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MODULACIÓN Y DEMODULACION EN AMPLITUD Diego Alfonso Rojas, Camilo Yomayusa
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Abstract—The following paper shows the theoretical development of the modulation and demodulation in amplitude, from the signals involved in these processes. In this case the modulation AM DSBFC implemented, because it is the most widely used, it will show the mathematical model of the modulation with their respective representation of the frequency spectrum. It also will make make use of Matlab Matlab softwa software re to simula simulate te the modulati modulation on and demodulation in amplitude from the theoretical development.
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I. OBJETIVOS Desarrollo teórico del módelo matemático para la modulación AM DSBFC. Desarrollo teorico del desarrollo matemtico de la demodulacion. Determinar el espectro de frecuencias de la señal modulada. Implementar el sofware Matlab, para simular la modulación en amplitud. Comparacion de la señal modulada con la señal obtenida despues de la pasarla por los filtros.
II. INTRODUCCIÓN En el ámbito de las comunicaciones, existe una rama muy importante que es la recepcion y trasmision de informacion. Por ejemplo para emitir información a través de la radio un mensaje tiene que ser "mezclado" con la señal de radio (ahora llamada "portadora" pues transporta la señal con la información hasta el receptor); es decir que la señal es modulada por el transmisor. Para poder ser interpretada dicha informacion que viene modulada con la señal de radio debe demodularse, con el fin de volver a extraer dicha informacion. Ahora bien cuando la señal llega al receptor la señal que recibe es una señal modulada y para poder ser escuchada o en este caso para poder escuchar el mensaje tiene que ser demodulada por el receptor. Estas dos funciones son indispensables para los sistemas de comunicación y en este documento se explicara la forma de modular y de demodular una señal para poder ser emitida y escuchada.
1) Represen Representación tación Matemática Matemática de la Modulación Modulación en Am plitud: Existen varias formas o variaciones de modulación
en ampli amplitud tud que son posibl posibles es de genera generarr, sin embar embargo go la modulación más utilizada es la portadora de AM de doble banda lateral (AM DSBFC). [2] En la figura 1, se muestra la representación simplificada del modulador AM DSBFC, en cual se ilustra la relación entre la señal portadora y la señal modulante (señal de entrada).[2]
Figure Figure 1. Represent Representación ación modula modulación ción AM DSBFC DSBFC
A partir de la figura 1, se muestra a continuación la onda generada de una señal AM en el dominio de tiempo a partir de dicha relación entre estas señales (midulante y portadora).
III. MARCO TEORICO A. Modulación en Amplitud
Figure Figure 2. Señales Señales en el dominio dominio del tiempo tiempo de la modulación modulación AM DSBFC DSBFC
La modulación es el proceso en el cual se transforma la inform informaci ación ón origin original al en una forma forma más adecua adecuada da para para su correcta transmisión. [2] De tal manera la modulación en amplitud (AM) consiste en cambiar la amplitud de la señal portadora de acuerdo con la amplitud de la señal modulante o moduladora (señal de información). [2]
En la Figura 2, muestra las señales que intervienen en la modulación en amplitud (AM DSBFC), además se presentan una serie de parametros como son las amplitudes de cada señal y el valor máximo y mínimo en la amplitud de la señal envolvente, la cual corresponde a la forma de la onda de la señal modulada o señal de salida.[2]
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Por consiguiente: Ec = V oltaje P ortadora Em = V oltaje Modulante −
−
A partir de la Figura 2: V max = Ec + Em
(1) Figure 3. Espectro de frecuencia señal modulada AM DSBFC
V min = Ec − Em
(2)
De acuerdo a la definición del porcentaje de distorcsión de un armónico se tiene que: %AEm =
m=
Em Ec
Em Ec
(3)
Un modulador AM es un dispositivo no lineal, generando una mezcla no lineal y una envolvente de salida como una onda compleja, compuesta de un voltaje DC, la frecuencia portadora, y la suma de las frecuencia (fc+fm) y la diferencia (fc-fm).[1] A partir de la ecuación (10), se obtiene: 2) Espectro de Frecuencias de AM:
(4) V o(t) = Ec ∗ sin(2πfct) + mEc ∗ sin(2πfct) ∗ sin(2πfmt)
Donde m corresponde al indice de modulación. Inicialmente como se ha mencionado anteriormente, las señales participes en la modulación en amplitud (AM DSBFC) son la señal modulante y la señal portadora, en las siguientes ecuaciones se relaciona el expresión matemática de las señales: Señal Portadora
(11) Aplicando la siguiente identidad trigonometrica a la ecuación (11): 1 2
sin(A)sin(B ) = − cos(A + B ) +
•
V c(t) = Ec ∗ sin (2πfct) •
Señal Modulante: V m(t) = Em ∗ sin (2πfmt)
•
(5) (6)
Señal Modulada: V o(t) = [Ec + Em ∗ sin(2πfmt)] sin(2πfct)
(7)
Donde fc es la frecuencia de la portadora y fm es la frecuencia de la modulante. De la ecuación (7), la señal se compone de dos componentes de frecuencia, debido a que estas frecuencias se multiplican, al ser funciones impares, dará como resultado una señal par. Despejando Em de la ecuación (4) se tiene: Em = Ec ∗ m
(8)
Reemplazando Em en la ecuación (7): V o(t) = [Ec + mEc ∗ sin(2πfmt)] sin(2πfct)
(9)
Donde el término Ec + mEc ∗ sin(2πfmt) corresponde a la amplitud de la señal de salida. Factorizando Ec de la ecuación (9), obtenemos la señal de salida de la modulación en amplitud AM DSBFC: V o (t) = [1 + m ∗ sin(2πfmt)] Ec ∗ sin(2πfct)
(10)
A partir de la ecuación (10), se tiene que la onda modulada de salida contiene todas las frecuencias que componen la señal AM. [1]
1 cos(A − B ) 2
1 2
(12)
V o (t) = Ec ∗sin(2πfct)− mEc ∗(cos [2πt (fc + f m)]−cos [2πt(f c − f m)])
(13)
Graficando el espectro de frecuencias a partir de la ecuación (13): En la Figura 3, se muestra el espectro de frecuancia de la onda de AM , se observa que en este espectro se presentan dos bandas la banda lateral inferior (LSB) y la bamda lateral superior (USB), a partir de esto se tiene que las frecuencias entre LSB corresponden a la frecuancia lateral inferior (LSF) y las frecuencias que se encuentran en el rango de USB corresponden a la frecuencias lateral superior (USF). De tal forma el ancho de banda (B) de una señal AM DSBFC es igual a la diferencia entre la frecuencia lateral superior y dos veces la frecuencia de la señal modulante. B. Demodulación en Amplitud
La demodulación en un proceso que permite recuperar un voltaje proporcional al mensaje empleado como modulación, es decir que la señal de salida o señal modulada se convierte nuevamente a su forma original. De tal forma la modulación actua como un receptor de la información.[2] Al realizar la multiplicación entre la señal portadora y la señal modulante, se obtiene como resultado un modulador balanceado, el cual al ser multiplicado por la señal portadora nuevamente, se generara la señal demodulada. Dicha señal demodulada al ser filtrada (filtro pasa bajo), dará con resultado final una aproximación de la señal original de información. IV. DESARROLLO DE CONTENIDOS A. Desarrollo Modulación en Amplitud
Para la simulación en matlab tomaremos como referencia las ecuaciones (4), (5), (6) y (10), para realizar la modulación en
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amplitud AM DSBFC, en este caso remolazaremos la función seno de cada ecuación por la función coseno. 1) Descripción Código: El código mostrado en la figura 4, corresponde a la modulación en amplitud, inicialmente se determinaran los parametros necesarios para la modulación como son el vector tiempo, la frecuencia y amplitud de la portadora y la frecuencia y amplitud de la modulante. Al definir parametros se cran las señales que intervienen en la modulación, la señal portadora, y la señal modulante, como se observa además de estas dos señales, se creo la envolvente de AM, la cual se utilizara para visualizar la modulación. A partir de la implementación de la ecuación (4), obtenemos el indice de modulación el cual sera usado en la señal modulada. Teniendo las señales y parametro definidas, al implementar la ecuación (10), se obtiene finalmente la señal modulada, de la cual se determinara el espectro de frecuencias. Por último se graficaran todas las señales propuestas.
Figure 5. Imagenes tomadas de Matlab.
Figure 6. Imagenes tomadas de Matlab.
En la figura 6, se muestran las señales de la portadora (roja) y de la modulante (azul), realizando el proceso de modulación en amplitud se obtiene como resultado la señal modulada (verde), además se muestra la envolvente de salida, solo para visualizar la forma de la onda de salida. Se debe tener presente que la envolvente es una señal que no existe realmente, este tipo de señal se debe calcular. Espectro de Frecuencia Modulador AM DSBFC: El espectro de frecuencias mostrado en la Figura 5 y 6, corresponde al mencionado anteriormente del modulador AM DSBFC, en esta imagen se puede visualizar la frecuencia central portadora correspondiente a la amplitud mayor y las otras dos frecencias son las laterales superior e inferior, y como se observa la amplitud de estas dos frecuencias es casi la misma. •
B. Desarrollo Demodulación en Amplitud
Para realizar el proceso de demodulación se implementara los pasos establecidos en el algoritmo de la Figura 8, los cuales han sido explicados en el estado del arte en el tema de demodulación. Al obtener la señal demodulada, esta deberá ser filtrada y en este caso se implementara un filtro pasabanda butterworth, en el cual definiremos el orden del filtro (n) y la frecuencia de corte (Wn) que corresponde a la frecuenca normalizada con respecto a la frecuencia de Nyquists.[3] 1) Descripción Código::
Figure 4. Modulación en Amplitud AM DSBFC
2) Gráficas Modulación en Amplitud: •
Señal Portadora, Modulante (Cuadrada y Triangular), Modulada:
0 ≤ Wn ≤ 1
(14)
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Figure 9. imagen tomada de matlab
Algunos de los problemas que se nos presentaron en l aelaboracion del proyecto de demodulacion fue que La diferencia entre la frecuencia de la señal modulante y la portadora deberia ser bastante grande, para que cuando los filtros entren en accion sea mas facil obtener lo que se desea. La señal que se obtiene de la demodulacion no es exactamente igual a la original, ya que presetna un rizado y un offset de voltaje debido a la accion de recuperacion y filtrado. El ancho de banda de la señal depende de la amlitud de los armonicos y de la señal protadora, esto nos indica que de alguna manera el indice de modulacion m afecta el ancho de banda de la señal. Si la frecuencia de la modulante y la frecuencia de la portadora estan muy cercana, a deodulacion se hace bastante dificil, ya que en el primer paso de la demodulacion que se propuso se requiere un filtro pasabanda, al cual no va a trabajar de manera correcta si las frecuencias estan muy cercanas. V. CONCLUSIONES Figure 7. Demodulación en Amplitud
Figure 8. imagen tomada de matlab
Finalmente, despues de implementar el filtro, se graficara la señal demodulada y la filtración de esta señal, comparandola con la señal original. 2) Gráficas Demodulación en Amplitud:: en el siguiente recuadro observamos la modulacion con los datos respectivos recibidos por el usuario. A continuacion observamos la demodulacion exactamente con los mismos datos del anterior imagen, donde observamos el uso delos filtros pasa bajos, altos y pasa banda.
A partir de la obtención del modelo matemático de la modulación y la demodulación se puede concluir que las señales con información que se desean transmitir necesitan un tratamiento adicional para poder ser transmitida y recibida la información a través de un sistema de comunicaciones. También se pudo concluir que el espectro de frecuencias de la señal modulada se puede modificar, cambiando las frecuencias de las señales portadora y moduladora, y así cambiar la amplitud de los armónicos como se desee, además de esto se puede variar el ancho de banda variando el índice de modulación “m”. En la figura 12, se muestra la señal de salida del proceso de demodulación comparada con la señal de entrada (señal modulante), aqui se puede observar que existe cierto desfase entre la señal demodulada (azul) y la señal original (roja), debido a que la señal demodulada no es una onda completamente pura, debido a que esta señal recuperada tiene una tensión proporcional más no de la misma aplitud de la señal original. Por otra parte la ondulación o rizado que se pueda presentar en la señal de salida, se puede disminuir cuando se aumente la relación entre el valor de la frecuencia de la portadora y de la modulante, por consiguiente entre mayor sea la diferencia entre estas frecuencias menor va a ser el rizado de la señal rescatada.
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R EFERENCES [1] [2] [3] [4] [5]
Herrera, Comunicaciones I: Señales, Modulación y Transmisión:Limusa Tomasi, Sistemas de Comunicaciones Electrónicas: PrenticeHall. Gaudernack, L.F, “Some Notes on the Practical Measurement of the Degree of Amplitude Modulation” IEEE Trans , Commun., vol. COM-22, pp. 819-846, Sept. 2006. Sistemas de Modulación. (n.d). Extraido el 14 de Agosto del 2012 desde http://arieldx.tripod.com/manualdx/bandas/modulacion.htm Modulacion AM. Alberto Jimenez. Extradido el 14 de Agosoto del 2012 desde http://www.slideshare.net/aljimene/modulacionam-presentation
