Nota sobre Odemark
NOTA SOBRE ODEMARK
Mucho métodos se han desarrollado a través de los años para estimar lo parámetros de respuesta en sistemas elásticos multicapa, que son los que en realidad se apegan a las estructuras de nuestros actuales pavimentos. La Figura 1 muestra un sistema de n –capas en coordenadas cilíndricas, la enésima capa tiene espesor infinito. El módulo de elasticidad y la relación de Poisson de la iésima capa son E i e μi, respectivamente. En 1943 Burmister presento una solución para las ecuaciones diferenciales de la teoría de la elasticidad, para las condiciones de frontera de un sistema bi-capa. Otros investigadores desarrollaron tablas y gráficos para simplificar el proceso de cálculo. Los detalles de las distintas soluciones son dadas por Yoder y Witczak (1975) y Huang (1993). Desde entonces se han desarrollado un gran número de programas de cómputo para calcular esfuerzos, deformaciones y deflexiones en sistemas de capas elásticas. Algunos de los programas más conocidos han sido desarrollados por Shell (Bistro (Bistro y Bisar) y por Chevron (Elsym5). (Elsym5).
Figura 1. Sistema elástico multicapa en coordenadas cilíndricas.()
El método Odemark está basado en la suposición de que los esfuerzos y deformaciones debajo de una capa dependen de de la rigidez de esa capa solamente. solamente. Si el espesor, el módulo y la relación de de Poisson de una capa son cambiados, pero la rigidez permanece sin cambio, los esfuerzos y las
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deformaciones debajo de la capa tendrían que permanecer (relativamente) inalterados. La rigidez
ℎ−
de una capa es proporcional a:
3
1
donde h es el espesor de la capa.
(1)
2
La transformación mostrada en la Figura 2 debe, por consiguiente, no influir en los esfuerzos y deformaciones en la siguiente capa (capa 2), dado que:
ℎ− ℎ− ℎ 3 1
1
1
2 1
3
=
2
1
2 2
ℎ −− 3
=
1
1
2
×
1 1
2 2 2 1
(2)
donde he, es conocido como el “espesor equivalente”, de ahí que este método es también llamado el “Método de Espesores Equivalentes” o MET.
Figura 2. Transformación de Odemark para un sistema en c apas.
El sistema transformado en la Figura 2 es un espacio semi-infinito en el cual pueden ser usadas las ecuaciones de Boussinesq, pero solamente para el cálculo de esfuerzos, deformaciones y deflexiones en o por debajo de la interface. La suposición de Odemark no es matemáticamente correcta. Aún falta verse si la respuesta en pavimentos reales es más cercana a la predicha usando la teoría de elasticidad o el método Odemark. Si se desean obtener resultados cercanos a la teoría de la elasticidad cuando se utiliza el
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método de Odemark, un factor de corrección, f , debe ser introducido. Si, adicionalmente, se supone que la relación de Poisson sea la misma para todas las capas (y en la práctica la relación de Poisson es rara vez conocida con cierto grado de precisión), la transformación puede ser escrita
ℎ ℎ
como:
3
=
×
1
(3)
1
2
Razonablemente se obtiene una buena concordancia con la teoría de la elasticidad con un factor de corrección de 0.8, excepto para la primer interface donde un factor de 0.9 es usado para un sistema de dos capas, y 1.0 para un sistema multicapa. Si el espesor de la primer capa, h1, es 0.3
menor que el radio del área cargada, a, entonces el factor de 1.1( a/h1 ) proporcionará la deformación horizontal por tensión en la fibra inferior de la primer capa, bastante aproximada a la obtenida con la teoría de la elasticidad. Si se dispone de valores medidos de esfuerzos y deformaciones en pavimentos reales, estos deben ser utilizados para “calibrar” el método Odemark, en lugar de los valores obtenidos mediante la teoría de elasticidad. Para un sistema multicapa el espesor equivalente de las capas superiores n–1 con respecto al módulo de la capa n, puede ser calculado con la siguiente expresión:
− ℎ ℎ ℎ …ℎ 1
3
,
=
×
1
1
=1
3
,
=
×
,
2
1
1
2
ℎ ℎ … ℎ− − 3
+
×
2
2
3
+
3
×
+
1
×
1
(4)
(5)
3
donde ésta última es una ecuación recursiva conveniente para propósitos de programación. Se asume que las capas debajo de la capa n tienen el módulo E n en el sistema transformado. Sin fricción en las interfaces, el espesor equivalente puede encontrarse con la siguiente expresión:
ℎ ,
=
− ℎ
3
×
1
3
×
(6)
=1
Las deflexiones se calculan como la suma de las compresiones de las capas, más la deflexión del terreno. La compresión de cada capa individual se encuentra como la diferencia en la deflexión
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entre su parte superior y su parte inferior de dicha capa en el s istema transformado. Para las capas superiores el sistema transformado es un medio con módulo E 1. Con los factores de corrección dados anteriormente, el método Odemark proporcionará respuestas del pavimento razonablemente cercanas a la teoría de la elasticidad, dado que:
El módulo decrece con la profundidad (E i/E i+1 > 2), y
El espesor equivalente de cada capa es más grande que el radio de área cargada.
Si éste no es el caso (o si se desea un mejor ajuste) los factores de corrección debe ser cambiados, y posiblemente expresarse en función del espesor y del módulo. Superposición de cargas múltiples Las soluciones para sistemas elásticos multicapa bajo una carga simple pueden ser extendidas a casos que involucran cargas múltiples, mediante la aplicación del principio de superposición. La Figura 3.a muestra la configuración en planta de un arreglo de llantas en sistema dual-tandem. El esfuerzo y deflexión vertical bajo el punto A debido a las cuatro cargas, pueden ser fácilmente obtenidos mediante la suma de los correspondientes a cada una de las cargas, debido a que todos ellos (esfuerzos y deflexiones) están en la misma dirección vertical, o z . Sin embargo, el esfuerzo radial σr , el esfuerzo tangencial σθ , y el esfuerzo cortante τrz , debidos a cada carga no pueden ser sumados directamente, porque no están en la misma dirección, como está indicado por las cuatro diferentes direcciones radiales en el punto A. Por consiguiente, σr , σθ y τrz , deben ser resueltos en base a componentes en las direcciones x e y , como se muestra en la Figura 3.b para esfuerzos en el punto A debidos a la carga en el punto B. El uso del punto A tiene para propósitos ilustrativos, y cualquier otro punto también puede considerarse para encontrar los e sfuerzos máximos.
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a)
b) Figura 3. Superposición de esfuerzos para cargas múltiples.
Solución de esfuerzos en componentes XY
Mediante la igualación de fuerzas en las direcciones x e y a cero, puede fácilmente comprobarse de la Figura 3.b que:
− =
2
+
2
(7)
=
2
+
2
(8)
cos
(9)
=
=
(10)
=
(11)
Después de resolver los esfuerzos debidos a cada carga en las componentes σ x , σ y , τ xy , τ yz y τ xz , las componentes debidas a las cargas múltiples pueden obtenerse mediante superposición. Durante la superposición debe tenerse precaución en determinar correctamente el signo de cada esfuerzo.
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Después de obtener mediante superposición σ 2,
σ x , σ y , τ xy , τ yz y τ xz ,
los tres esfuerzos principales
σ 1,
y σ 3, pueden obtenerse resolviendo la siguiente ecuación cúbica:
− − − −−−− − 3
+
+
2
+
+
2
+
2
+2
2
2
2
2
=0
(12)
Las deformaciones principales ε 1, ε 2, y ε 3, pueden obtenerse aplicando la ley de Hooke. En el análisis de fatiga, la deformación horizontal principal menor, en lugar de todas las deformaciones principales menores, es utilizada. La deformación es llamada menor porque la deformación por tensión es considerada negativa. La deformación horizontal principal menor es empleada porque ésta es la deformación que causa el agrietamiento que inicia en la fibra inferior de la carpeta de concreto asfáltico. Esta deformación se determina mediante la siguiente ecuación:
− − 2
+
=
2
+
2
2
(13)
en la cual, ε t es la deformación horizontal principal menor que se presenta en la fibra inferior de la carpeta asfáltica, ε x es la deformación en la dirección x ,
ε y es
la deformación en la dirección y ,
γ xy
es la deformación de corte en el plano x en la dirección y . Las ecuaciones con las que pueden determinarse los parámetros anteriores son:
− − =
=
1
1
=
2 1+
+
(14)
+
(15)
(16)
