MỘT SỐ MÔ HÌNH TUYẾN TUYẾN DÙNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ 1. Mô hình cân đối liên ngành (mô hình Input – Outphut của Leontief) Mô hình Input – Output của Leontief (còn gọi là mô hình I/O) đề cập đến việc xác định mức tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành sản suất trong tổng thể nền kinh tế. Ở đây khái niệm ngành được xem xét theo nghĩa ngành thuần tuý sản xuất. Các giả thiết đặt ra để xây dựng mô hình như sau: •
Mỗi ngành sản xuất một loại hàng hoá thuần nhất hoặc sản xuất một số
hàng hoá phối hợp theo tỷ lệ nhất định (coi mỗi tổ hợp hàng hoá theo tỷ lệ cố định). •
Các yếu tố đầu vào của sản xuất trong phạm vi ngành được sử dụng theo tỷ
lệ cố định. Trong nền kinh tế hiện đại, việc sản xuất một loại hàng hoá nào đó (output) đòi hỏi sử dụng các loại hàng hoá khác nhau để làm nguyên liệu đầu vào (input) của quá trình sản xuất và việc xác định tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành sản xuất trong tổng thể nền kinh tế là quan trọng nó bao gồm: - Cầu trung gian từ phía các nhà sản xuất sử dụng loại sản phẩm đó cho quá trình sản xuất - Cầu cuối cùng từ phía những người sử dụng sản phẩm để tiêu dùng cho quá trình sản xuất hoặc xuất khẩu, bao gồm các hộ gia đình, nhà nước, các tổ chức xuất khẩu,.. Xét một nền kinh tế có n ngành sản xuất, ngành 1, 2, 3, … , n. Để thuận tiện cho việc tính chi phí cho các yếu tố sản xuất, ta phải biểu diễn lượng cầu của tất cả các loại hành hoá ở dạng giá trị, tức là đo bằng tiền. Tổng cầu về sản phẩm hàng hoá của ngành i (i = 1, 2, … , n) được ký hiệu và xác định bởi: xi = xi1 + xi2 + … + xik + bi (i =1, 2, … , n) Ở đây:
(*)
xik là giá trị sản phẩm của ngành i mà ngành k cần sử dụng cho quá trình sản xuất của mình (giá trị cầu trung gian). bi là giá trị sản phẩm của ngành i dành cho nhu cầu tiêu dùng và xuất khẩu (giá trị cầu cuối cùng) Tuy nhiên trong thực tế ta thường không có thông tin về giá trị cầu trung gian xik , nhưng người ta lại chủ động trong việc xác định tỉ phần chi phí đầu vào của sản xuất. Ký hiệu a ik là tỉ phần chi phí đầu vào của ngành k đối với sản phẩm của ngành i, nó được tính bởi công thức: Chú ý rằng:
0 ≤ a ik
<1
a ik
=
x ik x k
(i, k = 1, 2, ... , n)
và ở đây giả thiết a ik là cố định đối với mỗi ngành sản
xuất i (k =1, 2, ... , n). Người ta còn gọi a ik là hệ số chi phí đầu vào và ma trận A = [aik ]n x n được gọi là ma trận hệ số chi phí đầu vào (hay ma trận hệ số kỹ thuật). Giả sử aik = 0,4 có nghĩa là để sản xuất ra 1 đồng giá trị sản phảm của mình, ngành k đã phải chi 0,3 đồng để mua sản phẩm của ngành i phục vụ cho quá trình sản xuất.
Đặt
x 1 b1 X= x2;b= b2 . . . x n bn
Ta gọi X là ma trận tổng cầu và b là ma trận cuối cùng. Khi đó, từ đẳng thức (*) thay xik = aik xk chúng ta có
x i = a i1x1 + a i2 x 2 + . . +. a i nx n + b i i = 1,2, . . . n. , Hay biểu diễn dưới dạng ma trận :
x1 a1 a1 1 . 2a1n. x1. b1 x2 a2 a2 1 . 2a2n. x2. b2 = . + . . . ... . . x n an1 an2 . an. xn.n bn Tức là X = AX + b
(**)
Từ (**) ta có (E – A)X = b Ở đây, E là ma trận đơn vị cấp n. Nếu E – A khả nghịch thì X = (E – A)-1
b
(***)
Công thức (***) được gọi là công thức tính ma trận tổng cầu. Ma trận E – A được gọi là ma trận Leontief. Như vậy nếu chúng ta biết ma trận hệ số kỹ thuật A
và ma trận cầu cuối cùng thì sẽ xác định được giá trị tổng cầu của các ngành sản xuất.
Ví dụ 1. Giả sử nền kinh tế có hai ngành sản xuất : ngành 1 và ngành 2 có ma trận hệ số kỹ thuật là
0,2 A = 0,4
0,3 0,1
. Cho biết giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm
của ngành 1 và ngành 2 theo thứ tự là 10, 20 tỷ đồng. Hãy xác định giá trị tổng cầu đối với mỗi ngành.
Giải :
x X= x 1
Ký hiệu
là ma trận tổng cầu ; với x 1 là giá trị tổng cầu của ngành 1, x 2 là
2
giá trị tổng cầu của ngành 2.
Theo giả thiết ma trận cầu cuối b có dạng :
1 b= 2
Theo công thức tính ma trận tổng cầu (***) ta có X = (E – A) -1.b Ta có
1 E −A = 0
0
0,2 − 1 0,4
0,3
0,8 = 0,1 − 0,4
− 0,3 0,9
− và ( E − A )
1
=
1 0,9
0,6 0,4
0,3 0,8
Do đó
1 0,9 0,3 1 2 X= . . = 0,6 0,4 0,8 2 1 /3
Vậy giá trị tổng cầu của ngành 1 là x 1 = 25 tỷ đồng Giá trị tổng cẩu của ngành 2 là x 2 = 100/3 tỷ đồng
Ví dụ 2. Giả sử trong một nền kinh tế có 3 ngành sản xuất: ngành 1, ngành 2, ngành 3. Biết ma trận hệ số kỹ thuật là: 0,4 A = 0,2 0,1
0,1
0,2
0,3
0,2
0,3
0,4
với giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của từng ngành thứ tự là 40, 40 và 110 (đơn vị tính: nghìn tỷ đồng). Hãy xác định giá trị tổng cầu của từng ngành sản xuất.
Giải: Ta có
Và
1 E −A = 0 0
(E −A )
−1
0 1 0
0
0,4 0 − 0,2 1 0,1
0,41 1 . 0,16 = 0, 2 0,15
0,15
0,1 0,3 0,4
0,2
0,6 0,2 = − 0,2 0,3 − 0,1
0,16
0, 40
0,16
0,25
0,40
Vậy ma trận tổng cầu được xác định bởi
− 0,1 0,7
− 0,4
− 0,2 − 0,2 0,7
x1 0,4 0,1 0,1 4 2 1 X x2 .0,1 4 0,1 .4 2 0, 2 x3 0,1 02 ,4 1 3 Vậy giá trị tổng cầu của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là x 1 =200 tỷ đồng, x 2 = 200 nghìn tỷ đồng và x 3 = 300 nghìn tỷ đồng.
2. Mô hình cân bằng thị trường n hàng hoá có liên quan Giả sử chúng ta nghiên cứu thị trường bao gồm n hàng hoá có liên quan: hàng hoá 1, 2, … , n. Khái niệm này được hiểu là khi giá của một mặt hàng nào đó thay đổi thì nó không những ảnh hưởng tới lượng cung ( Q S ) và lượng cầu ( Q D ) của i
i
bản thân mặt hàng đó, mà còn ảnh hưởng đến giá và lượng cung, lượng cầu của mặt hàng còn lại. Người ta thường biểu diễn sự phụ thuộc của lượng cung và lượng cầu vào giá của các mặt hàng hoá bời hàm cung và hàm cầu như sau: Q Si = S i (P1 , P2 ,..., Pn ) Q D i = D i ( P1 , P2 ,..., Pn )
i = 1, 2, 3, … , n Ở đây, P1, P2, … , Pn ký hiệu theo thự tự là giá của hàng hoá 1, 2, ... , i, ... , n Mô hình cân bằng thị trường n hàng hoá có liên quan được xác định bởi:
QS = Q D i = 1, 2, 3,. . n. , i
i
Nếu giả thiết các
Q Si , Q D i
(i =1, 2, 3, ... , n) có dạng tuyến tính thì mô hình trên
chính là một hệ gồm có n phương trình và n ẩn số P 1, P2, ..., Pn. Giải hệ phương trình trên ta tìm được bộ giá cân bằng thị trường: P
( P 1 , P 2 , ..., P n )
=
Thay vào Q
=
Q Si ( Q D i ) chúng ta thu được lượng
cầu cân bằng thị trường:
(Q1 , Q 2 , ..., Q n )
Ví dụ 3. Cho biết hàm cung, hàm cầu của thị trường hai loại hàng hoá như sau: ;
Q Di
=
1 + 2P2 ;
Q S2
= 11 + P1 − P2
Q S1
= −2 + 3P1
Q S2
= −
Ở đây:
Q S1 ; Q S2
Q D1 ; Q D 2
8 − 2P1
+
P2
là lượng cung hàng 1, hàng 2
là lượng cầu hàng 1, hàng 2
P1, P2 là giá của hàng hoá 1, hàng hoá 2 Khi thị trường cân bằng hãy thiết lập hệ phương trình tuyến tính với ẩn số P 1 và P2. Xác định giá và lượng cân bằng của hai mặt hàng.
Giải Thiết lập phương trình
QS = QD 2 3P1 P8 1+−=+− P2 P1= 3 ⇔ ⇔ Q S = QD 1+− 2P2 1 P1−+= P2 1 P2 = 5 1 1
2 2
Vậy bộ giá cân bằng là
( P1 ; P 2 )
(3; 5)
=
Q1 = − 2 + 3P1 = 7 Lượng cầu cân bằng là Q 2 = − 1 + 2P 2 = 9 Ví dụ 4. Xét thị trường gồm 3 hàng hoá gồm chè, cafê, cacao có hàm cung và hàm cầu tương ứng như sau: Q S1
= −10 + P1 ;
Q S2
=
Q S3
= −
2P2 ; Q D 2
Q D1 =
=
20 − P1
40 − 2P2
5 + 3P3 2 ; Q D 3
=
−
− P3
(chè)
P3 (cafe)
10 + P2
−
P3
−
P1
(cacao)
Hãy thiết lập mô hình cân bằng thị trường của 3 loại hàng hoá trên. Xác định giá và lượng cafe ở trạng thái cân bằng thị trường.
Giải Thiết lập mô hình:
QS = QD 2P1 + P3 = 3 QS = QD ⇔ 4P2 + P3 = 4 P − P + 4P = 1 Q S = QD 1 2 3 1
1
2
2
3
3
Xác định giá và lượng cầu cân bằng ở thị trường cafe ta được P2
=
28 ; Q2 3
=
56 3
3. Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân Xét mô hình cân bằng thu nhập quốc dân ở dạng đơn giản, với các ký hiệu: Y là tổng thu nhập quốc dân, G là chi tiêu chính phủ, I là đầu tư và C là tiêu dùng của các hộ gia đình. Ở đây, chúng ta giả thiết chi tiêu chính phủ và đầu tư là cố định G = G o và I = Io còn chi tiêu hộ gia đình có dạng tuyến tính: C = aY + b (0
0) Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân có dạng hệ phương trình tuyến tính gồm
hai phương trình 2 ẩn số Y và C:
Y= Go Io ++ C Y C=− Go + Io C= A + b ⇔ Y − a C=+ Yb
Giải hệ bằng quy tắc Cramer chúng ta xác định được mức thu nhập cân bằng và mức tiêu dùng cân bằng của nền kinh tế:
G o + I o + b Y = 1 − a C = b + a (G o + I o ) 1− a Tiếp theo xét mô hình trong trường hợp thu nhập chịu thuế với thuế suất t% thường biểu diễn dưới dạng thập phân. Khi đó thu nhập sau thuế là: Yd
=
Y − tY
=
(1 − t )Y
và hàm chi tiêu có dạng: C = aY d + b = a(1 – t)Y + b Nếu xét mô hình còn chịu ảnh hưởng bởi yếu tố xuất khẩu X và nhập khẩu N.
Y = G o + I o + C + X − N Khi đó mô hình có dạng C = a(1 − t)Y + b Trong đó X và N có thể biểu biến là hàm của Y hoặc là giá trị cố định cho trước. Do vậy chúng ta vẫn biến đổi đưa mô hình về hệ gồm hai phương trình ẩn Y và C.
Ví dụ 5. Cho biết C = 0,80Y d + 250, I = I o, G = Go, Yd = (1- t)Y ( t là thuế suất thu nhập) a) Xác định mức thu nhập quốc dân và chi tiêu cân bằng b) Tính mức thu nhập quốc dân và chi tiêu cân bằng với I o = 150 ; Go = 500 (đơn vị : tỷ VNĐ) và t = 0,15
Giải Đầu tiên xác định mô hình cân bằng
Y = G o + Io + C Y − C = G o + Io ⇔ C = 0,8Y + 2 5 − 0,8(10− t)Y + C = 2 a) Thu nhập quốc dân và chi tiêu cân bằng là
G o + Io + 2 5 0 Y = 1 − 0,8(1 − t ) C = 0,8(1 − t ) (G o + I o ) + 2 5 1 − 0,8(1 − t ) b) Với I o = 150 ; Go = 500 ; t = 0,15 ta có
1 5 0+ 5 0 0+ 2 5 0 9 0 0 Y = 1 − 0,8(1 − 0,1 5) = 0,3 2 = 2 8 1 ,25 C = 0,8(1 − 0,1 5) (1 5 0+ 5 0 0) + 2 5 0= 6 9 2= 2 1 6 ,25 1 − 0,8(1 − 0,1 5) 0,3 2 4. Mô hình IS – LM Dùng mô hình IS – LM để phân tích trạng thái cân bằng của nền kinh tế chúng ta xem xét cả hai thị trường hàng hoá và tiền tệ. Một trong những yếu tố quan trọng ảnh hưởng đến cả hai thị trường này là lãi suất r. Mục tiêu của chúng ta là phải xác định được mức thu nhập quốc dân và lãi suất ở trạng thái cân bằng. Xét thị trường hàng hoá với các yếu tố gồm chi tiêu chính phủ G = G o. Chi tiêu hộ gia đình C = aY + b (0 0) (hoặc C = a(1-t)Y +b ; t là thuế suất thu nhập) đầu tư I = k – lr (k, l > 0)
Y = C + I + Go = aY + b + k –lr +Go ⇔
(1 –a)Y + lr = b + k + G o
(1)
(1) gọi là phương trình đường IS Xét thị trường tiền tệ với các yếu tố: Lượng cầu tiền L = L(Y, r) = mY – nr (m, n > 0) và lượng cung tiền M = M o (được định trước). Phương trình cân bằng của thị trường tiền tệ có dạng: L
=
M
⇔
mY − nr = M o
(2)
(2) được gọi là đường LM Để xác định mức thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng
Y
và
thiết lập hệ phương trình 2 ẩn Y và r được gọi là mô hình IS – LM:
(1 − a)Y + l r= b + k + G o m Y− n r= M o
Giải hệ này ta được
n( b + k + G o ) + lMo Y = n(1 − a) + m l r = − (1 − a)M o + m( b + k + G o ) n(1 − a ) + m l
Ví dụ 6. Xét mô hình IS – LM với C = 0,6Y + 35 I = 65 – r G = Go L = 5Y – 50r M = Mo
r
chúng ta
a) Xác định mức thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng: b) Tính
Y
và
r
Y
và
r
khi Go = 70; Mo = 1500 (nghìn tỷ VNĐ)
Giải a) Phương trình đường IS: Y = C + I + Go = 0,6Y + 35 + 65 – r +Go ⇔
0,4Y + r = 100 + Go
Phương trình đường LM:
L
=
Mo
⇔ 5Y − 50 r =
Mo
0,4Y + r = 1 0 + 0G o Giải hệ phương trình ta được 5Y − 5 r0 = M o 5 0 0+05 0G o + M o Y = 25 r = 5 0 0+ 5G o − 0,4M o 25 b) Với G o = 70 và Mo = 1500 ta có
5 0 0+05 0G o + M o 5 0 0 +03 5 0 +01 5 0 0 1 0 0 0 0 = = = 40 Y = 25 25 25 r = 5 0 0+ 5G o − 0,4 M o = 2 5 0= 1 0 25 25 Tài liệu tham khảo 1. Lê Đình Thuý (chủ biên), Toán cao cấp cho các nhà kinh tế - Phần 1, NXB ĐHKT Quốc dân, 2008.
2. Nguyễn Huy Hoàng (Chủ biên), Toán cao cấp - Tập 1 (Đại số tuyến tính),
NXB Giáo dục Việt Nam, 2009. 3. Alpha C. Chiang ,Fundamental Methods of Mathematical Economics, Mc. Graw – Hill Book Copany, 1984.
