MOYENNES
1. Moyennes : premières formules
Moyenne arithmétique simple x simple x de n éléments , xn –1, xn x1, x2, ... , x
x =
Moyenne arithmétique pondérée x pondérée x de n éléments x1, x2, ... , x , xn –1, xn munis des coefficients coefficients p1, p2, ... , p , pn –1, pn
x =
x1 + x2 +... .. .+ xn -1 + xn n
p1 x1 + p2 x2 +.. .+ pn -1 xn -1 p1 + p2 +.. .+ pn -1
+ pn xn
+ pn
Exemples : Une élève de 1ère ES a obtenu les notes suivantes : 12 ; 15 ; 9 ; 17 ; 12 ; 6 ; 13. Calculer n et la moyenne x moyenne x À . Il y a 7 notes, donc n = 7 et :
x =
12 + 15 + 9 + 17 + 12 + 6 + 13 7
=
84 7
= 12
ère
Une élève de 1 ES a obtenu les notes (avec coefficients) suivantes : 12(3) ; 15(2) ; 9(2) ; 17(1) ; 14(2) ; 6(2) ; 13(3). Calculer la somme des coefficients N et la moyenne x moyenne x À . N = 3 + 2 + 2 + 1 +2 + 2 + 3 = 15 et : x =
3 ´ 12 + 2 ´ 15 + 2 ´ 9 + 1 ´ 17 + 2 ´ 14 + 2 ´ 6 + 3 ´ 13 180
=
15
15
= 12
Mathieu a eu les notes (avec coeffici coefficients) ents) suivantes : 6(2) ; 8(3) ; 12(1). Le prochain devoir a un coefficie coefficient nt 4. Quelle note devra-t-il obtenir pour avoir la moyenne ? Soit x Soit x la la note à obtenir pour avoir la moyenne ; x ; x est est donc tel que : 10 = En multipliant par 10 :
2 ´ 6 + 3 ´ 8 + 1 ´ 12 1 2 + 4 ´ x 10 100 = 12 + 24 + 12 + 4 x
On obtient 4 x = 52 puis x puis x = 13. Mathieu doit obtenir un 13 pour avoir la moyenne.
2. Moyennes : variations
Si on augmente toutes les valeurs x valeurs x1, x2, ... , x , xn –1, xn du même nombre k , la moyenne augmente aussi de k Si on multiplie toutes les valeurs x valeurs x1, x2, ... , x , xn –1, xn par un même nombre k , la moyenne est aussi multipliée par k Exemple : ère
Les moyennes trimestrielles en Mat hématiques des élèves élève s d'une 1 ES sont : 8, 9, 12, 5, 7, 14, 7, 9, 10, 10, 11, 7, 9, 11, 5, 8, 13, 7, 9, 10, 11, 5, 7, 9, 12 Calculer la moyenne de la classe Le professeur souhaite ramener cette moyenne à 10. Il hésite entre ajouter un certain nombre de points à toutes les notes ou multiplier toutes les notes par un certain nombre. Méthode 1 : Combien de points faut-il faut -il rajouter aux notes des élèves élève s pour que la classe cl asse ait 10 de moyenne ?
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Méthode 2 : Par combien faut-il multiplier les notes des élèves pour que la classe ait 10 de moyenne? Il y a N = 25 notes, et on trouve :
x =
225 25
= 9
Méthode 1 : la moyenne de la classe est 9. Pour obtenir 10, il faut donc rajouter 1 point à chaque élève. Méthode 2 : pour passer de 9 à 10, il faut multiplier par k = 1,1111... (
10
). Pour que la classe ait 10 de
9
moyenne, il faut donc multiplier les notes des élèves par 1,1111...
3. Intégration d'un nou vel élément dans une moyenne Soit x la moyenne des n éléments x1, x2, ... , xn –1, xn pondérés par les coefficients p1, p2, ... , pn –1, pn. Notons N = p1 + p2 +...+ pn -1
+ pn . On a donc : x =
p1 x1 + p2 x2 +.. .+ pn -1 xn -1 N
+ pn xn
Soit a un nouvel élément avec un coefficient p. La nouvelle moyenne X peut se calculer à partir de l'ancienne x grâce à la formule suivante : X =
+ pa N + p
N x
Exemple : Marc a déjà obtenu les notes (avec coefficients) suivantes : 9(3), 11(5), 13(2), 18(1), 9(2) et 12(1). Calculer sa moyenne À x. Marc obtient une nouvelle note : 15 coefficient 4. Calculer sa nouvelle moyenne À X. x =
On a :
3 ´ 9 + 5 ´ 11 + 2 ´ 13 + 1 ´ 18 + 2 ´ 9 + 1 ´ 12
Sa nouvelle moyenne est :
14
X =
14 ´
=
174 14
12,43
174
+ 4 ´ 14 14 14 + 4
=
230 18
12,78
4. Moyenne de moyennes La moyenne m de deux moyennes m1 et m2 munies des coefficients respectifs p1 et p2 est donnée par la formule : m=
p1m1 + p2 m2 p1 + p2
Exemple : Une classe est composée de 55% de filles. Les élèves de la classe sont répartis suivant leurs âges et leurs sexes comme l'indique le tableau suivant : 15 ans
16 ans
17 ans
Garçons
10%
78%
12%
Filles
20%
70%
10%
Calculer la moyenne d'âge m1 des garçons et la moyenne d'âge m2 des filles. Calculer la moyenne d'âge m de la classe.
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Moyenne d'âge m1 des garçons : Moyenne d'âge m2 des filles :
m1 = m2 =
10 ´ 15 + 78 ´ 16 + 12 ´ 17 100 20 ´ 15 + 70 ´ 16 + 10 ´ 17 100
= 16,02
Ici, les coefficients sont les pourcentages
= 15,90
Moyenne d'âge m de la classe (il y a 55% de filles et 45% de garçons) : m=
45 ´ 16, 02 + 55 ´ 15,90 100
= 15,954
5. D'autres moyennes
Type de moyenne
Pour 2 éléments x et y
Géométrique
Pour n éléments x1, x2, ... , xn –1, xn n x x ... x 1 2 n
xy ( x 0 et y 0)
x 2
Quadratique
+ y2
x12
2 xy x + y
n
2
=
1
+
x
0)
+ x22 +...+ xn2
2
Harmonique
( xi
n
( xy ¹ 0)
1
1
y
x1
+
1 x2
+.. .+
1
( xi ¹ 0)
xn
Exemples : On donne x 3 et y 5. Calculer les moyennes arithmétique, géométrique, quadratique et harmonique de x et y. =
=
x + y
Moyenne arithmétique :
xy =
Moyenne géométrique :
Moyenne quadratique :
Moyenne harmonique :
= 4
2
x 2
+ y2 2
= 2 xy
x + y
15
3,87
9 + 25 2
=
30
=
17
4,13
= 3,75
8
C'est rassurant, toutes ces moyennes sont assez voisines.
Formule générale :
¦(m) =
1 n
n
å ¦( x ) i
i =1
·
Si ¦( x) = x alors m est la moyenne arithmétique.
·
Si ¦( x) = x 2 alors m est la moyenne quadratique.
·
Si ¦( x) =
·
Si ¦( x) = ln x alors m est la moyenne géométrique. (Avec xi > 0)
Moyennes
1 x
alors m est la moyenne harmonique
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En effet : Si ¦( x) = x alors la formule devient : m =
Si ¦( x) = x alors la formule devient : m 2
Si ¦( x) =
1 1 alors la formule devient : x m
2
n
1 n
å x (m est donc la moyenne arithmétique)
=
1
=
i
i =1
n 1 n
n
å x
2 i
(m est donc la moyenne quadratique)
i =1
n
å x1 (m est donc bien la moyenne harmonique) i =1
i
æ ln( xi ) = ln çç n è
n
Si ¦( x) = ln x alors la formule devient : 1
ln m =
n
n
å i =1
1
Õ i =1
æ çn çè
ö
xi ÷÷ = ln
ø
n
Õ i =1
ö ø÷
xi ÷ d'où m =
n
n
Õ x
i
i =1
Applications : Moyenne géométrique et taux d'accroissement moyen. Une quantité (positive) Q0 évolue de t 1% une année puis de t 2% l'année suivante. Quel est le taux moyen annuel d'évolution ? Notons c1 = 1
+
t 1 t et c2 = 1 + 2 et Q2 100 100
= c1c2Q0 la quantité après deux années.
Soit c le coefficient multiplicateur correspondant au taux moyen annuel. Ainsi : Q2 = c2Q0. c=
D'où :
c=
Généralisation à n années :
c1c2
n
c1c2 ... cn
Le taux moyen d'évolution pour une période est la moyenne géométrique des taux d'évolutions des souspériodes.
Moyenne harmonique et vitesse moyenne. Un avion parcourt une distance d à l'aller à une vitesse constante v1 et au retour à une vitesse constante v2. Quelle est sa vitesse moyenne vmoy sur le trajet aller-retour (2d ) ? 2d
vmoy = Où t aller =
Ainsi :
d v1
et t retour =
d v2
+ t retour
taller
.
vmoy =
2 1 v1
+
1 v2
Généralisation à n sous-trajets de même longueur pa rcourus à des vitesses constantes v1, ..., vn : vmoy =
n 1 v1
+
1 v2
+...+
1 vn
La vitesse moyenne sur une distance e st la moyenne harmonique des vitesses sur les sous-distances.
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Moyenne géométrique et suite ... géométrique. Soient a, b et c trois réels non nuls tels que l'on passe de l'un au suivant en multipliant par une même quantitéq : a
b = qa
c = qb = q a 2
(On dit que a, b et c sont trois termes consécutifs d'une suite géométrique) Alors le terme central (à savoir b) est la moyenne géométrique des termes extrêmes (a et c). En effet :
2
b
= q2a2 = ac
Donc :
b = ac
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