Muestreo Natural

Muestreo (Laboratorio III) Brayan Manuel Avila Silva Sebastián Mauricio Hernández Universidad Distrital Francisco José de Caldas Ingeniería de Telecomunicaciones I Introducción: Las señales digitales son el presente de las comunicaciones, por esto es de gran importancia para nosotros conocer la forma de manipular y representar una señal. Una herramienta fundamental es el muestreo, sin éste no podríamos siquiera pensar en manipular las señales puesto que ningun dispositivo puede representar un suceso (imagen, audio) en tiempo continuo solo “engaña” al ojo u oído humano para que éste crea que es así. El objetivo del laboratorio es exponer el tema del muestreo natural comparar el resultado obtenido en el desarrollo con la tarjeta de desarrollo PSoC y contrastarlo con el obtenido en software Scilab para obtener conclusiones.

x (t)

es:

Figura 2: Espectro en frecuencia de X

Ahora se calcula el espectro de

II Marco Teórico: Dada una señal continua

En el dominio de la frecuencia y Suponiendo que el espectro de

x (t ) , el

proceso de muestreo consiste en tomar muestras equiespaciadas de la señal mediante otra señal denominada señal muestreadora

p(t) . [1] Figura 1: Proceso gráfico de muestreo

p(t) .

Para

cuenta que

ello,

p(t)

tenemos

en

es periódica. La

señal tren de pulsos periódicos en el dominio del tiempo será: ∞

p (t )=

∑

n=−∞

Ahora en frecuencia:

el

2π p ( w )= Ts

δ (t −n T s)

dominio

de

∞

∑

k=−∞

δ( w−k ws )

la

Figura 3: Señal muestreadora P dominio de la frecuencia

en

el

Ahora al realizar la multiplicación en frecuencia: Figura 4: Proceso de muestreo en el dominio de la frecuencia

III Desarrollo del Laboratorio: EL dispositivo: Para el desarrollo del Laboratorio se usaron los siguientes componentes:  CY8CKIT-059 PSoC 5LP  Display HMI  Encoder (para manejo de frecuencia)  Resistencias y jumpers varios Figura 6: El Dispositivo

Teorema de Nyquist Shannon: Dada una señal limitada en banda podemos recuperar la señal a partir de sus muestras si se cumple que:

ws≥ 2 wm Dónde

ws

es la frecuencia de

muestreo o frecuencia de Nyquist Shannon, en la práctica debemos muestrear por encima de la frecuencia de Nyquist pues es imposible realizar un filtro ideal. [2] Si la frecuencia de Nyquist Shannon no se cumple se obtendrá un solapamiento en frecuencia lo que hará imposible recuperar la señal original al aplicar el filtro pasa bajo, el solapamiento ocurre como muestra la figura: Figura 5: Solapamiento en frecuencia

El Dispositivo usa la tarjeta PSoC 5 para generar la señal muestreadora (tren de pulsos) por medio de una división de la frecuencia de reloj propia del dispositivo esta señal es almacenada en el dispositivo. La señal muestreada (seno) es generada en el dispositivo por un DAC con un máximo 250Ksp siendo la señal original de 100 muestras nuestra señal se obtiene una frecuencia máxima de 2.5KHz, luego se procede a realizar la multiplicación (señal original por señal muestreadora) para obtener la señal muestreada. Recordando el

teorema de Nyquist Shannon usamos en la señal muestreadora una frecuencia de muestreo superior dos veces a la de la señal seno. Esta señal es recorrida mediante un ciclo (For) y enviada a un pin de salida PWM para poder ser medida por un osciloscopio. Además de esto se cuenta con un display para darle al usuario la capacidad de ver más detalles del proceso. Simulaciones: En las simulaciones se usó el Software libre de modelamiento matemático Scilab en su versión 5.4.1 cuya finalidad en éste laboratorio es comparar los resultados físicos (reales) con los obtenidos mediante el simulador y así poder hacer un análisis más profundo sobre el tema. Figura 7: Uso de Scilab para laboratorio

Señal Original: A continuación se verá la señal seno con una frecuencia de amplitud de y

−1

1

1 H z . Una

en su ciclo positivo

en el negativo.

Figura 9: Señal original

IV Resultados y conclusiones: Simulaciones: Señal muestreadora: En la siguiente figura se puede ver la señal muestreadora (tren de pulsos) con una frecuencia de

1Hz

, una amplitud de

1

en su

ciclo positivo y 0 en el negativo. Figura 8: Señal muestreadora

Resultado al multiplicar las señales con su frecuencia original: La señal resultante sin variar la frecuencia (de ninguna función) es la siguiente:

Figura 9: Multiplicación frecuencia

sin

cambio

de

Figura 12: Aumentando Diez veces la frecuencia de la muestreadora

Aumentando dos veces la frecuencia de la muestreadora: El resultado de aplicar el teorema de Nyquist Shannon es el siguiente:

Figura 10: Resultado Shannon

teorema

Nyquist

Figura 11: Aumentando Cinco veces la frecuencia de la muestreadora

Figura 13: Aumentando Cien veces la frecuencia de la muestreadora

Ahora se mostrará el proceso de aumentar la frecuencia de la señal original:

Figura 14: Aumentando Dos veces la frecuencia de la señal original

Aumentando Cien veces la frecuencia de la señal original

Figura 15: Aumentando Cinco veces la frecuencia de la señal original

Conclusiones:  Los resultados obtenidos en el laboratorio (físico) son los mismos obtenidos en el simulador  Vemos que se cumple el teorema de Nyquist Shannon ya que al multiplicar la señal original por el tren de pulsos (sin modificar ninguna frecuencia) la señal resultante no se podría asemejar a la original.  Al aumentar la frecuencia de la señal muestreadora obtenemos una señal que podríamos recuperar ya que aparece parte de los ciclos negativos de la señal seno y podríamos asemejarla no exactamente pero si aproximadamente.  Si superamos la frecuencia de muestreo varias veces podemos ver como se reconstruye la señal original por lo cual concluimos que entre más sea la frecuencia de la señal muestreadora mayor es la aproximación a la señal original  En la transformada de Fourier la energía de la señal será

Figura 16: Aumentando Diez veces la frecuencia de la señal original

Figura 17:





concentrada en el primer armónico entre más sea la frecuencia de la señal muestreadora Al aumentar la frecuencia de la señal original vemos como ésta se replica en el ancho del pulso, entre mayor frecuencia más réplicas por lo que concluimos que para uso del muestreo no es nada útil. En el espectro en frecuencia vemos que entre más aumentemos la frecuencia de la original la energía de la misma será desplazada a los últimos armónicos hasta que todos contengan la misma energía.

V Referencias: 1. Universidad de Alcalá, Teoría de la señal y comunicaciones, Noviembre de 2010. 2. Ruiz V. Muestreo de señales, Universidad de Almería. Octubre de 2015. Figuras 1-5 Universidad de Alcalá, Teoría de la señal y comunicaciones, Noviembre de 2010. Figuras 6-17 Laboratorio Muestreo, Avila B, Hernández S. Sistemas de Comunicaciones, UDFJC 2016 II.