De*icatoria
0
sta mono ono#ra% #ra%ía ía esta esta dedi dediccada ada a nes nestr tros os &adres 'a (e #racias a ellos &odemos estar en esta &resti#iosa institci)n ' &oder llen llenar arno noss de cono conoci cimi mien ento toss* &or &or s #ran #ran es%erzo ' dedicaci)n en constrir hom+res de +ien ' &or inclcarnos +enas cosas día a día. , nestros hermanos &or ale#rarnos la con!i!encia en el ho#ar* &or ser con (ienes a&rendemos ' crecemos jntos ' &or el #ran amor (e nos re#alan sin cond condic icio ione ness.-am+i am+in n está está dedi dedica cada da a nes nestr tros os maestros 'a (e con ellos se#imos creciendo inte intele lecctal talme ment nte e* #rac #racia iass a nes nestr tro o diri diri#e #en nte de mono#rafa Lic. Gonzalo Lojan &or #iarnos en esta eta&a academica. , nestros com&a/eros con (ienes a diario com&artimos momentos de estdio* de ale#ría ' de a&o'o &o'o mto to** a nes nestr tros os demá demáss ami# ami#os os con con (ienes com&artimos %era de las alas 'a (e son &art &arte e de nes nestr tra a !ida !ida ' con con (ie (iene ness com& com&ar arti timo moss nes nestr tros os anelos anelos ' meta metass %t %tra ras. s. ,sí mismo mismo (iero (iero dedicar este tra+ajo a nestros a+elitos ' tios 'a (e s a&o'o ' +enos consejos nos han &ermitido se#ir lchando &ara alcanzar nestras metas.
1 2
De*icatoria
0
sta mono ono#ra% #ra%ía ía esta esta dedi dediccada ada a nes nestr tros os &adres 'a (e #racias a ellos &odemos estar en esta &resti#iosa institci)n ' &oder llen llenar arno noss de cono conoci cimi mien ento toss* &or &or s #ran #ran es%erzo ' dedicaci)n en constrir hom+res de +ien ' &or inclcarnos +enas cosas día a día. , nestros hermanos &or ale#rarnos la con!i!encia en el ho#ar* &or ser con (ienes a&rendemos ' crecemos jntos ' &or el #ran amor (e nos re#alan sin cond condic icio ione ness.-am+i am+in n está está dedi dedica cada da a nes nestr tros os maestros 'a (e con ellos se#imos creciendo inte intele lecctal talme ment nte e* #rac #racia iass a nes nestr tro o diri diri#e #en nte de mono#rafa Lic. Gonzalo Lojan &or #iarnos en esta eta&a academica. , nestros com&a/eros con (ienes a diario com&artimos momentos de estdio* de ale#ría ' de a&o'o &o'o mto to** a nes nestr tros os demá demáss ami# ami#os os con con (ienes com&artimos %era de las alas 'a (e son &art &arte e de nes nestr tra a !ida !ida ' con con (ie (iene ness com& com&ar arti timo moss nes nestr tros os anelos anelos ' meta metass %t %tra ras. s. ,sí mismo mismo (iero (iero dedicar este tra+ajo a nestros a+elitos ' tios 'a (e s a&o'o ' +enos consejos nos han &ermitido se#ir lchando &ara alcanzar nestras metas.
1 2
Agra*ecimiento
,
#radecemos a Dios &or darnos la sald* &or ser l (ien con s &rotecci)n hace %rtil nestro caminar en esta !ida. eremos a#radecer a todo todoss nes nestr tros os maes maestr tros os &or &or ense ense/a /arrnos nos a !alorar los estdios ' a s&erarnos cada día* tam+in a#radecemos a nestros &adres &or(e ellos han estado en los días más di%íciles de nestra !ida como estd tdiantes tes* dándo ndonos el im&lso lso nece necessari ario &ara continar con nestra &re&araci)n acadmica. , nestros com&a/ com&a/er eros* os* #raci #racias as &or ser &arte &arte de esta esta eta& eta&a a de %orm %ormac acio ion n acad acadm mic ica a ' &or &or ser ser #ran #rande dess ami# ami#os os ' com&lices en cada na de las +enas cosas (e !i!imos dentro ' %era del cole#io. 0stamos se#ros (e nestras metas &lanteadas darán %rto en n %tro ' &or ende de+emos es%orzarnos cada día &ara ser mejores en el cole#io ' en todo l#ar sin dejar de lado los !alores de la mil mildad dad ' $es&o es&onsa nsa+i +ililida dad d (e (e nos han inclca inclcado do &or(e stas en#randecen al ser hmano.
1 2
Objetivos Objetivo Genera( Defnir Defn ir * cono onocer cer ' ent entende enderr los los con conce&t ce&to os +ásic ásico os de la Cinemá Cinemátic tica a traslac traslacion ional* al* des&la des&lazam zamien iento* to* tra'ec tra'ector toria* ia* distan distancia cia** !elocidad ' aceleraci)n* así como s a&licaci)n en nestra !ida diaria.
Objetivos Es'ec+,cos Inter&r Inter&reta etarr en (e consist consiste e la cinemá cinemátic tica a ' los di%er di%erent entes es ti&os de mo!imientos. ,nalizar la im&ortancia de la cinemática en la !ida cotidiana tiliz tilizand ando o conoci conocimie miento ntoss esenci esenciale aless relac relacion ionado adoss con los ti&os de mo!imiento. Demostr Demo strar ar con con n ejem ejem&l &lo o de mo!im mo!imie ient nto o al#n al#no o de los los +enefcios (e nos +rinda la Cinemática. •
,naliz ,nalizar* ar* &lante &lantear ar ' resol! resol!er er ejerc ejercici icios os re%er re%erent entes es al tema tema haciendo so de los elementos ad(iridos a tra!s de la &resente in!esti#aci)n.
1 2
Res-men La ecánica se oc&a de las relaciones entre los mo!imientos ' las casas (e los &rodcen. 4e di!ide en tres &artes5 Cinem.tica /e *escribe e( movimiento* Dinámica (e estdia el mo!imiento ' ss casas ' Estática (e estdia las %erzas ' el e(ili+rio de los cer&os. La descri&ci)n matemática del mo!imiento constit'e el o+jeto de na &arte de la %ísica denominada cinem.tica. -al descri&ci)n se a&o'a en la defnici)n de na serie de ma#nitdes (e son características de cada mo!imiento o de cada ti&o de mo!imientos. Los mo!imientos más sencillos son los rectilíneos ' dentro de stos los ni%ormes. Unos ' otros han sido estdiados desde la anti#6edad a'dando al hom+re a %orjarse na ima#en o re&resentaci)n del mndo %ísico. La cinemática es la &arte de la %ísica (e estdia c)mo se me!en los cer&os sin &retender e7&licar las casas (e ori#inan dichos mo!imientos.
0n el &resente tra+ajo mono#ráfco conoceremos na serie de conce&tos necesarios &ara la correcta inter&retaci)n de los %en)menos del mo!imiento como5 8osici)n* o!imiento* a#nitd* -ra'ectoria* Distancia* $a&idez 9edia* Instantánea ' 8romedio: ' ;elocidad9Constante ' ;ariada:. 0l mo!imiento es na !ariaci)n de la &osici)n de n cer&o. Cando el m)!il descri+e na línea recta es n <;II0=-< $0C-IL>=0<* dentro de dicho mo!imiento encontramos 2 ti&os de mo!imiento5
1 2
1. 0ovimiento reti(+neo 1ni2orme3% Un cer&o decri+e n mo!imiento rectilíneo ni%orme cando s tra'ectoria descri+e na línea recta ' s ra&idez es constante. 2. 0ovimiento 4aria*o3% 0s el de n m)!il c'a !elocidad no es consante. Dentro de esta clase de mo!imiento estdiaremos además la caída li+re de los cer&os ' el mo!imiento retardado c'a eceleraci)n es ne#ati!a. Le#o de lle!ado a ca+o el &resente tra+ajo* al desarrollar cada no de ss &asos* con el constante es%erzo entre#ado al mismo* se ha lle#ado al fnal de este interesante ' enri(ecedor &roceso en el cal hemos tratadado de dar a conocer de la manera más sencilla ' de %ácil com&rensi)n lo concerniente a la Cinemática.
Índice
1 2
<+jeti!os???????????????????????? ???????????? $esmen???????????????????????? ???????????? >ndice?????????????????????????? ???????????? Introdcci)n?????????????????????? ????????????
4 5 6 7 8
9 CAPIT1LO # 10 11 #3 Cinemática 11 #3#3 @ es 11 cinematicaA..................................................... 11 ..... 12 #3!3 a#nitd?????????????????? 14 ?????????. #3!3#3 a#nitdes escalares???????????????? ??. 14 #3!3!3 a#nitdes !ectoriales???????????????? 15 ?. #353 -ra'ectoria????????????????? 18 ?????????.. #3$3 Distancia o 23 des&lazamiento??????????????? 23 25 ?? #3&3 $a&idez??????????????????? 26 ?????????.. #363 ;elocidad?????????????????? ?????????. 29 30 !3 0ovimiento3
!3#3 o!imiento rectilíneo?????????????????? ??
33
36 !3#3#3 o!imiento rectilíneo 37 38 ni%orme????????????. !3#3#3#3 0jercicios de 39
1 2
a&licaci)n?????????????. !3#3!3 o!imiento !ariado????????????????? ?? !3#3!3#3 ;elocidad media??????????????? ?.. !3#3!3!3 ;elociadad instantánea???????????? ? !3#353 o!imiento rectilíneo ni%ormemente !ariado???.. !3#353#3#3 o!imiento rectilíneo ni%ormemente acelerado????????????? ???????.. !3#353#3#3#3 Caída li+re??????????? ??? !3#353#3!3 o!imiento rectilíneo ni%ormemente retardado????????????? ?????....... 53 Conclciones??????????????????? ??????????? $3 $ecomendaciones???????????????? ??????????? &3 Certifcado del ,sesor?????????????????????? ??.. 63 Bi+lio#ra%ía???????????????????? ???????????
1 2
Intro*cción , diario o+ser!amos* &erci+imos ' !emos mo!imientos de di!ersos cer&os en infnitas direcciones* &or ejem&lo cando o+ser!amos n atom)!il mo!erse a determinada !elocidad* cando n #lo+o se ele!a en el aire* cando n a!i)n si#e na línea recta en el cielo* etc? -odos los cer&os en mo!imiento antes mencionados &eden ser o+jeto de estdio de+ido a (e están inmersos en el cam&o de na ciencia desconocida &ara mchos ' (e está &resente en todos los cer&os (e se me!en* dicha ciencia se denomina Cinemática ' en este tra+ajo in!esti#ati!o !amos a conocer de %orma sintetizada ' &recisa s defnici)n* ss le'es ' ss &rinci&ales elementos. La elecci)n de este tema es&ecífco nos &ermitirá tam+in conocer el mo!imiento5 $ectilíneo* no solo ss conce&tos sino tam+in s a&licaci)n.
1 2
Ca'+t(o # La Cinem.tica
#3#3 789 es (a cinem.tica
1 2
La cinem.tica 9#rie#o kineo→ mo!imiento: es la rama de la %ísica (e estdia las le'es del mo!imiento de los cer&os sin considerar las casas (e lo ori#inan 9las %erzas: ' se limita* esencialmente* al estdio de la tra'ectoria en %nci)n del tiem&o. 8ara la cinemática es &rimordial defnir na serie de conce&tos (e &ermiten la inter&retaci)n de los %en)menos del mo!imiento* (e son5 Posición3 La &osici)n de n cer&o está defnida desde la %ísica &or las coordenadas del &nto oc&ado &or este* en determinado momento* así las coordenadas 9 x,t : defnen la &osici)n &ara na dimensi)n* 9 x,y,t : &ara dos dimensiones ' 9 x,y,z,t : &ara las tres dimensiones donde 9 x, y, z) son las coordenadas cartesianas ' t el &arámetro de la %ísica llamado tiem&o. Part+c(a Decimos (e n cer&o es na &artícla cando ss dimenciones son m' &e(e/as en com&araci)n con las demás dimensiones del sistema o (e &artici&an en el %en)meno. 8or ejem&lo* si n atom)!il de 3.m de lon#itd* se des&laza 1Em no &odrá considerarse como na &artícla &ero* si el mismo atom)!il !iaja de na cidad a otra (e dista nos 2m* la lon#itd del atom)!il será des&recia+le en relaci)n con esta distancia* ' en este caso el atom)!il &odrá ser considerado na &artícla. Cando n cer&o se &ede considerar como na &artícla* el estdio de s mo!imiento se sim&lifca +astante. 8or este moti!o* siem&re (e ha+lemos del mo!imiento de n o+jeto cal(iera 9a menos (e se indi(e lo contrario:* lo estaremos considerando como na &artícla. 0ovimiento3 0l mo!imiento es la !ariaci)n de la &osici)n de n cer&o res&ecto del marco de re%erencia ele#ido o a n &nto considerado fjo. Con el estdio de la cinemática* &odemos &redecir en ( l#ar se encontrará n cer&o* ( !elocidad tendrá al ca+o de cierto tiem&o* o tam+in* en (e la&so de tiem&o lle#ara a s destino.
1 2
0l mo!imiento es relati!o* s&on#amos (e n a!i)n* al !olar horizontalmente* deja caer na +om+a* si se o+ser!ara la caída de dicha +om+a estando dentro de la aerona!e* o+ser!aría (e cae se#Hn na línea !ertical. 8or otra &arte* si se est!iera de &ie so+re la s&erfcie de la tierra o+ser!ando la caída de la +om+a* se ad!ertiría (e al caer descri+e na tra'ectoria cr!a. 0n el &rimer caso* decimos (e el mo!imiento de la +om+a esta+a siendo o+ser!ado tomando como &nto de re%erencia al a!i)n '* en el se#ndo caso* desde na re%erencia en la tierra. 0ste ejem&lo nos demestra (e el mo!imiento de n cer&o* !isto &or n o+ser!ador* de&ende del &nto de re%erencia en el cal se halla sitado.
1 2
0s com'arar na cosa con otra* es decir* com&aramos na ma#nitd con otra &ero de s misma es&ecie. 0n nestra !ida diaria todos hemos medido al#o al#na !ez. emos medido nestra estatra con n metro* la !elocidad en na carrera con el !elocímetro* el tiem&o (e nos lle!a realizar n tra+ajo con el cron)metro* la cantidad de a#a (e ca+e en na +otella en centímetros cH+icos 9cm 3:* la tem&eratra de nestro cer&o con n term)metro* etc. 0so es medir* com&ararJ Clases de ma#nitdes5 #3!3# 0agnit* Esca(ar: 0s la medida (e s)lo re(iere n !alor nmrico sin nin#na orientaci)n es&acial. 4e caracteriza &or n nHmero ' s nidad de re%erencia. 0jm. masa* !olmen* lon#itd* ener#ía.
1 #* 3 #
Lon#itd5 2 m* 1m #3!3! 0agnit* 4ectoria(: 0s a(ella (e a mas de s ma#nitd ' nidad 9nHmero: necesita de na direcci)n ' sentido al mismo tiem&o. Una ma#nitd !ectorial se re&resenta con na letra cal(iera ' la Kecha horizontal so+re ella. 0jem&los5 <
A 4e lee !ector ,
<
B 4e lee !ector B
<
C 4e lee !ector C ??* etc.
#353 Tra;ectoria. La -ra'ectoria es el camino (e recorre n m)!il desde s &nto de &artida hasta s &nto de lle#ada ' se trata de na ma#nitd escalar5
1 2
m* m* etc. Las tra'ectorias &eden ser rectilíneas* cr!ilíneas ' circlares. #3$3 Distancia o *es'(a=amiento. La distancia es na ma#nitd !ectorial (e ne la &osici)n inicial con la fnal. ;ale mencionar (e la distancia recorrida ' el des&lazamiento s)lo coinciden si el mo!imiento es rectilíneo ' no ha' retroceso.
>* ? *2 ) *i
#3&3 Rapidez Un o+jeto en mo!imiento recorre na cierta distancia en n tiem&o determinado. Un ato* &or ejem&lo* recorre n cierto nHmero de il)metros en na hora. La ra&idez es na medida de (e tan a&risa se me!e n o+jeto. 0s la raz)n de cam+io en la (e recorre na distancia en cada nidad de tiem&o. $ecerda (e la e7&resi)n raz)n de cam+io indica (e estamos di!idiendo al#na cantidad de es&acio entre el tiem&o. La ra&idez se defne como la distancia recorrida &or nidad de tiem&o. ,(í la &ala+ra M&orM si#nifca Mdi!idido entreM. 0l #e&ardo es el animal terrestre más !eloz &ara recorrer distancia de menos de E metros* ' es ca&az de alcanzar na ra&idez má7ima de 1 mNh Cal(ier com+inaci)n de nidades de distancia ' de tiem&o (e sean Htiles ' con!enientes son !álidas &ara descri+ir na ra&idez. 8or ejem&lo5 illas &or hora 9miNh:. Oil)metros &or hora 9mNh:. Centímetros &or día 9(izá la ra&idez de n caracol en%ermo:. ,/os lz 9a&ro7imadamente P*QR S 112 m: &or si#lo.
1 2
-odas ellas son nidades !álidas de ra&idez. La dia#onal 9N: se lee como M&orM. 0n este tema saremos &rinci&almente la nidad de metros por segundo 9mNs:. $ecerda (e la distancia recorrida ' el des&lazamiento e%ectado &or n m)!il son dos ma#nitdes di%erentes. 8recisamente &or eso* cando las relacionamos con el tiem&o* tam+in o+tenemos dos ma#nitdes di%erentes. Rapidez media
La ra&idez media de n cer&o es la relaci)n entre la distancia total ' el tiem&o (e tarda en recorrerla. 4i la ra&idez media de n coche es T mNh* esto (iere decir (e el coche recorre na distancia de T m en cada hora. 8or ejem&lo5 4i n coche recorre 1E m en 3 horas* s ra&idez media es5 1E m N 3h E mNh $a&idez media Distancia recorrida -iem&o
Ra'i*e= instant.nea Un ato no se des&laza siem&re con la misma ra&idez. Un ato &ede recorrer na calle a EmNh* redcir s !elocidad a mNh en n semá%oro ' le#o amentarla a s)lo 3 mNh a casa del tráfco. 4e &ede sa+er la ra&idez del !ehíclo en cal(ier momento mirando el !elocímetro del mismo. La ra&idez en cal(ier instante se conoce como ra&idez instantánea. Un ato (e !iaja a EmNh &ede (izá mantener esa ra&idez drante n minto. 4i el ato continara a esa ra&idez drante na hora com&leta recorrería Em. 4i la conser!ara s)lo drante media hora* recorrería Hnicamente la mitad de esa distancia* es decir* 2E m. 0n n minto el ato recorrería menos de 1m.Ejem'(os: 0l !elocímetro de n ato &ro&orciona lectras de ra&idez instantáneas en miNh ' en mNh. Los od)metros indican las distancias en il)metros Odómetro.- Instrmento de medici)n (e calcla la distancia total o
&arcial recorrida &or n cer&o 9#eneralmente &or n !ehíclo: c'a nidad ha sido conf#rada 9metros* millas:.
1 2
Ra'i*e= Prome*io Cando al#ien &lanea realizar n !iaje en n ato* a mendo le interesa sa+er cánto tiem&o le tomará recorrer cierta distancia. Desde le#o* el ato no !iajará con la misma ra&idez drante todo el recorrido. ,l condctor s)lo le interesa la rapidez promedio &ara la totalidad del &ro'ecto. La ra&idez &romedio se defne como5 $a&idez &romedio distancia total recorrida N inter!alo de tiem&o La ra&idez &romedio se calcla con %acilidad. 8or ejem&lo* si recorremos na distancia de R il)metros en n tiem&o de 1 hora* decimos (e nestra ra&idez &romedio es de R il)metros &or hora 9R mNh:. < +ien* si recorremos 2Q il)metros en Q horas !eremos (e5 Distancia total recorrida 2Qm $a&idez &romedio Inter!alo de tiem&o Qh RmNh Es
<+ser!a (e cando la distancia en il)metros 9m: se di!ide entre n tiem&o en horas 9h:* la res&esta se o+tiene en il)metros &or hora 9mNh:. 8esto (e la ra&idez &romedio es la distancia recorrida di!ida entre el tiem&o total del !iaje* no indica las !ariaciones de ra&idez (e &eden ocrrir drante el tra'ecto. 0n la &ráctica e7&erimentamos di!ersas ra&ideces en la ma'oría de nestros !iajes* de modo (e la ra&idez &romedio sele ser m' di%erente de la ra&idez instantánea. "a sea (e ha+lemos de ra&idez &romedio o de ra&idez instantánea* nos re%erimos a la raz)n de cam+io a la cal se recorre na distancia.
#363 4e(oci*a* 0n el len#aje cotidiano em&leamos las &ala+ras ra&idez ' !elocidad de manera indistinta. 0n %ísica hacemos na distinci)n entre ellas. De manera m' sencilla* la di%erencia es (e la !elocidad es na ra&idez en na direcci)n determinada. Cando decimos (e n ato !iaja a R mNhora estamos indicando s ra&idez. 8ero si decimos (e n ato se des&laza a R mNh hacia el norte estamos es&ecifcando s !elocidad. La ra&idez descri+e ( tan a&risa se des&laza n o+jeto la !elocidad nos dice (e tan a&risa lo hace ' en ( direcci)n.
1 2
4 ecaci)n es5 ;elocidad 0s&acio recorrido
-iem&o em&leado
; e t
!3 0ovimientos !3#3 0ovimiento recti(+neo3 0s a(el en el (e el m)!il descri+e na tra'ectoria en línea recta. 4e#Hn lo descrito anteriormente* la tra'ectoria es na línea (e n m)!il descri+e drante s mo!imiento* los mo!imientos &eden ser5 a: 0n línea recta* es decir rectilíneo. +: c: 0n línea cr!a* o cr!ilíneos* los mismos (e &eden ser* circlares* si s tra'ectoria es na circn%erencia elí&ticos* si s tra'ectoria es na eli&se* &ara+)licos* si s tra'ectoria es na &ará+ola* en #eneral ado&ta el nom+re (e descri+e s tra'ectoria.
!3#3#3 0ovimiento Recti(+neo 1ni2orme@03R31 8ara estdiar este ti&o de mo!imiento* ! amos a re!isar el #rafco de !elocidad lineal5
1 2
0n este mo!imiento la !elocidad &ermanece constante 9recorre distancias i#ales en tiem&os i#ales:* es decir no ha' na !ariaci)n en la !elocidad 9s aceleraci)n es nla:. Finalmente si la tra'ectoria es na línea recta entonces el mo!imiento es rectilíneo ni%orme. De,nición *e( 03R313% Un cer&o descri+e n mo!imiento rectilíneo ni%orme cando s tra'ectoria descrita es na línea recta ' s ra&idez es constante. LA EC1ACI DE 4ELOCIDAD 1 ITE0A DE 1IDADE3 4iendo la !elocidad 4 constante* la &osici)n !ariará linealmente res&ecto del tiem&o* se#Hn la ecaci)n. De la ecaci)n de la !elocidad se &eden dedcir las %)rmlas de es&acio ' tiem&o. ; e t
e ; 7 t
e ;
ITE0A 0F @metro i(ogramo segn*o 0l nom+re del sistema está tomado de las iniciales de ss nidades %ndamentales. La nidad de (ongit* del sistema es5 0l metro5 0s na lon#itd i#al a la del metro &atr)n (e se
conser!a en la
se conser!a en la
1 2
0l segn*o5 4e defne como la TR*Qa!a. 8arte del día solar
medio. ITE0A C3G33 @cent+metro gramo segn*o3 0l sistema C3G33 llamado tam+in sistema ce#esimal* es sado &articlarmente en tra+ajos científcos. 4s nidades son s+mHlti&las del sistema .O.4. La nidad de (ongit*5 0s el CETJ0ETRO* o centsima &arte del metro. La nidad de masa5 0s el GRA0O* o milsima &arte del ilo#ramo. La nidad de tiem'o5 0s el EG1DO. Unidad/Sistema
C.G.S
M.K.S
Masa
g
Kg
Longitud
cm
m
Tiempo
s
s
Velocidad
cm/s
m/s
Aceleración
cm/s 2
m/s 2
0jem&los5
e Em t 2s 1 2
; Em 2.EmNs 2s
e 21m
e 1m 1m Es 2mNs
03F33
; 21m XmNs 3s
C
C3G3
e 1cm t 1s ; 1cm 1cmNs 1s
e Ecm t 2s ; Ecm 2EcmNs 2s
;
e 12cm ; 12cm 2QcmNs Es
An.(isis gra,co *e( 03R313 La #rafca a'da a inter&retar el ti&o de mo!imiento* de&endiendo de la relaci)n entre ma#nitdes* &ara el .$.U.* Las relaciones Htiles son5 a: 8osici)n V tiem&o 9WVt: +: ;elocidad V tiem&o 9;Vt: 0n todos los casos la ma#nitd de tiem&o de+e re&resentarse en el eje W &or(e es na !aria+le inde&endiente* mientras (e la &osici)n ' !elocidad en el eje " (e son !aria+les de&endientes. Gr.,ca Posición ) Tiem'o a: 0n este caso el m)!il arranca desde el ori#en o &nto de re%erencia ' se mantiene con la misma !elocidad drante todo el recorrido.
+: 0n este caso se analiza el mo!imiento del m)!il desde la &osici)n 1m* es decir* el m)!il no &arte del ori#en.
1 2
Gr.,ca ve(oci*a* ) tiem'o. De acerdo a las #ráfcas anteriores* esta se caracteriza &or5 a: La !elocidad no !aría con el tiem&o* &or esta raz)n la #ráfca es na línea horizontal 9&aralela al eje tiem&o:* en el caso a ' b el m)!il se me!e con na !elocidad de 1mNs drante todo el tiem&o. +: 0l área %ormada +ajo la recta &aralela al eje tiem&o* re&resenta el m)dlo del des&lazamiento. c: 4i la recta &aralela se encentra +ajo el eje tiem&o* re&resenta (e el m)!il está de re#reso. EKERCICIO DE APLICACI 0jercicio =Y 15 #3 1n atomóvi( marca a $" mM *rante $ min a continación va a N"mM *rante N min ; ,na(mente a 5!M *rante ! min3 Calclar5 a: Distancia o es&acio total recorrida en Om. +: La !elocidad media en mNmin* en mNh ' en mNs drante los 1Q mintos.
0m&ezaremos con la resolci)n de cada literal5 a Distancia Tota( recorri*a en Fm3 1. Detallamos los datos (e tenemos5
1 2
;332mNh
;1 QmNh
; 2 TmNh
- 1 Qmin
-3 2min
- 2 Tmin
2. ,hora* hacemos las con!ersiones con cada no de los tiem&os &ara las nidades re(eridas. -eniendo el -iem&o* &rocedemos a encontrar d, oc&ando la F)rmla5 e= V x t
d1 0.06 h
=
1 15
d;7t
;1
7
t1
;2
7
t2
;3
7
t3
h
d1 9QmNh: 7 .Rh d1 2.Rm
d2 0.13 h=
2 15
h
d2 9TmNh: 7 .13h d2 1.Rm
d3 =
0.03 h
1 30
h
d3 932mNh: 7 .3h d3 1.Rm 3. 8rocedemos a encontrar la distancia total5 d - d1 Z d2 Z d3 d - 2.Rm Z 1.Rm Z 1.Rm
1 2
*T? #$3!6m R3M b La ve(oci*a* me*ia en mMmin en mM ; en mMs *rante (os #$ mintos3
1. <+tenemos la ;elocidad 8romedio con el tiem&o dado5 [ ; 1Q.2 #3"#mMmin , m R ,
-rans%ormando a mNs5 a mNh [ ; 1Q.2 , m
1 7 ,m
< 4? , #63"mMs R!M A
-rans%ormamos
1min7 Rs [ ; 1Q.2 6#35mM , m R ,
0jercicio =o 25 #3 1na 'ersona camina N"m3 con na ve(oci*a* constante *e #36mMs corre otros N"m con ve(oci*a* tambi9n constante *e 53!mMs3 0ncontrar5 a: @Cál es el 8romedio de la ;elocidadA +: @Cánto tiem&o h+iera necesitado &ara recorrer la distancia total con la se#nda !elocidadA
1 2
c: @ distancia ha+ría recorrido con la 8rimera !elocidad drante 2 mintosA 8rimero* detallamos los datos (e tenemos5
d1 Tm [ ;1 1.RmNs
a)
d2 Tm [ ;2 3.2mNs
Prome*io *e (a 4e(oci*a* 1. 8ara encontrar la ;elocidad 8romedio* tenemos (e encontrar el tiem&o de cada na de las !elocidades recorridas* &or lo (e des&ejamos la F)rmla así5 ; e t
t
;
e ;
0ncontremos los t1 ' t2 con cada na de las !elocidades5 t1 Tm 3.2mNs
2Es
t2 Tm 1.RmNs
Es
2. ,hora smamos cada no se los tiem&os t1 ' t2.
t t1 Z t2 t 2E ZEs t XEs
3. -eniendo 'a el -iem&o 8romedio* &rocedemos a tilizar la %)rmla5
1 2
v= ⃗
d t
v= ⃗
160 m 75 s
=2.13 m / s R . /¿
b 7C.nto tiem'o 'ara recorrer (a Distancia Tota( con (a egn*a 4e(oci*a* 1. Detallamos las !aria+les (e tenemos5 t 2min 1R s dA v 1=1.6 m / s
2. Des&ejamos siem&re la %)rmla5 d d v = ; t = t v
0ncontramos los t 1 ' t2 con cada na de las !elocidades5 t 1 =
80 m 3.2 m
/s
=25 s ; t = 2
80 m 1.6 m
/s
= 50 s
c 789 *istancia abr+a recorri*o con (a 'rimera ve(oci*a* *rante ! mintos 1.
Detallamos las !aria+les (e tenemos5 t 2min 1Rs dA !1 1.RmNs
2. Des&ejamos siem&re la %)rmla5 d v = ; d = v x t t
0ncontramos d *? #36mMs Q #!"s ? #!m R3M EKERCICIO PROP1ETO.
1 2
1. Dos m)!iles &arten de n &nto , en direcciones &er&endiclares con!encionales constantes de TmNs ' RmNs res&ecti!amente. @Determinar al ca+o de (e tiem&o se encontraran se&arados 1mA 2. \a!ier n jo!en estdiante* desea sa+er a (e distancia se encentra el cerro más &r)7imo* &ara lo cal emite n #rito ' con cronometro en mano* com&re+a (e el eco lo esccha le#o de 3s. @Cál es la distancia en metrosA 9;3Q mNs:. 3. Dos atletas &arten jntos en la misma direcci)n ' sentido con !elocidades de QmNs ' RmNs* des&es de 1min.@e distancia los se&araA.
!3#3!3
0ovimiento 4aria*o3
0s el de n m)!il c'a !elocidad no es constante* sea en ma#nitd o sea en direcci)n ' sentido. ,sí* el mo!imiento de na &iedra (e se lanza !erticalmente hacia arri+a* s !elocidad !a continamente dismin'endo. Un mo!imiento !ariado &ede ser acelerado o retardado* se#Hn sea la !elocidad (e amente o dismin'a.
0n el medio es raro encontrar n m)!il (e ten#a mo!imiento ni%orme. Un !ehíclo &odrá ir en n momento a na !elocidad* cando el m)!il &arte la !elocidad !a en amento* ' cando lle#a a s destino* dismin'e &ro#resi!amente. 0n el mo!imiento !ariado se llama !elocidad media 9; m: en n inter!alo de tiem&o dado al cociente del tra'ecto total recrrido &or el tiem&o em&leado en el mismo5
V = ⃗
espaciototal e ; V = tiempototal t ⃗
Con esta %)rmla se &eden resol!er ejercicios de mo!imiento !ariado.
!3#3!3#3 4e(oci*a* me*ia3 0s la !elocidad (e de+ería tener n m)!il &ara recorrer la misma distancia* en el mismo tiem&o* &ero con mo!imiento ni%orme.
1 2
La ]!elocidad media] es la !elocidad en n inter!alo de tiem&o dado. 4e calcla di!idiendo el des&lazamiento 9^r: entre el tiem&o 9^t: em&leado en e%ectarlo* es decir5 La !elocidad &romedio tam+ien se calcla o determina con la sma de las !elocidades (e ad(iere el m)!il al des&lazarse di!idiendo entre el nmero de ellas* así5
espacio total recorrido ⃗ Vm = tiempotranscurrido
v +v ⃗ Vm = 2 1
2
0jem&los5 1. Un atom)!il recorre na distania de 1Em ' desarrolla en los &rimeros 12m na !elocidad media de TmNh* en tanto (e en los ltimos 3m tiene na !elocidad media de RmNh. a 7C.( 2e e( tiem'o tota( *e( viaje Conociendo la distancia recorrida ' la !elocidad media* la relaci)n 4m?*Mt &ro&orciona la ecacion t?*M4m. 0ntonces en la &rimera &arte del recorrido el tiem&o %e5 t 1 =
120 km 80 km / h
=1.5 h
0n la se#nda &arte del recorrido tenemos5 t 2 =
3 okm 60 km / h
= 0.5 h
,sí* el tiem&o total del !iaje %e5 t? t# t! ? #3& 3"3& ? ! R./ b 7C.( 2e (a ve(oci*a* me*ia *e( atomóvi( en e( transcrso tota(3
1 2
4iendo 1Em la distancia total recorrida ' 2h el tiem&o total de !iaje* la !elocidad media en este recorrido es5 e ⃗ Vm = = t
150 km 2h
=75 km / h R . /¿
!3#3!3!3 4e(oci*a* instant.nea3 8ara estdiar de manera ri#rosa el mo!imiento* ha' (e considerar inter!alos de tiem&o cada !ez más &e(e/os* m' cercanos a cero* así lle#aremos a la !elocidad instantánea* (e es la ma#nitd (e descri+e (e tan rá&ido ' en ( direcci)n se me!e n o+jeto en n instante dado. Como &or ejem&lo el !alor (e nos indica el !elocímetro en n instante de tiem&o 91s:* esto re&resenta la !elocidad instantánea del atom)!il en dicho momento.
V = ⃗
Δe = velocidadinstantánea Δt ( menor tiempo )
4iendo
Δt
en el menor tiem&o &osi+le cercano a .
4i n m)!il recorre 1E m en 2 horas* s !elocidad &romedio es5 espacio recorrido ⃗ = Vm = tiempo empleado
150 km 2h
=75 km / h
8ero no conocemos la !elocidad (e lle!a el m)!il en n &nto al+itrario de s tra'ectoria. 8ensemos ahora (e e e9t: es na %nci)n (e le asi#na a cada tiem&o t n &nto en n eje* es decir la %nci)n de &osici)n de n mo!il. 8ara t_ a* la !elocidad &romedio (e tiene el m)!il en el inter!alo de tiem&o 9a*t: o tam+in 9t*a: es5
1 2
e ( t ) −e ( a ) e ( a ) − e ( t ) ⃗ = Vm = t −a a −t
8arece natral &ensar (e mientras mas &r)7imo est t al nHmero a* la !elocidad &romedio en el inter!alo entre a ' t se &arecerá mas a la !elocidad (e lle!a el m)!il en el instante a. Ejem'(os: 1. 4ea 9e Et2:* e Em la &osici)n de n cer&o ' tt 2 se#ndos des&s de ha+er &artido del re&oso. 4i instante a? !s* entonces e@t! E92:2 2m. DATO: eEm eEt2 * eEa2 a2s t t2 4i t
0ntonces e e9t2:
3 2.E 2.1 2. 1
QE 31.2E 22.E 2.2 E
tVa
e9t 2: V e9a2:
1 .E .1 .1
2E 11.2E 2.E .2E
e ( t ) −e (a Vm = t − a 2
⃗
2
)
2EmNs 22.EmNs 2.EmNs 2.EmNs
=otamos (e cando más se acerca t al nHmero a2* la !elocidad &romedio ! se acerca cada !ez más al nHmero ! 2. 0s decir* 
