Notas Mecánica Analítica - Carlos Quimbay

´ NOTAS DE MECANICA ANALÍTICA

Carlos Quimbay Universidad Nacional de Colombia Departamento de F´ısica

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Índice general 0. Introducci´ on 0.1. Sistemas de referencia . . . . . . . . . . . . 0.2. Cambio de sistemas de coordenadas . . . . 0.3. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.4. Aceleraci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.5. Velocidad angular y aceleraci´ on angular . . 0.5.1. Rotaciones infinitesimales y el vector

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . velocidad angular

1. Formulaci´ on Newtoniana de la mec´ anica cl´ asica 1.1. Aspectos b´ asicos de cinem´ atica . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Notaci´ on vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Sistemas de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. Vector posici´ on y cambio de sistema de coordenadas 1.1.4. Vector velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5. Vector aceleraci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.6. Velocidad angular y aceleraci´ on angular . . . . . . . 1.1.7. Rotaci´ on infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Leyes de movimiento de Newton . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Primera ley de movimiento (ley de la inercia) . . . . 1.2.2. Segunda ley de movimiento (ley de fuerza) . . . . . 1.2.3. Tercera ley de movimiento (ley de acci´ on y reacci´ on) 1.3. Movimiento rotacional: leyes de Newton rotacionales . . . . 1.4. Trabajo y energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Fuerza conservativa y energ´ıa potencial . . . . . . . . . . . . 1.6. Conservaci´ on del momento lineal y del momento angular . .

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1 3 4 6 7 8 9 11 11 12 13 14 15 17 18 19 20 20 20 21 21 22 24 27

2. Formulaci´ on Lagrangiana de la mec´ anica cl´ asica 29 2.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2. Grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 i

ii

ÍNDICE GENERAL

2.3. Conjunto propio de coordenadas generalizadas . . . . . 2.3.1. Coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . 2.4. Espacio de configuraci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Ligaduras holon´ omicas . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2. Ligaduras no-holon´ omicas . . . . . . . . . . . . . 2.5.3. Ligaduras escleron´ omicas . . . . . . . . . . . . . 2.5.4. Ligaduras reon´ omicas . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Principio de D’Alembert y ecuaciones de Lagrange . . . 2.6.1. Desplazamiento virtual . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2. Trabajo virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3. Principio de trabajo virtual . . . . . . . . . . . . 2.6.4. Formulaci´ on equivalente del principio de trabajo virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.5. Fuerzas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.6. Principio de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . 2.6.7. Ecuaciones de Lagrange a partir del principio de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Energ´ıa cinética en coordenadas generalizadas . . . . . . 2.8. Momento generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9. Coordenada generalizada c´ıclica o ignorable . . . . . . .

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33 33 37 37 38 41 44 45 46 47 48 49

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53 54 58

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59 64 67 80

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3. Principio variacional de Hamilton y ecuaciones de EulerLagrange 85 3.1. Principio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.3. Algunos antecedentes hist´ oricos del principio de Hamilton . . 91 3.4. Funci´ on de disipaci´ on de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.4.1. Fuerzas de fricci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.5. Integrales de movimiento y leyes de conservaci´ on . . . . . . . 98 3.6. Homogeneidad del espacio y conservaci´ on del momento lineal 99 3.7. Isotrop´ıa del espacio y conservaci´ on del momento angular . . 102 3.8. Homogeneidad del tiempo y conservaci´ on de la energ´ıa . . . . 105 3.9. Invariancia de las ecuaciones de Euler Lagrange . . . . . . . . 113 4. Fuerzas no conservativas y m´ etodo de los multiplicadores de Lagrange 117 4.1. Fuerzas dependientes de las velocidades . . . . . . . . . . . . 117 4.1.1. Part´ıcula cargada en presencia de un campo electromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

ÍNDICE GENERAL

4.2. Fuerzas impulsivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Principio de impulso y momento lineal . . . . . . . . . 4.2.2. Obtenci´ on del principio de impulso y momento lineal en el formalismo Lagrangiano . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Método de los multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . 4.3.1. Para sistemas no-holon´ omicos . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2. Para sistemas holon´ omicos . . . . . . . . . . . . . . .

iii 120 121 122 125 127 130

5. Movimiento bajo una fuerza central 145 5.1. El problema de los dos cuerpos y masa reducida . . . . . . . 145 5.2. Propiedades del movimiento bajo una fuerza central . . . . . 153 5.2.1. Movimiento confinado a un plano . . . . . . . . . . . . 155 5.2.2. El momento angular una constante de movimiento . . 158 5.2.3. Ley de a´reas iguales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 5.2.4. Energ´ıa una constante de movimiento . . . . . . . . . 160 5.3. Potencial efectivo y clasificaci´ on de o´rbitas . . . . . . . . . . . 163 k Movimiento en un campo de fuerza F (r) = − 2 . . . 165 r 5.4. Soluci´ on general al problema del movimiento en un campo de fuerza central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 5.4.1. Método de la energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 5.4.2. Método lagrangiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5.5. Ley del inverso del cuadrado de la distancia . . . . . . . . . . 174 5.6. Leyes de Kepler del movimiento planetario . . . . . . . . . . . 181 6. Formulaci´ on hamiltoniana 185 6.1. Hamiltoniano de un sistema din´ amico . . . . . . . . . . . . . 185 6.2. Espacio de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 6.3. Transformaci´ on de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 6.4. Ecuaciones can´ onicas de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . 192 6.4.1. Ecuaciones de Hamilton a partir de las ecuaciones de Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 6.5. Coordenadas c´ıclicas y teoremas de conservaci´ on . . . . . . . 196 6.6. Notaci´ on simpléctica de las ecuaciones de Hamilton . . . . . . 199 6.7. Propiedades del hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 6.8. Integral jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 6.9. Método de Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 6.10. Ecuaciones de Hamilton a partir de principio variacional . . . 215 6.11. Principio de m´ınima acci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

iv

ÍNDICE GENERAL

7. Transformaciones can´ onicas 225 7.1. Transformaciones can´ onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 7.2. Corchetes de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 7.2.1. Ecuaciones de movimiento en forma de corchetes de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 7.2.2. Corchetes de Poisson e integrales de movimiento . . . 235 7.2.3. Invariancia de los corchetes de Poisson . . . . . . . . . 236 7.3. Transformaci´ on can´ onica infinitesimal . . . . . . . . . . . . . 237 7.4. Ecuaci´ on de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 8. Teor´ıa de Hamilton-Jacobi 8.1. Funci´ on caracter´ıstica de Hamilton 8.2. Sistema con coordenadas c´ıclicas . 8.2.1. Sistema no-conservativo . . 8.3. Sistema conservativo . . . . . . . .

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253 . 256 . 265 . 265 . 266

9. Variables angulares y de acci´ on para sistemas peri´ odicos 271 9.1. Sistemas con un grado de libertad . . . . . . . . . . . . . . . 271 9.2. Variables angulares y de acci´ on para sistemas multi-peri´ odicos 280 9.2.1. Sistemas con n grados de libertad: completamente separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 9.2.2. Caso oscilatorio (“de libraci´ on”) . . . . . . . . . . . . 284 9.2.3. Caso rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 ´ 9.3. Atomo de hidr´ ogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 ´ 9.4. Atomo de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 9.5. Lagrangiano y hamiltoniano del a´tomo de hidr´ ogeno . . . . . 301 10.Mec´ anica anal´ıtica relativista 303 10.1. Din´ amica relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 11.El oscilador amortiguado 12.Oscilaciones no-lineales 12.1. Diagramas de energ´ıa-fase: an´ alisis cualitativo . 12.1.1. Diagramas de energ´ıa . . . . . . . . . . 12.1.2. Diagramas de fase . . . . . . . . . . . . 12.2. Integrales el´ıpticas y oscilaciones no-lineales . . 12.3. Oscilaciones ca´ oticas . . . . . . . . . . . . . . . 12.4. Oscilaciones acopladas y coordenadas normales 12.5. Osciladores acoplados y modos normales . . . .

309

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317 . 320 . 321 . 323 . 325 . 329 . 333 . 337

Índice de figuras 1. 2. 3. 4.

Sistema de coordenadas cartesianas indicando los vectores unitarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vector r(t) de posici´ on de una part´ıcula en un sistema de coordenadas cartesianas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cambio de coordenadas por rotaci´ on. . . . . . . . . . . . . . . Cambio del vector de posici´ on de una part´ıcula con el tiempo. La l´ınea tangente a r indica la direcci´ on del vector v. . . . .

1.1. Sistema de coordenadas cartesianas indicando los vectores unitarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Vector r(t) de posici´ on de una part´ıcula en movimiento en un sistema de coordenadas cartesianas. . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Cambio de coordenadas por rotaci´ on. . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Cambio del vector de posici´ on de una part´ıcula con el tiempo. La l´ınea tangente a la trayectoria en el punto P indica la direcci´ on del vector v. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. La fuerza realizada por la part´ıcula 1 sobre la part´ıcula 2 (F21 ) es igual en magnitud pero de sentido contrario a la fuerza realizada por la part´ıcula 2 sobre la part´ıcula 1 (F12 ). 1.6. Una part´ıcula es desplazada del punto A al punto B a lo largo de un camino arbitrario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Torque actuando a través de un ańgulo dθ. . . . . . . . . . . 1.8. Diferentes caminos para ir de (0, 0, 0) a (1, 1, 1) . . . . . . . . 2.1. Sistema de N part´ıculas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Sistema de tres part´ıculas conectadas por tres varillas r´ıgidas. 2.3. Localizaci´ on del tri´ angulo en términos de las tres coordenadas cartesianas de un punto sobre éste y los tres ańgulos de Euler. 2.4. Part´ıcula restringida a moverse en un camino circular. . . . . v

2 3 4 6 12 13 14

16

21 23 24 25 30 32 33 36

vi

ÍNDICE DE FIGURAS

2.5. Espacio de configuraci´ on de un sistema de dos dimensiones. . 2.6. Dos part´ıculas conectadas por una varilla de longitud l. . . . 2.7. Espacio de configuraci´ on para un sistema de dos part´ıculas unidas por una varilla de longitud l. . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Disco de radio a rotando sobre una superficie sin deslizarse. . 2.9. Péndulo de longitud b inextensible. . . . . . . . . . . . . . . . 2.10. Péndulo de longitud b variable en el tiempo. . . . . . . . . . . 2.11. Part´ıcula que se mueve sobre un alambre r´ıgido que est´ a rotando uniformemente alrededor de uno de sus ejes fijos. . . . . . 2.12. Dos part´ıculas conectadas por una varilla r´ıgida sin masa. . . 2.13. Cuerpo desliz´ andose sobre una superficie S. . . . . . . . . . . 2.14. Disco rodando sin deslizarse sobre una superficie plana. . . . 2.15. Sistema de part´ıculas en reposo relativo. . . . . . . . . . . . . 2.16. Barra de masa uniforme recostada contra una pared. . . . . . 2.17. Part´ıcula simple moviéndose libremente en una dimensi´ on. . . 2.18. Péndulo simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.19. Masa de Hook. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.20. Masa de Hook sujeta a una fuerza senosoidal. . . . . . . . . . 2.21. Part´ıcula moviéndose en el plano xy sujeta a una fuerza atractiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.22. M´ aquina de Atwood. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.23. Plano inclinado desliz´ andose sobre una superficie horizontal y part´ıcula desliz´ andose sobre la superficie inclinada. . . . . . 3.1. Diferentes trayectorias en el espacio de configuraci´ on del sistema que conectan la configuraci´ on q1 en t1 con la configuraci´ on q2 en t2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Un sistema cerrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Desplazamiento del sistema de coordenadas en una cantidad δr. Esto es equivalente a desplazar cada part´ıcula del sistema en una cantidad δr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Rotaci´ on en el espacio δθ de un sistema. . . . . . . . . . . . . 3.5. Anillo de masa m desliz´ andose sobre un alambre circular de radio a que rota alrededor del punto O con una velocidad angular ω. 3.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Péndulo esférico de longitud ell y masas m del ejemplo 3.3. .

37 39 41 42 45 45 46 50 51 52 53 55 68 69 71 72 73 76 78

86 98

100 103

109 111

4.1. Part´ıcula moviéndose sobre un hemisferio. . . . . . . . . . . . 131

ÍNDICE DE FIGURAS

4.2. Bloque de masa M desliz´ andose sobre una superficie horizontal y bloque de masa m desliz´ andose sobre la superficie inclinada del primer bloque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Coordenada generalizada x3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Componentes de la velocidad v. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Aro rodando sin deslizarse sobre una superficie inclinada. . . 5.1. Sistema conservativo de dos part´ıculas interactuantes de masas m1 y m2 , cuyas posiciones est´ an descritas por los vectores r 1 y r2 , respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Sistema de la figura 5.1, ahora descrito por el vector posici´ on del centro de masa R y el vector separaci´ on entre las dos part´ıculas r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Posiciones de las part´ıculas de masas m1 y m2 referidas al centro de masa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Trayectorias de las dos part´ıculas. . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Movimiento descrito por r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. Centro de masa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7. Fuerza sobre µ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8. Movimiento de la part´ıcula de masa µ confinado a un plano. . 5.9. Coordenadas polares (r, θ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10. Ilustraci´ on de la segunda ley de Kepler. Bajo la acci´ on de una fuerza central como en el caso de un planeta describiendo una o´rbita alrededor del sol, el vector de posici´ on bare a´reas iguales en tiempos iguales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11. Movimiento bajo una fuerza central visto desde 0. . . . . . . 5.12. Potencial efectivo para el ejemplo 5.1. . . . . . . . . . . . . . 5.13. Trayectoria hiperb´ olica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.14. Cuando ∆θ no es una fracci´ on racional de 2π, la trayectoria no se cierra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.15. Clase de o´rbita seg´ un la excentricidad, para fuerza atractiva. 5.16. Dispersi´ on de part´ıculas alfa por n´ ucleos pesados. Geiger y Marsden, 1909. Este es el tipo de o´rbita en el caso de fuerza repulsiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 5.17. Orbitas el´ıpticas de los planetas con el sol en uno de los focos de la elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vii

134 137 138 141

146

147 148 152 153 154 155 156 157

160 163 165 167 169 180

181 182

6.1. Espacio de configuraci´ on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 6.2. Espacio de configuraci´ on formulaci´ on lagrangiana. . . . . . . 188 6.3. Espacio de configuraci´ on formulaci´ on hamiltoniana. . . . . . . 188

viii 6.4. 6.5. 6.6. 6.7. 6.8.

ÍNDICE DE FIGURAS

Espacio de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espacio de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Masa sometida a una fuerza de Hook. . . . . . . . . . . . . . Trayectoria cl´ asica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Camino correcto y variado para una variaci´ on ∆ en el espacio de configuraciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

189 193 205 216 219

7.1. Transformaciones de coordenadas. . . . . . . . . . . . . . . . 226 8.1. Masa sometida a una fuerza de Hook. . . . . . . . . . . . . . 259 8.2. Part´ıcula atra´ıda por una fuerza gravitacional inverso del cuadrado a un punto 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5. 9.6. 9.7. 9.8.

Péndulo simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Movimiento oscilatorio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Movimiento f´ asico posible para todos los valores de θ. . . . . Movimiento de rotaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema masa-resorte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Part´ıcula moviéndose en un campo de fuerza central. . . . . . ´ Atomo de hidr´ ogeno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Niveles de energ´ıa del a´tomo de hidr´ ogeno en el modelo de Bohr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.9. Emisi´ on de un fot´ on con E = hν. . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 9.10. Atomo de Bohr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

272 273 274 274 277 289 296

11.1. Oscilador amortiguado. . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Bajo amortiguamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Energ´ıa del oscilador arm´ onico amortiguado. . . . 11.4. Trayectoria en el caso de amortiguamiento cr´ıtico. 11.5. Trayectoria en el caso de sobre-amortiguamiento. . 11.6. Casos de amortiguamiento. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

297 297 299

. . . . . .

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309 312 313 314 316 316

12.1. Sistema oscilatorio lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2. Sistema amortiguado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3. Sistema de resorte intr´ınsecamente no lineal. . . . . . . . 12.4. Energ´ıa potencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5. Potencial y fuerza restauradora de un sistema no-lineal. 12.6. Trayectoria de fase de un movimiento aperi´ odico. . . . . 12.7. Péndulo simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.8. Trayectorias del péndulo simple en el plano de fase. . . . 12.9. Oscilador de Van der Pol. . . . . . . . . . . . . . . . . .

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317 318 319 321 322 324 326 329 331

ÍNDICE DE FIGURAS

12.10.Oscilador de Van der Pol forzado. . 12.11.Sistema de dos péndulos acoplados. 12.12.Cuerda de extremos fijos. . . . . . 12.13.Cuerda de extremos fijos. . . . . .

. . . .

ix . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

332 333 338 340

x

ÍNDICE DE FIGURAS

Índice de cuadros 5.1. Clases de o´rbitas y su relaci´ on con la excentricidad y el valor de la energ´ıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

xi

xii

ÍNDICE DE CUADROS

Cap´ıtulo 0

Introducci´ on La mec´ anica cl´ asica estudia el movimiento de cuerpos f´ısicos (part´ıculas de Newton) a nivel macrosc´ opico. Sus fundamentos fueron aportados por Newton y Galileo en el siglo 17. La f´ısica esencial de la mec´ anica cl´ asica se encuentra contenida en las tres leyes de movimiento de Newton. La mec´ anica cl´ asica ha sido bien reformulada de diferentes maneras, tales como los formalismos de Lagrange, Hamilton y Hamilton-Jacobi. Estas formulaciones son alternativas pero equivalentes a la mec´ anica newtoniana. El rango de validez de la mec´ anica cl´ asica es el dominio macrosc´ opico, pero a nivel microsc´ opico el papel de la mec´ anica cl´ asica lo asume la mec´ anica cu´ antica. Para fen´ omenos que involucran velocidades cercanas a la velocidad de la luz, la mec´ anica cl´ asica ha sido modificada por la teor´ıa de la relatividad especial. Las din´ amicas hamiltoniana y lagrangiana son el punto de partida de la mec´ anica cu´ antica, mec´ anica estad´ıstica y teor´ıa cuántica de campos. También aspectos del comportamiento no lineal, es decir, el caos y movimiento estocástico, son analizados usando la mec´ anica cl´ asica. El presente cap´ıtulo presenta una serie de conceptos fundamentales, tales como velocidad y aceleraci´ on. La rama de la mec´ anica que describe el movimiento, y que no requiere de un conocimiento de su causa se llama cinem´ atica, mientras que la parte de la mec´ anica que concierne al mecanismo f´ısico que causa el movimiento se llama din´ amica.   Cinem´ atica: Describe el movimiento de los cuerpos   Mec´ anica Din´ amica: Estudia el mecanismo f´ısico que    causa el movimiento de los cuerpos 1

2

´ CAPÍTULO 0. INTRODUCCION

Los conceptos m´ as b´ asicos para el estudio del movimiento son los de espacio y tiempo. En la mec´ anica cl´ asica estos conceptos son absolutos. Se asume que la escala de tiempo es universal en el sentido de que los observadores quienes han sincronizado sus relojes siempre coincidir´ an en el tiempo de cualquier evento y que la geometr´ıa del espacio es euclidiana. Espacio: Euclidiano (plano) y absoluto. Tiempo: Absoluto. Part´ıcula newtoniana: Cuerpo cl´ asico. Un cuerpo tiene masa y extensi´ on, mientras que una part´ıcula es un cuerpo cuyas dimensiones pueden ser despreciadas en la descripción de su movimiento. As´ı, una part´ıcula posee masa sin tener extensi´ on f´ısica. Se introducir´ a una notaci´ on vectorial que no se refiere expl´ıcitamente a un sistema de coordenadas particular. Una cantidad vectorial se denotar´ a por A, mientras que su magnitud | A | por A. x3 P (x1 , x2 , x3 ) A

b e1

b e3

x1

x3 b e2

x2 x2

x1 Figura 1. Sistema de coordenadas cartesianas indicando los vectores unitarios.

Un vector unitario en la direcci´ on del vector A se denota por la correspondiente letra con un acento circunflejo (gorro) sobre ella: b= A A A

3

0.1. SISTEMAS DE REFERENCIA

Un vector puede especificarse por sus componentes y los vectores unitarios a lo largo de los ejes. En el sistema de coordenadas cartesianas un vector arbitrario A puede expresarse como A = A1 b e1 + A2 b e2 + A3 b e3 =

3 X i=1

Ai b ei

donde b ei (i = 1,2,3) son vectores unitarios a lo largo de los ejes rectangulares xi (x1 = x, x2 = y, x3 = z en la figura 1.1). Otra forma de expresar el vector A es: A = (Ax , Ay , Az ) Los productos escalar y vectorial de dos vectores A y B se escriben respectivamente como A · B y A × B.

0.1.

Sistemas de referencia x3

t0 P0 (x01 , x02 , x03 )

r0

b e1

b e3

P (x1 , x2 , x3 )

r(t) b e2

x2

x1 Figura 2. Vector r(t) de posici´ on de una part´ıcula en un sistema de coordenadas cartesianas.

Para describir el movimiento de un cuerpo es necesario especificar su posici´ on en el espacio como funci´ on del tiempo. Nos ayudamos al hacer uso de un cuerpo o grupo de cuerpos como un sistema de referencia, relativo al cual el movimiento del cuerpo puede ser medido. En mec´ anica se usa un sistema

4


de coordenadas como sistema de referencia. El tipo b´ asico es el sistema de coordenadas cartesiano o rectangular. Seg´ un la figura 1.2, el vector r que da la posici´ on de una part´ıcula est´ a dado por: r = x1 (t)b e1 + x2 (t)b e2 + x3 (t)b e3 =

3 X

xi (t)b ei

i=1

En problemas con simetr´ıas particulares, es conveniente usar coordenadas no rectangulares. En el caso de simetr´ıa axial o esférica, es adecuado usar coordenadas cil´ındricas o polares esféricas respectivamente. Un sistema de referencia puede escogerse arbitrariamente en un n´ umero infinito de formas y la descripci´ on del movimiento en diferentes marcos ser´ a, en general, diferente. Hay marcos de referencia relativos a aquellos cuerpos que no interact´ uan con otros cuerpos y se mueven uniformemente en una l´ınea recta. Sistemas de referencia que no interact´ uan con otros cuerpos y que se mueven en l´ınea recta se llaman sistemas inerciales de referencia. Cualquier objeto moviéndose a velocidad constante respecto a un sistema inercial también es un sistema inercial.

0.2.

Cambio de sistemas de coordenadas x3

x3′ bP

r = r′ x1′

x2 x2′

x1 Figura 3. Cambio de coordenadas por rotaci´ on.

0.2. CAMBIO DE SISTEMAS DE COORDENADAS

5

La transformaci´ on ortogonal est´ a dada por:

y

e1 + x2 b e2 + x3 b e3 = r = x1 b ′

′

′

′

′

′

r = x1 b e1 + x2 b e2 + x3 b e3 =

3 X i=1

3 X i=1

ei xi b

(1)

xi′ b ei′

(2)

b1′ y usando la relaci´ on Tomando el producto escalar de (1.2) con e ( 0 i= 6 j ′ ′ b ei · b ej = δij 1 i=j

donde δij es el delta de Kronecker, se obtiene:

b2′ y e b3′ : Haciendo lo mismo con e

x1′ = r · b e1′ x2′ = r · b e2′ x3′ = r · b e3′

Combinando esto con la ecuaci´ on (1.1):

es decir: xi′ =

3 X j=1

=

3 X j=1

=

3 X

xi′ = r · b ei′ xj b ei′ ej · b b ei′ · b ej xj λij xj

(i = 1,2,3)

j=1

bi′ · b Las cantidades e ej = λij son los coeficientes de la transformaci´ on. b ei′ · b ej = λij = cos(xi′ , xj )

(i, j = 1, 2, 3)

6

0.3.


Velocidad x3 P

∆r r(t) r(t + ∆t) = r + ∆r b e3 b e1

b e2

x2

x1 Figura 4. Cambio del vector de posici´ on de una part´ıcula con el tiempo. La l´ınea tangente a r indica la dirección del vector v.

La posici´ on del vector r de una part´ıcula moviéndose y que cambia P con el tiempo se muestra en la figura 1.4. El vector velocidad de la part´ıcula se define como: dr ∆r v(t) = = l´ım ∆t→0 ∆t dt v(t) = l´ım

∆t→0

r(t + ∆t) − r(t) ∆t

y es un vector tangente a la trayectoria o camino de la part´ıcula, como se observa en la figura 1.4. v = vb et siendo

Si

b et =

v v

e2 + z(t)b e3 r = r(t) = x(t)b e1 + y(t)b

7

´ 0.4. ACELERACION

entonces v=

dr dx dy dz =b e1 +b e2 +b e3 dt dt dt dt

y la magnitud de la velocidad es r

dx 2 dt

v = |v | =

0.4.

+

dy dt

2

+

dz 2 dt

=

ds dt

Aceleraci´ on ∆v dv d2 r = = 2 ∆t→0 ∆t dt dt

a = l´ım

(3)

La velocidad puede variar en magnitud y direcci´ on, por tanto el vector aceleraci´ on tiene dos componentes, una paralela a la velocidad y otra perpendicular. Para determinar estas velocidades, se escribe v = vb et en (1.3) a= donde se ha definido

d(vb et ) dv db et db et b = et + v = at b et + v dt dt dt dt at = | at | =

dv dt

Ya que b et es un vector constante de magnitud uno b et · b et = 1

entonces

et ) d(b et · b =0 dt

de donde

b et ·

db et db et + ·b et = 0 dt dt 2b et ·

db et =0 dt

(4)

8


luego b et ⊥

Por lo tanto

db et dt

db db e⊥ db et ds db et et = =v = v dt ds dt ds dt

b en

e⊥ donde b en es un vector normal al camino de movimiento y dbdt la magnitud de

db et dt ,

es la curvatura del camino de movimiento. El segundo término de (1.4) es un vector normal al camino de movimiento y est´ a siempre apuntando al centro de curvatura sobre el lado c´ oncavo del camino de movimiento. La componente normal es llamada la aceleraci´ on centr´ıpeta an = v 2 /ρ. La aceleraci´ on en términos de an y at es: a = at b et + an b en 2 = vb ˙ et + vρ b en

siendo v˙ =

0.5.

dv dt

Velocidad angular y aceleraci´ on angular

Las cantidades b´ asicas del movimiento lineal son desplazamientos, velocidad y aceleraci´ on Mov. lineal

→

Mov, de rotaci´ on

desplazamiento

→

desplazamiento angular

velocidad aceleraci´ on

→ →

velocidad angular aceleraci´ on angular

El desplazamiento angular θ puede ser medido en grados pero es m´ as adecuado usar radianes. s θ= r

´ ANGULAR 0.5. VELOCIDAD ANGULAR Y ACELERACION

9

donde s es la longitud de arco de la circunferencia, y r el radio de la misma ∆θ ω = l´ım ∆t→0 ∆t

es la velocidad angular, y

es la aceleraci´ on angular

0.5.1.

dθ = dt

∆ω α = l´ım ∆t→0 ∆t

dω = dt

Rotaciones infinitesimales y el vector velocidad angular

La rotaci´ on infinitesimal es una transformaci´ on ortogonal infinitesimal 3 X

′

xi = xi +

ǫij xj

j=1

xi′ =

3 X (δij + ǫij )xj

(i = 1, 2, 3)

j=1

x ′ = (I + ǫ)x 

1 0 0



   I = [δij ] =  0 1 0   0 0 1 

ǫ11 ǫ12 ǫ13



   ǫ = [ǫij ] =  ǫ21 ǫ22 ǫ23  ǫ31 ǫ32 ǫ33

10


Cap´ıtulo 1

Formulaci´ on Newtoniana de la mec´ anica cl´ asica La rama de la mec´ anica cl´ asica que describe el movimiento de los cuerpos, sin hacer alusi´ on alguna a su causa, se llama cinem´ atica, mientras que la parte de la mec´ anica que estudia la causa u origen del movimiento se llama din´ amica. En este capitulo se presenta una versi´ on resumida de la formulaci´ on Newtoniana de la mec´ anica cl´ asica. Primero se presentan algunos aspectos b´ asicos de la cinem´ atica y posteriormente se presentan algunos de la din´ amica.

1.1.

Aspectos b´ asicos de cinem´ atica

Los conceptos m´ as b´ asicos para el estudio del movimiento de una part´ıcula Newtoniana son los de espacio y tiempo. En la mec´ anica cl´ asica estos conceptos son absolutos. Se asume que la escala de tiempo es universal en el sentido de que diferentes observadores, quienes han sincronizado sus relojes, siempre coincidir´ an en la medición del tiempo de cualquier evento y que la geometr´ıa del espacio es euclidiana. Se sabe que un cuerpo cl´ asico tiene masa y extensi´ on, mientras que una part´ıcula Newtoniana es un cuerpo cl´ asico cuyas dimensiones pueden ser despreciadas en la descripci´ on de su movimiento. As´ı, una part´ıcula Newtoniana, a la que nos referiremos simplemente como part´ıcula, posee masa sin tener extensi´ on f´ısica. 11

12

1.1.1.

´ n Newtoniana de la meca ´ nica cla ´ sica CAPÍTULO 1. Formulacio

Notaci´ on vectorial

Se introduce una notaci´ on vectorial que no se refiere expl´ıcitamente a un sistema de coordenadas particular. Una cantidad vectorial se denotar´ a por A, mientras que su magnitud | A | por A. x3 P (x1 , x2 , x3 ) A

b e1

b e3

x1

x3 b e2

x2 x2

x1 Figura 1.1. Sistema de coordenadas cartesianas indicando los vectores unitarios.

Un vector unitario en la direcci´ on del vector A se denota por la correspondiente letra con un acento circunflejo (gorro) sobre ella: b= A A A

Un vector puede especificarse por sus componentes y los vectores unitarios a lo largo de los ejes. En el sistema de coordenadas cartesianas un vector arbitrario A puede expresarse como A = A1 b e1 + A2 b e2 + A3 b e3 =

3 X i=1

Ai b ei

donde b ei (i = 1,2,3) son vectores unitarios a lo largo de los ejes rectangulares xi (x1 = x, x2 = y, x3 = z en la figura 1.1). Otra forma de expresar el vector A es: A = (Ax , Ay , Az ) Los productos escalar y vectorial de dos vectores A y B se escriben respectivamente como A · B y A × B.

´ ´ 1.1. ASPECTOS BASICOS DE CINEMATICA

1.1.2.

13

Sistemas de referencia

Para describir el movimiento de ua part´ıcula es necesario especificar su posici´ on en el espacio como funci´ on del tiempo. Para esto, nos ayudamos al usar un cuerpo, o grupo de cuerpos, como un sistema de referencia relativo al cual el movimiento de la part´ıcula puede ser descrito. En mec´ anica se usa un sistema de coordenadas como sistema de referencia. El tipo b´ asico es el sistema de coordenadas cartesiano o rectangular. Seg´ un la figura 1.2, el vector r que da la posici´ on de una part´ıcula est´ a dado por: r = x1 (t)b e1 + x2 (t)b e2 + x3 (t)b e3 =

3 X

xi (t)b ei

i=1

En problemas con simetr´ıas particulares, es conveniente usar coordenadas no rectangulares. En el caso de simetr´ıa axial o esférica, es adecuado usar coordenadas cil´ındricas o polares esféricas respectivamente. x3

P0 (x01 , x02 , x03 ) t0 P (x1 , x2 , x3 )

r0

b e1

b e3

r(t) b e2

x2

x1 Figura 1.2. Vector r(t) de posici´ on de una part´ıcula en movimiento en un sistema de coordenadas cartesianas.

Un sistema de referencia puede escogerse arbitrariamente de muchas formas y la descripci´ on del movimiento en cada uno de los sistemas de referencia ser´ a, en general, diferente. Existen sistemas de referencia definidos a partir de cuerpos que no interact´ uan con otros cuerpos y que se mueven uniformemente en una l´ınea recta. Sistemas de referencia que no interact´ uan con otros cuerpos y que se mueven en l´ınea recta se llaman sistemas inerciales de referencia. Cualquier

14


objeto moviéndose a velocidad constante respecto a un sistema inercial de referencia también es un sistema inercial.

1.1.3.

Vector posici´ on y cambio de sistema de coordenadas

En la figura 1.3, el punto P representa la posici´ on de una part´ıcula en un instante de tiempo dado. Respecto al sistema de referencia O, la posici´ on de la part´ıcula se puede representar mediante el vector posici´ on r, mientras que en el sistema de referencia rotado O ′ , teniendo el mismo punto de origen que el sistema de referencia O, la posici´ on de la part´ıcula queda representada a través del vector posici´ on r ′ . Teniendo en cuenta que los vectores posici´ on de la part´ıcula en el punto P est´ an dados por r = x1 b e1 + x2 b e2 + x3 b e3 =

y

′

′

′

′

′

′

r = x1 b e1 + x2 b e2 + x3 b e3 = x3

3 X i=1

3 X i=1

xi b ei

(1.1)

xi′ b ei′

(1.2)

x3′ bP

r = r′ x1′

x2 x2′

x1 Figura 1.3. Cambio de coordenadas por rotaci´ on.

entonces, una transformaci´ on ortogonal de coordenadas se realiza como se indica a continuaci´ on. Primero se toma el producto escalar de (1.2) con b e1′


15

y usando la relaci´ on ( 0 b bj = δij = ei · e 1 ′

′

i 6= j i=j

donde δij es el delta de Kronecker, se obtiene: e1′ x1′ = r · b

b3′ , se obtiene: Ahora tomando el producto interior con b e2′ y e x2′ = r · b e2′ x3′ = r · b e3′

Estos tres resultados se pueden escribir genéricamente como: xi′ = r · b ei′

expresi´ on en la que reemplazar r por (1.1), se obtiene que la transformaci´ on ortogonal de coordenadas queda definida por: xi′ =

3 X j=1

=

3 X j=1

=

3 X

xj b ej · b ei′ b ej xj ei′ · b λij xj

(i = 1,2,3)

j=1

bi′ · b Las cantidades e ej = λij son los coeficientes de la transformaci´ on, los cuales satisfacen

1.1.4.

b ei′ · b ej = λij = cos(xi′ , xj )

(i, j = 1, 2, 3)

Vector velocidad

Una part´ıcula describiendo la trayectoria mostrada en la figura 1.4, en el instante de tiempo t se encuentra localizada, mediante el vector posici´ on r, en el punto P . Transcurrido un tiempo ∆t, la part´ıcula ahora se encuentra

16


x3 Q

∆r P

r(t + ∆t) r(t) x2 b e3 x1

b e2

b e1

Figura 1.4. Cambio del vector de posici´ on de una part´ıcula con el tiempo. La l´ınea tangente a la trayectoria en el punto P indica la dirección del vector v.

localizada en el punto Q. El vector velocidad v de la part´ıcula se define como: v(t) = l´ım

∆t→0

r(t + ∆t) − r(t) dr = ∆t dt

y es un vector tangente a la trayectoria de la part´ıcula, como se observa en la figura 1.4. El vector velocidad se puede escribir como v = vb et siendo b et =

Si

v v

r = r(t) = x(t)b e1 + y(t)b e2 + z(t)b e3 entonces v=

dy dz dr dx b b b = e1 + e2 + e3 dt dt dt dt


17

y la magnitud de la velocidad es v = |v | =

1.1.5.

r

dx 2 dt

+

dy dt

2

+

dz 2 dt

=

ds dt

Vector aceleraci´ on

El vector aceleraci´ on a se define como el cambio del vector velocidad v con respecto al tiempo, es decir: ∆v dv d2 r = = 2 ∆t→0 ∆t dt dt

a = l´ım

(1.3)

La velocidad puede variar en magnitud y direcci´ on, por lo cual el vector aceleraci´ on tiene dos componentes, una paralela a la velocidad y otra perpendicular. Para determinar estas aceleraciones, se reemplaza v en (1.3) por v = vb et , de tal forma que a=

dv d(vb et ) db et db et b = et + v = at b et + v dt dt dt dt

donde se ha definido la aceleraci´ on tangencial at como at = | at | =

dv dt

Ya que b et es un vector constante de magnitud uno b et · b et = 1

entonces

d(b et · b et ) =0 dt

de donde

b et ·

db et db et + ·b et = 0 dt dt 2b et ·

db et =0 dt

(1.4)

18


luego b et ⊥

Por lo tanto

db et dt

db db e⊥ db et ds db et et = =v = v dt ds dt ds dt

b en

e⊥ donde b en es un vector normal al camino de movimiento y dbdt la magni-

et tud de db ermino dt , es la curvatura del camino de movimiento. El segundo t´ de (1.4) es un vector normal al camino de movimiento y est´ a siempre apuntando al centro de curvatura sobre el lado c´ oncavo del camino de movimiento. La componente normal es llamada la aceleraci´ on centr´ıpeta an = v 2 /ρ. La aceleraci´ on en términos de an y at se escribe como:

siendo v˙ =

1.1.6.

dv . dt

a = at b et + an b en 2 = vb ˙ et + vρ b en

Velocidad angular y aceleraci´ on angular

Las cantidades b´ asicas del movimiento traslacional son desplazamiento espacial, velocidad traslacional y aceleraci´ on traslacional, mientras que las del movimiento angular son desplazamiento angular, velocidad angular y aceleraci´ on angular. La correspondencia entre los dos tipos de movimiento es:

Mov. traslacional

→

Mov. rotacional

desplazamiento

→

desplazamiento angular

velocidad aceleraci´ on

→

→

velocidad angular aceleraci´ on angular


19

El desplazamiento angular θ, el cual puede ser medido en grados o en radianes, se define como: θ=

s r

donde s es la longitud de arco de la circunferencia, y r el radio de la misma. La velocidad angular ω se define como: ∆θ dθ = ω = l´ım ∆t→0 ∆t dt mientras que la aceleraci´ on angular α queda definida por: ∆ω dω = α = l´ım ∆t→0 ∆t dt

1.1.7.

Rotaci´ on infinitesimal

La rotaci´ on infinitesimal es una transformaci´ on ortogonal infinitesimal, definida como: ′

xi = xi +

3 X

ǫij xj

j=1

xi′ =

3 X (δij + ǫij )xj

(i = 1, 2, 3)

j=1

x ′ = (I + ǫ)x donde la matriz identidad I y la matriz finitesimal ǫ son:  1  I = [δij ] =  0 0 

de transformaci´ on ortogonal in-

0 0



 1 0  0 1

ǫ11 ǫ12 ǫ13



   ǫ = [ǫij ] =  ǫ21 ǫ22 ǫ23  ǫ31 ǫ32 ǫ33

20

1.2. 1.2.1.


Leyes de movimiento de Newton Primera ley de movimiento (ley de la inercia)

El momento lineal p de una part´ıcula es proporcional a su velocidad, de tal forma que: p = m v = cte donde la constante de proporcionalidad es la masa m de la part´ıcula, siendo esta u ´ltima una medida de la inercia de la part´ıcula. Si sobre la part´ıcula no act´ uan agentes externos, entonces la part´ıcula permanecer´ a moviéndose con un momento p constante, describiendo una trayectoria rectil´ınea. Si se tiene un conjunto de part´ıculas aisladas, este sistema tiene asociado un momento lineal total p dado por: X p = p1 + p2 + · · · + pn = pi = cte i

donde pi representa el momento de la part´ıcula i-esima. Si la part´ıcula se mueve con una velocidad relativista, entonces su momento relativista se escribe como m0 v p= p 1 − v 2 /c2 donde m0 es la masa en reposo, es decir, la masa para el caso en que v = 0. El momento relativista de forma equivalente se puede escribir as´ı: p = m(v)v donde la masa relativista m(v) es:

1.2.2.

m(v) = p

m0 1 − v 2 /c2

Segunda ley de movimiento (ley de fuerza)

La tasa de cambio del momento con respecto al tiempo es igual a la fuerza externa F aplicada, de tal forma que la part´ıcula se mueve en la direcci´ on en la que la fuerza act´ ua, es decir

F =

dp dt

1.3. MOVIMIENTO ROTACIONAL: LEYES DE NEWTON ROTACIONALES

21

Si la inercia m de la part´ıcula es constante, entonces la part´ıcula se mueve con una aceleraci´ on a que es proporcional a la fuerza externa: F =

1.2.3.

m dv d2 r(t) = ma = m dt dt2

Tercera ley de movimiento (ley de acci´ on y reacci´ on)

Las fuerzas que dos part´ıculas ejercen la una a la otra son siempre iguales en magnitud y opuestas en direcci´ on (ver figura 1.5), es decir: F 12 = −F 21 Teniendo en cuenta la segunda ley de Newton, la anterior ley implica que: dp1 dp =− 2 dt dt m1

b

dv 1 dv 2 = −m2 dt dt F12

F21

m1

b

m2

Figura 1.5. La fuerza realizada por la part´ıcula 1 sobre la part´ıcula 2 (F21 ) es igual en magnitud pero de sentido contrario a la fuerza realizada por la part´ıcula 2 sobre la part´ıcula 1 (F12 ).

con lo cual se satisface la siguiente relaci´ on entre las masas y las magnitudes de la aceleraciones de las dos part´ıculas: m2 | a1 | = m1 | a2 |

1.3.

Movimiento rotacional: leyes de Newton rotacionales

1. El momento angular L, definido como L = r × p = m r × v, es una constante de movimiento si no act´ uan agentes externos sobre el sistema, es decir: dL =0 dt

22


2. Si sobre un sistema act´ ua un momento de fuerza o torque τ , definido como τ = r × F , entonces el momento angular en el sistema variara con el tiempo de la siguiente manera: dL d d2 r dr dr = (r × p) = r × m 2 + ×m dt dt dt dt dt =r×m

d2 r =r×F =τ dt2

En el caso especifico de una part´ıcula de masa m, describiendo una trayectoria circular de radio r alrededor de un punto 0, sobre la cual act´ ua una fuerza central F , entonces en este caso la velocidad tangencial v es: v = | v | = r θ˙ por lo cual, la magnitud del momento angular es L = | L | = | r × p | = mr 2 θ˙ = I θ˙ = Iω donde se ha definido el momento de inercia I como I = mr 2 . De esta forma el torque sobre la part´ıcula es τ =I

1.4.

dω = Iα dt

Trabajo y energ´ıa

Si en una determinada regi´ on del espacio, una part´ıcula est´ a sujeta a una fuerza en cualquier punto del espacio, se dice que existe un campo de fuerza en dicha regi´ on del espacio. Sup´ ongase que una part´ıcula se encuentra inicialmente en un punto A y es transportada a lo largo de una trayectoria arbitraria a un punto B (figura 1.6). El trabajo dW hecho por la fuerza sobre la part´ıcula al desplazarla un elemento diferencial dr sobre la trayectoria es dW = F · dr. Es f´ acil mostrar que el trabajo hecho sobre la part´ıcula se manifiesta como un incremento de su energ´ıa cinética. Para esto, se toma el producto escalar de los vectores involucrados en la segunda ley con el vector v dt, te tal forma que m v˙ · v dt = F · vdt = F · dr = dW

23

1.4. TRABAJO Y ENERGÍA

campo de fuerza Ab

F

dr

Bb

Figura 1.6. Una part´ıcula es desplazada del punto A al punto B a lo largo de un camino arbitrario.

m v˙ · v dt =

m d(v · v) 2

dt

dt = d

mv 2 2

= dT 2

donde T es la energ´ıa cinética de la part´ıcula, la cual esta dada por T = mv 2 . Cuando el elemento de trabajo dW = F · dr es negativo, lo cual sucede cuando el momento de la part´ıcula posee una direcci´ on opuesta a la de la fuerza, entonces la fuerza act´ ua en contra del movimiento de la part´ıcula y el resultado es una disminuci´ on en la energ´ıa cinética. El trabajo hecho por la fuerza F en un desplazamiento finito de la part´ıcula desde el punto A a un punto B vecino sobre un camino arbitrario esta dado por la integral de linea W =

ZB

dW =

A

ZB

F · dr =

A

ZB

dT = TB − TA

(1.5)

A

El trabajo puede ser escrito en términos de las componentes de la fuerza a lo largo de los ejes de coordenadas.   ! 3 3 3 3 X X X X b b dW =  ej Fj  · ek dxk = Fj dxk δjk = Fj dxj j=1

k=1

k=1

j=1

y

W =

ZB

A

F1 dx1 +

ZB

A

F2 dx2 +

ZB

A

F3 dx3 = W1 + W2 + W3

24


F dθ r

Figura 1.7. Torque actuando a través de un ańgulo dθ.

En el caso de un movimiento rotacional, la acci´ on del torque sobre la part´ıcula es producir un desplazamiento angular infinitesimal dθ (ver figura 1.7), de tal forma que el trabajo realizado es dW = F r dθ = τ dθ por lo cual, el trabajo realizado por el torque para realizar un desplazamiento angular desde θ1 hasta θ2 es: W =

Zθ2

τ dθ

θ1

siendo τ = F r el torque.

1.5.

Fuerza conservativa y energ´ıa potencial

En general, el trabajo hecho por una fuerza sobre una part´ıcula depende de la trayectoria que describa la part´ıcula. Para ejemplificar esta afirmaci´ on, sup´ ongase que sobre una part´ıcula act´ ua la fuerza: e1 + (2y + 3xz) b e2 + (1 + 5xyz 2 ) b e3 F = (3x2 + 6yz) b

El trabajo realizado por la fuerza a lo largo de diferentes trayectorias que vayan de la posici´ on inicial en (0, 0, 0) a la posici´ on final en (1, 1, 1), depende de la trayectoria descrita por la part´ıcula. Para la trayectoria x = y = z el trabajo es: W =

Z1 0

2

(3x + 6yz)dx +

Z1 0

(2y + 3xz)dy +

Z1 0

(1 + 5xy 2 )dz

1.5. FUERZA CONSERVATIVA Y ENERGÍA POTENCIAL

25

z

(1, 1, 1)

y

(0, 0, 0)

x Figura 1.8. Diferentes caminos para ir de (0, 0, 0) a (1, 1, 1)

=

Z1

2

9x dx

0

Z1

2

(2y + 3y )dy +

0

Z1

(1 + 5z 4 )dz

0

= 7 unidades de trabajo mientras que para la trayectoria x2 = y = z se tiene: W =

Z1

2

(3x + 6yz)dx +

0

=

Z1 0

Z1

(2y + 3xz)dy +

0

2

4

(3x + 6x )dx

Z1

(2y + 3y

Z1

(1 + 5xy 2 )dz

0

3/2

)dy +

0

Z1

(1 + 5z 9/2 )dz

0

= 6,3 unidades de trabajo Cuando se considera una fuerza cuyo trabajo sobre una part´ıcula depende de la trayectoria, el principio de trabajo no es usado a menos que la trayectoria descrita por la part´ıcula se conozca. Sin embargo, si F · dr es una diferencial exacta de una cierta funci´ on de la variable de integraci´ on r, o sea, V (r), tal que F · dr = −dV (r)

(1.6)

26


entonces la integral de l´ınea para el trabajo F · dr es independiente del camino de integraci´ on y depende u ńicamente de las posiciones inicial y final de la part´ıcula, es decir W =

ZB

A

F · dr = −

ZB

dV = VA − VB

(1.7)

A

donde VA es la energ´ıa potencial de la part´ıcula en el punto A y VB es la energ´ıa potencial en el punto B. Fuerzas cuyo trabajo es independiente del camino se llaman fuerzas conservativas y el movimiento bajo la acci´ on de estas fuerzas se llama movimiento conservativo. De la ecuaci´ on (1.6) se observa que: F = − grad V (r) = −∇ V (r) es decir la fuerza es el gradiente de cierta funci´ on escalar, donde el gradiente se define como 3

∇=b e1

X ∂ ∂ ∂ ∂ b +b e2 +b e3 = ei ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂xi i=1

Es f´ acil mostrar que el rotacional del gradiente de cualquier funci´ on escalar es cero: e2 b e3 e1 b b ∂ ∂ ∂ ∂2V ∂2V ∇ × (∇V ) = ∂x1 ∂x2 ∂x3 = b e1 ( − ) + ··· = 0 ∂x2 ∂x3 ∂x3 ∂x2 ∂V ∂V ∂V ∂x ∂x ∂x 1 2 3

Por lo tanto

∇×F =0 para una fuerza conservativa. Lo anterior implica que el trabajo realizado por un campo de fuerzas conservativo, alrededor de un camino cerrado l, es cero, es decir: I F · dl = 0

´ DEL MOMENTO LINEAL Y DEL MOMENTO ANGULAR 1.6. CONSERVACION

27

resultado que puede escribirse, mediante el uso del Teorema de Stokes, as´ı Z Z

(∇ × F ) · ds =

I

F · dl

donde s es el vector cuya magnitud es igual a la superficie encerrada por el camino l y su direcci´ on es perpendicular a la superficie. Teniendo en cuenta que para una fuerza conservativa es v´ alido W =

ZB

F · dr = −

A

ZB

dV = VA − VB

A

y que en general

W =

ZB

A

F · dr =

ZB

dT = TB − TA

A

Entonces TB − TA = VA − VB o sea TB + VB = TA + VA Definiendo la energ´ıa mec´ anica total E como E ≡ T +V , entonces el anterior resultado queda escrito como: EB = EA

(1.8)

La ecuaci´ on (1.8) representa el principio de conservaci´ on de la energ´ıa mec´ anica total.

1.6.

Conservaci´ on del momento lineal y del momento angular

Partiendo de la segunda ley de Newton expresada como: F =m

dv dt

(1.9)

28


Integrando la ecuaci´ on (1.9) con respecto al tiempo entre t1 y t2 Zt2

F dt = m

t1

Zt2

t1

dv dt = m dt

Zv2

dv

v1

= mv2 − mv1 = p2 − p1 = ∆p donde ∆p se conoce como el impulso producido por la fuerza F sobre la part´ıcula mientras que ésta act´ ua durante el intervalo de tiempo ∆t. Si el impulso lineal ∆p es cero, o sea F = 0 p2 − p1 = 0 se tiene p = cte y esta es la ley de conservaci´ on del momento lineal. La cantidad an´ aloga al impulso lineal en el movimiento traslacional es el impulso angular en el movimiento rotacional. Partiendo de la segunda ley de Newton rotacional, es decir: dL dt Integrando esta ecuaci´ on respecto al tiempo, entre t1 y t2 , se obtiene τ =

Zt2

t1

τ dt =

Zt2

t1

dL dt = dt

Zt2

dL

t1

= L(t2 ) − L(t1 ) = L2 − L1 = ∆L siendo ∆L el impulso angular. Si ∆L = 0 entonces τ = 0 y por lo tanto se cumple que: L = cte siendo este resultado el denominado principio de conservaci´ on del momento angular.

Cap´ıtulo 2

Formulaci´ on Lagrangiana de la mec´ anica cl´ asica Las leyes de movimiento de Newton describen la mec´ anica de un sistema f´ısico refiriendo el movimiento a un marco (o sistema) inercial de referencia. Si se usan las coordenadas cartesianas y el sistema no esta sujeto a ligaduras externas, las ecuaciones de movimiento se pueden obtener fácilmente. Pero, por el contrario, si existen ligaduras en el sistema, obtener las ecuaciones de movimiento resulta un poco mas complicado. En el caso en que existan ligaduras en el sistema, el procedimiento para la obtenci´ on de las ecuaciones de movimiento se simplifica si se hace uso de las coordenadas generalizadas qi , las cuales se definir´ an m´ as adelante. La introducci´ on de este tipo de coordenadas resulta ventajoso si existen ligaduras en el sistema din´ amico. La existencia de ligaduras en un sistema din´ amico es un hecho que refleja la existencia de restricciones en el movimiento del sistema, trayendo como consecuencia dos dificultades para la descripci´ on mec´ anica del problema. La primera, es que las coordenadas del sistema din´ amico est´ an conectadas por las ecuaciones de las ligaduras, as´ı que ellas no son completamente independientes. Como consecuencia de lo anterior, las ecuaciones de movimiento tampoco son independientes. La segunda, es que las fuerzas de las ligaduras son usualmente muy complejas o no conocidas y por lo tanto no se pueden escribir sus ecuaciones de movimiento. Para estos casos se han desarrollado formulaciones alternativas a la formulaci´ on Newtoniana. Estas formulaciones est´ an basadas en la idea del trabajo y la energ´ıa. Cada formulaci´ on est´ a expresada en términos de coordenadas generalizadas. 29

30

´ n Lagrangiana de la meca ´ nica cla ´ sica CAPÍTULO 2. Formulacio

En este capitulo se presenta una discusi´ on sobre la din´ amica Lagrangiana desarrollada por Joseph Louis Lagrange (1736-1813) y otros.

2.1.

Introducci´ on

Sup´ ongase que se describir´ a el movimiento de un sistema de N part´ıculas respecto a un sistema inercial de referencia. Cada part´ıcula estar´ a localizada por el vector posici´ on r i . Las ecuaciones de movimiento del sistema de N part´ıculas pueden escribirse a partir de la segunda ley de Newton: mi rï = F i + Ri ;

i = 1, 2, . . . , N

donde F i representa la fuerza externa aplicada sobre la part´ıcula i-esima y Ri representa la fuerza de ligadura que mantiene restringido el movimiento de la part´ıcula respecto a las otras. z

ri y

x Figura 2.1. Sistema de N part´ıculas.

Estas ecuaciones de movimiento pueden escribirse en componentes cartesianas como:  mi x ï = Fix + Rix   mi yï = Fiy + Riy i = 1, 2, . . . , N 3N dimensiones   mi zï = Fiy + Riz

Si se hace un cambio en la notaci´ on de las coordenadas cartesianas de la primera part´ıcula escribiéndolas como (x1 , x2 , x3 ), las de la segunda como

2.2. GRADOS DE LIBERTAD

31

(x4 , x5 , x6 ), y as´ı sucesivamente, y teniendo en cuenta que la masa es la misma para las tres componentes espaciales de una part´ıcula, es decir m3k−2 = m3k−1 = m3k entonces las ecuaciones de movimiento pueden escribirse como: mi x ï = Fi + Ri ;

i = 1, 2, . . . , 3N

Para la situaci´ on en que no haya ligaduras, es decir Ri = 0, las componentes de fuerza de Fi se expresan como funciones de la posici´ on, la velocidad y el tiempo. En esta situaci´ on, el sistema de N part´ıculas esta descrito por 3N ecuaciones diferenciales de segundo orden, que en general no son lineales. Aunque estas ecuaciones pueden ser solucionadas, en principio, con el propósito de obtener la posici´ on de cada part´ıcula como funci´ on del tiempo, las ecuaciones no siempre son completamente integrables de forma cerrada. Por lo cual, en general, la soluci´ on de las 3N ecuaciones diferenciales se realiza de forma numérica mediante el el uso de un computador. Si hay m ligaduras actuando sobre el sistema, entonces las fuerzas pueden ser funciones no solo de la posici´ on, velocidad y el tiempo, sino también de m variables adicionales conocidas como multiplicadores de Lagrange. En este caso hay un total de (3N + m) variables para ser obtenidas como funciones del tiempo, usando 3N ecuaciones diferenciales de movimiento y m ecuaciones de ligadura. Lo anterior significa que al escribir las ecuaciones de movimiento, para un sistema de N part´ıculas, usando coordenadas cartesianas conduce a tener una gran cantidad de ecuaciones diferenciales no lineales. Sin embargo en ciertos casos, el an´ alisis puede simplificarse al usar un conjunto de coordenadas diferente, envolviendo pocas ligaduras, o quiz´ as eliminando las ligaduras. La selecci´ on adecuada del conjunto de coordenadas mas apropiado para describir la din´ amica de un sistema f´ısico y el uso de transformaciones entre variables es un aspecto fundamental que se tratar´ a en este capitulo.

2.2.

Grados de libertad

Los grados de libertad son una caracter´ıstica importante de un sistema mec´ anico dado. El n´ umero de grados de libertad es igual al n´ umero de coordenadas menos el n´ umero de ligaduras. Los grados de libertad representan el m´ınimo numero de coordenadas linealmente independientes a partir de las cuales se puede describir completamente la din´ amica del sistema.

32


Si en la configuraci´ on de un sistema de N part´ıculas, que est´ a descrito por 3N coordenadas cartesianas, hay k ligaduras (relacionando las coordenadas), entonces hay 3N − k grados de libertad. Por ejemplo, para un sistema de tres part´ıculas conectadas por varillas r´ıgidas formando un tri´ angulo (figura 2.2), entonces el n´ umero de coordenadas independientes es 9, el n´ umero de ´ ligaduras es 3, y por lo tanto, el n´ umero de grados de libertad es 6. Este objeto (tri´ angulo) es un cuerpo r´ıgido y como tal est´ a descrito por 6 grados de libertad. 2 b(x4 , x5 , x6 ) x3 l12

l23

1b (x1 , x2 , x3 )

x2 x1

b3 l13

(x7 , x8 , x9 )

9 coordenadas independientes 3 ligaduras N´ umero de grados de libertad= 9 − 3 = 6

Figura 2.2. Sistema de tres part´ıculas conectadas por tres varillas r´ıgidas.

El n´ umero de grados de libertad es una caracter´ıstica del sistema como tal y no depende del conjunto particular de coordenadas usado. Por ejemplo, para el tri´ angulo de la figura 2.2, la localizaci´ on de éste puede darse al especificar las tres coordenadas cartesianas de un punto arbitrario de este cuerpo y los tres ańgulos de Euler que describen su orientaci´ on (ver figura 2.3). En general, se escogen los grados de libertad como el conjunto de coordenadas independientes con las cuales se puede describir la configuraci´ on de un sistema. Es decir, el n´ umero de grados de libertad es el n´ umero de coordenadas independientes que se deben especificar para definir un´ıvocamente la configuraci´ on (o estado) de un sistema. Para un sistema de N part´ıculas libres, se requieren 3N coordenadas independientes. Si hay k ligaduras impuestas sobre el sistema, el n´ umero de coordenadas independientes se reduce a s = 3N − k con s el n´ umero de grados de libertad.

2.3. CONJUNTO PROPIO DE COORDENADAS GENERALIZADAS

33

b

x3

(α, β, γ)

b

b

(x1 , x2 , x3 )

x2 x1 Figura 2.3. Localizaci´ on del triángulo en términos de las tres coordenadas cartesianas de un punto sobre éste y los tres ańgulos de Euler.

2.3.

Conjunto propio de coordenadas generalizadas

Un conjunto propio de coordenadas generalizadas es un conjunto de n coordenadas generalizadas independientes que no est´ a limitado por ninguna restricci´ on. El n´ umero de coordenadas generalizadas es igual al n´ umero de grados de libertad. Varios conjuntos de coordenadas pueden usarse para especificar la configuraci´ on de un sistema dado. Estos conjuntos no necesariamente tienen el mismo n´ umero de coordenadas o el mismo n´ umero de ligaduras. Se puede pasar de un conjunto de coordenadas a otro, a través de una transformaci´ on de coordenadas.

2.3.1.

Coordenadas generalizadas

Los par´ ametros o cantidades que puedan ser usados para especificar la configuraci´ on (o estado) del sistema, se pueden definir como coordenadas generalizadas. Esto es, las coordenadas generalizadas son cantidades susceptibles de ser conocidas en todo instante de tiempo, mediante las cuales se determina completamente el estado de movimiento del sistema. Estas coordenadas no siempre son cantidades geométricas. Las coordenadas generalizadas se notar´ an como qi y sus derivadas con respecto al tiempo como q˙i , siendo i = 1, 2, . . . , n. Se debe enfatizar que se tienen coordenadas generalizadas, pero no sistema de coordenadas generalizadas. Considérese un sistema f´ısico que puede se descrito mediante dos tipos de

34


coordenadas: las coordenadas cartesianas x1 , x2 , . . . , x3N y las coordenadas generalizadas q1 , q2 , . . . , qn . Se puede pasar de unas coordenadas a las otras mediante transformaciones, que se asume tienen la forma: rj = rj (q1 , q2 , . . . , qn , t);

j = 1, 2, . . . , N

(2.1)

es decir, se pueden escribir las coordenadas cartesianas en términos de las coordenadas generalizadas. Es posible que cuando la din´ amica del sistema f´ısico se describa con coordenadas cartesianas se tengan k ecuaciones de ligadura y que cuando se haga con coordenadas generalizadas se tengan m ligaduras. En ambos casos el n´ umero de grados de libertad del sistema es el mismo y est´ a dado por 3N − k o n − m. Si el determinante del jacobiano de (2.1) es diferente de cero, entonces: qi = qi (r1 , r2 , . . . , rn , t);

i = 1, 2, . . . , n

lo cual significa que las coordenadas generalizadas se pueden escribir en términos de las coordenadas cartesianas. Cada una de las coordenadas se puede escribir en términos de las otras, as´ı:  q1 = q1 (x1 , x2 , . . . , x3N , t)      q2 = q2 (x1 , x2 , . . . , x3N , t) x2 = x2 (q1 , q2 , . . . , qn , t) → .. ..   .   .  x3N = x3N (q1 , q2 , . . . , qn , t) qn = qn (x1 , x2 , . . . , x3N , t) x1 = x1 (q1 , q2 , . . . , qn , t)

Como un ejemplo, considérese que se tienen 3N ecuaciones y de ellas l son ecuaciones de ligadura, dadas por: Fi (x1 , x2 , . . . , x3N , t) = αj ;

j = 3N − l + 1, . . . , 3N

Sean n coordenadas generalizadas escogidas de tal forma que sean independientes, esto es, igual al n´ umero de grados de libertad, es decir: n = 3N − l Ahora se define un conjunto adicional de l coordenadas q y se identifican éstas con las l funciones constantes Fj , tal que: qj = Fj (x1 , x2 , . . . , x3N , t) = αj ;

j = n + 1, . . . , 3N

2.3. CONJUNTO PROPIO DE COORDENADAS GENERALIZADAS

35

Ahora, las ecuaciones de transformaci´ on son: x1 = x1 (q1 , q2 , . . . , q3N , t) x2 = x2 (q1 , q2 , . . . , q3N , t) .. .

(2.2)

x3N = x3N (q1 , q2 , . . . , q3N , t) Si el Jacobiano de la transformaci´ on satisface: ∂(x1 , x2 , . . . , x3N ) 6= 0 ∂(q1 , q2 , . . . , q3N ) entonces (2.2) se puede solucionar y obtener las coordenadas q como funci´ on de las coordenadas x, es decir: qj = fj (x1 , x2 , . . . , x3N , t) = αj ;

j = 1, 2, . . . , n

donde las q coordenadas restantes son: qj = αj ;

j = n + 1, . . . , 3N

Ejemplo 2.1. Para una part´ıcula restringida a moverse en un trayectoria circular fija de radio a, definiendo apropiadamente la coordenada generalizada, encuentre las ecuaciones de transformaci´ on de coordenadas cartesianas a coordenadas generalizadas. El sistema f´ısico del ejemplo se ilustra en la figura 2.4. La part´ıcula al moverse en el plano, su posici´ on debe describirse a través del uso de dos coordenadas. El hecho de que la part´ıcula siempre se encuentra a la misma distancia del origen del sistema de referencia (el radio a), determina que existe una ligadura en el sistema. Se escoge la coordenada generalizada q1 para representar el grado de libertad, el cual corresponde al ańgulo polar, que puede variar libremente sin que exista una violaci´ on de la ligadura. La coordenada q2 , representa la ligadura. Por lo tanto, las coordenadas q son: q1 = f1 (x1 , x2 ) = θ

j = n + 1, . . . , 3N

q2 = a Las coordenadas cartesianas x escritas en términos de las coordenadas q son: x1 = q2 cos q1

36


x2 = q2 sen q1 El jacobiano de la transformaci´ on: ∂x1 ∂(x1 , x2 ) ∂q1 = ∂(q1 , q2 ) ∂x2 ∂q1

∂x1 ∂q2 −q2 sen q1 cos q1 = ∂x2 q2 cos q1 sen q1 ∂q2

= −q2 (sen2 q1 + cos2 q1 ) = −q2

es diferente de cero, lo cual significa que es posible realizar la transformaci´ on x2

√

x21 + x22 = a b q2

q1 = θ a

=a

x1

Figura 2.4. Part´ıcula restringida a moverse en un camino circular.

inversa, es decir, se puede escribir las coordenadas q en términos de las coordenadas cartesianas x. Esto se puede hacer siempre que no se tenga q2 = 0 (jacobiano igual a cero). En este caso, el radio de la circunferencia es cero y por lo tanto el ańgulo q1 no se puede definir. La transformaci´ on inversa es entonces: q1 = tan−1 q2 =

p

x2 x1

x21 + x22

;

0 6 q1 < 2π

;

0 < q2 < ∞ ❏

´ 2.4. ESPACIO DE CONFIGURACION

2.4.

37

Espacio de configuraci´ on

La configuraci´ on de un sistema puede ser especificada por los valores de las n coordenadas generalizadas independientes: q1 , q2 , . . . , qn Resulta conveniente asumir estos n n´ umeros como las coordenadas de un espacio simple n-dimensional puntual, donde las q forman los ejes coordenados. Este espacio n-dimensional se conoce como el espacio de configuraci´ on. Para el caso de un problema en dos dimensiones, es decir n = 2, las coordenadas generalizadas que definen el espacio de configuraci´ on son (q1 , q2 ). En el ejemplo 2.1, donde la part´ıcula est´ a restringida a moverse describiendo una trayectoria circular, el espacio de configuraci´ on se muestra en la figura 2.5. En este caso se ha asumido que el radio de la circunferencia pueda variar libremente, de tal forma que ahora las dos coordenadas q1 y q2 son generalizadas. q2 0 6 q1 < 2π 0 < q2 < ∞

a

0

2π

q1

Figura 2.5. Espacio de configuraci´ on de un sistema de dos dimensiones.

La evoluci´ on del sistema en el tiempo est´ a dado por una curva en el espacio de configuraci´ on, lo cual corresponde a la trayectoria de movimiento. Cada punto en la curva representa la configuraci´ on del sistema en un instante dado de tiempo.

2.5.

Ligaduras

Se ha visto que un sistema de N part´ıculas tiene a lo m´ aximo 3N grados de libertad debido a la presencia de ligaduras. Cuando el movimiento de un sistema din´ amico no est´ a permitido a extenderse libremente en tres dimensiones, se dice que el sistema esta sujeto a ligaduras. Es decir, las ligaduras

38


imponen restricciones geométricas a los movimientos posibles del sistema y estas restricciones son originadas f´ısicamente por la existencia de fuerzas de ligadura en el sistema. Las ligaduras se clasifican en cuatro clases: holon´ omicas, no holon´ omicas, escleron´ omicas y reon´ omicas. A continuaci´ on se presenta la descripci´ on matem´ atica de estos cuatro tipos de ligaduras.

2.5.1.

Ligaduras holon´ omicas

Sup´ ongase que la configuraci´ on del sistema din´ amico est´ a especificado por n coordenadas generalizadas: q1 , q2 , . . . , qn Si las k condiciones de ligadura impuestas sobre el movimiento del sistema pueden expresarse como ecuaciones independientes que conectan a las coordenadas del sistema din´ amico y el tiempo en la forma: Fi (q1 , q2 , . . . , qn , t) = 0;

i = 1, 2, . . . , k

(2.3)

entonces las ligaduras se dice que son holon´ omicas. Un ejemplo de ligadura holon´ omica se tiene en el caso de una part´ıcula describiendo una trayectoria circular de radio a, dada por: x2 + y 2 = a Las ligaduras holon´ omicas también se conocen como ligaduras integrables. El término integrable significa que la ecuaci´ on (2.3) es equivalente a una ecuaci´ on diferencial de la forma: n X ∂Fj k=1

dqk = 0

∂qk

En el caso de la situaci´ on f´ısica descrita por (2.5.1), se obtiene que: x dx + y dy = 0 De los resultados obtenidos en el ejemplo 2.1, se tiene que q1 = tan−1 q2 =

y x

p x2 + y 2

;

0 6 q1 < 2π ;

0 < q2 < ∞

(2.4)

39

2.5. LIGADURAS

de donde se observa que las coordenadas generalizadas q1 y q2 pueden variar independientemente, o sea, no est´ an ligadas entre s´ı. Si cada coordenada generalizada puede variar independientemente entre s´ı, se dice que el sistema es holon´ omico. Un sistema, cuyas ecuaciones de ligadura son todas holon´ omicas, se conoce como sistema holon´ omico. Ejemplo 2.2. Movimiento en el plano xy de dos part´ıculas conectadas por una varilla de longitud l (figura 2.6). y (x3 , x4 ) l b

θ

b (x1 , x2 )

θ

(x, y)

x4 −x2

b

x3 −x1 x

Figura 2.6. Dos part´ıculas conectadas por una varilla de longitud l.

Por estar conectadas las dos part´ıculas por una varilla de longitud l, la ecuaci´ on de ligadura es: (x3 − x1 )2 + (x4 − x2 )2 − l2 = 0 p (x3 − x1 )2 + (x4 − x2 )2 = l

En este caso hay cuatro coordenadas y una ecuaci´ on de ligadura. Uno podr´ıa usar esta ecuaci´ on de ligadura para eliminar una de las variables en las ecuaciones de movimiento. Este procedimiento frecuentemente conlleva a dificultades algebraicas y raramente es usado. Lo que se hace, por el contrario, es buscar un conjunto de coordenadas generalizadas independientes, ya que es conocido que estas coordenadas existen para todo sistema holon´ omico. Por ejemplo, podemos escoger las coordenadas generalizadas (x, y) del centro de la varilla y el ańgulo θ entre la varilla y el eje x, como las coordenadas generalizadas: q1 = x

40


q2 = y q3 = θ En este ejemplo, se podr´ıa escoger como cuarta coordenada generalizada a p q4 = (x3 − x1 )2 + (x4 − x2 )2 = l y entonces las ecuaciones de transformaci´ on son: x1 = q1 − q4 cos q3

x2 = q2 − q4 sen q3 x3 = q1 + q4 cos q3 x4 = q2 + q4 cos q3 Puesto que el Jacobiano de la transformaci´ on ∂x1 ∂q1 ∂x2 ∂(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∂q1 = ∂(q1 , q2 , q3 , q4 ) ∂x3 ∂q1 ∂x4 ∂q 1

∂x1 ∂x1 ∂x1 ∂q2 ∂q3 ∂q4 ∂x2 ∂x2 ∂x2 ∂q2 ∂q3 ∂q4 ∂x3 ∂x3 ∂x3 ∂q2 ∂q3 ∂q4 ∂x4 ∂x4 ∂x4 ∂q ∂q ∂q 2

3

4

es diferente de 0, entonces se puede obtener la transformaci´ on inversa: q1 =

x1 + x3 ; 2

0 < q1 < ∞

q2 =

x2 + x4 ; 2

0 < q2 < ∞

q3 = tan−1

x2 ; x1

q4 = [(x3 − x1 )2 + (x4 − x2 )2 ] = l;

0 6 q3 < 2π 0 < q4 < ∞

Las coordenadas generalizadas q1 , q2 , q3 , q4 pueden variar independientemente, por lo tanto, el sistema es holon´ omico.

41

2.5. LIGADURAS

q4 l

0 0 0 0

< < < <

q1 q2 q3 q4

<∞ <∞ < 2π <∞

q3

q1 , q2 Figura 2.7. Espacio de configuraci´ on para un sistema de dos part´ıculas unidas por una varilla de longitud l.

Respecto a la ligadura existente en el problema, escrita como (x3 − x1 )2 + (x4 − x2 )2 − l2 = 0

(2.5)

Teniendo en cuenta que se puede escribir la ecuaci´ on de ligadura diferencialmente, a partir de (2.4), se obtiene −(x3 − x1 )dx1 − (x4 − x2 )dx2 + (x3 − x1 )dx3 + (x4 − x2 )dx4 = 0

(2.6)

La ecuaci´ on de ligadura dada por (2.5) es integrable y es equivalente a la ecuaci´ on diferencial (2.6). ❏

2.5.2.

Ligaduras no-holon´ omicas

Las ligaduras que no se pueden expresar como Fi (q1 , q2 , . . . , qn , t) = 0 se dicen no-holon´ omicas. En general, un sistema de m ligaduras, que sean escritas como ecuaciones diferenciales no integrables de la forma: n X k=1

ajk dqk + ajt dt = 0;

j = 1, . . . , m

(2.7)

42


se dice que son ligaduras no-holon´ omicas. Los coeficientes a son en general, funciones de las coordenadas q y del tiempo t. El problema radica en que no se pueden integrar estas ecuaciones para obtener funciones de la forma Fi (q1 , q2 , . . . , qn , t) = 0. Como resultado de la naturaleza no integrable de estas ecuaciones diferenciales no se pueden obtener las funciones Fi y usar estas para eliminar alguna de las variables. Por lo tanto, no es posible encontrar un conjunto de coordenadas generalizadas independientes. Normalmente los sistemas din´ amicos no-holon´ omicos están descritos por m´ as coordenadas que los grados de libertad. Ejemplo 2.3. Un ejemplo cl´ asico de ligadura no-holon´ omica, es el caso de un disco de radio a rotando sobre una superficie sin deslizarse (figura 2.8).

z

C y

θ s

a

b

x

s = aθ ds = adθ

P (x, y)

φ

Figura 2.8. Disco de radio a rotando sobre una superficie sin deslizarse.

Las coordenadas generalizadas que se escogen son el punto de contacto P (x, y), el ańgulo de rotaci´ on θ del disco alrededor de un eje perpendicular al centro del disco y el ańgulo φ entre el plano del disco y el plano yz. El disco se mueve a lo largo de la curva C definida en el plano 0x y 0y. Sup´ ongase que la posici´ on del disco var´ıa de la siguiente forma: (x, y, θ, φ) → (x + dx, y + dy, θ + dθ, φ + dφ)

2.5. LIGADURAS

43

El requerimiento de rotar sin deslizarse implica que se cumplen las siguientes ecuaciones de ligadura: dx = (adθ) sen φ dy = (adθ) cos φ

(2.8)

En este ejemplo hay cuatro coordenadas y dos ecuaciones independientes de ligadura, por lo que se tiene solamente dos grados de libertad. N´ otese sin embargo que el espacio de configuraci´ on cuadri-dimensional completo es accesible, esto significa, que es imposible llegar a alguna configuraci´ on (x, y, θ, φ) desde cualquier otra configuraci´ on sin escoger adecuadamente el camino. Se sabe que la integrabilidad de una forma diferencial requiere que ésta sea una diferencial exacta, o sea que sea posible convertir una diferencial exacta a través de la multiplicaci´ on por un factor de integraci´ on, que normalmente es alguna funci´ on de las variables. Las condiciones necesarias y suficientes para la exactitud de la forma diferencial (2.7) son: dajk daji = ; dqi dqk

i, k = 1, 2, . . . , n

dajk dajt = ; dt dqk

i, k = 1, 2, . . . , n

(2.9)

Puesto que las ligaduras (2.8) se escriben como: dx − (adθ) sen φ dθ = 0 dy − (adθ) cos φ dθ = 0

(2.10)

se observa que los coeficientes de dθ en (2.10) son funciones de φ, pero los coeficientes de dφ son cero. Por lo tanto, es claro que el factor de integraci´ on no puede ser encontrado y que la expresi´ on resultante no cumple la condici´ on (2.9). Por lo tanto las dos ligaduras son no holon´ omicas. Las relaciones (2.10) muestran que las variaciones dx, dy en x y y dependen de las variaciones dθ en θ. As´ı el sistema es no-holon´ omico. Las ecuaciones (2.10) no son integrables ya que φ es arbitrario. ❏ Las ligaduras no holon´ omicas pueden aparecer en forma de desigualdades, tal como sucede para una part´ıcula moviéndose sobre la superficie de

44


una esfera de radio a, donde se satisface la condici´ on de desigualdad dada por: x2 + y 2 + z 2 > a2 Un sistema es no-holon´ omico si al menos una ligadura es no-holon´ omica. Como se ha visto, en los sistemas no-holon´ omicos las coordenadas no pueden variar independientemente. As´ı en estos sistemas, el n´ umero de grados de libertad es menor al n´ umero m´ınimo de coordenadas necesarias para especificar la configuraci´ on del sistema. En el ejemplo del disco que rota, se requiere 4 coordenadas para especificar su configuraci´ on, dos para la posici´ on del punto P (punto de contacto) y dos para su orientaci´ on. Pero estas cuatro coordenadas no var´ıan libremente, puesto que cuando el disco rota un ańgulo dθ, las dos coordenadas de posici´ on, del punto P , x y y cambian.

2.5.3.

Ligaduras escleron´ omicas

Se dice que una ligadura es escleron´ omica si la ecuaci´ on de ligadura es independiente del tiempo. Por ejemplo: a ) Part´ıcula en movimiento circular de radio a p

x21 + x22 = a

b ) Dos part´ıculas moviéndose en el plano x, y sujetos por una varilla de longitud l p (x3 − x1 )2 + (x4 − x2 )2 = l c ) Disco de radio a rotando en el plano x, y dx − a sen φ dθ = 0 dy − a cos φ dθ = 0

d ) Péndulo de longitud b inextensible, como el mostrado en la figura 2.9. x2 + y 2 = b2

45

2.5. LIGADURAS

x b = cte b

y Figura 2.9. Péndulo de longitud b inextensible.

2.5.4.

Ligaduras reon´ omicas

Una ligadura se dice reon´ omica si la ecuaci´ on de ligadura depende expl´ıcitamente del tiempo. Por ejemplo, para el péndulo de longitud variable con el tiempo que se muestra en la figura 2.10, se satisface que: x2 + y 2 = (b0 − at)2 es decir la ecuaci´ on de ligadura depende expl´ıcitamente del tiempo. Los términos escleron´ omico y reon´ omicos pueden aplicarse a los sistemas mec´ anicos. x b = b0 − at b

y Figura 2.10. Péndulo de longitud b variable en el tiempo.

Un sistema es escleron´ omico si: 1. Ninguna de las ecuaciones de ligadura contiene al tiempo expl´ıcitamente. 2. Las ecuaciones de transformaci´ on u ńicamente dan las coordenadas x como funci´ on de las coordenadas q. Si alguna de las ecuaciones de ligadura o de transformaciones contienen al tiempo, el sistema es reon´ omico.

46


Algunas veces, las coordenadas generalizadas pueden escogerse de tal manera que no hay ecuaciones de ligadura, o quiz´ as u ńicamente condiciones escleron´ omicas, y a´ un las ecuaciones de transformaci´ on contienen al tiempo expl´ıcitamente. Un ejemplo es una part´ıcula sometida a moverse en un alambre r´ıgido que est´ a rotando uniformemente alrededor de uno de sus ejes fijos (figura 2.11). La coordenada generalizada simple es la posici´ on de la part´ıcula relativa al alambre. Aqu´ı no hay ecuaciones de ligadura pero el sistema es reon´ omico, es decir x = r cos ωt y = r sen ωt Hasta el momento se han presentado dos métodos que pueden ser usados en el an´ alisis de sistemas con ligaduras holon´ omicas, esto es, la eliminaci´ on de variables usando las ecuaciones de ligadura y el uso de las coordenadas generalizadas independientes. Sin embargo, es posible tener un tercer método, que puede aplicarse tanto a sistemas holon´ omicos como no-holon´ omicos, denominado de multiplicadores de Lagrange. Este método representa a las ligaduras por la introducci´ on de las correspondientes fuerzas de ligadura que son expresadas en términos de k par´ ametros variables λj , conocidos como multiplicadores de Lagrange. Este método se explicar´ a m´ as adelante. y

b

ω

x

Figura 2.11. Part´ıcula que se mueve sobre un alambre r´ıgido que está rotando uniformemente alrededor de uno de sus ejes fijos.

2.6.

Principio de D’Alembert y ecuaciones de Lagrange

El principio de D’Alembert se fundamenta en los conceptos de desplazamiento virtual y trabajo virtual. Estos conceptos se extraen directamente

2.6. PRINCIPIO DE D’ALEMBERT Y ECUACIONES DE LAGRANGE

47

de los métodos de energ´ıa que son aplicados tanto en la derivaci´ on de las ecuaciones de movimiento, como en el estudio de la estabilidad. En particular el concepto de trabajo virtual es esencial en la mec´ anica anal´ıtica. Por estar este concepto asociado a un desplazamiento virtual, se considera primero la naturaleza de un desplazamiento virtual.

2.6.1.

Desplazamiento virtual

Sup´ ongase que la configuraci´ on de un sistema de N part´ıculas est´ a dada por las 3N coordenadas cartesianas x1 , x2 , . . . , x3N , las cuales son medidas con relaci´ on a un sistema inercial y, sup´ ongase que el sistema puede estar sujeto a ligaduras. En un tiempo dado, as´ umase que las coordenadas cambian a través de desplazamientos infinitesimales δx1 , δx2 , . . . , δx3N que son virtuales o imaginarios, en el sentido en que ellos se asumen que ocurren sin que el tiempo transcurra, y no necesariamente conforme a las ligaduras. Este peque˜ no cambio δr = (δx1 , δx2 , . . . , δx3N ) en la configuraci´ on del sistema se conoce como un desplazamiento virtual. Como es usual, un desplazamiento virtual est´ a conforme a la ligadura instantánea, esto es, cualquier ligadura moviéndose se asume que para durante el desplazamiento virtual. Por ejemplo, sup´ ongase que el sistema es holon´ omico y tiene k ligaduras holon´ omicas: φj (x1 , x2 , . . . , x3N , t) = 0;

j = 1, 2, . . . , k

Tomando el diferencial total de φj se obtiene dφj =

3N X ∂φj i=1

∂xi

dxi +

∂φj dt = 0; ∂dt

j = 1, 2, . . . , k

(2.11)

Un desplazamiento virtual que es conforme a éstas ligaduras, tiene las δx relacionada por las k ecuaciones 3N X ∂φj i=1

∂xi

δxi = 0;

j = 1, 2, . . . , k

(2.12)

donde se ha reemplazado las dx por δx y se ha omitido el término dt debido que el tiempo es fijo durante el desplazamiento virtual.

48


Para un sistema no-holon´ omico, con m ligaduras no-holon´ omicas de la forma: 3N X

aji dxi + ajt dt = 0

j = 1, 2, . . . , m

(2.13)

i=1

cualquier desplazamiento virtual que sea conforme a estas ligaduras debe tener las δx relacionadas a la m ecuaciones 3N X

aji δxi = 0

j = 1, 2, . . . , m

(2.14)

i=1

La pregunta que surge es, bajo que circunstancias un desplazamiento virtual puede ser también un posible desplazamiento real, descrito por un conjunto de dx que se asume ocurre durante el incremento de tiempo dt. Tanto a partir de (2.11) y (2.12) como de (2.13) y (2.14) se concluye que las ligaduras deben ser escleron´ omicas, esto es: ∂φj = 0; ∂t ajt = 0;

j = 1, 2, . . . , k; j = 1, 2, . . . , m;

holon´ omicas no-holon´ omicas

Debido a que estas condiciones no se conocen, en general, es claro que un desplazamiento virtual no es un desplazamiento real. De forma general los desplazamientos virtuales se caracterizan por: a ) Son inifinitesimales. b ) Ocurren en un instante dado en el tiempo (no hay cambios en el tiempo, δt = 0). c ) Son consistentes con las ligaduras. d ) Corresponden a desplazamientos reales si y solamente si las ligaduras son escleron´ omicas.

2.6.2.

Trabajo virtual

Volviendo al sistema de N part´ıculas cuya configuraci´ on est´ a dada en términos de las coordenadas cartesianas x1 , x2 , . . . , x3N , se supone que las componentes de la fuerza F1 , F2 , . . . , F3N son aplicadas a las correspondientes coordenadas en un sentido positivo.


49

El trabajo virtual δW de estas fuerzas en un desplazamiento virtual est´ a dado por: 3N X

δW =

Fj δxj =

j=1

N X i=1

F i · δr i

(2.15)

Se observa por lo tanto, que la formulaci´ on del trabajo virtual no depende de la escogencia particular del sistema de coordenadas, asumiendo en consecuencia, que el movimiento es medido relativo a un sistema de referencia inercial. La fuerzas F i se asumen que permanecen constantes a través del deasticasplazamiento virtual. Esto es cierto, a´ un si las fuerzas F i cambian dr´ mente como resultado de un desplazamiento virtual. Un cambio s´ ubito de las fuerzas con la posici´ on, puede ocurrir, como ejemplo, en ciertos sistemas no lineales. Las expresiones de trabajo virtual son definidas para ser inerciales en los desplazamientos virtuales, en otras palabras, el trabajo virtual es similar a una primera variaci´ on.

2.6.3.

Principio de trabajo virtual

Ahora sup´ ongase que el sistema est´ a sujeto a ligaduras. La fuerza total actuando sobre la part´ıcula i-ésima es separada en la fuerza externa aplicada (e) F i y la fuerza de ligadura Ri , es decir: (e)

F i = F i + Ri El trabajo virtual producido por estas fuerzas es: δW =

N X i=1

(e) Fi

· δr i +

N X i=1

Ri · δr i = 0

(2.16)

por lo que el trabajo virtual debido a la fuerza de ligadura es: δWl =

N X i=1

Ri · δr i

(2.17)

Muchas de las ligaduras de interés pertenecen a la clase conocida como ligaduras sin trabajo. Se puede definir una ligadura sin trabajo como una ligadura tal que el trabajo virtual, de la correspondiente fuerza de ligadura,

50


es cero para cualquier desplazamiento virtual, lo cual es consistente con la ligadura, es decir: N X i=1

Ri · δr i = 0

(2.18)

Por lo tanto, la relaci´ on (2.16) se reduce a δW =

N X i=1

(e)

Fi

· δr i = 0

(2.19)

As´ı, si para todo desplazamiento virtual δr i el trabajo virtual de las fuerzas de ligadura Ri desaparece, entonces el trabajo virtual de las fuerzas exter(e) a en equilibrio. A nas aplicadas F i también desaparece, y el sistema est´ este hecho se le conoce como principio de trabajo virtual. A continuaci´ on se presentan algunos ejemplos de fuerzas de ligadura que producen un trabajo virtual nulo. Ejemplo 2.4. Dos part´ıculas de masas m1 y m2 conectadas por una varilla r´ıgida sin masa.

δr 1 m1

b R1

b er

m2

b

R2

δr 2

Figura 2.12. Dos part´ıculas conectadas por una varilla r´ıgida sin masa.

Debido a la tercera ley de Newton, la fuerzas ejercidas por la varilla sobre las part´ıculas son iguales en magnitud pero de signo contrario, es decir: R2 = R2 b er = −R1

siendo R1 la fuerza realizada por la varilla sobre la part´ıcula 1, R2 la fuerza realizada por la varilla sobre la part´ıcula 2 y b er el vector unitario a lo largo de la varilla. Puesto que la varilla es r´ıgida, las componentes del desplazamiento de las part´ıculas en la direcci´ on de la varilla son iguales, por lo tanto : er · δr 1 = er · δr 2


51

Por lo anterior, el trabajo virtual de la fuerza de ligadura es: δWl = R1 · δr 1 + R2 · δr 2 donde al tenerse en cuenta que las fuerzas de ligadura R1 y R2 son iguales en magnitud pero de sentido contrario y que las componentes de los desplazamientos de las part´ıculas en la direcci´ on de la varilla también son iguales, se obtiene: = −R2 b er · δr 1 + R2 b er · δr 2

er · δr 2 + R2 b er · δr 2 = 0 = −R2 b

❏

Ejemplo 2.5. Un cuerpo B desliz´ andose sin fricci´ on sobre una superficie S. B

Pb R S Figura 2.13. Cuerpo deslizándose sobre una superficie S.

La fuerza de ligadura R es normal a la superficie en el punto de contacto P , siendo el desplazamiento virtual tangente al plano en aquel punto. Es decir los dos vectores son perpendiculares: R ⊥ δr satisfaciéndose que R · δr = 0 Por lo tanto el trabajo virtual es δWl = R · δr = 0 ❏

52


Ejemplo 2.6. Disco de radio a rodando sin deslizarse sobre una superficie plana. θ a Pb Rf

Rn R f = µf F f

Figura 2.14. Disco rodando sin deslizarse sobre una superficie plana.

La fuerza total realizada por la superficie sobre el disco es: R = Rn + Rf donde Rn es la fuerza normal y Rf es la fuerza de fricci´ on est´ atica que act´ uan sobre el disco instant´ aneamente en el punto de contacto P . Sin embargo, instant´ aneamente el punto P no se mueve como resultado de un desplazamiento virtual δθ, si se hace la suposici´ on de que los infinitesimales de m´ as alto orden desaparecen, cumpliéndose que: δr = 0 Por lo tanto el trabajo virtual realizado por la fuerza de ligadura R es cero, debido a que: R · δr = 0 ❏ Las ligaduras sin trabajo se caracterizan por que no realizan un trabajo sobre el sistema, visto como un todo, en un desplazamiento virtual. Sin embargo este tipo de fuerzas de ligadura si realizan un trabajo sobre las part´ıculas individuales del sistema. Por ejemplo, las fuerzas de ligadura son las responsables de la transferencia de energ´ıa de una part´ıcula a otra en


53

un cuerpo r´ıgido, a medida que la part´ıcula cambia su velocidad en alg´ un movimiento del cuerpo r´ıgido como un todo. Se puede decir en general, a no ser que se diga expl´ıcitamente lo contrario, que el término fuerza de ligadura se puede interpretar como fuerza de ligadura sin trabajo.

2.6.4.

Formulaci´ on equivalente del principio de trabajo virtual

As´ umase que el mismo sistema de N part´ıculas, considerado en las secciones anteriores, se encuentra inicialmente en reposo relativo respecto a un sistema de referencia espec´ıfico, pero que no se encuentra en equilibrio. Lo anterior significa que sobre una o m´ as part´ıculas del sistema est´ a actuando una fuerza neta aplicada y en concordancia con la segunda ley de Newton, el sistema se comenzar´ a a mover aceleradamente en la dirección en que act´ ua esta fuerza.

F (e) en reposo Figura 2.15. Sistema de part´ıculas en reposo relativo.

Ya que el movimiento debe ser compatible con las ligaduras, se puede siempre escoger un desplazamiento virtual en la direcci´ on del movimiento en cada punto. En este caso, el trabajo virtual es positivo, esto es: δW =

N X

(e) Fi

i=1

· δr i +

N X i=1

Ri · δri > 0

Pero ya que las fuerzas de ligadura son sin trabajo, es decir, se cumple que: Ri · δr i = 0 entonces, el trabajo realizado por la fuerza neta externa es positivo, o sea: δW =

N X i=1

(e)

F i · δr i > 0

54


Teniendo presente el anterior hecho, se puede plantear una forma alternativa de definir el principio de trabajo virtual de la siguiente manera: la condici´ on necesaria y suficiente para que exista el equilibrio est´ atico de un sistema escleron´ omico, el cual inicialmente se asume que se encuentra en reposo y en el que están actuando fuerzas de ligadura sin trabajo, es que el trabajo virtual hecho por las fuerzas externas aplicadas sea cero, durante el movimiento a través de un desplazamiento virtual arbitrario que satisface la ligadura. Si existe equilibro est´ atico en el sistema, la expresi´ on (2.19) se satisface. En estas condiciones, los coeficientes δr i en (2.19) no pueden ser diferentes, en conjunto, de cero. Este hecho se explica si se tiene en cuenta que los δr i no son del todo independientes y est´ an conectados por las ecuaciones de ligadura. Para poder igualar los coeficientes a cero, se debe transformar (2.19) de tal forma que los desplazamientos virtuales involucrados, δqi , sean independientes.

2.6.5.

Fuerzas generalizadas

Teniendo en cuenta que las ecuaciones de transformaci´ on de coordenadas generalizadas q a coordenadas cartesianas x se escriben como: r j = r j (q1 , q2 , . . . , qn , t);

j = 1, 2, . . . , N

entonces las variaciones de las coordenadas cartesianas δr i en términos de las variaciones de las coordenadas generalizadas δqi est´ an dadas por: n X ∂r i δr i = δqj ; i = 1, 2, . . . , N (2.20) ∂qj j=1

N´ otese que las variaciones del tiempo δt no est´ an involucradas aqu´ı, por definici´ on del desplazamiento virtual. Reemplazando (2.20) en (2.19) se obtiene: δW =

N X i=1

(e)

F i · δr i =

N X n X

Fi ·

N X

Fi ·

i=1 j=1

(e)

n

X ∂r i δqj = Qj δqj = 0 ∂qj j=1

donde se ha definido que: Qj =

i=1

(e)

∂r i ∂qj


55

es la fuerza generalizada correspondiente a la coordenada qj . En general las Qj no tienen dimensiones de fuerza, sin embargo los productos | Qj qj | siempre tienen dimensiones de trabajo. Ya que las δqj son arbitrarias e independientes, la condici´ on de equilibrio se tiene si se cumple que: Qj = 0,

∀ j

La importancia del principio de trabajo virtual es que constituye un principio simple en el que se fundamenta la est´ atica. Ejemplo 2.7. Una barra de masa uniforme m y longitud 2b est´ a recostada contra una pared y forma un ańgulo α con la superficie del piso (figura 2.16). La parte m´ as baja de la barra est´ a conectada a la base de la pared con una cuerda inextensible sin masa . ¿Cu´ al es la tensi´ on de la cuerda? A ∆y

N1 b

C b

mg

δy

b

y N2

α x

T

∆x B

D

Figura 2.16. Barra de masa uniforme recostada contra una pared.

En este ejemplo se muestra un sistema escleron´ omico con ligadura sin trabajo. Las fuerzas de ligadura externas son las fuerza de reacci´ on que realiza la pared a la barra N 1 en el punto A y la que realiza el piso a la barra N 2 en el punto B.

56


El punto medio de la barra se encuentra a una distancia y sobre el piso, y el punto m´ as bajo de la barra se encuentra a una distancia x de la pared. De esta forma se satisface que: x = 2b cos α y = b sen α

(2.21)

Las fuerzas que act´ uan sobre la barra son: La tensi´ on de la cuerda, T . El peso de la barra, mg. Las fuerzas normales ejercidas por la pared y el piso, N 1 y N 2 . Ahora imag´ınese un desplazamiento horizontal ∆x, de B a D. Como consecuencia, el centro de la barra se desplaza hacia abajo una distancia δy. A partir de las expresiones dadas por (2.21), se concluye que los desplazamientos δx y δy son: | δx | = 2b sen α δα | δy | = b cos α δα

Debido a que la pared y el piso son superficies lisas (no hay fricci´ on entre la barra y estas superficies), entonces las fuerzas de ligadura N 1 y N 2 no realizan trabajo. Por lo anterior, y teniendo en cuenta que el sistema se encuentra en equilibrio est´ atico, entonces el principio de trabajo virtual se expresa como: −T | δx | + mq| δy | = 0 donde −T | δx | tiene signo negativo debido a que T y δx tienen sentidos opuestos, siendo as´ı el trabajo negativo, mientras que δy y mg tienen el mismo sentido, siendo el trabajo realizado por el peso mg positivo. Del anterior resultado se encuentra que: T = mg

| δx | | δy |

Al reemplazar los desplazamientos δx y δy previamente obtenidos, se encuentra que la tension de la cuerda es: T = mg

1 b cos α δα = mg tan α 2b sen α δα 2 ❏


57

Ejemplo 2.8. Considérese el movimiento de una part´ıcula de masa m en un plano. Usando las coordenadas polares (r, θ) como coordenadas generalizadas, encuentre: a ) Los desplazamientos δx y δy. b ) Las fuerzas generalizadas para la part´ıcula sometida a una fuerza b F = Fx bı + Fy b  + Fz κ a ) Las coordenadas generalizadas son q1 = r y q2 = θ. Teniendo en cuenta que las coordenadas cartesianas se pueden escribir en términos de las coordenadas generalizadas, se encuentra que: x = x(r, θ) = r cos θ;

∂x = cos θ; ∂r

∂x = −r sen θ ∂θ

y = x(r, θ) = r sen θ;

∂y = sen θ; ∂r

∂y = r cos θ ∂θ

Por lo anterior, los desplazamiento δx y δy en términos de las coorednadas generalizadas son: δx =

∂x ∂x δr + δθ = cos θ δr − r sen θδθ ∂r ∂θ

δy =

∂y ∂y δr + δθ = sen θ δr + r cos θδθ ∂r ∂θ

b ) La condici´ on de fuerza generalizada es: Qj =

N X i=1

(e)

Fi ·

∂r i ∂qj

Para una part´ıcula simple N = 1, entonces: (e)

Qj = F 1 · Qj = Fx

∂r ∂qj

∂x ∂y ∂z + Fy + Fz ∂qj ∂qj ∂qj

58


Reemplazando en la anterior expresi´ on los valores de las derivadas parciales previamente obtenidos, se encuentra que las las fuerzas generalizadas son: Qr = Fx

∂x ∂y + Fy = Fx cos θ + Fy sen θ = Fr ∂r ∂r

Qθ = Fx

∂x ∂y + Fy = −rFx sen θ + rFy cos θ ∂θ ∂θ

= r(−Fx sen θ + Fy cos θ) = rFθ ❏

2.6.6.

Principio de D’Alembert

Ya que el principio de trabajo virtual se puede aplicar solamente a sistemas en equilibrio est´ atico, el prop´ osito ahora es plantear un principio que de forma general se aplique a sistemas en movimiento. Tal principio fue primero sugerido por Bernoulli y luego desarrollado por J. D’Alembert en su tratado Traité de Dynamique en 1742. Aunque el se refer´ıa a velocidades m´ as que a fuerzas, el estableci´ o que las fuerzas de ligadura, que significan fuerzas de interacci´ on, forman un sistema en equilibrio est´ atico. Como una consecuencia de este principio, las fuerzas aplicadas y de inercia juntas forman un sistema que también est´ a en equilibrio, en el sentido de que: δW =

N X (F i − mi rï ) · δr i = 0 i=1

donde el sistema f´ısico es el previamente considerado, es decir el sistema formado por N part´ıculas. Teniendo en cuenta la segunda ley de movimiento de Newton, se concluye que la anterior expresi´ on es valida para cualquier desplazamiento δr si la fuerza resultante sobre la part´ıcula i-esima Fi′ es nula, es decir: F ′i = F i −

dpi =0 dt

i Si se considera a − dp on, codt como una fuerza efectiva inercial o de reacci´ mo la denominaron Bernoulli y D’Alembert, que adicionada a F i produce

59


equilibrio, entonces la situaci´ on din´ amica de este caso se puede reducirse a la situaci´ on est´ atica previamente considerada. Luego, el principio de trabajo virtual queda escrito como: N X (F i − p˙ i ) · δr i = 0 i=1

Ahora sup´ ongase que la fuerza F i se puede descomponer en dos partes, tal que: (e)

F i = F i + Ri (e)

donde la fuerza Fi es la fuerza exterior que act´ ua sobre la part´ıcula i-esima y Ri representa la fuerza de ligadura sobre la misma part´ıcula. Debido a que las fuerzas de ligadura Ri , en general, satisfacen que Ri · δr i = 0 es decir son fuerzas sin trabajo, entonces N X (e) (F i − p˙ i ) · δr i = 0

(2.22)

i=1

La ecuaci´ on (2.22) da la forma lagrangiana del principio de D’Alembert: “La suma de todas las fuerzas reales e inerciales, actuando sobre cada part´ıcula del sistema es cero”.

2.6.7.

Ecuaciones de Lagrange a partir del principio de D’Alembert

El principio de D’Alembert es el punto de partida de la mec´ anica anal´ıtica y a partir de éste se pueden obtener las ecuaciones de movimiento o ecuaciones de Lagrange. Para poder realizar lo anterior, primero se escriben los desplazamientos virtuales δr i , que aparecen en (2.22), en términos de las coordenadas generalizadas, as´ı: δr i =

n X δr i j=1

δqj

δqj ;

r i = r i (q1 , q2 , . . . , qN , t)

(2.23)

60


El trabajo realizado por la fuerza F ′i = F i (fuerza externa aplicada), escrita en términos de las coordenadas generalizadas, es: δW =

N X i=1

F i · δr i =

n X

Qj δqj

(2.24)

j=1

donde las fuerzas generalizadas Q son: Qj =

N X i=1

Fi ·

δr i δqj

Ahora escribiendo el término de la fuerza de inercia que aparece en (2.22) como: N X i=1

p˙ i · δr i =

N X n X i=1 j=1

mi rï ·

∂r i δqj ∂qj

(2.25)

Si se tiene en cuenta que: d ∂r i ∂r i d ∂r i r˙ i − = rï · + r˙ i · dt ∂qj ∂qj dt ∂qj entonces es posible escribir: ∂r i d ∂r i d ∂r i ï · r = r˙ i · − r˙ · ∂qj dt ∂qj dt ∂qj resultado que reemplazandolo en (2.25) conduce a: N X i=1

p˙ i · δr i =

n X

δqj

j=1

N X

mi

i=1

d dt

∂r d ∂r i r˙ i · − r˙ i · ∂qj dt ∂qj

A partir de la ecuaci´ on de transformaci´ on de coordenadas r i = r i (q1 , q2 , . . . , qn , t); es posible obtener que: dr i =

n X ∂r i l=1

∂ql

dql +

∂r i dt ∂t

i = 1, 2, . . . , N

(2.26)

61


r˙ i =

n X ∂r i

∂ql

l=1

∂r i ∂t

q˙l +

(2.27)

= r˙ i (q1 , q2 , . . . , qn ; q˙1 , q˙2 , . . . , q˙n ; t) Tomando la derivada de (2.27) con respecto a la variaci´ on en el tiempo de las coordenadas generalizadas, se obtiene: " n # ∂ r˙ i ∂ X ∂r i ∂r i = q˙l + ∂ q˙j ∂ q˙j ∂ql ∂t l=1

n X ∂r i ∂ q˙l ∂ ∂r i ∂ ∂r i = q˙l + + ∂ q˙j ∂ql ∂ql ∂ q˙j ∂ q˙j ∂t l=1

=

n X ∂r i l=1

∂ql

δlj =

∂r i ∂qj

con lo que se concluye que: ∂ r˙ i ∂r i = ∂ q˙j ∂qj

(2.28)

Ahora, ya que las variables que aparecen en paréntesis en (2.26) son f´ısicamente independientes, entonces cada una puede ser especificada en un tiempo t independiente. Tomando el primer término de (2.26) y reemplazando por (2.28), se obtiene: N X i=1

mi

d dt

r˙ i ·

∂r i ∂qj

=

N X

mi

i=1

d ∂ = dt ∂ q˙j

d dt

r˙ i ·

∂ r˙ i ∂ q˙j

N

=

N

1X mi | r˙ i |2 2 i=1

d X ∂ mi dt ∂ q˙j i=1

!

=

d ∂T dt ∂ q˙j

donde la energ´ıa cinética del sistema T esta dada por: N

N

i=1

i=1

1X 1X T = mi | r˙ i |2 = mi r˙ 2i 2 2

r˙ i · r˙ i 2

(2.29)

62


Ahora, manipulando el segundo término de (2.26) de la siguiente manera: ! X N N n X X d ∂r i ∂ 2 ri ∂ 2ri mi r˙ i · = mi r˙ i · q˙l + dt ∂qj ∂ql ∂qj ∂qj ∂t i=1

i=1

=

∂ mi r˙i · ∂qj

N X

mi r˙ i ·

∂ r˙ i ∂qj

N X

∂ mi ∂qj

i=1

=

"

N X i=1

=

l=1

i=1

∂ = ∂qj

N X i=1

n X ∂r i l=1

r˙ i · r˙ i 2

r˙ 2 mi i 2

!

=

∂r i q˙l + ∂ql ∂t

!#

N

1X ∂ = mi | r˙ i |2 2 ∂qj i=1

∂ T ∂qj

(2.30)

Y entonces reemplazando (2.29) y (2.30) en (2.26) se obtiene: N X i=1

p˙ i · δr i =

n X

δqj

j=1

d ∂T ∂T − dt ∂ q˙j ∂qj

(2.31)

Finalmente, reemplazando en el principio de D’Alembert (2.22) los resultados (2.24) y (2.31), se encuentra que: n X d ∂T ∂T δW = Qj − − δqj = 0 dt ∂ q˙j ∂qj j=1

Puesto que para un sistema holon´ omico todas las δqj son independientes, entonces cada uno de los coeficientes en la u ´ltima expresi´ on debe desaparecer por separado, por lo tanto: d ∂T ∂T Qj − − =0 dt ∂ q˙j ∂qj Por lo anterior, la ecuaci´ on de movimiento del sistema esta dada por: d ∂T ∂T − = Qj ; dt ∂ q˙j ∂qj

j = 1, 2, . . . , n

(2.32)


63

siendo n el n´ umero de grados de libertad del sistema. Para el caso en que las fuerzas externas F i sean conservativas, la ecuaci´ on (2.32) puede simplificarse. Para hacer esto, se tiene en cuenta que una fuerza conservativa puede escribirse en términos de la energ´ıa potencial V de la siguiente manera: F i (r 1 , r 2 , . . . , r N ) = −∇i V (r 1 , r 2 , . . . , r N ) en consecuencia, para este caso, las fuerzas generalizadas son: Qj =

N X i=1

N

X ∂r i ∂r i Fi · =− ∇i V · ∂qj ∂qj i=1

Teniendo en cuenta que V es funcion de las coordenadas cartesianas, es decir V = V (r 1 , r 2 , . . . , r N ), entonces: ∂V ∂V ∂r i ∂r i = · = ∇i V · ∂qj ∂r i ∂qj ∂qj por lo tanto las fuerzas generalizadas quedan escritas como: Qj = −

∂V ∂qj

En consecuencia de lo anterior, la ecuaci´ on de movimiento (2.32) se puede escribir como: d dt

∂T ∂ q˙j

−

∂V ∂T =− ∂qj ∂qj

j = 1, 2, . . . , n

o equivalentemente: d ∂T ∂(T − V ) − =0 dt ∂ q˙j ∂qj

j = 1, 2, . . . , n

(2.33)

Si V es funci´ on de la posici´ on u ńicamente, entonces es independiente de las velocidades generalizadas q˙j , y por lo tanto se cumple que: ∂T ∂(T − V ) = ∂ q˙j ∂ q˙j

64


El anterior resultado permite, para el caso de energ´ıas potenciales V que solamente dependan de las coordenadas generalizadas, escribir la ecuaci´ on de movimiento (3.23) como: d ∂(T − V ) ∂(T − V ) − = 0; dt ∂ q˙j ∂qj

j = 1, 2, . . . , n

(2.34)

Si se define la funci´ on Lagrangiana (o Lagrangiano) del sistema L como L = T − V , es decir: L(qi , q˙i , t) = T (qi , q˙i , t) − V (qi )

(2.35)

entonces, en términos de esta funci´ on las ecuaciones de movimiento (2.34) est´ an dadas por: d ∂L ∂L = 0; j = 1, 2, . . . , n (2.36) − dt ∂ q˙j ∂qj Las ecuaciones (2.36) se conocen como las ecuaciones de movimiento del sistema o ecuaciones de Lagrange, v´ alidas para un sistema din´ amico holon´ omico conservativo. Si alguna de las fuerzas que act´ uan en el sistema no es conservativa, las ecuaciones de Lagrange se pueden escribir en la forma: d ∂L ∂L − = Qj′ ; j = 1, 2, . . . , n (2.37) dt ∂ q˙j ∂qj donde L contiene al potencial de la fuerza conservativa y Qj′ representa la fuerza generalizada asociada con la fuerza no conservativa. Ejemplos de fuerzas no conservativas son las fuerzas de fricci´ on y las fuerzas que dependen expl´ıcitamente del tiempo.

2.7.

Energ´ıa cin´ etica en coordenadas generalizadas

De la forma m´ as general, la energ´ıa cinética se considera que es funci´ on de T = T (qi , q˙i , t). En coordenadas rectangulares, la energ´ıa cinética esta dada por: N

1X T = mi r˙i2 2 i=1

(2.38)

65

´ 2.7. ENERGÍA CINETICA EN COORDENADAS GENERALIZADAS

es decir es una funci´ on cuadr´ atica de las velocidades. Teniendo en cuenta que la derivada de r con respecto al tiempo, puede escribirse como: n X ∂r i

r˙ i =

j=1

y ya que:

q˙j +

∂qj

∂r i ∂t

  n X ∂r i ∂r i  (r˙ i )2 = (r˙ i · r˙ i ) =  q˙j + · ∂qj ∂t

n X ∂r i

j=1

=

l=1

∂r i q˙l + ∂ql ∂t

!

n n X X ∂r i ∂r i ∂r i ∂r i ∂r i ∂r i · q˙j q˙l + 2 · q˙j + · ∂qj ∂ql ∂qj ∂t ∂t ∂t j=1

j, l=1

entonces la energ´ıa cinética T , dada por (2.38), escrita en términos de las coordenadas generalizadas, se convierte en: n X

T (q, ˙ q, t) =

ajl q˙j q˙l +

n X

bj q˙j + c

(2.39)

j=1

j, l=1

donde los coeficientes ajl , bj y c se han definido como: N X 1

ajl =

2

i=1

bj =

N X

mi

mi

i=1

c=

N X 1 i=1

2

∂r i ∂r i · ∂qj ∂ql

∂r i ∂r i · ∂qj ∂t

mi

∂r i ∂ti · ∂t ∂t

Para sistemas escleron´ omicos, el tiempo t no aparece expl´ıcitamente en la transformaci´ on de coordenadas, es decir: r i = r i (q1 , q2 , . . . , qn )

i = 1, 2, . . . , N

entonces para estos sistemas se cumple que los coeficientes bj = c = 0 y entonces la energ´ıa cinética queda expresada por: T =

n X

j, l=1

ajl q˙j q˙l

(2.40)

66


es decir, la energ´ıa cinética es, como suced´ıa en coordenadas rectangulares, una funci´ on cuadr´ atica de las velocidades generalizadas. Si en este caso se diferencia T con respecto a q˙k , se tiene: n X ∂T ∂ q˙l = ajl q˙j ∂ q˙k ∂ q˙k j, l=1

=

n X

(ajl q˙j δlk + ajl δjk q˙l )

j, l=1

=

n X

ajk q˙j +

j=1

n X

akl q˙l

l=1

Multiplicando el anterior resultado por q˙k y sumando sobre k se obtiene: X k

q˙k

X X ∂T = ajk q˙k q˙j + akl q˙k q˙l ∂ q˙k k, j

=

X

k, l

ajk q˙k q˙j +

k, j

=2

X

alk q˙k q˙j

k, j

X

ajk q˙k q˙j = 2T

k, j

resultado que es un caso especial del teorema de Euler. Este teorema establece que si F (yi ) es una funci´ on homogénea de yi , o sea de grado n, es decir: F (λyi ) = λn F (yi ) entonces se cumple: X i

yi

∂F = nF ∂yi

Ejemplo 2.9. Part´ıcula de masa m bajo la influencia de una fuerza derivada de un potencial V que depende de la posici´ on.

2.8. MOMENTO GENERALIZADO

67

La energ´ıa cinética en coordenadas cartesianas es: 3

T =

1 X 2 m x˙ i 2 i=1

Esta es una funci´ on homogénea de xi y en éste caso n = 2. De acuerdo al teorema de Euler se cumple que: 3 X i=1

x˙ i

∂T = 2T ∂ x˙ i

y por lo tanto la funci´ on Lagrangiana de este sistema es: 3

L=T −V =

1 X 2 m x˙ i − V 2 i=1

❏

2.8.

Momento generalizado

El momento pxi , en coordenadas cartesianas, se puede escribir en términos de la funci´ on Lagrangiana, de la siguiente manera: ∂L = m x˙ i = pxi ∂ x˙ i El momento generalizado pi , asociado con la coordenada generalizada qi , se define como: pi =

∂L ∂ q˙i

(2.41)

Para el caso de un sistema holon´ omico conservativo, cuya ecuaci´ on de movimiento está dada por (ver (2.36)): d ∂L ∂L = ; i = 1, 2, . . . , n dt ∂ q˙i ∂qi entonces, reemplazando (2.41) en la anterior ecuaci´ on, se obtiene d ∂L ∂V pi = =− dt ∂qi ∂qi

68


o de forma similar: ∂V dpi = p˙i = dt ∂qi siendo ésta u ´ltima ecuaci´ on, la segunda ley de movimiento Newton. Entonces se puede afirmar que las ecuaciones de Lagrange representan, efectivamente, las ecuaciones de movimiento del sistema. Ejemplo 2.10. Part´ıcula simple de masa m moviéndose libremente en una dimensi´ on (figura 2.17). mb

x

Figura 2.17. Part´ıcula simple moviéndose libremente en una dimensión.

La energ´ıa cinética del sistema es: T =

1 m vx2 2

no hay fuerzas actuando sobre la part´ıcula, por lo tanto V =0 y luego, la funci´ on Lagrangiana del sistema es: L=T −V =

1 1 m vx2 = mx˙ 2 2 2

La ecuaci´ on de Lagrange es: d dt

∂L ∂ x˙

−

∂L =0 ∂x

lo cual se reduce a: d (mx) ˙ =0 dt


69

luego m¨ x=0 Por lo anterior, la ecuaci´ on de movimiento de la part´ıcula libre es: x ¨=0 cuya soluci´ on es de la forma x(t) = vt + x0 siendo v la velocidad constante con que se mueve la part´ıcula y x0 la posici´ on de la part´ıcula en el tiempo inicial t0 .

❏ Ejemplo 2.11. Péndulo simple de longitud l y masa m (figura 2.18).

l cos θ θ

l

b

m

˙ v = ωr = θl Figura 2.18. Péndulo simple.

La fuerza externa que act´ ua sobre la part´ıcula de masa m es: F = −mgb y fuerza que se puede escribir en términos de la energ´ıa potencial gravitacional V , como F =−

dV b  dy

70


Por lo tanto se cumple: mg =

dV dy

de donde se obtiene que la energ´ıa potencial gravitacional es V (y) = mgy La energ´ıa cinética del péndulo es: T =

1 1 ˙ 2 = 1 ml2 θ˙2 mv 2 = m(lθ) 2 2 2

La energ´ıa potencial se puede escribir como: V = mg(l − l cos θ) = mgl(1 − cos θ) y por lo tanto la funci´ on Lagrangiana del sistema es: 1 2 ˙2 ml θ − mgl(1 − cos θ) 2 Teniendo en cuenta que la coordenada generalizada es θ, entonces la ecuaci´ on de movimiento del péndulo se obtiene de: d ∂L ∂L − =0 ˙ dt ∂ θ ∂θ L = T −V =

A partir de la funci´ on L se obtiene que: ∂L = −mgl sen θ ∂θ

y

∂L = ml2 θ˙ ∂ θ˙

en consecuencia: d dt

∂L ∂ θ˙

= ml2 θ¨

Por lo tanto, la ecuaci´ on de movimiento del péndulo es: ml2 θ¨ + mgl sen θ = 0 o escrita de forma equivalente: g θ¨ + sen θ = 0 l

❏

71


Ejemplo 2.12. Masa de Hook (figura 2.19). k m x Figura 2.19. Masa de Hook.

Para este caso, la fuerza externa que act´ ua sobre el sistema es la fuerza de Hook, dada por: F = −kxbı la cual, en términos de la energ´ıa potencial, queda escrita como: F =− de donde se obtiene que:

dV bı dx

−kx = −

dV dx

y as´ı, la energ´ıa potencial para este caso es: V (x) =

kx2 2

Teniendo en cuenta que la energ´ıa cinética del cuerpo de masa m es: T =

1 mx˙ 2 2

entonces: L=T −V =

1 mx˙ 2 2

Puesto que para este caso, la coordenada generalizada es x, entonces la ecuaci´ on de movimiento de movimiento se puede obtener a partir de: d ∂L ∂L − =0 dt ∂ x˙ ∂x

72


A partir de L se obtiene inmediatamente que: ∂L = −kx ∂x

∂L = mx˙ ∂ x˙

y

por lo tanto la ecuación de movimiento del sistema est´ a dada por m¨ x + kx = 0 o de forma equivalente por: x ¨+

k x=0 m ❏

Ejemplo 2.13. Masa de Hook sujeta a una fuerza senosoidal de la forma F0 sen ωt, tal como lo muestra la figura 2.20. F0 sen ωt b

k m x Figura 2.20. Masa de Hook sujeta a una fuerza senosoidal.

Teniendo en cuenta lo expuesto en el ejemplo anterior, para este sistema se cumple: T =

1 mx˙ 2 2

V =

1 2 kx 2

L=T −V =

mx˙ 2 kx2 − 2 2

est´ ando dada la fuerza generalizada por: Q ′ = F0 sen ωt


73

La ecuaci´ on de Lagrange para este caso es: d ∂L ∂L − = Q′ dt ∂ x˙ ∂x y en consecuencia, la ecuaci´ on de movimiento del sistema est´ a dada por: m¨ x + kx = F0 sen ωt ❏

Ejemplo 2.14. Part´ıcula de masa m, moviéndose en el plano xy, sujeta a una fuerza atractiva proporcional al inverso de la distancia al cuadrado (figura 2.21). Encontrar la ecuaci´ on de movimiento y las fuerzas generalizadas. y mb r

br F = − rk2 U

θ x Figura 2.21. Part´ıcula moviéndose en el plano xy sujeta a una fuerza atractiva.

Como coordenadas generalizadas se eligen las coordenadas polares r y θ. Las coordenadas cartesianas x y y escritas en términos de estas coordenadas son: x = r cos θ y = r sen θ de donde es posible obtener que: x˙ = r˙ cos θ − r sen θ θ˙ y˙ = r˙ sen θ + r cos θ θ˙

74


Para este sistema, la fuerza externa que act´ ua sobre la part´ıcula es: F =−

∂V b Ur ∂r

donde k representa la constante de proporcionalidad entre la fuerza y el inverso de la distancia al cuadrado. Esta fuerza, escrita en terminos de la energia potencial V , es: −

k dV =− r2 dr

de donde se encuentra que V est´ a dada por: V =−

k r

La energ´ıa cinética de la part´ıcula, en coordenadas polares, se escribe como: T =

1 1 mv 2 = (x˙ 2 + y˙ 2 ) 2 2

=

1 ˙ 2 + (r˙ sen θ + r cos θ θ) ˙ 2] m[(r˙ cos θ − r sen θ θ) 2

=

1 m(r˙ 2 cos2 θ − 2r r˙ θ˙ sen θ cos θ + r 2 sen2 θ θ˙ 2 2 + r˙ 2 sen2 θ + 2r r˙ θ˙ sen θ cos θ + r 2 cos2 θ θ˙ 2 )

de donde es posible obtener que: T =

1 m(r˙ 2 + r 2 θ˙ 2 ) 2

y asi, la funci´ on Lagrangiana queda escrita como: L=T −V =

1 k m(r˙ 2 + r 2 θ˙2 ) + 2 r

Las ecuaciones de Lagrange del sistema son: d ∂L ∂L − =0 dt ∂ r˙ ∂r


d dt

∂L ∂ θ˙

−

75

∂L =0 ∂θ

Con respecto a la coordenada r, se cumple que: ∂L = mr˙ ∂ r˙

y

∂L k = mr θ˙ 2 − 2 ∂r r

por lo cual, la ecuaci´ on de movimiento de la coordenada r es: k m¨ r − mr θ˙ 2 + 2 = 0 r o lo que es lo mismo m¨ r − mr θ˙ 2 = Fr Respecto a la coordenada θ se cumple que: ∂L = mr 2 θ˙ ˙ ∂θ

y

∂L =0 ∂θ

por lo tanto la ecuaci´ on de movimiento de la coordenada θ est´ a dada por: mr 2 θ¨ + 2mr r˙ θ˙ = 0 o de forma equivalente por r θ¨ + 2r˙ θ˙ = 0 Se observa que para este sistema se cumple que: d ˙ = 0 = dL (mr 2 θ) dt dt por lo tanto, el momento angular L′ = mr 2 θ˙ es una integral de movimiento, cumpliéndose que: L′ = mr 2 θ˙ = cte As´ı se concluye que en un campo de fuerza conservativo, el momento angular L′ es una constante de movimiento.

76


Para este sistema, las fuerzas generalizadas son: Qr = Fr

y

Qθ = rFθ

por lo cual las ecuaciones de movimiento son: d ∂T ∂T − = Qr = Fr = m¨ r − mr θ¨2 dt ∂ r˙ ∂r d dt

∂T ∂ θ˙

−

∂T d ˙ = Qθ = rFθ = (mr 2 θ) ∂θ dt

Se observa que para la fuerza generalizada Qθ se cumple que: Qθ = τ = rFθ =

′ d ˙ = dL = 0 (mr 2 θ) dt dt

es decir, el torque τ en el sistema es igual a cero.

❏

Ejemplo 2.15. Considere una m´ aquina de Atwood cuya cuerda tiene longitud l y la polea radio a (figura 2.22). Calcule la aceleraci´ on del sistema.

b

a l−y

y

m2 m1

Figura 2.22. Máquina de Atwood.

Para este sistema hay un solo grado de libertad y.


77

Las velocidades de los dos cuerpos de masas m1 y m2 y la velocidad angular del disco son: v1 =

dy = y˙ dt

v2 =

d(l − y) = −y˙ dt

ω=

v a

donde v = |v1 | = |v2 | = y˙ La energ´ıa cinética T , la energ´ıa potencial V y la funci´ on Lagrangiana del sistema L son: T =

1 1 1 1 1 y˙ 2 1 m1 v1 + m2 v2 + Iω 2 = m1 y˙ 2 + m2 y˙ 2 + I 2 2 2 2 2 2 2 a

V = −m1 gy − m2 g(l − y) 1 L=T −V = 2

I m1 + m2 + 2 a

y˙ 2 + g(m1 − m2 )y + m2 gl

La ecuaci´ on de Lagrange est´ a dada por: d ∂L ∂L − =0 dt ∂ y˙ ∂y A partir de L se obtiene que: ∂L I = m1 + m2 + 2 ∂ y˙ a

y

∂L = g(m1 − m2 ) ∂y

por lo cual, la ecuaci´ on de movimiento queda escrita como: I m1 + m2 + 2 y¨ − g(m1 − m2 ) = 0 a de donde se obtiene que la aceleraci´ on del sistema es: y¨ =

g(m1 − m2 ) m1 + m2 + aI2

78


Para el caso en que la polea no tenga masa, es decir I = 0, la aceleraci´ on del sistema es: y¨ =

(m1 − m2 ) g (m1 + m2 )

Se observa que si se cumple que m1 > m2 entonces el cuerpo de masa m1 desciende y el de masa m2 asciende, mientras que si m2 > m1 entonces el de masa m1 asciende y el de masa m2 desciende. ❏ Ejemplo 2.16. Un plano inclinado de masa M est´ a desliz´ andose sobre una superficie horizontal, mientras que una part´ıcula de masa m lo hace sobre la superficie inclinada (figura 2.23). Escriba las ecuaciones de movimiento del plano inclinado y las aceleraciones de los dos cuerpos.

x˙ 1

02

θ x2

v

M x1

x˙ 2

m θ

01 Figura 2.23. Plano inclinado deslizándose sobre una superficie horizontal y part´ıcula deslizándose sobre la superficie inclinada.

El sistema tiene dos grados de libertad x1 y x2 . La velocidad de M respecto a 01 es x˙ 1 y la velocidad de m respecto a 02 es x˙2 . La velocidad v de m respecto a 01 es: v = x˙ 1 + x˙ 2 = v 1 + v 2 entonces v2 = x˙ 21 + x˙ 22 + 2x˙ 1 x˙ 2 cos θ

79


La energ´ıa cinética T , la energ´ıa potencia V y la funci´ on Lagrangiana L, para este sistema son: T =

1 1 M x˙ 21 + m(x˙ 21 + x˙ 22 + 2x˙ 1 x˙ 2 cos θ) 2 2

V = −mgx˙ 2 sen θ L=T −V =

1 1 M x˙ 21 + m(x˙ 21 + x˙ 22 + 2x˙ 1 x˙ 2 cos θ) + mgx˙ 2 sen θ 2 2

Las ecuaciones de Lagrange est´ an dadas por: dL d dL − =0 dt dx˙ 1 dx1 d dL dL − =0 dt dx˙ 2 dx2 Con respecto a la coordenada x1 se tiene: dL = M x˙ 1 + mx˙ 1 + mx˙ 2 cos θ dx˙ 1

y

dL =0 dx1

de donde se obtiene que: d dt

dL dx˙ 1

= (M + m)¨ x1 + m¨ x2 cos θ = 0

Haciendo uso de los resultados anteriores, se obtiene que la ecuaci´ on de movimiento para la coordenada x1 est´ a dada por: (M + m)a1 + ma2 cos θ = 0

(2.42)

Para la coordenada x2 se tiene: dL = mx˙ 2 + mx˙ 2 cos θ dx˙ 2

y

L = mg sen θ x2

por lo cual, la ecuaci´ on de movimiento para la coordenada x2 es: m¨ x2 + m¨ x1 cos θ − mg sen θ = 0

(2.43)

80


de donde se encuentra que la aceleraci´ on del cuerpo que se desliza sobre el plano inclinado es: a2 = g sen θ − a1 cos θ

(2.44)

Por otra parte, reemplazando (2.44) en (2.42) se obtiene: (M + m)a1 + m cos θ(g sen θ − a1 cos θ) = 0 de donde se encuentra que la aceleraci´ on del plano inclinado est´ a dada por a1 =

mg cos θ sen θ m sen2 θ + M

y por lo tanto, la aceleraci´ on del cuerpo que se desliza sobre el plano inclinado queda escrita como: a2 = g sen θ + mg

cos2 θ sen θ m sen2 θ + M

m cos2 θ = g sen θ 1 + m sen2 θ + M = g sen θ

=

m sen2 θ + m cos2 θ + M m sen2 θ + M

g(m + M ) sen θ m sen2 θ + M ❏

2.9.

Coordenada generalizada c´ıclica o ignorable

La funci´ on Lagrangiana en coordenadas generalizadas est´ a dada por: L(q, q, ˙ t) = L(q1 , q2 , . . . , qn ; q˙1 , q˙2 , . . . , q˙n ; t) de tal forma que esta funci´ on, para sistemas escleron´ omicos y conservativos, queda escrita as´ı: L(q, q, ˙ t) = T (q) ˙ − V (q)

2.9. COORDENADA GENERALIZADA CÍCLICA O IGNORABLE

81

= T (q˙1 , q˙2 , . . . , q˙n ) − V (q1 , q2 , . . . , qn ) Teniendo en cuenta que las ecuaciones de Lagrange est´ an dadas por: d ∂L ∂L = ; i = 1, 2, . . . , n dt ∂ q˙i ∂qi y recordando que el momento generalizado se ha definido como pi = entonces las ecuaciones de Lagrange pueden reescribirse as´ı:

∂L , ∂ q˙i

d ∂L (pi ) = dt ∂qi donde al tenerse en cuenta que L = T − V entonces: p˙i =

∂ (T − V ) ∂qi

y ya que T no tiene dependencia respecto de las coordenadas generalizadas, entonces las ecuaciones de Lagrange se convierten en: Fi = p˙i = −

∂V ∂qi

siendo este ultimo resultado la segunda ley de movimiento de Newton o ecuaci´ on de movimiento. Si la funci´ on Lagrangiana L no depende expl´ıcitamente de la coordenada generalizada qk , cuyo momento generalizado es pk = ∂∂L q˙k , entonces la ecuaci´ on de Lagrange para la coordenada generalizada qk es: d ∂L ∂L =0 − dt ∂ q˙k ∂qk y ya que: ∂L =0 ∂qk entonces la ecuaci´ on de Lagrange se convierte en d dt

∂L ∂ q˙k

=

d pk = 0 dt

82


por lo tanto el momento generalizado pk es una constante de movimiento, es decir: pk = cte de movimiento A la coordenada qk se le denomina coordenada c´ıclica o ignorable. En el ejemplo de una part´ıcula sujeta a una fuerza central, donde la funci´ on Lagrangiana tiene la forma: 1 L = T − V = m(r˙ 2 + r 2 θ˙2 ) − V (r) 2 siendo V (r) el potencial central, las coordenadas generalizadas son: q1 = r q2 = θ Los momentos generalizados correspondientes son obtenidos a partir de: ∂L ∂ q˙1 ∂L p2 = ∂ q˙2 p1 =

Puesto que en la funci´ on Lagrangiana no aparece expl´ıcitamente la coordenada θ, por lo tanto pθ es una constante de movimiento, es decir: pθ =

∂L = mr 2 θ˙ = cte = L′ ∂ θ˙

Para el ejemplo del cuerpo desliz´ andose sobre el plano inclinado que se desliza a su vez se sobre una superficie plana, la funci´ on Lagrangiana est´ a dada por: L=

1 1 M x˙ 21 + m(x˙ 21 + x˙ 22 + 2x˙ 1 x˙ 2 cos θ) + mgx2 sen θ 2 2

Las coordenadas generalizadas son: q1 = x1 q2 = x2 y sus momentos generalizados correspondientes se obtienen a partir de: p1 =

∂L ∂ x˙ 1

2.9. COORDENADA GENERALIZADA CÍCLICA O IGNORABLE

p2 =

83

∂L ∂ x˙ 2

Puesto que la coordenada generalizada x1 no aparece expl´ıcitamente en L, entonces: p1 =

∂L = M x˙ 1 + mx˙ 1 + mx˙ 2 cos θ ∂ x˙ 1 = (M + m)x˙ 1 + mx˙ 2 cos θ = cte

84


Cap´ıtulo 3

Principio variacional de Hamilton y ecuaciones de Euler-Lagrange En este capitulo se plantea el principio variacional de Hamilton tomando como punto de partida el principio de D’Alembert y se derivan las ecuaciones de Lagrange a partir del principio de Hamilton. El principio de Hamilton es una formulaci´ on variacional de las leyes de movimiento en el espacio de configuraci´ on. Las ecuaciones de Lagrange derivadas a partir del principio de Hamilton se conocen como ecuaciones de Euler-Lagrange, debido a que fue Euler quien primero las dedujo a través de un procedimiento variacional. El principio de Hamilton se considera m´ as fundamental que las ecuaciones de Newton y por tal motivo se puede aplicar a un gran rango de fen´ omenos f´ısicos cl´ asicos en los que est´ an involucrados campos y en los que las ecuaciones de Newton no se pueden aplicar.

3.1.

Principio de Hamilton

La funcional acci´ on o integral acci´ on S de un sistema f´ısico se define como la integral en el tiempo de la funci´ on Lagrangiana, definida entre dos tiempos espec´ıficos, el inicial t1 y el final t2 , es decir:

S=

Zt2

t1

85

L dt

(3.1)

86

CAPÍTULO 3. Principio de Hamilton y ecuaciones de Euler-Lagrange

o haciendo expl´ıcita la dependencia funcional, de la forma m´ as general posible para un sistema conservativo, la funcional acci´ on queda escrita como: S(qk , q˙k , t) =

Zt2

L(qk , q˙k , t) dt =

t1

Zt2

t1

[T (qk , q˙k , t) − V (qk )] dt

(3.2)

en otras palabras, la funcional S depende de las coordenadas generalizadas qk (t), con k = 1, 2, 3, ..., n (siendo n el n´ umero de grados de libertad del sistema), de las derivadas respecto al tiempo de las coordenadas generalizadas q˙k (t) y eventualmente del tiempo t. El conjunto de coordenadas generalizadas qk (t), evaluadas en un instante de tiempo dado, representan la configuraci´ on espec´ıfica del sistema en ese instante, es decir representa el estado f´ısico din´ amico del sistema. Lo anterior significa que, para el tiempo inicial on inicial del sistema est´ a representada por qk (t1 ) = q1 , t1 , la configuraci´ mientras que para el tiempo final t2 la configuraci´ on del sistema est´ a representada por qk (t2 ) = q2 . t b

t2

t1

b

qk q1 = qk (t1 )

q2 = qk (t2 )

Figura 3.1. Diferentes trayectorias en el espacio de configuraci´ on del sistema que conectan la configuraci´ on q1 en t1 con la configuraci´ on q2 en t2 .

Puesto que la funcional S corresponde a la integral en el tiempo de la funci´ on Lagrangiana definida entre dos tiempos espec´ıficos, entonces el sistema f´ısico est´ a moviéndose de una configuraci´ on inicial q1 en el tiempo t1 a una configuraci´ on final q2 en el tiempo t2 . Lo anterior implica que la funcional S puede ser evaluada en cada una de las posibles trayectorias

3.1. PRINCIPIO DE HAMILTON

87

definidas en el espacio de configuraci´ on, donde las trayectorias posibles son aquellas que conducen al sistema de la configuraci´ on inicial q1 , en el tiempo t1 , a la configuraci´ on final q2 , en el tiempo t2 , tal como se muestra en la figura 3.1. Cada escogencia de una configuraci´ on qj proporciona un valor numérico dado para S = S(qj , q˙j , t), por ser la funcional acci´ on una funci´ on de la configuraci´ on. El principio de Hamilton establece que “para sistemas din´ amicos holon´ omicos conservativos, el sistema se mueve de una configuraci´ on inion final q2 = qk (t2 ), en cial q1 = qk (t1 ), en el tiempo t1 , a una configuraci´ el tiempo t2 , siguiendo la trayectoria en el espacio de configuraci´ on para la cual la funcional acci´ on toma un valor estacionario”. En otras palabras, para un sistema din´ amico, en principio, sujeto a ciertas ecuaciones de ligadura, la trayectoria seguida por el sistema durante un intervalo de tiempo dado (llamada trayectoria din´ amica) es aquella para la cual el valor de la acci´ on es un extremo. Desde el punto de vista funcional, lo anterior significa que si un conjunto de funciones qk (t) conducen a un valor m´ınimo (o m´ aximo) de la integral acci´ on S, entonces el conjunto de funciones vecinas a qk (t), que se diferencian de esta por una cantidad δqk (t), deben incrementar (o decrecer) la acci´ on S en una cantidad δS. Lo anterior, en términos del c´ alculo variacional, significa que la variaci´ on de la acci´ on δS debe ser cero para la trayectoria din´ amica, esto es: δS = δ

Zt2

L(qk (t), q˙k (t); t) dt = 0

(3.3)

t1

donde las variaciones de las configuraciones posibles qk (t) y por lo tanto de las q˙k (t) en los extremos son tales que: δqk (t1 ) = δqk (t2 ) = 0 δq˙k (t1 ) = δq˙k (t2 ) = 0 Si la funcional acci´ on est´ a definida como S = S(qk , q˙k , t), una variaci´ on δS de S se origina en una variaci´ on δqk de la configuraci´ on qk , es decir: qk′ = qk + δqk Para una configuraci´ on arbitraria qk′ se cumple, en general, que: S ′ = S(qk′ , q˙k′ , t) 6= S = S(qk , q˙k , t)

88


o de forma equivalente: δS = S(qk′ , q˙k′ , t) − S(qk , q˙k , t) 6= 0 Si la configuraci´ on qk = qi , corresponde a la trayectoria f´ısica real (o sea la trayectoria din´ amica), entonces para: qi′ = qi + δqi se cumple que: S(qi′ , q˙i′ , t) − S(qi , q˙i , t) = 0 es decir, para la trayectoria din´ amica la funcional acci´ on toma un valor estacionario.

3.2.

Ecuaciones de Euler-Lagrange

Ahora sup´ ongase que se toma una variaci´ on arbitraria δqk sobre una configuraci´ on qk (t) dada, es decir: qk′ (t) = qk (t) + δqk

(3.4)

El interés se centra en determinar cual es el efecto de la variaci´ on de la on S, o en otras palabras en obtener configuraci´ on δqk en la funcional acci´ cual es la variaci´ on δS producida por la variaci´ on δqk , para lo cual se parte ′ de evaluar S en la configuraci´ on qk , as´ı: S ′ = S(qk′ , q˙k′ , t) = S(qk + δqk , q˙k + δq˙k , t)

(3.5)

donde al tener en cuenta la definici´ on de la funcional acci´ on, se tiene: ′

S =

Zt2

L(qk + δqk , q˙k + δq˙k , t) dt

t1

La funci´ on Lagrangiana L(qk + δqk , q˙k + δq˙k , t) se puede escribir como: L(qk + δqk , q˙k + δq˙k , t) = L(qk , q˙k , t) +

∂L ∂L δqk + δq˙k + O(δqk2 ) + O(δq˙k2 ) ∂qx ∂ q˙k

donde los indices repetidos en el segundo y tercer términos, al lado derecho de la igualdad, est´ an indicando que existe una suma sobre el ´ındice k. A

89

3.2. ECUACIONES DE EULER-LAGRANGE

partir de la expresi´ on anterior se obtiene que la variaci´ on de la funci´ on Lagrangiana δL es: δL = L(qk′ , q˙k′ , t) − L(qk , q˙k , t) =

∂L ∂L δqk + δq˙k ∂qk ∂ q˙k

(3.6)

donde se han despreciando los términos de orden superior. Por lo anterior, la variaci´ on de la funcional acci´ on δS est´ a dada por: δS =

Zt2

δL dt =

t1

Zt2 X k

t1

∂L ∂L δqk + δq˙k ∂qk ∂ q˙k

dt

(3.7)

El segundo término de (3.7) se puede reescribir de la siguiente manera: ∂L ∂L dqk ∂L d = δqk δq˙k = δ ∂ q˙k ∂ q˙k dt ∂ q˙k dt

(3.8)

Si se tiene en cuenta que: ∂L d ∂L d ∂L d δqk = δqk + δk dt ∂ q˙k dt ∂ q˙k ∂ q˙k dt entonces, la expresi´ on (3.8) se puede escribir como: ∂L d d ∂L d ∂L δqk − δqk = δqk ∂ q˙k dt dt ∂qk dt ∂ q˙k resultado que al ser reemplazado en (3.7) conduce a:

δS =

Zt2 X

t1

k

∂L d δqk + ∂qk dt

∂L δqk ∂ q˙k

d − dt

∂L ∂ q˙k

δqk dt

donde al reagrupar los términos se obtiene: δS =

Zt2 X

t1

k

d ∂L − ∂qk dt

∂L ∂ q˙k

δqk dt +

Zt2

d

t1

∂L δqk ∂ q˙k

Si se realiza la segunda integral que aparece en (3.9), el resultado es: Zt2

t1

d

∂L δqk ∂ q˙k

∂L = ∂ q˙k

t=t2

∂L δqk (t2 ) − ∂ q˙k

t=t2

δqk (t1 ) = 0

(3.9)

90


ya que la configuraci´ on qk en los extremos no tiene variaciones, es decir δqk (t2 ) = δqk (t1 ) = 0. Por lo anterior (3.9) queda escrita como: δS =

Zt2 X k

t1

∂L d − ∂qk dt

∂L ∂ q˙k

δqk dt

(3.10)

habiéndose obtenido, por lo tanto, la variaci´ on δS en términos de la variaci´ on δqk . El anterior resultado de forma equivalente, se puede escribir como: δS = δqk

Zt2 X k

t1

∂L d − ∂qk dt

∂L ∂ q˙k

dt

El interés se centra, a continuaci´ on, en encontrar la trayectoria en el espacio de configuraciones para la cual la funcional acci´ on es estacionaria, es δS decir cuando se satisface que δq = 0. Lo anterior implica que la trayectoria k din´ amica (o sea la trayectoria f´ısica que describe el sistema) es aquella en la que se cumple que: δS = δqk

Zt2 X

t1

k

d ∂L − ∂qk dt

∂L ∂ q˙k

dt = 0

(3.11)

expresi´ on que se satisface, independientemente de la variaci´ on realizada, siempre y cuando el argumento de la integral sea cero, es decir: d ∂L ∂L − =0 ∂qk dt ∂ q˙k o equivalentemente d dt

∂L ∂ q˙k

−

∂L =0 ∂qk

Si se denomina a la trayectoria f´ısica como qk = qi , entonces las ecuaciones de movimiento o ecuaciones de Euler-Lagrange est´ an dadas por: d dt

∂L ∂ q˙i

−

∂L = 0; ∂qi

i = 1, 2, 3, . . . , n

(3.12)

Se observa que cada uno de los grados de libertad del sistema, a partir de los cuales se define una configuraci´ on espec´ıfica del sistema, satisface una

´ 3.3. ALGUNOS ANTECEDENTES HISTORICOS DEL PRINCIPIO DE HAMILTON

91

ecuaci´ on de Euler-Lagrange. Al solucionar estas ecuaciones para cada uno de los grados de libertad del sistema y obtener el conjunto de funciones qi = qi (t), entonces se puede conocer la configuraci´ on del sistema en cualquier instante de tiempo, es decir, se puede conocer la trayectoria din´ amica del sistema en el espacio de configuraciones.

3.3.

Algunos antecedentes hist´ oricos del principio de Hamilton

A lo largo de la historia de la humanidad fil´ osofos y cient´ıficos han intentado explicar la variedad de fen´ omenos de la naturaleza a partir de un m´ınimo de leyes y principios. Finalizando la edad media, el genio italiano Leonardo da Vinci (1452-1519) ya ve´ıa que cuando un cuerpo cae en l´ınea recta el cuerpo toma el camino mas corto y en sus propias palabras dice “natura semper agit por vias brevissimas”. M´ as de un siglo después el fil´ osofo y matem´ atico alem´ an Gottfried Leibniz (1646-1716) en el Discurso de la Metaf´ısica escribi´ o lo siguiente “the greatest simplicity in its premises and the greatest wealth in its phenomena”. As´ı mismo, se˜ nal´ o que: “the perfectly acting being. . . can be compared to a clever engineer who obtains his effect in the simplest manner one can choose”. Por la misma época, el fil´ osofo frances Nicol´ as de Malenbranche (16381715) en su Recherche de la verité plante´ o un punto de vista llamado la “Econom´ıa de la Naturaleza”, del que se infiere como los fen´ omenos de la naturaleza se presentan de la forma mas econ´ omica posible. También por la misma época, el matem´ atico francés Pierre de Fermat (1601-1665) plante´ o el principio de m´ınimo tiempo para un rayo de luz que se refleja en un espejo. M´ as a´ un, de una forma complementaria, el f´ısico holandés Christian Huygens (1629-1695) prob´ o que el tiempo tomado por la luz para pasar entre dos puntos es un m´ınimo real, siendo esta prueba mas precisa que el principio planteado por Fermat. Unos a˜ nos después, el f´ısico francés Pierre Louis de Maupertuis (16981759) enunci´ o el denominado principio de m´ınima acci´ on, el cual afirma que “Lorsqu’il arrive quelque changement dans la Nature, la quantité d’actien nécessaire pour ce changement, est la plus petite qu’il soit possible”. El principio de m´ınima acci´ on fue primero publicado como un teorema exacto din´ amico por el matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) en 1744. Su proposici´ on dice que cuando una Rpart´ıcula viaja a través de dos puntos fijos esta toma el camino por el que vds es un m´ınimo, siendo v la velocidad de la part´ıcula y ds el correspondiente elemento de curva. “I am

92


dico lineam a corpore description a fore R comparatan, ut inter omnesR alias lineas resdem terminis contentns sit mdsv 2 seu, ob m constants, dsv 2 minimun”. La correcta formulaci´ on del principio de m´ınima acci´ on para casos generales se atribuye al matem´ atico frances Joseph-Louis Lagrange (1736-1813). El consider´ o que para un sistema de part´ıculas interactuantes, cuyas fuerzas pueden ser derivadas a partir de unR potencial, la acci´ on de cada part´ıcula puede ser definida como la integral vds. El principio lo plante´ o de la siguiente manera: “el sistema se mueve de una configuraci´ on a otra de tal forma que δ

X

mi

i

3.4.

Z

vi dsi

!

= 0”.

Funci´ on de disipaci´ on de Rayleigh

Las ecuaciones de Euler-Lagrange (3.12) son aplicables a sistemas holon´ omicos cuyas fuerzas generalizadas son derivables de una funci´ on potencial V (q) en forma tal que: Qi = −

∂V ∂qi

Si adicionalmente hay fuerzas aplicadas que sean funciones de las q, ˙ esto es fuerzas que dependen de las velocidades las cuales se representan por Qi′ , entonces las ecuaciones de movimiento toman la forma: d dt

∂L ∂ q˙i

−

∂L = Qi′ ; ∂qi

i = 1, 2, 3, . . . , n

(3.13)

Sin embargo se puede plantear otra aproximaci´ on para tratar sistemas en los que act´ uan fuerzas disipativas Qi′ , al escribir estas fuerzas, de una forma mas general, de la siguiente manera: Qi′ = −

n X

Cij (q, t)q˙j

(3.14)

j=1

donde los coeficientes Cij se conocen como coeficientes de amortiguaci´ on y dan lugar a una matriz real y simétrica.

´ DE DISIPACION ´ DE RAYLEIGH 3.4. FUNCION

3.4.1.

93

Fuerzas de fricci´ on

Las fuerzas generalizadas de fricci´ on son disipativas por naturaleza y dan lugar a una pérdida de energ´ıa para cualquier Qi′ 6= 0. Se define la funci´ on de disipaci´ on de Rayleigh F (q, q, ˙ t) como: n n 1 XX F = F (q, q, ˙ t) = Ckj q˙k q˙j 2

(3.15)

k=1 j=1

Las fuerzas generalizadas de fricci´ on se pueden escribir en términos de la funci´ on de Rayleigh dada por (3.15), como se observa a continuaci´ on:   n n ∂F ∂ 1 X X ′ Qi = − =− Ckj q˙k q˙j  ∂ q˙i ∂ q˙i 2 k=1 j=1

n n dq˙k dq˙j 1 XX Ckj q˙j + q˙k =− 2 dq˙i dq˙i k=1 j=1 n

1 XX =− [Ckj δki q˙j + Ckj q˙k δji ] 2 k=1 j=1 n

n

j=1

k=1

n

n

j=1

j=1

1X 1X =− Cij q˙j − Cik q˙k 2 2 =−

1X 1X Cij q˙j − Cij q˙j 2 2 n

−

X F = Qi′ = − Cij q˙j q˙i

(3.16)

j=1

obteniéndose (3.14). Reemplazando (3.16) en (3.13), las ecuaciones de EulerLagrange quedan escritas como: ∂L ∂F d ∂L − + =0 (i = 1, 2, 3, . . . , n) dt ∂ q˙i ∂qi ∂ q˙i donde se ha asumido que las fuerzas de fricci´ on dadas son u ńicamente fuerzas generalizadas que no pueden ser derivadas de una funci´ on potencial V .

94


La tasa en que las fuerzas generalizadas de fricci´ on realizan un trabajo sobre el sistema Pd , conocida como tasa de disipaci´ on de la energ´ıa mec´ anica total, se define como: Pd =

n X

Qi′ q˙i

i=1

donde al reemplazar (3.16) y comparar con (3.15) se encuentra: Pd = −

n X n X i=1 j=1

Cij q˙i q˙j = −2F

por lo cual: F =−

Pd 2

es decir, la funci´ on de disipaci´ on F es igual a la mitad de la tasa de disipaci´ on de la energ´ıa mec´ anica total. La funci´ on F debe ser invariante bajo transformaci´ on de coordenadas ya que la energ´ıa de disipaci´ on es independiente de las coordenadas usadas para describir las configuraciones del sistema. Una aplicaci´ on t´ıpica de la funci´ on de disipaci´ on de Rayleigh se encuentra en el an´ alisis de las peque˜ nas oscilaciones de un sistema natural al que se le ha adicionado un amortiguamiento. Ejemplo 3.1. Sup´ ongase un sistema descrito por la siguiente funci´ on Lagrangiana: n

L=

n

n

n

1 XX 1 XX mij q˙i q˙j − kij qi qj 2 2 i=1 j=1

i=1 j=1

donde las mij y kij son constantes y las correspondientes matrices m y k son simétricas. Las ecuaciones de Euler-Lagrange de este sistema est´ an dada por: d ∂L ∂L − = 0; l = 1, 2, . . . , n dt ∂ q˙l ∂ql


A partir de L se encuentra que:   n X n n n X d 1 1 XX dq˙i ∂L dq˙j  = mij q˙i q˙j = mij q˙j + q˙i ∂ q˙l dq˙l 2 2 dq˙l dq˙l i=1 j=1

n

i=1 j=1

n

1 XX = (mij δil q˙j + mij q˙i δjl ) 2 i=1 j=1 n

n

j=1

i=1

n

n

i=1

i=1

1X 1X = (mlj q˙j ) + (mil q˙i ) 2 2 =

1X 1X (mli q˙i ) + (mil q˙i ) 2 2

y puesto que m es unaq matriz simétrica, es decir mil → mli , entonces n

n

n

i=1

i=1

i=1

X ∂L 1X 1X = mli q˙i + mli q˙i = mli q˙i ∂ q˙l 2 2 Con este resultado se obtiene que: n

d ∂L X = mli qï dt ∂ q˙l i=1

De igual forma, a partir de L se obtiene que: 

n n 1 XX

∂L d  = − ∂ql dql 2

i=1 j=1



kij qi qj  = −

n X

kli qi

i=1

Por lo anterior, las ecuaciones de movimiento son: n X (mli qï + kli qi ) = 0

1 = 1, 2, . . . , n

i=1

o escritas en forma matricial m¨ q + kq = 0

95

96


Se observa que las soluciones de estas ecuaciones son funciones arm´ onicas. Ahora se estudiar´ a cual es el efecto de introducir un amortiguamiento en el sistema, es decir se introducen fuerzas disipativas de fricci´ on Ql′ en el sistema. Las ecuaciones de Euler Lagrange en este caso son: d ∂L ∂L − = Ql′ ; l = 1, 2, . . . , n dt ∂ q˙l ∂ql Ya que las fuerzas de friction se pueden escribir en términos de la funci´ on de disipaci´ on de Rayleigh, como: Ql′ = −

∂F ∂ q˙l

donde la funci´ on de disipaci´ on F se escribe como: n

F =

n

1 XX Cki q˙k q˙i 2 k=1 i=1

entonces las fuerzas disipativas de fricci´ on est´ an dadas por: ′

Ql = −

n X

Cli q˙i

i=1

Por lo cual, las ecuaciones de Euler Lagrange se escriben como: n n X X (mli qï + kli qi ) = − Cli q˙i ; i=1

l = 1, 2, . . . , n

i=1

o equivalentemente, como: n X (mli qï + Cli q˙i + kli qi ) = 0

l = 1, 2, . . . , n

i=1

o de forma matricial (con matrices n × n) como: m¨ q + Cq˙ + kq = 0

(3.17)


97

Si se suponen que las soluciones de las ecuaciones de movimiento son de la forma: qi = Ai C eλt entonces se tiene que: q˙i = λAi C eλt = λqi qï = λ2 qi Resultados que al ser reemplazados en (3.17) conducen a: n X (mli λ2 qi + Cli λqi + kli qi ) = 0

l = 1, 2, . . . , n

i=1

donde al reemplazar la forma de la soluci´ on, se obtiene la ecuaci´ on: n X (mli λ2 Ai + Cli λAi + kli Ai )C eλt = 0

l = 1, 2, . . . , n

i=1

la cual se satisface si: n X

(mli λ2 Ai + Cli λAi + kli Ai ) = 0

l = 1, 2, . . . , n

i=1

o equivalentemente si: n X (mli λ2 + Cli λ + kli )Ai = 0

l = 1, 2, . . . , n

i=1

La u ´ltima ecuaci´ on escrita matricialmente es: (λ2 m + λC + k)A = 0

(3.18)

Las n ecuaciones algebraicas obtenidas tienen una soluci´ on no trivial si y solamente si el determinante de los coeficientes es cero, esto es: | λ2 m + λc + k | = 0 Esta es la ecuaci´ on caracter´ıstica para el sistema, la cual es de grado 2n en λ. Ya que los coeficientes son reales, las 2n ra´ıces son reales u ocurren en pares conjugados complejos.

98


Haciendo la suposici´ on usual que A(k) = 1 para cada ra´ız λk , se puede 1 resolver el problema para la correspondiente columna nodal A(k) en (3.18). La soluci´ on general de las vibraciones libres se obtiene por las correspondientes soluciones superpuestas para cada una de las 2n ra´ıces, esto es: qi =

2n X

Aik Ck eλk t ;

i = 1,2. . . . , n

k=1

donde Ajk ≡ A(k) j .

3.5.

❏

Integrales de movimiento y leyes de conservaci´ on

Un sistema que no interact´ ua con ning´ un otro exterior, se llama sistema cerrado. Las part´ıculas del sistema cerrado puede interactuar entre si o no hacerlo. En la figura 3.2 se representa un sistema cerrado de n grados de libertad.

Sistema cerrado de n grados de libertad

Figura 3.2. Un sistema cerrado.

Par este tipo de sistemas, las ecuaciones de movimiento de los grados de libertad son ecuaciones diferenciales de segundo orden, dadas por: ∂L d ∂L − = 0; i = 1, 2, . . . , n dt ∂ q˙i ∂qi

´ DEL MOMENTO LINEAL99 3.6. HOMOGENEIDAD DEL ESPACIO Y CONSERVACION

que se solucionan teniendo en cuenta las condiciones iniciales de los grados de libertad qi (t = 0) = a; q˙i (t = 0) = 0. En este sistema se tienen 7 constantes o integrales de movimiento, discriminadas as´ı: 1. Momento lineal, que tiene tres componentes. 2. Momento angular, que tiene tres componentes. 3. Energ´ıa mec´ anica total. Alguna veces las ecuaciones de Euler-Lagrange pueden ser resueltas en términos de funciones conocidas, pero no siempre. En general, muchos problemas no siempre pueden solucionarse completamente o resulta muy tedioso hacerlo. Afortunadamente muy frecuentemente gran parte de la informaci´ on de interés del sistema est´ a contenida en las integrales de movimiento del sistema. Las integrales primeras de movimiento son funciones de los grados de libertad qi , de las derivadas en el tiempo de los grados de libertad q˙i y eventualmente del tiempo t, es decir: Fi (qi , q˙i , t) = αi = cte y son dependientes u ńicamente de las condiciones iniciales del problema.

3.6.

Homogeneidad del espacio y conservaci´ on del momento lineal

El sistema f´ısico de 3N grados de libertad est´ a descrito por la funci´ on Lagrangiana y sus grados de libertad est´ an referidos a un sistema de coordenadas espec´ıfico, siendo N el n´ umero de part´ıculas del sistema. La funci´ on Lagrangiana tiene la forma funcional: L = L(r 1 , r 2 , . . . , r N ; r˙ 1 , r˙ 2 , . . . , r˙ N , t)

(3.19)

Si el origen del sistema de coordenadas es desplazado en una cantidad constante δr = (ǫ1 , ǫ2 , ǫ3 ) o equivalentemente el sistema se desplaza respecto al origen del sistema de coordenadas en una cantidad δr, cada part´ıcula del sistema se desplazar´ a la misma cantidad δr i = δr (tal como se muestra en la figura 3.3), es decir:

100


x3

x3

x3′ Sistema

δr r

r r′

r′ x2

δr

x1

x2′

x2

x1

x1′

Figura 3.3. Desplazamiento del sistema de coordenadas en una cantidad δr. Esto es equivalente a desplazar cada part´ıcula del sistema en una cantidad δr.

r i → r i′ = r i + δr i ;

i = 1, 2, . . . , N

donde el desplazamiento δri se escribe como: δr i =

3 X

α=1

δxiα b eα

(3.20)

siendo δxi1 = ǫ1 , δxi2 = ǫ2 y δxi3 = ǫ3 . Ahora se estudiar´ a cual es el efecto de esta transformaci´ on en la funci´ on Lagrangiana L del sistema. Para lo anterior, se tiene en cuenta que el espacio es homogéneo y por lo tanto una traslaci´ on en el espacio no debe afectar los fen´ omenos f´ısicos. En particular la din´ amica del sistema debe ser la misma por lo tanto, la funci´ on Lagrangiana no debe cambiar, es decir: L ′ = L + δL = L Es decir la variaci´ on δL proveniente de xi′ = xi + δxiα debe ser cero δL = 0

(3.21)

Si el sistema es invariante bajo la transformaci´ on traslaci´ on en el espacio entonces el sistema es simétrico y δL = 0. La funci´ on Lagrangiana L evaluada en la coordenadas transformadas es: L ′ = L(r 1′ , r 2′ , . . . , r N′ ; r˙ 1′ , r˙ 2′ , . . . , r˙ N′ , t)

´ DEL MOMENTO LINEAL 3.6. HOMOGENEIDAD DEL ESPACIO Y CONSERVACION 101

donde al escribir expl´ıcitamente las traslaciones, se tiene: L ′ = L(r 1 + δr 1 , r 2 + δr 2 , . . . , r N + δr N ; r˙ 1 , r˙ 2 , . . . , r˙ N , t) Realizando una expansi´ on en serie de Taylor, alrededor de las coordenadas r, se obtiene: N X 3 X ∂L L = L(r 1 , r 2 , . . . , r N ; r˙ 1 , r˙ 2 , . . . , r˙ N , t) + δxiα ∂xiα ′

i=1 α=1

por lo tanto, la variaci´ on de L es: δL = L ′ − L =

3 N X X ∂L δxiα ∂xiα α=1 i=1

Ya que el sistema es invariante bajo traslaciones, se requiere que: N X 3 X ∂L δxiα = 0 ∂xiα α=1 i=1

resultado que es v´ alido, independientemente de la traslaci´ on, si se cumple que: ∂L =0 ∂xiα

(3.22)

El anterior resultado permite conocer cuales son las consecuencias que trae, en las ecuaciones de movimiento, la traslaci´ on constante que se realiza sobre el sistema. Si se tiene en cuenta que las ecuaciones de Euler-Lagrange est´ an dadas por: d ∂L ∂L − = 0; i = 1, 2, . . . , 3N dt ∂ x˙ iα ∂xiα donde al tener en cuenta que para la traslaci´ on constante se cumple (3.22), entonces estas ecuaciones de movimiento se convierten en: d ∂L =0 (3.23) dt ∂ x˙ iα

102


Teniendo en cuenta que: ∂ ∂T (x˙ iα ) ∂L = [T (x˙ iα ) − V (xiα )] = = mx˙ iα ∂ x˙ iα ∂ x˙ iα ∂ x˙ iα entonces finalmente se obtiene: ∂L = piα ∂ x˙ iα siendo piα el momento lineal. De la ecuaci´ on de movimiento (3.23) se obtiene: d piα = 0 dt por lo tanto se cumple que: piα = cte;

i = 1, 2, . . . , 3N

con lo cual se concluye que el momento traslacional es una constante de movimiento.

3.7.

Isotrop´ıa del espacio y conservaci´ on del momento angular

El espacio es isotr´ opico, por lo tanto el sistema visto desde cualquier direcci´ on del espacio es el mismo. Esto significa que la funci´ on Lagrangiana no debe cambiar cuando se hace una rotaci´ on arbitraria en el espacio, esto es δL. la rotaci´ on arbitraria se representa como δθ = (δα, δβ, δγ), donde α, β y γ son los denominados ańgulos de Euler, con los cuales se define la rotaci´ on arbitraria. A partir de la figura 3.4, se observa que una rotaci´ on δθ del vector de posici´ on de un sistema r, trae como consecuencia que la posici´ on del sistema cambie y esta nueva posici´ on queda representada mediante el vector posici´ on ′ r , es decir: r → r ′ = r + δr = r + δθ × r

(3.24)

con lo cual, el vector variaci´ on en la posici´ on del sistema δr es: δr = δθ × r

(3.25)

´ DEL MOMENTO ANGULAR 103 3.7. ISOTROPÍA DEL ESPACIO Y CONSERVACION

δθ δθ δr r r + δr

0 Figura 3.4. Rotaci´ on en el espacio δθ de un sistema.

vector variaci´ on que escrito en componentes es: δr =

3 X

δxα b eα

(3.26)

r˙ → r˙ ′ = r˙ + δr˙

(3.27)

α=1

Similarmente el vector velocidad cambia por efecto de la rotaci´ on, as´ı:

por lo tanto la variaci´ on del vector velocidad δr˙ es: δr˙ = δθ × r˙

(3.28)

variaci´ on que expresada en componentes se escribe como: δr˙ =

3 X

α=1

˙ αb δx eα

(3.29)

La funci´ on Lagrangiana para el sistema rotado es: L ′ = L(r 1′ , r 2′ , . . . , r N′ ; r˙ 1′ , r˙ 2′ , r˙ N′ ; t) = L(r 1 + δr 1 , . . . , r N + δr N , ; r˙ 1 + δr˙ 1 , . . . , r˙ N + δr˙ N ; t) ˙ r˙ 2 + δr, ˙ . . . , r˙ N + δr˙ ; t) = L(r 1 + δr, r 2 + δr, . . . , r N + δr, ; r˙ 1 + δr, donde se ha tenido en cuenta que la rotaci´ on es la misma para todas las part´ıculas del sistema. Haciendo una expansi´ on en serie de Taylor alrededor de la posici´ on inicial, se encuentra que L se puede escribir como: L ′ = L(r 1 , r 2 , . . . , r N , ; r˙ 1 , r˙ 2 , . . . , r˙ N ; t) +

3 3 X X ∂L ∂L δxα + δx˙ α ∂xα ∂ x˙ α

α=1

α=1

104


Por lo anterior, la variaci´ on de la funci´ on L es: δL =

3 3 X X ∂L ∂L δxα + δx˙ α ∂xα ∂ x˙ α

α=1

(3.30)

α=1

A partir de los resultados de la secci´ on anterior, se sabe que: ∂L = pα ∂ x˙ α d ∂L = ∂xα dt

∂L ∂ x˙ α

= p˙α

Reemplazando estos resultados en (3.30) y teniendo en cuenta que la rotaci´ on no produce una variaci´ on en la funci´ on Lagrangiana, se obtiene: δL =

3 X

α=1

o en notaci´ on vectorial

p˙ α δxα +

3 X

pα δx˙ α = 0

(3.31)

α=1

p˙ · δr + pδ˙ r˙ = 0

(3.32)

Si se reemplaza (3.25) y (3.28) en (3.32) se obtiene: p˙ · (δθ × r) + p · (δθ × r) ˙ =0 ecuaci´ on en la que al hacer hacer permutaci´ on en orden c´ıclico queda expresada como: δθ · (r × p) ˙ + δθ · (r˙ × p) = 0 o equivalentemente como: δθ · [(r × p) ˙ + (r˙ × p)] = δθ ·

d (r × p) = 0 dt

Puesto que δθ representa una rotaci´ on arbitraria, entonces para que se satisfaga la anterior ecuaci´ on se debe cumplir que: d (r × p) = 0 dt de donde se obtiene que L ′ ≡ r × p = cte es decir, el momento angular L ′ es una constante de movimiento.

´ DE LA ENERGÍA 3.8. HOMOGENEIDAD DEL TIEMPO Y CONSERVACION

3.8.

105

Homogeneidad del tiempo y conservaci´ on de la energ´ıa

Homogeneidad del tiempo significa que la funci´ on Lagrangiana L de un sistema f´ısico cerrado no depende expl´ıcitamente del tiempo, lo cual quiere decir que L = L(q1 , q2 , . . . , qn ; q˙1 , q˙2 , . . . , q˙n ). Lo anterior significa que si en el sistema f´ısico no existe una dependencia expl´ıcita del tiempo entonces se cumple que: ∂L =0 (3.33) ∂t El interés se centra en determinar, para un sistema f´ısico como el mencionado, cual es la variaci´ on en el tiempo de L. Lo anterior se logra diferenciando L con respecto al tiempo, es decir: n

n

i=1

i=1

dL X ∂L dqi X ∂L dq˙i = + dt ∂ q˙i dt ∂ q˙i dt

(3.34)

Teniendo en cuenta que: dL d ∂L = dqi dt ∂ q˙i entonces (3.34) se convierte en: n dL X d ∂L ∂L d = q˙i + q˙i dt dt ∂ q˙i ∂ q˙i dt

(3.35)

i=1

En la anterior expresi´ on se observa que los dos términos del lado derecho se pueden escribir a través de una derivada total, es decir: n dL X d ∂L = q˙i dt dt ∂ q˙i i=1

expresi´ on que puede escribirse equivalentemente como: " n # d X ∂L q˙i − L = 0 dt ∂ q˙i i=1

La anterior igualdad se satisface si: n X ∂L q˙i − L = constante de movimiento ∂ q˙i i=1

106


El anterior resultado se puede obtener de una forma complementaria, tal como se muestra a partir del siguiente procedimiento. Primero, si se tiene ∂L d ∂L en cuenta que pi = y por lo cual = p˙i , entonces (3.35) se ∂ q˙i dt ∂ q˙i puede escribir como: n

dL X = (p˙i q˙i + pi qï ) dt

(3.36)

i=1

Segundo, a partir de una variaci´ on arbitraria de la funci´ on (3.36) se obtiene que: # " n X dL =δ (p˙i q˙i + pi qï ) δ dt i=1

=

n X

(q˙i δp˙i + p˙ i δq˙i + qï δpi + pi δqï )

i=1

=

n X i=1

d d q˙i δpi + q˙i δpi dt dt

+

n X i=1

d d pi δq˙i + pi δq˙i dt dt

n n X X d d = (q˙i δpi ) + (pi δq˙i ) dt dt i=1

i=1

n X d = [δ(pi q˙i )] dt i=1

Teniendo en cuenta que δ puede escribir como:

dL dt

=

d (δL) , entonces la anterior expresi´ on se dt

" n # d X δ(pi q˙i ) − δL = 0 dt i=1

la cual de forma equivalente es: " !# n X d δ pi q˙i − L =0 dt i=1


107

La igualdad obtenida se satisface si: δ

n X i=1

pi q˙i − L

!

=0

es decir, la cantidad: n X i=1

pi q˙i − L

no admite variaciones, por lo cual se puede considerar que es una constante de movimiento. Esta cantidad, que se denota con H, se llama la funci´ on Hamiltoniana o Hamiltoniano del sistema, es decir: H(q, p) ≡

n X i=1

pi q˙i − L(q1 , q2 , . . . , qn ; q˙1 , q˙2 , . . . , q˙n )

(3.37)

Se puede demostrar que la funci´ on H representa la energ´ıa mec´ anica total del sistema solamente si se cumplen, simult´ aneamente, las dos siguientes condiciones: (i) La energ´ıa potencial V del sistema no depende del tiempo. (ii) Las ecuaciones que conectan las coordenadas generalizadas con las rectangulares no dependen expl´ıcitamente del tiempo. A partir de la primera condici´ on, si el sistema tiene N part´ıculas, el potencial en coordenadas cartesianas est´ a dado por: V = V (xi );

i = 1, 2, . . . , 3N

o en coordenadas generalizadas, est´ a dado por: V = V (qj );

j = 1, 2, . . . , n

por lo anterior, se cumple que: ∂V (qj ) =0 ∂ q˙j A partir de la segunda condici´ on, las trasformaciones de coordenadas son tales que: xi = xi (qj )

108


o qj = qj (xi ) Con esta ecuaciones de trasformaci´ on, v´ alidas para sistemas escleron´ omicos, ∂T entonces del teorema de Euler se tiene que q˙i = 2T . Teniendo en cuenta ∂ q˙i que L = T − V , la funci´ on Hamiltoniana conduce entonces a: n X ∂L H= q˙i − L ∂ q˙i i=1

=

n X ∂(T − V ) q˙i − (T − V ) ∂ q˙i i=1

=

n X ∂T i=1

∂ q˙i

q˙i − (T − V )

= 2T − (T − V ) = T + V = E es decir, la funci´ on H es igual a la energ´ıa mec´ anica total si H = H(q, p). De una forma m´ as general, para sistemas en los que exista dependencia expl´ıcita del tiempo, la funci´ on Hamiltoniana H queda definida como: n X ∂L q˙i − L(q1 , q2 , . . . , qn ; q˙1 , q˙2 , . . . , q˙n , t) H(q, p, t) ≡ ∂ q˙i

(3.38)

i=1

Ejemplo 3.2. Un anillo de masa m se desliza sin fricci´ on libremente sobre un alambre circular de radio a que rota sobre un plano horizontal alrededor de un punto del alambre circular con una velocidad angular ω. Ignorando las fuerzas de fricci´ on y de gravedad, encuentre las ecuaciones de movimiento del sistema. Se observa que este problema tiene solamente un grado de libertad dado por la coordenada generalizada θ. Respecto a un sistema de referencia O, tal como lo muestra la figura 3.5, las coordenadas cartesianas del anillo son: x = a cos ωt + a cos(ωt + θ) y = a sen ωt + a sen(ωt + θ)


109

mb

y a

θ

A

φ = ωt x

0 ω

z Figura 3.5. Anillo de masa m deslizándose sobre un alambre circular de radio a que rota alrededor del punto O con una velocidad angular ω. 3.2.

Diferenciando estas coordenadas con respecto al tiempo, se obtiene que las componentes cartesianas de la velocidad del anillo est´ an dadas por: ˙ sen(ωt + θ) x˙ = −aω sen ωt − a(ω + θ) ˙ cos(ωt + θ) y˙ = aω cos ωt + a(ω + θ) Para este problema, la energ´ıa potencial se toma como cero. La energ´ıa cinética es: T =

m 2 (x˙ + y˙ 2 ) 2

Si en T se reemplazan las componentes cartesianas de la velocidad del anillo, previamente obtenidas, se obtiene: m ˙ sen(ωt + θ)]2 [−aω sen ωt − a(ω + θ) T = 2 ˙ cos(ωt + θ)]2 + [aω cos ωt + a(ω + θ)

donde al desarrollar los cuadrados conduce a: mh 2 2 ˙ sen ωt sen(ωt+θ)+a2 (ω+θ) ˙ 2 sen2 (ωt+θ) T = a ω sen2 ωt+2a2 ω(ω+θ) 2 i ˙ cos ωt cos(ωt + θ) + a2 (ω + θ) ˙ 2 cos2 (ωt + θ) + a2 ω 2 cos2 ωt + 2a2 ω(ω + θ)

110


Teniendo en cuenta que: cos ωt cos(ωt + θ) + sen ωt sen(ωt + θ) = cos(ωt + θ − ωt) = cos θ entonces la energ´ıa cinética queda expresada como: T =

i m h 2 2 ˙ 2 + 2a2 ω(ω + θ) ˙ cos θ a ω + a2 (ω + θ) 2

o equivalentemente como: T =

i m 2h 2 ˙ 2 + 2ω(ω + θ) ˙ cos θ a ω + (ω + θ) 2

Por lo anterior, la funci´ on Lagrangiana del sistema (anillo) es: L=T −V =

i m 2h 2 ˙ 2 + 2ω(ω + θ) ˙ cos θ a ω + (ω + θ) 2

La ecuaci´ on de Euler Lagrange es: d dt

∂L ∂ θ˙

−

∂L =0 ∂θ

Conocida la funci´ on L se obtiene que: ∂L ˙ + ma2 ω cos θ = ma2 (ω + θ) ∂ θ˙ por lo cual: d dt

∂L ∂ θ˙

= ma2 θ¨ + ma2 ω sen θ θ˙

De igual forma se obtiene que: ∂L ˙ sen θ = −ma2 ω(ω + θ) ∂θ Con los resultados anteriores, la ecuaci´ on de movimiento del anillo est´ a dada por: ˙ sen θ = 0 ma2 θ¨ − ma2 ω sen θ θ˙ + ma2 ω(ω + θ)


111

θ¨ − ω sen θ θ˙ + ω 2 sen θ + ω sen θ θ˙ = 0 θ¨ + ω 2 sen θ = 0

donde se observa que el anillo oscila alrededor de 0A de una forma similar a como lo hace un péndulo de longitud ℓ = g/ω 2 . ❏ Ejemplo 3.3. Encuentre las ecuaciones de movimiento del péndulo esférico de masa m y longitud ell. z

θ

0 ℓ m b

ℓz

vφ vθ

ℓy y φ x Figura 3.6. Péndulo esférico de longitud ell y masas m del ejemplo 3.3.

Tal como lo ilustra la figura 3.6, para este problema resulta conveniente usar coordenadas esféricas. Los grados de libertad del problema est´ an dados por las coordenadas generalizadas q1 = θ y q2 = φ. Las componentes de la velocidad de la part´ıcula en las direcciones θ y φ est´ an dadas por: vθ = ℓθ˙ vφ = (ℓ sen θ)φ en donde se ha tenido en cuenta que ℓy = ℓ sen(π − θ) = ℓ sen θ. La energ´ıa cinética de la part´ıcula es por lo tanto: T =

1 1 m(vθ2 + vφ2 ) = m(ℓ2 θ˙2 + ℓ2 sen2 θ φ˙ 2 ) 2 2

112


Tomando el punto O (el punto de soporte del péndulo) como el nivel de referencia para la energ´ıa potencial y teniendo en cuenta que ℓz = ℓ cos θ, entonces la energ´ıa potencial: V = mgℓz = mgℓ cos θ Con lo anterior, la funci´ on Lagrangiana est´ a dada por: L=

1 mℓ2 (θ˙2 + φ˙ 2 sen2 θ) − mgℓ cos θ 2

La ecuaci´ on de movimiento para la coordenada θ se obtiene a partir de: d ∂L ∂L − =0 ˙ dt ∂ θ ∂θ Conocido L se obtiene que: ∂L = mℓ2 θ˙ ∂ θ˙ por lo cual: d dt

∂L ∂ θ˙

= mℓ2 θ¨

Adicionalmente se tiene que: ∂L = mℓ2 φ˙ 2 sen θ cos θ + mgℓ sen θ ∂θ Con los resultados anteriores, la ecuaci´ on de movimiento para θ est´ a dada por: mℓ2 θ¨ − mℓ2 φ˙ 2 sen θ cos θ − mgℓ sen θ = 0 La ecuaci´ on de movimiento para la coordenada φ se obtiene a partir de: d ∂L ∂L − =0 dt ∂ φ˙ ∂φ Conocido L se obtiene que: ∂L = mℓ2 φ˙ sen2 θ ∂ φ˙

113

3.9. INVARIANCIA DE LAS ECUACIONES DE EULER LAGRANGE

por lo cual: d dt

∂L ∂ φ˙

= mℓ2 sen2 θ φ¨ + 2mℓ2 φ˙ sen θ cos θ θ˙

Adicionalmente se tiene que: ∂L =0 ∂φ Con los resultados anteriores, la ecuaci´ on de movimiento para φ est´ a dada por: mℓ2 sen2 θ φ¨ + 2mℓ2 sen θ cos θ θ˙φ˙ = 0 Por lo anterior, para este problema se cumple que: d ∂L =0 dt ∂ φ˙ lo anterior se satisface si: ∂L = pφ = mℓ2 φ˙ sen2 θ = cte ∂ φ˙ siendo pφ el momento angular, el cual finalmente se puede escribir como: ˙ = ℓy mvφ pφ = (ℓ sen θ)m(ℓ sen θ φ)

3.9.

Invariancia de escala de las ecuaciones de Euler Lagrange

Es claro que si a las ecuaciones de Euler Lagrange, dadas por (3.12), se les multiplica por una constante c, las ecuaciones de movimiento no se ver´ an afectadas, es decir: d ∂L ∂L c − = 0; i = 1, 2, . . . , n (3.39) dt ∂ q˙i ∂qi ecuaciones que equivalentemente se puede escribir como: ∂(cL) d ∂(cL) − = 0; i = 1, 2, . . . , n dt ∂ q˙i ∂qi

(3.40)

114


lo cual quiere decir que para efectos de la obtenci´ on de las ecuaciones de movimiento, la funci´ on Lagrangian L es equivalente a la funci´ on cL. Esta propiedad que posee L se conoce como invariancia de escala. y en algunas ocasiones permite obtener u ´tiles resultados sin tener que integrar las ecuaciones. Para confirmar lo anterior, primero considérese un sistema cuya energ´ıa potencial V es una funci´ on homogénea de las coordenadas generalizadas q1 , q2 ,. . .,qn , es decir V = V (q1 , q2 , . . . , qn ). Si a las coordenadas espaciales se les realiza una transformaci´ on de escala, de la siguiente manera: qi → qi′ = aqi ;

i = 1, 2, . . . , n

(3.41)

siendo a un par´ ametro constante sin dimensiones, entonces el efecto de esta transformaci´ on sobre el potencial es: V (q1 , q2 , . . . , qn ) → V ′ = V (q1′ , q2′ , . . . , qn′ ) es decir: V ′ = V (aq1 , aq2 , . . . , aqn ) = ag V (q1 , q2 , . . . , qn )

(3.42)

siendo g el grado de la funci´ on homogénea V . Si adicionalmente se realiza simult´ aneamente una trasformaci´ on de escala de la coordenada del tiempo de la siguiente manera: t → t ′ = bt

(3.43)

donde b es un par´ ametro constante sin dimensiones, entonces se tiene una transformaci´ on de escala simult´ anea de las coordenadas del espacio-tiempo y por lo tanto todas las velocidades se cambian por un factor a/b, es decir: q˙i =

dqi dq ′ d(aqi ) a dqi a → q˙i′ = i′ = = = q˙i dt dt d(bt) b dt b

(3.44)

Para sistemas escleron´ omicos, la energ´ıa cinética T es una funci´ on cuadr´ atica de las velocidades, por lo tanto, bajo estas transformaciones de escala, T est´ a dada por: T =

n X 1 i=1

2

mi q˙i2

3.9. INVARIANCIA DE LAS ECUACIONES DE EULER LAGRANGE

115

se transforma como: ′

T →T =

n X 1 i=1

2

′

2

mi (q˙i ) =

n X 1 i=1

2

mi

a b

q˙i

2

es decir el efecto del escalamiento del espacio-tiempo, se manifiesta sobre T como: T′=

n a2 X 1 a2 2 m q ˙ = T i i b2 2 b2

(3.45)

i=1

Teniendo en cuenta que la trasformaci´ on de escala cambia a V por un factor ag y si se cumple que: 2 ag = ab

o sea

a2−g = b2 entonces, de esta forma, el efecto del escalamiento del espacio-tiempo sobre la funci´ on Lagrangiana del sistema L es tal que la funci´ on Lagrangiana trans′ formada L es igual a la no transformada L multiplicada por una constante ag , es decir: L → L ′ = T ′ − V ′ = ag T − ag V = ag (T − V ) = ag L

(3.46)

y por lo tanto las ecuaciones de movimiento del sistema no cambian por efecto de la trasformaci´ on de escala del espacio tiempo. Por lo anterior, se puede concluir que para un potencial de grado g, bajo las transformaciones de escala: qi → qi′ = aqi t → t ′ = a(2−g)/2 t las ecuaciones de movimiento permanecen invariantes. Sin embargo, las ecuaciones de movimiento ahora son tales que existen diferentes trayectorias, en el espacio de configuraci´ on, geométricamente similares diferenciadas solamente por un factor de escala o de tama˜ no de la trayectoria. El tiempo t que tarda el sistema para moverse entre dos puntos correspondientes de la trayectoria est´ a relacionado con el tiempo escalado t ′ de la siguiente manera: ′ (2−g)/2 t′ c (2−g)/2 =b=a = (3.47) t c

116


′

donde cc es la raz´ on de las dimensiones lineales de las trayectorias. La anterior relaci´ on permite hacer u ´tiles inferencias acerca de las propiedades del movimiento del sistema, sin que sea necesario solucionar las ecuaciones de movimiento del sistema, es decir sin que sea necesario tener que realizar las integrales de estas ecuaciones. Por ejemplo, se observa que para peque˜ nas oscilaciones la energ´ıa potencial es cuadr´ atica en las coordenadas y est´ a dada por: V (x) =

1 2

kx2

es decir, el grado de la funcion homogenea en las coordenadas espaciales es g = 2. Luego, a partir de (3.47) se encuentra que el per´ıodo de las peque˜ nas oscilaciones es independiente de sus amplitudes: t′ = t

c′ c

0

=1

por lo tanto: t′ = t Para el caso de que exista interacci´ on de Coulomb o interacci´ on gravitacional en el sistema, el potencial es de la forma: V (r) = − kr = −kr −1 es decir es una funci´ on homogénea de grado g = −1. Luego de (3.47) se tiene que: t′ = t

c′ c

3/2

por lo cual

c′ c

3/2

(t ) =

c′ c

′

t =

′

2

3

t

t2

es decir, se encuentra que el per´ıodo de revoluci´ on en la o´rbita es proporcional al cubo del tama˜ no de la o´rbita.

Cap´ıtulo 4

Fuerzas no conservativas y m´ etodo de los multiplicadores de Lagrange Los sistemas no conservativos son sistemas f´ısicos en los que act´ uan fuerzas no conservativas. Las fuerzas no conservativas son aquellas que no pueden ser derivadas a partir de una funci´ on energ´ıa potencial que depende exclusivamente de las coordenadas del sistema. Para este tipo de sistemas las ecuaciones de Euler-Lagrange est´ an dadas por: d ∂T ∂T − = Qi′ ; i = 1, 2, . . . , n (4.1) dt ∂ q˙i ∂qi donde Qi′ representa las fuerzas generalizadas del sistema. En este capitulo se estudian sistemas en los que est´ an presentes fuerzas no conservativas, tales como fuerzas dependientes de las velocidades y fuerzas impulsivas. Para el caso de fuerzas impulsivas se introduce el método de los multiplicadores de Lagrange.

4.1.

Fuerzas dependientes de las velocidades

Cuando las fuerzas generalizadas Qi′ son obtenidas de una funci´ on potencial dependiente de la velocidad y eventualmente del tiempo M (q, q, ˙ t), de tal forma que: ∂M d ∂M ′ Qi = − (4.2) dt ∂ q˙i ∂qi 117

118

CAPÍTULO 4. Sistemas no conservativos y multiplicadores de Lagrange

entonces las ecuaciones de Euler-Lagrange quedan expresadas como: d ∂T ∂T d ∂M ∂M − = − ; i = 1, 2, . . . , n dt ∂ q˙i ∂qi dt ∂ q˙i ∂qi donde al agrupar se obtiene: d ∂(T − M ) ∂(T − M ) = 0; − dt ∂ q˙i ∂qi

i = 1, 2, . . . , n

Si se identifica a T − M como la funci´ on Lagrangiana del sistema L, as´ı: L = T −M

(4.3)

entonces las ecuaciones de Euler-Lagrange se escriben como: d dt

∂L ∂ q˙i

−

∂L = 0; ∂qi

i = 1, 2, . . . , n

(4.4)

La funci´ on potencial M = M (q, q, ˙ t) se conoce como el potencial generalizado del sistema.

4.1.1.

Part´ıcula cargada en presencia de un campo electromagn´ etico

De particular interés es el caso de una part´ıcula cargada sometida a la acci´ on de un campo electromagnético. Como consecuencia de lo anterior, sobre la part´ıcula act´ ua una fuerza que depende de las velocidades y que no puede ser derivada a partir de un potencial ordinario V . Los campos eléctrico E y magnético B puede ser expresados en el vac´ıo como: B =∇×A E = −∇φ −

1 ∂A c ∂t

siendo φ el potencial escalar, A el potencial vectorial y c la velocidad de la luz en el vac´ıo. La fuerza sobre la part´ıcula con carga eléctrica e que se mueve con velocidad v es: v F =e E+ ×B c

4.1. FUERZAS DEPENDIENTES DE LAS VELOCIDADES

119

Para mostrar como esta fuerza puede ser derivada de una funci´ on potencial M , teniendo en cuenta la segunda ley de Newton, se escribe la ecuaci´ on de movimiento: d v (mv) = F = e E + × B dt c 1 ∂A v + × (∇ × A) = e −∇φ − c ∂t c Si se tiene en cuenta que: v × (∇ × A) = ∇(v · A)(v · ∇) A la ecuaci´ on de movimiento se puede escribir como: d 1 ∂A v·A (mv) = e −∇φ − + v · ∇A + ∇ dt c ∂t c v·A 1 dA = e −∇(φ − )− c c dt

(4.5)

La forma de la ecuaci´ on (4.5) sugiere esta que se puede escribir a partir de una sola derivada respecto al tiempo, es decir: d e v·A mv + A = −e∇ φ − (4.6) dt c c obteniéndose una ecuaci´ on que tiene la forma general de un conjunto de ecuaciones de Euler-Lagrange dadas por: d dt

∂L ∂ x˙ i

=

∂L ; ∂xi

i = 1, 2, 3

Se observa que (4.6) es igual a (4.7) si: ∂L e = mvi + Ai ; ∂vi c

i = 1, 2, 3

es decir si ∂L e = mv + A ∂v c

(4.7)

120


y adem´ as si: ∂L ∂ vj Aj = −e φ − ∂xi ∂xi c con lo cual v·A ∂L = ∇ −e φ − ∂r c Para que lo anterior se cumpla, la funci´ on Lagrangiana L debe estar dada por: L=

ev · A 1 mv 2 − eφ + 2 c

(4.8)

donde el primer termino es la energ´ıa cinética T de la part´ıcula y los otros dos términos representan el potencial generalizado M dado por: M = eφ −

ev · A c

(4.9)

Se observa que al depender M de la velocidad de la part´ıcula v, entonces el momento lineal de la part´ıcula p = mv se ha modificado debido a que: p= donde el término

e c

∂L e = mv + A ∂v c

(4.10)

A representa el momento del campo electromagnético.

La energ´ıa mec´ anica total de la part´ıcula est´ a dada por: E = T + eφ =

1 mv 2 + eφ 2

(4.11)

Debido a que la fuerza magnética ec v ×B no trabaja por ser perpendicular a la velocidad v, entonces el potencial vectorial A no aparece en la expresi´ on de la energ´ıa. Si φ y A no son funciones expl´ıcitas del tiempo, el sistema es conservativo y la energ´ıa mec´ anica total es constante.

4.2.

Fuerzas impulsivas

El estudio del movimiento impulsivo involucra un an´ alisis de la respuesta de los sistemas mec´ anicos a fuerzas de muy grande magnitud y corta

4.2. FUERZAS IMPULSIVAS

121

duraci´ on. Estas fuerzas, llamadas fuerzas impulsivas, frecuentemente surgen como resultado de un impacto o colisi´ on, pero también se puede imaginar otras fuentes tales como una explosi´ on o la aplicaci´ on repentina de ligaduras. Si el sistema mec´ anico bajo consideraci´ on incluye cuerpos r´ıgidos u otras ligaduras r´ıgidas, la aplicaci´ on de fuerzas externas impulsivas normalmente resultar´ a en el desconocimiento de las fuerzas de ligadura impulsivas. Sin embargo, como se ha estudiado en los cap´ıtulos anteriores, el método de las ecuaciones de Euler-Lagrange frecuentemente lleva a calcular el movimiento del sistema sin tener que resolver las fuerzas de ligadura. Por lo anterior el uso del formalismo Lagrangiano es particularmente conveniente en el an´ alisis del movimiento impulsivo de sistemas con ligaduras r´ıgidas.

4.2.1.

Principio de impulso y momento lineal

Sup´ ongase que se considera un sistema de N part´ıculas cuyas posiciones relativas a un punto fijo 0 en un sistema inercial de referencia, est´ an dadas por r 1 , r 2 , . . . , r N . La ecuaci´ on b´ asica de movimiento del centro de masa es: F = p˙

(4.12)

donde F es la fuerza externa total que act´ ua sobre el sistema y p el momento lineal total, el cual puede escribirse como: p=

N X

mi r˙ i = mr˙ c

(4.13)

i=1

siendo m la masa del sistema y r˙ c la velocidad del centro de masa. Integrando a ambos lados de la ecuaci´ on (4.12) con respecto al tiempo, en un intervalo de integraci´ on de t1 a t2 , se obtiene: Zt2

t1

F dt =

Zt2

t1

p˙ dt = p(t2 ) − p(t1 )

b como: y definiendo el impulso total de las fuerzas externas F b = F

Zt2

t1

F dt

122


entonces se encuentra que: b = p2 − p1 F

(4.14)

es decir este resultado corresponde al denominado principio de impulso y momento lineal: el cambio en el momento lineal total de un sistema durante un lapso dado de tiempo es igual al impulso total de la fuerza externa actuando durante el mismo lapso de tiempo.

4.2.2.

Obtenci´ on del principio de impulso y momento lineal en el formalismo Lagrangiano

Se sabe que la configuraci´ on de un sistema mec´ anico est´ a especificada por el conjunto de grados de libertad del sistema. Estos grados de libertad corresponden a las coordenadas generalizadas independientes q1 , q2 , . . . , qn con las cuales se puede definir el estado din´ amico del sistema en cualquier instante de tiempo. Mediante la soluci´ on de las ecuaciones de Euler-Lagrange del sistema, dadas por: d ∂T ∂T − = Qi ; i = 1, 2, . . . , n (4.15) dt ∂ q˙i ∂qi es posible conocer las coordenadas generalizadas como funci´ on del tiempo, y as´ı la configuraci´ on del sistema en cualquier instante de tiempo. En las ecuaciones (4.15) las Qi denotan las fuerzas impulsivas aplicadas al sistema. Se asume que las fuerzas impulsivas son aplicadas durante un lapso de tiempo ∆t y puesto que el momento generalizado pi asociado a la coordenada generalizada qi es: pi =

∂L ∂T = ∂ q˙i ∂ q˙i

entonces las ecuaciones (4.15) se pueden escribir como: d ∂T pi − = Qi dt ∂qi o equivalentemente como: p˙i −

∂T = Qi ; ∂qi

i = 1, 2, . . . , n

(4.16)

4.2. FUERZAS IMPULSIVAS

123

Integrando sobre el tiempo a ambos lados de la igualdad (4.16), en el intervalo ∆t, se obtiene: t1Z+∆t

∂T p˙i − ∂qi

t1

dt =

t1Z+∆t

Qi dt

(4.17)

t1

La contribuci´ on de la primera integral del lado derecho de la ecuaci´ on es: t1Z+∆t

p˙i dt =

t1

t1Z+∆t t1

dpi dt = pi (t1 + ∆t) − pi (t1 ) = ∆pi dt

mientras que la contribuci´ on de la segunda integral es:

l´ım

∆t→0

t1Z+∆t t1

∂T dt = 0 ∂qi

∂T puesto que la cantidad ∂q es aproximadamente constante en el intervalo de i integraci´ on, para cuando ∆t → 0. La integral del lado derecho de las ecuaciones (4.17) corresponde al impulso b i dado por: generalizado Q

bi = Q

Zt2

Qi dt

t1

Por lo anterior, las ecuaciones (4.17) quedan escritas como: bi; ∆pi = Q

i = 1, 2, . . . , n

(4.18)

con lo cual se obtiene el principio de impulso y momento lineal antes mencionado. Ahora, n´ otese que la energ´ıa T del sistema en coordenadas rectangulares xk est´ a dada por: 3N

1X T = mk x˙ 2k 2 k=1

(4.19)

124


Puesto que las coordenadas cartesianas xk se escriben en términos de las coordenadas generalizadas q a través de las siguientes ecuaciones de transformaci´ on: xk = xk (q, t);

k = 1, 2, . . . , 3N

entonces, las derivadas respecto al tiempo de las coordenadas cartesianas se escriben como: n X ∂xk

˙ t) = x˙ k (q, q,

q˙i +

∂qi

i=1

∂xk ∂t

(4.20)

Reemplazando (4.20) en (4.19) se obtiene: 3N

1X T (q, q, ˙ t) = mk 2 k=1

n X ∂xk i=1

∂xk q˙i + ∂qi ∂t

!2

(4.21)

de donde se observa que T se puede escribir de acuerdo al grado en q˙ de la siguiente manera: T = T2 + T1 + T0

(4.22)

a dada por donde T2 est´ n

n

1 XX T2 = mij q˙i q˙j 2

(4.23)

i=1 j=1

siendo 3N X

mij = mji =

mk

k=1

∂xk ∂xk ∂qi ∂qj

mientras que T1 es: T1 =

n X

ai q˙i

i=1

siendo ai =

3N X k=1

mk

∂xk ∂xk ∂qi ∂t

(4.24)

´ 4.3. METODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

125

y el término T0 es: 3N

1X T0 = mk 2 k=1

∂xk ∂t

2

(4.25)

Teniendo en cuenta que: n

X ∂T ∂ pi = = (T2 + T1 ) = mij q˙j + ai ∂ q˙i ∂ q˙i

(4.26)

j=1

donde mij y aj son funciones continuas de las q y las t, entonces a partir de (4.26) se obtiene que: ∆pi =

n X

mij ∆q˙j

(4.27)

j=1

Reemplazando (4.27) en (4.18) se encuentra que: n X j=1

bi; mij ∆q˙j = Q

i = 1, 2, . . . , n

(4.28)

bi se puede obtener de una forma similar a donde el impulso generalizado Q como se hace para Qi . El anterior resultado en notaci´ on matricial queda escrito como: b ∆q˙ = m−1 Q

(4.29)

siendo m la matriz de inercia, la cual es definida positiva para que exista su inversa m−1 .

4.3.

M´ etodo de los multiplicadores de Lagrange

Sup´ ongase que el sistema f´ısico en consideraci´ on es un sistema holon´ omico de N part´ıculas, que est´ a descrito en coordenadas cartesianas, y sobre el cual se aplican impulsos Fb1 , Fb2 , . . . , Fb3N durante un peque˜ no lapso de tiempo ∆t. Las fuerzas generalizadas del sistema Qi se escriben como: Qi =

3N X k=1

Fk

∂xk ; ∂qi

i = 1, 2, . . . , n

(4.30)

126


Puesto que los impulsos Fk act´ uan durante un tiempo ∆t, es decir: Fbk =

t1Z+∆t

Fk dt;

i = 1, 2, . . . , 3N

t1

entonces los impulsos generalizados est´ an dados por bi = Q

t1Z+∆t

Qi dt;

i = 1, 2, . . . , n

t1

Al integrar en el tiempo a ambos lados de la expresi´ on (4.30), desde t1 hasta t1 + ∆t, se encuentra que: bi = Q

3N X ∂xk k=1

∂qi

Fbk ;

i = 1, 2, . . . , n

(4.31)

donde las derivadas se calculan a partir de las ecuaciones de transformaci´ on de coordenadas: xk = xk (q1 , q2 , . . . , qn , t);

k = 1, 2, . . . , 3N

Si las coordenadas generalizadas qi son independientes y si adicionalmente las ligaduras sobre las coordenadas xk son sin trabajo, entonces los impulsos ci . de ligadura no contribuyen a los impulsos generalizados Q En el caso de que sea de interés conocer expl´ıcitamente las fuerzas de ligadura que act´ uan sobre el sistema, y teniendo en cuenta que el método Lagrangiano se limita principalmente a fuerzas activas y efectos de fuerzas internas completamente ignorables debido a ligaduras de junturas, conectores y contactos, entonces es necesario desarrollar otro método que supla esta limitaci´ on que tiene el método Lagrangiano. El método que se desarrolla a continuaci´ on, que se denomina método de los multiplicadores de Lagrange, permite dar cuenta de las fuerzas de ligadura que act´ uan en el sistema. Resulta conveniente recordar que hasta el momento se han discutido dos métodos que pueden ser usados en el an´ alisis de sistemas con ligaduras holon´ omicas, estos son: la eliminaci´ on de variables usando las ecuaciones de ligadura y el uso de coordenadas generalizadas independientes. Sin embargo, el método de los multiplicadores de Lagrange, a desarrollar en esta secci´ on, comparado con estos dos métodos, presenta una ventaja muy importante y es que puede ser también aplicado a ciertos tipos de ligaduras no-holon´ omicas. Dado lo anterior, primero se introducir´ a el método de los multiplicadores de Lagrange para sistemas no-holon´ omicas y luego se mostrar´ a que también puede ser aplicado a sistemas holon´ omicos.


4.3.1.

127

Para sistemas no-holon´ omicos

La derivaci´ on de las ecuaciones de Lagrange en el caso de un sistema holon´ omico requiere que las coordenadas generalizadas sean independientes. Para el caso de un sistema no-holon´ omico se tiene un n´ umero de coordenadas generalizadas (n) mayor que el n´ umero de grados de libertad (n − m), asumiendo que en el sistema existen m ligaduras. Por lo anterior, para este tipo de sistemas, las variaciones de las coordenadas generalizadas qi no son independientes de las dem´ as coordenadas cuando se hace un desplazamiento virtual consistente con las ligaduras. Sin embargo, es posible realizar un tratamiento Lagrangiano de los sistemas no-holon´ omicos si se tiene en cuenta que las ecuaciones de ligadura, en coordenadas cartesianas, son del tipo: n X

ajk dqk + ajt dt = 0;

j = 1, 2, . . . , m

(4.32)

k=1

donde los coeficientes ajk y ajt son funciones de las q y del tiempo t, es decir ajk = ajk (q1 , q2 , . . . , qn ) y ajt = ajt (q1 , q2 , . . . , qn ). O equivalentemente, las ecuaciones de ligadura en coordenadas cartesianas son: 3N X

aji dxi + ajt dt = 0;

j = 1, 2, . . . , m

(4.33)

i=1

donde los coeficientes son de la forma aji = aji (x1 , x2 , . . . , x3N , t) y ajt = ajt (x1 , x2 , . . . , x3N , t). Un desplazamiento virtual δxj debe ser tal que el trabajo virtual realizado por las fuerzas que act´ uan sobre el sistema δW es: δW =

3N X

Fi δxi =

3N X (e) (Fi + Ri )δxi = 0

(4.34)

i=1

l=1

de tal forma que el trabajo virtual realizado por las fuerzas de ligadura satisface: 3N X

Ri δxi = 0

(4.35)

i=1

lo cual, escrito en coordenadas generalizadas, equivalentemente es: n X k=1

Rk δqk = 0

(4.36)

128


Por lo tanto, las ligaduras deben ser consistentes con los desplazamientos virtuales y en consecuencia, se debe cumplir que: n X

ajk δqk = 0;

j = 1, 2, . . . , m

(4.37)

k=1

Lo anterior significa que se tienen desplazamientos virtuales que no son independientes. La idea es usar (4.37) para reducir el n´ umero de desplazamientos virtuales a aquellos que sean independientes, mediante el uso del método de los multiplicadores de Lagrange. Ya que (4.37) se cumple, también se cumple que: λj

n X

ajk δqk = 0;

j = 1, 2, . . . , m

(4.38)

k=1

donde se ha multiplicado por algunas constantes no determinadas λj , llamadas multiplicadores de Lagrange, que en general son funciones de las coordenadas q y el tiempo t. Si se suma (4.38) sobre j y se integra en el tiempo entre t1 y t2 , también se satisface que: Zt2 X m X n λj ajk δqk dt = 0 (4.39) t1 j=1 k=1

Sup´ ongase que el principio de Hamilton es v´ alido para sistemas no-holon´ omicos, es decir: δS = δ

Zt2

L dt =

t1

Zt2

t1

dt

n X ∂L k=1

d ∂L − ∂qk dt ∂ q˙k

δqk = 0

Insertando (4.39) en (4.40) se obtiene:   Zt2 X n m X ∂L d ∂L  δS = dt − + λj ajk  δqk = 0 ∂qk dt ∂ q˙k t1

(4.40)

(4.41)

j=1

k=1

Las variaciones δq no son independientes entre si, ya que ellas est´ an conectadas a través de m relaciones de la forma (4.37). Si se escribe (4.41) como:   Zt2 n−m m X ∂L X d ∂L  δS = dt − + λj ajk  δqk ∂qk dt ∂ q˙k t1

k=1

j=1

129


+

Zt2

n X

dt

t1

k=n−m+1



 m X ∂L d ∂L  − + λj ajk  δqk = 0 (4.42) ∂qk dt ∂ q˙k j=1

entonces los valores de los multiplicadores λj se pueden conocer. Los multiplicadores se escogen de tal forma que el segundo término de (4.42) desaparezca, lo cual sucede si: m

∂L d ∂L X − + λj ajk = 0 ∂qk dt ∂ q˙k

(4.43)

j=1

con k = n−m+1, . . . , n, o equivalentemente k = 1, 2, . . . , m. Cumpliéndose (4.43), se escogen libremente las coordenadas generalizadas q1 , q2 , . . . , qn−m para que sean independientes y por lo tanto, se sigue de (4.42) que:   Zt n−m m X ∂L X d ∂L  − + λj ajk  δqk = 0 (4.44) δS = dt ∂qk dt ∂ q˙k t1

j=1

k=1

Se sabe que la acci´ on es estacionaria para la trayectoria que satisface: m

d ∂L X ∂L − + λj ajk = 0; ∂qk dt ∂ q˙k

k = 1, 2, . . . , n − m

j=1

(4.45)

Por lo tanto se observa que las m ecuaciones provenientes de (4.43) y las n − m ecuaciones de (4.45) tienen la misma forma, con lo cual se puede agrupar como: d dt

∂L ∂ q˙k

m

−

X ∂L = λj ajk ∂qk

k = 1, 2, . . . , n

(4.46)

j=1

Las n ecuaciones (4.46) con las m ecuaciones de ligadura (4.32) escritas como: n X

ajk q˙k + ajt = 0;

j = 1, 2, . . . , m

(4.47)

k=1

constituyen las n + m ecuaciones con las cuales se pueden conocer las n coordenadas generalizadas qk y los m multiplicadores de Lagrange λj . Pero, por qué son significativos los multiplicadores de Lagrange λj ? La respuesta a esta pregunta nos remite a las ligaduras del sistema de tal forma

130


que es posible fijar el movimiento del sistema sin cambiar las fuerzas externas aplicadas Qk . Bajo la influencia de estas fuerzas Qk , las ecuaciones de movimiento que describen el movimiento del sistema permanecen igual, y las fuerzas aplicadas Qk deben ser iguales a las fuerzas de ligadura, por lo tanto las ecuaciones de movimiento del sistema son: ∂L d ∂L − = Qk ; k = 1, 2, . . . , n (4.48) dt ∂ q˙k ∂qk Al comparar (4.46) con (4.48) se identifica a las fuerzas de ligadura con: Qk =

m X

λj ajk ;

k = 1, 2, . . . , n

j=1

As´ı, en el método de los multiplicadores de Lagrange, las ligaduras entran en las ecuaciones de movimiento en la forma de fuerzas generalizadas de ligadura m´ as que en términos geométricos y los multiplicadores de Lagrange λ est´ an linealmente relacionadas con las fuerzas generalizadas de ligadura.

4.3.2.

Para sistemas holon´ omicos

Para sistemas holon´ omicos en los que hay m´ as coordenadas generalizadas que grados de libertad, sup´ ongase que hay m ecuaciones holon´ omicas de ligadura de la forma: φj (q1 , q2 , . . . , qn , t) = 0

j = 1, 2, . . . , m

Tomando la diferencial de φj se tiene dφj =

n X ∂φj k=1

∂qk

dqk +

∂φj dt = 0 ∂t

cuya forma es similar a (4.32), con lo cual se puede identificar los coeficientes ajk y ajt con ajk =

∂φj ∂qk

∂φj ∂t Por lo tanto, el método de multiplicadores de Lagrange se puede usar en el tratamiento de sistemas holon´ omicos cuando: ajt =


131

1. Resulta inconveniente reducir todas las q a coordenadas dependientes. 2. Es interesante conocer las fuerzas de ligadura. Ejemplo 4.1. Una part´ıcula de masa m se coloca sobre la superficie de un hemisferio de radio a (figura 4.1). (i)Encuentre la fuerza de reacci´ on R del hemisferio sobre la part´ıcula. (ii) Encuentre la altura a la cual la part´ıcula deja de tocar la superficie, suponiendo que la part´ıcula se desliza sobre la superficie. y

R

r

=

a

b mg

θ x Figura 4.1. Part´ıcula moviéndose sobre un hemisferio.

(i) Las coordenadas generalizadas son: q1 = r;

q2 = θ

La energ´ıa cinética T la energ´ıa potencial V y la funci´ on Lagrangiana L son: T =

1 m(r˙ 2 + r 2 θ˙2 ) 2

V = mgr cos θ L=T −V =

1 m(r˙ 2 + r 2 θ˙2 ) − mgr cos θ 2

La ecuaci´ on de ligadura es r=a o r−a=0

132


la cual escrita de forma diferencial como: dr = 0 Los coeficientes son ar =

∂ (r − a) = 1 ∂r

aθ =

∂ (r − a) = 0 ∂θ

por lo tanto, solo se requiere el empleo de un multiplicador de Lagrange. Las ecuaciones de Euler-Lagrange son: d ∂L ∂L − = Qr dt ∂ r˙ ∂r d dt

∂L ∂ θ˙

−

∂L =0 ∂θ

donde Qr =

1 X

λj ajk = λ1 ar = λar = λ

j=1

Puesto que: ∂L = mr˙ ∂ r˙ d ∂L = m¨ r=0 dt ∂ r˙ ∂L = mr θ˙ 2 − mg cos θ ∂r ∂L = mr 2 θ˙ ∂ θ˙ d ∂L = mr 2 θ¨ dt ∂ θ˙


133

∂L = mgr sen θ ∂θ entonces las ecuaciones de Euler-Lagrange se convierten en: −maθ˙ 2 + mg cos θ = λ ma2 θ¨ − mga sen θ = 0

(4.49) (4.50)

˙ entonces Para resolver (4.49) y (4.50) se define p = θ, dθ˙ dp dp dθ dp ¨ θ= = = =p dt dt dθ dt dθ En términos de p, la ecuaci´ on (4.50) es: dp g p − sen θ = 0 dθ a Esta ecuaci´ on tiene como solución: p2 = θ˙2 = −

2g 2g cos θ + a a

˙ donde la constante de inercia 2g a es obtenida ya que θ = 0 en θ = 0. Si se reemplaza esta soluci´ on en (4.49) se obtiene 2g 2g −ma − cos θ + + mg cos θ = λ a a por lo tanto λ = mg(3 cos θ − 2) la cual corresponde a la fuerza de reacci´ on R. (ii) La part´ıcula deja de tocar la superficie cuando la fuerza de reacci´ on es nula, es decir cuando λ = 0. Lo anterior significa que cuando esto sucede se satisface: mg(3 cos θ ′ − 2) = 0 por lo tanto la altura h, a la cual la part´ıcula deja de tocar la superficie, es: h = a cos θ ′

134


donde: ′

θ = cos

−1

2 3 ❏

Ejemplo 4.2. Un bloque con una superficie inclinada de masa M se puede deslizar libremente sobre una superficie horizontal, mientras que otro bloque de masa m también lo puede hacer libremente sobre la superficie inclinada del primer bloque, tal como lo indica la figura 4.2. Encuentre las aceleraciones de los dos bloques y la fuerza de interacci´ on entre ellos. x˙ 1 02

θ x2

v

M x1

x˙ 2

m θ

01 Figura 4.2. Bloque de masa M deslizándose sobre una superficie horizontal y bloque de masa m deslizándose sobre la superficie inclinada del primer bloque.

A partir de la la figura 4.2, se observa que el sistema tiene dos grados de libertad x1 y x2 . La velocidad del bloque de masa M se mide respecto al origen 01 , siendo x˙ 1 , mientras que la velocidad del bloque de masa m se mide respecto al origen 02 , siendo x˙ 2 . La velocidad v del bloque de masa m respecto a 01 es: v = x˙ 1 + x˙ 2 entonces v 2 = (−x˙ 1 + x˙ 2 cos θ)2 + (−x˙ 2 sen θ)2 = x˙ 21 − 2x˙ 1 x˙ 2 cos θ + x˙ 22 cos2 θ + x˙ 22 sen2 θ


135

= x˙ 21 + x˙ 22 − 2x˙ 1 x˙ 2 cos θ La energ´ıa cinética T , la energ´ıa potencial V y la funci´ on Lagrangiana son: 1 1 T = M x˙ 21 + mv 2 2 2 1 1 = M x˙ 21 + m(x˙ 21 + x˙ 22 − 2x˙ 1 x˙ 2 cos θ) 2 2 V = −mgx2 sen θ L=T −V =

1 1 M x˙ 21 + m(x˙ 21 + x˙ 22 − 2x˙ 1 x˙ 2 cos θ) + mgx2 sen θ 2 2

Las ecuaciones de Euler-Lagrange del sistema son: ∂L d ∂L − =0 dt ∂ x˙ 1 ∂x1 d ∂L ∂L − =0 dt ∂ x˙ 2 ∂x2 A partir de L se obtiene ∂L = M x˙ 1 + mx˙ 1 − mx˙ 2 cos θ ∂ x˙ 1 d dt

∂L ∂ x˙ 1

= (M + m)¨ x1 − m¨ x2 cos θ

∂L =0 ∂x1 ∂L = mx˙ 2 − mx˙ 1 cos θ ∂ x˙ 2 d dt

∂L ∂ x˙ 2

= m¨ x2 − m¨ x1 cos θ

∂L = mg sen θ ∂x2

136


Las ecuaciones de movimiento del sistema son: (M + m)¨ x1 − m¨ x2 cos θ = 0

m¨ x2 − m¨ x1 cos θ − mg sen θ = 0 o escritas en términos de las aceleraciones a1 y a2 son: (M + m)a1 − ma2 cos θ = 0 a2 − a1 cos θ − g sen θ = 0

(4.51) (4.52)

De la segunda ecuaci´ on de movimiento se despeja a2 , es decir: a2 = a1 cos θ + g sen θ Reemplazando a2 en (4.51) se obtiene −(M + m)a1 + m cos θ(a1 cos θ + g sen θ) = 0 −(M + m − m cos2 θ)a1 = −mg sen θ cos θ

por lo tanto la aceleraci´ on del bloque de masa M es: a1 =

mg sen θ cos θ m sen2 θ + M

Reemplazando a1 en (4.52), se obtiene que la aceleraci´ on del bloque de masa m es: a2 =

=

mg sen θ cos2 θ + g sen θ m sen2 θ + M mg sen θ cos2 θ + mg sen θ sen2 θ + M g sen θ m sen2 θ + M

es decir: a2 =

(m + M )g sen θ m sen2 θ + M

Ahora haciendo uso del método de los multiplicadores de Lagrange se obtendr´ a la fuerza entre los dos bloques. Esta fuerza de interacci´ on es normal a la superficie de contacto sin fricci´ on y puede ser considerada como la fuerza de ligadura generalizada correspondiente a la coordenada x3 (figura 4.3).


02

137

x2 m x3

M x1

θ

01 Figura 4.3. Coordenada generalizada x3 .

Aunque ahora se usar´ an 3 coordenadas generalizadas, solamente hay 2 grados de libertad, debido a que hay una ecuaci´ on de ligadura holon´ omica dada por: x3 = 0 por lo cual x˙ 3 = 0 Recordando que la forma general de las ligaduras no-holon´ omicas es: n X

aji q˙i + ajt = 0;

j = 1, 2, . . . , m

i=1

Para m = 1 se tiene: a11 x˙ 1 + a12 x˙ 2 + a13 x˙ 3 + a1t = 0 ya que x˙ 3 = 0 entonces a11 = 0 a12 = 0

138


a13 = 1 a1t = 0 La forma de las fuerzas generalizadas de ligadura es: Qk =

m X

λj ajk ;

k = 1, 2, . . . , n

j=1

Q1 = λ1 a11 = 0 Q2 = λ1 a12 = 0 Q3 = λ1 a13 = λ1 El cuadrado de la velocidad por componentes es (ver figura 4.4): x˙ 3

θ

x˙ 1 θ

x˙ 2

Figura 4.4. Componentes de la velocidad v.

v 2 = (−x˙ 1 + x˙ 2 cos θ + x˙ 3 sen θ)2 + (x˙ 3 cos θ − x˙ 2 sen θ)2

= x˙ 21 − x˙ 1 x˙ 2 cos θ − 2x˙ 1 x˙ 3 sen θ + (x˙ 2 cos θ + x˙ 3 sen θ)2 + (x˙ 3 cos θ − x˙ 2 sen θ)2

= x˙ 21 − 2x˙ 1 x˙ 2 cos θ − 2x˙ 1 x˙ 3 sen θ + x˙ 22 cos2 θ + 2x˙ 2 x˙ 3 cos θ sen θ + x˙ 23 sen2 θ + x˙ 23 cos2 θ − 2x˙ 2 x˙ 3 cos θ sen θ + x˙ 22 sen2 θ

= x˙ 21 + x˙ 22 + x˙ 23 − 2x˙ 1 x˙ 2 cos θ − 2x˙ 1 x˙ 3 sen θ

Por lo tanto la energ´ıa cinética T , la energ´ıa potencial V y la funci´ on Lagrangiana son: T =

1 1 M x˙ 21 + mv 2 2 2


=

1 1 M x˙ 21 + m(x˙ 21 + x˙ 22 + x˙ 23 − 2x˙ 1 x˙ 2 cos θ − 2x˙ 1 x˙ 3 sen θ) 2 2

V = mg(x3 cos θ − x2 sen θ) L=

1 1 (M + m)x˙ 21 + m(x˙ 22 + x˙ 23 − 2x˙ 1 x˙ 2 cos θ − 2x˙ 1 x˙ 3 sen θ) 2 2 − mg(x3 cos θ − x2 sen θ)

Las ecuaciones de movimiento son: ∂L d ∂L − = Q1 = 0 dt ∂ x˙ 1 ∂x1 d dt

∂L ∂ x˙ 2

−

∂L = Q2 = 0 ∂x2

d dt

∂L ∂ x˙ 3

−

∂L = Q3 = λ3 ∂x3

Los diferentes términos de cada ecuaci´ on son: ∂L = (M + m)x˙ 1 − mx˙ 2 cos θ − mx˙ 3 sen θ ∂ x˙ 1 d dt

∂L ∂ x˙ 1

= (M + m)¨ x1 − m¨ x2 cos θ − m¨ x3 sen θ

∂L =0 ∂x1 ∂L = mx˙ 2 − mx˙ 1 cos θ ∂ x˙ 2 d dt

∂L ∂ x˙ 2

= m¨ x2 − m¨ x1 cos θ

∂L = mg sen θ ∂x2 ∂L = mx˙ 3 − mx˙ 1 sen θ ∂ x˙ 3

139

140


d dt

∂L ∂ x˙ 3

= m¨ x3 − m¨ x1 sen θ

∂L = −mg cos θ ∂x3 Por lo tanto, las ecuaciones de movimiento se pueden escribir como: (M + m)¨ x1 − m¨ x2 cos θ − m¨ x3 sen θ = 0 x1 cos θ − mg sen θ = 0 m¨ x2 − m¨

m¨ x3 − m¨ x1 sen θ + mg cos θ = λ3

o equivalentemente, como: (M + m)a1 − ma2 cos θ − ma3 sen θ = 0 a2 − a1 cos θ − g sen θ = 0

ma3 − ma1 sen θ + mg cos θ = λ1

(4.53) (4.54) (4.55)

y la ligadura x ¨3 = a3 = 0

(4.56)

Reemplazando (4.56) en las ecuaciones (4.53)-(4.55), se obtiene: (M + m)a1 − ma2 cos θ = 0 a2 − a1 cos θ − g sen θ = 0

−ma1 sen θ + mg cos θ = λ3 de donde se encuentra que las aceleraciones de los dos bloques son: a1 =

mg cos θ sen θ m sen2 θ + M

a2 =

(m + M )g sen θ m sen2 θ + M

A partir de lo anterior, se puede obtener que la fuerza de ligadura (correspondiente a la fuerza entre los dos bloques) est´ a dada por: Q3 = λ3 = mg cos θ − ma1 sen θ mg cos θ sen θ = mg cos θ − m sen θ m sen2 θ + M


=

m2 g sen2 θ cos θ + mM g cos θ − mg 2 sen2 θ cos θ m sen2 +M

=

mM g cos θ m sen2 θ + M

=

mg cos θ m 1+ M sen2 θ

141

❏ Ejemplo 4.3. Un aro de radio b y masa m rueda sin deslizarse sobre un plano inclinado, tal como se muestra en la figura 4.5. Obtener las aceleraciones y las fuerzas de ligadura. ¿Qué velocidad tendr´ıa el aro en la parte m´ as baja del plano?

x b φ l

θ

Figura 4.5. Aro rodando sin deslizarse sobre una superficie inclinada.

Las coordenadas generalizadas del sistema son x, φ. Existe una ecuaci´ on de ligadura en el sistema dada por: b dφ = dx dφ dx b = dt dt ˙ bφ − x˙ = 0 Las energ´ıas y la funci´ on Lagrangiana son: T = Ttraslación del CM + Trotación del CM

142


=

1 1 mx˙ 2 + mb2 φ˙ 2 2 2

V = mg(l − x) sen θ L=T −V =

mx˙ 2 mb2 φ˙ 2 + − mg(l − x) sen θ 2 2

En este ejercicio hay dos grados de libertad n = 2 y una ecuaci´ on de ligadura m = 1. Ya que las ligaduras no-holon´ omicas tienen la forma general: n X

aji q˙i + ajt = 0;

j = 1, 2, . . . , m

i=1

entonces para este caso se tiene: a11 q˙1 + a12 q˙2 + ajt = 0 es decir: aφ φ˙ + ax x˙ + at = 0 Teniendo en cuenta la ecuaci´ on de ligadura del sistema, se concluye entonces que: aφ = b ax = −1 at = 0

Las fuerzas generalizadas de ligadura est´ an dadas por: Qk =

m X

λj ajk ;

k = 1, 2, . . . , n

j=1

Qφ = λ1 aφ = bλ1 Qx = λ1 ax = −λ1 Las ecuaciones de movimiento del sistema son: d ∂L ∂L = Qφ = bλ1 − dt ∂ φ˙ ∂φ d dt

∂L ∂ x˙

−

∂L = Qx = −λ1 ∂x


143

A partir de la funci´ on Lagrangiana L se encuentra que: ∂L = mb2 φ˙ ˙ ∂φ d dt

∂L ∂ φ˙

= mb2 φ¨

∂L =0 ∂φ ∂L = mx˙ ∂ x˙ d ∂L = m¨ x dt ∂ x˙ ∂L = mg sen θ ∂x Por lo tanto, las ecuaciones de movimiento se escriben como: mb2 φ¨ − bλ1 = 0

m¨ x − mg sen θ + λ1 = 0

(4.57) (4.58)

Estas dos ecuaciones, junto con la ecuaci´ on de ligadura dada por: bφ˙ = x˙

(4.59)

forman un conjunto de 3 ecuaciones con 3 inc´ ognitas. Derivando (4.59) respecto al tiempo se tiene: bφ¨ = x ¨ resultado que al ser reemplazado en (4.57) se obtiene mbφ¨ = λ1 m¨ x = λ1 Ahora, reemplazando (4.60) en (4.58) λ1 − mg sen θ + λ1 = 0

(4.60)

144


se encuentra que el multiplicador de Lagrange λ1 est´ a dada por: mg sen θ 2 Si se reemplaza el valor de λ1 en (4.60), se encuentra que la aceleraci´ on traslacional del aro es: mg sen θ m¨ x= 2 λ1 =

x ¨=

1 g sen θ 2

siendo este valor la mitad de la aceleraci´ on que tendr´ıa el aro si, en vez de rotar, se deslizara. De forma equivalente, la aceleraci´ on angular del aro es: 1 φ¨ = g sen θ 2b La fuerza de rozamiento de ligadura es: 1 Qx = −λ1 = − mg sen θ 2 mientras que el torque del aro es: b mg sen θ 2 La velocidad final del aro se calcula as´ı: dv dv ds dv 1 x ¨= = =v = g sen θ dt ds dt ds 2 Qθ = λ1 b =

expresi´ on que se puede escribir como: v dv =

1 (g sen θ)ds 2

Integrando a ambos lados de la anterior igualdad, se encuentra que: v xf v 2 f 1 = (g sen θ)s 2 v0 2 x0

Al tener en cuenta las condiciones iniciales: v0 = 0;

x0 = 0;

xf = l

se obtiene que la velocidad que tendr´ıa el aro en la posici´ on mas baja del plano es: p vf = lg sen θ ❏

Cap´ıtulo 5

Movimiento bajo una fuerza central Una fuerza central es una fuerza cuya l´ınea de acci´ on pasa a través de un punto simple o centro, que se encuentra en reposo o en movimiento con velocidad constante, y cuya magnitud depende u ńicamente de la distancia desde el centro. Algunos ejemplos de fuerzas centrales son la fuerza gravitacional y las fuerza electrost´ atica. Entre los sistemas f´ısicos que involucran fuerzas centrales se encuentra el movimiento planetario alrededor del sol, el a´tomo de Bohr, y la dispersi´ on de part´ıculas alfa por n´ ucleos. Un aspecto com´ un, para los sistemas f´ısicos mencionados, es que en todos ellos existe una fuerza de interacci´ on entre dos cuerpos, de tal forma que el centro de fuerza est´ a localizado aproximadamente en la posici´ on de uno de los dos cuerpos, es decir la masa de uno de los dos cuerpos es mucho mas grande que la del otro cuerpo. En este capitulo se estudia el movimiento de una part´ıcula sometida a la acci´ on de una fuerza central. Lo anterior se realiza, teniendo en cuenta que el problema de dos cuerpos auto-interactuantes se reduce al problema de un cuerpo de masa reducida sometido a la acci´ on de una fuerza central.

5.1.

El problema de los dos cuerpos y masa reducida

Considérese un sistema conservativo de dos part´ıculas de masas m1 y m2 y posiciones r 1 y r 2 , tal como se indica en la figura 5.1, de tal forma que existe una fuerza de interacci´ on mutua entre las dos part´ıculas. La magnitud de la mencionada fuerza depende de la distancia de separaci´ on entre las dos part´ıculas | r 2 − r 1 |. La fuerza que realiza la part´ıcula 1 sobre la part´ıcula 145

146

CAPÍTULO 5. Movimiento bajo una fuerza central

2 es F 12 , mientras que la que realiza la part´ıcula 2 sobre la part´ıcula 1 es F 21 . Estas dos fuerzas tienen igual magnitud y sentidos contrarios, es decir: F 12 = −F 21

(5.1)

F12 = | F 12 | = | F 21 | = F21

(5.2)

Este sistema puede describirse mediante seis coordenadas generalizadas independientes x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 , a través de los vectores de posici´ on r 1 = (x1 , y1 , z1 ) y r2 = (x2 , y2 , z2 ), los cuales est´ an definidos respecto al sistema inercial de referencia 0. La funci´ on Lagrangiana de este sistema est´ a dada por: L = L(r 1 , r 2 , r˙ 1 , r˙ 2 ) =

1 1 m1 r˙ 21 + m2 r˙ 22 − V (| r 2 − r 1 |) 2 2

(5.3)

o en términos de las coordenadas generalizadas y sus derivadas por: L=

1 2

m1 (x˙ 21 + y˙12 + z˙12 ) + 12 m2 (x˙ 22 + y˙22 + z˙22 ) − V (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) z m1

F 21 F 12

r1

m2

r2 0

y

x Figura 5.1. Sistema conservativo de dos part´ıculas interactuantes de masas m1 y m2 , cuyas posiciones están descritas por los vectores r 1 y r 2 , respectivamente.

De forma alternativa, para describir este problema se puede usar otro sistema de coordenadas independientes, tal como el sugerido por la figura 5.2. Este sistema de coordenadas queda definido mediante las tres coordenadas

5.1. EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS Y MASA REDUCIDA

147

z m1

br

cm R

b m2

y

x Figura 5.2. Sistema de la figura 5.1, ahora descrito por el vector posici´ on del centro de masa R y el vector separación entre las dos part´ıculas r.

xR , yR , zR que definen la posici´ on del centro de masa del sistema de las dos part´ıculas y mediante las tres coordenadas xr , yr , zr que definen el vector separaci´ on entre las dos part´ıculas r. El vector posici´ on del centro de masa del sistema R queda definido como: R = (xR , yR , zR )

(5.4)

mientras que el vector separaci´ on de las dos part´ıculas r queda definido por: r = r 1 − r 2 = (xr , yr , zr )

(5.5)

El objetivo es describir la din´ amica del sistema a partir de la funci´ on Lagrangiana dada en términos de los vectores r, R y de sus derivadas tempo˙ es decir L = L(r, R ; r, ˙ Se pueden referir las posiciones de ˙ R, ˙ R). rales r, las part´ıculas de masas m1 y m2 respecto el centro de masa, como se ilustra en la figura 5.3 a través de los vectores r 1′ y r 2′ , relacionados entre si por: r = r 1′ − r 2′

(5.6)

con los cuales se satisfacen las expresiones: r 1 = R + r 1′

(5.7)

r 2 = R + r 2′

(5.8)

148


z m1

b

r 1′ r 2′

r1

b m2

R r2 0

y

x Figura 5.3. Posiciones de las part´ıculas de masas m1 y m2 referidas al centro de masa.

El vector centro de masa de las dos part´ıculas est´ a definido por: R=

m1 r 1 + m2 r 2 m1 + m2

(5.9)

Reemplazando (5.7) y (5.8) en (5.9), se encuentra que: m1 r 1′ + m2 r 2′ = 0

(5.10)

A partir de (5.10) se obtiene: m2 ′ r m1 2 m1 ′ r 2′ = − r m2 1 r 1′ = −

(5.11) (5.12)

Al reemplazar (5.12) en (5.6) se encuentra: r = r 1′ +

m1 ′ m1 + m2 ′ r = r1 m2 1 m2

de donde se obtiene: r 1′ =

m2 r m1 + m2

(5.13)


149

resultado que al ser reemplazando en (5.7), conduce a: r1 = R +

m2 r m1 + m2

(5.14)

De igual forma, reemplazando (5.11) en (5.6) se obtiene r=−

m2 ′ −m1 − m2 ′ r − r 2′ = r2 m1 2 m1

de donde se encuentra que r 2′ = −

m1 r m1 + m2

(5.15)

resultado que al ser reemplazado en (5.8) conduce a: r2 = R −

m1 r m1 + m2

(5.16)

Derivando con respecto al tiempo (5.14) se obtiene ˙ + r˙ 1 = R

m2 r˙ m1 + m2

expresi´ on que al ser elevada al cuadrado se escribe como: r˙ 21 = r˙ 1 · r˙ 1 = R˙ 2 +

m22 2m2 ˙ r˙ 2 + r˙ · R 2 (m1 + m2 ) m1 + m2

(5.17)

As´ı mismo, derivando con respecto al tiempo (5.16) se obtiene ˙ − r˙ 2 = R

m1 r˙ m1 + m2

resultado que al expresarse al cuadrado conduce a: r˙ 22 = r˙ 2 · r˙ 2 = R˙ 2 +

m21 2m1 ˙ r˙ 2 − r˙ · R 2 (m1 + m2 ) m1 + m2

(5.18)

Reemplazando (5.17) y (5.18) en (5.3), se obtiene que la funci´ on Lagrangiana del sistema est´ a dada por:

150


2 1 m 2m 2 2 2 2 ˙ L = m1 R˙ + r˙ + r˙ · R 2 (m1 + m2 )2 m1 + m2 m21 2m1 1 2 2 ˙ ˙ + m2 R + r˙ − r˙ · R − V (| r 1 − r 2 |) 2 (m1 + m2 )2 m1 + m2 Después de realizar algunos pasos algebraicos, la funci´ on Lagrangiana queda escrita como: L=

1 m1 m2 2 1 (m1 + m2 ) R˙ 2 + r˙ − V (| r 1 − r 2 |) 2 2 m1 + m2

(5.19)

m1 m2 la masa reducida,1 m1 + m2 entonces la funci´ on Lagrangiana se puede reescribir como

Llamando M = m1 + m2 , la masa total y µ =

1 1 M R˙ 2 + µr˙ 2 − V (| r 1 − r 2 |) (5.20) 2 2 √ Ya que r 1 − r 2 = r, entonces | r 1 − r 2 | = | r | = r = x2r + yr2 + zr2 , por lo tanto la funci´ on Lagrangiana se escribe como: L=

˙ = ˙ R) L(r, r,

1 1 M R˙ 2 + µr˙ 2 − V (r) 2 2

(5.21)

o en términos de las coordenadas, como: L=

1 1 M (x˙ 2R + y˙ R2 + z˙R2 ) + µ(x˙ 2r + y˙ r2 + z˙r2 ) − V (xr , yr , zr ) 2 2

(5.22)

Las ecuaciones de movimiento del sistema son: d ∂L ∂L − = 0; dt ∂ x˙ R ∂xR

d ∂L ∂L − = 0; dt ∂ y˙ R ∂yR

d ∂L ∂L − =0 dt ∂ z˙R ∂zR

d ∂L ∂L − = 0; dt ∂ x˙ r ∂xr

d ∂L ∂L − = 0; dt ∂ y˙ r ∂yr

d ∂L ∂L − =0 dt ∂ z˙r ∂zr

Se observa que L no depende de xR , yR , zR (son coordenadas c´ıclicas), por lo tanto: ∂L ∂L ∂L = = =0 ∂xR ∂yR ∂zR 1

La masa reducida también se escribe de la forma

1 µ

=

(5.23) 1 m1

+

1 . m2


151

As´ı, las ecuaciones de movimiento para las coordenadas del centro de masa se escriben como: d ∂L d ∂L d ∂L = = =0 dt ∂ x˙ R dt ∂ y˙ R dt ∂ z˙R

(5.24)

o equivalentemente como: d d d px = py = pz = 0 dt R dt R dt R

(5.25)

de donde se encuentra que el vector momento del centro de masa pR es una constante de movimiento: pR = (pxR , pyR , pzR ) = cte

(5.26)

Lo anterior significa que el centro de masa, localizado respecto al sistema de referencia 0 mediante el vector R, tiene asociado un momento lineal pR = cte, de donde se puede concluir que el centro de masa est´ a en reposo relativo o se mueve con velocidad constante respecto a 0. Por lo tanto, el centro de masa puede tomarse como un sistema inercial de referencia y el movimiento de las part´ıculas m1 y m2 referirse al centro de masa. Teniendo en cuenta lo anterior, si el origen del sistema de referencia se ubica en el centro de masa, entonces se tiene que R = 0 y por lo tanto se ˙ = 0 en (5.21) y de esta forma, escribir la funci´ puede tomar R on Lagrangiana efectiva del sistema como: ˙ = L = L(r, r)

1 2 µr˙ − V (r) 2

(5.27)

y as´ı poder describir el movimiento del cuerpo de masa reducida µ respecto al centro de masa del sistema. Obsérvese que el sistema f´ısico del problema ahora corresponde a una part´ıcula de masa µ moviéndose en un campo de fuerza central descrito por V (r). Es decir, el problema de los dos cuerpos de masas m1 y m2 , interactuando entre si a través de una fuerza mutua que depende de su distancia, descrito por la funci´ on Lagrangiana (5.3), se ha reducido al problema descrito por la funci´ on Lagrangiana (5.4), correspondiente al de un solo cuerpo de masa reducida µ sometido a la acci´ on de un potencial central V (r), tal como se ilustra en la figura 5.4. Si a partir de la ecuaci´ on de movimiento se encuentra la trayectoria del cuerpo de masa reducida r = r(t), inmediatamente se pueden encontrar las

152


m1

r1 b

r2

r

m2

b

µ

Figura 5.4. Trayectorias de las dos part´ıculas.

trayectorias de los cuerpos de masas m1 y m2 a través de las expresiones (5.13) y (5.15). Por ejemplo si m2 = 2m1 , entonces: r 1′ =

2m1 2 r= r 3m1 3

r 2′ =

m1 1 r= r 3m1 3

La masa reducida es: µ=

m1 m2 2m21 2 = = m1 m1 + m2 3m1 3

Tomando el origen en el centro de masa, R = 0 r 1 = R + r 1′ = r 1′ r 2 = R + r 2′ = r 2′ m1 r 1′ + m2 r 2′ = 0 r 2′ = −

m1 ′ 1 r = − r 1′ m2 1 2

entonces r 2 = − 12 r 1

5.2. PROPIEDADES DEL MOVIMIENTO BAJO UNA FUERZA CENTRAL

r2′ = r2 =

5.2.

1 2

r1 =

1 2

153

r1′

r = r 1′ − r 2′ = r 1 − r 2 = r 1 − − 12 r1 =

3 2

r1

Propiedades generales del movimiento bajo una fuerza central z

m1 F 21

r1

b er

F 12 m2

r2 0

y

x

Figura 5.5. Movimiento descrito por r.

Las ecuaciones de movimiento de las dos part´ıculas son: F 12 = −F 21 Recordando que r = r 1 − r 2 , r = | r | = | r 1 − r 2 |, se tiene: F12 = F21 = F (r) con b er = rr :

m1 r¨1 = F (r)b er

(5.28)

m1 r¨2 = −F (r)b er

(5.29)

Restando (5.28) y (5.29) ¨ 1 − r¨1 = r

1 1 + m1 m2

F (r)b er

154


m1 m2 (¨ r 1 − r¨2 ) = F (r)b er m1 + m2 Con la definici´ on de la masa reducida dada en la p´ agina 150: µ¨ r = F (r)b er

(5.30)

m1

r1 =

m2 m1 +m2

r

cm R = 0

r 1 r r 2 = − m1m+m 2

m2

Figura 5.6. Centro de masa.

Ya que si R = 0 entonces: m2 m2 r= r m1 + m2 m1 + m2

(5.31)

m1 m1 r=− r m1 + m2 m1 + m2

(5.32)

r1 = R + r2 = R −

Obsérvese que si m2 ≫ m1 entonces 1 1 1 1 = + ⋍ µ m1 m2 m1 entonces µ ⋍ m1


y (5.31) y (5.32) son r1 ⋍ r r2 ⋍ 0 y la ecuaci´ on (5.30) se reduce a m1 r¨ = F (r)b er Es decir al problema de un solo cuerpo. Pero en general, la ecuaci´ on de movimiento es µ¨ r = F (r)b er

5.2.1.

Movimiento confinado a un plano F (r)b er

z bµ

r 0

y

x

Figura 5.7. Fuerza sobre µ.

Sea τ el torque sobre la masa reducida µ τ =

dℓ d d = (r × p) = (r × mv) dt dt dt τ =r×m

dv + v × mv dt

155

156


m

dv = ma = r¨ dt v×v =0

τ =

dℓ =r×F dt

Ya que r k F , rb er × F (r)b er = 0, entonces τ =

dℓ =0 dt

entonces ℓ = r × p = cte As´ı ℓ = ℓb e1 = cte implica que ℓ es una constante y b en es constante. z

ℓ = ℓb ez

0

y r 0

p µ

x

Figura 5.8. Movimiento de la part´ıcula de masa µ confinado a un plano.

As´ı, el movimiento de la part´ıcula de masa µ est´ a confinado a un plano que es perpendicular a ℓ como se ilustra en la figura 5.8. El movimiento se ha simplificado a dos dimensiones. En el plano xy es conveniente usar coordenadas polares (r, θ) (figura 5.9), de tal forma que la ecuaci´ on de movimiento (5.30) es: µ¨ r = F (r)b er

(5.33)


157

y

b eθ

b er

r θ x Figura 5.9. Coordenadas polares (r, θ).

De acuerdo a la figura 5.9, los vectores unitarios b er y b eθ (b er ⊥ b eθ ) est´ an dados por: b er = cos θbı + sen θb

b eθ = − sen θbı + cos θb

db er = − sen θbı + cos θb = b eθ dθ

db eθ = − cos θbı − sen θb = −b er dθ El vector de posici´ on es r = rb er por lo tanto v=

=

dr d = (rb er ) dt dt db er dr b er + r dt dt

= rb ˙ er + r

db er dθ dθ dt

158


˙ eθ = rb ˙ er + r θb a=

dv d ˙eθ ) = (rb ˙ er + r θb dt dt

luego ˙ eθ r¨ = a = (¨ r − r θ˙ 2 )b er + (r θ¨ + 2r˙ θ)b Reemplazando en (5.33) ˙ eθ = F (r)b µ(¨ r − r θ˙ 2 )b er + µ(r θ¨ + 2r˙ θ)b er Luego, las ecuaciones de movimiento son µ(¨ r − r θ˙ 2 ) = F (r)

(5.34)

˙ =0 µ(r θ¨ + 2r˙ θ)

(5.35)

y

5.2.2.

El momento angular una constante de movimiento

El lagrangiano en coordenadas cartesianas, sabiendo que el movimiento est´ a restringido a un plano es: L= L=

1 2

1 2

µr˙ 2 − V (r)

µ(x˙ 2 + y˙ 2 ) − V (x, y)

(5.36)

En coordenadas polares es: L=

1 2

µv 2 − V (r)

Pero ˙eθ ) · (rb ˙eθ ) v 2 = v · v = (rb ˙ er + r θb ˙ er + r θb v 2 = r˙ 2 + r 2 θ˙ 2 luego: L=

1 2

µ(r˙ 2 + r 2 θ˙ 2 )

(5.37)


Las ecuaciones de movimiento son d ∂L ∂L − =0 dt ∂ θ˙ ∂θ d dt

∂L ∂ r˙

−

∂L =0 ∂R

159

(5.38)

(5.39)

Se observa que θ no aparece expl´ıcitamente en el lagrangiano, luego es una coordenada c´ıclica y por lo tanto ∂L =0 ∂θ De (5.38) se tiene entonces: d dt

∂L ∂ θ˙

=0

luego d ˙ = µr 2 θ¨ + 2µr r˙ θ˙ = 0 (µr 2 θ) dt

(5.40)

Esta es la primera ecuaci´ on de movimiento que coincide con (5.35). d pθ = 0 dt entonces pθ = cte pθ =

∂L = µr 2 θ˙ = ℓ ∂θ

Esta cantidad se define el momento angular y es la primera integral de movimiento.

5.2.3.

Ley de ´ areas iguales

El anterior resultado, ℓ = cte, tiene una simple interpretaci´ on geométrica: El radio vector r barre un a´rea dA en un tiempo dt dA =

1 2

r(rdθ) =

1 2

r 2 dθ

160


t r

rdθ

t + dt

dθ b

☼

´ orbita del planeta

Figura 5.10. Ilustraci´ on de la segunda ley de Kepler. Bajo la acción de una fuerza central como en el caso de un planeta describiendo una o´rbita alrededor del sol, el vector de posici´ on bare a´reas iguales en tiempos iguales.

La tasa en que el radio vector barre esta a´rea es: ℓ dA 1 dθ 1 = r2 = r 2 θ˙ = = cte dt 2 dt 2 2µ Esta es la expresi´ on de la segunda ley de Kepler del movimiento planetario deducida emp´ıricamente por Kepler en 1609 a partir del estudio de los resultados de Tycho Brahe sobre el movimiento de Marte. Por lo tanto, la conservaci´ on del momento angular implica la constancia en el barrido de a´rea por unidad de tiempo, o sea constancia en la velocidad areolar dA dt . Esta ley implica que un planeta se mueve m´ as r´ apido cerca del sol que lejos de este.

5.2.4.

Energ´ıa una constante de movimiento

De la segunda ecuaci´ on de movimiento d ∂L ∂L − =0 dt ∂ r˙ ∂r dL = µr˙ dr˙


161

Entonces d dt

∂L ∂ r˙

= µ¨ r

∂V dL = µr θ˙ 2 − dr ∂r Luego, la segunda ecuaci´ on de movimiento es: ∂V =0 µ¨ r − µr θ˙ 2 + ∂r µ¨ r − µr θ˙ 2 = − Pero ya que F (r) = −

∂V ∂r

∂V : ∂r µ¨ r − µr θ˙ 2 = F (r)

(5.41)

La cual coincide con (5.34). Haciendo uso de la primera ecuaci´ on de movimiento, o sea µr 2 θ˙ = ℓ µ2 r 4 θ˙2 = ℓ2 µr θ˙ 2 =

ℓ2 µr 3

Entonces (5.41) es: µ¨ r−

ℓ2 = F (r) µr 3

Ecuaci´ on diferencial de segundo orden que solo contiene a r µ¨ r=−

dV ℓ2 + 2 dr µr

d 1 ℓ2 µ¨ r=− V (r) + dt 2 µr 2

(5.42)

162


Multiplicando por r˙ a ambos lados de (5.42), el primer término d 1 ℓ2 µ¨ rr˙ = − r˙ V (r) + dt 2 µr 2 El primer término µ¨ r r˙ =

d 1 2 µr˙ dt 2

Y el segundo término d dg dr g(r) = dt dr dt o sea d dt

1 2 µr˙ 2

d =− dt

1 ℓ V (r) + 2 µr 2

es decir d 1 2 1 ℓ2 µr˙ + + V (r) = 0 dt 2 2 µr 2 por lo cual 1 2 1 ℓ2 µr˙ + + V (r) = cte 2 2 µr 2

(5.43)

y teniendo en cuenta que: 1 ℓ2 1 µr 2 θ˙ 2 2 4 ˙2 = µ r θ = 2 µr 2 2µr 2 2 Entonces (5.43) es: 1 2 1 2 ˙2 µr˙ + µr θ + V (r) = E 2 2 Esta es la expresi´ on de la ley de conservaci´ on de la energ´ıa.

(5.44)

´ DE ORBITAS ´ 5.3. POTENCIAL EFECTIVO Y CLASIFICACION

5.3.

163

Potencial efectivo y clasificaci´ on de ´ orbitas

La relaci´ on (5.44) coincide con: E = T + V (r) =

1 µ(r˙ 2 + r 2 θ˙2 ) + V (r) 2

con ℓ = µr 2 θ˙ E=

ℓ2 1 2 + V (r) = cte µr˙ + 2 2µr 2

(5.45)

se puede definir el potencial efectivo U (r) como: U (r) = V (r) +

ℓ2 2µr 2

(5.46)

Entonces F′=−

∂U ℓ2 = F (r) + 3 ∂r µr

y entender el sistema descrito por (5.44) como el movimiento de una part´ıcula de masa µ en un campo de fuerza central descrita por el potencial efectivo (5.46). Seg´ un el observador 0, quien siempre est´ a siendo rotado de cara a la part´ıcula.

y r

rdθ

dθ 0

x

Figura 5.11. Movimiento bajo una fuerza central visto desde 0.

164


Tal observador es un sistema de referencia rotante, y el término de energ´ıa potencial adicional en (5.46) conduce a una fuerza nueva 2 d ℓ ℓ2 Fc = − = (5.47) dr 2µr 2 µr 3 y teniendo en cuenta que ℓ = µr 2 θ˙ (5.47) se puede escribir como 2

v Fc = µr θ˙ 2 = µ θ r

Esta es la fuerza centr´ıfuga. La fuerza inercial Fc siempre entra en consideraci´ on al ver el movimiento desde el punto de vista de un sistema rotante de referencia. Mientras que la fuerza inercial Fc es una fuerza central, esta depende de la velocidad angular del sistema de referencia relativa a un sistema inercial de referencia. ´ Unicamente en el caso especial, cuando la fuerza real es central, as´ı que el momento angular es constante, se puede eliminar la velocidad angular y derivar la fuerza inercial Fc de una energ´ıa potencial. Sin necesidad de resolver expl´ıcitamente las ecuaciones de movimiento, a partir de la ley de fuerza (5.45) se pueden deducir caracter´ısticas generales del movimiento. De (5.45) se tiene: ℓ2 1 2 µr˙ = E − V − 2 2µr 2 r˙ =

s

2 µ

ℓ2 E−V − 2µr 2

r h i 2 = E − U (r) µ

(5.48)

Ya que r˙ > 0 siempre, entonces U (r) ≡ V (r) +

ℓ2 6E 2µr 2

(5.49)

y los valores m´ınimo y m´ aximo de r para los que r˙ = 0, est´ an dados por la igualdad en (5.49): V (r) +

ℓ2 =E 2µr 2

165


y estos puntos corresponden a los puntos de retorno o distancias menor y mayor sobre el eje de la o´rbita. Cuando U (r) tiene un valor m´ınimo y es igual al valor m´ınimo, entonces r˙ es cero durante el movimiento entero de la o´rbita. El movimiento es por lo tanto circular y ning´ un movimiento es posible para valores menores que E. Ejemplo 5.1. Movimiento en un campo de fuerza F (r) = − U (r) E1 ℓ 2µr 2

E2 r1

r1

r

r2

E3 T

E4 = Um´ın

− kr

Figura 5.12. Potencial efectivo para el ejemplo 5.1.

Dado que F (r) = −

k r2

entonces F (r) = −

dV dr

dV = −F (r) dr =

k dr r2

k r2

166


k V (r) = − , con k > 0 r Luego, el potencial efectivo, para este caso es: k ℓ2 U (r) = − + r 2µr 2

(5.50)

U (r) < 0 para r grande U (r) → 0 para r → ∞ U (r) → ∞ Para r → 0. Diferentes posibilidades a ) para E1 > 0, movimiento hiperb´ olico (figura 5.13). b ) Para E2 = 0 hay una distancia m´ınima radial pero no una m´ axima. c ) Para 0 > E3 < U(m´ın) . Movimiento el´ıptico. Hay un m´ aximo r2 y un m´ınimo r1 radial para los cuales ocurre que r˙ = 0, o sea V (r) =

ℓ2 =E 2µr 2

Teniendo en cuenta que: ℓ = µr 2 θ˙ =

∂L ∂ θ˙

entonces ℓ = µr 2 dθ =

dθ dt

ℓ dt µr 2

(5.51)


167

r

r1

Figura 5.13. Trayectoria hiperbólica.

Se sabe que dr = r˙ = dt

s r h i ℓ2 2 2 E−V − E − U (r) = µ 2µr 2 µ dt = r 2 µ

1 E−V −

ℓ2 2µr 2

dr

Reemplazando (5.52) en la expresi´ on (5.51) se obtiene dθ =

ℓ r µr 2 2 µ

dθ = q

1 E−V −

ℓ2 2µr 2

ℓr −2 2µ(E − V ) −

ℓ2 r2

dt

dr

(5.52)

168


Integrando se tiene: θ=

Z

q

ℓr −2 2µ(E − V ) −

ℓ2 r2

dr + cte

(5.53)

Durante el tiempo en que r var´ıa de rm´ın = r1 a rmáx = r2 , el radio vector barre un ańgulo ∆θ dado por ∆θ = 2

Zr2

r1

q

ℓr −2 2µ(E − V ) −

ℓ2 r2

dr

El camino es una curva cerrada cuando el ańgulo ∆θ es una fracci´ on racional de 2π, as´ı que ∆θ = 2π

m n

con m y n enteros.

En este caso, después de n per´ıodos, el radio vector de la part´ıcula habr´ a completado m revoluciones completas y ocupa su posici´ on original, as´ı que el camino es cerrado. Cuando ∆θ no es una fracci´ on racional de 2π, el camino tiene una forma de una roseta (figura 5.14). d ) Para E4 = Um´ın , movimiento circular. r1 y r2 coinciden. En tal caso el movimiento es solo posible para un radio. En este caso U (r) m´ınimo, o sea F′=−

∂U ℓ2 = 0 = F (r) + 3 ∂r µr

F (r) = −

ℓ2 = −µr θ˙ 2 µr 3

Fuerza aplicada es igual en magnitud y signo opuesto a la fuerza efectiva invertida o “fuerza centr´ıpeta”. e ) Para E5 < Um´ın , el movimiento no es f´ısicamente posible pues r˙ 2 ser´ıa negativa, o sea r˙ imaginaria. ❏

´ GENERAL AL PROBLEMA DEL MOVIMIENTO EN UN CAMPO DE 5.4. SOLUCION FUERZA CENTRAL 169

rmáx

rm´ın

∆θ

Figura 5.14. Cuando ∆θ no es una fracción racional de 2π, la trayectoria no se cierra.

5.4. 5.4.1.

Soluci´ on general al problema del movimiento en un campo de fuerza central M´ etodo de la energ´ıa

De la conservaci´ on de la energ´ıa mec´ anica total se tiene: E=

1 2 ℓ2 µr˙ + + V (r) 2 2µr 2

de donde se puede despejar: dr r˙ = = dt

s

dt = r

2 µ

ℓ2 E −V − 2µr 2 dr

2 µ

E−V −

ℓ2 2µr 2

(5.54)

170


Integrando: t=

Z

r

2 µ

dr E−V −

ℓ2 2µr 2

+ t0

(5.55)

lo cual conduce a la soluci´ on general del problema en la forma t = t(r). Con una inversi´ on se tendr´ıa r = r(t). De la conservaci´ on del momento angular se ten´ıa: ℓ = µr 2 θ˙ = µr 2

dθ dt

Entonces: dθ =

ℓ dt µr 2

reemplazando (5.54) se obtiene dθ =

ℓ r µr 2 2 µ

dr E−V −

ℓ2 2µr 2

Integrando: θ=

Z

q

ℓ/r 2 2µ(E − V ) −

ℓ2 r2

dr + θ0

(5.56)

ya que ℓ = µr 2 θ˙ = cte ℓ θ˙ = 2 = cte µr Luego θ˙ no puede cambiar de signo nunca y θ siempre var´ıa monotonamente con el tiempo. La integral (5.56) se puede reescribir a través del cambio de variable u=

1 ; r

du = −

1 dr r2

´ n general al problema en un campo de fuerza central 5.4. Solucio

171

reemplazando en (5.56) se obtiene ℓ θ=√ 2µ

Z

q

−du E−V −

ℓ2 2µ

+ θ0

(5.57)

u2

Si la fuerza central var´ıa como F (r) = αr n entonces V =−

Z

F (r) dr = −

Z

αr n dr = −

αr n+1 n+1

(5.58)

siendo α y n constantes. En términos de u, V (r) es: u−(n+1) n+1

V = −α

(5.59)

Reemplazando (5.59) en (5.57) se tiene ℓ θ=√ 2µ

Z

q

−du

E+

αu−n−1 n+1

−

ℓ2 2µ

+ θ0 u2

donde n 6= −1, con lo cual se tiene θ = θ(r). Se puede demostrar que con n = 1, −2, −3; F (r) = αr, rα2 , rα3 la integral se puede evaluar en términos de funciones trigonométricas. Cuando n = 5, 3, 0, −4, −5, −7; F (r) = αr 5 , αr 3 , α, rα4 , rα5 , rα7 la funci´ on se puede evaluar en términos de funciones el´ıpticas. En particular para n = −2; F (r) = ℓ θ=√ 2µ

5.4.2.

Z

α r2

−du q E − αu −

ℓ2 2µ

+ θ0 u2

M´ etodo lagrangiano

Con L=

1 2 1 2 ˙2 µr˙ + µr θ − V (r) 2 2

172


Se hab´ıan obtenido las ecuaciones de movimiento d ∂L ∂L − =0 dt ∂ θ˙ ∂θ

(5.60)

µr 2 θ˙ = ℓ = cte y d dt

∂L ∂ r˙

¨ θ˙ 2 ) = − µ(−r

−

∂L =0 ∂r (5.61)

∂V = F (r) ∂r

Con el cambio de variable u = 1r , la primera ecuaci´ on es: ℓ ℓu2 θ˙ = 2 = µr µ

(5.62)

Teniendo en cuenta que dr d = dt dt

1 du du du dθ = −u−2 = −u−2 = −u−2 θ˙ u dt dθ dt dθ dr = −u−2 dt

ℓu2 µ

du ℓ du =− dθ µ dθ

(5.63)

Diferenciando una vez mas ℓ d du ℓ d2 u dθ ℓ d2 u ˙ ℓ ℓu2 d2 u d2 r =− = − θ = − , r¨ = 2 = − dt µ dt dθ µ dθ 2 dt µ dθ 2 µ µ dθ 2 r¨ = −

ℓu µ

2

d2 u dθ 2

(5.64)

Reemplazando (5.62) y (5.64) en (5.61) se tiene que la segunda ecuaci´ on de movimiento tiene la forma: " 2 # ℓu 2 d2 u 1 ℓu2 µ − − = F ( u1 ) µ dθ 2 u µ

´ n general al problema en un campo de fuerza central 5.4. Solucio

−

173

ℓ2 u2 d2 u ℓ2 u3 − = F ( u1 ) µ dθ 2 µ

µ 1 d2 u + u = − 2 2 F ( u1 ) 2 dθ ℓ u Esta es la ecuaci´ on diferencial de la o´rbita r = r(θ)

(5.65)

Ejemplo 5.2. Una part´ıcula de masa µ, bajo la acci´ on de una fuerza describe una o´rbita espiral r = r0 e−θ . Determinar la forma de la fuerza. M´ etodo lagrangiano: u=

d2 u 1 = e−θ dθ 2 r0

du 1 = − e−θ ; dθ r0

1 1 = e−θ ; r r0

reemplazando en (5.65) 1 −θ 1 µ e + e−θ = − 2 r02 e2θ F ( u1 ) r0 r0 ℓ entonces F ( u1 ) = −

2ℓ2 −3 −3θ 2ℓ2 r0 e =− 3 µ µr

o sea F (r) = −

2ℓ2 µr 3

seg´ un (5.63) dr d = dt dt ℓ2 r˙ = 2 µ 2

du dθ

2

1 ℓ du =− u µ dθ

ℓ2 = 2 µ

1 − e−θ r0

2

=

ℓ2 2 u µ2

Con el m´ etodo de la energ´ıa: La ecuaci´ on de o´rbita indica que la part´ıcula está en un campo de fuerza central. Luego la energ´ıa E = T + V de la part´ıcula es constante E=

1 2 ℓ2 µr˙ + + V (r) 2 2µr 2

174


reemplazando r˙ 2 y 1/r 2 se tiene 2 1 ℓ 2 ℓ2 2 ℓ2 2 E= µ u + u + V (u) = u + V (u) 2 µ2 2µ µ luego V (u) = E −

ℓ2 u2 ℓ2 = E − 2 = V (r) µ µr

La fuerza es F (r) = −

5.5.

dV 2ℓ2 =− 3 dr µr

Ley del inverso del cuadrado de la distancia

La fuerza central mas importante es la fuerza que var´ıa con el inverso del cuadrado de la distancia F (r) = −

k r2

o V (r) = −

k r

Siendo k > 0 para fuerza atractiva (por ejemplo k = Gm1 m2 ), y k < 0 para fuerza repulsiva. La ecuaci´ on de la o´rbita θ = θ(r) obtenida en forma general es (5.57) Z ℓ −du q θ=√ + θ0 2µ ℓ2 2 E − V − 2µ u θ = θ0 − Para este caso V = − kr θ = θ0 −

Z

Z

q

q

du 2µ (E ℓ2

− V ) − u2

du 2µE ℓ2

+

2µku ℓ2

(5.66) − u2

5.5. LEY DEL INVERSO DEL CUADRADO DE LA DISTANCIA

Teniendo en cuenta que en general: Z

1 β + 2γx p =√ arc cos − √ −γ q α + βx + γx2 dx

con q = β 2 − 4αγ.

Por comparaci´ on, las constantes α, β, γ y q para nuestro caso son: α=

2µE ; ℓ2

β=

2µk ; ℓ2

γ = −1 ; q=

2µk ℓ2

q=

2

2µk ℓ2

− 4(−1)

2

2Eℓ2 µk2

1+

2µE ℓ2

;

Realizando la integral en (5.66) se obtiene 1 β + 2γu arc cos − √ θ = θ0 − √ −γ q

β − 2u θ = θ0 − arc cos − √ q

entonces β − 2u θ − θ0 = − arc cos − √ q

β − 2u | θ − θ0 | = arc cos − √ q β − 2u cos(θ − θ0 ) = − √ q

175

176


√

u= o sea



q cos(θ − θ0 ) = −β + 2u h i √ 1 u = 2 β + q cos(θ − θ0 )

1  2µk 2µk + 2 2 ℓ2 ℓ 

Es decir

1 µk = 2 1 + r ℓ

r=

s

s

1+

1+

ℓ2 q µk 1 + 1 +

2Eℓ2 µk2

2Eℓ2 µk2



cos(θ − θ0 ) 

cos(θ − θ0 )

1 2Eℓ2 µk 2

(5.67) cos(θ − θ0 )

llamando a=

ℓ2 µk

y

ǫ=

s

1+

2Eℓ2 µk2

se puede reescribir (5.67) como r=

a 1 + ǫ cos(θ − θ0 )

(5.68)

De una forma equivalente, a partir de la ecuaci´ on de o´rbita también se puede obtener este resultado. La ecuaci´ on (5.65) para este caso, con F ( 1r ) = −ku2 , es: d2 u µ 1 + u = − 2 2 (−ku2 ) dθ 2 ℓ u


177

µk d2 u +u= 2 dθ 2 ℓ Ecuaci´ on que se puede resolver con el cambio de variable y =u−

µk ℓ2

la cual queda d2 y +y =0 dθ 2 cuya soluci´ on inmediata es y = A cos(θ − θ0 ) siendo A y θ0 constantes de integraci´ on. Esta soluci´ on en funci´ on de r es: u−

µk = A cos(θ − θ0 ) ℓ2

1 µk = 2 + A cos(θ − θ0 ) r ℓ 1 µk Aℓ2 = 2 1+ cos(θ − θ0 ) r ℓ µk r=

a 1 + g cos(θ − θ0 )

g=

Aℓ2 ; µk

(5.69)

con a=

ℓ2 µk

Comparando (5.68) con (5.69) se identifica a ǫ con g. Esto se puede demostrar partiendo de la ecuaci´ on de conservaci´ on de la energ´ıa: E=

1 2 ℓ2 k µr˙ + − 2 2 2µr r

178


Cuando r tiene un valor m´ınimo, entonces r˙ = 0, y la ecuaci´ on anterior se reduce a E=

ℓ2 k − 2 2µrm´ın r m´ın

(5.70)

La ecuaci´ on (5.69) se puede escribir como rm´ın =

a 1+g

(5.71)

alido en el m´ınimo). colocando cos(θ − θ0 ) = 1 (v´ Reemplazando (5.71) en (5.70) se obtiene E= 2µ

E=

E=

E=

ℓ2 a2

(1+g)2

−

k a 1+g

ℓ2 (1 + g)2 k(1 + g) − 2µa2 a

ℓ2 (1 + 2g + g2 ) k(1 + g) − 2µa2 a

ℓ2 + 2gℓ2 + ℓ2 g2 − 2µak − 2µakg 2µa2

ℓ2 + 2gℓ2 + ℓ2 g2 − 2µak − 2µakg − 2µa2 E = 0

µak g +2 1− 2 ℓ 2

g+1−

2µak 2µa2 − 2 E=0 ℓ2 ℓ

Pero recordando que a=

ℓ2 µk

g2 − 2(1 − 1)g + 1 − 2 − g2 = 1 +

2µ ℓ4 E=0 ℓ2 µ 2 k 2

2Eℓ2 µk2


g=

s

1+

179

2Eℓ2 =ǫ µk2

Escogiendo θ0 = 0 la ecuaci´ on de la trayectoria queda descrita como r=

a 1 + ǫ cos θ

(5.72)

ecuaci´ on general de una secci´ on c´ onica, y ǫ = r/d es la excentricidad de la c´ onica. aximo, esto es cuando θ = 0. Es obvio que para r = rm´ın , cos θ es un m´ As´ı escoger θ0 = 0 significa medir θ desde rm´ın . Esta posici´ on se conoce como el pericentro (perihelio). La posici´ on de rmáx se conoce como el apocentro (apohelio). Para una fuerza atractiva k > 0 y as´ı a=

ℓ2 >0 µk

Es evidente de (5.72) que las condiciones ǫ < 1 y ǫ = 1 son posibles, ya que | cos θ | 6 1, as´ı que r ser´ a positivo. Entonces se tiene o´rbitas parab´ olicas y el´ıpticas. Si ǫ > 1, se debe tener 1 + ǫ cos θ > 0, o 1 − < cos θ < 1 ǫ y la o´rbita es hiperb´ olica con centro de fuerza en el foco interior. En la tabla 5.1 y la figura 5.15 se resume todo lo anterior. Cuadro 5.1. Clases de o´rbitas y su relación con la excentricidad y el valor de la energ´ıa.

Excentricidad

Energ´ıa

Trayectoria

ǫ>1

E = Eh > 0

hiperb´ olica

ǫ=1

E = Ep = 0

parab´ olica

0<ǫ<1

E = Ee < 0

el´ıptica

ǫ=0

E = Ec = −µk2 /2ℓ2

circular

180


ǫ=1 ǫ>1

ǫ<1 ǫ=0 rmáx

rm´ın

Figura 5.15. Clase de o´rbita seg´ un la excentricidad, para fuerza atractiva.

Para fuerza repulsiva, k es negativo y por lo tanto α < 0. Bajo estas condiciones el denominador (1 + ǫ cos θ) siempre es menor que cero, debido a que r es positivo. Esto no puede suceder para ǫ 6 1. Por lo tanto o´rbitas parab´ olicas y el´ıpticas no son posibles para una fuerza repulsiva. Si ǫ > 1, se debe tener −1 < cos θ < −1/ǫ de tal forma que 1 + ǫ cos θ < 0 As´ı el valor de θ est´ a restringido al rango cos−1 (−1/ǫ) < θ < 2π − cos−1 (−1/ǫ)

5.6. LEYES DE KEPLER DEL MOVIMIENTO PLANETARIO

181

cos−1 (−1/ǫ) rm´ın k>0

θ 0

Figura 5.16. Dispersión de part´ıculas alfa por n´ ucleos pesados. Geiger y Marsden, 1909. Este es el tipo de o´rbita en el caso de fuerza repulsiva.

La o´rbita es una hipérbola con el centro de fuerza en el foco exterior, como en el caso de la dispersi´ on de part´ıculas alfa por n´ ucleos pesados (figura 5.16). rm´ın =

5.6.

a ℓ2 = 1−ǫ µk(1 − ǫ)

Leyes de Kepler del movimiento planetario

1. Los planetas se mueven en o´rbitas el´ıpticas con el sol en uno de los focos (figura 5.17). 2. El radio vector dibujado desde el sol a un planeta barre a´reas iguales en tiempos iguales. 3. El cuadrado del per´ıodo de revoluci´ on alrededor del sol es proporcional al cubo del eje mayor de la o´rbita. La excentricidad es: ǫ=

distancia interfocal 2OF = eje mayor 2a

182


y bP

r′

r

b θ

☼ F1

0

F2

x

a ´ Figura 5.17. Orbitas el´ıpticas de los planetas con el sol en uno de los focos de la elipse.

o OF 2 = aǫ = OF 1 La figura 5.17 revela que el valor m´ınimo de r ocurre en θ = 0 rm´ın = a − OF 2 = a(1 − ǫ) mientras que se hab´ıa obtenido rm´ın =

a 1+ǫ

Igualando α = a(1 − ǫ) 1+ǫ El eje mayor a es: a=

α k k =− = 2 1−ǫ 2E 2| E |

El eje menor b es: p 1 b = a 1 − ǫ2 = p 2µ| E |

5.6. LEYES DE KEPLER DEL MOVIMIENTO PLANETARIO

Un punto de la elipse tendr´ıa r ′ + r = 2a o p

de donde

[x − (−aǫ)]2 + y 2 +

p

(x − aǫ)2 + y 2 = 2a

x2 y2 + =1 a2 a2 (1 − ǫ2 ) As´ı el eje menor b es: p b = a 1 − ǫ2

se tiene entonces la ecuaci´ on de la elipse:

x2 y 2 + 2 =1 a2 b El a´rea total de la elipse est´ a dada por: A=

tasa en que el vector radial barre un a´rea per´ıodo del movimiento τ=

A dA dt

El a´rea de la elipse es A=

Z2π

1 2 r dθ = 2

0

2 Z2π 1 a(1 − ǫ2 ) dθ = πa2 (1 − ǫ2 ) = πab 2 1 + ǫ cos θ 0

dA r 2 θ˙ ℓ = = dt 2 2µ reemplazando en la expresi´ on de τ τ=

A dA dt

=

µ 1/2 πab = 2π a3/2 ℓ/2µ k

183

184


o sea τ 2 = 4π 2 para k = Gm1 m2 , µ =

µ 3 a k

m1 m2 m1 +m2 :

τ2 =

4π 2 a3 G(m1 + m2 )

Las excentricidades van de 0,007 Venus .. . 0,017 Tierra .. .

rm´ın = 91 × 106 millas

0,249 Plut´ on .. .

rm´ın = 95 × 106 millas

0,967 Halley

perihelio = 55 × 105 millas

a=

k 2| E |

Para c´ırculo a = b

E=− V =−

k 2a

k = 2E a

T =E−V =

k = −E 2a

Cap´ıtulo 6

Formulaci´ on hamiltoniana   on lagrangiana Formulaci´ Mec´ anica anal´ıtica Formulaci´ on hamiltoniana   Formulaci´ on de Hamilton-Jacobi

La formulaci´ on hamiltoniana de la mec´ anica anal´ıtica no introduce nueva f´ısica (leyes de Newton) sino simplemente es un método (más potente) para trabajar con los principios f´ısicos ya establecidos. Los métodos de Hamilton no son superiores a las técnicas de Lagrange para trabajar problemas mec´ anicos. La utilidad del punto de vista de Hamilton es que proporciona un marco para extensiones te´ oricas en muchos campos de la f´ısica, por ejemplo en la mec´ anica cl´ asica constituye la base para la teor´ıa de Hamilton-Jacobi, y fuera de esta sirve de base en la mec´ anica cu´ antica y mec´ anica estad´ıstica.

6.1.

Hamiltoniano de un sistema din´ amico

Un sistema cl´ asico holon´ omico de n grados de libertad est´ a descrito en la formulaci´ on lagrangiana por un lagrangiano L, que depende de las variables qj y q˙j L = L(q1 , q2 , . . . , qn ; q˙1 , q˙2 , . . . , q˙n ; t) y su din´ amica se conoce a partir de las n ecuaciones de Euler-Lagrange asociadas, las cuales son unas ecuaciones diferenciales de segundo orden. d ∂L ∂L − =0 dt ∂ q˙j ∂qj 185

j = 1, 2, . . . , n

186

´ HAMILTONIANA CAPÍTULO 6. FORMULACION

El método generalizado conjugado a la coordenada generalizada qj se define como: pj =

∂L ∂qj

j = 1, 2, . . . , n

Como las ecuaciones diferenciales son de segundo orden, el movimiento del sistema quedar´ a siempre completamente determinado cuando se especifican 2n valores iniciales, por ejemplo, las n qi y las n q˙i en un instante particular de tiempo t1 o las n qi en dos instantes particulares de tiempo t1 y t2 . Los estados del sistema en diferentes tiempos quedan representados por una trayectoria en el espacio de configuraci´ on (figura 6.1). t

q = (q1 , q2 , . . . , qn ) Figura 6.1. Espacio de configuraci´ on.

Ahora se introducir´ a un nuevo método que permite describir completamente las configuraciones o estados del sistema din´ amico pero no a partir de conocer ( qi = qi (t) variables independientes i = 1, 2, . . . , n q˙i = q˙i (t) sino a partir de conocer ( qi = qi (t) variables independientes pi = pi (t)

i = 1, 2, . . . , n

Este formalismo se conoce como formalismo hamiltoniano y fue desarrollado por William R. Hamilton. Hamilton reemplaz´ o la funci´ on lagrangiana con una funci´ on H, externa llamada funci´ on de Hamilton o hamiltoniano a partir de la siguiente definici´ on

6.2. ESPACIO DE FASE

187

L = L(q1 , q2 , . . . , qn ; q˙1 , q˙2 , . . . , q˙n ; t) −→

H = H(q1 , q2 , . . . , qn ; p1 , p2 , . . . , pn ; t)

Siendo la transformaci´ on de Legendre H= H(q; p; t) =

n X j=1 n X j=1

pj q˙j − L pj q˙j − L(q; q˙j ; t)

H(q1 , q2 , . . . , qn ; p1 , p2 , . . . , pn ; t) =

n X

pj q˙j

j=1

− L(q1 , q2 , . . . , qn ; q˙1 , q˙2 , . . . , q˙n ; t)

6.2.

Espacio de fase

En la formulaci´ on lagrangiana L = L(q1 , q2 , . . . , qn ; q˙1 , q˙2 , . . . , q˙n ; t) con (q, q) ˙ variables independientes d ∂L ∂L − =0 dt ∂ q˙i ∂qi

i = 1, 2, . . . , n

Para conocer qi = qi (t) se necesitan 2n condiciones iniciales ( n → qi n → q˙i

en en

t0 t0

( n → qi n → q˙i

en en

t1 t1

En la formulaci´ on hamiltoniana H = H(q1 , q2 , . . . , qn ; p1 , p2 , . . . , pn ; t)

188


q = (q1 , q2 , . . . , qn )

t Figura 6.2. Espacio de configuraci´ on formulaci´ on lagrangiana.

con (q, p) variables independientes. Se tendr´ a 2n ecuaciones diferenciales de primer orden, n para q y n para p. Para conocer

q = q(t) p = p(t)

se requieren 2n condiciones iniciales, n para las q y n para las p. q = (q1 , q2 , . . . , qn )

p = (p1 , p2 , . . . , pn )

t

t

Figura 6.3. Espacio de configuraci´ on formulaci´ on hamiltoniana.

El estado del sistema queda determinado si se conoce en cada instante de tiempo simult´ aneamente q y p (sistema determinista). Estos estados se pueden representar en un espacio 2n dimensional conocido como espacio de fase figura 6.4.

´ DE LEGENDRE 6.3. TRANSFORMACION

189

q = (q1 , q2 , . . . , qn )

p = (p1 , p2 , . . . , pn )

t Figura 6.4. Espacio de fase.

6.3.

Transformaci´ on de Legendre

Considérese una funci´ on F continua y diferenciable de segundo orden de las variables x1 , x2 , . . . , xn , ; y1 , y2 , . . . , yn y t F = F (x1 , x2 , . . . , xn , ; y1 , y2 , . . . , yn ; t) Su diferencial total dF es dF =

n X ∂F j=1

∂xj

dxj +

∂F dyj ∂yj

+

∂F dt ∂t

Llamando Uj =

∂F ∂xj

Vj =

∂F ∂yj

w=

∂F ∂t

la diferencial total queda escrita como dF =

n X (Uj dxj + Vj dyj ) + w dt j=1

190


donde las pareja (Uj , xj ) y (Vj , yj ) son llamadas pares de variables conjugadas. Sup´ ongase que a partir de la funci´ on F se quiere construir una nueva funci´ on g de tal forma que las variables yj sean reemplazadas por sus variables conjugadas Vj , o sea F = F (x1 , x2 , . . . , xn , ; y1 , y2 , . . . , yn ; t) −→

g = g(x1 , x2 , . . . , xn , ; V1 , V2 , . . . , Vn ; t)

Para obtener la nueva funci´ on g solo se tiene que sustraer la funci´ on F del producto de los pares de variables conjugadas g=

n X j=1

Vj yj − F

siendo esta la transformaci´ on de Legendre de F en g. La diferencial total dg es: dg =

n X (Vj dyj + yj dVj ) − dF j=1

=

n n X X (Vj dyj + yj dVj ) − (Uj dxj + Vj dyj ) − w dt j=1

j=1

n X dg = (yj dVj − Uj dxj ) − w dt

(6.1)

j=1

donde se observa que en (6.1) no aparece diferencia dyj , luego g no depende de y sino solamente de x, V y t. O sea g = g(x1 , x2 , . . . , xn , ; V1 , V2 , . . . , Vn ; t) La diferencial total es: n X ∂g ∂g ∂g dg = dxj + dVj + dt ∂xj ∂Vj ∂t j=1

(6.2)

´ DE LEGENDRE 6.3. TRANSFORMACION

191

Comparando (6.1) con (6.2) se concluye Uj = − yj =

∂g ∂xj

∂g ∂Vj

(6.3)

∂g ∂t g es llamada la transformaci´ on de Legendre de F con respecto a la variable y. Ahora sup´ ongase que F es w=−

L = L(q1 , q2 , . . . , qn ; q˙1 , q˙2 , . . . , q˙n ; t) la transformaci´ on de Legendre, con la identificaci´ on xi = q i yi = q˙i ∂L pi = ∂ q˙i ser´ a H(q1 , q2 , . . . , qn ; p1 , p2 , . . . , pn ; t) =

n X

pj q˙j

j=1

− L(q1 , q2 , . . . , qn ; q˙1 , q˙2 , . . . , q˙n ; t) O sea H es la transformaci´ on de Legendre de L con respecto a q˙i H=

n X j=1

pj q˙j − L

y de acuerdo a (6.3) pj = − q˙j =

∂H ∂qj

∂H ∂pj

w=−

∂H ∂t

192


6.4.

Ecuaciones can´ onicas de Hamilton

6.4.1.

Ecuaciones de Hamilton a partir de las ecuaciones de Euler-Lagrange

La funci´ on de Hamilton o hamiltoniano es una funci´ on de q, p y t H = H(q, p, t) Entonces su diferencial total ser´ a: X ∂H X ∂H ∂H dt dqi + dpi + dH = ∂qi ∂pi ∂t i

=

i

X ∂H

∂H dqi + dpi ∂qi ∂pi

i

+

∂H dt ∂t

(6.4)

Ya que H=

X i

pi q˙i − L

su diferencial total da X dH = (pi dq˙i + q˙i dpi ) − dL i

X ∂L ∂L ∂L = (pi dq˙i + q˙i dpi ) − dqi + dq˙i − dt ∂qi ∂ q˙i ∂t i

=

X i

pi dq˙i + q˙i dpi −

∂L ∂L dqi − dq˙i ∂qi ∂ q˙i

−

∂L dt ∂t

ya que pi = ∂∂L q˙i entonces el primer termino de la sumatoria se cancela con el u ´ltimo. Teniendo en cuenta que ∂L d ∂L d = = (pi ) = p˙i ∂qi dt ∂ q˙i dt y reemplazando en el tercer término de la sumatoria se obtiene dH =

X ∂L (q˙i dpi − p˙i dqi ) − dt ∂t i

(6.5)

193

´ 6.4. ECUACIONES CANONICAS DE HAMILTON

Comparando (6.4) con (6.5) se concluye que q˙i =

∂H ∂pi i = 1, 2, . . . , n

(6.6)

∂H p˙i = − ∂qi y q = q(t) → n condiciones iniciales

p = p(t) → n condiciones iniciales ∂H ∂L =− ∂t ∂t donde (6.6) son 2n ecuaciones diferenciales de primer orden conocidas como ecuaciones can´ onicas de Hamilton o ecuaciones de Hamilton. Es u ´til imaginar el movimiento del sistema din´ amico como el representado por el movimiento de un punto representado en un espacio 2n dimensional (espacio de fase, figura 6.5). p(t)

q(t) Figura 6.5. Espacio de fase.

Las ecuaciones representan el movimiento del punto en el espacio de fase. Formalismo lagrangiano: 1. Mec´ anica cu´ antica lagrangiana (integral de camino de Feynman). 2. Teor´ıa cu´ antica de campos. 3. Teor´ıa cu´ antica de campos a temperatura finita. Formalismo hamiltoniano:

194


1. Teor´ıa de Hamilton-Jacobi. 2. Teor´ıa de perturbaciones Para sistemas en que no se puede obtener soluci´ on exacta a las ecuaciones de movimiento 3. Mec´ anica cu´ antica hamiltoniana. 4. Mec´ anica estad´ıstica Ya se hab´ıa visto que para sistemas mec´ anicos cerrados, o sea sistemas en los que ∂L =0 ∂t y L = L(q, q) ˙ debido a la homogeneidad del tiempo, la energ´ıa mec´ anica total se conserva. En este caso la energ´ıa mec´ anica total E corresponde al hamiltoniano L = L(q1 , q2 , . . . , qn ; q˙1 , q˙2 , . . . , q˙n ; t) como ∂L =0 ∂t entonces L = L(q1 , q2 , . . . , qn ; q˙1 , q˙2 , . . . , q˙n ) y n

dL X = dt i=1

∂L dqi ∂L dq˙i + ∂qi dt ∂ q˙i dt

n X d ∂L ∂L d = q˙i + q˙i dt ∂ q˙i ∂ q˙i dt i=1

´ 6.4. ECUACIONES CANONICAS DE HAMILTON

195

n X d ∂L = q˙i dt ∂ q˙i i=1

lo que quiere decir que n X ∂L q˙i − L ∂ q˙i

d dt

i=1

!

=0

entonces n X i=1

pi q˙i − L = H = cte

H corresponde a la energ´ıa mecánica total si se cumple: a ) La energ´ıa potencial V no depende expl´ıcitamente del tiempo V = V (qi ). b ) Las ecuaciones que conectan coordenadas generalizadas con rectangulares no dependen expl´ıcitamente del tiempo. xiα = xiα (qj ) o qj = qj (xiα ) Ligaduras holon´ omicas no dependientes del tiempo. Del teorema de Euler n X ∂T i=1

∂ q˙i

q˙i = 2T

Para un sistema holon´ omico conservativo: H=

n X ∂L q˙i − L ∂ q˙i i=1

n X ∂(T − V ) = q˙i − (T − V ) ∂ q˙i i=1

196


=

n X ∂T i=1

∂ q˙i

q˙i − (T − V )

= 2T − T + V =T +V =E

6.5.

Coordenadas c´ıclicas y teoremas de conservaci´ on

Las ecuaciones de Hamilton son: q˙i =

∂H ∂pi

p˙i = −

i = 1, 2, . . . , n

∂H ∂qi

i = 1, 2, . . . , n

(6.7)

(6.8)

con la relaci´ on ∂H ∂L =− ∂t ∂t

(6.9)

En particular se observa que p˙i =

∂L ∂H =− ∂qj ∂qj

si la coordenada es c´ıclica, entonces p˙i =

∂L ∂H =− =0 ∂qj ∂qj

y pi = cte Por tanto esta coordenada también estar´ a ausente en el hamiltoniano y su momento conjugado se conservar´ a. Por tanto los teoremas de conservaci´ on de momento lineal y momento angular son v´ alidos en la formulaci´ on hamiltoniana.

´ 6.5. COORDENADAS CÍCLICAS Y TEOREMAS DE CONSERVACION

197

Se dec´ıa que si en general H = H(q1 , q2 , . . . , qn ; p1 , p2 , . . . , pn ; t) entonces su diferencial es: dH =

n X ∂H

∂H dqi + dpi ∂qi ∂pi

i=1

+

∂H dt ∂t

(6.10)

Para el caso en el que el sistema no dependa expl´ıcitamente del tiempo, L ∂H no contiene expl´ıcitamente el tiempo, osea ∂L ∂t = 0 y por lo tanto ∂t = 0 seg´ un (6.9). En general n X dH ∂H dqi ∂H dpi ∂H = + + dt ∂qi dt ∂pi dt ∂t i=1

reemplazando (6.7) y (6.8) se obtiene dH ∂H ∂L = =− dt ∂t ∂t Luego si t no aparece expl´ıcitamente en L tampoco aparecer´ a en H. En este caso (6.10) se reduce a: n X dH ∂H dqi ∂H dpi = + (6.11) dt ∂qi dt ∂pi dt i=1

reemplazando en (6.11) las expresiones (6.7) y (6.8) n

X dH = dt i=1

∂H ∂H ∂H ∂H + ∂qi ∂pi ∂pi ∂qi

=0

entonces H = cte Luego H es una constante de movimiento si no contiene expl´ıcitamente el tiempo. Cuando H depende expl´ıcitamente del tiempo, H no se conserva, pero a´ un es la energ´ıa mec´ anica total del sistema H = E, siempre y cuando se cumpla (a) y (b), y esto es v´ alido para sistemas escleron´ omicos.

198


Sup´ ongase que se tiene un sistema holon´ omico, pero parte de las fuerzas que act´ uan en el sistema no son conservativas. En tal caso las ecuaciones de Euler-Lagrange son: d ∂L ∂L − = Qi dt ∂ q˙i ∂qi

i = 1, 2, . . . , n

o sea d ∂L + Qi pi = dt ∂qi p˙i =

∂L + Qi ∂qi

(6.12)

Luego, las ecuaciones de Hamilton para este caso son: q˙i =

∂H ∂pi

p˙ i = −

i = 1, 2, . . . , n

∂H + Qi ∂qi

i = 1, 2, . . . , n

(6.13)

Para un sistema no-holon´ omico descrito por las ecuaciones de Euler-Lagrange en la forma (donde act´ uan fuerzas no conservativas): m

p˙i =

∂L X + λj aji + Qi ∂qi

i = 1, 2, . . . , n

(6.14)

j=1

se tiene que las ecuaciones de Hamilton son: q˙i =

∂H ∂pi m

p˙i = −

∂H X + λj aji + Qi ∂qi

i = 1, 2, . . . , n

j=1

donde las ecuaciones de ligadura son n X i=1

aji q˙i + ajt = 0

j = 1, 2, . . . , m

(6.15)

´ SIMPLECTICA ´ 6.6. NOTACION DE LAS ECUACIONES DE HAMILTON

6.6.

199

Notaci´ on simpl´ ectica de las ecuaciones de Hamilton

Para un sistema de n grados de libertad, se puede construir una matriz columna η con 2n elementos tales que: ηi = qi

ηi+1 = pi ∂H ∂η

An´ alogamente, la matriz columna

∂H ∂η

i

∂H = ∂qi

i6n

tiene como elementos

∂H ∂η

= i+n

∂H ∂pi

i6n

Con la introducci´ on de la matriz J cuadrada 2n × 2n 0 1

J=

−1 0

!

en donde 0 es la matriz n × n con elementos cero y 1 es la matriz unidad n × n. Las ecuaciones de Hamilton q˙i =

∂H ∂pi

p˙ i = −

i = 1, 2, . . . , n

∂H + Qi ∂qi

i = 1, 2, . . . , n

se pueden escribir como η˙ = J

∂H ∂η

siendo esta u ´ltima ecuaci´ on las ecuaciones de movimiento de Hamilton en notaci´ on matricial o notaci´ on simpléctica. Donde J tiene como propiedades J2 = −1 e JJ = 1

matriz ortogonal

e J = −J = J−1

200

6.7.


Propiedades del hamiltoniano

Para construir la hamiltoniana de un sistema a través de la formulaci´ on lagrangiana, se requiere la siguiente secuencia de pasos: 1. A partir de elegir las coordenadas generalizadas, se construye la funci´ on lagrangiana L(qi , q˙i , t). 2. A partir de pi = ∂∂L on q˙i , se definen los momentos conjugados en funci´ de qi , q˙i , t; o sea p = p(qi , q˙i , t). 3. A partir de la transformaci´ on de Legendre H(q, p, t) =

n X i=1

q˙i pi − L(q, q, ˙ t)

se construye H ′ = H ′ (qi , q˙i , pi , t) 4. A partir de pi = q˙i = q˙i (q, p, t).

∂L ∂ q˙i ,

se invierte estas ecuaciones para obtener

5. Reemplazando q˙i = q˙i (q, p, t) en H ′ se pueden eliminar las q˙ de H ′ y de esta manera obtener H = H(q, p, t). Si se estudian las propiedades de la funci´ on hamiltoniana, es posible que no sea necesario en algunos sistemas f´ısicos, seguir la secuencia de pasos anterior. Se hab´ıa visto que la energ´ıa cinética en coordenadas rectangulares es: 3N

T =

1X mk x˙ 2k 2

(6.16)

k=1

y teniendo en cuenta la ecuaci´ on de transformaci´ on: xk = xk (q1 , q2 , . . . , qn , t) x˙ k =

n X ∂xk i=1

∂qi

q˙i +

∂xk ∂t

k = 1, 2, . . . , 3N (6.17)

201

6.7. PROPIEDADES DEL HAMILTONIANO

Reemplazando (6.17) en (6.16) se obten´ıa 3N

n X ∂xk

1X T (q, q, ˙ t) = mk 2

∂xk q˙i + ∂qi ∂t

i=1

k=1

!2

T (q, q, ˙ t) = T2 + T1 + T0 con n

n

T2 =

1 XX mij q˙i q˙j 2 i=1 j=1

donde mij = mji =

3N X

mk

n X

ai q˙i

k=1

T1 =

∂xk ∂xk ∂qi ∂qj

i=1

donde ai =

3N X

mk

k=1

∂xk ∂xk ∂qi ∂t

y 3N

1X T0 = mk 2 k=1

∂xk ∂t

2

ya que pi =

∂L ∂T ∂ = = (T2 + T1 + T0 ) ∂qi ∂ q˙i ∂qi =

n X j=1

mij q˙j + ai

(6.18)

202


Por lo tanto, el término del hamiltoniano n X

pi q˙i =

i=1

n X n X

mij q˙i q˙j +

i=1 j=1

n X

ai q˙i = 2T2 + T1

i=1

y el hamiltoniano es: H=

n X i=1

pi q˙i − L

= 2T2 + T1 − (T − V )

= 2T2 + T1 − T2 − T1 − T0 + V = T2 − T0 + V

(6.19)

De la relaci´ on (6.18) se podr´ıa despejar los q˙ y obtener pi − ai =

n X

mij q˙j

j=1

p − a = mq˙

donde m es la matriz cuyos elementos son mij . Multiplicando a ambos lados por la matriz inversa m−1 m−1 (p − a) = q˙ O en notaci´ on de componentes q˙i =

n X j=1

bij (pj − aj )

donde los bij (q, t) son los elementos de la matriz b = m−1 . Ya que n

T2 =

n

1 XX mij q˙i q˙j 2 i=1 j=1

en notaci´ on matricial 1 T2 = q˙ T mq˙ 2

(6.20)

203

6.7. PROPIEDADES DEL HAMILTONIANO

con q˙ = b(p − a) donde b = m−1 Luego 1 T2 = (p − a)T b m b(p − a) 2 1 T2 = (p − a)T b(p − a) 2 que al expandirse conduce a n

n

n

n

n

n

XX 1 XX 1 XX T2 = bij pi pj − bij ai pj + bij ai aj 2 2 i=1 j=1

i=1 j=1

i=1 j=1

ya que T0 y V son funciones de las q y t, al reemplazar T2 en (6.19) se obtiene: n

H(q, p, t) =

n

n

n

XX 1 XX bij pi pj − bij ai pj 2 i=1 j=1

i=1 j=1

n

n

1 XX + bij ai aj − T0 + V 2 i=1 j=1

Si se agrupa de acuerdo al grado en p, se puede escribir H(q, p, t) = H2 + H1 + H0 donde n

n

1 XX H2 = bij pi pj 2 i=1 j=1

H1 =

n X n X

H0 =

1 2

bij ai pj i=1 j=1 n X n X i=1 j=1

bij ai aj − T0 + V

204


Si el sistema es escleron´ omico, esto es, las ecuaciones de transformaci´ on de coordenadas cartesianas a coordenadas generalizadas no contienen expl´ıcitamente al tiempo, se obtiene que T1 = T0 = 0 y las ai =

3N X

mk

k=1

∂xk ∂xk =0 ∂qi ∂t

y T = T2 Y por lo tanto: n

n

1 XX H(q, p, t) = bij pi pj + V (q, t) 2 i=1 j=1

H(q, p, t) = T + V Por lo tanto la funci´ on hamiltoniana de un sistema escleron´ omico es igual a la energ´ıa mec´ anica total.

6.8.

Integral jacobiana

De la ecuaci´ on (6.19), se observa que esta es igual a la integral de Jacobi, esto es: H = T2 − T0 + V = h Y para un sistema natural, esto es, el caso T0 = 0 H =T +V =h Ejemplo 6.1. Para el sistema de la figura 6.6 encuentre las ecuaciones de movimiento usando el procedimiento hamiltoniano.

205

6.8. INTEGRAL JACOBIANA

x

k m

Figura 6.6. Masa sometida a una fuerza de Hook.

Las energ´ıas y el lagrangiano son: T =

1 mx˙ 2 2

V =

1 2 kx 2

L=T −V =

1 1 mx˙ 2 − kx2 2 2

La idea es escribir T = T (p). Para esto p=

∂L = mx˙ ∂ x˙

entonces x˙ =

p m

luego T = As´ı, el hamiltoniano es:

1 1 p 2 p2 mx˙ 2 = m = 2 2 m 2m

H(x, p) = px˙ − L =p

p m

−

1 p 2 1 2 m − kx 2 m 2

206


=

p2 1 p2 1 2 − + kx m 2 m 2

=

1 p2 1 2 + kx 2 m 2

Las ecuaciones de movimiento son: x˙ =

∂H p = ∂p m

p˙ = −

∂H = −kx ∂x

Estas dos ecuaciones son equivalentes a la ecuaci´ on de Euler-Lagrange m¨ x + kx = 0 x ¨+

k x=0 m

d k (x) ˙ + x=0 dt m d p k + x=0 dt m m p˙ k + x=0 m m entonces p˙ = −kx ❏ Ejemplo 6.2. Una part´ıcula de masa m es atra´ıda a un punto fijo 0 por una fuerza inverso al cuadrado de la distancia Fr = − con k constante.

k r2


207

Derive la expresi´ on para el hamiltoniano y las ecuaciones de movimiento. Usando coordenadas polares (generalizadas) las energ´ıas y el lagrangiano son: 1 m(r˙ 2 + r 2 θ˙2 ) 2 Z Z k k V = − F · dr = dr = − 2 r r T =

L = L(r, r, ˙ θ) = T − V =

1 k m(r˙ 2 + r 2 θ˙ 2 ) + 2 r

La idea es remplazar r˙ y θ˙ en (6.21) por pr y pθ pr =

∂L = mr˙ ∂ r˙

o sea r˙ =

pr m

y pθ =

∂L = mr 2 θ˙ ˙ ∂θ

o sea pθ θ˙ = mr 2 Luego la energ´ıa cinética es: p 2 p2θ 1 pr 2 p2r θ 2 +r T = m = + 2 m mr 2 2m 2mr 2 Por lo tanto: H =T +V = O equivalentemente H(q, p) =

2 X i=1

pi q˙i − L

p2θ p2r k + − 2 2m 2mr r

(6.21) (6.22)

(6.23)

208


= pr r˙ + pθ θ˙ − L = mr˙ 2 + mr 2 θ˙ 2 −

1 1 k mr˙ 2 − mr 2 θ˙2 − 2 2 r

=

1 k 1 mr˙ 2 + mr 2 θ˙ 2 − 2 2 r

=

p2θ k p2r + − 2 2m 2mr r

Siendo p˙k = − q˙k =

∂H ∂qk

∂H ∂pk

se tiene p˙r = −

p2 ∂H k = θ3 − 2 ∂r mr r

p˙θ = −

∂H =0 ∂θ

entonces pθ = cte y r˙ =

pr ∂H = ∂pr m

luego pr = mr˙ por u ´ltimo ∂H pθ θ˙ = = ∂pθ mr 2


209

as´ı pθ = mr 2 θ ❏ Ejemplo 6.3. Encontrar las ecuaciones de movimiento de una part´ıcula cargada en un campo electromagnético v F =e E+ ×B c B =∇×A E = −∇φ −

1 ∂A c ∂t

La funci´ on lagrangiana que se obtuvo es: 1 v·A 2 L = T − V = mv − e φ − 2 c El momento can´ onicamente conjugado es: p=

∂L e = mv + A ∂v c

pi = mvi +

e Ai c

entonces vi = El hamiltoniano en este caso es: H=

3 X i=1

1 e pi − Ai m c

pi vi − L

= p·v−

1 e mv 2 + eφ − v · A 2 c

210


e 1 e = mv + A · v − mv 2 + eφ − v · A c 2 c =

1 mv 2 + eφ 2

=

1 1 e e m 2 pi − Ai · pi − Ai + eφ 2 m c c

=

1 e 2 p − A + eφ 2m c

De las ecuaciones de Hamilton

q˙i =

∂H ∂pi

En notaci´ on de componentes x˙ =

∂H 1 e = px − Ax ∂px m c

y˙ =

∂H 1 e = py − Ay ∂py m c

z˙ =

∂H 1 e = pz − Az ∂pz m c

En notaci´ on vectorial v=

1 e p− A m c

y de p˙ i = −

∂H ∂qi

En notaci´ on de componentes ∂A ∂H ∂φ e e x p˙x = − = −e + px − Ax ∂x ∂x cm c ∂x

´ 6.9. METODO DE ROUTH

211

e ∂Ay e ∂Az + py − Ay + pz − Az c ∂x c ∂x ∂A ∂H ∂φ e e x = −e + px − Ax p˙y = − ∂y ∂y cm c ∂y e ∂Ay e ∂Az + py − Ay + pz − Az c ∂y c ∂y ∂A ∂H e ∂φ e x p˙z = − = −e + px − Ax ∂z ∂z cm c ∂z e ∂Ay e ∂Az + py − Ay + pz − Az c ∂z c ∂z o en notaci´ on vectorial p˙ = −∇φ +

e ∇(v · A) c ❏

6.9.

M´ etodo de Routh

La formulaci´ on de Hamilton no es particularmente u ´til para la soluci´ on directa de problemas mec´ anicos. A menudo se puede resolver las 2n ecuaciones de primer orden tan s´ olo eliminando algunas de las variables, por ejemplo, las variables p, lo cual conduce r´ apidamente a las ecuaciones de movimiento de Lagrange de segundo orden. En cambio, el método de Hamilton resulta especialmente apropiado para tratar problemas en los que intervienen coordenadas c´ıclicas. Sup´ ongase un sistema f´ısico de n grados de libertad y una coordenada c´ıclica qc su lagrangiano tiene la forma diferencial L = L(q1 , q2 , . . . , qn−1 ; q˙1 , q˙2 , . . . , q˙n ; t) Se sabe que d dt

∂L ∂ q˙c

−

∂L =0 ∂qc

212


ya que ∂L =0 ∂qc se tiene d (pc ) = 0 dt entonces pc = cte = α Luego, la forma de hamiltoniano que describe este sistema es: H = H(q1 , q2 , . . . , qn−1 ; p1 , p2 , . . . , pn−1 ; α ; t) Por lo tanto, el hamiltoniano describe un problema que solo contiene n − 1 coordenadas y el cual se puede resolver ignorando por completo la coordenada c´ıclica, salvo que ésta se manifiesta como una constante de integraci´ on α la cual puede determinarse a partir de las condiciones iniciales. El comportamiento de la propia coordenada c´ıclica con el tiempo, se encuentra integrando la ecuaci´ on de movimiento q˙c =

∂H ∂α

La ventaja de la formulaci´ on de Hamilton con respecto al manejo de las coordenadas c´ıclicas se puede combinar con el procedimiento lagrangiano mediante un método ideado por Routh, solo para coordenadas c´ıclicas. La idea es mediante una transformaci´ on interna que lleve de la base q, q˙ a la base q, p obteniendo sus ecuaciones de movimiento en forma hamiltoniana mientras que las restantes coordenadas vienen regidas por las ecuaciones de Euler-Lagrange. Notando que las coordenadas c´ıclicas est´ an representadas por qs+1 , qs+2 , . . . , qn e introduciendo una funci´ on R llamada routhiana de la forma R(q1 , q2 . . . , qn ; q˙1 , q˙2 , . . . , q˙s ; ps+1 , ps+2 , . . . , pn ; t) =

213

´ 6.9. METODO DE ROUTH

n X

i=s+1

pi q˙i − L(q1 , q2 . . . , qc ; q˙1 , q˙2 , . . . , q˙n ; t)

La diferencial total de R es: dR =

n X

n n X X ∂L ∂L ∂L dt (q˙i dpi + pi dq˙i ) − dqi − dq˙i − ∂qi ∂ q˙i ∂t

n X

n n s X X X ∂L ∂L ∂L q˙i dpi + dq˙i − dqi − dq˙i ∂qi ∂qi ∂qi

i=c+1

=

i=c+1

−

=

i=1

i=s+1

i=1

i=1

i=1

n X ∂L ∂L dt dq˙i − ∂qi ∂t

i=s+1

n X

i=s+1

q˙i dpi −

s n X X ∂L ∂L ∂L dt dq˙i − dqi − ∂qi ∂qi ∂t i=1

(6.24)

i=1

La diferencial de R = R(q1 , q2 . . . , qn ; q˙1 , q˙2 , . . . , q˙c ; pc+1 , pc+2 , . . . , pn ; t) es dR =

n X ∂R i=1

∂qi

dqi +

s X ∂R i=1

n X ∂R ∂R dq˙i + dpi + dt ∂ q˙i ∂pi ∂t

(6.25)

i=s+1

y comparando (6.24) y (6.25) se deduce ∂R ∂L =− ∂qi ∂qi

i = 1, 2, . . . , s (6.26)

∂R ∂L =− ∂ q˙i ∂ q˙i ∂R = −p˙i ∂qi

i = 1, 2, . . . , s

i = s + 1, s + 2, . . . , n (6.27)

∂R = q˙i ∂pi

i = s + 1, s + 2, . . . , n

214


Luego se puede concluir a partir de (6.26) que las s coordenadas no ignorables obedecen las ecuaciones de Euler-Lagrange d dt

∂L ∂ q˙i

−

∂L =0 ∂qi

i = 1, 2, . . . , s

d − dt

∂R ∂qi

−

∂R =0 ∂qi

i = 1, 2, . . . , s

(6.28)

y a partir de (6.27) se concluye que las n − s coordenadas c´ıclicas obedecen las ecuaciones de movimiento de Hamilton donde R hace el papel del hamiltoniano ∂R = −p˙ i ∂qi ∂R = q˙i ∂pi

i = s + 1, s + 2, . . . , n

i = s + 1, s + 2, . . . , n

Pero, por ser c´ıclicas las n − s = r coordenadas c´ıclicas no aparecen expl´ıcitamente en H, o sea, R. Luego ∂R = 0 = −p˙ i ∂qi entonces pi = cte = αi

i = s + 1, s + 2, . . . , n

donde las αi se determinan con las condiciones iniciales. De esta forma las u ńicas variables de la routhiana son las s coordenadas no c´ıclicas y sus velocidades generalizadas R = R(q1 , q2 . . . , qn ; q˙1 , q˙2 , . . . , q˙s ; α1 , α2 , . . . , αr ; t) Ahora se pueden resolver las ecuaciones de movimiento (6.28) para las coordenadas no c´ıclicas sin tener en cuenta el comportamiento de las coordenadas c´ıclicas, exactamente como en el formalismo de Hamilton. El problema se ha reducido a un problema de Lagrange para m sistemas de s grados de libertad y salvo los r par´ ametros constantes αj , se pueden ignorar los restantes grados de libertad.

6.10. ECUACIONES DE HAMILTON A PARTIR DE PRINCIPIO VARIACIONAL

6.10.

215

Ecuaciones de Hamilton a partir de un principio variacional

A partir del principio de Hamilton definido en el espacio de configuraci´ on hab´ıa sido posible obtener variacionalmente las ecuaciones de movimiento de un sistema cl´ asico. El principio de Hamilton dec´ıa que la trayectoria de configuraciones f´ısicas en el espacio de configuraci´ on que lleva al sistema f´ısico de un estado inicial qi en un tiempo t1 a un estado final qf en un tiempo t2 , es aquella que hace que la acci´ on sea un extremo, o sea δS = 0 donde la acci´ on se hab´ıa definido como

S=

Zt2

L dt

t1

Al considerar la variaci´ on δS con las condiciones de los dos extremos δqi = δq(t1 ) = δqf = δq(t2 ) = 0 se obten´ıa d ∂L ∂L − =0 dt ∂ q˙i ∂qi

i = 1, 2, . . . , n

De igual forma, se pueden obtener las ecuaciones de movimiento de Hamilton a partir del principio de Hamilton definido en el espacio de fase (principio de Hamilton modificado). El principio de Hamilton modificado establece que la trayectoria de configuraciones f´ısicas (trayectoria cl´ asica) en el espacio de fase que conduce a un sistema f´ısico de un estado inicial (qi , pi ) en un tiempo t1 a un estado final (qf , pf ) en un tiempo t2 es tal que la acci´ on es un extremo, o sea δs = 0. Ya que H=

n X i=1

pi q˙i − L

216


entonces L=

n X i=1

pi q˙i − H

Por lo cual S=

Zt2

L dt =

t1

Zt2 X n

t1

i=1

pi q˙i − H

!

dt

(6.29)

La variaci´ on δS de S es: δS =

Zt2 "X n i=1

t1

(pi δq˙i + q˙i δpi ) −

n X ∂H i=1

∂H δqi + δpi ∂qi ∂pi

#

dt

(6.30)

Para obtener la trayectoria cl´ asica (ver figura 6.7), o sea, el conjunto de p = (p1 , p2 , . . . , pn ) t2 t1

a sic clá

b

(qf , pf )

b

(q0 , p0 ) q = (q1 , q2 , . . . , qn ) Figura 6.7. Trayectoria cl´ asica.

configuraciones f´ısicas que llevan al sistema de (q0 , p0 ) a (qf , pf ), se debe extremisar la acci´ on, con la condici´ on δq0 = δq(t1 ) = δqf = δq(t2 ) = 0 δp0 = δp(t1 ) = δpf = δp(t2 ) = 0 O sea Zt2 X n

t1

i=1

∂H ∂H pi δq˙i + q˙i δpi − δqi − δpi ∂qi ∂pi

dt = 0

(6.31)

6.10. ECUACIONES DE HAMILTON A PARTIR DE PRINCIPIO VARIACIONAL

con δq(t1 ) = δq(t2 ) = 0 δp(t1 ) = δp(t2 ) = 0 Integrando el primer término: Zt2 X n

pi δq˙i dt =

t1 i=1

Zt2 X n

pi

Zt2 X n

d (pi δqi ) dt − dt

d δqi dt dt

t1 i=1

=

t1 i=1

=

n X i=1

=

n X i=1

=−

pi δqi |tt21

−

Zt2 X n

Zt2 X n

t1 i=1

p˙i δqi dt

t1 i=1

pi [δqi (t2 ) − δqi (t1 )] −

Zt2 X n

t1

dpi δqi dt dt

Zt2 X n

t1

p˙i δqi dt

i=1

p˙i δqi dt

i=1

Reemplazando en (6.31) se obtiene Zt2 X n

t1

i=1

∂H ∂H −p˙ i δqi + q˙i δpi − δqi − δpi ∂qi ∂pi

Zt2 X n

t1

i=1

∂H q˙i − ∂pi

∂H δpi − p˙i + ∂qi

∂H =0 ∂pi

dt = 0

δqi dt = 0

Ya que esto es igual a cero, la u ńica forma es que: q˙i −

i = 1, 2, . . . , n

217

218


entonces q˙i =

∂H ∂pi

i = 1, 2, . . . , n

y p˙ i +

∂H =0 ∂pi

i = 1, 2, . . . , n

luego p˙i = −

6.11.

∂H ∂pi

i = 1, 2, . . . , n

Principio de m´ınima acci´ on

Otro principio variacional asociado a la formulaci´ on hamiltoniana es el llamado principio de m´ınima acci´ on. Contiene un nuevo tipo de variaci´ on, que se llamar´ a ∆. A diferencia de la variaci´ on δ usada con el principio de Hamilton donde en los extremos δq(t1 ) = δq(t2 ) = 0 o en el principio de Hamilton modificado donde en los extremos δq(t1 ) = δq(t2 ) = 0 δp(t1 ) = δp(t2 ) = 0 En el caso de variaciones ∆ es posible que haya variaciones en los extremos, o sea, es menos restrictiva; en general, el camino variado a lo largo del cual se calcula la integral puede terminar en XXX diferentes que el camino correcto y puede haber variaci´ on de las coordenadas en los extremos. Una familia de caminos variables posibles est´ a definida por: qi (t, α) = qi (t, 0) + α ηi (t) donde α es un par´ ametro infinitesimal que se anula para el camino correcto. Las funciones ηi no tienen que anularse necesariamente en los puntos extremos, sea el original o el variado. Se requiere es que las ηi sean continuas y derivables.

219

´ 6.11. PRINCIPIO DE MÍNIMA ACCION

qi t2 b

∆q b t b

δq

2

+ ∆t

t2 (α = 0) (α 6= 0) b t + ∆t t1 b 1 b t1 qj Figura 6.8. Camino correcto y variado para una variaci´ on ∆ en el espacio de configuraciones.

En la figura 6.8 se observa el camino correcto y el variado para una variaci´ on ∆ en el espacio de configuraciones. A continuaci´ on se eval´ ua la variaci´ on ∆ en la integral de acci´ on. ∆

Zt2

t2Z +∆t2

L dt =

L(α) dt

t1

t1 +∆t1

|

{z

−

}

∆

t1

L dt = L(t2 ) ∆t2 − L(t1 ) ∆t1 +

t1

|

L(0) dt {z

}

a lo largo del camino correcto

a lo largo del camino variables

Zt2

Zt2

Zt2

δL δt

t1

donde la variaci´ on δq no se anula en los extremos. Zt2

t1

δL dt =

Zt2 X n

t1 i=1

∂L d − ∂qi dt

∂L ∂ q˙i

2 n X ∂L δqi dt + δqi ∂ q˙i 1 i=1

Seg´ un las ecuaciones de Euler-Lagrange ∂L d ∂L − =0 ∂qi dt ∂ q˙i entonces ∆

Zt2

t1

L dt =

L∆t +

n X i=1

! 2 pi δqi 1

220


Teniendo en cuenta que la variaci´ on ∆ puede escribirse como: ∆qi = δqi + q˙i ∆t entonces δqi = ∆qi − q˙i ∆t por lo cual

∆

Zt2

L dt =

t1

L ∆t −

n X

pi q˙i ∆t +

i=1

o sea

∆

Zt2

n X

L dt =

i=1

t1

con H=

n X i=1

n X i=1

! 2 pi ∆qi 1

! 2 pi ∆qi − H ∆t 1

pi q i − L

Para obtener el principio de m´ınima acci´ on se considerar´ an las siguientes condiciones: 1. Solo se consideran sistemas para los cuales L, o sea H, no sean funciones explicitas del tiempo y por lo tanto H se conservar´ a. 2. La variaci´ on es tal que H se conserva tanto sobre el camino variado como sobre el camino real. 3. Los campos variados se limitan a´ un m´ as exigiendo que en los puntos extremos se limite ∆qi (pero no ∆t) ∆

Zt2

t1

L dt = −H(∆t2 − ∆t1 )

(6.32)


221

Pero en las mismas condiciones Zt2

Zt2 X n

L dt =

t1

i=1

t1

pi q˙i dt − H(t2 − t1 )

y su variaci´ on ∆ es:

∆

Zt2

L dt = ∆

t1

Zt2 X n i=1

t1

pi q˙i dt − H(∆t2 − ∆t1 )

(6.33)

Comparando (6.32) con (6.33) se obtiene finalmente el principio de m´ınima acci´ on. ∆

Zt2 X n

pi q˙i dt = 0

i=1

t1

Para el caso de part´ıculas interactuando cuya fuerza puede derivarse de un potencial δ

Zt2 X n

mi vi

t1 i=1



δ

n X

mi

i=1

Zt2

t1

dSi dt = 0 dt 

vi dSi  = 0

En mec´ anica cl´ asica no relativista, si el sistema es escleron´ omico, la energ´ıa cinética en general ser´ a funci´ on cuadr´ atica de las q˙i T =

1X mij (q)q˙i q˙j 2 i, j

y si adem´ as, el potencial no depende de las velocidades, las cantidades de movimiento can´ onico se derivar´ an solo de T y en consecuencia del teorema de Euler n X ∂T i=1

∂qi

q˙i = 2T

222


con pi =

∂T ∂ q˙i

entonces n X

pi q˙i = 2T

i=1

Luego el principio de m´ınima acci´ on también puede escribirse como:

∆

Zt2

2T dt = 0

t1

o ∆

Zt2

T dt = 0

t1

entonces ∆

Zt2

L dt = δS = 0

t1

Para un espacio de configuraciones para el cual los coeficientes mij forman el tensor métrico, en este caso el espacio ser´ a en general curvo y no ortogonal. El elemento de longitud en dicho espacio estar´ a definido por: (dρ)2 =

X

mij dqj dqk

i, j

En este caso dρ dρ =

X

mij dqi dqj

i, j

dρ dρ X dqi dqj = mij dt dt dt dt i, j


dρ dt

2

=

X

223

mij q˙i q˙j

i, j

Luego 1 T = 2

dρ dt

2

esto es √

2T =

dρ dt

por lo cual dρ dt = √ 2T Por lo tanto el principio de m´ınima acci´ on se podr´ıa escribir como:

∆

Zt2

t1

dρ 2T √ =∆ 2T

Zρ2 √

2T dρ = ∆

ρ1

Zρ2 √

T dρ = 0

ρ1

y teniendo en cuenta que H = T (q) + V (q) lo que implica T = H − V (q) entonces ∆

Zρ2 p

ρ1

H − V (q) dρ = 0

Y esta es la forma de Jacobi del principio de m´ınima acci´ on. Usado en la o´ptica geométrica y en la o´ptica electr´ onica. Se refiere al camino del punto figurativo del sistema en un espacio de configuraciones curvo especial caracterizado por el tensor métrico de elementos mij .

224


El punto figurativo del sistema recorre el camino√ en este espacio de configuraciones con una velocidad (“rapidez”) dada por 2T . Si sobre el cuerpo no se ejercen fuerzas, T es constante y el principio de Jacobi dice que el punto figurativo del sistema se mueve a lo largo del camino m´ as corto en el espacio de configuraciones. Dicho de otro modo el movimiento del sistema es tal que su punto figurativo se mueve a lo largo de las geodésicas del espacio de configuraciones. De aqu´ı el principio de Hertz de la m´ınima curvatura, el cual dice que una part´ıcula no sometida a fuerzas exteriores se mueve a lo largo del camino de m´ınima curvatura. Seg´ un el principio de Jacobi, tal como debe ser una geodésica.

Cap´ıtulo 7

Transformaciones can´ onicas Como se ha observado en los cap´ıtulos anteriores la identificaci´ on y uso de las coordenadas c´ıclicas trae muchas ventajas (método de Routh). Sin embargo, en general es imposible obtener mas que un n´ umero limitado de tales coordenadas. Sup´ ongase el problema en el cual el hamiltoniano del sistema sea una constante de movimiento y todas las coordenadas qi son c´ıclicas. En estas condiciones, las cantidades de movimiento conjugados pi son todas constantes pi = αi y en este caso H = H(α1 , α2 , . . . , αn ) = cte En consecuencia las ecuaciones de Hamilton, simplemente ser´ an q˙i =

∂H = ωi ∂αi

(7.1)

donde las ωi = ωi (α1 , α2 , . . . , αn ) = cte. La soluci´ on de (7.1) es: qi = ωi t + βi Siendo βi constantes de integraci´ on determinadas por condiciones iniciales. Este es un problema académico, que en la pr´ actica dif´ıcilmente se presenta. Normalmente un sistema puede describirse por mas de un conjunto de coordenadas generalizadas. 225

226

´ CAPÍTULO 7. TRANSFORMACIONES CANONICAS

Ejemplo 7.1. Part´ıcula movi´ endose en un plano Se podr´ıa elegir como coordenadas generalizadas cartesianas (x, y) o mejor en coordenadas generalizadas polares (r, θ). En el segundo caso, si act´ uan fuerzas centrales sobre la part´ıcula (x, y) no son coordenadas c´ıclicas, mientras que θ si lo es, o sea pθ = cte. ❏ As´ı se observa que el n´ umero de coordenadas c´ıclicas depende de la escogencia de las coordenadas generalizadas y para cada problema puede haber una elecci´ on particular para la cual todas las coordenadas sean c´ıclicas. Como las coordenadas generalizadas obvias sugeridas por el problema no ser´ an normalmente c´ıclicas es necesario deducir primero un método para pasar de un sistema de variables a otro que sea mas conveniente. qi Qi

t

t

(a) Transformaci´ on del espacio de configuraci´ on. p(p1 , p2 , . . . , pn )

P (P1 , P2 , . . . , Pn )

q(q1 , q2 , . . . , qn )

Q(Q1 , Q2 , . . . , Qn )

(b) Transformaci´ on del espacio de fase

Figura 7.1. Transformaciones de coordenadas.

Las transformaciones de coordenadas vistas en los cap´ıtulos anteriores implican pasar de un sistema de coordenadas qi a un nuevo sistema Qi

´ 7.1. TRANSFORMACIONES CANONICAS

227

(figura 7.1(a)), mediante ecuaciones de transformaci´ on de la forma qi → Qi = Qi (q, t) En la formulaci´ on de Hamilton los momentos pi son también variables y por lo tanto el concepto de transformaci´ on de coordenadas debe ampliarse para que incluya la transformaci´ on de momentos, o sea que en general se tienen las transformaciones del espacio de configuraci´ on (figura 7.1(a)) y del espacio f´ asico (figura 7.1(b)): qi → Qi = Qi (q, p, t) pi → Pi = Pi (q, p, t)

(7.2)

En la mec´ anica nos interesamos solamente en aquellas transformaciones en las cuales (Q, P ) son coordenadas can´ onicas y cuando esto es cierto existe cierta funci´ on H(Q, P, t) tal que las ecuaciones de movimiento en el nuevo sistema tienen la forma de Hamilton ∂H ; Q˙ i = ∂Pi

∂H P˙i = − ∂Qi

(7.3)

donde la funci´ on H desempe˜ na el papel del hamiltoniano del sistema de coordenadas generalizadas transformadas H(q, p, t) → H(Q, P, t)

7.1.

(7.4)

Transformaciones can´ onicas

Las transformaciones de coordenadas que conducen de un sistema de coordenadas (q, p) a uno nuevo (Q, P ) preservando la forma de las ecuaciones de movimiento de Hamilton se conocen como transformaciones can´ onicas.   ∂H  ∂H    q˙i =   Q˙ i = ∂pi ∂Pi → (7.5) ∂H ∂H     ˙   Pi = − p˙i = − ∂Qi ∂qi Ya que las ecuaciones de movimiento de Hamilton en el sistema de coordenadas sin transformar (q, p) pueden derivarse del principio de Hamilton modificado, esto es: # Z t2 "X n δ pi q˙i − H(q, p, t) dt = 0 (7.6) t1

i=1

228


entonces el sistema de coordenadas can´ onicas transformadas (Q, P ) también puede derivarse del principio de Hamilton modificado, o sea δ

Z

t2

t1

" n X i=1

#

Pi Q˙ i − H(Q, P, t) dt = 0

(7.7)

Comparando (7.6) y (7.7), se observa que sus integrandos est´ an relacionados por α

"

n X i=1

#

pi q˙i − H =

n X

dG Pi Q˙ i − H + dt

(7.8)

n X

Pi dQi − H dt + dG

(7.9)

i=1

o equivalentemente α

" n X i=1

#

pi dqi − H dt =

i=1

donde G es una funci´ on cualquiera de las coordenadas del espacio f´ asico con segundas derivadas continuas y α es una constante independiente de las coordenadas y del tiempo. La funci´ on G se conoce como funci´ on generatriz de la transformaci´ on can´ onica y puede depender del par de variables (q, Q); (q, P ); (p, Q); (p, P ). Ejemplo 7.2. Si qj y pj est´ an relacionadas a Qj y Pj por las siguientes relaciones (cambio de escala) Qi = λqi ;

Pi = βpi

el hamiltoniano H es v´ alido si H = λβH ∂H ∂ λβ ∂H Q˙ i = = (λβH) = = λq˙i ∂Pi ∂βpi λ ∂pi entonces Qi = λqi ∂H ∂ λβ ∂H P˙i = − = (λβH) = − = β P˙i ∂Qi ∂λqi λ ∂qi

229


entonces Pi = βpi Los integrandos de los correspondientes principios de Hamilton modificados est´ an relacionados por:

λβ

n X i=1

pi q˙i − H

!

=

n X i=1

Pi Q˙ i − H

donde α = λβ. Se puede escoger siempre α = 1, o sea H=H y entonces (7.9) es: n X i=1

pi q˙i − H =

n X i=1

Pi Q˙ i − H +

dG dt

(7.10)

De las opciones de dependencia funcional de G, supongamos que G es funci´ on de q, Q y t G = G1 = G1 (q, Q, t) entonces: n

X dG1 = dt i=1

∂G1 dqi ∂G1 dQi + ∂qi dt ∂Qi dt

+

∂G1 ∂t

y a partir de (7.10) se tiene: n X ∂G1 (pi q˙i − Pi Q˙ i ) + (H − H) = ∂t i=1

n X ∂G1 dqi ∂G1 dQi ∂G = + + ∂qi dt ∂Qi dt ∂t i=1

230


de donde se concluye que: Pi =

∂G1 ∂qi

Pi = −

∂G1 ∂Qi

H−H =

∂G1 ∂t

          

(7.11)

         

siendo G1 la funci´ on generatriz de esta transformaci´ on can´ onica.

❏

Un ejemplo es la transformaci´ on can´ onica generada por G1 = qQ =

n X

q i Qi

i=1

en este caso: p i = Qi ,

Pi = −qi ,

H=H

ya que

∂G1 =0 ∂t

Otras opciones que se podr´ıan generar son: G2 (q, P, t) ;

G3 (p, Q, t) ;

G4 (p, P, t)

Las funciones G2 , G3 y G4 pueden generarse de G1 a través de una transformaci´ on de Legendre. Sup´ ongase que en (7.10) n X i=1

pi q˙i − H =

n X i=1

∂G Pi Q˙ i − H + ∂t

(7.12)

La funci´ on G es tal que (con G = G1 ): G = G2 (q, P, t) −

n X i=1

Qi Pi

(7.13)

231


la derivada total es: n

dG X = dt i=1

∂G2 ∂G2 ˙ q˙i + Pi ∂qi ∂Pi

∂G2 d + − ∂t dt

n X

Qi Pi

i=1

!

reemplazando en (7.12) se tiene: n X ∂G (pi q˙i − Pi Q˙ i ) + (H − H) = ∂t i=1

=

n X ∂G2 i=1

∂G2 ˙ Pi q˙i + ∂qi ∂Pi

∂G2 d + − ∂t dt

n X i=1

d dQi + (Qi Pi ) pi q˙i − Pi | dt {zdt }

!

n X

Qi Pi

i=1

!

+ (H − H)

Qi P˙i

=

n X ∂G2

∂G2 ˙ Pi q˙i + ∂qi ∂Pi

i=1

n X i=1

+

∂G2 ∂t

n X ∂G2 ˙ ∂G2 ∂G2 q˙i + pi q˙i + Qi P˙i + (H − H) = Pi + ∂qi ∂Pi ∂t i=1

De donde se puede identificar Pi =

∂G2 ∂qi

Qi = −

∂G2 ∂Pi

H−H =

∂G2 ∂t

                    

(7.14)

232


Ejemplo 7.3. Sea la transformaci´ on can´ onica generada por: G2 = qP =

n X

qi Pi

i=1

Entonces: Pi =

∂G2 = Pi ∂qi

Qi =

∂G2 = qi ∂Pi

H=H Esta es la transformaci´ on can´ onica identidad.

❏

La funci´ on generatriz G3 se define como: G=

n X

qi pi + G3 (p, Q, t)

(7.15)

i=1

reemplazando

dG dt

en (7.12) se obtiene qi = −

∂G3 ∂pi

Pi = −

∂G3 ∂Qi

H−H =

∂G3 ∂t

La funci´ on generatriz G4 se define como: G=

n X i=1

                    

(qi pi − Qi Pi ) + G4 (p, P, t)

(7.16)

(7.17)

233

7.2. CORCHETES DE POISSON

reemplazando

dG dt

en (7.12) se obtiene qi = −

∂G4 ∂pi

Qi =

∂G4 ∂Pi

H−H =

∂G4 ∂t

          

(7.18)

         

Si la funci´ on generatriz de la transformaci´ on G1 , G2 , G3 o G4 no contiene expl´ıcitamente el tiempo entonces se observa que H=H o sea que el nuevo hamiltoniano H es simplemente el anterior pero con las q’s y p’s reemplazadas por las correspondientes Q’s y P ’s. Luego, si esto sucede de (7.12) se observa n X i=1

pi q˙i − H =

n X

Qi P˙i − H +

n X

dG Pi Q˙ i + dt

i=1

dG dt

Con H = H entonces n X

pi p˙i =

i=1

n X i=1

i=1

(pi dq − Pi dQ) = dG

Permite probar cuando una transformaci´ on es can´ onica.

7.2.

Corchetes de Poisson

Introducidos por Simeon Denis Poisson en 1809. Sean A = A(q, p, t)

(7.19)

234


B = B(q, p, t) El corchete de Poisson de las dos funciones A y B es { A, B }q,p ≡

X ∂A ∂B ∂A ∂B − ∂qi ∂pi ∂pi ∂qi i

Las propiedades fundamentales son: 1. { A, A } = 0 2. { A, B } = −{ B, A } 3. { A, B + C } = { A, B } + { A, C } 4. { A, BC } = { A, B }C + B{ A, C } 5. { A, { B, C } } + { B, { C, A } } + { C, { A, B } } = 0 (Identidad de Jacobi) donde A, B, C son funciones de variables can´ onicas y del tiempo. Ejemplos: { qj , qk } = 0 { pj , pk } = 0 { qj , pk } = δjk Estos son los corchetes de Poisson fundamentales

7.2.1.

Ecuaciones de movimiento en forma de corchetes de Poisson n

X ∂H q˙j = = { qj , H } = ∂pj i=1

q˙j =

n X i=1

δji

∂qj ∂H ∂qj ∂H − ∂qi ∂pi ∂pi ∂qi

∂H ∂H = ∂pi ∂pj

235

7.2. CORCHETES DE POISSON

n

X ∂H p˙j = − = { pj , H } = ∂qj i=1

p˙ j = −

7.2.2.

n X i=1

δji

∂pj ∂H ∂pj ∂H − ∂qi ∂pi ∂qi ∂qi

∂H ∂H =− ∂qi ∂qj

Corchetes de Poisson e integrales de movimiento

Sea H el hamiltoniano de un sistema y F = F (q, p, t) n X ∂F ∂H ∂F ∂H − { F, H } = ∂qi ∂pi ∂pi ∂qi i=1

{ F, H } =

n X ∂F i=1

∂F q˙i + p˙i ∂qi ∂pi

=

∂F dF − dt ∂t

o equivalentemente dF ∂F = { F, H } + dt ∂t Si F representa una integral de movimiento entonces dF =0 dt o sea ∂F + { F, H } = 0 ∂t Si F no depende expl´ıcitamente del tiempo, entonces: ∂F =0 ∂t luego { F, H } = 0 Si G es otra constante de movimiento, entonces dG ∂G = + { G, H } = 0 dt ∂t

236


entonces ∂G = −{ G, H } ∂t y junto a dF ∂F = + { F, H } = 0 dt ∂t entonces ∂F = −{ F, H } ∂t d ∂{ F, G } { F, G } = { { F, G }, H } + dt ∂t ∂G ∂F , G + F, = { { F, G }, H } + ∂t ∂t = { { F, G }, H } + { { F, H }, G } − { F, { G, H } } = { { F, G }, H } + { { H, F }, G } + { { G, H }, F } = 0 Entonces { F, G } = cte Este es el teorema de Poisson: Si F, G representan dos integrales de movimiento entonces su corchete de Poison es una constante.

7.2.3.

Invariancia de los corchetes de Poisson

Se puede demostrar que si F y G son funciones de (q, p) y si (Q, P ) son variables can´ onicas relacionadas con (q, p) a través de una transformaci´ on can´ onica, entonces { F, G }q,p = { F, G }Q,P luego { Qi , Qj } = 0 { Pi , Pj } = 0 { Qi , Pj } = δij

´ CANONICA ´ 7.3. TRANSFORMACION INFINITESIMAL

7.3.

237

Transformaci´ on can´ onica infinitesimal

La funci´ on generatriz G2 tiene como forma funcional G2 = G2 (q, P, t). Se hab´ıa observado que pi =

∂G2 ∂qi

Qi =

H−H =

∂G2 ∂Pi

(7.20)

∂G2 ∂t

Con la particular escogencia de G2 = qP =

n X

qi Pi

(7.21)

i=1

Se tiene que pi =

Qi =

∂G2 = Pi ∂qi ∂G2 = qi ∂Pi

H=H

                  

pi → Pi = pi q i → Qi = q i

  

(7.22)

Se tiene la transformaci´ on identidad. La transformaci´ on can´ onica infinitesimal caracterizada por un par´ ametro infinitesimal ǫ ≪ 1, se define como: pi → Pi = pi + O(ǫ)

(7.23)

qi → Qi = qi + O(ǫ) y será generada por una funci´ on generatriz G2 que depende de ǫ de la forma: G2 =

n X i=1

qi Pi + ǫg(q, p) + O(ǫ2 )

(7.24)

donde el primer término es la funci´ on generatriz de la transformaci´ on can´ onica identidad.

238


La funci´ on g(q, p) que depende completamente del sistema de variables can´ onicas originales se llama el generador de la transformaci´ on can´ onica infinitesimal. Reemplazando (7.24) en (7.20) se tiene: ∂G2 ∂ pi = = ∂qi ∂qi

n X i=1

2

qi Pi + ǫg(q, p) + O(ǫ ) n X

∂G2 ∂ Qi = = ∂Pi ∂Pi Qi = q i + ǫ

!

i=1

= Pi + ǫ

2

∂g ∂qi

!

qi Pi + ǫg(q, p) + O(ǫ )

∂g ∂g ∂g = qi + ǫ = qi + ǫ ∂Pi ∂[pi + O(ǫ)] ∂pi

Luego las variaciones de las variables can´ onicas son: δqi = Qi − qi = qi + ǫ

∂g ∂g − qi = ǫ ∂pi ∂pi (7.25)

∂g ∂g δpi = Pi − pi = pi − ǫ − pi = −ǫ ∂qi ∂qi Teniendo en cuenta la definici´ on de los corchetes de Poisson, las variaciones anteriores se pueden escribir como: n X ∂qj ∂g ∂qi ∂g δqi = ǫ { qi , g } = ǫ − ∂qj ∂pj ∂pj ∂qj j=1

n X ∂pi ∂g ∂pi ∂g δpi = ǫ { pi , g } = ǫ − ∂qj ∂pj ∂pj ∂qj j=1

δqi = ǫ

n X

δij

j=1

δpi = −ǫ

n X j=1

δij

∂g ∂g =ǫ ∂pj ∂pi (7.26)

∂g ∂g = −ǫ ∂qj ∂qi

´ CANONICA ´ 7.3. TRANSFORMACION INFINITESIMAL

239

Proposici´ on 1. Sea una funci´ on de las variables can´ onicas q, p; F = F (q, p). Una variaci´ on infinitesimal δF de la funci´ on F causada por una transformaci´ on can´ onica infinitesimal con generador g(q, p) y par´ ametro ǫ est´ a dada por: δF (q, p) = { F (q, p), ǫg }

(7.27)

Demostraci´ on. La transformación can´ onica infinitesimal es ∂g pi → Pi = pi + δpi = pi − ǫ ∂qi qi → Qi = qi + δqi = qi + ǫ

∂g ∂pi

esta variaci´ on en la funci´ on F se manifiesta como: n X ∂F ∂F ′ δqi + δpi F → F = F + ǫδF = F + ǫ ∂qi ∂pi i=1

luego, la variaci´ on δF proveniente de las variaciones δq y δp en la funci´ on F es: n X ∂F ∂F δF = δqi + δpi ∂qi ∂pi i=1

=

n X ∂F i=1

∂qi

ǫ

∂g ∂F ∂g − ǫ ∂pi ∂pi ∂qi

n X ∂F ∂(ǫg) ∂F ∂(ǫg) = − ∂qi ∂pi ∂pi ∂qi i=1

δF = { F, ǫg } que es la ecuaci´ on (7.27) Se hab´ıa obtenido que la derivada total en el tiempo de una funci´ on F = F (q, p) que no dependa expl´ıcitamente del tiempo es: dF = { F, H } dt

(7.28)

Comparando (7.27) con (7.28) observamos que el hamiltoniano es el generador de las traslaciones infinitesimales en el tiempo H = ǫg.

240

7.4.


Ecuaci´ on de Hamilton-Jacobi

Consideremos ahora un tipo especial de transformaci´ on can´ onica que mapea las variables (q, p) en otro conjunto (Q, P ) que son independientes en el tiempo (constantes). q → q ′ = Q = cte

(7.29)

p → p ′ = P = cte En este caso, el conocimiento de las ecuaciones de transformaci´ on q = q(Q, P, t)

(7.30)

p = p(Q, P, t)

es equivalente a la soluci´ on din´ amica del problema ya que Q y P son constantes que pueden ser identificadas con las condiciones iniciales q = q(q0 , p0 , t)

(7.31)

p = p(q0 , p0 , t)

La idea es buscar la funci´ on que genera la transformaci´ on can´ onica mencionada. Ya que se requiere que dQ dP = =0 dt dt el nuevo hamiltoniano H no depende de Q y P . El hamiltoniano H puede ser una constante con o sin dependencia en el tiempo. Tomando el caso m´ as sencillo H = 0, entonces H=H+

∂G ∂t

se convierte en: H=−

∂G ∂t

(7.32)

Si G = G1 = G1 (q, Q, t) entonces pi =

∂G1 ; ∂qi

Pi = −

∂G1 ∂Qi

(7.33)

´ DE HAMILTON-JACOBI 7.4. ECUACION

241

Es decir (7.32) se puede escribir como: H(q, p, t) = −

∂G1 H q, p = ,t ∂q

∂ G1 (q, Q, t) ∂t

=−

∂ G1 (q, Q = cte, t) ∂t

Por notaci´ on llamando G1 = S = S(q, Q = cte, t), entonces (7.32) se escribe como: ∂S ∂ H q, p = , t = − S(q, Q = cte, t) (7.34) ∂t ∂t Esta es la ecuaci´ on de Hamilton-Jacobi. S es una soluci´ on de (7.34) y se ∂S conoce como funci´ on principal de Hamilton, con pi = ∂q y también de (7.34) i se tiene: ∂ Pi = cte = − → q = q(Q, P, t) S(q, Q, t) ∂Q Q=cte

ecuaci´ on que al ser invertida la q en funci´ on de Q, P y t y por lo tanto solucione el problema din´ amico. Puesto que S = S(q, Q = cte, t), su derivada total en el tiempo es: n

X ∂S ∂dqi ∂S dS = + dt ∂qi ∂dt ∂t i=1

n

X dqi dS pi = − H(q, p, t) = L(q.q, ˙ t) dt dt

(7.35)

i=1

Integrando (7.35) se obtiene:

S=

Zt2

L(q, q, ˙ t) dt

(7.36)

t1

lo cual indica que S es la acci´ on tomada como una funci´ on de q(t) y q(t1 ) = Q = cte, en la situaci´ on en que la soluci´ on del problema ya se conoce y esta ha sido insertada en L y la integraci´ on realizada.

242


Por lo tanto, se ha obtenido el resultado central: La acci´ on S es la funci´ on generatriz de una transformaci´ on can´ onica que transforma el sistema de variables de un tiempo a otro. Esta es la raz´ on, por la cual en el formalismo de la integral de camino de Feynman de la mec´ anica cu´ antica la amplitud de probabilidad de ir de un estado inicial q(t1 ) = Q en el tiempo t1 a un estado final q(t2 ) en el tiempo t2 es: hq(t1 )| Qi ∼ e−i

S(q,Q,t) ~

Ejemplo 7.4. Las ecuaciones de transformaci´ on entre dos conjuntos de coordenadas son: Q=

q 2 + p2 , 2

P = − arctan

q p

a ) Muestre que Q y P son variables can´ onicas si q y p lo son. b ) Obtenga la funci´ on generatriz G que genera esta transformaci´ on. a ) Ya que las ecuaciones de transformaci´ on no dependen del tiempo, entonces G no debe depender del tiempo entonces ∂G =0 ∂t y por tanto H−H =

∂G =0 ∂t

luego H=H y entonces: n X i=1

pi q˙i − H =

n X i=1

Pi Q˙ i − H +

∂G ∂t

por lo tanto n X i=1

n

dqi X dQi dG pi = Pi + dt dt dt i=1

243


n X (pi dqi − Pi dQi ) = dG i=1

Relaci´ on que permite probar cuando una trasformaci´ on es o no can´ onica. Con Q=

q 2 + p2 2

entonces dQ = qdp + pdp luego pdq − P dQ = dG pdq − P (qdq + pdp) = dG (p − qP )dq − pP dp = dG

p + q arctan

q p

dq + p arctan

q dp = dG p

Ahora hay que probar cuando esta expresi´ on es exacta o no. La condici´ on necesaria y suficiente para que la expresi´ on A(x, y) dx + B(x, y) dy sea exacta es que se cumplan las relaciones de Cauchy, o sea ∂A ∂B = ∂y ∂x Luego, aplicando la condici´ on de Cauchy al caso tratado ∂ ∂p

q p + q arctan p

∂ = ∂q

q p arctan p

=

p2 q 2 + p2

Luego, se tiene una transformaci´ on can´ onica y Q y P son variables can´ onicas. ✓

244


b ) Ahora se obtendr´ a la funci´ on generatriz G. q q ∂G ∂G p + q arctan dq + p arctan dp = dG = dq + dp p p ∂q ∂p por lo tanto ∂G q = p + q arctan ∂q p ∂G q = p arctan ∂p p Integrando con ayuda de xn+1 (arctan ax) a − x (arctan ax) dx = n+1 n+1 n

Z

xn+1 dx , 1 + a2 x2

n = −1

se obtiene G=

1 2

(q 2 + p2 ) arctan pq + 12 qp

Ya que G debe ser funci´ on de una variable nueva y una vieja, se elimina p de G y se obtiene: q 1 p G1 (q, Q) = Q arctan p + q 2Q − q 2 2 2Q − q 2 El nuevo hamiltoniano es

H=H Si el viejo hamiltoniano es H=

1 2

(q 2 + p2 )

entonces: H = 12 (q 2 + p2 ) = Q y las ecuaciones de movimiento son: ∂H Q˙ = = 0; ∂P

∂H P˙ = − = −1 ∂Q

entonces: q = cte

P = −t + P0

❏

245


Ejemplo 7.5. Considere el oscilador arm´ onico unidimensional. Por conveniencia tome m = k = 1. H=

p2 kq 2 + 2m 2

o sea H = 12 (q 2 + p2 )

(7.37)

Ahora realice la siguiente transformaci´ on can´ onica. 1 Q = √ (q + ip) ; 2i

1 P = − √ (q − ip) ; 2i

i=

√

−1

(7.38)

Muestre que: a ) La transformaci´ on (7.38) es can´ onica. b ) Encuentre la funci´ on generatriz G. c ) H = H = −iQP . d ) Q˙ = −iQ, P˙ = iP a ) Ya que en la transformaci´ on no aparece t expl´ıcitamente, entonces ∂G =0 ∂t luego H=H entonces pdq − P dQ = dG 1 dQ = √ (dq + idp) 2i

246


as´ı: 1 1 pdq + √ (q − ip) √ (dq + idp) = dG 2i 2i pdq +

1 2i 1 2

qdq +

pdq +

1 2i

iqdp −

1 2i

qdq + 1 i 2 p − 2 q dq +

1 2i

ipdq +

1 2 2i i pdp

= dG

1 2

qdp + 2i pdp = dG 1 i 2 q + 2 p dp = dG

Esta expresi´ on es exacta si se satisface la condici´ on de Cauchy, o sea: ∂ ∂p

1 2

p−

i 2

b) pdq − P dQ = entonces

1 2

∂ p − 2i q = ∂q q dq +

1 2

1 2

q + 2i p =

∂G ∂G q + 2i p dp = dG = dq + dp ∂q ∂p

∂G 1 i = p− q ∂q 2 2 luego G′ =

1 2

pq − 4i q 2

y 1 i ∂G = q+ p ∂p 2 2 luego G ′′ =

1 2

pq + 4i p2

por lo tanto G=

1 2

1 2

pq + 4i (p2 − q 2 )


247

Ya que G es funci´ on de una variable antigua y una nueva, se elimina p de G, o sea de (7.38) ip =

√

2i Q − q

entonces √ 2i 1 p= − q i i r 2 p= Q + iq i luego 2 p = Q2 + 2i i 2

r

2 Qq − q 2 i

y reemplazando en G 1 G= q 2

r

2 Q + iq i

!

i + 4

! r 2 2 2 2 2 Q + 2i Qq − q − q i i

1 i 1 1 G = √ qQ + q 2 + Q2 − 2 2 2 2i

r

2 i Qq − q 2 i 2

1 1 1 G = √ qQ + Q2 − √ Qq 2 2i 2i G=

1 2 Q 2

No sirve. entonces de (7.38) se toma ip =

√

2iP + q

As´ı: √ 2i 1 p= P+ q i i

248


p=

r

2 P − iq i

luego: r 2 2 2 p = P − 2i qP − q 2 i i 2

y reemplazando en G 1 G= q 2

r

G=

2 P − iq i

r

!

! r 2 2 2 2 2 P − 2i qP − q − q i i

i + 4

1 i 1 qP − q 2 + P 2 + 2i 2 2

1 G2 (q, P ) = P 2 − iq 2 + 2

r

2 qP = i

r

1 i qP − q 2 2i 2

1 i √ P + √ q2 2 i

c ) Despejando de q y p en términos de Q y P se tiene r 2 p= Q + iq i p=

r

2 P − iq i

2p =

r

2 (Q + P ) i

sumando:

1 p = √ (Q + P ) 2i Se tiene también q=

√

2i Q − ip √ q = − 2i P + ip

2


249

al sumar 2q = q=

√ r

2i(Q − P ) i (Q − P ) 2

Entonces 1 1 H = H = (p2 + q 2 ) = 2 2

i 1 Q2 + 2QP + P 2 + Q2 − 2QP + P 2 2i 2

i 1 i 2 2 2 2 H= − Q + 2QP + P + Q − 2QP + P 2 2 2 H = −iQP d) ∂H Q˙ = = −iQ ∂P

∂H P˙ = − = iP ∂Q

Sup´ ongase que la funci´ on generatriz G es de la forma G1 G1 = µq 2 cot Q para este caso pi =

∂G1 ∂qi

Pi = −

∂G1 ∂Qi

ya que el problema tiene dos grados de libertad p=

∂G1 = 2µq cot Q ∂q

entonces P =−

∂G1 = µq 2 cosec2 Q ∂Q

❏

250


luego q2 =

P 1 P = sen2 Q 2 µ cosec Q µ

entonces q=

s

P sen Q µ

por lo tanto p = 2µ

s

cos Q p P sen Q = 4µP cos Q µ sen Q q=

s

P sen Q µ

reemplazando en el hamiltoniano H y ya que H = H, entonces P 2 p2 kq 2 4µP cos2 Q k µ sen Q H=H= + = + 2m 2 2m 2

kP H= 2µ con µ =

q

mk 2 ,

4µ2 sen Q + cos2 Q mk 2

entonces H=

kP 2

√

mk 2

(sen2 Q + cos2 Q)

H=

q

k m

P

y en este caso Q es coordenada c´ıclica.

Luego las ecuaciones de movimiento son: ∂H P˙ = − =0 ∂Q

251


entonces P = cte = β ∂H Q˙ = = ∂P

r

k m

en consecuencia r

Q=

k t+γ m

siendo γ una constante de integraci´ on. Reemplazando P y Q en q ! r r r P β k q= sen Q = sen t+γ m m m p=

p

4µP cos Q =

p

4µγ cos

r

k t+γ m

!

con µ=

√

km 2

Ejemplo 7.6. Considere la transformaci´ on p Q = e−2q − p2 ;

P = arc cos(peq )

Usando el corchete de Poisson muestre que esta es can´ onica. { Q, Q } = 0 ; { Q, P } =

{ P, P } = 0

∂Q ∂P ∂Q ∂P − ∂p ∂p ∂p ∂q

∂Q −e−2q =p ; ∂q e−2q − p2

p

−p

e−2q

− p2

252


lo cual da { Q, p } = 1 Luego la transformaci´ on es can´ onica.

❏

Ejemplo 7.7. Muestre que la siguiente transformaci´ on es can´ onica. p p Q = 2q et cos p ; P = 2q e−t sen p ∂Q 1 1 1 √ −1/2 t 2q = e cos p = √ √ et cos p ∂q 2 2 q ∂P 1 1 = √ √ e−t sen p ∂q 2 q p ∂Q = − 2q et sen p ∂p p ∂P = 2q e−t cos p ∂p { Q, Q } = 0 { P, P } = 0 { Q, P } =

∂Q ∂P ∂Q ∂P − ∂q ∂p ∂p ∂q

p p 1 1 { Q, P } = √ √ et cos p 2q e−t cos p + 2q et sen p √ e−t sen p 2q 2 q { Q, P } = cos2 p + sen2 p = 1 Luego la transformaci´ on es can´ onica.

❏

Cap´ıtulo 8

Teor´ıa de Hamilton-Jacobi Como se ha visto, las transformaciones can´ onicas pueden utilizarse para proporcionar un método general de soluci´ on de problemas mec´ anicos. Se han sugerido dos métodos: 1. Si se conserva el hamiltoniano, se podr´ıa obtener una soluci´ on pasando a nuevas coordenadas can´ onicas que sean todas c´ıclicas, puesto que la integraci´ on de las nuevas ecuaciones resulta trivial. 2. Buscar una transformaci´ on can´ onica, que lleve las coordenadas y cantidades de movimiento (q, p) en t a un nuevo sistema de cantidades constantes que pueden ser los 2n valores iniciales (q0 , p0 ) en t = 0. Con esta transformaci´ on, las ecuaciones de transformaci´ on que relacionan las antiguas variables can´ onicas con las nuevas son exactamente la soluci´ on mec´ anica del problema q = q(q0 , p0 , t) p = p(q0 , p0 , t) En el cap´ıtulo anterior se hab´ıa obtenido que: dQ dP = =0 dt dt por ser Q y P constantes. Entonces H no depende de Q y P , o sea H = cte = 0 entonces H=H+

∂G =0 ∂t

253

254

CAPÍTULO 8. TEORÍA DE HAMILTON-JACOBI

luego H=−

∂G ∂t

con G = G1 (q, Q, t) = S(q, Q, t) y pi =

∂S ∂qi

Pi = −

∂S ∂Qi

finalmente

∂S H q, p = ,t ∂q

=−

∂S (q, Q = cte, t) ∂t

donde S es la funci´ on principal de Hamilton y esta u ´ltima ecuaci´ on se denomina ecuaci´ on de Hamilton-Jacobi. Ya que ∂S Pi = cte = − (q, Q, t) ∂Q Q=cte entonces

q = q(Q, P, t) ya que S = S(q, Q = cte, t) entonces n

X ∂S dqi ∂S dS = + dt ∂qi dt ∂t i=1

255

=

n X i=1

pi q˙i − H(q, p, t)

= L(q, q, ˙ t) Integrando S=

Zt2

L(q, q, ˙ t) dt

t1

Entonces la acci´ on es una función generatriz que transforma el sistema de variables de un tiempo a otro. Visto de otra forma, ya que H no depende de Q y P entonces: ∂H = Q˙ i = 0 ∂Pi −

∂H = P˙i = 0 ∂Qi

H debe estar relacionada con H como: H=H+

∂S ∂t

si S satisface que: H(q, p, t) +

∂S =0 ∂t

con las ecuaciones de transformaci´ on S = G2 = G2 (q, P, t) entonces pi =

∂S ∂qi

o sea

∂S ∂S ∂S ∂S H q1 , q2 , . . . , qn ; , , ..., ;t + =0 ∂q1 ∂q2 ∂qn ∂t

256


siendo esta u ´ltima la ecuaci´ on de Hamilton-Jacobi y, donde S es la funci´ on principal de Hamilton S = S(q, P, t) = S(q1 , q2 , . . . , qn ; α1 , α2 , . . . , αn ; t) con αi = Pi = cte

8.1.

Funci´ on caracter´ıstica de Hamilton

Considérese un sistema holon´ omico cuya configuraci´ on sea descrita por q1 , . . . , qn coordenadas generalizadas independientes. La funci´ on de Hamilton o hamiltoniano del sistema no depende expl´ıcitamente del tiempo, y es una constante de movimiento H = H(q, p) = H(q1 , q2 , . . . , qn ; p1 , p2 , . . . , pn ) = αn = h

(8.1)

siendo h el valor de la integral de Jacobi o integral de energ´ıa. Teniendo en cuenta los resultados obtenidos para la ecuaci´ on de HamiltonJacobi: ∂S ∂S + H q, ,t =0 (8.2) ∂t ∂q Siendo S la funci´ on principal de Hamilton, la cual cuantitativamente es:

S=

Zt2

L(q, q, ˙ t) dt

t1

Si S = S1 (q, Q, t) = G1 (q, Q, t) = 0 entonces ∂S ∂S (q, Q = cte = β, t) + H q, p = ,t =0 ∂t ∂q

´ CARACTERÍSTICA DE HAMILTON 8.1. FUNCION

257

y con ayuda de ∂S Pi = cte = αi = − ∂Q Qi =βi =cte

entonces

q = q(α, β, t) O equivalentemente. Si S = S(q, P, t) = G2 (q, P, t) entonces ∂S ∂S (q, P = cte = α, t) + H q, p = ,t =0 ∂t ∂q y con ayuda de

luego

∂S Qi = cte = βi = ∂Pi Pi =αi =cte q = q(α, β, t)

Remplazando (8.1) en (8.2) se obtiene: ∂S = −H = −αn ∂t

(8.3)

ecuaci´ on que sugiere que S puede tomarse como funci´ on lineal del tiempo, esto es: S(q, α, t) = −αn t + W (q, α) o expl´ıcitamente S(q1 , q2 , . . . , qn ; α1 , α2 , . . . , αn ; t) = −αn t

+ W (q1 , q2 , . . . , qn ; α1 , α2 , . . . , αn ; t) (8.4)

258


La funci´ on W (q, α) que no depende expl´ıcitamente del tiempo se conoce como funci´ on caracter´ıstica de Hamilton. Se observa de (8.4) que: ∂S ∂W = ∂αi ∂αi

i = 1, 2, . . . , n − 1

(8.5)

∂S ∂W = −t ∂αn ∂αn ∂S ∂W = ∂qi ∂qi

(8.6)

i = 1, 2, . . . , n

(8.7)

Teniendo en cuenta (8.7) se observa que (8.2) se reduce a ∂W = αn H q, ∂q o expl´ıcitamente

∂W ∂W ∂W H q1 , q2 , . . . , qn ; , , ..., ∂q1 ∂q2 ∂qn

= αn

esta es la ecuaci´ on de Hamilton-Jacobi modificada. Una soluci´ on completa de esta ecuaci´ on envuelve (n − 1) constantes no aditivas (α1 , α2 , . . . , αn−1 ) m´ as la constante de energ´ıa αn . Las α son arbitrarias en el sentido que sus valores son determinados por valores iniciales de las ∂W ∂qi , o sea, de los momentos generalizados en una configuraci´ on dada. Ya que S = S(q, P, t) = G2 (q, P, t) entonces pi =

∂S ∂qi

Qi =

∂S ∂Pi

o´

βi =

∂S ∂αi

Por lo tanto las ecuaciones (8.5), (8.6) y (8.7) se pueden escribir como: βi =

∂W ∂αi

i = 1, 2, . . . , n − 1

(8.8)


t + βn =

∂W ∂αn

pi =

∂W ∂qi

259

(8.9)

i = 1, 2, . . . , n

(8.10)

siendo βn el tiempo inicial t0 . Ya que W no es funci´ on expl´ıcita del tiempo, se observa que (8.8) da el camino del sistema en el espacio de configuraci´ on sin referencia al tiempo. (8.9) da la relaci´ on del tiempo a la posici´ on a lo largo del camino. Ejemplo 8.1. Estudie la din´ amica del sistema de la figura 8.1 haciendo uso del método de Hamilton-Jacobi. x

k m

Figura 8.1. Masa sometida a una fuerza de Hook.

Para el sistema masa-resorte se tiene: T =

1 mx˙ 2 2

p=

∂L = mx˙ ∂ x˙

T =

1 p2 2 m

V =

1 2 kx 2

como

entonces

260


1 p2 1 2 − kx 2 m 2

L=T −V = El hamiltoniano del sistema es: H =T +V =

p2 1 + kx2 = α 2m 2

y este es equivalente a la energ´ıa mec´ anica total (el sistema es conservativo). Haciendo uso de la ecuaci´ on de Hamilton-Jacobi modificada ∂W H q, =α ∂q 1 2m

∂W ∂x

2

1 2 kx = α 2

+

Despejando ∂W = ∂x

s

=

s

1 2m α − kx2 2

2mk

√ = mk

r

ω=

r

llamando

α 1 2 − x k 2

2α − x2 k

k m

entonces ω2 =

k m

luego k = mω 2 finalmente mω =

√

mk


261

y 2α 2α = k mω 2 r 2α a= mω 2

a2 =

Por lo tanto p ∂W = mω a2 − x2 ∂x

Se puede integrar y se tiene que la funci´ on caracter´ıstica es: W = W (x, α) = mω

Zx p

x0

a2 − ξ 2 dξ

(8.11)

donde el l´ımite m´ as bajo x0 se elige como 1. Una conveniente constante absoluta (no funci´ on de las α). 2. Un cero Luego, la funci´ on principal se puede escribir como: S = mω

Zx p

x0

a2 − ξ 2 dξ − αt

(8.12)

donde a2 =

2α 2α = k mω 2

La integral de (8.11) y (8.12) no requiere realizarse ahora, para lo que viene. De (8.9) se sabe que:   Zx r ∂W ∂  2α t−β = = mω − ξ 2 dξ  ∂α ∂α mω 2 x0

= mω

Zx

x0

1 2

2α − ξ2 mω 2

−1/2

2 dξ mω 2

262


1 = ω

1 = ω

= entonces

Zx

x0

Zx

x0

2α − ξ2 mω 2

p

−1/2

dξ

dξ a2

− ξ2

1 −1 x0 x cos − cos−1 ω a a

ω(t − β) = cos−1 cos−1

x0 x − cos2 −1 a a

x x0 = cos−1 − ω(t − β) a a h x0 i = − ω(t − β) − cos−1 a = −[ω(t − β) − φ]

con x0 cos φ = = a

r

mω 2 x0 2α

entonces x = cos[ω(t − β) − φ] = a cos[ω(t − β) − φ] a Llamando β = t0 se tiene x(t) =

r

2α cos[ω(t − t0 ) − φ] mω 2

si las condiciones iniciales son x(t0 ) = x0 y x(t ˙ 0 ) = v0 entonces α=

p2 1 1 1 + kx2 = mv02 + kx2 2m 2 2 2


263

y teniendo en cuenta que v0 = ωx0 v0 x0 = ω k 2 ω = m Por lo tanto: mω 2 1 v2 α = mω 2 x20 + mω 2 02 = 2 ω 2

x20

v2 + 02 ω

ya que cos φ =

x0 a

entonces sen φ = Por lo tanto:

p

1−

cos2 φ

1 = a

q

a2 − x20 =

v0 aω

x(t) = a cos[ω(t − t0 ) − φ]

= a cos[ω(t − t0 )] cos φ + a sen[ω(t − t0 )] sen φ v0 = x0 cos[ω(t − t0 )] + sen[ω(t − t0 )] ω

Este es el resultado obtenido de la soluci´ on directa de la ecuaci´ on de movimiento de Euler-Lagrange para el sistema masa-resorte. La amplitud de oscilaci´ on en x es r v2 a = x20 + 02 ω Por evaluaci´ on directa de (8.11), la funci´ on principal de Hamilton da S = mω

Zx p

x0

= mω

a2 − ξ 2 dξ − αt

1 p 2 ξ x ξ a − ξ 2 − a2 cos −1 − αt 2 a x0

264


mω = 2

p q 2 −1 x −1 x0 2 2 2 2 x a − x − a cos − x0 a − x0 + a2 cos − αt a a

Se puede verificar que β=

∂W da 1 −1 x0 ∂S x = −t= cos − cos−1 −t ∂α ∂a dα ω a a

o equivalentemente x(t) = a cos[ω(t − t0 ) − φ] La funci´ on principal de Hamilton S = S(x0 , t0 ; x, t) se puede obtener por evaluaci´ on directa, una vez que se conoce la soluci´ on x(t) S=

Zt

(L) dt =

t0

m = 2

Zt

t0

Zt

t0

(T − V ) dt

(x˙ 2 − ω 2 x2 ) dt

como x(t) ˙ = −aω sen[ω(t − t0 ) − φ] entonces mω S=− sen[ω(t − t0 )] 2

x20

v2 − 02 ω

2x0 v0 cos[ω(t − t0 )] + sen[ω(t − t0 )] ω

Teniendo en cuenta que x = x0 cos[ω(t − t0 )] +

v0 sen[ω(t − t0 )] ω

o sea v0 x − x0 cos[ω(t − t0 )] = ω sen[ω(t − t0 )] se obtiene S=

1 mω(x2 + x20 ) cot[ω(t − t0 )] − mωxx0 csc[ω(t − t0 )] 2

8.2. SISTEMA CON COORDENADAS CÍCLICAS

265

Si se supone que x0 asume el papel de α en el desarrollo anterior, se tiene: β=

∂S = mωx0 cot[ω(t − t0 )] − mωx csc[ω(t − t0 )] ∂x0

entonces x = x0 cos[ω(t − t0 )] +

β sen[ω(t − t0 )] mω

Luego β = mv0 ❏

8.2. 8.2.1.

Sistema con coordenadas c´ıclicas Sistema no-conservativo

Sup´ ongase que un sistema tiene q1 , q2 , . . . , qk coordenadas c´ıclicas. Se sabe que pi = αi = cte

i = 1, 2, . . . , k

y ya que pi =

∂S ∂qi

se puede asumir que la funci´ on principal tiene la forma:

S(q, α, t) =

k X

αi qi + S ′ (qk+1 , . . . , qn ; α1 , . . . , αn ; t)

i=1

La ecuaci´ on de Hamilton-Jacobi es en este caso: ∂S ′ ∂S ′ ∂S ′ + H qk+1 , . . . , qn ; α1 , . . . , αk ; , ..., ;t =0 ∂t ∂qk+1 ∂qn

266


Una vez que S ′ se conoce, la soluci´ on del movimiento del sistema se obtiene de: βi = qi +

βi =

∂S ′ ∂αi

i = 1, 2, . . . , k

∂S ′ ∂αi

i = k + 1, . . . , n

pi = αi pi =

i = k + 1, . . . , n

∂S ′ ∂qi

i = k + 1, . . . , n

donde se nota que βi = qi0

i = 1, 2, . . . , k

corresponde a la coordenada ignorable.

8.3.

Sistema conservativo

Si el sistema es conservativo la funci´ on principal es S(q, α, t) =

k X i=1

αi qi − αn t + W ′ (qk+1 , . . . , qn ; α1 , . . . , αn )

y la ecuaci´ on de Hamilton-Jacobi modificada es

∂W ′ ∂W ′ H qk+1 , . . . , qn ; α1 , . . . , αk ; , ..., ∂qk+1 ∂qn

= αn

El movimiento del sistema est´ a dado por: βi = qi +

∂W ′ ∂αi

βi =

∂W ′ ∂αi

t − βn =

∂W ′ ∂αn

i = 1, 2, . . . , k

i = k + 1, . . . , n − 1

8.3. SISTEMA CONSERVATIVO

pi = αi pi =

267

i = 1, 2, . . . , k

∂W ′ ∂qi

i = k + 1, . . . , n

Ejemplo 8.2. Usar el método de Hamilton-Jacobi para estudiar el problema de Kepler. Suponga que la part´ıcula de masa unidad es atra´ıda por una fuerza gravitacional inverso del cuadrado a un punto 0 (figura 8.2). La posici´ on de la part´ıcula est´ a dada en términos de coordenadas polares (r, θ) medido en el plano de la orbita. m= b 1 r θ 0 Figura 8.2. Part´ıcula atra´ıda por una fuerza gravitacional inverso del cuadrado a un punto 0.

Las energ´ıas y el lagrangiano son 1 T = (r˙ + r 2 θ˙2 ) 2 V =−

µ r

1 µ L = T − V = (r˙ + r 2 θ˙2 ) + 2 r El hamiltoniano del sistema es 1 µ H = T + V = (r˙ + r 2 θ˙2 ) − 2 r como pr =

∂L = r˙ ∂ r˙

268


y pθ =

∂L = r 2 θ˙ ∂ θ˙

entonces 1 H= 2

p2r

p2 + 2θ r

−

µ = αt = cte r

Luego, la funci´ on principal es: S = −αt t + αθ θ + W ′ (r, αt , αθ ) La ecuaci´ on de Hamilton-Jacobi es: α2 µ 1 ∂W ′ 2 + θ2 − = αt 2 ∂r 2r r y se obtiene ∂W ′ = ∂r

W′=

s Zr

r0

2αt + s

2µ α2θ − 2 r r

2αt +

2µ α2θ − 2 dr r r

Haciendo uso de t − βn =

∂W ′ ∂αn

se tiene: ∂W ′ t − β = t − t0 = = ∂αt

Zr

r0

r

dr 2αt +

2µ α2θ − 2 r r

De forma similar βi = qi +

∂W ′ ∂αi

i = 1, 2, . . . , k

8.3. SISTEMA CONSERVATIVO

∂W ′ θ − θ0 = = ∂αθ

Zr

r0

q

269

dr 2αt r 2 + 2µr − α2θ

Para θ0 = 0 se obtiene: 

θ = cos−1 

r

α2 q θ µ2

− µr +

2αt α2θ

 

y se puede solucionar para r r= 1+

q

α2θ /µ 1 + (2αt α2θ )/µ2 cos θ

identificando ǫ=

s

1+

2αt α2θ µ2

se tiene: r=

α2θ /µ 1 + ǫ cos θ ❏

270


Cap´ıtulo 9

Variables angulares y de acci´ on para sistemas peri´ odicos En el estudio de los sistemas peri´ odicos, en muchas oportunidades resulta m´ as interesante el estudio de las frecuencias del movimiento m´ as que los detalles de las o´rbitas. El método de las variables angulares y de acci´ on, una variante del método de Hamilton-Jacobi, permite el estudio de sistemas peri´ odicos al introducir on, en m´ as constantes Ji adecuadamente definidas llamadas variables de acci´ vez de los momentos asociados a las coordenadas c´ıclicas.

9.1.

Sistemas con un grado de libertad

Considérese un sistema conservativo de un grado de libertad. El hamiltoniano del sistema se identifica con la energ´ıa mec´ anica total, la cual es una constante de movimiento. H = H(q, p) = α1

(9.1)

Se observa de (9.1) que en principio es posible despejar el momento en términos de α1 y de q, o sea: p = p(q, α1 )

(9.2)

para obtener la ecuaci´ on de la o´rbita descrita por un punto figurativo del espacio f´ asico bidimensional del sistema. 271

272

´ n para sistemas perio ´ dicos CAPÍTULO 9. Variables angulares y de accio

Ejemplo 9.1. Péndulo simple (figura 9.1). Tomando la energ´ıa potencial cero en la posici´ on de equilibrio.

l cos θ θ l

b

m

˙ v = ωr = θl Figura 9.1. Péndulo simple.

Las energ´ıas y el lagrangiano son: T =

1 1 ˙ 2 = 1 ml2 θ˙ 2 mv 2 = m(lθ) 2 2 2

V = −mgl cos θ L=T −V =

1 2 ˙2 ml θ + mgl cos θ 2

como pθ =

∂L = ml2 θ˙ ∂ θ˙

entonces 1 θ˙ = pθ ml2 y T =

1 p2θ 2 ml2

Al ser este un sistema conservativo H =T +V =

1 p2 − mgl cos θ = α1 2ml2 θ

9.1. SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD

273

Despejando pθ se obtiene pθ = ±

p

2ml2 [α1 + mgl cos θ]

Si α1 < mgl, entonces el movimiento f´ asico es posible para θ < θ ′ . α1 + mgl cos θ ′ = 0 entonces mgl cos θ ′ = −α1 luego cos θ ′ = −

α1 mgl

el péndulo oscila entre −θ ′ < θ < θ ′ (Movimiento oscilatorio o de “libraci´ on”). pθ √ 2 b 2ml α1 curva 1 θ′ θ′ ′ ′ −θ b bθ b b θ b

√ − 2ml2 α1 (a)

(b)

Figura 9.2. Movimiento oscilatorio.

Si α1 = mgl entonces el movimiento f´ asico es posible para todos los valores de Q. El péndulo tiene tanta energ´ıa que puede llegar a la posici´ on vertical θ = π y en consecuencia se encuentra en posici´ on de equilibrio inestable. Cualquier peque˜ na perturbaci´ on le permitir´ıa seguir a lo largo de la curva 2 o pasar a la 2 ′ mostradas en la figura 9.3 (esto es caer). Si α1 > mgl entonces el movimiento f´ asico es posible para todos los valores de θ. El péndulo tiene tanta energ´ıa que puede sobrepasar la posici´ on vertical θ = π y en consecuencia el péndulo gira (movimiento de rotaci´ on) figura 9.4.

274


b

pθ curva 2

θ=π

π

b

θ

θ=0

curva 2 ′

b (a)

(b)

Figura 9.3. Movimiento f´ asico posible para todos los valores de θ.

pθ

b curva 3 b

π

θ

b

(a)

(b)

Figura 9.4. Movimiento de rotaci´ on

Para cualquiera de los dos tipos de movimiento peri´ odico, se puede introducir una nueva variable J, destinada a sustituir a α1 en su papel de constante de movimiento transformada α1 → J J se conoce como variable de acci´ on y se define en la forma: J=

I

p dq

esta tiene dimensiones de momento angular o cinético y se integra sobre un periodo de oscilaci´ on o rotaci´ on.


275

El nombre de J se origina en el principio de m´ınima acci´ on ∆

Zt2

pi q˙i dt = 0

t1

De (9.1) se concluye que α1 = H(J)

(9.3)

Se ten´ıa que la funci´ on principal de Hamilton, para un sistema conservativo de un grado de libertad es S(q, α1 , t) = −α1 t + W (q, α1 ) donde W (q, α1 ) es la funci´ on caracter´ıstica de Hamilton. Siendo v´ alido que p=

∂W ∂q

(9.4)

y t + β1 =

∂W ∂α1

(9.5)

Ya que es reemplazado por

α1 −−−−−−−−−−−−→ J entonces es reemplazado por

W (q, α1 ) −−−−−−−−−−−−→ W (q, J)

(9.6)

Ya que J est´ a asociada con una cantidad conservada, entonces su coordenada generalizada conjugada, se define como: ω=

∂W = ω(q, j) ∂J

(9.7)

esta es una variable de acci´ on y ya que (ω, J) son variables conjugadas can´ onicas, entonces la ecuaci´ on de movimiento de ω es: ω˙ =

∂H(J) = ν(J) ∂J

(9.8)

276


cuya soluci´ on es: ω = νt + β1

(9.9)

y como puede verse tiene la forma de (9.5) νt + β1 =

∂W ∂J

Se podr´ıa de (9.7) obtener q = q(W, J) y con ayuda de (9.9) ω = νt + β, tener finalmente q = q(t). Pero si se hace este procedimiento, las variables acci´ on-ángulo no tendr´ıan ning´ un tipo de ventaja sobre estos otros métodos. Su ventaja est´ a en la interpretaci´ on f´ısica que se le puede dar a ν. ¿Qué cambio tendr´ıa ω cuando q describe un periodo completo de oscilaci´ on o rotaci´ on? Este cambio ∆ω vendr´ıa dado por: I ∂ω ∆ω = dq (9.10) ∂q y teniendo en cuenta que ω =

∂W ∂J

∆ω =

I

lo anterior es equivalente a ∂ ∂q

∂W ∂J

dq

ya que la integral es sobre dq, se puede sacar la derivaci´ on ∂ ∆ω = ∂J

I

∂ ∂J

de la integral

∂W dq ∂q

Teniendo en cuenta (9.4), se tiene ∆ω =

∂ ∂J

I

p dq =

∂ (J) = 1 ∂J

(9.11)

Es decir (9.11) dice que cuando q describe un periodo completo ω var´ıa en uno. De (9.9) se deduce que si τ es el periodo para un ciclo completo, esto es τ = t1 − t0 , entonces ω(t0 ) = νt0 + β1 ω(t1 ) = νt1 + β1


277

luego ∆ω = ν(t1 − t0 ) ∆ω = ντ y por (9.11): ∆ω = ντ = 1 o sea, ν se puede identificar con el inverso del periodo ν=

1 τ

(9.12)

o sea, es la frecuencia del movimiento peri´ odico de q. Se concluye que la técnica de las variables acci´ on-´ angulo es una poderosa herramienta para la obtenci´ on de la frecuencia de un movimiento peri´ odico sin necesidad de hallar una soluci´ on completa del movimiento del sistema. ❏ Ejemplo 9.2. Sistema masa-resorte (oscilador arm´ onico unidimensional) figura 9.5. x

k m

Figura 9.5. Sistema masa-resorte.

Las energ´ıas y el hamiltoniano son: T =

1 mx˙ 2 2

p=

∂T = mx˙ ∂ x˙

como

278


entonces T =

1 p2 2 m

V =

1 2 kx 2

H =T +V =

p2 1 + kx2 = α1 2m 2

Adem´ as p2 = 2mα1 − mkx2 con ω2 =

k m

m2 ω 2 = mk entonces p=

p

2mα1 − m2 ω 2 x2

La variable de acci´ on es: I I p 2mα1 − m2 ω 2 x2 dx J = p dq = Con el cambio de variable

x=

r

2α1 sen θ mω 2

dx =

r

2α1 cos θ dθ mω 2

entonces x2 =

2α1 sen2 θ mω 2


279

y m2 ω 2 x2 = 2α1 m sen2 θ por lo tanto r Z2π p 2α1 2 J= 2mα1 − 2α1 m sen θ cos θ dθ mω 2 0

=

√

2mα1

2α1 = ω

Z2π

r

Z2π p

2α1 mω 2

0

1 − sen2 θ cos θ dθ

cos2 θ dθ

0

=

2πα1 ω

de donde se obtiene que α1 =

Jω ≡H =E 2π

A partir de (9.8) se obtiene que: ∂H ω 1 ν= = = ∂J 2π 2π

r

k m

y como se hab´ıa obtenido, la soluci´ on din´ amica al problema del oscilador arm´ onico era: r 2α x(t) = cos[ω(t − t0 ) − φ] mω 2 x(t) ˙ =−

r

2α sen[ω(t − t0 ) − φ] mω 2

p(t) = mx(t) ˙ =−

r

2α mω sen[ω(t − t0 ) − φ] mω 2

280


con cos φ =

x0 a

y a2 =

2α1 mω 2

ya que estamos considerando el caso de un periodo t − t0 = 2π y teniendo x0 = a, o sea φ = 0 x=

r

2α cos(2πω) mω 2

y teniendo en cuenta que 2α 2 Jω J = = 2 2 mω mω 2π πmω entonces: x=

r

p=−

J cos(2πω) πmω

r

Jmω sen(2πω) π ❏

9.2.

Variables angulares y de acci´ on para sistemas multi-peri´ odicos

9.2.1.

Sistemas con n grados de libertad: completamente separables

Restringiéndonos al caso de sistemas conservativos H = H(q, p) = H(q1 , q2 , . . . , qn ; p1 , p2 , . . . , pn ) = αn

(9.13)

´ n para sistemas multi-perio ´ dicos 9.2. Variables angulares y de accio

281

La funci´ on principal de Hamilton de este sistema es: S(q1 , q2 , . . . , qn ; α1 , α2 , . . . , αn ; t) = −αn t+

W (q1 , q2 , . . . , qn ; α1 , α2 , . . . , αn )

siendo W (q1 , q2 , . . . , qn ; α1 , α2 , . . . , αn ) la funci´ on caracter´ıstica de Hamilton, que satisface: pi =

∂W ∂qi

t + βn =

∂W ∂αn

βi =

∂W ∂αi

i = 1, 2, . . . , n − 1 (9.14)

i = 1, 2, . . . , n − 1

Si el sistema es completamente separable se cumple que: pi =

∂Wi (qi ; α1 , α2 , . . . , αn ) ∂qi

(9.15)

o sea que cada pi es funci´ on de qi y n constantes de integraci´ on αj pi = pi (qi ; α1 , α2 , . . . , αn )

(9.16)

esta es la ecuaci´ on de la o´rbita descrita por un punto figurativo del espacio de fase 2n-dimensional del sistema. Lo anterior significa que este sistema satisface W (q1 , q2 , . . . , qn ; α1 , α2 , . . . , αn ) =

n X

Wi (qi ; α1 , α2 , . . . , αn )

(9.17)

i=1

Se pueden definir las variables de acci´ on-´ angulo para todas las parejas de variables (qi , pi ) ya sea que estas describan o´rbitas cerradas (movimiento oscilatorio) o funciones peri´ odicas de qi (rotaciones, o sea o´rbitas abiertas). Las variables de acci´ on-´ angulo presentan la ventaja de llevar a la evaluaci´ on de todas las frecuencias que intervienen en un movimiento m´ ultiplemente peri´ odico sin necesitar de una soluci´ on completa del movimiento. Por ejemplo, en un oscilador arm´ onico tridimensional las frecuencias

282


de movimiento seg´ un los tres ejes cartesianos pueden ser diferentes. El movimiento completo de la part´ıcula podr´ıa no ser peri´ odico. Si las frecuencias separadas no son fracciones racionales unas de otras, la part´ıcula no describir´ a una curva cerrada en el espacio sino una “figura de Lissajous” abierta. La variable de acci´ on Ji se define como I Ji = pi dqi (9.18) Si la coordenada qi es c´ıclica, pi = cte siempre tiene un periodo natural igual a 2π. En consecuencia si la coordenada ańgulo es c´ıclica deber´ a calcularse de 0 a 2π y por tanto: Ji =

Z2π 0

pi dqi = pi

Z2π

dqi = 2πpi

0

ya que pi =

∂Wi (qi ; α1 , α2 , . . . , αn ) ∂qi

entonces Ji =

I

∂Wi (qi ; α1 , α2 , . . . , αn ) dqi ∂qi

(9.19)

Expresando αi → Ji entonces Wi (qi ; α1 , α2 , . . . , αn ) → Wi (qi ; J1 , J2 , . . . , Jn ) y por lo tanto W = W (q1 , . . . , qn ; J1 , . . . , Jn ) =

n X

Wj (qj ; J1 , . . . , Jn )

(9.20)

j=1

y H = αn = H(J1 , J2 , . . . , Jn )

(9.21)


283

Las variables ańgulo ωi conjugadas a Ji se definen como: n

X ∂Wj (qj ; J1 , J2 , . . . , Jn ) ∂W ωi = = ∂Ji ∂Ji

(9.22)

j=1

y sus ecuaciones de movimiento son ω˙ i =

∂H(J1 , J2 , . . . , Jn ) = νi (J1 , J2 , . . . , Jn ) ∂Ji

(9.23)

y sus soluciones ωi = νi t + βi

(9.24)

Una variaci´ on infinitesimal de qi → qi′ = qi + δqi da lugar a una variaci´ on δωi en la variable angular ωi , as´ı δωi =

n X ∂ωi j=1

∂qj

dqj =

n X ∂ ∂W dqj ∂qj ∂Ji

(9.25)

j=1

Al igual que en el caso unidimensional n n ∂ X ∂W ∂ X δωi = dqj = pj (qj ; J1 , . . . , Jn ) ∂Ji ∂qj ∂Ji j=1

j=1

y δωi corresponde a la contribución independiente proveniente de un cambio de qj . El cambio total de ωi teniendo en cuenta lo anterior es: I n n n X X X ∂ ∂ ∆ωi = pj (qj ; J1 , . . . , Jn ) dqj = mj Jj = δij mj ∂Ji mj ∂Ji j=1

j=1

j=1

(9.26)

Como las J son independientes entonces: ∆ωi = mi

(9.27)

En forma vectorial ∆ω = m a un n´ umero completo de ciclos, en la integraci´ on Si alguna qj no efectuar´ sobre qj quedar´ıa un resto de integral sobre una fracci´ on de ciclo y ∆ω no tendr´ıa un valor entero.

284


9.2.2.

Caso oscilatorio (“de libraci´ on”)

Sup´ ongase primero el caso que qj y pj son funciones peri´ odicas del tiempo, con periodo Tj , esto es: qj (t) = qj (t + nTj ) pj (t) = pj (t + nTj ) con n entero. En este caso el movimiento es oscilatorio (de “libraci´ on”)

9.2.3.

Caso rotacional

Ahora considérese el otro caso. pj es una funci´ on peri´ odica de qj . En este caso el movimiento es rotacional y la integral en (9.27) se toma sobre este periodo. Como el sistema es separable, entonces, llamando W ′ la funci´ on de Hamilton para el movimiento rotacional: W ′ (q1 , . . . , qn ; J1 , . . . , Jn ) =

n X

Wj′ (qj ; J1 , . . . , Jn )

j=1

Durante el movimiento del sistema, la Jj definidas como: Jj =

I

pj dqj

permanecen constantes, as´ı que los cambios en las variables angulares ωj surgen solamente de los cambios de las coordenadas qk : dωj =

n X ∂ωj k=1

=

∂qk

dqk =

n X ∂ ∂W ′ dqk ∂qk ∂Jj k=1

n n X X ∂ ∂pk pk dqk = q˙k dt ∂Jj ∂Ji k=1

(9.28)

k=1

y teniendo en cuenta (9.24), entonces: dωj = νj dt

(9.29)


285

y comparando (9.28) con (9.29) se tiene: νj =

n X ∂pk k=1

∂Jj

q˙k

(9.30)

dando una expresi´ on para las frecuencias del movimiento que puede ser ′ calculadas si W se conoce como funci´ on de las q y las J. Si las frecuencias son conmensurables, el sistema volver´ a a su estado inicial después de algun tiempo finito T , donde: T = nj Tj

(9.31)

con nj enteros. Si se integra n X ∂ dωj = pk dqk ∂Jj k=1

sobre un periodo completo, entonces se obtiene el cambio total de ωj ∆ωj =

ZT

t=0

n ZT ∂ X dωj = pk dqk ∂Jj k=1 t=0

=

n ∂ X nk Jk ∂Jj k=1

= nj y comparando con el resultado obtenido de (9.24), o sea ωj = νj t + βj entonces ωj (t = 0) = βj ωj (t = T ) = νj T + βj por lo cual ∆ωj = νj T

(9.32)

286


y por (9.31) se tiene ∆ωj = νj nj Tj

(9.33)

comparando (9.32) con (9.33) se obtiene: νj nj Tj = nj

(9.34)

y por lo tanto concluye que νj Tj = 1 y νj es la frecuencia con la cual el movimiento del grado de libertad j-ésimo se repite en un intervalo de tiempo Tj . La condici´ on formal de conmensurabilidad es que existan n−1 relaciones de la forma: n X

n j νj = 0

(9.35)

j=1

Resolviendo estas ecuaciones se puede expresar cualquier νj como una fracci´ on racional de cualquiera de las otras frecuencias. Cuando entre las frecuencias fundamentales existen solo m relaciones de tipo (9.35) el sistema se dice que es m veces degenerado. Si en el sistema m = n − 1 con lo que el movimiento es simplemente peri´ odico, el sistema es completamente degenerado. Si la o´rbita del sistema es cerrada el movimiento ser´ a completamente degenerado. Si las frecuencias no son conmensurables, estrictamente hablando T es infinito, es decir el sistema no retornar´ a a su estado inicial. Sin embargo para un T grande, el sistema retornar´ a a un estado que es arbitrariamente cercano al estado de partida, as´ı que en este caso (9.32) contiene un error que puede hacerse tan peque˜ no como se quiere. Se ten´ıa que W ′ = W ′ (q1 , . . . , qn ; J1 , . . . , Jn ) =

n X

Wi′ (qi ; J1 , . . . , Jn )

i=1

ya que las Jj son constantes, entonces ′

dW =

n X ∂W ′ k=1

∂qk

dqk =

n X ∂W ′ (qk ; J) k

k=1

∂qk

dqk =

n X k=1

pk dqq

(9.36)


287

Por lo tanto se puede concluir que n Z X

′

W =

pk dqk

(9.37)

k=1

Ya que el sistema no vuelve a su estado inicial entonces: ∆ωj =

ZT

t=0

∂ dωj = ∂Jj

ZT X n ∂W ′

t=0 k=1

∂ dqk = ∂qk ∂Jj

ZT X n

pk dqk

t=0 k=1

n Z n ∂ X ∂ X = pk dqk = nk Jk = nj ∂Jj ∂Jj k=1

(9.38)

k=1

contiene un error que puede ser hecho tan peque˜ no como se quiera. ′ a completamente definida como una En este caso la funci´ on W no est´ funci´ on de las qk . Cada uno de los términos de la suma en (9.37) esta definido u ńicamente cuando se define el tiempo sobre el que la integraci´ on se extiende. Puesto que la variable de acci´ on est´ a definida como: I ∂Wk (qk ; α1 , . . . , αn ) dqk Jk = ∂qk entonces cuando qk efect´ ua un ciclo completo, es decir cuando ωk var´ıa en una unidad, la funci´ on caracter´ıstica aumenta en Jk . Se deduce luego que durante un periodo completo T del sistema, la funci´ on W ′ se incrementa en una cantidad ′

∆W =

n X

nk Jk

(9.39)

k=1

a´ un después de que todas las q y p hayan retornado a sus valores iniciales. Definiendo la funci´ on generatriz alternativa W por: W =W′−

n X

Jk ωk

(9.40)

k=1

Durante el tiempo T esta funci´ on se incrementa en: ′

∆W = ∆W −

n X k=1

Jk ∆ωk

(9.41)

288


pero ya que por(9.38) ∆ωk = nk , entonces: ′

∆W = ∆W −

n X

Jk nk = 0

k=1

teniendo en cuenta (9.39). Se observa que (9.40) define una transformaci´ on de Legendre que lleva de la base q, J a la base q, ω. Es decir ya que W ′ = W ′ (q, J), es decir funci´ on generatriz de la forma G2 (q, P ), entonces W (q, ω) es funci´ on generatriz de tipo G1 (q, Q), pasando en ambos casos de las variables (q, p) a la variables (ω, J). La ambig¨ uedad en W ′ como funci´ on de qk revela el hecho de que W ′ es funci´ on multi-peri´ odica. Si el k-ésimo término en: n Z X ′ pk dqk W = k=1

se toma sobre mk periodos extras del movimiento de qk , y en el mismo tiempo ωk en W =W′−

X

Jk ωk

k

es remplazado por ω k + mk el valor de la funci´ on W no se altera, esto es: W (qk , ωk ) = W (qk , ωk + mk ) con mk entero. Ya que esto es v´ alido para cualquier valor de k, W (qk , ωk ) es en este sentido funci´ on multi-peri´ odica en ωk con periodo fundamental la unidad. Ejemplo 9.3. Movimiento central: Una part´ıcula se mueve en un campo de fuerza central fijo, cuyo potencial es V (r) (figura 9.6). La energ´ıa cinética y el lagrangiano son T =

1 2 1 µv = µ(r˙ 2 + r 2 θ˙2 + r 2 φ˙ 2 sen2 θ) 2 2


z bµ

θ

r y

φ

x Figura 9.6. Part´ıcula moviéndose en un campo de fuerza central.

L=

1 µ(r˙ 2 + r 2 θ˙ 2 + r 2 φ˙ 2 sen2 θ) − V 2

como pr =

∂L = µr˙ ∂ r˙

pθ =

∂L = µr 2 θ˙ ˙ ∂θ

pφ =

∂L = µr 2 φ˙ sen2 θ ∂ φ˙

Entonces el hamiltoniano es H =T +V =

pφ 1 2 pθ 2 pr + 2 + csc2 θ 2 + V 2µ r r

ya que H 6= H(t) entonces (sistema conservativo): " 2 # ′ 1 ∂W ′ 2 1 ∂W ′ 2 1 ∂W + 2 + 2 csc2 θ + V = α3 2µ ∂r r ∂θ r ∂φ con W ′ = W ′ (r, θ, φ, α1 , α2 , α3 )

289

290


La ecuaci´ on de Hamilton-Jacobi es separable si: W ′ = Wr′ (r) + Wθ′ (θ) + Wφ′ y por tanto se tiene:

dWr′ dr

2

1 + 2 r

dWθ dθ

2

1 + 2 csc2 θ r

dWφ′ dφ

2

= 2µ(α3 − V )

o: 2

"

2

r sen θ 2µ(α3 − V ) −

dWr′ dr

2

1 − 2 r

Wθ′ dθ

2 #

=

dWφ′ dφ

Luego dWφ′ dφ

= pφ = m = α1

y entonces

dWθ′ dθ

2

+ m2 csc2 θ = 2r 2 µ(α3 − V ) − r 2

y por lo tanto

dWθ′ dθ

2

+ m2 csc2 θ = l2 = α22

luego

dWθ′ dθ

2

= l2 − m2 csc2 θ

con esto se tiene pθ =

∂Wθ′ = (l2 − m2 csc2 θ)1/2 ∂θ

y por lo tanto 1/2 ∂Wr′ l2 pr = = 2µ(α3 − V ) − 2 ∂r r

dWr′ dr

2

2


291

Los tri-momentos est´ an dados expl´ıcitamente como funciones de r, θ, φ y las tres constantes m, l, α3 y entonces Z ′ W = ( pr dr + pθ dθ + pφ dφ) y ∂W ′ ∂Wr′ β+t= = =µ ∂α3 ∂α3

−1/2 Z l2 2µ(α3 − V ) − 2 dr r

∂Wφ′ ∂Wθ′ ∂W ′ β1 = = + ∂m ∂m ∂m Z = φ − m csc2 θ(l2 − m2 csc2 θ)−1/2 dθ β2 =

∂W ∂Wθ ∂Wr = + ∂l ∂l ∂l

=l

Z

(l2 − m2 csc2 θ)−1/2 dθ − l

Z

−1/2 1 l2 2µ(α − V ) − dr 3 r2 r2

La evaluaci´ on de estas integrales se facilita escogiendo los ejes de tal manera que si m = 0 el problema es de dos grados de libertad φ = β1 = cte Luego β+t= y

µ 1/2

θ − β2 =

2

I1

l I2 (2µ)1/2

con I1 =

Z

(α3 − V ∗ )−1/2 dr

292


y I2 =

Z

1 (α3 − V ∗ )−1/2 dr r2

Si la orientaci´ on de los ejes es arbitraria m 6= 0 (3 grados de libertas) entonces: m = pφ l = (m2 csc2 θ + p2θ )1/2 luego 1 α3 = 2µ

l2 −

m2 sen2 θ

l2 + 2 r

p2r

1/2

= pθ

+V =

p2r +V∗ 2µ

Las variables de acci´ on se eval´ uan Jφ =

I

pφ dφ = m

I

dφ = m

Z2π

dφ = 2πm

0

la condici´ on para que pθ sea real es tal que | sen θ | >

m l

m6l entonces Jθ =

I

pθ dθ =

I

(l2 − m2 csc2 θ)1/2 dθ

siendo θmin = sen−1

m l

θmax = π − θmin


entonces θZmax

(l2 − m2 csc2 θ)1/2 dθ

Jθ = 2

θmin

= 4l

Zπ/2

m2 1 − 2 csc2 θ l

Zπ/2

l2 sen2 θ − m2 l2 sen2 θ

θmin

= 4l

θmin

1/2

dθ

1/2

dθ

haciendo sen2 θ = U dU = 2 sen θ cos φ dθ entonces dθ =

dU 1 dU = 1/2 2 sen θ cos θ 2 U (1 − U )1/2

la integral queda de la siguiente forma Jθ = 2

Z1

m2 /l2

l 2 U − m2 1−U

1/2

dU = 2π(l − m) U

finalmente Jr =

I

1/2 I l2 pr dr = 2µ(α3 − V ) − 2 dr r

con V =

k r

la condici´ on para que desaparezca el integrando es: 2µ(α3 − V ) −

l2 =0 r2

293

294


esto es

k 2µ α3 − r

−

l2 =0 r2

luego 2µα3 r 2 − 2µkr − l2 = 0 con esto de tiene r=

2µk ±

p

4µ2 k2 + 8µαs l2 4µα3

entonces rmin y rmax son "

2α3 l2 1± 1+ µk2

k r± = 2α3

1/2 #

con lo anterior se tiene Jr = 2

rZmax

rmin

1/2 k l2 dr 2µ α2 − − 2 r r

2πµk = −2πl + (−2µα3 )1/2

Jr + 2πl =

2πµk (−2µα3 )1/2

luego Jr + 2π(l − m) + 2πm =

2πµk (−2µα3 )1/2

con esto Jr + Jθ + Jφ =

2πµk (−2µα3 )1/2


295

y (Jr + Jθ + Jφ )2 =

4π 2 µ2 k2 −2µα3

por lo tanto α3 = −

2π 2 µk2 =H (Jr + Jθ + Jφ )2

Luego las frecuencias son: νr =

=

∂H ∂ = −2π 2 µk2 (Jr + Jθ + Jφ )2 ∂Jr ∂Jr (−2)(−2π 2 µk2 ) 4π 2 µk2 = (Jr + Jθ + Jφ )3 (Jr + Jθ + Jφ )3

1/2 2 (−α3 )3/2 = µ πk ∂H νθ = = ∂Jθ

1/2 2 (−α3 )3/2 µ πk

∂H νθ = = ∂Jφ

1/2 (−α3 )3/2 2 µ πk

y en general νi =

1/2 2 (−α3 )3/2 µ πk

(9.42)

La o´rbita es cerrada en el caso considerado aqu´ı, y las frecuencias de movimiento de r, θ, φ son idénticas (frecuencias degeneradas). La degeneraci´ on νθ = νφ es consecuencia general de la naturaleza de la fuerza central. El caso νr = νθ = νφ es consecuencia de la forma particular de V (r) = kr . ❏

296

9.3.


´ Atomo de hidr´ ogeno

Como aplicaci´ on de los resultados anteriores, considérese el caso de una carga −e moviéndose en el campo de un n´ ucleo de carga Ze (figura 9.7). b −e

Ze

´ Figura 9.7. Atomo de hidr´ ogeno.

El potencial es: V (r) = −

Ze2 r

o sea k = −Ze2 seg´ un el tratamiento que se ha hecho: α3 = E = −

2π 2 µk2 2π 2 µZ 2 e4 =− 2 (Jr + Jθ + Jφ ) (Jr + Jθ + Jφ )2

Fue postulado por Bohr y Sommerfeld que las variables de acci´ on no son arbitrarias, sino que toman valores: Jr = nr h Jθ = nθ h Jφ = nφ h o sea se encuentran cuantizadas, ya que nr , nθ y nφ son n´ umeros enteros y −34 h es la constante de Planck h = 6,6261 × 10 Js. Entonces la energ´ıa del a´tomo de hidr´ ogeno es: α3 = E = −

2π 2 µZ 2 e4 2π 2 µZ 2 e4 = − (nr + nθ + nφ )2 h2 n2 h2

´ ´ 9.3. ATOMO DE HIDROGENO

297

E3 E2

E1 Figura 9.8. Niveles de energ´ıa del a´tomo de hidr´ ogeno en el modelo de Bohr.

E=−

µZ 2 e4 2n2 ~2

n = 1, 2, . . . , ∞

con ~=

h 2π

Con la condici´ on E = hν (significa que la energ´ıa de los fotones se encuentra b

n2 , E2 ν

b

n1 , E1

Figura 9.9. Emisión de un fot´ on con E = hν.

cuantizada), la frecuencia del fot´ on emitido es: E2 − E1 = −

µZ 2 e4 µZ 2 e4 + 2n22 ~2 2n21 ~2

µZ 2 e4 1 1 = − 2~2 n21 n22 ν=

µZ 2 e4 1 1 − 4π~3 n21 n22

Para n1 = n ≫ 1 y n2 = n + 1, o sea un nivel de energ´ıa de la capa exterior, la frecuencia asociada con el cambio de un nivel a otro es: µZ 2 e4 1 1 ν= − 4π~3 n2 (n + 1)2

298


µZ 2 e4 2n + 1 = 4π~3 n2 (n + 1)2 para n ≫ 1 se tiene

1 2n 1 + 2n 2n 2 2n + 1 = = 4 = 3 2 2 2 n (n + 1) n n n2 n2 1 + n1

con lo que la frecuencia es:

ν=

µZ 2 e4 2 4π~3 n3

y teniendo en cuenta E=−

µZ 2 e4 2n2 ~2

se tiene ν=

1/2 2 (−E)3/2 µ πZ 2 e2

y esta u ´ltima ecuaci´ on es igual a (9.42). As´ı, en el l´ımite de un n´ umero cu´ antico grande (l´ımite cl´ asico) la frecuencia de la luz emitida cuando n cambia en una unidad es la misma frecuencia que tiene el electr´ on en su o´rbita. Este resultado es un caso particular del principio de correspondencia de Bohr.

9.4.

´ Atomo de Bohr M Rn = mrn

luego Rn =

mrn M

(9.43)

El momento angular del sistema es: mωn rn2 + M ωn Rn2 = n~

(9.44)

´ 9.4. ATOMO DE BOHR

299

m b v = ωn rn

Rn

b

M

rn

v = ω n Rn

´ Figura 9.10. Atomo de Bohr.

La fuerza sobre el electr´ on es: F =

Ze2 = mac = mrn ωn2 (rn + Rn )2

(9.45)

remplazando (9.43) en (9.44) se tiene:

o

m = n~ mωn rn2 1 + M m2 ωn2 rn4 =

n2 ~2

m 2 M

1+

remplazando (9.43) en (9.45): mωn2 rn =

Ze2 rn2 1 +

o mωn2 rn3 = Dividiendo (9.47) en (9.49) se tiene: mrn =

Ze2 1+

m 2 M

m 2 M

n2 ~2 Ze2

(9.46)

(9.47)

(9.48)

(9.49)

300


con lo que el radio de la o´rbita es rn =

n2 ~2 n2 = a 0 mZe2 Z

(9.50)

siendo a0 =

~2 = 5,29177 × 10−19 cm me2

el radio de Bohr. La energ´ıa del sistema es: E =T +V =

1 1 2 mve2 + M vN + V (r) 2 2

=

1 Ze2 1 mωn2 rn2 + M ωn2 Rn2 − 2 2 rn + Rn

remplazando Rn por (9.43) E=

mωn2 rn2 m Ze2 1+ − m 2 M rn 1 + M

De (9.48) se observa que

mωn2 rn2 m Ze2 1+ = m 2 M rn 1 + M

entonces En = − llamando

rn

Ze2 Ze2 2 2 m = n ~ 1+ M 2 mZe 2 1+ µ=

=− m

M

m m 1+ M

se tiene En = −

µZ 2 e4 2n2 ~2

Z 2 e4 m m 2n2 ~2 1 + M

´ ´ 9.5. LAGRANGIANO Y HAMILTONIANO DEL ATOMO DE HIDROGENO

9.5.

301

Lagrangiano y hamiltoniano del ´ atomo de hidr´ ogeno

Del problema del movimiento de los dos cuerpos de masa M y m, interactuando a través de un potencial V (r) se hab´ıa obtenido ˙ = ˙ R) L(r, r,

1 1 M R˙ 2 + µr˙ 2 − V (r) 2 2

ya que M ≫ m, M = 1836 m. Es decir se puede describir el problema como el del electr´ on sometido a una fuerza central de tipo electrost´ atico L=

1 2 Ze2 µr˙ − 2 r

El hamiltoniano es: H =T +V =

p2 Ze2 + 2µ r

302


Cap´ıtulo 10

Mec´ anica anal´ıtica relativista 10.1.

Din´ amica relativista

Las ecuaciones de movimiento de Newton son invariantes bajo trnaformaciones galileanas. La segunda ley de Newton para el movimiento de una part´ıcula de masa en reposo m0 es d (m0 vi ) = Fi , dt

i = 1, 2, 3

Usando el tratamiento relativista, su equivalente es: d m0 Uµ = Fµ , µ = 0, 1, 2, 3 dτ donde Fµ se conoce como fuerza de Minkowski. se definen algunas cantidades: El cuadrivector xµ . xµ = (ict, xi )

τ= donde

p

1 − β2 t

β= dτ =

p

303

v c

1 − β 2 dt

304

´ CAPÍTULO 10. MECANICA ANALÍTICA RELATIVISTA

La cuadrivelocidad dxµ Uµ = = dτ Uµ ≡

p

dt dxi ic , dτ dτ ic

1 − β2

El cuadrivector velocidad cumple 2

U =

3 X

Uµ2

µ=0

2 0

=U +

3 X i=1

, p

Ui2 = −

= (U0 , U )

v 1 − β2

!

c2 v2 + = −c2 1 − β2 1 − β2

La fuerza de Minkowski se expresa como Fµ = p

Fi 1 − β2

Se observa que si v → 0, β → 0, entonces: Fµ → Fi volviendo a la segunda ley de Newton d (m0 Ui ) = Fi dt entonces d dt y comparando con

mv p 0 i 1 − β2

!

= Fµ

p

1 − β2

m0 vi pi = p 1 − β2

Luego, se define el cuadrimomento pµ = m0 Uµ = m0

p

ic 1 − β2

, p

v 1 − β2

!

305

´ 10.1. DINAMICA RELATIVISTA

pµ = con

m0 v ip4 , p 1 − β2 p4 = p

y

!

= (ip4 , p)

m0 c 1 − β2

m0 vi pi = mvi = p , 1 − β2 m= p

Luego:

m0 1 − β2

d d Fi = pi = dt dt entonces F =

i = 1, 2, 3

mv p 0 i 1 − β2

!

d m0 v p dt 1 − β 2

Fµ =

dpµ dτ

El trabajo hecho por la fuerza F sobre una part´ıcula es igual a la tasa de cambio de la energ´ıa cinética: ! dT d m0 v p =F ·v =v·F =v· dt dt 1 − β2 dT d =v dt dt Integrando esta expresi´ on ZT 0

mv p 0 1 − β2

dT =

Zv 0

!

m0

= m0

v (1 −

v 2 /c2 )3/2

v dv (1 − v 2 /c2 )3/2

dv dt

306


v T = m0 1/2 2 2 (1 − v /c ) c2

0

m0 c2 T =p − m0 c2 2 1−β T = mc2 − m0 c2

entonces E = mc2 = T + m0 c2 donde T es la energ´ıa cinética y m0 c2 es la masa en reposo " # 1 2 l´ım T = l´ım m0 c p −1 β→0 β→0 1 − v 2 /c2 h l´ım T = l´ım m0 c2 1 +

β→0

β→0

p4 = p

entonces

1 v2 2 c2

m0 c 1−

β2

i + ··· − 1 ⋍

= mc =

pµ = i E C,p p2 =

4 X

µ=1

1 2

m0 v 2

E C

p2µ = m20 v 2 = −m20 c2

luego, p2 es un invariante E2 E p2 = pµ · pµ = i E , p · i , p = − + p2 = −m0 c2 C C c2 E 2 = p2 c2 + m20 c4

Se ten´ıa que: m0 vi pi = p 1 − β2

´ 10.1. DINAMICA RELATIVISTA

307

Si L es el lagrangiano de una part´ıcula y de un cuadripotencial independiente de la velocidad, el momento can´ onico es: ∂L ∂L = ∂ q˙i ∂vi

pi = Se obtiene:

m0 vi ∂L =p ∂vi 1 − β2

Luego, en la expresi´ on del lagrangiano

L = TR (vi ) − V (xi ) entonces TR = −m0 c2 As´ı, el lagrangiano relativista es: L = −m0 c2

p

p

1 − β2

1 − β 2 − V (xi )

Las ecuaciones de movimiento de una part´ıcula simple, ser´ an d ∂L ∂L − =0 dt ∂ x˙ ∂x d dt

mv p 0 i 1 − β2

!

+

∂V =0 ∂x

dpi = Fx dt

El hamiltoniano, por definici´ on es: H=

n X i=1

H=

3 X

q˙i pi − L

p m0 vi vi p − (−m0 c2 1 − β 2 − V ) 1 − β2 i=1

308


H=

3 X i=1

p m v2 p 0 i + m0 c2 1 − β 2 + V 1 − β2

y se observa que es constante H=

p m0 (x˙ 21 + x˙ 22 + x˙ 23 ) p + m0 c2 1 − β 2 + V 1 − β2

m0 (v12 + v22 + v32 ) + m0 c2 1 − v 2 /c2 p H= +V 1 − β2

Luego

m0 c2 H=p + V = mc2 + V = m0 c2 + T + V = E = cte 1 − β2 H =E=

cuando p ≫ m0 c

p

p2 c2 + m0 c4 + V

H ⋍ pc

Cap´ıtulo 11

El oscilador amortiguado El oscilador libre es un caso f´ısico ideal. En la pr´ actica, fuerzas disipativas est´ an siempre presentes en cualquier sistema.

k medio

a

A

x

Figura 11.1. Oscilador amortiguado.

Un ejemplo amortiguado es el movimiento de una part´ıcula de masa m atada a un resorte sin masa en un medio resistente (figura 11.1). Sea x el desplazamiento de m desde A (posici´ on de equilibrio), y la longitud natural a. La fuerza de resistencia es Fx = −kx y la fuerza de amortiguamiento est´ a dada por Fd = −bx˙ 309

310

CAPÍTULO 11. EL OSCILADOR AMORTIGUADO

La ecuaci´ on de movimiento es: m¨ x = −kx − bx˙

m¨ x + bx˙ + kx = 0 b k x ¨ + x˙ + x = 0 m m llamando 2β =

b m

ω02 =

k m

entonces x˙ + 2β x˙ + ω02 x = 0

(11.1)

Estas ecuaciones de movimiento pueden ser obtenidas del lagrangiano: L ′ = e(b/m)t

mx˙ 2 kx2 − 2 2

Ecuaciones de movimiento que conducen a d ∂L ′ ∂L ′ − =0 dt ∂ x˙ ∂x ∂L = e(b/m)t mx˙ ∂ x˙ entonces d dt

∂L ∂ x˙

=

b (b/m)t e mx˙ + e(b/m)t m¨ x m

∂L = −kxe(b/m)t ∂x con esto bx˙ e(b/m)t + m¨ xe(b/m)t + kxe(b/m)t = 0

311 m¨ x + bx˙ + kx = 0 O equivalentemente, a partir del lagrangiano de oscilador arm´ onico libre L=

mx˙ 2 kx2 − 2 2

y con las ecuaciones de movimiento ∂L ∂R d ∂L − = Fd = − = −bx˙ dt ∂ x˙ ∂x ∂ x˙ m¨ x + kx = −bx˙ con R=

1 2 bx˙ 2

La soluci´ on de (11.1) tiene la forma x = Aeαt reemplazando en (11.1) se obtiene: α2 + 2βα + ω02 = 0 Tiene dos ra´ıces α1 = −β + α2 = −β −

q q

β 2 − ω02 β 2 − ω02

para β 6= ω0 , se tienen dos soluciones independientes. x1 = Aeα1 t x2 = Aeα2 t y la soluci´ on general: x(t) = A1 x1 + A2 x2 = e−βt (A1 e

√

β 2 −ω02 t

+ A2 e−

√

β 2 −ω02 t

)

Las constantes A1 y A2 dependen de los valores de las condiciones iniciales (velocidad y posici´ on). β y ω0 son n´ umeros positivos. Se tienen tres casos de interés

312


1. Bajo amortiguamiento (movimiento oscilatorio); ω02 > β 2 . 2. Amortiguamiento cr´ıtico (no oscilatorio); ω02 = β 2 . 3. Sobre-amortiguamiento (no oscilatorio); ω02 < β 2 .

Caso 1: ω02 > β 2 x(t) A

π

2π

3π

−A

Figura 11.2. Bajo amortiguamiento.

ω12 = ω02 − β 2

x(t) = e−βt (A1 eiω1 t + A2 e−iω1 t ) Tomando A1 =

1 Aeiθ 2

A1 =

1 Ae−iθ 2

se tiene x(t) = e−βt

A i(ω1 t+θ) [e + e−i(ω1 t+θ) ] 2

t

313 = e−βt

A [cos(ω1 t + θ) + i sen(ω1 t + θ) + cos(ω1 t + θ) − i sen(ω1 t + θ)] 2

= e−βt A cos(ω1 t + θ) esta es la ecuaci´ on del movimiento oscilatorio amortiguado. x(t) ˙ = −βAe−βt A cos(ω1 t + θ) − ω1 e−βt A sen(ω1 t + θ)

x˙ 2 = −[βAe−βt A cos(ω1 t + θ) + ω1 e−βt A sen(ω1 t + θ)]2

La energ´ıa es (figura 11.3): 1 1 mx˙ 2 + kx2 2 2 1 k cos2 (ω1 t + θ) = mA2 e−2βt [β cos(ω1 t + θ) + ω1 sen(ω1 t + θ)]2 + 2 m {z } |

E(t) =

F (t)

=

1 mA2 e−2βt F (t) 2

con F (t + T ) = F (t)

E(t) E(0)

0,368 E(0) τ

t

Figura 11.3. Energ´ıa del oscilador armónico amortiguado.

314


Caso2: ω02 = β 2 m¨ x + 2β x˙ + ω02 x = 0 m¨ x + 2β x˙ + β 2 x = 0

d +β dt

d +β dt

x=0

Llamando x(t)

B A

B A

B A

<

=

>

2m b

2m b

t = −B A +

2m b

2m b

t Figura 11.4. Trayectoria en el caso de amortiguamiento cr´ıtico.

y=

d +β dt

x

se tiene

d +β dt

y=0

entonces y = Ae−βt con esto

d +β dt

x = Ae−βt

315

d +β dt

xeβt = A

d (xeβt ) = A dt obteniéndose xeβt = At + B luego x = (At + B)e−βt La gr´ afica en funci´ on del tiempo para este caso se muestra en la figura 11.4

Caso 3: ω02 < β 2 Llamando ω2 = β 2 − ω02 > 0 se tiene x(t) = e−βt (A1 eω2 t + e−ω2 t ) En la figura 11.6 se resume los tres casos te amortiguamiento vistos anteriormente.

316


x(t)

t Figura 11.5. Trayectoria en el caso de sobre-amortiguamiento.

x(t) x0 (3) (2) t (1) (1) Bajo amortiguamiento (2) Amortiguamiento cr´ıtico (2) Sobre-amortiguamiento

Figura 11.6. Casos de amortiguamiento.

Cap´ıtulo 12

Oscilaciones no-lineales Los sistemas oscilatorios son lineales si la fuerza de restauraci´ on es una funci´ on lineal del desplazamiento x(t)

t

Figura 12.1. Sistema oscilatorio lineal.

Fr = −kx y si la fuerza de amortiguamiento es una funci´ on lineal de la velocidad Fd = −bx˙ y sus soluciones pueden encontrarse anal´ıticamente (ver figura 12.2). Sin embargo, si la fuerza de restauraci´ on no tiene dependencia en el desplazamiento o si la fuerza de amortiguaci´ on no es lineal en la velocidad, entonces el movimiento alrededor de un punto de equilibrio estable ya no ser´ a arm´ onico a´ un si el movimiento resultante es peri´ odico. En este caso el movimiento ser´ a arm´ onico o no-lineal. En el caso de una dimensi´ on, la ecuaci´ on general de movimiento para un sistema de este tipo, es una ecuaci´ on diferencial no-lineal de la forma: m¨ x + g(x) ˙ + f (x) = 0 317

(12.1)

318

CAPÍTULO 12. OSCILACIONES NO-LINEALES

x(t) x0 (3) (2) t (1) (1) Bajo amortiguamiento (2) Amortiguamiento cr´ıtico (2) Sobre-amortiguamiento

Figura 12.2. Sistema amortiguado.

donde f (x) y g(x) son funciones no-lineales en x y x˙ respectivamente. Las oscilaciones no-lineales son importantes en expansi´ on térmica y conductividad térmica en la red, en s´ olidos, comunicaciones de radio y televisi´ on, f´ısica del ojo y o´ıdo, y meteorolog´ıa. Ejemplo 12.1. Péndulo simple con desplazamientos angulares grandes, tiene como ecuaci´ on de movimiento: g θ¨ + sen θ = 0 l

(12.2)

Esta ecuaci´ on diferencial es no-lineal puesto que f (θ) = sen θ es una funci´ on no-lineal ya que sen θ = θ −

θ3 θ5 θ7 + − + ··· 3! 5! 7!

Para peque˜ nas oscilaciones: g θ¨ + θ = 0 l siendo esta la ecuaci´ on de movimiento arm´ onico.

❏

319 x

b0

b0

k

p

b0

x2 + b20

k

Figura 12.3. Sistema de resorte intr´ınsecamente no lineal.

Ejemplo 12.2. Sistema de resorte intr´ınsecamente no-lineal. Cada resorte se estira una cantidad q x2 + b20 − b0

La energ´ıa potencial del sistema es: q 2 1 2 2 V (x) = 2 k x + b0 − b0 2 La energ´ıa cinética es: T =

1 mx˙ 2 2

El lagrangiano es: 1 L = mx˙ 2 − k 2

q

x2

+

b20

− b0

La ecuaci´ on de movimiento es: d ∂L ∂L − =0 dt ∂ x˙ ∂x

2

320


como ∂L = mx˙ ∂ x˙ d ∂L = m¨ x dt ∂ x˙ ∂L = 2k ∂x

q 1 2 2 2 x + b0 − b0 (x + b20 )−1/2 2x 2

= 2xk 1 − "

b0 2 (x + b20 )1/2

x2 = 2kx 1 − 1 + 2 b0 se tiene

"

−1/2 #

x2 m¨ x + 2kx 1 − 1 + 2 b0

−1/2 #

=0

(12.3)

siendo esta una ecuaci´ on diferencial no-lineal en x. no, o sea x ≪ b0 , entonces: Si bx0 es peque˜ " !# 1 x 2 k 2xk 1 − 1 − + ··· ⋍ x3 2 b0 b20 y entonces (12.3) se reduce a: m¨ x+2

k b20

x3 = 0

(12.4)

Un gran n´ umero de métodos se han desarrollado para analizar problemas no-lineales. El objetivo es introducir algunos. ❏

12.1.

Diagramas de energ´ıa-fase: an´ alisis cualitativo

Sistemas din´ amicos cuyas ecuaciones de movimiento no contengan expl´ıcitamente el tiempo se conocen como sistemas aut´ onomos. En general, la

321

´ 12.1. DIAGRAMAS DE ENERGÍA-FASE: ANALISIS CUALITATIVO

ecuaci´ on de movimiento no-lineal de un sistema es de la forma (12.1): m¨ x + g(x) ˙ + f (x) = 0 entonces, se puede extraer alguna informaci´ on acerca de las propiedades de la soluci´ on sin tener que solucionar la ecuaci´ on diferencial. Estas consideraciones cualitativas pueden ser expresadas gr´ aficamente en términos de los diagramas de energ´ıa o fase.

12.1.1.

Diagramas de energ´ıa

Si no est´ a presente amortiguamiento (fuerzas no conservativas), para el caso unidimensional la ecuaci´ on de energ´ıa es: 1 mx˙ + V (x) = E 2 entonces r

2 [E − V (x)] m Si V (x) tiene la forma general de la figura 12.4. V (x) x˙ =

(12.5)

E

x1

x2

x

x3

Figura 12.4. Energ´ıa potencial.

Se pueden distinguir diferentes casos: a ) x < x1 . La energ´ıa es excluida ya que E < V (x). b ) x1 < x < x2 . La part´ıcula se puede mover dentro de los l´ımites x = x1 y x = x2 , estos son los puntos de retorno del movimiento. El periodo del movimiento es: τ (E) =

√

2m

xZ 2 (E)

x1 (E)

p

dx E − V (x)

322


c ) x2 < x < x3 . La part´ıcula es excluida de esta regi´ on ya que E < V (x). d ) x > x3 . En esta regi´ on E > V (x), as´ı que la regi´ on es permitida. Si la part´ıcula se aproxima a x3 , esta encontrar´ a una barrera de potencial y se reflejar´ a. ǫ < 0 (duro) V (x)

ǫ < 0 (duro) ǫ=0

F (x)

ǫ=0 ǫ > 0 (suave)

ǫ > 0 (suave) x

x

(a) Potencial.

(b) Fuerza restauradora.

Figura 12.5. Potencial y fuerza restauradora de un sistema no-lineal.

En particular si el potencial es V (x) =

1 2 1 4 kx − ǫx 2 4

el sistema es no-lineal con ǫ peque˜ no F (x) = −kx + ǫx3 Un sistema no-lineal se dice “suave” si la fuerza de restauraci´ on es menor que la aproximaci´ on lineal y se dice “duro” en caso contrario F (x) = −kx + ǫx3 con ǫ > 0

sistema suave

ǫ < 0

sistema duro

´ 12.1. DIAGRAMAS DE ENERGÍA-FASE: ANALISIS CUALITATIVO

12.1.2.

323

Diagramas de fase

Considerando en (12.1) a la velocidad x˙ del sistema como una variable independiente y llam´ andola y. La ecuaci´ on (12.1) puede ser escrita como un par de ecuaciones diferenciales dx =y dt

(12.6)

dy = −g(y) − f (x) dt

(12.7)

donde el factor 1/m se ha absorbido en las funciones g(y) y f (x). De estas ecuaciones dy dy/dt g(y) + f (x) = =− dx dx/dt y

y 6= 0

(12.8)

La ecuaci´ on (12.8) tiene una curva en el plano (x, y), que se llamar´ a espacio de fase del sistema. Las ecuaciones (12.6) y (12.7) son un caso especial de un sistema imagen dx = P (x, y) dt

(12.9)

dy = Q(x y) dt

(12.10)

La trayectoria de fase del sistema definido por (12.9) y (12.10) es la ecuaci´ on diferencial dy Q(x, y) = dx P (x, y)

P (x, y) 6= 0

Las variables can´ onicas q y p son reemplazadas por x y y. Un punto (x∗ , y ∗ ) del espacio de fase para el que las funciones P (x∗ , y ∗ ) y Q(x∗ , y ∗ ) desaparezcan simult´ aneamente se llama punto singular. Claramente en el punto singular x˙ ∗ = 0 y˙ ∗ = 0 un punto singular es también un punto estacionario.

324


Ejemplo 12.3. Considérese la ecuaci´ on de movimiento de una part´ıcula que es repelida desde el origen por una fuerza proporcional a su distancia desde el origen. m

donde a =

p

d2 x = kx2 dt2 d2 x = a2 x dt2

k/m, k la constante de fuerza y m la masa del resorte. y = x˙

x

Figura 12.6. Trayectoria de fase de un movimiento aperiódico.

Se observa que: d2 x d = 2 dt dt

dx dt

=

dy dt

12.2. INTEGRALES ELÍPTICAS Y OSCILACIONES NO-LINEALES

325

con y=

dx dt

dy = a2 x dt As´ı las trayectorias de fase est´ an dadas por la ecuaci´ on: dy dy/dt a2 x = = dx dx/dt y de donde y

dx dy = a2 x dt dt

entonces y dy − a2 x dx = 0 Integrando y 2 − a2 x2 = c esta u ´ltima ecuaci´ on representa la familia de hipérbolas con dos as´ıntotas y = ±ax. ❏

12.2.

Integrales el´ıpticas y oscilaciones no-lineales

La soluci´ on de ciertos tipos de problemas de oscilaciones no-lineales pueden expresarse en forma exacta por medio de integrales el´ıpticas. Ejemplo 12.4. Péndulo simple: Las energ´ıas y el lagrangiano son: T =

1 2 ˙2 ml θ 2

V = −mgl cos θ

326


θ l

b Figura 12.7. Péndulo simple.

L = T −V =

1 2 ˙2 ml θ + mgl cos θ 2

E = T +V =

1 2 ˙2 ml θ − mgl cos θ 2

La energ´ıa es:

despejando θ˙ de esta ecuaci´ on de energ´ıa E ˙θ 2 = 2 g cos θ + 2E = 2 g cos θ + l ml2 l mgl Si θ0 es el punto de menor altura, entonces: T (θ = θ0 ) = 0 y V (θ = θ0 ) = −mgl cos θ0 = E de donde E = − cos θ0 mgl reemplazando en (12.11): g θ˙ 2 = 2 (cos θ − cos θ0 ) l

(12.11)

12.2. INTEGRALES ELÍPTICAS Y OSCILACIONES NO-LINEALES

327

y haciendo uso de θ cos θ = 1 − 2 sen 2 2

se tiene 2 θ0 2 θ ˙θ 2 = 4 g sen − sen l 2 2

(12.12)

de (12.12) se tiene:

dθ dt

2

=4

entonces 1 dt = 2

g θ0 θ sen2 − sen2 l 2 2

(12.13)

s −1/2 l 2 θ0 2 θ dθ sen − sen g 2 2

ya que el movimiento es simétrico, entonces la integral de θ = 0 a θ = θ0 da τ /4. s Zθ0 l θ0 θ −1/2 τ =2 − sen2 dθ sen2 g 2 2 0

La integral es una integral el´ıptica de primera clase. Si se toma a = sen

z=

θ0 2

sen θ2 sen

θ0 2

= a−1 sen

1 θ dz = cos dθ = 2a 2

√

θ 2

1 − a2 z 2 dθ 2a

entonces s Z1 l τ =4 [(1 − z 2 )(1 − a2 z 2 )]−1/2 dz g 0

328


y tomando (1 − a2 z 2 )−1/2 = 1 +

1 3 (az)2 + (az)2 + · · · 2 8

se tiene s Z1 1 l 3 2 2 1 + (az) + (az) + · · · (1 − z 2 )−1/2 dz τ =4 g 2 8 0

s l π a2 1 π 3a4 3 π + + + ··· =4 g 2 2 2 2 8 8 2 s l a2 9a4 = 2π 1+ + + ··· g 4 64 y puesto que a = sen

θ0 θ3 θ0 ⋍ − 0 + ··· 2 2 48

entonces s l θ2 11θ04 τ = 2π 1+ 0 + + ··· g 16 3072 De (12.13) se tiene 2 θ0 2 θ ˙θ 2 = 4 g sen − sen l 2 2 si sen θ ⋍ θ sen2 θ = θ 2 sen2

θ = 2

2 θ 2

´ 12.3. OSCILACIONES CAOTICAS

entonces

329

θ θ g 0 ˙θ 2 = 4 g − = (θ0 − θ) l 4 4 l

luego s

l ˙ θ g

!2

+ θ 2 ⋍ θ02

p ˙ θ/ g/ℓ E > E0

E < E0

−π

E = E0

π

θ

Figura 12.8. Trayectorias del péndulo simple en el plano de fase.

Esta ´ltima ecuaci´ on representa las trayectorias en el plano de fase p u ˙ (θ, θ/ g/l). Cerca de θ = 0 las trayectorias son circulares. ❏

12.3.

Oscilaciones ca´ oticas

La mec´ anica cl´ asica es tradicionalmente una teor´ıa determinista; el comportamiento de un sistema din´ amico est´ a completamente determinado por

330


leyes constantes exactas. Una vez que las posiciones y las velocidades de cada part´ıcula del sistema son dadas, al menos, en principio, por las ecuaciones diferenciales de movimiento, las posiciones y velocidades ser´ an conocidas en cualquier tiempo t. Sin embargo, al estudiar el comportamiento de sistemas no-lineales se ha visto que aunque las condiciones iniciales se conozcan, no siempre se puede predecir el futuro ya que se pueden tener salidas aleatorias o altamente irregulares. Ejemplo 12.5. Oscilador de Van der Pol x ¨ + ǫ(x2 − 1) x˙ + x = 0

(12.14)

siendo ǫ un punto peque˜ no y positivo ǫ > 0. Este oscilador tiene la siguiente propiedad b´ asica: si la amplitud del movimiento |x| excede la unidad, el coeficiente de x˙ es positivo y el sistema se convierte en amortiguado. Sin embargo si |x| < 1, entonces hay un amortiguamiento negativo y la amplitud del movimiento se incrementa. Entonces, si |x| > 1 se tiene x ¨ + ǫ (x2 − 1) x˙ + x = 0 | {z } sistema amortiguado

y si

|x| < 1 se tiene x ¨ − ǫ (x2 − 1) x˙ + x = 0 | {z }

sistema con amortiguamiento negativo

haciendo

x˙ = y

Notas Mecánica Analítica - Carlos Quimbay

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