Lógica
Germán Marquínez Argote Juan José Sanz Adrados
Usta 1983
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IDEAS PRELIMINARES DE LOGICA 1.1. Son frecuentes frases como éstas: Es lógico, hablando con lógica, hay que ponerle lógica al asunto, que obviamente se pueden reemplazar por expresiones tales como: Es correcto, hablando con corrección, hay que ponerle cuidado o corrección al asunto. 1.2 La lógica, pues, es asunto de corrección y la corrección se refiere en alguna forma al pensamiento. Por ejemplo, la expresión "echarle cabeza a un asunto" quiere decir pensarlo o hacerlo correctamente 1.3 Por este motivo los tratadistas tradicionales definieron la lógica como la ciencia que enseña a pensar correctamente (scientia de rectitudine cogitandi). ¿Qué se entiende en lógica por pensamiento? 1.4 La afirmación de Descartes "Yo pienso, luego existo" torna el pensamiento como facultad y o función 1.5 En cambio, al decir "el anterior es un pensamiento de Descartes" nos referimos al pensamiento como producto resultado de la función de pensar. 1.6 Por tanto, el término pensamiento puede significar, según los casos, la facultad y/o función o el producto, lo que equivale a distinguir entre el pensar y lo pensado 1.7 Pues bien, la lógica no se ocupa del pensamiento como facultad o función, sino en cuanto resultado de la función de pensar, lo que llamamos comúnmente en plural pensamientos 1.8 El hombre cuando piensa, habla consigo mismo, es decir monologa. El pensamiento es un auto-lenguaje. 1.9 La lógica no estudia el pensamiento en cuanto monólogo o realidad inmanente e inexpresada, sino, por el contrario, en cuanto diálogo o realidad expresada en un lenguaje. 1.10 El pensamiento o auto-lenguaje se expresa mediante hetero-lenguajes 1.11 Todo hetero-lenguaje convierte el monólogo, que el hombre sostiene consigo mismo, en diálogo 1.12 Lo que nosotros pensamos lo podemos expresar mediante gestos, sonidos y en forma escrita. Los hetero-lenguajes son, por consiguiente, el mimético, oral, escrito 1.13 La lógica se ocupa preferentemente del lenguaje escrito, porque en él adquiere el pensamiento carácter objetivo, permanente público
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1.14 Resumiendo: la lógica, según lo que hemos visto, se ocupa del pensamiento expresado en un lenguaje preferentemente escrito en cuanto formalmente correcto. ¿En qué consiste la corrección formal del pensamiento? 1.15 Cuando pensamos vamos de verdades conocidas al descubrimiento de verdades aún no conocidas 1.16 En un problema matemático, por ejemplo, lo conocido son los datos y lo desconocido es la solución 1.17 Este proceso del conocimiento humano se llama comúnmente demostración, raciocinio, razonamiento, etc. Nosotros lo nominaremos discurso. 1.18 Por ejemplo, el proceso empleado para llegar, a partir de los datos, a la solución, es un discurrir o discurso 1.19 Los datos de un problema, en lógica, se denominan premisas, y la solución se llama conclusión 1.20 Así como en un problema llegamos a lo desconocido a partir de lo conocido, en lógica llegamos a la conclusión a partir de convenientes premisas 1.21 Dado que la conclusión se saca de las premisas, podemos decir que está contenida o implicadas en ellas. 1.22 Implicar quiere decir contener y estar implicada significa estar contenida 1.23. Entonces, dado que de alguna manera la conclusión está implicada en las premisas, podemos decir que puede ser sacada o inferida de ellas. 1.24 Inferir es lo mismo que sacar de unas premisas dadas una conclusión 1.25 Cuando la conclusión está correctamente inferida de las premisas, decimos que es formalmente correcta 1.26 Y, dado que sedo se puede dar lo que se tiene, la conclusión está bien inferida cuando está efectivamente implicada en las premisas 1.27 La efectiva correspondencia entre inferencias e implicaciones se denomina en lógica corrección o verdad formal. Lo contrario será error o falsedad formal. 1.28 En la solución de un problema el error puede originarse a) en la inexactitud de los datos o falsedad de las premisas (error material o de contenido), b) en no seguir las reglas del proceso, lo cual constituiría un error formal 1.29 Por ejemplo, la operación-suma se rige por unas reglas que determinan la forma correcta de realizarse y que de no seguirse se cae en un error de forma o formal.
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Pero puede suceder que la suma esté formalmente bien hecha y el resultado no sea materialmente correcto, ya que los datos pueden ser inexactos. 1.30 De modo análogo, en el siguiente discurso: Todos los animales tienen cuatro patas, es así que los hombres son animales: luego los hombres tienen cuatro patas. La conclusión es materialmente falsa, porque la premisa primera es por razón de su contenido o significación materialmente falsa. 1.31. Pero, en el ejemplo anterior, el lógico diría que pese a que se trata de un caso con errores de contenido o materiales sin embargo, el discurso es correcto formalmente, porque no peca contra ninguna de las reglas lógicas del silogismo, que más adelante veremos. 1.32 El lógico, en cuanto tal, no responde por la verdad o falsedad material de los contenidos o significaciones, sino por la corrección formal en las operaciones, según reglas de inferencia. 1.33 Por dicha razón, la lógica se ha denominado desde siempre LOGICA FORMAL. 1.34 La lógica formal se presenta bajo dos formas distintas: simbólica y no simbólica. 1.35 Cuando las inferencias se expresan en símbolos cuasimatemáticos, distintos a los usuales en el lenguaje cotidiano, se trata de una lógica simbólica 1.36 Cuando las inferencias se exponen mediante reglas y ejemplos tomados del lenguaje usual, sin hacer uso generalizado de símbolos especiales, entonces tenemos una lógica no simbólica 1.37 La lógica creada por Aristóteles y perfeccionada por los Estoicos y Escolásticos, es decir la lógica tradicional, es un modelo de lógica no simbólica o filosófica. 1.38 La lógica creada por BOOLE, FREGE, RUSSELL, etc., que utiliza en su desarrollo un lenguaje artificial semejante al de las matemáticas, será una lógica simbólica 1.39 A diferencia de la lógica tradicional, que fue creada por filósofos, la lógica simbólica, creada por matemáticos con el fin de encontrar el último fundamento de las matemáticas, se llama, por dicha razón, lógica matemática 1.40 En realidad, la lógica aristotélica y la lógica moderna no son dos ciencias distintas, sino dos formas de una misma ciencia: la una más intuitiva, la otra más formalizada. 1.41 Ambas formas de la lógica son de tipo deductivo. Deducir consiste en inferir verdades particulares contenidas en juicios o leyes universales. Por ejemplo, de la verdad: "todo humano es mortal" puedo deducir que los pastusos son mortales 4
1.42 Lo contrario de deducir es inducir: consiste en inferir de juicios particulares, bien fundados en la experiencia, leyes generales. Por ejemplo, de "A murió, B murió, C murió... N murió" puedo inducir que todo hombre muere. 1.43 Ambos procesos, ascendente o inducción y descendente o deducción son complementarios. No podríamos deducir o aplicar sin inducir o generalizar. En este tratado nos referimos exclusivamente a la lógica deductiva. 1.44 La lógica deductiva se divide en dos grandes ramas: lógica de proposiciones y lógica de términos. 1.45 La lógica proposicional toma las proposiciones, que intervienen en un discurso, como un todo no analizado en sus partes o componentes. Le interesa sólo el estudio de las conexiones lógicas de unas proposiciones con otras en orden a obtener conclusiones en forma correcta. 1.46 La lógica de términos analiza las diversas partes o componentes de las proposiciones en orden a obtener conclusiones correctas. Son partes de las proposiciones: el sujeto, el predicado y otros complementos (Cf. ítem 2. 18). 1.47 De análoga manera a como un osteólogo estudia, no solamente las articulaciones de unos huesos con otros, sino también la estructura interna de los mismos, así también el lógico realiza este doble estudio en el cuerpo del lenguaje desarrollando las dos partes de la lógica, llamadas: lógica de proposiciones y lógica de términos.
Lectura 5
Mapa del universo lógico Los estudios lógicos, bien en sí mismos o en sus aplicadores, han adquirido tal amplitud y complejidad que más que una disciplina constituyen hoy un área enciclopédica cuyo estudio exige, más que una cátedra, un Departamento o Facultad. El universo lógico abarca fundamentalmente dos clases de estudios: lógicos y metalógicos, con frecuencia difícilmente separables. La lógica tiene dos ramas: deductiva y la inductiva, esta última menos estudiada pero de interesantes perspectivas a partir, sobre todo, de los trabajos de R. Carnap. Limitándonos a la lógica deductiva, en su versión moderna, podemos distinguir en ella dos grandes partes: la lógica de la proposición no-analizada (llamada proposicional, sentencia o de enunciados) y la lógica de la proposición analizada (también llamada de términos). La lógica de la proposición no-analizada estudia las proposiciones como todos no analizados en sus relaciones mutuas. Y pueden ser bivalentes o plurivalentes. Bivalentes, si se supone que los dos únicos valores que puede recibir una proposición son "verdadero" y "falso" (1, 0). Plurivalentes, si se les atribuyen otros valores, siempre en número mayor a dos, por ejemplo: "verdadero", "probable", "falso". Las plurivalentes pueden ser: trivalentes, tetravalentes, pentavalentes, n-valentes, en general, donde "n" puede significar un número finito de valores o un número infinito. La lógica de la proposición analizada entra en el análisis interno de los términos que componen la proposición. Supone el estudio de la proposición no analizada pero va más allá en sus ricos y complejos análisis. A esta parte podríamos adscribir: la Lógica modal, la cuantificacional de primer orden y de orden superior, la lógica de identidades y descripciones, la lógica de clases, la lógica de funciones y relaciones..., etc. La metalógica se refiere al estudio de las propiedades de los sistemas lógicos, en cuanto series de signos que dan origen a un posible estudio semiótico en una triple vertiente: sintaxis, semántica y pragmática. A los anteriores estudios, que constituyen el cuerpo de la lógica, hay que agregar otros anejos o subsiguientes, tales como: historia de la lógica, filosofía de la lógica y las múltiples lógicas aplicadas.
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LOGICA PROPOSICIONAL O DE ENENCIADOS NOCIONES DE SIMBOLOS 2.1. Observe las siguientes cadenas de palabras: Zapatos redondos de la luna de Mao socializan USA Flecha monótona para camelias rubias De ellas podemos decir que no tienen sentido 2.2 Sin embargo, de las siguientes expresiones: En un lugar de la Mancha de cuyo nombre La histórica espada del Libertador no podemos decir que carezcan de sentido, pero evidentemente no lo tienen completo 2.3 Las expresiones con sentido completo se denominan en gramática oraciones 2.4 Pero sólo algunas oraciones son calificables de verdaderas o falsas. Diga si las siguientes son o no son calificables de V o F: Ojalá haga buen día mañana……..no ¿Qué hora es, por favor?...............no Bolívar nació en las Pampas……..sí Prohibido fumar en el bus………..no Nariño murió en Villa de Leyva….sí 2.5 La diferencia entre simples oraciones gramaticales y proposiciones es que éstas últimas son calificables como verdaderas o falsas 2.6 Por tanto, una proposición es: una cadena de palabras con sentido completo, calificable de verdadero o falso. Así, "Nariño murió en Villa de Leyva" es una proposición porque reúne las anteriores condiciones. 2.7 Las proposiciones: Cali es una ciudad colombiana Medellín es una ciudad colombiana se pueden unir mediante la conjunción “y” 2.8 De mantenerse independientes, son proposiciones atómicas; pero si las relacionamos con la conjunción (u otras partículas) el resultado es una proposición molecular. Las pro7
posiciones atómicas del ítem 2.7 quedarían convertidas en moleculares así: Cali y Medellín son ciudades colombianas. 2.9 En el ejemplo anterior, la partícula "y" nos sirvió para unir o conectar dos proposiciones atómicas. 2.10 La partículas que relacionan unas proposiciones con otras se denominan conectores. Por tanto, toda proposición molecular está necesariamente determinada o afectada por uno o varios conectores 2.11 Observe los siguientes ejemplos de proposiciones moleculares: Bolívar Y San Martín son dos grandes libertadores. Se necesita empleada que sepa francés Y/0 inglés. Una de dos: O nos casamos O terminamos el noviazgo. SI es antioqueño, ENTONCES es colombiano. Iré al Campín SI, Y SOLO SI, juega Santa Fe. NI corta, NI presta el hacha. Es INCOMPATIBLE ser a la vez colombiano Y paquistaní. Las partículas escritas en mayúsculas son conectores porque relacionan unas proposiciones con otras. 12 La partícula NO, también se considera en lógica conector, porque, aunque no conecta, afecta negativamente a proposiciones atómicas por separado, a relaciones entre proposiciones. 3 Por ejemplo, en "no llueve" el conector afecta a la proposición atómica llueve; en cambio, en el siguiente ejemplo: "No es el caso que nieve y haga calor", la negación está afectando a la unión de las proposiciones: no es el caso que (nieve Y haga calor) 2.14 Resumiendo, las partículas que llamamos conectores son: Conector Nombre No Negación y Conjunción y/o Disyunción inclusiva o….o Disyunción exclusiva Si……, entonces Condicional Si, y solo si Bicondicional o coimplicación Ni…..ni Conjunta o binegación Incompatible … y Incompatibilidad 2.15 En los ejemplos que siguen subraye las partículas que son conectores: Luis estudia, pero no aprueba. Si tiene título y/o experiencia entonces será admitido.
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Necesariamente está vivo o muerto, si, y sólo si, la vida y la muerte son dos realidades incompatibles. Ni hace ni deja hacer, pero se las da de buen ejecutivo. 2.16 Pues bien, la parte de la Lógica que estudia los diversos modos de relación de las proposiciones en un discurso, sin entrar en el análisis de la estructura de las mismas, se denomina LOGICA PROPOSICIONAL, sentencial o de enunciados. Proposición, sentencia o enunciado son términos sinónimos 2.17 Por ejemplo, sea el discurso: Si todos los pastusos son colombianos, entonces no existen pastusos ecuatorianos; A la lógica proposicional, en este caso, le interesa solamente el análisis de los conectores "si... entonces no..." que unen las proposiciones: todos los pastusos existen pastusos 2.18 A un segundo nivel, la lógica puede entrar al análisis de elementos tales como: sujeto y predicado (pastusos, colombianos, ecuatorianos) extensión de los términos (todos), etc. Del análisis interno de los múltiples términos que componen las proposiciones se ocupa parte de la lógica, llamada de PREDICADOS de términos 2.19 Ahora bien, toda ciencia, para informar con máximo rigor acerca de su objeto, necesita apartarse de las ambigüedades del lenguaje idiomático y forjar sus propios términos técnicos o terminología. Además, si se trata de una ciencia formal, como las matemáticas y la lógica, elabora sus propios símbolos o simbología 2.20 En Lógica proposicional simbolizamos las proposiciones atómicas mediante letras proposicionales tales como: P, Q, R, S. P', Q', R', S', etc. o, en forma libre, con cualquier otra letra mayúscula del alfabeto romano como A, D, M, T según convenga. 2.21 Por ejemplo, en la proposición molecular: "Si Juan viene, entonces vamos al cine", podríamos representar Juan viene, por………………P Vamos al cine, por………….Q Entonces, la anterior proposición se podría simbolizar, sustituyendo las proposiciones por las letras: si P entonces Q 2.22 Para simbolizar los diferentes conectores se utilizan los siguientes símbolos:
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Signo
— v . w ↓ ↔ ↓ │
Nombre Negador Disyuntor inclusivo Conjuntor Disyuntor exclusivo Condicionador o implicador Bicondicioador o coimplicador Binegador o flecha de sheffer Anticonjuntor o barra de sheffer
Se lee no o y o…..o si, entonces si y solo si ni, …. ni incompatible
2.23 Las siguientes proposiciones moleculares constan cada una de dos proposiciones atómicas representando con P la primera y con Q la segunda y utilizando los símbolos de los conectores, que acabamos de ver; escriba la fórmula correspondiente a cada caso: (RESPUESTA A LA DERECHA) Perú y Chile son países andinos …………………………………...P Sartre es filósofo y/o literato …………………………………………P v Q Una de dos: o vienes o voy …………………………………………P w Q Si vienes vamos al cine …………………………………………….P → Q Me casaré si, y sólo si, terminas la carrera……………………....P ↔ Q Ni hace, ni deja hacer………………………………………………P ↓ Q No puede haber (es incompatible) paz con injusticias………...P │ Q 2.24 Dado que es posible negar, además de proposiciones atómicas también los conectores que unen proposiciones entre sí, simbolice los ejemplos siguientes: En ciertos lugares de América nunca llueve……………………………—P No es el caso que (Cuzco y Puno sean ciudades chilenas)…………—(P.Q) No ocurre que (por miedo a controles oficiales no suban los precios) — (P→ — Q) 2.25 En dos de las fórmulas, la utilización del paréntesis es necesaria para indicar que el negador está afectando la unión de ambas proposiciones 2.26 De modo análogo al álgebra, en lógica, para determinar el alcance de los diversos conectores en fórmulas macro-moleculares, se utilizan los siguientes signos de agrupación: cuyo nombre es: paréntesis ( ) corchetes [ ] llave { } 2.27 En el siguiente ejemplo: "Si Juan recibe el mensaje y aún está interesado, entonces con seguridad viene", ¿cuántas proposiciones atómicas se deben distinguir?: tres
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2.28 Si cada una de dichas proposiciones es sustituida ordenadamente por P, Q, R podríamos expresar el discurso en cuestión en esta forma: si P y Q, entonces R; simbolizando los conectores y utilizando paréntesis obtendríamos la fórmula: (P • Q) →R 2.29 Veamos ahora el siguiente ejemplo: Si la selección colombiana de fútbol gana a la peruana, seremos campeones sudamericanos; y si no gana, entonces quedaremos de subcampeones. Aquí hay dos implicaciones unidas conjuntivamente. Poniendo entre paréntesis las implicaciones y uniéndolas con el conjuntor, resultaría la fórmula: (P→Q) . (-P→R) 2.30 El negador nunca afecta a lo que antecede, sino siempre a lo que inmediatamente sigue. Por ejemplo, en las fórmulas: P v — Q………………afecta a sólo….Q — P → Q……………a sólo……………P 2.31 Lea las siguientes fórmulas: P v — Q……………P o no Q — P→ Q………….no P implica Q 2.32 El negador delante de un signo de agrupación se lee "no es el caso que ...", por ejemplo, lea: — (P • — P) No es el caso que (P y no Q) 2.33 El negador colocado delante de un signo de agrupación niega al conector de máximo alcance que haya dentro del paréntesis, corchete o llave al cual va antepuesto; así, en — (P. —P) el primer negador afecta al conjuntor es el implicador; el de alcance medio es el conjuntor. 2.34 En la fórmula [(P w Q) • — P] Q el conector de máxime alcance es el implicador, el de alcance medio es el conjuntor; el disyuntor y el negador son de alcance mínimo, y se lee: entonces Q 2.36 Exceptuando el negador, todos los demás conectores relacionan siempre letras o grupos de letras, por ejemplo: —P→Q que se lee: no P implica Q El implicador une dos letras P→(P v — Q), se lee P implica (P o no Q). El implicador une letras con paréntesis (P w Q) (Q w P), se lee (o P o Q) implica (o Q o P); el implicador une dos paréntesis.
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2.37 Los signos de agrupación no es aconsejable utilizarlos cuando el alcance de los diversos conectores está claramente determinado. Por tanto, en las siguientes fórmulas los paréntesis son innecesarios: P se debe escribir P —(Q) se debe escribir –Q (—P v Q) se debe escribir –P v Q (—P) se debe escribir —P 2.38 Los símbolos que hemos adoptado son los más usuales y prácticos; sin embargo, no existe absoluta uniformidad. Así, hay autores que simbolizan las letras proposicionales con minúsculas en cursiva. En cuanto a los conectores existen abundantes variantes; he aquí algunas: no — ¬ ˷
y ● ᶺ & et
o v
o…o w ≠ v
sie → ﬤ
sii ↔ ≡
Ni…ni ↓
imcomp │
NOTA: En adelante emplearemos "sie" como abreviatura de "si, entonces" y "sii" de "si y sólo si...".
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Lectura Lógica y Lenguaje Idiomático Tomado de: MARQUINEZ, Germán y Hoyos Matemática, Bogotá, Ed. USTA, 1974, pp. 108-110.
Gregorio.
Lógica
La lógica moderna, al orientar decididamente sus investigaciones hacia el lenguaje escrito, en cuanto en él se reflejan de manera permanente las estructuras lógicas del pensamiento, queda fuertemente vinculada al área de las disciplinas lingüísticas. "La lógica está tan íntimamente vinculada con la gramática general que no siempre resulta fácil trazar una línea divisoria tajante entre los escritos gramaticales y los escritos lógicos de filósofos como Aristóteles, D. Escoto, y C.S. Peirce" (Cohen-Nagel). Para deslindar en alguna forma dichos campos, conviene distinguir en el lenguaje idiomático tres funciones: informativa o referencial, expresiva o emotiva y prescriptiva a) El lenguaje en función informativa sirve para suministrar a los demás informaciones, definiendo, declarando, aclarando, describiendo, etc. Ejemplos: La línea recta es la más corta entre dos puntos Colombia es un país dependiente Los suecos son altos, rubios y tienen ojos azules b) En función prescriptiva el lenguaje es utilizado para inducir a alguien a que haga u omita algo. Se ejerce mediante leyes, decretos, mandatos, ruegos, etc., y también preguntando, puesto que el que pregunta pide una respuesta. Ejemplos: Prohibido fumar Cierra la puerta Se ruega comportarse cívicamente ¿Qué hora es, por favor? c) Finalmente, en función expresiva el lenguaje se emplea para dar rienda suelta a nuestros sentimientos, emociones, deseos y para despertar en los demás estados anímicos análogos a los que vivimos. Ejemplos: ¡Qué horror! Se le debiera caer la cara de vergüenza ¡Ojalá haga buen día mañana! ¡Qué alegría si viniera Luis! En líneas generales se puede decir que un libro científico funciona informativamente, un código prescriptivamente, un poema lírico expresivamente. Pero es difícil enseñar sin recomendar, imposible mandar sin informar, y expresar sin describir los estados anímicos provocados por una situación. Esto quiere decir que en la vida real, las tres funciones se entremezclan en una sola trama como los hilos de una tela en tal forma que resulta difícil separarlos. 13
Por otra parte, no es menos difícil reconocer cómo funciona una determinada expresión atendiendo solamente a la materialidad de la misma. El hombre es un animal político y diplomático que casi nunca dice las cosas in recto, sino a través de rodeos y con segundas intenciones. Con frecuencia no se nos revela el sentido de una expresión sino atendiendo a la intención del que habla. Para ilustrar estas sutilezas del' lenguaje usual bastarán algunos ejemplos. Cuando una mamá le dice al pequeño, que sigue pegado a las sábanas: Mi hijo, ¡son las siete!, hace algo más que darle una información. Informativamente le insta a levantarse para ir al colegio. Cuando el esposo le pregunta a la señora, que se está arreglando: Mi amor, ¿qué hora es? lo hace para que ella se entere, mirando al reloj, y se dé prisa. La pregunta en este caso equivale a una información y a una orden. Cuando al término de un discurso largo y aburrido felicitamos al orador de turno: El discurso ha estado brillante es evidente que se trata de una expresión de cortesía o adulación de tal manera que obraría ingenuamente si la tomara como una información objetiva. Finalmente, para no multiplicar sin fin los usos híbridos, cuando un cliente le dice al camarero: Me gustaría tomar un whisky haría mal éste si tomara la expresión como un deseo platónico y no como un mandato. Si bien nos fijamos, salvadas las dificultades descritas, vemos que sólo las expresiones del lenguaje en función informativa tienen la propiedad de ser verdaderas o falsas. De las restantes expresiones —una pregunta, un mandato, un deseo, etc. — podré decir que son oportunas o inoportunas, adecuadas o inadecuadas, justas o injustas, pero nunca verdaderas o falsas. A las expresiones del lenguaje informativo las llamaremos proposiciones. A las que pertenecen a las restantes funciones se conocen como simples oraciones gramaticales. El lógico no se ocupa de estas últimas, ni tampoco de las proposiciones en cuanto oraciones, sino de las proposiciones en cuanto tales. Esta sería una de las diferencias esenciales entre el punto de vista del lógico y del verdadera o falsa la expresión en cuestión. Por ejemplo, no tiene sentido afirmar que sean verdaderas o falsas las siguientes expresiones: Prohibido fumar Ojalá haga buen día mañana ¿Qué hora es?
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Desde antiguo se conocía esta distinción que deslinda el quehacer del lógico del quehacer del gramático. A este propósito, escribía Aristóteles: "No toda oración es una proposición; sólo aquellas que contienen verdad o falsedad. De tal suerte, una súplica es una simple oración, porque ni es verdadera ni falsa". Nuestra lógica es por tanto una lógica de la información, es decir, de la razón discursiva. No negamos que la voluntad y el corazón tengan su propia lógica, pero estos campos están aún poco explorados. Aparte de la literatura, relativamente abundante, sobre lógicas jurídicas, cf. "Hacia una lógica de las preguntas", capítulo XX, muy interesante, del libro: F. WAISMANN, Los principios de la filosofía lingüística, México, Ed. UNAM, 1970. Dichos trabajos revelan que no está cerrada la puerta de la comprensión lógica de las otras funciones del lenguaje). Hablar, incluso solamente en función informativa, es una operación muy compleja. El lenguaje, ha escrito Ortega y Gasset, es un sacramento de muy difícil administración. Con frecuencia nos sirve más para encubrir que para descubrir lo que pensarnos "El lenguaje disfraza el pensamiento Y de tal modo que por la forma externa del vestido no es posible concluir acerca de la forma del pensamiento disfrazado" (Wittgenstein). Por esta razón, es muy difícil captar de inmediato la lógica subyacente al lenguaje idiomático. El lenguaje lógico es la expresión de la lógica inherente al discurso idiomático, el esqueleto que lo vertebra. Está dentro, no se ve a simple vista pero sin él el discurso sería un montón informe de palabras sin coherencia ni sentido y la conversación un hablar entre locos. El lenguaje lógico en cuanto expresa las puras formas del discurso es una abstracción. No existe un lenguaje lógico al lado del lenguaje idiomático. Toda la realidad que expresa el lenguaje lógico se encuentra dentro, inherente y subyacente al pensamiento que además de formas, conlleva contenidos. Esto no obsta para que el lógico, como el matemático, pueda prescindir de los contenidos para dedicarse al estudio de las formas discursivas. En el estudio de las formas lógicas, a partir de las formas gramaticales, el lógico tropieza con una dificultad: la pluriforme riqueza de éstas. El lenguaje idiomático es exuberante en forma y muy rico en matices. El lenguaje lógico debe traducirlas a unos pocos modelos unívocamente determinados en su significación. En esta traducción se pierde gran parte de la riqueza de aquél, pero se gana en seguridad y potencia generalizadora.
EJERCICIOS 15
1. Simbolizar las siguientes proposiciones: EJERCICIO
RESPUESTA
Juan es viejo pero tiene el corazón joven
P•Q
Luis estudia pero no aprueba
P•—Q
Podemos ir al cine o a la fiesta
PvQ
O está vivo o está muerto
PwQ
Si hiela entonces hace frío Únicamente si vienes voy al cine Si Tom es acróbata o payaso, entonces trabaja en el circo Si conocemos la fuerza que actúa sobre un cuerpo y su masa, podemos calcular la aceleración Si no llueve se perderán las cosechas y habrá hambre Ni hace ni deja hacer pero se las da de buen ejecutivo Resultan incompatibles ambos trabajos si he de ser eficaz
P→Q P↔ Q (P v Q)→ R (P • Q)→R —P (Q • R) (P ↓ Q) • R P (Q │ R)
2. Lee y expresa por escrito la lectura de las fórmula obtenidas en 1: EJERCICIO PyQ
ESCRIBE LA RESPUSTA
P y no Q PoQ oPoQ si P entonces Q P si, y sólo si, P o Q, entonces R P y Q, entonces R si no P, entonces Q y R ni P ni Q, y (pero) R si P, entonces Q y R son incompatibles
3. A continuación damos unos esquemas lógicos que Ud. debe pasar fórmulas:
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EJERCICIO a) Si no P entonces Q o no P b) No es el caso que P y no P c) O P o no Q, y no Q, entonces: no P d) P o Q, si y sólo si, Q o P e) No P implica no Q, y sólo si, Q implica P f) Si no P, entonces P g) Ni P ni Q, si y sólo si, no P y no Q h) Si no es el caso que P y Q, entonces P incompatible Q i) Si P entonces Q, y si Q entonces no R, entonces: si P entonces no R j) No es el caso que o P o Q, implica, P si y sólo si Q k) Si P entonces Q, implica: R o P, implica, R o Q
RESPUESTA — P (Q v — P) — (P — P) [(P w — Q) • — Q] —P (P v 0)→ (Q v P) (— P — Q)→ (Q→P) — P→P (P↓ Q)↔ (— P • — Q) — (P • Q)→(P│Q) [(P→Q) • (Q→R)] →(P→ —R — (P w Q)→ ( P ↔ Q) (P →Q)→ [(R v P)→(R v Q)] (R v 0)]
4. Fórmulas para ejercitarse en la lectura:
—P→—Q P→(P v—Q) (P v P) →P (— P • — P) —[(P↓Q)w(—P.—Q)] —(—P w—Q)↔[(—P→Q).(—P→ —Q)] —(—R v Q)→—[(Q→—P).(— R→Q)] {[(P→R).(Q→R].(P v Q)}→R 5. Señale con una "O" las simples oraciones y con una "P" las oraciones que son proposiciones, (Respuesta a la derecha) a)
iCuánto me agradaría!
0
b)
iOjalá no me llame!
0
c)
¿Cómo te llamas?
0
d)
Colón descubrió América
e)
iQué belleza de niño!
P 0 17
Prohibido botar basuras
f)
0
g)
¿Si él quisiera?
0
h)
Me llamo Luis
P
i)
Me gustaría verte
0
j)
Publíquese y cúmplase
0
III MATRICES O TABLAS DE VERDAD 3.1 Toda proposición atómica necesariamente o es verdadera o, por el contrario, es falsa o 18
verdadera 3.2 Por ejemplo, de la proposición "Bolívar nació en Caracas" se puede decir que tiene la propiedad de " que es verdadera, y de "San Martín nació en Quito” que es falsa 3.3 Cuando una proposición atómica es verdadera se dice que es portadora de "valor de verdad verdadero", que simbolizaremos mediante el número 1. De la proposición "Bolívar nació en Caracas" podemos decir que tiene valor de verdad verdadera o que vale 1 3.4 Cuando una proposición atómica es falsa se dice que tiene "valor de verdad falso", que se simboliza mediante el número 0. Así la proposición "San Martín nació en Quito" tiene valor de verdad falso o vale 0 3.5 Si unimos las dos proposiciones atómicas anteriores obtenemos la proposición molecular "Bolívar nació en Caracas y San Martín en Quito", cuyo conector es la partícula "y" que recibe el nombre de conjuntor 3.6 La anterior proposición molecular, como totalidad, evidentemente es falsa, puesto que una de las proposiciones es falsa. 3.7 Como regla general, la verdad o falsedad de una proposición molecular cualquiera depende de la verdad o falsedad de las proposiciones atómicas que la componen, teniendo en cuenta la naturaleza del conector que las relaciona. 3.8 Volviendo a la conjunción: si "Cali es una ciudad colombiana" vale 1, y si "Medellín es una ciudad colombiana" vale también 1; entonces "Cali y Medellín son ciudades colombianas" es una proposición molecular que tiene valor de verdad 1. 3.9 "Lima y Bogotá son ciudades colombianas", como proposición molecular, vale evidentemente 0, porque la primera de las proposiciones atómicas es falsa. 3.10 De análoga manera, "Pasto y Buenos Aires son ciudades colombianas" resulta ser una proposición molecular con valor 0, porque la segunda proposición atómica es falsa. 3.11 Finalmente, "Tegucigalpa y México son ciudades colombianas" es una proposición molecular con valor 0, porque las componentes son falsas. 3.12 Observando éstos y otros ejemplos de proposiciones conjuntivas, podemos concluir que para que la conjunción sea verdadera es necesario que las atómicas componentes sean verdaderas en todos los casos; la proposición molecular, por el contrario, será falsa si alguna de las proposiciones atómicas unidas conjuntivamente es falsa. 3.13 Teniendo en cuenta que las letras P y Q representan dos proposiciones atómicas, sus posibles valores de verdad, si las relacionamos entre sí, pueden ser: Verdadera — verdadera Falsa — verdadera Verdadera — falsa Falsa — falsa Esto supuesto, ponga los valores correspondientes al conjuntor en cada uno de los cuatro casos: 19
P 1 0 1 0
Q 1 1 0 0
P•Q 1 0 0 0
3.14 Observemos la siguiente disyunción exclusiva: Una de dos: disertará sobre García Márquez o sobre Vargas Llosa. Es evidente que, si habla sobre ambos autores, el disyuntor valdría 0, pues no se cumpliría el "una de dos". 3.15 Si no hay disertación sobre Márquez, pero sí sobre Llosa, el disyuntor valdría 1; y si, por el contrario, diserta sobre Márquez y no sobre Llosa, su valor sería también 1. 3.16 De no haber disertación sobre ninguno de los dos novelistas es evidente que tampoco se cumpliría el "una de dos" y, por tanto, el disyuntor tendría valor de verdad falso o sea 0. 3.17 En consecuencia, podemos establecer como regla de disyunción exclusiva que, para que sea verdadera, se necesita que al menos una y sólo una de las proposiciones atómicas sea verdadera 3.18 Entendida la anterior regla, queda fácil establecer, de modo análogo a como se hizo en el ítem 3.13, la siguiente tabla: P 1 0 1 0
Q 1 1 0 0
PwQ 0 1 1 0
3.19 Sea el siguiente ejemplo de disyunción inclusiva: Se necesita recepcionista que sepa francés o inglés. En fuerza del aviso es claro que sólo serán consideradas aquellas señoritas que dominen al menos una lengua, mejor si ambas. Entonces indique en qué casos una candidata es aceptable o rechazable calificándolas con 1 y 0: Mary sabe francés e inglés…………………..1 Iveth no sabe francés, pero sí inglés …..1 Myriam sabe francés, pero no inglés….1 Lucy no sabe ni francés ni inglés………..0 3.20 En consecuencia, se puede establecer como regla que una disyunción inclusiva es verdadera si al menos una de las atómicas es verdadera. 3.21 Como en los casos anteriores realice la correspondiente tabla:
20
P 1 0 1 0
Q 1 1 0 0
PvQ 1 1 1 0
3.22 Observe el siguiente caso de bicondicional: Me casaré si, y sólo si, termina la carrera. Es claro que se quiere decir dos cosas: si termina la carrera, entonces…………..me casaré si no termina , entonces……………………...no me casaré 3.23 Esto supuesto, indique con 1 y 0 en qué casos se cumple el "sí, y sólo si"; termina la carrera y hay boda……………………………………………………..1 no termina, pero hay boda………………………………………………………….0 termina, pero no hay boda………………………………………………………….0 ni termina, ni hay boda……………………………………………………………….1 3.24 Por consiguiente, podemos establecer como regla que una bicondicional es verdadera sólo cuando ambas atómicas son verdaderas o ambas son falsas 3.25 De la anterior regla puede usted deducir la tabla para las bicondicionales: P 1 0 1 0
Q 1 1 0 0
P↔Q 1 0 0 1
3.26 Consideremos ahora la siguiente condicional o implicación: Si nieva, entonces hace frío. Fíjese que no decimos "sólo en el caso que nieve, hace frío", lo cual sería falso, sino que si de hecho es verdad que nieva, será verdadero que hace frío. 3.27 Esto supuesto, examine las cuatro siguientes proposiciones, indicando en qué casos continúa siendo verdad el "si entonces" del ejemplo analizado, y en qué caso es falso: nieva y 'hace frío……………………………1 no nieva y hace frío………………………1 nieva y no hace frío………………………0 no nieva y no hace frío…………………1 3.28 Es claro que sólo si nevara y no hiciera frío, sería falsa la proposición "si nieva, entonces hace frío". No falsifica al condicionador el segundo ni el último caso, puesto que no negamos que pueda hacer frío o calor en el caso que no nieve. 21
3.29 Deduzca de lo expuesto la correspondiente tabla: P 1 0 1 0
Q 1 1 0 0
P→Q 1 1 0 1
3.30 Analicemos ahora un ejemplo de binegación conjunta: Mi jefe, ni hace ni deja hacer Es obvio que si hace y deja hacer, el "ni.... ni" valdrá……………….0 Igualmente, si no hace pero deja hacer, el valor será……………….0 y si hace, pero no deja hacer ,también valdrá…………………………..0 3.31 Se necesita, evidentemente, que ambas atómicas sean falsas, para que el valor de la molecular sea 1. Es decir, que si es falso que "hace" y falso que "deja hacer", entonces es verdad que "ni hace, ni deja hacer". 3.32 De las anteriores observaciones se puede concluir la regla según la cual la binegación es verdadera sólo en el caso en que ambas proposiciones componentes sean falsas 3.33 Queda muy fácil, teniendo en cuenta lo expuesto, componer la tabla correspondiente: P 1 0 1 0
Q 1 1 0 0
P↓Q 0 0 0 1
3.34 Sea un ejemplo de incompatibilidad: Es incompatible ser juez y abogado. Lo único que se quiere decir es que una misma persona no puede ser, a la vez, juez y abogado y que, por tanto, de ser verdaderas las proposiciones atómicas, la molecular tendría valor 0. 3.35 La incompatibilidad cierra sello una puerta y deja las otras abiertas a las siguientes posibilidades (¿verdaderas o falsas?): que no sea juez, pero sí abogado………………………1 que sea juez, pero no abogado…………………………1 que no sea lo uno ni lo otro………………………………1 3.36 La regla, pues, para establecer la tabla correspondiente es ésta: Dos proposiciones son entre sí incompatibles cuando no pueden ser ambas a la vez Escriba, entonces, los valores correspondientes: 22
P 1 0 1 0
Q 1 1 0 0
P│Q 0 1 1 1
3.37 En cuanto al negador es evidente que cambia los valores (verdadero o falso) a signo contrario, por ejemplo: Bolívar nació en Caracas, vale……………………1 Bolívar no nació en Caracas, vale……………….0 Bolívar murió en Caracas, vale…………………..0 Bolívar no murió en Caracas, vale………………1 3.38 Entonces, la tabla para la negación será si P vale 1, no P vale 0 y viceversa. P 1 0
—P 0 1
PLURIFORME RIQUEZA DEL LENGUAJE IDIOMATICO Tomada de MARQUINEZ A., Germán. Lógica matemática, ya citada. En el estudio de las formas lógicas, a partir de las formas gramaticales, el lógico tropieza con una dificultad: la pluriforme riqueza de éstas. El lenguaje idiomático es exuberante en formas y muy rico en matices. El lenguaje idiomático debe traducirlas a unos pocos modelos unívocamente determinados en su significación. En esta traducción se pierde gran parte de la riqueza de aquél, pero se gana en seguridad y potencia generalizadora. Mostremos por partes este hecho. Las proposiciones por razón de la calidad se dividen en afirmativas y negativas. Ahora bien, la negación puede hacerse de muchas maneras: 23
Formas idiomáticas
Ejemplos correspondientes
no
Canadá no es productor de café.
in…
El Magdalena es un río incontrolable.
im…
La vida en la luna es imposible.
des…
Es un pintor desconocido
dis…
La aparición de cometas es un fenómeno discontinuo
a…
Los animales son amorales
anti…
Los castigos son antipedagógicos
No se da el caso que No sucede que
nieve en Bogotá
No ocurre que
sepa la lección
No es verdad que
haga frío en Barranquilla
Nunca . . .
me toca la lotería
Jamás.
miente Ricardo
nada
espacial es espiritual
ningún
sueco usa carriel
Ni . . . ni . . .
Ni hace ni deja hacer
No… tampoco….
No mejora, tampoco empeora.
no venga el director
Observaciones: La forma más sencilla y natural de negar consiste en anteponer al verbo de la proposición la partícula "no". En todo caso, para que una proposición sea negativa, la negación debe afectar de manera directa o indirecta al verbo o predicado, y no al sujeto, por ejemplo: no llover perjudica al agricultor, es afirmativa. En el lenguaje idiomático no siempre dos negaciones afirman; a veces se refuerzan mutuamente, por ejemplo: No sé nada No lo haré nunca No, no ha venido tu amigo La negación no sólo niega proposiciones, sino también los conectores biargumentales mediante los cuales unimos unas con otras. Ejemplos: No es verdad que (si nieva hace calor) No ocurre que (estudie y no apruebe) Es falso que (ni hace ni deja hacer) No se da el caso que (no me visite o no me escriba). Aunque el ni... ni... tiene su propio conector (│), sin embargo se puede representar 24
mediante dos negaciones conjuntas. Ni es panameño ni cubano, equivale a: no es panameño y no es cubano. Tampoco equivale a y no: Luis no estudia, tampoco Pedro, equivale a Luis no estudia y Pedro no estudia. Nunca y jamás expresan un no rotundo y continuado. Tales matices se pierden en la trascripción lógica. Ningún, nada: además de negar, cuantifican la proposición universalmente. En lógica proposicional se pierde el aspecto extensional. Es fácil advertir que los prefijos negativos en muchos casos vuelven negativa la proposición. Pero a veces expresamos cualidades positivas negativamente En tales casos la proposición sería afirmativa: Luis es inefable, incondicional, desprevenido. La unión conjuntiva de dos o más proposiciones se hace ordinariamente mediante la partícula "y", pero nuevamente el lenguaje idiomático es muy rico en formas y matices: Formas idiomáticas …, y… …,…y… …,…,… …, también ..., igualmente …,del mismo modo …, mientras que…. …, pero…. …., mas…. …, sin embargo… …, no obstante…. A pesar de…. Pese a que … …, tampoco….(y no)
Ejemplos correspondientes Cali y Medellín son ciudades millonarias Colombia, Ecuador y Venezuela son productores de petróleo Bogotá, Quito, Lima, Santiago son capitales Luis estudia, también Pedro En Cali hace calor, igualmente en Cartagena. En Pasto hace frío, del mismo modo en Tunja En Miami hace calor, mientras que en N.Y. frío. Andrés tiene novia, pero no se casa de momento Federico corre, mas sin suerte Ricardo no viene, sin embargo escribe todos los meses Francisco no estudia, no obstante tiene la intención de hacerlo A pesar del buen tiempo, no puede salir. Pese a que lo sabe, no lo puede decir La situación en Bolivia no es buena, tampoco en Uruguay
Observaciones: En el lenguaje usual unimos conjuntivamente dos o más proposiciones cuando hay entre ellas cierta afinidad. Quedan descartados usos tales como: París es la capital de Francia y la yuca es muy sabrosa; Bogotá está a 2.600 m de altura y Carlos Marx escribió El Capital, etc... La lógica empero no está sujeta a esta limitación idiomática. Basta que dos proposiciones sean verdaderas para que puedan ser unidas conjuntiva-mente, porque la lógica vacía las proposiciones de contenidos. La conjunción expresa con frecuencia una relación entre dos o más términos. En tal caso es intraducible en el lenguaje proposicional, a no ser que desdoblemos las proposiciones. Pedro y Roberto son iguales, equivaldría a: Pedro es igual a Roberto y Roberto es igual a Pedro.
25
Con frecuencia sucede que la conjunción, además de unir varias proposiciones, tiene sentido temporal o indica sucesión. En tales casos, el orden de las proposiciones n es indiferente. Así, no es lo mismo: Tuvieron doce hijos y se casaron, que: se casaron y tuvieron doce hijos. Vino, vio, venció, perdería su significación si ordenamos las palabras de otra manera: venció, vio, vino. Por razón de dicho matiz temporal no es posible en el lenguaje idiomático hacer conmutaciones en todos los casos. La lógica, al prescindir de dicho matiz, no está sujeta a esta restricción. Pero, mas, sin embargo, etc... son partículas conjuntivas con carácter adversativo; establecen cierta oposición entre las proposiciones que conjuntan. Dicho matiz, gramaticalmente importante, carece de importancia en lógica. La partícula "o" del lenguaje idiomático es con frecuencia ambigua, debido a que puede tener hasta tres sentidos distintos, discernibles no tanto por razón de las formas, cuanto por la materia, la circunstancia y la intención del que habla. Estos tres sentidos son Disyunción inclusiva o débil, ordinariamente expresada en latín por la partícula vel de cuya primera letra viene el símbolo v). en esta interpretación la disyunción significa que al menos uno de los disyuntos es verdadero. Pueden por tanto, serlo ambos, lo único que se excluye es que ambos sean falsos (Cf. tablas). Hoy es corriente expresar este sentido mediante el signo "y/o". Disyunción exclusiva o fuerte, ordinariamente expresada en latín mediante el aut… aut… (de donde deriva el "o"), significa que al menos uno y sólo uno de os disyuntos es verdadero. Se excluye que puedan ser ambos verdaderos o ambos falsos. La incompatibilidad (simbolizada en el lenguaje lógico mediante la barra de Sheffe), se suele expresar en el lenguaje idiomático también mediante el "o". Lo que se dice en tal caso es que ambos disyuntos no pueden ser verdaderos, pero se admiten todos los demás casos, incluso que ambos sean falsos. (Cf. Tablas). Formas idiomática …o… …o… …o…
O…o… Una de dos…o… …y/o…
Ejemplos correspondientes Se necesita empleado que sepa francés o inglés (inclusiva) Borman está vivo o muerto (exclusiva por razón de la materia). Es católico o protestante (incompatilidad, si lo que se quiere decir es que no se puede ser ambas cosas a la vez, pero se admite que pudiera ser una tercera, ortodoxo por ejemplo) O es colombiano o es cubano (exclusiva). Una de dos: o gano o me retiro definitivamente (exclusiva). Se necesita profesor con título y/o expe¬riencia (inclusiva).
Observaciones: En la literatura, sobre todo jurídica, está muy generalizado el uso del y/o para evitar equívocos. Cuando se duplica el o... o... y sobre todo cuando la duplicación se introduce en forma "una de dos: o... o " es seguro que se trata de una disyunción intencionalmente 26
exclusiva. En el lenguaje lógico es corriente prescindir del "o" exclusivo. El "y" representaría lo que tienen de común ambas disyunciones, es decir, que al menos un disyunto es verdadero. En este caso para expresar la disyunción exclusiva, cuando haga falta, se recurre a la fórmula: (P v Q) — (P • Q) La implicación material es un concepto lógico que expresa un mínimo común que se da en todas las condiciones del lenguaje idiomático. El antecedente y el consiguiente de una condicional pueden estar ligados de muchas maneras: Si pongo la mano sobre el fuego, entonces me quemo (enlace causal) Si es una recta, entonces.es la distancia más corta (enlace por definición) Si gana nuestro equipo, entonces hacemos fiesta (enlace por decisión) Si viene el lunes, entonces aún llega a tiempo (enlace por cincunstancia temporal) Estos y otros matices (causación, definición, decisión, circunstancia, etc...) no se tienen en cuenta en la implicación material. Esta no dice de qué manera están unidos antecedente y consiguiente, sino tan sólo que si es verdadero el antecedente, lo tiene que ser igualmente el consiguiente, puesto que en caso de no serlo la implicación material será falsa. Ella presenta varias formas idiomáticas. Forma idiomática Si…, entonces Si…, … …, si … Suponiendo que… Si de hecho… Si por hipótesis… Con tal que… Aun en el caso que… Aunque…
Ejemplos correspondientes Si nieva, entonces hace frío Si vienes, vamos al cine. Luis estudia, si hay examen Suponiendo que gane Cochise, hacemos fiesta. Si de hecho sale el sol, hace calor. Si por hipótesis A, entonces B. Con tal que estudie, Luis aprueba. Aun en el caso que llueva, voy. Aunque haga mal tiempo, no pierdo clases.
Observaciones: La partícula causal porque, que juega un papel tan importante en el discurso idiomático, no constituye una función de verdad, y por tanto no tiene interés lógico, debido precisamente a la relación causal que expresa. Prescindiendo del carácter de causación, podrían ser expresadas las causales en términos de si. . , entonces. . . . pero ya no serían causales. Sea por ejemplo: Sócrates es mortal, porque es hombre, podría ser expresado condicionalmente: si Sócrates es hombre, entonces es mortal, y es hombre, luego es mortal. Lo mismo se puede decir de las partículas consecutivas o ilativas: Luego, pues, por consiguiente, por tanto, así que, etc. La bicondicional, también llamada complicación, no presenta mayores dificultades, si se 27
ha entendido qué es la implicación material. Se trata de una implicación material mutua entre antecedente y consiguiente. En el lenguaje ordinario es muy frecuente la expresión de este concepto y bajo múltiples formas: Formas idiomáticas ….si, y sólo si,… …solo si… . . . únicamente si… …sólo en el caso que... …es necesario… Si no… , entonces no.
Ejemplos correspondientes Nieva si, y sólo si, hace frío. Iré al Campín, solo si hace buen tiempo. Me duermo únicamente si no hay ruidos. Iré a la corrida solo en el caso que toree el Cordobés. Para que vaya a la corrida es necesario que toree Cáceres. Si no juega Santa Fe, entonces no voy al Campín.
Control lógico del lenguaje idiomático La lógica puede ejercer un efectivo control sobre las operaciones lógicas del lenguaje y es necesario que lo ejerza. Porque el hombre común y corriente presume de ser muy lógico, pero la lógica natural que él usa no es suficientemente segura ni tiene los instrumentos precisos para detectar cuando hay error formal. Todo el problema de la lógica está en determinar si lo que se afirma como conclusión es en realidad una verdadera conclusión que se desprende de unas premisas dadas. El control lógico consiste, por tanto, en: a)
Detectar las afirmaciones o negaciones que tengan carácter de conclusiones.
a)
Descubrir las premisas, es decir aquellas afirmaciones o negaciones sobre las cuales, en últimas, descansan las conclusiones.
b)
Analizar si el proceso que permite pasar de las premisas a las conclusiones se realiza de acuerdo con las reglas lógicas.
Para realizar bien el trabajo aconsejamos, al menos tratándose de principiantes, dar los pasos siguientes: a. b. c. d. e.
Podar el discurso de elementos extralógicos. Explicitar los elementos lógicos implícitos. Asignara cada proposición distinta una letra. Sustituir las proposiciones por letras. Sustituir las constantes lógicas por los conectores lógicos correspondientes.
Sea el siguiente ejemplo: iQué dolor! Saber que la biblioteca de Alejandría, que atesoraba miles de volúmenes de los grandes genios de Grecia y Roma, fue quemada por Omar en virtud de una argumentación tan absurda como la que sigue: "Estos libros, se decía el gran guerrero, o dicen lo mismo que el Corán o dicen algo distinto. Si lo primero, hay que quemarlos porque están de más ya que nada nuevo añaden. Si lo segundo, también hay que quemarlos, porque en este caso lo contradicen o van contra el Corán. Luego encualquier caso hay que quemarlos".
28
a) Elementos extralógicos: " iQué dolor! saber que la biblioteca de Alejandría, que atesoraba miles de volúmenes de los grandes genios de Grecia y Roma, fue quemada por Omar en virtud de una argumentación tan absurda como la que sigue" ... "se decía el gran guerrero" ... "porque están de más ya que nada nuevo añaden" ... "porque en este caso lo contradicen o van contra el Corán".
El argumento quedaría así: Estos libros o dicen lo mismo que el Corán o dicen algo distinto. Si lo primero, hay que quemarlos; si lo segundo, hay que quemarlos. Luego, en cualquier caso, hay que quemarlos.
b)
Explicitación de elementos implícitos: "dicen algo distinto" = "no dicen lo mismo que el Corán" "si lo primero" = "si dicen lo mismo que el Corán", entonces... "si lo segundo" = "si no dicen lo mismo que el Corán", entonces... "en cualquier caso" = "en cualquiera de las dos hipótesis" "Luego" = "entonces" El argumento quedaría de nuevo así: Estos libros o dicen lo mismo que el Corán o no dicen lo mismo que el Corán. Y si dicen lo mismo que el Corán, entonces hay que quemarlos; y si no dicen lo mismo que el Corán, entonces hay que quemarlos. Entonces, en cualquiera de las dos hipótesis, hay que quemarlos.
c)
Asignación de letras: "Dicen lo mismo que el Corán"…..…………P "No dicen lo mismo que el Corán"…………— P "Hay que quemarlos" ……………………….R
d)
Sustitución de las proposiciones por letras: [(o P o — P) y (si P entonces R) y (si — P entonces R )] entonces R.
e)
Sustitución de constantes lógicas por conectores: (o P o — P) = (P w — P) (si P entonces R) = (P R) (si — P entonces R) = (— P R) 29
(entonces R) = R Hechas estas sustituciones obtenemos la fórmula: {[(P w — P) • (P R)] • (— P R} →R Omar discurría lógicamente. Lo absurdo del argumento se debe a la materia, no a la forma misma del discurso. En cuanto a la forma, la anterior es una argumentación que se llama Dilema Simple (Cf Unidad y).
Ejercicios de formulación de discursos Siguiendo los pasos anteriores en la Lectura I II pasa a fórmulas lógicas los correspondientes discursos. 1.
Si hace sol, la casa está caliente; no está la casa caliente, por consiguiente no hace sol.
2.
Si nieva hace frío; está nevando, luego hace frío.
3.
Si viene Luis, voy al cine; no viene Luis, entonces no voy al cine.
4.
Si tengo tiempo y dinero, voy a la fiesta; tengo tiempo pero no dinero, luego no voy a la fiesta.
5.
Si vienen Ana y Rosa, voy de paseo; voy de paseo, luego vienen Ana y Rosa.
6.
Una de dos: o voy al cine o al teatro; no voy al teatro, luego voy al cine. 30
7.
Luis sabe francés o inglés o ambos; no sabe inglés, por consiguiente sabe francés.
8.
El profesor tiene título o experiencia o ambas cosas; no tiene título, luego tiene experiencia.
9.
Si los precios suben, hay inflación; si hay inflación, el poder adquisitivo disminuye; si el poder adquisitivo de la moneda disminuye, el nivel de vida baja; luego si los precios suben, el nivel de vida baja.
10.
Si Pedro se casa, hay que invitar a Luisa y a Ramón; si se invita a Luisa o a Ramón, habrá pelea en la ceremonia; por tanto si Pedro se casa habrá pelea en la ceremonia.
11.
Si Rodríguez es nombrado Rector, entonces Pérez será nombrado Secretario; si García es nombrado Rector, Pérez igualmente será nombrado Secretario; por tanto Pérez será nombrado Secretario.
12.
Mañana es fiesta si hay paro de buses y si lo decreta el Rector. Pero no hubo fiesta, luego no hubo paro de buses o no lo decretó el Rector.
13.
Si Santo Tomás tiene razón, Dios es el fin del hombre; si Epicuro tiene razón, el placer es el fin del hombre; uno y otro tienen razón; por consiguiente, Dios o el placer constituyen el fin del hombre.
14.
Si los cuerpos se mueven lo hacen en el lugar en que están o en el lugar en que no están; ni los cuerpos se mueven en el lugar en que están ni en el lugar en que no están; luego los cuerpos no se mueven.
15.
0 la lógica es difícil o no les gusta a muchos estudiantes. Si las matemáticas son fáciles, entonces la lógica no es difícil. Por lo tanto, si a muchos estudiantes no les gusta la lógica, las matemáticas no son fáciles
16.
Quien copie o falsifique billetes de banco, suministre copias o falsificaciones, o los ponga en circulación, será condenado a no menos de dos años. Y Luis no falsificó billetes pero los puso en circulación. Luego debe ser condenado.
17.
Cuando me encuentro dudando, no puedo dudar de que dudo; y si dudo pienso, pues solo quien piensa puede dudar; y si pienso existo como algo que piensa. Luego no es posible dudar de todo.
18.
Es evidente que el centro de una serie de esferas concéntrica en movimiento rotatorio es un punto inmóvil. Ahora bien, según el Estagirita, la Tierra es el centro de una serie de esferas concéntricas que rotan entorno a ella, luego la tierra es el único punto inmóvil en el Universo.
31
IV ANALISIS DE CERTEZA 4.1Sea una proposición cualquiera representada por la letra proposicional P. Todos los posibles valores de verdad asignables a dicha letra son verdadero o falso o sea: 1- 0 4.2 Podríamos, entonces, colocar debajo de P, en forma de columna, dichos valores, y quedaría así: P 1 0 32
4.3 Si relacionamos entre sí dos proposiciones, representadas por las letras. P y Q, resultarán las cuatro siguientes posibles combinaciones de valores de verdad:
P Verdadero falsa verdadera falsa
Q verdadera verdadera falsa falsa
Representables por: P 1 0 1 0
Q 1 1 0 0
4.4. Los anteriores son ejemplos de columnas de referencia. Las columnas de referencia ofrecen todas las posibles combinaciones de valores de verdad, representados por 1 - 0 para una, dos o más proposiciones relacionadas entre sí. 4.5. El número de posibles combinaciones de valores de verdad se establece por fórmula 2n, donde el exponente "N" representa el número de letras proposicionales que entran en relación; la base, el número de Valores que en lógica bivalente son dos. Por ejemplo, las combinaciones posibles para: P
serían 21 =
2
P Q
serían 22 =
4
P Q R
serían 23 =
8
P Q R S
serían 24 =
16
P Q R S P´
serían 25 =
32
4:6. Las columnas de referencia para tres letras proposicionales serían las siguientes ocho combinaciones posibles: P 1 0 1 0
Q 1 1 0 0
R 1 1 1 1 33
1 0 1 0
1 1 0 0
0 0 0 0
4.7. Observe que para la construcción de estas columnas se empieza, convencionalmente, con un renglón en el que todos son UNOS y se termina en un renglón en que todos son CEROS. 4.8. Observe también la secuencia de los números en las series verticales: debajo de P se alterna el 1 con el 0; debajo de Q, es decir de la segunda letra, se alternan dos unos, seguidos de dos CEROS; para la tercera se van alternando cuatro unos y cuatro CEROS; siguiendo esta progresión geométrica, si una fórmula tuviera cuatro letras proposicionales en la última columna alternarían ocho unos con OCHO CEROS 4.9. Aplicando estas observaciones, elabore la columna de referencia para una fórmula de cuatro letras proposicionales o argumentos: P 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
Q 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0
R 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0
S 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
4.10 .Las columnas de referencia que hemos aprendido a construir, se pueden aplicar a la solución de múltiples problemas combinatorios. En lógica se emplean para conocer todos los posibles valores de los argumentos de una fórmula dada. A continuación construya las columnas de referencia de uno a cinco argumentos. Deben ser 32. 4.11. Supuestas las columnas de referencia, entre los métodos que permiten conocer los valores de verdad de una fórmula macromolecular cualquiera, está el llamado método en cruz. que usted mismo va a realizar, siguiendo las siguientes indicaciones: 4.12 Trace una cruz: 4.13 En la parte superior derecha de la cruz escriba la fórmula: si P, entonces P v Q 34
P→ (P v Q) 4. 14. En la parte superior izquierda escriba tantas letras o argumentos cormo tiene la fórmula: 4. 15. Debajo de las letras en la parte inferior izquierda escriba las columnas de referencia correspondientes a dos argumentos: 4.16 Establezca a continuación los valores del disyuntor teniendo en cuenta las columnas de referencia y las tablas de verdad para dicho conector: 4.17 Los valores obtenidos bajo el disyuntor definen el valor del paréntesis. Dado que el implicador une a P con dicho paréntesis, para establecer los valores del implicador relacione usted mismo los valores de P con los del disyuntor, para obtener como resultado final: Observe el ejemplo: P
Q
1 0 1 0
1 1 0 0
P→(P v Q) 1 1 1 1 1 1 1 0
4.18 Observe que a partir de las columnas de referencia hemos procedido a deducir los valores del conector de mínimo alcance para terminar en el alcance máximo que define siempre el valor total de la fórmula, y que, en el caso resuelto da una columna de sólo UNOS. 4.19 La anterior fórmula representa una forma de pensar válida para TODOS LOS CASOS, puesto que bajo el conector de máximo alcance resultó una columna de sólo unos. En lógica, a tales fórmulas se las conoce como TAUTOLOGIAS 4.20 Por tanto, una tautología es una fórmula que es correcta en TODOS los casos posibles y se reconoce porque al comprobarla da siempre UNOS O VERDADEROS en el conector de máximo alcance. 4.21 Verifiquemos ahora la fórmula siguiente: coloque las columnas de referencia debajo de los argumentos: P 1 0 1 0
Q 1 1 0 0
[(—P w Q). —Q]→P Sólo hay dos argumentos: P y Q
4.22 El orden de deducción de los valores de los conectores, siguiendo de menor a mayor alcance y de izquierda a derecha en la fórmula anterior, es: 35
[(—P w Q). — Q]→P Negador: — Disyuntor: w Negador: — Conjuntor: . Implicador: → 4.23 De acuerdo al orden señalado en el ítem 4.22, saque el valor correspondiente al primer negador, teniendo en cuenta la tabla de la negación: P
Q
1 0 1 0
1 1 0 0
[(—P w Q). — Q]→P 0 1 0 1
4.24 Ahora establezca los valores correspondientes al disyuntor, teniendo en cuenta la respectiva tabla y relacionando los valores de — P y de Q: P
Q
1 0 1 0
1 1 0 0
[(—P w Q). — Q]→P 0 1 1 0 0 0 1 1
4.25 A continuación establezca los valores del negador — Q: P
Q
1 0 1 0
1 1 0 0
[(—P w Q) . — Q]→P 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1
4.26 Relacionando los valores del disyuntor y de — Q, deduzca los valores correspondientes al conjuntor teniendo en cuenta la tabla del mismo: P 1
Q 1
[(—P w Q) . —Q]→P 0 1 0 0 36
0 1 0
1 0 0
1 0 1
0 0 1
0 0 0 1 1 1
4.27 Finalmente, establezca los valores del conector de máximo alcance, es decir, el implicador relacionando los valores del conjunto) y de P: P 1 0 1 0
Q 1 1 0 0
[(—P w Q) . —Q]→P 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0
4.28 Como puede observar, en la columna del implicador, que es la que define el valor total de la fórmula hay, además de tres unos, un CERO; lo cual significa que cuando en la columna definitiva resulta una mezcla de unos y ceros en cualquier posición la fórmula es INDETERMINADA, es decir, que representa formas de pensar no siempre correctas para TODOS los casos posibles. 4.29. Finalmente, cuando debajo del conector de mayor alcance resulte solo ceros para todos los casos posibles se denomina en lógica CONTRADICION, esto es, una fórmula que presenta formas de pensar siempre formalmente incorrectas. Como puedes comprobar en la formula siguiente: P
Q
1 0 1 0
1 1 0 0
(P . Q ) ↔ (P│Q) 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
4.30. Resumiendo, el resultado dela verificación de una fórmula cualquiera puede ser: Tautología Indeterminación Contradicción
37
LECTURA Tautologías y contradicciones Tomada de: LUDWING WITTGENSTEIN, Tractatus LogicoPhilosophucis, Madrid, Ed. Rev. de Occidente, 1957, pp. 99-103. Entre los posibles grupos de condiciones de verdad, hay dos casos extremos. En uno la proposición es verdadera para todas las posibilidades de verdad , de las proposiciones elementales. Nosotros decimos que las condiciones de verdad son tautologías. En el otro caso la proposición es falsa para todas las posibilidades de verdad: las condiciones de verdad son contradictorias. La proposición muestra aquello que dice: la tautología y la contradicción muestran QUE NO DICEN NADA. La tautología no tiene condiciones de verdad, pues es incondicionalmente verdadera; y la contradicción, bajo ninguna condición es verdadera. 38
La tautología y la contradicción carecen de sentido. (Como el punto del cual parten dos flechas en direcciones opuestas). Tautología y contradicción no son, sin embargo, sin sentidos; pertenecen al simbolismo, del mismo modo que cero es parte del simbolismo de la aritmética. Tautología y contradicción no son figuras de la realidad. No representan ningún posible estado de cosas. En efecto, una permite todos los posibles estados de cosas; la otra, ninguno. En la tautología, las condiciones de acuerdo con el mundo —las relaciones representativas— se anulan recíprocamente en cuanto no están en ninguna relación representativa con la realidad. Las condiciones de verdad determinan el campo que la proposición deja libre a los hechos (...). La tautología deja a la realidad todo el espacio lógico —infinito—; la contradicción llena todo el espacio lógico y no deja a la realidad ni un punto. Ninguna de las dos puede, pues, determinar de ningún modo a la realidad. La verdad de la tautología es cierta; la de las proposiciones, posible; la de las contradicciones, imposible. (Cierto, posible, imposible: aquí tenemos la indicación de aquella gradación de la que tenemos necesidad en la teoría de la probabilidad).
EJERCICIOS RESUELTOS: Verifique las siguientes fórmulas, indicando al final de cada una si es tautológica, contradictoria o indeterminada. Antes de resolver el ejercicio no mire las soluciones.
1. Ejercicios RESPUESTA P
Q
1 0 1 0
1 1 0 0
P
Q
[(P→Q) . —Q)] → —P
[(P→Q) . —Q)] → 39
1 1 0 1 1 0 0 0 PASO S
1 1 0 1 1
—P 0 0 0 0 0 1 1 1 3 2
1 1 1 1 5
0 1 0 1 4
40
RTATAUTOLOGIA 2. Ejercicio. P
Q
R
[( P
1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 Orden de procedimient o
1 0 1 0 1 0 1 0 1
→ 0 1 1 1 0 1 1 1 3 (1,2 )
0 0 1 1 0 0 1 1 2
— Q . ( Q ↓ R )] → (P . — R) 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 5 4 8 7 6 (4,3) (5,7 (7,6 ) ) RTA-
INDETERMINADA
3. Ejercicio. P
Q
R
1 0 1 0 1 0 1 0
1 1 0 0 1 1 0 0
1 1 1 1 0 0 0 0
[Pv(Q.R)]↔[(Pvq).(Pv R)]
RPTA- TAUTOLOGIA
4. Ejercicio. Elabore el cuadro y la solución de:(P → Q)→[P w —R)→Q w —R)]
1 1 1 1 1 0 1 1
INDETERMINACION 5. Solucione: 3.1. —(P . —P) ↔ (P v —P) 3.2. P) 3.3. ( P w — P )] →( Q v S) 3.4. P) ↔ — P]
RTA.
(P ↔ Q) ↔ ( — Q → — [(— P → Q) . (P →S) . [—P →(P │ P)] ↔ [(P ↓
V INFERENCIAS TAUTOLOGICAS 5.1. Podríamos comparar la lógica a un juego. Todo juego procede de acuerdo a unas REGLAS
5.2. En la mayoría de los juegos las regias son convencionales. Las reglas lógicas, por el contrario, representan leyes naturales por las que se rige el pensamiento.
5.3 Las leyes, o reglas lógicas, se dividen en inferencias y equivalencias. Hablemos de las inferencias.
5.4. En el siguiente ejemplo: si llueve, entonces hace frío y llueve: luego hace frío, hay dos premisas, a saber: si llueve hace frío y llueve de las cuales se deduce la conclusión: luego hace frío
5.5 Como hemos podido observar, una inferencia es un proceso lógico en el que de una o varias premisas se saca una o varias conclusiones
5.6. En un problema lógico, las premisas representan datos conocidos de los que se infiere una nueva verdad lógica.
5.7 Vamos a ver progresivamente las principales inferencias. La más simple de todas es la AUTOIMPLICACION que establece que cualquier proposición se implica a sí misma.
5.8 Por ejemplo, si tomamos la proposición "está muerto" como premisa, podemos sacar la misma proposición como conclusión en la forma: "si está muerto, está muerto".
5.9 Simbolizando por A la proposición y separando la premisa de la conclusión mediante una raya horizontal, obtendríamos el siguiente esquema: A→A
5.10 La ley de la autoimplicación, que es la formulación lógica del principio de identidad, establece que el lenguaje tiene un sentido determinado. Al principio de identidad es reductible el principio de contradicción que establece la incompatibilidad de una afirmación y su simple negación: – (P • — P) y el principio de “ tertio excluso”: P w— P que declara la inexistencia de medio entre una afirmación y su simple negación.
5.11 Pasemos ahora a la ley o regla de la DOBLE NEGACION, ilustrándola con el ejemplo siguiente: "No es el caso que en Colombia no llueva" quiere decir "en Colombia llueve”
5.12 Por el ejemplo anterior podemos ver que dos negaciones, cuando una niega a la otra, se anulan; por tanto, la doble negación equivale a una simple afirmación. En el lenguaje cotidiano empleamos, con frecuencia, dos negaciones para reforzar la negación. Entonces las dos negaciones niegan 5.13 Por consiguiente, si tenemos como premisa A podemos sacar como conclusión A, cuyo esquema es: — — A →A
5.14 Veamos ahora la ley o regla de la ADJUNCION. Representemos con A la proposición "Colombia es un país dependiente" y con B "Chile es un país dependiente"; es evidente que si son verdaderas por separado también lo serán unidas o conjuntamente
5.15 Por lo mismo, si tomarnos A, B (por separado) como premisas, podemos sacar como conclusión: A B →A• B O de otra manera: A B ____ A•B es decir, la conjunción de ambas.
5.16 La ley o regla de la SIMPLIFICACION es la contraria de la adjunción; esto es, si es verdad que "Colombia y Chile son países dependientes" podemos concluir que A es dependiente, que B es dependiente
5.17 Las conclusiones en la simplificación serán: (A • B)→A (A • B)→B O de otra manera: A•B A B 5.18 Pasemos ahora a la ley de la ADICION. Representemos por A "Panamá está al norte de Colombia" y por B "Ecuador está al norte de Colombia". De unirlas mediante el conjuntor resultaría una proposición falsa; pero si las conectamos mediante el disyuntor
inclusivo dado que una es verdadera, la resultante "Ecuador o Panamá está al norte de Colombia" será verdadero.
5.19 Entonces partiendo del esquema A v B se infiere la conclusión por adición, así: A →(A v B) De otra manera: A v B A →(A v B)
5.20 Nos vamos a referir a continuación a los cuatro modos, que en la lógica moderna conservan la misma terminología que en la tradicional: Modus: ponendo ponens (poniendo pone) tollendo tollens (quitando quita) tollendo ponens (quitando pone) ponendo tollens (poniendo quita)
5.21 Comencemos por el PONENDO PONENS. Sea el ejemplo dado en el ítem 5.4; es evidente que si la condicional "si llueve, entonces hace frío" es verdadera, y si, además, el antecedente es llueve es verdadero, entonces se puede sacar como conclusión la verdad del consiguiente, o sea: hace frío
5.22 Simbolizando la proposición "llueve" por A y "hace frío" por B, tendríamos el siguiente esquema de "ponendo ponens" A → B Y es verdad que A Se concluye que entonces: B Cuya fórmula es: [(A→B) • A] →B
5.23 Sean los siguientes esquemas, en los cuales se afirma la verdad no sólo de la condicional sino también del antecedente de la misma; saque, en cada caso, las conclusiones pertinentes por "ponendo ponens": —A→ B
— A _________ B
Cuya fórmula es: [(—A → B) • —A] → B
O A →— B A ___________ —B
Cuya fórmula es: [(A → — B) • A] → —B
O también: —A → —B —A ____________ —B
Cuya fórmula es: [(—A → —B) •—B] →—B
5.24 Veamos ahora un ejemplo de TOLLENDO TOLLENS: si llueve, entonces hace frío, y no hace frío: entonces no llueve Dado que en la segunda premisa es negada la verdad del consiguiente "hace frío", en la conclusión se debe negar la verdad del antecedente, o sea de "llueve".
5.25 Concluya el esquema "tollendo tollens": A→B —B __________ —A Que en forma lineal queda: [(A → B) • — B] → — A 5.26 Saque usted las conclusiones correctas: A→—B ——B __________ —A Cuya fórmula es: [(A → — B) •— — B] → — A —A→ B —B ____________ ——A — A → —B
Cuya fórmula es: [(— A → B) • — B] →— — A
——B _____________ ——B
Cuya fórmula es: [(— A → —B) • — — B] →— — B
5.27 Los dos modos estudiados, el ponendo ponens y el tollendo tollens, se llaman también silogismos hipótéticos, porque una de las premisas es una proposición hipotética o condicional
5.28 Pasemos al modo TOLLENDO PONENS. Sea el siguiente ejemplo: Dianeth sabe alemán y/o ruso, y no sabe alemán: luego sabe ruso.
5.29 La partícula "y/o", de uso reciente en el lenguaje para expresar la disyunción inclusiva, significa que, al menos sabe una de las dos lenguas; por tanto, es lógico concluir que, si no sabe alemán, sabe ruso; también podríamos concluir que, si no sabe ruso, entonces sabe alemán
5.30 Supuesta la explicación anterior, trate de sacar las conclusiones correctas: AvB —A ________ B Que en forma lineal queda [(A v B) • —A] → B
5.31 El último modo es el PONENDO TOLLENS. Analicémoslo con el siguiente ejemplo: Una de dos, está soltero o casado, y está soltero: luego no está casado.
5.32 Corno se trata de una disyunción exclusiva, no pueden ser ambas verdaderas. Por tanto, conocida la verdad de una cualquiera de las proposiciones disyuntas, se puede concluir que la otra es falsa
5.33 Concluya ahora los siguientes esquemas por "ponendo toIlens": AwB A _____________ —B Que en forma lineal queda: [(A w B) • A] → —B
AwB B ___________ —A
Que en forma lineal queda: [(A w B) • B] →—A
5.34 El tollendo ponens y el ponendo tollens se llaman también silogismos disyuntivos porque una de las premisas es una proposición disyuntiva
5.35 Otra de las inferencias más usuales es la ley de la TRANSITIVIDAD. Sea el ejemplo: Si hay escasez, los precios suben, si los precios suben, hay inflación: luego si hay escasez, hay inflación.
5.36 Simbolizando las proposiciones en el orden en que aparecen por A, B, C tenemos el esquema del ejemplo anterior A→B B→C cuya conclusión es: A → C En forma lineal queda: [(A → B) • (B → C)] → (A → C)
5.37 Podemos observar que se trata de un discurso en que todas las proposiciones son condicionales, dispuestas de tal manera que el consiguiente de la primera hace en la segunda proposición de antecedente, y así sucesivamente; hasta llegar a una conclusión cuyo antecedente es el de la primera, y el consiguiente el de la última.
5.38 Pasemos ahora a los DILEMAS, que son cuatro:
Simple Complejo
constructivo destructivo constructivo destructivo
5.39 Observe el siguiente ejemplo de SIMPLE CONSTRUCTIVO, empleado por Omar para justificar la quema de la famosa biblioteca de Alejandría: Si, estos libros dicen lo mismo que el Corán, hay que quemarlos (porque están de más) Si dicen algo distinto, también hay que quemarlos (porque contradicen el Corán)
O bien dicen lo mismo, o bien algo distinto: Luego, en cualquier hipótesis, hay que quemarlos.
5.40 Simbolizadas las premisas del ejemplo en el esquema que sigue, saque Ud. la conclusión pertinente: M→Q D→Q M→D __________ Q Que en forma lineal quedaría: {[(M →Q) • (D → Q)] • (M v D)} → Q 5.41 Los tres dilemas restantes son menos utilizados en lógica; a título de información daremos los esquemas correspondientes: a) SIMPLE DESTRUCTIVO: M→Q M→R —Q v — R ______________ —M {[( M → Q) • (M → R)] • (—Q v — R)} → —M b) COMPLEJO CONSTRUCTIVO: D→K L→N D→L ______________ KvN {[( D → K) • (L → N)] •( D → L)} →( K v N) c) COMPLEJO DESTRUCTIVO D→K L→N —K v — N ______________ —Dv—L {[( D → K) •( L → N)] •(—K v — N)} →— D v — L 5.42 A continuación encontrará agrupados, para que los pueda memorizar más fácilmente, los esquemas de las principales inferencias:
Nombres
Abrevi aturas
Esquemas
Autoimplicación
AUT
A→A
Doble negación
DN
——A →A
Adjunción
ADJ
A , B →A• B
Simplificación
SIMP
(A • B) → A , (A • B) → B
Adición
ADC
A
Ponendo ponens
PP
[(A→B) • A] →B
Tollendo tollens
TT
Tollendo ponens
TP
[(A → B) • — B] → — A [(A v B) • —A] → B
Ponendo tollens
PT
[(A w B) • A] → —B
Transitividad
TRANS
[(A → B) • (B → C)] → (A → C)
Dilema simple: constructivo
DSC
{[(M →Q) •(D → Q)] • (M v D)} → Q
destructivo
DSD
{[( M → Q) • (M → R)] • (—Q v — R)} → —M
Dilema compuesto: constructivo
DCC
{[( D → K) • (L → N)] •( D → L)} →( K v N)
destructivo
DCD
{[( D → K) •( L → N)] •(—K v — N)} →— D v — L
→ (A v B)
EJERCICIOS 5.43 Utilizando las reglas reseñadas en el ítem anterior, vamos a resolver algunos problemas lógicos, sacando conclusiones a partir de premisas dadas.
5.44 Sea el siguiente problema, en el cual se trata de demostrar B, a partir de las premisas: A→C A.C a) En primer lugar, coloque las premisas una debajo de otra, enumerándolas, y trace la raya que va a separar las premisas de las conclusiones: 1)A→B 2) A . C
b) En segundo lugar, podemos empezar a sacar conclusiones; por ejemplo aplicando la regla de la simplificación en la segunda premisa, se podrían sacar las siguientes conclusiones: 1). A→B 2). A • C 3) A 4) C c) Relacionando, por último, 1) y 3) se forma el esquema del modo Ponendo ponens , que nos permite sacar la conclusión requerida: 1 ) A→ B 2) A• C 1) 2)
A C 1)
B
En efecto, lo que se quería demostrar era B. 5.45 Veamos el siguiente problema que consiste en demostrar — A v B, a partir de las premisas 1) y 2): 1. 1). C • K 2. 2), C →— A 3. 3), C …..………………………………………. por SIM en 1) 4. 4). — A ………………………………………. al relacionar 2) y 3) por PP 5. 5).—A v B ……………………………………por ADC en 4) Era lo que se pedía demostrar. 5.46 Demostrar: — A • — F De las premisas: 1. —A 2. B v A 3. F→—B Se concluye: 4. B…………………………………….por TP en 2) y 1) 5. —F …………………………………por TT en 3) y 4) 6. A • — F………………………por ADJ en 1) y 5)
Ejercicios DEMOSTRAR: K 1. B • C 2. (D v B)→ K 3. B……………………………………por………S/MP…… en 1) 4. D v B…………………………………………..ADN ………en 3) 5. K……………………………………………… PP ………..
DEMOSTRAR: — P v Q 1. —R v S 2. R — P 3. N — S
en 2) 4)
4. W • N 5. W ………………………………………………….por SIMP en 4) 6. N …………………………………………………..por S/MP en 4) 7. S ……………………………………………….por PP en 3) 6) 8. R ……………………………………………….por TP en 1) 7) 9. P------------------------------------------------------ por PP en2) 8) 10. P v — Q…………………………………….. por ADC en 9)
DEMOSTRAR: — S • — Q 1. P v Q 2. Q 3. P→ — S 4. P……………………………………. por TP en 1) 2) 5. —S.……………………………….. por PP en 3) 4) 6. S • — Q ……………………… por ADJ en 5) 2)
DEMOSTRAR: A • B 1. C → A 2. B v — D 3. D • C
4. 5. 6. 7. 8.
D ………………………………………………por SIMP en 3) C ……………………………………………...por SIMP3) A ……………………………………………..por PP 1) 5) B …………………………………………….por TP 2) 4) A • B ………………………………………..por ADJ 6) 7)
DEMOSTRAR: P 1. 2. 3. 4.
AD DvA E→ P D →E
5. A→ E…………………………………….. por TRANS en 1) 4) 6. E……………………………………….. por DS en 4) 5) 2) 7. P………………………………………… por PP en 3) 6)
DEMOSTRAR: T 1. 2. 3. 4. 5. 6.
KvL (M v H) (A v D) L→ H K→ M A→T D→ — (M v H)
7. M v H ………………………… por DC en 4) 3) 1) 8. A v D…………………………. por PP en 2) 7) 9. —D …………………………….por TT en 6) 7) 10. A…………………………….. por TP en 8) 9) 11. T …………………………….por PP en 5) 10)
VI EQUIVALENCIAS TAUTOLÓGICAS 6.1 Si conmutamos 2 + 3 obtenemos la fórmula equivalente es: 3 + 2
Análogamente, en el lenguaje común, las proposiciones "Cali es una ciudad colombiana y Popayán es una ciudad colombiana", "Popayán es una ciudad colombiana y Cali es una ciudad colombiana" son equivalentes
6.2 Representando la proposición "Cali es una ciudad colombiana" por C, y "Popayán es una ciudad colombiana" por P, obtendríamos la fórmula C • P que conmutada, equivaldría a P • C
6.3 'El signo de la equivalencia, en lógica, es el bicondicionador ↔, con el cual se podrían relacionar las dos fórmulas anteriores, quedando representada la equivalencia en la forma (C • P) ; (P • C)
6.4 Son equivalentes, pues, aquellas fórmulas que, aunque tengan escritura diferente, tienen valores de verdad idénticos y el mismo sentido.
6.5
Consiguientemente,
si
unimos
dos
fórmulas
equivalentes
mediante
el
bicondicionador y verificamos su valor de verdad, el resultado será forzosamente tautológico.
6.6 Por ejemplo, verifiquemos la fórmula del ítem 6.3, completando los valores del bicondicionador:
C
P
(C • P) ↔ (P • C)
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
Se trata, pues, de una equivalencia tautológica
6.7 Hay que decir que las equivalencias no sirven, de por sí, para llegar a nuevas conclusiones, pero prestan buenos ser vicios en los procesos inferenciales debido a que permiten cambios en la morfología una determinada fórmula.
6.8 Existen innumerables equivalencias tautológicas. Nosotros estudiaremos las más utilizadas en los procesos lógicos y también en matemáticas en cuanto éstas se rigen por reglas lógicas
Empecemos por la CONMUTACION. Así como en matemáticas el orden de los factores no altera el producto, así en lógica el orden de los argumentos no altera el resultado en ningún caso, excepto en la implicación. En el ítem 6.3 tenemos un claro ejemplo de conmutación
La fórmula: (A • B) ↔ (B • A) sería una conmutación incorrecta porque se trata de una implicación
6.10 El mayor uso de la conmutación tiene lugar en el caso de la conjunción y de la disyunción inclusiva; haga Ud. las siguientes conmutaciones: (A • B) ↔ ( B • A) (A v B) ↔ ( B v A)
6.11 asemos ahora a explicar la TRASPOSICION con un ejemplo: las proposiciones "si llueve, hace frío" y "si no hace frío, es que no llueve" son equivalentes por trasposición
6.12 Si, en el ejemplo anterior, representamos "llueve" por A, y "hace frío" por B, tendríamos la fórmula A B, que transponiéndola daría origen a la equivalencia: (A → B) ↔
(—B → — A)
6.13 Como se puede observar, la transposición es una especie de conmutación con ayuda del negador. La implicación es el único caso que admite la transposición.
6.14 Veamos ahora equivalencias por ASOCIACION. Representemos por A, B, C series de proposiciones unidas por el conjuntor y el disyuntor inclusivo: Cali, Medellín y Bogotá son ciudades millonarias
A•B•C
Podemos ir a casa o al cine o a una discoteca A v B v C
6.15 Haciendo uso del paréntesis, los argumentos en las fórmulas anteriores podrían quedar asociados de las siguientes formas: (A • B) • C)
↔(A v B) v C
A • (B • C) ↔ A v (B v C)
En estas fórmulas la distinta colocación de los signos de agrupación no hace variar el
valor de verdad de las mismas.
Concluyendo, complete las fórmulas siguientes equivalentes por asociación: [(A • B) • C] ↔ [A • (B • C)] [(A v B v C] ↔ [A v (8 v C)]
Lo cual quiere decir que, en realidad, los signos de agrupación en estos casos son innecesarios y, por lo mismo, deberían suprimirse. Además de los casos especificados, se pueden asociar otras series, menos en el caso de la implicación
6.17 Pasemos ahora a las equivalencias por DISTRIBUCION. Observemos la siguiente fórmula: A. (B v C). El conjuntor une evidentemente a A con B y C
6.18 Por tanto, la letra A en la fórmula anterior se puede distribuir conjuntivarnente con B y C por ser factores comunes, resultando las siguientes fórmulas equivalentes: [A•(B v C)] ↔ [(A • B) v (A • C) ]
6.19 Análogamente, realice las siguientes distribuciones: [A v (B • C) ↔ [(A v B) • (A v C)] [A (B • C)] ↔ [(A → B) • (A →C )] [A (B v C)] ↔ [ (A → B) v (A → C)]
6.20 Analicemos a continuación una serie de definiciones. En primer lugar la definición de la DISYUNCION EXCLUSIVA. Si confronta las tablas de verdad del disyuntor exclusivo y del bicondicionador observará que sus valores son contrarios
6.21 Por otra parte, si se niega el bicondicionador, resultarán debajo del negador los valores:
— (A ↔ B) 1
0
0
1
0
1
1
0
que como podemos observar son los mismos que los de la disyunción exclusiva. Luego una disyunción exclusiva equivale a una bicondicional
representable por la fórmula
negada ( A w B) ↔ — (A ↔ B)
6.22 Pasemos a la definición de la BICONDICIONAL. Recuerde que el bicondicionador se representa por la flecha doble. Por tanto, en la fórmula A ↔ B tenemos que A implica a B y B implica a su vez a A. Ambas letras son, por tanto, implicantes e implicadas.
6.23 De la observación anterior podemos deducir la siguiente equivalencia: (A → B) ↔ [(A → B) • (—B → A)] Luego es claro que una bicondicional equivale a dos bicondicionales.
6.24 A continuación veamos las equivalencias por definición de la CONDICIONAL en términos de conjunción y disyunción inclusiva. En términos de conjunción: observe que la expresión "no es el caso que sea dependiente y no subdesarrollado" equivale a la condicional: si es dependiente, entonces es subdesarrollado
Representando las proposiciones "es dependiente", "es subdesarrollado" por A y B sucesivamente, tendríamos la siguiente equivalencia: (A → B) ↔ — (A • — B)
6.25 En términos de disyunción inclusiva, la condicional equivale 'a una .disyunción en la
que se miga el primer disyuntor, como podemos demostrar verificando en ua tabla de certeza:
A B
(A → B) ↔ (— A v B)
(Por definición, cualquier inferencia o equivalencia debe dar, al ser verificada, como resultado una tautología.
6.26 Prestemos atención a las llamadas leyes de MORGAN, que son las siguientes: Una conjunción negada — (A • B), equivale a una disyunción de negaciones (— A v — B) y viceversa,
Una disyunción negada — (A v B), equivale a una conjunción de negaciones (— A • — B)
6.27 Para cerciorarnos de la verdad de dichas equivalencias verifiquemos las fórmulas correspondientes: A B
— (A • B) ↔ (— Av — B)
A B
— (A v B) ↔ (— A • — B)
6.28 pomo consecuencia o COROLARIO de las leyes de Morgan podríamos establecer las dos equivalencias que siguen: (A • B) ↔ — (— A v — B) (A v B) ↔ — (— A• —B) Es decir que una conjunción equivale a una disyunción negativa de negaciones, y que una disyunción equivale a una conjunción negativa de negaciones.
6.29 Veamos las leyes de la IDEMPOTENCIA. Es lógico que "llueve y llueve" equivale a "llueve". Por tanto (P v P) tiene la misma potencia que P y (P v P) tiene la misma potencia que P. Por tanto: (P • P) ↔ P • (P v P) ↔ P
6.30 Para terminar, preste atención a las dos leyes siguientes que definen la FLECHA y la BARRA en términos de conjunción:
6.31 Es evidente que la expresión "ni hace ni deja hacer" equivale a "no hace y deja hacer, y que por consiguiente, la fórmula P ↓ Q: equivale a — P • — Q Se trata de negaciones conjuntas.
6.32 De modo análogo, decir que dos proposiciones son incompatibles equivale a afirmar que no pueden ser ambas a la vez verdaderas. Por lo mismo, la fórmula P / Q equivale a — (P • Q) Se trata, pues, de una anticonjunción.
no
6.33 Damos a continuación, en forma de esquema, las principales equivalencias precedidas de sus respectivas siglas. Escriba el nombre completo de las mismas:
Abreviaturas CONM
Esquemas A•B Av B B•A
TRASP ASOC DISTR
(A • B) • C
(A v B) v C
A • (B • C)
A v (B v C)
A • (B v C)
A v (B • C)
(A • B) v (A • C)
BIC COND
MORG COR IDP FL BAR
Asociación distribución disyunción
— (A ↔ B) A↔B (A →B) • (B → A) (A →B) (A → B)
—(A • B) —A v — B A•B — (— A —B) A •A A
trasposición
(A v B) • (A v C)
AwB
(A• ) — B)
conmutación
B vA
A→B — B → —A
DISY
Nombres
bicondicional condicional
—Av B
— (AvB) — A• — B AvB — (— A • — B) AvA A A↓B —A• — B AIB — (A • B)
Morgan corolarios idempotencia flecha barra
6.34 Es claro que las anteriores equivalencias permiten: a) despejar unos conectores a favor de otros cuando así convenga y b) cambiar de lugar los argumentos.
EJERCICIOS En la solución de los problemas que siguen, debe servirse de las equivalencias, además de las inferencias, utilizando las mismas técnicas del capítulo anterior. Demostrar: — K→ — H 1 C v ( H → l) 2 —C•—I 3 — C
por
SIMP
4 — I
por
SIMP
5 —H→I
por
TP
6 —H
por
TT
7 — HvK
por
ADC
8 1 2 9 3
por
COND
por por
TRANS MORG
4 — D
por
SIMP
5 —K
por
SIMP
6 —F
por
TT
7 — K • —F
por
ADJ
H → K — ( D v K) F→ D —H —K→ — D • —K
1 (P→Q)→ (—R→ 8 —S )( K v F) por MORG 2 —Q →S 3 P→— S 4 — — S→—P po r 5 S →—P po r 6 —Q→—P po r 7 P →Q po r 8 —R→ po r 9 ——R v S po r 1 R v S po 0 r 11 S v R po r
e n e n e n e n e n e n e e n n e n e n e n e n e n
2 2 1- 3 5-4 6 Demostrar: — (K v F)
7
ADJ SIMP TT
8 1 3 3 2- 4 5- 6
Demostrar: S v R
7
TRANS
en 3
DN
en 4
TRANS
en 2- 5
TRANS
en 6
PP
en 1- 7
COND
en 8
DN
en 9
CONM
en 10
Demostrar: P│—Q
1 2 3 4 5 6 7 8
— (P w —Q) P↔—Q (P→—Q) • (—Q→P) P→—Q —Q → P P→P —( P • — P) P│—P
por por por por por por por
DISY BIC SIMP SIMP TRANP COND BAR
en en en en en en en
1 2 3 3 4- 5 6 7
Demostrar: A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 11 1 2 1 3 1 4
A v (B • C) —B v (C • A) (A v B) • (A v C) AvB — —A v B —A → B (—B v C) • (—B v A) (— B v A) • (—B v C) —B → A B→A
por por por por por por por por
DISTR SIMP DN COND DISTR CONM SIMP COND
en en en en en en en en
1 3 4 5 2 7 8 9
—A → A — —AvA
por por
TRANSP COND
en en
6 - 10 11
AvA
por
DN
en
12
A
por
IDP
en
13 Demostrar: — p ↔ —Q
1 2 3 4 5 6 7 8
P↔Q por BIC por SIMP por SIMP por TRANSP por TRANSP por ADJ por BIC
Demostrar: R • S
en en en en en en en
1 2 2 4 3 5- 6 7
(P → Q) • (Q → P) P→Q Q→P — P → —Q —Q→—P (— P → —Q) • (— Q →— P) —P↔—Q
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
—P v Q —Q•R — (P v Q) → S por SIMP por SIMP por TP por ADJ por MORG por PP por ADJ
en en en en en en en
2 2 1- 5 6-5 7 3 -8 4-9
R —Q —P —P • — Q —(P v Q) S R•S
en en en en en en en en en en en
1 5 6-2 3 8 9 10- 7 11 12 4- 13 14- 7
(P → Q) • (Q → P) Q→P —Q T v (Q • —R) (T v Q) • (T v — R) TvQ T TvS SvT R R•—Q
Demostrar: R • — Q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
P ↔ —Q —P (Q • —R) v T (S v T) → R por BIC por SIMP por TT por CONM por DISTR por SIMP por TP por ADC por CONM por PP por ADJ
Demostrar: A ↓ B 1 A→ B 2 —(B v C) 3 por MOR G 4 por SIMP 5 por TT 6 por ADJ 7 por FL
en
2
—B • — C
en en en en
3 1-4 5-4 5
—B —A —A • — B A↓B
Demuestre que se puede concluir con validez que: “no se puede ser buen lector, si y solo si se escribe bien”, a partir de la proposición: — “Solo se lee bien cuando se escribe bien”. Demuestre la validez de la conclusión: “los perros son fieles”, a partir de las premisas:
— Los perros son animales fieles o son salvajes e indomables. — No es verdad que los perros sean animales salvajes o indomables y fieles. Es o no válida la conclusión: “No es el caso que una mujer sea fiel o buena madre”; a partir de las siguientes premisas: — En ningún caso se puede sostener que se es violento o se es infiel — Si una mujer es fiel entonces es violenta.
VII LOGICA DE TERMINOS O DE PREDICADOS Nociones y símbolos en lógica de términos 7.1 Empecemos recordando que una proposición se define como una (Item 2.6): Cadena de palabras con sentido completo verdadero o falso 7.2 Observemos la siguiente proposición: "No todos los suecos son rubios y de ojos azules". Como vemos se trata de una cadena de palabras donde cada palabra, a su vez, forma una unidad que llamamos término. Si contabilizamos los términos de la proposición en cuestión resultarían diez 7.3 Analicemos los términos de la proposición anterior agrupándolos en las siguientes columnas: 1a Suecos Son Rubios Ojos azules
2a No Todos Los Y de
Los términos que denotan realidad (personas, animales, cosas, acciones, propiedades, estados, etc.) son los de la columna 1ª.
7.4 Por el contrario, los términos de la segunda columna, de suyo, no denotan ninguna realidad, pero sirven para negar, relacionar y/o determinar a los términos de la primera. 7.5 En lógica, a los términos que denotan realidades los llamamos categoremáticos y a los demás sincategoremáticos. Los conectores estudiados en la primera parte, constituyen un ejemplo de términos sincategoremáticos 7.6 Especifique mediante una C o una S cuáles son categoremáticos y cuáles sincategoremáticos en las siguientes listas: Libro Dolor Para León Andrés Todos Poder Algunos hoy
C C S C C S C S C
Aquí De Unos Y Oloroso Llueve Estoy Bueno Fin
C S S S C C C C C
7.7 La lógica que vamos a estudiar, en esta segunda parte, se denomina LOGICA DE TERMINOS, porque estudia la estructura interna de las proposiciones entrando al análisis de los diversos términos que la integran. 7.8 Entre los términos categoremáticos, que componen una proposición, los dos más importantes son sujeto y el predicado 7.2 Por ejemplo, en la proposición del ítem el sujeto es suecos y el predicado rubios y de ojos azules 7.9 Como es sabido, "aquello-de-lo-cual" se dice algo afirmando o negando, se denomina sujeto, y "lo-que-se-dice" del sujeto se llama predicado. 7.10 Todo término dice o significa algo. Por ejemplo, el término triángulo significa: figura plana que consta de tres lados y tres ángulos. Según esta definición, las notas que integran la significación del término "triángulo" son: figura
plana tres lados tres ángulos 7.11 El conjunto de notas que integran la significación de un término se denomina en lógica "comprensión". Por tanto, las cuatro notas o características enumeradas constituyen la comprensión del término "triángulo". 7.12 El término "triángulo", además de poseer las características apuntadas (comprensión), se refiere a un determinado número de figuras planas que tienen como propiedades comunes el tener: tres lados tres ángulos 7.13 El número de entidades o cosas de las cuales se puede predicar un término constituye la “extensión” del mismo. Por ejemplo, la extensión del término "triángulo" serían todos los triángulos. 7.14 Teniendo en cuenta el número de individuos que abarcan los términos: (antioqueño, animal, americano, viviente, hombre, colombiano), póngalos en orden de extensión decreciente: viviente animal hombre americano colombiano antioqueño 7.15 Observando la serie compuesta, vemos que el término "viviente" es más extenso que el término "hombre" porque hay vivientes que no son hombres, y el término "hombre", a su vez, más extenso que el término "antioqueño" porque los antioqueños no son todos los hombres. 7.16 A continuación, teniendo en cuenta los términos del ítem7.14, póngalos en orden de
comprensión decreciente: antioqueño colombiano americano hombre animal viviente 7.17 Es claro que el término "antioqueño" es el de mayor comprensión, pues tiene todas las características de los otros, más la de "antioqueñidad"; y el término "hombre" es de mayor comprensión que el de "animal" porque añade a las características de "animal" la nota de racionalidad. 7.18 Comparando las series ordenadas del ítem 7.14 y del 7.16, se puede deducir la ley según la cual la extensión y la comprensión de un término están en razón inversa; lo cual quiere decir que a mayor extensión corresponde menor comprensión y viceversa. 7.19 Observemos la extensión de los siguientes términos: Mao-Tse-Tung algunos marxistas todos los marxistas a)
tiene como extensión un solo individuo
b)
se refiere a más de uno y menos de todos
a)
se refiere a todos los individuos que integran el conjunto de los marxistas 7.20 Los términos por razón de la extensión pueden ser: Singulares……………………ejemplo………….Mao-Tse-Tung Particulares………………….ejemplo………….algunos marxistas Universales………………….ejemplo………….todos los marxistas 7.21 De los anteriores análisis se deduce que los términos, por razón de su extensión, se refieren a conjuntos de cosas y que, por razón de la comprensión, connotan ciertas proa piedades o características comunes a las entidades que forman un conjunto.
7.22 La estructura mental del hombre, desde niño, funciona agrupando las cosas en conjuntos. Un conjunto es: una agrupación de elementos que tienen alguna propiedad en común. 7.23 Dado que todo término se refiere a un conjunto, podemos definirlo señalando los elementos que lo componen, es decir, por su extensión. También podemos definirlo por razón de la propiedad que tienen en común los elementos a los que se refiere, es decir, por su comprensión. 7.24 Dando un paso más, en toda proposición típica se afirma o niega algo del sujeto de la misma, es decir, tiene calidad afirmativa o negativa; y la afirmación o negación puede recaer sobre algunos o sobre todos los elementos que integran el conjunto representado por el sujeto; por tanto, por razón de la extensión una proposición puede ser universal o particular 7.25 Indique, en las siguientes proposiciones, la cantidad y calidad de cada una:
Todo virus es viviente Ningún pastuso es ecuatoriano Algunos políticos son fanáticos Algunos antioqueños no son ciclistas
Universal Afirmativa Universal Negativa Particular Afirmativa Particular negativa
7.26 En los anteriores ejemplos, las partículas "todos", "ningún", "algunos" sirven para señalar la cantidad de "virus", "pastusos", "políticos" o "antioqueños" sobre los cuales recaen los correspondientes predicados. Por ello, dichas partículas se denominan cuantificadores. 7.27 De manera análoga a como hicimos en la primera parte con las proposiciones, vamos a proceder a simbolizar algunos de los términos. El predicado de una proposición cualquiera se simboliza mediante las mayúsculas: F, G, H llamadas "letras-predicado".
7.28 Los sujetos, a su vez, son representados mediante las minúsculas: x, y, z llamadas "letras-argumento". 7.29 Por ejemplo, en la proposición: "Luis estudia" se representaría "estudia" por F y "Luis" por x. Uniendo en el mismo orden dichas letras, resultaría el esquema Fx, que se lee: "x es F". 7.30 Si lo que queremos expresar es: "Pedro no estudia" podríamos representar "Pedro" por "y", "no" por el negador y "estudia" por "F", y obtendríamos el esquema: — Fy, que se lee: "y no es F". 7.31 Los esquemas anteriores son monádicos. Si los unimos mediante un conector, por ejemplo, el conjuntor, el resultado sería el siguiente esquema diádico: Fx • — Fy, que se leería: “x es F”, y, “y no es F” 7.32 Veamos otro ejemplo: "si Luis estudia, entonces Pedro no viene" simbolizando "Luis" por "x", "estudia" por "F", "Pedro" por "y", "viene" por "G", y teniendo en cuenta el conector correspondiente, tendríamos el siguiente esquema diádico : “Fx→ — Gy” , cuya lectura sería x es F, implica que y no es G. 7.33 En el lenguaje idiomático para cuantificar los términos y las proposiciones se utilizan las partículas todo, todos algo, algunos 7.34 Los símbolos de los cuantificadores son: (x)
que se lee:
"para todo x……. " "para cada x….. "
Y corresponde al cuantificador universal (Ex) que se lee:
"para algunos x……..” "hay unos x tales que…….” "existen unos x tales que…… "
"existe al menos un x tal que…….” Y corresponde al cuantificador existencial o particular 7.35 Como se puede ver por la última lectura del cuantificador particular o existencial basta que haya un "x" para que la proposición sea particular, lo cual significa que, para efectos de la cuantificación, la lógica moderna asimila las proposiciones singulares a las particulares 7.36 Cuantifique los esquemas correspondientes a las siguientes proposiciones, anteponiendo el cuantificador del caso: Todo es material:
(x)
que se lee
para todo
x es F
Fx Nada es material:
(x)
que se lee
para todo
x no es F
—Fx Algo es material:
(Ex)
que se lee
existen unos x tales que x es F
Fx Algo no es material:
(Ex)
que se lee
existen unos x tales que x no es F
—Fx 7.37 Cuando en un esquema las letras-argumento están cuantificadas o ligadas, se dice que el esquema está cerrado. Los esquemas del ítem 7.36 son ejemplos de esquemas cerrados; cuando una o varias letras argumentos están libres o sin cuantificar, por ejemplo los esquemas de los ítems 7.29, 7.30, 7.31, 7.32, entonces se dice que son esquemas abiertos. 7.38 Para convertir un esquema diádico abierto en cerrado, basta con poner entre paréntesis
dicho
esquema
y
anteponer
el
cuantificador
o
cuantificadores
correspondientes. Según esto, cuantifique universalmente la primera fórmula y particularmente la segunda: Fx → —Gx…………………..(x) (Fx —Gx) (Ey) (Fy Gy) Fy • Gy………………………(Ey) (Fy • Gy) universal-afirmativa universal-negativa particular-afirmativa particular-negativa
7.39 Dado que toda proposición esta' cuantificada universal o particularmente y cualificada afirmativa o negativamente, uniendo ambos criterios obtendríamos cuatro formas típicas de
univer sal Proposicio nes particu lar
afirmati
Universal
va negativ
afirmativa Universal
a afirmati
negativa Particular
va negativ
afirmativa Particular
a
negativa
7.40 Los lógicos clásicos simbolizaron: la universal afirmativa mediante la…….. A la universal negativa mediante la……….E la particular afirmativa mediante la……. I la particular negativa mediante la……...O 7.41 Utilizando los anteriores símbolos, diga que cantidad y calidad tienen las siguientes proposiciones: Todo animal es viviente………………………A Ningún paquidermo vuela……………………E Algunos animales son cuadrúpedos………..I Algunos animales no son mamíferos………O 7.42 Analicemos la forma típica de cada uno de los modelos, comenzando por el modelo A. En la proposición primera del ítem 7.41 se quiere decir que "todo aquello que es animal es por ello viviente" o en términos más técnicos que: "para todo x, si x es A, entonces x es V", cuya fórmula sería: (x) (Ax →Vx) 7.43 Dado que el sujeto "animal" y el predicado "viviente" representan conjuntos,
podríamos expresar dicha proposición en la siguiente forma: "para todo x, si x es un elemento del conjunto A, entonces x es también un elemento del conjunto V", o sea: (x) (x ϵ A →x ϵ V). El signo "E" se lee: es elemento de o pertenece a. 7.44 El conjunto V es con respecto al conjunto A más extenso. Por otra parte, todos los elementos del conjunto A están
incluidos en el conjunto V. Esta relación se denomina
de inclusión. El conjunto que representa el predicado incluye o contiene al conjunto representado por el sujeto. 7.45 Si quisiéramos expresar gráficamente la relación de inclusión,dibujaríamos dos círculos concéntricos; el de menos área, sería el conjunto S (sujeto), que estaría contenido en el de mayor área o sea en P (predicado) Teniendo en cuenta que el sombreado significa ausencia de elementos podríamos representar la inclusión por el diagrama siguiente: TIPO A.
INCLUSIÓN Repárese que todos los elementos de S están en P. 7.46 Pasemos ahora al análisis del modelo E, o sea, de las proposiciones universales negativas. Sea la proposición: "Ningún paquidermo vuela". Lo que se quiere decir en este caso es que "si alguna cosa es paquidermo, entonces no vuela", o en términos más técnicos: "para todo x, si x es P, entonces x no es V", lo cual se podría formular: (x) (Px — Vx)
7.47 Dado que en la anterior proposición el sujeto representa el conjunto de los paquidermos , y el predicado el conjunto de los voladores, podríamos expresar su sentido en forma conjuntística, diciendo que: "para todo x, si x es un elemento del conjunto P, entonces x no es un elemento del conjunto V"; o sea:
(x)(xϵP → x € V)
El signo " €", se lee: "no es elemento de". 7.48 Debido a que el conjunto que representa el S y el conjunto que representa el P no tienen ningún elemento en común, la relación entre ambos es de exclusión, cuyo diagrama sería: TIPO E:
EXCLUSIÓN Al sombrear la parte en común de ambos conjuntos indicamos que P y V no tienen ni siquiera un elemento en común. 7.49 Analicemos a continuación el modelo I, o sea la forma típica de las proposiciones particulares afirmativas, considerando el ejemplo: "algunos animales son cuadrúpedos". Lo que se quiere decir es que "existen algunos seres tales que son animales y son también cuadrúpedos". En términos más técnicos: "Existen unos x tales que, x es A, y x es C", cuya fórmula sería: (Ex) (Ax • Cx) 7.50 En forma conjuntística se podría expresar la anterior proposición: "existen unos x tales que, x pertenece al conjunto A y x pertenece también al conjunto C”. O sea: (E x) (xϵA • xϵC) 7.51 Dado que el conjunto que representa S y el conjunto que representa P tienen
algunos elementos en común, la relación entre ambos es de intersección, cuyo diagrama sería: TIPO I
INTERSECCIÓN En el que el área marcada con x representa elementos comunes a S y P. 7.52 Veamos finalmente el modelo O, o sea, la forma típica de las proposiciones particulares negativas: "algunos animales no son mamíferos". Lo que queremos decir es que "existen algunos seres que son animales y que no son mamíferos". En términos más técnicos: "existen algunos x tales que, x es A y x no es M". Cuya fórmula sería: (Ex) (Ax • —Mx) 7.53 En forma de conjunto se podría expresar la anterior proposición diciendo: "existen unos x tales que, x pertenece al conjunto A y x no pertenece al conjunto M, o sea: (E x) (x ϵ A • x € M) 7.54 Dado que los conjuntos que representan S y P tienen algunos elementos que no son comunes, éstos constituyen la diferencia entre S y P, representable por el diagrama: TIPO O
PERTENENCIA En el que el área marcada por la x representa los elementos que pertenecen a S y no
pertenecen a P. o sea la diferencia. 7.55 En resumen, y sin referirnos a ningún ejemplo en particular, utilizando la F y la G como predicados y la x como letra argumento, escriba Ud. las fórmulas de los cuatro modelos o formas típicas que puede tener una proposición cualquiera en lógica cuantificacional: A
(x) (Fx → Gx)
E
(x) (Fx→ —Gx)
I
(Ex) (Fx • Gx)
O
(Ex) (Fx • —Gx)
en lógica de conjuntos. A
(x) (xϵF→ x€G)
E
(x) (xϵF→ x€G)
I
(Ex) (x ϵ F • x ϵG)
O
(Ex) (xϵF • x€G)
AUTOEVALUACION
Intente la respuesta usted mismo, luego verifique sus aciertos y/o desaciertos, y corrija. 1. Coloque en serie de comprensión creciente o extensión decreciente los siguientes términos: (Americano, cuerpo, Rafael Núñez, animal, cosa, hombre, viviente, colombino, costeño, cartagenero). cosa cuerpo viviente animal hombre americano colombiano costeño cartagenero R. Núñez 2. Defina por comprensión los siguientes términos: Términos Sudamérica
Definición conjunto de países comprendidos entre
Hombre Animal
el tapón del Darién y Tierra de Fuego animal racional ser vivo que vegeta, siente, se mueve
3. Defina por extensión los anteriores términos, enumerando los elementos contenidos en los correspondientes conjuntos: Términos Sudamérica Hombre Animal
Definición Colombia, Venezuela, Argentina, Chile Asiáticos, europeos, americanos, africanos Aves, reptiles, mamíferos
4. Señale qué clase de relación (inclusión/exclusión/intersección/diferencia) que existe entre los siguientes pares de conjuntos: Soviéticos—Asiáticos
Existe entre S y A una relación de intersección Porque: El conjunto que representa S, y el conjunto que representa A, tienen elementos comunes Colombianos—Sudamericanos Existe entre C y S una relación de inclusión Porque: los elementos del conjunto C están incluidos en el conjunto S Antioqueños—Pastusos Existe entre A y P una relación de exclusión Porque: Entre el conjunto A y P no existe ningún elemento común Turco — Europeos Existe entre T y E una relación de diferencia Porque: Entre el conjunto T y E existen algunos elementos que son no comunes
LECTURA Las Cosas y sus Atributos Tomado de L. CARROLL. El juego de la Lógica, Madrid, Ed. Alianza, 1972, pp. 31 a 39.
Introducción
El Universo contiene 'Cosas'. [Por ejemplo "yo", "Londres", "rosas", "verdor", "libros ingleses viejos", "la carta que recibí ayer".] Las Cosas tienen 'Atributos'. [Por ejemplo, "grande", "verde", "viejo", "que recibí ayer".] Una Cosa puede poseer muchos Atributos; y un Atributo puede pertenecer a muchas Cosas. [Así, la Cosa "una rosa" puede poseer los Atributos "roja", "perfumada", "abierta", etc.; y el Atributo "rojo" puede pertenecer a las Cosas "una rosa", "un ladrillo", "una cinta", etc.] 2. La Clasificación La 'Clasificación' o formación de Clases es un Proceso Mental en el que imaginamos que hemos reunido en un grupo ciertas cosas. A ese grupo se le llama: una 'Clase'. Este proceso se puede llevar a cabo de tres modos diferentes, a saber: (1) Podemos imaginar que hemos reunido todas las cosas. La clase así formada (es decir, la clase "Cosas") contiene el Universo entero. (2) Podemos pensaren la clase "Cosas" e imaginar que hemos espigado en ella todas las cosas que poseen un determinado atributo no poseído por la clase entera. Decimos que este atributo es 'peculiar' de la clase así formada. En este caso, a la clase "Cosas" se le llama un Género con respecto a la clase que hemos construido: a esta Clase se le llama una 'Especie de la clase "Cosas": y al atributo peculiar se le llama su 'Diferencia'.
Como este proceso es enteramente mental, podemos llevarlo a cabo haya o no haya una cosa existente que posea ese atributo. Si la hay, se dice que la clase es Real, si no se dice que es Irreal o 'Imaginaria'. Por ejemplo: podemos imaginar que hemos entresacado, de la clase "Cosas", todas las cosas que poseen el conjunto de atributos "material, artificial, compuesto de casas y calles"; y podemos formar de este modo la
clase real "ciudades". Aquí consideraríamos a "Cosas" como un Género, a "Ciudades" como una Especie de cosas y a "material, artificial, compuesto de casas y calles "como su Diferencias. O podemos imaginar que hemos entresacado las cosas que poseen el conjunto de atributos " que pesan una tonelada, que pueden ser levantadas fácilmente por un niño"; y podemos formar así la clase imaginaria "Cosas que pesan una tonelada y que pueden ser levantadas fácilmente por un niño".
(3) Podemos pensar en una determinada clase —que no sea la clase "Cosas"— e imaginar que hemos entresacado de ella todos aquellos miembros suyos que poseen un cierto atributo no poseído por la clase entera. De este atributo se dice que es 'peculiar' a la clase inferior así formada. En este caso, ja clase en la que se ha pensado se llama un (Género, respecto a la clase inferior extraída de ella: la clase inferior se llama una 'Especiera la superior: y su atributo peculiar se llama su 'Diferencia'. Por ejemplo, podemos pensar en la clase "ciudades" e imaginar que hemos entresacado de ella todas las ciudades que poseen el atributo "alumbradas con gas"; y podemos entonces formar la clase real "ciudades alumbradas con gas". En este caso podemos considerar a "ciudades" como un género, a "ciudades alumbradas con gas" como una especie de ciudades, y a "alumbradas con gas" como su Diferencia.
Si en el ejemplo anterior cambiáramos "alumbradas con gas" por "pavimentadas con oro", obtendríamos la clase imaginaria "ciudades pavimentadas con oro".
Una clase que contenga un solo miembro se llama un ndividuo Por ejemplo, la clase "ciudades con más de cuatro millones de habitantes er 1896", que sólo tiene un miembro, "Londres".
Por lo tanto, cualquier cosa singular que podamos nombrar distinguiéndola de las
demás cosas se puede considerar como una clase de un solo miembro. Así, "Londres" se puede considerar como la clase de un solo miembro extraída de la clase "ciudades" y que tiene como Diferencia "tener cuatro millones de habitantes en 1896".
Una clase que contenga dos o más miembros se considera a veces como una sola cosa. Cuando se la considera así se le pueden asignar atributos que sus miembros tomados separadamente no poseen. Así, la clase "los soldados del décimo regimiento", cuando se considera como una sola cosa, puede poseer el atributo "formados en cuadro", atributo que sus miembros tomados separadamente no poseen.
3. La División
§ 1. Introducción La 'División' es un proceso mental por el cual pensamos en una determinada clase de cosas e imaginamos que la hemos dividido en dos o más clases inferiores. [Así, podemos pensar en la clase "libros" e imaginar que la hemos dividido en dos clases inferiores: "libros encuadernados" y "libros sin encuadernar"; o en las tres clases siguientes: "libros que cuestan menos de un chelín", "libros de a chelín" y "libros que cuestan más de un chelín"; o en las siguientes veintiocho clases: "libros cuyo título empieza por A", "libros cuyo título empieza por B", etc.] Una clase que ha sido obtenida mediante una determinada división se dice que es 'codivisional' con toda clase obtenida mediante esa división. [Así, la clase "libros encuadernados" es codivisional con cada una de las dos clases "libros encuadernados" y "libros sin encuadernar". De modo similar, se puede decir que la batalla de Waterloo fue "contemporánea" de todos los sucesos que tuvieron lugar en 1815.]
Por tanto una clase obtenida por división es codivisional consigo misma.
[Así, la clase "libros encuadernados" es codivisional consigo misma.
De modo similar, se puede decir que la batalla de Waterloo fue "contemporánea" de sí misma.]
§ 2. La Dicotomía Si pensamos en una cierta clase e imaginamos que hemos extraído de ella una determinada clase inferior es evidente que el resto de la clase superior no posee la diferencia, es decir, el atributo específico de la clase inferior. Por lo tanto, se puede considerar a ese resto como otra clase inferior cuya diferencia se puede formar a partir de la clase que habíamos extraído anteriormente mediante el prefijo "no", y podemos imaginar que hemos dividido la clase primitiva en dos clases inferiores cuyas diferencias son contradictorias. A este tipo de división se le llama 'Dicotomía'. [Por ejemplo, podemos dividir "libros" en dos clases cuyas diferencias sean "viejos" y "no-viejos".[
Al llevar a cabo este proceso podemos encontrarnos a veces con que los atributos que hemos escogido se usan de una manera tan vaga en la conversación ordinaria que no es fácil decidir cuáles cosas pertenecen a una clase y cuáles a otra. En un caso semejante sería necesario establecer alguna regla arbitraria que determinara dónde termina una clase y empieza otra. [Así, al dividir "libros" en "viejos" y "no-viejos" podemos decir: "Consideremos como 'viejos' todos los libros impresos antes del año 1801 de nuestra era, y todos los demás como 'no-viejos' ".]
Quede bien entendido a partir de ahora que si dividimos una clase de cosas en dos clases cuyas diferencias tienen significados contrarios, cada diferencia ha de ser considerada como equivalente a la otra con la palabra "no" delante. [Así, si dividimos "libros" en "viejos" y "nuevos", el atributo "viejo" ha de ser considerado como equivalente a "no-nuevo", y el atributo "nuevo" como equivalente a "no-viejo".]
Una vez que hemos dividido una clase, por el procedimiento de la dicotomía, en dos clases inferiores, podemos subdividir cada una de éstas en dos clases todavía más pequeñas, y este proceso se puede repetir una y otra vez, obteniendo con cada repetición un número doble de clases. [Por ejemplo, podemos dividir "libros" en "viejos" y "nuevos" (es decir, "no-viejos”): podemos luego subdividir cada una de estas clases en "ingleses" y "extranjeros" (es decir, “no-ingleses"), obteniendo así cuatro clases: (1)
(libros) viejos ingleses;
(2)
(libros) viejos extranjeros;
(3)
(libros) nuevos ingleses;
(4)
(libros) nuevos extranjeros.
Si hubiéramos empezado dividiéndolos en "ingleses" y "extranjeros" y los hubiéramos subdividido luego en "viejos" y "nuevos", las cuatro clases hubieran sido éstas: (2) (libros) ingleses nuevos; (4) (libros) extranjeros nuevos. (1) (libros) ingleses viejos; (3) (libros) extranjeros viejos; El lector podrá ver fácilmente que se trata de las mismas cuatro clases que teníamos arriba.] 4. Nombres La palabra "cosa", que conlleva la idea de una cosa sin idea alguna de un atributo, representa cualquier cosa singular. Cualquier otra palabra o expresión que conlleve la idea de una cosa ¡unto con, la idea de un atributo representa cualquier cosa que posea ese atributo; es decir, representa cualquier miembro de la clase de la que ese atributo es peculiar. Tal palabra (o expresión) se llama un 'Nombre'; y si existe alguna cosa que ese nombre represente se dice que es nombre de esa cosa. [Por ejemplo, las palabras "cosa", "tesoro", "ciudad", y las expresiones "cosa valiosa",
"cosa material artificial compuesta de casas y calles ", "ciudad alumbrada con gas", "ciudad pavimentada con oro", "libro inglés viejo".] Así como decimos que una clase es real o irreal según que haya o no haya una cosa existente que pertenezca a ella, así también se dice que un nombre es real o irreal según que haya o no haya una cosa existente representada por él. [Así, "ciudad alumbrada con gas" es un nombre real; "ciudad pavimentada con oro" es un nombre irreal.] Todo nombre es o bien un sustantivo o bien una expresión que consta de un sustantivo y uno o más adjetivos (o expresiones usadas como adjetivos). Todo nombre, excepto "Cosa", se puede expresar normalmente de tres modos distintos: (a)
El sustantivo "cosa" y uno o más adjetivos (o expresiones usadas como adjetivos) que denotan los atributos.
(a)
Un sustantivo que denote una cosa y connote a la vez algunos de los atributos, y uno o más adjetivos (o expresiones usadas como adjetivos) que denotan los demás atributos.
(b)
Un sustantivo que denote una cosa junto con todos sus atributos.
[Así, la expresión "cosa material viviente, perteneciente al reino animal, dotada de dos manos y dos pies" es un nombre expresado en forma (a). Si optamos por agrupar el sustantivo "cosa" y los adjetivos "material, viviente, perteneciente al reino animal" y formar así el nuevo sustantivo "animal", obtenemos la expresión "animal que tiene dos manos y dos pies", que es un nombre (que representa la misma cosa que el anterior) expresado en forma (b). Y si optamos por resumir la expresión entera en una sola palabra y formamos el nuevo sustantivo "hombre", obtenemos un nombre (que representa también la misma cosa que los anteriores) expresado en forma (c).1 Un nombre cuyo sustantivo está en plural se puede emplear para representar: (1)
0 bien miembros de una clase considerados como cosas separadas;
(2)
0 bien una clase entera considerada como una sola cosa.
[Así, cuando yo digo "algunos soldados del décimo regimiento son altos" o "los soldados del décimo regimiento son valientes", estoy usando el nombre "soldados del décimo
regimiento" en el primer sentido; y esto es exactamente lo mismo que si yo tomara a cada uno de ellos por separado y dijera "Este soldado del décimo regimiento es alto", "Ese soldado del décimo regimiento es alto", etc. Pero cuando digo "los soldados del décimo regimiento están formados en cuadro", estoy usando la expresión en el segundo sentido; y esto es exactamente lo mismo que si dijera "el décimo regimiento está formado en cuadro".] 5. Definiciones Es evidente que todo miembro de una especie es también miembro del género del que esa especie ha sido extraída, y que posee la diferencia de esa especie. Por tanto, puede ser representado mediante un nombre compuesto de dos partes: una que sea un nombre que designe a cualquier miembro del género, y otra que exprese la diferencia de esa especie. A ese nombre se le llama una 'Definición' de cualquier miembro de esa especie, y darle ese es definirlo. [Así, podemos definir un "tesoro" como una "cosa valiosa". En este caso, consideramos "cosas" como el género, y "valioso" como la diferencia.] Los siguientes ejemplos de este proceso se pueden tomar como modelos para construir otros_ [Nótese que, en cada definición, el sustantivo que representa un miembro (o miembros) del género está impreso en letras mayúsculas.]
1)
Defina usted "un tesoro"….."una COSA valiosa".
2)
Defina "una ciudad"……….."COSA material artificial que se compone de casas y calles".
3)
Defina "hombres"………….."COSAS materiales, vivientes, pertenecientes-al reino animal, dotadas de
dos manos y dos pies", o bien "ANIMALES que tienen dos
manos y dos pies". [El lector puede ponerse a sí mismo cuantos ejemplos quiera de este proceso escogiendo simplemente el nombre de cualquier cosa corriente (tal como "casa", "árbol", "navaja"), dando una definición de ella y contrastando su respuesta por referencia a cualquier diccionario de la lengua castellana.]
VIII INFERENCIAS IMNEDIATAS 8.1 Observemos el siguiente discurso: Todo país subdesarrollado es dependiente Es así que Angola es país subdesarrollado: luego Angola es país dependiente. Dado que para pasar de la primera premisa a la conclusión hemos necesitado de la mediación de la segunda premisa, el ejemplo es una inferencia mediata. De las
inferencias mediatas hablaremos en el capítulo siguiente. 8.2 Fijémonos ahora en este segundo ejemplo: Todo país subdesarrollado es dependiente: luego no es el caso que existan países subdesarrollados que no sean dependientes. Para llegar a la conclusión NO hemos utilizado alguna premisa intermedia. Por lo tanto, estamos ante una inferencia inmediata porque se pasa inmediatamente de una premisa a la conclusión. 8.3 En este capítulo explicaremos las diferentes clases de inferencias inmediatas desde el punto de vista de la lógica clásica, dejando para la lectura las innovaciones que en este punto ha introducido la lógica moderna. 8.4 Comencemos viendo las posibles inferencias por OPOSICION. 8.5 Sean los ejemplos siguientes: A E I O
todo país dependiente es explotado ningún país dependiente es explotado algunos países dependientes son explotados algunos países dependientes no son explotados.
Todas las proposiciones anteriores tienen el mismo sujeto y el mismo predicado. Lo que cambia en sí los anteriores modelos es la cantidad y/o la calidad, porque unas son afirmativas y otras negativas, unas universales y otras particulares. 5.6 En la respuesta del ítem anterior ("cantidad y/o calidad") el disyuntor "y/o" significa que las proposiciones en cuestión difieren entre sí en tres formas, o sea, por razón de la: cantidad y calidad sola calidad sola cantidad 5.7 Resumiendo: son opuestas aquellas proposiciones que teniendo el mismo S (sujeto) y el mismo P (predicado), se diferencian entre sí o bien por razón de la K (cantidad) y C
(calidad), o bien por razón de la sola C, o bien por razón de la sola K. 5.8 Siguiendo los ejemplos del ítem 8.5, si relacionamos entre sí los modelos A — O, podemos observar que difieren entre sí en K y C.
Igualmente, si relacionamos los
modelos E — I, vemos que difieren en K y C. Pues bien, cuando dos proposiciones difieren en K y C, se dice que son opuestas contradictoriamente o que son contradictorias. 8.9 Si en el ítem 8.5 relacionamos los modelos A — E, observamos que difieren en razón de sola C, y que la K de ambas es universal. Esta clase de proposiciones se llaman opuestas contrariamente o simplemente contrarias. 8.10 Igualmente, si relacionamos I — O del ítem 8.5, caeremos en la cuenta de que se diferencian por razón de la C, como las contrarias, pero, a diferencia de éstas, ambas tienen extensión particular. Las proposiciones así opuestas se denominan. subcontrarias. 8.11 Para terminar relacionemos entre sí los modelos A — I, E — O, del mismo ítem Vemos que varían en razón de la sola K. Esta clase de oposición es de subalternación y, por ello, son subalternas. A las universales las llamaremos subalternantes y a las particulares subalternadas. 8.12 Las observaciones anteriores las podemos sintetizar gráficamente mediante el llamado cuadro clásico de las oposiciones:
8.13 Tomando como referencia el cuadro anterior intente deducir Ud. mismo la verdad o falsedad de las contradictorias partiendo de las siguientes hipótesis: HIPOTESIS Si A es verdadera A es falsa
enton ces
RESPUE A O
O es verdadera O es falsa
A
E es verdadera E es falsa
I
I es verdadera, I es falsa
E
A
I
E
STA es falsa es verdader a es falsa verdader a falsa verdader a es falsa, verdader a
8.14 En consecuencia, se puede dar como norma o ley que las proposiciones contradictorias no pueden ser a la vez ambas verdaderas, ni ambas falsas, porque una es la simple negación de la otra y la afirmación y la simple negación tienen valores de verdad contrarios. (Cf. ítems 3.37 y 3.38).
8.15 Pasando a las contrarias, si observamos el ejemplo del cuadrado, vemos que A y E no pueden ser a la vez verdaderas. Pero podríamos poner ejemplos en los que ambas fueran falsas: "todos los pastusos son ciclistas" y su contraria: “ningún pastuso es ciclista, son a la vez falsas. Teniendo en cuenta, según lo dicho, que las contrarias no pueden ser las dos a la vez verdaderas, pero sí falsas, saque Ud. mismo conclusiones de las siguientes hipótesis: si A es verdadera, entonces HIPOTESIS Si A es verdadera entonces A es falsa E es verdadera E es falsa
E E A A
RESPUESTA es falsa es indeterminada es falsa indeterminada
8.17 La razón por la cual las contrarias no pueden ser verdaderas es que una niega a la otra y la verdad no puede estar en la afirmación y en la negación de lo mismo (Cf. ítem 3.38). Pero podrían ser falsas, porque una no es simple negación de la otra; o lo que es lo mismo, entre "todos" y "ninguno”, tales como: algunos son, algunos no son, donde puede emigrar la verdad que ordinariamente no gusta exageraciones. Muchas afirmaciones o negaciones que son verdaderas por lo que dicen son falsas por el modo universal como lo dicen. 8.18 Pasemos a considerar las subcontrarias, observando los ejemplos siguientes: I - algunos colombianos usan ruana O - algunos colombianos no usan ruana claramente vemos que ambas proposiciones son verdaderas. Pero evidentemente no pueden ser ambas falsas. En el ejemplo del cuadro se ve que O es falsa. Luego I no puede ser falsa, porque la verdad tiene que estar en la afirmación o en la negación. 8.19 La norma o ley para las subcontrarias es que pueden ser las dos a la vez verdaderas, pero no ambas falsas. Por consiguiente, deduzca Ud. las conclusiones correctas a partir de las hipótesis siguientes:
HIPOTESIS Si I es entonces verdadera I es falsa O es verdadera O es falsa
O
RESPUESTA es indeterminada
O I I
es verdadera es indeterminada es verdadera
8.20 La razón de que ambas no pueden ser falsas es que la una niega simplemente a la otra (Cf. ítem 3.38). Pero ambas pueden ser verdaderas ya que, al ser particulares, pueden referirse a distintos elementos de un conjunto. Así, dentro del conjunto de los colombianos es verdad que hay elementos que usan ruana y otros que no la usan. 8.21 Finalmente, consideremos las subalternas. En el cuadro del ítem, 8.12 podemos observar que dado que A es verdadera, I tiene que ser verdadera, porque lo que se predica de todos los elementos de un conjunto universalmente, se puede predicar de o distribuir encada una de los elementos que lo integran. 8.22 Observa do en el mismo cuadro vemos que la subalternada O es falsa, luego la subalternante E tiene que ser forzosamente falsa, porque dado que es un caso contenido en la universal, es claro que la falsifica. 8.23 Es de notar que puede darse el caso que la universal sea falsa y la particular verdadera como en: ningún antioqueño es ladrón, es falso algún antioqueño no es ladrón, es verdadero En este caso, la universal es falsa no por lo que dice, sino por el modo universal como lo dice. También puede darse el caso que la particular sea verdadera y la universal falsa, como puede verse en el ejemplo analizado, porque al darle extensión universal podemos falsificar el contenido de una proposición. 8.24 De todo lo expuesto sobre la subalternación, trate de sacar las conclusiones correctas:
HIPOTESIS Si A es entonces verdadera A es falsa I es verdadera I es falsa E es verdadera E es falsa O es verdadera, O es falsa
I
RESPUESTA es verdadera
I A A O O E E
es indeterminada es indeterminada es falsa es verdadera es indeterminada es indeterminada es falsa
8.25 Podríamos resumir todas las posibles inferencias correctas, que permiten las leyes de la oposición, en la siguiente lista de fórmulas (recordando que 1 significa "verdadera" y O "falsa") que Ud. debe completar: A A O O E E I I A E I O A I E O
= = = = = = = = = = = = = = = =
1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0
→ → → → → → → → → → → → → → → →
O O A A I I E E E A O I I A O E
= = = = = = = = = = = = = = = =
0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0
INFERENCIAS POR EQUIVALENCIAS 8.26 De las inferencias por oposición pasamos a las inferencias por EQUIVALENCIA. Observemos los siguientes pares de proposiciones: a) todo es material no es el caso que algo no sea material b) nada es material
no es el caso que algo sea material c) algo es material no es el caso que nada sea material d) algo no es material no es el caso que todo sea material Estudiando bien cada uno de los pares podríamos decir que son equivalentes. 8.27 Utilizando los recursos de lógica cuantificacional, que Ud. ya conoce por el capítulo anterior, podemos simbolizar las equivalencias del ítem 8.26 en la siguiente forma que Ud. debe completar en b) y d): a)
(x)
F x ↔ ………….—(Ex) — Fx
b)
(x)
—Fx ↔ ………………—(Ex) Fx
c)
(Ex)
d)
(Ex) —Fx ↔……………… —(x) Fx
Fx ↔……………… —(x) — Fx
8.28 Análogamente analicemos los siguientes pares de proposiciones: a) todos los caracoles son moluscos no es el caso que algunos caracoles no sean moluscos b) ningún caracol es molusco no es el caso que algunos caracoles sean moluscos c) algunos caracoles son moluscos no es el caso que ningún caracol sea molusco d) algunos caracoles no son moluscos no es el caso que todos los caracoles sean moluscos Los anteriores pares son equivalentes 8.29 Complete, entonces, las fórmulas siguientes que expresan las equivalencias del ítem 8.28, a partir del b): a)
(x)
(Fx → Gx) ↔……………—(Ex) (Fx • —Gx)
b)
(x)
(Fx→ —Gx)↔…………..—(Ex) (Fx • Gx)
c)
(Ex) (Fx • Gx)↔………………—(x) (Fx→ —Gx)
d)
(Ex) (Fx • — Gx)↔………….. —(x) (Fx → Gx)
Veamos algunas inferencias por CONVERSION. Si en la proposición "algunos colombianos son liberales" se conmutan los términos que hacen de sujeto y predicado, resultaría una nueva proposición verdadera, a saber: Algunos liberales son colombianos.
8.31 Analicemos el ejemplo "ningún círculo es cuadrado". Si realizamos la conmutación de los términos de manera análoga al ítem anterior, obtendríamos la proposición: Ningún cuadrado es es círculo. 8.32
En los ítems 8.30 y 8.31 hemos puesto ejemplos de conversión simple, que
consiste, como se pudo apreciar en intercambiar el S (sujeto) con el sin P (predicado) sin que cambie la calidad ni la cantidad de los términos y de las proposiciones. 8.33
Existe también la posibilidad de conversión por accidente. Sea el ejemplo: "todos
los especuladores son delincuentes"; también en este caso se podría hacer una conversión en la siguiente forma: algunos delincuentes son especuladores. Como se puede apreciar, en la conversión por accidente varía la
cantidad de la
conversa. 8.34
Observemos en los ítems 8.30 y 8.31 que las proposiciones modelo I y modelo E
son convertibles simplemente por accidente y las modelo A por simplemente accidente 8.35
En los anteriores casos, la proposición conversa es inferida de la convertente en la
siguiente forma que Ud. debe completar: Algún S es P →………..algún P es S Ningún S es P→……… ningún P es S Todo S es P→……….. algún P es S 8.36 Pasemos ahora a las inferencias por OBVERSION. Todas las manizaleñas son bellas. Implica que: ninguna manizaleña es no-bella. En la obversión, como se ve, no se conmutan los términos ni cambia la cantidad de las proposiciones; sólo cambia la calidad de las mismas y se niega el predicado. 8.37 Fácilmente se ve que la obversión permite formas de inferencia correctas pero poco idiomáticas. Sin embargo, por el interés que puede tener como adiestramiento lógico, realice Ud. la obversión de: ningún cubano es soviético todos los cubanos son no-soviéticos
algunas mujeres no son fieles algunas mujeres son no-fieles algún conductor es educado algún conductor es no-educado 8.38 La última forma de inferencias inmediatas es la CONTRAPOSICION, aún menos idiomática que la anterior. He aquí la lista de estas inferencias: todo S es P→ …………………….todo —P es —S ningún S es P →…………………algún —P no es —S algún S es P→………………….. no admite contraposiciones algún S no es P→………………. algún —P no es —S Como podemos observar en la contraposición los términos se conmutan y se niegan. Además en el modelo E cambia la cantidad de las proposiciones.
AUTOEVALUACION 1. A continuación deberá resolver los problemas que resultan de la descomposición del cuadro clásico de las oposiciones (ítem 8.12). En cada problema coloque a continuación del signo igual el valor de verdad (1,0) correspondiente a cada letra, infiriéndolo de la hipótesis establecida en el ángulo.
IX INFERENCIAS MEDIATAS 9.1 Entre las inferencias mediatas la más importante es sin duda el silogismo categórico. La silogística es la parte más acabada y perfecta de la lógica clásica. 9.2 Analicemos el siguiente ejemplo de silogismo: todos los colombianos son latinoamericanos, es así que los opitas son colombianos: luego los opitas son latinoamericanos. En el silogismo anterior hay tres proposiciones. Enumere los términos categoremáticos que existen en el silogismo anterior: colombianos latinoamericanos opitas Nota: Sobre silogística es clásico el libro de LUKASIEWICZ, J. La silogística de Aristóteles desde el punto de vista de la lógica formal moderna. Técnos, Madrid, 1977. Vea también las importantes conclusiones sobre este punto a las que llegó el alumno de esta Universidad Santo Tomás en su tesis de grado: HERNANDEZ, Samuel, "Algunos reparos a la lógica de la proposición categórica aristotélicoescolástica desde el punto de vista de la lógica moderna". En Análisis (BogotáUSTA) n. 30 (1979).
9.3 De análoga manera que en el ejemplo, todo silogismo típico consta de tres proposiciones categóricas, es decir que simplemente afirman o niegan algo bajo condición (De los
condición silogismos hipotéticos y también de los disyuntivos trata
mos en los ítems 5.21, 5.38) 9.4 Las dos primeras proposiciones se denominan premisas, y la última conclusión. A su vez !fas premisas se Ilaman "mayor" la primera y "menor" la segunda. 9.5 Dado que en todo silogismo hay tres proposiciones y cada una tiene dos términos, como sujeto y predicado, (S P), el total de éstos sería (6) seis. Pero, como hemos podido observar en el ejemplo, cada uno de los términos se repite dos veces en las premisas o en la conclusión. 9.6 Los términos se denominan: extremos y medio. A su vez, los extremos se llaman "mayor" y "menor" por salir en las premisas del mismo nombre. 9.7/ La forma práctica de reconocer los términos es observar la conclusión. Si el silogismo está bien hecho, el extremo mayor sale siempre en la conclusión de predicado y el extremo menor siempre de sujeto. Finalmente, el término medio es el que queda excluido de la conclusión, repitiéndose en las premisas. Según esto, indique cómo se llaman cada uno de los términos del silogismo del ítem 9.2: Opitas…………………… menor Latinoamericanos……… mayor Colombianos…………… medio 9.8 Si bien nos fijamos el silogismo se basa en los principios de conveniencia y discrepancia. Ilustremos el principio de conveniencia con el ejemplo del item 9.2; lo que se quiere decir allí es que dado que todos los colombianos tienen la propiedad de ser latinoamericanos, y dado que todos los opitas tienen la propiedad de ser colombianos, podemos concluir que todos los opitas tienen la propiedad de ser latinoamericanos. 9.9 En forma general el principio de conveniencia se enuncia diciendo que: "sjos cosas que convienen en algo (propiedad común) con una tercera, convienen entre sí en ese algo". Podríamos graficarlo
La propiedad común es que son letras A Este principio rige la construcción de los silogismos que concluyen afirmativamente 9.10 El principio de discrepancia rige los silogismos que concluyen negativamente. Sea el ejemplo: Ningún colombiano es europeo. es así que los boyacenses son colombianos: luego ningún boyacense es europeo
Lo que se quiere decir es que dado que ningún colombiano tiene la propiedad de ser europeo, y dado que todos los boyacenses tienen la propiedad de ser colombiano, se puede concluir que los boyacenses no tienen la propiedad de ser europeos 9.11 En forma general, el principio de discrepancia se puede enunciar: "si tenemos dos cosas de las cuales una conviene en algo con una tercera, y la segunda no conviene en ese algo con dicha tercera, entonces no convienen entre sí". En forma gráfica
9.12 En el esquema del ítem 9.11 vemos que hay discrepancia "en-un-tercero", puesto que S conviene con M y P no conviene con M. Podría darse el caso que ni S ni P convinieran con el término medio, o sea con M. Entonces habría discrepancia "de-untercero" muy distinto de la discrepancia "en-un-tercero". Observe los siguientes gráficos:
Por ser casos de discrepancia "de", lo mismo se puede concluir afirmativamente que negativamente, lo cual quiere decir que en estos casos no se puede concluir válidamente. 9.13 No cualquier silogismo es formalmente correcto. Para cerciorarnos de la corrección de un silogismo dado, los lógicos clásicos establecieron ocho reglas, de las cuales cuatro se refieren a los términos y cuatro a las proposiciones. Empezaremos por las que se refieren a los términos. 9.14 La primera regla dice que: un silogismo ha de tener tres y sólo tres términos. La razón de esta regla , que es la fundamental y a la cual se pueden reducir de algún modo todas las demás, es que por esencia el silogismo consiste en comparar dos cosas con una tercera como se estableció en los ítems anteriores. 9.15 Son frecuentes los silogismos que de una manera larvada pecan contra esta regla, debido a que une de los términos se toma en doble suposición o sentido. Por ejemplo: todos los zorros roban gallinas es así que Maquiavelo era muy zorro: luego Maquiavelo robaba gallinas. ¿Cuál de los términos se toma en doble sentido?: zorro. silogismo hay estos cuatro términos: zorro (animal) zorro (astuto) robar gallinas Maquiavelo
Por tanto, en el anterior
9.16 La segunda regla dice: el término medio debe ser tomado, al menos en una de las premisas, universalmente. El siguiente ejemplo peca contra la regla enunciada: algunas costeñas son modelos así que algunas costeñas son monjas luego algunas monjas son modelos ¿Cuál es el término medio?:………………… costeñas ¿Qué extensión tiene en ambas premisas?: particular Porque es sujeto de proposiciones particulares. 9.17 La razón de esta regla está en que, al no tomarse el término medio úniversalmente en ninguna de las dos premisas, puede darse el caso que "monjas" y "modelos", o sea los términos extremos, se refieran a distintas partes del conjunto de las "costeñas". 9.18 La tercera reza: el término medio no puede figurar en la conclusión. La razón de la misma es que el término medio cumple su función en las premisas; como puede verse en los esquemas de los ítems 9.9, y 9.11; lo que interesa en la conclusión es saber si los extremos convienen o no convienen entre sí; no hay, por tanto, cabida para el término medio en ella. 9.19 Analicemos el siguiente ejemplo: una cabra es madre, es así que una cabra es tuya: luego una cabra es madre tuya. ¿Cuál es el término medio?: cabra Aparece en la conclusión. 9.20 La cuarta regla se enuncia: los términos extremos no pueden tener mayor extensión en la conclusión que la que tienen en las premisas. La razón es que nadie puede dar más de lo que tiene, esto es: un término particular en las premisas, no puede resultar en la conclusión teniendo extensión universal 9.21 Sea el ejemplo siguiente: todos los tolimenses son colombianos, es así que ningún pastuso es tolimense: luego ningún pastuso es colombiano. ¿Cuáles son los extremos?: colombianos y pastusos En la premisa mayor se quiere decir que los tolimenses son parte de los colombianos, por lo que es claro que el término "colombianos" se toma particularmente
En la conclusión, por el contrario, se quiere decir que no hay ni siquiera un pastuso en el conjunto de los colombianos; por tanto, se toma este término universalmente. Con lo que se evidencia que el silogismo en cuestión peca contra la regla cuarta 9.22 Antes de seguir adelante es muy importante anotar que la extensión afecta tanto a las proposiciones como a los términos. El término sujeto tiene la misma extensión que tenga la proposición y se evidencia por los cuantificadores: todos, algunos 9.23 Por otra parte, la extensión del término-predicado depende de la calidad de las proposiciones: si una proposición es
afirmativa (no importa que sea particular o
universal) el predicado de la misma tendrá extensión particular; si, por el contrario, la proposición es negativa (no importa su cantidad) el predicado se tomará universalmente como quedó claro en el ejemplo del ítem 9.21. 9.24 Supuestas las indicaciones de los ítems 9.22 y 9.23, determine en los esquemas que siguen la extensión de S (sujeto) y P (predicado):
Todo S es P Ningún S es P Algún S es P Algún S no es P
S
universal
P
Particular
S
Universal
P
Universal
S
Particular
P
Particular
S
Particular
P
Universal
9.25 Las cuatro reglas siguientes se refieren a las proposiciones. Siguiendo la enumeración, la quinta se enuncia así: si las dos premisas de un silogismo son afirmativas, la conclusión no puede ser negativa. Lo cual se desprende del principio de conveniencia. Por ejemplo, peca contra esta regla: todo delito merece castigo, es así que todo secuestro es delito: luego ningún secuestro merece castigo. La conclusión correcta sería: todo 9.26 La sexta regla establece: de dos premisas negativas no se puede sacar ninguna conclusión.
La razón es que en este caso no habría "discrepancia-en", sino
"discrepancia-de" (Cf. 9.12). Por tanto, es incorrecto: ningún perro es volador,
es así que ningún volador es cuadrúpedo: luego ningún perro es cuadrúpedo. 9.27 La regla séptima establece: de dos premisas particulares no se puede sacar ninguna conclusión. La razón es que si ambas premisas son particulares, el término medio no podría ser universal bajo ninguna hipótesis; el ejemplo del ítem 9.16 ilustra esta regla. 9.28 La octava y última regla señala que: la conclusión sigue a la premisa de peor condición. Se considera más débil la negativa con respecto a la afirmativa y la particular con respecto a la universal
9.29 Por tanto, si una de las premisas es negativa, la conclusión debe ser negativa, en virtud del principio de "discrepancia-en" estudiado en el ítem 9.11. Del mismo modo, si una de las premisas es particular, la conclusión, como es natural, no podrá ser de mejor condición, o sea universal. Sea el ejemplo: todos los renos tienen cuernos es así que algunos rumiantes son renos: luego todos los rumiantes tienen cuernos la conclusión correcta debería ser: algunos. 9.30 En el siguiente cuadro se sintetizan las ocho reglas expuestas. Complete las partes en blanco: Referentes a los términos: 1. Un silogismo ha de tener 3 términos, y sólo 3 2. El término medio ha de ser tomado, al menos en una de las premisas 3. 4.
universalmente El término medio no puede figurar en la conclusión Los términos extremos no pueden tener en la conclusión mayor extensión que la que tengan en las premisas
Referentes a las proposiciones: 5.
6. 7. 8.
Si las dos premisas de un silogismo son afirmativas, la conclusión no puede ser negativa De dos premisas negativas no e puede sacar conclusiones. De dos premisas particulares no se puede sacar conclusiones. La conclusión ha de ser de la misma condición que la premisa más débil
9.31 Si observa los ejemplos puestos para ilustrar las ocho reglas, caerá en la cuenta de que el término medio siempre ocupa la misma posición y que, lógicamente, al cambiar de posición el término medio, deben cambiar también los extremos de lugar. 9.32 Sea el siguiente silogismo: Todos los hombres son mortales, es así que los pastusos son hombres: luego los pastusos son mortales.
Simbolizando el término medio por M y los extremos por S (menor) y por P (mayor) obtenemos el siguiente esquema: M--------------P S--------------M S________P En este esquema el témino medio hace en la premisa mayor de sujeto, y en la menor de predicado. Cuando sujeto, predicado se da esta posición se trata de la primera figura. 9.33 El siguiente es un ejemplo de la segunda figura: ningún colombiano es venezolano, es así que los cariocas son venezolanos: luego ningún carioca es colombiano
Con la misma símbolo empleado en el ítem anterior complete usted el esquema de este silogismo, colocando el término medio: P --------------M S---------------M S_________P
En la segunda figura el término medio hace de predicado en ambas premisas. 9.34 A continuación tiene un ejemplo de la tercera figura:
todos los poetas son románticos, es así que algunos poetas son profesores: luego algunos profesores son románticos cuyo esquema sería: M----------------P M----------------S S_________ P Observe que el término medio hace en ambas premisas de sujeto 9.35 Para finalizar, analice el siguiente ejemplo de la cuarta figura: Sócrates, Kant, Hegel . . . son filósofos, es así que todo filósofo es raro luego algunos raros son Sócrates . el esquema de esta figura es: P----------------M S----------------M S_________P Observe que el término medio en la primera premisa hace de predicado y en la segunda de suejto. 9.36 Si cambiamos el orden de las premisas en el ejemplo del ítem anterior, resultaría un silogismo de la figura. Por esta razón se llama primera invertida y también galénica porque se atribuye al lógico Galeno. 9.37 Resumiendo, éstos serían los esquemas de las cuatro figuras del silogismo, teniendo en cuenta las posibles posiciones de los términos:
9.38 Conociendo cuál es la figura de un silogismo, se puede saber si es o no es correcto, teniendo en cuenta las leyes para cada una de las figuras; que son las siguientes: Primera figura
Segunda figura:
Tercera figura:
Cuarta figura:
9.39 Por razones de brevedad prescindimos de dar las pruebas de estas leyes. Advertimos que no pueden ser aplicadas si no es en asocio con las reglas del silogismo referentes a las proposiciones.
9.40 Recordemos que todo silogismo típico consta de tres proposiciones categóricas y dado que necesariamente cada proposición está:
Universalment Cuantificad
e
a
particularment e
y también
afirmativamen Cualificada
te negativament e
Uniendo ambos criterios resultan los cuatro modelos de proposiciones ya conocidos: A-E-I-O
9.41 Barajando las cuatro letras que representan los modelos, obtendríamos todos los modos posibles de silogismos teniendo en cuenta la cantidad y
de
calidad
las
proposiciones. 9.42 Todas las combinaciones posibles resultan de combinar, de tres en tres, las letras A, E, I, 0, de acuerdo con la fórmula 43 (donde la base 4 significa el número de letras combinables y el exponente el número de premisas del silogismo). Los modelos o modelos posibles son 64. Pero como existen cuatro figuras, multiplicando 64 X 4 obtendríamos un total de 256 modos posibles. 9.43 En el siguiente cuadro presentamos los 64 modos posibles para cada una de las figuras:
9.44 Teniendo en cuenta las cuatro reglas referentes a las proposiciones y las leyes de las figuras, deduzca !os modos legítimos o correctos para la primera figura: AAA EAE All EIO (AAI ) (EA O) Observe que en todos los casos la premisa menor es afirmativa y la mayor es universal según lo exige la primera figura. 9.45 Teniendo en cuenta los mismos criterios del (tem 9.44, deduzca los modos legítimos para la segunda figura: EAE AEE EIO AO O (AE O) (EA O) Observe que una de las premisas es negativa y que la mayor es universal.
9.46 Deduzca los modos correctos para la tercera figura: AAI IAI AII EA O OA O EIO Observe que la premisa menor es afirmativa y la conclusión particular. 9.47 Deduzca los modos correctos para la cuarta figura: AAI AE E IAI EAO EIO (AE O) para una deducción correcta tenga en cuenta las tres leyes de la cuarta figura. 9.48 Señale en el cuadro del ítem 9,43 los modos legítimos de las cuatro figuras encerrándolos en un círculo. 9.49 Los modos puestos entre paréntesis: (AAI), (AEO) representan modos legítimos pero débiles por limitación o particularización de la conclusión. Si descartamos éstos, quedan 10 plenamente legítimos. Para recordarlos, los lógicos escolásticos construyeron los siguientes versos endecasílabos: Barbara, Celarent, Darii, Ferioque prioris; Cesare, Camestres, Festino, Baroko secundae; Tertia, Darapti, Disamis, Datisi, Felapton Bokardo, Ferison, babet; quarta insuper addit Bramantip, Camenes, Dimaris, Fesapo, Fresison.
9.50 Si bien nos fijamos, de la misma manera que en una proposición categórica típica relacionamos DOS conjuntos (Cf. cap. 7), un silogismo categórico en forma típica representa una operación en la que se relacionan tres términos y por tanto
tres conjuntos.
9.51 En la unidad 7 estudiamos las relaciones que se establecen entre 5 (sujeto) y P (predicado) en cada una de las formas típicas o modelos de proposiciones, a saber: Todo S es P Ningún S es P Algún 5 es P Algún S no es P
relación de:
inclusión exclusión intersección diferencia
9.52 También vimos los diagramas de Venn mediante los cuales se representan los distintos modelos. Solamente queremos recordar las convenciones allí expuestas: El sombreado significa ausencia de elementos. La parte o partes marcadas con una equis significan presencia. 9.53 Esto supuesto, el método de los diagramas de Venn para comprobar la validez o invalidez de un silogismo cualquiera consiste en: 1. Dibujar
tres
círculos
intersectantes,
que
representen
los
conjuntos
correspondientes a los tres términos de que consta un silogismo: 2. Se representan las premisas con sombreado o marcando con una "x" empezando siempre por la universal si la hay. 3. Se verifica si la conclusión ha quedado o no representada. Si queda representada, el silogismo es válido, de lo contrario no lo será. 9.54 Sea un primer ejemplo: todos los animales son mortales, es así que los hombres son animales; luego los hombres son mortales. a) Se trazan tres círculos que se intersecten correspondientes i; los tres términos del silogismo:
b) Se representa la primera premisa. Puesto que todos los
el
ementos de A están
c
ontenidos en M, se sombrea toda la parte de A que queda fuera de M:
c) Se Representa la segunda premisa. Puesto que todos los elementos de H están contenidos en A, se sombrea toda la parte de H que está por fuera de A:
d) La conclusión ha quedado representada, pues, como puede verse, todos los elementos de H quedaron dentro de M. Es por lo mismo válido. 9.55 Sea un segundo ejemplo: ningún americano es europeo, es así que todo colombiano es americano: luego ningún colombiano es europeo. a) Se trazan y signan los tres círculos correspondientes:
b) Puesto que ningún elemento de A está contenido en E, se sombrea la parte común a A y E:
c) Puesto que todos los elementos de C están contenidos en A, entonces se sombrea la parte de C que está por fuera de A:
d) Como la parte común a C y a E ha quedado sombreada, quiere decir que la conclusión es representable y por lo mismo válida. 9.56 Sea un tercer ejemplo: todos los antioqueños son colombianos, es así que todos los pastusos son colombianos: luego todos los pastusos son antioqueños. a) Se trazan y signan tos tres círculos:
b) Se sombrea la parte de A que queda por fuera de C:
c) Se sombrea toda la parte de P que queda por fuera de C:
d)
La conclusión no ha sido representada pues una parte de P ha quedado sin sombrear.
9.57 Sea un cuarto ejemplo: algunos colombianos son antioqueños, es así que todos los colombianos son sudamericanos: luego algunos sudamericanos son antioqueños. a) Se trazan los tres círculos y se signan:
b) Se sombrea la parte de C que queda por fuera de S:
c) Se marca con una "x" la parte común de C y A:
d) La conclusión ha quedado representada y es válida 9.57 Sea un último ejemplo:
algunas costeñas son gordas, es así que algunas costeñas son modelos: luego algunas modelos son gordas.
a) Se trazan los tres círculos y se signan:
b) Se signa con una "x" la parte común de C y G:
c) Se signa con una "x" la parte común de C y M. Como dicha parte está dividida por una línea, la "x" debe colocarse sobre ella y se interpreta como que, al menos, una de las dos zonas no es vacía.
d) La conclusión no ha quedado representada, pues no hay seguridad de que la zona común a M y G no sea vacía. La conclusión no es válida.
AUTOEVALUACION A. El siguiente es un test de selección múltiple. El objetivo del mismo es que se ejercite en sacar conclusiones correctas , dadas unas premisas. Señale con una equis la respuesta correcta. 1. Ningún animal al es inmortal El león es animal Por tanto, a.
Ningún animal es león
b.
Todo inmortal es león
c.
El león no es inmortal
d.
No es concluyente
2. El europeo es blanco Algún hombre no es blanco Por tanto, a. Todo blanco es europeo b. Algún blanco no es europeo c. Algún hombre no es europeo d. No es concluyente 3. Los alemanes son nazis Los alemanes son hombres Por tanto, a) Todos los hombres son alemanes b) Algún hombre es nazi c) Todos los nazis son hombres d) No es concluyente.
4. Los estudiantes son diligentes Los estudiantes son hombres Por tanto, a.
Todos los hombres son diligentes
b.
Algunos hombres son diligentes
c.
Todos los hombres son estudiantes No es concluyente.
d.
5. La calle Garcilaso es paralela a la calle del Dr. Marañón. La calle de Cervantes hace un ángulo de 90° con la calle del Dr. Marañón. Por tanto, a.
La calle Garcilaso cruza la calle Cervantes
b.
La calle Dr. Marañón cruza la calle Garcilaso
c.
No es concluyente
d.
La calle Garcilaso hace un ángulo de 90° con la calle Cervantes 6. Algún cuadrilátero es polígono regular Ningún polígono regular tiene los lados desiguales Por tanto, a.
Algún cuadrilátero tiene los lados iguales
b.
Todo cuadrilátero tiene los lados iguales
c.
Todo polígono regular es cuadrilátero
d.
No es concluyente 7. Toda estrella es astro Todo planeta es astro Por tanto,
a.
Todo planeta es estrella
b.
Algún planeta es estrella
c.
Toda estrella es planeta
d.
No es concluyente
8. A está situada al Sur de B C está situada al Oeste de B Por tanto, a.
A está al suroeste de C
b.
A está al sureste de C
c.
C está al nordeste de A
d.
No es concluyente 9. Algunos animales vuelan El águila es un animal Por tanto,
a. b. a. b.
Toda águila vuela Algún águila vuela Todos los animales son águilas No es concluyente 10. Lima está al norte de Arequipa Cuzco está al este de Arequipa Por tanto, a. Lima
está al nordeste del Cuzco
b. Lima
está al suroeste del Cuzco
c. Cuzco d. No
está al noroeste de Lima
es concluyente
11. Todo paralelogramo es cuadrilátero Algún paralelogramo es isósceles Por tanto, a. No
es concluyente
b. Algún
cuadrilátero es isósceles
c. Todo
cuadrilátero es isósceles
d. Todo
cuadrilátero es paralelogramo
12. Algún hombre es profesor Algún hombre no es deportista Por tanto a.
Algunos profesores son deportistas
b.
Algunos profesores no son deportistas
c.
Algunos deportistas no son profesores
d.
No es concluyente
13. Los polígonos son superficies que tienen vértices El círculo no tiene vértices Por tanto, a.
No es concluyente
b.
El círculo no es un polígono
c.
El círculo no es una superficie
d.
El círculo es una superficie
14. La ciudad A está al Sur de B y al Este de D La ciudad Z está al Sur de D Por tanto, a.
A está entre B y Z
b.
No es concluyente
c.
B está al Norte y Oeste de D
d.
A está al Norte y Este de Z
15. Colombia es un país dependiente Algunos países dependientes son atrasados Por tanto, a.
Colombia es un país atrasado
b.
Los países dependientes son atrasados
c.
Algún país dependiente no es atrasado
d.
No es concluyente
16. Los políticos engañan al pueblo El pueblo vota por los políticos Por tanto, a.
El pueblo vota por los que engañan al pueblo
b.
La clase política miente
c.
Algunos políticos son del pueblo
d.
No es concluyente
B. A continuación encontrará una serie de silogismos. Analícelos. 1. Todos los animales vacunos son mamíferos, es así que los humanos son mamíferos: luego los humanos somos animales vacunos ¿Correcto/incorrecto? ………………..INCORRECTO ¿Contra qué regla peca?....................SEGUNDA ¿Por qué peca contra la regla? …….."mamíferos" es particular en ambas premisas por ser predicado de afirmativas. 2. Colombia limita con Panamá, es así que Panamá limita con Costa Rica: luego Costa Rica limita con Colombia. ¿Correcto/incorrecto? ……………. incorrecto ¿Contra qué regla? ………………..primera ¿Por qué?......................................tiene seis términos: Colombia limita con P. Panamá limita con C.R Costa Rica limita con C
3. Todos los poetas son románticos, es así que algunos filósofos no son románticos: luego algunos filósofos no son poetas ¿Correcto/incorrecto?........................... correcto ¿Contra qué regla?............................... ninguna ¿Por qué? 4. Todos los humanos son mamíferos, es así que algunos mamíferos son cuadrúpedos: luego todos los humanos son cuadrúpedos.
¿Correcto/incorrecto?........................incorrecto ¿Contra qué regla?..........................segunda y octava ¿Por qué?......................................."mamíferos" es particular en ambas premisas y la conclusión debiera ser particular puesto que lo es la premisa menor. 5. Todas las verduras son comestibles es así que la yuca no es verdura: luego la yuca no es comestible: Correcto/incorrecto?..........................incorrecto ¿Contra qué regla?..........................cuarta ¿Por qué?......................................."comestible" tiene, por ser predicado de negativa, mayor extensión en la conclusión que en la premisa mayor. 6. Los enunciados metafísicos son inverificables, es así que "Dios existe" es un enunciado metafísico: luego "Dios existe" no es un enunciado verificable. ¿Correcto/incorrecto?................................correcto ¿Contra qué regla?...................................ninguna ¿Por qué? 7. Algunos políticos dicen la verdad, es así que algunos políticos son mentirosos: luego algunos mentirosos dicen la verdad. ¿Correcto/incorrecto?..............................incorrecto ¿Contra qué regla?.................................segunda y séptima ¿Por qué?.............................................."políticos" es particular en ambas; las dos premisas son particulares. 8. Todos los colombianos son sudamericanos, es así que los sudamericanos son latinos: luego todos los sudamericanos son colombianos. ¿Correcto/incorrecto?.......................... incorrecto ¿Contra qué regla?............................. tercera ¿Por qué?........................................... "sudamericano" no puede bajar a la conclusión. 9. Todos los novelistas son escritores, es así que algunos escritores no son novelistas: luego algunos novelistas no son escritores. ¿Correcto/incorrecto?..................... incorrecto ¿Contra qué regla?......................... primera ¿Por qué?....................................... sólo tiene dos términos: novelistas y escritores.
C) A continuación debe realizar los diagramas de los silogismos cuyos esquemas se le proporcionan en cada uno de los recuadros.
