J1 , J2 e J. Estes trˆes n´ umeros desempenham papeis idˆenticos; a desigualdade pode ser reescrita sob as formas equivalentes: |J − J1 | ≤ J2 ≤ J + J1 ,
ou
|J − J2 | ≤ J1 ≤ J + J2 .
(ii) Rela¸c˜oes de ortogonalidade: X hJ1 , J2 ; M1 , M2 |J, Mi hJ1 , J2 ; M1 , M2 |J ′ , M ′ i = δJJ ′ δM M ′ , M1 ,M2
X J,M
′
′
(9.5.33)
hJ1 , J2 ; M1 , M2 |J, Mi hJ1 , J2 ; M1 , M2 |J, Mi = δM1 M ′ δM2 M ′ . 1
2
(iii) Rela¸c˜oes de recorrˆencia: p
J(J + 1) − M (M + 1)hJ1 , J2 ; M1 , M2 |J, M + 1i = p J1 (J1 + 1) − M1 (M1 − 1)hJ1 , J2 ; M1 − 1, M2 |J, M i p + J2 (J2 + 1) − M2 (M2 − 1)hJ1 , J2 ; M1 , M2 − 1|J, M i ,
(9.5.34)
9.6 Sum´ ario p
9.6
J(J + 1) − M (M − 1)hJ1 , J2 ; M1 , M2 |J, M − 1i = p J1 (J1 + 1) − M1 (M1 + 1)hJ1 , J2 ; M1 + 1, M2 |J, M i p + J2 (J2 + 1) − M2 (M2 + 1)hJ1 , J2 ; M1 , M2 + 1|J, M i .
291
(9.5.35)
Sum´ ario
Neste cap´ıtulo come¸camos por discutir as representa¸c˜oes da ´algebra do momento angular, descobrindo que existem em maior n´ umero do que as que correspondem ao momento angular orbital. As representa¸c˜oes extra correspondem a spin semi-inteiro. Vimos seguidamente que estas representa¸c˜oes s˜ao necess´arias para descrever certos resultados experimentais, como a estrutura fina, o efeito Zeeman an´omalo e a experiˆencia de Stern-Gerlach. Em particular, estas experiˆencias requerem que se descreva o electr˜ao como uma part´ıcula de spin 1/2. Dada esta necessidade, Pauli introduziu certos postulados adicionais na mecˆanica quˆantica n˜ao relativista, para descrever o spin das part´ıculas, que enunciamos. Estudamos em detalhe o formalismo quˆantico para o caso das part´ıculas de spin 1/2, como o electr˜ao, em que o espa¸co de estados de spin tem dimens˜ao 2. Consideramos o teorema de adi¸c˜ao do momento angular e descobrimos quais os valores poss´ıveis para o momento angular total de um sistema com v´arios momentos angulares individuais. Na transforma¸c˜ao entre a base do momento angular total e dos momentos angulares individuais aparecem os coeficientes de Clebsch-Gordan, que estudamos em detalhe no caso de um sistema de duas part´ıculas de spin 1/2.
CAP´ITULO
10
Teoria da Difus˜ ao
Nos cap´ıtulos anteriores estabelecemos m´etodos que nos permitem calcular a fun¸c˜ao de onda dado o potencial. O conhecimento da fun¸c˜ao de onda permite-nos ent˜ao calcular quantidades f´ısicas, como o espectro de estados ligados ou o factor de transmiss˜ao. Estas s˜ao quantidades relacion´aveis com a experimenta¸c˜ao. Portanto, tendo um modelo te´orico do potencial fazemos previs˜oes que podem ser comparadas com a experiˆencia. Muitas vezes, em f´ısica, o problema em m˜ao ´e o inverso do descrito anteriormente. Temos resultados experimentais e pretendemos obter um modelo te´orico. Por exemplo, um tipo de experiˆencias frequente em f´ısica, especialmente em f´ısica das altas energias, consiste em fazer incidir um feixe de part´ıculas - que denominamos por ′′ (1)′′ - num alvo composto por outras part´ıculas - que denominamos por ′′ (2)′′ - e estudar a colis˜ao resultante. Genericamente mede-se o estado final do sistema ap´os a colis˜ao, isto ´e, o tipo de part´ıculas resultantes e as suas caracter´ısticas, como direc¸c˜ao de emiss˜ao, energia, etc. Mas o objectivo fundamental do estudo ´e determinar as interac¸c˜oes que ocorreram entre as v´arias part´ıculas que entraram no processo de colis˜ao. Os fen´omenos observados na colis˜ao, ditos reac¸c˜oes variam em complexidade: • Nos casos mais simples o estado inicial e final do sistema s˜ao compostos pelas mesmas
294
Teoria da Difus˜ ao part´ıculas (1) e (2): (1) + (2) −→ (1) + (2) . Estas reac¸c˜oes s˜ao denominadas reac¸c˜oes de difus˜ao, (“scattering” em inglˆes).
• Em casos mais gerais n˜ao ´e assim. As part´ıculas (1) e (2) podem ser compostas por outras mais elementares (como n´ ucleos s˜ao compostos por nucle˜oes e nucle˜oes por quarks), que se podem redistribuir durante a colis˜ao, originando novas part´ıculas compostas, diferentes das part´ıculas iniciais: (1) + (2) −→ (3) + (4) + (5) + . . . . Estas reac¸c˜oes s˜ao denominadas reac¸c˜oes com rearranjo. • Notemos ainda que a altas energias existe a possibilidade relativista de “materializa¸c˜ao” de parte da energia, originando novas part´ıculas no estado final. No nosso estudo vamo-nos restringir `a difus˜ao. Na maior parte deste cap´ıtulo vamos considerar ainda que esta difus˜ao ´e el´astica, isto ´e, que para al´em de as part´ıculas iniciais e finais serem as mesmas, os seus estados internos n˜ao se modificam durante a colis˜ao. Isto significa, em particular, que n˜ao h´a emiss˜ao ou absor¸c˜ao de energia por estes estados internos. Na sec¸c˜ao 10.4 ser´a considerada a difus˜ao inel´astica. Se o nosso problema de colis˜ao caisse no ˆambito da mecˆanica cl´assica, o nosso objectivo seria determinar os desvios das traject´orias das part´ıculas incidentes (1) devido `a for¸ca exercida pelas part´ıculas alvo (2). Mas o problema em que estamos interessados ocorre `a escala at´omica ou nuclear, caindo no ˆambito da mecˆanica quˆantica. Assim devemos estudar a evolu¸c˜ao da fun¸c˜ao de onda associada `as part´ıculas incidentes (1) devida `a influˆencia das interac¸c˜oes com as part´ıculas alvo (2). A fun¸c˜ao de onda ir´a ‘difundir-se’, justificando o nome do processo. No nosso estudo iremos usar algumas hip´oteses simplificativas: • Consideraremos que as part´ıculas (1) e (2) n˜ao tˆem spin. Esta hip´otese tem como objectivo simplificar a teoria e n˜ao deve ser interpretada como implicando que o spin
295 n˜ao tem importˆancia em fen´omenos de difus˜ao. Pelo contr´ario, se no Hamiltoniano houver termos dependentes de spin, diferentes estados de spin difundir-se-˜ao diferentemente; no final ser´a necess´ario pesar a contribui¸c˜ao dos diferentes estados de spin. Este estudo ser´a considerado em detalhe no cap´ıtulo 12, onde estudaremos part´ıculas idˆenticas e consideraremos problemas de difus˜ao com spin. • N˜ao levaremos em considera¸c˜ao uma poss´ıvel estrutura interna das part´ıculas (1) e (2). O formalismo que iremos desenvolver at´e `a sec¸c˜ao 10.4 n˜ao ser´a portanto aplic´avel a fen´omenos de difus˜ao inel´astica onde parte da energia cin´etica de (1) ´e absorvida, no estado final pelos graus de liberdade internos de (1) e (2); ser´a apenas para difus˜ao el´astica. Na sec¸c˜ao 10.4 consideraremos brevemente difus˜ao inel´astica. • Assumiremos que o alvo ´e suficientemente fino para nos permitir negligenciar processos de difus˜ao m´ ultiplos, em que uma part´ıcula incidente ´e difundida v´arias vezes antes de abandonar o alvo. • Negligenciaremos qualquer possibilidade de coerˆencia entre as ondas difundidas pelas diferentes part´ıculas que constituem o alvo. Esta simplifica¸c˜ao ´e justificada quando a dispers˜ao dos pacotes de ondas associados `as part´ıculas incidentes (1) ´e pequena comparada com as distˆancias t´ıpicas das part´ıculas do alvo. Ou seja, concentrarnos-emos em processos elementares de difus˜ao de uma part´ıcula incidente (1), por uma part´ıcula do alvo (2). Negligenciando estes efeitos de coerˆencia, o fluxo de part´ıculas detectadas ´e simplesmente a soma dos fluxos difundidos por cada uma das N part´ıculas do alvo, isto ´e, N vezes o fluxo difundido por cada uma das part´ıculas do alvo. Note-se que esta aproxima¸c˜ao exclui fen´omenos interessantes, como difus˜ao coerente de um cristal - difrac¸c˜ao de Bragg. • Assumiremos que a interac¸c˜ao entre as part´ıculas (1) e (2) pode ser descrita por uma energia potencial V (~r1 − ~r2 ) que depende apenas da posi¸c˜ao relativa ~r = ~r1 − ~r2 das part´ıculas. Utilizando o referencial do centro de massa, o problema reduz-se ao estudo da difus˜ao de uma part´ıcula devido ao potencial V (~r). Esta part´ıcula tem
296
Teoria da Difus˜ ao massa µ, que ´e a massa reduzida 1 1 1 + , = µ m1 m2
(10.0.1)
onde m1 e m2 s˜ao as massas de (1) e de (2).
10.1
Formalismo para descrever processos de difus˜ ao
10.1.1
Defini¸ c˜ ao da sec¸c˜ ao eficaz de difus˜ ao
Seja Oz a direc¸c˜ao das part´ıculas incidentes, de massa µ. O potencial V (~r) est´a localizado `a volta da origem, O - figura 10.1. Seja Fi o fluxo de part´ıculas no feixe incidente, isto ´e, o n´ umero de part´ıculas que, por unidade de tempo, atravessam uma superf´ıcie de ´area unit´aria perpendicular a Oz na regi˜ao com z → −∞. Assumimos que este fluxo ´e suficientemente pequeno para negligenciar as interac¸c˜oes entre as part´ıculas do feixe. Um detector ´e colocado longe da regi˜ao onde o potencial ´e efectivo, numa direc¸c˜ao definida pelos ˆangulos polar θ e azimutal φ, com a abertura voltada para o centro de difus˜ao O e compreendendo um ˆangulo s´olido dΩ. Podemos assim contar o n´ umero de part´ıculas dn, difundidas por unidade de tempo para dentro do ˆangulo s´olido dΩ, em torno da direc¸c˜ao ´ de esperar que dn seja proporcional a dΩ e tamb´em a Fi ; logo1 definida por (θ, φ). E dn = σ(θ, φ)FidΩ ,
(10.1.1)
onde o coeficiente de proporcionalidade σ(θ, φ) ´e denominado sec¸c˜ao eficaz diferencial de difus˜ao na direc¸c˜ao (θ, φ). Dimensionalmente, a equa¸c˜ao anterior ´e 1 1 = [σ(θ, φ)] T T L2
⇔ [σ(θ, φ)] = L2 .
(10.1.2)
Ou seja, a sec¸c˜ao eficaz diferencial de difus˜ao tem as dimens˜oes de uma ´area. Frequentemente, σ(θ, φ) ´e medida em termos de ‘barns’ 2 1
Note que por vezes s˜ao usadas diferentes nota¸co˜es na literatura; o n´ umero de part´ıculas difundidas por unidade de tempo para dentro do ˆ angulo s´olido dΩ ´e por vezes denotado dn/dt e a sec¸ca˜o eficaz diferencial de difus˜ao na direc¸ca˜o (θ, φ) por dσ(θ, φ)/dΩ. 2 O termo “barn” como unidade de ´ area para sec¸co˜es eficazes surge durante o esfor¸co de guerra norteamericano para o desenvolvimento da bomba at´omica, durante trabalho feito na Universidade de Purdue
10.1 Formalismo para descrever processos de difus˜ ao
297 Detector
dΩ feixe incidente
θ V(r) O
z
Fluxo Fi Zona onde o potencial difunde
Figura 10.1: Representa¸c˜ao dos v´arios elementos que entram num processo de difus˜ao. e seus sub-m´ ultiplos, onde 1 barn ≡ 10−24 cm2 . De um modo natural define-se a sec¸c˜ao eficaz total de difus˜ao σ, como σ≡
Z
σ(θ, φ)dΩ .
(10.1.3)
num projecto precursor do projecto Manhattan - o famoso projecto em Los Alamos onde seriam construidas as primeiras bombas. Como reportado na edi¸ca˜o de Julho de 1972 da “Physics Today”, por altura de Dezembro de 1942 os f´ısicos Marshall Holloway e Charles P. Baker da Universidade de Cornell, durante um jantar, atiravam ideias para denominar a unidade para a sec¸ca˜o eficaz nuclear t´ıpica. Na sequˆencia de uma associa¸ca˜o de ideias bem humurada sugeriram o “barn”. Nas suas palavras: “The tradition of naming a unit after some great man closely associated with the field ran into difficulties since no such person could be brought to mind. Failing in this, the names Oppenheimer and Bethe were tried, since these men had suggested and made possible the work on the problem with which the Purdue project was concerned. The ”Oppenheimer” was discarded because of its length, although in retrospect an ”Oppy” or ”Oppie” would seem to be short enough. The ”Bethe” was thought to lend itself to confusion because of the widespread use of the Greek letter. Since John Manley was directing the work at Purdue, his name was tried, but the ”Manley” was thought to be too long. The ”John” was considered, but was discarded because of the use of the term for purposes other than as the name of a person. The rural background of one of the authors then led to the bridging of the gap between the ”John” and the ”barn”. This immediately seemed good and further it was pointed out that a cross section of 10-24 cm2 for nuclear processes was really as big as a barn. Such was the birth of the ”barn”.” Claro que a necessidade de uma nova unidade foi for¸cada aos f´ısicos nucleares pela necessidade de comunicar telefonicamente com outros sobre t´ opicos altamente secretos. O nome “pegou” e a unidade “barn” foi adoptada em Los Alamos, tornando-se o seu significado secreto. Os dois autores da proposta descreveram a sua sugest˜ao num relat´ orio de 13 de Setembro de 1944 e daqui resultou o relat´ orio de Los Alamos ”Origin of the Term ‘barn’”(LAMS523) de 5 de Mar¸co de 1947. O significado foi “desclassificado” em 4 de Agosto de 1948.
298
Teoria da Difus˜ ao
Note-se que, na defini¸c˜ao de σ(θ, φ), dn contabiliza apenas as part´ıculas difundidas. O fluxo destas part´ıculas que atingem o detector ´e inversamente proporcional ao quadrado da distˆancia entre O e o detector. Se se colocar o detector em θ = 0, misturar-se-˜ao a estas as part´ıculas transmitidas, que ter˜ao a mesma forma das do feixe incidente, pelo que σ(0, φ) n˜ao ´e obtido directamente, mas por extrapola¸c˜ao de σ(θ, φ) para θ pequeno.
10.1.2
Estados estacion´ arios de difus˜ ao
Para descrevermos, em Mecˆanica Quˆantica, a difus˜ao de uma part´ıcula incidente devido a um potencial V (~r) ´e necess´ario estudar a evolu¸c˜ao temporal do pacote de ondas que descreve a part´ıcula. Assumimos conhecer o pacote de ondas para t → −∞ quando a part´ıcula est´a na regi˜ao negativa do eixo Oz, inafectada pelo potencial V (~r). A evolu¸c˜ao subsequente do pacote de ondas ´e trivialmente estabelecida se expressarmos o pacote de ondas como uma sobreposi¸c˜ao de estados estacion´arios do Hamiltoniano do problema H=
p~2 + V (~r) . 2µ
(10.1.4)
Por isso, e tal como no cap´ıtulo 3, em vez de estudarmos pacotes de ondas, vamos concentrar-nos nos pr´oprios estados estacion´arios. A equa¸c˜ao de Schr¨odinger independente do tempo para o Hamiltoniano anterior ´e: 2 ~ (10.1.5) − ∆ + V (~r) Φ(~r) = EΦ(~r) . 2µ Consideremos apenas energias positivas, E, iguais `a energia cin´etica da part´ıcula incidente antes de entrar na zona de influˆencia do potencial E=
~2 k 2 , 2µ
(10.1.6)
onde k ´e o m´odulo do vector de onda ~k que descreve a part´ıcula quando ´e livre. Definindo V (~r) ≡
~2 U(~r) , 2µ
(10.1.7)
reescrevemos a equa¸c˜ao de Schr¨odinger como [∆ + k 2 − U(~r)]Φ(~r) = 0 .
(10.1.8)
10.1 Formalismo para descrever processos de difus˜ ao
299
Para cada energia, isto ´e, para cada k, existe um n´ umero infinito de solu¸c˜oes desta equa¸c˜ao, dependendo das condi¸c˜oes fronteira; o espectro de energias ´e infinitamente degenerado. Mas tal como nos problemas de potenciais constantes por peda¸cos do cap´ıtulo 3 impusemos restri¸c˜oes de car´acter f´ısico `as solu¸c˜oes (como normalizabilidade da fun¸c˜ao de onda que excluia fun¸c˜oes com crescimento assimpt´otico exponencial, ou a existˆencia de apenas uma onda transmitida no lado oposto ao da onda incidente), tamb´em aqui impomos restri¸c˜oes f´ısicas `as solu¸c˜oes que descrevem um processo de difus˜ao. As fun¸c˜oes de onda que obedecem a essas condi¸c˜oes, denotadas vkdif (~r), representam os estados estacion´arios de difus˜ao. Devem ter as seguintes duas propriedades: 1) Para valores grandes negativos de t, a part´ıcula incidente ´e livre pois o potencial ´e negligenci´avel. Logo a fun¸c˜ao de onda que descreve o estado estacion´ario de difus˜ao deve conter um termo da forma eikz , que descreve a onda incidente vkinc (~r) ∼ eikz .
(10.1.9)
2) Quando o pacote de ondas atinge a zona onde o potencial ´e efectivo, a sua estrutura pode ser drasticamente alterada. Mas para valores grandes e positivos de t esperamos que os estados estacion´arios sejam compostos por uma onda difundida. Para r → ∞, U(~r) → 0 e como tal a onda difundida obedece a (∆ + k 2 )vkdif ≃ 0 .
(10.1.10)
Se esta onda fosse isotr´opica, isto ´e se tivesse apenas dependˆencia radial, esta equa¸c˜ao ficaria, em coordenadas esf´ericas,
1 d 2d 2 r + k vkdif (r) = 0 , r 2 dr dr
(10.1.11)
que se verifica facilmente ter solu¸c˜oes do tipo e±ikr . r
(10.1.12)
300
Teoria da Difus˜ ao
Escolhendo o sinal positivo, de modo a representar uma onda que se propague para fora, e considerando a possibilidade de anisotropia, tomamos a fun¸c˜ao de onda associada ao estado estacion´ario de difus˜ao, para ~r → ∞, como tendo a forma ~ r →∞
vkdif (~r) −→ eikz + fk (θ, φ)
eikr . r
(10.1.13)
´ na fun¸c˜ao fk (θ, φ), denominada amplitude de difus˜ao, que surge toda a dependˆencia E desta solu¸c˜ao assimpt´otica no potencial. Por exemplo, se V = 0, fk (θ, φ) = 0. Pode-se demonstrar que a equa¸c˜ao (10.1.8) tem uma u ´ nica solu¸c˜ao que obedece a (10.1.13). Concluimos esta sec¸c˜ao com duas notas: • A equa¸c˜ao (10.1.10) ´e singular em r = 0; assim, a solu¸c˜ao (10.1.12) s´o tem que verificar a equa¸c˜ao para r 6= 0. Veremos na sec¸c˜ao 10.2.1 que, mais correctamente, (∆ + k 2 )
e±ikr ∝ δ(~r) . r
(10.1.14)
• O pacote de ondas que representa o estado da part´ıcula pode ser expandido em termos dos estados estacion´arios do Hamiltoniano (que n˜ao s˜ao ondas planas); a sua fun¸c˜ao de onda ter´a a forma Ψ(t, ~r) =
Z
0
10.1.3
+∞
dk g(k)vkdif (~r)e−iEk t/~ ,
Ek =
~2 k 2 . 2µ
(10.1.15)
Rela¸c˜ ao entre amplitude e sec¸c˜ ao eficaz de difus˜ ao
Como j´a discutimos anteriormente, num problema f´ısico, uma part´ıcula quˆantica ser´a descrita por um pacote de ondas. Para calcular a sec¸c˜ao eficaz de difus˜ao dever´ıamos considerar a difus˜ao desse pacote de ondas incidente pelo potencial V (~r). Mas, mais uma vez devido `a linearidade da equa¸c˜ao de Schr¨odinger, podemos tratar apenas estados estacion´arios de difus˜ao. Podemos pensar nesses estados como descrevendo uma corrente estacion´aria de um fluido de probabilidade e calculamos ent˜ao a sec¸c˜ao eficaz da corrente incidente e difundida. O m´etodo ´e an´alogo ao usado na barreira quadrada do cap´ıtulo 3, onde a raz˜ao entre a corrente transmitida (ou reflectida) e a corrente incidente d´a-nos o coeficiente de
10.1 Formalismo para descrever processos de difus˜ ao
301
transmiss˜ao (ou reflex˜ao). Assim iremos calcular as contribui¸c˜oes da onda incidente e da onda difundida de um estado estacion´ario de difus˜ao para a corrente de probabilidade. Recordemos que o vector densidade de corrente de probabilidade (4.4.53), se pode escrever, para um estado estacion´ario 1 ~ i~ ∗ ∗ ∗ ~ r) = [Φ(~r)∇Φ(~r) − Φ(~r) ∇Φ(~r)] = Re Φ (~r) ∇Φ(~r) . J(~ 2µ µ i
(10.1.16)
Calculemos o vector densidade de corrente de probabilidade para: • Onda incidente/transmitida eikz . Neste caso s´o existe componente segundo z 1 k~ i −ikz ~ ikz Jz (~r) = Re e = ike , (10.1.17) µ i µ que n˜ao ´e mais do que a intensidade da fun¸c˜ao de onda incidente Ii , (3.2.18). • Onda difundida fk (θ, φ)eikr /r. Notamos primeiro que em coordenadas esf´ericas 1 ∂ ∂ 1 ∂ ; (10.1.18) , , ∇≡ ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ logo, as componentes em coordenadas esf´ericas do vector densidade de corrente de probabilidade s˜ao: −ikr 1 1 ~k |fk (θ, φ)|2 ik ikr ~ d ∗e Jr = Re fk − 2+ e fk = , µ r i r r µ r2 Jθd
−ikr ~ 1 ~ ikr ∂ ∗e ∗ ∂ fk = 3 Re −ifk fk , = Re fk 3 e µ r i ∂θ µr ∂θ ~ ∂ Jφd = 3 Re −ifk∗ fk . µr sin θ ∂φ
(10.1.19)
(10.1.20) (10.1.21)
Concluimos que, assimptoticamente, Jθ e Jφ s˜ao negligenci´aveis e a corrente difundida ´e essencialmente radial. Para relacionarmos σ(θ, φ) com fk (θ, φ) recordemos a defini¸c˜ao de sec¸c˜ao diferencial de difus˜ao (10.1.1). Quer o fluxo incidente de part´ıculas quer o fluxo difundido ser˜ao proporcionais `as respectivas densidades de corrente de probabilidade com a mesma constante de
302
Teoria da Difus˜ ao
proporcionalidade.3 Logo, obtemos para o fluxo incidente Fi = C|J i | = C
~k . µ
(10.1.22)
O n´ umero de part´ıculas que atinge a abertura do detector por unidade de tempo ´e proporcional ao fluxo do vector densidade de corrente de probabilidade difundido atrav´es da ~ da abertura do detector: superf´ıcie dS ~ dn = C J~d · dS
assimptoticamente
≃
C(J d )r r 2 dΩ = C
~k |fk (θ, φ)|2dΩ . µ
(10.1.23)
Logo, (10.1.1) diz-nos que σ(θ, φ) = |fk (θ, φ)|2 .
(10.1.24)
Ou seja, a sec¸c˜ao eficaz diferencial de difus˜ao ´e o quadrado do m´odulo da amplitude de difus˜ao, o que justifica o nome da u ´ ltima quantidade. Notemos que no c´alculo da corrente probabilidade difundida negligenciamos a interferˆencia entre eikz (corrente incidente) e fk (θ, φ)eikr /r (corrente difundida). Na realidade esta interferˆencia s´o ´e importante perto de θ = 0, onde de qualquer modo extrapolamos o resultado para a sec¸c˜ao eficaz diferencial a partir dos valores para θ pequeno, como comentamos anteriormente.
10.2
Equa¸c˜ ao integral de difus˜ ao e o m´ etodo de Born
Para demonstrar a existˆencia de estados estacion´arios cujo comportamento assimpt´otico ´e (10.1.13) vamos estabelecer uma equa¸c˜ao integral de difus˜ao da qual tais estados ser˜ao solu¸c˜oes. Recordemos a equa¸c˜ao (10.1.8) que reescrevemos na forma [∆ + k 2 ]Φ(~r) = U(~r)Φ(~r) .
(10.2.1)
Introduzimos agora a fun¸c˜ao de Green, G(~r), do operador ∆ + k 2 , definida pela equa¸c˜ao: [∆ + k 2 ]G(~r) = δ(~r) , 3
(10.2.2)
Da mesma maneira que o fluxo de part´ıculas num fluido ou numa corrente el´ectrica ´e proporcional aos respectivos vectores densidade de corrente.
10.2 Equa¸c˜ ao integral de difus˜ ao e o m´ etodo de Born
303
onde δ(~r) ´e um delta de Dirac. Podemos tomar partido desta fun¸c˜ao para construir solu¸c˜oes de (10.2.1). Seja Φ0 (~r) uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (10.2.1) com o lado direito igual a zero, isto ´e [∆ + k 2 ]Φ0 (~r) = 0 .
(10.2.3)
A fun¸c˜ao Φ(~r) = Φ0 (~r) +
Z
d3 r~′ G(~r − r~′ )U(r~′ )Φ(r~′ ) ,
(10.2.4)
´e ent˜ao tamb´em solu¸c˜ao de (10.2.1). Para demonstrar este facto actuamos com o operador (∆ + k 2 ) em ambos os lados da equa¸c˜ao (10.2.4); obtemos 2
2
(∆ + k )Φ(~r) = (∆ + k )Φ0 (~r) +
Z
d3~r′ U(r~′ )Φ(r~′ )(∆ + k 2 )G(~r − r~′ ) ,
(10.2.5)
onde usamos o facto de que (∆ + k 2 ) actua na vari´avel ~r e n˜ao r~′ , e como tal pode ser colocado dentro do integral. Usando agora (10.2.2) e (10.2.3) obtemos 2
(∆ + k )Φ(~r) =
Z
d3 r~′ U(r~′ )Φ(r~′ )δ(~r − r~′ ) = U(~r)Φ(~r) ,
(10.2.6)
o que demonstra que (10.2.4) ´e solu¸c˜ao de (10.2.1). Reciprocamente pode-se demonstrar que qualquer solu¸c˜ao de (10.2.1) se pode apresentar na forma (10.2.4). Isto ´e intuitivo se pensarmos em (10.2.1) como uma equa¸c˜ao diferencial homog´enea - lado esquerdo - com uma fonte - termo do lado direito; pensamos ent˜ao em (10.2.4) como a soma da solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao homog´enea, Φ0 , com uma solu¸c˜ao particular que considera o termo de fonte. A equa¸c˜ao integral (10.2.4) ´e denominada equa¸c˜ao integral de difus˜ao. A sua principal vantagem relativamente `a equa¸c˜ao diferencial (10.2.1) ´e que, escolhendo Φ0 (~r) e G(~r) apropriadamente, podemos obter, sem mais trabalho, Φ(~r) com o comportamento assimpt´otico desejado. Portanto a equa¸c˜ao integral (10.2.4) torna-se equivalente `a equa¸c˜ao diferencial ´ exactamente esse resultado que vamos (10.2.1) mais a condi¸c˜ao assimpt´otica (10.1.13). E agora estabelecer.
304
10.2.1
Teoria da Difus˜ ao
Escolha da fun¸ c˜ ao de Green e de Φ0
Comecemos por discutir as fun¸c˜oes de Green. Com este prop´osito enunciamos, sem prova, o seguinte resultado 1 ∆ = −4πδ(~r) , r
(10.2.7)
onde ∆ ´e o laplaciano em trˆes dimens˜oes, r a coordenada esf´erica radial e δ(~r) o delta de Dirac em trˆes dimens˜oes.4 Considerando este resultado e a equa¸c˜ao de defini¸c˜ao da fun¸c˜ao de Green, (10.2.2), concluimos que, perto de r = 0, r→0
G(~r) ≃ −
1 . 4πr
(10.2.8)
Por outro lado j´a vimos, na sec¸c˜ao 10.1.2, que para ~r 6= 0, (∆ + k 2 )
e±ikr =0. r
(10.2.9)
1 e±ikr , 4π r
(10.2.10)
Logo, tomamos as fun¸c˜oes de Green, G± (~r) = −
onde G+ ´e denominada fun¸c˜ao de Green ‘outgoing’ e G− ´e denominada fun¸c˜ao de Green ‘incoming’. Equivalentemente estamos a estabelecer o resultado e±ikr = −4πδ(~r) . ∆+k r 2
4
(10.2.11)
Podemos motivar este resultado (o que n˜ ao constitui uma prova!) pelo seguinte racioc´ınio. Consideramos a equa¸ca˜o de Poisson para o campo grav´ıtico com uma massa pontual M , descrita por um delta de Dirac: 1 d 2 d r φ = 4πGM δ(~r) . ∆φ(~r) = 4πGM δ(~r) ⇔ r2 dr dr Integramos ambos numa esfera de raio R. Do lado esquerdo usamos coordenadas esf´ericas e do lado direito coordenadas cartesianas: Z R Z Z Z 2 1 d 2 d drr 2 r 4π φ = 4πGM dx dy dzδ(x)δ(y)δ(z) , r dr dr 0 logo
GM d φ = GM ⇔ φ(R) = − + constante . dR R Colocando esta solu¸ca˜o na primeira equa¸ca˜o temos GM 1 ∆ − = −4πδ(~r) , + constante = 4πGM δ(~r) ⇔ ∆ r r R2
que ´e a equa¸ca˜o (10.2.7).
10.2 Equa¸c˜ ao integral de difus˜ ao e o m´ etodo de Born
305
M r r
u O
r’
r’
P
L
Figura 10.2: Representa¸c˜ao de um ponto assimptoticamente longe da zona de influˆencia de um potencial. O comportamento assimpt´otico que desejamos obter (10.1.13) sugere que escolhamos Φ0 = eikz ,
(10.2.12)
e a fun¸c˜ao de Green ‘outgoing’, G(~r) = G+ (~r). Isto ´e, tomamos os estados estacion´arios de difus˜ao na forma (10.2.4) com estas escolhas: Z dif ikz vk (~r) = e + d3 r~′ G+ (~r − r~′ )U(r~′ )vkdif (r~′ ) .
(10.2.13)
Vamos ent˜ao demonstrar que estes estados estacion´arios tˆem o comportamento assimpt´otico correcto. Para isso consideramos um potencial cuja zona de influˆencia, centrada em ~r = 0, tem uma escala linear L - figura 10.2. Consideramos um ponto longe desta zona de influˆencia, M, para o qual |~r| ≫ L. Considerando o vector de posi¸c˜ao de um outro ponto, r~′ temos que |~r − r~′ |
=
q
q ′ ′ (~r − r~ ) · (~r − r~ ) = r 2 − 2~r · r~′ + (r ′ )2 = r
s
2r~′ · ~u + 1− r
′ 2 r , (10.2.14) r
onde r = |~r|, r ′ = |r~′ | e ~u ´e o versor na direc¸c˜ao de ~r, ~r = r~u. Especializemos para o caso
em que r~′ ´e a posi¸c˜ao de um ponto arbitr´ario, P , na zona de influˆencia do potencial. Para
todos estes pontos verifica-se que |r~′ | < L ≪ |~r|; logo expandimos a express˜ao anterior em potˆencias de r ′ /r, obtendo
|~r − r~′ | ≃ r − r~′ · ~u .
(10.2.15)
306
Teoria da Difus˜ ao
Nestas condi¸c˜oes obtemos a express˜ao assimpt´otica ~′
G+ (~r − r~′ ) = −
1 eikr −ik~u·r~′ 1 eik|~r−r | ≃− e . 4π |~r − r~′ | 4π r
(10.2.16)
Substituindo no estado de difus˜ao (10.2.13) obtemos o comportamento assimpt´otico Z eikr r→∞ ikz ~′ dif d3 r~′ e−ik~u·r U(r~′ )vkdif (r~′ ) . (10.2.17) vk (~r) ≃ e − 4πr Este ´e, de facto, o comportamento assimpt´otico (10.1.13), dado que o integral j´a n˜ao depende da distˆancia r, mas apenas dos ˆangulos θ e φ, atrav´es de ~u. Concluimos deste modo que os estados definidos pela equa¸c˜ao integral (10.2.13) tˆem o comportamento assimpt´otico correcto para serem estados estacion´arios de difus˜ao. Mais ainda, comparando com (10.1.13) reconhecemos a amplitude de difus˜ao como sendo Z 1 ~′ d3 r~′ e−ik~u·r U(r~′ )vkdif (r~′ ) . fk (θ, φ) = − 4π
10.2.2
(10.2.18)
A aproxima¸ c˜ ao de Born
Vamos agora estabelecer uma solu¸c˜ao aproximada da equa¸c˜ao integral de difus˜ao para os estados estacion´arios de difus˜ao, e como tal para a amplitude de difus˜ao e sec¸c˜ao eficaz diferencial de difus˜ao. Come¸camos por escrever ~
eikz = eiki ·~r ,
(10.2.19)
onde ~ki ´e o vector de onda incidente. Em termos de ~ki, os estados estacion´arios de difus˜ao (10.2.13) ficam: vkdif (~r)
i~ki ·~ r
=e
+
Z
d3 r~′ G+ (~r − r~′ )U(r~′ )vkdif (r~′ ) .
Fa¸camos uma mudan¸ca de nota¸c˜ao: ~r → r~′ e r~′ → r~′′ ; logo Z dif ~′ i~ki ·r~′ vk (r ) = e + d3 r~′′ G+ (r~′ − r~′′ )U(r~′′ )vkdif (r~′′ ) .
(10.2.20)
(10.2.21)
Seguidamente inserimos (10.2.21) em (10.2.20) e obtemos Z ~ ~′ dif i~ki ·~ r vk (~r) = e + d3 r~′ G+ (~r − r~′ )U(r~′ )eiki ·r Z Z 3 ~′ ′ ′ + d r G+ (~r − r~ )U(r~ ) d3 r~′′ G+ (r~′ − r~′′ )U(r~′′ )vkdif (r~′′ ) .
(10.2.22)
10.2 Equa¸c˜ ao integral de difus˜ ao e o m´ etodo de Born
307
Note-se que agora conhecemos os dois primeiros termos do lado direito. Apenas desconhecemos o terceiro, pois inclui a fun¸c˜ao desconhecida vkdif . Podemos repetir novamente o procedimento, substituindo em (10.2.20) ~r → r~′′ e r~′ → r~′′′ . Substituindo a express˜ao resultante em (10.2.22) obtemos i~ki ·~ r
Z
~ ~′ =e + d3 r~′ G+ (~r − r~′ )U(r~′ )eiki ·r Z Z ~ ~′′ 3 ~′ ′ ′ + d r G+ (~r − r~ )U(r~ ) d3 r~′′ G+ (r~′ − r~′′ )U(r~′′ )eiki ·r Z Z Z 3 ~′ 3 ~′′ ′ ′ ′ ′′ ′′ ~ ~ ~ ~ ~ + d r G+ (~r − r )U(r ) d r G+ (r − r )U(r ) d3 r~′′′ G+ (r~′′ − r~′′′ )U(r~′′′ )vkdif (r~′′′ ) .
vkdif (~r)
(10.2.23)
Agora, os trˆes primeiros termos do lado direito s˜ao conhecidos e apenas o quarto desconhecido. Podemos repetir o processo quantas vezes desejarmos, de modo a ficarmos com os n primeiros termos do lado direito conhecidos e apenas o termo n + 1 desconhecido. Este m´etodo, denominado expans˜ao de Born pode ser usado para construir a fun¸c˜ao de onda dos estados estacion´arios de difus˜ao, desde que o potencial seja fraco. O ponto principal desta expans˜ao ´e que cada novo termo introduziu mais uma potˆencia do potencial U(~r). O significado de o potencial ser fraco ´e de que este novo termo dever´a ser pequeno. Sendo L a escala t´ıpica do potencial, e U = 2µV /~2 a sua magnitude t´ıpica, o significado quantitativo de “o potencial ser fraco” ´e √
U=
√
2µV 1 ≪ . ~ L
(10.2.24)
Isto ´e a escala de energia associada `a magnitude do potencial ´e muito menor do que a escala de energia associada ao seu comprimento. Logo, se o potencial for fraco, a expans˜ao de Born ´e uma expans˜ao perturbativa; isto ´e, cada termo ´e menor do que o anterior, pelo que podemos truncar a expans˜ao num determinado ponto e negligenciar o u ´ ltimo termo, e como tal calcular o lado direito da equa¸c˜ao. Se substituirmos a expans˜ao de Born para vkdif (r~′ ) em (10.2.18), obtemos a expans˜ao de Born para a amplitude de difus˜ao. A aproxima¸c˜ ao de Born ´e truncar a expans˜ao de Born considerando apenas os primeiros dois termos, isto ´e ~ ~′
vkdif (r~′ ) = eiki ·r ,
(10.2.25)
308
Teoria da Difus˜ ao r
r
r’’
r’
r’
Figura 10.3: Esquerda: Na aproxima¸c˜ao de Born contabilizamos apenas a contribui¸c˜ao da onda incidente e de ondas difundidas uma vez na zona onde o potencial ´e efectivo. Direita: As aproxima¸c˜oes seguintes levam em conta m´ ultiplas difus˜oes, que podem ser negligenciadas, caso o potencial seja fraco. pelo que (10.2.18) fica fkBorn (θ, φ)
1 =− 4π
Z
~′
~ ~′
d3 r~′ e−ik~u·r U(r~′ )eiki ·r .
(10.2.26)
Denotando o vector de onda difundido ~kd ≡ k~u e o vector de onda transferido ~q ≡ ~kd − ~ki , reescrevemos este resultado como Z Z 1 2µ ~′ Born 3 ~′ −i~ q ·r~′ ′ ~ fk (θ, φ) = − d re U(r ) = − d3 r~′ e−i~q·r V (r~′ ) , 2 4π 4π~
(10.2.27)
onde usamos (10.1.7). Finalmente, usando (10.1.24), obtemos para a sec¸c˜ao eficaz diferencial de difus˜ao na aproxima¸c˜ao de Born σkBorn (θ, φ)
Z 2 µ2 3 −i~ q ·~ r V (~r) . = 2 4 d ~re 4π ~
(10.2.28)
Concluimos, portanto, que na aproxima¸c˜ao de Born, a sec¸c˜ao eficaz diferencial de difus˜ao est´a muito simplesmente relacionada com a transformada de Fourier do potencial. O vector de onda transferido ~q, depende do m´odulo de ~ki e ~kd (que ´e o mesmo - k) e da direc¸c˜ao de difus˜ao (θ, φ). Para uma dada direc¸c˜ao de difus˜ao, a sec¸c˜ao eficaz de Born varia com k, ou seja com a energia do feixe incidente. Por outro lado, para uma dada energia σ Born varia com (θ, φ). Concluimos que estudando as varia¸c˜oes de σ Born com θ, φ ou ainda com a energia incidente, deduzimos informa¸c˜ao sobre o potencial V (~r).
10.2.3
Interpreta¸ c˜ ao da aproxima¸c˜ ao de Born
Recordemos a equa¸c˜ao (10.2.20). Podemos pensar na fun¸ca˜o G+ (~r − r~′ ) como representando
a amplitude, no ponto ~r, da onda emitida por uma fonte pontual em r~′ . Este ponto de
10.2 Equa¸c˜ ao integral de difus˜ ao e o m´ etodo de Born
309
vista ´e corroborado pela express˜ao (10.2.16). Tomando a aproxima¸c˜ao de Born (10.2.25), (10.2.20) diz-nos que a onda difundida em ~r ´e a soma da onda incidente com um n´ umero infinito de ondas provenientes de fontes secund´arias; estas fontes secund´arias existem em todos os r~′ onde U(r~′ 6= 0) - figura 10.3 esquerda. Os termos seguintes da expans˜ao de Born levam em conta novas fontes secund´arias que s˜ao elas pr´oprias excitadas por ondas emitidas por fontes secund´arias - figura 10.3 direita. Podemos assim interpretar o facto de a expans˜ao de Born ser perturbativa, quando o potencial ´e fraco, como significando que podemos negligenciar a influˆencia de fontes secund´arias umas nas outras. ultipla considerados na expans˜ao de Born nada tˆem Nota: Os processos de difus˜ao m´ a ver com os processos de difus˜ao m´ ultipla que dissemos ir negligenciar no princ´ıpio deste cap´ıtulo. No primeiro caso estamos a falar pela difus˜ao m´ ultipla da part´ıcula incidente por uma part´ıcula alvo; no segundo na difus˜ao m´ ultipla da part´ıcula incidente por diferentes part´ıculas do alvo.
10.2.4
A aproxima¸ c˜ ao de Born para potenciais centrais
No caso de o potencial difusor ser central, que inclui muitos casos de interesse f´ısico, podemos escrever uma f´ormula mais us´avel para a amplitude de difus˜ao e consequentemente para a sec¸c˜ao eficaz de difus˜ao. Esta f´ormula ´e estabelecida usando a seguinte propriedade de transformadas de Fourier trˆes dimensionais: Lema: Seja f (~r) uma fun¸c˜ao trˆes dimensional com transformada de Fourier f˜(~q) =
1 (2π)3/2
Z
d3~rf (~r)e−i~q·~r .
(10.2.29)
Se f (~r) = f (r), isto ´e, a fun¸c˜ao depende apenas do m´odulo de ~r, r, ent˜ao: i) f˜ depende apenas do m´odulo de ~q, q; ii) f˜(q) pode ser calculada pela express˜ao: 2 f˜(q) = √ 2π q
Z
+∞
r sin qrf (r)dr . 0
(10.2.30)
310
Teoria da Difus˜ ao
Demonstra¸c˜ ao: ˜ q~′ ), onde q~′ = R~q e R ´e uma rota¸c˜ao arbitr´aria. Logo i) Consideremos f( Z 1 ~′ ′ ˜ ~ d3~rf (~r)e−iq ·~r . f (q ) = 3/2 (2π) Aplicamos a mesma rota¸c˜ao `a vari´avel de integra¸c˜ao, r~′ = R~r. Logo Z 1 ~′ ~′ ′ ˜ ~ f (q ) = d3 r~′ f (r~′)e−iq ·r . 3/2 (2π)
(10.2.31)
(10.2.32)
Como o elemento de volume e produto escalar s˜ao invariantes por uma rota¸c˜ao d3~r = d3 r~′ ,
~q · ~r = q~′ · r~′ ,
(10.2.33)
e como, por hip´otese, f (~r) = f (r~′ ), pois a fun¸c˜ao s´o depende do m´odulo, concluimos que f˜(~q) = f˜(q~′ ) .
(10.2.34)
Logo f˜ depende apenas do m´odulo de ~q. ii) Podemos, por isso, escolher uma direc¸c˜ao arbitr´aria de ~q, para calcular a transformada de Fourier (10.2.29). Seja ~q = qez ; (10.2.29) fica: Z 2π Z +∞ Z π 1 2 ˜ dφ r f (r) dθ sin θe−iqr cos θ dr . f (q) = (2π)3/2 0 0 0
(10.2.35)
Fazendo os integrais angulares obtemos Z +∞ 2 Z +∞ r f (r) −iqr cos θ θ=π 2rf (r) 1 1 ˜ f (q) = √ e |θ=0 dr = √ sin (qr)dr . (10.2.36) iqr q 2π 0 2π 0 (q.e.d.) Como a amplitude de difus˜ao, na aproxima¸c˜ao de Born, ´e dada por uma transformada de Fourier (10.2.27), podemos para o caso de potenciais centrais V (~r) = V (r), usar este lema. Usando (10.2.29) e (10.2.30) obtemos Z 2µ +∞ Born r sin (qr)V (r)dr . fk (θ) = − 2 q~ 0
(10.2.37)
10.2 Equa¸c˜ ao integral de difus˜ ao e o m´ etodo de Born
311
´ esta express˜ao que usamos na pr´atica. Note-se que nestes casos a amplitude de difus˜ao E fica independente do ˆangulo azimutal. De facto, toda a dependˆencia angular est´a contida no vector de onda transferido, ~q, que entra na express˜ao apenas em m´odulo q = |~q|. Para incidˆencia segundo o eixo Oz, o vector de onda transferido ´e ~r ~q = ~kd − ~ki = k − kez , r onde ez ´e um versor unit´ario na direc¸c˜ao z; calculamos ent˜ao facilmente que θ 2z 2 2 + 1 = 2k 2 (1 − cos θ) = 4k 2 sin2 , q =k 1− r 2
(10.2.38)
(10.2.39)
o que demonstra que |~q| depende apenas, de facto, do ˆangulo polar θ. Note-se que a independˆencia de φ resulta das simetrias do sistema. De facto tanto o feixe incidente como o potencial difusor s˜ao independentes do ˆangulo azimutal. Consideremos dois exemplos expl´ıcitos de c´alculo de sec¸c˜ao eficaz diferencial de difus˜ao usando (10.2.37). Po¸co de potencial esf´ erico Como primeiro exemplo consideramos um po¸co de potencial esf´erico −V , r < R 0 V (r) = . 0, r>R
(10.2.40)
Este ´e um potencial cont´ınuo por peda¸cos onde ´e particularmente simples calcular a amplitude de difus˜ao. Note, em primeiro lugar, que a condi¸ca˜o de validade da aproxima¸c˜ao de Born (10.2.24) ´e
√
2µV0 1 ≪ . ~ R
A express˜ao geral (10.2.37) fica Z 2µV0 R 2µV0 Born fk (θ) = r sin (qr)dr = 3 2 (sin qR − qR cos qR) . 2 q~ q ~ 0
(10.2.41)
(10.2.42)
Como tal, obtemos para a sec¸c˜ao eficaz diferencial de difus˜ao, na aproxima¸c˜ao de Born 2 2 4 4µ V0 R R2 Born (sin qR − qR cos qR)2 , (10.2.43) σ (θ) = 6 (qR) ~4
312
Teoria da Difus˜ ao
0.11
0.105
0.1
0.095
0.09
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
theta
Figura 10.4: Sec¸c˜ao eficaz de difus˜ao em fun¸c˜ao do ˆangulo de difus˜ao θ para o potencial (10.2.40) na aproxima¸c˜ao de Born. Est˜ao representados trˆes valores de qR, sendo que `a medida que a energia da onda enviada diminui (e como tal tamb´em qR), a sec¸c˜ao se torna cada vez mais constante (i.e isotr´opica). onde q = 2k| sin θ/2|. Esta sec¸c˜ao eficaz encontra-se representada graficamente na figura 10.4. Esta sec¸c˜ao eficaz tem um limite particularmente simples se, para al´em da condi¸c˜ao de validade da aproxima¸c˜ao de Born (10.2.41) assumirmos baixas energias k≪
1 R
(⇔ qR ≪ 1) .
(10.2.44)
Isto ´e, a escala de energia das ondas difundidas ´e muito menor que a escala de energia definida pelo alcance do potencial. Neste caso, podemos expandir as fun¸c˜oes trigonom´etricas em s´erie de Taylor e tomar a primeira contribui¸c˜ao n˜ao nula. Obtemos σ Born (θ)
baixa energia
≃
4µ2 V02 R6 . 9~4
(10.2.45)
A sec¸c˜ao eficaz diferencial n˜ao tem dependˆencia angular, nesta aproxima¸c˜ao, de acordo com o exibido na figura 10.4. A sec¸c˜ao eficaz total ´e σ Born
baixa energia
≃
16π µ2 V02 R6 . 9 ~4
(10.2.46)
Iremos recuperar este resultado usando o m´etodo das ondas parciais (f´ormula (10.3.97)), do qual extrairemos uma maior interpreta¸c˜ao f´ısica.
10.2 Equa¸c˜ ao integral de difus˜ ao e o m´ etodo de Born
313
Potencial de Yukawa Como segundo exemplo calculamos a sec¸c˜ao eficaz diferencial de difus˜ao para um potencial do tipo V (~r) = V0
e−αr , r
(10.2.47)
onde V0 e α s˜ao constantes reais e α > 0. O potencial ser´a atractivo (repulsivo) se V0 < 0 (V0 > 0). A magnitude do potencial ´e caracterizada por |V0 |; o seu alcance por r0 =
1 ; α
(10.2.48)
pois, para distˆancias muito maiores do que 1/α, o potencial ´e praticamente nulo - figura 10.5. Este potencial ´e designado por potencial de Yukawa, em homenagem a Hideki Yukawa (1907-1981), que o introduziu em 1935 para descrever as for¸cas nucleares, cujo alcance ´e da ordem do Fermi (10−15 m). Para explicar a origem deste potencial, Yukawa introduziu uma nova part´ıcula - o mes˜ao π - cuja existˆencia foi, de facto, descoberta em 1947 por Cecil Powell (1903-1969). Esta part´ıcula, que era vista como a mediadora da for¸ca nuclear, possu´ıa massa e essa era a raz˜ao do curto alcance do potencial. Por estas descobertas Yukawa ganhou o pr´emio Nobel da F´ısica em 1949 e Powell em 1950. Contudo, a teoria de Yukawa foi posteriormente ultrapassada pela Cromodinˆamica Quˆantica, como descri¸c˜ao da for¸ca nuclear forte. Note-se que para α = 0 o potencial (10.2.47) se torna o potencial de Coulomb, pelo que o potencial de Coulomb se pode considerar um potencial de Yukawa com alcance infinito. Se assumirmos que |V0 | ´e suficientemente pequeno para a aproxima¸c˜ao de Born poder ser usada, isto ´e (10.2.24) p
2µ|V0| ≪α, ~
(10.2.49)
e observando que o potencial ´e central, temos, por (10.2.37), Z Z 2µV0 +∞ (iq−α)r 2µV0 +∞ −αr Born sin (qr)e dr = − 2 e − e−(α+iq)r dr , (10.2.50) fk (θ, φ) = − 2 ~q 0 ~ q2i 0 que agora se pode integrar facilmente para obter fkBorn (θ, φ) = −
2µV0 1 . 2 2 ~ q + α2
(10.2.51)
314
Teoria da Difus˜ ao r 0
2
4
6
8
10
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
Figura 10.5: Potencial de Yukawa com α = 1 versus potencial de Coulomb com a mesma magnitude. Claramente o potencial de Yukawa tem um alcance efectivamente finito, enquanto que o potencial de Coulomb tem um alcance infinito. Usando (10.2.39) para expressar q em fun¸c˜ao do ˆangulo θ, a sec¸c˜ao eficaz diferencial de difus˜ao para o potencial de Yukawa na aproxima¸c˜ao de Born fica 2 2 −2 4µ V0 4k 2 sin2 (θ/2) Born Born 2 σ (θ) = |fk (θ, φ)| = 1+ . α 2 ~4 α2
(10.2.52)
Este resultado est´a representado na figura 10.6. Coment´arios ao resultado: • Esta sec¸c˜ao eficaz ´e independente do ˆangulo azimutal, come seria de esperar dadas as simetrias do problema: o potencial ´e central e o feixe ´e paralelo a Oz, pelo que existe simetria azimutal. • Mas a sec¸c˜ao eficaz depende do ˆangulo polar. Em particular, para energia (k) fixa, ´e maior para θ = 0 (part´ıculas que seguem em frente) do que para θ = π (part´ıculas recha¸cadas). • A sec¸c˜ao eficaz diminui com o aumento de energia. • O sinal de V0 ´e irrelevante, na aproxima¸c˜ao de Born. • A sec¸c˜ao eficaz total ´e σ
Born
=
Z
σ
Born
4µ2V02 4π . (θ)dΩ = 2 4 2 α ~ [α + 4k 2 ]
(10.2.53)
10.2 Equa¸c˜ ao integral de difus˜ ao e o m´ etodo de Born
315
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
theta
Figura 10.6: Sec¸c˜ao eficaz de difus˜ao em fun¸c˜ao do ˆangulo de difus˜ao θ para o potencial (10.2.47) na aproxima¸c˜ao de Born. Est˜ao representados trˆes valores de q/α, sendo que `a medida que a energia da onda enviada diminui (e como tal tamb´em q/α), a sec¸c˜ao se torna cada vez mais constante (i.e isotr´opica). J´a comentamos anteriormente que o potencial de Coulomb pode ser visto como o caso limite do potencial de Yukawa em que o alcance ´e infinito; isto ´e tomando α=0,
2
V0 = Z 1 Z 2 e ,
q2 , e = 4πǫ0 2
(10.2.54)
onde q ´e a carga do electr˜ao e Z1 q e Z2 q s˜ao as cargas das duas part´ıculas envolvidas na interac¸c˜ao, (10.2.47) reduz-se ao potencial de Coulomb. Tomando estes valores em (10.2.52), obtemos a sec¸c˜ao eficaz diferencial de difus˜ao Born (θ) σ(Coulomb)
4µ2 Z12 Z22 e4 Z12 Z22 e4 = 4 = , ~ 16k 4 sin4 θ/2 16E 2 sin4 θ/2
(10.2.55)
onde usamos (10.1.6). Esta ´e a famosa f´ormula de Rutherford que descreve a sec¸c˜ao eficaz ´ curioso que tenhamos obtido a f´ormula correcta neste caso, para o potencial de Coulomb. E dado que a teoria que desenvolvemos n˜ao ´e aplic´avel, `a priori, ao potencial de Coulomb, devido ao alcance infinito (que implica que a condi¸c˜ao (10.2.49) n˜ao ´e obedecida). O resultado encontra-se representado na figura 10.7.
316
Teoria da Difus˜ ao
250
200
150
100
50
0 0.5
1
1.5
2
2.5
3
theta
Figura 10.7: Sec¸c˜ao eficaz de difus˜ao em fun¸c˜ao do ˆangulo de difus˜ao θ para o potencial de Coulomb na aproxima¸c˜ao de Born. Repare-se que embora Rutherford tenha detectado que algumas part´ıculas α completamente recha¸cadas - i.e. com θ = π/2-, a probabilidade de isso acontecer ´e pequen´ıssima.
10.3
M´ etodo das ondas parciais para a difus˜ ao por um potencial central
No caso particular de o potencial difusor ser um potencial central, podemos diagonalizar ˆ L ˆ2 e L ˆ z , tal como discutido na sec¸c˜ao 6.3. Isto ´e, existem simultaneamente os operadores H, estados estacion´arios com momento angular bem definido, aos quais, no contexto da teoria da difus˜ao, chamamos ondas parciais e denotamos por Φk,ℓ,m(~r), ou ainda, na nota¸c˜ao de Dirac, |Φk,ℓ,m i. Os valores pr´oprios dos operadores acima mencionados s˜ao, nestes estados: 2 2 ˆ k,ℓ,m i = ~ k |Φk,ℓ,mi , H|Φ 2µ
ˆ 2 |Φk,ℓ,m i = ℓ(ℓ + 1)~2 |Φk,ℓ,m i , L
ˆ z |Φk,ℓ,mi = m~|Φk,ℓ,mi . L (10.3.1)
A dependˆencia angular destas ondas parciais ´e sempre dada por harm´onicos esf´ericos Yℓm (θ, φ); o potencial V (r) s´o influencia a parte radial. Nesta sec¸c˜ao iremos come¸car por estudar estados estacion´arios com momento angular bem definido para uma part´ıcula livre. Denominamos estes estados por ondas esf´ericas livres e denotamo-los por Φ0k,ℓ,m (~r), ou ainda, na nota¸c˜ao de Dirac, |Φ0k,ℓ,m i. Veremos
10.3 M´ etodo das ondas parciais para a difus˜ ao por um potencial central
317
que, assimptoticamente, a dependˆencia radial destas ondas esf´ericas livres ser´a dada pela sobreposi¸c˜ao de uma onda ‘incoming’ e−ikr /r com uma onda ‘outgoing’ eikr /r, tendo as duas ondas uma diferen¸ca de fase bem definida. No caso das ondas parciais para um potencial V (r) que ´e assimptoticamente negligenci´avel, esperamos um comportamento semelhante: assimptoticamente a dependˆencia radial dever´a ainda ser dada pela sobreposi¸c˜ao das ondas ‘incoming’ e ‘outgoing’. Mas neste caso, a diferen¸ca de fase entre as duas ondas ´e diferente daquela que caracteriza as ondas esf´ericas livres: o potencial V (r) introduz uma diferen¸ca de fase adicional ou desfasamento, δℓ . Esta quantidade ´e a unica diferen¸ca entre o comportamento assimpt´otico de Φ0k,ℓ,m(~r) e Φk,ℓ,m (~r). Logo, se soubermos: 1) Para uma dada energia, a diferen¸ca de fase adicional δℓ para todos os ℓ; 2) Expressar os estados estacion´arios de difus˜ao vkdif (~r) como uma combina¸c˜ao linear das ondas parciais Φk,ℓ,m(~r); saberemos caracterizar o comportamento assimpt´otico dos estados estacion´arios de difus˜ao ´ esta e como tal extrair a amplitude de difus˜ao e a sec¸c˜ao eficaz diferencial de difus˜ao. E t´ecnica que vamos estabelecer nesta sec¸c˜ao.
10.3.1
Ondas esf´ ericas versus ondas planas para uma part´ıcula livre
Em mecˆanica cl´assica, uma part´ıcula livre de massa µ tem um movimento rectil´ıneo e uniforme. O seu momento ~p, energia E = p~ 2 /2µ e momento angular relativamente `a ~ = ~r × ~p, s˜ao constantes do movimento (|L| ~ = |~p|b, onde origem do sistema coordenado, L b ´e o parˆametro de impacto). ~ˆ ~ˆ ~ˆ ~ˆ Em mecˆanica quˆantica, os operadores L = R × P e P n˜ao comutam, pelo que n˜ao podemos classificar os estados f´ısicos de uma part´ıcula livre simultaneamente pelo momento angular e pelo momento linear. Portanto, em mecˆanica quˆantica, temos (pelo menos) duas op¸c˜oes para o C.C.O.C. que descreve uma part´ıcula livre: • C.C.O.C.={Pˆx , Pˆy , Pˆz }. Neste caso os estados pr´oprios s˜ao ondas planas.
318
Teoria da Difus˜ ao
ˆ0, L ˆz , L ˆ 2 }. Neste caso os estados pr´oprios s˜ao ondas esf´ericas livres. • C.C.O.C.={H Consideremos com mais detalhe estas duas possibilidades. Ondas planas Estes estados formam a representa¸c˜ao |~pi estudada na sec¸c˜ao 4.4.2. Obedecem a ~ˆ 2 p~2 P ˆ 0 |~pi = |~pi = |~pi . H 2µ 2µ
Pˆi |~pi = pi |~pi ,
(10.3.2)
Notemos ainda que a projec¸c˜ao das ondas planas em estados pr´oprios do operador posi¸c˜ao ´e dada por (4.4.23) h~r|~pi =
3/2
1 2π~
ei~p·~r/~ .
(10.3.3)
Em termos do vector de onda ~k = ~p/~, definimos os estados |~ki ≡ ~3/2 |~pi ,
(10.3.4)
em termos dos quais as rela¸c˜oes anteriores ficam Pˆi |~ki = ~ki |~ki ,
~2 2 ˆ 0 |~ki = k ~ |~ki , H 2µ
(10.3.5)
3/2
(10.3.6)
e h~r|~ki =
1 2π
~
eik·~r .
Ondas esf´ ericas livres ~ˆ 2 ˆ0 = P Pretendemos encontrar as fun¸c˜oes pr´oprias que diagonalizam simultaneamente H /2µ, ˆ2 e L ˆ z . De acordo com a sec¸c˜ao 6.3, resolvemos a equa¸c˜ao de Schr¨odinger independente L do tempo com o ansatz 0 Φ0k,ℓ,m (~r) = Rk,ℓ (r)Yℓm (θ, φ) ,
e obtemos (6.3.12) com V (r) = 0, ℓ(ℓ + 1)~2 ~2 d 2 d 0 0 r + Rk,ℓ (r) = ERk,ℓ (r) . − 2µr 2 dr dr 2µr 2
(10.3.7)
(10.3.8)
10.3 M´ etodo das ondas parciais para a difus˜ ao por um potencial central
319
Note-se que como o valor m´ınimo do potencial ´e zero (de facto ´e sempre zero!) n˜ao pode haver estados estacion´arios com E < 0; definimos ent˜ao √ 2µE ~2 k 2 ⇔E= . k= ~ 2µ Esta equa¸c˜ao pode ser reescrita como 2 d 2 2 0 2 d + 2r + k r − ℓ(ℓ + 1) Rk,ℓ (r) = 0 , r dr 2 dr
(10.3.9)
(10.3.10)
que ´e conhecida como a equa¸c˜ao de Bessel esf´erica 5; ´e uma equa¸c˜ao que pode ser transformada numa equa¸c˜ao de Bessel com ordem semi-inteira. As suas solu¸c˜oes s˜ao bem conhecidas e denominam-se por fun¸c˜oes de Bessel esf´ericas. Aqui iremos construir as solu¸c˜oes desta equa¸c˜ao usando um m´etodo alg´ebrico, semelhante ao usado na constru¸c˜ao dos harm´onicos esf´ericos.
10.3.2
Dedu¸c˜ ao da forma expl´ıcita das ondas esf´ ericas livres
Comecemos por considerar, tal como na sec¸c˜ao 6.4, solu¸co˜es de (10.3.8) da forma 0 Rk,ℓ
a equa¸c˜ao (10.3.8) fica ent˜ao
u0k,ℓ = ; r
ℓ(ℓ + 1) d2 2 − + k u0k,ℓ (r) = 0 . dr 2 r2
(10.3.11)
(10.3.12)
Esta equa¸c˜ao ´e suplementada pela condi¸c˜ao u0k,ℓ(r = 0) = 0 ,
(10.3.13)
que ´e necess´aria para que as ondas esf´ericas livres n˜ao sejam (todas) divergentes em r = 0 (se assim fosse qualquer estado estacion´ario seria divergente em r = 0, o que n˜ao ´e o caso). Assimptoticamente, a equa¸c˜ao (10.3.12) fica 2 d 2 ⇒ u0k,ℓ (r) ≃ Aeikr + A′ e−ikr , + k u0k,ℓ(r) ≃ 0 dr 2 5
(10.3.14)
Ver, por exemplo, G.B.Arfken e H.J.Webber, Mathematical Methods for Physicists, sec¸ca˜o 11.7, Quarta edi¸ca˜o.
320
Teoria da Difus˜ ao
e como tal Φ0k,ℓ,m (~r) ≃
Aeikr + A′ e−ikr m Yℓ (θ, φ) , r
(10.3.15)
ou seja, a parte radial da onda esf´erica livre ´e, assimptoticamente, a sobreposi¸c˜ao de uma onda ‘incoming’ com uma onda ‘outgoing’. A diferen¸ca de fase destas duas ondas est´a contida nos coeficientes A e A′ ; mas para os determinarmos teremos de saber mais do que a solu¸c˜ao assimpt´otica da equa¸c˜ao, pois teremos de usar a condi¸c˜ao fronteira (10.3.13). Para isso vamos calcular as solu¸c˜oes exactas usando um m´etodo alg´ebrico. Come¸camos por definir o operador Pˆ+ = Pˆx + iPˆy .
(10.3.16)
As rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao deste operador com os operadores do C.C.O.C s˜ao ˆ 0 , Pˆ+ ] = 0 , [H
ˆ z , Pˆ+ ] = ~Pˆ+ , [L
ˆ 2 , Pˆ+ ] = 2~(Pˆ+ L ˆ z − Pˆz L ˆ + ) + 2~2 Pˆ+ . [L
(10.3.17)
Exerc´ıcio: Demonstre estas rela¸c˜oes usando as rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao can´onicas. ˆ + e Pˆ+ podemos construir novos estados estacion´arios `a custa Usando os operadores L ˆ ± nos harm´onicos esf´ericos, dada de antigos. Em primeiro lugar, recordemos a ac¸c˜ao de L por (6.2.35); logo ˆ ± |Φ0 i ∝ |Φ0 L k,ℓ,m k,ℓ,m±1 i .
(10.3.18)
ˆ ± |Φ0 i ´e ainda um estado pr´oprio de {H ˆ 0, L ˆ 2, L ˆ z } com valores pr´oprios rotulados Isto ´e L k,ℓ,m por (k, ℓ, m ± 1). Utilizando as rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao (10.3.17) estabelecemos tamb´em que ˆ 0 , com valor pr´oprio rotulado por k. De facto • Pˆ+ |Φ0k,ℓ,mi ´e ainda estado pr´oprio de H 2 2 ˆ 0 Pˆ+ |Φ0 i = Pˆ+ H ˆ 0 |Φ0 i = ~ k Pˆ+ |Φ0 i . H k,ℓ,m k,ℓ,m k,ℓ,m 2µ
(10.3.19)
ˆ z , com valor pr´oprio rotulado por m + 1. De facto • Pˆ+ |Φ0k,ℓ,mi ´e ainda estado pr´oprio de L ˆ z Pˆ+ |Φ0 i = (Pˆ+ L ˆ z + ~Pˆ+ )|Φ0 i = (m + 1)~Pˆ+ |Φ0 i . L k,ℓ,m k,ℓ,m k,ℓ,m
(10.3.20)
10.3 M´ etodo das ondas parciais para a difus˜ ao por um potencial central
321
ˆ 2 ; mas se m = ℓ, ent˜ao Pˆ+ |Φ0 i ´e estado • Pˆ+ |Φ0k,ℓ,mi n˜ao ´e, em geral, estado pr´oprio de L k,ℓ,ℓ ˆ 2 com valor pr´oprio rotulado por ℓ + 1. De facto pr´oprio de L
ˆ 2 Pˆ+ |Φ0 i = (Pˆ+ L ˆ 2 +2~(Pˆ+ L ˆ z − Pˆz L ˆ + )+2~2 Pˆ+ )|Φ0 i = (ℓ+1)(ℓ+2)~2Pˆ+ |Φ0 i . L k,ℓ,ℓ k,ℓ,ℓ k,ℓ,ℓ (10.3.21) Logo concluimos que Pˆ+ |Φ0k,ℓ,ℓ i ∝ |Φ0k,ℓ+1,ℓ+1i .
(10.3.22)
O nosso procedimento vai ser: Primeiro calcular as ondas esf´ericas livres com ℓ = m = 0 resolvendo a equa¸c˜ao (10.3.12) e segundo calcular as restantes usando (10.3.18) e (10.3.22). • Primeiro, a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (10.3.12) com ℓ = m = 0 e obedecendo `a condi¸c˜ao (10.3.13) ´e u0k,0(r)
= ak sin kr
⇒
Φ0k,0,0 (~r)
u0k,0(r) 0 ak sin kr Y0 = √ . = r 4πr
(10.3.23)
As constantes ak podem ser obtidas pela condi¸c˜ao de ortonormaliza¸c˜ao ′
δ(k − k ) =
Z
3
d ~r
∗ Φ0k,0,0
Φ0k′ ,0,0
∗
= (ak ) ak′
Z
+∞
dr sin kr sin k ′ r .
(10.3.24)
0
Escrevendo os senos em termos de exponenciais imagin´arias e duplicando o intervalo de integra¸c˜ao temos (ak )∗ ak′ δ(k − k ) = 4 ′
Z
+∞ −∞
(ak )∗ ak′ ′ ′ ei(k−k )r − ei(k+k )r dr = 2π(δ(k − k ′ ) − δ(k + k ′ )) . 4 (10.3.25)
Como tanto k como k ′ s˜ao positivos, o segundo delta de Dirac nunca contribui. Concluimos p que ak = 2/π, pelo que podemos escrever as ondas esf´ericas livres com ℓ = m = 0 como Φ0k,0,0 (~r)
=
r
2k 2 sin kr 1 √ . π kr 4π
(10.3.26)
• Segundo, notamos que o operador Pˆ+ actua, na representa¸c˜ao |~xi como Pˆ+ = −i~
∂ ∂ +i ∂x ∂y
.
(10.3.27)
322
Teoria da Difus˜ ao
A sua ac¸c˜ao numa fun¸c˜ao puramente radial ´e x y d d ˆ +i f (r) = −i~ sin θeiφ f (r) . P+ f (r) = −i~ r r dr dr Logo, actuando com este operador em (10.3.26) obtemos cos kr sin kr sin kr iφ 0 0 ˆ ˆ ∝ sin θe − Φk,1,1 (~r) ∝ P+ Φk,0,0 (~r) ∝ P+ kr kr (kr)2 cos kr sin kr ∝ Y11 (θ, φ) − . kr (kr)2
(10.3.28)
(10.3.29)
0 ˆ − a esta onda esf´erica livre calculamos Φ0 Aplicando L em a mesma k,1,0 e Φk,1,−1 , que tˆ
dependˆencia radial e dependˆencia angular dada pelos harm´onicos esf´ericos respectivos. Para calcular as ondas esf´ericas livres com ℓ > 1, notamos que ˆ + iYˆ ] = 0 . [Pˆ+ , X
(10.3.30)
Logo x + iy d sin kr 1 d sin kr Φ0k,2,2 (~r) ∝ Pˆ+2 Φ0k,0,0 (~r) ∝ Pˆ+ ∝ (x + iy)Pˆ+ r dr kr r dr kr 2 sin kr 1 d . ∝ (x + iy)2 r dr kr Em geral
1 d r dr
ℓ
(10.3.31)
sin kr , kr
(10.3.32)
(x + iy)ℓ = r ℓ sinℓ θeiℓφ ∝ r ℓ Yℓℓ (θ, φ) .
(10.3.33)
Φ0k,ℓ,ℓ (~r)
∝ (x + iy)
ℓ
onde notamos que a dependˆencia angular ´e
Se definirmos ℓ
jℓ (ρ) ≡ ρ
1 d − ρ dρ
ℓ
sin ρ , ρ
que s˜ao as fun¸c˜oes de Bessel esf´ericas de ordem l,6 podemos escrever r 2k 2 0 Φk,ℓ,m (~r) = jℓ (kr)Yℓm (θ, φ) , π 6
(10.3.34)
(10.3.35)
A f´ormula (10.3.34) designa-se por F´ ormula de Rayleigh; veja, por exemplo 10.1.25 de ‘Handbook of Mathematical Functions’, Ed. M. Abramowitz and I. Stegun, Dover, Ninth Printing.
10.3 M´ etodo das ondas parciais para a difus˜ ao por um potencial central
1
0.2
0.8
0.15
0.6
0.1
0.4
0.05
0.2
0 0
5
10
15
20
25
323
30
r -0.05
0 0
5
10
20
15
25
30
r -0.1
-0.2
Figura 10.8: Parte radial das fun¸c˜oes de Bessel esf´ericas (10.3.34). Esquerda: ℓ = 0 e ℓ = 1 (zero na origem); direita ℓ = 4 e ℓ = 5 (come¸ca a oscilar mais `a direita). onde a constante de normaliza¸c˜ao ´e escolhida de modo a verificar Z ∗ 0 0 hΦk,ℓ,m|Φk′ ,ℓ′ ,m′ i = d3~r Φ0k,ℓ,m Φ0k′ ,ℓ′ ,m′ = δ(k − k ′ )δℓℓ′ δmm′ .
(10.3.36)
Estas fun¸c˜oes formam uma base do espa¸co de estados (isto ´e uma base do espa¸co de fun¸c˜oes de quadrado som´avel em R3 ), o que ´e manifesto na rela¸c˜ao de fecho Z
+∞
0
dk
+∞ X ℓ X
ˆ, |Φ0k,ℓ,m ihΦ0k,ℓ,m| = 1
(10.3.37)
Φ0k,ℓ,m (~r)Φ0k,ℓ,m (r~′ ) = δ(~r − r~′ ) .
(10.3.38)
ℓ=0 m=−ℓ
ou, equivalentemente Z
0
+∞
dk
+∞ X ℓ X
ℓ=0 m=−ℓ
Na figura 10.8 encontram-se os gr´aficos da parte radial das fun¸c˜oes de Bessel esf´ericas para v´arios ℓ’s.
10.3.3
Propriedades das ondas esf´ ericas livres
As ondas esf´ericas livres (10.3.35) tˆem uma dependˆencia angular totalmente definida pelos n´ umeros quˆanticos ℓ e m, que determinam o correspondente harm´onico esf´erico Yℓm , e
324
Teoria da Difus˜ ao
como tal independente da energia. Utiliza-se, por vezes, a nota¸c˜ao dos espectroscopistas mencionada na sec¸c˜ao 6.4, no caso das ondas esf´ericas livres: onda s (ℓ = 0), onda p (ℓ = 1), etc. Assim dizemos que a onda s esf´erica livre ´e sempre isotr´opica. A dependˆencia radial fica clara nas figuras 10.8. Analisemos, analiticamente, os casos limite: Perto da origem Neste caso podemos escrever: ℓ ℓ X +∞ sin ρ ρ2p 1 d 1 d ℓ ℓ ℓ ℓ (−1)p = (−1) ρ jℓ (ρ) ≡ (−1) ρ ρ dρ ρ ρ dρ (2p + 1)! p=0 ℓ−1 X +∞ 1 d 2p = (−1)ℓ ρℓ (−1)p ρ2p−2 ρ dρ (2p + 1)! p=0 ℓ ℓ
= (−1) ρ
+∞ X p=0
(−1)p
(10.3.39)
2p(2p − 2)(2p − 4) . . . [2p − 2(ℓ − 1)] 2p−2ℓ ρ . (2p + 1)!
Os termos com p = 0, 1, . . . , ℓ − 1 s˜ao zero na soma. O primeiro termo que contribui, que ´e o mais importante perto da origem, ´e ρ→0
jℓ (ρ) ≃ (−1)ℓ ρℓ (−1)ℓ
2ℓ(2ℓ − 2)(2ℓ − 4) . . . 2 ℓ ρℓ 2ℓ(2ℓ − 2)(2ℓ − 4) . . . 2 = ρ ≡ , (2ℓ + 1)! (2ℓ + 1)! (2ℓ + 1)!! (10.3.40)
onde definimos N!! = N(N − 2)(N − 4) . . . .
(10.3.41)
Concluimos pois que todas as fun¸c˜oes de Bessel esf´ericas tendem para zero na origem, excepto a onda s (ℓ = 0), de acordo com as figuras 10.8. Consideremos ainda a densidade de probabilidade de uma part´ıcula que se encontre no estado Φ0k,ℓ,m. A probabilidade de encontrar a part´ıcula no ˆangulo s´olido dΩ0 em torno da direc¸c˜ao (θ0 , φ0) e entre r e r + dr ´e proporcional a r 2 jℓ2 (kr)|Yℓm (θ0 , φ0 )|2 drdΩ0 .
(10.3.42)
Logo, a fun¸c˜ao radial de interesse para a densidade de probabilidade ´e jℓ2 (ρ)ρ2 . Esta fun¸c˜ao encontra-se representada na figura 10.9 para v´arios ℓ’s. Perto da origem esta fun¸c˜ao
10.3 M´ etodo das ondas parciais para a difus˜ ao por um potencial central
325
1.4 1 1.2
0.8 1
0.8
0.6
0.6 0.4 0.4 0.2 0.2
0
0 0
5
10
15
20
0
5
rho
10
15
20
rho
Figura 10.9: Representa¸c˜ao da fun¸c˜ao ρ2 jℓ2 (r). Esquerda: ℓ = 0 (´e exactamente o sin2 ρ) e ℓ = 1 (come¸ca a oscilar mais `a direita); direita ℓ = 4 e ℓ = 5 (come¸ca a oscilar mais `a direita). comporta-se como ρ2ℓ+2 /(2ℓ + 1)!!. Logo quanto maior for ℓ mais lento ser´a o crescimento desta fun¸c˜ao perto de ρ = 0. A probabilidade de encontrar a part´ıcula para r suficientemente pequeno ´e, assim, negligenci´avel; estimamos que para ρ<
p
ℓ(ℓ + 1)
⇔
p ℓ(ℓ + 1) |L| = , r< k |~p|
(10.3.43)
a probabilidade de encontrar a part´ıcula seja praticamente nula. Este valor ´e qualitativamente justificado pela figura 10.9. Fa¸camos uma analogia cl´assica para uma justifica¸c˜ao mais quantitativa. Se considerarmos uma part´ıcula cl´assica livre no plano xy, ter´a equa¸c˜oes do movimento x=x +v t 0 x y =y +v t 0
y
⇒
D 2 (t) = x2 +y 2 = x20 +y02 +(vx2 +vy2 )t2 +2(x0 vx +y0vy )t , (10.3.44)
onde D 2 (t) ´e o quadrado da distˆancia `a origem. Extremizando esta fun¸c˜ao calculamos o parˆametro de impacto, b (distˆancia m´ınima `a origem): 2 Dmin =
(x0 vy − y0 vx )2 vx2 + vy2
⇒
b = |Dmin | =
|L| , |~p|
(10.3.45)
326
Teoria da Difus˜ ao
que ´e a vers˜ao cl´assica de (10.3.43). Assim, a part´ıcula quˆantica no estado |Φ0k,ℓ,mi ´e praticamente inafectada pelo que acontece dentro de uma esfera com raio p ℓ(ℓ + 1) . bℓ (k) = k Comportamento assimpt´ otico ℓ ℓ−1 sin ρ cos ρ sin ρ 1 d 1 d ℓ ℓ ℓ ℓ = (−1) ρ − 3 jℓ (ρ) ≡ (−1) ρ ρ dρ ρ ρ dρ ρ2 ρ ℓ−1 ρ→∞ 1 d cos ρ ≃ (−1)ℓ ρℓ . ρ dρ ρ2 Aplicando outra derivada, o termo dominante ser´a a derivada do cosseno ℓ−2 ρ→∞ − sin ρ 1 d ℓ ℓ . jℓ (ρ) ≃ (−1) ρ ρ dρ ρ3
(10.3.46)
(10.3.47)
(10.3.48)
Concluimos que, de um modo geral, o termo assimptoticamente dominante vir´a de aplicar todas as derivadas `a fun¸c˜ao trigonom´etrica (e n˜ao `as potˆencias de ρ) ℓ ℓ ρ→∞ d (−1)ℓ d ℓ ℓ 1 1 jℓ (ρ) ≃ (−1) ρ ℓ sin ρ = sin ρ . ρ ρ dρ ρ dρ Notando que podemos escrever ℓ d ℓπ ℓ . sin ρ = (−1) sin ρ − dρ 2
(10.3.49)
(10.3.50)
Logo,
sin ρ − ℓπ 2 . (10.3.51) jℓ (ρ) ≃ ρ Assim sendo, as ondas esf´ericas livres (10.3.35) ficam, assimptoticamente, r r ρ→∞ 2k 2 sin(kr − ℓπ/2) m 2k 2 m eikr e−iℓπ/2 − e−ikr eiℓπ/2 0 Φk,ℓ,m ≃ Yℓ (θ, φ) = Yℓ (θ, φ) . π kr π 2ikr (10.3.52) ρ→∞
Este comportamento assimpt´otico corresponde `a sobreposi¸c˜ao de uma onda ‘incoming’ (e−ikr /r) com uma onda ‘outgoing’ (eikr /r), com uma diferen¸ca de fase ℓπ ℓπ = πℓ . − − ∆ϕ = ϕincoming − ϕoutgoing = 2 2
(10.3.53)
Ou seja, as componentes ‘incoming’ e ‘outgoing’ das ondas esf´ericas livres com ℓ par (ℓ ´ımpar) est˜ao em fase (oposi¸c˜ao de fase). Tal como antecipado no in´ıcio desta sec¸c˜ao, a diferen¸ca de fase ´e bem definida e fun¸c˜ao do n´ umero quˆantico ℓ.
10.3 M´ etodo das ondas parciais para a difus˜ ao por um potencial central
327
Expans˜ ao de uma onda plana em termos de ondas esf´ ericas livres Estudamos duas ‘bases’ distintas do espa¸co de fun¸c˜oes de quadrado som´avel em R3 que ˆ 0 : ondas planas, |~ki = |kx , ky , kz i, e ondas esf´ericas livres, |Φ0 i. s˜ao bases pr´oprias de H k,ℓ,m Dado serem bases ´e poss´ıvel expandir qualquer ket de uma base em termos dos kets da outra base. Consideremos o ket |0, 0, ki, que representa a onda plana eikz ; de facto h~r|0, 0, ki =
1 eikz . (2π)3/2
(10.3.54)
ˆ 0 com momento (~p = ~~k) e energia (E = ~2 k 2 /2µ) bem Este ´e um estado pr´oprio de H definidos. Para al´em disso, como eikz = eikr cos θ ,
(10.3.55)
´e independente da coordenada φ, na representa¸c˜ao |~ri, o ket |0, 0, ki ´e tamb´em um estado ˆ z (L ˆ z = −i~∂/∂φ), com valor pr´oprio 0: pr´oprio de L
ˆ z |0, 0, ki = 0 . L
(10.3.56)
Usando a rela¸c˜ao de fecho (10.3.37), podemos escrever |0, 0, ki =
Z
0
+∞
dk
′
+∞ X ℓ X
ℓ=0 m=−ℓ
|Φ0k′ ,ℓ,mihΦ0k′ ,ℓ,m |0, 0, ki .
(10.3.57)
ˆ z ), Para m 6= 0, |0, 0, ki e |Φ0k′ ,ℓ,m i s˜ao dois vectores pr´oprios de um operador herm´ıtico (L com valores pr´oprios diferentes. Logo s˜ao ortogonais. S˜ao tamb´em 2 vectores pr´oprios ˆ 0 - tamb´em herm´ıtico - com valores pr´oprios diferentes caso k 6= k ′ ; logo ortogonais. de H Podemos pois escrever que hΦ0k′ ,ℓ,m |0, 0, ki ∝ δm0 δ(k − k ′ ) , e como tal |0, 0, ki =
+∞ X ℓ=0
ck,ℓ |Φ0k,ℓ,0i ,
(10.3.58)
(10.3.59)
328
Teoria da Difus˜ ao
ou, na representa¸c˜ao |~ri, +∞
X eikz ck,ℓ = (2π)3/2 ℓ=0
r
2k 2 jℓ (kr)Yℓ0 (θ) . π
Os coeficientes ck,ℓ podem ser calculados explicitamente, obtendo-se7 r 2ℓ + 1 ck,ℓ = iℓ . 4πk 2
(10.3.60)
(10.3.61)
Logo ikz
e
+∞ X p iℓ 4π(2ℓ + 1)jℓ (kr)Yℓ0 (θ) . =
(10.3.62)
ℓ=0
Note-se que, assimptoticamente, usando (10.3.51), (10.3.52) temos a express˜ao ikz
e
10.3.4
r→∞
≃
+∞ X p eikr e−iℓπ/2 − e−ikr eiℓπ/2 0 Yℓ (θ) . iℓ 4π(2ℓ + 1) 2ikr ℓ=0
(10.3.63)
Ondas parciais num potencial V (r)
Vamos agora introduzir um potencial central arbitr´ario V (r). O ponto principal ´e que para qualquer V (r) com suporte compacto a forma assimpt´otica das ondas parciais ser´a idˆentica `a das ondas esf´ericas livres, apenas mudando o desfasamento entre a onda ‘incoming’ e a onda ‘outgoing’. Consideremos novamente a equa¸c˜ao de Schr¨odinger trˆes dimensional. Para a resolvermos em termos de ondas parciais tomamos um ansatz an´alogo a (10.3.7) com (10.3.11), Φk,ℓ,m =
uk,ℓ(r) m Yℓ (θ, φ) , r
onde uk,ℓ (r) ´e solu¸c˜ao da generaliza¸c˜ao de (10.3.12), isto ´e 2 d ℓ(ℓ + 1) 2µV (r) 2 − +k − uk,ℓ(r) = 0 , dr 2 r2 ~2
(10.3.64)
(10.3.65)
com a condi¸c˜ao (10.3.13) uk,ℓ (r = 0) = 0 . 7
Este c´ alculo ser´a efectuado nas aulas te´orico-pr´aticas.
(10.3.66)
10.3 M´ etodo das ondas parciais para a difus˜ ao por um potencial central
329
Note-se que isto n˜ao ´e mais do que a equa¸c˜ao de Schr¨odinger para um problema em uma dimens˜ao, onde a part´ıcula de massa µ est´a sob a ac¸c˜ao do potencial 2 V (r) + ℓ(ℓ + 1)~ , r > 0 2µr 2 ; Vef f (r) = +∞ , r<0
(10.3.67)
esta perspectiva um dimensional justifica a utiliza¸c˜ao da condi¸c˜ao fronteira (10.3.66). Assumindo que o potencial ´e assimptoticamente negligenci´avel, (10.3.65) fica, assimptoticamente
com solu¸c˜ao geral
d2 2 + k uk,ℓ(r) dr 2
uk,ℓ (r)
r→∞
≃
r→∞
≃
0,
(10.3.68)
Aeikr + A′ e−ikr .
(10.3.69)
Podemos pensar nesta solu¸c˜ao, na perspectiva do potencial efectivo um dimensional: existe uma onda incidente de r = +∞ (e−ikr ) e uma onda reflectida (eikr ). Como n˜ao pode haver onda transmitida para r < 0 - dado que o potencial ´e infinito nessa regi˜ao - a corrente reflectida tem que ser igual `a transmitida, pelo que concluimos que |A| = |A′ | ⇒ uk,ℓ (r)
r→∞
≃
|A| eikr eϕr + e−ikr eϕi ⇔ uk,ℓ(r)
r→∞
≃
C sin(kr + βℓ ) . (10.3.70)
A fase βℓ vai ser determinada pela condi¸c˜ao fronteira na origem (10.3.66). No caso das ondas esf´ericas livres (V (r) = 0), vimos em (10.3.51) que βℓ = −ℓπ/2; tomando este valor como referˆencia escrevemos uk,ℓ (r)
r→∞
≃
ℓπ C sin kr − + δℓ , 2
(10.3.71)
onde δℓ , que em geral ser´a fun¸c˜ao da energia e como tal de k, ´e a diferen¸ca de fase adicional ou desfasamento para as ondas parciais. Concluimos que as ondas parciais ter˜ao a forma assimpt´otica ℓπ r→∞ C sin kr − 2 + δℓ Φk,ℓ,m (~r) ≃ Yℓm (θ, φ) r eikr e−i(ℓπ/2−δℓ ) − e−ikr ei(ℓπ/2−δℓ ) , = CYℓm (θ, φ) 2ir
(10.3.72)
330
Teoria da Difus˜ ao
e vemos que as ondas parciais s˜ao ainda a sobreposi¸c˜ao de uma onda “incoming” com uma onda “outgoing” com uma diferen¸ca de fase ∆ϕ = ϕincoming − ϕoutgoing = ℓπ − 2δℓ .
(10.3.73)
Portanto, o potencial originou a diferen¸ca de fase adicional −2δℓ relativamente ao que aconteceria na ausˆencia de potencial. Este factor traduz o efeito total do potencial numa part´ıcula com momento angular ℓ. ´ conveniente definir uma nova fun¸c˜ao de onda Φ ˜ k,ℓ,m (~r) proporcional, assimptoticaE mente, a (10.3.72), do seguinte modo: ˜ k,ℓ,m(~r) = eiδℓ Φk,ℓ,m (~r); esta redefini¸c˜ao por uma fase global ´e irrelevante fisicamente e • Φ ´e conveniente porque fazendo-o podemos pensar no processo de difus˜ao, na presen¸ca do potencial, da seguinte maneira: a onda incidente de r = +∞ ´e a mesma do que aquela considerada na ausˆencia de potencial, mas a onda reflectida tem a fase adicional 2δℓ . ´ apenas • Tomamos a constante C = 1/k em (10.3.72). Esta escolha nada tem de f´ısico. E uma quest˜ao de conveniˆencia como veremos em baixo. Logo ˜ k,ℓ,m (~r) Φ
r→∞
∼
−Yℓm (θ, φ)
e−ikr eiℓπ/2 − eikr e−iℓπ/2 e2iδℓ . 2ikr
(10.3.74)
Recordemos que as ondas esf´ericas livres Φ0k,ℓ,m praticamente n˜ao penetram na regi˜ao p com r < ℓ(ℓ + 1)/k, como visto na sec¸c˜ao anterior. Se considerarmos um potencial
com alcance finito - digamos r0 - tal que V (r) = 0 para r > r0 , necessitamos apenas de considerar a diferen¸ca de fase adicional δℓ para ℓ < ℓM , onde p ℓM (ℓM + 1) ≃ r0 k .
(10.3.75)
Isto ´e, para potenciais com alcance finito, existe, para cada energia, um ℓ m´aximo e as u ´ nicas diferen¸cas de fase adicionais que necessitamos de calcular acontecer˜ao para as primeiras ondas parciais (s, p, . . .).
10.3 M´ etodo das ondas parciais para a difus˜ ao por um potencial central
331
Sec¸c˜ ao eficaz diferencial de difus˜ ao em termos de δℓ Como toda a informa¸c˜ao sobre o potencial V (r) fica contida, assimptoticamente, em δℓ , deveremos ser capazes de calcular σ(θ, φ) em termos de δℓ . Para isso escrevemos os estados estacion´arios de difus˜ao em termos das ondas parciais. Tendo em conta as simetrias do problema (onda incidente segundo Oz e potencial central), as u ´ nicas ondas parciais que respeitam esta simetria s˜ao Φk,ℓ,0 (~r). Logo vkdif (~r)
=
+∞ X
˜ k,ℓ,0(~r) . cℓ Φ
(10.3.76)
ℓ=0
Para estes serem estados estacion´arios de difus˜ao, tˆem que ter o comportamento assimpt´otico correcto. Isso ´e verificado se escolhermos os coeficientes cℓ apropriadamente: Lema: A forma de cℓ para (10.3.76) ser um estado estacion´ario de difus˜ao ´e8 cℓ = iℓ
p 4π(2ℓ + 1) .
(10.3.77)
Demonstra¸c˜ ao: Introduzindo (10.3.77) em (10.3.76) temos vkdif (~r)
+∞ X p ˜ k,ℓ,0 (~r) ; iℓ 4π(2ℓ + 1)Φ =
(10.3.78)
ℓ=0
usando a forma assimpt´otica (10.3.74), r→∞ vkdif (~r) ≃
+∞ X p e−ikr eiℓπ/2 − eikr e−iℓπ/2 e2iδℓ 0 ℓ , − i 4π(2ℓ + 1)Yℓ (θ) 2irk ℓ=0
(10.3.79)
ou ainda, escrevendo e2iδℓ = 1 + 2ieiδℓ sin δℓ ,
(10.3.80)
temos r→∞ vkdif (~r) ≃
8
−ikr iℓπ/2 +∞ X p e e − eikr e−iℓπ/2 e−iℓπ/2 eiδℓ sin δℓ eikr 0 ℓ i 4π(2ℓ + 1)Yℓ (θ) − . − 2irk k r ℓ=0 (10.3.81)
Para obter (10.3.74) usamos C = 1/k em (10.3.72); caso tivessemos usado outro valor alteraria a forma de (10.3.77), mas o resultado final (10.3.83) seria inalterado.
332
Teoria da Difus˜ ao
Comparando com (10.3.63) concluimos que o primeiro termo ´e a forma assimpt´otica de eikz ; logo r→∞ vkdif (~r) ≃
ikz
e
+∞ X p e−iℓπ/2 eiδℓ sin δℓ eikr iℓ 4π(2ℓ + 1)Yℓ0 (θ) . + k r ℓ=0
(10.3.82)
Esta ´e, de facto a forma assimpt´otica correcta para um estado estacion´ario de difus˜ao, (10.1.13). Concluimos ainda que a express˜ao para a amplitude de difus˜ao em termos das diferen¸cas de fase adicionais, δℓ , toma a forma +∞
fk (θ) =
1 Xp 4π(2ℓ + 1)eiδℓ sin δℓ Yℓ0 (θ) , k ℓ=0
(10.3.83)
onde usamos que e−iℓπ/2 = (−i)ℓ . (q.e.d.) A sec¸c˜ao eficaz diferencial de difus˜ao ´e, portanto, 2 +∞ 1 X p σ(θ) = |fk (θ)|2 = 4π(2ℓ + 1)eiδℓ sin δℓ Yℓ0 (θ) . k
(10.3.84)
ℓ=0
Note-se, em particular, que a contribui¸c˜ao da onda s para a sec¸c˜ao eficaz diferencial de difus˜ao ´e independente de θ e toma a forma σ onda s =
sin2 δ0 . k2
(10.3.85)
A sec¸c˜ao eficaz total de difus˜ao ´e simples de calcular usando a ortonormaliza¸c˜ao dos harm´onicos esf´ericos, com resultado σ=
Z
dΩσ(θ) =
+∞ 4π X (2ℓ + 1) sin2 δℓ . k2
(10.3.86)
ℓ=0
Em particular, a contribui¸c˜ao da onda s para a sec¸c˜ao eficaz total ´e onda s σparcial = 4π
sin2 δ0 ; k2
(10.3.87)
as contribui¸c˜oes de ondas espec´ıficas para a sec¸c˜ao eficaz total, s˜ao denominadas sec¸c˜oes eficazes de difus˜ao parciais. Coment´arios:
10.3 M´ etodo das ondas parciais para a difus˜ ao por um potencial central
333
• N˜ao h´a contribui¸c˜oes provenientes de interferˆencias entre diferentes ℓ’s para σ; • Cada ℓ pode dar uma contribui¸c˜ao m´axima de 4π(2ℓ + 1)/k 2 para σ; • Para calcular σ ser´a em princ´ıpio necess´ario saber δℓ para todos os ℓ. H´a duas situa¸c˜oes poss´ıveis: i) Se V (r) ´e conhecido isto implica resolver a equa¸c˜ao radial para cada ℓ. Frequentemente isto tem de ser feito numericamente. Na pr´atica o m´etodo das ondas parciais s´o ´e atractivo se δℓ tiver que ser calculado apenas para um n´ umero suficientemente pequeno de ℓ’s. Este ser´a o caso para potenciais de alcance finito L, discutido anteriormente, se considerarmos a difus˜ao de modos de baixa energia: k≪
1 . L
(10.3.88)
Para estes modos, apenas os desfasamentos com ℓ mais baixo ter˜ao de ser calculados. Em particular para energias suficientemente baixas, apenas a onda s dever´a ser considerada, pelo que a sec¸c˜ao eficaz de difus˜ao ser´a bem aproximada por (10.3.85); ii) Se V (r) for desconhecido, tentaremos reproduzir a curva experimental usando um pequeno n´ umero de δℓ ’s, isto ´e, usando apenas ℓ = 1, 2, . . . , ℓm´aximo . A dependˆencia em θ ir´a sugerir que ℓ’s necessitamos de considerar. Por exemplo, se σ for independente de θ, s´o necessitamos de considerar ℓ = 0 - dado que Y00 ´e independente de θ. Pelo mesmo racioc´ınio se σ for dependente de θ, necessitamos de considerar ℓ’s diferentes de zero. Depois de estabelecermos quais os ℓ’s necess´arios para reproduzir os resultados experimentais, procuramos potenciais que reproduzam os δℓ necess´arios. Exemplo: Po¸co de potencial esf´ erico Como exemplo de aplica¸c˜ao do m´etodo das ondas parciais consideramos o po¸co de potencial esf´erico (10.2.40), j´a considerado na aproxima¸c˜ao de Born. No m´etodo das ondas parciais
334
Teoria da Difus˜ ao
temos de calcular os desfasamentos δℓ para todos os ℓ. Para isso temos de resolver a equa¸c˜ao (10.3.65) para o potencial (10.2.40), com a condi¸c˜ao fronteira (10.3.66); isto ´e resolver 2 ℓ(ℓ + 1) 2µV0 d 2 − + k + 2 uk,ℓ (r) = 0 , r < R dr 2 r2 ~ 2 . (10.3.89) ℓ(ℓ + 1) d 2 − + k uk,ℓ(r) = 0 , r > R dr 2 r2
Se kR ≪ 1, apenas a onda s (ℓ = 0) ´e relevante e neste caso as equa¸c˜oes s˜ao particularmente
simples de resolver. De facto, o problema reduz-se a resolver a equa¸c˜ao de Schr¨odinger um dimensional num potencial cont´ınuo por peda¸cos (cap´ıtulo 3). As solu¸c˜oes para uk,0(r) s˜ao: ′ ′ Aeik r + A′ e−ik r , r < R uk,0(r) = (10.3.90) A eikr + A′ e−ikr , r > R , 1 1 onde
p 2µ(V0 + E) . k = ~ Impondo a condi¸c˜ao fronteira (10.3.66) (que corresponde `a continuidade da fun¸c˜ao de onda ′
na descontinuidade infinita do potencial em r = 0) e a continuidade da fun¸c˜ao de onda uk,0(r) e da sua derivada em r = R, obtemos ′ ′ k k ′ −ikR ′ ′ ′ ikR ′ ′ A = −A , A1 = e − cos k R + i sin k R A . cos k R + i sin k R A , A1 = e k k (10.3.91) Concluimos que a fun¸c˜ao de onda tem a forma 2iA sin k ′ r , r < R ′ uk,0(r) = k ′ ′ cos k R sin k(r − R) + sin k R cos k(r − R) , r > R . 2iA k
(10.3.92)
Para lermos o desfasamento, escrevemos a parte assimpt´otica da solu¸c˜ao (r > R) na forma (10.3.71), com ℓ = 0, isto ´e uk,0(r) = 2Ai sin(kr + δ0 ) ,
r>R.
(10.3.93)
Expandindo este seno como o seno de uma soma (escrevendo sin[(kr − kR) + (δ0 + kR)]) e igualando a (10.3.92) obtemos δ0 = arctan
k ′ tan k R − kR . k′
(10.3.94)
10.3 M´ etodo das ondas parciais para a difus˜ ao por um potencial central Usando (10.3.87) obtemos para a sec¸c˜ao eficaz parcial de difus˜ao 2 k 4π ′ onda s tan k R − kR . σparcial = 2 sin arctan k k′
335
(10.3.95)
A sec¸c˜ao eficaz parcial ser´a uma boa aproxima¸c˜ao `a sec¸c˜ao eficaz total no limite de baixas energias, kR ≪ 1 (note-se que esta ´e a condi¸c˜ao (10.2.44). Neste limite podemos aproximar (desde que k ′ R 6= nπ/2)
arctan
kR tan k ′ R k′R
≃
kR tan k ′ R . k′R
Se a energia da part´ıcula difundida for baixa, n˜ao s´o relativamente ao alcance do potencial, mas tamb´em relativamente `a sua magnitude E ≪ V0 , podemos aproximar √ 2µV0 ′ k ≃ k0 = . ~ Logo δ0 ≃ kR
tan k0 R −1 k0 R
,
e onda s σparcial
≃ 4πR
2
tan k0 R −1 k0 R
2
.
(10.3.96)
Para compararamos com o resultado obtido na aproxima¸c˜ao de Born, temos de considerar a aproxima¸c˜ao que est´a sempre presente na aproxima¸c˜ao de Born, isto ´e, que o potencial ´e fraco. Neste caso, k0 R ≪ 1 (note-se que esta ´e a condi¸c˜ao (10.2.41)). Usando tan x ≃ x + x3 /3, para x ≪ 1 obtemos
onda s σparcial ≃ 4πR2
16π µ2 V02 R6 (k0 R)4 = , 9 9 ~4
(10.3.97)
em concordˆancia com o resultado (10.2.46) obtido na aproxima¸c˜ao de Born. Alguns coment´arios: • Na aproxima¸c˜ao de Born, o potencial ´e considerado suficientemente fraco. Para al´em disso podemos, ou n˜ao, considerar uma aproxima¸c˜ao de baixas energias. Por contraste, no m´etodo das ondas parciais, ao aproximarmos a sec¸c˜ao eficaz total de difus˜ao pela sec¸c˜ao eficaz parcial da onda s estamos a assumir uma aproxima¸c˜ao de baixas
336
Teoria da Difus˜ ao energias. Para al´em disso podemos, ou n˜ao, considerar uma aproxima¸c˜ao de potencial fraco. Claro que s´o obtemos um acordo entre os dois m´etodos se considerarmos ambas as aproxima¸c˜oes nos dois casos.
• Por (10.3.96) vemos que, a sec¸c˜ao eficaz aumenta com a profundidade do po¸co V0 e diverge para tan k0 R = π/2. Esta ´e a profundidade para a qual o po¸co admite o primeiro estado ligado (Problema 4, Folha de Problemas 4, Mecˆanica Quˆantica I). Se continuarmos a aumentar a profundidade do po¸co a sec¸c˜ao eficaz diminui at´e zero, valor que ´e obtido para tan k0 R = k0 R. Aumentando a profundidade do po¸co a sec¸c˜ao eficaz oscila entre 0 e ∞, divergindo sempre que a profundidade do po¸co permite um novo estado ligado.
10.4
Difus˜ ao Inel´ astica
At´e agora lidamos neste cap´ıtulo unicamente com difus˜ao el´astica. Por´em, existem fen´omenos onde parte da energia do feixe incidente ´e absorvida, no estado final, pelos graus de liberdade internos das diferentes part´ıculas iniciais ou das part´ıculas alvo. Se estamos essencialmente interessados na parte da difus˜ao el´astica, descrevemos esta absor¸c˜ao globalmente, i.e. sem entrar nos detalhes das reac¸c˜oes de absor¸c˜ao. O m´etodo das ondas parciais fornece-nos o enquadramento adequado para uma descri¸c˜ao fenomenol´ogica da absor¸c˜ao. Comecemos por discutir, conceptualmente, a modifica¸c˜ao do m´etodo de modo a incluir o fen´omeno de absor¸c˜ao. O m´etodo das ondas parciais ´e usado para potenciais centrais. Por isso vamos assumir que as interac¸c˜oes que conduzem `a absor¸c˜ao s˜ao tamb´em invariantes por rota¸c˜ao. O m´etodo baseia-se no c´alculo de desfasamentos entre as ondas ‘incoming’ e ‘outgoing’, do tipo e2iδℓ , de acordo com (10.3.74). Como o m´odulo deste factor ´e 1, as amplitudes das ondas ‘incoming’ e ‘outgoing’ s˜ao iguais, pelo que a corrente de probabilidade que entra ´e igual `a que sai. Isto sugere que, se permitirmos que o desfasamento tenha uma parte imagin´aria, de modo a que |e2iδℓ | < 1 ,
(10.4.1)
10.4 Difus˜ ao Inel´ astica
337
teremos uma corrente de probabilidade a sair menor do que aquela que entrou, para a onda parcial ℓ. Este facto manifesta o desaparecimento de algumas part´ıculas e como tal um fen´omeno de absor¸c˜ao. Com este princ´ıpio iremos deduzir express˜oes para as sec¸c˜oes eficazes de difus˜ao e absor¸c˜ao. Note que a descri¸c˜ao que aqui ´e dada ´e fenomenol´ogica; esconde uma realidade de processos complexos que levam `as absor¸c˜oes aqui descritas.
10.4.1
Sec¸ c˜ oes eficazes de difus˜ ao el´ astica e de absor¸c˜ ao
Denotemos e2iδℓ ≡ ηℓ .
(10.4.2)
Impomos que |ηℓ | ≤ 1, de modo a descrever difus˜ao el´astica (se |ηℓ | = 1) ou difus˜ao com absor¸c˜ao (se |ηℓ | < 1). Reescrevemos (10.3.79) como vkdif (~r)
r→∞
≃
+∞ X p eikr e−iℓπ/2 (ηℓ − 1) + eikr e−iℓπ/2 − e−ikr eiℓπ/2 iℓ 4π(2ℓ + 1)Yℓ0 (θ) , 2irk ℓ=0 (10.4.3)
ou, usando (10.3.63) r→∞ vkdif (~r) ≃
ikz
e
+
+∞ X p
4π(2ℓ + 1)Yℓ0 (θ)
ℓ=0
(ηℓ − 1) eikr , 2ik r
(10.4.4)
de onde lemos que a amplitude de difus˜ao ´e +∞
ηℓ − 1 1 Xp 4π(2ℓ + 1)Yℓ0 (θ) fk (θ) = . k ℓ=0 2i
(10.4.5)
Logo, a sec¸c˜ao eficaz diferencial de difus˜ao, que agora denominamos sec¸c˜ao eficaz de difus˜ ao el´astica e denotamos σel ´e 1 σel (θ) = 2 k
2 +∞ X p η − 1 ℓ 4π(2ℓ + 1)Yℓ0 (θ) . 2i
(10.4.6)
ℓ=0
Consequentemente, a sec¸c˜ao eficaz total de difus˜ao el´astica ´e σel =
Z
+∞ π X σel (θ)dΩ = 2 (2ℓ + 1)|ηℓ − 1|2 . k ℓ=0
(10.4.7)
338
Teoria da Difus˜ ao
Note que a absor¸c˜ao ser´a m´axima se ηℓ = 0. Mas mesmo nesse caso a onda ℓ contribui para a sec¸c˜ao de difus˜ao el´astica! Ou seja, mesmo uma regi˜ao de interac¸c˜ao que seja um absorvedor perfeito produz difus˜ao el´astica. Este ´e um fen´omeno puramente quˆantico, denominado de difus˜ao por sombras. Analogamente ao que foi feito na sec¸c˜ao (10.1.1) para a sec¸c˜ao eficaz diferencial de difus˜ao, definimos a sec¸c˜ao eficaz de absor¸c˜ao, σabs , como sendo a raz˜ao entre o n´ umero de part´ıculas absorvidas por unidade de tempo dnabs e o fluxo incidente Fi : dnabs = σabs Fi .
(10.4.8)
Para calcular esta sec¸c˜ao eficaz ´e suficiente calcular a probabilidade total, ∆P, que desa~ parece por unidade de tempo. Esta probabilidade ´e, por sua vez, obtida da corrente J, associada com a fun¸c˜ao de onda (10.4.3): ∆P ´e a diferen¸ca entre o fluxo de ondas que entram e o das ondas que saem numa esfera de raio elevado R0 ; ou seja ´e menos o fluxo total atrav´es dessa esfera: ∆P = −
Z
S2
~=− J~ · dS
Z
Jr r 2 dΩ ,
(10.4.9)
r=R0
pois apenas a componente radial Jr contribui. Usando (10.1.16), temos Jr = Re
(vkdif )∗ (~r)
~ ∂ dif v (~r) iµ ∂r k
.
(10.4.10)
Como a derivada radial n˜ao altera a dependˆencia angular e usando a ortogonalidade dos harm´onicos esf´ericos obtemos ∆P = −
+∞ Z X ℓ
r=R0
Jr(ℓ) r 2 dΩ ,
(10.4.11)
onde Jr(ℓ) e como tal
r→+∞
≃
−
~k (2ℓ + 1)π (1 − |ηℓ |2 )|Yℓ0 (θ)|2 , µ k2r2
+∞ ~k π X ∆P = (2ℓ + 1)(1 − |ηℓ |2 ) . µ k2 ℓ
(10.4.12)
(10.4.13)
10.4 Difus˜ ao Inel´ astica
339
A sec¸c˜ao eficaz de absor¸c˜ao ´e a probabilidade ∆P a dividir pela corrente incidente ~k/µ, σabs
+∞ π X (2ℓ + 1)(1 − |ηℓ |2 ) . = 2 k ℓ
(10.4.14)
Note-se que σabs = 0 se todos os |ηℓ | = 1 como seria de esperar quando todos os desfasamentos forem puramente reais. Pelo contr´ario, se |ηℓ | = 0 a contribui¸c˜ao da onda ℓ para σabs ´e m´axima.
10.4.2
Sec¸ c˜ ao eficaz total e o teorema ´ optico
A sec¸c˜ao eficaz total ´e definida como a soma de todas as sec¸c˜oes eficazes (integradas sobre todo o espa¸co caso sejam sec¸c˜oes eficazes diferenciais). Corresponde ao n´ umero de part´ıculas que, por unidade de tempo, participam numa das reac¸c˜oes poss´ıveis (i.e s˜ao difundidas ou absorvidas), dividido pelo fluxo incidente. Logo σtotal = σel + σabs ,
(10.4.15)
ou usando (10.4.7) e (10.4.14), σtotal
+∞ +∞ π X π X 2 2 = 2 (2ℓ + 1) 1 − |ηℓ | + |ηℓ − 1| = 2 (2ℓ + 1) [1 − Re ηℓ ] . k ℓ k ℓ
(10.4.16)
Usando (10.4.5) e ainda o facto que os harm´onicos esf´ericos envolvidos s˜ao, para ˆangulo polar igual a zero: Yℓ0 (θ obtemos
= 0) =
r
2ℓ + 1 , 4π
+∞ 1 X Im fk (θ = 0) = (2ℓ + 1)Re (1 − ηℓ ) , 2k
(10.4.17)
(10.4.18)
ℓ
ou, comparando com (10.4.16)
σtotal =
4π Im fk (θ = 0) . k
(10.4.19)
´ uma rela¸c˜ao entre a sec¸c˜ao eficaz total Este resultado ´e designado por Teorema ´optico. E e a parte imagin´aria da amplitude de difus˜ao el´astica na direc¸c˜ao frontal (θ = 0). Note-se
340
Teoria da Difus˜ ao
que no caso em que n˜ao h´a absor¸c˜ao σtotal = σel e o teorema reduz-se a uma rela¸c˜ao entre a amplitude de difus˜ao na direc¸c˜ao frontal e a sec¸c˜ao eficaz total de difus˜ao. Que uma tal rela¸c˜ao exista ´e bastante natural. Para o compreender recordemos a forma dos estados estacion´arios de difus˜ao (10.1.13) ~ r →∞
vkdif (~r) −→ eikr cos θ + fk (θ, φ)
eikr ; r
(10.4.20)
A onda transmitida na direc¸c˜ao frontal ´e ~ r →∞
vkdif (r, θ = 0, φ) −→ eikr + fk (θ = 0, φ)
eikr ; r
(10.4.21)
que n˜ao ´e mais do que uma sobreposi¸c˜ao entre a onda incidente eikr e a onda difundida na direc¸c˜ao frontal fk (θ = 0, φ)eikr /r. A u ´ ltima ´e determinada pela amplitude de difus˜ao na direc¸c˜ao frontal. A onda transmitida ´e atenuada (relativamente `a onda incidente), devido `as part´ıculas difundidas em todas as direc¸c˜oes do espa¸co. Logo a sobreposi¸c˜ao entre a onda difundida na direc¸c˜ao frontal e a onda incidente tem de ter a informa¸c˜ao sobre as part´ıculas difundidas em todas as outras direc¸c˜oes. Logo ´e natural que exista uma rela¸c˜ao entre fk (θ = 0, φ) e σtotal .
10.5
Sum´ ario
Neste cap´ıtulo estudamos reac¸c˜oes de difus˜ao. As quantidades fundamentais do formalismo s˜ao a amplitude de difus˜ao, fk (θ, φ), e as sec¸c˜oes eficazes (diferencial e total) de difus˜ao σ(θ, φ) e σ. Todo o formalismo pode ser discutido em termos dos estados estacion´arios de difus˜ao (quando o potencial ´e indepentente do tempo, que ´e o caso aqui considerado), que s˜ao as fun¸c˜oes de onda do problema com o comportamento assimpt´otico correcto. Por considera¸c˜oes gen´ericas obtivemos a rela¸c˜ao (10.1.24): σ(θ, φ) = |fk (θ, φ)|2 . Esta equa¸c˜ao traduz a rela¸c˜ao entre a quantidade directamente relacion´avel com a experiˆencia σ(θ, φ) e a quantidade deriv´avel da teoria, fk (θ, φ). Estudamos seguidamente dois m´etodos te´oricos para calcular a amplitude de difus˜ao.
10.5 Sum´ ario
341
No primeiro m´etodo - m´etodo de Born - come¸camos por estabelecer a equa¸c˜ao integral de difus˜ao para obter os estados estacion´arios de difus˜ao. Estabelecemos a expans˜ao de Born e a aproxima¸c˜ao de Born que nos permitiu obter uma f´ormula aproximada, utiliz´avel, para calcular a amplitude de difus˜ao (e como tal a sec¸c˜ao eficaz de difus˜ao) para um determinado potencial (10.2.27): fkBorn (θ, φ)
µ =− 2π~2
Z
d3~re−i~q·~r V (~r) ,
q ≡ 2k sin
θ . 2
A f´ormula ´e v´alida para potenciais fracos de acordo com o crit´erio (10.2.24). Como exemplo calculamos a sec¸c˜ao eficaz de difus˜ao para um po¸co de potencial esf´erico e para o potencial de Yukawa. Para este u ´ ltimo caso recuperamos, no limite de alcance infinito, a f´ormula de Rutherford. No segundo m´etodo - m´etodo das ondas parciais -, v´alido apenas para potenciais com simetria esf´erica, come¸camos por estudar em detalhe as ondas esf´ericas livres e estabelecemos que as ondas parciais num potencial central arbitr´ario diferem, assimptoticamente, das ondas esf´ericas livres apenas por um desfasamento. Obtivemos uma express˜ao exacta para a amplitude de difus˜ao (10.3.83) em termos destes desfasamentos, causadas pelo potencial difusor:
+∞
fk (θ) =
1 Xp 4π(2ℓ + 1)eiδℓ sin δℓ Yℓ0 (θ) . k ℓ=0
Embora a f´ormula seja exacta, para ser utiliz´avel temos que assumir uma aproxima¸c˜ao de baixas energias (10.3.88), de modo a que seja apenas necessario saber os desfasamentos das ondas com ℓ mais baixo. Como aplica¸c˜ao do m´etodo consideramos novamente um po¸co de potencial esf´erico e recuperamos, no limite de baixas energias e potencial fraco o resultado da aproxima¸c˜ao de Born. Finalmente consideramos brevemente a difus˜ao inel´astica. Definimos a sec¸c˜ao eficaz de absor¸c˜ao, obtivemos uma express˜ao para o seu c´alculo e derivamos o teorema ´optico.
CAP´ITULO
11
M´ etodos perturbativos independentes e dependentes do tempo
Na sec¸c˜ao 9.2 discutimos qualitativamente que, para descrever a estrutura fina do espectro do ´atomo de hidrog´enio, ´e necess´ario levar em considera¸c˜ao v´arias correc¸c˜oes ao Hamiltoniano do problema de Coulomb, estudado no cap´ıtulo 6. Considerando tais correc¸c˜oes, o problema do ´atomo de hidrog´enio deixa de ser exactamente sol´ uvel e portanto ´e necess´ario considerarmos m´etodos de resolu¸c˜ao aproximada. Sendo que tais correc¸c˜oes s˜ao pequenas ´e natural considerarmos um m´etodo perturbativo. Neste cap´ıtulo consideramos sistemas f´ısicos cujo Hamiltoniano pode ser visto como uma soma de dois termos. Um primeiro termo pode ser considerado exactamente, isto ´e, o seu espectro e fun¸c˜oes pr´oprias podem ser calculados analiticamente. O segundo termo n˜ao ´e, genericamente, diagonalizado pelas fun¸c˜oes pr´oprias do primeiro termo, e o como tal o Hamiltoniano total n˜ao pode ser resolvido exactamente. No entanto, o segundo termo pode ser considerado muito menor do que o primeiro e como tal o Hamiltoniano total pode ser resolvido atrav´es de uma expans˜ao perturbativa, que poder´a ser truncada na ordem desejada obtendo-se o espectro e fun¸c˜oes pr´oprias do Hamiltoniano total com uma precis˜ao que ser´a tanto maior quanto maior for a ordem considerada. Come¸camos por considerar o c´alculo de estados estacion´arios de sistemas descritos por
344
M´ etodos perturbativos independentes e dependentes do tempo
Hamiltonianos independentes do tempo. Seguidamente estudaremos Hamiltonianos cujas perturba¸c˜oes s˜ao dependentes do tempo.
11.1
Teoria das perturba¸ c˜ oes estacion´ arias
Consideramos o Hamiltoniano ˆ =H ˆ0 + W ˆ , H
(11.1.1)
ˆ 0 ´e o Hamiltoniano n˜ao perturbado e W ˆ ´e o Hamiltoniano da perturba¸c˜ao. O facto onde H ˆ ser uma perturba¸c˜ao significa que a sua contribui¸c˜ao para os valores pr´oprios e os de W ˆ ´e muito menor do que a contribui¸c˜ao de H ˆ 0 ; esquematicamente vectores pr´oprios de H escrevemos ˆ | ≪ |H ˆ 0| , |W
(11.1.2)
mas o sentido preciso deste crit´erio ser´a esclarecido posteriormente. Para tornar expl´ıcita ˆ ≡ λVˆ , onde λ ≪ 1. a an´alise perturbativa, escrevemos W Assumimos que conhecemos a forma exacta dos valores pr´oprios e estados pr´oprios de ˆ 0 , sendo o seu espectro {E 0 } discreto: H p ˆ 0 |φi i = E 0 |φi i , H p p p
(11.1.3)
onde i = 1, . . . , dp ´e um ´ındice no sub-espa¸co degenerado das energias, e {|φip i} constitui uma base ortonormalizada de estados pr´oprios ′ hφip |φip′ i
ii′
= δ δpp′ ,
dp XX p
i=1
ˆ. |φip ihφip | = 1
(11.1.4)
Com este formalismo, podemos calcular solu¸c˜oes aproximadas da equa¸c˜ao de valores pr´oprios ˆ H(λ)|Ψ(λ)i = E(λ)|Ψ(λ)i ,
(11.1.5)
ˆ =H ˆ 0 + λVˆ , usando uma expans˜ao perturbativa em λ. Para este fim, assumimos onde H que tanto o valor pr´oprio E(λ), como o vector pr´oprio, |Ψ(λ)i, admitem uma expans˜ao em
11.1 Teoria das perturba¸c˜ oes estacion´ arias
345
potˆencias de λ, da forma, respectivamente, 2
E(λ) = ǫ0 + λǫ1 + λ ǫ2 + . . . =
+∞ X
λn ǫn ,
(11.1.6)
n=0
2
|Ψ(λ)i = |0i + λ|1i + λ |2i + . . . = Substituindo estas expans˜oes em (11.1.5) obtemos ! ! +∞ +∞ X X ˆ 0 + λVˆ ) (H λn |ni = λn ǫn n=0
+∞ X n=0
n=0
λn |ni .
+∞ X
m=0
λm |mi
(11.1.7)
!
.
(11.1.8)
Igualando as potˆencias de λ obtemos um conjunto infinito de equa¸c˜oes: • Ordem 0 :
ˆ 0 |0i = ǫ0 |0i . H
(11.1.9)
Este ordem corresponde ao sistema sem perturba¸c˜ao. • Ordem 1 :
• Ordem 2 :
ˆ 0 − ǫ0 |1i + Vˆ − ǫ1 |0i = 0 ; H
(11.1.10)
ˆ 0 − ǫ0 |2i + Vˆ − ǫ1 |1i − ǫ2 |0i = 0 ; H
(11.1.11)
• Ordem n:
ˆ 0 − ǫ0 |ni + Vˆ − ǫ1 |n − 1i − ǫ2 |n − 2i − . . . − ǫn |0i = 0 . H
(11.1.12)
No que se segue estudaremos as correc¸c˜ao ao espectro e fun¸c˜oes pr´oprias at´e segunda ordem em λ. Para determinarmos a fun¸c˜ao de onda numa dada ordem em λ, recordamos que a equa¸c˜ao de valores pr´oprios (11.1.5) determina a fun¸ca˜o de onda a menos de uma constante. Esta constante pode ser escolhida de modo a que: i) a fun¸c˜ao de onda esteja normalizada, hΨ(λ)|Ψ(λ)i = 1;
346
M´ etodos perturbativos independentes e dependentes do tempo
ii) como fica ainda a liberdade residual de escolher a fase da fun¸c˜ao de onda, tomamos esta fase de modo a que h0|Ψ(λ)i seja real em qualquer ordem da expans˜ao em λ. Com estas duas condi¸c˜oes temos: • Ordem 0 : Dado que nesta ordem |Ψ(λ)i = |0i as duas condi¸c˜oes traduzem-se em h0|0i = 1; isto ´e, o estado |0i est´a normalizado; • Ordem 1 : Nesta ordem |Ψ(λ)i = |0i + λ|1i; a normaliza¸c˜ao da fun¸c˜ao de onda, nesta ordem, significa 1 = (h0| + λh1|) (|0i + λ|1i) = h0|0i + λ (h0|1i + h1|0i) + O(λ2 ) ;
(11.1.13)
usando o resultado de ordem zero, obtemos h0|1i = −h0|1i∗ , ou seja, h0|1i ´e um imagin´ario puro. Por outro lado, a condi¸c˜ao ii) implica que h0|Ψ(λ)i = h0|0i + λh0|1i = 1 + λh0|1i seja real, ou seja h0|1i tem de ser real. Logo h0|1i = h1|0i = 0 .
(11.1.14)
• Ordem 2 : Por um racioc´ınio an´alogo conclui-se que 1 h0|2i = h2|0i = − h1|1i . 2
(11.1.15)
• Ordem n: Analogamente conclui-se que 1 h0|ni = hn|0i = − [hn − 1|1i + hn − 2|2i + . . . + h2|n − 2i + h1|n − 1i] . (11.1.16) 2 ˆ no espectro e vectores Para considerarmos em detalhe o efeito da perturaba¸c˜ao W ˆ 0 consideremos separadamente os n´ıveis de H ˆ 0 degenerado e n˜ao degenerados. pr´oprios de H
11.1 Teoria das perturba¸c˜ oes estacion´ arias
11.1.1
347
Perturba¸c˜ ao de um n´ıvel n˜ ao degenerado
ˆ 0 , com valor pr´oprio E 0 e vector pr´oprio assoConsideramos um n´ıvel n˜ao degenerado de H n ˆ En (λ), e a func˜ao pr´opria correspondente, ciado |φn i. Vamos calcular o valor pr´oprio de H, |Ψn (λ)i, at´e segunda ordem em λ; ou seja, vamos calcular ǫ0 , ǫ1 , ǫ2 e |0i, |1i, |2i. Ordem 0 Em ordem 0, En (λ) = ǫ0 e |Ψn (λ)i = |0i, isto ´e, ignoramos a perturba¸c˜ao. A energia e ˆ0 estado correspondem aos de H
ǫ0 = En0 ,
|0i = |φn i .
(11.1.17)
Ordem 1 Em ordem 1, En (λ) = ǫ0 + λǫ1 e |Ψn (λ)i = |0i + λ|1i. Para calcular ǫ1 projectamos a equa¸c˜ao (11.1.10) em hφn | = h0|: ˆ 0 − ǫ0 |1i + hφn | Vˆ − ǫ1 |0i = 0 ; hφn | H ˆ 0 |φn i = ǫ0 |φn i, o primeiro termo ´e zero; como |0i = |φn i est´a normalizado dado que H concluimos que ǫ1 = hφn |Vˆ |φn i .
(11.1.18)
ˆ |φn i + O(λ2 ) . En (λ) = En0 + hφn |W
(11.1.19)
Logo, em primeira ordem
A correc¸c˜ao de primeira ordem `a energia de um n´ıvel n˜ao degenerado |φn i ´e dada pelo valor esperado da perturba¸c˜ao nesse mesmo estado n˜ao perturbado |φn i. Para calcularmos o estado em primeira ordem em λ projectamos (11.1.10) em todos os ˆ 0 (que n˜ao |φn i), {|φi i}. Note-se que os outros n´ıveis p 6= n outros estados pr´oprios de H p podem ser degenerados, pelo que mantemos o ´ındice i. Obtemos ˆ 0 − ǫ0 |1i + hφi | Vˆ − ǫ1 |0i = 0 ; hφip | H p
348
M´ etodos perturbativos independentes e dependentes do tempo
Como |φn i e |φip i para n 6= p s˜ao estados pr´oprios associados a valores pr´oprios distintos, ˆ 0 |φi i = E 0 |φi i obtemos hφip |φn i = 0; usando ainda que H p p p hφip |Vˆ |φn i , En0 − Ep0
hφip |1i =
p 6= n .
(11.1.20)
Como hφn |1i = 0, por (11.1.14) temos todos os coeficientes da projec¸c˜ao de |1i na base de
ˆ 0 . Logo fun¸c˜oes pr´oprias de H |1i =
dp XX p
i=1
|φip ihφip |1i
=
dp XX hφip |Vˆ |φn i p6=n i=1
En0 − Ep0
|φip i .
(11.1.21)
ˆ ´e Consequentemente, em primeira ordem em λ, o estado pr´oprio de H |Ψn (λ)i = |φn i +
dp ˆ |φn i XX hφip |W p6=n i=1
En0 − Ep0
|φip i + O(λ2 ) .
(11.1.22)
ˆ 0 ´e uma mistura de todos os A correc¸c˜ao de primeira ordem ao estado pr´oprio |φn i de H
ˆ 0 , {|φi i}. A contribui¸c˜ao de um determinado estado |φi i outros estados pr´oprios de H p p para esta mistura ´e tanto maior quanto: i) maior for o elemento de matriz da perturba¸c˜ao entre este estado e o estado n˜ao perturbado; ii) mais pr´oxima da energia do estado n˜ao perturbado for a energia deste estado. Podemos agora precisar o crit´erio (11.1.2) relativo `a validade do m´etodo perturbativo: 1) Por (11.1.19) requeremos que os elementos diagonais da perturba¸c˜ao sejam muito ˆ 0 correspondentes menores que os elementos diagonais de H ˆ |φn i| ≪ |E 0 | ; |hφn |W n
(11.1.23)
2) Por (11.1.22) requeremos que os elementos n˜ao diagonais da perturba¸c˜ao sejam muito ˆ 0 correspondentes aos estados menores que as diferen¸cas entre os valores pr´oprios de H em quest˜ao ˆ |φn i| ≪ |E 0 − E 0 | . |hφip|W n p
(11.1.24)
11.1 Teoria das perturba¸c˜ oes estacion´ arias
349
Ordem 2 Em ordem 2, En (λ) = ǫ0 + λǫ1 + λ2 ǫ2 e |Ψn (λ)i = |0i + λ|1i + λ2 |2i. Para calcular ǫ2 projectamos a equa¸c˜ao (11.1.11) em hφn | = h0|: ˆ 0 − ǫ0 |2i + hφn | Vˆ − ǫ1 |1i − ǫ2 hφn |0i = 0 . hφn | H
(11.1.25)
Tal como em ordem 1, o primeiro termo ´e zero; por (11.1.14), hφn |1i = 0 e usando hφn |0i = 1
temos1
ǫ2 = hφn |Vˆ |1i
(11.1.21)
=
p6=n i=1
Logo, em segunda ordem em λ: En (λ) =
En0
ˆ |φn i + + hφn |W
dp XX |hφip|Vˆ |φn i|2
En0 − Ep0
dp ˆ |φn i|2 XX |hφip |W p6=n i=1
En0
−
Ep0
,
+ O(λ3 ) .
(11.1.26)
(11.1.27)
Nesta ordem, a contribui¸c˜ao do estado |φip i para o valor pr´oprio da energia do estado n˜ao
ˆ , ´e tanto maior quanto: i) maior for o acoplamento perturbado |φn i, devida `a perturba¸c˜ao W
ˆ |φn i; ii) mais pr´oximas forem as energias E 0 e E 0 . Quanto maiores forem estas hφip |W p n
contribui¸c˜oes mais os estados |φn i e |φip i se repelem.
Para calcularmos o estado em segunda ordem em λ projectamos (11.1.11) em todos os ˆ 0 (que n˜ao |φn i), {|φi i}. Obtemos outros estados pr´oprios de H p ˆ 0 − ǫ0 |2i + hφi | Vˆ − ǫ1 |1i + ǫ2 hφi |0i = 0 ; hφip | H p p
Como |φn i e |φip i para n 6= p s˜ao estados pr´oprios associados a valores pr´oprios distintos,
ˆ 0 |φi i = E 0 |φi i obtemos ´ ltimo termo ´e zero; usando ainda que H hφip |φn i = 0 e o u p p p hφip | Vˆ − ǫ1 |1i i , n 6= p . (11.1.28) hφp |2i = En0 − Ep0 ˆ 0, Expandindo |2i na base pr´opria de H |2i = 1
dp XX p
i=1
hφip |2i|φipi
=
dp XX p6=n i=1
hφip |2i|φipi + hφn |2i|φn i ,
Note-se que, para conhecer a energia em segunda ordem necessitamos do estado em primeira ordem. Genericamente, para conhecermos a energia em ordem n necessitamos do estado at´e ordem n − 1.
350
M´ etodos perturbativos independentes e dependentes do tempo
e usando (11.1.28) e a rela¸c˜ao (11.1.15) temos dp hφi | V ˆ − ǫ1 |1i XX p h1|1i |φip i − |φn i . |2i = 0 0 En − Ep 2 p6=n i=1
(11.1.29)
Usando agora (11.1.21) e (11.1.18), obtemos uma rela¸c˜ao expl´ıcita para |2i em fun¸c˜ao de elementos de matriz da perturba¸c˜ao na base |φim i:
dp dp dm XX XX XX hφip |Vˆ |φn ihφn |Vˆ |φn i i hφip |Vˆ |φjm i hφjm |Vˆ |φn i i |φ i − |2i = |φp i p 0 En0 − Ep0 En0 − Em (En0 − Ep0 )2 p6=n i=1 p6=n i=1 m6=n j=1 dp 1 X X |hφip|Vˆ |φn i|2 − |φn i 2 p6=n i=1 (En0 − Ep0 )2
.
(11.1.30)
ˆ ´e Logo, em segunda ordem em λ, o estado pr´oprio de H ! dp ˆ |φn i|2 1 X X |hφip |W |Ψn (λ)i = 1 − |φn i 2 p6=n i=1 (En0 − Ep0 )2 ! dp ˆ |φn i XX ˆ |φn i hφip |W hφn |W + 1− |φip i 0 − E0 0 − E0 E E n p n p p6=n i=1
(11.1.31)
dp dm ˆ |φj i hφj |W XX XX ˆ |φn i hφip |W m m + |φip i + O(λ3 ) . 0 0 0 0 En − Ep En − Em p6=n i=1 m6=n j=1
Ordem de grandeza do erro numa aproxima¸c˜ ao de primeira ordem Se decidirmos truncar a expans˜ao de En (λ) e |Ψ(λ)i em primeira ordem em λ, podemos ter uma ideia do erro envolvido no c´alculo majorando o termo da energia de ordem 2. 0 ˆ 0 . Denotemos ∆E ≡ |E 0 −E 0 |. Seja Em a energia mais pr´oxima de En0 no espectro de H n m
Logo |En0 − Ep0 | ≥ ∆E ,
∀p6=n .
Podemos assim majorar o termo ǫ2 usando a express˜ao (11.1.26): # " dp dp XX 1 1 XX i ˆ |hφp|V |φn i|2 = |ǫ2 | ≤ |φip ihφip | Vˆ |φn i hφn |Vˆ ∆E p6=n i=1 ∆E p6=n i=1 2 1 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ hφn |V |φn i − hφn |V |φn i . hφn |V 1 − |φn ihφn | V |φn i = = ∆E ∆E
(11.1.32)
(11.1.33)
11.1 Teoria das perturba¸c˜ oes estacion´ arias Logo |λ2 ǫ2 | ≤
351
ˆ )2 (∆W , ∆E
(11.1.34)
ˆ ´e o desvio padr˜ao da perturba¸c˜ao no estado n˜ao perturbado. Logo, em ordem onde ∆W 1, a correc¸c˜ao `a energia ´e o valor m´edio da perturba¸c˜ao no estado n˜ao perturbado e o erro ´e estimado usando o desvio padr˜ao da perturba¸c˜ao nesse mesmo estado.
11.1.2
Perturba¸c˜ ao a um n´ıvel degenerado
ˆ 0 , com valor pr´oprio E 0 e grau de deConsideremos agora um n´ıvel degenerado de H n generescˆencia dn , 1 < dn < +∞. Seja En0 o sub-espa¸co vectorial gerado pelos vectores
ˆ 0 associados a E 0 , {|φi i}. Neste caso vamos limitar a nossa an´alise `a primeira pr´oprios de H n n ordem nos valores pr´oprios e ordem zero nos vectores pr´oprios. Ordem 0 Em ordem 0, En (λ) = ǫ0 e |Ψn (λ)i = |0i. Claramente ǫ0 = En0 ,
|0i =
dn X i=1
ci |φin i ,
onde
dn X i=1
|ci |2 = 1 .
(11.1.35)
Note-se que existe uma indefini¸c˜ao na escolha de |0i, devida `a degenerescˆencia do n´ıvel em an´alise. Essa indefini¸c˜ao ser´a levantada em ordens superiores, caso a degenerescˆencia tamb´em o seja. Ordem 1 Em ordem 1, En (λ) = ǫ0 +λǫ1 e |Ψn (λ)i = |0i+λ|1i. Para calcular ǫ1 e simultaneamente |0i, projectamos a equa¸c˜ao (11.1.10) em hφin |. Por uma an´alise analoga ao caso n˜ao degenerado obtemos hφin |Vˆ |0i = ǫ1 hφin |0i .
(11.1.36)
Inserindo a rela¸c˜ao de fecho, dp XX p
j=1
hφin |Vˆ |φjp ihφjp|0i = ǫ1 hφin |0i .
(11.1.37)
352
M´ etodos perturbativos independentes e dependentes do tempo
Por (11.1.35), o termo hφjp |0i s´o ´e diferente de zero para p = n; logo dn X j=1
hφin |Vˆ |φjn ihφjn |0i = ǫ1 hφin |0i .
(11.1.38)
Escrevendo os elementos de matriz hφin |Vˆ |φjn i ≡ Vnij e usando (11.1.35), esta equa¸c˜ao reescreve-se Vnij cj = ǫ1 ci ⇔ Vˆn |0i = ǫ1 |0i .
(11.1.39)
Isto ´e, para calcular os valores pr´oprios em ordem 1 e simultaneamente o vector pr´oprio em ˆ ordem zero, de H(λ), correspondentes `a perturba¸c˜ao de um n´ıvel degenerado En0 , temos de diagonalizar a perturba¸c˜ao Vˆ no sub-espa¸co En0 associado a En0 . Cada estado em En0 pode ter uma correc¸c˜ao diferente na energia por ac¸c˜ao da perturba¸c˜ao; isto ´e, em primeira ordem En,j (λ) = En0 + λǫj1 ,
j = 1, . . . , fn(1) ≤ dn ,
(11.1.40)
onde os v´arios ǫj1 s˜ao obtidos resolvendo a equa¸c˜ao caracter´ıstica (11.1.39), correspondendo (1)
o ´ındice j ao n´ umero de solu¸c˜oes distintas, num total de (em primeira ordem) fn , que necessariamente n˜ao ir´a exceder a dimens˜ao do sub-espa¸co vectorial degenerado, dn . Relativamente ao vector pr´oprio |0i, existem duas possibilidades: • Se a perturba¸c˜ao levantar totalmente a degenerescˆencia de En0 em primeira ordem, i.e. (1)
fn = dn , o vector pr´oprio |0i ´e unicamente determinado pela equa¸c˜ao caracter´ıstica
ˆ (11.1.39). Neste caso existe um u ´ nico vector pr´oprio de H(λ) em ordem zero com
valor pr´oprio En0 + λǫj1 em ordem 1. • Se a perturba¸c˜ao n˜ao levantar totalmente a degenerescˆencia de En0 em primeira ordem, (1)
i.e. fn
< dn , o vector pr´oprio |0i n˜ao ´e unicamente determinado pela equa¸c˜ao
caracter´ıstica (11.1.39); para cada energia En0 + λǫj1 , em primeira ordem, |0i pertence
a um espa¸co vectorial cuja dimens˜ao ´e a degenerescˆencia En0 + λǫj1 em ordem 1.
11.1.3
ˆ X ˆ2 e X ˆ 3 a um potencial harm´ Perturba¸c˜ oes X, onico
ˆ X ˆ2 e X ˆ3 Vamos agora ilustrar o formalismo estudado considerando perturba¸c˜oes do tipo X, num potencial harm´onico um dimensional. No primeiro e segundo caso, o problema com a
11.1 Teoria das perturba¸c˜ oes estacion´ arias
353
perturba¸c˜ao ´e ainda exactamente sol´ uvel, pelo que podemos testar o m´etodo perturbativo comparando-o com a solu¸c˜ao exacta. O terceiro caso n˜ao tem solu¸c˜ao exacta, mas ´e de ˆ 3 ´e o primeiro termo n˜ao harm´onico na expans˜ao interesse pr´atico, pois um termo do tipo X de Taylor de um potencial arbitr´ario em torno de um ponto estacion´ario. Note que o ˆ 0 ser´a n˜ao degenerado. espectro de H Perturba¸ c˜ ao por um potencial linear ˆ 0 o Hamiltoniano do oscilador harm´onico em uma dimens˜ao (5.1.1) Seja H 2 ˆ2 ˆ2 . ˆ 0 = P + mω X H 2m 2
(11.1.41)
O seu espectro ´e En0
=
1 n+ 2
n ∈ N0 ,
~ω,
(11.1.42)
e o conjunto de fun¸c˜oes pr´oprias normalizadas ´e denotado, tal como no cap´ıtulo 5, {|Φn i}. Consideramos a perturba¸c˜ao
√ ˆ = λ m~ω 3 X ˆ . W
(11.1.43)
ˆ ˆ0 + W ˆ pode ser Analisemos primeiro a solu¸c˜ao exacta. O Hamiltoniano total H(λ) =H escrito mω 2 Pˆ 2 ˆ + H(λ) = 2m 2
ˆ +λ X
r
!2 ~ ˆ ω~ ˆ 1 − λ2 1 . mω 2
ˆ ´e Concluimos imediatamente que o espectro de H 1 − λ2 En (λ) = n + ~ω, 2
n ∈ N0 .
(11.1.44)
(11.1.45)
Para calcularmos as novas fun¸c˜oes pr´oprias notamos que o efeito da perturba¸c˜ao consiste, para al´em da adi¸c˜ao de uma energia ao Hamiltoniano, numa transla¸c˜ao r ~ ˆ ˆ →X ˆ +λ X 1. mω ˆ O Hamiltoniano H(λ) ´e ainda um problema harm´onico can´onico (a menos da soma de uma energia) quando interpretado em termos da posi¸c˜ao transladada, dado que o operador momento pode ainda ser interpretado como o momento can´onico conjugado da posi¸c˜ao
354
M´ etodos perturbativos independentes e dependentes do tempo
transladada. Recordamos que o operador transla¸c˜ao foi definido no Problema 8 da folha de problemas 5, como sendo Tˆ∆x , com ac¸c˜ao Tˆ∆x f (x) = f (x + ∆x) ,
(11.1.46)
e com representa¸c˜ao ˆ Tˆ∆x = ei∆xP /~ . (11.1.47) p p Usando ∆x = λ ~/mω e, de (5.1.4), Pˆ = −i mω~/2(ˆ a−a ˆ† ), obtemos, em termos de
operadores de cria¸c˜ao e destrui¸c˜ao
√
† Tˆ∆x = eλ(ˆa−ˆa )/
2
.
(11.1.48)
ˆ Logo, as fun¸c˜oes pr´oprias de H(λ), |Ψn (λ)i, podem ser obtidas pela ac¸c˜ao da transla¸c˜ao em |Φn i:
√
† )/
|Ψn (λ)i = eλ(ˆa−ˆa
2
|Φn i ,
ou, usando (5.1.30), (5.1.31) e expandindo a exponencial em s´erie de Taylor, r r n n+1 |Φn−1 i − λ |Φn+1 i + O(λ2 ) . |Ψn (λ)i = |Φn i + λ 2 2
(11.1.49)
(11.1.50)
Vamos agora usar a teoria de perturba¸c˜oes estacion´arias para reproduzir os resultados ˆ em termos dos operadores (11.1.45) e (11.1.50). Come¸camos por escrever a perturba¸c˜ao W de destrui¸c˜ao e cria¸c˜ao, usando (5.1.4): r ~ ˆ= X (ˆ a+a ˆ† ) 2mω
⇒
~ω ˆ = λ√ W (ˆ a+a ˆ† ) . 2
(11.1.51)
Claramente, a perturba¸c˜ao mistura o estado |Φn i apenas com |Φn−1 i e |Φn+1 i; os u ´ nicos elementos de matriz da perturba¸c˜ao n˜ao nulos s˜ao r r n + 1 ˆ |Φn i = λ~ω ˆ |Φn i = λ~ω n . hΦn+1 |W , hΦn−1 |W 2 2 Logo, usando (11.1.27), En (λ) em ordem 2 ´e ~ω 1 − λ2 + O(λ3 ) . En (λ) = ~ω n + 2 2
(11.1.52)
(11.1.53)
11.1 Teoria das perturba¸c˜ oes estacion´ arias
355
Nesta ordem obtemos o resultado exacto (11.1.45); pode-se demonstrar que todos os termos de ordem superior a 2 s˜ao de facto zero. Usando (11.1.22) obtemos r r n n+1 |Φn−1 i − λ |Φn+1 i + O(λ2 ) , |Ψn (λ)i = |Φn i + λ 2 2
(11.1.54)
em acordo com (11.1.50) nesta ordem. Perturba¸ c˜ ao por um potencial quadr´ atico Perturbamos agora (11.1.41) por um potencial quadr´atico 2
ˆ2 . ˆ = λ mω X W 2
(11.1.55)
Obviamente, o Hamiltoniano total ´e o de um oscilador harm´onico can´onico com frequˆencia √ ω 1 + λ. Como tal, o espectro de energias ´e λ λ2 1 En (λ) = ~ω n + 1+ − + ... . (11.1.56) 2 2 8 Podemos tamb´em relacionar os operadores de cria¸c˜ao e destrui¸c˜ao na presen¸ca da perturba¸c˜ao e na ausˆencia da perturba¸c˜ao. Como a rela¸c˜ao entre eles ´e complexa, vamos restringir a nossa an´alise ao espectro. Para usarmos a teoria de perturba¸c˜oes escrevemos a perturba¸c˜ao em termos de operadores de cria¸c˜ao e destrui¸c˜ao, ˆ = λ ~ω (ˆ W a† )2 + a ˆa ˆ† + a ˆ† a ˆ + (ˆ a)2 4
,
de onde se conclui que os elementos de matriz n˜ao nulos s˜ao λ~ω 1 ˆ hΦn |W |Φn i = n+ , 2 2 p p ˆ |Φn i = λ~ω (n + 1) (n + 2) , hΦn−2 |W ˆ |Φn i = λ~ω n (n − 1) . hΦn+2 |W 4 4
(11.1.57)
(11.1.58)
Logo, usando (11.1.27), En (λ) em ordem 2 ´e 2 2 (n + 1)(n + 2) n(n − 1) λ~ω 1 λ~ω λ~ω 1 + n+ − + En (λ) = ~ω n + 2 2 2 4 2~ω 4 2~ω 2 1 λ λ = ~ω n + 1+ − + . . . + O(λ3 ) , 2 2 8 (11.1.59)
em acordo com o c´alculo exacto (11.1.56).
356
M´ etodos perturbativos independentes e dependentes do tempo
Perturba¸ c˜ ao por um potencial c´ ubico Perturbamos agora (11.1.41) por um potencial c´ ubico r 3 5 ˆ3 . ˆ =λ m ω X W ~
(11.1.60)
No problema cl´assico, x(t) deixa de ser sinusoidal, aparecendo uma s´erie de harm´onicos da frequˆencia fundamental; o per´ıodo deixa de ser independente da energia e o movimento deixa de ser sim´etrico relativamente `a origem. Relativamente ao problema quˆantico come¸camos por exprimir a perturba¸c˜ao em termos de operadores de cria¸c˜ao e destrui¸c˜ao. Usando (11.1.51) obtemos, usando as rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao entre a ˆ, a ˆ† e o operador de ˆ = aˆ† a n´ umero N ˆ, ~ω 3 ˆa ˆ + 1)ˆ ˆ = λ√ a ˆ + (ˆ a† )3 + 3N ˆ† + 3(N a . W 8
(11.1.61)
Com esta forma ´e simples concluir que os u ´ nicos elementos de matriz n˜ao nulos para a perturba¸c˜ao s˜ao p p ˆ |Φn i = λω~ ˆ |Φn i = λω~ √ √ hΦn+3 |W (n + 1)(n + 2)(n + 3) , hΦn−3 |W n(n − 1)(n − 2) , 8 8 ˆ |Φn i = 3λω~ ˆ |Φn i = 3λω~ √ (n + 1)3/2 , hΦn−1 |W √ n3/2 . hΦn+1 |W 8 8 (11.1.62) Usando (11.1.27), verificamos que a contribui¸c˜ao de primeira ordem para En (λ) ´e zero; levando em conta a contribui¸c˜ao de segunda ordem obtemos 2 15 2 1 7 1 − λ ω~ n + − λ2 ω~ + O(λ3 ) . En (λ) = ~ω n + 2 4 2 16
(11.1.63)
Em segunda ordem, a perturba¸c˜ao diminui a energia de todos os n´ıveis. Quanto mais elevado for o n´ıvel maior a diminui¸c˜ao de energia. Note-se que, como tal, n´ıveis consecutivos j´a n˜ao s˜ao equidistantes. ˆ em primeira ordem, Usando (11.1.22) obtemos, para os estados de H, r r λ (n + 1)(n + 2)(n + 3) λ n(n − 1)(n − 2) |Ψn (λ)i = |Φn i − |Φn+3 i + |Φn−3 i 3 8 3 8 r r n3 (n + 1)3 |Φn−1 i − 3λ |Φn+1 i + O(λ2 ) . +3λ 8 8 (11.1.64)
11.1 Teoria das perturba¸c˜ oes estacion´ arias
357
O efeito da perturba¸c˜ao ´e misturar o estado |Φn i com os estados |Φn+3 i, |Φn−3 i, |Φn+1 i e |Φn−1 i.
11.1.4
Estrutura fina do ´ atomo de Hidrog´ enio
Como aplica¸c˜ao da teoria de perturba¸c˜oes estacion´arias vamos estudar a estrutura fina e hiperfina2 do ´atomo de Hidrog´enio. Como discutido na sec¸c˜ao 9.2, o Hamiltoniano usado ˆ 0 , ´e apenas aproximado, dado que para descrever o ´atomo de Hidrog´enio no cap´ıtulo 6, H negligencia todos os efeitos relativistas, em particular os efeitos magn´eticos e de spin, para al´em de n˜ao considerar o spin nuclear. Estes efeitos s˜ao necess´arios para explicar os espectros observados; de facto, embora conduzam a apenas pequenas altera¸c˜oes do espectro estudado no cap´ıtulo 6, a enorme precis˜ao da espectroscopia evidencia claramente estas altera¸c˜oes. Sendo pequenas podemos usar teoria de perturba¸c˜oes para as estudar. O Hamiltoniano de estrutura fina O Hamiltoniano de estrutura fina pode ser obtido directamente da equa¸c˜ao de Dirac. Embora esta equa¸c˜ao possa ser resolvida exactamente para um potencial de Coulomb, ´e instrutivo considerar uma an´alise perturbativa, que evidencia a interpreta¸c˜ao f´ısica de cada um dos termos no problema. O operador Hamiltoniano que descreve o ´atomo de Hidrog´enio, incluindo os termos respons´aveis pela estrutura fina, toma a seguinte forma: ˆ = me c2 1 ˆ0 + W ˆ mv + W ˆ SO + W ˆD . ˆ+H H
(11.1.65)
Consideremos os v´arios termos individualmente: • me c2 ´e a energia associada `a massa em repouso do electr˜ao; ˆ 0 ´e o Hamiltoniano considerado no cap´ıtulo 6; este leva apenas em conta o termo • H cin´etico n˜ao relativista e o potencial de Coulomb 2 ˆ2 ˆ0 = P − 1 e . H 2me 4πǫ0 r 2
A estrutura hiperfina ser´a descrita nas aulas te´orico-pr´ aticas se houver tempo para tal.
(11.1.66)
358
M´ etodos perturbativos independentes e dependentes do tempo Note-se, que neste termo, o facto de a massa do prot˜ao ser finita pode ser levado em considera¸c˜ao substituindo me pela massa reduzida do sistema prot˜ao-electr˜ao µ.
ˆ mv ´e a primeira correc¸c˜ao relativista ao termo cin´etico: • W ˆ4 ˆ mv = − P . W 8m3e c2
(11.1.67)
Este termo ´e f´acil de obter considerando a express˜ao relativista para a energia s p p~2 ~p2 p~4 2 2 2 2 2 E = c p~ + me c = me c 1 + 2 2 = me c 1 + − + ... ; me c 2m2e c2 8m4e c4 (11.1.68) os trˆes primeiros termos me c2 ,
p ~2 2me
4
e − 8mp~3 c2 , correspondem a trˆes dos termos pree
sentes em (11.1.65): a energia correspondente `a massa em repouso, o termo cin´etico ˆ 0 e a primeira correc¸c˜ao relativista `a energia cin´etica n˜ao relativista presente em H que resulta da varia¸c˜ao da massa com a velocidade. Para estimarmos a ordem de ˆ mv e H ˆ 0 estimamos o u magnitude relativa entre W ´ ltimo pelo termo cin´etico: ˆ mv | |W = ˆ 0| |H
|~ p4 | 8m3e c2 |~ p2 | 2me
v 2 |~p2 | ∼ α2 ≃ ∼ 2 2 ∼ me c c
1 137
2
,
(11.1.69)
onde usamos a rela¸c˜ao (9.2.2). Como as energias do espectro n˜ao perturbado s˜ao da ˆ 0 | ∼ 10 eV , a perturba¸c˜ao ser´a da ordem de |W ˆ mv | ∼ 10−3 eV , o que ordem de |H justifica o uso de teoria de perturba¸c˜oes. ˆ SO ´e o acoplamento spin-´orbita: • W ˆ SO = W
ˆ ~ ~ dV (R) ˆ · Sˆ . L ˆ dR ˆ 2m2 c2 R 1
(11.1.70)
e
A origem f´ısica deste termo pode ser compreendida pela seguinte an´alise cl´assica: o electr˜ao move-se com velocidade ~v no campo el´ectrico do prot˜ao. Logo vˆe um campo magn´etico que pode ser estimado pela transforma¸c˜ao de Lorentz do campo ~ electrost´atico do prot˜ao E ~ ′ ≃ − ~v × E ~ . B c2
(11.1.71)
11.1 Teoria das perturba¸c˜ oes estacion´ arias
359
Como o electr˜ao tem um dipolo magn´etico que resulta do seu spin, existe uma intera¸c˜ao do tipo ′ WSO
~v 1 dV ~r e ~ ′ ~ S · − 2× − . = −~µS · B = − 2 2me c e dr r
(11.1.72)
~ obtemos Usando a defini¸c˜ao cl´assica de momento angular me~v × ~r = −L ′ WSO =
1 m2e c2 r
dV ~ ~ L·S . dr
(11.1.73)
A menos de um factor de 1/2, este ´e o acoplamento spin-´orbita. O factor de 1/2 ´e devido `a nossa estimativa do campo magn´etico produzido pelo n´ ucleo assumir um movimento rectil´ıneo, o que n˜ao acontece. O movimento n˜ao rectil´ıneo origina uma precess˜ao do spin electr´onico - Precess˜ao de Thomas; quando levada em considera¸c˜ao o factor de 1/2 surge naturalmente. ˆ 0 , usando para Estimemos agora a ordem de grandeza deste termo, relativamente a H este u ´ ltimo o termo potencial, estimando ~ ∼~, L
~ ∼~, S
temos ˆ SO | |W = ˆ 0| |H
r ∼ a0 = e2 ~2 8πǫ0 m2e c2 a30 e2 4πǫ0 a0
~ , cme α
∼
dV e2 , ∼ dr 4πǫ0 a20
~2 ∼ α2 . m2e c2 a20
(11.1.74)
ˆ mv . Este termo ´e, portanto, da ordem da mesma ordem de grandeza de H ˆ D ´e o termo de Darwin: • W
ˆD = W
~2 ˆ . ∆V (R) 8m2e c2
(11.1.75)
A origem f´ısica deste termo pode ser compreendida da seguinte maneira. Na equa¸c˜ao de Dirac a interac¸c˜ao entre o campo do n´ ucleo e o electr˜ao ´e local, isto ´e, o electr˜ao ´e afectado pelo potencial no ponto onde se encontra, ~r. Na aproxima¸c˜ao n˜ao relativista, no entanto, a expans˜ao em v/c origina uma interac¸c˜ao n˜ao local, isto ´e, o electr˜ao ´e afectado pelo campo do prot˜ao num certo volume, centrado em ~r. Esse volume ´e da
360
M´ etodos perturbativos independentes e dependentes do tempo ordem de (~/me c)3 , onde λ = ~/mc ´e o comprimento de onda de Compton.3 Assim, a energia potencial n˜ao ´e apenas V (~r), mas toma a forma Z Energia potencial ∼ d3 ρf (ρ)V (~r + ρ) ,
(11.1.76)
onde a fun¸c˜ao f (ρ) tem as seguintes propriedades: i) depende apenas de |ρ|, dado que
o potencial tem simetria esf´erica; ii) tem suporte num volume da ordem de (~/me c)3 , R centrado em ρ = 0; iii) d3 ρf (ρ) = 1. Considerando uma expans˜ao em s´erie de
Taylor, de V (~r + ρ) e notando que o integral do termo de ordem um ´e nulo devido `a
simetria esf´erica obtemos que a energia potencial fica Z ρ2 3 d ρf (ρ) V (~r) + ∆V (~r) + . . . . 2
(11.1.77)
ˆ 0 ; o segundo termo tem a forma O primeiro termo ´e o termo potencial de H Z ∆V (~r) d3 ρρ2 f (ρ) ∼ ∆V (~r)(~/me c)2 , que, a menos de um factor num´erico tem a forma do termo de Darwin. ˆ 0 notamos Para estimar a ordem de grandeza do termo de Darwin relativamente a H que, usando (10.2.7) o termo pode ser reescrito ~2 e2 ~2 e2 1 ˆ ˆ . WD = − 2 2 = ∆ δ(R) 2 c2 ǫ ˆ 8me c (4πǫ0 ) 8m R 0 e
(11.1.78)
ˆ 0 ´e O valor esperado deste operador num estado pr´oprio de H ˆ Di = hW
~2 e2 |Ψ(0)|2 . 8m2e c2 ǫ0
(11.1.79)
Imediatamente concluimos que o termo de Darwin s´o afecta electr˜oes em orbitais s, pois de acordo com os resultados do cap´ıtulo 6 (ver por exemplo tabela na sec¸c˜ao 3 Uma maneira de pensar neste comprimento de onda ´e a seguinte: tal como o comprimento de onda de de Broglie de uma part´ıcula de massa m e com velocidade v, λdB = ~/mv nos d´ a a escala na qual o car´ acter ondulat´ orio de uma part´ıcula quˆ antica n˜ ao pode ser negligenciado, o comprimento de onda de Compton da mesma part´ıcula λC = ~/mc d´ a-nos uma escala para a qual os efeitos relativistas n˜ ao podem, igualmente, ser negligenciados. Claramente λC < λdB . Na teoria de Dirac, a origem f´ısica do termo de Darwin ´e um fen´omeno denominado zitterbewegung que consiste no facto de que o electr˜ao n˜ ao se move suavemente, mas sofre flutua¸co˜es de pequena escala (da ordem de λC ) extremamente r´apidas; assim, ao fazermos uma expans˜ao em v/c o electr˜ao vˆe efectivamente o potencial de Coulomb do n´ ucleo espalhado por uma vizinhan¸ca da ordem de λC .
11.1 Teoria das perturba¸c˜ oes estacion´ arias
361
6.4, ou express˜ao (7.2.63)) estas s˜ao as u ´ nicas para as quais Ψ(0) 6= 0. Como |Ψ(0)|2
´e uma densidade de probabilidade estimamos o seu valor por |Ψ(0)|2 ∼ 1/a30 . Logo ˆ D| |W = ˆ 0| |H
e2 ~2 8m2e c2 a30 ǫ0 p2 2me
∼
me c2 α4 ∼ α2 , me c2 α2
(11.1.80)
tal como para os termos anteriores. A estrutura fina do n´ıvel N = 2 ˆ 0 dada em (11.1.65) calculando a estrutura Vamos exemplificar o efeito da perturba¸c˜ao a H fina do n´ıvel N = 2 do ´atomo de Hidrog´enio.4 Recordamos que o espectro deste ´atomo (6.4.23) depende apenas do n´ umero quˆantico principal 0 EN =−
~2 1 me c2 2 = − α . 2me a20 N 2 2N 2
(11.1.81)
Assim, o n´ıvel 2s (N = 2, ℓ = 0) e o n´ıvel 2p (N = 2, ℓ = 1) tˆem a mesma energia, dada por E20
me c2 2 =− α . 8
(11.1.82)
Para al´em desta degenerescˆencia, concluimos no cap´ıtulo 6, que o n´ıvel p ´e ele pr´oprio degenerado, pois o momento angular ℓ = 1 pode ter momento angular azimutal descrito por mℓ = −1, 0, 1. Mas no cap´ıtulo 6 foi negligenciado o spin. Considerando tamb´em o spin, quer do electr˜ao quer do prot˜ao, cado um dos 4 n´ıveis anteriores tem uma degenerescˆencia adicional de 4. Assim, uma base para o espa¸co de estados de cada uma das orbitais ser´a: • Orbital 2s: {|N = 2, ℓ = 0, mℓ = 0, mS = ±; mI = ±i}; onde mS refere-se ao spin electr´onico e mI ao spin do prot˜ao; • Orbital 2p: {|N = 2, ℓ = 1, mℓ = −1, 0, 1, mS = ±; mI = ±i}. A degenerescˆencia total do n´ıvel N = 2 ´e ent˜ao 4 + 12 = 16. De acordo com os resultados vistos na sec¸c˜ao 11.1 para perturba¸c˜oes de um n´ıvel degenˆ neste sub-espa¸co 16 dimensional. Os erado, necessitamos de diagonalizar a perturba¸c˜ao W 4
Nota: Para o n´ıvel N = 1 a perturba¸ca˜o associada `a estrutura fina produz apenas uma correc¸ca˜o global ao n´ıvel e n˜ ao levanta a degenerescˆencia. Assim ´e mais interessante estudar o n´ıvel N = 2.
362
M´ etodos perturbativos independentes e dependentes do tempo
valores pr´oprios nesta diagonaliza¸c˜ao ser˜ao as correc¸c˜oes de primeira ordem das energias; os vectores pr´oprios correspondentes ser˜ao os vectores pr´oprios de ordem zero. Consideremos ent˜ao a perturba¸c˜ao ˆf = W ˆ mv + W ˆ SO + W ˆD , W
(11.1.83)
que ser´a respons´avel pela chamada “estrutura fina”. O c´alculo desta estrutura ´e facilitado pelas duas seguintes observa¸c˜oes: i) Dado que esta perturba¸c˜ao n˜ao actua no spin do prot˜ao, este grau de liberdade pode ser ignorado para a estrutura fina. Assim sendo, a dimens˜ao do espa¸co degenerado associado a N = 2 reduz-se efectivamente a 8; ii) A perturba¸c˜ao ˆ 2, W ˆ f ] = 0. De facto L ˆ 2 comuta com W ˆ mv pois comuta com o momento angular total, [L ˆ 2 , Pˆ 2] = 0 ⇒ [L ˆ 2 , Pˆ 4 ] = 0 ; [L ˆ 2 comuta com W ˆ SO pois L ˆ 2 , f (R)] ˆ =0, [L
~ˆ ˆ 2 , L] [L =0,
ˆ 2 , ~S] ˆ =0, [L
ˆ ´e uma fun¸c˜ao arbitr´aria de R; ˆ devido `a primeira rela¸c˜ao na u ˆ2 onde f (R) ´ ltima equa¸c˜ao L ˆ D . Logo, W ˆ f n˜ao mistura estados 2s com estados 2p e a matriz de 8 × 8 comuta com W
ˆ f parte-se numa matriz de 2 × 2 que actua nos estados 2s e uma matriz que representa W
ˆ f ´e um operador par e de 6 × 6 que actua nos estados 2p. De facto ´e f´acil verificar que W
como tal n˜ao poderia misturar estados com paridade diferente, como ´e o caso de estados s e estados p. Consideramos seguidamente e separadamente as representa¸c˜oes matriciais de ˆ f que actuam em estados 2s e estados 2p. W Estrutura fina para o n´ıvel 2s ˆ mv e W ˆ D n˜ao actuam no grau de Consideramos a base {|N, ℓ, mℓ , mS i = |2, 0, 0, ±i}. W liberdade de spin, mS . Logo estes operadores s˜ao proporcionais ao operador identidade no espa¸co de spin. Os coeficientes de proporcionalidade ser˜ao dados por elementos de matriz puramente orbitais, respectivamente, ˆ mv i2s = − hW
1 h2, 0, 0|Pˆ 4|2, 0, 0i , 8m3e c2
ˆ D i2s = hW
~2 ˆ h2, 0, 0|∆V (R)|2, 0, 0i . 8m2e c2 (11.1.84)
11.1 Teoria das perturba¸c˜ oes estacion´ arias
363
ˆ SO s˜ao nulos; de facto Por outro lado, os elementos de matriz de W ˆ SO i2s ∝ h2, 0, 0, ±|L ˆ x,y,z |2, 0, 0, ±i = 0 , hW pois qualquer componente do momento angular tem valor esperado nulo no harm´onico esf´erico com ℓ = 0 = mℓ . Assim, o efeito dos termos de estrutura fina nos estados 2s ´e alterar a sua energia para E2s = −
me c2 2 ˆ mv i2s + hW ˆ D i2s . α + hW 8
(11.1.85)
ˆ mv i2s notamos que Calculemos explicitamente estes elementos de matriz. Para calcular hW ˆ2 ˆ 0 = P + V (R) ˆ H 2me
⇒
ˆ 0 − V (R)) ˆ . Pˆ 2 = 2me (H
Logo 2 4m2e ˆ e4 2E20 e2 1 1 1 0 2 ˆ ˆ hWmv i2s = − 3 2 h H0 − V (R) i2s = − (E2 ) + h i2s + h i2s . ˆ ˆ2 8me c 2me c2 4πǫ0 R (4πǫ0 )2 R (11.1.86) ˆ n i2s , recordamos que a parte radial da fun¸c˜ao de Para calcular os valores esperados h1/R onda do estado 2s ´e (6.4.33) 2 f(2,0) (r) = (2a0 )3/2
r e−r/2a0 . 1− 2a0
(11.1.87)
Como tal h
1 i = ˆ n 2s R
Z
+∞
0
Notando que
1 , 2 2 r 4 r 4a0 1− e−r/a0 n dr = 1 3 (2a0 ) 2a0 r , 4a20 a0 ≡
4πǫ0 ~2 , me e2
a0 α =
n=1, (11.1.88) n=2.
~ , me c
obtemos me c2 α4 1 13 1 1 ˆ hWmv i2s = − =− − + me c2 α4 . 2 64 16 4 128 ˆ D i2s recordamos (11.1.79); logo Para calcular hW ˆ D i2s = hW
~2 e2 1 4 me c2 α4 ~2 e2 2 |Ψ(0) | = = , 2s 8m2e c2 ǫ0 8m2e c2 ǫ0 4π (2a0 )3 16
(11.1.89)
(11.1.90)
364
M´ etodos perturbativos independentes e dependentes do tempo
√ onde usamos (11.1.87) bem como o harm´onico esf´erico Y00 = 1/ 4π. Finalmente podemos juntar os resultados e concluir que a energia dos estados 2s, levando em conta a perturba¸c˜ao da estrutura fina ´e 2 5 4 α 6 2 + α + O(α ) . E2s = −me c 8 128
(11.1.91)
Estrutura fina para o n´ıvel 2p ˆ mv e W ˆ D n˜ao actuam nas vari´aveis de spin e comutam com as v´arias Os termos W ~ˆ componentes de L. Logo, no sub-espa¸co associado aos 6 n´ıveis 2p (ignorando o spin do ˆ mv e W ˆ D ser˜ao proporcionais ao operador identidade neste espa¸co. prot˜ao), os termos W ˆ D a constante de proporcionalidade ´e zero, dado que este termo tem valor esperado Para W n˜ao nulo apenas em ´orbitais s: ˆ D i2p = 0 . hW
(11.1.92)
ˆ mv i2p pode ser calculado de um modo an´alogo a hW ˆ mv i2s ; para este c´alculo O valor de hW necessitamos da fun¸c˜ao radial para a orbital 2p que ´e dada por f(2,1) (r) =
1 r −r/2a0 √ e , (2a0 )3/2 3 a0
(11.1.93)
com a qual se conclui que 1 1 h i2p = , ˆ 4a0 R
h
1 1 . i2p = ˆ2 12a20 R
(11.1.94)
Usando uma f´ormula an´aloga a (11.1.86) com 2s substituido por 2p obtem-se que ˆ mv i2p = − hW
7 me c2 α4 . 384
(11.1.95)
Consideramos agora o termo de spin-´orbita. Temos de calcular elementos de matriz do tipo 1 e2 1 ~ˆ ~ˆ hN = 2, ℓ = 1, s = , m′ℓ , m′S | L · S|N = 2, ℓ = 1, s = , mℓ , mS i . (11.1.96) ˆ3 2 2 8πǫ0 m2e c2 R Nestes elementos de matriz podemos separar a parte radial, usando a representa¸c˜ao |~ri: e2 1 1 1 ~ˆ ~ˆ h i2p hℓ = 1, s = , m′ℓ , m′S |L · S|ℓ = 1, s = , mℓ , mS i . 2 2 ˆ3 8πǫ0 me c R 2 2
(11.1.97)
11.1 Teoria das perturba¸c˜ oes estacion´ arias
365
Usando (11.1.93) conclui-se que h
1 1 i2p = , ˆ3 24a30 R
de onde se conclui que os elementos de matriz sob considera¸c˜ao podem ser escritos 1 1 α4 ~ˆ ~ˆ me c2 hℓ = 1, s = , m′ℓ , m′S |L · S|ℓ = 1, s = , mℓ , mS i . 2 48~ 2 2
(11.1.98)
~ˆ ~ˆ O problema reduz-se agora a diagonalizar o operador L· S neste espa¸co 6 dimensional, o que ´e automaticamente conseguido se usarmos uma base diferente. A base usada em (11.1.98), ˆ 2 , Sˆ2 , L ˆ z e Sˆz . Se introduzirmos o no espa¸co ℓ = 1, s = 1/2, ´e uma base pr´opria de L momento angular total (tal como na sec¸c˜ao 9.5) ~ˆ ~ˆ ~ˆ J =L+S ,
(11.1.99)
ˆ 2 , Sˆ2 , Jˆ2 e Jˆz , podemos introduzir a base pr´opria dos operadores L 1 |ℓ = 1, s = , J, mJ i . 2
(11.1.100)
A rela¸c˜ao entre as duas bases ´e dada pelos coeficientes de Clebsch-Gordon, que nos permite traduzir entre elas sem dificuldade. Usando as regras de adi¸c˜ao de momento angular, vistas na sec¸c˜ao 9.5, J toma dois valores poss´ıveis: J = 1/2 e J = 3/2, com 2 e 4 valores de mJ associados, respectivamente. ~ˆ ~ˆ Mostramos agora que o operador L · S est´a diagonalizado na base (11.1.100), tendo valor esperado diferente para diferentes valores de J. Para isso escrevemos 2 ˆ 2 − Sˆ2 ~ˆ ~ˆ ~ˆ ~ˆ Jˆ − L ˆ 2 + Sˆ2 + 2L , Jˆ2 = L ·S ⇔ L ·S = 2
(11.1.101)
~ˆ ~ˆ o que demonstra que L· S pode ser escrito em termos de operadores que est˜ao diagonalizados ~ˆ ~ˆ na base (11.1.100). Daqui resulta que ´e muito simples calcular os valores esperados de L ·S nesta base: 1 1 1 1 ~2 ~ˆ ~ˆ hℓ = 1, s = , J = , mJ |L · S|ℓ = 1, s = , J = , mJ i = 2 2 2 2 2
3 3 −2− 4 4
= −~2 , (11.1.102)
366
M´ etodos perturbativos independentes e dependentes do tempo
e 1 3 1 3 ~2 ~ˆ ~ˆ hℓ = 1, s = , J = , mJ |L · S|ℓ = 1, s = , J = , mJ i = 2 2 2 2 2
15 3 −2− 4 4
~2 . 2 (11.1.103)
=
Como afirmado anteriormente a correc¸c˜ao `a energia ir´a depender de J, mas n˜ao de mJ . Esta ´e uma caracter´ıstica gen´erica.5 Na nota¸c˜ao dos espectroscopistas, introduzida na sec¸c˜ao 6.4, adiciona-se por isso um sub-´ındice J `a nota¸c˜ao que tem vindo a ser usada. Assim, para os estados 2p existem agora os n´ıveis 2p1/2 e 2p3/2 , enquanto que os estados 2s existe apenas o n´ıvel 2s1/2 (tal como para o estado 1s existe apenas 1s1/2 ). O valor ˆ SO ´e: esperado nos n´ıveis 2p1/2 e 2p3/2 da perturba¸c˜ao W ˆ SO i2p = − hW 1/2
α4 me c2 , 48
ˆ SO i2p = hW 3/2
α4 me c2 . 96
(11.1.106)
Juntando os resultados (11.1.92), (11.1.95) e (11.1.106) obtemos os seguintes n´ıveis de energia para os estados 2p: 2 2 α 7α4 α4 5α4 α 2 6 2 = −me c + + + + O(α ) , E2p1/2 = −me c 8 384 48 8 128
(11.1.107)
ˆ f ´e a que tem uma degenerescˆencia 2. Curiosamente a correc¸c˜ao `a energia devida a W mesma que para o n´ıvel 2s1/2 (11.1.91). Esta degenerescˆencia parece ser acidental, ao contr´ario da degenerescˆencia em mJ que resulta da simetria esf´erica. No entanto, quando se considera a quantifica¸c˜ao do campo electromagn´etico esta degenerescˆencia ´e levantada pelo chamado desvio de Lamb; a energia do n´ıvel 2s1/2 ´e ent˜ao aumentada, relativamente `a 5
De facto, a solu¸ca˜o exacta, obtida da equa¸ca˜o de Dirac, para a energia das orbitais do ´atomo de Hidrog´enio ´e dada por
EN,J = me c2 1 + N −J −
2
1 2
−1/2
α q 2 1 2 + (J + 2 ) − α2
,
(11.1.104)
onde se vˆe que existe apenas dependˆencia em N e J. Fazendo uma expans˜ao em potˆencias de α obt´em-se: α2 α4 N 3 6 + O(α ) . (11.1.105) EN,J = me c2 1 − − − 2N 2 2N 4 J + 21 4 Por exemplo, tomando N = 2, J = 1/2 obt´em-se (11.1.91), que coincide com (11.1.107); tomando N = 2, J = 3/2, obt´em-se (11.1.108).
11.1 Teoria das perturba¸c˜ oes estacion´ arias
367
do n´ıvel 2p1/2 por uma quantidade que ´e cerca de dez vezes menor que a separa¸c˜ao entre os n´ıveis 2p1/2 e 2p3/2 . O desvio de Lamb foi descoberto em 1949 e teve grande importˆancia no desenvolvimento da Electrodinˆamica Quˆantica. Para o n´ıvel 2p3/2 obtem-se E2p3/2 = −me c
2
α2 7α4 α4 + − 8 384 96
= −me c
2
α2 α4 + + O(α6 ) 8 128
.
(11.1.108)
Note-se que a correc¸c˜ao ao n´ıvel 2p3/2 ´e ligeiramente inferior `a do n´ıvel 2p1/2 , o que levanta parcialmente a degenerescˆencia dos estados 2p. Como tal, se considerarmos a transi¸c˜ao 2p −→ 1s, que corresponde `a risca α da s´erie de Lyman do espectro do hidrog´enio (λ = 1216 ◦
A), esta risca, quando analisada com uma resolu¸c˜ao suficiente, divide-se em duas riscas vizinhas
2p −→ 1s 1/2 1/2 2p −→ 1s , 2p −→ 1s 3/2 1/2
que est˜ao separadas por uma energia 4me c2 α4 /128 - figura 11.1. O espectro do Hidrog´enio apresenta, de facto, uma estrutura fina. Energia
2
−me c2 α8 “ 2 ” α4 −me c2 α8 + 128
−me c2
“
4 α2 + 5α 8 128
”
|0,0,+i
|0,0,−i
|1,0,+i
|1,0,−i
|1,1,+i
2p3/2
2s1/2
|1,1,−i
2p3/2
|1,−1,+i |1,−1,−i
2p3/2 2p3/2
2s1/2 2p1/2 2p1/2
Figura 11.1: N´ıvel N = 2 do ´atomo de hidrog´enio. As linhas s´olidas representam o espectro ˆ 0 , que tem degenerescˆencia 8, correspondente aos 8 estados poss´ıveis |ℓ, mℓ , ms i para de H N = 2. As linhas a tracejado representam o espectro com as correc¸c˜oes da estrutura fina. H´a um levantamento parcial da degenerescˆencia que passa a ser 4+4. Note que os estados corrigidos correspondem a combina¸c˜oes lineares dos estados n˜ao perturbados.
368
11.2
M´ etodos perturbativos independentes e dependentes do tempo
Teoria das Perturba¸ c˜ oes dependentes do tempo
O objectivo principal da teoria das perturba¸c˜oes estacion´arias ´e a determina¸c˜ao da energia dos estados estacion´arios. Contudo, existem situa¸c˜oes em que essa n˜ao ´e a informa¸c˜ao mais importante. Consideremos, por exemplo, um estado excitado de um ´atomo. Sabese, experimentalmente, que o sistema decai para o estado fundamental ao fim de algum tempo. Isso significa que, na presen¸ca do acoplamento ao campo de radia¸c˜ao, o estado excitado n˜ao ´e um estado estacion´ario do Hamiltoniano. Habitualmente o que interessa ´e determinar a probabilidade de transi¸c˜ao para o estado fundamental do ´atomo e n˜ao os ´ o c´alculo deste estados estacion´arios do sistema ´atomo mais campo electromagn´etico. E tipo de probabilidades que iremos descrever nesta sec¸c˜ao.
11.2.1
Formula¸ c˜ ao do problema
ˆ 0 , estados estacion´arios {|Φn i} e esConsideremos um sistema f´ısico com Hamiltoniano H pectro de energias {En }:
ˆ 0 |Φn i = En |Φn i . H
(11.2.109)
Assumimos que o espectro ´e discreto e n˜ao degenerado, de modo a facilitar a exposi¸c˜ao; tomando os estados estacion´arios como normalizados temos hΦn |Φn′ i = δnn′ ,
X n
ˆ. |Φn ihΦn | = 1
(11.2.110)
ˆ 0 ´e independente do tempo, de modo a que os estados |Φn i sejam realmente Note-se que H estados estacion´arios. No instante t = 0, uma pequena perturba¸c˜ao dependente do tempo ´e aplicada ao sistema. O Hamiltoniano toma ent˜ao a forma: ˆ ˆ0 + W ˆ (t) , H(t) =H
ˆ (t) = λVˆ (t) , W
(11.2.111)
onde introduzimos a constante adimensional λ ≪ 1 e a observ´avel Vˆ (t), que pode ser
ˆ 0. A explicitamente dependente do tempo e ´e da mesma ordem de magnitude do que H perturba¸c˜ao ´e zero para t < 0.
11.2 Teoria das Perturba¸c˜ oes dependentes do tempo
369
Assumimos que o sistema se encontra inicialmente no estado |Φi i, que ´e um estado
ˆ 0 com valor pr´oprio Ei . Depois de aplicada a perturba¸c˜ao W ˆ (t), em estacion´ario de H t = 0, o sistema evolui, pelo que |Φi i deixar´a de ser, em geral, um estado estacion´ario do Hamiltoniano perturbado. O nosso objectivo ´e calcular a probabilidade Pif (t), de encontrar ˆ 0 , |Φf i, no instante t. Ou seja, pretendemos o sistema num outro estado estacion´ario de H
estudar as transi¸c˜oes entre estados estacion´arios do Hamiltoniano n˜ao perturbado, que ˆ (t) - figura 11.2. podem ser induzidas pela perturba¸c˜ao W Pif (t)
|Φi i t=0 |Φi i −→ |Φf i ˆ0 ˆ0 + W ˆ (t) H H ˆ 0 induzida por uma perturba¸c˜ao Figura 11.2: Transi¸c˜ao entre dois estados estacion´arios de H ˆ W (t). Conceptualmente o problema ´e simples: entre os instantes 0 e t a evolu¸c˜ao do sistema ´e descrita pela equa¸c˜ao de Schr¨odinger i~
h i d ˆ 0 + λVˆ (t) |Ψ(t)i ; |Ψ(t)i = H dt
(11.2.112)
como esta ´e uma equa¸c˜ao diferencial de primeira ordem, impondo a condi¸c˜ao inicial |Ψ(t = 0)i = |Φi i ,
(11.2.113)
a solu¸c˜ao ´e u ´ nica. A probabilidade que pretendemos calcular ´e: Pif (t) = |hΦf |Ψ(t)i|2 .
(11.2.114)
Assim, matematicamente, o problema consiste em resolver a equa¸c˜ao de Schr¨odinger (11.2.112) com a condi¸c˜ao inicial (11.2.113), o que em geral ter´a de ser feito perturbativamente.
11.2.2
Solu¸c˜ ao aproximada da equa¸ c˜ ao de Schr¨ odinger
ˆ 0 , vamos Como o c´alculo de (11.2.114) envolve explicitamente os estados estacion´arios de H utiliz´a-los como base, isto ´e, vamos expandir o estado do sistema |Ψ(t)i na representa¸c˜ao {|Φn i}, |Ψ(t)i =
X n
cn (t)|Φn i ,
cn (t) = hΦn |Ψ(t)i .
(11.2.115)
370
M´ etodos perturbativos independentes e dependentes do tempo
Obviamente, o Hamiltoniano n˜ao perturbado ´e representado nesta base por uma matriz diagonal ˆ 0 |Φm i = En δnm , hΦn |H
(11.2.116)
ˆ (t) tem elementos de matriz enquanto que a observ´avel W ˆ (t)|Φm i = Wnm (t) = λVnm (t) . hΦn |W
(11.2.117)
Introduzindo na equa¸c˜ao de Schr¨odinger (11.2.112) a rela¸c˜ao de fecho h i X d X ˆ ˆ |Φk ihΦk |Ψ(t)i = |Φk i hΦk |H0 |Ψ(t)i + hΦk |λV (t)|Ψ(t)i i~ dt k k X d Vkp (t)cp (t) . ⇔ i~ ck (t) = Ek ck (t) + λ dt p
(11.2.118)
Estas equa¸c˜oes ordin´arias diferenciais de primeira ordem acopladas (pelos elementos de matriz da perturba¸c˜ao Vkp ) permitem-nos determinar, perturbativamente, os coeficientes ck (t). Vejamos como. Primeiro observamos que se λVˆ (t) = 0, as equa¸c˜oes deixam de estar acopladas. Neste caso a solu¸c˜ao ´e muito simples: cn (t) = bn e−iEn t/~ ,
(11.2.119)
onde bn s˜ao constantes que dependem das condi¸c˜oes iniciais. Por exemplo, com a condi¸c˜ao (11.2.113), teremos bi = 1 e bj = 0 para j 6= i.
Se λVˆ (t) n˜ao for zero mas ainda assim for muito pequeno (i.e. λ ≪ 1 sendo os elementos
ˆ 0 ), a solu¸c˜ao dever´a ser ainda pr´oxima de (11.2.119). de matriz de Vˆ (t) da ordem dos de H Tomamos como forma para esta solu¸c˜ao cn (t) = bn (t)e−iEn t/~ ,
(11.2.120)
e esperamos que bn (t) sejam fun¸c˜oes que variam lentamente com o tempo. Inserindo (11.2.120) em (11.2.118) obtemos X d bn (t) e−iEn t/~ = λ Vnp (t)bp (t)e−iEp t/~ . i~ dt p
(11.2.121)
11.2 Teoria das Perturba¸c˜ oes dependentes do tempo
371
Multiplicando ambos os lados por eiEn t/~ e introduzindo a frequˆencia angular de Bohr : ωnp =
En − Ep , ~
X
(11.2.122)
obtemos i~
d bn (t) dt
=λ
Vnp (t)bp (t)eiωnp t .
(11.2.123)
p
Este sistema de equa¸c˜oes ´e rigorosamente equivalente `a equa¸c˜ao de Schr¨odinger, dado que ainda n˜ao introduzimos qualquer aproxima¸c˜ao. Mas como em geral n˜ao conseguimos encontrar uma solu¸c˜ao exacta de (11.2.123), teremos de recorrer a m´etodos de aproxima¸c˜ao. Dado que λ ≪ 1 fazemos uma expans˜ao em s´erie de potˆencias para bn (t) bn (t) =
b0n (t)
+
λb1n (t)
+
λ2 b2n (t)
+ ... =
+∞ X
λk bkn (t) ;
(11.2.124)
k=0
esperamos que esta expans˜ao convirja rapidamente, permitindo-nos trunc´a-la numa dada ordem para obter uma solu¸c˜ao aproximada. Substituindo esta expans˜ao em (11.2.123) obtemos +∞
i~
d X k k λ bn (t) dt k=0
!
=
X
Vnp (t)
p
+∞ X
λk+1 bkp (t)eiωnp t ;
(11.2.125)
k=0
igualando as potˆencias de λ temos: • Ordem λ0 : i~
d 0 b (t) = 0 . dt n
(11.2.126)
Isto ´e, b0n n˜ao depende do tempo. Este ´e o resultado esperado para λ = 0; • Ordem λk , k ≥ 1: i~
X d k bn (t) = Vnp (t)eiωnp t bpk−1 . dt p
(11.2.127)
Obtemos, pois, uma rela¸c˜ao de recorrˆencia: inserindo a solu¸c˜ao de ordem zero em (11.2.127), obtemos a solu¸c˜ao de primeira ordem, que por sua vez inserida no lado direito de (11.2.127) origina a rela¸c˜ao de segunda ordem, etc.
372
M´ etodos perturbativos independentes e dependentes do tempo
Examinemos em detalhe a solu¸c˜ao at´e primeira ordem. Assumimos, tal como referido anteriormente, que para t < 0 o sistema se encontra no estado |Φi i. Em t = 0 existe uma descontinuidade no Hamiltoniano, pois t=0 ˆ =H ˆ 0 −→ ˆ =H ˆ 0 + λVˆ (t) ; H H
mas dado que a descontinuidade ´e finita, a fun¸c˜ao de onda ´e cont´ınua em t = 0. A condi¸c˜ao inicial ´e bn (t = 0) = δni A equa¸c˜ao (11.2.126) implica que
⇒
b0n (t = 0) = δni ,
(11.2.128)
bk (t = 0) = 0 , k ≥ 1 . n
b0n (t) = δni ,
t≥0,
(11.2.129)
o que determina a solu¸c˜ao de ordem zero. Introduzindo esta solu¸c˜ao em (11.2.127) com k = 1 temos i~
X d 1 bn (t) = Vnp (t)eiωnp t δpi = Vni (t)eiωni t . dt p
(11.2.130)
Levando em conta a condi¸c˜ao inicial b1n (t = 0) = 0, obtemos Z 1 t ′ 1 bn (t) = Vni(t′ )eiωni t dt′ . i~ 0
(11.2.131)
Logo, o estado do sistema em primeira ordem em λ ´e |Φi i , t < 0 , ! ( ) |Ψ(t)i = X Z t λ ′ e−iEn t/~ + O(λ2 ) |Φn i , Vni (t′ )eiωni t dt′ δni + i~ n 0
t≥0. (11.2.132)
Note que a fun¸c˜ao de onda est´a normalizada apenas em primeira ordem em λ. A perˆ 0 , |Φn i, para os quais turba¸c˜ao mistura |Φi i com todos os outros estados pr´oprios de H Vni 6= 0. A probabilidade de transi¸c˜ao para um estado final |Φf i ´e dada por Pif (t) = |hΦf |Ψ(t)i|2 = |hΦf |
X n
cn (t)|Φn i|2 = |cf (t)|2
(11.2.120)
=
|bf (t)|2 .
(11.2.133)
11.2 Teoria das Perturba¸c˜ oes dependentes do tempo
373
ˆ (t); logo consideramos o Queremos considerar uma transi¸c˜ao induzida pela perturba¸c˜ao W estado final diferente do inicial. Em primeira ordem Z λ t ′ Vf i (t′ )eiωf i t dt′ + O(λ2 ) , bf (t) = 0 + i~ 0 e como tal
Z 2 1 t ′ iωf i t′ ′ dt , Pif (t) = 2 Wf i (t )e ~ 0
i 6= f .
(11.2.134)
(11.2.135)
Alguns coment´arios:
• Para t fixo e considerando Pif como fun¸c˜ao de Ef , a probabilidade de transi¸c˜ao ´e proporcional ao quadrado do m´odulo da transformada de Fourier da perturba¸c˜ao (`a semelhan¸ca do que acontece com a aproxima¸c˜ao de Born (10.2.28)); • A probabilidade de transi¸c˜ao ´e zero, nesta ordem, se Wf i (t′ ) = 0, ∀t′ ∈ [0, t]; • A aproxima¸c˜ao de primeira ordem resulta de substituir na equa¸c˜ao de Schr¨odinger
´ natural que esta seja uma boa (11.2.123), bp (t) pelos seus valores em t = 0. E aproxima¸c˜ao para t pequeno, mas para t grande em princ´ıpio teremos de considerar termos de ordem λ2 , λ3 , etc, que dever˜ao ser importantes.
11.2.3
Aplica¸ c˜ ao a uma perturba¸c˜ ao sinusoidal ou constante
Como aplica¸c˜ao do formalismo desenvolvido na sec¸c˜ao anterior consideramos uma perturba¸c˜ao com uma das seguintes formas: Vˆ (t) = Vˆ sin ωt
∨
Vˆ (t) = Vˆ cos ωt ,
(11.2.136)
onde Vˆ ´e uma observ´avel independente do tempo e ω ´e uma frequˆencia angular constante. Este tipo de perturba¸c˜ao ´e a que se encontra, por exemplo, na interac¸c˜ao de uma onda electromagn´etica monocrom´atica de frequˆencia ω com um sistema f´ısico. Neste caso, Pif (t) representar´a a probabilidade de transi¸c˜ao |Φi i −→ |Φf i induzida pela radia¸c˜ao incidente. Algo ingenuamente poder´ıamos ser levados a pensar que esta transi¸c˜ao seria poss´ıvel se e s´o se ω = ±ωf i . Isto ´e, que Pif para t fixo e como fun¸c˜ao de ω teria dois picos (tipo
374
M´ etodos perturbativos independentes e dependentes do tempo
delta de Dirac) em ω = ±ωf i , sendo zero para outros ω. Contudo, devido ao princ´ıpio da incerteza a situa¸c˜ao ´e um pouco diferente, como agora demonstramos. Na base dos estados estacion´arios do Hamiltoniano n˜ao perturbado, podemos escrever os elementos de matriz da primeira perturba¸c˜ao em (11.2.136) como hΦf |Vˆ (t)|Φi i = hΦf |Vˆ |Φi i sin ωt ≡ Vf i sin ωt = Vf i
eiωt − e−iωt . 2i
(11.2.137)
Substituindo na f´ormula geral (11.2.131) Z ′ ′ ei(ωf i +ω)t − ei(ωf i −ω)t ′ Vf i ei(ωf i +ω)t − 1 ei(ωf i −ω)t − 1 1 t 1 . Vf i dt = − − bf (t) = i~ 0 2i 2i~ ωf i + ω ωf i − ω (11.2.138) Usando (11.2.133), temos em primeira ordem Pif (t) = |bf (t)|2 = λ2 |b1f (t)|2 ,
(11.2.139)
que no caso em estudo depende tamb´em do parˆametro da perturba¸c˜ao ω, pelo que escrevemos
2 |Wf i |2 1 − ei(ωf i +ω)t 1 − ei(ωf i −ω)t Pif (t, ω) = ∓ . 4~2 ωf i + ω ωf i − ω
(11.2.140)
O sinal inferior refere-se ao resultado do mesmo c´alculo usando a segunda perturba¸c˜ao (Vˆ (t) = Vˆ cos ωt) em (11.2.136), em vez da primeira. Para uso posterior consideramos essa perturba¸c˜ao (i.e o cos) no limite ω = 0 em que obtemos uma perturba¸c˜ao constante, para a qual, o resultado ´e ω t
|Wf i |2 sin2 f2i |Wf i |2 iωf i t 2 | = . Pif (t) = 2 2 |1 − e ωf i 2 ωf i ~ ~2
(11.2.141)
2
Vamos agora considerar dois casos distintos:
1) Quando ambos os estados |Φi i e |Φf i pertencem a um espectro discreto; 2) Quando |Φf i pertence a um cont´ınuo de estados finais. No primeiro caso Pif representa uma probabilidade, enquanto que no segundo representa uma densidade de probabilidade.
11.2 Teoria das Perturba¸c˜ oes dependentes do tempo
375
1) Perturba¸ c˜ ao sinusoidal que acopla dois estados discretos: um fen´ omeno de ressonˆ ancia Fixemos o tempo t, de modo a considerarmos a probabilidade Pif (t, ω) como fun¸c˜ao apenas da frequˆencia ω. A an´alise de (11.2.140) envolve analisarmos os termos t 1 − ei(ωf i ±ω)t i(ωf i ±ω)t/2 sin (ωf i ± ω) 2 = −ie . A± = ωf i ± ω (ωf i ± ω)/2
(11.2.142)
Se ω ≃ ±ωf i , o denominador de A∓ fica aproximadamente zero. Se simultaneamente t for suficientemente elevado, o argumento do seno no numerador de A∓ n˜ao ´e aproximadamente zero. Nestas condi¸c˜oes esperamos que A∓ domine em (11.2.140) sobre A± ; o primeiro eo u ´ ltimo designam-se por, respectivamente, termo ressonante e termo anti-ressonante. Estabelecemos desde j´a, o seguinte crit´erio quantitativo que comentaremos graficamente em baixo: se i)
|ω ∓ ωf i | ≪ |ωf i| ,
ii)
1 ≪ t|ωf i | ,
(11.2.143)
podemos negligenciar A± em (11.2.140); obtemos ent˜ao: |Wf i |2 Pif (t, ω) ≃ 4~2
sin (ωf i ∓ ω) 2t (ωf i ∓ ω)/2
!2
.
(11.2.144)
Para t fixo representamos Pif (t, ω) em fun¸c˜ao de ω na figura 11.3, para ω ≃ ωf i . Notese o fen´omeno de ressonˆancia para Pif (t, ω) quando ω = ωf i . Para ω ≃ −ωf i existe um fen´omeno semelhante de ressonˆancia em ω = −ωf i , sendo o gr´afico respectivo o sim´etrico relativamente ao eixo w = 0 da figura 11.3. Podemos compreender graficamente o significado das aproxima¸c˜oes i) e ii) (11.2.143): i) significa que estamos a considerar o gr´afico de Pif (t, ω) na regi˜ao em que ω est´a pr´oxima do pico (logo pr´oxima de ωf i ); ii) significa que as zonas do gr´afico de (11.2.140) em que A+ e A− dominam est˜ao bem separadas; isto ´e 2|ωf i| ≫ ∆ω ⇔ |ωf i| ≫
2π ⇔ |ωf i|t ≫ 1 . t
Fisicamente, esta condi¸c˜ao significa que temos de esperar tempo suficiente para o sistema perceber que a perturba¸c˜ao ´e sinusoidal.
376
M´ etodos perturbativos independentes e dependentes do tempo
Figura 11.3: Probabilidade de transi¸c˜ao Pif (t, ω) em fun¸c˜ao de ω para t fixo. Existe um fen´omeno de ressonˆancia quando ω = ωf i . A curva apresenta um “padr˜ao de difrac¸c˜ao”. Pif (t, ω) tem zeros em ωf i −ω = 2nπ/t; logo, a largura da ressonˆancia, ∆ω, estimada como a distˆancia entre os dois zeros de Pif (t, ω) que rodeiam o m´aximo ´e ∆ω = 4π/t (Extra´ıdo de Cohen et al, ‘Quantum Mechanics’). Notemos a diferente interpreta¸c˜ao f´ısica das duas ressonˆancias de Pif . A ressonˆancia em ω = ωf i corresponde a um processo com Ef > Ei , ou seja a excita¸c˜ao do sistema pela absor¸c˜ao de um fot˜ao enquanto que a ressonˆancia em ω = −ωf i corresponde a um processo com Ef < Ei , ou seja o decaimento do sistema pela emiss˜ao de um fot˜ao - figura 11.4. Ef
|Φf i
Ef
γ
γ
Ei
|Φf i
|Φi i
Ei
|Φi i
Figura 11.4: As ressonˆancias para ω = ±ωf i tˆem interpreta¸c˜oes de absor¸c˜ao (ω = ωf i ) esquerda - ou emiss˜ao (ω = −ωf i ) - direita - de um fot˜ao. Coment´arios: • Pif (t, ω) tem m´aximos em ω = ±ωif , correspondendo `a absor¸c˜ao/emiss˜ao de fot˜oes
11.2 Teoria das Perturba¸c˜ oes dependentes do tempo
377
com a frequˆencia de Bohr; mas as ressonˆancias tˆem largura, ∆ω, estimada como a distˆancia entre os dois zeros de Pif (t, ω) que rodeiam o m´aximo. Esta largura pode ser entendida como uma manifesta¸c˜ao da rela¸c˜ao de incerteza para tempo e energia. Se tentassemos medir a diferen¸ca de energia Ef − Ei = ~ωf i , aplicando uma onda electromagn´etica, variando ω e tentando encontrar a ressonˆancia, obteriamos uma incerteza na energia: ∆E = ~∆ω ≃ ~
4π t
⇒ ∆E∆t & ~ ,
para uma perturba¸c˜ao que actuou um tempo ∆t. Logo, para medir a diferen¸ca de energia Ef − Ei com incerteza nula ∆E = 0, teriamos de deixar actuar a perturba¸c˜ao durante um tempo infinito. • No final da sec¸c˜ao anterior comentamos que a aproxima¸c˜ao de primeira ordem deixar´a de ser v´alida para t grande. No entanto, neste exemplo requeremos que t seja suficientemente grande na aproxima¸c˜ao que usamos, o que poder´a parecer incompat´ıvel. De facto, que t n˜ao poder´a ser demasiado grande ´e manifesto em que (de (11.2.144) usando limx→0 sin x/x) Pif (t; ω = ωf i ) =
|Wf i |2 t2 4~2
t→+∞
−→
+∞ ;
em particular a probabilidade torna-se maior do que 1, o que n˜ao faz sentido. Necessitamos por isso de impˆor |Wf i |t ≪1; ~ o estudo das pr´oximas ordens perturbativas revela que esta condi¸c˜ao ´e, de facto, necess´aria, se bem que n˜ao suficiente, para garantir a validade da an´alise de primeira ordem aqui feita. • Analisando o gr´afico da figura 11.3 vemos que a altura da ressonˆancia depende de Wf i . Se a perturba¸c˜ao tiver elementos de matriz Wf i diferentes para diferentes linhas espectrais, podemos compreender porque ´e que algumas linhas espectrais s˜ao mais
378
M´ etodos perturbativos independentes e dependentes do tempo intensas do que outras. Esta era uma lacuna importante na teoria de Bohr (cap´ıtulo 2), que a Mecˆanica Quˆantica resolve.
• No caso de uma perturba¸c˜ao constante, Pif (t, ω) ´e dado por (11.2.141) que tem uma ressonˆancia para ω = 0 - figura 11.5, de modo a conservar a energia do sistema. Note-se que a largura da ressonˆancia ´e a mesma que antes, mas a altura ´e 4 vezes superior, devido `a interferˆencia construtiva entre termo ressonante e anti-ressonante.
Figura 11.5: Pif (t, ω) para t constante como fun¸c˜ao de ω (Extra´ıdo de Cohen et al, ‘Quantum Mechanics’).
2) Acoplamento entre estados de um espectro cont´ınuo ˆ 0 , temos de interpretar Se a energia Ef pertencer a uma zona cont´ınua do espectro de H |hΦf |Ψi|2 como uma densidade de probabilidade. A probabilidade f´ısica ´e obtida integrando esta densidade de probabilidade sobre uma conjunto de estados finais. Esta integra¸c˜ao introduz uma medida, denominada densidade de estados finais ρ(E), como explicamos com o seguinte exemplo. Consideramos o problema da difus˜ao de uma part´ıcula sem spin, de massa m por um potencial W (~r). No instante t, o estado |Ψ(t)i pode ser expandido na representa¸c˜ao |~pi,
correspondendo a estados com momento bem definido p~, energia E = p~2 /2m e fun¸c˜ao de
11.2 Teoria das Perturba¸c˜ oes dependentes do tempo
379
onda espacial h~r|~pi =
1 2π~
3/2
ei~p·~r/~ .
Se o estado |Ψ(t)i estiver normalizado, a densidade de probabilidade associada ao momento ~p ´e d3 P(~p) = |h~p|Ψ(t)i|2 d3 ~p . Conceptualmente podemos, numa experiˆencia, programar um detector para dar sinal quando a part´ıcula difundida tiver um momento ~pf . Mas na pr´atica, o detector ter´a uma abertura finita e o seu filtro de energia n˜ao ser´a perfeito; dar´a sinal sempre que o momento da part´ıcula difundida estiver num ˆangulo s´olido δΩf , em torno de p~f e a sua energia num intervalo δEf centrada em p~2f /2m. Seja Df o dom´ınio no espa¸co de momentos definido por estas condi¸c˜oes. A probabilidade de obter um sinal do detector ´e Z δP(~pf , t) = |h~p|Ψ(t)i|2d3 p~ . p ~∈Df
Mudamos a vari´avel de integra¸c˜ao de momento para energia: d3 p~ = p2 dpdΩ ≡ ρ(E)dEdΩ , onde, genericamente, ρ(E) ´e a densidade de estados finais. No exemplo que estamos a considerar, p2 E= 2m
⇒
logo identificando p2 dp ≡ ρ(E)dE lˆemos ρ(E) = p2
dp =
r
m dE ; 2E
√ dp = 2Em3 . dE
(11.2.145)
(11.2.146)
Em termos de um integral na energia, a probabilidade de o detector dar sinal ´e Z δP(~pf , t) = |h~p|Ψ(t)i|2 ρ(E)dΩdE . (11.2.147) Ω∈δΩf ,E∈δEf
A densidade de estados funciona pois como uma medida de integra¸c˜ao. Consideramos agora o caso geral. Tomamos um cont´ınuo de estados estacion´arios de ˆ 0 , rotulados por um conjunto de n´ H umeros quˆanticos que denotamos por α. Estes estados
380
M´ etodos perturbativos independentes e dependentes do tempo
obedecem a hα|α′i = δ(α − α′ ) . A probabilidade de encontrar o sistema num dado grupo de estados finais, denominado Df , com um conjunto de valores de α centrados `a volta de αf ´e Z δP(αf , t) = dα|hα|Ψ(t)i|2 .
(11.2.148)
α∈Df
Tal como no exemplo anterior, mudamos de vari´avel de integra¸c˜ao para a energia, o que introduz uma medida de integra¸c˜ao ρ(β, E), que ´e uma densidade de estados finais que pode depender de outros n´ umeros quˆanticos que designamos genericamente por β (que ˆ 0 n˜ao constitua, per se, o C.C.O.C.): existir˜ao caso H dα = ρ(β, E)dβdE . Mudando da base {|αi} para a base {|β, Ei} e sendo o dom´ınio Df caracterizado, na nova base, por β ∈ δβf e E ∈ δEf , a probabilidade (11.2.148) fica Z δP(αf , t) = dβdEρ(β, E)|hβ, E|Ψ(t)i|2 .
(11.2.149)
β∈δβf ,E∈δEf
Usando esta express˜ao vamos agora deduzir um importante resultado para a probabilidade de transi¸c˜ao por unidade de tempo, denominado Regra de Ouro de Fermi. ˆ 0 . Vimos anConsideramos que o sistema se encontra num estado pr´oprio |Φi i de H teriormente que para o caso de uma perturba¸c˜ao constante a probabilidade de transi¸c˜ao |Φi i −→ |Φf i ´e (11.2.141):
ω t
|Wf i |2 sin2 f2i Pif (t) = , ωf i 2 ~2
(11.2.150)
2
que reescrevemos na forma
|hΦf |Ψ(t)i|2 =
ˆ |Φi i|2 |hΦf |W F (t, ωf i ) . ~2
(11.2.151)
O c´alculo que nos levou a esta f´ormula permanece v´alido se em vez de calcular hΦf |Ψ(t)i tivessemos calculado hβ, E|Ψ(t)i, onde |β, Ei pertence a um cont´ınuo de estados finais; neste caso o resultado ´e reescrito ˆ |Φi i|2 E − Ei |hβ, E|W . F t, |hβ, E|Ψ(t)i| = ~2 ~ 2
(11.2.152)
11.2 Teoria das Perturba¸c˜ oes dependentes do tempo
381
Usando (11.2.149) obtemos, para a probabilidade de transi¸c˜ao de |Φi i para um conjunto de estados num dom´ınio em torno do estado com energia Ef e outros n´ umeros quˆanticos βf (isto ´e αf ) 1 δP(Φi , αf , t) = 2 ~
Z
β∈δβf ,E∈δEf
ˆ |Φi i|2 F dβdEρ(β, E)|hβ, E|W
E − Ei t, ~
.
(11.2.153)
Analisemos a fun¸c˜ao F
E − Ei t, ~
≡
E−Ei t 2~ 2 E−Ei 2~
sin2
,
para t fixo em fun¸c˜ao de ωf i . Para t suficientemente grande, esta fun¸c˜ao pode ser aproximada por um delta de Dirac, centrado em E = Ei . De facto, uma das fun¸c˜oes que aproxima um delta de Dirac ´e: δǫ (x) = ǫ
sin2 xǫ , x2
δǫ (x) . ǫ→0 π
δ(x) = lim
Na figura 11.6 representamos δǫ (x) para diferentes valores de ǫ.
Figura 11.6: δǫ (x) para ǫ = 1, 0.5, 0.25, respectivamente. Tomando ǫ = 1/t, x = (E − Ei )/2~, temos δ
E − Ei 2~
Logo, para t elevado
i t E − Ei 1 sin2 E−E 1 2~ = lim . = lim F t, E−Ei 2 t→∞ tπ t→∞ tπ ~ 2~
F
E − Ei t, ~
≃ tπδ
E − Ei 2~
.
382
M´ etodos perturbativos independentes e dependentes do tempo
Usando ainda que para a fun¸c˜ao delta de Dirac δ(cx) =
1 δ(x) , |c|
obtemos, para t elevado, E − Ei ≃ 2~tπδ(E − Ei ) . F t, ~
(11.2.154)
Vamos concentrar-nos numa perturba¸c˜ao constante e consideramos as seguintes aproxima¸c˜oes: • t ´e suficientemente elevado para (11.2.154) ser uma boa aproxima¸c˜ao; • t ´e suficientemente pequeno para o tratamento perturbativo de primeira ordem ser boa
aproxima¸c˜ao; isto significa que os coeficientes bnf (t) n˜ao variam demasiado rapida-
mente com t; concretamente, se considerarmos b1f (t), temos, por (11.2.131) e para uma perturba¸c˜ao constante Z Vf i t iωf i t′ ′ Vf i iωf i t/2 ωf i t 1 bf (t) = e dt = −2i e sin . i~ 0 ωf i 2
(11.2.155)
Para esta quantidade n˜ao variar “demasiado rapidamente” tomamos ωf i t 2~ ≪ 1 ⇔ Ef − Ei ≪ , 2 t
(11.2.156)
que corresponde a frequˆencia de Bohr pequena. Assim, depois de fixar t suficientemente grande para (11.2.154) ser uma boa aproxima¸c˜ao tomamos Ef suficientemente pr´oximo de Ei . • No pequeno intervalo de estados finais que resulta das condi¸c˜oes da al´ınea anterior, assumimos que δβf ´e pequeno, pelo que a integra¸c˜ao em β ´e desnecess´aria. Sob tais condi¸c˜oes, (11.2.153) fica δβ 2πt |hβ , E = E |W ˆ |Φi i|2 ρ(βf , Ef = Ei ) , se Ei ∈ δEf , f f i f ~ δP(Φi , αf , t) = 0 , se E ∈ / δE . i
f
(11.2.157)
11.2 Teoria das Perturba¸c˜ oes dependentes do tempo
383
Ou seja, a perturba¸c˜ao constante s´o pode induzir transi¸c˜oes entre n´ıveis com a mesma energia, a menos de uma largura δEf igual a 2π~/t (estimada como a distˆancia entre zeros consecutivos de F (t, (E − Ei )/~)), que resulta da incerteza tempo/energia. Como a probabilidade aumenta linearmente com o tempo6 , a probabilidade de transi¸c˜ ao por unidade de tempo ´e constante. A densidade de probabilidade de transi¸c˜ao, por unidade de tempo e por unidade da vari´avel βf ´e: p(Φi , αf ) =
2π d δP(Φi , αf , t) ˆ |Φi i|2 ρ(βf , Ef = Ei ) . = |hβf , Ef = Ei |W dt δβf ~
(11.2.158)
Esta ´e a Regra de Ouro de Fermi (ou, mais correctamente Fermi-Dirac, pois foi Dirac quem fez grande parte do trabalho que levou a esta regra). Mais esquematicamente pi→f =
2π |Wf i |2 ρf . ~
(11.2.159)
Note-se que esta regra se aplica a perturba¸c˜oes independentes do tempo, embora seja derivada usando o formalismo de teoria de perturba¸c˜oes dependentes do tempo. Existem muitas aplica¸c˜oes de importˆancia da regra de ouro de Fermi nesta forma; mas a regra pode ser generalizada para perturba¸c˜oes dependentes do tempo. Por exemplo, se em vez de termos considerado a perturba¸c˜ao constante tiv´essemos considerado uma perturba¸c˜ao sinusoidal (11.2.136), que acopla |Φi i a um cont´ınuo de estados |βf , Ef i, com energias pr´oximas de Ei + ~ω, ter´ıamos obtido p(Φi , αf ) =
π ˆ |Φi i|2 ρ(βf , Ef = Ei + ~ω) . |hβf , Ef = Ei + ~ω|W 2~
(11.2.160)
Entre as aplica¸c˜oes da regra de ouro de Fermi encontram-se os c´alculos de sec¸c˜ao eficaz de difus˜ao e probabilidades de decaimento (como o decaimento beta). Como exemplo de aplica¸c˜ao consideramos de seguida um c´alculo de difus˜ao. Exemplo: Deriva¸c˜ao da aproxima¸c˜ao de Born para a sec¸c˜ao eficaz de difus˜ao pela regra de ouro de Fermi. 6
O que ser´a v´alido apenas para tempos pequenos e ´e o resultado esperado para uma perturba¸ca˜o constante.
384
M´ etodos perturbativos independentes e dependentes do tempo
ˆ , cujos elementos de Consideramos a difus˜ao de uma part´ıcula por um potencial W matriz, na representa¸c˜ao {|~ri} s˜ao dados por ˆ |~r′ i = W (~r)δ(~r − ~r′ ) . h~r|W Assumimos que o estado inicial do sistema ´e um estado pr´oprio do momento: |Ψ(t = 0)i = |~pii .
(11.2.161)
Vamos calcular a probabilidade de transi¸c˜ao desta part´ıcula (i.e a difus˜ao pelo potencial) para estados com momento p~ em torno de p~f (|~pi | = |~pf |) por unidade de tempo e de ˆangulo s´olido. Pela regra de ouro de Fermi (11.2.158) p(~pi , ~pf ) =
2π ˆ |~pi i|2 ρ(Ef = Ei ) ; |h~pf |W ~
usamos ˆ |~pi i = h~pf |W = =
Z Z
Z Z
ˆ |~r′ih~r′ |~pii d~rd~r′ h~pf |~rih~r|W ′
d~rd~r 3 Z
1 2π~
1 2π~
3/2
−i~ pf ·~ r/~
e
1 W (~r)δ(~r − ~r ) 2π~ ′
3/2
′
ei~pi ·~r /~
d~rei(~pi −~pf )·~r/~W (~r) ;
e levando em considera¸c˜ao (11.2.146) obtemos 2 Z √ 2π i(~ pi −~ pf )·~ r /~ m 2mE . p(~pi , p~f ) = d~ r e W (~ r ) ~(2π~)6
(11.2.162)
A sec¸c˜ao eficaz diferencial de difus˜ao foi definida por (10.1.1) dn = σ(θ, φ)FidΩ ,
(11.2.163)
e portanto σ(θ, φ) =
dn , Fi dΩ
[σ] = L2 ,
que corresponde um “n´ umero de part´ıculas detectadas por unidade de tempo, fluxo incidente e ˆangulo s´olido”. Comparando com p(~pi , ~pf ) ,
[p] =
1 , T
11.2 Teoria das Perturba¸c˜ oes dependentes do tempo
385
que corresponde a uma “probabilidade de transi¸c˜ao por unidade de tempo e ˆangulo s´olido”, concluimos que para identificar p(~pi , p~f ) com σ(θ, φ) necessitamos de dividir a primeira quantidade por um “fluxo”. O candidato natural ´e o vector densidade de corrente de probabilidade J~i para as part´ıculas incidentes: ~ 1 1 ∗ ~ [J~] = [Fluxo] = . Ji (~r) = Re Φ (~r) ∇Φ(~r) , m i T L2 Para Φ(~r) =
1 2π~
3/2
(11.2.164)
ei~pi ·~r/~ ,
obtemos J~i = Assim
p~i m(2π~)3
⇒
|J~i| =
p 1 2Ei m . m(2π~)3
Z 2 m2 p(~pi , ~pf ) 3 i(~ pi −~ pf )·~ r /~ = 2 4 d ~re W (~r) , 4π ~ |J~i |
(11.2.165)
que coincide com a f´ormula para σ(θ, φ) na aproxima¸c˜ao de Born (10.2.28).
11.2.4
Probabilidade de transi¸ c˜ ao via operador de evolu¸ c˜ ao
A probabilidade de transi¸c˜ao (11.2.135), pode ser obtida por um outro m´etodo que tem a vantagem de se tornar mais simples em ordens superiores `a primeira. A raz˜ao ´e que este outro m´etodo emprega uma t´ecnica de diagramas, bastante intuitivos, para construir as amplitudes de transi¸c˜ao em cada ordem. O m´etodo em quest˜ao, que iremos agora ˆ t0 ), introduzido na sec¸c˜ao 4.5.3, para deduzir a estudar, usa o operador de evolu¸c˜ao U(t, probabilidade de transi¸c˜ao Pif (t). Este m´etodo levar´a naturalmente a uma interpreta¸c˜ao gr´afica da s´erie perturbativa, no esp´ırito dos diagramas de Feynman usados em Teoria Quˆantica de Campo. Com este objectivo come¸caremos por discutir as v´arias representa¸c˜oes da Mecˆanica Quˆantica. As representa¸c˜ oes de Schr¨ odinger, Heisenberg e Interac¸c˜ ao O formalismo com que temos estudado a Mecˆanica Quˆantica cont´em: ˆ Pˆ , etc. • Operadores (observ´aveis) genericamente independentes do tempo: R,
386
M´ etodos perturbativos independentes e dependentes do tempo
• Um estado genericamente dependente do tempo, |Ψ(t)i, que nesta sec¸c˜ao denotamos |ΨS (t)i. A evolu¸c˜ao do sistema est´a inteiramente contida na evolu¸c˜ao do estado |ΨS (t)i e ´e determinada pela equa¸c˜ao de Schr¨odinger; por isso este formalismo ´e denominado representa¸c˜ao de Schr¨odinger. O operador de evolu¸c˜ao Uˆ (t, t0 ) depende do tempo e podemos usa-lo para construir um formalismo em que: • Operadores (observ´aveis) ser˜ao dependentes do tempo; • O estado ser´a independente do tempo, sendo denotado por |ΨH i; Este formalismo ´e denominado representa¸c˜ao de Heisenberg. A unitariedade do operador de evolu¸c˜ao garante que as previs˜oes da Mecˆanica Quˆantica (probabilidades e valores esperados) feitas nas duas representa¸c˜oes s˜ao perfeitamente equivalentes. Para confirmarmos que assim ´e consideremos, mais explicitamente, a rela¸c˜ao entre os dois formalismos. Por defini¸c˜ao, o operador de evolu¸c˜ao relaciona o estado do sistema em dois instantes diferentes do seguinte modo: ˆ (t, t0 )|ΨS (t0 )i . |ΨS (t)i = U
(11.2.166)
O estado na representa¸c˜ao de Heisenberg ´e introduzido como ˆ † (t, t0 )|ΨS (t)i , |ΨH i ≡ |ΨS (t0 )i = U
(11.2.167)
onde usamos a unitariedade do operador de evolu¸c˜ao. Isto ´e, o estado na representa¸c˜ao de Heisenberg ´e o estado inicial na representa¸c˜ao de Schr¨odinger e como tal ´e independente do tempo. Consideramos agora um operador gen´erico na representa¸ca˜o de Schr¨odinger, que poder´a ou n˜ao depender do tempo e que denotamos por AˆS (t). O seu valor esperado no estado |ΨS (t)i ´e dado por ˆ ˆ t0 )|ΨS (t0 )i . hAi(t) = hΨS (t)|AˆS (t)|ΨS (t)i = hΨS (t0 )|Uˆ † (t, t0 )AˆS (t)U(t,
(11.2.168)
11.2 Teoria das Perturba¸c˜ oes dependentes do tempo
387
Na representa¸c˜ao de Heisenberg, a mesma observ´avel ser´a representada pelo operador AˆH (t), e o seu valor esperado ser´a ˆ hAi(t) = hΨH |AˆH (t)|ΨH i .
(11.2.169)
Requerendo que (11.2.168) e (11.2.169) sejam equivalentes obtemos AˆH (t) = Uˆ † (t, t0 )AˆS (t)Uˆ (t, t0 ) ,
(11.2.170)
que genericamente depende do tempo, mesmo que AˆS n˜ao dependa. Calculemos agora a evolu¸c˜ao temporal de um operador na representa¸c˜ao de Heisenberg. Como c´alculo preliminar derivamos (11.2.166) em ordem ao tempo d ˆ d i~ |ΨS (t)i = i~ U (t, t0 ) |ΨS (t0 )i , dt dt
(11.2.171)
dado que |ΨS (t0 )i n˜ao depende do tempo; substituindo o lado esquerdo pelo uso da equa¸c˜ao de Schr¨odinger na forma i~
d ˆ S (t)Uˆ (t, t0 )|ΨS (t0 )i , |ΨS (t)i = H dt
(11.2.172)
obt´em-se 1 ˆ d ˆ ˆ U(t, t0 ) = H S (t)U(t, t0 ) . dt i~
(11.2.173)
d ˆ† 1 ˆ† ˆ S (t) . U (t, t0 ) = − U (t, t0 )H dt i~
(11.2.174)
A equa¸c˜ao adjunta ´e
Derivamos agora (11.2.170) em ordem ao tempo; usando (11.2.173) e (11.2.174) obtemos d ˆ AH (t) = dt ˆ 1 ˆ† ˆ S (t)AˆS (t)Uˆ (t, t0 ) + Uˆ † (t, t0 ) dAS (t) U(t, ˆ t0 ) + 1 Uˆ † (t, t0 )AˆS (t)H ˆ S (t)Uˆ (t, t0 ) ; − U (t, t0 )H i~ dt i~ (11.2.175) ˆ = Uˆ (t, t0 )Uˆ † (t, t0 ) no primeiro e terceiro termo do lado direito entre os Introduzindo 1 ˆ S obtemos: operadores AˆS e H h i d ˆ H (t) + i~ i~ AˆH (t) = AˆH (t), H dt
dAˆS (t) dt
!
. H
(11.2.176)
388
M´ etodos perturbativos independentes e dependentes do tempo
Esta ´e a equa¸c˜ao de evolu¸c˜ao na representa¸c˜ao de Heisenberg. Do mesmo modo que, na representa¸c˜ao de Schr¨odinger, toda a informa¸c˜ao sobre a evolu¸c˜ao do sistema (contida em |ΨS (t)i) ´e dada pela equa¸c˜ao de Schr¨odinger, na representa¸c˜ao de Heisenberg,
toda a informa¸c˜ao sobre a evolu¸c˜ao do sistema (contida em AˆH (t)) ´e dada pela equa¸c˜ao (11.2.176).7 Note-se a semelhan¸ca formal entre (11.2.176) e (1.3.28); na representa¸c˜ao de Schr¨odinger uma tal semelhan¸ca existe apenas para a evolu¸c˜ao dos valores m´edios de observ´aveis (4.4.59). Existe uma terceira representa¸c˜ao, que ´e introduzida para lidar com perturba¸c˜oes a um
sistema cuja solu¸c˜ao exacta ´e conhecida: a representa¸c˜ao de interac¸c˜ao. Consideremos o Hamiltoniano: ˆ =H ˆ 0 (t) + W ˆ (t) . H
(11.2.177)
ˆ 0 (t); isto ´e, se Seja Uˆ0 (t, t0 ) o operador de evolu¸c˜ao do Hamiltoniano n˜ao perturbado H ˆ (t) = 0, ent˜ao W |ΨS (t)i = Uˆ0 (t, t0 )|ΨS (t0 )i .
(11.2.178)
Seja Uˆ (t, t0 ) o operador de evolu¸c˜ao do Hamiltoniano total; ent˜ao ˆ (t, t0 )|ΨS (t0 )i . |ΨS (t)i = U
(11.2.179)
Definimos o estado do sistema na representa¸c˜ao de interac¸c˜ao |ΨI (t)i como |ΨS (t)i = Uˆ0 (t, t0 )|ΨI (t)i ⇔ |ΨI (t)i = Uˆ0† (t, t0 )|ΨS (t)i ,
(11.2.180)
em que t0 ´e o instante em que a perturba¸c˜ao come¸cou a actuar. Note-se a semelhan¸ca com (11.2.167), substituindo Uˆ ↔ Uˆ0 , o que nos leva a concluir que se o Hamiltoniano fosse apenas o Hamiltoniano no perturbado, o estado de interac¸ca˜o coincidiria com o estado de Heisenberg e seria constante. Para verificarmos isto calculemos a evolu¸c˜ao do estado na representa¸c˜ao de interac¸c˜ao: d d d ˆ† † ˆ i~ |ΨI (t)i = i~ U0 (t, t0 ) |ΨS (t)i + U0 (t, t0 ) i~ |ΨS (t)i . dt dt dt 7
(11.2.181)
Historicamente, as duas representa¸co˜es aparecem no mesmo ano, 1925, com a equa¸ca˜o de Schr¨odinger e a mecˆanica matricial de Heisenberg. A equivalˆencia foi provada por Schr¨odinger em Mar¸co de 1926 no ¨ artigo ‘Uber das Verh¨ altnis der Heisenberg-Born-Jordanschen Quantenmechanik zu der meinen’.
11.2 Teoria das Perturba¸c˜ oes dependentes do tempo
389
Usando o an´alogo de (11.2.174) para Uˆ0 , i~
d ˆ† ˆ 0 (t) , U0 (t, t0 ) = −Uˆ0† (t, t0 )H dt
(11.2.182)
no primeiro termo do lado direito e a equa¸c˜ao de Schr¨odinger i~
d ˆ 0 (t) + W ˆ (t))|ΨS (t)i , |ΨS (t)i = (H dt
(11.2.183)
para o segundo termo, (11.2.181) toma a forma: i~
d ˆ † (t, t0 )W ˆ (t)Uˆ0 (t, t0 )|ΨI (t)i ≡ W ˆ I (t)|ΨI (t)i . |ΨI (t)i = U 0 dt
(11.2.184)
ˆ I com W ˆ , i.e. da perturba¸c˜ao na representa¸c˜ao de interac¸c˜ao Note-se que a rela¸c˜ao de W e na representa¸c˜ao de Schr¨odinger ´e semelhante `a rela¸c˜ao dos operadores na representa¸c˜ao ˆ ↔ Uˆ0 . Esta ´e a de Heisenberg e de Schr¨odinger (11.2.170), mais uma vez substituindo U ˆ = 0, ent˜ao |ΨI (t)i = constante; equa¸c˜ao de evolu¸c˜ao na representa¸c˜ao de interac¸c˜ao. Se W por (11.2.180) ˆ0 (t, t0 )|ΨI (t)i , |ΨS (t)i = U
(11.2.185)
pelo que podemos interpretar o estado constante no tempo como |ΨI (t)i = |ΨS (t0 )i = |ΨH i; logo interpretamos o estado de interac¸c˜ao como a evolu¸c˜ao de |ΨS (t0 )i devida somente `a perturba¸c˜ao, como ilustrado na figura 11.7. ˆ0 (t, t0 )|ΨS (t0 )i U
ˆ0 H |ΨS (t0 )i ˆ (t) W
|ΨI (t)i
Figura 11.7: Evolu¸c˜ao do estado |ΨS (t0 )i, separando as contribui¸c˜oes do Hamiltoniano ˆ 0 e da perturba¸c˜ao W ˆ (t). Se W ˆ (t) ≪ H ˆ 0 esperamos que a evolu¸c˜ao de n˜ao perturbado H |ΨI (t)i seja muito mais lenta do que a de Uˆ0 (t, t0 )|ΨS (t0 )i. Podemos integrar, formalmente, a equa¸c˜ao (11.2.184), obtendo 1 |ΨI (t)i = |ΨI (t0 )i + i~
Z
t
t0
ˆ I (t′ )|ΨI (t′ )i ; dt′ W
(11.2.186)
390
M´ etodos perturbativos independentes e dependentes do tempo
onde |ΨI (t0 )i = |ΨS (t0 )i. Substituindo esta equa¸c˜ao nela pr´opria repetidamente obtemos: |ΨI (t)i =
ˆ+ 1 1 i~
t
Z
t0
ˆ I (t′ ) + 1 dt′ W (i~)2
Z
t
ˆ I (t′ ) dt′ W
t0
t′
Z
t0
!
ˆ I (t′′ ) + . . . |ΨI (t0 )i , dt′′ W (11.2.187)
ou |ΨI (t)i = UˆI (t, t0 )|ΨI (t0 )i ,
(11.2.188)
que define o operador de evolu¸c˜ao na representa¸c˜ao de interac¸c˜ao. Usando (11.2.180) temos ˆ0† (t, t0 )U(t, ˆ t0 )|ΨI (t0 )i ; |ΨI (t)i = Uˆ0† (t, t0 )|ΨS (t)i = Uˆ0† (t, t0 )Uˆ (t, t0 )|ΨS (t0 )i = U (11.2.189) comparando com (11.2.187) deduzimos que ˆI (t, t0 ) = U ˆ † (t, t0 )Uˆ (t, t0 ) . U 0
(11.2.190)
Esta rela¸c˜ao permite-nos mostrar que UˆI (t, t0 ) tem as propriedades adequadas para poder ˆ t0 ) s˜ao ser considerado um operador de evolu¸c˜ao. De facto, usando que Uˆ0 (t, t0 ) e U(t, operadores de evolu¸c˜ao demonstra-se que: ˆ a) UˆI (t0 , t0 ) = 1; ˆI (t, t0 ) = UˆI (t, t0 )Uˆ † (t, t0 ) = 1; ˆ b) UˆI† (t, t0 )U I c) UˆI (t, t′ ) = UˆI (t, t′′ )UˆI (t′′ , t′ ). Derivamos agora uma expans˜ao perturbativa para o operador de evolu¸c˜ao total. Recordemos a defini¸c˜ao do operador de evolu¸c˜ao UˆI (t, t0 ) dada em (11.2.187): ˆ+ 1 UˆI (t, t0 ) = 1 i~
Z
t
t0
ˆ I (t′ ) + dt W ′
1 (i~)2
Z
t
t0
ˆ I (t′ ) dt W ′
Z
t′
ˆ I (t′′ ) + . . . ; dt′′ W
(11.2.191)
t0
ˆ I (t) dada em (11.2.184), usando (11.2.190) para o lado esquerdo da equa¸c˜ao, a defini¸c˜ao de W ˆ I (t) = Uˆ † (t, t0 )W ˆ (t)U ˆ0 (t, t0 ) , W 0
(11.2.192)
11.2 Teoria das Perturba¸c˜ oes dependentes do tempo
391
ˆ0 (t, t0 ) obtemos para o lado direito e multiplicando (11.2.191) por U Z t 1 ˆ0 (t, t0 )U ˆ † (t′ , t0 )W ˆ (t′ )U ˆ0 (t′ , t0 ) ˆ0 (t, t0 ) + dt′ U Uˆ (t, t0 ) = U 0 i~ t0 Z t Z t′ 1 ˆ † (t′ , t0 )W ˆ (t′ )U ˆ0 (t′ , t0 )Uˆ † (t′′ , t0 )W ˆ (t′′ )Uˆ0 (t′′ , t0 ) + . . . ; dt′′ Uˆ0 (t, t0 )U dt′ + 0 0 2 (i~) t0 t0 (11.2.193) notando que Uˆ0† (t′ , t0 ) = Uˆ0 (t0 , t′ ) ,
(11.2.194)
ˆ0 (t, t0 )Uˆ † (t′ , t0 ) = Uˆ0 (t, t0 )Uˆ0 (t0 , t′ ) = Uˆ0 (t, t′ ) , U 0
(11.2.195)
logo
e de um modo semelhante para outras combina¸c˜oes an´alogas, (11.2.193) toma a forma final ˆ t0 ) = Uˆ0 (t, t0 ) + U(t,
+∞ X
Uˆ (n) (t, t0 ) ,
(11.2.196)
n=1
onde definimos ˆ (n)
U
1 (t, t0 ) = (i~)n
Z
t
dt1 t0
Z
t1
dt2 . . . t0
Z
tn−1
ˆ (t1 )U ˆ0 (t1 , t2 )W ˆ (t2 ) . . . W ˆ (tn )Uˆ0 (tn , t0 ) , dtn Uˆ0 (t, t1 )W
t0
(11.2.197)
onde t > t1 > . . . > tn−1 . Consideremos agora a probabilidade de transi¸c˜ao no instante t, tal como discutida na ˆ 0 indepensec¸c˜ao 11.2.1, entre os estados estacion´arios |Φi i e |Φf i de um Hamiltoniano H
ˆ (t), ligada em t = 0; em termos do operador dente do tempo, devido a uma perturba¸c˜ao W de evolu¸c˜ao ela pode ser escrita da forma ˆ 0)|Φi i|2 = |hΦf |Uˆ0 (t, 0) + Pif (t) = |hΦf |U(t,
+∞ X n=1
Uˆ (n) (t, 0)|Φii|2 .
(11.2.198)
Em ordem zero necessitamos dos elementos de matriz: ˆ
0
ˆ0 (t, 0)|Φi i = hΦf |e−itH0 /~|Φi i = e−iEi t/~δif , hΦf |U
(11.2.199)
392
M´ etodos perturbativos independentes e dependentes do tempo
ˆ 0 associado ao estado pr´oprio |Φn i. Em ordem um necessionde En0 ´e o valor pr´oprio de H tamos dos elementos de matriz: Z 1 t (1) ˆ ˆ (t1 )U ˆ0 (t1 , 0)|Φi i hΦf |U (t, 0)|Φii = hΦf | dt1 Uˆ0 (t, t1 )W i~ 0 Z 1 t 0 ˆ f i (t1 )e−iEi0 (t−0)/~ , dt1 e−iEf (t−t1 )/~W = i~ 0
(11.2.200)
ˆ (t1 )|Φi i = W ˆ f i (t1 ). Os elementos de matriz de ordem dois s˜ao onde denotamos hΦf |W calculados de maneira semelhante, sendo necess´ario introduzir a rela¸c˜ao de fecho. Obtemse: ˆ (2) (t, 0)|Φii = hΦf |U
P Z
k (i~)2
t
dt1 0
Z
t1
0 ˆ ki (t2 )e−iEi0 (t2 −0)/~ . ˆ f k (t1 )e−iEk0 (t1 −t2 )/~W dt2 e−iEf (t−t1 )/~W
0
(11.2.201)
Podemos agora interpretar os termos nas v´arias ordens: • Termo de ordem zero: corresponde ao sistema n˜ao perturbado; o operador de evolu¸c˜ao ´e apenas exp (−iEi0 (t − 0)/~);
• Termo de ordem um: o sistema evolui de t = 0 → t1 por ac¸c˜ao de exp (−iEi0 (t1 − 0)/~); em t1 actua a perturba¸c˜ao que transforma |Φi i → |Φf i; seguidamente o sistema
evolui de t1 → t por ac¸c˜ao de exp (−iEf0 (t − t1 )/~). Integramos sobre todos os t1 de modo a que a perturba¸c˜ao possa actuar em qualquer instante; • Termo de ordem dois: o sistema evolui de t = 0 → t2 por ac¸c˜ao de exp (−iEi0 (t2 − 0)/~); em t2 actua a perturba¸c˜ao que transforma |Φi i → |Φk i que ´e um estado interm´edio arbitr´ario; seguidamente o sistema evolui de t2 → t1 por ac¸c˜ao de exp (−iEk0 (t1 − t2 )/~); em t1 actua a perturba¸c˜ao que transforma |Φk i → |Φf i; seguidamente o sistema evolui de t1 → t por ac¸c˜ao de exp (−iEf0 (t − t1 )/~). Integramos sobre todos os t1 , t2
de modo a que as perturba¸c˜oes possam actuar em qualquer instante; somamos sobre todos os estados interm´edios de modo que o estado final possa ser atingido usando qualquer estado interm´edio. Cada termo nesta s´erie perturbativa pode ser representado por um diagrama. Os trˆes primeiros est˜ao representados na figura 11.8. Aos diagramas associamos as seguintes regras:
11.2 Teoria das Perturba¸c˜ oes dependentes do tempo t
t
393
t |Φf i
|Φf i
t2 |Φi i = |Φf i
ˆ (t1 ) W
t1
ˆ (t1 ) W
|Φi i t=0 Ordem 0
ˆ (t2 ) W
|Φk i t1 |Φi i
t=0 Ordem 1
t=0 Ordem 2
Figura 11.8: Diagramas de ‘Feynman’ que ilustram o processo de ordem zero, um e dois para a teoria de perturba¸c˜oes dependentes do tempo. ⋆ O diagrama lˆe-se de baixo para cima (ordem temporal) correspondendo `a leitura dos elementos de matriz correspondentes (11.2.199), (11.2.200) e (11.2.201) da direita para a esquerda; ⋆ a cada linha recta do diagrama, que une os pontos ti → ti+1 e que traduz a evolu¸c˜ao do ˆ 0 no estado |Φk i, atribui-se o factor de sistema no tempo sob a ac¸c˜ao de H 0
e−iEk (ti+1 −ti )/~ ;
(11.2.202)
⋆ A cada v´ertice do diagrama (correspondente a um instante ti ) atribui-se um factor de Z 1 ti−i ˆ ab (ti ) , dti W (11.2.203) i~ 0 onde os indices a, b se referem ao estado |Φa i - que se encontra imediatamente no passado do v´ertice - e |Φb i - que se encontra imediatamente no futuro do v´ertice; ⋆ Soma-se sobre todos os estados interm´edios |Φk i. Com estas regras, que tˆem o mesmo esp´ırito das regras de Feynman usadas em teoria quˆantica de campo, podemos reconstruir a express˜ao anal´ıtica de um termo perturbativo dado o respectivo diagrama. Como exemplo consideramos o termo de ordem trˆes,
394
M´ etodos perturbativos independentes e dependentes do tempo t ˆ (t3 ) W
t3
|Φf i |Φl i t2
ˆ (t1 ) W
t1
ˆ (t2 ) W
|Φk i |Φi i t=0
Ordem 3
Figura 11.9: Diagrama de ‘Feynman’ que ilustra o processo de ordem trˆes para a teoria de perturba¸c˜oes dependentes do tempo. representado na figura 11.9. A amplitude deste processo, isto ´e o elemento de matriz ˆ (3) (t, 0)|Φii, reconstruida usando a figura 11.9 e as regras anteriores ´e: hΦf |U Z Z t1 Z t2 1 X t 0 ˆ f l (t3 )e−iEl0 (t3 −t2 )/~× dt1 dt2 dt3 e−iEf (t−t3 )/~W 3 (i~) k,l t0 t0 t0 0
0
ˆ ki (t1 )e−iEi (t1 −t0 )/~ , ˆ lk (t2 )e−iEk (t2 −t1 )/~W ×W (11.2.204)
onde t > t3 > t2 > t1 > t0 . A estrutura dos termos seguintes ´e agora bastante ´obvia. Usando as f´ormulas para as amplitudes ´e simples calcular a probabilidade de transi¸c˜ao. Para a transi¸c˜ao |Φi i e |Φf i, i 6= f , obt´em-se, em primeira ordem, 2 Z 1 −iEf0 t/~ t −i(Ei0 −Ef0 )t1 /~ ˆ Pif (t) = |hΦf |U (t, 0)|Φi i| = 2 e Wf i (t1 ) dt1 e ~ 0 Z t 2 1 ˆ f i (t1 ) , = 2 dt1 eiωf i t1 W ~ ˆ (1)
2
(11.2.205)
0
onde usamos a frequˆencia angular de Bohr (11.2.122), que ´e exactamente o resultado (11.2.135).
11.3 Sum´ ario
11.3
395
Sum´ ario
Neste cap´ıtulo estudamos m´etodos perturbativos independentes e dependentes do tempo, de modo a podermos considerar problemas que n˜ao admitem solu¸c˜ao exacta. A principal hip´otese ´e que o Hamiltoniano se decomp˜oe num Hamiltoniano que pode ser resolvido ˆ 0 e numa perturba¸c˜ao W ˆ , que ´e “pequena”. Para o caso de perturba¸c˜oes exactamente H estacion´arias, o formalismo considera separadamente as perturba¸c˜oes a n´ıveis n˜ao degenerados e degenerados. Como aplica¸c˜ao do primeiro caso estudamos v´arias perturba¸c˜oes a um oscilador harm´onico em uma dimens˜ao. Como aplica¸c˜ao do segundo caso calculamos a estrutura fina do ´atomo de Hidrog´enio. Para perturba¸c˜oes dependentes do tempo, estuˆ 0 induzidas damos como calcular a probabilidade de transi¸c˜oes entre estados pr´oprios de H pela perturba¸c˜ao. Como aplica¸c˜ao estudamos as ressonˆancias induzidas por pertuba¸c˜oes sinusoidais e a regra de Ouro de Fermi, que usamos para deduzir novamente a sec¸c˜ao eficaz na aproxima¸c˜ao de Born. Finalmente estudamos um outro m´etodo, baseado no operador de evolu¸c˜ao e na representa¸c˜ao de interac¸c˜ao, para derivar probabilidades de transi¸c˜ao em teoria de perturba¸c˜oes dependentes do tempo. Este m´etodo introduz uma componente diagram´atica que torna mais intuitiva a constru¸c˜ao das amplitudes de transi¸c˜ao.
CAP´ITULO
12
Sistemas de part´ıculas idˆ enticas
Os postulados do cap´ıtulo 4 para a Mecˆanica Quˆantica n˜ao relativista foram suplementados, no cap´ıtulo 10, por um conjunto de outros postulados referentes ao spin. O conjunto resultante de postulados ´e, ainda assim, insuficiente quando tratamos sistemas com v´arias part´ıculas idˆenticas, levando a ambiguidades nas previs˜oes f´ısicas. Para eliminar tais ambiguidades introduzimos, neste cap´ıtulo um novo postulado, relativo `a descri¸c˜ao quˆantica de sistemas de part´ıculas idˆenticas.
12.1
Origem do Problema: a degenerescˆ encia de troca
Duas part´ıculas s˜ao ditas idˆenticas se todas as suas propriedades intr´ınsecas - massa, carga, spin, etc - s˜ao exactamente iguais, sendo por isso imposs´ıvel distinguir uma da outra. Todos os prot˜oes ou todos os electr˜oes s˜ao, por exemplo, part´ıculas idˆenticas. Consideremos um problema de colis˜ao entre duas part´ıculas idˆenticas, rotuladas por (1) e (2), no referencial de centro de massa, conforme a figura 12.1. Consideremos que um aparelho de medida, D, detecta uma das part´ıculas numa determinada direc¸c˜ao ap´os a colis˜ao. A part´ıcula detectada no aparelho de medida D foi, claro est´a, a part´ıcula (1) ou a part´ıcula (2):
398
Sistemas de part´ıculas idˆ enticas
Figura 12.1: Descri¸c˜ao cl´assica de um problema de colis˜ao entre duas part´ıculas idˆenticas. A part´ıcula detectada pode ser identificada como sendo a part´ıcula (1) ou a part´ıcula (2) (Extra´ıdo de Cohen et al, ‘Quantum Mechanics’). • Classicamente n˜ao existe nenhuma ambiguidade; sabendo as condi¸c˜oes iniciais sabemos se as traject´orias efectuadas correspondem ao caso a) ou ao caso b) descrito na figura 12.1, e logo se a part´ıcula detectada foi (1) ou (2). • Quanticamente existe uma ambiguidade, porque os pactotes de onda se ir˜ao misturar e as part´ıculas perder˜ao irreversivelmente qualquer caracter´ıstica que as distinga Figura 12.2.
Figura 12.2: Descri¸c˜ao quˆantica de um problema de colis˜ao entre duas part´ıculas idˆenticas. A part´ıcula detectada n˜ao pode ser identificada como sendo a part´ıcula (1) ou a part´ıcula (2) (Extra´ıdo de Cohen et al, ‘Quantum Mechanics’). A conclus˜ao ´e que, quanticamente, n˜ao existe nenhuma maneira de dizer se a part´ıcula detectada foi a part´ıcula (1) ou a part´ıcula (2). Para compreender como esta ambiguidade
12.1 Origem do Problema: a degenerescˆ encia de troca
399
introduz ambiguidades f´ısicas na descri¸c˜ao quˆantica de um sistema de part´ıculas idˆenticas consideramos o seguinte exemplo. Suponhamos que temos um sistema com duas part´ıculas de spin 1/2 idˆenticas. Descrevemos matematicamente o sistema rotulando as part´ıculas como part´ıcula (1) e part´ıcula (2); os graus de liberdade de spin s˜ao descritos pelo ket |ǫ1 , ǫ2 i , onde ǫi = ±1, i = 1, 2, se refere ao valor pr´oprio da observ´avel de spin Sˆiz , da part´ıcula i, que ´e igual a ǫi ~/2. Imaginemos que medimos estas observ´aveis e obtemos como resultado +~/2 para uma delas e −~/2 para a outra. Em princ´ıpio esta medi¸c˜ao deveria determinar completamente o estado de spin do sistema. Mas devido `a natureza idˆentica das part´ıculas os kets | + −i ,
e
| − +i ,
parecem igualmente apropriados, `a priori, para descrever o sistema. Existe, neste sentido uma degenerescˆencia de troca. Mais geralmente, qualquer combina¸c˜ao linear normalizada α| + −i + β| − +i ,
|α|2 + |β|2 = 1 ,
(12.1.1)
poderia descrever matematicamene este sistema, dado que respeita a condi¸c˜ao de a componente Sˆz do spin de uma das part´ıculas ser ~/2 e a mesma componente do spin da outra ´ esta degenerescˆencia de estados que part´ıcula ser −~/2, sendo irrelevante qual ´e qual. E constitui a degenerescˆencia de troca, que ´e a afirma¸c˜ao que “num sistema de part´ıculas idˆenticas, uma medi¸c˜ao completa de cada uma das part´ıculas n˜ao permite a determina¸c˜ ao de um u ´nico ket para descrever o sistema”. Assim, no nosso exemplo, apesar de termos medido individualmente o spin de cada uma das part´ıculas sabemos apenas que o estado do sistema ´e dado por (12.1.1), com α e β indeterminados. Ora, para a descri¸c˜ao da Mecˆanica Quˆantica n˜ao ser ambigua, nenhuma previs˜ao de quantidades f´ısicas pode depender das constantes α e β. Mas podemos demonstrar facilmente que n˜ao ´e assim. Calculemos, por exemplo, a probabilidade de encontrar as componentes Sˆx do spin de ambas as part´ıculas com valor +~/2.
400
Sistemas de part´ıculas idˆ enticas
Primeiro notamos que na base pr´opria de ~ Sˆx = 2
Sˆz , Sˆx tem a forma (9.2.18) 0 1 . 1 0
´ f´acil verificar que os seus vectores pr´oprios (normalizados) s˜ao E 1 |+ix = √ (|+i + |−i) , 2 com valores pr´oprios
1 |−ix = √ (|+i − |−i) , 2
(12.1.2)
~ Sˆx |±ix = ± |±ix . 2 Para responder `a quest˜ao de qual a probabilidade de encontrar as componentes Sˆx dos spins de ambas as part´ıculas iguais a ~/2, invertemos (12.1.2) 1 |+i = √ (|+ix + |−ix ) , 2
1 |−i = √ (|+ix − |−ix ) , 2
(12.1.3)
de modo a escrever (12.1.1) em termos dos estados pr´oprios da componente Sˆx do spin α| + −i + β| − +i = α|+i ⊗ |−i + β|−i ⊗ |+i |+ix + |−ix |+ix − |−ix |+ix − |−ix |+ix + |−ix √ √ √ √ ⊗ +β ⊗ 2 2 2 2 α+β α+β α−β β−α = |+ix ⊗ |+ix − |−ix ⊗ |−ix − |+ix ⊗ |−ix − |−ix ⊗ |+ix . 2 2 2 2 (12.1.4)
=α
Logo, a probabilidade pedida ´e igual a α + β 2 2 ,
que depende dos coeficientes α e β e como tal temos uma ambiguidade f´ısica. Dificuldades an´alogas - resultantes da degenerescˆencia de troca - aparecem no estudo de todos os sistema com um n´ umero arbitr´ario de part´ıculas idˆenticas N, N > 1.
12.2
Operadores de permuta¸ c˜ ao
Antes de enunciar o postulado adicional da Mecˆanica Quˆantica que nos permite remover as ambiguidades resultantes da degenerescˆencia de troca, iremos estudar certos operadores que permutam as v´arias part´ıculas de um sistema e simplificam os c´alculos e racioc´ınios que se seguir˜ao.
12.2 Operadores de permuta¸c˜ ao
12.2.1
401
Sistema de duas part´ıculas
Consideremos um sistema constituido por duas part´ıculas, n˜ao necessariamente idˆenticas (de modo a evitar as ambiguidades f´ısicas discutidas anteriormente), mas com espa¸cos de estados isom´orficos. Em particular ter˜ao o mesmo spin. Por exemplo, um prot˜ao - part´ıcula (1) - e um electr˜ao - part´ıcula (2). Escolhemos a base {|uii} para o espa¸co de estados da part´ıcula (1), E(1); como este ´e isom´orfico a E(2), {|uii} ´e tamb´em uma base para este espa¸co. O espa¸co de estados total, E, tem uma base obtida pelo produto tensorial {|1 : ui i ⊗ |2 : uj i} = {|1 : ui; 2 : uj i} . Note-se que a ordem por que se fez o produto tensorial n˜ao ´e importante, isto ´e |1 : ui ; 2 : uj i = |2 : uj ; 1 : ui i , o que ´e importante ´e qual o estado associado a cada part´ıcula: |1 : ui ; 2 : uj i = 6 |1 : uj ; 2 : ui i ,
para i 6= j .
O operador de permuta¸c˜ao Pˆ21 ´e definido como o operador linear cuja ac¸c˜ao nesta base ´e dada por: Pˆ21 |1 : ui ; 2 : uj i = |2 : ui ; 1 : uj i = |1 : uj ; 2 : ui i . Sabendo esta ac¸c˜ao ´e f´acil concluir qual a ac¸c˜ao em qualquer ket, bastando expandi-lo nesta base. Em termos das componentes da fun¸c˜ao de onda de uma part´ıcula com spin e graus de liberdade orbitais, Ψǫ,ǫ′ (~r, ~r′ ) = h1 : ~r, ǫ; 2 : ~r′ , ǫ′ |Ψi , a ac¸c˜ao do operador de permuta¸c˜ao ´e Pˆ
21 Ψǫ′ ,ǫ (~r′ , ~r) . Ψǫ,ǫ′ (~r, ~r′) −→
Consideremos algumas propriedades do operador de permuta¸c˜ao:
402
Sistemas de part´ıculas idˆ enticas
´ igual ao seu inverso (´obvio pela defini¸c˜ao): • E 2 ˆ; Pˆ21 =1
´ herm´ıtico: • E
† Pˆ21 = Pˆ21 ;
para o demonstramos notamos que (assumimos que a base {|uii} est´a ortonormalizada) h1 : ui′ ; 2 : uj ′ |Pˆ21 |1 : ui ; 2 : uj i = δi′ j δj ′ i . † Por outro lado, os mesmos elementos de matriz para o operador Pˆ21 s˜ao † |1 : ui ; 2 : uj i = h1 : ui ; 2 : uj |Pˆ21 |1 : ui′ ; 2 : uj ′ i∗ h1 : ui′ ; 2 : uj ′ |Pˆ21
= (δj ′ i δi′ j )∗ = δj ′ i δi′ j , o que mostra que os elementos de matriz dos dois operadores s˜ao iguais e prova que Pˆ21 ´e herm´ıtico. • Das duas propriedades anteriores resulta que Pˆ21 ´e unit´ario: † ˆ. = Pˆ21 Pˆ21 = 1 Pˆ21 Pˆ21
• Por ser herm´ıtico os valores pr´oprios de Pˆ21 s˜ao reais; como, para al´em disso, o seu
quadrado ´e a unidade, os valores pr´oprios de Pˆ21 ter˜ao de ser λ = ±1. Asssociados a cada um destes valores pr´oprios temos um tipo distinto de vectores pr´oprios: ⋆ λ = 1; os vectores pr´oprios associados chamam-se sim´etricos e denotam-se |ΨS i: Pˆ21 |ΨS i = |ΨS i. ⋆ λ = −1; os vectores pr´oprios associados chamam-se anti-sim´etricos e denotam-se |ΨA i:
Pˆ21 |ΨA i = −|ΨA i.
12.2 Operadores de permuta¸c˜ ao
403
Dado um estado arbitr´ario, podemos definir dois operadores cuja ac¸c˜ao nesse estado origina, um estado pr´oprio de Pˆ21 , com valor pr´oprio, respectivamente +1 ou −1. Estes
ˆ e o anti-simetrizador, Aˆ e s˜ao definidos pelas operadores chamam-se o simetrizador, S, express˜oes: 1 ˆ ˆ 1 + P21 , Sˆ = 2
1 ˆ ˆ Aˆ = 1 − P21 . 2
(12.2.1)
Estes operadores tˆem as seguintes propriedades, todas elas podendo ser facilmente verificadas a partir das defini¸c˜oes (12.2.1): • Ambos s˜ao operadores de projec¸c˜ao: Sˆ2 = Sˆ ,
Aˆ2 = Aˆ ;
Sˆ = Sˆ† ,
Aˆ = Aˆ† ;
• Ambos s˜ao operadores herm´ıticos:
• Sˆ e Aˆ projectam em espa¸cos ortogonais e suplementares SˆAˆ = AˆSˆ = 0 ,
ˆ. Sˆ + Aˆ = 1
• Como antecipado em cima, a ac¸c˜ao destes operadores num estado arbitr´ario |Ψi de E produz estados pr´oprios do operador de permuta¸c˜ao: ˆ ˆ Pˆ21 S|Ψi = S|Ψi ,
ˆ ˆ Pˆ21 A|Ψi = −A|Ψi ,
o que justifica a denomina¸c˜ao dos operadores. Consideremos agora a transforma¸c˜ao de observ´aveis pela ac¸c˜ao do operador de perˆ muta¸c˜ao. Seja B(1) uma observ´avel definida em E(1). Como ´e observ´avel os seus vectores pr´oprios constituem uma base de E(1). Sem perda de generalidade assumimos que a base
ˆ {|uii} corresponde `a base pr´opria de B(1), com valores pr´oprios {bi }. Consideramos a
† ˆ Pˆ21 ac¸c˜ao do operador Pˆ21 B(1) num ket de E arbitr´ario:
ˆ Pˆ † |1 : ui ; 2 : uj i = Pˆ21 B(1)|1 ˆ Pˆ21 B(1) : uj ; 2 : uii = bj Pˆ21 |1 : uj ; 2 : ui i = bj |1 : ui ; 2 : uj i . 21
404
Sistemas de part´ıculas idˆ enticas
ˆ Por outro lado, se considerarmos a ac¸c˜ao da observ´avel an´aloga em E(2), denotada B(2), no mesmo ket, temos ˆ B(2)|1 : ui ; 2 : uj i = bj |1 : ui ; 2 : uj i . Como o ket ´e arbitr´ario concluimos que ˆ Pˆ † = B(2) ˆ Pˆ21 B(1) . 21 Por um m´etodo an´alogo pode-se mostrar que ˆ ˆ Pˆ † = B(1); • Pˆ21 B(2) 21 † ˆ ˆ ˆ ˆ • Pˆ21 (B(1) + C(2)) Pˆ21 = B(2) + C(1);
ˆ C(1), ˆ ˆ C(2) ˆ Pˆ † = B(2) que pode ser facilmente deduzido introduzindo o operador • Pˆ21 B(1) 21 † ˆ ˆ ˆ ˆ = Pˆ21 1 P21 entre B(1) e C(2).
ˆ 2), em E, que pode ser expressa em termos Generalizando para qualquer observ´avel O(1,
ˆ ˆ de observ´aveis B(1) e C(2), temos
ˆ 2)Pˆ † = O(2, ˆ 1) , Pˆ21 O(1, 21 que ´e a mesma observ´avel trocando 1 ↔ 2. Uma observ´avel ´e dita sim´etrica se ˆS (2, 1) = O ˆ S (1, 2) . O Para uma observ´avel sim´etrica, (12.2.2) fica ˆ S (1, 2)Pˆ † = O ˆ S (2, 1) = O ˆS (1, 2) Pˆ21 O 21
⇒
ˆS (1, 2) = O ˆS (1, 2)Pˆ21 , Pˆ21 O
de onde concluimos que ˆ S (1, 2), Pˆ21] = 0 , [O ou seja, as observ´aveis sim´etricas comutam com o operador de permuta¸c˜ao.
(12.2.2)
12.2 Operadores de permuta¸c˜ ao
12.2.2
405
Sistema de trˆ es part´ıculas e generaliza¸c˜ ao para N part´ıculas
Consideramos agora a generaliza¸c˜ao para N part´ıculas dos conceitos da subsec¸c˜ao anterior. Para isso come¸camos por considerar explicitamente o caso com N = 3 que introduz a estrutura do caso geral. Tomamos a base do espa¸co de estados de trˆes part´ıculas, com espa¸cos de estados individuais isom´orficos, como sendo {|1 : ui; 2 : uj ; 3 : uk i} ,
(12.2.3)
e definimos os 3! = 6 operadores de permuta¸c˜ao que nela actuam: Pˆ123 ,
Pˆ231 ,
Pˆ312 ,
Pˆ321 ,
Pˆ132 ,
Pˆ213 .
(12.2.4)
A ac¸c˜ao destes operadores na base pode ser sumarizada como Pˆnpq |1 : ui ; 2 : uj ; 3 : uk i = |n : ui ; p : uj ; q : uk i . ˆ A ac¸c˜ao em qualquer ket ´e facilmente escrita expandindo-o na base (12.2.3). Logo Pˆ123 = 1. Os N! operadores num sistema de N part´ıculas s˜ao definidos analogamente. Consideremos algumas propriedades dos operadores de permuta¸c˜ao num sistema de N part´ıculas, exemplificando com o caso de N = 3: • O conjunto de operadores de permuta¸c˜ao, com a multiplica¸c˜ao usual de operadores, constitui um grupo. Verifiquemos os axiomas de grupo (apresentados na sec¸c˜ao 9.1): ⋆ O produto de dois operadores de permuta¸c˜ao ´e ainda um operador de permuta¸c˜ao; por exemplo Pˆ312 Pˆ132 = Pˆ321 ;
(12.2.5)
Para calcular o produto do lado esquerdo tome-se o seguinte algoritmo: 1→1 1→3 1→3 1) Pˆ132 2 → 3 , 2) Pˆ312 3 → 2 , 3) Pˆ312 Pˆ132 2 → 2 . (12.2.6) 3→2 2→1 3→1
Logo a ac¸c˜ao de Pˆ312 Pˆ132 ´e a mesma que a a¸c˜ao de Pˆ321 , como antecipado.
406
Sistemas de part´ıculas idˆ enticas ⋆ O produto de permuta¸c˜oes ´e associativo; por exemplo Pˆ312 Pˆ132 Pˆ231 = Pˆ312 Pˆ321 = Pˆ213 , enquanto que associando as duas permuta¸c˜oes que actuam em segundo e terceiro lugar, Pˆ312 Pˆ132 Pˆ231 = Pˆ321 Pˆ231 = Pˆ213 ,
obtemos de facto o mesmo resultado.
⋆ Existe um operador identidade, que ´e Pˆ123 ; ⋆ Cada permuta¸c˜ao tem uma permuta¸c˜ao inversa
Pˆ123
−1
= Pˆ123
−1 Pˆ231 = Pˆ312 , −1 −1 −1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , P321 = P321 , P213 = P213 , P132 = Pˆ132 .
Obviamente as transposi¸c˜oes (a definir de seguida) e a identidade s˜ao inversos de si mesmos, como exibido na segunda linha. Notemos que o grupo n˜ao ´e abeliano. Por exemplo se trocarmos a ordem do produto em (12.2.5) obtemos Pˆ132 Pˆ312 = Pˆ213 6= Pˆ321 , ou seja, as permuta¸c˜oes, genericamente, n˜ao comutam entre si. • Definimos transposi¸c˜ao como uma permuta¸c˜ao que troca duas part´ıculas e deixa as restantes invariantes. Para N = 3, das seis permuta¸c˜oes (12.2.4) trˆes s˜ao transposi¸c˜oes Pˆ321 ,
Pˆ132 ,
Pˆ213 .
(12.2.7)
Em geral, das N! permuta¸c˜oes num sistema de N part´ıculas teremos N(N − 1)/2
transposi¸c˜oes. Transposi¸c˜oes s˜ao an´alogas `a permuta¸c˜ao Pˆ21 que definimos num sistema de duas part´ıculas. Em particular s˜ao operadores herm´ıticos e unit´arios.
12.2 Operadores de permuta¸c˜ ao
407
Qualquer permuta¸c˜ao pode ser escrita como um produto de transposi¸c˜oes. Mas esta “decomposi¸c˜ao” n˜ao ´e u ´ nica. Por exemplo Pˆ312 = Pˆ132 Pˆ213 = Pˆ321 Pˆ132 = Pˆ321 Pˆ213 Pˆ132 Pˆ321 ; no entanto o n´ umero de transposi¸c˜oes cujo produto origina Pˆ312 ´e sempre par. De um modo semelhante, a permuta¸c˜ao Pˆ321 , que ´e ela pr´opria uma transposi¸c˜ao, n˜ao tem uma decomposi¸c˜ao u ´ nica, por exemplo pode ser tamb´em decomposta como Pˆ321 = Pˆ132 Pˆ213 Pˆ132 , mas o n´ umero de transposi¸c˜oes cujo produto origina Pˆ321 ´e sempre ´ımpar. Por esta raz˜ao, as permuta¸c˜oes Pˆ123 , Pˆ231 , Pˆ312 s˜ao chamadas permuta¸c˜oes pares e as permuta¸c˜oes Pˆ321 , Pˆ132 , Pˆ213 s˜ao chamadas permuta¸c˜oes ´ımpares. No caso com N = 3 todas as permuta¸c˜oes ´ımpares s˜ao transposi¸c˜oes. Genericamente, para um sistema de N part´ıculas, definimos permuta¸c˜oes pares (´ımpares) como aquelas que s´o se podem escrever como produtos de um n´ umero par (´ımpar) de transposi¸c˜oes. Notemos ainda que para qualquer N h´a tantas permuta¸c˜oes pares como ´ımpares. • Operadores de permuta¸c˜ao s˜ao sempre unit´arios, pois podem ser escritos como produtos de operadores unit´arios, que s˜ao as transposi¸c˜oes. De facto notemos que se dois operadores s˜ao unit´arios o seu produto ´e ainda unit´ario: ˆ, se AˆAˆ† = 1
ˆB ˆ† = 1 ˆ, B
⇒
ˆ AˆB) ˆ † = AˆB ˆB ˆ † Aˆ† = 1 ˆ. (AˆB)(
• Operadores de permuta¸c˜ao n˜ao s˜ao sempre herm´ıticos, pois, embora se escrevam como produtos de operadores herm´ıticos (transposi¸c˜oes), estes n˜ao comutam entre si, conforme (4.2.31). • O adjunto de uma permuta¸c˜ao, que ´e igual ao seu inverso dado serem operadores unit´arios, tem a mesma paridade da permuta¸c˜ao, pois escreve-se `a custa das mesmas transposi¸c˜oes, mas em ordem contr´aria.
408
Sistemas de part´ıculas idˆ enticas
Consideramos agora a constru¸c˜ao, para um sistema de N part´ıculas, dos vectores pr´oprios sim´etricos e anti-sim´etricos, e tamb´em a do simetrizador e do anti-simetrizador. Come¸camos por notar que, como os operadores de permuta¸c˜ao n˜ao comutam entre si, n˜ao ´e poss´ıvel arranjar uma base pr´opria comum a todos eles. Contudo existem, ainda assim, certos estados que s˜ao estados pr´oprios comuns a todos os operadores de permuta¸c˜ao Pˆα . Num sistema de N part´ıculas estes estados s˜ao de dois tipos: • Estados completamente sim´etricos Pˆα |ΨS i = |ΨS i , que s˜ao vectores pr´oprios de todas as permuta¸c˜oes com valor pr´oprio +1; • Estados completamente anti-sim´etricos Pˆα |ΨA i = ǫα |ΨA i , que s˜ao vectores pr´oprios de todas as permuta¸c˜oes par (´ımpar) com valor pr´oprio +1 (−1). Logo ǫα = (−1)Paridade
de Pˆα
.
Tanto o espa¸co dos kets completamente sim´etricos ES como o espa¸co dos kets completamente anti-sim´etricos EA s˜ao sub-espa¸cos do espa¸co de estados total E; mas ao contr´ario do caso N = 2, em geral E= 6 ES ⊕ EA , isto ´e, nem todos os estados podem ser escritos como combina¸c˜ao linear de um estado totalmente sim´etrico e um estado totalmente anti-sim´etrico. O simetrizador e o anti-simetrizador para um sistema de N part´ıculas s˜ao os operadores de projec¸c˜ao em ES e EA , definidos como 1 Xˆ Sˆ = Pα , N! α Consideremos as suas propriedades:
1 X ˆ Aˆ = ǫα Pα . N! α
(12.2.8)
12.2 Operadores de permuta¸c˜ ao • S˜ao ambos herm´ıticos
409
Sˆ = Sˆ† ,
Aˆ = Aˆ† .
Esta propriedade pode ser verificada da seguinte maneira. Existe uma correspondˆencia biun´ıvoca entre as permuta¸c˜oes e as suas inversas; a permuta¸c˜ao inversa tem a mesma paridade da permuta¸c˜ao; logo as somas (12.2.8) podem ser escritas 1 X ˆ 1 X ˆ Pα + (Pˆα )−1 , Aˆ = ǫα Pα + (Pˆα )−1 . Sˆ = 2N! α 2N! α
Como todas as permuta¸c˜oes s˜ao operadores unit´arios, Pˆα† = (Pˆα )−1 e como tal Pˆα + (Pˆα )−1 ´e herm´ıtico. Como acabamos de escrever Sˆ e Aˆ como uma soma de operadores herm´ıticos, mostramos que s˜ao herm´ıticos.
• Se Pˆα′ for uma permuta¸c˜ao arbitr´aria Pˆ ′ Sˆ = SˆPˆ ′ = Sˆ α α Pˆ ′ Aˆ = AˆPˆ ′ = ǫ ′ Aˆ α
α
α
• S˜ao operadores de projec¸c˜ao:
Pˆ ′ S|Ψi ˆ ˆ = S|Ψi α ⇒ Pˆ ′ A|Ψi ˆ ˆ = ǫ ′ A|Ψi α
Sˆ = Sˆ2 ,
.
(12.2.9)
α
Aˆ = Aˆ2 ,
em espa¸cos ortogonais SˆAˆ = AˆSˆ = 0 , mas, como j´a referido anteriormente, para N > 2, os espa¸cos ES e EA n˜ao s˜ao suplementares - Figura 12.3 - i.e. ˆ. Sˆ + Aˆ 6= 1 Note-se que a dimens˜ao de ES mais a de EA depende de N e da dimens˜ao de {|uii}. Podemos agora considerar a transforma¸c˜ao de observ´aveis pela ac¸c˜ao dos operadores de permuta¸c˜ao. Escrevendo o operador de permuta¸c˜ao como produtos de transposi¸c˜oes, podemos argumentar de um modo semelhante ao caso N = 2. Em particular observ´aveis completamente sim´etricas na troca dos ´ındices 1, . . . , N, OS (1, . . . , N), comutam com todos os operadores de permuta¸c˜ao [OS (1, . . . , N), Pˆα ] = 0 .
(12.2.10)
410
Sistemas de part´ıculas idˆ enticas E
ES EA N =2
E
ES EA N >2
Figura 12.3: Representa¸c˜ao esquem´atica do espa¸co de estados total, E e dos espa¸cos de estados sim´etricos ES e anti-sim´etricos EA , para duas part´ıculas idˆenticas, em que s˜ao suplementares e para N > 2, em que n˜ao s˜ao. Note-se que a figura da esquerda n˜ao significa que qualquer estado de E perten¸ca a ES ou a EA ; significa que qualquer estado de E pode ser escrito como combina¸c˜ao linear de estados de ES e EA .
12.3
O postulado de simetriza¸ c˜ ao
Vamos agora introduzir o postulado que vai levantar a degenerescˆencia de troca e resolver as ambiguidades f´ısicas vistas em sistemas de part´ıculas idˆenticas. O postulado, denominado postulado de simetriza¸c˜ao, pode ser enunciado do seguinte modo: “Quando um sistema inclui v´arias part´ıculas idˆenticas, somente certos kets do seu espa¸co de estados podem descrever estados f´ısicos. Os kets f´ısicos s˜ao, dependendo da natureza das part´ıculas idˆenticas, ou completamente sim´etricos ou completamente antisim´etricos, com respeito `a permuta¸c˜ao destas part´ıculas. As part´ıculas para as quais os kets f´ısicos s˜ao sim´etricos (anti-sim´etricos) chamam-se bos˜oes (fermi˜oes). Este postulado limita o espa¸co de estados num sistema de part´ıculas idˆenticas. Em vez de ser o produto tensorial dos espa¸cos de estados das part´ıculas individuais E (como ´e para part´ıculas distintas), ´e apenas um sub-espa¸co de E, respectivamente ES ou EA para bos˜oes ou fermi˜oes. Todas as part´ıculas conhecidas1 actualmente obedecem `a seguinte regra: Part´ıculas com spin semi-inteiro s˜ao fermi˜oes (electr˜ ao, prot˜ao,. . . ); part´ıculas com spin inteiro s˜ao bos˜oes (fot˜ao, mes˜oes,. . . ). 1
Este facto, resulta de as part´ıculas elementares conhecidas obedecerem a esta regra. Contudo, existem part´ıculas auxiliares (n˜ao s˜ao reais) mas usadas na descri¸ca˜o matem´atica da teoria quˆantica de campo, denominadas ghosts que n˜ ao obedecem ao Teorema Spin-Estat´ıstica.
12.3 O postulado de simetriza¸ c˜ ao
411
Esta regra, denominada “Teorema Spin-Estat´ıstica”, pode ser provada em Teoria Quˆantica de Campo, usando hip´oteses muito gerais.2 Mas n˜ao ´e imposs´ıvel que: • Um bos˜ao/fermi˜ao com spin semi-inteiro/inteiro possa ser descoberto; • Haja kets f´ısicos com simetrias mais complexas do que as que s˜ao consideradas pelo postulado anterior. Notemos ainda que este postulado n˜ao se aplica em uma e duas dimens˜oes espaciais; em duas dimens˜oes, em particular, existem outras (quasi)part´ıculas, denominadas “ani˜oes” (anyons), que se tornaram u ´ teis na descri¸c˜ao de alguns sistemas, como folhas de grafite, ou no tratamento do efeito Hall quˆantico.3
12.3.1
Levantamento da degenerescˆ encia de troca
Vejamos agora como o postulado anterior pode resolver as ambiguidades f´ısicas discutidas. Para isso, notamos que a degenerescˆencia de troca pode ser enunciada da seguinte forma: “Seja |ui um ket que descreve matematicamente um estado f´ısico bem definido de
um sistema contendo N part´ıculas idˆenticas. O ket Pˆα |ui, para qualquer operador de
permuta¸c˜ao Pˆα , descreve o estado f´ısico t˜ao bem quanto |ui. Se o sub-espa¸co Eu gerado
por |ui e todas as suas permuta¸c˜oes tiver dimens˜ao maior do que 1, existe degenerescˆencia de troca. Em geral, a dimens˜ao de Eu poder´a ir de 1 a N!.” Com o postulado adicional, o ket f´ısico tem de pertencer a ES ou a EA . A degenerescˆencia de troca ser´a levantada se demonstrarmos que Eu cont´em um u ´ nico ket de ES ou, caso as part´ıculas idˆenticas sejam fermi˜oes, um u ´ nico ket de EA . Para demonstrarmos que assim ´e, recordamos (12.2.9) Sˆ = SˆPˆα , 2
Aˆ = ǫα AˆPˆα ,
O trabalho original foi feito por W.Pauli: “The Connection Between Spin and Statistics”, Phys. Rev. 58 (1940) 716-722. 3 A existˆencia destas representa¸co˜es foi originalmente discutida em J.M.Leinaas e J.Myrheim, “On the theory of identical particles”, Il Nuovo Cimento, 37B (1977) 1; agrade¸co ao Prof. Jo˜ao Lopes dos Santos por me ter chamado a aten¸ca˜o para este artigo.
412
Sistemas de part´ıculas idˆ enticas
que implicam ˆ S|ui = SˆPˆα |ui ,
ˆ = ǫα AˆPˆα |ui . A|ui
Ou seja, a projec¸c˜ao em ES ou EA de todos os kets de Eu ´e a mesma, a menos de um sinal que n˜ao tem relevˆancia f´ısica, o que levanta a degenerescˆencia de troca. Deste modo, pelo postulado de simetriza¸c˜ao, o ket f´ısico que descreve o estado f´ısico do sistema de um sistema de N part´ıculas idˆenticas ´e construido da seguinte maneira: i) Numere-se as part´ıculas arbitrariamente e construa-se o ket |ui correspondendo ao estado f´ısico considerado com os n´ umeros quˆanticos de cada part´ıcula determinados. ii) Aplique-se Sˆ ou Aˆ a |ui, dependendo de as part´ıculas idˆenticas serem bos˜oes ou fermi˜oes. iii) Normalize-se o ket obtido. Consideremos alguns exemplos: 1) Sistema de duas part´ıculas idˆ enticas: Num sistema de duas part´ıculas idˆenticas sabe-se que uma est´a no estado |φi e outra no estado |χi (normalizados). Apliquemos as regras anteriores: i) Rotulamos a que est´a no estado |φi/|χi por (1)/(2). Logo construimos o ket |ui = |1 : φ; 2 : χi . ii) Se s˜ao bos˜oes simetrizamos: 1 1 ˆ ˆ ˆ 1 + P21 |ui = (|1 : φ; 2 : χi + |1 : χ; 2 : φi) . S|ui = 2 2 Se s˜ao fermi˜oes anti-simetrizamos: 1 ˆ ˆ 1 ˆ A|ui = 1 − P21 |ui = (|1 : φ; 2 : χi − |1 : χ; 2 : φi) . 2 2 iii) Normalizamos; h´a que considerar duas hip´oteses:
12.3 O postulado de simetriza¸ c˜ ao
413
⋆ Se os dois estados f´ısicos |φi e |ψi s˜ao distintos, podemos assumir que hφ|χi = 0; obtemos o ket f´ısico4
1 |φ, χi = √ [|1 : φ; 2 : χi + ǫ|1 : χ; 2 : φi] , 2 onde ǫ = +1, −1, para bos˜oes e fermi˜oes, respectivamente. ⋆ Se os dois estados f´ısicos s˜ao o mesmo |φi = |χi ent˜ao temos, para bos˜oes ˆ S|ui = |1 : φ; 2 : φi , o que quer dizer que se as part´ıculas idˆenticas s˜ao bos˜oes e est˜ao no mesmo ˆ estado o ket simetrizado ´e o mesmo que o ket inicial |ui = S|ui; para fermi˜oes ˆ =0, A|ui o que quer dizer que n˜ao existe nenhum ket em EA que descreve dois fermi˜oes no mesmo estado individual |φi. Um tal estado ´e excluido pelo postulado de simetriza¸c˜ao. Acabamos assim, de estabelecer, para um caso particular, o Princ´ıpio de exclus˜ao de Pauli: “Dois fermi˜oes idˆenticos n˜ao podem estar no mesmo estado individual.”
2) Sistema de trˆ es part´ıculas idˆ enticas: Num sistema de trˆes part´ıculas idˆenticas sabe-se que uma est´a no estado |φi, outra no estado |χi e outra no estado |wi (normalizados). Apliquemos as regras anteriores: i) Rotulamos a que est´a no estado |φi/|χi/|wi por (1)/(2)/(3). Logo construimos o ket |ui = |1 : φ; 2 : χ; 3 : wi . 4
Assumimos, por simplicidade que |φi e |χi s˜ao estados pr´oprios de uma observ´avel (com espectro n˜ ao degenerado) associados a valores pr´oprios distintos.
414
Sistemas de part´ıculas idˆ enticas
ii) Se s˜ao bos˜oes simetrizamos: 1 1 Xˆ ˆ Pα |ui = (|1 : φ; 2 : χ; 3 : wi + |1 : w; 2 : φ; 3 : χi + |1 : χ; 2 : w; 3 : φi S|ui = 3! α 3!
+|1 : φ; 2 : w; 3 : χi + |1 : χ; 2 : φ; 3 : wi + |1 : w; 2 : χ; 3 : φi) ; (12.3.1)
Se s˜ao fermi˜oes anti-simetrizamos: X ˆ = 1 A|ui ǫα Pˆα |ui , 3! α notando que os sinais s˜ao exactamente os |1 : φi 1 ˆ A|ui = |2 : φi 3! |3 : φi
que ´e chamado o determinante de Slater.5
dados por um determinante, escrevemos |1 : χi |1 : wi (12.3.2) |2 : χi |2 : wi , |3 : χi |3 : wi
iii) Normalizamos; h´a que considerar trˆes hip´oteses: ⋆ Se todos os estados f´ısicos |φi, |χi e |wi s˜ao distintos, podemos assumir ortogonalidade entre todos; obtemos os ket f´ısicos (12.3.1) ou (12.3.2) com 1/3! substituido √ por 1/ 3!. ⋆ Se dois dos estados f´ısicos s˜ao iguais, por exemplo |φi = |χi, ent˜ao temos, para bos˜oes 1 |φ; φ; wi = √ [|1 : φ; 2 : φ; 3 : wi + |1 : φ; 2 : w; 3 : φi + |1 : w; 2 : φ; 3 : φi] , 3 enquanto que para fermi˜oes, o facto de dois estados serem iguais significa que existem duas colunas iguais no determinante de Slater, que como tal ´e zero. Deste modo, n˜ao existe qualquer estado em EA que descreva esta situa¸c˜ao. Esta ´e mais uma manifesta¸c˜ao do princ´ıpio de exclus˜ao de Pauli. 5
Esta t´ecnica de usar um determinante foi introduzida por J.C.Slater em “The Theory of Complex Spectra”, Phys. Rev. 34 (1929) 1293.
12.3 O postulado de simetriza¸ c˜ ao
415
⋆ Se os trˆes estados f´ısicos s˜ao iguais, ent˜ao temos, para bos˜oes |φ; φ; φi = |1 : φ; 2 : φ; 3 : φi , enquanto que para os fermi˜oes a fun¸c˜ao de onda ´e zero. 3) Sistema de N part´ıculas idˆ enticas: Genericamente a situa¸c˜ao ´e semelhante aos casos anteriores. Para bos˜oes existe sempre um estado sim´etrico, mesmo que v´arias part´ıculas estejam no mesmo estado individual. Para fermi˜oes n˜ao pode haver repeti¸c˜ao do estado individual. Existe uma outra representa¸c˜ao de kets f´ısicos que introduz o conceito de n´ umero de ocupa¸c˜ao. Consideremos um sistema de N part´ıculas idˆenticas. Tomando uma base {|uii} para o espa¸co de estados de uma part´ıcula, construimos a base {|1 : ui; 2 : uj ; . . . ; N : up i} ,
(12.3.3)
para o espa¸co de estados E. No entanto, a base do espa¸co de estados f´ısicos ES ou EA ´e construida actuando com o simetrizador ou o anti-simetrizador na base anterior, o que torna irrelevante qual a numera¸c˜ao da part´ıcula que se encontra num estado |uii. O que ´e realmente relevante ´e quantas part´ıculas se encontram em cada estado, ou seja o n´ umero de ocupa¸c˜ao de cada estado. Este n´ umero corresponde a quantas vezes cada estado aparece num ket da forma (12.3.3). Isso leva-nos a introduzir a nota¸c˜ao, para kets f´ısicos |n1 , . . . , nk , . . .i , onde o n´ umero de entradas no ket corresponde ao n´ umero de estados poss´ıveis, isto ´e `a dimens˜ao do espa¸co de estados de uma part´ıcula; ni ´e o n´ umero de ocupa¸c˜ao do estado |ui i. Subentende-se que este ket corresponde a um ket simetrizado ou anti-simetrizado quando expresso na base (12.3.3). Obviamente X i
e para os fermi˜oes ni = {0, 1}.
ni = N ,
416
Sistemas de part´ıculas idˆ enticas
12.3.2
Observ´ aveis e evolu¸c˜ ao temporal
O postulado de simetriza¸c˜ao restringe os kets f´ısicos num sistema de part´ıculas idˆenticas aos que s˜ao totalmente sim´etricos ou totalmente anti-sim´etricos na troca de duas quaisquer part´ıculas. Quais as restri¸c˜oes que devemos impˆor `as observ´aveis? Em geral, dado que nenhuma propriedade f´ısica ´e modificada quando os pap´eis das N part´ıculas s˜ao permutados, estas N part´ıculas devem entrar simetricamente em qualquer observ´avel pass´ıvel de ser medida, tanto para fermi˜oes como para bos˜oes. Matematicaˆ sejam invariantes quando as part´ıculas mente, requeremos que as observ´aveis f´ısicas, O, s˜ao permutadas, isto ´e, devem ser operadores sim´etricos, e como tal de acordo com (12.2.10) devem comutar com os operadores de permuta¸c˜ao: ˆ Pˆα ] = 0 , [O,
∀Pˆα .
(12.3.4)
Por exemplo; • Num sistema de duas part´ıculas, a observ´avel ~ˆ ~ˆ R 1 − R2 , n˜ao ´e sim´etrica, e como tal n˜ao ´e f´ısica. A observ´avel f´ısica que reflecte a distˆancia entre as duas part´ıculas ´e q
~ˆ ~ˆ 2 ~ˆ ~ˆ (R 1 − R 2 ) = |R 1 − R 2 | .
• O operador Hamiltoniano que descreve o ´atomo de H´elio dever´a ser escrito, em primeira aproxima¸c˜ao, como ˆ2 ˆ2 ˆ 2) = P1 + P2 + 1 H(1, 2me 2me 4πǫ0
2e2 2e2 e2 − − + ˆ1 ˆ2 ˆ1 − R ˆ2| R R |R
!
.
• O momento angular orbital total num sistema de trˆes part´ıculas idˆenticas ser´a: ~ˆ ~ˆ ~ˆ ~ˆ L = L1 + L 2 + L3 .
12.4 Consequˆ encias do postulado de simetriza¸ c˜ ao
417
Note-se que o significado de (12.3.4) ´e tamb´em que a ac¸c˜ao de uma observ´avel f´ısica num ket f´ısico n˜ao retira o ket f´ısico de ES ou EA . Isto ´e verdade, em particular para o operador Hamiltoniano, que dever´a ser uma observ´avel f´ısica. Como este operador ´e o respons´avel pela evolua¸c˜ao temporal do sistema, atrav´es da equa¸c˜ao de Schr¨odinger, esta evolu¸c˜ao n˜ao dever´a retirar o ket f´ısico do espa¸co vectorial ES ou EA . Isto atesta a consistˆencia do formalismo. Note-se ainda que as observ´aveis f´ısicas estar˜ao definidas, `a partida, no espa¸co de estados total E, podendo por isso ter mais vectores pr´oprios (e correspondentes valores pr´oprios) do que aqueles que tˆem em ES ou EA . Neste sentido, o efeito do postulado de simetriza¸c˜ao poder´a ser eliminar alguns dos valores pr´oprios de uma observ´avel f´ısica, restrigindo os valores pr´oprios f´ısicos aos que tˆem vectores pr´oprios associados em ES ou EA .
12.4
Consequˆ encias do postulado de simetriza¸ c˜ ao
12.4.1
Diferen¸cas entre bos˜ oes e fermi˜ oes
No enunciado do postulado de simetriza¸c˜ao, a diferen¸ca entre bos˜oes e fermi˜oes ´e “apenas” um sinal. Esta diferen¸ca de sinal tem, no entanto, consequˆencias not´aveis, que s˜ao manifesta¸c˜oes do princ´ıpio de exclus˜ao de Pauli, para fermi˜oes, e da ausˆencia de um princ´ıpio semelhante para bos˜oes. Consideremos duas. Estado fundamental de um sistema de part´ıculas idˆ enticas independentes Dado que o Hamiltoniano ´e uma observ´avel f´ısica tem de ser uma observ´avel sim´etrica, num sistema de part´ıculas idˆenticas. Vamos assumir que estas s˜ao independentes, isto ´e n˜ao se encontram acopladas. Se assim ´e, o Hamiltoniano pode ser decomposto da seguinte forma: ˆ ˆ ˆ ˆ 2, . . . , N) = h(1) H(1, + h(2) + . . . + h(N) . Note-se que os v´arios Hamiltonianos individuais s˜ao iguais (a menos do ´ındice de part´ıcula), de modo a garantir que o operador Hamiltoniano seja sim´etrico. Consideremos a base
418
Sistemas de part´ıculas idˆ enticas
ˆ pr´opria de h(j): ˆ h(j)|φ n i = en |φn i ,
|φn i ∈ E(j) .
Assumimos, por simplicidade, que o espectro ´e discreto e n˜ao degenerado e ordenamos os vectores pr´oprios de modo a que e1 < e2 < e3 < . . .. • Se as part´ıculas s˜ao bos˜oes, o estado fundamental ´e (S)
|φ1,1,...,1 i = |1 : φ1 ; 2 : φ1 ; . . . ; N : φ1 i , que j´a est´a simetrizado, sendo a energia correspondente E1,1,...,1 = Ne1 . • Se as part´ıculas s˜ao fermi˜oes, o estado fundamental ´e |1 : φ1 i . . . |1 : φN i 1 (A) |φ1,2,...,N i = √ ... ... ... N! |N : φ1 i . . . |N : φN i sendo a energia correspondente
,
E1,2,...,N = e1 + e2 + . . . + eN . A maior energia individual eN que se encontra no estado fundamental ´e denominada energia de Fermi. Estat´ıstica Quˆ antica Em mecˆanica estat´ıstica cl´assica (estat´ıstica de Maxwell-Boltzmann), as N part´ıculas do sistema s˜ao tratadas como se tivessem diferentes naturezas, mesmo que sejam idˆenticas. Dois estados microsc´opicos, s˜ao considerados distintos se as N part´ıculas forem idˆenticas, mas a permuta¸c˜ao diferente. Daqui resulta que, em equil´ıbrio t´ermico `a temperatura T , o n´ umero m´edio de part´ıculas com energia Ei ´e dado por e−βEi P n ¯i = N , −βEj je
12.4 Consequˆ encias do postulado de simetriza¸ c˜ ao
419
onde a soma ´e sobre todos os estados microsc´opicos do sistema e β = 1/KB T . Este resultado ´e aplic´avel sempre que a temperatura seja suficientemente alta e a densidade suficientemente baixa para os efeitos quˆanticos serem negligenci´aveis (isto ´e n˜ao haver sobreposi¸c˜ao apreci´avel das fun¸c˜oes de onda das part´ıculas individuais). Em mecˆanica estat´ıstica quˆantica o postulado de simetriza¸c˜ao tem de ser considerado: • Bos˜oes obedecem `a estat´ıstica de Bose-Einstein; o n´ umero m´edio de bos˜oes num estado com energia Ei , ´e dado por 1
n ¯i =
eα+βEi
onde α ´e determinado pela restri¸c˜ao N=
X j
−1
,
1 eα+βEj
−1
.
(12.4.1)
Para bos˜oes sem massa (como o fot˜ao), α = 0. Note-se que esta estat´ıstica permite que n ¯ i seja muito elevado. • Fermi˜oes obedecem `a estat´ıstica de Fermi-Dirac; o n´ umero m´edio de fermi˜oes num estado com energia Ei , ´e dado por n ¯i =
1 eα+βEi
+1
,
onde α ´e determinado pela restri¸c˜ao (12.4.1). Note-se que esta estat´ıstica limita n ¯i a 0≤n ¯ i ≤ 1, em concordˆancia com o princ´ıpio de exclus˜ao de Pauli. Estas diferentes estat´ısticas podem ser observadas a baixas temperaturas. Bos˜oes idˆenticos tendem a acumular-se no estado de menor energia - condensa¸c˜ao de Bose-Einstein. Para o 4 He, este fen´omeno origina a superfluidez. Para o 3 He, que ´e um fermi˜ao, o mesmo fen´omeno n˜ao se verifica. A raz˜ao de o 3 He ser um fermi˜ao e do 4 He ser um bos˜ao ´e consequˆencia do teorema de adi¸c˜ao do momento angular. Note-se que se tentarmos sobrepˆor fermi˜oes no mesmo estado quˆantico, existir´a uma for¸ca efectiva que contrariar´a esta tentativa de sobreposi¸c˜ao, originando a chamada press˜ ao de Fermi. Esta press˜ao desempenha um papel importante na evolu¸c˜ao estelar. Quando a press˜ao de radia¸c˜ao deixa de conseguir equilibrar uma estrela, a estrela colapsa. Se a estrela
420
Sistemas de part´ıculas idˆ enticas
tiver menos de 1.44 massas solares (limite de Chandrasekhar ), a press˜ao de Fermi devida aos electr˜oes (degenerescˆencia electr´onica) evita que o colapso gravitacional continue. Para estrelas com massa superior ao limite de Chandrasekhar, existe energia gravitacional suficiente para for¸car os electr˜oes e os prot˜oes a combinarem-se em neutr˜oes, formando uma estrela de neutr˜oes. A press˜ao de Fermi devida aos neutr˜oes pode ent˜ao travar o colapso gravitacional, se a massa da estrela for inferior a 2 − 3 massas solares. Para massas muito superiores a esta n˜ao se conhece nenhum efeito que consiga travar o colapso gravitacional. A estrela evoluir´a, em princ´ıpio, para um buraco negro.
12.4.2
Efeitos de interferˆ encia
A simetriza¸c˜ao/anti-simetriza¸c˜ao origina termos de interferˆencia no c´alculo de probabilidades. Para vermos este fen´omeno consideramos um sistema de duas part´ıculas idˆenticas, uma no estado |φi e outra no estado |χi, ortogonais. O estado f´ısico ´e i 1 hˆ |φ; χi = √ 1 + ǫPˆ21 |1 : φ; 2 : χi , 2 onde ǫ = +1, −1 para bos˜oes e fermi˜oes respectivamente. ˆ ˆ Queremos medir a grandeza f´ısica B, associada `as observ´aveis B(1) e B(2). Seja {bi } o
ˆ espectro de B,
ˆ ii = bi |uii , B|u que tomamos como sendo discreto e n˜ao degenerado, por simplicidade. Podemos perguntar qual ´e a probabilidade de encontrar os valores bn e bn′ (diferentes) numa medi¸c˜ao da grandeza f´ısica B das duas part´ıculas. Para respondermos, consideramos o ket f´ısico associado a este resultado, que ´e i 1 hˆ + ǫPˆ21 |1 : un ; 2 : un′ i . |un ; un′ i = √ 1 2
12.4 Consequˆ encias do postulado de simetriza¸ c˜ ao
421
Logo, a amplitude de probabilidade ´e 1 † A(bn , bn′ ) = hun ; un′ |φ; χi = h1 : un ; 2 : un′ |(1 + ǫPˆ21 )(1 + ǫPˆ21 )|1 : φ; 2 : χi 2 = h1 : un ; 2 : un′ |(1 + ǫPˆ21 )|1 : φ; 2 : χi = h1 : un ; 2 : un′ |1 : φ; 2 : χi + ǫh1 : un ; 2 : un′ |1 : χ; 2 : φi = hun |φihun′ |χi + ǫhun |χihun′ |φi . Podemos interpretar o resultado para a amplitude de probabilidade do seguinte modo. Associamos os dois kets que descrevem o estado f´ısico |φi e |χi aos dois bras que descrevem o resultado pretendido hun | e hun′ | das duas maneiras poss´ıveis - figura 12.4. hun |
|φi
hun |
|φi
hun′ |
|χi
hun′ |
|χi
a)
b)
Figura 12.4: Associa¸c˜ao dos dois kets que descrevem o estado f´ısico |φi e |χi aos dois bras que descrevem o resultado pretendido hun | e hun′ |. O termo a) ´e denominado termo directo; o termo b) ´e denominado termo de troca. Cada uma das duas maneiras origina uma amplitude de probabilidade e estas duas amplitudes interferem com sinal diferente para bos˜oes e fermi˜oes, originando probabilidades P(bn , bn′ ) = |A(bn , bn′ )|2 , diferentes. Explicitamente P(bn , bn′ ) = |hun |φihun′ |χi + ǫhun′ |φihun|χi|2 .
(12.4.2)
Notemos, por contraste, o resultado que seria obtido em Mecˆanica Quˆantica se as part´ıculas n˜ao fossem idˆenticas. Consideramos que o estado f´ısico que descreve o sistema das duas part´ıculas distingu´ıveis ´e |1 : φ; 2 : χi .
422
Sistemas de part´ıculas idˆ enticas
Fazemos uma medi¸c˜ao que, embora as part´ıculas sejam distinguiveis, nos d´a uma propriedade f´ısica que n˜ao distingue entre elas (por exemplo, temos um electr˜ao e um prot˜ao e medimos o spin). Logo os dois estados |1 : un ; 2 : un′ i
,
|1 : un′ ; 2 : un i ,
descrevem o mesmo resultado da medi¸c˜ao. A probabilidade de obtermos os resultados bn e bn′ ´e dada pela soma das probabilidades de o sistema estar nos estados |1 : un ; 2 : un′ i e |1 : un′ ; 2 : un i: P ′ (bn , bn′ ) = |h1 : un ; 2 : un′ |1 : φ; 2 : χi|2 + |h1 : un′ ; 2 : un |1 : φ; 2 : χi|2
(12.4.3)
2
2
= |hun |φihun′ |χi| + |hun′ |φihun |χi| . Note-se a ausˆencia do termo de interferˆencia, cujo sinal depende de as part´ıculas idˆenticas serem bos˜oes ou fermi˜oes.
Este termo manifesta a diferen¸ca nas previs˜oes f´ısicas da
Mecˆanica Quˆantica dependendo se as part´ıculas s˜ao idˆenticas - resultado (12.4.2) - ou distingu´ıveis - resultado (12.4.3). n O
O z
z b)
a)
Figura 12.5: Processo de colis˜ao de part´ıculas idˆenticas no referencial de centro de massa. Assumimos que tanto o estado inicial, a), como o estado final, b), s˜ao estados pr´oprios do ˆ , respectivamente. momento, associados `as direc¸c˜oes z e n Para ilustrarmos o significado f´ısico dos termos directo e de troca, consideramos um exemplo mais concreto: a colis˜ao el´astica de duas part´ıculas idˆenticas no referencial de centro de massa. Assumimos que o estado f´ısico que representa o estado inicial ´e 1 ˆ + ǫPˆ21 )|1 : pez ; 2 : −pez i , |Ψi i = √ (1 2 enquanto que o estado final ´e descrito por 1 ˆ + ǫPˆ21 )|1 : pˆ n; 2 : −pˆ ni , |Ψf i = √ (1 2
12.4 Consequˆ encias do postulado de simetriza¸ c˜ ao
423
conforme a figura 12.5. O estado final relaciona-se com o estado inicial atrav´es do operador de evolu¸c˜ao (4.5.36) |Ψ(t1 )i = Uˆ (t1 , t0 )|Ψi i . Como o Hamiltoniano comuta com Pˆ21 , tamb´em o operador de evolu¸c˜ao o far´a ˆ t′ ), Pˆ21 ] = 0 . [U(t, Assim, a amplitude de probabilidade para o processo descrito ´e: 1 † ˆ ˆ + ǫPˆ21 ˆ + ǫPˆ21 )|1 : pez ; 2 : −pez i , hΨf |Ψ(t1 )i = h1 : pˆ n; 2 : −pˆ n|(1 )U (t1 , t0 )(1 2 que, usando † ˆ † † ˆ ˆ 1 , t0 ) = 2(1 ˆ + ǫPˆ21 ˆ + ǫPˆ21 ) = (1 ˆ + ǫPˆ21 ˆ + ǫPˆ21 )U(t ˆ + ǫPˆ21 (1 )U (t1 , t0 )(1 )(1 )U (t1 , t0 ) ;
pode ser reescrita ˆ 1 , t0 )|1 : pez ; 2 : −pez i hΨf |Ψ(t1 )i = h1 : pˆ n; 2 : −pˆ n|U(t ˆ 1 , t0 )|1 : pez ; 2 : −pez i . +ǫh1 : −pˆ n; 2 : pˆ n|U(t Podemos pensar graficamente nestes dois termos como estando associados aos processos descritos na figura 12.6. Qual termo associamos a qual gr´afico ´e irrelevante. O que importa ´e que temos de somar ou subtrair as respectivas amplitudes de probabilidade para bos˜oes ou fermi˜oes, respectivamente. n
n
z a)
z b)
Figura 12.6: Representa¸c˜ao diagram´atica dos dois processos cujas amplitudes tˆem de ser consideradas no c´alculo da probabilidade do processo descrito na figura 12.5. Um diagrama corresponde ao termo directo, por exemplo a), e outro ao termo de troca, por exemplo b).
424
Sistemas de part´ıculas idˆ enticas
Fechamos esta subsec¸c˜ao comentando que h´a situa¸c˜oes em que podemos na pr´atica ignorar o postulado de simetriza¸c˜ao e trabalhar com a fun¸c˜ao de onda para part´ıculas idˆenticas, como se fossem part´ıculas distingu´ıveis. Consideremos dois exemplos. 1) Se as part´ıculas idˆenticas tiverem fun¸c˜oes de onda espaciais com uma sobreposi¸c˜ao negligenci´avel, os problemas vistos no in´ıcio deste cap´ıtulo n˜ao devem ocorrer, pois as part´ıculas n˜ao se misturar˜ao e n˜ao perderemos o “rasto” de cada uma delas. Em termos matem´aticos, sejam U1 e U2 as regi˜oes do espa¸co onde a fun¸c˜ao de onda das part´ıculas, que rotulamos como (1) e (2), tˆem suporte. Se perguntarmos qual a probabilidade de encontrarmos uma part´ıcula num sub-espa¸co da regi˜ao U1 , e a outra num sub-espa¸co da regi˜ao U2 , apenas um dos termos - o termo directo, por exemplo -, ir´a contribuir. O termo de troca ser´a nulo pois corresponde a projectar a fun¸c˜ao de onda da part´ıcula (1)/(2) num sub-espa¸co de U2 /U1 , onde n˜ao tˆem suporte. A resposta obtida para a densidade de probabilidade ser´a a mesma do que se n˜ao simetrizarmos/anti-simetrizarmos a fun¸c˜ao de onda das part´ıculas idˆenticas. 2) Se as duas part´ıculas se encontrarem em estados ortogonais de spin, e o Hamiltoniano de interac¸c˜ao n˜ao actuar nas vari´aveis de spin, o spin funciona como um n´ umero quˆantico conservado que efectivamente distingue as part´ıculas.
12.4.3
Difus˜ ao de duas part´ıculas idˆ enticas com spin
A difus˜ao, tal como foi tratada no cap´ıtulo 10, assumia uma clara separa¸c˜ao entre a part´ıcula difundida e a part´ıcula difusora (modelada por um potencial difusor). O c´alculo da sec¸c˜ao eficaz de difus˜ao baseava-se na leitura da amplitude de difus˜ao, atrav´es da forma assimpt´otica dos estados estacion´arios de difus˜ao (10.1.13). No caso de estudarmos difus˜ao de duas part´ıculas idˆenticas, ´e imposs´ıvel distinguir entre a part´ıcula incidente e a part´ıcula difundida. Consequentemente, no referencial de centro de massa, tem-se duas ondas planas incidentes idˆenticas, em rota de colis˜ao: eikz , e−ikz . A fun¸c˜ao de onda total que descreve o processo de difus˜ao e ´e obtida pela resolu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Schr¨odinger, dever´a ser sim´etrica (para bos˜oes) ou anti-sim´etrica (para fermi˜oes) na
12.4 Consequˆ encias do postulado de simetriza¸ c˜ ao
425
troca das part´ıculas ~r1 ↔ ~r2 . Esta troca, no referencial de centro de massa, corresponde a r↔r ,
θ ↔π−θ ,
z = r cos θ ↔ −z.
(12.4.4)
Logo, num sistema de part´ıculas idˆenticas, a parte orbital da fun¸c˜ao de onda que descreve os estados estacion´arios de difus˜ao ter´a a forma assimpt´otica eikr ~ r →∞ , (~r) −→ eikz ± e−ikz + (f (θ) ± f (π − θ)) vkdif r S,A
(12.4.5)
e n˜ao (10.1.13), onde S, A se referem respectivamente ao sinal ‘+’ e ‘−’ de modo a que a fun¸c˜ao de onda seja sim´etrica e anti-sim´etrica, respectivamente, na troca das duas part´ıculas. Note que o sinal desta equa¸c˜ao n˜ao ´e determinado pela natureza das part´ıculas
ser bos´onica ou fermi´onica. De facto o postulado de simetriza¸c˜ao requer que a fun¸c˜ ao de onda total, |Ψi, seja sim´etrica ou anti-sim´etrica na troca de duas part´ıculas e n˜ao a fun¸c˜ao de onda orbital |vkdif i. Assim, para compreendermos qual o sinal a utilizar na fun¸c˜ao de
onda orbital temos de considerar a fun¸c˜ao de onda total que ter´a para al´em da parte orbital uma parte de spin. Como exemplo consideremos a difus˜ao de dois fermi˜oes de spin 1/2. Vimos na sec¸c˜ao 9.5.1 que o momento angular total e a respectiva fun¸c˜ao de onda de spin, |Si, ser˜ao: S = 1 (estado tripleto sim´etrico) ,
|1, 1i = |+, +i √ |SiS = |1, 0i = (|+, −i + |−, +i)/ 2 |1, −1i = |−, −i
√ |SiA = |0, 0i = (|+, −i − |−, +i)/ 2 . (12.4.6)
S = 0 (estado singleto anti − sim´etrico) , Consideramos agora os dois casos poss´ıveis:
⋆ Se o sistema estiver polarizado, isto ´e num estado de momento angular total bem definido (|SiS ou |SiA ), a sua fun¸c˜ao de onda de spin ser´a sim´etrica ou anti-sim´etrica, respectivamente. Como a fun¸c˜ao de onda total dever´a ser anti-sim´etrica (as part´ıculas s˜ao fermi˜oes) teremos de escolher a fun¸c˜ao de onda orbital anti-sim´etrica ou sim´etrica respectivamente: |Ψi = |vkdif iA ⊗ |SiS
ou
|Ψi = |vkdif iS ⊗ |SiA .
(12.4.7)
426
Sistemas de part´ıculas idˆ enticas Portanto, para um feixe polarizado com S = 1 a sec¸c˜ao eficaz diferencial de difus˜ao, dada pelo quadrado do m´odulo da amplitude de difus˜ao, ser´a: σ(θ, φ)A = |f (θ) − f (π − θ)|2 ,
(12.4.8)
enquanto que para S = 0 ser´a σ(θ, φ)S = |f (θ) + f (π − θ)|2 .
(12.4.9)
⋆ Se o sistema n˜ao estiver polarizado, isto ´e estiver numa sobreposi¸c˜ao de estado de momento angular total bem definido, a sec¸c˜ao eficaz diferencial do processo ´e obtida calculando uma m´edia de σ(θ, φ)A e σ(θ, φ)S , onde o peso de cada uma ´e dada pelo n´ umero de estados de spin que a ela est˜ao associados. Na pr´atica estamos a considerar todos os estados de spin equiprov´aveis. No nosso caso temos trˆes estados com S = 1 e um estado com S = 0. Portanto a sec¸c˜ao ser´a dada por 3 1 σ(θ, φ) = σ(θ, φ)A + σ(θ, φ)S . 4 4
(12.4.10)
O caso geral ´e agora simples de concluir. Se o spin de cada uma das part´ıculas for s haver´a 2s + 1 valores poss´ıveis para o momento angular total S (S = 2s, 2s − 1, . . . , 0); todos os estados no multipleto correspondente a cada S ter˜ao a mesma simetria (sim´etricos ou anti-sim´etricos na troca de duas part´ıculas). A fun¸c˜ao de onda orbital ´e escolhida com a simetria apropriada de modo a que a fun¸c˜ao de onda total seja sim´etrica (anti-sim´etrica) se as part´ıculas forem bos˜oes (fermi˜oes): ⋆ Se o sistema estiver polarizado no estado com momento angular total S e as part´ıculas forem fermi˜oes (bos˜oes) ent˜ao a sec¸c˜ao eficaz diferencial ´e dada por σ(θ, φ)A = |f (θ) − f (π − θ)|2 ,
(12.4.11)
se o multipleto com momento angular total S for sim´etrico (anti-sim´etrico) ou σ(θ, φ)S = |f (θ) + f (π − θ)|2 ,
(12.4.12)
se o multipleto com momento angular total S for anti-sim´etrico (sim´etrico).
12.4 Consequˆ encias do postulado de simetriza¸ c˜ ao
427
⋆ Se o sistema n˜ao estiver polarizado temos σ(θ, φ) =
s+1 s σ(θ, φ)A + σ(θ, φ)S , 2s + 1 2s + 1
(12.4.13)
σ(θ, φ) =
s s+1 σ(θ, φ)S + σ(θ, φ)A , 2s + 1 2s + 1
(12.4.14)
para fermi˜oes e
para bos˜oes, dado que genericamente teremos (2s + 1)2 estados de spin dos quais s(2s + 1) ser˜ao anti-sim´etricos e (s + 1)(2s + 1) ser˜ao sim´etricos. Exemplo: Considere a difus˜ao neutr˜ao-neutr˜ao a baixa energia, tomando o potencial de interac¸c˜ao V (r) = ~σ1 · ~σ2 V0
e−αr , r
(12.4.15)
onde α, V0 s˜ao constantes positivas e σi a matriz de Pauli para o neutr˜ao i = 1, 2. Pretendemos calcular a sec¸c˜ao eficaz de difus˜ao supondo que os feixes dos neutr˜oes n˜ao est˜ao polarizados, na primeira aproxima¸c˜ao de Born. Come¸camos por escrever o operador de spin total do sistema ~ ~ Sˆ = ~sˆ1 + ~sˆ2 = (~σ1 + ~σ2 ) , 2
(12.4.16)
dado serem part´ıculas de spin 1/2. Logo 1 , se S = 1 2 ~σ1 · ~σ2 = 2 Sˆ2 − sˆ21 − sˆ22 = . −3 , se S = 0 ~
(12.4.17)
Logo, para feixes polarizados o potencial ´e efectivamente e−αr , se S = 1 V0 r V (r) = . (12.4.18) −αr e −3V0 , se S = 0 r A amplitude de difus˜ao para cada um destes potenciais na primeira aproxima¸c˜ao de Born ´e, usando (10.2.51) e (10.2.39) 2µV0 1 − 2 , se S = 1 2 ~ 4k 2 sin θ2 + α2 fkBorn (θ, φ) = 1 6µV0 , se S = 0 2 θ 2 2 ~ 4k sin 2 + α2
.
(12.4.19)
428
Sistemas de part´ıculas idˆ enticas
A sec¸c˜ao eficaz diferencial de difus˜ao ´e dada por (12.4.10) usando (12.4.8) e (12.4.9) 3 1 σ(θ, φ) = |fkS=1(θ) − fkS=1 (π − θ)|2 + |fkS=0 (θ) + fkS=0 (π − θ)|2 , 4 4 ou
12.5
! 2 1 1 3 2µV0 − 2 σ(θ, φ) = − 2 2 θ θ 2 2 2 2 4 ~ 4k sin 2 + α 4k cos 2 + α ! 2 1 6µV0 1 1 + 2 + . 2 θ θ 2 2 2 2 2 4 ~ 4k sin 2 + α 4k cos 2 + α
(12.4.20)
(12.4.21)
´ Atomos com v´ arios electr˜ oes - A tabela peri´ odica
No cap´ıtulo 6 estudamos o ´atomo de Hidrog´enio, considerando apenas o termo cin´etico e a interac¸c˜ao de Coulomb entre o electr˜ao e o prot˜ao. O problema ´e exactamente sol´ uvel e obtivemos o espectro e as fun¸c˜oes de onda analiticamente. Este estudo foi refinado no cap´ıtulo 11, em que consideramos as primeiras correc¸c˜oes relativistas e em particular o spin, para perceber e calcular perturbativamente a estrutura fina. Ao considerarmos ´atomos com v´arios electr˜oes, o problema, mesmo considerando apenas a interac¸c˜ao de Coulomb, deixa de ser exactamente sol´ uvel. A raz˜ao ´e que existe uma interac¸c˜ao repulsiva de Coulomb entre os v´arios electr˜oes, que faz com que os electr˜oes deixem de sentir um potencial central. Para um ´atomo com n´ umero at´omico Z, o Hamiltoniano ser´a: ˆ = H
Z Z X Pˆi2 e2 1 X 1 X Ze2 + − , ˆi ˆi − R ˆj | 2me 4πǫ0 i=1 R 4πǫ0 i
(12.5.1)
onde o u ´ ltimo termo (que corresponde, de facto, a Z(Z − 1)/2 termos) descreve as interac¸c˜oes entre os electr˜oes do ´atomo. Note-se que o Hamiltoniano ´e uma observ´avel sim´etrica, como requerido para uma observ´avel f´ısica. Podiamos sugerir um tratamento perturbativo para este Hamiltoniano, considerando o terceiro termo em (12.5.1) como uma ˆi perturba¸c˜ao aos outros dois, que podem ser resolvidos exactamente. Estimando tanto R ˆi − R ˆ j | pelo raio de Bohr, a raz˜ao entre o terceiro e segundo termos em (12.5.1) ´e como |R Z(Z − 1)/2 , Z2
´ 12.5 Atomos com v´ arios electr˜ oes - A tabela peri´ odica
429
que varia entre 1/4 para Z = 2 e 1/2 para Z elevado. Claramente um tratamento perturbativo n˜ao ser´a uma boa aproxima¸c˜ao. Existe, no entanto uma aproxima¸c˜ao que pode ser usada para tratar este problema: a aproxima¸c˜ao de campo central. Esta aproxima¸c˜ao consiste em considerar que cada electr˜ao ˆ i ), que leva em conta, n˜ao s´o o potencial atractivo sente um potencial efectivo central, Vc (R do n´ ucleo mas tamb´em o potencial repulsivo dos outros electr˜oes. Uma intui¸c˜ao classica revela que o potencial dos outros electr˜oes depende, ele pr´oprio, da localiza¸c˜ao do electr˜ao que consideramos; para al´em disso, se o electr˜ao considerado estiver muito pr´oximo de outro electr˜ao e a posi¸c˜ao relativa n˜ao for radial, o potencial central ser´a uma aproxima¸c˜ao pobre. Contudo, em mecˆanica quˆantica, onde os electr˜oes se encontram delocalizados, esta aproxima¸c˜ao parece ser mais justificada. Assim consideramos o Hamiltoniano do problema (12.5.1) na forma seguinte: ˆ =H ˆ0 + W ˆ , H onde ˆ0 = H
Z X i=1
Pˆi2 ˆi) + V c (R 2me
!
,
Z Z X e2 1 X 1 X Ze2 ˆi) . ˆ + − V c (R W =− ˆi ˆi − R ˆj | 4πǫ0 i=1 R 4πǫ0 i
ˆ i ) for escolhido apropriadamente, W ˆ pode ser considerado uma perSe o potencial Vc (R ˆ 0 , que por sua vez corresponde a Z c´opias de um Hamiltoniano efectivo para turba¸c˜ao a H uma part´ıcula dado por
ˆ2 ˆ ef e = Pi + Vc (R) ˆ . H 2me
(12.5.2)
ˆ negligenciar A aproxima¸c˜ao de campo central consiste em escolher apropriadamente Vc (R), ˆ e resolver H ˆ ef e . O ponto crucial ´e a escolha de Vc (R), ˆ que ´e um problema complexo e W n˜ao ser´a aqui tratado. A ideia ´e procurar uma solu¸c˜ao auto-consistente, isto ´e: ˆ tem que garantir que W ˆ ´e uma perturba¸c˜ao; i) A escolha do potencial Vc (R) ˆ estas fun¸c˜oes ii) A fun¸c˜ao de onda dos outros Z − 1 electr˜oes ´e calculada usando Vc (R); de onda tˆem de ser consistentes com o pr´oprio potencial, no sentido que tˆem de ˆ reproduzir a densidade de carga que produz Vc (R).
430
Sistemas de part´ıculas idˆ enticas
ˆ seja um problema complexo, a sua forma Se bem que a determina¸c˜ao exacta de Vc (R) para pequenas e longas distˆancias pode ser vislumbrada de um modo simples. • Para r pequeno, o electr˜ao considerado encontra-se dentro da nuvem electr´onica dos outros electr˜oes, sentindo por isso, apenas o potencial nuclear; assim, o potencial ser´a Vc (r) ≃ −
1 Ze2 ; 4πǫ0 r
• Para r grande, o electr˜ao considerado encontra-se fora da nuvem electr´onica dos outros electr˜oes; efectivamente os Z − 1 electr˜oes anulam Z − 1 cargas positivas do n´ ucleo, pelo que o potencial ser´a Vc (r) ≃ −
1 e2 . 4πǫ0 r
Para valores interm´edios, Vc (r) interpola entre estes dois comportamentos, de um modo mais ou menos complicado, dependendo do ´atomo - figura 12.7. Note-se que estes dois potenciais coincidem para o Hidrog´enio.
Figura 12.7: A tracejado representam-se os potenciais correspondentes `as aproxima¸c˜oes longe e perto do n´ ucleo. A cheio representa-se um potencial que interpola entre os dois (Extra´ıdo de Cohen et al, ‘Quantum Mechanics’).
´ 12.5 Atomos com v´ arios electr˜ oes - A tabela peri´ odica
12.5.1
431
N´ıveis de energia
Estas considera¸c˜oes qualitativas, permitem-nos inferir, qualitativamente, a estrutura do espectro de energias do Hamiltoniano (12.5.2): i) Dado que o potencial efectivo ´e central, as fun¸c˜oes de onda devem ser caracterizadas por um n´ umero quˆantico principal N e um n´ umero quˆantico angular ℓ, tal como no caso do ´atomo de Hidrog´enio. Mas, enquanto que no caso do Hidrog´enio, h´a uma degenerescˆencia acidental (que pode ser ligada a uma simetria escondida do potencial 1/r que alarga o grupo de simetria do problema para SO(4) e n˜ao SO(3)) que permite aos valores pr´oprios do Hamiltoniano s´o dependerem de N, aqui esperamos que os n´ıveis de energia dependam de N e ℓ, ou seja, EN,ℓ . Tal como no Hidrog´enio, o n´ umero quˆantico principal ´e introduzido `a custa de um inteiro n0 , que surge quando resolvemos a equa¸c˜ao radial, e por isso ℓ≤N −1 . ii) Esperamos que a energia aumente com N, para ℓ fixo: EN ′ ,ℓ > EN,ℓ ,
N′ > N .
iii) Esperamos que a energia aumente com ℓ, para N fixo: EN,ℓ′ > EN,ℓ ,
ℓ′ > ℓ .
De facto, quanto maior o momento angular, para N fixo, esperamos que a fun¸c˜ao de onda esteja localizada mais longe do n´ ucleo, correspondendo portanto a um estado menos ligado. iv) Existe uma degenerescˆencia de 2(2ℓ + 1) de cada n´ıvel de energia; o factor (2ℓ + 1) ´e devido `a invariˆancia de rota¸c˜ao (que torna o m´odulo da fun¸c˜ao de onda e a energia independentes de mℓ ) e o factor de 2 ´e devido ao spin. Verifica-se de facto que a hierarquia de energia ´e muito semelhante para todos os ´atomos, embora os valores absolutos dependam de Z. A figura 12.8 representa essa hierarquia. Contraste-se o comportamento com o do ´atomo de Hidrog´enio - Figura 6.4.
432
Sistemas de part´ıculas idˆ enticas
Figura 12.8: Hierarquia energ´etica das v´arias camadas para um potencial central do tipo representado na figura 12.7. Note-se que para N fixo (na figura representado como n), a energia aumenta com ℓ. Entre parˆentises encontra-se a degenerescˆencia de cada n´ıvel. Entre ` chavetas encontram-se n´ıveis muito pr´oximos cuja disposi¸c˜ao relativa depende do ´atomo. A direita de cada camada encontram-se os s´ımbolos qu´ımicos dos ´atomos cuja u ´ ltima camada ocupada (no estado fundamental) ´e essa (Extra´ıdo de Cohen et al, ‘Quantum Mechanics’).
12.5.2
Configura¸ c˜ oes electr´ onicas e princ´ıpio da exclus˜ ao de Pauli
Como os electr˜oes s˜ao fermi˜oes, obedecem ao princ´ıpio de exclus˜ao de Pauli. Assim, depois de resolvermos o Hamiltoniano (12.5.2) construimos, na aproxima¸c˜ao de campo central, as fun¸c˜oes de onda de um ´atomo com n´ umero at´omico Z atrav´es do determinante de Slater, construido com as fun¸c˜oes de onda de (12.5.2). O estado fundamental do ´atomo ´e assim obtido quando os Z electr˜oes ocupam as orbitais de menor energia de um modo compat´ıvel
´ 12.5 Atomos com v´ arios electr˜ oes - A tabela peri´ odica
433
com o princ´ıpio de exclus˜ao de Pauli. Cada n´ıvel energ´etico EN,ℓ tem degenerescˆencia 2(2ℓ + 1) e o conjunto de estados individuais associados a essa mesma energia chama-se uma “shell ” ou camada. A lista das camadas ocupadas com os respectivos n´ umeros de ocupa¸c˜ao chama-se a configura¸c˜ ao electr´onica do ´atomo. O conhecimento desta configura¸c˜ao electr´onica permite-nos interpretar as propriedades f´ısicas e qu´ımicas de um ´atomo. A configura¸c˜ao electr´onica de um determinado ´atomo ´e obtida enchendo as v´arias camadas, come¸cando no n´ıvel de menor energia, 1s, e seguindo a ordem crescente de energia (i.e. pela ordem apresentada na figura 12.8), at´e esgotar os Z electr˜oes: Z = 1; O ´atomo de Hidrog´enio, no seu estado fundamental, tem o seu u ´ nico electr˜ao no n´ıvel 1s: H : 1s ; Note-se que para o Hidrog´enio, a energia n˜ao depende de ℓ, pelo que devemos usar a figura 6.4 e n˜ao a figura 12.8. Z = 2; O ´atomo de H´elio, no seu estado fundamental, tem os seus dois electr˜oes no n´ıvel 1s: He : 1s2 ; ou seja os dois electr˜oes tˆem spins opostos; Z = 3; O ´atomo de L´ıtio, no seu estado fundamental, tem dois electr˜oes no n´ıvel 1s e o terceiro no n´ıvel 2s: Li : 1s2 , 2s ; Z = 4; O ´atomo de Ber´ılio, no seu estado fundamental, tem dois electr˜oes no n´ıvel 1s e dois no n´ıvel 2s: Be : 1s2 , 2s2 ; Para Z > 4 come¸ca-se a encher a camada 2p, que pode comportar 6 electr˜oes, correspondendo aos estados fundamentais dos elementos Boro, Carbono, Azoto, Oxig´enio, Fl´ uor e
434
Sistemas de part´ıculas idˆ enticas
Neon. Para Z = 11, 12, enche-se o n´ıvel 3s, correspondendo aos estados fundamentais do S´odio e Magn´esio, etc. Assim, obtˆem-se as configura¸c˜oes electr´onicas de todos os ´atomos, que, em u ´ ltima an´alise, explicam a tabela peri´odica de Mandeleev - Figura 12.9.
Figura 12.9: Uma tabela peri´odica dos elementos. Note-se que n´ıveis muito pr´oximos (aqueles dentro de chavetas na figura 12.8), podem ser enchidos de uma maneira irregular. Por exemplo, na figura 12.8 a camada 4s ´e repre-
12.6 Sum´ ario
435
sentada como tendo menos energia que a camada 3d. No entanto, o Cr´omio (Z = 34) tem 5 electr˜oes na camada 3d e a camada 4s incompleta. Irregularidades semelhantes aparecem para o Cobre (Z = 29), Niobium (Z = 41), etc. Apesar das subtilezas, algumas caracter´ısticas s˜ao bastante intuitivas. Por exemplo a energia de ioniza¸c˜ao para o H´elio ´e 24.6 eV, ligeiramente menos do que o dobro do valor do Hidrog´enio, porque, apesar de existir uma for¸ca atractiva entre os electr˜oes e o n´ ucleo que ´e o dobro daquela que existe no Hidrog´enio, existe tamb´em uma for¸ca repulsiva entre os dois electr˜oes que diminui a energia de liga¸c˜ao. Um coment´ario final prende-se com o momento angular dos ´atomos. Pode-se mostrar que numa camada completa, o momento angular total ´e zero, tal como o momento angular orbital e o momento angular de spin. Assim, o momento angular de um ´atomo ´e totalmente devido aos seus electr˜oes exteriores. Por exemplo, o momento angular total do h´elio, no seu estado fundamental ´e zero, tal como para todos os gases raros, enquanto que o momento angular total do L´ıtio ´e 1/2, devido a um electr˜ao desemparelhado numa orbital s, tal como para todos os metais alcalinos.
12.6
Sum´ ario
Neste cap´ıtulo estudamos a descri¸c˜ao quˆantica de sistemas com v´arias part´ıculas idˆenticas. Come¸camos por observar que existe uma degenerescˆencia de fun¸c˜oes de onda que podem descrever o sistema depois de termos feito uma medi¸c˜ao do mesmo t˜ao completa quanto poss´ıvel. Essa “degenerescˆencia de troca” introduz ambiguidades nas previs˜oes f´ısicas. Tais ambiguidades podem ser levantadas introduzindo o postulado de simetriza¸c˜ao, que postula que os estados f´ısicos podem ter dois tipos, bos˜oes e fermi˜oes, correspondendo a fun¸c˜oes de onda totalmente sim´etricas ou totalmente anti-sim´etricas na troca de duas quaisquer part´ıculas. As fun¸c˜oes de onda f´ısicas s˜ao construidas com os operadores simetrizador e anti-simetrizador, definidos `a custa dos operadores de permuta¸c˜ao, que estudamos em detalhe. Estudamos ainda as diferen¸cas f´ısicas entre bos˜oes e fermi˜oes, a principal das quais ´e o princ´ıpio de exclus˜ao de Pauli para os fermi˜oes, inexistente para bos˜oes. A
436
Sistemas de part´ıculas idˆ enticas
existˆencia deste princ´ıpio em sistemas de fermi˜oes ´e respons´avel pela existˆencia da energia de Fermi e pela ausˆencia de um fen´omeno do tipo da condensa¸c˜ao de Bose-Einstein. Ele est´a ainda na origem das diferentes estat´ısticas para bos˜oes e fermi˜oes (Bose-Einstein e Fermi-Dirac). Mostramos como os termos directo e de troca tˆem interferˆencias diferentes para fermi˜oes e bos˜oes. Terminamos fazendo algumas considera¸c˜oes sobre a estrutura dos ´atomos com v´arios electr˜oes. Descrevemos qualitativamente a aproxima¸c˜ao de campo central, que nos permite resolver o problema e apresentamos a estrutura dos n´ıveis de energia. Juntamente com o princ´ıpio de exclus˜ao de Pauli, esta estrutura permitiu-nos descrever a configura¸c˜ao electr´onica dos ´atomos, que, por sua vez, permite compreender a estrutura da tabela peri´odica dos elementos - figura 12.9.
CAP´ITULO
13
Introdu¸c˜ ao ` a Mecˆ anica Quˆ antica Relativista
A teoria quˆantica que construimos at´e agora ´e uma teoria n˜ao relativista. A equa¸c˜ao de onda de Schr¨odinger n˜ao possui invariˆancia de Lorentz, dado ter sido construida com base na rela¸c˜ao de dispers˜ao n˜ao relativista (3.0.2). Neste cap´ıtulo vamos introduzir duas equa¸c˜oes de onda invariantes por transforma¸c˜oes de Lorentz, i.e. covariantes, de modo a obedecer aos princ´ıpios da relatividade restrita: a equa¸c˜ao de Klein-Gordon e a equa¸c˜ao de Dirac. A covariˆancia ´e necess´aria para poder aplicar a teoria quˆantica a part´ıculas com energia elevada. Note-se que n˜ao ´e necess´ario (felizmente!) fazer a teoria totalmente covariante, i.e. compat´ıvel com os princ´ıpios da relatividade geral, pois a interac¸c˜ao grav´ıtica ´e negligenci´avel nos fen´omenos at´omicos de interesse para o estudo aqui efectuado. Veremos que, das duas equa¸c˜oes, apenas uma - a de Dirac - descreve part´ıculas com spin e como tal ´e a equa¸c˜ao relativista apropriada para descrever o electr˜ao.
13.1
A teoria de Klein-Gordon
A equa¸c˜ao de Schr¨odinger (3.0.6) foi constru´ıda no cap´ıtulo 3 a partir da rela¸c˜ao n˜ao relativista entre a energia e o momento (3.0.2). Como visto na sec¸c˜ao 4.4.2 essa constru¸c˜ao
438
Introdu¸c˜ ao ` a Mecˆ anica Quˆ antica Relativista
pode ser vista como resultando da associa¸c˜ao `a energia e ao momento dos operadores: E → i~
∂ , ∂t
~p → −i~∇ .
(13.1.1)
Se procuramos uma equa¸c˜ao fundamental da Mecˆanica Quˆantica Relativista ´e natural fazer esta mesma associa¸c˜ao na rela¸c˜ao relativista entre a energia e o momento, que ´e: E 2 = m20 c4 + p2 c2 ⇔ pµ pµ = m20 c2 ,
(13.1.2)
onde m0 ´e a massa em repouso da part´ıcula, c ´e a velocidade da luz, p2 = p~ · p~ ´e o quadrado do 3-momento e pµ ´e o 4-vector momento: E E µ , p~ ⇔ pµ = , −~p , p = c c
(13.1.3)
onde, em conformidade com a maioria da literatura sobre Mecˆanica Quˆantica Relativista e Teoria Quˆantica de Campo, usamos a m´etrica de Minkowski com assinatura ‘maioritariamente negativa’ ds2 = ηµν dxµ dxν = (dx0 )2 − δij dxi dxj ;
(13.1.4)
o 4-vector posi¸c˜ao espa¸co-temporal ´e: xµ = (x0 , ~x) = (ct, ~x) . Usando (13.1.1) em (13.1.3) obtemos que E 1∂ ∂ pµ = , −~p → i~ , ∇ = i~ µ , c c ∂t ∂x
(13.1.5)
(13.1.6)
ou pµ → i~∂µ ,
(13.1.7)
que ´e a associa¸c˜ao de operadores (13.1.1) em nota¸c˜ao manifestamente covariante por transforma¸c˜oes de Lorentz (i.e relativista). Usando esta associa¸c˜ao em (13.1.2) obtemos a equa¸c˜ao de Klein-Gordon:1 m c 2 0 Φ(xµ ) ; 2Φ(x ) = − ~ µ
1
(13.1.8)
Esta equa¸ca˜o foi descoberta independentemente e praticamente simultaneamente pelo f´ısico sueco Oskar Klein (1894 - 1977), Z.f.Phys. 37 (1926) 895, e pelo f´ısico alem˜ ao Walter Gordon (1893-1940),
13.2 Os problemas com a teoria de Klein-Gordon
439
denotamos o operador D’Alambertiano por 2 2 = ∂µ ∂ µ =
1 ∂2 −∆ , c2 ∂t2
(13.1.9)
e ∆ ´e o operador Laplaciano. Estes operadores s˜ao a segunda derivada covariante num espa¸co Lorentziano e Euclidiano respectivamente. Tˆem uma express˜ao covariante, isto ´e v´alida para um sistema de coordenadas arbitr´ario e num espa¸co arbitr´ario, que ´e dada pela m´etrica gµν nesse espa¸co e nesse sistema de coordenadas: p 1 ∆, 2 . . . = p ∂µ g µν |g|∂ν . . . , |g|
(13.1.10)
onde |g| ´e o m´odulo do determinante da m´etrica e ‘. . .’ representa a fun¸c˜ao escalar onde estes operadores actuam.
13.2
Os problemas com a teoria de Klein-Gordon
A equa¸c˜ao (13.1.8) ´e de facto uma equa¸c˜ao invariante por transforma¸c˜oes de Lorentz, ao contr´ario da equa¸c˜ao de Schr¨odinger. Mas dadas as diferen¸cas f´ısicas entre a Mecˆanica n˜ao relativista e a Mecˆanica relativista colocam-se duas quest˜oes: i) Ser´a que podemos ainda interpretar as solu¸c˜oes da equa¸c˜ao de Klein-Gordon Φ(xµ ) como uma fun¸c˜ao de onda, que descreve uma amplitude de probabilidade, do mesmo modo que fazemos na Mecˆanica Quˆantica n˜ao relativista? ii) Ser´a que esta ´e a equa¸c˜ao relativista correcta para descrever o electr˜ao? Z.f.Phys. 40 (1926) 117. Contudo, a hist´oria parece ser algo mais interessante (ver S.Weinberg, Quantum Field Theory, Vol I, Sec. 1.1). Em 1926 Schr¨odinger publicou quatro artigos sobre a mecˆanica ondulat´ oria, em que deriva a ‘sua’ equa¸ca˜o, mostra equivalˆencia com a mecˆanica matricial e s´o mais tarde, no quarto artigo, apresenta a equa¸ca˜o de onda relativista. Contudo, apesar de ter publicado primeiro a equa¸ca˜o que tem o seu nome e ´e n˜ ao relativista, Schr¨odinger ter´ a derivado inicialmente a equa¸ca˜o relativista (13.1.8). Mas ao calcular o espectro do ´ atomo de hidrog´enio, Schr¨odinger observou que a equa¸ca˜o relativista dava o resultado errado para a estrutura fina do ´atomo de hidrog´enio. No limite n˜ ao relativista, no entanto, a equa¸ca˜o (de Klein-Gordon) reduzia-se a uma equa¸ca˜o que Schr¨odinger se apercebeu ser u ´ til (a eq. de Schr¨odinger) e que foi a eq. inicialmente publicada por ele, apesar de saber que era o limite n˜ ao relativista de uma eq. incorrecta! Quando, mais tarde, Schr¨odinger publicou a eq. relativista (Ann. Phys. 81 (1926) 109), esta j´ a havia sido redescoberta por Klein e Gordon.
440
13.2.1
Introdu¸c˜ ao ` a Mecˆ anica Quˆ antica Relativista
Energias negativas
Para respondermos `a quest˜ao i) consideremos, em primeiro lugar, os estados da equa¸c˜ao de Klein-Gordon an´alogos aos estados estacion´arios da equa¸c˜ao de Schr¨odinger. Separando vari´aveis: Φ(xµ ) = T (t)φ(~x) ,
(13.2.1)
a equa¸c˜ao de Klein-Gordon fica: −
m c 2 1 1 d2 T (t) 1 0 + ∆φ(~ x ) = ; c2 T (t) dt2 φ ~
(13.2.2)
pelo argumento habitual esta equ¸c˜ao separa-se em duas: −
ω2 1 1 d2 T (t) = , c2 T (t) dt2 c2
1 ∆φ(~x) = −k 2 , φ
onde introduzimos as constantes ω 2 e k 2 , que obedecem `a rela¸c˜ao de dispers˜ao: r 2 4 m2 c4 m c ω 2 = k 2 c2 + 02 ⇒ ω± = ± k 2 c2 + 02 . ~ ~
(13.2.3)
(13.2.4)
A solu¸c˜ao geral da primeira equa¸c˜ao em (13.2.3) ´e T (t) = c+ e−iω+ t + c− e−iω− t ,
(13.2.5)
enquanto que a segunda equa¸c˜ao pode ser escrita como −∆φ(~x) = k 2 φ(~x) ,
(13.2.6)
que ´e exactamente a forma da equa¸c˜ao de Schr¨odinger livre e independente do tempo. A diferen¸ca fundamental ´e que no tratamento n˜ao relativista o vector de onda de uma part´ıcula livre relaciona-se com a frequˆencia por: k2 =
p2 2mE 2mω = = 2 2 ~ ~ ~
⇔
ω=
~k 2 . 2m
(13.2.7)
e, em particular existe apenas uma frequˆencia para cada vector de onda. No caso relativista, k 2 relaciona-se com a frequˆencia pela rela¸c˜ao de dispers˜ao (13.2.4) e, em particular, existem duas frequˆencias poss´ıveis para cada k 2 , correspondendo a um modo de energia positiva e
13.2 Os problemas com a teoria de Klein-Gordon
441
outro de energia negativa. A existˆencia de dois modos para cada comprimento de onda ´e uma consequˆencia directa da equa¸c˜ao de Klein-Gordon ser de segunda ordem na derivada temporal. Assim, escrevemos a solu¸c˜ao como Φ(xµ ) = Φ+ (xµ ) + Φ− (xµ ) ,
Φ± (xµ ) = φ(~x)e−iω± t ,
(13.2.8)
onde Φ+ (xµ ) (Φ− (xµ )) correspondem ao modo com energia positiva (negativa), como pode ser verificado pela ac¸c˜ao do operador (13.1.1). A existˆencia de modos com energia negativa pode ser problem´atica, se n˜ao existir um limite inferior para as energias negativas. Para ilustrar este ponto considermos a equa¸c˜ao de Klein-Gordon num intervalo. Isto ´e, requeremos que φ(x) seja n˜ao nulo somente em 0 < x < a, anulando-se, por continuidade nos extremos. Esta situa¸c˜ao ´e o an´alogo a um po¸co de potencial de profundidade infinita para a eq. de KG. A solu¸c˜ao tem a forma (13.2.8) com φ(x) = A sin(kn x) ,
kn =
nπ , n∈N, a
onde A ´e uma constante de normaliza¸c˜ao. Por (13.2.4), r n2 π 2 c2 m20 c4 ω± = ± + 2 . a2 ~
(13.2.9)
(13.2.10)
Logo, a energia n˜ao est´a limitada inferiormente; ω− torna-se arbitrariamente grande e negativo para n grande. Isto implica que somente a teoria livre ´e consistente. Se introduzirmos interac¸c˜oes que permitam `a part´ıcula saltar de um n´ıvel energ´etico para outro, poderemos extrair uma energia arbitrariamente grande do sistema quando a part´ıcula de Klein-Gordon saltar para n´ıveis de energia arbitrariamente grande e negativa. A existˆencia de tais n´ıveis ´e uma raz˜ao para considerarmos que a equa¸c˜ao de Klein-Gordon n˜ao ´e adequada para descrever quˆanticamente uma part´ıcula relativista com interac¸c˜oes.
13.2.2
Probabilidades negativas
A interpreta¸c˜ao das solu¸c˜oes da equa¸c˜ao de Schr¨odinger como amplitudes de probabilidade foi legitimada por existir um produto escalar. Para sermos concretos consideremos fun¸c˜oes
442
Introdu¸c˜ ao ` a Mecˆ anica Quˆ antica Relativista
de onda em R3 ; esse produto escalar toma a forma (4.1.6) Z (φ, ψ) = d3~xφ∗ (~x)ψ(~x) .
(13.2.11)
Este produto ´e: i) positivo (cf. sec¸c˜ao 4.1.1), permitindo como tal definir uma norma positiva, Z 2 ||ψ|| = d3~xψ ∗ (~x)ψ(~x) , (13.2.12) associada a uma densidade de probabilidade positiva: P(~x) = ψ ∗ (~x)ψ(~x) ≥ 0 ,
∀~x ;
(13.2.13)
ii) globalmente conservado na evolu¸c˜ao do sistema, dada a hermiticiade do operador Hamiltoniano (cf. sec¸c˜ao 4.4.4): d (φ, ψ) = 0 . dt
(13.2.14)
Note que conserva¸c˜ao local de probabilidade ´e expressa pela equa¸c˜ao de continuidade (4.4.55) ∂ ~ x, t) = 0 , P(~x, t) + ∇ · J(~ ∂t
(13.2.15)
onde o vector densidade de corrente de probabilidade ´e (4.4.53). Para a equa¸c˜ao de Klein-Gordon podemos introduzir um 4-vector densidade de corrente conservado, definido por Jµ (xα ) = i [Φ∗ (xα )∂µ Φ(xα ) − Φ(xα )∂µ Φ∗ (xα )] .
(13.2.16)
A equa¸c˜ao de Klein-Gordon garante que ele ´e conservado: ∂ µ Jµ = 0 .
(13.2.17)
De facto ∂ µ Jµ = i [∂ µ Φ∗ (xα )∂µ Φ(xα ) + Φ∗ (xα )∂ µ ∂µ Φ(xα ) − ∂ µ Φ(xα )∂µ Φ∗ (xα ) − Φ(xα )∂µ ∂ µ Φ∗ (xα )] = i [Φ∗ (xα )2Φ(xα ) − Φ(xα )2Φ∗ (xα )] h 2 (13.1.8) = i −Φ∗ (xα ) m~0 c Φ(xµ ) + Φ(xα )
m0 c 2 ~
i Φ∗ (xµ ) = 0 .
(13.2.18)
13.2 Os problemas com a teoria de Klein-Gordon
443
A equa¸c˜ao (13.2.17) ´e uma vers˜ao covariante da equa¸c˜ao de continuidade (13.2.15). Por isso usamos a componente temporal do co-vector Jµ para definir um novo produto escalar : Z Z ∗ α α α ∂Φ (x ) 3 α 3 ∗ α ∂Φ(x ) − Φ(x ) , (13.2.19) (Φ, Φ) ≡ d ~xJ0 (x ) = i d ~x Φ (x ) ∂x0 ∂x0 ou, generalizando para campos diferentes e usando x0 = ct Z α ∗ α i 3 ∗ α ∂Ψ(x ) α ∂Φ (x ) d ~x Φ (x ) . (Φ, Ψ) ≡ − Ψ(x ) c ∂t ∂t
(13.2.20)
Note-se que este produto escalar pressup˜oe uma folia¸c˜ao particular do espa¸co-tempo: foi escolhida um certa fam´ılia de hiper-superf´ıcies espaciais onde se integra. Este produto ´e i) Conservado d (Φ, Ψ) = 0 ; dt
(13.2.21)
2 ∗ α ∂ 2 Ψ(xα ) α ∂ Φ (x ) d ~x Φ (x ) − Ψ(x ) ∂t2 ∂t2 Z (13.1.8) = ic d3~x {Φ∗ (xα )∆Ψ(xα ) − Ψ(xα )∆Φ∗ (xα )} = 0 ,
(13.2.22)
de facto d i (Φ, Ψ) = dt c
Z
3
∗
α
onde a u ´ ltima igualdade ´e verificada integrando por partes e negligenciando o termo fronteira (assume-se que o campo se anula no infinito). ii) Mas n˜ao ´e positivo: Fazendo o produto escalar entre modos de energia positiva (energia negativa) (13.2.8) obtemos 2ω± (Φ , Φ ) = c ±
±
Z
d3~xφ∗ (~x)φ(~x) ,
(13.2.23)
que ´e claramente positivo (negativo): modos de energia negativa tˆem norma negativa. Deste modo o produto escalar conservado n˜ao nos permite pensar numa solu¸c˜ao gen´erica da equa¸c˜ao de Klein-Gordon como descrevendo uma amplitude de probabilidade, dado que a densidade de probabilidade correspondente poderia ser negativa. A existˆencia de tais normas negativas revela que a interpreta¸c˜ao de Born n˜ao pode ser extrapolada para as ‘fun¸c˜oes de onda de Klein-Gordon’. A Mecˆanica Quˆantica n˜ao relativista n˜ao encontra paralelo na teoria de Klein-Gordon.
444
13.2.3
Introdu¸c˜ ao ` a Mecˆ anica Quˆ antica Relativista
Inexistˆ encia de spin
No cap´ıtulo 1 vimos que a for¸ca de Lorentz que actua numa part´ıcula carregada,2 ~ v ~ , ~ + ×B (13.2.24) F~ = q E c pode ser reproduzida no formalismo Hamiltoniano tomando H=
~ 2 (~p − q A/c) + qφ . 2m
(13.2.25)
Como discutido nessa altura vimos que a interac¸c˜ao com o campo magn´etico ´e efectivamente considerada pela substitui¸c˜ao (designada por acoplamento minimal ) q~ p~ −→ p~ − A . c
(13.2.26)
Notamos aqui que a interac¸c˜ao com o campo el´ectrico ´e tamb´em efectivamente considerada pela substitui¸c˜ao E → E − qφ ;
(13.2.27)
as duas u ´ ltimas equa¸c˜oes correspondem `as componentes espaciais e temporal, respectivamente, da seguinte equa¸c˜ao covariante: E q E − qφ q~ µ p = , p~ → , ~p − A = pµ − Aµ , c c c c
(13.2.28)
onde definimos o 4-vector potencial electromagn´etico como ~ µ = (φ, A) ~ ⇔ A ~ µ = (φ, −A) ~ . A
(13.2.29)
As substitui¸c˜oes (13.2.26) e (13.2.27) transformam a rela¸c˜ao relativista para a energia em 2 ~ 2 ⇔ pµ − q Aµ = m2 c2 . (E − qφ)2 = m20 c4 + (c~p − q A) (13.2.30) 0 c
A equa¸c˜ao de Klein-Gordon minimalmente acoplada a um campo electromagn´etico, ´e obtida pela associa¸c˜ao (13.1.7) na u ´ ltima equa¸c˜ao, obtendo-se q µ q µ i~∂µ − Aµ i~∂ − A Φ(xα ) = m20 c2 Φ(xα ) . c c 2
(13.2.31)
Neste cap´ıtulo vamos usar unidades electromagn´eticas diferentes das usadas no cap´ıtulo 1, de modo a que os campos el´ectrico e magn´etico fiquem com as mesmas dimens˜oes; isto corresponde a transformar ~ → B/c ~ em (1.1.7) e A ~ → A/c ~ em (1.3.20). B
13.2 Os problemas com a teoria de Klein-Gordon
445
Potencial de Coulomb Para testar se o electr˜ao do ´atomo de Hidrog´enio ´e apropriadamente descrito pela equa¸c˜ao de Klein-Gordon (13.2.31), vamos resolver esta equa¸c˜ao para o potencial de Coulomb. Tomamos Aµ =
e ~ ,0 , 4πǫ0 r
q = −e ,
m0 = me ,
(13.2.32)
onde e ´e a carga do electr˜ao (em m´odulo) e procuramos os estados estacion´arios da equa¸c˜ao de Klein Gordon usando o seguinte ansatz: Φ(xµ ) = F (r)Yℓm (θ, φ)e−iEt/~ .
(13.2.33)
A equa¸c˜ao (13.2.31) fica ~∂ e2 e2 ~∂ 2 2 2 i + ~ ∆ − me c F (r)Yℓm (θ, φ)e−iEt/~ = 0 , + + i c ∂t 4πǫ0 cr c ∂t 4πǫ0 cr (13.2.34) ou, usando 1 ∂ ∆= 2 r ∂r
ˆ2 L 2 ∂ r − 2 2 , ∂r r ~
(13.2.35)
obtemos "
E α~ + c r
2
~2 d + 2 r dr
# 2 d ~ ℓ(ℓ + 1) r2 − − m2e c2 F (r) = 0 , dr r2
(13.2.36)
onde introduzimos a constante de estrutura fina α, dada por (2.2.4). Escrevendo F (r) =
R(r) , r
(13.2.37)
a equa¸c˜ao fica d2 −r R(r) = dr 2 2
E 2 − m2e c4 2 2Eα 2 R(r) . r + r − ℓ(ℓ + 1) − α ~ 2 c2 c~
(13.2.38)
Notemos que, em primeira aproxima¸c˜ao em v/c, E 2 − m2e c4 =
me c2 p
1−
(v/c)2
!2
− m2e c4 ≃ m2e v 2 c2 = 2me Ec c2 ,
E ≃ me c2 , (13.2.39)
446
Introdu¸c˜ ao ` a Mecˆ anica Quˆ antica Relativista
onde Ec ´e a express˜ao habitual para a energia cin´etica n˜ao relativista; negligenciando ainda o termo em α2 em (13.2.38), esta equa¸c˜ao reduz-se a 2 2me Ec 2 me e2 2 d R(r) ≃ r + r − (ℓ(ℓ + 1)) R(r) , −r dr 2 ~2 2πǫ0 ~2
(13.2.40)
que coincide com a equa¸c˜ao (6.4.3) que descreve o ´atomo de Hidrog´enio (sem spin) na mecˆanica quˆantica n˜ao relativista. Portanto, no limite n˜ao relativista, a equa¸c˜ao de KleinGordon acoplada a um campo electromagn´etico dar´a o espectro correcto para o ´atomo de hidrog´enio (6.4.18). Contudo este resultado s´o ´e v´alido em primeira ordem em α e vimos no cap´ıtulo 11 as primeiras correc¸c˜oes que originam a estrutura fina. Se a equa¸c˜ao de Klein-Gordon for a equa¸c˜ao correcta para descrever o electr˜ao do ´atomo de Hidrog´enio, ´ simples obter a essas correc¸c˜oes dever˜ao emergir naturalmente da solu¸c˜ao de (13.2.38). E solu¸c˜ao exacta desta equa¸c˜ao usando os resultados do cap´ıtulo 6: tal como para (6.4.3), transformamos (13.2.38) na equa¸c˜ao de Whittaker (6.4.4) fazendo z2 m2 c4 − E 2 2 2p 2 4 = e 2 2 r ⇔ z= me c − E 2 r , 4 ~c ~c
(13.2.41)
que ´e a rela¸c˜ao an´aloga a (6.4.15) e
Eα k=p , m2e c4 − E 2
m=
s
1 ℓ+ 2
2
− α2 ,
(13.2.42)
que s˜ao as rela¸c˜oes an´alogas a (6.4.16). Como visto em detalhe na sec¸c˜ao 6.4, para que a fun¸c˜ao de Whittaker convirja quando z → +∞, tem de existir um inteiro n0 tal que n0 + m − k + 1/2 = 0 ,
n0 ∈ N0 .
(13.2.43)
Esta condi¸c˜ao fica, com as identifica¸c˜oes anteriores s 2 1 Eα 1 + =0, n0 + − α2 − p ℓ+ 2 4 2 2 2 me c − E
(13.2.44)
que, introduzindo o n´ umero quˆantico principal N ≡ n0 + ℓ + 1 e resolvendo para a energia fica
−1/2
α2 EN,ℓ = me c2 1 + 2 q 2 N − ℓ − 21 + ℓ + 12 − α2
.
(13.2.45)
13.2 Os problemas com a teoria de Klein-Gordon
447
Este ´e o espectro de energias exacto obtido da equa¸c˜ao de Klein-Gordon acoplada ao potencial de Coulomb; depende de dois n´ umeros quˆanticos, N e ℓ que s˜ao os n´ umeros quˆanticos principal e de momento angular habituais. Podemos agora verificar que este espectro n˜ao explica correctamente a estrutura fina do ´atomo de Hidrog´enio. Fazendo uma expans˜ao de (13.2.45) em potˆencias de α obt´em-se: EN,ℓ = me c
2
α2 α4 1− − 2N 2 2N 4
3 N 1 − 4 ℓ+ 2
6
+ O(α )
.
(13.2.46)
O primeiro termo ´e a energia associada `a massa em repouso do electr˜ao; o segundo termo ´e o espectro de energias obtido no cap´ıtulo 6 para o ´atomo de Hidrog´enio (6.4.18); o terceiro termo deveria ser o termo de estrutura fina. Para o n´ıvel N = 2 este termo separa as orbitais 2s e 2p, que passam a ter energia (at´e ordem α4 ) E2,0 = −me c
2
α2 13α4 + 8 128
,
E2,1 = −me c
2
α2 7α4 + 8 384
,
(13.2.47)
que est˜ao portanto separadas por E2,1 − E2,0 =
8 4me c2 α4 . 3 128
(13.2.48)
Como discutido na sec¸c˜ao 11.1.4 a separa¸c˜ao observada experimentalmente (e correctamente explicada pela teoria perturbativa) ´e de apenas 4me c2 α4 /128. Portanto a equa¸c˜ao de Klein-Gordon n˜ao explica correctamente a estrutura fina. Logo a equa¸c˜ao de KleinGordon n˜ao descreve correctamente a f´ısica do electr˜ ao do ´atomo de Hidrog´enio. A raz˜ao ´e que a fun¸c˜ao de onda de Klein-Gordon n˜ao cont´em graus de liberdade de spin, que ´e fundamental para obter a estrutura fina correcta. De facto, como visto na sec¸c˜ao 9.4, a descri¸c˜ao (n˜ao relativista) de part´ıculas de spin 1/2 envolve 2-spinores que contˆem duas fun¸c˜oes de onda espaciais, cada uma descrevendo a amplitude de probabilidade de um estado de spin. A equa¸c˜ao de Klein-Gordon s´o possui uma fun¸c˜ao espacial, pelo que n˜ao possui os graus de liberdade necess´arios para descrever o spin e como tal para descrever apropriadamente o electr˜ao.
448
13.3
Introdu¸c˜ ao ` a Mecˆ anica Quˆ antica Relativista
A teoria de Dirac
Paul Dirac sugeriu, em 1928, uma equa¸c˜ao relativista para o electr˜ao, que naturalmente introduzia o seu spin, explicando correctamente a sua interac¸c˜ao com campos electromagn´eticos, e que tinha um produto escalar positivo associado. A intui¸c˜ao de Dirac foi que os problemas da equa¸c˜ao de Klein-Gordon, nomeadadamente as probabilidades e energias negativas, estariam associados a esta equa¸c˜ao ser de segunda ordem nas derivadas temporais. Dirac tentou, por isso, factorizar a equa¸c˜ao de Klein-Gordon para obter uma equa¸c˜ao de primeira ordem na derivada temporal e relativista. Dirac tentou factorizar a express˜ao da energia relativista (13.1.2) escrevendo-a da seguinte forma: pµ pµ − m20 c2 = 0 ⇔ (γ µ pµ + m0 c)(γ ν pν − m0 c) = 0 ,
(13.3.1)
o que ´e verdade se o objecto γ µ obedecer `a seguinte propriedade: γ (µ γ ν) ≡
1 µ ν (γ γ + γ ν γ µ ) = η µν . 2
(13.3.2)
Se as componentes de γ µ forem n´ umeros ´e manifestamente imposs´ıvel resolver estas equa¸c˜oes. Por exemplo teriamos de resolver simultaneamente (γ 0 )2 = 1 ,
(γ 1 )2 = −1 ,
γ 0γ 1 = 0 .
(13.3.3)
A grande (enorm´ıssima!) intui¸c˜ao de Dirac foi sugerir que as componentes de γ µ poderiam ser matrizes. Como matrizes genericamente n˜ao comutam, a factoriza¸ca˜o (13.3.1) seria verdadeira se {γ µ , γ ν } = 2η µν ,
(13.3.4)
{A, B} ≡ AB + BA .
(13.3.5)
onde definimos o Anti-comutador
As rela¸c˜oes de anti-comuta¸c˜ao (13.3.4) definem uma ´algebra denominada ´algebra de Clifford e as matrizes ‘gama’ s˜ao designadas por matrizes de Dirac. Usando a associa¸c˜ao (13.1.7), obtemos uma equa¸c˜ao de primeira ordem igualando a zero qualquer um dos factores em
13.3 A teoria de Dirac
449
(13.3.1), a actuar numa fun¸c˜ao de onda Ψ(~x), que ser´a um vector coluna no mesmo espa¸co vectorial em que est˜ao definidas as matrizes γ µ . Escolhendo o segundo factor em (13.3.1), que corresponde `a energia positiva, obtemos a equa¸c˜ao de Dirac: i~γ µ ∂µ Ψ(xα ) = m0 cΨ(xα ) .
(13.3.6)
As matrizes γ µ Para estudar detalhadamente a equa¸c˜ao de Dirac temos de ter uma forma expl´ıcita para as matrizes γ µ , µ = 0, 1, 2, 3. Em primeiro lugar podemos perguntar qual ser´a a dimens˜ao destas matrizes. Para cada dimens˜ao espa¸co-temporal, existe uma dimens˜ao m´ınima para a representa¸c˜ao da ´algebra de Clifford; em quatro dimens˜oes a representa¸c˜ao minimal da ´algebra de Clifford tem dimens˜ao quatro que ´e a dimens˜ao das matrizes γ µ . H´a v´arias escolhas diferentes (ditas representa¸c˜oes) para estas matrizes. Aqui iremos usar a seguinte representa¸c˜ao:
γ0 =
1
0
0 −1
,
γi =
0
σi
−σi
0
,
(13.3.7)
onde σi s˜ao as matrizes de Pauli (9.1.36) e 1 ´e a matriz identidade em duas dimens˜oes. A ‘fun¸c˜ao de onda de Dirac’ Ψ(xα ), ser´a, portanto, representada por um vector coluna quatro dimensional que ´e um spinor de quatro componentes ou 4-spinor : α Ψ (x ) 1 α α Ψ (x ) [Ψ] (x ) , = 2 Ψ(xα ) = α α χ1 (x ) [χ] (x ) χ2 (xα )
(13.3.8)
onde [Ψ]a (xα ), a = 1, 2 representam dois 2-spinores, na nota¸c˜ao da sec¸c˜ao (9.4.1). Se no caso da equa¸c˜ao de Klein-Gordon tinhamos graus de liberdade insuficientes para descrever uma part´ıcula com spin 1/2, aparentemente, na equa¸c˜ao de Dirac temos demasiados graus de liberdade para tal!... Exerc´ıcio: Verifique que as matrizes de Dirac (13.3.7) obedecem `a ´algebra de Clifford (13.3.4).
450
Introdu¸c˜ ao ` a Mecˆ anica Quˆ antica Relativista
13.3.1
Os sucessos da equa¸ c˜ ao de Dirac
Vamos agora enumerar, sem demonstrar, os sucessos da teoria de Dirac. ´ poss´ıvel definir um produto escalar, que ´e invariante por transforma¸c˜oes de Lorentz, i) E conservado e definido positivo; a norma de uma fun¸c˜ao de onda de Dirac ´e (Ψ, Ψ) =
Z
3
†
d ~xΨ Ψ =
Z
d3~x |Ψ1 (xα )|2 + |Ψ2 (xα )|2 + |χ1 (xα )|2 + |χ2 (xα )|2 ,
(13.3.9)
que generaliza para 4-spinores a forma da norma para 2-spinors (9.4.20). ii) No limite n˜ao relativista, a teoria de Dirac reduz-se `a teoria de Pauli, com o factor giromagn´etico correcto para o electr˜ao, g = 2. Para obter este resultado ´e necess´ario acoplar a equa¸c˜ao de Dirac a um campo electromagn´etico, o que ´e feito pelo acoplamento minimal (13.2.28). Obet´em-se a equa¸c˜ao de Dirac na presen¸ca de um campo electromagn´etico descrito pelo 4-potencial Aµ : iq i~γ ∂µ + Aµ Ψ(xα ) = m0 cΨ(xα ) . c~ µ
(13.3.10)
Especializando para o electr˜ao q = −e. Uma manipula¸c˜ao desta equa¸c˜ao com, a aproxima¸c˜ao p0 c ≃ m0 c2 + H ,
(13.3.11)
onde H ≪ m0 c2 leva ao resultado, considerando apenas campo magn´etico HΨ(xα ) ≃
(
~ 2 e~ (~p + eA/c) ~ + ~σ · B 2m0 2m0 c
)
,
(13.3.12)
que ´e o Hamiltoniano de Pauli (9.3.4) (com a diferente conven¸c˜ao para os campos electromagn´eticos e q = −e) na ausˆencia de campo el´ectrico, com a raz˜ao giromagn´etica correcta. iii) Na presen¸ca de um campo de Coulomb, a solu¸c˜ao exacta para o espectro de energias
13.3 A teoria de Dirac
451
da equa¸c˜ao de Dirac ´e
EN,J
−1/2
α2 = me c 1 + 2 q 2 N − J − 21 + J + 12 − α2 2
.
(13.3.13)
Esta ´e a f´ormula (11.1.104) que, como discutido na sec¸c˜ao (11.1.4) d´a os n´ıveis correctos para a estrutura fina do ´atomo de Hidrog´enio. O n´ umero quˆantico J ´e o n´ umero quˆantico de momento angular total (que tem de ser apropriadamente definido). Notese que ´e a mesma f´ormula que (13.2.45) substituindo J ↔ ℓ o que demonstra que a incapacidade da equa¸c˜ao de Klein-Gordon descrever a estrutura fina resulta de n˜ao levar em conta o spin. A equa¸c˜ao de Dirac possui, tal como a equa¸c˜ao de Klein-Gordon, estados de energia negativa, o que, como discutido anteriormente pode originar problemas na teoria interactiva. No entanto, como a equa¸c˜ao de Dirac descreve fermi˜oes, Dirac concebeu uma teoria (do ‘mar de electr˜oes’) em que todos estes estados de energia negativa estariam preenchidos (poss´ıveis vagas eram interpretadas como anti-part´ıculas, isto ´e, positr˜oes). Assim, o problema de os usar para extrair infinita energia do sistema era resolvido. No entanto esta interpreta¸c˜ao, bem como a interpreta¸c˜ao da teoria de Dirac como descrevendo a Mecˆanica Quˆantica Relativista de uma part´ıcula de spin 1/2, foi rapidamente ultrapassada. O ponto fundamental ´e que a Mecˆanica Quˆantica Relativista n˜ao deve ser vista como a descri¸c˜ao de uma part´ıcula. A possibilidade relativista de convers˜ao de massa em energia torna a Mecˆanica Quˆantica Relativista necessariamente uma teoria de muitas part´ıculas. Esta ´e a perspectiva da Teoria Quˆantica de Campo, onde os campos s˜ao promovidos a operadores (deixando de ser vistos como fun¸c˜oes de onda) sujeitos a regras de comuta¸c˜ao ou anti-comuta¸c˜ao. Este procedimento de promover os campos a operadores com regras de comuta¸c˜ao/anti-comuta¸c˜ao ´e denominado, por vezes, segunda quantifica¸c˜ ao (pois a primeira ´e a quantifica¸c˜ao das observ´aveis que discutimos no cap´ıtulo 4). Em teoria Quˆantica de Campo, quer a equa¸c˜ao de Dirac quer a equa¸c˜ao de Klein-Gordon encontram
452
Introdu¸c˜ ao ` a Mecˆ anica Quˆ antica Relativista
naturalmente o seu lugar, descrevendo a dinˆamica de sistemas de part´ıculas de spin 1/2 e 0 respectivamente.
13.4
Sum´ ario
Neste cap´ıtulo fizemos uma breve introdu¸c˜ao ao casamento das ideias da Relatividade Restrita com as ideias da Mecˆanica Quˆantica. Uma primeira tentativa deste matrim´onio resulta na equa¸c˜ao de Klein-Gordon, que tem v´arios problemas para ser compatibilizada quer com as ideias da Mecˆanica Quˆantica n˜ao Relativista, quer com a f´ısica do electr˜ao. Estes problemas podem ser resolvidos pela equa¸c˜ao de Dirac. No entanto, a tentativa de extrapolar as ideias da Mecˆanica Quˆantica n˜ao Relativista para uma Mecˆanica Quˆantica Relativista acaba por ser naturalmente ultrapassada por uma descri¸c˜ao que leva em conta muitas part´ıculas e n˜ao apenas uma - a Teoria Quˆantica de Campo.
Parte III T´ opicos Avan¸cados e Modernos
CAP´ITULO
14
Formula¸c˜ ao de integrais de caminho da Mecˆ anica Quˆ antica
CAP´ITULO
15
Mecˆ anica Quˆ antica Super-sim´ etrica
CAP´ITULO
16
Introdu¸c˜ ao ` a teoria da Informa¸c˜ ao Quˆ antica
Parte IV Apˆ endices
ˆ APENDICE
A
Geometria da Transformada de Legendre
A transi¸c˜ao do Lagrangeano para o Hamiltoniano ´e um exemplo de uma transformada de Legendre, de que vamos agora fornecer uma interpreta¸c˜ao geometrica. Por simplicidade vamos considerar apenas o caso com uma u ´ nica vari´avel dinˆamica. Consideremos uma fun¸c˜ao diferenciavel L(v), de um vari´avel v. O gr´afico de L(v) ´e uma curva cont´ınua de todos os pontos (v, L(v)) como a representada na figura A.1. A derivada da fun¸c˜ao em cada ponto ´e denotada p(v) ≡
dL . dv
(A.1)
A transformada de Legendre ´e uma maneira de reproduzir a curva inteiramente em termos de p, sem referˆencia a v; p torna-se a vari´avel independente cujos valores s˜ao usados para construir a curva. Mas tal como os valores de v sem os valores de L s˜ao insuficientes para construir a curva, somente os valores de p s˜ao tamb´em insuficientes, pelo que necessitamos de uma nova fun¸c˜ao H(p). A fun¸c˜ao H(p) ´e construida da seguinte maneira. Consideremos a tangente `a curva L(v) no ponto v = v0 . O declive da tangente ´e p(v0 ) = p0 ,
(A.2)
460
Geometria da Transformada de Legendre L(v)
v0 v y0 = L(v0 ) − p0 v0 Figura A.1: A curva que representa um ‘Lagrangeano’ L(v) como fun¸c˜ao da velocidade v. A tangente `a curva em v0 tem declive p0 e ordenada na origem y0 ≡ L(v0 ) − p0 v0 . e a ordenada na origem da tangente ´e y0 = L(v0 ) − p0 v0 .
(A.3)
Para um ponto arbitr´ario, (v, L(v)), a tangente `a curva tem declive p = dL/dv e tem ordenada na origem y(v, p) = L(v) − pv .
(A.4)
Vamos assumir que (A.1) ´e invertivel. Voltaremos a este ponto mais tarde. Podemos ent˜ao obter v = v(p) de um modo u ´ nico. Definimos a fun¸c˜ao H(p) como H(p) = −y(v(p), p) = pv(p) − L(v(p)) .
(A.5)
O conhecimento de p e H(p) permite-nos reconstruir a curva da figura A.1. De facto, cada combin¸c˜ao (p, H(p)) corresponde a uma linha de declive p e ordenada na origem H(p) no plano (v, L). Geometricamente, a curva L(v) ´e o envelope destas linhas, a curva cont´ınua tangente a todas elas. Esta constru¸c˜ao ´e esquematizada na figura A.2. Analiticamente, a partir do conhecimento de H(p) determinamos v = v(p) dv(p) dL(v(p)) dH(p) =v+p − = v(p) . dp dp dp
(A.6)
Assumindo a invertibilidade de v = v(p) obtemos p = p(v) e como tal de (A.5) obtemos L(v) = H(p(v)) − p(v)v .
(A.7)
461 L(v)
v
Figura A.2: Conhecendo o declive das tangentes, p, e as suas ordenadas na origem, H(p), ´e possivel reconstruir a forma da curva L(v). A semelhan¸ca desta equa¸c˜ao com (A.5) ´e sugestiva. Tal como (p, H(p)) ´e a representa¸c˜ao da curva L(v) no plano (v, L) pelo (declive, (menos) ordenada na origem) das tangentes a essa curva, tamb´em (v, L(v)) ´e a representa¸c˜ao da curva H(p) no plano (p, H) pelas tangentes a essa curva. Uma nota sobre a invertibilidade de p(v). Invertibilidade significa que p(v) ´e injectiva. Logo p(v) n˜ao tem m´aximos ou m´ınimos. Dado que p(v) = dL/dv, concluimos que L(v) n˜ao pode ter pontos de inflex˜ao. Por um racioc´ınio semelhante concluimos que tamb´em H(p) n˜ao pode ter pontos de inflex˜ao. Em mais do que uma dimens˜ao, invertibilidade significa que as matrizes Hessianas ∂2L , ∂v i ∂v j s˜ao n˜ao singulares.
∂2H , ∂pi ∂pj
(A.8)
ˆ APENDICE
B
Princ´ıpio do tempo m´ınimo de Fermat
Neste apˆendice derivamos as leis da reflex˜ao e refrac¸c˜ao ondulat´orias recorrendo ao princ´ıpio do tempo m´ınimo de Fermat.
B.1
Reflex˜ ao
Consideremos dois pontos no plano xy, como na figura B.1. Consideremos um raio de luz que une os dois pontos atrav´es de uma linha recta que ´e reflectida no eixo do x. V´arias y
∆x
x
Figura B.1: Dois pontos que distam de ∆x ao longo do eixo do x podem ser unidos por uma infinidade de traject´orias que reflectem no eixo do x. De todas essas traject´orias, a que minimiza a distˆancia entre os dois pontos obedece `a lei da reflex˜ao.
464
Princ´ıpio do tempo m´ınimo de Fermat y
l1
θ1
θ2
l2 x
∆x
Figura B.2: A traject´oria real vai obedecer a θ1 = θ2 . traject´orias possiveis est˜ao desenhadas na figura B.1. O princ´ıpio do tempo m´ınimo de Fermat diz-nos que a traject´oria real ´e a que minimiza o tempo que o raio de luz demora de um ponto at´e ao outro. Como a velocidade ´e constante, a traject´oria real ser´a aquela que minimiza a distˆancia. Considermos uma traject´oria poss´ıvel que faz ˆangulos θ1 e θ2 com a perpendicular `a superf´ıcie de reflex˜ao, conforme esquematizado na figura B.2. A distˆancia total percorrida ´e ∆s(θ1 , θ2 ) =
l1 l2 + , cos θ1 cos θ2
(B.1)
que ´e a quantidade que pretendemos minimizar, como fun¸c˜ao de θ1 e θ2 , mas onde l1 e l2 s˜ao fixos. Ou seja pertendemos calcular θ1 e θ2 de modo que 0 = d(∆s(θ1 , θ2 )) =
sin θ1 l1 sin θ2 l2 dθ1 + dθ2 . 2 cos θ1 cos2 θ2
(B.2)
A extremiza¸c˜ao est´a sujeita `a condi¸c˜ao de que a distˆancia total segundo x, ∆x ´e constante ∆x =
sin θ1 l1 sin θ2 l2 + = constante . cos θ1 cos θ2
(B.3)
Diferenciando esta equa¸c˜ao obtemos l2 l1 dθ1 + dθ2 = 0 , 2 cos θ1 cos2 θ2
(B.4)
que, substituindo em (B.2), resulta em sin θ2 l2 sin θ1 l2 dθ = dθ2 2 cos2 θ2 cos2 θ2
⇔
sin θ1 = sin θ2 ,
(B.5)
B.2 Refrac¸c˜ ao
465
ou, como 0 < θ1 , θ2 < π/2, θ1 = θ2 ,
(B.6)
que ´e a lei da reflex˜ao.
B.2
Refrac¸c˜ ao
Consideramos agora dois pontos em dois meios diferentes. No meio 1, a luz move-se `a velocidade v1 ; no meio 2 a luz move-se `a velocidade v2 . Na figura B.3 mostra-se um conjunto de traject´orias, rectil´ıneas em cada meio, que unem os dois pontos. A minimiza¸c˜ao do tempo de viagem de um raio de luz n˜ao corresponde neste caso a` minimiza¸c˜ao da distˆancia devido `a diferente velocidade nos dois meios. A minimiza¸c˜ao do tempo ir´a corresponder a um compromisso entre viajar o m´aximo de distˆancia poss´ıvel no meio onde a velocidade ´e maior, sem, contudo, aumentar demasiado a distˆancia a percorrer. y
MEIO 1 MEIO 2
x
Figura B.3: V´arias traject´orias poss´ıveis para um raio de luz unindo dois pontos em meios diferentes. Tomando uma traject´oria como aquela exibida na figura B.4, pertendemos extremizar ∆t, dado por ∆t(θ1 , θ2 ) =
∆x l1 l2 = + , v v1 cos θ1 v2 cos θ2
(B.1)
ou seja determinar θ1 , θ2 de modo a que 0 = d(∆t(θ1 , θ2 )) =
l2 sin θ2 l1 sin θ1 dθ + dθ2 . 1 v1 cos2 θ1 v2 cos2 θ2
(B.2)
466
Princ´ıpio do tempo m´ınimo de Fermat y
l1 θ1 MEIO 1 ∆x
MEIO 2
x
l2 θ2
Figura B.4: A traject´oria real vai obedecer `a lei de Snell. A extremiza¸c˜ao ´e sujeita `a condi¸c˜ao de que a distˆancia segundo x, ∆x ´e constante, ∆x =
l1 sin θ1 l2 sin θ2 + = constante . cos θ1 cos θ2
(B.3)
Diferenciando a u ´ ltima equa¸c˜ao obtemos l1 l2 dθ + dθ2 = 0 , 1 cos2 θ1 cos2 θ2
(B.4)
que substituindo em (B.2) resulta em v1 sin θ1 = . sin θ2 v2 Obtemos assim a Lei de Snell.
(B.5)
ˆ APENDICE
C
An´ alise de Fourier
A an´alise de Fourier fornece a expans˜ao de uma fun¸c˜ao f (x) em termos de senos e cossenos. Para este pr´oposito distinguem-se dois tipos de fun¸c˜oes.
C.1
S´ eries de Fourier
Se a fun¸c˜ao ´e peri´odica com per´ıodo L ∈ R, isto ´e f (x) = f (x + L) , ent˜ao as fun¸c˜oes sinusoidais na expans˜ao tˆem de ter per´ıodo 2πn 2πn(x + L) 2πnx kn ≡ = sin , , n ∈ N ⇒ sin L L L
(C.1)
(C.2)
e analogamente para o cosseno. Fun¸c˜oes sinusoidais com outros per´ıodos n˜ao respeitam a periodicidade da fun¸c˜ao a expandir. Neste caso, a expans˜ao de Fourier ´e uma S´erie de Fourier
+∞
a0 X + [an cos(kn x) + bn sin(kn x)] , f (x) = 2 n=1
(C.3)
e toda a informa¸c˜ao acerca da fun¸c˜ao fica contida nos coeficientes {a0 , an , bn } ,
(C.4)
468
An´ alise de Fourier
a que se chama o espectro de Fourier de f (x). Uma vantagem das s´eries de Fourier relativamente a s´eries de Taylor ´e que a fun¸c˜ao a expandir n˜ao necessita de ser diferenci´avel em todos os pontos; de facto pode at´e ser descontinua num n´ umero finito de pontos do intervalo [x0 , x0 + L] para qualquer x0 . A condi¸c˜ao essencial para a existˆencia da s´erie de Fourier ´e integrabilidade.1 O teorema de Fourier diz-nos como calcular os coeficientes (C.4): Teorema: (Fourier) Seja f (x) : R −→ R com as seguintes propriedades i) f(x) ´e peri´odica com per´ıodo L; ii) f(x) ´e integr´avel em [x0 , x0 + L] (ou ´e uma fun¸c˜ao de quadrado integr´avel conforme (C.20)); ent˜ao, a s´erie de Fourier de f (x), (C.3) onde 2 an = L
Z
x0 +L
f (x) cos(kn x)dx ,
x0
2 bn = L
Z
x0 +L
f (x) sin(kn x)dx ,
(C.5)
x0
converge para qualquer x ∈ R. Se num dado ponto, y, f (x) ´e cont´ınua, a s´erie converge para f (y); se ´e descontinua converge para a m´edia dos limites `a esquerda e `a direita de f (x). N˜ao vamos aqui demonstrar o teorema de Fourier, mas vamos mostrar a compatibilidade de (C.5) com (C.3), introduzindo (C.3) nas express˜oes (C.5): • a0 :
2 a0 = L
Z
x0 +L x0
! +∞ a0 X + [an cos(kn x) + bn sin(kn x)] dx , 2 n=1
(C.6)
que ´e claramente verificada pois, para n ∈ N Z 1
x0 +L
sin(kn x)dx = x0
Z
x0 +L
cos(kn x)dx = 0 .
(C.7)
x0
Rigorosamente o teorema de Fourier ´e mais geral do que o exposto aqui; contudo em mecˆanica quˆantica a propriedade essencial ´e integrabilidade.
C.1 S´ eries de Fourier
469
• an : 2 an = L
Z
! +∞ a0 X + [am cos(km x) + bm sin(km x)] dx 2 m=1
x0 +L
cos(kn x)
x0 +∞ X
2 = L m=1
Z
x0 +L
.
(C.8)
cos(kn x) (am cos(km x) + bm sin(km x)) dx x0
Assim, temos de lidar com Z x0 +L
cos(kn x) cos(km x)dx =
x0
L δn,m , 2
(C.9)
onde introduzimos o delta de Kronecker, definido como 0 se n 6= m δn,m ≡ , 1 se n = m
e
Z
(C.10)
x0 +L
cos(kn x) sin(km x)dx = 0 ,
(C.11)
x0
e em baixo iremos tamb´em necessitar de Z x0 +L L sin(kn x) sin(km x)dx = δn,m . 2 x0
(C.12)
´ agora trivial verificar (C.8). E • bn : 2 bn = L
Z
x0 +L
x0 +∞ X
2 = L m=1
sin(kn x) Z
x0 +L
! +∞ a0 X + [am cos(km x) + bm sin(km x)] dx 2 m=1
,
(C.13)
sin(kn x) (am cos(km x) + bm sin(km x)) dx x0
que ´e facilmente verificada usando (C.11) e (C.12).
C.1.1
Representa¸ c˜ ao em termos de ondas planas
Uma outra maneira de exprimir a s´erie de Fourier ´e usando exponenciais imagin´arias em vez de senos e cossenos. A f´ormula de Euler eiθ = cos θ + i sin θ ,
(C.14)
470
An´ alise de Fourier
permite-nos escrever as fun¸c˜oes sinusoidais como cos(kn x) =
1 ikn x e + e−ikn x , 2
sin(kn x) =
Podemos ent˜ao reexpressar (C.3) como
+∞ X
f (x) =
1 ikn x e − e−ikn x . 2i
cn eikn x ,
(C.15)
(C.16)
n=−∞
onde o espectro de Fourier ´e agora descrito pelos coeficientes {cn }, que em geral s˜ao complexos, e est˜ao relacionados com {a0 , an , bn } do seguinte modo an − ibn para n ∈ N 2 a0 . cn = para n = 0 2 a−n + ib−n para − n ∈ N 2
(C.17)
Nesta representa¸c˜ao da s´erie de Fourier, cada coeficiente no espectro de Fourier, cn , aparece associado a uma onda plana eikn x . Note-se, para uso futuro, que o equivalente `as rela¸c˜oes
(C.9), (C.11), (C.12), ´e, na linguagem de ondas planas, simplesmente Z x0 +L dxei(kn −km ) = Lδn,m , n, m ∈ Z .
(C.18)
x0
Note-se ainda que o espectro de Fourier ´e calculado nesta linguagem pela rela¸c˜ao Z 1 x0 +L f (x)e−ikn x dx . (C.19) cn = L x0
C.1.2
O Espa¸ co de Hilbert e a Igualdade de Bessel-Parseval
Em Mecˆanica Quˆantica f (x) ir´a geralmente representar uma fun¸c˜ao de onda, denotada por Ψ(x), que ´e em geral complexa; para ser normaliz´avel no intervalo [a, b] a fun¸c˜ao de onda tem de obedecer a 2
kΨk ≡
Z
a
b
|Ψ(x)|2 dx < ∞ ,
(C.20)
o que equivale a dizer que ´e uma fun¸c˜ao de quadrado som´avel. O conjunto de todas as fun¸c˜oes de quadrado som´avel em [a, b] formam o Espa¸co de Hilbert L2 ([a, b]), que ´e
C.2 Integrais de Fourier e Transformadas de Fourier
471
por isso o ‘habitat’ natural das fun¸c˜oes de onda f´ısicas que encontramos em Mecˆanica ´ um resultado de grande importˆancia para a aplica¸c˜ao de s´eries de Fourier em Quˆantica. E Mecˆanica Quˆantica que todas as fun¸c˜oes de quadrado integr´avel num intervalo admitem uma expans˜ao em s´erie de Fourier nesse intervalo. A norma (ao quadrado) kΨk2 pode ser calculada directamente do espectro de Fourier, uma vez que este contem toda a informa¸c˜ao sobre a fun¸c˜ao. O modo como o fazer ´e descrito pela Igualdade de Bessel-Parseval : 1 L
Z
x0 +L
2
dx|f (x)| = x0
+∞ X
n=−∞
|cn |2 .
(C.21)
A demonstra¸c˜ao ´e trivial usando (C.18). Por outro lado, usando (C.17) podemos reescrever a igualdade de Bessel-Parseval em termos de {a0 , an , bn } 1 L
C.2
Z
x0 +L
x0
+∞
|a0 |2 X dx|f (x)| = + |an |2 + |bn |2 . 4 n=1 2
(C.22)
Integrais de Fourier e Transformadas de Fourier
Se a fun¸c˜ao f (x) n˜ao ´e peri´odica, fun¸c˜oes sinusoidais com qualquer per´ıodo podem ser usadas na expans˜ao de Fourier que passa a ser uma soma sobre todos os valores de k ∈ R e como tal um integral de Fourier em vez de uma s´erie discreta. Assim, esperamos que (C.16) seja substituido por uma express˜ao do tipo Z +∞ f (x) = c(k)eikx dx .
(C.23)
−∞
De facto, tirando o limite L → ∞ das express˜oes que temos para a s´erie de Fourier podemos mostrar que assim ´e. Denotemos a fun¸c˜ao com per´ıodo L por fL (x). Notando que kn+1 − kn = 2π/L, escolhendo x0 = −L/2 e introduzindo (C.19) em (C.16) obtemos Z L/2 ∞ 1 X ikn x fL (x) = (kn+1 − kn )e fL (y)e−ikny dy , 2π n=−∞ −L/2
(C.24)
que tem a forma de uma soma de Riemann. O limite L → ∞ equivale a kn → kn+1 e fL (x) → f (x). Neste limite, o somat´orio ´e promovido a um integral e kn passa a ser uma
472
An´ alise de Fourier
vari´avel cont´ınua, pelo que obtemos Z +∞ Z +∞ 1 −iky ikx f (y)e dy dk , e f (x) = 2π −∞ −∞ ou 1 f (x) = √ 2π
Z
1 f˜(k) ≡ √ 2π
Z
onde definimos
+∞
(C.25)
ikx ˜ f(k)e dk ,
(C.26)
f (x)e−ikx dx .
(C.27)
−∞ +∞
−∞
Claramente f˜(k) desempenha o papel de espectro de Fourier, que passa a ser uma vari´avel cont´ınua; ou seja, uma fun¸c˜ao no plano complexo que contem toda a informa¸c˜ao sobre f (x). A este espectro cont´ınuo de Fourier chama-se transformada de Fourier. Assim, existe uma dualidade entre as duas fun¸c˜oes ˜ f (x) ←→ f(k) ,
(C.28)
isto ´e s˜ao duas descri¸c˜oes diferentes do mesmo objecto. A existˆencia de um integral de Fourier para uma fun¸c˜ao ´e garantida se a fun¸c˜ao e a sua transformada de Fourier forem integr´aveis: Teorema da Invers˜ ao de Fourier: Se f (x) for integr´avel e f˜(k) definida em (C.27) tamb´em o for, ent˜ao a representa¸c˜ao de f (x) como um integral de Fourier (C.26) existe.
C.2.1
A f´ ormula de Parseval-Plancherel
Tal como para as s´eries de Fourier ´e de esperar que do espectro de Fourier, que neste caso ´e a transformada de Fourier, se possa deduzir a norma da fun¸c˜ao. A f´ormula an´aloga `a f´ormula de Bessel-Parseval,(C.21), ´e chamada f´ormula de Parseval-Plancherel (por vezes tamb´em denominada teorema de Fourier-Plancherel): Z +∞ Z +∞ 2 ˜ 2 dk . |f (x)| dx = |f(k)| −∞
(C.29)
−∞
Exemplo A1: Consideremos a fun¸c˜ao 1 se |x| < a f (x) = 0 se |x| > a
,
a>0
(C.30)
C.2 Integrais de Fourier e Transformadas de Fourier cuja transformada de Fourier ´e r Z +∞ Z a 2 sin ka 1 1 . f˜(k) ≡ √ f (x)e−ikx dx = √ e−ikx dx = π k 2π −∞ 2π −a
473
(C.31)
Para verificarmos a f´ormula de Parseval-Plancherel temos de calcular tanto a norma de f (x) como a norma de f˜(k) no espa¸co de Fourier. A primeira ´e elementar Z +∞ |f (x)|2 dx = 2a .
(C.32)
−∞
A segunda fica
Z 2 +∞ sin2 (ka) 2 ˜ dk . (C.33) |f (k)| dk = π −∞ k2 −∞ A fun¸c˜ao sin2 x/x2 (tal como sinx/x) n˜ao tem uma primitiva que se possa escrever como Z
+∞
um n´ umero finito de fun¸c˜oes elementares. Mas utilizando o teorema dos res´ıduos em an´alise complexa mostra-se que
+∞
sin2 x dx = π , (C.34) x2 −∞ resultado com o qual se prova que (C.33) ´e igual a (C.32). De outro ponto de vista, usando Z
o teorema de Parseval-Plancherel fornece um m´etodo alternativo aos m´etodos complexos de calcular o integral (C.34). Exemplo A2: Consideremos a fun¸c˜ao Gaussiana f (x) = e−x
2 /2a2
,
cuja transformada de Fourier ´e Z +∞ −k 2 a2 /2 Z +∞ 1 e 2 2 2 −ikx ˜ ≡√ f(k) f (x)e dx = √ e−(x+ika ) /2a dx , 2π −∞ 2π −∞ ou, usando o resultado b´asico em integra¸c˜ao de Gaussianas r Z +∞ π −αx2 , α>0, e dx = α −∞
(C.35)
(C.36)
(C.37)
obtemos 2 2 f˜(k) = ae−k a /2 .
(C.38)
O resultado a reter ´e que a transformada de Fourier de uma Gaussiana ´e ainda uma Gaussiana. Mas note que tanto o coeficiente como o expoente se alteram. Usando (C.37) ´e muito f´acil verificar a f´ormula de Parseval-Plancherel neste caso.
474
C.2.2
An´ alise de Fourier
Quantidades estat´ısticas e a rela¸c˜ ao de incerteza
Em estat´ıstica define-se a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de probabilidade ou densidade de probabilidade, P(x), de uma vari´avel aleat´oria, x, definida no intervalo [a, b], como sendo uma distribui¸c˜ao que obedece a Z
P(x) > 0 ,
b
a
P(x)dx = 1 .
(C.39)
xP(x)dx ;
(C.40)
Definem-se tamb´em • Valor esperado de x, ou valor m´edio de x hxi ≡
Z
b a
• Analogamente, para uma fun¸c˜ao de x, h(x), define-se o valor esperado de h(x) hh(x)i ≡
Z
b
h(x)P(x)dx ;
(C.41)
a
• A variˆancia ou dispers˜ao ´e definida como 2
Z
b
σx ≡ h(x − hxi) i = (x − hxi)2 P(x)dx a ; Z b 2 2 2 2 = (x − 2xhxi + hxi )P(x)dx = hx i − hxi
(C.42)
a
• O desvio padr˜ao de x ´e ∆x =
√
σx .
(C.43)
Como a mecˆanica quˆantica fornece uma descri¸c˜ao probabil´ıstica dos fen´omenos f´ısicos ´e natural usar esta terminologia estat´ıstica. Mais concretamente, a entidade fundamental em mecˆanica quˆantica, a fun¸c˜ao de onda Ψ(x) - uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Schr¨odinger-, ´e uma amplitude de probabilidade, em geral uma fun¸c˜ao complexa. A densidade de probabilidade ´e P(x) =
Ψ(x)Ψ(x)∗ , kΨk2
(C.44)
C.2 Integrais de Fourier e Transformadas de Fourier
475
onde ”∗”denota conjuga¸c˜ao complexa, que claramente obedece a (C.39). O que a teoria quˆantica produz para um dado sistema f´ısico s˜ao os ‘valores esperados’ das vari´aveis f´ısicas em jogo. O famoso pr´ıncipio da incerteza de Heisenberg, um dos pilares da mecˆanica quˆantica, n˜ao ´e mais do que um exemplo da seguinte propriedade das transformadas de Fourier: Rela¸c˜ ao de incerteza: Seja x uma vari´avel aleat´oria definida em R, cuja distribui¸c˜ ao ´e descrita por uma ‘fun¸c˜ao de onda’ Ψ(x) e pela densidade de probabilidade associada P(x).
˜ Seja ∆x o desvio padr˜ao de x associado a esta distribui¸c˜ao. Por outro lado seja Ψ(k) a transformada de Fourier de Ψ(x). Associemos a esta fun¸c˜ao de onda no espa¸co de Fourier uma densidade de probabilidade Pk (k). Seja ∆k o desvio padr˜ao de k associado a esta
´ uma propriedade das transformadas de Fourier (em uma dimens˜ao) que distribui¸c˜ao. E ∆x∆k ≥
1 . 2
(C.45)
O significado desta rela¸c˜ao de incerteza ´e claro quando comparamos a forma de uma Gaussiana (C.35) com a sua transformada de Fourier (C.38). Uma fun¸c˜ao de onda Gaussiana normalizada pode-se escrever 2
2
e−x /4(∆x) Ψ(x) = p√ , 2π∆x
(C.46)
onde ∆x ´e o desvio padr˜ao de x associado `a respectiva densidade de probabilidade |Ψ(x)|2 . De (C.35) e (C.38) lˆemos que √ √ ∆x = a/ 2 , ∆k = 1/ 2a , ⇒
∆x∆k =
1 . 2
(C.47)
Variando ‘a’ podemos fazer ∆x ou ∆k t˜ao pequeno quanto queiramos; isto ´e, podemos localizar a vari´avel aleat´oria perto do valor m´edio com uma probabilidade t˜ao pr´oxima da unidade quanto desejado. Mas ao localizarmos x, por exemplo, aumentamos necessariamente a dispers˜ao em k. Como discutido no cap´ıtulo 2, fen´omenos microsc´opicos exibem caracter´ısticas quer corpusculares quer ondulat´orias, mas n˜ao ambas simultaneamente - dualidade onda part´ıcula e complementaridade. Esta realidade ´e incorporado no formalismo
476
An´ alise de Fourier
da mecˆanica quˆantica descrevendo vari´aveis can´onicas conjugadas - posi¸c˜ao e momento por exemplo - como transformadas de Fourier uma da outra. Deste modo a incerteza associada `a complementaridade ´e descrita pela existˆencia de um limite inferior do produto de desvios padr˜ao de transformadas de Fourier.
Bibliografia
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478 [10] Paul A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics Oxford Science Publications, Fourth Edition, 1958.
