REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO “SANTIAGO MARIÑO”
SEDE BARCELONA ESCUELA DE INGENERIA ELECTRICA
ARREGLO BIDIMENCIONAL DE NÚMEROS.
PROFESOR:
Ing. Ramón A. Aray L. Ing. de Sistemas
BARCELONA, 1 DE SEPTIEMBRE DEL 2017
ALUMNO: Jesús D. Arechider CI. V-20.875.751
INDICE 1 CONTENIDO DE MATRICES. 2
Introducción a las Matrices. .................................................................................................... 4
3
Definición de Matrices. ................................................ .................................................................................................... ........................................................... ....... 5
4
Tipos de Matrices. .............................................. ................................................................................................... ..................................................................... ................ 5 4.1
4.1.1
Matriz Columna. ....................................................................................................... 5
4.1.2
Matriz Fila:................................................................................................................ 6
4.1.3
Matriz Cuadrada........................................................................................................ 6
4.1.4
Matriz Traspuesta...................................................................................................... 6
4.1.5
Matriz Simétrica........................................................................................................ 6
4.1.6
Matriz Anti-simétrica. ..................................................... ............................................................................................... .......................................... 6
4.2
5
Según la Forma: ............................................................................................................... 5
Según los Elementos: ....................................................................................................... 7
4.2.1
Matriz Nula. .............................................................................................................. 7
4.2.2
Matriz Diagonal. ....................................................................................................... 7
4.2.3
Matriz Escalar. .......................................................................................................... 7
4.2.4
Matriz Unidad o Identidad. ...................................................... ....................................................................................... ................................. 7
4.2.5
Matriz Triangular. ..................................................................................................... 7
Operaciones con Matrices. ................................................... ...................................................................................................... ................................................... 8 5.1
Transposición. .................................................................................................................. 8
5.1.1 5.2
Suma y Diferencia. ................................................ .................................................................................................... ........................................................... ....... 8
5.2.1 5.3
Propiedades de la transposición. ............................................................................... 8 Propiedades de la suma de matrices, ................................................. ......................................................................... ........................ 9
Productor de una matriz por un escalar. ................................................... ........................................................................... ........................ 9
5.3.1
Propiedades del Producto escalar.............................................................................. 9
5.3.2
Propiedades Simplificativas del producto escalar..................................................... 9
5.4
Producto de matrices. ....................................................................................................... 9
5.4.1
Propiedades del producto de matriz. ....................................................................... 10
5.4.2
Consecuencias de las propiedades. ......................................................................... 10
5.5
Invisibilidad. ................................................ ..................................................................................................... ................................................................... .............. 10
5.5.1
Propiedades de la Inversión de una Matriz. ............................................................ 11
6
Diferencia entre matrices matric es y Determinantes. .................................................... .......................................................................... ...................... 11
7
Submatrices y Bloques. ................................................ .................................................................................................... ......................................................... ..... 11 7.1
Submatriz. ...................................................................................................................... 11
7.2
Bloques:.............................................. .................................................................................................... ............................................................................ ...................... 13
8
Conclusión a las matrices...................................................................................................... 15
9
Bibliografía Utilizada............................................................................................................ 16
INTRODUCCION 2 INTRODUCCIÓN A LAS MATRICES. Las matrices en general es un conjunto de números naturales ordenados en formas de filas y columnas, el orden “mxn”, a un conjunto rectangular de los elementos que están dentro de ellas. Las matrices se utilizan con gran utilidad para resolver cálculos matemáticos en resolución a sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. También se utilizan para el estudio de ecuaciones lineales, apareciendo en sí de forma natural en la geometría, economía, informática, estadística física, etc. Las matrices están compuestas por 2 tipos, según su forma y según sus elementos que se encuentran en ellas, estos tipos nos ayudan a saber cómo está formada la matriz para poder aplicar la operación correcta deseada, y saber si esta puede o no llegar a una solución so lución de alguna operación esperada. Las operaciones en las matrices al igual que en los números naturales son muy parecidas, estas pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, pero en cambio tiene propiedades de inversas, traspuestas. Etc. Las matrices se encuentran en todos lados y estas son aplicables en prácticamente muchos tipos de sistemas de ecuaciones, para la resolución de problemas y conflictos, hasta los lenguajes de programación son más realmente utilizados para guardar variables, crear variables, etc.
DESARROLLO 3 DEFINICIÓN DE MATRICES. En matemática, En matemática, una matriz es un arreglo bidimensional arreglo bidimensional de números. de números. Dado que puede definirse tanto la suma como el producto de matrices, en mayor generalidad se dice que son elementos de un anillo. un anillo. Una Una matriz se representa por medio de una letra mayúscula (A,B..) y sus elementos con la misma letra en minúscula (a,b...), con un doble subíndice donde el primero indica la fila y el segundo la columna a la que pertenece.
Se llama también matriz de Orden “m x n” a un conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una matriz y también se denomina dimensión o tamaño, siendo m y n números naturales.
4 TIPOS DE MATRICES. Se describirán los tipos de matrices más utilizados y vistos, que aparecen debido a su frecuencia por su gran utilidad.
4.1 SEGÚN LA FORMA: Es una matriz que solo tiene una columna. EJEMPLO:
Es una matriz que solo tiene una Fila. EJEMPLO: Es aquella que tiene igual números n de filas que de columnas (n=m). En ese caso se dice que es una matriz de orden n. EJEMPLO:
Dada una matriz A, su matriz se representa por At, la cual se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera columna de A t, la segunda fila de A es la segunda columna de At y así sucesivamente. De la definición se deduce que, si A es de orden m x n, entonces At es de orden n x m. EJEMPLO:
ENTONCES:
Una matriz cuadrada A es simétrica si A=At, es decir a j = a j. EJEMPLO:
Una matriz cuadrada se dice que es anti simétrica si A = – At, es decir aij= -a ji. EJEMPLO:
4.2 SEGÚN LOS ELEMENTOS: Es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0. EJEMPLO: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos. EJEMPLO:
Es una matriz diagonal (y, en consecuencia, una matriz cuadrada) con todos los elementos de la diagonal iguales. EJEMPLO:
Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1. Se denota por el símbolo I o In. EJEMPLO:
Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos. Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, a j =0, i < j. Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, a j = 0, j < i.
EJEMPLOS:
5 OPERACIONES CON MATRICES. Existe una gran variedad de operaciones aplicadas a matrices, entre las más utilizadas y de gran utilidad son:
5.1 TRANSPOSICIÓN. Dada una matriz de orden mxn, A = [ aij ], se llama matriz traspuesta de A y se representa por At, a la matriz que se s e obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) vicevers a) en la matriz A Ejemplo:
1) Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única. 2) (At) t = A.
5.2 SUMA Y DIFERENCIA. La suma de dos matrices A = [ aij ], B = [ bij ] de la misma dimensión, es otra otr a matriz S = [ sij ] de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico sij = aij + bij. or tanto, para poder sumar s umar dos d os matrices matrice s estas deben tener ten er la misma dimensión. La suma de matrices A y B se denota por A+B.
1. 2. 3. 4.
A+(B+C) = (A+B) +C (propiedad asociativa). A+B = B+A (propiedad conmutativa). A+0 = A (0 es una matriz nula). La matriz – A, A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A +(-A) =0. 5. La diferencia de matrices A y B se representa y define como: A-B.
5.3 PRODUCTOR DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR . El producto de una matriz A = [ aij] por un número real k es otra matriz, B = [ bij ] de la misma dimensión que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij por k, es decir, bij = kaij.
El producto de la matriz A por el número real k se designa por k·A. Al número real k se le llama también escalar, y a este producto, producto de escalares por matrices. 1. 2. 3. 4.
k (A + B) = k A + k B (propiedad distributiva 1ª). (k + h)A = k A + h A (propiedad distributiva 2ª). k (h A) = (k h) A (propiedad asociativa mixta). 1·A = A (elemento unidad).
1. A + C = B + C ⇒ A = B. 2. k A = k B ⇒ A = B si k es distinto de 0. 3. k A = h A ⇒ h = k si A es distinto de 0.
5.4 PRODUCTO DE MATRICES. Se requiere que el número de columnas de A debe coincidir con de B el número de filas de para que esta multiplicación sea posible. Así, si A tiene dimensión mxn y B, dimensión nxp la matriz P será de orden: mxp.
El elemento de la fila 1 y columna 1 de AB (es ( es decir, ) proviene de la sumatoria del producto de un elemento de la fila 1 de A por otro elemento de la columna 1 de B, de la multiplicación y asi sucesivamente hasta obtener.
Y así sucesivamente hasta obtener todas las ecuaciones. Hasta obtener el resultado final.
1. A·(B·C) = (A·B)·C. 2. El producto de matrices en general no es conmutativo (AB no es necesariamente es igual a BA). 3. Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene A·In = In·A = A. 4. Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe ex iste otra matriz B tal que A·B = B·A = In. Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se representa r epresenta por A – 1. 5. El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir: A·(B + C) = A·B + A·C. 1. 2. 3. 4.
Si A·B= 0 no implica que A=0 ó B=0. Si A·B=A·C no implica que B = C. En general (A+B)2=A2 + B2 +2AB, ya que A·B ≠ B·A. En general (A+B)·(A – B) B) = A2 –B2, ya que A·B ≠ B·A.
5.5 INVISIBILIDAD. Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es inversible o regular; en caso contrario recibe el nombre de singular.
1. 2. 3. 4. 5. 6.
La matriz inversa, si existe, es única. A-1A=A·A-1=I. (A·B) -1=B-1A-1. (A-1)-1=A. (kA)-1=(1/k·A)-1. (At ) – 1=(A-1)t. – 1=(A-1)t.
6 DIFERENCIA ENTRE MATRICES Y DETERMINANTES. Matriz: Una matriz es un arreglo bidimensional de números (llamados entradas de la matriz) ordenados en filas (o renglones) y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. Determinante: Un determinante es un número real o escalar asociado a una matriz y su cálculo depende del orden de la matriz cuadrada en análisis. A toda matriz cuadrada se le puede hallar el determinante, este es un numero. A una matriz se le puede calcular el Determinante. El determinante es una operación a aplicar (comúnmente) a una matriz. y hay varias formas de calcularla dependiendo dep endiendo el orden de la matriz: matriz : 3x3, 4x4, etc. teniendo en cuenta que esa es a matriz debe ser cuadrada. el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas los sistemas de ecuaciones lineales.
7 SUBMATRICES Y BLOQUES. 7.1 SUBMATRIZ. En matemáticas, En matemáticas, una submatriz es una matriz una matriz formada por la selección de ciertas filas y columnas de una matriz más grande. Es decir, como un array, en el que se cortan las entradas limitadas por fila y columna.
Si suprimes las filas 2 y 4 y/o las columnas 2, 3 y 5 obtienes una nueva matriz, esta nueva matriz recibe el nombre de submatriz de la dada. Dada una matriz A se dice submatriz a la matriz que resulta de suprimir algunas de sus filas y/o de sus columnas.
EJEMPLO: Consideremos la matriz:
Suprimiendo las filas 2 y 4 obtenemos la submatriz.
Suprimiendo ahora en B la columna 3 obtenemos la submatriz.
Suprimiendo en A:
En las filas 1 y 3 y las columnas 2 y 4 obtenemos la submatriz
7.2 BLOQUES: Si suprimes las filas 1 y 2 y las columnas 4 y 5 de una matriz A obtienes una submatriz entresacada de A como un bloque. Precisamente este es el nombre que recibe este tipo de submatrices. Las filas y columnas del bloque corresponden a filas y columnas consecutivas de A.
Dada una matriz A se dice bloque a una submatriz que corresponda a índices de filas y columnas consecutivos. Más aún, si ahora suprimes las filas 1 y 4 y las columnas 1, 4 y 5 el bloque obtenido ocupa la parte diagonal de la matriz A. Recibe el nombre de bloque diagonal. Las filas y columnas del bloque provienen de lugares iguales en A: son la fila y columna 2 y 3.
Dada una matriz A se dice bloque diagonal a un bloque que corresponda a índices de filas y columnas iguales. EJEMPLO: Considerando la matriz A:
Suprimiendo las filas 2 y 4 obtenemos la submatriz
Suprimiendo ahora en B la columna 3 obtenemos la submatriz
Estas submatrices B y C de A no son bloques. En cambio.
Sí es un bloque de A, pero no es un bloque diagonal. Finalmente:
CONCLUSION 8 CONCLUSIÓN A LAS MATRICES. Entre las principales clases de matrices están: Fila, columna, rectangular, traspuesta, opuesta, nula, cuadrada, diagonal, escalar, simétrica, identidad, triangular, etc. Mediante el uso de las matrices se resuelven sistemas de ecuaciones lineales, además se resalta la importancia que tienen en la resolución de problemas de la vida cotidiana con lo cual se llega a dar una solución exacta y mejores resultados en un determinado proceso.
Las matrices en la vida cotidiana son aplicables desde un sistema de ecuaciones de ganancias hasta grandes sistemas de ecuaciones. Con ayuda de la determinante para la solución de dichos problemas, el aprendizaje de las operaciones y saber a identificar con qué tipo de matriz trabajamos es muy importante, ya que ambas van asociadas a los procesos de resoluciones de problemas planteados.
BIBLIOGRAFIA 9 BIBLIOGRAFÍA UTILIZADA. Matrices (27 de julio de 2017). En línea Web. Fundación Wikimedia, Inc., Disponibilidad en: es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas) Submatrices (12 de marzo de 2013). En línea Web. Fundación Wikimedia, Inc., Disponibilidad en: es.wikipedia.org/wiki/Submatriz Submatrices y Bloques (fecha desconocida). En línea Web. Libro Electrónico de Matemáticas lemat.Unican. Disponibilidad en: www.lemat.unican.es/lemat/proyecto_lemat/matrices/nivel3/teoria/matrices7.htm Matemáticas Para Economistas (publicación desconocida). Libro PDF Online. Carlos Orihuela Romero. Disponibilidad en: https://www.yumpu.com/es/document/view/30503016/capitulo-2-matrices-y-determinantes/27 Conceptos de matriz (11 de nov. de 2009). En línea Web. Slideshare. Jose Willians Flores. Disponibilidad en: https://es.slideshare.net/ronaldiwily/conceptos-de-matriz Ejemplos de bibliografía en APA (4 enero de 2012). En línea Web. Slideshare. La fenesh. Disponibilidad en: https://es.slideshare.net/anafenech/modelo-apa-bibliografia
