TRABAJO INDIVIDUAL MOMENTO I LOGICA MATEMATICA
ELABORADO POR:
HERMES BERMUDEZ 9022265 GRUPO: 551105A_288
TUTOR PEDRO J. RUIZ P.
UNAD – UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
5 DE ABRIL DE 2016
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Momento I:
Cálculo proposicional e inferencia lógica
Leer las siguientes situaciones particulares y establecer posibles soluciones. En el transcurso de la actividad se darán las herramientas necesarias para contestar las preguntas allí planteadas.
Preguntas generadoras: Un buque que se encuentra anclado en un atracadero tiene fija a unos de sus costados una escalera en la que la diferencia de altura entre cada peldaño es de 50 cm. Si el agua está a nivel del segundo escalón y la marea empieza a subir a razón de 50 cm por hora. ¿Al nivel de qué escalón se encontrará el agua tres horas después? Respuesta: Se podría suponer que si el nivel del agua sube a razón de 50cm cada hora llegaría al escalón 5, pero hay que tener en cuenta que el barco flota un factor que no habíamos tenido en cuenta al principio, por lo tanto se mantendrá en el segundo escalón.
Al leer cada uno de los siguientes textos ¿Cuál sería el orden lógico de los párrafos para tener un texto coherente?
a) Cuando Edison lo vio lo único que dijo fue: b) Gracias a Dios, podemos empezar de nuevo c) En aquel momento tenía 67 años d) El laboratorio de Thomas Edison fue prácticamente destruido por un incendio en diciembre de 1914 e) Que se pensaba no iba arder f) Aunque el laboratorio era de cemento g) Sin embargo, cuando su hijo Charles encontró a Edison h) Con su cabello blanco ondeando en el viento i) “este incendio es de gran valor, todos nuestros errores se están quemando con el” j) Por lo tanto gran parte del trabajo de Edison se destruyó esa noche k) Tres semanas después del incendio Edison fabricó su primer fonógrafo. 2
Respuesta: Orden: d), f), e), j), g), c) h), a), i), b), k) El laboratorio de Thomas Edison fue prácticamente destruido por un incendio en diciembre de 1914, Aunque el laboratorio era de cemento, Que se pensaba no iba arder. Por lo tanto gran parte del trabajo de Edison se destruyó esa noche, Sin embargo, cuando su hijo Charles encontró a Edison, Con su cabello blanco ondeando en el viento, En aquel momento tenía 67 años, Cuando Edison lo vio lo único que dijo fue: “este incendio es de gran valor, todos nuestros errores se están quemando con él”, Gracias a Dios, podemos empezar de nuevo, Tres semanas después del incendio Edison fabricó su primer fonógrafo.
En Turquía se acostumbraba que los reos condenados a muerte eligieran la forma de morir, para ello deberían de decir una proposición. Si la proposición era verdadera lo decapitaban y si era falsa lo ahorcaban. El día del juicio un reo judío dijo la siguiente proposición: “Seré ahorcado” y continuó “Si me ahorcan van a quebrantar la ley puesto que lo que he dicho es verdad, por lo tanto deberían de decapitarme; pero si me decapitan, también van a quebrantar la ley puesto que lo que he dicho es falso”. ¿Qué hacen con el judío, lo decapitan, lo ahorcan, lo dejan libre?
Respuesta: Termina siendo ahorcado porque lo que dice es falso.
Ejercicios trabajo individual 1. ¿Cuáles de las siguientes frases son proposiciones? ¿Cuál es el valor de verdad de aquellas que son proposiciones? Respuesta: a) b) c) d)
Cali es la capital de Colombia. (F) Buenos Aires es la capital de Argentina.(V) 2+3=5. (V) ¿Qué día es hoy? (No es una proposición)
2. ¿Cuál es la negación de cada uno de los siguientes enunciados? Respuesta: a) Hoy es jueves. (Hoy no es jueves) b) No hay polución en Bogotá. (Si hay polución en Bogotá)
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c) 2+1=3. (2+3!=3) d) El verano de Villavicencio es cálido y soleado.(El verano de Villavicencio no es cálido ni soleado) e) El verano de Villavicencio es cálido o soleado.(El verano de Villavicencio ni es cálido ni es soleado)
3. Sean p y q los enunciados
p: “Está permitido nadar en la costa de Cartagena” q: “Se han divisado tiburones cerca de la costa” Exprese cada una de las siguientes proposiciones en lenguaje natural.
a)
¬q
b)
¬ p ∧( p ∨ q)
c)
p∧ q
d)
¬ p ∨q
Respuesta: a) No se han divisado tiburones cerca de la costa. b) No está permitido nadar en la costa de Cartagena y Está permitido nadar en la costa de Cartagena o Se han divisado tiburones cerca de la costa. c) Está permitido nadar en la costa de Cartagena y Se han divisado tiburones cerca de la costa. d) No está permitido nadar en la costa de Cartagena o se han divisado tiburones cerca de la costa.
4. Sean p y q los enunciados p: “Estamos bajo cero” q: “Nieva”
Escriba los siguientes enunciados utilizando p, q y conectivos lógicos:
Respuesta:
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a) Estamos bajo cero y nieva. ( p∧ q ) b) Estamos bajo cero, pero no nieva. ( p∧ ¬q ) c) No estamos bajo cero y no nieva. ( ¬ p ∧q ¬ ) d) Bien estamos bajo cero o bien nieva (o ambas cosas). ( p∨ q ) ∨ ( p∧ q )
e) Si estamos bajo cero, entonces también nieva ( p→ q ).
5. Sean p y q los enunciados p: “Conduces a más de100 Km/h” q: “Te multan por exceso de velocidad”, Escriba los siguientes enunciados utilizando p, q y conectivos lógicos: Respuesta: a) No conduces a más de 100 Km/h.
(¬ p)
b) Conduces a más de 100 Km/h, pero no te multan por exceso de velocidad. ( p ∧¬q) . c) Te multarán por exceso de velocidad si conduces a más de 100 Km/h. ( p →q) . d) Si no conduces a más de 100 Km/h no te multarán por exceso de velocidad. (¬ p →¬ q) . e) Conducir a más de 100 Km/h es suficiente para que te multen por exceso de velocidad.
6. Sean p, q y r los enunciados : p: “Se han visto osos pardos por la zona” q: “Es seguro caminar por el sendero” r: “Las bayas del sendero están seguras”. Exprese los siguientes enunciados utilizando p, q, r y conectivos lógicos: Respuesta:
a) Las bayas del sendero están seguras, pero no se han visto osos pardos por la zona. (r ∧¬ p) b) No se han visto osos pardos por la zona y es seguro caminar por el sendero, pero las bayas del sendero están seguras. (¬ p ∧q ∧ r )
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c) Si las bayas del sendero están seguras, es seguro caminar por el sendero si, y sólo si, no se han visto osos pardos por la zona. (r →q )↔ ¬ p
7. Escriba cada uno de los siguientes enunciados en la forma “si p, entonces q”.
Respuesta: a) Nieva siempre que el viento sopla del noreste. Si sopla el viento del noreste entonces nieva. b) El manzano florecerá si el tiempo se mantiene cálido durante una semana. Si el tiempo se mantiene cálido durante una semana entonces el manzano florecerá. c) Que el Real Madrid gane el campeonato implica que venció al Barcelona. Si el real Madrid ganó el campeonato entonces venció al Barcelona. 8. Escriba cada uno de los siguientes enunciados en la forma “p si, y sólo si q”. Respuesta: d) Si hace calor afuera, te compras un helado, y si te compras un helado, hace calor afuera. Hace calor afuera si y solo si te compras un helado. e) Para ganar la rifa es necesario y suficiente tener el número ganador. La rifa se gana si y solo si tienes el numero ganado. f) Ascenderás sólo si tienes contactos, y tienes contacto sólo si asciendes. Asciendes si y solo si tienes contacto.
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9. Enuncie la recíproca, la contra recíproca y la inversa de cada uno de los siguientes condicionales. Respuesta: a. Si un entero es par, entonces es divisible por 2. Reciproca: Entonces es divisible por 2, si un entero es par. Contra reciproca: Entonces no es divisible por 2, si un entero no es par. Inversa: Si un entero no es par, entonces no es divisible por 2 b. Voy a clases siempre que vaya a haber un control. Reciproca: siempre que vaya a ver control voy a clases. Contra reciproca: siempre que no vaya a ver control no voy a clases. Inversa: No voy a clases siempre que no haya clase. c. Cuando me acuesto tarde, es necesario que duerma hasta el mediodía. Reciproca: Es necesario que duerma hasta el mediodía, cuando me acuesto tarde Contra recíproca: No es necesario que duerma hasta el mediodía, cuando no me acuesto tarde Inversa: Cuando no me acuesto tarde, no es necesario que duerma hasta el mediodía d. Un entero positivo es primo sólo si no tiene otros divisores distintos de 1 y él mismo. Reciproca: Solo si no tiene otros divisores distintos de 1 y el mismo, un entero es positivo es primo. Contra recíproca: Solo si tiene otros divisores distintos de 1 y el mismo, un entero es positivo no es primo. Inversa: Un entero positivo no es primo solo si tiene otros divisores distintos de 1 y el mismo.
10. Construir la tabla de verdad para: p→ q ↔(¬ q →¬ p)
p
q
¬p
¬q
p→ q
V
V
F
F
V
¬q → ¬ p V
p→ q ↔(¬ q →¬ p) F
7
V
F
F
V
F
F
F
F
V
V
F
V
V
F
F
F
V
V
V
V
V
(r ∧ s)→ q ↔(s ∧¬ q)→ ¬r
r
(r ∧ s) (s ∧¬q ) (r ∧ s)→ q
(s ∧¬q )→ ¬r (r ∧ s)→ q ↔( s ∧¬ q)→ ¬r
s q ¬r
¬q
V V V F
F
V
F
V
V
V
V V F F
V
V
V
F
F
V
V F V F
F
F
F
V
V
V
V F F F
V
F
F
V
V
V
F V V V
F
F
F
V
V
V
F V F V
V
F
V
V
V
V
F F V V
F
F
F
V
V
V
F F F V
V
F
F
V
V
V
¬ p →(q → r )
¬ p →(q → r )
p
q
r
¬p
q→r
V
V
V
F
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
V
F
V
V
V
V
V
F
V
F
V
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
V
V
V
11. Utilizando el modus ponendus ponens, llegue a la conclusión C a. P1: Si hoy es domingo, entonces hay futbol P2: Hoy es domingo C: Hay futbol.
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b. P1 : Si x es un número par, entonces 2x es par número par C: 2x es par.
P2 : x es un
12. Utilizando el modus tollendo tollens, llegue a la conclusión C.
a. P: Si estoy preparado profesionalmente, entonces triunfaré en mis negocios. 2P: Fracasé en los negocios C: No estoy preparado. b.
P1 : S t P2 : t
C:
¬S
c.
P1 :
p q r
P2 : r
C:
(
pq
)
13. Traduzca de dos formas cada una de las siguientes frases a expresiones
lógicas
utilizando
funciones
proposicionales,
cuantificadores y conectivos lógicos. En primer lugar, el dominio consistirá en los estudiantes de tu clase, y en segundo lugar, será el conjunto de todas las personas. Respuesta: a. Alguien de tu clase habla inglés b. Todos en tu clase son amigables
∃ x ( Ax → Ix) ∀ x ( Ax → Fx)
c. Hay una persona en tu clase que no nació en Bogotá
∃ x ( Ax →¬ Bx)
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d. Un estudiante de tu clase ha visto una película
∃ x ( Ax →¬ Bx)
e. Ningún estudiante de tu clase ha cursado una asignatura de lógica Alguien = A,
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