Fundamentos de Mecanica Carlos F. González Fernández

fundamentos de

mecánica Carlos F. González Fernández Catedrático de Física Aplicada Universidad Politécnica de Cartagena

Barcelona · Bogotá · Buenos Aires · Caracas · México

Fundamentos de mecánica Copyright © Carlos, F. González Fernández

Edición en e-book: © Editorial Reverté. S.A., 2012 ISBN: 978-84-291-9287-2 Edición en papel: © Editorial Reverté. S.A., 2009 ISBN: 978-84-291-4358-4

Propiedad de: EDITORIAL REVERTÉ, S. A. Loreto, 13-15, Local B 08029 Barcelona Tel: (34) 93 419 33 36 Fax: (34) 93 419 51 89 [email protected] www.reverte.com Reservados todos los derechos. La reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos, queda rigurosamente prohibida sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las sanciones establecidas por las leyes.

PRÓLOGO

Este libro es un texto de mecánica que puede integrarse en los cursos de física de primer año de universidad en las titulaciones de las Facultades de Ciencias y de las Escuelas de Ingeniería, o bien utilizarse de modo independiente. Al ser éste el primer contacto —a nivel universitario— del estudiante con la mecánica era necesario limitar su contenido, tanto en la selección de temas como en su extensión y profundidad. No obstante, se ha pretendido que sea completo en lo fundamental, claro y riguroso, evitando aquellos aspectos que necesitan de un desarrollo más propio de un curso avanzado de mecánica. El objetivo fundamental del libro es buscar la comprensión por parte del estudiante de la materia que se expone, organizando y presentando el texto de modo que facilite su aprendizaje, dando énfasis a los conceptos en el marco del instrumento analítico necesario y adecuado a este nivel de formación, presentando los tópicos en el contexto que mejor justifica su estudio y favorece su entendimiento, incluyendo en cada capítulo problemas tipo resueltos con detalle, intentando mostrar una mecánica accesible, cercana, cotidiana en muchos casos, y abordando cuestiones que podrían ser tratadas como “complementarias” (y, por tanto, con demasiada frecuencia obviadas) que se integran en el texto como aplicación o como aspecto a señalar, añadiendo así una faceta más al tópico de referencia. Las siete lecciones en las que se ha organizado la materia responden básicamente a una idea temática, evitando así separaciones a veces forzadas; de ahí su distinta extensión. En ellas se puede hacer diversas elecciones de contenidos para su mejor adaptación a programas concretos.

VI

Prólogo

AL ESTUDIANTE La física está continuamente presente en nuestras vidas de manera directa o indirecta. Hay física en la televisión y en el ordenador, en la placa de inducción y en el microondas, en el frigorífico y en la bomba de calor; hay física en la lavadora, en las naves y aeronaves, en los sofisticados aparatos de diagnóstico médico, en los teléfonos móviles y en las consolas de juegos, en los satélites artificiales y en las sondas espaciales, en la música y en los deportes… Hay física en el origen del universo y en su evolución, en la formación de estrellas y galaxias, en el púlsar y en el quásar, en las corrientes marinas y en la circulación atmosférica… La física, y en concreto la mecánica, explica por qué es difícil andar sobre el hielo, cuál es la velocidad adecuada que debe llevar un automóvil para no salirse de una curva, por qué nuestra atmósfera contiene nitrógeno y oxígeno pero no hidrógeno, qué hacer para evitar el vuelco de una grúa, cómo es que no salimos despedidos al espacio a pesar de la rotación terrestre, por qué los astronautas flotan en las naves espaciales, cuál es la causa de las mareas y de que la Luna siempre nos presente la misma cara, por qué las peonzas giran en torno a la vertical más rápidamente antes de caer, la razón de que al competir en carrera los pilotos tomen las curvas con sus motos inclinándose hasta casi rozar su rodilla con el asfalto… Ambas relaciones son interminables. Para comprender es preciso avanzar sobre bases sólidas. Adelante.

Índice analítico

PRÓLOGO

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .V

AL ESTUDIANTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .VI Capítulo 1 1.1

MAGNITUDES FÍSICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Análisis dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I. Unidades y medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 II. Fórmula dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

1.2

Sistema Internacional de Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 I. Unidades SI básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 II. Unidades SI derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 III. Múltiplos y submúltiplos decimales de las unidades SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3

Magnitudes escalares y vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1. Escalares y vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Suma de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Producto de escalares y vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Derivada e integral de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Homogeneidad vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17 20 21 21 22 27 28

VIII

Índice analítico

Capítulo 2

CINEMÁTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

2.1

Posición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2

Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3

Aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4

Movimientos con aceleración constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 I. Caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 II. Movimiento bajo la acción de la gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 III. Movimiento circular uniformemente acelerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.5

Movimientos periódico y vibratorio armónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 I. Movimiento periódico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 II. Movimiento vibratorio armónico (m.v.a.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 III. Composición de movimientos vibratorio armónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.6

Movimientos de traslación y de rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 I. Movimiento de traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 II. Movimiento de rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 III. Movimiento de traslación y rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Capítulo 3

DINÁMICA. LEYES DE NEWTON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65

3.1

Primera ley de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.2

Segunda ley de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.3

Tercera ley de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.4

Fuerza gravitatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.5

Campo gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 I. Concepto de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 II. Líneas de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 III. Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.6

Fuerza central. Momento cinético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.7

Equilibrio y estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.8

Fuerza recuperadora lineal en el movimiento oscilatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 I. Fuerza recuperadora lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 II. Ecuación del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.9

Fuerza de rozamiento entre sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 I. Presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 II. Rozamiento en el deslizamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 III. Rozamiento en la rodadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Índice analítico

Capítulo 4

IX

MOVIMIENTO RELATIVO. FUERZAS DE INERCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.1

Transformación de Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.2

Cinemática relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.3

Sistemas no inerciales. Fuerzas de inercia en el movimiento rectilíneo . . . . . . . . 129

4.4

Fuerzas de inercia en el movimiento curvilíneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 I. Fuerza centrífuga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 II. Fuerza de Coriolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

4.5

Rotación terrestre y aceleración de la gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Capítulo 5 5.1

TRABAJO Y ENERGÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Trabajo y energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 I. Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 II. Energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 III. Trabajo y potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

5.2

Energía potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 I. Fuerza conservativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 II. La energía potencial como campo escalar. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

5.3

Conservación de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

5.4

Energía potencial gravitatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 I. En las proximidades de la superficie terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 II. Caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5.5

Energía potencial del oscilador lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

5.6

Curvas de energía potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

5.7

Energía relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

Capítulo 6

DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

6.1

Centro de masas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

6.2

Ecuación dinámica y conservación del momento lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

6.3

Choques entre partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 I. Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 II. Choques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

6.4

Masa variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

6.5

Ecuación dinámica y conservación del momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 I. Teorema de König del momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 II. Momento-fuerza neto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 III. Ecuación del momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

X

Índice analítico

Capítulo 7

DINÁMICA DEL CUERPO RÍGIDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

7.1

Movimiento general del cuerpo rígido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

7.2

Sistemas equivalentes de fuerzas. Reducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 Equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. Caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II. Par de fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III. Fuerzas convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV. Fuerzas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

234 237 237 238 240 241

7.3

Equilibrio del sólido rígido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

7.4

Movimiento plano. Rotación alrededor de un eje fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 I. Características del movimiento plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 II. Rotación alrededor de un eje fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

7.5

Movimiento plano de roto-traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 I. Movimiento de rodadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 II. Movimiento de deslizamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

7.6

Energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 I. Energía cinética de un sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 II. Energía cinética del sólido rígido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

7.7

Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 I. Sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 II. Sólido rígido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

7.8

Determinación de momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 I. Momentos de inercia respecto de los ejes coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II. Aditividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III. Teorema de los ejes perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV. Teorema de Steiner o de los ejes paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.9

287 288 288 289

Rotación en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 I. Centro de masas fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 II. Eje de rotación con un punto fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

ÍNDICE ALFABÉTICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

Capítulo 1 MAGNITUDES FÍSICAS

1.1

Análisis dimensional............................................................................................. 2

1.2

Sistema Internacional de Unidades...................................................................10

1.3

Magnitudes escalares y vectoriales...................................................................17

2


1.1 Análisis dimensional I. UNIDADES Y MEDIDAS La física trata de obtener las leyes que rigen el comportamiento del universo mediante el estudio de los componentes de la materia y de sus interacciones. Para conseguirlo se proponen modelos, que son construcciones mentales capaces de explicar cómo se producen los fenómenos en la realidad. Habitualmente los modelos son el resultado de un largo proceso conocido como método científico que implica observación —de los objetos o fenómenos en estudio—, experimentación, formulación del modelo teórico y su comprobación experimental. En la elaboración de los modelos la física utiliza una serie de conceptos que se designan como magnitudes, que tratan de expresar características o propiedades de los cuerpos o de los fenómenos, como la masa, la longitud, el tiempo, etc., cuya manifestación particular en cada caso concreto se designa como cantidad; así, la masa de una bola de billar es la cantidad de masa que contiene, y el tiempo de la rotación terrestre es la cantidad de tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta completa sobre sí misma. Las leyes físicas establecen relaciones entre cantidades de distintas magnitudes. Si representamos entre paréntesis las distintas cantidades, la segunda ley de Newton, por ejemplo, se puede escribir como una relación de proporcionalidad,

( f ) ∼ (m)(a)

(1.1)

es decir, la fuerza aplicada a un cierto cuerpo le origina una aceleración directamente proporcional a dicha fuerza e inversamente proporcional a la masa del cuerpo; así, aplicando una misma fuerza, si se duplica la masa la aceleración se reducirá a la mitad. Pero, ¿cómo se sabe cuándo se tiene una masa doble o una aceleración mitad que otra? Para ello es preciso medir; medir es comparar una cantidad con otra —de la misma magnitud— que se toma como referencia; a esta cantidad se la designa como unidad, y el número de veces que aquella contiene a la unidad es la medida. Unidad de una magnitud es una cantidad de la misma, elegida arbitrariamente, con la que se comparan las restantes cantidades de la misma magnitud. Por ejemplo, si Um es una unidad elegida de masa, la cantidad de masa (m) puede expresarse como

( m) = nU m siendo n la medida de (m) con relación a la unidad Um. Medida es un número que indica cuántas veces una cantidad dada contiene a la unidad elegida.

(1.2)

1.1 Análisis dimensional

3

Si se elige otra unidad, U′m , para medir la misma cantidad de masa resulta (m) = n′U ′m

(1.3)

con n′ la nueva medida, y dividiendo (1.2) y (1.3), se obtiene

n U ′m = n′ U m

(1.4)

es decir, los cocientes de las medidas de una misma cantidad y de las unidades utilizadas están en razón inversa. Como se ha dicho, para la experimentación es preciso cuantificar las cantidades, y por ello las relaciones teóricas, en vez de relaciones de proporcionalidad entre cantidades, se expresan en forma de ecuaciones —igualdades— en las que los símbolos que en ellas figuran corresponden a las medidas de las distintas cantidades que intervienen en cada caso concreto. De este modo, la segunda ley de Newton, en vez de (1.1) se expresa como

f = ma siendo f, m y a las medidas de fuerza, masa y aceleración. Las ecuaciones físicas relacionan medidas de las cantidades que en ellas intervienen. Si las relaciones físicas se establecen entre medidas, es necesario definir un sistema de unidades de las distintas magnitudes físicas; unas se definen independientemente de las restantes, son las unidades básicas del sistema (como las unidades de masa, tiempo y longitud en mecánica), mientras que otras se definen a partir de su relación con las primeras o entre ellas, son las unidades derivadas (como las unidades de velocidad, aceleración o cantidad de movimiento, pues, por definición, la velocidad es el cociente entre longitud y tiempo; la aceleración es el cociente entre velocidad y tiempo, y la cantidad de movimiento es el producto de masa y velocidad).

II. FÓRMULA DIMENSIONAL La elección de la unidad de una cierta magnitud es, en principio, arbitraria; si se cambia la unidad, cambiará la medida de la cantidad que en concreto se considere. ¿En cuánto? Si se trata de unidades definidas independientemente, esto es, básicas, teniendo en cuenta (1.4), la relación

n U′ = n′ U

(1.5)

4


proporciona directamente la nueva medida. ¿Y si se trata de unidades definidas mediante otras, es decir, de unidades derivadas? Por ejemplo, ¿cómo cambia la medida de una velocidad dada (v) si se cambian las unidades de longitud y tiempo? Sea v su medida utilizando un sistema de unidades {U , Ut , ...} , con U y Ut las unidades de longitud y tiempo, respectivamente; nos preguntamos cuál será la medida, v′, de la misma velocidad si se utiliza otro sistema de unidades {U ′, Ut′, ...} siendo U′ y U′t las nuevas unidades de longitud y tiempo, respectivamente. Según (1.5)

v U ′v = v′ U v Y como las unidades de velocidad son derivadas y vienen dadas por

Uv =

U Ut

y

U v′ =

U′ Ut′

sustituyendo, se tiene −1 v U ′v ⎛ U ′ ⎞⎛ Ut′ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = v′ U v ⎝ U ⎠⎝ Ut ⎠

(1.6)

expresión en la que todo es conocido excepto el valor v′ que se quería obtener, pudiendo así responder a la pregunta planteada. La expresión (1.6) informa de cómo cambia la medida de la velocidad —y, también, qué relación guarda la nueva unidad U′v con la primitiva Uv— si se cambian las unidades de longitud y tiempo. De hecho, se puede responder a las mismas preguntas para cualquier magnitud mecánica si se conocen las unidades de masa, longitud y tiempo en los dos sistemas, {U m , U , Ut } y {U ′m , U ′ , U t′}; si se amplía para todos los campos de la física, hay que añadir las unidades de temperatura, θ, y de carga eléctrica, q (o de la intensidad de corriente eléctrica). En definitiva, para cualquier magnitud, x, la relación entre las medidas de una misma cantidad y, también, entre las unidades de dicha magnitud en dos sistemas de unidades diferentes viene dada por αq αm α αt αθ x U ′x ⎛ U ′m ⎞ ⎛ U ′ ⎞ ⎛ U t′ ⎞ ⎛ U ′θ ⎞ ⎛ U ′q ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = =⎜ x′ U x ⎝ U m ⎠ ⎝ U ⎠ ⎝ U t ⎠ ⎝ U θ ⎠ ⎝ Uq ⎠

(1.7)

que es la fórmula dimensional de la magnitud x, siendo αm, α , αt, αθ, αq, sus exponentes dimensionales.

La fórmula dimensional de una magnitud proporciona la dependencia de la medida de la cantidad y de la unidad de la misma con el sistema de unidades utilizado.


5

a) Corchetes Para abreviar, se utiliza la notación con corchetes:1

[ x ]≡

x U ′x = x′ U x

Y de este modo, la ecuación (1.7) se expresa como

[ x ] = [ m ]α [ ]α [ t ]α [ θ ]α [ q ]α m

t

θ

(1.8)

q

Los corchetes de las magnitudes masa, longitud, tiempo, temperatura y carga eléctrica se representan con letras mayúsculas

[ x ] ≡ M,

[ ] ≡ L,

[ t ] ≡ T,

[ θ ] ≡ θ,

[q ] ≡ Q

con lo que (1.8) toma la forma

[ x ] = M α Lα T α θ α Q α m

t

θ

(1.9)

q

Ejemplo 1.1 Determine la relación que existe entre la unidad de fuerza en el Sistema Internacional (newton) y en el sistema CGS (dina). Las unidades de masa, longitud y tiempo en ambos sistemas son: SI{kg, m, s}, CGS{g, cm, s}. Calculemos la fórmula dimensional de la fuerza utilizando la segunda ley de Newton f = ma. Así,

[ f ]=[m] [a]=[m ]

[v] [t ]

= MLT

−2

por lo que

[ f ]=

U ′f Uf

⎛ U m′ ⎞⎛ U ′ ⎞⎛ U t′ ⎞−2 ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ U m ⎠⎝ U ⎠⎝ U t ⎠

=⎜

Sustituyendo las unidades,

⎛ g ⎞⎛ cm ⎞⎛ s ⎞−2 ⎛ g ⎞⎛ cm ⎞ −3 −2 −5 =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟= 10 ×10 = 10 N ⎝ kg ⎠⎝ m ⎠⎝ s ⎠ ⎝ 10 3 g ⎠⎝ 10 2 cm ⎠

dyn Esto es,

1N = 105 dyn

1. En el texto, el símbolo ≡ se utiliza para significar designación, identidad o definición.

6


b) Fórmula dimensional de una constante Para asegurar la independencia de las leyes físicas con el sistema de unidades empleado —es decir, que los dos miembros de la ecuación con que se expresa la ley mantengan la igualdad aunque se cambie de unidades— se introducen constantes en dichas leyes, como la de la gravitación, la de los gases, las elásticas, etc. Su valor está condicionado por las medidas de las cantidades que intervienen en la ley; de ahí que la cuantía de las constantes dependan del sistema de unidades que se utilice. ¿Cómo se evalúa su cambio al modificar el sistema de unidades? Igual que con las magnitudes. Así, si

[ C ] = M α Lα T α θα Q α m

t

θ

q

es la fórmula dimensional de la constante C, siendo [C] = C/C′, se tiene que α

αm α αt αθ q C ⎛ U ′ ⎞ ⎛ U ′ ⎞ ⎛ U ′ ⎞ ⎛ U ′ ⎞ ⎛ U ′q ⎞ ⎜ ⎟ [ C ] = =⎜ m ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ t ⎟ ⎜ θ ⎟ ⎜ C' ⎝ U m ⎠ ⎝ U ⎠ ⎝ U t ⎠ ⎝ U θ ⎠ ⎝ U q ⎟ ⎠

(1.10)

lo que permite determinar el nuevo valor de la constante como consecuencia de un cambio de unidades. La fórmula dimensional de una constante proporciona la dependencia de su valor con el sistema de unidades utilizado.

Ejemplo 1.2 En el Sistema Internacional la constante de la gravitación (γ) tiene el valor 6,670 × 10–11. ¿Cuál es su valor en el sistema de unidades CGS?

Las unidades de masa, longitud y tiempo en ambos sistemas son: SI{kg, m, s}; CGS{g, cm, s}. Calculemos la fórmula dimensional de γ a partir de la ley de la gravitación f = γ m2/r2. Así,

[ γ ] = [ f ] [ l ]2 [ m ]−2 = [ m ] [ a ] L2 M−2 = M−1L3T−2 Por tanto, con (1.10)

[ γ]=

−1

3

−2

⎛ U′m ⎞ ⎛ U′ ⎞ ⎛ U t′ ⎞ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ γ′ ⎝ U m ⎠ ⎝ U ⎠ ⎝ U t ⎠ γ

=⎜

Y sustituyendo valores −11

6,670 × 10 γ′

−1 3 −2 3 ⎛ g ⎞−1 ⎛ cm ⎞⎛ s ⎞ ⎛ g ⎞ ⎛ cm ⎞ 3 −6 −3 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ =⎜ 3 ⎟ ⎜ 2 ⎟ = 10 ×10 = 10 ⎝ kg ⎠ ⎝ m ⎠⎝ s ⎠ ⎝ 10 g ⎠ ⎝ 10 cm ⎠

=⎜

con lo que γ′ = 6,670 × 10–8 es su valor en el sistema CGS, es decir, γ´ = 6,670 ×10−8 cm 3g−1s−2

7


c) Homogeneidad dimensional Como ya se ha dicho, las ecuaciones físicas se establecen entre medidas, y las medidas cambian dependiendo del sistema de unidades que se utilice; pero dichas ecuaciones deben ser generales, no pueden cambiar con el cambio de unidades, deben ser independientes del sistema de unidades utilizado. La exigencia de que las leyes físicas se satisfagan cualquiera que sea el sistema de unidades que se emplee, es decir, que sean invariantes a los cambios de sistemas de unidades, también supone su homogeneidad dimensional.

La homogeneidad dimensional de una ecuación física implica que todos los términos de la misma tengan la misma fórmula dimensional.

Si no fuera así —de acuerdo con la información que suministra (1.7)— cada término de la ecuación se transformaría en distinta cuantía al cambiar de sistema de unidades y el valor de los miembros de la igualdad ya no coincidirían, deshaciéndose ésta. Por ejemplo, si en una igualdad el exponente dimensional αm es nulo en el primer miembro y no nulo en el segundo, un cambio en la unidad de masa determina una alteración del segundo pero no del primer miembro, y no se mantiene la igualdad con el nuevo sistema de unidades. La exigencia de homogeneidad dimensional permite, en algunos casos, obtener la relación física que liga determinadas magnitudes asociadas a un cierto fenómeno. Así, por ejemplo, si se sabe o se supone —con base empírica o justificación teórica— que una cierta magnitud p depende o puede depender de las magnitudes x, y, z independientes entre sí, p = f ( x, y, z)

se puede buscar una relación monomia entre ellas —en la que pueden intervenir constantes— como

p = kx a y b z c siendo k un número indeterminado. El problema es determinar los exponentes a, b, c, alguno de los cuales podría ser nulo. Como ambos miembros de la ecuación deben tener la misma fórmula dimensional para que sea dimensionalmente homogénea

[ p ] =⎡⎣ x a yb z c ⎤⎦

(1.11)

el procedimiento consiste, en primer lugar, en expresar la fórmula dimensional de las magnitudes y constantes. Si el problema pertenece al ámbito de la mecánica, serán de la forma

[ p ] = Mα

mp

α

L pT

αtp

[ x ] = M α Lα T α mx

[ y ] = Mα

my

x

α

L yT

αty

[ z ] = M α Lα T α mz

z

tx

tz

y, en segundo lugar, sustituir dichas expresiones en (1.11), de modo que M

α mp

α

L pT

αtp

= (M αmx Lα x T αtx )a (M

α my

α

α

L y T ty )b (M

α mz

α

α

L z T tz )c

8


Igualando los exponentes se obtienen las ecuaciones:

αmp = a αmx + b αmy + c αmz α p = a α x +b α y + cα z αtp = a αtx + b αty + c αtz que permiten obtener los exponentes a, b, c.

Ejemplo 1.3 Analice si, desde el punto de vista dimensional, la expresión T = 2π(g/l)1/2 puede corresponder al período (T) de un péndulo simple de longitud l, siendo g la aceleración de la gravedad.

La fórmula dimensional de las magnitudes T, g y l son:

[T ]= T

[g]=

[ v] −2 = LT [t ]

[l ] = L

Por otra parte, 2π es un número, por lo que su fórmula dimensional es

[ 2 π ] = M 0 L0 T 0 = 1 En consecuencia, la fórmula dimensional del primer miembro de la ecuación es T, siendo la del segundo ⎡ [g] g⎤ LT−2 = = T−1 ⎢ 2π ⎥= [l ] l ⎦ L ⎣

Por lo que la ecuación no es dimensionalmente homogénea, y no es posible.

Ejemplo 1.4 Determínese la relación entre la fuerza centrípeta que actúa sobre una partícula que describe una circunferencia con el radio de la trayectoria, la velocidad angular del movimiento y la masa de la partícula.

Se trata de determinar una relación f c = f c (r , ω, m) que en forma explícita escribiremos a

b

f c = kr ω m

c

con k un número indeterminado. Obtengamos la fórmula dimensional de cada una de las magnitudes que intervienen en el problema,

[ f ] = [ m ] [ a ] = MLT c

−2

[r ]= L

[ ω ] = T−1

[m]= M


9

y sustituyamos en la ecuación anterior, MLT−2 = (L) a (T−1 ) b (M) c

Igualando los exponentes de M, L y T, se obtienen las ecuaciones 1= c

1= a

− 2 =−b

de modo que la relación buscada es 2

f c = kr ω m

d) Cambio de escala La semejanza geométrica entre dos sistemas materiales (su igualdad de forma) al obtener uno del otro multiplicando todas sus longitudes por un factor de escala λ, no implica semejanza física (igualdad de comportamiento estático o dinámico, es decir, igualdad en la relación de fuerzas en uno y otro sistema). Consideremos, por ejemplo, un péndulo constituido por una bola esférica de radio R suspendida de un cordel de longitud l y sección circular de radio r (Figura 1.1). Si se construye un péndulo mayor cuyas dimensiones se han multiplicado por diez, la longitud del cordel será 10l, el radio de su sección 10r y el radio de la bola, 10R. Se puede estimar la relación entre la carga (el peso de la bola) que tiene que soportar el cordel respecto a la resistencia de éste (peso que puede soportar sin romperse) teniendo en cuenta que el peso es proporcional a su masa, ésta a su volumen y el volumen al cubo del radio de la esfera, mientras que la resistencia es proporcional al área de la sección del cordel, y ésta lo es al cuadrado de su radio (relación aplicable a cuerdas y vigas, músculos y huesos). Por tanto, el cociente de ambas fuerzas para el péndulo pequeño es,

4 πR 3 ⎛ peso ⎞ m 3 R3 ~ ~ ~ 2 ⎜ ⎟ 2 ⎝ resistencia ⎠p. pequeño s πr r

l

r R

10 l = 10 r

10 R

Figura 1.1

10


y para el péndulo grande, 3

(10 R ) ⎛ peso ⎞ ⎛ peso ⎞ R3 ~ 10 = ⎜ ⎟ ⎟ 2 2 = 10⎜ ⎝ resistencia ⎠p. grande (10r ) ⎝ resistencia ⎠p. pequeño r Así, en el péndulo grande el cordel tendría que soportar una carga diez veces mayor —en relación con su resistencia— que en el péndulo pequeño, lo que podría generar su rotura. Ambos sistemas no son, pues, físicamente semejantes. Para que la relación (peso/resistencia) fuese igual en ambos péndulos, el radio de la sección del cordel del péndulo mayor habría que aumentarlo 10 × 101/2 veces, resultando el cordel más grueso en relación con su longitud que en el péndulo menor. Esto explica por qué en aeromodelismo los aviones no son sin más reducciones a escala de aviones comerciales o militares. Y, también, por qué en determinados aspectos físicos los distintos tamaños de los animales no es una cuestión de escala. El esqueleto de un tigre no es simplemente el esqueleto de un gato ampliado; así, al comparar el fémur en uno y otro, como la resistencia de los huesos aumenta al aumentar la sección y ésta depende del cuadrado de la dimensión transversal, mientras que el peso, la masa, depende del volumen y éste es proporcional al cubo de una longitud característica, el fémur del tigre debe ser más grueso en relación con su longitud que en el caso del gato.

1.2 Sistema Internacional de Unidades Antes de especificar las unidades básicas y derivadas del Sistema Internacional de Unidades (SI) conviene señalar algunas reglas de escritura de nombres y símbolos: • Los símbolos de las unidades se imprimen en caracteres romanos (rectos). • En general los símbolos de las unidades se escriben en minúsculas, pero si el nombre de la unidad deriva de un nombre propio, la primera letra será mayúscula. • Los nombres de las unidades se escriben en minúsculas. • Los símbolos de las unidades quedan invariables en plural. Los nombres de las unidades toman una s en el plural excepto los que terminan en las letras s, x o z. • Los símbolos de las unidades no están seguidos por un punto. • Cuando una unidad derivada está formada multiplicando dos o varias unidades, se expresa con la ayuda de símbolos de unidades separados por puntos a media altura o por un espacio. • Cuando una unidad derivada está formada dividiendo una unidad por otra, se puede utilizar una barra inclinada, horizontal o bien exponentes negativos. No se debe introducir en una misma línea más de una barra oblicua, a menos que se añadan paréntesis. • Notación numérica. Debe dejarse un espacio entre grupos de 3 dígitos, tanto a la izquierda como a la derecha de la coma. En números de cuatro dígitos puede omitirse dicho espacio. La coma no debe usarse como separador de millares.

1.2 Sistema Internacional de Unidades

11

I. UNIDADES SI BÁSICAS Unidades SI básicas

Magnitud

Nombre

Símbolo

longitud masa tiempo intensidad de corriente eléctrica temperatura termodinámica (*) cantidad de sustancia intensidad luminosa

metro kilogramo segundo amperio kelvin mol candela

m kg s A K mol cd

(*) La temperatura Celsius se expresa en grados Celsius (símbolo °C).

A) Longitud a) Definición de la unidad SI

El metro es la longitud del trayecto recorrido por la luz en el vacío durante un tiempo de 1/299 792 458 de segundo. b) Algunos valores (en metros)

1026 1022 1021 1016 1013 1011 109 108 107 106 104 103 100 10–4 10–5 10–6 10–7 10–8 10–9 10–10 10–15 10–18

límite del universo observable distancia de la galaxia más cercana (Andrómeda) diámetro de nuestra galaxia año luz (9,46 × 1015) diámetro del sistema solar unidad astronómica (1UA ≅ 1,50 × 1011 m, distancia media entre los centros Sol-Tierra) radio del Sol (6,96 × 108) distancia media entre los centros Tierra-Luna (3,84 × 108), radio de Júpiter (7,13 × 107) radio medio terrestre (6,37 × 106) radio de la Luna (1,74 × 106) punto más profundo de los océanos montañas más altas hombre células vegetales células animales bacterias virus ⎫ átomo de hidrógeno protón electrón

⎪ ⎬ NANOCIENCIA Y NANOTECNOLOGÍA ⎪ ⎭

12


La Figura 1.2 da idea del tamaño relativo del Sol y sus planetas

Figura 1.2

c) Nanociencia y nanotecnología La nanociencia y nanotecnología es el estudio y manipulación de la materia a escala molecular y atómica, tratando la molécula y el átomo como entidades sobre las que se puede actuar individualmente. Tal posibilidad genera un enorme potencial de evolución en campos tan diversos como la fabricación de nuevos materiales, tecnologías de la información, medicina o medioambiente, entre otros, y constituye uno de los más ambiciosos e innovadores desarrollos científicos actuales. Para dar una ligera idea de lo que puede representar la posibilidad de manipular individualmente los átomos, piénsese que las propiedades de los materiales no sólo dependen del tipo de átomos y moléculas que los constituyen, sino de su ubicación. Así, por ejemplo, con los átomos de carbono que constituyen la mina de un lápiz (grafito) se podría obtener diamante si se reubicasen adecuadamente. En el grafito los átomos de carbono forman capas muy estables, fuertes y flexibles que se disponen unas sobre otras y se unen entre sí muy débilmente, por lo que se desprenden con facilidad (como al escribir con el lapicero). La unión de capas de átomos de carbono mucho mayores que las del grafito, unas a continuación de otras, forma una estructura larga, fuerte y ligera que tiene una gran variedad de usos tecnológicos: la fibra de carbono. Pues bien, si una capa de carbono se enrolla para formar un tubo, se obtiene un nanotubo de carbono que tiene unos nanometros de diámetro, pudiendo obtenerse de hasta un milímetro de longitud uniendo unos con otros. Las fibras obtenidas con nanotubos son más ligeras que el aluminio y, sin embargo, tienen una resistencia a la tracción más de 20 veces superior a la del acero, son sumamente elásticas y tienen propiedades eléctricas, térmicas y estructurales que dependen de su diámetro, longitud y del modo en que se enrolla la capa.


B) Masa a) Definición de la unidad SI

El kilogramo es igual a la masa del prototipo internacional de platino iridiado que se conserva en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas. b) Algunos valores (en kilogramos)

1030 1027 1025 1023 102 10–3 10–5 10–13 10–15 10–27 10–30

masa del Sol (1,99 × 1030) masa de Júpiter (1,90 × 1027) masa de la Tierra (5,97 × 1024) masa de la Luna (7,35 × 1022) hombre gota de lluvia mosquito mota de polvo bacteria protón (1,672 × 10–27) electrón (9,109 × 10–31)

C) Tiempo a) Definición de la unidad SI

El segundo es la duración de 9 192 631 770 períodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133. b) Algunos valores (en segundos)

1017 1016 1015 109 107 106 105 102 10–2 10–3 10–6 10–9 10–15 10–17

edad del universo período orbital del Sol alrededor del centro galáctico extinción de los dinosaurios siglo (3,15 × 109) año (3,15 × 107) período de rotación de la Luna período de rotación de la Tierra (8,62 × 104) viaje de la luz del Sol a la Tierra destello de un flash fotográfico tiempo de respuesta de una excitación neuronal, período de ondas sonoras período de ondas de radio período de microondas período de la luz visible período de los rayos X

13

14


II. UNIDADES SI DERIVADAS Algunas unidades SI derivadas Magnitud

Nombre

Símbolo

superficie volumen velocidad aceleración densidad frecuencia fuerza presión energía, trabajo potencia momento-fuerza ángulo plano ángulo sólido velocidad angular aceleración angular intensidad energética

metro cuadrado metro cúbico metro por segundo metro por segundo cuadrado kilogramo por metro cúbico hercio newton pascal julio vatio newton metro radián estereorradián radián por segundo radián por segundo cuadrado vatio por estereorradián

m2 m3 m/s m/s2 kg/m3 Hz N Pa J W N·m rad sr rad/s rad/s2 W/sr

Unidades SI

N/m2 N⋅m J/s

Unidades SI básicas

s–l m⋅kg⋅s–2 m–l ⋅kg⋅s–2 m2⋅kg⋅s–2 m2⋅kg⋅s–3 m2⋅kg⋅s–2

Ángulo plano es la figura geométrica constituida por dos semirrectas —los lados del ángulo— con un origen común, denominado vértice (Figura 1.3). Expresa la diferencia de pendiente entre dichas semirrectas, y el valor de su abertura, es decir, la medida del ángulo — expresada en radianes— se obtiene trazando con radio arbitrario r y centro en el vértice V una circunferencia y aplicando la relación ϕ=

L r

siendo L la longitud del arco de circunferencia interceptado por el ángulo plano. El radián es el ángulo que, teniendo su vértice en el centro de un círculo, intercepta sobre la circunferencia de este círculo un arco de longitud igual a la del radio. Como la longitud de una circunferencia es 2πr, el ángulo plano completo alrededor de un punto es 2π rad. El radián es la unidad natural de los ángulos; así, en los desarrollos en serie del seno y del coseno

sen ϕ= ϕ− ϕ se expresa en radianes.

ϕ3 +... 3!

cos ϕ = 1−

ϕ2 +... 2


15

Ángulo sólido es la figura geométrica constituida por todas las semirrectas que tienen un mismo origen, designado como vértice, y que cortan a una curva cerrada (Figura 1.3). Expresa el tamaño aparente, para un observador situado en el vértice, de un objeto cuyo contorno es dicha curva. Su valor —expresado en estereorradianes— se obtiene trazando con radio arbitrario r y centro en el vértice V una superficie esférica y aplicando la relación

Ω=

S r2

siendo S el área del casquete esférico interceptado por el ángulo sólido.

L r

ϕ

S

V Ω

Ángulo plano

V r

Ángulo sólido

Figura 1.3

El estereorradián es el ángulo sólido que, teniendo su vértice en el centro de una esfera, delimita sobre la superficie esférica correspondiente un área igual a la de un cuadrado que tiene como lado el radio de la esfera.

Como el área de una esfera es 4πr2, el ángulo sólido completo alrededor de un punto es 4π sr. El Sol y la Luna se ven desde la Tierra con un ángulo sólido de aproximadamente 6 × 10–5 sr. De las definiciones de ángulo plano y ángulo sólido es claro que son magnitudes adimensionales, por lo que sus fórmulas dimensionales son

[ ϕ ] = [ Ω ] = M0 L0 T0 θ0 Q 0 = 1

16


Algunas unidades utilizadas pero no incluidas en el Sistema Internacional Nombre

Símbolo

Valor en unidad SI

minuto hora día grado minuto segundo litro tonelada milla marina nudo angstrom área hectárea bar atmósfera normal gal a fermi quilate torr kilogramo-fuerza caloría micra

min h d

1 min = 60 s 1 h = 60 min = 3600 s 1 d = 24 h = 86 400 s 1º = (π/180) rad 1′ = (1/60)° = (π/10 800) rad 1″ = (1/60)' = (π/648 000) rad 1 l = l dm3 = 10–3 m3 1 t = 103 kg 1 milla marina = 1852 m 1 milla marina por hora = (1852/3600) m/s 1 Å = 0,1 nm = 10–10 m 1 a = 102 m2 1 ha = 104 m2 1 bar = 0,1 MPa = 105 Pa 1 atm = 101 325 Pa 1 Gal = 1 cm/s2 = 10–2 m/s2 1 fm = 10–15 m 1 quilate = 200 mg = 2 × 10–4 kg 1 torr = (101 325/760) Pa 1 kgf = 9,80665 N 1 cal = 4,1868 J 1μ = 1 μm = 10–6 m

o

′ ″ l t

Å a ha bar atm Gal fermi, fm q torr kgf cal μ

Unidades CGS con nombres especiales ergio dina poise stokes

erg dyn P St

1 erg = 10–7 J 1 dyn = 10–5 N 1 P = 1 dyn⋅s/cm2 = 0,1 Pa⋅s 1 St = 1 cm2/s = 10–4 m2/s

a. El gal se emplea en geodesia y geofísica para expresar la aceleración debida a la gravedad.

III. MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DECIMALES DE LAS UNIDADES SI Factor

Prefijo

Símbolo

Factor

Prefijo

Símbolo

1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101

yotta zetta exa peta tera giga mega kilo hecto deca

Y Z E P T G M k h da

10–1 10–2 10–3 10–6 10–9 10–12 10–15 10–18 10–21 10–24

deci centi mili micro nano pico femto atto zepto yocto

d c m μ n p f a z y

1.3 Magnitudes escalares y vectoriales

17

1.3 Magnitudes escalares y vectoriales 1. ESCALARES Y VECTORES Consideremos de nuevo las magnitudes físicas, pero ahora en base a la complejidad de su descripción, de su carácter. Por ejemplo, la descripción de la magnitud masa —mediante un número (al margen de unidades)— es más sencilla que la descripción de la magnitud velocidad —un número ya no es suficiente—; una y otra son magnitudes de distinto carácter: la masa es un escalar y la velocidad es un vector. Una magnitud es un escalar cuando viene descrita completamente mediante un número, con el que se la representa.

La forma de operar con las magnitudes escalares, su álgebra operacional, es la misma que la de los números. Ejemplos de magnitudes escalares son la ya mencionada masa, la presión, la temperatura, el volumen, etc. Magnitudes vectoriales son la velocidad, la aceleración, la fuerza, etc. Una magnitud tiene carácter vectorial cuando viene descrita completamente mediante un número, una dirección y un sentido. Se la representa con un segmento orientado cuya longitud corresponde al número (el módulo), su recta soporte señala la dirección y la flecha indica el sentido.

La recta soporte o línea de acción de un vector es la generada moviendo su punto de aplicación según la dirección del propio vector. a) Vector unitario Si r y r son, respectivamente, un vector cualquiera y su módulo, su cociente define un vector er de módulo igual a la unidad y con el mismo sentido y dirección que el vector r:

er = r r Por ello, todo vector es igual al producto de su módulo por su vector unitario r = rer

(1.12)

b) Independencia del referencial En general, se designa como sistema de referencia o referencial, S, un cuerpo respecto del cual se analiza un determinado fenómeno; como el espacio se considera un continuo euclídeo de tres dimensiones, se sitúa en el cuerpo una terna ortogonal de ejes cartesianos. Ahora bien, las magnitudes escalares y vectoriales son independientes de la situación y orientación del referencial. Así, la masa de una partícula, m, y su peso, mg, no cambian aunque se cambie la orientación o el origen de los ejes (Figura 1.4).

18


Z

m

Z′ mg Y′ Y

O X

X′

Figura 1.4

c) Componentes de un vector Se puede dar otra descripción de una magnitud vectorial utilizando un referencial S (Figura 1.5). En efecto, utilizando coordenadas cartesianas y siendo i , j , k los vectores unitarios ortogonales según los ejes X, Y, Z, el vector r con origen en O puede expresarse como

r = xi + yj + zk

(1.13)

o, en forma compacta, r ≡ ( x , y, z )

con x, y, z las componentes cartesianas del vector r respecto de los ejes X, Y, Z; es decir, x , y, z son las proyecciones de r sobre dichos ejes x = r cos α

y = r cos β

z = r cos γ

(1.14)

siendo α, β, γ, los ángulos que forma r con los ejes X, Y, Z, respectivamente. Por tanto, un vector puede describirse mediante tres números: sus componentes.

Hay que notar que aquí se está hablando de componentes cartesianas, pero igualmente se pueden considerar componentes relativas a otros sistemas de coordenadas. S Z γ

r

C

z r

x

k i O α

j

β

A

y

B

X

Figura 1.5

Y


19

d) Módulo y cosenos directores De los triángulos rectángulos OAB y OBC (Figura 1.5) se puede obtener el módulo del vector r sin más que aplicar el teorema de Pitágoras,

r = x 2 + y2 + z2

(1.15)

y su dirección y sentido mediante los cosenos directores, cos α = x r

cos β = y r

cos γ = z r

que cumplen la relación, de acuerdo con (1.15), cos2 α+ cos2 β+ cos2 γ = 1 e) Dependencia con el referencial de las componentes de un vector Las tres componentes x, y, z de r están referidas a los ejes XYZ; si se modifica la orientación de los mismos (Figura 1.6), los ángulos α′, β′, γ′ que el mismo vector r forma con los nuevos ejes son diferentes, y diferentes las componentes x′, y′, z′ según (1.14). La descripción, por tanto, de una magnitud vectorial mediante tres números —sus componentes— es una descripción referida a un referencial, es decir, hay que especificar éste. S′ Z′ γ′ z′

r

r

Y′

β′ y′

O x′

α′

X′

Figura 1.6

f) Punto de aplicación Atendiendo al punto de aplicación, los vectores se clasifican en:

• fijo o ligado, cuyo punto de aplicación está definido (por ejemplo, el vector velocidad de una partícula está aplicado en la partícula) • deslizante, cuyo punto de aplicación es cualquiera de la recta soporte del vector (la fuerza aplicada a un cuerpo rígido origina el mismo movimiento cualquiera que sea el punto de su línea de acción en el que actúe) • libre, cuyo punto de aplicación es cualquiera del espacio de interés (el vector velocidad de un cuerpo en movimiento de traslación expresa su velocidad —que es común— cualquiera que sea el punto del sólido en el que se aplique)

20


g) Vectores polares y axiales

• Un vector es polar cuando su sentido viene determinado por la magnitud que representa, como el vector velocidad de una partícula. • Un vector es axial si su sentido viene definido por convenio. Este es el caso del vector velocidad angular, por ejemplo, al que se le asigna el sentido de avance de un tornillo al moverlo de acuerdo con el giro. ω′

ω v

v′

espejo

espejo

Figura 1.7

La diferencia entre los vectores polar y axial de los ejemplos anteriores se hace evidente si consideramos la imagen en un espejo del movimiento y del vector asignado (Figura 1.7). Mientras que el vector v′ (imagen del vector velocidad v) describe el movimiento imagen de la partícula, el vector ω′ (imagen del vector velocidad angular de la moneda) no describe el movimiento de rotación imagen (la velocidad angular del movimiento imagen es el vector –ω′). 2. SUMA DE VECTORES

Dados los vectores a ≡ (ax, ay, az) y b ≡ (bx, by, bz), su suma viene dada: • Gráficamente, mediante la regla del paralelogramo, haciendo coincidir sus orígenes y trazando paralelas a los vectores: la diagonal del paralelogramo desde el origen común es el vector suma a + b (Figura 1.8(a)). O bien, poniendo un vector a continuación del otro; la resultante se obtiene uniendo el origen del primero con el extremo del segundo (Figura 1.8(b)).

a

b a

a ≡

b

b a+b (a)

a+b (b)

Figura 1.8


21

• Analíticamente, sumando las componentes según cada eje.

a + b ≡ (ax + bx , ay + by , az + bz ) Se cumple que:

a + b = b+ a (a + b) + c = a + (b + c) a+0 = a a + ( − a) = 0

∀a

siendo c otro vector, 0 el vector nulo, y (–a) el vector opuesto de a, de igual módulo y dirección pero de sentido contrario. 3. PRODUCTO DE ESCALARES Y VECTORES

Dados el vector a ≡ (ax, ay, az) y el escalar m, su producto es

ma ≡ (max , ma y , maz ) Se cumple que:

(m + n) a = ma + na m( a + b) = ma + mb n(ma) = (nm) a siendo n otro escalar, y b otro vector. 4. PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores cualesquiera a ≡ (ax, ay, az) y b ≡ (bx, by, bz),

su producto escalar es el escalar definido por el producto de sus módulos y el coseno del menor ángulo que forman.

a • b ≡ ab cos( a, b)

(1.16)

El producto escalar se indica mediante un punto (•) entre los vectores. Es nulo si los vectores son perpendiculares (ángulo igual a π/2) y es máximo si son paralelos (ángulo nulo o llano). a) Conmutativo y distributivo

a • b = ab cos( a, b) = b • a m( a • b) = (ma) • b = a • (mb) a • (b + c) = a • b + a • c

22


b) Producto escalar de los vectores unitarios cartesianos Si i, j, k son los vectores unitarios cartesianos —perpendiculares entre sí— sus productos escalares, de acuerdo con (1.16), son

i • i = j • j = k • k =1

i• j = j• k =i• k=0

(1.17)

c) Expresión en componentes cartesianas La expresión del producto escalar en componentes cartesianas, teniendo en cuenta (1.17) es

a • b = (ax i + ay j + az k) • (bx i + by j + bz k ) = ax bx i • i + ay by j • j + az bz k • k es decir, igual a la suma de los productos de componentes iguales, a • b = ax bx + ay by + az bz

(1.18)

d) Módulo El producto escalar de un vector por sí mismo es, según (1.18) y (1.15), igual al cuadrado de su módulo.

a • a = ax2 + a 2y + az2 = a 2

(1.19)

e) Componentes Las componentes de un vector, es decir, las proyecciones del vector según las líneas coordenadas, son el producto escalar del vector por los unitarios según dichas líneas. Así, las componentes cartesianas son

a • i = ( a x i + a y j + a z k) • i = a x a • j = ( ax i + ay j + az k ) • j = ay a • k = (ax i + ay j + az k) • k = az f) Ángulo Utilizando (1.16) y (1.18) se puede obtener el ángulo que forman dos vectores cualesquiera a y b conociendo sus componentes:

cos( a, b) =

ax bx + ay by + az bz ab

5. PRODUCTO VECTORIAL

Dados dos vectores cualesquiera a ≡ (ax, ay, az) y b ≡ (bx, by, bz), su producto vectorial es el vector c, a∧ b ≡ c

(1.20)


23

tal que (Figura 1.9), • su módulo es c = ab sen ϕ

(1.21)

• su dirección es perpendicular al plano definido por los vectores a y b • su sentido es el de avance de un sacacorchos al girar a sobre b por el ángulo menor y una vez que se han hecho coincidir los orígenes de a y b.

a∧b

b a b ϕ a

Figura 1.9

El producto vectorial se indica mediante el símbolo (∧) —o bien un aspa— entre los vectores. a) Anticonmutativo y distributivo El producto vectorial no es conmutativo,

a ∧ b =−b∧ a

sino anticonmutativo, a consecuencia de cómo se define el sentido del vector resultante, y es distributivo respecto de la suma de vectores,

a∧(b + c) = a∧ b + a∧ c b) Producto vectorial de los vectores unitarios cartesianos Si i, j, k son los vectores unitarios cartesianos —perpendiculares entre sí— cuya orientación relativa es la indicada en la Figura 1.10(a), de acuerdo con la definición dada sus productos vectoriales son

i∧ i = j ∧ j = k∧ k = 0

i∧ j = k

j∧k = i

k∧ i = j

24


En este caso se dice que los ejes tienen axialidad directa; en caso contrario (Figura 1.10(b)), la axialidad se dice inversa (i ∧ j = –k; j ∧ k = –i; k ∧ i = –j). Siempre se utilizarán ejes con axialidad directa. S

S

Z

Z

k

k j

i

i Y

X

j

X

Y i∧ j =k axialidad directa

i∧ j = –k axialidad inversa

(a)

(b)

Figura 1.10

c) Expresión en componentes cartesianas En componentes cartesianas, el producto vectorial de dos vectores a ≡ (ax, ay, az) y b ≡ (bx, by, bz) puede expresarse por el determinante

i

j

a∧ b = ax bx

ay by

k

az = (ay bz − az by ) i + (az bx − ax bz ) j + (ax by − ay bx ) k bz

(1.22)

d) Vectores paralelos y perpendiculares Si dos vectores a ≡ (ax, ay, az) y b ≡ (bx, by, bz) son paralelos, su producto vectorial es nulo por ser nulo su módulo (1.21),

a∧ b = 0

En consecuencia, los coeficientes de i, j, k en (1.22) han de ser nulos, resultando que

ax a y az = = bx by bz condición que expresa el paralelismo de las direcciones de ambos vectores. Si los vectores son perpendiculares, el módulo del producto vectorial es máximo (ángulo igual a π/2). e) Vector superficie El módulo del vector producto vectorial de a y b es igual al área del paralelogramo formado con los dos vectores, pues (Figura 1.11)

a∧ b = ab sen ϕ = ah = S


25

S = a∧b b ϕ

h π/2

a

Figura 1.11

Es por ello que la superficie del paralelogramo se puede representar mediante un vector superficie, S, de módulo igual al área y de dirección perpendicular al plano que contiene a la superficie. Tal representación se generaliza a cualquier tipo de superficie; si ésta fuese curva, como la normal cambia de punto a punto, sólo se consideran superficies infinitesimales, y por tanto su vector superficie, dS, también es infinitesimal. Tal vector se puede utilizar para evaluar el ángulo sólido que determina dicha superficie elemental.

dS θ

dS′

dS

r

S

dΩ O

er

Figura 1.12

El ángulo sólido dΩ correspondiente a la superficie elemental dS viene dado por

dΩ =

dS´ dS cos θ dS • er = = 2 r2 r2 r

(1.23)

con dS′ el área de la superficie esférica S intersectada por el cono del ángulo sólido dΩ, área que es la proyección del vector dS en la dirección radial (Figura 1.12). Se adopta el convenido de definir el sentido positivo del vector dS hacia el exterior, imaginando que la superficie S es parte de una superficie cerrada. Debido a ello, el vector que representa una superficie cerrada es cero al compensarse en el cómputo total todos los dS: S = ∫ dS = 0.

26


f) Momento de un vector

El momento M(o) de un vector a respecto de un punto O se define como el producto vectorial del vector de posición r(o) —del punto de aplicación del vector a respecto del punto O— por dicho vector (Figura 1.13). (Para evitar confusiones, lo designaremos, en general, como momento-vector; y momento-fuerza si el vector es una fuerza). (1.24)

M (o) ≡ r (o)∧ a M(o)

a O

r (o)

Figura 1.13

g) Dobles productos La demostración de las igualdades de los siguientes productos entre vectores se deja como ejercicio.

• Producto mixto, que no se modifica al realizar una permutación cíclica entre los factores: a • ( b∧ c) = c • ( a∧ b) = b • ( c∧ a)

(1.25)

En componentes cartesianas

ax

ay

az

a • ( b∧ c) = bx cx

by cy

bz cz

• Obsérvese la desigualdad a( b • c) ≠ ( a • b) c pues el primer miembro es un vector en la dirección de a, y el segundo miembro es un vector en la dirección de c. • Doble producto vectorial a∧(b∧ c) = b(a • c) − c(a • b)

(1.26)

Obsérvese la desigualdad a∧(b∧ c) ≠ ( a∧ b)∧ c pues el primer miembro es un vector contenido en un plano perpendicular al vector a, mientras que el segundo miembro es un vector contenido en un plano perpendicular al vector c.


27

• Cuadrado del producto vectorial (1.27)

( a∧ b)2 = a2 b2 − ( a • b)2 6. DERIVADA E INTEGRAL DE UN VECTOR

Si un vector a es función de un escalar s, a(s), la derivada de a respecto de s —es decir, cómo cambia el vector con el cambio del escalar— viene dada por la expresión

da(s) a(s +∆s) − a(s) ∆a = lim ∆s →0 = lim ∆s →0 ds ∆s ∆s siendo a(s) y a(s + ∆s) el vector a para los valores s y s + ∆s del escalar, respectivamente. En componentes cartesianas,

day (s) da (s) da(s) dax (s) = i+ j+ z k ds ds ds ds En la mayoría de los casos que consideraremos el escalar es el tiempo. La operación inversa, la integral de un vector función de un escalar, a(s), y su expresión en componentes cartesianas vienen dada por

∫ a(s)ds =∫ [ a (s) i +a (s) j + a (s) k]ds x

y

z

a) Derivada del producto escalar La derivada del producto escalar de dos vectores a y b es

d da db ( a • b) = • b+a• ds ds ds b) Derivada del producto vectorial La derivada del producto vectorial de dos vectores a y b es

d da db ( a ∧ b) = ∧ b+ a∧ ds ds ds

Ejemplo 1.5 El punto de aplicación del vector f = 2t3i + t2j – 2tk es P(3, 1, –2). Calcule: a) el momento Mf (o) del vector f respecto del origen de coordenadas O, b) el vector de posición rB(A) del punto B(1,2,1) respecto del punto A(2, 0, 1), c) la componente del momento Mf (o) según la dirección del vector rB (A) para t = 1,

28


d) la derivada temporal de f y su módulo. Z B (1,2,1) r B (A) A (2,0,1)

O Y rP (o)

X

P (3,1,–2) f

a)

i

j

M f (o) = rP (o) ∧ f = 3

1

2t

3

t

2

k 2

3

2

3

−2 = (−2t + 2t ) i + (−4t + 6t ) j + (3t − 2t ) k −2t

b) rB (A) = rB (o) − rA (o) =−i + 2 j c) proy = M f (o) • uB (A)

con uB(A) el vector unitario según rB(A), por lo que uB (A ) =

rB ( A ) rB ( A )

=

−i + 2 j 1+ 4

Así, para t = 1, proy = M f (o) • uB (A ) = (2 j + k ) •

−i + 2 j 5

=

4 5

d) df dt df dt

= 6t 2 i + 2tj − 2 k 2 2

2

2

4

2

= (6t ) + (2t ) + (−2) = 2 9t + t +1

7. HOMOGENEIDAD VECTORIAL

Decir que una ley física es simétrica significa que si se realiza alguna operación, algún tipo de cambio, la ley no se modifica, sigue siendo la misma; se dice también, en este caso, que la ley es invariante bajo tal operación o cambio. En este sentido, las leyes físicas son invariantes bajo una traslación espacial, es decir, si se realiza un experimento en un determinado lugar y luego se repite en otro lugar bajo las mismas condiciones de experimentación, se obtendrá el mismo resultado; así el comporta-


29

miento de un mismo péndulo en cualquier punto de un paralelo terrestre y a la misma altura es idéntico. Se puede decir, también, que las leyes no se modifican si se cambia el origen del referencial manteniendo su orientación —es decir, todos los puntos del espacio son equivalentes—. Y sucede que las leyes físicas no cambian tampoco bajo un giro; si el nuevo experimento se realiza cambiando la orientación de todo lo que interviene en el mismo, el resultado es coincidente; por ejemplo, el comportamiento de un péndulo al cambiar la orientación del plano de oscilación es idéntico. Esto es, las leyes no se alteran por un cambio de orientación del referencial: todas las direcciones del espacio son equivalentes. Expresar las ecuaciones físicas mediante vectores y escalares asegura su validez independientemente de cuál sea el origen del referencial elegido y de su orientación. Y aunque la formulación vectorial es muy útil por contener gran cantidad de información de manera concisa y permitir su manipulación matemática de modo sencillo, la aplicación concreta de las relaciones físicas en la obtención de soluciones cuantitativas a los problemas exige escribir dichas ecuaciones utilizando números, es decir, expresándolas mediante las componentes de los vectores. Ahora bien, aunque los escalares y vectores no se alteran al cambiar el origen y la orientación de los ejes, las componentes de los vectores sí cambian en un giro de los ejes, ya que cambian los ángulos que los vectores forman con ellos, mientras que el valor del escalar permanece inalterable. En consecuencia, las ecuaciones físicas deben ser vectorialmente homogéneas, es decir, cada uno de los miembros de una ecuación física debe tener el mismo carácter escalar o vectorial.2 Si una ecuación no fuera homogénea vectorialmente, esto es, si estableciera la igualdad entre un miembro escalar y otro vectorial, un cambio de orientación de los ejes implicaría, al expresarla en componentes, una variación en uno de los miembros pero no en el otro, rompiéndose la igualdad. El carácter escalar o vectorial de un miembro de una ecuación implica ciertamente el mismo carácter en cada uno de los términos que figuren en dicho miembro.1

1. O tensorial, que aquí no se considera.

Capítulo 2 CINEMÁTICA

2.1

Posición ...............................................................................................................32

2.2

Velocidad.............................................................................................................34

2.3

Aceleración..........................................................................................................39

2.4

Movimientos con aceleración constante ..........................................................43

2.5

Movimientos periódico y vibratorio armónico ................................................50

2.6

Movimientos de traslación y de rotación..........................................................59

32


2.1 Posición La mecánica es la parte de la física que estudia el movimiento de los cuerpos. La cinemática es la parte de la mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos con independencia de las causas que lo originan. La cinemática del punto material o partícula es el estudio del movimiento de un cuerpo cuyo tamaño y forma no tienen importancia en la resolución de un problema mecánico determinado. Un sistema de referencia o referencial, S, es un cuerpo respecto del cual interesa conocer la posición en cada instante de una cierta partícula, utilizando para ello un determinado sistema de coordenadas. La determinación vectorial de la localización de la partícula P en cada instante se realiza mediante el vector de posición r, con origen en algún punto, O, que se toma como origen de coordenadas, siendo P el otro extremo del vector (Figura 2.1). S Z P (x, y, z) z r Trayectoria k x

i

X

j

y Y

O

Figura 2.1

a) Coordenadas cartesianas La expresión del vector de posición en componentes respecto de los ejes cartesianos XYZ con origen en O —componentes que coinciden con las coordenadas cartesianas de P en el mismo sistema— es

r = xi + yj + zk

(2.1)

siendo i, j, k la terna de vectores unitarios según tales ejes. b) Coordenadas polares Si la partícula se encuentra siempre en un mismo plano, en muchos casos es útil utilizar las coordenadas polares r (con origen en el de coordenadas) y θ (con origen en el eje polar). Su relación con las coordenadas cartesianas es (Figura 2.2):

x = r cos θ

y = r sen θ

(2.2)

2.1 Posición

Y

33

P r

r

j

eθ

er θ O

eje polar X

i

Figura 2.2

y las inversas r = x 2 + y2

tg θ = y /x

En estas coordenadas el vector de posición viene dado por

r = rer er y eθ son los vectores unitarios —radial y transversal— del sistema de coordenadas polares (Figura 2.2), siendo eθ perpendicular a er y con sentido el de aumento del ángulo θ, y están relacionados con los unitarios i, j del sistema cartesiano por er = cos θi + sen θj

eθ =−sen θi + cos θj

(2.3)

c) Movimiento Si la partícula se mueve respecto del referencial S, su posición espacial se modifica en cada instante, y su vector de posición es función del tiempo,

r = r (t ) En forma escalar, el movimiento implica cambio temporal en al menos una de las coordenadas; así, en general, utilizando coordenadas cartesianas, el movimiento supone que x = x (t )

y = y (t )

z = z( t )

y con coordenadas polares, r = r (t )

θ = θ( t )

Conocer tales dependencias es conocer dónde se encuentra la partícula en cada instante, que es el objetivo que se persigue al resolver el problema del movimiento.

34


d) Trayectoria Trayectoria es la línea que describe la partícula en su movimiento al ir ocupando distintas posiciones en el transcurso del tiempo (Figura 2.1). El tipo de trayectoria permite considerar dos tipos de movimiento:

• movimiento rectilíneo, cuando la trayectoria es recta; • movimiento curvilíneo, cuando la trayectoria es curva; un caso particular es el movimiento circular, en el que la trayectoria es una circunferencia. Las ecuaciones anteriores —de dependencia temporal de las coordenadas— son las de la trayectoria en forma paramétrica, con el tiempo como parámetro; eliminando éste —si ello es posible— se obtiene la ecuación de la trayectoria como una relación entre las coordenadas: z = z ( x, y)

o

r = r (θ )

2.2 Velocidad Si una partícula se mueve, su posición cambia. ¿Cómo se mide ese cambio de posición en cada instante? La respuesta viene dada por el vector velocidad instantánea (v) v≡

dr ≡r dt

{(S.I.: m/s); [v ] = LT−1}

(2.4)

que expresa el cambio de posición de la partícula con el tiempo. A continuación del recuadro anterior se ha indicado, también, la unidad de velocidad en el Sistema Internacional y la fórmula dimensional de dicha magnitud. a) La velocidad expresa el cambio temporal del vector de posición, y tal vector puede variar tanto en módulo como en dirección y sentido. b) Componente intrínseca de la velocidad Las componentes intrínsecas de un vector son sus componentes referidas a la trayectoria, es decir, las proyecciones de un vector según los vectores unitarios definidos respecto de la trayectoria en cada punto de la misma; ya veremos cómo se definen. Sea r el vector de posición de una partícula P respecto de un origen cualquiera O en el instante t, y r + ∆r su vector de posición en el instante t + ∆t (Figura 2.3); su velocidad es

v=

dr ∆r = lim ∆t →0 dt ∆t

Por otra parte, la localización —en cada instante— de una partícula móvil sobre su propia trayectoria sólo necesita de una coordenada: la distancia s medida sobre tal curva, de ahí su nombre de coordenada intrínseca. Pues bien, utilizando tal coordenada se puede expresar la velocidad como v=

dr dr ds = dt ds dt

2.2 Velocidad

35

s P v

S r

Δr

Δs

r + Δr trayectoria

O

Figura 2.3

Ahora bien, dr ∆r = lim ∆s →0 ds ∆s y en el límite, cuando ∆s → 0, la dirección de ∆r es la de la tangente a la trayectoria en el punto P y el cociente ⎜∆r⎜/∆s = 1 (siendo ⎜∆r⎜ el módulo de ∆r); en consecuencia, tomando el vector unitario ut tangente a la trayectoria en el punto en que se encuentra la partícula, y con sentido el del movimiento, resulta dr = ut ds y v=

dr ds = u = vut dt dt t

(2.5)

expresando así que la velocidad es un vector tangente a la trayectoria en cada punto. c) Componentes radial y transversal de la velocidad Si el movimiento de la partícula se realiza en un plano y se utilizan coordenadas polares, no hay que confundir la componente intrínseca de la velocidad con sus componentes radial y transversal, que son las proyecciones de v según los vectores unitarios er y eθ. En la Figura 2.4 se ilustra un caso de trayectoria circular en el que el origen de coordenadas, O, no se ha tomado en el centro de curvatura de la circunferencia, C. Como v = vut sus componentes radial y transversal son, respectivamente,

vr = v • er = vut • er vθ = v • eθ = vut • eθ

36


El valor de vr es distinto de cero y el de vθ distinto de v, excepto si er es perpendicular a ut , es decir, lleva la dirección normal a la trayectoria en cada punto. (Si el origen O se toma en C, er es perpendicular a ut en todos los puntos de la trayectoria.)

eθ

v { v r ≠ 0, v θ

er

≠ 0}

Y r θ

eθ

C

O

X er v { v r = 0, v θ = –v } eθ

v { vr ≠ 0 , v θ ≠ 0 }

er

Figura 2.4

d) Velocidad y velocidad angular Consideremos la posición de la partícula P sobre su trayectoria curva en un instante dado, t, y otra posición infinitamente próxima, en el instante t + dt (Figura 2.5). Los vectores ut(t) y ut(t + dt), que indican la dirección de la velocidad en t y t + dt, forman un ángulo dφ que es igual al que determinan las normales a la trayectoria en tales posiciones y, por tanto, al formado por los correspondientes vectores de posición ρ(t) y ρ(t + dt) referidos al centro de curvatura C. P

␳ (t)

ds

n

ut (t) dφ

dr

φ dφ er

ut (t + dt)

␳ (t + dt)

C

Figura 2.5

Según (2.5), el módulo de la velocidad (también llamado celeridad) viene dado por v=

ds dt

2.2 Velocidad

37

y como la longitud del arco de trayectoria (ds) que determinan las dos posiciones es igual al producto del ángulo dφ por el radio, esto es, ds = ρd φ

resulta v=

ds dφ =ρ dt dt

La derivada temporal dφ/dt, que expresa el cambio de dirección de la velocidad en el movimiento de la partícula —y el cambio de dirección del vector de posición ρ con origen en el centro de curvatura—, se denomina velocidad angular, ω,

ω≡

dφ ≡φ dt

{(S.I.: rad/s); [ω] = T−1}

(2.6)

de modo que v = ωρ

(2.7)

siendo ρ el radio de curvatura de la trayectoria en P. e) Valores de velocidad y velocidad angular Velocidad (m/s)

108 105 104 103 102 101 100 10–1 10–2

la luz en el vacío (2,99792458 × 108) traslación del Sistema Solar alrededor del centro de nuestra galaxia traslación de la Tierra en su órbita (2,98 × 104); velocidad de escape en la superficie terrestre satélite geoestacionario; sonido en el agua (1,26 × 103), bala de fusil sonido en el aire (3,43 × 102); vientos huracanados, avión caballo al galope; velocistas de 100 m lisos persona andando kilómetro por hora (2,778 × 10–1) caracol, perezoso (el mamífero más lento)

Velocidad angular (rad/s)

103 101 10–4 10–7

lavadora rotación promedio de un pulsar rotación terrestre (7,29 × 10–5) orbital terrestre (1,99 × 10–7)

38


f) Vector velocidad angular A la velocidad angular se le puede dar carácter vectorial, con dirección la de la recta perpendicular al plano en que está definido el ángulo variable y que pasa por su vértice, y sentido el de avance del tornillo girado según el crecimiento del ángulo. Definiendo un vector unitario b —denominado vector binormal— con tal dirección y sentido (Figura 2.6), el vector velocidad angular viene dado por

(2.8)

ω = ωb

y la relación (2.7) puede expresarse en forma vectorial como v=

dr = ω∧ r dt

(2.9)

O bien, v = ω ∧ R, pues ω ∧ R = ω ∧ (OC + r) = ω ∧ r dado que ω ∧ OC = 0 al ser ambos vectores paralelos.

b

␻ C

b n

r

v ut

␻

R

O

Figura 2.6

g) Triedro intrínseco Definidos los vectores unitarios ut y b en el punto de la trayectoria en que se encuentra la partícula (Figura 2.6), se completa la terna de vectores unitarios intrínsecos con el vector normal n, tal que

n = b∧ ut

(2.10)

Así, n es un vector perpendicular a la trayectoria y dirigido hacia el centro de curvatura (Figura 2.6 y 2.7). ␻, b (entrantes)

␳

⊗

n

ut v trayectoria

er Centro de curvatura

Figura 2.7

2.3 Aceleración

39

h) Si el vector de posición se toma respecto del centro de curvatura (Figura 2.7), tal vector y su vector unitario er (ρ = ρer) tienen la misma dirección que el vector normal n, de modo que er es perpendicular al vector unitario tangente ut, y el cambio temporal de orientación de éste — que viene dado por ω, Ecuación (2.6)— coincide con el cambio temporal de orientación de er; por tanto, según (2.9), considerando un vector de posición unitario er se tiene que

der = ω ∧ er dt

y, en general, de = ω∧ e dt

(2.11)

que expresa la variación temporal de un vector unitario que cambia de orientación con velocidad angular ω.

2.3 Aceleración ¿Y cómo se mide el cambio de velocidad en cada instante? Mediante el vector aceleración instantánea (a) a≡

dv ≡ v≡ r dt

{(S.I.: m/s2 ); [a ] = LT−2 }

(2.12)

que expresa el cambio de la velocidad de la partícula con el tiempo. a) La aceleración da cuenta del cambio temporal del vector velocidad, por lo que será no nula siempre que exista cambio temporal del módulo de la velocidad o de su dirección y sentido. b) Componentes intrínsecas de la aceleración Derivando la Ecuación (2.5) de la velocidad, resulta

a=

du dv dv = u +v t dt dt t dt

El primer término expresa la variación temporal del módulo de la velocidad y tiene la dirección tangencial —indicada por ut —; el segundo término expresa la variación temporal de la dirección de la velocidad. ¿Cuál es la dirección de dicha componente de la aceleración? Hay que tener en cuenta que la derivada de un vector de módulo constante es otro vector perpendicular al primero; ut es un vector de módulo constante (la unidad) por lo que el cuadrado de su módulo también es constante, ut • ut = 1

40


y derivando, 2ut •

dut =0 dt

por lo que, al ser su producto escalar nulo, ut y su vector derivada dut /dt son perpendiculares; en consecuencia, v(dut /dt) es un vector normal a la trayectoria. Resulta, pues, que la aceleración se puede expresar como suma vectorial de dos componentes,

a = at + an

(2.13)

dv u dt t

(2.14)

siendo at =

la aceleración tangencial, que expresa la variación temporal del módulo de la velocidad,

y an = v

dut dt

(2.15)

la aceleración normal, que expresa la variación temporal de la dirección de la velocidad. c) Aceleración en el movimiento curvilíneo y rectilíneo De acuerdo con lo dicho, si una partícula se mueve según una trayectoria curvilínea cualquiera, entonces está acelerada, pues al menos su aceleración normal no es nula porque cambia la dirección de la velocidad en el movimiento; la aceleración tangencial podrá ser nula, si el módulo de la velocidad no cambia con el transcurso del tiempo, o no nula, si dicho módulo cambia. Por el contrario, si la trayectoria es rectilínea, la aceleración normal es nula, mientras que la aceleración tangencial puede serlo o no. d) Aceleración centrípeta y velocidad angular Teniendo en cuenta (2.11), (2.8) y (2.10),

dut = ω∧ ut = ωb∧ ut = ωn dt

(2.16)

y la aceleración normal (2.15) puede expresarse, considerando también la relación (2.7), como an = v

dut v2 = v ωn = n = ω2 ρn ρ dt

(2.17)

donde queda explícito que la aceleración normal está dirigida hacia el centro de curvatura; de ahí que también reciba el nombre de aceleración centrípeta.

2.3 Aceleración

41

e) Otras expresiones El producto escalar de v = vut y a = at + an es

v • a = vat de modo que at =

v• a v

ut v∧ a = v at

n 0 an

an =

v∧ a v

(2.19)

v2 ρ

(2.20)

(2.18)

Y su producto vectorial b 0 = van b 0

de donde

Además, como an =

sustituyendo en (2.19) se puede obtener el radio de curvatura mediante la expresión ρ=

v3 v∧ a

(2.21)

Ejemplo 2.1 Una partícula se mueve en un plano de modo que sus coordenadas cartesianas varían en el tiempo en la forma x = ρ(1 + cos ωt), y = ρ sen ωt, siendo ρ y ω constantes. Determine: a) la ecuación de la trayectoria en coordenadas cartesianas y en coordenadas polares; b) su velocidad y aceleración; c) las componentes intrínsecas de la aceleración. a) Tratemos de eliminar el tiempo entre x e y; para ello escribamos su dependencia temporal en la forma

( x − ρ) = ρ cos ωt

y = ρ sen ωt

Elevando al cuadrado y sumando, se obtiene

( x − ρ)2 + y 2 = ρ 2 que es la ecuación de una circunferencia de radio ρ y centro en el eje X, situado a distancia ρ del origen.

42


Y

P r

ρ

ρ

θ

ωt C( ρ, 0)

X

La ecuación de la trayectoria en coordenadas polares se obtiene sustituyendo las coordenadas cartesianas por aquellas en la ecuación obtenida, de acuerdo con las relaciones (2.2); así 2

2

2

(r cos θ− ρ) + r sen θ = ρ

2

resultando, r = 2 ρ cos θ

b) El vector de posición viene dado en cartesianas por r = xi + yj = ρ[(1 + cos ωt )i + sen ωtj ]

y la velocidad,

v=

dr dt

= ρω[− sen ωti + cos ωtj ]

con módulo

v = v⋅ v = ρω La aceleración es a=

dv dt

2

= −ρω [cos ωti + sen ωtj ]

de módulo a = a⋅ a = ρω

2

c) La componente tangencial de la aceleración, utilizando la Ecuación (2.18), viene dada por at =

v⋅ a v

=

1 ρω

2

ρω[− sen ωti + cos ωtj ] • (−ρω )[cos ωti + sen ωtj ] = 0

resultado que también puede obtenerse de su definición

at =

dv dt

=

d dt

ρω = 0

2.4 Movimientos con aceleración constante

43

La aceleración sólo tiene, pues, componente normal. Al mismo resultado se llega utilizando (2.19), an =

v∧ a v

. Como i 2

j

3

v ∧ a =−ρ ω − sen ωt cos ωt

k 2

3

cos ωt

0 =ρ ω k

sen ωt

0

resulta an =

v∧ a v

= ρω

2

2.4 Movimientos con aceleración constante I. CASO GENERAL A partir de la aceleración, Ecuación (2.12), el cambio de velocidad entre el instante inicial (t = 0) y cualquier otro (t) viene dado por

∫

v

vo

t

dv = ∫0 adt

A) Aceleración nula

Si la aceleración es nula, no hay cambio en la velocidad, v = v0, y el movimiento se dice rectilíneo y uniforme.

B) Aceleración constante

Si la aceleración es un vector constante (a = cte) —no cambia con el tiempo durante el movimiento— el movimiento se denomina uniformemente acelerado. En este caso, integrando la expresión anterior, resulta que t

v = v0 + a∫0 dt = v0 + at

(2.22)

relación que permite determinar la velocidad en cualquier instante del movimiento conociendo su aceleración constante y velocidad inicial.

44


El cambio en el vector de posición se obtiene a partir de la definición de velocidad, Ecuación (2.4), de modo que

∫

r

ro

t

t

dr = ∫0 vdt = ∫0 ( v0 + at ) dt

esto es,

1 r = r0 + v0 t + at 2 2

(2.23)

ecuación que proporciona el vector de posición en cualquier instante del movimiento conociendo su aceleración constante, y velocidad y posición iniciales. También, eliminando el tiempo entre (2.22) y (2.23) resulta,

v2 − v02 = 2 a( r − r0 )

II. MOVIMIENTO BAJO LA ACCIÓN DE LA GRAVEDAD Analicemos el movimiento de un proyectil lanzado con una cierta velocidad inicial, v0, que forma un ángulo θ con el plano horizontal; durante su movimiento se encuentra sometido a la acción de una aceleración constante, la de la gravedad g, vertical y dirigida hacia el suelo. Tomaremos como plano XY el definido por los vectores v0 y g, con el eje Y vertical y sentido positivo ascendente, y el origen del referencial en la posición inicial (t = 0) (Figura 2.8). Y

g v0

j

θ i

O

X

Figura 2.8

Tenemos, pues,

a = g =−gj y

v0 = v0 x i + v0 y j = v0 cos θi + v0 sen θj Por tanto, de a = dv/dt se tiene que

∫

v

vo

t

dv = (−g ∫0 dt ) j =−gtj

y

v = v0 − gtj = v0 x i + v0 y j − gtj


45

Igualando componentes, vx = v0 x = v0 cos θ = cte de modo que la velocidad horizontal es constante durante todo el movimiento, y vy = v0 y − gt = v0 sen θ− gt

(2.24)

que sí varía con el tiempo, es decir, se trata de un movimiento uniformemente acelerado en dirección vertical como consecuencia de la acción de la aceleración de la gravedad. Obtengamos la dependencia del vector de posición con el tiempo.

∫

r

ro

t

t

dr = ∫0 vdt = ∫0 ( v0 − gtj ) dt

es decir, 1 1 r = r0 + v0 t − gt 2 j = v0 t − gt 2 j 2 2 pues r0 = 0, al corresponder al origen según la elección realizada. Designando por x e y las componentes de r resulta x = v0 x t = v0 t cos θ

(2.25)

1 1 y = v0 y t − gt 2 = v0 t sen θ− gt 2 2 2

(2.26)

a) Trayectoria Eliminemos el tiempo entre (2.25) y (2.26). De la primera,

t=

x x = v0 x v0 cos θ

y sustituyendo en (2.26), y =−

g x 2 + x tg θ 2v02 cos2 θ

ecuación de una parábola, dado que los coeficientes de x y x2 son constantes (Figura 2.9). A

v0x g

Y v0

O

h

θ

B X

Figura 2.9

46


b) Tiempo El tiempo requerido para que el proyectil alcance la máxima altura h, en A, es el que transcurre hasta que se anula el movimiento vertical ascendente, es decir, cuando vy = 0. Utilizando (2.24)

vy = v0 y − gt h = v0 sen θ− gt h = 0 de donde th =

v0 y g

=

v0 sen θ g

c) Máxima altura La maxima altura, h, se obtiene sustituyendo el tiempo de la expresión anterior en la Ecuación (2.26),

v 2 sen 2 θ 1 h = v0 y th − gt h2 = 0 2 2g d) Tiempo de vuelo Tiempo de vuelo, tv, es el tiempo necesario para que el proyectil retorne al nivel del suelo, en B. Se puede obtener haciendo y = 0 en (2.26),

1 1 y = 0 = v0 y t v − gt v2 = v0 t v sen θ− gt v2 2 2

de modo que

tv =

2v0 y g

=

2v0 sen θ g

que es el doble del tiempo requerido para alcanzar la máxima altura, th. e) Alcance El alcance es la distancia horizontal cubierta por el proyectil. Se obtiene sustituyendo el tiempo de vuelo en la Ecuación (2.25) —o bien haciendo y = 0 en la ecuación de la trayectoria—.

xa = v0 x t v = v0 t v cos θ =

v02 v2 2 sen θ cos θ = 0 sen 2θ g g

El alcance máximo se obtiene para un ángulo de lanzamiento θ = 45º; para distancias inferiores, un mismo alcance puede conseguirse con dos ángulos de tiro complementarios (θ1 + θ2 = 90º), por lo que uno es mayor y otro menor de 45º (Figura 2.10).


47

Y

θ2

45º

θ1 O

X

Figura 2.10

Ejemplo 2.2 Desde lo alto de un trampolín de 3 m de altura se lanza un saltador con una velocidad de 8 m/s formando un ángulo de 80º con la horizontal. Asimilando el saltador a una partícula, calcule: a) su velocidad y aceleración en cualquier instante de su caída; b) la máxima altura que alcanza respecto del trampolín; c) la duración del salto; d) las componentes intrínsecas de la aceleración después de 1 s.

Y

v0

h

θ at

an H=3m

g j O

i

X

Tomemos los ejes coordenados según la figura, con el eje X en el plano de la piscina. a) La aceleración es

a = g =−gj =−9,81 j m/s

2

y la velocidad inicial,

v0 = v0 x i + v0 y j = v0 cos θi + v0 sen θj = 1,39i + 7,88 j m/s Como

∫

v

vo

t

t

dv = ∫0 adt = (−g ∫0 dt ) j =−gtj

la velocidad en cualquier instante resulta ser v = v0 − gtj = 1,39 i + (7,88 − 9,81t ) j

48


b) Para obtener la máxima altura respecto del trampolín (h) calculemos primero la posición vertical en cualquier instante. Como

1 2

2

r = r0 + v0 t − gt j

con r0 = Hj, la coordenada vertical viene dada por

1 2

2

y = H + v0 y t − gt = 3 + 7,88t − 4,90 t

2

(i)

m

La máxima altura se alcanza cuando se anula la velocidad vertical, v y = 0 = 7, 88 − 9, 81t h

y el tiempo que ha transcurrido es th = 0,80 s. Sustituyendo este valor en (i) se obtiene h, 2

h = y − H = 7,88t h − 4,90 t h = 6,30 − 3,14 = 3,16 m

c) El tiempo de vuelo se obtiene haciendo y = 0 en (i): y = 3 + 7, 88t − 4, 90 t 2 = 0

Resolviendo la ecuación y prescindiendo de la solución negativa que carece de sentido, t =1,93 s

d) Transcurrido 1 s, la componente tangencial de la aceleración, utilizando la Ecuación (2.18), viene dada por at =

v⋅ a v

=

1 2,38

(1, 39 i −1, 93 j ) • (−9,81 j ) = 7, 95 m/s

La componente normal, según (2.19), viene dada por an =

i

j

v ∧ a = 1,39 −1, 93 0

−9,81

v∧ a v

2

. Como

k 0 =−13,64 k 0

resulta an = 5, 73 m/s

2

III. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO De modo similar a la definición de aceleración, se define como aceleración angular la derivada temporal de la velocidad angular: α≡

dω ≡ω dt

{(S.I.: rad/s2 ); [α] = T−2 }

(2.27)


49

A) Aceleración angular nula

En un movimiento circular uniforme la aceleración angular es nula, manteniéndose constante el vector velocidad angular y, también, el módulo de la velocidad lineal, Ecuación (2.7), (Figura 2.11).

␻ = cte

C

v ≠ cte

r

v = cte movimiento circular uniforme

Figura 2.11

B) Aceleración angular constante

Un movimiento circular uniformemente acelerado es un movimiento circular con aceleración angular constante. Como en un movimiento circular la velocidad angular tiene siempre la dirección perpendicular al plano en que se encuentra la circunferencia que es la trayectoria de la partícula, dicha velocidad angular sólo puede cambiar de módulo y no de dirección, por lo que podemos establecer las relaciones de las magnitudes angulares en forma escalar. Así,

∫

ω

ω0

t

t

d ω = ∫0 αdt = α∫0 dt = αt

es decir,

ω = ω0 +αt

(2.28)

relación que permite determinar la velocidad angular conociendo la aceleración angular constante y la velocidad angular inicial del movimiento. A partir de la definición de velocidad angular, Ecuación (2.6), se obtiene

∫

φ

φo

t t 1 d φ = ∫0 ωdt = ∫0 ( ω0 +αt ) = ω0 t + αt 2 2

esto es, 1 φ = φ0 +ω0 t + αt 2 2

(2.29)

50


ecuación que proporciona la posición angular en cualquier instante del movimiento conocidas su aceleración angular constante, y la velocidad y la posición angulares iniciales. Si se elimina el tiempo entre las ecuaciones (2.28) y (2.29) se obtiene ω2f −ω20 = 2 α( φ− φ0 )

(2.30)

que completa el trío de ecuaciones semejantes a las obtenidas con variables lineales.

2.5 Movimientos periódico y vibratorio armónico I. MOVIMIENTO PERIÓDICO Un movimiento es periódico cuando la posición y la velocidad se repiten al transcurrir un determinado intervalo de tiempo, denominado período (T). Si la periodicidad es respecto a la coordenada x, por ejemplo, se cumple que x(t ) = x(t +T ) = x(t + nT )

(2.31)

x(t ) = x(t +T ) = x(t + nT )

(2.32)

y con n un número entero. El movimiento circular uniforme de una partícula o el movimiento de los planetas en sus órbitas alrededor del Sol son ejemplos de movimientos periódicos, en los que se cumple que —definiendo la posición con el ángulo polar θ en el plano de la trayectoria— θ(t ) = θ(t + nT )

y

θ(t ) = ω(t ) = ω(t + nT )

La partícula o el planeta se encuentran en la misma posición y con el mismo sentido y cuantía de la velocidad en cada vuelta completa, por lo que el tiempo que tarda en realizarla es el período del movimiento.

II. MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMÓNICO (m.v.a.) Un movimiento es vibratorio armónico —o armónico simple— cuando la posición varía sinusoidalmente con el tiempo y con amplitud constante. Si el movimiento es vibratorio armónico respecto a la coordenada x, por ejemplo, es que ésta varía con el tiempo según la función seno o la función coseno en la forma x = A{sen cos }( ωt +φ)

(2.33)

2.5 Movimientos periódico y vibratorio armónico

51

siendo la constante A la amplitud, que es el máximo valor del desplazamiento x respecto del origen x = 0 (las funciones seno y coseno tienen de valor extremo ±1), y ω la frecuencia angular o pulsación. El argumento de la función sinusoidal, (ωt + φ), es la fase, y φ es la fase inicial, es decir, la fase en el instante inicial (t = 0). a) Proyección según un diámetro de un movimiento circular uniforme Sea una partícula P que realiza un movimiento circular uniforme, con r el radio de la trayectoria y ω su velocidad angular. La proyección de su vector de posición r sobre un diámetro cualquiera —que designaremos como eje X— en el instante t viene dada por (Figura 2.12),

x = r cos(ωt + φ)

(2.34)

siendo φ el ángulo que forma r en el instante inicial (t = 0). Comparando (2.34) con (2.33) puede afirmarse que el punto P′, proyección de P sobre X, se mueve sobre el diámetro con un movimiento vibratorio armónico de amplitud r. Lo mismo puede decirse respecto del diámetro perpendicular al anterior (eje Y); sobre él, la posición de P′′ (proyección de P sobre Y) viene dada por la coordenada y, y = r sen( ωt +φ) En definitiva, la proyección según un diámetro de un movimiento circular uniforme es un m.v.a. Del mismo modo, un m.v.a. se puede representar gráficamente mediante un vector que gira uniformemente.

Y P

P″ r

ωt y φ

O x

X

P′

Figura 2.12

b) El m.v.a. es periódico Sea un m.v.a tal que la posición viene dada por

x = A sen( ωt +φ) La expresión de su velocidad se obtiene derivando respecto del tiempo la ecuación anterior, v = x = Aω cos(ωt +φ)

52


El m.v.a será periódico si satisface las ecuaciones (2.31) y (2.32), esto es, x = A sen(ωt + φ) = A sen[ω(t + nT ) +φ] = A sen[ωt +φ+ nωT ] v = Aω cos( ωt +φ) = Aω cos[ ω(t + nT ) +φ] = Aω cos[ ωt +φ+ nωT ] Ahora bien, las funciones armónicas seno y coseno satisfacen las relaciones sen {sen cos }( θ ) = {cos }( θ + 2 n π)

de modo que se cumplen (2.31) y (2.32) para un valor de T tal que nωT = 2nπ. En consecuencia, el m.v.a. es periódico, de período T dado por T=

2π ω

(2.35)

El período es el tiempo que transcurre hasta que se repite un mismo estado de movimiento (es decir, se realiza un ciclo); su inverso, la frecuencia ν, es el número de ciclos en la unidad de tiempo.

ν=

1 T

{(S.I.: Hz ≡ ciclos/s); [ν] = T−1}

(2.36)

{(S.I.: rad/s); [ω] = T−1}

(2.37)

La frecuencia angular,

ω=

2π = 2 πν T

es el número de ciclos en 2π veces la unidad de tiempo. De ahí que no tenga sentido físico un valor negativo de la pulsación. c) Determinación de A y φ Las constantes A y φ de (2.33) se determinan conociendo el estado de movimiento —posición y velocidad— del sistema móvil en un determinado instante, que se suele tomar como inicial (t = 0). En efecto, si x(0) y v(0) son conocidas, las relaciones

x(0) = A{sen cos }φ

v(0) = Aω{cos -sen }φ

permiten obtener A y φ, pues ω

x(0) = {−tgctg }φ v(0)

(2.38)

y x 2 (0) +

1 2 v (0) = A2 ω2

(2.39)


53

Ejemplo 2.3 Una partícula realiza un m.v.a. según el eje X, de amplitud 3 m y frecuencia 2 Hz. Si el tiempo se mide a partir del paso de la partícula por el origen de coordenadas y en sentido positivo del eje, determine: a) la expresión de su posición en cualquier instante; b) la cuantía máxima —en valor absoluto— de su velocidad y el instante en que se alcanza por vez primera después de pasar por el origen; c) la cuantía máxima —en valor absoluto— de su aceleración y el instante en que se alcanza por vez primera. a) Como la partícula realiza un m.v.a se puede utilizar la expresión

x = A sen( ωt + φ) = 3sen(4 πt + φ) m pues ω = 2 πν = 4 π rad/s

con

T = 1 / ν = 0, 5 s

Como en t = 0 es x = 0, sustituyendo resulta que 0 = 3 sen φ, de modo que φ = 0, y queda x = 3 sen 4 πt m

b) La velocidad es, derivando x respecto del tiempo, v = 12 π cos 4 πt m/s y su valor máximo v0 = 12 π m/s Se alcanza cuando cos 4πt = ±1, y por primera vez para un t tal que 4πt = π, con lo que t = 0,25 s = 1 T . 2

c) La aceleración, derivando la velocidad respecto del tiempo, resulta ser a =−48 π 2 sen 4 πt m/s 2, y su valor máximo, a0 = 48 π 2 m/s 2 Se alcanza cuando sen 4πt = ±1, y por primera vez para un t tal que 4πt = t = 0,125 s =

1 T. 4

1 π , con lo que 2

III. COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS VIBRATORIO ARMÓNICOS A) Igual dirección y frecuencia

Consideremos una partícula sometida simultáneamente a dos m.v.a. de igual frecuencia (ω) y en la misma dirección, que designaremos como eje X. Con una elección conveniente del origen de tiempos, los m.v.a. pueden expresarse como x1 = A1 cos ωt x2 = A2 cos( ωt + φ)

54


siendo el movimiento resultante,

x = x1 + x2 = A1 cos ωt + A2 cos(ωt + φ)

(2.40)

¿De qué tipo es tal movimiento? De acuerdo con lo visto en 2.5.II.a) la representación del m.v.a. mediante vectores giratorios permite dar respuesta a la pregunta anterior de un modo sencillo; gráficamente los movimientos componentes vienen representados por los vectores r1 y r2, de módulos A1 y A2, girando con la misma velocidad angular ω, y así el movimiento resultante tiene como vector representativo r, suma vectorial de r1 y r2 (Figura 2.13),

r = r1 + r2 de módulo A, y cuya proyección según X es el movimiento resultante (2.41)

x = A cos( ωt + δ)

Como los vectores r1 y r2 giran con la misma velocidad angular por ser los movimientos componentes de igual frecuencia, la diferencia de fase de los movimientos es constante

∆ = ( ωt + φ) −ωt = φ = cte y el paralelogramo definido por r1 y r2 gira como un todo rígido, sin cambiar su forma, por lo que en el transcurso del tiempo no cambian de valor ni la diagonal, A, ni el ángulo que ésta forma con la base del paralelogramo, δ. En consecuencia, como A y δ son constantes, (2.41) es la expresión de un m.v.a. El movimiento resultante de la composición de dos m.v.a de igual frecuencia y dirección es un m.v.a con igual dirección y frecuencia.

Y r r2

δ

A

A2 ωt + φ φ

A1

y ωt + δ

r1 ωt

O

x

Figura 2.13

X


55

a) Este resultado es aplicable cualquiera que sea el número de movimientos componentes, todos ellos de igual dirección y frecuencia. b) Amplitud A Para calcular A fijémonos en la Figura 2.13. El vector r, de módulo A, tiene de componente x la dada por (2.40), y sobre el eje perpendicular Y,

y = y1 + y2 = A1 sen ωt + A2 sen( ωt + φ) obteniéndose A de A2 = x 2 + y 2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 [cos ωt cos( ωt + φ) + sen ωt sen( ωt + φ)] Y utilizando la expresión trigonométrica cos( a ± b) = cos a cos b ∓ sen a sen b

(2.42)

A = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos ∆

(2.43)

resulta

c) Fase inicial δ Volviendo a la Figura 2.13, el ángulo δ es el que forma el vector r con la recta definida por r1, y φ el ángulo que forma r2 con r1 (desfase entre ambos). Por tanto, en el paralelogramo de referencia se cumple que

A sen δ = A2 sen φ

A cos δ = A1 + A2 cos φ

Y dividiendo una por otra,

tg δ =

A2 sen φ A1 + A2 cos φ

(2.44)

d) Diferencia de fase Δ = φ Teniendo en cuenta las expresiones (2.43) y (2.44):

• Si la diferencia de fase entre los dos movimientos componentes es nula, φ = 0, se dice que los dos movimientos están en fase (los vectores giratorios están superpuestos), ambos tienen la misma fase inicial, que es la que adquiere el movimiento resultante, pues δ = 0, e interfieren constructivamente, dado que A = A1 + A2. • Si la diferencia de fase entre los dos movimientos componentes es φ = π, se dice que los dos movimientos están en oposición de fase (los vectores giratorios son antiparalelos), con δ = 0, es decir, la fase inicial del movimiento resultante es la del movimiento componente que tiene la fase inicial menor, e interfieren destructivamente, pues A = A1 − A2 . Si las amplitudes A1 y A2 son iguales, la superposición de tales movimientos da como resultado ausencia de movimiento. 1 • Si la diferencia de fase entre los dos movimientos componentes es φ = π , se dice 2 que los dos movimientos están en cuadratura (los vectores giratorios son perpendiculares), con tg δ = A2/A1 y A2 = A12 + A22.

56


B) Igual dirección y distinta frecuencia

Consideremos ahora una partícula sometida simultáneamente a dos m.v.a. de distinta frecuencia y en la misma dirección, que designaremos como eje X. Con una elección conveniente del origen de tiempos, los m.v.a. pueden expresarse como

x1 = A1 cos ω1t x2 = A2 cos( ω2 t + φ)

pudiéndose expresar el movimiento resultante (Figura 2.14) como, (2.45)

⎡ ω1t +δ( t ) ⎦ ⎤ x = A(t ) cos⎣

¿Y cómo es este movimiento? La Ecuación (2.45) es similar a (2.41), pero con la diferencia fundamental de que ni la amplitud ni el ángulo δ son constantes, por lo que el movimiento resultante no es vibratorio armónico. En este caso, como los vectores r1 y r2 giran con distinta velocidad angular por ser los movimientos componentes de diferente frecuencia, la diferencia de fase de los movimientos es variable en el tiempo ⎡ ( ω2 − ω1 )t + φ) ⎦ ⎤ ∆ = ( ω2 t + φ) − ω1t =⎣

y el paralelogramo definido por r1 y r2 gira deformándose, por lo que en el transcurso del tiempo cambia de valor la diagonal, A, y el ángulo que ésta forma con la base del paralelogramo, δ. El movimiento resultante de la composición de dos m.v.a de igual dirección y distinta frecuencia es un movimiento en la misma dirección, pero no es vibratorio armónico.

r

Y r2

δ(t)

A (t) A2

O

ω2 t + φ

ω1t

r1 ω1t + δ (t)

A1 x

Figura 2.14

X


57

a) Amplitud A El valor de la amplitud del movimiento resultante puede obtenerse de (2.43), de modo que ahora

A = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos ∆ = A12 + A12 + 2 A1 A2 cos[(ω2 − ω1 )t + φ]

fluctuando desde el máximo valor A = A1 + A2 cuando Δ = 2nπ, hasta el mínimo A = |A1 – A2| cuando Δ = (2n + 1)π, y se dice que el movimiento resultante está modulado en amplitud (Figura 2.15.a). Si las amplitudes de los movimientos componentes son iguales, A1 = A2, la amplitud llega a anularse, siendo la máxima el doble de la amplitud común (Figura 2.15.b). X A 1 + A2

A 1− A 2

x (t) t

(a) X 2A 1 t

(b)

Figura 2.15

C) Direcciones perpendiculares e igual frecuencia

Es el caso de una partícula que se mueve en un plano de forma que sus coordenadas x e y varían armónicamente, x = Ax cos ωt

(2.46)

y = Ay cos( ωt + φ)

(2.47)

Vamos a eliminar el tiempo para obtener la trayectoria que sigue la partícula. Utilizando (2.42), de (2.47) se obtiene y = cos( ωt + φ) = cos ωt cos φ− sen ωt sen φ Ay

(2.48)

58


De (2.46), cos ωt =

x Ax

sen ωt = 1− cos2 ωt = 1−

x2 Ax2

y sustituyendo en (2.48) y elevando al cuadrado, 2 ⎛ y ⎞2 ⎛ x ⎜− 1− x ⎜ ⎟ cos − φ = ⎜A ⎟ ⎜ Ax2 ⎝ y Ax ⎠ ⎝

⎞2 ⎟ sen 2 φ ⎟ ⎠

(2.49)

o bien, x 2 y2 xy + −2 cos φ = sen 2 φ Ax2 Ay2 Ax Ay

que es la ecuación de una elipse cuyos ejes no coinciden con X e Y (Figura 2.16 a). a) Diferencia de fase

• Si φ = 2nπ, (2.49) lleva a la relación y = (Ay/Ax)x, ecuación de una recta de pendiente positiva que pasa por el origen (Figura 2.16 b). • Si φ = (2n + 1)π, (2.49) lleva a la relación y = –(Ay/Ax)x, ecuación de una recta de pendiente negativa que pasa por el origen (Figura 2.16 c). • Si φ = (2n + 1)π/2, (2.49) lleva a la relación (x2/Ax2) + (y2/Ay2) = 1, ecuación de una elipse de ejes X e Y (Figura 2.16 d). Si, además, Ax = Ay, se obtiene la ecuación de una circunferencia de radio Ax, x2 + y2 = Ax2 (Figura 2.16 e). Y

Y

Y

Y

Y

X

X

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Figura 2.16

D) Direcciones perpendiculares y distinta frecuencia

Es el caso de una partícula que se mueve en un plano de manera que sus coordenadas x e y varían armónicamente con distinta frecuencia, x = Ax cos ω x t y = Ay cos( ω y t + φ)

Las trayectorias que resultan dependen de la relación de frecuencias ωx/ωy y de la diferencia de fase φ, y se denominan figuras de Lissajous. Sus formas van desde las correspon-

2.6 Movimientos de traslación y de rotación

59

dientes al caso anterior cuando las frecuencias sean iguales, a curvas abiertas o cerradas, sencillas o complejas; algunas se muestran en la Figura 2.17.

Figura 2.17

2.6 Movimientos de traslación y de rotación Hemos estudiado la cinemática de la partícula; a veces, sin embargo, el objeto de estudio no es una única partícula sino un conjunto de ellas que interaccionan entre sí. En muchos casos, además, la interacción entre partículas es tan intensa que forman un cuerpo compacto tal que no se deforma cualquiera que sean las acciones —las fuerzas— que actúan sobre él: tal sistema se denomina sólido rígido o sólido indeformable.

Sólido rígido es un sistema de partículas o puntos materiales que mantienen las distancias entre ellas de manera permanente. Aunque este concepto es un modelo teórico, hay muchos cuerpos que admiten esta descripción en la mayoría de las situaciones. Pues bien, cuando se considera el movimiento de un sólido rígido hay que tener en cuenta dos tipos de posibles movimientos colectivos distintos: el movimiento de traslación y el movimiento de rotación.

I. MOVIMIENTO DE TRASLACIÓN Un sólido rígido se mueve en traslación respecto de un referencial S si todos sus puntos tienen igual velocidad no nula respecto de S.

Así (Figura 2.18), las velocidades de los puntos α, β,…, del sólido son (2.50)

vα = v β = ... = v ≠ 0 S

v

O

vγ Figura 2.18

vα vβ

60


La velocidad común, v, es la velocidad de traslación. En cada instante, la velocidad de todos los puntos es idéntica, pero esa velocidad común puede cambiar en el transcurso del tiempo. a) Aceleración La aceleración también es la misma para todos los puntos:

aα =

dvα dv β = = ... = a dt dt

donde a es la aceleración de traslación. b) Trayectoria Como vα = vβ, el segmento que une α y β, además de no cambiar de longitud, se mantiene paralelo a sí mismo en el movimiento de traslación, por lo que las trayectorias descritas por los diferentes puntos del cuerpo son iguales (Figura 2.19).

α

α

v

v (t 1) v (t 2)

β β

v

v (t 1) v(t 2)

Figura 2.19

c) Sin cambio de orientación De lo anterior es claro que en el movimiento de traslación el sólido no cambia de orientación incluso cuando la trayectoria es curvilínea, pues en su movimiento el cuerpo se mantiene paralelo a sí mismo. En un movimiento de traslación circular, las trayectorias de los puntos del sólido son circunferencias iguales pero no concéntricas (Figura 2.20). d) Como todos los puntos del sólido se mueven con igual velocidad y aceleración, para conocer el movimiento del cuerpo basta con conocer el de uno de sus puntos. Por ello, la cinemática de un sólido rígido en traslación puede estudiarse como si el cuerpo fuera una partícula, dado que su tamaño y forma no afectan al problema cinemático. e) Grados de libertad de traslación En el caso general, cuando no hay restricciones, el movimiento de traslación de un cuerpo puede realizarse en cualquier dirección, de modo que puede describirse mediante la superposición de tres movimientos independientes según tres ejes ortogonales cualesquiera. Se dice, entonces, que tiene tres grados de libertad de traslación.

El número de grados de libertad de una partícula o de un sólido rígido es el número de movimientos independientes que pueden realizar.


61

noria

Figura 2.20

En el movimiento de traslación, conocer la posición del cuerpo en cualquier instante supone conocer la posición de uno de sus puntos, lo que implica disponer del valor de sus coordenadas respecto de tres ejes ortogonales cualesquiera; si no hay limitaciones esto significa conocer tres coordenadas independientes (cada coordenada puede tomar cualquier valor independientemente de los valores que tengan las otras dos), es decir, tantas como grados de libertad de traslación tiene el cuerpo. Por tanto, el número de grados de libertad de una partícula o de un sólido rígido coincide con el número de coordenadas independientes que es preciso conocer para determinar, en cada instante, la posición del mismo. f) Ligaduras En muchos casos existen impedimentos sobre el cuerpo para realizar determinados movimientos.

Se denomina ligadura a toda limitación de los posibles movimientos de una partícula o de un sólido rígido.

Las ligaduras reducen el número de movimientos independientes que puede realizar la partícula o el cuerpo, reduciendo el número de grados de libertad y el número de coordenadas independientes necesarias para determinar, en cada instante, su posición. Así, una partícula o un cuerpo en translación obligados a moverse sobre una superficie tienen dos grados de libertad ya que no pueden abandonarla, y son dos las coordenadas independientes necesarias para localizarlos en la superficie.

62


II. MOVIMIENTO DE ROTACIÓN Respecto de un referencial, un sólido rígido rota con velocidad angular ␻ alrededor del eje de rotación (recta soporte de ␻) cuando los puntos del sólido realizan movimientos circulares cuyo centro es el punto intersección del plano de la trayectoria con el eje (Figura 2.21).

De acuerdo con lo anterior y con (2.9), la velocidad de cada uno de los puntos viene dada por

vα = v ∧ rα

e

␻ rα

O

vα

α

Figura 2.21

a) Trayectoria En cada plano perpendicular al eje de rotación, las trayectorias de los distintos puntos son circunferencias concéntricas, pero de diferentes radios (Figura 2.22).

e

␻

Figura 2.22

b) Cambio de orientación La rotación de un sólido implica siempre cambio de orientación del mismo, al contrario de lo que ocurre en el movimiento de traslación (Figura 2.23).


␻

␻

63

␻

Figura 2.23

c) Un sólido en rotación ya no puede asimilarse a una partícula —que no tiene este movimiento al considerarse puntual— a menos que no se desee tener en cuenta tal movimiento o éste no sea significativo para el problema que se considere. d) Grados de libertad de rotación En el caso general, sin ligaduras, la rotación de un cuerpo puede realizarse con el eje de rotación en cualquier dirección, por lo que puede describirse mediante la superposición de tres movimientos de rotación independientes según tres ejes ortogonales cualesquiera —que corresponderían a las proyecciones según tales ejes del vector ω—. Se dice, entonces, que el cuerpo tiene tres grados de libertad de rotación. Los cambios de orientación según tales ejes ortogonales vienen especificados mediante tres coordenadas angulares independientes, tantas como grados de libertad de rotación tiene el cuerpo.

III. MOVIMIENTO DE TRASLACIÓN Y ROTACIÓN Un sólido rígido puede moverse en traslación, en rotación, o simultáneamente en traslación y rotación. De hecho, como ya se verá más adelante, el movimiento más general de un cuerpo rígido puede ser considerado como la superposición de un movimiento de traslación y un movimiento de rotación; en este caso son seis los grados de libertad y también las coordenadas independientes necesarias para conocer su posición y orientación en cualquier instante, tres de traslación y tres de rotación. Las limitaciones o condiciones al movimiento —la existencia de ligaduras— supone, como se ha dicho, una reducción en el número de grados de libertad. La rotación y la traslación simultáneas se dan, por ejemplo, en una moneda que rueda sobre una superficie (Figura 2.24); en tal movimiento cambia la posición de su centro y la orientación de la moneda respecto de la superficie. ω

ω

v

v

Figura 2.24

Capítulo 3 DINÁMICA. LEYES DE NEWTON

3.1

Primera ley de Newton .......................................................................................66

3.2

Segunda ley de Newton .....................................................................................67

3.3

Tercera ley de Newton........................................................................................69

3.4

Fuerza gravitatoria .............................................................................................71

3.5

Campo gravitatorio ............................................................................................77

3.6

Fuerza central. Momento cinético .....................................................................87

3.7

Equilibrio y estabilidad ......................................................................................92

3.8

Fuerza recuperadora lineal en el movimiento oscilatorio ..............................96

3.9

Fuerza de rozamiento entre sólidos................................................................101

66


3.1 Primera ley de Newton En este capítulo se inicia el estudio de la

dinámica, parte de la mecánica que analiza el movimiento de los cuerpos en relación con las causas que lo originan. En física, las causas de las interacciones entre cuerpos —estén o no en contacto, sean próximos o lejanos— se describen mediante fuerzas. En el estudio dinámico pueden surgir distintos tipos de fuerza, algunos de los cuales se irán viendo a lo largo del texto, pero sólo cuatro pueden considerarse fuerzas fundamentales en la naturaleza, es decir, en última instancia todas las demás pueden explicarse por ellas: las debidas a la interacción gravitatoria, electromagnética, nuclear fuerte y nuclear débil (éstas últimas sólo actúan a distancias muy cortas e intervienen en la formación y estabilidad de los núcleos atómicos). La dinámica se fundamenta en las leyes de Newton que se exponen a continuación. Una forma de enunciar la primera ley de Newton o ley de inercia es: Toda partícula libre de cualquier interacción con otras permanece en estado de reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme. a) Como las interacciones entre partículas se describen mediante fuerzas, la primera ley de Newton supone que sobre la partícula no actúan fuerzas, o que —si actúan— sus acciones se compensan dando como resultado un efecto nulo. O de otro modo, la primera ley de Newton proporciona una definición de fuerza como la causa de la modificación del estado de movimiento de las partículas, y relaciona la fuerza no con la velocidad, sino con su cambio. b) El estado de reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme supone aceleración nula. Desde el punto de vista dinámico ambos estados de movimiento son equivalentes, pues corresponden a una velocidad v constante, siendo el valor nulo un caso particular. c) Inercia La primera ley de Newton se llama también ley de inercia porque expresa la tendencia de las partículas a permanecer en su estado de movimiento, a oponerse a cambios en su movimiento, tendencia que se designa como inercia. d) Sistema de referencia inercial La partícula libre de fuerzas, ¿respecto de qué referencial tiene velocidad v constante? El referencial respecto del cual la partícula libre de interacciones tiene aceleración nula —es decir, el sistema de referencia en el que se cumple la primera ley de Newton— se denomina referencial inercial. Sean dos cuerpos A y B libres de interacciones; si A se mueve con aceleración nula respecto de B, B constituye un referencial inercial dado que se cumple la primera ley de Newton, y como B tampoco está acelerado respecto de A, A también constituye un referencial inercial.

3.2 Segunda ley de Newton

67

Es decir, un referencial inercial es un sistema de referencia no acelerado.

Y cualquier referencial que se mueva con velocidad constante respecto de un referencial inercial es también un sistema de referencia inercial.

En la práctica se considera que un sistema es inercial si su aceleración es despreciable para el rango de valores que aparecen en el problema a estudiar. Un referencial en la superficie de la Tierra puede ser considerado como inercial —es decir, no acelerado— en el estudio de numerosos problemas, a pesar de que, entre otros movimientos, la Tierra está acelerada en su movimiento de traslación alrededor del Sol y, además, la superficie terrestre tiene una aceleración debida al movimiento de rotación de la Tierra. En otros casos, sin embargo, la descripción del movimiento sin tener en cuenta el movimiento terrestre no coincidirá con el movimiento real. Así, si se trata de estudiar el movimiento de una bala de fusil respecto de la superficie terrestre, un referencial fijo a la misma puede considerarse inercial, mientras que si se trata de analizar el movimiento de un misil intercontinental tal referencial no puede ser considerado inercial si se quieren obtener resultados correctos.

3.2 Segunda ley de Newton Veamos con más detenimiento la relación entre fuerza y cambio en el estado de movimiento. Imagine un automóvil que se encuentra parado y sin batería en un terreno plano y horizontal, cuyo conductor trata de ponerlo en marcha empujándolo, es decir, ejerciendo una determinada fuerza sobre el vehículo. De tal experiencia interesa señalar algunas características. Por un lado, es evidente que para conseguir su propósito y no desaprovechar esfuerzos el conductor deberá ejercer la fuerza en la dirección y sentido de avance del automóvil, y no en otra dirección; es decir, para caracterizar la fuerza, además de su cuantía, es preciso especificar su dirección y sentido, por lo que la fuerza es una magnitud vectorial. En cuanto a su módulo, es claro que el conductor no precisa la misma fuerza para poner en movimiento un vehículo pequeño que uno grande, de mayor masa; es decir, el valor de la fuerza que hay que ejercer sobre el móvil no sólo depende de llevarle del estado de reposo ini-

M m f

v

f

Figura 3.1

v

68


cial al estado de movimiento con una cierta velocidad, sino también de la masa del vehículo (Figura 3.1). En el juego de bolos, la bola que se lanza tiene más “cantidad de movimiento” que la que tendría una bola de tenis lanzada a la misma velocidad si comparamos el movimiento que pueden transferir ambas al golpear los bolos. Conviene, pues, para caracterizar el movimiento de un cuerpo, tener en cuenta no sólo su velocidad sino también su masa; de ahí que se defina una nueva magnitud: La cantidad de movimiento o momento lineal (p) de una partícula es el vector producto de su masa por su velocidad

p ≡ mv

{(S.I.: kg⋅m/s); [p ] = MLT−1}

(3.1)

La masa inercial (o simplemente masa m) es una magnitud escalar que expresa la oposición del móvil al cambio de su estado de movimiento; cuanto mayor es su masa, mayor es su resistencia a modificar su velocidad, mayor es su inercia. De acuerdo con la definición de p, en el caso del automóvil el vehículo tiene inicialmente un momento lineal nulo, al ser nula su velocidad, y distinto de cero cuando inicia su movimiento. Tal cambio en su estado de movimiento es originado por la fuerza aplicada, y su relación viene dada por la segunda ley de Newton:

f=

dp dt

{(S.I.: N = kg⋅m/s2 ); [f ] = MLT−2}

(3.2)

La segunda ley de Newton se puede enunciar como: Una fuerza aplicada a una partícula origina un cambio en su estado de movimiento tal que la variación temporal de su momento lineal es igual a dicha fuerza. a) Si actúa más de una fuerza sobre la partícula, en (3.2) f es la fuerza neta, la resultante —suma vectorial— de las mismas. b) La ecuación anterior es válida en un sistema inercial. En efecto. Si es nula la fuerza neta sobre una partícula de masa invariable, según (3.2) su momento lineal es constante, y su movimiento —respecto del sistema al que está referida dicha ecuación— es nulo o rectilíneo y uniforme, de modo que se cumple la primera ley de Newton. En consecuencia, tal referencial es inercial. c) Si la masa de la partícula no varía en el tiempo, la segunda ley de Newton puede expresarse en la forma más habitual

f =m

dv = ma dt

d) La masa no varía con la velocidad; es independiente de ella.

(3.3)

3.3 Tercera ley de Newton

69

e) La ecuación (3.3), además de expresar que el efecto de la fuerza es tanto menor cuanto mayor es la masa (es decir, cuanto mayor es la inercia de la partícula) —y a la inversa—, también señala que la aceleración y la fuerza que la origina tienen la misma dirección y sentido.

3.3 Tercera ley de Newton La tercera ley de Newton, también llamada principio de acción y reacción, establece que si una partícula ejerce una fuerza sobre otra, ésta ejerce sobre la primera una fuerza igual y contraria. fAB

fBA

A

B

Figura 3.2

Designando dichas fuerzas como fAB y fBA (Figura 3.2), se cumple que

fAB =− fBA

(3.4)

a) Las fuerzas son de igual módulo, igual dirección, igual línea de acción y distinto sentido. b) Las fuerzas siempre se manifiestan por parejas, no existen fuerzas aisladas. Si existe una fuerza —la que ejerce un cuerpo sobre otro— existe la contraria —la que ejerce el segundo sobre el primero—. c) Tienen distinto punto de aplicación, por lo que no se compensan. d) En una interacción entre dos cuerpos y en cuanto a su valor, las fuerzas que se ejercen son iguales pero no son iguales los cambios de estado de movimiento —las aceleraciones— que originan, a menos que las masas de los dos cuerpos sean también de la misma cuantía. Así, por ejemplo (Figura 3.3), la fuerza f con que la Tierra atrae a una piedra que tenemos en nuestra mano es igual a la que la piedra ejerce sobre la Tierra; si la soltamos la piedra

mp a p = f/m p

mT

a T = f/m T

Figura 3.3

70


adquiere una aceleración igual a f/mp, siendo mp la masa de la piedra, y la Tierra una aceleración igual a f/mT; como la masa de la Tierra (mT) es enormemente mayor que la de la piedra, la aceleración originada en la Tierra por la piedra es despreciable frente a la adquirida por ésta. e) Masa reducida Sean dos partículas, 1 y 2, de masas respectivas m1 y m2, sometidas exclusivamente a sus fuerzas de interacción mutua, f1 y f2. Si R1 y R2 son los vectores de posición de las partículas respecto de un punto fijo O (Figura 3.4), la segunda ley de Newton para cada partícula viene dada por

m1 R1 = f1

1 m1

r2 f1

f2

m2 R2 = f2

2 m2 1

R1

R2

≡

2

r2 f2

μ

O

Figura 3.4

Designando con r2 el vector de posición de la partícula 2 respecto de la 1, su relación con R1 y R2 es

R2 = R1 + r2 y, por tanto, m2 R2 = m2 ( R1 + r2 ) = f2

o bien

f1 f +r = 2 m1 2 m2 Teniendo en cuenta que por el principio de acción y reacción se cumple que

f1 =− f2 puede escribirse ⎛ m + m2 ⎞ ⎛1 1 ⎞ ⎟ r2 = f2⎜ + ⎟= f2⎜ 1 ⎝ m1 m 2 ⎠ ⎝ m1 m2 ⎠

O bien μr2 = f2

(3.5)

3.4 Fuerza gravitatoria

71

con μ la llamada masa reducida de las dos partículas (menor que la de cualquiera de ellas) μ≡

m1 m2 m1 + m2

(3.6)

Puesto que r2 es el vector de posición de la partícula 2 respecto de la 1, la ecuación (3.5) indica que se puede estudiar su movimiento respecto de la partícula 1 —como si ésta estuviera fija— considerando la fuerza de interacción mutua f2 (única) que sobre ella actúa y suponiendo que tiene una masa µ en vez de la real m2. Así, el movimiento de la Luna respecto de la Tierra se puede analizar mediante el movimiento respecto de una Tierra fija, de una partícula con masa la reducida del sistema Tierra-Luna y sometida a la fuerza de atracción gravitatoria que la Tierra ejerce sobre la Luna (en este caso ambos astros están también sometidos a la atracción solar, es decir, hay otras fuerzas además de las de interacción mutua, pero pueden despreciarse —al menos en primera aproximación—). Si una de las masas es mucho mayor que la otra, por ejemplo m1>>m2, la masa reducida es aproximadamente igual a la masa menor, μ≅ m2 ; es el caso de los satélites artificiales, cuyo movimiento relativo a la Tierra puede estudiarse considerando a ésta fija y tomando como masa reducida la del propio satélite. Si ambas masas son iguales, m1 = m2 = m, la masa reducida es µ = 1 m. 2

3.4 Fuerza gravitatoria Ya se ha mencionado la interacción gravitatoria, una de las consideradas fundamentales de la naturaleza. Veamos la expresión concreta de la ley correspondiente. Si se consideran dos partículas de masas m1 y m2, separadas por la distancia r, la ley de atracción gravitatoria, establecida por Newton, afirma que las partículas se atraen mutuamente con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

1 m1

f12

f21

e 12

2 e 21

m2

r

Figura 3.5

Si r12 es el vector de posición de la partícula 2 respecto de la 1, tal que

r12 = re12

72


con e12 su vector unitario, la expresión analítica de la fuerza f21 con la que la partícula 1 atrae a la partícula 2 es (Figura 3.5)

f21 =−γ

m1 m2 e r 2 12

(3.7)

a) Constante de la gravitación universal Εl valor en el S.I. de la llamada constante de la gravitación universal, γ, es

γ = 6,672 ×10−11 N⋅ m 2 ⋅ kg−2 b) Masa inercial y masa gravitatoria La interacción gravitatoria entre los cuerpos se debe a la propiedad de los mismos que llamamos masa gravitatoria, y tal masa es la que debiera figurar en (3.7). Sin embargo, es un hecho experimental que

los cuerpos en el vacío caen todos con la misma aceleración, g,

lo que establece una relación de proporcionalidad entre la masa inercial y la masa gravitatoria. En efecto, si se deja caer desde una altura h un cuerpo de masa inercial mi y gravitatoria mg, su caída se debe a la atracción terrestre (suponemos que no existen otras fuerzas, como la de resistencia del aire), de modo que la fuerza que sobre él actúa satisface las ecuaciones (3.3 y 3.7): f = mi g

y

f =γ

mg mgT

( RT + h )2

donde mgT y RT son la masa gravitatoria y el radio de la Tierra, respectivamente. Despejando la aceleración de caída g, se obtiene g=γ

⎛ mg ⎞ ⎜ ⎟ ( RT + h )2 ⎝ mi ⎠ mgT

Esta expresión indica que si g es común para todos los cuerpos, necesariamente las masas gravitatoria e inercial deben ser proporcionales, siendo el valor de su cociente siempre el mismo para cualquier cuerpo; elegida la constante de proporcionalidad igual a la unidad, el valor de ambas masas es idéntico, y se puede seguir utilizando en las expresiones la masa inercial como única masa. c) La fuerza de atracción gravitatoria cumple la tercera ley de Newton —como cualquier otra fuerza real— pues si la partícula de masa m1 atrae a la partícula de masa m2 con la fuerza f21 dada por la ecuación (3.7), la partícula de masa m2 atrae a la partícula de masa m1 con la fuerza f12, igual y contraria a f21, dada por

f12 =−γ

m1 m2 e r 2 21

constituyendo f12 y f21 un par de acción-reacción.


73

d) Los satélites geoestacionarios Los satélites geoestacionarios son aquellos que describen órbitas alrededor de la Tierra en el plano del ecuador y con un período igual al de rotación terrestre, lo que les permite mantener siempre la misma posición relativa a la Tierra. La órbita geoestacionaria es idónea para los satélites de comunicaciones, ya que les permite cubrir casi la mitad del planeta y las antenas receptoras sólo necesitan orientarse cuando se instalan. El radio de la órbita circular geoestacionaria (r) se obtiene tomando como masa reducida la del satélite (m) (de acuerdo con lo dicho en 3.3.e), y teniendo en cuenta que la fuerza de atracción gravitatoria de la Tierra sobre el mismo es la fuerza centrípeta (la que origina la aceleración centrípeta) que determina su movimiento circular. En consecuencia, utilizando las ecuaciones (3.7) y (2.17), se tiene que

f =γ

mT m = man = mω2 r r2

y con (2.35), siendo el período T igual al de rotación terrestre, esto es, de 24 h, resulta

r=3

γmT T 2 4π 2

Es decir, los satélites geoestacionarios se encuentran (descontando el radio terreste) a una altura de unos 35 800 km sobre el nivel del mar. e) ¿Por qué se producen las mareas? Las mareas oceánicas, es decir, las elevaciones y descensos de las aguas de mares y océanos (Figura 3.6) se deben a la atracción gravitatoria que sobre ellas ejerce la Luna y —en mucha menor medida— el Sol.

Figura 3.6

74


Que la Luna atrae las aguas del océano produciendo un abultamiento que se va transmitiendo de una zona a otra según gira la Tierra sobre su eje es fácil de comprender, pero no es tan evidente por qué se produce el abultamiento no sólo en el lado en que se encuentra la Luna sino también en el opuesto (Figura 3.7), y por qué ejerciendo el Sol una atracción gravitatoria sobre la Tierra mayor que la que ejerce la Luna no es el Sol el que condiciona prioritariamente el fenómeno de las mareas.

mareas baja

alta

alta

Luna

Tierra

baja

Figura 3.7

Las fuerzas de marea se deben a la distinta intensidad de la atracción gravitatoria que la Luna (y también el Sol) ejercen sobre distintos puntos de la Tierra debido a su diferente distancia, de modo que la Luna atrae más las aguas de los océanos más próximos a ella que a la Tierra sólida, alejando las aguas de ésta, y atrae más a la Tierra sólida que a las aguas del otro lado, por lo que la aleja de las aguas del lado opuesto. Para calcular las fuerzas de marea de un modo sencillo, simplificaremos el problema suponiendo que la Tierra es rígida y esférica, de radio r, y está cubierta de una capa de agua en reposo; también supondremos que la Luna está situada en el plano ecuatorial de la Tierra, y que ambas son inmóviles. Calculemos en primer lugar la fuerza gravitatoria que la Luna, de masa M, ejerce sobre un cuerpo de masa m en las distintas posiciones A, B, O y C en la Tierra (Figura 3.8).

Y C ϕ

fC Tierra

r

B

O

ecuador

ϕ

fA

fO

fB

r

A

M Luna

d

Figura 3.8

i X


75

La fuerza de atracción gravitatoria de la Luna sobre el cuerpo de masa m es: • Si está en A:

fA = γ

• Si está en O:

fO = γ

• Si está en B:

fB = γ

Mm

( d − r )2

i

Mm i d2 Mm

( d + r )2

i

Como fA > fO > fB tales fuerzas tratan de separar el cuerpo que está en A de O, y el cuerpo que está en O de B. En efecto, si se resta de las fuerzas en la superficie la que se ejerce en el centro de la Tierra, se obtiene la fuerza neta de atracción en la superficie respecto de la que se ejerce en su centro, es decir, se determina si la resultante neta trata de separar o de aproximar las masas de la superficie al centro; tales fuerzas se denominan fuerzas de marea. Veamos lo que resulta (Figura 3.9). • En A, la fuerza de marea es ⎛ 1 1⎞ d 2 − (d 2 + r 2 − 2rd ) 2r ⎟ FA = fA − fO = γMm⎜ i i ≅ γMm 3 i − = γ Mm 2 2 ⎟ 4 2 2 ⎜( d ⎠ d + d (r − 2rd ) d ⎝ d −r )

teniendo en cuenta que d >> r, esto es, la distancia entre los centros Tierra-Luna es mucho mayor que el radio terrestre. La fuerza de marea en A tiene la dirección de la línea de unión de los centros Tierra-Luna, y si el cuerpo es una masa de agua trata de alejarla de la superficie sólida produciendo el abultamiento en la cara de la Tierra enfrentada a la Luna. • En B, la fuerza de marea es ⎛ 1 1⎞ 2r ⎟ − FB = fB − fO = γMm⎜ 2 2 ⎟i ≅−γMm 3 i ⎜( d ⎠ d ⎝ d +r )

La fuerza de marea en B tiene la dirección de la línea de unión de los centros TierraLuna, tratando también de alejar la masa de agua de la superficie sólida pero en sentido contrario al que se encuentra la Luna, produciendo el abultamiento en la cara opuesta de la Tierra. Las fuerzas de marea en A y B dan lugar a las mareas altas. • Si el cuerpo está en C, a distancia l = (d2+ r2)1/2 de la Luna, la fuerza con que ésta lo atrae es (Figura 3.8)

fC = γ

Mm (cos ϕi − sen ϕj ) d 2 +r2

76


C Fc

Tierra FB

FA B

O

Luna

A M

d

ecuador

Figura 3.9

siendo cos ϕ = d/(d2 + r2)1/2 y como ϕ es muy pequeño, se puede hacer la aproximación sen ϕ ≅ tg ϕ = r/d, de modo que ⎡ Mm ⎢ d r fC = γ 2 i− ⎢ ( d 2 + r 2 )1 / 2 d +r 2 ⎣ d

⎤ Mm⎡ r ⎤ j ⎥≅ γ 2 ⎢ i − j ⎥ ⎥ d ⎣ d ⎦ ⎦

y la fuerza de marea es FC = fC − fO ≅−γMm

r j d3

perpendicular a la línea de unión de los centros de la Tierra y de la Luna, dirigida hacia el centro de la Tierra, y de módulo aproximadamente la mitad que la fuerza de marea en A y B, produciendo la marea baja. f) ¿Por qué es la Luna y no el Sol el astro que tiene mayor influencia en las mareas? Las fuerzas de marea debidas al Sol tienen las mismas expresiones anteriores, pero en este caso M es la masa del Sol y d la distancia al mismo; el cociente entre dichas fuerzas debidas a la Luna y al Sol, cualquiera que sea el punto que se considere, viene dado por 3 FL M L ⎛ dS ⎞ ⎜ ⎟ ≅ 2,2 = FS MS ⎝ dL ⎠

de modo que las fuerzas de marea debidas a la Luna son algo más del doble que las debidas al Sol, a pesar de que la fuerza de atracción del Sol en el centro de la Tierra es casi el doble (≅ 1,8) que la atracción lunar. La razón es que en la relación de fuerzas de marea el cociente de distancias está elevado al cubo, mientras que en la relación de fuerzas gravitatorias dicho cociente está elevado al cuadrado, de acuerdo con la ley de gravitación universal, ecuación (3.7). Cuando ambos astros están alineados con la Tierra (en Luna nueva y Luna llena) las fuerzas de atracción que ejercen se superponen, se refuerzan, dando lugar a la máxima elevación —mareas vivas—; se produce la mínima elevación —mareas muertas— cuando están en cuadratura.

3.5 Campo gravitatorio

77

g) ¿Por qué la Luna tiene una cara oculta? Al girar la Tierra sobre su propio eje, las mareas se van produciendo en distintos puntos de la superficie (no sólo líquida sino también sólida, aunque de manera menos acusada) dando lugar al arrastre y deformación de grandes masas de agua y de material sólido, originando pérdidas energéticas en forma de calor debido al rozamiento del agua con el fondo de la costa, y por la fricción interna de las rocas en sus movimientos de elevación y descenso; esta pérdida de energía del movimiento de rotación terrestre se manifiesta en una disminución de su velocidad angular (aumentando el período de rotación unos 16 μs cada año). Asimismo, la Tierra inducía mareas intensas sobre la Luna, dando origen a la disminución de la velocidad angular de rotación de la Luna hasta que, transcurrido un tiempo suficiente, sus períodos de rotación y de traslación orbital se igualaron; de este modo presentaba siempre la misma cara a la Tierra, con lo que la marea se volvió estacionaria —no cambia de posición— desapareciendo la pérdida de energía.

3.5 Campo gravitatorio La ley de la gravitación (3.7) implica dos aspectos que hay que señalar: uno es que las fuerzas se producen mediante una acción a distancia, el otro es que las fuerzas se manifiestan instantáneamente; es decir, si en un determinado instante cambia, por ejemplo, la posición de m2 y varía su distancia respecto de m1, instantáneamente se modifica —de acuerdo con el nuevo r— la fuerza que sobre aquella ejerce m1; la partícula 1 “conoce” instantáneamente lo que acontece a distancia de donde ella se encuentra. Las dificultades conceptuales de la descripción anterior pueden ser solventadas acudiendo al modelo equivalente del concepto de campo.

I. CONCEPTO DE CAMPO La idea es que si se coloca una partícula de masa m1 en una cierta región espacial dicha masa altera las propiedades físicas de tal zona; la alteración puede ser descrita mediante una magnitud vectorial G1(r) asociada a cada punto espacial, que se designa como campo gravitatorio (Figura 3.10a), y la alteración consiste en que si en algún punto de dicha región espacial se coloca otra masa (m2), el campo gravitatorio G1(r) en tal punto ejerce una fuerza gravitatoria sobre m2 que viene dada por el producto de la masa por el campo,

f21 = m2 G1 ( r )

(3.8)

La compatibilidad de (3.8) y (3.7) implica que

G1 ( r) =−γ

m1 e r 2 12

(3.9)

De la descripción de la fuerza gravitatoria como una interacción a distancia entre partículas se pasa, de este modo, a una interacción local entre el campo gravitatorio y la partícula. Se suele utilizar como imagen gráfica de la alteración espacial la deformación de una membrana

78


tensa al colocar sobre ella por ejemplo una bola de billar: el hundimiento que provoca da lugar a que si colocamos una bolita en la misma superficie “caería” hacia la zona hundida, movimiento que atribuiríamos a la acción de la fuerza generada por el campo (Figura 3.10b).

G1

m2 f21

m1

G1

(a)

(b)

Figura 3.10

El concepto de campo se generaliza; por definición,

campo es toda magnitud física que queda descrita en un dominio espacial en función de las coordenadas. El campo puede ser escalar o vectorial, según lo sea la magnitud. El campo gravitatorio G(r) es un campo vectorial dado que a cada punto de una determinada región espacial se le puede asociar el vector G(r), dependiente de la localización de dicho punto. La manifestación de dicho campo es mediante la fuerza que origina sobre una partícula colocada en algún punto de la región espacial de existencia del campo gravitatorio. La masa gravitatoria m1 es la propiedad de la partícula que da origen al campo gravitatorio G1(r), ecuación (3.9); y es la masa gravitatoria m2 de la partícula que soporta la acción del campo la propiedad que hay que considerar para obtener la fuerza que sobre ella actúa: igual al producto de tal propiedad característica por el campo (o intensidad de campo), ecuación (3.8). a) Principio de superposición Supongamos que las masas puntuales m1 y m2, en ausencia una de la otra, originan en el punto P los campos G1 y G2, respectivamente (Figura 3.11). ¿Qué campo existirá en P si ambas masas están presentes simultáneamente? La respuesta viene dada por el principio de superposición para los campos:

Los campos se superponen sin modificarse. Analíticamente,

G = G1 + G2


79

G1 P

m1 •

G

G2

m2 •

Figura 3.11

El principio de superposición contiene, pues, dos supuestos: • El campo creado por una partícula no se modifica por la presencia simultánea de otros campos. • El campo resultante en un punto es la suma (vectorial o algebraica —si se tratase de campos escalares—) de los campos existentes en dicho punto. Si en P se sitúa una masa m, se verá sometida a la fuerza f tal que

f = mG = m(G1 + G2 ) = mG1 + mG2 = f1 + f2 es decir, las fuerzas también se superponen sin modificarse. En física, el principio de superposición se aplica de modo muy general a campos escalares y vectoriales, a fuerzas (cualesquiera que sea su génesis) y a movimientos. b) Campo gravitatorio terrestre Consideremos una partícula de masa m situada a una altura h sobre la superficie terrestre, y sean mT y RT la masa y el radio de la Tierra (Figura 3.12).

m f

=

mT

h

= RT

e

Figura 3.12

80


La fuerza de atracción gravitatoria que ejerce la Tierra sobre la partícula es, de acuerdo con la ecuación (3.7),

f =−γ

mmT e ( RT + h )2

dirigida hacia el centro de la Tierra; o bien, con G el campo gravitatorio terrestre,

f = mG

(3.10)

Teniendo en cuenta que el radio terrestre es mucho mayor que h, (RT + h)2≈RT2, en la mayoría de los casos prácticos el campo gravitatorio en la proximidad de la superficie terrestre puede evaluarse mediante

G( RT ) =−γ

mT e RT2

(3.11)

de valor G ( RT ) = 9,82 m/s2 c) Peso El producto de la masa de la partícula por la aceleración de la gravedad (aceleración de caída debida a la atracción gravitatoria), g, es su peso P = mg; comparándola con (3.10) se puede considerar que los vectores G y g coinciden, a menos que se tenga en cuenta el movimiento de rotación terrestre, como se verá más adelante.

II. LÍNEAS DE CAMPO Los campos vectoriales se representan gráficamente mediante curvas denominadas líneas de campo, curvas tales que en cada uno de sus puntos el vector campo es tangente a la propia línea, asignándoles el mismo sentido que el del vector. Las líneas de campo no pueden cortarse, pues ello significaría que en el punto de corte existirían simultáneamente distintos vectores campo, lo que no es posible. En el caso de un campo de fuerzas, se habla de líneas de fuerza. Por ejemplo, las líneas de campo gravitatorio —en el plano del dibujo— originadas por la masa m1 (Figura 3.13a) son rectas radiales, con final en la masa generadora de dicho campo; en general, se denomina manantial el punto en donde nacen las líneas de campo, y sumidero, en donde mueren (p. ej. la masa m1). Puesto que, según (3.8), la fuerza f21 que originaría el campo gravitatorio G1 sobre la masa m2 es paralela al propio campo en cada punto, las líneas de fuerza y de campo coinciden. En la Figura 3.13b) se representan las líneas de campo gravitatorio de dos masas iguales.


G1

81

G2 G

m1

m2

m1 G1

m1 = m 2 (a)

(b)

Figura 3.13

a) Módulo del campo Las líneas de campo indican la dirección y sentido del vector campo A —cualquiera que sea— en cada punto, y también pueden informar de su módulo adoptando la norma de que la densidad de líneas en cada punto (número de líneas que atraviesan la unidad de superficie perpendicular a las mismas) sea igual al módulo del vector campo en dicho punto (dN/dSN = A); así pues, en las zonas espaciales en las que las líneas se encuentren más próximas el módulo del campo será mayor que en aquellas otras en que las líneas se encuentren más separadas. b) Flujo Se define el flujo de un campo vectorial (A) a través de una superficie (S) como la integral de superficie

Φ = ∫∫s A • dS = ∫∫s A • ( dSn) = ∫∫s AdS cos θ

(3.12)

siendo dS cada uno de los elementos infinitesimales en que se divide la superficie S, n el vector unitario normal a cada dS y θ el ángulo que forman los vectores A y n en cada punto de la superficie. De la definición de flujo se sigue que éste es máximo cuando las direcciones de A y dS coinciden. Si, de acuerdo con lo dicho en a), la densidad de líneas de campo es igual al módulo del vector campo, el flujo a través de una superficie coincide con el número de líneas de campo que la atraviesan, lo que permite dar una imagen gráfica del flujo. En una superficie cerrada, si el flujo es positivo es que hay manantiales dentro de la misma, y hay sumideros si el flujo es negativo.

III. TEOREMA DE GAUSS El campo gravitatorio en la superficie terrestre viene dado por (3.11), siendo RT el radio de la Tierra. Pero la Tierra tiene la masa distribuida en todo su volumen y no concentrada en su centro. ¿Por qué entonces tomar como distancia RT? Y en la fosa del Pacífico, a 11 km de profundidad bajo el mar, ¿cuál es el valor de G? ¿Qué masa y qué distancia habría que considerar en la fórmula (3.11)? Las respuestas se pueden obtener mediante el Teorema de Gauss

82


dS θ P

er

G r dΩ m

Figura 3.14

de la gravitación, que establece el valor del flujo del campo gravitatorio a través de una superficie cerrada. Consideremos una partícula de masa m. En un punto P a distancia r de la partícula, ésta crea un campo gravitatorio

G(r ) =−γ

m e r2 r

Tracemos una superficie cerrada, continua e imaginaria (superficie gaussiana) que rodee a la partícula y pase por el punto P; de acuerdo con (3.12) el flujo de G a través del elemento de superficie dS situado en P es (Figura 3.14) d Φ = G • dS = GdS cos( π− θ) =−γm

dS • e dS cos θ =−γm 2 r =−γmd Ω 2 r r

siendo dΩ el ángulo sólido elemental subtendido por el elemento de superficie dS (ecuación 1.23). A través de toda la superficie el flujo es

Φ = ∫∫s G • dS =−γm∫∫s dΩ Y como para una superficie cerrada,

∫∫ dΩ = 4π sr, s

el flujo resulta ser

Φ =−4π γm expresión del teorema de Gauss de la gravitación. De modo que el flujo del campo gravitatorio a través de una superficie cerrada arbitraria es proporcional a la masa contenida por dicha superficie.

(3.13)


83

a) Flujo de una masa exterior a la superficie Si la superficie gaussiana que se considera no encierra la masa m, cualquier cono infinitesimal con vértice en m y dirigido a la superficie corta a ésta un número par de veces (Figura 3.15) y el flujo neto a través de las superficies elementales cortadas por el cono viene dado por

d Φ =−γm

dS1 • er dS • e − γm 22 r = γmdΩ1 − γmdΩ2 = 0 2 r1 r2

ya que ambas superficies determinan un mismo ángulo sólido, dΩ1 = dΩ2 = dΩ, por lo que los flujos a su través son iguales y contrarios, dΦ1 = –dΦ2. Dado que el flujo elemental es nulo, también lo es el total a través de la superficie completa.

dS 2 er G2 dS1

dΩ er

m

G1

Figura 3.15

b) Distribución discreta y continua de masa Por el principio de superposición, el flujo del campo creado por una distribución discreta de masa es

Φ = ∫∫s G • dS =−4 πγ∑ mi i

Si la distribución es continua Φ = ∫∫s G • dS =−4 πγ ∫ dm La masa elemental dm se expresa en función de la densidad ρ o masa por unidad de volumen ρ=

dm m = dV V

{(S.I.: kg⋅m−3 ); [ρ] = ML−3 }

84


Algunos valores se dan en la tabla siguiente. sustancia ρ(kg⋅m–3)

oro

plomo

hierro

aluminio

agua

aceite

19,3 × 103 11,3 × 103 7,86 × 103 2,70 × 103 1,00 × 103 0,88 × 103

Si la masa se distribuye en una superficie, se utiliza la densidad superficial o masa por unidad de superficie ρ=

dm m = ds s

{(S.I.: kg⋅m−2 ); [ρ] = ML−2 }

o bien, la densidad lineal o masa por unidad de longitud ρ=

dm m = dl l

{(S.I.: kg⋅m−1 ); [ρ] = ML−1}

si la masa se distribuye en una línea. c) Distribución esférica de masa Calculemos por medio del teorema de Gauss el campo G de una distribución esférica continua y homogénea de masa m, de densidad ρ y radio R, en puntos P1 y P2, exterior e interior, respectivamente, a la misma, y que distan r de su centro (Figura 3.16). Para calcular el campo gravitatorio en P1(r > R) tomemos como superficie gaussiana la de una esfera de radio r concéntrica a la dada; se elige una superficie esférica concéntrica con la distribución de masa porque —debido a la simetría que tiene la distribución másica— el valor del campo es el mismo en todos los puntos de dicha superficie gaussiana y su dirección es radial, y se elige de radio r dado que así tal superficie esférica pasa por el punto P1, que es en el que se quiere determinar el campo gravitatorio.

r

P1

P2 r

R

G dS

G dS

Figura 3.16


85

El flujo de G a través de la superficie gaussiana de radio r > R es Φ = ∫∫s G • dS =−∫∫s GdS =−G ∫∫s dS =−4π r 2 G Aplicando el teorema de Gauss, tal flujo ha de ser igual a – 4πγm, Φ =−4π r 2 G =−4π γm de donde G (r ) = γ

m r2

(3.14)

Es decir, el campo gravitatorio creado por una distribución esférica de masa en puntos externos a ella es igual al que hubiera originado una partícula de la misma masa situada en el centro de la distribución pudiendo, a estos efectos, considerar la masa concentrada en el centro de la esfera. ¿Cuál es el campo gravitatorio en puntos interiores a la distribución, como P2(r < R)? Tracemos, ahora, la superficie esférica gaussiana pasando por dicho punto y concéntrica con la esfera másica; el flujo de G, al igual que antes, viene dado por

Φ = ∫∫s G • dS =−∫∫s GdS =−G ∫∫s dS =−4 πr 2G siendo r < R. Por otra parte, según el teorema de Gauss la capa esférica de espesor R – r no contribuye al campo en puntos a distancia r < R del centro de la distribución, por lo que el flujo ha de ser igual a Φ =−4 πγm´ 4 4 3 con m′ la masa contenida por la superficie gaussiana de radio r < R, es decir, m´= ρπr 3π .r . 3 3

G

O

R

Figura 3.17

r

86


Igualando ambas expresiones del flujo, la calculada y la definida por (3.13), 4 Φ =−4 πr 2 G =−4π γρ π r 3 3 resulta 4 G(r ) = π ργr 3

(3.15)

que aumenta linealmente con la distancia. En la Figura 3.17 se representa la variación del módulo del campo gravitatorio con r, alcanzando su máximo valor en la superficie de la esfera másica. Fuera de tal esfera toda la masa contribuye al valor del campo, pero éste disminuye con el cuadrado de la distancia. Dentro de ella, en un punto dado, la masa distribuida más alejada del centro que tal punto no contribuye al campo al cancelarse sus efectos por simetría, y el campo sólo es debido a la masa más próxima al centro de la esfera; en el mismo centro de la distribución el campo es nulo dado que toda la masa es “exterior” al punto, neutralizándose el campo gravitatorio.

Ejemplo 3.1 Calcule el campo gravitatorio generado por una superficie esférica de masa m y radio R, en puntos exteriores e interiores a la misma. La masa m se encuentra distribuida según una superficie esférica de radio R y espesor despreciable. Para realizar el cálculo del campo G mediante el teorema de Gauss se debe utilizar una superficie gaussiana que tenga en cuenta la simetría de la distribución, de modo que la integral del flujo ∫∫s G • d S sea sencilla de calcular; en este caso la superficie gaussiana debe ser esférica, que se situará en los puntos en que se desea calcular el campo.

r

P1

P2 r

R

G dS

G dS

En puntos P1 exteriores a la distribución de masa, el flujo de G a través de la superficie esférica gaussiana de radio r > R es Φ = ∫∫s G • dS =−∫∫s GdS =−G ∫∫s dS =−4 πr G 2

3.6 Fuerza central. Momento cinético

87

Como, por el teorema de Gauss, tal flujo ha de ser igual a Φ =−4π γm, resulta G(r ) = γ

m r

2

de modo que, también en este caso, el campo gravitatorio originado por una superficie esférica másica en puntos exteriores a la misma es igual al que crearía toda la masa concentrada en su centro. En puntos P2 interiores a la distribución másica, el flujo del campo gravitatorio a través de la superficie esférica gaussiana de radio r < R es nulo según el teorema de Gauss, ya que tal superficie no encierra ninguna masa, Φ = ∫∫s G • dS =−4 πγm = 0 por lo que G = 0: el campo gravitatorio es nulo en todos los puntos interiores a la distribución superficial de masa. En la figura se muestra la variación del campo con la distancia al centro de la esfera.

G

O

R

r

3.6 Fuerza central. Momento cinético La fuerza de atracción gravitatoria es un caso de fuerza central. Una fuerza que actúa sobre una partícula es central, con centro en el punto O, si su recta soporte pasa por O. Si r es el vector de posición de la partícula respecto de O y er su vector unitario, la fuerza central f está dirigida según la recta que une la partícula con O, y satisface la relación

f = fer

(3.16)

como es el caso, por ejemplo, de la tensión T que ejerce un cordel sobre la partícula que sujeta, haciéndola girar en un plano horizontal (Figura 3.18).

88


O er T

v

Figura 3.18

En la descripción de las características del movimiento originado por la acción de fuerzas centrales (movimiento, por ejemplo, de los planetas o cometas alrededor del Sol debido a la gravitación) juega un papel relevante una nueva magnitud física, el momento cinético o momento angular, L. El momento cinético o momento angular de una partícula respecto de un punto O, L(o), es el momento respecto de tal punto de la cantidad de movimiento de la partícula, p.

L(o) ≡ r (o)∧ p ≡ mr (o)∧ v

{(S.I.: kg⋅m 2 /s); [L] = ML2 T−1}

(3.17)

a) Ecuación dinámica del momento cinético Multipliquemos vectorialmente la ecuación (3.2), relativa a cualquier fuerza, por el vector de posición de la partícula de masa m respecto del punto fijo O, origen del referencial inercial S (Figura 3.19):

S

f m •

p

r(o) O

Figura 3.19

r (o)∧ f = r (o)∧

dp d = [ r(o) ∧ p] dt dt

pues d dr dp dp dp [ r (o)∧ p] = ∧ p + r ∧ = v∧ p + r ∧ = r ∧ dt dt dt dt dt

(3.18)


89

dado que v ∧ p = 0 al ser vectores paralelos. La ecuación (3.18) es

M (o) =

dL(o) dt

(3.19)

siendo M(o) el momento-fuerza respecto del punto O de la fuerza f, y L(o) el momento angular de la partícula respecto del mismo punto. b) Fuerza central Si aplicamos la ecuación (3.19) al caso de una fuerza central, tomando momentos respecto al centro O de dicha fuerza (Figura 3.20),

M (o) = r(o)∧ f = 0 por tener r(o) y f la misma dirección, por lo que, según (3.19), dL(o) =0 dt y (3.20)

L(o) = cte Además, multiplicando escalarmente dicho vector por el de posición r(o),

r (o) • L(o) = r(o) • [r (o)∧ p] = 0 de modo que r(o) es durante todo el movimiento perpendicular al vector fijo L(o), es decir, la trayectoria de la partícula es plana. (El producto mixto con un factor repetido es nulo; recuerde (1.25)). Si sobre una partícula actúa únicamente una fuerza central, de centro O, su momento angular respecto de dicho punto es constante, y su movimiento se realiza en un plano fijo que contiene al centro O.

L (o)

f O

Figura 3.20

r(o) trayectoria

90


Según (3.20) el momento cinético respecto del centro de la fuerza es un vector constante, es decir, mantiene el valor de su módulo y su dirección inalterable durante el movimiento. La constancia de la dirección proporciona la información de que el movimiento de la partícula es plano, como se ha visto; el valor constante del módulo implica que • si L(o) = 0, ∀t, entonces r(o) y v son vectores de igual dirección en todo instante —al ser su producto vectorial nulo— y el movimiento de la partícula es rectilíneo; • si L(o) ≠ 0, ∀t, entonces r(o) y v son vectores de distinta dirección en todo instante y el movimiento de la partícula es curvilíneo. Es clara, pues, la información que puede obtenerse de manera muy sencilla acerca del tipo de movimiento que realiza una partícula sometida a una fuerza central considerando el momento cinético de la misma respecto del centro de la fuerza. c) Movimiento en el plano Puesto que el movimiento de una partícula sobre la que solamente actúa una fuerza central es plano, trabajemos en el plano de la trayectoria y utilicemos coordenadas polares (Figura 3.21), tomando como origen el centro de la fuerza, O.

v S

f

r(o)

eθ O

er

θ

. L (o) (saliente del papel)

Figura 3.21

El vector de posición es r(o) = r er , y la velocidad, utilizando la ecuación (2.11), es

v=

de dr (o) = rer + r r = rer + r θ ∧ er = rer + r θeθ dt dt

suma de la velocidad radial, vr = rer , y de la velocidad transversal, vθ = r θeθ . El momento angular respecto de O, constante según (3.20), viene dado por

er

eθ

k

L(o) = r (o)∧ p = mr (o)∧ v = m r

0

0 = mr 2 θk = cte

r

rθ

0


91

siendo el módulo L = mr 2 θ = cte = h

(3.21)

∀t

¿Y cuál es el valor de la constante h? El que tenga en cualquier instante y por lo tanto el que tuviera en el instante inicial. Si designamos con subíndice cero el valor de r y θ en el instante t = 0 resulta que h = mr02 θ 0 Suponiendo que r0 ≠ 0, esto es, la partícula no se encuentra en el centro de la fuerza, entonces: • si θ 0 = 0 (no existe velocidad transversal inicial) ⇒ h = 0, L(o) = 0, y la trayectoria es recta, • si θ 0 ≠ 0 (existe velocidad transversal inicial) ⇒ h ≠ 0, L(o) ≠ 0, y la trayectoria es curva, como ya se comentó en b). d) Leyes de Kepler A principios del siglo XVII, el astrónomo Johannes Kepler estableció las tres leyes experimentales que llevan su nombre relativas al movimiento de los planetas alrededor del Sol. Tales leyes son:

• Primera: Las órbitas de los planetas son elipses, estando situado el Sol en uno de sus focos. • Segunda: Un planeta se mueve a lo largo de su órbita elíptica con una velocidad tal que la línea que une el Sol con el planeta barre áreas iguales en intervalos de tiempo iguales. Es decir, la velocidad areolar es constante (ley de las áreas). • Tercera: Entre el período T (tiempo que tarda el planeta en recorrer la órbita completa) y el semieje mayor a de la órbita elíptica existe la relación T2 = ka3, siendo k una constante que tiene el mismo valor para todos los planetas. Como las elipses son curvas planas, la primera ley incluye una característica del movimiento de un cuerpo sometido a una fuerza central.

S rdθ r(o)

v

dθ dA ≈ O⊗ L(o) (entrante al papel)

Figura 3.22

1 r · rdθ 2

92


La segunda ley es una consecuencia de la constancia del módulo del momento angular, ecuación (3.21). En efecto, el área infinitesimal dA barrida por el vector de posición del cuerpo respecto del centro de la fuerza es prácticamente el área de la mitad del rectángulo de lados r y rdθ señalado en la figura 3.22, 1 dA ≈ r 2 d θ 2 Y la velocidad areolar 1 A = dA / dt = r 2 θ = h / 2 m = cte 2 En órbitas elípticas, pues, la velocidad areolar es constante, pero no las velocidades angular ( θ ) ni lineal (v) que dependen del punto de la órbita en que se encuentra el cuerpo, es decir, de r. Así, en el caso terrestre por ejemplo (Figura 3.23), como v = θ r = cte/r, cuando la Tierra se encuentra en el perihelio (punto de la órbita más próximo al Sol) tiene mayor velocidad que en el afelio (punto más alejado).

T afelio

r

r

Sol

152,6 × 10 km 6

(julio)

T

147,5 × 106 km perihelio (enero)

Figura 3.23

El tipo de trayectoria plana (elíptica) y la tercera ley de Kepler son consecuencia, no ya de que la fuerza que ejerce el Sol sobre los planetas sea central, sino del hecho de ser una fuerza de atracción gravitatoria y, por tanto, inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. e) Acerca de la ecuación del momento cinético La ecuación dinámica del momento cinético, (3.19), no es independiente de (3.2), pues se ha obtenido de ésta al multiplicarla vectorialmente por el vector de posición; por ello, la información que proporciona (3.19) podría obtenerse finalmente de aquella; no obstante, (3.19) es útil —en este caso de fuerza central— pues proporciona características del movimiento de la partícula de un modo directo y significativo, como se ha visto.

3.7 Equilibrio y estabilidad Una partícula se encuentra en equilibrio estático respecto de un referencial si su velocidad —referida al mismo— es nula en todo instante. El equilibrio se dice cinemático si la velocidad de la partícula respecto del referencial es constante y no nula; en ese caso siempre existe otro referencial (moviéndose con la

93

3.7 Equilibrio y estabilidad

velocidad de la partícula) con relación al cual la partícula estaría en equilibrio estático, por lo que éste es el único que vamos a considerar y que simplemente designaremos como equilibrio. Una partícula en equilibrio está en reposo, manteniendo una determinada posición en el transcurso del tiempo. El equilibrio supone aceleración nula, y de acuerdo con (3.3), (3.22)

f =0

Si una partícula se encuentra en equilibrio, la fuerza neta que actúa sobre ella es nula. La igualdad (3.22) en componentes proporciona tres ecuaciones escalares de equilibrio, por ejemplo en cartesianas: fx = 0

fy = 0

fz = 0

(3.23)

Los criterios de estabilidad del equilibrio están relacionados con el tipo de respuesta del sistema a una pequeña perturbación de tal estado de equilibrio. Así: El equilibrio de la partícula es estable si una pequeña alteración respecto de su posición de equilibrio determina un movimiento que permite recuperar dicha posición o que se realiza en su entorno.

El equilibrio es inestable si una pequeña modificación respecto de su posición de equilibrio origina un movimiento que aleja la partícula cada vez más de tal posición. Cabe considerar una tercera posibilidad, que es el denominado equilibrio indiferente. El equilibrio es indiferente si una pequeña modificación respecto de su posición de equilibrio no origina movimiento alguno, sino que la partícula permanece indefinidamente en la nueva posición. Vamos a considerar el equilibrio y la estabilidad en el caso del péndulo simple, que supondremos constituido por una partícula de masa m unida a un extremo de un alambre recto muy fino de masa despreciable y longitud l que puede girar en el plano vertical alrededor de su otro extremo O que permanece fijo mediante un pasador (Figura 3.24).

94


Y

ft

O

X

eθ er θ l

T m ft

fn θ

ft mg

Figura 3.24

Supongamos que desviamos el péndulo de la dirección vertical descendente un ángulo θ y lo soltamos: se moverá realizando un movimiento de vaivén a un lado y al otro de la vertical. Las fuerzas que actúan sobre la partícula son su peso, mg, y la que ejerce el alambre sobre la partícula, T; ambas fuerzas definen un plano vertical en el que se realiza el movimiento. Debido al alambre, la masa m siempre se encuentra a distancia l del punto fijo O — el punto de suspensión del péndulo— por lo que su trayectoria es un arco de circunferencia de radio l y centro O. Como el movimiento es plano y tiene simetría circular, es útil utilizar coordenadas polares, r y θ, tomando O como origen y como eje polar el vertical. El vector de posición es

r = ler siendo l constante, y la velocidad,

v=

de dr = l r = l θ ∧ er = l θk ∧ er = l θeθ dt dt

expresión en la que se ha utilizado la relación (2.11), y de la que resulta evidente que eθ señala la dirección tangente a la trayectoria, dado que la velocidad siempre es tangente a la misma. Derivando de nuevo respecto del tiempo se obtiene la aceleración,

a = l θeθ + l θ

deθ = l θeθ − l θ 2 er dt

pues, con (2.11), deθ = θ ∧ eθ =−θer dt

3.7 Equilibrio y estabilidad

95

Las componentes de las fuerzas en dirección radial y transversal son: mg = mg cos θer − mg sen θeθ

T =−Ter

de modo que la fuerza en dirección radial es

fr =−(T − mg cos θ)er dirigida hacia el centro de la trayectoria, fuerza centrípeta causante de la aceleración centrípeta que da cuenta del cambio en dirección de la velocidad al recorrer la trayectoria circular. La ecuación del movimiento en dirección radial es, por tanto, T − mg cos θ = ml θ 2 = m

v2 l

(3.24)

y en dirección tangencial, cancelando la masa m, −g sen θ = lθ

(3.25)

a) Cuando el péndulo pasa por la posición vertical (θ = 0) no hay fuerza tangencial ni por ello aceleración tangencial (3.25), aunque sí existe velocidad, por lo que sobrepasa la vertical y prosigue el movimiento. Al pasar por la vertical el péndulo no se encuentra en equilibrio —se mueve— ni se cumple, claro es, la ecuación (3.22), al no ser nula la fuerza centrípeta, T – mg > 0, según (3.24). b) Si paramos el péndulo y lo dejamos en la vertical descendente (θ = 0) así seguirá indefinidamente mientras no lo alteremos, encontrándose en equilibrio; no hay ni fuerza tangencial ni centrípeta, puesto que la fuerza que ejerce el alambre sobre la masa y su peso son fuerzas iguales y contrarias, T = mg, según (3.24). ¿Pero qué tipo de equilibrio? Para saberlo basta con perturbar el péndulo ligeramente desviándolo de la vertical un ángulo muy pequeño y soltarlo; el movimiento que realiza es un reducido vaivén alrededor de la posición inicial, debido a la fuerza tangencial que se origina y que trata de llevar la partícula a la posición vertical: en consecuencia, la posición vertical descendente es de equilibrio estable. c) Si colocamos el péndulo en reposo en la vertical ascendente (θ = π), así continuará mientras no se le perturbe, encontrándose en equilibrio; tampoco hay fuerza tangencial ni centrípeta, pues la fuerza que ejerce el alambre sobre la partícula y el peso de ésta son también en esta posición fuerzas iguales y opuestas. Si se le desvía muy ligeramente de dicha posición, el péndulo se mueve de manera muy acusada alejándose rápidamente de la vertical como consecuencia de la acción de la fuerza tangencial que se origina, que no trata de llevar la masa m a la posición de partida sino de alejarla de la misma (Figura 3.24). Por lo tanto, la posición vertical ascendente del péndulo es de equilibrio inestable.

96


3.8 Fuerza recuperadora lineal en el movimiento oscilatorio Un movimiento es oscilatorio si la posición varía en el tiempo tomando alternativamente valores superiores e inferiores al valor de equilibrio estable, y pasando por éste. La figura (3.25) muestra movimientos oscilatorios respecto de la coordenada x, con x = 0 el valor de equilibrio estable.

x

x

t

0

0

t

Figura 3.25

Un movimiento oscilatorio no necesariamente ha de ser periódico, y a la inversa. Por ejemplo, el movimiento circular uniforme de una partícula, aunque periódico no es oscilatorio, dado que nunca pasa por la posición de equilibrio estable, que es el centro de la trayectoria. La causa de las oscilaciones en los sistemas oscilantes es la existencia de fuerzas en los mismos —denominadas fuerzas recuperadoras— que surgen al desplazarlos de su posición de equilibrio estable, y que tratan de llevarlos nuevamente a él.1

I. FUERZA RECUPERADORA LINEAL Estudiaremos únicamente las oscilaciones de sistemas • descritos mediante una sola coordenada (un solo grado de libertad) • tomando el origen de la coordenada en la posición de equilibrio estable • y en los que se cumple la ley de Hooke: La fuerza recuperadora es proporcional y opuesta al desplazamiento respecto de la posición de equilibrio estable.

1. En el libro del mismo autor “Mecánica del sólido rígido”, Editorial Ariel, Barcelona 2003, se realiza un estudio detallado de las oscilaciones libres y forzadas, con y sin amortiguamiento.

3.8 Fuerza recuperadora lineal en el movimiento oscilatorio

97

Si la coordenada es x, la ley de Hooke se expresa en la forma (3.26)

f =−kx

siendo k una constante de proporcionalidad positiva, conocida como constante elástica o recuperadora, o rigidez. En la ley de Hooke, además de la linealidad de la variación de f con x, queda de manifiesto —mediante el signo menos— la oposición de la fuerza recuperadora a la alteración de la posición de equilibrio estable, esto es, la tendencia de la fuerza a llevar el sistema a recuperar tal posición. (Como se verá más adelante, en algún caso —como en el péndulo simple— la fuerza recuperadora depende de la desviación angular respecto de la posición de equilibrio estable.) a) Masa y muelle Una masa sujeta a un muelle (Figura 3.26) constituye un oscilador cuya fuerza recuperadora satisface la ley de Hooke en un intervalo relativamente amplio de desviaciones respecto de la posición de equilibrio.

f(x) k m X 0

x

Figura 3.26

b) Asociación de muelles

• En paralelo (Figura 3.27). Si se ejerce una fuerza f sobre muelles en paralelo de constantes ki, i = 1, 2,..., la fuerza que soporta cada muelle individualmente es fi = kix, siendo x el desplazamiento común a todos los muelles. Por tanto, como f = ∑ fi =(∑ ki ) x = k eq x i

i

la constante elástica equivalente es keq = ∑ ki i

o sea, el sistema de muelles puede ser sustituido por un único muelle de constante keq que originará el mismo efecto.

98


x k1

k2 m

f

X

Figura 3.27

• En serie (Figura 3.28). Si es f la fuerza que se ejerce sobre muelles en serie de constantes ki, i = 1, 2,..., la fuerza que soporta cada uno de ellos es la misma, f = kixi, pues al alcanzar la elongación máxima se comportan como elementos rígidos y transmiten la fuerza al siguiente muelle. Sin embargo, el desplazamiento xi de cada muelle es diferente si son distintas sus constantes elásticas; en cualquier caso, el desplazamiento total que experimenta el sistema de muelles, x, es la suma de los desplazamientos parciales de cada uno de ellos, x = ∑ xi = ∑ i

i

f f = ki keq

de modo que 1 1 =∑ keq i ki y el sistema de muelles puede ser sustituido por un único muelle de constante keq que originará el mismo efecto.

x1 k1

x2 k2 f

m X

Figura 3.28

3.8 Fuerza recuperadora lineal en el movimiento oscilatorio

99

c) Muelle en espiral Si se trata de un muelle en espiral (Figura 3.29), a la desviación angular, θ, respecto de la posición de equilibrio estable se opone un momento-fuerza recuperador, M. La ley de Hooke en este caso toma la forma

(3.27)

M =−k θ

con k la constante de torsión del muelle.

M (θ) θ

Figura 3.29

II. ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO Consideremos un oscilador en el que se cumple la ley de Hooke. Teniendo en cuenta (3.26), la segunda ley de Newton queda f =−kx = mx

o bien

x +ω2 x = 0

(3.28)

con ω2 =

k m

(3.29)

siendo ω la pulsación o frecuencia angular del oscilador, real y positiva. La (3.28) es la ecuación diferencial del movimiento para oscilaciones del sistema debidas a una fuerza recuperadora lineal. El que ω reciba el mismo nombre que el utilizado en el m.v.a. (2.5.II) se justifica a continuación. a) Oscilaciones armónicas La solución de (3.28) es, con A1 y A2 constantes,

x(t ) = A1e iω t + A2 e−iω t

100


que puede también expresarse, al ser ω real, x = A{sen cos }( ω t + φ)

(3.30)

que corresponde a un movimiento vibratorio armónico.1 Por lo tanto, las oscilaciones debidas a una fuerza recuperadora lineal son armónicas. b) Período Tales oscilaciones armónicas son también periódicas, de período —según (3.29)—

T=

2π m = 2π k ω

(3.31)

c) Generalización Toda magnitud física escalar (ϕ) (temperatura, potencial eléctrico, componente de un campo vectorial, cualquier coordenada, etc.) cuya variación temporal quede descrita por una ecuación diferencial de la forma (3.28),

ϕ+ω2 ϕ = 0

(3.32)

tiene por solución ϕ(t ) = A{sen cos }( ω t + φ)

Esto es, la magnitud ϕ oscila armónicamente en el tiempo. d) Péndulo simple En el caso del péndulo simple se obtuvo la ecuación del movimiento en dirección tangencial (3.25), que puede expresarse como

g θ+ sen θ = 0 l

(3.33)

La ecuación (3.33) no coincide con (3.32), pues en el segundo término la constante no multiplica a la variable θ, sino a una función de la variable (sen θ), por lo que las oscilaciones del péndulo no son armónicas. La fuerza recuperadora es la componente tangencial de la fuerza peso, f θ =−mg sen θ

que no satisface la ley de Hooke —proporcionalidad entre fuerza y desplazamiento—, dando lugar a la ecuación (3.33). Sin embargo, para pequeñas desviaciones respecto de la 1. Sustituyendo (3.30) y su segunda derivada en (3.28) se puede comprobar que es solución.

3.9 Fuerza de rozamiento entre sólidos

101

posición de equilibrio estable —cuando es admisible la aproximación del seno por el ángulo (sen θ ≈ θ)— la fuerza recuperadora es lineal, f θ =−mg θ

y la ecuación (3.33) se reduce a θ+ ω2 θ = 0

con ω2 =

g l

que sí es similar a (3.32), de modo que las pequeñas oscilaciones del péndulo son armónicas, siendo su período T = 2π

l g

(3.34)

3.9 Fuerza de rozamiento entre sólidos I. PRESIÓN Supongamos que se coloca un bloque sobre una mesa horizontal (Figura 3.30). El bloque ejerce sobre la mesa una fuerza perpendicular a la misma que es su peso, mg; a su vez, la mesa ejerce una fuerza de reacción N sobre el bloque, contraria e igual que el peso para contrarrestarlo. El peso del bloque no actúa sobre un punto de la mesa, sino que se distribuye en toda la superficie de contacto; cuanto mayor sea ésta menor es la fuerza sobre cada punto de la misma, es decir, menor es la presión que ejerce el bloque sobre la mesa.

N

mg

Figura 3.30

Si f es el módulo de una fuerza cualquiera que actúa perpendicular y uniformemente sobre una superficie, la magnitud escalar presión se define como sigue:

Presión es la fuerza por unidad de superficie

102


P≡

f S

{(S.I.: Pa = N/m 2 ); [P ] = ML−1T−2 }

La presión explica por qué para andar por la nieve los esquimales utilizan raquetas en los pies, aumentando con ello la superficie de apoyo; así, la presión que su peso ejerce sobre el suelo disminuye, y no se hunden en la nieve. O por qué los faquires pueden acostarse en una cama de clavos sin herirse, basta con que el número de púas sea lo suficientemente elevado para que la presión que sobre el cuerpo ejerce cada uno de ellos no sea capaz de romper la piel.

II. ROZAMIENTO EN EL DESLIZAMIENTO Si se mueve el bloque sobre la mesa de la Figura 3.30 —y en general, en el movimiento relativo entre sólidos en contacto— surgen fuerzas que se oponen al mismo, dificultándolo o impidiéndolo. El rozamiento de Coulomb o seco es el que se da entre superficies de contacto secas, distinto de la interacción que se produce entre superficies de contacto cuando están separadas por una película de fluido, caso que aquí no se considerará. La principal causa del rozamiento seco parece ser la rugosidad microscópica de las superficies, sus resaltes y hendiduras se entrelazan oponiéndose a su movimiento relativo; cuando éste se produce, algunos de ellos se rompen o incluso se funden si se producen elevadas temperaturas en la zona de contacto, lo que explica el elevado desgaste que en general presenta tal zona. Para el estudio del rozamiento seco consideraremos que uno de los cuerpos está fijo, el cual ejerce sobre el otro —el considerado móvil— en el punto o superficie de contacto una fuerza de reacción (R) en general no perpendicular a la misma. Dicha fuerza puede considerarse la contribución de una fuerza normal (N) al plano tangente común y otra tangencial (fr) a dicho plano (Figura 3.31). La componente tangencial (fr) es la que se denomina fuerza de rozamiento y presenta ciertas características que vamos a considerar a continuación (se supone que la superficie de contacto es plana1 y no existe ni va a producirse movimiento de rotación).

N R F fr mg

Figura 3.31

1. De no ser así, siempre puede considerarse dividida en superficies infinitesimales planas (esto daría lugar a un problema complejo de rozamiento, que exigiría procedimientos de integración).


103

a) La fuerza de rozamiento aparece en la zona de contacto entre los sólidos b) La fuerza de rozamiento se opone al movimiento relativo entre los sólidos en el punto o superficie de contacto Para determinar su sentido basta con conocer qué sentido tendría la velocidad del punto (o puntos) del sólido móvil en contacto con el fijo de no existir rozamiento: la fuerza de rozamiento llevará sentido contrario. c) La fuerza de rozamiento depende de la naturaleza y estado de las superficies En principio puede pensarse que cuanto más rugosas sean las superficies, mayor será el rozamiento; lo que suele ser cierto cuando la naturaleza de los materiales es diferente, dado que tales rugosidades representan obstáculos para el movimiento relativo. Pero si las superficies son de igual naturaleza, la fuerza de rozamiento será mayor cuanto más pulidas estén, al ser más intensa la cohesión entre las moléculas iguales de ambas superficies por estar más próximas; un buen ejemplo de ello lo constituyen dos planchas de un mismo tipo de vidrio, bien pulidas y limpias, puestas en contacto. d) La fuerza de rozamiento estático es variable Al hacer la experiencia de la figura 3.31 en la que un bloque está apoyado sobre un plano horizontal, si se trata de mover el bloque sobre la superficie plana ejerciendo una fuerza F, para pequeños valores de la misma el bloque no se mueve, lo que significa que la fuerza de rozamiento, fr, compensa a la fuerza F. Si se aumenta la cuantía de F se sigue produciendo el mismo resultado, por lo que fr también ha aumentado, hasta que se alcanza un cierto valor de la fuerza activa F a partir del cual el bloque comenzaría a moverse: la fuerza de rozamiento que equilibra a F ha alcanzado su máximo valor posible (Figura 3.32). Este valor límite depende de la cuantía de la componente normal de la reacción, N, y viene dado por

(3.35)

f r = μs N

siendo μs el coeficiente estático de rozamiento, dependiendo su valor de la naturaleza y estado de las superficies en contacto; en general, se encuentra en el rango de 1,5 a 0,04. Es evidente de lo dicho que para fuerzas F menores que la que origina el movimiento relativo, la cuantía de la fuerza de rozamiento —que compensa a F— es menor que su valor límite, de modo que en general: (3.36)

f r ≤ μs N

Si μs fuese nulo, no existiría fuerza de rozamiento y la superficie se diría que es lisa; en este caso la fuerza de reacción R coincide con la normal N.

F

movimiento inminente

sin movi miento

movimiento, v = cte

Figura 3.32

t

104


e) Fuerza de rozamiento cinético Como se muestra en la figura 3.32, la fuerza F necesaria para mantener el cuerpo a velocidad constante es menor que la necesaria para que se inicie el movimiento, por lo que cuando existe movimiento relativo entre las superficies en contacto también actúa la fuerza de rozamiento, si bien su cuantía es menor que en condiciones estáticas e independiente de la velocidad relativa si ésta es pequeña:

(3.37)

f r = μk N

μk es el coeficiente cinético de rozamiento, en general algo menor que el coeficiente estático e independiente de la velocidad.

Coeficientes de rozamiento Materiales Vidrio sobre vidrio Acero sobre acero Cobre sobre vidrio Aluminio sobre acero Cobre sobre acero Latón sobre acero Hielo sobre hielo Teflón sobre teflón

Estático μs

Cinético μk

0,94 0,74 0,68 0,61 0,53 0,51 0,1 0,04

0,40 0,57 0,53 0,47 0,36 0,44 0,03 0,04

f) La fuerza de rozamiento es independiente de la extensión de las superficies en contacto

Si bien el aumento del área de contacto entre dos superficies genera una mayor fuente de fricción, también reduce la presión entre ambas superficies para una misma fuerza que las mantenga juntas (la fuerza normal). Como la presión depende del área de contacto resulta que el incremento en la fricción a que da lugar un aumento del área de contacto se compensa por la reducción en la presión, de modo que aumenta la zona de fricción pero la fricción es menor al presionar menos una superficie sobre la otra; la fuerza de rozamiento resultante depende de la fuerza que mantiene en contacto las superficies, pero no de la extensión de éstas. Claro es que si se mantuviese la presión en el contacto de las superficies, un aumento de superficie implicaría una fuerza de rozamiento mayor porque también habría aumentado la fuerza normal, que es uno de los factores que determina la cuantía de fr. En la figura 3.33 la fuerza de rozamiento es de igual cuantía para las dos posiciones del bloque ya que la reducción de área que la segunda configuración implica se compensa por el aumento de presión que tal posición origina.


105

F F fr

fr

mg

mg

Figura 3.33

g) La fuerza de rozamiento y el principio de acción y reacción

Como ya se ha dicho, la fuerza de rozamiento se opone al movimiento relativo de los sólidos en el punto de contacto, pero es la fuerza que permite andar y que una rueda motriz de un vehículo actúe como tal. Al andar nos apoyamos en el suelo y lo empujamos hacia atrás, y el suelo responde con una fuerza igual y contraria que nos lleva hacia delante; si no existiera rozamiento, resbalaríamos y no conseguiríamos avanzar. El mismo efecto se produce en el caso de las ruedas motrices de un vehículo, que giran por la acción del motor y empujan el suelo hacia atrás a causa del rozamiento, por lo que el suelo las empuja hacia delante. Veamos con más detenimiento este aspecto, considerando el caso de un camión —cuyas ruedas son motrices— que tira de un remolque (Figura 3.34).

x´

Figura 3.34

Fijémonos, en primer lugar, en las fuerzas actuantes sobre el remolque (Figura 3.35). Éstas son la fuerza f1 con que el camión tira del remolque, y la fuerza f′ de rozamiento de la rueda con el suelo. Puesto que f1 trataría de desplazar hacia delante el punto de contacto de la rueda con el suelo, la fuerza de rozamiento —que se opone a tal movimiento relativo— lleva sentido contrario. Si con u se designa el vector unitario “hacia delante”, se tiene que la fuerza resultante sobre el remolque es

R1 = f1 + f´= ( f1 − f ´)u

106


f1

f′

u

Figura 3.35

Veamos, en segundo lugar, las fuerzas actuantes sobre el camión (Figura 3.36). Éstas son la fuerza f2 con la cual el remolque tira del camión, y la fuerza F de rozamiento de la rueda con el suelo. En este caso, las ruedas del camión son motrices, el motor las hace girar; si las imaginamos levantadas del suelo, las ruedas giran en el sentido de las agujas del reloj; si se bajan y entran en contacto con el suelo, el punto de contacto de la rueda con el suelo va hacia atrás, de modo que la fuerza de rozamiento que ejerce el suelo sobre la rueda trata de evitar tal movimiento relativo, tomando el sentido hacia delante. De otro modo, la rueda empuja el suelo hacia atrás, por lo que el suelo empuja la rueda hacia delante por el principio de acción y reacción. Al igual que antes, con el mismo vector unitario u, se tiene que la fuerza resultante sobre el camión es

R2 = f2 + F = (F − f2 )u

f2

F

u

Figura 3.36

Ahora bien, si f1 es la fuerza con que el camión tira del remolque, el remolque debe tirar del camión con una fuerza igual y contraria, es decir, f1 y f2 son un par de acción y reacción, de modo que f2 = – f1 y

R2 =− f1 + F = ( F − f1 )u La fuerza resultante sobre el suelo (Figura 3.37), si (– f ′) y (–F) son las fuerzas de reacción de f ′ y F, respectivamente —es decir, las fuerzas que sobre el suelo realizan las ruedas del remolque y del camión—, es

R3 = (− f ´) + (−F ) = ( f ´−F ) u


107

suelo u

–f ′

–F

Figura 3.37

La fuerza resultante sobre el sistema camión+remolque viene dada por

R4 = R1 + R2 = ( f1 + f´ ) + (− f1 + F ) = F + f´= ( F − f ´)u La fuerza resultante sobre el sistema camión+remolque+suelo es

R5 = R1 + R2 + R3 = ( f1 + f´ ) +(− f1 + F ) + (− f´ ) +(−F ) = 0

III. ROZAMIENTO EN LA RODADURA En el movimiento relativo de dos cuerpos en contacto, no sólo es posible el movimiento de traslación en el que uno de los cuerpos se mueve respecto del otro sin cambiar su orientación, con lo que hay movimiento —deslizamiento— en el punto o zona de contacto, sino que también es posible un movimiento de traslación más rotación en el que uno de los cuerpos se mueve respecto del otro cambiando además su orientación, es decir, rodando. Ya se ha analizado el rozamiento en el primer caso; queda, ahora, comentar el rozamiento que surge en el movimiento de rodadura. Al rodar un cuerpo sobre una superficie, debido a la deformación (en general pequeña) que se produce en la zona de contacto, surge una resistencia a la rodadura que trata de impedir o dificultar tal movimiento. Cuando el cuerpo está en reposo, las reacciones normales en la zona de apoyo están distribuidas simétricamente, de modo que la resultante N se encuentra en la vertical que pasa por su centro (Figura 3.38a); no ocurre así cuando se mueve, pues las reacciones aumentan en el sentido del movimiento y disminuyen en sentido contrario, desplazándose la resultante N (Figura 3.38b). La resistencia que ofrece la superficie al rodar el cuerpo se puede visualizar como un pequeño escalón en la dirección del movimiento que el cuerpo tiene que salvar, lo que da lugar a que el punto de aplicación de la reacción de la misma sobre el cuerpo rodante no se encuentre en la perpendicular trazada por el centro C, sino desplazado una distancia k en la dirección en que rueda o se pretende hacer rodar el cuerpo. Si se trata, por ejemplo, de un disco, y designamos por N y f las componentes normal y tangencial de la fuerza de reacción (Figura 3.38c), su momento-fuerza respecto del centro C viene dado por

i j k M (c) = r(c)∧ ( f + N ) = r sen ϕ 0 −r cos ϕ = ( f r cos ϕ− N r sen ϕ) j −f 0 N

108


N

N sentido de rotación

(a)

(b) Z

k

F

sentido de rotación

C mg f

r N ϕ X

O A (c)

Figura 3.38

El término f r cos ϕ favorece el movimiento de rotación, mientras que N r sen ϕ = Nk se opone al mismo; en consecuencia, en general, la resistencia al movimiento de rodadura puede expresarse mediante un momento-fuerza proporcional a la reacción normal

M r = kN

(3.38)

siendo k el coeficiente de rozamiento de rodadura, con dimensiones de longitud. La resistencia a la rodadura es mucho menor que la resistencia al deslizamiento; de ahí la utilización de ruedas o rodillos en el transporte de cuerpos pesados. Por ello, si el cuerpo desliza y rueda se puede despreciar la resistencia a la rodadura frente al rozamiento del deslizamiento.

Ejemplo 3.2 Una partícula de masa m, que inicialmente se encuentra en reposo, se deja caer desde el borde de una semiesfera lisa de radio r. Determine en función de la posición: a) su aceleración angular; b) su velocidad angular; c) su velocidad y aceleración; d) la reacción R de la superficie. m

O r


109

Consideremos una posición cualquiera durante el movimiento, y escribamos las ecuaciones del movimiento en polares. Como el vector de posición es r = rer siendo r constante, la velocidad viene dada por eθ

O r

φ R m

er θ

φ mg

v=

dr dt

=r

der dt

= r ω ∧ er =−r

dφ dt

k ∧ er =−r ωeθ

habiendo utilizado la relación (2.11), y con eθ en la dirección tangencial a la semiesfera, dado que er tiene la dirección radial. Derivando de nuevo respecto del tiempo se obtiene la aceleración, a =−r ωeθ − r ω

deθ dt

2

=−r ωeθ − r ω er

pues, con (2.11), deθ dt

= ω ∧ eθ = ωer

Las fuerzas peso, mg, y reacción de la superficie sobre la partícula, R, que ha de ser perpendicular a la superficie por ser ésta lisa (no hay rozamiento) tienen componentes en dirección radial y tangencial: mg = mg sen φer − mg cos φeθ

R =−Rer

La ecuación del movimiento en dirección radial es, por tanto, R − mg sen φ = mr ω

2

siendo el primer miembro la fuerza centrípeta necesaria para que exista cambio en la dirección de la velocidad al moverse la partícula sobre la semiesfera. La ecuación del movimiento en dirección tangencial es −mg cos φ =−mr ω a) De ésta última se obtiene

ω=

g r

cos φ

b) Expresando la aceleración angular en la forma ω=

dω dt

=

dω dφ d φ dt

=ω

dω dφ

=

g r

cos φ

110


Se puede escribir ωd ω =

g r

cos φd φ

e integrando ω

g

φ

r

0

ω

∫ ωd ω = ∫ cos φd φ ⇒ 0

2

2

=

g r

sen φ]0 = φ

g r

sen φ

por lo que 2g

ω=

r

sen φ

c) La velocidad es v =−r ωeθ =− 2 gr sen φeθ y la aceleración 2

a =−r ωeθ − r ω er =−g(2 sen φer + cos φeθ ) de módulo,

a = g 1 + 3sen 2 φ

d) De la ecuación del movimiento en dirección radial se obtiene R. 2

R = mg sen φ+ mr ω = m( g sen φ+ r

2g r

sen φ) = 3mg sen φ

Ejemplo 3.3 Calcule la velocidad máxima con la que un automóvil puede tomar una curva de radio r sin salirse de la misma, siendo μ el coeficiente de rozamiento entre las ruedas y la carretera: a) si la curva no tiene peralte; b) si tiene peralte de ángulo α. a) Las fuerzas que actúan sobre el móvil son su peso, la reacción normal sobre el cuerpo de la superficie sobre la que se apoya y la fuerza de rozamiento entre las ruedas y el suelo. Puesto que no derrapa, la resultante de todas ellas debe proporcionar la fuerza centrípeta suficiente para que la trayectoria del automóvil coincida con el trazado de la curva. Es decir, N v r C

C

fr mg

N + mg + fr = fcp


111

Pero en la dirección vertical, al no existir movimiento en tal dirección, N + mg = 0

N = mg

⇒

por lo que v2

fr = fcp = m

(i)

r

y, en el caso límite, sin que se produzca derrape, (ii)

fr = μN = μmg

Igualando, pues, (i) e (ii) se obtiene que vmax =

μgr

b) Al igual que antes, N + mg + fr = fcp

Consideremos sus proyecciones según las direcciones vertical N cos α− mg − fr sen α = 0

y horizontal N sen α + fr cos α = m

N

v2 r

α

r C α fr

mg

α

En el límite, fr = µN, y sustituyendo N cos α− μN sen α = mg N sen α+ μN cos α = m

De la primera ecuación se obtiene la fuerza normal, N=

mg

cos α− μ sen α

v

2

r

112


que sustituida en la segunda ecuación permite obtener la velocidad máxima, vmax = gr

tg α + μ 1 − μ tg α

Ejemplo 3.4 En el sistema de la figura, el cuerpo de masa m 2 tira del cuerpo de masa m1 haciéndolo subir por el plano inclinado un ángulo α respecto de la horizontal, mediante un hilo inextensible y sin masa que pasa por una polea de masa y rozamiento despreciables. Si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo 1 y el plano es µ, determine: a) la aceleración de los cuerpos; b) la aceleración y la tensión del hilo para los valores α = 30º, m1 = 8 kg, m2 = 10 kg, µ = 0,6.

m1 m2 α

a) Al ser el hilo inextensible y sin masa, y la polea sin masa y sin rozamiento, la aceleración de los dos cuerpos es la misma (a). Sobre el cuerpo 1 actúan las fuerzas normal (N), de rozamiento (fr), su peso (m1g) y la tensión de la cuerda (T). La segunda ley de Newton para tal cuerpo es

N + m1 g + fr + T = m1 a Tomando componentes según la dirección del plano inclinado (tomemos el eje X según el plano) y perpendicularmente al plano (sea el eje Y) se tiene, respectivamente, T − fr − m1 g sen α = m1 a

(i)

N − m1 g cos α = 0

(ii)

Y

X a

N

T

m1 fr

T m2

α = 30º m1 g

α

m2 g

a


113

Como el rozamiento es cinético, la fuerza de rozamiento es, ecuación (3.37), fr = μN = μm1 g cos α

teniendo en cuenta la ecuación (ii). Sustituyéndola en (i), T − m1 g ( μ cos α + sen α) = m1 a

(iii)

Sobre el cuerpo 2 actúan su peso (m2g) y la tensión de la cuerda (T), ambas en la dirección de la aceleración a; la segunda ley de Newton para dicho cuerpo es m2 g + T = m2 a

y en la dirección vertical, m2 g − T = m 2 a

Despejando de ésta la tensión, T = m2 ( g − a)

(vi)

y sustituyendo en (iii), se obtiene la aceleración, a=

g[ m2 − m1 ( μ cos α + sen α)] m1 + m2

b) Para los valores dados, la aceleración es a = 1 m/s

2

La tensión del hilo se obtiene de (iv) T = m2 ( g − a ) = 88 N

Ejemplo 3.5 Sobre una mesa horizontal se encuentran, uno sobre el otro, dos bloques, 1 y 2, de masas m1 y m2 respectivamente. Si existe rozamiento entre los bloques (μ1) y con la mesa (μ2), calcule la aceleración del bloque 2: a) si sobre él actúa una fuerza F tal que se mueven juntos ambos bloques; ¿cuánto debe valer el coeficiente de rozamiento estático para que esto ocurra?; b) si sobre el bloque 2 actúa una fuerza F′ suficiente para que el bloque 1 deslice sobre él.

1 2

a F

114


a) Consideremos el sistema constituido por los dos bloques 1 y 2; en la figura se muestran las fuerzas externas actuantes en el sistema; la ecuación del movimiento en dirección horizontal es

N 1 fr

a

2

F

(m1 + m2)g

F − fr = (m1 + m2 )a

siendo fr = μk 2 N = μk 2 (m1 + m 2 )g

Sustituyendo, a=

F − μk 2 ( m1 + m 2 ) g m1 + m 2

1

a f12

f21 fr

a 2

F

Las fuerzas de rozamiento entre los bloques, f12 y f21 (que constituyen un par de acción-reacción) son internas al sistema de los dos bloques, por lo que no se han considerado en la ecuación dinámica. Si no existiera rozamiento entre los bloques, al actuar F se movería el bloque 2 pero no el 1, que permanecería en reposo respecto de la mesa; al existir rozamiento, el bloque 2 arrastra al 1 con una fuerza f12 de igual sentido y dirección que F. Si los bloques permanecen unidos se cumple que f12 ≤ μs1 m1 g

y como el bloque 1 marcha también con aceleración a, f12 = m1 a

de modo que μs1 ≥ a / g


115

b) En el caso límite, la máxima fuerza de rozamiento que se puede generar entre los bloques es f12 = μs1 m1 g

y si la fuerza actuante sobre el bloque 2 es mayor, F ´> μs1 m1 g

existirá movimiento relativo entre los bloques, y el 1 se moverá hacia atrás respecto del 2. La segunda ley de Newton aplicada al bloque 2, en dirección horizontal, es

a 1

f ′12

f ′21 fr

a′ F′

2

F ´− fr − f ´21 = m 2 a´

con f ´21 = μk1m1 g

y su aceleración a´=

F ´−μk 2 ( m1 + m2 ) g − μk1 m1 g m2

Ejemplo 3.6 Se denomina velocidad límite a la velocidad máxima que alcanza un cuerpo que se mueve en el seno de un fluido bajo la acción de una fuerza constante. El que se alcance una velocidad máxima se debe a que los fluidos se oponen a tal movimiento. Tal oposición se formula mediante una fuerza resistente o fuerza de rozamiento que depende de la forma y velocidad del cuerpo, y de la naturaleza del fluido. Calcule la velocidad límite de caída: a) de una gota de lluvia, sabiendo que la fuerza de rozamiento con el aire es f = –kv, siendo k el coeficiente de rozamiento; b) de un paracaidista con el paracaídas abierto, siendo la fuerza de rozamiento f = –Kvv, con K el coeficiente de rozamiento. f a

v mg

f v

a

j

mg (a)

(b)

116


a) La gota está sometida a la acción de su peso y de la fuerza de rozamiento, que es proporcional a la velocidad (lo que ocurre para pequeñas velocidades) y opuesta a ella. La ecuación del movimiento es, pues,

ma = mg + f =−mgj − k (−vj ) =−( mg − kv ) j

(i)

Como la fuerza resistente va aumentando con la velocidad, llega un instante en que iguala a la fuerza peso, anulándose la aceleración, con lo que el movimiento subsiguiente es a velocidad constante; ésta es la velocidad límite y su valor se obtiene igualando a cero (i), vl = mg / k La velocidad límite de una gota de agua es de unos 9 m/s (32 km/h)

b) En el caso del paracaidista la fuerza de rozamiento es proporcional al cuadrado de la velocidad (lo que ocurre para altas velocidades) y opuesta a ella, por lo que la ecuación del movimiento viene dada por ma = mg + f =−mgj − Kv(−vj ) =−( mg − Kv 2 ) j

(ii)

Al igual que antes, cuando la fuerza de rozamiento iguala al peso, el movimiento de caída del paracaidista es uniforme, con velocidad límite, igualando a cero (ii), vl =

mg K

El coeficiente de rozamiento K, entre otros factores, depende del área máxima de la sección transversal que presenta el cuerpo perpendicular a la dirección de su movimiento; por ello, la velocidad límite de un paracaidista con el paracaídas abierto es de unos 5 m/s (18 km/h), y de 60 m/s (216 km/h) aproximadamente, si el paracaídas permanece cerrado.

Capítulo 4 MOVIMIENTO RELATIVO. FUERZAS DE INERCIA

4.1

Transformación de Galileo ...............................................................................118

4.2

Cinemática relativista.......................................................................................122

4.3

Sistemas no inerciales. Fuerzas de inercia en el movimiento rectilíneo ......129

4.4

Fuerzas de inercia en el movimiento curvilíneo ............................................135

4.5

Rotación terrestre y aceleración de la gravedad............................................146

118


4.1 Transformación de Galileo Ya hemos visto que tanto la posición como su cambio temporal —el movimiento— están referidos a un cierto sistema de referencia, es decir, el movimiento es relativo. Por otra parte, de un modo general, los sistemas de referencia se pueden clasificar en inerciales o no acelerados, y no inerciales o acelerados. Veamos en primer lugar en qué cambia y en qué no cambia la descripción del movimiento realizada por dos observadores situados en dos sistemas inerciales. Consideremos dos referenciales inerciales S y S′ animados de un movimiento relativo de traslación uniforme, de modo que S′ se mueve respecto de S con velocidad constante V (S se moverá, pues, respecto de S′ con velocidad –V). Relacionemos la posición de una partícula P respecto de ambos referenciales. Las expresiones son más sencillas si se toman los ejes de S y S′ paralelos, uno de ellos en la dirección de V, por ejemplo el X ≡ X′, y si ambos observadores ponen su reloj en marcha (instante inicial: t = 0, t′ = 0) cuando los orígenes O y O′ de ambos referenciales coinciden. Al cabo de un tiempo t desde ese instante, los vectores de posición r y r′ de la partícula P están relacionados en la forma (Figura 4.1) S

S′ Y′

Y

P(x, y, z) (x′, y′, z′)

r r′ V

O′

O Z

X ≡ X′

Z′ Figura 4.1

r = OO′ + r′ = Vt + r′ o bien, (4.1)

r′ = r − Vt

Si desdoblamos cada vector en suma de dos vectores, uno en la dirección de V, que designaremos como paralelo ( ), y otro perpendicular a V (⊥), la ecuación (4.1) queda r′ = r − Vt

(4.2)

r⊥′ = r⊥

y en componentes cartesianas x′ = x −Vt

y′ = y

z′ = z

t′ = t

(4.3)

4.1 Transformación de Galileo

119

Las ecuaciones anteriores son distintas formas de expresar la llamada transformación de Galileo (es decir, la relación entre las expresiones relativas a dos referenciales inerciales de la posición de una partícula y del tiempo). a) Tiempo absoluto Se ha incluido la igualdad t′ = t para indicar que la medida del tiempo es igual en ambos referenciales; de hecho, se considera igual en cualquier referencial, sea o no inercial, es decir, en la mecánica newtoniana el tiempo es absoluto, transcurre de igual modo para todos los observadores independientemente de su estado de movimiento. El intervalo de tiempo entre dos sucesos es el mismo para todo observador, ∆t′ = ∆t, por lo que si dos sucesos son simultáneos para un observador —se producen en el mismo instante (∆t = 0)— también lo son para cualquier otro.

La simultaneidad es absoluta. b) Intervalo espacial

S

S′

Y

Δr

Y′

P(t 2 = t′2 )

P(t1 = t′1 ) r2 r1

r′1

r′2 V O′

O Z

X≡X′

Z′

Figura 4.2

La distancia ∆r entre las posiciones de la partícula en dos instantes t1 y t2 = t1 + ∆t se puede obtener (Figura 4.2) de la diferencia entre los vectores r2 y r1; con (4.1) se obtiene ∆r = r2 − r1 = ( r2′ + V ∆t ) − ( r1′+ V ∆t ) = r2′ − r1′ = ∆r′ con lo que todos los observadores inerciales miden el mismo intervalo espacial. Por ello se dice que el intervalo espacial es invariante bajo una transformación de Galileo.

120


c) Transformación de velocidades La relación entre las velocidades de P observadas en S y S′ se obtiene derivando (4.1) respecto del tiempo (4.4) v′= v − V o bien, derivando en (4.2),

v′ = v − V

v⊥′ = v⊥

(4.5)

y en componentes cartesianas v′x = v x − V

v′y = vy

v′z = vz

que pueden obtenerse directamente derivando (4.3). Las ecuaciones anteriores expresan la ley de composición de velocidades o de transformación de velocidades en la mecánica newtoniana. d) Transformación de aceleraciones Derivando ahora la ecuación (4.4) respecto del tiempo se obtiene la relación entre las aceleraciones de la partícula P observadas en ambos referenciales inerciales

(4.6)

a′= a o bien, a′x = ax

a′y = a y

a′z = az

de modo que una partícula tiene la misma aceleración en todos los sistemas inerciales, y como (4.6) resulta de derivar dos veces respecto del tiempo la ecuación (4.1), otra forma de expresar el resultado anterior es señalar que la aceleración de una partícula permanece invariante bajo una transformación de Galileo. e) Invariancia de las leyes mecánicas El observador situado en S y el observador situado en S′ consideran que la fuerza que actúa sobre la partícula P de masa m (f y f′, respectivamente) estará relacionada con la aceleración correspondiente (a y a′) mediante la segunda ley de Newton,

f ′ = ma′

y

f = ma

y como las aceleraciones son iguales, (4.6), también lo son las fuerzas f ′= f

4.1 Transformación de Galileo

121

de modo que las leyes básicas de la mecánica son invariantes bajo una transformación de Galileo, o bien: Principio de relatividad: las leyes básicas de la mecánica son las mismas para todos los observadores inerciales. Esto significa que, por ejemplo, en un tren que se mueva a velocidad constante y no sea perturbado por las irregularidades de las vías, se puede jugar al billar sin que el comportamiento de las bolas difiera del que tendrían con el tren en reposo, por lo que a partir del análisis de ese fenómeno mecánico —los choques— no se podría deducir que nos encontramos quietos o en movimiento rectilíneo y uniforme. Este principio de relatividad de GalileoNewton expresa la imposibilidad de determinar mediante experimentos mecánicos qué referencial está en reposo absoluto —si existe tal referencial— y cuáles se mueven a velocidad constante respecto de aquel.

Ejemplo 4.1 Las gotas de lluvia, debido a la fuerza de fricción con el aire, caen con velocidad constante. Suponiendo ausencia de viento y que la velocidad de las gotas respecto del suelo es de 9 m/s, determine el valor y la dirección de la velocidad de caída de la lluvia respecto de un camión que marcha por una carretera recta y horizontal a 82,8 km/h. S

S′

Y

Y′

α

v′

v

V X′

j i

X

El suelo y el camión constituyen dos referenciales, S y S′, con movimiento relativo a velocidad constante V. Situemos en ellos los ejes (X, Y) y (X′, Y′) paralelos entre sí. Las velocidades vienen dadas, pues, por V = 82,8i km/h = 23 i m/s

v =−9 j m/s

De acuerdo con (4.4), la velocidad de las gotas de lluvia respecto del observador móvil S′ viene dada por

v′= v − V = −23i − 9 j de módulo v´= 24, 7 m/s

122


con una inclinación respecto de la vertical, tg α =

v′x v′y

=

−23 −9

= 2, 55

⇒

α = 68, 6º

4.2 Cinemática relativista La transformación de Galileo permite relacionar las observaciones en dos referenciales inerciales, bien respecto de las velocidades —con su ley de composición—, bien respecto de las aceleraciones —determinando su igualdad—, lo que en definitiva se establece como la validez de las leyes mecánicas para todos los observadores inerciales. Y ello es acorde con la experiencia: todas las pruebas empíricas confirman tales conclusiones, excepto si las velocidades son muy elevadas, próximas a la velocidad de la luz, en cuyo caso no se cumple la ley de adición de velocidades como pusieron de manifiesto Michelson y Morley en sus experimentos de medida de la velocidad de la luz a finales del siglo XIX —siempre medían la misma velocidad de la luz para distintas velocidades del referencial—. Si con la velocidad de la luz no funciona la relación entre las velocidades observadas en dos referenciales inerciales prevista en la transformación de Galileo, es que tal transformación no es adecuada para describir el fenómeno observado, lo que exige replantearse las bases newtonianas del espacio y del tiempo. La revisión de tales conceptos fue realizada por Einstein, quien en 1905 publico su teoría de la relatividad especial o restringida, que se basa en los siguientes dos postulados: Primer postulado. Las leyes de los fenómenos físicos que gobiernan los procesos fundamentales de la naturaleza deben tomar la misma forma invariante en todos los sistemas inerciales. Este principio de relatividad de Einstein expresa la imposibilidad de distinguir, no ya mediante experimentos mecánicos, sino cualquier experimento físico, si un referencial está en reposo o en movimiento rectilíneo y uniforme, suprimiendo así la idea de espacio absoluto (en reposo) ya que —caso de existir— sería físicamente indetectable. Segundo postulado. La velocidad c de propagación de la luz en el vacío toma el mismo valor invariante en todos los sistemas de referencia inercial, independientemente de cuales sean sus movimientos relativos.

La velocidad de la luz en el vacío, c, aproximadamente 300 000 km/s, es constante, independientemente del movimiento del manantial y del observador. No hace falta decir, pues, respecto de qué referencial tiene la velocidad de la luz en el vacío el valor c. Si un imposible vehículo espacial marchara a velocidad c tras un rayo luminoso, la luz “escaparía” a velocidad c respecto de tal vehículo.

4.2 Cinemática relativista

123

Establecidos los postulados, el paso siguiente a dar es buscar qué transformación entre sistemas inerciales es compatible con ellos y, además, que adopte —para velocidades ordinarias— la forma de la transformación de Galileo, cuya validez está contrastada en este rango de valores. La nueva transformación es la transformación de Lorentz:

r′ = Γ ( r − Vt )

⎛ V •r⎞ t′ = Γ ⎜t − 2 ⎟ ⎝ c ⎠

r⊥′ = r⊥

(4.7)

Γ es un factor de proporcionalidad sin dimensiones, que no depende ni de la posición ni del tiempo, pero sí de la velocidad relativa:

Γ≡

1 1− (V / c )2

(4.8)

≥1

Observe que el tiempo ya no se considera absoluto, sino que transcurre de distinto modo en distintos referenciales inerciales. En forma explícita, para el mismo caso representado en la Figura 4.1, las ecuaciones de la transformación de Lorentz son:

x′ =

x − Vt 1 − (V / c)2

y′ = y

z′ = z

V x c2 t′ = 1− (V / c)2 t−

siendo las inversas (cambiando r′ y t′ por r y t, y al contrario, y V por – V)

r = Γ ( r′+ Vt ′)

r⊥ = r⊥′

t = Γ (t ′ +

V • r′ ) c2

(4.9)

y

x=

x′ +Vt ′ 1− (V / c)2

y = y′

z = z′

V x′ c2 t= 1− (V / c)2 t′ +

a) Bajas velocidades Si V << c, el cociente V/c tiende a cero, y Γ tiende a la unidad, obteniéndose la transformación de Galileo.

124


b) Ley de adición de velocidades Considere una partícula animada de una velocidad v respecto del sistema S; su velocidad v′ respecto del sistema S′ se puede obtener teniendo en cuenta (4.7).

v′ =

dr ′ dt´

=

dr − Vdt V • dr dt − 2 c

v⊥′ =

dr⊥′ dr⊥ = ⎛ V • dr ⎞ dt´ Γ ⎜ dt − 2 ⎟ ⎝ c ⎠

(4.10)

de modo que

v′ =

v −V V•v 1− 2 c

v⊥′ =

v⊥ ⎛ V •v⎞ Γ ⎜1− 2 ⎟ ⎝ c ⎠

(4.11)

y en componentes,

v′x =

v x −V V 1 − 2 vx c

v′y =

vy 1− (V / c)2 V 1− 2 v x c

v′z =

vz 1− (V / c)2 V 1− 2 v x c

Si se intercambian los papeles de S y S′ basta sustituir v por v′ y V por –V:

v =

v′+ V V • v′ 1+ 2 c

v⊥ =

v⊥′ ⎛ V • v′ ⎞ Γ ⎜1+ 2 ⎟ ⎝ c ⎠

(4.12)

y en componentes,

vx =

v′x + V V 1+ 2 v′x c

vy =

v′y 1− (V / c)2 V 1 + 2 v′x c

vz =

v′z 1− (V / c)2 V 1 + 2 v′x c

(4.13)

• Obsérvese en (4.11 y 4.12) la dependencia de las componentes perpendiculares, v⊥′ y v⊥, con las componentes paralelas, v y v′ , respectivamente, pues V · v = V · (v + v⊥) = V · v , y V · v′ = V · v′ . • Si V es mucho menor que c, se obtiene la ley de transformación de velocidades de Galileo.


125

c) Velocidad límite Si, por ejemplo, v′ = c, y también V = c, entonces, de (4.13),

vx =

v′x + V c +c = =c V c 1+ 2 v′x 1+ 2 c c c

de modo que la velocidad de la luz en el vacío es una velocidad límite, no superable por ningún cuerpo ni por ningún tipo de señal energética. d) Relatividad de la simultaneidad Consideremos dos relojes fijos en S ocupando las posiciones definidas por los vectores r1 y r2 , y que emiten señales en los instantes t1 y t2 (Figura 4.3). La posición espacio-temporal de cada uno de los relojes viene dada por 1(r1, t1) y 2(r2, t2), cumpliéndose que

∆t = t2 − t1 ≠ 0

∆r = r2 − r1 ≠ 0

S

S′

Y

Y′

V 1(r1 , t1) Δr

r1 r2 O Z

2(r2 , t 2 ) X ≡ X′

O′ Z′

Figura 4.3

¿Cuál es la duración del intervalo temporal, ∆t′, entre las señales emitidas por los relojes para el observador S′ que los ve en movimiento? Utilizando (4.7) se tiene

⎛ V • ∆r ⎞ ∆t ′ = t ′2 − t1′ = Γ ⎜ ∆t − 2 ⎟ ⎝ c ⎠

(4.14)

Supongamos ahora que los dos relojes emiten la señal simultáneamente para el observador en S, es decir,

∆t = t 2 − t1 = 0

126


con lo que (4.14) se reduce a ∆t ′ = t 2′ − t1′ =−Γ

V • ∆r ≠0 c2

de modo que sucesos simultáneos en S no lo son en S′, y viceversa. La simultaneidad no tiene valor absoluto sino que es relativa al observador; sólo tiene sentido absoluto —es decir, es válida a la vez para todo observador inercial— cuando se refiere a sucesos simultáneos que ocurren en el mismo lugar (en la ecuación anterior ∆t′ = 0 únicamente si ∆r = 0). La simultaneidad no es absoluta a menos que se refiera a sucesos que ocurren en el mismo instante y en el mismo lugar. e) Dilatación del tiempo Supongamos ahora los dos relojes anteriores en la misma posición o, lo que es equivalente, un único reloj fijo en S que emite señales en t1 y t2 (Figura 4.4). Las posiciones espacio-temporales del reloj vienen dadas por 1(r, t1) y 2(r, t2), cumpliéndose que

∆t = t2 − t1 ≠ 0

∆r = r − r = 0

Llevando dichas condiciones a (4.14) se obtiene la duración del intervalo temporal, ∆t′, entre las señales emitidas por el reloj para el observador S′ que lo ve en movimiento: ⎛ V • ∆r ⎞ ∆t′ = t′2 − t1′ = Γ ⎜ ∆t − 2 ⎟= Γ ∆t ⎝ c ⎠

S

(4.15)

S′

Y

Y′

V 1(r, t1) 2(r, t2 ) r

Z

X ≡ X′

O′

O Z′

Figura 4.4

O bien, ∆t mov = Γ ∆t reposo = Γτ =

τ 1−(V / c)2

(4.16)


127

siendo τ = ∆treposo el denominado tiempo propio. Tiempo propio es la duración de un suceso que ocurre en un punto en reposo respecto del observador.

Como Γ > 1 ∆t mov > ∆t reposo La medida del tiempo es relativa, pues depende del estado de movimiento del observador respecto del cuerpo en que se produce el fenómeno. Un reloj en movimiento respecto a un observador dado funciona más lentamente que un reloj idéntico que permanezca en reposo respecto de dicho observador. Los procesos duran más cuando acontecen en cuerpos en movimiento respecto de un observador que cuando están en reposo respecto del mismo. • Según (4.16), cuanto más próxima sea V a c mayor es la duración del fenómeno para el observador que lo ve en movimiento. • El que el tiempo transcurra más lento se observa en los relojes que se ven en movimiento, nunca en los que se tienen en el propio sistema, que están en reposo. Una prueba empírica de la dilatación temporal a velocidades próximas a la de la luz la ofrecen los muones. Los muones son partículas elementales inestables que se desintegran espontáneamente con una vida media muy pequeña medida en su referencial en reposo. Muones con elevada velocidad se generan al chocar los rayos cósmicos con los átomos de la alta atmósfera. Considerando la pequeñez del tiempo de desintegración medido en el laboratorio, sólo unos pocos muones deberían llegar a la superficie terrestre, lo que no es el caso: el número de muones que se detectan en la superficie es mucho mayor que el que corresponde a su vida media. Este hecho sólo se explica si el tiempo de desintegración de tales partículas —que se mueven a velocidad próxima a la de la luz— aumenta para el observador terrestre (en reposo) y en una cuantía coincidente con la que proporciona la ecuación (4.16). Pero la dilatación temporal también está ya presente en nuestra vida cotidiana; los sistemas de localización global determinan posiciones de un objeto en tierra calculando su distancia a varios satélites en órbita, que se mueven respecto de aquel. La distancia se calcula a partir del tiempo que tarda la señal en su viaje del objeto a los satélites; si no se tiene en cuenta el efecto relativista de la dilatación temporal debido a la velocidad de los satélites la localización estimada del objeto puede alejarse en varios kilómetros de la real; es preciso tener en cuenta tal efecto para conseguir aproximaciones de unos pocos metros en la localización espacial. El retraso acumulado a lo largo de un día de los satélites GPS (Global Positioning System) debido a la dilatación temporal relativista es de siete microsegundos;1 para compensar este efecto los relojes atómicos de los satélites se calibran para que adelanten en la cuantía correspondiente a la dilatación temporal y coincidan con los relojes en tierra. 1. Existe además un adelanto temporal de 45 μs diarios debido al efecto de la gravitación terrestre, de acuerdo con la teoría —también de Einstein— de la relatividad generalizada, resultando un adelanto neto diario de 38 μs.

128


f) Contracción de longitudes Supongamos que los observadores inerciales en S y S′ tratan de medir la longitud de una varilla situada en reposo respecto de S (Figura 4.5). Puesto que los vectores r1 y r2 son los mismos en cualquier instante —no cambian al estar la varilla fija respecto de S— las posiciones espacio-temporales de sus extremos son 1(r1, ∀t) y 2(r2, ∀t). Las componentes paralela y perpendicular a V del vector ∆r definido con los vectores de posición de los extremos de la varilla respecto de S son:

y

∆r = r 2 − r 1

S

∆r⊥ = r⊥2 − r⊥1

S′

Y

Y′

V 1 ( r1, ∀ t ) r1

Δr r2

O′

O Z

2(r2 , ∀ t )

X ≡ X′

Z′

Figura 4.5

Para realizar las medidas de las dimensiones de la varilla, el observador en S′ —que la ve moverse— debe determinar simultáneamente los vectores de posición r′1 y r′2 de los extremos de la varilla, es decir, realizando marcas correspondientes a dichos extremos en el mismo instante de tiempo. Las posiciones espacio-temporales de los extremos 1 y 2 en S′ son, pues, 1(r′1 , t′1 ) y 2(r′2 , t′2), con t′1 = t′2 . Por tanto,

∆t′ = t′2 − t1′ = 0

∆r′ = r2′ − r1′ Con (4.9) se obtiene que ∆r⊥ = ∆r⊥′

y

∆r = Γ (∆ r′+V ∆t ′) = Γ ∆r′

O bien, ∆r⊥mov = ∆r⊥reposo

∆r mov =

1 ∆r reposo = ∆r reposo 1− (V / c )2 < ∆r reposo Γ

(4.17)

(4.18)

4.3 Sistemas no inerciales. Fuerzas de inercia en el movimiento rectilíneo

129

De modo que una varilla que se mueve respecto de un observador dado se acorta en la dirección del movimiento, pero no en la dirección perpendicular al mismo. • La disminución de longitud se observa en los cuerpos que se ven en movimiento, nunca en los cuerpos del propio sistema, que están en reposo. El caso de los muones, comentado a propósito de la dilatación temporal, sirve también como ejemplo de la contracción relativista de la longitud sin más que considerar un observador que se mueva con ellos. Tal observador vería que los muones se desintegran de acuerdo con el valor de su vida media medida en el laboratorio —las partículas están en reposo respecto del observador que viaja con ellos—; lo que justificaría que lleguen en tan gran número a la superficie terrestre es que, para dicho observador, la distancia que los muones han de recorrer es mucho menor que la calculada desde Tierra (se ha reducido de acuerdo con la ecuación (4.18)).

Ejemplo 4.2 Un chorro de muones se mueve con velocidad v = 0,995c respecto de la Tierra, incidiendo sobre su atmósfera. Sabiendo que la vida media de un muón en reposo es de 2μs, calcule la vida media que para Vd. tienen los muones del chorro y la distancia que en ese tiempo penetran en la atmósfera. Según la ecuación (4.16)

∆t mov =

∆t reposo 1− (V/c)

2

Y, de acuerdo con los datos, ∆treposo = 2 × 10–6 s y V/c = 0,995 con lo que, sustituyendo,

∆t mov = 20 ×10−6 s esto es una vida media diez veces mayor que en reposo. La distancia que en ese tiempo penetran los muones en la atmósfera es d = v · ∆tmov = 59,7 km.

4.3 Sistemas no inerciales. Fuerzas de inercia en el movimiento rectilíneo En los apartados anteriores se ha analizado el movimiento relativo entre sistemas inerciales. Veamos ahora lo que ocurre en sistemas no inerciales —acelerados— y con velocidades mucho menores que c, por lo que no se considerará ningún efecto relativista.

130


Sea una partícula o un cuerpo de masa m. Sobre esta partícula actúan fuerzas reales (es decir, debidas a la interacción con otros cuerpos) cuya resultante es f y que hacen que tenga una aceleración a respecto de un sistema inercial. La segunda ley de Newton establece que

f = ma

(4.19)

Respecto de un referencial unido al cuerpo acelerado (por lo que el referencial es no inercial al tener también aceleración) el cuerpo está en reposo, a pesar de que sobre él actúa la fuerza f; en consecuencia, para hacer compatible la segunda ley de Newton con la ausencia de movimiento del cuerpo que en dicho referencial se observa, se debe cumplir que (4.20)

f + fi = 0

Es decir, el observador no inercial debe suponer que hay una fuerza fi tal que la resultante es nula, con lo que justifica el reposo del cuerpo. Comparando (4.20) con (4.19) debe ser

fi =−ma Así, el observador móvil no inercial explica la ausencia de aceleración considerando que a las fuerzas reales, de resultante f, se le superpone otra fuerza, fi = –ma, “ficticia”, llamada de inercia. Por tanto, en la descripción del movimiento de un cuerpo respecto de un referencial acelerado, a las fuerzas reales hay que añadirles la o las fuerzas de inercia para obtener la fuerza resultante. Veamos algunos casos concretos. A) Vagón de tren acelerado

A.1) Consideremos un vagón de un tren acelerado con aceleración a, y un paquete de masa m sujeto a la pared mediante un muelle. El observador inercial en S, externo al tren, ve que el paquete se mueve con aceleración a, a causa de la fuerza f que actúa sobre él y que le transmite el vagón mediante el muelle, tal que f = ma (Figura 4.6).

S

S′

a f m Para el observador fijo, el cuerpo se mueve con aceleración a

Figura 4.6


S

131

S′

a f

fi m

Para el observador móvil, el cuerpo está en reposo

Figura 4.7

El observador no inercial en S′, fijo al vagón (Figura 4.7), ve el cuerpo en reposo a pesar de que sobre él actúa la fuerza f que ejerce el muelle (verá el muelle estirado); para justificar tal circunstancia debe considerar la existencia de la fuerza fi, de inercia, que equilibre a f de acuerdo con (4.20). Así, fi debe ser igual, por tanto, a –ma. Es pues fi una fuerza debida al movimiento del observador no inercial, a su aceleración, y no el resultado de interacciones entre cuerpos; esto es, la fuerza de inercia no es una fuerza real sino “ficticia”—debida al movimiento acelerado del observador no inercial— que éste se ve obligado a considerar para explicar el estado de movimiento (en este caso, reposo) del objeto que observa en su referencial, manteniendo así la validez de la segunda ley de Newton. A.2) Supongamos ahora que del techo del vagón hay colgada mediante un hilo una partícula de masa m. Si inicialmente el vagón está parado, la partícula pende vertical: la tensión del hilo, T, compensa el peso de aquella, mg. Si el vagón comienza a moverse con aceleración a el hilo pierde la vertical, alcanzándose el equilibrio para una cierta inclinación (Figura 4.8). Lo que ha ocurrido es que el vagón, a través del hilo, ha transmitido la aceleración a a la par-

S

S′

T f

a

mg Para el observador fijo, la partícula se mueve con aceleración a

Figura 4.8

132


tícula, por lo que ésta se encuentra sometida a una fuerza real resultante f de cuantía —según la segunda ley de Newton— igual a ma. ¿Cómo surge esta fuerza? Sobre la partícula actúa su peso y la tensión del hilo, y ésta deberá tener la cuantía y la dirección necesaria para que la resultante sea f:

T + mg = f = ma

(4.21)

Esta es la explicación del observador externo, inercial; el movimiento lo explica teniendo en cuenta únicamente las fuerzas reales actuantes sobre el cuerpo: la tensión del hilo y el peso.

S

S′

T a

fi mg Para el observador móvil, la partícula está en reposo

Figura 4.9

Para el observador unido al vagón (observador no inercial, es decir, acelerado) (Figura 4.9), la masa permanece en reposo, aunque él sabe que sobre ella actúa su peso y la tensión del hilo, y ve la inclinación del mismo, por lo que el peso no puede compensar T; para justificar el equilibrio tiene que introducir una fuerza fi que con las anteriores dé un sistema nulo, es decir:

T + mg + fi = 0 Para que se cumpla lo anterior, comparando con (4.21), la fuerza de inercia debe ser fi =−ma B) Ascensor acelerado

B.1) Supongamos una persona en un ascensor que sube con aceleración a (Figura 4.10). Las fuerzas reales actuantes sobre la persona son su peso y la reacción N del suelo; la resultante de ambas debe ser una fuerza f que origine sobre el cuerpo una aceleración a, que es con la que sube el ascensor, es decir, f debe ser igual a ma. N + mg = ma


133

S′ S N f

a

mg

Figura 4.10

Esto es,

N − mg = ma En consecuencia, la fuerza de reacción del piso del ascensor (N) es igual a N = m( g + a) lo que supone que una fuerza igual y contraria es la que ejerce el hombre sobre el piso, fuerza que es la que señalaría una balanza si el hombre estuviese subido a ella, de modo que su peso aparente sería m(g + a), superior al verdadero; ésta es una fuerza real que se puede percibir mediante una balanza. ¿Cómo explicaría lo que señala la balanza un observador situado en el mismo ascensor? Para dicho observador (Figura 4.11), como la persona está en equilibrio sobre la balanza, debe ser nula la resultante de las fuerzas que sobre ella actúan; las fuerzas reales actuantes son el peso, mg, y con sentido contrario la reacción de la balanza, N, igual y opuesta a la que la persona ejerce sobre la misma, de cuantía m(g + a) según indica la

S′ S N a

mg fi

Figura 4.11

134


balanza, por lo que el peso no puede compensar N y debe actuar una fuerza adicional fi (la fuerza de inercia) para originar el equilibrio:

N + mg + fi = 0 Para obtener resultante nula tal fuerza de inercia debe ser fi = –ma. De nuevo, introduciendo la fuerza de inercia fi = –ma, el observador no inercial explica el estado de movimiento —respecto de su sistema— que observa. B.2) Supongamos ahora una persona en un ascensor que desciende con aceleración a (Figura 4.12).

S′ S N

a f mg

Figura 4.12

Lo dicho anteriormente es de nuevo aplicable, sin más que cambiar el signo de la aceleración. Así tendremos que N + mg = ma

y N − mg =−ma En consecuencia, la cuantía de la fuerza de reacción del piso del ascensor (N) viene dada por N = m( g − a) Como la fuerza que ejerce el hombre sobre el piso es igual y contraria, y es la fuerza que señalaría una balanza si el hombre estuviese subido a ella, su peso sería en este caso m(g – a), inferior al real. Si la aceleración de bajada fuese la de la gravedad, es decir, estuviera en caída libre, la balanza marcaría un peso de m(g – g) = 0, de modo que dentro del ascensor la persona estaría en estado de ingravidez aparente (que es aparente le resultaría claro cuando impactase contra el suelo del edificio).

4.4 Fuerzas de inercia en el movimiento curvilíneo

135

En general, si un cuerpo de masa m se mueve con aceleración a respecto del sistema inercial S, y con aceleración relativa a′ respecto del referencial no inercial S′, la validez de la segunda ley de Newton implica lo siguiente. • Para el observador en S: sobre el cuerpo actúa una fuerza neta f que origina la aceleración a, tal que f = ma

• Para el observador en S′: sobre el cuerpo actúa una fuerza neta f′que origina la aceleración a′ que observa, tal que f′ = ma′, o bien,

f + fi = ma´ siendo f y fi las resultantes de las fuerzas reales y de inercia, respectivamente. En consecuencia, para describir el movimiento que percibe de un cuerpo: • un observador inercial sólo necesita considerar las fuerzas reales que actúan sobre el cuerpo • un observador no inercial (acelerado), además de las fuerzas reales necesita tener en cuenta las fuerzas de inercia.

4.4 Fuerzas de inercia en el movimiento curvilíneo I. FUERZA CENTRÍFUGA Sea una partícula de masa m sujeta a un cordel a la que se le hace girar según una trayectoria circular en un plano horizontal sobre una mesa perfectamente pulida (Figura 4.13).

Z Y m X O ω

Figura 4.13

Supongamos que la velocidad angular es constante, con lo que el módulo de la velocidad también lo es, ecuación (2.7), y la aceleración tangencial es nula, ecuación (2.14). Pero la aceleración normal o centrípeta, al existir cambio de dirección de la velocidad, ecuación (2.15), no es nula.

136


¿Qué fuerza centrípeta origina tal aceleración en la partícula? La tensión del cordel, que tira de ella hacia el centro (Figura 4.14), es decir, T = mac

es la explicación del observador inercial, S, en reposo. ω

Y

m T X

O

Figura 4.14

¿Cómo percibe las cosas un observador no inercial? Consideremos un referencial S′(X′Y′) tal que el eje X′ pasa siempre por la partícula según el cordel; tal referencial, al girar con velocidad angular ω, está sometido a aceleración centrípeta, por lo que es no inercial (Figura 4.15). Respecto de ese sistema, la partícula se encuentra siempre en la misma posición, de modo que se encuentra en reposo; sin embargo el cordel está tenso y ejerce sobre el cuerpo la fuerza que designamos como tensión. En consecuencia, el observador no inercial debe explicar cómo es que la partícula se encuentra quieta a pesar de que el cordel tira de ella. La única posibilidad es que haya una fuerza que compense la tensión, fi , tal que T + fi = 0

Comparada esta ecuación con la anterior resulta

fi =−mac como en todos los casos anteriores en que la partícula está en reposo respecto del observador no inercial, es decir, la fuerza de inercia viene dada por el producto de la masa por la aceleración del referencial no inercial —en la posición considerada— cambiada de signo. Esta fuerza de inercia se denomina fuerza centrífuga, pues su sentido es hacia fuera. Y′

Y

X′ ω T

fcf m

O

Figura 4.15

X


137

a) ¿Puede considerarse la fuerza centrífuga la reacción a la fuerza centrípeta según el principio de acción-reacción? No, las fuerzas centrífuga y centrípeta se aplican al mismo cuerpo, mientras que si fueran un par de acción-reacción cada una de ellas estaría aplicada a cuerpos distintos. Además, las fuerzas de inercia —como no se deben a la interacción con otro cuerpo sino al movimiento acelerado del observador— no se manifiestan por pares; esto también las distingue de las que consideramos fuerzas “reales”. Así, si sobre un cuerpo actúa una fuerza centrífuga, no existe otra fuerza centrífuga opuesta a ésta actuando en otro cuerpo como consecuencia del principio de acción-reacción. b) ¿Qué ocurre si se rompe el cordel que sujeta la partícula? Si se rompe el cordel, ya no actúa ninguna tensión sobre la partícula. En consecuencia, para el observador inercial, al no existir fuerza, la aceleración es nula y el movimiento subsiguiente de la masa es a velocidad v = cte, realizando un movimiento rectilíneo y uniforme en la dirección de la tangente a la circunferencia en el punto de rotura del cordel (Figura 4.16).

Y ω

X′

v m X

O

Lo observado en S

Figura 4.16

¿Qué percibe el observador no inercial? Que la partícula se aleja del centro aceleradamente según el eje X′ donde estaba, lo que justifica por la acción de la fuerza centrífuga, que es ahora la única fuerza que actúa sobre la partícula al no tirar el cordel de ella (Figura 4.17).

Y′ ω O

m “ Lo observado en S′ ”

Figura 4.17

X′

138


Los movimientos observados en S y S′ son compatibles, como se muestra en la Figura 4.18.

X′ X′

ω X′

m X

O

Figura 4.18

c) Plataformas espaciales rotantes y gravedad simulada La realización de plataformas espaciales en las que su rotación genere una sensación física similar a la que produce el peso parece estar cada vez más cerca. Consideremos un gran anillo tubular que está rotando, y dentro de él una persona (Figura 4.19). La pared más alejada del centro del anillo ejerce sobre la persona una fuerza centrípeta que le obliga a seguir la trayectoria circular, impidiéndole salir por la tangente. Esta fuerza la siente la persona como firmeza del suelo, sensación análoga a la que en la Tierra sentimos como reacción del terreno al apoyarnos sobre él con nuestro peso. Como la fuerza centrípeta es f = mω2ρ, ecuación (2.17), sería posible ajustar la velocidad angular para que el producto ω2ρ tuviese el valor de la aceleración de la gravedad, g, generando así una gravedad artificial.

Figura 4.19


139

Si a la persona que está en el tubo se le cae un objeto, éste seguirá la dirección de la tangente a la trayectoria circular que viene realizando, pero a la par que se mueve según dicha recta la persona gira, viniendo a encontrarse el objeto con los pies de aquella, de modo que el observador ve caer el objeto a sus pies, igual que como lo vería en la Tierra. d) Contracción y rotación de una nebulosa Las galaxias son enormes conjuntos de estrellas y nubes de gas y polvo. Muchas de ellas tienen forma aproximadamente elipsoidal y, al parecer, en el grado de achatamiento influye la cuantía de su rotación. Veamos cómo. Consideremos una nube de gas inicialmente esférica y homogénea. Debido a su propia atracción gravitatoria la nube comienza a contraerse: si no rota, la contracción se realiza de igual manera en todas las direcciones, lo que no ocurre si rota. En efecto, sea una masa m atraída por el resto de la nube; descompongamos la fuerza gravitatoria, dirigida hacia el centro de la misma, en componentes paralela y perpendicular al eje de rotación (Figura 4.20). En el plano normal al eje la componente perpendicular de la fuerza gravitatoria entra en conflicto con la fuerza centrífuga, proporcional al cuadrado de la velocidad angular y a la distancia al eje: la partícula ocupará aquella posición en la que las dos fuerzas se equilibran. En cambio, la componente de la fuerza gravitatoria paralela al eje no se ve neutralizada por ninguna fuerza originada por la rotación. De este modo la nube se achata según el eje de rotación y se ensancha en el plano perpendicular al mismo.

␻ m fcf f

Figura 4.20

II. FUERZA DE CORIOLIS1 Volvamos a la partícula y el cordel roto (Figura 4.18): la descripción del movimiento no está completa, falta algo más. El observador no inercial en S′ —que sigue girando con velocidad angular ω— ve la partícula cada vez más lejos del centro, lo que justifica por la acción de la fuerza centrífuga como ya se ha dicho, pero no la ve sobre el eje X′, sino que la partícula se va quedando atrás ya que no puede alcanzar las posiciones que determinan los puntos de corte del eje X′ con la recta que es trayectoria para el observador inercial 1. En el libro del mismo autor “Mecánica del sólido rígido”, Editorial Ariel, Barcelona 2003, se realiza un estudio analítico detallado de velocidades y aceleraciones en el movimiento relativo general.

140


Δ s′ Δs

X′

X′

Δs

X′

trayectoria Δϕ Δϕ r X′

O

Figura 4.21

(tangente a la circunferencia). En efecto, designemos por ∆ϕ el ángulo barrido por el eje X′ en un pequeño ∆t en el inicio de este movimiento, y tal que ∆s, la distancia recorrida por la partícula sobre la recta tangente en el mismo intervalo de tiempo, es inferior al radio r. Consideremos los triángulos rectángulos correspondientes a ∆t y 2∆t (Figura 4.21). Utilizando la relación1 tg 2 ∆ϕ =

2 tg ∆ϕ 1− tg2 ∆ϕ

⇒

tg 2∆ϕ 2 = >2 tg ∆ϕ 1− tg2 ∆ϕ

y como tg ∆ϕ = ∆s / r

y

tg 2∆ϕ = ∆s´/ r

sustituyendo en la anterior resulta ∆s´> 2∆s De modo que la distancia ∆s′ que la partícula debería recorrer en 2∆t para seguir situada sobre el eje X′ es mayor que la que efectivamente recorre, y la partícula no alcanza el punto de corte del eje X′ con la trayectoria tangente. Esto se hace evidente cuando el eje X′ ha girado 90º desde que se rompió el cordel, es decir, cuando X′ se sitúa paralelo a la trayectoria tangente de la partícula, posición para la que m debería estar en el infinito si se mantuviera sobre el eje X′, lo que no ocurre; en otras palabras, es imposible cinemáticamente que S′ pueda observar la partícula sobre su eje X′. El observador en S′ verá que la partícula se retrasa respecto del eje X′, que m se queda detrás del eje. Para S′, la partícula inicialmente en reposo comienza a moverse —al romperse el cordel— según X′ debido a la aceleración que le origina la fuerza centrífuga, dando lugar a una velocidad instantánea v′ relativa a S′ dirigida según X′; pero la partícula además de alejarse 1.

tg( A + B) =

tg A + tg B 1 − tg A tg B


141

se va quedando retrasada desviándose de la dirección de X′, y tanto más se desvía cuanto mayor es la velocidad angular de S′. El cambio de dirección de v′ respecto de S′ debe ser originado por una aceleración normal a la trayectoria —y por tanto a v′— y que la desvíe hacia atrás respecto de X′ (Figura 4.22); es decir, S′ para explicar sus observaciones debe considerar, además de la fuerza centrífuga, otra fuerza de inercia perpendicular a la velocidad relativa de la partícula: es la llamada fuerza de Coriolis.

Y′ ω

v′ O

fcf

m

X′

fcor

Lo realmente observado en S´

Figura 4.22

Antes de romperse el cordel, el observador no inercial S′ no necesitó de la fuerza de Coriolis para explicar el estado de reposo de la partícula en su sistema, pero sí se hace necesaria en la descripción de S′ cuando la partícula tiene movimiento relativo respecto de dicho referencial, es decir, v′≠ 0. En consecuencia, la fuerza de Coriolis depende, además de la masa, lógicamente, de la velocidad relativa v′ y de la velocidad angular: f cor = f (m, v′, ω) Ésta es una buena ocasión para ver qué información nos puede proporcionar el exigir la homogeneidad dimensional a la relación anterior. Siguiendo el procedimiento expuesto en 1.1.II.c) escribiremos f cor = km a v b ωc con k una constante adimensional. Con la fórmula dimensional de cada una de las magnitudes que intervienen en el problema, [fcor] = M L T–2, [m] = M, [v] = LT–1, [ω] = T–1, sustituyendo en la ecuación, MLT−2 = (M)a (LT−1 )b (T−1 )c e igualando los exponentes de M, L y T, se obtienen que a = b = c = 1, de modo que la relación buscada es fcor = kmv′ω

142


Teniendo en cuenta el carácter vectorial de la fuerza, y la dirección y sentido ya comentados, fcor = kmv′∧ ω, y con el valor obtenido teóricamente de la constante k = 2, la fuerza de Coriolis viene dada en la forma habitual por

fcor =−2mω∧ v′

(4.22)

a) Fuerza de Coriolis y el movimiento de masas de aire La fuerza de Coriolis explica el movimiento de rotación de las masas nubosas en la formación de tormentas (Figura 4.23). El sistema rotante es, en este caso la propia Tierra.

Figura 4.23

Sea una masa de aire que se mueve hacia el norte o hacia el sur con velocidad v′ respecto de la superficie terrestre, y consideremos el plano meridiano definido por v′ y ω (Figura 4.24), con lo que la fuerza de Coriolis (ecuación 4.22) será normal al mismo llevando, en consecuencia, la dirección del paralelo. En cuanto al sentido,

en el hemisferio norte la fuerza de Coriolis trata de desviar la masa de aire (en general, cualquier cuerpo) hacia la derecha según su movimiento, y al contrario en el hemisferio sur.


␻

N

␻

143

v′ v′ hemisferio norte ( fcor saliente del papel )

␻

␻ hemisferio sur ( fcor entrante al papel )

ecuador

v′

␻

␻

v′

fcor = 0

v′ S

Figura 4.24

Si se desarrolla un centro de bajas presiones en la atmósfera, el viento fluye hacia él desviándose, por la fuerza de Coriolis, hacia su derecha en el sentido del movimiento si se localiza en el hemisferio norte, originándose un movimiento de las masas nubosas en sentido contrario al de las agujas del reloj (Figura 4.25). El movimiento es en sentido inverso en el otro hemisferio.

N f cor v′ v′

fcor ecuador

f cor

v′ f cor

v′ S

Figura 4.25

b) La fuerza de Coriolis influye también en las corrientes marinas, y es la causa del mayor desgaste de un raíl respecto del otro en las vías del tren, pero su influencia no es apreciable en movimientos de baja velocidad o de breve duración.

144


Ejemplo 4.3 Considere una plataforma circular perfectamente lisa situada horizontalmente y que rota con velocidad angular constante ω según un eje fijo vertical que pasa por su centro. En un determinado instante se lanza desde el centro y en dirección radial una bola con velocidad constante v. Analice la velocidad de la bola respecto de la plataforma en cualquier otro instante. Obtenga su trayectoria respecto de la plataforma. Z ≡ Z′

␻

Y′

X

Y

v

O X′

En un instante dado, que tomaremos como t = 0, se lanza la bola en una determinada dirección radial; tomemos dicha dirección como ejes Y e Y′ superpuestos, siendo X′Y′Z′ ejes solidarios a la plataforma, girando también con velocidad ω; Z y Z′son el mismo eje, vertical y fijo. Resumamos las características del referencial fijo mediante S(O, X, Y, Z, i, j, k), y las del referencial móvil unido a la plataforma por S′(O, ω, X′, Y′, Z′, i′, j′, k). La velocidad de la bola respecto del referencial fijo es (i)

v = vj

vector constante en módulo y dirección. Como en el referencial S la velocidad viene dada por

⎛ dr ⎞ ⎟ ⎝ dt ⎠S

v =⎜

el vector de posición respecto de O en cualquier instante puede expresarse como (ii)

r (t ) = ∫ vdt = ∫ vjdt = vtj + r (t = 0) = vtj

pues en t = 0 la bola se encuentra en el origen O, siendo la trayectoria, para el sistema fijo, una recta, que es la que se ha tomado como eje Y. La velocidad relativa a la plataforma es el cambio temporal del vector de posición r(t), pero tal y como se percibe desde el observador ligado a la misma, es decir, se obtiene derivando (ii) respecto del tiempo pero en S′, i

j

k

0

1

0

⎛ dr ⎞ ⎛ dj ⎞ v′=⎜ ⎟ = vj + vt⎜ ⎟ = vj + vt (−ω ∧ j ) = vj + vt 0 0 −ω = v ωti + vj ⎝ dt ⎠S´ ⎝ dt ⎠S´


145

habiendo utilizado (2.11) y teniendo en cuenta que j gira con velocidad angular (–ω) respecto de S′. j i′ j′

ωt ωt i

Utilizando los vectores unitarios del sistema móvil, i′, j′: i = cos ωti′ − sen ωtj′

j = sen ωti′ + cos ωtj′

queda

v′ = v( ωt cos ωt + sen ωt ) i′ + v(−ωt sen ωt + cos ωt ) j′ En el instante inicial, t = 0, se obtiene que v′= vj′= v, compatible con (i) dado que en ese instante se tomaron los ejes Y e Y′ coincidentes; en cualquier otro instante la velocidad relativa además de componente según Y′ tiene componente según X′, no siguiendo la bola una trayectoria recta para el observador en la plataforma, lo que él explica por la acción de una fuerza perpendicular a la velocidad v′ que va desviando la partícula hacia su derecha según el sentido del movimiento, esto es, por la acción de la fuerza de Coriolis. Para obtener la trayectoria respecto de la plataforma, como

v′x ′ =

dx ′ dt

= v( ωt cos ωt + sen ωt )

y

v′y′ =

dy′ dt

= v(−ωt sen ωt + cos ωt )

integrando, x′

t

t

0

0

0

∫ dx′ =v(ω∫ t cos ωtdt +∫ sen ωtdt ) y′

t

t

0

0

0

∫ dy′ =v(−ω∫ t sen ωtdt +∫ cos ωtdt ) Así t

⎞ cos ωt ⎤ ⎡⎛ cos ωt + t sen ωt ⎟− ⎥ = vt sen ωt ⎣⎝ ω ⎠ ω ⎦0

x′ = v⎢⎜

t

⎞ sen ωt ⎤ ⎡ ⎛ sen ωt − t cos ωt ⎟+ ⎥ = vt cos ωt ⎣ ⎝ ω ⎠ ω ⎦0

y′= v⎢−⎜

146


o bien 2

2

x′ + y′ = ( vt )

2

ecuación de una circunferencia de radio creciente con el tiempo.

4.5 Rotación terrestre y aceleración de la gravedad La dirección y el valor de la aceleración de la gravedad que se mide en la superficie terrestre depende de la localización del punto de medida, en concreto de la latitud del lugar. Consideremos algún punto de la superficie terrestre en donde utilizamos una plomada (pequeño cuerpo metálico de forma habitualmente cónica unido a un cordel) para determinar la dirección de la vertical. Consideremos la Tierra homogénea y esférica, con lo que la fuerza de atracción gravitatoria que ejerce sobre la masa m de la plomada estará dirigida exactamente hacia el centro de la Tierra. Tal fuerza conviene ahora expresarla en la forma (3.10), f = mG, con G el campo gravitatorio en la superficie. Pero la plomada participa del movimiento de rotación terrestre, de velocidad angular ω(7,29 × 10–5 rad/s) dirigida hacia el Norte geográfico; es decir, la masa m está realizando un movimiento circular alrededor del eje de rotación de la Tierra (Figura 4.26), siendo el radio de la circunferencia r = R cos λ, con R (6,37 × 106 m) el radio terrestre y λ la latitud del lugar. Para que tal movimiento se produzca debe actuar sobre la plomada una fuerza centrípeta, fcp, que origina la aceleración centrípeta que da cuenta del movimiento: fcp =−m ω2 rj =−mω2 R cos λj

¿Cómo se origina tal fuerza? Es la resultante de la gravitatoria f y de la tensión del cordel T; dicha tensión debe tener la cuantía y la dirección adecuadas para que la resultante tenga la dirección y cuantía precisas para que la masa m acompañe a la Tierra en su movimiento.

␻

hemisferio norte radial

N

T plomada fcp r λ mG

α

R

vertical

transversal

radial C

λ

Figura 4.26

ecuador

Y

4.5 Rotación terrestre y aceleración de la gravedad

147

La dirección radial es la que lleva la fuerza de atracción gravitatoria, mientras que la dirección vertical es la que señala la plomada, que puede estar desviada de la radial un ángulo α, desviación que depende de la latitud del lugar puesto que la fuerza resultante de f y T, esto es, la fuerza centrípeta, depende de λ. Vectorialmente, la ecuación dinámica es f + T = fcp = macp =−mω2 rj =−mω2 R cos λj

Tomando componentes en dirección radial: mG − T cos α = mω2 r cos λ de donde, introduciendo g como el cociente T/m, g=

T G − ω2 R cos2 λ = m cos α

(4.23)

g es la aceleración de la gravedad local, que depende de la latitud del lugar. Tomando componentes en dirección transversal: T sen α = m ω2 r sen λ con lo que sen α =

ω2 R sen λ cos λ g

(4.24)

En el ecuador, λ = 0, de modo que, según (4.24), sen α = 0 y α = 0, coincidiendo la dirección vertical con la radial. El valor de g (4.23) es: g = G −ω2 R = 9, 78 m/s2 En los Polos, λ = ±π/2, por lo que α = 0, coincidiendo también aquí la dirección vertical con la radial; el valor de g es: g = G = 9,82 m/s2 En latitudes de 45º, α es menor que 2º y g = 9,81 m/s2 En el hemisferio sur, todo es igual, excepto que la desviación α es en sentido contrario que en el hemisferio norte. a) Observador terrestre Desde el punto de vista del observador que sostiene la plomada —es decir, un observador no inercial— sometido a la misma aceleración centrípeta que la masa m, la descripción del estado de reposo de la plomada en su referencial la realiza merced a la contribución de la fuerza centrífuga, de tal modo que

mG + T + fcf = 0

148


En términos de aceleración (Figura 4.27), con el vector g = –T/m, g = G + acf

de modo que el observador terrestre obtiene la aceleración de la gravedad local como suma vectorial del campo gravitatorio y de la aceleración centrífuga.

␻

N

hemisferio norte

a cf λ G

α

g vertical

radial C

λ

ecuador

Figura 4.27

b) Forma de la Tierra Aparentemente, la Tierra tiene forma esférica (Figura 4.28).

Figura 4.28


149

Un cuerpo de masa m apoyado sobre la superficie terrestre está sometido a su peso P = mg dirigido según la vertical. Si la superficie de la Tierra fuese esférica, la reacción N llevaría la dirección radial y no podría equilibrar el peso P, estando en consecuencia el cuerpo sometido a una fuerza tangente a la superficie igual a P sen α (Figura 4.29). Es decir, si la superficie terrestre fuera esférica los cuerpos sobre la misma estarían, en general, sometidos a fuerzas que tenderían a llevarlos hacia el ecuador, como si se encontrasen permanentemente sobre un plano inclinado un ángulo α. Esta situación no es real, como por ejemplo muestra el hecho de que la superficie libre de los líquidos en reposo, y por tanto en equilibrio, es horizontal —perpendicular a la dirección vertical—. En consecuencia, la reacción N equilibra el peso P, y el plano horizontal —tangente en cada punto a la superficie terrestre— no es perpendicular a la dirección radial, desviándose ligeramente la Tierra de la forma esférica y adoptando la forma de un elipsoide algo achatado en los polos, siendo la diferencia de los radios ecuatorial y polar de algo más de 20 km.

hemisferio norte ω

N N?

Polo Norte

horizontal α

α

P vertical radial C

λ

ecuador

Figura 4.29

c) Péndulo de Foucault El péndulo de Foucault se utiliza para demostrar la rotación de la Tierra. Está constituido por una esfera de gran masa unida a un largo cable suspendido de un punto que permite cualquier orientación del plano de oscilación (Figura 4.30) (en el péndulo original, construido en 1851 por el físico francés que le dio nombre, la masa era de 28 kg y la longitud del cable de 67 m). La esfera del péndulo deja una marca en cada oscilación sobre una base plana horizontal fija al suelo; en el transcurso del tiempo tal marca va cambiando de orientación realizando una vuelta completa en más de 24 horas, dependiendo de la latitud del lugar, y dando la apariencia de que el plano de oscilación del péndulo gira alrededor de la vertical. Si el péndulo de Foucault se encuentra en un lugar del hemisferio norte, la marca que deja la esfera sobre la base cambia de orientación girando en sentido horario para el observador no inercial allí situado, lo que es acorde con la acción de la fuerza de Coriolis sobre la masa al desviarla siempre hacia su derecha en el sentido de su movimiento de oscilación —lo contrario ocurre en el hemisferio sur— (recuerde lo visto en 4.4.II.a).

150


Figura 4.30

Un observador inercial que viese a la Tierra girar alrededor de su eje con velocidad angular ω puede explicar el aparente cambio de orientación del plano de oscilación del péndulo considerando las componentes vertical ω′ y horizontal ωh de ω en el lugar en que está situado (Figura 4.31). En un péndulo cualquiera el tipo de sujeción del cable en el punto de suspensión hace que usualmente el péndulo sea solidario a la Tierra en su rotación, es decir, participe del movimiento de rotación terrestre al igual que lo hace el suelo y las paredes del edificio en el que se encuentra; de este modo no hay movimiento relativo del plano de oscilación del péndulo respecto del suelo. Pero, como ocurre en el péndulo de Foucault, si la fijación del cable en el punto de suspensión deja libre la orientación del plano de oscilación del péndulo —definido por las fuerzas peso y ten-

hemisferio norte

␻ N

␻′

␻ ␻h

␻ ′ = ω sen λ e λ

ecuador

C

Figura 4.31


151

sión del cable, como se vio en 3.7— el péndulo ya no está sometido a ω′ , mientras que sí lo está el suelo. En consecuencia, se origina un movimiento relativo de rotación —respecto del plano de oscilación— del suelo horizontal alrededor del eje vertical en sentido antihorario y con velocidad angular ω′ = ω cos( 1 π – λ) = ω sen λ. Como ω = 2π/T, para una 2 latitud λ se tiene que T ′=

En el Polo Norte, λ =

1 2

T 2π 2π 24 = = = horas ω′ ω sen λ sen λ sen λ

π, y el suelo da la vuelta completa en 24 h. En la latitud de

Madrid, por ejemplo, λ = 40,4º, y las marcas del péndulo de Foucault dan una vuelta completa en T′ = 37 h. En el ecuador λ = 0 y T′ es infinito, es decir, el suelo no rota alrededor del eje vertical y las marcas que deja la masa al oscilar se superponen (ω no tiene componente perpendicular al suelo, por lo que no existe movimiento relativo entre éste y el plano de oscilación pendular).1

⎡

1. Un cálculo más exacto proporciona la relación ω′ = ω⎢1 −

⎣

3⎛ a ⎞ ⎤ ⎜ ⎟ ⎥sen λ, siendo a la amplitud de las oscilacio8⎝ l ⎠ ⎦ 2

nes del péndulo y l la longitud del cable; por ello se elige l grande, para minimizar su efecto de reducción de la velocidad angular. La gran masa de la esfera tiene por objeto facilitar, en la práctica, que el punto de suspensión no transmita el giro de la Tierra al péndulo.

Capítulo 5 TRABAJO Y ENERGÍA

5.1

Trabajo y energía cinética ................................................................................154

5.2

Energía potencial ..............................................................................................160

5.3

Conservación de la energía..............................................................................163

5.4

Energía potencial gravitatoria.........................................................................166

5.5

Energía potencial del oscilador lineal .............................................................173

5.6

Curvas de energía potencial ............................................................................176

5.7

Energía relativista.............................................................................................186

154


5.1 Trabajo y energía cinética Mediante fuerzas se expresan las interacciones de unos cuerpos con otros; la fuerza trata de modificar el estado de movimiento de los cuerpos sobre los que actúa o de modificar su estructura deformándolos. Cuando la fuerza altera el estado de movimiento de los cuerpos, la cuantificación de dicho cambio puede hacerse basándose en el tiempo que la fuerza actúa —hablaremos entonces de impulso (que se tratará en el próximo capítulo)— o bien basándose en el desplazamiento del cuerpo sobre el que ejerce su acción, es decir, del recorrido de la fuerza —hablaremos entonces de trabajo—.

I. TRABAJO Cuando sobre una partícula en movimiento actúa una fuerza, ¿cómo se puede expresar su acción teniendo en cuenta el recorrido de la partícula —es decir, el desplazamiento del punto de aplicación de la fuerza— y qué efecto produce sobre su estado de movimiento? Para dar respuesta a esta cuestión primero multipliquemos la fuerza escalarmente por dr en la ecuación (3.2), f • dr =

dp • dr dt

(5.1)

El primer miembro es una nueva magnitud dinámica, escalar, que se denomina trabajo y que simbolizaremos con W. En (5.1) el trabajo dW es infinitesimal (Figura 5.1),

dW ≡ f • dr = fdr cos ϕ

(5.2)

donde dr es el vector desplazamiento infinitesimal del punto de aplicación de la fuerza. Por lo tanto, para que una fuerza realice trabajo: • debe ser no nula • debe existir desplazamiento de su punto de aplicación • la fuerza y el desplazamiento no han de ser perpendiculares El trabajo realizado por una fuerza es el producto escalar de dicha fuerza por el desplazamiento de su punto de aplicación, es decir, el desplazamiento del punto material sobre el que actúa. El trabajo finito de la fuerza f a lo largo de la curva L entre los puntos A y B es su integral curvilínea —circulación—:

W( A→ B) =

L

∫

rB

rA

f • dr

{(S.I.: J = N ⋅ m); [W ] = ML2 T−2 }

(5.3)

5.1 Trabajo y energía cinética

155

A ϕ

dr ϕ

f

dr f

L

L′ B O

Figura 5.1

a) Trabajo positivo y negativo Como el trabajo viene dado por el producto escalar de f y dr puede ser positivo o negativo según la dirección relativa de dichos vectores. La posibilidad de un trabajo negativo es debido a que el desplazamiento dr de la partícula sobre la que actúa la fuerza f no necesariamente es causado por dicha fuerza. b) Dependencia del trabajo con la trayectoria Según (5.3), el trabajo finito entre dos puntos, A y B, viene dado por la integral a lo largo de la curva seguida por el punto de aplicación de la fuerza entre dichos puntos. En general, el trabajo realizado por una misma fuerza entre dos mismos puntos es diferente si su punto de aplicación sigue curvas distintas, dado que la orientación relativa de f y dr en cada tramo infinitesimal de curva será distinto según qué curva se considere. En otras palabras, en general,

el trabajo depende de la trayectoria. c) Expresión del trabajo en coordenadas cartesianas Si la fuerza y el desplazamiento vienen dados en componentes cartesianas,

dr = dxi + dyj + dzk

(5.4)

W(A →B) = L ∫rAB f • dr = L ∫rAB ( f x dx + f y dy + f z dz )

(5.5)

f = f x i + f y j + fz k

la expresión del trabajo es r

r

d) Trabajo en el movimiento curvilíneo Si una partícula realiza un movimiento curvilíneo, sobre ella debe actuar una fuerza que le origine una aceleración centrípeta, que da lugar al cambio de dirección de la velocidad (Figura 5.2). Tal fuerza —centrípeta— es perpendicular en cada punto a la velocidad v, y por tanto a la trayectoria y a dr = vdt, por lo que el trabajo a que da lugar es nulo: la fuerza centrípeta no realiza trabajo en el movimiento curvilíneo. Sí realiza trabajo la fuerza tangencial actuante sobre la partícula, si existe.

156


dr ftangencial fcentrípeta f

Figura 5.2

II. ENERGÍA CINÉTICA Teniendo en cuenta (5.1), el trabajo finito realizado por la fuerza f entre los puntos A y B, ecuación (5.3), es r

v

W(A →B) = L ∫rAB f • dr = ∫vAB

dp dv vB vB v 1 m mv • dv = ∫vAB d( 2 mv • v) = • dr = ∫ • dr = ∫ vA vA dt dt

v

B 1 1 1 2 2 2 =⎡ ⎣ 2 mv ⎤ ⎦v = 2 mvB − 2 mvA A

(5.6)

Se puede ya contestar a la pregunta de qué efecto produce el trabajo realizado por la fuerza en el estado de movimiento de la partícula: un cambio de velocidad; pero la cuantía del trabajo realizado por la fuerza no es proporcional al cambio en el momento lineal —como veremos en el próximo capítulo que ocurre con el impulso J— sino que es proporcional al cambio de una función cuadrática de la velocidad, magnitud que se denomina energía cinética, definida como 1 T ≡ mv 2 2

(5.7)

a) Magnitud escalar no negativa La energía cinética es una magnitud escalar función del módulo de la velocidad; depende de la masa y del cuadrado de la velocidad, por lo que su valor es o bien nulo (si no hay movimiento), o bien positivo. Observe la diferencia con el momento lineal —magnitud que depende de la masa y del vector velocidad— que puede ser positivo, negativo o nulo; por tanto, puede existir un balance nulo del momento lineal total de un sistema de dos o más partículas no siendo nulo ninguno de los momentos lineales individuales, lo que no es posible en un balance de energías cinéticas. b) Trabajo y energía cinética Otra forma de expresar (5.6) es r

W(A →B) = L ∫rAB f • dr = ∆T = T (B)−T (A)

(5.8)


157

Es decir, el trabajo entre dos puntos es igual a la variación de energía cinética evaluada en dichos puntos, cualquiera que sea la fuerza neta actuante, y tal variación de energía cinética puede ser diferente según el camino recorrido, pues la velocidad con que la partícula llega a B puede ser distinta según la trayectoria que haya seguido. De acuerdo con (5.8), la energía cinética y el trabajo se miden con las mismas unidades. c) El trabajo puede ser positivo, negativo o nulo, según el sentido relativo de la fuerza y el desplazamiento de su punto de aplicación. De acuerdo con (5.8), un trabajo positivo da lugar a un incremento de la energía cinética de la partícula; un trabajo negativo origina una disminución de energía cinética y, por tanto, de la velocidad del punto material, disminución de energía cinética que puede ser debida a una pérdida o disipación de energía mecánica (caso del rozamiento, por ejemplo) o a una conversión de energía cinética en otra forma de energía, de la que más adelante hablaremos. d) Si se calcula el trabajo necesario para llevar una partícula desde el reposo hasta la velocidad v se obtiene v

1

W(0→v ) = ∫0 dT = ∆T = T (v ) − T (0) = T (v) = 2 mv 2

(5.9)

Por ello, la energía cinética de una partícula con velocidad v puede interpretarse como el trabajo que es necesario realizar sobre ella para que alcance dicha velocidad desde el estado de reposo. e) Valores de energía (J)

1023 impacto del objeto causante del cráter Chicxulub (Península de Yucatán, México) 1018

consumo diario de energía en el mundo

1017

terremoto de magnitud 9

1016

energía de un asteroide de 30 m de diámetro a 15 km/s

10

bomba de hidrógeno (≈300 kt)

15

1013

bomba atómica (≈15 kt)

1012

kilotón de TNT (1 kt = 4,18 × 1012 J)

106

kilovatio hora (1 kW⋅h = 3,6 × 106 J)

105

automóvil a 100 km/h; consumo horario de una bombilla

103

llama de cerilla

158


III. TRABAJO Y POTENCIA La potencia es el cociente entre el trabajo y el tiempo empleado en su realización. En el límite, para un tiempo infinitesimal durante el cual el desplazamiento del punto de aplicación de la fuerza será también infinitesimal, la potencia instantánea (P) viene dada por la derivada P≡

dW dt

{(S.I.: W = J ⋅s−1 ); [P ] = ML2 T−3}

(5.10)

Si la fuerza actuante es constante o su variación temporal no es grande, se puede considerar que la potencia es el trabajo realizado en la unidad de tiempo. a) Teniendo en cuenta la expresión del trabajo (5.2), se tiene que

P=

dW f • dr = = f •v dt dt

(5.11)

siendo v la velocidad del punto de aplicación de la fuerza f. La dirección relativa de una y otra determinará una potencia positiva, negativa o nula. b) Potencia media La potencia media en el intervalo temporal ∆t = t2 – t1 se define como

< P >≡

1 t2 ∫ P (t)dt ∆t t1

1

(5.12)

c) Valores de potencia (W)

1040 1026 1010 105 103 102

luminosidad típica de un quasar luminosidad del Sol rayo automóvil estufa eléctrica caballo de vapor (1 CV = 735,5 W)1 bombilla de iluminación

1. No se debe confundir con el caballo fiscal, que es una estimación de la potencia de los vehículos únicamente para cuantificar los impuestos con que se gravan. Se basa en la cilindrada en cm3 (C) y el número de cilindros del motor (N), actualmente según la fórmula: nº caballos fiscales = k (C/N)0,6 N, con k = 0,08 si el motor es de cuatro tiempos, y k = 0,11 si es de dos tiempos.


159

Ejemplo 5.1 Un bloque de granito de 100 kg se eleva mediante una polea fija y otra móvil una altura de 8 m a velocidad constante de 0,5 m/s. Considerando despreciables el rozamiento y las masas de la cuerda y las poleas, determine: a) la tensión de la cuerda; b) el trabajo y la potencia desarrolladas.

h v

m

a) Como la polea móvil (y por tanto el bloque) es elevada por dos tramos de cuerda, cada uno sometido a la tensión T, y el movimiento es sin aceleración, se cumple que

T

T T

h

v′ v mg

2T − mg = 0

⇒

T = mg / 2 = 490 N

b) El trabajo realizado por las fuerzas T + T para subir el granito la altura h en su misma dirección y sentido es

W = 2Th = 7840 J Por otro lado, para que el bloque suba una altura h se ha de enrollar una longitud doble de cuerda en el mismo tiempo; así, la velocidad con que se enrolla la cuerda —que es la velocidad de su extremo libre, punto de aplicación de la tensión T con la que se tira de la misma— debe ser también doble de la velocidad con la que sube el granito. Por tanto, v′ = 2v = 1 m/s, y de acuerdo con (5.11), la potencia es

P = T • v´= 490 W

160


5.2 Energía potencial I. FUERZA CONSERVATIVA Una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza entre dos puntos es independiente de la trayectoria seguida por su punto de aplicación. El que el trabajo de una fuerza conservativa, fc, sea independiente del camino seguido para ir de un punto A a otro punto B significa que sólo depende de la posición de tales puntos, por lo que es posible expresarlo como la diferencia de una energía que sólo depende de la posición del cuerpo y no de su movimiento. Tal energía, función exclusiva de la posición, se denomina energía potencial, U. De este modo, el trabajo debido a una fuerza conservativa puede expresarse como r

W(A →B) = ∫rAB fc • dr =−∆U = U (A) −U (B)

(5.13)

De acuerdo con (5.13), la energía potencial y el trabajo se miden con las mismas unidades. a) Magnitud escalar La energía potencial es una magnitud escalar función de la posición, que puede tomar valores positivos, nulos o negativos. b) Trayectoria cerrada De (5.13) se deduce que el trabajo realizado por una fuerza conservativa en una trayectoria cerrada es nulo, al coincidir los puntos inicial y final:

W = ∫ fc • dr = 0

(5.14)

II. LA ENERGÍA POTENCIAL COMO CAMPO ESCALAR. GRADIENTE De acuerdo con el concepto de campo que se introdujo en el capítulo 3, la energía potencial [U(x, y, z)] es un campo escalar por cuanto en cada punto de una cierta región espacial existe —y con un valor dependiente de la localización de dicho punto— tal magnitud escalar. En los campos escalares se definen las superficies de nivel o equiescalares: son el lugar geométrico de los puntos del espacio en los que el campo escalar toma el mismo valor. Así, en el caso de la energía potencial las superficies equiescalares vienen definidas por U(x, y, z) = cte. Puesto que el valor del escalar debe ser único en cada punto, dos superficies equiescalares U(x, y, z) = c1 y U(x, y, z) = c2 no pueden cortarse, y por cada punto de la región espacial en que está definido el campo escalar sólo puede pasar una superficie equies-

5.2 Energía potencial

161

calar. Gráficamente, se representan las superficies equiescalares que difieren en un determinado valor del escalar, ∆U = k; de este modo, en aquellas zonas en las que las superficies equiescalares están más próximas la variación ∆U por unidad de longitud es mayor que en donde están más separadas. a) Derivada direccional Consideremos un punto P situado en una determinada superficie U(x, y, z) = cte, y otra infinitamente próxima a la anterior cuyo valor de la energía potencial difiere de ésta en dU; si desde el punto P se pasa a tal superficie en la dirección definida por el vector unitario ur, el cambio de energía potencial es dU y la distancia recorrida dr (Figura 5.3). Se define la derivada direccional según ur como el cociente dU/dr. Si se cambia la dirección, el cambio en la energía potencial no varía —que sigue siendo dU— pero sí varía la distancia dr, cambiando de valor la derivada direccional, es decir, el campo U cambia más rápidamente en unas direcciones que en otras. En la dirección normal —definida por el vector unitario n con sentido el de aumento del escalar— la distancia entre dichas superficies es dn.

grad U

n dn

ϕ

P

ur dr U + dU U

Figura 5.3

b) Gradiente Se denomina gradiente del campo escalar U al vector

grad U ≡

dU n dn

El gradiente del campo escalar U es el vector cuya dirección es la de la normal a la superficie equiescalar en cada punto, su sentido el del crecimiento de U, y su módulo, la derivada direccional según la normal.

(5.15)

162


c) Derivada direccional máxima En el triángulo infinitesimal de ángulo ϕ en el vértice P (Figura 5.3)

dn = dr cos ϕ pudiéndose escribir la derivada direccional como dU dU = cos ϕ = grad U cos ϕ = grad U • ur dr dn

(5.16)

Así, la derivada direccional es máxima en la dirección normal, ⎛ dU ⎞ ⎜ ⎟ = grad U • n = grad U ⎝ dr ⎠max

de modo que el módulo del vector gradiente es la derivada direccional máxima. d) También, de (5.16),

dU = grad U • dr

(5.17)

y si, teniendo en cuenta (5.13), se calcula el trabajo infinitesimal de la fuerza conservativa asociada a la energía potencial para pasar de una superficie a otra,

dW = fc • dr =−dU =−grad U • dr resulta que

fc =−grad U

•

(5.18)

relación que liga la fuerza conservativa con la energía potencial de la que deriva. De hecho, la energía potencial es una descripción alternativa de la misma interacción que la que expresa la fuerza conservativa correspondiente, si bien más sencilla de manejar al ser una magnitud escalar en vez de vectorial. •

dW =−dU

(5.19)

de modo que el trabajo infinitesimal realizado por una fuerza conservativa es una diferencial exacta de una función de las coordenadas, cuya integral entre dos puntos sólo depende de sus posiciones y no del camino seguido para ir del uno al otro, r

W(A →B) = ∫rAB −dU =−∆U = U (A) −U (B)

(5.20)

de acuerdo con (5.13). • A partir de (5.17) se puede obtener la expresión del gradiente en distintos sistemas de coordenadas.

5.3 Conservación de la energía

163

e) El gradiente en coordenadas cartesianas La expresión del gradiente en coordenadas cartesianas es

grad U ( x, y, z ) =

∂U ∂U ∂U i+ j+ k ∂x ∂y ∂z

(5.21)

f) El gradiente en coordenadas polares La expresión del gradiente en coordenadas polares es

grad U (r , θ) =

∂U 1 ∂U er + e r ∂θ θ ∂r

(5.22)

5.3 Conservación de la energía Si sobre una partícula actúan fuerzas conservativas fc y no conservativas fnc el trabajo de su resultante

F = fc + fnc entre dos puntos A y B viene dado por r

r

r

W(A →B) = L ∫rAB F • dr = L ∫rAB fc • dr + L ∫rAB fnc • dr =−∆U + Wnc habiendo tenido en cuenta (5.13) y designando como Wnc el trabajo de las fuerzas no conservativas. Si se hace uso de (5.8), expresión válida cualquiera que sean las fuerzas actuantes, W(A →B) = ∆T igualando ambas expresiones del W(A → B) y despejando se obtiene que

Wnc = ∆T +∆U = ∆(T +U ) Y designando como energía mecánica (E) la suma de las energías cinética y potencial, E ≡ T +U

(5.23)

Wnc = ∆E

(5.24)

resulta

La ecuación (5.24) señala que el trabajo de las fuerzas no conservativas induce una variación del mismo signo en la energía mecánica

164


aumentando E si el trabajo es positivo, y disminuyendo en caso contrario. Si es nulo el trabajo de las fuerzas no conservativas, existan o no, la energía mecánica se conserva. E ≡ T +U = cte

(5.25)

Si en el movimiento de una partícula las únicas fuerzas que realizan trabajo son conservativas, su energía mecánica se mantiene constante. En este caso, la suma de energía cinética y potencial en las distintas posiciones que va ocupando la partícula en su movimiento es la misma, esto es, la energía mecánica se conserva, de ahí el nombre de fuerza conservativa. Ha de quedar claro que lo que no varía es la suma de las energías cinética y potencial —y no el valor de cada una independientemente— de modo que durante el movimiento puede existir una transformación de una energía en otra pero manteniendo el balance energético; esto no es sólo importante desde un punto de vista teórico sino también práctico, pues establece una regla numérica por la cual si se conoce la velocidad de un cuerpo se puede determinar que posición puede alcanzar, y a la inversa. a) Magnitud escalar positiva, nula o negativa La energía mecánica es una magnitud escalar, función de la velocidad —a través de la energía cinética— y de la posición —a través de la energía potencial—. Aunque la energía cinética sólo puede ser positiva o nula, como la energía potencial además de positiva o nula puede tomar valores negativos y su cuantía puede ser superior a la energía cinética, la suma algebraica (5.23) permite cualquier valor y cualquier signo, por lo que la energía mecánica puede ser positiva, nula o negativa. b) Fuerzas disipativas Según (5.24), si el trabajo de una cierta fuerza no conservativa es negativo (Wnc < 0) la energía mecánica disminuye durante el movimiento, se disipa, de ahí que tal fuerza reciba el nombre de disipativa. La fuerza de rozamiento se comporta como fuerza disipativa en muchas situaciones, originando pérdida de energía mecánica en el cuerpo sobre el que actúa; para ello debe realizar trabajo desplazándose su punto de aplicación, por lo que el punto de contacto del cuerpo móvil debe tener velocidad no nula respecto del cuerpo fijo, velocidad que se designa como de deslizamiento.

N v fr

dr mg

Figura 5.4

5.3 Conservación de la energía

165

En el cuerpo de la Figura 5.4, que ha sido lanzado con una velocidad v sobre una superficie horizontal áspera, la fuerza de rozamiento cinético actúa en sentido contrario al del movimiento de los puntos de contacto (dWnc = fr · dr = –fr dr), generando una aceleración negativa sobre el bloque que terminará por llevarlo al reposo, disipando toda la energía cinética que el cuerpo tenía a causa de su movimiento. En cambio, la fuerza de rozamiento estático no actúa como fuerza disipativa, incluso aunque el cuerpo se mueva. Sustituyamos el bloque anterior por un disco. Si el cuerpo se traslada sin cambiar de orientación de modo que el punto de contacto tiene velocidad instantánea distinta de cero e igual al resto de los puntos del cuerpo, el movimiento es de traslación y se dice que el disco desliza sobre la superficie horizontal (Figura 5.5). La situación es similar a la del bloque anterior, realizando la fuerza de rozamiento cinético un trabajo negativo al ser opuesta al desplazamiento de su punto de aplicación, que es el punto de contacto entre el disco y la superficie plana.

B vB C

vC

A

fr

F

vA dr

deslizamiento:vA ≠ 0

Figura 5.5

El disco rueda sin deslizar sobre la superficie (Figura 5.6) cuando existe una rotación (movimiento de cambio de orientación) y un desplazamiento del disco respecto de la superficie en la que se apoya, siempre que el punto de contacto del móvil tenga velocidad instan-

vB

B ω v

F C

v fr

vC v

v A

v

rodadura: vA = 0

Figura 5.6

166


tánea nula (en este caso, al girar el disco, la velocidad de cualquier punto de su periferia que se aproxima a la superficie fija va disminuyendo, hasta hacerse nula en el instante en que el punto entra en contacto con la misma, para volver a ser no nula cuando el punto deja de estar en contacto con la superficie). Cuando sólo hay rodadura no hay disipación energética al no realizar trabajo la fuerza de rozamiento estático dado que el punto de aplicación de dicha fuerza no se desplaza sino que en cada instante es un punto diferente de la periferia del disco: aquel que está en contacto con la superficie fija. Cuando existe deslizamiento sí hay desplazamiento del punto del disco en contacto con la superficie y, por tanto, del punto de aplicación de la fuerza de rozamiento, que ahora es cinético, dando lugar a trabajo disipativo. c) Principio de conservación de la energía Se puede dar un paso más: suponer que el trabajo debido a fuerzas no conservativas (Wnc) —y que da lugar a una disminución o aumento de la energía mecánica— tiene su origen en una variación contraria (aumento o disminución, respectivamente) de alguna o algunas energías distintas de la mecánica (E*), como térmica, química, electromagnética o nuclear, de modo que

Wnc =−∆E ∗ y sustituyendo en (5.24),

∆( E + E ∗ ) = 0 que es la expresión del principio de conservación de la energía, considerando todas las energías asociadas a la interacción de la partícula con su entorno. La energía total puede transformarse de una forma en otra, pero siempre se conserva. La conservación de la energía total en cualquiera de sus formas viene avalada por la experiencia.

5.4 Energía potencial gravitatoria I. EN LAS PROXIMIDADES DE LA SUPERFICIE TERRESTRE Vamos a obtener la expresión de la energía potencial gravitatoria en las proximidades de la superficie terrestre, en donde puede suponerse que la atracción gravitatoria no varía apreciablemente con la altura si ésta no es comparable al radio terrestre. Para ello vamos a determinar, en primer lugar, el trabajo realizado por la fuerza peso al lanzar una partícula de masa m hacia arriba una distancia h, desde el punto A hasta el B, según la recta AB (Figura 5.7a).

5.4 Energía potencial gravitatoria

Y

B′

Y

167

C′

B

B mg

mg h

h

h1

dr

dr

A

A

X (a)

dr

X

C

(b)

Figura 5.7

El peso viene dado por mg = –mgj, y la expresión general de un desplazamiento infinitesimal dr en el plano vertical XY y en coordenadas cartesianas es dr = dxi + dyj Para la recta AB, x = cte, por lo que dx = 0 y dr = dyj. El trabajo será, pues, h

h

h

W(A →B) = W(0→h) = L ∫0 mg • dr = ∫0 (−mgj ) • dyj =−mg ∫0 dy =−mgh

(5.26)

Supongamos ahora (Figura 5.7b) que la partícula recorriese la trayectoria AC(y = 0, dy = 0, dr = dxi) + CC′(x = cte, dx = 0, dr = dyj) + C′B′(y = cte, dy = 0, dr = dxi) + B′B(x = cte, dx = 0, dr = dyj). El trabajo para la fuerza peso es h

C

C´

B´

B

W(A →B) = W(0→h) = L ∫0 mg • dr = ∫A mg • dr + ∫C mg • dr + ∫C´ mg • dr + ∫B´ mg • dr = C

C´

B´

B

= ∫A (−mgj ) • dxi + ∫C (−mgj ) • dyj +∫C´ (−mgj ) • dxi +∫B´ (−mgj ) • dyj = C´

h

B

h

= ∫C −mgdy +∫B´ −mgdy =−mg ∫0 1 dy − mg∫h dy =−mgh1 − mg(h − h1 ) =−mgh 1

a) Trabajo independiente de la trayectoria De lo anterior resulta que el trabajo de la fuerza peso entre los puntos A(0) y B(h) es independiente del camino recorrido, por lo que el peso es una fuerza conservativa, pudiéndose, de acuerdo con (5.13), expresar tal trabajo como variación de una función de la posición —la energía potencial gravitatoria—: h

W(0 → h ) = L ∫0 m g • d r =−∆ U g = U g (0) − U g ( h ) b) Energía potencial gravitatoria Igualando las expresiones (5.26) y (5.27) se tiene que

U g (h) = U g (0) + mgh

(5.27)

168


Si se elige como nivel cero de energía potencial gravitatoria la superficie terrestre, se puede asignar un valor concreto a la energía potencial gravitatoria en cualquier otro punto de altura h respecto de la correspondiente al nivel tomado como cero. U g (h) = mgh

con

U g (0) = 0

(5.28)

La elección del nivel cero es arbitraria y puede tomarse a conveniencia. c) El signo negativo del trabajo W(0 → h) (ecuación 5.26) expresa el hecho de que la fuerza peso es contraria al desplazamiento cosiderado, es decir, el peso no subirá la partícula a una altura h; sí que la hará descender, resultando que el trabajo de la fuerza peso desde la altura h hasta la altura 0 es positivo, W(h → 0) = mgh.

II. CASO GENERAL Utilicemos ahora la expresión general de la fuerza de atracción gravitatoria que sobre la partícula de masa m2 ejerce la partícula de masa m1 separadas por la distancia r (Figura 5.8); de acuerdo con (3.7) f2 =−γ

m1

m1 m2 e r2 r

f2 er

m2

r

dr ϕ dl

Figura 5.8

Para un desplazamiento infinitesimal cualquiera (dl) el trabajo elemental de la fuerza f2 viene dado por dW = f2 • dl =−γ

m1 m2 e • dl r2 r

y como

er • dl = dl cos ϕ= dr puede escribirse dW =−γ

⎡ mm ⎤ m1m2 dr = d⎢ γ 1 2 ⎥ 2 ⎣ r ⎦ r

(5.29)


169

es decir, el trabajo elemental es igual a una diferencial exacta de una función de la posición, lo que constituye otra forma de determinar que la fuerza implicada en el trabajo es una fuerza conservativa, como hemos visto a propósito del gradiente, ecuación (5.19). En consecuencia, se puede escribir que dW =−dUg (r ) Integrando desde la posición definida por r hasta el infinito W(r →∞) =−∆U g (r ) = U g (r ) −U g (∞) y haciéndolo en (5.29) ∞

∞

W(r →∞) = ∫r d[ γ

m1m2 ⎡ m1m2 ⎤ mm ] =⎢ γ =−γ 1 2 ⎥ ⎣ ⎦ r r r r

Igualando los segundos miembros de W(r → ∞) se obtiene que U g (r ) =−γ

m1m2 +U g (∞) r

y se puede asignar un valor de energía potencial gravitatoria al sistema de las dos masas m1 y m2 distantes r sin más que asignar el valor cero —es el más simple— a la energía potencial del sistema cuando las dos masas están separadas una distancia infinita:

U g (r ) =−γ

m1m2 r

con

U g (∞) = 0

(5.30)

a) Energía potencial negativa Obsérvese que la energía potencial gravitatoria, en su expresión general, es siempre negativa excepto en el infinito. Esto es consecuencia de haber asignado el valor cero a la energía potencial de puntos infinitamente alejados, lo que es arbitrario. Lo físicamente significativo es que la energía potencial gravitatoria es tanto mayor cuanto más alejadas se encuentran las partículas, de modo que su acercamiento supone una disminución de dicha energía y en consecuencia un aumento —si son libres de moverse— de energía cinética al mantenerse constante su suma, la energía mecánica E (5.23). b) Contracción de grandes masas de gas en la formación y colapso de las estrellas De acuerdo con lo anterior, en un conjunto de partículas, cuanto más próximas estén menor será la energía potencial gravitatoria del colectivo. En el cosmos, las masas gaseosas se contraen y las estrellas colapsan por la atracción gravitatoria (aumentando su temperatura al estar ésta relacionada con la energía cinética media de las partículas constituyentes) hasta alcanzar —si es posible— una configuración que implica mínima energía potencial; tal configuración es estable, como más adelante se verá.

170


c) Velocidad de escape Para que un cuerpo pueda alcanzar una distancia infinita respecto de la Tierra su energía mecánica debe ser igual o mayor que la energía potencial gravitatoria cuerpo-Tierra en el infinito, que es nula [Ug(∞) = 0], es decir,

E = T + Ug (r ) ≥ 0 Si su energía mecánica es menor (E < 0) el cuerpo está ligado a la Tierra, de modo que lanzado desde la superficie terrestre y sin más intervención o cae en ella de nuevo o realiza una trayectoria elíptica,1 como se muestra en la Figura 5.9. En consecuencia, para que un cuerpo pueda alcanzar el infinito desde una distancia r del centro de la Tierra deberá tener en ese punto una velocidad mínima tal que mmT 1 =0 E = mve2 − γ 2 r Esto es, ve =

2 γmT r

que es la llamada velocidad de escape terrestre para esa posición (r). Obsérvese que depende de la masa terrestre pero no de la masa del cuerpo.

E>0

E=0

E<0

Figura 5.9

En la superficie de la Tierra, ve =

2 γmT = 11, 2 km/s RT

1. Según se verá después, tal situación puede describirse como que el cuerpo está atrapado en un pozo de potencial.


171

Por tanto, para que un cuerpo pueda escapar y liberarse del campo gravitatorio terrestre debe superar la velocidad de escape correspondiente a la posición en que se encuentra. • Esto no quiere decir, sin embargo, que para que un cuerpo escape del campo gravitatorio terrestre deba ser lanzado desde la superficie de la Tierra con una velocidad mayor que 11,2 km/s, lo que, al margen de otras dificultades, daría lugar a que se quemase debido a la fricción atmosférica. El concepto de velocidad de escape se refiere a la velocidad que habría que comunicar inicialmente al cuerpo si no se ejercen acciones posteriores sobre el mismo; pero éste no es el único modo de conseguir el objetivo de liberarse del campo gravitatorio. Si en vez de comunicar al cuerpo solamente una velocidad inicial se le mantiene separándose de la Tierra a una velocidad constante v cualquiera, como la velocidad de escape disminuye con la raíz cuadrada de la distancia, en algún punto v será mayor que la velocidad de escape en esa posición y el cuerpo podrá alejarse indefinidamente. O bien, se puede situar una nave espacial primero en una cierta órbita cercana a la Tierra y, después, acelerarla hasta sobrepasar la velocidad de escape correspondiente a la altitud a que se encuentra, que es algo menor que la de la superficie terrestre, sin fricción atmosférica, y teniendo ya la nave como velocidad inicial la velocidad orbital (Figura 5.10).

Figura 5.10

• La velocidad de escape en un planeta que rota, como la Tierra, depende de la dirección en que se lanza el cuerpo y de su ubicación, pues en ella influirá la velocidad v = ω ∧ R (Figura 5.11) que previamente tiene como consecuencia de la rotación. Así, un cohete lanzado según un paralelo requeriría una velocidad inicial respecto de la Tierra de (11,2 ± v) km/s, según que se lanzara hacia el oeste o hacia el este, respectivamente. Como v = ω ∧ R = ω R cos λ aumenta con la disminución de la latitud del lugar (λ), se facilita el lanzamiento de cohetes utilizando como bases de despegue

172


puntos próximos al ecuador terrestre, como es el caso de Cabo Cañaveral, en Florida, y el de la Guayana Francesa.

N

hemisferio norte

␻ v R cos λ v R

R

O

C

λ

ecuador

E

Figura 5.11

• El concepto de velocidad de escape es general, y no se refiere solamente al campo gravitatorio terrestre: es la velocidad que hay que sobrepasar para que una masa m situada en un cierto punto de un campo gravitatorio pueda liberarse de él. Su expresión, siendo M la masa creadora del campo gravitatorio y r la distancia de la masa m al centro del campo, es

ve =

2 γM r

d) Atmósferas planetarias La velocidad de escape explica la existencia de atmósferas planetarias. Si a distintas alturas la velocidad media de las moléculas de un gas que se ha generado en la superficie de un planeta es inferior a la velocidad de escape correspondiente, el gas permanecerá en su atmósfera; si ocurre lo contrario, escapará de su campo gravitatorio. El nitrógeno y el oxígeno son los componentes mayoritarios de la atmósfera terrestre dado que su velocidad molecular es menor que la de escape; sólo en las capas más altas de la atmósfera se pierde al espacio una mínima proporción de ellos, compensada por su producción a nivel de superficie. El hidrógeno y el helio, gases mucho más ligeros, tienen velocidades moleculares superiores a la de escape y la Tierra no es capaz de retenerlos, por lo que se encuentran en la atmósfera en cantidades muy pequeñas. Para que el hidrógeno y el helio no desapareciesen de la atmósfera, el campo gravitatorio debería ser mucho más intenso, que es lo que ocurre en los planetas gigantes como Júpiter y Saturno, cuyas atmósferas están constituidas principalmente por estos elementos. Por el contrario, si el campo gravitatorio es pequeño y, por tanto, la velocidad de escape es baja, el astro sólo será capaz de retener gases pesados de reducida velocidad molecular o bien carecerá de atmósfera, como es el caso de la Luna.

5.5 Energía potencial del oscilador lineal

173

Ejemplo 5.2 ¿Cuál es la velocidad de escape del sistema solar, respecto de la Tierra y en su superficie? Considere las energías potenciales de una masa m debidas a los campos gravitatorios del Sol y de la Tierra. Para poder escapar de ambos, la energía cinética de la partícula debe compensar al menos las energías potenciales, de modo que el valor mínimo de la energía mecánica sea cero:

E=

1 2

2

mve − γ

mmT RT

−γ

mmS dS

=0

siendo RT = 6,37 × 106 m y dS = 150 × 109 m el radio terrestre y la separación entre los centros del Sol y la Tierra, respectivamente, y mS = 1,99 × 1030 kg la masa del Sol. Despejando,

ve =

2 γmT RT

+

2 γmS dS

2

2

2

= (11, 2 + 42,1 )(km/s) = 43,6 km/s

Ahora bien, la velocidad media de traslación de la Tierra es de 30 km/s y la debida a su rotación en el ecuador (v = ωR) de aproximadamente 0,5 km/s, por lo que para abandonar el sistema solar se requiere una velocidad de 13,1 km/s respecto de la Tierra en la dirección y sentido de los movimientos de traslación y rotación terrestres.

5.5 Energía potencial del oscilador lineal El oscilador lineal es un sistema oscilante cuya fuerza recuperadora es lineal, es decir, satisface la ley de Hooke, según se vio en el apartado 3.8. Seguiremos considerando el oscilador con un único grado de libertad, y si es x la coordenada asociada al mismo, la fuerza recuperadora elástica se expresa como f =−kx

(3.26)

que da lugar —como ya se vio en el apartado 3.8— a un m.v.a. x = A{sen cos }( ωt + ϕ)

(3.30)

El trabajo infinitesimal realizado por la fuerza recuperadora en un desplazamiento dx (Figura 5.12), es ⎛1 ⎞ dW =−kxdx =−d⎜ kx 2 ⎟ ⎝2 ⎠

(5.31)

174


f(x) k dx m X 0

x

Figura 5.12

es decir, es una diferencial exacta de una función de la posición, función que es la energía potencial elástica asociada a la fuerza conservativa (3.26) de acuerdo con la ecuación (5.19), dW =−dU e Integrando desde la posición de equilibrio estable, x = 0, hasta otra posición cualquiera, x W(0→x ) =−∆U e = Ue (0) −U e ( x )

(5.32)

x x ⎛ ⎞ ⎤ 1 1 1 W(0→x ) =−∫ d⎜ kx 2 ⎟=− kx 2 ⎥ =− kx 2 ⎦0 ⎠ 2 2 0 ⎝2

(5.33)

e integrando (5.31),

Igualando los segundos miembros de (5.32 y 5.33) resulta 1 U e ( x ) = kx 2 +U e (0) 2 y se puede asignar un valor de energía potencial elástica a cada posición x respecto del punto de equilibrio estable asignando el valor cero a la energía potencial en dicha posición de equilibrio: 1 U e ( x ) = kx 2 2

con

Ue (0) = 0

(5.34)

Ejemplo 5.3 Un bloque de masa m = 600 g se lanza hacia arriba, con una velocidad v = 10 m/s, sobre un plano inclinado θ = 30º con la horizontal. A una distancia L = 5 m del lugar del lanzamiento se encuentra un muelle de constante elástica k = 500 N/m. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es μ = 0,5. a) ¿Se comprime el muelle? ¿En cuánto? b) ¿Con qué velocidad alcanzará de nuevo el punto de partida?

5.5 Energía potencial del oscilador lineal

d

N

175

k

L fr m

θ

v

mg cos θ

h

mg

θ

Ug = 0

a) Para saber si el muelle se comprime y en qué cuantía, estableceremos el balance de energía entre el estado inicial 1 (velocidad v y altura cero) y el estado final 2 (velocidad nula y altura h, correspondiente a un recorrido sobre el plano L + d, siendo d lo que se comprime el muelle), según la ecuación (5.24).

E1 = E2 − (− Wd ) = E2 + ( Wd

)

⇒ T1 +U g1 = T2 +U g 2 +U e + fr ( L + d )

con fr la fuerza de rozamiento. Como Ug1 y T2 son nulas, y fr = μN = μmg cos θ, queda 1

1 2 2 mv = mgh + kd + μmg( L + d ) cos θ 2 2 Además, h = (L + d) sen θ, con lo que 1 2

1 2 2 kd + mg ( L + d )(sen θ + μ cos θ ) − mv = 0 2

Y sustituyendo valores, d 2 + 0, 022 d − 0, 010 = 0 de modo que el muelle se comprime en la cuantía d = 0, 09 m

b) El muelle lanzará el bloque hacia abajo, y alcanzará la base del plano inclinado (estado 3) con una velocidad, v′, que se obtiene de un nuevo balance energético. E2 = E3 + Wd

⇒ T2 +U g 2 +U e = T3 +U g 3 + fr ( L + d )

con Ug3 y T2 nulas. Por tanto, 1 2 1 2 mg( L + d ) sen θ + kd = mv´ +μmg( L + d ) cos θ 2 2

Y 2

v´ = 2 g( L + d )(sen θ− μ cos θ) + siendo v´= 3, 66 m/s

k m

d

2

176


5.6 Curvas de energía potencial Consideremos la energía cinética y potencial del péndulo simple, formado por una partícula de masa m que cuelga de un extremo de un hilo inextensible de masa despreciable y longitud l sujeto por su otro extremo al punto fijo Q, o punto de suspensión (Figura 5.13). Tomando las direcciones horizontal y vertical como ejes X e Y, respectivamente, y el origen en el punto fijo situado en la vertical que pasa por Q y a distancia la longitud del hilo (l), las coordenadas x e y de la partícula para una posición cualquiera formando un ángulo θ con la vertical son

x = l sen θ

y = l(1− cos θ)

y las componentes correspondientes de la velocidad, derivando, x = l θ cos θ

y = lθ sen θ

Y Q

θ2 θ1 l θ y

Ug (θ) = 0

m

X

O energía Ug (θ) mgl

E T Ug θ1 –

O

θ2

1 π 2

θ 1 2

Figura 5.13

π

π

5.6 Curvas de energía potencial

177

Así, la energía cinética viene dada por 1 1 1 T = mv 2 = m( x 2 + y 2 ) = ml 2 θ 2 2 2 2 y su energía potencial gravitatoria, tomando como nivel cero la horizontal que pasa por el origen O, es U g (θ ) = mgy = mgl (1− cos θ)

(5.35)

únicamente dependiente de la posición angular —de la desviación de la partícula respecto de la vertical— dado que su posición radial, su distancia al punto fijo, se mantiene constante (r = l). Tal función se muestra en la Figura 5.13, tomando en ordenadas la energía y en abscisas la posición angular. La energía mecánica de la partícula es constante, ya que la única fuerza que realiza trabajo —su peso— es conservativa (la tensión del hilo no realiza trabajo al ser perpendicular al desplazamiento), E = T +U g = cte E viene representada en el diagrama anterior mediante una recta al tener el mismo valor en todas las posiciones, y su cuantía es la energía que se le ha comunicado inicialmente al péndulo, E = cte = E (t = 0) = T (t = 0) +U g (t = 0) es decir, su valor es la suma de la energía cinética y potencial iniciales que dependen de la velocidad y posición iniciales, respectivamente. Se puede ver en el diagrama que la recta E corta a la curva Ug(θ) en dos puntos, correspondientes a dos posiciones θ1 y θ2 que son las desviaciones máximas respecto de la vertical que puede alcanzar el péndulo con la energía E de que dispone. Para tales ángulos toda la energía se encuentra en forma de energía potencial, E = U g (θ1 ) = U g (θ 2 ) por lo que su energía cinética y, en consecuencia, su velocidad son nulas, θ(θ1 ) = θ(θ 2 ) = 0 En tales posiciones la velocidad se hace instantáneamente nula, pero, como existe aceleración tangencial, un instante después comenzará a moverse de nuevo habiendo invertido el sentido del movimiento. Cuando pasa por la vertical, en cambio, la energía potencial es nula y toda la energía mecánica es cinética, alcanzando en esta posición la velocidad máxima. Para cualquier posición intermedia la energía mecánica es parte cinética y parte potencial, existiendo durante el movimiento una transformación continua de una en otra forma de energía.

178


a) Pozo de potencial Es evidente que con la energía disponible E la partícula no puede desviarse de la vertical más de θ1 y θ2, pues para una desviación mayor en valor absoluto, a un lado y otro, la energía potencial sería superior a la energía mecánica, con lo que uno de los términos de la suma es mayor que el total y la energía cinética —el otro sumando— debería ser negativa, lo cual no es posible. La partícula se ve confinada a moverse de un lado a otro de la posición vertical; aun cuando se le aumentase la energía, por ejemplo al valor E = mgl, variaría también la cuantía de los ángulos de corte θ1 y θ2, que ahora serían –π/2 y π/2, pero el tipo de movimiento no habría cambiado, por lo que se dice que la partícula se encuentra atrapada en un pozo de potencial. Los puntos de corte son los puntos de retroceso —porque en ellos se invierte el sentido del movimiento— y la curva de energía potencial actúa como una pared cuyos límites no pueden ser sobrepasados, pues ello implicaría alcanzar posiciones prohibidas. b) Equilibrio y estabilidad A partir de (5.18) y (5.22), con la expresión de la energía potencial obtenida (5.35) y teniendo en cuenta que r = l = cte, se obtiene la fuerza

f =−grad U g (θ ) =−

1 ∂U g e =−mg sen θeθ l ∂θ θ

(5.36)

que es la componente tangencial del peso, según se vio en (3.25). Si el péndulo se deja en reposo en la dirección vertical descendente (θ = 0) la fuerza f es nula, la partícula se encuentra en equilibrio, la primera derivada de la energía potencial es nula ⎛ ∂U g ⎞ ⎜ ⎟ =0 ⎝ ∂θ ⎠θ=0

(5.37)

y la energía potencial es mínima, Ug(θ = 0) = [Ug(θ)]min. Además, si se desvía ligeramente la masa m de tal posición de equilibrio la fuerza tangencial deja de ser nula y su sentido es tal que tiende a llevar a la partícula hacia la posición θ = 0, es decir, a que recupere dicha posición de equilibrio, estando el movimiento limitado a un pequeño vaivén en el entorno de la vertical θ = 0. Por tanto, en la posición en que la energía potencial es mínima el equilibrio es estable. Si el péndulo se deja en reposo en la dirección vertical para θ = π (habiendo sustituido el hilo por un fino alambre de masa despreciable), también la fuerza es nula, la partícula se encuentra en equilibrio y la primera derivada del potencial es nula [∂Ug/∂θ]θ=π = 0, pero, en este caso, la energía potencial alcanza un máximo, Ug(θ = π) = [Ug(θ)]max. Además, si se desvía ligeramente la masa m de tal posición de equilibrio la fuerza tangencial deja de ser nula y tiene un sentido tal que tiende a alejar cada vez más la partícula de la posición previa. Por tanto, en la posición en que la energía potencial es máxima el equilibrio es inestable.


179

En general puede afirmarse que las posiciones en las que la energía potencial alcanza valores extremos (máximos y mínimos) son de equilibrio. En las posiciones correspondientes a los mínimos, el equilibrio es estable; en las correspondientes a los máximos, el equilibrio es inestable. c) Curva de energía potencial elástica La ecuación (5.34) es la de una parábola con vértice en x = 0 y eje perpendicular a X (Figura 5.14). El mínimo de energía potencial se alcanza en la posición de equilibrio estable (x = 0),

U e min = U e (0) = 0 y el máximo de energía potencial se alcanza en la máxima elongación o desplazamiento, 1 U e max = U e (±A) = kA2 2

(5.38)

energía E = cte

T

U

–A

O

A

X

Figura 5.14

Por otro lado, teniendo en cuenta la expresión del desplazamiento (3.30) y de la velocidad (derivando la anterior respecto del tiempo), v = Aω {−cossen } ( ωt +ϕ), se puede escribir la energía cinética como 1 1 1 T = mv 2 = m[ Aω {−cossen } (ωt + ϕ)]2 = kA2 [1− 2 2 2 1 2 2 = k[ A − x ] 2

{ } ( ωt +ϕ)] = sen 2 cos2

(5.39)

180


habiendo utilizado (3.29). La energía cinética es máxima en la posición de equilibrio, 1 Tmax = T ( x = 0) = kA 2 2 y mínima en los puntos extremos de la oscilación, Tmin = T ( x =±A) = 0 La energía mecánica, en consecuencia, puede expresarse como 1 1 1 E = T +U e == k[ A2 − x 2 ]+ kx 2 = kA2 = cte 2 2 2

(5.40)

siendo constante, como corresponde al caso de fuerza conservativa. Es la cuantía de la energía que se le suministra al oscilador inicialmente la que determina la amplitud (A) de las oscilaciones, de acuerdo con (5.40). En la Figura 5.14 se muestra gráficamente las relaciones entre las energías cinética, potencial y total, de modo que en el movimiento del oscilador hay una transformación continua entre energía cinética y potencial en forma tal que su suma mantiene constante el valor de su energía mecánica. d) Otras curvas La información obtenida del movimiento del péndulo o del oscilador lineal sin resolver la ecuación dinámica correspondiente, relacionando solamente la curva de variación de la energía potencial con la coordenada de la que depende y la energía mecánica de la partícula, se puede conseguir cualquiera que sea la forma de la curva. Supongamos un movimiento unidimensional, sea a lo largo del eje X, bajo la acción de una fuerza conservativa que deriva de una energía potencial cuya curva U(x) viene representada en la Figura 5.15. La energía mecánica viene dada por

1 E = T +U ( x ) = mx 2 +U ( x ) 2 Si la partícula tiene una energía mecánica de valor E1, sólo existe un punto de corte con la curva de energía potencial correspondiente al valor x1; en tal posición toda la energía es potencial, E1 = U(x1), por lo que la energía cinética es nula, y nula es la velocidad en tal posición. Si la partícula se mueve hacia el origen O, al aproximarse a él su energía cinética va disminuyendo, y con ello su velocidad hasta hacerse cero; a partir de ese instante se sigue el proceso inverso: la partícula aumenta su velocidad y se mueve en sentido contrario al precedente, alejándose de O indefinidamente. El punto de coordenada x1 es, pues, un punto de retroceso. Las posiciones permitidas son todas aquellas en las que x ≥ x1, y no existe límite de alejamiento. Las posiciones prohibidas son x < x1, pues en ellas U(x) > E1, lo que implicaría T < 0, que no es físicamente posible dado que la energía cinética no puede ser negativa.


181

energía E1 T U (x) E2 T U U f

f

f

f

O x1

x2

x eq. estable

x3

x eq. inestable

x4

x eq. indif.

X

Figura 5.15

Si la partícula tiene una energía mecánica de valor E2, existen tres puntos de corte con la curva de energía potencial correspondientes a los valores x2, x3 y x4; en tales posiciones toda la energía es potencial, E2 = U(x2) = U(x3) = U(x4), siendo nulas la energía cinética y la velocidad. Las posiciones permitidas son aquellas en las que U(x) ≤ E2, es decir, x2 ≤ x ≤ x3, que corresponde a un pozo de potencial, y x ≥ x4, en el que el movimiento es análogo al visto en el caso de la energía E1. La partícula se mueve en una u otra de las zonas permitidas dependiendo de dónde se encuentre inicialmente, pero no puede cambiar de zona dado que las posiciones x3 < x < x4 no son accesibles, no puede atravesar dicha zona; es decir, las zonas permitidas al movimiento de la partícula se encuentran separadas por lo que se llama una barrera de potencial. Si a la partícula atrapada en el pozo de potencial se le comunicase, por algún procedimiento, más energía hasta un valor que superase la barrera de potencial, quedaría liberada del pozo y se movería de modo similar al descrito para la energía E1. El valor de la coordenada x correspondiente al mínimo de la función U(x) corresponde a una posición de equilibrio estable (x eq. estable en la Figura 5.15). En efecto, un desplazamiento infinitesimal en sentido positivo del eje X (dxi) implica un aumento de energía potencial (dU/dx > 0) dando lugar a una fuerza f = –grad U = –(dU/dx)i, de sentido opuesto, que trata de llevar de nuevo a la partícula a la posición de partida xeq. estable ; del mismo modo un desplazamiento hacia la izquierda daría lugar a una fuerza recuperadora hacia la derecha. Lo contrario sucede en la posición correspondiente al máximo local de la energía potencial (xeq. inestable); aquí, si el desplazamiento es dxi, la variación de energía potencial es negativa (dU/dx = –⏐dU/dx⏐ < 0) y la fuerza f = –grad U = ⏐dU/dx⏐i tiene el mismo sentido, de modo que alejaría cada vez más la partícula de la posición inicial xeq. inestable. Lo mismo ocurre si el desplazamiento es el opuesto; es decir, en la posición de equilibrio inestable la fuerza tiene el mismo sentido que el desplazamiento, alejando la partícula de su primitiva posición. También se ha indicado una posición de equilibrio indiferente, xeq. indif., en la que la curva es horizontal, es decir, no cambia con x [(dU/dx) = 0]; por tanto, si en esa zona una partícula inicialmente en reposo se cambia a una posición próxima, en la nueva posición sigue siendo (dU/dx) = 0, no existe gradiente, por lo que no actúa ninguna fuerza y la partícula permanece en reposo también en la nueva posición.

182


e) Curva de energía potencial gravitatoria Si se representa la energía potencial gravitatoria dada por (5.30), Ug(r) = –k/r (k es una constante positiva) en función de la distancia r al centro del campo, se obtiene la curva de la Figura 5.16. Si la energía mecánica de una partícula de masa m sometida a tal campo gravitatorio viene dada por

1 E = T +U g (r ) = mr 2 +U g (r ) 2

(5.41)

energía E2 rmax

O

r E1

Ug (r)

Figura 5.16

entonces, para un valor negativo de la misma, E1, existe una distancia máxima de alejamiento, pero no mínima, de modo que la partícula se podría alejar hasta tal distancia y, a continuación, invirtiendo el sentido del movimiento, caer al centro del campo; si la energía mecánica es nula o positiva (E2), no hay punto de retroceso, y la partícula o cae al centro del campo o escapa de él alejándose indefinidamente, según el sentido inicial del movimiento. La descripción anterior podría corresponder con algún caso real, pero no explica, por ejemplo, el movimiento de los satélites alrededor de la Tierra —no nos caen encima— o el de la Tierra o los cometas respecto del Sol (en la Figura 5.17 se muestra la trayectoria del cometa Kohoutek y la órbita terrestre y su posición en diciembre de 1973). La razón estriba en que (5.41) no es una expresión general dado que la energía cinética sólo contempla la variación del módulo del vector de posición r, lo que supone que sólo existe movimiento radial; en general existirá también cambio en la dirección del vector r, es decir, movimiento transversal, y el movimiento será bidimensional. Veamos qué implicaciones da lugar este hecho. La fuerza gravitatoria —además de conservativa— es central, lo que supone la conservación del momento cinético respecto del centro de la fuerza y que la trayectoria sea plana, como ya vimos en (3.6). La energía mecánica es 1 E = T +U g (r ) = mv 2 +Ug (r ) 2


183

Figura 5.17

y tomando coordenadas polares en el plano de la trayectoria (Figura 5.18), la velocidad se expresa como v=

de dr d (rer ) = = rer + r r = rer + r θ ∧ er = rer + r θeθ dt dt dt

m

v r eθ

er

θ

O

rmin

Figura 5.18

habiendo utilizado (2.11). Sustituyendo en la energía cinética, 1 1 E = T +U g (r ) = mr 2 + mr 2 θ 2 +U g (r ) 2 2

(5.42)

184


Además, el módulo del momento cinético es constante (3.21), L = mr 2 θ = cte

(3.21)

lo que permite relacionar la velocidad angular de traslación θ de la partícula con su distancia radial,

θ=

L mr 2

y sustituyendo en (5.42) se obtiene L2 1 E = T +U g (r ) = mr 2 + +Ug (r ) 2 2mr 2

(5.43)

Los dos últimos términos de la energía dependen exclusivamente de la posición radial, por lo que su suma se designa como energía potencial efectiva, Uef (r),

U ef (r ) ≡

L2 +U g (r ) 2 mr 2

(5.44)

Tal función tiene en cuenta no sólo la energía potencial relativa a la distancia de la partícula al centro del campo gravitatorio, Ug(r), sino también la energía cinética asociada al cambio de dirección de su posición respecto del mismo, esto es, al movimiento transversal. La energía mecánica viene, pues, dada por dos términos, 1 E = mr 2 +U ef (r ) 2

(5.45)

uno función de la velocidad radial —la energía cinética debida a tal velocidad— y el otro función de la posición radial —la energía potencial efectiva— de modo que el segundo miembro de (5.45) es función de una sola variable (r) y su derivada temporal (r ), por lo que el movimiento puede ser tratado como unidimensional. Si se quiere analizar qué posiciones radiales son permitidas y cuáles prohibidas es claro que se tendrá que analizar los puntos de intersección de la recta E con la curva Uef(r) y no con Ug(r), como se muestra en la Figura 5.19. La curva Uef(r) tiende a infinito para distancias al centro O tendiendo a cero, y se aproxima a cero tanto más cuanto más alejado se encuentra el cuerpo. Para una energía E1 sólo hay un punto de corte, que es punto de retroceso y que corresponde a la máxima aproximación posible de la partícula al centro del campo (r1); no hay límite en el alejamiento, por lo que la trayectoria es abierta: si la energía es positiva la trayectoria resulta ser una hipérbola y si la energía es nula la trayectoria es parabólica.


185

Para una energía E2 hay dos puntos de corte, r2 y r4, de máxima aproximación y alejamiento; el cuerpo se encuentra en un pozo de potencial y la trayectoria resulta ser una elipse. Si la energía mecánica es E3 —corresponde al valor mínimo de la energía potencial efectiva—, durante todo el movimiento la distancia al centro O se mantiene la misma (r3) cualquiera que sea su posición angular (θ), por lo que la trayectoria es una circunferencia. ¿En qué caso coincidirá (5.45) con (5.41)? Cuando Uef (r) se reduzca a Ug(r), lo que supone que el valor constante de L es cero, y esto sólo sucede cuando es nula la velocidad transversal (vθ = r θ = 0). Por tanto, para que el cuerpo realice un movimiento bidimensional y su comportamiento venga reflejado por la función Uef (r) y no solamente por Ug(r) debe tener velocidad transversal no nula en el instante inicial, [(vθ )0 = r0 θ 0 ≠ 0)].

energía

Uef (r) E1 r 2 r3

r4 r

O r1 E2

E3

Figura 5.19

f) Algo más sobre la energía potencial efectiva La utilización de la energía potencial efectiva Uef(r), también llamada ficticia, permite reducir el movimiento plano de la partícula a un movimiento unidimensional según r. Pero esto es describir el movimiento respecto del referencial S′(er, eθ, k) que acompaña a la partícula (Figura 5.18), de modo que el movimiento observado de la misma se limita a cambios en la distancia r. El observador, que rota con velocidad angular θ , está acelerado y es por tanto no inercial, por lo que al formular la ecuación del movimiento según r debe considerar, además de la fuerza real gravitatoria, la fuerza de inercia centrífuga generada por su propia rotación. Es decir, la ecuación del movimiento según r es

mr =− fg + fcf =− fg + mθ 2 r

186


Según este planteamiento, el gradiente cambiado de signo de la energía potencial efectiva (5.44) debe proporcionar la fuerza neta según r, y así es en efecto, pues ⎡ L2 ⎤ ∂ ⎡ L2 ⎤ −grad Uef (r ) =−grad U g (r ) − grad⎢ =− − f e ⎥ ⎢ ⎥e = r g ∂r⎣ 2mr 2 ⎦ r ⎣ 2mr 2 ⎦ =− fg er +

L2 e =− fg er + mθ 2 rer mr 3 r

utilizando (3.21). En consecuencia, el término L2/2mr2 de Uef(r) es el término asociado a la fuerza centrífuga que tendría que considerar el observador S’ en la ecuación del movimiento, y que hay que introducir en el balance energético al tratar el problema como unidimensional.

5.7 Energía relativista En la teoría de la Relatividad se mantiene la segunda ley de Newton como relación entre la fuerza y la variación temporal del momento lineal, f=

dp dt

(5.46)

Sin embargo, numerosos resultados experimentales señalan que el comportamiento de las partículas a velocidades próximas a la de la luz en el vacío no es similar a lo que se deduce de la mecánica newtoniana; así, por ejemplo, la aplicación de una fuerza f sobre una partícula de masa m no le origina siempre la misma aceleración a = f/m, como sería de esperar, sino que depende de la velocidad que la partícula tenga; en otras palabras, la fuerza necesaria para producir una misma aceleración en la partícula depende de su velocidad. En consecuencia, si se mantiene como válida la ecuación (5.46), es preciso revisar la definición de momento lineal de forma tal que su relación con la velocidad sea más compleja que la definida en (3.1); en concreto, en la dinámica relativista el momento lineal p de una partícula de masa m que se mueve con velocidad v respecto de un cierto referencial inercial se define como p ≡ m γv

(5.47)

con

γ≡

1 1− (v / c)2

(5.48)

siendo v y c las velocidades de la partícula y de la luz en el vacío, respectivamente. La variación de γ en función del cociente v/c se da en la Figura 5.20.

5.7 Energía relativista

187

γ

3 2 1 0 0

0,5

1

v/c

Figura 5.20

El momento lineal, ecuación (5.47), difiere del definido en mecánica newtoniana en el factor γ, que determina que la variación de p con v no sea lineal y que tienda a infinito cuando la velocidad de la partícula se aproxima a la de la luz. ¿Qué ocurre si la velocidad es pequeña? Si se desarrolla γ en serie de Taylor −1 / 2

⎛ v2 ⎞ γ =⎜1− 2 ⎟ ⎝ c ⎠

= 1+

1 v2 3 v 4 + + ... 2 c2 8 c4

(5.49)

el momento lineal queda ⎛ 1 v2 3 v4 ⎞ ⎛ 1 v 2 3 v4 ⎞ p = mv⎜1+ 2 + 4 + ...⎟= mv + mv⎜ 2 + 4 + ...⎟ 8c 8c ⎝ 2c ⎠ ⎝2 c ⎠ que se reduce a la expresión de la mecánica newtoniana si v<
T = W(0→v ) = ∫ f • dr = ∫0

dp v • dr = ∫ dp • v 0 dt

Integrando por partes ⎛1 ⎞ v v v T = p • v − ∫0 p • dv = m γv • v − ∫0 m γv • dv = m γv 2 − m∫0 γd⎜ v 2 ⎟ ⎝2 ⎠

188


La última integral es ⎛1 ⎝2

⎞ 1 ⎠ 2

v ∫0 γd⎜ v 2 ⎟=

v

∫0

d(v 2 ) 1− (v / c)2

v ⎡ ⎤ 2 ⎤ 2 1 =−c 2⎡ −1⎥ ⎣ 1− (v / c ) ⎦0 =−c ⎢ ⎣γ ⎦

Y sustituyendo T = m γv 2 + mc 2

⎡ 1 c2 ⎤ − mc 2 = m γ⎢ v 2 + 2 ⎥− mc 2 = m γc 2 − mc 2 γ γ ⎦ ⎣

O bien m γc 2 = T + mc 2

(5.50)

a) Energía en reposo En (5.50) mγc2 es la energía que tiene la partícula cuando se mueve con velocidad v, suma de T, que es la energía suministrada a la partícula para que alcance dicha velocidad desde el reposo, y de la energía que tiene en dicho estado, mc2. Esto es,

• la energía relativista de una partícula de masa m que se mueve con velocidad v viene dada por

E (v) = m γc 2 =

mc 2 1− ( v / c ) 2

(5.51)

• la energía en reposo de una partícula de masa m es E0 = mc 2

(5.52)

expresión fundamental, pues establece una equivalencia entre masa y energía de forma tal que toda masa tiene asociada una energía y toda energía tiene asociada una masa, pudiendo transformarse una en otra. b) Principio de conservación de masa y energía Ya hablamos del principio de conservación de la energía. También se ha venido admitiendo —de modo independiente al de la energía— el principio de conservación de la masa: la masa permanece constante bajo cualquier cambio físico o químico, es decir, el calentamiento, la fusión, la evaporación o la combinación con otros elementos para formar un compuesto químico no altera la masa total. Con la equivalencia entre masa y energía que establece la teoría de la relatividad y la posibilidad, por tanto, de transformación de una en otra, el principio de conservación se debe ampliar al balance masa-energía.


189

Por otra parte, como según (5.50) T = E ( v) − E0 resulta que la diferencia de energía cinética de una partícula para dos velocidades distintas es igual a la diferencia de energía relativista para dichas velocidades [∆T = ∆E(v)], y por ello se sustituirá ∆T por ∆E(v) en los balances de energía mecánica cuando haya que tener en cuenta efectos relativistas. c) Límite de velocidad Si la velocidad de la partícula fuera la de la luz, v = c, resulta γ = ∞. En consecuencia, de acuerdo con (5.51), una partícula de masa m no nula no puede alcanzar o superar la velocidad de la luz en el vacío partiendo de una velocidad inferior, pues ello requeriría una energía E(v) infinita, y no es posible suministrar energías infinitas. A la inversa, si una partícula se mueve a la velocidad de la luz y su energía es finita, su masa es necesariamente nula, pues m = E(v)/(γc2) = 0 (éste es el caso de los fotones o cuantos de la radiación electromagnética). d) Energía cinética Con el desarrollando de γ en serie de Taylor, (5.49), la energía cinética T puede escribirse como

⎡ 1 v2 3 v4 ⎤ 1 3 v4 T = m γc 2 − mc 2 = mc 2⎢1+ 2 + 4 + ... ⎥− mc 2 = mv 2 + m 2 + ... 8c 2 8 c ⎣ 2c ⎦ siendo el primer término la energía cinética de la mecánica newtoniana, y los siguientes términos despreciables si v << c. De nuevo se comprueba que la mecánica relativista y la newtoniana vuelven a coincidir cuando se consideran velocidades no comparables a la velocidad de la luz en el vacío. e) Relación entre energía y momento lineal Elevando al cuadrado la relación (5.47), p2 = m2γ2v2, despejando el cuadrado de la velocidad v,

v2 =

c2 p2 p2 + m2 c 2

y sustituyendo en (5.51), se obtiene la siguiente relación entre la energía y el momento lineal, E ( v) = p 2 c 2 + m 2 c 4 • Si la partícula está en reposo, v = 0, p = 0 y E(0) = mc2 = E0. • Si la partícula se mueve a la velocidad de la luz en el vacío, v = c, entonces γ = ∞ y m = p/(γc) = 0, con lo que E(c) = pc, que es la energía de un fotón; de este modo, a los fotones se les puede asociar un momento lineal de cuantía p = E(c)/c a pesar de no tener masa.

190


f) Verificación empírica La equivalencia entre masa y energía se confirma experimentalmente de manera continua en las centrales nucleares productoras de electricidad, en las que se obtiene energía transformando parte de la materia de uranio o plutonio del reactor. Una forma catastrófica de comprobar la capacidad de la masa de proporcionar energía es la explosión nuclear, en la que se libera una enorme cantidad de ella a partir de una pequeña disminución de masa (una masa de 1 g, por ejemplo, proporciona la energía de una bomba atómica). El proceso inverso se realiza, también, de manera cotidiana en los grandes aceleradores de partículas elementales constituyentes de la materia; en ellos se aceleran —hasta alcanzar velocidades muy elevadas— partículas que al colisionar con otras convierten su energía cinética en la creación de nuevas partículas. Por otra parte, la imposibilidad de las partículas másicas de alcanzar la velocidad de la luz es un límite real en los aceleradores, en los que se ha conseguido que partículas con masa adquieran velocidades muy próximas a la de la luz pero sin alcanzarla nunca.

Ejemplo 5.4 a) Un electrón es acelerado desde el reposo hasta una velocidad 0,9 veces la velocidad de la luz en el vacío. Calcule la energía que ha ganado el electrón y su momento lineal a tal velocidad, y compare con lo que se obtiene por mecánica newtoniana. b) Considere un automóvil de 1000 kg que acelera de 0 a 100 km/h, y calcule su ganancia de energía según la mecánica relativista y según la mecánica newtoniana. a) La energía que ha ganado el electrón desde cero hasta la velocidad v = 0,9c viene dada por 2

2

2

T = E (v ) − E0 = m γc − mc = mc ( γ −1) =

⎡

= (9,109 ×10−31 kg)(3 ×10 8 m/s)2⎢

⎤

1

⎢ 1− (0, 9) 2 ⎣

−1⎥= 1, 06 ×10−13 J

⎥ ⎦

La energía cinética newtoniana es

T=

1 2

1 2 −31 8 2 −14 mv = (9,109 ×10 kg)(0, 9 × 3 ×10 m/s) = 6, 64 ×10 J 2

inferior a la calculada por mecánica relativista. El momento lineal relativista es −31

p = m γv = (9,109 ×10

kg)

1 1− (0, 9)

8

2

−22

(0, 9 × 3 ×10 m/s) = 5, 64 ×10

kg ⋅ m/s

y el momento lineal newtoniano es γ veces menor,

p = mv = (9,109 ×10−31 kg)(0, 9 × 3 ×10 8 m/s) = 2, 46 ×10−22 kg⋅m/s


191

b) En el caso del automóvil, el cálculo relativista de la energía ganada se puede obtener, al igual que antes, por

2

2

2

T = E ( v) − E0 = m γc − mc = mc ( γ −1) Ahora bien, como su velocidad v = 100 km/h = 27,78 m/s es muy pequeña respecto de c, cabe utilizar el desarrollo en serie de γ, ecuación (5.49), y sus dos primeros términos,

γ = 1+

2 1v

2 c2

−15

= 1 + 4, 287 ×10

de modo que 2

3

8

2

T = mc ( γ −1) = (10 kg)(3 ×10 m/s) (4, 287 ×10

−15

5

) = 3, 86 ×10 J

En mecánica newtoniana, como en reposo el automóvil carece de energía, su ganancia corresponde con la energía cinética que tiene a 100 km/h, es decir,

T= coincidente con la anterior.

1

1 2 3 2 5 mv = (10 kg)(27,78 m/s) = 3,86 ×10 J 2 2

Capítulo 6 DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

6.1

Centro de masas................................................................................................194

6.2

Ecuación dinámica y conservación del momento lineal ...............................203

6.3

Choques entre partículas .................................................................................209

6.4

Masa variable ....................................................................................................219

6.5

Ecuación dinámica y conservación del momento angular ...........................224

194


6.1 Centro de masas Consideremos un conjunto de partículas —de masas mα— que interaccionan de algún modo, y que se mueven respecto de un referencial S cualquiera, supuesto fijo y de origen O, que designaremos como S(o). En el caso más sencillo de movimiento colectivo, el de traslación, todas las partículas tienen igual velocidad respecto del referencial (2.6.I), y desde un punto de vista cinemático el movimiento de todas las partículas puede describirse por el de una de ellas, pues en cada instante todas tienen una velocidad común. ¿Y en el estudio dinámico? La aplicación de la segunda ley de Newton a un sistema de partículas precisa tener en cuenta, por un lado, las fuerzas que actúan sobre cada una de ellas y, por otro, su cantidad de movimiento [pα(o)] y no sólo su velocidad [vα(o)] respecto de S(o). En consecuencia, al considerar todas las partículas conjuntamente —además de obtener la resultante de todas las fuerzas que actúan— hay que tener en cuenta la cantidad de movimiento de todo el sistema [p(o)], suma vectorial de los momentos lineales individuales, p(o) ≡ ∑ α pα (o) =∑ α mα vα (o)

(6.1)

Si el movimiento es de traslación, con vα(o) = v(o) la velocidad común, p(o) = [∑ α mα ]v(o) = mv(o)

siendo m = ∑αmα la masa total del sistema. Y el momento lineal del conjunto de partículas es igual al que tendría una partícula imaginaria, situada en cualquier punto del sistema, que tuviese la masa de todas ellas y se moviese a la velocidad común de traslación; esto es, de hecho, lo que hemos venido haciendo al analizar el movimiento de traslación de cuerpos rígidos. Si el movimiento no es de traslación, sino cualquiera, las velocidades de las partículas no coinciden y el momento lineal total es el dado por (6.1). ¿Se puede en este caso evaluar el momento lineal total del sistema —además de como resultante de los pα(o) individuales— mediante el momento lineal de una hipotética partícula de masa m, al igual que en el movimiento de traslación? Sí, también se puede si se considera que la partícula imaginaria está localizada en un punto (C) denominado centro de masas (c.m.) (Figura 6.1), que se mueve a velocidad vc(o). De este modo, designando con pc(o) el momento lineal respecto del referencial S(o) de la imaginaria partícula situada en el c.m. y con masa la total del sistema, se tiene que p(o) = pc (o) = mvc (o)

(6.2)

A pc(o) se le designa como momento lineal del centro de masas. Para que (6.1) y (6.2) sean iguales, la velocidad del c.m. ha de ser

vc (o) =

∑ α mα vα (o) m

(6.3)

6.1 Centro de masas

195

El vector de posición del c.m. rc(o) viene dado por

∑ α mα rα (o)

rc (o) =

(6.4)

m

con rα(o) el vector de posición respecto del punto O de cada una de las partículas. La derivada temporal de (6.4) proporciona (6.3).

S

S • dm • c.m.

r (o)

mα

r C (o)

• c.m.

rα(o) r C (o) O

O Sistema discreto de partículas

Distribución continua de masa

Figura 6.1

a) Conviene destacar que el c.m. es un punto geométrico definido mediante (6.4) tal que una partícula hipotética localizada en él y con masa la total del sistema tiene un momento lineal igual al momento lineal resultante del sistema —discreto o continuo— de partículas. b) El c.m. puede o no coincidir con una partícula o punto material del sistema discreto o continuo de partículas (por ejemplo, el c.m. de un anillo circular se encuentra en su centro geométrico, que no es un punto material). c) Componentes cartesianas de rc y vc Según se desprende de (6.4), las componentes cartesianas del vector de posición del centro de masas de un sistema discreto de partículas

rc (o) = x c i + yc j + zc k

son xc =

∑ α mα x α m

yc =

∑ α m α yα m

zc =

∑ α mα zα m

(6.5)

Las componentes cartesianas de vc(o) se obtienen derivando respecto del tiempo las ecuaciones (6.5): xc =

∑ α mα x α m

yc =

∑ α m α yα m

zc =

∑ α mα zα m

(6.6)

196


d) Aceleración del centro de masas Derivando respecto del tiempo (6.3) se obtiene la expresión de la aceleración del c.m.

ac (o) =

∑ α mα aα (o) m

con aα(o) la aceleración de cada partícula respecto del referencial S(o). Las componentes cartesianas de ac se obtienen derivando respecto del tiempo las ecuaciones(6.6). xc =

∑ α mα x α

yc =

m

∑ α m α yα

zc =

m

∑ α mα zα m

e) Distribución continua de masa Si el sistema de partículas puede considerarse como un continuo material —como es el caso de un sólido— las sumas finitas se sustituyen por integrales extendidas a todo el continuo, de modo que

p(o) = ∫ dp(o) rc (o) =

vc (o) =

∫ dmr (o) 1 = ∫ dmr(o) m ∫ dm

1 ∫ dmv(o) m

ac (o) =

(6.7) 1 ∫ dma(o) m

En el cálculo de las integrales, la masa elemental dm que aparece en el integrando se expresa como el producto de la densidad ρ por el elemento de volumen, dV, o de superficie, ds, o de línea, dl, según sea el tipo de distribución másica. f) La ecuación (6.4) proporciona la posición del c.m. respecto del punto O a partir de la localización de cada partícula respecto de tal punto [rα(o)]; si en su lugar se utilizan los vectores de posición respecto del c.m. [rα(c)],

(6.8)

∑ α mα rα (c) = mrc (c) = 0

pues rc(c) es el vector de posición del c.m. (C) respecto de sí mismo que, evidentemente, es nulo. También, derivando respecto del tiempo (6.8), (6.9)

∑ α mα vα (c) = p(c) = 0 de modo que el momento lineal de un sistema de partículas respecto de su c.m. es nulo. Si la distribución de masa es continua, se tiene que

∫ dmr(c) = 0

∫ dmv(c) = 0

(6.10)

6.1 Centro de masas

197

g) Centroide de masa Se denomina centroide de una magnitud ε a la posición media ponderada de la distribución de tal magnitud en el sistema de partículas. Su vector de posición respecto del origen O viene dado por

rcent (o) =

∑ α εα rα (o) ∑α εα

Por tanto, de acuerdo con (6.4), el c.m. es el centroide de masa del sistema, es decir, es el punto correspondiente a la posición media ponderada de la distribución de masa en el sistema de partículas. Por ello, si la distribución de masa tiene ejes o planos de simetría, el c.m. se localiza en ellos (si la distribución de masa es homogénea, los elementos de simetría másicos coinciden con los geométricos) lo que permite, en estos casos, utilizar las siguientes sencillas reglas para determinar de un modo directo, total o parcialmente, la localización de dicho punto: • Si un cuerpo tiene un plano de simetría, su c.m. está en dicho plano. • Si un cuerpo tiene un eje de simetría, en él estará su c.m., por ser la intersección de dos planos de simetría. • Si un cuerpo tiene un centro de simetría (intersección de tres planos de simetría), el c.m. es dicho centro, como es el caso de la esfera y del elipsoide. h) Primer teorema de Guldin Este teorema es útil en el cálculo del centro de masas de líneas planas con distribución homogénea de masa. Sea una línea de longitud L en el plano XY, y xc e yc las coordenadas de su centro de masas. Se puede generar una superficie haciendo girar la línea alrededor del eje OX, al que no corta, con lo que su c.m. se mueve en una trayectoria circular de radio yc (Figura 6.2). El área generada (ds) por un elemento dl de la línea es

ds = 2 πydl

dl Y

Y L

C yc y

O Z

O

X

X

Z ds

Figura 6.2

198


y el área total S = 2π ∫ ydl Como según (6.7) para la componente y de los vectores de posición, con ρ la densidad lineal de masa, yc =

∫ dmy ρ∫ ydl ∫ ydl = = ρ∫ dl L ∫ dm

se sigue que

S = 2π yc L El área de la superficie engendrada por una línea plana que gira alrededor de un eje coplanario con ella y al que no corta es igual al producto de la longitud de la línea por la longitud de la circunferencia que describe su centro de masas. De tal expresión se puede obtener yc. i) Segundo teorema de Guldin Este teorema es útil en el cálculo del centro de masas de superficies planas con distribución homogénea de masa. Consideremos una superficie plana S en el plano XY, y xc e yc las coordenadas de su centro de masas. Se puede generar un volumen haciendo girar la superficie alrededor del eje OX, al que no corta, con lo que su c.m. recorre una circunferencia de radio yc (Figura 6.3). Tomemos un elemento de superficie de área dxdy. Al girar alrededor de OX engendra un anillo infinitesimal de volumen dV dado por 2 2 dV =⎡ ⎣π ( y + dy) − π y ⎤ ⎦dx = 2π ydydx = 2π yds

dx Y

Y

dy

C y O

Z

S

X

yc X

O

Z dV dV

Figura 6.3

6.1 Centro de masas

199

y el volumen total V = 2π ∫ yds La ecuación (6.7) para la componente y de los vectores de posición, siendo ρ la densidad superficial de masa, es yc =

∫ dmy ρ∫ yds ∫ yds = = ρ∫ ds S ∫ dm

por lo que

∫ yds = yc ∫ ds = yc S y sustituyendo V = 2π yc S El volumen que engendra una superficie plana al girar alrededor de un eje contenido en su plano y al que no corta es igual al producto de la superficie que gira por la longitud de la circunferencia que describe su centro de masas. De tal expresión se puede obtener yc. j) Cuerpo compuesto Si un cuerpo está constituido por varios elementos cuyos c.m. se conocen, la localización del centro de masas del cuerpo compuesto puede obtenerse considerando la masa de cada elemento componente localizada en su c.m. y abordar el problema como si se tratara de un sistema discreto de partículas.

Ejemplo 6.1 En un determinado instante, tres automóviles de masas m1 = m, m2 = m3 = 2m emergen de una glorieta de radio R según las calles indicadas en el dibujo, con igual velocidad v, y con aceleraciones a1 = 2a, a2 = a3 = a. Calcule, en tal momento, la posición del centro de masas —respecto del centro de la glorieta—del sistema constituido por los tres automóviles, su momento lineal y su aceleración. Tomemos los ejes X e Y en el plano horizontal y según el dibujo. Asimilando los automóviles a partículas, sus posiciones al salir de la glorieta y respecto de su centro vienen dadas por los vectores

r1 =−Rj

r2 =−Ri

r3 = R(cos 45 i + sen 45 j ) =

2 2

R( i + j )

200


Y R

m3

vc m2 v2

ac r2

C

v3

r3 rc 45º

X

O r1 m1 v1

y la del c.m.,

rc (o) = =

∑ α m α rα (o) m1 r1 + m2 r2 + m3 r3 = = ∑α mα m1 + m2 + m3 R

−2 ⎡ ⎣ m( 2 − 2) i + m( 2 −1) j ⎤ ⎦= (−12 i + 8 j )10 R

5m

El ángulo que forma rc(o) con la semirrecta positiva del eje Y es arctg(12/8) = 56,3º. Las velocidades de los vehículos en el instante considerado son

v1 = −vj

v2 =−vi

v3 = v (cos 45 i + sen 45 j ) =

2 2

v( i + j )

y la del c.m. es

vc (o) =

∑ α mα vα (o) m1 v1 + m2 v2 + m3 v3 = = ∑α mα m1 + m2 + m3

v −2 = ⎡ ⎣ ( 2 − 2) i + ( 2 −1) j ⎤ ⎦= (−12 i + 8 j )10 v 5 Por lo que su momento lineal es

pc (o) = ( ∑ α mα ) vc (o) = 5m(−12 i + 8 j )10 v = (−0, 6 i + 0, 4 j ) mv −2

En relación con las aceleraciones,

a1 =−2 aj

a2 =−ai

a3 =

2 2

a( i + j )

6.1 Centro de masas

ac (o) =

201

∑ α mα aα (o) m1 a1 + m2 a2 + m3 a3 = = ∑ α mα m1 + m2 + m3

a −2 = ⎡ ⎣ ( 2 − 2) i + ( 2 − 2) j ⎤ ⎦= −12( i + j )10 a 5 Mientras que el vector vc es paralelo al de posición rc, la aceleración forma un ángulo con el semieje X negativo de 45º.

Ejemplo 6.2 Localice el centro de masas de una placa rectangular de masa m y lados a > b cuya densidad superficial de masa aumenta en la forma σ = σo + kx, siendo σo y k constantes positivas, y x la distancia medida a lo largo del lado mayor. Tomemos unos ejes cartesianos según el plano de la lámina, como se muestra en la figura. El vector de posición del c.m. respecto del vértice O viene dado, según (6.7), por

Y

a

dm dy b y

O

x

dx

rc (o) =

1 m

X

∫ dmr (o)

por lo que sus componentes cartesianas son

xc =

1 m

∫ xdm

yc =

1 m

∫ ydm

Tomemos un elemento diferencial de masa (dm) que ocupa una superficie ds = dxdy, cuya relación con la densidad superficial es

dm = σds = ( σ o + kx )d s = ( σo + kx ) dxdy

202


que habrá que sustituir en las expresiones de xc e yc. Por tanto, para considerar toda la placa hay que tomar en cuenta las infinitas masas elementales que la constituyen y sumar sus contribuciones, es decir, hay que variar x desde 0 hasta a, e y desde 0 hasta b.

xc =

1 m

1

a b a b ∫ x ( σ o + kx )dxdy = [ σo ∫0 xdx ∫0 dy + k ∫0 x 2 dx ∫0 dy] =

m

1⎛

⎞ a2b = ⎜σ o b + k b ⎟= (3σ o + 2 ka ) m⎝ 2 3 ⎠ 6m

yc =

1 m

a

2

a

3

1

a

b

a

b

∫ y ( σ o + kx )dxdy = [ σ o ∫0 dx ∫0 ydy + k ∫0 xdx ∫0 ydy] = m

2 2 2 2 1⎛ b a b ⎞ ab ⎟= (2 σ o + ka ) = ⎜σoa +k 2 2 2 ⎠ 4m m⎝

Si la lámina tuviese una distribución de masa homogénea, es decir, k = 0,

σ = σo =

m S

=

m ab

y las coordenadas del c.m. serían

xc =

a2 b 6m

3σ o = a / 2

yc =

ab 2 4m

2σ o = b / 2

coincidiendo, en este caso, con las del centro geométrico.

Ejemplo 6.3 Aplicando el primer teorema de Guldin, determine el centro de masas de un alambre semicircular de radio R. Y C yc R

X O

Dado que el eje Y es de simetría, el c.m. se encontrará en él. Aplicando el primer teorema de Guldin se obtiene que S = 2 πy c L

6.2 Ecuación dinámica y conservación del momento lineal

203

siendo S el área de la superficie esférica que engendra en su giro, S = 4πR2, y L la longitud de la semicircunferencia, L = πR, con lo que resulta yc =

S 2πL

=

2R

π

Ejemplo 6.4 Aplicando el segundo teorema de Guldin, determine el centro de masas de una lámina semicircular de radio R. Y C yc R

X O

Dado que el eje Y es de simetría, C se encontrará en él. Aplicando el segundo teorema de Guldin se obtiene que V = 2 πy c S siendo V = (4/3)πR3 el volumen de la esfera engendrada por la superficie al girarla alrededor del eje X, y S = (1/2)πR2 el área del semicírculo, con lo que resulta yc =

V 2π S

=

4R 3π

6.2 Ecuación dinámica y conservación del momento lineal La aplicación de la segunda ley de Newton a un sistema de partículas precisa tener en cuenta, además de su cantidad de movimiento, las fuerzas que actúan sobre cada una de ellas. En el análisis es preciso distinguir entre fuerzas externas, fα, —procedentes del exterior del sistema— y fuerzas internas, fαβ, —que ejercen las partículas del sistema entre sí—, distinción que exige la determinación clara de qué partículas constituyen el “sistema” y cuáles no. Se admite que las fuerzas interiores tienen las siguientes características: • Satisfacen el principio de acción y reacción o tercera ley de Newton en su forma más restrictiva, es decir, fαβ y fβα son fuerzas iguales, contrarias y están en la recta de unión de las partículas α y β (Figura 6.4), fαβ =− fβα

(6.11)

204


• Las partículas no ejercen fuerzas sobre sí mismas, (6.12)

fαα = 0

β rα ( β ) α

fβα fαβ rβ (o) C

rα (o) O

rc (o)

Figura 6.4

Las condiciones anteriores determinan que la resultante de las fuerzas interiores en un sistema de N partículas es nula, N

N

α

β

∑∑ fαβ = 0

α, β = 1,..., N

(6.13)

pues el doble sumatorio da lugar a términos que pueden agruparse en la forma fαβ + fβα, con resultado nulo por (6.11). Para obtener la ecuación dinámica del momento lineal del sistema de N partículas escribamos la ecuación (3.2) relativa a cada una de ellas, con Rα la resultante de las fuerzas, Rα = fα + ∑ β fαβ =

dpα dt

α, β = 1,..., N

(6.14)

Sumando las N ecuaciones (6.14) de todas las partículas,

∑ α Rα = ∑α fα + ∑ α ∑ β fαβ =∑ α

dpα d = ∑ α pα dt dt

y teniendo en cuenta (6.13), (6.1) y (6.2), resulta la ecuación dinámica del momento lineal

F=

dp dpc = dt dt

(6.15)


205

siendo F ≡ ∑αfα la resultante de las fuerzas exteriores actuantes sobre el sistema. En consecuencia, la resultante de las fuerzas externas aplicadas a un sistema de partículas es igual a la variación temporal de su momento lineal. a) Fuerzas exteriores Se debe insistir en que en la ecuación dinámica del momento lineal no intervienen las fuerzas internas, sino sólo las fuerzas externas, ya que se anula la resultante de las fuerzas internas si se cumple el principio de acción y reacción. b) Masa constante Si no hay variación de masa en el sistema de partículas o en el cuerpo rígido que conforma, la ecuación (6.15) puede escribirse como

F = mac

(6.16)

Así, la resultante de las fuerzas externas determina el movimiento del c.m. del cuerpo, de modo que, el c.m. se mueve como si toda la masa del sistema estuviese concentrada en él y sobre dicho punto actuase la resultante de las fuerzas externas. Las fuerzas internas no afectan al movimiento del c.m.; éste es el caso de la granada que estalla en algún punto de su trayectoria debido a reacciones internas (Figura 6.5), o el del gato o el del saltador de trampolín que con sus contorsiones no pueden modificar el punto en el que va a impactar su c.m., aunque sí pueden variar el modo con que su cuerpo llega al suelo o al agua de la piscina.

• C

C

Figura 6.5

206


c) Conservación del momento lineal Si la resultante de las fuerzas externas es nula, la ecuación (6.15) lleva al importante resultado de que el momento lineal total del sistema permanece constante en el transcurso del movimiento, es decir, es una constante del movimiento.

Si

F=0

⇒

p = cte

Si la resultante de las fuerzas externas es nula el momento lineal total se conserva. Permanece constante, pues, la suma vectorial de los momentos lineales de las partículas pudiendo, sin embargo, variar en el tiempo cada momento lineal individual. También ocurre que si no hay variación de masa y la resultante de las fuerzas externas es nula, es nula la aceleración del c.m. y su velocidad permanece inalterable.

Si

F=0

⇒

ac = 0

⇒

vc = cte

d) Ejemplo de retroceso Supongamos que una persona de masa M está sobre un monopatín de masa m en una superficie sin rozamiento. Inicialmente el sistema está en reposo. Si en un momento dado la persona salta al suelo (desarrollando fuerzas internas musculares) con una cierta velocidad v, el monopatín se moverá en sentido contrario con velocidad v′, tal que

Mv + mv´= 0 El c.m. del sistema, que inicialmente estaba en reposo, no modifica su posición, pues la fuerza ejercida por la persona sobre el monopatín, y la ejercida por éste sobre la persona son internas al sistema y no intervienen en el movimiento del c.m., como ya se ha dicho en b). e) Referencial del c.m. o de König En muchos casos es útil referir el movimiento al referencial del centro de masas o de König, K(c) (Figura 6.6).

El referencial del centro de masas o de König es un referencial con origen en el centro de masas y de direcciones fijas. Tal referencial será o no inercial dependiendo de que la aceleración del c.m. sea o no nula, respectivamente.


207

K S

C rα (c) O mα

vα(c)

Figura 6.6

El momento lineal del sistema de partículas respecto del c.m., esto es, respecto del referencial de König, es nulo, ecuación (6.9). Así, en el caso del movimiento de dos partículas, como su momento lineal total respecto del c.m. ha de ser nulo, se cumple que p1 (c) =− p2 (c)

de modo que las partículas se mueven en la misma dirección, que puede ser cualquiera, pero en sentidos contrarios respecto del referencial del centro de masas.

Ejemplo 6.5 Imaginemos una cadena homogénea de masa m y longitud L, y que una parte de ella está apoyada sobre una mesa horizontal y rugosa (con rozamiento), y la otra parte colgando verticalmente, según se muestra en la figura. λ es su densidad lineal de masa, y μs y μk los coeficientes de rozamiento estático y cinético. Determine: 1) cuál debe ser la longitud (b) de la parte colgante de la cadena para que inicie la caída; 2) la velocidad de la cadena en el momento en que no queda ningún eslabón sobre la mesa. L–z N

a

fr

a

mzg

z

208


1) El peso de la porción de cadena colgante tira de ella en la dirección de caída; a tal fuerza se opone la de rozamiento que ejerce la mesa. En la situación límite antes de comenzar el movimiento, no hay aceleración y la fuerza de rozamiento estático es la máxima que puede generar la mesa. Designando como b la longitud de la parte de la cadena que cuelga, la segunda ley de Newton es, pues, mb g − fr ,max = m0 = 0

(i)

Además, para la porción de cadena que está sobre la mesa y en dirección perpendicular a la misma en la que tampoco hay movimiento, N − m( L−b ) g = 0 Como mb = λb y fr ,max = μs N = μs m( L−b ) g = μs g λ( L − b ) sustituyendo en (i),

b=

μs L 1 + μs

2) A partir de esa longitud comienza a caer la cadena; designemos ahora con z la porción colgante de la cadena en cada instante. Las fuerzas actuantes son las mismas que anteriormente aunque varían en cuantía, y como ahora la cadena se mueve sobre la superficie horizontal, la fuerza de rozamiento es cinética y no estática. La segunda ley de Newton viene dada —para la porción de cadena que queda sobre la mesa— por

N − m( L−z ) g = 0 y para toda la cadena, no siendo ahora nula la aceleración, (ii)

mz g − fr = ma Como

mz = λz

m = λL

fr = μk N = μk m( L−z ) g = μk g λ( L − z )

sustituyendo en (ii), se obtiene la aceleración de la cadena,

a=

g L

[ z(1+ μ

k

) − μk L ]

Puesto que la aceleración viene dada en función de la coordenada z y no del tiempo, obtengamos la velocidad haciendo el cambio de variable de t a z, es decir,

a=

dv dt

=

dv dz dz dt

=v

dv dz

6.3 Choques entre partículas

209

y así, v

g⎡

L

L

L

⎤

(1 + μk )∫ zdz − μk L ∫ dz ⎥ ∫ vdv = ∫ adz = ⎢ ⎦ L⎣ b b b 0 y la velocidad de la cadena en el momento en que no queda ningún eslabón sobre la mesa es

g

v=

L

⎡ (1 + μk )( L2 − b 2 ) − 2 μk L ( L − b ) ⎦ ⎤ ⎣

6.3 Choques entre partículas I. IMPULSO La segunda ley de Newton expresa el efecto que sobre una partícula determina la acción de una fuerza neta, que es la variación temporal de su momento lineal: f=

dp dt

(3.2)

¿Cómo cuantificar tal cambio teniendo en cuenta el tiempo que dura la acción de la fuerza? La respuesta se obtiene a partir de (3.2), multiplicando la fuerza por dt, fdt = dp

e integrando entre dos instante t1 y t2, t p ∫t fdt = ∫ p dp = ∆p 2

1

2

1

El primer miembro de la ecuación es una nueva magnitud dinámica, vectorial, que recibe el nombre de impulso, J, que tiene en cuenta tanto la cuantía de la fuerza como el tiempo que actúa. t

J ≡ ∫t12 fdt

{(S.I.: N ⋅ s); [J ] = MLT−1}

Con ella, la ecuación anterior queda, J = ∆p = m(v2 − v1 )

Es decir, el impulso de la fuerza f durante el intervalo temporal ∆t = t2 – t1 es igual a la variación del momento lineal de la partícula en esos dos instantes. La ecuación anterior es de

210


especial interés cuando las fuerzas son de muy corta duración pero muy intensas (llamadas fuerzas de percusión) como acontece en los choques entre partículas.

II. CHOQUES Se dice que dos partículas chocan o colisionan cuando se aproximan tanto (con o sin contacto físico) que se produce alguna forma de interacción entre ellas, dando lugar a fuerzas de percusión. Aunque su acción es casi instantánea, las fuerzas de percusión son tan intensas que los impulsos que generan —denominados de percusión o instantáneos— son considerables, mientras que los impulsos debidos a otras fuerzas no de percusión durante la duración del choque son irrelevantes, despreciables, y pueden tomarse como nulos. Por ello, es en estos casos cuando la ecuación anterior de variación del momento lineal resulta especialmente útil, pues los únicos impulsos J que se han de tener en cuenta en la misma son los debidos a las fuerzas de percusión. Además, los impulsos de percusión cumplen —al igual que las fuerzas que los originan— el principio de acción y reacción.1 Lo que interesa en una colisión es, en general, averiguar el cambio que en el movimiento de las partículas produce el choque —sin entrar en lo que acontece durante el mismo—, es decir, conocidas las velocidades inmediatamente antes del choque tratar de determinar cuáles son las velocidades inmediatamente después. En la colisión entre cuerpos, las fuerzas de percusión mutua son fuerzas internas al sistema constituido por ellos mismos, y si no existen percusiones externas el momento lineal total del sistema no se modifica debido al choque. En efecto, consideremos la colisión de dos partículas, 1 y 2, de masas m1 y m2, cuyas velocidades —respecto de un referencial fijo— se encuentran en la línea que une sus centros según se muestra en la Figura 6.7. Designaremos con los subíndices i y f los valores de las magnitudes inmediatamente antes y después del choque, respectivamente. En el momento del choque, si J es el impulso de percusión que recibe la partícula 2 originado por la 1, la ecuación de variación del momento lineal viene dada

J = ∆p2 = p2f − p2i Del mismo modo, como la partícula 1 recibe un impulso igual y de sentido contrario al de la 2 (–J), −J = ∆p1 = p1f − p1i Y sumando ambas se obtiene p1i + p2i = p1f + p2f

expresión de la conservación en los choques del momento lineal del sistema constituido por las dos partículas. Teniendo en cuenta que el movimiento considerado es unidimensional, y suponiendo todas las velocidades con sentido positivo se puede escribir m1v1i + m2 v2i = m1 v1f + m2 v2f

(6.17)

1. En el libro del mismo autor “Mecánica del sólido rígido”, Editorial Ariel, Barcelona 2003, se realiza un estudio detallado de las percusiones.


211

Se dispone así de una sola ecuación con dos incógnitas (v1f y v2f ), por lo que se necesita información empírica adicional para obtenerlas, como la que suministra el coeficiente de restitución.

S

m1

m2 v 1i

v 2i m1

S

m2

–J

J m1

S

m2 v 1f

v 2f

Figura 6.7

Durante el choque los cuerpos se deforman hasta un cierto valor máximo; a partir de ahí se recuperan total o parcialmente, pudiendo —después del choque— moverse independientemente o unidos. Una forma de cuantificar el efecto del choque en cuanto al cambio de velocidades de las partículas es relacionar la velocidad relativa antes y después del impacto; para ello se introduce el denominado coeficiente de restitución, ε, que se evalúa empíricamente.

ε ≡−

v1f − v2f v1i − v2i

(6.18)

El coeficiente de restitución es el cociente, cambiado de signo, de las velocidades relativas de las partículas inmediatamente después y antes del choque. El signo negativo se introduce para definir el coeficiente de restitución como positivo, dado el movimiento relativo contrario (acercamiento-alejamiento) que tienen las partículas antes y después de la colisión. Con las ecuaciones (6.17 y 6.18) se pueden obtener las velocidades finales de las partículas en función de las velocidades iniciales y del coeficiente de restitución: v1f =

m1 − εm2 (1+ ε)m2 v + v m1 + m2 1i m1 + m2 2i

(6.19)

v2f =

(1 +ε)m1 m − εm1 v + 2 v m1 + m2 1i m1 + m2 2i

(6.20)

212


a) Choque elástico

Un choque entre partículas es elástico si se conserva la energía cinética. En este caso 1 1 1 1 m v2 + m v2 = m v 2 + m v2 2 1 1i 2 2 2i 2 1 1f 2 2 2f

(6.21)

Las ecuaciones (6.17 y 6.21) pueden escribirse en la forma

m1 (v1i − v1f ) =−m2 (v2i − v2f )

(6.22)

m1 (v1i2 − v1f2 ) =−m2 (v2i2 − v2f2 )

(6.23)

La expresión (6.23), teniendo en cuenta (6.22) y que la diferencia de cuadrados es suma por diferencia, se reduce a v1i + v1f = v2i + v2f que junto con (6.22) permiten obtener las velocidades finales v1f =

m1 − m2 2 m2 v1i + v m1 + m2 m1 + m2 2i

(6.24)

v2f =

2m1 m − m1 v1i + 2 v m1 + m2 m1 + m2 2i

(6.25)

De su comparación con (6.19 y 6.20) se deduce que ε=1

es el valor del coeficiente de restitución para el choque elástico, lo que supone la igualdad de las velocidades relativas de las partículas inmediatamente antes y después del choque. • Si además ocurre que una de las masas es mucho mayor que la otra, m1<< m2, entonces

m1 << m2

⇒

v1f =−v1i + 2v2i

v2f = v2i

de modo que el cuerpo más pesado prácticamente no es afectado por el choque con otro de masa mucho menor. En el supuesto de que, también, el cuerpo de mayor masa estuviese en reposo, v2i = 0, resultaría que m1 << m2

y

v2i = 0

⇒

v1f =−v1i


213

esto es, el sólido de menor masa cambia el sentido de su velocidad, rebota, sin variar su cuantía. • Si, por el contrario, m1 = m2 (bolas de billar, choque de dos protones, etc.) las (6.24-25) se reducen a

v1f = v2i

v2f = v1i

con lo que las partículas intercambian sus velocidades. b) Choque inelástico

Un choque entre partículas es inelástico si no se conserva la energía cinética. En el choque inelástico se pierde energía cinética, y el coeficiente de restitución ε <1 dado que la velocidad relativa de las partículas inmediatamente después del choque es menor que antes de que se produzca. En este caso, la energía cinética perdida en el choque, T*, se obtiene del balance Ti = Tf + T*, esto es, ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ 1 1 T ∗ =⎜ m1v1i2 + m2 v2i2 ⎟−⎜ m1v1f2 + m2 v2f2 ⎟ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ 2 2

(6.26)

c) Choque plástico o totalmente inelástico Se designa como choque plástico el caso extremo del choque inelástico en el que es nula la velocidad relativa final de las partículas en la dirección de la línea de choque, por lo que

ε= 0 En el choque unidimensional esto supone que después de la colisión las partículas permanecen unidas, moviéndose con velocidad común de cuantía v1f =

m1 m2 v + v = v2f m1 + m2 1i m1 + m2 2i

siendo la pérdida de energía cinética ⎛1 ⎞ 1 1 T ∗ =⎜ m1v1i2 + m2 v2i2 ⎟− ( m1 + m2 ) v2f2 ⎝2 ⎠ 2 2

(6.27)

214


d) Coeficiente de restitución Si se deja caer una bola de masa m desde una altura h sobre una plancha horizontal que se mantiene en reposo (Figura 6.8), la velocidad inmediatamente antes del choque se obtiene aplicando el teorema de conservación de la energía mecánica, esto es

1 2 mv = mgh 2 1i con lo que v1i =− 2 gh k

m m h h1 v 1i k

v 1f

Figura 6.8

Del mismo modo, la velocidad de la bola inmediatamente después de chocar con la plancha se obtiene de 1 2 mv = mgh1 2 1f y así v1f = 2gh1 k

siendo h1 la altura que alcanza en el primer rebote. Sustituyendo las velocidades en la expresión del coeficiente de restitución

ε =−

v1f − v2f v h =− 1f = 1 v1i − v2i v1i h


215

pudiéndose evaluar el coeficiente de restitución correspondiente a los materiales de la bola y la plancha mediante la medida de las alturas de caída y de rebote. Algunos valores se dan en la siguiente tabla. material

vidrio

marfil

acero

madera

hierro-plomo

ε

0,94

0,89

0,55

0,50

0,13

e) Rebote en una pared Si una partícula se lanza oblicuamente sobre una pared, el choque partícula-pared se produce según la componente de la velocidad perpendicular a la pared (v⊥), mientras que no interactúa según la componente paralela a la misma (v⎜⎜ ), que permanence inalterada (Figura 6.9). Teniendo en cuenta que la velocidad de la pared es nula, y que su masa M es enormemente mayor que la de la partícula, de modo que el cociente m/M ≈ 0, de (6.19) se obtiene que

vf⊥ =

(m/M ) − ε v = −εvi⊥ (m/M ) + 1 i⊥

cambiando el sentido de la componente perpendicular de la velocidad.

m

vi ⊥

v i || vi α

M

β vf ⊥ vf v f ||

Figura 6.9

Si el choque es elástico, ε = 1, de modo que vi⊥ y vf⊥ son iguales, e iguales los ángulos α y β. f) Choque en dos dimensiones Supongamos ahora que una partícula de masa m1 y velocidad v1i choca con una partícula en reposo de masa m2 (no puntual), como se muestra en la Figura 6.10. El choque es oblicuo y

216


no directo, esto es, la velocidad inicial no tiene la dirección de la recta de unión de sus centros; después del choque las partículas se mueven en direcciones diferentes.

Y

v 2f ϕ2

m2 m1

v1i

X ϕ1 v1f

Figura 6.10

La conservación del momento lineal implica que

p1i = p1f + p2f o bien m1 v1i i = m1 v1f ( cos ϕ1 i − sen ϕ1 j ) + m2 v2f (cos ϕ2 i + sen ϕ2 j ) e igualando componentes según X m1v1i = m1v1f cos ϕ1 + m2 v2f cos ϕ2 y según Y 0 =−m1 v1f sen ϕ1 + m2 v2f sen ϕ2 que junto a (6.18) proporcionan un sistema de tres ecuaciones, siendo cuatro las incógnitas: v1f , v2f, ϕ1 y ϕ2; en consecuencia, para resolver el problema es preciso, por ejemplo, conocer también el ángulo ϕ1 de desviación de la partícula incidente. g) Impacto con la Tierra de asteroides y cometas El impacto con la Tierra de un asteroide o un cometa es un ejemplo de colisión que puede ser catastrófica (Figura 6.11). El más famoso es el que dio origen al cráter Chicxulub de 180 km de diámetro, en la península de Yucatán (México), hace aproximadamente 65 millones de años; el objeto tenía unos diez kilómetros de diámetro y liberó una energía estimada en 4,3 × 1023 J, provocando un gigantesco tsunami y emitiendo a la atmósfera tal cantidad de partículas y polvo que originó cambios medioambientales, por lo que se cree que fue causa principal de la extinción de los dinosaurios. Otro impacto aniquilador mucho más reciente tuvo lugar en 1908 en Tunguska, Siberia; el meteorito, de unos 60 m de diámetro, liberó en la colisión una energía de aproximadamente 1015 J que devastó más de dos mil kilómetros cuadrados de bosque.


217

Figura 6.11

Para valorar los riesgos asociados con el impacto de un asteroide o un cometa se ha establecido una escala (la Escala de Torino de Riesgos de Impactos) que va del cero al diez, y que tiene en cuenta la energía cinética del objeto y la probabilidad de colisión con la Tierra. El valor 0 se asigna cuando no habrá colisión o el objeto es tan pequeño que se disipará en la atmósfera (diámetro menor de 50 m); los valores 8, 9 y 10 corresponden a colisión segura del objeto, pudiendo causar daños locales, destrucción regional o una catástrofe climática global. Retrospectivamente evaluados, a los objetos de Chicxulub y Tunguska les correspondería valores de 10 y de 8 en la escala de Torino, respectivamente. En la actualidad no hay ningún cuerpo próximo a la Tierra al que se le haya asignado un valor superior a 0. La posibilidad de desviar de su trayectoria meteoritos que generen un alto riesgo de impacto con la Tierra parece que se centra en la utilización de tractores gravitatorios —grandes naves que al acercarse al objeto lo atraen gravitatoriamente y alteran su órbita— en el caso de objetos de entre 50 y 100 m de diámetro, y para cuerpos de mayor tamaño, el impacto con una nave espacial a gran velocidad o detonar una carga nuclear en sus proximidades.

Ejemplo 6.6 Un balón se deja caer desde una altura h0 sobre un suelo horizontal, siendo ε el coeficiente de restitución correspondiente. Calcule la altura que alcanzará el balón en el rebote enésimo. m

h0 h1 vi k

vf

h2

218


Consideremos el primer rebote. La velocidad inmediatamente antes del choque se obtiene aplicando el teorema de conservación de la energía mecánica. 1 2

2

mvi = mgh0

de donde vi =− 2 gh0 k También, la velocidad del balón inmediatamente después de chocar con el suelo se obtiene de 1 2

2

mvf = mgh1

siendo h1 la altura que alcanza en el primer rebote. De tal igualdad se obtiene vf = 2 gh1 k y el coeficiente de restitución viene dado, al ser la velocidad del suelo nula, por

ε =−

vf vi

=

h1 h0

de modo que

h1 = h0 ε2 En el segundo rebote, la velocidad con que llega el balón al suelo es de igual cuantía que la velocidad con que rebotó la primera vez, es decir, v´ i =−vf =− 2 gh1 k y la velocidad después del segundo rebote, de altura h2, es v´ f = 2 gh2 k Utilizando estas velocidades en la definición del coeficiente de restitución,

ε =−

v´ f v´ i

=

h2 h1

y así 2

2 2

h2 = h1 ε = h0 (ε ) y en el rebote enésimo, la altura hn será 2 n

hn = h0 (ε ) = h0 ε

2n

6.4 Masa variable

219

Ejemplo 6.7 Péndulo balístico El péndulo balístico se utiliza para medir la velocidad de las balas; consiste en un bloque de plomo de masa m2 suspendido de un soporte fijo mediante hilos de acero. Un proyectil de masa m1 se dispara — con velocidad v desconocida— sobre el bloque, el cual se eleva, con la bala incrustada, una cierta altura h. a) Exprese la velocidad del proyectil en función de las masas y de la altura h. b) Calcule la pérdida de energía en el choque.

m1 + m 2 m2 m1 v

h

a) Se trata de un caso de choque plástico, pues los cuerpos permanecen unidos después del impacto y su velocidad es común. La conservación de la cantidad de movimiento del sistema bloque+bala implica que

m1 v = (m1 + m2 ) vf Por otro lado, la energía cinética que posee el sistema bloque+bala inmediatamente después del impacto se convierte en energía potencial gravitatoria, alcanzando la altura h, por lo que 1 2

2

( m1 + m2 ) vf = ( m1 + m2 ) gh

⇒

vf = 2 gh

Y, sustituyendo,

v=

m1 + m2 m1

2 gh

b) La pérdida de energía en el choque viene dada por la diferencia de energía cinética del sistema bloque+bala inmediatamente después e inmediatamente antes del impacto: m2 ( m1 + m2 ) 1 1 2 2 ∆T = Tf − Ti = ( m1 + m2 ) vf − m1 v =− gh 2 2 m1

6.4 Masa variable Hasta aquí se ha supuesto que la masa del sistema de partículas o de los cuerpos se mantiene invariable durante el movimiento. Consideremos ahora un sistema material cuya masa varíe cualquiera que sea la causa, aumentando o disminuyendo, como puede ser el caso de gotas

220


de lluvia al caer, o el de los cohetes. Fijemos ideas tomando un cuerpo de masa m que, de manera continua, va incorporando materia al mismo (Figura 6.12). Supongamos que en un determinado instante (t) el cuerpo tiene masa m y velocidad v respecto de un referencial fijo, y que en un tiempo infinitesimal dt captura una masa elemental dm que se mueve a velocidad u constante respecto del mismo referencial fijo. En el instante t + dt el cuerpo habrá variado su masa y su velocidad siendo, respectivamente, m + dm y v + dv.

Z

sistema t m

v dm

u X

Z sistema

t + dt v + dv m + dm

X

Figura 6.12

La cantidad de movimiento del sistema cuerpo+masa capturada, en el instante t, es

pt = mv + dmu y la cantidad de movimiento del sistema cuerpo+masa capturada, en t + dt, es pt+dt = (m + dm)(v + dv)

por lo que la variación del momento lineal del sistema en el intervalo temporal dt es dp = (m + dm)(v + dv) − (mv + dmu) = mdv + (v − u)dm despreciando infinitésimos de segundo orden. Si F es la resultante de las fuerzas externas actuantes sobre el sistema, la segunda ley de Newton viene dada por

F=

dp dv dm dv dm = m + (v − u) = m − vr dt dt dt dt dt

(6.28)

6.4 Masa variable

221

siendo vr = u− v

la velocidad relativa de dm respecto de la masa m. a) Fuerza de reacción La ecuación (6.28) puede escribirse en la forma

ma = F + vr

dm dt

de modo que el término vr(dm/dt) juega el papel de una fuerza al originar aceleración en el cuerpo debida a la variación de su masa. Si vr ≠ 0, en dt la masa elemental dm cambia su velocidad, siendo por tanto acelerada en el proceso de captura, ejerciendo el cuerpo una fuerza sobre dm que origina tal aceleración; pues bien, vr(dm/dt) es la fuerza de reacción que la masa dm ejerce sobre el cuerpo que la incorpora o la expulsa. b) Movimiento de un cohete Sea un cohete espacial que emite gases con velocidad relativa constante V respecto del mismo (Figura 6.13), por lo que hay una disminución continua de su masa. Supondremos el movimiento vertical.

vr = u − v =−uk − vk =−(u + v) k =−Vk

Sustituyendo en (6.28) ⎛ dv dm ⎞ F =⎜ m +V ⎟k ⎝ dt dt ⎠

v

k

dm u

Figura 6.13

222


Despreciando la resistencia del aire y la variación de la gravedad con la altura, tenemos −mg = m

dv dm +V dt dt

y m

⎛ dm ⎞ dv =−⎜V + mg ⎟ ⎝ dt ⎠ dt

e integrando, tomando como origen de tiempos (t = 0) cuando la masa y velocidad del cohete son m0 y v0, respectivamente, y siendo v la velocidad en el instante t, cuando la masa es m, v

m

v0

m0

∫ dv =−V ∫

t dm − g ∫ dt m 0

se obtiene la velocidad del cohete en función de su masa v = v0 +V ln

m0 − gt m

Obsérvese que la velocidad relativa V condiciona la velocidad del cohete en mucha mayor medida que la razón m0/m, pues la dependencia con la primera es lineal y es logarítmica con la segunda. En este caso, la fuerza de reacción sobre el cohete —que se designa como empuje— es vr

⎛ dm ⎞ dm dm k =−Vk⎜− ⎟= V dt dt dt ⎝ ⎠

proporcional a la velocidad relativa y a la masa de gases que por unidad de tiempo se expulsa, y de sentido contrario a la velocidad con que se expelen, u (obsérvese que se ha tenido en cuenta que la variación temporal de la masa del cohete es negativa, pues disminuye). c) Cinta transportadora Sea una cinta transportadora —como la de la Figura 6.14— sobre la que cae material de manera continua con una cierta tasa de carga, dm/dt = k. Determinemos la fuerza F necesaria para mover la cinta a velocidad constante v.

dm/dt

v F

Figura 6.14

6.4 Masa variable

223

Teniendo en cuenta que u es nula y que la velocidad de la cinta es constante, (dv/dt = 0) la aplicación de (6.28) proporciona directamente la fuerza solicitada, F=v

dm = kv dt

fuerza necesaria no por la variación de velocidad de la cinta —que no existe— sino por la variación de la masa del sistema. El material que se deposita en la cinta pasa de tener velocidad nula a tener velocidad v, por lo que es acelerado y tal aceleración exige una fuerza. La fuerza de reacción que el material ejerce sobre la cinta es vr(dm/dt) = – kv, y, en consecuencia, hay que aplicar sobre ella una fuerza F igual y de sentido contrario para que no se frene.

Ejemplo 6.8 Un camión que marcha a una velocidad de 9 km/h riega la calle lanzando hacia atrás 3 litros/s de agua con una velocidad relativa al camión de 3 m/s. Determine la velocidad del agua respecto del suelo y la fuerza de reacción que actúa sobre el camión.

v u

m

e

Tomemos el vector unitario e según el movimiento del camión. Los datos son:

dm

v = 9 e km/h = 2, 5e m/s

dt

= 3 l/s = 3 kg/s

Como vr = u – v, la velocidad del agua u respecto del suelo es u = vr + v = (−3 + 2, 5) e m/s =−0, 5 e m/s y la fuerza de reacción que actúa sobre el camión, dado que pierde masa, es vr

dm dt

⎛ ⎝

= (−3 e)⎜−

dm ⎞ ⎟= 9 e N dt ⎠

vr =−3 e m/s

224


6.5 Ecuación dinámica y conservación del momento angular I. TEOREMA DE KÖNIG DEL MOMENTO ANGULAR Sea un sistema de N partículas con movimiento cualquiera respecto del referencial inercial S(o), y C el centro de masas del sistema (Figura 6.15). El momento cinético o angular total del cuerpo es la suma vectorial de los momentos cinéticos individuales,

K

S L (o) L (c)

C

Lc(o)

rα (c)

rC (o)

mα rα(o)

O

Figura 6.15

N

N

α=1

α=1

L(o) ≡ ∑ Lα (o) = ∑ mα rα (o) ∧ vα (o)

(6.29)

Utilizando el c.m., el vector de posición de cualquier partícula α del sistema puede expresarse como rα (o) = rc (o) + rα (c)

(6.30)

y derivando respecto del tiempo, se obtiene la relación de velocidades vα (o) = vc (o) + vα (c)

(6.31)

siendo vα(o) y vc(o), respectivamente, la velocidad de la partícula α y del c.m. respecto del referencial S(o), y vα(c) la velocidad de α relativa al c.m., es decir, respecto del referencial del centro de masas o de König [K(c)]. Sustituyendo (6.30 y 6.31) en (6.29) N N ⎡N ⎤ L(o) = ∑ mα rα (o)∧ vα (o) = ∑ mα [ rc (o) + rα (c)]∧[ vc (o) + vα (c)] =⎢ ∑ mα ⎥rc (o)∧ vc (o) + ⎣ α=1 ⎦ α=1 α=1 N ⎤ ⎡ N ⎡N ⎤ + ∑ mα rα (c)∧ vα (c) + rc (o)∧⎢ ∑ mα vα (c) ⎥+⎢ ∑ mα rα (c)⎥∧ vc (o) ⎣ α=1 ⎦ ⎦ ⎣ α=1 α=1

(6.32)

6.5 Ecuación dinámica y conservación del momento angular

225

y teniendo en cuenta (6.8 y 6.9) N

L(o) = mrc (o) ∧ vc (o) + ∑ mα rα (c) ∧ vα (c) α=1

O bien,

L(o) = Lc (o) + L(c)

(6.33)

Lc (o) = mrc (o)∧ vc (o)

(6.34)

con

el momento angular o cinético del centro de masas, y N

(6.35)

L(c) = ∑ mα rα (c) ∧ vα (c) α=1

el momento cinético intrínseco o espín. La ecuación (6.33) expresa el teorema de König del momento cinético : El momento cinético de un sistema de partículas respecto de un punto fijo es igual al momento cinético respecto de tal punto que tendría una partícula conteniendo la masa del sistema y situada en el centro de masas, más el momento cinético del movimiento del sistema respecto de su centro de masas (momento cinético intrínseco o espín). a) Como Lc(o) es el momento cinético del movimiento de la partícula imaginaria situada en el c.m., es el que está asociado al movimiento de traslación del conjunto de partículas.

II. MOMENTO-FUERZA NETO Es preciso recordar lo ya dicho respecto de las fuerzas actuantes sobre un sistema de partículas, distinguiéndose entre fuerzas externas, fα, —procedentes del exterior del sistema— y fuerzas internas, fαβ, —que ejercen las partículas del sistema entre sí—. El que las fuerzas interiores satisfagan el principio de acción y reacción en su forma más restrictiva (fαβ y fβα son fuerzas iguales, contrarias y están en la recta de unión de las partículas α y β, Figura 6.16) determina que en un sistema de partículas, la resultante de los momentos-fuerza interiores respecto de cualquier punto es nula, N

N

α

β

∑ ∑ rα (o) ∧ fαβ = 0

α, β = 1,...,N

(6.36)

226


β rα ( β ) α

f βα f αβ rβ (o) rα (o)

O

Figura 6.16

pues el doble sumatorio da lugar a términos que pueden agruparse en la forma rα (o)∧ fαβ + rβ (o)∧ fβα = [ rα (o) − rβ (o)]∧ fαβ = rα ( β )∧ fαβ = 0 al ser los vectores rα(β) y fαβ de la misma dirección (Figura 6.16). El momento-fuerza respecto del punto fijo O de las fuerzas externas e internas aplicadas en la partícula α, es N ⎡ ⎤ M α (o) = rα (o)∧⎢ fα + ∑ fαβ ⎥ ⎣ ⎦ β=1

y sumando para todo el sistema, N

N

⎡

N

⎤

N

α=1

α=1

⎣

β=1

⎦

α=1

N

N

∑ M α (o) = ∑ rα (o) ∧⎢ fα + ∑ fαβ ⎥= ∑ rα (o) ∧ fα +∑ ∑ rα (o) ∧ fαβ α=1 β=1

siendo nulo el segundo término según (6.36). Es decir, el momento-fuerza neto para todo el sistema es debido a las fuerzas externas, N

N

α=1

α=1

(6.37)

M (o) = ∑ M α (o) = ∑ rα (o)∧ fα

Por otro lado, utilizando la relación entre los vectores de posición respecto de los puntos O y c.m. (Figura 6.17), se tiene que N

N

N

N

α=1

α=1

α=1

α=1

M (o) = ∑ rα (o)∧ fα = ∑ [ rc (o) + rα (c)]∧ fα = rc (o)∧ ∑ fα +∑ rα (c) ∧ fα = = rc (o)∧ F + M (c)

(6.38)


227

α rα (c) rα (o) C rc (o)

O

Figura 6.17

III. ECUACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR Utilizando (3.19) para cada partícula, α, M α (o) =

dLα (o) dt

y sumando para todo el sistema ⎡ dLα (o) ⎤ d N ⎥= ∑ L (o) dt ⎦ dt α=1 α α=1⎣

N

N

∑ M α (o) = ∑⎢ α=1

se obtiene, teniendo en cuenta (6.37),

M (o) =

dL(o) dt

(6.39)

Esto es, el momento-fuerza resultante de las fuerzas externas aplicadas a un sistema de partículas respecto de un punto fijo es igual a la variación temporal de su momento cinético respecto del mismo punto. Si en la ecuación (6.39) se utilizan las expresiones del momento-fuerza neto de las fuerzas externas y del momento cinético dadas en (6.38) y (6.33) queda rc (o)∧ F + M (c) =

dLc (o) dL(c) + dt dt

y como ⎡ rc (o)∧ pc (o) ⎦ ⎤ dLc (o) ⎡ dp (o) ⎤ d⎣ rc (o)∧ F = rc (o)∧⎢ c ⎥= = ⎣ dt ⎦ dt dt

(6.40)

228


resulta que M (c) =

dL (c) dt

(6.41)

Es decir, el momento-fuerza resultante de las fuerzas externas aplicadas a un sistema de partículas respecto de su c.m. es igual a la variación temporal de su momento cinético intrínseco. a) Obsérvese que la ecuación (6.40) se obtiene de multiplicar la ecuación dinámica del momento lineal (6.15) (F = dpc/dt) vectorialmente por rc(o), por lo que se pueden hacer las mismas consideraciones que se hicieron en 3.6.e) para una partícula, ahora aplicadas al c.m. Es decir, ambas ecuaciones no son independientes, pudiendo ser más conveniente utilizar una u otra en función de las características del movimiento del c.m., pues es al movimiento del centro de masas —y, en consecuencia, de traslación— al que se refieren ambas ecuaciones. b) Ecuación del momento angular intrínseco La ecuación (6.41) es formalmente idéntica a la (6.39), pero con el centro de masas como punto de referencia —sin que el c.m. deba ser punto fijo—. No obstante, la ecuación (6.41) se refiere únicamente al movimiento del sistema respecto al centro de masas (es decir, respecto al referencial de König), mientras que la ecuación (6.39) se refiere a todo el movimiento del sistema, tanto el de traslación del c.m. como el movimiento de las partículas respecto a dicho punto. Por ello, si el sistema de partículas constituye un sólido rígido, como su movimiento respecto a su c.m. sólo puede ser un cambio de orientación, la ecuación (6.41) es la asociada al movimiento de rotación del cuerpo. c) Conservación del momento angular Si es nulo el momento-fuerza neto (respecto de un punto fijo o respecto del c.m.) de las fuerzas externas actuantes sobre el sistema de partículas, las ecuaciones (6.39 o 6.41) llevan al importante resultado de que el momento angular total del sistema (respecto del punto fijo o respecto del c.m.) permanece inalterable en el transcurso del movimiento, es decir, es una constante del movimiento. Agrupando las dos ecuaciones en una única expresión resulta:

Si

M (CO ) = 0

⇒

L(OC ) = cte

(6.42)

Si es nula la resultante de los momentos-fuerza externos el momento angular total se conserva. Permanece constante, pues, la suma vectorial de los momentos angulares de las partículas pudiendo, sin embargo, variar en el tiempo cada momento angular individual.


229

d) ¿Se mantiene constante la distancia Tierra-Luna? Consideremos el movimiento relativo de ambos astros. Para este propósito podemos suponer aislado el sistema Tierra-Luna, es decir, en relación con su movimiento relativo tener en cuenta únicamente las fuerzas de interacción entre ambas, de modo que —a estos efectos— no hay acciones externas y el momento de las fuerzas exteriores es nulo, por lo que el momento cinético total se ha de mantener constante. El momento angular total es la contribución de los momentos angulares intrínsecos (debidos al movimiento de cada astro alrededor de su c.m) y de los momentos angulares orbitales de la Tierra y de la Luna. Los movimientos orbitales pueden reducirse al movimiento equivalente de la Luna (Figura 6.18) alrededor de la Tierra considerando que la masa de la Luna es la masa reducida del sistema Tierra-Luna, μ (recuerde 3.3.e), cuyo momento cinético respecto del centro de la Tierra es

Lorbital (T) = μrv = μr 2 ω con r la distancia Tierra-Luna y ω la velocidad angular orbital lunar (que coincide con la de rotación).

Figura 6.18

Pues bien, como ya se señaló en 3.4.g), al girar la Tierra sobre su propio eje las mareas originan pérdidas energéticas en forma de calor dando lugar a una reducción de energía de rotación que se manifiesta en una disminución de la velocidad angular y, en consecuencia, en una disminución del momento cinético intrínseco terrestre. Como el momento angular intrínseco de la Luna no cambia, ha de aumentar su momento angular orbital para que el momento cinético total del sistema se mantenga constante, por lo que la distancia media Tierra-Luna aumenta de acuerdo con la ecuación anterior. La separación es de unos 4 cm por año.

Capítulo 7 DINÁMICA DEL CUERPO RÍGIDO

7.1

Movimiento general del cuerpo rígido ...........................................................232

7.2

Sistemas equivalentes de fuerzas. Reducción................................................234

7.3

Equilibrio del sólido rígido...............................................................................244

7.4

Movimiento plano. Rotación alrededor de un eje fijo ...................................254

7.5

Movimiento plano de roto-traslación .............................................................265

7.6

Energía cinética.................................................................................................271

7.7

Trabajo...............................................................................................................278

7.8

Determinación de momentos de inercia ........................................................287

7.9

Rotación en el espacio ......................................................................................295

232 Capítulo 7 Dinámica del cuerpo rígido

7.1 Movimiento general del cuerpo rígido Como ya se ha dicho (2.6), el sólido rígido es un sistema de partículas entre las que existen fuerzas de interacción tan intensas que la distancia entre ellas permanece invariable (condición de rigidez). Un sólido rígido no cambia de forma, ni se dilata ni se contrae. Aunque no hay ningún cuerpo real que satisfaga exactamente tal definición, sí hay muchos que en determinadas condiciones su comportamiento puede ser descrito satisfactoriamente con tal modelo. La condición de rigidez determina que cualquier movimiento del sólido rígido puede ser descrito como un movimiento de traslación o de rotación, o de traslación más rotación. Veámoslo. Sea un sistema inercial, fijo, S(o), con origen en O, respecto del cual un sólido rígido se mueve en la forma más general posible, y K(c) un referencial de König (recuerde 6.2.e). La velocidad angular ω (Figura 7.1) da cuenta del cambio de orientación del cuerpo respecto de direcciones fijas. Entre los vectores de posición de un punto genérico α del cuerpo respecto de los orígenes O y C existe la relación (7.1)

rα (o) = rc (o) + rα (c) lo que permite expresar su velocidad respecto de S(o) como

vα (o) =

drα (o) drc (o) drα (c) de = + = vc (o) + rα (c) r = vc (o) + rα (c)ω∧ er dt dt dt dt

teniendo en cuenta que el vector rα(c) = rα(c)er que une dos puntos del cuerpo es solidario al mismo, y por la condición de rigidez su variación temporal sólo puede ser de orientación y no de módulo, pudiendo expresar su cambio de orientación (der /dt) mediante (2.11). En definitiva,

vα (o) = vc (o) + ω∧ rα (c)

(7.2)

α

rα (c)

K C er

S rα (o)

rc (o)

O

Figura 7.1

a) Si ω = 0 y vc(o) ≠ 0, entonces vα(o) = vc(o), y todas las partículas se mueven con la misma velocidad, lo que corresponde a un movimiento de traslación (2.6.I).

7.1 Movimiento general del cuerpo rígido

233

b) Si ω ≠ 0 y vc(o) = 0, entonces vα(o) = ω ∧ rα(c), lo que corresponde a un movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. (2.6.II). c) Si vc(o) ≠ 0 y ω ≠ 0, el movimiento es la superposición de los dos anteriores, es decir, un movimiento de rotación más traslación. En definitiva,

el movimiento más general del sólido puede describirse como la superposición de un movimiento de traslación —de velocidad la del c.m.— y de un movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por dicho punto —con velocidad angular la que dé cuenta del cambio de orientación del sólido respecto de direcciones fijas—. d) Ecuaciones del movimiento El movimiento de traslación del cuerpo se estudia mediante la ecuación del momento lineal

F=

dp dpc = = mac dt dt

(6.15)

Y el análisis del movimiento de rotación alrededor del c.m. se realiza utilizando la ecuación del momento angular M (c) =

dL(c) dt

(6.41)

con el momento-fuerza y el momento cinético referidos ambos al c.m. [En 6.5.III b) ya se comentó que la ecuación (6.41) da cuenta del movimiento del conjunto de partículas respecto del c.m.; en el caso de un cuerpo rígido tal movimiento, por la condición de rigidez, sólo puede ser un cambio de orientación, es decir, una rotación.] La aplicación de una fuerza sobre un sólido libre de moverse origina un movimiento de traslación, y si también determina un momento-fuerza respecto del c.m., tal momento produce una rotación del cuerpo alrededor de dicho punto. Esto se ilustra en la figura 7.2: un disco tiene un tambor en el que se enrolla un hilo del que se tira con una fuerza f; tal fuerza origina un movimiento de traslación y, también, de rotación alrededor de su c.m. ya que origina un momento-fuerza no nulo respecto de tal punto.

ω f

C

Figura 7.2

v

234 Capítulo 7 Dinámica del cuerpo rígido Si el hilo no estuviese enrollado en un tambor, sino sujeto a un cierto punto P del disco, como se muestra en la figura 7.3, el momento-fuerza respecto del c.m generado por f originaría un giro hasta que la línea de acción de f pasase por C, es decir, hasta que rP y f fuesen paralelos, con lo que M(c) = rP ∧ f = 0.

ω f P rP

rP C

v

f

P

v′

C

Figura 7.3

7.2 Sistemas equivalentes de fuerzas. Reducción EQUIVALENCIA Se acaba de ver que, con carácter general, los movimientos de traslación y rotación del sólido rígido vienen determinados, respectivamente, por la resultante de las fuerzas externas que actúan sobre él (F) y por el momento-fuerza resultante de las fuerzas externas con respecto a su c.m. [M(c)]. De ello se sigue que dos sistemas de fuerzas actuantes sobre un cuerpo rígido producirán idéntico movimiento en él si F y M(c) son iguales en ambos.

No obstante, tales sistemas no son absolutamente equivalentes, sino que originan el mismo movimiento en un sólido rígido. Considérese, por ejemplo, dos fuerzas iguales pero de sentidos opuestos que actúan en diferentes puntos a lo largo de la misma línea (Figura 7.4). En lo que concierne al movimiento del cuerpo rígido las dos fuerzas son equivalentes a la fuerza nula, ya que su suma es cero; sin embargo, internamente el cuerpo experimenta tensiones que no surgirían de no actuar tales fuerzas, aun cuando el sólido permanezca aproximadamente rígido.

–f

f

Figura 7.4

7.2 Sistemas equivalentes de fuerzas. Reducción

235

Aquí se considerarán sistemas de fuerzas que son equivalentes en cuanto al movimiento del cuerpo rígido: dos sistemas de fuerzas aplicados a un sólido rígido son equivalentes si dan lugar al mismo movimiento.

a) Punto de aplicación El movimiento del c.m de un cuerpo extenso sobre el que actúa una fuerza f no cambia con el punto de aplicación de la misma (sólo depende de la resultante de las fuerzas externas aplicada en el c.m.), pero el movimiento del cuerpo respecto del c.m. sí cambia con el punto de aplicación de la fuerza, pues depende de la resultante de los momentos-fuerza externos respecto del c.m. Por tanto, al indicar que una fuerza actúa sobre un cuerpo rígido es necesario especificar no sólo el módulo y dirección de la fuerza, sino también, en principio, el punto de aplicación.

b) Línea de acción Consideremos una fuerza f y su línea de acción. Fijémonos en dos puntos, P y S, de tal recta y calculemos el momento-fuerza de f respecto de un punto cualquiera O, bien aplicando f en P, bien aplicando f en el punto S (Figura 7.5). Tales momentos serán

Mf P (o) = rP ∧ f

Mf S (o) = rS ∧ f

Pero

M fP (o) = rP ∧ f = [ rS + rP (S)]∧ f = rS ∧ f = M fS (o) siendo nulo rP(S)∧f por ser vectores de igual dirección.

f P r P (S) S

f

rP

rS O

Figura 7.5

236 Capítulo 7 Dinámica del cuerpo rígido El momento-fuerza resulta, pues, independiente del punto de aplicación de la fuerza en su recta de acción. Y puesto que la resultante tampoco se altera, el efecto de una fuerza en el movimiento del sólido rígido es independiente del punto de aplicación de la fuerza sobre su línea de acción.

En consecuencia, al considerar la fuerza que actúa sobre un cuerpo rígido hay que especificar su módulo, dirección, sentido y línea de acción, siendo indiferente su punto de aplicación en dicha recta. Por esta razón, a efectos del movimiento, la fuerza se comporta como un vector deslizante. c) Acción de una fuerza Si sobre un sólido actúa una fuerza f en un punto P (Figura 7.6) tal fuerza se puede situar en cualquier punto de su recta de acción sin que por ello se altere su efecto sobre el cuerpo, como se acaba de señalar. Sin embargo, no se puede situar sin más la fuerza en un punto externo a su línea de acción puesto que su efecto sobre el estado de movimiento del cuerpo sería diferente. En efecto, supongamos que la línea de acción no pasa por el c.m. (C); si se lleva la fuerza de P a C el cambio no afecta a la resultante y por tanto al movimiento del c.m, pero sí al movimiento alrededor del c.m., pues f realmente ejerce un momento-fuerza M(c) = r ∧ f no nulo, mientras que situada en C es cero dicho momento. En consecuencia, el efecto de la fuerza aplicada en P no se altera al situarla en C si se añade el momento-fuerza de la misma respecto de C.

M (c)= r∧ f C

r

f

C

f

≡

P

Figura 7.6

Una fuerza actuante en un punto cualquiera de un sólido rígido es equivalente a dicha fuerza y a su momento-fuerza respecto del c.m., aplicados en él. d) Sólido rígido con un punto fijo Si el cuerpo tiene un punto fijo, Q (Figura 7.7), le son aplicables ciertamente las ecuaciones (6.15 y 6.41) que son generales y, en consecuencia, los resultados anteriores. Sin embargo, ya que su movimiento de rotación alrededor del punto fijo está completamente determinado por la ecuación alternativa [véase (6.39)]

M (Q ) =

dL(Q) dt

(7.3)


237

todos los sistemas de fuerzas actuantes sobre el sólido rígido que tengan el mismo M(Q) son equivalentes en cuanto a tal movimiento. f1 f2 O1

M(Q )

O2 O3 ≡

f3

Q

Q

Figura 7.7

REDUCCIÓN Si sobre un cuerpo rígido actúa un sistema dado de fuerzas, tal sistema puede frecuentemente ser reemplazado por otro equivalente más sencillo —lo que se conoce como reducción del sistema de fuerzas— que produce, claro es, el mismo movimiento que el sistema de fuerzas dado.

I. CASO GENERAL Consideremos un sistema de fuerzas fi, i = 1, 2, 3,…, actuantes en los puntos Oi (Figura 7.8). De acuerdo con lo dicho anteriormente, cada una de ellas es equivalente a la fuerza aplicada en C y su momento-fuerza respecto de C, de modo que el conjunto de todas las fuerzas es equivalente a su resultante, F, y su momento-fuerza resultante, M(c), aplicados en el c.m. F = ∑i fi

M (c) = ∑i roi (c)∧ fi

f1 f2 O1

O2

•C

F ≡

M (c) •C

O3 f3

Figura 7.8

Un sistema arbitrario de fuerzas aplicadas sobre un cuerpo rígido se puede reducir a su resultante, F, y su momento-fuerza resultante, M(c), actuantes en el c.m.

238 Capítulo 7 Dinámica del cuerpo rígido II. PAR DE FUERZAS Sea un sólido rígido sobre el que actúa un par de fuerzas, es decir, está sometido simultáneamente a dos fuerzas paralelas f1 y f2 aplicadas en puntos diferentes O1 y O2, con igual módulo pero sentidos opuestos. Este sería el caso de un cilindro del que se tira mediante dos cuerdas con igual fuerza pero en sentido opuesto, como se muestra en la Figura 7.9. Estas fuerzas producirían una rotación alrededor de un eje perpendicular al plano que las contiene. El plano determinado por las líneas de acción de f1 y f2 se llama plano de acción del par, y se cumple que f1 = f

f2 =− f

–f f

Figura 7.9

El par no afecta al movimiento del c.m. al ser nula su resultante; ¿cómo afecta el par al movimiento del cuerpo respecto a su c.m.? Veámoslo. Los momentos de las fuerzas f1 y f2 respecto del centro de masas son (Figura 7.10) M1 (c) = r1 ∧ f1 = r1 ∧ f

M2 (c) = r2 ∧ f2 =−r2 ∧ f

y el total M = M1 (c) + M 2 (c) = [ r1 − r2 ]∧ f Pero r1 = r2 + r12

M = r12∧ f f2

O2 P

r2 d

r12

C r1

O1

f1

Figura 7.10


239

con lo que M = r12 ∧ f

(7.4)

En consecuencia: • M es independiente del punto C, es decir, no depende de la localización del par respecto del c.m., por lo que un par de fuerzas aplicado a un sólido rígido equivale a un momento-fuerza (Figura 7.11). Inversamente, un momento-fuerza M puede considerarse el resultado de un par de fuerzas tales que se satisfaga M = r12 ∧ f. • La dirección del momento es perpendicular al plano de acción del par y su sentido es el de avance del tornillo girando en el sentido a que dan lugar las fuerzas. • El vector r12 se puede descomponer en

r12 = rP (o 2 ) + rO1 (P) con rP(o2) paralelo a f, y rO1(P) perpendicular a f. Con ello (7.4) se reduce a

M = r12 ∧ f = [ rP (o2 ) + rO1 (P)]∧ f = rO1 (P)∧ f siendo el módulo del momento-fuerza M = df

(7.5)

con d =⏐rO1 (P)⏐ la distancia entre ambas líneas de acción, tomada sobre una perpendicular común. El módulo del momento-fuerza del par es igual al producto del módulo de una de las fuerzas por la distancia entre las líneas de acción de ambas, módulo que es independiente de cuales sean los puntos de aplicación en que se sitúan los vectores deslizantes f1 y f2.

M f2 ≡ f1

Figura 7.11

Según lo anterior el efecto que un par de fuerzas ejerce sobre el movimiento de un cuerpo rígido depende sólo del momento-fuerza producido por el par.

240 Capítulo 7 Dinámica del cuerpo rígido a) El momento-fuerza del par, y por tanto el efecto que sobre el movimiento origina, no se altera

• si el punto de aplicación de f1 o f2 se traslada una distancia arbitraria a lo largo de su línea de acción • si se traslada o rota el par en el plano que define • si se traslada el plano del par una cantidad arbitraria paralelamente a sí mismo • si simultáneamente se cambia el módulo de f1 y f2 y se cambia d, mientras se mantenga que f1 = –f2 y el producto df = M fijo. b) Sistemas de pares de fuerzas En cuanto al movimiento del c.m. del sólido rígido, un sistema de pares de fuerzas es equivalente al vector nulo —por lo que no afecta a tal movimiento— dado que cada par tiene resultante nula; y en relación con el movimiento respecto del c.m., el momento-fuerza suma es

M = ∑ i Mi Por ello, un sistema de pares de fuerzas actuantes sobre un sólido rígido puede ser reducido a un único par de fuerzas de momento el resultante de los momentos del sistema (Figura 7.12).

M1

≡

M2

M3

M

Figura 7.12

III. FUERZAS CONVERGENTES Consideremos un sólido rígido sometido a un sistema de fuerzas, fi, cuyas líneas de acción concurren en el punto O (Figura 7.13). Llevemos todas las fuerzas a dicho punto. En lo que atañe al movimiento del c.m., tal sistema será equivalente a una fuerza, que es la resultante del sistema, F = ∑i fi En cuanto al movimiento relativo al c.m., el momento-fuerza respecto de tal punto es la suma de los debidos a cada fuerza por separado M (c) = ∑i Mi (c) = ∑i ro (c)∧ fi = ro (c)∧ ∑i fi = ro (c)∧ F

(7.6)


241

lo que —referido a vectores deslizantes cualesquiera— se conoce como teorema de Varignon: Respecto de cualquier punto, el momento resultante de un sistema de vectores deslizantes concurrentes en un punto O es igual al momento de su resultante aplicada en O.

f1 O1

f2 ≡

C ro (c)

O2

F

O3 f3

O

O

Figura 7.13

Es decir (Figura 7.13), un sólido sometido a fuerzas de direcciones concurrentes en un punto O se mueve como si estuviera sometido a una fuerza única, su resultante F, cuya línea de acción pasa por el punto de concurrencia.

Esto permite tanto componer fuerzas concurrentes como descomponer una fuerza en fuerzas concurrentes.

IV. FUERZAS PARALELAS Sea un sistema de fuerzas paralelas, fi, de igual o distinto sentido, actuantes simultáneamente sobre un sólido rígido, siendo Oi sus respectivos puntos de aplicación (Figura 7.14).

f2

e

F O2 f1

C

ro1 (c)

O3

rG (c)

f3 G

O1

ro1(G)

Figura 7.14

242 Capítulo 7 Dinámica del cuerpo rígido Designando por e al vector unitario en la dirección común de las fuerzas se cumple que fi = fie siendo la resultante

F = ∑i fi = ⎡ ⎣ ∑ i fi ⎤ ⎦e

(7.7)

y el momento-fuerza total respecto del c.m.

M (c) = ∑i roi (c)∧ fi =⎡ ⎣ ∑i fi roi (c) ⎤ ⎦∧ e por lo que M(c) y e son perpendiculares. Por otra parte, se denomina centro de un sistema de fuerzas paralelas a un punto G respecto del cual el momento-fuerza del sistema es nulo, cualquiera que sea la orientación de las fuerzas. Es decir, G es un punto tal que

M (G) =⎡ ⎣ ∑i fi roi (G) ⎤ ⎦∧ e = 0

(7.8)

∀e

Por ello

∑i fi ro (G) = 0 i

Resulta, pues (Figura 7.15), que un sistema de fuerzas paralelas —cualquiera que sea su orientación— es equivalente a su resultante aplicada en el centro del sistema.

En consecuencia, el momento-fuerza total del sistema respecto del c.m. —suma de los momentos individuales de cada una de las fuerzas paralelas— es igual al momento respecto de dicho punto de la fuerza resultante aplicada en G:

M (c) = ∑i roi (c)∧ fi = rG (c)∧ F a) Posición del centro G respecto del c.m. Como

roi (c) = rG (c) + roi (G) sustituyendo en la ecuación que resulta de (7.8) se cumple que

∑i fi ro (c) − (∑i fi ) rG (c) = 0 i

F ≡

Figura 7.15

G


243

y rG (c) =

∑i fi ro (c) ∑ i fi

(7.9)

i

que permite determinar la posición del centro G respecto del c.m. La ecuación (7.9) indica que, también, G es el centroide de la distribución de fuerzas fi (6.1.g). b) Centro de gravedad Si el sistema de fuerzas paralelas actuantes sobre el cuerpo es debido al campo gravitatorio, fα = mαg, el centro del sistema se denomina centro de gravedad, y la ecuación (7.9) queda

rG (c) =

∑ α mα rα (c) ∑ α mα

Pero ∑αmαrα(c) = 0, de acuerdo con lo visto para el centro de masas (ecuación 6.8), y en consecuencia, rG(c) = 0, es decir, en el caso de considerar las fuerzas peso actuantes sobre la distribución de masa como un sistema de fuerzas paralelas —lo que, en primera aproximación, es admisible en la mayoría de los casos—, el centro de gravedad coincide con el centro de masas del cuerpo; de ahí que se empleen indistintamente ambos términos.

Ejemplo 7.1 En los extremos de una barra homogénea de longitud L = 300 cm y en su centro se aplican perpendicularmente y con igual sentido las fuerzas f (= 2N), 2f y 3f, respectivamente. ¿Cuál es el sistema equivalente más sencillo que produciría el mismo efecto sobre su estado de movimiento?

A

Y

f

A

f L–y

L B

D

2f

B G

3f

2f

D

y 3f

F X

El sistema equivalente más simple es su resultante aplicada en el centro del sistema de fuerzas paralelas. Tomando los ejes X e Y de la figura, como f = 2i N, tal resultante es F = f + 2f + 3f = 6f = 12i N

El centro, G, de las fuerzas paralelas cumple la condición de que el momento-fuerza del sistema respecto del mismo es nulo: M(G) = 0, esto es, rA (G ) ∧ f + rB (G ) ∧ 2f + rD (G ) ∧ 3f = 0

(i)

244 Capítulo 7 Dinámica del cuerpo rígido Sean (0, y) las coordenadas de G; entonces, 1 rB (G) = ( L − y ) j 2

rA (G) = ( L − y) j

rD (G) =−yj

y sustituyendo en (i)

i

j

0

L−y

f

0

k

i

j

0+ 0 0

2f

L −y 2 0

k

i

0+ 0 0

3f

j −y 0

k 0 =0 0

de donde

1 y = L =1 m 3

7.3 Equilibrio del sólido rígido Un cuerpo indeformable está en equilibrio si lo están todos sus puntos, por lo que un sólido rígido se encuentra en equilibrio respecto de un referencial si las velocidades de todos sus puntos respecto de dicho referencial son nulas.

Si las velocidades son nulas, no hay movimiento ni del centro de masas del cuerpo respecto del referencial ni del cuerpo alrededor de su centro de masas; es decir, las resultantes de las fuerzas exteriores y de sus momentos-fuerza respecto del c.m. deben ser nulas [F = 0, M(c) = 0]. Además, teniendo en cuenta (6.38), como F= 0, el momento-fuerza resultante de las fuerzas externas respecto de cualquier punto O fijo al referencial también debe ser nulo. En consecuencia, si el cuerpo está en equilibrio se ha de cumplir que F=0

M (o) = 0

(7.10)

Las ecuaciones vectoriales del equilibrio del sólido rígido (7.10) proporcionan, en el caso general, tres ecuaciones escalares cada una (expresadas en componentes), es decir, es seis el número máximo de ecuaciones escalares independientes de que se dispone, por lo que las ecuaciones de equilibrio no permiten resolver más de seis incógnitas para un único sólido.

7.3 Equilibrio del sólido rígido

245

a) Acciones sobre el sólido rígido Las fuerzas (y los momentos-fuerza) pueden clasificarse en distintos tipos, según sea su acción sobre el cuerpo.

Fuerza activa es la que origina o puede originar movimiento. Fuerza pasiva es la que no puede originar movimiento por sí misma; surge como respuesta al movimiento o las fuerzas activas. Fuerza de ligadura es la fuerza pasiva que limita o impide el movimiento. Fuerza disipativa es la fuerza pasiva que origina pérdida de energía. Al plantear las ecuaciones (7.10) hay que tener en cuenta todas las fuerzas y momentosfuerza externos actuantes sobre el sólido rígido (no las ejercidas por éste). Entre ellas se encontrarán las debidas a otros sólidos sobre los que se apoya o conecta el cuerpo en estudio y que condicionan o impiden posibles movimientos, es decir, fuerzas de ligadura o de reacción. b) Tipos de problemas Las ecuaciones (7.10) permiten abordar distintos tipos de problemas dependiendo de cuál es la información de que se dispone y de qué es lo que se trata de determinar, sea la configuración de equilibrio bajo la acción de fuerzas conocidas, sean las fuerzas de reacción en la configuración de equilibrio. Cuando esto último es el objetivo, si la ecuación (7.10) son suficientes para el cálculo de las reacciones desconocidas el problema está estáticamente determinado (isostático). Si el número de reacciones incógnitas es superior al de ecuaciones de equilibrio, el problema está estáticamente indeterminado, es hiperestático, en cuyo caso el equilibrio se puede alcanzar con distintas combinaciones de fuerzas; su resolución implica considerar también la deformación del cuerpo, lo que queda fuera del objetivo de este libro.

Ejemplo 7.2 Una escalera de longitud L y masa m′ se apoya sobre una pared lisa y sobre un suelo áspero, formando con éste un ángulo ϕ. El coeficiente estático de rozamiento entre la escalera y el suelo es μe. ¿Hasta qué altura puede un hombre de masa m subir por la escalera sin que ésta resbale? Designamos por P la posición del hombre, y sea l y h la máxima longitud sobre la escalera y altura que alcanza, respectivamente, sin que la escalera resbale. Como la pared es lisa, la fuerza de reacción NA es perpendicular a la misma; no así la fuerza de reacción del suelo rugoso, por lo que se puede descomponer en una fuerza normal NB y una tangencial, que es la fuerza de rozamiento fr. Y A

NA P l C h

mg m′g

NB fr ϕ

B

X

246 Capítulo 7 Dinámica del cuerpo rígido La ecuacón F = 0 es N A + ( m + m´) g + N B + fr = 0

y en componentes según X e Y, respectivamente, resulta N A = fr

N B = ( m + m´) g

Por otra parte, en el caso límite —cuando la fuerza de rozamiento es máxima—, y teniendo también en cuenta las ecuaciones anteriores se tiene que (i)

fr = μe N B = μe ( m + m´) g = N A

Para responder a la pregunta del enunciado, calculemos momentos-fuerza respecto del punto B. Se ha de cumplir que M(B) = 0, esto es, rA ∧ N A + rP ∧ mg + rc ∧ m´ g = 0 i

j

k

−L cos ϕ

L sen ϕ

NA

0

i

j

0 + −l cos ϕ

l sen ϕ

0

−mg

0

k

i

L 0 + − cos ϕ 2 0 0

j

L sen ϕ 2 −m´ g

k

0 =0 0

o bien 1 −LN A sen ϕ+ lmg cos ϕ+ Lm´ g cos ϕ = 0 2 de donde NA =

g 1 ( ml + m´ L ) 2 L tg ϕ

(ii)

Igualando las dos expresiones (i) e (ii) de NA y teniendo en cuenta que h = l sen ϕ, la altura máxima sin que la escalera resbale viene dada por

⎛ m´ ⎞⎤ ⎡ ⎛ m + m´ ⎞ ⎟tg ϕ−⎜ ⎟⎥sen ϕ ⎣ ⎝ m ⎠ ⎝ 2 m ⎠⎦

h = L⎢ μe⎜

Si la masa de la escalera es despreciable frente a la del hombre, la expresión anterior se reduce a h = L μe tg ϕ sen ϕ

c) Determinación del centro de gravedad Se puede localizar el centro de gravedad de un cuerpo suspendiéndolo de distintos puntos y dejando que alcance el equilibrio: la intersección de las verticales en cada caso lo determina. La razón es que en cada vertical debe encontrarse el centro de gravedad para que el


247

peso —localizado en dicho punto— no genere un momento-fuerza respecto del punto de suspensión distinto de cero (Figura 7.16).

C mg

mg

Figura 7.16

d) Vuelco Considérese un bloque sobre un plano cuya inclinación vamos aumentando progresivamente, siendo el coeficiente de rozamiento suficientemente elevado como para que no se produzca deslizamiento antes de que el bloque vuelque (Figura 7.17). Cuando la inclinación del plano es pequeña el bloque está en equilibrio, lo que implica que F = mg + R = 0, siendo R la reacción del plano inclinado sobre el bloque; y también, que M = 0, respecto de cualquier punto, por ejemplo el vértice A del bloque. Esto significa, primero, que la reacción R es igual y opuesta al peso, y segundo, que sus líneas de acción coinciden dando lugar a momentos-fuerza iguales y contrarios con resultante nula, como se muestra en la Figura 7.17a y b. La posición b) es un caso límite, en el que la línea de acción común pasa por el vértice A del bloque. Es decir,

R =−mg

R

M (A) = rc (A)∧ (mg + R) = 0

R R C

C

C A

A

A

mg a)

mg b)

mg c)

Figura 7.17

Si se inclina algo más el plano, la línea soporte de la reacción R sigue siendo vertical y pasando por el punto A —ya que no hay otro punto de contacto con el plano— mientras que

248 Capítulo 7 Dinámica del cuerpo rígido la línea de acción del peso se ha desplazado hacia la izquierda originando un momentofuerza no nulo (Figura 7.17c) M (A) = rc (A)∧ mg ≠ 0 que genera un giro alrededor del punto A; esto es, se ha roto el equilibrio y el bloque vuelca. Lo anterior puede resumirse en lo siguiente: Si la vertical trazada por el c.m. de un cuerpo cae en la base de sustentación el cuerpo no vuelca, y sí lo hace en caso contrario.

Figura 7.18

La base de sustentación es la superficie definida por los puntos de contacto del cuerpo sobre el sólido en que se apoya; así, por ejemplo, la base de sustentación de una mesa la definen las posiciones de los puntos de apoyo de sus patas, la base de sustentación de una grúa, la posición de sus ruedas, y la base de sustentación de una persona de pie es la superficie limitada por los pies (Figura 7.18).

Ejemplo 7.3 Un contenedor como el de la figura se apoya sobre un plano inclinado un ángulo θ. Si μ es el coeficiente de rozamiento estático, determine el máximo valor que puede tener el ángulo para que no vuelque el contenedor, y relaciónelo con el ángulo para el cual se produciría su deslizamiento. R l h N

C θ

mg sen θ

A θ mg

fr mg cos θ


249

En el equilibrio, las fuerzas según el plano inclinado y en dirección perpendicular al mismo se han de compensar, de modo que la fuerza de rozamiento, fr, y la reacción normal, N, (componentes de la reacción R que ejerce el plano sobre el contenedor) cumplen las igualdades fr = mg sen θ

N = mg cos θ

La situación límite para el inicio del deslizamiento es cuando la fuerza de rozamiento es máxima, es decir, fr = μN = μmg cos θ Igualando ambas expresiones de fr se obtiene el valor tg θ = μ

La situación límite para el vuelco es cuando la línea de acción común de la reacción R y el peso mg pasa por el vértice A, es decir, para un ángulo tal que tg θ =

l h

En consecuencia, para un ángulo tal que tg θ > l/h el contenedor vuelca, y si tg θ > μ desliza. Si se fuera aumentando la inclinación del plano desde la horizontal, se produciría primero el deslizamiento si μ < l/h, y primero sería el vuelco si μ > l/h; en el caso en que μ = l/h el inicio del deslizamiento y el vuelco se producirían simultáneamente.

e) Sólido rígido con un punto fijo Sea un cuerpo rígido con un punto fijo, Q, sobre el que actúan varias fuerzas activas, fi, i = 1, 2,… es decir, fuerzas que tratan de mover el cuerpo. El sólido se encuentra sometido a ligaduras tales que impiden el movimiento de Q en cualquier dirección, lo que se expresa mediante una fuerza de ligadura o de reacción, R, de componentes según tres ejes perpendiculares, en principio, desconocidas. La limitación es al movimiento de traslación al ser fijo Q, pero no a la rotación alrededor de cualquier eje que pase por dicho punto, por lo que las ligaduras no originan ningún momento-fuerza respecto de Q. En consecuencia, el efecto de las ligaduras en la limitación del movimiento del sólido con un punto fijo se describe con la fuerza de reacción R aplicada en el punto Q (Figura 7.19).

R f1

f2

Q

f3

Figura 7.19

250 Capítulo 7 Dinámica del cuerpo rígido Si el sólido se encuentra en equilibrio bajo la acción del sistema de fuerzas activas actuantes, se han de cumplir las ecuaciones (7.10), esto es, tomando momentos-fuerza respecto de Q,

∑ i fi + R = 0

(7.11)

∑ i M f (Q) = 0

(7.12)

i

La ecuación (7.12) da lugar a tres ecuaciones escalares en las que no figuran las componentes desconocidas de la fuerza de reacción R —que no genera momento respecto de Q por ser su punto de aplicación—, ecuaciones de las que pueden obtenerse los valores de equilibrio de las tres coordenadas que determinan la orientación del cuerpo, asociadas a sus tres grados de libertad de rotación. La ecuación (7.11) permite obtener la fuerza de reacción R en el punto fijo. f) Sólido rígido con un eje fijo Sea un sólido obligado a mantener dos puntos fijos, A y B, y sobre el que actúan fuerzas activas fi, i = 1, 2,… La inmovilidad de A y B puede expresarse, como se ha visto en e), mediante las fuerzas de reacción RA y RB aplicadas en A y B, respectivamente. Además, es claro que si A y B han de permanecer fijos, la única posibilidad de movimiento del cuerpo es una rotación alrededor del eje fijo que determinan ambos puntos, por lo que el sólido con un eje fijo tiene sólo un grado de libertad, que es de rotación (Figura 7.20). Si el sólido se encuentra en equilibrio bajo la acción del sistema de fuerzas activas, se han de cumplir las ecuaciones (7.10), esto es, tomando momentos-fuerza respecto de A, por ejemplo,

∑i fi + RA + RB = 0

(7.13)

∑i M f (A) + rB (A)∧ RB = 0

(7.14)

i

Tomando el eje fijo del cuerpo como eje Z de un referencial fijo con origen en A, y designando con h la distancia entre los puntos fijos o de sujeción del eje, la ecuación (7.14) puede escribirse, i

∑i M f (A) + 0 i

RBx

j 0 RBy

k h =0 RBz

En la tercera ecuación escalar que resulta de la anterior igualdad, correspondiente al eje fijo, esto es, Σi(Mfi)z = 0, no figuran las componentes desconocidas de las fuerzas de reacción RB, lo que permite determinar el valor de equilibrio de la coordenada utilizada para expresar la orientación del cuerpo, asociada a su grado de libertad de rotación.


251

RB

Z B f1

f2 h f3 Y A RA

X

Figura 7.20

Las otras dos ecuaciones escalares de (7.14), junto con las tres que resultan de (7.13) permiten determinar las componentes de RA y RB perpendiculares al eje (RAx, RAy, RBx, RBy), así como la suma algebraica de las componentes según el eje, RAz + RBz = –Σifiz. g) Equilibrio de un sistema de cuerpos rígidos Consideremos un sistema de sólidos rígidos apoyados o articulados entre sí, de modo que el conjunto no es rígido sino deformable. Para que tal sistema esté en equilibrio debe estarlo cada uno de los cuerpos que lo constituyen. En consecuencia, si el conjunto de los cuerpos está en equilibrio se han de cumplir las ecuaciones (7.10) para el sistema de sólidos globalmente considerados y, además, para cada uno de los cuerpos del sistema.

2

1

f 21 f 12

Figura 7.21

Las ecuaciones de equilibrio (7.10) expresan la nulidad de la resultante y el momentofuerza resultante de las fuerzas externas, por lo que hay que distinguir bien qué fuerzas son externas según qué cuerpo o sistema se considere, pues una misma fuerza puede ser externa o interna según qué casos. Así, en el sistema de los dos discos de la Figura 7.21, la fuerza que el disco 2 ejerce sobre el 1 (f12) es externa para el disco 1 considerado aislado, debiendo

252 Capítulo 7 Dinámica del cuerpo rígido figurar en las ecuaciones de equilibrio relativas al mismo; de igual manera, la fuerza que el disco 1 ejerce sobre el 2 (f21) es externa para el disco 2 considerado aislado, por lo que se ha de tener en cuenta en las ecuaciones de equilibrio relativas al disco 2. Sin embargo, ambas fuerzas son interiores para el sistema conjunto de los discos 1 y 2, por lo que no deben figurar en las ecuaciones de equilibrio relativas a tal sistema.

Ejemplo 7.4 Dos discos de masas m1 = 2 kg, m2 = 1 kg y radios r1 = 0,5 m, r2 = 0,35 m, respectivamente, se encuentran en equilibrio en un molde de anchura l = 1,60 m, como se indica en la figura. Suponiendo ausencia de rozamiento, determine las reacciones que ejercen los laterales y la base sobre los discos, y las fuerzas que éstos se ejercen uno sobre el otro en su punto de contacto. l – r1 – r2 Y 2 1 r1

f21 f12

ϕ

r2 N2 m2 g

N1 m1g N′1 X l

Tomemos como sistema los dos discos. Las fuerzas de acción y reacción f12 = –f21 son internas para este sistema, por lo que la ecuación F = 0 resulta ser N1 + N´1 +N 2 + ( m1 + m2 ) g = 0

En componentes, según X, N1 = N 2 y según Y, (i)

N ´1 = ( m1 + m2 ) g = 29, 4 N

Tomemos, ahora, como sistema el disco 1. En este caso, la fuerza f12 que el disco 2 ejerce sobre el 1 es exterior al disco 1, por lo que hay que tenerla en cuenta. La ecuación F = 0 es N1 + N´1 +m1 g + f12 = 0

Y, en componentes, N1 − f12 cos ϕ = 0 N ´1 −m1 g − f12 sen ϕ = 0

y con (i) ⇒

m2 g = f12 sen ϕ


253

El ángulo ϕ se determina en el triángulo rectángulo señalado en la figura, cuya base es la distancia entre los centros de los dos discos d = l – r1 – r2, y la hipotenusa es r1 + r2. Así, cos ϕ =

l − r1 − r2 r1 + r2

⇒ ϕ = 28º

de modo que f12 =

m2 g sen ϕ

= 20,8 N

N1 = N 2 = f12 cos ϕ = 18, 4 N

h) Estabilidad del equilibrio Los criterios de estabilidad o inestabilidad del equilibrio para un cuerpo y en relación con la fuerza peso y la localización de su c.m. (C), son similares a los enunciados para una partícula (3.7). Fijémonos en las posiciones de equilibrio estable a), inestable b) e indiferente c) del cono de la Figura 7.22. Cuando el equilibrio es estable, C está en la posición más baja posible respecto del plano horizontal en que se apoya el cono; una pequeña alteración de dicha posición supone aumentar su distancia respecto del plano, para lo cual hay que realizar trabajo contra el campo gravitatorio que se almacena en el cuerpo como energía potencial, aumentándola. Es decir,

la posición de equilibrio estable corresponde a la posición más baja del c.m., lo que supone mínima energía potencial gravitatoria.

C C

C

a)

b)

c)

Figura 7.22

Todo lo contrario ocurre en la posición de equilibrio inestable. Una pequeña alteración de la misma origina un descenso de C y una disminución de la energía potencial gravitatoria. En el equilibrio indiferente, la alteración de la posición no origina cambios ni en la altura de C ni, en consecuencia, en la energía potencial gravitatoria del cuerpo.

254

Capítulo 7 Dinámica del cuerpo rígido

7.4 Movimiento plano. Rotación alrededor de un eje fijo1 I. CARACTERÍSTICAS DEL MOVIMIENTO PLANO Un sólido rígido realiza un movimiento plano si todos sus puntos se mueven describiendo trayectorias contenidas en planos fijos paralelos entre sí. Cualquiera de ellos recibe el nombre de plano del movimiento. a) La velocidad lineal está contenida en el plano del movimiento Todos los puntos del sólido pertenecientes a un determinado plano del movimiento tienen sus velocidades en el mismo plano, pues en caso contrario las trayectorias no estarían contenida en él, y no sería plano el movimiento (Figura 7.23).

π plano del movimiento

α

vα

Figura 7.23

b) La velocidad angular es perpendicular al plano del movimiento La velocidad angular, caso de existir, es perpendicular al plano del movimiento. En efecto, tomemos el plano del movimiento π que pasa por el c.m. (C), y sea α un punto cualquiera del sólido en el mismo plano (Figura 7.24). La ecuación (7.2) permite relacionar la velocidad de ambos puntos del cuerpo,

vα = vc + ω∧ rα

π

C

rα α

␻ = ␻n

Figura 7.24 1. Un estudio más amplio de la cinemática y dinámica de los cuerpos indeformables puede verse en el libro del mismo autor “Mecánica del sólido rígido”, Editorial Ariel, Barcelona 2003.

7.4 Movimiento plano. Rotación alrededor de un eje fijo

255

Como α y C están en el plano π, también están contenidos en dicho plano los vectores rα, vc y vα. Y si vα y vc están en el plano π, para que se cumpla la igualdad anterior el término ω ∧ rα también debe ser un vector perteneciente al plano π, y como rα está en él, necesariamente ω es perpendicular al plano del movimiento. c) El campo de velocidades es el mismo en todos los planos del movimiento. Por ello, en el movimiento plano, para conocer el movimiento de todo el sólido basta con conocer el movimiento en uno de los planos.

II. ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE FIJO La rotación de un cuerpo alrededor de un eje fijo es un caso frecuente de movimiento plano (Figura 7.25), que tiene como único grado de libertad el que corresponde al giro alrededor del eje, por lo que basta una sola coordenada —angular— para determinar su orientación en cada instante. En tal movimiento cada partícula α del cuerpo describe una trayectoria plana circular con centro en el punto intersección del plano en el que se mueve la partícula y el eje de rotación. El estudio de tal movimiento de rotación se realiza mediante la ecuación (6.41) para lo cual hay que determinar previamente el momento cinético. Supongamos que el eje fijo (que tomaremos como eje Z) pasa por el c.m., donde situaremos el origen del referencial, y sea ω la velocidad angular. El momento angular de una partícula cualquiera α respecto al centro de masas es, recordando (2.9), Lα (c) = Rα ∧ mα vα = mα Rα ∧ ( ω∧ rα ) Y como rα = x α i + yα j i

j

Lα (c) = mα Rα ∧ 0 xα

0 yα

k

Rα = ro + rα = x α i + yα j + z α k i

j

ω = mα x α 0 −ωyα

k

yα ωx α

z α = mα [−ωx α z α i −ωyα z α j +ω( x α2 + yα2 ) k] 0

e Z

L (c) O ro

rα

vα α

Rα C R′α X Q

Figura 7.25

Y

256 Capítulo 7 Dinámica del cuerpo rígido Sumando para todas las partículas, el momento angular total es L(c) = ∑ α Lα (c) = ∑ α mα [−x α z α i − yα z α j + ( x α2 + yα2 ) k ]ω

(7.15)

a) Eje principal de inercia El momento cinético total, en general, no tiene la dirección del eje de rotación, es decir, no es paralelo al vector velocidad angular. Si el eje alrededor del cual gira el cuerpo es tal que L(c) y ω resultan ser paralelos, al eje se le llama principal de inercia (Figura 7.26). En este caso, 2 2 2 L(c) = ∑ α Lα (c) =⎡ ⎣ ∑ α mα ( x α + yα ) ⎤ ⎦ωk =⎡ ⎣ ∑ α mα rα ⎤ ⎦ω

O bien L(c) = I ω

(7.16)

con rα = (xα2+yα2)1/2 la distancia de cada partícula al eje de rotación, e I = ∑αmαrα2, que recibe el nombre de momento de inercia respecto del eje, del que hablaremos a continuación.

e eje principal

L (c)

C

Figura 7.26

b) La relación (7.16) es la más sencilla que puede establecerse entre los vectores L(c) y ω; es la expresión de su paralelismo que sólo se produce cuando el cuerpo rota alrededor de un eje principal de inercia. Es por ello conveniente conocer la dirección de dichos ejes que, en algunos casos puede determinarse por simple inspección, atendiendo a criterios de simetría. Así:

• si un sólido tiene un eje de simetría tal eje es principal • si la distribución de masas de un cuerpo sólido tiene un plano de simetría cualquier eje perpendicular al plano es un eje principal • en una distribución plana de masa todo eje perpendicular a la misma es principal.


257

c) Momento de inercia respecto de un eje Se denomina momento de inercia de una partícula respecto de un eje al producto de la masa de la misma por el cuadrado de su distancia al eje,

(7.17)

I α ≡ mα rα2

El momento de inercia del sólido respecto de un eje es la suma de los momentos de inercia de cada partícula respecto de dicho eje, I = ∑ α mα rα2

(7.18)

{(S.I.: kg⋅m 2 ); [ I ] = ML2 }

O bien, si se considera el cuerpo como distribución continua de masa en vez de discreta, su momento de inercia respecto de un eje vendrá dado por (7.19)

I = ∫ dmr 2

siendo r la distancia de cada elemento de masa dm a dicho eje. La masa elemental dm que aparece en (7.19) se expresa en función de la densidad ρ en volumen (ρ = dm/dV = m/V), superficial (ρ = dm/ds = m/s) o lineal (ρ = dm/dl = m/l) según que la masa se distribuya en un volumen, en una superficie o en una línea, respectivamente. En la Figura 7.27 se indican los momentos de inercia de algunos cuerpos respecto de los ejes que se indican; todos ellos pasan por el c.m. del sólido y son de simetría, por lo que son ejes principales para tal punto.

Z

Z Ix = mr 2 Y

C X

Aro (en el plano YZ)

r

Iy = I z = 1 mr2 2

1 Iy = Iz = mr 2 4

X Disco (en el plano YZ)

Z

Z

r h

Y

C

r

Ix = 1 mr 2 2

C

r

h

Y Iz =

X

Ix = I y =

1 mr 2 2

C

Y

Iz = mr 2

X

1 m( 3r2+h 2 ) 12

Ix = I y =

Cilindro

1 m(6r2+h2 ) 12

Cilindro de pared fina

Figura 7.27


Z

Z

Ix =

1 Ix = I y = ml 2 12

l C

b

Y

X

Y

C

X

Iz =

Iz = 0

a

1 ma2 12

Placa rectangular (en el plano YZ)

Varilla

Z

Z h Y

Iz =

X

3 mr 2 10

C

r

Y

2 Ix = Iy = Iz = mr 2 5

X

1 m(a2+b 2 ) 12 1 mb2 Iy = 12

r

Esfera

Ix = Iy =

3 2 m(4r2+h ) 80

Cono

Figura 7.27 Continuación

d) Momento cinético según el eje de rotación La componente del momento angular según el eje de rotación, de acuerdo con (7.15), es 2 2 2 Le =⎡ ⎣ ∑ α mα ( x α + yα ) ⎤ ⎦ω =⎡ ⎣ ∑ α mα rα ⎤ ⎦ω

O bien

Le = I ω

(7.20)

La componente del momento angular según el eje de rotación es igual al producto del momento de inercia respecto de dicho eje por el módulo de la velocidad angular. Si el eje de rotación fuera principal, la componente según el eje sería la única componente no nula, cumpliéndose la relación vectorial (7.16). e) Momento cinético respecto de un punto fijo del cuerpo El momento cinético del cuerpo respecto de un punto fijo del mismo, como por ejemplo la sujeción inferior del eje, Q, se obtiene de manera análoga a L(c), sin más que sustituir Rα por R′α = z′α k + x α i + yα j , (Figura 7.25), o z′α en lugar de zα en la ecuación (7.15). Por tanto, la proyección de L(Q) sobre el eje de rotación viene dada, también, por (7.20).


259

f) Ecuación del movimiento La ecuación del momento angular relativa al eje de rotación, según (6.41) y teniendo en cuenta (7.20), viene dada por

Me =

dLe = I = Iω θ dt

(7.21)

siendo Me la componente según el eje de rotación del momento-fuerza neto de las fuerzas externas, e I el momento de inercia respecto de tal eje. Tal ecuación es suficiente para conocer el movimiento, es decir, para poder determinar como varía el ángulo de giro θ con el tiempo, dado que el cuerpo sólo tiene un grado de libertad. Si se compara la ecuación (7.21) con la segunda ley de Newton (f = ma), se observan equivalencias entre el movimiento de rotación y el de traslación: • el papel de la fuerza en la traslación lo juega el momento-fuerza en la rotación, al igual que ocurre entre la aceleración lineal y la angular; • el momento de inercia ocupa en la rotación la función que realiza la masa en la traslación, y así como la masa da cuenta de la inercia del cuerpo en el movimiento de traslación, es decir, su oposición al cambio de estado de movimiento de traslación, al cambio de velocidad,

el momento de inercia expresa la inercia del cuerpo en el movimiento de rotación, esto es, su resistencia a modificar su velocidad angular. g) Conservación del momento cinético; influencia del momento de inercia Si no existe momento-fuerza externo según el eje de rotación, la componente del momento cinético según tal eje se conserva.

Si

Me = 0

⇒

Le = I ω = cte

expresión particular de la más general (6.42). En los giros continuos que se realizan en ciertos deportes y en algunas danzas se altera la velocidad angular al variar el momento de inercia de la persona respecto de su eje de rotación; la razón es que tales cambios obedecen a momentos-fuerza internos, por lo que se conserva el momento angular. Así, una patinadora toma impulso con los brazos y una pierna extendidos de modo que su I sea elevado; después cierra brazos y pierna disminuyendo I, lo que aumenta su velocidad angular. También, el control de la orientación de los satélites (Figura 7.28) mediante un volante de inercia (disco de gran masa y gran momento de inercia) se basa en la conservación del momento angular. Dado que el momento-fuerza externo sobre el satélite puede considerarse nulo, su vector momento cinético intrínseco no varía, manteniendo su orientación. Sin embargo, puede modificarse tal orientación haciendo girar el volante de inercia mediante un motor eléctrico, con lo que el satélite comienza a girar en sentido contrario para conservar el momento angular. Conseguida la orientación deseada basta con parar el volante para que el satélite mantenga la nueva orientación.


Figura 7.28

Otro fenómeno interesante en el que se manifiesta la influencia de la conservación del momento angular es en el pulsar (estrella de neutrones), formado por la implosión gravitatoria de una estrella ordinaria que al reducir enormemente su radio disminuye su momento de inercia respecto de su eje de rotación y da lugar a velocidades angulares extraordinariamente elevadas, llegando incluso a períodos de rotación de milisegundos. h) El momento de inercia de la Tierra y su estructura El momento de inercia de una esfera homogénea de masa m y radio r respecto de un eje que pasa por su centro es 0,4 mr2; sin embargo, el valor calculado (a partir del movimiento de rotación terrestre) del momento de inercia de la Tierra respecto de su eje de rotación es menor, de 0,33 mr2. El que la Tierra no sea exactamente una esfera no justifica tal diferencia; ésta es debida a que la distribución de masa en ella no es homogénea y es tal que el material de mayor densidad se encuentra más próximo al eje de rotación que el menos denso, constituyendo aquel el núcleo interno. i) Péndulo físico Un cuerpo rígido, sometido al campo gravitatorio, que puede oscilar libremente alrededor de un eje horizontal fijo que no pasa por su c.m. se denomina péndulo físico (Figura 7.29). Si se desvía de su posición de equilibrio estático —cuando el c.m. está en la vertical descendente— el cuerpo realiza oscilaciones en torno a dicha vertical. Tomemos un referencial con el eje fijo como eje X, siendo el plano YZ el perpendicular al eje fijo que contiene al c.m. (C). El origen Q —punto fijo del cuerpo— es el punto de corte del plano YZ con el eje fijo. Para aplicar la ecuación (7.21) expresemos el momentofuerza de las fuerzas externas (el peso mg y las fuerzas de reacción en las sujeciones del eje RA y RB, desconocidas) respecto, por ejemplo, del punto fijo Q.

M (Q ) = r ∧ mg + rA (Q )∧ RA + rB (Q )∧ RB


261

Y en componentes i

j

k

i

j

M (Q ) = 0 r sen θ −r cos θ + QA RAx 0 0 −mg

k

0 RAy

i

j

0 + −QB 0 RAz RBx RBy

k 0 RBz

RB B

Z Q

RA

Y r

A

θ

C

X mg

Figura 7.29

La componente del momento-fuerza según el eje fijo, que se ha tomado como eje X, es

M e = M x =−mgr sen θ Y la ecuación (7.21) queda −mgr sen θ = I θ ecuación dinámica del movimiento oscilatorio del péndulo debido al momento-fuerza recuperador, Me = –mgr sen θ. La ecuación del movimiento también puede escribirse

mgr θ+ sen θ = 0 I

(7.22)

similar a la ecuación (3.33) del péndulo simple. Para pequeñas desviaciones de la vertical puede evaluarse el seno por el ángulo, con lo que el momento-fuerza recuperador es lineal,

M e =−mgr θ

262 Capítulo 7 Dinámica del cuerpo rígido cumpliéndose la ley de Hooke, ecuación (3.27), expresada como proporcionalidad entre el momento-fuerza recuperador y la desviación respecto de la posición de equilibrio estable. La ecuación (7.22) queda así mgr θ+ θ=0 I

(7.23)

que es la de un movimiento vibratorio armónico en la coordenada θ, al tener idéntica forma que la ecuación (3.32): φ+ω2 φ = 0 y tener en consecuencia como solución θ(t ) = A{sen cos }( ωt +ϕ) Las pequeñas oscilaciones del péndulo físico son, pues, armónicas, y como ω2 =

mgr I

su período es T = 2π

I mgr

(7.24)

j) Tensor de inercia Cuando el cuerpo rota de tal modo que su eje de rotación coincide con un eje principal para el c.m. (o para un punto Q fijo del cuerpo), el momento cinético de tal movimiento es paralelo a la velocidad angular, cumpliéndose la ecuación (7.16) [o L(Q) = I(Q) ω]. Por el contrario, si el eje de rotación no lleva la dirección de un eje principal para el c.m. (o para un punto Q fijo del cuerpo), L(c) y ω no son paralelos [o no son paralelos L(Q) y ω], y su relación se establece en la forma

L(c) = Iˆ(c) ω siendo Î(c) el tensor de inercia del cuerpo relativo al c.m., que da cuenta de la distribución de su masa respecto de tal punto [en el caso de un punto fijo del cuerpo la relación es similar: L(Q) = Î(Q) ω, con Î(Q) el tensor de inercia relativo al punto Q]. El tensor de inercia es una magnitud más compleja y distinta que el escalar y el vector. Como siempre se puede utilizar un referencial constituido por tres ejes principales ortogonales, con las componentes de los vectores L(c) [o L(Q)] y ω ordenadas en matriz columna y las del tensor de inercia Î(c) [o Î(Q)] ordenadas en matriz cuadrada 3 × 3 —llamada matriz de inercia— la ecuación anterior se expresa en forma matricial como ⎛ Lx ⎞ ⎛ I x ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ L y ⎟=⎜ 0 ⎜L ⎟ ⎜ 0 ⎝ z⎠ ⎝

0 Iy 0

0 ⎞⎛ ω x ⎞ ⎟⎜ ⎟ 0 ⎟⎜ ω y ⎟ ⎜ ⎟ Iz ⎟ ⎠⎝ ωz ⎠


263

de modo que las componentes del momento angular vienen dadas por Lx = I x ωx

Ly = I y ωy

Lz = I z ωz

siendo Ix, Iy, Iz, los momentos principales de inercia (o momentos de inercia respecto de los ejes principales). Los elementos no situados en la diagonal principal de la matriz de inercia se denominan productos de inercia. Los productos de inercia son nulos si se utiliza el referencial de ejes principales, y diferentes de cero si el referencial es otro distinto. Los elementos de la matriz de inercia, es decir, los momentos de inercia respecto de los ejes del referencial que se utilice, y los productos de inercia (que se calculan mediante el producto de cada masa elemental del cuerpo por las distancias a dos planos coordenados) permiten cuantificar cómo se distribuye la masa del sólido respecto de un punto (el que se toma como origen del referencial). Los momentos de inercia son siempre positivos, pero no así los productos de inercia, que pueden ser positivos o negativos. Por ello, la distribución de masa del cuerpo respecto del referencial de ejes principales presenta una determinada simetría, tal que los productos de inercia de las masas elementales, positivos y negativos, se compensan entre sí, resultando un valor total nulo.

Ejemplo 7.5 Una varilla de masa m y longitud l puede rotar, en un plano vertical, alrededor de uno de sus extremos. Inicialmente la varilla forma un ángulo ϕo con la vertical y está sujeta mediante un hilo; en un determinado instante éste se rompe. Determine, cuando la varilla forma 90º con la vertical: a) su aceleración y velocidad angulares; b) la reacción en el punto de sujeción de la varilla. Y ϕo

C

ϕ Ry

mg Q

X

Rx

Las ecuaciones dinámicas del movimiento del c.m., según los ejes X e Y son Fx = Rx = mxc

(i)

Fy = Ry − mg = myc

(ii)

Y la relativa a la rotación alrededor del c.m., ecuación (7.21), M (c) = I (c) ω

264 Capítulo 7 Dinámica del cuerpo rígido I(c) y M(c) son el momento de inercia y el momento-fuerza, respectivamente, según el eje de rotación (eje Z) que pasa por C. M(c) se obtiene de i

j

M (c) = rQ (c) ∧ (Rx + Ry ) = −(l / 2) sen ϕ −(l / 2) cos ϕ

Rx

Ry

k 1 0 = l(−Ry sen ϕ+ Rx cos ϕ) k 2 0

y en el que aparecen las fuerzas de reacción, desconocidas, Rx y Ry; por ello, para obtener la aceleración angular se han de utilizar, además de la ecuación anterior, las (i) e (ii). Sin embargo, como la varilla tiene un punto fijo, Q, se puede utilizar como ecuación alternativa la referida a dicho punto; de este modo, si se toman momentos-fuerza respecto de Q sólo es distinto de cero el debido al peso, pues las fuerzas de reacción están aplicadas en dicho punto: i

j

M (Q ) = rc (Q ) ∧ mg = (l / 2) sen ϕ 0

(l / 2) cos ϕ −mg

k

1 0 =− mgl sen ϕk 2 0

y la ecuación relativa a la rotación alrededor del punto Q, fijo del cuerpo, es 1 M (Q ) =− mgl sen ϕ = I (Q ) ω 2

(iii)

donde I(Q) es el momento de inercia de la varilla respecto del eje de rotación (eje Z) que pasa por Q. De (iii) se obtiene la aceleración angular =− ω

mgl sen ϕk 2 I (Q )

(iv)

dt ] , como ω Para obtener el valor de la velocidad angular a partir de la aceleración [ ω = ω viene dada en (iv) en función del ángulo [ ω ( ϕ ) ] y no como función del tiempo, se debe cambiar de variable y expresar el módulo de la aceleración angular en la forma = ω

dω dω dϕ dω = = ω dt d ϕ dt dϕ

de modo que

dϕ = ωd ω = ω

mgl sen ϕd ϕ 2 I (Q )

e integrando, desde la posición inicial en la que la velocidad angular es nula y cualquier otra posición, ω

∫ ωd ω = 0

mgl ϕ mgl (− cos ϕ+ cos ϕo ) ∫ sen ϕd ϕ = 2 I (Q ) ϕ 2 I (Q ) o

y ω2 =

mgl (− cos ϕ+ cos ϕo ) I (Q )

(v)

7.5 Movimiento plano de roto-traslación

265

Si ϕ = 90º, los módulos de la aceleración y velocidad angulares son

( ϕ=π / 2 ) = ω

mgl 2 I (Q )

ω( ϕ=π / 2 ) =

mgl cos ϕo I (Q )

= ω, Para obtener las fuerzas de reacción hay que utilizar (i) e (ii). Teniendo en cuenta que ϕ como 1 x c = l sen ϕ 2 1 yc = l cos ϕ 2

1 x c = l ω cos ϕ 2 1 y c =− l ω sen ϕ 2

1 cos ϕ− ω2 sen ϕ) xc = l( ω 2 1 sen ϕ+ ω2 cos ϕ) yc =− l( ω 2

se obtienen, para ϕ = 90º, mgl 1 1 Rx ( ϕ=π / 2 ) = [ mxc ]( ϕ=π / 2 ) =− lm[ ω2 ]( ϕ=π / 2 ) =− lm cos ϕo 2 2 I (Q )

⎛ ml 2 ⎞ 1 ]( ϕ=π / 2 ) = mg⎜1− Ry ( ϕ=π / 2) = m[ g + yc ]( ϕ=π / 2 ) = m[ g − l ω ⎟ 2 ⎝ 4 I (Q ) ⎠

7.5 Movimiento plano de roto-traslación Dentro del movimiento plano, consideremos el caso particular y muy común de un sólido que rota apoyándose sobre una determinada superficie. En la Figura 7.30 se muestra un disco de radio r en movimiento plano que se mueve sobre una superficie plana y horizontal —no necesariamente fija— y sobre el que actúan las fuerzas activas f y mg, la fuerza de rozamiento, fr, y la reacción normal, N, de la superficie plana en el punto de contacto, A, del disco con la superficie.

Z ω r C

f

mg Y O

fr

N A

Figura 7.30

X

266 Capítulo 7 Dinámica del cuerpo rígido Las ecuaciones dinámicas del movimiento del cuerpo son (7.25)

F = mac que en coordenadas cartesianas se desdobla en Fx = mxc

Fz = mzc

(7.26)

y la ecuación relativa al eje de rotación, (7.21), (7.27)

M (c) = I (c) ω

con M(c) e I(c) el momento-fuerza y el momento de inercia, respectivamente, según el eje de rotación (paralelo al eje Y) que pasa por C.

I. MOVIMIENTO DE RODADURA Se dice que un sólido rueda sobre una superficie cuando realiza un movimiento de rotación y traslación respecto de dicha superficie sin que exista movimiento relativo en el punto de contacto, vA(o) = 0. De acuerdo con (7.2), la velocidad del punto de contacto A, que es nula, puede expresarse como

vA (o) = 0 = vc + ω ∧ rA (c)

(7.28)

vc = ω∧ rc ( A)

(7.29)

y despejando

ecuación que relaciona la velocidad angular del cuerpo y la velocidad de su c.m., que es una de las formas de expresar la llamada condición de rodadura. Por tanto, las ecuaciones a utilizar para resolver el movimiento de rodadura son las ecuaciones dinámicas (7.25 y 7.27) y la ecuación (7.28), además de alguna relación geométrica asociada a las superficies, que en el caso de la Figura 7.30 es la constancia de zc (zc = r = cte). La ecuación (7.28), en cartesianas, es

i

j

0 = vc + ω∧ rA (c) = x c i + 0 ω 0

k 0 = ( x c −ωr )i

0 −r


267

de donde se obtiene la condición de rodadura x c = ωr Derivando de nuevo respecto del tiempo resulta r xc = ω a) Como vA(o) = 0 (no hay movimiento relativo de las superficies en el punto de contacto) la fuerza de rozamiento estático (fr) ha de cumplir que fr ≤ μsN (μs es el coeficiente de rozamiento estático y N la reacción normal a la superficie en el punto de contacto) y no realiza trabajo, como se comentó en 5.3 b). b) Sentido de la fuerza de rozamiento Dado que la fuerza de rozamiento se opone al movimiento relativo del sólido respecto de la superficie en el punto de contacto, su sentido es siempre opuesto al del movimiento que tendría este punto si no existiera rozamiento, es decir, al del movimiento debido a las otras fuerzas y/o momentos-fuerza actuantes sobre el sólido o al que tuviese inicialmente. A veces existen simultáneamente fuerzas y momentos-fuerza o ciertos movimientos iniciales que darían lugar, por sí solos, a sentidos contrarios en el movimiento del punto de contacto; como no se conoce cuál de ellos es el predominante, el sentido de la fuerza de rozamiento no es conocido en principio. En el análisis del problema se le supone entonces un determinado sentido a fr: si al resolver el sistema de ecuaciones el valor numérico de dicha fuerza resultara positivo el sentido elegido es el real; si negativo, el sentido elegido es el opuesto del correcto. c) Coordenadas polares En el caso mostrado en la Figura 7.31, en la que un disco de radio r rueda por la cara interior de un tubo de sección circular de radio R, las ecuaciones se simplifican si se utilizan coordenadas polares en el plano del movimiento. La ecuaciones dinámicas vienen dadas, ahora, por

Fr = macr Fθ = macθ M (c) = I (c) ω y la relación geométrica asociada a las superficies es la constancia de la distancia del c.m. (C) del disco al centro del tubo (O), es decir, OC = R – r = cte. El vector de posición del c.m. del disco respecto del punto fijo O es rc = ( R − r ) er y su velocidad, utilizando (2.11), vc =

drc de = ( R − r ) r = ( R − r )θ ∧ er =−( R − r )θ eθ dt dt

268 Capítulo 7 Dinámica del cuerpo rígido eθ O θ

er R ω

C

N r

fr θ

A mg

Figura 7.31

Así, la ecuación (7.28) toma, en este caso, la expresión er

vA (o) = 0 = vc + ω∧ rA (C) =−( R − r )θ eθ + 0 r

eθ

k

0

ω =⎡ r⎤ ⎣−( R − r )θ+ω ⎦eθ

0

0

de donde resulta que la velocidad angular de rotación del disco (ω) está relacionada con la velocidad angular de traslación de su c.m. (θ ) en la forma

ω=

R −r θ r

II. MOVIMIENTO DE DESLIZAMIENTO Un cuerpo desliza sobre una superficie cuando realiza un movimiento de traslación respecto de dicha superficie y existe movimiento relativo en el punto de contacto, vA(o) ≠ 0. Al existir movimiento relativo en el punto de contacto, el rozamiento, si existe, es cinético y la fuerza de rozamiento viene dada por

f r = μk N

(7.30)

a) Tipos de movimiento Cuando hay deslizamiento, el movimiento de traslación puede ir o no acompañado de un movimiento de rotación, es decir, que el cuerpo móvil cambie también de orientación. Si no hay rotación se dice que el cuerpo desliza, sin más. Si hay también cambio de orientación se dice que el cuerpo desliza y rota; su diferencia con el movimiento de rodadura es que —cuando existe deslizamiento— la velocidad del punto de contacto es no nula, vA(o) ≠ 0.


269

b) Ecuaciones

Las ecuaciones a utilizar para resolver el movimiento de deslizamiento —con o sin rotación— son las ecuaciones dinámicas ya indicadas (7.25 y 7.27) y la relativa a la fuerza de rozamiento cinético (7.30), además de alguna relación geométrica asociada a las superficies. Es evidente que, en este caso, ya no se cumple (7.28). c) Si el cuerpo realiza un movimiento de roto-traslación y no se conoce si la velocidad del punto de contacto es nula o no lo es, es decir, no se sabe si el cuerpo rueda o si rota y desliza, se debe proceder del siguiente modo:

• Resolver el problema suponiendo que el móvil rueda. • En cuanto al sentido de la fuerza de rozamiento: si resuelto el problema el signo de la fuerza de rozamiento es positivo, el sentido asignado es el correcto; en caso contrario hay que invertir el sentido. • En cuanto al valor de la fuerza de rozamiento: si obtenidos los valores de fr y N se cumple que fr ≤ μsN, la hipótesis de rodadura es cierta y los resultados correctos. Si por el contrario fr > μsN (es decir, fr es mayor que la máxima fuerza de rozamiento posible entre las superficies involucradas —lo que no puede darse—) esto significa que la fuerza máxima de rozamiento estático no alcanza la cuantía suficiente para impedir el movimiento relativo en el punto de contacto, por lo que hay deslizamiento; hay pues que resolver de nuevo el problema, ahora en el caso de deslizamiento [lo que significa, simplemente, utilizar la ecuación (7.30) en lugar de la ecuación (7.28)].

Ejemplo 7.6 Dos aros de masas M = 6 kg y m = 3 kg, y radios R = 1 m y r = 60 cm, respectivamente, ruedan sin deslizar. El aro situado sobre la superficie inclinada arrastra al que se encuentra sobre la superficie horizontal, como se muestra en la figura. Los aros están unidos por sus centros mediante una cuerda inextensible que pasa por una pequeña polea; las masas de ambas se consideran despreciables. Determine: a) antes de abordar el sistema de los aros, el momento de inercia de un aro homogéneo de masa m y radio r respecto de un eje perpendicular al mismo que pasa por su centro; b) las aceleraciones lineales y angulares de los aros; c) la tensión en la cuerda; y d) las fuerzas de rozamiento y el valor mínimo que han de tener los coeficientes de rozamiento para que efectivamente los aros rueden sin deslizar. Y

Y

Y′

N1

dm C1 C

r

T r

X

Z dm

N2

a

fr1

mg

–T

C2 R

X f r2

ϕ

Mg

a X′ ϕ=30º

270 Capítulo 7 Dinámica del cuerpo rígido a) Consideremos un aro aislado. Tomemos los ejes XYZ con origen en el c.m. y como indica la figura, siendo el plano XY el definido por el aro y el eje Z perpendicular al mismo. El momento de inercia de un elemento de masa dm del aro respecto del eje Z es

dI z = dmr 2 y como todos los dm distan r del eje Z, el momento total es I z = ∫ dmr 2 = r 2 ∫ dm = mr 2

valor que utilizaremos en el problema.

b) Consideremos ahora el sistema de los dos aros. Para analizar el movimiento de traslación del c.m. se utiliza la ecuación

F = mac Y para el movimiento alrededor del c.m., la ecuación relativa al eje de rotación M (c) = I (c) ω

Designemos con fr y T la fuerza de rozamiento y la tensión en la cuerda, respectivamente, y tomemos los ejes según se indica en la segunda figura. Las ecuaciones, según los ejes, para el aro de masa m son: T − fr1 = ma

(i)

N1 − mg = 0

(ii)

pues yc = r = cte, y no hay aceleración según el eje Y.

1 = mr 2 ω 1 rfr1 = I1 (c ) ω

1 fr1 = mr ω

⇒

(iii)

Como en el movimiento de rodadura vc1 = ω1r

también

1r a=ω

⇒

fr1 = ma

y sustituyendo en (i) T − ma = ma

T = 2 ma

⇒

(iv)

Del mismo modo, para el aro de masa M y ejes X′, Y′, Z, se tienen las ecuaciones:

−T + Mg sen ϕ− fr2 = Ma

(v)

N 2 − Mg cos ϕ = 0

(vi)

pues y′c = R = cte, y no hay aceleración según el eje Y′. 2 = MR 2 ω 2 Rfr2 = I 2 (c) ω

⇒

2 fr2 = MR ω

(vii)

7.6 Energía cinética

271

Y también para la velocidad y aceleración común de los c.m. de ambos aros vc1 = vc 2 = ω2 R

2R a=ω

y para la aceleración común

⇒

fr2 = Ma

Al sustituir en (v) queda (viii)

−T + Mg sen ϕ− Ma = Ma Y con (iv)

−2 ma + Mg sen ϕ = 2 Ma

a=

⇒

Mg sen ϕ = 1, 63 m/s2 2( M + m)

Las aceleraciones angulares son

1 = a / r = 2, 72 rad/s 2 ω

2 = a / R = 1, 63 rad/s 2 ω

c) La tensión en la cuerda se obtiene de (iv) T = 2 ma = 9, 78 N

d) Las fuerzas de rozamiento son 1 = ma = 4,89 N fr1 = mr ω

2 = Ma = 9, 78 N fr2 = MR ω

En el movimiento de rodadura sin deslizamiento se cumple la relación f r ≤ μs N de modo que con (ii) y (vi) μs1 ≥

fr1 N1

=

a = 0,17 g

μs2 ≥

fr2 N2

=

a = 0,19 g cos 30º

7.6 Energía cinética I. ENERGÍA CINÉTICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS Sea un sistema de N partículas con movimiento cualquiera respecto del referencial S(o) que supondremos fijo, y K(c) el referencial de König (6.2.e) (Figura 7.32). La energía cinética del sistema es por definición la suma de las energías cinéticas de todas sus partículas N 1 T (o) ≡ ∑ mα vα2 (o) α=1 2

(7.31)


K

S

vc (o) C• mα

vα( o ) vα( c )

O

Figura 7.32

Como la relación entre las velocidades respecto de los referenciales S(o) y K(c) viene dada por (6.31)

vα (o) = vc (o) + vα (c)

(6.31)

sustituyendo en (7.31) N N ⎡N ⎤ 2 1 1⎡ N 1 ⎤ T (o) ≡ ∑ mα⎡ ⎣ vc (o) + vα (c) ⎤ ⎦ = ⎢ ∑ mα ⎥vc2 (o) + ∑ mα vα2 (c) +⎢ ∑ mα vα (c) ⎥⋅vc (o) ⎣ ⎦ 2 2 2 ⎣ ⎦ α=1 α=1 α=1 α=1

siendo esta última sumatoria nula por (6.9). Por tanto N 1 1 T (o) = mvc2 (o) + ∑ mα vα2 (c) 2 α=1 2

O bien

T (o) = Tc (o) +T (c)

(7.32)

1 Tc (o) ≡ mvc2 (o) 2

(7.33)

N 1 T (c) ≡ ∑ mα vα2 (c) α=1 2

(7.34)

con

y


273

La ecuación (7.32) constituye el teorema de König de la energía cinética:

La energía cinética de un sistema de partículas respecto de un referencial es igual a la energía cinética respecto de tal referencial de una partícula que contiene la masa del sistema y situada en el centro de masas, más la energía cinética del movimiento del sistema respecto de su centro de masas.

II. ENERGÍA CINÉTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO El movimiento de un sistema de partículas respecto de su c.m. puede ser cualquiera, como cambios de orientación relativa y movimientos de concentración o dispersión de las partículas; sin embargo, el movimiento de un sólido rígido respecto de su c.m. sólo puede corresponder a cambios de orientación, pues se ha de satisfacer la condición de rigidez, de modo que las partículas ni pueden aproximarse ni alejarse entre ellas. Si ω es el vector velocidad angular que da cuenta del cambio de orientación del cuerpo respecto de direcciones fijas (Figura 7.33), la velocidad de las partículas del sólido respecto del referencial S(o) puede expresarse según la relación general (6.31) y también según la relación (7.2); de la comparación de ambas resulta que la velocidad de las partículas respecto del referencial de König (con origen en el c.m. y direcciones fijas) viene dada por (7.35)

vα (c) = ω∧ rα (c)

K

vc(o) vα (o) C

mα vα (c)

S O

Figura 7.33

Sustituyendo ahora en (7.34) una de las velocidades vα(c) que en ella figuran por la expresión (7.35), N N N 1 1 1 T (c) = ∑ mα vα2 (c) = ∑ m α vα (c)⋅vα (c) = ∑ m α vα (c)⋅[ ω ∧ rα (c)] = 2 2 α=1 α=1 α=1 2

274 Capítulo 7 Dinámica del cuerpo rígido permutando cíclicamente los factores del producto mixto, y con las ecuaciones (6.35) y (7.20), N N 1 1 1 = ∑ m α ω⋅[ rα (c)∧ vα (c)] = ω⋅[ ∑ rα (c)∧ m α vα (c)] = ω⋅ L(c) = 2 2 2 α=1 α=1

1 1 = ωLe (c) = I (c) ω2 2 2 con I(c) el momento de inercia del cuerpo respecto del eje de rotación que pasa por el c.m. En definitiva, con (7.32) y (7.33), la energía cinética del sólido rígido viene dada por 1 1 1 1 T (o) = mvc2 (o) + ω⋅ L(c) = mvc2 (o) + I (c)ω2 2 2 2 2

(7.36)

a) Energía cinética de traslación Si ω = 0 y vc(o) ≠ 0 el cuerpo no rota, vα(c) = 0, y según (6.31) todas las partículas del sólido tienen la misma velocidad que es también la del c.m.: el movimiento es de traslación. La energía cinética queda reducida según (7.33) y (7.36) a

1 T (o) = Tc (o) = mvc2 (o) = Tt (o) 2 que es la de dicho movimiento —denominándose energía cinética de traslación, Tt— que es también la de la partícula imaginaria que contiene toda la masa del cuerpo y situada en el centro de masas. b) Energía cinética de rotación Por el contrario, si ω ≠ 0 y vc(o) = 0, la energía cinética es, de acuerdo con (7.36),

1 1 T (o) = ω⋅ L(c) = I (c)ω2 = Tr (c) 2 2 y como el movimiento del cuerpo es una rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas, de acuerdo con (6.31) y (7.35), su energía cinética es de rotación, Tr. c) Expresión general La energía cinética del sólido rígido se puede expresar como suma de la energía cinética de traslación del centro de masas, supuesta toda la masa concentrada en él, y la energía cinética de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas:

T (o) = Tt (o) + Tr (c)

(7.37)

1 Tt (o) = Tc (o) = mvc2 (o) 2

(7.38)

siendo

275


y 1 1 Tr (c) = ω⋅ L(c) = I (c) ω2 2 2

(7.39)

d) Punto fijo del cuerpo Si el cuerpo tiene un punto fijo, Q, y éste se toma de referencia (Figura 7.34) entonces

vα (Q ) =

drα (Q ) = ω ∧ rα (Q ) dt

expresión de la velocidad que corresponde al movimiento de rotación del cuerpo alrededor de un eje que pasa por el punto fijo; la energía cinética asociada a tal movimiento se puede expresar por tanto como energía cinética de rotación alrededor de un eje que pasa por Q: N 1 1 1 T (Q ) = ∑ mα vα2 (Q) = Tr (Q ) = ω ⋅ L(Q) = I (Q )ω2 2 2 2 α=1

(7.40)

mα Q

rα (Q )

Figura 7.34

e) Caída por un plano inclinado Si se deja caer por un plano inclinado un cuerpo de sección circular de radio r y masa m (Figura 7.35), en el caso en que no exista rozamiento y el cuerpo deslice sin rotar, el balance de energía —la transformación de energía potencial en energía cinética de traslación— permite determinar su velocidad cuando ha descendido una altura h:

1 U = mgh = T = Tt = mvc2 2 Si, por el contrario, existe rozamiento y el cuerpo sólo rueda, como la fuerza de rozamiento estático no realiza trabajo (y despreciando el rozamiento de rodadura) el balance energético es 1 1 U = mgh = T = Tt +Tr = mvc2 + I ω2 2 2

(7.41)


m r ω

h C vc

Figura 7.35

de modo que la energía potencial al transformarse en energía cinética se ha de distribuir tanto en energía cinética de traslación como de rotación, con lo que la velocidad vc será menor en este caso que en el anterior. Por otro lado, como las velocidades lineal y angular no son independientes, sino que están relacionadas según vc = ωr (7.29), la ecuación(7.41) puede escribirse

I ⎞ 1⎛ mgh = ⎜ m + 2 ⎟vc2 2⎝ r ⎠ resultando que cuanto mayor sea I menor será la velocidad vc; así, si se dejan caer rodando un aro y un disco de iguales masas y radios llegará antes al final del plano inclinado aquel que alcance mayor vc, es decir, el que menor I tenga: el disco.

Ejemplo 7.7 Alrededor de un eje fijo vertical que pasa por sus centros giran dos discos de igual masa m y distintos radios, R > r, con velocidades angulares constantes de sentidos contrarios ω1 > ω2, respectivamente. En un cierto instante el disco superior de menor radio cae y se acopla con el inferior, rotando solidarios. a) ¿Cuál es la velocidad angular de los discos acoplados? b) ¿Cuál es la energía del sistema de los dos discos antes y después del acoplamiento y a qué se debe su diferencia? Z ω2

r

R ω1

ω


277

a) La ecuación del momento angular relativa al eje de rotación (7.21) —que pasa por el c.m.— es

M e (c) =

d L (c) = I (c) ω dt e

siendo Me(c) la componente según tal eje del momento-fuerza neto de las fuerzas exteriores, que es nulo; por tanto Le (c) = I (c) ω = cte Es decir, el momento cinético según el eje de rotación es igual antes y después de acoplarse los discos. Si se toma el eje Z según el eje de rotación, de acuerdo con la figura

ω1 =−ω1k

ω2 = ω2 k

y así, con I1 e I2 los momentos de inercia de los discos respecto del eje de rotación, se tiene: Antes del acoplamiento

Le =−I1 ω1 + I 2 ω2

Después

Le = ( I 1 + I 2 ) ω

Igualando y despejando la velocidad angular final

ω=

I 2 ω2 − I1 ω1 I1 + I 2

1 1 Como R > r y ω1 > ω2, resulta que I1 = mR 2 > I 2 = mr 2 y también I1ω1 > I2ω2, por lo que ω 2 2 es negativa, es decir, los discos acoplados rotan en el mismo sentido que lo hacía el mayor de ellos, aunque más lentamente.

b) Las energías cinéticas de rotación de los discos antes y después del acoplamiento son: Antes

Después

Tri = Tr1 + Tr2 =

1 1 I ω2 + I ω2 2 1 1 2 2 2

1 Trf = ( I1 + I 2 ) ω2 2

Y su diferencia

⎤ ⎛ I 2 ω2 − I1 ω1 ⎞ I1 I 2 1⎡ ∆Tr = Trf − Tri = ⎢ ( I1 + I 2 )⎜ ( ω + ω2 )2 ⎟ − ( I1 ω12 + I 2 ω22 ) ⎥=− 2⎣ 2( I1 + I 2 ) 1 ⎝ I1 + I 2 ⎠ ⎦ 2

La diferencia de energías cinéticas es negativa lo que significa que se disipa energía. La causa es el rozamiento entre las superficies de los discos cuando entran en contacto frenando a uno y a otro, hasta que su movimiento relativo se anula rotando ambos con la misma velocidad angular.


7.7 Trabajo I. SISTEMA DE PARTÍCULAS Vamos a considerar el trabajo realizado por las fuerzas actuantes sobre un sistema de N partículas. Sea α una partícula genérica del sistema sobre la que actúa la fuerza resultante Rα y que se desplaza desde una posición 1 a una posición 2 (Figura 7.36). El trabajo de la fuerza r en tal desplazamiento viene dado por ∫r α2 Rα ⋅drα , y para todo el sistema, recordando (5.8), α1

N

N

α=1

α=1

r

N

N

α=1

α=1

W (1 → 2) = ∑ Wα =∑ ∫rαα2 Rα ⋅drα =∑ ∆Tα = ∆ ∑ Tα = ∆T 1

(7.42)

de modo que

el trabajo total realizado por todas las fuerzas actuantes sobre el sistema desde la posición 1 a la 2 es igual a la variación de la energía cinética entre ambas posiciones.

fα α

drα fα β β

α

rα1 rα2

O

Figura 7.36

Si en (7.42) se desdoblan las fuerzas actuantes en externas, fα, e internas, fαβ, de modo N

que Rα = fα + ∑ fαβ , entonces β≠α N

N

r

r

W (1 → 2) = ∑ ∫rαα2 fα ⋅drα + ∑ ∫rαα2 α=1

1

α=1

1

N

∑ fαβ ⋅drα = Wext (1 → 2) +Wint (1 → 2) = ∆T

(7.43)

β≠α

a) En la evaluación del trabajo hay que realizar el producto escalar de cada fuerza por el desplazamiento de su punto de aplicación. ∆T es la variación de la energía cinética total del sistema y no sólo del centro de masas.

7.7 Trabajo

279

b) Fuerzas conservativas Tanto las fuerzas exteriores como las interiores pueden ser conservativas o no serlo, de modo que el trabajo se puede desdoblar en la contribución de unas y otras al trabajo conservativo, Wc, y no conservativo, Wnc:

W (1 → 2) = ∑ Wα = ∑ (Wα )c + ∑ (Wα )nc = Wc,ex +Wc,in +Wnc,ex +Wnc,in α

α

(7.44)

α

De acuerdo con (5.13), el trabajo conservativo es igual a la variación, cambiada de signo, de la energía potencial, de modo que Wc , ex = ∑ (Wα )c , ex =−∆U ex

(7.45)

Wc,in = ∑ (Wα )c,in =−∆U in

(7.46)

α

y α

La función Uin es la energía potencial de interacción entre las partículas del sistema, dependiente de la distancia mutua entre ellas. Con (7.45) y (7.46), y teniendo en cuenta (7.43), la expresión (7.44) queda W =−∆U ex −∆U in +Wnc,ex +Wnc,in = ∆T o bien ∆(U ex +U in + T ) = ∆E = Wnc,ex +Wnc,in = Wnc

(7.47)

que es una extensión de la ecuación (5.24) relativa a una partícula. Así, si es nulo el trabajo de las fuerzas no conservativas actuantes sobre el sistema de partículas su energía mecánica se conserva.

II. SÓLIDO RÍGIDO A) Balance energético

Las fuerzas interiores que mantienen a distancia invariable las partículas de un sólido indeformable, es decir, las que determinan su rigidez, proporcionan trabajo nulo, Wint(1 → 2) = 0. En efecto, mientras que la fuerza de interacción entre dos partículas cualesquiera del cuerpo lleva la dirección de la recta que las une, los desplazamientos permitidos —aquellos que no implican ni aproximación ni separación relativas— sólo pueden ser perpendiculares a dicha fuerza por lo que el trabajo correspondiente es nulo (Figura 7.37). En consecuencia, en el sólido rígido las únicas fuerzas que realizan trabajo son las externas, por lo que (7.43) y (7.47) se reducen, respectivamente, a W (1 → 2) = Wext (1 → 2) = ∆T

(7.48)

280 Capítulo 7 Dinámica del cuerpo rígido y ∆(U ex + T ) = ∆E = Wnc,ex

drα α

β fαβ

Figura 7.37

a) Máquinas simples Las máquinas son dispositivos mecánicos diseñados para transmitir y modificar fuerzas; su objetivo básico es la transformación de unas fuerzas de entrada en otras fuerzas de salida tratando de mejorar la manipulación de fuerzas tanto en su cuantía como en su dirección. En las máquinas simples —que sólo tienen un grado de libertad— las fuerzas que realizan trabajo, al margen del rozamiento que aquí se supondrá despreciable, son de dos tipos: la de entrada, que es la fuerza motriz o esfuerzo (P, también llamada impropiamente “potencia”) y la de salida, fuerza resistente o carga o resistencia (R). Las máquinas simples se utilizan en condiciones de velocidad constante, sea o no nula, por lo que no existe variación de energía cinética. De este modo, la ecuación (7.48) queda en la forma

Wext (1 → 2) = WP +WR = 0

lo que exige que el trabajo realizado por la fuerza motriz al desplazar su punto de aplicación debe compensar al trabajo resistente, es decir, el debido a la resistencia al desplazar el suyo. Para desplazamientos infinitesimales drP y drR de los puntos de aplicación de P y R, la ecuación anterior se expresa en la forma P ⋅ drP + R⋅ drR = 0

(7.49)

b) Palanca La palanca es una máquina simple que —si bien puede adoptar distintas formas concretas— puede esquematizarse como una barra apoyada en un punto fijo denominado fulcro, siendo su movimiento plano. Según sean las posiciones relativas del fulcro y los puntos de aplicación de P y R se distinguen tres géneros de palancas:

• Palanca de primer género. El fulcro, Q, está entre R y P (Figura 7.38a) de modo que es contrario el sentido del movimiento de los puntos de aplicación de las fuerzas, y teniendo en cuenta que drP y drR corresponden a un mismo desplazamiento angular infinitesimal dθ cualquiera, la ecuación (7.49) queda P ⋅drP + R⋅drR = PdrP − RdrR = P ( ad θ ) − R(bd θ ) = ( aP − bR )d θ = 0

7.7 Trabajo

drR

Q

281

a drP

dθ b 1er género R

(a)

P P drR

Q

drP

a b

R

2º género a > b ⇒ P < R (b) P drP

Q

drR

a b

R

3 er género a < b ⇒ P > R (c)

Figura 7.38

Como esta ecuación ha de cumplirse para cualquier dθ necesariamente su coeficiente ha de ser nulo, de modo que aP = bR

(7.50)

relación conocida como ley de la palanca: potencia por su brazo es igual a resistencia por el suyo. La ventaja o ganancia mecánica, definida como la razón entre R y P, de acuerdo con (7.50) es igual al cociente de los brazos de la potencia y de la resistencia: R/P=a/b

Si a > b, hay ventaja mecánica, y la fuerza motriz puede vencer una resistencia mayor (balanzas romanas, alicates…). Si a = b, no hay ganancia mecánica, utilizándose esta disposición en instrumentos de comparación (balanzas) o simplemente para invertir el sentido del desplazamiento (balancines de juegos infantiles…). Si a < b, la ventaja mecánica es menor que la unidad, es decir, la fuerza motriz es mayor que la resistencia; su utilidad reside en que pequeños movimientos del punto de aplicación de la primera da lugar a grandes desplazamientos del punto de aplicación de la resistencia (barreras levadizas, pinzas de cocina…). • Palanca de segundo género. La carga R está situada entre el fulcro y el esfuerzo P (Figura 7.38b), de modo que siempre a > b y, en consecuencia, siempre hay ganancia

282 Capítulo 7 Dinámica del cuerpo rígido mecánica, P < R. El sentido del movimiento de los puntos de aplicación de las fuerzas es el mismo. Se utiliza cuando se quieren vencer grandes resistencias con esfuerzos pequeños (carretillas, cascanueces…). • Palanca de tercer género. El esfuerzo P está situado entre el fulcro y la carga R (Figura 7.38c); como necesariamente a < b, siempre P > R. El sentido del movimiento de los puntos de aplicación de las fuerzas es el mismo, pero la carga siempre se desplaza más que la fuerza motriz, de modo que es útil si se quieren conseguir grandes desplazamientos de la resistencia con pequeños desplazamientos del esfuerzo (caña de pescar, pinzas de depilar...). c) Poleas Como alguna de las fuerzas, P o R, es opuesta al desplazamiento de su punto de aplicación, también aquí de la ecuación (7.49) se obtiene la relación

(7.51)

PdrP = RdrR

En el caso de la polea fija (Figura 7.39a) los desplazamientos drP y drR han de ser iguales, con lo que P = R, no obteniéndose ventaja mecánica alguna; su utilidad reside en mejorar la posición en que se ha de tirar de la cuerda. En la polea móvil se fija uno de los extremos del cable (Figura 7.39b), y la relación entre los desplazamientos es drP = 2drR dado que la polea es elevada por dos tramos de cuerda; resulta así que el esfuerzo es la mitad de la resistencia: (7.52)

P=R/2

d rR

d rP

drR

P drP dr3 P

drP P drP

dr2

P R polea fija (a)

P R polea móvil (b)

R T (c)

(d) T dr1

drR

drR

dr1

drR

dr2 dr3

R

(d)

Figura 7.39

dr R

R

(e)

7.7 Trabajo

283

Si se une una polea móvil a una fija (Figura 7.39c) se mantiene la relación (7.52) ya que la polea fija no modifica la relación de fuerzas. Al acoplar varias poleas móviles, como las tensiones en cada tramo de cuerda que une poleas intermedias actúa de esfuerzo de una de ellas y de resistencia de la siguiente, puede irse repitiendo la relación (7.52) en cada una de ellas; el mismo resultado se obtiene aplicando (7.51) al esfuerzo y resistencia externos al sistema de poleas. Así, si se unen n poleas móviles, la relación de fuerzas es P=

R 2n

En la Figura 7.39d se han acoplado tres poleas móviles; aplicando PdrP = RdrR, como drP = dr3 = 2dr2 = 2(2dr1) = 2[2(2drR)] = 23drR, se obtiene P = R/23 El polipasto o aparejo es un sistema de poleas fijas y móviles enlazadas por un único cable; en el de la Figura 7.39e se acoplan dos grupos de tres poleas, uno que se mantiene fijo mientras que el otro es móvil. Como puede observarse, dr1 = 2drR

dr2 = 2 drR + dr1 = 4drR

dr3 = 2 drR + dr2 = 6drR

Por tanto, con (7.51), PdrP = Pdr3 = RdrR, y P = R/6. En general, si hay n ramales de cable, P=R/n d) Torno y tornillo El torno consiste en un cilindro horizontal, de radio b, que lleva enrollada una cuerda de la que pende la resistencia R (Figura 7.40a); el esfuerzo P se aplica en el extremo de una manivela de radio a, concéntrica con el eje del cilindro. De nuevo se puede aplicar (7.51), e integrándola para una vuelta completa 2 πa

2 πb

0

0

P ∫ drP = R ∫ drR

r drP

P

drP

h

P

a b

drR

drR R

R (a)

(b)

Figura 7.40

284 Capítulo 7 Dinámica del cuerpo rígido de donde Pa = Rb

Los tornillos se utilizan en distintos mecanismos, como gatos o prensas. Si r es el radio de la manivela —situada perpendicularmente al eje del tornillo— y h el paso de rosca (Figura 7.40b), en una vuelta completa del tornillo el punto de aplicación de la resistencia se desplaza una distancia igual al paso de rosca, de modo que la integración de (7.51) es 2 πr

h

0

0

P ∫ drP = R ∫ drR

dando por resultado P=

h R 2 πr

B) Potencia

Sea un cuerpo rígido realizando un movimiento general, con ω la velocidad angular instantánea de rotación respecto de direcciones fijas. Tomemos el referencial S con origen en un punto fijo O y sea C el centro de masas del sólido. Si la partícula α del mismo, punto de aplicación de la fuerza externa fα, se desplaza drα(o) en un tiempo dt, el trabajo correspondiente es dWα = fα ⋅ drα (o)

C rα (c) rc(o)

α

drα (o)

S O

rα(o) fα

Figura 7.41

Utilizando el c.m. como punto de referencia, entre los vectores rc(o), rα(o) y rα(c) existe la relación (Figura 7.41), rα (o) = rc (o) + rα (c)

7.7 Trabajo

285

por lo que drα (o) = drc (o) + drα (c) = drc (o) + d[rα (c)eα ] = drc (o) + rα (c)deα

en donde se ha tenido en cuenta que la variación del vector rα(c) —que une dos puntos del mismo sólido— sólo puede ser de dirección y no de módulo por la condición de rigidez, y se ha designado con eα el vector unitario de dicho vector. El trabajo elemental, pues, se puede expresar como dWα = fα ⋅ drc (o) + rα (c)fα ⋅ deα

Dividiendo por dt, y utilizando (2.11),

dr (o) dWα de = fα ⋅ c + rα (c)fα ⋅ α = fα ⋅ vc (o) + rα (c)fα ⋅[ ω ∧ eα ] = dt dt dt = fα ⋅ vc (o) + ω⋅[ rα (c)∧ fα ] habiendo permutado cíclicamente el producto mixto. Sumando para todo el sólido,

⎤ dWα ⎡ dW =∑ =⎢ ∑ fα ⎥⋅ vc (o) + ω⋅∑ M α (c) = F ⋅ vc (o) + M (c)⋅ ω ⎣ ⎦ dt dt α α α con F y M(c) la fuerza y el momento-fuerza resultantes respecto del centro de masas de las fuerzas externas que actúan sobre el sólido. Es decir, la potencia instantánea puede expresarse como la suma de dos términos, asociados a la traslación y a la rotación del sólido.

P=

dW = F ⋅ vc (o) + M (c)⋅ ω dt

(7.53)

a) Movimiento de un automóvil La potencia del motor de un automóvil viene dada por P = Mω, con M su momento o par motor y ω la velocidad angular según el eje del mismo. La potencia del motor se transmite a las ruedas motrices, empleándose en inducir la fuerza impulsora necesaria para propiciar el movimiento de traslación. Ahora bien, según (7.53), en la traslación P = Fv, por lo que cuanto mayor deba ser dicha fuerza menor ha de ser la velocidad del vehículo para una determinada potencia suministrada por el motor, esto es, para una determinada velocidad angular de su eje. ¿Cómo se obtienen, entonces, distintas velocidades v para una misma ω? Con la caja de cambios de velocidades, es decir, mediante el acoplamiento del eje del motor a ruedas dentadas de distinto radio, de modo que cuanto mayor sea su diámetro más lenta es la rotación de las ruedas (de las dentadas y también, finalmente, de las del automóvil) y menor es la velocidad v que se obtiene. Así, cuando el vehículo ha de subir una acusada pendiente o se pone en marcha, es decir, cuando se necesita una elevada fuerza impulsora, se utilizan marchas “cortas”.

286 Capítulo 7 Dinámica del cuerpo rígido C) Trabajo y energía cinética

En un cuerpo rígido, y según (7.53), el trabajo entre las configuraciones 1 y 2 viene dado por 2

2

W (1 → 2 ) = ∫1 F ⋅ vc (o)dt +∫1 M (c)⋅ ω dt

y teniendo en cuenta (7.48) y (7.37) se puede escribir 2

2

W (1 → 2) = Wext (1 → 2) = ∫1 F ⋅vc (o)dt +∫1 M (c)⋅ ωdt = ∆T (o) = ∆Tt (o) +∆Tr (c)

(7.54)

Ahora bien, de acuerdo con la segunda ley de Newton, la primera integral es 2

2

∫1 F ⋅vc (o)dt = ∫1 m

dvc 1 2 ⋅v dt =∫1 d ( mvc2 ) = ∆Tt (o) 2 dt c

En consecuencia, 2

2

∆Tt (o) = ∫1 F ⋅ vc (o)dt =∫1 F ⋅ drc (o)

(7.55)

de modo que la variación de la energía cinética de traslación de un sólido rígido es igual al trabajo de la resultante de las fuerzas externas aplicada en el centro de masas al desplazarse este punto. Obsérvense las diferencias entre las expresiones (7.55) —válida para el cuerpo indeformable— y (7.43) —general, aplicable a cualquier sistema de partículas—. Por un lado, en (7.55) la energía cinética que figura es la de traslación, es decir, la de una partícula de masa m localizada en el c.m., y no la energía cinética total del cuerpo; por otro, al evaluar el trabajo todas las fuerzas externas se consideran aplicadas en el c.m., a diferencia de lo dicho en 7.7.I a). También, al cumplirse (7.55), de (7.54) resulta que 2

∆Tr (c) = ∫1 M (c)⋅ ωdt

la variación de la energía cinética de rotación del movimiento de un sólido rígido alrededor de su c.m. es igual al trabajo de la resultante de los momentos-fuerza externos respecto del c.m.

(7.56)

7.8 Determinación de momentos de inercia

287

7.8 Determinación de momentos de inercia Según se ha visto, en el análisis del movimiento de rotación es preciso conocer el momento de inercia del cuerpo respecto del eje de rotación, es decir, respecto de una determinada recta. Su cálculo directo se hace a partir de su definición, pero es conveniente conocer algunos criterios y teoremas que facilitan su determinación.

I. MOMENTOS DE INERCIA RESPECTO DE LOS EJES COORDENADOS Los momentos de inercia respecto de los ejes coordenados (Figura 7.42) —de acuerdo con (7.19)— vienen dados por la expresión, con ri la distancia al eje,

I i = ∫ dmri2 =∫ dm( x 2j + xk2 )

i ≠ j ≠ k = 1, 2, 3

(7.57)

o bien

I x = ∫ dm( y 2 + z 2 )

I y = ∫ dm( x 2 + z 2 )

I z = ∫ dm( x 2 + y 2 )

Si se suman dos de ellos, por ejemplo,

I x + I y = ∫ dm( x 2 + y 2 + 2 z 2 ) ≥ ∫ dm( x 2 + y 2 ) esto es,

Ix + Iy ≥ Iz

(7.58)

resulta que

un momento de inercia no puede ser mayor que la suma de los otros dos.

z ≡ x3

r dm y ≡x2

x ≡ x1

Figura 7.42

288 Capítulo 7 Dinámica del cuerpo rígido II. ADITIVIDAD Los momentos de inercia son aditivos; en efecto, si los cuerpos de masas m y m' están unidos formando un único sólido, los momentos de inercia vienen dados por

∫m+m´ dm( xi2 + x 2j ) = ∫m dm( xi2 + x 2j ) + ∫m´ dm( xi2 + x 2j )

i ≠ j = 1, 2, 3

de modo que el momento de inercia del sistema respecto de un eje es igual a la suma de los momentos de inercia correspondientes a las partes que lo conforman respecto del mismo eje. Una aplicación inmediata de lo anterior se utiliza cuando se trata de determinar los momentos de inercia en un cuerpo rígido con una cavidad, o con zonas de distinta densidad. Consideremos el primer caso, y sea m la masa de tal sólido, m’ la de la cavidad llena, y m + m’ la del sólido sin cavidad, es decir, el sólido con la cavidad rellena (Figura 7.43). Entonces, los momentos de inercia pueden expresarse como ( I i )m + ( I i )m´ = ( I i )m+m´

+

m′

=

m+m′

m

Figura 7.43

de modo que ( I i )m = ( I i )m+m´ − ( I i )m´ con lo que (Ii)m, para el sólido con la cavidad, se obtiene restando al del sólido sin ella el correspondiente a la cavidad llena. El procedimiento es útil si la zona que presenta la discontinuidad, bien ausencia de materia, bien distinta densidad, tiene elementos de simetría.

III. TEOREMA DE LOS EJES PERPENDICULARES Sea una distribución plana de masa en la que situaremos los ejes x1 y x2, con el eje x3 perpendicular a la misma (Figura 7.44). Las coordenadas de cualquier elemento de masa dm son (x1, x2, 0) pues está en el plano de la distribución x1, x2, de modo que,

I1 = ∫ dm( x22 + x32 ) = ∫ dmx22 I 2 = ∫ dm( x12 + x32 ) = ∫ dmx12 I 3 = ∫ dm( x12 + x22 )

(7.59)


289

y se cumple (7.60)

I 3 = I1 + I 2 Teorema de los ejes perpendiculares: En una distribución plana de masa, el momento de inercia respecto de un eje perpendicular al plano de la distribución es igual a la suma de los momentos de inercia respecto de ejes perpendiculares contenidos en dicho plano.

x3

O

r

x2 dm(x1, x 2 , 0)

x1

Figura 7.44

a) Distribución lineal de masa Si se trata de una distribución lineal de masa, tomando el eje x2 según la misma (Figura 7.45), es nula la distancia a x2 de todos los elementos de masa dm, esto es, nulas son sus coordenadas x1 y x3 cualquiera que sea su localización, x1 = x3 = 0, por lo que, según (7.59)

I2 = 0

(7.61)

I 3 = I1

x3

x2 x1

dm (0, x2 , 0)

Figura 7.45

IV. TEOREMA DE STEINER O DE LOS EJES PARALELOS Consideremos dos ternas de ejes cartesianos paralelos entre sí con origen en un punto cualquiera (O) y en el centro de masas (C) de un sólido rígido cualquiera de masa m (Figura 7.46). Los vectores de posición R y R' de un elemento de masa dm respecto de O y de C, respectivamente, y el vector de posición Rc de C respecto de O —teniendo en cuenta

290 Capítulo 7 Dinámica del cuerpo rígido que los vectores unitarios ei son comunes para ambos referenciales por ser paralelos— pueden expresarse en la forma R = ∑i xi ei

Rc = ∑i xci ei

R′ = ∑i x′i ei

x′i

xi r C Rc

R′ dm

O

R

ejes paralelos

Figura 7.46

existiendo entre ellos la relación R = Rc + R′ y en componentes

xi = xci + x′i

(7.62)

El momento de inercia del cuerpo respecto del eje x'i que pasa por el c.m. viene dado por (7.57)

I i (c) = ∫ dm( x′j 2 + x′k2 ) siendo el momento de inercia del cuerpo respecto al eje xi que pasa por O

I i (o) = ∫ dm( x 2j + xk2 ) y utilizando (7.62),

I i (o) = ∫ dm[( xcj + x′j )2 + ( xck + x′k )2 ] = 2 2 2 2 ⎡ ∫ dm ⎦ ⎤+ 2⎡ =⎡ ⎣ ∫ dm( x′j + x′k ) ⎤ ⎦+ ( xcj + xck )⎣ ⎣ xcj ∫ dmx′j + xck ∫ dmx′k ⎤ ⎦

(7.63)

291


Ahora bien, según (6.10), el centro de masas es un punto para el que ∫dmR′ = 0, o en componentes, ∫dmx'j = 0, j = 1, 2, 3, por lo que se anulan las dos últimas integrales de (7.63). Designando con r la distancia entre los ejes paralelos que pasan por el c.m. y por O, de modo que r 2 = ( xcj2 + xck2 ), (7.63) queda, (7.64)

I i (o) = I i (c) + mr 2 que expresa el teorema de Steiner o de los ejes paralelos: El momento de inercia de un sólido respecto de un eje es igual a su momento de inercia respecto de un eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de masas, más el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado de la distancia entre dichos ejes.

a) Momento de inercia mínimo Según (7.64), el momento de inercia de un cuerpo respecto de cualquier eje es mayor que su momento de inercia respecto de un eje paralelo al anterior que pasa por el c.m.

Ejemplo 7.8 Calcule el momento de inercia de una varilla estrecha y homogénea, de masa m = 1 kg y longitud l = 75 cm, respecto de un eje perpendicular: a) que pasa por su centro; b) que pasa por un extremo. a) Calculemos el momento de inercia de la varilla (que se puede considerar como una distribución lineal de masa, es decir, de grosor despreciable) respecto del eje perpendicular que pasa por su centro C (que es el c.m. por ser homogénea la varilla). Tomemos el eje X según la varilla y con origen en C. Sea dm la masa de una porción infinitesimal de varilla de longitud dx, situada a distancia x del origen.

O

C

dm x

r

X

dx l/2

–l/2

De acuerdo con su definición (7.19), y teniendo en cuenta que la densidad lineal de masa λ es

λ= 2 I (c) = ∫ dmx = λ

l/2

m l l/2

=

dm dx

∫ x 2 dx = λ⎡ ⎣ x3 / 3⎤ ⎦−l / 2 =

−l / 2

2 λl 24

3

=

1 12

2 2 −3 ml =46,88 ×10 kg ⋅ m

292 Capítulo 7 Dinámica del cuerpo rígido b) Para calcular el momento de inercia de la varilla respecto de un eje que pasa por uno de sus extremos (O), puesto que ya se conoce I (c) apliquemos el teorema de Steiner, ecuación (7.64), con r = l/2 la distancia del c.m. al extremo O: 2

I (o) = I (c) + mr =

2

⎛l⎞ 1 2 2 2 −2 ml + m⎜ ⎟ = ml = 18, 75 ×10 kg ⋅ m ⎝2⎠ 3 12 1

Para realizar el cálculo directo —sin aplicar el teorema de Steiner— basta con tomar el origen de X en el extremo O, con lo que x es ahora la distancia a O de dm, y los límites de integración son de 0 a l: l

l

⎡ x 3 ⎤ λl 3 1 2 = ml ⎥= ⎣ 3 ⎦0 3 3

I (o) = ∫ dmx = λ∫ x dx = λ⎢ 2

2

0

Ejemplo 7.9 Calcule el momento de inercia de un aro homogéneo de masa m y radio r respecto de un diámetro. Y

dl dm

r

r

dθ θ

y X

C

C

Z

Tomemos como plano XY el definido por el aro y el origen de los ejes en el c.m., C. Como se trata de una distribución plana de masa, suponiendo conocido el momento de inercia del aro respecto de un eje perpendicular que pasa por su centro (Iz = mr2), el cálculo del momento de inercia del aro respecto de un diámetro es inmediato utilizando el teorema de los ejes perpendiculares (7.60) Iz = Ix + Iy

La simetría de la distribución de masa determina que el momento de inercia es el mismo para cualquier diámetro, por lo que Ix = Iy = I, y así I=

1

1 I z = mr 2 2 2

Hagamos ahora el cálculo directo, para lo cual es conveniente utilizar coordenadas polares teniendo en cuenta la simetría circular de la distribución. El momento de inercia de un elemento de masa dm respecto del eje X es 2

dI x = dmy = dm(r sen θ )

2


293

La densidad lineal de masa es λ=

m l

=

dm dl

con dl = rdθ (véase la figura) y l = 2πr (longitud de la circunferencia). Sustituyendo, 2π ⎛ 1− cos 2 θ ⎞ 1 1 ⎟d θ = λr 3 ∫ d θ = mr 2 ⎠ 2 2 2 0⎝ 0

2π

2π

I x = ∫ λr 3 sen 2 θd θ = λr 3 ∫ sen 2 θd θ = λr 3 ∫⎜ 0

Ejemplo 7.10 Calcule el momento de inercia de un disco homogéneo de masa m y radio R respecto de: a) un eje perpendicular que pasa por su centro y b) un diámetro. a) Tomemos los ejes XY en el plano definido por el disco y con origen en el c.m. (C). Se puede utilizar el resultado obtenido en el ejemplo 7.6, de modo que conocido el momento de inercia de un aro respecto de un eje perpendicular al mismo que pasa por su centro se puede considerar el disco constituido por infinitos aros de radio r —variable— y espesor dr. Así, el momento de inercia de un aro de radio r y masa dm respecto del eje Z es Y r r+dr

C

X

R Z

dI z = dmr 2 En función de la densidad superficial de masa λ = m/S = m/πR2, la masa infinitesimal del aro es 2

2

dm = λds = λ[ sr +dr − sr ] = λ[ π(r + dr ) − πr ] = 2 πλrdr

despreciando infinitésimos de segundo orden. Sustituyendo queda 3

dI z = 2 πλr dr

e integrando R

I z = 2 πλ∫ r dr = 0

3

1 2

mR

2

294 Capítulo 7 Dinámica del cuerpo rígido b) Conocido Iz, como se trata de una distribución plana de masa, el cálculo del momento de inercia del aro respecto de un diámetro es inmediato utilizando el teorema de los ejes perpendiculares Iz = Ix + Iy

Dada la simetría de la distribución de masa el momento de inercia es el mismo para cualquier diámetro, por lo que Ix = Iy = I, de modo que I=

1 2

1

Iz =

4

mR 2

Ejemplo 7.11 Sean dos varillas, de masa m y longitud l, que pueden rotar en un plano vertical alrededor de uno de sus extremos. Una de ellas tiene la masa distribuida uniformemente, mientras que la otra la tiene concentrada en el extremo libre de modo que puede considerarse como una masa puntual unida a una varilla muy delgada y sin masa. Si se las deja caer desde la misma posición, ¿cuál de ellas adquiere mayor aceleración angular?

Z

Z

RQ Q

Y

RQ

Y Q

φ

X

φ

C l

l P

mg

mg

Tomemos como plano XZ el vertical que contiene a la varilla. La ecuación correspondiente a la rotación alrededor del punto fijo Q, ecuación (7.21) es

= I ( Q ) M e (Q ) = I (Q )ω φ Para la varilla con la masa distribuida uniformemente, el momento-fuerza respecto de Q viene dado por i M ( Q ) = rc (Q ) ∧ mg = (l / 2) cos φ 0

j 0 0

k −(l / 2) sen φ = −mg

1 2

lmg cos φj

7.9 Rotación en el espacio

295

de modo que sólo tiene componente según el eje de rotación

M (Q ) =

1 2

V lmg cos φ = I ( Q ) ω

(i)

donde I(Q) es el momento de inercia de la varilla respecto del eje de rotación (eje Y) que pasa por Q, cuyo valor es (ejemplo 7.8) I(Q) = (1/3) ml2. De (i) se obtiene la aceleración angular de dicha varilla V = ω

M (Q ) I (Q)

=

3g 2l

cos φ

Del mismo modo, para la varilla con la masa concentrada en uno de sus extremos el momentofuerza respecto de Q viene dado i M (Q ) = rP (Q ) ∧ mg = l cos φ 0

j

k

0 −l sen φ = lmg cos φj 0

−mg

de modo que P M ( Q ) = lmg cos φ = I ( Q ) ω donde I(Q) es el momento de inercia de la masa puntual P respecto del eje de rotación (eje Y) que pasa por Q, cuyo valor es (ecuación 7.17) I(Q) = ml2. La aceleración angular de esta otra varilla es P = ω

M (Q ) I (Q )

=

g l

cos φ

P <ω V , es decir, la misma masa concentrada a distancia l del eje de rotación Resulta, pues, que ω presenta mayor momento de inercia respecto de dicho eje [I(Q)] que si está distribuida y, por tanto, mayor inercia a la rotación, lo que significa mayor resistencia a modificar su velocidad angular, dando como resultado menor aceleración angular. (Observe que aunque el momento-fuerza del peso aumenta con la distancia, el momento de inercia [I(Q)] es función no de la distancia sino de su cuadrado.)

7.9 Rotación en el espacio Consideremos finalmente el movimiento de rotación en el espacio de un sólido simétrico que tiene un punto fijo (Q) mediante una rótula esférica —la cual permite al cuerpo tomar cualquier orientación espacial—. Al hablar de sólido simétrico se quiere expresar que la distribución de masa del cuerpo es tal que son iguales dos de los tres momentos de inercia respecto de los ejes principales en su c.m., como acontece con sólidos homogéneos de revolución, caso del anillo, disco, cilindro o peonza. En efecto, en un disco (Figura 7.27) el momento de inercia respecto de un eje diametral es el mismo cualquiera que sea el diámetro elegido y diferente del momento de inercia respecto de un eje perpendicular al disco y que pasa por C (nos referiremos a éste último como eje del cuerpo).

296 Capítulo 7 Dinámica del cuerpo rígido La ecuación dinámica (7.3) d L (Q ) = M (Q ) dt

(7.3)

señala que el momento-fuerza resultante, M(Q), origina un cambio en el momento cinético que, transcurrido un tiempo elemental ∆t, viene dado por ∆L = M ( Q )∆t

(7.65)

teniendo el vector ∆L la misma dirección que M(Q). El momento cinético en t + ∆t es, por tanto, Lt+∆t = Lt +∆L = Lt + M (Q )∆t

(7.66)

Consideraremos siempre que el punto fijo se encuentra en el eje del cuerpo, y supondremos dos casos: que el punto fijo sea el c.m. o que no lo sea.

I. CENTRO DE MASAS FIJO Veamos, en primer lugar, el caso de un disco que tiene fijo su c.m., pudiendo tomar cualquier orientación (Figura 7.47). Las fuerzas externas actuantes sobre el disco son su peso y la reacción del punto de sujeción, ambas con el mismo punto de aplicación Q, por lo que el momento-fuerza resultante respecto de dicho punto fijo es nulo y, según (7.65), ∆L = 0; así, con (7.66), Lt+∆t = Lt

(7.67)

no existiendo variación del momento cinético. De este modo, si inicialmente el disco no gira así seguirá, y si inicialmente el disco gira con velocidad angular ω según su eje (eje 3 en la Figura 7.47) el momento cinético inicial es L0 = I3ω, cumpliéndose que Lt+∆t = Lt = L0 = I 3 ω

y el movimiento de rotación alrededor del eje principal 3 no se modifica.

3 R

Q≡C mg

Figura 7.47


297

II. EJE DE ROTACIÓN CON UN PUNTO FIJO Como segundo caso, supongamos que el disco en su centro tiene soldada perpendicularmente una varilla de masa despreciable, estando unido su otro extremo a la rótula esférica Q (Figura 7.48). Las fuerzas actuantes sobre el cuerpo disco-varilla son su peso (mg) y la reacción en el punto de fijación (R). Tomando momentos-fuerza respecto de dicho punto fijo (Q), como el debido a R es nulo por estar aplicada en Q, resulta M (Q ) = rc ∧ mg =−mgru∧ k = mgr sen θen

(7.68)

Z

3 C θ rc

mg

k u Q

R Y

en

X

M

Figura 7.48

El vector unitario en = k∧u es un vector que señala la dirección perpendicular al plano definido por el eje del disco según la varilla (vector unitario u) y un eje fijo, en este caso vertical (definido por la dirección de la atracción gravitatoria, con vector unitario k). El momento-fuerza debido al peso lleva la dirección de en, por lo que M(Q) es perpendicular al eje del disco. Por otro lado, según (7.65), al transcurrir un pequeño intervalo temporal ∆t la variación del momento cinético viene dada por ∆L = M (Q )∆t = M ∆ten

(7.69)

que lleva la misma dirección que el momento-fuerza, y que habrá que sumar vectorialmente al momento cinético del instante anterior, de acuerdo con (7.66). Consideremos ahora dos condiciones iniciales diferentes. A) Inicialmente en reposo

La primera es suponer que se tiene el disco sujeto, desviado de la vertical (Figura 7.49) y sin movimiento. Si se suelta el disco en un determinado instante, inicialmente el momento cinético es nulo, L0 = 0, porque el disco no rota, pero un ∆t después de liberarlo sí existe momento cinético, L∆t = ∆L = M∆ten, debido a una rotación elemental del eje del disco alre-

298 Capítulo 7 Dinámica del cuerpo rígido dedor de la recta definida por en, produciéndose el movimiento en el plano vertical. Transcurrido un nuevo ∆t, el nuevo ∆L generado por M tiene la misma dirección que el precedente y todo el movimiento posterior se realiza en el mismo plano vertical, de modo que el disco “cae” de acuerdo con la dirección de la fuerza peso. El movimiento es simplemente el de un péndulo, y se mueve entre dos ángulos, θ1 y θ2, si no existe impedimento. Z

θ1 θ2 Q en M

Figura 7.49

B) Con movimiento inicial

Como segunda condición inicial se supone ahora que el disco rota sobre su eje con elevada velocidad angular ω = ωu, con lo que ahora sí existe momento angular inicial, L0 = I 3 ω = I 3 ω u y al soltar el disco, transcurrido un ∆t, el momento cinético es L∆t = L0 +∆L = I 3 ωu + M ∆ten

suma de dos vectores perpendiculares (Figura 7.48). El momento cinético resultante L∆t, y con él el eje del disco, no se encuentra ya en el plano vertical inicial, sino que define —con el eje Z— un nuevo plano vertical de distinta orientación que el de partida; el momentofuerza generado por el peso será, en la nueva situación, perpendicular al nuevo plano vertical, generando un nuevo ∆L perpendicular al mismo, y así sucesivamente. El resultado es que el eje del disco va cambiando de orientación describiendo un cono alrededor del eje vertical (Figuras 7.50 y 7.51). El movimiento asociado al cambio de orientación del momentofuerza y del vector en —y por tanto también del eje del disco, por ser perpendicular— se denomina movimiento de precesión, y la velocidad angular asociada al mismo es la velocidad de precesión (ωp).


299

Z ΔL

L0

C LΔt

p Y

Q ϕ en X

Figura 7.50

Figura 7.51

a) Efecto giroscópico Teniendo en cuenta la velocidad de precesión —dirigida según el eje Z— la velocidad angular del disco es ⍀ = ω + ωp, y la velocidad de su c.m.,

vc = ⍀∧ rc = ( ω + ωp )∧ rc = ωp ∧ rc = ωp rc k ∧ u = ωp rc sen θen

es decir, el centro del disco se mueve en la dirección del momento-fuerza generado por el peso, lo que se denomina efecto giroscópico: el disco se mueve en el plano horizontal y no “cae” en el plano vertical según la dirección marcada por la fuerza, como ocurre si el disco inicialmente no rota sobre su eje. Un ejemplo típico del efecto giroscópico es el “baile” alrededor de la vertical de una peonza cuando se lanza a girar con elevada velocidad angular.

300 Capítulo 7 Dinámica del cuerpo rígido b) Velocidad de precesión Si la velocidad angular inicial ω es elevada se puede considerar que en cualquier instante el momento cinético viene dado por L ≈ I3ωu = Lu, de módulo constante y dirigido según el eje del disco, y que su cambio temporal por la acción del momento-fuerza M del peso es, básicamente, un cambio de dirección. El cambio de dirección de L, es decir, el del vector unitario u según el eje, viene regido por la velocidad de precesión ωp, de modo que

dL du =L = L ω p ∧ u = L ωp k ∧ u dt dt Ya se ha visto también, (7.68), que M = mgrk ∧ u

por lo que igualando ambas expresiones, según (7.3), se obtiene la velocidad de precesión ωp =

mgr I3 ω

(7.70)

Así, el movimiento de precesión es tanto más lento cuanto mayor es la velocidad de rotación del disco alrededor de su eje. La relación (7.70) también indica que el sentido del movimiento de precesión depende del sentido de la rotación del disco alrededor de su eje, de modo que ωp tiene el mismo signo que ω (Figura 7.52).

p

p

ΔL Lt+Δt

Lt

Q Q Lt +Δt

Lt ΔL

Figura 7.52

c) Movimiento de nutación Si la única energía cinética suministrada al disco inicialmente es la debida a la rotación del disco alrededor de su eje y ésta no varía ya que no se modifica ω (seguimos suponiendo ausencia de rozamiento), ¿de dónde surge la energía cinética asociada al movimiento de precesión? Sólo puede proceder de la energía potencial gravitatoria, de modo que el eje del disco baja aumentando un poco su desviación θ respecto de la vertical, con lo que desciende


301

su c.m. y disminuye su energía potencial gravitatoria. Así, al dejar libre el disco, inicialmente éste comienza a caer en el plano vertical aumentando su inclinación, pero ocurre que el movimiento de caída sobrepasa la inclinación que sería necesaria para el movimiento de precesión correspondiente al valor de ωp dado por (7.70); se origina así un “exceso” de energía cinética de precesión, de modo que el proceso se reinvierte y parte de esta energía cinética se transforma en potencial gravitatoria. De esta forma la velocidad de precesión disminuye y el eje del disco se eleva, sobrepasando de nuevo la inclinación necesaria. Debido a tal conversión de energía se inicia un movimiento oscilatorio vertical del eje entre dos ángulos, θ1 y θ2, de modo análogo a lo que ocurre en un péndulo. El cabeceo del eje del disco entre los ángulos θ1 y θ2 se denomina movimiento de nutación. El movimiento que en definitiva realiza el eje del disco es el resultado de componer los movimientos de precesión y nutación, describiendo no una circunferencia, sino una línea ondulada (Figura 7.53). El acoplamiento entre los movimientos de precesión y nutación debido a la interconversión energética implica que la oscilación en la inclinación del eje se manifiesta en una oscilación en los valores de ωp, siendo (7.70) el valor medio. Cuanto mayor es ω menor es ωp, menor es la energía cinética de precesión y más próxima está la inclinación inicial del eje a la necesaria, de modo que el intervalo θ1-θ2 es muy pequeño y el movimiento de nutación apenas se observa. Lo contrario ocurre si ω es pequeña. Por ello, si, como le ocurre a una peonza, ω comienza a disminuir por efecto del rozamiento, su eje precesiona cada vez más rápido y su cabeceo aumenta hasta que cae. Es posible también suministrar inicialmente al disco la energía cinética necesaria para el movimiento de precesión, con lo que no necesita disminuir su energía potencial gravitatoria para precesionar; por ello no se produce movimiento de nutación, ωp no varía y la precesión se dice estacionaria.

␻

θ1

θ2 ␻p

Q

Figura 7.53

302 Capítulo 7 Dinámica del cuerpo rígido d) Precesión y nutación terrestres Las características del movimiento vistas en este apartado son de aplicación a nuestro planeta, si bien ahora no existe punto fijo y el momento-fuerza no nulo es respecto de su c.m. La Tierra no es una esfera, sino que está achatada por los polos, y responde a la idea de cuerpo simétrico indicada anteriormente; su eje está inclinado respecto de de la perpendicular al plano de la órbita terrestre un ángulo θ = 23,5º y se encuentra sometida a un débil momento-fuerza gravitatorio, debido a su abultamiento ecuatorial, generado por el Sol y, sobre todo, por la Luna. El efecto giroscópico asociado a tal momento-fuerza determina un movimiento de precesión retrógrada (de sentido contrario al de rotación) del eje de la Tierra alrededor de la perpendicular al plano de la órbita terrestre (Figura 7.54), movimiento que tiene un período de, aproximadamente, 25 800 años; esto da lugar a que la estrella que señala la prolongación norte del eje terrestre (polo norte celeste) —actualmente es la Estrella Polar de la Osa Menor— vaya cambiando a lo largo de los milenios. También la Tierra está afectada de un movimiento de nutación de amplitud unos 9” y período de 18,6 años. normal al plano orbital eje de rotación ␻p

θ N ␻ Plano de la órbita ecuador

S

Figura 7.54

e) Movimiento de la bicicleta En el movimiento de la bicicleta nos fijaremos en la rueda delantera, por ser la que es libre de cambiar de dirección. Sabido es de la dificultad de mantener el equilibrio subido en una bicicleta quieta; la más mínima desviación de la vertical determina que las fuerzas peso y componente normal N de la fuerza de reacción en el punto de apoyo de la rueda con el suelo generen un par, cuyo momento-fuerza (dirigido hacia atrás si el ciclista se inclina hacia su izquierda y hacia delante en caso contrario) da lugar a un ∆L con el mismo sentido. Como la rueda, al no rotar, no tiene momento cinético previo, su movimiento posterior es el mismo que el visto para el disco que inicialmente no giraba, es decir, se cae. Si la rueda gira moviéndose en línea recta, el ciclista debe adoptar una orientación vertical para mantener el equilibrio, pero para cambiar de dirección inclina la bicicleta al objeto de generar un momento-fuerza (M) que induce un cambio (∆L) en el momento angular pre-


303

vio (L0) ahora no nulo, dando lugar al nuevo L —de distinta orientación que L0— con lo que cambia la orientación de la rueda (Figura 7.55a).

L0

N L

ΔL

ΔL

M

ϕ

r mg

ΔL

L0

(a)

L0

(b)

Figura 7.55

El momento-fuerza es tanto mayor cuanto mayor sea la inclinación de la rueda respecto de la vertical (7.68) y mayor será el cambio que induce (∆L) en el momento cinético previo (L0); pero cuanto mayor sea L0, esto es, más rápido vaya el ciclista, mayor deberá ser ∆L para originar un mismo cambio de orientación de la rueda (Figura 7.55b) y por tanto mayor deberá ser el momento-fuerza generado; de ahí que los pilotos de motos en competición busquen la máxima inclinación posible sin caerse, desplazando también lateralmente la posición de su c.m. casi rozando la rodilla con el suelo.

ÍNDICE ALFABÉTICO

aceleración, 39 componentes intrínsecas, 39 en el movimiento curvilíneo y rectilíneo, 40 y transformación de Galileo, 120 aceleración angular, 48 aceleración centrípeta, 40 aceleración constante, 43 aceleración de la gravedad, y rotación terrestre, 146 aceleración de la gravedad local, 147 aceleración normal, 40 aceleración tangencial, 40 amperio, 11 angstrom, 16 ángulo plano, 14 ángulo que forman dos vectores, 22 ángulo sólido, 15, 25 año luz, 11 asteroides impacto con la Tierra, 216 riesgos asociados al impacto con la Tierra, 217 atmósfera normal, 16 atmósferas planetarias, 172

atracción gravitatoria, ley de la, 71, 77 axialidad directa, 24 axialidad inversa, 24 bar, 16 barrera de potencial, 181 base de sustentación, 248 bicicleta, movimiento de una, 302 caballo de vapor, 158 caída libre, 134 caloría, 16 cambio de escala, 9 campo concepto de, 77, 78 principio de superposición, 78 campo escalar, 78, 160 derivada direccional, 161 derivada direccional máxima, 162 gradiente, 161 superficies de nivel o equiescalares, 160 campo gravitatorio, 77 creado por una distribución esférica de masa, 85 campo gravitatorio terrestre, 79

306

Índice alfabético

campo vectorial, 78 flujo, 81 líneas de, 80 manantial, 80 sumidero, 80 candela, 11 cantidad, 2 cantidad de movimiento [véase momento lineal] centro de gravedad, 243 determinación, 246 y centro de masas, 243 centro de masas, 194 aceleración del, 196 cuerpo compuesto, 199 definición, 197 momento lineal del, 194 posición del, 196 primer teorema de Guldin, 197, 202 segundo teorema de Guldin, 198, 203 velocidad del, 195 y centro de gravedad, 243 centro de un sistema de fuerzas paralelas, 242 centroide de masa, 197 choque entre partículas, 209, 210 choque elástico, 212 choque en dos dimensiones, 215 choque inelástico, 213 choque oblicuo, 215 choque plástico o totalmente inelástico, 213 conservación del momento lineal, 210 cinemática, 31 definición, 32 cinemática del punto material, 32 cinemática relativista, 122 bajas velocidades, 123 contracción de longitudes, 128 dilatación del tiempo, 126 ley de adición de velocidades, 124 relatividad de la simultaneidad, 125 tiempo propio, 127 velocidad límite, 125 cinta transportadora, 222 coeficiente cinético de rozamiento, 104 coeficiente de restitución, 211, 214 coeficiente de rozamiento de rodadura, 108 coeficiente estático de rozamiento, 103 coeficientes de rozamiento, de varios materiales, 104 cohete empuje, 222

fuerza de reacción, 222 movimiento de un, 221 colisión [véase choques] cometa Kohoutek, 182 cometas impacto con la Tierra, 216 riesgos asociados al impacto con la Tierra, 217 componentes de un vector, 18 dependencia con el referencial, 19 composición de movimientos vibratorios armónicos, 53 condición de rigidez, 232 condición de rodadura, 266 conservación de la energía, 163 conservación de la energía mecánica, 164, 279 conservación del momento angular, 224, 228, 261 conservación del momento lineal, 203, 206 constante de la gravitación universal, 72 constante elástica, 97 constante recuperadora, 97 contracción de longitudes, 128 coordenadas cartesianas, 32 coordenadas polares planas, 32 Coriolis, fuerza de, 139, 141, 143 cosenos directores de un vector, 19 Coulomb, rozamiento de, 102 cuerpo compuesto, centro de masas, 199 cuerpo rígido [véase sólido rígido] curva de energía potencial, 176 curva de energía potencial elástica, 179 curva de energía potencial gravitatoria, 182 densidad, 83 lineal, 84 superficial, 84 derivada direccional, 161 direccional máxima, 162 deslizamiento, movimiento de, 268 rozamiento en el, 102 dilatación del tiempo, 126 dinámica, 65 definición, 66 dinámica de un sistema de partículas, 193 dinámica del cuerpo rígido, 231 dinámica relativista, 186 energía cinética, 189 energía en reposo, 188 límite de velocidad, 189 momento lineal, 186 principio de conservación de masa y energía, 188 relación entre energía y momento lineal, 189

Índice alfabético

doble producto vectorial, 26 ecuación del movimiento del oscilador lineal, 99 dinámica del momento angular, 224, 227 del momento angular intrínseco, 228 del momento lineal, 204 ecuaciones físicas, 3, 29 ecuaciones vectoriales del equilibrio del sólido rígido, 244 efecto giroscópico, 299 Einstein, principio de relatividad de, 122 eje principal de inercia, 256 empuje, fuerza de reacción de un cohete, 222 energía, 153 algunos valores, 157 conservación de la, 163 equivalencia entre masa y energía, 190 principio de conservación de la, 166 relación con el momento lineal, 189 energía cinética, 154, 156, 271 de un sistema de partículas, 271 definición, 156 del sólido rígido, 273, 274 expresión general, 274 teorema de König, 273 y trabajo, 156, 157, 285 energía cinética de rotación, 274 energía cinética de traslación, 274 energía en reposo, 188 de una partícula de masa m, 188 energía mecánica, 163 conservación, 164, 279 energía potencial, 160 curvas de, 176 efectiva, 184, 185 elástica, 174 curva de, 179 equilibrio y estabilidad, 178 ficticia, 185 gradiente, 160 gravitatoria, 166, 167 caso general, 168 curva de, 182 en las proximidades de la superficie terrestre, 166 y velocidad de escape, 170 pozo de potencial, 178, 181 punto de retroceso, 178, 180 energía relativista, 186 de una partícula de masa m, 188

307

equilibrio cinemático, 92 equilibrio de un sistema de cuerpos rígidos, 251 equilibrio del sólido rígido, 244 equilibrio estable, 93, 253 equilibrio estático, definición, 92 equilibrio indiferente, 93, 253 equilibrio inestable, 93, 253 equilibrio y estabilidad, 92 equivalencia de sistemas de fuerzas, 234 escala, cambio de, 9 Escala de Torino de Riesgos de Impactos, 217 escalares, 17 espín, 225 estereorradián, 14 definición, 15 figuras de Lissajous, 58 física, 2 flujo (campo vectorial), 81 fórmula dimensional, 3 corchetes, 5 de una constante, 6 definición, 4 Foucault, péndulo de, 149 frecuencia, definición, 52 frecuencia angular, 51, 99 fuerza [véase también sistema de fuerzas] como vector deslizante, 236 línea de acción, 17 líneas de, 80 magnitud vectorial, 67 punto de aplicación, 235 fuerza activa, 245 fuerza central, 87, 89 definición, 87 movimiento en el plano, 90 y leyes de Kepler, 91 fuerza centrífuga, 135, 136 fuerza conservativa definición, 160 fuerza de atracción gravitatoria, 72 fuerza de Coriolis, 139, 141, 143 y movimiento de masas de aire, 142 fuerza de inercia, 130, 131 fuerza de ligadura, 245 fuerza de reacción, 221 sobre un cohete, 222 fuerza de rozamiento, 102, 164 componente normal, 103 sentido, 103, 267 fuerza de rozamiento cinético, 104

308

Índice alfabético

fuerza de rozamiento entre sólidos, 101 fuerza de rozamiento estático, 103 fuerza disipativa, 245 fuerza electromagnética, 66 fuerza gravitatoria, 66, 71 fuerza nuclear débil, 66 fuerza nuclear fuerte, 66 fuerza pasiva, 245 fuerza recuperadora lineal, 96 asociación de muelles en paralelo, 97 asociación de muelles en serie, 98 muelle en espiral, 99 fuerzas, 66 acción a distancia, 77 manifestación instantánea, 77 principio de superposición, 79 sistemas equivalentes de, 234 fuerzas conservativas, 279 fuerzas convergentes, 240 teorema de Varignon, 241 fuerzas de inercia, 119 en el movimiento curvilíneo, 135 en el movimiento rectilíneo, 129 fuerzas de marea, 75 fuerzas de percusión, 210 fuerzas disipativas, 164 fuerzas fundamentales, 66 fuerzas paralelas, 241 centro de un sistema de, 242 fuerzas recuperadoras, 96 fulcro, 280 galaxias, 139 Galileo principio de relatividad de Galileo-Newton, 121 transformación de, 118 Gauss, teorema de la gravitación, 81 GPS (Global Positioning System), 127 gradiente (campo escalar), 160, 161 definición, 161 en coordenadas cartesianas, 163 en coordenadas polares, 163 grados de libertad de un sólido rígido, 60, 61 de una partícula, 60, 61 grados de libertad de rotación, 63 grados de libertad de traslación, 60 gravedad simulada, 138 gravitación universal, constante de la, 72 Guldin, primer teorema de, 197, 202 segundo teorema de, 198, 203

hercio, 14 homogeneidad dimensional, 7 homogeneidad vectorial, 28 Hooke, ley de, 96, 97 262 impulso, 209 impulso de percusión, 210 impulso instantáneo, 210 inercia, 66, 130, 131 ley de, 66 ingravidez aparente, 134 julio, 14 kelvin, 11 Kepler, leyes de, 91 kilogramo, 11 definición, 13 Kohoutek, cometa, 182 König referencial del centro de masas, 206 teorema de la energía cinética, 273 teorema del momento angular o cinético, 224 ley de adición de velocidades en relatividad, 124 ley de atracción gravitatoria, 71 ley de composición de velocidades, 120 ley de Hooke, 96, 97, 262 ley de inercia, 66 ley de la palanca, 281 ley de las áreas, 91 ley física simétrica, 28 leyes de Kepler, 91 leyes de Newton, 65 leyes físicas y giro, 28 y traslación espacial, 28 leyes físicas invariantes, 28 leyes mecánicas, invariancia de las, 120 ligadura, definición, 61 líneas de campo, 80 líneas de fuerza, 80 lisa, superficie, 103 Lissajous, figuras de, 58 longitud, 11 algunos valores, 11 definición de la unidad SI, 11 longitudes, contracción de, 128 Lorentz, transformación de, 123 Luna cara oculta, 77 distancia Tierra-Luna, 229 luz velocidad en el vacío, 122

Índice alfabético

velocidad límite, 125 magnitud escalar, definición, 17 magnitud vectorial definición, 17 independencia del referencial, 17 magnitudes, 2 manantial (campo vectorial), 80 máquinas simples, 280 carga o resistencia, 280 esfuerzo, 280 fuerza motriz, 280 fuerza resistente, 280 mareas oceánicas causas, 73 fuerzas de marea, 75 influencia de la Luna y el Sol, 76 masa, 13, 68 algunos valores, 13 definición de la unidad SI, 13 equivalencia entre masa y energía, 188, 190 masa gravitatoria, 72 masa inercial, 68 masa reducida, 70 masa y energía equivalencia entre, 188 principio de conservación, 188 masas de aire, movimiento y fuerza de Coriolis, 142 matriz de inercia, 262 mecánica definición, 32 invariancia de sus leyes, 120 medida, definición, 2 método científico, 2 metro, 11 definición, 11 micra, 16 módulo de un vector, 19 mol, 11 momento angular conservación del, 228 definición, 88 ecuación del, 227 ecuación dinámica y conservación, 224 según el eje de rotación, 258 teorema de König, 224 momento angular intrínseco, ecuación del, 228 momento cinético [véase momento angular] momento de inercia aditividad, 287

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de la Tierra, 260 determinación, 286 respecto de los ejes coordenados, 287 teorema de los ejes paralelos o de Steiner, 289 teorema de los ejes perpendiculares, 288 respecto de un eje, 257 momento de inercia mínimo, 291 momento de un vector, definición, 26 momento lineal conservación del, 203, 206 conservación en los choques de partículas, 210 definición, 68 del centro de masas, 194 dinámica relativista, 186 relación con la energía, 189 momento-fuerza, definición, 26 momentos principales de inercia, 263 movimiento armónico simple, 50 movimiento bajo la acción de la gravedad, 44 alcance, 46 máxima altura, 46 tiempo, 46 tiempo de vuelo, 46 trayectoria, 45 movimiento circular uniforme, definición, 49 movimiento circular uniformemente acelerado, 48 aceleración angular constante, 49 definición, 49 movimiento con aceleración constante, 43 movimiento curvilíneo aceleración, 40 fuerza centrífuga, 136 fuerzas de inercia, 135 y trabajo, 155 movimiento de deslizamiento, 107, 268 movimiento de nutación, 300, 301 movimiento de precesión, 298 movimiento de rodadura, 107, 266 movimiento de rotación, 62, 233 grados de libertad, 63 trayectoria, 62 movimiento de traslación, 59, 232 aceleración, 60 grados de libertad, 60 trayectoria, 60 velocidad, 60 y rotación simultáneos, 63

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Índice alfabético

movimiento de un cohete, 221 movimiento general del cuerpo rígido, 232 movimiento oscilatorio, 96 definición, 96 movimiento periódico, definición, 50 movimiento plano, 254 características, 254 velocidad angular, 254 velocidad lineal, 254 movimiento plano de roto-traslación, 265 movimiento rectilíneo aceleración, 40 fuerzas de inercia en el, 129 movimiento rectilíneo y uniforme, 43 movimiento relativo, 119, 118 movimiento uniformemente acelerado, 43 movimiento vibratorio armónico amplitud, 51 composición de movimientos, 53 direcciones perpendiculares e igual frecuencia, 57 direcciones perpendiculares y distinta frecuencia, 58 igual dirección y frecuencia, 53 igual dirección y distinta frecuencia, 56 definición, 50 determinación de la amplitud y la fase inicial, 52 fase, 51 fase inicial, 51 frecuencia, 51 periódico, 51 proyección según un diámetro de un movimiento circular uniforme, 51 pulsación, 51 nanociencia, 12 nanotecnología, 12 nebulosa, contracción y rotación de una, 139 newton (unidad), 14 Newton leyes de, 65 primera ley de, 66 principio de relatividad de Galileo-Newton, 121 segunda ley de, 67, 68 tercera ley de, 69 nutación, movimiento de, 300, 301 nutación terrestre, 302 oscilaciones armónicas, 99 período, 100

oscilador lineal, 173 energía potencial, 173 palanca, 280 ganancia mecánica, 281 ley de la, 281 ventaja, 281 palanca de primer género, 280 palanca de segundo género, 281 palanca de tercer género, 282 par de fuerzas, 238 plano de acción, 238 sistemas de, 240 partícula [véase también choque entre partículas; sistema de partículas] atrapada en un pozo de potencial, 178 cambio de posición, 34 cinemática, 32 equilibrio cinemático, 92 equilibrio estático, 92 grados de libertad, 60 pascal, 14 péndulo balístico, 219 péndulo de Foucault, 149 péndulo físico, 260 péndulo simple ecuación del movimiento, 100 equilibrio y estabilidad, 93 percusión, 210 período, 50, 100 definición, 52 peso, 80 fuerza conservativa, 167 plano inclinado, 275 plataformas espaciales rotantes, 138 polea fija, 282 polea móvil, 282 poleas, 282 polipasto, 283 posición, cinemática, 32 potencia, 158, 284 algunos valores de ejemplo, 158 definición, 158 y trabajo, 158 potencia media, 158 pozo de potencial, 178 puntos de retroceso, 178 precesión movimiento de, 298 velocidad de, 298, 300 precesión estacionaria, 301

Índice alfabético

precesión terrestre, 302 presión, 101 definición, 101 primer teorema de Guldin, 197, 202 primera ley de Newton, 66 principio de acción y reacción, 69 principio de conservación de la energía, 166 principio de conservación de masa y energía, 188 principio de relatividad de Einstein, 122 principio de relatividad de Galileo-Newton, 121 principio de superposición de campos, 78 principio de superposición de fuerzas, 79 producto de escalares y vectores, 21 producto escalar, 21 de vectores unitarios cartesianos, 22 definición, 21 expresión en componentes cartesianas, 22 producto mixto, 26 producto vectorial, 22 cuadrado del, 27 de vectores unitarios cartesianos, 23 definición, 22 dirección, 23 expresión en componentes cartesianas, 24 módulo, 23 sentido, 23 vector superficie, 24 vectores paralelos y perpendiculares, 24 pulsación, 51, 99 pulsar (estrella de neutrones), 260 punto material, cinemática, 32 radián, 14 reducción de un sistema de fuerzas, 237 caso general, 237 fuerzas convergentes, 240 fuerzas paralelas, 241 par de fuerzas, 238 referencial [véase sistema de referencia] referencial del centro de masas o de König, 206 relatividad, teoría de la, 186 relatividad de la simultaneidad, 125 relatividad especial o restringida primer postulado, 122 segundo postulado, 122 teoría de la, 122 rigidez, 97 condición de, 232 rodadura coeficiente de rozamiento, 108

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condición de, 266 movimiento de, 107, 266 rozamiento en la, 107 rotación, movimiento de, 233 rotación alrededor de un eje fijo, 254, 255 ecuación del movimiento, 259 rotación en el espacio, 295 centro de masas fijo, 296 efecto giroscópico, 299 eje de rotación con un punto fijo, 296 con movimiento inicial, 298 inicialmente en reposo, 297 rotación terrestre y aceleración de la gravedad, 146 rozamiento, fuerza de, 102 rozamiento de Coulomb, 102 rozamiento en el deslizamiento, 102 rozamiento en la rodadura, 107 rozamiento seco, 102 satélites geoestacionarios, 73 segunda ley de Newton, 67, 68 segundo, 11 definición, 13 segundo teorema de Guldin, 198, 203 SI [véase Sistema Internacional de Unidades] simultaneidad, 119, 126 relatividad de la, 125 sistema de fuerzas reducción de un, 237 caso general, 237 fuerzas convergentes, 240 fuerzas paralelas, 241 par de fuerzas, 238 sistema de partículas centro de masas, 194 choques entre partículas, 209 cuerpo compuesto, 199 dinámica, 193 distribución continua de masa, 196 ecuación del momento angular, 227 ecuación del momento angular intrínseco, 228 ecuación dinámica del momento lineal, 204 energía cinética, 271 fuerzas externas, 203, 205 fuerzas internas, 203 masa variable, 219 trabajo, 278 sistema de referencia, 17, 32 inercial, 66, 67, 118 no inercial, 118, 129, 130, 132

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Índice alfabético

Sistema Internacional de Unidades (SI), 10 unidades no incluidas pero utilizadas, 16 múltiplos y submúltiplos decimales, 16 reglas de escritura, 10 unidades básicas, 11 unidades derivadas, 14 sistemas de fuerzas, equivalencia, 234 sólido indeformable, 59 sólido rígido, 232 con un eje fijo, 250 con un punto fijo, 236, 249 definición, 59 dinámica, 231 ecuaciones del movimiento, 233 efecto de una fuerza en el movimiento del, 236 energía cinética, 273, 274 energía cinética de rotación, 274 energía cinética de traslación, 274 equilibrio, 244 ecuaciones vectoriales, 244 estabilidad, 253 equilibrio de un sistema de cuerpos rígidos, 251 grados de libertad, 60 movimiento de deslizamiento, 268 movimiento de rodadura, 266 movimiento de rotación, 233 movimiento de rotación más traslación, 233 movimiento de traslación, 59, 232 movimiento general del, 232 movimiento plano, 254 de roto-traslación, 265 rotación alrededor de un eje fijo, 254, 255 rotación en el espacio, 295 sistemas de fuerzas equivalentes, 235 trabajo, 279 balance energético, 279 y energía cinética, 285 vuelco, 247 Steiner, teorema, 289 suma de vectores, 20 sumidero (campo vectorial), 80 superficie gaussiana, 82 superficies de nivel, 160 superficies equiescalares, 160 tensor de inercia, 262 teorema de Gauss de la gravitación, 81, 82 distribución discreta y continua de masa, 83 distribución esférica de masa, 84

teorema de König de la energía cinética, 273 del momento angular o cinético, 224, 225 teorema de los ejes paralelos, 289 teorema de los ejes perpendiculares, 288 teorema de Steiner, 289 teorema de Varignon, 241 teoría de la relatividad especial o restringida, 122 tercera ley de Newton, 69 tiempo, 13 algunos valores, 13 definición de la unidad SI, 13 dilatación del, 126 tiempo absoluto, 119 tiempo propio, definición, 127 Tierra distancia Tierra-Luna, 229 forma de la, 148 impacto de asteroides y cometas, 216 momento de inercia, 260 precesión y nutación terrestres, 302 riesgos asociados al impacto de asteroides y cometas, 217 rotación, 146 péndulo de Foucault, 149 tornillo, 283, 284 torno, 283 trabajo, 153, 154, 278 definición, 154 en el movimiento curvilíneo, 155 expresión en coordenadas cartesianas, 155 fuerzas conservativas, 279 sistema de partículas, 278 sólido rígido, 279 y energía cinética, 156, 157, 285 y potencia, 158 transformación de Galileo, 118 intervalo espacial, 119 invariancia de las leyes mecánicas, 120 tiempo absoluto, 119 transformación de aceleraciones, 120 transformación de velocidades, 120 transformación de Lorentz, 123 traslación, movimiento de, 232 trayectoria, 34 triedro intrínseco, 38 unidad, definición, 2 unidad astronómica, 11

Índice alfabético

unidades, 10 [véase también Sistema Internacional de Unidades] unidades básicas, 3 unidades derivadas, 3 unidades no incluidas en el Sistema Internacional, 16 unidades SI, múltiplos y submúltiplos decimales, 16 unidades SI básicas, 11 unidades SI derivadas, 14 Varignon, teorema de Varignon, 241 vatio, 14 vector componentes, 18 dependencia con el referencial, 19 componentes cartesianas, 18 cosenos directores, 19 módulo, 19 momento de un, 26 punto de aplicación, 19 vector aceleración, 39 vector axial, 20 vector binormal, 38 vector de posición, 32 vector deslizante, 19, 236 vector fijo, 19 vector libre, 19 vector ligado, 19 vector polar, 20 vector producto vectorial, módulo, 24 vector superficie, 24 vector unitario, 17

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vector velocidad angular, 38 vector velocidad instantánea, 34 vectores, 17 doble producto vectorial, 26 producto mixto, 26 producto por un escalar, 21 suma de, 20 vectores paralelos, 24 vectores perpendiculares, 24 velocidad, 34 componente intrínseca de la, 34 componentes radial y transversal de la, 35 algunos valores, 37 y velocidad angular, 36 velocidad angular, 37, 40, 49 algunos valores, 37 y velocidad, 36 velocidad areolar, 91 velocidad de deslizamiento, 164 velocidad de escape, 170, 171 y atmósferas planetarias, 172 velocidad de la luz, 189 velocidad límite, 125 en el vacío, 122 velocidad de precesión, 298, 300 velocidad de traslación, 60 velocidad límite, 125 de un cuerpo en el seno de un fluido, 116 velocidades ley de adición de, 124 y transformación de Galileo, 120 vuelco, 247

Fundamentos de Mecanica Carlos F. González Fernández

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